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DISSERTACAO
SUBMETIDA
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DA
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DOS
PROGRAMAS
DE
P~G-GRADUACAO
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DA
UNlVBRSIDADE
FBDERAL
DO
RIO
DE
JMIRO
COMO
PARTE
DOS
REQUISITOS
NBCESS~OS
PARA
A
OBTENCAO
DO
GRAU
DB
MESTRE
EM
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EM
ENGENIWW
NUCLEAR.
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KULLMANN, DEISE HELENA
Estudo Analítico-Numérico de Transferência
de Calor em Dutos com Aquecimento Ativo na
Parede [Rio de Janeiro] 2006
XXII, 161p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,
Engenharia Nuclear, 2006)
Dissertação - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Transferência de Calor
2. Soluções Analítico-Numéricas
I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
ii
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Aos meus pais
Guido e Lenise.
Ao meu marido Éverton.
iii
Agradecimentos
Ao professor Su Jian, orientador desta dissertação, por todo o seu esforço e a sua
dedicação para que o melhor sempre fosse alcançado.
Aos professores e funcionários do Programa de Engenharia Nuclear da COPPE/UFRJ,
pela dedicação e contribuição à minha formação.
À Petrobrás/Cenpes pelo suporte financeiro ao longo do período de cursos.
Aos amigos e à todos que de uma forma ou de outra, contribuíram para o sucesso deste
trabalho.
iv
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ESTUDO ANALÍTICO-NUMÉRICO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM DUTOS
COM AQUECIMENTO ATIVO NA PAREDE
Deise Helena Kullmann
Dezembro/2006
Orientador: Su Jian
Programa: Engenharia Nuclear
A transferência de calor em dutos com aquecimento ativo na parede tem sido estudada
intensamente pelas suas aplicações em termo-hidráulica de reatores nucleares.
Recentemente, este problema tem despertado interesse crescente devido às novas
aplicações na produção de petróleo e gás natural em águas profundas e ultra-profundas.
Neste trabalho, é apresentada primeiramente uma revisão de literatura sobre a garantia de
escoamento para a produção submarina de petróleo e gás, enfatizando a necessidade do
aquecimento ativo das tubulações de produção à fim de evitar a formação de hidratos de
gás e a deposição de parafinas. Um sistema otimizado de aquecimento elétrico
segmentado é proposto para minimizar a demanda energética de aquecimento. Um
esquema elétrico para a implementação deste sistema otimizado é apresentado. Cenários
de transiente térmico em uma tubulação composta com aquecimento elétrico segmentado
são simulados. Em seguida, soluções analíticas da transferência de calor turbulenta em
dutos circulares e canais de placas paralelas são obtidas usando-se a técnica de
transformada integral clássica, comparando dois modelos para escoamento turbulento e
cinco modelos para o número de Prandtl turbulento. Por fim, uma solução híbrida
analítico-numérica da convecção laminar transiente em dutos é obtida usando-se a técnica
de transformada integral e o método de diferenças finitas.
v
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
ANALYTICAL-NUMERICAL STUDY OF HEAT TRANSFER IN DUCTSS WITH
ACTIVE HEATING AT THE WALL
Deise Helena Kullmann
December/2006
Advisor: Su Jian
Department: Nuclear Engineering
Heat transfer in ducts with active heating at the wall has been intensively studied
due to its applications in nuclear reactor thermal-hydraulics. Recently, this problem has
received increasing interests due to new applications in oil and natural gas production in
deep and ultradeep waters. In this work, a literature review on the flow assurance of
subsea production of oil and gas is presented first, with emphasis on the necessity of
active heating of the pipelines to avoid gas hydrate formation and wax deposition. An
optimized piecewise electrical heating system is proposed to minimize the power supply
requirement of active heating. An electrical scheme is presented for the implementation
of this optimized heating system. Scenarios of thermal transients in multilayered
composite pipelines with piecewise electrical heating are simulated computationally.
Analytical solutions of turbulent forced convection in circular and parallel-plate ducts are
obtained by using classical integral transform, comparing two models for turbulent flow
and five models for the turbulent Prandtl number. Finally, a hybrid analytical-numerical
solution of transient laminar convection in parallel-plate ducts is obtained by using the
generalized integral transform technique and finite difference method.
vi
Sumário
Resumo v
Abstract vi
Índice vii
Índice de Figuras x
Índice de Tabelas xv
Lista de Símbolos xvii
1 Introdução 1
2 Revisão Bibliográfica 6
2.1 Garantia de Escoamento − Dutos Ativamente Aquecidos . . . . . . . 6
2.2 Convecção Forçada Turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Correlações para o Perfil de Velocidade . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Correlações para o Fator de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Modelos Adotados para a Distribuição de Velocidade Turbulenta 30
2.2.4 Correlações Empíricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.5 Número de Prandtl Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Convecção Laminar Forçada Transiente em Canais de Placas-Paralelas 40
3 Tubulações Compostas Multicamadas com Aquecimento Elétrico
Ativo 44
3.1 Sistema Elétrico do PIP Ativamente Aquecido . . . . . . . . . . . . . 45
vii
3.2 Análise Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Transferência de Calor Permanente entre o Fluido de Pro-
dução e o Fluido Ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Transporte de Energia no Fluido de Produção . . . . . . . . . 54
3.3 Simulação de Transferência de Calor Transiente . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Condução de Calor em uma Linha de Transporte Composta
por Multicamadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 Transporte de Energia no Fluido de Produção . . . . . . . . . 59
4 Convecção Forçada Turbulenta na Região de Entrada Térmica de
Dutos Circulares e Canais de Placas-Paralelas 61
4.1 Problema Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Formulação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Modelos de Turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Distribuição de Velo cidade Turbulenta . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.2 Números de Prandtl Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Solução Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Solução Híbrida de Diferenças Finitas-Transformada Integral com
FCT da Convecção Laminar Forçada Transiente em um Canal de
Placas-Paralelas 72
5.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Solução Híbrida - Esquema Misto de Diferenças Finitas/Transformada
Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.1 Técnica da Transformada Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.2 Esquema Upwind de Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.3 Esquema de Fluxo de Transporte (FCT - "Flux-Correcting
Transport") . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Expressões Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Resultados e Discussões 84
6.1 Tubulações Compostas Multicamadas com Aquecimento Elétrico Ativo 84
viii
6.1.1 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Convecção Forçada Turbulenta na Região de Entrada Térmica de
Dutos Circulares e Canais de Placas-Paralelas . . . . . . . . . . . . . 113
6.2.1 Fator de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2.2 Número de Nusselt Assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.3 Entrada Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Convecção Laminar Forçada Transiente com Escoamento Laminar
Plenamente Desenvolvido Hi-drodinamicamente na Região de En-
trada Térmica de um Canal de Placas-Paralelas . . . . . . . . . . . . 137
7 Conclusões e Sugestões 143
Apendice A: Circuitos Elétricos Trifásicos 150
Referências Bibliográficas 151
ix
Lista de Figuras
2.1 Diagrama de Fase Mostrando as Condições de Formação de Hidratos. 8
3.1 Ilustração dos Dois Métodos de Aquecimento, Su et al. (200 2). . . . . 46
3.2 Distribuição dos Cabos de Aquecimento e de Alimentação da Fonte
em Torno da Linha de Transporte da Produção. . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Ilustração do Chaveamento Automático do Sistema de Aquecimento
Elétrico Proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 (a) Seção Transversal de uma Linha de Transporte Composta por
Multicamadas, (b) Subdivisão da Linha de Transp o rte Composta por
Multicamadas em Regiões: Determinação do Coeficiente de Transfer-
ência de Calor Global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Vista Longitudinal de uma Linha de Transp orte. . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Problema Físico - Convecção Forçada Turbulenta na Região de En-
trada Térmica de Dutos Circulares e Canais de Placas-Paralela s. . . . 62
5.1 Problema Físico - Convecção Laminar Forçada Transiente com Es-
coamento Laminar Hidrodinamicamente Desenvolvido na Região de
Entrada Térmica de um Canal de Placas-Paralelas. . . . . . . . . . . 73
6.1 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 6A, L = 18km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 6A, L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
F (190
◦
F )
e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
x
6.3 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 6B, L = 18km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 6B, L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F )
e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 8A, L = 18km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 94
6.6 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 8A, L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F )
e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.7 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 8B, L = 18km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 95
6.8 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 8B, L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F )
e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.9 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 6A, L = 36km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 99
6.10 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 6A, L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F )
e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.11 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 6B, L = 36km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 100
6.12 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 6B, L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F )
e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0
6.13 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 8A, L = 36km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 102
6.14 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 8A, L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F )
e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2
xi
6.15 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 8B, L = 36km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 103
6.16 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 8B, L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F )
e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3
6.17 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 6A, L = 90km,
T
f,in
= 76.66
◦
C(170
◦
F ) e
˙
M
f
= 32.2028kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 107
6.18 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 6A, L = 90km, T
f,in
= 76.66
◦
C(170
◦
F )
e
˙
M
f
= 32.2028kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 7
6.19 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 6B, L = 90km,
T
f,in
= 76.66
◦
C(170
◦
F ) e
˙
M
f
= 32.2028kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 108
6.20 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 6B, L = 90km, T
f,in
= 76.66
◦
C(170
◦
F )
e
˙
M
f
= 32.2028kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 8
6.21 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 8A, L = 90km,
T
f,in
= 99
◦
C (210
◦
F ) e
˙
M
f
= 24.1521kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.22 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 8A, L = 90km, T
f,in
= 99
◦
C
(210
◦
F ) e
˙
M
f
= 24.1521kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.23 Linha de Transporte sem Aquecimento Ativo: PIP 8B, L = 90km,
T
f,in
= 99
◦
C (210
◦
F ) e
˙
M
f
= 24.1521kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.24 Linha de Transporte com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e
com Aquecimento Segmentado: PIP 8B, L = 90km, T
f,in
= 99
◦
C
(210
◦
F ) e
˙
M
f
= 24.1521kg/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.25 Fator de Atrito pa ra o Escoamento Turbulento em um Duto Circular. 116
6.26 Fator de Atrito para o Escoamento Turbulento em um Canal de
Placas-Paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.27 Nu(ξ) na Região de Entrada Térmica − Modelo de Churchill − Cinco
Modelos para P r
t
− (a) Duto Circular; (b) Canal de Placas-Paralelas.129
xii
6.28 Nu(ξ) na Região de Entrada Térmica − Modelo de Churchill e M od-
elo de Três - Camadas − Dois Modelos para P r
t
− (a) Duto Circular;
(b) Canal de Placas-Paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.29 θ
m
(ξ) na Região de E ntrada Té rmica − Modelo de Churchill − Cinco
Modelos para P r
t
− (a) Duto Circular; (b) Canal de Placas-Paralelas.131
6.30 θ
m
(ξ) na Região de Entrada Térmica − Modelo de Churchill e Modelo
de Três - Camadas − Dois Modelos para P r
t
− (a) Duto Circular;
(b) Canal de Placas-Paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.31 Nu(ξ) na Região de Entrada Térmica − Modelo de Churchill e Mod-
elo de Três - Camadas − Cinco Modelos para P r
t
− Duto Circular. . 13 3
6.32 Nu(ξ) na Região de Entrada Térmica − Modelo de Churchill e Mod-
elo de Três - Camadas − Cinco Modelos para P r
t
− Canal de Placas-
Paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.33 θ
m
(ξ) na Região de E ntrada Té rmica − Modelo de Churchill − Cinco
Modelos para P r
t
− Duto Circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.34 θ
m
(ξ) na Região de E ntrada Té rmica − Modelo de Churchill − Cinco
Modelos para P r
t
− Canal de Placas-Paralelas. . . . . . . . . . . . . 136
6.35 Temperatura Média do Fluido, θ
av
, sem o uso do Esquema FCT
("Flux-Correcting Transport"). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.36 Temperatura Média do Fluido, θ
av
, Usando o Esquema FCT ("Flux-
Correcting Transport"). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.37 Número de Nusselt sem o uso do Esquema FCT ("Flux-Correcting
Transport"). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.38 Número de Nusselt Usando o Esquema FCT ("Flux-Correcting Trans-
port"). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.39 Fluxo de Calor Adimensional na Parede, (∂θ/∂η)
η=1
, sem o uso do
Esquema FCT ("Flux-Correcting Transport"). . . . . . . . . . . . . . 141
6.40 Fluxo de Calor Adimensional na Parede, (∂θ/∂η)
η=1
, Usando o Es-
quema FCT ("Flux-Correcting Transport"). . . . . . . . . . . . . . . 141
1 Tensões de Fase de um Sistema Trifásico. . . . . . . . . . . . . . . . . 146
xiii
2 Diagrama Fasorial: (a) Tensões de Fase; (b) Tensões de Fase e de
Linha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3 (a) Ligação Estrela com Neutro Aterrado; (b) Diagramas Fasoriais:
