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UNIVERSIDADE DE ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Física Armando Dias Tavares
Bruno de Pinho Alho
Estudo de nanoestruturas diluídas magnéticas na presença de campos
externos aplicados
Rio de Janeiro
2008
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ii
UNIVERSIDADE DE ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Física Armando Dias Tavares
Bruno de Pinho Alho PPGF – M. 02/08
Estudo de nanoestruturas diluídas magnéticas na presença de campos
externos aplicados
Rio de Janeiro
2008
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iii
Bruno de Pinho Alho
Estudo de nanoestruturas diluídas magnéticas na presença de campos
externos aplicados
Orientadora: Profa. Dra. Rosana Bulos Santiago.
Dissertação apresentada como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre ao
Programa de Pós-graduação em Física da
Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Área de concentração: Física da Matéria
Conde
nsada.
Rio de Janeiro
2008
iv
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ/REDE SIRIUS/ BIBLIOTECA CTC-D
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese.
_______________________________ _________________________
Assinatura Data
A397 Alho, Bruno de Pinho
.
Estudo de nanoestruturas diluídas magnéticas na presença de
campos externos aplicados / Bruno de Pinho Alho. – 2008.
85f. : il.
Orientadora: Profa. Dra. Rosana Bulos Santiago.
Dissertação (Mestrado) – Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares.
1. Matéria condensada – Teses. 2. Nanoestrutura – Teses
I. Santiago, Rosana Bulos. II. Universidade do Estado do Rio
de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. III.
Título.
CDU 538.9
v
Bruno de Pinho Alho
Estudo de nanoestruturas diluídas magnéticas na presença de campos
externos aplicados
Aprovado em:
Banca Examinadora:
_____________________________________________
Profª Drª Rosana Bulos Santiago (Orientadora)
Instituto de Física UERJ
_____________________________________________
Prof. Dr. Pedro von Ranke Perlingeiro
Instituto de Física UERJ
_____________________________________________
Prof. Dr. Sergio Makler
Instituto de Física UFF
_____________________________________________
Prof. Dr. Luiz Gallisa Guimarães
Instituto de Física UFRJ
_____________________________________________
Profª Drª Lílian Sosman
Instituto de Física UERJ
Rio de Janeiro
2008
Dissertação apresentada como requisito
parcial para obtenção do título de
Mestre ao Programa de Pós-graduação
em Física da Universidade do Estado
do Rio de Janeiro
.
Área de
concentração: Física da Matéria
Condensada.
vi
AGRADECIMENTOS
À minha mãe, por ter me dado a vida e a estrutura familiar para meu desenvolvimento.
Ao meu irmão, Mário, por estar sempre disposto a ajudar nesta empreitada.
À minha professora orientadora, Dra. Rosana Bulos Santiago, pela paciência, dedicação
e competência como orientadora.
A todos os meus amigos, pelo carinho e amizade que foram muito importantes nesses
últimos anos.
Ao Instituto de Física da UERJ por ter permitido o meu ingresso nessa escola de
excelência para aprofundar meus conhecimentos.
A todos os professores, antigos e recentes, pois com cada um deles aprendi algo de bom
e útil.
À CAPES pelo apoio financeiro.
vii
RESUMO
ALHO, Bruno de Pinho. Estudo de nanoestruturas diluídas magnéticas na presença de
campos externos aplicados. 2008. 72f. Dissertação (Mestrado)Instituto de Física Armando
Dias Tavares Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, 2008.
Neste trabalho abordamos algumas propriedades físicas associadas ao transporte
spintrônico de nanoestruturas formadas por camadas de semicondutor diluído magnético
(SDM) e semicondutor convencional submetidas a campos elétrico e magnético cruzados. O
campo elétrico é aplicado na direção de crescimento da nanoestrutura e o campo magnético é
aplicado perpendicularmente a essa direção. Estudamos duas configurações de nanoestruturas
onde o SDM localiza-se no poço quântico ou nas barreiras. Mostramos que é possível
encontrar um potencial efetivo tipo poço de potencial duplo para um intervalo de intensidades
de campos externos, altura da barreira de potencial e largura de poço quântico parabólico. Em
tal condição esse sistema pode ser visto como um dispositivo spintrônico chamado filtro de
spin, pois consegue selecionar polarizações de spin em diferentes regiões da nanoestrutura.
Palavras-chave: semicondutor diluído magnético, nanoestrutura, spintrônica, poço quântico.
viii
ABSTRACT
In the present work we studied properties of the spintronic transport of
nanostructures formed by layers of diluted magnetic semiconductors (DMS) and
conventional semiconductors with crossed fields applied. The electric field is in the growth
direction and the magnetic field is perpendicular to this one. We studied two configurations of
nanostructures where the DMS is located in the barriers or in the well. We will show the
possibility of the formation of a double quantum well like effective potential for different
values of the applied fields intensities, barriers height and quantum well width. In this
situation the system can be seen as a spintronic device called spin filter, since it can control
the spin polarization in different regions of the nanostructure.
Keywords: Diluted magnetic semiconductor, nanostructure, spintronic, quantum well.
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2-1 : Parâmetro de rede como função da concentração de manganês (x) para SDM de
Telúrio [15]................................................................................................................ 8
Figura 2-2 : Distância média cátion-cátion em função da concentração de manganês (x) para
ligas II-VI [15]........................................................................................................... 9
Figura 2-3 : Estrutura de banda esquemática para uma liga II-VI Zinc-Blende [15].......... 10
Figura 2-4 : Gap de Energia em função da concentração de manganês (x) para SDM de telúrio
a baixa temperatura [15]........................................................................................... 12
Figura 3-1 : Poço de potencial parabólico com campos aplicados..................................... 15
Figura 3-2 : Potencial efetivo tipo poço duplo .................................................................. 27
Figura 3-3 : Poço efetivo fora da situação de poço duplo.................................................. 28
Figura 3-4 : Potencial efetivo para diferentes campos elétricos (F) com campo magnético fixo
................................................................................................................................. 32
Figura 3-5 : Potenciais efetivos para diferentes campos magnéticos (B) e campo elétrico fixo
................................................................................................................................. 32
Figura 4-1 : Função de onda do estado fundamental associada a polarização de spin (σ
−
) e
com F
-
aplicado, para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe. (
0
E em unidades de
0
V ).. 41
Figura 4-2 : Função de onda do estado fundamental associada a polarização de spin (σ
+
) e
com F
-
aplicado para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe (
0
E em unidades de
0
V ).... 41
Figura 4-3 : Função de onda para o estado fundamental considerando o maior valor de
potencial tipo efeito Zeeman (σ
+
) e o campo elétrico (F
+
) para o GaMnAs/GaAs e
CdMnTe/CdTe (
0
E
em unidades de
0
V
). ................................................................. 42
Figura 4-4 : Função de onda para o estado fundamental considerando σ
−
e com F
+
aplicado
para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe. (
0
E em unidades de
0
V ). ........................... 43
Figura 4-5 : Função de onda do primeiro estado excitado com polarização de spin σ
−
, com F
-
aplicado para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe (
1
E
em unidades de
0
V
)................ 44
Figura 4-6 : Função de onda para o primeiro estado excitado considerando σ
+
e com F
-
aplicado para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe (
1
E
em unidades de
0
V
)............... 44
Figura 4-7 : Função de onda para o primeiro estado excitado considerando σ
+
e com F
+
aplicado para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe (
1
E
em unidades de
0
V
).............. 45
Figura 4-8 : Função de onda para o primeiro estado excitado considerando σ
−
e com F
+
aplicado para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe (
1
E
em unidades de
0
V
)............... 45
Figura 5-1 : Função de onda para o estado fundamental para polarização de spin σ
−
com F
-
aplicado (
0
E
em unidades de
0
V
)............................................................................. 54
Figura 5-2 : Função de onda para o estado fundamental considerando σ
+
e com F
-
aplicado(
0
E
em unidades de
0
V
)............................................................................... 54
Figura 5-3 : Função de onda para o estado fundamental considerando σ
−
e com F
+
aplicado.
Para nanoestruturas com SDM no poço de potencial. (
0
E
em unidades de
0
V
).......... 55
Figura 5-4 : Função de onda para o estado fundamental considerando σ
+
e com F
+
aplicado.
Para nanoestruturas com SDM no poço de potencial. (
0
E
em unidades de
0
V
).......... 55
x
Figura 5-5 : Função de onda para o primeiro estado excitado considerando σ
−
e com F
-
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no poço de potencial. (
1
E
em unidades de
0
V
).
................................................................................................................................. 56
Figura 5-6 : Função de onda para o primeiro estado excitado considerando σ
+
e com F
-
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no poço de potencial. (
1
E
em unidades de
0
V
).
................................................................................................................................. 56
Figura 5-7 : Função de onda para o primeiro estado excitado considerando σ
−
e com F
+
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no poço de potencial. (
1
E
em unidades de
0
V
).
................................................................................................................................. 57
Figura 5-8 : Função de onda para o primeiro estado excitado considerando σ
+
e com F
+
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no poço de potencial. (
1
E
em unidades de
0
V
).
................................................................................................................................. 57
Figura 6-1 : O gap de energia do ZnMnSe em função da concentração de Mn (x) a T = 2.2K .
Os dados experimentais (quadrados cheios) foram tirados da referencia [22] e a curva é
um fit para esses dados[22]....................................................................................... 60
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 2-1 : Apresenta as estruturas cristalinas em função da concentração de manganês (x)
[15] ............................................................................................................................ 7
Tabela 4-1 : Os valores de campo elétrico, campo magnético e altura de barreira e
concentração de Mn x para as nanoestruturas de GaAs/GaMnAs, com
0
067,0*
mm
=
, e
CdTe/CdMnTe, com
0
095,0*
mm
=
, representadas na tabela por GaAs e CdTe ,
respectivamente........................................................................................................ 46
Tabela 4-2 : A diferença de energia entre o primeiro estado excitado e o estado fundamental
(
E
∆
) para uma concentração de manganês x = 0,01 e para nanoestruturas de
GaAs/GaMnAs e CdTe/CdMnTe. O índice inferior representa a polarização de spin e o
índice superior refere-se ao campo elétrico aplicado................................................. 47
Tabela 5-1 : Valores para o campo elétrico, magnético e potencial do poço para diferentes
valores de concentração de manganês (x) e magnésio (y). ........................................ 58
Tabela 5-2 : A diferença de energia entre o primeiro estado excitado e o estado fundamental
para a concentração de manganês, x = 0,01 e magnésio y=0,014. O índice inferior
representa a polarização de spin e o índice superior refere-se ao campo elétrico aplicado.
................................................................................................................................. 58
Tabela 6-1 : A diferença de energia entre o primeiro estado excitado e o estado fundamental
para a concentração de manganês x = 0,05, ZnMnSe na barreira. O índice inferior
representa a polarização de spin e o índice superior refere-se ao campo elétrico aplicado.
................................................................................................................................. 62
Tabela 6-2 : Valores para o campo elétrico, magnético e potencial do poço para diferentes
valores de concentração de manganês (x) para o ZnMnSe/ZnSe/ZnMnSe com SDM na62
Tabela 6-3 : A diferença de energia entre o primeiro estado excitado e o estado fundamental
para a concentração de manganês x = 0,02, para o caso com ZnMnSe no poço. O índice
inferior representa a polarização de spin e o índice superior refere-se ao campo elétrico
aplicado.................................................................................................................... 64
Tabela 6-4 : Valores para o campo elétrico, magnético e potencial do poço para diferentes
valores de concentração de manganês (x) para o ZnSe/ZnMnSe com SDM no poço. 64
xii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 1
2 SEMICONDUTORES DILUÍDOS MAGNÉTICOS.............................................. 5
2.1 Estrutura cristalina e a composição do SDM....................................................... 6
2.2 Propriedades eletrônicas dos SDM sem a presença de campo magnético........ 10
2.3 Propriedades magnéticas dos SDM .................................................................... 13
3 POÇO QUÂNTICO PARABÓLICO SUBMETIDO A CAMPOS ELÉTRICO E
MAGNÉTICO CRUZADOS..............................................................................................14
3.1 Cálculo do potencial efetivo ............................................................................... 15
3.2 Reescrevendo em unidades adimensionais ........................................................ 19
3.3 Cálculo da equação transcendental: Espectro de energia................................... 23
3.4 Obtenção do Potencial Efetivo Tipo Poço Duplo ............................................... 25
3.5 Obtenção do Potencial Tipo Poço Duplo Simétrico ........................................... 29
4 POÇO PARABÓLICO SUBMETIDO A CAMPOS CRUZADOS COM
PRESENÇA DE SDM NAS BARREIRAS ................................................................... 34
4.1 Obtenção dos Níveis de Energia.......................................................................... 35
4.2 Resultados para GaAs/Ga
(1-x)
Mn
x
As e CdTe/Cd
(1-x)
Mn
x
Te ....................... 39
5 POÇO PARABÓLICO SUBMETIDO A CAMPOS CRUZADOS COM
PRESENÇA DE SDM NO POÇO QUÂNTICO........................................................... 48
5.1 Obtenção dos Níveis de Energia.......................................................................... 49
5.2 Resultados para Cd
(1-y)
Mg
y
Te/Cd
(1-x)
Mn
x
Te..................................................... 51
6 NANOESTRURA DE ZNMNSE/ZNSE SUBMETIDA A CAMPOS CRUZADOS
NA PRESENÇA DE SDM NAS BARREIRAS OU NO POÇO ................................... 59
6.1 Resultados para o Zn
(1-x)
Mn
x
Se/ZnSe ............................................................ 61
xiii
7 CONCLUSÕES ...................................................................................................... 65
8 REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 68
APÊNDICE A ................................................................................................................ 70
APÊNDICE B................................................................................................................. 71
1
Capítulo 1
1 INTRODUÇÃO
Em 1947, os físicos dos laboratórios da Bell Telephone, J. Bardeen, W. Brattain e
W. Schockley inventaram o transistor, um dispositivo de três elementos feito de material
semicondutor que possibilitava o controle da corrente elétrica e que iria substituir a válvula
elétrica triodo. O transistor passou a ser empregado nos mais diversos equipamentos
eletrônicos e com custos de fabricação cada vez mais baixos. Ao longo do século XX, em
virtude do desenvolvimento tecnológico dos circuitos integrados, passou-se a assistir a
miniaturização dos equipamentos eletrônicos, tais como: rádios, televisões, e
principalmente, os computadores que antes ocupavam salas enormes a se tornarem
calculadoras de bolso. Somado a esse processo de miniaturização dos equipamentos
eletrônicos houve um crescente aumento na eficiência de operação, rapidez de comunicação
e ao aumento de memórias de acesso rápido, como nos casos das multimídias, nas quais
imagens complexas são processadas por milhares de transistores concentrados em chips
diminutos. Estes fatores têm impulsionado enormemente as pesquisas em novos materiais e
o desenvolvimento e técnicas de processamento voltadas para dispositivos cada vez
menores e mais eficientes [1-4]. Na busca por equipamentos cada vez menores, nos
últimos tempos foi possível visualizar e manipular átomos e moléculas através de técnicas
modernas, campo de pesquisa conhecido como nanotecnologia. Para buscar uma definição
simples, o melhor é partir da origem do termo: o prefixo grego nano quer dizer anão e se
refere a uma escala de medida, o nanômetro (1 nm = 10
-9
m), que representa a ordem de
grandeza das dimensões atômicas. Em uma definição mais formal, a nanotecnologia é a
tecnologia dos materiais, processos e produtos cujas dimensões estão na faixa de 0,1 a 100
nanômetros [5].
