( PDF ) Anomalia 0,7 de Condutividade em Pontos de Conato Quânticos

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Instituto de F´ısica - P´os Gradua¸c˜ao

Anomalia 0.7 de Condutˆancia em

Pontos de Contato Quˆanticos

• Aluno: Paulo S´ergio de Abreu Bonﬁm

• Orientador: Caio Henrique Lewenkopf

Rio de Janeiro

2005

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Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Pontos de contato quˆanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 F´ormula de condutˆancia de Landauer . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Medidas de condutˆancia em pontos de contato quˆanticos . . . 10

2 Condutˆancia de Landauer para pontos de contato quˆanticos 14

2.1 Geometria adiab´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Mo delo para um QPC adiab´atico . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Inclus˜ao de efeitos de muitos-corpos 22

3.1 O hamiltoniano de Anderson para o QPC . . . . . . . . . . . . 22

3.2 A transforma¸c˜ao de Schrieﬀer-Wolﬀ . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Hamiltoniano de invers˜ao de spin . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Efeitos de correla¸c˜oes eletrˆonicas na condutˆancia 32

4.1 Express˜ao geral para a corrente atrav´es do QPC . . . . . . . . 32

4.2 Matriz T na aproxima¸c˜aodeBorn................ 35

4.3 C´alculo da corrente e da condutˆancia em segunda ordem . . . 37

4.4 C´alculo da corrente e da condutˆancia em terceira ordem . . . 40

4.5 A condutˆancia e a anomalia 0,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6 Compara¸c˜ao com o experimento . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Conclus˜oes 48

A Tratamento de escala 50

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜a o

Com o avan¸co da micro e nanoeletrˆonica novos dispositivos semicondutores

cada vez mais diminutos tˆem sido produzidos. T´ecnicas litogr´aﬁcas permitem

que sejam fabricados atualmente em v´arios lab orat´orios no mundo, inclusive

no Brasil, dispositivos eletrˆonicos com dimens˜oes submicrom´etricas. Este

tamanho alcan¸ca facilmente o comprimento de onda λ

dos seus el´etrons

de condu¸c˜ao. Assim, a temperaturas suﬁcientemente baixas o transporte

eletrˆonico atrav´es destes sistemas exibe claramente propriedades quˆanticas.

Nos ´ultimos anos as propriedades quˆanticas de transporte eletrˆonico tˆem

sido investigadas experimentalmente em uma grande variedade de sistemas

submicrom´etricos. Uma b oa introdu¸c˜ao sobre os experimentos, os fenˆomenos

f´ısicos neles envolvidos e as bases te´oricas para explic´a-los pode ser encon-

trada na Ref. [1].

Entre os primeiros sistemas semicondutores litogr´aﬁcos de dimens˜oes sub-

microm´etricas investigados experimentalmente [2, 3] est˜ao os pontos de con-

tato quˆanticos (ou QPCs, do inglˆes “quantum point contacts”), que descreve-

remos em detalhe abaixo. Medidas de condutˆancia nestes dispositivos foram

as primeiras a comprovar a f´ormula de condutˆancia de Landauer, o que os

tornaram num dos paradigmas de transporte eletrˆonico quˆantico. O impacto

destes resultados pioneiros est´a reﬂetido no fato de que eles s˜ao utilizados

para ilustrar como a f´ormula de Landauer explica com sucesso experimentos

de condutˆancia, em numerosos livros texto [1, 4, 5, 6, 7].

Exp eriˆencias mais recentes de transporte em pontos de contatos quˆantico

[8, 9, 10, 11], onde v´arios aspectos do arranjo experimental foram melhorados,

revelaram um aspecto novo e at´e agora inexplicado na condutˆancia, chamado

de anomalia 0,7. Esta anomalia parece n˜ao ser poss´ıvel de ser explicada

atrav´es da f´ormula de Landauer. Isto a torna ainda mais intrigante, tendo

suscitado muitas novas investiga¸c˜oes, tanto experimentais como te´oricas.

O estudo da anomalia 0,7 ´e o tema desta disserta¸c˜ao de mestrado. Neste

cap´ıtulo fazemos inicialmente uma breve descri¸c˜ao dos experimentos que uti-

lizam pontos de contato quˆanticos. Em seguida, discutimos a f´ormula de

Landauer para uma geometria com dois terminais. Depois apresentamos um

resumo dos resultados experimentais, tanto dos pioneiros, como dos mais

recentes, onde discutimos o que ´e a anomalia 0,7.

1.1 Pontos de contato quˆanticos

Pontos de contato quˆanticos s˜ao tipicamente fabricados litograﬁcamente em

heteroestruturas semicondutoras. As heteroestruturas utilizadas s˜ao basi-

camente um sandu´ıche de arseneto de g´alio (GaAs) com o mesmo dopado

com pequena quantidade de alum´ınio (Al

1−x

As), como ilustrado na

Figura 1.1.

Fig. 1.1 - Ilustra¸c˜ao de uma heteroestrutura e os contatos met´alicos voltim´etricos

que permitem a forma¸c˜ao ponto de contato quˆantico, o QPC, na interface Al-

GaAs/GaAs.

A varia¸c˜ao na quantidade x modiﬁca as caracter´ısticas de mobilidade dos

el´etrons de condu¸c˜ao. O alum´ınio tende a retirar do material alguns porta-

dores de carga aumentando a massa efetiva e diminuindo a mobilidade dos

el´etrons [1]. Como a tendˆencia de equil´ıbrio dos el´etrons nesse semicondutor

´e se concentrar nas superf´ıcies (repuls˜ao eletrost´atica), cria-se na interface

uma barreira de potencial na dire¸c˜ao perpendicular `a interface. O perﬁl

deste p otencial ´e aproximadamente triangular e est´a ilustrado na Figura 1.2.

Usando os parˆametros de massa efetiva desta heterostrutura, um c´alculo

simples indica que h´a apenas um estado ligado pelo potencial eletrost´atico

com energia abaixo da energia de Fermi E

do material. Assim, a dinˆamica

na dire¸c˜ao perpendicular `a interface, que chamamos por conven¸c˜ao de z,´e

trivial: os el´etrons o cupam apenas um n´ıvel. Ao mesmo tempo o movimento

no plano paralelo `a interface ´e livre. Por isso este estado eletrˆonico ´e chamado

de g´as bidimensional de el´etrons (ou 2DEG do inglˆes, “two-dimensional elec-

tron gas”).

Fig. 1.2 - Potencial conﬁnante triangular formado na dire¸c˜ao z perpendicular `a

interface de AlGaAs/GaAs como fun¸c˜ao da posi¸c˜ao ao longo do eixo z. o eixo de

crescimento da hetero estrutura.

A deposi¸c˜ao de uma camada litogr´aﬁca de ouro sobre o dispositivo per-

mite, aplicando um p otencial eletrost´atico conveniente, criar barreiras de

potencial para o movimento eletrˆonico no 2DEG. Para tal s˜ao acoplados `a

litograﬁa contatos voltim´etricos V

que permitem um controle eﬁciente da

geometria do QPC, ver Fig. 1.1. Aplicando-se um potencial eletrost´atico

negativo, a regi˜ao abaixo da m´ascara litogr´aﬁca torna-se energeticamente

proibida para os el´etrons do 2DEG. Este ´e o arranjo experimental que deﬁne

o QPC. Aplicando-se uma diferen¸ca de potencial V

bias

entre as duas regi˜oes do

2DEG divididas p ela litograﬁa, gera-se uma corrente eletrˆonica I e pode-se

medir a condutˆancia do QPC atrav´es de suas caracter´ısticas I × V .

Fig. 1.3 - O QPC, visto de cima. A abertura litogr´aﬁca ´e de 250nm, trata-se de

um valor t´ıpico. Os reservat´orios s˜ao indicados p or L e R. As ´areas de mesma

tonalidade indicam regi˜oes de mesmo potencial eletrost´atico, os quais s˜ao gerados

pelos eletrodos.

A alta pureza dos materiais garante que os el´etrons sejam transmitidos

balisticamente atrav´es do QPC. A alta mobilidade dos el´etrons no 2DEG

permite inferir um livre caminho m´edio el´etron-impureza 

> 8500 nm que

´e muito maior que a largura entre as litograﬁas, tipicamente W ≈ 250 nm.

A natureza quˆantica da condutˆancia s´o pode ser veriﬁcada em baix´ıssimas

temperaturas (T<10 K). Neste caso, espera-se observar efeitos puramente

quˆanticos na condutˆancia atrav´es do QPC.

A natureza quˆantica do transporte em QPCs pode ser compreendida da

seguinte forma: O comprimento de onda de Fermi no GaAs ´e λ

= 40nm,

assim se supusermos de forma ingˆenua que toda regi˜ao imediatamente abaixo

da litograﬁa ´e classicamente proibida para os el´etrons, o QPC ou a constri¸c˜ao

admite uns p oucos modos de transmiss˜ao longitudinais. Uma altera¸c˜ao em

pode fechar canais tornando a constri¸c˜ao no 2DEG efetivamente menor

(Fig. 1.3). O primeiro mo do de um problema de um p o¸co quadrado uni-

dimensional de largura 250 nm para um el´etron de massa efetiva 0, 067m

possui uma energia de E

∗

=17, 2 meV [4]. Dentro deste cen´ario ´e poss´ıvel

detectar assinaturas quˆanticas para temperaturas T<10 K, correspondentes

a E

∗

A abordagem te´orica tradicional para descrever a condutˆancia em um

sistema bal´ıstico ´e a f´ormula de Landauer que discutiremos na seq¨uˆencia.

1.2 F´ormula de condutˆancia de Landauer

J´a na d´ecada de 50 [12], Rolf Landauer propˆos sua famosa f´ormula que rela-

ciona a condutˆancia de um dispositivo eletrˆonico `as suas propriedades de

transmiss˜ao quˆanticas. Embora microscopicamente bem fundamentada, esta

f´ormula tem a peculiaridade de prever uma resistˆencia ﬁnita na ausˆencia de

processos inel´asticos dentro do sistema considerado. Como pela teoria dos

circuitos uma resistˆencia implica em uma gera¸c˜ao de calor, pergunta-se qual

seria o mecanisno microsc´opico subjacente. Isto, al´em de outras obje¸c˜oes

t´ecnicas, suscitou grande controv´ersia na literatura [6], que s´o foi esclarecida

na d´ecada de 80 quando se compreendeu melhor o pap el dos reservat´orios na

f´ormula de Landauer. Uma ´otima vis˜ao hist´orica desta discuss˜ao ´e apresen-

tada na Ref. [13], enquanto que os pontos t´ecnicos s˜ao explicados de forma

muito clara no cap´ıtulo 3 do livro de Datta [4].

Vamos derivar uma f´ormula para a resistˆencia de um resistor quˆantico

com m´ultiplos modos propagantes entre dois contatos (ou terminais) um `a

direita (R) e um `a esquerda (L). Vamos supor que os dois contatos, por

simplicidade, tenham o mesmo n´umero de modos transversais quantizados

⊥

. Tamb´em vamos considerar uma constri¸c˜ao de comprimento  maior do

que a de um QPC usual, formando um ﬁo quˆantico, ilustrado na Figura 1.4.

Fig. 1.4 - O disp ositivo acoplado a reservat´orios `a direita (R) e esquerda (L).