Tensões e Correntes de Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4 Diagramas Fasoriais: Tensões e Correntes de Fase (Cargas Desequili-
bradas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5 (a) Ligação Estrela com Neutro Isolado; (b) Diagramas Fasoriais:
Tensões de Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
xiv
Lista de Tabelas
6.1 Propriedades Geométricas dos Dutos Compostos Multicamadas. . . . 86
6.2 Coeficiente de Transferência de Calor Global para as Configurações
do PIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Propriedades Termo Físicas dos Dutos Compostos Multicamadas. . . 86
6.4 Propriedades do Fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Análise da Eficiência do Aquecimento Elétrico Segmentado: PIP 6A,
L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . 90
6.6 Distribuição de Temperatura [Linha de Transporte sem Aquecimento
Ativo, com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e com Aquecimento
Segmentado], Número de Seções Aquecidas: PIP 6B, L = 18km,
T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . . . . . . . 92
6.7 Número de Seções Aquecidas após 10h: Linha de Transporte com
18km de Extensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.8 Análise da Eficiência do Aquecimento Elétrico Segmentado: PIP 6,
L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . 101
6.9 Análise da Eficiência do Aquecimento Elétrico Segmentado: PIP 8,
L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. . . . . . . . . 104
6.10 Número de Seções Aquecidas após 10h: Linha de Transporte com
36km de Extensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.11 Número de Seções Aquecidas após 10h: Linha de Transporte com
90km de Extensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.12 Fator de Atrito para o Duto Circular Resultante da Análise Proposta
e para a Correlação Empírica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
xv
6.13 Fator de Atrito para o Canal de Placas-Paralelas Resultante da Análise
Proposta e para a Correlação Empírica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.14 Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e Através da Corre-
lação Empírica para o Duto Circular − Modelo de Três - Camadas
com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica. . . . . . . 119
6.15 Continuação: Nu
∞
(ξ) Calculado Atravé s da Análise Proposta e Através
da Correlação Empírica para o Duto Circular − Modelo de Três - Ca-
madas com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica. . . 120
6.16 Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e Através da Corre-
lação Empírica para o Duto Circular − Modelo de Churchill (2001)
com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica. . . . . . . 121
6.17 Continuação: Nu
∞
(ξ) Calculado Atravé s da Análise Proposta e Através
da Correlação Empírica para o Duto Circular − Modelo de Churchill
(2001) com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica. . . 12 2
6.18 Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e Através da Corre-
lação Empírica para o Canal de Placas-Paralelas − Modelo de Três -
Camadas com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica. 123
6.19 Continuação: Nu
∞
(ξ) Calculado Atravé s da Análise Proposta e Através
da Correlação Empírica para o Canal de Placas-Paralelas − Modelo
de Três - Camadas com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação
Empírica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.20 Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e Através da Cor-
relação Empírica para o Ca nal de Placas-Paralelas − Modelo de
Churchill (2001) com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação
Empírica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.21 Continuação: Nu
∞
(ξ) Calculado Atravé s da Análise Proposta e Através
da Correlação Empírica para o Canal de Placas-Paralelas − Modelo
de Churchill (2001) com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação
Empírica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
xvi
Lista de Símbolos
a raio do tubo o u metade da distância entre as placas paralelas, Capí-
tulo 4
A área, Capítulo 3
a
+
parâmetro definido no modelo de Três-Camadas , Capítulo 4
a
+
a(τ
w
ρ)
1/2
/µ, modelo de Churchill, Capítulo 4
b distância das superfície da parede à linha central do canal, Capítulo
5
c
p
calor específico, Capítulos 3 e 5
C razão de velocidade, Capítulo 4
D diâmetro interno de um tubo circular, Capítulo 3
D = 2
(2−p)
a diâmetro hidráulico, Capítulo 4
D
h
= 4b diâmetro hidráulico do canal de placa s-para lelas, Capítulo 5
E constante no modelo de Três-Camadas, Capítulo 4
f fator de atrito de Darcy, Capítulo 4
f
fator de atrito de Fanning, Capítulo 4
¯
f
n
condição de entrada transformada, Capítulo 4
˙g geração volumétrica de aquecimento elétrico direto à tubulação, Ca pí-
tulo 3
xvii
h coeficiente de transferência de calor, Capítulo 3
k condutividade térmica, Capítulo 3
k condutividade térmica do fluido, Capítulo 5
k
1
constante no modelo de Três-Camadas, Capítulo 4
k
2
constante no modelo de Três-Camadas, Capítulo 4
L comprimento da tubulação, Capítulo 3
˙
M vazão mássica, Capítulo 3
N número de camadas de uma tubulação composta, Capítulo 3
N
n
integral normalizada, Capítulo 4
N
i
integral normalizada, Capítulo 5
Nu número de Nusselt, Capítulo 5
Nu
∞
número de Nusselt assintótico, Capítulo 4
p constante determina a geometria do canal, p = 0 canal de placas-
paralelas e p = 1 para o duto circular, Capítulo 4
P e número de Peclét, Capítulo 5
P r número de Prandtl, Capítulos 3 e 4
P r
t
número de Prandtl turbulento, Capítulo 4
q fluxo de calor, Capítulo 3
˙q geração linear de calor, Capítulo 3
Q potência térmica, Capítulo 3
˙
Q demanda de aquecimento ativo, Capítulo 3
r coordenada radial, Capítulos 3 e 4
xviii
Re número de Reynolds, Capítulo 3 e 4
R
n
(η) autofunções, Capítulo 4
t tempo, Capítulo 5
T temperatura do fluido, Capítulos 3 e 5
T
w
temperatura constante do fluido ambiente, Capítulo 5
u velocidade do fluido, Capítulo 3
U coeficiente global de transferência de calor, Capítulo 3
U
0
coeficientee global de transferência de calor po r condução, Capítulo 3
u componente da velocidade na direção y, modelo de Churchill, Capítulo
4
u
+
u(ρ/τ
w
)
1/2
, modelo de Churchill, Capítulo 4
u
v
valor médio de u
v
, modelo de Churchill, Capítulo 4
(u
v
)
+
−ρu
v
/τ
w
, modelo de Churchill, Capítulo 4
(u
v
)
++
−ρu
v
/τ, modelo de Churchill, Capítulo 4
u(r) perfil de velocidade turbulenta, Capítulo 4
u
+
velocidade turbulenta adimensional no modelo de Três-Camadas, Capí-
tulo 4
¯u velocidade média do fluido, Capítulo 5
u(y) perfil de velocidade do fluido, Capítulos 4 e 5
U(η) perfil de velocidade adimensional, Capítulo 5
W (η) distribuição de velocidade adimensional, Capítulo 5
x coordenada axial, Capítulos 4 e 5
xix
y coordenada transversal, Capítulo 5
y
+
coordenada transversa l adimensional no modelo de Três-Camadas,
Capítulo 4
z coordenada long itudinal, Capítulo 3
Símbolos Gregos
α difusividade térmica, Capítulo 3
α = k/ρc
p
difusividade térmica do fluido, Capítulos 4 e 5
δ espessura de uma camada, Capítulo 3
ξ coordenada axial adimensional, Capítulos 4 e 5
η coordenada radial adimensional, Capítulos 4 e 5
τ tempo adimensional, Capítulo 5
θ temperatura adimensional, Capítulos 4 e 5
µ viscosidade do fluido, Capítulos 3 e 4
λ
n
autovalores, Capítulo 4
µ
i
autovalores, Capítulo 5
ν viscosidade cinemática do fluido, Capítulo 4
¯
θ temperatura transformada, Capítulo 5
ρ densidade, Capítulo 3
ρ densidade do fluido, Capítulos 4 e 5
¯
θ temperatura transformada, Capítulo 4
ε(η) difusividade térmica total adimensional, Capítulo 4
xx
τ tensão cisalhante total no interior do fluido, Capítulo 4
ψ
i
(η) autofunções, Capítulo 5
Subscrito
a ambiente, Capítulo 3
av média, Capítulo 5
b superfície externa de uma casca cilíndrica, Capítulo 3
e entrada, Capítulo 5
eff efetivo, Capítulo 4
f fluido, Capítulo 3
i índice de iteração nas camadas, Capítulo 3
in entrada, Capítulo 3
i, j ordem dos autovalores, Capítulo 5
k quantidade integralmente transformada, Capítulo 5
m média, Capítulo 4
min mínima, Capítulo 3
max máxima, Capítulo 4
N + 1 superfície externa de uma tubulação composta, Capítulo 3
out saída, Capítulo 3
t devido a turbulência, Capítulo 4
w parede, Capítulos 4 e 5
0 entrada, Capítulo 4
xxi
0 inicial, Capítulo 5
1 superfície interna de uma tubulação composta, Capítulo 3
Sobrescrito
n índice de passo temporal, Capítulos 3 e 5
n + 1 índice de passo temporal intermediário, Capítulos 3 e 5
xxii
Capítulo 1
Introdução
A transferência de calor em dutos com aquecimento ativo na parede tem sido
estudada intensamente pelas suas aplicações em termo-hidráulica de reatores nu-
cleares. Recentemente, este problema tem despertado interesse c rescente, devido
às novas a plicações na produção de petróleo e gás natural em águas profundas e
ultra-profundas.
Oleodutos, gasodutos e polidutos são meios eco nômicos e seguros para trans-
portar grandes volumes de petróleo, derivados e g ás natural a grandes distâncias.
Nos últimos anos, a descoberta de reservas de petróleo localizadas, a distâncias
cada vez maiores do continente e em águas profundas e ultra-profundas, fizeram da
garantia de escoamento (“flow assurance”) um assunto de atenção crescente, devido
a possibilidade de formação de hidratos de gás e a deposição de parafinas nas linhas
de produção, nestas condições de alta pressão e baixa temperatura (Minami et al.,
2000, 1999 a, Su, 2003). Para atender as necessidades impostas pela garantia de
escoamento nestas condições, a determinação de forma apurada do desenvolvimento
da temperatura média de um fluido viscoso monofásico no escoamento em tubos
circulares, é de fundamental importância. Análises teóricas, simulações numéricas e
observações experimentais, têm sido continuamente desenvo lvidas para determinar
os valores dos coeficientes de transferência de ca lor para este tipo de escoamento
de fluido, observando suas variações em termos da coordenada axial em tubos com
superfícies lisas. Neste processo, o estudo dos efeitos da convecção interna (flu-
ido de transporte) e externa (água do mar circunvizinha), bem como a condução
1
no sólido (linha de transporte da produção), devem ser considerados, tanto para as
condições de produção permanente, quanto para eventos transientes, como nos casos
de ativação e desativação da produção.
O estudo da transferência de calor forçada convectiva estacionária em du-
tos co m escoamento turbulento plenamente desenvolvido e temperatura constante
na parede, têm grande importância tecnológica, pois oco rrem freqüentemente sob
condições normais de operação em uma variedade de dispositivos de aquecimento
e resfriamento. Para o caso de uma linha de transporte com aquecimento ativo,
em regime permanente, podemos considerar este como o caso de um escoamento
turbulento permanente de um fluido monofásico em dutos, com temperatura cons-
tante prescrita nas paredes do duto. Podemos então, analisar a transferência de
calor por convecção na linha de escoamento, para determinar a distribuição espa-
cial de temperatura do fluido pro duzido nas condições de operação determinadas.
O problema de transferência de calor convectiva turbulenta para o escoamento em
dutos, com especial atenção aos casos onde o fluxo de calor na parede do duto é
mantido constante ao longo de todo o duto, possui diversas aplicações, como no
projeto dos sistemas de resfriamento usados em reatores nucleares. Em cada caso,
quando comparados com as aplicações envolvendo a condição de contorno de fluxo
de calor constante na parede, sistemas de desempenho melhorado e de fácil controle
são geralmente relatados. No entanto, embora as inerentes vantagens da transfe-
rência de calor convectiva forçada turbulenta tenham sido exploradas, não existe
uma teoria fundamental disponível na literatura para determinar as distribuições
de velocidade turbulenta, proveniente de uma aproximação puramente numérica.
Em geral, modelos empíricos e/ou semi-empíricos são usados para correlacionar as
distribuições de velocidade turbulenta em dutos e canais.
O estudo da transferência de calor conve ctiva não-estacionária em dutos é
importante para o controle de reatores nucleares, mo tores a jato e equipamentos
trocadores de calor, encontrados em várias aplicações da engenharia. Os problemas
não-estacionários podem ser classificados como transientes ou periódicos, de acordo
com sua dependência em relação ao tempo. A maior parte dos trabalhos apresen-
tados na literatura são descritos por variações periódicas nas condições de contorno
2
ou na temperatura de entrada. Claramente, a parte estacionária da solução do pro-
blema periódico deve ser mais simples do que a solução transiente (ou completa), a
qual é, freqüentemente, muito complicada e a inda, em muitas aplicações práticas,
assim como no escoa mento e na transferência de calor associados a muitos compo-
nentes em engenharia, a parte estacionária da solução periódica é mais importante.
Embora a transferência de calor de estado permanente seja importante no
estudo do escoamento em dutos, especificamente no que concerne a produção e
transporte de petróleo e gás natural à grandes distâncias em águas profundas e ultra-
profundas, os critérios de projeto térmico de tais sistemas, devem considerar eventos
transientes, como partidas e paradas de produção, onde a va riações de tempe ratura
são mais críticas. Neste caso, o estudo da convecção transiente em dutos é de
fundamental importância para predizer o campo de temperaturas do sistema de
produção, a fim de atender aos critérios da garantia de escoamento durante estes
eventos, que podem ser planejados o u não.
O objetivo do trabalho é desenvolver um estudo analítico-numérico de transfer-
ência de calor em dutos com aquecimento ativo na parede, visando as suas aplicações
em produção de petróleo e gás natural em águas profundas e ultra-profundas, e
também para a simulação termo-hidráulica de reatores nucleares. Especificamente,
será proposto um sistema otimizado de aquecimento elétrico segmentado, para
minimizar a demanda energética de aquecimento das linhas de transp orte de petróleo
e gás natural em águas profundas. O desempenho térmico de tubulações compostas
multicamadas com aquecimento elétrico segmentado será investigado através da
simulação numérica da transferência de calor transiente. Para uma avaliação precisa
da distribuição espacial e temporal do campo de temperatura do fluido produzido,
vários fenêomenos de transferência de calor convectivo, laminar ou turbulenta, pre-
cisam ser estudados detalhadamente. Neste trabalho, dois problemas clássicos de
transferência de calor convectiva serão estudados, usando-se técnicas analíticas ou
híbrida analítico-numéricas, po r serem diretamente associados ao problema físico em
questão. Será investigada a influência dos modelos de escoamento turbulento e de
número de Prandtl turbulento no cálculo do número de Nusselt na região de entrada
térmica, assim como os seus valores na região plenamente desenvolvida. O obje-
3
tivo deste estudo é identificar a combinação de modelos de escoamento turbulento
e de número de Prandtl turbulento que pode resultar em melhores resultados de
transferência de calor, quando comparados com correlações de dados experimentais
consolidados. Por fim, uma solução híbrida analítico-numérica da conve cção lami-
nar transiente em dutos é obtida usando-se a técnica de transformada integral e o
método de diferenças finitas, visando a eliminação de oscilações numéricas inerentes
aos esquemas de diferenças finitas de segunda ordem.
No Capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica da literatura disponível
à respeito dos temas abordados , primeiramente, para a garantia de escoamento, em
seguida, uma análise da convecção forçada turbulenta estacionária é feita e, por fim,
uma revisão bibliográfica a respeito da convecção forçada laminar é apresentada.
No Capítulo 3 é apresentado o método que combina o aquecimento elétrico
ativo e o isolamento passivo das linhas de produção. O aquecimento ativo é con-
siderado através de resistências elétricas, inseridas na superfície interna do tubo de
aço. Para este caso, um método de aquecimento segmentado é proposto, visando
minimizar o requerimento de potência elétrica de aquecimento, para uma dada con-
figuração da linha de produção e, deseja-se encontrar a temperatura mínima especi-
ficada do fluido produzido. Uma análise global do balanço energético das linhas
de produção de petróleo e gás natural em águas profundas típicas é apresentada.
Mostra-se que o aquecimento ativo é requerido para as linhas de produção longas,
devido às limitações técnicas dos sistemas passivos de isolamento térmico. A potên-
cia linear de aquecimento é determinada analiticamente para uma dada temperatura
mínima desejada do fluido produzido. Examina-se então, a transferência de calor
transiente em tubulações compostas por multicamadas com aquecimento ativo na
parede. As equações de condução de calor unidimensional transiente nas paredes da
linha de produção são resolvidas usando-se o esquema de diferenças finitas de Crank-
Nicolson, acoplada com a equação de transporte de energia do fluido produzido, que
é resolvida usando-se o esquema de diferenças finitas de Warming e Beam.
A investigação sistemática da convecção forçada turbulenta em dutos circulares
e canais de placas-paralelas com superfícies lisas foi realizada, primeiramente para
a transferência de calor plenamente desenvolvida e, em seguida para o problema de
4
entrada térmica. Estas análises encontram-se no Capítulo 4. Duas distribuições para
a velocidade e para a viscosidade turbulenta são empregadas, o modelo de Três - Ca-
madas para a velocida de e a correlação de Churchill (2001) para a tensão turbulenta
adimensional. Cinco modelos para o número de Prandtl turbulento são examinados,
o modelo de valor constante (P r
t
= 1.0), modelo de Jischa e Rieke (1979), modelo
de Weigand et al. (1997b), modelo de Notter e Sleicher (1972) e o modelo de Yakhot
et al. (1987). Os fatores de atrito e os números de Nusselt calculados são comparados
com os resultados obtidos através de correlações empíricas.
No Capítulo 5, busca-se apresentar uma contribuição para o aperfeiçoa mento
da solução híbrida analítico-numérica do problema de convecção laminar forçada
transiente em um canal de placas-paralelas, sujeito a uma mudança de degrau na
temperatura de entrada, usando o esquema proposto por Cotta e Gerk (1994) e
Guedes et al. (1994) e aplicando o Esquema de Fluxo de transporte (FCT - “Flux-
Correcting Transport”), proposto por Boris e Book (Book et al., 1975, Boris e Book,
1973, 1976) no esquema de diferenças finitas “upwind” de segunda ordem modifi-
cado, usado em conjunto com o método da transformada integral para resolver esta
classe de problemas parabólico-hipe rbólicos. A formulação matemática, bem como
a solução analítica deste problema são apresentadas.
Os resultados numéricos, provenientes da simulação dos casos abordado s nos
capítulos anteriores, são apresentados no Capítulo 6.
No último capítulo do trabalho são apresentadas as conclusões à respeito das
análises apresentadas e sugestões pa ra trabalhos futuros.
5
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
Neste capítulo, primeiramente é feita uma revisão bibliográfica da garantia
de escoamento em dutos, focalizando os asp ecto s do aquecimento ativo das linhas
de produção de petróleo e gás natural. Posteriormente, os aspectos relacionados à
convecção forçada turbulenta em dutos, juntamente com uma revisão dos modelos
de turbulência e também a análise dos trabalhos mais significativos relacionados ao
tema são apresentados. Po r fim, a análise dos trabalhos presentes na literatura para
a convecção forçada laminar transiente em dutos é demonstrada na terceira seção
deste capítulo.
2.1 Garantia de Escoamento − Dutos Ativamente
Aquecidos
A garantia de escoamento é a capacidade de controlar e influenciar as carac-
terísticas de escoa mento do fluido produzido dentro do sistema de transporte da
produção. Na água ultra profunda (UDW), a pressão hidrostática elevada e a baixa
temperatura do ambiente submarino (4
◦
C), geram os principais desafios da garantia
de escoamento para o projeto dos risers e das linhas de transporte da produção.
A garantia de escoamento inclui todos os aspectos na garantia do transporte do
petróleo e gás natural do po ço até seu destino, sem interrupções ou perturbações
na linha, requerendo um plano bem-estudado para garantia de que (i) a produção
6
submarina seja o mais contínua possível durante a operação normal e (ii) a produção
possa ser rapidamente s uspensa quando necessário e posteriormente retomada, com
o mínimo de dificuldade e de tempo de parada (downtime).
Um método sistemático da garantia de escoamento foi apresentado por Saint-
Marcoux e Kennedy (2002) e Saint-Marcoux (2002). Nestes trabalhos, Saint-Marcoux
(2002) e Saint-Marcoux e Kennedy (2002) apresentaram uma revisão sistemática de
todas as condições operacionais para as instalações sob estudo, incluindo o aque-
cimento da linha (warm-up), a ativação da produção (well start-up), a produção
em estado permanente (steady-state), a desa tivação da produção (shutdown) e a
remediação de bloqueio. Esta análise funcional pode ser vista como uma revisão
compreensiva de todas as fases do sistema, seja opera ndo nas condições de projeto,
durante eventos transientes ou durante as condições de parada.
A diferença de pressão disponível entre a cabeça do poço e o separador, de-
termina o diâmetro mínimo da linha de transporte, enquanto a diferença de tem-
peratura disponível determina a vazão mínima de produção. Uma análise global
do sistema de produção submarina de petróleo e gás mostra que o isolamento tér-
mico, juntamente com o aquecimento a tivo das linhas de transporte e risers, são
uma das principais ferramentas de garantia de escoamento, tendo como principal
objetivo controlar a temperatura do fluido nas linhas de transporte da produção.
A importância do controle da temp e ratura de transporte do esco amento multifásico
em baixa temperatura e alta pressão, reside em evitar problemas como a formação
de hidratos, a deposiçã o de parafinas, reduzir a viscosidade do fluido para economia
de potência de bombeio e evitar a f ormaçã o de emulsões.
A parafina é uma substância que ocorre naturalmente na maioria dos óleos
crus e, dependendo da sua característica, pode ser problemática. O depósito de para-
fina ocorre quando a temperatura da parede do tubo é inferior, simultaneamente,
à temperatura do ponto de névoa do fluido e à temperatura média do fluido (bulk
temperature). A parafina se deposita e tende a reter água, areia e petróleo, formando
depósitos de consistência, dureza e densidade variáveis, obstruindo a seção do duto.
Estes depósitos podem ser limpos por solventes, detergentes ou dispersantes. Podem
ser evitados pelo tratamento contínuo do fluido com inibidores, além da opção de
7
Uma emulsão é formada por minúsculos glóbulos de ó leo distribuídos na á gua ,
cuja reparação em baixas temperaturas é dificultada. O problema pode ser resolvido
pela instalaç ão de pré-aquecedores ou pela injeção de desmultificantes. A conjugação
destes métodos com o isolamento do duto deve ser considerada, pois implica em
espaço, peso e custo adicional na unidade de produção.
O aumento da viscosidade em decorrência do decaimento da temperatura
pode dificultar o escoamento, exigindo maior potência de bombeio ou causando a
redução de produção. A utilização de isolamento térmico nas linha de transporte
pode reduzir a necessidade de aquecimento do fluido ou a potência de bombeio.
Com o aumento da lâmina de água e da distância entre os poços e a unidade
de processamento, o isolamento térmico torna-se fundamental para a prevenção da
formação de hidratos e parafinas, já que, quanto maior a lâmina de água e a distância
entre os poços e a unidade de processamento, maior o decaimento da temperatura no
fluido de produção. O desafio do isolamento consiste em manter a temperatura do
fluido acima da temperatura de formação de hidratos e parafinas, a fim de evitar ou
reduzir o uso de métodos alternativos, como a utilização de “pig” e adição química.
Tais métodos desprendem grandes quantidades de tempo e dinheiro e por isso, devem
ser utilizados de forma controlada.
O problema da deposição em linhas de transporte é dividido em duas cate-
gorias: saber quais depósitos são formados e, o desenvolvimento de técnica s para
manipular estes depósitos. A manipulação dos depósitos pode ser conseguida por
remoção mecânica, através da passagem de “pigs”, tratamento químico, aquecimento
ativo e técnicas que previnem a formação dos depósitos, como anteriormente men-
cionado.
O isolamento térmico se tornou parte das espe cificações técnicas de linhas de
produção rígidas e flexíveis, onde o perfil de temperatura e o coeficiente global de
transferência de calor desejados são utilizados para especificar uma configuração
adequada para a linha de transporte.
Uma vez especificada a configuração da linha de transporte em estado per-
manente, os depósitos parafínicos devem ser evitados ou ao menos reduzidos nesta
condição. Todavia, a situação crítica de operação ocorre em eventos transientes
9
planejados ou não, tais como partidas e paradas de produção. Uma análise precisa
da transferência de calor na linha de transporte composta é necessária para a pre-
visão da evolução da temperatura em toda a linha de transporte (Cerqueira et al.,
2004, Su, 2003, Su e Cerqueira, 2001 , Su e Estefen, 2005, Su et al., 2002). Durante
estas operações, um sistema basea do no isolamento passivo po de requerer medidas
de prevenção muito caras e complexas, como a injeção de inibidores químicos. A
vantagem de sistemas de produção aquecidos é sua capacidade de lidar com uma
escala larga de cenários de produção, como as temperaturas, vazões de escoamento e
de como a composição do reservatório evoluirá durante a vida do campo. As exigên-
cias de aquecimento ativo são muito difíceis de serem estabelecidas de modo geral,
pois são alta mente dependentes da composição do reservatório, da produtividade
do campo e de sua arquitetura. Alguns exemplos de análise da garantia de escoa-
mento na instalação e projeto de linha s de transporte para campos de produção em
águas profundas são apresentados por Minami et al. (1999b), Minami et al. (2000),
Davalath et al. (2002), Golczynski e Niesen (20 01 ), Saint-Pierre e Constant (2002b),
Saint-Pierre e Constant (2002a), Pausche e Creek (2002) e Brown (2002).
Dois métodos do aquecimento ativo das linhas de transporte em águas profun-
das foram estudados em anos recentes: o aquecimento elétrico e o aquecimento a
partir da circulação de água aquecida. A literatura apresenta a lguns casos, onde o
aquecimento elétrico das linhas de transporte multifásicas e dos risers submarinos
de produção foi empregado para impedir a formação de hidratos e plugues de cera,
como os apresentados por Halvorsen et al. (2000) e Lervik et al. (19 98 ).
Lervik et al. (1998) apresentaram uma avaliação da viabilidade técnica e as
estimativas de custo para um sistema de aquecimento elétrico direto de 50 Hz e para
um sistema baseado na indução eletromag nética. Eles mostraram que a avaliação
elétrica dos sistemas depende da exigência de aquecimento, do material da linha
de transporte e do tubo de escoamento. A viabilidade dos conceitos foi verificada
através de testes submarinos de tamanho real. Halvorsen et al. (2000), em um
estudo semelhante, demonstraram que para proporcionar o aquecimento necessário
das linhas de produção multifásicas em um sistema de 400 Hz, cabos de aquecimento
elétrico resistivo com diâmetro de aproximadamente 30 mm e seção transversal do
10
condutor de 120 mm
2
e, para o caso de um sistema de 50 Hz, cabos com diâmetro
de aproximadamente 50 mm e seção transversal de 630 mm
2
são suficientes para
tal fim. Também mostraram que a queda de tensão é tipicamente de 1 kV por
quilômetro para o aquecimento de um riser.
Harrison e Herring (2000), Esaklul et al. (2003), Fleyfel et al. (2004) pu-
blicaram estudos relacionados ao aquecimento ativo das linhas de transporte à partir
da circulação de um fluido aquecido no espaço anular da linha de transporte com-
posta por multicamadas. Harrison e Herring (2000) apresentaram um sistema de
aquecimento ativo usando a água quente que circula no espaço anular do PIP (pipe-
in-pipe) de circuito fechado, no qual o isolamento externo em torno da linha de
transporte e o revestimento enterrado/escavado, fornecem o isolamento térmico das
linhas de transporte em um sistema de produção, que consiste em duas platafor-
mas de produção interligadas. A energia que alimenta o sistema de aquecimento é
fornecida por um gerador de energia elétrica, localizado em uma das plataformas do
sistema de produção apresentado. Um modelo detalhado usando a ferramenta de
software OLGA foi desenvolvido para investigar a viabilidade da circulação do fluido
aquecido no espaço anular isolado do PIP, com o objetivo de fornecer o aquecimento
necessário à produção. Os resultados indicaram que a circulação de 3180 m
3
/dia
(20.000 BPD) de água aquecida, partindo de uma das plataformas a 66
o
C, resultou
em perfis aceitáveis de temperatura para os cenários críticos de produção, para a
configuração do sistema de produção investigado. Invertendo periodicamente o sen-
tido do escoamento de HWC (circulação de água aquecida), a linha de transporte
“fria” anterior, transformar-se- ia na linha de transp orte “quente” e, a cera acumu-
lada, seria removida a través do pós-derretimento no vapor da produção. Harrison
e Herring (2000) mostraram que uma potência de bombeio de 895 kW (1200 Hp)
é adequada para fazer circular os 3180 m
3
/dia de fluido aquecido. Outro exemplo
prático do uso do aquecimento à partir da circulação de água aquecida foi apresen-
tado por Esaklul et al. (2003). Neste trabalho, o processo detalhado da instalação
e operação para um campo de produção localizado no Golfo do México, focalizando
os aspectos principais relacionados à garantia de escoamento é apresentado. Fleyfel
et al. (2004) analisaram linhas de transporte de produção para um campo local-
11
izado no continente Africano. Os períodos de resfriamento, aquecimento e de estado
permanente foram analisados para quatro diferentes configurações da linha de trans-
porte, duas configurações para o PiP e duas configurações para o feixe (bundle), os
dados foram obtidos à partir da variação das temperaturas de entrada (wellhead)
e para diferentes vazões de produção, em um sistema que usa a circulação de água
quente para fornecer o aquecimento necessário, visando estender os períodos de res-
friamento da linha de transporte. Neste caso, a configuração de melhor desempenho
foi a configuração em feixe, onde a água quente circula no espaço anular da linha de
transporte, entre o tubo de escoamento e o tubo mais externo.
