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ADRIANO VICTOR LOPES DA SILVA
ALTERNATIVAS E COMPARAÇÕES DE MODELOS LINEARES PARA
ESTIMAÇÃO DA BIOMASSA VERDE DE Bambusa vulgaris
NA EXISTÊNCIA DE MULTICOLINEARIDADE
RECIFE-PE – Fevereiro /2008.
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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM BIOMETRIA E ESTATÍSTICA APLICADA
ALTERNATIVAS E COMPARAÇÕES DE MODELOS LINEARES PARA
ESTIMAÇÃO DA BIOMASSA VERDE DE Bambusa vulgaris
NA EXISTÊNCIA DE MULTICOLINEARIDADE
Dissertação apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em
Biometria e Estatística Aplicada como
exigência parcial à obtenção do título de
Mestre.
Área de Concentração:
Modelagem Estatística e Computacional
(com ênfase nas áreas agrárias,
biológicas e humanas).
Orientador: Prof. Dr. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Co-orientador: Prof. Phd. José Antônio Aleixo da Silva
RECIFE-PE – Fevereiro/2008
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iii
Dedicatória
Dedico este trabalho aos meus pais:
Janildo Lopes da Silva e Maria de
Lourdes Lopes da Silva.
iv
Agradecimentos
A Deus, pelo dom da vida;
Aos professores do programa de pós-graduação em biometria;
A meus pais, irmã, avó e tios pelo estímulo e apoio incondicional;
À UFRPE, pela valiosa acolhida no treinamento em nível de pós-graduação;
A CAPES, que fez possível a conclusão deste trabalho;
Ao meu orientador, pelo apoio e esclarecimento;
Ao Prof. Dr. José Antônio Aleixo, pela valiosa e acertada orientação
acadêmica;
À Agrimex na pessoa do engenheiro florestal Hugo Gutiérrez, que ofereceu
seus plantios artificiais de bambu na tomada dos dados necessários para a
execução deste trabalho.
Aos amigos de curso, em especial: Rosangela Silveira, Moacy Cabral, Luiz
Henrique Gama, Vanessa Santos e Juliana Silva, pelo companheirismo e
solidariedade.
Aos amigos Abraão David, Adriana Rachel, Bárbara Magdala, Carlos Heitor,
Eduarda Gabrielle, Gustavo Arruda, Hemilio Ferdandes, Ícaro Jônatas, Juliette
Noadya, Julio Fujimaki, Leandro Tavares, Marcella Florêncio, Marcilene Nunes,
Marcos Brasil, Marcos Feitoza, Rafaella Paiva, Raul Príncipe, Robson Florêncio,
Rodrigo Simeão, Samira Nunes, Taciano Rocha, Thaise Gomes, Thiago Barreto,
pela amizade, consideração e incentivo na obtenção do sucesso.
Ao funcionário Marco Antônio, secretário do curso, e à querida amiga Zuleide,
pelos préstimos e atenção dispensados.
v
Resumo
O objetivo deste trabalho foi utilizar métodos estatísticos univariado e
multivariado na seleção de variáveis independentes, em modelos matemáticos
lineares para a estimativa da biomassa verde da haste principal do bambu, Bambusa
vulgaris, visando reduzir tempo e custo sem perda de precisão, além de empregar
alternativas para estimação na existência de multicolinearidade. Os dados foram
provenientes de um experimento conduzido pela empresa Agroindustrial Excelsior S.
A. (Agrimex) localizada no Engenho Itapirema na cidade de Goiana – PE. Foram
utilizadas 450 hastes de bambu, que tiveram sua biomassa verde quantificada
através do peso e 4 variáveis independentes medidas na mesma haste. Inicialmente,
verificou-se a existência da multicolinearidade por meio da matriz de correlação das
variáveis independentes e pelo fator de inflação da variância. Para seleção das
variáveis independentes foram utilizados os métodos: Stepwise e Retenção por K
componentes. As alternativas utilizadas foram a Regressão com os componentes
principais e Regressão Ridge. No geral, em apenas uma situação os métodos de
seleção de variáveis se comportam adequadamente na existência de
multicolinearidade entre as variáveis explicativas, exatamente o método multivariado
de retenção por K=3 componente pela matriz de covariância, modelo de Spurr. Os
métodos alternativos de estimação conduzem respostas semelhantes, mesmo que
possuindo estruturas diferentes, no entanto, a regressão com os componentes
principais obteve os melhores resultados.
Palavras-chave:. Bambu, Análise Multivariada, Regressão.
vi
Abstract
The objective of this work was to use univariate and multivariate statistical
methods on selection of independent variables, in the mathematical linear models, to
estimate the green biomass of the main bamboo rod, bambusa vulgaris, pursuing
time and cost reduction without loss of precision. The data came from an experiment
carried out for the Agroindustrial Excelsior S. A. (Agrimex) company located in the
city of Goiana – PE.Quantified by its green biomass weight,450 bamboo rods were
used and 4 independent variables measured in the rod. Initially, the effect of the
multicollinearity could be verified through the correlation matrix of the independent
variables and the varience inflation factors.To select the independent variables two
methods were used: Stepwise and K component retention. The alternatives used
were component regression and Ridge regression. In general, in only one situation
the variable selection methods behave adequately while multicollinearity is present
among the independent variables, that is the multivaried method of retention K=3
component for the covariate matrix, model of Spurr. The estimative of alternative
methods showed similar responses, however, the principal component regression
yields the best results.
Keywords: Bamboo, Multivariate analysis, Regression.
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Partes do bambu.
Figura 2. Histogramas das variáveis independentes altura, circunferência na
base da haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada
(CAB²H) e a variável dependente peso da haste (P).
Figura 3. Diagramas de dispersão das variáveis altura, circunferência na base da
haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada
(CAB²H) versus variável resposta (P).
Figura 4. Gráfico dos Resíduos para equação obtida pelo método de Stepwise.
Figura 5. Gráficos dos resíduos para equação obtida pelo método de retenção de
K=2 componentes pela matriz de covariância das variáveis explicativas.
Figura 6. Gráficos dos resíduos para equação obtida pelo método de retenção de
K=3 componentes pela matriz de covariância das variáveis explicativas.
Figura 7. Gráficos dos resíduos para equação obtida pelo método de retenção de
K=2 componentes pela matriz de correlação das variáveis explicativas.
Figura 8. Gráficos dos resíduos para equação obtida pelo método de retenção de
K=3 componentes pela matriz de correlação das variáveis explicativas.
Figura 9. Gráficos dos resíduos para equação obtida pelo método de Stepwise
para a seleção dos componentes.
Figura 10. Figura 11. Gráficos dos resíduos para a equação obtida pelo método de
Stepwise para a seleção dos componentes sem o quarto componente
(PC4).
Figura 11. Gráfico dos resíduos para equação obtida pelo método de regressão
Ridge.
viii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Análise de variância para significância de uma regressão
múltipla.
23
Tabela 2. Descrição das variáveis 30
Tabela 3. Estatísticas descritivas para todas variáveis. 34
Tabela 4. Matriz de covariância entre as variáveis explicativas. 34
Tabela 5. Matriz de correlação entre as variáveis explicativas. 34
Tabela 6. Fatores de inflação da variância para os estimadores. 35
Tabela 7. Componentes principais pela matriz de covariância. 36
Tabela 8. Componentes principais pela matriz de correlação. 37
Tabela 9. Estimativa dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
Stepwise.
38
Tabela 10. ANOVA da equação proposta pelo método de Stepwise. 38
Tabela 11. Matriz de autovetores pela matriz de covariância para retenção
por K=2 componentes.
39
Tabela 12. Estimativa dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
retenção de K=2 componentes pela matriz de covariância.
40
Tabela 13. ANOVA do modelo proposto pelo método de retenção de K=2
componentes pela matriz de covariância.
40
Tabela 14. Matriz de autovetores pela matriz de covariância para retenção
por K=3 componentes.
41
Tabela 15. Estimativa dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
retenção de K=3 componentes pela matriz de covariância.
42
Tabela 16. ANOVA do modelo proposto pelo método de retenção de K=3
componentes pela matriz de covariância.
42
Tabela 17. Matriz de autovetores pela matriz de correlação para retenção
por K=2 componentes.
43
Tabela 18. Estimativa dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
retenção de K=2 componentes pela matriz de correlação.
44
Tabela 19. ANOVA do modelo proposto pelo método de retenção de K=2
componentes pela matriz de correlação.
44
ix
Tabela 20. Matriz de autovetores pela matriz de correlação para retenção
por K=3 componentes.
45
Tabela 21. Estimativa dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
retenção de K=3 componentes pela matriz de correlação.
46
Tabela 22. ANOVA do modelo proposto pelo método de retenção de K=3
componentes pela matriz de correlação.
46
Tabela 23. Estimativas dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
Stepwise para a seleção dos componentes.
48
Tabela 24. ANOVA do modelo proposto pelo método de Stepwise para a
seleção dos componentes.
