( PDF ) Caos e integrabilidade em teorias com supersimetria

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Tese de

Doutorado

Caos e Integrabilidade em Teorias

com Supersimetria

Leonardo Paulo Guimar

aes de Assis

Centro Brasileiro de Pesquisas F

ısicas-CBPF

Rio de Janeiro, 10 de Nov embro de 2005

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Dedicat´oria

Em mem´oria de meus pais Francisco e Cleia

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Agradecimentos

Gostaria de declarar inicialmente considerar os m´eritos por boa parte das conquistas

que me trouxeram at´e aqui como n˜ao sendo exclusivamente meus, mas, compartilho e

agrade¸co a um grande n´umero de pessoas que me ajudarm ao longo de toda minha vida

de estudante.

Na impossibilidade de citar todos, lembro aqui de algumas destas pessoas que de um

modo marcante me inﬂuenciram:

- Ao meu orientador e amigo, Prof. Jos´e Abdalla Helay¨el-Neto, a quem devo o meu

resgate para a f´ısica, a maior parte do que hoje sei sobre Teoria de Campos, por sua

dignidade pessoal e acadˆemica. A ele todos os agradecimentos s˜ao poucos frente a toda a

ajuda que me deu;

- Ao professor e amigo, Sebasti˜ao Alves Dias, agrade¸co pelo muito que me ensinou de

teoria de campos, pelo companheirismo de quem nunca me desamparou nos momentos

mais atribulados deste trajeto ;

- Ao Prof. Anibal Omar Caride meu primeiro professor aqui no CBPF, agrade¸co pelo

apoio a mim dado como a muitos outros p´os-graduandos;

- Aos colegas de conv´ıvio da DCP, digo CCP, digo LAFEX, com quem pude desfrutar

de um ambiente poucas vezes encontrado em outras paragens:

Alvaro Nogueira, Ricardo

Paschoal, Leonardo Moraes (Chara), Thales Soares, Wesley Spalenza, Humberto Belich

Jr., Marta Tureli, `a Sergio Vellozo meu agradecimento pela primeira revis˜ao desta tese e a

Nelson Panza meu agradecimento pelo fato de no apagar das luzes da reda¸c˜ao desta tese

ter feito a ´utima leitura, a Mois´es Rojas, Manoel Messias Jr., Jos´e Lu´ıs Boldo, Roger Bar-

reto, Hector Leny Carrion,

Alvaro Ferreira, M´arcia Moutinho, Ricardo Sibanto, Marcelo

Carvalho, Gustavo Dourado, Marcello Botta, Fabricio Barone, Cresus Godinho, Claudio

e Daniel Sasaki, Patrick Brockill, Everton Abreu, Jos´e Luis Chauca Murga, Gilmar Dias,

Edison Luiz da Gra¸ca, Rafael Chaves, Cristine Ferreira, Germano Monerat, Nem´esio de

Oliveira Neto, Jos´e Gomes, Val´eria Nunes, ;

- Aos funcion´arios, pela ajuda e carinho:

As secret´arias do CCP, Rosangela Marques,

Elisete, amigas com quem pude contar a todo instante neste meu doutorado, `a Beth

Martins; da Biblioteca: Rosa, Marina, Cida, Marilena, Baiano, F´atima, Sergio Velho, e

a galera da xerox, assim como o Prof. Emil Medeiros, a

Angela Melo, a Vera Toledo e o

Jos´e Ramalho; do Setor de Publica¸c˜oes: Socorro e Valeria; todos da CAT, especialmente

Marcio e Marcelo Albuquerque, Nilton Alves Jr., Fernanda, Denise Coutinho; da CFC:

Myriam Sim˜oes e Jos´e Ricardo; ao pessoal da vigilˆancia;

- N˜ao poderia deixar de agradecer aos que durante minha gradua¸c˜ao tiveram um papel

decisivo em minha vida acadˆemica e pessoal: Maria Darci Godinho minha grande amiga

e orientadora de meu projeto de ﬁnal de curso, Ivo Fernandez Lopez amigo, professor que

tamb´em esteve presente nos momentos mais dif´ıceis, Mario Cesar Barbatti ´e outro que

n˜ao posso esquecer, amigo de todas as horas com quem publiquei meu primeiro artigo

cientiﬁco. A estes trˆes meus agradecimentos especiais pois momentos que n˜ao pude andar

com minhas pr´oprias pernas, eles me carregaram;

- Aos Professores com que ﬁz disciplinas na UERJ durante este doutoramento: Prof.

Cesar A. Linhares da Fonseca Jr., Prof. Marcelo Chiapparini e ao Prof. Ivan C. da

Cunha Lima meus agradecimentos pelo muito que me ensinaram;

- Ao Prof. Ildeu de Castro Moreira com quem aprendi a gostar do caos e ao Prof.

iii

Filadelfo Cardoso Santos com quem continuei estes estudos;

- Ao Prof. Nelson Maculan Filho pela ajuda que me deu durante a gradu¸c˜ao e pelo

que sei sobre optimiza¸c˜ao;

- As profs. Dr.Heloisa Tardin, Gilda M. B raga e Maria Cristina Soares Guimar˜aes

(minha prima), por todo carinho e pelos ensinamentos em Ciˆencia da Informa¸c˜ao;

A Associa¸c˜ao de P´os Graduandos Jos´e Leite Lopes da qual tive a honra de representar,

agrade¸co pelo reconhecimento e a ela fa¸co votos que continue com o mesmo espirito de

commbate pelos interesses do CBPF e da F´ısica no Brasil;

-Ao Grupo de F´ısica Te´orica Jos´e Leite Lopes, pelo companheirismo que viabiliza uma

maneira diferente de fazer f´ısica;

-Ap´os estes dois ´ultimos agradecimentos presto minha homenagem ao Prof. Jos´e Leite

Lopes, patrono de nossa APG e do nossos grupos de p esquisa.

A ele minha estima por

tudo que fez pela ciˆencia em nosso pa´ıs;

-Ao Conselho Nacional de desenvolvimento Cientiﬁco e Tecnol´ogico, CNPq/MCT pelo

ﬁnanciamento de meu Doutoramento;

-Aos meus amigos da biblioteca do Inst. de Qu´ımica da UFRJ, agrade¸co pelo apoio e

amizade;

- A minha fam´ılia, que pelo amor e carinho me sustentaram e me inspiraram em tudo

aquilo de bom que tenho: em particular, a minha m˜ae, Cleia Guimar˜aes de Assis, e meu

pai, Francisco Paulo de Assis, meus av´os, Sebasti˜ao e Maria da Gloria, meus irm˜aos,

Ricardo, Andreia, Cristiano e Sergio, as minhas tias Luiza, Cidinha e Marilda.

Resumo

Neste Trabalho, explora-se a existˆencia de caos em teorias supersim´etricas.

Contempla-se sistemas mecˆanicos supersim´etricos formulados a partir de teorias de

campo reduzidas no regime de conﬁgura¸c˜oes espacialmente homogˆeneas e se aplicam aos

mesmos testes de integrabilidade e caos.

Summary

The existence of chaos in supersymmetric theories is the focus of this work. Super-

symmetric mechanical systems formulated from ﬁeld theories reduced in the regime of

spatially homogeneous conﬁgurations are contemplated and tests to ﬁnd out integrability

and chaos are applied. Our results suggest that supersymmetric models are more sensitive

to the presenc e of chaos than non-supersymmetric ones.

Indice

Dedicat´oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao 1

1 Caos e Integrabilidade em Teorias de Gauge 12

1.1 Teoria de Gauge com Campos espacialmente

Homogˆeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Caos e Integrabilidade e M´etodos de An´alise . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2 Simetrias pontuais de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Teste de Painlev´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.4 Caos Determin´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.5 Expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.6 O m´etodo SALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

vii

2 Modelo Mecˆanico de Yang-Mills Minimamente Supersim´etrico 27

2.1 O Modelo Supersim´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 An´alise de Integrabilidade para o Setor Bosˆonico . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 An´alise de Integrabilidade Considerando a Simetria de Paridade Imposta

a todo o Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Integrabilidade e Caos em um Modelo Planar Supersim´etrico N=2 36

3.1 O modelo Bosˆonico usual com considera¸c˜oes de Simetria de Paridade . . . 37

3.2 O modelo supersim´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 O setor bosˆonico e sua integrabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Parˆametros que sobrevivem aos v´ınculos de paridade . . . . . . . . 43

3.4 Aplicando o teste de Painlev´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Estudo da Integrabilidade do Setor Bosˆonico com simetria de Paridade

imposta a todo o modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.1 Formula¸c˜ao a duas componentes do setor fermiˆonico . . . . . . . . . 52

3.5.2 Estudo de integrabilidade com v´ınculos de paridade do setor fermiˆonico 55

3.6 Conclus˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Limite Mecˆanico Supersim´etrico de Yang-Mills com Quatro Graus de

Liberdade 70

4.1 O Modelo Supersim´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

viii

4.2 An´alise de Integrabilidade para o Setor Bosˆonico . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Estudo de Integrabilidade com V´ınculos de Paridade Impostos a Todo o

Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Conclus˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Integrabilidade e Caos numa Vers˜ao D=(0+1) da Teoria N=2 Maxwell–

Chern–Simons–Higgs. 80

5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 Descri¸c˜ao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 An´alise de Integrabilidade: Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.1 Aplicando Simetrias pontuais de Noether. . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.2 Teste de Painlev´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4 Regime de acoplamento cr´ıtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.5 An´alise de caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.5.1 Equa¸c˜oes de movimento e condi¸c˜oes para an´alise . . . . . . . . . . . 92

5.5.2 Caso com g = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5.3 Caso com g = 0 fora do regime de acoplamento cr´ıtico . . . . . . . 95

5.5.4 Caso com g no regime de acoplamento cr´ıtico . . . . . . . . . . . . 97

5.6 Conclus˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6 Considera¸c˜oes Finais 102

Bibliograﬁa 107

Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao

As propriedades dinˆamicas de sistemas de gauge de ﬁnem um foco de grande interesse,

como se pode p erceber a partir do not´avel esfor¸co que foi dirigido, h´a algum temp o, `a

an´alise da estabilidade de conﬁgura¸c˜oes de campo de gauge [Bamba et al,2002]. Dada

a sua imp ortˆancia na f´ısica te´orica, as teorias de gauge vˆem sendo investigadas intensa-

mente, e o quadro atual ´e uma descri¸c˜ao abrangente, mas n˜ao–exaustiva, desta estrutura

te´orica. Um aspecto promissor de tais sistemas ´e a possibilidade de solu¸c˜oes solitˆonicas co-

erentes, que podem desempenhar um papel crucial na compreens˜ao de fenˆomenos f´ısicos

como, por exemplo, o conﬁnamento dos quarks. Por outro lado, a procura de janelas

de regime ca´otico em teorias de gauge parece ser t˜ao importante como a an´alise ante-

rior, deﬁnindo uma contrapartida `a abordagem baseada em solu¸c˜oes es t´aveis, o que pode

conduzir `a resposta de problemas-chave [Bamba et al,2002, Biro et al,1994]. Nos anos

oitenta, desenvolveu-se um m´etodo para investigar caos em teorias de campo, que foi

aplicado a sistemas de Yang–Mills [Biro e t al,1994, Matinyan et al,1981]. A id´eia prin-

cipal ´e reduzir o modelo a seu limite mecˆanico, considerando conﬁgura¸c˜oes de campo

espacialmente homogˆeneas. A discuss˜ao da evolu¸c˜ao ca´otica neste regime restrito ´e su-

posta suﬁciente para assegurar comportamento ca´otico da teoria de campo completa

[Biro et al,1994, Nikolaevski e Shur,1982]. A partir do trabalho pioneiro de Matinyan

[Matinyan et al,1981] que, fazendo uso de campos espacialmente homogˆeneos viabilizou o

estudo de caos em teoria de campos, muitos outros trabalhos se sucederam. A seguir, des-

tacaremos alguns casos da literatura que adotam es te enfoque, e tamb´em outras maneiras

de estudar c aos em teorias de campos.

No trabalho [Lavkin,1991], o autor mostra que os campos de uma teoria de Yang-Mills

com grupo de simetria SU(2), numa aproxima¸c˜ao de grandes comprimentos de onda, exi-

bem uma transi¸c˜ao ordem-caos, `a medida que a energia aumenta e que a massa do campo

escalar apresenta um efeito estabilizador. Em [Kawabe,1992], o mesmo modelo foi acres-

cido do potencial de Higgs, e tamb´em uma transi¸c˜ao ordem-caos foi observada, sendo que,

nesta aproxima¸c˜ao espacialmente homogˆenea, observou-se que existiam solu¸c˜oes do tipo

monop´olo. No trabalho [Lavkin,1992], o autor mostra que a quantiza¸c˜ao dos mesmos cam-

pos tratados em [Lavkin,1991] conduzem a um aumento do comprimento de correla¸c˜ao da

carga de cor (conﬁnamento). Estudando o modelo de Higgs Abeliano e o modelo SO(3)

de Georgi-Glaslow (modelo de Higgs n˜ao-Abeliano), que, respectivamente, apresentam

solu¸c˜oes de v´ortice e monop´olo, os autores de [Dey et al,1993] mostraram que estes n˜ao s˜ao

integr´aveis para qualquer valor de parˆametro, e exibem caos. J´a em [Bamba et al,1993],

os autores investigaram a dinˆamica do modelo de Chern-Simons-Higgs, com e sem o termo

de Maxwell. No caso do Chern-Simons-Higgs puro, veriﬁcaram que este era integr´avel, ao

passo que a introdu¸c˜ao do termo de Maxwell tornava o sistema n˜ao-integr´avel, exibindo

caos. Outro estudo nesta linha [Kawabe,1993], mostrou que o modelo-SU(2) Yang-Mills-

Higgs, com solu¸c˜ao do tipo “sphaleron”, tamb´em apresenta transi¸c˜ao ordem-caos. Ainda

com a mesma abordagem que em [Sriram et al,1994] o modelo-SU(2) Chern-Simons-Higgs

foi analisado, e se descobriu que, em geral, este n˜ao ´e integr´avel, e que o acr´escimo de

um termo de energia cin´etica para o campo de Yang-Mills n˜ao alterava a situa¸c˜ao de n˜ao-

integrabilidade. No trabalho [Berman,1994], a teoria de gauge SU(2) × U(1) com fase

espontaneamente quebrada mostrou possuir transi¸c˜ao ordem-caos. Em [Kawabe,1995],

as propriedades ca´oticas do modelo de Higgs Abeliano foram estudadas, e se observou

que existia transi¸c˜ao ordem-caos para certos valores da constante de acoplamento e ener-

gia com propriedades diferentes daquelas observadas no caso das teorias topol´ogicas de

SU(2) Yang-Mills-Higgs. J´a no trabalho [Salasnich,1995], atrav´es de um an´alogo quˆantico

do crit´erio de superposi¸c˜ao de ressonˆancias de Chirikov, o autor obteve uma estimativa

anal´ıtica do caos para SU(2) Yang-Mills . Na referˆencia [Lakshmibala et al,1997], existe

uma revis˜ao dos trabalhos que contemplam campos espacialmente homogˆeneos at´e 1997.

Um estudo de caos quˆantico em modelo de campos espacialmente homogˆeneos ´e apresen-

tado na ref. [Salasnich,1997]. Em [Kaminaga e Saito,1998:1, Kaminaga e Saito,1998:2],

os autores mostraram a transi¸c˜ao ordem-caos na Eletrodinˆamica Escalar e no caso de

Yang-Mills puro em 2+1 dimens ˜oes com grupo SU(2).

Al´em do caso com campos espacialmente homogˆeneos, onde somente a vari´avel tempo-

ral era considerada, outros estudos levaram em conta os graus de liberdade espaciais, en-

tretanto, em situa¸c˜oes muito particulares. Estes eram os casos de teorias topol´ogicas onde

simetrias do tipo cil´ındricas ou esf´ericas entravam em cena. Entre estes estudos est´a o da

ref. [Kawabe e Ohta,1991], onde o caos foi estudado em um modelo SU(2) Yang-Mills com

perturba¸c˜oes na solu¸c˜ao de mon´opolo magn´etico do tipo `t Hooft-Polyakov. Averig¨uou-se

que existe um valor cr´ıtico na perturba¸c˜ao, abaixo do qual o sistema ´e regular. Estudos

semelhantes foram realizados nas referˆencias [Joy e Sabir,1992:1, Kawabe e Ohta,1994].

Nas refs. [Kawabe e Ohta,1997, Ohta e Kawabe,1997, Kawabe e Ohta,2000], as proprie-

dades ca´oticas do v´ortice da solu¸c˜ao de Nielsen-Olesen, com simetria cil´ındrica na teoria

de Higgs Abeliana, foram estudadas em um acoplamento cr´ıtico constante. Os resul-

tados mostraram que o sistema exibe caos no caso de grandes perturba¸c˜oes e ´e simi-

lar `a transi¸c˜ao ordem-caos observada em v´arias solu¸c˜oes topol´ogicas das teorias SU(2)

Yang-Mills-Higgs. Um outro estudo que fez uma compara¸c˜ao entre o caos observado em

teorias topol´ogicas e n˜ao-topol´ogicas, ´e apresentado na ref.[Mukku et al,1997]. Na ref.

[Dobrowolski e Szczesny,2000], ´e feito um estudo de caos no setor de Yang-Mills-Higgs,

com simetria esf´erica, no contexto da t´ecnica do desvio geod´esico, e se encontrou que a

massa de Higgs ´e um indicador natural da presen¸ca de sensibilidade `as condi¸c˜oes iniciais.

Dos estudos acima mencionados com teorias topol´ogicas, um detalhe que chama a

aten¸c˜ao ´e o fato de que, em uma mesma teoria, podem coexistir um regime de ultra-

estabilidade (s´oliton) e de ultra-instabilidade (caos) [Sriram e Segar,1997].

Embora nos estudos de teorias topol´ogicas os graus de liberdade espaciais j´a pudessem

ser considerados, existia uma limita¸c˜ao imposta pela exigˆencia de simetrias nes tes casos

(esf´erica, cil´ındrica e etc); por isto, um es tudo mais amplo, levando em conta os graus de

liberdade espaciais, foi conduzido por v´arios autores, fazendo uso das teorias de campos

na rede. Desta maneira, na ref. [M¨uller e Trayanov,1992], uma an´alise da teoria de gauge

SU(2) em uma rede espacial mostrou a existˆencia de caos no limite semicl´assico. Na

ref.[Pullirsch et al,1998], os autores ﬁzeram um estudo na rede das ﬂutua¸c˜oes no espectro

de autovalores, e se calculou a distribui¸c˜ao de vizinhos mais pr´oximos deste espectro.

Os resultados concordavam com a teoria de Wigner, que indica caos nestes casos; n˜ao

se encontrou nenhuma distribui¸c˜ao de Poisson, o que indicaria regularidade. Um es-

tudo semelhante foi feito para a QED em 4D [Berg et al,1999], como tamb´em para QCD

[Bittner et al,2001]. Uma revis˜ao de estudos de c aos na rede pode ser encontrada na ref.

[Biro et al,1994].

Um resultado importante a se destacar foi um estudo [Steeb et al,1991], que mostrou

que, se de um lado a vers˜ao usual de Yang-Mills em quatro dimens˜oes exibia caos, por

outro lado a sua vers˜ao auto-dual era completamente integr´avel.

Como boa parte dos estudos em caos nas teorias de campos foi feita em sua vers˜ao

cl´assica, uma pergunta que alguns autores tentaram responder foi at´e que ponto a quan-

tiza¸c˜ao da teoria teria um efeito estabilizador. Nesta linha, nos trabalhos das

refs.[Matinyan et al,1997:1]-[Kuvshinov e Kuzmin,2002], a a¸c˜ao efetiva `a aproxima¸c˜ao de

1-loop da Eletrodinˆamica Escalar sem massa foi estudada, e se veriﬁcou que a quebra

espontˆanea de simetria induzida radiativamente estabilizava o v´acuo contra o caos.

