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CLAUDETE DE FREITAS BEZERRA HEREBIA
LEITURA, INTERPRETAÇÃO E RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE ESTRUTURAS ADITIVAS.
UNIVERSIDADE CATÓLICA DOM BOSCO
Campo Grande – MS
2007
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CLAUDETE DE FREITAS BEZERRA HEREBIA
LEITURA, INTERPRETAÇÃO E RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE ESTRUTURAS ADITIVAS.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação – Mestrado em Educação da
Universidade Católica Dom Bosco como parte
dos requisitos para obtenção do grau de
Mestre em Educação.
Área de Concentração: Educação Escolar e
Formação de Professores
Orientador (a): Profª. Drª. Leny Rodrigues
Martins Teixeira.
UNIVERSIDADE CATÓLICA DOM BOSCO
Campo Grande – MS
2007
2
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LEITURA, INTERPRETAÇÃO E RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE ESTRUTURAS ADITIVAS.
CLAUDETE DE FREITAS BEZERRA HEREBIA
BANCA EXAMINADORA:
_________________________________________
Profª. Drª. Leny Rodrigues Martins Teixeira
_________________________________________
Profª. Drª. Helena Faria de Barros
_________________________________________
Profª. Drª. Maria Lucia Faria Moro
3
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho ao meu esposo, Roberto Belarmino Herebia, que muito me
incentivou e apoiou para que eu realizasse esse sonho.
4
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço a Deus por ter dado força e sabedoria para me guiar nos
momentos mais difíceis dessa jornada.
Agradeço a todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste
trabalho.
Especialmente gostaria de agradecer:
A minha orientadora, Profª Drª. Leny Rodrigues Martins Teixeira, por ter confiado que
seria capaz de cumprir com todas as tarefas por ela proposta. Por muitas vezes cheguei a
pensar que não daria conta, mas com ela aprendi a agir com rapidez ativando meus esquemas,
para cumprir com essa árdua e gratificante tarefa.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação da UCDB pela gentileza e a boa
vontade em nos transmitir mais esse grau de conhecimento. E a UCDB, que muito gentilmente
colaborou com o apoio financeiro.
Aos meus filhos Renato e Paulo, ao meu esposo Roberto, aos meus pais Marcial e
Estelita, à minha cunhada Eva e todos os demais familiares e amigos que souberam de uma
maneira carinhosa respeitar a minha ausência e falta de dedicação durante esses dois anos e
meio de estudos.
Aos meus especiais amigos professores de grupo de estudo Ivan Russef, Rosângela,
Suzu, Marta, Neuza e Mary Lúcia que muito me incentivaram para o início do mestrado.
A todos o meu carinho e agradecimento.
5
RESUMO
A presente pesquisa, ligada à linha de pesquisa “Práticas pedagógicas e suas relações com a
formação docente”, teve como objetivo descrever e analisar o desempenho e as formas de
solução de problemas matemáticos de estruturas aditivas de alunos do Ensino Fundamental,
tendo em vista suas relações com a leitura e interpretação dos mesmos, como forma de
identificar as relações matemáticas contidas nos problemas. Participaram desta pesquisa 40
alunos da 4ª série do Ensino Fundamental de Campo Grande/MS, sendo 20 de uma escola
municipal e 20 de uma escola particular. Os dados foram coletados mediante aplicação de uma
prova com seis problemas, baseados nos seis tipos de relações de base de estruturas aditivas,
descritas por G. Vergnaud. Os problemas foram organizados em três grupos, sendo um
problema (P2) para o segundo tipo de relação (transformação de estados); dois problemas (P3
e P4) para o terceiro tipo de relação (comparação de estados) e três problemas (P1, P5 e P6)
para o 4º tipo de relação (composição de duas transformações). Paralelamente à solução dos
problemas foram coletadas informações a respeito da leitura e interpretação dos mesmos. Os
resultados apontaram que: 1) na leitura dos problemas, os alunos decodificaram o texto dos
mesmos, porém, no geral, não conseguiram traduzir a interpretação dos problemas usando a
explanação verbal, o desenho e a sentença matemática; 2) os alunos interpretaram mais
facilmente os problemas de transformações de estados e composição de duas transformações,
evidenciado no seu desempenho, enquanto nos problemas de comparação de estados foi
registrado o mais baixo desempenho entre os seis problemas pesquisados; 3) quanto às formas
de soluções utilizadas, ficou evidenciado que os alunos conseguiram indicar facilmente as
operações dos problemas de transformações de estados e composição de transformações, em
que no próprio texto do problema havia um indício da operação, enquanto nos problemas de
comparação de estados os alunos apresentaram as maiores dificuldades para indicar as formas
de solução, o que indica uma leitura superficial, ou seja, cuja interpretação foi feita com base
em indícios textuais e no aspecto linear do enunciado dos textos. Os resultados foram
analisados conforme o referencial teórico sobre leitura e interpretação de textos, bem como da
teoria dos campos conceituais, apontando-se a importância de enfocar as questões da leitura de
textos no ensino de matemática, como forma de interpretar as relações de natureza matemática
veiculada nos mesmos.
PALAVRAS-CHAVE: Leitura e interpretação, problemas de estrutura aditiva, ensino de
matemática.
6
ABSTRACT
This research, attached to the search line "teaching practices and its relationship with the
teacher training," aimed to describe and to analyze the performance and ways of solution of
the problems of mathematical addition structures with pupils of the elementary school, related
to their reading and their interpretation as a way to identify the relationships that is contained
in the mathematical problems. 40 students participated in this search of the 4
th
grade of
elementary school in Campo Grande / MS, 20 students of a public school and 20 of a private
school. Data were collected through application of a test with six problems, based on six types
of relations the basic structures of additives, as it was described by G. Vergnaud. The
problems were organized into three groups, one problem (P2) for the second type of
relationship (transformation of states); two problems (P3 and P4) for the third type of
relationship (comparison of states) and three problems (P1, P5 and P6) for the 4
th
type of
relationship (composition of two transformations). Parallel to solutions of the problems
information about their reading and their interpretation was collected. The results showed that:
1) in the reading of the problems, the students had decoded the same text, but in general, they
failed in translating the interpretation of the problems using the verbal explanation, the design
and mathematical sentence, 2) students have interpreted more easily the problems of
transformation of states and composition of two transformations, evidenced in its
performance, while the problems of comparison of states were registered the lowest among the
six performance problems searched, 3) on the ways for solutions, it was evident that students
have easily accomplished to indicate these relationships in the processing problems of states
and composition of transformations, where in the text of the problem was an indication of the
operation, while the problems of comparing states students showed the greatest difficulties to
indicate ways of solution, that indicates a superficial reading, or whose interpretation was
based on textual evidence and the linear aspect of the statement of the texts. The results were
analyzed according to the theoretical reference on reading and interpretation of texts, as well
as the conceptual theory of fields, pointing to the importance of focus on the issues of the
reading of texts in the teaching of mathematics, as a way to interpret the relations of
mathematical nature in them.
KEYWORDS: Reading and interpretation, additive structure problems, Math teaching.
7
LISTA DE TABELAS
Tabela 1- Número de acertos e erros relativos aos problemas 1 e 2 dos alunos da Escola
Municipal e Particular.......................................................................................................... 54
Tabela 2. Você entendeu os problemas?.............................................................................. 56
Tabela 3. É necessário ler os problemas novamente?...........................................................57
Tabela 4. Do que entendeu, você poderia desenhar ou escrever o que os problemas estão
contando?.........................................................................................................59
Tabela 5. Explica para mim o significado do que você desenhou........................................60
Tabela 6. Você saberia me dizer qual (s) operação (s) poderia utilizar para resolver o problema
2?.....................................................................................................................................65
Tabela 7. Acertos e erros dos alunos da Escola Municipal, diante de suas escolhas das
operações para resolver o problema 2. .............................................................. 66
Tabela 8. Acertos e erros dos alunos da Escola Particular, diante de suas escolhas das
operações para resolver o problema 2. .............................................................. 67
Tabela 9. Indique a sentença matemática para depois resolver o problema.........................68
Tabela 10. Você achou o problema difícil?..........................................................................69
Tabela 11. Qual foi a sua maior dificuldade?.......................................................................70
Tabela 12. Número de acertos e erros relativos aos problemas 3 e 4 dos alunos da Escola
Municipal e Particular...........................................................................................................72
Tabela 13. Você entendeu os problemas 3 e 4?....................................................................77
Tabela 14. É necessário ler os problemas novamente?.........................................................79
Tabela 15. Do que entendeu, você poderia desenhar ou escrever o que os problemas estão
contando?.........................................................................................................81
Tabela 16. Explica o significado do que você desenhou......................................................83
Tabela 17. Você saberia me dizer qual (s) operação (s) poderia utilizar para resolver esses
problemas?.......................................................................................................89
Tabela 18. Acertos e erros dos alunos da Escola Municipal, mediante escolhas das operações
que resolveriam o problema 3 e 4....................................................90
Tabela 19. Acertos e erros dos alunos da Escola Particular, mediante escolhas das operações
que resolveriam o problema 3 e 4..................................................... 91
8
Tabela 20. Indique a sentença matemática para depois resolver o problema.......................93
Tabela 21. Você achou os problemas difíceis?.....................................................................94
Tabela 22. Qual foi a sua maior dificuldade?.......................................................................96
Tabela 23. Número de acertos e erros relativos aos problemas 1, 5 e 6 dos alunos da Escola
Municipal e Particular.......................................................................................100
Tabela 24. Você entendeu os problemas 1, 5 e 6?..............................................................110
Tabela 25. É necessário ler os problemas novamente?.......................................................112
Tabela 26. É necessário ler os problemas novamente?.......................................................114
Tabela 27. Explica para mim o significado do que você desenhou....................................120
Tabela 28. Você saberia me dizer qual (s) operação (s) poderia utilizar para resolver esses
problemas? ....................................................................................................124
Tabela 29. Acertos e erros dos alunos da Escola Municipal, mediante escolhas das operações
que resolveriam o problema 3 e 4................................................... 124
Tabela 30. Acertos e erros dos alunos da Escola Particular, mediante escolhas das operações
que resolveriam o problema 3 e 4....................................................125
Tabela 31. Indique a sentença matemática para depois resolver os problemas..................126
Tabela 32. Você achou o problema difícil?........................................................................129
Tabela 33. Qual foi a sua maior dificuldade?.....................................................................131
Tabela 34. Número de acertos e erros relativos aos seis problemas dos alunos da Escola
Municipal e Particular.............................. .....................................................134
Tabela 35. Você entendeu os problemas?...........................................................................136
Tabela 36. É necessário ler os problemas novamente?.......................................................137
Tabela 37. Do que entendeu, você poderia desenhar ou escrever o que os problemas estão
contando?.......................................................................................................138
Tabela 38. Explica para mim o significado do que você desenhou....................................139
Tabela 39. Você saberia me dizer qual (s) operação (s) poderia utilizar para resolver esses
problemas?.....................................................................................................140
Tabela 40. Indique a sentença matemática para depois resolver o problema.....................142
Tabela 41. Você achou o problema difícil?........................................................................143
Tabela 42. Qual foi a sua maior dificuldade?.....................................................................144
9
LISTA DE ANEXOS
Anexo 1 – Roteiro de entrevista.
Anexo 2 - Problemas utilizados na Pesquisa.
10
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1
CAPÍTULO I
O processo de leitura e interpretação ............................................................................ 7
1.1 Tipos de textos ........................................................................................................ 14
1.2 Objetivos da leitura ................................................................................................. 16
1.3 Os problemas como textos matemáticos e seu uso no ensino ................................. 19
1.3.1. Natureza e aspectos envolvidos na leitura e interpretação dos textos de
problemas matemáticos ..................................................................................... 22
CAPÍTULO II
A Teoria dos Campos Conceituais ................................................................................ 31
2.1 As seis relações de base do campo conceitual das estruturas aditivas .................... 38
CAPÍTULO III
Objetivos e Metodologia da Pesquisa ........................................................................... 45
3.1 Objetivo Geral ......................................................................................................... 46
3.2 Objetivos Específicos .............................................................................................. 46
3.3 Metodologia ............................................................................................................ 47
CAPÍTULO IV
Descrição dos Resultados da Pesquisa .......................................................................... 53
4.1 Problema 2: Transformação de estados .................................................................. 53
4.2 Problemas 3 e 4: comparação de estados ................................................................ 71
4.3 Problemas 1, 5 e 6: composição de duas transformações ....................................... 101
4.4 Visão Geral dos Resultados .................................................................................... 140
CAPÍTULO V
Discussão dos Resultados da Pesquisa .......................................................................... 151
Considerações Finais ..................................................................................................... 162
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 176
ANEXOS ...................................................................................................................... 182
11
INTRODUÇÃO
Sabemos da importância do ensino da Matemática, para nosso conhecimento e para as
relações que podemos estabelecer com nosso cotidiano. Temos a matemática presente em
quase todas as atividades do nosso dia-a-dia. Porém, verificamos que o ensino desse conteúdo
tem apresentado algumas dificuldades.
Carnoy e Marshall (2003), em pesquisas sobre o desempenho acadêmico com alunos
de 3ª série, em matemática, na América Latina (dados qualitativos do Brasil, Chile e Cuba)
mostram que as salas de aulas cubanas são mais “eficientes” que as chilenas e brasileiras, com
relação ao tempo de transições e interrupções
1
, apesar das condições físicas variarem pouco
entre os países.
As escolas brasileiras são caracterizadas por um alto grau de liberdade para os alunos,
enquanto, nas escolas chilenas, as aulas são centradas na professora e nas escolas cubanas
pouquíssimas alunos se dirigem à professora.
Essa pesquisa aponta que no Brasil as aulas de matemática alcançaram uma média de
2,17: no Chile a média foi de 3,2 e em Cuba a média foi de 3,82, permitindo observar que os
1
Transições e interrupções referem-se aos intervalos que ocorrem devido à mudança de atividade, à
repreensão a um aluno ou a interrupções externas.
12
resultados entre o Chile e Cuba não atingiram diferenças tão significativas, enquanto o Brasil
já apresentou um índice menor em proficiência matemática.
A constatação a respeito do baixo desempenho dos alunos em Matemática não é uma
realidade vivenciada somente na América Latina. Nessa direção, Passos (2000) mostra que em
1990, o National Assessment of Education Progress (NAEP) – órgão americano responsável
pela avaliação nacional - constatou uma grande porcentagem de estudantes americanos com
nível de proficiência em Matemática abaixo do esperado em relação às suas idades.
No Brasil temos visto resultados de avaliações que mostram o baixo desempenho dos
alunos em Matemática. Os resultados divulgados pela avaliação do SAEB
2
em 1995
mostraram que “70% dos alunos das séries finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio
não sabiam resolver problemas matemáticos e somente a metade era capaz de formar juízo
próprio sobre o que lia” (Passos 2000, p.44).
Já dos resultados do SAEB 2003, Araújo (2004) diz que o aprendizado em Matemática
na educação básica está abaixo do que seria aceitável. Verificamos os alunos da 4ª série
atingindo uma média nacional de 177 pontos, quando o padrão mínimo seria uma média de
200 pontos. Em todo o Brasil, pouco menos de 30% dos estudantes atingiram a média mínima.
Na análise da avaliação do SAEB 2003, verificou-se que no estágio muito crítico estão
11,5% dos estudantes da 4ª série; são alunos que obtiveram nota abaixo de 125 pontos.No
estágio crítico encontram-se 40,1% do conjunto dos estudantes nas escolas brasileiras. Esses
alunos resolvem problemas do cotidiano, que envolvem somente pequenas quantias de
2
SAEB – Sistema Nacional de Avaliação do Ensino Básico é uma avaliação em larga escala, aplicada
em amostras de alunos da 4ª e da 8ª séries do Ensino Fundamental e da 3ª série do Ensino Médio,
representativas do País e de todas as unidades da Federação, iniciada em 1991 e realizada a cada
dois anos.
13
dinheiro. No estágio intermediário estão os estudantes que obtiveram escore entre 175 e 250
pontos.
Ainda nesta mesma avaliação, no que diz respeito à leitura, a média de desempenho foi
de 169,4 pontos, o que indica uma melhora em relação a 2001; entretanto a competência de ler
e interpretar textos vêm se revelando insuficiente na educação básica do País.
Conforme os estágios de avaliação, encontramos 18,7% dos estudantes brasileiros no
estágio muito crítico. Suas habilidades de leitura estão muito aquém do mínimo satisfatório.
No estágio crítico estão 36,7% dos alunos, que desenvolveram habilidades de leitura mais
apropriadas para a 2ª série. Sua competência de leitura é muito básica, não são leitores de
textos mais longos. Portanto encontramos cerca de 55% dos alunos brasileiros situados nos
estágios muito crítico e crítico, matriculados na 4ª série do ensino fundamental.
A interpretação pedagógica das informações produzidas indica aos professores a
necessidade de dedicar mais tempo à leitura em sala de aula. Para a geração de leitores
competentes é preciso que todos leiam mais e adquiram a plena compreensão de escritos
diversos. Uma boa escola é aquela em que seus docentes utilizam cotidianamente os livros
didáticos e incentivam os estudantes a ler outros textos. “Para a reversão da qualidade de
leitura no Brasil, faz-se fundamental criar o hábito e gosto, desde a mais tenra idade” (Araújo
2004, p.1).
Diante dessas constatações e da minha experiência como docente da escola pública e
privada, venho observando há algum tempo a dificuldade que nossos alunos apresentam com
relação à leitura e interpretação do texto de problemas de estruturas aditivas ao resolverem tais
problemas. É muito comum diante das dificuldades na interpretação das relações do texto,
14
com a escolha adequada das operações que possam resolver esses problemas, os alunos
perguntarem: se a conta é “de mais ou de menos”.
Dessa maneira procuramos saber se as dificuldades apresentadas pelos alunos têm
relação com a compreensão dos textos dos problemas; com o domínio do vocabulário que os
textos apresentam, com a interpretação das relações e as transformações apresentadas pelos
textos dos problemas matemáticos.
Pozo (1998) afirma que para a compreensão de um problema matemático é necessário
que o aluno que quer resolver esta tarefa, traduza as palavras ou o formato da apresentação do
problema para símbolos e representações matemáticas. Ou seja:
Compreender ou traduzir um problema matemático consiste em transformar
a informação que consta nesse problema em termos matemáticos com os
quais o aluno possa lidar. Portanto, compreender um problema não significa
somente que o aluno possa compreender e compreenda a linguagem e as
expressões através das quais a sua proposição é expressa ou que seja capaz
de reconhecer os conceitos matemáticos aos que se faz referência (Pozo
1998, p. 53).
Sabemos das características próprias que a linguagem matemática apresenta; mas
mesmo assim queremos acreditar que é possível haver uma maior integração entre a
linguagem matemática e língua materna para que haja um melhor entendimento dos termos
que representam significados diferentes nas duas linguagens.
Nesse sentido Granell (1998, p. 29), diz que:
Os problemas matemáticos têm características muito diferentes dos
“dilemas” reais. Um dos problemas mais importantes que o ensino de
matemática tem de enfrentar reside na enorme dificuldade que, para alunos e
alunas, representa o domínio da linguagem matemática. A explicação mais
15
generalizada é que isso se deve ao fato de que tradicionalmente o ensino da
matemática teve um caráter mais baseado na aplicação de regras que na
compreensão do significado.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1997, p.32) ao colocar-se o
foco na resolução de problemas, o que se defende é uma proposta que poderia ser resumida
nos seguintes princípios:
• o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o
problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratégia para resolvê-las;
• o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma
quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se
o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a
estruturar a situação que lhe é apresentada;
• aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu
para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas,
segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da
Matemática;
• o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói
um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um
conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio
de uma série de retificações e generalizações;
• a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se podem apreender
conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
16
Diante dessas diretrizes, sobre as peculiaridades do ensino da matemática, propomo-
nos nesta pesquisa, a realizar uma investigação sobre a leitura, a interpretação e a resolução de
problemas buscando identificar as relações matemáticas contidas nos mesmos. Para
realizarmos a pesquisa, nos preocupamos em descrever e analisar o desempenho e as formas
de solução de problemas de estruturas aditivas de alunos de uma escola pública municipal e
uma escola particular da 4ª série do ensino fundamental.
Para tanto o trabalho foi organizado em capítulos, conforme descrito a seguir.
No primeiro capítulo apresentamos uma visão geral da leitura num contexto da
lingüística e também numa visão da leitura dos problemas como textos matemáticos.
No segundo capítulo abordamos a teoria dos campos conceituais de Gerard Vergnaud,
que é uma teoria psicológica sobre a cognição e a elaboração de conceitos. Não é uma teoria
específica da Matemática, embora inicialmente tenha sido elaborada para explicar o processo
de conceitualização progressiva das estruturas aditivas, das estruturas multiplicativas, das
relações número-espaço e da álgebra.
No terceiro capítulo apresentamos os objetivos e a metodologia por nós utilizada para o
desenvolvimento da pesquisa.
Apresentamos no quarto capítulo os resultados da pesquisa, mostrando os dados em
tabelas e comentários a respeito do que pareceu mais relevante.
Finalmente no quinto capítulo apresentamos a análise dos dados, onde procuramos
relacionar os objetivos com os resultados da pesquisa, seguido das considerações finais.
17
CAPÍTULO I
O PROCESSO DE LEITURA E INTERPRETAÇÃO: O TEXTO DOS PROBLEMAS
DE MATEMÁTICA
Segundo Naspolini, (1996, p.25) “Ler é o processo de construir significado a partir do
texto”. A leitura possui dois componentes importantes que são o “significado” e a
“significação”. Significado define “aquilo que é representado por um texto; é o que o autor
quis dizer mediante o uso de uma seqüência específica de signos; é o que os signos
representam”. “Significação”, por outro lado, “designa uma relação entre aquele significado e
uma pessoa, ou uma concepção, ou uma situação, ou qualquer outra coisa imaginável”
(Hirsch, 1967, p. 8).
18
O processo de leitura é o mesmo para todas as línguas escritas. O que difere é a
maneira como cada leitor faz sua interpretação. Cabe notar que a leitura que não surge de uma
necessidade para chegar a um propósito não é propriamente leitura. “Quando lemos porque
outra pessoa nos manda ler, como acontece freqüentemente na escola, estamos apenas
exercendo atividades mecânicas que pouco têm a ver com significado e sentido” (Kleiman,
1999, p.35). Sendo assim para que o leitor tenha um melhor entendimento do que lê, deverá
apresentar um interesse e ter uma certa flexibilidade diante do que lê, para uma melhor
compreensão do texto. Goodmann (1987, p.14), a esse respeito, diz:
... Ainda que precise haver flexibilidade na leitura, o processo tem
características essenciais que não podem variar. Deve começar com
um texto com alguma forma gráfica; o texto deve ser produzido como
linguagem, e o processo deve terminar com a construção de
significado. Sem significado não há leitura, e os leitores não podem
obter significado sem utilizar o processo.
Nessa mesma direção podemos acrescentar o pensamento de Paulo Freire (1987, p.11 e
12), afirmando que “a leitura do mundo precede a leitura da palavra. A compreensão do texto
a ser alcançada por sua leitura crítica implica a percepção das relações entre o texto e o
contexto”.
Uma leitura será adequada desde que haja uma interação entre o leitor e o autor. Para
que isso ocorra necessitará de um certo conhecimento dos elementos textuais por parte do
leitor, uma cultura social, um conhecimento prévio, um controle lingüístico, as atitudes e os
esquemas conceituais. Nessa direção, Goodmann (1987, p.15) diz que: “toda leitura é
interpretação, e o que o leitor é capaz de compreender e de aprender através da leitura depende
fortemente daquilo que o leitor conhece e acredita a priori, ou seja, antes da leitura”.
19
Para Colomer (2001, p. 127)... “ler é um ato interpretativo, o qual consiste em saber
guiar uma série de raciocínios para a construção de uma interpretação da mensagem escrita, a
partir da informação proporcionada pelo texto e dos conhecimentos do leitor”.
Para descrever os aspectos envolvidos no processo de leitura, Colomer (2001. p. 128 e
129) apresenta um esquema formulado por Irwin (em obra de 1986), no qual descreve os
conhecimentos e processos envolvidos no ato da leitura.
O leitor
Estruturas Processos
Cognitivas Afetivas Microprocessos Macroprocessos
Processos
de integração
Sobre Sobre Processos Processos
a língua o mundo de elaboração metacognitivos
(Colomer, 2001, p. 129)
As estruturas referem-se às características do leitor e os processos às atividades
cognitivas realizadas na leitura. Tais estruturas e processos envolvidos na leitura são descritos
por Irwin (apud Colomer, 2001) e são resumidos a seguir.
As estruturas são de natureza cognitiva e afetiva. As estruturas cognitivas referem-se aos
conhecimentos sobre a língua (fonológicos, sintáticos, semânticos, pragmáticos) e aos
conhecimentos sobre o mundo, organizados em forma de esquemas mentais; as afetivas
incluem a atitude do leitor diante da leitura e seus interesses concretos diante de um texto. Sua
auto-imagem como leitor, sua capacidade de arriscar-se ou seu medo do fracasso, etc. são
aspectos envolvidos em qualquer leitura.
Os processos envolvem:
- microprocessos referentes à compreensão da informação contida em uma frase e inclui o
reconhecimento das palavras, a leitura agrupada por sintagmas e microsseleção da informação
a ser retida;
20
- processos de integração que se destinam a enlaçar as frases ou as proposições e incluem a
utilização dos referenciais e dos conectores, assim como as inferências baseadas no texto e nos
conhecimentos do leitor sem afastar-se do texto;
- macroprocessos orientados para a compreensão global do texto, para as relações entre as
idéias que o transformam em um todo coerente. Incluem a identificação das idéias principais, o
resumo e a utilização da estrutura textual;
- processos de elaboração que levam o leitor para além do texto, pelas inferências e pelos
raciocínios não previstos pelo autor. Aqui são situadas as previsões, a construção de imagens
mentais, a resposta afetiva, a integração da informação com os conhecimentos do leitor e o
raciocínio crítico;
- processos metacognitivos que controlam a compreensão obtida e permitem o ajuste ao texto
e à situação de leitura. Incluem a identificação da perda de compreensão e sua reparação.
Para que esses processos tragam bons resultados durante a leitura, é importante que os
professores estabeleçam com os alunos a comparação e a distinção entre os conhecimentos
próprios e a informação do texto. Assim Colomer (2001, p.130) propõe as seguintes rotinas de
intervenção:
1. Estimular a explicação de conhecimentos pertinentes.
2. Ajudar a organizá-los agrupando-os por subtemas, perguntas suscitadas,
etc.
3. Levar cada subtema proposto à leitura do texto, constatando se
obtiveram mais informação ou resposta.
Quando estamos diante de um texto, temos apenas o escrito e a nossa própria leitura,
não temos a participação do autor para esclarecer os possíveis desentendimentos do mesmo.
Por isso, conforme Naspolini (1996, p.28),
Quando alguém lê algo, inicia aplicando um determinado esquema,
alterando-o ou confirmando-o, ou ainda, tornando-o mais claro e exato.
Assim, duas pessoas que estão lendo o mesmo texto podem entender
mensagens diferentes, porque seus esquemas cognitivos são diferentes, ou
21
seja, as capacidades já internalizadas e o conhecimento de mundo de cada
uma são específicos.
Para tanto é importante que, em cada situação o leitor possa mobilizar seus esquemas
cognitivos, de maneira a estabelecer ligações com o que já se possui de conhecimento,
buscando novas informações para que venha a criar formas de entendimento na leitura,
fazendo com que a leitura torne-se interessante e com significado. E esse significado pode
estar relacionado com a intenção do autor ou com os significados do texto. O significado diz
respeito à consciência, e não a palavra: “uma seqüência de palavras nada significa em
particular até que alguém ou queira dizer algo com ela ou entenda algo a partir dela. Não
existe uma terra mágica de significados fora da consciência humana” (Hirsch, 1967, p. 4).
Podemos dizer então que a interpretação considerada válida é aquela definida pela “melhor
leitura”. Nesse sentido Stout (1982, p. 7) diz:
O que importa é que uma leitura nos diga algo interessante sobre o texto que
se está examinando. [...] Julgarmos verdadeira uma leitura dependerá da
qualidade do conhecimento, do poder de persuasão e de nossa própria
habilidade de avaliação. Julgarmos interessante uma leitura muitas vezes
dependerá da medida em que partilhamos, ou possamos ser persuadidos a
partilhar, dos interesses e propósitos do intérprete.
O processo de leitura emprega uma série de estratégias, entre elas temos a seleção que
é um indicativo que leva o leitor a um maior e melhor entendimento do texto. Se o leitor
procura a compreensão de todo o texto, muitas vezes o aparelho perceptivo fica
sobrecarregado de informações desnecessárias e assim o entendimento pode não ocorrer
satisfatoriamente. Nessa direção Goodmann (1987, p.17) chama a atenção para o fato de que,
22
“o leitor pode eleger somente os índices mais produtivos, em função de estratégias baseadas
em esquemas que desenvolve pelas características do texto e significado”.