Chin e R oberts (2002) investigaram a transferência de calor no escoamento de
gás/condensado durante parada/ resfriamento de risers “lazy-wave” em águas profun-
das. O sistema investigado consiste em uma linha de transporte de 15 milhas ligado
a uma estrutura flutuante, através dos 9,800 ft de comprimento de um riser “lazy-
wave”. O poço situa-se a 6,350 ft de profundidade no Golfo de México. O sistema
apresentado transporta uma mistura de gás-condensado com uma taxa de g ás- óleo
de 1000 scf/stb. Neste estudo, Chin e Roberts (2002) mostraram que, além da
pressão, a transferência de calor externa e interna durante o período de resfriamento
do sistema são alguns dos principais fatores de realocação de fase, devido aos efeitos
combinados das forças gravitacionais e do empuxo em sistemas que transportam
misturas de gás-condensado e óleo.
Uma estrutura flexível da linha de transporte, denominada IPB (feixe inte-
grado de produção) foi apresentada por Felix-Henry e Secher (2002). O IPB é
um conjunto de riser flexível baseado na tecnologia umbilical de serviço integrado
(ISU) e em outras tecnologias patenteadas. Neste sistema, o aquecimento ativo,
que incorpora as mangueiras do elevador de gás, é fornecido por meio de cabos
de aquecimeto traçante que são inseridos, juntamente co m o material de isolamento
passivo, nas camadas da a rmadura do IPB (mais detalhes no artigo original de Felix-
Henry e Secher (2002)). Felix-Henry e Secher (2002) mostraram que, dentre outras
vantagens apresentadas pelo IPB, este sistema simplifica as operações offshore da
instalação, o isolamento passivo mantém a temperatura de chegada do fluido mul-
tifásico transportado acima de um valor crítico nas condições padrão de serviço e,
12
além disso, mostraram que o aquecimento ativo pode ser comutado durante paradas
programadas e partidas, ou durante condições críticas de produção (perfil baixo da
produção, temperaturas e/ou pressões de escoamento baixas). Um sistema equipado
com os traçadores de aquecimento elétrico nas camadas da armadura, terá o mesmo
diâmetro externo que uma linha de transporte flexível isolada convencional e, além
disso, esta tecnologia também permite o uso do isolamento flexível padrão da linha
de transp o rte. As limitações do conceito das armaduras de aquecimento traçante
estão na potência elétrica máxima de aquecimento disponível e/ou, no comprimento
máximo disponível, devido a pequena seção transversal dos condutores.
Laouir e Denniel (2001) relataram um programa de desenvolvimento lançado
em 2000 p ela Coflexip, para introduzir o aquecimento ativo em sistemas de pipe-
in-pipe (PIP). O PIP ativamente aquecido é baseado na comprovada tecnologia de
aquecimento traçante, combinada com o projeto de bobinamento padrão do pipe-
in-pipe. O aquecimento é gerado por cabos resistivos usando a baixa tensão, que
complementam o desempenho, isolando o PIP. Laouir e Denniel (2001 ) apresen-
taram uma simulação de resfriamento da linha de transporte e mostraram que, uma
diferença de temperatura de 30
o
C a 35
o
C entre o produto de hidroca rboneto e o
ambiente poderia ser mantida com uma entrada típica de aquecimento de 20 W/m
a 40 W/m para um PIP isolado e aquecido. Também demonstraram que baixas
entradas de potência elétrica são suficientes para extender o período de resfriamento
do PIP. Exemplos de configurações de sistemas de aquecimento elétrico aplicados
às linhas de transporte também p odem ser encontrados em March e Bass (2003) e
Urdahl et al. (2003).
De modo similar ao a presentado por Laouir e Denniel (2001), Su et al. (2003)
propuseram um conceito co mbinado de isolamento térmico e aquecimento ativo,
introduzindo tiras de resistência elétrica nos linhas de transporte compostas por
multicamadas. Foi realizada a análise global da distribuição de temperatura para de-
terminar a demanda de entrada de potência elétrica e, posteriormente, a análise tér-
mica de estado permanente, para determinar a distribuição de temperatura na seção
transversal das linhas de transporte compostas por multicamadas, sob condições típi-
cas de produção em ág uas ultra profundas foi executada. Um modelo matemático
13
foi desenvolvido para analisar a transferência de calor de estado permanente nas
linhas de transporte compostas por multicamadas. As equações diferenciais par-
ciais fo ram resolvidas com base no uso do método numérico de volumes finitos. À
partir dos resultados numéricos, Su et al. (200 3) demonstraram que, com uma fonte
de alimentação de 0,3 V/m e, com quatro tiras de cobre com 1 mm de espessura
e uma largura de 4 mm, distribuições aceitáveis de temperatura do escoamento e
temperatura da superfície interna da linha de transporte são obtidas. Neste estudo,
Su et al. (2003) demonstraram também que, com uma fonte de alimentação mais
baixa, a área da seção transversal do calefator aumentará; já para uma tira mais
fina do calefa tor, a diferença da temperatura entre o fluido pro duzido e a superfície
interna da linha de transporte será diminuída, embora isto possa introduzir dificul-
dades na fabricação e na instalação. Por fim, mostraram que as linhas de transporte
compostas por multicamadas com aquecimento ativo são uma solução viável para
suprir as severas exigências da garantia de escoamento na produção de óleo e gás
natural em águas profundas e ultra-profundas.
Uma análise da transferência de calor transiente nas linhas de transporte com-
postas por multicama das com a quecimento elétrico ativo foi apresentada recente-
mente por Su et al. (2005). Três configurações das linhas de transporte compostas
por multicamadas, com polipropileno contínuo como o material de isolamento tér-
mico, foram estudadas através de simulações numéricas. Os resultados numéricos in-
dicaram que, embora o isolamento térmico passivo fosse adequado para condições de
estado permanente de produção, o a quecimento esteve requerido durante as paradas
planejadas e não planejadas. Comparando os três casos estudados, foi observado
que a demanda de potência elétrica de aquecimento por unidade de comprimento
era menor se a camada de isolamento térmico fosse mais espessa. Neste estudo, eles
indicaram que um compromisso deve ser conseguido nas especificações da linha de
transporte, considerando as despesas mais elevadas associadas ao isolamento térmico
mais espesso e ao aumento da despesa operacional, associado a maior demanda de
potência elétrica de aquecimento.
Em relação aos cenários de produção no território brasileiro, Minami et al.
(1999b) apresentaram um estudo feito pelo Petrobrás, chamado Flow Assurance
14
Project. Neste trabalho, eles apresentaram os diversos cenários de produção e os
métodos usados na prevenção e remediação de hidratos e parafinas que são, e foram,
usados em campos de produção em á guas profundas, operados pela Petrobrás no
Brasil. À partir de estudos e testes conduzidos pela Petrobrás, o uso do aqueci-
mento elétrico foi considerado impraticável para as instalações existentes, embora
o uso do aquecimento ativo, juntamente com o isolamento passivo tenha sido con-
siderado atrativo, mas ainda não colocado em prática nos campos de exploração
submarina no Brasil. Em outro estudo, Minami et al. (2000) apresentaram uma
análise prévia dos cenários de produção usados no projeto de um campo de explo-
ração em águas profundas localizado no território brasileiro, denominado Campo
do Roncador. Neste trabalho, são apresentados os aspectos de desenvolvimento do
projeto, baseados nas propriedades do fluido e no ambiente do campo de exploração,
localizado em águas profundas. Para o campo do Roncador, somente o isolamento
térmico satisfaz os requerimentos da garantia de escoamento e, o projeto de aque-
cimento ativo das linhas de transporte não é considerado. Davalath et al. (2002)
apresentaram uma análise sistemática da garantia de escoamento para o desenvolvi-
mento, projeto e instalação do Campo de Bijupira e Salema, localizado na Bacia de
Campos no litoral do estado do Rio de Janeiro, Brasil.
É imperativo que o isolamento térmico passivo seja usado em todas as linhas
de transporte em águas profundas para a produção multifásica de óleo e gás, pois
este é o método mais econômico para evitar a formação de hidratos e a deposição de
ceras. A decisão de como a garantia do escoamento adicional é apropriada para o
desenvolvimento de um campo em particular, depende das considerações econômi-
cas, de engenharia e ambientais. O método de aquecimento elétrico requer uma
capacidade adicional de geração de potência elétrica na plataforma, de 10 a 30MW ,
dependendo da configuração do sistema. Nenhuma dificuldade significativa é espe-
rada no projeto mecânico e na instalação da linha de transporte com aquecimento
elétrico. Por outro lado, o sistema de aquecimento por circulação de água (HWC)
é superior do ponto de vista termodinâmico, pois o calor liberado pelos excitadores
da turbina p ode ser reconvertido, sem necessidade energética adicional, embora o
projeto mecânico e a instalação sejam mais caros e complicados. Portanto, a escolha
15
do sistema de aquecimento ativo a ser adotado, depende fortemente das necessidades
e da configuração do sistema de produção a ser aquecido.
2.2 Convecção Forçada Turbulenta
A transferência de calor em escoamento turbulento em dutos é freqüentemente
encontrada em equipamentos térmicos de inúmeras aplicações em engenharia. Ao
longo dos anos, um vasto número de trabalhos abordando este tópico de estudo
surgiu na literatura, com o intuito de determinar os valores necessários para o pro-
jeto de tais equipamentos. No entanto, estes cálculos são extremamente dependentes
do modelo de turbulência adotado para descrever os campos de velocidade e tem-
peratura, e conseqüentemente, os resultados são diferentes daqueles dados para os
parâmetros de interesse prático, como os fatores de atrito e os coeficientes de trans-
ferência de calor.
Reynolds (1895), fez o mais significante avanço de todos os tempos, para a de-
terminação do tempo total no escoamento turbulento, através da medição espacial
das equações diferenciais parciais transientes de conservação, após primeiramente
expressar cada variável dependente como um somatório do valor médio local e uma
componente flutuante, como para u = ¯u + u
. Por motivos de conveniência, este
processo de espaço-médio é conhecido atualmente como “tempo médio”. A conse-
qüência do espaço ou do tempo médio é uma redução significativa e simplificação no
modelo diferencial, às custas do aparecimento de novas variáveis dependentes, tais
como u
v
, que são indefinidas pe lo modelo e precisam ser tratadas como parâme-
tros. O balanço de momento axial simplificado, resultante do tempo médio, pode ser
integrado analiticamente, para o escoamento es tacioná rio plenamente desenvolvido
de um fluido, com densidade e viscosidade invariantes e, então, combinado com o
balanço de momento global obtendo-se:
τ = µ
du
dy
− ρ(u
v
). (2.1)
onde τ é a tensão cisalhante total no interior do fluido, µ a viscosidade molecular
dinâmica, ρ a densidade específica, y a distância da superfície, u a componente da
16
velocidade na direção y e u
v
é o valor médio de u
v
. O termo −ρ(u
v
) é conhecido
como a tensão de Reynolds principal. Para fins de simplicidade, a sob-barra que
designa as quantidades de tempo médio foram desprezadas nas variáveis avulsas
como u e τ na Eq. (2.1) e também o serão no decorrer do texto.
Boussinesq (1877), portanto, antes da derivação da Eq. (2.1), propôs que a
contribuição da turbulência para a tensã o cortante é dada, através da analogia com
o escoamento laminar, como o produto de uma viscosidade efetiva ou turbulenta µ
t
e do gradiente de velocidade, resultando em:
τ = (µ + µ
t
)
du
dy
. (2.2)
Segue das Eqs. (2.1) e (2.2) que:
− ρu
v
= µ
t
du
dy
. (2.3)
Boussinesq reconheceu que pode-se esperar que µ
t
varie com a posição e com
a razão de escoamento e, conseqüentemente, esta deve ser modelada empiricamente.
Prandtl (1925) propôs, com ba se na analogia com o livre-caminho-médio, da
teoria cinética dos gases, que a tensão cisalhante turbulenta é representada em ter-
mos de um comprimento de mistura l definido por:
− ρu
v
= ρl
2
du
dy
2
. (2.4)
O comprimento de mistura também varia fortemente com a posição e com
o padrão de escoamento. Apesar da necessidade do uso de expressões puramente
empíricas para µ
t
e l, estes dois modelos serviram até muito recentemente como o
principal meio de predizer o s escoamentos turbulentos reais.
Diversos esquemas foram propostos para estimar µ
t
e l pelos princípios ante-
riores, o principal é conhecido como mo delo κ − ε. Kolmogoroff (1962) e Prandtl
(1945), de modo independente, sugeriram a seguinte expressão adimensional:
µ
t
= c
1
κ
1/2
l
∗
ρ, (2.5)
17
onde κ é a energia cinética de turbulência e l
∗
é uma escala de comprimento desco-
nhecida. Batchelor (1950), subseqüentemente, supôs que:
l
∗
=
c
2
κ
3/2
ε
, (2.6)
onde ε é a taxa de dissipação de turbulência. A eliminação de l
∗
nas Eqs. (2.5) e
(2.6) resulta em:
µ
t
=
c
1
c
2
ρκ
2
ε
. (2.7)
com c
1
e c
2
definidos como coeficientes adimensionais arbitrários.
