( PDF ) Cordas BPS não-abelianas e uma análise simplética de redução de Legendre

Download PDF

ads:

Tese De

Doutorado

Cordas BPS N˜ao-Abelianas

Uma An´alise Simpl´etica de Redu¸c˜ao de Legendre

Patrick Brockill

Centro Brasileiro de Pesquisas F

ısicas

Rio de Janeiro, 2006

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

Agradecimentos

• Ao Prof. Jos´e A. Helay

el-Neto e Prof. Marco Aurelio Cattacin Kneipp, por sua orien-

ta¸c˜ao, apoio, amizade e por tudo que me ensinaram, assim por serem o ponto chave na

realiza¸c˜ao desta tese;

• A Cecilia Uribe Estrada, pelo seu amor, companherismo e dedica¸c˜ao de sempre;

• A meus pais, meu irm˜ao, OZ, Emma, e toda a minha familia, pelo apoio incondicional,

moral, ﬁnanceiro, pelos bons momentos, e por manterem a minha vis˜ao das coisas com

optimismo e bom humor;

• Aos professores do CBPF, em especial Prof. Jo˜ao dos Anjos, por sua bondade, amizade

e apoio durante o meu tempo no CBPF;

• A Myriam, Ricardo e Rosˆangela, pelo efetivo apoio administrativo e amizade;

• A meus amigos no CBPF e S˜ao Paulo, pela prazerosa convivˆencia, e a sua instru¸c˜ao em

v´arios apectos coloquiais de Portugˆues;

• A meus demais amigos na Holanda, por sua valiosa amizade de tantos anos;

• Ao CAPES e FAPESP, pelo suporte ﬁnanceiro e por terem facilitado a realiza¸c˜ao desta

tese;

• Ao CBPF, pelas ´otimas condi¸c˜oes de trabalho;

• Ao Prof. Bruto Pimentel, por seu ensino em quantiza¸c˜ao `a la Dirac, e por ter-me

indicado Prof. Helay

el;

• Ao Prof. Robin Devenish, por sua amizade, pelo apoio administrativo e social na uni-

versidade de Oxford;

•

A Profa. Marleigh Sheaﬀ, pelo apoio e amizade;

• Ao Prof. John Cumulat, por ter-me feito sentir como parte do grupo de f´ısica da

Universidade de Boulder;

•

As bibliotecas do CBPF, IFT, Universit´e de Paris XIV (LAL, Orsay), UW Madison, Ox-

ford, Vanderbilt, Boulder, e Fermilab por terem-me permitido usar as suas instala¸c˜oes,

e pela valiosa provis˜ao dos textos necess´arios na realiza¸c˜ao desta tese.

ads:

Resumo

Cordas Z

do tipo BPS em teorias n˜ao-Abelianas s˜ao discutidas, sobretudo no quadro de

teorias N = 2 supersim´etricas. Derivamos as condi¸c˜oes de BPS necess´arias para a sua ex-

istˆencia e mostramos como estas s˜ao consistentes com as equa¸c˜oes de movimento num limite

particular, al´em de mostrarmos como um quarto das transforma¸c˜oes supersim´etricas desa-

parece neste limite. Procedemos por analisar as solu¸c˜oes do v´acuo para que o primeiro grupo

de homologia seja Z

, assim garantindo a possibilidade da sua existˆencia. Logo consideramos

a sua solu¸c˜ao expl´ıcita e a sua rela¸c˜ao a solu¸c˜oes expl´ıcitas n˜ao-anal´ıticas, e calculamos a

tens˜ao da corda. Conclu´ımos por considerar as poss´ıveis fases da teoria, e comparamos o

nosso padr˜ao de quebra de simetria, G → G

→ G

, a resultados j´a conhecidos.

Na segunda parte desta tese, consideramos uma formula¸c˜ao multi-simpl´etica de redu¸c˜ao

dimensional, e particularmente a sua aplica¸c˜ao com respeito a redu¸c˜ao de Legendre. For-

mulamos um ansatz para a forma de Cartan da teoria reduzida no caso onde a variedade

original tem a forma M ×G (G um grupo), onde o grupo de isometria ´e unimodular. Baseado

neste ansatz, deduzimos os requisitos de consistˆencia quando faz-se a redu¸c˜ao sobre mais do

que uma dimens˜ao, e mostramos que uma redu¸c˜ao de Legendre somente pode ser associada

com um setor Abeliano do grupo de isometria. Continuamos por calcular a forma de Cartan

para uma variedade de coset representativo (S

) para mostrar como os mesmos requisitos de

consistˆencia surgem. Consideramos o nosso requerimento de consistˆencia em teorias gravita-

cionais dinˆamicas.

Abstract

BPS Z

strings are discussed in non-Abelian theories, particularly in the framework of

N = 2 supersymmetric theories. We derive the BPS conditions required for their existence

and show how these are consistent with the equations of motion in a certain limit, as well as

show how only one quarter of the supersymmetric transformations vanish in this limit. We

proceed to analyze the vacuum solutions such that the ﬁrst homology group is Z

, allowing

for the existence of strings, consider their explicit solution and their relations to known (but

non-analytic) solutions, and calculate the string tension. We conclude by considering the

various phases of the theory, and relate our symmetry breaking pattern, G → G

→ G

, to

known results.

In the second part of this thesis, we consider a multisymplectic formulation of dimensional

reduction, especially as it applies to Legendre reduction. We formulate an Ansatz for the

Cartan form of the reduced theory in the case where the original manifold is of the form

M × G (G a group), where the isometry group is unimodular, and based on this form we

derive consistency requirements when reducing more than one dimension, and we show that

Legendre reduction may only be performed over an Abelian sector of the isometry group.

We further calculate the Cartan form on a particular coset manifold (S

) and show how the

same consistency requirements emerge. We also brieﬂy consider our consistency requirement

in dynamical gravitational theories.

Indice

Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜oes 3

1 Cordas BPS 6

1.1 Teorias Abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Teorias N˜ao-Abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Motiva¸c˜ao: N = 2 Super Yang-Mills com Mat´eria . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 O Caso sem Supersimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Transforma¸c˜oes de Supersimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Solu¸c˜oes do V´acuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 A Primeira Quebra: G → G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 A Segunda Quebra: G

→ G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Part´ıculas de Gauge e as suas Massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4 Quebra de Gauge e o Limite mµ ∼ Constante . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Solu¸c˜oes das Condi¸c˜oes BPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Variedades Simpl´eticas e o Formalismo Multi-Simpl´etico 19

2.1 Dinˆamica de Part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Objetos Padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Subvariedades de Lagrange e Fun¸c˜oes Geradoras . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3 A Dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.4 Jatos e Prolonga¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Dinˆamica de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Nota¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Dinˆamica de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3 Prolonga¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4 A¸c˜oes e Equa¸c˜oes de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.5 Θ e Nota¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.6 Espa¸cos de Conﬁgura¸c˜oes Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.7 Campos Fermiˆonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Redu¸c˜ao de Legendre e Variedades Multi-Simpl´eticas 32

3.1 Redu¸c˜ao de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 O Mecanismo B´asico: 5D → 4D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2 Supersimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.3 Dimens˜ao > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 O Formalismo Multi-Simpl´etico e Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 Vetores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2 Quantidades Conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Redu¸c˜ao e a Forma de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Redu¸c˜ao Dimensional sobre um Espa¸co 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1 Solu¸c˜oes de v

= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Redu¸c˜ao sobre Espa¸cos com Dimens˜ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5.1 A Solu¸c˜ao v

= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Gravita¸c˜ao e a Condi¸c˜ao v = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Redu¸c˜ao Dimensional Sobre Grupos e Cosets 47

4.1 Simetrias Adicionais e Vetores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Redu¸c˜ao Dimensional Sobre Variedades de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Redu¸c˜ao Sobre Espa¸cos Coset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.1 Os Vetores de Killing de S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.2 O Caso S

= SO(3)/SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.3 Uma Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.4 O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Perspectivas Futuras 55

A Conven¸c˜oes e Identidades

Uteis 56

A.1 Nota¸c˜ao de Espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.2 Variedades Riemaniannas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

B Campo Escalar com Background Est´atico 60

B.1 Estruturas Canˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

B.2 Invariˆancia de Θ Sobre os Vetores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜oes

A tese ´e dividida em duas partes: a primeira trata de solu¸c˜oes de cordas tipo BPS em

teorias n˜ao-Abelianas, e a segunda trata de poss´ıveis extens˜oes de redu¸c˜ao de Legendre e um

tratamento multi-simpl´etico de redu¸c˜ao dimensional. Embora estes assuntos sejam bastante

diferentes, os conceitos e a ferramenta matem´atica realmente n˜ao s˜ao t˜ao divergentes: grupos

e as suas representa¸c˜oes, cosets, N = 2 supersimetria, extens˜oes centrais, termos topol´ogicos,

etc. tomam um papel central em ambas teorias.

A importˆancia de cordas (como solu¸c˜oes topol´ogicas em teorias de gauge [15]) tem sido

enfatizada bastante na f´ısica de hoje. As aplica¸c˜oes em conﬁnamento continuam a motivar

muitos trabalhos recentes, baseados frequentemente nas id´eias originais de [16], onde crˆe-se

que o conﬁnamento ´e uma generaliza¸c˜ao dual n˜ao-Abeliana do efeito de Meissner. Al´em disto,

fora das suas aplica¸c˜oes conhecidas em supercondutores [17], cordas parecem desempenhar

um papel importante com respeito `a forma¸c˜ao de gal´axias [18, 19].

Cordas satisfazendo condi¸c˜oes de BPS s˜ao particularmente interessantes na f´ısica. Elas

satisfazem equa¸c˜oes diferenciais da primeira ordem, assim facilitando a sua an´alise, em vez

de equa¸c˜oes de movimento da segunda ordem. Adicionalmente, a existˆencia destes objetos

topol´ogicos em teorias supersim´etricas e a sua rela¸c˜ao com a dualidade [6] tem sido outra

motiva¸c˜ao importante para estud´a-los com mais detalhe.

Numa teoria de Yang-Mills com grupo de gauge arbitr´ario semi-simples quebrada por um

escalar na representa¸c˜ao adjunta, conhecem-se as solu¸c˜oes BPS dos monopolos [20]. N˜ao

obstante, a situa¸c˜ao para cordas ´e diferente. Embora conhe¸cam-se as solu¸c˜oes BPS para

um grupo Abeliano quebrado ao seu centro Z [21, 22] (e em mais alguns casos [23, 24]), as

solu¸c˜oes BPS no caso de uma teoria de Yang-Mills quebrada a um grupo de gauge semisimples

n˜ao-Abeliano n˜ao parecem ser muito conhecidas na literatura e v˜ao ser o nosso objetivo na

primeira parte neste trabalho. Mas, contrariamente aos casos Abelianos, as nossas cordas v˜ao

ser associadas aos elementos de algum grupo Z

em vez de Z.

Relacionados ao nosso trabalho, e formando em parte uma motiva¸c˜ao para o nosso es-

tudo, s˜ao os trabalhos de Seiberg e Witten [6], onde considera-se uma teoria Yang-Mills

supersim´etrica N = 2 com grupo de gauge SU (2). Exigindo que os termos supersim´etricos F

e D sejam nulos, ´e f´acil ver (pelo menos classicamente) que o grupo de gauge ´e quebrado ao

grupo U(1) no espa¸co m´odulo, e com mais trabalho vˆe-se que monopolos sem massa aparecem

neste ponto, al´em de um termo de massa quebrando N = 2. Nesta teoria efetiva, o grupo U(1)

´e quebrado ao grupo Z, solu¸c˜oes de cordas Abelianas aparecem, e crˆe-se que conﬁnamento

´e produzido. Ap´os este resultado interessante, muitos trabalhos sa´ıram generalizando este

resultado [25] onde a teoria efetiva tinha um grupo de gauge U(1)

rankG

quebrado a seu cen-

tro discreto. Mas n˜ao consideravam o caso de um grupo quebrado a um grupo n˜ao-Abeliano

semisimples, e assim n˜ao continham o grupo SU(3) × U(1). De certa forma, em termos do

trabalho de Seiberg e Witten, o nosso trabalho pode ser visto como uma teoria efetiva onde o

grupo de gauge ´e n˜ao-Abeliano e semi-simples, permitindo um grupo res´ıduo SU (3) × U (1).

Ent˜ao, na primeira parte da tese, come¸camos por revisar brevemente as cordas abelianas

tipo BPS, incluindo as suas solu¸c˜oes, tens˜oes, etc. que v˜ao ser generalizadas ao caso n˜ao-

Abeliano da mesma forma. Seguimos por introduzir a nossa teoria, que vai ser a parte bosˆonica

de uma teoria supersim´etrica N = 2 de Yang-Mills com mat´eria em quatro dimens˜oes, onde

o campo de gauge S est´a na representa¸c˜ao adjunta, e onde a mat´eria φ (com massa µ) est´a

numa representa¸c˜ao especial motivada pelo trabalho de [1], garantindo a possibilidade de

cordas Z

. Vamos propor as condi¸c˜oes de BPS parecidas ao caso Abeliano, e mostrar que

elas s˜ao consistentes com as equa¸c˜oes de movimento somente no caso onde um parˆametro de

massa, m, seja nulo, e mostramos que um quarto das transforma¸c˜oes de supersimetria s˜ao

nulas neste caso. Terminamos por considerar as solu¸c˜oes das condi¸c˜oes BPS, e brevemente

consideraremos como muda a fase da teoria quando mudamos o parˆametro m.

As nossas contribui¸c˜oes a esta parte da tese, al´em de sugest˜oes de como deﬁnir os v´ınculos

de BPS, fazer e veriﬁcar contas, etc., eram sobretudo as contas relacionadas com supersimetria,

notamente se¸c˜oes 1.2.1 e 1.2.3.

Na segunda parte da tese, vamos reformular redu¸c˜ao dimensional em termos multi-simpl´eticos.

O m´etodo de redu¸c˜ao dimensional existe j´a desde os trabalhos originais de Kaluza e Klein.

Estes m´etodos tˆem sido cruciais para a f´ısica de hoje, sobretudo nas teorias de supergravi-

dade e a teoria de cordas. E mesmo uma redu¸c˜ao dimensional “trivial” onde os campos

simplesmente n˜ao dependem da dimens˜ao adicional pode dar um resultado n˜ao trivial. Neste

contexto, a id´eia de aplicar redu¸c˜ao dimensional a teorias supersim´etricas para achar super-

simetrias estendidas tem sido utilizado bastante, em grande parte devido ao trabalho de Jo

Scherk [7].

Nos ﬁnais dos anos setenta, achou-se uma modiﬁca¸c˜ao do m´etodo de Kaluza Klein para

redu¸c˜ao dimensional por Scherk e Schwarz [38], que tem recebido bastante aten¸c˜ao, sobretudo

recentemente. Na mesma ´epoca apareceu outro m´etodo de fazer redu¸c˜ao dimensional que os

autores chamaram de “redu¸c˜ao dimensional de Legendre” [43]. A aplica¸c˜ao deste m´etodo

a uma teoria supersim´etrica on-shell em D + 1 dimens˜oes era capaz de gerar uma teoria

supersim´etrica oﬀ-shell em D dimens˜oes. Um resultado quase imediato foi a sua rela¸c˜ao com

um novo supermultiplet, o vetor-tensor supermultiplet.

Este ´ultimo tipo de redu¸c˜ao dimensional parece cair fora das formula¸c˜oes de redu¸c˜ao

dimensional conhecidas na literatura. Assim, o nosso objetivo original deste trabalho era

ver se seria poss´ıvel generalizar o m´etodo de redu¸c˜ao de Legendre de alguma forma. Para

isto, precis´avamos de v´arios conceitos de teorias multi-simpl´eticas. O desenvolvimento de

teorias multi-simpl´eticas usando geometria e formas diferenciais avan¸cou bastante nos anos

setenta [53], e o leitor pode ver que a nossa formula¸c˜ao ´e uma h´ıbrida de [27] e [26], e

v´arios conceitos e resultados essenciais para a nossa formula¸c˜ao multi-simpl´etica acham-se em

cap´ıtulo 2.

De certo modo, a nossa reformula¸c˜ao de redu¸c˜ao dimensional em termos multi-simpl´eticos

d´a um resultado negativo quanto a redu¸c˜ao de Legendre: fora uma poss´ıvel extens˜ao discutida

em se¸c˜oes 3.1.3 e 3.5.1, uma redu¸c˜ao dimensional de Legendre que possa ser aplicada a gerar

teorias oﬀ-shell de supersimetria deve proceder somente como j´a sabe-se fazer. Mas, em

pesquisando isto, achamos um quadro geral de descrever todos os tipos de redu¸c˜ao dimensional

mencionados acima (pelo menos para teorias onde tem-se uma m´etrica tipo background). Dos

nossos resultados, baseados nos m´etodos de teorias simpl´eticas, vˆe-se claramente que seria

dif´ıcil que outra maneira de fazer uma redu¸c˜ao dimensional existisse e, em particular, outras

formas de redu¸c˜ao de Legendre. Por outro lado, a nossa an´alise nos d´a uma vis˜ao mais clara

das poss´ıveis extens˜oes de redu¸c˜ao dimensional, e pode ser que seja ´util para, por exemplo,

um tratamento de dualidade.

Assim, procedemos na segunda parte da tese da seguinte maneira: come¸camos por revisar

brevemente os conceitos ´uteis do formalismo multi-simpl´etico, seguido por uma revis˜ao de

redu¸c˜ao dimensional de Legendre, e logo consideramos as poss´ıveis generaliza¸c˜oes a mais do

que uma dimens˜ao. Continuamos por introduzir as id´eias b´asicas de redu¸c˜ao dimensional sobre

variedades multi-simpl´eticas e a importˆancia dos vetores de Killing, seguido por um ansatz

para a forma de Cartan da teoria reduzida. Ao considerar redu¸c˜ao dimensional sobre mais

do que uma dimens˜ao, vemos como surgem v´ınculos que tˆem que ser satisfeitos pela teoria

original para que a redu¸c˜ao possa ser efetuada. Conclu´ımos este cap´ıtulo por brevemente

considerar a redu¸c˜ao dimensional de uma teoria gravitacional dinˆamica, e mostramos como

o ansatz normalmente considerado na literatura para a forma do v´acuo ´e compat´ıvel com a

nossa condi¸c˜ao de redu¸c˜ao dimensional.

Continuamos por considerar o espa¸co interno como um grupo, e mostramos que o nosso

m´etodo de redu¸c˜ao dimensional somente pode ser v´alido no caso de um grupo unimodular, e

que uma redu¸c˜ao dimensional de Legendre n˜ao ´e poss´ıvel neste caso. Em seguida, consider-

amos um coset representativo, S

, e propomos a forma de Cartan da teoria reduzida (al´em

de propormos a forma de Cartan reduzida para outros cosets). Mostramos que os mesmos

v´ınculos aparecem como no caso de um espa¸co interno de um grupo, assim impedindo redu¸c˜ao

dimensional de Legendre neste caso tamb´em.

Em termos de contribui¸c˜oes, fora da introdu¸c˜ao ao formalismo multi-simpl´etico, cap´ıtulo

2, esta parte da tese tem sido inteiramente nosso trabalho, incluindo a escolha do mecan-

ismo multi-simpl´etico como sendo o formalismo mais adequado para descrever a redu¸c˜ao de

Legendre, os v´arios ansatz para a forma de Cartan reduzida, etc.

1 Cordas BPS

A inspira¸c˜ao inicial da obten¸c˜ao de cordas n˜ao-Abelianas do tipo BPS foi o artigo de Olive e

Turok [1]. Nele, os autores consideraram uma teoria com um grupo (compacto) de gauge G

quebrado por um campo de Higgs φ numa representa¸c˜ao particular tal que cordas pudessem

surgir. De [1,2], tamb´em vˆe-se que o mesmo mecanismo funcionaria com a adi¸c˜ao de um campo

S na representa¸c˜ao adjunta. Por outro lado, a parte bosˆonica de uma teoria N = 2 super

Yang-Mills tem o mesmo conte´udo: um campo S de gauge na representa¸c˜ao adjunta, e campos

φ numa representa¸c˜ao arbitr´aria. Assim, considerando a parte bosˆonica de N = 2 super Yang-

Mills com um campo φ nesta representa¸c˜ao particular, esperamos obter as condi¸c˜oes de BPS

para as cordas que poderiam surgir [3].

Na primeira se¸c˜ao, refazemos o c´alculo famoso de v´ortices no caso Abeliano, introduzindo

o mesmo m´etodo de resolver a energia, etc. da corda que utilizaremos no caso n˜ao-Abeliano.

1.1 Teorias Abelianas

Vamos procurar uma solu¸c˜ao est´atica de um campo φ numa teoria de quatro dimens˜oes onde

a Lagrangiana vai incluir os termos

∂

∗

∂

φ − V (φ). Queremos achar uma solu¸c˜ao φ que

tenha uma simetria cil´ındrica n˜ao dependendo de x

, onde efetivamente temos uma teoria em

trˆes dimens˜oes. Assintoticamente quando a coordenada radial ρ → ∞ (ρ ≡



)

+ (x

)

queremos que o campo φ tenha a forma

|φ| = a → φ = ae

iβ(θ)

, (1.1.1)

onde β(θ) pode ser uma fun¸c˜ao multivalor. Mas, visto que φ ´e uma fun¸c˜ao que somente pode

tomar um valor, ent˜ao

β(θ + 2π) −β(θ) = 2πn , onde n ∈ Z ; (1.1.2)

φ ´e uma representa¸c˜ao do grupo U(1), cujo espa¸co ´e um c´ırculo S

Do teorema de Derrick [4], no caso onde a dimens˜ao ´e maior do que dois, sabemos que

somente existem solu¸c˜oes triviais para esta Lagrangiana. Assim, vamos modiﬁcar ligeiramente

a teoria para incluir um gauge de U(1):

L = −

µν

∗

φ − V (φ) ,

onde a derivada covariante ´e deﬁnida como D

φ = ∂

φ + iqA

φ. O limite desejado na

periferia (1.1.1) pode ser obtido atrav´es do mecanismo de Higgs contanto que escolhamos

V (φ) corretamente.

A fronteira ρ → ∞ ´e um c´ırculo S

. Por outro lado, φ ´e uma representa¸c˜ao do grupo

U(1). Assim, vemos que φ ´e um mapeamento φ : S

→ S

. Desta forma, asseguramos que o

primeiro grupo de homotopia n˜ao seja trivial

) = Z ,

e uma corda vai ser representada pelo valor n.

No caso de um U (1) compacto, o centro pode ser um grupo Z

, por exemplo o grupo Z

no caso de

supercondutores. Neste caso, o primeiro grupo de homotopia tamb´em pode ser Z, por exemplo π

(U(1)/Z

) =

Vamos procurar o v´acuo da teoria, e calcular a energia da corda. Neste referencial, con-

sideramos que v´arias componentes de E e B s˜ao nulas: E

= B

= 0, e, j´a que

= A

= 0, temos D

φ = D

φ = 0 tamb´em. A energia total por unidade de largura, ou a

tens˜ao da corda, ´e simplesmente

T =





φ|

+ V (φ)



onde

i = 1, 2 e B ≡ −F

. Vamos tamb´em considerar que V (φ) ≥ 0, o que garante que

T ≥ 0. Para que a corda tenha tens˜ao ﬁnita quando ρ → ∞, os campos devem satisfazer as

equa¸c˜oes de v´acuo

φ = 0 ,

V (φ) = 0 ,

µν

= 0 . (1.1.3)

A ´ultima condi¸c˜ao, F

µν

= 0 ´e f´acil satisfazer: se A

fosse um gauge puro, ent˜ao automatica-

mente F

µν

= 0. Isto vai sair automaticamente dos seguintes argumentos.

Utilizando as identidades

φ]

∗

φ] − |D

φ|

− |D

φ|

= ±



i

∂

(φ

∗

φ) + qF

|φ|



(1.1.4)



x

∂

(φ

∗

φ) = 0 , (1.1.5)

(onde deﬁnimos D

≡ D

+ iD

e D

−

≡ D

− iD

) e gra¸cas `as condi¸c˜oes (1.1.3), podemos

escrever a energia T como

T =





φ|

qB |φ|

+ V



≥





B (φ

∗

φ − X) ±

BX + V



≥







B ±

q (φ

∗

φ − X)



BX −

(φ

∗

φ − X)

+ V



Vamos tomar

X ≡ a

e V ≥ q

(φ

∗

φ − X)

/8. Assim,

T ≥







= ±

Φ , onde o ﬂuxo Φ ≡



xB = −



De (1.1.3), vemos que quando ρ → ∞

φ = 0 → A

−1

∂

φ = −

∂

β =



qρ

∂

β ,

Note que ∇ = ˆρ∂

θ(1/ρ)∂

, ∇

= (1/ρ)∂

(ρ∂

) + (1/ρ

)∂

no caso sob considera¸c˜ao.