Fora do cen´ario mais diretamente ligado ao estudo das intera¸c˜oes fundamentais, outra

´area onde foram feitos muitos estudos de caos em teorias de campos foi o da Cosmo-

logia, relacionados `a expans˜ao do Universo [Barrow e Levin,1998], teorias inﬂacion´arias

[Salasnich,1999], ADS/CFT [Rama e Sathiapalan,1999] e supercordas cosmol´ogicas

[Damour e Henneaux,2000, Damour,2002]. Outro campo onde este tipo de estudo de caos

apresenta resultados na literatura foi o de Branas [Aref’eva et al,1998]-[Aref’eva et al,2000]

e Supercordas [Henneaux,2001]-[Damour,2003:2].

Uma proposta interessante, envolvendo caos em teorias de campos, pode ser vista

na ref . [B iro et al,2001], onde os autores prop˜oem que um sistema de campos pode

ser quantizado, fazendo uso do comportamento ca´otico de sua solu¸c˜ao cl´assica. Esta

proposta ´e an´aloga `a quantiza¸c˜ao estoc´astica, que ´e reconhecida como uma forma de

quatiza¸c˜ao em paralelo aos m´etodos canˆonico e do funcional de integral de caminho

[Floratos e Iliopoulos,1983, Damgaard e Huﬀel,1988]. Enquanto na quantiza¸c˜ao estoc´astica

existe o acr´escimo de ru´ıdo, cujo car´ater fenomen´ologico ´e mal compreendido, como

fonte da quantiza¸c˜ao, na ref. [Biro et al,2001] a pr´opria dinˆamica do sistema cl´assico

se encarrega deste papel, desde que seja considerada uma dimens˜ao extra de tipo tempo

que poss ibilita a termaliza¸c˜ao do sistema. J´a o estudo de caos quˆantico foi feito tanto

no limite espacialmente homogˆeneo [Salasnich,1998] como na rede [Matinyan et al,2003,

Bittner et al,2004].

Embora a maior parte das t´ecnicas para estudo do caos se ja num´erica, em tempos

recentes, uma s´erie de abordagens baseadas no estudo de curvaturas tˆem sido desen-

volvida e que permite uma estimativa anal´ıtica da existˆencia de caos. Exemplos desta

abordagem para o estudo de caos em teorias de campos podem ser encontradas nas refs.

[Casettit et al,1999, Kawabe,2003].

Como um ´ultimo ponto nesta revis˜ao da literatura, destacamos um esfor¸co em de-

ﬁnir um crit´erio para caos em teorias quˆanticas de campos. Segundo as referˆencias

[Kuvshinov e Kuzmin,2002] e [Kuvshinov e Kuzmin,2003], o caos quˆantico pode ser de-

ﬁnido a partir da fun¸c˜ao de Green, em analogia com a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao usada em

Mecˆanica Estat´ıstica como m´etodo para estimar caos. Esta proposta traz duas vanta-

gens: de um lado, a fun¸c˜ao de Green ´e um objeto pr´oprio da teoria quˆantica de campos

e, portanto, invariante relativ´ıstico, o que difere dos estimadores usuais de caos, que cos-

tumam nˆao ser invariantes frente a transforma¸c˜oes de coordenadas. A outra ´e que o caos,

nesta proposta, ´e deﬁnido no regime quˆantico e, s´o ent˜ao, ´e comparado com os resulta-

dos cl´assicos quando este limite ´e tomado. Deve-se observar que esta deﬁni¸c˜ao de caos

quˆantico est´a na contra-m˜ao da vers˜ao usual, onde o caos ´e deﬁnido classicamente e o

caos quˆantico ´e o conjunto de manifesta¸c˜oes especiais que a teoria exibe no caso quˆantico,

quando sua vers˜ao cl´assica ´e ca´otica.

No contexto desta revis˜ao, um foco relevante de aten¸c˜ao ´e deﬁnido pela possibilidade

de estabelecer uma receita de interdependˆencia sistem´atica para a rela¸c˜ao entre sime-

trias de gauge e o controle da dinˆamica ca´otica. Ao considerarmos simetrias de gauge,

encontramo-nos eventualmente com sistemas supersim´etricos considerados do ponto de

vista fundamental, ou como modelos estendidos, concebidos para uma melhor descri¸c˜ao

de situa¸c˜oes f´ısicas espec´ıﬁcas.

Teorias de Maxwell–Chern–Simons–Higgs (MCSH) planares em (2+1)D, candidatas a

uma descri¸c˜ao efetiva de fenˆomenos supercondutores em alta–T

, foram recentemente es-

colhidas como modelos com o prop´osito de estudar transi¸c˜oes ordem–caos. Bambah et al.

[Bambah et al,1993] considerou tanto o modelo de Chern–Simons–Higgs (CSH) integr´avel,

minimamente acoplado, quanto sua extens˜ao natural de momenta mais altos, o sistema de

Maxwell–Chern–Simons–Higgs minimamente acoplado. O ´ultimo falhou, quando subme-

tido a um crit´erio de integrabilidade, o teste de Painlev´e, apresentando um regime ca´otico,

conﬁrmado atrav´es do uso da an´alise num´erica do expoente de Lyapunov e da an´alise de

diagramas de fase. Recentemente, Escalona et al. [Escalona et al,2000] efetuaram um

trabalho semelhante em um sistema de MCSH dotado de ambos acoplamentos, m´ınimo e

n˜ao-m´ınimo, no setor de intera¸c˜ao. O acoplamento n˜ao-m´ınimo signiﬁca um termo do tipo

Pauli descrevendo uma intera¸c˜ao intensidade de campo-corrente de mat´eria, admitida em

(2+1)–D, indiferente ao spin do campo de mat´eria [Stern,1991]. Al´em disso, caso se bus-

que uma extens˜ao quˆantica, tal acoplamento n˜ao-m´ınimo deve ser considerado de sa´ıda

[Kogan,1991]. No trabalho da Ref. [Escalona et al,2000], o sistema de CSH ´e discutido

como ainda sendo integr´avel, enquanto o acoplamento n˜ao-m´ınimo do MCSH exibe “jane-

las alternadas de ordem e caos”, `a medida que a constante de acoplamento n˜ao-m´ınimo, g,

´e variada, com os outros parˆametros sendo mantidos constantes. O modelo que se adota ´e

a proje¸c˜ao bosˆonica de um sistema N = 1–supersim´etrico j´a estabelecido; na verdade, um

sistema de MCSH com intera¸c˜ao n˜ao-m´ınima, que j´a havia sido estendido a uma teoria

supersim´etrica N = 2 on–shell [Navr´atil,1996]. Na medida em que solu¸c˜oes do tipo-s´oliton

s˜ao um assunto de interesse, a extens˜ao N = 2 deﬁne a estrutura pr´opria, uma vez que

permite regime auto–dual [Witten e Olive,1978, Bogomol’nyi,1976]. Neste sentido, Antil-

lion, Escalona et al. haviam encontrado, em um trabalho anterior [Antill´on et al,1997],

enquanto trabalhavam em um modelo estens´ıvel N = 2, uma solu¸c˜ao de v´ortice auto–

dual est´atica n˜ao–topol´ogica, o que motivou a procura de dinˆamica ca´otica no sistema

espacialmente homogˆeneo como uma contraparte interessante para a descoberta anterior.

N˜ao obstante, at´e mesmo se supusermos a validade da conjectura que relaciona o limite

mecˆanico `a teoria completa, surge um problema se consideramos o car´ater de contra-

parte como rigoroso: o v´ortice foi encontrado em um ambiente de supersimetria N = 2,

enquanto o procedimento de variar g adotado em [Escalona et al,2000] necessariamente

move o sistema para fora da situa¸c˜ao de proje¸c˜ao de uma supersimetria bosˆonica N = 2.

Como claramente tomado em [Navr´atil,1996], um acoplamento cr´ıtico, isto ´e, g = −e/k,

tem que ser suposto para assegurar supersimetria-N = 2 on–shell, onde e ´e a constante

do acoplamento m´ınimo e k ´e o parˆametro de massa de Chern–Simons. Al´em disso, o

potencial escalar ´e proibido de incluir qualquer termo que n˜ao seja φ

do tipo massa

n˜ao–topol´ogico. Assim, variando g, enquanto e e k s˜ao mantidos constantes, e adotando

V = λ(φ

− v

)

, faz daquele modelo, no m´aximo, um setor de um sistema N = 1.

Alternativamente, outro modelo planar n˜ao-m´ınimo N = 2 de MCSH foi proposto

recentemente [Christiansen et al,1999:1], deﬁnindo um espectro mais rico, que apresenta

solu¸c˜oes est´aticas de v´ortice tanto n˜ao–topol´ogicas e topol´ogicas auto–duais

[Christiansen et al,1999:2], numericamente obtida depois da ado¸c˜ao da rela¸c˜ao de aco-

plamento cr´ıtico. Tal sistema exibe supersimetria N = 2 oﬀ–shell, e ´e obtido de um

“ansatz”de N = 1, D = 4, depois de redu¸c˜ao dimensional e uma apropriada identi-

ﬁca¸c˜ao de supercampo covariante N = 2. Duas diferen¸cas importantes surgem, caso

se deseje comparar ambos os modelos de MCSH n˜ao-m´ınimo: no caso de N = 2–oﬀ–

shell, um campo escalar neutro “adicional” surge; tamb´em, no caso de N = 2–oﬀ–shell,

nenhuma rela¸c˜ao entre as constantes de acoplamento e os parˆametros ´e exigida para

assegurar supersimetria-N = 2 (entretanto, foi mostrado que as excita¸c˜oes de v´ortice

prevalecem no regime particular g = −e/k). Em outras palavras, se o modelo da Ref.

[Christiansen et al,1999:1] ´e considerado, a estrat´egia de variar g livremente e a esco-

lha de um p otencial escalar topologicamente n˜ao–trivial vem a ser compat´ıvel com uma

supersimetria N = 2.

Motivados por estas caracter´ısticas interessantes, levamos a cabo, no Cap´ıtulo 5 uma

an´alise da vers˜ao reduzida da Lagrangiana mecˆanica do setor-bosˆonico extra´ıda da Ref.

[Christiansen et al,1999:2].

Do ponto de vista da integrabilidade, muitos estudos foram realizados com teorias

supersim´etricas, onde o carater integr´avel, ou n˜ao-integr´avel, foi estabelecido, mas sem ne-

cessariamente esbalecer que mecanismos conferem estas propriedades aos sistemas

[Evans e Madsen,1996]-[Hlavaty,1989]. Entretanto, estudos como os da teoria de Seiberg-

Witten lan¸cam luz sobre o car´ater n˜ao-integr´avel das teorias supersim´etricas e associam

um car´ater n˜ao-integr´avel `as teorias supersim´etricas, por conta do grande n´umero de

v´ınculos que estas possuem [Seiberg,1998]. Mais raro ainda, ´e o estudo de caos em teorias

supersim´etricas. Em [Gozzi, Reuter e Thacker,1992], os autores argumentam com base

em um estudo em mecˆanica cl´assica sup ersim´etrica, que uma dinˆamica ordenada ´e ob-

servada em teoria com supersimetria quebrada, ao passo que supersimetria exata implica

em dinˆamica erg´odica.

Dinˆamica ordenada Dinˆamica erg´odica

⇓ ⇑

Supersimetria quebrada Supersimetria exata.

Cabe lembrar que dinˆamica erg´odica est´a associada `a dinˆamica ca´otica. Um outro

resultado na literatura, que associa caos a cen´ario supersim´etrico, ´e um trabalho devido

a Horne e Moore [Horne e Moore,1994] onde se conclui que o espa¸co modular do v´acuo

de supercordas exibe caos. Estes resultados nos levam a sugerir, nesta tese, a hip´otese de

que o ambiente supersim´etrico ´e mais prop´ıcio para o surgimento de caos do que o cen´ario

n˜ao-supersim´etrico.

Esta tese fundamenta-se em um conjunto de trabalhos [de Assis et al,2005:1],

[de Assis et al,2005:2] e [de Assis et al,2005:3], realizados em colabora¸c˜ao com outros mem-

bros do Grupo de Pesquisa onde desenvolvo o meu projeto, e que marcam o inicio de uma

linha de pesquisa que estuda integrabilidade e caos em conex˜ao com supersimetria. Ini-

cialmente, atacamos os modelos mecˆanicos para, em seguida, como discutido em nossas

considera¸c˜oes ﬁnais, passarmos ao estudo da quest˜ao no ˆambito das teorias de campos.

A seguir, apresentamos como este trabalho de tese est´a organizado:

No Capitulo 1, faremos uma revis˜ao de conceitos usados nesta tese, e que n˜ao s˜ao de

amplo dom´ınio pela comunidade de teoria de campos.

Iniciamos apresentando a formula¸c˜ao de camp os espacialmente homogˆeneos para es-

tudo de teorias de gauge.

A seguir, apresentamos o conceito de integrabilidade e as t´ecnicas que usamos nesta

tese para sua detec¸c˜ao: a t´ecnica das simetrias de Noether e a an´alise de Painlev´e.

De maneira semelhante, apresentamos o conceito de caos determin´ıstico e as t´ecnicas

que s˜ao utilizadas para sua determina¸c˜ao: o expoente de Lyapunov e o m´etodo SALI.

No Cap´ıtulo 2, iniciamos o estudo do papel da supersimetria frente `a integrabilidade e

caos, construindo uma vers˜ao planar supersim´etrica N = 1 da vers˜ao mecˆanica da teoria

de Yang-Mills e veriﬁcando sua integrabilidade.

No Cap´ıtulo 3, continuamos esta linha de estudo, construindo um modelo polinomial

planar supersim´etrico N = 2 de ordem 4. Comparamos a an´alise de integrabilidade feita

somente no setor bosˆonico com a mesma an´alise feita para o modelo completo. Ap´os esta

an´alise, selecionamos um dos casos n˜ao-integr´aveis e veriﬁcamos a existˆencia de caos neste

modelo.

Os modelos mecˆanicos de Yang-Mills considerados nos Cap´ıtulos 2 e 3 podiam ser

vistos como modelos planares derivados de uma vers˜ao em quatro componentes ap´os

mudan¸ca de coordenadas. Motivados por esta caracter´ıstica, no Cap´ıtulo 4, repetimos o

estudo feito nos dois cap´ıtulos anteriores diretamente na vers˜ao em quatro componentes.

No Cap´ıtulo 5, fazemos um estudo de caos em um sistema mecˆanico originado de uma

teoria de campos supersim´etrica de Maxwell-Chern-Simons, com acoplamento n˜ao-m´ınimo

ap´os redu¸c˜ao espacial homogˆenea.

Aproveitamos o importante papel que o parˆametro g desempenha, como destacado an-

teriormente, e realizamos c´alculos em trˆes cen´arios: g = 0, g = 0 mas fora do acoplamento

cr´ıtico e g no acoplamento cr´ıtico.

Por ´ultimo, Cap´ıtulo 6, apresentamos nossas Considera¸c˜oes Finais.

Cap´ıtulo 1

Caos e Integrabilidade em Teorias de

Gauge

1.1 Teoria de Gauge com Campos espacialmente

Homogˆeneos

A proposta de que o caos pudesse ter um papel importante em teorias de intera¸c˜oes

fundamentais remonta a Heisenberg [Heisenberg,1949], antes do surgimento das teorias

de gauge, em um trabalho descrevendo a produ¸c˜ao de m´esons em termos de campos

turbulentos. Com o advento das teorias de gauge, estudos do v´acuo perturbativo da

teoria de Yang-Mills indicaram que este n˜ao era o verdadeiro v´acuo. Como uma teoria

quˆantica ´e probabil´ıstica por natureza, ´e necess´ario que a solu¸c˜ao cl´assica escolhida para

quantiza¸c˜ao seja a de m´ınima energia, a ﬁm de evitar a possibilidade do estado quˆantico

decair em um estado de mais baixa energia.

Ocorre que, nas teorias de Yang-Mills, n˜ao ´e possivel se decompor o campo de gauge

em osciladores de campo n˜ao-interagentes, devido ao fato da a¸c˜ao ser n˜ao-linear. Estes

osciladores anarmˆonicos acoplados d˜ao origem a um condensado de gl´uon, manifestado

em um valor esperado do v´acuo n˜ao-nulo da a¸c˜ao de Yang-Mills, o que reduz a energia

do estado fundamental.

Uma an´alise dos diferentes tipos de estados fundamentais da QCD revelou que o pro-

blema de encontrar uma conﬁgura¸c˜ao de c ampo n˜ao-trivial, onde t´ecnicas de quantiza¸c˜ao

perturbativa podem ser implementadas na forma-padr˜ao, ´e ainda pouco claro.

Isto faz com que seja importante encontrar e analisar solu¸c˜oes cl´assicas das equa¸c˜oes

de Yang-Mills sem fontes externas no espa¸co de Minkowski.

E esperado, ent˜ao, que estas

solu¸c˜oes possam servir de base s´olida para investiga¸c˜ao da estrutura de v´acuo da QCD.

Considerando uma teoria de Yang-Mills no espa¸co-tempo de Minkowski com graus de

liberdade internos respeitando SU(2), temos as seguintes equa¸c˜oes de campo:

∂

µν

+ g

abc

aµ

µν

= 0,

onde

µν

= ∂

− ∂

+ g

abc

com tensor momento-energia:

µν

= −F

aλ

νλ

µν

λρ

aλρ

Queremos descrever estados de v´acuo para os quais o vetor de Poynting ´e anulado em

um dado sistema de coordenadas,

= F

ou seja, n˜ao existe ﬂuxo de energia.

Usando estas condi¸c˜oes, e ﬁxando o gauge como A

= 0, as equa¸c˜oes de campo podem

ser reescritas como:

··

− F

ji,j

+ g

abc

= 0,

que admite as seguintes quantidades conservadas:

= 

ijk

= 

abc

sendo que N

´e nulo para a solu¸c˜ao de v´acuo, e para os outros casos ´e igual `a densidade

de carga de cor externa. Estes v´ınculos,

= 0 e

= 0,

conduzem a:



i,j

− A

j,i



= 0.

Isto implica nas seguintes condi¸c˜oes:

i) A

i,j

= 0 ii)

= 0 iii) A

i,j

− A

j,i

= 0,

onde:

E o caso homogˆeneo,

ii) Caso es t´atico e

iii)

E o caso de potenciais vetores irrotacionais.

O caso homogˆeneo corresponde a uma aproxima¸c˜ao no limite de grandes comprimentos

de onda, o que reduz um sistema de equa¸c˜oes parciais (EDP) a um sistema de equa¸c˜oes

diferenciais ordin´arias (EDO). Com esta redu¸c˜ao advinda da hip´otese de homogeniedade

espacial dos potenciais, i.e.,

(x) = A

(t), (1.1.1)

estes passam a ser fun¸c˜oes s´o do tempo, enquanto ainda assumem valores na

Algebra de

Lie. Outras simpliﬁca¸c˜oes podem ocorrer ao se tomar G como sendo o grupo n˜ao-Abeliano

mais simples : SU(2). Assim, o potencial de gauge ´e A

(t) ; onde a=(1,2,3) ´e o indice

para G = SU(2) e

= x(t); gA

= y(t); gA

= z(t), (1.1.2)

e supondo para µ = 1, 2, 3, enquanto

= 0 ∀ a,

que ´e a ﬁxa¸c˜ao de gauge anteriormente mencionada. Com estas deﬁni¸c˜oes, o Hamiltoniano

de Yang-Mills , H

Y M

, torna-se

H =

+ p

) +

+ y

+ z

), (1.1.3)

O caso do Yang-Mills puro, descrito acima, corresponde `a dinˆamica de um sistema de

osciladores acoplados com potential qu´artico.

Uma vers˜ao mais simples deste modelo ´e dada em duas componentes [Biro et al,1994]:

H =

+ p

) +

; (1.1.4)

em ambos os casos, o modelo ´e totalmente ca´otico.