A possibilidade de fabricar estruturas semicondutoras na escala nanométrica tem
levado ao surgimento de novas áreas de pesquisa básica, tanto em magnetismo quanto em
semicondutores. Atribui-se que grande parte dessa evolução foi estimulada pela descoberta
2
de novos fenômenos, como por exemplo, a magneto-resistência gigante, descoberta em
1988 [6], entre outros. As diversas aplicações desses fenômenos estão dando origem a um
novo ramo da tecnologia, chamado spintrônica, no qual as funções dos dispositivos são
baseadas no controle do movimento dos elétrons, como anteriormente, mas também no
controle na orientação dos spins desses elétrons. Muitas pesquisas com objetivo de gerar
equipamentos comercializáveis já estão desenvolvendo e testando protótipos dos futuros
dispositivos, tais como, Válvulas de spin, Transistor de spin, etc [7].
Os materiais semicondutores diluídos magnéticos (SDM) e suas ligas são fortes
candidatos à contribuírem na efetivação da construção desses novos dispositivos
spintrônicos. Os SDM apresentam características eletrônicas dos semicondutores
convencionais (SC) e quando submetidos a campos magnéticos externos apresentam
aspectos dos materiais magnéticos.
Alguns dispositivos spintrônicos teóricos foram propostos na literatura usando
diferentes conceitos físicos, como tunelamento ressonante [8], estruturas híbridas com
semicondutores ferromagnéticos [9], entre outros. Em diversos desses dispositivos os SDM
estão presentes.Isso se explica por eles não diferirem muito dos materiais originários
facilitando assim a formação das nanoestruturas, somado ao aspecto que são materiais
muito promissores para a injeção de spin em semicondutores convencionais [10]. Nos
últimos anos foram publicados diversos trabalhos importantes que fortalecem a idéia do
crescente interesse de diversos grupos experimentais e teóricos nesse tipo de materiais. Por
exemplo, T. Wojtowicz et al. [11] fizeram medidas de fotoluminescência em um poço
quântico parabólico de CdMnTe, e M. K. Kneip et al. [12] onde o tempo de relaxação de
spin foi variado duas ordens de grandezas pela voltagem aplicada em poços quânticos de
ZnMnSe/ZnBeSe.
Motivados pelo crescente interesse dos grandes grupos teóricos e/ou
experimentais nesse tipo de sistema SDM/SC, damos continuidade a linha de pesquisa que
vinha sendo desenvolvida, que basicamente é a de analisar o efeito do tunelamento
spintrônico em nanoestruturas de SDM/SC na presença de campos elétrico e magnético
cruzados.
O campo elétrico é aplicado na direção de crescimento da nanoestrutura e o
campo magnético é perpendicular a este. Nessa configuração os campos são chamados de
campos cruzados.
3
Uma situação muito interessante surge quando o poço quântico tem forma
parabólica e é submetido a campos cruzados. Em trabalhos anteriores foi mostrado que
para valores intermediários de campos elétrico e magnético, a dinâmica deste sistema é
governada por um potencial efetivo semelhante ao potencial de poço quântico duplo
[13,14]. Esta condição é especialmente interessante para efeitos de transporte em
dispositivos eletrônicos, porque o tunelamento torna-se mais efetivo, isto é, variando-se os
campos externos pode-se manipular as dimensões das regiões de densidade eletrônica. Por
exemplo, neste caso é possível chegar a uma situação na qual a densidade de carga
eletrônica é alta em ambos os poços do potencial efetivo. Assim, a penetração da função de
onda eletrônica na barreira de potencial da nanoestrutura crescida tem um alcance muito
maior que fora da condição de potencial efetivo tipo poço duplo.
Nesse trabalho mostramos os resultados de algumas grandezas físicas
relacionadas com o transporte spintrônico que foram obtidos para as nanoestruturas com
camada de SDM na região das barreiras ou na região do poço parabólico. Concluímos
através de nossos resultados que ambas configurações destas nanoestruturas (poço quântico
de SDM ou barreira SDM) podem ser vistas como um dispositivo chamado filtro de spin,
que sob certas circunstâncias facilita mais a passagem da função de onda associada a uma
certa polarização de spin do que a polarização contrária.
Essa dissertação está organizada da seguinte forma:
No capítulo 2 será feita uma breve apresentação dos materiais semicondutores
diluídos magnéticos do tipo II-VI. Mostraremos como as propriedades dos semicondutores
mudam com a adição do elemento magnético (Mn) a sua composição, por exemplo, o gap
de energia, o parâmetro de rede, entre outras. Em seguida, no capítulo 3, mostraremos o
modelo teórico desenvolvido anteriormente [13] para uma nanoestrutura de semicondutores
convencionais submetida a campos cruzados. Apresentaremos os cálculos analíticos e
computacionais dos campos críticos (elétrico e magnético) que darão origem ao potencial
efetivo tipo poço duplo. No capítulo 4, revisaremos o modelo teórico para nanoestruturas
constituídas por SDM/SC submetidas a campos cruzados. As nanoestruturas estudadas
nesse capítulo são: GaMnAs-GaAs, e CdMnTe-CdTe, cujas barreiras de potencial crescidas
são formadas por camadas de SDM.
4
O capítulo 5 apresentará nossa contribuição original dando prosseguimento a essa
linha de pesquisa. Adaptamos o modelo antes estabelecido para aplicá-lo em nanoestruturas
constituídas por SDM/SC cujo material magnético encontra-se no poço quântico
parabólico. Obtivemos resultados para a nanoestrutura CdMgTe-CdMnTe. No último
capítulo, também resultado original, discutiremos um sistema misto, o ZnSe-ZnMnSe, que
dependendo da concentração de manganês na amostra pode originar uma nanoestrutura
com SDM na região da barreira, ou na região do poço. Por fim, apresentaremos o capítulo
das conclusões, onde compararemos e discutiremos os resultados das diferentes
nanoestruturas e apresentaremos propostas para futuros trabalhos.
5
Capítulo 2
2 SEMICONDUTORES DILUÍDOS MAGNÉTICOS
Nesse capítulo abordaremos os semicondutores diluídos magnéticos (SDM),
apresentaremos suas estruturas cristalinas, suas principais características eletrônicas, e suas
propriedades magnéticas para o limite diluído, ou seja, quando a concentração de manganês
é pequena.
Os SDMs também chamados como semicondutores semi-magnéticos são ligas
semicondutoras cuja rede cristalina é constituída pela substituição de átomos da rede por
átomos magnéticos. Os SDMs mais estudados e o mais entendidos são aqueles formados
por ligas II-VI, na qual uma fração da sub-rede do grupo II é trocada aleatoriamente pelo
Mn. Há outros tipos de SDM, formados pelas ligas III-V, IV-VI, etc, essas ligas diferem
em parte entre si, e possuem suas características próprias, entretanto, nesse capítulo nos
restringiremos a detalhar as ligas II-VI, com a intenção de oferecer um breve panorama
desses materiais.
A natureza ternária dos SDM II-VI nos dá a possibilidade de “controlar” a
constante de rede e o parâmetro de banda variando a composição do material. A
distribuição randômica de íons magnéticos na sub-rede do cátion leva a importantes efeitos
magnéticos, como formação da fase “spin-glass-like” [15] a baixas temperaturas. Os
átomos de Mn colocados na rede II-VI também são caracterizados pela eletroluminescência
altamente eficiente, que faz a liga diluída II-VI importante no contexto das aplicações de
monitores ópticos de tela plana. Além disso, a presença de íons com magnetismo localizado
nessas ligas semicondutoras leva a uma interação de troca entre elétrons da banda sp e d
associados com o Mn++, resultando num “Zeeman splitting” extremamente grande dos
níveis eletrônicos. Essa amplificação seletiva das propriedades de dependência de spin
revela novos efeitos, como por exemplo, a rotação gigante de Faraday, e a formação de
pólos magnéticos encadeados.
6
Por causa do controle de seus parâmetros de rede e de seus gaps de energia as ligas
II-VI são excelentes candidatos para a preparação de poços quânticos, super-redes, e outras
configurações que envolvam engenharia de gap de banda. A presença do Mn nessas ligas
traz uma nova física (propriedades magnéticas, transições ópticas específicas para os íons
Mn++, e a interação de troca sp-d).
2.1 Estrutura cristalina e a composição do SDM
As duas estruturas cristalinas formadas pelas ligas II-VI, zinc blende e wurtzite,
são bastante relacionadas. Embora o manganês difira dos elementos do grupo II pelo fato
que sua camada 3d seja somente preenchida pela metade, ele pode contribuir com seus
elétrons da banda 4s
2
para ligações s-p
3
, e podem por esse motivo substituir os elementos
do grupo II na estrutura tetraédrica do Semicondutor II-VI.
Essas propriedades do manganês são aparentemente necessárias, mas não
condições suficientes para formar fases estáveis para um amplo alcance de concentração,
visto que outros metais de transição, mesmo aqueles que rapidamente formam íons
divalentes não são tão miscíveis com os compostos II-VI. A facilidade com que os átomos
de manganês substituem os elementos do grupo II nas estruturas zinc-blende e wurtzite
resulta do fato que os orbitais 3d do Mn são exatamente preenchidos pela metade. Pela
Regra de Hund, todos os cinco spins são paralelos nesse orbital, e seria necessária uma
energia considerável para adicionar um elétron com spin contrário para o átomo de
manganês. Nesse sentido a órbita 3d
5
atua como uma camada completa, e o átomo de
manganês é mais parecido com os elementos do grupo II nesse comportamento que os
outros metais de transição.
O que podemos ver da tabela 2-1, como uma regra, é que ligas ternárias formadas
substituindo o elemento do grupo II por Mn na rede II-VI mantém a estrutura do composto
II-VI “pai”. Exceções a essa regra são ZnMnS e ZnMnSe que exibem a estrutura cúbica das
ligas que foram derivadas para baixas concentrações de Mn, mas acima de um certo valor
de x formam a estrutura wurtzite. Um limite superior natural para a fração molar de Mn no
7
cristal II-VI é imposto pelo fato que, como já foi mostrado, o composto binário MnVI não
cristaliza naturalmente nas estruturas zinc blende ou wurtzite.
Tabela 2-1 : Apresenta as estruturas cristalinas em função da
concentração de manganês (x) [15]
É interessante notar que, embora a fase estável do HgS seja a estrutura
cinnabar[15] (HgS é o único composto II-VI que se cristaliza nessa forma), A presença do
manganês parece estabilizar a estrutura zinc blende do sistema.
O parâmetro de rede de todas as ligas ternárias SDM obedecem à lei de Vegard eq.
(2.1) muito proximamente. Isso é ilustrado na figura 2-1. A extrapolação para x=1, que
indica o parâmetro de rede para o hipotético zinc blende MnTe, é o mesmo para as três
ligas. Desse modo, ao invés do fato que o MnTe zinc blende não existe na natureza,
podemos observar os materiais II-VI como ligas pseudobinárias verdadeiras do II-Te e
MnTe, e podemos expressar o parâmetro de rede para qualquer composto nessa forma[15]:
VIMnVIII
xaaxa
−−
+−= )1(
(2.1)
onde,
VIII
a
−
e
VIMn
a
−
são parâmetros de rede do constituinte binário .
8
Figura 2-1 : Parâmetro de rede como função da concentração de
manganês (x) para SDM de Telúrio [15]
O comportamento ilustrado na figura 2-1 para o parâmetro da rede cúbica a é
realmente verdade para a distância d entre os cátions mais próximos da estrutura, então o
comportamento da lei de Vegard pode ser representado em uma figura unificada para toda a
família II-VI, wurtzite e zinc blende do mesmo modo. Mostramos isso, na figura 2-2.
A utilidade de tal figura é esclarecida considerando, por exemplo, o
comportamento linear de d observado para os compostos com selênio na estrutura. Note
que HgMnSe é cúbico, CdMnSe é hexagonal e ZnMnSe muda sua estrutura “a passos
largos” com o aumento de x, desse modo uma vez tendo estabelecido o parâmetro d para o
MnSe extrapolando os dados da constante de rede para o hexagonal CdMnSe para x=1,
podemos predizer a constante de rede para o cúbico HgMnSe, ou também para as duas
fases do ZnMnSe. Dois pontos adicionais são validos de mostrar na figura 2-2. Primeiro, é
interessante que o relacionamento mútuo para HgSe, CdSe e ZnSe nessa figura, relembra
muito o dos HgTe, CdTe, ZnTe, apesar das diferenças na estrutura. Também notamos que o
valor de d para ZnMnSe aumenta uniformemente através da transição cúbica-hexagonal,
9
sugerindo que é o aumento no espaçamento da rede que força o inicio da estrutura
hexagonal.
Figura 2-2 : Distância média cátion-cátion em
função da concentração de manganês (x) para
ligas II-VI [15]
10
2.2 Propriedades eletrônicas dos SDM sem a presença de campo magnético
A estrutura de bandas das ligas SDM II-Mn-VI pode ser apresentada em um modo
unificado enfatizando alguns aspectos fundamentais:
Qualitativamente, a estrutura de bandas das ligas II-VI parece muito com a dos
materiais “pais”, tendo a mesma estrutura cristalina. Em particular, essas ligas são
semicondutores de gap-direto, com o extremo da banda acontecendo no ponto
Γ
como
mostra a figura 2-3, onde as curvas mostram a característica dispersiva E vs k típica para
um semicondutor II-VI. Essas bandas são comuns para os compostos semicondutores II-VI
e para a liga II-Mn-VI semelhante, originadas dos orbitais s e p do átomo constituinte, e
devemos nos referir a elas como bandas sp.
Figura 2-3 : Estrutura de banda esquemática para uma
liga II-VI Zinc-Blende [15]
Quantitativamente, A estrutura da banda do material II-Mn-VI transforma-se de
uma maneira uniforme da estrutura do composto “pai” II-VI para a estrutura de banda da
11
liga Mn-VI. Embora essa evolução não seja estritamente linear com x, uma variação linear
(como seria predito por uma aproximação do cristal virtual) é uma excelente aproximação
de primeira ordem para uma descrição quantitativa da dependência do gap de energia e
outros parâmetros de banda em x. A estrutura de banda dos compostos binários “pais” II-VI
são bem conhecidas. Embora as ligas Mn-VI não existam na natureza ou são de tão baixa
qualidade que medidas eletrônicas nesses compostos não são confiáveis, estruturas de
banda do zinc blende ou wurtzite MnS, MnSe, e MnTe podem ser estabelecidas através dos
vários sistemas computacionais comumente usados nos cálculos de estruturas de banda.