Na realidade, basta considerar que V satisfa¸ca V ≥ q

(φ

∗

φ − X)

/8, e V = q

(φ

∗

φ − X)

/8 seria uma

condi¸c˜ao BPS.

(um gauge puro) junto com a condi¸c˜ao (1.1.1). Da equa¸c˜ao (1.1.2) isto indica que

Φ =

2π

n . (1.1.6)

Desta forma

T ≥ a

π |n|

e o “bound” ´e saturado quando

φ = (D

± iD

) φ = 0 ,

B ±



∗

φ − a



= 0 ,

V = q

(φ

∗

φ − a

)

/8 ,

onde usamos um “+” quando n > 0 e um “−” quando n < 0. A teoria com este potencial ´e

a parte bosˆonica da teoria de N = 2 SQED. Portanto, vemos que as condi¸c˜oes BPS impoem

que a teoria seja supersim´etrica.

De (1.1.6) segue a seguinte condi¸c˜ao de quantiza¸c˜ao

qΦ = 2πn ,

que ´e muito parecida `a condi¸c˜ao para a carga magn´etica.

Um ansatz tendo simetria cil´ındrica ´e

φ(θ, ρ) = af(ρ)e

inθ

, (1.1.7)

(θ, ρ) =

qρ



g(ρ) ,

onde n ´e um numero inteiro n˜ao nulo. Assim, consideramos a seguinte condi¸c˜ao para o “bound”

g(∞) = 1 = f(∞) ,

para recuperar a conﬁgura¸c˜ao (1.1.1) quando ρ → ∞ com β(θ) = nθ. Na origem, consideramos

a condi¸c˜ao sobre a fronteira

g(0) = O(ρ

) e f(0) = O(ρ

) .

A primeira condi¸c˜ao nos garante a regularidade de A

no ponto ρ = 0. A segunda condi¸c˜ao

vem do fato que a vorticidade n requer que φ tenha que ter n nulos. Inserindo este ansatz

nas condi¸c˜oes BPS, um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais da primeira ordem sai:



(ρ) = ∓



|f(ρ)|

− 1





(ρ) = ±

(1 − g(ρ)) f(ρ) . (1.1.8)

Que estas equa¸c˜oes tˆem solu¸c˜oes (n˜ao anal´ıticas) ´e conhecido na literatura, e tˆem-se estudado

algumas das suas propriedades [5].

1.2 Teorias N˜ao-Abelianas

De certa forma, o caso n˜ao-Abeliano segue numa maneira an´aloga ao caso anterior. Lem-

brando que os campos de gauge s˜ao simplesmente ve´ıculos para encontrarmos solu¸c˜oes n˜ao

triviais de φ (equa¸c˜ao (1.1.1)), o resultado que sai daqui ser´a n˜ao trivial: a representa¸c˜ao de

φ n˜ao pode ser uma representa¸c˜ao qualquer no caso n˜ao-Abeliano, sen˜ao deve conter o estado

|kλ

, onde k ´e um n´umero inteiro, k ≥ 2, e onde λ

´e um peso fundamental arbitr´ario. Este

estado surge em v´arias representa¸c˜oes, por exemplo na representa¸c˜ao que denotamos R

kλ

que possui |kλ

 como peso m´aximo. Tamb´em aparece no produto tensorial R

⊗. . . ⊗R

(k vezes) que denotamos R

⊗

kλ

, ou a parte sim´etrica deste produto, R

sym

kλ

E justamente este

´ultimo caso quando k = 2 que corresponderia `a representa¸c˜ao de um condensado de dois

f´ermions na representa¸c˜ao fundamental.

1.2.1 Motiva¸c˜ao: N = 2 Super Yang-Mills com Mat´eria

O leitor pode ver que a forma da nossa Lagrangiana, onde pode-se ter cordas BPS n˜ao-

Abelianas no caso n˜ao supersim´etrico, (1.2.6), ´e baseada na forma supersim´etrica de uma

Lagrangiana de Yang-Mills com mat´eria, facilitando assim uma liga¸c˜ao com o trabalho de

Seiberg e Witten [6]. (Embora os trabalhos diferem em alguns aspectos. No trabalho de

Seiberg e Witten, consideram-se cordas em teorias efetivas U (1), que tˆem propriedades difer-

entes das que devem existir no nosso caso de teorias n˜ao-Abelianas.) Al´em de nos permitir

fazer esta conex˜ao, um estudo da Lagrangiana supersim´etrica enfatiza a importˆancia do termo

de Fayet-Iliopoulos, que pode quebrar a supersimetria. Vamos ver que, na vers˜ao n˜ao super-

sim´etrica, a constante aparecendo em frente deste termo deveria tomar uma forma espec´ıﬁca

para que cordas Z

possam aparecer.

A Lagrangiana que vamos tomar ´e dada em [7] e tem a seguinte forma

N=2,D=4,oﬀ-shell

†i

+ i

ψγ

ψ + iφ

†i

ψ − i

ψλ

−

ψ(M − γ

N)ψ

+tr



−

µν

M +

−

[λ

, M ] −

[λ

, N ]



−

V , (1.2.1)

onde o grupo de gauge ´e um grupo semi-simples arbitr´ario, onde M e N s˜ao campos na

representa¸c˜ao adjunta, e onde φ

est´a numa representa¸c˜ao ainda arbitr´aria. O potencial



tem a forma

−



V =

†i

−

†i

+ N

)φ

†i

+ µ(

iφ

†i

−

†i

ψψ)

+µφ

†i

Mφ

+ tr



[M, N]



−

a,0

onde d

≡ d

e onde o ´ultimo termo ´e um poss´ıvel termo de Fayet-Iliopoulos no caso

Abeliano que inclu´ımos a m˜ao [7].

Esta Lagrangiana tamb´em ´e deduzida em [43] de uma redu¸c˜ao de N = 1, D = 6 a N = 2, D = 5 por uma

redu¸c˜ao normal, e ap´os de N = 2, D = 5 a N = 2, D = 4 atrav´es uma redu¸c˜ao de Legendre.

As transforma¸c˜oes dos campos sobre supersimetria s˜ao [7]

δφ

= 2

ψ ,

δψ = −iζ

− (iγ

+ M + γ

N)ζ

, (1.2.2)

δf

= 2

(γ

+ iM −iγ

N)ψ − 2

δA

= i

δM = i

δN = i

δλ

= −

iσ

µν

− γ

(M + γ

N)ζ

− iγ

[M, N] −iζ

, (1.2.3)

δd

= σ

+ iσ

[λ

, M ] + iσ

[λ

, N ] .

Escrevendo S = M + iN (para que [M, N] =

[S, S

†

] e

{S, S

†

} = M

+ N

, onde

S = ∂

S + ie[W

, S], D

†

= ∂

†

− ie[S

†

, W

]) e integrando a Lagrangiana sobre os

campos auxiliares, f

= iµφ

e d

= −

†i

a,0

, podemos escrever a parte

bosˆonica V do potencial



V da Lagrangiana acima como

V = tr



[S, S

†

]



†i

−

µφ

†i

(S + S

†

)φ

†i

{S, S

†

}φ

Introduzindo um fator expl´ıcito

e [8],

V (S, φ

) =



∗

bca

)



†

− v



4µ

†

−

4µ

†



S + S

†



+ 2φ

†



†

, S





, (1.2.4)

onde os termos v

s˜ao os termos de Fayet-Iliopoulos que podem existir, e que s˜ao atribu´ıdos

a um poss´ıvel fator U(1) associado a um gerador T

. Podemos reescrever isto como

V (S, φ

) =











+ (D

)

+ F

†



(1.2.5)

onde redeﬁnimos d

→ −ed

, e

∗

bca

) + d

= eS

†

− µφ

= eSφ

− µφ

1.2.2 O Caso sem Supersimetria

Nesta se¸c˜ao, vamos considerar uma Lagrangiana baseada na parte bosˆonica da Lagrangiana

aparecendo na se¸c˜ao anterior, embora aqui vamos considerar somente um campo φ e vamos

Para simpliﬁcar as express˜oes, escrevemos a constante de acoplamento acompanhando um fator U(1) no

grupo de gauge igual `a parte n˜ao-Abeliana, e, embora n˜ao sejam necessariamente iguais.

considerar um potencial V arbitr´ario (vamos ver que o potencial de N = 2 aparece quase nat-

uralmente). Para podermos fazer compara¸c˜oes entre as duas, tentamos manter uma nota¸c˜ao

parecida `a nota¸c˜ao supersim´etrica no caso n˜ao supersim´etrico. Desta forma, vamos escrever

F em vez de F

; Y

em vez de D

; e X

em vez de v

Consideremos a seguinte Lagrangiana em quatro dimens˜oes:

L = tr



−

µν

†



†

φ − V (S, φ) . (1.2.6)

Analogamente ao caso Abeliano, vamos considerar uma teoria onde n˜ao h´a uma dependˆen-

cia de x

, onde somente a ´unica componente do tensor G

µν

n˜ao nula ´e G

≡ −B. A tens˜ao

sobre a corda neste caso ´e

T =







+ |D



φ|

+ V (S, φ)



≥







+ |D



φ|

+ V (S, φ)



Para que isto seja uma quantidade ﬁnita, a conﬁgura¸c˜ao de campos em ρ → ∞ vai ter que

satisfazer as condi¸c˜oes

S = D

φ = O(1/ρ

) ,

V (S, φ) = O(1/ρ

) ,

B = O(1/ρ

) .

Agora, vamos utilizar as identidades (1.1.4) e (1.1.5) (deixando que q → e) para reescrever

a tens˜ao, mas vamos usar sinais contr´arios para os campos φ e S. Assim, a tens˜ao assume a

seguinte forma

T =







∓

†

[B, S]



φ|



†

Bφ



+ V (S, φ)



≥







∗

bca

+ φ

†



+ V (S, φ)



≥





± Y

]

∓X

−

+ V (S, φ)



≥





∓X



V (S, φ) −



onde, nas ´ultimas duas linhas, introduzimos as deﬁni¸c˜oes

≡



∗

bca

+ φ

†



+ X

, X

≡ −



+ S

∗



Evidentemente, se estiv´essemos considerando um caso supersim´etrico, um valor m = 0 daria

massa `a parte real do campo de gauge S, quebrando supersimetria N = 2, al´em de ser

respons´avel por uma quebra espontˆanea do grupo de gauge [7].

Se conseguirmos impor V (S, φ) −

≥ 0, ent˜ao a tens˜ao ter´a a forma

T ≥



x {∓X

} .

Uma corda assim deﬁnida ser´a saturada, ou seja, ser´a uma corda do tipo BPS, somente quando

satisfaz

φ = D

S = D

S = 0 ,

φ = 0 , (1.2.7)

∓

S = 0 , (1.2.8)

± Y

= 0 , (1.2.9)

V (S, φ) −

= 0 . (1.2.10)

Das primeiras condi¸c˜oes vemos simplesmente que W

= W

= 0.

Voltamos a considerar a condi¸c˜ao original: V (S, φ) −

≥ 0. Esta condi¸c˜ao pode ser

satisfeita se V (S, φ) tem a forma

V (S, φ) =



+ F

†



F ≡ eS

†

φ − µφ .

Quando m = 0 (ent˜ao X

= 0) a forma deste potencial concorda com a parte bosˆonica do

potencial supersim´etrico (1.2.5) de uma teoria N = 2 super-QCD (no caso de um sabor,

e onde φ

= 0), onde um valor X

= 0 quebraria a supersimetria N = 2. Desta forma,

vemos que a condi¸c˜ao de BPS, equa¸c˜ao (1.2.10), onde requeremos que F = 0, n˜ao quebraria

supersimetria. Mas, como j´a comentamos, se m = 0, a parte real do campo S ganharia massa

e quebrar´ıamos supersimetria.

Temos de veriﬁcar que as nossas condi¸c˜oes BPS sejam consistentes com as equa¸c˜oes de

movimento de nossa teoria,

µν

)

−



†

φ − D

†

φ − S

∗

abc

+ D

∗

abc



= 0 ,

+ eY

− e



S −



†

−





= 0 ,

+ eY



adc

−



− e

†



S −



φ = 0 .

Podemos obter uma condi¸c˜ao parecida com a primeira equa¸c˜ao de movimento por deixar D

atuar sobre a condi¸c˜ao de BPS B

± Y

= 0. Ap´os termos utilizado as outras condi¸c˜oes de

BPS, resulta que

µν



†

φ − φ

†

φ − (D

∗

dbc

+ S

∗

dbc

−

− D

∗

)



= 0 ,

que ´e consistente com a primeira equa¸c˜ao de movimento somente quando m = 0.

Do mesmo jeito, das condi¸c˜oes de BPS, obtemos

0 = D

∓

φ − e



S −



= −D

φ ∓ eG

φ − e



S −



= −D

φ − eY

φ − e



S −



0 = D

∓

− eF

†

= −D

± e (G

− eF

†

= −D

− ieY

adb

− eF

†

φ .

A ´ultima condi¸c˜ao, como no caso anterior, ´e consistente com as equa¸c˜oes de movimento

somente quando m = 0. Vamos ver que esta condi¸c˜ao deveria ser interpretada como o limite

m → 0 mais a frente, mas ´e interessante notar que conhece-se um resultado semelhante no

caso Abeliano [9].

1.2.3 Transforma¸c˜oes de Supersimetria

Vamos considerar o caso E

= B

= D

M = D

N = 0. De (1.2.3) sabemos que, neste

caso,

δλ



−iB



0 σ



− D



0 Sσ

−S

†



[S, S

†

]



0 Sσ

−S

†



− iζ

No ´ultimo termo, a quantidade iζ

no caso i = 1 ´e i(ζ

+iζ

+ζ

) = i(ζ

+ζ

)

e no caso i = 2 ´e i(ζ

− iζ

− ζ

) = i(−ζ

+ ζ

−

), onde deﬁnimos d

= d

± id

Vamos escrever expl´ıcitamente as componentes dos pseudoespinores ζ

e ζ

usando (A.1.8).

Escrevendo ζ

αi





, temos







−ia

−ib

∗

−a

∗













∗

−a

∗







Desta forma, a mudan¸ca em λ

´e dada por

δλ







−ia

(−iB +

[S, S

†

] − id

) + a

− a

∗

−

−ib

(iB +

[S, S

†

] − id

) + b

+ b

∗

(−iB −

[S, S

†

] − id

) − ib

∗

+ ib

−

†

−a

∗

(iB −

[S, S

†

] − id

) + ia

∗

+ ia

†







δλ







(−iB +

[S, S

†

] + id

) − a

−

− a

∗

−

(iB +

[S, S

†

] + id

) − b

−

+ b

∗

(−iB −

[S, S

†

] + id

) − ib

∗

−

− ib

−

†

−a

∗

(iB −

[S, S

†

] + id

) + ia

∗

−

− ia

†







Analogamente, a mudan¸ca em ψ ´e dada por (1.2.2), ou

δψ = −









0 D

−



−

+ (eS

†

− µ)ζ

−i



0 D

−



+ (eS − µ)ζ

−







= −







−iD

−

∗

+ a

∗

) + i(eS

†

− µ)(−a

+ a

)

∗

+ b

∗

) + i(eS

†

−µ)(−b

+ b

)

−

(−b

+ b

) + (eS − µ)(b

∗

+ b

∗

)

(−a

+ a

) + (eS − µ)(−a

∗

− a

∗

)







Vemos que, no caso onde a

= 0, a

= b

= 0 (ou onde b

= 0, a

= b

= a

= 0), as

condi¸c˜oes de BPS no limite m → 0 d˜ao δλ

= δψ = 0. Assim, um quarto das transforma¸c˜oes

supersim´etricas s˜ao nulas para conﬁgura¸c˜oes BPS.

1.3 Solu¸c˜oes do V´acuo

Nesta se¸c˜ao vamos procurar as solu¸c˜oes para as equa¸c˜oes de v´acuo das equa¸c˜oes de BPS. O

trabalho de Olive et al. [10, 11] e Olive e Turok [1] servir´a como base para os nossos c´alculos

aqui.

E direto obter que a energia total da teoria que estamos considerando ´e positiva, e que

ser´a nula somente quando

φ = D

S = G

µν

= 0 ,

V = 0 ⇔ Y

= F = 0 ,

que s˜ao as equa¸c˜oes de v´acuo da teoria.

Para obtermos uma tens˜ao ﬁnita, T , os campos tˆem que assumir os seus valores no v´acuo

quando ρ → ∞. Al´em disto, a existˆencia de cordas Z

implica que o grupo G seja quebrado

a um grupo G

tal que

(G/G

) = Z

que ´e uma condi¸c˜ao necessaria para a existˆencia de cordas Z

Vamos quebrar o grupo de gauge em duas etapas: uma quebra G → G

pelo campo S

na representa¸c˜ao adjunta, seguida pela quebra G

→ G

pelo campo φ numa representa¸c˜ao

ainda a ser determinada. A primeira quebra ´e detalhada em [10,11], e a segunda em [1]. Esta

divis˜ao de quebras tamb´em vai ser ´util quando consideramos as poss´ıveis fases da teoria.

Para tratar tudo da forma mais geral, vamos reescrever a ´algebra de Lie de G em termos

dos geradores da sub´algebra de Cartan H

satisfazendo as condi¸c˜oes H

= H

†

e [H

, H

] = 0, e

os operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao E

satisfazendo E

†

= E

−α

, da base de Cartan-Weyl,

onde os α s˜ao as ra´ızes da ´algebra. Nesta base, podemos escolher os H

e E

de tal maneira

que satisfa¸cam [11] tr(H

) = δ

, tr(E

) = δ

α+β,0

e tr(H

) = 0. Considerando

a representa¸c˜ao adjunta do grupo, podemos identiﬁcar |α com | E

 para que H

 =

|[H

, E

] = α

. Desta forma, os E

s˜ao autovetores e os α os autovalores. Tamb´em

satisfazem [E

, E

] = 0 se α + β n˜ao ´e uma raiz, e [E

, E

−α

] = α · H. Um peso |µ satisfaz

|µ = µ

|µ, e E

|µ ´e proporcional a |µ + α, etc. e um peso fundamental λ

satisfaz

2λ

·α

/(α

)

= δ

. Al´em desta base, frequentemente ser´a ´util considerar a base de Chevalley,

onde H

≡ 2(α · H)/α

, assim que [H

, E

] = 2[(β · α)/α

. Outro conceito introduzido

nos trabalhos de Olive et al. ´e aquele de uma ´algebra de Lie dual (veja [10,11]). Deﬁnimos as

ra´ızes duais (as cora´ızes) como

≡ 2α

/(α

)

e os pesos fundamentais duais (os copesos

fundamentais) como λ

≡ 2λ

/(α

)

1.3.1 A Primeira Quebra: G → G

Seja α

uma raiz simples do grupo, e seja λ

o peso fundamental correspondente satisfazendo

2λ

· α

/(α

)

= 1. Se o grupo (compacto) original, G, ´e quebrado por um campo S na

Note que a nossa conven¸c˜ao ´e duas vezes a conven¸c˜ao considerada em [10, 11].

representa¸c˜ao adjunta cujo valor no v´acuo seja S ∝ λ

·H, ent˜ao o “little group”, G

, ´e dado

localmente pela express˜ao G

=“U(1)

× K”, onde K ´e um grupo semisimples (ou simples)

compacto e o grupo eletromagn´etico U(1) ´e compacto e gerado por Q ∼ λ

·H. Pode-se obter

o grupo K a partir do diagrama de Dynkin, eliminando-se o ponto associado `a raiz simples

. Por exemplo,

SO(10) SO(10) SO(10)SO(8) SU(2) × SU (4) SU(2) × SU (2) × SU (3)

Globalmente, temos que ter um pouco mais de cuidado. Embora localmente o grupo tenha

a forma G

=“U(1)

×K”, os dois grupos tˆem alguns elementos em comum que est˜ao no centro

de K [11]. Ent˜ao, em geral, a estrutura global de um grupo K ´e dada por K =



K/k(K), onde



K ´e o grupo de cobrimento universal do grupo K, e onde k(K) ´e algum subgrupo ﬁnito do

centro de



K, Z(



K) [10]. Ent˜ao, o grupo G

≈“U(1)

× K” corretamente seria escrito como

= (U(1)

× (



K/k(K)))/Z, onde Z ´e um subgrupo do grupo ﬁnito Z(



K)/k(K). Em [10],

os autores mostram que k(K) = 1 e determinam que o grupo Z ´e um grupo c´ıclico, Z

, com

elemento v

dado por [1, 10]

= exp(2πizλ

· H) z ≡

|Z(G)|

|Z(K)|

, (1.3.1)

onde |Z(G)| ´e a ordem do centro de G e |Z(K)| ´e a ordem do centro de K. (A ordem |Z(K)|

´e igual ao determinante da matriz de Cartan de K [11].) Dessa forma, o v´acuo toma os seus

valores em π

(G/G

)

∼

)

∼

e podemos obter monopolos.

1.3.2 A Segunda Quebra: G

→ G

A segunda quebra, considerada em [1], ´e feita com o campo φ na representa¸c˜ao com peso mais

alto φ ∝ |kλ

 (com kλ

|kλ

 = 1) que, para os nossos ﬁns, ser´a a quebra mais interessante.

Assim, o grupo original G ´e quebrado no grupo

G → G

= (Z

× K)/Z

onde Z

cont´em o elemento v

1/k

. Neste caso, π

(G/G

) = Z

e poder´ıamos obter cordas Z

embora ainda falte mostrar que as condi¸c˜oes de BPS admitem solu¸c˜oes deste tipo.

Vamos tomar φ = a |kλ

 e S = v · H, com a um n´umero real e v um vetor real. Ob-

viamente, queremos que v ∼ λ

para que S fa¸ca a quebra G → G

. A condi¸c˜ao Y

= 0 ´e

equivalente a



†





†

, S



− m



S + S

†



= 0 .

O segundo termo ´e zero, j´a que S toma os seus valores somente na sub´algebra de Cartan. O

terceiro termo ´e −mv · H. Lembrando-nos que E

φ = E

a |kλ

 = 0 para α sendo uma raiz

positiva, o primeiro termo pode ser escrito como



φφ

†





†





†



−α

= a

kλ

· H .

Assim achamos que

v =

. (1.3.2)

A condi¸c˜ao F = 0 nos d´a

0 = F = eS

†

φ − µφ = (ke v · λ

− µ)a |kλ

 ,

assim que

v · λ

. (1.3.3)

Combinando (1.3.2) e (1.3.3), achamos que

mµ

eλ

. (1.3.4)

Desta forma, veriﬁcamos que a equa¸c˜ao de v´acuo possui uma solu¸c˜ao da forma

φ = a |kλ

 ,

S =

· H ,

= 0 ,

que produz a quebra de simetria G → G

1.3.3 Part´ıculas de Gauge e as suas Massas

Podemos tamb´em calcular as massas das part´ıculas de gauge. Assim, vamos expandir os

campos S, φ e W

sobre os valores no v´acuo: S = S

·H, φ = φ

+a |kλ

, e W

= W

A contribui¸c˜ao nova do termo

tr(D

†

S) =

tr[(∂

†

− ie[S

†

, W

])(∂

S + ie[W

, S])]

ser´a

tr[λ

· H, W

][W

, λ

· H] =

αµ

tr[λ

· H, E

][E

, λ

· H]

= −

αµ

(λ

· α)(λ

· β)tr(E

)



α>0

αµ

−α

(λ

· α)

e a contribui¸c˜ao nova do termo

†

φ =

(∂

†

−ieφ

†

)(∂

φ + ieW

φ) vai ser



kλ

|kλ

W

µβ



kλ

|kλ



µj



mas kλ

|kλ

 n˜ao ´e zero somente no caso onde β < 0, α > 0, e β = −α, onde

, E

−α

] = α ·H. Assim, kλ

|kλ

 = kα · λ

(α > 0) e a express˜ao acima torna-se





α>0

k(α · λ

αµ

−α

+ k

µi



Somando as duas contribui¸c˜oes, encontramos que os termos contribuindo `as massas das

part´ıculas de gauge s˜ao

µi



α>0



(λ

· α)

+ ke

(α · λ

µ(−α)



1.3.4 Quebra de Gauge e o Limite mµ ∼ Constante

Para podermos obter cordas Z

, precisamos quebrar a simetria de gauge, assim exigindo que

a > 0 em (1.3.4). Por outro lado, para que as condi¸c˜oes de BPS sejam compat´ıveis com

as equa¸c˜oes de movimento, precisamos que m = 0, e achamos um paradoxo. A solu¸c˜ao ´e

considerar o caso onde m → 0 e µ → ∞ tal que a seja constante. Este caso ´e parecido com

o limite considerado por Prasad-Sommerﬁeld [12] onde os autores consideram um potencial

V (φ) = λ(φ

−a

)/4 e precisam tomar o limite λ → 0 para recuperar |φ| → a quando r → ∞

a ﬁm de quebrar a simetria.