48
x
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................... 11
2 REVISÃO DE LITERATURA ................................................................. 13
2.1 Bambu ................................................................................................... 13
2.2 Propriedades e uso do bambu .............................................................. 15
2.3 Estimativa da biomassa ......................................................................... 16
2.4 Análise de Componente Principal (PCA) ............................................... 17
2.5 Análise de Regressão ........................................................................... 19
2.5.1 Teste de significância da regressão ...................................................... 21
2.5.2 Análise de Resíduo ............................................................................... 23
2.5.3 Seleção de Variáveis ............................................................................. 24
2.5.3.1 Método Stepwise ................................................................................... 24
2.5.3.2 Método Retenção por K componentes .................................................. 25
2.6 Multicolinearidade .................................................................................. 26
2.7 Regressão para Componente Principal ................................................. 28
2.8 Regressão Ridge ................................................................................... 28
3 MATERIAIS E MÉTODOS ..................................................................... 30
3.1 Área de Estudo ...................................................................................... 30
3.2 Coleta de Dados .................................................................................... 30
3.3 Descrição das Variáveis ........................................................................ 30
3.4 Métodos Estatísticos ............................................................................. 31
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................................. 33
4.1 Estatística descritiva .............................................................................. 33
4.2 Teste de multicolinearidade ................................................................... 35
4.3 Diagramas de dispersão ........................................................................ 35
4.4 Análise de Componentes Principais ...................................................... 36
4.5 Seleção de variáveis.............................................................................. 37
4.5.1 Stepwise ................................................................................................ 37
4.5.2 Retenção por K componentes ............................................................... 39
4.5.2.1 Retenção por K=2 componentes pela matriz de covariância ................ 39
4.5.2.2 Retenção por K=3 componentes pela matriz de covariância ................ 41
4.5.2.3 Retenção por K=2 componentes pela matriz de correlação ................. 43
4.5.2.4 Retenção por K=3 componentes pela matriz de correlação ................. 45
4.6 Modelo de regressão com os componentes principais ......................... 47
4.7 Regressão Ridge .................................................................................. 50
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................. 51
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................... 53
11
1. INTRODUÇÃO
O bambu é uma planta de grande utilidade industrial, sendo importante
alternativa para a produção de biomassa, particularmente para o Brasil, país que
intensamente usa para produção de papel e energia (BRITTO et al., 1997).
O colmo de bambu, principal componente utilizado da planta, tem tecido
constituído de fibras e vasos. Segundo Montalvão et al. (1984), as presenças de
fibras e amido em colmos são as principais propriedades tecnológicas do bambu.
Esses componentes caracterizam o uso industrial do bambu, como matéria-prima
fibrosa, para produção de celulose para fabricação de papel (AZZINI et al., 2000).
No Brasil a espécie que apresenta maiores áreas de plantio é Bambusa
vulgaris. A região Nordeste tem a maior área plantada do mundo, nos estados
Maranhão, Paraíba e Pernambuco. Bambusa vulgaris é, portanto, uma planta
essencial ao desenvolvimento florestal do Nordeste brasileiro, usada como matéria
prima industrial para a produção e papel de fibra longa, que exibe maior resistência
para uso em embalagens (BONILLA,1991).
Apesar do alto potencial produtivo da bambusa vulgaris, há poucas pesquisas
em silvicultura e manejo. Assim, a produção de biomassa por unidade de área e
tempo é pouco estudada no Brasil. Isso é preocupante, implicando decisões sobre
espécies, variedades e clones cultivados, tipo de solo, espaçamento e idade de
corte (BONILLA, 1991).
Para suprir o aumento da demanda no Nordeste do Brasil, além de procurar
elevar a área de cultivo, tem-se, o que é mais critico, diminuido o ciclo de corte raso,
que era de 2,5 anos, para um ano, podendo acarretar a deterioração paulatina da
produtividade e da sobrevivência das touceiras dos plantios de bambu (MENDES,
2005).
12
O objetivo deste estudo visa estabelecer uma metodologia que permita
quantificar a biomassa verde da unidade amostral de bambu existente em
povoamento de bambusa vulgaris na cidade de Goiana-PE, por meio de modelos de
regressão lineares simples e múltiplos. Especificamente procurou-se:
Comparar os métodos de seleção de variáveis, univariado e multivariado,
Stepwise e Retenção por K componentes, respectivamente, e desenvolver modelos
de regressão lineares simples ou múltiplos para estimar o peso da haste do bambu,
quando as variáveis são correlacionadas, ou seja, existe um alto grau de
multicolinearidade.
Utilizar duas técnicas como alternativas para o alto grau de muticolinearidade,
a regressão com componentes principais, ou seja, os componentes serão as
variáveis explicativas e a regressão Ridge que consiste em fazer uma transformação
dos parâmetros estimados.
Para tal, a pesquisa foi desenvolvida em plantios da empresa Agrimex
Agroindustrial Excelsior S. A., localizados no Engenho Itapirema a 50 km do Recife
na cidade de Goiana-PE, sobre a BR 101 Norte. A empresa usa a matéria prima
industrial, bambusa vulgaris, para a produção de papel de embalagem de cimento,
papel duplex. E pretende melhorar sua produção por meio das estimativas da
biomassa verde da haste do bambu.
13
2. REVISÃO DE LITERATURA
2.1
Bambu
O bambu pertence à família das gramíneas e sempre esteve presente na
cultura e na vida diária do homem primitivo de todos os continentes com exceção da
Europa que não tem o bambu na forma nativa. O uso do bambu no oriente remonta
há quase cinco mil anos e há mais de quinhentos anos na América do Sul
(VASCONCELLOS, 2007).
Segundo Silva (2005), embora seja uma gramínea, os bambus possuem
hábito arborescente e da mesma forma que as árvores apresentam uma parte aérea
constituída pelo colmo, folhas e ramificações e outra subterrânea composta pelo
rizoma e raiz (Figura 1).
Figura 1. Partes do bambu (SILVA, 2005).
Rizoma é um caule subterrâneo dotado de nós e entrenós com folhas
reduzidas a escamas e que se desenvolve paralelamente a superfície do solo.
Basicamente, existem dois grupos distintos de bambus quanto ao tipo de rizoma: os
que formam touceiras (simpodiais) e os alastrantes (monopodiais) (SILVA, 2005).
14
As raízes dos bambus partem dos rizomas, se lançam na projeção da copa
numa profundidade diretamente proporcional as dimensões de cada espécie
(VASCONCELLOS, 2007)
As folhas dos bambus respondem pela função de elaborar as substâncias
necessárias ao rápido crescimento dessa planta através do processo da fotossíntese
(TEIXEIRA, 2003).
Os colmos são segmentados por nós e os espaços compreendidos entre dois
nós são denominados entrenós, que são menores na base, aumentam o seu
comprimento na parte mediana e reduzem novamente o tamanho na medida em que
vão aproximando do ápice. As paredes dos nós são mais finas que as paredes dos
entrenós e recebem o nome de diafragma. Entre as espécies, os colmos diferem
pela cor, diâmetro, comprimento, espessura da parede, comprimento dos entrenós e
outras características (SILVA,2005).
Os colmos assim como as folhas têm também a capacidade de realizar a
fotossíntese, contudo estruturar a parte aérea, armazenar e conduzir a seiva bruta e
elaborada constitui-se nas suas principais funções (AZZINI, 1987).
Não há concordância entre os pesquisadores sobre o número de gêneros e
espécies de Bambu no mundo, acredita-se que há de 75 a 111 gêneros já em
termos de espécies de 1200 a 1600. (KALEY, 2000; LONDOÑO, 2004).
Na América Latina, o Brasil é o país com maior diversidade, reúne 81 % dos
gêneros de bambus lenhosos (LONDOÑO,2004).
Segundo Silva (2005), as espécies exógenas mais comuns são: Bambusa
vulgaris Schrad, B. vulgaris var. vittata, B.tuldoides, Dendrocalamus giganteus e
algumas espécies de Phyllostachys. Essas espécies, todas de origem asiática,
foram trazidas pelos primeiros colonizadores portugueses, posteriormente, pelos
orientais e se difundiram facilmente pelo país. Essa dispersão ocorreu de forma tão
generalizada que muitos leigos acreditam ser nativa a espécie Bambusa vulgaris.
O Bambusa vulgaris tem hábito entouceirante, ou seja, os rizomas se
desenvolvem formando uma touceira densa e concêntrica. Tal hábito dificulta a
determinação de sua produção de forma indireta. O gênero Bambusa possui apenas
bambus de rizomas paquimorfos, ou seja, de colmos bem juntos e é utilizado como
polpa de papel além de fonte de bebida alcoólica. O papel de bambu tem a mesma
qualidade que o papel de madeira e é o uso industrial do bambu de maiores
proporções do mundo. O Brasil é o único país das Américas a ter uma indústria de
15
papel de bambu, com uma grande plantação no Estado do Maranhão
(VASCONCELLOS, 2007).
No Nordeste brasileiro são cultivados mais de 100 mil hectares de Bambusa
vulgaris Schrad. para a produção de papel cartão duplex. O papel feito de celulose
de bambu é um dos únicos que, por sua porosidade e resistência, serve para fazer
filtros descartáveis para café. Por sua resistência ao rasgo, é escolhido para
embalagens como sacos de cimento. As duas unidades de celulose pertencentes a
um mesmo grupo se localizam nos municípios de Coelho Neto, no Maranhão e
Jaboatão dos Guararapes no Estado de Pernambuco. A capacidade instalada é de
72 000 toneladas/ano e já iniciou um plano de expansão que elevará a produção
anual de papel para 144 000 toneladas/ano (ITAPAGÉ, 2007).
2.2 Propriedades e uso do bambu
Do ponto de vista agronômico os colmos e folhas do bambu são largamente
empregados na produção de papel, desinfetantes, baterias, tecidos, cervejas e outra
centena de usos. O bambu pode substituir a madeira em diversas aplicações, e com
isso diminuir o impacto ambiental ocasionado pelo corte predatório de árvores
essenciais ao equilíbrio do ecossistema (TEIXEIRA, 2003).
O bambu oferece seis vezes mais celulose que o pinheiro que mais rápido
cresce. Suas fibras são muito resistentes e tem qualidade igual ou superior à fibra de
madeira. (VASCONCELLOS, 2007).
A produção de bambu depende do crescimento, que incluem variáveis como:
números de touceiras/ha, número de colmos por touceira e diâmetro e altura de
colmos, sendo a produção estimada pela biomassa produzida (BONILLA,1991).