Em função da sua vivência, o leitor poderá criar estratégias de antecipação, ou seja,
tentar imaginar as possíveis situações que ocorrerão durante a leitura, e assim dar o sentido
exato do texto ou por vezes se afastar do seu verdadeiro sentido. Isso só é possível diante do
seu conhecimento conceitual e lingüístico conforme os esquemas que o leitor já possua.
Fazendo parte também das estratégias de leitura temos a inferência, que é a
possibilidade que o leitor tem de tirar conclusões antecipadas da leitura, é muito útil para
identificar as idéias implícitas ou explícitas que podem constar no texto. O leitor, utilizando
desse recurso, poderá identificar as preferências do autor, antecipar algum fato que possa
constar na seqüência do texto, ou mesmo identificar o que o texto queria dizer em caso de
erros de imprensa. Sendo assim a inferência é um bom recurso para melhorar o entendimento
da leitura.
O leitor também poderá criar hipóteses sobre o texto durante a leitura. Essas hipóteses
se relacionam com os objetivos estabelecidos pelo leitor para confirmar suas expectativas a
respeito do mesmo. Para Kleiman (1999, p.36), “as hipóteses do leitor fazem com que certos
aspectos do processamento, essenciais à compreensão, se tornem possíveis, tais como o
reconhecimento global e instantâneo de palavras e frases relacionadas ao tópico” [...].
A leitura é um processo cíclico que se inicia com um olhar, uma percepção, uma
compreensão gramatical e termina com o significado. Para que o leitor atinja esse significado
é necessário procurar durante a leitura argumentos que possam auxiliá-lo na melhor
compreensão do texto, utilizando informações preliminares que venham esclarecer as
possíveis dúvidas que ocorram quando não se atinge o significado do texto. Devemos ter um
23
olhar atento no texto para que não fiquemos somente direcionados para a conclusão do
mesmo, pois assim poderemos acrescentar novas informações e dar mais sentido à leitura.
Conforme Goodmann (1987, p. 20):
No decorrer da leitura de um texto, e inclusive logo após a leitura, o leitor
está continuamente reavaliando o significado e reconstruindo-o, na medida
em que obtém novas percepções. A leitura é, pois, um processo dinâmico
muito ativo. Os leitores utilizam todos os seus esquemas conceituais quando
tratam de compreender.
O significado de um texto escrito envolve a “compreensão de frases e sentenças, de
argumentos, de provas formais e informais, de objetivos, de intenções, muitas vezes de ações e
de motivações, isto é, abrangem muitas das possíveis dimensões do ato de compreender”
(Kleiman, 1999, p.10).
Compreender um texto ou um livro demanda muitas questões; ou seja, o leitor poderá
fazer perguntas enquanto lê. O leitor só compreenderá verdadeiramente o que leu se conseguir
responder aquelas perguntas elaboradas durante a leitura. Para isso o leitor faz previsões,
tentando direcionar melhor suas questões. Somente quando o sentido dessa previsão é
alcançado, é que podemos dizer que houve uma compreensão da leitura. Nessa direção Smith
(1999, p.112) diz que:
Existem muitos tipos diferentes de texto e finalidades muito diferentes na
leitura. Um dos aspectos da leitura que todos têm em comum é que perguntas
são feitas sobre o texto. A compreensão ocorre quando são encontradas as
respostas para essas perguntas. A habilidade de fazer perguntas relevantes e
de saber onde encontrar as respostas no texto depende do conhecimento, do
tipo de material envolvido, e da finalidade específica da leitura. Nada disto
24
pode ser ensinado explicitamente, mas é desenvolvido com a prática da
leitura.
É importante destacar que os professores precisam estimular os alunos para essas
práticas da leitura, ensinando-os a utilizar a biblioteca da escola, levando livros, revistas ou
jornais para a sala de aula, proporcionando por meio dessas leituras discussões entre os alunos,
fazendo da discussão um meio para melhor fixar a compreensão do que foi lido.
Do que foi colocado até aqui, depreende-se que não podemos entender a leitura, como
aponta Colomer (2001), apenas como um processo centrado em habilidades de decodificação,
mas como uma habilidade interpretativa que se desenvolve ao longo da escolaridade e mesmo
além. No entanto, sabemos também que a decodificação é a primeira etapa da leitura do texto
escrito, pois sem os conhecimentos fonológicos, sintáticos e semânticos sobre a língua não é
possível ler.
1.1 TIPOS DE TEXTOS
Solé (1998) considera que a leitura na escola não deve se limitar a um ou dois tipos de
textos. Alguns textos são mais adequados que outros para determinados propósitos de leitura –
assim como para determinadas finalidades de escrita – e que as estratégias que utilizamos para
ler se diversificam e adaptam em função do texto que queremos abordar.
Os tipos de textos também são chamados de “superestruturas”, como descreve Van
Dijk (apud Solé 1983, p. 142):
25
Denominaremos superestruturas as estruturas globais que caracterizam o
tipo de texto. Portanto, uma estrutura narrativa é uma superestrutura,
independentemente do conteúdo (isto é, da macroestrutura) da narração,
ainda que vejamos que as superestruturas impõem certas limitações ao
conteúdo do texto.
Estes tipos de texto ou superestruturas funcionam como esquemas de interpretação
para o leitor. Na medida em que o leitor inicia a leitura começará fazendo inferências para
melhor compreendê-lo.
Adam (1985, p. 85), baseando-se nos trabalhos de Bronckart e Van Dijk, propõe a
seguinte classificação de textos:
1. Narrativo. Texto que pressupõe um desenvolvimento cronológico e
que aspira explicar alguns acontecimentos em uma determinada
ordem. Alguns textos narrativos seguem uma organização: estado
inicial/ complicação/ação/resolução/estado final, como parece ser o
caso também dos textos de problemas matemáticos. Outros
introduzem uma estrutura dialogal dentro da estrutura narrativa.
Exemplos: conto, lenda, romance...
2. Descritivo. Sua intenção é descrever um objeto ou fenômeno,
mediante comparações e outras técnicas. Adam ressalta que este tipo
de texto é freqüente tanto na literatura quando nos dicionários, os
guias turísticos, os inventários etc. Também é freqüente nos livros de
texto.
3. Expositivo. Relacionado à análise e síntese de representações de
representações conceituais, o texto expositivo explica determinados
fenômenos ou proporciona informações sobre estes. Os livros de texto
e os manuais utilizam-nos profusamente.
26
4. Instrutivo-indutivo. Adam agrupa nesta categoria os textos cuja
pretensão é a de induzir à ação do leitor: palavras de ordem, instruções
de montagem ou de uso etc.
Adam (1985) ainda acrescenta os textos que tratam de previsões (baseados nas
profecias: boletins meteorológicos, horóscopos...), os conversacionais (ou dialogais) e o tipo
semiótico (que agrupa a canção, a poesia, a prosa poética, o slogan, a oração religiosa, o
provérbio, o grafitti, textos que jogam com a brevidade, o ritmo e a íntima relação entre o
conteúdo e sua expressão).
Cooper (1990) considera que as superestruturas se distinguem em dois tipos básicos de
texto: os narrativos e os expositivos. Os textos expositivos não apresentam apenas uma
organização, sendo classificados como: descritivo; agrupador; causal; esclarecedor e
comparativo.
Existem diferentes tipos de textos e, para que sua compreensão seja facilitada,
necessita-se o contato com essa diversidade a fim de que o aprendiz tenha uma visão ampliada
das formas como esses textos se apresentam.
1.2 OBJETIVOS DA LEITURA
Cada leitor terá um objetivo ao ler um texto e, para tanto, poderá fazê-lo por prazer,
por necessidade, por indicação de outrem ou por escolha própria. Neste sentido Solé (1980, p.
93) afirma que “estes objetivos ou finalidades não são apresentados em ordem hierárquica:
todos devem ser considerados nas situações de ensino”. Conforme a autora, podemos
relacionar alguns dos objetivos, que poderemos buscar em uma leitura:
27
• Ler para obter uma informação precisa
É a leitura que realizamos quando pretendemos localizar algum dado que nos
interessa, como por exemplo: a de um número telefônico em uma lista.
• Ler para seguir instruções
A leitura é um meio que deve nos permitir fazer algo concreto: ler instruções de
um jogo, as regras de uso de um determinado aparelho, etc.
• Ler para obter uma informação de caráter geral
Esta é a leitura que fazemos quando queremos “saber de que trata” um texto,
“saber o que acontece”, ver se interessa continuar lendo...Quando lemos para obter
uma informação geral, não somos pressionados por uma busca concreta, nem
precisamos saber detalhadamente o que diz o texto, é suficiente ter uma impressão com
as idéias mais gerais.
• Ler para aprender
Quando lemos para aprender, as estratégias responsáveis por uma leitura eficaz
e controlada atualizam-se de forma integrada e consciente, permitindo a elaboração de
significados que caracterizam a aprendizagem.
• Ler para revisar um escrito próprio
Este é um tipo de leitura muito habitual em determinados grupos – aqueles que
utilizam a escrita como instrumento de seu trabalho - embora seja muito restrito fora
28
deles. É uma leitura crítica, útil, que nos ajuda a aprender a escrever e em que os
componentes metacompreesivos tornam-se muito evidentes.
• Ler por prazer
Neste caso, o leitor poderá reler um parágrafo ou mesmo um livro inteiro tantas
vezes quantas forem necessárias; poderá saltear capítulos e voltar a eles mais tarde. O que
importa, quando se trata deste objetivo, é a experiência emocional desencadeada pela leitura.
• Ler para comunicar um texto a um auditório
Neste tipo de leitura, os aspectos formais são muito importantes; por isso, um
leitor experiente nunca lerá em voz alta um texto para o qual não disponha de uma
compreensão, ou seja, um texto que não tiver lido previamente, ou para o qual não dispuser de
conhecimentos suficientes.
• Ler para praticar a leitura em voz alta
Na escola este objetivo preside com grande freqüência as atividades de ensino
de leitura, às vezes mesmo com exclusividade. Pretende-se que os alunos leiam com clareza,
rapidez, fluência e correção, pronunciando adequadamente, respeitando as normas de
pontuação e com a entoação requerida.
• Ler para verificar o que se compreendeu
Ainda que quando enfrentamos um texto tenhamos algum propósito, este pode
implicar a compreensão total ou parcial do texto lido. Um uso escolar da leitura, muito
freqüente, consiste em que alunos e alunas devam dar conta da sua compreensão,
respondendo a perguntas sobre o texto ou recapitulando-o através de qualquer outra técnica.
Parece-nos que os textos de resolução de problemas em Matemática cumprem esta
29
finalidade, tendo em vista que nesses problemas, apresentamos, no geral, uma situação para
a qual pede-se uma solução. Por sua vez a solução ou resposta depende da compreensão de
alguma teoria, princípio ou propriedade que possa ser aplicada àquela situação.
Portanto, diante da exposição desses objetivos, podemos concluir que a
leitura terá uma finalidade específica para cada caso e, mais uma vez, lembrar que cabe a
todos os professores incentivar os alunos para que eles possam adquirir autonomia em
cada leitura escolhida.
No caso dos problemas matemáticos, cabe analisar qual é a natureza do texto que os
apresenta para tornar mais claro o seu uso no ensino, identificando as dificuldades que eles
apresentam para os alunos em diferentes níveis.
1.3 OS PROBLEMAS COMO TEXTOS MATEMÁTICOS E SEU USO NO ENSINO
Quando pensamos nos textos matemáticos nos ocorre imediatamente a lembrança da
sala de aula. Lembrança essa que nos liga aos momentos em que temos que desenvolver, com
nossos alunos, atividades que demandam leituras que envolvam situações em que o aluno
determinaria uma estratégia de resolução. Comumente essa dificuldade acontece com os textos
dos problemas matemáticos que necessitam da escolha de uma operação para respondê-lo.
Presenciamos freqüentemente os alunos questionando: “qual é a operação que deveria usar
para responder esse problema?”
Vemos no histórico traçado por Onuchic (1999) que a resolução de problemas faz parte
do ensino da Matemática desde a Antiguidade, pois são encontrados registros a respeito na
história antiga egípcia, chinesa e grega.
30
As experiências mais significativas sobre o assunto, de 1896 e 1904, podem ser
creditadas a Dewey, nas quais as crianças estudavam através de projetos que reproduziam as
situações socioeconômicas (estudo/resolução de problemas de interesse da comunidade).
Já para o nível superior, resolução de problemas é assunto só tratado a partir de 1945,
após o lançamento do livro de Polya “How to solve it”.
No Brasil, como em outros países, nas décadas de 60/70, o movimento da matemática
moderna trouxe uma nova forma de ensino, cuja característica estava centrada no aspecto
lógico da matemática, dando muita importância à linguagem matemática propriamente dita,
conforme está relatado nos Parâmetros Curriculares Nacionais:
O ensino passou a ter preocupações excessivas com abstrações internas à
própria Matemática mais voltadas à teoria do que à prática. A linguagem
da teoria dos conjuntos, por exemplo, foi introduzida com tal ênfase que a
aprendizagem de símbolos e de uma terminologia interminável
comprometia o ensino do cálculo, da geometria e das medidas.
No Brasil, a Matemática Moderna foi veiculada principalmente pelos
livros didáticos e teve grande influência. O movimento da Matemática
Moderna teve seu refluxo a partir da constatação da inadequação de alguns
de seus princípios e das distorções ocorridas na sua implantação (Brasil,
1997, p. 20).
A partir da constatação das inadequações desse tipo de ensino, em 1980 o NCTM
(National Council of Teachers of Mathematics) nos Estados Unidos, apresentou
recomendações na Agenda para Ação, onde foi destacada a importância do ensino da
matemática por meio de resolução de problemas.
Esse documento da NCTM teve uma influência nas reformas do ensino da matemática
que ocorreram mundialmente. As propostas apresentadas a partir de 1980/1995, por diversos
31
países têm pontos de convergência, conforme são citadas nos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN):
• direcionamento do ensino fundamental para a aquisição de competências
básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de
estudos posteriores;
• importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do
seu conhecimento;
• ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir
dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas;
• importância de se trabalhar com um amplo espectro de conteúdos,
incluindo-se, já no ensino fundamental, elementos de estatística,
probabilidade e combinatória, para atender à demanda social que indica a
necessidade de abordar esses assuntos;
• necessidade de levar os alunos a compreenderem a importância do uso da
tecnologia e a acompanharem sua permanente renovação (Brasil, 1997,
p.21).
Embora no Brasil, essas idéias também tenham sido discutidas; ainda assim, a nosso
ver, é comum encontrar escolas ou professores dando ênfase à teoria dos conjuntos, nas séries
iniciais e um grande volume de álgebra nas séries finais.
Os PCN (Brasil, 1997) mostram que, na avaliação feita em 1995 para identificar os
percentuais de acerto por série/grau e por processo cognitivo em Matemática, com alunos de
quarta e oitava séries, as maiores dificuldades apresentadas por esses alunos estavam na
aplicação de conceitos matemáticos e resolução de problemas.
No geral, presenciamos com certa freqüência uma grande dificuldade na interpretação
dos problemas matemáticos, pois normalmente os alunos fazem a leitura e apresentam muitos
32
embaraços para estabelecer relações pertinentes entre o que leram e as estratégias para
resolver os problemas.
1.3.1 Natureza e aspectos envolvidos na leitura e interpretação dos textos de problemas
matemáticos
“Compreender um texto é uma tarefa difícil, que envolve interpretação,
decodificação, análise, seleção, antecipação e autocorreção”.
(Kátia C. S. Smole e Maria Ignez Diniz, 2001, p.70)
Ler para interpretar um texto matemático demanda:
• Identificar preliminarmente o texto;
• Identificar as relações matemáticas envolvidas no texto;
• Identificar as operações que representam as possíveis formas de solução;
• Identificar a seqüência adequada de execução das operações;
• Executar adequadamente as operações.
O texto matemático é um texto narrativo que possui características especiais, isso
porque demanda uma compreensão do leitor. Esta ocorrerá diante da mobilização dos seus
esquemas cognitivos, para que, desse modo, possa interpretar as relações que são apresentadas
no texto do problema. Segundo Vergnaud (1993), esses esquemas fazem parte do repertório
que o aluno dispõe no momento do seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias para o
tratamento necessário daquela situação que se apresenta. Assim, poderá estabelecer as relações
33
necessárias para tratar o problema matemático que necessariamente o levará a novas escolhas
das formas de solução para melhor resolvê-lo.
Nesse sentido Smole e Diniz (2001, p. 71), afirmam que:
[...] para interpretar um texto matemático, o leitor precisa familiarizar-se
com a linguagem e os símbolos próprios desse componente curricular,
encontrando sentido no que lê, compreendendo o significado das formas
escritas que são inerentes ao texto matemático, percebendo como ele se
articula e expressa conhecimentos.
Formar um leitor não é uma tarefa simples e envolve uma série de processos
cognitivos, e por que não dizer afetivos e sociais, que permitirão uma
aprendizagem mais ou menos significativa, dependendo de quanto o
professor valoriza as leituras nas aulas de matemática.
Como vimos, Colomer (2001) afirma que o leitor apresenta estruturas de natureza
cognitivas e afetivas. As estruturas cognitivas referem-se ao terreno dos conhecimentos sobre
a língua e os conhecimentos sobre o mundo. Desse modo o leitor só entenderá um texto a
partir do conhecimento adequado dos seus termos e das relações postas no mesmo. Em outras
palavras, a leitura de problemas depende de como os conhecimentos matemáticos envolvidos
no problema foram assimilados pelos alunos, traduzidos na sua capacidade de inferir sobre o
mesmo, na sua facilidade ou dificuldade de entendimento. Por sua vez as estruturas afetivas
estão relacionadas com as afinidades que o leitor estabelece com o texto. Nesse caso vemos
muitas barreiras para a leitura, oriundas dos insucessos que os alunos experimentaram em
situações anteriores, condicionando a sua vontade de arriscar sobre o texto sem medo de
fracassar.
Tais estruturas são mobilizadas para a leitura por meio de vários processos. Para tanto
o leitor deverá compreender os microprocessos, que é sua capacidade que o leitor possui de
reconhecer as palavras e selecionar as informações importantes para sua interpretação, sem se
afastar da proposta do texto. A partir da compreensão dos microprocessos, o leitor terá uma
visão dos macroprocessos, o que o levará a entender o todo textual identificando suas
34
principais idéias fazendo com que as relações entre as idéias se transformem em um todo
coerente.
Colomer (2001), ainda cita os processos de elaboração que podem levar o leitor a fazer
previsões baseadas nos seus conhecimentos e no seu raciocínio lógico. Finalmente há os
processos metacognitivos que são capazes de controlar a compreensão e até mesmo de reparar
sua ausência.
Verificamos muitas vezes que certos termos da linguagem cotidiana, quando utilizados
nos textos matemáticos assumem significados diferentes para o entendimento da criança,
sendo provavelmente um fator que contribui para distanciar o entendimento dos textos
matemáticos.
Podemos verificar esse fato quando encontramos, por exemplo, a frase “tenho 5 anos a
mais”: na visão da criança, e pela própria sugestão da palavra “a mais”, leva-a a pensar que
deverá somar, uma vez que esta palavra sugere acréscimo, enquanto na realidade para se
descobrir a idade devemos subtrair.
Nessa direção podemos ver no exemplo dado por Vergnaud (1985, pág. 8):
“Robert acaba de ganhar 4 bolas de gude, tem agora 9, quantas tinha antes
de jogar?”
Certas crianças de 7 ou 8 anos não vêem porque se fará uma subtração
quando Robert acaba de ganhar bolas de gude (porque ganhar é associado a
idéia de adição); é necessário também entender em seu conjunto a relação
entre os três termos para compreender que é necessário subtrair.
Em outras palavras, conforme Vergnaud (1985) o aluno deverá entender que existe um
estado final conhecido, que sofrerá uma transformação (subtrair 4) para se chegar ao estado
inicial.
Outra dificuldade comumente observada nos textos matemáticos está relacionada com
o entendimento das relações de comparação. Parece muito difícil para um aluno entender o
35
significado de uma comparação dada: a < b < c e ainda concluir que a < c; seria menos difícil
se esta mesma relação fosse dada de maneira contextualizada, onde a criança pudesse
vivenciar essa mesma relação de forma real como, por exemplo: Paulo < João < Pedro, talvez
assim concluísse que Paulo < Pedro.
Devemos pensar que para melhorar essas relações entre a compreensão da linguagem
do texto matemático e as transformações necessárias para seu desenvolvimento, é necessário
fazer das aulas de matemática um ambiente apropriado para a leitura; e essa leitura deve ser
diversificada e com opções de diferentes textos que proporcionem um maior acesso a
situações de conhecimento de termos matemáticos que levem os alunos a tornarem-se mais
autônomos na medida que um novo texto for colocado para uma avaliação.
Para uma boa compreensão dos problemas matemáticos temos que ter em mente que o
aluno deverá apresentar uma certa familiaridade com seus textos, procurando criar formas de
reconhecimento da linguagem materna de forma articulada com a linguagem matemática.
Desse modo, provavelmente ele não criará vícios como a procura de palavras-chave que
indique qual a operação adequada para resolver este ou aquele problema. Nesse sentido
Vergnaud (1985, p. 6) chama nossa atenção para o fato de que:
Os problemas são sempre apresentados com a ajuda parcial senão total da
linguagem natural, e as crianças são levadas a acompanhar o processo de
resolução no qual elas são engajadas pelas múltiplas atividades de
linguagem que concernem à extração de informações pertinentes, ao
raciocínio e à escolha das operações, à contagem, à argumentação com os
outros alunos e com o professor.
Mesmo sabendo dos cuidados que nós professores devemos ter com a leitura e com as
propostas das tarefas dos problemas matemáticos, devemos reconhecer que a matemática
36
apresenta uma linguagem específica e universal. Mas, apesar disso, temos vivenciado a
“dicotomia Matemática Escolar e Matemática do dia-a-dia, ainda resistente e persistindo em
manterem-se nos currículos escolares” (Corrêa, 2005, p.93). Nessa direção D’Ambrosio
(1993, p. 7), enfatiza:
Não encontraremos no cotidiano de todos os povos e de todas as culturas,
atividades que não envolvam alguma forma de matemática, mas não
necessariamente aquela matemática que está nos currículos escolares e que é
ensinada na sala de aula.
A matemática, muitas vezes, é responsável pela seleção - em “filtro” - impedindo que as
pessoas atinjam níveis mais avançados de estudos ou trabalhos mais bem remunerados, em
detrimento das dificuldades apresentadas nas seleções, por ela provocada.
Ernest (apud Corrêa, 2000, p. 9 – 11) afirma que, “se a imagem da Matemática é
considerada um obstáculo quase intransponível a muitas carreiras e impede a total participação
na moderna sociedade democrática, então essa imagem é um grande mal social”. Ernest ainda
chama a atenção para a questão de tornar a matemática mais humana e para que isso ocorra é
necessário voltar à atenção para a linguagem matemática e desvelar seus aspectos coercitivos.
Nessa direção, Granell (1998, p. 23) apresenta algumas características sobre a aquisição
do conhecimento matemático e, mais especificamente, sobre o domínio da linguagem formal
própria da matemática:
a) existe um pensamento matemático cotidiano cujas características são
muito diferentes tanto do conhecimento científico como do escolar;
b) A aquisição do conhecimento e da linguagem matemática formal só
ocorre graças à escolarização e à instrução intencional:
c) no processo de ensino e aprendizagem desse conhecimento formal, os
processos intuitivos próprios do pensamento cotidiano desempenham um
37
papel constitutivo essencial, assim como ocorre no processo de construção
científica.
Se forem deixados de lado, corre-se o risco de transmitir, como vem
sucedendo na escola atualmente, um conhecimento esclerosado e mecânico,
muito distanciado do verdadeiro conhecimento matemático.
Para que o conhecimento da linguagem matemática ocorra de forma satisfatória,
devemos ter a clareza de que temos que propiciar aos nossos alunos formas de entendimento
por meio da leitura, para que assim possam adquirir o domínio da linguagem presente em cada
texto. Sobre essa questão, Smole e Diniz (2001, p. 69) afirmam que:
Em qualquer área do conhecimento, a leitura deve possibilitar a
compreensão de diferentes linguagens, de modo que os alunos adquiram
uma certa autonomia no processo de aprender. Em uma situação de
aprendizagem significativa, a leitura é reflexiva e exige que o leitor se
posicione diante de novas informações, buscando, a partir da leitura, novas
compreensões.
Sendo assim, é de fundamental importância que a leitura dos textos dos problemas
matemáticos seja carregada de significados e que possa trazer formas de entendimento sem
haver a necessidade de se criar mecanismos de compreensão. Ou seja, que disponibilizemos ao
aluno várias situações em que tenha acesso a diversificados vocabulários para que desse modo
possa adquirir com a leitura a autonomia de decifrar as informações que estão inseridas nos
problemas.
Mesmo sendo uma temática que há muito vem sendo tratada no ensino da Matemática,
a resolução de problemas, até bem recentemente, foi ensinada a partir de um modelo dado pelo
professor, a partir desse modelo, os alunos passavam a resolver listas de problemas que fossem
38
semelhantes ou que pudessem ser usadas as mesmas estratégias do modelo. Ou seja, não
demandaria nenhum trabalho de raciocínio, questionamento ou avaliação, para que os alunos
conseguissem resolver esses problemas. Nessa direção Pozo (1998, p. 22), coloca que,
Certamente é desnecessário afirmar que é impossível resolver uma tarefa
sem uma compreensão prévia da mesma, porém compreender um
problema não significa somente compreender as palavras, a linguagem e
os símbolos com os quais ele é apresentado, mas também assumir a
situação desse problema e adquirir uma disposição para buscar a solução.
Compreender um problema implica dar-se conta das dificuldades e
obstáculos apresentados por uma tarefa e ter vontade de tentar superá-la.
A leitura de problemas matemáticos que, muitas vezes trazem dificuldades na sua
resolução, tem ligação com a pouca compreensão das relações proposta no problema. Segundo
Smole e Diniz, (2001, p. 71)
Há muitas maneiras de cuidarmos da leitura em aulas de matemática e de
variarmos seus objetivos. Os textos a serem lidos precisam ser adequados
aos objetivos que o professor pretende alcançar e diversificados –
problemas, textos de livros variados, textos de jornais, regras de jogos – a
fim de que a leitura seja significativa para os alunos, correspondendo a
uma finalidade que eles compreendam.
A leitura é responsável pelo entendimento de todos os conteúdos das disciplinas
escolares e também fora do contexto da escola. Porém, muitas vezes associamos as
dificuldades dos alunos, na leitura e interpretação dos textos matemáticos, com a pouca
habilidade que os mesmos apresentam na leitura da língua materna. Nessa direção Machado
(1990, p.15) considera que:
39
Mesmo no tempo em que se dizia que as pessoas iam à escola para aprender a
“ler, escrever e contar”, o ensino da Matemática e o da Língua Materna
nunca se articularam para uma ação conjunta, nunca explicitaram senão
relações triviais de interdependência. É como se as duas disciplinas, apesar
da longa convivência sob o mesmo teto – a escola –, permanecessem
estranhas uma à outra, cada uma tentando realizar sua tarefa isoladamente ou
restringindo ao mínimo as possibilidades de interações intencionais.
Em síntese, ler e interpretar é uma atividade essencial para a compreensão da realidade,
ou seja, para entender qualquer área de conhecimento. Pelo que foi exposto, ler no sentido
amplo, não pode ser entendido apenas como um processo mecânico, ou como mera
decodificação de signos. A leitura, no sentido mais amplo envolve interpretar um texto, o que
quer dizer captar o significado que um texto possui. No entanto, há um longo caminho entre a
significação que o leitor dá ao texto e o significado que o autor usou para produzi-lo. Por isso,
do ponto de vista pedagógico é preciso considerar os vários aspectos que envolvem a leitura e
a interpretação de textos.
Os aspectos básicos envolvidos na leitura são o leitor, o texto e o contexto. Para
compreender como esses aspectos se articulam é necessário segundo Colomer (2001)
compreender as estruturas que o leitor possui e os micros e macroprocessos que utiliza na
construção da significação de um texto. Dito de outra maneira, Naspolini (1996) também
destaca o processo de leitura, como mobilização de esquemas cognitivos do leitor, de tal forma
que estabelece relação entre o que já sabe e o significado do texto, usando diferentes
estratégias (seleciona, antecipa, infere, hipotetiza). Assim, o significado não está nas palavras,
mas na consciência que o leitor tem delas.
Por outro lado, a significação é sempre relativa a um texto, que como tal, pode ser de
diferentes naturezas e versa sobre diferentes tipos de conhecimento. Além disso, é preciso
considerar que as idéias de um texto podem mudar de significado, dependendo do contexto no
qual estão inseridos.
40
Em se tratando da leitura e interpretação de textos de problemas matemáticos, temos
que considerar tais elementos como essenciais. Ler um texto de matemática não é a mesma
coisa que ler um texto de literatura. Embora ambos possam se constituir em uma narrativa, ou
seja, em um relato de situações, as relações que o texto de problemas matemáticos demandam
do leitor, não são as mesmas.