Se, por outro lado, ﬁzermos a redu¸c˜ao de uma teoria com o termo de Higgs,

H = H

Y M



σ + B



)



+ (σ − v)





+ (σ − v)

− v



, (1.1.5)

onde o isodoublete do campo escalar de Higgs ´e dado por [Biro et al,1994]:

φ =





√



+ B

σ − iB

− v



(v estando relacionado ao valor esperado no v´acuo; e λ sendo uma constante de acopla-

mento que descreve a intensidade de intera¸c˜ao), ap´os a redu¸c˜ao espacialmente homogˆenea

e a imposi¸c˜ao de alguns v´ınculos, como lei de Gauss e σ = B

= 0, obtemos o seguinte

modelo mecˆanico com duas componentes:

H = H =

+ p

) +



+ y



. (1.1.6)

Para a maior parte dos valores dos parˆametros, este modelo ´e n˜ao-integr´avel, sendo

que, neste regime, ao contr´ario do Yang-Mills puro, exibe tanto ordem quanto caos; por

isto, diz-se que a introdu¸c˜ao do potencial de Higgs estabiliza a teoria.

E intuitivo, observando o Hamiltoniano acima, que quando as componentes exibem

grandes valores, o termo x

domina, e temos a dinˆamica ca´otica t´ıpica do Yang-Mills

puro. Por outro lado, se as componentes possu´ırem valores pequenos, o sistema passa a

exibir comportamento ordenado.

De fato, a partir de uma an´alise que segue este racioc´ınio, podemos construir o seguinte

parˆametro adimensional de controle, com o qual podemos distig¨uir ordem e caos:

k =

Para k = 0, temos o caso de Yang-Mills puro e, portanto, caos. Para k = 0 e valores

de k pequenos, temos caos, ao passo que, para k assumindo valores grandes, temos ordem.

Para e ste caso com duas componentes, temos como limiar para ordem-caos k ≈ 0.15.

1.2 Caos e Integrabilidade e M´etodos de An´alise

Antes de darmos in´ıcio ao estudo da rela¸c˜ao entre caos e integrabilidade com a super-

simetria, conv´em que fa¸camos uma revis˜ao, ainda que breve, destes dois conceitos (caos e

integrabilidade), assim como dos instrumentos que ser˜ao utilizados nesta tese para estudo

sobre os me smos.

1.2.1 Integrabilidade

Embora a no¸c˜ao de integrabilidade seja muita usada atualmente, n˜ao existe uma de-

ﬁni¸c˜ao ´unica compartilhada pela comunidade cient´ıﬁca. Na verdade, os principais textos

introdut´orios `a integrabilidade iniciam sua exposi¸c˜ao enfatizando este fato. Por outro

lado, a este ponto, cabe destacar que, ao contr´ario do que muitos pensam, integrabilidade

n˜ao ´e sinˆonimo de solvabilidade que, no caso, ´e a existˆencia de solu¸c˜oes de um sistema

dinˆamico em termos de fun¸c˜oes conhecidas. O c onceito de integrabilidade est´a ligado

`a id´eia de se poder conhecer propriedades globais do sistema estudado, a ponto de sa-

bermos caracterizar seu comportamento ao longo do tempo. De modo geral, o conceito

mais amplamente relacionado a este conhecimento global do sistema ´e o de quantidades

conservadas, tamb´em chamadas de integrais primeiras ou, tamb´em, invariantes.

As integrais primeiras s˜ao fun¸c˜oes das vari´aveis dinˆamicas do sistema que permanecem

constantes ao longo do tempo. No caso integr´avel, por exemplo, estas integrais primeiras

podem ser utilizadas para baixar a dimensionalidade do sistema at´e que este possa ser

integrado por quadraturas.

Visto que n˜ao existe uma deﬁni¸c˜ao ´unica de integrabilidade, podemos nos perguntar

onde repousa o rigor nos v´arios trabalhos publicados neste assunto. A resposta ´e que cada

um destes estudos adota uma deﬁni¸c˜ao de trabalho para integrabilidade e, ao fazer tal

restri¸c˜ao, os autores podem ser t˜ao precisos quanto queiram, dentro dos limites daquela

deﬁni¸c˜ao. Assim ora encontramos frases como: “integr´avel `a la Liouville”, “integr´avel de

acordo com a Propriedade de Painlev´e”, “integr´avel via pares de Lax” e outras mais.

E importante destacar, que tais deﬁni¸c˜oes de integrabilidade n˜ao s˜ao equivalentes

e portanto um sistema que ´e integr´avel segundo uma destas deﬁni¸c˜oes pode n˜ao ser por

outra. Da´ı o motivo de na literatura termos um me smo sistema dinˆamico sendo estudando

segundo diferentes crit´erios de integrabilidade.

Dentro deste racioc´ınio, ao longo deste trabalho, adotaremos dois crit´erios de integra-

bilidade: Simetrias de Noether e Propriedade de Painlev´e, que ser˜ao expostos nas se¸c˜oes

que seguem.

1.2.2 Simetrias pontuais de Noether.

Uma quest˜ao importante relativa a um sistema Lagrangiano diz respeito `as suas

simetrias pontuais de Noether, uma vez que relacionadas a quantidades conservadas.

Aqui, consideramos a pergunta da existˆencia de simetrias pontuais de Noether no nosso

sistema, seguindo o m´eto do mostrado na referˆencia [Sarlet e Cantrijn,1981]. Procuramos

por transforma¸c˜oes inﬁnitesimais de ponto da forma:

A = A + εη

, (1.2.7)

ζ = ζ + εη

, (1.2.8)

φ = φ + εη

, (1.2.9)

M = M + εη

, (1.2.10)

t = t + ετ , (1.2.11)

para fun¸c˜oes dos campos e do tempo η

, η

, τ , e ε (um parˆametro inﬁnitesimal).

Estas transforma¸c˜oes inﬁnitesimais deixam invariante o funcional de a¸c˜ao, a menos da

adi¸c˜ao de uma constante num´erica irrelevante, se e s´o se a seguinte condi¸c˜ao de simetria

de Noether [Sarlet e Cantrijn,1981] for satisfeita:

∂L

∂t

+ η

∂L

∂A

+ η

∂L

∂ζ

+ η

∂L

∂φ

+ η

∂L

∂M

+ ( ˙η

− ˙τ

∂L

∂

+ ( ˙η

− ˙τ

ζ)

∂L

∂

+ ( ˙η

− ˙τ

φ)

∂L

∂

+ ( ˙η

− ˙τ

∂L

∂

+ ˙τ L =

F , (1.2.12)

onde F ´e uma fun¸c˜ao dos campos e do tempo. Se tal fun¸c˜ao pode ser encontrada, existe

uma simetria pontual de Noether e um invariante de Noether associado I dado por:

I = η

∂L

∂

+ η

∂L

∂

+ η

∂L

∂

+ η

∂L

∂

−τ(

∂L

∂

∂L

∂

∂L

∂

∂L

∂

−L) −F . (1.2.13)

Na condi¸c˜ao de simetria de Noether, as derivadas temporais s er˜ao entendidas como

derivadas totais, por exemplo:

˙τ =

∂τ

∂A

A +

∂τ

∂ζ

ζ +

∂τ

∂φ

φ +

∂τ

∂M

M +

∂τ

∂t

. (1.2.14)

1.2.3 Teste de Painlev´e

Diz-se que um sistema possui a propriedade de Kowalevskaia-Painlev´e ou, como ´e mais

frequ¨ente, propriedade de Painlev´e, se as singularidades m´oveis de suas solu¸c˜oes no plano

complexo s˜ao p´olos.

A proposta de relacionar a propriedade de Painlev´e a sistemas integr´aveis teve in´ıcio

no ﬁnal do s´eculo XIX, com os trabalhos de Soﬁa Kowalevskaia [Kowalevskaia,1889], que

analisou a integrabilidade de um sistema de equa¸c˜oes que tratavam da rota¸c˜ao de corpo

r´ıgido com um ponto ﬁxo colocado em um campo gravitacional constante.

J´a no in´ıcio do s´eculo XX, Painlev´e analisou equa¸c˜oes que satisfaziam esta propriedade

e estudou sua aplica¸c˜ao a equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem.

Em seguida, os colaboradores de Painlev´e catalogaram um conjunto de cinq¨uenta

equa¸c˜oes que possu´ıam esta propriedade e, portanto, eram integr´aveis. Agora, de posse

desta lista, a diﬁculdade estava em, dado um sistema de equa¸c˜oes diferenciais qualquer,

mostrar, via transforma¸c˜oes de coordenadas, que tal sistema reca´ıa nos casos listados

como sendo integr´aveis, segundo a propriedade de Painlev´e o que, em geral, n˜ao constitui

tarefa trivial.

No ﬁnal dos anos 70, Ablowitz, Ramani e Segur desenvolveram um algoritmo para

testar se um dado sistema de equa¸c˜oes possui esta propriedade [Ablowitz e Segur,1997,

Ablowitz e Fokas,1981, Ablowitz, Ramani e Segur,1978]. Este procedimento ﬁcou conhe-

cido como teste de Painlev´e, e ´e uma das poucas formas, incluindo a an´alise de simetrias,

de se determinar via um procedimento algor´ıtmico se um sistema ´e integr´avel.

A seguir, damos detalhes deste procedimento.

O teste de Painlev´e [Tabor,1989]–[Ablowitz, Ramani e Segur,1978] estabelece se

um sistema de ODEs exibe a propriedade de Painlev´e.

Uma EDO tem a propriedade de Painlev´e se suas solu¸c˜oes no plano complexo s˜ao

uni-valoradas na vizinhan¸ca de todas suas singularidades m´oveis.

Dado um sistema de equa¸c˜oes diferenciais,

, u

) = 0 com i, j = 1, ..., n , (1.2.15)

adotamos uma expans˜ao de Laurent para a solu¸c˜ao

(t) = (t − t

)

∞



k=0

i,k

(t − t

)

, (1.2.16)

com

i,0

= 0 and α

∈ Z

−

, (1.2.17)

onde u

i,k

s˜ao constantes. O algoritmo para o teste de Painlev´e ´e implementado por meio

dos seguintes trˆes passos:

Passo 1: (Determina¸c˜ao da singularidade principal ou comportamento dominante). Subs-

tituimos

(t)  u

i,0

(t − t

)

(1.2.18)

em (1.2.15) para determinar α

e u

i,0

, e obtemos um sistema alg´ebrico com α

assumindo valores inteiros negativos e t

arbitr´ario.

Impomos que dois ou mais termos de cada equa¸c˜ao possam se equilibrar e determinar

e u

i,0

Se qualquer α

n˜ao for inteiro, o sistema n˜ao ´e do tipo-Painlev´e em sua vers˜ao forte.

Se h´a mais de uma solu¸c˜ao para α

ou u

i,0

, elas deﬁnem ramos, e os seguintes passos

do algoritmo precisam ser aplicados para cada um destes ramos.

Passo 2: (Determina¸c˜ao das ressonˆancias).

Para cada α

e u

i,0

, calculamos os inteiros r para os quais u

i,r

´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria

em 1.2.15. Substitu´ımos a s´erie truncada,

(t) = u

i,0

(t − t

)

+ u

i,r

(t − t

)

, (1.2.19)

por (1.2.15), e procuramos por inteiros r para quais u

i,r

´e uma constante arbitr´aria.

Para fazer isto, depois de substituir a s´erie truncada por (1.2.15), ﬁcamos com os

termos mais singulares em (t − t

), e os coeﬁcientes de u

i,r

s˜ao ﬁxados como zero.

Temos:

= 0, ur = (u

1,r

2,r

...u

M,r

)

, (1.2.20)

onde Q ´e uma matriz M × M que depende de r.

As ressonˆancias s˜ao as ra´ızes de det(Q) = 0.

Em to do sistema com a propriedade de Painlev´e, a ressonˆancia (−1) estar´a presente

e corresponder´a a (t − t

) arbitr´ario. A ressonˆancia com valor zero tamb´em pode

estar presente, dependendo do n´umero de valores arbitr´arios u

i,0

Passo 3: (Condi¸c˜oes de compatibilidade e constantes de movimento).

Para toda ressonˆancia encontrada no passo anterior, h´a uma condi¸c˜ao de compati-

bilidade que deve ser veriﬁcada para que o sistema passe no teste de Painlev´e. As

condi¸c˜oes de compatibilidade s˜ao veriﬁcadas inserindo

(t) = (t − t

)



k=0

i,k

(t − t

)

(1.2.21)

em (1.2.15), onde r

´e a ressonˆancia inteira positiva mais alta.

Se todas estas condi¸c˜oes de compatibilidade forem satisfeitas de maneira que elas

introduzam um n´umero suﬁciente de constantes arbitr´arias, ent˜ao ´e dito que o sis-

tema ´e do tipo-Painlev´e. Exemplos simples destes algoritmo podem ser encontrados

nas refs. [Tabor,1989, Ablowitz, Ramani e Segur,1978].

1.2.4 Caos Determin´ıstico

O chamado caos determin´ıstico ´e um comportamento imprevis´ıvel e aparentemente

aleat´orio, que ocorre em sistemas dinˆamicos, sejam eles cont´ınuos ou discretos. A de-

signa¸c˜ao de caos determin´ıstico vem do fato de que, apesar do comportamento aleat´orio,

tais sistemas tˆem sua dinˆamica governada por leis de movimento bem-deﬁnidas.

Sistemas como estes, regidos por leis f´ısicas bem-deﬁnidas e cujo comportamento po-

deria ser, e m princ´ıpio, previsto, s˜ao chamados sistemas determin´ısticos.

Assim como no caso da integrabilidade, n˜ao existe uma deﬁni¸c˜ao ´unica de caos, en-

tretanto existem deﬁni¸c˜oes matem´aticas precisas, como a de York e a de Devaney. Entre-

tanto, a mais conhecida ´e, na verdade, uma deﬁni¸c˜ao de trabalho que associa o processo

ca´otico com sensibilidade `as condi¸c˜oes iniciais, e ´e assim que o caos cl´assico ´e caracteri-

zado pelos seus estimadores, dos quais o mais conhecido ´e o expoente de Lyapunov, que

apresentaremos nes te cap´ıtulo.

Apesar de, neste trabalho, usarmos o expoente de Lyapunov para inspe¸c˜ao de caos,

assim como um outro m´etodo chamado SALI, gostar´ıamos de destacar que caracterizar

caos como sendo sensibilidade `as condi¸c˜oes iniciais ´e falhar ao deﬁni-lo pois esta aﬁrma¸c˜ao

´e incompleta.

Um contra-exemplo que destacamos ´e o de fenˆomenos com histerese. Estes s˜ao, por

deﬁni¸c˜ao, sens´ıveis `as condi¸c˜oes iniciais, mas, nem por isto, ca´oticos.

Encerramos esta se¸c˜ao com a formula¸c˜ao de caos segundo Devaney:

Seja X um espa¸co m´etrico. A fun¸c˜ao f : X → X ´e ca´otica se:

a) Os pontos peri´odicos de f s˜ao densos em X,

b) f ´e topologicamente transitiva, ou seja: para todos os conjuntos abertos U e V em

X, existe um x em U e um n´umero natural, n, tal que f

(x) est´a em V .

c) f exibe sensibilidade `as condi¸c˜oes iniciais, ou seja: existe um d > 0 tal que para

todo x em X e todo e > 0; existe um y em X e um numero natural n, tal que

d[x, y] < e e d[f

(x), f

(y)] > d.

Podemos traduzir grosseiramente este enunciado matem´atico c omo signiﬁcando que

em um sistema ca´otico existe um conjunto de solu¸c˜oes tais, que para cada uma destas

solu¸c˜oes, sempre existir´a uma segunda solu¸c˜ao t˜ao pr´oxima quanto desejarmos. Al´em

disso, neste sistema, ´e poss´ıvel que pontos que perten¸cam a uma solu¸c˜ao possam evoluir

para pontos que perten¸cam a outra solu¸c˜ao. E, ﬁnalmente, em sistemas ca´oticos, dada

uma distˆancia inicial entre dois pontos, a evolu¸c˜ao se d´a no sentido de afast´a-los.

Como podemos veriﬁcar da deﬁni¸c˜ao acima, dizer que um sistema ´e ca´otico se for

sens´ıvel `as condi¸c˜oes iniciais, n˜ao ´e suﬁciente; entretanto, os estimadores usuais obedecem

a esta deﬁni¸c˜ao, embora a justiﬁcativa que muitos autores costumam dar seja incorreta.

A seguir, apresentamos os dois m´etodos para detec¸c˜ao de caos usados nesta tese.

1.2.5 Expoente de Lyapunov

O m´etodo mais conhecido usado para detectar se um sistema ´e ca´otico, ou n˜ao, ´e o

m´aximo Expoente Caracter´ıstico de Lyapunov (ECL)[Benettin et al,1980, Wolf et al,1985],

. Se σ

> 0 o ﬂuxo ´e ca´otico. O coeﬁciente σ

´e computado [Benettin et al,1980,

Wolf et al,1985] a partir de

|w(t)|

|w(0)|

, (1.2.22)

= lim

t→∞

, (1.2.23)

onde w(0), w(t) s˜ao vetores de divergˆencia e a evolu¸c˜ao temporal de w ´e determinada

resolvendo as equa¸c˜oes de movimento e as equa¸c˜oes variacionais associadas.

Uma vez que estes vetores tendem a adquirir um crescimento exponencial em curtos

intervalos de tempo, muitos c´alculos de L

, `a medida que w(t) evolui por curtos tempos

, s˜ao levados a cabo e depois de cada w(t) ´e normalizado. Com este procedimento, o

valor m´edio de L

´e computado como



i=1

Exemplos detalhados da implementa¸c˜ao do c´alculo do expoente de Lyapunov podem

ser encontrados nas refs.[Tabor,1989, Benettin et al,1980, Wolf et al,1985].

1.2.6 O m´etodo SALI

Para sistemas Hamiltonianos, este c´alculo ﬁca muito prolongado e com convergˆencia

pobre. Este procedimento longo pode levar a um falso diagn´ostico de caos.

Escolhemos adotar o m´etodo desenvolvido por Skokos, Antonopoulos, Boutis e Vraha-

tis, o assim chamado

Indice de Menor Alinhamento (SALI) [Skokos et al,2004, Skokos et al,2003].

A raz˜ao para esta escolha ´e que o m´etodo SALI ´e computacionalmente mais r´apido e me-

nos inst´avel do que a an´alise com expoente de Lyapunov, fazendo com que o primeiro

seja mais adequado para o sistema que investigamos. O SALI ´e um indicador de caos que

assume valor zero para ´orbitas ca´oticas, enquanto exibe ﬂutua¸c˜oes pequenas ao redor de

valores diferentes de zero para o caso de ordem. Portanto, o SALI ´e deﬁnido como:

SALI(t) = min





w

(t)

w

(t)

w

(t)

w

(t)



w

(t)

w

(t)

−

w

(t)

w

(t)





, (1.2.24)

onde w

(t), e w

(t) s˜ao as evolu¸c˜oes dos dois vetores de divergˆencias com diferentes

condi¸c˜oes iniciais,  ·  ´e a norma Euclideana e t ´e o tempo.

Os autores do m´etodo SALI mostraram que ele pode ser aproximado por meio da

diferen¸ca dos dois maiores expoe ntes caracter´ısticos de Lyapunov, σ

e σ

A principal vantagem do SALI em regi˜oes ca´oticas ´e que usa dois vetores de divergˆencia

e utiliza, a cada passo, a convergˆencia de todos os passos pr´evios. O valor de SALI tende

a zerar para ﬂuxos ca´oticos a uma taxa que ´e uma fun¸c˜ao da diferen¸ca dos dois maiores

expoentes caracter´ısticos de Lyapunov σ

, σ

como SALI ∝ e

−(σ

−σ

. C omo normalmente

´e feito em computa¸c˜oes num´ericas, precisamos deﬁnir um limiar, de forma que um n´umero

computado possa ser considerado zero. Na maioria dos casos, este valor ´e selecionado como

sendo < 10

−5

. Como no caso do expoente de Lyapunov, acontece tamb´em que, no m´etodo

de SALI, este ´e o crit´erio que n´os usaremos para disting¨uir entre ordem e caos.