A energia cin´etica longitudinal E

dos el´etrons no estado transversal n a

temperatura nula ´e:

¯h

∗

= E

, com n =1, ···,N

⊥

, (1.1)

onde k

´e o vetor de onda transversal correspondente a nπ/W , com veloci-

dade v

=¯hk

∗

, onde m

∗

´e a massa efetiva do el´etron de condu¸c˜ao na

heteroestrutura. Da mesma forma:

⊥

= int





. (1.2)

Vamos supor que ambos reservat´orios L e R estejam a mesma temperatura

T e que seus potenciais qu´ımicos sejam µ

e µ

resp ectivamente. Os reser-

vat´orios ser˜ao fontes de el´etron descorrelacionados, ou seja, el´etrons ﬂuindo

atrav´es de canais diferentes n˜ao possuem coerˆencia de fase. Vamos supor

que µ

−µ

seja suﬁcientemente p equeno de modo que garanta o regime de

transp orte linear. A probabilidade de um el´etron no modo j da esquerda ser

transmitido para um modo i da direita ´e dada por T

= |t

, onde t

´e

a amplitude de espalhamento de j em i. Analogamente a probabilidade de

reﬂex˜ao ´e R

= |r

, onde i e j s˜ao modos que pertencem a um mesmo con-

tato ideal. As amplitudes de espalhamento entre os diversos canais formam

a matriz S de espalhamento, de dimens˜ao 2N

⊥

× 2N

⊥

, que pode ser escrita

em blocos como:

S =







. (1.3)

A matriz S ´e unit´aria devido `a conserva¸c˜ao de corrente e N

⊥

,on´umero de

modos propagantes, cresce com E

. Deﬁnem-se a transmiss˜ao T

e reﬂex˜ao

total no canal i por:



e R



. (1.4)

Fig. 1.5. Esquema ilustrativo dos coeﬁcientes de transmiss˜ao T e reﬂex˜ao R.As

grandezas indicadas com ap´ostrofe referem-se `a incidˆencia I pela direita, enquanto

que as sem ap´ostrofe correspondem `a incidˆencia pela esquerda.

A unitaridade garante que:



(1 − R



) (1.5)

al´em de outras rela¸c˜oes semelhantes, obtidas atrav´es de combina¸c˜oes de linhas

e colunas de S

†

S = I.

A corrente no contato da direita devido a um el´etron que se move `a

velocidade v

,comn´umero de onda k no modo m ´e dada por:

R,m

= −2ev

,m) − P

−

,m)] (1.6)

onde P

,m) ´e a densidade de probabilidade de um el´etron ser encontrado

no estado (k

,m) na regi˜ao do amper´ımetro movendo-se para a direita (es-

querda). O sinal ﬁca deﬁnido pela escolha do contato onde ´e feita a medida

da corrente. O fator 2 ´e para dar conta de degenerescˆencia de spin. Assim a

corrente total ´e dada por:

= −2e



,m) −P

−

,m)] . (1.7)

Tomaremos o limite para o cont´ınuo:



···→



dε ρ

(ε) ··· (1.8)

onde ρ

(ε) ´e a densidade de estados no modo m. Uma estimativa simples

diz que o n´umero de n´ıveis at´e a energia ε na regi˜ao unidimensional de com-

primento δL onde ﬁca posicionado o amper´ımetro (esquerda ou direita) ´e:

N =

(volume do espa¸co de fases) =

2pδL

. (1.9)

A densidade de n´ıveis ´e:

(ε)=

(ε)

dε

2δL

dε

√

∗

ε =

δL

π¯hv

. (1.10)

Quando conectamos as regi˜oes `a esquerda e direita do dispositivo, uma vez

alcan¸cado o regime estacion´ario, os el´etrons que se movem para a direita tˆem

duas origens. Eles p odem ser transmitidos do reservat´orio da esquerda com

distribui¸c˜ao de energias f

, ou podem vir do reservat´orio `a direita ap´os serem

reﬂetidos pelo dispositivo. Ver Fig. 1.5. Escrevemos:

(ε, m)=

δL

(ε)T

(ε)+f

(ε)R



(ε)] (1.11)

onde o fator (δL)

−1

d´a a densidade eletrˆonica e f

R(L)

(ε)={1 + exp[(ε −

R(L)

T ]}´e a distribui¸c˜ao de Fermi-Dirac para um potencial qu´ımico µ

R(L)

J´a os el´etrons que se movem para a esquerda, medidos por um amper´ımetro

posicionado no lado direito tˆem probabilidade:

−

(ε, m)=

δL

(ε) . (1.12)

Como resultado, a soma da contribui¸c˜ao de todos os modos para a corrente

no contato da direita d´a:

= −





∞

−∞

dε[f

(ε)T

(ε)+f

(ε)R



(ε) −f

(ε)] . (1.13)

Usando a rela¸c˜ao de unitaridade (1.5), escrevemos:

= −





∞

−∞

dε[f

(ε) − f

(ε)]T

(ε) . (1.14)

No limite de baixa ddp (em inglˆes, “zero bias”), onde a diferen¸ca entre os

potenciais qu´ımicos µ

e µ

´e muito menor que a energia limiar de aber-

tura de novos modos de trasnmiss˜ao, podemos simpliﬁcar a express˜ao acima.

Deﬁnimos:

≡

+ µ

≈ ε

(1.15)

e expandimos f

R(L)

em primeira ordem em torno de µ

. Obtemos:

(ε) −f

(ε) ≈ (µ

− µ

)



−

∂f

∂ε



. (1.16)

A corrente ganha a forma:

=(µ

− µ

)





∞

−∞

dε T

(ε)



−

∂f

∂ε



. (1.17)

Comparando com as deﬁni¸c˜oes de Eq. (1.4), levando em que a diferen¸ca entre

os potenciais qu´ımicos dos reservat´orios ´e µ

− µ

= eV e que G = I/V ,

escrevemos:

G =



∞

−∞

dε



−

∂f

∂ε





(ε) . (1.18)

onde e

/h ≈ 13 kΩ

−1

E usual deﬁnir-se a condutˆancia adimensional como:

g ≡



= tr(tt

†

) , (1.19)

ou seja, apenas o bloco de transmiss˜ao da matrix S da Eq. (1.3) ´e relevante

para o transporte. Note que para baixas temperaturas, ou seja, onde a

temperatura ´e a menor escala de energia do problema, podemos aproximar:

−

∂f

∂ε

≈ δ(ε

− ε). (1.20)

Vamos reescrever (1.18) considerando a dependˆencia energ´etica de T

G =



∞

−∞

dε



(ε)δ(ε

− ε). (1.21)

Integrando sobre o dom´ınio e considerando T

(ε

)=T

G =



tr (tt

†

) . (1.22)

Esta ´e a famosa f´ormula de Landauer.

O modelo mais simples para os coeﬁcientes de transmiss˜ao ´e que o dis-

positivo seja um ﬁo perfeito:

= δ

Θ(ε − ε

) (1.23)

ou seja, a transmiss˜ao ´e perfeita uma vez que haja energia para abrir um

modo de transmiss˜ao. Neste caso:

G =





∞

−∞

dε Θ(ε − ε

)



−

∂f

∂ε



(1.24)

E ainda, se ε

i+1

− ε

 k

T para qualquer modo de transmiss˜ao i,

G =

M, (1.25)

onde M ´e o n ´umero de modos abertos.

No cap´ıtulo 2, estudaremos um modelo de geometria para o QPC para

compreendermos o qu˜ao ´e realista ´e a hip´otese da transmiss˜ao unit´aria.

1.3 Medidas de condutˆancia em pontos de

contato quˆanticos

Como j´a foi discutido na se¸c˜ao anterior, durante as d´ecadas de 70 e 80

e f´ormula de Landauer ainda era alvo de intenso debate. Em particular

questionava-se como um formalismo essencialmente quˆantico e local pode dar

conta de efeitos relacionados a irreversibilidade, que invariavelmente acom-

panham um processo de transporte.

A discuss˜ao te´orica ainda n˜ao estava inteiramente madura, quando em

1988 foram publicados os resultados de dois exp erimentos que mediram a

condutˆancia atrav´es de pontos de contato quˆanticos [2, 3]. Estes, a baixas

temperaturas, exib em de forma muito clara degraus de condutˆancia, con-

seq¨uˆencias imediatas da f´ormula (1.25), como est´a bem ilustrado na Fig. 1.6.

Fig. 1.6. Condutˆancia do QPC em fun¸c˜ao do potencial aplicado aos eletrodos

met´alicos para v´arios valores da temperatura (da Ref. [3]).

Em medidas mais recentes [8, 9] constatou-se uma “anomalia”nas seq¨uˆen-

cias de degraus da condutˆancia. Esta anomalia aparece a aproximadamente

70% dos platˆos de condutˆancia em unidades de 2e

/h. A anomalia possui

clara dependˆencia da temperatura e ´e mais evidente no primeiro degrau de

condutˆancia, embora sobreviva no segundo degrau.

Um exame mais minucioso no gr´aﬁco 1.6 j´a evidenciava esta anomalia,

fato que passou desapercebido, mas que colocamos em evidˆencia na Figura

1.7.

Fig. 1.7 - Anomalia de condutˆancia em evidˆencia (da Ref. [3]).

As medidas experimentais [8, 9] e depois sistematimente analisadas nas

Refs. [10, 11] mostram que existe um intervalo de temperaturas onde a

anomalia ´e mais pronunciada. Este intervalo indica a presen¸ca de um m´ınimo

local de condutˆancia em fun¸c˜ao da temperatura.

O mais recente conjunto de medidas da anomalia 0,7 sistematizou seu

comportamento em fun¸c˜ao da temperatura e do campo magn´etico aplicado

[14]. Ficou estabelecido que a anomalia observada anteriormente n˜ao era um

simples desvio exp erimental, uma vez que aparece em diferentes dispositivos

para distintos grupos experimentais.

Fig. 1.8 - Medida de condutˆancia para o QPC para diversas temperaturas (da Ref.

[14]).

Como mostraremos em seguida, n˜ao ´e poss´ıvel explicar a anomalia 0,7

atrav´es de uma teoria de part´ıcula independente. Por isto, se especula que

tal fenomˆomeno esteja associado a um mecanismo de transmiss˜ao que envolve

muitos-corpos, seja polariza¸c˜ao espontˆanea de spin [10, 11] ou efeito Kondo

[16, 17].

Pro duzir um mo delo te´orico do qual se derive uma express˜ao de con-

dutˆancia para a anomalia 0,7 ´e o principal objetivo desta disserta¸c˜ao.

Cap´ıtulo 2

Condutˆancia de Landauer para

pontos de contato quˆanticos

Como discutimos no Cap´ıtulo 1, a condutˆancia de Landauer ´e proporcional

`a probabilidade de transmiss˜ao do el´etron atrav´es do QPC. O objetivo deste

cap´ıtulo ´e calcular o coeﬁciente de transmiss˜ao para uma dada geometria

do QPC. Discutiremos especiﬁcamente o caso “adiab´atico”, que p ode ser

resolvido analiticamente [18 , 19].

2.1 Geometria adiab´atica

O problema de espalhamento de um el´etron pelo QPC ´e deﬁnido pela geome-

tria da Figura 1.4. Faremos variar a abertura da constri¸c˜ao d em fun¸c˜ao da

dire¸c˜ao espacial x. Vamos calcular a matriz t de transmiss˜ao para um el´etron

incidindo da direita (esquerda) e sendo transmitido para esquerda (direita)

atrav´es do QPC. Conforme discutido anteriormente, o movimento eletrˆonico

na dire¸c˜ao z, normal ao plano da Fig. 1.4, de crescimento do cristal ´e con-

ﬁnado ao estado fundamental. Como resultado a equa¸c˜ao de Schr¨odinger a

ser considerada ´e bidimensional:



−

¯h

∗



∂

∂x

∂

∂y



+ V (x, y)



ψ(x, y)=Eψ(x, y) . (2.1)

Vamos considerar uma geometria onde as varia¸c˜oes espaciais de V (x, y) s˜ao

muito mais lentas em x do que ao longo de y. Esta situa¸c˜ao ´e freq¨uentemente

chamada de adiab´atica na literatura de QPCs [5]. Neste caso ´e conveniente

resolver a Eq. (2.1) atrav´es da seguinte combina¸c˜ao linear:

ψ(x, y)=



(x)χ

(x, y) (2.2)

onde χ

(x, y) ´e um conjunto completo, solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger

unidimensional em y:



−

¯h

∗

∂

∂y

+ V (x, y)



(x, y)=E

(x)χ

(x, y) (2.3)

onde x ´e um parˆametro. Note que se trata de um problema de espalhamento,

portanto ψ e conseq¨uentemente φ

devem ter condi¸c˜oes de contorno apropri-

adas: ondas emergentes ou imergentes.

Multiplicando (2.1) por χ

∗

(x, y) e integrando sobre y, obtemos:



dy χ

∗

(x, y)



−

¯h

∗

∇

+ V (x, y)





(x)χ

(x, y)

= E



dy χ

∗

(x, y)



(x)χ

(x, y)

= Eφ

(x), (2.4)

onde usamos a ortonormalidade dos {χ

} para simpliﬁcar o lado direito

da equa¸c˜ao. O problema seria separ´avel n˜ao fosse o termo cin´etico em x.