A produtividade do bambu deve ser mensurada de acordo com a sua finalidade e
pode ser quantificado pela biomassa, número de brotos ou número de colmos por
uma determinada área. No Brasil, praticamente, inexistem trabalhos científicos
relativos à produtividade dos bambus (VASCONCELLOS, 2007).
A biomassa do bambu pode ser expressa por massa verde ou massa seca. A
massa verde se refere ao material fresco amostrado, contendo uma proporção
variável de água. A massa seca corresponde à massa de uma árvore, de um arbusto
ou seus componentes, sendo obtido após a secagem do material em estufa.
(CALDEIRA, 2003).
16
Estimativa da Biomassa
Teixeira (2003) definiu a biomassa como a quantidade de material vegetal
contida por unidade de área numa floresta e expressa em unidade de massa. Em
geral, os componentes utilizados na medição da biomassa são; biomassa vertical
acima do solo, composição das árvores e arbustos, composição da serapilheira,
troncos caídos (fitomassa morta acima do solo) e composição de raízes (biomassa
abaixo do solo).
Segundo Caldeira (2003), o termo biomassa representa a matéria orgânica
armazenada em um determinado ecossistema, pois especifica o valor numérico dos
componentes presentes, além de ser fundamental nos estudos de ciclagem de
nutrientes, conversão de energia, absorção e armazenamento de energia solar e
também possibilita tirar conclusões para uma exploração racional dos ecossistemas.
Segundo Pardé (1980), expressar a biomassa em matéria seca é vantajoso na
aplicação em determinados mercados madeireiros, para a necessidade de explicar a
produtividade biológica dos ecossistemas e pela facilidade em comparações e
cálculos.
Segundo Husch et al. (1982) o aumento do uso de medições de peso para
produtos florestais desenvolveu uma necessidade de estimar o peso da madeira em
árvores em pé.
A porção viva acima do solo, em geral, é onde se concentra a maior parte da
biomassa, sendo o componente estimado com maior freqüência. A estimativa da
biomassa abaixo do solo não é um componente analisado com muita freqüência, na
maioria das vezes, requer grandes investimentos financeiros (CALDEIRA, 2003).
Para Teixeira (2003), a quantificação da biomassa florestal pode ser feita por
dois métodos, o método direto, no qual há a determinação do peso da biomassa
fresca e da biomassa seca e o método indireto, que estima a biomassa por meio de
modelos matemáticos a partir de dados de inventários florestais fazendo a relação
de variáveis como o volume da madeira, o DAP (diâmetro à altura do peito), altura
comercial do tronco, diâmetro da copa e a altura total das árvores.
Para Caldeira (2003), a quantificação da biomassa fornece informações sobre
magnitude, qualidade e distribuição dos produtos da floresta que não se encontram
nos tradicionais mapas dos ecossistemas.
17
Segundo Husch et al. (1982), o peso verde ou seco da madeira em pé pode
ser estimado de duas maneiras, obtendo o volume individual das árvores de uma
tabela de volume convencional ou de medições individuais do fuste, e converter para
peso usando uma apropriada relação peso volume. O outro modo é obter o peso das
árvores individuais diretamente.
A biomassa de uma árvore expressa em peso pode ser determinada
diretamente, por meio da determinação do peso verde de cada componente
(SOARES; HOSOKAWA, 1984).
Silva (1996) destacou a alta correlação que o DAP apresenta com o peso dos
componentes das árvores, atingindo um coeficiente de determinação (R²) maior do
que 0,95 e distribuição de resíduos aceitáveis para os modelos ajustados. Afirmou
também que devido a menor correlação do DAP com os pesos dos galhos e das
folhas, faz-se necessário o seu uso na forma quadrática e associada com a altura
total para composição do modelo matemático.
A estimativa da biomassa pode ser obtida a custos sensivelmente mais baixos
e com a mesma eficiência do que pelos métodos baseados em diâmetro e altura,
quando se faz uso do método dos dois diâmetros e da relação hipsométrica,
associada à equação linear múltipla (FRANCO, 1996).
Análise de Componente Principal (PCA)
Análise de Componente Principal (PCA) é uma técnica estatística que
transforma um conjunto de “p” variáveis em um conjunto com um número menor “k”
(k<p) de variáveis não-correlacionadas, que explica uma parcela substancial das
informações do conjunto original (KENDALL, 1950).
Além da redução da dimensionalidade dos dados, o objetivo principal é o de
explicar a estrutura de variância e covariância de um vetor aleatório composto de “p”
variáveis aleatórias, através da construção de combinações lineares das variáveis
originais. Essas combinações lineares são chamadas de componentes principais e
são não correlacionadas entre si (JOHNSON; WICHERN, 1982).
A suposição de normalidade do vetor aleatório não é requisito necessário
para que a técnica de análise de componente principal possa ser utilizada.
Entretanto, quando a distribuição de probabilidade do vetor aleatório for normal p-
variado, as componentes principais, além de não correlacionadas, são
independentes e têm distribuição normal.
18
Os componentes principais dependem somente da matriz de covariância ou
da matriz de correlação do vetor aleatório de interesse. Geometricamente, os
componentes principais são as coordenadas dos pontos amostrais em um sistema
de eixos obtidos pela rotação do sistema de eixos originais, na direção da
variabilidade máxima dos dados (JOHNSON; WICHERN, 1982).
A análise de componentes principais é uma técnica multivariada utilizada para
examinar a relação entre grande número de variáveis. O peso relativo de cada
variável na composição de cada eixo é medido através de sua correlação com este
eixo. Desta forma, a PCA pode ser utilizada como instrumento de seleção de
variáveis, na medida em que aquelas com maior peso na construção das
componentes, são as que possivelmente melhor represente o conjunto estudado
(KENDALL, 1950).
Segundo Johnson e Wichern (1982), PCA fornece um método multivariado
para a redução de variáveis em casos em que ocorrem multicolinearidade nas
variáveis independentes.
Seja X o vetor de p variáveis originais
(
)
,,,
1
'
p
XXx K= com vetor de
médias
()
,,,
'
1 p
μμμ
K= e matriz de covariância
pxp
∑
. Sejam
p
λ
λ
λ
≥≥≥ K
21
os
autovalores da matriz
pxp
∑ , com respectivos autovetores normalizados
p
eee ,,,
21
K ,
em que
'
21
),,,(
pi
eeee K= , isto é, os autovetores
i
e satisfazem as seguintes
condições:
;;0' jiee
ji
≠∀=
;,,2,1;1' piee
ii
K=∀=
.,,2,1; piee
iiikxk
K=∀=∑
λ
Então, a j-ésima componente principal da matriz
pxp
∑
, j = 1, 2,..., p é definida
como:
pjkjjjj
XeXeXeePC
+
+
+
=
= K
2211
'
χ
19
O valor esperado e variância da j-ésima componente principal são,
respectivamente, iguais a:
pjpjjjj
eeeePCE
μ
μ
μ
μ
+
+
+
=
=
K
2211
'][
jjpxpjj
eePCVar
λ
=
∑
=
'][
Os componentes são não correlacionados, ou seja, jiPCPCCov
ji
≠
= ;0),( .
Cada autovalor
i
λ
representa a variância de uma componente principal
i
PC . Como
os autovalores são ordenados em ordem decrescente, a primeira componente é a de
maior variabilidade e a p-ésima é a de menor.
A proporção explicada pela j-ésima componente principal é definida como:
∑
=
=
∑
p
j
j
i
pxp
i
Traço
1
)(
λ
λ
λ
;
Em que )(
pxp
Traço ∑ é a variância total de X.
A correlação estimada entre a j-ésima componente principal e a variável
aleatória piX
i
,,2,1, K= é dada de duas formas, através da matriz de covariância ou
da matriz de correlação:
I. Utilizando a matriz de covariância:
2
ii
jji
XPC
e
r
ij
σ
λ
=
;
Em que
2
ii
σ
é a variância da variável aleatória
i
X .
II. Utilizando a matriz de Correlação:
jjiXPC
er
ij
λ
=
.
2.5 Modelos de Regressão
Nos inventários florestais, envolvendo espécies arbóreas, usa-se
frequentemente a modelagem estatística para fazer estimação da biomassa.
20
Segundo Bonilla (1991) o uso de equações para quantificar a biomassa é
evidente em levantamentos quantitativos porque permite, a partir de medições
detalhadas em um número limitado de árvores criteriosamente selecionadas dentro
de um povoamento florestal.
Para estimativa da biomassa (peso) é visto com bastante freqüência a
utilização do método estatístico de análise de regressão.
Os modelos lineares são aqueles cujos coeficientes são estimados
diretamente pelo método de mínimos quadrados (PAULA, 2004).
Análise de regressão é uma metodologia estatística para predizer valores de
uma ou mais variáveis respostas (dependentes), baseando-se em um conjunto de
valores de variáveis preditoras (independentes). Tem por objetivo descrever através
de uma equação matemática a relação existente entre duas ou mais variáveis a
partir de “n” observações dessas variáveis (DRAPER; SMITH , 1981).
Em muitas situações a explicação de um fenômeno através de apenas uma
variável independente (regressão simples) pode não ser satisfatória, pois essa
variável será apenas uma componente influenciando na variação da resposta
estudada. Nestes casos deve-se propor uma equação envolvendo mais de uma
variável independente, chamado de modelo de regressão múltiplo (PAULA, 2004).
O método mais usual para estimação dos parâmetros do modelo de
regressão é conhecido como método de mínimos quadrados. O principio
fundamental do método de mínimos quadrados consiste em determinar estimativas
dos parâmetros que minimizem o quadrado das distâncias entre os valores
observados (valores reais) e os correspondentes ao modelo proposto (valores
estimados), onde essas diferenças são definidas como resíduo (DRAPER; SMITH ,
1981).
O modelo de Regressão linear múltipla pode ser descrito da seguinte forma:
ipipiii
XXXY
ε
β
β
β
β
+
+
+
+
+= ...
