( PDF ) Classificação das superfícies de revolução tipo delaunay completas

Download PDF

ads:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOI

INSTITUTO DE MATEM

ATICA E ESTAT

ISTICA

Classiﬁca¸c˜ao das Superf´ıcies de Revolu¸c˜ao Tipo Delaunay Completas

por

Luiz Gustavo Alves de Souza

Orientador: Prof. Dr. Romildo da Silva Pina

Disserta¸c˜ao de Mestrado em Matem´atica

Goiˆania, Goi´as

2008

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

ads:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOI

INSTITUTO DE MATEM

ATICA E ESTAT

ISTICA

COORDENAC¸

AO DE P

OS-GRADUAC¸

AO EM MATEM

ATICA

Classiﬁca¸c˜ao das Superf´ıcies de Revolu¸c˜ao Tipo Delaunay Completas

por

Luiz Gustavo Alves de Souza

Area de Concentra¸c˜ao : Geometria e Topologia

Orientador: Prof. Dr. Romildo da Silva Pina

Disserta¸c˜ao submetida `a Banca Examinadora designada pelo Conselho Diretor do

Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica da Universidade Federal de Goi´as, como parte dos

requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Matem´atica.

Goiˆania, Goi´as

2008

A minha noiva Daniella

Aos meus pais Jorge e Otenevira

Agradecimentos

Ao criador por ter tido a coragem de entregar seu ´unico ﬁlho por amor `a esp´ecie

humana e por Ele ter aceitado esta miss˜ao t˜ao dura e ´ardua. Sempre devemos louvar e

agradecer a Deus e compreender que n˜ao somos deste mundo.

Ao Prof. Dr. Romildo da Silva Pina, pela amizade, paciˆencia e dedica¸c˜ao que foram

indispens´aveis para a concretiza¸c˜ao desta disserta¸c˜ao.

Aos meus pais, Jorge Luiz de Souza e Otenevira Alves de Souza que sempre acredi-

taram em meu potencial.

A minha noiva Daniella Artiaga que tanto me ensina por sua maneira de ser.

As minhas irm˜as Narliane Alves de Souza e Jacimara Alves de Souza, que tanto aprendi

e aprendo com suas personalidades.

Aos fundadores das Casas de Estudantes Universit´arios que tanto lutaram pela causa

estudante.

Ao professor Jos´e Hil´ario da Cruz, pela aten¸c˜ao e paciˆencia durante a constru¸c˜ao deste

trabalho.

Aos colegas Jo˜ao Lopes Cardoso Filho, Vitor Braga, Gleisson Santana, Alexsander

Sampaio Tib´erio e principalmente a M´arcio Lemes que sempre auxiliaram nos momentos

dif´ıceis.

Enﬁm, a todos, que contribu´ıram de maneira direta ou indireta para a realiza¸c˜ao deste

trabalho.

Sum´ario

Resumo 2

Abstract 3

Introdu¸c˜ao 4

1 Preliminares 6

1.1 Superf´ıcies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Superf´ıcies Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Princ´ıpio do M´aximo para Superf´ıcies Especiais Weingarten . . . . . . . . 19

2 Superf´ıcies de Rota¸c˜ao com Curvatura M´edia Constante 21

2.1 As Roulettes das cˆonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 A roulette da par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2 Roulettes em rela¸c˜ao a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.3 A Ondul´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.4 A Nod´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.5 A Curvatura M´edia do Caten´oide, Ondul´oide e do Nod´oide . . . . . 40

2.1.6 Superf´ıcies de Rota¸c˜ao com Curvatura M´edia Constante . . . . . . 42

3 Classiﬁca¸c˜ao das Superf´ıcies de Rota¸c˜ao Completas Tipo Delaunay 47

3.1 Condi¸c˜oes para Existˆencia de Superf´ıcies

de Rota¸c˜ao Tipo Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Superf´ıcies de Rota¸c˜ao Tipo Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Conclus˜ao 65

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas 66

Resumo

Nesta disserta¸c˜ao estudamos os artigos The Surfaces of Delaunay, de Eells, James, e

Classiﬁcation des Surfaces de Type Delaunay, de Ricardo Sa Earp e Eric Toubiana.

Baseado no primeiro trabalho classiﬁcamos as superf´ıcies de rota¸c˜ao de curvatura m´edia

constante conhecidas como superf´ıcies de Delaunay. Utilizando o segundo trabalho apre-

sentamos um estudo sobre superf´ıcies especiais de Weingarten, cuja curvatura m´edia e

Gaussiana satisfazem a rela¸c˜ao H = f(H

−K), onde f uma fun¸c˜ao el´ıptica de classe C

Classiﬁcamos as superf´ıcies de rota¸c˜ao completas, satisfazendo `a rela¸c˜ao de Weingarten.

Elas s˜ao conhecidas como superf´ıcies Tipo Delaunay.

Abstract

In this dissertation we have studied the articles The Surfaces of Delaunay, by James Eells,

and Classiﬁcation des Surfaces de Type Delaunay, by Ricardo Sa Earp and Eric Toubiana.

Based on the ﬁrst work we have classiﬁed the surfaces of revolution of constant mean

curvature known as surfaces of Delaunay. By using the second one we have looked at

special surfaces of Weingarten, whose mean and gaussian curvatures satisﬁes the relation

H = f(H

− K), where f is an elliptic function of class C

. We have classiﬁed the

complete surfaces of revolution, that satisﬁes the Weingarten relation. They are known

as surfaces of Delaunay Type.

Introdu¸c˜ao

Superf´ıcies de rota¸c˜ao em R

s˜ao as superf´ıcies que s˜ao invariantes por rota¸c˜oes em R

ou seja, por rota¸c˜oes em rela¸c˜ao a uma dada reta. Seu estudo se reduz ao estudo da curva

geratriz, isto ´e, a curva descrita pela intersec¸c˜ao da superf´ıcie com um plano que contenha

o eixo de rota¸c˜ao.

Em 1827, o matem´atico alem˜ao Gauss deﬁniu a curvatura Gaussiana K, de uma

superf´ıcie de R

, por K = λ

, onde λ

e λ

s˜ao as curvaturas principais da superf´ıcie.

Depois de alguns anos, em 1831, a matem´atica francesa Sophie Germain introduziu a

deﬁni¸c˜ao de curvatura M´edia H, por H =

+ λ

, ao estudar um problema relacionado

com vibra¸c˜oes de uma membrana.

A curvatura Gaussiana teve maior inﬂuˆencia no meio matem´atico, enquanto a cur-

vatura m´edia ﬁcou esquecida, voltando `a tona em 1951, com Hopf, despertando uma

quantidade consider´avel de geˆometras para o estudo da mesma, principalmente das su-

perf´ıcies com curvatura m´edia constante (H − cmc).

Os exemplos mais simples de superf´ıcie H −cmc s˜ao o plano (H = 0), a esfera de raio

r em R



H = ±



, e o cilindro circular reto de raio r



H =



O primeiro matem´atico a encontrar superf´ıcies H − cmc (H = 0), al´em dos acima

citados, foi o francˆes C. Delaunay, em 1841, o mesmo mostrou que a curva plana descrita

por um dos fo cos de uma cˆonica, quando esta rola sobre uma reta, sem deslizar, gera uma

superf´ıcie de revolu¸c˜ao H −cmc, al´em disso, mostrou que toda superf´ıcie de revolu¸c˜ao H −

cmc ´e obtida dessa maneira. Estas superf´ıcies s˜ao chamadas de Caten´oide (considerando

a par´abola), Ondul´oide (considerando a elipse) e Nod´oide (considerando a hip´erbole).

As superf´ıcies de curvatura m´edia constante, H − cmc, tamb´em englobam as superf´ıcies

m´ınimas, H = 0.

Mais de um s´eculo depois, N. Kapouleas [?] em (1990), construiu outros exemplos de

superf´ıcies propriamente mergulhadas, de topologia ﬁnita e de curvatura m´edia constante.

Em [?] os autores estudaram uma superf´ıcie M, retirando a hip´otese de curvatura

m´edia constante H − cmc e colocando uma rela¸c˜ao entre a curvatura m´edia H = H(N)

e a curvatura de Gauss K satisfazendo a forma:

H = f(H

− K),

onde f ´e uma fun¸c˜ao de classe C

no intervalo [0, ∞). Al´em disso, f tem que veriﬁcar `a

rela¸c˜ao:

∀ t ∈ [0, ∞), 4t(f



(t))

< 1.

Neste caso, diremos que f ´e uma fun¸c˜ao el´ıptica e M ´e chamada superf´ıcie especial caso,

veriﬁque `as rela¸c˜oes acima.

Quando f(0) = 0, a teoria de superf´ıcies especiais possuem princ´ıpios e propriedades

equivalentes `a teoria de superf´ıcies com curvatura m´edia constante n˜ao nula, e diremos

que M ´e uma superf´ıcie especial tipo curvatura m´edia constante ou simplesmente que

M ´e uma superf´ıcie especial. Mais ainda, se M ´e uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao completa

diremos que M ´e uma superf´ıcie do tipo Delaunay.

Nosso trabalho foi divido nas seguintes etapas.

No Cap´ıtulo 1, apresentamos os principais resultados sobre curvas e superf´ıcies que

ser˜ao usados nos demais cap´ıtulos. Estudamos a primeira e segunda forma fundamental

de uma dada superf´ıcie, terminando este cap´ıtulo com o c´alculo das curvaturas principais,

curvatura m´edia e gaussiana de uma dada superf´ıcie de revolu¸c˜ao.

No Cap´ıtulo 2, estudamos superf´ıcie de revolu¸c˜ao com curvatura m´edia constante e

nosso principal objetivo foi classiﬁcar as superf´ıcies de Delaunay.

Com o Cap´ıtulo 3, encerramos nosso trabalho fazendo um estudo detalhado de su-

perf´ıcies especiais de Weingarten completas de revolu¸c˜ao tipo curvatura m´edia constante,

mostrando resultados gerais de existˆencia e unicidade de superf´ıcies tipo Delaunay. No

Teorema 3.1 provamos a existˆencia de uma tal superf´ıcie, onde a curva que gera a su-

perf´ıcie ´e uma curva peri´odica de per´ıodo 2x

. Finalmente no Teorema 3.2 provamos que

toda superf´ıcie de revolu¸c˜ao completa tipo Delaunay ´e do tipo da obtida no Teorema 3.1.

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Apresentaremos neste cap´ıtulo algumas deﬁni¸c˜oes e propriedades de Geometria Diferencial

de Curvas e Superf´ıcies, as quais utilizaremos sem maiores detalhes no decorrer de nosso

trabalho. As demonstra¸c˜oes e explica¸c˜oes podem ser encontradas em [?], [?] e [?].

1.1 Superf´ıcies Regulares

Nesta se¸c˜ao introduzimos a no¸c˜ao de uma superf´ıcie regular em R

. Podemos dizer que uma

superf´ıcie regular em R

´e obtida tomando peda¸cos do plano, deformando-os e colando-os

entre si, de tal modo que a ﬁgura resultante n˜ao apresente pontas, arestas ou auto-

intersec¸c˜oes e que tenha sentido falar em plano tangente nos pontos desta superf´ıcie. A

id´eia ´e deﬁnir um conjunto que seja, em certo sentido, bi-dimensional e que seja tamb´em

suﬁcientemente suave de forma que as no¸c˜oes usuais do C´alculo possam ser estendidas a

um tal conjunto.

Deﬁni¸c˜ao 1.1. Um subconjunto S ⊂ R

´e uma superf´ıcie regular se, para cada P ∈ S,

existe uma vizinhan¸ca V de P em R

e uma aplica¸c˜ao X : U −→ V ∩ S, de um aberto

U de R

sobre V ∩ S ⊂ R

tal que

1. X ´e diferenci´avel. Isto signiﬁca que se escrevemos

X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U,

as fun¸c˜oes x(u, v), y(u, v), z(u, v) tˆem derivadas parciais cont´ınuas de todas as ordens em

2. X ´e um homeomorﬁsmo. Como X ´e cont´ınua pela Condi¸c˜ao 1, isto signiﬁca que X

tem inversa X

−1

: V ∩ S −→ U que ´e cont´ınua.

3. Para todo q ∈ U, a diferencial dX

: R

−→ R

´e injetiva.

A aplica¸c˜ao X ´e chamada uma parametriza¸c˜ao ou um sistema de coordenadas locais

numa vizinhan¸ca de P . A vizinhan¸ca V ∩ S de P em S ´e chamada uma vizinhan¸ca

coordenada.

A deﬁni¸c˜ao acima merece alguns coment´arios. Primeiramente porque deﬁnimos uma

superf´ıcie como um subconjunto S de R

, e n˜ao como uma aplica¸c˜ao. Conseguimos isso

cobrindo S com tra¸cos de parametriza¸c˜oes satisfazendo `as Condi¸c˜oes 1, 2 e 3.

A Condi¸c˜ao 1 ´e bastante natural se esperamos fazer alguma geometria diferencial

sobre S. A injetividade na Condi¸c˜ao 2 tem por objetivo excluir a possibilidade de auto-

intersec¸c˜oes em superf´ıcies regulares. A continuidade da inversa na Condi¸c˜ao 2 tem um

prop´osito mais sutil. No momento, diremos apenas que esta condi¸c˜ao ´e essencial para

provar que certos objetos deﬁnidos em termos de uma parametriza¸c˜ao n˜ao dependem desta

parametriza¸c˜ao, mas apenas do pr´oprio conjunto S. Finalmente, a Condi¸c˜ao 3 garante a

existˆencia de um plano tangente em todos os pontos de S.

Em seguida apresentaremos alguns exemplos de superf´ıcies regulares.

Exemplo 1.1. O cilindro circular reto de equa¸c˜ao x

+ y

= r

´e uma superf´ıcie regular

que pode ser parametrizado por X(u, v) = (r cos u, r sin u, v), com (u, v) ∈ R

e r > 0.