Explicitamente, precisamos tratar:

∂

∂x

(x)χ

(x, y)=



∂

(x)

∂x



(x, y)+2

∂

∂x

(x, y)

∂

∂x

(x)+



∂

(x, y)

∂x



(x).

Assim, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger bidimensional (2.1) se transforma em um

conjunto de equa¸c˜oes acopladas para os φ

(x):



−

¯h

∗

∂

∂x

+ E

(x) −E



(x)=



(x) (2.5)

com:

≡

¯h

∗





dy χ

∗

(x, y)



∂

∂x

(x, y)





dy χ

∗

(x, y)

∂

∂x

(x, y)

∂

∂x



(2.6)

onde

´e um operador sobre as fun¸c˜oes de onda φ

(x), com ´ındices n e m

deﬁnidos pelos estados |χ

 e |χ

.

Aqui ﬁca novamente clara a condi¸c˜ao de separabilidade da equa¸c˜ao de

Schr¨odinger: basta que a a¸c˜ao

sobre as fun¸c˜oes φ

(x) seja pequena em

compara¸c˜ao, por exemplo, com o “potencial efetivo”E

(x). Isto ´e esperado

justamente pelo fato das varia¸c˜oes em x serem muito suaves. Se supusermos

que o sistema obedece `a condi¸c˜ao adiab´atica:







 E

, (2.7)

resulta que:



−

¯h

∗

+ E

(x)



(x)=Eφ

(x) (2.8)

onde ﬁca evidente porque E

(x) faz as vezes de um potencial efetivo e o

conjunto {φ

(x)} representa um esp ectro cont´ınuo.

A Eq. (2.8) sugere uma interpreta¸c˜ao ou deﬁni¸c˜ao a mais da condi¸c˜ao

adiab´atica (2.7): Uma vez que (2.8) ´e diagonal nos modos, podemos dizer

que a condi¸c˜ao adiab´atica suprime o convers˜ao entre modos de transmiss˜ao.

At´e agora o desenvolvimento ´e bastante gen´erico, com a solu¸c˜ao especia-

lizada para uma geometria adiab´atica.

2.2 Modelo para um QPC adiab´atico

Vamos agora considerar um modelo espec´ıﬁco para o QPC. Vamos supor que

o potencial V (x, y) ´e dado por:

V (x, y)=



0se |y| <d(x)/2

∞ se |y|≥d(x)/2,

(2.9)

ou seja, um conﬁnamento por ”paredes duras”. Vamos escolher para d(x)a

seguinte parametriza¸c˜ao:

d(x)=W +

. (2.10)

Desta forma, para a suﬁcientemente pequeno esperamos que a condi¸c˜ao

adiab´atica seja satisfeita, ver Fig. 1.4.

A solu¸c˜ao da Eq. (2.3) ´e a mesma da quantiza¸c˜ao de po¸co inﬁnito unidi-

mensional:

(x, y)=



d(x)

sin



nπ˜y

d(x)



, (2.11)

com ˜y = y + d/2 e autovalores:

(x)=

¯h

∗

[d(x)]

. (2.12)

Para conveniˆencia introduzimos κ

(x)=nπ/d(x).

Examinaremos agora a condi¸c˜ao adiab´atica para o mo delo prop osto acima.

Para tal, precisamos estudar as seguintes integrais:

(x)=



−d(x)/2

dy χ

∗

(x, y)

∂

∂x

(x, y) (2.13)

(x)=



−d(x)/2

dy χ

∗

(x, y)

∂

∂x

(x, y).

Explicitamente:

∂

∂x

(x, y)=

∂d

∂x







−



cos



nπ˜y



nπ˜y







(2.14)

∂

∂x

(x, y)=



∂d

∂x



{



nπ˜y cos



nπ˜y



(2.15)



nπ˜y cos



nπ˜y



−



(nπ˜y)

sin



nπ˜y



}

logo:

∂

∂x

(x, y)=



∂d

∂x











−



nπ˜y







nπ˜y cos



nπ˜y









(2.16)

Usando explicitamente a parametriza¸c˜ao (2.10) para d(x), escrevemos:

∂d

∂x

= ax e

∂

∂x

= a (2.17)

e conclu´ımos que para x ≈ 0oud(x) ≈ W:

(x)=α

+ β

(2.18)

(x)=γ

onde α, β e γ s˜ao elementos de matriz da ordem da unidade.

Assim, para que a condi¸c˜ao adiab´atica seja satisfeita ´e necess´aria que:

(x)  [κ

(x)]



nπ

d(x)





nπ



(2.19)

ou seja, ax ´e parametricamente pequeno. Considera¸c˜oes semelhantes se apli-

cam a J

Examinemos agora a equa¸c˜ao de Schr¨odinger dentro da condi¸c˜ao adiab´atica

para o modelo proposto a acima. Com a parametriza¸c˜ao dada para d(x), o

potencial efetivo E

(x), torna-se, no modelo de conﬁnamento por paredes

duras:

(x)=

¯h

∗

[d(x)]

¯h

∗

(W +

)

(2.20)

que podemos aproximar:

(x) ≈

¯h

∗



nπ





1 −



(2.21)

para ax

 1, onde W ´e a abertura m´ınima. Note que para x suﬁcientemente

grande ax

 1 n˜ao pode ser satisfeito. Isto quer dizer que a Eq. (2.21) ´e

apenas uma boa aproxima¸c˜ao local. Para o problema de espalhamento uma

solu¸c˜ao assint´otica teria que ser casada `a solu¸c˜ao aproximada em pontos

dentro do intervalo |x| <



W/a.

Vamos parametrizar E

atrav´es de:

(x) ≈

¯h

∗



nπ



−

(2.22)

onde

¯h

∗



nπ



. (2.23)

A equa¸c˜ao de Schr¨odinger para φ

(x) ﬁca:



−

¯h

∗

∂

∂x

−



(x)=(E − E

(0)

)φ

(x) (2.24)

onde E

(0)

=(¯h

/2m

∗

)(nπ/W )

´e a energia de limiar da abertura do canal

de transmiss˜ao n do QPC. Os canais correspondem a modos quantizados ao

longo da dire¸c˜ao transversal y.

A Eq. (2.24) representa um oscilador harmˆonico invertido. O problema

de espalhamento foi resolvido nos prim´ordios da mecˆanica quˆantica semiclas-

sicamente p or Kemble [22, 23]:



−

¯h

∗

∂

∂x

−



(x)=

(x) (2.25)

onde

= E − E

(0)

> 0, d´a o coeﬁciente de transmiss˜ao:

(E)=

1 + exp



−2π

¯h



∗



. (2.26)

Finalmente, como a condutˆancia adimensional ´e dada por:

g =



∞

−∞



−

∂f

∂E



∞



n=1

(E) . (2.27)

Explicitamente temos:

g =

∞



n=1



∞

−∞

T cosh



E−E



1 + exp(−α

(E − E

))

, (2.28)

onde o fator α

´e determinado comparando (2.28) com (2.23) e (2.26).

Para baixas temperaturas, onde k

T ´e bem menor que a diferen¸ca de

energia entre sucessivos limiares de abertura de modos de transmiss˜ao, a

derivada da distribui¸c˜ao de Fermi age efetivamente como uma fun¸c˜ao δ de

Dirac e a integral em (2.28) pode ser aproximada por:

g =

∞



n=1

1 + exp(−α

− E

))

. (2.29)

Para cada modo transversal n existe um intervalo de energias em torno de

que reproduz um salto de condutˆancia. Isto deve-se `a natureza da fun¸c˜ao

(E), uma fun¸c˜ao escada similar, em termos anal´ıticos, `a fun¸c˜ao de dis-

tribui¸c˜ao de Fermi-Dirac.

E interessante notar que, para uma temperatura

ﬁxa, os degraus correspondentes a um crescente n´umero de modos abertos,

v˜ao ﬁcando cada vez mais arredondados, pois α

diminui com n crescente.

Este resultado ´e est´a de acordo com os experimentos.

Quando a temperatura k

T compete com a escala de energia determi-

nada por α

−1

, a integral acima precisa ser feita numericamente. Na ﬁgura

abaixo, calculamos numericamente a condutˆancia g em fun¸c˜ao de E

eda

temperatura k

T para um W ﬁxo.

Fig. 2.1 - Condutˆancia adimensional g em fun¸c˜ao da temp eratura k

T e da ener-

gia de Fermi E

, ambas expressas em unidades da energia do primeiro modo de

transversal de tranmiss˜ao E

(0)

Observamos que a medida em que a temperatura cresce, os degraus de

condutˆancia v˜ao rapidamente sendo arrendondados, mas n˜ao h´a indica¸c˜ao de

caracter´ıstica qualitativamente diferente do que ´e capturado pela express˜ao

simples (2.29). Concluimos que o c´alculo num´erico ´e importante para tentar

reproduzir os detalhes da experiˆencia dentro do cen´ario de part´ıcula indepen-

dente, mas a aproxima¸c˜ao anal´ıtica j´a ´e suﬁciente para uma boa discuss˜ao

qualitativa.

E importante lembrar ainda que os c´alculos n˜ao correspondem exatamente

`a situa¸c˜ao experimental, onde W ´e variado e E

mantido ﬁxo, No entanto,

eles bastam para capturar a essˆencia f´ısica do problema: Para fazermos um

c´alculo realista ´e preciso convertemos o potencial eletrost´atico em unidades

de abertura W do contato, precisar´ıamos de informa¸c˜oes espec´ıﬁcas sobre a

capacitˆancia de cada sistema. Com isto, o eixo E

da Fig. 2.1, p oderia ser

facilmente substituido por V

O sucesso da modelagem adiab´atica para o QPC se limita aos modos

transversais de Landauer para condutˆancia. Este modelo n˜ao d´a conta da

anomalia 0,7. A transmiss˜ao por conta de um potencial parab´olico, segundo

a Eq. (2.26), n˜ao admite ressonˆancias extras dentro do intervalo de ener-

gias para cada modo, al´em daquela quantiza¸c˜ao transversal produzida pelo

contorno natural da geometria do QPC. Outros estudos [20, 21] exploraram

potenciais conﬁnantes diferentes do parab´olico, e tamb´em n˜ao obtiveram

sucesso em reproduzir a anomalia 0,7.

Resumindo: V´arios grupos experimentais, usando amostras bastante difer-

entes, sempre observaram a presen¸ca da anomalia 0,7. Da´ı podemos descartar

a possibilidade de que se trata de uma caracter´ıstica espec´ıﬁca de um dado

disp ositivo e concluir que estamos diante de um fenˆomeno de transporte mais

geral. Como todos os estudos te´oricos que utilizaram o modelo de part´ıcula

independente falharam, parece natural estudar a anomalia 0,7 levando em

conta efeitos de intera¸c˜ao de muitos-corpos. Isto ser´a feito nos cap´ıtulos que

se seguem.

Cap´ıtulo 3

Inclus˜ao de efeitos de

muitos-corpos

No primeiro cap´ıtulo apresentamos o problema da anomalia 0,7. Neste

cap´ıtulo discutiremos os principais trabalhos te´oricos e os mecanismos pro-

postos na literatura para explicar o fenˆomeno.

Como o tratamento de part´ıcula independente usando a f´ormula de Lan-

dauer n˜ao d´a conta da anomalia, ´e natural explorar mecanismos envolvendo

correla¸c˜oes de muitos-corpos para o problema. Esta estrat´egia, seguida por

alguns trabalhos te´oricos [10, 11, 16, 17], ser´a discutida neste cap´ıtulo.

3.1 O hamiltoniano de Anderson para o QPC

Uma das estrat´egias para se incluir efeitos de intera¸c˜ao eletrˆonica em pontos

quˆanticos, os quais s˜ao sistemas conﬁnados em todas as dire¸c˜oes e portanto

apresentam um espectro discreto, ´e utilizar o modelo de Anderson. Pontos

de contato quˆanticos s˜ao bastante diferentes e podem ser vistos como ﬁos

quˆanticos de comprimento diminuto. Neste caso n˜ao ´e ´obvio porque haveriam

uma ressonˆancia na proximidade da energia de Fermi.