1.4 Solu¸c˜oes das Condi¸c˜oes BPS

A ﬁm da tens˜ao da corda ser ﬁnita, na periferia ρ → ∞, os campos tˆem que assumir os valores

no v´acuo. Podemos considerar uma transforma¸c˜ao geral de gauge g(θ) ∈ G dependendo do

ˆangulo θ sobre o v´acuo para obter

(θ) =

−1

(∂

g(θ)) g(θ)

−1

φ(θ) = g(θ)φ

vac

S(θ) = g(θ)S

vac

g(θ)

−1

com i = 1, 2. Embora g(θ) siga um caminho pelo grupo G, ele tem que satisfazer a condi¸c˜ao,

i.´e g(0)φ

vac

= g(2π)φ

vac

, ou seja g(0)

−1

g(2π) = g(2π) ∈ G

(tomando g(0) = 1) a ﬁm de

φ ser “single-valued”. Analogamente `a condi¸c˜ao (1.1.2), para obter uma corda n˜ao trivial,

dever´ıamos tomar g(2π) numa componente de G

n˜ao conectada `a identidade [2]. Tomando

g(θ) = e

iθM

na periferia ρ → ∞, onde M ´e um gerador de G, teremos

φ(θ) = ae

iθM

|kλ

> ,

mS(θ) = ka

iMθ

· He

−iMθ

(θ) =



eρ

M .

Por outro lado temos de veriﬁcar que g(2π) = e

i2πM

∈ G

. Vamos considerar

M =

· H

onde n ´e um n´umero inteiro entre 1 e k. De [10] sabemos que λ

satisfaz

|Z(K)|

|Z(G)|

e desta forma vemos de (1.3.1) que g(2π) = v

n/k

∈ G

Podemos agora introduzir a dependˆencia do parˆametro ρ, tomando o ansatz

φ(θ, ρ) = f(ρ)e

inθ

a|kλ

> ,

mS(θ, φ) = h(ρ)ka

· H , (1.4.1)

(θ, ρ) = g(ρ)M



eρ

→ B(θ, ρ) =

eρ



(ρ) ,

(θ, ρ) = W

(θ, ρ) = 0 ,

onde impomos as condi¸c˜oes f(∞) = g(∞) = h(∞) = 1 para recuperar a conﬁgura¸c˜ao do

v´acuo em ρ → ∞. Al´em disto, consideramos

f(0) = g(0) = 0

para que n˜ao surjam singularidades no ponto ρ = 0.

Colocando este ansatz nas condi¸c˜oes de BPS, (1.2.7)-(1.2.10), encontramos que:

h(ρ) = const = 1 ,



(ρ) = ±

[1 − g(ρ)] f(ρ) ,



(ρ) = ∓



|f(ρ)|

− 1



onde deﬁnimos q

≡ ek |λ

|. Estas rela¸c˜oes que s˜ao exatamente as mesmas equa¸c˜oes e

condi¸c˜oes de contorno que aparecem no caso Abeliano, (1.1.8), e que Taubes mostrou a ex-

istˆencia de solu¸c˜oes n˜ao triviais. Portanto podemos concluir que a nossa teoria possui solu¸c˜oes

BPS de cordas Z

para um semi-simples grupo arbitr´ario G.

Pode-se obter a tens˜ao da corda atrav´es do ansatz (1.4.1), e vˆe-se que

T = πa

|n|,

como no caso Abeliano. O fato de ser uma constante implica que poderia ser respons´avel por

um potencial linear entre monopolos.

1.5 Conclus˜oes

Mostramos que ´e poss´ıvel obter cordas Z

em teorias onde um grupo de gauge semi-simples

´e quebrado a um grupo n˜ao-Abeliano, onde o conte´udo da teoria original cont´em um campo

S na representa¸c˜ao adjunta e um campo φ contendo a representa¸c˜ao com o estado de peso

|kλ

 [3]. Neste caso, os nossos resultados formam a parte bosˆonica de uma teoria de Yang-

Mills supersim´etrica N = 2.

A nossa teoria [3] tem dois parˆametros importantes: a massa m da parte real do campo

S e a massa µ do campo φ. O nosso resultado exige que consideremos um limite m → 0 para

que as condi¸c˜oes de BPS concordem com as equa¸c˜oes de movimento, onde mµ →constante

para poder quebrar a simetria de gauge. Constru´ımos solu¸c˜oes expl´ıcitas das cordas BPS, e

notamos que se pode construir as suas solu¸c˜oes a partir das solu¸c˜oes das cordas Abelianas.

Embora consideramos aqui sobretudo o caso m > 0, podemos generalizar os argumentos

a ﬁm de considerar as poss´ıveis fases da teoria, dependendo do parˆametro m [13, 14]. A

primeira fase m < 0 corresponde a um grupo G n˜ao quebrado; a segunda fase m = 0 (a fase

de Coulomb ou de “monopolos livres”) corresponde ao caso onde o grupo G ´e quebrado a

G → G

= (U (1) × K)/Z

(e onde a supersimetria ﬁca intacta); e a terceira fase m > 0 (a

fase de Higgs ou supercondutora) corresponde ao caso que consideramos aqui onde o grupo

´e quebrado ao grupo G → G

= (Z

× K)/Z

⊂ G

e Z

cordas aparecem. Em [14], o

autor mostra que o ﬂuxo magn´etico dos monopolos ´e um m´ultiplo dos ﬂuxos das cordas Z

fundamentais, e portanto o conﬁnamento dos monopolos ´e poss´ıvel.

2 Variedades Simpl´eticas e o Formalismo Multi-Simpl´etico

Como ser´a evidente nos seguintes cap´ıtulos, um bom entendimento do formalismo multi-

simpl´etico ser´a conveniente quando enfocarmos os nossos esfor¸cos em estender redu¸c˜ao de

Legendre. Assim, apresentam-se aqui alguns pontos salientes deste formalismo numa breve

revis˜ao das teorias elaboradas em [26, 27], que se baseiam em alguns conceitos que n˜ao s˜ao

freq

uentemente usados na f´ısica como, por exemplo, subvariedades de Lagrange.

Embora o nosso objetivo seja uma descri¸c˜ao de dinˆamica de campos, resulta que esta pode

ser melhor descrita como uma generaliza¸c˜ao da dinˆamica de part´ıculas. Assim, vamos come¸car

por revisar os objetos padr˜ao, introduzindo a forma de Poincar´e, a dois-forma canˆonica ω,

subvariedades de Lagrange, jatos e prolonga¸c˜oes. Na seguinte parte do cap´ıtulo, continuamos

por estender estes conceitos `a dinˆamica de campos, incluindo uma breve discuss˜ao de espa¸cos

de conﬁgura¸c˜oes vetoriais.

2.1 Dinˆamica de Part´ıculas

2.1.1 Objetos Padr˜ao

O espa¸co de interesse ´e a variedade sobre a qual todas as poss´ıveis conﬁgura¸c˜oes do estado de

um sistema mecˆanico podem surgir, o espa¸co de fase.

O ﬁbrado Q, o espa¸co de conﬁgura¸c˜ao, consiste no espa¸co base, M (com somente uma

coordenada, t), as ﬁbras Q

(cujas coordenadas s˜ao a posi¸c˜ao da part´ıcula, q

), e uma proje¸c˜ao

ξ : Q → M.

O ﬁbrado de fase, P , tem a mesma base, M, mas agora as ﬁbras consistem nos pontos

, p

), onde p

´e uma coordenada no espa¸co cotangente T

∗

. Um ponto neste ﬁbrado tem

as coordenadas (t, q

, p

), e a proje¸c˜ao η : (t, q

, p

) → t:

M = R = (t)

E = Q × M

Fibrado de fase P

= T

∗

= (q

)

O fato de que o ﬁbrado de fase ´e o ﬁbrado cotangente T

∗

Q j´a indica que existe uma um-forma

canˆonica θ:

Deﬁni¸c˜ao A um-forma de Poincar´e θ ´e deﬁnida sobre toda a variedade P , e tem a seguinte

forma:

θ = p

(note: n˜ao cont´em fatores dp

E importante ressaltar que esta forma somente existe sobre

∗

Q, e que n˜ao h´a uma forma natural que exista sobre T Q [28]. Por esse motivo, ´e mais

natural trabalhar com T

∗

Q do que com T Q.

Da um-forma de Poincar´e podemos construir uma dois-forma canˆonica, ω, onde

ω = dθ = dp

∧ dq

Deﬁni¸c˜ao Uma variedade simpl´etica ´e uma variedade com dimens˜ao par sobre qual existe

uma dois forma ω tal que

1. dω = 0 ,

2. det(ω

) = 0 .

Isto nos garante que cada ﬁbrado cotangente seja uma variedade simpl´etica [28].

2.1.2 Subvariedades de Lagrange e Fun¸c˜oes Geradoras

E a partir deste ponto onde o formalismo multi-simpl´etico come¸ca a variar ligeiramente da

apresenta¸c˜ao padr˜ao.

Deﬁni¸c˜ao Uma subvariedade de Lagrange de uma variedade simpl´etica (P, ω) ´e uma sub-

variedade N ⊂ P tal que ω|

= 0 e dim N =

dim P .

Para entender melhor o que ´e uma subvariedade de Lagrange, vamos apresentar uma melhor

motiva¸c˜ao para estas subvariedades atrav´es de um exemplo, usando o princ´ıpio de Euler [28].

Lembre-se que, dada uma Hamiltoniana H, o caminho que um sistema vai seguir acha-se

por calcular o m´ınimo de

0 = δ



pdq − Hdt (2.1.1)

sobre a curva (q(t), p(t)). O δ signiﬁca variar sobre caminhos que come¸cam e terminam em

pontos estacionais.

No caso onde o sistema segue um caminho sobre o qual a energia ´e constante, existe

uma formula¸c˜ao equivalente a este m´etodo chamado o pr´ıncipio de a¸c˜ao m´ınima de Euler (ou

Maupertuis): dada uma Hamiltoniana H e uma energia E, o caminho q(t) que o sistema

segue no espa¸co base M ´e dado por



pdq = 0 , (2.1.2)

onde δ ´e ligeiramente diferente: agora signiﬁca achar o m´ınimo sobre curvas onde a energia E

´e uma constante. Em outras palavras, um caminho ´e uma trajet´oria Hamiltoniana de algum

sistema dinˆamico se esta condi¸c˜ao ´e satisfeita

Superﬁcialmente, a equa¸c˜ao (2.1.2) ´e similar com a equa¸c˜ao (2.1.1) ap´os termos deixado

E = constante. Tem mais atr´as disto, agora que δ signiﬁca outra coisa (caminhos onde as

energias s˜ao iguais, mas onde os tempos n˜ao correspondem), e o leitor ´e aconselhado ver o

argumento em [28] para um melhor entendimento.

Ela d´a, por exemplo, condi¸c˜oes do tipo δ

[E −V (q)]

1/2

ds = 0, i.e. o pr´ıncipio de a¸c˜ao m´ınima de Jacobi

com a m´etrica dρ =

√

T ds [28].

A seguinte observa¸c˜ao apresenta-se: se pdq|

= dS, poder´ıamos escrever



pdq =



dS = [S]

∂C

Lembre-se que dissemos que δ varia o caminho do seguinte jeito: os pontos iniciais e ﬁnais de

q n˜ao variam, embora os momentos iniciais e ﬁnais possam variar. Mas agora que ∂C n˜ao ´e

nada mais do que os pontos q

e q

(que n˜ao variam), temos



pdq = δ



dS = δ [S]

∂C

= 0 ,

automaticamente.

Assim, encontramos

Se pdq|

= dS ent˜ao δ



pdq = 0 .

Curvas com energia E correspondendo a m´ınimos da a¸c˜ao tˆem que satisfazer esta condi¸c˜ao.

Vamos generalizar um pouco ao caso com q

e p

. Visto que ddS = 0, temos a seguinte

condi¸c˜ao:

Uma curva C ´e uma trajet´oria Hamiltoniana se d( p



) = 0 .

Na verdade, podemos reescrever isto como [27]

0 = d(p



) = d(p

)



= ω|

para que a curva C seja o conjunto de pontos (q

, p

) satisfazendo p

= φ

(q) tal que



)dq

seja uma integral exata [27].

Assim, sobre C temos que ter

0 = ω|

ou 0 = ω(X, Y ) se X ∈ T C, Y ∈ T C .

A curva C ´e o que ´e chamada uma subvariedade de Lagrange de uma variedade simpl´etica.

A fun¸c˜ao S(q) que aparece acima chama-se a “fun¸c˜ao geradora” para a curva C [27]. Isto

quer dizer que ela determina completamente a curva C. Por exemplo, sabendo que

dS = θ|

= p



sabemos como calcular p

dS =

∂S

∂q

≡ p

ou seja [27, 29]

∂S

∂q

O formalismo de [27] ´e quase completamente baseado em descrever subvariedades de La-

grange em termos de fun¸c˜oes geradores. Tanto a Lagrangiana quanto a Hamiltoniana, o tensor

de energia-momentum, etc. geram subvariedades de Lagrange [27, p.44]. De fato, o que torna

o formalismo interessante ´e que a mesma subvariedade de Lagrange pode ser gerada por mais

do que uma fun¸c˜ao, e acontece que tanto a Lagrangiana quanto a Hamiltoniana geram a

mesma subvariedade de Lagrange neste contexto.

E tamb´em ´util notar [29] que podemos escrever ω como ω = dp

∧dq

∂

∂p

∂q

∧dq

. E

a mesma forma para ω teria sido obtida se tom´assemos q



∂S

∂p

e p



= p

. Neste sentido, a

fun¸c˜ao S determina uma transforma¸c˜ao canˆonica entre as variedades com coordenadas (q

, p

)

e (q



, p



), com a identidade dada por S

= q

2.1.3 A Dinˆamica

Imaginemos que uma part´ıcula segue um caminho no espa¸co de fase. No tempo inicial, ela

encontra-se no ponto (t

, q

, p

), e segue um caminho at´e chegar no ponto (t

, q

, p

γ(t

)

γ(t

)

Toda a dinˆamica ´e contida numa fam´ılia de difeomorﬁsmos R

)

: P

→ P

, cuja existˆencia

assumimos [27]. O caminho seguido, γ(t), ´e admiss´ıvel se R

)

preserva a estrutura sim-

pl´etica, R

∗

)

= ω

(ou seja: R

)

´e um simplectomorﬁsmo) e

γ(t

) = R

)

(γ(t

)).

Chamamos a variedade (que, na verdade, consiste de duas variedades separadas) cujas

coordenadas s˜ao (q

, p

; q

, p

) a dinˆamica

)

. Tomando o espa¸co P

)

= P

×P

´e poss´ıvel deﬁnir sobre ele um ω

)

tal que (P

)

, ω

)

) seja uma variedade simpl´etica. O

resultado disto ´e que a variedade D

)

´e uma subvariedade de Legendre sobre este intervalo

[27]. Assim, os autores seguem por procurarem as fun¸c˜oes geradores que geram D

)

Para f´ısicos, ´e mais interessante investigar o caso onde δt → 0. As mesmas estruturas

continuam sendo v´alidas (embora ligeiramente modiﬁcadas), mas agora deﬁnidas sobre um

intervalo instantˆaneo (representado pelo ´ındice i), por exemplo θ

), ω

(dp

∧

), D

, etc. Note que as coordenadas agora incluem as derivadas com respeito ao tempo,

, p

, ˙q

, ˙p

). Em [27] os autores provam que 0 = ω



= dθ



A fun¸c˜ao geradora de D

´e chamada a Lagrangiana, L

. Ela satisfaz

= θ

= ˙p

+ p

d ˙q

Estas condi¸c˜oes formam um conjunto de equa¸c˜oes de primeira ordem, onde as solu¸c˜oes s˜ao os γ admiss´ıveis.

[27]. Por exemplo, se temos q

, p

e q

, p

), p

, p

) e ω

= dp

∧dq

e ω

= dp

∧dq

, a condi¸c˜ao sobre R

simplesmente diz que {q

, p

} = 1.

Por exemplo, para um oscilador harmˆonico seguindo as equa¸c˜oes de movimento q(t) = A cos

k/mt +

(B/

√

km) sin

k/mt e p(t) = −A

√

km sin

k/mt + B cos

k/mt a variedade da dinˆamica seria descrita por

= q

cos

k/m(t

−t

)+(p

/km) sin

k/m(t

−t

) e p

= −q

√

km sin

k/m(t

−t

)+p

cos

k/m(t

−t

)

[27].

ou [27]

∂L(t, q

, ˙q

)

∂ ˙q

˙p

∂L(t, q

, ˙q

)

∂q

Note que ´e apenas agora que obtemos uma deﬁni¸c˜ao do momentum, p

(embora j´a diss´essemos

que usar´ıamos o ﬁbrado T

∗

Q).

A Hamiltoniana ´e outra fun¸c˜ao geradora de D

, mas ´e uma descri¸c˜ao que utiliza estruturas

n˜ao canˆonicas, dependendo de como deﬁnimos o ﬁbrado de conﬁgura¸c˜ao, Q. Agora, toma-se

uma forma n˜ao canˆonica

= ˙p

− ˙q

que continua satisfazendo a rela¸c˜ao

dθ

= ω

Assim, deﬁnimos a fun¸c˜ao geradora de D

como

˙p

− ˙q

= −dH

ou [27]

˙p

= −

∂H(t, q

, p

)

∂q

˙q

∂H(t, q

, p

)

∂p

Agora, ´e poss´ıvel deﬁnir outra forma, a forma de Cartan, Θ, dada por

Θ = p

− Hdt ,

que tem a seguinte propriedade extremamente ´util na nossa analise. Um caminho γ(t) pelo

ﬁbrado P ´e admiss´ıvel somente quando

(dΘ)(X)|

= 0 ,

onde X ´e um vetor qualquer em P (i.e. da forma A

∂

∂t

+ B

∂

∂q

+ C

∂

∂p

), e onde S ⊂ P ´e a

imagem de γ(t) [27].

2.1.4 Jatos e Prolonga¸c˜oes

Tomando o l´ımite δt → 0 acima, torna-se ´util introduzir e utilizar ﬁbrados de “jatos” [27, 30].

Consideremos o ﬁbrado M × Q, no plano na ﬁgura abaixo. Cada ﬁbra apontando para cima

´e uma c´opia de T Q (N.B.: n˜ao T

∗

Q), assim que temos formado um ﬁbrado vetor. O espa¸co

M ´e parametrizado pelas coordenadas t, e o espa¸co Q por q

, para que cada ponto no plano

E = M ×Q possa ser representado pelas coordenadas (t, q

X =

dµ

= X

∂

+ X

∂

dµ

= X

∂

+ X

∂

˙q

M = (t)

T Q = ( ˙q

)

µ + 1

µ + 2

¯s

: t → (t, q

(t), ˙q

(t) =

)

(t, q

) = (t(µ), q

(µ))

s ∼ s

em t

Q = (q

)

(t, q

, ˙q

) = (t(µ), q

(µ), ˙q

(µ))

: a

+ b

(t − t

) + O(t

)

Uma se¸c˜ao s(t) : M → E tem a forma q

= q

(t). Dizemos que duas se¸c˜oes s

(t) e s

(t)

s˜ao “equivalentes” (i.e. que tˆem o mesmo jato) em J

(E) se as expans˜oes de Taylor delas at´e

a primeira ordem s˜ao idˆenticas:

(1)

(t) = a

+ b

t +

(1)



t=0

+ . . . e q

(2)

(t) = a

+ b

t +

(2)



t=0

+ . . . ,

i.e. embora as expans˜oes de Taylor n˜ao sejam idˆenticas, ainda temos q

(1)

= q

(2)

(1)

(2)

no ponto t = 0, que simplesmente diz que as se¸c˜oes s˜ao tangentes no ponto t = 0. Dadas

as coeﬁcientes da expans˜ao a

e b

, ´e f´acil calcul´a-las em outro sistema [27], e ´e importante

notar [30] que, embora as expans˜oes de Taylor sejam diferentes em sistemas de coordenadas

diferentes, a coincidˆencia delas ´e algo que n˜ao depende de coordenadas.

Vamos chamar o “um-jato” com “alvo” a se¸c˜ao s(t) (ou o “um-jato de s em t”) j

s(t).

Todos os poss´ıveis jatos (sobre todas as poss´ıveis se¸c˜oes) em qualquer ponto t (o espa¸co de

jatos, ou o ﬁbrado de um-jatos) podemos denotar como J

(E). J´a que somente tem duas

quantidades que deﬁnem o jato no ponto t, i.e. a

e b

, tamb´em podemos escrever j

s(t)

por dar as suas coordenadas em J

(E), i.e. (t, a

, b

). Para dar um exemplo, o ﬁbrado de

conﬁgura¸c˜ao instantˆanea, Q

, com coordenadas (q, ˙q) ´e igual ao um-jato J

(Q) que tem as

mesmas coordenadas [27].

Um caminho gen´erico s

(t) por J

(E) com coordenadas (t, q

(t), ˙q

(t)), onde n˜ao tem

uma rela¸c˜ao entre ˙q

e q

´e chamado uma se¸c˜ao do jato. Mesmo assim, a escolha de uma

se¸c˜ao s(t), i.e. de (t, q

(t)) sobre a base, na verdade determina

. Assim, s(t) induz uma

se¸c˜ao ¯s

do ﬁbrado pelo mapeamento j

: ou seja, dada uma se¸c˜ao, podemos simplesmente

calcular a primeira derivada de q

(t), que determine o valor do vetor sobre o ﬁbrado, ou seja:

: s = (t, q

) → ¯s

= (t, q

, ˙q

). ¯s

chama-se a 1-jato extens˜ao, ou prolonga¸c˜ao, de s.

Vamos calcular a prolonga¸c˜ao de um vetor de duas maneiras diferentes. A primeira ´e

mais direta, mas talvez menos geral. Temos um caminho (t, q

) na variedade E. O vetor X

tangente sobre este caminho ´e

X =

dµ

∂

∂t

dµ

∂

∂q

= X

∂

∂t

+ X

∂

∂q

Gostar´ıamos de calcular este mesmo vetor sobre um caminho no espa¸co (t, q

, ˙q

) onde

˙q

= dq

/dt = X

(a gradiente da curva). Ent˜ao, o novo vetor tem a forma

dµ

∂

∂t

dµ

∂

∂q

d ˙q

dµ

∂

∂ ˙q

= X

∂

∂t

+ X

∂

∂q

dµ





∂

∂ ˙q

= X

∂

∂t

+ X

∂

∂q



/dµ

−





/dµ



∂

∂ ˙q

= X

∂

∂t

+ X

∂

∂q



∂

+ X

∂

− ˙q

∂

+ X

∂



∂

∂ ˙q

= X

∂

∂t

+ X

∂

∂q



∂

+ ˙q

∂

− ˙q

∂

− ˙q

˙q

∂



∂

∂ ˙q

. (2.1.3)

A segunda maneira d´a o mesmo resultado, mas de uma maneira um pouco mais geral [30].

Gostar´ıamos de impor a rela¸c˜ao ˙q

sobre a se¸c˜ao ¯s

. Se um vetor X

´e tangente a ¯s

podemos requerer [31]

(dq

− ˙q

dt)(X

) = 0 .

Esta express˜ao determina uma fam´ılia de variedades. Deﬁnimos

= dq

− ˙q

como a um-forma “de contato”.

E interessante notar que ¯s

1∗

θ = 0 [30]. Deste fato, e de (2.2.4), podemos deduzir que [26,30]

= A

Para resolver esta equa¸c˜ao, simplesmente inserimos a seguinte forma para X

dµ

= X

∂

∂t

+ X

∂

∂q

∂

∂ ˙q

e calculamos £

1 θ

, o que ´e f´acil j´a que £

1 e d se comutam. Assim achamos, assumindo

que X

e X

n˜ao dependam de ˙q:

= d(X

(t, q)) −

dt − ˙q

d(X

(t, q))



∂X

∂t

−

− ˙q

∂X

∂t



dt +



∂X

∂q

− ˙q

∂X

∂q



= A

(dq

− ˙q

dt) .