Launder e Spalding (1972) propuseram calcular as quantidades turbulentas κ
e ε através das equações diferenciais de transporte, formuladas como momentos da
equação de momento. Infelizmente, este processo gera termos adicionais desconheci-
dos envolvendo u
, v
e w
. Outros modelos surgiram baseados neste modelo
As teorias estatísticas da turbulência estão basicamente limitadas a turbulência
homogênea e, são ordinariamente usa das em conjunto com considerável empiricismo,
para converter as equaçõ es ordinárias suplementares para κ e ε a um formato numeri-
camente tratável. Com relação a esta prática, a afirmação de Schlichting que, “esta
(a teoria estatística da turbulência) reconhecidamente têm contribuído para nosso
entendimento dos escoamentos turbulentos, mas esta ainda não adquiriu muita im-
portância para os engenheiros”, surge para permanecer como uma boa avaliação.
Churchill e Chan (1995b) recentemente propuseram a equação correlativa di-
reta para a construção da tensão cisalhante turbulenta e, por meio desta, evitar
a necessidade de introduzir quantidades heurísticas tais como a viscosidade turbu-
lenta e o comprimento de mistura, que requerem equações correlativas, ou ainda,
expressões semi-teóricas tais como aquelas dadas para o modelo κ−ε. Selecionaram
(u
v
)
+
≡ −ρu
v
/τ
w
como quantidades consideradas adimensionais para a corre-
lação, (embora Churchill (1997), em um trabalho subseqüente, tenha concluído que
(u
v
)
++
≡ −ρu
v
/τ, que é a fração local da tensão cisalhante total, devido à tur-
bulência), seja preferencialmente desprezada onde esta é finita em todas as posições,
incluindo a linha central do duto, onde (
u
v
)
+
= 0. Em virtude da variação linear da
tensão cisalhante total, a Eq. (2.1) pode ser reescrita na forma adimensional como:
18
1 −
y
+
a
+
1 − (u
v
)
++
=
du
+
dy
+
. (2.8)
onde, seguindo a convenção,
u
+
= u(ρ/τ
w
)
1/2
, y
+
= y(ρ/τ
w
)
1/2
/µ, a
+
= a(ρ/τ
w
)
1/2
/µ.
sendo a definido como o raio do duto, (u
v
)
+
= −ρu
v
/τ
w
e (u
v
)
++
= −ρu
v
/τ.
A comparação da Eq. (2.8) com a formulação correspondente em termos da
viscosidade turbulenta, revela o resultado um tanto precipitado:
µ
t
µ
=
(u
v
)
++
1 − (u
v
)
++
. (2.9)
A viscosidade turbulenta em um duto circular, é assim vista como sendo
definível em termos da tensão de Reynolds principal e do esforço cortante total
e, deste modo, definida para ser independente destas fontes difusivas heurísticas. A
viscosidade turbulenta pode ser determinada, através da Eq. (2.9), para ser finita
para todos os valores de y
+
> 0 em um tubo circular, incluindo a linha central do
duto. Esta também é finita para todos os valores de y
+
> 0 em um canal de plac as-
paralelas, incluindo o plano central, mas é ilimitada nas posições dentro do fluido e
negativas sob uma região adjacente, em todos os outros canais, incluindo a geome-
tria circular anular concêntrica (Churchill e Chan, 1995b). O modelo κ −ε, no qual
as funções são estimadas pela viscosidade turbulenta então, também é falho. Esta
é válida assim, apenas nas duas geometrias onde esta não é realmente necessária.
O comprimento de mistura em um tubo circular pode ser descrito de modo
similar ao dado para (u
v
++
), como segue:
(l
+
)
2
=
(
u
v
)
++
1 −
y
+
a
+
1 − (u
v
)
++
2
. (2.10)
onde l
+
é a escala de comprimento.
Embora o comprimento de mistura seja visto também como sendo indepen-
dente de fontes mecanicísticas este é, em contraste com a viscosidade turbulenta ,
ilimitado na linha central do duto. Para um canal de placas-paralelas, o compri-
mento de mistura é ilimitado no plano central e, em todos os outros ca nais, este
compartilha do comportamento irregular da viscosidade turbulenta.
19
Formulações Integrais
A expressão do ba lanço de momento axial em termos de (u
v
)
++
mostra-se
conveniente, como discutido acima, na identificação dos limites de aplicabilidade
dos modelos de viscosidade turbulenta e de comprimento de mistura. Uma segunda
vantagem inesperada é a simplificação da expressão integral para a velocidade média
de mistura e assim para o fator de atrito. A Eq. (2.8) pode ser integrada formalmente
e então reescrita em termos de η = r/a = 1 − y
+
/a
+
para obter:
u
+
=
a
+
2
1
η
2
[1 − (u
v
)
++
]dη
2
=
a
+
2
1 − η
2
−
1
η
2
(u
v
)
++
dη
2
. (2.11)
A Eq. (2.11) pode ser integrada alternadamente sobre a seção transversal, obtendo-
se:
u
+
m
=
1
0
udη
2
=
a
+
2
1
0
1
η
2
[1 − (u
v
)
++
]dη
2
dη
2
. (2.12)
A Eq. (2.12) pode ser integrada por partes, resultando em:
2
f
1/2
≡ u
+
m
=
a
+
4
1
0
1 − (u
v
)
++
dη
4
=
a
+
4
1 −
1
0
(u
v
)
++
dη
4
. (2.13)
onde η é a coordenada radial adimensional, o subescrito m é definido como o valor
de comprimento misto no interior do fluido e f o fator de atrito de Darcy.
A redução da integral dupla para u
+
m
a uma integral simples é também p os -
sível para expressões equivalentes a Eq. (2.8), em termos da viscosidade turbulenta
ou do comprimento de mistura, mas esta possibilidade nunca foi aparentemente
identificada, devido à sua grande complexidade. As formas mais apropriadas das
Eqs. (2.11) e (2.13) revelam que, a contribuição da turbulência é simplesmente a
dedução pelas soluções analíticas conhecidas para o escoamento laminar, para o
mesmo va lor de a
+
. Este resultado aparentemente óbvio não é tão evidente pelas
expressões equivalentes em termos da viscosidade turbulenta e do comprimento de
mistura, novamente, devido a sua grande complexidade.
Uma equação correlativa para (u
v
)
++
é necessária para as avaliações numéri-
cas das Eqs. (2.11) e (2.13). As predições resultantes de u
+
e u
+
m
podem mais
20
precisas do que suas prediçõ es através de correlações particulares diretas, devido a
regularização referente as integrações. A mesma vantagem estende-se as integrais
para u
+
e u
+
m
em termos da viscosidade turbulenta e do comprimento de mistura.
Expressões Assintóticas para (u
v
)
++
Algumas das maiores contribuições conceituais pa ra o esco amento turbulento
foram determinadas através de análises assintóticas. O conjunto formado por es-
tas expressões individuais mostrará que este produz uma estrutura teórica concisa
para as correlações e, deste modo, um aperfeiçoamento das expressões puramente
empíricas, numérica e funcionalmente.
Prandtl (1921) deduziu, à partir da análise dimensional ordinária aplicada para
u
+
= ϕ {y, a, τ
w
, ρ, µ}, que:
u
ρ
τ
w
1/2
= ϕ
y(τ
w
ρ)
1/2
µ
,
y(τ
w
ρ)
1/2
µ
, (2.14)
que pode ser reescrita na forma atualmente utilizada como:
u
+
= ϕ
y
+
, a
+
. (2.15)
(Esta notação foi utilizada nas Eqs. (2.8)-(2.13) devido a esta subseqüente atribuição.)
Prandtl havia observado que próximo a parede, u
+
é essencialmente independente
de a
+
, assim, reduzindo a Eq. (2.15) a:
u
+
= ϕ
y
+
. (2.16)
onde x é uma variável arbitrária e ϕx é uma função arbitrária de qualquer variável
x.
A Eq. (2.16) é conhecida como “lei universal da parede”. O termo “universal”
foi adotado pois, a Eq. (2.16), pode ser aplicada a todos os escoamentos cisalhantes.
Pelas Eqs. (2.8) e (2.16) pode-se deduzir que, próximo a parede, temos:
(u
v
)
++
= ϕ
y
+
. (2.17)
21
aqui, ϕ {y
+
} implica em uma funcionalidade diferente daquela apresentada para a
Eq. (2.16).
Através de uma reflexão similar, Prandtl (1921) concluiu que, próximo a linha
central do duto, du/dy deve ser essencialmente independente de µ, levando a seguinte
“lei do centro” para velocidade adimensional desviada:
u
+
c
− u
+
= ϕ
y
+
a
+
. (2.18)
com o subscrito c definido como o valor no centro do duto.
Pode-se deduzir através das Eqs. (2.8) e (2.18) que, próximo a linha central do
tubo, temos:
(u
v
)
++
=
1
a
+
ϕ
y
+
a
+
. (2.19)
Millikan (1938) considerou que a região de “superposiçã o” existente entre as
Eqs. (2 .16) e (2.18) são a proximações legítimas. Logo, para a distribuição de veloci-
dade, temos:
u
+
c
= A + ln
y
+
. (2.20)
e para a velocidade desviada, a seguinte expressão correspondente:
u
+
c
− u
+
= B
a
+
y
+
. (2.21)
onde A é uma constante adimensional arbitrária ou coeficiente e B um coeficiente
adimensional arbitrário.
Embora Prandtl (1921) também tenha derivado a Eq. (2.20), ele a fez com base
nos postulados de l = y/B, de uma variação desprezível na tensão cisalhante total
e de uma tensão viscosa desprezível, enquanto que a variação de Millikan é livre de
empiricismos explícitos. A expansão para (u
v
)
++
correspondente as Eqs. (2.20) e
(2.21) é dada por:
1 − (u
v
)
++
=
B
y
+
. (2.22)
22
Murphree (193 2) e outros autores usaram a análise assintótica formal para
derivar o equivalente dimensional da seguinte expressão para a tensão cisalhante
turbulenta próximo a parede:
(u
v
)
++
= α(y
+
)
3
+ β(y
+
)
4
+ .... (2.23)
da qual segue que
u
+
= y
+
−
α
4
(y
+
)
4
−
β
5
(y
+
)
5
+ .... (2.24)
sendo α e β coeficientes adimensiona is.
As Eqs. (2.23) e (2.24) estão de acordo com as Eqs. (2.17) e (2.16), respecti-
vamente. A forma limite da Eq. (2.24), isto é, aquela obtida desprezando os termos
máximos à direita, pode ser derivada diretamente, pressupondo que a tensão cisa-
lhante turbulenta é desprezível.
O reconhecimento na á rea física que (u
v
)
++
deve ser finita na linha central
do duto, requer, em virtude da Eq. (2.8), que:
u
+
c
− u
+
→ E
1 −
y
+
a
+
2
, (2.25)
e conseqüentemente que
1 − (u
v
)
++
→
2E
a
+
. (2.26)
com E como coeficiente adimensional arbitrário.
A ba se para a origem da primeira derivação de Eqs. (2.25) e (2.26) é devida as
aproximações empíricas, como a observação de que os valores de µ
t
/µa
+
, aproximam-
se de um valor constante com y
+
→ a
+
. As Eqs. (2.25 ) e (2.26) estão de acordo com
as Eqs. (2.18) e (2.19), respectivamente. As Eqs. (2.22), (2.23) e (2.26) produzem,
em áreas puramente conceituais, uma sólida estrutura para a equação correlativa
de (u
v
)
++
, e as Eqs. (2.20), (2.24) e (2.25), correspondentemente para u
+
, mas os
conceitos menos puros, descritos nas próximas duas seções são também úteis, se não
essenciais.
23
Analogia de MacLeod
MacLeod (1951) observou que as soluções finais para a distribuição de ve-
locidade no escoamento laminar em tubos circulares e placas-paralelas são cor-
respondentes quando escritas como u
+
{y
+
, a
+
} e u
+
{y
+
, b
+
}, respectivamente. Ele
supôs que esta correspondência deve ser mantida para o escoamento turbulento e a
confirmação experimental observada na dispersão de dados. Esta correspondência
não ocorre para o regime de transição do escoamento laminar plenamente desen-
volvido para o escoa mento turbulento plenamente desenvolvido produzindo, assim,
um critério para os limites deste estado intermediário. Pode-se deduzir, através da
Eq. (2.8), que a correspondência de u
+
deve também ser aplicada para (u
v
)
++
.
A importância da analogia de Ma cLeod consiste no fato de que esta permite o uso
de dados experimentais, valores calculados, expressões conceituais, expressões assin-
tóticas e equações correlativas para que estas duas geometrias possam ser utilizadas
de modo permutável. A “lei universal da parede” pode ser reconhecida, como um
caso especial da analogia de MacLeod, para estas duas geometrias, mas por outro
lado, esta é aplicável para outras geometrias, enquanto a analogia de MacLeod não
é.
Equação Canônica para a Correlação
Churchill e Usagi (1972) propuseram o uso da seguinte expressão interpolativa
para a correlação:
(y {x})
n
= (y
0
{x})
n
+ (y
∞
{x})
n
. (2.27)
A Eq. (2.27), pode ser rearranjada como
y {x}
y
0
{x}
n
= 1 +
y
∞
{x}
y
0
{x}
n
, (2.28)
é precisa em aproximadamente todos os casos para a determinação de representações
de alta precisão, pois o desvio máximo próximo a assíntota é, na maior parte das
vezes, relativamente limitado. Nas equações acima, n é um expoente arbitrário e
24
os subescritos 0 e ∞ representam o comportamento assintótico para x → 0 e para
x → ∞, respectivamente.
A representação dada pela Eq. (2.26) é relativamente insensível para o valor do
expoente arbitrário n, em particular, para grandes valores deste, pela mesma razão.
Pode-se perceber que ao contrário para todas as equações anteriores, o formato da
Eq. (2.27) e o valor do expoente n, com apenas raras exceções, não possuem bases
teóricas.
Valores Teóricos de (u
v
)
++
O desenvolvimento de um método de DNS (Simulação Numérica Direta - "di-
rect numerical simulation") de Orszag e Kells (1980) e outros autores, representa
um grande avanço na predição teórica dos valores quantitativos para o escoamento
turbulento. Esta metodologia, que é essencialmente livre de empiricismos, é limitada
pela demanda co mputacional e, po r razões implícitas, para geometrias simplificadas
e para uma faixa pouco extensa de turbulência plenamente desenvolvida. Uma das
maiores façanhas de DNS é a confirmação feita por Rutledge e Sleicher (1993), den-
tre outros, da funcionalidade da Eq. (2.23) para o escoamento entre placas-paralelas
e um valor de ≈ 7 × 10
−4
para o coeficiente α estimado para esta expressão .