Antes de tudo, para avaliar a compreensão advinda da leitura de um texto, é necessário
saber quais relações precisam ser identificadas e articuladas no contexto matemático do
problema. Nesse sentido a teoria dos campos conceituais (Vergnaud, 1990) constitui uma
contribuição fundamental em dois sentidos:
- primeiro, porque descreve a formação dos conceitos matemáticos como modelo de
um tripé, envolvendo esquemas ou invariantes construídos pelo sujeito, as situações às quais
os esquemas se aplicam e as representações ou diferentes formas de linguagem. Podemos
observar que, embora não falando especificamente de leitura, Vergnaud (1990) pretende
explicar essencialmente o processo de compreensão dos conceitos. Da mesma forma que as
autoras citadas, o leitor (com suas estruturas ou esquemas) está colocado no centro do
processo da interpretação, pois o significado de um texto dependerá das possibilidades de
assimilação do leitor. Esse processo explica porque a significação de um texto demanda
constantes re-significações, assim como um conceito demanda um processo longo de
construção;
- segundo, porque Vergnaud (1990) descreve os campos conceituais das estruturas
aditivas e multiplicativas, mapeando as relações de base em cada um desses campos e que são
fundamentais para podermos interpretar as situações apresentadas pelos textos dos problemas,
quando são dessa natureza.
No capítulo II apresentaremos com mais detalhes a abordagem de Vergnaud e a
descrição do campo conceitual das estruturas aditivas, para compreendermos melhor que
relações estão em jogo, na leitura e interpretação dos problemas analisados neste trabalho.
41
CAPÍTULO II
A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A teoria dos campos conceituais, desenvolvida por Gerard Vergnaud é uma teoria
psicológica sobre a cognição, que supõe que o núcleo do desenvolvimento cognitivo é a
conceitualização do real que permite localizar e estudar continuidades e rupturas entre
conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual (Vergnaud, 1990, p. 133).
Segundo Vergnaud (1990), essa teoria busca propiciar uma estrutura coerente e alguns
princípios básicos ao estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competências
complexas, que são as situações que envolvem trabalhar com múltiplas relações, ou seja,
operações mentais mais sofisticadas como inferir, deduzir, comparar, etc., sobretudo as que
dependem da ciência e da técnica. Por fornecer uma estrutura à aprendizagem, ela envolve a
didática, embora não seja, em si uma teoria didática. “Sua principal finalidade é propor uma
estrutura que permita compreender as filiações e rupturas entre conhecimentos, em crianças e
adolescentes, entendendo-se por conhecimentos, tanto as habilidades quanto as informações
expressas” (Vergnaud, 1990, p. 1).
Vergnaud (1982) considera que o conhecimento está organizado em campos
conceituais cujo domínio, por parte do sujeito, ocorre ao longo de um largo período de tempo,
42
através de experiência, maturidade e aprendizagem. Campo conceitual é, para ele, “um
conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas,
conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e provavelmente,
entrelaçados durante o processo de aquisição” (Vergnaud, 1982, p. 40).
A teoria dos campos conceituais não é específica da Matemática, embora inicialmente
tenha sido elaborado para “explicar o processo de conceitualização progressiva das estruturas
aditivas, das estruturas multiplicativas, das relações número-espaço e da álgebra” (Vergnaud,
1990, p.1). Vergnaud reconhece a importância da teoria de Piaget, destacando as idéias de
adaptação e equilibração como pedras angulares para a investigação em didática das Ciências
e da Matemática.
Juntamente com a teoria de Piaget, Vergnaud (1998) reconhece que sua teoria foi
desenvolvida também a partir do legado de Vigotsky. Isso se dá principalmente pela
importância atribuída à interação social, à linguagem e à simbolização no progressivo domínio
de um campo conceitual pelos alunos. Para o professor, a tarefa mais difícil é a de prover
oportunidades aos alunos para que desenvolvam seus esquemas na Zona de Desenvolvimento
Proximal (ZDP), “que é constituída pela distância que separa aquilo que um indivíduo pode
fazer sozinho, sem ajuda de alguém, e o que ele consegue fazer graças às indicações e à ajuda
que um outro indivíduo pode fornecê-lhe” (Bruner, 2002, p. 219).
Vergnaud (1996c, p. 206), acredita que a grande pedra angular colocada por Piaget foi
o conceito de esquema que ele define como “a organização invariante do comportamento para
uma classe de situações dadas”. São nos esquemas que se devem pesquisar os conhecimentos-
em-ação do sujeito, isto é, os elementos cognitivos que fazem com que a ação do sujeito seja
operatória.
43
Para Vergnaud (1990, p. 2), as próprias competências matemáticas são sustentadas por
esquemas organizadores do comportamento. Por exemplo:
• Esquema da enumeração de uma pequena coleção por uma criança de
cinco anos; por mais que varie de forma (contar bombons, pratos à
mesa, pessoas sentadas espalhadas no jardim, etc.), não deixa de
abranger uma organização invariante, essencial para o funcionamento do
esquema: coordenação dos movimentos dos olhos e gestos dos dedos e
das mãos em relação à posição dos objetos, enunciação coordenada da
série numérica, cardinalização do conjunto enumerado por destaque
total ou pela repetição da última palavra-número pronunciada: um, dois,
três, quatro, cinco, seis, sete... sete!
• O esquema de resolução de equações da forma ax + b = c atinge
rapidamente um alto grau de disponibilidade e confiabilidade entre
alunos de quarta e quinta séries, iniciantes em álgebra. A seqüência dos
registros escritos produzidos pelos alunos mostra claramente uma
organização invariante, apoiada ao mesmo tempo em hábitos adquiridos
e em teoremas do tipo:
“Mantém-se a igualdade subtraindo b dos dois lados”
“Mantém-se a igualdade dividindo por a os dois lados”
A automatização é uma das manifestações mais visíveis do caráter invariante da
organização da ação. Para uma classe de situações dadas, contudo, uma série de decisões
conscientes também pode ser objeto de uma organização invariante.
“Os algoritmos são considerados esquemas, porém para que esses algoritmos sejam
esquemas efetivos é necessário que a criança consiga estabelecer relações de apropriação a
partir de sucessivos passos que as leve ao entendimento do mesmo” (Vergnaud, 1990, p. 3).
44
“A educação, portanto deve contribuir para que o sujeito desenvolva um repertório
amplo e diversificado de esquemas, porém procurando evitar que esses esquemas se
convertam em estereótipos esclerosados” (Vergnaud, 1996c, p. 203).
Os esquemas são, em geral, eficazes, mas nem sempre efetivos. Quando a criança
utiliza um esquema ineficaz para determinada situação, a experiência a leva, seja a mudar de
esquema, seja a modificar o esquema. Vergnaud (1990, p.3) afirma, com base em Piaget, “que
os esquemas estão no centro do processo de adaptação das estruturas cognitivas: assimilação e
acomodação”.
Vergnaud (1990, p. 136) chama de ingredientes dos esquemas os seguintes elementos:
1. Metas e antecipações (um esquema se dirige sempre a uma classe de
situações nas quais o sujeito pode descobrir uma possível finalidade de sua
atividade e, eventualmente, submetas; pode também esperar certos efeitos ou
certos eventos);
2. regras de ação do tipo “se... então” que constituem a parte
verdadeiramente geradora do esquema, aquela que permite a geração e a
continuidade da seqüência de ações do sujeito; são regras de busca de
informação e controle dos resultados da ação;
3. invariantes operatórios (teoremas-em-ação) que dirigem o
reconhecimento, por parte do indivíduo, dos elementos pertinentes à
situação; são os conhecimentos contidos nos esquemas; são eles que
constituem a base, implícitas ou explícitas, que permite obter a informação
pertinente e dela inferir a meta a alcançar e as regras de ação adequadas;
4. possibilidades de inferência (ou raciocínios) que permitem “calcular”,
“aqui e agora”, as regras e antecipações a partir das informações e
invariantes operatórios de que dispõe o sujeito, ou seja, toda a atividade
implicada nos três outros ingredientes requer cálculos “aqui e
imediatamente” em situação.
45
Designam-se pelas expressões “conceito-em-ação” e “teorema-em-ação” os
conhecimentos contidos nos esquemas. Pode-se também designá-los pela expressão mais geral
“invariantes operatórios” (Vergnaud, 1990, p. 4).
Os invariantes operatórios podem dividir-se fundamentalmente em três tipos lógicos:
• Invariantes do tipo proposição: podem ser verdadeiros ou falsos; os
teoremas-em-ação são invariantes deste tipo.
Com relação aos invariantes operatórios, Vergnaud (1990) afirma que antes dos 5 anos
as crianças conseguirão atingir o todo contando cada elemento da seqüência. Porém entre os 5
e os 7 anos, as crianças conseguirão atingir o todo somando as duas quantidades desde que
essas quantidades sejam representadas por pequenos valores. O que pode ser expresso pelo
teorema em ato Card (A ∪ B) = Card (A) + Card (B).
O autor ainda afirma que um pouco mais tarde, entre os 8 e 10 anos, a criança
consegue compreender que se uma quantidade de um objeto foi multiplicado por um
determinado número o valor desse objeto também será multiplicado por esse mesmo número.
Pode-se exprimir este conhecimento por um teorema-em-ação dado por: f(nx) = nf(x) para
todo n inteiro e simples.
• Invariantes do tipo “função proposicional”: não são suscetíveis de
serem verdadeiros ou falsos, mas constituem marcos indispensáveis à
construção das proposições. Por exemplo: os conceitos de cardinal e
coleção, assim como os de estado inicial, transformação e relação
quantificada, são indispensáveis a conceitualização das estruturas
aditivas. Não são proposições.
• Invariantes do tipo “argumento”: quem fala em função proposicional e
proposição fala em argumento. Os lógicos clássicos costumavam tomar
46
seus exemplos entre os objetos materiais comuns e suas propriedades
(Vergnaud, 1990, p. 6).
Em matemática, “os argumentos podem ser materiais (o navio está à direita do farol),
personagens (Paulo é maior que Celina), números (4 + 3 = 7), relações (“maior que” é uma
relação anti-simétrica), ou mesmo proposições (“8 é divisor de 24” é a recíproca de “24 é
múltiplo de 8”)” (Vergnaud, 1990, p.7). .
Para Vergnaud (1990, p. 8), tais distinções são indispensáveis para a didática, porque a
“transformação dos conceitos-instrumentos em conceitos-objetos é um processo decisivo na
conceitualização do real. Esta transformação significa, entre outras coisas, que as funções
proposicionais podem tornar-se argumentos”.
Uma abordagem psicológica e didática da formação dos conceitos matemáticos levou
Vergnaud (1990, p. 8) a considerar um conceito como um conjunto de invariantes utilizáveis
na ação. A definição pragmática de um conceito recorre, portanto, “ao conjunto das situações
que constituem a referência de suas diversas propriedades, ao conjunto dos esquemas
utilizados pelos sujeitos nessas situações”.
Três argumentos principais levaram Vergnaud (1983, p. 393) ao conceito de campo
conceitual:
1 – um conceito não se forma dentro de um só tipo de situações;
2 – uma situação não se analisa com um só conceito;
47
3 – a construção e apropriação de todas as propriedades de um conceito ou todos os aspectos
de uma situação é um processo de muito fôlego que se estende ao longo dos anos, as vezes
uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre concepções, entre
procedimentos, entre significantes.
Vergnaud (1994), destaca que é preciso dar toda atenção aos aspectos conceituais dos
esquemas e à análise conceitual das situações nas quais os aprendizes desenvolvem seus
esquemas na escola ou na vida real. Seria interessante se a escola fizesse, com os alunos,
ligações com o que é ensinado relacionando à vida cotidiana desses alunos.
Diante disso Vergnaud (1990, p. 8) define conceito como um tripé formado pelos
seguintes elementos:
C = (S. I. R.)
S – conjunto das situações que dão sentido ao conceito (referência);
I – invariantes operatórios - é um conjunto de invariantes (objetos,
propriedades e relações) sobre os quais repousa a operacionalidade do
conceito, ou o conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito;
R – significante - é um conjunto de representações simbólicas (linguagem
natural, gráficos e diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas
para indicar e representar esses invariantes e, conseqüentemente, representar
as situações e os procedimentos para lidar com elas.
O conceito de situação não tem aqui o sentido de situação didática, mas o de tarefa. A
idéia é que toda situação complexa pode ser analisada como uma combinação de tarefas, cuja
natureza e dificuldades específicas devem ser bem conhecidas.
48
Então, no que se refere ao campo conceitual das estruturas aditivas é, há um tempo,
O conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou
subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar tais
situações como tarefas matemáticas. São, assim, componentes das estruturas
aditivas os conceitos de cardinal, de medida, de transformação temporal por
aumento ou diminuição (perder ou gastar certa quantia), de relação de
comparação quantificada (ter bombons, ou três anos mais que), de
composição binária de medidas (quanto no total?), de composição de
transformações e relações de operação unitária, de inversão, de número
natural e número relativo, de abscissa, de deslocamento orientado e
quantificado... (Vergnaud, 1990, p. 9 -10).
Desse modo toda situação, pode ser, em princípio conduzida a uma combinação de
relações de base com dados conhecidos e desconhecidos, que correspondem ao número de
questões possíveis.
Vergnaud (1981), descreve seis tipos de relações aditivas em que temos uma adição, ou
uma subtração, ou a combinação entre elas, a partir das quais é possível engendrar todos os
problemas de adição e subtração de aritmética comum.
2.1 AS SEIS RELAÇÕES DE BASE DO CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS
ADITIVAS.
1. A relação parte-parte-todo
Essa relação não permite engendrar mais que duas categorias de problemas:
I. Pesquisar o todo, conhecendo as duas partes;
49
Exemplo:
Nádia tem 7 bolinhas de ferro e 4 de aço. Quantas bolinhas ela tem?
II. Pesquisar uma parte, conhecendo o todo e a outra parte.
Exemplo:
Karen convidou 9 crianças para seu aniversário. Cinco são meninos.
Quantos são as meninas?
(Vergnaud, 1997, p. 12)
2. A relação de transformação de estados.
Corresponde à transformação de um estado inicial em um estado final. Essa
transformação pode consistir em um aumento (ganho, brinde, produção, etc.) ou em uma
diminuição (perda, roubo, consumação, etc.). Pode-se procurar o resultado final
conhecendo o estado inicial e a transformação; a transformação conhecendo o estado
inicial e o estado final, ou o estado inicial conhecendo a transformação e o estado final.
Sabendo que a transformação pode ser positiva (aumento) ou negativa (diminuição),
Vergnaud (1981) chegou a seis classes de problemas:
I. Pedro tinha 6 bolinhas. Ele jogou uma partida com Vitor e ganhou 5. quantas ele
tem agora?
Busca-se o estado final quando a transformação é positiva.
50
II. Hugo tinha 9 bolinhas. Ele jogou uma partida com Estevão e perdeu 3. quantas ele
tem agora?
Busca-se o estado final quando a transformação é negativa.
III. Léo tinha 7 bolinhas. Depois de jogar uma partida com Tiago, ele tem agora 11
bolinhas. O que aconteceu durante a partida? Léo ganhou ou perdeu bolinhas?
Quantas?
Busca da transformação positiva.
IV. Olívio tinha 16 bolinhas. Depois de jogar uma partida com Cláudio, ele tem agora
12. O que aconteceu durante a partida? Olívio ganhou ou perdeu bolinhas?
Quantas?
Busca da transformação negativa.
V. Carlos ganhou 3 bolinhas num jogo com José. Ele tem agora 10 bolinhas. Quantas
bolinhas ele tinha antes de jogar?
Busca-se o estado inicial quando a transformação é positiva.
VI. Jorge perdeu 5 bolinhas num jogo com Silas. Ele tem agora 3. quantas bolinhas ele
tinha antes de jogar?
Busca-se o estado inicial quando a transformação é negativa.
(Vergnaud, 1997, p.11)
51
3. A relação de comparação de estados (comparação quantificada de um referido a
um referente).
Referido designa a quantidade comparada; referente a quantidade com
relação a qual se efetua a comparação.
Ocorre a comparação entre um referente e um referido por uma relação de
ordem quantificada e que dá lugar a seis categorias de problemas:
I. Ana tem três bonecas a mais que Carla. Carla tem quatro. Quantas bonecas têm
Ana?
Busca-se o referido. O referido é maior que o referente.
II. Mary tem 3 bonecas a menos que Sara. Sara tem 6. Quantas bonecas tem Mary?
Busca-se o referido. O referido é menor que o referente.
III. Suzi tem 6 anos e Karen tem 2. quantos anos tem Karen a menos que Suzi?
Busca-se a relação. O referido é menor que o referente.
IV. Roberta tem 12 anos e Júlia tem 8. Quantos anos tem Roberta a mais que Júlia?
Busca-se a relação. O referido é maior que o referente.
52
V. Paulo tem 4 anos a menos que sua irmã Elisa. Ele tem 5 anos. Qual a idade de sua
irmã?
Busca-se o referente. O referente é maior que o referido.
VI. Pedro tem 5 anos a mais que sua irmã Flora. Ele tem 10 anos. qual a idade de
Flora?
Busca do referente. O referente é menor que o referido.
(Vergnaud, 1997, p. 12)
4. A relação de composição de duas transformações.
Quando duas transformações se sucedem (dois aumentos, duas diminuições,
um aumento e uma diminuição, ou o inverso) outros problemas se apresentam já que duas
transformações são compostas entre elas e que nos obriga a buscar seja a transformação
composta seja uma das transformações elementares sem conhecer algum dos estados
inicial, intermediário ou final.
Exemplos:
I. Elton jogou duas partidas de bolinhas de gude. Na primeira, ganhou 5 e na segunda
perdeu 7. pensando sobre os resultados das duas partidas, ele ganhou ou perdeu?
Quantas bolinhas?
Busca-se a transformação composta.
53
II. Helen pagou 26 reais num presente de aniversário para seu irmão. Em seguida, ela
recebeu uma gorjeta por ter feito um favor à sua vizinha. Ao recontar seu dinheiro
percebeu que tinha 15 reais a menos do que tinha antes de comprar o presente.
Quanto ela recebeu de sua vizinha?
Busca-se a segunda transformação.
III. Hector jogou partidas de bolinhas de gude de manhã e antes do meio dia. À tarde,
dele perdeu 6 bolinhas. No final do dia, ele percebeu que havia ganhado 13
bolinhas no total. Ele perdeu ou ganhou figurinhas de manhã? Quantas?
Busca-se a primeira transformação.
(Vergnaud, 1997, p. 14)
5. A relação de composição de duas relações
Da mesma maneira, pode-se compor ou decompor relações de comparação
entre três indivíduos ou três objetos ou eventualmente relações de débito e crédito.
Exemplos:
I. João tem três anos a mais que Daniel, e Daniel um ano a menos que sua prima
Beth. Quantos anos João é mais velho que Beth?
II. Uma fábrica deve 5600 reais à sua distribuidora. Mas a distribuidora deve também
266 reais à fábrica por uma mercadoria defeituosa entregue. Qual é a nova
situação?
54
(Vergnaud, 1997, p. 15)
6. A transformação de uma relação.
Pode-se enfim encontrar situações dentro das quais uma transformação
(aumento ou diminuição) opera sobre uma relação.
Exemplos:
I. André deve 32 reais a Guilherme. Guilherme comprou para André um ingresso no
valor de 25 reais. Qual a nova situação entre André e Guilherme?
II. Mauro verificou que em sua conta bancária havia um crédito de 433 reais. Ele tinha
feito um depósito de 640 reais. Qual era a nova situação de sua conta antes de fazer
o depósito?
(Vergnaud, 1997, p. 15).
Considerando os seis tipos de relações de base das estruturas aditivas, constatamos
que as escolas normalmente utilizam problemas relativos às quatro primeiras relações, por
estarem relacionados aos conteúdos desenvolvidos com os alunos das quatro séries iniciais
do ensino fundamental.
Nesse sentido os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1997, p. 71) indicam que:
Embora todas estas situações façam parte do campo aditivo, elas colocam em
evidência níveis diferentes de complexidade. Note-se que no início da
aprendizagem escolar os alunos ainda não dispõem de conhecimentos e
competências para resolver todas elas, necessitando de uma ampla experiência
55
com situações-problema que os leve a desenvolver raciocínios mais complexos
por meio de tentativas, explorações e reflexões.
Diante dessa possível dificuldade e também pelo fato de que a nossa pesquisa foi
realizada com alunos de quarta série do ensino fundamental, escolhemos trabalhar com
problemas do 2º, 3º e 4º tipos de relações de base do campo conceitual das estruturas aditivas.
CAPÍTULO III
OBJETIVOS E METODOLOGIA DA PESQUISA
Conforme apontado anteriormente, e diante das observações durante os anos de
atuação, como professora da rede pública e particular, temos constatado as dificuldades
apresentadas pelos alunos do ensino fundamental, com relação à leitura e à interpretação de
problemas matemáticos no geral e, em particular aos relativos às estruturas aditivas. É
freqüente na fala dos professores, a idéia de que os alunos não lêem e não sabem interpretar os
problemas. Normalmente, temos constatado em nossa prática que, mesmo quando os alunos
são capazes de ler problemas, é comum não conseguirem interpretar as relações expressas no
texto, de forma a chegar a uma resolução matematicamente adequada dos mesmos.
Diante dessa constatação, o que motivou a presente pesquisa foi a necessidade de
entender como os alunos lêem e interpretam os problemas, mais especificamente como
56
interpretam as idéias subjacentes ao texto dos problemas, nos quais é preciso identificar as
relações matemáticas envolvidas.
Assim, nessa pesquisa nos concentramos em analisar a relação que há entre a leitura, a
interpretação e a resolução de problemas matemáticos de estruturas aditivas com alunos de 4ª
série do ensino fundamental de uma escola pública municipal e uma escola privada da cidade
de Campo Grande – MS.
3.1 OBJETIVO GERAL
Descrever e analisar o desempenho e as formas de solução de problemas de estruturas
aditivas de alunos de uma escola pública municipal e uma escola particular da 4ª série do
ensino fundamental, e suas relações com a leitura e interpretação dos mesmos, para identificar
as relações matemáticas contidas nos problemas.
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Para melhor compreender os aspectos envolvidos na nossa investigação, e orientar
o trabalho a ser realizado, traçamos especificamente os seguintes objetivos:
• Identificar se ao realizar a leitura, o aluno decodifica as informações contidas no texto
do problema.
57
• Identificar por meio da explanação verbal, desenho, sentença matemática, como o
aluno interpreta o problema.
• Verificar quais as formas de solução apresentadas pelos alunos (operações escolhidas e
a seqüência das mesmas).
• Verificar o desempenho dos alunos, por meio dos acertos e erros nos problemas.
• Verificar se há diferença no desempenho dos problemas na escola municipal e na
escola particular.
3.3 METODOLOGIA
Desenvolvemos esta pesquisa com enfoque qualitativo, uma vez que procuramos
descrever os procedimentos da leitura e interpretação dos problemas, para verificar suas
relações com as formas de soluções adotadas pelos alunos durante o processo da investigação.
Para Mazzotti (2002) a escolha por esse enfoque se deve ao fato de que a principal
característica da pesquisa qualitativa é a busca pela compreensão e a interpretação dos fatos
das crenças, percepções, sentimentos e valores que não se conhece de imediato, mas que é
preciso ser desvelado.
É também de enfoque quantitativo quando apresentamos os dados por meio de tabelas,
em que mostramos os resultados da pesquisa com um tratamento estatístico simples,
relacionando as freqüências e os percentuais dos dados levantados. Assim estamos
combinando o enfoque qualitativo e quantitativo para melhor relacioná-los e descrevê-los.
58
Nesse sentido Oliveira (2005, p. 44), afirma que “fazer pesquisa não é acumular dados e
quantificá-los, mas analisar causas e efeitos, contextualizando-os no tempo e no espaço, dentro
de uma concepção sistêmica”.
Para a realização da coleta de dados encontramos algumas dificuldades para a escolha
das escolas. Algumas escolas foram consultadas a respeito da sua participação na pesquisa,
mas não concordaram, alegando que poderíamos interromper o processo ensino-aprendizagem
dos alunos, uma vez que a aplicação da prova estava prevista para o 4º bimestre do ano de
2006. Para tentarmos resolver esse impasse, procuramos duas escolas cujas coordenadoras
eram mais acessíveis e sintonizadas com as questões da pesquisa e que possibilitaram a
participação das escolas na mesma.
Uma vez definidas as escolas, fizemos a escolha aleatória de 40 alunos da 4ª série do
ensino fundamental. Essa escolha foi realizada mediante a lista de presença dos alunos de cada
turma, em que fazíamos o sorteio dos números da chamada e assim escolhemos 20 da escola
pública municipal e 20 da escola particular.
Na escola municipal existiam três 4ª
s
séries. Da turma A com 26 alunos, entrevistamos
oito alunos; da turma B, com 34 alunos, entrevistamos apenas dois alunos
3
e na turma C, com
28 alunos, entrevistamos dez alunos completando assim a amostra nessa escola.
Na escola particular existiam seis 4ª
s
séries. Da 4ª série A, com 17 alunos,
entrevistamos quatro alunos; da 4ª série B, com 18 alunos, entrevistamos três alunos; da 4ª
3
Inicialmente haviam sido escolhidos 8 alunos; dada a resistência da professora para liberá-los para a
realização da prova, sorteamos mais alunos da turma A e C, para completarmos os 20 alunos
previstos.
59
série C, com 19 alunos, entrevistamos três alunos; da 4ª série D, com 22 alunos, entrevistamos
quatro alunos; da 4ª série E, com 16 alunos, entrevistamos três alunos e na 4ª série F, com 17
alunos, entrevistamos três alunos.
Após a escolha dos alunos, encaminhamos para os pais um pedido de autorização para
que as crianças participassem da pesquisa. A grande maioria nos deu a permissão, porém
encontramos alguns pais que não concordaram que seus filhos participassem do estudo. Diante
disso ainda voltamos a fazer novas escolhas de alunos, por sorteio aleatório, para completar a
quantidade de alunos prevista.
A escolha de uma escola municipal e uma escola particular teve como finalidade
observar se os processos de leitura, interpretação e formas de resolução de problemas de
estruturas aditivas, apresentam diferenças entre os alunos das mesmas, como há alguns estudos
mostrando que os alunos de escola particular têm, no geral, maiores oportunidades de acesso a
atividades de leitura e de comunicação escrita.
A escolha dos problemas foi baseada em duas razões: em primeiro lugar priorizamos
escolher problemas de estrutura aditiva, levando em conta que fazem parte das atividades
matemáticas desenvolvidas pelos professores, nos anos inicias do ensino fundamental e, no
geral, encontrados nos livros didáticos; em segundo lugar, a escolha dos problemas se baseou
nas seis relações de base do campo conceitual das estruturas aditivas, proposta por Vergnaud
(1981).
Dentre os problemas apresentados nas seis relações de base, escolhemos um problema
(P
2
) que representa a relação do tipo II, que é a transformação de estados; dois problemas (P
3
,
60
P
4
) que representam a relação do tipo III, que é a comparação de estados; e três problemas (P
1
,
P
5
, P
6
) que representam a relação do tipo IV, que trata da composição de duas transformações.
Os seis problemas utilizados na pesquisa foram escolhidos segundo os critérios
descritos, sendo retirados dos livros didáticos de Giovanni, (1994, p. 52 – 53) e Iezzi, (1992, p.
57).
1) Rogério tinha 218 figurinhas. Jogando com Pedro, perdeu 74. A seguir jogando com
Francisco, Rogério ganhou 87 figurinhas. Com quantas figurinhas ele ficou após jogar
com Pedro e Francisco?
2) Durante o ano passado, usei cadernos de 100 folhas para Matemática, Ciências e
Estudos Sociais. Do caderno de Matemática, usei 84 folhas, do de Ciências usei 76
folhas e do de Estudos Sociais, 65 folhas. Quantas folhas sobraram, no total?
3) Eu tenho 165 cm de altura, meu irmão é 17 cm mais alto que eu. Se eu crescer 15 cm
nos próximos anos, quem será mais alto eu ou meu irmão? Quantos centímetros a mais?
4) Ademir é 5 anos mais velho do que Carina e é 6 anos mais novo do que Josemar.
Josemar tem 18 anos. Qual é a idade de Carina?
05) Um ônibus chegou a um ponto com 45 passageiros. Desceram 13 passageiros e subiram
8. Depois de algum tempo de viagem parou novamente e nessa parada desceram 3
passageiros e subiram 12. Com quantos passageiros o ônibus chegou ao final da
viagem?
06) Para fazer uma ligação elétrica, Juca comprou, inicialmente, 72 metros de fio. Como
essa quantidade foi insuficiente, ele comprou mais 38 metros do mesmo fio. Sabendo-
se que ele usou 95 metros de fio para fazer a ligação, quantos metros de fio restaram?
Esses problemas foram escolhidos quando decidimos que a pesquisa seria realizada
com crianças de 4ª série do ensino fundamental. Dessa forma consideramos que os problemas
do tipo I que visa à busca do todo conhecendo as partes, ou das partes conhecendo-se o todo,
seria uma relação mais apropriada para turmas das séries menores. Por outro lado, os
61
problemas da relação V, relativos à composição de duas relações, envolvendo situações de
débito e crédito e os problemas da relação VI, relativos à transformação de uma relação, que
opera sobre um aumento ou diminuição são relações que provavelmente trariam maiores
dificuldades de compreensão, uma vez que tais relações envolvem os números relativos, que
normalmente não são trabalhados com alunos dessa série. Sendo assim decidimos escolher
problemas relativos ao II, III e IV tipos de relações que estariam mais próximos daqueles
trabalhados em atividades das séries iniciais (1ª à 4ª série) do ensino fundamental.
