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Contribui¸co˜es ao Estudo dos Estados T´ermicos da
Corda Bosˆonica no Formalismo de Dinˆamica de
Campos T´ermicos
Edison Luiz da Gra¸ca
March 8, 2007
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Tese de Doutorado
Contribui¸co˜es ao Estudo dos Estados T´ermicos da
Corda Bosˆonica no Formalismo de Dinˆamica de
Campos T´ermicos
Edison Luiz da Gra¸ca
Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas
Janeiro de 2007
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Resumo
Determinamos a entropia local e a energia livre para cordas t´ermicas bosˆonicas
abertas quantizadas no espa¸co-tempo Minkowski, com as mais gerais condi¸c˜oes de
contorno. Formulamos uma teoria a temperatura finita para as excita¸c˜oes t´ermicas
da corda bosˆonica fechada no espa¸co-tempo anti-de Sitter, com abordagem da DCT.
Escrevemos os e stados e obtemos a entropia e a energia livre, com uma teoria per-
turbativa semicl´assica quantizada at´e primeira ordem, no referencial de centro de
massa.
Palavras chave: Teoria de Cordas e Temperatura Finita.
´
Area de conhecimento: Teoria Quˆantica de Campos.
Abstract
We determine the local entropy of the free energy of the quantized open bosonic
string in M inkowski spacetime with the most general boundary conditions. We for-
mulate a finite temperature theory of the thermal closed string excitations in anti-de
Sitter spacetime within the TFD approach. We write down the thermal states and
obtain the entropy and the free energy in the first order expansion of the semiclas-
sical quantization in the center of mass reference frame.
Agradecimentos
Ao professor Ion Vasile Vancea, meu orientador, pelo coragem e perseveran¸ca
que demonstrou nas horas dif´ıceis e que atrav´es de uma convivˆencia di´aria possibi-
litou escrever esta tese. Ao professor Sebasti˜ao Alves Dias, meu co-orientador, pela
amizade e apoio. Ao professor Jos´e Abdalla Helay¨el-Neto pelas excelentes aulas e
semin´arios e pela sua amizade sincera. Ao professor An´ıbal Caride que nos recebeu
no CBPF. A Patricia Vancea pelo acolhimento e carinho. A todos os conhecidos do
CBPF, todos mesmo, que sempre am´aveis, foram sol´ıcitos `as nossas necessidades.
´
Indice
1 Introdu¸c˜ao 6
2 Corda Bosˆonica 10
2.1 Corda Bosˆonica Cl´assica no Espa¸co - Tempo de Minkowski . . . . . . 10
2.2 Quantiza¸c˜ao da Corda Bosˆonica no Cone de Luz . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Espa¸co-Tempo AdS com D = 2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Corda Bosˆonica Cl´assica no Espa¸co-Tempo AdS . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Quantiza¸c˜ao da Corda Bosˆonica no Espa¸co-Tempo AdS . . . . . . . . 26
3 Dinˆamica de Campos T´ermicos 29
3.1 Postulado Fundamental da DCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 DCT no Formalismo Canˆonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Formalismo para Campos Livres e a Entropia . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Axiomas da DCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Estados da Corda Bosˆonica T´ermica no Formalismo DCT 39
4.1 Estados da Corda Aberta T´ermica no Espa¸co-Tempo de Minkowski . 39
4.2 Estados da Corda Bosˆonica T´ermica no Espa¸co AdS . . . . . . . . . . 45
4.3 V´acuo T´ermico no Espa¸co de Hilbert Total . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Conclus˜oes 55
Referˆencias 57
5
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
Os experimentos dispon´ıveis atualmente n˜ao atingem a escala de energia necess´aria
para testar a teoria de cordas, entretanto o interesse na teoria de cordas se deve a
possibilidade de que a teoria ´e uma forte candidata a unificar as for¸c as existentes
na natureza. O estudo do espectro de cordas bosˆonicas, mostra que dependendo dos
modos no qual a corda vibra, surgem part´ıculas que podem ser associadas a f´otons
e aos gr´avitons, levando a pensar que a teoria ´e capaz de acomodar uma teoria
quˆantica da gravidade.
Recentemente, h´a interesse na formula¸c˜ao das cordas e D-branas `a temperatura
finita por v´arias raz˜oes. A rela¸c˜ao entre as cordas e a teoria de campos `a temperatura
finita representa por si mesma, um interessante problema que pode nos ajudar a me-
lhor entender as propriedades f´ısicas das cordas e D-branas. Algum progresso nesta
dire¸c˜ao pode ser feito no limite de baixas energias da teoria de cordas, onde as D-
branas s˜ao solu¸c˜oes solitˆonicas da (super)gravidade. Neste limite, a termodinˆamica
das cordas e D-branas tem sido formulada utilizando as integrais de trajet´oria de
teoria de campos `a temperatura finita [1]-[9]. De outro lado podemos querer entender
as propriedades estat´ısticas de alguns sistemas que podem ser descritos em termos
de cordas, D-branas e anti-D-branas, como, por exemplo, o extremo, quasi-extremo
e buracos negros de Schwarzschild.
No outro bem conhecido limite da teoria de cordas, o limite perturbativo, as in-
6
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 7
forma¸c˜oes geom´etricas relativas as D-branas s˜ao perdidas. Neste caso, as D-branas
s˜ao apropriadamente descritas por uma sup erposi¸c˜ao de estados coerentes no espa¸co
de Fock do setor de cordas fechadas [10]-[16] que devem satisfazer um conjunto de
condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet e Neummann a serem impostas nos pontos termi-
nais da corda aberta. A interpreta¸c˜ao intuitiva das D-branas como estados coerentes
de contorno ´e mantida a temperatura finita se a abordagem DCT ´e aplicada. A
raz˜ao para isso ´e que a dependˆencia t´ermica ´e implementada atrav´es dos operadores
t´ermicos que preservam a forma das rela¸c˜oes a temperatura zero. Trabalhando com
a DCT em vez do formalismo de integrais de trajet´oria a tempo real temos uma
formula¸c˜ao conveniente do problema, ´e conhecido que ambos formalismos s˜ao equi-
valentes no equil´ıbrio t´ermico.
A DCT foi usada para discutir um g´as ideal de cordas, construir uma teoria de
campos de cordas bosˆonicas abertas a temperatura finita e provar sua renormaliz-
abilidade [17]-[22]. Estes estudos foram motivados pela necessidade de entender a
cosmologia de cordas e conjuntos de cordas em geral. Todavia quando aplicamos a
DCT para as cordas e D-branas, devemos tomar algumas precau¸c˜oes [23]-[35]. As
D-branas s˜ao definidas como estados no espa¸co de Fock das cordas em primeira
quantiza¸c˜ao. A teoria de campos conformes que baseia a constru¸c˜ao descreve o
v´acuo bosˆonico da teoria de cordas. Considerando temperatura finita, interpretamos
a corda t´ermica como um modelo para as excita¸c˜oes t´ermicas do v´acuo bosˆonico
na teoria de cordas. Al´em disso, a DCT ´e aplicada na teoria conforme em duas
dimens˜oes. Assim, as D-branas podem ser interpretadas como estados t´ermicos co-
erentes de contorno no espa¸co de Fock das excita¸c˜oes t´ermicas [27]-[35] .Uma outra
nota ´e que a entropia das cordas e D-branas ´e definida com o valor esperado do
operador entropia no estado de v´acuo t´ermico da corda. At´e o presente n˜ao ´e co-
nhecida uma teoria na qual as D-branas s˜ao escritas por estados do tipo v´acuo ou
estados criados a partir do v´acuo. Assim, para calcularmos a entropia dos estados
de D-branas temos que calcular o valor esperado do operador entropia da corda
bosˆonica nos estados de contorno.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 8
Usando a motiva¸c˜ao acima apresentada vamos construir os estados t´ermicos da
corda bosˆonica e desenvolver um c´alculo para a entropia tanto para cordas aber-
tas no espa¸co-tempo de Minkowski quanto para cordas fechadas no espa¸co-tempo
anti-de Sitter (AdS). A corda bosˆonica no AdS representa o primeiro exemplo de
quantiza¸c˜ao exata da teoria de cordas no espa¸co-tempo com curvatura. A diferen¸ca
entre a dinˆamica da corda nos espa¸cos de Minkowski e AdS ´e que em geral AdS n˜ao ´e
uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de fun¸c˜oes-β para o modelo-σ de corda. Portanto h´a uma
grande classe de configura¸c˜oes de campos no AdS conformais e n˜ao-conformais nas
quais as propriedades f´ısicas das cordas quˆanticas s˜ao dif´ıceis de estudar. Os fundos
que s˜ao invariantes conformais s˜ao necess´arios para definir a consistˆencia da teoria
quˆantica de corda. Todavia muitos fundos interessantes do ponto de vista f´ısico n˜ao
satisfazem este requisito. Um m´etodo para analisar a dinˆamica de cordas bosˆonicas
no espa¸co-tempo com m´etrica arbitr´aria foi proposto nos trabalhos [36]-[40]. Foi
mostrado que escolhendo as condi¸c˜oes apropriadas de contorno para a corda bosˆonica
a invariˆancia de reparametriza¸c˜ao da teoria de folha mundo pode ser escrita como
uma transforma¸c˜ao de coordenadas entre diferentes referenciais no espa¸co-tempo.
Tamb´em, um calibre de cone de luz local pode ser escolhido em qualquer referencial.
Neste calibre nos podemos localmente separar os graus de liberdade da corda em lon-
gitudinais, ou seja ao longo da trajetoria do centro de massa da corda, e transversais,
e mostrar que os graus de liberdade longitudinais s˜ao fun¸c˜oes somente dos transver-
sais. Esse permite um esquema de aproxima¸c˜ao para a quantiza¸c˜ao canˆonica em
fundos invariantes conformais, e squema esse chamado de quantiza¸c˜ao semicl´assica,
no qual a m´etrica ´e tomada fixa enquanto a perturba¸c˜ao ´e feita em torno da trajetoria
do centro de massa. Nos mesmos trabalhos o m´etodo da quantiza¸c˜ao semicl´assica
foi extendido at´e primeira ord´em para fundos AdS n˜ao-conformais D-dimensionais.
No cap´ıtulo 2, desenvolvemos uma introdu¸c˜ao a cordas bosˆonicas no espa¸co-
tempo de Minkowski para cordas abertas e no espa¸co-tempo anti-de Sitter (AdS)
o estudo para cordas fechadas. Apresentam-se tamb´em, para ambas situa¸c˜oes as
maneiras de proceder para a devida quantiza¸c˜ao. No cap´ıtulo 3 introduzimos o for-
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 9
malismo da dinˆamica de campos t´ermicos (DCT). No quarto cap´ıtulo s˜ao apre-
sentadas as contribui¸c˜oes mais relevantes desta tes e, analisamos a corda bosˆonica
aberta t´ermica no espa¸co-tempo de Minkowski, quantizada e calculamos a entropia
local e a energia livre para as mais variadas condi¸c˜oes de contorno impostas. Ainda
neste cap´ıtulo consideramos a corda bosˆonica fechada quantizada no formalismo
semicl´assico no espa¸co AdS, escrevemos os estados f´ısicos e calculamos a entropia
local e a energia livre. Por ´ultimo, dis cutimos a rela¸c˜ao entre a Hamiltoniana no
espa¸co de Hilbert total e o espa¸co de Hilbert f´ısico. No ´ultimo cap´ıtulo s˜ao apre-
sentadas as conclus˜oes e perspec tivas futuras. A tese foi baseada nos trabalhos do
autor [48]-[51].
Cap´ıtulo 2
Corda Bosˆonica
Apresentam-se neste cap´ıtulo aspectos b´asicos da teoria de cordas bosˆonicas tanto
no espa¸co-tempo de Minkowski quanto no espa¸co AdS. Ser˜ao discutidas a a¸c˜ao
cl´assica de Polyakov e a sua quantiza¸c˜ao canˆonica no calibre de cone de luz no
espa¸co de Minkowski [54, 55]. A quantiza¸c˜ao semicl´assica da corda no espa¸co AdS ´e
desenvolvida em [36]-[41].
2.1 Corda Bosˆonica Cl´assica no Espa¸co - Tempo
de Minkowski
Uma superf´ıcie bidimensional, denominada folha mundo ´e descrita pela corda ao
propagar-se no es pa¸co-tempo. A folha mundo M pode ser parametrizada pelas co-
ordenadas (σ
0
, σ
1
) = (τ, σ), onde σ
0
= τ ´e um parˆametro tipo-tempo e o outro
σ
1
= σ ∈ [0, π] ´e um parˆametro tipo-espa¸co. Uma fun¸c˜ao dessas coordenadas,
para descrever a evolu¸c˜ao espa¸co-temporal da corda na folha mundo M, ´e dada
por x
a
(σ
0
, σ
1
), onde a = 0, 1, . . . , D − 1 e sendo D a dimens˜ao do espa¸co-tempo de
Minkowski.
A a¸c˜ao de Polyakov, que descreve a corda, ´e dada por
S = −
T
s
2
d
2
σ
√
−hh
αβ
∂
α
x
a
∂
β
x
b
η
ab
, (2.1)
10
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 11
sendo T
s
= (2πα
)
−1
e α
o parˆametro de Regge. h
αβ
e η
ab
s˜ao tensores m´etricos de
tipo-Minkowskiano, respctivamente, da folha mundo M e do espa¸co-tempo. h
αβ
por
ser sim´etrico, possui trˆes campos independentes, h ´e o seu determinante e d
2
σ =
dσ
0
dσ
1
.