Desenvolvimento da Teoria Baseada nas Equaçõe s Corr elati vas
Churchill e Chan (1995a) desenvolveram uma correlação para:
(u
v
)
+
= (u
v
)
++
1 −
y
+
a
+
,
no formato da Eq. (2.27) que incorpora o co mportamento assintótico, descrito pela
Eq. (2.26) e a forma limite da Eq. (2.23), bem como o comportamento intermediário
dado pela Eq. (2.22). A Eq. (2.23) com α = 7 × 10
−4
é uma expressão suficiente
para (u
v
)
++
0
, mas um processo mais complicado é requerido para determinar uma
expressão apropriada para (u
v
)
++
∞
. O coeficiente B da Eq. (2.22) e o coeficiente
E da Eq. (2.26) podem ser determinados de forma mais confiável, através de dados
disponíveis para a distribuição de velocidade, do que pelos dados de tensão cisalhante
25
turbulenta. Conseqüentemente, o ponto de partida para o desenvolvimento de uma
expressão para (u
v
)
++
∞
é a condição de que:
u
+
∞
= A + B ln
y
+
+ C
y
+
a
+
2
− D
y
+
a
+
2
. (2.29)
com C e D dados como coeficientes adimensionais arbitrários.
Fazendo D = (B + 2C)/3 temos que du
+
/dy
+
= 0 em y
+
= a
+
e conduz a
Eq. (2.25) com E = 3B/2 + C. Distribuições experimentais de velocidade, bastante
precisas, obtidas por Zagarola (1981) para um tubo circular, fornecem uma forte
evidência para B = 1/0.436 e para o desvio limite, devido ao rastro em y
+
= a
+
de
C −D = 1.51. Segue que E = 10.264. Substituindo a derivada de u
+
∞
da Eq. (2.29)
na Eq. (2.8), simplificando e inserindo os valores numéricos dados acima, temos:
(u
v
)
++
∞
= 1 −
1
0.436y
+
−
1
0.436a
+
1 +
6.95y
+
a
+
. (2.30)
A combinação destas expressões para (u
v
)
++
0
e (u
v
)
++
∞
na Eq. (2.29), com o
expoente n = −8/7, baseado nos dados experimentais de Wei e Willmarth (1980)
para u
v
em canais de placas-pa ralelas, resulta finalmente na seguinte versão atua-
lizada da correlação de Churchill e Chan (1995a):
(u
v
)
++
=
0.7
y
+
10
4
−8/7
+
exp
1
0.436y
+
−
1
0.436a
+
1 +
6.95y
+
a
+
−8/7
−7/8
(2.31)
A aproximação de 1 − 1/(0.436y
+
) pelo exp {−1/(0.436y
+
)} e, os valores ab-
solutos, são instrumentos matemáticos simples para evitar as singularidades em
(u
v
)
++
∞
em uma f aixa muito pequena de valores de y
+
, nas quais estes termos não
contribuem de modo significante na predição de (u
v
)
++
. A Eq. (2.3 1) satisfaz
todos os requerimentos conceituais conhecidos e gera predições numéricas precisas
para todos os valores de y
+
e a
+
> 300. Uma última restrição foi imposta, talvez
desnecessária, pois o regime de superposição é assumido para desaparecer fisicamente
para valores inferiores de a
+
, enquanto o termo correspondente, exp {−1/(0.436y
+
)},
permanece operante na Eq. (2.31). Deste modo, uma correlação correta, funcional e
compreensiva raramente pode ser construída através de meios puramente empíricos.
26
Uma correlação isolada para u
+
não é realmente necessária, mas por con-
veniência, os valores numéricos calculados pela Eq. (2.11), usando a Eq. (2.31) para
(u
v
)
++
, assim como os dados experimentais de Zagarola, pode ser representada
aproximadamente por:
u
+
= (A
1
+ A
2
)
−1/3
, (2.32)
onde
A
1
=
(y
+
)
2
1 + y
+
− exp
−1.75
y
+
10
4
3
,
A
2
=
1
0.436
ln
14.48y
+
+ 1
+ 6.824
y
+
a
+
2
− 5.314
y
+
a
+
3
−3
.
O termo na Eq. (2.32) para u
+
0
é uma aproximação para a Eq. (2.24) que
evita o mau comportamento desta expressão para y
+
> 11.26. A integração da
Eq. (2.31) produz valores levemente variáveis da “constante” A, mas um valor fixo
de 6.13, correspondente a 1/(0.436) ln {14.48}, fo i escolhido, de acordo com a média
das determinações experimentais de Zagarola. O termo adicional de homogeneidade
no argumento do logaritmo é simplesmente um instrumento matemático para evitar
uma singularidade em y
+
= 1/14.48 = 0.069. O valor de −3 para o expoente
arbitrário foi escolhido com base nos valores calculados de u
+
e de vários conjuntos
de dados experimentais anteriores pois, os dados de Zagarola, não se estendem a
valores suficientemente baixos de y
+
para este propósito. A Eq. (2.32) é também
questionável para a
+
< 300 como previamente citado nas áreas funcionais. Por
outro lado, este é presumido para ser mais preciso numericamente, mais correto
funcionalmente e mais compreensivo do que a correlação para u
+
apresentada na
literatura. Novamente, este melhoramento é , primeiramente, uma conseqüência da
incorporação de todos os comportamentos conhecidos conceitualmente, opondo-se
ao empiricismo puro.
Como o fator de atrito pode ser calculado pela Eq. (2.12) usando a Eq. (2.31)
para (u
v
)
++
, uma correlação isolada não é novamente essencial. No entanto, p o r
27
conveniência, os valores calculados através das a Eqs. (2.12) e (2.31) assim como os
dados experimentais de Zag aro la podem ser representados mais ri-gorosamente para
a
+
> 300 por:
2
f
1/2
= u
+
m
= 3.30 −
155
a
+
+
50
a
+
2
+
1
0.436
ln
a
+
. (2.33)
A constante principal de 3.30 está baseada nos dados experimentais de Za-
garola, mais propriamente nos valores levemente mais baixos calculados. Os termos
−155/a
+
e (50/a
+
)
2
que consideram os desvios descendentes da velocidade no regime
semi-logarítmico na região próxima a parede, estão funcionalmente baseados no uso
de u
+
= y
+
na integração para baixos valores de y
+
e numericamente nos valores
calculados de u
+
m
para baixos valores de a
+
. A Eq. (2.33) pode ser estendida para
incluir dutos com rugosidade natural representada por e
c
, simplesmente dividindo
a
+
no argumento do logaritmo por 1 + 0.301(e
c
a)a
+
. A expressão resultante pode
ser usada para estimar precisamente o fator de atrito para todo e
c
/a e para todos
os valores de a
+
em regime plenamente turbulento. A Eq. (2.32) pode, correspon-
dentemente, ser estendida para incorporar naturalmente a rugosidade do duto para
y >> e
c
simplesmente dividindo por 14.48y
+
+ 1 no argumento do logaritmo por
este mesmo termo.
Na base da analogia de MacLeod, as Eqs. (2.31) e (2.32) são diretamente
aplicáveis para canais de placas-paralelas se b
4
for simplesmente substituído por a
+
.
O análogo da Eq. (2.33) para canais de placas-paralelas lisos e naturalmente rugosos
é dado por:
2
f
2
= u
+
m
= 4.615 −
155
b
+
+
1
0.436
ln
b
+
1 + 0.301
e
c
b
b
+
. (2.34)
O principal coeficiente está baseado nas integrações numéricas, pois dados
experimentais para placas-paralelas, de precisão comparável aos apresentados por
de Zagarola para dutos circulares, não estão disponíveis na literatura.
28
2.2.1 Correlações para o Perfil de Velocidade
Perfis de velocidade em esco amento turbulento em dutos ou em camada limite
sobre uma placa plana são normalmente escritos em termos das variáveis internas,
u
+
e y
+
, definidos como:
u
+
=
u
u
τ
, (2.35)
y
+
=
yu
τ
ν
, (2.36)
A velocidade de atrito u
τ
é dada por:
u
τ
=
τ
w
ρ
, (2.37)
onde τ
w
é a tensão cisalhante na parede, ρ é a densidade do fluido e ν a velocidade
cinemática do fluido.
Várias expressões foram desenvolvidas para o perfil de velocidade de escoa-
mento turbulento plenamente desenvolvido em um tubo circular liso. Aqui, abor-
daremos apenas o modelo de Três - Camadas e o modelo de Churchill (2001), que
serão demonstrados nas subseções seguintes.
2.2.2 Correlações para o Fator de Atrito
Para determinar o perfil de velocidade dimensional u(y) a partir de uma corre-
lação para a velocidade adimensional u
+
(y
+
), é necessário determinar a velocidade
de atrito, u
τ
, pois:
u = u
τ
u
+
. (2.38)
A velocidade de atrito u
τ
é no rmalmente determinada através do fator de atrito
de Darcy f, ou de Fanning f
. O fator de atrito de Darcy é definido como:
f =
−
dP
dx
D
1
2
ρ¯u
2
, (2.39)
onde P é a pressão e x a coordenada longitudinal. O fator de atrito de Fanning é
dado pela equação:
29
f
=
τ
w
1
2
ρ¯u
2
. (2.40)
No escoamento turbulento plenamente desenvolvido em um tubo circular, temos:
τ
w
=
−
dP
dx
D
4
. (2.41)
Logo,
f = 4f
, (2.42)
Da definição de velocidade de atrito, Eq. (2.37), temos:
τ
w
= ρu
2
τ
. (2.43)
Da definição do fator de atrito de Fanning, Eq. (2.40), temos:
τ
w
= f
ρ
1
2
ρ¯u
2
. (2.44)
Igualando as Eqs. (2.43) e (2.44), conduz a:
u
τ
¯u
=
f
2
=
f
8
. (2.45)
As correlações para o fator de atrito do escoamento turbulento plenamente
desenvolvido em um dutos à serem aqui utilizadas seguem a correlação proposta por
cada um dos mo delo s adotados, ou seja , o modelo de Três - Camadas e o modelo de
Churchill (2001).
2.2.3 Modelos Adotados para a Distribuição de Velocidade
Turbulenta
Nesta subseção serão apresentados os modelos e correlações usados na análise
apresentada no Capítulo 4 e, a simbologia empregada aqui pode ser encontrada na
Lista de Símbolos.
30
Modelo de Três - Camadas
O modelo de turbulência aqui apresentado, consiste de um modelo de Três -
Camadas para a distribuição de velocidade em conjunto com um modelo de Duas -
Camadas para a momento de difusividade turbulenta.
A distribuição de velocidade turbulenta no modelo de Três - Camadas é dada
pelas expressões (Kays e Crawford, 1993, Reichardt, 1951):
u
+
= y
+
, para 0 ≤ y
+
< 5, subcamada viscosa, (2.46)
u
+
= −3.05 + 5 ln(y
+
), para 0 ≤ y
+
≤ 30, camada limite, (2.47)
u
+
= 5.5 + 2.5 ln
y
+
1.5(1 + η)
(1 + 2η
2
)
, para y
+
> 30, núcleo turbulento.
(2.48)
O modelo de difusividade turbulenta cinética (modelo de Duas - Camadas para
o momento de difusividade turbulenta) é obtido como (Reichardt, 1951, Spalding,
1961):
ε
m
ν
=
k
1
a
+
6
(1 − η
2
)(1 + 2η
2
)
, para y
+
≥ 40, (2.49)
ε
m
ν
=
k
2
E
e
k
2
u
+
− 1 − k
2
u
+
−
(k
2
u
+
)
2
2!
−
(k
2
u
+
)
3
3!
, para y
+
< 40, (2.50)
onde k
1
= 0.4, k
2
= 0.407 e E = 10.
Os vários grupos adimensionais adicionais empregados no modelo de Três -
Camadas são definidos da seguinte forma:
y
+
= (1 − η)a
+
, (2.51)
a
+
=
Re
2
(2−p)
f
8
, (2.52)
31
u
+
=
u(r)
u
m
f
8
, (2.53)
f =
4τ
w
ρu
2
m
2
. (2.54)
η =
y
b
(2.55)
onde y é a coordenada normal, u
+
é a velocidade turbulenta, y
+
e a
+
são parâmetros
definidos pelas Eqs. (2.51) e (2.52), ε
m
é a difusividade turbulenta, η a coordenada
transversal adimensional, Re =
u
m
D
ν
é o número de Reynolds, b é a metade da dis-
tância entre as placas ou o raio interno do duto circular, u
m
=
1
b
b
0
u(y)dy velocidade
média do fluido, D é o diâmetro hidráulico do canal, ν a viscosidade cinemática e f
é o fator de atrito de Darcy.
No entanto, o fator de atrito e a razão de velocidade, que aparecem na dis-
tribuição de velocidade adimensional no problema de autovalor, abordado no Capí-
tulo 4, para a resolução do problema físico adimensional, deverão ser determina-
dos. A aplicação da lei da conservação de massa facilmente supre esta dificuldade,
fornecendo um meio para determinar o fator de atrito de Darcy e, conseqüentemente,
a razão de velocidade. Para o modelo de Três - Camadas, este é dado pela seguinte
equação transcendental:
f
8
1
0
(p + 1)η
p
u
+
(η)dη = 1, (2.56)
onde u
+
é dado pelas Eqs. (2.46) a (2.48), p define a geometria, sendo p = 0 para o
canal de placas-paralelas e p = 1 para o duto circular.