Na aplicação da prova, à medida que entregávamos a folha com os problemas, íamos
fazendo as perguntas, seguindo o roteiro da entrevista (anexo1). O roteiro foi elaborado,
focalizando dois aspectos: o da leitura e o da interpretação e o da execução.
Para verificar a leitura pedíamos aos alunos que lessem os problemas, relessem, se
fosse necessário e indagávamos se existiam palavras desconhecidas no texto dos problemas.
Com isso pretendíamos verificar se os alunos decodificavam o enunciado, condição básica
para a compreensão matemática dos problemas.
Para verificar a interpretação dos problemas, solicitamos dos alunos informações que
pudessem nos dar alguns indicadores (relato oral, desenho, sentença matemática e as formas
de solução) do processo de interpretação ou do tipo de compreensão realizada.Dessa forma,
após a leitura, solicitávamos aos alunos que dissessem o que tinham entendido, desenhassem
ou escrevessem a história dos problemas e escolhessem as formas de soluções que melhor os
resolvessem, apontando a sentença matemática correspondente.
62
Por último, pedíamos que resolvessem os problemas por escrito e que nos dessem a
resposta final do mesmo. Após a resolução perguntávamos se consideravam os problemas
fáceis ou difíceis.
As entrevistas foram desenvolvidas em uma sala disponibilizada pelas escolas, em que
cada aluno teve à sua disposição um espaço apropriado para resolver os problemas e responder
a todas as perguntas relacionadas na entrevista. Desse modo a cada pergunta feita fazíamos as
anotações das respostas em um caderno, para posterior análise.
Com o objetivo de organizar os dados, estabelecemos uma numeração de 1 a 20 para os
alunos da escola municipal e de 21 a 40 para a escola particular. Para identificarmos os alunos
usamos códigos do tipo: A
1
, A
2
, A
3
, A
4
,... A
40
, evitando usar os nomes próprios dos mesmos.
Para a tabulação dos dados deste estudo, empregamos a análise de conteúdo, visando à
observação detalhada das respostas dadas às questões que constam no (anexo 1). Utilizamos
ainda o recurso da estatística descritiva simples, quando apresentamos os dados em tabelas
com suas freqüências e seus respectivos percentuais. Nas tabelas os problemas foram
apresentados segundo os tipos de classes a que pertenciam, ou seja, o problema 2 representou
a categoria de problemas do tipo II; os problemas 3 e 4 foram agrupados na categoria de
problemas do tipo III e finalmente os problemas 1, 5 e 6 foram agrupados na categoria de
problemas do tipo IV.
63
CAPÍTULO IV
DESCRIÇÃO DOS RESULTADOS DA PESQUISA
Descreveremos os resultados, para cada problema em particular, bem como os
resultados gerais da prova aplicada. Paralelamente a cada resultado exposto nas tabelas,
descreveremos também os resultados das perguntas feitas aos alunos durante a aplicação da
prova. Posteriormente será feita a análise geral dos resultados apresentados.
4.1 Problema 2: Transformação de estados.
O problema 2 é referente ao segundo tipo das relações de base do campo
conceitual das estruturas aditivas ( Vergnaud ,1981).
Problema 2
64
Durante o ano passado, usei cadernos de 100 folhas para Matemática, Ciências e Estudos
Sociais. Do caderno de Matemática, usei 84 folhas, do de Ciências usei 76 folhas e do de
Estudos Sociais, 65 folhas. Quantas folhas sobraram, no total?
Neste problema consideramos que os alunos poderiam utilizar, no conjunto dos
números naturais, as seguintes formas de soluções aritméticas:
• 1ª forma (100 – 84) + (100 – 76) + (100 – 65) = 75
• 2ª forma (100 + 100+ 100) – (84 + 76 + 65) = 75
• 3ª forma (100 x 3) - (84 + 76 + 65) = 75
Dessas três formas previstas analisaremos qual delas foi a que os alunos escolheram
como mais adequada para resolver o problema 2.
A tabela 1 a seguir descreve a freqüência de acertos e erros dos alunos pesquisados, para
avaliarmos o desempenho, conforme a leitura e interpretação no problema 2.
Tabela 1. Número de acertos e erros relativos ao problema 2 dos alunos da Escola Municipal e
Particular.
Escolas
Problema 2
a e
Escola Municipal 7 13
Escola Particular 13 7
Total 20 20
% 50 50
a = acertos e = erros
No problema 2 encontramos exatamente metade dos alunos que acertaram e metade
que erraram o referido problema. No entanto essa distribuição não foi a mesma por escola. Na
65
escola municipal verificamos que sete alunos acertaram e treze erraram o problema, enquanto
na escola particular ocorreu exatamente o contrário, encontramos treze alunos que acertaram o
problema 2 e sete alunos que erraram o mesmo, indicando que esse problema foi mais fácil
para os alunos da escola particular.
No problema 2 os alunos (9 da escola municipal e 10 da escola particular) indicaram que a
interpretação do problema era fácil, os demais alunos alegaram que o problema era mais ou
menos difícil, referindo-se à quantidade de números apresentados ou à escolha da operação
adequada. Alguns alunos demonstram isso nas suas falas:
• Tive que ler umas três vezes para saber qual era a conta, esse problema tem muitos
números (A
14
).
• Não entendi porque as folhas passaram de 100, achei meio complicado (A
31
).
• Tive que ler umas três vezes porque fiz confusão com os números, não sabia que conta
fazer (A
20
).
• Tive que ler de novo para ver qual conta fazer para saber o total (A
27
).
Os alunos acima citados sentiram dificuldade na interpretação do problema 2; fizeram
algumas tentativas de solução, mas não conseguiram acertar a resposta do mesmo.
Nesse problema encontramos 24 alunos (60%) que utilizaram a primeira forma de
solução já descrita. Iniciaram subtraindo do número 100 o número 84, depois o número 76 e
finalmente o número 65, em seguida somaram os restos para descobrirem quantas folhas
sobraram. Apenas A
39
utilizou outra forma de solução. Iniciou somando todas as folhas gastas
nas três disciplinas, multiplicou o número cem por três (para representar os três cadernos) e
66
finalmente subtraiu de trezentos, duzentos e quinze (embora tenha errado na soma que deveria
ser duzentos e vinte e cinco). Desse modo apenas um aluno utilizou a terceira forma de
solução. O problema 2 mostrou que a interpretação não foi tão clara, visto que encontramos,
na escola municipal, treze alunos que erraram esse problema. Na escola particular, apesar de
apresentar um número maior de acertos que a escola municipal, ainda assim encontramos sete
alunos que erraram o referido problema.
Ao realizarmos a entrevista, iniciamos sugerindo aos alunos que poderiam escolher
entre a leitura silenciosa ou em voz alta, para que dessa forma pudéssemos identificar as
possíveis dificuldades no ato de ler.
Verificamos que ao realizar a leitura, todos os alunos pesquisados preferiram a leitura
silenciosa, tanto na escola municipal quanto na escola particular.
Quando perguntado quanto à interpretação do problema 2,45% dos alunos afirmaram
que “sim” e 55% disseram que compreenderam “mais ou menos” o problema, como podemos
observar na tabela 2 a seguir.
Tabela 2. Você entendeu o problema?
Escolas
Problema 2
s mm
Escola Municipal 8 12
Escola Particular 10 10
Total 18 22
% 45 55
s = sim mm = mais ou menos
No problema 2, pouco mais da metade dos alunos consideraram que a dificuldade na
interpretação era do nível “mais ou menos”. Os alunos da escola municipal apresentaram um
67
percentual maior de dúvidas. Verificamos que quatro alunos (A
2
, A
3
, A
5
e A
10
) disseram que o
problema era fácil, e mesmo fazendo essa afirmação erraram o desenvolvimento da solução do
mesmo. Os nove alunos (A
6
, A
7
, A
9
, A
11
, A
14
, A
16
, A
17
, A
19
, A
20
)
que alegaram entender “mais
ou menos” a interpretação do problema, foram os mesmos que erraram a solução.
Os alunos da escola particular apresentaram o mesmo percentual (50%) para o “sim” e
para “mais ou menos”. Três alunos (A
35
, A
38
e A
39
) afirmaram ter compreendido o enunciado
do problema, enquanto quatro alunos (A
25
, A
27
, A
31
, A
33
), afirmaram ter compreendido mais ou
menos o problema; no entanto todos os alunos que fizeram essas afirmações não conseguiram
chegar ao resultado satisfatório.
No problema 2, verificamos que os alunos apresentaram uma certa dificuldade na leitura e
interpretação do mesmo. Na escola municipal mais da metade dos alunos alegou ter
compreendido o problema, enquanto na escola particular metade afirmou não ter encontrado
dificuldades na sua leitura e interpretação.
Ao perguntarmos se seria necessária uma nova leitura, mais da metade dos alunos
manifestaram a vontade de reler o problema, os demais alegaram que não seria necessário,
conforme podemos ver na tabela 3 a seguir.
Tabela 3. É necessário ler o problema novamente?
Escolas
Problema 2
s n
Escola Municipal 12 8
Escola Particular 9 11
Total 21 19
% 52,5 47,5
s = sim n = não
68
Verificamos no problema 2 que uma das dificuldades encontradas pelos alunos nas
duas escolas, foi relativa à compreensão das relações do problema com as formas de solução
do mesmo, e alguns deles diziam da necessidade de ler novamente para compreender melhor o
que era solicitado, conforme mostram os argumentos de alguns alunos:
• Acho que não entendi direito (A
16
e A
32
).
• Fiquei confuso (A
1
).
• Achei meio complicado (A
6
e
A
28
).
• Quero ler de novo para tirar umas dúvidas (A
29
)
Embora tenham feito novamente a leitura, ainda houve casos de alunos que não
conseguiram encontrar a solução do problema. Ou seja, a nova leitura não garantiu uma
melhor interpretação das formas de solução do problema.
A seguir foi perguntado aos alunos se, no problema 2, existiam palavras que eles não
reconheciam. Essa solicitação foi para verificar se a interpretação do problema estaria ligada
ao desconhecimento de alguma palavra. As respostas mostraram que a dificuldade em
interpretar o problema não estava relacionada com o reconhecimento das palavras do texto do
problema, pois nesse questionamento todos os alunos afirmaram que as palavras não eram
estranhas. Uma vez que todos os alunos alegaram ser do seu conhecimento as palavras do
texto do problema, esse dado não foi colocado em tabela
4
, porém será considerado na nossa
análise.
Na continuidade do nosso trabalho, solicitamos aos alunos que desenhassem ou
escrevessem o que compreenderam sobre o problema 2. A grande maioria (82,5%) dos alunos
4
Na questão 4 ( Da leitura feita, existem palavras que você não entendeu?) do roteiro da entrevista,
todos os alunos afirmaram não ter nenhuma palavra desconhecida nos textos de todos os problemas
da pesquisa, razão pela qual não se colocou os dados em tabela.
69
pesquisados preferiu representar sua interpretação por meio da escrita
5
, indicando as formas de
solução do problema, conforme a tabela 4 a seguir.
Tabela 4. Do que entendeu, você poderia desenhar ou escrever o que o problema 2 está
contando?
Escolas
Problema 2
d e
Escola Municipal 7 13
Escola Particular - 20
Total 7 33
% 17,5 82,5
d = desenha e = escreve
Os resultados do problema 2, apontaram a preferência pela representação escrita.
Somente os alunos da escola municipal tentaram demonstrar sua interpretação do enunciado
do problema por meio do desenho, sendo que 7 desses alunos, desenharam. Porém na escola
particular a totalidade dos alunos rejeitou a possibilidade de desenhar, alegando que não
gostavam de fazer a representação por desenho ou que o desenho demorava muito.
Assim, quando solicitamos, que escolhessem entre desenhar ou escrever (para os
alunos “escrever” seria a indicação das formas de solução), do que tratava o enunciado do
problema 2, verificamos que a maioria dos alunos, nas duas escolas, deu preferência à escrita.
Observando os desenhos, verificamos que esses alunos utilizaram dois tipos de
representações:
5
Os alunos entenderam que “escrever” estava relacionado com representar as formas de solução do
problema.
70
1. Representação pictórica parcial, ou seja, fazendo apenas referência a elementos ou
indicando situações que são relatadas no enunciado do problema. Encontramos nessa
classificação A
3
, A
5
, A
6
, A
7,
A
8
e A
20
.
2. Representação Pictórica indicando operação. São as representações que, de alguma
maneira indicavam que o aluno interpretou que o problema retratava uma situação que
demandava uma operação. Nessa classificação encontramos apenas um aluno.
Na seqüência das nossas perguntas solicitamos aos alunos que explicassem o
significado dos desenhos, conforme a tabela 5 a seguir.
Tabela 5. Explique o que você desenhou.
Escolas
Problema 2
rp ro
Escola Municipal 6 1
Escola Particular - -
Total 6 1
% 15 2,5
rp = representação parcial ro = representação da operação
No problema 2, dos sete alunos que usaram desenho para representar os problemas,
somente A
1
utilizou a representação pictórica indicando operação, em que apresenta o número
100 seguido das transformações que estão relacionadas no enunciado do problema, conforme
podemos ver em sua fala: Ele tinha 100 folhas, usou 84 (menos), usou 76 (menos), usou 65
(menos) eu vou tirando. Aí eu somo os resultados e descubro quantas folhas sobraram.
A
!
71
Os demais alunos (A
3
, A
5
, A
6
, A
7
, A
8
, A
20
), utilizaram uma representação parcial,
indicando algum elemento isolado presente no enunciado do problema.
A
3
repetiu o texto do problema e seu desenho mostrou apenas a indicação de um
caderno com alguém escrevendo. Na sua explicação ele apenas disse: “eu desenhei um menino
escrevendo no caderno”.
A
3
Outro caso que nos chamou a atenção foi o de A
5
que fez um desenho mostrando uma
criança apontando na direção de uma folha com algo escrito e em sua explicação ele apenas
disse que “é o menino com seu caderno”.
A
5
Observamos que A
6
desenhou apenas um caderno onde constava um escrito na capa
“100 folhas”; quando explicou o significado desse desenho ele disse: só desenhei um caderno
para representar a idéia do problema.
A
6
72
Vimos também A
7
repetir o texto do problema, mas no momento de realizar seu
desenho fez uma demonstração de um caderno aberto, sem maiores detalhes e na explicação
do desenho ele disse: “eu quis mostrar que é o caderno aberto”.
A
7
A
8
também desenhou a indicação de um caderno aberto e disse que aquele desenho
representava os cadernos de que falava no problema.
A
8
Finalmente, temos A
20
que indicou no seu desenho a imagem de uma criança próxima a
uma mesa em que mostra alguns materiais sobre ela. Em sua explicação ele disse: “estou
representando o caderno sobre a mesa”. Esse aluno considerou que era apenas um caderno e
dali retirou as folhas usadas nas três disciplinas.
A
20
73
Seguindo nosso roteiro, perguntamos sobre o significado do que haviam escrito
6
, no
problema 2. Do total de alunos, treze alunos (32,5%) da escola municipal e vinte (50%) da
escola particular que optaram apenas por escrever, repetiram o que haviam escrito, ou seja,
fizeram a leitura das formas de solução por eles indicadas.
Pudemos observar em algumas falas, as formas de interpretação que os alunos
apresentaram conforme suas indicações:
• Num caderno que foi dividido em três matérias cada uma com um número de
folhas e pergunta quantas folhas sobraram. Eu respondi que sobraram 225
folhas (A
2
).
• Eu entendi que tenho que somar 84 com 76 e 65, aí eu vou descobrir o que
sobrou. Eu acho que sobraram 225 folhas (A
3
).
• Do caderno de matemática eu gastei 84, do caderno de ciências eu gastei 76 e
do caderno de estudos sociais eu gastei 65 (A
10
).
• Eu fiz assim: somei 84 com 76 e do resultado tirei 65 e respondi que sobraram
95 (A
14
).
• Eu peguei cada caderno de 100 folhas e fui tirando as quantidades que eu
gastei, depois somei para ver quanto sobrou de folhas, sobrou 75 (A
18
).
Percebemos nos argumentos desses alunos que, em determinados momentos eles
conseguiram interpretar e indicar formas de soluções adequadas para a resolução do problema,
6
Para esses alunos “o escrever” significava indicar as formas de solução para o problema.
74
porém em outras circunstâncias apresentaram uma interpretação que os afastaram de uma
solução correta. Mas há alunos que resolveram parte do problema corretamente e não
concluíram a última etapa para solucionar o problema. Temos como exemplo desse caso A
10
;
ou ainda aqueles que fizeram todas as operações, mas não deram a resposta final, (A
32
).
Assim, verificamos que o problema 2 apresentou dificuldades na interpretação, pois
encontramos alunos que não compreenderam que o problema sugeria três cadernos de cem
folhas, uma para cada disciplina; alunos que não compreenderam que não era suficiente somar
as três quantidades de folhas gastas, para saber quantas sobraram; e finalmente alunos que não
compreenderam que subtrair de cem cada quantidade de folhas gastas nas disciplinas, também
não seria suficiente e que ainda seria necessário somar essas sobras para concluir a solução do
referido problema.
A seguir serão descritas as operações identificadas pelos alunos como formas de
solução para o problema 2 , conforme mostra a tabela 6, a seguir.
Tabela 6. Você saberia me dizer qual (s) operação (s) poderia utilizar para resolver o problema
2?
Escolas
Problema 2
as s ams
Escola Municipal 11 7 -
Escola Particular 15 11 1
Total 27 18 1
75
% 67,5 45 2,5
as = adição e subtração s = subtração ams = adição multiplicação e subtração
As possíveis soluções para o problema 2 seriam adição e subtração ou multiplicação e
adição e subtração, conforme descrito anteriormente:
• 1ª forma (100 – 84) + (100 – 76) + (100 – 65) = 75
• 2ª forma (100 + 100+ 100) – (84 + 76 + 65) = 75
• 3ª forma (100 x 3) - (84 + 76 + 65) = 75
Verificamos no problema 2, nas duas escolas, que 67,5% dos alunos escolheram a
subtração e adição. Os demais escolheram ou adição ou subtração. A partir desses dados
criamos uma tabela em que apresentamos a relação entre as escolhas das operações e os
acertos e erros desses alunos, conforme a tabela 7 a seguir.
Tabela 7 - Acertos e erros dos alunos da Escola Municipal, conforme suas escolhas das operações
para resolver o problema 2.
Tipos de operações
Problema 2
acertos erros
Adição e subtração 7 4
Adição 0 3
Subtração 0 6
Total
7 13
76
Na escola municipal dos onze alunos (27,5%) que indicaram subtração e adição, sete
deles (A
1
, A
4
, A
8
, A
12
, A
13
, A
15
, A
18
), acertaram a solução do problema. Enquanto os outros
quatro alunos (A
6
, A
7
, A
14
, A
17
), erraram o problema por fazer indicações indevidas das
operações. Três alunos (A
2,
A
3
e A
9
) escolheram a adição e todos erraram, pois entenderam que
deveriam somar as três quantidades de folhas gastas nas três disciplinas; seis alunos (A
5
, A
10
,
A
11
, A
16
, A
19
e A
20
)
que escolheram a subtração, também erraram o problema, quando
entenderam que deveriam subtrair todas as quantidades de folhas gastas utilizando apenas um
número cem.
Tabela 8 - Acertos e erros dos alunos da Escola Particular, conforme suas escolhas das operações
para resolver o problema 2.
Tipos de operações
Problema 2
Acertos Erros
Adição e subtração 12 4
Adição 0 1
Subtração 2 1
Total
14 6
Na escola particular verificamos que dezesseis alunos (40%) afirmaram que as
operações que resolveriam o problema 2 seriam a subtração e adição, desses alunos quatro
77
erraram (A
25
, A
31,
A
33
, e A
39
) a solução do problema no momento de efetuar as operações ou
nas indicações das mesmas. Dos três alunos (A
30
, A
37
e A
38
) que escolheram a subtração, dois
deles (A
30
e A
37
)
acertaram, e A
38
não conseguiu efetuar corretamente a solução do problema.
Finalmente temos um aluno (A
35
)
que fez opção somente pela adição indicando 84 + 76 + 65 =
225, e também errou o problema.
Ao perguntarmos se seriam capazes de escrever a sentença matemática, queríamos
avaliar suas formas de interpretação relativa a cada problema, conforme mostra a tabela 9 a
seguir.
Tabela 9. Indique a sentença matemática para depois resolver o problema.
Escolas
Problema 2
ns en
Escola Municipal 19 1
Escola Particular 20 -
Total 39 1
% 97,5 2,5
ns = não sabe en = expressão numérica
Nessa pergunta sobre o problema 2, verificamos que a grande maioria dos alunos, nas
duas escolas, alegou não saber indicar o problema em forma de sentença matemática. Na
escola municipal apenas A
1
indicou a sentença matemática, e na escola particular, os alunos,
na sua totalidade desconheciam essa forma de indicação.
A
1
78
Em resumo, constatamos que para verificar a interpretação dos alunos no problema 2, a
representação em forma de expressão numérica não é uma prática comum nas escolas
pesquisadas. Na escola municipal ainda há um vestígio desse entendimento, porém na escola
particular essa prática é totalmente desconhecida, diante da totalidade dos alunos que alegaram
não saber utilizar essa forma de representação.
Quando perguntado a respeito da dificuldade do problema, verificamos que mais da
metade dos alunos afirmou ter encontrado alguma dificuldade na interpretação no problema 2,
conforme mostramos na tabela 10 a seguir.
Tabela 10. Você achou o problema difícil?
Escolas
Problema 2
f mm d
Escola Municipal 9 8 3
Escola Particular 10 10 -
Total 19 18 3
% 47,5 45 7,5
f = fácil mm = mais ou menos d = difícil
No problema 2 percebemos que pouco mais da metade dos alunos (52,5%),
consideraram que o problema era “mais ou menos difícil” ou “difícil”. Na escola municipal 11
alunos (27,5%) afirmaram que o problema era “mais ou menos difícil” ou “difícil”, enquanto
na escola particular encontramos 10 alunos (25%) com esse tipo de resposta. Encontramos,
também 47,5% dos alunos que consideraram o problema “fácil”.
79
Ficou evidenciado que o problema 2, segundo opinião dos alunos, apresentou algum
tipo de dificuldade na interpretação e escolha das formas de solução, nas duas escolas
pesquisadas.
Quando perguntamos aos alunos a respeito da maior dificuldade encontrada, na opinião
deles, esse problema apresentou dificuldades relacionadas com a escolha das formas de
solução para o problema, conforme mostramos na tabela 11 a seguir.
Tabela 11. Qual foi sua maior dificuldade?
Escolas
Problema 2
ro n
Escola Municipal 11 9
Escola Particular 11 9
Total 22 18
% 55 45
ro = relacionar às operações n = nenhuma dificuldade
No problema 2 observamos que tanto a escola municipal como a escola particular
apresentaram o mesmo número de alunos que alegaram dificuldades para interpretar o
problema e relacionar as formas de solução necessárias para resolvê-lo. As falas seguintes
mostram tais opiniões:
• Achei o problema difícil, eu não entendi se é um caderno de 100 folhas para as
três matérias ou três cadernos para as três matérias (A
5
).
80
• Não entendi direito a idéia, não sabia se era um só caderno para as três matérias
(A
25
).
• Precisei ler mais de uma vez para descobrir o que fazer com o caderno de 100
folhas para saber qual era a conta (A
19
).
• Não entendia o que o problema queria dizer (A
13
).
• Tenho dúvidas para escolher as contas (A
6
).
• Para descobrir as contas tive que ler umas três vezes, esse problema tem muitos
números (A
14
).
• Entender o problema, ainda acho que não entendi porque não usei o número 65
(A
33
).
• Para descobrir o que fazer para saber qual era o total (A
40
).
Em resumo: Percebemos que as alegações dos alunos tiveram relação com a
interpretação do enunciado do problema, a qual acabou gerando dúvidas na escolha das formas
de solução para resolver o problema.
Diante dos resultados apurados no problema 2, ficou evidenciado que os alunos
encontraram dificuldades na leitura e interpretação do mesmo. Uma das dificuldades alegadas
pelos alunos esteve relacionada à quantidade de números apresentada no problema, e
interpretar se as 100 folhas eram para cada disciplina ou se as 100 folhas seriam para as três
disciplinas e, finalmente com relação à escolha da forma de solução que deveriam indicar
primeiro.
Desse modo podemos inferir que a interpretação desse problema interferiu no
desempenho dos alunos das duas escolas.
81
4.2 Problemas 3 e 4: comparação de estados.
Os problemas 3 e 4 estão associados ao terceiro tipo de relações de base do campo conceitual
das estruturas aditivas ( Vergnaud,1981).
Problema 3
Eu tenho 165 cm de altura, meu irmão é 17 cm mais alto que eu. Se eu crescer 15 cm nos
próximos anos, quem será mais alto eu ou meu irmão? Quantos centímetros a mais?
Nesse problema consideramos que os alunos poderiam utilizar no conjunto dos
números naturais as seguintes formas de soluções aritméticas:
• 1ª (165 + 17) – (165 + 15) = 2
• 2ª 17 – 15 = 2
Problema 4
Ademir é 5 anos mais velho do que Carina e é 6 anos mais novo do que Josemar. Josemar tem
18 anos. Qual é a idade de Carina?
Da mesma forma, neste problema consideramos que a solução possível no conjunto
dos números naturais seria:
• 1ª (18 - 6) - 5 = 7
A tabela 12 a seguir descreve a freqüência de acertos e erros dos alunos pesquisados, para que
possamos avaliar o desempenho, nos problemas 3 e 4.
82
Tabela 12. Número de acertos e erros relativos aos problemas 3 e 4 dos alunos da Escola
Municipal e Particular.
Escolas Escolas
Problemas
P3 P4
a e a e
Escola Municipal 7 13 4 14
Escola Particular 16 4 9 11
Total 23 17 13 25
% 57,5 42,5 32,5 62,5
a = acertos e = erros
*Na escola municipal dois alunos não fizeram o P4.
Embora sendo problemas que envolvem comparação de estados, o problema 3
apresentou um índice maior de acertos ( 57,5 %) que o problema 4 (32,5%). Os alunos
apresentaram um desempenho menor, quando se tratou de fazer as relações de comparação
entre as idades das três pessoas, como pede o problema 4.
Interessante notar que, embora o número de acertos no problema 4 tenha sido menor
para os alunos das duas escolas, esse problema se comparado aos demais, foi relativamente
mais difícil para os alunos das duas escolas.
No problema 3 encontramos seis alunos que utilizaram o desenho para indicar sua
interpretação (A
1
, A
2
, A
3
, A
5
, A
9
, A
20
). Os demais utilizam apenas as operações para indicar
sua compreensão.
Alguns alunos interpretaram que a operação que resolveria esse problema seria uma
adição dos números 17 e 15 à altura de 165 cm, como é o caso de A
1
e A
7
.
A
1
A
7
83
A
5
interpretou o problema como se tivesse que subtrair de 165 cm os 17 cm, a seguir
somou 15 cm aos 148 cm, porém não conseguiu responder quantos centímetros a mais tinha
seu irmão.
A
5
Há também casos de alunos que indicaram a forma de solução do
problema, corretamente, porém erraram no momento de efetuar as operações. Nesta condição
encontramos A
2
, A
14
, A
20
, A
30
e A
31
.
A
2
A
14
A
20
A
30
A
31
Os demais alunos apresentaram uma certa semelhança na representação das operações,
quando somaram cento e sessenta e cinco com dezessete, em seguida cento e sessenta e cinco
com quinze e finalizaram subtraindo cento e oitenta e dois de cento e oitenta, tendo assim
concluído que ele é mais baixo que o irmão.
84
O problema 4, dos problemas pesquisados, foi o que apresentou o maior índice de erros
(62,5%). Além disso, encontramos dois alunos (A
7
e A
13
) que deixaram de resolver o
problema.
Diante dos resultados apurados encontramos na escola municipal somente 4 alunos
(A
9
, A
12
, A
14
, A
18
) que acertaram o problema, aplicando a forma de solução esperada. Os
demais ou erraram na resolução ou deixaram de fazê-lo.
Os oito alunos (A
1
, A
2
, A
4
, A
8
, A
10
, A
16
, A
17
, A
20
), que erraram a solução do problema,
só fizeram a primeira parte e consideraram 12 como sendo a idade de Carina.
18 – 6 = 12
Encontramos ainda A
7
e A
13
, que tentaram solucionar o problema, mas não
conseguiram resolver, deixando o espaço em branco.
Tivemos também A
3
e A
6
que apresentaram as seguintes contas:
A
3
A
6
A
3
indicou a operação 18 – 6 = 12 e A
6,
embora tenha indicado 18 + 6 finalizou também dando
resultado igual a 12, ou seja, também subtraiu os dois números, porém na segunda operação
entendeu que deveria somar doze mais cinco. E assim finalizou considerando que a idade de
Carina seria 12 anos.