22110
Ou matricialmente como: sugerido por Montgomery et al. (2001).
ε
β
+
=
XY
Em que,
21
;
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
Y
Y
Y M
;
1
1
1
111
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
npn
p
XX
XX
X
L
MOMM
L
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
ε
ε
ε
M
1
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
p
β
β
β
M
0
;
Em geral, Y é um vetor (nx1) de observações, X é uma matriz (nxp) de níveis das
variáveis regressoras, β é um vetor (p+1x1) de coeficientes da regressão e ε é um
vetor (nx1) de erros aleatórios.
Para o modelo as seguintes suposições são considerados:
• A variável resposta (dependente) é uma função linear dos parâmetros.
• Os valores das variáveis independentes (preditoras) são fixos.
• Os erros são variáveis aleatórias com média zero e variância constante.
()
(
)
2
;0
σεε
==
ii
VarE
.
• Os erros são não-correlacionados.
(
)
jiCorr
ji
≠
∀
=
;0,
ε
ε
A estimação pontual dos parâmetros do modelo pelo método de mínimo
quadrado é dada por:
(
)
YXXX
'
1
'
ˆ
−
=
β
Com as propriedades:
(
)
;
ˆ
ββ
=E
(
)
(
)
2
1
'
ˆ
σβ
−
= XXCov
A regressão linear simples é um caso particular da regressão linear múltipla
quando, k=1, em que número de variáveis explicativas é igual a um.
2.5.1 Teste de significância da regressão
Segundo Montgomery et al. (2001), o teste para significância da regressão, é
um teste para determinar se há uma relação linear entre a variável resposta, Y, e
alguma das variáveis regressoras, X
1
,...,X
p
. Este procedimento é freqüentemente
conhecido como teste global de adequacidade do modelo. As hipóteses apropriadas
são:
H
0
:
0
1
=
=
=
p
β
β
L
H
1
:
β
j
≠ 0 para pelo menos um j.
22
A rejeição da hipótese nula implica que pelo menos uma variável regressora,
X
1
,...,X
p,
contribui significativamente para o modelo.
O procedimento que define a estatística do teste utiliza as seguintes somas
de quadrados para a obtenção do teste da razão de verossimilhança:
SQT = Y’Y -
Y
i
n
i
n
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∑
1
2
{soma de quadrados total};
SQE = Y’Y -
$
β
’X’Y {soma de quadrados dos resíduos};
SQR =
$
β
’ X’Y-
Y
i
n
i
n
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∑
1
2
{soma de quadrados da regressão}.
As duas últimas somas de quadrados são uma decomposição da soma total,
ou seja,
SQT = SQR + SQE.
A estatística obtida pela razão de verossimilhança é:
F
MQR
EMQ
0
= ,
e as fórmulas de MQR, média dos quadrados da regressão e EMQ, erro médio
quadrático, são fornecidas na Tabela 1.
Sob a hipótese nula que especifica a adequação do modelo,
F
0
tem
distribuição F de Snedecor com p graus de liberdade no numerador e n-p-1 graus
de liberdade no denominador.
A regra de decisão do teste é rejeitar H
0
se
F
pn p01
F>
−−(,, )
α
,
23
onde F
pn p(,, )
α
−−1
é o percentil da distribuição F de Snedecor a um nível
α
de
significância.
Tabela 1 - Análise de Variância para Significância de uma Regressão Múltipla.
Fonte de Variação
Graus de
liberdade
Soma de
Quadrados
Quadrado
Médio
F
0
Regressão
p
SQR
MQR
SQR
p
=
MQR
EMQ
Resíduo
n
p
−
−
1
SQE
EMQ
SQE
np
=
−−()1
Total
n
−
1
SQT
Uma outra medida muito utilizada na análise de regressão é o percentual da
variação dos dados explicado pelo modelo (coeficiente de determinação), que é
dado por:
.
2
SQT
SQR
R =
2.5.2 Análise de Resíduo
De acordo com Paula (2004), o exame da variável resposta não é muito útil
em análise de regressão porque os valores observados devem depender das
variáveis explicativas. Para resolver este problema é introduzido o conceito de
resíduo do modelo. O resíduo é definido para uma observação como a diferença
entre o seu valor real e o ajustado. Para facilitar a análise gráfica é recomendável
trabalhar com os resíduos padronizados
(
)
)h1(EMQY
ˆ
Ye
iiiii
−−= ,
em que h
ii
é o i-ésimo elemento da diagonal da matriz HXXXX=
−
(') '
1
e EMQ =
YY XY
np
,
$
,,
−
−
β
é o erro médio quadrático. Um fato importante é que
H
é a
transformação linear cujos valores ajustados são obtidos a partir dos valores
observados. A principal vantagem de usar estes resíduos é na identificação de
pontos aberrantes, porque os resíduos padronizados, se o modelo for adequado,
devem se comportar aproximadamente como uma normal de média zero e variância
24
um. Logo, se para uma observação o valor do resíduo padronizado é maior do que
2, isto é um indicativo de que esta observação não está bem ajustada pelo modelo
(MONTGOMERY et al, 2001).
Uma análise de resíduos é feita a partir de gráficos específicos. Para cada
suposição é utilizado um gráfico adequado (DRAPER; SMITH , 1981).
2.5.3 Seleção de Variáveis
Para encontrar o modelo mais eficiente, algumas variáveis independentes
poderão ser eliminadas do modelo por não contribuírem significantemente, além de
que podem trazer problemas de multicolinearidade, então uma solução é a utilização
dos métodos estatísticos para a seleção de variáveis (MONTGOMERY et al, 2001).
Existem vários métodos estatísticos para a seleção de variáveis. No entanto,
a comparação dos métodos de seleção de variáveis univariado e multivariado é
muito interessante, pois pode aperfeiçoar o modelo com o ganho razoável de tempo,
no caso em que a quantidade de variáveis for elevada.
Segundo Draper e Smith (1981) o método estatístico univariado de Stepwise,
é provavelmente o mais utilizado, pois não requer o cálculo de todas as regressões
possíveis. No entanto, não é tão simples quando o número de variáveis é muito
grande.
Araújo (2005) utilizou análise de componentes principais e o método de
Stepwise na seleção de variáveis independentes na construção de tabelas
volumétricas para leucaena leucocephaia (Lam) de Wit.
Claro et al. (2003) utilizou componentes principais em um estudo de identificação de
fatores que afetam a cultura do feijão em Minas Gerais.
2.5.3.1 Método Stepwise
De acordo com Montgomery et al. (2001) pelo fato da avaliação e todas as
regressões possíveis poderem ser computacionalmente pesadas, vários métodos
têm sido desenvolvidos para avaliar subgrupos de modelos de regressão ou por
adição ou por eliminação de regressores. Esses métodos são geralmente referidos
como um procedimento de Stepwise. Eles podem ser classificados dentro de três
categorias:
25
•
Seleção Forward
• Eliminação Backward
• Regressão Stepwise
Em que a Regressão Stepwise (3) é uma combinação dos outros dois
procedimentos (1) e (2).
A Regressão Stepwise é uma modificação da Seleção de Forward em que
cada passo todos os regressores que entrarem no modelo, previamente, são
reavaliados a partir de suas estatísticas F (parciais). Um regressor adicionado no
passo anterior pode agora ser redundante por causa da relação entre eles. Se a
estatística F(parcial) para a variável é menor que a F para a retirada, essa variável é
mantida no modelo (DRAPER; SMITH, 1981).
Os limites de F para adição e retirada de variáveis não precisam ser iguais.
Geralmente, o limite F para retirada de uma variável é especificado como sendo
menor que o limite para a inclusão de variáveis (PAULA, 2004).
A Regressão Stepwise pode resultar em combinações lineares das variáveis
independentes que não apresentam a menor soma de quadrados dos resíduos
(SQE) e pode apresentar deficiência nas estimativas dos parâmetros quando as
variáveis independentes são correlacionadas, ou seja, quando existir
multicolinearidade (MONTGOMERY et al., 2001).
2.5.3.2 Método Retenção por K componentes
O método de seleção de variáveis de Stepwise não é indicado para variáveis
correlacionadas, podem ocorrer erros nas estimativas dos parâmetros. Já o método
de retenção por K componentes tende a se comportar melhor na existência da
multicolinearidade.
O método consiste em considerar o autovetor correspondente ao menor
autovalor e a variável com maior coeficiente em valor absoluto é removida e no
passo seguinte considera o próximo autovetor correspondente ao segundo maior
autovalor sem a variável retirada anteriormente e se repete o processo que é
finalizado quando resulta em K componentes, em que K é arbitrário.
Segundo CADIMA(2001), o processo de exclusão das variáveis inicia em ordem
inversa de importância dos componentes.
26
2.6 Multicolinearidade
Segundo Montgomery et al. (2001) é o nome dado ao problema geral que
ocorre quando duas ou mais variáveis explicativas são muito correlacionadas entre
si, o que torna difícil, utilizando-se apenas o modelo de regressão, distinguir suas
influências separadamente. Uma das suposições do modelo de regressão, afirma
que nenhuma relação linear exata pode existir entre quaisquer covariáveis ou
combinações lineares destas. Quando se viola esta hipótese se têm o problema de
multicolinearidade perfeita. Por outro lado, se as variáveis não estão correlacionadas
entre si, denomina-se, este caso, ausência de multicolinearidade, sendo chamada
de ortogonal à regressão com estas variáveis. O caso intermediário, muito comum
em problemas reais, ocorre quando a correlação entre duas ou mais variáveis é alta,
sendo esta situação chamada de alto grau de multicolinearidade.
A análise do grau de multicolinearidade pode ser feita através da matriz de
correlações que mede a dependência linear de primeira ordem entre as variáveis
explicativas (PAULA, 2004).