A demonstra¸c˜ao de que um estado ressonante existe ´e o resultado central

da Ref. [17]. Este trabalho usa a teoria de densidade funcional de spin

(SDFT do inglˆes “spin density function theory”) [24, 25] para mostrar que

h´a a forma¸c˜ao de um momento magn´etico local na vizinhan¸ca do QPC.

Os c´alculos da Ref. [17] partem de um potencial eletrost´atico como des-

crito pela Fig.1.3. e s˜ao feitos para v´arios valores de campo magn´etico, como

mostrado na Fig. 3.1. Para campos altos, observa-se uma ´obvia diferen¸ca

de popula¸c˜oes de spin na regi˜ao central do QPC, que persiste `a medida em

que o campo ´e diminuido. O surpreendente ´e que o mesmo trabalho encontra

uma pequena diferen¸ca de densidade de spin a favor do ↑ (no sentido positivo

de S

) em rela¸c˜ao ao ↓ na vizinhan¸ca das energias compar´aveis ao potencial

qu´ımico µ (energia de Fermi do 2DEG) mesmo a campo nulo, ver Fig. 3.1.

Destacamos que na vizinhan¸ca `a esquerda do potencial qu´ımico µ em B =0T ,

a densidade de spin ↓ ´e ligeiramente menor do que a densidade ↑. Esta

diferen¸ca se torna apreci´avel em baixas densidades do 2DEG justiﬁcando a

quebra de simetria e a origem de um momento local.

Figura 3.1: Densidade local de estados no centro do QPC com a inﬂuˆencia de

campo magn´etico p erpendicular B de 10T at´e 0T em passos de 1T . As linhas cheias

representam a densidade de spin ↑ e as linhas tracejadas reprentam a densidade

de spin ↓. (Figura adaptada da Ref. [17]).

A teoria utilizada para prever a forma¸c˜ao de um momento magn´etico

local ´e o SDFT, uma teoria de campo m´edio. O emprego da STDF ´e ques-

tion´avel, uma vez que a forma¸c˜ao de momento magn´etico eletrˆonico local ´e

um fenˆomeno coletivo e n˜ao de campo m´edio. Para esta cr´ıtica os autores

[17] n˜ao fornecem nenhuma resposta convincente, apenas argumentam que

tal procedimento tem sido utilizado extensamente na literatura com grande

ˆexito. Trata-se portanto de um ponto aberto para discuss˜ao. Aqui vamos

sup or que este resultado est´a correto e discutir suas conseq¨uˆencias.

A existˆencia de um momento lo cal justiﬁca escrever o hamiltoniano eletrˆo-

nico de um QPC como um modelo de Anderson. No QPC a banda de

condu¸c˜ao ´e substitu´ıda por dois contatos ligados a reservat´orios (ver Fig.1.4),

enquanto que o estado localizado devido `a impureza magn´etica ´e substitu´ıdo

pela ressonˆancia no centro do QPC.

O hamiltoniano ´e:

H = H

canais

+ H

QP C

+ H

QP C−canais

, (3.1)

onde dividimos, por conveniˆencia, o espa¸co em duas regi˜oes: uma contendo

os canais e os reservat´orios e outra contendo o ponto de contato quˆantico,

conforme indicado pela Fig. 1.4.

O hamiltoniano dos canais ´e dado por:

canais



k;α∈L,R;σ



kασ

†

kασ

, (3.2)

onde c

†

kασ

e c

kασ

s˜ao os operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao de el´etrons com

n´umero de onda k e proje¸c˜ao de spin σ =↑ ou ↓ no canal α que conecta o

QPC ao reservat´orio da esquerda (L de “left”) ou da direita (R de “right”).

A energia correspondente ´e 

kασ

. Supomos que os el´etrons nos canais tem

comportamento de part´ıcula independente (conforme discuss˜ao no Cap. 1).

O segundo termo da equa¸c˜ao (3.6) ´e o hamiltoniano do QPC:

QP C





+ Un

↑

↓

, (3.3)

onde 

´e a energia da ressonˆancia, n

´e o operador contagem. Em termos

dos operadores d

†

e d

de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao do el´etron no QPC, escreve-se

= d

†

. Na Eq. (3.3), U ´e a energia de intera¸c˜ao el´etron-el´etron, dada

por

U =





|φ(r)|

V (|r −r



|)|φ(r



(3.4)

onde V (|r − r



|) ´e a intera¸c˜ao residual Coulombiana (blindada) e φ(r)´ea

fun¸c˜ao de onda do estado lo calizado.

E o termo de intera¸c˜ao Un

↑

↓

que

torna o problema n˜ao trivial, induzindo correla¸c˜oes de muitos corpos.

E este

termo que faz com que n˜ao possamos utilizar o formalismo apresentado no

cap´ıtulo anterior.

Finalmente o termo de acoplamento ´e dado por:

QP C−canais



k;α∈L,R;σ



kα

†

kασ

+ H.c.



, (3.5)

onde V

kα

s˜ao os elementos de matriz que acoplam a ressonˆancia no QPC aos

estados nos canais.

Coletando todos os termos, escrevemos:

H =



k;α∈L,R;σ



kασ

†

kασ





+ Un

↑

↓



k;α∈L,R;σ



kα

†

kασ

+ H.c.



(3.6)

que ´e o hamiltoniano total.

Figura 3.2: Ilustra¸c˜ao de como V

muda efetivamente a largura da constri¸c˜ao do

QPC.

No experimento um potencial de porta V

muda a geometria fazendo

com que o n´umero de modos propagantes aumente (diminua) `a medida que

se torna mais p ositivo (negativo), ver Fig.3.2, enquanto que a energia de

Fermi permanece constante. Em nosso mo delo, por conveniˆencia, mantemos

a geometria ﬁxa e mudamos ε

para abrir ou fechar canais de transmiss˜ao.

Assim, V

kα

independe de V

em nosso mo delo.

O hamiltoniano (3.6) ´e o modelo de Anderson [26], com a diferen¸ca de que

o estado lo calizado se acopla a um n ´umero arbitr´ario de canais (bandas). Na

anomalia 0,7 temos o caso limiar de um canal `a direita e outro `a esquerda.

O hamiltoniano de Anderson ´e usado na an´alise do problema Kondo [27],

onde os el´etrons na da banda de condu¸c˜ao se correlacionam para formar um

singleto de spin.

Para simpliﬁcarmos o problema, vamos considerar apenas o caso onde

a anomalia ´e mais pronunciada, ou seja, no limiar da abertura do primeiro

modo de transmiss˜ao transversal. Assim estamos considerando a situa¸c˜ao

onde apenas um canal `a direita e um canal `a esquerda, conectados pelo QPC.

Logo, o n´umero quˆantico α n˜ao “corre”mais sobre canais abertos passando

a discriminar apenas direita ou esquerda.

3.2 A transforma¸c˜ao de Schrieﬀer-Wolﬀ

Esta transforma¸c˜ao mostra que o modelo de Anderson pode ser mapeado no

modelo s-d mais conveniente para nossa an´alise (ver excelente discuss˜ao na

Ref. [28, 29]). Vamos apresentar aqui uma adapta¸c˜ao da deriva¸c˜ao original

de Schrieﬀer e Wolﬀ [30] para o transporte atrav´es de um QPC. Lembramos

que, ao contr´ario do problema de Kondo original, nosso sistema envolve dois

contatos ou duas bandas. Mesmo ap´os simpliﬁcarmos (3.6), como tratamos

de um problema de transmiss˜ao, precisamos reter ao menos dois canais. Da´ı

a necessidade de generalizar a transforma¸c˜ao proposta na Ref. [30].

Schrieﬀer e Wolﬀ, em seu trabalho pioneiro prop˜oem a elimina¸c˜ao de

termos lineares no acoplamento V , atrav´es da transforma¸c˜ao canˆonica ou de

similaridade:

H ≡ e

−S

, (3.7)

onde S ´e anti-hermiteano, S

†

= −S. Esta transforma¸c˜ao ´e, portanto, unit´aria

e n˜ao altera o espectro de H (para uma discuss˜ao a respeito, ver o Cap. 1 da

Ref. [31]).

Expandindo formalmente os operadores e

e e

−S

em s´eries de potˆencias

e reagrupando-os em comutadores, obtem-se:

H =



1 − S +

+ ···





1+S +

+ ···



= H +[S, H]+

[S, [S, H]] + ···. (3.8)

Antes de prosseguirmos vamos dividir H em duas partes:

H = H

+ H

(3.9)

onde:



k;σ;α∈L,R



kα

†

kασ





+ Un

↑

↓

(3.10)

e H

´e a parte interagente onde o elemento de hibridiza¸c˜ao V

kα

´e o termo de

acoplamento:



k;σ;α∈L,R



kα

†

kασ

+ H.c.



. (3.11)

O hamiltoniano H

atua em dois espa¸cos de Fock distintos, os contatos e o

QPC. Sem acoplamento entre eles, H

´e sol´uvel exatamente [32].

Substituindo (3.10) e (3.11) em (3.8) obtem-se:

H = H

+ H

+[S, H

+ H

[S, [S, H

+ H

]] + ··· . (3.12)

Para eliminar os termos lineares em V , faz-se:

=[H

,S]=−[S, H

]. (3.13)

Esta rela¸c˜ao revela que S ´e linear em V e determina a forma de S, que ´e:

S =



k;α∈L,R;σ;i



kα



− 

†

kασ

− H.c.



. (3.14)

onde ¯σ = −σ, os operadores n´umero n

s˜ao deﬁnidos por:



se i =1

1 − n

se i =2

(3.15)

e as energias 

por:







+ U para i =1



para i =2

. (3.16)

Ap´os a transforma¸c˜ao de Schrieﬀer e Wolﬀ o hamiltoniano (3.12) ﬁca:

H = H

[S, H

[S, [S, H

]] +

[S, [S, [S, H

]]] + ···. (3.17)

Como S e H

s˜ao lineares em V , o termo de ordem mais baixa em V de

´e quadr´atico, e oriundo do comutador de S com H

. Os termos de ordem

sup erior s˜ao dados pelos comutadores remanescentes.

Vamos trabalhar no regime de acoplamento fraco e, p ortanto, considerar:

H ≈ H

[S, H

]=H

+ H



+ H



+ H

troca

+ H

dir

+ H

carga

, (3.18)

que discutiremos abaixo.

O primeiro termo H

´e exatamente a parte do sol´uvel (ou n˜ao pertur-

bada) do hamiltoniano, ou seja, o problema de bandas desacopladas com

uma ressonˆancia isolada. Os demais termos surgem devido ao acoplamento,

representado p elos termos de matriz V

kα

Para apresentar

H de forma compacta introduz-se a nota¸c˜ao spinorial:

kα



kα↑

kα↓



eΨ



↑

↓



(3.19)

para deﬁnir os operadores Ψ com duas componentes.

O termo H



possui a forma:





kα,k



kα,k



†

kα



(3.20)

onde:

kα,k



∗

kα







− 



− 



. (3.21)

De sua estrutura, vˆe-se que ele d´a conta de processos simples de el´etrons

que est˜ao ou `a direita ou `a esquerda, que visitam a ressonˆancia formando

um estado virtual e voltam a uma estado nos contatos, n˜ao necessariamente

do lado do qual partiram originaramente. Estes pro cessos n˜ao apenas renor-

malizam o potencial sentido pelos el´etrons independentes nos contatos, como

tamb´em contribuem para a transmiss˜ao entre bandas. Obviamente, eles s˜ao

irrelevantes para o problema Kondo padr˜ao com uma ´unica banda, mas n˜ao

para o QPC.

O segundo termo H



tem a forma:



= −



kα,k



;σ



kα,k



kα,k



¯σ



(3.22)

onde:

kα,k



= V

kα









− ( 

+ U)



− ( 

+ U)

−



− 

−





− 



(3.23)

Aqui se vˆe que H



simplesmente renormaliza os coeﬁcientes dos termos de H

relacionados `a ressonˆancia no QPC, sem explicitamente dar origem a novos

processos f´ısicos.

O termo de troca H

troca

´e dado por:

= −



kα,k



kα,k



(Ψ

†



SΨ

kα

) ·(Ψ

†

SΨ

) (3.24)

onde os termos de spin s˜ao:

S =

(3.25)

com σ sendo as matrizes de Pauli. Este ´e o termo de

H que d´a origem a pro-

cessos que envolvem spin, essenciais para explicar o fenˆomeno em estudo. O

fato de termos que lidar com duas bandas torna este termo tamb´em diferente

do Hamiltoniano s-d usual [28].