Outros alunos apresentaram formas de soluções variadas, como A
11
que somou dezoito
com seis e considerou que a idade de Carina seria 24 anos. A
15
que subtraiu cinco de dezoito e
85
em seguida subtraiu cinco de treze e disse que a idade de Carina era oito anos. E finalmente
A
19
que representou suas operações da seguinte maneira:
A
19
Esse aluno fez várias tentativas e deixou indicadas essas operações.
Finalmente vimos A
5
que indicou as duas operações de uma só vez:
A
5
E finalizou o problema afirmando que dezenove anos seria a idade de Carina.
Dessa forma verificamos que, embora não tenham apresentado dificuldades no
reconhecimento das palavras do texto, os alunos apresentaram dificuldades para identificar as
relações matemáticas presentes no problema e a partir disso encontrar uma forma de solução
adequada.
86
Após a leitura perguntamos sobre a compreensão dos problemas e verificamos que
segundo os próprios alunos a compreensão foi melhor no problema 3, do que no problema 4,
conforme podemos ver na tabela 13 a seguir.
Tabela 13. Você entendeu os problemas 3 e 4?
Escolas
Problemas
P3 P4
s mm s mm
Escola Municipal 8 12 6 14
Escola Particular 16 4 9 11
Total 24 16 15 25
% 60 40 37,5 62,5
s = sim mm = mais ou menos
No problema 3, vinte e quatro alunos (60%), afirmaram que compreenderam o que o
texto dizia e os demais que compreenderam “mais ou menos”.No problema 4, do total de
alunos, quinze (37,5%), afirmaram que compreenderam as formas de solução, enquanto, mais
da metade, vinte e cinco alunos (62,5%) disseram que entenderam “mais ou menos”.
No problema 3 na escola municipal, 8 alunos disseram que compreenderam as formas
de solução do problema, enquanto 12 alunos responderam “mais ou menos”. Mesmo tendo
afirmado que compreendeu “mais ou menos” o problema, A
3
apontou a forma de solução
correta do problema. Por outro lado, A
9
que afirmou ter compreendido, acabou errando a
resolução desse problema.
Na escola particular dezesseis alunos (40%) afirmaram ter compreendido as formas de
solução do problema. Dos quatro alunos (A
28
, A
29
, A
34
, A
35
) que disseram ter compreendido
87
“mais ou menos”, nenhum deles errou a solução do mesmo. Por outro lado quatro alunos (A
21
,
A
30
, A
31
, A
38
), que erraram o problema afirmaram que o problema era fácil.
O problema 4 foi o que registrou, conforme relatos dos alunos, um número bastante
elevado de dificuldades na leitura e interpretação. Na escola municipal encontramos um grupo
significativo de 14 alunos (35%), que apresentou dúvidas com relação à compreensão da
leitura do problema e na escolha das formas de solução. Algumas dessas dificuldades podem
ser observadas nas falas de alguns alunos:
• Não entendi direito porque fala de três idades, do Ademir, da Carina e Josemar e eu
fiz só dezoito menos seis (A
1
).
• Eu tentei fazer cinco mais seis, aí deu onze, aí eu diminuí dezoito, eu resolvi apagar
porque acho que tá errado (A
7
).
• Eu fiz dezoito mais seis e deu vinte e quatro, só que tem mais um número e eu não sei
como faz (A
11
).
Há nesse grupo cinco alunos (A
6
, A
8
, A
10
, A
11
, A
15
) que afirmaram que o problema era
de fácil compreensão, porém no momento de escolher a forma de solução, erraram o resultado
do mesmo.
Os alunos da escola particular apresentaram um índice menor de dificuldades na leitura
e interpretação, se comparados à escola municipal, mas ainda assim ultrapassou a metade do
grupo. Dentre as dificuldades alegadas pelos alunos, verificamos que estavam relacionadas
com o a interpretação do problema e as formas de solução, pois os seis alunos (A
25
, A
26
, A
31
,
A
35
, A
38
, A
39
)
que erraram, apenas indicaram: 18 – 6 = 12 e não interpretaram que haveria mais
uma operação para concluir o problema.
88
Os alunos (A
21
, A
27
, A
32
, A
33
) indicaram inicialmente a operação: 18 – 6 = 12, na
seqüência realizaram a operação: 12 + 5 = 17, dessa forma afirmaram que 17 seria a idade de
Carina. E finalmente A
40
que indicou inicialmente 18 – 6 = 12 e em seguida 12 – 5 = 7 e
finalizou indicando a operação 7 + 5 = 12, considerando que 12 seria a idade de Carina.
Os alunos A
26
, A
31
, A
38
, A
39
, A
40
, mesmo tendo afirmado que o problema 4 era fácil,
não conseguiram acertar a resposta final.
Em resumo, constatamos que os problemas 3 e 4 apresentaram dificuldades, na leitura
e interpretação e na escolha das formas de soluções para resolvê-los, sendo P4 o de maior
dificuldade, conforme avaliação dos alunos, tanto da escola municipal quanto da escola
particular. Cabe ressaltar que os alunos da escola municipal afirmaram ter mais dúvidas
quanto à leitura e a escolha da solução dos dois problemas do que os da escola particular.
Interessante observar que muito dos alunos que afirmaram haver compreendido “mais ou
menos os problemas”, acertaram. E muitos que disseram ser fácil erraram. Isso pode significar
que, mesmo acertando, os alunos tinham clareza de que não eram problemas simples. Já os
alunos que acharam fácil, com certeza não perceberam a complexidade dos mesmos.
Ao perguntarmos se seria necessário ler novamente os problemas, alguns alunos
manifestaram a vontade de reler o problema 3, porém no problema 4 mais da metade sentiu a
necessidade de fazer uma nova leitura, conforme podemos ver na tabela 14 a seguir.
Tabela 14. É necessário ler os problemas novamente?
Escolas
Problemas
P3 P4
s n s n
89
Escola Municipal 11 9 13 7
Escola Particular 4 16 10 10
Total 15 25 23 17
% 37,5 62,5 57,5 42,5
s = sim n = não
No problema 3 os alunos das duas escolas não manifestaram grande interesse em ler
novamente. Dos alunos pesquisados, quinze (37,5%) indicaram a necessidade de uma nova
leitura para melhor interpretar as formas de solução do problema. Observamos que, na escola
municipal, mesmo tendo apresentado mais alunos interessados em fazer uma nova leitura,
ainda assim o número de erros foi bastante elevado, o que nos leva a crer que foi difícil para
esses alunos a interpretação do texto deste problema.
Quanto ao problema 4, na escola municipal encontramos 13 alunos (32,5%) que
sentiram a necessidade de fazer uma nova leitura, enquanto na escola particular a opção por
uma nova leitura ficou em 50% para cada categoria. Nesse problema os alunos demonstraram
dificuldades na leitura e interpretação, embora 42,5% dos alunos, afirmaram que não seria
necessária uma nova leitura, alegando que o problema era fácil.
Concluindo, verificamos que os alunos interessados em fazer uma nova leitura para
melhor interpretar os problemas 3 e 4, foi maior que o número de alunos que fizeram essa
opção no problema 2. Isso é mais um indicativo de que as relações matemáticas presentes
nesses problemas foram mais difíceis de identificar para os alunos no geral, e em particular
pelos alunos da escola municipal.
Quando perguntamos se existiam palavras desconhecidas no texto do problema, todos
os alunos, tanto da escola municipal como da escola particular, foram enfáticos em afirmar
que todas as palavras eram do seu conhecimento.
90
No problema 4, como nos anteriores, verificamos que não foi o desconhecimento das
palavras que dificultou a escolha das formas de solução para esse problema. A fala de A
1
“
as
palavras eu entendi, o problema que é meio complicado” é um bom exemplo disso.
Ao solicitar aos alunos que desenhassem ou escrevessem o que entenderam sobre o
problema 3 e 4, verificamos mais uma vez a preferência em representar os problemas na forma
de linguagem escrita, conforme a tabela 15 a seguir
Tabela 15. Do que entendeu, você poderia desenhar ou escrever o que os problemas estão
contando?
Escolas
Problemas
P3 P4
d e d e
Escola Municipal 6 14 5 15
Escola Particular - 20 - 20
Total 6 34 5 35
% 15 85 12,5 87,5
d = desenha e = escreve
Constatamos no problema 3, assim como aconteceu no problema 2 que somente os
alunos da escola municipal manifestaram a representação por meio de desenhos e assim
mesmo em pequeno número. Na escola particular verificamos que a totalidade dos alunos
preferiu apenas escrever para mostrar sua interpretação do problema.
No problema 4, os alunos demonstraram uma certa dificuldade em representar sua
interpretação por meio do desenho. Na escola municipal ainda tivemos um percentual pequeno
de alunos que se habilitou em representar esse problema utilizando o desenho, e na escola
particular não encontramos nenhum aluno que se dispusesse a utilizar essa forma de
representação.
91
Nos desenhos encontramos dois tipos de representações:
1. Representação pictórica parcial, ou seja, fazendo apenas referência a elementos ou
indicando situações que são relatadas no enunciado do problema.
No problema 3 encontramos A
2
, A
3
, A
5
, A
9
e A
20
que utilizaram essa forma de indicação
para representar seus desenhos. Apenas A
1
realizou um desenho onde mostra a indicação de
uma subtração.
No problema 4 encontramos A
2
, A
3
, A
5
e A
20
que também utilizaram dessa
representação, em que as figuras se apresentam de forma distribuídas por alturas, normalmente
um menino mais alto, a menina menor e o outro menino mediano. Não há nesses desenhos
demonstrações de formas de solução para o problema.
2. Representação Pictórica indicando operação.
Nessa categoria encontramos apenas A
1
que apresentou essa indicação tanto no problema 3
como no problema 4.
Em síntese constatamos que, nos problemas 3 e 4, a maioria dos alunos desenhou fatos
que se associavam a elementos do texto do problema,mas não às transformações. Assim como
aconteceu no problema 2, nos problemas 3 e 4 as representações pictóricas foram apenas dos
alunos da escola municipal. Mesmo assim essas representações diminuíram
consideravelmente.
Solicitamos aos alunos que explicassem o significado dos desenhos, conforme a tabela
16 a seguir.
92
Tabela 16. Explique o que você desenhou.
Escolas
Problemas
P3 P4
rp o rp o
Escola Municipal 5 1 4 1
Escola Particular - - - -
Total 5 1 4 1
% 12,5 2,5 10 2,5
rp = representação parcial ro = representação da operação
Na escola municipal somente seis alunos utilizaram a representação pictórica na
tentativa de demonstrar sua interpretação no problema 3. A
1
utilizou, no seu desenho, a
representação que indicava uma operação.
A
1
Cinco alunos (A
2
, A
3
, A
5
, A
9
e A
20
), na demonstração através do desenho, indicaram situações
que não sugeriam operações, apenas uma forma de representar o enunciado do problema,
mostrando a relação da altura entre as crianças.
93
A
2
A
3
A
5
A
9
A
20
Nas explicações sobre os seus desenhos também confirmavam o próprio enunciado do
problema como podemos observar nas falas a seguir:
• Eu tenho 165 cm mais 17cm mais 15 cm. Eu acho que fiz um erro, posso arrumar? (A
1
)
• Que eu tenho 165 cm e meu irmão é mais alto, ele tem 182 cm (A
2
).
• Que meu irmão é mais alto (A
3
).
Quanto ao pedido de A
1
solicitando a correção do que havia feito, a pesquisadora permitiu
que ele o fizesse, mesmo assim esse aluno não conseguiu finalizar corretamente este
problema.
94
No geral esses alunos resolviam primeiro os problemas para fazer o desenho, como
podemos observar no desenho de A
9
, no qual junto ao desenho aparece também a altura de
cada um dos irmãos.
A
9
No problema 3 encontramos um percentual elevado de alunos (85%), nas duas escolas,
que fizeram a opção em representar o problema usando a escrita, alegando que era difícil ou
por não querer representar o problema utilizando o desenho. Na escola municipal 14 alunos
(35%) optaram por escrever a interpretação do problema, indicando as formas de solução, e na
escola particular todos utilizaram a mesma indicação.
Na explicação sobre o significado do que escreveram, os alunos normalmente faziam
uma explanação do desenvolvimento das operações por eles realizadas, conforme mostram as
falas de alguns alunos:
• Que meu irmão é mais alto 17 cm (aí eu somei 165 mais 17) e eu vou crescer
15 cm (aí eu somei 165 mais 15), daí o meu irmão vai ficar 2 cm mais alto
(A
4
).
• Eu vou crescer 15 cm eu somo, aí eu fico com 180 cm depois eu tiro 17cm que
vai dar 163 cm (A
16
).
95
Nos relatos desses alunos, A
4
conseguiu estabelecer os procedimentos adequados e
acertou o problema, enquanto A
16
, indicou a primeira conta corretamente, porém ao indicar a
segunda se atrapalhou e acabou subtraindo, ficando confuso quanto à resposta do problema.
• Se eu crescer 15 cm fico com 180 (A
19
)
Entrevistador: só isso?
A
19:
só, foi o que eu entendi.
Este aluno não observou as perguntas do problema e tampouco atentou para dar a
resposta final, não percebendo que o problema estava incompleto.
No problema 4 somente os alunos da escola municipal apresentaram alguma forma de
interpretação do problema, por meio do desenho. Os alunos da escola particular não
conseguiram utilizar este tipo de representação.
Dos alunos da escola municipal que representaram sua interpretação por meio do
desenho, A
1
indicou a operação de subtração em que mostrou a forma de solução para o
problema.
A
1
A
2
, A
3
, A
5
e A
20
fizeram seus desenhos indicando situações que faziam alguma relação
com o texto do problema, conforme podemos ver nos desenhos a seguir:
96
A
2
A
3
A
5
A
20
Neste problema constatamos que se reduziu a presença da representação por meio do
desenho, em relação aos anteriores.
Verificamos ainda que a explicação dos alunos foi muito próxima ao próprio desenho,
conforme suas falas:
• Eu desenhei, o Ademir menos a Carina. Não entendi direito porque fala de três
idades e eu só fiz dezoito menos seis (A
1
)
• Eu entendi que a Carina é mais nova que o Ademir, ela tem 12 anos (A
2
).
• Eu desenhei a Carina que é mais nova, o Ademir e o Josemar que é o mais
velho (A
3
).
97
A
3
na sua explicação deixou clara a sua compreensão da seqüência das idades
dos três garotos, porém ao efetuar as operações fez uma certa confusão entre as idades de cada
um e acabou errando a solução do problema.
• Não sei explicar direito, só sei que um é mais velho que o outro e é a Carina
que tem 19 anos (A
5
).
• Tem um que é mais velho, ela tem 12 anos e tem o outro menino (A
20
).
A maioria dos alunos da escola municipal e todos da escola particular preferiram
representar o problema 4 por meio da linguagem escrita. Suas explicações estiveram voltadas
para as indicações das operações por eles escolhidas, como podemos observar nas falas de
alguns alunos:
• Que Josemar tem dezoito anos e Carina é seis anos mais nova, ela tem 12 anos
(A
4
).
• Eu fiz dezoito mais seis e deu vinte e quatro, só que no problema tem mais
números... eu não sei o que fazer (A
11
).
• Eu peguei dezoito e tirei cinco e deu treze, daí eu diminuí cinco e deu oito, que
é a idade da Carina (A
12
).
• É que um é mais velho, ela tem doze anos e tem o outro... (A
20
).
• Eu diminuí seis e depois diminuí cinco e achei o resultado (A
22
).
• Eu diminuí da idade de Josemar seis anos e descobri que Carina tem doze anos
(A
25
).
98
• Eu fiz dezoito menos seis, depois somei cinco e descobri que Carina tem doze
anos e Ademir dezessete (A
32
).
Em síntese, mediante as falas desses alunos verificamos o quanto foi difícil a
interpretação dos problemas 3 e 4. A representação pictórica foi utilizada por um número
menor de alunos que no problema 2 e somente pelos alunos da escola municipal. Dos que a
utilizaram somente um aluno no problema 3 e no problema 4, indicaram desenhos que
sugeriam uma operação, os demais indicaram representações relacionadas a elementos do
enunciado do problema. Esse dado pode indicar que as representações se tornam mais difíceis
de serem elaboradas, quando as relações matemáticas do problema são mais complexas.
Na continuidade das nossas perguntas, solicitamos aos alunos que indicassem a
operação adequada à resolução dos problemas 3 e 4, conforme mostra a tabela 17, a seguir.
Tabela 17. Você saberia me dizer qual (s) operação (s) poderia utilizar para resolver esses
problemas?
Escolas
Problemas
P3 P4
as a s as a s
c e c e c e c e c e c e
Escola Municipal 3 5 4 7 - 1 - 3 - 2 4 9
Escola Particular 6 - 10 2 2 - - 5 - - 9 6
Total 9 9 14 9 2 1 - 8 - 2 13 15
% 22,5 22,5 35,0 22,5 5,0 2,5 0,0 20,0 0,0 5,0 32,5 37,5
as = adição e subtração a = adição s = subtração c = solução correta
Nota: Somente dois alunos não fizeram o problema 4
As soluções adequadas para os problemas, conforme já enunciado seriam:
Problema 3 - adição e subtração, ou apenas subtração.
99
• 1ª (165 + 17) – (165 + 15) = 2
• 2ª 17 – 15 = 2
Problema 4 - duas subtrações
• 1ª (18 - 6) - 5 = 7
A tabela 17 mostra que as operações mais escolhidas, como forma de solução no problema
3, foi a adição e subtração correspondendo a 45%, porém os acertos foram de 22,5%. Outra
operação escolhida foi a adição representando 45% e o número de acertos ficou em 35%. No
problema 4 a operação mais escolhida foi a subtração com 70% de preferência, no entanto
32,5% conseguiram acertar sua solução.
No problema 3 houve um empate quanto à opção pela adição e adição seguida de
subtração (45%) no total de alunos das duas escolas. E no problema 4, verificamos que 70%
dos alunos escolheram a subtração. A partir desses dados apresentamos na tabela 18 a relação
entre as escolhas das operações e os acertos e erros desses alunos, por escola.
Tabela 18. Acertos e erros dos alunos da Escola Municipal, conforme escolhas das operações
para resolver o problema 3 e 4.
Tipos de operações
P3 P4
acertos erros acertos erros
Subtração e adição 5 5 1 3
Adição 2 6 0 1
Subtração 0 2 3 10
Total 7 13 4 14
* Dois alunos não fizeram o problema 4
No problema 3, dez alunos da escola municipal (A
3
, A
8
, A
9,
A
13
, A
14
, A
15
, A
16
, A
18
, A
19
,
A
20
), afirmaram que as operações necessárias para resolver esse problema seria a subtração e a
adição. Metade desses alunos (A
3
,
A
8
, A
13
, A
15
, A
18
), acertou a solução do problema. Dos oito
100
alunos que escolheram a adição (A
1
, A
2
, A
4
, A
6
, A
7
, A
10
, A
12
, A
17
), somente A
4
e A
6
conseguiram acertar o problema, mesmo não tendo feito a diferença entre as duas primeiras
operações, provavelmente fizeram a diferença mentalmente. A
5
e A
11
escolheram a subtração e
não conseguiram chegar à resposta adequada.
No problema 4, os alunos A
5
, A
6
, A
19
, apontaram a subtração e adição como as
possíveis operações que resolveriam o referido problema.
A
11
escolheu a adição e não conseguiu concluir o problema. Dos treze alunos (A
1
, A
2
, A
3
, A
4,
A
8
, A
9
, A
10
, A
12
, A
14
, A
15
, A
16
, A
17
, A
18
,
A
20
) que escolheram a subtração, apenas A
9
, A
12
,
A
14
e
A
18
conseguiram concluir corretamente o problema. E finalmente A
7
e A
13
que não
conseguiram resolver o problema.
Tabela 19. Acertos e erros dos alunos da Escola Particular, conforme escolhas das operações
para resolver o problema 3 e 4.
Tipos de operações
P3 P4
acertos erros acertos erros
Subtração e adição 7 2 0 5
Adição 7 2 - -
Subtração 2 0 9 6
Total 16 4 9 11
O problema 3, na escola particular, constatamos que dos nove alunos (A
28
, A
29
, A
30
,
A
31
, A
32
, A
33
, A
34
, A
35
, A
39
), que escolheram a subtração e a adição, apenas A
30
e A
31
erraram o
problema.
101
Nove alunos escolheram a adição (A
21
, A
23
, A
24
, A
25
, A
26
, A
27
, A
36
, A
38
, A
40
), desses
apenas A
21
e A
38
erraram a solução do problema. Finalmente A
22
e A
37
escolheram a subtração
e acertaram a solução.
No problema 4 na escola particular, cinco alunos (A
21
, A
27
, A
32
, A
33
, A
40
), escolheram a
subtração e a adição e todos erraram a solução. E quinze alunos (A
22
, A
23
, A
24
, A
25
, A
26
, A
28
,
A
29
, A
30
, A
31
, A
34
, A
35
, A
36
, A
37
, A
38
, A
39
), escolheram a subtração e desses, seis alunos (A
25
,
A
26
, A
31
, A
35
, A
38
e A
39
) erraram a solução do problema.
Resumindo, as formas de solução para esses problemas revelam que mais da metade
dos alunos, escolheram formas de solução adequadas, ressaltando-se que esse resultado foi
bem melhor para o P4 (70%) do que para P3 (55%). Chama atenção esse resultado, tendo em
vista que nas outras questões, ficou clara a maior dificuldade expressa pelos alunos a respeito
desses problemas, principalmente do 4. No entanto acertar a escolha da operação não garantiu
acertar a solução do problema, pois os alunos erraram nos cálculos ou na seqüência das
operações. Em outras palavras parece que os alunos tinham noções, um pouco vaga de que o
problema apresentava idéias aditivas ou subtrativas, porém não conseguiram expressar a
seqüência estado - transformação, de tal forma que fosse apropriada à resolução do problema.
Ao solicitar aos alunos que indicassem a sentença matemática do problema 3, com o
propósito de verificar sua interpretação, quase a totalidade dos alunos afirmaram não saber a
representação da sentença matemática; no problema 4 esse número foi ainda mais reduzido,
conforme podemos observar na tabela 20, a seguir.
Tabela 20. Indique a sentença matemática para depois resolver o problema.
102
Escolas
Problemas
P3 P4
n e n e i
Escola Municipal 19 1 18 1 1
Escola Particular 20 - 20 - -
Total 39 1 38 1 1
% 97,5 2,5 95 2,5 2,5
n = não sabe e = expressão numérica i = indicação inadequada
No problema 3, a grande maioria dos alunos (97,5%) não conseguiu indicar a sentença
matemática, e o único aluno (A
1
) que o fez indicou na forma de expressão numérica, somando
a 165 cm 17 cm e 15 cm obtendo um total de 197 cm, em seguida subtrai 165 de 197
resultando em 42.
No problema 4 observamos que os alunos da escola municipal ainda fizeram a tentativa
de indicar a sentença matemática, enquanto os alunos da escola particular não conseguiram
fazê-lo. Somente os alunos A
15
e A
18
utilizaram essa representação para o problema 4. A
15
fez
uma indicação em forma de expressão numérica, mas não utilizou corretamente os dados.
Enquanto A
18
indicou uma parte da operação do problema utilizando a forma de sentença
matemática aberta
7
como podemos ver na figura a seguir.
A
18
No problema 3 e 4 quase a totalidade dos alunos da escola municipal e todos da escola
particular alegaram não saber utilizar essa forma de representação. Como já dissemos, esse
dado, assim como no caso do problema 2, pode ser um indicativos de como o ensino de
7
Sentença matemática aberta é um recurso da matemática utilizado quando não podemos atribuir
imediatamente um valor verdadeiro ou falso a estas sentenças. (Giovanni, 1985, p.65)
103
matemática tem trabalhado as representações matemática, ou seja sem nenhuma ou pouca
articulação do raciocínio matemático e suas diferentes formas de representá-lo, em
favorecimento apenas das fórmulas e cálculos, que parecem ser mais rápidos e econômicos.
Quando perguntamos sobre a interpretação do problema 3 verificamos, conforme suas
opiniões, que a maioria dos alunos não considerou que o problema era difícil. Porém
verificamos no problema 4 que, metade do grupo pesquisado apresentou algum tipo de
dificuldade na interpretação do mesmo, conforme a tabela 21 a seguir.
Tabela 21. Você achou os problemas difíceis?
Escolas
Problemas
P3 P4
f mm d f mm d
Escola Municipal 10 9 1 8 9 3
Escola Particular 16 4 - 12 8 -
Total 26 13 1 20 17 3
% 65 32,5 2,5 50 42,5 7,5
f = fácil mm = mais ou menos d = difícil
Constatamos nas duas escolas que os alunos consideraram que o problema 3 foi mais
fácil do que o 4.
Na escola municipal, metade dos alunos disse que encontrou dificuldade para
interpretar o problema 3. Observamos também que dos alunos que erraram o problema, seis
deles (A
2
, A
5
, A
9
, A
10
, A
12
, e A
14
,) consideraram o problema fácil.
Na escola particular apenas quatro alunos (A
28
, A
29
, A
34
, A
35
,) afirmam ter alguma
dificuldade na interpretação desse problema, no entanto não foram esses que erraram; os
alunos (A
21
, A
30
, A
31
, A
38
,) que erraram este problema não o consideraram difícil.
104
Dos alunos pesquisados sete (A
3
, A
4
, A
6
, A
8
, A
10
, A
11
, A
15
) afirmaram não encontrar
dificuldades na leitura e interpretação, porém erraram na solução desse problema. Apenas A
14
afirmou que o problema era fácil e realmente o acertou.
Na escola particular doze alunos afirmaram não ter encontrado dificuldades na
interpretação do problema, no entanto constatamos que seis deles (A
26
, A
31
, A
33
, A
38
, A
39
, A
40
),
resolveram o problema e erraram a solução.
Quando perguntamos sobre a dificuldade no problema 3, a impressão que os alunos
deixaram é de que o problema não era tão difícil, porém ao compararmos essa resposta com o
número de acertos, que foi pouco mais da metade, a conclusão é que a leitura e a interpretação
desse problema não foi tão simples assim.
Quanto ao problema 4, que muitos alunos disseram que era um problema de fácil
interpretação, foi o problema com o maior número de erros.
Sintetizando, os dados dessa questão confirmam os da questão anterior, ou seja, há
várias contradições na avaliação que o aluno faz a respeito do que é fácil ou difícil. Os que
disseram que era fácil muitas vezes erraram e os que disseram que era difícil acertaram. De
qualquer forma, para os alunos das duas escolas o problema 4 foi mais difícil, embora 70% das
formas de solução tenham sido indicadas corretamente, isso não garantiu uma resolução
satisfatória.
Quando perguntamos a respeito das maiores dificuldades na leitura e interpretação do
problema 3, verificamos que a maioria dos alunos afirmou não ter nenhuma dificuldade;
enquanto no problema 4 encontramos um número um pouco maior de alunos que disseram ter
encontrado algumas dificuldades, conforme a tabela 22 a seguir.
105
Tabela 22. Qual foi a sua maior dificuldade?
Escolas
Problemas
P3 P4
ro n ro n
Escola Municipal 10 10 12 8
Escola Particular 4 16 10 10
Total 14 26 22 18
% 35 65 55 45
ro = relacionar às operações n = nenhuma dificuldade
Os resultados do problema 3 indicaram que pouco mais da metade dos alunos disseram
que não encontraram dificuldades para indicar as formas de solução. Enquanto o problema 4
mostrou que os alunos encontraram maior dificuldade para interpretá-lo e resolvê-lo.
Verificamos que os alunos da escola municipal apresentaram maiores dificuldades, no
problema 3, com relação à leitura e interpretação, pois metade desses alunos afirmou que a
maior dificuldade foi compreender o problema e relacionar as formas de solução, conforme
vemos em algumas falas:
• Tive um pouco de dificuldade para entender o problema (A
1
).
• Acho que me confundi (A
2
).
• Tive que ler duas vezes para entender o que era quantos centímetros a mais
(A
15
).
• Achei meio difícil, acho que tá tudo errado, não sei que conta faço primeiro
(A
7
).
• Achei difícil descobrir a conta li mais de uma vez (A
28
).
• Li duas vezes porque achei meio difícil escolher a conta (A
35
).
106
Conforme as falas dos alunos verificamos que a maior dificuldade esteve relacionada à
leitura e interpretação do problema para adequar a escolha das operações que melhor
resolvesse esse problema.
No problema 4 constatamos que na escola municipal a maioria dos alunos apresentou
alguma dificuldade na leitura e interpretação do referido problema, enquanto na escola
particular metade do grupo apresentou dificuldades também relacionadas com a leitura e
interpretação.
Podemos observar tais dificuldades nas falas de alguns alunos:
• Estou com dúvidas, não sei, o problema é muito difícil (A
7
).
• Não consigo entender o que eu tenho que fazer primeiro. Li três vezes e ainda não
consigo fazer (A
13
).
• Meio difícil tive que pensar um pouco para descobrir o que fazer (A
21
).
• Não entendia direito o que o texto mostrava (A
25
).