Essas estruturas obtidas podem então servir como o limite de x=1 por interpolação entre os
II-VI e Mn-VI. Esse processo, embora nem sempre preciso, contudo serve como um útil
guia para estimar as propriedades das ligas II-Mn-VI para 0<x<1.
Todas as Ligas II-Mn-VI são semicondutores de gap direto, como seus materiais
“pais” II-VI. . Conforme o Mn substitui o Cd na rede CdTe, a energia do gap aumenta, até
o ponto que o material originalmente opaco eventualmente se torna transparente a luz
visível. A variação de Eg no CdMnTe é linear na composição (como sugerido). A energia
do gap para o hipotético zinc-blende MnTe pode também ser obtida pela extrapolação
desse resultado para x=1. O valor obtido (2,85 ev para 300 K ; 3.18 ev para 4.2 K [15])
pode ser então usado no programa de computador para obter Eg(x) para HgMnTe e
ZnMnTe. Isso é mostrado na figura 2-4 para a família do telúrio dos SDM a 4.2 K.
12
Figura 2-4 : Gap de Energia em função da
concentração de manganês (x) para SDM de
telúrio a baixa temperatura [15]
Tal controle da energia do gap para x tem um efeito profundamente especial no
caso dos compostos Hg. Considerando o HgMnTe como exemplo. Para baixos valores de x
essa liga é um semicondutor de gap zero, como a liga “pai” HgTe. Com o aumento do
percentual atômico do Mn (x=0.07 para 4.2 K; x=0.05 para 300 K [15]) a energia do gap
do HgMnTe “abre”, e para maiores valores de x a liga torna-se um semicondutor normal, o
gap sendo muito sensível a x. muito interesse existe nesse aspecto por causa da aplicação
de semicondutores de gap pequeno e variável como detectores infravermelhos.
Há uma significativa dependência da temperatura do
g
E
, tal que a energia do
gap
tende a aumentar com o decréscimo da temperatura. Esse comportamento é similar a
característica do composto II-VI “pai” .
13
2.3 Propriedades magnéticas dos SDM
Medidas de susceptibilidade magnética de campo estático fraco indicam que as
ligas II-Mn-VI existem em diferentes fases magnéticas, dependendo da concentração de Mn
x e da temperatura T, uma região de alta temperatura, fase paramagnética e uma região e
baixa temperatura, fase congelada [15].
Apesar das extensivas medidas de magnetização para as ligas II-Mn-VI, a
formulação analítica desse problema é ainda limitada para os casos de baixa concentração
ou de altas temperaturas. Discutiremos a expressão analítica que descreve a magnetização
em termos quantitativos para o limite diluído.
Limite diluído, Fase Paramagnética – Quando a concentração de Mn é pequena,
o spin do Mn pode ser considerado como isolado. A magnetização M é então descrita pela
função de Brillouin, e podemos escrever [15]:
)]/([
0
TkSHgSBgxNM
bbMnsbMn
µµ
=
(2.2)
onde,
0
N
é o numero de cátions por unidade de volume, B
s
é a função de Brillouin padrão,
H é o campo magnético aplicado, e S= 5/2 para o Mn++.
Com isso, fechamos esse capítulo introdutório sobre semicondutores diluídos
magnéticos. Em seqüência apresentaremos os cálculos para uma nanoestrutura de
semicondutores convencionais e definiremos a situação de poço efetivo duplo e depois
retomaremos esses cálculos para uma nanoestrutura com semicondutores diluídos
magnéticos, retomando expressões desse capítulo quando necessário, e mostraremos os
resultados obtidos para diversos compostos.
14
Capítulo 3
3 POÇO QUÂNTICO PARABÓLICO SUBMETIDO A CAMPOS
ELÉTRICO E MAGNÉTICO CRUZADOS
Nesse capítulo iremos abordar alguns aspectos peculiares de uma nanoestrutura
semicondutora formada por um poço quântico parabólico e submetida a campos elétrico e
magnético cruzados. O campo elétrico é aplicado na direção de crescimento da
nanoestrutura e o campo magnético é aplicado perpendicularmente a essa direção, por esse
fato, que os campos externos são ditos cruzados, veja figura 3-1.
Mostraremos através de cálculos matemáticos que é possível encontrar um
potencial efetivo tipo poço de potencial duplo para essa configuração de sistema. Deve ficar
claro, que esse potencial efetivo não corresponde ao potencial crescido experimentalmente,
ele é resultado da combinação da aplicação dos campos, na configuração cruzada, num
poço quântico parabólico. Além disso, a existência do potencial tipo poço duplo é restrita a
um intervalo de intensidades de campos externos, para uma determinada largura de poço
quântico parabólico. A descoberta do potencial efetivo traz inúmeras vantagens, pois
permite que uma única amostra, ou melhor, que uma dada nanoestrutura crescida
experimentalmente seja utilizada em diversas aplicações, já que é possível modificar o
perfil do potencial confinante simplesmente variando os valores dos campos aplicados
dentro do regime de poço efetivo duplo. Outro aspecto relevante é que a obtenção do
potencial efetivo poço duplo não depende do tipo de material semicondutor que forma a
nanoestrutura, e em especial, nesta condição a penetração da função de onda eletrônica na
barreira de potencial crescida experimentalmente é muito maior, ajudando e facilitando a
corrente eletrônica.
Esse capítulo está organizado da seguinte forma: começaremos com o cálculo para
a obtenção do potencial efetivo. Em seguida, reescreveremos em unidades adimensionais o
potencial efetivo e as equações diferenciais resultantes do Hamiltoniano utilizado para
obter a equação transcendental que resulta nas auto-funções de energia e nas funções de
15
onda eletrônicas desse sistema. Depois calcularemos matematicamente o surgimento do
potencial efetivo tipo poço duplo apresentando as faixas de valores de campos elétrico e
magnético permitidos para que tenhamos esse potencial. Em seqüência, obteremos os
valores de campos que tornam o poço duplo o mais simétrico possível. Por fim,
apresentaremos gráficos do comportamento do potencial efetivo devido a pequenas
variações dos campos elétrico e magnético.
3.1 Cálculo do potencial efetivo
Usando o modelo da aproximação da massa efetiva, desenvolveremos o cálculo
analítico para encontrar o potencial efetivo para o sistema poço quântico parabólico
submetido a campos elétrico e magnético cruzados. O campo elétrico é aplicado na direção
x e o campo magnético em z.
-2 -1 0 1 2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
F
V/V
0
x/L
B
Figura 3-1 : Poço de potencial parabólico com campos aplicados
16
O hamiltoniano independente do tempo desse sistema é escrito como:
( )
ψψψ
ExV
m
p
=+
*
2
2
(3.1)
ode,
*
m
é a massa efetiva e p, o momento do elétron,
(
)
xV
é a energia potencial a que o
elétron está submetido,
E
é a energia total do elétron e
ψ
sua função de onda.
Para esse sistema o potencial é escrito como:
(
)
(
)
(
)
xVxVxV
nanoF
+=
(3.2)
onde,
(
)
eFxxV
F
−
=
(3.3)
F
V
é o potencial devido a presença do campo elétrico F , e e é a carga do elétron.
O potencial da nanoestrutura
nano
V
é escrito em correspondência ao perfil crescido
experimentalmente, e para esse sistema, veja figura 3-1, na região do poço quântico o
potencial é do tipo oscilador harmônico, com freqüência
ω
, já que o perfil do poço é
parabólico, logo:
( ) ( )
2
2*
2
x
m
xVxV
poçonano
ω
==
(3.4)
Na região da barreira, o potencial da nanoestrutura é finito e escrito como:
( )
2
)(
22*
Lm
xVxV
barreiranano
ω
==
(3.5)
Onde,
L
é a semi-largura do poço quântico parabólico.
O campo magnético aplicado (
B
) é introduzido via potencial vetor magnético (A
)
através do Princípio de acoplamento mínimo, de modo que, na eq. (3.1), substitui-se :
Aepp
r
r
r
−→
(3.6)
Na região do poço o Hamiltoniano fica:
(
)
ψψψ
ω
ψ
EeFxx
m
m
Aep
=−+
−
2
2*
*
2
2
2
r
r
(3.7)
Desenvolvendo o primeiro termo da equação acima, temos:
17
ψψψ
ω
ψ
EeFxx
m
eApeAAeppp
m
=−++−−
2
2*
2
*
2
))(...(
1
(3.8)
Sabendo que
AB
r
r
r
×∇=
, e para essa configuração particular
(
)
BB ,0,0=
r
, obtêm-
se o potencial vetor magnético como
(
)
0,,0 BxA =
r
. A equação acima se escreve como:
( )
ψψψ
ω
ψ
EeFxx
m
xBeeBxpBxepppp
m
yyzyx
=−++−−++
2
2*
222222
*
2
2
1
(3.9)
Agrupando os termos quadráticos em x e definindo a freqüência ciclotrônica como
*
m
eB
c
=
ω
, obtêm-se:
ψψ
EeFxx
m
eBxpBxepppp
m
yyzyx
=
−Ω+−−++
22
*
222
*
2
)(
2
1
(3.10)
Onde
2
2
2
ωω
+=Ω
c
.
Substituindo o momento linear por seu operador
∇
−
→
h
ip
, equação acima é re-
escrita como:
ψψψψ
ω
ψ
EeFxx
m
x
yy
x
i
zyxm
c
=−Ω+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂−
22
*
2
2
2
2
2
2
*
2
22
2
h
h
(3.11)
Como o confinamento do poço é somente na direção x, esperamos que as soluções
na direção y e z sejam de partícula livre, ficando então a solução:
zik
yik
z
y
eexXzyx )(),,( =
ψ
(3.12)
Aplicando essa tentativa de solução na equação de Schroedinger (3.11), temos:
)()()
2
()()(
)(
2
22
*
22
2
2
*
2
xEXxXeFxx
m
xkxXkxXk
x
xX
m
yczy
=−Ω++
−−
∂
∂−
ω
h
h
(3.13)
Observando a equação acima, podemos agrupar os termos lineares em x
resultando num termo:
)()()
2
)(()()(
)(
2
22
*
22
2
2
*
2
xEXxXx
m
xeFkxXkxXk
x
xX
m
yczy
=Ω+−+
−−
∂
∂−
ω
h
h
(3.14)
Agrupando o termo quadrático da eq (3.14) com o termo linear em x, temos:
(
)
)()()
2
(
2
)()(
)(
2
2*
2
2*
22
2
2
*
2
xEXxXx
m
keF
x
m
xXkxXk
x
xX
m
yc
zy
=
Ω
−
−
Ω
+
−−
∂
∂−
ω
h
h
(3.15)
E completando os quadrados da segunda parcela da equação acima, ficamos:
18
( )
)()(
2
)(
2
)()(
)(
2
2
2*
2
2*
22
2
2
*
2
xEXxXx
m
xXxx
m
xXkxXk
x
xX
m
cczy
=
Ω
−−
Ω
+
−−
∂
∂− h
(3.16)
onde:
2*
Ω
−
=
m
keF
x
yc
c
ω
h
(3.17)
Reorganizando a eq (3.16), podemos reescrevê-la da seguinte forma:
)()()(
)(
2
2
2
*
2
xXxXxU
dx
xXd
m
eff
ε
=+
− h
(3.18)
Onde,
2
*
2
2
*
2
22
zy
k
m
k
m
E
hh
−−=
ε
, é a energia total a que o elétron está submetido.
( )
[
]
2
2
2*
2
m
)(
cceff
xxxxU −−
Ω
=
(3.19)
é o potencial efetivo na região do poço de potencial.
Nas regiões das barreiras
, ou seja, para x<-L e x>L , o hamiltoniano é escrito
como:
(
)
ψψψ
ω
ψ
EeFxL
m
m
Aep
=−+
−
2
2*
*
2
2
2
r
r
(3.20)
O desenvolvimento matemático da expressão acima para encontrar o potencial
efetivo na região das barreiras utilizará as mesmas considerações feitas para a região do
poço, embora nas barreiras o potencial seja constante, então:
ψψω
EeFxL
m
xBeeBxpBxepppp
m
yyzyx
=
−++−−++
22
*
222222
*
2
)
2
1
(3.21)
Substituindo o momento linear por seu operador
∇
−
→
hip na equação acima
encontra-se a equação diferencial a seguir:
ψψψωψωψ
ω
ψ
EeFxx
m
L
m
x
yy
x
i
zyxm
c
c
=−++
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂−
2
2
*
22
*
2
2
2
2
2
2
*
2
222
2
h
h
(3.22)
Proporemos a função de onda eletrônica da eq (3.12) como solução para a
equação diferencial acima. Então:
)()()
22
)(()()(
)(
2
22
*
2
2
*
22
2
2
*
2
xEXxXL
m
x
m
xeFkxXkxXk
x
xX
m
cyczy
=++−+
−−
∂
∂−
ωψωω
h
h
(3.23)
19
Juntando o termo linear em x com o quadrático na equação acima e depois
completando o quadrado desse termo, ficamos com:
( )
)()(
2
)(
2
)(
2
)()(
)(
2
22
*
2
0
2
*
2
0
2
*
22
2
2
*
2
xEXxXL
m
xXx
m
xXxx
m
xXkxXk
x
xX
m
cc
zy
=+−−+
−−
∂
∂−
ω
ωω
h
(3.24)
Onde:
2
*
0
c
yc
m
keF
x
ω
ω
h
−
=
(3.25)
Ajeitando a equação (3.24), podemos reescrevê-la da seguinte forma:
)()()('
)(
2
'
2
2
*
2
xXxXxU
dx
xXd
m
eff
ε
=+
− h
(3.26)
Tal que o potencial efetivo para a região das barreiras é dado por:
( )
[
]
2
2
m
)('
22*
2
0
2
0
2
*
Lm
xxxxU
c
eff
ω
ω
+−−=
(3.27)
e
2
*
2
2
*
2
22
''
zy
k
m
k
m
E
hh
−−=
ε
é a energia total do elétron quando encontrado na
região das barreiras da nanoestrutura semicondutora.
3.2 Reescrevendo em unidades adimensionais
Para simplificar o nosso problema reescreveremos as grandezas físicas acima
encontradas em unidades adimensionais, assim as equações diferenciais para as regiões
poço e barreiras da nanoestrutura, (3.18) e (3.26), resultarão numa forma conhecida com
solução matemática prevista [16-17]. Cabe lembrar que a escolha dessas unidades
adimensionais é resultado de longos estudos que nós fizemos no entendimento particular
desse sistema. De modo geral, as grandezas com unidade de comprimento serão re-
escaladas pela semi-largura do poço parabólico L e as grandezas energéticas serão
redimensionadas pelo potencial finito da barreira que agora escreveremos simplesmente
como
0
V
, cujo seu valor será relacionado com a expressão dos níveis quânticos de um
oscilador harmônico simples.