Figura 1.1: Parte de um cilindro

Exemplo 1.2. A esfera S

´e uma superf´ıcie regular, onde

X(u, v) = (cos u sin v, sin u sin v, cos v),

com (u, v) ∈ (0, 2π) ×(0, π) ´e uma parametriza¸c˜ao que cobre S

menos um meridiano.

Figura 1.2: Esfera

Exemplo 1.3. Seja α(u) = (f(u), 0, g(u)), u ∈ I ⊂ R uma curva regular tal que g



(u) = 0

para todo u do intervalo I. Ent˜ao a superf´ıcie obtida pela rota¸c˜ao de α(u) em torno do eixo

z ´e uma superf´ıcie regular parametrizada por X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)), v ∈

Figura 1.3: Superf´ıcie rotacionada

Exemplo 1.4. Considere a h´elice dada por α(u) = (cos u, sin u, au). Por cada ponto da

h´elice, trace uma reta paralela ao plano xy e que intercepta o eixo Oz. A superf´ıcie gerada

por essas retas ´e chamada de helic´oide. Uma parametriza¸c˜ao do helic´oide ´e dada por:

X(u, v) = (v cos u, v sin u, au), 0 < u < 2π, −∞ < v < ∞.

X aplica uma faixa aberta de largura 2π do plano uv sobre a parte do helic´oide que

corresponde a uma rota¸c˜ao de 2π ao longo da h´elice.

Figura 1.4: helic´oide

Exemplo 1.5. Consideramos superf´ıcies obtidas pela rota¸c˜ao do ˆangulo v em torno do

eixo z seguida da eleva¸c˜ao de δv da curva (2 + cos u, 0, sin u). Uma parametriza¸c˜ao para

tal superf´ıcie ´e X(u, v) = ((2 + cos u) cos v, (2 + cos u) sin v, sin u + δv), (u, v) ∈ R

, onde

δ ´e um n´umero real. Observamos que se δ = 0, a parametriza¸c˜ao X(u, v) descreve o toro

obtido pela rota¸c˜ao do c´ırculo no plano xOz de raio 1 e centro (0, 2, 0).

Figura 1.5: toro e h´elice de um toro

At´e aqui, tratamos as superf´ıcies sob o ponto de vista da diferenciabilidade. Agora

come¸caremos o estudo de outras estruturas geom´etricas associadas a uma superf´ıcie.

Talvez a mais importante delas seja a primeira forma fundamental, que passamos a des-

crever agora.

O produto interno natural em R

, induz em cada plano tangente T

S, de uma superf´ıcie

regular S, um produto interno, que indicaremos por  , 

. Se w

, w

∈ T

S ⊂ R

, ent˜ao

w

, w



´e igual ao produto interno de w

e w

, como vetores em R

. A esse produto

interno, que ´e uma forma bilinear sim´etrica (isto ´e, w

, w



= w

, w



e w

, w



´e

linear em w

e w

), corresponde uma forma quadr´atica I

: T

S −→ R dada por

(w) = w, w

= |w|

≥ 0. (1.1)

Deﬁni¸c˜ao 1.2. A forma quadr´atica I

em T

S deﬁnida por (1.1), ´e chamada a primeira

forma fundamental da superf´ıcie regular S ⊂ R

em p ∈ S.

Deste modo, a primeira forma fundamental ´e meramente a express˜ao de como a su-

perf´ıcie S herda o produto interno natural do R

. Geometricamente, como veremos em

breve, a primeira forma fundamental nos possibilita fazer medidas sobre a superf´ıcie (com-

primentos de curvas, ˆangulos de vetores tangentes, ´areas de regi˜oes), sem fazer men¸c˜ao

ao espa¸co ambiente R

, onde est´a a superf´ıcie.

Vamos agora expressar a primeira forma fundamental na base X

, X

associada a uma

parametriza¸c˜ao X(u, v) em p. Como um vetor tangente w ∈ T

S ´e o vetor tangente a

uma curva parametrizada α(t) = X(u(t), v(t)), t ∈ (−, ), com p = α(0) = X(u

, v

obtemos

(α



(0)) = α



(0), α



(0)

= X



+ X



, X



+ X





= X

, X





)

+ 2X

, X





+ X

, X





)

= E(u



)

+ 2F u



+ G(v



)

onde os valores das fun¸c˜oes envolvidas s˜ao calculados em t = 0, e

E(u

, v

) = X

, X



F (u

, v

) = X

, X



G(u

, v

) = X

, X



s˜ao os coeﬁcientes da primeira forma fundamental na base X

, X

de T

Fazendo p variar na vizinhan¸ca coordenada correspondente a (X

, X

), obtemos fun¸c˜oes

E(u, v), F (u, v), G(u, v), que s˜ao diferenci´aveis nessa vizinhan¸ca.

De agora em diante, omitiremos o ´ındice p na indica¸c˜ao do produto interno , 

ou da

forma quadr´atica I

, quando for claro pelo contexto a que ponto nos referimos.

Para ilustrarmos o que falamos acima considere o seguinte exemplo.

Exemplo 1.6. Sejam V = {(θ, ϕ); 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π} e X : V −→ R

dada por

X(θ, ϕ ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ).

Observamos que

(θ, ϕ) = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, −sin θ),

(θ, ϕ) = (−sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0).

Logo,

E(θ, ϕ) = X

, X

 = 1

F (θ , ϕ) = X

, X

 = 0

G(θ, ϕ) = X

, X

 = sin

(θ).

Portanto, se w ´e um vetor tangente `a esfera unit´aria em um ponto X(θ, ϕ), dado na base

associada a X(θ, ϕ) por

w = aX

+ bXϕ,

ent˜ao o quadrado do m´odulo de w ´e dado por

|w|

= I(w) = Ea

+ 2F ab + Gb

= a

+ b

sin

θ.

Agora iremos discutir em que sentido, e quando, ´e poss´ıvel orientar uma superf´ıcie.

Intuitivamente, como cada ponto p de uma superf´ıcie regular S tem um plano tangente

S, a escolha de uma orienta¸c˜ao de T

S induz uma orienta¸c˜ao numa vizinhan¸ca de p, isto

´e, a no¸c˜ao de movimento positivo ao longo de curvas fechadas suﬁcientemente pequenas

em torno de cada ponto da vizinhan¸ca. Caso seja poss´ıvel fazer essa escolha para cada

p ∈ S de forma que na interse¸c˜ao de quaisquer duas vizinhan¸cas as orienta¸c˜oes coincidam,

ent˜ao dizemos que S ´e orient´avel. Caso contr´ario, dizemos que S ´e n˜ao-orient´avel.

Vamos precisar essas id´eias. Fixada uma parametriza¸c˜ao X(u, v) de uma vizinhan¸ca

de um ponto p de uma superf´ıcie regular S, determinamos uma orienta¸c˜ao do plano

tangente T

S, a saber, a orienta¸c˜ao associada `a base ordenada X

, X

. Se p pertence a

uma vizinhan¸ca coordenada de uma outra parametriza¸c˜ao X(u, v), a nova base X

, X

´e

expressa em termos da primeira por

= X

∂u

+ X

∂v

∂u

= X

∂u

∂v

+ X

∂v

onde u = u(u, v) e v = v(u, v) s˜ao as express˜oes da mudan¸ca de coordenadas. As bases

, X

e X

, X

determinam, portanto, a mesma orienta¸c˜ao de T

S se, e somente se, o

Jacobiano

∂(u, v)

da mudan¸ca de coordenadas ´e positivo.

Deﬁni¸c˜ao 1.3. Uma superf´ıcie regular S ´e orient´avel, se for poss´ıvel cobr´ı-la com uma

fam´ılia de vizinhan¸cas coordenadas, de tal modo que se um ponto p ∈ S pertence a duas

vizinhan¸cas dessa fam´ılia, ent˜ao a mudan¸ca de coordenadas tem Jacobiano positivo em

p. A escolha de uma tal fam´ılia ´e chamada uma orienta¸c˜ao de S, e S, neste caso, diz-

se orientada. Se uma tal escolha n˜ao ´e poss´ıvel, a superf´ıcie ´e n˜ao-orient´avel. Se S ´e

orientada, uma parametriza¸c˜ao (local) X ´e compat´ıvel com a orienta¸c˜ao de S se, juntando

X `a fam´ılia de parametriza¸c˜oes dada pela orienta¸c˜ao, obt´em-se ainda uma (logo, a mesma)

orienta¸c˜ao de S.

Conv´em chamar de campo diferenci´avel de vetores normais em um aberto U ⊂ S, a

uma aplica¸c˜ao diferenci´avel N : U −→ R

, que associa a cada q ∈ U um vetor normal

unit´ario N(q) ∈ R

a S em q.

Proposi¸c˜ao 1.1. Uma superf´ıcie regular S ⊂ R

´e orient´avel se, e somente se, existe um

campo diferenci´avel N : S −→ R

de vetores normais em S.

Proposi¸c˜ao 1.2. Se uma superf´ıcie regular ´e dada por S = (x, y, z) ∈ R

; f(x, y, z) = a,

onde f : U ⊂ R

−→ R ´e diferenci´avel e a ´e um valor regular de f , ent˜ao S ´e orient´avel.

Orienta¸c˜ao certamente n˜ao ´e uma propriedade local de uma superf´ıcie regular. Local-

mente, toda superf´ıcie regular ´e difeomorfa a um conjunto aberto do plano e, portanto,

orient´avel. Orienta¸c˜ao ´e uma propriedade global, no sentido de envolver toda a superf´ıcie.

A aplica¸c˜ao utilizada na deﬁni¸c˜ao seguinte mostra que conseguimos relacionar vetores

de um plano tangente com vetores de outro plano tangente. Todos os detalhes poder˜ao

ser encontrados em [?], (p´ag 158 `a 165). Em seguida deﬁniremos a aplica¸c˜ao normal de

Gauss:

Deﬁni¸c˜ao 1.4. A aplica¸c˜ao de Gauss N : S ⊂ R

→ S

em rela¸c˜ao a uma dada

parametriza¸c˜ao X : U ⊂ R

→ S num ponto p ´e deﬁnida por

N(u, v) =

(u, v) ∧ X

(u, v)

(u, v) ∧ X

(u, v)|

∧ X

O fato de dN

: T

S −→ T

S ser uma aplica¸c˜ao linear auto-adjunta nos permite

associar a dN

uma forma quadr´atica Q em T

S, dada por Q(v) = dN

(v), v, v ∈ T

Para obter uma interpreta¸c˜ao geom´etrica desta forma quadr´atica, precisamos de algumas

deﬁni¸c˜oes. Por motivos que se tornar˜ao claros depois, usaremos a forma quadr´atica −Q.

Deﬁni¸c˜ao 1.5. A forma quadr´atica II

, deﬁnida em T

S por II

(v) = −dN

(v), v ´e

chamada a segunda forma fundamental de S em p.

Deﬁni¸c˜ao 1.6. Seja C uma curva regular em S passando por p ∈ S, k a curvatura de

C em p, e cos θ = n, N, onde n ´e o vetor normal a C e N ´e o vetor normal a S em p.

O n´umero k

= k cos θ ´e chamado a curvatura normal de C ⊂ S em p.

Noutras palavras, k

´e o comprimento da proje¸c˜ao do vetor kn sobre a normal `a

superf´ıcie em p, com um sinal dado pela orienta¸c˜ao N de S em p. A curvatura normal de

C n˜ao depende da orienta¸c˜ao de C, mas troca de sinal com uma mudan¸ca de orienta¸c˜ao

da superf´ıcie.

Para dar uma interpreta¸c˜ao da segunda forma fundamental II

, considere uma curva

regular C ⊂ S parametrizada por α(s), onde s ´e o comprimento de arco de C, com

α(0) = p. Se indicarmos por N(s) a restri¸c˜ao do vetor normal N `a curva α(s), teremos

N(s), α



(s) = 0, donde

N(s), α



(s) = −N



(s), α



(s).

Portanto,

(α



(0)) = −dN

(α



(0)), α



(0)

= −N



(0), α



(0)

= N(0), α



(0)

= N, kn

= k

(p).

Em outras palavras, o valor da segunda forma fundamental II

num vetor unit´ario

v ∈ T

S ´e igual `a curvatura normal de uma curva regular passando por p e tangente a v.

Em particular, obtivemos o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 1.3. (Meusnier) Todas as curvas de uma superf´ıcie S que tˆem, num ponto

p ∈ S, a mesma reta tangente tˆem, neste ponto, a mesma curvatura normal.

Voltemos `a aplica¸c˜ao linear dN

. A cada p ∈ S existe uma base ortonormal {e

, e

}

de T

S, tal que dN

) = −λ

, dN

) = −λ

. Al´em disso, λ

e λ

(λ

≥ λ

) s˜ao

o m´aximo e o m´ınimo da segunda forma fundamental II

restrita ao c´ırculo unit´ario de

S. Isto ´e, s˜ao os valores extremos da curvatura normal em p. Com isso,

Deﬁni¸c˜ao 1.7. O m´aximo da curvatura normal λ

e o m´ınimo da curvatura normal λ

s˜ao chamados curvaturas principais em p; as dire¸c˜oes correspondentes, isto ´e, as dire¸c˜oes

dadas pelos auto-vetores e

e e

s˜ao chamadas dire¸c˜oes principais em p.

O conhecimento das curvaturas principais em p permite calcular facilmente a curvatura

normal segundo uma dire¸c˜ao dada de T

S. Com efeito, se v ∈ T

S e |v| = 1, como e

e e

formam uma base ortonormal de T

S, temos

v = e

cos θ + e

sin θ,

onde θ ´e o ˆangulo de e

a v na orienta¸c˜ao de T

S. A curvatura normal k

na dire¸c˜ao de

v ´e dada por

= II

(v) = −dN

(v), v

= −dN

cos θ + e

sin θ), (e

cos θ + e

sin θ)

= e

cos θ + e

sin θ, e

cos θ + e

sin θ

= λ

cos

θ + λ

sin

θ.