No pr´oximo cap´ıtulo, daremos in´ıcio ao estudo das propriedades de integrabilidade e

caos presentes em modelos com supersimetria. Usaremos o tipo mais simples de supersi-

metria, que ´e o de modelos minimamente supersim´etricos, e neste ambiente construiremos

um modelo planar supersim´etrico, inspirado em redu¸c˜oes espacialmente homogenˆeas da

teoria de Yang-Mills presentes na literatura.

Cap´ıtulo 2

Modelo Mecˆanico de Yang-Mills

Minimamente Supersim´etrico

Neste Cap´ıtulo, propomo-nos atacar a quest˜ao de quais mecanismos, ou propriedades

espec´ıﬁcas da supersimetria, trabalham a favor ou contra a integrabilidade.

Para tanto, aqui e nos dois pr´oximos Cap´ıtulos, f aremos uso do fato de que, na redu¸c ˜ao

por campos espacialmente homogˆeneos, o modelo ﬁnal mecˆanico ser´a o ponto de partida

para construirmos diretamente modelos supersim´etricos, sem realizarmos a redu¸c˜ao por

campos espacialmente homogˆeneos de uma teoria de campos. Adotamos esta liberdade

ao levar em conta duas premissas: 1) os modelo mecˆanicos de partida que usamos neste e

nos dois pr´oximos cap´ıtulos provˆem de redu¸c˜oes espacialmente homogˆeneas da teoria de

Yang-Mills j´a constru´ıdas na literatura; 2) supomos que a vers˜ao supersim´etrica de um

modelo mecˆanico corresponde `a redu¸c˜ao espacialmente homogˆenea de uma certa teoria

de campos supersim´etrica.

O potencial deste sistema ´e dado por:

U = c

+ c

2.1 O Modelo Supersim´etrico

Para uma introdu¸c˜ao e estudo de modelos mecˆanicos supersim´etricos numa abordagem

de superespa¸co, referimo-nos ao trabalho na ref. [Paschoal,2004], onde conceitos e detalhes

t´ecnicos s˜ao apresentados e discutidos.

Com base nos resultados encontrados em [Paschoal,2004], a vers˜ao supersim´etrica deste

modelo ´e constru´ıda com os seguintes supercampos bosˆonicos [Paschoal,2004]:

X = x (t) + iθλ

(t) ,

Y = y (t) + iθλ

(t) ,

e com os supercampos fermiˆonicos:

Ψ = ψ (t) + θf

(t) ,

Z = ζ (t) + θf

(t) ,

P = ρ (t) + θf

(t) .

onde f

(t), f

(t) e f

(t) s˜ao componentes auxiliares.

O termo cin´etico nos supercampos ´e dado por:

Cine = α

XDX + α

Y DY + α

ΨDΨ + α

ZDZ + α

P DP.

Ap´os a expans˜ao dos termos cin´eticos em componentes, temos:

Cine

= iα



x (t)



(t) + iα



ψ (t) θψ (t)



− α



(t) λ

(t)



+ iα



y (t)



(t) +

− iα



ρ (t) ρ (t)



+ α



(t)

(t) θ



+ α

(t) ψ (t) − iα



x (t)



θ + α

(t) θ+

+ iα



θζ (t)

ζ (t)



+ α

(t) ζ (t) +

− iα



y (t)



θ + α

(t) θ + α

(t) ρ (t) + α

(t) θ

Dado o seguinte potencial em supercampos:

P ot = k

XXΨ + k

Y Y Z + k

XY P,

a sua forma em componentes ´e dada a seguir:

inte

= k

(t) ψ (t) + k

(t) f

(t) θ − 2 ik

x (t) (θψ (t) λ

(t)) +

− 2 ik

y (t) (λ

(t) θζ (t)) − ik

y (t) (θρ (t) λ

(t)) +

+ k

(t) ζ (t) + k

(t) f

(t) θ − ik

x (t) (λ

(t) θρ (t)) +

+ k

x (t) y (t) ρ (t) + k

x (t) y (t) f

(t) θ.

Temos que, ap´os a integra¸c˜ao em θ, a Lagrangiana toma a seguinte forma:

L = k

x (t) y (t) f

(t) − iα



ρ (t) ρ (t)



− ik

y (t) (ρ (t) λ

(t)) +

+ α

(t))

+ 2 ik

y (t) (λ

(t) ζ (t)) − iα



ψ (t) ψ (t)



+ α

(t))

+ iα



ζ (t)



− iα



y (t)



− iα



x (t)



+ ik

x (t) (λ

(t) ρ (t)) − 2 ik

x (t) (ψ (t) λ

(t)) +

− α



(t) λ

(t)



+ α



(t)



+ k

(y (t))

(t) + α

(t))

+ k

(x (t))

(t)

As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange para f

, f

e f

nos d˜ao respectivamente,

= −1/2

(t)

= −1/2

(t)

= −1/2

x (t) y (t)

Ap´os substituir os termos auxiliares, temos a seguinte Lagrangiana para as coor-

denadas f´ısicas::

L = −1/4

(t) y

(t)

α5

− iα



ρ (t) ρ (t)



+ 2 ik

y (t) (λ

(t) ζ (t)) +

− 1/4

(t)

− iα



ψ (t) ψ (t)



− 2 ik

x (t) (ψ (t) λ

(t)) +

+ iα



ζ (t)



− ik

y (t) (ρ (t) λ

(t)) +

− iα



x (t)



+ ik

x (t) (λ

(t) ρ (t)) − iα



y (t)



− α



(t) λ

(t)



+ α



(t)



− 1/4

(t)

Fixando os α

’ como

= 1/2 iM, α

= 1/2 M

, α

= 1/2 M

, α

= 1/2 M ρ

temos:

L = −1/2

(t) y

(t)

M ρ

− 1/2 iM ρ



ρ (t) ρ (t)



+ 2 ik

y (t) λ

(t) ζ (t) +

− 1/2

(t)

− 1/2 iM



ψ (t) ψ (t)



− 2 ik

x (t) ψ (t) λ

(t) +

+ 1/2 iM



ζ (t)



− ik

y (t) ρ (t) λ

(t) + 1/2 M



x (t)



+ ik

x (t) λ

(t) ρ (t) + 1/2 M



y (t)



− 1/2 iM



(t) λ

(t)



+ 1/2 iM



(t)



− 1/2

(t)

com setor bosˆonico dado por:

bos

= 1/2 M



x (t)



+ 1/2 M



y (t)



− 1/2

(t) y

(t)

M ρ

− 1/2

(t)

− 1/2

(t)

2.2 An´alise de Integrabilidade para o Setor Bosˆonico

De acordo com os crit´erios de integrabilidade para o potencial qu´artico[Lakshmanan e Sahadevan,1993]:

quart

= Ax

+ By

+ ax

+ by

+ dx

, (2.2.1)

temos a se guinte tabela com os casos integr´aveis:

a) A = B, a = b, d = 6a.

b) A, B, a = b, d = 2a.

c) A = 4B, a = 16b, d = 12a.

d) A = 4B, a = 8b, d = 6b.

e) d = 0 (trivial).

(2.2.2)

O nosso Lagrangiano,

bos

= 1/2 M



x (t)



+ 1/2 M



y (t)



− 1/2

(t) y

(t)

M ρ

− 1/2

(t)

− 1/2

(t)

M ψ

que inclui o caso particular do potencial qu´artico e que possui casos n˜ao-trivialmente

integr´aveis correpondendo aos itens a) e b) abaixo, que toma as seguintes poss´ıveis formas

para o nosso modelo:

= k

, M

= M

, k

= k

, M

, (2.2.3)

= k

, M

= M

, k

= k

, M

. (2.2.4)

2.3 An´alise de Integrabilidade Considerando a Sime-

tria de Paridade Imposta a todo o Modelo

Como o potencial de partida era invariante sob transforma¸c˜oes de paridade, n˜ao houve a

necessidade de veriﬁcarmos se o mesmo obedecia a esta simetria. Nesta se¸c˜ao, imporemos

esta simetria ao modelo como um todo, e veriﬁcaremos at´e que ponto a simetria de

paridade, tamb´em imposta ao setor fermiˆonico, afeta a integrabilidade do setor bosˆonico.

Para esta an´alise trabalharemos diretamente no superespa¸co fazendo o estudo no po-

tencial em supercampos do nosso modelo supe rsim´etrico:

int

= k

XXΨ + k

Y Y Z + k

XY P.

Este potencial em supercampos possui simetria de paridade nos seguintes casos:

{X, Ψ, −Y, −Z, −P } ou {X, Ψ, Y, −Z, P }

com

= 0, k

= 0, k

= 0,

o que resulta no seguinte Lagrangiano n˜ao-integr´avel para o setor bosˆonico:

bos

= 1/2 M



x (t)



+ 1/2 M



y (t)



− 1/2

(t) y

(t)

M ρ

− 1/2

(t)

M ψ

;

ou {X, Ψ, −Y, −Z, P } ou {X, Ψ, Y, −Z, −P }

com

= 0, k

= 0, k

= 0,

que resulta no seguinte Lagrangiano integr´avel para o setor bosˆonico:

bos

= 1/2 M



x (t)



+ 1/2 M



y (t)



− 1/2

(t)

M ψ

;

ou {X, Ψ, −Y, Z, −P } ou {X, Ψ, Y, Z, P }

com

= 0, k

= 0.

o que, neste caso, nos d´a o Lagrangiano do setor bosˆonico com todos os paramˆetros

n˜ao-nulo. Dependendo da escolha destes, o sistema pode admitir integrabilidade e n˜ao-

integrabilidade:

bos

= 1/2 M



x (t)



+1/2 M



y (t)



−1/2

(t) y

(t)

M ρ

−1/2

(t)

−1/2

(t)

M ψ

;

ou, ﬁnalmente, {X, Ψ, −Y, Z, P } ou {X, Ψ, Y, Z, −P },

com

= 0, k

= 0,

que resulta no seguinte Lagrangiano integr´avel para o setor bosˆonico:

bos

= 1/2 M



x (t)



+ 1/2 M



y (t)



− 1/2

(t)

− 1/2

(t)

M ψ

2.4 Conclus˜oes

Neste cap´ıtulo, estudamos o papel que a supersimetria N = 1 desempenha na vers˜ao

mecˆanica da teoria de Yang-Mills. Sabemos da literatura que esta exibe tanto regimes

integr´aveis quanto n˜ao-integraveis onde o comportamento ca´otico est´a presente. Ap´os

contruirmos a vers˜ao supersim´etrica, apresentamos as condi¸c˜oes de integrabilidade para

o setor bosˆonico. Cabe lembrar que, como estamos tratando de um mode lo com super-

simetria N = 1, o setor bosˆonico ´e igual ao modelo original n˜ao-supersim´etrico. Em

seguida, veriﬁcamos at´e que ponto o setor fermiˆonico inﬂuenciava a integrabilidade do

setor bosˆonico.

Esta an´alise foi realizada levando em considera¸c˜ao o fato de que o setor bosˆonico era

invariante sob transforma¸c˜ao de paridade, e impusemos esta simetria ao setor fermiˆonico

para veriﬁcar como este afetaria os parˆametros no setor bosˆonico. Na verdade, a inﬂuˆencia

do setor fermiˆonico foi estudada ao veriﬁcar se todo o modelo supersim´etrico era inavari-

ante de paridade. Os resultados mostraram que a supersimetria N = 1 n˜ao limitou mais

as possibilidades de integrabilidade do que aquelas j´a observadas para o setor bosˆonico.

Quanto `a existˆencia de caos, a supe rsimetria n˜ao ampliou a possibilidade de regime re-

gular. O primeiro e terceiro modelos integr´aveis que surgem ap´os a an´alise de paridade

imposta ao setor fermiˆonico correspondem a casos triviais (n˜ao-interagentes) e, portanto,

de nenhum interesse f´ısico. J´a o segundo modelo corresponde exatamente ao modelo ori-

ginal n˜ao-supersim´e trico, onde, conforme apresentado no Cap´ıtulo 1, existe uma riqueza

de possibilidades para dinˆamica ca´otica, assim como para o comportamento regular.

Ap´os estudarmos um modelo com supersimetria m´ınima, no pr´oximo cap´ıtulo,

faremos o nosso estudo em um modelo planar com supersimetria N = 2.

Cap´ıtulo 3

Integrabilidade e Caos em um

Modelo Planar Supersim´etrico N=2

O sistema que escolhemos trabalhar ´e constru´ıdo como uma supersimetria estendida

N=2, dimensionalmente reduzida da teoria de Yang-Mills SU(2) que surge quando cam-

pos espacialmente homogˆeneos s˜ao considerados. Um Ansatz particular nos potenciais de

gauge ´e adotado no esquema de redu¸c˜ao dimensional, tal que somente dois graus de liber-

dade sobrevivem no limite mecˆanico. Dedicamos especial aten¸c˜ao `a simetria de paridade,

na medida em que vemos esta ´ultima como uma invariˆancia das intera¸c˜oes envolvidas

nos sistemas que estaremos considerando. Nossa an´alise de integrabilidade ir´a, portanto,

estar centrada em nossas considera¸c˜oes das invarian¸cas de supersimetria e paridade. Elas

proporcionam especiais c ondi¸c˜oes ao espa¸co de parˆametros tal que, ao inv´es de ter que

tomar escolhas especiais destes parˆametros, como normalmente ´e feito, invo c amos estas

duas invarian¸cas para naturalmente restringir e selecionar possibilidades no espa¸co de

parˆametros. Como uma quest˜ao de fato, antecipamos que a paridade pode aparecer em

duas vers˜oes para sistemas planares, e este ponto ser´a apropriadamente levado em conta

aqui.

Veriﬁcamos que, com a introdu¸c˜ao da supersimetria, al´em do modelo de Yang-Mills,

recuperamos tamb´em o modelo de Henon-Heiles e, considerando somente o setor bosˆonico,

constatamos que a supersimetria imp˜oe mais v´ınculos `a integrabilidade do que o caso n˜ao-

supersim´etrico.

3.1 O modelo Bosˆonico usual com considera¸c˜oes de

Simetria de Paridade

Adotamos o potencial polinomial mais geral de quarta ordem para dois graus de

liberdade, descritos pelas vari´aveis x e y:

V = C

y+C

xy.

(3.1.1)

Este pode ser considerado como um tipo de protopotential usado para construir um po-

tencial polinomial n˜ao-supersim´etrico geral at´e a quarta ordem. Limitamos-nos `a quarta

ordem, porque temos em mente modelos mecˆanicos derivados de teorias de Yang-Mills e

estes, como sabemos, apresentam v´ertices de auto-intera¸c˜ao de potˆencias trˆes e quatro.

Considerando que estamos interessados em modelos real´ısticos, impomos simetria de pari-

dade, que ´e respeitada nos modelos mecˆanicos e eletromagn´eticos. N˜ao estaremos lidando

com modelos baseados em simetria quiral.

Para implementar paridade no modelo, temos que considerar que h´a duas possibilida-

des, j´a que estamos em um espa¸co bi-dimensional:

paridade − x :

x → −x

y → y

(3.1.2)

paridade − y :

x → x

y → −y

(3.1.3)

No primeiro caso, o potencial resultante ´e

V = C

+ C

y + C

+ C

. (3.1.4)

Este potencial se parece com a soma de dois potenciais bem conhecidos:

Um potencial qu´artico (tipo Yang-Mills)

Y M

= Ax

+ By

+ ax

+ by

+ dx

, (3.1.5)

que ´e conhecido por ser integr´avel nos seguintes casos[Lakshmanan e Sahadevan,1993]:

a) A = B, a = b, d = 6a. que no nosso caso ´e C

= C

, C

= C

, C

= 6C

b) A, B, a = b, d = 2a. que no nosso caso ´e C

, C

= C

, C

= 2C

c) A = 4B, a = 16b, d = 12a. que no nosso caso ´e C

= 4C

, C

= 16C

, C

= 12C

d) A = 4B, a = 8b, d = 6b. que no nosso caso ´e C

= C

, C

= C

, C

= 6C

e) d = 0 (trivial) que no nosso caso ´e C

= 0.

e o potencial de Henon-Heiles:



+ By



+ ax

y −

. (3.1.6)

Este exibe os casos integr´aveis conhecidos[Lakshmanan e Sahadevan,1993]:

a) A = B, a = −b. que no nosso caso ´e C

= C

, C

b) A, B, 6a = −b. que no nosso caso ´e C

, C

= 2C

c) 16A, B, 16a = −b. que no nosso caso ´e C

= 16C

, C

d) a = 0 (trivial) que no nosso caso ´e C

= 0

3.2 O modelo supersim´etrico

Agora, consideraremos um modelo mecˆanico N = 2 supersim´etrico[Junker,1996],

deﬁnido como segue: Os dois parˆametros Grassmannianos (complexos) do superespa¸co

ser˜ao denotados por θ e θ. As duas coordenadas reais de uma part´ıcula planar, x e y, s˜ao

as componentes bosˆonicas das coordenadas do supercampo, as quais s˜ao determinadas

por

X(t, θ, θ) = x(t) + Θ

†

Λ(t) + Λ

†

(t)γ

Θ −

†

Θf

(t), (3.2.7)

Y (t, θ, θ) = y(t) + Θ

†

Ξ(t) + Ξ

†

(t)γ

Θ −

†

Θf

(t), (3.2.8)

com

Θ ≡





, Λ ≡





, Ξ ≡





, (3.2.9)

onde todos os λ’s e ξ’s s˜ao vari´aveis Grassmannianas. Os γ

’s s˜ao as matrizes de Dirac

que correspondem ao espa¸co Euclideano bi-dimensional sob considera¸c˜ao, e elas podem

ser escolhidas para coincidir com as matrizes de Pauli: γ

≡ σ

e γ

≡ −iγ

= σ

.Θ ´e

o espinor de Majorana que, nesta representa¸c˜ao particular das matrizes-γ, toma a forma

dada em(3.2.9), onde a ”barra ” representa conjuga¸c˜ao complexa. De fato:

= CΨ

∗

= Ψ.(Majorana.) (3.2.10)

Cγ

−1

= γ

(Conj. de carga)

Cγ

= γ

C. (3.2.11)

−Cγ

= γ

[C, γ

] = 0. (3.2.12)

{C, γ

} = 0.