• Não achei muito difícil, não entendia direito o que o problema estava dizendo, que
conta eu fazia primeiro (A
1
).
• Acho que errei a conta (A
3
).
Os problemas 3 e 4 representavam o 3º tipo de relações de base (comparação de estados).
Ao examinarmos os dois problemas de comparação, tivemos a intenção de verificar se a
interpretação dos problemas e as formas de solução usadas seriam semelhantes. Os resultados
que acabamos de descrever apontam alguns aspectos comuns nesses problemas, advindos de
uma linguagem ambígua que os tornam mais complexos e difíceis para o aluno.
107
4.3. Problemas 1, 5 e 6: composição de duas transformações.
Os problemas 1, 5 e 6 estavam associados ao quarto tipo de relações de base do campo
conceitual das estruturas aditivas (Vergnaud ,1981).
Problema 1:
Rogério tinha 218 figurinhas. Jogando com Pedro, perdeu 74. A seguir jogando com
Francisco, Rogério ganhou 87 figurinhas. Com quantas figurinhas ele ficou após jogar
com Pedro e Francisco?
Neste problema consideramos, a priori, que os alunos poderiam utilizar, no
conjunto dos números naturais as seguintes formas de soluções aritméticas para resolvê-lo,
baseado nas possibilidades que o problema aponta:
• 1ª (218 – 74) + 87 = 231
• 2ª (218 + 87) – 74 = 231
• 3ª 218 + (87 – 74) = 231
Problema 5
Um ônibus chegou a um ponto com 45 passageiros. Desceram 13 passageiros e subiram
8. Depois de algum tempo de viagem parou novamente e nessa parada desceram 3
passageiros e subiram 12. Com quantos passageiros o ônibus chegou ao final da viagem?
Neste problema consideramos que os alunos poderiam utilizar no conjunto dos
números naturais as seguintes formas de soluções aritméticas para resolvê-lo:
• 1ª 45 – 13 + 8 – 3 + 12 = 49
108
• 2ª 45 + (8 +12) – (13 + 3) = 49
Problema 6
Para fazer uma instalação elétrica, Juca comprou, inicialmente, 72 metros de fio. Como
essa quantidade foi insuficiente, ele comprou mais 38 metros do mesmo fio. Sabendo-se
que ele usou 95 metros de fio para fazer a ligação, quantos metros de fio restaram?
Neste problema consideramos que os alunos poderiam utilizar no conjunto dos
números naturais a seguinte forma de solução aritmética para resolvê-lo:
• (72 + 38) – 95 = 15
A tabela 23 a seguir descreve a freqüência de acertos e erros nos problemas 1, 5 e 6,
dos alunos pesquisados, para que possamos avaliar o seu desempenho.
Tabela 23. Número de acertos e erros relativos aos problemas 1, 5 e 6 dos alunos da Escola
Municipal e Particular.
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
a e nf a e nf a e nf
Escola Municipal 17 3 - 18 2 - 14 5 1
Escola Particular 17 3 - 16 4 - 17 3 -
Total 34 6 - 34 6 - 31 8 1
% 85 15 - 85 15 - 77,5 20 2,5
a = acertos e = erros nf = não fez
Dos quarenta alunos pesquisados verificamos que 34 deles acertaram e 6 erraram o
problema 1. Verificamos que 17 alunos da escola municipal e também 17 da escola particular
109
conseguiram acertar o problema 1. Na escola municipal a maioria dos alunos conseguiu ler e
interpretar o problema 1 e relacionaram corretamente às suas formas de solução. Os alunos
que não conseguiram acertar o primeiro problema fizeram indicações inadequadas das formas
de solução, utilizaram apenas uma operação ou ainda erraram ao efetuar a operação escolhida.
O problema 5 e o problema 1 apresentaram os melhores resultados, revelando que
foram os problemas que os alunos, aparentemente, não encontraram dificuldades para
interpretá-los.
O problema 6 também nos revelou um bom índice no seu resultado, em que
verificamos que 31 dos alunos pesquisados conseguiram responder corretamente.
No problema 1 A
5
, indicou nas suas formas de solução, a subtração e a adição de uma
só vez. Como mostramos abaixo:
A
5
Observamos que este aluno indicou corretamente a seqüência das formas de solução,
porém indicou as duas operações como se fosse uma só conta. Acreditamos que em
conseqüência dessa indicação, não tenha conseguido chegar ao resultado desejado.
Já o aluno (A
11
) utilizou a forma de solução do problema 1, da seguinte maneira:
A
11
110
Este aluno realizou apenas uma das duas operações necessárias para resolver o problema 1,
conforme as possíveis formas de soluções descritas para esse problema, ou seja, apenas
observou as figurinhas que Rogério ganhou e não atentou para as figurinhas por ele perdidas.
O A
20
, indicou as duas operações corretamente, porém errou no momento de efetuá-las.
A
20
Este aluno ao efetuar a primeira operação se equivocou dando
como resultado o número 254, onde deveria aparecer 144; a partir desse erro,
conseqüentemente, errou a soma com 87 que deveria resultar em 231.
Na escola particular, a maioria dos alunos também interpretou e relacionou
corretamente as formas de solução do problema 1. Os alunos A
26
e A
31
, indicaram
adequadamente as formas de solução do problema, porém cometeram o mesmo erro no
momento de efetuar a primeira conta, o que acarretou erro também na segunda conta. Como
podemos ver em suas indicações.
A
26
A
31
O aluno (A
34
) indicou a
primeira forma de solução corretamente, mas errou ao efetuar a conta, e
quando indicou a segunda forma de solução trocou a parcela 87 por 85.
A
34
111
As indicações dos alunos da escola particular apresentaram-se muito semelhantes nas
formas de solução escolhidas. Quase todos os alunos iniciaram com a subtração e finalizaram
com a adição. Somente A
22
utilizou uma estratégia um pouco diferente, ao finalizar as duas
contas, ele testou os resultados, utilizando a troca dos termos, talvez para tirar a prova real,
apenas esse aluno verificou o resultado do problema depois de resolvido.
A
22
No problema 1, ao finalizar os cálculos a maioria dos alunos deu a resposta ao
problema concluindo seu raciocínio relativo às operações, com exceção de sete alunos (A
5
, A
7
,
A
8
, A
10
, A
14
, A
16
, A
19
) da escola municipal e dois alunos (A
32
e A
37
) da escola particular. Nesse
mesmo problema, a maioria dos alunos, das duas escolas, (14 da escola municipal e 19 da
escola particular), consideraram fáceis a leitura e interpretação desse problema.
Ao observarmos, nas duas escolas, o número de acertos e erros, verificamos que o
problema 1 apresentou, na leitura e interpretação, maior grau de compreensão para os alunos
diante do pequeno número de erros registrado.Quando perguntados quanto à compreensão do
problema 1, a maioria dos alunos (77,5%) indicou “sim”, ou seja, que compreendeu o
problema 1, os demais alunos (22,5%) afirmaram que compreenderam “mais ou menos”.
112
Em resumo, no problema 1 os alunos pesquisados apresentaram uma boa
compreensão, principalmente na escola particular com quase a totalidade dos alunos
afirmando que compreendeu o problema. Na escola municipal o índice não foi tão alto, porém
ultrapassou a metade dos alunos pesquisados.
Dos seis problemas pesquisados, o problema 1 e o problema 5 foram os que
apresentaram o maior índice de acertos (85%). Os alunos ao fazerem as escolhas das formas
de solução desses problemas não alegaram incompreensão nas suas escolhas.
Na escola municipal obtivemos um índice maior de acertos no problema 5, apenas dois
alunos (A
3
, A
11
) erraram esse problema. A
3
interpretou que bastaria somar oito com doze e
encerrou afirmando que desceram vinte passageiros.
A
3
Já A
11
iniciou a primeira operação corretamente, porém ao iniciar a segunda não
observou que o número a ser subtraído deveria ser treze e não três, o que o fez errar a solução.
A
11
Os demais alunos apresentaram praticamente as mesmas formas de solução nesse
problema. Seguiram basicamente a seqüência na qual o problema trazia as operações, ou seja,
113
indicava inicialmente 45 – 13 = 32, a seguir 32 + 8 = 40, na seqüência faziam 40 – 3 = 37 e
finalmente 37 + 12 = 49 o que resultava na resposta do problema.
Desses alunos que acertaram, três deles (A
12
, A
14
, A
15
) indicaram todas as operações em
forma de expressões numéricas, sendo que A
12
, além dessa indicação ainda resolveu as
operações, ao lado, mostrando cada cálculo por ele indicado.
A
12
A
14
A
15
Na escola particular encontramos quatro alunos que erraram o problema 5. Os alunos
(A
25
, A
34
, A
36
, A
38
) indicaram passagens inadequadas nas operações, que acabaram levando-os
aos erros. A
25
fez as duas primeiras operações corretamente e ao indicar as duas últimas
114
operações, somou onde deveria subtrair e em conseqüência desse erro finalizou a última
operação errada.
A
25
A
34
e
A
36
indicaram e efetuaram as duas primeiras operações corretamente, enquanto
que na terceira operação eles efetuaram de forma incorreta, o que acabou gerando o erro
também na última operação.
A
34
A
36
Finalmente, A
38
indicou apenas uma operação, na qual somou doze com oito e finalizou
afirmando que no final da viagem ficaram 20 passageiros.
A
38
115
Os demais alunos apresentaram uma mesma forma de indicar as soluções, fazendo em
seqüência ou em separado as quatro operações e dando sempre a resposta ao final do
problema. Nessas condições podemos observar as formas de solução dos seguintes alunos:
A
21
A
27
O problema 6 apresentou uma regularidade na escolha da forma de solução.
Normalmente iniciavam com uma operação de adição e em seguida uma operação de
subtração. Essa foi a preferência de quase todos os alunos pesquisados.
Na escola municipal A
4
, indicou a primeira parte da operação corretamente e errou na
segunda operação ao efetuar.
A
4
116
Vemos A
11
, que já iniciou a primeira operação errada quando interpretou que era
necessário subtrair trinta e oito de setenta e dois e assim finalizou errando também a segunda
operação.
A
11
A
12
indicou a primeira operação corretamente e errou ao efetuar, conseqüentemente
errou também a segunda operação.
A
12
A
15
indicou as operações em forma de expressão numérica, mas fez a leitura errada do
número trinta e oito e escreveu trinta e dois, diante desse equívoco finalizou a outra operação
errada também.
A
15
A
19
fez uma certa confusão e acabou indicando duas operações diferentes, utilizando os
mesmos números, dessa forma não conseguiu atingir o resultado corretamente.
A
19
117
Finalmente A
7
que tentou fazer e acabou desistindo do problema, deixando-o sem
solução.
Na escola particular A
33
e A
36
indicaram as operações corretamente, porém erraram nos
cálculos.
A
33
A
36
A
38
indicou apenas uma operação de subtração e considerou o resultado encontrado
como a resposta final do problema.
A
38
Em resumo, os problemas 1,5 e 6, parecem ter sido mais fáceis que os anteriores,
diante do número de acertos que foram superiores a 75% nos três problemas. Acreditamos que
o pequeno número de erros apresentados nesses problemas esteve relacionado com a forma
118
que os textos se apresentaram, em que na própria leitura já ficava clara a possibilidade das
escolhas das operações.
Ao solicitarmos que os alunos fizessem a leitura, com intuito de identificarmos as
possíveis dificuldades no ato de ler, sugerimos que a leitura poderia ser silenciosa ou em voz
alta, e mais uma vez todos os alunos das duas escolas deram preferência pela leitura
silenciosa.
A partir da leitura, questionamos se os alunos entenderam os problemas 1, 5 e 6, e
verificamos que foi bastante significativa a quantidade de alunos que afirmaram não ter
dúvidas sobre os problemas, conforme mostra a tabela 24.
Tabela 24. Você entendeu os problemas 1, 5 e 6?
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
s mm s mm s mm
Escola Municipal 12 8 17 3 13 7
Escola Particular 19 1 16 4 18 2
Total 31 9 33 7 31 9
% 77,5 22,5 82,5 17,5 77,5 22,5
s = sim mm = mais ou menos
Com relação ao problema 1, a maioria dos alunos afirmou que havia compreendido o
problema, tanto na escola municipal como na escola particular.
Na escola municipal encontramos 12 alunos que afirmaram ter compreendido o
enunciado do problema, e 8 alunos que disseram que compreenderam “mais ou menos”; esses
alunos afirmaram que tinham alguma dúvida em relacionar a operação que deveriam utilizar
119
para solucionar o problema. Dos alunos que erraram o problema 1, A
5
afirmou ter entendido o
problema, A
11
e A
20
disseram ter entendido mais ou menos, porém não conseguiram resolvê-lo.
Enquanto na escola particular dos vinte alunos pesquisados, apenas um deles disse que
compreendeu “mais ou menos” o problema. Apesar disso encontramos A
26
, A
31
, A
34
que
afirmaram ter compreendido o problema e, no entanto não conseguiram encontrar uma solução
adequada.
No problema 5, constatamos que na escola municipal dezessete alunos afirmaram que
entenderam o problema. Três alunos dos que afirmam que entenderam mais ou menos o
problema, (A
4
, A
16
, A
17
), não erraram o resultado final. Enquanto os alunos que afirmaram que
o problema era fácil (A
3
e A
11
), acabaram errando a solução do mesmo.
Na escola particular dezesseis alunos afirmaram não ter dúvidas sobre esse problema e
os demais apresentaram alguma dificuldade para resolver o referido problema. Dos quatro
alunos (A
28
, A
29
, A
33
, A
39
) que afirmaram entender mais ou menos, todos acertaram a solução
do problema, enquanto os quatro alunos (A
25
, A
34
, A
36
, A
38
) que erraram, afirmaram que o
problema era fácil, o que nos parece um pouco contraditório. Nem sempre o aluno que afirma
ter entendido é o mesmo aluno que acerta a solução do problema.
No problema 6, constatamos que os alunos da escola municipal ainda apresentaram um
pouco mais de dúvidas se comparados aos alunos da escola particular. A
11
e A
15
afirmaram
que o problema era fácil, porém erraram a resolução do mesmo. Os alunos A
4
, A
12
e A
19
acharam que o problema era mais ou menos difícil e também não conseguiram chegar à
resposta correta. E finalmente A
7
que afirmou que o problema era difícil e realmente não
conseguiu resolvê-lo, apagando as tentativas que fez, deixando o problema sem solução.
120
Na escola particular verificamos um número bem baixo de alunos que apresentaram
algum tipo de dificuldade. A
28
disse que achou o problema mais ou menos difícil, mas ainda
assim conseguiu fazer a solução corretamente. Já A
33
, A
36
e A
38
afirmaram que o problema era
fácil, no entanto erraram a solução do problema. Os demais disseram que conseguiram
entender e resolveram o problema, obedecendo mais ou menos a mesma ordem das operações,
primeiramente somaram setenta e dois com trinta e oito e em seguida subtraíram noventa e
cinco de cento e dez, resultando quinze, que era a resposta do problema.
Sintetizando, dos alunos pesquisados 75% afirmaram não encontrar grandes
dificuldades para interpretar o problema 1, 5 e 6, Nesses problemas os alunos da escola
particular apresentaram melhor desempenho que a escola municipal. Essa facilidade admitida
pelos alunos para entender o problema pode ser interpretada como conseqüência da natureza
do texto, que apresenta as situações de forma seqüencial, deixando clara a possibilidade para
cada operação.
A partir da primeira leitura dos textos dos problemas, perguntamos se haveria
necessidade de fazer uma nova leitura, cujos resultados estão na tabela 25, a seguir.
Tabela 25. É necessário ler os problemas novamente?
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
s n s n s n
Escola Municipal 8 12 3 17 6 14
Escola Particular 1 19 4 16 2 18
Total 9 31 7 33 8 32
% 22,5 77,5 17,5 82,5 20 80
s = sim n = não
121
Quanto a ler novamente os problemas 1, 5 e 6, constatamos que a grande maioria dos
alunos optou por não fazê-lo, dado que consideramos como uma indicação da pouca
dificuldade com a leitura e interpretação que os problemas apresentaram.
Percebemos no problema 1 que 31 alunos (77,5%), alegaram não ser necessária uma
nova leitura, os demais alunos fizeram a opção em ler novamente. Na escola municipal 8
alunos afirmaram ser necessário ler novamente o problema, enquanto 12 acharam
desnecessária uma nova leitura. Na escola particular 19 alunos (47,5) optaram em não fazer
uma nova leitura.
Com relação ao problema 5, na escola municipal um número menor de alunos (apenas
três), sentiu a necessidade de fazer novamente a leitura. Na escola particular quatro alunos
sentiram a necessidade de ler novamente o problema 5, o que deu uma pequena diferença em
relação à outra escola.
Como nos demais problemas já analisados, todos os alunos tanto da escola municipal
como da escola particular disseram não encontrar nenhuma dificuldade em reconhecer as
palavras do enunciado do texto do problema. Porém a alegação de alguns alunos a respeito de
uma nova leitura estava relacionada à escolha das formas de solução do mesmo. Como
podemos observar na fala de A
3
quando disse que: a leitura é fácil, mas difícil é escolher a
conta.
No problema 6 poucos alunos manifestaram a necessidade de uma nova leitura. Na
escola municipal seis alunos (A
1
, A
2
, A
7
, A
12
, A
16
e A
17
) pediram para ler novamente, desses
alunos A
7
não fez o problema e A
12
errou. Na escola particular, apenas dois alunos (A
28
e A
29
)
optaram pela nova leitura e desses nenhum errou a solução do problema; A
33
e A
36
que não
pediram para ler novamente, erraram a solução do mesmo.
122
A partir da leitura, perguntamos aos alunos se havia palavras desconhecidas no
enunciado dos problemas e constatamos, como nos problemas anteriores, que nenhum aluno,
nas duas escolas, apresentou qualquer tipo de dúvidas a respeito das palavras que estavam no
texto dos problemas. A esse respeito destacamos a fala de A
7
que disse: Não são as palavras,
não consigo entender o que eu tenho que fazer e com qual número eu faço a conta.
Depois de verificar se existiam dúvidas quanto às palavras, solicitamos aos alunos que
desenhassem ou escrevessem o que haviam compreendido sobre os problemas 1, 5 e 6. Como
nos casos anteriores, a maioria preferiu escrever, ou seja, indicar as formas que solucionariam
os problemas, conforme mostra a tabela 26 .
Tabela 26. Do que entendeu, você poderia desenhar ou escrever o que os problemas estão
contando?
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
d e d e d e
Escola Municipal 10 10 5 15 5 15
Escola Particular - 20 - 20 - 20
Total 10 30 5 35 5 35
% 25 75 12,5 87,5 12,5 87,5
d = desenha e = escreve
Nos problemas 1, 5 e 6 constatamos que somente os alunos da escola municipal
conseguiram representar os problemas utilizando o recurso do desenho.
Verificamos no problema 1, que a maioria dos alunos, nas duas escolas, não conseguiu
representar o problema por meio do desenho. Na escola municipal metade dos alunos e a
totalidade na escola particular rejeitaram a representação do problema na forma de desenho.
123
Alguns alegaram que demoraria muito ou que não conseguiriam representar o problema
desenhando, ou que simplesmente não desejariam representar e sim prefeririam escrever
formas que indicassem a solução do problema.
Observando os desenhos, verificamos que os alunos utilizaram, também nesse caso,
dois tipos de representações:
1. Representação Pictórica Parcial - indicando apenas elementos ou
situações isoladas que são relatadas no enunciado do problema. No
problema 1, A
3
mostrou o movimento das mãos jogando figurinhas:
A
3
A
5,
A
7
, A
8
e A
20
indicaram a presença de crianças representando os personagens citados no
enunciado do problema:
A
5
A
7
A
8
A
20
124
E finalmente A
15
que apenas desenhou duas figurinhas:
A
15
2. Representação Pictórica indicando operação.
São situações nas quais os alunos desenharam figuras acompanhadas de operações
indicando as formas de solução que poderiam usar para resolver o problema. Encontramos
nesse grupo quatro alunos (A
1
, A
6
, A
9
e A
10
) que utilizaram este recurso para mostrar sua
interpretação por meio do desenho.
A
1
A
6
A
9
A
10
125
Nas explicações, dos alunos sobre os desenhos realizados, normalmente repetiam o
texto do problema procurando indicar alguma idéia que pudesse simbolizar a interpretação do
mesmo.
Na seqüência das perguntas sobre o problema 1, pedíamos àqueles alunos que não
desenharam, que explicassem o significado do que escreveram. Nesse grupo são dez alunos da
escola municipal, (25%) e vinte alunos da escola particular (50%).
Os alunos que optaram por escrever as formas de solução do problema, afirmaram que
seria difícil representar o problema por meio do desenho, como podemos observar nas falas de
alguns alunos: Vou tentar desenhar se não conseguir vou escrever (A
2
). Não quero desenhar
(A
4
). Tenho dificuldade para desenhar o que o problema conta (A
19
).
No problema 5, encontramos apenas cinco alunos que usaram a representação
pictórica. Desses A
1
e A
9
indicaram operações que poderiam solucionar o problema.
A
1
A
9
fez seus desenhos indicando grupos em que mostrava o número de passageiros que
subiram e desceram do ônibus, juntamente com as operações correspondentes a cada
indicação.
126
A
9
Enquanto A
2
, A
3
, A
20
, apenas indicaram desenhos que relacionavam alguma idéia que o
problema relatava e paralelamente resolveram as operações que seriam as soluções do
problema.
A
2
A
3
A
20.
Quanto ao problema 6, verificamos que na escola municipal cinco alunos conseguiram
representar sua interpretação utilizando o recurso do desenho, o que significa que a grande
maioria dos alunos não conseguiu utilizar essa representação.
Dos alunos que utilizaram o desenho, em que sua representação tem algum fato
relacionado ao texto do problema, A
1
simbolizou os fios juntamente com as operações
relativas ao que estava sendo contado no texto do problema.
127
A
1
A
2
, A
3
, A
9
, A
20
, fizeram seus desenhos demonstrando alguma relação do texto do
problema sem fazer nenhuma indicação de operação.
A
2
A
3
A
9
A
20
Na escola particular, também nesse problema, não encontramos nenhum aluno que se
habilitasse a representá-lo utilizando o recurso do desenho.
Concluindo, como nos problemas anteriores, mesmo nesse caso, em que os problemas
pareceram mais fáceis, o recurso de representações pictóricas foi pouco explorado pelos
alunos e quando o fizeram houve uma grande dificuldade de reproduzir representações que
128
seriam indicações das operações que poderiam resolver os problemas. Ao observarmos como
os alunos explicavam seus desenhos, esse fato se tornou mais evidente.
A partir dos desenhos, solicitamos aos alunos que explicassem os seus significados e
observamos que nas explicações eles repetiam o que era relatado no enunciado do problema,
conforme tabela 27 a seguir.
Tabela 27. Explique o que você desenhou.
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
rp o rp o rp o
Escola Municipal 7 3 3 2 4 1
Escola Particular - - - - - -
Total 7 3 3 2 4 1
% 17,5 7,5 7,5 5 10 2,5
rp = representação parcial o = representação da operação
Ao fazer as explicações dos desenhos do problema 1, os alunos repetiam o enunciado
do problema. A explicação de A
1
foi pautada na própria descrição e seqüência proposta pelo
texto do problema, ou seja “tinha 218 figurinhas, jogando a 1ª partida perdeu 74, e jogando a
2ª partida ganhou 87”; essa também foi a explicação de A
10
, embora não tenha indicado os
sinais das operações, ele afirmou que: “na primeira parte do desenho mostrei Rogério quando
perdeu para Pedro e na segunda parte do desenho mostrei Rogério quando ganhou de
Francisco”. Por outro lado, seis alunos (A
3
, A
5
, A
6
, A
7
, A
8
, A
20
), utilizaram a representação
pictórica indicando situações que relacionavam o enunciado do problema. Como podemos
observar na fala do A
1
: Ele jogou, perdeu 74 figurinhas e jogou de novo e ganhou 87
figurinhas. Ou ainda a fala do A
3
: Que Rogério jogou e perdeu para Pedro 74 figurinhas e
129
jogando com Francisco ganhou 87 figurinhas. Diante das falas dos alunos, pudemos perceber
que a explicação sobre o desenho é uma extensão do próprio texto do problema.
Nas explicações sobre o problema 5, os alunos repetiam trechos do enunciado do
problema, em que relacionavam as formas de solução conforme a seqüência estabelecida no
próprio texto. Temos como exemplo as falas dos seguintes alunos:
• Do ônibus de quarenta e cindo, tirei treze depois somei 8, daí tirei três e depois
somei doze. A viagem terminou com quarenta e nove passageiros (A
1
).
• Que o ônibus ficou no final com quarenta e nove passageiros (A
2
).
• Que o ônibus chegou com vinte passageiros (A
3
).
• No ônibus entraram oito e depois doze pessoas, e saíram treze e depois três e
no final chegou com quarenta e nove pessoas (A
9
).
• Que o ônibus parou em dois pontos, aí desceram e subiram gente e acabou a
viagem com quarenta e nove passageiros (A
20
).
Quanto ao problema 6, na representação de A
1
encontramos uma indicação das
operações que o próprio problema sugere, como podemos observar em sua fala: que Juca
tinha 72 m de fio, comprou 38, aí eu somei e ele usou 95, daí eu subtraí.
A
1
A
2
explicou que em seu desenho tinha uma pessoa que simbolizava o Juca e um
aparelho que simbolizava um alicate para cortar o fio.
130
A
2
A
3
procurou explicar que tenha um balcão onde fez a
indicação de um caixa e um rolo de fio ao lado. Na sua fala ele afirma que: ele vai comprar
mais um pouco de fio pra completar o que faltou.
A
3
A
9
fez uma indicação demonstrando as quantidades adicionadas e a quantidade que
diminuiu e finalmente o que restou.
A
9
E A
20
desenhou um homem com os fios pendurados no braço e não conseguiu explicar
muito bem o significado do seu desenho, apenas disse: é o Juca segurando os fios que ele
comprou.
A
20
131
Os alunos que fizeram a opção pela escrita, ou seja, que representaram a solução do
problema relatando seu modo de solução, em suas explicações apenas descreveram os relatos
do próprio texto, conforme podemos observar nas seguintes falas:
• Eu escrevi que Juca tinha 72 m e comprou 38 m, aí eu somei, depois ele gastou
95 m, aí eu peguei 110 e tirei 95 e encontrei 15 m (A
8
).
• Eu somei 72 com 32 e diminuí 95 e deu 9 (A
15
).
• Somei 72 m com 38 m e achei 110, depois subtraí 95 de 110 e achei 15, que é o
resultado (A
27
).
• Peguei 72 e somei com 38 e deu 110, depois tirei 95 e restaram 25 m (A
33
).
Suas falas expressam exatamente as suas escritas, conforme suas indicações com
acertos e erros.
Solicitados aos alunos que respondessem quais as operações que melhor resolveriam
os problemas 1, 5 e 6, as respostas são mostradas na tabela 28, a seguir.
Tabela 28. Você saberia me dizer qual(s) operação(s) poderia utilizar para resolver esses
problemas?
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
as s a sa s a as a s nf
Escola Municipal 19 17 1 19 18 1 19 14 - 1
Escola Particular 20 17 - 19 15 1 19 18 1 -
Total 39 34 - 38 33 2 38 32 1 1
% 97,5 85 2,5 95 82,5 5 95 80 2,5 2,5
132
as = adição e subtração a = adição s = subtração nf = não fez
Verificamos nos problemas 1, 5 e 6, nas duas escolas, que o maior número de
escolhas, dos alunos, foi a adição e subtração. Para os três problemas o percentual ultrapassou
90%.
A partir desses dados criamos uma tabela em que apresentamos a relação entre as
escolhas das operações e os acertos e erros desses alunos.
Tabela 29. Acertos e erros dos alunos da escola municipal, mediante escolhas das operações que
resolveriam os problemas 1, 5 e 6
Tipos de operações
P1 P5 P6
a e a e a e
Subtração e adição 17 2 18 1 14 5
Adição 0 1 0 1 - -
Total 17 3 18 2 14 5
a = acertos e = erros
*Um aluno não fez o problema 6.
Nesses problemas, pela própria seqüência textual, as operações que melhor os
resolveriam seriam a adição e a subtração. Diante dessas evidências verificamos que a maioria
dos alunos optou por essas operações, o que os levou a um melhor desempenho nos mesmos.
Na escola municipal, dezenove alunos (47,5%) escolheram a subtração e adição como
solução desse problema, sendo que dezessete alunos acertaram a solução do mesmo. Desses
A
5
e A
20
erraram a solução do problema 1. Apenas um aluno (A
11
) escolheu a adição e não
conseguiu resolver o problema.
No problema 5 a maioria dos alunos (95%) escolheu a subtração e adição. Somente A
3
escolheu a adição e errou a solução do problema.
133
No problema 6 dezenove alunos (97,5%), escolheram a adição e subtração, desses A
4
,
A
11
, A
12
, A
15
, A
19
, erraram a solução do problema. Ainda nesse problema A
7
não conseguiu
fazer nenhuma operação.