Do segundo termo na segunda linha acima, deduzimos que



∂X

∂q

− ˙q

∂X

∂q



Note que poder´ıamos escrever

para uma nota¸c˜ao mais consistente, mas preferimos abrevi´a-lo por X

Desde que o primeiro termo na segunda linha tem que ser A

˙q

dt, podemos resolver para

e achamos que [30]

∂X

∂t

+ ˙q

∂X

∂q

− ˙q

∂X

∂t

− ˙q

∂X

∂q

˙q

. (2.1.4)

Ent˜ao, a prolonga¸c˜ao de um campo vetorial torna-se j

: X = X

, onde X

´e dado por

equa¸c˜ao (2.1.3). Os autores de [30] tamb´em notam a seguinte rela¸c˜ao importante:

([X

, X

]) = [j

), j

)] . (2.1.5)

2.2 Dinˆamica de Campos

2.2.1 Nota¸c˜ao

Neste trabalho, deﬁnimos a forma ω numa variedade com coordenadas (x

, x

, . . . , x

) como

ω ≡ dx

∧ . . . ∧dx

, (2.2.1)

e a forma V como

V ≡

√

±gω . (2.2.2)

Por exemplo, vamos considerar teorias deﬁnidas sobre uma variedade m = D + 1-dimensional

M × R com coordenadas x

= (x

; x

D+1

) onde α = 1, . . . , D. Neste caso, podemos tomar

ω = ω

∧dx

D+1

. Vamos tamb´em considerar variedades m = D+n-dimensional deﬁnidas sobre

uma variedade D-dimensional, M, e um grupo n-dimensional, G (ou um coset n-dimensional,

G/H).

Usamos a seguinte identidade [30], freq

uente neste trabalho

∗

[Θ(s

∗

X)] = (s

∗

Θ)(X) , (2.2.3)

onde Θ ´e uma n-forma, X um vetor, e s um mapa. Relacionado a esta identidade ´e a

seguinte [34]:

∗

Θ) = s

∗

(£

∗

Θ) , (2.2.4)

al´em de identidades comuns como £

Θ = d[Θ(X)] + (dΘ)(X).

2.2.2 Dinˆamica de Campos

O tratamento da dinˆamica de campos ´e parecido com o caso mais simples da dinˆamica de

part´ıculas, mas com algumas diferen¸cas importantes. Para come¸car, a variedade M (com

dimens˜ao m) tem coordenadas x

(em vez de apenas t). Em cada ponto x, deﬁnimos uma

ﬁbra Q

com coordenadas (x

, φ

), onde A ´e um ´ındice interno qualquer. O momentum agora

vai pertencer ao espa¸co cotangente dos φ’s, quanto dos x’s, o que ´e a novidade aqui. Ent˜ao,

um elemento p ∈ P

ter´a a forma

p = p

dφ

⊗ (dx

∧ . . . ∧dx

)(

∂

∂x

) .

Queremos (m − 1)-formas porque consideramos uma regi˜ao V ⊂ M e, igual ao caso anterior,

queremos deﬁnir a dinˆamica sobre a fronteira de V , ∂V , o que ´e equivalente ao que ﬁzemos

no caso anterior quando demos a dinˆamica sobre a fronteira do intervalo [t

, t

M = (x

)

O procedimento segue como antes: deﬁnir a dinˆamica sobre ∂V , e logo considerar V

inﬁnitesimal. As estruturas que saem deste caso s˜ao muito parecidas `as anteriores. Em vez

de dar todo o formalismo, vamos simplesmente fornecer alguns resultados.

A forma canˆonica θ

´e dada por [27]

= (κ

dφ

+ p

dφ

) ⊗ dx

∧ . . . ∧dx

onde

≡ p

Aλ

∂p

∂x

, φ

≡

∂φ

∂x

A forma ω

´e similarmente dada por

= (dκ

∧ dφ

+ dp

∧ dφ

) ⊗ dx

∧ . . . ∧dx

A fun¸c˜ao geradora L(x

, φ

)dx

∧. . . dx

agora satisfaz

dL ⊗ dx

∧ . . . ∧dx

= θ

de onde encontramos

∂p

∂x

∂L(x

, φ

)

∂φ

∂L(x

, φ

)

∂φ

A descri¸c˜ao Hamiltoniana da dinˆamica ´e efetuada por

= (κ

dφ

− φ

) ⊗ dx

∧. . . ∧dx

onde a fun¸c˜ao geradora da dinˆamica ´e a Hamiltoniana, H(x, φ

, p

)dx

∧ . . . ∧ dx

. De

−dH ⊗ dx

∧ . . . dx

= θ

saem as equa¸c˜oes de movimento:

∂p

∂x

= −

∂H(x

, φ

, p

)

∂φ

∂H(x

, φ

, p

)

∂p

Tamb´em podemos deﬁnir uma forma Cartan neste caso, o que ´e a quantidade que mais

usamos neste trabalho. Ela tem a forma [27]

Θ =

∧ . . . ∧ dφ

∧. . . ∧ dx

− Hdx

∧. . . ∧dx



= p

dφ

∧ ω(∂

) − Hω , (2.2.5)

(onde



λ indica que substitu´ımos dx

por dφ

acima).

E tamb´em poss´ıvel escrever Θ em termos da Lagrangiana [27]. Come¸camos por notar que

a Hamiltoniana e a Lagrangiana s˜ao relacionadas por

H ω = (p

− L) ω ,

assim a forma Cartan, Θ, torna-se

Θ = p

dφ

∧ ω(∂

) − (p

− L)ω . (2.2.6)

2.2.3 Prolonga¸c˜oes

Prolonga¸c˜oes de vetores neste caso procedem igual ao caso anterior, simplesmente tomando

→ φ

, e em vez de impor a rela¸c˜ao ˙q =

, vamos impor a rela¸c˜ao φ

∂φ

∂x

, onde o vetor

X agora vai ter a forma X = X

∂

∂x

+ X

∂

∂φ

. A prolonga¸c˜ao de X torna-se:

= j

X = X

∂

∂x

+ X

∂

∂φ

+ X

∂

∂(∂

)

= X

∂

∂x

+ X

∂

∂φ



∂X

∂x

+ φ

∂X

∂φ

− φ

∂X

∂x

− φ

∂X

∂φ



∂

∂(∂

)

. (2.2.7)

Note que (2.1.5) continua sendo v´alido.

2.2.4 A¸c˜oes e Equa¸c˜oes de Movimento

Consideremos uma prolonga¸c˜ao de uma se¸c˜ao ¯s

= j

(s) dada por ¯s

: (x

) → (x

, φ

(x), φ

(x)).

Notamos que os pullbacks de dφ

e dp

tˆem a seguinte forma:

(¯s

)

∗

dφ

∂φ

∂x

(¯s

)

∗

∂p

∂x

Esta prolonga¸c˜ao satisfaz:

(¯s

)

∗



dφ

∧ ω(∂

) − p





∂φ

∂x

ω − p



= 0 ,

onde a forma que se encontra dentro dos colchetes ´e conhecida como a “forma de contato”.

Assim, da equa¸c˜ao (2.2.6) vemos que

(¯s

)

∗

Θ = L(x

, φ

(x), φ

(x)) ω . (2.2.8)

Desta forma, a a¸c˜ao pode ser escrita como [30]

S[φ] =



(¯s

)

∗

Θ =



¯s

(M)

Θ .

Vejamos que acontece no limite δS = 0, onde

0 = δS =



¯s

(M)

Θ =



(¯s

)

∗



(¯s

)

∗



(dΘ) (X

) + d



Θ(X

)



para um vetor X

arbitr´ario. Esta equa¸c˜ao ´e satisfeita quando

(¯s

)

∗



(dΘ)(X

)



= 0 , (2.2.9)

isto ´e, as equa¸c˜oes de movimento [27, 30].

E prudente notar que esta equa¸c˜ao tem que ser

satisfeita para um X

qualquer.

E ´util ver um c´alculo expl´ıcito das equa¸c˜oes de movimento. Calcula-se

(¯s

)

∗

[(dΘ)(X

)] =



∂



∂

∂H

∂φ



+ X

∂



−∂

∂H

∂p





∂

−

∂H

∂p



+ X



−∂

−

∂H

∂φ



= 0 ,

onde os termos em colchetes s˜ao as equa¸c˜oes de movimento. Em c´alculos expl´ıcitos deste tipo,

as seguintes identidades tˆem sido bastante ´uteis

∧ ω(∂

) = δ

ω ,

∧dx

∧ ω(∂

, ∂

) = (δ

− δ

)ω ,

∧ ω(∂

, ∂

) = −δ

ω(∂

) + δ

ω(∂

) ,

∧ ω(∂

, ∂

) = δ

ω(∂

, ∂

) − δ

ω(∂

, ∂

)

+δ

ω(∂

, ∂

) ,

∧dx

∧ ω(∂

, ∂

) =



− δ



ω(∂

) + (δ

− δ

) ω(∂

)



− δ



ω(∂

) .

Pode-se freq

uentemente evitar o uso destas identidades pelo uso da decomposi¸c˜ao em (3.2.6).

Notemos tamb´em que

(¯s

)

∗

(dΘ) = (¯s

)

∗



∧ dφ

∧ ω(∂

) −



∂H

∂p

∂H

∂φ

dφ



∧ ω



= 0 , (2.2.10)

j´a que ω(∂

) ∧ dx

∧dx

= 0 e ω ∧ dx

= 0.

Isto ´e f´acil ver. A terceira identidade, por exemplo, pode ser derivada ao notar que 0 = (dx

∧ω)(∂

, ∂

) =

ω − dx

∧ ω(∂

)

(∂

) que pode ser expandida para obter a terceira identidade. As outras identidades

tamb´em s˜ao derivadas da mesma forma.

2.2.5 Θ e Nota¸c˜ao

Freq

uentemente neste trabalho, consideramos quantidades tal como (¯s

)

∗

[(dΘ)(X

)], onde

aqui estamos tomando alguma liberdade na nota¸c˜ao: o vetor X

´e um vetor no espa¸co J

“espa¸co de evolu¸c˜ao”, com coordenadas (x, φ

, φ

)), mas a forma Θ ´e deﬁnida sobre o espa¸co

1∗

(veja [30]). As express˜oes corretas utilizam um mapa (a “derivada do ﬁbrado”), F L, que

existe entre os dois espa¸cos, a transforma¸c˜ao de Legendre [29, 32,33]:

F L : (x

, φ

) → (x

, φ

, p

) .

Assim, 0 = (¯s

)

∗

[(dΘ)(X

)] corretamente seria

0 = (¯s

)

∗



((F L)

∗

dΘ) (X

)



= (¯s

)

∗

(F L)

∗



(dΘ)



(F L)

∗



= (F L ◦ ¯s

)

∗



(dΘ)



(F L)

∗



Note que (F L ◦ ¯s

) n˜ao ´e nada mais que (x) → (x, φ

, p

). Assim,

F L

∗

∂

∂p

∂

∂p

∂

(∂

)(∂

)

∂

∂p

(F L)

∗

= (F L)

∗



∂

∂x

+ X

∂

∂φ

+ X

∂

∂(∂

)



≡ X

∂

∂x

+ X

∂

∂φ

+ X

∂

∂p

, (2.2.11)

onde deﬁnimos

≡ X

∂

L/(∂

)(∂

) . (2.2.12)

Por´em poder´ıamos eleger trabalhar com o espa¸co J

1∗

com coordenadas (x, φ

, p

), e com

(F L)

∗

se quisermos.

2.2.6 Espa¸cos de Conﬁgura¸c˜oes Vetoriais

Quando o espa¸co de conﬁgura¸c˜ao Q ´e vetorial, por exemplo φ

, tem-se que modiﬁcar ligeira-

mente as considera¸c˜oes acima, assim modiﬁcando ligeiramente a prolonga¸c˜ao do campo.

As vezes, usa-se a nota¸c˜ao φ

(µ)

, enfatizando o fato que podemos incluir o ´ındice µ no

´ındice A [26]. Vamos considerar uma a¸c˜ao de um campo φ

com um potencial da forma

V (φ) = g

µν

(x)φ

. Usando (B.2.1), ´e f´acil mostrar que este termo ´e invariante sobre o vetor

X = X

∂

∂x

− φ

(∂

)

∂

∂φ

. (2.2.13)

O segundo ponto a considerar ´e como queremos deﬁnir o espa¸co do jato de tal forma que

o formalismo ﬁque covariante. Neste caso, queremos tomar o espa¸co T Q como a derivada

covariante da forma ∇

em vez de coordenadas geod´esicas onde Γ

λµ

= 0. Assim, queremos

que o mapa ¯s

seja

¯s

: (x) → (x, φ

λµ

) ,

onde deﬁnimos

λµ

≡ ∂

− Γ

λµ

A forma de contato agora vai ser

− φ

λµ

onde deﬁnimos

dφ

≡ dφ

− Γ

λν

Desta forma, vemos que a forma de contato n˜ao muda se escolhemos um sistema geod´esico.

As formas canˆonicas θ

e θ

s˜ao

= (κ

dφ

+ p

λµ

dφ

λµ

) ⊗ dx

∧ . . . ∧dx

= (κ

dφ

− φ

λµ

) ⊗ dx

∧ . . . ∧dx

onde deﬁnimos

≡ ∇

λµ

= ∂

λµ

+ Γ

σµ

= κ

+ Γ

σµ

Assim, Hω = (p

λµ

− L)ω.

Neste caso, a forma de Cartan deve ser escrita em termos de dφ

Θ = p

λµ

dφ

∧ ω(∂

) − Hω .

2.2.7 Campos Fermiˆonicos

Embora n˜ao consideremos campos fermiˆonicos aqui, crˆe-se que o mesmo formalismo deve

ser aplic´avel. Obviamente, a ordem dos campos torna-se um ponto importante, o que ´e

considerado em [26, 35]. Outro ponto importante ´e a necessidade de tomar as derivadas

de Lie de campos fermiˆonicos, um assunto que foi o objetivo original de [36]; este ponto ´e

elaborado com muito detalhe tamb´em no seguinte trabalho dos mesmos autores [37].

2.3 Conclus˜oes

O formalismo multi-simpl´etico ´e um formalismo amplo, capaz de descrever dinˆamica numa

forma geral e geom´etrica. Assim, j´a que o ponto de partida nos seguintes cap´ıtulos ´e baseado

neste formalismo, os resultados que saem v˜ao ser relativamente gerais. Um exemplo simples

usando alguns m´etodos deste cap´ıtulo ´e dado em Apˆendice B.

3 Redu¸c˜ao de Legendre e Variedades Multi-Simpl´eticas

Em termos de supersimetria, os m´etodos de redu¸c˜ao dimensional de Kaluza-Klein e Scherk-

Schwarz [7,38–40] s˜ao interessantes porque geram novas teorias supersim´etricas em dimens˜oes

mais baixas. As teorias efetivas que resultam destas redu¸c˜oes aparecem devido a uma conﬁgu-

ra¸c˜ao do campo gravitacional onde uma dimens˜ao ´e compactiﬁcada, e onde alguma informa¸c˜ao

sobre a dimens˜ao adicional ´e perdida (por exemplo ∂

(campo) = 0) neste processo.

A novidade do m´etodo de redu¸c˜ao de Legendre ´e que n˜ao se perde informa¸c˜ao em fazer a

redu¸c˜ao. Por outro lado, ´e evidente que este tipo de redu¸c˜ao ´e fundamentalmente diferente aos

outros m´etodos de redu¸c˜ao dimensional em pelo menos um aspecto: a redu¸c˜ao n˜ao vem mais

de uma compactiﬁca¸c˜ao de uma dimens˜ao, ou de uma conﬁgura¸c˜ao no campo gravitacional,

sen˜ao s˜ao transforma¸c˜oes cujo parˆametro ´e uma coordenada num espa¸co adicional, aparecendo

na m´etrica em dimens˜oes mais altas, sobre que a a¸c˜ao ´e invariante.

Uma generaliza¸c˜ao do m´etodo de Legendre requer um conhecimento do formalismo multi-

simpl´etico. Neste formalismo, para espa¸cos internos que s˜ao ou grupos ou cosets, vamos

considerar os vetores de Killing K

, sobre que a teoria original era invariante. Podemos usar

estas simetrias da teoria original para encontrar express˜oes deduzidas da teoria original que

tˆem a forma de Lagrangianas em dimens˜oes mais baixas onde o espa¸co adicional n˜ao aparece.

Assim, vamos ver que faz sentido falar sobre “reduzir com respeito a um vetor de Killing”,

onde a redu¸c˜ao ´e efetuada atrav´es o uso deste vetor. No caso onde o espa¸co adicional tem

dimens˜ao maior do que um, vamos ver como surgem umas condi¸c˜oes que a teoria original

tem que satisfazer, e como as solu¸c˜oes destas condi¸c˜oes s˜ao precisamente os tipos de redu¸c˜ao

dimensional que j´a conhecemos: Kaluza-Klein, Scherk-Schwarz e Legendre. Um elemento

agrad´avel do formalismo multi-simpl´etico ´e que ´e f´acil generaliz´a-lo a teorias onde aparecem

derivadas mais altas dos campos, ou seja teorias onde aparecem r-jatos [41, 42].

Vamos come¸car por dar um resumo de redu¸c˜ao de Legendre e uma poss´ıvel extens˜ao

do m´etodo ao caso de redu¸c˜ao de mais do que uma dimens˜ao. Ap´os termos feito a liga¸c˜ao

entre o formalismo multi-simpl´etico, vetores de Killing e redu¸c˜ao dimensional, revisamos estes

resultados em termos mais gerais. Terminamos este cap´ıtulo por brevemente considerar como

aplicar este formalismo a teorias gravitacionais.

3.1 Redu¸c˜ao de Legendre

A id´eia atr´as este tipo de redu¸c˜ao soa quase trivial: tomar o Hamiltoniano de uma teoria

deﬁnida em D dimens˜oes como uma Lagrangiana em D − 1 dimens˜oes. Precisa-se escolher

uma coordenada do tipo espa¸co para o “tempo” do Hamiltoniano.

3.1.1 O Mecanismo B´asico: 5D → 4D

Consideremos uma teoria cinco dimensional com coordenadas x

ˆµ

= x

. . . x

e m´etrica (+, −, −, −, −).

Queremos reduzir com respeito `a vari´avel, i.´e., x

. Para realizar isto, come¸camos com uma

Lagrangiana em 5 dimens˜oes, L

(5)

, e achamos o “Hamiltoniano”, H

(5)

, com respeito `a vari´avel

do “tempo”, x

(embora x

realmente seja do tipo-espa¸co), atrav´es de uma transforma¸c˜ao de

Legendre:

(5)



∂L

(5)

∂

− L

(5)

onde

φ =

dφ

Deﬁnimos a Lagrangiana reduzida como o negativo deste Hamiltoniano

(4)

≡ −H

(5)

= −

∂L

(5)

∂

+ L

(5)

onde os momentos π agora s˜ao considerados novos campos independentes na teoria em quatro

dimens˜oes.

Por que deﬁnimos a Lagrangiana em 4 dimens˜oes desta maneira? Ao deﬁnirmos a La-

grangiana assim, a a¸c˜ao S

(4)

em quatro dimens˜oes n˜ao depende de x

mesmo se L

(4)

depender:

(4)

= −

(5)

= 0 ,

(4)



. . . dx

(4)

= −



. . . dx

(5)

= 0 ,

desde que a “energia” n˜ao varia com respeito ao “tempo”, x

E importante enfatizar que os

campos φ retenham a sua dependˆencia da coordenada x

. N˜ao obstante, como eles variam

sobre mudan¸cas em x

depende das equa¸c˜oes de movimento da teoria em 5 dimens˜oes, que

agora s˜ao v´ınculos na teoria quatro dimensional: ∂

ˆµ

(∂L

(5)

/∂(∂

ˆµ

φ)) − ∂L

(5)

/∂φ = 0.

Por exemplo, vamos considerar uma teoria em 5D da forma [43]

(5)

= ∂

ˆµ

φ∂

ˆµ

∗

, (3.1.1)

com equa¸c˜oes de movimento ∂

ˆµ

∂

ˆµ

φ = 0. O momentum canˆonico com respeito ao “tempo”

´e π(φ) = ∂L

(5)

/∂(∂

φ) = ∂

∗

e π(φ

∗

) = ∂

φ. Assim, a “Hamiltoniana” em 5D ﬁca

(5)

= −π(φ

∗

)π(φ) − ∂

φ∂

∗

(onde µ = 0 . . . 3). Introduzindo a nota¸c˜ao G ≡ ∂

φ e

∗

≡ ∂

∗

, a Lagrangiana em 4D torna-se

(4)

= −H

(5)

= ∂

φ∂

∗

+ G

∗

G , (3.1.2)

onde os campos φ, φ

∗

, G e G

∗

ainda s˜ao vinculados pelas equa¸c˜oes de movimento em 5D,

junto com as deﬁni¸c˜oes dos momentos:

∂

G = −∂

∂

φ e ∂

∗

= −∂

∂

∗

∂

φ = −G e ∂

∗

= −G

∗

. (3.1.3)

Assim, obtemos uma a¸c˜ao S

(4)

em 4D que n˜ao depende de mudan¸cas em x

, devido a

como mudam os campos φ, φ

∗

, G, G

∗

sob mudan¸cas de x

3.1.2 Supersimetria

A importˆancia deste m´etodo de obter Lagrangianas pode ser melhor valorizada com a intro-

du¸c˜ao de supersimetria.

Come¸ca-se com uma teoria supersim´etrica em D + 1 dimens˜oes on-shell, ou seja, a su-

persimetria ´e realizada somente atrav´es a aplica¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento. Constr´oi-se

pelo m´etodo acima uma “energia” em D dimens˜oes. Esta teoria mostrar´a duas simetrias: ela

tamb´em ser´a uma teoria supersim´etrica, al´em de tamb´em ser invariante sobre as equa¸c˜oes de

movimento de D + 1 dimens˜oes. Assim, n˜ao h´a necessidade de aplicarmos as equa¸c˜oes de

movimento em D dimens˜oes para realizar a supersimetria, ou seja: a teoria assim obtida ser´a

uma teoria supersim´etrica oﬀ-shell.

Um aspecto interessante ´e que a dimens˜ao adicional sobre que reduzimos torna-se o es-

pa¸co de uma carga central na teoria reduzida. Isto implica que a teoria reduzida deve ter a

possibilidade de suportar uma carga central, que somente acontece em teorias onde N ≥ 2.

Ent˜ao, o caso mais simples vai ser uma redu¸c˜ao dimensional de uma teoria N = 2 on-shell

em 5 dimens˜oes a uma teoria N = 2 oﬀ-shell com carga central em 4 dimens˜oes. Para isto,

precisamos de um grupo de simetria interna USp(2) para acomod´a-la, e isto ´e facilitado pelo

uso de espinores de Majorana do tipo SU(2) [7]. A escolha da teoria mais simples acomodando

estes requisitos cont´em o N = 2 hypermultiplet [7, 12.2], contendo dois escalares complexos

e A

e um espinor (complexo) ψ. Vamos seguir a nota¸c˜ao de se¸c˜ao A.1 para espinores.

Constr´oi-se uma representa¸c˜ao da supersimetria on-shell por considerar as seguintes mu-

dan¸cas nos campos A

e ψ:

δA

= i

ψ δψ = 2γ

ˆµ

∂

ˆµ

onde consideramos as matrizes gamma como γ

ˆµ

≡ {γ

, iγ

} e γ

ˆµ

= {γ

, −iγ

}, e as ma-

trizes A, B e C como deﬁnimos em (A.1.1). A Lagrangiana que vamos considerar para este

hypermultiplet sem massa em cinco dimens˜oes ´e simplesmente

L = ∂

ˆµ

∗i

∂

ˆµ

−

ψγ

ˆµ

∂

ˆµ

ψ .

Pode-se mostrar, reescrevendo equa¸c˜ao (A.1.7) como

iβ

[(¯η

αβ

+ (¯η

ˆµ

)(γ

ˆµ

)

αβ

−

(¯η

ˆµˆν

)(γ

ˆµˆν

)

αβ

] ,

e usando (A.1.9) que a ´algebra toma a forma

[δ(ζ), δ(η)] = 2i(¯η

ˆµ

)∂

ˆµ

+ (equa¸c˜oes de movimento) ,

onde o termo −i(¯η

ˆρ

)γ

ˆρ

ˆµ

∂

ˆµ

ψ aparece no caso de [δ(ζ), δ(η)]ψ. Pode-se tamb´em ver que

a mudan¸ca δL da Lagrangiana ´e dada por

∂

ˆρ



−i

ψγ

ˆρ

(γ

ˆµ

∂

ˆµ

) + iA

(∂

ˆµ

ψ)γ

ˆµˆρ

− iA

∗i

ˆρˆµ

∂

ˆµ



uma divergˆencia total.