A razão de velocidade C é obtida fazendo η = 0 na Eq. (2.48) para o perfil de
velocidade na região central do duto, produzindo:
C =
5.5 + 2.5 ln(1.5R
+
)
f
8
. (2.57)
32
Modelo de Churchill
Churchill (2001) apresentou a seguinte expressão para a distribuição de veloci-
dade adimensional para o escoamento e a convecção turbulenta em dutos, obtida
através de integração e baseada nos dados experimentais de Zagarola (1981):
u
+
= 6.13 +
1
0.436
ln y
+
+ 6.824
y
+
a
+
2
− 5.314
y
+
a
+
3
. (2.58)
onde a
+
= Ru
τ
/ν e R é o raio interno do tubo circular e,
u
v
++
= −
ρu
v
τ
, (2.59)
onde τ é a tensão cisalhante total, definida por:
τ = µ
du
dy
− ρu
v
. (2.6 0)
Pela formulação de Churchill (2001), a viscosidade cinética turbulenta é dada
por:
ν
t
ν
=
u
v
++
1 − u
v
++
, (2.61)
onde a tensão cisalhante turbulenta pode ser obtida através da seguinte expressão:
u
v
++
=
0.7
y
+
10
4
−8/7
+
exp
−1
0.436y
+
−
1
0.436a
+
1 +
6.95y
+
a
+
−8/7
−7/8
(2.62)
Mais uma vez, como mencionado anteriormente, o fator de atrito e a razão de
velocidade, que aparecem na distribuição de velocidade adimensional no problema
de autovalor, Capítulo 4, deverão ser determinados. O fator de atrito de Darcy, f,
para o escoamento turbulento em dutos é dado pela seguintes expressões (Churchill,
2001):
8
f
= 3.30 −
227
a
+
+
50
a
+
2
+
1
0.436
ln a
+
, para o duto circular, (2.63)
33
8
f
= 4.615 −
155
b
+
+
1
0.436
ln b
+
, para o canal de placas-paralelas. (2.64)
2.2.4 Correlações Empíricas
A fim de complementar o traba lho teórico aqui desenvo lvido, os resultados
apresentados podem ser também comparados com os dados experimentais e/ou em-
píricos, sob condições de escoamento similares, verificando, assim, o ca ráter com-
parativo associado com a aproximação aqui empregada. O número de correlações
que podem ser adotadas para este propósito é vasta. No entanto, devido às amplas
faixas de operação do número de Reynolds, apenas duas delas foram escolhidas :
• Correlação de Dean (Dean, 1978) para canal de placas paralelas:
f
4
= 0.073
Re
2
−0.25
, para 1.2 × 10
4
≤ Re ≤ 1.2 × 10
6
. (2.65)
No mesmo trabalho, uma expressão representativa para a velocidade na linha
central, ou como previamente definida, a razão de velocidade, é também
fornecida e dada como:
C = 1.28
Re
2
−0.0116
, para 1.2 × 10
4
≤ Re ≤ 1.2 × 10
6
; (2.66)
• Correlação de Prandtl-Kárman-Nikuradse (Nikuradse, 1932, Prandtl, 1944,
von Kármán, 1934) para o tubo circular:
1
√
f
= 1.7372 ln (Re
f) − 0.3946, para Re = 4 × 10
3
a 10
7
. (2.67)
2.2.5 Número de Prandtl Turbulento
O conhecimento do número de Prandtl turbulento é o problema central de to-
das as considerações teóricas envolvendo a transferência de calor nas camadas limites
bidimensionais ou no escoamento em dutos. Um vasto número de modelos foram
publicados na literatura com o intuito de predizer o número de Prandtl turbulento
para tais situações. Uma revisão dos trabalhos existentes po de ser encontrada nos
trabalhos de Reynolds (1975) e Kays (1994). Em geral, pode-se observar que:
34
P r
t
≤ 1 para P r ≥ 1 (gases e líquidos),
P r
t
>> 1 para P r << 1 (metais líquidos).
Existe uma forte influência do número de Prandtl molecular no valor de P r
t
para fluidos com números de Prandtl muito baixos (metais líquidos). Também, e-
xiste a influência da distância da parede no valor do número de Prandtl turbulento,
este, por sua vez, tende a aumentar o valor de P r
t
próximo à parede. Este aumento
em P r
t
, próximo a parede é especialmente importante em fluidos onde o número
de Prandtl é grande devido a camada limite térmica ser extremamente delgada.
Fora desta camada limite delgada próxima da parede, o número de Prandtl tur-
bulento pode ser considerado constante para P r > 1. Devido a forte dependência
de P r
t
do número de Prandtl molecular para fluídos com baixo número de Prandtl
(metais líquidos), esforços para desenvolver modelos preditivos para P r
t
foram de-
senvolvidos, os quais levam em consideração a dependência do número de Prandtl
molecular, assim como a dependência de P r quando a distância da parede é levada
em consideração.
Um vasto número de formulações para P r
t
constam na literatura. A maioria
destas formulações foram inspiradas em observações que determinaram, experimen-
talmente, os coeficientes de transferência de calor para o escoamento de metais
líquidos em dutos, que são mais apropriados para este tipo de escoamento do que a
analogia de Reynolds. Este fato é devido a condutividade térmica relativamente ele-
vada para fluidos com baixo número de Re ynolds, modelos baseados na idéia de que
o esco amento turbulento pode p erder calor através de simples condução durante o
movimento normal na direção do escoamento médio, reduzindo assim a transferência
de calor através do processo de troca de calor turbulenta. A maior parte das análises
são baseadas na variação da mesma idéia, mas virtualmente todas contém constantes
livres que precisam ser avaliadas através de comparações com dados experimentais
disponíveis. Algumas destas são apresentadas à seguir.
O modelo de Prandtl constante é obtido assumindo-se a hipótese da analogia
35
de Reynolds, ou seja,
ν
t
= α
t
. (2.68)
Isto é,
P r
t
= 1.0. (2.69)
Assim, neste modelo, a difusividade turbulenta de aquecimento é feita igual
ao momento de difusividade turbulenta. É importante lembrar que este modelo é
válido, aproximadamente, para escoamentos de camada limite e pode causar erros
significantes se for aplicado para outros escoamentos.
Kays e Crawford (1993) desenvolveram um modelo preditivo para P r
t
que
pode ser usado para todos os números de Prandtl moleculares (Kays, 1994). O
modelo contém duas constantes empíricas que foram determinadas à partir de dados
experimentais disponíveis. O modelo rela tivamente simples de Kays e Crawford
(1993) é dado por:
P r
t
= 0.85. (2.70)
Este modelo baseia-se na existência de uma região logarítmica sobreposta para
os perfis de velocidade e de temperatura:
u
+
=
1
κ
ln y
+
A, (2.71)
T
+
=
1
κ
t
ln y
+
B. (2.72)
O número de Prandtl turbulento é determinado por
P r
t
=
κ
t
κ
=
2.075
2.44
≈ 0.85. (2.73)
Este modelo não é válido para os escoamentos de fluidos com baixos números
de Prandtl, como no caso de metais líquidos, pois a regiã o logarítmica do perfil de
temperatura desaparece nestes casos.
36
Weigand et al. (1997b) propuseram uma extensão do modelo de Kays e Craw-
ford (1993), na seguinte forma:
P r
t
=
1
1
2P r
t∞
+ CP e
t
1
P r
t∞
− (CP e
t
)
2
1 − exp
−
1
CP e
t
√
P r
t∞
, (2.74)
onde
P e
t
= P r
ν
t
ν
, (2.75)
e
P r
t∞
= 0.85 +
D
P rRe
0.888
, (2.76)
C = 0.3 e D = 100;
Jischa e R ieke (1979) desenvolveram um modelo para P r
t
, através das equações
de transporte modeladas para a energia cinética turbulenta e para o fluxo de calor
turbulento. Eles obtiveram a expressão final para o número de Prandtl turbulento
dada por:
P r
t
= 0.9 +
182.4
P rRe
0.888
. (2.77)
Esta equação é válida apenas quando P r
t
varia de 0.87 a 0.85.
Uma expressão com uma faixa de valores mais ampla foi proposta por Notter
e Sleicher (1972). Eles propuseram uma equação correlativa empírica para todo P r
e para todo (u
v
)
++
que pode ser escrita como:
P r
t
=
1 + Φ
1 +
10
35+(ν
t
/ν)
0.025P r
ν
t
ν
+ Φ
, (2.78)
onde
Φ = 90P r
3/2
ν
τ
ν
1/4
, (2.79)
e
ν
τ
ν
=
(u
v
)
++
1 − (u
v
)
++
. (2.80)
A Eq. (2.78) produz resultados que estão em bom acordo com a analogia de
Reynolds (P r = 1), embora esta não seja capaz de predizer uma mudança brusca
em P r
t
para elevados P r e baixas (µ
t
/µ).
37
Um modelo mais compreensivo foi proposto por Yakhot et al. (1987). Eles a-
presentaram uma solução analítica baseada no “método de renormalização de grupo”
que é aparentemente livre de empiricismos. A equação relativamente simples dada
por Yakhot et al. é também examinada:
1
P r
eff
− 1.1793
1
P r
− 1.1793
0.65
1
P r
eff
+ 2.1793
1
P r
+ 2.1793
0.35
=
1
(1 +
M
/ν)
, (2.81)
onde
P r
eff
=
[1 + (ν
t
/ν)]
(ν
t
/ν)
P r
t
+
1
P r
. (2.82)
onde ν é a viscosidade molecular e ν
t
a viscosidade turbulenta.
A influência do número de Prandtl turbulento foi discutida por vários autores
(Churchill, 2001, 2002, Kays, 1994, Weigand et al., 1 997 b) mas não foi investigada
sistematicamente.
Soluções analíticas para escoamento turbulento termicamente desenvolvendo-
se em dutos apresentam dificuldades associadas com o cálculo das autoquantidades
do problema de autovalor associado. Como resultado, as soluções são aplicadas
apenas em regiões na entrada do duto e limitadas aos casos com baixos números de
Prandtl.
Özisik et al. (1989) resolveram a naliticamente o problema da transferência de
calor na região de entrada térmica, devido à convecção forçada turbulenta de um
fluido Newtoniano em um canal de placas-paralelas para o escoamento turbulento
plenamente desenvolvido com um modelo de Três - Camadas para a distribuição de
velocidade e um modelo de Duas - Camadas para a difusividade cinética turbulenta.
Eles assumiram pa ra o modelo de difusividade turbulenta um número de Prandtl
unitário. Este problema f oi resolvido através da Técnica da Transformada Integral
Clássica, e o problema de autovalor associado, resolvido através do Método de Con-
tagem de Sinal. Determinaram o fator de atrito e o número de Nusselt assintótico
e compararam os resultados analíticos com aqueles obtidos através da correlação
empírica de Bhatti e Shah (1987) para o fator de atrito em um canal de placas-
paralelas e diversas correlações para o número de Nusselt assintótico. Brown et al.
38
(1997) resolveram o mesmo problema, agora para o duto circular, e usa ndo a corre-
lação de Prandtl-Kárman-Nikuradse para o fator de atrito no duto circular. Neste
trabalho, eles mostraram que os números de Nusselt termicamente desenvolvidos
(assintóticos) são equivalentes, em magnitude, ao quadrado do primeiro autovalor.
A influência dos modelos de turbulência para o campo de velocidade e as dis-
tribuições de viscosidade turbulenta foram investigadas por Quaresma et a l. (2001),
enquanto que o número de Prandtl turbulento foi conservado como sendo unitário.
Quaresma et al. (2001) desenvolveram soluções analíticas gerais e soluções analíticas
exatas para o escoamento turbulento em desenvolvimento térmico de um fluido New-
toniano em dutos, através da técnica da transformada integra l. As soluções apresen-
tadas demonstraram ter uma excelente concordância com as correlações avaliadas
para os casos limitantes. Ainda, estas soluções podem ser usadas para examinar os
efeitos de parâmetros chave, como o número de Prandtl e a geometria envolvida,
permitindo a determinação com um grau mais elevado de precisão dos fatores de
atrito, fluxo de calor adimensional e os números de Nusselt local e assintótico, sobre
uma ampla faixa de números de Prandtl e Reynolds. Os efeitos de turbulência foram
levados em conta através da adoção de quatro modelos diferentes de turbulência, os
quais permitiram uma comparação crítica com estes, e estendendo as contribuições
anteriores na aproximação da transformada integra l dadas por Özisik et al. (1989),
para canais de placas paralelas, e Brown et al. (1997), para dutos circulares. Este
trabalho apenas produz uma estimativa da influência da modelagem de turbulência
em diferentes casos e dá a possibilidade de estudar a viabilidade das aproximações
envolvidas em cada modelo de turbulência. Também mostraram uma comparação
com as correlações empíricas disponíveis para a transferência de calor plenamente
desenvolvida.
A importância relativa da condução axial na transferência de calor para escoa-
mento em dutos, depende do número de Péclet. Para escoamento em dutos onde o
número de Péclet P e ≈ 100, a condução de calor axial no fluido pode ser desprezada
quando comparada com a condução radial, conhecido como problema de Graetz
clássico. Para escoamentos onde P e ≤ 100, a condução axial no fluido deve ser
levada em consideração, como no caso do escoamento de metais líquidos em dutos,
39
este problema é conhecido como problema de Graetz estendido (problema de Gra etz
considerando-se a condução de calor axial no fluido). O escoamento turbulento de
metais líquidos em dutos foi extensamente estudado na literatura (B. Weigand e
Beer, 1993, Lee, 1982, Weigand, 1996, Weigand et al., 1997a,b, 2001, Weigand e
Lauffer, 20 04 , Weig and et al., 2002, 1997c, Weigand e Wrona, 2003). O escoamento
turbulento de metais líquidos em dutos, os modelos de turbulência e as correlações
para o número de Prandtl turbulento são similares as apresentadas para o esco a-
mento de fluidos newtonianos, já mencionados anteriormente e, devido a este fato,
este é aqui apenas citado po r motivos de explanação do tema, sendo que, maiores
detalhes são apresentados nos artigos originais.
Neste trabalho, efetuamos uma investigação sistemática da convecção forçada
turbulenta em dutos circulares e canais de placas-paralelas com superfícies lisas,
primeiramente para a transferência de calor plenamente desenvolvida e em seguida
para o problema de entrada térmica. Duas distribuições para a velocidade e para a
viscosidade turbulenta são empregadas, duas correlações empíricas e cinco modelos
para o número de Prandtl turbulento. Os fatores de atrito e os números de Nusselt
calculados são comparados com os resultados obtidos a través das correlações em-
píricas adotadas, tanto para o duto circular quanto para o canal de placas-paralelas.