20
Definiremos a seguinte relação:
2
2
22*
0
Lm
qV
ωω
=≡
h
(3.28)
onde
q є R
e é
maior que 1, logo quanto maior
q
maior será a altura da barreira. A
partir dessa relação encontramos:
2
2
0
*
2
2
q
LV
m
=
h
(3.29)
Uma vez obtida a relação acima será possível re-dimensionar as equações
diferenciais (3.18) e (3.26).
Na região do poço
de potencial parabólico vamos substituir a eq (3.29) em (3.18),
assim obtemos:
( )
)()()(
)(
22
2
2
0
0
0
0
0
22
2
2
2
0
xXkk
q
LV
E
V
V
xXxU
V
V
xdL
xXd
q
LV
zyeff
−−=+−
(3.30)
Onde
L
x
x =
, simplificando os termos obtemos:
( )
)(
1
)()(
)(1
22
22
2
2
xXkk
q
ExXxU
xd
xXd
q
zyeff
−−=+−
(3.31)
onde:
0
V
U
U
eff
eff
=
,
0
V
E
E =
,
yy
Lkk =
e
zz
Lkk =
.
Em termos das unidades adimensionais o potencial efetivo no poço, eq (3.19),
escreve-se como:
(
)
[
]
2
2
2
1
)(1 )()(
cceff
xxxxUxU −−+==
ρ
(3.32)
Onde,
ω
ω
ρ
c
=
e
L
x
x
c
c
=
.
Por fim, aplicaremos uma mudança de variável nessa região, da seguinte forma:
c
xx −=
αχ
(3.33)
De forma que o potencial efetivo U
1
em termos dessa nova variável é dado por:
[
]
2222
1
)(1 )(
c
xU −+=
χαρχ
(3.34)
Usando esse resultado, a equação diferencial (3.31) reescreve-se como:
21
( )
)(
1
)()(
)(1
22
2
1
2
2
22
χχχ
χ
χ
α
Xkk
q
EXU
d
Xd
q
zy
−−=+−
(3.35)
Nas regiões das Barreiras
o potencial efetivo em termos das unidades
adimensionais reescreve-se como:
(
)
[
]
2
0
2
0
2
2
1 )(' xxxxUU
eff
−−+==
ρ
(3.36)
Fazendo a seguinte mudança de variável, para simplificar a equação:
0
xx −=
βη
(3.37)
e em termos dessa variável o potencial efetivo na barreira U
2
, fica:
[
]
2
0
222
2
1 xU −+=
ηβρ
(3.38)
Substituindo essas expressões a equação diferencial (3.26), encontramos:
( )
)(
1
)()(
)(1
22
2
2
2
2
22
ηηη
η
η
β
Xkk
q
EXU
d
Xd
q
zy
−−=+−
(3.39)
Substituindo as expressões dos potenciais (3.34) e (3.38) nas equações
diferenciais (3.35) e (3.39), respectivamente, elas assumiram a seguinte forma:
( )
0
2
2
1
2
2
=+− XCC
d
Xd
χ
χ
(3.40)
e,
( )
0
4
2
3
2
2
=+− XCC
d
Xd
η
η
(3.41)
onde:
(
)
422
1
1
αρ
+= qC
( )
+
−++−=
2
22
2222
2
1
q
kk
xEqC
zy
c
ρα
(
)
422
3
βρ
qC =
(3.42)
22
( )
+
−+−−=
2
22
0
2222
4
1
q
kk
xEqC
zy
ρβ
Observando as equações (3.40) e (3.41), elas podem ser reescritas na forma
conhecida como Equação de Weber [16-17], para tal, basta impor que
4
1
31
== CC .
Substituindo os valores dessas constantes nas expressões acima, obtemos os valores de
α
e
β
em termos das grandezas adimensionais :
2
2
12
1
ρ
α
+
=
q
(3.43)
ρ
β
q
2
1
2
=
(3.44)
Mais uma vez, substituindo
α
e
β
em
2
C
e
4
C
respectivamente, encontramos os
valores de
χ
a
e
η
a
em termos das grandezas adimensionais:
(
)
+
−+−
+
−=
2
22
22
2
)1(
12
q
kk
xE
q
a
zy
c
ρ
ρ
χ
(3.45)
(
)
+
−−−−=
2
22
2
0
2
1
2
q
kk
xE
q
a
zy
ρ
ρ
η
(3.46)
Assim, a equação diferencial para a região do poço é dada por:
0)(
4
)(
2
2
2
=
+− xXa
d
xXd
χ
χ
χ
(3.47)
E para as regiões das barreiras, por:
0)(
4
)(
2
2
2
=
+− xXa
d
xXd
η
η
η
(3.48)
Com as equações diferenciais (3.47) e (3.48) reescritas sob essas grandezas, ficará
mais fácil tratar o problema, pois agora, as equações diferenciais apresentam uma forma
conhecida que é chamada de
Equação Diferencial de Weber
, cujas soluções são
23
encontradas em tabelas matemáticas [16]. Essas soluções serão apresentadas no item
seguinte para obter as auto-energias desse sistema.
3.3 Cálculo da equação transcendental: Espectro de energia
Nesse item vamos desenvolver os cálculos matemáticos para obter a equação
transcendental do sistema acima e em seguida os níveis energéticos associados ao potencial
confinante.
As funções matemáticas que são soluções para as equações diferenciais (3.47) e
(3.48) nas diferentes regiões da nanoestrutura são escritas como:
),(
),(),(
),()(
33
222
11
η
χχ
η
η
χχ
η
aHAX
aVBaUAX
aUAxX
=
+=
=
L
x
Lx
Lx
>
≤
−
<
(3.49)
onde
),()1(),(),(
ηηη
ηηηη
aVaiaUaH −Γ+=
. ),(
xaU
e ),(
xaV
são as soluções
para a equação de Weber [16-17], onde:
21
2
1
4
1
sin
2
1
4
1
cos),(
YaYaxaU
+−
+=
ππ
−Γ
+−
+
=
a
YaYa
xaV
2
1
2
1
4
1
cos
2
1
4
1
sin
),(
21
ππ
(3.50)
e
1
Y
e
2
Y
são definidos por :
),
2
1
,
4
1
2
(
2
2
1
4
1
1
2
1
1
4
)
4
1
2
(
1
2
x
a
Fe
a
Y
x
a
+
−Γ
≡
−
+
π
),
2
3
,
4
3
2
(
2
2
1
4
3
1
2
1
1
4
)
4
1
2
(
2
2
x
a
Fxe
a
Y
x
a
+
−Γ
≡
−
−
π
(3.51)
2
4
onde
),,(
11
zbaF
é a função Hipergeométrica Confluente de primeiro tipo [16-
17].
Impondo a condição de contorno em x=L e x=-L , ou seja, a função de onda (
para garantir a continuidade da probabilidade de se encontrar o elétron) e sua derivada
primeira ( para garantir a continuidade da corrente eletrônica) devem ser contínuas nesses
pontos.
Em x=-L, temos:
),(),(),(
221
−−−
+=
χχη
χχη
aVBaUAaUA
)],('),('[
1
),('
1
221
−−−
+=
χχ
α
η
β
χχη
aVBaUAaUA
(3.52)
Fazendo o mesmo para x=L, temos:
),(),(),(
223
+++
+=
χχη
χχχ
aVBaUAaHA
)],('),('[
1
),('
1
223
+++
+=
χχ
α
η
β
χχη
aVBaUAaHA
(3.53)
Onde U´ e V´ são as primeiras derivadas, e
( )
0
1
1
x−±=
±
β
η
e
( )
c
x−±=
±
1
1
α
χ
.
Reescrevendo o conjunto de equações (3.52) e (3.53) sob forma de matriz, obtemos:
0
),('),('),('0
),(),(),(0
0),('),('),('
0),(),(),(
3
2
2
1
=
−
−
−
−−
+++
+++
−−−
−−−
A
B
A
A
aHaVaU
aHaVaU
aVaUaU
aVaUaU
η
β
α
χχ
ηχχ
χχη
β
α
χχη
ηχχ
χχχ
χχη
χχη
(3.54)
Para determinar os níveis de energia da partícula ligados ao potencial confinante,
devemos resolver o seguinte determinante e encontrar suas raízes:
0
),('),('),('0
),(),(),(0
0),('),('),('
0),(),(),(
=
−
−
−
−−
+++
+++
−−−
−−−
η
β
α
χχ
ηχχ
χχη
β
α
χχη
ηχχ
χχχ
χχη
χχη
aHaVaU
aHaVaU
aVaUaU
aVaUaU
(3.55)
25
Como as funções hipergeométricas confluentes são bastante complicadas e
mudam de comportamento em diferentes ramos, só será possível encontrar a solução do
determinante acima via cálculo numérico, cujos resultados serão apresentados nos capítulos
seguintes em forma de gráficos.
Uma vez obtidos os níveis de energias desse sistema vamos obter as autofunções
associadas a eles. Para facilitar os cálculos escreveremos as constantes
2
A
,
2
B
e
3
A em
função de
1
A
através da seguinte equação matricial:
1
3
2
2
0
0
),(
),('),('),('
),(),(),(
0),(),(
A
aU
A
B
A
aHaVaU
aHaVaU
aVaU
=
−
−
−
+++
+++
−−
η
η
β
α
χχ
ηχχ
χχ
η
ηχχ
χχχ
χχ
(3.56)
e
1
A
será determinada numericamente pela normalização da função de onda.
3.4 Obtenção do Potencial Efetivo Tipo Poço Duplo
Nesta seção vamos mostrar como surge o potencial efetivo tipo poço duplo.
O objetivo principal é desenvolver um método analítico para obter os valores de campos
elétrico e magnético (campos críticos) que devido a sua aplicação resultarão num potencial
efetivo tipo poço duplo. Vale lembrar que um potencial com perfil de poço duplo não
precisa ser necessariamente simétrico, basta ter dois poços, iguais ou não, ligados por uma
barreira de potencial. Então inicialmente vamos mostrar em quais situações ocorre o poço
duplo para qualquer configuração deste e depois discutiremos a situação do poço duplo
simétrico. Vamos ver que em todos os casos, para o nosso sistema particular, essas
configurações surgem como fruto dos valores dos campos aplicados conjugado com o valor
da largura da barreira. Apresentaremos gráficos do comportamento desse potencial efetivo
devido a variações das intensidades dos campos elétrico e magnético aplicados.
Mostraremos para quais intervalos de valores de campos o potencial tipo poço duplo
sobreviverá.
26
Sabendo que os potenciais efetivos, eqs. (3.34) e (3.38), são duas parábolas,
investigaremos quais pontos correspondem aos mínimos. Então, vamos derivar as
expressões dos potenciais efetivos, em relação a x e igualar a zero para encontrá-los.
(
)
c
xxxU −+= )2(1 )('
2
1
ρ
(3.57)
e,
(
)
0
2
2
)2( )(' xxxU −=
ρ
(3.58)
o que nos dá, como esperado,
c
x e
0
x para os mínimos dos potenciais.
Reescrevendo
c
x e
0
x em termos das unidades adimensionais, temos:
2
1
2
ρ
ρ
+
−
=
q
k
F
x
y
c
(3.59)
e,
2
0
2
ρ
ρ
q
k
F
x
y
−
=
(3.60)
onde,
0
V
eFL
F = .
Agora podemos iniciar o cálculo dos valores dos campos para que o potencial seja
do tipo poço duplo. Para que isso ocorra precisamos que os mínimos dos potenciais estejam
em regiões especificas, já que eles variam dependendo dos campos aplicados, por exemplo,
se
0
x estiver na região do potencial
1
U
, x<L, não teremos um potencial na forma desejada,
logo a condição para ocorrer poço duplo é que
0
x esteja na região x>L , o mesmo se aplica
para
c
x que também deve estar numa região específica, no caso, x<L. As figuras a seguir
mostram com maior clareza o que tentamos explicar acima.
27
0 1 2 3
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
X
0
X
C
V/V
0
x/L
Figura 3-2 : Potencial efetivo tipo poço duplo
A partir da figura 3-2 podemos perceber melhor que só teremos a situação de poço
duplo quando as situações descritas acima forem satisfeitas. Na figura 3-3 vemos um
potencial efetivo fora da condição de poço duplo, pois
0
x está na região onde x<L.
28
-1 0 1 2
0
2
4
X
0
X
C
V/V
0
x/L
Figura 3-3 : Poço efetivo fora da situação de poço duplo
De forma que se impusermos 1≤
c
x e 1
0
≥x nas eqs (3.59) e (3.60) podemos
encontrar os valores de campos para conseguirmos o Potencial efetivo tipo Poço Duplo, e
para facilitar o problema escolheremos aí 0=
y
k . Assim, encontramos um intervalo de
valores para o campo elétrico com campo magnético fixo:
(
)
22
122
ρρ
+≤≤ F
(3.61)
Ou, de outra forma de expressar, podemos encontrar um intervalo de valores para
o campo magnético com o campo elétrico fixo que ocorre o poço duplo, vide equação
abaixo:
2
1
2
FF
≤≤−
ρ
(3.62)
29
3.5 Obtenção do Potencial Tipo Poço Duplo Simétrico
Nesse tópico queremos obter os valores dos campos que tornam o potencial tipo
poço duplo simétrico, ou seja, queremos que o potencial efetivo tenha os pontos
c
x e
0
x na
mesma altura. Para isso, basta igualar os mínimos dos potenciais.
)()(
021
xUxU
c
=
(3.63)
que nos dará o campo elétrico (com o magnético fixo) que torna o potencial duplo
o mais simétrico possível. Esse campo elétrico, será chamado de campo crítico:
( )
21
2
112
ρρ
+=
c
F
(3.64)
o expoente ½ foi mantido no 1 pois será útil nos capítulos seguintes quando novos
termos serão adicionados ao Hamiltoniano. Note que da mesma condição poderia ser
retirado um campo magnético crítico, porém no nosso trabalho usamos um campo
magnético fixo, logo apenas a expressão para o campo elétrico é necessária.
Outro ponto útil que será utilizado mais a frente é um valor de campo elétrico
próximo do valor crítico, porém ainda muito próximo dele. Esse valor pode ser obtido
aplicando-se um campo com a seguinte perfil:
FFF
c
∆+→
(3.65)
onde
F
∆
é um valor muito menor que 1. Seguindo o mesmo procedimento vamos
calcular os valores dos potenciais com esse campo aplicado.
(
)
)1(4
)(
2
2
1
ρ
+
∆+
−=
FF
xU
c
c
(3.66)
abrindo o produto notável e desconsiderando o termo com
2
F
∆
teremos:
)1(2)1(4
)(
22
2
1
ρρ
+
∆
−
+
−≈
FFF
xU
cc
c
(3.67)
Fazendo o mesmo para
2
U
, teremos:
22
2
02
24
)(
ρρ
FFF
xU
cc
∆
−−≈
(3.68)
30
Podemos calcular a diferença entre os potenciais para poder perceber seu
comportamento devido a aplicação de valores de campos diferentes do campo crítico. A
diferença entre os potenciais nessa situação fica:
)1(2
)()(
22
102
ρρ
+
∆
−≈−
FF
xUxU
c
c
(3.69)
os termos de ambos os potenciais com
2
c
F são os mínimos do potencial com o
campo elétrico crítico aplicado, e como vimos, nesse ponto os potenciais apresentam o
mesmo valor, logo, os dois termos se anulam, só restando os termos com
F
∆
.