A Hamiltoniana obtida com respeito `a quinta dimens˜ao agora ´e

(4)

= −H = ∂

∂

∗i

−

ψγ

∂

ψ + G

∗i

onde G

≡ −∂

e G

∗i

= −∂

∗i

e onde µ = 0 . . . 3. Esta Lagrangiana ´e invariante somente

quando as equa¸c˜oes de movimento em cinco dimens˜oes s˜ao satisfeitas:

0 = ∂

ˆµ

∂

ˆµ

= ∂

∂

+ ∂

0 = γ

ˆµ

∂

ˆµ

ψ = γ

∂

ψ + iγ

∂

ψ .

Podemos redeﬁnir Ψ = iψ para obter as conven¸c˜oes usuais .

Neste caso, os campos transformam-se como

δA

= i

ψ ,

δψ = 2γ

∂

+ 2iγ

∂

= 2γ

∂

− 2iγ

δG

= −∂

(δA

) = −i

∂

ψ =

∂

ψ .

A ´algebra que estas transforma¸c˜oes satisfazem ´e simplesmente a mesma ´algebra anterior:

[δ(ζ), δ(η)] = 2i(¯η

)∂

− 2¯η

∂

As equa¸c˜oes de movimento em quatro dimens˜oes s˜ao 0 = ∂

∂

, 0 = γ

∂

ψ e G

= 0 que

podemos escrever (levando em conta as equa¸c˜oes de movimento em cinco dimens˜oes) como

0 = ∂

, 0 = ∂

ψ e 0 = ∂

. Se deﬁnimos o espa¸co da carga central como z ≡ x

, ent˜ao

φ = 0 para todos os campos φ = {A

, ψ, G

}. Esta condi¸c˜ao ´e a condi¸c˜ao de encurtamento

do multipleto no caso sem massa [7]. No caso massivo esta condi¸c˜ao torna-se [43] δ

φ = imφ.

3.1.3 Dimens˜ao > 1

A generaliza¸c˜ao de redu¸c˜ao de Legendre para mais do que uma dimens˜ao n˜ao ´e ´obvia. Re-

querendo que a a¸c˜ao seja invariante sobre a derivada na coordenada sobre que integramos,

mas agora para duas dimens˜oes, d´a v´ınculos onde n˜ao se vˆe facilmente se somente existem

solu¸c˜oes “triviais” ou n˜ao, sobretudo para teorias de gauge.

Consideremos novamente a Lagrangiana (3.1.1), L

(5)

= ∂

ˆµ

φ∂

ˆµ

∗

. Acham-se pelo menos

duas possibilidades para redu¸c˜ao dimensional de Legendre de duas dimens˜oes: no primeiro

caso, o caso trivial, simplesmente consideramos que a a¸c˜ao reduzida tome a forma



∂

φ∂

∗

+ G

∗

G dx

. . . dx

d−2

onde as transforma¸c˜oes dos campos sobre x

e x

s˜ao dadas por

φ = −G e T

φ = −G ,

G = −φ T

G = −φ .

No segundo caso, vamos considerar que a a¸c˜ao reduzida tome a forma



∂

φ∂

∗

+ G

∗

G + H

∗

H dx

. . . dx

d−2

Este caso parece-nos mais “correto” de certa forma: vˆe-se a aparˆencia dos dois momentos

associados com x

e x

. As transforma¸c˜oes s˜ao dadas por

(1/2)

φ = −G , T

(1/2)

φ = H ,

(1/2)

G = −φ , e T

(1/2)

G = 0 ,

(1/2)

H = 0 , T

(1/2)

H = φ ,

onde inclu´ımos ´ındices 1/2 para considera¸c˜oes mais em frente, e onde  = −P

. Note que,

j´a que queremos que estas simetrias n˜ao quebrem a simetria de Lorentz, [T

, P

] = 0.

A ´algebra nesta forma n˜ao se fecha, e precisa-se incluir outra simetria, T

(0)

, que simples-

mente gera uma rota¸c˜ao entre G e H:

(0)

φ = 0 ,

(0)

G = −H ,

(0)

H = G .

Agora, se deﬁnimos

(q+

)

≡ (P

)

(1/2)

e T

(q)

≡ (P

)

(0)

onde q ∈ Z. Ent˜ao a ´algebra toma a forma

(m)

, T

(n)

] = C

abc

(m+n)

onde C

123

= C

231

= C

312

= 1 s˜ao as constantes associadas ao grupo SU(2). Esta ´algebra

´e uma ´algebra SU(2) “aﬃne twisted” de Kac-Moody [44] sem carga central. Esta ´algebra

tamb´em ´e isomorfa a uma ´algebra untwisted SU(2), onde aparece uma deriva¸c˜ao, d [44].

3.2 O Formalismo Multi-Simpl´etico e Simetrias

Vamos generalizar o m´etodo de redu¸c˜ao de Legendre que se encontra acima pelo uso do for-

malismo multi-simpl´etico de [27]. O ponto de partida ´e, como no caso de redu¸c˜ao dimensional

de Legendre, a energia, e neste formalismo a deﬁni¸c˜ao da energia depende de um vetor. Para

o caso de redu¸c˜ao dimensional de apenas uma dimens˜ao, este vetor vai ser o vetor de Killing

desta dimens˜ao.

Em termos de nota¸c˜ao, o formalismo multi-simpl´etico de [27] ´e tal que a forma de Cartan

para uma teoria com v´arios campos, ou campos vetoriais, n˜ao ´e substantivamente diferente

de uma teoria com um campo escalar com ´ındices internos. Desta forma, nesta se¸c˜ao, vamos

simpliﬁcar tudo por simplesmente considerar um campo φ

com ´ındices internos, A.

Vamos escrever uma simetria como um vetor atuando sobre o espa¸co com coordenadas

e os campos φ

. Por exemplo, se a a¸c˜ao ´e invariante sob transla¸c˜oes, vamos escrever isto

como ∂

, ou seja: x

→ x



= x

+ ε

∂

= x

+ ε

. Da mesma forma, uma invariˆancia sob

φ → φ



= e

iε

φ = φ + iεφ

∂

∂φ

φ, pode-se escrever como iφ∂/∂φ. Uma simetria geral pode ser

escrita como

(x, φ)

∂

∂x

+ X

(x, φ)

∂

∂φ

Neste cap´ıtulo, vamos nos concentrar sobre simetrias que tˆem a seguinte forma:

X + Y onde X = X

(x)

∂

∂x

e Y = X

(φ)

∂

∂φ

ou seja, simetrias X “internas” (x

) que n˜ao dependem do campo, e simetrias Y “externas”

(φ

) que n˜ao dependem da coordenada, embora eventualmente possam depender de alguma

coordenada interna.

Dada uma teoria com uma forma de Cartan Θ, existe uma maneira direta de ver se um

vetor X gera uma simetria ou n˜ao:

Deﬁni¸c˜ao Um vetor X gera uma simetria se a sua prolonga¸c˜ao X

satisfaz

Θ = 0 , (3.2.1)

onde £ ´e a derivada de Lie.

O zero no lado direito pode ser estendido ao caso de uma divergˆencia total, d∆, que cor-

responde a um termo topol´ogico (uma anomalia cl´assica, ou um termo de Wess-Zumino).

Alguns exemplos de como este termo topol´ogico pode aparecer quando X ´e um vetor de

Killing aparecem nos trabalhos de [26, 30, 41], embora vamos consider´a-lo como zero pelo

momento.

3.2.1 Vetores de Killing

As teorias sob considera¸c˜ao aqui v˜ao ser teorias deﬁnidas sobre superf´ıcies com uma m´etrica.

A a¸c˜ao vai ser uma integral sobre o espa¸co, onde aparece a m´etrica e derivadas covariantes,

∇

. Como exemplo, vamos considerar a a¸c˜ao S[φ(x)] =



µν

(x)∂

φ(x)∂

φ(x)

√

−gd

x. O

escalar g

µν

(x)∂

φ(x)∂

φ(x) ´e invariante sobre reparametriza¸c˜oes em cada ponto da superf´ıcie,

mas n˜ao h´a, a princ´ıpio, uma rela¸c˜ao entre o escalar em dois pontos da variedade (ou seja,

n˜ao sabemos g

µν



) em termos de g

µν

(x)).

Uma isometria ´e uma transforma¸c˜ao x → x



onde a m´etrica g

µν

(x) e g



µν

(x) s˜ao rela-

cionadas por g

µν

(x) = g



µν

(x), ou equivalentemente g

µν

(x) =

∂x



∂x



∂x

ρσ



). Estas transfor-

ma¸c˜oes s˜ao geradas pelos vetores de Killing, K

= K

∂

. Substituindo x → x



= x + εK

(x),

obt´em-se da equa¸c˜ao de transforma¸c˜ao da m´etrica a seguinte condi¸c˜ao que os vetores de

Killing devem satisfazer [31]:

0 = (£

µν

= K

∂

µν

+ g

µσ

∂

+ g

σν

∂

. (3.2.2)

Considere uma transforma¸c˜ao x → x



de coordenadas. O escalar

α(x) = g

µν

(x)∂

φ(x)∂

φ(x) = g



µν



)

∂φ(x



)

∂x



∂φ(x



)

∂x



= g

µν



)

∂φ(x



)

∂x



∂φ(x



)

∂x



= α(x



)

se transformamos sob uma isometria. Mas agora, vˆe-se que o escalar n˜ao muda entre x e x



Deste modo, obtemos uma simetria sob a qual a Lagrangiana n˜ao muda. Assim, podemos

considerar uma fam´ılia de congruˆencias geradas pelos vetores de Killing sobre a variedade

original, onde o movimento sobre cada congruˆencia ´e gerada por uma derivada de Lie sobre

o vetor de Killing, ent˜ao £

α = 0.

Vamos mostrar que a medida de integra¸c˜ao, V , ´e tamb´em invariante sob K

. Come¸camos

por escrever£

(

√

g) =

√

(

√

g) =

√

g e utilizamos a identidade ∂(det M)/∂(M

) =

det M



−1



para uma matriz M. Assim podemos escrever

(

√

g) =

√

∂ det g

∂x

√

det g g

µν

∂

µν

Somando ambos lados de (3.2.2) sobre g

µν

nos d´a g

µν

∂

µν

= −2∂

para que £

(

√

g) =

−

√

g∂

Agora podemos calcular £

ω. Usando [31, (4.67), (4.76)] isto ´e £

ω = ∂

ω. Ent˜ao,

deduzimos que

V = 0 . (3.2.3)

Desta forma, obtemos uma simetria da teoria. Em termos simpl´eticos, a simetria ´e gerada

pelo vetor X

= K

(x)

∂

∂x

que, justamente, quando opera sobre uma Lagrangiana,

somente muda a m´etrica e n˜ao o campo φ . Do teorema de Frobenius, sabemos que, para que

os X

formem uma variedade integral, £

´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores C(x)

O caso em que estamos interessados, o de uma variedade de grupo ou de coset, sabemos que

os fatores C s˜ao constantes:

= C

. (3.2.4)

Mais adiante, vamos querer adicionar um fator X

= 0 de tal forma que preservemos

as identidades de Lie dos vetores de Killing. O vetor X

agora vai ter a aparˆencia X

(x)

∂

∂x

+ X

∂

∂φ

de tal forma que continuemos satisfazendo equa¸c˜ao (3.2.4), por exemplo

por considerar X

somente uma fun¸c˜ao de φ, ou mais geralmente uma fun¸c˜ao X

(x, φ)

satisfazendo X

∂

= 0.

3.2.2 Quantidades Conservadas

Da discuss˜ao acima, sabemos que podemos construir hipersuperf´ıcies Σ (cruzando cada con-

gruˆencia num ponto no nosso exemplo abaixo) sobre a qual vamos integrar a a¸c˜ao j´a que a

a¸c˜ao em cada ponto da congruˆencia n˜ao muda sobre a mesma congruˆencia.

Assim deﬁnido, uma integral sobre Σ ser´a uma quantidade conservada. Mas ainda nos falta

a express˜ao expl´ıcita sobre que dever´ıamos integrar.

Teorema A quantidade dada por

[27]

E(X) = −(¯s

)

∗



Θ(X

)



, (3.2.5)

´e uma constante de movimento.

A prova disto ´e f´acil. Primeiro, vamos mostrar que d[E(X)] = 0 sobre uma regi˜ao no espa¸co

se usamos as equa¸c˜oes de movimento; de fato

d[E(X)] = −d(¯s

)

∗



Θ(X

)



= −(¯s

)

∗



Θ − (dΘ)(X

)



= 0 ,

Aqui E(X) n˜ao ´e uma contrac¸c˜ao, sen˜ao mostra uma dependˆencia de X de E.

se X ´e um operador de simetria e se usamos as equa¸c˜oes de movimento, (2.2.9).

Em calcular o lado direito de (3.2.5) explicitamente, ´e conveniente decompor X

seguinte maneira



(x)

∂

∂x

+ X

∂

∂φ

+ X

∂

∂φ







− X

∂



∂

∂φ



− X

∂



∂

∂φ



≡ (¯s

)

∗

X + v

. (3.2.6)

Normalmente, trabalhamos diretamente com (F L)

∗

(veja equa¸c˜ao (2.2.11)) e, por um

abuso de nota¸c˜ao, escrevemos v

quando deve ser (F L)

∗

. Assim, note que v

´e vertical

ele n˜ao cont´em uma componente em ∂/∂x

. Para uso futuro, podemos escrever a componente

∂/∂p

de v

da seguinte maneira:



− X

∂



∂

∂φ



− X

∂



∂

∂p

onde X

´e dado pela express˜ao (2.2.12). Inserindo esta express˜ao em X

, e escrevendo p

como ∂L/∂(∂

), podemos reescrever v

como

≡ v

∂

∂φ

+ v

∂

∂p

, (3.2.7)

onde

≡ X

− X

∂

, (3.2.8)

≡

∂

∂(∂

)∂(∂

)

, (3.2.9)

onde d/dx

≡ ∂/∂x

+ (∂

)∂/∂φ

´e uma derivada “exata” [30]:

/dx

= ∂

+ (∂v

/∂φ

)(∂φ

/∂x

)

= ∂

+ φ

∂X

/∂φ

− ∂



∂



− φ

∂X

/∂φ

No futuro, vai ser importante notar que a condi¸c˜ao v

= 0 automaticamente implica v

= 0

por (3.2.9).

No caso de um campo vetorial, por exemplo φ

em (2.2.13), a parte espacial de v teria a

forma

(µ)

= −φ

(∂

) − X

∂

= −£

Note a aparˆencia da derivada de Lie

Note que −£

aparece no primeiro termo, e −£

aparece no termo X

−X

∂

quando tomamos

em conta a forma de X

, (2.2.7).

O uso do “1” simplesmente signiﬁca que v

∈ J

ou J

1∗

E freq

uentemente ´util escrever a derivada de Lie em termos de derivadas covariantes, por exemplo £

∇

+ φ

∇

, quando a tor¸c˜ao ´e zero.

Usando esta expans˜ao de v

, vemos que o negativo da energia, (3.2.5) pode ser escrita

como

(¯s

)

∗



Θ(X

)



= (¯s

)

∗



Θ(¯s

∗

X + v

)





(¯s

)

∗



(X) + (¯s

)

∗



Θ(v

)



= Lω(X) + (¯s

)

∗



ω(∂

)





L + p



− X

∂





ω(∂

) , (3.2.10)

onde usamos as identidades (2.2.8) e (2.2.3). Esta express˜ao para a energia concorda com

a express˜ao obtida em [27, (19.72)] onde os autores encontram a energia atrav´es de uma

transforma¸c˜ao de Legendre parcial (contrariamente ao caso da Hamiltoniana, que ´e uma

transforma¸c˜ao sobre todas as vari´aveis), e onde a express˜ao deve ser integrada sobre uma

hipersuperf´ıcie Σ. Esta express˜ao gera θ(X, t), onde t ´e um produto t

∧. . . ∧t

m−1

dos m −1

vetores sobre a hipersuperf´ıcie Σ [27], e a forma para E gera equa¸c˜oes de movimento parecidas

ao caso Hamiltoniano [27, (19.14)].

Agora, temos uma quantidade, −E, cuja divergˆencia ´e zero. Assim, podemos integr´a-la

sobre a hipersuperf´ıcie no espa¸co, Σ. Tomando um exemplo simples em m = D + 1-dimens˜oes

onde Σ ´e determinado por x

D+1

= constante,

E(X) → 0

V ()

X = K

Σ(x

D+1

)

Σ(x

D+1

+ )

e integrando sobre um volume V () (onde Σ n˜ao ´e necessariamente transversal ao vetor X),

nos daria

0 =



V ()

dE =



∂V ()

E =



Σ(x

D+1

+)

E −



Σ(x

D+1

)

E ,

com tal que E → 0 quando x → ∞ (ou se ∂V () = 0, embora n˜ao vamos tomar este caso em

conta agora).

Normalmente, o vetor no qual estamos interessados ter´a uma aparˆencia como, por exemplo,

X = d/dx

D+1

, e estaremos somente interessados nas superf´ıcies Σ caracterizadas por x

D+1

constante. Neste caso, podemos veriﬁcar que a derivada da integral seja zero:

0 =

D+1



Σ(x

D+1

)



D+1



Σ(x

D+1

)

E = E(X)|

∂Σ

= − p



− X

∂



ω(∂

, X)



∂Σ

onde substitu´ımos a forma expl´ıcita de E da equa¸c˜ao (3.2.10). Em geral, isto n˜ao tem que ser

necessariamente zero (a n˜ao ser que a variedade Σ seja uma variedade fechada). Por exemplo,

no caso onde X = d/dx

D+1

(e X

= 0), esta express˜ao torna-se 0 = p

(∂

D+1

)(dx

∧ . . . ∧dx

)(∂

)



∂Σ

Se as equa¸c˜oes de movimento for¸cam ∂

D+1

→ 0 suﬁcientemente r´apido, ´e poss´ıvel que esta

express˜ao seja zero (o que ´e ligado `a pergunta se



Σ(x

D+1

)

E ´e um n´umero ﬁnito).

3.3 Redu¸c˜ao e a Forma de Cartan

A aparˆencia de Θ(X

) na express˜ao da energia sugere que uma redu¸c˜ao “espontˆanea” sobre

mais do que uma simetria poderia ter uma forma parecida, embora devamos ter cuidado com

as se¸c˜oes ¯s

Ansatz/Proposi¸c˜ao A forma de Cartan de uma teoria reduzida sobre os vetores X

, . . . , X

pode assumir a forma

red

= Θ(X

, X

, . . . , X

) , (3.3.1)

quando V (X

, . . . , X

) = 0 (um grupo, por exemplo).

Como exemplo, podemos considerar uma redu¸c˜ao de um espa¸co do tipo Minkowski com

dimens˜ao m = D + 1 (com coordenadas x

= (x

, x

D+1

)) a um espa¸co com dimens˜ao D, onde

vamos a tomar o vetor de Killing P

D+1

∂

∂x

D+1

. Segundo o nosso ansatz, a forma de Cartan

para a teoria reduzida tomaria a forma Θ(P

D+1

E ´obvio que os outros vetores de Killing

para o grupo de Poincar´e em D dimens˜oes, P

, M

αβ

v˜ao continuar sendo simetrias da nova

teoria j´a que, por exemplo £

αβ

D+1

= 0 tamb´em ´e valido para as prolonga¸c˜oes (2.1.5).

Da discuss˜ao acima, do teorema de Frobenius sabemos que, para uma variedade integral

precisamos de (3.2.4). Por outro lado, para que sejam simetrias da nova teoria, precisamos

de £

D+1

= 0 onde X ∈ {P

, M

αβ

}. Em termos de grupos, se os X pertencem a um grupo

H (neste caso, o grupo de Poincar´e de D dimens˜oes) num grupo G (o grupo de Poincar´e em

D + 1 dimens˜oes) ent˜ao chegamos `a seguinte conclus˜ao:

Proposi¸c˜ao Os vetores sobre que podemos fazer uma redu¸c˜ao pertencem ao centralizador

do grupo, Z

(H).

A pergunta sobre as poss´ıveis extens˜oes do grupo de Poincar´e tem recebido bastante aten¸c˜ao,

notamente o trabalho de [45] (veja tamb´em [7, 46]). A an´alise deles mostrava que s´o pode-

se estender o grupo de Poincar´e (em quatro dimens˜oes, pelo menos) pelo produto direto de

um grupo semisimples com fatores de U (1). Assim, estaremos interessados em investigar ou

redu¸c˜ao por um vetor de Killing X = K, ou redu¸c˜ao pelos vetores de Killing K

, . . . K

que

geram grupos semisimples.

E interessante notar que esta condi¸c˜ao para um vetor de Killing X = K ´e equivalente ao

formalismo da quebra G → G

considerado em se¸c˜ao 1.3.1. Obviamente, neste caso o grupo

U(1)

em se¸c˜ao 1.3.1 aqui seria dado pelo grupo Abeliano gerado por K: U(1)

O problema ´e que temos que ver se podemos veriﬁcar que a forma de Cartan deﬁnida

deste jeito ainda satisfa¸ca d(¯s

)

∗

red

= 0 sobre as se¸c˜oes de D +n dimens˜oes, ou se aparecem

condi¸c˜oes que precisam-se impor para que isto seja verdade.

3.4 Redu¸c˜ao Dimensional sobre um Espa¸co 1D

Consideremos agora um espa¸co m = D + 1-dimensional parametrizado por (x

, x

D+1

), e

vamos considerar uma m´etrica deﬁnida sobre o espa¸co total de D + 1 dimens˜oes que tem um

vetor de Killing X = ∂

D+1

. Podemos ver se faz sentido deﬁnir a a¸c˜ao que resulta de uma

redu¸c˜ao dimensional, S

da seguinte maneira:

= −



Σ(x

D+1

)

E =



Σ(x

D+1

)

Lω(X) + (¯s

)

∗



Θ(v

)



(3.4.1)



Σ(x

D+1

)





, φ

(x), φ

(x)



− p

D+1

∂

D+1



∧ . . . dx

onde usamos equa¸c˜ao (3.2.10) e deﬁnimos Σ(x

D+1

) por x

D+1

= constante, e onde dx

D+1

n˜ao

aparece. Obviamente, isto ´e exatamente a deﬁni¸c˜ao de uma redu¸c˜ao do tipo Legendre se

inclu´ımos as equa¸c˜oes de movimento em D + 1 dimens˜oes.

Podemos tamb´em considerar o caso onde inclu´ımos um gerador X

∂

∂φ

de simetrias

quando fazemos a redu¸c˜ao dimensional onde v

= 0. Por exemplo, h´a uma simetria global

adicional, φ → φ



= e

iα

φ, φ

∗

→ φ

∗



= e

−iα

∗

na Lagrangiana de (3.1.1). Se tomamos o vetor

total de simetrias sobre que queremos fazer a redu¸c˜ao como X =

∂

∂x

+ iαφ

∂

∂φ

− iαφ

∗

∂

∂φ

∗

ent˜ao o resultado da redu¸c˜ao dimensional em (3.1.2) ter´a um termo adicional: L



= L

iα(φ

∗

G − φG

∗

), que segue invariante quando aplicam-se as equa¸c˜oes de movimento em 5D,

(3.1.3).

E evidente que a redu¸c˜ao dimensional poderia reproduzir uma redu¸c˜ao dimensional do tipo

Kaluza-Klein se o segundo termo na primeira linha acima n˜ao aparecesse, ou seja quando

= 0 . (3.4.2)

Lembrando-nos de equa¸c˜ao (3.2.7), isto acontece quando

= 0.

Para o gerador de simetria X =

∂

∂x

D+1

(onde X

= 0), isto diz que

= 0 ⇒ −∂

D+1

= 0 .