A interpreta¸c˜ao dos processos f´ısicos virtuais envolvidos em (3.24) ´e muito

simples. Deixando os detalhes de c´alculo para o pr´oximo cap´ıtulo, o quadro

principal est´a ilustrado pela Fig. 3.3.

Figura 3.3: Ilustra¸c˜ao dos processos de transmiss˜ao do QPC para um dos contatos

e vice-versa

A posi¸c˜ao das ressonˆancias em rela¸c˜ao ao n´ıvel de Fermi pode variar.

Ambos os n´ıveis ε

e ε

+ U podem ﬁcar abaixo ou acima de ε

. O caso

mais interessante ´e o da Fig. 3.3, quando ε

<ε

e ε

+ U>ε

. Neste

caso o QPC se encontra ocupado com um el´etron com spin σ. El´etrons de

uma das bandas (direita ou esquerda) populam o QPC com proje¸c˜ao de spin

oposta a σ. Outro processo poss´ıvel ´e que o spin σ migre para uma banda.

Assim, atrav´es de princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli; cria-se uma assimetria nos

processos de transmiss˜ao de spin. Para ε

>ε

ou ε

+ U<ε

, isto n˜ao

ocorre, por isto vamos nos encontrar no caso ε

<ε

+ U.

E imp ortante manter em mente que todos estes processos f´ısicos depen-

dem da intera¸c˜ao eletrˆonica. No caso extremo em que U = 0, o sistema

torna-se n˜ao interagente e o acoplamento J

kα,k



torna-se nulo, como pode

ser facilmente visto na Eq. (3.23).

Antes de prosseguimos ´e importante analisarmos a constante de acopla-

mento J

kα,k



. Para temperaturas baixas supondo que os processos de espa-

lhamento mais relevantes ocorrem nas proximidades da energia de Fermi, ou

seja, ε

∼



∼

e quando V

≈ V

kα,k



∼

2|V

k≈0,α

(U + ε

)

. (3.26)

como estamos analisando casos onde ε

<ε

+ U, escrevemos:

kα,k



∼

−2|V

kα

|ε

(U + ε

< 0 (3.27)

que corresponde a uma intera¸c˜ao antiferromagn´etica ([31], Cap.6), favore-

cendo a forma¸c˜ao de um estado singleto de spin entre o QPC e as bandas `a

direita e `a esquerda.

Voltemos `a an´alise de

H. O termo H

dir

´e :

dir



kα,k



kα,k



(Ψ

†

)(Ψ

†



kα

) . (3.28)

Os denominadores de energia de W



envolvem somente excita¸c˜oes do estado

mais baixo em energia do QPC, n˜ao havendo troca de spin envolvida, mas

podendo haver transmiss˜ao entre os contatos.

O ´ultimo termo H

carga

´e :

carga



kα,k



;σ

kα,k





†



¯σ

†

kασ

¯σ

+ H.c.



, (3.29)

muda a ocupa¸c˜ao do QPC para um estado duplamente ocupado, e portanto

n˜ao ´e importante para o problema de transmiss˜ao.

3.3 Hamiltoniano de invers˜ao de spin

Como vimos a transforma¸c˜ao de Schrieﬀer-Wolﬀ gera um grande n´umero

de termos. No entanto, alguns apenas renormalizam H

enquanto que ou-

tros n˜ao s˜ao importantes para a transmiss˜ao. O destaque ﬁca para o termo

troca

que intro duz processos genuinamente n˜ao contemplados pela f´ısica de

part´ıcula independente. Isto s´o ocorre quando ε

<ε

+ U e vamos

dedicar especial aten¸c˜ao a este caso daqui para frente.

E conveniente escrever H

troca

em termos dos operadores:

≡

†

↑

− d

†

↓

) (3.30)

≡ d

†

↑

↓

(3.31)

−

≡ d

†

↓

↑

, (3.32)

o que resulta em:

troca

= −



kα,k



kα,k







†

kα↑



↑

− c

†

kα↓



↓



†

kα↓



↑

+ S

−

†

kα↑



↓



. (3.33)

Este ´e o hamiltoniano do bem conhecido modelo s −d utilizado para analisar

o efeito Kondo, novamente com a modiﬁca¸c˜ao de incluir duas bandas.

Um tratamento alternativo para os canais, n˜ao esplorado nesta disserta¸c˜ao,

foi proposta por Glazman e Raikh [33]. Estes, num dos trabalhos pioneiros

de efeito Kondo em el´etrons sendo transmitidos atrav´es de pontos quˆanticos

prop˜oem uma transforma¸c˜ao unit´aria no espa¸co de canais que mapeia o pro-

blema de transmiss˜ao no problema de Kondo original. Em pontos quˆanticos

no regime Kondo, n˜ao h´a processos de transmiss˜ao diretos, ao contr´ario do

que acontece aqui. Assim, embora a estrat´egia de Glazman e Raikh [33]

seja formalmente correta, o pre¸co que se paga ´e que os canais deixam de ter

uma interpreta¸c˜ao f´ısica e a parte direta deixa de ser simples, o que no nosso

problema n˜ao ´e desejavel.

Cap´ıtulo 4

Efeitos de correla¸c˜oes

eletrˆonicas na condutˆancia

A f´ormula de condutˆancia de Landauer ´e obtida a partir da teoria de part´ıcula

independente na presen¸ca de um campo m´edio, onde a coerˆencia quˆantica

´e preservada. Assim, n˜ao podemos consider´a-la na an´alise de um sistema

de el´etrons interagentes onde correla¸c˜oes eletrˆonicas podem ser importantes.

Usando o racioc´ınio inverso, podemos aﬁrmar que quando a f´ormula de Lan-

dauer descreve bem as caracter´ısticas I × V de um sistema, isto d´a uma in-

dica¸c˜ao de que correla¸c˜oes eletrˆonicas n˜ao s˜ao importantes no sistema. Este

n˜ao ´e o caso na anomalia 0,7. Com esta motiva¸c˜ao, este cap´ıtulo ´e dedicado

a escrever uma f´ormula para a condutˆancia e sua an´alise para o hamiltoniano

de muitos corpos introduzido no cap´ıtulo anterior.

4.1 Express˜ao geral para a corrente atrav´es

do QPC

Uma vez descartada a utiliza¸c˜ao da f´ormula de Landauer, faz-se necess´ario

derivar uma f´ormula para a corrente a partir do hamiltoniano (3.6). H´a

v´arias estrat´egias que utilizam o formalismo das fun¸c˜oes de Green com v´arios

graus de soﬁstica¸c˜ao, desde resposta linear [34] at´e grupo de renormaliza¸c˜ao

num´erica [35]. A formula¸c˜ao mais costumeira quando os sistemas n˜ao s˜ao

fortemente correlacionados ´e a de Keldysh, cujos fundamentos s˜ao discutidos

nas Refs. [32, 36]. Nosso problema admite uma abordagem mais simples,

como discutiremos em seguida.

Estamos estudando a condutˆancia para uma corrente estacion´aria no li-

mite de diferen¸cas de potencial (ddp) muito baixas (na l´ıngua inglesa “zero

bias”) no regime de acoplamento fraco (ver cap´ıtulo anterior). Assim na

ausˆencia de de processos inel´asticos e dep endˆencias temporais, a condi¸c˜ao de

“zero bias”permite-nos tratar o sistema como se estivesse quase em equil´ıbrio.

Conseq¨uentemente a corrente ser´a descrita por uma diferen¸ca de taxas de

el´etrons entrando e saindo do QPC.

De fato, esta estrat´egia j´a foi seguida por Appelbaum [37] em um trabalho

seminal e pioneiro sobre a anomalia de “zero bias”na condutˆancia eletrˆonica

atrav´es de jun¸c˜oes entre dois metais normais com uma barreira de tunela-

mento de ´oxido na interface. A hip´otese chave ´e que esta ´ultima admita um

estado localizado ressonante. Como no nosso problema, este sistema apre-

senta duas bandas, convencionalmente uma `a direita e outra `a esquerda e

pode ser mapeado no hamiltoniano (3.6).

Nossa ab ordagem para obter a corrente ´e fortemente inspirada pelo trata-

mento de Appelbaum. As diferen¸cas surgir˜ao quando implementarmos a

dependˆencia em energia das constantes de acoplamento de (3.6), n˜ao discuti-

dos em [37]. Outro fator importante ´e a dimensionalidade de nosso sistema,

que implica em uma diferen¸ca fundamental na computa¸c˜ao das integrais que

surgem no c´alculo da corrente.

A corrente ﬂuindo da esquerda para a direita (ver Fig. 1.3) ´e dada por:

I = e



k∈L,σ



∈R,σ



kσM→k



(ε

kσ

)[1− f

(ε



)]

− e







k∈L,σ



∈R,σ



→kσM

(ε



)[1− f

(ε

kσ

)] , (4.1)

onde e ´e a carga do el´etron, P

´e a probabilidade estat´ıstica de que S

 = M

e f

(ε

kσ

) ´e a distribui¸c˜ao de Fermi-Dirac para o potencial qu´ımico µ

`a direita

(α = R) ou esquerda (α = L)eosW ’s s˜ao taxas de transi¸c˜ao de um estado

inicial para um ﬁnal.

A diferen¸ca de potencial aplicada entre os reservat´orios relaciona os po-

tenciais qu´ımicos: µ

− µ

= eV

bias

(ver Fig. 1.3). Note que estamos nos

restringindo aqui ao estudo do caso onde h´a apenas um ´unico canal longitu-

dinal aberto atrav´es do QPC, como estabelecido no Cap´ıtulo 3.

Consideraremos P

como sendo a ocupa¸c˜ao de equil´ıbrio para o orbital

ressonante com proje¸c˜ao de spin M. Isto est´a em linha com nossa hip´otese

de o QPC est´a pr´oximo do equil´ıbrio t´ermico e que as correla¸c˜oes eletrˆonicas

podem ser tratadas perturbativamente.

A informa¸c˜ao n˜ao trivial sobre o processo de transmiss˜ao est´a codiﬁ-

cada nos elementos de matriz ou taxas de transmiss˜ao W . Na Eq. (4.6),

kσM→k



´e a taxa de transi¸c˜ao por unidade de tempo para que um el´etron

no estado (kσ) `a esquerda seja espalhado para o estado (k



) `a direita. Neste

caso o spin localizado faz transi¸c˜ao M → M



. Obviamente:

σ + M = σ



+ M



, (4.2)

uma vez que o hamiltoniano total (3.6) preserva as proje¸c˜oes do spin total

do sistema.

Vamos escrever a taxa de transi¸c˜ao atrav´es da regra de ouro de Fermi:

kσM→k



2π

¯h

|T (k



← kσM)|

δ(ε

kσ

− ε



) (4.3)

onde T ´e a matriz de amplitudes de transi¸c˜ao. Aqui est´a impl´ıcito que



∈ R e kσ ∈ L. Vale notar que neste cap´ıtulo T possui um signiﬁcado

diferente do que lhe atribu´ımos nos Cap´ıtulos 1 e 2. L´a o s´ımbolo T estava

relacionado `a matriz de probabilidade de transmiss˜ao. Como esta ´ultima

grandeza n˜ao vai mais surgir nesta disserta¸c˜ao, acreditamos que n˜ao haja

ambig¨uidade.

A express˜ao para a corrente ﬁca muito mais simples na ausˆencia de um

campo magn´etico externo: O sistema possui invariˆancia por revers˜ao tem-

poral. (Em termos matem´aticos, ´e facil veriﬁcar que H ´e invariante por

revers˜ao temporal, consistente com os processos f´ısicos em an´alise). Como

consequˆencia a matriz de transmiss˜ao ´e sim´etrica, ou seja:

T (k



← kσM)=T (kσM ← k



) (4.4)

Al´em disto, considerando contatos sim´etricos `a direita e esquerda, a densi-

dade de estados nos contatos, para uma ddp pequena, ´e essencialmente a

mesma. Conclu´ımos que:

kσM→k



= W



→kσM

(4.5)

o que permite simpliﬁcar a express˜ao (4.1). A rela¸c˜ao acima ´e chamada de

balan¸co detalhado e est´a usualmente associada a processos com simetria de

revers˜ao temporal. A corrente pode ser reescrita como:

I = e



k∈L,σ



∈R,σ



kσM → k



(ε

kσ

) −f

(ε



)] , (4.6)

uma vez que os termos cruzados em f

(ε

kσ

(ε



) se cancelam. Lembrando

da rela¸c˜ao:

(ε) −f

(ε) ≈ (µ

− µ

)



−

∂f

∂ε



. (4.7)

e que W cont´em o v´ınculo de que ε

kσ

= ε



, p odemos escrever a condutˆancia

G = I/V

bias

, como:

G = e



k∈L,σ



∈R,σ



kσM → k





−

∂f

∂ε



. (4.8)

No que segue vamos considerar a situa¸c˜ao mais geral, onde B = 0. Por´em,

antes de obtermos uma express˜ao fechada para G, passando os somat´orios k

e k



para o cont´ınuo, precisamos derivar uma express˜ao expl´ıcita para W .

o que faremos a seguir.