A a¸c˜ao (2.1) ´e invariante por transforma¸c˜oes gerais de coordenadas na folha-
mundo σ
α
→ σ
α
+ξ
α
. As reparametriza¸c˜oes locais sob as quais esta a¸c˜ao ´e invariante
s˜ao
δh
αβ
= ξ
γ
∂
γ
h
αβ
− ∂
γ
ξ
α
h
γβ
− ∂
γ
ξ
β
h
αγ
,
δx
a
= ξ
α
∂
α
x
a
,
δ(
√
−h) = ∂
α
(ξ
α
√
−h), (2.2)
A a¸c˜ao (2.1) apresenta invariˆancia conforme ou de Weyl (por reescalamento con-
forme da m´etrica h
αβ
):
δx
a
= 0 , δh
αβ
= Λh
αβ
,
onde Λ = Λ(σ
0
, σ
1
) ´e uma fun¸c ˜ao infinitesimal arbitr´aria de σ
α
. Existe uma simetria
global no espa¸co-tempo de Minkowski, a a¸c˜ao ´e invariante de Poincar´e para
δx
a
= ω
a
b
x
b
+ a
b
, δh
αβ
= 0,
onde a
b
´e um vetor constante e ω
ab
= η
ac
ω
c
b
´e um tensor anti-sim´etrico.
O tensor energia-momento ´e definido como
T
αβ
= −
2
T
s
1
√
−h
δS
δh
αβ
, (2.3)
e sua forma expl´ıcita ´e
T
αβ
= −
1
2
h
αβ
h
γδ
∂
γ
x
a
∂
δ
x
a
+ ∂
α
x
a
∂
β
x
a
. (2.4)
S˜ao v´ınculos da teoria cl´assica:
Tr(T
αβ
) = 0 e T
αβ
= 0, (2.5)
que devem tamb´em ser satisfeitos pela teoria quˆantica.
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 12
Adotaremos um calibre conveniente, que servir´a para diminuiremos os graus de
liberdade das vari´aveis dinˆamicas que aparecem explicitamente na a¸c˜ao. Escolhemos
uma parametriza¸c˜ao da folha mundo, tal que h
αβ
= e
Λ
η
αβ
, onde η
αβ
´e a m´etrica
plana da folha mundo (η
αβ
= diag(−1, +1)). Denomina-se e
Λ
de fator conforme,
Λ = Λ(τ, σ). Substituindo este calibre conforme na a¸c˜ao
S = −
T
s
2
d
2
ση
αβ
∂
α
x
a
∂
β
x
a
, (2.6)
resultando o tensor energia-momento
T
00
= T
11
=
1
2
( ˙x
2
+ x
2
) = 0,
T
10
= T
01
= ˙x · x
= 0. (2.7)
Explicitamente, neste calibre conforme temos o tensor energia-momento:
T
00
= T
11
=
1
2
˙x
2
+ x
2
= 0
T
10
= T
01
= ˙x · x
= 0. (2.8)
Tomando a varia¸c˜ao da a¸c˜ao de Polyakov (2.6) com rela¸c˜ao a x
a
δS = 0 = −T
s
∂M
dτ (n
σ
∂
σ
x
a
) δx
a
− T
s
M
d
2
σ (∂
α
∂
α
x
a
) δx
a
, (2.9)
onde n
σ
´e um versor normal ao contorno ∂M. As duas parcelas da δS = 0 devem se
anular separadamente. Da segunda parcela
∂
α
∂
α
x
a
= 0, (2.10)
s˜ao as equa¸c˜oes de movimento da corda; sendo equa¸c˜oes de Klein-Gordon em duas
dimens˜oes, sem o termo de massa. Da primeira parcela resultam as condi¸c˜oes de
contorno(c.c.). Para a corda fechada, as condi¸c˜oes de contorno peri´odicas escolhidas
s˜ao:
x
a
(τ, 0) = x
a
(τ, π). (2.11)
Para a corda aberta
[∂
σ
x
a
δx
a
]
σ=π
σ=0
= 0, (2.12)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 13
h´a v´arias possibilidades de condi¸c˜oes de contorno. ∂
σ
x
a
|
π
0
= 0 s˜ao c.c. tipo Neumann
(N) e δx
a
|
∂M
= 0 s˜ao c.c. tip o Dirichlet (D). As c.c. tipo N e D podem ser aplicadas
independentemente `as duas extremidades da corda aberta. As solu¸c˜oes das equa¸c˜oes
de movimento expandidas em s´erie de Fourier com as c.c. NN, DD, DN e ND,
respectivamente, s˜ao
x
a
(τ, σ) = x
a
+ 2α
p
a
τ + i
√
2α
n=0
1
n
α
a
n
e
−inτ
cos nσ, (2.13)
x
a
(τ, σ) =
c
a
(π − σ) + d
a
σ
π
−
√
2α
n=0
α
a
n
n
e
−inτ
sin nσ
, (2.14)
x
a
(τ, σ) = c
a
−
√
2α
r∈Z
α
a
n
n
e
−inτ
sin nσ
, (2.15)
x
a
(τ, σ) = d
a
+ i
√
2α
r∈Z
α
a
n
n
e
−inτ
cos nσ
, (2.16)
onde x
a
e p
a
s ao coordenadas de posi¸c˜ao e momenta canonicamente conjugados do
centro de massa da corda, c
a
e d
a
s˜ao vetores constantes que descrevem respecti-
vamente, as posi¸c˜oes dos extremos finitos onde a corda ´e aberta e Z
= Z + 1/2.
Somente a solu¸c˜ao (2.13) ´e invariante de Poincar´e, as demais solu¸c˜oes tˆem alguma
extremidade fixa que associada a objeto f´ısico extenso d´a origem a chamada D-brana
[55]. Vamos de agora em diante, somente considerar para cordas abertas as solu¸c˜oes
NN, n˜ao trataremos de branas.
Para a corda fechada, as solu¸c˜oes das e qua¸c˜oes de movimento s˜ao invariantes de
Poincar´e e dadas por
x
a
(τ, σ) = x
a
+ 2α
p
a
τ + i
√
2α
n=0
1
2n
α
a
n
e
−2in(τ−σ)
+ β
a
n
e
−2in(τ+σ)
. (2.17)
Estas solu¸c˜oes para as cordas bosˆonicas s˜ao uma superposi¸c˜ao linear de modos de
oscila¸c˜ao movendo-se para a direita e para a esquerda da corda, com respectivamente,
coeficiente de Fourier α
a
n
e β
a
n
. O fato de x
a
(τ, σ) ser real imp˜oe:
α
a
−n
= (α
a
n
)
∗
, β
a
−n
= (β
a
n
)
∗
, (2.18)
para n > 0.
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 14
Fixando τ a evolu¸c˜ao do sistema pode ser descrita com os parenteses de Poisson
para as vari´aveis dinˆamicas do sistema cl´assico
{x
a
(τ, σ), x
b
(τ, σ
)} = {˙x
a
(τ, σ), ˙x
b
(τ, σ
)} = 0 (2.19)
{p
a
(τ, σ), x
b
(τ, σ
)} = T
s
{˙x
a
(τ, σ), ˙x
b
(τ, σ
)} = η
ab
δ(σ − σ
) (2.20)
Substituindo a solu¸c˜ao para corda fechada na ´ultima rela¸c˜ao
{α
a
m
, α
b
n
} = {β
a
m
, β
b
n
} = imδ
m+n,0
η
ab
, {α
a
m
, β
b
n
} = 0, (2.21)
com as vari´aveis do centro de massa
{p
a
, x
b
} = η
ab
. (2.22)
´
E conveniente utilizar as componentes do tensor energia-momento nas co orde-
nadas de cone de luz na folha mundo x
±
= τ ± σ e ∂
±
=
1
2
(∂
τ
± ∂
s
). Assim
T
++
=
1
2
(T
00
+ T
01
) = ∂
+
x
a
∂
+
x
a
,
T
−−
=
1
2
(T
00
− T
01
) = ∂
−
x
a
∂
−
x
a
. (2.23)
As equa¸c˜oes de v´ınculos (2.5) tomam a sequinte forma
T
++
= T
−−
= 0, (2.24)
valendo para as cordas abertas e cordas fechadas. As componentes de movimento
para a direita e para a esquerda s˜ao, respectivamente
x
a
R
(x
+
, x
−
) =
1
2
x
a
+
1
2
l
2
p
a
x
−
i
2
√
2α
n=0
α
a
n
n
e
−21nx
−
, (2.25)
x
a
L
(x
+
, x
−
) =
1
2
x
a
+
1
2
l
2
p
a
x
−
i
2
√
2α
n=0
α
a
n
n
e
−21nx
+
. (2.26)
Para a corda fechada, as componentes de Fourier de T
++
e T
−−
definidas em τ = 0
s˜ao:
¯
L
m
=
T
s
2
π
0
dσe
imσ
T
++
, (2.27)
L
m
=
T
s
2
π
0
dσe
imσ
T
−−
, (2.28)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 15
Reescritos em modos de Fourier
¯
L
m
=
1
2
∞
n=−∞
α
a
m−n
α
an
, (2.29)
L
m
=
1
2
∞
n=−∞
β
a
m−n
β
an
. (2.30)
L
m
e
¯
L
m
s˜ao denominados de operadores de Virasoro.
Para a corda aberta temos um conjunto de osciladores de modos α
a
m
e definimos
as componentes de Fourier do tensor energia-momento como
L
m
= T
s
pi
0
dσ
e
imσ
T
++
+ e
−imσ
T
−−
=
T
s
2
∞
n=−∞
α
a
m−n
α
an
. (2.31)
A Hamiltoniana para a corda aberta ´e H = L
0
e para a corda fechada H =
L
0
+
¯
L
0
. Em termos de componentes de Fourier temos para a corda aberta:
H =
T
s
2
d
s
˙x
2
+ x
2
=
n=0
α
a
−n
α
an
+
1
2
√
2α
p
a
p
a
, (2.32)
onde α
a
0
=
√
2α
p
a
. Para a corda fechada a Hamiltoniana toma a seguinte forma
H =
n=0
(α
a
−n
α
an
+ β
a
−n
β
an
) +
1
2
√
2α
p
a
p
a
, (2.33)
onde α
a
0
= β
a
0
=
1
2
lp
a
.
A partir das defini¸c˜oes dos operadores de Virasoro e dos parˆenteses de Poisson
dos modos de osciladores, escrevemos para corda aberta os parˆenteses de Poisson
{L
m
, L
n
} = i(m − n)L
m+n
, (2.34)
para corda fechada
{L
m
, L
n
} = i(m − n)L
m+n
, {
¯
L
m
,
¯
L
n
} = i(m − n)
¯
L
m+n
,
{L
m
,
¯
L
n
} = 0. (2.35)
Utilizando a condi¸c˜ao de concha de massa M = −p
a
·p
a
e o vinculo L
0
= 0 para
corda aberta, o quadrado da massa da corda M
2
´e obtido em termos dos modos
internos de oscila¸c˜ao
M
2
=
1
α
∞
n=1
α
a
−n
α
an
. (2.36)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 16
para corda fechada, os v´ınculos s˜ao L
0
=
¯
L
0
= 0 e obtemos
M
2
=
2
α
∞
n=1
α
a
−n
α
an
+ β
a
−n
β
an
. (2.37)
2.2 Quantiza¸c˜ao da Corda Bosˆonica no Cone de
Luz
Na escolha de calibre conforme nem toda liberdade de calibre foi removida, ainda
´e poss´ıvel reduzir o n´umero de c omponentes n˜ao triviais de x
a
(τ, σ) e que mant´em
somente os graus de liberdade fisicos relevantes [44]. Vamos definir as coordenadas
de cone de luz para uma corda em D dimens˜oes
x
±
(τ, σ) =
1
√
2
x
0
(τ, s) ± x
D−1
(τ, σ)
. (2.38)
A invariˆancia residual de calibre permite fazer a escolha
x
+
= x
+
+ l
2
p
+
τ, (2.39)
onde x
+
e p
+
s˜ao constantes.
Combinando as reparametriza¸c˜oes e o reescalonamento local de Weyl podemos
obter novo τ , que ´e soma de fun¸c˜oes arbitr´arias de (τ ±σ). O novo τ definido, pode
ser identificado com qualquer solu¸c˜ao escolhida u da equa¸c˜ao de onda
∂
α
∂
α
u = 0. (2.40)
Como x
+
e (ax
+
+ b), para a e b constantes, satisfazem a equa¸c˜ao de onda (lineari-
dade), a escolha (2.39) ´e aceit´avel para novo τ.
Considerando a corda aberta, suas componentes x
±
(τ, σ) satisfazem as mesmas
solu¸c˜oes (2.13)-(2.16) com a → i = 1, 2, . . . , D − 1. As rela¸c˜oes de quantiza¸c˜ao no
cone de luz a serem satisfeitas pelos campos de corda s˜ao:
[x
i
(τ, σ), P
j
τ
(τ, σ
)] = iδ
ij
δ(σ − σ
), (2.41)
[x
−
, p
+
] = −i, (2.42)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 17
[x
i
(τ, σ), x
j
(τ, σ
)] = [P
i
τ
(τ, σ), P
j
σ
(τ, σ
)] = 0, (2.43)
[x
−
, x
i
] = [x
−
, P
j
τ
] = [p
+
, x
i
] = [p
+
, P
i
τ
] = 0. (2.44)
Das rela¸c˜oes (2.41)-(2.44) segue que os operadores no espa¸co de Fock para osciladores
quantizados devem satisfazer
[α
i
n
, α
j
m
] = nδ
ij
δ
n+m
. (2.45)
α
i
−n
= (α
i
n
)
†
, n > 0, (2.46)
O operador de massa quˆantico pode ser escrito
M
2
=
1
α
(N − 1), (2.47)
onde
N =
∞
m=1
α
i
−m
α
i
m
. (2.48)
O Hamiltoniano no cone de luz para a corda aberta ´e
H
ca
=
1
2
∞
m=−∞
: α
i
m
α
i
−m
: −1, (2.49)
e os operadores de Virasoro quantizados
L
m
=
1
2
∞
−∞
: α
m−n
· α
n
: . (2.50)
A ´algebra de Virasoro para o caso quˆantico n˜ao apresenta anomalias para D = 26.