C = γ

. (3.2.13)







0 1

1 0













∗



















(3.2.14)

= Ψ

∗

= Ψ

∗

Θ =













. (3.2.15)

Por outro lado, Λ e Ξ s˜ao f´ermions de Dirac. Ent˜ao, Eqs. (3.2.7–3.2.8) conduzem a:

X = x + θ



− λ



− θ



− λ



+ θθf

(3.2.16)

Y = y + iθ



− ξ



+ iθ



− ξ



+ θθf

. (3.2.17)

E not´avel a observa¸c˜ao que ´e precisamente a combina¸c˜ao



− λ



que leva aos graus

fermiˆonicos de liberdade de X. Por outro lado, como para Y , seus graus de liberdade

espinoriais ﬁcam todos acomodados na combina¸c˜ao



− ξ



As derivadas covariantes de supersimetria s˜ao dadas abaixo:

D ≡ ∂

− iθ∂

, (3.2.18)

D ≡ ∂

− iθ∂

, (3.2.19)

que satisfazem:

= 0, (3.2.20)

= 0, (3.2.21)



D, D



= −2i∂

. (3.2.22)

A super-a¸c˜ao a ser considerada cont´em, al´em dos termos cin´eticos, o superpotential

mais geral, at´e terceira ordem nas coordenadas do supercampo (isto implica um potencial

de quarta-ordem em termos das coordenadas f´ısicas),

S =



dtdθdθ :





DXDX + DY DY



+ U(X, Y )



, (3.2.23)

onde o primeiro termo d´a origem aos termos cin´eticos e o superpotencial U(X, Y ) adotado

´e dado por:

U(X, Y ) = k

Y + k

+ k

XY + k



+ k



, (3.2.24)

os k’s sendo constantes reais arbitr´arias. Como o termo em XY pode ser cancelado por

meio de uma apropriada transforma¸c˜ao linear (uma rota¸c˜ao no plano X-Y ), ent˜ao k

pode ser ﬁxado como zero, k

= 0, sem perda de generalidade. De maneira semelhante,

os termos lineares em X ou em Y n˜ao foram considerados, na medida que eles podem

ser eliminados por uma redeﬁni¸c˜ao de transla¸c˜ao, X



= X + const e Y



= Y + const



As equa¸c˜oes de movimento podem ser usadas para eliminar os graus de liberdade n˜ao-

dinˆamicos f

e, assim, a super-a¸c˜ao, S =



dtL conduz ao seguinte Lagrangiano, onde

termos qu´articos no potencial est˜ao presentes:

L =

x

+ iM



+ ξ

− λ

− ξ



−

+ 9k



−

+ 9k



∗ −



+ 2k

y −



+ 2k

∗ −

+ 2k

+ 3k



+ 3k



−



−



∗ −

+ 2k

y −

+ 2k

−

∗ +



2ik



− λ

+ λ

− λ

+ λ



∗ − 2k



− ξ

+ ξ



− 6k





− λ

+ λ



∗ +



2ik



− λ

+ λ

− λ

+ λ



∗ − 2k



− λ

+ λ



− 6k





− ξ

+ ξ



∗ − 2k



− λ

+ λ



− 2k



− ξ

+ ξ



. (3.2.25)

Nas pr´oximas se¸c˜oes, as condi¸c˜oes de integrabilidade para es te Lagrangiano ser˜ao

discutidas, e a inﬂuˆencia da supersimetria e da invariˆancia de paridade ser´a real¸cada.

3.3 O setor bosˆonico e sua integrabilidade.

A aplica¸c˜ao direta do teste de Painlev´e diretamente para o setor bosˆonico n˜ao ´e, de

fato, um procedimento bom para a resolu¸c˜ao dos sistemas que aparecem na an´alise, uma

vez que se tornam muito complexos.

Nesta se¸c˜ao, levaremos em conta a observa¸c˜ao de que o modelo original n˜ao ´e invariante

sob as duas classes de transforma¸c˜oes de paridade. Isto pode ﬁxar um ambiente mais

formal.

Assim, em uma primeira tentativa, imporemos a simetria de paridade, que ´e uma

simetria discreta somente no setor bosˆonico da teoria e, depois disso, veriﬁcaremos como

os v´ınculos impostos por esta invariˆancia afetam a integrabilidade do modelo.

Adotando invariˆancia sob a paridade-x, temos os seguintes v´ınculos nos coeﬁcientes

do potencial:

= (6k



+ 2k

) = 0, (3.3.26)

= (6k



+ 2k

) = 0, (3.3.27)

= (6k



) = 0, (3.3.28)

= (4k

+ 2k

) = 0, (3.3.29)

onde os C’s acima s˜ao os coeﬁcientes do setor bosˆonico do potencial original para os quais

a simetria de paridade ´e quebrada.

3.3.1 Parˆametros que sobrevivem aos v´ınculos de paridade

Resolvendo o sistema de condi¸c˜oes para k

, k



, k



, k

e k

, n´os obtemos como solu¸c˜ao

as seguintes possibilidades:



= k



, k



= k



, k

= k

, k

= 0, k

= 0}, (3.3.30)

= k

, k



= k



, k

= k

, k

= k

, k



= 0, k

= 0},



= 0, k



= k



, k

= k

, k

= 0, k

= 0},



= k



, k

= k

, k

= −3k



, k



= −1/3k

, k

= 0, k

= 0},



= 0, k

= k

, k

= k

, k



= 0, k

= −1/2k

, k

= 0}.

Para estudar as conseq¨uˆencias destas solu¸c˜oes, apresentaremos na pr´oxima subse¸c˜ao

o teste do Painlev´e, que foi muito usado na proc ura por sistemas integr´aveis, por ser um

algoritmo de ampla aplica¸c˜ao.

3.4 Aplicando o teste de Painlev´e

Para o primeiro caso {k



= k



, k



= k



, k

= k

, k

= 0, k

= 0}, temos o

seguinte potencial:

P ot



+ 6k



+ 2

. (3.4.31)

E, aplicando o teste de Painlev´e, obtemos quatro ramos referentes a sistemas desaco-

plados que passam no teste.

Para o segundo caso {k

= 0, k



= 0, k



= k



, k

= k

, k

= k

, k

= k

}, temos o

seguinte potencial:

P ot



(2k

+ 3k



)

+6k



(4k

+ 2k

)

y + 2

+ 2

. (3.4.32)

Com potˆencias dominantes:

= −1, α

= −1.

E quatro ramos com as seguintes express˜oes para ressonˆancias:

−1, 4,

(2k

− 3k



)

(3k



+ k

)

, (3.4.33)

que fornecem ressonˆancias como inteiros, se ﬁxamos k

, k



= n

, onde n = {−1, 0, 1, 2}.

Para o caso n = −1, n˜ao ´e poss´ıvel determinar as ressonˆancias.

Para o caso n = 0, temos o seguinte potencial:

P ot

+ 2

(4k

+ 2k

)

y + 2

+ 2

, (3.4.34)

mas este n˜ao cumpre o teste de Painlev´e, pois surge uma condi¸c˜ao de compatibilidade

que n˜ao pode ser satisifeita:

−4i

√

2(18k

− 5k

− 4k

) = 0, (3.4.35)

pois esta igualdade ´e satisfeita se k

, k

e k

= 0 que, no caso, anula o potencial ou no

caso k

= 0, e k

= −

o que nos leva ao seguinte potencial livre:

P ot

= 2

, (3.4.36)

e portanto um caso integr´avel trivial.

Para o caso n = 1, temos o seguinte potencial:

P ot

+ 3

+ 2k

(4k

+ 2k

)

y + 2

+ 2

(3.4.37)

e obtemos agora, quatro, ramos com as seguintes ressonˆancias:

−1, 1, 2, 4,

mas, com a seguinte condi¸c˜ao de compatibilidade:

−2(−k

+ k

)M = 0 (3.4.38)

a ser cumprida na ressonˆancia j=1 do primeiro e do segundo ramo.

Fixando k

= k

, o sistema se torna compat´ıvel e passa no teste de Painlev´e, com dois

ramos e com o potencial agora escrito como abaixo:

P ot

+ 3

+ 2

+ 6k

y + 2

+ 2

, (3.4.39)

com potˆencias dominantes:

= −1, α

= −1.

Os valores das ressonˆancias para os dois ramos s˜ao:

−1, 1, 2, 4.

E, para o primeiro ramo, os coeﬁcientes dos termos dominates s˜ao:

, y

. (3.4.40)

Para o segundo ramo, os coeﬁcientes s˜ao:

= −

, y

= −

. (3.4.41)

No primeiro ramo, os coeﬁcientes indeterminados s˜ao:

, y

e y

. (3.4.42)

E os coeﬁcientes indeterminados do segundo ramo s˜ao:

, y

e x

, (3.4.43)

Para o caso n = 2, temos o seguinte potencial:

P ot

+ 2

+ 4

+ 4k

(4k

+ 2k

)

y + 2

+ 2

(3.4.44)

N˜ao foi poss´ıvel determinar os termos dominantes.

Lembramos que a variavel t

´e a quarta quantidade indeterminada, correspondendo `a

ressonˆancia −1.

Assim, o sistema, que ´e de quarta ordem, possui quatro coeﬁentes arbitr´arios e, por-

tando, ´e integr´avel.

Para o terceiro caso {k

= 0, k

= k

, k

= 0, k



= k



, k



= 0}, temos o seguinte

potencial:

P ot



(2k

+ 3k



)

; (3.4.45)

as express˜oes para ressonˆancias, neste caso, s˜ao:

−1, 4,

(3k



+ k

)

, −

(−2k

+ 3k



)

, (3.4.46)

que fornecem ressonˆancias como inteiros se ﬁxamos k

, k



= n

onde n = {−1, 0, 1, 2}.

Para o caso n = −1, o sistema passa no teste com o seguinte potencial:

P ot

(3.4.47)

com potˆencias dominantes:

= −1, α

= −1,

e os valores das ressonˆancias para os dois ramos:

0, −1, 3, 4. (3.4.48)

E, para o primeiro ramo, os coeﬁcientes dos termos dominates s˜ao:



(−M

− k

)

, y

= y

; (3.4.49)

para o segundo ramo, os coeﬁcientes s˜ao:

= −



(−M

− k

)

, y

= y

. (3.4.50)

No primeiro ramo, os coeﬁcientes indeterminados s˜ao:

, x

e y

. (3.4.51)

E os coeﬁcientes indeterminados do segundo ramo s˜ao:

, x

e y

. (3.4.52)

Para o caso n = 0, o sistema n˜ao passa no teste com o seguinte potencial:

P ot

+ 2

, (3.4.53)

pois surge a seguinte condi¸c˜ao de compatibilidade:

18ik

= 0. (3.4.54)

Esta equa¸c˜ao zera se k

for igual a zero, mas neste caso o potencial deixa de existir.

Para o caso n = 1, o sistema passa no teste com o seguinte potencial:

P ot

+ 3

, (3.4.55)

e com potˆencias dominantes iguais:

= −1, α

= −1,

e ressonˆancias:

−1, 1, 2, 4

nos dois ramos.

E, para o primeiro ramo, os coeﬁcientes dos termos dominates s˜ao:

= −

, y

= −

. (3.4.56)

Para o segundo ramo, os coeﬁcientes s˜ao:

, y

. (3.4.57)

No primeiro ramo, os coeﬁcientes indeterminados s˜ao:

, x

e x

, (3.4.58)

e os coeﬁcientes indeterminados do segundo ramo s˜ao:

, y

e x

. (3.4.59)

Para o caso n = 2, o sistema n˜ao passa no teste com o seguinte potencial:

P ot

= 2

+ 4

, (3.4.60)

pois n˜ao foi poss´ıvel determinar os termos dominantes.

Para o quarto caso {k



= k



, k



= −1/3k

, k

= −3k



, k

= k

, k

= 0, k

= 0}, temos

o seguinte potencial (qu´artico):

P ot

= 5

+ 5

+ 10

, (3.4.61)

com k



= k

as ressonˆancias neste caso s˜ao:

0, −1, 3, 4 (3.4.62)

para os dois ramos.

Para o primeiro ramo, os coeﬁcientes dos termos dominates s˜ao:



(−10M

− 100k

)

, y

= y

. (3.4.63)

E para o segundo ramo, os coeﬁcientes s˜ao:

= −



(−10M

− 100k

)

, y

= y

. (3.4.64)

No primeiro ramo, os coeﬁcientes indeterminados s˜ao:

, x

e y

, (3.4.65)

e os coeﬁcientes indeterminados do segundo ramo s˜ao:

, x

e y

. (3.4.66)

Para o quinto caso {k



= 0, k

= k

, k

= k

, k



= 0, k

= −1/2k

, k

= 0}, temos o

seguinte potencial:

P ot

+ 2

. (3.4.67)

Este potencial n˜ao passa no teste de Painlev´e, pois surge a seguinte condi¸c˜ao de

compatibilidade:

−3ik

+ 18ik

= 0, (3.4.68)

que s´o ´e satisfeita se k

= k

= 0, que cancela o potencial. Portanto, este caso n˜ao passa

no teste de Painlev´e.

Como este potencial ´e do tipo qu´artico, ´e f´acil veriﬁcar que o resultado desta an´alise

de Painlev´e est´a em acordo com as conhecidas condi¸c˜oes de intergrabilidade para este tipo

de potencial.

3.5 Estudo da Integrabilidade do Setor Bosˆonico com

simetria de Paridade imposta a todo o modelo

Como pudemos veriﬁcar na ´ultima se¸c˜ao, a imposi¸c˜ao de paridade somente ao setor

bosˆonico tornou o sistema muito mais integr´avel; por´em, ainda ´e necess´ario determinarmos

os valores de alguns parˆametros durante a analise de Painlev´e para recuperarmos os casos

integr´aveis listados acima.

Nesta se¸c˜ao imporemos a simetria de paridade, n˜ao s´o ao setor bosˆonico, mas a toda a

teoria, e veriﬁcaremos at´e que ponto os v´ınculos que surgem nos paramˆetros s˜ao capazes

de tornar o modelo integr´avel, sem a necessidade de ﬁxar paramˆetros durante a an´alise

de Painlev´e.

3.5.1 Formula¸c˜ao a duas componentes do setor fermiˆonico

Como o modelo ´e cl´assico e n˜ao-relat´ıvistico, ent˜ao ´e deﬁnido em um espa¸co bidimen-

sional Euclidiano, E

, onde o grupo de covarinˆancia ´e SO(2).

Portanto, podemos escrever:

= σ

, (3.5.69)

= σ

, (3.5.70)

= −iγ

= σ

, (3.5.71)

tal que



, γ



= 2δ

1, (3.5.72)



, γ



= 0. (3.5.73)

Para o espinor geral

Ψ =





(3.5.74)

a a¸c˜ao das transforma¸c˜oes de SO(2) sobre o mesmo ´e dada abaixo:



= e

−

ωσ

Ψ, (3.5.75)

onde ω ´e o ˆangulo de rota¸c˜ao; portanto, Ψ

†

Ψ, ´e invariante. N˜ao ´e necess´ario deﬁnir o

conjugado de Dirac.

Agora, tentamos identiﬁcar as paridades-x-e-y no espa¸co espinorial. Para tanto,

come¸camos com a equa¸c˜ao de Dirac:

iγ

∂

Ψ + iγ

∂

Ψ = 0, (3.5.76)

A representa¸c˜ao de Majorana ´e dada por γ

= σ

e γ

= σ

; d´ai, decorre que γ

= −iγ

= −σ

e espinores de Majorana, Ψ

= Ψ

∗

= Ψ, apresentem as duas componentes reais, j´a que C = 1 nesta

representa¸c˜ao.

`a qual impomos a simetria de paridade-x,

Ψ(t;

→

x) P

−−−−−→



;

→



) = (3.5.77)

= RΨ(t;

→

= RΨ(t



; −x



, y



onde R representa a matriz de paridade no espa¸co espinorial:

R = −Rγ

(3.5.78)

R = Rγ

Ent˜ao, nossa matriz de paridade pode ser escolhida como

R = γ

, (3.5.79)

e, portanto,

Ψ´(t´;

→

x´) = γ

Ψ(t;

→

x) (3.5.80)

Assim, todos os espinores, a menos de uma fase, transformam-se sob paridade p or

meio da matriz-γ

Considerando a outra possibilidade, a paridade-y, podemos facilmente veriﬁcar que a

a¸c˜ao da mesma sobre espinores ´e representada pela matrix-γ











x → x

y → −y

(3.5.81)

Ψ → γ



;

−→



) → γ

Ψ (t;

−→

x ) .

. (3.5.82)

3.5.2 Estudo de integrabilidade com v´ınculos de paridade do

setor fermiˆonico

Ao incluir os v´ınculos ditados pela simetria de paridade- x ou -y para o modelo

completo (bosˆonico + fermiˆonico), propomo-nos levar a cabo a an´alise diretamente em

termos de supercampos (3.2.7) e (3.2.8). Em lugar de seguir um longo procedimento e

considerarmos todos os termos da a¸c˜ao em camp os componentes, propomos trabalhar sem

deixar o superespa¸co, o que tem conseq¨uˆencias simpliﬁcadoras n˜ao-triviais.

A a¸c˜ao da paridade-x nos supercampos ´e determinada por

X → −X e Y → Y , (3.5.83)

contanto que

Θ → γ

Θ,

Λ → γ

Λ,

Ξ → γ

Ξ,

→ f

→ − f

De fato, a paridade -x ´e implementada no espa¸co espinorial atrav´es da rela¸c˜ao:

Ψ → Ψ‘ = ±γ

Ψ. (3.5.84)

X = x + Θ

†

Λ + Λ

†

Θ −

†

Θf

(3.5.85)

x → −x. (3.5.86)

X → −X.

Θ → γ

Θ.

†

Λ → Θ

†

(±γ

Λ) (3.5.87)

→ ∓Θ

†

Λ.

Λ → γ

Λ. (3.5.88)

†

Θ → Θ

†

Θ = −Θ

†

Θ (3.5.89)

→ f

−→ f

y → y. (3.5.90)

Y → Y.

†

Ξ → ±Θγ

Ξ. (3.5.91)

†

Θ → −Θ

†

Θ. (3.5.92)

→ f

→ −f

Com estas designa¸c˜oes de paridade para os campos fermiˆonicos e auxiliares, as coor-

denadas dos sup ercampos se transformam sob paridade exatamente como acima. Al´em

disso, em virtude da escolha espec´ıﬁca de γ

, temos que a paridade age em dθ, dθ e as

derivadas covariantes como abaixo:

Θ → γ

Θ. (3.5.93)













→







0 −i

i 0



















θ → −iθ. (3.5.94)

θ → iθ.

D =

∂

∂θ

− iθ∂

(3.5.95)

→ −i

∂

∂θ

− i



−iθ



∂

D → −i



∂

∂θ

− iθ∂



D → −iD. (3.5.96)

D → iD.

dθ =

∂

∂θ

→

∂



−iθ



→ idθ. (3.5.97)

dθ → idθ. (3.5.98)

dθ → −idθ.

Portanto as derivadas covariantes de supersimetria e os elementos de volume se trans-

formam como segue:

D → −iD, D → iD;

dθ → idθ, dθ → −idθ.

Com todas estas prescri¸c˜oes, o elemento de volume dtdθdθ recebe um sinal de menos.

Isto signiﬁca que os termos cin´eticos s˜ao naturalmente invariantes, mas a simetria de

paridade do potencial nos obriga a ﬁxar:

= k



= 0, (3.5.99)

podendo k

e k



serem diferentes de zero.

Estes v´ınculos de parˆametros s˜ao iguais ao terceiro conjunto que achamos quando s´o

o setor bosˆonico foi considerado e encontramos s´o dois casos integr´aveis: os potenciais (9)

e (11), que renomeamos como abaixo:

P ot

susy1−x

, (3.5.100)

P ot

susy2−x

+ 3

. (3.5.101)

Assim, de todos os casos integr´aveis encontrados quando consideramos s´o o setor

bosˆonico, s´o os dois potenciais acima preservam a paridade-x quando o modelo completo

´e considerado.

Por outro lado, se contemplarmos a simetria de paridade-y para todo o modelo, temos

que

X → X e Y → −Y , (3.5.102)

contanto que

Θ → γ

Θ,

Λ → − γ

Λ,

Ξ → γ

Ξ,

→ − f

→ f

Tamb´em, D → −iD, D → iD, dθ → idθ e dθ → −idθ.

Assim como no caso anterior, a invariˆancia de paridade-y ´e assegurada s´o para aqueles

monˆomios dos supercampos que mudam de sinal sob paridade. Isto imp˜oe ent˜ao:

= k



= 0, (3.5.103)

enquanto k

e k



s˜ao os ´unicos coeﬁcientes compat´ıveis com a invariˆancia de paridade-y.

Estes v´ınculos nos parˆametros correspondem a um ´unico conjunto de solu¸c˜oes encon-

trado quando s´o o setor bosˆonico ´e considerado com rela¸c˜ao `a paridade-y, de um modo

semelhante ao que acontece para paridade-x. S´o existem dois casos integr´aveis, que apre-

sentamos a seguir:

P ot

susy1−y

, (3.5.104)

P ot

susy2−y

+ 3

. (3.5.105)

E importante notar que estes potenciais tˆem a mesma forma dos encontrados para o

caso da paridade-x a menos de uma troca dos parˆametros k

por k

. Assim, de todos

os casos integr´aveis encontrados quando s´o o setor de bosˆonico ´e considerado, s´o os dois

potenciais acima conservam paridade-y se todo o modelo ´e analisado.