Tabela 30. Acertos e erros dos alunos da escola particular, mediante escolhas das operações que
resolveriam os problemas 1, 5 e 6.
Tipos de operações
P1 P5 P6
a e a e a e
Subtração e adição 17 3 16 4 17 2
Subtração - - - - 0 1
Total 17 3 16 4 17 3
a = acertos e = erros
Na escola particular, no problema 1, os vinte alunos disseram que a subtração e
a adição seriam as operações que resolveriam esse problema, desses A
26
, A
31
, A
40
erraram ao
resolvê-lo.
No problema 5, todos os alunos disseram que a subtração e a adição resolveriam o
problema. Desses alunos, A
25
, A
34
, A
36
, A
38
erraram a solução do referido problema.
No problema 6, dezenove alunos disseram que as operações que resolveriam esse
problema seria adição e subtração, desses, A
33
, A
36
erraram ao resolvê-lo. E finalmente A
38
que
escolheu a subtração e errou ao efetuá-lo.
Depois de escolhidas as operações solicitamos aos alunos que nos indicassem a
sentença matemática com o propósito de verificar sua interpretação, e constatamos que poucos
134
alunos utilizaram esse recurso para representar os problemas 1, 5 e 6, conforme tabela 31 a
seguir.
Tabela 31. Indique a sentença matemática para depois resolver os problemas.
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
n e n e n e
Escola Municipal 14 6 16 4 17 3
Escola Particular 20 - 20 - 20 -
Total 34 6 36 4 37 3
% 85 15 90 10 92,5 7,5
n = não sabe e = expressão numérica
Na escola municipal, o problema 1 apresentou um número significativo de alunos que
alegaram não saber utilizar essa representação, porém seis alunos (A
1
, A
5
, A
9
, A
12
, A
14
, A
15
)
conseguiram indicar adequadamente. Embora essa indicação ficou voltada a uma expressão
numérica, como podemos observar nos exemplos de A
9
, A
12
e A
15
.
A
9
A
12
A
15
135
Na escola particular, a totalidade dos alunos alegou não saber como indicar e muitos
deles afirmaram “nunca ter ouvido falar em sentença matemática”.
Na escola municipal no problema 5, dezesseis alunos (40%) responderam que não
sabiam indicar a sentença matemática. Os quatro alunos que indicaram (A
1
, A
12
, A
14
, A
15
),
fizeram em forma de expressão numérica como podemos observar nas suas escritas.
A
1
A
12
A
14
A
15
136
Na escola particular, mais uma vez, nenhum aluno optou pela indicação da sentença
matemática. Nesse problema, os alunos afirmaram que não conheciam essa forma de
indicação.
No problema 6 apenas três alunos, da escola municipal, fizeram a tentativa de
representar por meio da sentença matemática; os demais alunos alegaram não saber utilizar
esse tipo de representação.
Os alunos que o fizeram indicaram em forma de expressão numérica, como podemos
observar nos escritos de A
1
, A
12
e A
15
.
A
1
A
12
A
15
Perguntamos aos alunos quanto à dificuldade de interpretação do problema 1, 5 e 6, e
verificamos, conforme suas opiniões, que a maioria não encontrou dificuldades nesses
problemas. Os dados estão apresentados na tabela 32, a seguir.
137
Tabela 32. Você achou os problemas difíceis?
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
f mm d f mm d f mm d
Escola Municipal 14 5 1 17 1 2 13 6 1
Escola Particular 19 1 19 1 - 20 - -
Total 33 6 1 36 2 2 33 6 1
% 82,5 15 2,5 90 5 5 82,5 15 2,5
f = fácil mm = mais ou menos d = difícil
Na escola municipal quatorze alunos (35%) acharam o problema 1 “fácil”, porém cinco
(12,5%) deles consideraram ser “mais ou menos difícil” e apenas um considerou “difícil”.
Na escola particular, dezenove alunos (47,5%) acharam o problema 1 “fácil” e apenas
um aluno considerou que o problema era “mais ou menos difícil”.
No problema 5 constatamos que na escola municipal três alunos (7,5%) disseram ter
encontrado poucas dificuldades para interpretar esse problema, porém dezessete (42,5%)
disseram não ter encontrado nenhuma dificuldade.
Na escola particular verificamos uma redução significativa do número de alunos que
apresentaram dúvidas na interpretação no problema 5. Mas em contrapartida constatamos que
embora a maioria dos alunos tenha afirmado não ter encontrado dificuldades na leitura e
interpretação desse problema, o número de erros foi maior do que o registrado na escola
municipal.
No problema 6 verificamos na escola municipal que apenas um aluno (A
7
), disse que
encontrou dificuldades para interpretar esse problema, de tal modo que não conseguiu resolvê-
lo.
138
Seis alunos (A
1
, A
4
, A
12
, A
16
, A
17
, A
19
) disseram ter algumas dificuldades na
interpretação, quando diziam que o problema era “mais ou menos difícil”, os demais
afirmaram não ter encontrado nenhuma dificuldade para interpretar o referido problema.
Na escola particular todos os alunos afirmaram não ter encontrado nenhuma
dificuldade na interpretação desse problema, mas vale lembrar que embora esses alunos
tenham afirmado que não encontraram dificuldades para interpretá-lo, ainda assim tivemos
três alunos (A
33
e A
36
e A
38
)
que erraram a solução do problema 6.
As dificuldades encontradas nos problemas 1, 5 e 6, conforme opinião dos alunos,
mostra que muitos deles alegaram não ter encontrado nenhuma dificuldade para interpretar
esses problemas, o que se observa na tabela 33.
Tabela 33. Qual foi a sua maior dificuldade?
Escolas
Problemas
P1 P5 P6
ro n ro n ro n
Escola Municipal 6 14 4 16 7 13
Escola Particular 1 19 3 17 2 18
Total 7 33 7 33 9 31
% 17,5 82,5 17,5 82,5 22,5 77,5
ro = relacionar as operações n = nenhuma dificuldade
Na escola municipal os alunos que consideraram o problema 1 “mais ou menos difícil”,
alegaram que a dificuldade estava relacionada a interpretar e identificar qual seria as formas de
solução a empregar para resolvê-lo. Destacamos, conforme essa informação os relatos de
alguns alunos no que se refere a essa alegação:
A
7
– Achei difícil entender o problema.
P – Que tipo de dificuldade você encontrou?
139
A
7 –
descobrir a conta.
P – Na segunda leitura ficou mais claro?
A
7
– Sim, acho que consegui.
Ainda nesta mesma linha de argumentos temos A
14
, A
16
, A
19
e A
20
que dizem:
A
14
– Achei complicado descobrir que cálculo eu ia fazer primeiro.
A
16
– Tive que ler duas vezes para entender qual era a conta.
A
19
– Precisei ler duas vezes, porque não estava entendendo que conta eu tinha que fazer.
A
20
– Tive que ler mais de uma vez porque tinha dúvidas para descobrir as contas.
O problema 5, nas duas escolas, apresentou pouca dificuldade na leitura e interpretação
por parte dos alunos, algumas dificuldades apontadas por eles tinham relação com a
quantidade de passageiros e também no momento da escolha das formas de solução, como
observamos em algumas falas dos alunos:
• Complicou um pouco esse sobe e desce, tenho que somar diminuir, aí me confundiu
(A
4
).
• Achei difícil, muitas contas, li duas vezes porque quando tem muitos números, eu faço
confusão (A
17
).
• Tem muitos números, daí eu tive que ler mais uma vez para saber que conta eu ia
fazer (A
33
).
• No começo achei que ia ser difícil porque teria que fazer muitas contas, mas no final
foi facinho (A
39
).
• Tive que ler mais de uma vez para descobrir a conta (A
16
).
140
Quanto ao problema 6, na escola municipal sete alunos manifestaram dificuldades na
interpretação, e na escola particular, embora os alunos não tenham achado o problema difícil,
encontramos dois alunos que alegaram algum tipo de dificuldade para interpretar as formas de
solução do problema. Mostramos as falas de alguns alunos exemplificando esse fato:
• Achei difícil descobrir qual era a conta (A
1
, A
28
e A
29
).
• Complicou um pouco e eu não sabia se somava ou diminuía, tive que ler umas
cinco vezes (A
19
).
• Fazer as contas, eu tentei fazer só que não entendi direito, acho que errei a
conta e apaguei tudo (A
7
).
• Tive que ler duas vezes para entender o que o problema queria dizer (A
12
).
Nos problemas 1, 5 e 6 verificamos, conforme as falas dos alunos, que a leitura e
interpretação do texto dos problemas não foram difíceis, pelas razões já apontadas. Porém
algumas dificuldades encontradas podem ser advindas do fato de que nos problemas de
transformações de estados, pela própria natureza das situações apresentadas é preciso haver
um raciocínio recorrencial que, muitas vezes pode confundir o aluno e levá-lo a se perder na
seqüência das operações a serem realizadas.
141
4.4 VISÃO GERAL DOS RESULTADOS.
A seguir apresentaremos uma síntese geral dos dados que nos permite ter um panorama geral
dos resultados em todos os problemas.
Tabela 34. Número de acertos e erros relativos aos seis problemas dos alunos da escola municipal
e particular.
Tipos de
relações das
estruturas
aditivas
Problemas
Escola Municipal Escola Particular Totais
a e nf a e nf a % e % nf %
2ª
Transformação
de estados
P2 8 12 - 16 4 - 24 60 16 40 - -
3ª
Comparação
de estados
P3 7 13 – 17 3 – 24 60 16 40 – –
P4 4 14 2 9 11 – 13 32,5 25 62,5 2 5
4ª
Composição de
duas
transformações
P1 17 3 – 17 3 – 34 85 6 15 – –
P5 18 2 – 16 4 – 34 85 6 15 – –
P6 14 5 1 17 3 – 31 77,5 8 20 1 2,5
142
Total 68 49 3 92 28 – 160 66,7 77 32,1 3 1,2
a= acertos e = erros nf = não fizeram
O problema 2 tratava do segundo tipo de relações – transformação de estados,
conforme as seis relações de base descritas por Vergnaud (1981).
Na escola municipal, verificamos que o número de acertos foi pequeno no problema 2,
enquanto a escola particular apresentou um número significativo de acertos chegando ao dobro
dos acertos da escola municipal.
Nesse problema os alunos que erraram alegaram dificuldades na interpretação para a
escolha adequada das formas de solução para resolvê-lo.
Os problemas 3 e 4 estavam associados ao quarto tipo das relações de base do campo
conceitual das estruturas aditivas descritas por Vergnaud (1981), que é a comparação de
estados.
Na escola municipal nos problemas 3 e 4, verificamos que muitos alunos erraram esses
problemas. Na escola particular o problema 3 apresentou um número de acertos maior que o
problema 4.
No problema 4 verificamos que alguns alunos disseram ter encontrado dificuldades na
interpretação do problema, visto que muitos dos que erraram escolheram apenas uma
subtração para resolver o referido problema.
Esse problema apresentou o maior número de erros tanto na escola municipal quanto na escola
particular.
Os problemas 1, 5 e 6 estavam associados ao quarto tipo de relações (composição de
duas transformações). Conforme as seis relações de base descritas por Vergnaud (1981).
143
Esses três problemas, segundo os alunos, não apresentaram dificuldades na leitura e
interpretação, visto que seus resultados mostram um número significativo de acertos.
Quando perguntamos sobre a interpretação dos problemas, verificamos que os alunos
da escola municipal apresentaram um pouco mais de dificuldades em relação à escola
particular, conforme tabela 35 abaixo.
Tabela 35. Você entendeu os problemas?
Escola Municipal Escola Particular
Problemas P2 P3 P4 P1 P5 P6 P2 P3 P4 P1 P5 P6
Sim 8 8 6 12 17 13 10 16 9 19 16 18
Mais ou menos 12 12 14 8 3 7 10 4 11 1 4 2
Total 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
No que se refere à interpretação dos problemas, verificamos que na escola municipal o
problema que apresentou um maior número de alunos afirmando que compreenderam, foi o
problema 5, visto que apresentou maior número de acertos. Dos vinte alunos pesquisados
apenas dois erraram o referido problema.
Na escola particular os problemas que apresentaram os melhores índices na
interpretação, segundo os acertos dos alunos, foram os problemas 1, 3 e 6.
O problema que apresentou a maior dificuldade na interpretação, nas duas escolas, foi
o problema 4. Na escola municipal somente seis alunos alegaram ter compreendido esse
problema, dado que apenas quatro alunos conseguiram acertá-lo.
144
Na escola particular, dos vinte alunos pesquisados, nove alunos afirmaram que
compreenderam o problema 4 e conseguiram acertá-lo. Os alunos A
26
, A
31
, A
38
, A
39
, A
40
que
afirmaram que o problema era fácil, erraram sua solução.
Quando perguntamos se seria necessário ler novamente, verificamos que a escola
municipal apresentou um número maior de alunos que optaram pela nova leitura, conforme
tabela 36 abaixo.
Tabela 36. É necessário ler os problemas novamente?
Escola Municipal Escola Particular
Problemas P2 P3 P4 P1 P5 P6 P2 P3 P4 P1 P5 P6
Sim
12 11 13 8 3 6 9 4 10 1 4 2
Não
8 9 7 12 17 14 11 16 10 19 16 18
Total
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Constatamos que os alunos da escola municipal manifestaram maior interesse em fazer
uma nova leitura dos problemas, sendo que o problema que apresentou a maior solicitação de
uma nova leitura, foi o problema 4.
Na escola particular, a grande maioria dos alunos não sentiu a necessidade de uma
nova leitura. Porém, no problema 4, os alunos manifestaram interesse em ler novamente.
Ao perguntarmos se existiam palavras desconhecidas, nos textos dos problemas,
verificamos que todos os alunos pesquisados, nas duas escolas, foram unânimes em afirmar
que todas as palavras eram do seu conhecimento.
A partir da leitura dos problemas solicitamos aos alunos que desenhassem ou
escrevessem o que haviam interpretado nos problemas, conforme a tabela 37 abaixo.
145
Tabela 37. Do que entendeu, você poderia desenhar ou escrever o que os problemas estão
contando?
Escola Municipal Escola Particular
Problemas P2 P3 P4 P1 P5 P6 P2 P3 P4 P1 P5 P6
Desenha
7 8 5 9 5 5 - - - - - -
Escreve
13 12 15 11 15 15 20 20 20 20 20 20
Total
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Nesta pergunta, foi curioso que nenhum aluno da escola particular manifestou interesse
em fazer opção pelo desenho, enquanto na escola municipal em todos os problemas,
encontramos alunos dispostos a utilizar esse recurso para manifestar suas formas de interpretar
os problemas. Embora poucos alunos tenham utilizado essa representação. Muitos deles
alegaram que era difícil mostrar por desenho o que tinham interpretado do problema, e que
desenhar demoraria muito tempo.
Dentre os alunos que fizeram os desenhos, existem aqueles que representaram a
indicação de operação e outros que indicaram situações que são relatadas no enunciado de
cada problema.
Aos alunos que desenharam, solicitamos que explicassem o significado dos seus
desenhos, conforme tabela 38 abaixo.
146
Tabela 38. Explique o que você desenhou.
Escola Municipal Escola Particular
Problemas P2 P3 P4 P1 P5 P6 P2 P3 P4 P1 P5 P6
Representação da operação
1 1 1 3 2 1 - - - - - -
Representação parcial
6 5 4 7 3 4 - - - - - -
Total
7 6 5 10 5 5 - - - - - -
Ao explicarem o que haviam desenhado, normalmente os alunos repetiam suas
indicações, tentando justificar a relação do desenho com o problema, ou seja, repetiam o texto
do próprio problema.
Na escola particular houve uma unanimidade, dos alunos, em não utilizar o recurso do
desenho para demonstrar alguma forma de interpretação dos problemas. Os alunos da escola
particular alegaram que representar a história do problema, por meio do desenho, demandaria
muito tempo e que seria difícil expressar sua compreensão por meio desse recurso.
Os alunos que optaram por escrever entenderam que “escrever” seria indicar as
operações necessárias para a solução dos problemas. Esse fato ocorreu tanto na escola
municipal quanto na escola particular.
Solicitamos aos alunos que indicassem as operações que solucionariam os problemas,
conforme tabela 39 a seguir.
Tabela 39. Você saberia me dizer qual (s) operação (s) poderia utilizar para resolver esses
problemas?
147
Escola Municipal Escola Particular
Problemas P2 P3 P4 P1 P5 P6 P2 P3 P4 P1 P5 P6
Adição e Subtração
13 10 6 19 18 18 15 8 7 20 19 16
Adição 2 8 1 1 2 - 2 10 - - 1 1
Subtração
3 2 11 - - 1 3 2 13 - - 3
Sem resposta
2 - 2 - - 1 - - - - - -
Nesses problemas consideramos que os alunos poderiam utilizar no conjunto dos
números naturais as seguintes formas de soluções aritméticas para resolvê-lo:
Problema 1
• 1ª (218 – 74) + 87 = 231
• 2ª (218 + 87) – 74 = 231
• 3ª 218 + (87 – 74) = 231
Problema 2
• 1ª (100 – 84) + (100 – 76) + (100 – 65) = 75
• 2ª (100 + 100+ 100) – (84 + 76 + 65) = 75
• 3ª (100 x 3) - (84 + 76 + 65) = 75
Problema 3
• 1ª (165 + 17) – (165 + 15) = 2
• 2ª 17 – 15 = 2
Problema 4
• 1ª (19 - 6) -5 = 12
Problema 5
• 1ª 45 – 13 + 8 – 3 + 12 = 49
• 2ª 45 + (8 +12) – (13 + 3) = 49
148
Problema 6
• 1ª (72 + 38) – 95 = 15
Para a resolução dos seis problemas os alunos poderiam usar uma das formas das
soluções descritas acima. Diante dessas possibilidades encontramos um grande número de
alunos, nas duas escolas, que escolheram as operações que melhor resolveriam os problemas,
porém a escolha não garantiu o acerto dos problemas, como podemos observar no problema 1,
em que dezenove alunos da escola municipal e todos da escola particular escolheram a adição
e subtração. No entanto, trinta e quatro alunos, das duas escolas, acertam a solução do
problema.
Verificamos ainda que o problema 3 apresentou uma diferença na escolha das
operações, nas duas escolas: na escola municipal houve um maior número de alunos que
escolheram a adição e subtração e na escola particular a maior escolha foi pela adição.
A partir da escolha da operação, para resolver os problemas, solicitamos aos alunos
que indicassem a sentença matemática antes de resolver os problemas, conforme mostra a
tabela 40 a seguir.
Tabela 40. Indique a sentença matemática para depois resolver o problema.
Escola Municipal Escola Particular
Problemas P2 P3 P4 P1 P5 P6 P2 P3 P4 P1 P5 P6
149
Não sabe 18 19 18 16 17 17 20 20 20 20 20 20
Indica em forma de expressão numérica 2 1 1 4 3 2 - - - - - -
Indica inadequadamente - - 1 - - 1 - - - - - -
Total 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Constatamos nessa pergunta que apenas os alunos da escola municipal fizeram a
tentativa de indicar a sentença matemática, sendo que a maioria deles alegou não saber. Os
alunos que fizeram a indicação da sentença matemática fizeram com as formas de uma
expressão numérica.
Dos problemas que os alunos representaram em forma de expressões numéricas, o P1
foi o que teve o maior número de indicações e P3 foi o de menor indicação, com apenas um
aluno fazendo a tentativa.
Na escola particular, verificamos que todos os alunos não conseguiram indicar a
sentença matemática. O que os alunos alegaram era que nunca tinham ouvido falar em
sentença matemática.
Solicitamos aos alunos que nos indicassem suas dificuldades encontradas nos seis
problemas, conforme tabela 41.
Tabela 41. Você achou os problemas difíceis?
Escola Municipal Escola Particular
Problemas P2 P3 P4 P1 P5 P6 P2 P3 P4 P1 P5 P6
Sim
3 1 3 1 2 1 - - - - - -
150
Mais ou menos
8 9 9 5 1 6 10 4 8 1 1 1
Não
9 10 8 14 17 13 10 16 12 19 19 19
Total
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Tivemos poucos alunos que afirmaram ter encontrado dificuldades na interpretação dos
seis problemas. Na escola municipal o problema que apresentou o menor número de alunos
com dificuldades na interpretação foi o problema 1. Tivemos alguns alunos que acharam os
problemas “difíceis”, outros “mais ou menos” e a maioria afirmou não ter encontrado
dificuldades para compreender os problemas.
Embora os alunos tenham afirmado que não encontraram muitas dificuldades na
interpretação dos problemas, verificamos que muitos dos que afirmaram “terem entendido” ou
“entendido mais ou menos”, mesmo assim ainda ocorreram erros nos problemas.
Na escola particular, nenhum aluno afirmou que os problemas eram difíceis, alguns
alegaram que os problemas eram “mais ou menos difíceis” e a grande maioria alegou não ter
nenhuma dificuldade para interpretar os problemas. Verificamos que os problemas 1,5 e 6
foram os problemas que os alunos consideraram mais fáceis.
Assim como na escola municipal, na escola particular também encontramos alunos que
afirmaram não ter encontrado dificuldades na interpretação dos problemas e mesmo assim
acabaram errando a solução de alguns deles.
Tabela 42. Qual foi a sua maior dificuldade?
Escola Municipal Escola Particular
Problemas P2 P3 P4 P1 P5 P6 P2 P3 P4 P1 P5 P6
Entender os problemas e
relacionar as operações
11 10 12 6 4 7 11 4 10 1 3 2
151
Nenhuma dificuldade
9 10 8 14 16 13 9 16 10 19 17 18
Total
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Verificamos, nas duas escolas, que a maioria dos alunos pesquisados alegou não ter
encontrado dificuldades na interpretação dos seis problemas.
Na escola municipal o problema que menos dificuldades apresentou na interpretação
foi o problema 5 e na escola particular foi o problema 1.
A alegação mais registrada, conforme os alunos, foi que a dificuldade encontrada
estava relacionada com a escolha das formas de solução dos problemas.
Segundo a opinião dos alunos, na leitura, não encontraram muitas dificuldades para
interpretar a maioria dos problemas, porém disseram que foi meio complicado relacionar as
formas de solução para resolvê-los.
CAPÍTULO V
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS DA PESQUISA
152
A realização desta pesquisa teve como objetivo analisar se há relação entre a leitura,
interpretação, as formas de solução e o desempenho de problemas matemáticos de estruturas
aditivas por alunos de 4ª série de uma escola municipal e de uma escola particular.
Neste trabalho queremos mostrar que ler e interpretar um problema apresenta muitas
variações, pois dominar o código da língua não é suficiente para entender os significados. O
domínio dos significados depende do desenvolvimento de esquemas do pensamento capazes
de coordenar relações que pertencem a um campo conceitual. Assim ler um texto de
matemática é diferente de ler textos de outra natureza. Ler no sentido estrito ou decodificar
não garante que se façam interpretações corretas. As palavras são polissêmicas e seu
significado varia conforme o contexto e apreensão do significado depende do leitor e de seus
esquemas.
Em síntese os dados apresentados serão discutidos priorizando dois aspectos:
A - interpretação dos problemas conforme as relações de base das estruturas aditivas:
B - características marcantes na resolução dos problemas dos alunos das duas escolas.
A - Interpretação dos problemas conforme as relações de base das estruturas aditivas
A discussão dos resultados obtida será feita conforme as contribuições dos autores de
referência nessa temática e os problemas selecionados para essa pesquisa, quais sejam:
- do segundo tipo de relações de base do campo conceitual das estruturas aditivas
descritas por Vergnaud (1981), em que apresentamos os resultados do problema 2;
- do terceiro tipo de relação de base, com os problemas 3 e 4;
153
- finalmente do quarto tipo de relação de base, com os problemas 1, 5 e 6.
Na discussão dos dados vamos priorizar alguns aspectos ou questões que nos
pareceram mais evidentes e relevantes, tendo em vista a categorização das respostas dos
alunos aos problemas. As questões a serem discutidas são indicadoras do processo de leitura e
interpretação dos problemas.
1- Desempenho dos alunos nos problemas relativos às diferentes relações de
base das estruturas aditivas;
2- As representações das soluções utilizadas pelos alunos;
3- As formas de solução e suas relações com o desempenho;
4- As dificuldades de leitura, interpretação e resolução dos problemas segundo
os alunos.
Analisaremos o desempenho conforme os acertos e erros dos problemas de cada um
dos três tipos de relações de base do campo conceitual das estruturas aditivas, citadas
anteriormente.
Nos problemas do segundo tipo de relação (transformação de estados), quando
observamos o problema 2, verificamos que o número de acertos foi de 60%. Os alunos
conseguiram relacionar as formas de solução que os levaram a resolver corretamente,
enquanto os demais alunos apresentaram algum tipo de dificuldade na interpretação,
impedindo-os que fizessem a escolha adequada das formas de solução que acabou levando-os
ao erro.
Nesse problema os alunos apresentaram dificuldades na interpretação, com relação ao
enunciado quando leram: “usei cadernos de 100 folhas para Matemática, Ciências e Estudos
Sociais”, os alunos perguntavam se era um só caderno para as três disciplinas, ou se eram três
cadernos, um para cada disciplina. Diante dessa pergunta de alguns alunos, verificamos que
154
houve uma dificuldade na interpretação do texto do problema, o que os levou a ter dúvidas na
compreensão do mesmo. Baseada nessa dificuldade da leitura, Candido (2001, p.23) diz que:
“A escrita em matemática seria uma forma mais sofisticada da escrita, uma
vez que a idéia implícita na elaboração e na sistematização da linguagem
matemática é que ela seja mais concisa e precisa que a linguagem usual no
sentido de eliminar qualquer possibilidade de dubiedade em sua
interpretação”.
Nos pareceu que a apresentação do texto do problema 2 acabou levando os alunos a
uma certa confusão na tomada de decisão para solucioná-lo. O que nos leva a pensar na
relação da linguagem natural com a linguagem matemática, que muitas vezes por não ter um
bom domínio sobre esta última, a leitura do problema acaba sofrendo um certo prejuízo na sua
interpretação, conforme podemos ver em Teberosky e Tolchinsky (1997, p. 260):
A linguagem matemática envolve a “tradução” da linguagem natural para
uma linguagem universal formalizada, permitindo a abstração do essencial
das relações matemáticas envolvidas, bem como o aumento do rigor
gerado pelo estrito significado dos termos. Na linguagem natural, o
sentido das palavras é muito mais vago e impreciso; termos como
comprido, estreito, largo, pequeno, grande, muito, etc., que fazem parte da
linguagem natural para expressar magnitudes, não se aplicam numa
linguagem formalizada.
Os problemas 3 e 4 correspondem ao terceiro tipo de relações de base do campo
conceitual das estruturas aditivas que é a comparação de dois estados.
No problema 3 constatamos um número acentuado de alunos na escola municipal que
não conseguiram acertar esse problema. Enquanto na escola particular esse número não foi tão
significativo.
155
O problema 4, nas duas escolas, foi o que apresentou as maiores dificuldades na
interpretação das formas de solução, apresentando 62,5% de erros. Nesse problema alguns
alunos alegaram não entender o que fazer com os três números sugeridos no texto, como
podemos verificar na fala de A
1
quando disse: “não entendi porque o problema fala de três
idades e eu só fiz dezoito menos seis”.
Os problemas 1, 5 e 6 apresentaram o maior número de acertos tanto na escola
municipal como na escola particular.
No problema 1, 85% dos alunos pesquisados, responderam corretamente. Verificamos
que o texto do problema 1 era bastante familiar para esses alunos, talvez por se tratar de uma
brincadeira comum a essa faixa etária, o jogo de figurinhas. Ou ainda por se tratar de um
problema que em seu próprio texto já apresentava uma seqüência que facilitou a interpretação
do mesmo. Nesse sentido Granell (1998, p.25) afirma que:
Há evidências que os conhecimentos não-formais adquiridos por meio da
experiência cotidiana sempre são de caráter aditivo, e que o aparecimento de
procedimentos multiplicativos ou mais complexos está vinculado à
existência de instrução formal.
Na escola municipal o problema 5 foi o que apresentou o maior número de acertos.
Nesse problema os alunos reclamaram da quantidade de números apresentada em seu texto,
porém não consideraram um problema difícil.
Na escola particular o número de acertos também foi significativo. Os erros
apresentados não estavam relacionados com a interpretação, mas sim com pequenos equívocos
cometidos nas formas de solução das operações.
156
O problema 6, na escola municipal e na escola particular apresentou um número
elevado de acertos.
Segundo opinião dos alunos, os problemas 1, 5 e 6 não apresentam dificuldades na sua
interpretação. Talvez essa facilidade na compreensão esteja associada à escrita do problema e
as transformações que são identificadas de forma muito clara. Nessa direção Vergnaud (1982,
p. 2) diz que esses problemas constituem-se nos primeiros conceitos de adição e subtração
para as crianças, apresentados como “uma quantidade inicial que decresce com o gasto, perda
ou venda.”.
Portanto nos problemas 1, 5 e 6 os alunos demonstraram uma regularidade na
apresentação das operações para atingir suas soluções.
Procuramos analisar se acertos e erros tinham relação com a interpretação de cada
problema. E constatamos que nos problemas apresentados, não houve nenhum aluno que não
tivesse compreendido totalmente os problemas, pois a grande maioria respondeu que
compreendeu os problemas ou que compreendeu “mais ou menos”.