4.2 Matriz T na aproxima¸c˜ao de Born

Como nosso problema foi praticamente mapeado no problema Kondo, pode-

mos antecipar os obst´aculos a serem encontrados em um tratamento per-

turbativo. Em seu trabalho seminal, Kondo [27] observou que W diverge

quando calculado em segunda ordem de H



. Traduzindo para a matriz T :

T (ε)=H



+ H



ε − H



+ ···

= T

(1)

+ T

(2)

+ ··· , (4.9)

onde H

e H



= H

foram deﬁnidos no Cap. 3. A Eq. (4.9) ´e a s´erie de

Born para matriz T [31]. Aqui os ´ındices sobrescritos indicam a ordem de

perturba¸c˜ao. Para que a equa¸c˜ao acima fa¸ca sentido, ´e necess´ario fazer ε →

ε + iη onde η ´e inﬁnitesimal e positivo, o que nos permite calcular T para

processos de espalhamento emergentes. Deﬁnimos:

(2)

2π

¯h

(1)

δ(ε

−ε

) (4.10)

(3)

2π

¯h

(1)

(2)∗

+ T

(1)∗

(2)

δ(ε

− ε

) (4.11)

Antes de calcularmos cada um dos termos T

(n)

, vamos introduzir uma

nota¸c˜ao conveniente para os estados iniciais e ﬁnais no espa¸co de Fock:

|kσM

≡ (c

†

k,α=L,σ

|−) ⊗(d

†

|)

|kσM

≡ (c

†

k,α=R,σ

|−) ⊗(d

†

|) (4.12)

onde |− ´e o estado da banda populado de el´etrons at´e a superf´ıcie de

Fermi, enquanto que | ´e o estado do QPC desocupado. Note que os

operadores c

†

kασ

criam excita¸c˜oes de quase-part´ıculas, podendo representar

part´ıculas (ε

kασ

>µ

) ou buracos (ε

kασ

<µ

Como vimos no Cap. 3, nem todos os termos de H

contribuem para a

transmiss˜ao. Alguns apenas renormalizam os coeﬁcientes que aparecem em

. Vamos redeﬁnir H



nos atendo apenas aos termos de transmiss˜ao.

O hamiltoniano de troca:

troca

= −



kα,k



kα,k







†

kα↑



↑

− c

†

kα↓



↓



†

kα↓



↑

+ S

−

†

kα↑



↓



. (4.13)

introduzido no cap´ıtulo anterior, d´a conta de pro cessos que (a) envolvem

el´etrons de condu¸c˜ao no mesmo contato α `a direita e `a esquerda e que (b)

envolvem el´etrons em contatos α e α



distintos. Na primeira ordem de per-

turba¸c˜ao para o c´alculo da matriz T os processos do tipo (a) s˜ao irrelevantes

para a transmiss˜ao, enquanto que os do tipo (b) s˜ao. J´a na segunda ordem,

ver Eq. (4.9), para ocorrer transmiss˜ao precisamos de uma combina¸c˜ao de

um termo do tip o (a) com outro do tipo (b).

Outros processos relevantes para transmiss˜ao vem de H



edeH

dir

(ver

discuss˜ao no Cap.3). Para o caso do QPC possuir a ressonˆancia abaixo de

, escrevemos:

dir



kα,k



;σ

kα,k



†

kασ



(4.14)

onde contra´ımos N

kα,k



=(3/4)W

kα,k



, com os coeﬁcientes W deﬁnidos no

Cap. 3. Aqui, para montar a matriz T vale a mesma discuss˜ao apresentada

acima.

Resumindo, vamos usar H



= H

troca

+ H

dir

, e com estes elementos ﬁca

deﬁnido o c´alculo perturbativo para a matriz T .

4.3 C´alculo da corrente e da condutˆancia em

segunda ordem

Usando a Eq. (4.9) p odemos calcular os elementos de matriz T . Vamos

come¸car calculando a ordem mais baixa, T

(1)

, que contribuir´a para a corrente

de segunda ordem em potˆencias de H



(1)



← kσM)=

k



|kσM

. (4.15)

Temos ent˜ao quatro possibilidades para os spins da esquerda para a di-

reita, as duas primeiras sem invers˜ao de orienta¸c˜ao spin, as demais com

invers˜ao:

(i) ↑ M →↑M

(ii) ↓ M →↓M

(iii) ↑ M →↓M +1

(iv) ↓ M →↑M − 1 (4.16)

com amplitudes de espalhamento:

(1)



↑ M ← k ↑ M)=−

kL,k



M + N

kL,k



(4.17)

(1)



↓ M ← k ↓ M)=+

kL,k



M + N

kL,k



(1)



↓ M +1← k ↑ M)=−

kL,k





S(S +1)− M(M +1)

(1)



↑ M − 1 ← k ↓ M)=−

kL,k





S(S +1)− M(M − 1)

As duas ´ultimas s˜ao obtidas lembrando-se que:

SM ± 1|S

|SM =



S(S +1)− M(M ± 1)

e que S =1/2.

Estas rela¸c˜oes nos permitem calcular as taxas W , que n˜ao variam medi-

ante uma troca de k por k



, mas que dep endem de campo magn´etico atrav´es

das energias ε

kσ

(B):

kσ

(B)=ε

kσ

∗

B ≡ ε

kσ

 (4.18)

onde g

∗

´e o fator giromagn´etico do material. Vamos sup or ainda que J

kα,k



e W

kα,k



dependam muito fracamente de B. Esta aproxima¸c˜ao ´e pass´ıvel de

cr´ıtica, uma vez que quando consideramos excita¸c˜oes pr´oximas a superf´ıcie

de Fermi, corre¸c˜oes devido a B = 0 podem ser importantes. No entanto,

como J e W aparecem apenas como constantes efetivas, nosso tratamento

n˜ao ser´a comprometido. Assim escrevemos a taxa de transi¸c˜ao de segunda

ordem sem invers˜ao de spin:

(2)

kσM→k



σM

2π

¯h



kL,k



−

kL,k





δ(ε

kσ

− ε



) (4.19)

enquanto que a taxa de transi¸c˜ao para processos com invers˜ao de proje¸c˜ao

de spin (em inglˆes ”spin-ﬂip”) ´e:

(2)

k,σ=±,M→k



,σ



=∓,M±1

2π

¯h

kL,k





− M(M ± 1)



δ(ε

kσ

− ε



¯σ

∓∆)

(4.20)

Com estes elementos calculamos as correntes sem e com spin-ﬂip de segunda

ordem em H



, I

(2)

ssf

e I

(2)

csf

, respectivamente:

(2)

ssf







kL,k



kL,k



M



(ε

kσ

) −f

(ε



)] δ(ε

kσ

−ε



)

(4.21)

(2)

csf





kL,k





−M(M +1)



(ε

k↑

) −f

(ε



↓

)] δ(ε

k↑

− ε



↓

−∆)



−M(M − 1)



(ε

k↓

) −f

(ε



↑

)] δ(ε

k↓

− ε



↑

+∆)



(4.22)

onde, usamos explicitamente que S =1/2,

M =

1/2



M=−1/2

M e M

 =

1/2



M=−1/2

. (4.23)

Na ausˆencia de campo magn´etico ∆ = 0, portanto M =0eM

 =1/4.

Vale notar que da modelagem utilizada para construir H



, vale o balan¸co

detalhado, o que permitiu simpliﬁcar as express˜oes acima. Como no Cap.1

vamos passa para a representa¸c˜ao de energias:



→



dερ(ε) (4.24)

e aproximando:

(ε) −f

(ε) ≈ (µ

− µ

)



−

∂f

∂ε



. (4.25)

em ordem linear na diferen¸ca de potenciais qu´ımicos. Lembrando que µ

−

≡ eV , escrevemos a condutˆancia de segunda ordem em H



sem spin-ﬂip:

(2)

ssf



∞

−∞

dε



−

∂f

∂ε



(ε)ρ

(ε)



(ε)+

(ε)M





(4.26)

onde o fator 2 surge da independˆencia de spin dos processos, e ρ

(ε)´ea

densidade de estados no contato α. Usamos a fun¸c˜ao δ de Dirac para eliminar

uma integral em energia e introduzimos as fun¸c˜oes N(ε) ≡ N

kL,k



e J(ε) ≡

kL,k



onde ε =¯h

/2m

∗

De maneira semelhante escrevemos a condutˆancia para os processos com

spin-ﬂip em segunda ordem de H



(2)

csf

≈



∞

−∞

dε



−

∂f

∂ε



(ε)ρ

(ε)



−M





(ε) . (4.27)

Aqui combinamos os dois processos distintos que contribuem para a corrente

em segunda ordem e desprezamos as corre¸c˜oes nas distribui¸c˜oes de Fermi

devido a: ∆.

Chegamos aqui a um ponto crucial de nossa discuss˜ao. Se assumirmos

que J( ε)eN(ε) possuem uma dependˆencia fraca com a energia, ao menos na

escala de k

T , p odemos sacar as constantes de acoplamento das integral. O

resultado ´e muito ruim, pois a condutˆancia passa a ter um valor constante,

independente do valor de ε. Ou seja, parece n˜ao ser poss´ıvel conseguimos

acomodar os degraus de condutˆancia com esta descri¸c˜ao. A solu¸c˜ao ´e arbitrar

uma dependˆencia dos V

α com a energia (este procedimento foi adotado por

Meir, Hirose e N.Wingreen [16] sem uma justiﬁcativa plaus´ıvel) , de modo

que:

(ε) −→

(ε)

1 + exp[−β(E

− E

)]

(4.28)

onde i =2, 3 potˆencias em ordens de G e β =(k

T )

−1

e E

´e a energia do

primeiro modo de transmiss˜ao, como discutido no Cap. 2. Obviamente esta

rela¸c˜ao n˜ao reproduz exatamente o resultado da Eq. (2.28), mas d´a uma boa

f´ormula interp olativa. Uma rela¸c˜ao similar ´e tamb´em arbitrada para N

(ε).

4.4 C´alculo da corrente e da condutˆancia em

terceira ordem

Vamos calcular agora os elementos de matriz T

(2)

, que em conjunto com

(1)

, nos permitem calcular a corrente e a condutˆancia de terceira ordem em

potˆencias de H



De forma geral, a amplitude de espalhamento T

(2)

, ´e escrita:

(2)

b←a



c=a

b|H



|cc|H



|a

− E

(4.29)

os estados |a e |b, como anteriormente, s˜ao estados `a esquerda e `a direita

do QPC respectivamente. J´a os estados intermedi´arios |a s˜ao todos os es-

tados poss´ıveis, exclu´ıdo o estado de entrada |a. Vamos separar os tipos de

processos f´ısicos em dois tipos: os |a e |b que possuem a mesma proje¸c˜ao

M de spin e os que |a e |b possuem proje¸c˜oes opostas.

Os processos que n˜ao resultam em spin-ﬂips entre o estado inicial e o

ﬁnal, s˜ao representados pelos diagramas:

Figura 4.1: Processos de segunda ordem entre el´etrons em estado inicial k ↑ e

estado ﬁnal k



↑. As linhas horizontais representam o spin do QPC. As linhas com

setas representam o spin dos el´etrons.

A soma das proje¸c˜oes de spin ´e conservada. Isto se deve ao fato de que

em cada v´ertice, a intera¸c˜ao considerada em H



, preserva a proje¸c˜ao total de

spin.