Esta ´ultima express˜ao ´e conhecida classicamente sob o nome de F´ormula de Euler. Em

verdade, ela ´e simplesmente a express˜ao da Segunda Forma Fundamental na base e

, e

Seja X(u, v) uma parametriza¸c˜ao em um ponto p ∈ S de uma superf´ıcie S, e seja

α(t) = X(u(t), v(t)) uma curva parametrizada em S , com α

= p. Para simpliﬁcar a

nota¸c˜ao, convencionaremos que todas as fun¸c˜oes que aparecem abaixo indicam seus valores

no ponto p.

O vetor tangente a α(t) em p ´e α



(t) = X



(t) + X



(t) e

dN(α



(t)) = N



(u(t), v(t)) = N



+ N



Como N

e N

pertencem a T

S, podemos escrever

= a

+ a

= a

+ a

e portanto,

dN(α



) = (a



+ a



+ (a



+ a



Logo, a express˜ao da Segunda Forma Fundamental na base X

, X

´e dada por

(α



) = −dN(α



), α





= N



+ N



, X



+ X





= e(u



)

+ 2fu



+ g(v



)

onde

e = X

, N = −X

, N



f = X

, N = −X

, N



g = X

, N = X

, N

,

s˜ao os coeﬁcientes da Segunda Forma Fundamental.

Sem mais coment´arios podemos enunciar a seguinte deﬁni¸c˜ao que ser´a de grande valia

para a pr´oxima se¸c˜ao.

Deﬁni¸c˜ao 1.8. Seja p ∈ S e seja dN

: T

S −→ T

S a diferencial da aplica¸c˜ao de Gauss.

O determinante de dN

´e chamado a curvatura Gaussiana K de S em p. O negativo

da metade do tra¸co de dN

´e chamado a curvatura m´edia de S em p. Em termos das

curvaturas principais λ

e λ

, podemos escrever

K = λ

e H =

(λ

+ λ

Em um sistema de coordenadas X(u, v), e a curvatura m´edia H e a curvatura Gaus-

siana K s˜ao dadas por:

H =

gE − 2fF + eG

2(EG − F

)

(1.2)

K =

eg − f

EG − F

, (1.3)

onde











E = X

, X



F = X

, X



G = X

, X

,

(1.4)

s˜ao os coeﬁcientes da Primeira Forma Fundamental.

Exemplo 1.7. As curvaturas m´edia e gaussiana do cilindro circular reto, com parametriza¸c˜ao

dada por X(u, v) = (r cos u, r sin u, v) s˜ao H = −

e K = 0.

Encerraremos esta se¸c˜ao com um exemplo onde iremos calcular as curvaturas princi-

pais, curvatura m´edia e curvatura Gaussiana de uma superf´ıcie de rota¸c˜ao. Para efeito

de contas iremos considerar o eixo z como o eixo de rota¸c˜ao, embora na pr´oxima se¸c˜ao o

eixo de rota¸c˜ao considerado ´e o x.

Exemplo 1.8. Superf´ıcies de Rota¸c˜ao: Considere a superf´ıcie de rota¸c˜ao parametrizada

por:

X(u, v) = (ϕ(v) cos u, ϕ(v) sin u, ψ(v)), 0 < u < 2π, a < v < b, ϕ(v) > 0.

Os coeﬁcientes da primeira forma fundamental s˜ao dados por

E = ϕ

, F = 0, G = (ϕ



)

+ (ψ



)

Conv´em supor que a curva geratriz ´e parametrizada pelo comprimento de arco, isto ´e, que

(ϕ



)

+ (ψ



)

= G = 1.

O c´alculo dos coeﬁcientes da Segunda Forma Fundamental ´e simples e fornece

e = −ϕψ



, f = 0, g = ψ





− ψ





Logo,

K = −



(ψ





− ψ





)

Conv´em exibir ainda uma outra express˜ao para a curvatura Gaussiana. Diferenciando

(ϕ



)

+ (ψ



)

= 1, obtemos ϕ





= −ψ





. Assim,

K = −



(ψ





− ψ





)

= −

(ψ



)



+ (ϕ



)



. (1.5)

A equa¸c˜ao (1.5) ´e uma express˜ao conveniente para a curvatura Gaussiana de uma

superf´ıcie de rota¸c˜ao. Ela pode ser usada, por exemplo, para determinar as superf´ıcies de

rota¸c˜ao com curvatura Gaussiana constante.

Para o c´alculo das curvaturas principais, faremos primeiro uma observa¸c˜ao geral: se

a parametriza¸c˜ao de uma superf´ıcie regular ´e tal que F = f = 0, ent˜ao as curvaturas

principais s˜ao dadas por

. De fato, nesse caso, a curvatura Gaussiana e a curvatura

m´edia s˜ao dadas por

K =

, H =

eG + gE

Nossa aﬁrma¸c˜ao decorre imediatamente do fato de K ser o produto e 2H a soma das

curvaturas principais.

Assim, as curvaturas principais de uma superf´ıcie de rota¸c˜ao s˜ao dadas por

= −



= −



= ψ





− ψ





da´ı, a curvatura m´edia de uma tal superf´ıcie ´e

H =

−ψ



+ ϕ(ψ





− ψ





)

1.2 Superf´ıcies Completas

O objetivo desta se¸c˜ao ´e introduzir o conceito de superf´ıcies completas.

Deﬁni¸c˜ao 1.9. Uma superf´ıcie regular (conexa) S ´e chamada estend´ıvel, se existe uma

superf´ıcie regular (conexa) S, tal que S ⊂ S como um subconjunto pr´oprio. Se n˜ao existe

uma tal S, S ´e chamada n˜ao-estend´ıvel.

Infelizmente, a classe de superf´ıcies n˜ao-estend´ıveis ´e muito grande para permitir re-

sultados interessantes. Uma hip´otese mais adequada ´e dada pela

Deﬁni¸c˜ao 1.10. Uma superf´ıcie regular S ´e denominada completa quando para qualquer

ponto P ∈ R, qualquer geod´esica parametrizada γ : [0, ) −→ S de S, come¸cando em

P = γ

, pode ser estendida numa geod´esica parametrizada γ : R −→ S, deﬁnida sobre

toda a reta real R.

O plano ´e evidentemente uma superf´ıcie completa. O cone menos o v´ertice n˜ao ´e uma

superf´ıcie completa, pois quando estendemos suﬁcientemente uma geratriz (que ´e uma

geod´esica) atingimos o v´ertice, que n˜ao pertence `a superf´ıcie. A esfera ´e uma superf´ıcie

completa, pois as geod´esicas parametrizadas (cujos tra¸cos s˜ao os grandes c´ırculos da

esfera) podem ser deﬁnidas para qualquer valor real. O cilindro tamb´em ´e uma superf´ıcie

completa pois as suas geod´esicas s˜ao c´ırculos, retas e h´elices, que est˜ao deﬁnidas para

todos os valores reais.

Por outro lado, uma superf´ıcie S − P, obtida ao removermos um ponto P de uma

superf´ıcie completa S, n˜ao ´e completa. De fato, alguma geod´esica γ de S deve passar

por P. Tomando um ponto Q, pr´oximo a P em γ, existe uma geod´esica parametrizada de

S − P que come¸ca em Q e n˜ao pode ser estendida at´e P. Assim, uma esfera menos um

ponto e um cilindro menos um ponto n˜ao s˜ao superf´ıcies completas.

Proposi¸c˜ao 1.4. Uma superf´ıcie completa S ´e n˜ao-estend´ıvel.

1.3 Princ´ıpio do M´aximo para Superf´ıcies Especiais

Weingarten

O Princ´ıpio do M´aximo para superf´ıcies com curvatura m´edia constante foi generalizado

em [?] para para Superf´ıcies Especiais Weingarten, conforme descreveremos a seguir:

Teorema 1.1. Suponha M

e M

superf´ıcies de classe C

em R

, dadas como gr´aﬁcos de

fun¸c˜oes u, v : Ω ⊂ R

−→ R. Suponha que o plano tangente de ambas M

e M

encontram-

se no ponto (x, y, z), isto ´e, T

xyz

= T

xyz

para z = u(x, y) = v(x, y), (x, y) ∈ Ω. Seja

H(N

) e H(N

) as fun¸c˜oes curvatura de u e v com respeito aos normais unit´arios N

que coincidem em (x, y, z). Seja K

, a curvatura Gaussiana de M

, i = 1, 2. Suponha

que M

satisfaz

H(N

) = f((H

)

− K

), i = 1, 2,

para f satisfazendo

4t(f



(t))

< 1.

Se u ≤ v pr´oximo de (x, y) ent˜ao M

= M

pr´oximo de (x, y, z), isto ´e u = v na vizinhan¸ca

de (x, y).

A demonstra¸c˜ao deste resultado ´e encontrada em [?].

No Cap´ıtulo 3 precisaremos garantir a existˆencia de solu¸c˜ao local de uma equa¸c˜ao

diferencial de segunda ordem. Para isto consideremos o conceito de fun¸c˜ao lipschitziana,

a seguir.

Uma aplica¸c˜ao f : Ω ⊆ R × R

−→ R

chama-se lipschitziana em Ω relativamente `a

segunda vari´avel ou, simplesmente, lipschitziana, se existe uma constante K tal que:

|f(t, x) − f(t, y)| ≤ K|x − y|,

para todo (t, x), (t, y) ∈ Ω; K chama-se constante de Lipschitz de f .

A aplica¸c˜ao f diz-se localmente lipschitziana em Ω, se cada ( t

, x

) tem uma vizinhan¸ca

V = V (t

, x

) tal que f|V ´e lipschitziana em V.

Lembremos a seguir o Lema da Contra¸c˜ao e, principalmente, um corol´ario deste que

ser´a usado na demonstra¸c˜ao do Teorema de Picard.

Lema 1.1. (Lema de Contra¸c˜ao) Sejam (X, d) um espa¸co m´etrico completo e F : X −→

X uma contra¸c˜ao, isto ´e, d(F (x), F(y)) ≤ Kd(x, y), 0 ≤ K < 1. Existe um ´unico ponto

ﬁxo P , por F, isto ´e F (P ) = P. Mais ainda, P ´e um atrator de F, isto ´e, F

(x) −→ P

quando n −→ ∞, para todo x ∈ X. F

(x) ´e deﬁnido por F (F

n−1

(x)).

Corol´ario 1.1. Seja X um espa¸co m´etrico completo. Se F : X −→ X ´e cont´ınua e, para

algum m, F

´e uma contra¸c˜ao, ent˜ao existe um ´unico ponto P ﬁxo por F. Mais ainda, P

´e um atrator de F.

Teorema 1.2. Seja f cont´ınua e lipschitziana em Ω = I

×B

, onde I

= {t; |t−T

| ≤ a},

= {x; |x−x

| ≤ b}. Se |f| ≤ M em Ω, existe uma ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial



= f(t, x), x (t

) = x

em I

= min





Cap´ıtulo 2

Superf´ıcies de Rota¸c˜ao com

Curvatura M´edia Constante

Superf´ıcies de rota¸c˜ao s˜ao as superf´ıcies que s˜ao invariantes por uma fam´ılia `a um parˆametro

de rota¸c˜oes em R

, ou seja, por rota¸c˜oes em rela¸c˜ao a uma dada reta. Seu estudo se reduz

ao estudo da curva geratriz, isto ´e, a curva descrita pela intersec¸c˜ao da superf´ıcie com um

plano que contenha o eixo de rota¸c˜ao.

Figura 2.1: Superf´ıcie de rota¸c˜ao com geratriz α

Em 1827 o matem´atico alem˜ao Gauss deﬁniu a curvatura Gaussiana K, de uma su-

perf´ıcie de R

, por K = λ

, onde λ

e λ

s˜ao as curvaturas principais da superf´ıcie.

Depois de alguns anos, em 1831, a matem´atica francesa Sophie Germain introduziu a

deﬁni¸c˜ao de curvatura M´edia H, por H =

+ λ

, ao estudar um problema relacionado

com vibra¸c˜oes de uma membrana.

A curvatura Gaussiana teve maior inﬂuˆencia no meio matem´atico, enquanto a cur-

vatura m´edia ﬁcou esquecida, voltando com grande for¸ca em 1951, com Hopf, despertando

uma quantidade consider´avel de geˆometras para o estudo da mesma, principalmente das

superf´ıcies com curvatura m´edia constante (H − cmc).

Os exemplos mais simples de superf´ıcies H − cmc s˜ao o plano (H = 0), a esfera de

raio r em R



H =



e o cilindro circular reto de raio r



H =



O primeiro matem´atico a encontrar superf´ıcies H − cmc (H = 0), al´em dos acima

citados, foi o francˆes C. Delaunay. Em 1841, ele mostrou que a curva plana descrita

por um dos focos de uma cˆonica quando esta rola sobre uma reta, sem deslizar, gera

uma superf´ıcie de rota¸c˜ao H − cmc. Al´em disso, mostrou que toda superf´ıcie de rota¸c˜ao

H − cmc ´e obtida dessa maneira. Estas superf´ıcies obtidas pelas roulettes (deﬁniremos a

seguir) de uma cˆonica s˜ao chamadas de Caten´oide (considerando a par´abola), Ondul´oide

(considerando a el´ıpse), e Nod´oide (considerando a hip´erbole). As superf´ıcies de curvatura

m´edia constante, H − cmc, tamb´em englobam as superf´ıcies m´ınimas, H = 0.

O Teorema de C. Delaunay caracteriza as superf´ıcies de rota¸c˜ao H − cmc.

Para isso ele utiliza o conceito de Roulettes de uma cˆonica.