A partir dessa expressão (3.69) podemos perceber que, se
0
>
∆
F , a diferença
entre os potenciais resulta num valor negativo, fazendo com que o mínimo do potencial da
região 1 esteja mais elevado do que o mínimo do potencial da região 2. Agora quando
0
<
∆
F , a diferença se torna positiva, e o contrário acontece. Nessa situação o mínimo do
potencial da região 2 ficará mais elevado que o mínimo do potencial da região 1.
Para encontrar uma expressão para essa pequena variação de campo elétrico que
propomos, precisaremos retomar os níveis de energia dos poços isolados, vide apêndice A
eqs(A.1) e (A.2), que para
0==
zy
kk
, podem ser reescritos, como:
)()
2
1
(
12
1
2
1 c
xUn
q
E ++
+
−=
ρ
(3.70)
para o poço isolado relacionado ao potencial da região do poço,e
)()
2
1
(
2
022
xUn
q
E ++−=
ρ
(3.71)
para o poço isolado relacionado ao potencial da região das barreiras, calcularmos
a diferença dos níveis de energia para esses dois poços, teremos:
[
]
)()(1)
2
1
(
2
102
2
12 c
xUxUn
q
EEE −++−+−=−=∆
ρρ
(3.72)
Retomando o caso de campos elétricos próximos do campo crítico, podemos
substituir a equação (3.69) na equação acima, e obter:
[
]
)1(2
1)
2
1
(
2
22
2
ρρ
ρρ
+
∆
−+−+−=∆
FF
n
q
E
c
(3.73)
31
se quisermos um
E
∆
menor possível, para “igualar” os níveis de energia dos
poços isolados, tal que, 0
≈
∆
E , obteremos para
F
∆
a seguinte expressão:
[
]
222
1)1()
2
1
(
4
ρρρρ
+−++=∆ n
qF
F
c
(3.74)
Como esse valor de campo elétrico foi obtido obedecendo a condição de
igualdade dos níveis de energia dos poços isolados, este deve provocar o maior tunelamento
da função de onda, pois esta é a condição de tunelamento ressonante.
A seguir vamos utilizar os resultados eq (3.34 e 3.38) e mostrar o comportamento
do potencial na região de poço duplo para diferentes campos aplicados, esse
comportamento está bem expresso nas figuras 3-4 e 3-5.
Na figura 3-4 percebemos o comportamento do potencial para diferentes campos
elétricos aplicados, ao aumentarmos o campo elétrico ocorre um deslocamento para baixo
do potencial da região 2 e por parte do potencial da região 1. Nessa mesma figura está
representado o comportamento para três valores de campos elétricos diferentes sendo a
linha verde para o campo elétrico com maior valor, a azul para intermediário, e a linha preta
com menor valor.
Na figura 3-5 vemos que a situação se inverte para o campo magnético, quando
este é aumentado ocorre um deslocamento para cima no potencial da região 2 e parte do
potencial da região 1, nessa figura a linha preta representa o campo magnético de menor
valor, e é a linha mais inferior das três, a linha azul para um campo intermediário e a linha
verde para o campo magnético mais elevado.
32
0 1 2
-1
0
1
2
V/V
0
x/L
F
1
<F
2
<F
3
Figura 3-4 : Potencial efetivo para diferentes campos elétricos (F) com
campo magnético fixo
0 1 2
-1
0
1
2
3
V/V
0
x/L
B
1
<B
2
<B
3
Figura 3-5 : Potenciais efetivos para diferentes campos magnéticos (B)
e campo elétrico fixo
33
Os campos elétrico e magnético apresentam comportamentos opostos, ou seja, o
campo magnético tende a confinar a partícula numa dada região enquanto o campo elétrico
faz efeito contrário. Para se obter um determinado perfil de potencial via aplicação dos
campos, essa competição entre eles deve ser levada em conta ao determinar os valores
apropriados dos campos.
Com isso terminamos esta seção, e este capítulo. Nos capítulos seguintes
aplicaremos este mesmo modelo teórico em nanoestruturas com SDM/SC, contudo, mais
termos devem ser considerados no hamiltoniano, devido a presença do material magnético.
34
Capítulo 4
4 POÇO PARABÓLICO SUBMETIDO A CAMPOS CRUZADOS COM
PRESENÇA DE SDM NAS BARREIRAS
Nesse capítulo iremos estudar um poço quântico parabólico, com barreiras de SDM
submetido a campos elétrico e magnético cruzados. Trabalharemos com duas
nanoestruturas diferentes, o Ga
(1-x)
Mn
x
As-GaAs-Ga
(1-x)
Mn
x
As e o Cd
(1-x)
Mn
x
Te-CdTe-
Cd
(1-x)
Mn
x
Te. De todo modo, vale não esquecer que os cálculos apresentados aqui podem
ser aplicados para outras nanoestruturas semelhantes, ou seja, cujo material SDM esteja nas
barreiras.
Estamos interessados em analisar as propriedades de transporte eletrônico associadas
a esse sistema. Em particular, vamos observar as características dos níveis de energia e
suas funções de onda, na condição de potencial efetivo tipo poço duplo (condição discutida
no capítulo anterior). Assim, os cálculos necessários para encontrar essas grandezas físicas
serão semelhantes, em parte, com os desenvolvidos no capítulo 3, porém, devido à presença
do material SDM serão acrescentados ao hamiltoniano do sistema os termos associados as
interações magnéticas, agora presentes.
35
4.1 Obtenção dos Níveis de Energia
Considerando a aproximação da massa efetiva, o hamiltoniano que descreve o
comportamento eletrônico de uma nanoestrutura com presença de material semicondutor
diluído magnético nas barreiras de potenciais, escreve-se como:
ψψ
ErVrVH
exczo
=++ )]()([
(4.1)
Onde
0
H é o hamiltoniano descrito na equação (3.1),
)(rV
z
é o potencial Zeeman
devido a interação do campo magnético externo com o spin dos íons de manganês, )(rV
exc
é a interação de troca sp-d entre os elétrons de condução das bandas sp com os elétrons da
banda 3d dos íons magnéticos. Note que, aqui,
r
é a posição da partícula na direção do
crescimento da nanoestrutura, no nosso caso em
x
. Porém, mantivemos como
r
para não
haver confusão de nomenclatura com a concentração dos íons de manganês que também é
dada pela letra x .
O termo Zeeman é representado por:
(
((
(
)
))
)
B.S)B(*grV
BZ
r
r
µ
−
−−
−=
==
=
(4.2)
onde, *g é o fator de Landé para o SDM que é função do campo magnético [18],
B
µ
é o magnéton de Bohr,
S
r
é o spin do íons de manganês e
B
r
é o campo magnético
externo aplicado.
A interação de troca sp-d pode ser escrita como um hamiltoniano do tipo
Heisenberg,
(
)
∑
−=
iiexc
SSRrJrV
r
r
.)(
(4.3)
onde,
S
r
é o spin do elétron de condução,
i
S
r
é o spin do i-ésimo íon de manganês,
e
J
é a constante de troca sp-d e
r
e
i
R definem as coordenadas do elétron da banda e dos
íons de manganês (Mn
+2
). Na expressão acima, o somatório deve ser feito sobre todas
posições e valores de spins dos íons Mn
+2
. Supondo que o campo magnético esteja
36
aplicado na direção z, e utilizando a aproximação de campo médio, a interação de troca sp-
d (Apêndice B) toma a seguinte forma:
(
)
zexc
SxSNrV
α
0
−=
(4.4)
Onde
α
0
N é a constante eletrônica de troca sp-d,
x
é a fração molar de manganês,
2
1
±=S é componente de spin ao longo do campo magnético.
z
S
é a média
termodinâmica da componente z dos spins dos íons de manganês e está diretamente
relacionado a magnetização do sistema através da seguinte expressão:
zMnBMn
SSxgNM
µ
0
=
(4.5)
onde,
Mn
g é o fator de Landé para os íons de manganês,
Mn
S é o spin total dos
íons de manganês que é obtido via regra de Hund [3].
z
S
é escrita em termos da função
de Brillouin [3], logo:
)(
0
Tk
BSg
BSxgNM
B
MnBMn
sMnBMn
µ
µ
=
(4.6)
onde
S
B é a conhecida função de Brillouin,
B
k
é a constante de Boltzmann e T é
a temperatura do sistema. Para temperaturas variando de 5 K a 15 K e para campos
magnéticos da ordem de 1 T o argumento da função de Brillouin é muito menor que 1,
então, podemos expandi-la em série de Taylor, e tomamos apenas o termo de primeira
ordem, obtendo assim:
Tk
BSg
B
B
MnBMn
s
3
)1(
+
≈
µ
(4.7)
Substituindo essa expansão no valor médio termodinâmico
z
S
na equação (4.4)
temos o potencial associado a interação de troca escrito como:
( )
Tk
BSxSgN
xV
B
MnBMn
exc
3
)1(
0
+
−=
µ
α
(4.8)
Analisando o termo Zeeman, eq.(4.2) e a interação de troca escrita na forma
acima, podemos juntar os dois termos, gerando um único termo do “tipo Zeeman”:
37
(
)
BSgxVxV
zBeffexcZ
µ
*
)( −=+
(4.9)
onde,
z
S
é a projeção de spin na direção do campo magnético e
*
eff
g
é o fator de
Landè efetivo para o sistema com SDM é função do campo magnético, e dado por:
Tk15
)1S(xgN2
)B(*g)B(g
B
MnMn0
*
eff
+
++
+
+
++
+=
==
=
α
(4.10)
Em geral, para um dado SDM não é trivial obter uma fórmula explí cita para g*,
pois nesses semicondutores o fator de Landè é função do campo magnético aplicado, da
temperatura e da fração molar de Mn. Para contornar esse problema utilizaremos o
máximo valor de quebra de degenerescência para o efeito Zeeman, para uma partícula com
spin
S
r
não nulo e submetido a um valor fixo de campo magnético. [19-20]
Desse modo, o hamiltoniano do poço parabólico com barreiras de SDM
submetido a campos cruzados pode ser escrito, simplesmente como:
ψψµ
EBSgH
zBeffo
=− ][
*
(4.11)
Da mesma maneira que tratado no capítulo 3, e pelas mesmas razões expostas
anteriormente, estamos interessados em obter o espectro energético e as autofunções do
sistema na condição de potencial efetivo tipo poço duplo. Então, agora, vamos apresentar
as diferenças introduzidas devido a presença do termo tipo Zeeman ao formalismo
matemático desenvolvido no capítulo anterior. Lembrando que as passagens matemáticas
utilizadas a partir do hamiltoniano inicial (4.11) são as mesmas descritas no capítulo 3,
sendo que agora o termo tipo Zeeman é levado em conta.
Como o material magnético encontra-se na região das barreiras da nanoestrutura,
o potencial efetivo associado a essa região,
2
U
eq. (3.38), assume a seguinte forma quando
escrito em termos de unidades adimensionais:
[
]
BSgxU
zdeff
εηβρ
*2
0
222
2
1 −−+=
(4.12)
38
onde,
0
/V
dd
εε
= ,
0
B
Bd
µε
= ,
0
/ BBB = e
0
B é um campo magnético utilizado
para normalização. E o potencial efetivo na região do poço,
1
U
eq. (3.34), não sofre
alteração:
[
]
2222
1
)(1 )(
c
xxU −+=
χαρ
(4.13)
Com a adição do potencial tipo Zeeman, a equação diferencial obtida para a
região da barreira (3.48), também se modifica, ficando como:
0)(
4
)(
2
2
2
=
+− xXa
d
xXd
η
η
η
(4.14)
Agora,
η
a é dado por:
(
)
+
−−+−−=
2
22
*2
0
2
1
2
q
kk
BSgxE
q
a
zy
zdeff
ερ
ρ
η
(4.15)
A equação diferencial (3.47) para a região do poço não se modifica em relação a
obtida no capítulo 3.
O campo elétrico crítico, aquele que coloca na mesma altura os mínimos dos
poços isolados, altera-se pela adição do potencial tipo Zeeman, ficando então, com a
seguinte forma:
(
)
21
*2
112 BSgF
zdeffc
ερρ
−+=
(4.16)
O campo elétrico que iguala os níveis de energia dos poços isolados,
b
F , não sofre
alteração diretamente, mas note que, como este depende de
c
F sofrerá, sim, alteração
devido a inserção do potencial tipo Zeeman. De mãos desses cálculos analíticos vamos
aplicá-los no programa numérico e obter resultados para dois sistemas específicos.
39
4.2 Resultados para GaAs/Ga
(1-x)
Mn
x
As e CdTe/Cd
(1-x)
Mn
x
Te
Nessa seção vamos aplicar o modelo desenvolvido no item acima e analisar os
resultados obtidos para as nanoestruturas de Ga
(1-x)
Mn
x
As/GaAs/Ga
(1-x)
Mn
x
As e Cd
(1-
x)
Mn
x
Te/CdTe/Cd
(1-x)
Mn
x
Te. Nós obteremos as funções de onda para o estado fundamental
e o primeiro estado excitado dos sistemas, assim como, os valores dos campos elétrico e
magnético para formar o potencial efetivo tipo poço duplo para diferentes concentrações de
manganês.
Nesse tipo de material, uma fração da sub-rede do grupo-III (II), para o GaAs
(CdTe) é substituída randomicamente pelos íons de Mn que atuam como aceitadores. Os
cinco elétrons da banda 3d no Mn
2+
resultam em um momento magnético localizado. As
vantagens desses materiais incluem não somente uma integração com a tecnologia
semicondutora existente, mas também uma fabricação relativamente sem dificuldades de
estruturas epitaxiais de alta qualidade, estruturas facilmente controladas física e
eletronicamente[21].
Antes de mostrarmos os gráficos referentes as funções de onda, precisaremos
definir certos aspectos que facilitarão o entendimento dos gráficos e valores obtidos nessa
seção e nas seções seguintes. Começando pelo campo elétrico aplicado F
b
ao sistema,
definido na eq (3.74), como sendo o campo elétrico que provoca o maior tunelamento da
função de onda na condição de poço duplo para um dado valor de campo magnético.
Observe que o campo elétrico F
b
dependente do campo crítico F
c
,
eq(3.64), de modo que,
com a presença das interações magnéticas, F
c
dependerá do spin da partícula eq.(4.16).
Sendo assim, teremos dois valores de campos elétricos críticos a serem aplicados
(lembrando que estamos considerando apenas o maior e o menor valor para o potencial do
tipo Zeeman). Esses valores serão definidos como:
+
F
para o valor de campo elétrico
quando é considerado o maior valor do potencial tipo Zeeman, e
−
F
para o valor de campo
elétrico quando é considerado o menor valor do potencial tipo Zeeman.