Nos pro cessos (a) e (b) n˜ao h´a nenhum spin-ﬂip, sequer em estados inter-

medi´arios. Para tal, apenas os termos em S

de H



troca

e H



dir

s˜ao envolvidos.

J´a os processos (c) e (d) envolvem spin-ﬂip no estado intermedi´ario e, por-

tanto, os termos em S

de H



troca

. Vamos discutir a f´ısica dos diagramas da

Fig. 4.1, tendo como foco o problema de transmiss˜ao.

O diagrama (a) representa um processo onde um el´etron com n´umero de

onda k e spin ↑ esquerda sobre o QPC e ´e espalhado em um estado q de spin

↑, que pode estar na banda da direita ou esquerda. Trata-se de um estado

virtual fora da camada de energia. Finalmente este estado ´e aniquilado para

oel´etron emergir pela direita com k



e ↑. O diagrama (c) ´e similar, a diferen¸ca

´e que o estado intermedi´ario virtual do el´etron inverte sua posi¸c˜ao de spin e

o QPC ´ıdem. Temos, portanto, em ambos os casos (a) e (c) uma soma sobre

estados intermedi´arios de part´ıcula. Explicitamente, para o caso (a):

β =



q,α



1 − f



(ε

qσ

)

kα

+ iη − ε

qσ

, (4.30)

onde o fator 1 − f



(ε

qσ



) surge para dar conta do pric´ıpio de exclus˜ao de

Pauli. Para o caso (c) basta inverter a orienta¸c˜ao do spin dos estados q em

rela¸c˜ao ao k.

O diagrama (b) d´a conta de um processo menos direto. Inicialmente

temos um estado incidente pela esquerda k ↑ com o QPC tendo proje¸c˜ao

de spin M. Forma-se ent˜ao um estado part´ıcula-buraco, onde a part´ıcula

propaga-se `a direita do QPC com k



↑ e o buraco pode estar `a direita ou

esquerda com q ↑. Note que nesta etapa intermedi´aria que envolve buracos,

as somas correm sobre:

γ =



q;α



∈R,L



(ε

qσ

)

kσ

− iη −ε

qσ

(4.31)

onde σ corresponde ao processo f´ısico em an´alise. Numa segunda etapa,

o buraco ´e aniquilado juntamente com o el´etron no estado incidente. Como

resultado resta assintoticamente o ´eletron no estado emergente `a direita, com

o QPC no estado de spin M. Como este processo n˜ao envolve spin-ﬂip, ele ´e

gerado tanto por H



troca

como por H



dir

Vamos estimar a contribui¸c˜ao conjunta dos processos (a) e (b), que n˜ao

apresentam pro cesso algum de spin-ﬂip:

(2)(a+b)



σM ← kσM) = (4.32)



q;α∈R,L

kL,qα

−

kL,qα

)(N

qα,k



−

qα,kR

)

kσ

− iη + ε

qσ

Vale notar que a dependˆencia de temperatura desapareceu inteiramente de-

vido ao cancelamento das contribui¸c˜oes de part´ıcula e buraco. Em primeira

insp e¸c˜ao, quando passarmos para o cont´ınuo, a integral da Eq. (4.32) d´a uma

divergˆencia logar´ıtmica. Isto ´e falso uma vez que a dependˆencia em q das

contribui¸c˜oes de acoplamento N e J elimina a divergˆencia.

O diagrama (d) ´e bastante semelhante ao (b), a diferen¸ca ´e que o par

part´ıcula buraco intermedi´ario p ossui spins opostos, para compensar e man-

ter a proje¸c˜ao de spin total constante o spin do QPC ´e invertido. Assim,

o acoplamento precisa conter termos de spin-ﬂip. Estes s˜ao encontrados em



troca

Vamos agora estimar as contribui¸c˜oes de (c) e (d) para a amplitude de

espalhamento T . Para tal, lembramos novamente que:

S, M +1|S

|S, M =



S(S +1)− M(M ± 1)

para S =1/2 estes elementos de matriz podem apenas ter valor 0 ou 1.

Desta forma:

(2)(c+d)



σM ← kσM)=



q,α

kL,qα

qα,k





Mσ

[1 − f

(ε

qσ

)]

kσ

+ iη − ε

qσ

− ∆

Mσ

(ε

qσ

)



+ iη −ε

qσ

− ∆



. (4.33)

Ao contr´ario da amplitude de espalhamento sem processo algum de spin-

ﬂip, esta express˜ao depende da temperatura, uma vez que as contribui¸c˜oes

que envolvem distribui¸c˜oes de Fermi n˜ao se cancelam. Como discutimos

anteriormente, os coeﬁcientes J possuem uma dependˆencia com a energia que

regulariza eventuais divergˆencias para ε

qσ

 ε

kσ

. No entanto, para valores

qσ

, medidos a partir de ε

e menores que U, os elementos de matriz J s˜ao

praticamente constantes. Por este motivo ´e costumeiro sup or J

kL,qα

≈ J

impor uma largura efetiva em energia −D ≤ ε

qσ

≤ D para as bandas nos

contatos com o prop´osito de regularizar as integra¸c˜oes antes de continuar a

an´alise.

Como os experimentos nos quais estamos interessados s˜ao feitos no limite

de baixas diferen¸cas de potencial e a temperaturas baix´ıssimas, vamos nos

restringir ao caso de transmiss˜ao el´astica, onde ε

kσ

= ε



, para obter:

(2)(c+d)

(kσM ← kσM)=



q,α

Mσ

+ f

(ε

qσ

)(δ

Mσ

−δ

Mσ

)

kσ

+ iη −ε

qσ

− ∆

. (4.34)

O termo que n˜ao depende da temperatura ´e numericamente muito menor

do que o termo que contem a distribui¸c˜ao de Fermi-Dirac. A justiﬁcativa ´e

que para J

independente da energia, as contribui¸c˜oes com ε

qσ

>ε

kσ

− ∆e

qσ

<ε

kσ

− ∆ se cancelam quase exatamente, uma vez que para um QPC

t´ıpico as densidades de n´ıveis ρ

(ε) nos reservat´orios tamb´em independem

da energia ε.

Para estimar T

(2)(c+d)

vamos usar a identidade [38]:



−D

dε

f(ε)

ω ±iη − ε

= −Ψ



ω − ε

2iπk



+ln



D + ω

2πk



∓

iπ

(4.35)

onde Ψ ´e a fun¸c˜ao Gama [39]. Aqui, devido ao termo logar´ıtmico, vemos

claramente como a dependˆencia na temperatura p ode dominar a transmiss˜ao

para temperaturas suﬁcientemente baixas. Vamos, daqui para frente focar

nossa discuss˜ao neste termo apenas.

Para simpliﬁcar vejamos explicitamente o caso T

(2)



↑ M ← k ↑ M).

Passando a soma em q da Eq. (4.34) para o continuo e usando a identidade

(4.35) discutida acima, escrevemos

(2)(c+d)



↑ M ← k ↑ M) ≈



α∈L,R

M ln



D + ε

kσ

2πk



(ε

), (4.36)

aqui desprezamos corre¸c˜oes da ordem de ∆ no numerador do termo logar´ıtmico.

Supondo acoplamentos iguais `a direita e `a esquerda, isto ´e J

= J

densidades de n´ıveis constantes em energias ρ

(ε)=ρ

(ε) ≡ ρ(ε

), escreve-

mos para o espalhamento el´astico:

(2)(c+d)

(k ↑ M ← k ↑ M) ≈ J

M ln



D + ε

2πk



ρ(ε

), (4.37)

analogamente:

(2)(c+d)

(k ↓ M ← k ↓ M) ≈−J

M ln



D + ε

2πk



ρ(ε

). (4.38)

Reunindo os resultados, aproveitamos a f´ormula da corrente para proces-

sos sem spin-ﬂip, Eq. (4.8), usamos a taxa W

(3)

, expandimos na diferen¸ca de

potenciais qu´ımicos para escrever:

(3)

ssp

≈−



∞

−∞

dε



−

∂f

∂ε



[ρ(ε)J

]

M





D + ε

2πk



, (4.39)

onde os termos que multiplicam N se cancelaram. A princ´ıpio o sinal pode

causar alguma estranheza, mas lembramos que J

< 0, o que garante uma

condutˆancia positiva.

Finalmente, como ε ≈ ε

e dado que a fun¸c˜ao logar´ıtmica ´e muito lenta

na escala de k

T , ´e uma boa aproxima¸c˜ao escrever:

(3)

ssp

≈−

[ρ(ε)J

]

M





+ D

2πk



, (4.40)

Explicitamente (J

ρ)

M

 ´e uma constante positiva que d´a conta da densi-

dade de n´ıveis.

Usando as propriedades de logar´ıtimos vamos inverter o argumento lo-

gar´ıtimo, incorp orar 2π a constante de Boltzman (2πk

T = KT) e utilizar

a interpreta¸c˜ao de escalas do problema Kondo original [27]:

(3)

ssp

M





(ρJ

)

log

|ε|

|ε| >KT,

(ρJ

)

log

|ε| <KT.

(4.41)

uniﬁcando os argumentos da express˜ao acima:

(3)

ssp

M



=(ρJ

)

ε + KT

(4.42)

Esta estrat´egia vem da interpreta¸c˜ao de escala do valor principal oriundo da

identidade (4.35) cuja integral a ser tratada ´e:

−



−D

log |ε − ε





∂f

∂ε





dε



(4.43)

A interpreta¸c˜ao de escala foi deixada para o apˆendice A. Neste momento,

ﬁca claro que este termo s´o pode indicar um comportamento aproximado,

uma vez que para ε

 k

T , a unitaridade ﬁcar´a perdida. C´alculos em

ordens superiores [28] mostram que o comportamento logar´ıtmico persiste.

Na realidade, tais termos servem apenas para vestir a constante (J

ρ)

M

.

A mesma observa¸c˜ao vale para os processos que envolvem spin-ﬂip. Como

discutido na Ref. [28], eles n˜ao d˜ao contribui¸c˜oes muitos diferentes das que

j´a foram calculadas para a amplitude de espalhamento de segunda ordem.

Novamente a diferen¸ca ´e apenas no fator num´erico que multiplica o termo

logar´ıtmico.

O estudo do problema Kondo mostrou que a teoria de perturba¸c˜ao n˜ao

´e capaz de capturar a f´ısica de baixas temperaturas, onde um tratamento

muito mais soﬁsticado envolvendo o grup o de renormaliza¸c˜ao num´erico se

faz necess´ario. Sabe-se, no entanto, que o m´etodo perturbativo serve muito

bem para descrever a f´ısica de “altas”temperaturas, medidas com rela¸c˜ao `a

temperatura onde as divergˆencias come¸cam a ser observadas. Isto pode ser

visto nos gr´aﬁcos a seguir, que revelam bem a anomalia 0,7. Aqui precisamos

usar novamente a rela¸c˜ao (4.28).