Deﬁni¸c˜ao 2.1. Roulette ´e a curva descrita pelo foco de uma cˆonica quando esta rola

sobre uma reta tangente sem deslizar.

O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e provar o seguinte teorema:

Teorema 2.1. (Delaunay) Uma superf´ıcie rotacional de curvatura m´edia constante ´e

obtida pela rota¸c˜ao da roulette de uma cˆonica.

A demonstra¸c˜ao apresentada se baseia no artigo de Eells [ ?] e segue as seguintes etapas:

) descrever as roulettes das cˆonicas;

) calcular as curvaturas m´edias das superf´ıcies obtidas pela rota¸c˜ao destas curvas;

) via express˜ao da curvatura m´edia, demonstrar que a curva geratriz de uma superf´ıcie

de rota¸c˜ao de curvatura m´edia constante n˜ao-nula satisfaz `as equa¸c˜oes das roulettes

da elipse ou da hip´erbole.

2.1 As Roulettes das cˆonicas

Come¸caremos obtendo a roullete da par´abola por ser uma ﬁgura de f´acil manipula¸c˜ao e

vis˜ao geom´etrica.

2.1.1 A roulette da par´abola

Uma par´abola de foco F e reta diretriz r ´e o conjunto de pontos K ∈ R

tais que

dist(K, F ) = dist(K, r). O ponto V , da par´abola com a menor distˆancia a r ´e denomi-

nado o v´ertice da par´abola. V est´a na reta perpendicular a r que cont´em o foco F da

par´abola, pois a reta que ´e perpendicular a r e passa por F ´e a que d´a a menor distˆancia

entre F e a diretriz e portanto, a menor distˆancia entre a par´abola e a diretriz.

Figura 2.2: Par´abola com foco F = (0, c)

Tomando o sistema de coordenadas cartesianas (x, y), em que V = (0, 0) e o eixo x ´e

paralelo `a reta diretriz, sejam F = (0, c) o foco e y = −c a reta diretriz. A equa¸c˜ao da

par´abola ´e:

y =

. (2.1)

Deﬁni¸c˜ao 2.2. A roulette do foco F em rela¸c˜ao a uma reta tangente `a par´abola ´e a

trajet´oria que F descreve enquanto a par´abola rola sobre esta reta sem deslizar.

O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que esta roulette ´e uma caten´aria. Para tal vamos

mostrar dois Lemas que mostram uma rela¸c˜ao surpreendente entre a reta tangente num

dado ponto, o eixo x e a reta que passa pelo foco da par´abola interceptando a reta tangente

no eixo x.

Lema 2.1. Sejam t a reta tangente `a par´abola y =

, em um ponto K =



)



e P o ponto de intersec¸c˜ao de t com o eixo x. Ent˜ao P =



, 0



Demonstra¸c˜ao: A equa¸c˜ao de t ´e y =

x −

)

. Logo, para y = 0, temos

P =



, 0



Para determinar a coordenada y da roulette, encontraremos um ponto P



de t tal que



F seja perpendicular a t.

Lema 2.2. Com a nota¸c˜ao do Lema 2.1, F P ´e perpendicular `a reta t.

Demonstra¸c˜ao: Sejam m o coeﬁciente angular da reta que passa por F = (0, c)

e P =





, e m



o co eﬁciente angular de t. Basta mostrar que m.m



= −1. Como

m = −

e m



, segue, m.m



= −

= −1. Logo F P ´e perpendicular `a t.

A Figura (2.3) representa dois instantes diferentes em que a par´abola rola sem deslizar

sobre o eixo x, que ´e a reta tangente do v´ertice.

• O primeiro instante representa o momento inicial do movimento em que a par´abola

´e tangente ao eixo x em V = (0, 0) e o foco est´a em F = (0, c) e est´a representada tamb´em

a reta tangente t em K.

• O segundo instante representa o momento em que a par´abola rolou at´e o ponto K,

agora representado por



K, ´e tangente ao eixo x.

Figura 2.3: Par´abola rolando

No pr´oximo lema encontraremos as equa¸c˜oes para as coordenadas da roulette da

par´abola.

Lema 2.3. Uma parametriza¸c˜ao em coordenadas cartesianas da roulette da par´abola de

equa¸c˜ao y =

´e

β(x) =







1 +

dr −



1 +

, c



1 +



. (2.2)

Demonstra¸c˜ao: A par´abola de equa¸c˜ao y =

pode ser parametrizada por α(x) =





. Pelo Lema (2.2), temos que P =



, 0



. Logo |P F | =



= c



1 +

Analisando o instante em que o ponto K =





´e tangente ao eixo x, as coordenadas

do foco (agora representado por



F ) s˜ao dadas por (|V



P |, |



F |) = (|V



P |, |P F |). Ora,

usando a Figura (2.3) temos,



P | = |V



K| − |



K|,

onde |V



K| ´e o comprimento do arco da par´abola de 0 at´e x. Ou seja



K| =



|α



(r)|dr =





1 +

dr.

Por outro lado,

|P K| =





x −









1 +

Logo,



P | =





1 +

dr −



1 +

Lema 2.4. Seja α(s) = (x(s), y(s)) a reparametriza¸c˜ao por comprimento de arco da

roulette da par´abola, dada por β(x) = (x(x), y(x)), do Lema (2.3). Ent˜ao

y(s)

. (2.3)

Demonstra¸c˜ao: Como

x(x) =





1 +

dr −



1 +

y(x) = c



1 +

calculando a derivada de x(x) e de y(x), temos



(x) =



1 +



1/2

−



1 +



1/2

−

16c



1 +



−1/2



1 +



−1/2



(x) = c



1 +



−1/2



1 +



−1/2

Logo,



(x)

+ y



(x)



1 +



−1

16c



1 +



−1

Como o parˆametro comprimento de arco s de β ´e dado por

s(x) =



|β



(r)|dr =







(r)

+ y



(r)

dr,

temos





(x)

+ y



(x)

Logo,





(x(s))

+ y



(x(s))

= 2.

Assim, usando a regra da cadeia, obtemos



1 +

x(s)



−1/2

.2 =

y(x(s))

y(s)

A seguir, veremos um resultado que nos diz qual ´e a roullete de uma par´abola.

Proposi¸c˜ao 2.1. A roulette da par´abola de equa¸c˜ao y =

´e a caten´aria de equa¸c˜ao

y = c cosh





Demonstra¸c˜ao: Pela equa¸c˜ao (2.3)

y(s)

. Como β(x(s)) = β(s) ´e regular,

temos que a roulette da par´abola ´e (localmente) o gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao (x, y(x)). Al´em

disso,



1 +







1/2

= 0, portanto,



1 +







−1/2

Usando (2.3) obtemos,



1 +







−1/2

. (2.4)

Da´ı,

1 +





logo,



− c

ou seja,





− c



dx,

que ´e igual a





− c

+ d.

Fazendo y = c cosh v, temos que dy = c sinh v dv. Assim,



c sinh v



cosh

v − c

dv =

+ d

⇔ v =

+ d.

Como

= cosh v, temos que v = arccosh





. Logo,

arccosh





+ d.

Da´ı,

= cosh



+ d



Logo,

y(x) = c cosh



+ d



Considerando y(0) = c, resulta que

c = y(0) = c cosh



+ d



que implica em

1 = cosh d,

portanto

d = 0.

Como a fun¸c˜ao y = cosh ´e uma par, obtemos

y(x) = c cosh





= c cosh





1.5

1.3

1.1

1.4

1.2

1.0

1.00.50.0−0.5−1.0

Figura 2.4: caten´aria, c=1

2.1.2 Roulettes em rela¸c˜ao a uma reta

A subse¸c˜ao anterior ´e a motiva¸c˜ao desta subse¸c˜ao. Determinaremos propriedades ´uteis

das roulettes em rela¸c˜ao a uma reta as quais ser˜ao de fundamental importˆancia para as

pr´oximas se¸c˜oes.

Deﬁni¸c˜ao 2.3. A roulette de um ponto F associado a curva C em rela¸c˜ao a uma reta

tangente `a C ´e a trajet´oria descrita por F enquanto C rola sobre esta reta tangente sem

deslizar.

A pr´oxima proposi¸c˜ao ser´a de fundamental importˆancia para demonstra¸c˜ao dos pr´oximos

resultados.

Proposi¸c˜ao 2.2. Seja C uma curva regular com curvatura que n˜ao se anula e F um

ponto que n˜ao pertence a C, com β a roulette de F associado a C em rela¸c˜ao a uma reta

tangente `a C e



F um ponto de β,



K o ponto de contato de C com o eixo x(nesse instante).

Ent˜ao a roulette de F em rela¸c˜ao `a reta tangente de C ´e uma curva regular. Al´em disso,

a reta normal a roulette em



F passa por



K; ou seja, o segmento



K ´e perpendicular `a

reta tangente `a roulette em



F .

Demonstra¸c˜ao: Consideramos a roulette de F = (x

, y

) associada `a curva C

parametrizada por α(s), onde s ´e o parˆametro comprimento de arco da curva C.

A Figura 2.5 representa dois instantes diferentes.

• No primeiro instante, antes de C come¸car a rolar, est˜ao indicados o ponto F =

, y

), a reta t tangente a C em K = α(s), o ponto P ∈ t, tal que F P ⊥t e os vetores

tangente e normal `a C (α



(s) = α



e n(s) = n).

• O segundo momento representa o instante em que C rolou sobro o eixo x, sem

deslizar, at´e o ponto K (agora representado por



K) ser tangente ao eixo x.

n(s)

a´(s)

Figura 2.5: Uma roulette

Esta demonstra¸c˜ao ser´a feita em trˆes etapas:

1) determinaremos o vetor

−−→

F K;

2) determinaremos uma parametriza¸c˜ao β(s) para a roulette;

3) calcularemos



−−→



K, α



(s)



, concluindo a demonstra¸c˜ao.

Suponhamos C orientada, de tal modo que o vetor normal unit´ario n(s) em K = α(s)

aponte para “dentro”(veja ﬁgura (2.5)).

Temos

−−→

F K =



−−→

F K, α









−−→

F K, n



n = |P K|α



− |P F |n.

No segundo instante, C rolou at´e K ser tangente ao eixo x (K agora representado por



K). Nesse instante os vetores (1, 0) e (0, 1) desempenham o papel de vetores tangente e

normal, respectivamente, `a C em



K e

−−→



K =





−−→

F K, α



, 

−−→

F K, n



= (|P K|, |P F |).

As coordenadas de



F = (x, y) s˜ao dadas por



x = |V



K| − |



K| = |V



K| − |P K|

y = |



F | = |PF |,

(2.5)

onde |V



K| ´e igual ao comprimento de arco de C entre V = α(0) e K = α(s). Logo



K| = s, pois s ´e o parˆametro comprimento de arco de C. Como

|P K| = 

−−→

F K, α





|P F | = −

−−→

F K, n,

uma parametriza¸c˜ao da roulette de F ´e

β(s) = (s − 

−−→

F K, α



, −

−−→

F K, n ). (2.6)

O vetor

−−→

F K = α(s) − F , da´ı,

−−→

F K = α



. Assim o vetor tangente de β(s) ´e



(s) =



1 −



−−→

F K, α





, −



−−→

F K, n





1 −



−−→

F K, α





+ 

−−→

F K, α







, −



−−→

F K, n



+ 

−−→

F K, n









1 −



α



, α



 + 

−−→

F K, α







, −α



, n+ 

−−→

F K, n









−

−−→

F K, α



, −

−−→

F K, n







= κ



−

−−→

F K, n, 

−−→

F K, α







= κ(±|P F |, ±|P K|),

pois pela f´ormula de Frenet, α



= κn e n



= −κα



, onde κ ´e a curvatura de C em α(s).

Portanto,



−−→



K, F



(s) = κ(−|P K|.|PF | + |(−P F )|(−|PK|)) = 0,

o que conclui a demonstra¸c˜ao. A aﬁrma¸c˜ao de que a roulette ´e uma curva regular ´e

resultado imediato da equa¸c˜ao β



(s) = κ(−|P F |, −|P K|), pois κ = 0.

Observa¸c˜ao 2.1: Na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2, para deduzirmos uma equa¸c˜ao

para β(s) utilizamos a hip´otese de que a reta t, tangente `a C, tem inclina¸c˜ao positiva

(ﬁgura 2.5). No entanto, se t tivesse inclina¸c˜ao negativa, com a mesma escolha de orien-

ta¸c˜ao em C, obter´ıamos a mesma parametriza¸c˜ao β(s) para a roulette.

Observa¸c˜ao 2.2: A Proposi¸c˜ao 2.2 foi demonstrada sob a hip´otese de que a curvatura

de C n˜ao se anula, o que garante que a trajet´oria de F ´e uma curva regular.

Corol´ario 2.1. Seja γ(s) = (x( s), y(s)) a reparametriza¸c˜ao de β(s) pelo parˆametro com-

primento de arco s. Ent˜ao, com a mesma nota¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2,



K| = ±|



F |





−1

= ±y(s)





−1

, (2.7)

onde



K ´e o ponto de contato de C com o eixo x.

Demonstra¸c˜ao: Com efeito, como visto na proposi¸c˜ao anterior,



(s) = κ(−|P F |, −|P K|) = −κ(|P F |, |P K|), logo

|β



(s)| = |κ|



|P F |

+ |P K|

= |κ||F K|.

Por hip´otese, κ = 0, da´ı



(s)

|β



(s)|

= ±



|P F |

|F K|

|P K|

|F K|



Como γ



(s) = (x(s), y(s)) ´e a reparametriza¸c˜ao pelo comprimento, ent˜ao

= ±

|P F |

|F K|

= ±

y(s)

|F K|

2.1.3 A Ondul´aria

Nesta se¸c˜ao faremos um estudo da ondul´aria. A Proposi¸c˜ao (2.4) ´e a parte central e aqui

alguns resultados ser˜ao admitidos e usados sem prova, bem como alguns c´alculos ser˜ao

omitidos.