Ou seja, o caso v

= 0 onde X

= 0 e onde X

n˜ao depende de φ

resulta em redu¸c˜ao

dimensional do tipo Kaluza-Klein onde ∂

D+1

= 0. No caso um pouco mais geral, onde

tem uma simetria global inclu´ıda, por exemplo X =

∂

∂x

D+1

+ αφ

∂

∂φ

, onde α = constante,

ter´ıamos

= 0 = αφ

− ∂

D+1

Este v´ınculo pode ser satisfeito se assumimos que φ

tenha a seguinte forma: φ

) =

αx

D+1

Vemos de v

= 0 que h´a uma esp´ecie de compensa¸c˜ao do espa¸co “externo” (com coorde-

nada x

D+1

) e um grupo “interno”. No caso de redu¸c˜ao dimensional comum, este espa¸co externo

normalmente seria dado por um c´ırculo, S

, assim que faz sentido introduzir uma simetria ex-

terna global de U(1). Isto faz-se por considerar φ como campo imagin´ario, onde o gerador de

simetria X ´e dado pela express˜ao X =

∂

∂x

D+1

+ iαφ

∂

∂φ

−iαφ

∗

∂

∂φ

∗

e onde φ(x) = e

iαx

D+1

φ(x

)

Note que a condi¸c˜ao v

= 0 tamb´em pode ser escrita como (dφ

− φ

)(X

∂

∂x

+ X

∂

∂φ

e φ

∗

(x) = e

−iαx

D+1

∗

). Assim recuperamos o caso de redu¸c˜ao dimensional do tipo Scherk-

Schwarz

3.4.1 Solu¸c˜oes de v

= 0

No caso onde v

tem a forma de (3.2.8), ´e bastante f´acil achar uma solu¸c˜ao expl´ıcita. Neste

caso, o v´ınculo v

= X

(φ) − X

= 0 pode ser satisfeito da seguinte forma:

= φ





iµ

(φ) − X



) , (3.4.3)

onde φ



´e uma fun¸c˜ao qualquer, e onde X



iµ

≡ 1. (Na verdade, pode-se acrescentar um

termo t

onde X

≡ 0, mas vamos tomar t

= 0 aqui). De certo modo, podemos ver

isto como um mapeamento, τ

dependendo tanto de X

, X

quanto de



iµ

: φ



→ φ

= φ





iµ

− X



) .

No caso onde tem v´arios vetores X

sobre que queremos requerer que v

= 0, n˜ao queremos

que a ordem seja importante: τ

◦ τ

= τ

◦ τ

. Ent˜ao, de

(τ

◦ τ

− τ

◦ τ

)φ



= −(X



jν

)(X

− X



)



iµ

+ (i ↔ j) ,

vai ser ´util deﬁnir



em termos de formas duais, e

que satisfazem e

iµ

= δ

de tal forma

que os mapas se comutem entre si:



iµ

= e

iµ

3.5 Redu¸c˜ao sobre Espa¸cos com Dimens˜ao 2

Em fazer a redu¸c˜ao de duas dimens˜oes, acha-se um obst´aculo impedindo que mais do que um

n˜ao seja igual a zero. Este obst´aculo permanece para redu¸c˜oes sobre mais do que duas

dimens˜oes.

Dada: uma teoria em m = D + 2 dimens˜oes onde o espa¸co adicional tem coordenadas

D+1

, x

D+2

) com dois vetores de Killing X

∂

∂x

D+1

e X

∂

∂x

D+2

Vamos tomar o seguinte ansatz: a forma correspondendo `a condi¸c˜ao de redu¸c˜ao por uma

dimens˜ao, 0 = −dE = d(¯s

)

∗

[Θ(X

)], para duas dimens˜oes deve ser

0 = d(¯s

)

∗



Θ(X

, X

)



. (3.5.1)

Onde o uso de ¯s

garante que vamos poder utilizar as equa¸c˜oes de movimento de D + 2

dimens˜oes. Assim, a redu¸c˜ao da teoria em D + 2 dimens˜oes a D dimens˜oes teria a forma:



Σ(x

D+1

D+2

)

(¯s

)

∗



Θ(X

, X

)



, (3.5.2)

onde Σ(x

D+1

, x

D+2

) ´e uma superf´ıcie de dimens˜ao D sobre que x

D+1

e x

D+2

s˜ao constantes.

Desta forma, os momentos relacionados com tanto X

e X

v˜ao aparecer, dando-nos outro

motivo para esta escolha.

Variando este m´etodo um pouco, podemos considerar uma simetria local φ(x) = e

iα(x

D+1

)

φ(x

), que

satisfaz ∂

D+1

φ − iα



D+1

)φ = 0. Assim, podemos exigir uma simetria “interna” da forma φ → φ



= φ +

iα



D+1

)φ

∂

∂φ

φ.

Para ver se ´e poss´ıvel satisfazer o nosso ansatz, expandimos d



Θ(X

, X

)



como

(dΘ)(X

, X

) − (£

Θ)(X

) + (£

Θ)(X

) + Θ(£

) .

J´a que os vetores X

e X

s˜ao simetrias da teoria, £

1,2

Θ = 0, o ansatz toma a seguinte

forma:

0 = (¯s

)

∗



(dΘ)(X

, X

) + Θ(£

)



onde podemos decompor X

e X

seguindo (3.2.6). Os termos da forma (¯s

)

∗

[(dΘ)(X

)] que

aparecem s˜ao zero pelas equa¸c˜oes de movimento, (2.2.9), e os termos da forma (¯s

)

∗

dΘ s˜ao

zero pela equa¸c˜ao (2.2.10). Os ´unicos termos que ﬁcam s˜ao

0 = (¯s

)

∗



(dΘ)(v

, v

) + Θ(£

)



(3.5.3)



−v



ω(∂

) + (¯s

)

∗



Θ(£

)



onde a forma de dΘ aparece em equa¸c˜ao (2.2.10). Ent˜ao, embora seja poss´ıvel nos livrar do

segundo termo no caso onde X

, X

comutam (e, assim,[X

, X

] = 0 de equa¸c˜ao (2.1.5)), o

primeiro termo ﬁca sendo um problema. Infelizmente, al´em de requerer que um v

= 0, as

outras possibilidades, como βv

= αv

, v

=(const), ou onde o primeiro termo em (3.5.3) ´e

uma divergˆencia total, etc. ou parecem dar resultados j´a conhecidos ou resultados triviais

O caso onde escolhemos v

= v

= 0, que nos d´a um toro em duas dimens˜oes ´e considerado

em [7].

Esta condi¸c˜ao permanece para redu¸c˜oes sobre espa¸cos de dimens˜oes maiores. O resultado

ent˜ao ﬁca:

Proposi¸c˜ao Uma redu¸c˜ao dimensional de D + n dimens˜oes a D dimens˜oes, onde as equa¸c˜oes

de movimento de D+n dimens˜oes s˜ao satisfeitas, ´e poss´ıvel no caso onde todos os v

= 0

(i = 1, . . . , n), ou no caso onde todos os v

= 0 menos um (i = 2, . . . , n).

3.5.1 A Solu¸c˜ao v

= 0

Nesta se¸c˜ao vamos discutir solu¸c˜oes n˜ao triviais caracterizadas pelas solu¸c˜oes dadas em, por

exemplo, se¸c˜ao 3.1.3. A maior diferen¸ca entre as solu¸c˜oes deste tipo e as solu¸c˜oes da se¸c˜ao

anterior ´e que as novas solu¸c˜oes respeitam equa¸c˜oes de movimento vinculadas das dimens˜oes

altas, assim que apresentam solu¸c˜oes menos ﬂex´ıveis que as solu¸c˜oes consideradas na se¸c˜ao

anterior. Sendo assim, n˜ao vamos dar tanta ˆenfase nestas solu¸c˜oes.

Come¸camos por notar que, na verdade, a equa¸c˜ao (3.5.1) ´e restritiva demais, e para que

(3.5.2) seja invariante sobre X

, ´e suﬁciente mostrar que

0 =



(¯s

)

∗





, X



) . (3.5.4)

Como exemplo de v’s proporcionais, podemos considerar um campo φ num espa¸co m = D + 2-dimensional

com coordenadas (x

, x

D+1

, x

D+2

), onde queremos fazer uma redu¸c˜ao sobre ∂

D+1

e ∂

D+2

(£

∂

D+1

∂

D+2

0). A condi¸c˜ao βv

= αv

torna-se β∂

D+1

φ = α∂

D+2

φ. Mas, deﬁnindo u ≡

√

+β

(αx

D+1

+ βx

D+2

) e

w ≡

√

+β

(−βx

D+1

+ αx

D+2

) (para que du ∧ dw = dx

D+1

∧ dx

D+2

), esta condi¸c˜ao simplesmente torna-se

∂

φ = 0, que n˜ao tem solu¸c˜oes mais interessantes das solu¸c˜oes que j´a temos. Pode-se tamb´em tomar α(x

) e

β(x

) dependendo das coordenadas x

, mas estas solu¸c˜oes s˜ao do mesmo gˆenero.

Como mostramos em equa¸c˜ao (3.5.3), o termo nos colchetes d´a zero quando v

= v

= 0.

Mas agora, vemos que a express˜ao inteira pode ter outras solu¸c˜oes al´em desta, que nos v˜ao

permitir explicar os resultados que obtivemos em se¸c˜ao 3.1.3.

Ent˜ao, vamos revisitar o modelo de se¸c˜ao 3.1.3, denotando X

= ∂

, X

= ∂

, e ree-

screvendo µ simplesmente como µ. Note que £

∂

= 0 como na se¸c˜ao anterior. Ent˜ao,

= −∂

φ = ∂

φ e v

= −∂

φ = ∂

φ. Em geral, vamos fazer a seguinte deﬁni¸c˜ao:

≡ v

, (3.5.5)

e vamos considerar G

e H

como campos independentes. Assim que, neste caso, G ≡ ∂

e H ≡ ∂

φ. Note que deﬁnimos os campos adicionais como os v’s e n˜ao os momentos.

Come¸camos por considerar invariˆancia sobre o vetor X

. A condi¸c˜ao (3.5.4) agora ﬁca:

0 = (v

− v

)ω(∂

, ∂

) .

Obviamente, esta express˜ao ´e automaticamente zero quando

λ = 4. A pergunta ﬁca: pode-

mos exigir que a express˜ao seja zero quando λ = 4 por requerer que v

= 0, v

= 0?

E f´acil ver que as derivadas dos campos G e H aparecem nas quantidades v

∗

1φ

∗

= −∂

∗

= −∂

∂

φ = ∂

G e v

2φ

∗

= ∂

H .

Ent˜ao, simplesmente vamos requerer que

∂

G = ∂

H = 0 λ = 0, . . . , 3, 5 .

Mas o v´ınculo ∂

G = 0 tamb´em implica um v´ınculo sobre H:

∂

G = ∂

(∂

φ) = ∂

(∂

φ) = ∂

H = 0 .

Ent˜ao, a a¸c˜ao ´e invariante sobre X

se respeitamos as equa¸c˜oes de movimento com estes

v´ınculos:

[eq.mov.]

∂

(0...3,5)

(G,H),∂

H=0

Obviamente, no caso onde consideramos invariˆancia sobre X

= ∂

, esta express˜ao torna-se

[eq.mov.]

∂

(0...4)

(G,H),∂

G=0

3.6 Gravita¸c˜ao e a Condi¸c˜ao v = 0

Agora queremos mostrar que a condi¸c˜ao v = 0 concorda com uma redu¸c˜ao dimensional do

tipo Kaluza-Klein quando considera-se gravita¸c˜ao. Obviamente, no caso de uma teoria onde

h´a uma m´etrica dinˆamica, n˜ao h´a vetores de Killing sobre que possamos fazer a redu¸c˜ao.

N˜ao obstante, podemos considerar o v´acuo da teoria, e da condi¸c˜ao v = 0 podemos deduzir a

condi¸c˜ao que ´e necess´aria para podermos fazer uma redu¸c˜ao.

No caso de gravita¸c˜ao sem tor¸c˜ao

, a condi¸c˜ao de v = 0 torna-se

Em geral, a condi¸c˜ao que queremos satisfazer ´e ω(v

∂

, X) = 0. Obviamente, uma solu¸c˜ao disto ´e que v

´e proporcional a X

. Por exemplo, poder´ıamos tomar a seguinte solu¸c˜ao particular: v

“



”

. No

caso onde X

= ∂

, isto implicaria que v

0,...,3,5

φ,φ

∗

= 0 e v

φ,φ

∗

= v



φ,φ

∗ . Tais solu¸c˜oes podemos tamb´em reproduzir

em termos dos momentos, j´a que v

= X

− X

∂

: ∂

−

− X

∂



Os autores de [27] n˜ao consideram tor¸c˜ao porque n˜ao existe um referencial onde a conex˜ao seja zero.

v = −£

µν

. (3.6.1)

Esta condi¸c˜ao diz que a conex˜ao, Γ

µν

´e invariante sobre o vetor X. No caso onde h´a v´arias

simetrias de um grupo G, as condi¸c˜oes v = 0 dizem que a conex˜ao ´e G-invariante.

Vemos de equa¸c˜ao (A.2.4) que um vetor de Killing, X satisfazendo £

µν

= 0 tamb´em

satisfaz a condi¸c˜ao v = 0. Ent˜ao, dado um conjunto de vetores, um v´acuo

◦

µν

satisfazendo

v = 0 ´e a m´etrica onde esses vetores s˜ao vetores de Killing. V´acuos satisfazendo esta condi¸c˜ao

(v´acuos homogˆeneos) consideram-se em [47], onde da forma do v´acuo ´e bastante f´acil derivar

o ansatz de Kaluza-Klein [47, 48]. N˜ao obstante, este v´acuo ´e somente uma solu¸c˜ao. Isto ´e

provavelmente desejado, por exemplo para podermos acomodar a teoria sobre K3 em [48].

3.7 Conclus˜oes

Desenvolvemos uma maneira cl´assica para analisar os poss´ıveis tipos de redu¸c˜ao dimensional

que inclui redu¸c˜ao dimensional do tipo Legendre, pouco estudada na literatura. Vimos como

´e poss´ıvel considerar redu¸c˜ao dimensional como uma redu¸c˜ao sobre um vetor de Killing da

m´etrica original. Mostramos que as maneiras convencionais de fazer redu¸c˜ao, Kaluza-Klein

e Scherk-Schwarz, correspondem `a condi¸c˜ao v = 0, enquanto uma redu¸c˜ao do tipo Legendre

corresponde `a condi¸c˜ao v = 0. Embora ﬁque a a pergunta sobre o que acontece no caso

supersim´etrico, no caso de uma redu¸c˜ao sobre duas (ou mais) dimens˜oes, mostramos ser

poss´ıvel estender a deﬁni¸c˜ao de redu¸c˜ao dimensional de Legendre quando os vetores de Killing

s˜ao associados a fatores Abelianos na ´algebra (e, no nosso caso simples, associados a ´algebras

de Kac-Moody), mesmo quando o grupo de isometrias da variedade n˜ao seja Poincar´e.

No cap´ıtulo seguinte, vamos tentar estender estes resultados a variedades internas de

grupos e cosets.

4 Redu¸c˜ao Dimensional Sobre Grupos e Cosets

Neste cap´ıtulo pretendemos generalizar os resultados do cap´ıtulo anterior aos casos de var-

iedades internas de grupos ou cosets. Brevemente deﬁnimos quais vetores de Killing vamos

usar, e logo mostramos como se vˆe a forma canˆonica de Cartan no caso de uma variedade

interna correspondo a um grupo G, e mostramos como n˜ao ´e poss´ıvel fazer uma redu¸c˜ao de

Legendre sobre uma variedade interna deste tipo. Na seguinte se¸c˜ao, consideramos o caso de

uma variedade interna do tipo coset G/H. Come¸camos por tomar um caso simples, o coset

SO(3)/SO(2) ou S

, e mostramos como as mesmas barreiras `a redu¸c˜ao de Legendre surgem

neste caso tamb´em. Ap´os termos derivado umas identidades gerais, terminamos por propor

a forma de Cartan reduzida para cosets do tipo SO ou SU (e, impl´ıcitamente, outros cosets

tamb´em).

4.1 Simetrias Adicionais e Vetores de Killing

Para um grupo, em geral, o fato de que uma m´etrica de um grupo ´e biinvariante j´a indica

que tem (pelo menos) dois conjuntos de vetores de Killing que comutam entre si: os do lado

direito e do lado esquerdo [49]. Desta forma, os grupos de isometria do lado esquerdo e do

lado direito s˜ao (pelo menos) G × G. Para os nossos ﬁns, vamos escolher os vetores do lado

direito para gerar o grupo sob considera¸c˜ao.

O caso de um coset G/H ´e um pouco diferente [49, 50], pois a m´etrica n˜ao ´e mais biin-

variante. Podemos escolher os geradores da a¸c˜ao esquerda, como anteriormente, sobre que a

m´etrica ´e invariante. O grupo de isometria direito, n˜ao obstante, ´e o grupo K = N

(H)|H,

onde N

(H) ´e o normalizador do grupo H em G. Esta vez, as isometrias do espa¸co s˜ao (pelo

menos) G × K. Estas isometrias tˆem que ser modiﬁcadas em dois casos: nos casos onde um

vetor gerando a a¸c˜ao esquerda coincide com um vetor gerando a a¸c˜ao direita (que coincidem

com fatores U(1) no grupo G); e nos casos onde G/H pode ser descrito por mais do que uma

maneira, por exemplo S

: SO(5)/SO(3) ≈ SU (4)/SU(3) ≈ SO(7)/G

≈ SO(8)/SO(7). O

grupo K surge naturalmente como o grupo de gauge quando considera-se gravita¸c˜ao [49].

Em fazer uma redu¸c˜ao dimensional sobre um grupo ou um coset, ´e conveniente escolher

ent˜ao os geradores da a¸c˜ao esquerda.

4.2 Redu¸c˜ao Dimensional Sobre Variedades de Grupos

Vamos considerar um grupo externo com vetores de Killing X

. Podemos considerar, como an-

teriormente, simetrias internas sob as quais queremos reduzir, para que os vetores de simetria

se tornem X

∂

∂x

+ X

∂

∂φ

. Por exemplo, um grupo interno

δφ

= ε

∂

∂φ

= ε

(−T

φ)

∂

∂φ

com as mesmas coeﬁcientes de Lie satisfaria as nossas condi¸c˜oes, j´a que

[−T

∂

∂φ

, −T

∂

∂φ

] = −[T

, T

]

∂

∂φ

Nesta se¸c˜ao, vamos nos servir da seguinte nota¸c˜ao:

Θ(



) = Θ(X

, . . . , X

p−1

, X

p+1

, . . . , X

) .

Para os geradores de simetria, os X

devem satisfazer

Θ = 0 ,

e, como os vetores de Killing formam um grupo, eles devem tamb´em satisfazer

= C

p,q

Como no caso anterior, vamos supor que a forma de Cartan reduzida assuma a forma de

(3.3.1), onde requeremos que

d(¯s

)

∗

Θ(X

, X

, . . . , X

) = 0 , (4.2.1)

e a nossa pergunta ´e: quais condi¸c˜oes temos que exigir para que equa¸c˜ao (4.2.1) seja satisfeita?

Come¸camos impor esta condi¸c˜ao por explicitar d



Θ(X

, X

, . . . , X

)



como:



Θ(X

, X

, . . . , X

)





p=n

(−1)

p−n

Θ(



)

+(−1)

(dΘ)(X

, . . . , X

) ; (4.2.2)

as derivadas de Lie que aparecem no primeiro termo s˜ao dadas por

Θ(



) = Θ(C

p,1

, . . . ,



, . . .) + Θ(C

p,1

, . . . ,



, . . .) + . . .



q=1

p,q

Θ(



) + C

p,q

(−1)

p−q−1

Θ(



) ,

e podemos substitu´ı-las em (4.2.2).

Assim o v´ınculo (4.2.1), multiplicado pelo fator comum (−1)

torna-se

0 = (−1)

(¯s

)

∗



Θ(X

, X

, . . . , X

)



= (¯s

)

∗



(dΘ)(X

, . . . , X

)



p=1

2(−1)

Θ(



)



q=1

p,q





Evidentemente, se impomos a seguinte condi¸c˜ao:



q=1

p,q

= Tr[ad(T

)] = 0 , (4.2.3)

onde introduzimos a representa¸c˜ao adjunta, podemos simpliﬁcar a condi¸c˜ao original, (4.2.1).

Esta condi¸c˜ao, que aparece em [38] ´e uma condi¸c˜ao satisfeita para todas as ´algebras de Lie

semi-simples e para muitas ´algebras al´em destas, mas exclui v´arias possibilidades ex´oticas.

Grupos satisfazendo esta condi¸c˜ao chamam-se grupos unimodulares [49]. Deste momento para

a frente, vamos assumir que o grupo sob considera¸c˜ao seja unimodular.

Utilizando a nossa regra de decomposi¸c˜ao (3.2.6) para os X

, a condi¸c˜ao (4.2.3) torna-se

0 = (¯s

)

∗

[(dΘ)(¯s

∗

+ v

, . . . , ¯s

∗

+ v

)] . (4.2.4)

Expandindo esta express˜ao mostra que v´arios termos s˜ao identicamente zero. Por exemplo,

um termo que tem a forma

(¯s

)

∗

[(dΘ)(¯s

∗

, . . . , ¯s

∗

)] = [(¯s

)

∗

(dΘ)](X

, . . . , X

)

= 0 ,

´e zero pela equa¸c˜ao (2.2.10). Do mesmo modo, qualquer termo com exatamente um v

´e zero

pelas equa¸c˜oes de movimento:

(¯s

)

∗

[(dΘ)(v

, ¯s

∗

, . . . , ¯s

∗

) = (¯s

)

∗

[dΘ(v

)](X

, . . . , X

)

= 0 .

Da forma de dΘ, (2.2.10), e visto que n˜ao aparecem termos ∂/∂x

nos v

, vemos que qualquer

termo com trˆes ou mais v

deve ser exatamente zero tamb´em.

N˜ao obstante, todos os termos da forma

(¯s

)

∗

[(dΘ)(¯s

∗

, . . . , ¯s

∗

i−1

, v

, ¯s

∗

i+1

, . . . , ¯s

∗

j−1

, v

, ¯s

∗

j+1

, . . .)]

= (−1)

i+j+1



(¯s

)

∗



(dΘ)(v

, v

)



(



) ,

com exatamente dois v

’s permanecem, exatamente como no caso anterior.

Resumindo, podemos satisfazer a condi¸c˜ao (4.2.1) se exigimos que

1. O grupo seja unimodular.

2. Todos os v

= 0, com a possibilidade eventual de um v

= 0 (mas veja abaixo).

Se estas condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas, podemos deduzir a “energia”, que toma a seguinte forma:



(¯s

)

∗



Θ(X

, . . . , X

)





(¯s

)

∗



Θ(¯s

∗

+ v

, . . . , ¯s

∗

+ v

)



. (4.2.5)

Dizemos “eventual” acima pela seguinte raz˜ao: n˜ao ´e poss´ıvel deﬁnir todos os v

zero

menos um: se, por exemplo (no caso sem X

) X

∂

∂x

= 0 para i = 1, . . . , n − 1 isto j´a

implica que X

∂

∂x

= 0 pelas mesmas identidades de Lie.

Este ´ultimo resultado ´e interessante (embora um pouco decepcionante): aparentemente

n˜ao ´e poss´ıvel fazer redu¸c˜oes do tipo Legendre sobre variedades de grupos, sen˜ao somente

sobre variedades que correspondem com os fatores Abelianos no centro do grupo de Poincar´e.

Mesmo assim, falta veriﬁcar o mesmo para espa¸cos coset.

4.3 Redu¸c˜ao Sobre Espa¸cos Coset

O nosso prop´osito nesta se¸c˜ao ´e considerar um espa¸co coset representativo (S

) e achar a

forma de Cartan que corresponde com uma redu¸c˜ao dimensional sobre ele. Vamos ver que

o mesmo mecanismo aparece como no caso anterior: um poss´ıvel v

= 0 ´e proibido pelas

identidades de Lie do grupo G.