Neste caso a ´algebra satisfaz
[L
m
, L
n
] = (m − n)L
m+n
. (2.51)
Em geral, a presen¸ca de anomalias na ´algebra quˆantica de Virasoro n˜ao permite que
o v´ınculo cl´assico L
m
= 0, ∀m possa ser implementado em estados qu˜anticos. Por
causa das rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao [α
a
m
, α
b
n
] = mδ
m+n,0
η
ab
que definem o espa¸co de
Fock com os osciladores, conterem a m´etrica de Lorentz η
ab
, existem no espa¸co de
Fock estados com norma negativa (estados fantasma ou tamb´em chamados estados
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 18
n˜ao-f´ısicos). No formalismo de cone de luz s˜ao resolvidos os v´ınculos cl´assicos e o
espa¸co de Fock cont´em apenas os estados f´ısicos. O estado de v´acuo com momento
p ´e definido como
α
i
n
|0; p
α
= 0, n > 0, (2.52)
ˆp
i
|0; p
α
= p
i
|0; p
α
. (2.53)
Como componentes de Fourier de T
ab
= 0, a Hamiltoniana H = L
0
e L
m
s˜ao as
demais componentes para m > 0, na corda aberta. Para os demais estados f´ısicos
L
m
|Ψ
phys
= 0 , m > 0. (2.54)
O operador L
m
tem a propriedade de hermiticidade
L
−m
= L
†
m
. (2.55)
Considerando a corda fechada, temos duas ´algebras para os osciladores
quˆantizados
[α
i
n
, α
j
m
] = [β
i
n
, β
j
m
] = nδ
ij
δ
n+m
, [α
i
n
, β
j
m
] = 0. (2.56)
A Hamiltoniana da corda fechada ´e
H
cf
=
∞
n=−∞
: α
i
n
α
i
−n
: + : β
i
n
β
i
−n
: −2
, (2.57)
e o operador de massa ´e
M
2
=
1
α
(N +
¯
N − 2), (2.58)
onde
N =
∞
n=1
α
i
−n
α
i
n
,
¯
N =
∞
n=1
β
i
−n
β
i
n
. (2.59)
Os operadores de Virasoro para a corda fechada s˜ao
L
m
=
1
2
∞
n=−∞
: α
a
m−n
α
an
: , m = 0, (2.60)
L
m
=
1
2
∞
n=−∞
: β
a
m−n
β
an
: , m = 0. (2.61)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 19
Os estados f´ısicos devem satisfazer a condi¸c˜ao de Virasoro
(L
m
− δ
m
)|Ψ
phys
= 0 , m ≥ 0, (2.62)
(L
m
− δ
m
)|Ψ
phys
= 0 , m ≥ 0. (2.63)
Os operadores de Virasoro para a corda fechada tem a propriedade de hermiticidade
L
−m
= L
†
m
, L
−m
= L
†
m
. (2.64)
O v´ınculo cl´assico L
0
= L
0
= 0 ´e implementado em (2.62) e (2.63) para m = 0
(L
0
− 1)|Ψ
phys
= (L
0
− 1)|Ψ
phys
= 0. (2.65)
e finalmente o v´acuo na corda fechada satisfaz
α
i
n
|0
α
|0
β
= β
i
n
|0
α
|0
β
= 0, n > 0. (2.66)
A obten¸c˜ao dos demais estados f´ısicos faz-se com a atua¸c˜ao sucessiva dos opera-
dores de cria¸c˜ao de osciladores da corda sobre o estado de v´acuo.
2.3 Espa¸co-Tempo AdS com D = 2 + 1
O espa¸co AdS com D = 2 + 1 pode ser embebido no espa¸co com D = 2 + 2 e com a
m´etrica [41, 42]
ds
2
= −du
2
− dv
2
+ dx
2
+ dy
2
, (2.67)
atrav´es da equa¸c˜ao
−v
2
− u
2
+ x
2
+ y
2
= −l
2
. (2.68)
Podemos definir um sistema de coordenadas para a variedade inteira
u = l cosh µ sin λ, v = l cosh µ cos λ, (2.69)
onde l sinh µ =
x
2
+ y
2
e 0 ≤ µ < ∞, 0 ≤ λ < 2π. Usando as rela¸c˜oes (2.69) e
(2.67) podemos escrever a m´etrica da seguite forma
ds
2
= l
2
−cosh
2
µ dλ
2
+
dx
2
+ dy
2
l
2
+ x
2
+ y
2
. (2.70)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 20
Esta rela¸c˜ao pode ser simplificada em coordenadas polares no plano (x, y)
x = l sinh µ cos θ, y = l sinh µ cos θ, (2.71)
para obter a seguinte m´etrica no espa¸co AdS
ds
2
= l
2
−cosh
2
µdλ
2
+ dµ
2
+ sinh
2
µdθ
2
. (2.72)
O par´ametro λ sendo um ˆangulo existem curvas fechadas no espa¸co AdS, por exemplo
µ = µ
0
, θ = θ
0
. Por esta raz˜ao n˜ao vamos identificar λ com λ+2π. Usando as nota¸c˜oes
λ = t/l e r = l sinh µ escrevemos (2.72) na seguinte f orma
ds
2
= ((r/l)
2
+ 1)dt
2
+ ((r/l)
2
+ 1)
−1
dr
2
+ r
2
dθ
2
. (2.73)
A m´etrica do espa¸co AdS ´e invariante por constru¸c˜ao `a a¸c˜ao do grupo SO(2, 2).
Os vetores de Killing s˜ao
J
ab
= x
b
φ
φx
a
− x
a
φ
φx
b
, (2.74)
onde x
a
= (v, u, x, y). A forma detalhada dos vetores (2.74) ´e
J
01
= vφ
u
− uφ
v
J
02
= xφ
v
+ vφ
x
,
J
03
= yφ
v
+ vφ
y
J
12
= xφ
u
+ uφ
x
,
J
13
= yφ
u
+ uφ
y
J
23
= yφ
x
− xφ
y
.
(2.75)
O vetor J
01
gera ”transla¸c˜oes temporais” enquanto o vetor J
23
gera rota¸c˜oes no plano
(x, y). A forma mais geral do vetor de Killing ´e
µω
ab
J
ab
, ω
ab
= −ω
ba
, (2.76)
sendo este determinado pelo tensor antisim´etrico do espa¸co R
4
.
Podemos definir as coordenadas de Poincar´e atrav´es das seguintes rela¸c˜oes
z =
l
u + x
, β =
y
u + x
, γ =
−v
u + x
. (2.77)
Estas coordenadas cobrem apenas uma parte do espa¸co AdS, ou seja uma infinidade
de regi˜oes onde u+x tem um sinal bem definido. Consequentemente, as coordenadas
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 21
de Poincar´e n˜ao s˜ao apropriadas para estudar as propriedades globais do AdS. Em
fun¸c˜ao das (z, β, γ) o elemento de linha do espa¸co AdS tem a seguinte express˜ao
ds
2
= l
2
dz
2
+ dβ
2
− dγ
2
z
2
. (2.78)
Para u + x > 0 temos z > 0 enquanto para u + x < 0 temos z < 0. De forma
semelhante podemos definir as coordenadas de Poincar´e para cada regi˜ao onde u−x
tem um sinal definido.
Os vetores de Killing definem subgrupos uniparam´etricos de isometrias do espa¸co
AdS
P → e
tξ
P. (2.79)
Os valores do t n´umero inteiro m´ultiplo de 2π
P → e
tξ
P, t = 0, ±2π, ±4π, ...., (2.80)
definem um subgrupo de identifica¸c˜oes. O espa¸co quociente obtido atrav´es da identi-
fica¸c˜ao dos pontos de uma ´orbita dada do subgrupo de identifica¸c˜oes tem a m´etrica
de curvatura negativa induzida pela m´etrica do AdS. Consequentemente, o espa¸co
quociente ´e uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein. A condi¸c˜ao necess´aria para a
ausˆencia de curvas fechadas do tipo tempo ´e
ξ · ξ > 0. (2.81)
A rela¸c˜ao (2.81) torna o vetor de Killing ξ um vetor do tipo espa¸co. Para buracos
negros, esta condi¸c˜ao ´e tamb´em suficiente. Existem vetores de Killing que satisfazem
a rela¸c˜ao (2.81) no espa¸co inteiro. Contudo, alguns dos vetores de Killing que de-
terminam a estrutura dos buracos negros s˜ao do tipo nulo ou temporal em certas
regi˜oes do espa¸co AdS. Estas regi˜oes devem ser recortadas do espa¸co para fazer as
identifica¸c˜oes poss´ıveis. O espa¸co resultante, chamado de ads, ´e invariante `as trans-
forma¸c˜oes (2.79) porque a norma dos vetores de Killing ´e constante ao longo de suas
´orbitas. O espa¸co ads ´e geodesicamente incompleto porque ele tem geodesic as que
ligam ξ · ξ > 0 ao ξ · ξ < 0. As fronteiras da regi˜ao ξ · ξ > 0, ou seja a superf´ıcie
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 22
ξ · ξ = 0, aparece como sendo uma singularidade na estrutura do espa¸co-tempo e
produz curvas do tipo temp o fechadas. Devido a esse fato, a regi˜ao com ξ · ξ = 0
pode ser vista como uma singularidade do espa¸co quociente. Consequentemente, as
´unicas geodesicas incompletas s˜ao as que atingem a singularidade, como no caso dos
buracos negros em D = 3 + 1. A superf´ıcie ξ ·ξ = 0 ´e singular somente na estrutura
causal [41].
A a¸c˜ao da gravita¸c˜ao no formalismo lagrangiano em unidades G =
1
8
´e
I =
1
2π
√
−g
R + 2l
−2
d
2
xdt + B
, (2.82)
onde B
´e um termo de superf´ıcie e o raio l ´e relacionado `a constante cosmologica
−Λ = l
−2
. A varia¸c˜ao da a¸c˜ao em rela¸c˜ao a m´etrica g
ab
(x, t) conduz `as e qua¸c˜oes de
Einstein
R
ab
−
1
2
g
ab
(R + 2l
−2
) = 0. (2.83)
Em D = 1 + 2 o tensor de Riemann ´e completamente determinado pelas rela¸c˜oes
(2.83)
R
abcd
= −l
−2
(g
ac
g
bd
− g
bc
g
ad
). (2.84)
A rela¸c˜ao acima descreve um espa¸co sim´etrico de curvatura constante e negativa.
Para obter a solu¸c˜ao de buraco negro usamos o seguinte Ansatze [41]
ds
2
= −a(r)dt
2
+
dr
2
a(r)
+ r
2
dφ
2
, (2.85)
onde a(r) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria de r. O tensor de Einstein G
ab
= R
ab
−
R
2
g
ab
´e
G
rr
=
a
,r
2ar
, G
tt
= −
aa
,r
2r
, G
φφ
=
r
2
2
a
,rr
, (2.86)
as outras c omponentes sendo nulas. A ´unica solu¸c˜ao de v´acuo ´e a = c onstante e
corresponde ao espa¸co plano em D = 2 + 1. Levando em considera¸c˜ao a constante
cosmologica da a¸c˜ao (2.82)
T
µ
ν
= diag(1, 1, 1)Λ, (2.87)
a solu¸c˜ao ´e n˜ao trivial
a(r) = c − Λr
2
, (2.88)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 23
onde c ´e uma constante arbitr´aria. Se c = 1 obtemos duas solu¸c˜oes: Λ > 0 representa
o espa¸co de Sitter, e Λ < 0 representa o espa¸co anti de Sitter. Se c < 0 obtemos a
solu¸c˜ao [41]
ds
2
= (1 −
r
2
l
2
)dt
2
+ (
r
2
l
2
− 1)
−1
dr
2
+ r
2
dφ
2
. (2.89)
Esta solu¸c˜ao particular com φ
∼
=
φ + 2π descreve um buraco negro de massa M = 1
e momento ˆangular J = 0. O horizonte est´a localizado no r = l e asimptotica-
mente a solu¸c˜ao tende ao espa¸co AdS com Λ = −1/l
2
. Uma familia de solu¸c˜oes
biparam´etricas em (M, J) de buracos negros pode ser obtida identificando uma
combina¸c˜ao linear de t e φ o que leva `a solu¸c˜ao [41]
ds
2
= (M −
r
2
l
2
)dt
2
+ (
r
2
l
2
− M +
J
2
4r
2
)
−1
dr
2
− Jdtdφ + r
2
dφ
2
, (2.90)
com dois horizontes para Ml
2
> J
2
r
±
=
Ml
2
2
±
l
2
√
M
2
l
2
− J
2
(2.91)
e o limite est´atico
r
erg
=
√
Ml, (2.92)
que define uma ergoesfera como para os buracos negros de Kerr.
Concluiremos esta se¸c˜ao fazendo algumas observa¸c˜oes sobre a relevˆancia da
solu¸c˜ao (2.90) para a teoria de cordas [43]. A a¸c˜ao da corda em primeira ordem
em α
´e
S =
d
3
x
√
−ge
−2Φ
[
4
k
+ R + 4(∇Φ)
2
−
1
12
H
abc
H
abc
], (2.93)
onde Φ ´e o campo dilatˆonico e H
abc
= ∂
[a
B
bc]
, sendo B o campo de Kalb-Ramond.