O hamiltoniano eq.(4.1) também é dependente do spin do elétron, logo obteremos
duas soluções distintas. A primeira definiremos como
+
σ
que ocorre quando no
hamiltoniano estivermos considerando o maior valor para o potencial do tipo Zeeman, ou
40
seja, associado ao elétron de spin “up” e a outra,
−
σ
, quando o menor valor para o
potencial tipo Zeeman for considerado no hamiltoniano, ou seja, associado ao elétron de
spin “down”.
É importante ressaltar também que os gráficos das funções de onda obtidos a
seguir são os mesmos para a nanoestrutura de Ga
(1-x)
Mn
x
As/GaAs/Ga
(1-x)
Mn
x
As e Cd
(1-
x)
Mn
x
Te/CdTe/Cd
(1-x)
Mn
x
Te, porque estes foram obtidos de forma adimensional e
normalizada, visando obter a mesma situação para ambos compostos.
A figura 4-1 mostra o comportamento da função de onda do estado fundamental
associada a polarização de spin down do sistema quando o campo elétrico
−
F
foi aplicado,
com campo magnético e concentração de Mn fixas. Para obtenção dessa função de onda foi
considerado o menor valor de potencial tipo efeito Zeeman no hamiltoniano (
−
σ
). Nessa
situação a autofunção associada ao spin down encontra-se espalhada nos dois lados do poço
duplo. Os valores das energias do estado fundamental são E=-4,249 meV e E=-6,321 meV
para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe, respectivamente.
Aplicando o mesmo valor de campo elétrico
−
F
e magnético, mas agora usando o
maior valor de potencial tipo Zeeman no hamiltoniano (
+
σ
), a autofunção do estado
fundamental associada a polarização de spin up fica mais concentrada na região da barreira
da nanoestrutura, veja figura 4-2. Nesse caso os valores das energias do estado
fundamental são E=-4,391 meV e E=-6,533 meV para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe,
respectivamente, para concentração de manganês x = 0,01.
Só haverá tunelamento ressonante para uma dada polarização de spin
−
σ
, figura
4-1 e pouco tunelamento ocorre para a polarização
+
σ
, figura 4-2, isso ocorre em
conseqüência dos valores dos campos elétrico e magnético aplicados. Daí, concluí-se que a
região do poço, x/L <1 apresenta uma polarização de spin, pois nessa região a
probabilidade de se encontrar
+
σ
é muito pequena quando comparada a probabilidade de
se encontrar
−
σ
.
41
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Ψ
(x)
X/L
Figura 4-1 : Função de onda do estado fundamental associada a
polarização de spin (σ
−
) e com F
-
aplicado, para o GaMnAs/GaAs e
CdMnTe/CdTe. (
0
E
em unidades de
0
V
).
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
Ψ
(x)
X/L
Figura 4-2 : Função de onda do estado fundamental associada a
polarização de spin (σ
+
) e com F
-
aplicado para o GaMnAs/GaAs e
CdMnTe/CdTe (
0
E
em unidades de
0
V
).
42
Agora vamos observar o comportamento da função de onda do estado
fundamental, quando o campo elétrico utilizado é
+
F
. A figura 4-3 mostra a função de
onda do estado fundamental associada a polarização de spin (
+
σ
). Observa-se que nos dois
lados do poço duplo existe quase a mesma probabilidade de encontrar a partícula. Nesse
caso os valores das energias do estado fundamental são E=-4,152 meV e E=-6,166 meV
para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe, respectivamente, para concentração de manganês
x = 0,01.
Ainda com campo elétrico
+
F
aplicado, a função de onda associada a polarização
−
σ
, observa-se uma concentração da em um dos lados da estrutura, figura 4-4. Assim,
gera-se uma região spin polarizada com
+
σ
, pois a probabilidade de se encontrar o elétron
associado ao
+
σ
(spin up) na região da barreira x/L > 1 é muito maior que a probabilidade
associada a um elétron com
−
σ
. Nesse caso, os valores das energias do estado
fundamental são E=-4,145 meV e E=-6,177 meV para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe,
respectivamente, para x(Mn) = 0,01.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Ψ
(x)
X/L
Figura 4-3 : Função de onda para o estado fundamental considerando o
maior valor de potencial tipo efeito Zeeman (σ
+
) e o campo elétrico (F
+
)
para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe (
0
E
em unidades de
0
V
).
43
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
Ψ
(x)
X/L
Figura 4-4 : Função de onda para o estado fundamental considerando σ
−
e
com F
+
aplicado para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe. (
0
E
em
unidades de
0
V
).
As figuras 4-5 e 4-6 apresentam as funções de onda do primeiro estado excitado,
para polarização de spin
−
σ
e
+
σ
quando o campo elétrico
−
F
é aplicado, com campo
magnético fixo e x(Mn)=0.01. Observa-se comportamento semelhante ao que ocorreu no
estado fundamental com relação à localização da autofunção. Percebemos que a função de
onda se espalha nos dois lados do poço duplo quando a sua polarização é a mesma que a
usada no cálculo do campo elétrico crítico. Nas figuras 4-7 e 4-8, o campo aplicado é
+
F
,
e as funções de onda do primeiro estado excitado para polarização de spin
+
σ
e
−
σ
,
respectivamente. Observamos a polarização de spin
+
σ
na região do poço x/L < 1. Nesses
casos os valores das energias do estado primeiro estado excitado são E=-4,234 meV e E=-
6,299 meV para a figura 4-5; E=-4,242 meV e E=-6,310 meV para a figura 4-6; E=-4,137
meV e E=-5,943 meV para a figura 4-7; E=-3,995 meV e E=-6,154 meV para a figura 4-8 e
para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe, respectivamente e todos para concentrações de
manganês x = 0,01.
44
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
Ψ
(x)
X/L
Figura 4-5 : Função de onda do primeiro estado excitado com polarização
de spin σ
−
, com F
-
aplicado para o GaMnAs/GaAs e CdMnTe/CdTe
(
1
E
em unidades de
0
V
).
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
Ψ
(x)
X/L
Figura 4-6 : Função de onda para o primeiro estado excitado
considerando σ
+
e com F
-
aplicado para o GaMnAs/GaAs e
CdMnTe/CdTe (
1
E
em unidades de
0
V
).
45
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
Ψ
(x)
X/L
Figura 4-7 : Função de onda para o primeiro estado excitado
considerando σ
+
e com F
+
aplicado para o GaMnAs/GaAs e
CdMnTe/CdTe (
1
E
em unidades de
0
V
).
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
Ψ
(x)
X/L
Figura 4-8 : Função de onda para o primeiro estado excitado
considerando σ
−
e com F
+
aplicado para o GaMnAs/GaAs e
CdMnTe/CdTe (
1
E
em unidades de
0
V
).
46
A tabela 4-1 mostra os valores de campo elétrico e magnético que devem ser
aplicados nas nanoestruturas Ga
(1-x)
Mn
x
As/GaAs/Ga
(1-x)
Mn
x
As e Cd
(1-x)
Mn
x
Te/CdTe/Cd
(1-
x)
Mn
x
Te para obter a condição de poço duplo em função das diferentes concentrações de
manganês (x). Podemos perceber os acréscimos nos valores dessas grandezas com o
aumento de x, isso é devido ao fato do gap de energia desses compostos depender da
concentração de manganês, e por conseqüência a altura da barreira
0
V também dependerá.
Para uma mesma concentração de manganês, as intensidades dos campos externos para
atingir a situação de poço duplo são maiores para a nanoestrutura de CdMnTe/CdTe, do
que para o GaMnAs/GaAs.
x V
0
(meV) F
+
(kV/cm) F
-
(kV/cm) B (T)
GaAs CdTe GaAs CdTe GaAs CdTe GaAs CdTe
0,01 7,482 11,130 7,534 11,207 7,611 11,323
0,351 0,729
0,02 14,964 22,260 15,068
22,415 15,223
22,646
0,702 1,459
0,03 22,446 33,390 22,602
33,623 22,835
33,969
1,053 2,188
0,04 29,928 44,520 30,137
44,831 30,447
45,292
1,404 2,918
0,05 37,410 55,650 37,671
56,039 38,059
56,616
1,755 3,648
Tabela 4-1 : Os valores de campo elétrico, campo magnético e altura de barreira e concentração de
Mn x para as nanoestruturas de GaAs/GaMnAs, com
0
067,0* mm =
, e CdTe/CdMnTe, com
0
095,0* mm =
e L= 100 Å, representadas na tabela por GaAs e CdTe , respectivamente.
A tabela 4-2 mostra o valor da diferença de energia entre o primeiro estado
excitado e o estado fundamental (
E
∆
) para a concentração de manganês x = 0,01, relativos
as situações apresentadas nos gráficos acima. O índice inferior no
E
∆
está ligado a
polarização de spin (
+
σ
,
−
σ
) e o índice superior aos campos elétricos aplicados (
+
F
,
−
F
). Podemos perceber que quando ocorre o maior tunelamento da função de onda, ou
seja, a função de onda está mais espalhada nos dois lados do poço duplo (por exemplo:
figura 4-1), o índice do campo elétrico é o mesmo da polarização de spin. Nessa situação, a
diferença entre os níveis de energia é menor se comparada com a diferença de energia que
ocorre quando o índice do campo é diferente do índice de polarização de spin. Outrossim, a
diferença de energia para a nanoestrutura de CdMnTe/CdTe é sempre maior quando
comparada, em cada caso, a diferença de energia da nanoestrutura de GaMnAs/GaAs.
47
E
∆
(
meV)
GaMnAs/GaAs CdMnTe/CdTe
−
−
∆E
0,015
0,022
+
−
∆E
0,149
0,223
+
+
∆E
0,015
0,023
−
+
∆E
0,150
0,223
Tabela 4-2 : A diferença de energia entre o primeiro estado excitado e o
estado fundamental (
E
∆
) para uma concentração de manganês x = 0,01
e para nanoestruturas de GaAs/GaMnAs e CdTe/CdMnTe. O índice
inferior representa a polarização de spin e o índice superior refere-se ao
campo elétrico aplicado.
Com isto, encerramos esta seção e mais um capítulo. Em seqüência mostraremos
o comportamento de um sistema com semicondutor diluído magnético no poço quântico
iremos discutir as semelhanças e diferenças com o caso que acabamos ilustrar.
48
Capítulo 5
5 POÇO PARABÓLICO SUBMETIDO A CAMPOS CRUZADOS COM
PRESENÇA DE SDM NO POÇO QUÂNTICO
Nesse capítulo iremos desenvolver um modelo teórico para analisar o espectro
energético e suas respectivas autofunções para o sistema poço quântico parabólico de SDM
submetido a campos elétrico e magnético cruzados. Vamos obter os níveis energéticos
desse sistema na condição de potencial efetivo tipo poço duplo. O sistema a ser estudado
será a nanoestrutura Cd
(1-x)
Mn
x
Te/Cd
(1-y)
Mg
y
Te, nesse caso, o material magnético está
formando a região do poço quântico. O modelo desenvolvido aqui também pode ser
aplicado a outras nanoestruturas semelhantes, ou seja, cujo material SDM encontra-se no
poço de potencial.
Devido à presença do material magnético no poço parabólico quântico a interação
Zeeman e de Exchange devem ser consideradas, o que implicará numa mudança no
hamiltoniano proposto para o sistema com relação ao utilizado no capítulo anterior, e
posteriormente no potencial efetivo.
49
5.1 Obtenção dos Níveis de Energia
Considerando a aproximação da massa efetiva, o hamiltoniano que descreve o
comportamento eletrônico de uma nanoestrutura com presença de material SDM no poço
de potencial, escreve-se como:
ψψ
ErVrVH
exczo
=++ )]()([
(5.1)
Onde
0
H é o hamiltoniano descrito na equação (3.1),
)(rV
z
é o potencial Zeeman
devido a interação do campo magnético externo com o spin dos íons localizados de
manganês, )(rV
exc
é a interação de troca sp-d entre os elétrons de condução das bandas sp
com os elétrons da banda 3d dos íons magnéticos. Note que, aqui
r
é a posição da partícula
na direção do crescimento da nanoestrutura, no nosso caso em
x
, porém, mantivemos como
r
para não haver confusão de nomenclatura com a concentração dos íons de manganês que
também é representado pela letra x .
O termo Zeeman para o SDM é descrito por:
(
((
(
)
))
)
B.S)B(*grV
BZ
r
r
µ
−
−−
−=
==
=
(5.2)
onde, *g é o fator de Landé para o SDM que é função do campo magnético externo [18] ,
B
µ
é o magnéton de Bohr,
S
r
é o spin do íons de manganês e
B
r
é o campo magnético
externo aplicado.
A interação de troca sp-d pode ser escrita,
(
)
zexc
SxSNrV
α
0
−=
(5.3)
Onde
α
0
N é a constante eletrônica de troca sp-d,
x
é a fração molar de manganês,
2
1
±=S é componente de spin ao longo do campo magnético.
z
S
é a média
termodinâmica da componente z dos spins dos íons de manganês.
Aplicando as aproximações discutidas no capítulo anterior, podemos reorganizar os termos
acima e re-escrever um único termo do “tipo Zeeman”:
(
)
BSgxVxV
zBeffexcZ
µ
*
)( −=+
(5.4)
50
onde,
z
S
é a projeção de spin na direção do campo magnético e
*
eff
g
é o fator de
Landè efetivo para o sistema estudado.
Em geral, para um dado SDM não é trivial obter uma fórmula explicita para g* ,
pois nesses semicondutores o fator de Landè é função do campo magnético aplicado, da
temperatura e da fração molar de Mn [18]. Para contornar esse problema utilizaremos o
máximo valor de quebra de degenerescência para o efeito Zeeman, para uma partícula com
spin
S
r
não nulo e submetido a um valor fixo de campo magnético[19].
Desse modo, o hamiltoniano do poço parabólico de SDM submetido a campos
cruzados pode ser escrito, simplesmente como:
ψψµ
E]BSgH[
zB
*
effo
=−
(5.5)
Da mesma maneira que tratado no capítulo 3, e pelas mesmas razões expostas
anteriormente, estamos interessados em obter o espectro energético e as autofunções do
sistema na condição de potencial efetivo tipo poço duplo.
Como o material magnético encontra-se na região do poço da nanoestrutura, o
potencial efetivo associado a essa região,
1
U
, modifica-se em relação a eq. (3.34) e assume
a seguinte forma quando escrito em termos de unidades adimensionais:
[
]
BSgxxU
zdeffc
εχαρ
*2222
1
)(1 )( −−+=
(5.6)
onde,
0
/V
dd
εε
= ,
0
B
Bd
µε
= ,
0
/ BBB = e
0
B é um campo magnético utilizado para
normalização. Observe a presença do termo Zeeman nessa região.