4.3.1 Os Vetores de Killing de S

Vamos tomar um elemento g no espa¸co de SO(3) da seguinte forma: g(θ, φ, χ) = e

φT

θT

χT

onde T

, T

e T

satisfazem a ´algebra de SO(3). Os vetores invariantes do lado esquerdo, D

simplesmente s˜ao duais `as um-formas invariantes σ = g

−1

dg = σ

. De um c´alculo expl´ıcito,

acha-se que estes s˜ao dados por

= cos χdθ + cos θ sin χdφ ,

= −sin χdθ + cos θ cos χdφ ,

= −sin θdφ + dχ ,

e satisfazem as equa¸c˜oes de Maurer-Cartan dσ

∧σ

= 0. Os vetores duais, D

s˜ao

= cos χ∂

sin χ

cos θ

∂

+ tan θ sin χ∂

= −sin χ∂

cos χ

cos θ

∂

+ tan θ cos χ∂

= ∂

Os vetores invariantes do lado direito, Q

, s˜ao os duais das um-formas dg g

−1

, e s˜ao dados

por

= cos φ∂

+ tan θ sin φ∂

sin φ

cos θ

∂

= ∂

= −sin φ∂

+ tan θ cos φ∂

cos φ

cos θ

∂

Neste espa¸co, podemos usar a representa¸c˜ao adjunta para deﬁnir uma m´etrica. Esta

m´etrica ´e dada pela express˜ao σ

⊗ σ

+ σ

⊗ σ

+ σ

⊗ σ

, ou simplesmente η

⊗ dx

com η

= diag(1, 1, 1) e x = {θ, φ, χ}. Da constru¸c˜ao, sabe-se que £

η = 0. Mas, pode-se

mostrar que £

η = 0 tamb´em, pois a m´etrica ´e biinvariante.

Vamos escolher uma se¸c˜ao onde χ ´e uma constante, π : (θ, φ, χ) → (θ, φ, 0). Assim,

= σ



χ=0

, etc. e calculamos e

= dθ, e

= cos θdφ e e

= −sin θdφ onde e

e e

formam

um “covariant frame” em G/H e onde e

´e a H−conex˜ao. A proje¸c˜ao π

∗

≡ K

d´a

= cos φ∂

+ tan θ sin φ∂

= ∂

= −sin θ∂

+ tan θ cos φ∂

, (4.3.1)

e estes satisfazem as identidades de Lie de SO(3).

Os trˆes vetores de Killing deﬁnidos sobre uma superf´ıcie de somente duas dimens˜oes devem

satisfazer uma rela¸c˜ao linear. Come¸camos por fazer a seguinte observa¸c˜ao: de dx

∧ ω = 0,

pode-se deduzir que

0 = (dx

∧ ω)(∂

, ∂

)

= δ

ω(∂

) − δ

ω(∂

) + dx

∧ ω(∂

, ∂

) .

Multiplicando isto por ×K

e tomando o produto interno K

, e multiplicando o resultado

por ×∂

nos d´a

0 = ω(K

, K

+ ω(K

, K

+ ω(K

, K

, (4.3.2)

o que vale no nosso caso particular onde K

= K

, K

= K

e K

= K

. Na verdade, esta

equa¸c˜ao vale tamb´em quando, por exemplo, K

= p, K

= K

e K

= K

0 = ω(p, K

+ ω(K

, K

)p + ω(K

, p)K

, (4.3.3)

para um vetor p qualquer.

Assim, tomando ω(eq. 4.3.3) tamb´em temos a seguinte rela¸c˜ao:

0 = ω(p, K

)ω(K

) − ω(p, K

)ω(K

) + ω(K

, K

)ω(p) . (4.3.4)

4.3.2 O Caso S

= SO(3)/SO(2)

Este coset tem como os vetores de Killing os trˆes vetores em (4.3.1) que satisfazem a ´algebra

de Lie de SO(3). Mas observa-se tamb´em que o ansatz para a forma de Cartan reduzida

para grupos, equa¸c˜ao (3.3.1), n˜ao serviria neste caso simplesmente porque o produto interno

de trˆes vetores de Killing com um espa¸co com apenas duas dimens˜oes, S

, daria exatamente

zero.

A forma das identidades (4.3.2) e (4.3.3) ´e a inspira¸c˜ao do nosso ansatz para a forma de

Cartan:

Θ(X

, X

) + Θ(X

, X

) + Θ(X

, X

) . (4.3.5)

onde vamos escrever a parte da m´etrica correspondendo ao espa¸co S

, V

, simplesmente

como V do espa¸co inteiro nesta se¸c˜ao, onde n˜ao deveria haver confus˜ao. E, como nos casos

anteriores, queremos ver sob quais condi¸c˜oes (¯s

)

∗

d(eq. 4.3.5)= 0.

Tomando (¯s

)

∗

d de equa¸c˜ao (4.3.5) temos

(¯s

)

∗



Θ(X

, X

)V (X

, X

) + (1 → 1, 2 → 3) + (1 → 2, 2 → 3)



= (¯s

)

∗



V (X

, X

)



(dΘ)(X

, X

) − (£

Θ)(X

) + (£

Θ)(X

) + Θ(£

)



+Θ(X

, X

) ∧ ((dV )(X

, X

) − (£

V )(X

) + (£

V )(X

) + V (£

))

+(1 → 1, 2 → 3) + (1 → 2, 2 → 3)]

= (¯s

)

∗



V (X

, X

)



(dΘ)(X

, X

) + Θ(£

)



+Θ(X

, X

) ∧ (V (£

)) + (1 → 1, 2 → 3) + (1 → 2, 2 → 3)



onde, na ´ultima express˜ao, usamos o fato que os vetores X

s˜ao geradores de simetria (£

Θ =

0), dV = 0 e equa¸c˜ao (3.2.3) para simpliﬁcar o resultado.

Inserindo £

= X

, etc., este se torna:

(¯s

)

∗



V (X

, X

)(dΘ)(X

, X

) + (1 → 1, 2 → 3) + (1 → 2, 2 → 3)

√

gΘ



−ω(X

, X

− ω(X

, X

− ω(X

, X



−

√



Θ(X

, X

) ∧ ω(X

) + Θ(X

, X

) ∧ ω(X

) + Θ(X

, X

) ∧ ω(X

)



A primeira linha, ap´os termos usado as equa¸c˜oes de movimento (2.2.9) e a identidade

(2.2.10), ´e reduzida a

(primeira linha) = (¯s

)

∗



(dΘ)(v

, v

)



V (X

, X

) + (¯s

)

∗



(dΘ)(v

, v

)



V (X

, X

)

+(¯s

)

∗



(dΘ)(v

, v

)



V (X

, X

) .

A segunda linha, usando a nossa decomposi¸c˜ao, equa¸c˜ao (3.2.6), e equa¸c˜ao (3.2.10):

(segunda linha) = (−

√

g)Lω (ω(X

, X

+ ω(X

, X

+ ω(X

, X

)

+(−

√

g)p

ω(∂

)



ω(X

, X

+ ω(X

, X

+ ω(X

, X



= 0 ,

onde simpliﬁcamos as express˜oes em colchetes pelo uso de equa¸c˜oes (4.3.2) e (4.3.3).

Ao notar que Θ(v

, v

) = 0, somente alguns termos v˜ao sobrar na terceira linha. Assim,

(¯s

)

∗

[Θ(X

, X

)] toma a forma Lω(X

, X

)−p

ω(p

, X

)+p

ω(p

, X

) onde deﬁnimos:

≡ v

∂

, etc.. Ent˜ao, a terceira linha ﬁca

(terceira linha) = (−

√

g) [Lω (ω(X

, X

+ ω(X

, X

+ ω(X

, X

)

+ (ω(p

, X

)ω(X

) − ω(p

, X

)ω(X

) + (1 → 2, 2 → 3, 3 → 1) + (1 → 3, 2 → 1, 3 → 2))]

= (−

√

g)p

ω(∂

)



ω(X

, X

) − v

ω(X

, X

) + v

ω(X

, X

)



onde a primeira linha acima ´e zero por (4.3.2) e (4.3.3), e onde reescrevemos a segunda linha

acima usando (4.3.4).

Ent˜ao, somando os resultados acima, podemos reescrever a condi¸c˜ao (¯s

)

∗

d(eq. 4.3.5)= 0

da seguinte maneira:

(¯s

)

∗



(dΘ)(v

, v

)



V (X

, X

) + (¯s

)

∗



(dΘ)(v

, v

)



V (X

, X

)

+(¯s

)

∗



(dΘ)(v

, v

)



V (X

, X

)

+(−

√

g)p

ω(∂

)



ω(X

, X

) − v

ω(X

, X

) + v

ω(X

, X

)



Desta toma, podemos concluir que a redu¸c˜ao funciona quando todos os v

= 0.

Notamos que ´e poss´ıvel fazer redu¸c˜ao sobre somente um dos vetores de Killing de S

mas n˜ao fazer redu¸c˜ao sobre os outros dois vetores de Killing. A variedade sobrando ´e,

por exemplo, um c´ırculo sobre que temos uma a¸c˜ao reduzida. A invariˆancia sobre o vetor

original nos deixa, por exemplo, relacionar a integral sobre um c´ırculo θ = π/2 ao c´ırculo

φ = π/2, 3π/2. Temos tentado, por exemplo, relacionar a¸c˜oes sobre a m´etrica (1, −1, −1, −1)

com a m´etrica (−1, −1, −1, −1) usando este formalismo, mas a interpreta¸c˜ao disto ´e um pouco

dif´ıcil decifrar.

4.3.3 Uma Identidade

Precisamos de uma generaliza¸c˜ao de (4.3.2) para o caso geral. Vamos considerar a quantidade

2! (g

−1

)

−1

)

onde g ´e um elemento na representa¸c˜ao adjunta do grupo SO(3). Obviamente, neste caso,

−1

= g

, e se quadramos a express˜ao acima obtemos

dim SO(3)



i,j=1



2! (g

−1

)

−1

)



dim SO(3)



i,j=1



2! (g

−1

)

−1

)



2! g



2! I

= 1 . (4.3.6)

Por outro lado, escrevendo Q

para os vetores invariantes do lado direito do grupo SO(3),

para os vetores invariantes do lado esquerdo, e σ

para as um-formas de Cartan invariantes

do lado esquerdo (σ

) = δ

), e sabendo que

i,g

= R

g∗

i,e

= R

g∗

◦ L

−1

g∗

i,g

= (g

−1

)

j,g

(onde abreviamos (Ad g

−1

)

j,g

por (g

−1

)

j,g

) podemos escrever g

−1

em termos de σ

atuando sobre Q:

) = (g

−1

)

Desta forma, a identidade (4.3.6) pode ser escrita como

1 =



(σ

∧ σ

)(Q

, Q

)



Podemos generalizar este resultado um pouco para um grupo SO qualquer. Neste caso,

1 =

dim G



,...,i



(σ

∧ σ

∧ . . . ∧σ

)(Q

, Q

, . . . , Q

)



onde a pode ter um valor 1, . . . , dim G.

E f´acil generalizar estes resultados para espa¸cos do tipo coset G/H, onde o grupo sob

considera¸c˜ao e a sua representa¸c˜ao adjunta ´e o grupo G, um grupo do tipo SO. Projetando

do ﬁbrado G para a variedade G/H, e

(π

∗

) ´e δ

se o ´ındice i corresponde a um gerador

em G/H. Deﬁnindo K

= π

∗

, temos

) = (g

−1

)

tamb´em. Desta forma,

1 =

dim G



,...,i



∧ e

∧ . . . ∧e

)(K

, K

, . . . , K

)



dim G



,...,i

[V (K

, K

, . . . , K

)]

, (4.3.7)

quando G ´e um grupo do tipo SO, e onde a pode ser 1, . . . , dim(G/H). No caso de SO(3)/SO(2),

e tomando a = 2, esta rela¸c˜ao diz que

1 = [V (K

, K

)]

+ [V (K

, K

)]

+ [V (K

, K

)]

e a sua derivada simplesmente d´a a express˜ao (4.3.2).

Se G fosse, por exemplo, um grupo do tipo SU , onde g

−1

= g

†

, ter´ıamos que tomar

1 =

dim G



,...,i

[V (K

, K

, . . . , K

)] [V (K

, K

, . . . , K

)]

∗

4.3.4 O Caso Geral

Podemos especular ou melhor postular a forma da forma de Cartan reduzida para um coset

G/H quando o grupo G ´e um grupo do tipo SO. Vamos assumir que todos os v’s deveriam

ser nulos. Vamos tamb´em assumir, como no caso anterior de S

, que a Lagrangiana reduzida

seja

red

dim G



,...,i

Θ(X

, . . . , X

)V (X

, . . . , X

) , (4.3.8)

onde X

= (¯s

)

∗

, etc. para que

red

= (¯s

)

∗

red

dim G



,...,i



(¯s

)

∗



, . . . , X

)V (X

, . . . , X

)

dim G



,...,i

Lω

√

[V (X

, . . . , X

)]

= (

√

L)ω

onde usamos equa¸c˜ao (2.2.8) e equa¸c˜ao (4.3.7), e onde a forma ω

´e a forma de volume sobre

a variedade interna M. Este resultado concorda com os resultados anteriores: quando faz-se

uma redu¸c˜ao com todos os v’s nulos, a Lagrangiana reduzida simplesmente ´e a Lagrangiana

da teoria original.

Da mesma forma, quando o coset tem a forma G/H com um grupo G um grupo do tipo

SU, simplesmente ter´ıamos que substituir V (X

, . . . , X

) em (4.3.8) por [V (X

, . . . , X

)]

∗

4.4 Conclus˜oes

Estendemos os resultados do cap´ıtulo anterior aos casos onde a variedade interna ´e um grupo

ou um coset. No caso de um grupo G, fazendo um ansatz para a forma de Cartan nos deu

o resultado que G deve ser unimodular, al´em de requerer que todos os v’s sejam zero, assim

excluindo a possibilidade de redu¸c˜ao de Legendre neste caso. Redu¸c˜ao de Legendre tampouco

parece ser poss´ıvel no caso de uma variedade interna do tipo coset, G/H, pelo menos no caso

de S

. Notamos que ´e poss´ıvel fazer a redu¸c˜ao sobre somente um vetor de Killing no caso de,

por exemplo, S

, mas a interpreta¸c˜ao dos resultados n˜ao ﬁca muito clara. Terminamos por

encontrar uma express˜ao para a forma de Cartan reduzida para o caso de um coset geral.

5 Perspectivas Futuras

Na primeira parte da tese, mostramos como Z

cordas podem ser acomodadas em teorias

onde um grupo de gauge ´e quebrado a um grupo n˜ao-Abeliano.

Na segunda parte da tese, mostramos que redu¸c˜ao dimensional de Legendre (e Kaluza-

Klein e Scherk-Schwarz) pode ser vista em termos multi-simpl´eticos. Com o uso deste formal-

ismo, obtemos uma maneira geral de procurar poss´ıveis extens˜oes de redu¸c˜ao de Legendre.

Embora v´arios dos nossos resultados tenham sido, at´e certo ponto, negativos em termos das

poss´ıveis extens˜oes de redu¸c˜ao de Legendre (excluindo, por exemplo, se¸c˜ao 3.5.1), obtivemos

um quadro relativamente geral em que a busca de novas formas de redu¸c˜ao dimensional tem

sido bastante reduzida.

Uma das esperan¸cas iniciais dos autores de [43] era que uma teoria oﬀ-shell de N = 8

supergravidade pudesse ser obtida atrav´es de uma aplica¸c˜ao de uma redu¸c˜ao de Legendre.

N˜ao ´e ´obvio, dados os argumentos em [51, 52], se este ser´a poss´ıvel, mas ´e poss´ıvel que os

nossos resultados formem um passo intermedi´ario na prova que sim ´e poss´ıvel ou n˜ao.

Esperamos que o desenvolvimento de uma maneira de estudar os m´etodos de redu¸c˜ao

dimensional em termos de formas de Cartan, etc. tamb´em facilite o estudo da rela¸c˜ao entre

redu¸c˜ao dimensional e dualidade e (co)homologia, onde ´e inconveniente considerar a teoria

reduzida como uma teoria efetiva ap´os tomar os modos zero da teoria inicial. Fora disto, ´e

bastante f´acil generalizar o nosso m´etodo a redu¸c˜ao dimensional em teorias com derivadas

altas dos campos, um ponto que ﬁca para futura pesquisa.

V´arias considera¸c˜oes ﬁcam para pesquisa futura, como a pergunta sobre o que acontece

quando se aplica o mecanismo de se¸c˜ao 3.5.1 ao caso supersim´etrico, e o que acontece no

caso de redu¸c˜ao sobre somente um vetor de Killing na se¸c˜ao 4.3.2. Fora destes pontos, a

omiss˜ao maior aqui tem sido a possibilidade da inclus˜ao de um termo topol´ogico ∆ associado

a um vetor de Killing em (3.2.1). N˜ao sabemos ao certo se este tenha recebido muita aten¸c˜ao

na literatura (fora de teorias de gauge), mas do nosso ponto de vista, seria a extens˜ao mais

interessante das formas de redu¸c˜ao dimensional que aparecem aqui, sobretudo em combina¸c˜ao

com uma redu¸c˜ao do tipo Legendre. Esperamos poder investigar estes pontos em trabalho

futuro.

A Conven¸c˜oes e Identidades

Uteis

O nosso laborat´orio nesta obra tanto para as cordas BPS quanto para redu¸c˜ao dimensional

´e freq

uentemente supersimetria r´ıgida estendida N = 2. Assim ser´a conveniente deﬁnir a

nota¸c˜ao dos pseudoespinores que vamos utilizar. Inclu´ımos tamb´em algumas identidades

geom´etricas.

A m´etrica que usamos nesta obra ´e (+, −, −, −, . . .).

A.1 Nota¸c˜ao de Espinores

Dados dois espinores χ e ψ, consideramos as seguintes conven¸c˜oes [54]: (χψ)

= −ψ

(χψ)

†

= +ψ

†

e (χψ)

∗

= −χ

∗

. Em D = s + t dimens˜oes com s dimens˜oes do tipo

espa¸co e t do tipo tempo, os elementos γ

da ´algebra de Cliﬀord, com os 2

[D/2]

elemen-

tos 1, γ

, γ

µν

, γ

µνρ

, . . . (onde deﬁnimos γ

µν

[γ

, γ

], γ

µνρ

[µ

ρ]

, σ

µν

≡ iγ

µν

, e

= γ

= 1, etc.) satisfazem as seguintes rela¸c˜oes:

µ†

= −(−1)

Aγ

−1

, γ

µT

= −η(−1)

Cγ

−1

, γ

µ∗

= ηBγ

−1

C = B

A, B

= B ,

onde η,  s˜ao constantes determinadas pelo n´umero de dimens˜oes do tipo tempo e do tipo

espa¸co:

 = cos

s − t

π − η sin

s − t

π ,

note que para s = 3, t = 1 temos ε = −η. A matriz γ

D+1

´e deﬁnida como

D+1

= (−1)

(s−t)/4

. . . γ

s=3,t=1

−→ γ

= iγ

. . . γ

Onde podem-se veriﬁcar as seguintes rela¸c˜oes das deﬁni¸c˜oes acima:

∗

= η

BAB

−1

, A

= η

−1

, A

−1

= (−1)

t(t−1)/2

A, C

= η

(−1)

t(t−1)/2

C ,

D+1

= 1, γ

†

D+1

= γ

D+1

= (−1)

Aγ

D+1

−1

, γ

∗

D+1

= (−1)

(s−t)/2

Bγ

D+1

−1

, γ

D+1

= (−1)

D/2

Cγ

D+1

−1

No caso s = 3, t = 1 vamos tomar as matrizes de γ da seguinte forma:



0 1

1 0





0 σ

−σ



= iγ

= i



−i 0

0 i



onde a nossa γ

difere com a matriz γ

de [7] por uma constante, i. As matrizes A, B e C

podemos tomar como

, no caso  = 1, η = −1:

A = γ

B = iγ

C = iγ

= −C

. (A.1.1)

Assim, B = B

−1



0 ε

−ε 0



e C = −C

−1



ε 0

0 −ε



O C

de [7] ´e o nosso C

−1

= −C.

Se deﬁnimos a conjuga¸c˜ao de carga como

= B

−1

∗

= −C

−1

= C

= ψ , (A.1.2)

ent˜ao um espinor de Majorana satisfaz

= ψ . (A.1.3)

Se usamos estas deﬁni¸c˜oes para os geradores Q

da ´algebra de supersimetria de N = 2,

obteremos uma simetria interna do tipo O(2), enquanto a simetria m´axima que pode ser

representada deveria ser SU(2) [7].

E poss´ıvel realizar esta simetria pelo uso de espinores

de Majorana do tipo SU (2) al´em de espinores complexos. Neste caso, podemos deﬁnir o

conjugado de um espinor como ζ

= Θ



−1

∗

, onde Θ

´e uma matriz constante, e onde

i = 1, 2. Se queremos que ζ

= ζ

, ent˜ao vˆe-se que requeremos que ΘΘ

∗

=  · 1, onde B



B



. Para poder representar o grupo SU(2), tomamos os ´ındices acima como representa¸c˜oes

que transformam-se como o complexo conjugado das representa¸c˜oes com os ´ındices abaixo (ζ

transforma-se como a representa¸c˜ao





e ζ

como a representa¸c˜ao



−



de SU(2)). Podemos

formar invariantes sobre este espa¸co pelo uso do tensor invariante

ε, por exemplo, ζ

(Note que podemos tomar o determinante da m´etrica g para o grupo SU(2) como um, assim

que ε

= det g ε

= ε

). Se tomamos Θ como uma constante vezes −iε (onde inclu´ımos

um fator −i para conveniˆencia), ent˜ao requeremos que  para a ´algebra de Cliﬀord seja −1.

A maneira mas f´acil para realizar isto ´e por tomar



= A B



= Bγ



= γ

C = −iγ

para que C



= B



e B



= −B



. Com estas conven¸c˜oes o conjugado toma a forma

= −iε

−1

∗

= −iε

= −ε

= ζ

, (A.1.4)

e os espinores tipo pseudomajorana satisfazem

= ζ

. (A.1.6)

Temos a seguinte nota¸c˜ao:

≡

, η

= ε

, etc.

Em geral, ´e bastante f´acil veriﬁcar que (¯η

Mζ

)

= −

−1

Cγ

, onde M ´e uma

matriz 4 × 4. Deste jeito veriﬁcamos que para espinores do tipo pseudomajorana,

¯η

= −

¯η

= −

¯η

µν

¯η

µνρ

¯η

= −

¯η

µν

onde γ

µνρ

pode ser escrito como γ

µνρ

= i

αµνρ

Chamam-se SU (2) Majorana pelo seguinte: se ψ



= t

, onde t ´e uma matriz unit´aria, ent˜ao para que

= ε



−1

∗

continue sendo v´alido, requeremos que tεt

= ε, o que ´e a condi¸c˜ao para o grupo USp(2n, C)

onde SU(2) ∼ U Sp(2).

Infelizmente, esta deﬁni¸c˜ao para a conjuga¸c˜ao de carga modiﬁcaria (A.1.2)

= B



−1

∗

= γ

−1

∗

= −iγ

= −ψ (A.1.5)

ou seja, seria dif´ıcil deﬁnir um espinor de Majorana deste jeito.

Qualquer matriz 4 × 4 M pode ser decomposta como

M =



T r(M)1 +

T r(Mγ

)γ

T r(Mγ

νµ

)γ

µν

T r(Mγ

µνρ

)γ

ρνµ

+ . . .



E a seguinte decomposi¸c˜ao de ζ

¯η

´e ´util em fazer as contas:

iβ

= −



(

αβ

(

)(γ

)

αβ

(

µν

)(γ

µν

)

αβ

(

µνρ

)(γ

ρνµ

)

αβ

+ (

)(γ

)

αβ





(¯η

αβ

(¯η

)(γ

)

αβ

−

(¯η

µν

)(γ

µν

)

αβ

−

(¯η

µνρ

)(γ

ρνµ

)

αβ

+ (¯η

)(γ

)

αβ



, (A.1.7)

onde podemos reescrever −

(¯η

µνρ

)(γ

ρνµ

)

αβ

= (¯η

)(γ

)

αβ

E poss´ıvel deﬁnir pseudoespinores ζ

(i = 1, 2) do tipo SU(2) Majorana a partir de es-

pinores de Majorana, ψ

do seguinte jeito:

= −iε



1 + γ





1 − γ



se ψ

satisfazem as condi¸c˜oes de Majorana, ent˜ao ζ

automaticamente satisfazem (A.1.6). Em

termos de dois componentes, isto ﬁca



−iε

αj

˙αi



= (ζ

, iε

˙α

) . (A.1.8)

Em fazer as contas, a seguinte rela¸c˜ao resulta ser ´util para fechar a ´algebra de supersimetria

sobre os campos fermiˆonicos:

. (A.1.9)

A.2 Variedades Riemaniannas

Vamos supor uma conex˜ao compat´ıvel com a m´etrica: g

µν;σ

= 0, mas onde a tor¸c˜ao n˜ao seja

necessariamente nula, incluindo, por exemplo, a teoria de gravita¸c˜ao de Einstein-Cartan, mas

excluindo a teoria de Weyl [55].