A m´etrica (2.90) ´e uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento e da condi¸c˜ao [43]:
B
φt
=
r
2
l
2
, Φ = 0, k = l
2
. (2.94)
Como foi mostrado em [43], a rela¸c˜ao com o modelo-σ pode ser feita atrav´es da
dualiza¸c˜ao em coordenada c´ıclica φ. A solu¸c˜ao dual ´e [43]
d˜s
2
= (M −
J
2
4r
2
)dt
2
+ (
r
2
l
2
− M +
J
2
4r
2
)
−1
dr
2
+
2
l
dtdφ +
dφ
2
r
2
,
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 24
˜
B
φt
=
−J
2r
2
,
˜
Φ = −log r. (2.95)
Ap´os a diagonaliza¸c˜ao da m´etrica obtemos
d˜s
2
= −(1 −
M
˜r
)d
˜
t
2
+ (1 −
Q
2
M˜r
)d˜x
2
+ (1 −
M
˜r
)
−1
(1 −
Q
2
M˜r
)
−1
l
2
d˜r
2
4˜r
2
,
˜
B
˜x
˜
t
=
Q
r
,
˜
Φ = −
1
2
log ˜rl, (2.96)
onde
t =
l(˜x−
˜
t)
√
r
2
+
−r
2
−
, φ =
r
2
+
˜
t−r
2
−
˜x
√
r
2
+
−r
2
−
,
M =
r
2
+
l
, Q =
J
2
, r
2
= ˜rl. (2.97)
A m´etrica (2.96) representa a solu¸c ˜ao de corda negra em D = 2 + 1 [43] obtida
atrav´es da fixa¸c˜ao de calibre do modelo-σ com o grupo SL(2, R) × R.
2.4 Corda Bosˆonica Cl´assica no Espa¸co-Tempo
AdS
A a¸c˜ao da corda bosˆonica no espa¸co-tempo AdS ´e dada pelo funcional:
S =
1
2πα
d
2
σ
√
hh
αβ
g
ab
(x)∂
α
x
a
∂
β
x
b
, (2.98)
escrevendo o tensor energia-momento
T
αβ
≡
2
√
h
δS
δh
αβ
= g
ab
(x)
∂
α
x
a
∂
β
x
b
−
1
2
h
αβ
∂
γ
x
a
∂
γ
x
b
, (2.99)
onde usamos
∂
√
h
∂h
αβ
=
1
2
√
hh
αβ
. (2.100)
Pelas equa¸c˜oes de movimento de h
αβ
o tensor energia-momento T
αβ
= 0. Com a
fixa¸c˜ao do calibre conforme
h
αβ
(σ
0
σ
1
) = e
Λ(σ
0
,σ
1
)
η
αβ
, (2.101)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 25
variando a a¸c˜ao com rela¸c˜ao a x
a
(τ, σ) e impondo δS = 0, obtemos as equa¸c˜oes de
movimento e os v´ınculos [36]
¨x
a
− x
a
+ Γ
a
bc
(x)
˙x
b
˙x
c
− x
b
x
c
= 0, (2.102)
g
ab
(x) ˙x
a
x
b
= g
ab
(x)
˙x
a
˙x
b
+ x
a
x
b
= 0, (2.103)
O m´etodo de quantiza¸c˜ao semicl´assica foi desenvolvido para estudar as excita¸c˜oes
quˆanticas em configura¸c˜oes cl´assicas exatas (background). Devido a n˜ao-linearidade
de (2.102)-(2.103), vamos expandir as coordenadas x
a
(τ, σ) em torno de uma solu¸c˜ao
exata η
a
0
(τ)
x
a
(τ, σ) =
∞
n=0
n
η
a
n
(t, σ), (2.104)
com a condi¸c˜ao inicial η
a
0
(τ, σ) = η
a
0
(τ) nas equa¸c˜oes de movimento e v´ınculos
¨η
a
0
+ Γ
a
bc
(η
0
) ˙η
b
0
˙η
c
0
= 0, (2.105)
g
ab
(η
0
) ˙η
a
0
˙η
b
0
= −m
2
α
2
. (2.106)
No espa¸co AdS D dimensional h´a D − 1 polariza¸c˜oes de perturba¸c˜oes da corda
em torno da solu¸c˜ao η
a
0
(τ). Consequentemente, D − 1 vetores normais transversos
n
a
µ
, µ = 1, 2, . . . , D podem ser introduzidos
g
ab
(η
0
)n
a
µ
˙η
b
0
= 0, (2.107)
g
ab
(η
0
)n
a
µ
n
b
ν
= δ
µν
. (2.108)
A escolha do conjunto {n
a
µ
} n˜ao ´e ´unica, h´a um grupo de calibre local SO(D − 1)
correspondente as rota¸c˜oes do conjunto. Esta simetria de calibre ´e fixada impondo
que os vetores normais sejam covariantemente constante
˙η
a
0
∇
a
n
b
µ
= 0. (2.109)
Neste calibre, as rela¸c˜oes entre os vetores normais tomam uma forma mais simples.
Em particular, os vetores deste conjunto satisfazem a sequinte rela¸c˜ao de completeza
g
ab
= −
1
m
2
˙η
a
0
˙η
b
0
+ n
a
µ
n
b
ν
δ
µν
. (2.110)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 26
Considerando a primeira ordem η
a
1
(τ, σ) e admitindo perturba¸c˜oes co-moventes
η
a
1
(τ, σ) = δx
µ
(τ, σ)n
a
µ
. (2.111)
As perturba¸c˜oes comoventes satisfazem as equa¸c˜oes de movimento com buraco negro
de momento angular zero e tem como solu¸c˜ao geral uma corda bosˆonica fechada
δx
µ
(τ, σ) =
n=0
2|n|Ω
n
α
α
µ
n
e
−in(Ω
n
τ−σ)
+ β
µ
n
e
−in(Ω
n
τ+σ)
+
l
2m
α
µ
0
e
−i
mα
l
τ
+ β
µ
0
e
+i
mα
l
τ
. (2.112)
As frequˆencias dos osciladores em unidades = 1 s˜ao
ω
0
= mα
/l , ω
n
= ω
−n
= |n|Ω
n
(2.113)
onde n = ±1, ±2, . . .. A frequˆencia Ω
n
´e
Ω
n
=
1 +
m
2
α
2
n
2
l
2
. (2.114)
A solu¸c˜ao (2.112) satisfaz a equa¸c˜ao de movimento derivada da a¸c˜ao
S
2
= −
1
2πα
dσdτ
D−1
µ=1
η
αβ
∂
α
δx
µ
∂
β
δx
ν
+
m
2
α
2
l
2
δx
µ
δx
µ
. (2.115)
2.5 Quantiza¸c˜ao da Corda Bosˆonica no Espa¸co-
Tempo AdS
A quantiza¸c˜ao da corda bosˆonica fechada no espa¸co conforme AdS com D = 2 + 1
e buracos negros est´aticos se faz de maneira semelhante a quantiza¸c˜ao realizada no
espa¸co-tempo de Minkowski [41, 42]. Ainda considerando perturba¸c˜oes em primeira
ordem, podemos extender os resultados para espa¸cos AdS de dimens˜ao arbitr´aria
[36].
Os comutadores dos osciladores livres quˆanticos satisfazem as rela¸c˜oes
[α
µ
m
, α
†ν
n
] = [β
µ
m
, β
†ν
n
] = δ
µν
δ
mn
, [α
µ
m
, β
ν
n
] = 0 , [α
µ
0
, α
†ν
0
] = δ
µν
, (2.116)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 27
onde α
µ
−n
= α
†µ
n
, α
µ
−n
= α
†µ
n
, and β
µ
0
= α
†µ
0
. As componentes do tensor energia-
momento conservadas s˜ao
T
−−
=
1
2π
n
L
−
n
e
−in(σ−τ)
, (2.117)
T
++
=
1
2π
n
L
+
n
e
−in(σ+τ)
. (2.118)
onde T
++
= T
−−
= 0. Escrevendo os operadores de Virasoro para o modo zero
obtemos
L
−
0
= πα
n>0
(ω
n
− n)
2
2nΩ
n
β
†
n
· β
†
n
+
(ω
n
+ n)
2
2nΩ
n
α
†
n
· α
†
n
+
πmα
2
2l
α
†
0
· α
0
−
πm
2
α
2
2
, (2.119)
L
+
0
= πα
n>0
(ω
n
+ n)
2
2nΩ
n
β
†
n
· β
†
n
+
(ω
n
− n)
2
2nΩ
n
α
†
n
· α
†
n
+
πmα
2
2l
α
†
0
· α
0
−
πm
2
α
2
2
, (2.120)
onde · representa a soma em µ = 1, 2, . . . , D − 1.
S˜ao estados f´ısicos os que satisfazem os v´ınculos dos operadores de Virasoro de
modo zero
L
−
0
− 2πα
|Ψ
phys
= 0 ,
L
+
0
− 2πα
|Ψ
phys
= 0, (2.121)
e das simetrias na folha mundo: σ → σ + ξ and τ → τ + ζ geradas por P = L
+
0
−L
−
0
e H = L
+
0
+ L
−
0
, respectivamente. Em D = 2 + 1, estes operadores n˜ao s˜ao mais os
geradores da simetria conforme. Contudo, em primeira ordem, eles geram os mesmos
v´ınculos acima.
O operador Hamiltoniano total e o operador de momento linear s˜ao
H = 2πα
n≥1
Ω
2
n
+ 1
Ω
n
N
n
+ N
n
+
πmα
2
l
α
†
0
· α
0
− πm
2
α
2
, (2.122)
P = 4πα
n≥1
N
n
− N
n
. (2.123)
onde
N
n
=
n
2
D−1
µ=1
α
†µ
n
α
µ
n
, N
n
=
n
2
D−1
µ=1
β
†µ
n
β
µ
n
, (2.124)
CAP
´
ITULO 2. CORDA BOS
ˆ
ONICA 28
O momento linear para a corda fechada imp˜oe como v´ınculos para os estados f´ısicos
em D = 2 + 1
4πα
n≥1
N
n
− N
n
|Ψ
phys
= 0. (2.125)
No espa¸co AdS de dimens˜ao arbitr´aria a unitariedade da teoria ´e obtida impondo
restri¸c˜oes de spin sobre as representa¸c˜oes da ´algebra de Virasoro permitidas al´em
dos v´ınculos de Virasoro porque estes n˜ao eliminam completamente os estados de
norma negativa. As f´ormulas obtidas acima para o buraco negro AdS em D = 2 + 1
n˜ao dependem da massa do buraco negro e tamb´em, essa configura¸c˜ao de fundo ´e
assitoticamente AdS. Consequentemente, podemos generalizar para espa¸co AdS de
dimens˜ao arbitr´aria.
´
E importante observar que L
+
n
e L
−
n
n˜ao geram simetrias exatas
no espa¸co AdS de dimens˜ao arbitr´aria. Entretanto, o Hamiltoniano correspondente
e a condi¸c˜ao operatorial de n´ıveis iguais (2.125) s˜ao obtidas quando da generaliza¸c˜ao
da dimens˜ao do espa¸co AdS em primeira ordem.
Ainda observamos que as excita¸c˜oes da corda no espa¸co AdS oscilam no tempo.
Apesar de que p oss´ıveis instabilidades n˜ao se desenvolvem devido ao car´ater n˜ao
negativo da gravidade local.
Cap´ıtulo 3
Dinˆamica de Campos T´ermicos
Diversos formalismos introduzem a temperatura em teoria de campos. Os sistemas
f´ısicos encontrados na natureza, geralmente n˜ao est˜ao completamente isolados; ´e
necess´aria a descri¸c˜ao de sistemas com infinitos graus de liberdade `a temperatura
finita. Como alternativa ao m´etodo de Matsubara [45], Takahashi e Umezawa [46,
47] adotaram um postulado fundamental, construiram estados de v´acuo t´ermico
dependente da temperatura que se relacionam, via transforma¸c˜ao de Bogoliubov.
Foi poss´ıvel construir todos estados t´ermicos, estabelecendo-se a DCT.
3.1 Postulado Fundamental da DCT
O formalismo desenvolvido por Umezawa e Takahashi [46, 47], inspirado em [45] ´e
baseado no c´alculo de m´edias estat´ısticas de uma vari´avel dinˆamica A com valor
esperado deste operador num v´acuo dependente da temperatura (v´acuo t´ermico).
Como postulado
A = Z
−1
(β
T
)tr [e
−β
T
H
A] = 0(β
T
)|A|0(β
T
), (3.1)
onde H = H −µN, Z(β
T
) = tr [e
−β
T
H
] e β =
1
k
B
T
sendo H a Hamiltoniana total, µ
o potencial qu´ımico, N o n´umero de part´ıculas e k
B
a constante de Boltzmann.
29
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 30
3.2 DCT no Formalismo Canˆonico
Considerada a m´edia estat´ıstica
0(β
T
)|A|0(β
T
) = Z
−1
(β
T
)
n
n|A|ne
−β
T
ω
n
, (3.2)
a expan¸c˜ao do v´acuo em termos de uma base {|n} do espa¸co de Hilbert ´e dada pela
express˜ao
|0(β
T
) =
n
|nn|0(β
T
) =
n
f
n
(β
T
)|n, (3.3)
onde f
n
(β
T
) s˜ao coeficientes a serem determinados. Da ortogonalidade entre os es-
tados da base {|n} e a normaliza¸c˜ao do estado |0(β
T
) resulta
f
∗
n
(β
T
)f
m
(β
T
) = Z
−1
(β
T
)e
−β
T
ω
n
δ
nm
. (3.4)
Observamos que a express˜ao (3.4) ´e correta somente se {f
n
(β
T
)} s˜ao coeficientes
vetoriais. O estado de v´acuo t´ermico devera ser expandido por {|n} e {f
n
(β
T
)}.