Outros critérios são: o valor do determinante de XX' , o
R
2
obtido quando
uma das covariáveis é eliminada e o
R
2
do modelo de regressão entre cada uma
das variáveis independentes sobre todas as outras remanescentes.
Multicolinearidade Perfeita: Neste caso é impossível estimar o vetor de
parâmetros porque a matriz XX' tem o determinante igual a zero; logo, não possui
inversa (MONTGOMERY et al., 2001).
Ausência de Multicolinearidade: Quando as variáveis não estão
correlacionadas entre si a matriz XX' é diagonal. Portanto, a estimativa do
coeficiente de uma variável independente, no modelo de regressão múltipla é obtida
pelo método de mínimos quadrados (MONTGOMERY et al., 2001).
Alto Grau de Multicolinearidade: Como uma etapa preliminar de verificação
de um modelo ajustado, devemos observar, na matriz de correlação, se existem pelo
menos duas variáveis muito correlacionadas. Se isto ocorrer, o coeficiente de uma
variável irá depender da outra, não refletindo, assim, o efeito individual da variável a
qual está associado, mas, somente um efeito parcial ou marginal, condicionado a
outra variável (MONTGOMERY et al., 2001).
A conseqüência mais grave deste problema é que o teste de significância do
coeficiente de uma variável independente, sendo esta correlacionada com alguma
27
outra, pode indicar sua exclusão do modelo, mesmo que exista uma forte relação
linear desta com a variável resposta (MONTGOMERY et al., 2001).
A multicolinearidade pode ter sérios efeitos nas estimativas dos coeficientes
de regressão e na aplicabilidade geral do modelo estimado.
Segundo Montgomery et al. (2001) algumas indicações da presença de
multicolinearidade são:
•
Valores altos do coeficiente de correlação.
• Grandes alterações nas estimativas dos coeficientes de regressão, quando
uma variável independente for adicionada ou retirada do modelo, ou quando
uma observação for alterada ou eliminada.
• A rejeição da hipótese H
o
:
β
1
=
β
2
= ... =
β
k
= 0 por meio da realização do teste
F, mas nenhuma rejeição das hipóteses H
o
:
β
i
= 0, i = 1, 2,..., k, por meio da
realização dos testes t sobre os coeficientes individuais de regresssão.
• Obtenção de estimativas para os coeficientes de regressão com sinais
algébricos contrários àqueles que seriam esperados a partir de
conhecimentos teóricos disponíveis ou de experiências anteriores sobre o
fenômeno estudado.
• Obtenção de intervalos de confiança com elevadas amplitudes para os
coeficientes de regressão, associados a variáveis independentes importantes.
Para evitar os problemas provocados pela multicolinearidade o método mais
simples é a eliminação, do modelo completo, das variáveis com os coeficientes
estatisticamente não significativos, os quais são identificados a partir do teste
individual para
β
j
, ou, mais efetivamente, através dos métodos de seleção variáveis,
para encontrar o melhor subconjunto de variáveis independentes (MONTGOMERY,
2001).
A segunda alternativa é o método de regressão denominado de “Ridge”, que tem
o objetivo de melhorar a precisão dos parâmetros estimados do modelo.
A terceira maneira de obter um modelo adequado, quando algumas variáveis
independentes são muito correlacionadas, é a partir da técnica de componentes
principais, que tem a vantagem de não descartar nenhuma variável explicativa
(PAULA, 1997).
28
2.7 Modelo de Regressão para as Componentes Principais
Se as componentes principais têm um significado intuitivo, é melhor expressar
a equação da regressão em termos das componentes. Nos demais casos, é mais
conveniente recolocar o modelo nas variáveis originais (MONTGOMERY et al.,
2001).
ipipiii
PCPCPCY
εββββ
+++++= ...
22110
Todas as suposições, estimação e análise do modelo de regressão múltipla
devem ser a atendidas para o caso do modelo de regressão para as componentes
principais, no entanto, as componentes principais, agora variáveis explicativas, são
não correlacionados. E com isso eliminando o problema da multicolinearidade
(DRAPER; SMITH, 1981).
2.8 Regressão Ridge
Uma alternativa ao método original dos mínimos quadrados, regressão Ridge
(regressão corrigida), pode ser útil no combate à multicolinearidade (DRAPER;
SMITH , 1981). Ele consiste em fazer uma transformação dos parâmetros
estimados, através da adição de uma constante
λ
à equação:
yX
ˆ
)IXX(
'
c
'
=βλ+
O valor da constante
λ deve ser tal que a média quadrática do erro do
estimador corrigido,
c
ˆ
β
, seja menor do que a variância do estimador de mínimos
quadrados, β
ˆ
. A escolha dessa constante não é simples; à medida que ela cresce,
alguns dos parâmetros
c
ˆ
β
variarão drasticamente. Para algum valor de λ, as
estimativas
c
ˆ
β
estabilizarão. O objetivo é selecionar algum valor pequeno de λ, no
qual as estimativas
c
ˆ
β sejam estáveis (MONTGOMERY et al., 2001).
29
Segundo Montgomery et al. (2001), o valor da constante λ é obtido através da
seguinte equação:
ββ
σ
λ
ˆˆ
ˆ
'
2
p
=
Em que
2
ˆ
σ
e
β
ˆ
são calculados pelo método de mínimos quadrados e “p” é o
número de variáveis.
30
3. MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 Área de Estudo
O experimento foi desenvolvido no Engenho Itapirema, localizada a 50 km da
Cidade do Recife, sobre a BR 101 Norte. Precipitação média anual de 1900 mm.
Com topografia ondulada a fortemente ondulada. Diversos tipos de solos variando
do arenoso ao argiloso, e de profundidade variável. A vegetação é caracterizada por
plantios de cana-de-açúcar nas áreas mais planas e bambu nas mais onduladas.
3.2 Coleta de Dados
Primeiramente a coleta de dados foi realizada identificando o número de
touceira de cada parcela, seguidamente em cada touceira se contou o número de
hastes. Para cada haste da touceira se mediu a altura, circunferência na altura da
base (0,10m), circunferência na altura do peito (1,30m). Posteriormente procedeu-se
o corte e pesagem das hastes principais sem galhos secundários, folhas e outros.
Foram selecionadas 3 parcelas ao acaso, cada uma medindo 15x15 m². Uma
parcela com 22 touceiras, a segunda com 33 touceiras e a terceira com 25 touceiras,
totalizando 80 touceiras e 450 hastes.
3.3 Descrição das Variáveis
Observa-se na Tabela 2 que a variável combinada, CAB²H, é o produto entre
a circunferência da base ao quadrado e a altura, nas ciências florestais é muito
utilizada como estimativa do volume, mas a principal finalidade dessa variável
combinada é a normalização dos resíduos nos modelos de estimativa da biomassa
verde.
Tabela 2. Descrição das variáveis.
H Altura de Bambu (m)
CAB Circunferência na base da haste (cm)
CAP Circunferência a 1,30 m do solo(cm)
CAB²H Variável combinada (m³)
P Peso (biomassa verde) da haste bambu (kg)
31
3.4 Métodos Estatísticos
Inicialmente, apresentaram-se os histogramas das variáveis para verificar
como se comporta os dados e calcularam-se algumas estatísticas descritivas de
cada variável, mínimo, máximo, média, mediana, desvio padrão, variância,
coeficiente de variação, matriz de covariância e se analisou, dando ênfase a matriz
de correlação para verificar se poderia existir problema de colinearidade ou
multicolinearidade.
É aplicado o teste de multicolinearidade, fator de inflação da variância, para
verificar se existirá erro nas estimativas do modelo. Os parâmetros da equação de
regressão serão estimados a partir das inter-relações da variável dependente
(resposta) e das variáveis independentes (preditoras). Todas as estimativas feitas
através do método de mínimos quadrados consistem no procedimento matemático
para minimizar os erros quadráticos.
De acordo com Montgomery et al. (2001) os efeitos de multicolinearidade
podem ser facilmente demonstrados. Os elementos da diagonal da matriz C = (X’X)
-1
podem ser escritos como:
)R(
C
j
jj
2
1
1
−
=
j = 1, 2, ..., p
Sendo R
j
2
o coeficiente de determinação múltipla, resultante da regressão de
x
j
nos outros p - 1 regressores. Claramente, quanto mais forte for a dependência
linear de x
j
nos regressores restantes, e por conseguinte mais forte a colinearidade,
maior será o valor de R
j
2
. Lembre-se de que V(
$
β
j
) =
σ
2
C
jj
. Logo, diz-se que a
variância de
$
β
j
é “inflacionada” pela quantidade (1- R
j
2
)
-1
.
Dessa maneira, define-se o fator de inflação da variância para
$
β
j
como:
)R(
)
ˆ
(FIV
j
j
2
1
1
−
=
β
j = 1, 2, ..., p
Esses fatores são uma importante medida da extensão da presença de
multicolinearidade. Quanto maior for o fator de inflação da variância, mais severa
será a multicolinearidade. Alguns autores sugeriram que se qualquer fator de
32
inflação da variância exceder 10, então a multicolinearidade será um problema.
Outros autores consideram esse valor muito liberal e sugerem que os fatores
de inflação da variância não devem exceder 4 ou 5 (MONTGOMERY et al., 2001).
Depois de realizado o teste de multicolinearidade e verificada a existência da
mesma, analisaram-se os diagramas de dispersão entre a variável resposta (Peso
da haste do bambu, P) contra as variáveis explicativas (H, CAB, CAP, CAB²H).
Para utilização do método de seleção de variáveis de retenção por K
componentes foi utilizada a análise de componentes principais na matriz de
covariância e na matriz de correlação e interpretado todos os componentes.