Deﬁnimos a conex˜ao ω

como [56] ω

≡ Γ

µν

. A derivada covariante, D, atuando,

por exemplo, sobre α

´e dada por Dα

= (∇

)dx

= dα

+ ω

− ω

, e ∇

∂

µν

∂

e ∇

= −Γ

µκ

A curvatura, Ω

´e dada por Ω

= dω

+ ω

∧ ω

, onde Ω

νρµ

∧ dx

onde R

µνρ

= −R

µρν

. A primeira identidade de Bianchi tem a forma

µνρ

+ R

νρµ

+ R

ρµν

= Q

νρ;µ

+ Q

ρµ;ν

+ Q

µν;ρ

+ Q

µν

σρ

+ Q

νρ

σµ

+ Q

ρµ

σν

A tor¸c˜ao Θ

µν

∧ dx

satisfaz Θ

= ddx

+ ω

∧ dx

= ω

∧ θ

= Γ

νρ

∧

= Γ

[νρ]

⊗ dx

Reescrevendo equa¸c˜ao (3.2.2), achamos que

µν

= X

µ;ν

+ X

ν;µ

+ X

νµρ

+ Q

µνρ

) . (A.2.1)

Vamos usar as seguintes identidades:

;µ;ν

− X

;ν;µ

= −X

ρµν

+ X

;ρ

µν

;µ;ν

− X

;µ;ν

= X

κµν

+ X

;ρ

µν

. (A.2.2)

Vamos deﬁnir Γ ≡ Γ

µν

∂

⊗ dx

= ω

⊗ ∂

⊗ dx

. Desta forma, vemos que

(£

Γ)

= £

− (∂

)ω

+ (∂

)ω

= (dω

)(X) + d[ω

(X)] − (∂

)ω

+ (∂

)ω

= (Ω

− ω

∧ ω

) (X) + d[ω

(X)] −(∂

)ω

+ (∂

)ω

= Ω

(X) + [D(DX)]

ou simplesmente

µν

= X

µσν

+ ∇

∇

, (A.2.3)

ou £

ρκ

µν

= g

ρκ

µσν

+ g

ρκ

∇

+ Γ

µν

ρκ

= g

ρκ

µσν

+ g

ρκ

∇

µν

ρ;κ

+ X

κ;ρ

Quando a tor¸c˜ao ´e zero, podemos usar (A.2.1) para notar que ∇

σν

= ∇

σ;ν

ν;σ

) = X

σ;ν;µ

+ X

ν;σ;µ

. Por outro lado, podemos usar equa¸c˜ao (A.2.2) para escrever isto

como ∇

σν

= X

σ;µ;ν

+ X

ν;σ;µ

− X

σµν

. Assim, vemos que

µν

κσ

(∇

σν

+ ∇

σµ

− ∇

µν

) (A.2.4)

(usando equa¸c˜ao (A.2.3)).

B Campo Escalar com Background Est´atico

A t´ıtulo de ilustra¸c˜ao, neste apˆendice vamos aplicar alguns dos m´etodos elaborados em cap´ı-

tulo 2 a um caso concreto. Assim, vamos mostrar a invariˆancia da forma de Cartan, calcular

a Hamiltoniana, etc. para a seguinte teoria simples:

S[φ] =



dt dr dθ dϕ

√

−g (g

µν

∂

φ∂

φ − V (φ)) .

B.1 Estruturas Canˆonicas

Come¸camos por calcularmos os momentos:

∂L

∂φ

= 2

√

−gg

λν

∂

φ , (B.1.1)

κ ≡ ∂

∂L

∂φ

= −

√

−g

∂V

∂φ

ou, equivalentemente,

∂

φ =

√

−g

µν

A forma canˆonica θ

ent˜ao ﬁca

√

−g



−

√

−g

∂V

∂φ

dφ + 2

√

−gg

λν

∂

φdφ



⊗V

= d



λν

− V



⊗ V



≡ dL ,

onde a Lagrangiana reaparece, como deveria. Assim, ω

assume a forma:

√

−g





−

√

−g

∂V

∂φ



∧ dφ + d



√

−gg

λν

∂



∧dφ



⊗ V .

A forma canˆonica θ

correspondendo a Hamiltoniana ´e

√

−g



−

√

−g

∂V

∂φ

dφ −

√

−g

λµ



⊗ V

= −d



λν

+ V



⊗ V

≡ −d

√

−gH ⊗ V , (B.1.2)

quando calculamos ω

= dθ

achamos que ω

= ω

Podemos tamb´em calcular a forma de Cartan, que tem a seguinte express˜ao:

Θ = 2g

λν

dφ ∧ V



∂

∂x



−



λν

+ V



V . (B.1.3)

B.2 Invariˆancia de Θ Sobre os Vetores de Killing

O nosso prop´osito nesta se¸c˜ao ´e mostrar explicitamente que esta teoria ´e invariante sobre os

vetores de Killing da m´etrica. Neste c´alculo, precisamos de dois elementos: K

∂

ασ

, e a

prolonga¸c˜ao j

K = K

J´a que 0 = K

∂

(δ

) = K

∂

αγ

γβ

), sabemos que K

∂

ασ

= −g

αγ

βσ

∂

γβ

Isto sabemos de (3.2.2) que nos d´a

∂

ασ

= g

βσ

∂

+ g

αγ

∂

. (B.2.1)

Consideremos o vetor K = K

∂

. A sua prolonga¸c˜ao vˆem de (2.2.7):

= j

K = K

∂

− (∂

φ)

∂K

∂x

∂

∂(∂

φ)

= K

∂

− φ

(∂

)

∂

∂φ

Ainda falta mostrar que £

Θ = 0. O que achamos ´e que a derivada de Lie de cada termo

de Θ com respeito a K ´e zero. Vamos dividir a forma Θ em dois peda¸cos Θ ≡ 2Θ

− Θ

mostramos a invariˆancia de cada termo:

O primeiro termo:

∂

−φ

(∂

)

∂

∂φ

λν

∂

φdφ ∧ V (

∂

∂x

) =





λν

∂



dφ ∧ V (

∂

∂x

)

λν

∂

φ (d£

1 φ) ∧ V (

∂

∂x

)

λν

∂

φdφ ∧ (£

V )(

∂

∂x

)

λν

∂

φdφ ∧ V (£

∂

∂x

) .

A segunda linha ´e trivialmente zero j´a que n˜ao h´a fatores do tipo ∂/∂φ em K

. A terceira

linha ´e igualmente zero £

V = £

V = 0, pois K ´e um vetor do tipo Killing. As ´unicas

contribui¸c˜oes vˆem da primeira e ´ultima regra.

De (£

= K

∂

− U

∂

, facilmente achamos que £

∂

∂x

= −∂

∂

∂x

. Con-

hecemos tamb´em a derivada K

∂

λν

de equa¸c˜ao (B.2.1). Ent˜ao, a equa¸c˜ao acima torna-se

λν

∂

φdφ ∧ V (

∂

∂x

) =



λν

∂

+ g

νµ

∂



∂

φdφ ∧ V (

∂

∂x

)

λν



−∂

φ∂



dφ ∧ V (

∂

∂x

)

λν

∂

φdφ ∧ V (−∂

∂

∂x

)

= 0 .

Agora, o segundo termo de Θ. Temos que calcular

HV .

Mais uma vez, desde que £

V = 0, sabemos que o seguinte ´e zero

H = £



αβ

∂

φ∂

φ + V



= £

αβ

∂

φ∂

φ ,

pois K

n˜ao cont´em derivadas com respeito a ∂/∂φ, i.e. £

1 V = 0.

Utilizando equa¸c˜ao (B.2.1) novamente, isto se torna:



αµ

∂

+ g

βµ

∂



+ 2g

αβ

(−φ

∂

) = 2g

αµ

∂

− 2g

αβ

∂

= 0 .

Referˆencias

[1] D. Olive and N. Turok, “Z-2 Vortex Strings In Grand Uniﬁed Theories”, Phys. Lett. 117B

(1982) 193.

[2] M. Hindmarsh and T.W.B. Kibble, “Beads On Strings”, Phys. Rev. Lett. 55 (1985) 2398.

[3] M.A.C. Kneipp, P. Brockill, “BPS String Solutions in Non-Abelian Yang-Mills Theories

and Conﬁnement”, Phys. Rev. D64 (2001) 125012. hep-th/0104171.

[4] R. Rajaraman, “Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in

Quantum Field Theory”, North-Holland, Amsterdam, 1982.

[5] A Jaﬀe and C. Taubes, “Vortices and Monopoles”, Birkh

auser Boston, 1980.

[6] N. Seiberg and E. Witten, “Electric - magnetic duality, monopole condensation, and con-

ﬁnement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory”, Nucl. Phys. B426 (1994) 19.

[7] M.F. Sohnius, “Introducing Supersymmetry”, Phys. Rep. 128 (1985) 39-204.

[8] P. West, “Introduction to Supersymmetry and Supergravity”, World Scientiﬁc, Singapore,

1990.

[9] A. Hanany, M. J. Strassler and A. Zaﬀaroni, “Conﬁnement and strings in MQCD”,

Nucl.Phys. B513 (1998) 87; J. D. Edelstein, W. G. Fuertes, J. Mas, J. M. Guilarte,

“Phases of dual superconductivity and conﬁnement in softly broken N=2 supersymmetric

Yang-Mills theories”, Phys.Rev. D62 (2000) 65008; A. Vainshtein and A. Yung, “Type

I superconductivity upon monopole condensation in Seiberg-Witten theory”, Nucl.Phys.

B614 (2001) 3.

[10] P. Goddard and D.I. Olive, “Charge Quantization In Theories With An Adjoint Repre-

sentation Higgs Mechanism”, Nucl. Phys. B191 (1981) 511.

[11] D. Olive, “Lectures on Gauge Theories and Lie Algebras with Some Applications to

Spontaneous Symmetry Breaking and Integrable Dynamical Systems”, Univ. of Virginia

preprint, 1983.

[12] M. K. Prasad and C.M. Sommerﬁeld, “An Exact Classcal Solution for the ’t Hooft

Monopole and the Julia-Zee Dyon”, Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 760.

[13] M.A.C. Kneipp, “BPS Z

Strings, String Tensions and Conﬁnement in Non-Abelian

Theories”, CBPF-NF-39-02, UNESP2002/020, Workshop on Integrable Theories, Solitons

and Duality, S˜ao Paulo, Brasil, Jul 1-6 2002, hep-th/0211146.

[14] M.A.C. Kneipp, “Z(k) String Fluxes and Monopole Conﬁnement in Non-Abelian Theo-

ries”, Phys.Rev. D68 (2003) 045009.

[15] H.B. Nielsen and Olesen, “Vortex Line Models For Dual Strings”, Nucl. Phys. B61 (1973)

45.

[16] S. Mandelstam, “Vortices And Quark Conﬁnement In Nonabelian Gauge Theories”, Phys.

Rep. 23C (1976) 245; G. ’t Hooft, em Proceed. of Euro. Phys. Soc. 1975, ed A. Zichichi.

[17] A.A. Abrikosov, “On the Magnetic properties of superconductors of the second group”,

Sov. Phys. JETP 5 (1957) 1174.

[18] Ya.B. Zel’dovich, “Cosmological ﬂuctuations produced near a singularity”, Mon. Not. R.

Astron. Soc. 192 (1980) 663; A. Vilenkin, “Cosmological Density Fluctuations Produced

By Vacuum Strings”, Phys. Rev. Lett. 46 (1981) 1169.

[19] T.W.B. Kibble, G. Lazarides and Q. Shaﬁ, Phys. Rev. D26 (1982) 435, Phys. Lett. B113

(1982) 237.

[20] F.A. Bais, “Charge - Monopole Duality In Spontaneously Broken Gauge Theories”, Phys.

Rev. D18 (1978) 1206.

[21] P. Goddard and P. Mansﬁeld, “Topological Structures In Field Theories”, Rep. Prog.

Phys. 49 (1986) 725; Townsend“Three Lectures on Supersymmetry and Extended Objects”

13th GIFT Seminar on Theoretical Physics, Salamanca, 1992.

[22] E. B. Bogomol’nyi, Sov. Jour. Nucl. Phys. 24 (1976) 449.

[23] M.B. Hindmarsh and T.W.B. Kibble, “Cosmic strings”, Rept.Prog.Phys. 58 (1995) 477.

[24] A. Achucarro and T. Vachaspati, “Semilocal and electroweak strings”, Phys.Rept.327

(2000) 347.

[25] M. Douglas and S.H. Shenker, “Dynamics of SU(N) supersymmetric gauge theory”,

Nucl.Phys. B447 (1995) 271; P. C. Argyres and M. R. Douglas, “New phenomena in

SU(3) supersymmetric gauge theory”, Nucl.Phys. B448 (1995) 93; E. Witten, “Branes and

the dynamics of QCD”, Nucl.Phys. B507 (1997) 658; A. Hanany, M. J. Strassler and A.

Zaﬀaroni, “Conﬁnement and strings in MQCD”, Nucl.Phys. B513 (1998) 87; A. Yung,

“Vortices on the Higgs branch of the Seiberg-Witten theory”, Nucl.Phys. B562 (1999)

191; X. Hou, “Abrikosov string in N=2 supersymmetric QED”, Phys.Rev. D63 (2001)

045015; A. Gorsky, A. Vainshtein, A. Yung, “Deconﬁnement at the Argyres-Douglas point

in SU(2) gauge theory with broken N=2 supersymmetry”, Nucl.Phys. B584 (2000) 197; J.

D. Edelstein, W. G. Fuertes, J. Mas, J. M. Guilarte, “Phases of dual superconductivity and

conﬁnement in softly broken N=2 supersymmetric Yang-Mills theories”, Phys.Rev. D62

(2000) 065008; A. Vainshtein and A. Yung, “Type I superconductivity upon monopole

condensation in Seiberg-Witten theory”, Nucl.Phys. B614 (2001) 3; A Yung, “Conﬁne-

ment near Argyres-Douglas point in N=2 QCD and low-energy version of AdS / CFT

correspondence”, Nucl.Phys. B626 (2002) 207.

[26] V. Aldaya, J. A. de Azc´arraga, “Geometric Formulation of Classical Mechanics and Field

Theory”, Riv. del Nuovo Cim., v.3, (1980) p.1-66.

[27] Kijowski,“Symplectic Framework for Field Theories”, Lecture Notes in Physics, Springer-

Verlag, Berlin, 1979.

[28] T. Frankel, “The Geometry of Physics: An Introduction”, 1997, 654pp. Cambridge, UK:

Univ. Pr. (1997) 654 p.

[29] C. von Westenholz, “Diﬀerential Forms in Mathematical Physics”, North-Holland, 1981.

[30] J. A. de Azc´arraga, J. M. Izquierdo, “Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and Some

Applications in Physics”, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1995.

[31] B. Schutz, “Geometrical Methods of Mathematical Physics”, Cambridge Univ. Press,

1980.

[32] R. Abraham, J. Marsden, “Foundations of Mechanics”, W. A. Benjamin, New York, 1967.

[33] P. Chernoﬀ, J. Marsden, “Properties of Inﬁnite Dimensional Hamiltonian Systems”, Lec-

ture Notes in Mathematics 425, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

[34] R. W. R. Darling, “Diﬀerential Forms and Connections”, Cambridge Univ. Press, 1994.

[35] M. Henneaux and C. Teitelboim, “Quantization of Gauge Systems”, Princeton Univ.

Press, 1992.

[36] D. J. Hurley and M. A. Vandyck, “Geomety, Spinors and Applications”, Springer and

Praxis Publishing, Chicester, UK, 2000.

[37] D. J. Hurley and M. A. Vandyck, “Topics in Diﬀerential Geometry, A New Approach

Using D-Diﬀerentiation”, Springer and Praxis Publishing, Chicester, UK, 2002.

[38] J. Scherk and J. H. Schwarz, “How to Get Masses from Extra Dimensions,” Nucl. Phys.

B 153 (1979) 61, Phys. Lett. 82B (1979) 60, Phys. Lett. 84B (1979) 83.

[39] E. Cremmer e J. Scherk, “Dual Models in Four Dimensions With Internal Symetries”,

Nucl. Phys. B103 (1976) 399-425.

[40] J. Scherk and J. Schwarz, “Spontaneous Breaking of Supersymmetry Through Dimen-

sional Reduction”, Phys.Lett. B82 (1979) 60.

[41] V. Aldaya, J. A. de Azc´arraga, “Variational Principles on rth Order Jets of Fibre Bundles

in Field Theory”, J. Math. Phys. 19 (1978) 1869-1875.

[42] D. J. Saunders, “The Geometry of Jet Bundles”, Cambridge, 1989.

[43] M. F. Sohnius, K. S. Stelle and P. C. West, “Dimensional Reduction By Legendre Trans-

formation Generates Oﬀ-Shell Supersymmetric Yang-Mills Theories,” Nucl. Phys. B 173

(1980) 127. Sohnius, Stelle, West, “Oﬀ-Mass-Shell Formulation of Extended Supersym-

metric Gauge Theories,” Phys. Lett. 92B (1980) 123.

[44] P. Goddard, D. Olive, “Kac-Moody and Virasoro Algebras in Relation to Quantum

Physics”, Int. J. Mod. Phys. A1 (1986) p. 303-414. Tamb´em aparece em Goddard e Olive,

“Kac-Moody and Virasoro

[45] S. Coleman, J. Mandula, “All Possible Symmetries of the S Matrix”, Phys. Rev. 159

(1967) 1251.

[46] L. Michel, “Invariance in Quantum Mechanics and Group Extension”, em Group The-

oretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics, p.135-200, 1962, G

ursey

ed., Gordon and Breach Science Publishers, London.

[47] S. Weinberg, “Generalized Theories of Gravity and Supergravity in Higher Dimensions,”

UTTG-12-84, 5th Workshop on Grand Uniﬁcation, Providence, RI, Apr 12-14, 1984.

[48] M. J. Duﬀ, “Modern Kaluza-Klein Theories,” Imperial/TP/83-84/45, Kaluza-Klein

Workshop, Chalk River, Canada, Aug 11-16, 1983.Algebras, A Reprint Volume for Physi-

cists”, World Scientiﬁc, Singapore, 1988.

[49] R. Coquereaux, A. Jadcyzk, “Riemannian Geometry, Fibre Bundles, Kaluza-Klein The-

ories and All That...”, World Sci. Lecture Notes in Physics, vol. 16., 1988.

[50] L. Castellani, R. D’Auria and P. Fre, “Supergravity and superstrings: A Geometric

perspective. Vol. 1: Mathematical foundations,” World Scientiﬁc, 1991.

[51] S. J. Gates, Jr., “Superspace Formulation of New Non-Linear Sigma Models”, Nucl. Phys.

B238 (1984) 349-366.

[52] W. Siegel, “Oﬀ-Shell Central Charges”, Nucl. Phys. B173 (1980) 51-58. W. Siegel e M.

Roˇcek, “On Oﬀ-Shell Supermultiplets”, Phys. Lett. 105B (1981) 275-277.

[53] H.A. Kastrup, “Canonical Theories of Lagrangian Dynamical Systems in Physics”, Phys.

Rep. 101 (1983) 1-167.

[54] M. A. de Andrade, “Dirac Spinors in Arbitrary Dimensions,” Notas de Aula,

http://www.cbpf.br/˜dcp/papers/ .

[55] V. de Sabbata, M. Gasperini, “Introduction to Gravitation”, World Scientiﬁc, Singapore,

1985.

[56] M. Spivak, “A Comprehensive Introduction to Diﬀerential Geometry, Vol. 2”, Publish or

Perish, Inc., 1970.

As seguintes referˆencias, emboram n˜ao aparecem no texto, ainda assim tˆem sido

bastante fundamentais no desenvolvimento da primeira parte da tese, sobre cordas Z

[57] M. Aryal and A.E. Everett, “Properties Of Z(2) Strings”, Phys. Rev. D35 (1987) 3105;

2398; C-P Ma, “SO(10) cosmic strings and baryon number violation”, Phys. Rev. D48

(1993) 530.

[58] A. Yung, “What do we learn about conﬁnement from the Seiberg-Witten Theory”, hep-

th/0005088.

[59] N. Dorey, C. Fraser, T. J. Hollowood and M.A.C. Kneipp, “Non Abelian Duality in N=4

Supersymmetric Gauge Theories”, hep-th/9512116.

[60] P. Goddard and D.I. Olive, “New Developments In The Theory Of Magnetic Monopoles”,

Rep. Prog. Phys. 127 (1978) 1357.

Embora n˜ao pare¸cam no texto, as seguintes referˆencias tˆem sido ´uteis para o de-

senvolvimento da segunda parte da tese, sobre redu¸c˜ao de Legendre:

[61] D. I. Olive and P. C. West, “The N=4 Supersymmetric E(8) Gauge Theory And Coset

Space: Dimensional Reduction,” Nucl. Phys. B 217 (1983) 248.

[62] P. Forgacs and N. S. Manton, “Space-Time Symmetries In Gauge Theories,” Commun.

Math. Phys. 72 (1980) 15.

[63] G. Chapline and N. S. Manton, “The Geometrical Signiﬁcance Of Certain Higgs Poten-

tials: An Approach To Grand Uniﬁcation,” Nucl. Phys. B 184 (1981) 391.

[64] N. S. Manton, “Fermions And Parity Violation In Dimensional Reduction Schemes,”

Nucl. Phys. B 193 (1981) 502.

[65] N. S. Manton, “A New Six-Dimensional Approach To The Weinberg-Salam Model,” Nucl.

Phys. B 158 (1979) 141.

[66] J. M. Overduin and P. S. Wesson, Phys. Rept. 283 (1997) 303.

[67] E. Witten, “Some Exact Multipseudoparticle Solutions Of Classical Yang-Mills Theory,”

Phys. Rev. Lett. 38 (1977) 121.

[68] J. Scherk, “Extended Supersymmetry and Extended Supergravity Theories,” LPTENS

78/21, NATO Advanced Study Inst. on Gravitation: Recent Developments, Cargese,

France, Jul 10-29, 1978.

[69] A. Salam and J. Strathdee, “On Kaluza-Klein Theory”, Ann. of Physics, 141 (1982)

316-352.

[70] S. Hollands, “Noether charges corresponding to Killing vectors for self-interacting quan-

tum ﬁeld theories in curved spacetime,” Annalen Phys. 10 (2001) 859.

[71] P. van Nieuwenhuizen, “General Theory Of Coset Manifolds And Antisymmetric Tensors

Applied To Kaluza-Klein Supergravity,” ITP-SB-84-57, Supersymmetry and Supergravity

’84, Trieste, 1984.

[72] M. Spivak, “A Comprehensive Introduction to Diﬀerential Geometry, Vol. 1”, Publish or

Perish, Inc., 1970.

[73] F. Gieres, “Geometry of Supersymmetric Gauge Theories”, Lecture Notes in Physics 302,

Springer-Verlag, Berlin, 1988.

[74] Robert M. Wald, “General Relativity”, Chicago University Press, Chicago, 1984.

[75] S. Kobashi, K. Nomizu, “Foundations of Diﬀerential Geometry, Vol. 1”, Interscience

Publishers, New York, 1963.

[76] S. Kobashi, K. Nomizu, “Foundations of Diﬀerential Geometry, Vol. 2”, Interscience

Publishers, New York, 1969.

[77] K. Nomizu, “Invariant Aﬃne Connections on Homogeneous Spaces”, Amer. J. Math. 76

(1954), 33.

[78] M. Nakahara, “Geometry, Topology and Physics”, IOP Publishing Ltd, Philadelphia,

1990.

[79] A. Lichnerowicz, “Geometry of Groups of Transformations”, Noordhoﬀ Publishing, Ley-

den, the Netherlands, 1977.

[80] G. Vilasi, “Hamiltonian Dynamics”, World Scientiﬁc, 1998.

[81] Y. Choquet-Bruhat, C. DeWitt-Morette, “Analysis, Manifolds and Physics, Part II: 92

Applications”, North-Holland, 1989.

[82] M. Quir´os, “New Ideas in Symmetry Breaking”, hep-ph/0302189.

[83] C. Biggio, “Symmetry Breaking in Extra Dimensions”, hep-ph/0312209.

[84] E. Cremmer, J. Scherk, J. Schwarz, “Spontaneously Broken N = 8 Supergravity”,

Phys.Lett. B84 (1979) 83.

[85] J. Gheerardyn, “Aspects of On-Shell Supersymmetry”, hep-th/0411126.

[86] J. Wess and J. Bagger, “Supersymmetry and Supergravity”, 2nd Ed., Princeton, 1992.

[87] H. Flanders, “Diﬀerential Forms with Applications to the Physical Sciences”, Academic

Press, NY, London, 1963.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 