A elipse de focos F

= (−c, 0) e F

= (c, 0) ´e o conjunto dos pontos K ∈ R

tais que

a soma dos comprimentos dos raios focais ´e constante, ou seja

K|+ |F

K| = 2a > 0, onde a > c ´e o comprimento do semi-eixo maior, e b =

√

− c

o comprimento do semi-eixo menor.

Sabemos que, α(t) = (a cos(t), b sin(t)), t ∈ R ´e a curva cujo tra¸co ´e a elipse de equa¸c˜ao

= 1 e sua curvatura ´e K(t) =

sin

(t) + b

cos

(t))

. Por esta aﬁrma¸c˜ao e

pela Proposi¸c˜ao (2.2) segue imediatamente que

-a

-b

Figura 2.6: elipse

Proposi¸c˜ao 2.3. A roulette de um dos focos de uma elipse (ondul´aria) em rela¸c˜ao a uma

reta tangente ´e uma curva regular.

Analogamente ao caso da par´abola, faremos uso de propriedades da tangente t, para

deduzir uma equa¸c˜ao para a ondul´aria.

Proposi¸c˜ao 2.4. Seja β(s) = (x(s), y(s)) a parametriza¸c˜ao da ondul´aria pelo compri-

mento de arco. Ent˜ao a fun¸c˜ao coordenada x(s) satisfaz

= ±

y(s)

+ b

2ay(s)

, (2.8)

sendo “a”o semi-eixo maior e “b”o semi-eixo menor da elipse.

Demonstra¸c˜ao: Vamos considerar a elipse de centro O e semi-eixos maior e menor

dados por a e b. Consideramos ainda o c´ırculo de centro O e raio a. Relativamente `a

elipse e o c´ırculo, temos

1) O ˆangulo formado pelos raios focais e a tangente t s˜ao iguais (ﬁgura 2.7);

2) Os pontos

de intersec¸c˜ao de

com o c´ırculo de centro

e raio

, s˜ao tais

que P

⊥t e P

⊥t;

3) |P

|.|P

| = b

As duas ´ultimas propriedades s˜ao menos conhecidas, por isso as admitiremos. Na ﬁgura

2.8, consideramos a trajet´oria do foco F

da elipse enquanto ela rola sem deslizar sobre o

eixo x.

Os triˆangulos F

K e F

K s˜ao semelhantes. Logo

. (2.9)

Manipulando (2.9), e usando 3) temos

|.|P

(|P

Figura 2.7: Segmentos ortogonais na elipse

Figura 2.8: Elipse rolando

Al´em disso,

K| + |F

−

− 1,

e, portanto,

(|P

− 1. (2.10)

Pela Proposi¸c˜ao 2.3 a roulette de uma elipse ´e uma curva regular e portanto admite

parametriza¸c˜ao pelo comprimento de arco. O segmento |P

|´e a coordenada y da roulette

da elipse e pelo Corol´ario 2.1,

K| = ±y(s)





−1

que, ao ser substitu´ıda em (2.10), d´a

(s)

= ±

y(s)





−1

, (2.11)

sendo s o parˆametro comprimento de arco da roulette. Ent˜ao

= ±

y(s)

+ b

2ay(s)

o que demonstra a proposi¸c˜ao. Esta ´ultima equa¸c˜ao possui solu¸c˜ao em termos de fun¸c˜oes

el´ıpticas.

Observa¸c˜ao 2.3: Considera¸c˜oes sobre a equa¸c˜ao

= ±

y(s)

+ b

2ay(s)

a) no caso em que a = b a elipse ´e um c´ırculo de raio a e focos F

= F

e a roulette se

reduz a uma reta da forma y = a;

b) no caso limite b = 0 isto ´e,

lim

b→0

= ±

y(s)

a elipse degenera-se em um segmento de reta de comprimento 2a, e F

em um dos extremos

do segmento. Nesse caso, a roulette ´e constitu´ıda por semi-c´ırculos de raio 2a.

2.1.4 A Nod´aria

Por ﬁm faremos estudo da nod´aria, e neste caso a Proposi¸c˜ao 2.6 ´e o ponto central desta

se¸c˜ao. Tamb´em, aqui n˜ao apresentaremos todas as contas e alguns resultados ser˜ao aceitos.

Deﬁni¸c˜ao 2.4. A Hip´erbole de focos F

e F

´e o conjunto dos pontos K do plano tais

que

K| − |F

K| = ±2a; (2.12)

em que a < c. Sendo a o semi-eixo transverso e b =

√

− a

o semi-eixo conjugado. Os

segmentos |F

K| e |F

K| s˜ao denominados raios focais.

Figura 2.9: Hip´erbole de focos F

, F

, centrada na origem

Pela Proposi¸c˜ao (2.2) temos que:

Proposi¸c˜ao 2.5. A roulette de um dos focos de uma hip´erbole (nod´aria) em rela¸c˜ao a

uma reta tangente ´e uma curva regular.

Analogamente aos casos da par´abola e da elipse, faremos uso de propriedades da

tangente

, para deduzir uma equa¸c˜ao para a nod´aria.

Proposi¸c˜ao 2.6. Seja β(s) = (x(s), y(s)) a parametriza¸c˜ao da nod´aria pelo comprimento

de arco. Ent˜ao

= ±

y(s)

− b

2ay(s)

, (2.13)

sendo a e b os semi-eixos transverso e conjugado da hip´erbole.

Demonstra¸c˜ao: Em rela¸c˜ao a hip´erbole de semi-eixos a e b, centro O e focos F

e F

temos:

1) seja t a reta tangente `a hip´erbole em K, ent˜ao t ´e a bissetriz do ˆangulo determinado

pelos raios focais.

Figura 2.10: Segmentos ortogonais na hip´erbole

Figura 2.11: Hip´erbole rolando

2) t intercepta o c´ırculo de raio a e centro O, em pontos P

e P

tais que P

⊥t e

⊥t;

3) |P

|.|P

| = b

Na ﬁgura (2.11), consideramos a trajet´oria do foco F

enquanto a hip´erbole rola sobre

o eixo x.

Como P



= P



e F



K = K



, observamos que os triˆangulos F

e F

s˜ao semelhantes (trˆes ˆangulos iguais), logo

. (2.14)

Manipulando (2.14) temos,

|.|P

Al´em disso,

K| − |F

= ±

+ 1.

Portanto

= ±

+ 1. (2.15)

Pela Proposi¸c˜ao 2.5 a roulette da hip´erbole ´e uma curva regular. Pelo Corol´ario 2.1

K| = ±y(s)





−1

que, ao ser substitu´ıda em (2.15), mostra que a equa¸c˜ao da

roulette de F

satisfaz

(s)

= ±

y(s)

+ 1, (2.16)

sendo s o parˆametro comprimento de arco da roulette.

Ent˜ao,

= ±

(s) − b

2ay(s)

o que demonstra a proposi¸c˜ao.

Novamente, a equa¸c˜ao anterior possui solu¸c˜ao em termos de fun¸c˜oes el´ıpticas.

Figura 2.12: Nod´aria

2.1.5 A Curvatura M´edia do Caten´oide, Ondul´oide e do Nod´oide

Nesta se¸c˜ao realizaremos o c´alculo das curvaturas m´edias das superf´ıcies obtidas pela

rota¸c˜ao das roulettes: a caten´aria, a ondul´aria e a nod´aria, que originam o caten´oide, o

ondul´oide e o nod´oide, respectivamente. Em seguida, na pr´oxima se¸c˜ao iremos fazer a

volta do Teorema de Delaunay assim mostraremos o objetivo deste cap´ıtulo.

No Cap´ıtulo 1, observamos que uma superf´ıcie de rota¸c˜ao pode ser parametrizada por

X(u, v) = (x(u), y(u)cosv, y(u)senv), e que a express˜ao da curvatura m´edia ´e dada por

H =



(u)y



(u) − x



(u)y



(u)



(u)

+ y



(u)

]

3/2

−



(u)

y(u)[x



(u)

+ y



(u)

]

1/2

H = x



(s)y



(s) − x



(s)y



(s) −



(s)

y(s)

, (2.17)

se a curva geratriz da superf´ıcie est´a parametrizada pelo comprimento de arco.

Lema 2.5. Se a curva geratriz de uma superf´ıcie de rota¸c˜ao com eixo de rota¸c˜ao x est´a

parametrizada pelo comprimento de arco s e x



(s) = f(y(s)), ent˜ao

H = −





(y) +

f(y)



. (2.18)

Demonstra¸c˜ao: Se x



(s) ´e como acima, ent˜ao



(s) = ±(1 − f

(y))

1/2

o que nos d´a,



= ±(1 − f

(z))

−1/2



= −f(y)f



(y),

enquanto que



= f



(y)y



nos d´a





= f



(y)(y



)

= f



(y)(1 − f

(y)).

Ent˜ao, pela equa¸c˜ao (2.17),

H = −



(y)f



(y) + f



(y)(1 − f

(y)) +

f(y)



= −





(y) +

f(y)



Pela equa¸c˜ao (2.3)

, por (2.9)

= ±

+ b

2ay

, de (2.14)

= ±

− b

2ay

por (2.19) calculamos H das superf´ıcies obtidas pela rota¸c˜ao das roulettes das cˆonicas,

respectivamente:

∗Caten´oide Se f(y) =

, ent˜ao

H = −



−



= 0.

Pelos c´alculos acima, a curvatura m´edia do caten´oide ´e H = 0, portanto o caten´oide ´e

uma superf´ıcie m´ınima observando que a ´unica superf´ıcie m´ınima de rota¸c˜ao (Teorema de

Catalan).

∗Ondul´oide, Cilindro e Esfera Se f(y) = ±

+ b

2ay

, ent˜ao

H = −



4ay

− (y

+ b

)2a

+ b

2ay



= ±

∗Nod´oide Se f(y) = ±

− b

2ay

H = −



4ay

− (y

− b

)2a

− b

2ay



= ±

2.1.6 Superf´ıcies de Rota¸c˜ao com Curvatura M´edia Constante

Nesta se¸c˜ao vamos estudar uma sup erf´ıcie rotacional S de curvatura m´edia diferente de

zero e veriﬁcar que esta superf´ıcie satisfaz as mesmas condi¸c˜oes do Ondul´oide e Nod´oide.

Pelo que vimos anteriormente, se uma superf´ıcie rotacional S com curva geratriz

parametrizada pelo comprimento de arco (x(s), y(s), 0) satisfaz

= ±

y(s)

± b

2ay(s)

para constantes a e b, ent˜ao a curvatura m´edia de S ´e n˜ao nula.

Proposi¸c˜ao 2.7. Uma superf´ıcie rotacional S possui curvatura m´edia constante H = 0

se, e somente se, a curva geratriz de S satisfaz

± 2ay

± b

= 0, (2.19)

onde a e b s˜ao constantes.

Demonstra¸c˜ao: Como S ´e uma superf´ıcie parametrizada regular podemos supor que

localmente a sua curva geratriz ´e o gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao, isto ´e, sua curva geratriz pode

ser parametrizada por (x, ˜y(x), 0). Logo,

H =



˜y



(x)

(1 + ˜y

2

)

3/2

−

˜y(x)(1 + ˜y



(x)

)

1/2



. (2.20)

Como S ´e de curvatura m´edia constante, escrevemos H =

> 0. Logo



˜y



(x)

(1 + ˜y



(x)

)

3/2

−

˜y(x)(1 + ˜y



(x)

)

1/2



equivalentemente

˜y



(x) − (1 + ˜y



(x)

)

˜y(x)(1 + ˜y



(x)

)

3/2

= 1,

ou seja,

˜y



(x) − (1 + ˜y



(x)

)

(1 + ˜y



(x)

)

3/2

− ˜y(x) = 0 .

Multiplicando ambos os membros desta ´ultima express˜ao por 2˜y



(x), obtemos

2a˜y



(x)

˜y



(x) − (1 + ˜y



(x)

)

(1 + ˜y



(x)

)

3/2

− 2˜y



(x)˜y(x) = 0. (2.21)

A express˜ao (2.21), pode ser integrada em x. E assim,

−

2a˜y(x)

(1 + ˜y



(x)

)

1/2

− ˜y(x)

= ±b

, (2.22)

sendo b

uma constante. Agora, reparametrizando pelo comprimento de arco

s =





1 + ˜y



(t)

dt, obtemos

−2ay(s)

− y(s)

= ±b

, (2.23)

pois

= (1 + ˜y



(x)

)

−1/2

. Isolando

em (2.23), resulta em

y(s)

± b

2ay(s)

Considerando tamb´em o caso a < 0, obtemos

= ±

y(s)

± b

2ay(s)

Considerando, tamb´em, o caso em que H = 0, e j´a tomando a curva geratriz da superf´ıcie

parametrizada pelo comprimento de arco, obtemos

H =



˜y



(x)

(1 + ˜y



(x)

)

3/2

−

˜y(x)(1 + ˜y



(x)

)

1/2



Fazendo H = 0 em (2.20), obtemos

˜y



(x)

1 + ˜y



(x)

˜y(x)

Deﬁnindo u(x) = ˜y



(x), obtemos ˜y



(x) =

d˜y

˜y



(x) =

d˜y

u. Substituindo este

resultado na ´ultima equa¸c˜ao, obtemos

d˜y

1 + ˜u

˜y

que possui y = c(1+u

) como solu¸c˜ao, onde c = 0 ´e uma constante. Da´ı ˜y









− 1,

cuja solu¸c˜ao ´e y = ccosh



+ ˜c



, ou seja, a caten´aria. Reciprocamente, se a curva gera-

triz de uma superf´ıcie rotacional S satisfaz (2.20), ou ´e uma caten´aria, pelos c´alculos da

se¸c˜ao anterior conclu´ımos que S possui curvatura m´edia constante.