Existe necessidade de dobrar os graus de liberdade do sistema e utilizar para isto
um espa¸co auxiliar n˜ao f´ısico
˜
H, idˆentico e ortogonal ao espa¸co f´ısico inicial H; para
este espa¸co extendido
ˆ
H por constru¸c ˜ao
ˆ
H = H ⊗
˜
H. (3.5)
Se {|n} s˜ao autoestados do Hamiltoniano H e {
˜
|n} autoestados da sua c´opia
˜
H
obedecem as rela¸c˜oes
H|n = ω
n
|n ,
˜
H
˜
|n = ω
n
˜
|n, (3.6)
onde n|m = ˜n|˜m = δ
nm
e ω
n
´e a mesma frequˆencia do sistema f´ısico. Um vetor
de estado do sistema total do
ˆ
H ´e construido como
|n, ˜n = |n ⊗ |˜n, (3.7)
o que determina o seguinte coeficiente ve torial
f
n
(β
T
) = e
−βω
n
/2
Z
−1/2
(β
T
)|n. (3.8)
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 31
Finalmente, o estado de v´acuo t´ermico ´e
|0(β
T
) =
n
e
−β
T
ω
n
/2
Z
−1/2
(β
T
)|n, n. (3.9)
Vamos representar o estado de v´acuo `a temperatura zero como |0 = |0,
˜
0. Com a
condi¸c˜ao de que |0 = |0,
˜
0 ´e normalizado 0|0 = 1 obtemos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao
Z(β
T
) =
n
e
−β
T
ω
n
n|n = tr [e
−βH
]. (3.10)
O valor m´edio do operador A no estado de v´acuo t´ermico, est´a de acordo com o
postulado fundamental da DCT.
Considerando um sistema bosˆonico, os operadores A e
˜
A que atuam nos espa¸cos
H e
˜
H, respectivamente, comutam entre si
[A,
˜
A] = 0. (3.11)
A t´ıtulo de exemplo, consideramos o Hamiltoniano de um oscilador bosˆonico `a tem-
peratura zero
H = ωa
†
a. (3.12)
Tem-se as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao
[a, a
†
] = 1 e [a, a] = [a
†
, a
†
] = 0. (3.13)
Os estados no espa¸co de Fock correspondem a
|n =
(a
†
)
n
√
n!
|0 , a|0 = 0. (3.14)
Duplicando o sistema original, o Hamiltoniano
˜
H no espa¸co auxiliar ´e
H = ωa
†
a, (3.15)
e as seguintes rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao s˜ao satisfeitas
[a, a
†
] = 1 e [a, a] = [a
†
, a
†
] = 0. (3.16)
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 32
e
[a, a] = [a
†
, a
†
] = [a, a
†
] = [a
†
, a] = 0. (3.17)
O v´acuo do sistema duplicado deve satisfazer
|0 ⊗
|0 = |0. (3.18)
O estado de v´acuo t´ermico para o sistema extendido ´e obtido via uma transforma¸c˜ao
unit´aria [46, 47]
|0(β
T
) = e
−iG(θ)
|0, (3.19)
cujo gerador ´e o operador de Bogoliubov
G(θ) = G(θ)
†
= −iθ(β
T
)(aa − a
†
a
†
), (3.20)
Escolhendo o parˆametro θ(β
T
) ∈ R, G
B
= G
†
B
´e hermitiano. Definindo
u(β
T
) = (1 − e
−βω
)
−
1
2
= cosh θ(β
T
), (3.21)
e
υ(β
T
) = (e
βω
− 1)
−
1
2
= sinh θ(β
T
), (3.22)
onde f
B
´e a distribui¸c˜ao de Bose, o estado de v´acuo t´ermico para o sistema total
resulta
|0(β
T
) =
1
cosh θ(β
T
)
exp [tanh(θ(β
T
))] |0. (3.23)
A transforma¸c˜ao de Bogoliubov atuando sobre os operadores de aniquila¸c˜ao a e ˜a
em T = 0 mapea em a(β
T
) e ˜a(β
T
), respectivamente
a(β
T
) = e
−iG
ae
iG
, (3.24)
devido a unitariedade da transforma¸c˜ao gerada pelo operador de Bogoliubov. A
transforma¸c˜ao (3.24) pode ser escrita como uma transforma¸c˜ao linear
a = u(β
T
)a(β
T
) + υ(β
T
)a
†
(β
T
) , a
†
= u(β
T
)a
†
(β
T
) + υ(β
T
)a(β
T
) (3.25)
a = u(β
T
)a(β
T
) + υ(β
T
)a
†
(β
T
) , a
†
= u(β
T
)a
†
(β
T
) + υ(β
T
)a(β
T
). (3.26)
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 33
Como esperado para o v´acuo t´ermico
a(β
T
)|0(β
T
) = ˜a(β
T
)|0(β
T
) = 0,
0(β
T
)|a(β
T
)
†
= 0(β
T
)|˜a(β
T
)
†
= 0. (3.27)
Com uma sequˆencia de atua¸c˜oes dos operadores a(β
T
)
†
e ˜a(β
T
)
†
, obtemos os estado
t´ermicos de Fock
|0(β
T
), a(β
T
)
†
|0(β
T
), ˜a(β
T
)
†
|0(β
T
), . . . ,
1
√
n!
√
m!
(a(β
T
)
†
)
n
(˜a(β
T
)
†
)
m
|0(β
T
).
(3.28)
As rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao entre os operadores t´ermicos, i. e. operadores com de-
pendˆencia em β
T
s˜ao as mesmas que as apresentadas no sistema extendido em T = 0.
Explorando os comutadores de G com os operadores dos osciladores
[G, a] = −iθ(β
T
)a
†
, [G, a] = −iθ(β
T
)a
†
, [G, a
†
] = −iθ(β
T
)a , [G, a
†
] = −iθ(β
T
)a
(3.29)
onde, por simplicidade θ = θ(β
T
) ´e sempre dependente da temperatura. Resulta que
o gerador da transforma¸c˜ao G ´e conservado (canˆonico):
i
˙
G = [G, H] = 0. (3.30)
Observamos que qualquer estado de ocupa¸c˜ao pode ser obtido.
3.3 Formalismo para Campos Livres e a Entropia
Considerando o sistema total, a Lagrangeana
ˆ
L = L−
˜
L leva a escrever a Hamiltoni-
ana extendida como
ˆ
H = H −
˜
H. A Hamiltoniana
ˆ
H ´e invariante por transforma¸c˜ao
de Bogoliubov. Considera-se o volume finito onde s e quantizam os campos que ex-
pandidos em ondas planas dependem dos operadores a
k
(β), a
k
(β) e os operadores
til conjugados. A transforma¸c˜ao de Bogoliubov ´e unit´aria U = exp(−iG) onde o
gerador de Bogoliubov para o campo ´e
G = −i
k
θ
k
(a
α
k
a
α
κ
−a
κ
a
k
), (3.31)
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 34
e satisfaz a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao [G,
ˆ
H] = 0. Os operadores de aniquila¸c˜ao depen-
dentes de temperatura s˜ao obtidos dos operadores de aniquila¸c˜ao `a temperatura zero
da seguinte form
a
k
(β) = e
−iG
a
k
e
iG
= a
k
cosh θ
k
(β) −a
α
k
sinh θ
k
(β), (3.32)
a
k
(β) = e
−iG
a
k
e
iG
= a
k
cosh θ
k
(β) − a
α
k
sinh θ
k
(β) . (3.33)
Explorando a liberdade que a transforma¸c˜ao de Bogoliubov oferece, podemos de finir
o v´acuo t´ermico
|0(β) = U(θ)|0(β) = e
−iG
|0. (3.34)
que deve satisfazer as sequintes rela¸c˜oes
a
k
(β)|0(β) = e
−iG
a
k
e
iG
e
−iG
|0 = e
−iG
a
k
|0 = 0, (3.35)
a
k
(β)|0(β) = e
−iG
a
k
e
iG
e
−iG
|0. = e
−iG
a
k
|0 = 0. (3.36)
Para o sistema de osciladores que comp˜oem o campo podemos definir fun¸c˜oes
termodinˆamicas. As grandezas entropia e energia livre de Helmholtz tˆem papel im-
portante no formalismo DCT. O operador K definido como
K = −
k
a
†
k
a
k
ln sinh
2
θ
k
(β
T
) − a
k
a
†
k
ln cosh
2
θ
k
(β
T
)
. (3.37)
O operador
˜
K ´e obtido por conjuga¸c˜ao til do operador K. Pode-se mostrar que o
operador
ˆ
K = K −
K satisfaz as rela¸c˜oes
(K −
K)|0(β) = 0 , [K −
K, G] = 0. (3.38)
com G dado pela equa¸c˜ao (3.31).
Para o caso bosˆonico, usando as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao reescrevemos o estado de
v´acuo t´ermico [46, 47]
|0(β
T
) = e
−K/2
exp
k
a
†
k
a
†
k
|0. (3.39)
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 35
A entropia no sistema Gr˜a-Canˆonico [56] ´e calculada como o valor esperado m´edio
do operador K no v´acuo t´ermico
S = k
B
K = k
B
0(β
T
)|K|0(β
T
). (3.40)
Um c´alculo simples leva a seguinte express˜ao para a entropia
S = k
B
k
{(1 + n
k
) ln(1 + n
k
) − n
k
lnn
k
} (3.41)
onde n
k
representa o n´umero m´edio de ocupa¸c˜ao do estado k.
Usando a formula¸c˜ao canˆonica do formalismo DCT, pretendemos obter os estados
`a temperatura finita para a corda bosˆonica com v´arias condi¸c˜oes de contorno como
descrito no capitulo anterior, assim como o operador entropia e a energia livre de
Helmholtz calculada a partir da sua defini¸c˜ao
F = −T S + H − µN. (3.42)
3.4 Axiomas da DCT
Para quaisquer operadores A e
˜
A por atuarem respectivamente no espa¸co H e em
espa¸co auxiliar fict´ıcio
˜
H ortogonal a H, temos que o comutador [A,
˜
A] = 0. Existem,
al´em disso, um mapeamento entre o conjunto de operadores {A} e {
˜
A} que obe dece
as denominadas regras de conjuga¸c˜ao til. A temperatura entra na teoria atrav´es de
condi¸c˜oes que relacionam a forma na qual A e
˜
A atuam no v´acuo t´ermico |0(β
T
).
Esta ´e a condi¸c˜ao de estado t´ermico,tamb´em denominada de regra de substitui¸c˜ao
til. Uma teoria DCT para a teoria quˆantica de campos (TQC), pode ser melhor
construida a partir de axiomas b´asicos da DCT [46, 47, 57].
Vamos enunciar os axiomas, considerando dois conjuntos de operadores = {A}
e
= {
A}, ent˜ao
Axioma 1 . A tempos iguais, vari´aveis dinˆamicas pertencentes a diferentes sub-
espa¸cos (A ∈ e
B ∈
) s˜ao independentes, ou seja
[A,
B] = 0. (3.43)
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 36
Axioma 2 . Existe um mapeamento um a um entre os espa¸cos ortogonais deno-
minado de conjuga¸c˜ao til; para quais A e B ∈ e
˜
A e
˜
B ∈
e c
1
, c
2
dois n´umeros
complexos, valem as regras de conjuga¸c˜ao til:
(AB) =
A
B, (3.44)
(c
1
A + c
2
B) = c
∗
1
A + c
∗
2
B, (3.45)
A
†
=
A
†
. (3.46)
Axioma 3 . O v´acuo t´ermico ´e invariante sob as regras de conjuga¸c˜ao til
|0(β
T
) = |0(β
T
). (3.47)
Axioma 4 . Transla¸c˜ao espa¸co-temporais s˜ao induzidas pelo operador energia-
momento P
µ
∈ da
A(x) = e
iP
µ
x
µ
Ae
−iP
µ
x
µ
. (3.48)
Axioma 5 . O v´acuo t´ermico ´e definido pelas rela¸c˜oes operatoriais chamadas de
condi¸c˜oes de estado t´ermico
A(t, x)|0(β
T
) = σ
A
†
(t − iβ/2, x)|0(β
T
), (3.49)
O(β
T
)|A(t, x) = O(β
T
)|
A
†
(t + iβ/2), x)σ
∗
, (3.50)
Se A ´e uma vari´avel bosˆonica, escolhemos σ = 1.
Axioma 6 . A dupla conjuga¸c˜ao til ´e definida como
A = σA. (3.51)
onde σ = 1 para bosons e σ = −1 para f´ermions.