Verificamos que os alunos demonstraram uma certa facilidade com a interpretação dos
problemas, visto que a maioria deles não sentiu a necessidade de uma nova leitura, e ainda
afirmaram que todas as palavras eram conhecidas. Podemos inferir que o reconhecimento das
palavras não nos dá uma garantia da escolha correta das operações que melhor resolvessem os
problemas, pois sabemos que uma mesma palavra pode ter significados diferentes em outras
situações, como afirma Kalmykova (1991, p. 12):
“Temos que nos recordar de que as palavras são estímulos multiformes; a
mesma palavra pode estar ligada num problema a determinada operação
aritmética, e noutro problema, com uma operação diferente. Se o aluno se
157
habitua a usar uma determinada palavra como critério para a escolha de uma
operação aritmética, cometerá erros”.
Vergnaud (1991) interpreta essa questão como conceito de homomorfismo, ou seja,
não existe correspondência bi-unívoca entre significado e significante. Um significante pode
ter vários significados e vice-versa, portanto, compreender é interpretar a palavra no contexto
de significados de um campo conceitual. Essa é uma operação complexa e supõe esquemas
operatórios capazes de identificar os diferentes significados em jogo na situação e escolher
qual deles é o pertinente. Portanto, ler e interpretar demanda esquemas de assimilação que
dêem significado à linguagem.
Sendo assim, constatamos que embora tenham entendido a leitura como fácil, os alunos
que cometeram erros nos problemas o fizeram por não escolher adequadamente a forma de
solução ou por erros nos cálculos das operações.
Verificamos que as dificuldades de alguns alunos estiveram relacionadas com a leitura
e interpretação para relacionar às formas de soluções dos problemas. A esse respeito temos as
falas dos seguintes alunos:
• Tive que ler duas vezes para entender qual era a conta (A
16
). Esse aluno se referia ao
problema 4.
• Para descobrir as contas tive que ler umas três vezes, esse problema tem muitos
números (A
14
). Esse aluno se referia ao problema 5.
• Entender o problema, ainda acho que não entendi porque não usei o número 65 (A
33
).
O aluno fazia esse comentário se referindo ao problema 2.
Nessa direção, Bruner (2002, p. 223) diz que:
Para entender como um sujeito interpreta ou compreende algo, é preciso
levar em consideração seus conhecimentos culturais e lingüísticos e o
158
contexto no qual se encontra, tanto no sentido restrito da situação especifica
de comunicação quanto no sentido amplo de sistema cultural.
B - Características marcantes na resolução de problemas dos alunos das duas escolas.
1 – Na escola particular, todos os alunos rejeitaram a representação da interpretação
dos problemas na forma de desenhos, ou na forma de sentença matemática,
enquanto na escola municipal houve um pequeno grupo que se dispôs a utilizar
essas representações;
2 - A escola particular apresentou um desempenho maior que a escola municipal,
apenas nos problemas 2 e 3, nos demais problemas as duas escolas apresentaram
um número mais ou menos próximo nos resultados;
3 - Os problemas de comparação (P3 e P4), na escola municipal, foram os problemas
que apresentaram o menor desempenho e na escola particular o problema 4
apresentou baixo desempenho.
Uma vez manifestada uma certa facilidade com a leitura dos problemas, procuramos
verificar se os alunos seriam capazes de indicar essa interpretação representando cada
problema por meio do desenho. Nessa observação constatamos que a grande maioria dos
alunos, da escola municipal e todos da escola particular, não conseguiram representar os
problemas por meio da representação pictórica.
Ficou a impressão de que os alunos das duas escolas, não tinham o hábito de usar o
desenho para realizar suas atividades escolares, talvez pela ausência dessa prática nas salas de
159
aula, visto que normalmente eles diziam que desenho demora muito e que era difícil
representar a sua interpretação utilizando esse recurso.
Nesse sentido Candido (2001, p. 19) diz que:
Para crianças que ainda não escrevem, que não conseguem expressar-se
oralmente, ou que já escrevem, mas ainda não dominam a linguagem
matemática, o desenho pode ser uma alternativa para que elas comuniquem
o que pensam. À medida que se desenvolve o trabalho com matemática, o
repertório de recursos pictóricos do aluno pode ser ampliado, desde que o
professor tenha o hábito de incluir em suas aulas outros tipos de
representação, como gráficos, tabelas, esquemas e figuras geométricas.
Dos alunos que desenharam, ao tentarem explicar o significado dos desenhos, apenas
repetiam o que o texto já relatava, não acrescentando nenhuma outra interpretação além
daquela oferecida pelo problema. Nesses desenhos, ficou evidenciado que os alunos que
conseguiram realizá-los, fizeram de maneira a representar algumas demonstrações de
operações e outros indicaram situações relatadas conforme os fatos se apresentavam no texto
do problema.
A representação é fundamental para o pensamento matemático, pois ela permite a
objetivação do pensamento, sem o que não podemos, sobretudo no caso da matemática, que
trabalha com relações e não com fatos, realizar as operações. Por isso a necessidade de uma
linguagem específica para a matemática. Há várias formas de representação ou de linguagem,
desde as imagens, símbolos, desenhos, esquemas, gráficos, tabelas, e a linguagem escrita,
propriamente dita. Todas elas são usadas pela matemática, e sua compreensão supõe poder
compará-las, entender a equivalência entre elas, ou seja, poder transitar por elas.
160
Pode-se inferir, pelos resultados apresentados, que esse é um aspecto relegado no
ensino de matemática, dos alunos pesquisados, sobretudo no caso da escola particular, que
acabaram privilegiando apenas as representações por meio da linguagem formal.
Os alunos que não conseguiram representar os problemas por meio do desenho,
utilizaram a escrita, para indicar as operações baseadas nas seqüências oferecidas pelos
problemas.
Verificamos que a grande maioria desses alunos não conseguiu fazer a indicação da
sentença matemática, que poderia nos indicar outras possibilidades na interpretação da solução
dos problemas. Poucos alunos tentaram utilizar-se desse recurso, e os que fizeram, indicaram
de uma forma próxima à expressão numérica.
Desse modo a cada problema, os alunos estabeleceram a escolha das operações que
estavam mais evidenciadas na seqüência textual.
Verificamos também que não houve uma grande diferença no desempenho dos
problemas nas duas escolas, visto que a escola particular apresentou um maior desempenho
apenas nos problemas 2 e 3.
Constatamos que a maior dificuldade apresentada na interpretação ficou por conta do
problema 4 (comparação).
Nesse problema os alunos associaram o termo “mais velho”, na frase: “Ademir é 5
anos mais velho do que Carina”, como sugestão para uma adição e não uma subtração para
encontrar a idade desejada. A esse respeito Nunes e Bryant (1997, p. 131), afirmam que:
Foi consistentemente verificado que problemas de equalização são fáceis
para crianças, enquanto problemas de comparação são difíceis.
161
As crianças sabem o que “mais” e “menos” significam em termos de
comparações, mas elas não conseguem conectar este conhecimento a uma
estratégia para quantificar a diferença.
Desse modo verificamos que no problema 4, embora os alunos alegaram não ter
dúvidas quanto às palavras do texto, a interpretação das relações para solucioná-lo foi bastante
complicada para esses alunos.
Em síntese, constatamos que os problemas não apresentaram uma linguagem de difícil
compreensão. As dificuldades na interpretação dos problemas estiveram relacionadas com a
interpretação das relações matemáticas envolvidas nessas leituras, causando dessa forma um
certo embaraço na escolha adequada das formas de solução que respondesse aos problemas.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
162
A intenção desta pesquisa foi de examinar e analisar o desempenho, as formas de
solução e as relações com a leitura e interpretação como base para a resolução dos problemas.
Ler e interpretar um problema com propriedade tem sido uma característica dos alunos que,
atualmente no Brasil, mais os professores sentem falta. Em torno dessa questão se instalou
uma polêmica relativa à necessidade de ampliar os espaços de leitura na escola.
A presente pesquisa mostrou que os alunos leram os problemas e identificaram todas as
palavras citadas nos mesmos, porém apresentaram dificuldades em escolher as operações que
melhor os resolvessem, principalmente quando se tratou dos problemas de comparação de
estados, em que encontramos o menor desempenho desses alunos. No entanto nos problemas
de transformação de estados e composição de duas transformações a grande maioria dos
alunos apresentou menos dificuldades para interpretar as relações que estavam postas nos
problemas, tendo sido verificado um bom desempenho nos mesmos.
Diante dessas observações vemos que não podemos desconsiderar a importância da
participação das outras disciplinas em auxiliar a língua materna nessa grande tarefa, que é a de
proporcionar ao aluno o hábito da leitura. Souza e Guedes (2006) afirmam que ler e escrever
são tarefas da escola, questões para todas as áreas, uma vez que, são habilidades
indispensáveis para a formação de um estudante. Os mesmos autores ainda enfatizam que:
Isso é tarefa do professor de português? É. É tarefa do professor de história,
de geografia, de ciências, de artes, de educação física, de matemática... É. É
tarefa da escola: a escola – os professores reunidos na mais básica das
atividades interdisciplinares – vai reservar alguns períodos da semana para
que os alunos se dediquem, em suas salas de aula, à leitura [...] (Souza e
Guedes, 2006, p.17).
163
A escola é responsável pela formação, no aluno, do hábito de ler e escrever e cabe à
escola criar formas e mecanismos para estabelecer esse aprendizado de forma eficiente e
satisfatória. Ao professor cabe a tarefa de fazer a apresentação do que o aluno irá ler em forma
de: textos, livros, figuras, jornais ou qualquer material que traga interesse e que os auxilie na
interpretação dessa leitura, estabelecendo assim um entendimento com significado. Neves et
al (2006, p.13) afirmam que:
A escola é aqui unanimemente responsabilizada pela tarefa de levar o aluno a
atrever-se a errar; a construir suas próprias hipóteses a respeito do sentido do
que lê e assumir pontos de vista próprios para escrever a respeito do que vê,
do que sente, do que viveu, do que leu, do que ouviu em aula, do que viu no
mundo lá fora, promovendo em seus textos um diálogo entre vida e escola,
entre a disciplina e o mundo.
Diante dessa responsabilidade da escola em levar o aluno a adquirir a autonomia na
leitura, temos presenciado freqüentemente o elevado índice de resultados desfavoráveis,
quanto à leitura e interpretação nas diversas áreas de conhecimento, principalmente quando se
trata da interpretação dos textos dos problemas matemáticos.
Temos a clareza da importância da matemática enquanto ciência que desenvolve um
grande avanço tecnológico e estabelece relações com o mundo das informações. Porém,
sabemos da grande dificuldade que essa área do conhecimento oferece aos alunos como
disciplina escolar. Vemos que esta disciplina sofre certa rejeição por grande parte dos nossos
educandos e é responsável por um alto índice de reprovação escolar. Nessa direção Carrasco
(2006, p.193) afirma que:
164
[...] as dificuldades com a matemática residem, principalmente, no
desconhecimento dos limites da matemática, na incompreensão das relações
que se estabelecem entre a matemática e as outras áreas de conhecimento e
na impossibilidade de ler e escrever matemática.
Essas dificuldades na interpretação encontradas pelos alunos, na leitura dos textos
matemáticos, estão associadas à falta de um trabalho que seja orientado para que o aluno tenha
uma clareza dos textos dos problemas, que normalmente apresentam termos que para algumas
faixas etárias ainda são estranhas ao seu cotidiano. Nessa direção Smole e Diniz (2001, p. 72)
afirmam que:
Para que tais dificuldades sejam superadas, e para que não surjam
dificuldades, é preciso alguns cuidados desde o início da escolarização, ou
seja, desde o período da alfabetização. Cuidados com a leitura que o
professor faz do problema, cuidados em propor tarefas específicas de
interpretação do texto de problemas, enfim um projeto de intervenções
didáticas destinadas exclusivamente a levar os alunos a lerem problemas
de matemática com autonomia e compreensão.
Sabendo das dificuldades apresentadas na leitura dos problemas de matemática, vemos
que é importante para o aluno que, ao tentar resolver um problema tenha uma compreensão
das relações e dos termos matemáticos que o envolve e que ele trace algumas estratégias que
possam auxiliá-lo no desenvolvimento do problema.
A esse respeito Brito (2001, p. 21), diz que:
A partir do momento que o indivíduo compreende o enunciado verbal do
problema que está buscando solucionar, ele penetra na estrutura matemática
do mesmo e, a partir daí elabora uma representação. Nesse momento, é
165
formado o espaço de solução do problema. O espaço de solução de um
problema refere-se ao conjunto de todas as operações possíveis a partir do
estado inicial do problema, buscando encontrar uma ou mais soluções, o
estado final desejado. E as operações que o sujeito realiza sobre as
informações obtidas no enunciado do problema dependem das estratégias,
utilizadas pelo sujeito, na busca de soluções.
Desse modo para que o aluno resolva um problema, deverá apresentar um bom
relacionamento com a linguagem matemática colocada no texto, entendidas aqui como meio
necessário para alcançar uma interpretação que o leve à forma de solução adequada para cada
problema.
Onuchic e Allevato (2004, p. 234) afirmam que ensinar com problemas não é uma
tarefa fácil, porém indica algumas razões para que empreendamos esse esforço:
• Resolução de problemas coloca o foco da atenção dos alunos sobre idéias
e sobre o “dar sentido”.
• Resolução de Problemas desenvolve o “poder matemático”.
• Resolução de Problemas desenvolve a crença de que os alunos são capazes
de fazer Matemática e de que Matemática faz sentido.
• Resolução de Problemas provê dados de avaliação contínua que podem ser
usados para tomar decisões instrucionais, ajudar os alunos a ter sucesso e
informar os pais.
• É gostoso! Professores que experimentam ensinar dessa maneira nunca
voltam a ensinar do modo “ensinar dizendo”. A excitação de desenvolver
a compreensão dos alunos através de seu próprio raciocínio vale todo o
esforço e, é divertido, também para os alunos.
• A formalização de toda a teoria Matemática pertinente a cada tópico
construído, dentro de um programa assumido, feita pelo professor no final
da atividade, faz mais sentido para os alunos.
166
Para o sucesso dessas razões indicadas por Onuchic e Allevato (2004) é necessário que
haja um redimensionamento nas práticas dos professores em sala de aula. Ali todo o material
voltado para resolução de problemas deve passar por um planejamento cuidadoso. Nesse caso
as características daquele professor que antes repassava o conteúdo, agora será de um
mediador que:
Ao promover confrontação das propostas dos alunos, ao disciplinar as
condições em que cada aluno pode intervir para expor sua solução,
questionar, contestar. Nesse papel, o professor é responsável por arrolar os
procedimentos empregados e as diferenças encontradas, promover o
debate sobre resultados e métodos, orientar as reformulações e valorizar as
soluções mais adequadas. Ele também decide se é necessário prosseguir o
trabalho de pesquisa de um dado tema ou se é o momento de elaborar uma
síntese, em função das expectativas de aprendizagem previamente
estabelecidas em seu planejamento (Brasil, 1997, p.31).
Dentro dessa visão de um “professor mediador”, devemos considerar que é necessário
haver uma grande comunicação entre as partes (aluno e professor). Não basta a imposição do
professor em querer repassar conteúdos como foi a prática de muitos anos do ensino da
matemática.
Vila e Callejo (2006) apontam que para haver um ambiente de aprendizagem devemos
ter uma formação adequada dos professores, em que estes possam estabelecer atitudes e
crenças. Para isso o professor deverá propor problemas em que haja um movimento de
gradativo acesso a uma seleção deles para que o trabalho com problemas não gere frustrações,
de forma que mesmo assim possam ser encarados como desafio, “valorizando as exposições
de idéias, a argumentação e o espírito crítico; fomentando-se o trabalho em grupo, a
167
comunicação de idéias, o contraste e o diálogo” (Vila e Callejo, 2006, p. 30). Dessa forma o
professor poderá oferecer condições para que o aluno encontre situações adequadas que
favoreçam a aprendizagem.
Cândido (2001) mostra que pesquisas recentes afirmam que, em todos os níveis, os
estudantes devem aprender a se comunicar matematicamente e que os professores devem
estimular o espírito de questionamento e levar os seus alunos a pensarem e comunicarem
idéias.
Presenciamos, nas aulas de matemática, a tendência pela pouca comunicação, causada,
talvez, pela linguagem matemática e pela grande quantidade de exercícios desenvolvidos
individualmente e comumente realizados em silêncio, o que contribui e muito para a ausência
da comunicação entre os alunos.
A comunicação nas aulas de matemática poderia ser favorecida, conforme Vila e
Callejo (2006, p. 143), “com a introdução de um vocabulário básico que permitisse falar de
forma precisa, clara e correta sobre aspectos não apenas próprios dos conhecimentos
matemáticos, como também da atividade matemática e dos aspectos afetivos que envolvem”.
Essa prática teria uma importância fundamental para a socialização das noções matemáticas,
evitando assim juízos rápidos sobre um conhecimento que por meio de sucessivas observações
que pede algumas generalizações.
Além da preocupação com um novo modelo de planejamento, visando à garantia da
comunicação, o professor também deverá preocupar-se com os tipos de problemas
matemáticos que não sejam tão convencionais, ou seja, problemas que tragam em seu contexto
uma problematização, e que sejam introduzidos gradativamente conforme o seu grau de
dificuldade. Nessa direção Smole e Diniz (2001, p, 90) afirmam que:
168
Quando adotamos os problemas convencionais como único material para o
trabalho com Resolução de Problemas na escola, podemos levar o aluno a
uma postura de fragilidade e insegurança diante de situações que exijam
algum desafio maior. Ao se deparar com um problema no qual não
identifica o modelo a ser seguido, só lhe resta desistir ou esperar a resposta
de um colega ou do professor. Muitas vezes, ele resolverá o problema
mecanicamente, sem ter entendido o que faz e sem confiar na resposta
obtida, sendo incapaz de verificar se a resposta é ou não adequada aos
dados apresentados ou à pergunta feita no enunciado.
Smole e Diniz (2001, p. 92) ainda afirmam que a resolução de problemas
convencionais cobra apenas duas ações dos alunos: “propor situações-problema e resolver as
situações propostas”.
É uma metodologia que leva os alunos a aplicar técnicas, algoritmos e fórmulas para
atingir uma resposta, que normalmente não é avaliada.
Dessa forma não oportuniza a possibilidade de investigar, questionar dando margens à
curiosidade natural dos alunos. Nessa direção, Smole e Diniz (2001, p. 95) sugerem que:
A partir da associação entre a perspectiva metodológica de Resolução de
Problemas e a comunicação, podemos verificar que o aluno, enquanto
resolve situações-problema, aprende matemática, desenvolve
procedimentos e modos de pensar, desenvolve habilidades básicas como
verbalizar, ler, interpretar e produzir textos em matemática e nas áreas do
conhecimento envolvidas nas situações propostas. Simultaneamente,
adquire confiança em seu modo de pensar e autonomia para investigar e
resolver problemas.
169
Por meio da comunicação, podemos chegar às informações, aos conceitos e às
representações que são utilizadas pelas pessoas. É pela comunicação que a criança consegue
estabelecer as conexões entre suas concepções naturais e o novo conceito que está aprendendo.
Para uma aprendizagem significativa, os professores devem proporcionar situações e
ações que despertem nos alunos o interesse e a curiosidade diante das propostas de um ensino
de matemática carregado de significados. Nessas propostas devemos lembrar que matemática
não se faz somente com a apresentação de conteúdos numéricos, mas também com a presença
da geometria, das medidas e das noções de estatística, que estão diretamente relacionadas com
as questões do seu cotidiano.
Constatamos muitas vezes que nossos alunos não conseguem associar as relações
matemáticas da vida cotidiana com os conhecimentos da vida escolar. Nessa direção Granell
(1998, p. 24), constatou a partir de numerosos estudos que:
1. A capacidade de resolver problemas da vida cotidiana não se relaciona
com a capacidade de resolver problemas de raciocínio formal ou
problemas de tipo escolar ou acadêmico.
2. Pessoas com nível de escolarização reduzido são capazes de criar seus
próprios procedimentos, em geral muito distanciados dos que aprendem
na escola, para resolver os problemas formulados por sua realidade
cotidiana.
Assim, é evidente que certo tipo de conhecimento matemático pode ser
desenvolvido fora da escola e à margem da instrução formal, em contextos
sociais e por meio de práticas culturais.
Verificamos que na prática escolar os problemas apresentados aos nossos alunos estão
afastados da sua realidade e dessa forma constatamos, a cada dia, o crescente distanciamento
dos conteúdos matemáticos em relação à vida cotidiana.
170
Granell (1998, p. 26) afirma que os problemas escolares têm características muito
diferentes dos “dilemas” reais. Se analisarmos qualquer um dos múltiplos exemplos da vida
cotidiana citada em que a matemática intervém, observaremos que, em geral, tem as seguintes
características:
1. O problema é reconhecido e definido pelo próprio sujeito.
2. O problema está socialmente contextualizado.
3. Ainda que a solução do problema envolva uma atividade matemática,
sua finalidade não é aprender matemática nem construir conhecimento
matemático.
4. O problema tem uma finalidade prática.
5. Há um alto nível de envolvimento e interesse pessoal, dado pelo
contexto social da atividade.
6. A definição do problema não é definitiva logo no início. Vai sendo
construída à medida que a atividade avança.
7. As soluções podem ser diversas e não necessariamente exatas.
8. Não há um método adequado ou canônico para obter a solução, mas
diversos métodos que podem ser inventados pelo sujeito.
9. O sujeito não está consciente de que realiza uma atividade matemática.
O conhecimento matemático não está explícito.
10. A solução é condicionada ou influenciada pela experiência pessoal.
Muitos dos problemas que os alunos enfrentam na escola têm relação direta com uma
aprendizagem não voltada a sua prática cotidiana. Como afirma Granell (1998, p. 28), ao
contrário dos problemas cotidianos, os problemas escolares estão mais orientados para o
aprendizado de um método de resolução ou para a aplicação de um algoritmo do que para a
solução; “estão bem definidos; têm apenas um método de resolução e apenas um resultado;
estão descontextualizados da experiência direta porque não têm conseqüências práticas para a
vida do sujeito; incentivam a descontextualização e o não envolvimento pessoal”.
171
Incorporando aos contextos do cotidiano das crianças, às suas experiências e a
linguagem natural que já possuem, procurando entender seu modo de pensar, quais os seus
conhecimentos de mundo; a escola pode orientá-las para que avancem nas noções
matemáticas, sem desconsiderar o que o aluno parece saber. Em outras palavras, quanto mais
nos aproximamos dos conhecimentos da criança, possibilitando que ela possa falar, refletir e
representar suas idéias, mais próxima estará sua compreensão dos contextos matemáticos.
Nessa proposta da comunicação nas aulas de matemática, é muito provável que se
desenvolvam nas crianças maneiras de: refinar seus pensamentos, melhorar seu entendimento
e adequar o conhecimento à linguagem matemática. Nessa direção podemos associar à língua
materna um importante papel na relação com a matemática. É por meio dela que podemos ler,
interpretar e comentar um determinado texto com precisão ou aproximação. Esse elo é
fundamental, pois é na língua materna que a matemática se apóia para melhor esclarecer seus
enunciados e suas deduções.
Dentro da comunicação podemos também utilizar a oralidade, uma vez que a
matemática utiliza freqüentemente a escrita como seu principal recurso. Desse modo deixa
muitas vezes de oportunizar momentos para que os alunos expressem suas idéias ou
dificuldades. Para Cândido (2001, p.17):
Parece-nos que a tarefa dos professores em relação à linguagem
matemática deve desdobrar-se em duas direções. Em primeiro lugar, na
direção do trabalho sobre os processos de escrita e representação, sobre
a elaboração dos símbolos, sobre o esclarecimento quanto às regras que
tornam certas formas de escrita legítimas e outras inadequadas. Em
segundo, em direção ao trabalho sobre o desenvolvimento de
172
habilidades de raciocínio que, para as crianças, se inicia com o apoio da
linguagem oral e vai, com o tempo, incorporando textos e
representações mais elaboradas.
Outra forma de comunicação dentro das aulas de matemática, que podemos utilizar são
as representações: por meio de gráficos, tabelas, figuras geométricas e principalmente por
desenhos, já que esse é um recurso que quase todas as crianças gostam de utilizar, fazendo-o
com dedicação e prazer. Conforme Cavalcanti (2001, p. 128), “quando desenham elas
explicitam mais facilmente os significados presentes no texto – palavras, cenas, informações,
operações, etc. – e assim constroem uma representação mental dos mesmos”.
A expressão oral da matemática, ou a representação através do desenho possibilita ao
aluno a oportunidade de refletir sobre a atividade desenvolvida. Por meio do desenho, a
criança conseguirá construir um significado mais sólido para as novas idéias e conceitos que
terá contato durante sua vida escolar.
Para complementar esses recursos nas aulas de matemática, podemos ainda dispor da
escrita de textos que tratam dos assuntos expostos pelo professor. Porém, devemos lembrar
que muitas vezes o aluno terá certa dificuldade em se expressar, principalmente pelo fato de
que a matemática tem uma linguagem específica. Mas o professor poderá encorajar os alunos
a fazê-lo e aos poucos irão adequando essa linguagem nas discussões da sala de aula. Cândido
(2001, p.23) diz que: “a escrita em matemática seria uma forma mais sofisticada da escrita,
uma vez que a idéia implícita na elaboração e na sistematização da linguagem matemática é
que ela seja mais concisa e precisa que a linguagem usual no sentido de eliminar qualquer
possibilidade de dubiedade em sua interpretação”.
173
Ao escrever o aluno poderá registrar seus entendimentos ou a ausência dele, fazendo
com que o professor possa interferir e orientá-lo de forma adequada para uma melhor
compreensão daquele conteúdo ministrado.
Na sala de aula o professor poderá criar um ambiente que favoreça a troca de pontos de
vista entre os alunos, propondo atividades que possam favorecer discussões, produções e
outras formas de representações que gerem a participação do maior número possível de
alunos, para que assim consigam observar e tirar conclusões através da troca de experiências
entre esses grupos.
É importante nesse momento a observação do professor para que, na medida do
possível, possa interceder e fazer as análises do nível da discussão e do nível do entendimento
alcançado pelos alunos. Cabe ao professor, o importante papel de analisar as concepções e as
incompreensões das crianças. Esse trabalho não será de tomar decisões ou resolver os
problemas de forma individual e, sim, de manter o diálogo e coordenar as ações com o grupo.
Para que essas formas de comunicação, nas aulas de matemática, apresentem
resultados satisfatórios devemos pensar em adequar, para os alunos, momentos de contatos
com leituras apropriadas que apresentem termos matemáticos e relações que possam facilitar
uma melhor interpretação dos textos e uma maior familiaridade com a linguagem matemática,
que tantas dificuldades tem apresentado dentro das propostas educacionais.
174
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2006.
ANEXOS
Anexo 1 – Roteiro de entrevista.
181
2) Leia o problema. A leitura poderá ser silenciosa ou em voz alta.
3) Você entendeu o problema?
4) É necessário ler novamente?
5) Da leitura feita, existem palavras que você não entendeu?
6) Quais?
7) Do que entendeu, você poderia desenhar ou escrever o que o problema está
contando?
8) Explica para mim o significado do que você desenhou.
9) Explica para mim o significado do que você escreveu.
10) Você saberia me dizer qual (s) operação (s) poderia utilizar para resolver esse
problema?
11) Indique a sentença matemática para depois resolver o problema.
12) Você achou o problema difícil?
13) Qual foi sua maior dificuldade?
Anexo 2 - Problemas utilizados na Pesquisa.
01) Rogério tinha 218 figurinhas. Jogando com Pedro, perdeu 74. A seguir jogando com
Francisco, Rogério ganhou 87 figurinhas. Com quantas figurinhas ele ficou após jogar
com Pedro e Francisco?
182
2) Durante o ano passado, usei cadernos de 100 folhas para Matemática, Ciências e
Estudos Sociais. Do caderno de Matemática, usei 84 folhas, do de Ciências usei 76
folhas e do de Estudos Sociais, 65 folhas. Quantas folhas sobraram, no total?
3) Eu tenho 165 cm de altura, meu irmão é 17 cm mais alto que eu. Se eu crescer 15 cm
nos próximos anos, quem será mais alto eu ou meu irmão? Quantos centímetros a
mais?
4) Ademir é 5 anos mais velho do que Carina e é 6 anos mais novo do que Josemar.
Josemar tem 18 anos. Qual é a idade de Carina?
05) Um ônibus chegou a um ponto com 45 passageiros. Desceram 13 passageiros e
subiram 8. Depois de algum tempo de viagem parou novamente e nessa parada
desceram 3 passageiros e subiram 12. Com quantos passageiros o ônibus chegou ao
final da viagem?
06) Para fazer uma ligação elétrica, Juca comprou, inicialmente, 72 metros de fio. Como
essa quantidade foi insuficiente, ele comprou mais 38 metros do mesmo fio. Sabendo-
se que ele usou 95 metros de fio para fazer a ligação, quantos metros de fio restaram?
183
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