Aplicaram-se as técnicas de seleção de variáveis, Stepwise e retenção por K
componentes, para a construção dos modelos de regressão para a estimativa da
biomassa verde do bambu, para constatar qual modelo se comportaria da melhor
forma e a sua eficiência. O método de seleção de variáveis de retenção por K
componente, foi aplicado de duas formas através da matriz de covariância e da
matriz correlação para os K=2 e K=3, pois a variabilidade quando o k>1 para
qualquer caso tratado é superior a 80%.
Para tentar suprir essas dificuldades outras duas técnicas foram utilizadas
para construção do modelo mais eficiente, Regressão com componentes principais e
Regressão Ridge (corrigida).
A regressão com componentes principais foi obtida através do método de
seleção de variável de Stepwise, onde os componentes serão as variáveis
explicativas, pois a variabilidade dos componentes não é a maior importância, mas
sim o seu grau de contribuição para o modelo.
Na regressão Ridge, primeiramente, foi calculado o valor do λ através das
estimativas do modelo proposto pelo método de Stepwise e aplicado o método
baseado nesse modelo.
A constatação do modelo mais eficiente foi feita na validação das suposições
da regressão linear múltipla e no coeficiente de determinação (R²).
As análises foram feitas no programa estatístico R, versão 2.6.1, o qual pode
ser obtido gratuitamente no site <http://www.r-project.org>.
33
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
4.1 Estatística descritiva
Na Figura 2 está ilustrada a distribuição das variáveis explicativas
(independentes) e variável resposta (dependente). Observa-se que a altura, o CAB e
o CAP têm tendência de distribuições similares, já a variável combinada CAB²H tem
distribuição similar a variável resposta (dependente), Peso (P).
Figura 2. Histogramas das variáveis independentes altura, circunferência na base da
haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H) e a variável
dependente peso da haste (P).
34
Os resultados das medidas descritivas para todas as variáveis são dados na
Tabela 3, a seguir, em que é possível notar uma discrepância muito acentuada entre
as variâncias das variáveis. O número total de observações é de 450 unidades.
Tabela 3. Estatísticas descritivas das variáveis independentes altura, circunferência
na base da haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H)
e a variável dependente peso da haste (P).
Estatítica H CAB CAP CAB²H P
Mínimo 1,32 2,1 3,2 0,0006 80
Máximo 6,95 48,7 42,1 1,2318 4200
Mediana 3,375 25,4 19,8 0,2153 800
Média 3,43 24,31 19,05 0,2588 975,2
Desvio padrão 1,2253 7,9126 7,8551 0,2103 769,5825
Variância 1,5013 62,6087 61,7026 0,0442 592257,3
Coeficiente de variação 0,3572 0,3255 0,4123 0,8126 0,7892
As matrizes de covariância e de correlação entre as variáveis explicativas
estão nas Tabelas 4 e 5.
Tabela 4. Matriz de covariância entre as variáveis independentes altura,
circunferência na base da haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP),
combinada (CAB²H).
Variável H CAB CAP CAB²H
H 1,5013 7,4286 8,2425 0,2267
CAB 7,4286 62,6088 57,4752 1,4889
CAP 8,2425 57,4752 61,7021 1,4878
CAB²H 0,2267 1,4889 1,4878 0,0442
Segundo Silva e Silva (1982, apud BONILLA, 1991, p.59) pode-se considerar
como correlação nula entre duas variáveis quando os valores dos índices de
correlação estiverem entre -0.400 e 0.400. Assim sendo, observa-se que as
correlações entre todas as variáveis são não nulas, ou seja, existe de um alto grau
de correlação entre as variáveis explicativas podendo resultar no problema de
multicolinearidade.
Tabela 5. Matriz de correlação entre as variáveis independentes altura,
circunferência na base da haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP),
combinada (CAB²H).
Variável H CAB CAP CAB²H
H 1,0000 0,7662 0,8564 0,8801
CAB 0,7662 1,0000 0,9247 0,8949
CAP 0,8564 0,9247 1,0000 0,9008
CAB²H 0,8801 0,8949 0,9008 1,0000
35
4.2 Teste de multicolinearidade
Por meio do teste de multicolinearidade identificou que poderão existir
problemas nas estimativas dos coeficientes de regressão, pois os fatores de inflação
da variância para os estimadores foram todos acima de cinco, como observado na
Tabela 6.
Tabela 6. Fatores de inflação da variância para os estimadores das variáveis
independentes altura, circunferência na base da haste (CAB), circunferência a 1,30m
do solo (CAP), combinada (CAB²H).
Variável Retirada
FIV (
j
β
ˆ
)
H 7,8308
CAB 7,5988
CAP 7,1022
CAB²H 5,2576
De acordo com Dias et al. (2003) Esse procedimento foi realizado porque,
quando ocorre multicolinearidade, os testes estatísticos podem falhar em detectar
diferenças significativas entre os fatores.
4.3 Diagramas de dispersão
Nota-se na Figura 3 que só a variável explicativa CAB²H tem uma relação
linear com a variável resposta, P.
234567
0 2000 4000
Diagrama de Dispersão
Altura-H
Peso da Haste
10 20 30 40 50
0 2000 4000
Diagrama de Dispersão
Circunferência da Base-CAB
Peso da Haste
10 20 30 40
0 2000 4000
Diagrama de Dispersão
Circunferência altura do peito-CAP
Peso da Haste
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0 2000 4000
Diagrama de Dispersão
Variável Combinada-CAB²H
Peso da Haste
Figura 3. Diagramas de dispersão das variáveis altura, circunferência na base da
haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H) versus
variável resposta (P).
36
4.4 Análise Componente Principais
As Tabelas 7 e 8 informam a importância dos componentes através da
variabilidade por duas maneiras, matriz de covariância e matriz de correlação,
respectivamente, e a correlação entre as variáveis explicativas e os componentes .
Pela matriz de covariância a primeira componente (PC1) que é, basicamente,
um índice do peso da haste, explica quase 80% da variabilidade total e em que o
maior coeficiente de grandeza se refere a variável CAP. Já a segunda componente
(PC2) é uma comparação entre as variáveis H,CAB²H e CAB com a variável CAP. A
terceira componente (PC3) é representada pelas variáveis H e CAB²H, sendo
dominada pela variável H, que tem o maior coeficiente numérico em valor absoluto.
A quarta componente (PC4) representa a variável CAB²H, que é a de menor
variância amostral, como visto na Tabela 3, sendo, portanto, uma componente de
pouca importância prática. A Tabela 7 mostra uma correlação maior da componente,
em valor absoluto, com a variável CAB²H e correlação próxima de zero com as
outras variáveis.
Tabela 7. Componentes principais pela matriz de covariância das variáveis
independentes, altura, circunferência na base da haste (CAB), circunferência a
1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H).
Variáveis PC1 PC2 PC3 PC4
H 0,8299 -0,2520 -0,4976 0,0044
CAB 0,9808 0,1950 -0,0027 0,0001
CAP 0,9812 -0,1926 0,0131 7,9708e
-
6
CAB²H 0,9165 -0,0236 -0,2308 -0,3258
Estatística - - - -
Desvio Padrão 10,9863 2,1833 0,6206 0,0687
Proporção da variância (%) 79,27% 15,75% 4,49% 0,49%
Proporção acumulada (%) 79,27% 95,02% 99,51% 100%
Pela matriz de correlação a primeira componente (PC1) ou índice do peso da
haste, explica um pouco mais de 65% da variabilidade total e sendo a variável CAP
a de maior coeficiente grandeza. A segunda componente (PC2) é uma comparação
entre as variáveis H e CAB, sendo dominada pela variável H, que tem o maior
coeficiente numérico em valor absoluto. A terceira componente (PC3) é uma
comparação entre as variáveis CAP e CAB²H, sendo dominada pela variável CAB²H,
que tem o maior coeficiente numérico em valor absoluto. A quarta componente
(PC4) obtida pela matriz de correlação tem uma importância maior do que a obtida
37
pela matriz de covariância e representa uma comparação entre as variáveis CAB e
CAP, sendo dominada pela variável CAB, que tem o maior coeficiente numérico em
valor absoluto.
Tabela 8. Componentes principais pela matriz de correlação entre as variáveis
independentes, altura, circunferência na base da haste (CAB), circunferência a
1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H).
Variáveis PC1 PC2 PC3 PC4
H 0,9202 -0,3779 0,0593 0,0828
CAB 0,9441 0,3000 -0,0083 0,1365
CAP 0,9692 0,0956 0,1884 -0,1269
CAB²H 0,9673 -0,0290 -0,2371 -0,0828
Estatística - - - -
Desvio Padrão 1,9008 0,4927 0,3089 0,2210
Proporção da variância (%) 65,03% 16,85% 10,56% 7,56%
Proporção acumulada (%) 65,03% 81,88% 92,44% 100%
Segundo Johnson e Wichern (1982) quando existe uma discrepância muito
acentuada entre as variâncias das variáveis originais, cada componente passa a ser
extremamente dominada por uma variável em particular, algo que torna as
componentes sem muita utilidade na prática. Este problema pode ser amenizado se
uma transformação for efetuada nos dados originais, de modo a equilibrar os valores
de variância ou colocar os dados na mesma escala de medida. Uma das
transformações mais comuns é aquela em que cada variável é padronizada pela sua
média e desvio padrão, sendo a técnica de componente principal aplicada à matriz
de covariância das variáveis padronizadas. Este procedimento é equivalente a
obterem-se as componentes principais através da matriz de correlação das variáveis
originais. No entanto, apesar das variâncias das variáveis originais serem bastante
distintas, pode-se perceber adiante que os resultados através da matriz de
covariância são mais satisfatórios que os obtidos com a matriz de correlação.
4.5 Seleção de variáveis
4.5.1Stepwise
Utilizando o método de Stepwise é proposta a seguinte equação:
iiii
HCABCAPCABP ²018.2777674.3658.189.503
ˆ
++−=
38
A Tabela 9 mostra as estimativas dos parâmetros e se percebe que apenas o
intercepto não é significativo para o modelo, no entanto, por existir uma correlação
entre as variáveis explicativas, multicolinearidade, todos os parâmetros podem estar
mal estimados.