Teorema 2.2. (Delaunay) Uma superf´ıcie rotacional de curvatura m´edia constante ´e

obtida pela rota¸c˜ao da roulette de uma cˆonica.

Demonstra¸c˜ao: Pela Proposi¸c˜ao (2.7) a curva geratriz de S satisfaz

± 2ay

± b

= 0, (∗)

onde a e b s˜ao constantes. As superf´ıcies rotacionais cujas geratrizes satisfazem (*) s˜ao as

geradas pelas roulettes das cˆonicas como visto nas Proposi¸c˜oes 2.1, 2.4, 2.6. Concluindo

assim a prova do Teorema de Delaunay.

As superf´ıcies rotacionais de curvatura m´edia constante n˜ao nula s˜ao ditas Superf´ıcies

de Delaunay.

Figura 2.13: As roulettes de Delaunay

Figura 2.14: As superf´ıcies de Delaunay com H = 0

Cap´ıtulo 3

Classiﬁca¸c˜ao das Superf´ıcies de

Rota¸c˜ao Completas Tipo Delaunay

3.1 Condi¸c˜oes para Existˆencia de Superf´ıcies

de Rota¸c˜ao Tipo Delaunay

No s´eculo passado, mais precisamente no ano de (1841), C. Delaunay [?] descobriu e

classiﬁcou as sup erf´ıcies de rota¸c˜ao com curvatura m´edia constante. Mais de um s´eculo

depois, (1990) N. Kapouleas [?] construiu outros exemplos de superf´ıcies propriamente

mergulhadas, de topologia ﬁnita e de curvatura m´edia constante. Ricardo e Toubiana

consideraram superf´ıcies M de classe C

⊂ R

orient´aveis por um campo de vetores

normais unit´arios N em que a curvatura m´edia H = H(N) e a curvatura de Gauss K

satisfazem uma rela¸c˜ao da forma:

H = f(H

− K), (3.1)

onde f ´e uma fun¸c˜ao de classe C

no intervalo [0, ∞). Supomos ainda que f veriﬁca a

rela¸c˜ao:

∀ t ∈ [0, ∞), 4t(f



(t))

< 1. (3.2)

Neste caso, diremos que f ´e uma fun¸c˜ao el´ıptica. Se uma superf´ıcie M satisfaz a rela¸c˜ao

(3.1), onde f ´e uma fun¸c˜ao el´ıptica, diremos que M ´e uma superf´ıcie especial. Al´em disso,

diremos que M est´a dentro da classe de f.

Quando f(0) = 0 a teoria de superf´ıcies especiais possuem princ´ıpios e propriedades

equivalentes `a teoria de superf´ıcies com curvatura m´edia constante n˜ao nula. Por exemplo,

as superf´ıcies especiais satisfazem o seguinte princ´ıpio do m´aximo (ver [?]). Consideremos

duas superf´ıcies M

e M

tangentes num ponto interior P com M

acima de M

numa

vizinhan¸ca de P . Supomos que M

e M

veriﬁcam a mesma rela¸c˜ao 3.1 em rela¸c˜ao

a mesma fun¸c˜ao el´ıptica f, e com a mesma orienta¸c˜ao normal N, nestas condi¸c˜oes as

superf´ıcies s˜ao iguais numa vizinhan¸ca de P .

Quando f(0) = 0 diremos que M ´e uma superf´ıcie especial tipo curvatura m´edia

constante ou simplesmente que M ´e uma superf´ıcie especial. Mais ainda, se M ´e uma

superf´ıcie de rota¸c˜ao completa diremos que M ´e uma superf´ıcie do tipo Delaunay.

As superf´ıcies especiais completas de rota¸c˜ao veriﬁcando

2aH + K = b, com a, b > 0,

foram tratadas em [?]. Podemos enunciar teoremas do tipo Hopf [?], ou Alexandrov [?],

para as superf´ıcies especiais. Se M ´e uma superf´ıcie especial compacta sem bordo imersa

em R

do mesmo tipo topol´ogico que a esfera, ent˜ao M ´e necessariamente a esfera de raio

| f(0) |

, ver [?]. Ainda mais, Meeks mostra que a ´unica superf´ıcie especial compacta e

mergulhada ´e a esfera na classe de f, considerando a esfera de raio

| f(0) |

. Existe outro

resultado falando de superf´ıcies especiais que ´e an´alogo ao resultado de uma superf´ıcie

com curvatura m´edia constante.

Se M ´e uma superf´ıcie especial completa com curvatura de Gauss identicamente nula,

M ter´a que ser um cilindro reto.

Neste cap´ıtulo faremos o estudo detalhado das superf´ıcies Tipo Delaunay.

Nosso objetivo ´e mostrar que existe uma ´unica superf´ıcie de rota¸c˜ao Tipo Delaunay.

No Teorema 3.1 provaremos a existˆencia de uma superf´ıcie de rota¸c˜ao completa Tipo

Delaunay, onde a curva que gera a superf´ıcie ´e uma curva peri´odica. Finalmente no

Teorema 3.2 provaremos que toda superf´ıcie de rota¸c˜ao completa tipo Delaunay ´e do tipo

da obtida no Teorema 3.1.

Todas as superf´ıcies consider´aveis ser˜ao em cada caso conexas e de classe C

. Lembre-

mos que suporemos sempre que a fun¸c˜ao f ´e el´ıptica, ou seja que f veriﬁca a desigualdade

(3.2), igualmente f(0) = 0, o caso f(0) = 0 j´a foi tratado pelos autores em [?](ver tamb´em

[?]). Igualmente todas as superf´ıcies de rota¸c˜ao ter˜ao sempre eixo x como central.

Consideremos inicialmente a seguinte deﬁni¸c˜ao:

Deﬁni¸c˜ao 3.1. Chamaremos F a fun¸c˜ao deﬁnida por:

F (α, β, δ) =

2(1 + β

)

−

2α(1 + β

)

− f







2(1 + β

)

2α(1 + β

)







onde α > 0, β ∈ R e δ ∈ R.

Observamos que como f ´e el´ıptica, para todo α

> 0, β

∈ R, δ

∈ R temos

∂F

∂δ

(α

, β

, δ

) > 0. De fato,

∂F

∂δ

− f





2αC





2αC



2(1 + β

)

2(1 + β

)

(1 − f



)2t) > 0,

onde C = 1 + β

e t =

2(1 + β

)

2α(1 + β

)

Em consequˆencia, F ´e estritamente crescente com respeito a terceira vari´avel.

Para ﬁxar as nota¸c˜oes provaremos o seguinte Lema.

Lema 3.1. Seja y : (a, b) −→ (0, ∞) uma fun¸c˜ao estritamente positiva de classe C

. Seja

M a superf´ıcie obtida pela rota¸c˜ao do gr´aﬁco de y com respeito ao eixo x. Sejam λ

, λ

e H respectivamente as curvatura principais e a curvatura m´edia de M calculada com re-

speito ao campo de vetores normal N de M apontado na dire¸c˜ao oposta ao eixo de rota¸c˜ao,

o eixo dos x (chamaremos este campo de campo normal exterior). Nestas condi¸c˜oes temos:



(1 + (y



)

e λ

−cos(θ)

−1

y(1 + (y



)

onde θ ´e o ˆangulo que faz o eixo x com a tangente do gr´aﬁco de y,

−π

≤ θ ≤

Em consequˆencia M ´e uma superf´ıcie especial (isto ´e, satisfaz H(N) = f(H

−K)) se, e

somente se, y veriﬁca a equa¸c˜ao diferencial.



2(1 + (y



)

−

2y(1 + (y



)

= f









2(1 + (y



)

2y(1 + (y



)







, (3.3)

ou seja F (y, y



, y



) = 0.

O Lema 3.1 ´e uma simples consequˆencia das propriedades de superf´ıcie de rota¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao: Seja ψ(x, θ) = (x, y(x) cos(θ), y(x) sin(θ)), a < x < b, 0 ≤ θ ≤ 2π, uma

parametriza¸c˜ao do gr´aﬁco de y em torno do eixo x. Nestas condi¸c˜oes temos:

= (1, y



(x) cos(θ), y



(x) sin(θ)),

= (0, −y(x) sin(θ), y(x) cos(θ)),

= (0, y



(x) cos(θ), y



(x) sin(θ)),

θθ

= (0, −y



(x) cos(θ), −y(x) sin(θ )),

xθ

= (0, −y



(x) sin(θ), y



(x) cos(θ)).

Como

√

EG − F

=| ψ

∧ ψ

|; E = ψ

, ψ

;

F = ψ

, ψ

; G = ψ

, ψ

;

e =

(ψ

, ψ

)

| ψ

∧ ψ

; f =

(ψ

, ψ

xθ

)

| ψ

∧ ψ

e g =

(ψ

, ψ

θθ

)

| ψ

∧ ψ

com (ψ

, ψ

xθ

) representando o determinante, segue que:

e = −



(1 + (y



)

; f = 0; g =

(1 + (y



)

;

E = 1 + (y



)

; F = 0 e G = y

Ora, como M ´e uma superf´ıcie de rota¸c˜ao temos que:



(1 + (y



)

−cos(θ)

−1

y(1 + (y



)

Para mostrarmos que y satisfaz a equa¸c˜ao (3.3) basta substituir λ

e λ

em H = f(H

−K).

Observa¸c˜ao 1: No Lema 3.1, λ

´e uma das curvaturas principais da superf´ıcie de

rota¸c˜ao M, ´e igualmente a curvatura do gr´aﬁco de y, ou seja a curva que descreve M.

Por conven¸c˜ao ao longo deste trabalho, se M ´e uma superf´ıcie de rota¸c˜ao, λ

ser´a sempre

a curvatura da curva que descreve M e λ

a outra curvatura principal de M. Al´em disso

as curvaturas principais ser˜ao sempre calculadas com a mesma orienta¸c˜ao normal que foi

adotada no Lema 3.1, a menos que seja mencionado o contr´ario.

Corol´ario 3.1. Nas hip´oteses do Lema 3.1, se o gr´aﬁco de y possui um ponto horizontal,

ou seja, se existe x

∈ R, tal que y



) = 0, o gr´aﬁco de y ´e sim´etrico com respeito ao

reta vertical x = x

. Em consequˆencia a superf´ıcie de rota¸c˜ao M gerada pelo gr´aﬁco de y

´e sim´etrico com respeito ao plano vertical x = x

Demonstra¸c˜ao: O Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita e a observa¸c˜ao seguinte `a Deﬁni¸c˜ao

3.1 mostram que pr´oximo de x

a equa¸c˜ao 3.3 ´e equivalente a dizer que y ´e solu¸c˜ao

de uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem. De fato, F (y(x

), y



), y



)) = 0 e

F ´e crescente com respeito a terceira vari´avel, logo existe uma vizinhan¸ca U do ponto

(y(x

), 0) em R

, de uma vizinhan¸ca V de y



) em R e de uma ´unica fun¸c˜ao h de classe

de U em V veriﬁcando:

h(y(x

), 0) = y



) e ∀ (α, β) ∈ U, ∀ δ ∈ V, F (α , β, δ) = 0 ⇔ δ = h(α, β).

Consideremos a equa¸c˜ao diferencial



= h(y, y



), com y(x

) = τ e y



) = 0. (3.4)

Conclu´ımos observando que a fun¸c˜ao z(x) = y(2x

− x) ´e solu¸c˜ao da mesma equa¸c˜ao

diferencial com as mesmas condi¸c˜oes iniciais. De fato, z(x

) = y(2x

− x

) = y(x

);



) = −y



(2x

−x

) = −y



) = 0; z



) = y



(2x

−x

) = y



) = h(y, y



). Por ﬁm

´e so notar que z(x) satisfaz a equa¸c˜ao (3.3).

O seguinte resultado, caracteriza a esfera de raio

| f(0) |

como sendo a ´unica superf´ıcie

especial (relativamente `a f) de rota¸c˜ao com um ponto umb´ılico.

Lema 3.2. Consideremos uma superf´ıcie especial de rota¸c˜ao M, se M possui um ponto

umb´ılico ent˜ao M ´e obrigatoriamente parte de uma esfera de raio

| f(0) |

. Em con-

sequˆencia, se M n˜ao ´e uma superf´ıcie esf´erica, a fun¸c˜ao (λ

− λ

) n˜ao ´e nula e tem um

sinal constante em M.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos para come¸car que M possui um ponto umb´ılico P fora

do eixo de rota¸c˜ao, isto ´e, o eixo x. Seja γ a curva plana que gera M e passa por P .

Notamos que a tangente de γ em P n˜ao ´e ortogonal ao eixo de rota¸c˜ao caso contr´ario, a

curvatura principal λ

(P ) de M em P ser´a nula e do fato que P ´e um ponto umb´ılico a

outra curvatura principal λ

(P ) ser´a igualmente nula. Da´ı f(0) = 0, o que contradiz a

hip´otese f (0) = 0.

Deduzimos disto que pr´oximo de P a curva γ ´e o gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao y de x e para

uma transla¸c˜ao podemos supor que P ´e um ponto de abscissa 0, ou seja P = (0, y(0)).

Como no Corol´ario 3.1, e utilizando o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, podemos mostrar

que, pr´oximo de x = 0, y ´e a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem,



= h(ϕ, ϕ



), com as condi¸c˜oes iniciais ϕ(0) = y(0) e ϕ



(0) = y



(0). Al´em disso, a

hip´otese λ

(P ) = λ

(P ) implica que o centro de curvatura Q de γ em P se encontra no

eixo dos x, tal que a distˆancia de P a Q ´e igual ao raio de curvatura de γ em P, que

´e

| λ

(P ) |

. Finalmente, do fato que M ´e uma superf´ıcie especial e que P ´e um ponto

umb´ılico deduzimos que:

(P ) = λ

(P ) = f(0).