O potencial efetivo na região da barreira,
2
U
, não sofre alteração com relação a eq. (3.38):
[
]
2
0
222
2
1 xU −+=
ηβρ
(5.7)
Com a adição do potencial tipo Zeeman, a equação diferencial obtida para a região do poço
(eq 3.47), fica:
0)(
4
)(
2
2
2
=
+− xXa
d
xXd
χ
χ
χ
(5.8)
Agora,
χ
a é dado por:
51
(
)
+
−++−
+
−=
2
22
*22
2
)1(
12
q
kk
BSgxE
q
a
zy
zdeffc
ερ
ρ
χ
(5.9)
A equação diferencial para a região da barreira não se modifica e permaneçe igual a eq
(3.48) obtida no capítulo 3
O campo elétrico crítico, aquele que coloca na mesma altura os mínimos dos
poços isolados, altera-se pela adição do potencial tipo Zeeman, ficando então, com a
seguinte forma:
(
)
21
*2
112 BSgF
zdeffc
ερρ
++=
(5.10)
O campo elétrico que iguala os níveis de energia dos “poços isolados”,
b
F , não
sofre alteração diretamente, mas note que, como este depende de
c
F sofrerá, sim, alteração
devido a inserção do potencial tipo Zeeman na poço. É importante notar que a diferença
entre o
c
F obtido para quando o SDM se encontrava na barreira, eq (4.16), e o
c
F obtido
agora é de apenas o sinal no termo “tipo Zeeman”, pois é esse sinal o maior responsável
pela diferença entre os dois casos que será discutido mais a frente. De mãos destes cálculos
analíticos vamos aplicá-los a seguir para dos sistemas específicos, Cd
(1-y)
Mg
y
Te/Cd
(1-
x)
Mn
x
Te e ZnSe/ZnMnSe no capítulo 6.
5.2 Resultados para Cd
(1-y)
Mg
y
Te/Cd
(1-x)
Mn
x
Te
Nessa seção vamos apresentar e discutir os resultados para a nanoestrutura
formada de Cd
(1-y)
Mg
y
Te/Cd
(1-x)
Mn
x
Te/Cd
(1-y)
Mg
y
Te. Nós obtemos as funções de onda
para o estado fundamental e o primeiro estado excitado desse sistema, assim como, os
valores dos campo elétrico e magnético para formar o potencial efetivo tipo poço duplo
para diferentes concentrações dos íons de manganês e magnésio.
As definições usadas para este sistema serão as mesmas aplicadas no capítulo
anterior. O
+
F
é o campo elétrico obtido utilizando o maior valor para o potencial “tipo
Zeeman” na expressão de
c
F , eq(4.16), e
−
F
é o campo elétrico obtido utilizando o
52
menor valor para o potencial “tipo Zeeman” na eq(4.16). A convenção para
+
σ
e
−
σ
não
muda. Sendo assim,
+
σ
representa o caso quando é considerado no hamiltoniano o maior
valor do potencial “tipo Zeeman”, spin up, e
−
σ
representa o caso quando é considerado no
hamiltoniano o menor valor para o potencial “tipo Zeeman”, spin down.
Nas figuras 5-1 e 5-2 observamos a polarização de spin
+
σ
, na região do poço
(x/L < 1), pois nessa região a probabilidade de encontrar o elétron
+
σ
é muito maior
quando comparada a probabilidade de encontrar
−
σ
. Da mesma forma, nas figuras 5-3 e 5-
4, encontramos a polarização de
−
σ
na região da barreira do composto e nas figuras 5-5 e
5-6, observa-se a polarização de
+
σ
na região da barreira. Por fim, nas figuras 5-7 e 5-8,
uma polarização
−
σ
é observada na região do poço. Nesses casos obtemos para a energia
do estado fundamental, E = -3,102 meV, para a figura 5-1, E=-3,107 meV, para a figura 5-
2, E=-2,930 meV, para a figura 5-3, E=-3,032 meV, para a figura 5-4, essas energia são
para o composto de CdMgTe/CdMnTe, com concentração de manganês x=0,01e magnésio
y=0,14. Para o primeiro estado excitado, para o mesmo composto, obtemos, E=-2,994 meV,
para a figura 5-5, E=-3,097 meV, para a figura 5-6, E= -2,919 meV para a figura 5-7 e E=-
2,925meV, para a figura 5-8.
Observamos também que o valor de campo elétrico aplicado que provocará o
maior tunelamento de uma função de onda com uma certa polarização são invertidos com
relação aqueles apresentados no capítulo anterior, quando as barreiras da nanoestrutura
eram de SDM. Ou seja, quando
+
F
está aplicado, função de onda associada ao elétron de
spin down (
−
σ
) terá maior tunelamento na nanoestrutura, ou seja, estará espalhada nos dois
lados do potencial duplo. Já o
−
F
provoca o maior tunelamento da função de onda quando
+
σ
é levado em consideração.
Isso é devido à diferença nas expressões para
c
F obtidas nos caso com o SDM na
barreira (4.15) e no caso com o SDM no poço (5.10). Note que, ao compararmos ambas
expressões observamos uma diferença de sinal no termo “tipo Zeeman”, logo se
considerarmos o maior valor do termo “tipo Zeeman” na expressão para o campo elétrico,
no caso com o SDM na barreira, obteremos
+
F
, que é o campo elétrico que provoca o
maior tunelamento da função de onda com
+
σ
levado em consideração nesse caso,
53
entretanto, no caso com o SDM no poço, o valor
+
F
é obtido considerando o menor valor
para o potencial “tipo Zeeman” na expressão para o campo elétrico. Logo, para esse caso o
valor
+
F
provocará o maior tunelamento da função de onda quando
−
σ
for observado.
54
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
E
0
= -0,577
Ψ
(x)
x/L
Figura 5-1 : Função de onda para o estado fundamental para polarização
de spin σ
−
com F
-
aplicado (
0
E
em unidades de
0
V
).
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
E
0
= -0,578
Ψ
(x)
X/L
Figura 5-2 : Função de onda para o estado fundamental considerando σ
+
e com F
-
aplicado (
0
E
em unidades de
0
V
).
55
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
E
0
= -0,545
Ψ
(x)
X/L
Figura 5-3 : Função de onda para o estado fundamental considerando σ
−
e com F
+
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no poço de potencial.
(
0
E
em unidades de
0
V
).
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
E
0
= -0,564
Ψ
(x)
X/L
Figura 5-4 : Função de onda para o estado fundamental considerando σ
+
e com F
+
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no poço de potencial.
(
0
E
em unidades de
0
V
).
56
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
E
1
= -0,557
Ψ
(x)
X/L
Figura 5-5 : Função de onda para o primeiro estado excitado
considerando σ
−
e com F
-
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no
poço de potencial. (
1
E
em unidades de
0
V
).
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
E
1
= -0,576
Ψ
(x)
X/L
Figura 5-6 : Função de onda para o primeiro estado excitado
considerando σ
+
e com F
-
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no
poço de potencial. (
1
E
em unidades de
0
V
).
57
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
E
1
= -0,543
Ψ
(x)
X/L
Figura 5-7 : Função de onda para o primeiro estado excitado
considerando σ
−
e com F
+
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no
poço de potencial. (
1
E
em unidades de
0
V
).
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
E
1
= -0,544
Ψ
(x)
X/L
Figura 5-8 : Função de onda para o primeiro estado excitado
considerando σ
+
e com F
+
aplicado. Para nanoestruturas com SDM no
poço de potencial. (
1
E
em unidades de
0
V
).
58
A tabela 5-1 mostra os resultados obtidos para o Cd
(1-y)
Mg
y
Te/Cd
(1-x)
MnxTe/Cd
(1-
y)
Mg
y
Te para diferentes valores de concentração de manganês (x) e magnésio (y). Nela
estão apresentados os valores de campo elétrico e magnético que causam a situação de poço
duplo e provocam um maior tunelamento da função de onda dependendo da polarização de
spin. Podemos perceber o aumento nos valores da altura da barreira e dos campos aplicados
com o aumento do valor da concentração de manganês e magnésio, isso ocorre, novamente
devido à dependência do gap de energia do material semicondutor diluído magnético com a
concentração de manganês no composto.
x y V
0
(meV) F
+
(kV/cm) F
-
(kV/cm) B (T)
0,01 0,014 5,377 5,415 5,470 0,390
0,02 0,027 10,755 10,830 10,941 0,791
0,03 0,041 16,132 16,245 16,412 1,201
0,04 0,055 21,510 21,660 21,883 1,621
0,05 0,068 26,888 27,076 27,354 2,051
Tabela 5-1 : Valores para o campo elétrico, magnético e potencial do poço para diferentes
valores de concentração de manganês (x) e magnésio (y).
A tabela 5-2 mostra a diferença entre o primeiro estado excitado e o estado
fundamental. Observa-se uma diferença de energia muito pequena quando a função de onda
apresenta um tunelamento acentuado, quando comparamos com a diferença de energia
quando a função de onda apresenta um tunelamento menor.
−
−
∆E
0,108 meV
+
−
∆E
0,01 meV
+
+
∆E
0,107 meV
−
+
∆E
0,011 meV
Tabela 5-2 : A diferença de energia entre o primeiro
estado excitado e o estado fundamental para a
concentração de manganês, x = 0,01 e magnésio
y=0,014. O índice inferior representa a polarização
de spin e o índice superior refere-se ao campo
elétrico aplicado.
59
Capítulo 6
6 NANOESTRURA DE ZnMnSe/ZnSe SUBMETIDA A CAMPOS
CRUZADOS NA PRESENÇA DE SDM NAS BARREIRAS OU NO
POÇO
Nesse capítulo iremos utilizar os modelos teóricos desenvolvidos nos capítulos
anteriores para obter e analisar o espectro energético e as autofunções para a nanoestrutura
formada por ZnSe-Zn
(1-x)
Mn
x
Se. As auto-energias e auto-funções que serão apresentados
estão dentro da condição de potencial efetivo tipo poço duplo.
SDM II-VI é uma classe de materiais que tem recebido muita atenção nos últimos
anos por causa das suas interessantes propriedades físicas e o grande potencial de
aplicações em dispositivos integrados magneto-optoeletrônicos. ZnMnSe é um material
muito promissor para injeção de spin em semicondutores não magnéticos, e já vem sendo
utilizado em experimentos para injeção de spin em GaAs e ZnSe [22].
Para a formação de um poço de potencial com ZnSe e Zn
(1-x)
Mn
x
Se temos que
levar em conta o comportamento não linear do gap de energia (figura 6-1) devido a adição
de manganês ao ZnSe. Nos materiais estudados nos capítulos anteriores, a adição de
manganês no semicondutor provocava uma mudança linear no gap de energia, o que
resultava, ou em um poço de potencial com o SDM presente na barreira (GaAs-GaMnAs)
ou em um poço de potencial de SDM (CdMnTe-CdMgTe). Entretanto, para o ZnSe isso
não ocorre, porque dependendo da concentração do manganês teremos o Zn
(1-x)
Mn
x
Se
presente na barreira de potencial ou no poço.
A figura 6-1 mostra a dependência do gap de energia (
g
E ) em função da
concentração de manganês (x) na camada de Zn
(1-x)
Mn
x
Se; observe que o gap de energia
varia de maneira anômala com x. A curva apresenta um mínimo em 02,0
≈
x e cresce
regurlamente com a concentração de Mn para 05.0
≥
x . Para 043.0
≤
x , a região que forma
60
o poço quântico é constituída por Zn
(1-x)
Mn
x
Se, e para 043.0
≥
x a camada de Zn
(1-x)
Mn
x
Se
forma a barreira de potencial.
Figura 6-1 : O gap de energia do ZnMnSe em função da
concentração de Mn (x) a T = 2.2K . Os dados experimentais
(quadrados cheios) foram tirados da referencia [22] e a curva é
um fit para esses dados[22].
A expressão a seguir representa matematicamente o gráfico da figura 6-1. Onde
)0()(
gg
ExEE −=∆ é a soma do “offset” da banda de condução e de valência:
432
6451952263.0 xxxxE +−+−=∆
(6.1)
Devido à presença do material magnético a interação Zeeman e de exchange
devem ser consideradas adequadamente para cada caso. Para concentrações de Mn acima
de 0,043 utilizaremos o formalismo adotado no capítulo 4 (barreiras de SDM), e para
concentrações abaixo de 0,043 (poço de SDM) o formalismo a ser utilizado será aquele
apresentado no capítulo 5.
61
6.1 Resultados para o Zn
(1-x)
Mn
x
Se/ZnSe
Dependendo da concentração de manganês (x) na nanoestrutura de ZnSe/Zn
(1-
x)
Mn
x
Se, a camada do material SDM pode se encontrada na região da barreira de potencial
ou na região do poço. Sendo assim, aplicaremos apropriadamente os modelos físico-
matemáticos desenvolvidos nos capítulo 4 e 5 para obter os gráficos das funções de onda e
suas auto-energias e os campos críticos.
As convenções adotadas para o campo elétrico crítico (
+
F
,
−
F
) e para a
polarização de spin associada as funções de onda (
+
σ
,
−
σ
) são as mesmas aplicadas no
capítulo 4 e 5.
Para concentrações de manganês maiores que x=0,043 a nanoestrutura formada
apresenta o SDM na barreira, sendo assim, a situação obtida é aquela estudada no capítulo
4. As figuras 4-1 à 4-8 também servem para ilustrar o comportamento das autofunções do
sistema ZnSe-ZnMnSe já que são gráficos normalizados e em unidades naturais do sistema.
Observamos uma polarização de spin
−
σ
, na região do poço (x/L < 1), veja as figuras 4-1
e 4-2, pois nessa região a probabilidade de encontrar
−
σ
é muito maior quando comparada
a probabilidade de se encontrar
+
σ
. Da mesma forma, nas figuras 4-3 e 4-4, encontramos a
polarização de
+
σ
na região da barreira da nanoestrutura e nas figuras 4-5 e 4-6, observa-se
a polarização de
−
σ
na região da barreira. Por fim, nas figuras 4-7 e 4-8, uma polarização
+
σ
é observada na região do poço.
A tabela 6-1 mostra a diferença de energia entre o primeiro estado excitado e o
estado fundamental para concentração de manganês x=0,05 (barreira de SDM), que são as
situações apresentadas nas figuras 4-1 até 4-4 (estado fundamental), e 4-5 à 4-8 (primeiro
estado excitado).
Observa-se uma diferença de energia muito pequena quando a função de onda
apresenta um tunelamento ressonante nos dois lados do potencial efetivo tipo poço duplo,
se comparada com a diferença de energia quando a função de onda localiza-se
preferencialmente em um dos poços. Em outras palavras, quando à direção do spin do
campo elétrico crítico é
a mesma
que a polarização da função de onda haverá tunelamento
62
ressonante, e nesse caso, a diferença de energia será a menor possível. Esse efeito ocorre
quando os campos são aplicados na nanoestrutura de
barreira de SDM.
Tabela 6-1 : A diferença de energia entre o primeiro
estado excitado e o estado fundamental para a
concentração de manganês x = 0,05, ZnMnSe na
barreira. O índice inferior representa a polarização de
spin e o índice superior refere-se ao campo elétrico
aplicado.
A tabela 6-2 apresenta os valores de campo elétrico e magnético que causam a
situação de poço duplo e provocam maior tunelamento da função de onda (dependendo da
polarização de spin); os resultados são obtidos para diferentes valores de concentração de
manganês (x).