4.5 A condutˆancia e a anomalia 0,7

Nos resta escrever uma express˜ao para a condutˆancia somando todas as con-

tribui¸c˜oes de segunda e terceira ordem (com ou sem spin ﬂip):

QP C

= G

(2)

+ G

(3)

(4.44)

Ap´os o uso da importante rela¸c˜ao (4.28), N

(ε) → f(ε)N

, J

(ε) →

f(ε)J

e J

(ε) → f(ε)J

: Ns e Js ﬁcam estacion´arios deixando toda sua

dependˆencia energ´etica na fun¸c˜ao de Fermi (f(ε)). As densidades de estado

s˜ao pequenas e pr´oximas ρ

(ε) ∼ ρ

(ε) ∼ ρ, logo vamos incorpor´a-las aos

Js deﬁnindo

J ≡ ρJ. Somando as contribui¸c˜oes (4.26) e (4.27) de G

(2)

comparando com o pr´e fator de G

(3)

, obtemos a condutˆancia corrigida:

QP C

f(ε)



1+k

J ln

ε + KT



(4.45)

com:

k =

M





−

M





(4.46)

Devido ao fato de que J e N estarem estacion´arios em rela¸c˜ao `a energia,

assumimos

J como um parˆametro e k constante de ajuste entre a segunda e

terceira ordens de G:

As grandezas KT , |ε| e |D| competem entre si dando forma a anomalia

0,7. O argumento do logar´ıtimo da Eq.4.45 estabelece uma compara¸c˜ao de

escala. A natureza adimensional deste argumento nos permite escrever D e

KT apenas como fra¸c˜oes da energia de Fermi. Podemos normalizar a energia

de Fermi: ¯ε

= 1 e deﬁnir as raz˜oes:

¯ε

;

= a (4.47)

para obter da Eq.4.45 sua forma ﬁnal:

QP C

f(¯ε)



1+3

J ln

¯ε +



(4.48)

4.6 Compara¸c˜ao com o experimento

Com o aumento do potencial de porta |V

|, vai se fechando o intervalo de

energias dispon´ıveis em torno de ε

e surge a anomalia 0,7. Utilizando o

programa Maple7, com a listagem:

> restart; d := 1; t := 0.05; k := 3; j := −0.328; a := 240;

>F:= (1/(exp((−x −d)/t)+1))∗ (j

) ∗(1 + k ∗ j ∗ln((−x + t)/(a)));

> plot(F/g,x = −2..0);

obtemos o gr´aﬁco da condutˆancia para diversas isotermas. Observe a

not´avel concordˆancia com a experiˆencia original. Para

J<0 (acoplamento

”antiferromagn´etico”), nossa express˜ao introduziu uma corre¸c˜ao que faz o

programa Maple, com poucas linhas, reproduzir quase exatamente a anomalia

no primeiro platˆo:

Fig.4.6 - Gr´aﬁcos da anomalia 0,7 no primeiro platˆo e sobrepostos, para diferentes

entradas dos seus parˆametros

Compare com o gr´aﬁco do exp erimento (ver Cap.1, Fig 1.8). Para facilitar

a compara¸c˜ao vamos reproduzi-lo novamente. A anomalia 0,7 no primeiro

salto para diversas temp eraturas.

Fig. 1.8 - Medida de condutˆancia para o QPC para diversas temperaturas (da Ref.

[14]).

Um outro gr´aﬁco interessante destaca a anomalia 0,7 e a origem da

transi¸c˜ao Kondo.

Fig.4.6 - Gr´aﬁco da anomalia 0,7, com destaque para transi¸c˜ao Kondo.

Cap´ıtulo 5

Conclus˜oes

Neste trabalho fomos capazes de demonstrar que a anomalia 0,7 na con-

dutˆancia atrav´es de pontos de contato quˆanticos pode ser explicada por um

mecanismo semelhante ao de Kondo.

Nosso primeiro passo foi mostrar que o cen´ario de part´ıcula independente,

que embora tenha se estabelecido como um paradigma para explicar os de-

graus de condutˆancia em QPCs, n˜ao consegue descrever a anomalia 0,7.

Examinamos ent˜ao um modelo inspirado no hamiltoniano de Anderson,

proposto para analisar o efeito Kondo. Tal modelo teve que ser devidamente

adaptado para acomodar dois contatos, necess´arios para descrever um pro-

cesso de transmiss˜ao. A seguir, implementamos a transforma¸c˜ao de Schrieﬀer

e Wolf para gerar um hamiltoniano parecido com o do modelo sd. Finalmente

calculamos a condutˆancia usando a regra de ouro de Fermi e aproxima¸c˜ao de

segunda ordem de Born para a matriz de amplitude de transmiss˜ao.

O resultado ﬁnal compara de forma muita boa com os dados experimen-

tais, como discutido no Cap´ıtulo 4.

Nosso sucesso baseia-se essencialmente em duas hip´oteses: (a) Haver, para

qualquer QPC, uma ressonˆancia localizada no QPC em uma energia pr´oxima

`a energia de Fermi. Tal hip´otese conta com o apoio de soﬁsticados c´alculos

que usam o funcional de densidade incluindo spin. N˜ao est´a ainda bem esta-

belecido qual o motivo porque esta ressonˆancia sempre aparece nesta energia.

(b) Que os elementos de matriz de acoplamento entre as bandas e o estado

localizado possuam uma r´apida dependˆencia em energia em torno da energia

de Fermi. Mais especiﬁcamente, eles devem ser nulos para energias menores

que a de Fermi e constantes caso contr´ario. Se est´a condi¸c˜ao n˜ao se cumprir,

o modelo n˜ao reproduz os degraus da condutˆancia. Por outro lado, fazendo

esta hip´otese, conseguimos reproduzir todos os regimes do experimento.

Estas duas quest˜oes merecem um estudo mais aprofundado. Outras

quest˜oes que merecem aten¸c˜ao s˜ao a extens˜ao de nosso formalismo para aco-

modar uma ddp ﬁnita, bem como o estudo do efeito de um campo magn´etico

aplicado. Tais tarefas s˜ao trabalhosas, mas relativamente simples, e h´a dados

experimentais dispon´ıveis.

Apˆendice A

Tratamento de escala

A divergˆencia logar´ıtima que surge do c´alculo das integrais da identidade

(4.35) p ode ser contornada com uma interpreta¸c˜ao correta da escala. Faremos

a seguir explicitamente esta interpreta¸c˜ao:

−



−D

log |ε − ε





∂f

∂ε





dε



(A.1)

No 1

caso, para |ε| >KT(ver Fig.A).

Para ε suﬁcientemente pequeno vale a seguinte desigualdade: KT < |ε|

|D|. Logo, devido a magnitude de ε, Podemos aproximar a Eq.4.43 de:



−D

log |ε − ε





−

∂f

∂ε





dε



∼



∞

−∞

log |ε − ε



|δ(ε



) dε



= log |ε| (A.2)

pois,



∞

−∞

f(x) δ(x) dx = f(0)

No 2

caso, para |ε| <KT (ver Fig.A).

Vamos Usar a rela¸c˜ao |ε



− ε| = |ε − ε



|, e um corol´ario importante da

an´alise real para o teorema do valor m´edio integral :

Seja, h(x) mon´otona e g(x) cont´ınua em x ∈ [a, b] ent˜ao ∃ c ∈ [a, b]

tal que:



hg = h( b)



Realmente a fun¸c˜ao log ´e mon´otona e n˜ao decrescente, consideramos a

seguinte express˜ao, utilizando o corol´ario e considerando ε>0 (sem perda

de generalidade):



log |ε



−ε|



−

∂f

∂ε





dε



= log |KT−ε|



∂f

∂ε



dε



= log |KT−ε|(f(c)−f(KT))

(A.3)

vamos ﬁxar ε de forma a variar a temperatura. Sabemos que ε ´e suﬁciente-

mente p equeno para as aproxima¸c˜oes desejadas. Agora com |ε|KT ∼|D|,

podemos chegar a :

log |KT −ε|(f(c) −f(KT)) ∼ log |KT|(f(0) −f(∞)) = log KT (A.4)

Om´etodo principal para a an´alise da escala foi ﬁxar ε fazendo variar KT.

Deste modo ﬁcou n´ıtida a transi¸c˜ao de |ε| <KT para |ε|KT ∼|D|.

Fig A - A rela¸c˜ao entre os tamanhos de KT , |ε| e |D|.

Na literatura, v´arios autores deram um tratamento de escala semelhante

[26, 27, 29, 37].

Bibliograﬁa

[1] M. J. Kelly, Low-Dimensional Semiconductors (Oxford University Press,

1995).

[2] B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker, J. G. Williamson,

L. P. Kouwenhoven, D. van der Mare e C. T. Foxon, Phys. Rev. Lett.

60, 848 (1988).

[3] D. A. Wharam, T. J. Thornton, R. Newbury, M. Pepper, H. Ahmed,

J. E. F. Frost, D. G. Hasko, D. C. Peacock, D. A. Ritchie e G. A. Jones,

J. Phys. C 21, L209 (1988).

[4] S. Datta, Eletronic Transport in Mesoscopic Systems (Cambridge Uni-

versity Press, 1995).

[5] D. K. Ferry e S. M. Goo dnick, Transport in Nanostructures (Cambridge

University Press, 1997).

[6] Y. Imry, Introduction to Mesoscopic Physics (Oxford University Press,

1997).

[7] T. Heinzel, Mesoscopic Electronics in Solid State Nanostructures

(Wyley-VCH, Weinheim, 2003).

[8] K. J. Thomas , J. T. Nicholls, M. Y. Simmons, M. Pepper, D. R. Mace

e D. A. Ritchie, Phys. Rev. Lett. 77, 135 (1996).

[9] K. J. Thomas , J. T. Nicholls, N. J. Appleyard, M. Y. Simmons, M. Pep-

per, D. R. Mace, W. R. Tribe e D. A. Ritchie, Phys. Rev. B 58, 4846

(1998).

[10] A. Kristensen , H. Bruus, A. E. Hansen, J. B. Jensen, P. E. Lindelof,

C. J. Marckmann, J. Nyg˚ard, C. B. Sørensen, F. Beuscher, A. Forchel e

M. Michel, Phys. Rev. B 62 , 10950 (2000).

[11] D. J. Reilly , G. R. Facer, A. S. Dzurak, B. E. Kane, R. G. Clark,

P. J. Stiles, R. G. Clark, A. R. Hamilton, J. L. O’Brien, N. E. Lumpkin,

L. N. Pfeiﬀer e K. W. West, Phys. Rev. B 63, 121311 (2001).

[12] R. Landauer, IBM J. Res. Dev. 1, 223 (1957).

[13] Y. Imry e R. Landauer, Rev. Mod. Phys. 71, S306-S312 (1999)

[14] S. M. Cronenwett, H. J. Lynch, D. Goldhaber-Gordon, L. P. Kouwen-

hoven, C. M. Marcus, K. Hirose, N. S. Wingreen e V. Umansky, Phys.

Rev. Lett. 88, 226805 (2002).

[15] H. Bruus, V. V. Cheianov e K. Flensberg, Physca E 10, 97 (2001).

[16] Y. Meir, K. Hirose e N. S. Wingreen, Phys. Rev. Lett. 89, 196802 (2002).

[17] Y. Meir, K. Hirose e N. S. Wingreen, Phys. Rev. Lett. 90, 026804 (2003).

[18] L. I. Glazman, G. B. Lesovik, D. E. Khmelnitskii e R. I Shekter, JETP

Lett. 48, 238 (1988).

[19] A. Yacoby e Y. Imry, Phys. Rev. B 41, 5341 (1990).

[20] E. Casta˜no e G. Kirczenow, Phys. Rev. B 45, 1514 (1992).

[21] F. A. Maao, I. V Zozoulenko e E. H. Hauge, Phys. Rev. B 50 17320

(1994).

[22] E. C. Kemble, Phys. Rev. 48, 549 (1935).

[23] L. Landau e E. Lifchitz, M´echanique Quantique, (Mir, Moscou, 1980).

[24] P. Hohenberg e W. Kohn, Phys. Rev. 136, B864 (1964); W. Kohn e

L. J. Sham, Phys. Rev. 140, A1133 (1965).

[25] B. Tanatar e D. M. Ceperley, Phys. Rev. B 39, 5005 (1989).

[26] P. W. Anderson, Phys. Rev. 124, 41 (1961).

[27] J. Kondo, Prog. Th. Phys. (Kyoto) 32, 37 (1964).

[28] A. C. Hewson, The Kondo Problem to Heavy Fermions (Cambridge Uni-

versity Press, 1993).

[29] K. Yosida, Theory of Magnetism (Springer, Nova Iorque, 1996).

[30] J. R. Schrieﬀer e P. A. Wolﬀ, Phys. Rev. 149, 491 (1966).

[31] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Nova

Iorque, 1994).

[32] H. Haug e A.-P. Jauho, Quantum Kinetics in Transport and Optics of

Semiconductors (Springer, Nova Iorque, 1997).

[33] L. I. Glazman e M. E. Raikh, JETP Lett. 47, 452 (1988).

[34] J. Rammer, Quantum Transport Theory (Perseus Bo oks, Reading-EUA,

1998).

[35] W. Hofstetter, Phys. Rev. Lett. 85, 1508 (2000).

[36] C. H. Lewenkopf, Sistemas Mesosc´opicos, Notas de Aula (UERJ, 2004).

[37] J. A. Appelbaum, Phys. Rev. 154, 633 (1967).

[38] C. Lacroix, J. Phys. F: Metal Phys. 11 2389 (1981).

[39] M. Abramowitz e I. Stegun (Editores), Handbook of mathematical Func-

tions (Dover, Nova Iorque, 1965).

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