Isto nos permite concluir que a fun¸c˜ao z(x) cuja gr´aﬁco ´e a semi-circunferˆencia orto-

gonal ao eixo x de centro Q e raio r =

| λ

(P ) |

| f(0) |

´e solu¸c˜ao da mesma equa¸c˜ao

diferencial y com as mesmas condi¸c˜oes iniciais no ponto x = 0, sendo assim M ´e esf´erica.

Supomos agora que M possui um ponto umb´ılico P no eixo dos x. Chamaremos de

novo γ a curva plana que gera M passando por P . Como supomos M de classe C

, γ

ter´a que ser perpendicular ao eixo x no ponto P . O mesmo tipo de racioc´ınio aplicado

anteriormente mostra ent˜ao que M ´e esf´erica.

Observa¸c˜ao: O Lema 3.2 mostra que se M ´e uma superf´ıcie especial de rota¸c˜ao n˜ao

esf´erica ent˜ao M n˜ao possui pontos umb´ılicos. Em consequˆencia, se γ ´e a curva plana que

gera M, todo ponto de γ ter´a seu centro fora do eixo x.

Lema 3.3. Seja M uma superf´ıcie especial de rota¸c˜ao n˜ao-esf´erica gerada pelo gr´aﬁco de

uma fun¸c˜ao y de classe C

deﬁnida em um intervalo (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Sejam λ

e λ

as curvaturas principais de M calculadas com respeito ao campo normal exterior, ou

seja, no sentido oposto ao eixo de rota¸c˜ao. Ent˜ao temos que:

∀ x ∈ (a, b), λ



(x) =



(λ

− λ

Em consequˆencia, se y



possui um sinal constante ent˜ao as fun¸c˜oes λ

e λ

s˜ao estrita-

mente mon´otonas no intervalo (a, b) com sentido de crescimento oposto.

Demonstra¸c˜ao: Como

−1

y(1 + (y



)

, segue que



(x) =



(1 + (y



)

(1 + (y



)

2yy





2(1 + (y



)

(1 + (y



)

))

ou seja,



(x) =





y(1 + (y



)



(1 + (y



)



o que implica em



(x) =





y(1 + (y



)



(1 + (y



)





(λ

− λ

O ´unico ponto n˜ao trivial `a mostrar ´e que λ

(x) e λ

(x) s˜ao igualmente mon´otonas

com sentido de crescimento oposto. Para isso ´e suﬁciente mostrar que λ



(x) possui sinal

oposto ao de λ



(x) para todo x em (a, b). Utilizando o fato que M ´e uma superf´ıcie

especial temos que:

∀ x ∈ (a, b),

(x)

= f





(x)

−

(x)





Derivando a ´ultima igualdade obtemos:



(x)



(x)

= f







(x)

−

(x)









(x)

−



(x)





(x)

−



(x)



logo, temos que:





(x)



(x)









(x)

−

(x)









(x)

−



(x)





(x)

−



(x)





Como f ´e el´ıptica temos:







(x)



(x)









(x)

−



(x)





logo,

|λ



(x) + λ



(x)| < |λ



(x) − λ



(x)|. Portanto, λ



(x) tem sinal oposto ao de λ



(x).

Podemos agora enunciar as condi¸c˜oes necess´arias para a existˆencia de superf´ıcies es-

peciais.

Proposi¸c˜ao 3.1. Suponha que existe uma superf´ıcie especial M completa de rota¸c˜ao e

mergulhada tal que a curva geratriz γ possui um m´ınimo local em um ponto (0, τ), τ > 0.

Nestas condi¸c˜oes a curva γ ´e um gr´aﬁco que est´a acima do eixo de rota¸c˜ao. Al´em disso,

f e τ veriﬁcam necessariamente:

(a) −

2τ

− f





2τ





≤ 0;

(b) lim

t→+∞

(t − f(t

)) >

;

t→−∞

(t − f(t

)) < 0;

(d) f(0) < 0, e a rela¸c˜ao (a) ´e uma igualdade se, e somente se, M ´e o cilindro especial

da classe.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que uma tal superf´ıcie M existe. Chamaremos γ a

curva plana que gera M. Por hip´otese γ tem um m´ınimo local no ponto (0, τ) com τ > 0.

Vamos come¸car mostrando que γ ´e um gr´aﬁco. Supomos o contr´ario, γ possui um ponto

onde a tangente ´e vertical, ou seja perpendicular ao eixo dos x. Como γ ´e sim´etrica

com respeito a reta x = 0 (ver Corol´ario 3.1 ), podemos supor que x

abscissa de P

´e

positiva, x

> 0. Suporemos igualmente que P

´e um primeiro ponto vertical de abscissa

positiva. Observemos que se γ possu´ısse um outro ponto horizontal (x

, y

), x

> 0, entre

o m´ınimo P = (0, τ) e o ponto P

, a curva γ ser´a igualmente sim´etrica com respeito a

reta vertical x = x

(Ver Corol´ario 3.1 ). Desse fato γ seria um gr´aﬁco no eixo dos x e

n˜ao teria ponto vertical, o que contradiz a existˆencia de P

. Deduzimos ent˜ao que entre

os ponto P e P

, γ ´e o gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao estritamente crescente e convexa.

Observamos igualmente que no ponto P

a curvatura principal λ

de M correspondente

a dire¸c˜ao perpendicular `a γ ´e nula visto que a tangente de γ neste ponto ´e ortogonal ao

eixo dos x (ver Lema 3.1 ). As duas observa¸c˜oes precedentes mostraram que no ponto P

a curvatura λ

de γ ´e estritamente positiva visto que temos em cada ponto de γ





= f









com f (0) = 0.

Desse fato, a curva γ ´e tangente de um lado da reta x = x

. Observamos que γ n˜ao

pode mais interceptar o eixo x = 0 depois de P

. Com efeito, supomos por outro lado que

esta intersec¸c˜ao se desse com um ˆangulo reto, γ seria uma curva de Jordan mergulhada

gerando uma superf´ıcie especial compacta e mergulhada de grau 1 o que, como mostra o

Princ´ıpio do M´aximo isto ´e absurdo. Por outro lado, se esta intersec¸c˜ao n˜ao se faz com

um ˆangulo reto, γ n˜ao seria mergulhada (visto que γ ´e sim´etrica com respeito ao eixo

x = 0), que mostra a aﬁrma¸c˜ao. Al´em disso γ n˜ao pode ter ponto horizontal depois P

entre os sentidos x = x

e x = 0, caso contr´ario, γ seria sim´etrico com respeito a vertical

passando por este novo ponto e n˜ao ser´a ent˜ao mergulhada. Sai dessas observa¸c˜oes que

a ´unica possibilidade ´e que γ possui outro ponto vertical P

depois de P

com x

< x

onde x

´e a abscissa de P

. Supomos que P

´e o primeiro ponto vertical de γ depois de P

A curva γ ser´a, entre esses dois pontos, o gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao estritamente mon´otona

ainda assim o Lema 3.3 mostra que entre esses dois pontos a curvatura principal λ

´e uma

fun¸c˜ao estritamente mon´otona. Chegar´ıamos assim a uma contradi¸c˜ao visto que, como j´a

observamos a curvatura λ

´e nula em cada ponto vertical.

Mostramos ent˜ao que γ n˜ao possui ponto vertical e desse fato ´e o gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao

y. Nos resta observar que o caso seguinte ´e igualmente imposs´ıvel:

lim

x→X

y(x) = +∞,

com 0 < X ≤ +∞. Caso contr´ario, ter´ıamos

lim

x→X

(x) = lim

x→X

(x) = 0,

assim f(0) = 0, o que ´e falso. Por consequˆencia, γ ´e um gr´aﬁco que est´a acima do eixo

de rota¸c˜ao.

Mostraremos agora as rela¸c˜oes (a) − (d). A curva γ ´e um gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao y(x)

de classe C

deﬁnida em R veriﬁcando F(y, y



, y



) = 0 (ver Lema 3.1 ). Em particular

para x = 0 teremos:

F (τ, 0, y



(0)) = 0.

Relembremos que como x = 0 ´e um m´ınimo local de y, a curvatura de γ perto de

x = 0 ´e direcionada para cima, ou seja que y



(x) ≥ 0 para x perto de zero. Utilizando o

fato que F (α, β, δ) ´e uma fun¸c˜ao estritamente crescente com respeito a ´ultima vari´avel δ,

deduzimos que F (τ, 0, 0) ≤ 0, ou seja

−

2τ

− f





2τ





≤ 0,

o que mostra (a). Mostraremos a desigualdade (b). Conservando τ e observando que a

igualdade F (τ, 0, y



(0)) = 0 ´e equivalente a:



(0)

2τ

− f







(0)

2τ





ou seja,

= t

− f (t

), onde t



(0)

2τ

. Desta maneira temos t

> 0 e utilizando

o fato que a fun¸c˜ao h

(t) = t − f (t

) ´e estritamente crescente (visto que f ´e el´ıptica)

obtemos:

lim

t→+∞

(t − f(t

)) >

e (b) est´a demonstrado. Temos ainda que

lim

t→−∞

(t − f(t

)) = lim

t→+∞

(−t − f(t

)),

e utilizando o fato que a fun¸c˜ao h

(t) = t + f(t

) ´e estritamente crescente conclu´ımos:

lim

t→−∞

(t − f(t

)) < −

2τ

− f





2τ





< 0,

onde temos a desigualdade (c).

Mostraremos a ´ultima desigualdade (d). Para isto observamos que γ tem necessari-

amente um ponto de inﬂex˜ao Q depois do m´ınimo P. No ponto Q temos λ

(x) = 0 e assim

− f









= 0,

com λ

< 0.

Utilizando o fato que a fun¸c˜ao h

(t) = t − f(t

) ´e estritamente crescente conclu´ımos

f(0) < 0. Supomos para terminar que o m´ınimo local τ de γ satisfa¸ca a igualdade:

−

2τ

− f





2τ





= 0. (3.5)

Neste caso a fun¸c˜ao constante ϕ(x) = τ ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.3) e deduzimos que

o cilindro C de raio τ em torno do eixo dos x ´e uma superf´ıcie especial (com respeito a

f). Desse fato as fun¸c˜oes y e ϕ satisfazem a mesma equa¸c˜ao diferencial com as mesmas

condi¸c˜oes iniciais no ponto x = 0. Conclu´ımos que estas fun¸c˜oes s˜ao iguais perto de x = 0

e para uma vizinhan¸ca temos, M = C. De maneira inversa se M ´e cilindro mostramos

como anteriormente que seu raio r, tem que satisfazer a igualdade (3.5). Conclu´ımos a´ı

que o m´ınimo local τ de M satisfaz (3.5) se, e somente se, M ´e um cilindro.

Observa¸c˜ao 3: Consideremos uma fun¸c˜ao el´ıptica f veriﬁcando:

f(0) < 0 e lim

t→−∞

(t − f(t

)) < 0.

Neste caso do fato que a fun¸c˜ao h

(t) = t − f((t)

) ´e estritamente crescente e al´em

disso:

(0) = −f(0) > 0 e lim

t→−∞

(t)) < 0,

conclu´ımos que existe um ´unico real positivo r, r > 0, veriﬁcando h



−



= 0, ou seja,

−

− f









= 0.

Desse fato n˜ao existe al´em de um ´unico cilindro reto esp ecial e seu raio ´e inteiramente

determinado pela igualdade anterior. Isto mostra, usando a Proposi¸c˜ao 3.1, que existe

uma superf´ıcie especial completa de rota¸c˜ao, mergulhada, gerada por uma curva que

possui um m´ınimo local se, e somente se, existe um cilindro reto especial. Al´em disso,

utilizando o fato que a fun¸c˜ao h

´e estritamente crescente, n˜ao importando qual m´ınimo

local τ de uma tal superf´ıcie satisfazendo a desigualdade τ ≤ r, com igualdade se, e

somente se, esta superf´ıcie ´e um cilindro de raio r.

Podemos agora mostrar a existˆencia de ondul´oides especiais sob certas condi¸c˜oes sobre

3.2 Superf´ıcies de Rota¸c˜ao Tipo Delaunay

Teorema 3.1. (Existˆencia de ondul´oides especiais) Seja f uma fun¸c˜ao el´ıptica

satisfazendo:

f(0) < 0 e lim

t→−∞

(t − f(t

)) < 0.

Seja τ > 0 um n´umero real veriﬁcando:

lim

t→+∞

(t − f(t

)) >

e −

2τ

− f





2τ





< 0.

Nestas condi¸c˜oes, existe uma ´unica superf´ıcie especial de rota¸c˜ao O

, completa e mergu-

lhada, tal que a curva geratriz γ

´e o gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao y

de classe C

deﬁnida em

R, com um m´ınimo τ em 0. Al´em disso, γ

´e uma curva geometricamente an´aloga aos

ondul´oides de Delaunay, mais precisamente existe um real T

> 0 tal que:

a) ∀ x ∈ R, y

(x + T

) = y

(x);

b) γ

´e sim´etrica com respeito as retas x = 0 e x =

;

c) entre 0 e

a fun¸c˜ao y

´e estritamente crescente com um m´aximo R

;

d) entre 0 e

a curva γ

tem um ´unico ponto de inﬂex˜ao x

;

e) o ponto de inﬂex˜ao x

e o m´aximo R

veriﬁcam:

0 < y

) < r e r < R

< −

f(0)

onde, r ´e o raio do ´unico cilindro especial e −

f(0)

´e o raio da ´unica esfera especial

relativamente a f.

Demonstra¸c˜ao: Iremos construir a curva γ

. As condi¸c˜oes em τ implicam a desigual-

dade seguinte

F (τ, 0, 0) = −

2τ

− f





2τ





< 0.

Al´em disso,

lim

δ→+∞

F (τ, 0, δ) = lim

δ→+∞



−

2τ

− f





−

2τ





ou seja,

lim

δ→+∞

F (τ, 0, δ) = −

+ lim

δ→+∞

(t − f(t

)) > −

= 0,

onde colocamos t =

2τ

. Deduzimos que existe um ´unico real positivo, τ



> 0,

veriﬁcando:

F (τ, 0, τ



) = 0.