A importˆancia das regras de conjuga¸c˜ao til ´e a de que todas as rela¸c˜oes usuais
da TQC, por exemplo rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao, e equa¸c˜oes de Heisenberg podem ser
generalizadas para DCT. A condi¸c˜ao de estado t´ermico, al´em de fundamental para
definir o v´acuo t´ermico, mostra que existe sempre uma combina¸c˜ao de op eradores
A(x) e A
†
(x) que aniquila o v´acuo t´ermico. Esta caracteristica usualmente n˜ao existe
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 37
em TQC. Podemos generalizar o Axioma 1. Sejam A(x) e
B(y) ent˜ao eles comutam
em todo espa¸co-tempo
[A(x),
B(y)] = 0. (3.52)
Se realizarmos uma opera¸c˜ao † e uma ˜ ou uma opera¸c˜ao ˜ e uma †, pelo Axioma
2 verificamos que os coeficientes dos operadores permanecem inalterados. Podemos
considerar um axioma suplementar a constru¸c˜ao da Lagrangeana e Hamiltoniana
extendidas
ˆ
H =
α
α
H
α
= H −
H,
ˆ
L =
α
α
L
α
= L −
L. (3.53)
Decorre dos axiomas a seguinte propriedade do v´acuo t´ermico
a(β
T
, t)|0(β
T
) = a(β
T
, t)|0(β
T
) = 0(β
T
)|a
α
(β
T
, t) = 0(β
T
)|a
α
(β
T
, t) = 0. (3.54)
A rela¸c˜ao entre a conjuga¸c˜ao til e a conjuga¸c˜ao hermitiana do operador A(t) num
instante t ´e
A(t)|0(β
T
) =
A
†
(t − iβ/2)|0(β
T
), (3.55)
A
†
(t)|0(β
T
) =
A(t − iβ/2)|0(β
T
), (3.56)
onde
a(β
T
, t) = f
1/2
(−i∂
t
)
A(t + iβ/2) −
A
†
(t)
, (3.57)
a(β
T
, t) = f
1/2
(−i∂
t
)
∗
A(t − iβ/2) − A
†
(t)
, (3.58)
e
f(ω) =
1
e
βω
− 1
, (3.59)
´e a fun¸c˜ao de Bose-Einstein. A rela¸c˜ao entre os operadores `a temperatura nula
e os operadores `a temperatura finita pode ser derivada a partir dos axiomas do
formalismo DCT
A = e
iG(β
T
)
a(β
T
, t)e
−iG(β
T
)
, (3.60)
e tamb´em, a rela¸c˜ao entre o v´acuo t´ermico e o v´acuo duplicado `a temperatura nula
|0(β
T
) = e
−iG(β
T
)
|0,
0, (3.61)
CAP
´
ITULO 3. DIN
ˆ
AMICA DE CAMPOS T
´
ERMICOS 38
com o operador de Bogoliubov definido pela
G(β
T
) = G
†
(β
T
) = −
G(β
T
). (3.62)
Cap´ıtulo 4
Estados da Corda Bosˆonica
T´ermica no Formalismo DCT
Neste cap´ıtulo, construimos os estados de corda bosˆonica t´ermica aberta no
espa¸co de Minkowski e calculamos a entropia desses estados [48]. Na sequˆencia, co-
nstruimos os estados de corda bosˆonica fechada t´ermica no espa¸co AdS em primeira
aproxima¸c˜ao; calculamos a entropia usando o formalismo DCT [49] e discutimos
a rela¸c˜ao entre a Hamiltoniana no espa¸co de Hilbert total e o espa¸co de Hilbert
f´ısico [50]. Estas contribui¸c˜oes e possibilidades abertas ser˜ao comentadas no final do
cap´ıtulo.
4.1 Estados da Corda Aberta T´ermica no Espa¸co-
Tempo de Minkowski
Inicialmente para construir os estados da corda, escrevemos os operadores de cria¸c˜ao
e aniquila¸c˜ao dos osciladores da corda f´ısica obtidos no primeiro cap´ıtulo
A
µ
n
=
1
√
n
α
µ
n
; A
µ†
n
=
1
√
n
α
µ
−n
, (4.1)
39
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT40
C´opias idˆenticas de operadores s˜ao escritas, para atua¸c˜ao no espa¸co aix´ıliar
ˆ
H
A
µ
n
=
1
√
n
α
µ
n
;
A
µ†
n
=
1
√
n
α
µ
−n
, (4.2)
Os operadores satisfazem a ´algebra
[A
µ
n
, A
ν†
m
] = [
A
µ
n
,
A
ν†
m
] = δ
n+m
η
µν
, [A
µ
n
,
A
ν
m
] = [A
µ
n
,
A
ν†
m
] = 0. (4.3)
O espa¸co de Fock do sistema total ´e o produto tensorial dos espa¸cos de Fock de cada
corda. Considerando T = 0, o estado de v´acuo dos osciladores da corda ´e
|0 = |0|p, (4.4)
onde para obtermos o estado fundamental de v´acuo devemos considerar a parte de
momento do centro de massa. Assim,
|0 ⊗ |p ⊗ |˜p = |0,
˜
0|p, ˜p (4.5)
representa o v´acuo fundamental em T = 0 e
A
µ
n
|0 = 0 , ∀n, (4.6)
ˆp
µ
|p = p
µ
|p. (4.7)
Uma vez duplicado o n´umero de graus de liberdade; faz-se uso dos operadores
unit´arios de Bogoliubov G
µ
n
, para obtermos a descri¸c˜ao t´ermica. Definimos
G
µ
n
= − iθ
n
(β
T
)(A
n
·
˜
A
n
−
˜
A
†
n
· A
†
n
). (4.8)
onde θ(β
T
) ´e um parˆametro real que depende da estat´ıstica do n - ´esimo modo
cosh θ
n
(β
T
) = (1 − e
β
T
M
)
−1
. A
n
·
˜
A
n
representa o produto escalar A
µ
n
A
µ n
no espa¸co
de Minkowski. Os operadores G
µ
n
s˜ao hermitianos e G
|n|
= −G
−n
para n < 0.
Escolhido o calibre de cone de luz, onde x
◦
± x
25
; µ = 1, ··· , 24; D = 26, sem
anomalias, sem estados fantasmas G
n
=
24
µ=1
G
µ
n
.
As rela¸coes de comuta¸c˜ao entre operadores de Bogoliubov e os osciladores s˜ao:
[G
n
, A
µ
n
] = −iθ
n
(β
T
)
A
µ†
n
, [G
n
, A
µ†
n
] = −iθ
n
(β
T
)
A
µ
n
, (4.9)
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT41
[G
n
,
A
µ
n
] = −iθ
n
(β
T
)A
µ†
n
, [G
n
,
A
µ†
n
] = −iθ
n
(β
T
)A
µ
n
, (4.10)
Vamos construir o estado de v´acuo t´ermico e os operadores de aniquila¸c˜ao e cria¸c˜ao
t´ermicos para corda aberta
|0(β
T
)
osc
=
m>0
e
−iG
m
|0, (4.11)
onde |0 = |0
˜
|0. O v´acuo t´ermico do sis tema total `a tempe ratura finita cont´em
contribui¸c˜oes do momento linear
|0(β
T
) = |0(β
T
)
osc
|p|˜p. (4.12)
Os operadores que aniquilam o v´acuo t´ermico s˜ao
A
µ
n
(β
T
) = e
−iG
n
A
µ
n
e
iG
n
,
˜
A
µ
n
(β
T
) = e
−iG
n
˜
A
µ
n
e
iG
n
. (4.13)
e os operadores que criam estados a partir do v´acuo t´ermico s˜ao conjugados hermi-
tianos destes. Os estados do sistema a temperatura finita s˜ao obtidos atuando no
v´acuo t´ermico com os operadores t´ermicos de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao. Os estados obti-
dos pertencem a um espa¸co de Fock t´ermico. As coordenadas de momento e centro
de massa da corda s˜ao invariantes por transforma¸c˜oes de Bogoliubov, ou seja, todos
os operadores dos osciladores comutam com os operadores x, ˜x, p, ˜p , podemos tratar
a corda como um conjunto de osciladores bosˆonicos. Os operadores de entropia para
a corda bosˆonica aberta, diretamente de suas defini¸c ˜oes s˜ao
K =
24
µ=1
∞
n=1
(A
µ†
n
A
µ
n
log sinh
2
θ
n
− A
µ
n
A
µ†
n
log cosh
2
θ
n
) (4.14)
e o operador
˜
K obtido atrav´e s da conjuga¸c˜ao til do K. O v´acuo ´e invariante sob
a ope ra¸c˜ao til, todas as informa¸c˜oes est´a contida em operadores sem til, assim os
elementos de matriz que interessam s˜ao os do operador K. Foi ´util escrever
K =
24
µ=1
K
µ
, (4.15)
A entropia da corda representa a soma das entropias de todos osciladores em todas
as dire¸c˜oes. Pretendemos encontrar a entropia da corda associada mais geral da
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT42
equa¸c˜ao de movimento. A entropia ´e fun¸c˜ao do campo x(τ, σ) que descreve a folha
mundo e as condi¸c˜oes de contorno nas equa¸c˜oes de movimento informam qual ´e a
dependˆencia com os parˆametros da folha mundo. Vamos escolher a solu¸c˜ao geral
com as c.c. NN para calcularmos os elementos de matriz, inicialmente.
Os elementos de matriz < X
µ
(β
T
) |K|X
ν
(β
T
) > podem ser separados em duas
partes: a primeira que cont´em as coordenadas e momento do centro de massa e a
parte que cont´em a informa¸c˜ao dos osciladores, ou seja
X
µ
(β
T
) |K
ρ
|X
µ
(β
T
) = termos do c. m.
− 2α
n,k,l>0
e
i(l−n)τ
√
ln
cos nσ cos lσ [(T
1
)
µρν
nkl
+ (T
2
)
µρν
nkl
] ,
(4.16)
onde
(T
1
)
µρν
nkl
=
˜
0, 1
µ
n
|
m>0
e
−iG
m
A
ρ†
k
A
ρ
k
log sinh
2
θ
k
s>0
e
iG
s
|1
ν
l
,
˜
0˜p, p|˜q, q,
(T
2
)
µρν
nkl
= −
˜
0, 1
µ
n
|
m>0
e
−iG
m
A
ρ
k
A
ρ†
k
log cosh
2
θ
k
s>0
e
iG
s
|1
ν
l
,
˜
0˜p, p|˜q, q
(4.17)
e
|1
µ
l
= A
µ†
l
|0. (4.18)
Aqui, consideramos a normaliza¸c˜ao usual dos estados de momento em um volume
V
24
no espa¸co transverso
p|q = 2π δ
(24)
(p − q) (4.19)
(2π)
24
δ
(24)
(0) = V
24
. (4.20)
Resulta, ap´os uma simples ´algebra, a contribui¸c˜ao dos osciladores para o elemento
de matriz
X
µ
(β
T
) |K
ρ
|X
µ
(β
T
) = termos do c.m. − 2α
(2π)
(48)
δ
µν
δ
(24)
(p − q)δ
(24)
(˜p − ˜q) ×
n>0
1
n
cos
2
nσ[log(tanh θ
n
)
2
δ
ρν
− δ
ρρ
k>0
δ
kk
]. (4.21)
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT43
Por sua vez os termos CM pode ser divido em duas partes: uma contendo somente
operadores de posi¸c˜ao e momento e outra com a contribui¸c˜ao dos osciladores. Usan-
do a rela¸c˜ao de completeza dos autoestados dos operadores de momento junto com
os elementos de matriz
x|p = (2π)
−12
e
ip·x/
, (4.22)
os termos contendo posi¸c˜ao e momento do CM podem ser calculados. A contribui¸c˜ao
devida aos osciladores ´e obtida expressando os osciladores em T = 0 em termos
dos osciladores em T = 0 ou escrevendo o v´acuo t´ermico em termos de v´acuo
a temperatura nula. Os dois mo dos de c´alculo levam ao mesmo resultado. Usan-
do as propriedades dos operadores de Bogoliubov mostra-se que as contribui¸c˜oes
dos termos onde h´a mistura de operadores de centro de massa com parte dos os-
ciladores s˜ao cancelados. Os termos diferentes de zero s˜ao todos proporcionais a
< 0(β
T
)
K
P
0(β
T
) >. A rela¸c˜ao final para a entropia, levando em conta todas as
contribui¸c˜oes ´e
X
µ
(β
T
) |K
ρ
|X
µ
(β
T
) =
− (2π)
−24
(2π)
24
(2α
τ)
2
p
µ
p
ν
δ
(24)
(p − p
) + 2α
τ(I
µ
2
p
ν
+ I
ν
2
p
µ
) + I
µ
2
I
ν
2
j=µ,ν
I
j
1
× δ
(24)
(˜p −
˜
p
)
m=1
[n
ρ
m
log n
ρ
m
+ (1 − n
ρ
m
) log(1 − n
ρ
m
)] − 2α
(2π)
(48)
δ
µν
δ
(24)
(p − p
)
× δ
(24)
(˜p −
˜
p
)
n>0
1
n
cos
2
nσ
log(tanh θ
n
)
2
δ
ρν
− δ
ρρ
k>0
δ
kk
, (4.23)
onde as integrais unidimensionais no dom´ınio x ∈ [x
0,
x
1
] s˜ao
I
1
= −i(p
− p)
−1
e
i
(p
−p)x
1
− e
i
(p
−p)x
0
(4.24)
I
2
= −i(p
− p)
−1
−iI
1
+ x
1
e
i
(p
−p)x
1
− x
0
e
i
(p
−p)x
0
. (4.25)
e os estados de momento final e inicial s˜ao escolhidos por |p > e |p
>, respectiva-
mente. O n´umero de excita¸c˜oes da corda no v´acuo t´ermico ´e
n
ρ
m
=
0(β
T
)
A
ρ†
m
A
ρ
m
0(β
T
)
= sinh
2
θ
m
(4.26)
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT44
Uma vez que as condi¸c˜oes de contorno s˜ao imposta nas coordenadas da folha
mundo, podemos de forma semelhante obter express˜oes para as entropias das cordas
submetidas as demais c.c DD, DN e ND. Nestes casos n˜ao existem operadores
associados com as coordenadas e momentos de centro de massa, mas vetores de
posi¸c˜ao constante associados as suas extremidades, n˜ao havendo contribui¸c˜ao destes
termos para a entropia.