3.6 Conclus˜oes.

Ao longo das se¸c˜oes anteriores, efetuamos uma an´alise de integrabilidade do setor

bosˆonico do modelo supersim´etrico, e veriﬁcamos o aparecimento de casos integr´aveis

para ambos sistemas acoplados e desacoplados.

Os casos acoplados podem ser classiﬁcados em dois tipos: um potencial do tipo

qu´artico e um potencial que ´e funcionalmente a superposi¸c˜ao de um potencial qu´artico e

de Henon-Heiles.

Ao contr´ario da situa¸c˜ao onde impomos a simetria de paridade `a a¸c˜ao completa (in-

tera¸c˜oes bosˆonicas e fermiˆonicas) e onde os potenciais gerados s˜ao totalmente integr´aveis

(sem a necessidade de ﬁxar v´ınculos de integrabilidade), o caso no qual ´e imposta a si-

metria de paridade somente ao setor bosˆonico s´o gera potenciais integr´aveis depois que

levarmos em conta os v´ınculos que aparecem no curso de an´alise de Painlev´e. Isto signiﬁca

que, se estes v´ınculos n˜ao s˜ao cumpridos, estaremos lidando com potenciais n˜ao-integr´aveis

e ent˜ao com a possibilidade de caos.

Para os casos onde os potenciais tˆem a forma qu´artica, n˜ao h´a necessidade de fazer-

mos uma an´alise de caos pois esta j´a foi discutida na literatura `a que previamente nos

remetemos.

Os casos para os quais os potenciais s˜ao dados pela superposi¸c˜ao de um potencial de

foma qu´artica e de Henon-Heiles est˜ao em considera¸c˜ao e, em um trabalho futuro, in-

formaremos os resultados de uma an´alise completa [de Assis et al,2005:4]. Por´em, nesta

se¸c˜ao, daremos um exemplo para ilustrar como este tipo de potencial n˜ao-integr´avel ad-

mite transi¸c˜ao ordem-caos usando o potencial n´umero 7 de Se¸c˜ao(3.4):

P ot

+ 2

+ 4

+ 4k

(4k

+ 2k

)

y + 2

+ 2

(3.6.106)

Para este prop´osito, fazemos para uso do expoente caracter´ıstico Lyapunov (LCE), di-

agramas de fase [Benettin et al,1980, Wolf et al,1985] e [Tabor,1989] e Se¸c˜oes de Poincare.

Por diagrama de fase, entendemos um gr´aﬁco das vari´aveis dinˆamicas no espa¸co de fase

que ´e usado para fornecer uma id´eia qualitativa do comportamento dinˆamico do sistema

sob estudo. De maneira semelhante a Se¸c˜ao de Poincare [Almeida,1991, Tabor,1989], que

´e um gr´aﬁco gerado pelos pontos que surgem do ﬂuxo do sistema diferencial que corta

um plano do espa¸co de fase, nos fornece uma informa¸c˜ao qualitativa do comportamento

dinˆamico do sistema. A precis˜ao de nossa computa¸c˜ao foi veriﬁcada conferindo se o Ha-

miltoniano era conservado durante a simula¸c˜ao.

Fixando por exemplo: k

= 10, M = k

= k

= 1, o p otencial adquire a seguinte

forma:

V := 50x

+ 200y

+ 400x

+ 40y

+ 60x

y + 2x

+ 2y

Calculamos o maior σ

, diagramas de fase e suas respectivas Se¸c˜oes de Poincare, e

apresentamos dois casos para o mesmo conjunto de parˆametros ﬁxados acima,mas com

condi¸c˜oes iniciais diferentes. Primeiro com p

(0) = 0.1, p

(0) = 0.1, q

(0) =

0.0, Energia=0.035; apresenta comportamento regular (veja Figuras 1,2 e 3 abaixo).

Gr´aﬁco de fase com condi¸c˜oes iniciais:

(0) = 0.1, p

(0) = 0.1, q

(0) = 0.0 e Energia=0.035

Figura 1

Expoente de Lyapunov para condi¸c˜oes iniciais:

(0) = 0.1, p

(0) = 0.1, q

(0) = 0.0 e Energia=0.035

Figura 2

Se¸c˜ao de Poincare no plano p

= 0 para Energia=0.035

Figura 3

O segundo caso com: p

(0) = 0.1, p

(0) = 0.1, q

(0) = 0.1,q

(0) = 0.18 e

Energia=0.780631; apresenta comportamento ca´otico (veja Figuras 4,5 e 6 abaixo).

Gr´aﬁco de fase com condi¸c˜oes iniciais:

(0) = 0.1, p

(0) = 0.1, q

(0) = 0.18 e Energia=0.780631

Figura 4

Expoente de Lyapunov para condi¸c˜oes iniciais:

(0) = 0.1, p

(0) = 0.1, q

(0) = 0.18 e Energia=0.780631

Figura 5

Se¸c˜ao de Poincare no plano p

= 0 para Energia=0.780631

Figura 6

Estes exemplos mostram que este sistema n˜ao integr´avel exibe tanto dinˆamica orde-

nada quanto ca´otica. Isto n˜ao chega a ser um resultado excepcional no caso de sistemas

hamiltonianos onde ordem e caos podem coexistir para uma dada energia. Entretanto,

isto n˜ao constitui a regra. O caso j´a mencionado da vers˜ao mecˆanica do Yang-Mills puro

s´o apresenta caos assim como tamb´em existem outros modelos n˜ao integr´aveis que n˜ao

apresentam caos. Como nesta tese a quest˜ao central ´e a identiﬁca¸c˜ao de caos em teorias

supersimetricas a simples demonstra¸c˜ao de sua existˆencia constitui o aspecto importante

e n˜ao um estudo pormenorizado destes modelos.

No caso estudado em que a condi¸c˜ao inicial escolhida correspondia a energia igual a

0.035 o sistema e xibiu comportamento regular o que pode ser visto pelo diagrama de fase

e pelo gr´aﬁco do expoente de Lyapunov. Para o caso em que a condi¸c˜ao inicial escolhida

correspondia a energia igual a 0.780631 o sistema desta vez exibiu comportamento ca´otico

tamb´em visto a partir do diagrama de fase e do expoente de Lyapunov.

Entretanto uma vis˜ao global da dinˆamica pode ser obtida atrav´es das respectivas se¸c˜oes

de Poincare.

A se¸c˜ao de Poincare para energia igual a 0.035 (ﬁg.3) apresenta em sua faixa mais ex-

terna varias separatrizes e no seu interior uma regi˜ao ca´otica com bacias e varias ilhas de

regularidade. J´a para se¸c˜ao de Poincare para energia igual a 0.780631 (ﬁg.6) vemos uma

densa regi˜ao de regularidade no centro e a maior parte do volume tomado por um com-

portamento ca´otico onde se notam trˆes ilhas de regularidade. Outro motivo de destaque

´e a redu¸c˜ao do numero de separatrizes.

E talvez not´avel dizer que um potencial da forma (x

+ y

)

pode ser gerado con-

siderando o trabalho de Refs. [Ichtiaroglou,1989]–[Karkowski,1990], onde um sistema de

Yang-Mills mecˆanico cl´assico com quatro graus de liberdade ξ

´e estudado, com Hamilto-

niano dado por

H =



+ P





− ξ

+ ξ

− ξ



. (3.6.107)

Realmente, se adotamos coordenadas hiperb´olicas nos planos (ξ

; ξ

) e (ξ

; ξ

) ,

= r

cosh θ

(3.6.108)

= r

sinh θ

(3.6.109)

= r

cosh θ

(3.6.110)

= r

sinh θ

, (3.6.111)

o Hamiltoniano se torna:

H =



+ P

−





+ r



. (3.6.112)

onde θ

e θ

s˜ao coordenadas ignor´aveis, de forma que os correspondentes momenta s˜ao

integrais de movimento. Se P

= P

= 0, nenhuma contribui¸c˜ao negativa para a energia

cin´etica est´a presente e adquirimos um sistema efetivo com dois-grau-de-liberdade com po-

tencial da forma (x

+ y

)

. Al´em da discuss˜ao de integrabilidade e caos cl´assicos, estudos

de caos quˆantico que usam este potencial receberam muita aten¸c˜ao na literatura[Steeb et al,1988,

Tomiya e Yoshinaga,2000]. Esta observa¸c˜ao pode ser um bom apoio a favor dos resultados

que obtivemos com os potenciais integr´aveis produzidos depois que f oi imposta a simetria

de paridade ao modelo supersim´etrico completo.

No pr´oximo cap´ıtulo, retomamos um caso com supersimetria N = 2 mas, desta vez,

com quatro componentes. L´a, veriﬁcaremos resultado similar ao obtido neste cap´ıtulo.

Cap´ıtulo 4

Limite Mecˆanico Supersim´etrico de

Yang-Mills com Quatro Graus de

Liberdade

No ﬁnal do cap´ıtulo anterior, mostramos que o caso integr´avel do setor bosˆonico de

nossa vers˜ao supersim´etrica de um modelo planar polinomial de ordem quatro podia ser

identiﬁcado com um modelo mecˆanico de Yang-Mills com quatro componentes que, ap´os

mudan¸cas de coordenadas, assumia uma forma planar.

Neste cap´ıtulo, f aremos a supersime triza¸c˜ao diretamente na vers˜ao em quatro compo-

nentes do modelo mecˆanico de Yang-Mills, e mostraremos que, ap´os a redu¸c˜ao do setor

bosˆonico (por mudan¸cas de coordenadas) ao caso planar, obtemos o mesmo resultado

que no cap´ıtulo anterior. Para tanto, tomamos como ponto de partida o potencial da

vers˜ao em quatro comp onentes do modelo mecˆanico de Yang-Mills [Ichtiaroglou,1989]–

[Karkowski,1990]:

U = c (xw − yz)

. (4.0.1)

4.1 O Modelo Supersim´etrico

Usando os supercampos quirais [Paschoal,2004]:

Φ = x (t) + iy (t) + θζ (t) − iθθ



x (t) + i

y (t)



, (4.1.2)

Φ = x (t) − iy (t) − θζ (t) + iθθ



x (t) − i

y (t)



, (4.1.3)

Λ = w (t) + iz (t) + θξ (t) − iθθ



w (t) + i

z (t)



, (4.1.4)

Λ = w (t) − iz (t) − θξ(t) + iθθ



w (t) − i

z (t)



. (4.1.5)

e o supercampo real:

H = h (t) + θλ

(t) − θλ

(t) + θθf

(t) , (4.1.6)

o termo cin´etico em supercampos pode ser posto sob a forma:

Ci n

= α

D(Φ)D(Φ) + α

D(Λ)D(Λ) + α

D(H)D(H). (4.1.7)

O termo de potencial em supercampos ´e dado por:

Int

= k

ΦΛH + k

ΦΛH. (4.1.8)

Realizando integra¸c˜oes em θ e θ:

L = −4 α



x (t)



− 4 α



y (t)



− α



h (t)



+ (4.1.9)

−4 α



w (t)



− 4 α



z (t)



− 2 k

y (t) z (t) f

(t) +

+2 k

x (t) w (t) f

(t) + k

w (t) ζ (t) λ

(t) − k

w (t) ζ(t)λ

(t) +

−iα

ξ(t)

ξ (t) + k

x (t) ξ (t) λ

(t) − iα

ξ (t)

ξ(t)+

−iα

ζ (t)

ζ(t) + iα

(t)λ

(t) + iα

(t) λ

(t)+

+ik

y (t) ξ(t)λ

(t) + +ik

z (t) ζ (t) λ

(t) + ik

y (t) ξ (t) λ

(t)+

+ik

z (t) ζ(t)λ

(t) − iα

ζ(t)

ζ (t) − k

x (t) ξ(t)λ

(t) +

+2 k

x (t)

z (t) h (t) + 2 k

x (t) z (t) h (t) + 2 k

y (t)

w (t) h (t) +

+2 k

y (t) w (t) h (t) − α

(t)

Da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange para f

, chega-se a:

(t) =

(−y (t) z (t) + x (t) w (t))

. (4.1.10)

A seguir, listamos os termos do Lagrangiano, ap´os integra¸c˜ao em θ e θ e elimina¸c˜ao

de f

= −4 α



x (t)



− 4 α



y (t)



− 4 α



w (t)



+ (4.1.11)

− 4 α



z (t)



− α



h (t)



(−y (t) z (t) + x (t) w (t))

, (4.1.12)

= k

w (t) ζ (t) λ

(t) − k

w (t) ζ(t)λ

(t) + (4.1.13)

− iα

ζ(t)

ζ (t) + ik

y (t) ξ (t) λ

(t)+

− iα

ξ(t)

ξ (t) + k

x (t) ξ (t) λ

(t)+

+ i k

z (t) ζ(t)λ

(t) − iα

ξ (t)

ξ(t)+

+ ik

y (t) ξ(t)λ

(t) + iα

(t)λ

(t) +

− iα

ζ (t)

ζ(t) + iα

(t) λ

(t)+

+ 2 k

x (t)

z (t) h (t) + 2 k

x (t) z (t) h (t) +

+ 2 k

y (t)

w (t) h (t) + 2 k

y (t) w (t) h (t) +

+ ik

z (t) ζ (t) λ

(t) − k

x (t) ξ(t)λ

(t) .

Fixando os α´s como:

= −

M, α

= −

M, α

= −

M, (4.1.14)

podemos escrever os seguintes termos do Lagrangiano completo:

= 1/2 M



x (t)



+ 1/2 M



y (t)



+ 1/2 M



w (t)



+ (4.1.15)

+ 1/2 M



z (t)



+ 1/2 M



h (t)



= −2

(−y (t) z (t) + x (t) w (t))

, (4.1.16)

= k

w (t) ζ (t) λ

(t) − k

w (t) ζ(t)λ

(t) + (4.1.17)

+ 1/8 iMξ (t)

ξ(t) + 1/8 iMζ (t)

ζ(t)+

+ ik

y (t) ξ (t) λ

(t) + k

x (t) ξ (t) λ

(t)+

+ 1/8 iMξ(t)

ξ (t) + ik

z (t) ζ(t)λ

(t) + ik

y (t) ξ(t)λ

(t) +

+ 1/8 iMζ(t)

ζ (t) − 1/2 iM

(t) λ

(t)+

+ ik

z (t) ζ (t) λ

(t) + 2 k

x (t)

z (t) h (t) +

+ 2 k

x (t) z (t) h (t) + 2 k

y (t)

w (t) h (t) +

+ 2 k

y (t) w (t) h (t) − 1/2 iM

(t)λ

(t) +

− k

x (t) ξ(t)λ

(t) ,

onde o setor bosˆonico ´e dado por

Lag

Bos

=1/2 M



x (t)



+ 1/2 M



y (t)



+ 1/2 M



w (t)



+ (4.1.18)

+ 1/2 M



z (t)



+ 1/2 M



h (t)



− 2

(x (t) w (t) − y (t) z (t))

Se adotarmos as seguintes transforma¸c˜oes ortogonais, que levam (x, y, z, w) em (ξ

, ξ

= 2

−

(x + w) , (4.1.19)

= 2

−

(x − w) ,

= 2

−

(y + z) ,

= 2

−

(y − z) .

temos o se guinte modelo agora j´a na forma Hamiltoniana:

H =



+ P





− ξ

+ ξ

− ξ



. (4.1.20)

Por outro lado, se adotarmos as coordenadas hiperb´olicas nos planos (ξ

; ξ

) e (ξ

; ξ

= r

cosh θ

= r

sinh θ

, (4.1.21)

= r

cosh θ

, ξ

= r

sinh θ

a Hamiltoniana torna-se:

H =



+ P

−





+ r



, (4.1.22)

onde θ

e θ

s˜ao coordenadas ignor´aveis, tal que seus correspondentes momenta s˜ao cons-

tantes de movimento. Se P

= P

= 0, forem contribui¸c˜oes n˜ao-negativas para a energia

cin´etica, temos um sistema efetivo com dois graus de liberdade com potencial da forma

+ y

)

4.2 An´alise de Integrabilidade para o Setor Bosˆonico

Novamente, usamos os criterios de integrabilidade para o potencial qu´artico dados na

ref.:[Lakshmanan e Sahadevan,1993]:

quart

= Ax

+ By

+ ax

+ by

+ dx

, (4.2.23)

s˜ao:

a) A = B, a = b, d = 6a.

b) A, B, a = b, d = 2a.

c) A = 4B, a = 16b, d = 12a.

d) A = 4B, a = 8b, d = 6b.

e) d = 0 (trivial),

(4.2.24)

e veriﬁcamos que o potencial respeita a condi¸c˜ao de integrabilidade dada pelo item b).

4.3 Estudo de Integrabilidade com V´ınculos de Pari-

dade Impostos a Todo o Modelo.

Na se¸c˜ao anterior, hav´ıamos veriﬁcado as condi¸c˜oes de integrabilidade para o setor

bosˆonico do modelo sem levarmos em conta a contribui¸c˜ao que o setor fermiˆonico poderia

desempenhar neste estudo.

Nesta se¸c˜ao, imporemos, como no cap´ıtulo anterior, que todo o modelo obede¸ca `a

condi¸c˜ao de paridade. Para tanto, voltaremos a considerar as transforma¸c˜oes de paridade

no espa¸co espinorial como apresentado na se¸c˜ao 3.5, e deﬁnimos o seguinte espinor de

Majorana:

Z ≡





, (4.3.25)

para o qual se ﬁxa a transforma¸c˜ao de paridade:

Z −→ − γ

Z. (4.3.26)

Tem-se, ent˜ao, que

ξ −→ iξ (4.3.27)

ξ −→ − iξ,

o que, ﬁnalmente, nos leva `a transforma¸c˜ao de paridade

Φ −→ −Φ, (4.3.28)

para o supercampo quiral Φ.

Quanto ao supercampo Λ, temos a liberdade de ﬁxar a sua paridade.

Adotando

Λ −→ Λ, (4.3.29)

o que s igniﬁca,

w −→ w, (4.3.30)

z −→ −z,

ξ −→ iξ,

ξ −→ −iξ.

Recordamos que o potencial ´e submetido `a integra¸c˜ao em θ e θ,



dθdθ ΦΛH, (4.3.31)

e como

dθdθ −→ −dθdθ, (4.3.32)

Θ −→ −Φ,

Λ −→ Λ

devemos ﬁxar a paridade de H positiva:

H −→ H. (4.3.33)

Isto assegura a invariˆancia do potencial e nos leva `as seguintes transforma¸c˜oes para as

componentes de H:

h −→ h, (4.3.34)

λ −→ −iλ,

λ −→ iλ,

−→ −f

De fato, a transforma¸c˜ao f

−→ −f

´e compat´ıvel com a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de

movimento para esta coordenada auxiliar, dada na eq.4.1.10.

Estes resultados tˆem como conseq¨uˆencia que o parˆametro k ´e livre, n˜ao alterando os

resultados obtidos por ocasi˜ao da an´alise de integrabilidade do setor bosˆonico.

4.4 Conclus˜oes.

Neste cap´ıtulo, veriﬁcamos que, apesar de adotarmos um roteiro diferente para super-

simetriza¸c˜ao do modelo mecˆanico de Yang-Mills, comparado ao feito no cap´ıtulo anterior,

chegamos ao mesmo modelo integr´avel. Cab e destacar que, enquanto no cap´ıtulo anterior,

onde a supersimetria era aplicada a um modelo planar, ﬁzemos uso de supe rcampos reais.

Neste cap´ıtulo, onde a supersimetriza¸c˜ao foi feita em uma vers˜ao mecˆanica de Yang-

Mills com quatro graus de liberdade, os supercampos usados foram quirais.

Neste caso veriﬁcamos que os v´ınculos do modelo supersim´etrico nos levam a um caso

integr´avel tanto quando olhamos somente para o setor bosˆonico como quando levamos em

considera¸c˜ao o setor fermiˆonico. Cab e destacar que o uso de supercampos quirais implicou

em mais v´ınculos do que quando realizamos a constru¸c˜ao em termos de supercampos reais.