Podemos ent˜ao aplicar o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita e obter assim a existˆencia de

uma vizinhan¸ca U do ponto (τ, 0) em R

, de uma vizinhan¸ca V de τ



em R e de uma

´unica fun¸c˜ao h de classe C

em U em V veriﬁcando:

h(τ, 0) = τ



e ∀ (α, β) ∈ U, ∀ δ ∈ V, F(α, β, δ) = 0 ⇔ δ = h(α, β).

Consideremos a equa¸c˜ao diferencial



= h(y, y



), com y(0) = τ e y



(0) = 0. (3.6)

O Teorema de Picard aﬁrma que existe uma ´unica solu¸c˜ao y

desta equa¸c˜ao, ela ´e

deﬁnida num intervalo da forma (−x

, x

), com x

> 0. Observemos que (0, τ) ´e um

m´ınimo local de y

visto que y



(0) = τ



> 0. Al´em disso, pelo Corol´ario 3.1 temos que

´e sim´etrico com respeito a reta x = 0. Iremos agora prolongar y

depois de x

, por

simetria prolongaremos da mesma forma antes de −x

Supomos que a derivada y



se anula entre 0 e x

e chamaremos x

o primeiro zero

de y



. Desse fato, γ

, o gr´aﬁco de y

, ´e sim´etrico com respeito a reta x = x

e utilizando

a primeira simetria o gr´aﬁco de y

pode ser prolongado numa curva completa usando a

transla¸c˜ao horizontal do vetor (2x

, 0). A fun¸c˜ao y

pode ser ent˜ao expandida na reta R

toda numa fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo (2x

). Observamos, al´em disso, que entre 0 e x

a derivada y



´e estritamente positiva, assim y

tem um m´aximo em x = x

. Observamos

igualmente que γ

ter´a que possuir necessariamente um ponto de inﬂex˜ao entre 0 e x

e como a fun¸c˜ao y

´e mon´otona neste intervalo, a curvatura λ

de y

´e estritamente

mon´otona (ver Lema 3.3 ). Conclu´ımos da´ı que γ

tem um ´unico ponto de inﬂex˜ao entre

0 e x

e assim, fazendo T

= 2x

, a curva y

possui todas as propriedades de ( a) − (d)

indicadas no enunciado do Teorema 3.1, com exce¸c˜ao das desigualdades (e) a respeito do

m´aximo R

e do ponto de inﬂex˜ao x

de y

que mostraremos no ﬁm da demonstra¸c˜ao.

E suﬁciente ent˜ao mostrar que y



possui um zero num outro ponto que n˜ao seja o zero.

Para isso suponhamos que y



(x) > 0 para todo x entre 0 e x

. Suponhamos, al´em disso,

que y



(x) > 0 entre 0 e x

. Nesse caso y

e y



s˜ao estritamente crescente, positivos, e

possuindo ent˜ao um limite positivo em x

que chamaremos respectivamente y

e y



. Como

´e solu¸c˜ao de (3.6), ela veriﬁcar´a igualmente a igualdade equivalente:

2(1 + (y



)



2(1 + (y



)

(1 + (y



)

−f









2(1 + (y



)

(1 + (y



)







ou seja,

2(1 + (y



)

= h

(t), colocando t =



2(1 + (y



)

(1 + (y



)

(t) = t − f(t

). Utilizando o fato que t ´e positivo e que h

(t) ´e uma fun¸c˜ao crescente

obtemos:

∀ x ∈ (0, x

2(1 + (y



)

> h

(0) = −f(0) > 0.

Deduzimos que os limites de y

e y



em x

s˜ao ﬁnitos. Observamos que por con-

tinuidade, e do fato que F ´e crescente com respeito a ´ultima vari´avel, esses limites veriﬁ-

cam:

F (y

, y



, 0) = −

(1 + (y



)

− f







(1 + (y



)







≤ 0.

Temos ainda,

lim

δ→+∞

F (y

, y



, δ) = lim

δ→+∞

(t − f(t

)) + lim

x→x

(x).

Como a fun¸c˜ao y

´e crescente, a curvatura principal λ

(x) ´e estritamente crescente

(ver Lema 3.3 ) e conclu´ımos usando as hip´oteses sobre τ que

lim

δ→+∞

F (y

, y



, δ) > 0.

Deduzimos do que passou, que existe um ´unico real positivo y



≥ 0, veriﬁcando

F (y

, y



, y



) = 0 e como anteriormente utilizando o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita podemos

estender y

al´em de x

, at´e um real x

, com x

< x

Observemos agora que n˜ao podemos estender y

em (0, ∞) com as derivadas y



e y



estritamente positivas, caso contr´ario ter´ıamos:

lim

x→+∞

(x)) = +∞.

Desse fato as curvaturas principais λ

e λ

da superf´ıcie especial O

gerada pela revo-

lu¸c˜ao do gr´aﬁco de y

tender´a a zero e f satisfar´a f(0) = 0, o que ´e falso.

Se y



´e estritamente positivo percorrendo a extens˜ao de y

, os resultados anteriores

nos mostram que devemos ter um ponto x

, x

> x

onde a segunda derivada se anula,



) = 0. Desse fato a curvatura λ

de γ

se anula tamb´em. Observamos que temos:

∀ x ∈ (0, x

), y



(x) > 0 e λ

(x) > 0 > λ

(x).

Deste fato, o Lema 3.3 permite concluir que a curvatura λ

(x) ´e uma fun¸c˜ao estri-

tamente decrescente enquanto que y



(x) ´e estritamente positivo. Deduzimos ent˜ao que

depois de x = x

a curvatura λ

(x) ´e estritamente negativa da mesma forma que para a

fun¸c˜ao y



(x). Com os mesmos argumentos utilizados anteriormente mostraremos que y

pode ser estendida sobre R. Al´em disso, utilizando o fato que λ

(x) ´e estritamente decres-

cente, enquanto que y



(x) ´e positivo, podemos mostrar que y



(x) ter´a de ter um outro

zero. Por consequˆencia conclu´ımos como no come¸co que γ

, o gr´aﬁco de y

, possui as pro-

priedades (a)-(d) enunciadas. Agora s´o resta mostrar as desigualdades (e) considerando

o ponto de inﬂex˜ao y

) e o m´aximo R

de y

No ponto x = x

temos λ

= 0, a fun¸c˜ao y

veriﬁcar´a ent˜ao:

−

(1 + (y



)

) − f







(1 + (y



)



)





= 0.

Al´em disso,



(1 + (y



)



= 0,

com

(t) = t + f(t

Como a fun¸c˜ao h

(t) ´e estritamente crescente e h





= 0, conclu´ımos que

(1 + (y



)

), e assim:

) < r.

No p onto de m´aximo, ou seja para x =

, temos F



, 0, y







= 0. Temos

ainda y







< 0, e deduzimos que F (R

, 0, 0) > 0, ou seja h





< 0.

Como anteriormente, do fato que a fun¸c˜ao h

´e estritamente crescente e que





= 0, conclu´ımos:

r < R

Supomos para terminar que temos:

−

f(0)

≤ R

ou seja,

−f(0) ≥

(1 + (y



)





Observemos que temos no ponto x = 0:

(1 + (y



)

(0) > −f(0),

visto que,

≥

2τ

− f





2τ





> −f(0).

Desse fato por continuidade existe um real x

∈





tal que:

(1 + (y



)

) = −f(0).

Observemos para concluir que a fun¸c˜ao W (a, b) = a + b − f((a − b)

) ´e estritamente

crescente com respeito as duas vari´aveis a e b, visto que f ´e uma fun¸c˜ao el´ıptica. Ob-

servemos que temos:



−

(1 + (y



)

), −

(1 + y



)



= 0.

Deduzimos necessariamente que:



(1 + (y



)

) = −f(0),

e deste fato (x

, y

)) ´e um ponto umb´ılico de O

o que ´e um absurdo, visto que O

n˜ao

´e esf´erico (ver Lema 3.2 ). Agora mostraremos a propriedade (e).

A unicidade de O

prov´em da unicidade de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais com as

condi¸c˜oes iniciais dadas.

Finalmente podemos enunciar um resultado de classiﬁca¸c˜ao para as superf´ıcies espe-

ciais Tipo Delaunay.

Teorema 3.2. (Classiﬁca¸c˜ao dos ondul´oides especiais) Seja f uma fun¸c˜ao el´ıptica

e seja M uma superf´ıcie especial completa, mergulhada e de rota¸c˜ao n˜ao-esf´erica. Nessas

condi¸c˜oes, M ´e necessariamente um dos ondul´oides especiais O

dadas pelo Teorema 3.1.

Demonstra¸c˜ao: Seja γ a curva plana que gera M. Observamos que γ n˜ao pode cortar

o eixo de rota¸c˜ao, o eixo dos x. Com efeito, esta intersec¸c˜ao deveria ser ortogonal visto que

M ´e de classe C

, mais neste caso o princ´ıpio do m´aximo a respeito das superf´ıcies especiais

mostram que M ´e esf´erica, o que ´e falso. Podemos ent˜ao supor que γ se encontra no semi-

plano (x, y), y > 0. Observemos que usando a Proposi¸c˜ao 3.1 e o Teorema 3.1 ´e suﬁciente

mostrar que γ possui um m´ınimo local. Supomos o contr´ario. Os mesmos argumentos

utilizados na Proposi¸c˜ao 3.1 mostrariam que γ possuem um arco que ´e um gr´aﬁco e que

converge decrescentemente a uma dire¸c˜ao horizontal. Este arco ter´a ent˜ao que possuir

pontos onde a curvatura λ

´e positiva. Pelo Lema 3.3 temos que λ

´e crescente neste

arco, o que contradiz o fato que este arco assintota uma dire¸c˜ao, concluindo a prova.

Conclus˜ao

Nesta disserta¸c˜ao, observamos que para provar a existˆencia e unicidade de uma superf´ıcie

completa Tipo Delaunay foi necess´ario entender o Teorema de Delaunay, v´arios conceitos

que envolvem o estudo de curvas em R

e superf´ıcies de rota¸c˜ao.

Nosso principal resultado foi conseguir provar a existˆencia de uma sup erf´ıcie de rota¸c˜ao

que satisﬁzesse uma rela¸c˜ao entre curvatura m´edia H = H(N) e a curvatura Gaussiana

K da seguinte forma:

H = f(H

− K),

onde f ´e uma fun¸c˜ao de classe C

no intervalo [0, ∞) e, al´em disso, vamos supor igual-

mente que f veriﬁca a rela¸c˜ao:

∀ t ∈ [0, ∞), 4t(f



(t))

< 1.

A constru¸c˜ao de superf´ıcies no Espa¸co Euclidiano satisfazendo certas propriedades

especiais ´e de grande interesse para o desenvolvimento da geometria e continua sendo

estudado por v´arios pesquisadores nos dias atuais.

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas

[1] A. Alexandrov, - Uniqueness theorem for surfaces in the large, Amer.Math.Soc.

Transl.Ser. 2, vol.21, Amer.Math.Soc., Providence, RI, (1962), 341–344;

[2] Carmo M. P. - Geometria diferencial de curvas e superf´ıcies, Sociedade Brasileira de

Matem´atica, Rio de Janeiro (2005);

[3] Carmo M. P. - Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Instituto de Matem´atica

Pura e Aplicada, Rio de Janeiro (1988);

[4] C. Delaunay, - Sur la surface de r´evolution dont la courbure moyenne est constante,

J.Math.Pures Appl. (1) 6,(1841), 309–320;

[5] Eells, James, - The Surfaces of Delaunay, The Mathematical Intelligenger,(1987), 53–

57;

[6] F.Braga Brito and R.Sa Earp, - On the structure of certain Weingarten surfaces with

boundary a circle, Ann.Fac.Sci.Toulouse 2 6,(1997), 243–256;

[7] H.Hopf, - Diﬀerential Geometry in the Large, Lecture Notes in Math., vol.1000,

Springer-Verlag, New York (1983);

[8] H.Rosenberg and R.Sa Earp , The geometry of properly embedded special surfaces in

; e.g. surfaces satisfying aH + bK = 1, where a and b are positive, Duke Math.J, 73

(1994), 291–306;

[9] N.Kapouleas, - Complete constant mean curvature surfaces in Euclidean three space,

Ann.of Math., 131, (1990), 239–330;

[10] N.Korevaar, R.Kusner, and B.Solomon - The structure of complete embedded surfaces

with constant mean curvature, J.Diﬀerential Geom.30, (1989), 465–503;

[11] R.Bryant, - Complex analysis and a class of Weingarten surfaces, preprint.;

[12] R.Sa Earp and E. Toubiana, A note on special surfaces in R

, Mat. Contemp., 4

(1993), 108–118;

[13] R.Sa Earp and E. Toubiana, CLASSIFICATION DES SURFACES DE TYPE DE-

LAUNAY, American Journal of Mathematics, 121 (1999), 671–700;

[14] R.Sa Earp and E. Toubiana, Sur les surfaces de Weingarten sp´eciales de type mini-

mal, Bol. Sociedade Brasileira de Matem´atica., 26 (1995), 129–148;

[15] SOTOMAYOR, J., - Li¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, Impa, Rio de Janeiro

(1979).

[16] TENENBLAT, K., - Introdu¸c˜ao `a Geometria Diferencial, Universidade de Bras´ılia,

Bras´ılia (1988).

[17] W.H.Meeks, - The topology and geometry of embedded surfaces of constant mean

curvature,J.Diﬀerential Geom., 16 (1988), 539–552;

[18] W.Y.Hsiang and W.C.Yu., -

A generalisation of a Theorem of Delaunay

J.Diﬀerential Geom., 16 (1981), 161–177;

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 