Nessa tabela podemos perceber o aumento nos valores da altura da barreira e dos
campos aplicados com o aumento do valor da concentração de manganês, isso ocorre,
devido à dependência do gap de energia do material SDM que nesse intervalo de
concentração é linear (figura 6-1).
x V
0
(meV) F
+
(kV/cm) F
-
(kV/cm) B (T)
0,05 1,578 1,589 1,605 0,186
0,06 3,819 3,846 3,885 0,450
0,07 6,150 6,193 6,257 0,724
0,08 8,489 8,548 8,636 1,000
0,09 10,831 10,907 11,019 1,276
Tabela 6-2 : Valores para o campo elétrico, magnético e potencial do poço para diferentes
valores de concentração de manganês (x) para o ZnMnSe/ZnSe/ZnMnSe com SDM na
barreira.
E
∆
(meV)
ZnMnSe/ZnSe
(barreira)
−
−
∆E
0,003 meV
+
−
∆E
0,032 meV
+
+
∆E
0,003 meV
−
+
∆E
0,032 meV
63
Quando a concentração de manganês é inferior a x=0,043 a nanoestrutura
ZnSe/Zn
(1-x)
Mn
x
Se apresentará o poço de potencial constituído pelo SMD. Sendo assim, o
modelo a ser usado é o do capítulo 5, e os gráficos nele apresentados também explicam o
comportamento das auto-funções do ZnSe/Zn
(1-x)
Mn
x
Se na condição de potencial efetivo
poço duplo. Nas figuras 5-1 e 5-2 observamos a polarização de spin
+
σ
, na região do poço
(x/L < 1), pois nessa região a probabilidade de se encontrar
+
σ
é muito maior quando
comparada a probabilidade de se encontrar
−
σ
. Da mesma forma, nas figuras 5-3 e 5-4,
encontramos a polarização de
−
σ
na região da barreira do composto e nas figuras 5-5 e 5-6,
observa-se a polarização de
+
σ
na região da barreira. Por fim, nas figuras 5-7 e 5-8, uma
polarização
−
σ
é observada na região do poço. Nesses casos obtemos para a energia do
estado fundamental, E = -1,516 meV, para a figura 5-1, E=-1,518 meV, para a figura 5-2,
E=-1,432 meV, para a figura 5-3, E=-1,482 meV, para a figura 5-4. Essas energias são para
o composto de ZnMnSe/ZnSe, com concentração de manganês x=0,02. Para o primeiro
estado excitado, obtemos, E=-1,463 meV, para a figura 5-5, E=-1,513 meV, para a figura 5-
6, E= -1,427 meV para a figura 5-7 e E=-1,429 meV, para a figura 5-8.
Aqui também se observa, veja tabela 6-3, uma diferença de energia muito pequena
quando a função de onda apresenta um tunelamento ressonante nos dois lados do potencial
efetivo tipo poço duplo, se comparada com a diferença de energia quando a função de onda
localiza-se preferencialmente em um dos poços. Em outras palavras, quando à direção do
spin do campo elétrico crítico é
diferente
da polarização da função de onda, haverá
tunelamento ressonante, e nesse caso, a diferença de energia será a menor possível. Esse
efeito ocorre quando os campos são aplicados na nanoestrutura de
poço quântico de SDM
.
64
E
∆
(meV)
ZnSe/ZnMnSe
(poço)
−
−
∆E
0,053 meV
+
−
∆E
0,005 meV
+
+
∆E
0,053 meV
−
+
∆E
0,005 meV
Tabela 6-3
: A diferença de energia entre o primeiro
estado excitado e o estado fundamental para a
concentração de manganês x = 0,02, para o caso com
ZnMnSe no poço. O índice inferior representa a
polarização de spin e o índice superior refere-se ao
campo elétrico aplicado.
A tabela 6-4 apresenta os valores de campo elétrico e magnético críticos. Os
resultados são obtidos para diferentes valores de concentração de manganês (x). Nela
podemos perceber que para a concentração de Mn x=0.02 ocorrem os maiores valores para
os campos e altura da barreira refletindo assim a deflexão da curva do gap de energia do
ZnMnSe (figura 6-1).
x V
0
(meV) F
+
(kV/cm) F
-
(kV/cm) B (T)
0,01 2,144 2,159 2,181 0,252
0,02 2,628 2,646 2,674 0,309
0,03 1,921 1,934 1,954 0,226
0,04 0,414 0,417 0,421 0,048
Tabela 6-4 : Valores para o campo elétrico, magnético e potencial do poço
para diferentes valores de concentração de manganês (x) para o ZnSe/ZnMnSe
com SDM no poço.
Quando comparamos as tabelas dos campos elétricos e magnéticos (4-1 , 5-1 , 6-2
e 6-4) para as nanoestruturas estudadas neste capítulo e nos anteriores, observamos que
para uma mesma concentração de manganês, seja este situado no poço ou na barreira, a
nanoestrutura formada por ZnSe/ZnMnSe apresenta os valores mais baixos de campo
elétrico e magnético, e talvez, este aspecto seja útil do ponto de vista de aplicações
tecnológicas.
65
Capítulo 7
7 CONCLUSÕES
O trabalho aqui desenvolvido situou-se na linha de pesquisa chamada spintrônica,
ou, como também é conhecida, eletrônica de spin. Essa linha de pesquisa é recente e os
primeiros trabalhos científicos publicados têm no máximo dez anos. A spintrônica tem por
objetivo produzir dispositivos, tais que, as correntes spintrônicas possam ter carga e
polarização de spin controladas.
Os materiais semicondutores diluídos magnéticos são bons candidatos à produção
desses futuros dispositivos spintrônicos, porque eles preservam as características de
condução dos semicondutores convencionais e ao mesmo tempo revelam propriedades
magnéticas quando submetidos a um campo magnético externo.
A aplicação de campos elétrico e magnético cruzados em nanoestruturas amplia o
universo de utilização desses dispositivos. No caso que estudamos, o campo elétrico é
aplicado na direção de crescimento da nanoestrutura e o campo magnético perpendicular a
esse. Mostramos, no capítulo 3, que é possível simular vários perfis de poços de potenciais
através da aplicação apropriada de intensidades dos campos externos sobre o poço quântico
parabólico. Essa conduta traz vantagens em termos de rapidez dos resultados, pois não é
mais necessário a fabricação de várias nanoestruturas com confinamentos diferentes para
obter-se determinados comportamentos das grandezas físicas, como por exemplo, um maior
tunelamento da função de onda em regiões da amostra antes inatingíveis. A aplicação
apropriada das intensidades dos campos cruzados é acima de tudo um processo muito mais
econômico e simples, já que o crescimento dessas nanoestruturas demandam tecnologia
ultra-moderna em laboratórios específicos.
Dando seqüência a essa linha de pesquisa, nos capítulos seguintes desenvolvemos
o estudo de nanoestruturas formadas pela combinação de semicondutores convencionais e
os semicondutores diluídos magnéticos (SDM) submetidas a campos cruzados. A
utilização dos SDM na formação de nanoestruturas introduz uma dificuldade matemática
66
adicional e resultados físicos interessantes, já que esses materiais possuem resposta
magnética na presença do campo magnético. Esses materiais apresentam um grande
Zeeman splitting devido a interação do campo magnético externo com o spin dos íons de
manganês, e também deve ser considerada a interação de troca (Exchange) entre os elétrons
de condução das bandas sp com os elétrons da banda 3d dos íons de manganês.
Refizemos cálculos analíticos e numéricos do modelo anteriormente desenvolvido
[13-14] para o caso de um poço quântico parabólico com barreiras constituídas por material
SDM sujeito a campos elétrico e magnético cruzados e o aplicamos para os seguintes
sistemas: GaMnAs/GaAs, CdMnTe/CdTe e ZnSe/ZnMnSe (x>0.043).
Seguindo esse estudo, demos nossa contribuição original ao desenvolvermos um
modelo para o poço quântico parabólico constituído por material SDM com campos
cruzados; aplicamos nossos cálculos as nanoestruturas de CdMnTe/CdMgTe e
ZnSe/ZnMnSe (x<0.043). Obtivemos informação do espectro energético e suas
autofunções na condição de potencial efetivo tipo poço duplo para todas as nanoestruturas
acima.
Quando comparamos os resultados obtidos para as diferentes nanoestruturas,
GaMnAs/GaAs, CdMnTe/CdTe e ZnMnSe/ZnSe, que contem SDM nas barreiras,
constatamos que as intensidades dos campos elétrico e magnético que devem ser aplicadas
para obtenção do potencial tipo poço duplo (para a mesma largura e concentração de
manganês) são mais baixas para terceira nanoestrutura acima, como pode ser observado nas
tabelas 4-1 e 6-1. Em parte, esse resultado é explicado pelo fato da altura da barreira de
potencial formada entre o ZnMnSe e ZnSe ser mais baixa do que nas outras estruturas. A
tabela 6-1 mostra claramente o comportamento não linear do gap de energia do ZnMnSe,
que apresenta o maior valor do potencial entorno da concentração de Mn x=0,02.
Novamente, nas tabelas 5-1 e 6-2 os resultados obtidos para o ZnMnSe/ZnSe são
menores quando comparados a outra estrutura com SDM localizado no poço
(CdMgTe/CdMnTe).
Outro resultado importante do nosso trabalho foi mostrar que um sistema de poço
parabólico quântico formado por SDM submetido a campos cruzados funciona como um
filtro de spin, e esse efeito independe do material que constitui a nanoestrutura, basta conter
SDM/SC. Assim, esse estudo completa aquele publicado anteriormente [19-20] quando um
67
poço parabólico quântico com barreiras de SDM submetido a campos cruzados também
funcionava como um filtro de spin.
Dando continuidade a essa linha de pesquisa poderemos calcular em futuros
trabalhos a corrente spintrônica polarizada na direção transversal para todas as
nanoestruturas acima estudadas. Outro assunto de grande interesse, embora bastante
trabalhoso, é a determinação das propriedades ópticas desses sistemas, como por exemplo,
a absorção óptica e a fotoluminescência associada a essas nanoestruturas.
68
8 REFERÊNCIAS
[1] L. Esaki, R. Tsu - IBM J. Res. Develop. 14, 61 (1970)
[2] L. L. Chang, L. Esaki, R.Tsu - Appl. Phys. Lett. 24,593 (1974).
[3] Introdução a Física do Estado Sólido, C. Kittel, Fundamentos da Física Moderna,
Eisberg, Guanabara Dois.
[4] A física de materiais e dispositivos eletrônicos, Sergio Resende, Ed. Univ. Fed. de
Pernambuco.
[5] Cylon Gonçalves da Silva, Ciência Hoje v33 nº193
[6] M. N. Baibich et al., Phys. Rev. Lett. 61, 2472 - 2475 (1988).
[7] “Nanomagnetismo”, Sergio Machado Rezende, http://www.comciencia.br, atualizado
em 10/11/2002
[8] E. A. de Andrada e Silva and G. C. La Rocca, Phys. Rev. B
59
, R15 583 (1999).
[9] F. Mireles and G. Kirczenow, Phys. Rev. B
66
, 214415 (2002).
[10] J. Carlos Egues et al, Phys. Rev .B
71
, 235327 (2005)
[11] T.Wojtowicz et al., appl. Phys. Lett. 68, 3326 (1996).
[12] M. K. Kneip et al., Appl. Phys. Lett. 88, 212105 (2006)
[13] L. G. Guimarães and Rosana B. Santiago, Physics Letters A, 250, 415-424 (1998).
[14] L. G. Guimarães and Rosana B. Santiago, J. Phys.:Cond. Matter 10, 9755-9762 (1998).
[15] J.K. Furdyna, “Diluted Magnetic Semiconductors”. J. Appl. Phys. 64(4), R29-R64
(1988)
[16] M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook ofMathematical Functions, Dover, New York,
1965.
[17] http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylinderFunction.html, visitado em
25/03/2008
[18] T.Wojtowicz et al., J. Crystal Growth 214/215, 378 (2000).
[19] Rosana B. Santiago e L. G. Guimarães , Phys. Stat. Sol. B 232, 152-158(2002).
[20] Rosana B. Santiago e L. G. Guimarães, Phys. Rev. B 67, 19330-19334 (2003).
[21] Alireza Saffarzadeh and Ali A. Shokri, Journal of Magnetism and Magnetic Materials,
305, 141–146 (2006) .
69
[22] Alireza Saffarzadeh, Solid State Communications 137 ,463–468 (2006).
70
APÊNDICE A
Análise de poços parabólicos isolados
Iremos analisar as regiões discutidas no capítulo 3 isoladamente, observando as
expressões (3.40) e (3.41) percebemos que elas podem ser parecidas a equação do oscilador
harmônico quântico cujas energias são dadas através de
2
C
e
4
C
. Então, escreveremos as
energias para os osciladores dos potenciais isolados:
(
)
2
22
22
2
1
)1()
2
1
(
12
q
kk
xn
q
E
zy
c
+
−+−+
+
−=
ρ
ρ
(A.1)
para a equação (3.40)
(
)
2
22
2
0
2
2
1)
2
1
(
2
q
kk
xn
q
E
zy
+
−−++−=
ρ
ρ
(A.2)
para a equação (3.41).
71
APÊNDICE B
Aproximação de campo médio
O hamiltoniano do tipo Heisenberg [15] é utilizado para expressar a interação de
troca sp-d (4.3):
∑
−=
ji
SSJH
r
r
.
(B.1)
Definindo a flutuação do spin do i-ésimo sítio como:
iii
SSS −=∆
(B.2)
onde,
i
S é o valor médio termodinâmico de
i
S , substituindo eq(B.2) em eq(B.1) temos:
)(
jiijjiji
SSSSSSSSJH ∆∆+∆+∆+−=
∑
(B.3)
Desprezando-se os termos de flutuação em sítios distintos,
ji
SS ∆∆ , a eq (B.3)
fica:
)(
ijjiji
SSSSSSJH
∑
++−−=
(B.4)
Na equação (B.4), já foi substituído S
∆
pela expressão (B.2), considerando que
não há distinção entre sítios diferentes da amostra, temos que
SSS
ji
≡=
, onde S é a
magnetização do sistema e fazendo um deslocamento de energia da ordem de
ji
SS
, logo:
∑
−= SSJH
i
2
(B.5)
Assim, o hamiltoniano por íon ficará;
SJSH 2−=
(B.6)
Cada sistema apresentará uma troca e uma magnetização diferente de acordo com
suas características próprias, para o caso que iremos trabalhar, com campo magnético
aplicado na direção perpendicular ao crescimento (z) e para a interação de troca sp-d para
72
materiais semicondutores diluídos magnéticos, utilizamos essa expressão da seguinte
forma:
z
SxSNH
α
0
−=
(B.7)
onde,
α
0
N é a constante eletrônica de troca sp-d, x é a fração molar de manganês,
2
1
±=S é componente de spin ao longo do campo magnético.
z
S
é a média
termodinâmica da componente z dos spins dos íons de manganês
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