Os termos dos elementos de matriz diferentes de zero obtidos s˜ao
DD : X
µ
(β
T
) |K
ρ
|X
µ
(β
T
) = 2α
(2π)
(48)
δ
µν
δ
(24)
(p − p
)δ
(24)
(˜p −
˜
p
)
×
n>0
1
n
sin
2
nσ
log(tanh θ
n
)
2
δ
ρν
− δ
ρρ
k>0
δ
kk
(4.27)
DN : X
µ
(β
T
) |K
ρ
|X
µ
(β
T
) = 2α
(2π)
(48)
δ
µν
δ
(24)
(p − p
)δ
(24)
(˜p −
˜
p
)
×
r=Z+1/2
1
r
sin
2
rσ
log(tanh θ
r
)
2
δ
ρν
− δ
ρρ
k>0
δ
kk
(4.28)
ND : X
µ
(β
T
) |K
ρ
|X
µ
(β
T
) = 2α
(2π)
(48)
δ
µν
δ
(24)
(p − p
)δ
(24)
(˜p −
˜
p
)
×
r=Z+1/2
1
r
cos
2
rσ
log(tanh θ
r
)
2
δ
ρν
− δ
ρρ
k>0
δ
kk
(4.29)
(Z +
1
2
), s˜ao n´umeros inteiros. As express˜oes obtidas d˜ao a entropia como fun¸c˜ao
da folha mundo. Esta entropia n˜ao pode ser pensada como a entropia do v´acuo da
corda bosˆonica que ´e dada como a soma em todas as condi¸c˜oes espa¸co - temporais
da entropia dos bosons escalares sem massa e n˜ao dependentes das c.c.
A contribui¸c˜ao para entropia dos estados da corda com condi¸c˜oes de contorno
DD, DN e ND pode ser calculada truncado as trˆes rela¸c˜oes anteriores ap´os o primeiro
termo de oscilador ou calculado o elemento de matriz K
ρ
nos estados t´ermicos que
descrevem campos de massa nula. Os campos de massa nula formam um multipleto
U(1), A
j
= α
j
−1
= |0 onde j = 1, . . . , p e um conjunto de (24 − p) escalares
φ
a
= α
a
−1
|0 onde a = p + 1, . . . , 24, dessa forma para os es tados
Ψ
λ
(β
T
)
= α
λ
−1
(β
T
) |0(β
T
) (4.30)
multiplicados pelas fun¸c˜oes dependentes de τ e σ convenientes, respeitadas as
condi¸c˜oes de contorno, c alculamos os elementos de matriz de K
ρ
. Obtemos como
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT45
express˜ao da entropia E = E
{A}
+ E
{φ}
E
{A}
= 2α
p(−sin
2
σ
n=1
log cosh
2
θ
n
+ 4 cos
2
σ
r∈Z+1/2
log cosh
2
θ
r
),
(4.31)
E
{φ}
= 2α
(24 − p)(−sin
2
σ
n=1
log cosh
2
θ
n
+ 4 cos
2
σ
r∈Z+1/2
log cosh
2
θ
r
)
. (4.32)
Nas duas rela¸c˜oes acima o primeiro termo representa a contribui¸c˜ao do setor DD
e o segundo a contribui¸c˜ao dos setores DN e ND. Somente o termo de entropia
com as c.c NN depende de . No limite semi-cl´assico → 0 a contribui¸c˜ao devida
unicamente aos momenta ´e irrelevante. O termo dominante ´e o mesmo que domina
no limite de tens˜ao infinita quando α
→ 0. A entropia da corda devida as c.c. DD,
DN e ND anula-se.
4.2 Estados da Corda Bosˆonica T´e rmica no
Espa¸co AdS
Para obter em primeira ordem a corda bosˆonica t´ermica, vamos aplicar a DCT
`a corda quantizada semicl´assica descrita na cap´ıtulo 1. Vamos discutir o ansatz
da DCT e o v´acuo t´emico |0(β
T
). No c´alculo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z(β
T
) h´a
diferen¸cas formais entre trabalhar na espa¸co de Hilbert total
ˆ
H e nos subspa¸cos
f´ısicos H e
˜
H. Da forma de Z(β
T
) em H, concluimos que operador de Bogoliubov
´e conhecido e a termaliza¸c˜ao ´e vi´avel. Por termaliza¸c˜ao, entendemos o processo de
colocar o sistema em contato com seu reservat´orio t´ermico de calor, o sistema inicial
a temperatura zero ´e levado a T = 0. A intera¸c˜ao espec´ıfica ´e descrita via operador
de Bogoliubov que mistura o par de osciladores. O resultado desse procedimento ´e o
aparecimento de dois novos graus de liberdade t´ermicos. Diremos que o sistema est´a
dobrado quando expresso em termos dos osciladores f´ısicos e os do reservat´orio cor-
respondentes, considerando uma temperatura determinada. O ansatz fundamental
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT46
da DCT ´e expresso pelo valor m´edio de um operador O qualquer.
O = Z
−1
(β
T
)Tr
e
−β
T
H
O
≡ 0(β
T
)|O|0(β
T
), (4.33)
Na aplica¸c˜ao da DCT o ansatz ser´a modificado, quando considerarmos uma teoria
de cordas. O novo ansatz adotado ´e
O = Z
−1
(β
T
)Tr
δ(P = 0)e
−β
T
H
O
≡ 0(β
T
)|O|0(β
T
), (4.34)
que tamb´em, respeita a invariˆancia por reparametriza¸c˜oes na folha mundo. Primeiro
as simetrias da corda s˜ao fixada e ap´os o novo ansatz ´e imposto, somente os estados
f´ısicos contribuiem no c´alculo do tra¸co. Todo o conjunto de v´ınculos deve ser im-
plementado antes da imposi¸c˜ao desse novo ansatz. O v´acuo t´ermico na DCT tem a
forma
|0(β
T
) =
w
w
f
w,w
(β
T
)|w|w, (4.35)
onde neste caso w e w s˜ao multi-´ındices correspondentes aos modos α e aos modos
auxiliares β do reservat´orio, respectivamente, introduzimos a nota¸c˜ao para os auto-
valores dso operadores n´umero
N
n
= n
D−1
µ=1
k
µ
n
, N
n
= n
D−1
µ=1
k
µ
n
, (4.36)
onde onde k
µ
n
e
¯
k
µ
n
s˜ao auto-valores dos operadores n´umero
N
µ
n
|···k
µ
n
··· = nk
µ
n
|···k
µ
n
···, , N
µ
n
|···k
µ
n
··· = nk
µ
n
|···k
µ
n
···, (4.37)
respectivamente, para qualquer µ = 1, 2, . . . , D − 1 e n = 1, 2, . . . , ou seja eles
satisfazem as rela¸c˜oes
f
∗
w
,w
(β
T
)f
w,w
(β
T
) = Z
−1
(β
T
)δ(w
, w)δ(w
, w)
exp
β
T
πm
2
α
2
1 − exp
−
β
T
πmα
2
l
D−1
×
+1/2
−1/2
ds exp
2πα
n
λ
n
(β
T
, s)N
n
+ λ
n
(β
T
, s)N
n
,
(4.38)
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT47
onde δ(w, w
) e δ(w, w
) s˜ao nota¸c˜oes abreviadas para o produto de fun¸c˜oes delta,
para cada par de ´ındices no multi - ´ındice correspondente e
λ
n
(β
T
, s) = −β
T
ω
n
−
is
α
, λ
n
(β
T
, s) = −β
T
ω
n
+
is
α
. (4.39)
O v´ınculo pode ser escrito usando a representa¸c˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao delta
δ(P = 0) ≡ δ(N − N) =
+1/2
−1/2
ds e
2πis
(
N−N
)
. (4.40)
A rela¸c˜ao de ortogonalidade (4.38) mostra que, como no caso do espa¸co - tempo de
Minkowski, os coeficientes na expans˜ao do v´acuo t´ermico s˜ao vetores do espa¸co de
Hilbert idˆenticos aos do espa¸co de Hilbert das cordas, ou seja, o espa¸co de Hilbert
ˆ
H
que tem os graus de liberdade do reservat´orio, tamb´em, como mostra a rela¸c˜ao (*)
na expans˜ao de |0(β
T
) no espa¸co de Hilbert total
ˆ
H = H
H, estes vetores s˜ao
escritos com os funcionais de Columbeau [60], i ´e a raiz quadrada de fun¸c˜ao delta.
Isto sugere que o v´acuo t´ermico ´e realmente um estado do espa¸co f´ısico total
H
f´ısico
e
H e n˜ao de todo espa¸co. Al´em disso, n˜ao fator com fun¸c˜ao delta se o tra¸co de (4.33)
´e tomada sobre
H
f´ısico
em vez de
ˆ
H e, consequentemente, n˜ao h´a dependˆencia do
v´acuo t´ermico com os v´ınculos. p or simplicidade, vamos trabalhar no que depende
do espa¸co f´ısico. Ent˜ao a rela¸c˜ao (4.35) pode ser expressa
|0(β
T
) = Z
−
1
2
(β
T
)δ(w
, w)δ(w
, w)
exp
β
T
πm
2
α
2
2
1 − exp
−
β
T
πmα
2
l
D−1
2
×
w
w
exp
−β
T
πα
∞
n=1
ω
n
N
n
+ N
n
|w, w
|w, w. (4.41)
Aqui, os estados de multi-´ındice s˜ao |w, w ∈
H
f´ısico
,respectivamente. A fun¸c˜ao de
parti¸c˜ao pode ser obtida impondo que o v´acuo t´ermico ´e normalizado e tomando o
tra¸co do operador identidade no subespa¸co f´ısico
Z(β
T
) =
exp
β
T
πm
2
α
2
1 − exp
−
β
T
πmα
2
l
D−1
∞
n=1
1 − e
−β
T
πα
nω
n
2(1−D)
. (4.42)
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT48
Aqui, o fator 2 na exponencial vem das contribui¸c˜oes iguais dos osciladores com α
e β, respectivamente.
As rela¸c ˜oes anteriores mostram que a decomposi¸c˜ao do v´acuo t´ermico em termos
dos estados f´ısicos ´e semelhante a do c ampo livre quˆantico no espa¸co - tempo de
Minkowski. Todavia, h´a duas diferen¸cas importantes. A primeira nas contribui¸c˜oes
no modo zero e o quadrado da massa que aparece na exponencial. A segunda
diferen¸ca, diz respeito a validade desse estado como estado de v´acuo t´ermico de
corda - ´e v´alido somente localmente no sistema de referˆencia de centro de massa, e
´e, ao longo de geod´esicas no espa¸co-tempo AdS.
O mapeamento da teoria em T = 0 para T = 0 ´e gerado pelo operador de
Bogoliubov dependente da temperatura, correspondendo a todos os osciladores da
sistema total
G = G
0
+ G + G, (4.43)
onde o operador de Bogoliubov para o modo zero ´e
G
0
= −iθ
0
(β
T
)
D−1
µ=1
˜α
µ
0
α
µ
0
− α
†µ
0
˜α
†µ
0
, (4.44)
e o parˆametro θ
0
´e relacionado a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao como
cosh θ
0
(β
T
) =
1 − e
−β
T
ω
0
−
1
2
. (4.45)
A frequˆencia do modo zero ´e
ω
0
=
πmα
2
l
. (4.46)
Os operadores de Bogoliubov G e G para os modos α e β, respectivamente, tem a
forma
G
0
=
∞
n=1
G
n
= −i
∞
n=1
θ
n
(β
T
)
D−1
µ=1
˜α
µ
n
α
µ
n
− α
†µ
n
˜α
†µ
n
, (4.47)
G
0
=
∞
n=1
G
n
= −i
∞
n=1
θ
n
(β
T
)
D−1
µ=1
˜
β
µ
n
β
µ
n
− β
†µ
n
˜
β
†µ
n
. (4.48)
Os coeficientes θ
n
(β
T
) = θ
n
(β
T
) s˜ao iguais para todos n = 1, 2, . . . µ = 1, 2, . . . , D −
1, uma vez que os osciladores s˜ao idˆenticos em ambos os setores e ao longo de
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT49
todas dire¸c˜oes transversais do espa¸co tangente. Suas rela¸c˜oes com as dis tribui¸c˜oes
bosˆonicas s˜ao
cosh θ
n
(β
T
) = cosh θ
n
(β
T
) =
1 − e
−β
T
ω
n
−
1
2
, (4.49)
onde
ω
n
= ω
n
= πα
n
Ω
2
n
+ 1
Ω
n
. (4.50)
O v´acuo t´ermico da corda bosˆonica ´e a imagem do v´acuo total `a temperatura zero
|0 ≡ |0
˜
|0 = |0
0
⊗
n
|0
n
⊗
n
|0
n
, (4.51)
sob a transforma¸c˜ao unit´aria gerada pelo operador de Bogoliubov
|0(β
T
) = e
−iG
|0. (4.52)
Como |0 pertence ao espa¸co f´ısico total, o operadore de Bogoliubov mapea
H
f´ısico
no espa¸co de Hilbert t´ermico
H (β
T
). O v´acuo total ´e aniquilado por todos os
operadores de aniquila¸ca˜o e tem invariˆancia translacional. O v´acuo t´ermico pode
ser definido da mesma forma se os operadores s˜ao construidos com a a¸c˜ao sobre o
conjunto de todos operadores
O ≡ {O} = {α
µ
0
, α
†µ
0
, ˜α
µ
0
, ˜α
†
0
; α
µ
n
, α
†µ
n
, ˜α
µ
n
, ˜α
†
n
; β
µ
n
, β
†µ
n
,
˜
β
µ
n
,
˜
β
†
n
}, (4.53)
de transforma¸c˜oes similares geradas pelo operador de Bogoliubov
O(β
T
) = e
−iG
Oe
iG
= {e
−iG
Oe
iG
}. (4.54)
O espa¸co H
(β
T
)
tem a estrutura de um espa¸co de Fock. Os estados de v´acuo t´ermico
satisfazem as rela¸c˜oes
α
µ
0
(β
T
)|0(β
T
) = α
µ
n
(β
T
)|0(β
T
) = β
µ
n
(β
T
)|0(β
T
) = 0, (4.55)
˜α
µ
0
(β
T
)|0(β
T
) = ˜α
µ
n
(β
T
)|0(β
T
) =
˜
β
µ
n
(β
T
)|0(β
T
) = 0. (4.56)
Como o operador de Bogoliubov mistura os modos de osciladores a temperatura zero
de todos os setores, a temperatura finita osciladores sem til e com til n˜ao representam
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT50
mais grau de liberdade da corda e do reservat´orio, respectivamente. Portanto, eles
representam as oscila¸c˜oes t´ermicas do sistema aquecido que resulta da intera¸c˜ao a
temperatura zero da corda e seu reservat´orio. Um estado de corda t´ermica, dever´a
conter um n´umero arbitr´ario de excita¸c˜oes de todos os setores e tem como forma
geral
|Ψ
µ
1
...ν
1
...ρ
1
...τ
1
m
1
...ν
1
...p
1
...q
1
(β
T
) =
α
†µ
1
m
1
(β
T
)
k
µ
1
m
1
···
β
†ν
1
n
1
(b
T
)
k
ν
1
n
1
···
˜α
†ρ
1
p
1
(β
T
)
s
ρ
1
p
1
···
˜
β
†τ
1
q
1
(β
T
)
s
τ
1
q
1
···|0(β
T
).