Tabela 9. Estimativa dos parâmetros do modelo proposto pelo método de Stepwise.
Parâmetros Estimativas Erros Padrão p-valor
0
β
9,503 61,315 0,877
1
β
-18,58 4,662 7,87e
-
05
***
2
β
36,674 4,827 1,78e
-
13
***
3
β
2777,018 153,780 < 2e
-
16
***
*** significativo a 1% ,** significativo a 5% , * significativo a 10%.
As contribuições das variáveis são vistas na Tabela 10 e verifica-se que são
significativas para o modelo. A estimativa da variância (
2
σ
) é dada por S² = 76110,
enquanto adequacidade do modelo foi obtido pelo coeficiente de determinação, R²=
0,8723.
Tabela 10. Análise de variância da equação proposta pelo método de Stepwise.
Fontes de Variação Graus de liberdade Somas de Quadrados Quadrados Médios p-valor
CAB 1 185015684 185015684 < 2,2e
-
16
***
CAP 1 22142707 22142707 < 2,2e
-
16
***
CAB²H 1 24819867 24819867 < 2,2e
-
16
***
Resíduo 446 33945264 76110
Total 449 265923522
*** significativo a 1% ,** significativo a 5% , * significativo a 10%.
Na Figura 4, observa-se um comportamento razoável dos resíduos, ou seja,
todas as suposições de regressão em relação ao erro são atendidas. Apesar disto,
as variáveis explicativas têm um alto grau de correlação, ou seja, existe o problema
de multicolinearidade. Logo, o método de seleção de variáveis de Stepwise não se
comporta adequadamente quando o número de variáveis explicativas for maior que
um, pois as estimativas dos parâmetros e o coeficiente de determinação (R²) não
são confiáveis.
39
Figura 4. Gráfico dos Resíduos da equação obtida pelo método de Stepwise.
4.5.2 Retenção por K componentes
4.5.2.1 Retenção por K=2 componentes pela matriz de covariância
Juntando as duas primeiras componentes pela matriz de covariância, o
percentual chega a 95,02%, resultando em um K=2. Portanto, por este método se
deve excluir o terceiro e quarto componentes (PC3 e PC4) de menor importância. Os
resultados apresentados pelo método de seleção de variáveis por retenção de K=2
componentes estão na Tabela 11. No segundo componente (PC2) rejeita-se a
variável circunferência na altura da Base (CAB), pois tem o maior coeficiente em
valor absoluto. No primeiro componente (PC1) rejeita-se a variável CAP que tem o
maior valor absoluto.
Tabela 11. Matriz de autovetores obtidos com utilização da matriz de covariância
para retenção por K=2 componentes.
Variável PC1 PC2 PC3 PC4
H 0,0926 -0,1414 -0,9824 0,0790
CAB 0,7064
0,7069
-0,0341 0,0134
CAP
0,7015
-0,6930 0,1659 0,0009
CAB²H 0,0175 -0,0023 -0,0782 -0,9968
40
Logo, a equação proposta pelo método de retenção de K=2 componentes é:
ii
HCABHP ²00.300197.7458.79
ˆ
++−=
; i=1,...,n
Na Tabela 12 são mostradas as estimativas dos parâmetros e se percebe que
nem todos são significativos para o modelo, pois o intercepto (
β
0
= 0.2766) não é
significativo. Vale ressaltar que os outros parâmetros são significativos até mesmo
ao nível de significância de 1%.
Tabela 12. Estimativa dos parâmetros do modelo proposto pelo método de retenção
de K=2 componentes pela matriz de covariância.
Parâmetros Estimativas Erros Padrão p-valor
0
β
-58,79 53,97 0,2766
1
β
74,97 23,50 0,00152***
2
β
3001,00 136,96 < 2e
-
16
***
A contribuição de cada variável é vista na Tabela 13. Verifica-se que as
variáveis são significativas para o modelo. A estimativa da variância (
2
σ
) é dada por
S² = 83979, enquanto que o coeficiente de determinação foi de R²= 0,8588.
Tabela 13. Análise de variância da equação proposta pelo método de retenção de
K=2 componentes pela matriz de covariância.
Fontes de Variação Graus de liberdade Somas de Quadrados Quadrados Médios p-valor
H 1 188067423 2239,46 < 2,2e
-
16
***
CAB²H 1 40317501 480,09 < 2,2e
-
16
***
Resíduo 447 37538599 83979
Total 449 265923523
Na Figura 5, observa-se um comportamento razoável dos resíduos, ou seja,
todas as suposições de regressão em relação ao erro são atendidas. Apesar dos
resíduos obedecerem todas as suposições do modelo de regressão, o intercepto
não é significativo e as variáveis explicativas têm um alto grau de correlação, ou
seja, existe o problema de multicolinearidade. Logo, o método de seleção de
variáveis de retenção por k=2 componentes não se comporta adequadamente, pois
41
as estimativas dos parâmetros e o coeficiente de determinação (R²) não são
confiáveis.
Figura 5. Gráficos dos resíduos para equação obtida pelo método de retenção de
K=2 componentes pela matriz de covariância das variáveis explicativas.
4.5.2.2 Retenção por K=3 componentes pela matriz de covariância
Juntando os três primeiros componentes pela matriz de covariância, esse
percentual chega a 99,51%, resultando em um K=3. Portanto, por este método deve-
se excluir o quarto componente (PC4) de menor importância. Os resultados
apresentados pelo método de seleção de variáveis por retenção de K=3
componentes estão na Tabela 14. No terceiro componente (PC3) rejeita-se a
variável altura (H), pois tem o maior coeficiente em valor absoluto. No segundo
componente (PC2) rejeita-se a variável CAB e na primeira componente (PC1) rejeita-
se a variável CAP.
Tabela 14. Matriz de autovetores pela matriz de covariância para retenção por K=3
componentes.
Variável PC1 PC2 PC3 PC4
H 0,0926 -0,1414
-0,9824
0,0790
CAB 0,7064
0,7069
-0,0341 0,0134
CAP
0,7015
-0,6930 0,1659 0,0009
CAB²H 0,0175 -0,0023 -0,0782 -0,9968
42
Logo, a equação proposta pelo método de retenção de K=3 componentes é
exatamente o modelo de Spurr ou da variável combinada (SPURR, 1592).
ii
HCABP ²47.338598.85
ˆ
+=
Na Tabela 15 são mostradas as estimativas dos parâmetros e percebe-se que
são todos altamente significativos para o modelo.
Tabela 15. Estimativas dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
retenção de K=3 componentes pela matriz de covariância.
Parâmetros Estimativas Erros Padrão p-valor
0
β
98,85 21,90 8,18e
-
06
***
1
β
3385,47 65,70 < 2e
-
16
***
A contribuição da variável é vista na Tabela 16 e se verifica que são
significativas para o modelo. A estimativa de variância (
2
σ
) é dada por S² = 85699.
A adequacidade do modelo foi de 85,56% (R²= 0,8556).
Tabela 16. ANOVA do modelo proposto pelo método de retenção de K=3
componentes pela matriz de covariância.
Fontes de Variação Graus de liberdade Somas de Quadrados Quadrados Médios p-valor
CAB²H 1 227530496 227530496 < 2,2e
-
16
***
Resíduo 448 38393027 85699
Total 449 265923523
Na Figura 6, observa-se um comportamento razoável dos resíduos, ou seja,
todas as suposições de regressão em relação ao erro são atendidas. Apesar do
método de seleção de variáveis de retenção de K componentes propor um modelo
linear simples, para k=3. Esse modelo atende todas as suposições de regressão,
logo suas estimativas e coeficiente de determinação são confiáveis.
43
Figura 6. Gráficos dos resíduos para equação obtida pelo método de retenção de
K=3 componentes pela matriz de covariância das variáveis explicativas.
4.5.2.3 Retenção por K=2 componentes pela matriz de correlação
Juntando as duas primeiras componentes pela matriz de correlação, o
percentual chega a 81,88%, resultando em um K=2. Os resultados apresentados
pelo método de seleção de variáveis por retenção de K=2 componentes estão na
Tabela 17. No segundo componente (PC2) rejeita a variável circunferência de Base
(CAB), pois tem o maior coeficiente em valor absoluto. No primeiro componente
(PC1) rejeita a variável CAP.
Tabela 17. Matriz de autovetores pela matriz de correlação para retenção por K=2
componentes.
Variável PC1 PC2 PC3 PC4
H 0,4841
-0,7669
0,1920 0,3749
CAB 0,4966 0,6089 -0,0268 0,6179
CAP
0,5098
0,1939 0,6103 -0,5744
CAB²H 0,5089 -0,0590 -0,7680 -0,3843
Assim, a equação proposta pelo método de retenção de K=2 componentes é:
ii
HCABCABP ²054.3281101.350.499 ++=
44
Na Tabela 18 são apresentadas as estimativas dos parâmetros e percebe-se
que só o coeficiente da variável combinada (CAB²H), β
2
, é altamente significativo
para o modelo.
Tabela 18. Estimativas dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
retenção de K=2 componentes pela matriz de correlação.
Parâmetros Estimativas Erros Padrão p-valor
0
β
50,499 64,838 0,436
1
β
3,101 3,914 0,429
2
β
3281,054 147,277 < 2e
-16
***
A contribuição da variável é vista na Tabela 19 e se verifica que estas são
significativas para o modelo. A estimativa da variância (
2
σ
) é dada por S² = 85770,
sendo a adequacidade do modelo foi de 85,58% ( R²= 0,8558).
Tabela 19. ANOVA do modelo proposto pelo método de retenção de K=2
componentes pela matriz de correlação.