Ap´os as investiga¸c˜oes feitas nos ´ultimos cap´ıtulos em modelos mecˆanicos super-

sim´etricos, no pr´oximo cap´ıtulo trataremos de um modelo mecˆanico que foi constru´ıdo a

partir da redu¸c˜ao via campos espacialmente homogenˆeos de uma teoria de campos super-

sim´etrica N = 2 de Maxwell-Chern-Simons com acoplamento n˜ao-m´ınimo.

Cap´ıtulo 5

Integrabilidade e Caos numa Vers˜ao

D=(0+1) da Teoria N=2

Maxwell–Chern–Simons–Higgs.

5.1 Introdu¸c˜ao

Neste cap´ıtulo, ao inv´es de aplicarmos procedimentos de an´alise de integrabilidade e

caos a modelos supersimetrizados diretamente na forma mecˆanica, faremos estas an´alises

em um sistema mecˆanico reduzido (espacialmente homogˆeneo) derivado de um modelo

Maxwell-Chern-Simons-Higgs N=2 oﬀ-shell com acoplamento n˜ao-m´ınimo que apresenta

excita¸c˜oes de v´ortices topol´ogicos BPS, numericamente obtidas com um “ansatz”adotado

no regime de validade de um acoplamento cr´ıtico esp ecial. Como uma contrapartida da

regularidade associada `a solu¸c˜ao est´atica do tipo s´oliton, investigamos a possibilidade de

existˆencia de dinˆamica ca´otica na evolu¸c˜ao do sistema reduzido espacialmente homogˆeneo,

descendente do modelo de campo N=2 sob considera¸c˜ao. O conte´udo originalmente rico

de simetrias e intera¸c˜oes, supersimetria N=2 e acoplamento n˜ao- m´ınimo, tornam especial

o modelo proposto como uma estrutura interessante para a investiga¸c˜ao do papel desem-

penhado pelas (super) s imetrias e dom´ınios de parˆametros no favorecimento e no controle

do comportamento ca´otico em s istemas de gauge. Depois de construir o Lagrangiano efe-

tivo e o Hamiltoniano, e estabelecer as equa¸c˜oes canˆonicas de Hamilton correspondentes,

aplicamos os crit´erios globais de integrabilidade, simetrias pontuais de Noether e propri-

edade de Painlev´e, tanto ao regime geral quanto ao regime de acoplamento cr´ıtico. Como

um car´ater n˜ao- integr´avel ´e revelado pelo par de crit´erios anal´ıticos aplicados, efetuamos

simula¸c˜oes num´ericas na busca de padr˜oes ca´oticos na evolu¸c˜ao do sistema. Na pr´oxima

se¸c˜ao, apresentamos a teoria, as equa¸c˜oes de campo e a sua contrapartida espacialmente

homogˆenea, o Lagrangiano efetivo unidimensional e os momenta conjugados associados.

Como aparece uma constante de movimento adicional (al´em do Hamiltoniano), uma re-

parametriza¸c˜ao conveniente ´e implementada, e o sistema Hamiltoniano correspondente ´e

escrito, levando `as equa¸c˜oes canˆonicas de Hamilton. Na Se¸c˜ao 3, retornamos a um regime

geral com formula¸c˜ao de segunda–ordem, na qual come¸camos nossa an´alise da quest˜ao

de integrabilidade, adotando dois crit´erios anal´ıticos alternados – a abordagem de sime-

trias pontuais de Noether [Sarlet e Cantrijn,1981] e o procedimento do teste de Painlev´e

[Tabor,1989, Ablowitz, Ramani e Segur,1978]. A primeira estrat´egia conduz a um con-

junto de dez equa¸c˜oes diferenciais parciais acopladas que parecem s´o possuir uma solu¸c˜ao

de forma fe chada no regime de acoplamento m´ınimo, g = 0. No contexto do teste de Pain-

lev´e, mostra-se que nenhum conjunto de expoentes dominantes inteiros negativos pode ser

encontrado, na medida em que a equa¸c˜ao para o campo de gauge ´e considerada, deterio-

rando o correspondente algoritmo de teste para a veriﬁca¸c˜ao de uma poss´ıvel propriedade

de Painlev´e forte, associada ao sistema. O papel desempenhado pela equa¸c˜ao de campo de

gauge sugere que uma mudan¸ca na dinˆamica do setor de gauge possa gerar uma situa¸c˜ao

diferente para a an´alise de integrabilidade. Assim motivados, na Se¸c˜ao 4, adotamos o

regime da rela¸c˜ao de acoplamento cr´ıtico, chegando a equa¸c˜oes de primeira ordem para

os graus de liberdade de gauge. Apresentamos o Lagrangiano efetivo associado e a fun¸c˜ao

Hamiltoniana, como tamb´em as correspondentes equa¸c˜oes de campo iteradas de segunda

ordem. Estes resultados nos habilitam a redirecionar o teste de Painlev´e, que indica que

o regime de acoplamento cr´ıtico apresenta uma caracter´ıstica at´e pior, no que diz respeito

`a negatividade r´ıgida suposta para os expoentes dominantes. Retornando `a abordagem

de simetrias pontuais de Noether, vemos que estas tamb´em n˜ao nos d˜ao nenhuma pista

de poss´ıveis conﬁgura¸c ˜oes integr´aveis. Na Se¸c˜ao 5, procede-se a uma an´alise de caos para

valores ﬁsicamente aceit´aveis dos parˆametros. Nos regimes caracterizados por g = 0, para

valores de g tanto n˜ao–criticos quanto cr´ıticos, o modelo se torna mais est´avel do que na

situa¸c˜ao em que g = 0. Apresentamos, ent˜ao, nossos coment´arios e discutimos a falha

do sistema em obedecer `a propriedade de Painlev´e forte, um fato que pode conduzir `a

considera¸c˜ao futura de outros testes de integrabilidade. Tamb´em, tentamos explicar por

que g = 0 conduz a um comportamento mais est´avel, apesar da n˜ao–linearidade inerente

provocada pela presen¸ca de um g n˜ao-nulo.

5.2 Descri¸c˜ao do Modelo

Partimos [Christiansen et al,1999:2] da densidade de Lagrangiano:

boson

= −

µν

∂

M∂

M +

(∇

φ)(∇

φ)

∗

−

(∂

M)(∂

|φ|

) +

− U, (5.2.1)

onde

U =



|φ|

− v

M + 2g|φ|



|φ|

∇

φ ≡ (∂

− ieA

− ig

)φ e G ≡ 1 − g

|φ|

. As equa¸c˜oes de campo para a teoria

completa s˜ao:

∂

µρ

+ m

= −J

−

µνρ

∂

onde J

(φ

∗

∇

φ − φ(∇

φ)

∗

), e tamb´em

∂

M −

∂

|φ|

(|φ|

− v

+ (2κ/e)M + 2gM|φ|

)(2κ/e + 2g|φ|

)

|φ|

M = 0 ,

(∇

∇

φ)

∗

−

∗

(∂

∂

M) +

∗



|φ|

− v

+ (2κ/e)M + 2g|φ|



∗



|φ|

− v

+ (2κ/e)M + 2g|φ|



(1 + 2gM)

∗

= 0 .

Adotando a escolha de gauge A

= 0 e impondo a homogeneidade espacial, isto ´e,

∂

(∀ campos) = 0, a fase do campo escalar torna-se uma vari´avel cuja derivada-temporal

desaparece, o que permite que seja eliminada sem perda de generalidade. Assim, ter-

minamos com um campo escalar real e o seguinte conjunto de equa¸c˜oes reduzidas de

movimento:





= −2egφ

[φA

] − e

− κ

, (5.2.2)





= +2egφ

[φA

] − e

+ κ

, (5.2.3)

M =

(φ

) − e

M −

(φ

− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ

)(2κ/e + 2gφ

)

φ = −(eA

+ g

)

φ − (eA

− g

)

φ + gφ

M − e

φM

−

φ(φ

− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ

)

−

φ(φ

− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ

)(1 + 2gM)

O Lagrangiano efetivo que gera estas equa¸c˜oes de movimento ´e:

L =



(

)

+ (

)



−



− A



−



+ A



(

− gφ

M +

(

φ)

−

(φ

− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ

)

−

onde G ≡ 1 − g

e Q ≡ κ + 2egφ

Os momenta canonicamente conjugados deﬁnidos, como usualmente, por p =

∂L

∂ ˙q

, tˆem

as express˜oes:

≡

∂L

∂

= G

≡

∂L

∂

= G

−

≡

∂L

∂

φ − gφ

M ,

≡

∂L

∂

M − gφ

φ .

Antes de derivarmos as equa¸c˜oes canˆonicas de Hamilton, notemos que a quantidade

I ≡ A

− A

(5.2.4)

´e uma constante de movimento. Isto pode ser veriﬁcado facilmente, multiplicando e combi-

nando as equa¸c˜oes de ”campos de gauge” de acordo com A

(5.2.2)−A

(5.2.3). Motivados

por es te fato, reparametrizamos o setor de gauge adotando coordenadas polares, em vez

de Cartesianas. Deﬁnindo: A

= Acosζ, A

= Asenζ , e o “novo” conjunto de vari´aveis

´e (A, ζ, φ, M ). O Lagrangiano agora se torna:

L =



(

+ A

(

ζ)



−





(

− gφ

M +

(

φ)

−

(φ

− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ

)

−

, (5.2.5)

conduzindo `as mesmas express˜oes para p

e P

, e deﬁnindo p

≡

∂L

∂

= G

A , p

≡

∂L

∂

ζ −

Pode-se facilmente veriﬁcar que p

= −I, resultando ˙p

= 0. O Hamiltoniano lˆe-se:

CAN.



+ Qp

+ p

+ P

+ 2gφp





(Q/2)

+ e

Gφ





− v

+ (2κ/e)M + 2gφ



As equa¸c˜oes canˆonicas de Hamilton resultantes s˜ao:

A =

; ˙p



−



(Q/2)

+ e

Gφ





;

ζ =





˙p

= 0 ; (5.2.6)

φ =

+ gφP

] ;

˙p

= −





+ p

+ P



+ gφ(κg + 2e)p

+ g(1 + g

+(κg + 2e)

φA

+ e

φM



− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ



Gφ



− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ



(1 + 2gM)



;

M =

+ gφp

] ;

= −



Gφ

M +



− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ





2κ

+ 2gφ



Estas equa¸c˜oes de Hamilton ser˜ao utilizadas a seguir na analise de integrabilidade e

caos.

5.3 An´alise de Integrabilidade: Caso Geral

Apresentamos dois crit´erios anal´ıticos Lagrangianos para atacar a quest˜ao da integra-

bilidade: simetrias pontuais de Noether, mais adequadas para estabelecer as constantes

de movimento, e o teste de Painlev´e, que se destina a conferir uma propriedade global (as

vari´aveis dependentes serem merom´orﬁcas para singularidades m´oveis no plano complexo)

que indica integrabilidade.

5.3.1 Aplicando Simetrias pontuais de Noether.

Agora, faremos uso do estudo das simetrias pontuais de Noether, conforme apresentado

no Cap´ıtulo 1. Inserindo na condi¸c˜ao de simetria o Lagrangiano dado pela equa¸c˜ao (5.2.5),

obtemos que um polinˆomio c´ubico nas velocidades tem que desaparecer. Os coeﬁcientes de

iguais potˆencias das velocidades s˜ao anulados, e obtemos um sistema acoplado de equa¸c˜oes

diferenciais parciais lineares que determinam as simetrias e os invariantes de Noether. A

condi¸c˜ao c´ubica simplesmente conduz a

τ = τ(t) , (5.3.7)

o que quer dizer que a vari´avel independente transformada ´e uma fun¸c˜ao s´o do tempo. As

equa¸c˜oes associadas `as condi¸c˜oes quadr´aticas, por´em, s˜ao um conjunto de dez equa¸c˜oes

diferenciais parciais acopladas que, aparentemente, s´o possuem uma solu¸c˜ao de forma

fechada no caso do acoplamento m´ınimo g = 0. Restringindo o tratamento a este caso

quase trivial e considerando as condi¸c˜oes para os termos de ordens zero e primeira, s´o

achamos simetrias de transla¸c˜ao temporal e simetrias translacionais de ζ. Estas simetrias

est˜ao associadas, de acordo com (1.2.13), `as leis de conserva¸c˜ao de energia e p

. Estes s˜ao

resultados quase ´obvios, por mostrar que a n˜ao-linearidade e acoplamentos no potencial

n˜ao d˜ao muito espa¸co para a existˆencia de leis de conserva¸c˜ao do sistema, at´e mesmo no

caso g = 0. Esta ´e uma assinatura de n˜ao–integrabilidade. Por´em, outros m´etodos para

investigar leis de conserva¸c˜ao no sistema como simetrias pontuais de Lie [Olver,1986] n˜ao

foram usados.

5.3.2 Teste de Painlev´e

Voltamos, agora, a uma conﬁgura¸c˜ao do formalismo espacial de segunda–ordem, para es-

tabelecer o ambiente para aplica¸c˜ao do teste de Painlev´e [Tab or,1989] e

[Ablowitz, Ramani e Segur,1978]. As equa¸c˜oes s˜ao

A = 2g

Gφ

A +

− (

)

A − e(κg + e)φ

A , (5.3.8)

onde C representa a constante p

φ = g

− g

−

− gC(κ g + 2e)φ −

(κ g + 2e)

φ A

eφ

(φ

− v

)



− 2(κ g + e) + g

(2κ g − e)φ

+ 2eg



− (κ g + e)



κ − ev

g + (3eg − κ g

)φ

− 2eg

+ (κ g + e)M



φ M (5.3.9)

M = gG

− g

−

(κ g + 2e)

− g (κ g + e)

(φ

− v

)[−2κ + g (−4e + eg

+ 2κ g)φ

+ 3eg

]

+ [−κ

+ (κ

+ eκ g

− e

− 3eκ g + e

)φ

+ eg

(2κ g − e)φ

+ e

]M .

(5.3.10)

Tomando o tempo como uma vari´avel complexa, o primeiro passo do teste de Painlev´e

est´a relacionado ao comportamento da singularidade dominante. Sup˜oe-se que os termos

dominantes tenham a forma geral A ∼ a(t − t

)

, φ ∼ b(t − t

)

, M ∼ c(t − t

)

, onde

α, β, γ < 0. Tais suposi¸c˜oes transformam as ´ultimas trˆes equa¸c˜oes nas seguintes rela¸c˜oes

assint´oticas (t → t

α [α − 1 + 2β] τ

α+4β−2

∼ 0 ;

β [2β − 1] τ

7β−2

∼ g

2α+5β−2

−2eg

(κg + e)b

cτ

5β+γ

+ (κg + e)

β+2γ

;

cγ(γ − 1)τ

4β+γ−2

∼ gb

β(2β − 1)τ

6β−2

onde τ = t − t

A partir da ´ultima equa¸c˜ao, obtemos γ = 2β e c = gb

/2. Inserindo γ = 2β na

segunda equa¸c˜ao, o balanceamento reduz aos primeiros dois termos, o que conduz a α = β

e a

= (2β − 1)b

/β . Entretanto, a primeira equa¸c˜ao mostra a impossibilidade de termos

α, β < 0, na medida em que α + 2β −1 = 0 ´e exigido, inviabilizando que seja satisfeito o

teste de Painlev´e. Outra possibilidade seria ﬁxar α = 0 na primeira equa¸c˜ao, deixando-a

para tr´as como uma identidade. Po der´ıamos descartar o segundo termo (primeiro no lado

direito) da segunda equa¸c˜ao, e o balanceamento dos trˆes termos remanescentes conduziria

a um conjunto interessante de valores negativos para γ e β: γ = −4, β = −1 , contanto

que a s eguinte rela¸c˜ao seja assegurada:

(κg + e)

− 2(κg + e)eg

c + 3g

= 0 .

Ainda, temos que lidar com um “expoente dominante” nulo que inviabiliza o teste de

Painlev´e.

Como umas das faces de um problema com a dinˆamica do setor de gauge, a ado¸c˜ao

da rela¸c˜ao de acoplamento cr´ıtico (projetando o sistema sobre o regime que d´a lugar

`as j´a estabelecidas excita¸c˜oes de v´ortice) pode servir como uma valiosa ferramenta de

investiga¸c˜ao. Na realidade, impondo g = −e/κ somos levados a equa¸c˜oes de primeira-

ordem para o campo de gauge [Christiansen et al,1999:2].

5.4 Regime de acoplamento cr´ıtico.

Se g = −e/κ, temos:

= −J

e a redu¸c˜ao a conﬁgura¸c˜oes espacialmente homogˆeneas conduz a

κGE

= −e

, (5.4.11)

onde E

= +1 = −E

. A partir deste conjunto de equa¸c˜oes chegamos a

+ A

) = 0 .

Na medida em que G > 0 (uma condi¸c˜ao herdada da estrutura da supersimetria

original N = 2), temos que A

+ A

´e uma constante de movimento (reproduzindo assim

a situa¸c˜ao do Chern–Simons–Higgs “puro” minimamente acoplado).

Adotando coordenadas polares, A

= Ccos ζ, A

= Csen ζ (A

+ A

= C

), e ma-

nipulando o conjunto (5.4.11), chegamos a

ζ = −e

/κ G. Seguindo a mesma rota

escolhida no caso geral (n˜ao–critico), buscamos um Lagrangiano e um Hamiltoniano efe-

tivos, estabelecendo as equa¸c˜oes canˆonicas de movimento e, como desej´avel para o teste

de Painlev´e para integrabilidade, iterando-as para que adquiram a forma de equa¸c˜oes

diferenciais de segunda-ordem acopladas. Pode-se facilmente veriﬁcar que as seguintes

fun¸c˜oes Lagrangiano e Hamiltoniana s˜ao obtidas:

L = p



ζ +

κG



−

2κ

− gφ

M −

(φ

− v

+ (2κ/e)M + 2gφ

−

CAN.



+ Qp

+ p

+ P

+ 2gφp





(Q/2)

+ e

Gφ





− v

+ (2κ/e)M + 2gφ



onde g = −e/κ, G = 1 −(e

/κ

)φ

e p

= −κC

/2, conduzem ao conjunto apropriado de

equa¸c˜oes de campo. O sistema iterado de segunda ordem passa a ser

−G

φ = −g

+ e

φA



eg(C + egv

/4)



φ +



−2eg



+ e



1 +



−

;

M = (g − 2g

+ g

)

+ (gφ − 2g

+ g

)

φ + 2e

−e

M − κ

M −

κe

− e

(1 +

)φ

κev

Novamente, no teste de Painlev´e, as rela¸c˜oes assint´oticas s˜ao encontradas: φ : β = 0

ou β = 1/2 . Se tomarmos o caso β = 0, ﬁcamos com dois resultados problem´aticos, na

medida em que a equa¸c˜ao para M ´e considerada: tanto γ = β = 0, ou β = 0, b

= 1/g

, γ

s˜ao indeterminados. Assim, uma marca da falta da propriedade de Painlev´e do tipo forte

permanece.

5.5 An´alise de caos

Como os resultados dos estudos anal´ıticos sugerem que o sistema pode n˜ao ser integr´avel,

voltamos, agora, para um estudo num´erico para veriﬁcar se tal caracter´ıstica de n˜ao–

integrabilidade ´e apresentada em uma forma c a´otica.

M´etodo de SALI

Conforme apresentado em cap´ıtulo anterior, o principal instrumento para diagn´ostico

de caos que empregaremos ´e o M´etodo de SALI. Na subse¸c˜ao que segue, faremos uso deste

m´eto do, assim como tamb´em de diagramas de fase.