(4.57)
O estado cont´em k
µ
1
m
1
exita¸c˜oes t´ermicas do tipo α
m
1
na dire¸c˜ao µ
1
,
¯
k
ν
1
n
1
excita¸c˜oes
t´ermicas do tipo β
n
1
na dire¸c˜ao γ
1
, etc.
As simetrias da corda t´ermica podem ser verificadas utilizando-se a ´algebra con-
forme nos estados t´ermicos. Todavia, os operadores L
n
e
¯
L
n
n˜ao comutam com
operadore de Bogoliubov a ´algebra conforme ´e quebrada a temperatura finita.
´
E
natural perguntamos se h´a simetrias e v´ınculos que possam ser impostos sobre os
estados da corda. A resposta a quest˜ao ´e obtida notando que a dinˆamica da corda
a temperatura finitas pose ser derivada da Lagrangeana
L
2
(β
T
) = e
−iG
ˆ
L
2
e
iG
, (4.58)
onde
ˆ
L
2
= L
2
−
˜
L
2
e L
2
´e a Lagrangeana correspondente a a¸c˜ao truncada dada pela
rela¸c˜ao (4.58) e
˜
L
2
´e a parte do reservat´orio associado. Da Lagrangeana acima, a
Hamiltomiana e momento na folha mundo em D = 2 + 1 s˜ao
ˆ
H = H −
˜
H ,
ˆ
P = P −
˜
P , (4.59)
e mostra que as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao s˜ao
ˆ
H, G
=
ˆ
P , G
= 0. (4.60)
Sendo
H a hamiltonia total da corda bosˆonica podemos interpretar
P como sendo
o momento total. Finalmente, qual estado f´ısico |Ψ
f´ısico
= |Ψ
f´ısico
|Ψ
f´ısico
pode
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT51
ser mapeado no estado t´ermico
|Ψ
fisico
(β
T
) = e
−iG
|Ψ
fisico
, (4.61)
que ´e invariante por transla¸c˜ao na folha mundo
ˆ
P |Ψ
fisico
(β
T
) = 0. (4.62)
A rela¸c˜ao acima juntamente com a invariˆancia da Hamiltoniana s˜ao usadas para
definir os estados t´ermicos. Observamos que na rela¸c˜ao acima, os operadores est˜ao
a temperatura zero e o estado a temperatura finita.
Considerando os modos de oscila¸c˜ao da corda no espa¸co de Hilbert f´ısico, a
entropia pode ser localmente definida como o valor esperado do operador K no
v´acuo t´ermico da corda, como mostrado no cap´ıtulo anterior. O operador K ´e
K = −
∞
n=1
D−1
µ=1
α
µ†
n
α
µ
n
+ β
µ†
n
β
µ
n
log sinh
2
θ
n
(β
T
) −
α
µ
n
α
µ†
n
+ β
µ
n
β
µ†
n
log cosh
2
θ
n
(β
T
)
−
D−1
µ=1
α
µ†
0
α
µ
0
log sinh
2
θ
0
(β
T
) − α
µ
0
α
µ†
0
log cosh
2
θ
0
(β
T
)
. (4.63)
Usando o valor esperado do operador n´umero no v´acuo t´ermico
0(β
T
)|α
µ†
n
α
µ
n
|0(β
T
) = 0(β
T
)|β
µ†
n
β
µ
n
|0(β
T
) = sinh
2
θ
n
(β
T
), (4.64)
para todos osciladores, podemos escrever a entropia
S = 2(D − 1)k
B
∞
n=1
[β
T
πα
nω
n
f(πα
nω
n
) + log(1 + f(πα
nω
n
))]
+ (D − 1)k
B
β
T
πmα
2
l
f(
πmα
2
l
) + log
1 + f(
πmα
2
l
)
, (4.65)
onde
f(ω
n
) =
1
e
β
T
ω
n
− 1
, (4.66)
´e a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao por n = 1, 2, . . .. Por defini¸c˜ao a energia livre ´e dada por
valor esperado do operador F no v´acuo t´ermico, onde
F = −
1
k
B
K + H. (4.67)
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT52
Com o uso dos c´alculos acima e a forma expl´ıcita da Hamiltoniana loc al, obtemos a
energia livre de Helmholtz
F = (D − 1)
∞
n=1
4πα
nω
n
f(πα
nω
n
) +
2πmα
2
l
f(
πmα
2
l
)
+
(D − 1)
β
T
2
∞
n=1
log (1 + f(πα
nω
n
)) + log
1 + f(
πmα
2
l
)
− πm
2
α
2
,
(4.68)
onde os dois ´ultimos termos representam a contribui¸c˜ao dos modos zero e a da massa
da corda, respectivamente. Os dois ´ultimos termos na entropia diferem a fun¸c˜ao S
0
,
com tens˜ao da corda e a constante cosmol´ogica. A temperatura constante e para
T
2
s
>>
mβ
T
4π
√
−Λ, (4.69)
S
0
depende da temperatura como
S
0
≈ 1 + log
1 +
1
β
T
ω
0
. (4.70)
Assim, esta contribui¸c˜ao d´eve ser relevante a altas temperaturas
T >>
m
4πk
B
√
−Λ. (4.71)
Para valores, onde a tens˜ao da corda T
s
´e
T
2
s
<<
mβ
T
4π
√
−Λ, (4.72)
os ´ultimos termos na entropia dependem da temperatura como
S
0
≈ log(2 − β
T
ω
0
) + β
T
ω
0
− (β
T
ω
0
)
2
. (4.73)
Neste casa, h´a temperatura c´utica T c
T
c
=
8πk
B
mT
2
s
√
−Λ
. (4.74)
Para T < T
c
o modo zero da entropia n˜ao ´e bem definido. Este resultado pode
ser interpretado como n˜ao validade do procedimento de quantiza¸c˜ao semicl´assico no
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT53
limite de tens˜ao nula da teoria de cordas. Neste limite, a intera¸c˜ao entre os osciladores
da corda vai al´em da aproxima¸c˜ao em primeira ordem da expans˜ao pertubativa em
∈. Os efeitos da corda s˜ao reduzidos no limite de tens˜ao grande o suficiente, para que
a corda se comporte mais como uma part´ıcula. Considera¸c˜oes se melhantes podem
ser tiradas da energia livre.
4.3 V´acuo T´ermico no Espa¸co de Hilbert Total
Aplicando o postulado fundamental da DCT do cap´ıtulo 3, modificado para teoria
de cordas como visto anteriormente, o valor esperado de um operador O no espa¸co
de Hilbert total ´e
Z
−1
(β
T
)Tr
δ(P = 0)e
−β
T
H
O
≡ 0(β
T
)|O|0(β
T
), (4.75)
onde o estado do v´acuo t´ermico no espa¸co de Hilbert total ´e
|0(β
T
) =
Z
−
1
2
(β
T
) e xp(
β
T
πm
2
α
2
)
2
1 − exp
−β
T
πmα
2
l
D−1
2
w
w
+1/2
−1/2
ds exp
iπns
D−1
µ=1
k
µ
n
− k
µ
n
−
1
2
× exp
−β
T
πα
∞
n=1
nω
n
D−1
µ=1
k
µ
n
+ k
µ
n
|w, w
|w, w. (4.76)
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao t´ermica tem forma explicita
Z(β
T
) =
exp(β
T
πm
2
α
2
)
1 − exp
−β
T
πmα
2
l
D−1
+1/2
−1/2
ds
∞
n=1
1 − e
πα
nλ
n
(β
T
,s)
1 − e
πα
nλ
n
(β
T
,s)
1−D
.
(4.77)
No espa¸co de Hilbert total a Hamiltoniana tem a forma
H
= 2πα
n≥1
Ω
2
n
+ 1
Ω
n
N
n
+
N
n
+ 2πis
N
n
−
N
n
+
πmα
2
l
α
†
0
·α
0
−πm
2
α
2
,
(4.78)
que difere da (2.122) por conter a condi¸c˜ao de n´ıveis iguais (level matching) dada
na express˜ao (2.123). A Hamiltoniana (4.78) est´a de acordo com a interpreta¸c˜ao
CAP
´
ITULO 4. ESTADOS DA CORDA BOS
ˆ
ONICA T
´
ERMICA NO FORMALISMO DCT54
do parˆametro s como multiplicador de Lagrange [25]. A presen¸ca dos v´ınculos na
Hamiltoniana (4.78) se deve a expans˜ao do v´acuo t´ermico no espa¸co de Hilbert total
enquanto a Hamiltoniana (2.122) de partida tem os estados escolhidos no espa¸co
de Hilbert f´ısico. Desenvolver o c´alculo das grandezas f´ısic as da corda bosˆonica em
qualquer uma das representa¸c˜oes deve ser equivalente sendo que trabalhar no espa¸co
de Hilbert total implica manipular os funcionais de Columbeau [60].
A teoria de cordas bosˆonicas ´e conforme no espa¸co AdS D = 2+1 [41] onde a ter-
maliza¸c˜ao no m´etodo DCT ´e exata. Entretanto, a ´algebra de Virasoro n˜ao se realiza
na representa¸c˜ao de estados t´ermicos aparecendo uma quebra da simetria conforme.
´
E interessante estudar a termaliza¸c˜ao da ´algebra de Virasoro usando a representa¸c˜ao
de osciladores que possibilitam implementar de modo direto o formalismo DCT. O
passo inicial para a constru¸c˜ao da ´algebra de Virasoro t´ermica foi dado utilizando
t´ecnicas alg´ebricas de Wigner-Heisenberg na constru¸c˜ao dos geradores da ´algebra de
Virasoro [51].
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes
Calculamos a entropia e a energia livre para todas as solu¸c˜oes da corda t´ermica
bosˆonica aberta , onde s˜ao levadas em considera¸c˜ao todas as condi¸c˜oes de contorno
poss´ıveis [48].
Formulamos uma teoria a temperatura finita para excita¸c˜oes t´ermicas livres
da corda bosˆonica fechada no espa¸co AdS.na abordagem de DCT. A m´etrica no
espa¸co AdS ´e tratada exatamente quando a corda e o reservat´orio t´ermico s˜ao semi-
classicamente quantizados em teoria de perturba¸c˜ao at´e primeira ordem com respeito
ao parˆametro adimensional = α
H
2
onde H ´e a constante de Hubble. Com fundo
de buraco negro no AdS conforme D = 2 +1, a quantiza¸c˜ao ´e exata. O m´etodo pode
ser extendido a espa¸co-tempo AdS arbitr´ario. A aproxima¸c˜ao ´e tomada no sistema
de referˆencia de centro de massa, sendo justificada p elo fato de que em primeira
ordem a dinˆamica da corda ´e determinada somente pela intera¸c˜ao entre os modos
livres de oscila¸c˜oes da corda e a solu¸c˜ao de fundo exata. A corda t´ermica bosˆonica
fechada em primeira ordem ´e obtida por termaliza¸c˜ao do sistema em T = 0 efet-
uada pelos operadores de Bogoliubov da DCT. Determinamos os estados da corda
t´ermica bosˆonica fechada e calculamos a entropia local e a energia livre nos sistema
de referˆencia de centro de massa. Discutimos tamb´em a rela¸c˜ao entre a Hamiltoni-
ana no espa¸co de Hilbert total e o espa¸co de Hilbert f´ısico. A DCT tem-se mostrado
prof´ıcua neste procedimento canˆonico e perturbativo em que submetemos as cordas.
55
CAP
´
ITULO 5. CONCLUS
˜
OES 56
O pr´oximo passo no desenvolvimento de nosso trabalho indica caminhos na
aplica¸c˜ao a cordas supersim´etricas e tamb´em ao estudo das D-branas. Uma poss´ıvel
generaliza¸c˜ao do m´etodo apresentado nesta tese, com aplica¸c˜oes na teoria de cordas
e supercordas, ´e a termaliza¸c˜ao no formalismo DCT das representa¸c˜oes da ´algebra de
Virasoro usando t´ecnicas alg´ebricas de Wigner-Heisenberg para sistemas bosˆonicos
[51].
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