Fontes de Variação Graus de liberdade Somas de Quadrados Quadrados Médios p-valor
CAB 1 185015684 185015684 < 2,2e
-
16
***
CAB²H 1 42568650 42568650 < 2,2e
-
16
***
Resíduo 447 38339189 85770
Total 449 265923523
Na Figura 7, observa-se um comportamento razoável dos resíduos, ou seja,
todas as suposições de regressão em relação aos erros são atendidas. Apesar dos
resíduos obedecerem todas as suposições do modelo de regressão, apenas um
parâmetro é significativo e as variáveis explicativas têm um alto grau de correlação,
ou seja, existe o problema de multicolinearidade. Assim sendo, o método de seleção
de variáveis de retenção por K=2 componentes não se comporta adequadamente,
pois as estimativas dos parâmetros e o coeficiente de determinação (R²) ou
adequacidade do modelo não são confiáveis.
45
Figura 7. Gráficos dos resíduos para a equação obtida pelo método de retenção de
K=2 componentes pela matriz de correlação das variáveis explicativas.
4.5.2.4 Retenção por K=3 componentes pela matriz de correlação
Ao juntar os três primeiros componentes pela matriz de correlação, dada na
Tabela 8, o percentual chega a 92,44%, resultando em um K=3. Portanto, por este
método se deve excluir o quarto componente (PC4) de menor importância. Os
resultados apresentados pelo método de seleção de variáveis por retenção de K=3
componentes estão na Tabela 20. No terceiro componente (PC3) rejeita-se a
variável combinada (CAB²H), por apresentar o maior coeficiente em valor absoluto.
No segundo componente (PC2) rejeita-se a variável altura (H) e na primeira
componente (PC1) rejeita-se a variável CAP.
Tabela 20. Matriz de autovetores pela matriz de correlação para retenção por K=2
componentes.
Variável PC1 PC2 PC3 PC4
H 0,4841
-0,7669
0,1920 0,3749
CAB 0,4966 0,6089 -0,0268 0,6179
CAP
0,5098
0,1939 0,6103 -0,5744
CAB²H 0,5089 -0,0590
-0,7680
-0,3843
Logo, a equação proposta pelo método de retenção de K=3 componentes é:
ii
CABP 127.81996.896- +=
46
Na Tabela 21 observa-se as estimativas dos parâmetros e percebe-se que
são todos significativos para o modelo até mesmo ao nível de significância de 1%.
Tabela 21. Estimativas dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
retenção de K=3 componentes pela matriz de correlação.
Parâmetros Estimativas Erros Padrão p-valor
0
β
-996,896 64,78 < 2e
-
16
***
1
β
81,127 2,535 < 2e
-
16
***
A contribuição da variável é vista na Tabela 22 e verifica-se que são
significativas para o modelo. A estimativa da variância (
2
σ
) é dada por S² =180598,
em que o modelo está 69,57% adequado, ou seja, coeficiente de determinação foi
de R²= 0,6957.
Tabela 22. ANOVA do modelo proposto pelo método de retenção de K=3
componentes pela matriz de correlação.
Fontes de Variação Graus de liberdade Somas de Quadrados Quadrados Médios p-valor
CAB 1 185015684 185015684 < 2,2e
-
16
***
Resíduo 448 80907839 180598
Total 449 265923523
Na Figura 8, observa-se que os resíduos não têm um comportamento
razoável, ou seja, alguma das suposições de regressão em relação ao erro não foi
atendida. E observa-se no gráfico dos resíduos pelos valores ajustados que não há
uma relação linear, ou seja, provavelmente faz-se necessária a inclusão de um
termo quadrático, como, a variável combinada, CAB²H. Apesar do método de
seleção de variáveis de retenção de K componentes propor um modelo linear
simples, para K=3. Esse modelo não atende as suposições de regressão, logo suas
estimativas e coeficiente de determinação não são confiáveis.
47
Figura 8. Gráficos dos resíduos para a equação obtida pelo método de retenção de
K=3 componentes pela matriz de correlação das variáveis explicativas.
4.6 Modelo de regressão com os componentes principais
Para esse método os componentes principais serão as variáveis explicativas
e aplicando-se o método de Stepwise para a seleção dos componentes obteve-se a
seguinte equação:
4493.4863211.2702711.651920.370975.202
ˆ
PCPCPCPCP
iiii
−−−−=
Na Tabela 23 são apresentadas às estimativas dos parâmetros e nota-se que
apenas o intercepto não é significativo para o modelo ao nível de significância
adotado. No entanto, por existir uma correlação entre as variáveis explicativas,
multicolinearidade, todos os parâmetros podem estar mal estimados, apesar de
grande parte deles ser significativo ao nível de 1%.
48
Tabela 23. Estimativas dos parâmetros do modelo proposto pelo método de
Stepwise para a seleção dos componentes.
Parâmetros Estimativas Erros Padrão p-valor
0
β
975,202 13,019 < 2e
-
16
***
1
β
370,920 6,857 < 2e
-
16
***
2
β
-65,711 26,453 0,0134*
3
β
-270,211 42,217 3,93e
-
10
***
4
β
-486,493 58,986 1,84e
-
15
***
As contribuições das variáveis são vistas na Tabela 24 e verifica-se que são
significativas para o modelo. A estimativa da variância (
2
σ
) é dada por S² = 76278,
enquanto que o coeficiente de determinação é dado por R²= 0,8724.
Tabela 24. ANOVA do modelo proposto pelo método de Stepwise para a seleção
dos componentes.
Fontes de Variação Graus de liberdade Somas de Quadrados Quadrados Médios p-valor
PC1 1 223195419 223195419 < 2,2e
-
16
***
PC2 1 470659 470659 0,01336*
PC3 1 3124928 3124928 3,932e
-
10
***
PC4 1 5188719 5188719 1,839e
-
15
***
Resíduo 445 33943797 76278
Total 449 265923522
Na Figura 9, observa-se que um comportamento razoável dos resíduos, ou
seja, todas as suposições de regressão em relação ao erro são atendidas. Os
resíduos obedeceram todas as suposições do modelo de regressão. As variáveis
explicativas ou componentes, não são correlacionados, ou seja, não existe problema
de multicolinearidade. Aplicou-se o método de seleção de variáveis de Stepwise nos
componentes porque não é a variabilidade do componente que vai obter o melhor
modelo e sim a contribuição do componente. O quarto componente (PC4) é o de
menor variabilidade, porem é ele que contribui para a suposição do resíduo ser
válida. A Figura 10 mostra o gráfico de resíduos sem o quarto componente (PC4) e
49
observa-se que uma das suposições residuais não é atendida. Logo, precisa-se de
um termo quadrático no modelo. Como visto na Tabela 7, o PC4 representa a
variável combinada, CAB²H, pois as correlações com as outras variáveis explicativas
são próximas de zero.
Figura 9. Gráficos dos resíduos para a equação obtida pelo método de Stepwise
para a seleção dos componentes.
Figura 10. Gráficos dos resíduos para a equação obtida pelo método de Stepwise
para a seleção dos componentes sem o quarto componente (PC4).
50
4.7 Regressão Ridge
Utilizou-se as estimativas do modelo proposto pelo método de Stepwise e
chegou ao λ = 0,0296 que estabilizar a estimativa dos parâmetros e a equação
proposta é a seguinte:
niHCABCAPCABP
iiii
K1;²7057.27510162.372920.185396.
ˆ
=++−= 2
A estimativa de
2
σ
é dada por S² = 76115,08, enquanto que o coeficiente de
determinação foi de R²= 0,8723.
Na Figura 11, observa-se que uma pequena tendência dos resíduos, mas,
pode-se considerar para nosso estudo que todas as suposições de regressão em
relação ao erro são atendidas.
Figura 11. Gráfico dos resíduos para equação obtida pelo método de
regressão Ridge.
51
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Conclui-se, inicialmente, através da matriz de correlação e fator de inflação da
variância que existe um alto grau de multicolinearidade entre as variáveis
explicativas (ALT, CAB, CAP, CAB²H).
O modelo proposto pelo método de seleção de variáveis de Stepwise não
obtém resultados satisfatórios para a estimativa do peso da haste do bambu, pois as
variáveis explicativas que fazem parte da equação (CAB, CAP, CAB²H) são
correlacionadas, ou seja, o problema de multicolinearidade faz com que as
estimativas não sejam confiáveis.
A mesma situação do método de Stepwise acontece com o método de
seleção de retenção de K componentes pela matriz de correlação. Para o K=2 existe
o problema de colinearidade. Já para o K=3, não existe problema de colinearidade
ou multicolinearidade, pois só tem uma variável explicativa (CAB). Porém esta
variável não tem uma forte relação linear com a variável resposta (P), logo, as
suposições dos erros de regressão linear simples não são atendidas.
O modelo proposto pelo método de seleção de variáveis de retenção de K
componentes pela matriz de covariância obteve um bom resultado para o K=3 e
problemas de colinearidade para K=2. Quando o K=3, modelo de Spurr (SPURR,
1952), todas as suposições de análise de regressão linear simples são válidas. O
coeficiente de determinação (R² = 85,56%), a estimativa da variância (S²= 85699) e
as estimativas dos parâmetros são confiáveis.
Tanto o método de regressão com os componentes principais como a
regressão Ridge chegaram a bons resultados e estimativas confiáveis. Porém a
regressão Ridge é mais viável na prática, pela facilidade de obtenção das variáveis
explicativas.
52
No geral, os resíduos não se comportam perfeitamente para todos os
modelos, ou seja, apresenta uma pequena tendência, pela presença de outliers e
podendo ter alguma influência nos resultados das estimativas.
Em termos práticos para estimativa de biomassa verde da haste do bambu
para economizar tempo, custo e mão de obra, o modelo de Spurr, seria o mais
indicado para os casos lineares, pois se trabalha com variáveis de fácil medição.
53
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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