5.5.1 Equa¸c˜oes de movimento e condi¸c˜oes para an´alise

A integra¸c˜ao do sistema foi feita por meio de um algoritmo de Gear [Gear,1971],

com passo vari´avel, o tamanho inicial do passo m´ınimo foi h = 0.0001, eventualmente

era reduzido para preservar os valores do Hamiltoniano e de p

, que s˜ao constantes de

movimento conhecidas. Outro v´ınculo mantido ao longo da integra¸c˜ao foi que G (G ≡

1 − g

) deveria ser maior que zero. As seguintes equa¸c˜oes de movimento de primeira

ordem foram usadas na integra¸c˜ao num´erica:

A =

; ˙p



−



(Q/2)

+ e

Gφ





;

ζ =





; ˙p

= 0 ;

φ =

+ gφP

] ;

˙p

= −





+ p

+ P



+ gφ(κg + 2e)p

+ g(1 + g

+(κg + 2e)

φA

+ e

φM



− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ



Gφ



− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ



(1 + 2gM)



;

M =

+ gφp

] ;

= −



Gφ

M +



− v

+ (2κ/e)M + 2gMφ





2κ

+ 2gφ



Por quest˜ao de simplicidade, adotamos a seguinte nota¸c˜ao:

ζ = q

, A = q

, φ = q

, M = q

, p

= p

, p

= p

, p

= p

, P

= p

. Para cada

conjunto de parˆametros de entrada foi feita a integra¸c˜ao num´erica e o m´etodo de SALI

foi usado depois que terminado o pe r´ıodo transiente. A seguir, apresentamos amostras

representativas de nossos achados.

5.5.2 Caso com g = 0

Considerando que nosso modelo vem de uma vers˜ao supersim´etrica do modelo de

Maxwell–Chern–Simons–Higgs com acoplamento n˜ao-m´ınimo, n˜ao ´e claro se recuperare-

mos propriedades dinˆamicas semelhantes `as observadas em outros estudos [Escalona et al,2000,

Bambah et al,1993] quando g = 0. As duas propriedades principais encontradas nestes

estudos foram a existˆencia de caos na presen¸ca do termo de Maxwell e a sensibilidade das

condi¸c˜oes da evolu¸c˜ao assint´otica – ordem versus caos. Para veriﬁcar estas propriedades

em nosso modelo, escolhemos as condi¸c˜oes iniciais que deﬁnem um ponto ﬁxo do sistema

e, ent˜ao, variamos q

de 0 a 2 com parˆametros ﬁxados como e = 2, k = 2, v = 2 e, como

mencionado acima, g = 0. As condi¸c˜oes iniciais s˜ao q

(0) = 1, q

(0) = 2,

(0) = 0, p

(0) = −1, p

(0) = 0 e p

(0) = 0.

Os resultados s˜ao apresentados em uma sucess˜ao de diagramas de fase. Na Figura 1,

mostramos p

contra q

. Lembramos que poder´ıamos ter usado qualquer par de vari´aveis

para perturbar o ponto ﬁxo inicial e, ent˜ao, apresentar o resultado nestes gr´aﬁcos; mas,

nossa escolha foi guiada pelo fato de que ambas as vari´aveis q

(φ) e q

(M) est˜ao presentes

no potencial do tipo Higgs de nosso modelo. Depois, na Figura 2, mostramos um gr´aﬁco

de SALI como uma fun¸c˜ao de q

a) q

(0) = 0.1, b) q

(0) = 0.3, c) q

(0) = 0.7, d) q

(0) = 1.5, e) q

(0) = 1.75 e f)

(0) = 2.0.

Figura 1

Gr´aﬁco de SALI com os parˆametros ﬁxados em: e = 2, k = 2, v = 2 e g = 0.

Figura 2

Podemos ver, na Figura 2, com ajuda de uma quebra no eixo vertical, que, para

 0.55 o comportamento do sistema ﬁca ca´otico, com SALI assumindo valores entre

−89

e 10

−33

5.5.3 Caso com g = 0 fora do regime de acoplamento cr´ıtico

Usamos aqui g = 0, mas fora do regime de acoplamento cr´ıtico, para conferir se a

inclus˜ao deste tipo de acoplamento pode transformar alguma conﬁgura¸c˜ao dinˆamica em

ca´otica, com condi¸c˜oes iniciais que, no caso g = 0, conduziram `a regularidade. Para isto,

ﬁxamos os parˆametros e as condi¸c˜oes iniciais como e = 2, k = 2, v = 2 e q

(0) = 1,

(0) = 1, q

(0) = 0.25, q

(0) = 2, p

(0) = 0, p

(0) = −1, p

(0) = 0 e p

(0) = 0 e

analisamos o modelo com os seguintes valores de g: 0.1, 0.7, 1.5 e 2.5. Para todos estes

casos, o comportamento permaneceu o mesmo, indicando que a varia¸c˜ao de g n˜ao muda

o comportamento do sistema de regular para ca´otico, como podemos ver na Figura 3.

a) g=0.1, b) g=0.7, c) g=1.5 e d) g=2.5.

Figura 3

5.5.4 Caso com g no regime de acoplamento cr´ıtico

Agora, exploramos o regime de acoplamento cr´ıtico, onde g = −

. Fixamos os

parˆametros k = 2, v = 2 e variamos e, enquanto mantemos as condi¸c˜oes iniciais como um

caso de perturba¸c˜ao do ponto ﬁxo; contudo, neste caso, teremos um conjunto diferente

de condi¸c˜oes iniciais para cada e pois na express˜ao geral para o ponto ﬁxo o elemento

(0) depende de e . Pensando nisto, mantemos os mesmos valores q

(0) = 1, q

(0) = 1,

(0) = 0, p

(0) = −1, p

(0) = 0, p

(0) = 0 e ﬁxamos q

(0) = 0.7, um valor que torna o

sistema ca´otico no caso g = 0 e q

(0) = e. Neste caso, q

(0) = 0.7 ´e uma perturba¸c˜ao,

na medida em que, no ponto ﬁxo, q

(0) = 0.0. Como no caso g = 0, aqui tamb´em

apresentamos um conjunto de diagramas de fase e um gr´aﬁco de e contra SALI. Nos

gr´aﬁcos de SALI, quebramos o eixo vertical para mostrar que os valores de SALI m´ınimos

est˜ao acima do limiar de caos, de acordo com os requisitos do m´etodo SALI, quer dizer,

SALI < 10

−5

Gr´aﬁcos de fase com q

(0) = 0.7 e e variando como:

a) e = 0.10, b) e = 0.25, c) e = 0.50, d) e = 1.5, e) e = 2.0 e f) e = 2.5.

Figura 4

Gr´aﬁco de SALI em fun¸c˜ao de e com os parˆametros ﬁxados em:

k = 2, v = 2 e g = −e/k.

Figura 5

5.6 Conclus˜oes.

Neste Cap´ıtulo, uma compara¸c˜ao entre o sistema mecˆanico integr´avel apresentado

no trabalho da Ref. [Escalona et al,2000] - deﬁnido como limite de uma teoria completa

N=1-supersim´etrica analisada no caso particular de acoplamento n˜ao-m´ınimo cr´ıtico (o

que reduz a dinˆamica do setor de gauge a equa¸c˜oes de primeira ordem, motivando a

nomenclatura “Chern–Simons puro”) - e o nosso modelo, descendente de uma teoria

supersim´etrica estendida N = 2, sugere que uma supersimetria extra pode ser respons´avel

[Evans et al,1996] pela n˜ao–integrabilidade global (no sentido de Painlev´e forte). Ressalte-

se que, mesmo na situa¸c˜ao an´aloga de acoplamento n˜ao-m´ınimo cr´ıtico, a constru¸c˜ao que

apresentamos leva a um modelo “tipo Chern-Simons” (equa¸c˜oes de primeira ordem) que

n˜ao se revela globalmente integr´avel.

Nos estudos de caos, foram veriﬁcadas duas possibilidades principais. Primeiro, veriﬁ-

camos se o n˜ao–anulamento de g pode levar o sistema (previamente com condi¸c˜oes iniciais

e parˆametros tais que a regularidade fora observada para g = 0) a um regime ca´otico.

O segundo ponto diz respeito ao efeito oposto, isto ´e, se uma conﬁgura¸c˜ao ca´otica para

g = 0 poderia ﬁcar regular sempre que g se tornasse n˜ao–trivial.

No caso de um acoplamento n˜ao–cr´ıtico, `a medida que g aumenta a partir de zero,

uma conﬁgura¸c˜ao est´avel para g = 0 mant´em sua estabilidade, `a medida em que g varia.

Nesses casos, a diferen¸ca ´e que, para valores maiores de g, o sistema ﬁca ligeiramente mais

inst´avel, mas sua dinˆamica ainda ´e regular. Algo semelhante acontece para conﬁgura¸c˜oes

que exibem caos para g = 0. Em tais casos, o sistema permanece ca´otico, mas um

pouco mais inst´avel. Para o acoplamento cr´ıtico, ´orbitas que eram ca´oticas para g = 0

agora ﬁcam regulares; isto pode indicar que os acoplamentos cr´ıticos podem ter um papel

estabilizador em nosso modelo. Estes resultados podem ser interpretados com base em

dois pontos:

1. Para o regime de acoplamento cr´ıtico, ocorre um desacoplamento parcial entre as

vari´aveis φ e M, e isto reduz a n˜ao–linearidade do sistema.

2. A quantidade G (G = 1 − g

) deve ser positiva, com 0 < G ≤ 1. Isto deve

ocorrer para assegurar a positividade da energia, e a existˆencia de um estado de

v´acuo est´avel. Nas Eqs. (5.3.8), (5.3.9) and (5.3.10), G acompanha todos os termos

com derivadas temporais e, para valores grandes o bastante de g ou φ, G se torna

pequeno, tornando dominantes os setores alg´ebricos destas equa¸c˜oes. Este fato pode

100

ter um efeito estabilizador, implicando que, no caso de um acoplamento n˜ao–cr´ıtico,

a dinˆamica para g = 0 n˜ao ´e t˜ao diferente daquela do caso com g = 0. No regime

de acoplamento cr´ıtico, o ef eito estabilizador pode ser uma combina¸c˜ao dos destas

duas propriedades apresentadas.

Tamb´em, ´e not´avel destacar que, para valores negativos de G, o volume do e spa¸c o

de fase j´a n˜ao ´e conservado, e, como uma conseq¨uˆencia, n´os n˜ao temos mais um sistema

Hamiltoniano. Por isto, os resultados relatados acima s´o fazem sentido se as condi¸c˜oes

iniciais e os parˆametros assegurarem a positividade de G. Finalmente, aparecem neste

modelo conﬁgura¸c˜oes com comportamento mais regular (`a medida que g aumenta) que

aqueles encontrados na Ref. [Escalona et al,2000]. Perguntamos-nos at´e que ponto as

condi¸c˜oes f´ısicas esp eciais – supersimetria estendida no sistema original - poderiam ser

respons´aveis por este efeito estabilizador.

101

Cap´ıtulo 6

Considera¸c˜oes Finais

Motivados por v´arios estudos presentes na literatura que trataram a quest˜ao do com-

portamento ca´otico em teorias de campos, e outros trabalhos que mostraram o car´ater

restritivo da supersimetria no que diz respeito a integrabilidade, efetuamos nesta tese

um estudo explorat´orio com vistas a veriﬁcar a existˆencia de caos em algumas teorias

supersim´etricas.

No Cap´ıtulo 2, estudamos o papel que a supersimetria N = 1 desempenha na vers˜ao

mecˆanica da teoria de Yang-Mills e, ap´os contruirmos a vers˜ao supersim´etrica, apresen-

tamos as condi¸c˜oes de integrabilidade para o setor bosˆonico, tendo imposto simetria de

paridade a este setor. Em seguida, impusemos a simetria de paridade a todo o modelo

para veriﬁcamos at´e que ponto o setor fermiˆonico inﬂuenciava a integrabilidade do setor

bosˆonico.

Os resultados mostraram que a supersimetria N = 1 n˜ao limitou mais as possibilidades

de integrabilidade do que aquelas j´a observadas para o setor bosˆonico. Quanto `a existˆencia

de caos, a supersimetria n˜ao ampliou a possibilidade de regime regular. O primeiro e

terceiro modelos integr´aveis que surgem ap´os a an´alise de paridade imposta ao setor

102

fermiˆonico correspondem a casos triviais (n˜ao-interagentes) e, portanto, de pouco interesse

f´ısico; teorias n˜ao-interagentes tˆem interesse apenas no que concerne a classiﬁca¸c˜ao e a

descri¸c˜ao do espectro de part´ıculas livres. J´a o segundo modelo corresponde exatamente

ao modelo original n˜ao-supersim´etrico, onde, conforme apresentado no Cap´ıtulo 1, existe

uma riqueza de possibilidades para dinˆamica ca´otica, assim como para o comportamento

regular.

Ap´os estudarmos um modelo com supersimetria m´ınima, no Cap´ıtulo 2, ﬁzemos o

estudo de um modelo planar polinomial com supersimetria N = 2 e, tendo implementado

a an´alise de integrabilidade do setor bosˆonico do modelo supersim´etrico veriﬁcamos o

aparecimento de casos integr´aveis para os sistemas acoplados e desacoplados que surgiram

da an´alise de simetria de paridade imposta ao mode lo.

Os casos acoplados encontrados podem ser classiﬁcados em dois tipos: um potencial

do tipo qu´artico e um potencial que ´e funcionalmente a superposi¸c˜ao de um p otencial

qu´artico e de Henon-Heiles.

Neste caso em que a simetria de paridade ´e imposta somente ao setor bosˆonico s´o foram

gerados potenciais integr´aveis depois que levamos em conta os v´ınculos que aparecem no

curso da an´alise de Painlev´e. Isto signiﬁca que, se estes v´ınculos n˜ao s˜ao cumpridos,

estaremos lidando com potenciais n˜ao-integr´aveis, segundo o teste de Painlev´e, e, ent˜ao,

com a possibilidade de caos.

N˜ao houve necessidade de fazermos uma an´alise de caos para os casos de potenciais

com forma qu´artica, pois estes j´a haviam sido estudados na literatura. Nos casos para

os quais os potenciais s˜ao dados pela superposi¸c˜ao de um potencial de forma qu´artica e

de Henon-Heiles est˜ao, no presente momento, em considera¸c˜ao e, em um trabalho futuro,

informaremos os resultados de uma an´alise completa [de Assis et al,2005:4]. Por´em, demos

um exemplo para ilustrar como este tipo de potencial n˜ao-integr´avel admite transi¸c˜ao

103

ordem-caos usando um dos potenciais encontrados com esta caracter´ıstica.

Quando a simetria de paridade foi imposta `a a¸c˜ao completa (intera¸c˜oes bosˆonicas e

fermiˆonicas), os potenciais gerados de acordo com este v´ınculo eram totalmente integr´aveis

(sem a necessidade de ﬁxar v´ınculos de integrabilidade).

No Cap´ıtulo 4, veriﬁcamos que, apesar de adotarmos um roteiro diferente para su-

persimetriza¸c˜ao do modelo mecˆanico de Yang-Mills, comparado ao feito no Cap´ıtulo 3,

chegamos ao mesmo modelo integr´avel. Cabe destacar que, no Cap´ıtulo 3, a supersimetria

era aplicada a um modelo planar e naquela constru¸c˜ao ﬁzemos uso de supercampos reais.

Neste Cap´ıtulo, a supersimetriza¸c˜ao foi feita em uma vers˜ao mecˆanica de Yang-Mills com

quatro graus de liberdade e os supercampos usados eram quirais.

Neste caso, os v´ınculos do modelo supersim´etrico nos levam a um caso integr´avel, tanto

quando olhamos somente para o setor bosˆonico como quando levamos em considera¸c˜ao

o setor fermiˆonico. Cabe destacar que o uso de supercampos quirais implicou em mais

v´ınculos do que quando realizamos a constru¸c˜ao em termos de supercampos reais.

Ap´os estas investiga¸c˜oes em modelos mecˆanicos supersim´etricos, no Cap´ıtulo 5, trata-

mos de um modelo mecˆanico supersim´etrico constru´ıdo diretamente a partir da redu¸c˜ao

via campos espacialmente homogenˆeos de uma teoria de campos N = 2 de Maxwell-

Chern-Simons com acoplamento n˜ao-m´ınimo.

A compara¸c˜ao entre o sistema mecˆanico integr´avel apresentado no trabalho da Ref.

[Escalona et al,2000] - deﬁnido como limite de uma teoria completa N=1-supersim´etrica

analisada no caso particular de acoplamento n˜ao-m´ınimo cr´ıtico (o que reduz a dinˆamica

do setor de gauge a equa¸c˜oes de primeira ordem, motivando a nomenclatura “Chern–

Simons puro”) - e o nosso mode lo, descendente de uma teoria supersim´etrica estendida

N = 2, sugere que uma supersimetria extra pode ser respons´avel [Evans et al,1996] pela

n˜ao–integrabilidade global (no sentido de Painlev´e forte). Ressalte-se que, mesmo na si-

104

tua¸c˜ao an´aloga de acoplamento n˜ao-m´ınimo cr´ıtico, a constru¸c˜ao que apresentamos leva

a um modelo “tipo Chern-Simons” (equa¸c˜oes de primeira ordem) que n˜ao se revela glo-

balmente integr´avel.

Nos estudos de caos feitos neste Cap´ıtulo, duas possibilidades principais foram discu-

tidas.

Primeiro, se a manuten¸c˜ao de valores n˜ao-nulos de g levaria o sistema (antes com

condi¸c˜oes iniciais e parˆametros tais que a regularidade fora observada para g = 0) a um

regime ca´otico. O segundo ponto diz respeito ao efeito oposto, isto ´e, se uma conﬁgura¸c˜ao

ca´otica para g = 0 poderia transitar para uma regular sempre que g se tornasse n˜ao–

trivial.

No caso de um acoplamento n˜ao–cr´ıtico, `a medida que g aumenta a partir de zero,

uma conﬁgura¸c˜ao est´avel para g = 0 tem sua estabilidade mantida, `a medida em que g

varia. Nesses casos, a diferen¸ca ´e que, para valores maiores de g, o sistema ﬁca ligeira-

mente mais inst´avel, porem sua dinˆamica ainda ´e regular. Algo semelhante acontece para

conﬁgura¸c˜oes que exibem caos para g = 0. Em tais casos, o sistema permanece ca´otico,

mas um pouco mais inst´avel. Para o acoplamento cr´ıtico, as ´orbitas que eram ca´oticas

para g = 0 agora ﬁcam regulares; isto pode indicar que os acoplamentos cr´ıticos podem

ter um papel estabilizador em nosso mo delo. Estes resultados podem ser interpretados

com base e m dois pontos:

1. Para o regime de acoplamento cr´ıtico, ocorre um desacoplamento parcial entre as

vari´aveis φ e M, e isto reduz a n˜ao–linearidade do sistema.

2. A quantidade G (G = 1 − g

) deve ser positiva, com 0 < G ≤ 1. Isto deve

ocorrer para assegurar a positividade da energia, e a existˆencia de um estado de

v´acuo est´avel. Nas eqs. (5.3.8), (5.3.9) and (5.3.10), G acompanha todos os termos

com derivadas temporais o que possibilita, para valores grandes o bastante de g ou

105

φ, que G se torne pequeno, fazendo com que os setores alg´ebricos destas equa¸c˜oes

dominem. Este fato pode ter um efeito estabilizador, implicando que, no caso de

um acoplamento n˜ao–cr´ıtico, a dinˆamica para g = 0 n˜ao ´e t˜ao diferente daquela

do caso com g = 0. Sugerimos, portanto, que no regime de acoplamento cr´ıtico,

o ef eito estabilizador possa se dar por uma c ombina¸c˜ao destas duas propriedades

apresentadas.

Tamb´em, ´e not´avel destacar que, para valores negativos de G, o volume do e spa¸c o

de fase j´a n˜ao ´e conservado, e, como uma conseq¨uˆencia, n˜ao temos mais um sistema

Hamiltoniano. Por isto, os resultados relatados s´o faziam sentido se as condi¸c˜oes iniciais

e os parˆametros assegurassem a positividade de G. Finalmente, aparecem neste modelo

conﬁgura¸c˜oes com comportamento mais regular (`a medida que g aumenta) do que aqueles

encontrados na Ref. [Escalona et al,2000]. Perguntamo-nos at´e que ponto as condi¸c˜oes

f´ısicas especiais – supersimetria estendida no sistema original - poderiam ser respons´aveis

por este efeito estabilizador.

106

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