A formulação matemática do problema abordado é apresentada no Capítulo 3 e, os
resultados obtidos, estão no Capítulo 6.
2.3 Convecção Laminar Forçada Transiente em Canais
de Placas-Para lelas
O estudo da transferência de calor conve ctiva não-estacionária em dutos é
importante para o controle de reatores nucleares, mo tores a jato e equipamentos
trocadores de calor encontrados em várias aplicações da engenharia. Os problemas
não-estacionários podem ser classificados como transientes ou periódicos, de acordo
com sua dependência em relação ao tempo. A maior parte dos trabalhos apresen-
tados na literatura tratam de problemas com variações periódicas nas condições
de contorno ou na temperatura de entrada. Claramente, a parte estacionária da
40
solução do problema periódico deve ser mais simples do que a solução transiente (ou
completa), a qual é freqüentemente muito complexa e, ainda, em muitas aplicações
práticas, assim como o escoamento e a transferência de calor associada a muitos
componentes em engenharia, a parte estacionária da solução periódica é mais im-
portante.
Trabalhos de pes quisa anteriores sobre a convecção forçada periódica em dutos,
estiveram focados no desenvolvimento de metodologias de solução para as e quações
governantes do escoamento e para as equações de energia (Arik et al., 1996, Cheroto
et al., 1999, 1997, Kakaç e Li, 1994, Kim et al., 1991, Li e Kaka ç, 1 99 1, Ünsal, 1998 ),
com uma evidente preferência por aproximações de base analítica, considerando as
dificuldades no tratamento numérico das altas freqüências de oscilação das respostas
dos sistemas térmicos. Por outro lado, a situação envolvendo uma mudança de
degrau na temperatura de entrada têm recebido pouca atenção, apesar de sua im-
portância em várias aplicações práticas, como no projeto de sistemas de controle para
dispositivos trocadores de calor e também para aplicações nas quais uma avaliação
do desempenho do equipamento térmico em regime de convecçã o forçada transiente
inclue processos como partidas, paradas, picos de tensão, etc., (Chen et al., 1983,
Cotta e Gerk, 1994, Cotta e Özisik, 1986, 1985, Cotta et al., 1986, El-Shaarawi e
Alkam, 1992, Guedes e Özisik, 199 4, Guedes et al., 1994, Hatay et al., 1991, Hudson
e Bankoff, 1964, Kakaç e Li, 1994, Lin et al., 1983, Sucec, 1986, 1988, Sucec e Radley,
1990). A formulação matemática e a análise de cada problema, conduz a necessi-
dade de se resolver as equações diferenciais parciais do tipo hiperbólicas, as quais
envolvem uma descontinuidade itinerante na solução para o campo de temperatura.
Através da técnica da transformada integral dupla, Hudson e Bankoff (1964)
obtiveram a s soluções assintóticas para a transferência de calor para um escoamento
de Poiseuille em um tubo sob condições transientes, resultante de um aumento de
degrau na temperatura da parede. El-Shaarawi e Alkam (1992) propuseram resolver
o problema da convecção laminar transiente na região de entrada térmica de um
espaço anular concêntrico com camadas limites hidrodinâmicamente desenvolvidas
e em desenvolvimento térmico, simultâneamente, para qualquer opção, ou seja, quer
para uma mudança de degrau da temperatura em um dos c ontornos do espaço a nular,
41
quer para uma mudança de degrau simultânea na temperatura na seção transversal
e também em um dos contornos do espaço anular.
Métodos de diferenças finitas foram utilizados por Chen et al. (1983), e por
Somasundaram et al. (1988), para tratar o escoamento em dutos para mudanças
de degrau na temperatura da parede. Cotta e Özisik (1986, 1985) desenvolveram
uma solução analítica aproximada com transformadas integrais e, comparadas co m
soluções de diferenças finitas para o caso de uma mudança de degrau na tempe-
ratura da parede do duto, quando o escoamento dentro do dele é laminar. Sucec
e Radley (1990) apresentaram uma solução analítica exata para a transferência de
calor transiente no primeiro domínio de tempo para um fluido escoando de maneira
laminar plenamente desenvolvida em um duto, quando a temperatura da s paredes
são subitamente alteradas para θ
w
= bx
n
. Eles também obtiveram soluções, para
fins de comparação, para um número de modelos aproximados, isto é, condução
pura, escoamento epistonado, quase-estacionário e para um novo modelo proposto
por Sucec e Radley (1990).
Cotta et al. (1986) propuseram um esquema de diferenças finitas explícito de se-
gunda ordem de precisão, baseado em uma versão modificada do esquema “upwind”
do tipo preditor-corretor para equações hiperbólicas de Warming e Beam (1976) e
aplicaram-no, juntamente com a técnica da transformada integral generalizada, na
solução da convecção forçada transiente no escoamento laminar em canais sujeitos
a uma mudança de degrau na temperatura de entrada. A estabilidade da análise
para esta aproximação puramente numérica revelou que o termo de difusão na co-
ordenada transversal introduz uma restrição adicional no critério de estabilidade.
Cotta e Gerk (1994) e Guedes e Özisik (1994) fizeram uma revisão deste último
trabalho. Como uma aproximação alternativa, eles propuseram uma solução para
este problema. Cotta e Gerk (1994) eliminaram a derivada espacial na direção radial
através da aplicação da técnica da transformada integral generalizada (Cotta, 1993).
Então, o sistema de equações hiperbólica s acopladas unidimensionais resultante, na
direção axial, foi resolvido p or diferenças finitas. Guedes et al. (1994) seguiram a
aproximação de Cotta e Gerk (1994) na solução da convecção forçada transiente no
escoamento turbulento em canais com uma mudança de degrau na temperatura de
42
entrada, enquanto as paredes são mantidas a uma temperatura constante. Guedes
e Özisik (1994) apresentaram uma solução para a transferência de calor transiente
na convecção forçada para escoamento laminar em desenvolvimento simultâneo em
um canal de placas-paralelas.
Este trabalho busca apresentar uma contribuição para o aperfeiçoamento da
solução híbrido analítico numérica do problema de convecção laminar forçada tran-
siente em um canal de placas-paralela s, sujeito à uma mudança de degrau na tem-
peratura de entrada, usando o esquema proposto por Cotta e Gerk (1994) e Guedes
et al. (1994) e aplicando o Esquema de Fluxo de Transporte (FCT - “Flux-Correcting
Transport”), proposto por Boris e Book (Book et al., 1975, Boris e Book, 1973,
1976) no esquema de diferenças finitas “upwind” de s egunda ordem modificado,
usado em conjunto com o método da transformada integral para resolver esta classe
de problemas parabólico- hiperbólicos. Porém, vale ressaltar que o problema de di-
fusão numérica intrínseca associada aos esquemas de “upwind” ainda persiste mesmo
com a aplicação do esquema do FCT, que pode ser tratado aplicando-se o procedi-
mento de interpolação quadrática à montante proposto por Leonard (1979).
43
Capítulo 3
Tubulações Compostas
Multicamadas com Aquecimento
Elétrico Ativo
Neste capítulo é apresentado um sistema de aquecimento elétrico segmentado
de tubulações compostas para produção de petróleo e gás natural em águas pro-
fundas e ultra-profundas. Primeiramente, apresentamos o sistema elétrico proposto
para implementar o sistema de aquecimento elétrico segmentado, determinado a par-
tir das análises térmicas de estado permanente e transiente, mostradas nas seções
posteriores. Na segunda seção, é feita uma análise global do balanço energético das
tubulações em condições típicas de águas profundas. A partir desta análise, mostra-
se que o aquecimento ativo é necessário em tubulações longas, devido às limitações
técnicas dos sistemas pa ssivos de isola mento térmico. É examinado então, o método
que combina o aquecimento elétrico ativo e o isolamento passivo das tubulações.
Considera-se o aquecimento ativo através de resistências elétricas inseridas na su-
perfície interna do tubo de aço. Um método de aquecimento segmenta do é proposto
para minimizar a demanda de potência elétrica para uma da da configuração da linha
de transporte e para a temperatura mínima especificada do fluido de produção.
44
3.1 Sistema Elétrico do PIP Ativamente Aquecido
Com o objetivo de introduzir uma solução ativa de aquecimento apropriada
para sistemas pipe-in-pipe (PIP), Laouir e Denniel (2001) apresentaram a tecnolo-
gia para o PIP ativamente aquecido que é baseada na comprovada tecnologia de
aquecimento traçante combinada com o projeto de bobinamento padrão do PIP. O
aquecimento é gerado por ca bos resistivos usando a baixa tensão, que complementa
o desempenho, isolando o PIP.
Su et al. (2002) consideraram o aquecimento elétrico direto de uma linha de
transporte composta por multicamadas e determinaram uma distribuição da taxa
de energia linear otimizada, ˙q(z), que minimiza a energia total consumida, mas
que ainda mantém a temperatura do fluido de produção, acima de um mínimo es-
pecificado (maiores detalhes são dados na seção seguinte). Propuseram começar a
aquecer a linha de transporte somente quando a temperatura do fluido de produção
alcançasse uma temperatura mínima pré-especificada, T
min
. O aquecimento deverá
manter a temperatura do fluido de produção a uma temperatura constante, T
min
.
Su et al. (2 00 2) simularam uma linha de transporte hipotética, com 27 km de com-
primento e 6"(0.154 m) de diâmetro interno. O coeficiente total de transferência de
calor da linha de transporte é 5.35 W/m
2
K, baseado no diâmetro interno da linha
de transporte. A temperatura na cabeça do po ço do fluido de produção é dada como
76.0
o
C e da água do mar como 4.0
o
C. Uma taxa de fluxo de massa de 14.72 kg/s
é suposta com uma densidade constante de 800 kg/m
3
e o calor específico de 2700
J/kg
o
C. A temperatura mínima requerida do fluido de produção é 30
o
C.
Na Figura (3.1), é mostrada uma comparação da distribuição de temperatura
obtida pelo aquecimento uniforme da linha de transporte em toda a sua extensão
com a distribuição de temperatura obtida pelo método de aquecimento segmentado,
apresentada por Su et al. (2002). Pode ser visto claramente, através da Figura (3.1),
que para a linha de transporte aquecida em toda a sua extensão, o aquecimento do
fluido de produção na primeira porção desta é desnecessá rio, representado na figura
pela área entre as duas curvas e, ainda, esta representa a energia despendida para
o ambiente. Do ponto de vista termodinâmico, a energia requerida é minimizada se
45
que terminam em uma caixa de junção na extremidade de cada segmento da linha
de escoamento a ser aquecida. O sistema de alimentação elétrica é feito através de
uma ligação umbilical.
Além dos componentes padrão encontrados na tecnologia do PIP, como o sis-
tema de espaçadores, material de isolamento de baixa condutividade térmica, etc.,
o sistema de aquecimento elétrico segmentado aqui proposto caracteriza-se por sis-
temas distintos. O Sistema de Aquecimento é uma rede de cabos de aquecimento
traçante. Estes cabos estão distribuídos uniformemente em torno do tubo de escoa-
mento e agrupados nos co njuntos, espaçados em intervalos de 120
o
. Neste caso, é
importante ressaltar que, os materiais usados no sistema de isolamento do PIP de-
vem possuir ca racterísticas adequadas para o preenchimento das aberturas entre os
cabos de aquecimento e, conseqüentemente, impedir a circulação de ar ao longo do
PIP através dos sulcos do espaçador (o que poderia resultar em pontes térmicas),
bem como manter os cabos alinhados em suas posições sob o tubo de escoamento.
O Sistema de cabos de alimentação da fonte é formado pelos cabos
monofásicos da rede de alimentação trifásica da fonte localizada na plataforma,
estes são posicionados em paralelo com o sistema de a quecimento formado pelos
cabos de aquecimento traçante, estendendo-se por todo o c omprimento do tubo de
escoamento.
As Caixas de Junção estão loc alizada s nas extremidades de cada segmento de
aquecimento do tubo de escoamento, conectando uma seção a outra e isolando cada
sistema de aquecimento separadamente. A unidade de terminação da extremidade
do tubo de escoamento que suporta os conectores submarinos elétricos e óticos é
requerida quando o aquecimento e os sistemas de monitoramento ótico da tempe-
ratura são controlados e mo nitorados através de um umbilical. Nas caixas de junção,
também estão abrigadas as chaves de contato elétrico automáticas, utilizadas para
abertura e fechamento dos sistemas de aquecimento em cada uma das seções do tubo
de escoamento.
Sistema de monit or ação e controle ótico consiste em uma ou mais fibras
óticas colocadas entre os jogos de cabos de aquecimento, com a função de controle
e monitoração da temperatura do sistema, bem como o controle e acionamento dos
47
sistemas de aquecimento. A fibra é aloja da em um duto de aço inoxidável para
sua proteção. O sistema de monitoração ótico de aquecimento pode ser usado para
permitir a leitura da tempera tura ao longo do comprimento do tubo de escoamento
e, através da monitoração destes dados, efetuar o controle sobre as partes do sistema
a serem aquecidas.
No entanto, é importante salientar alguns aspectos encontrados no sistema
elétrico proposto.
O sistema elétrico usado para o aquecimento adota conexões em ligação estrela
trifásicas. Cada conexão estrela é terminada por uma caixa de junção abriga da den-
tro do espaço anular do tubo de escoamento onde a corrente total é zero. Nesta
configuração, nenhum cabo elétrico de retorno é necessário para dar laços nos cir-
cuitos elétricos da rede de aquecimento.
Os arranjos dos cabos estão ilustrados na Figura (3.2). A figura mostra uma
configuração dos cabos de aquecimento usando 3 conjuntos de quatro cabos igual-
mente espaçados em torno do tubo de escoamento. Neste cenário, cada conexão em
estrela é formada por três cabos de aquecimento dos diferentes conjuntos situados
nas regiõ es A, B e C, isto é, a conexão de estrela número n=1 a 4, formada pelos
cabos An, Bn e Cn. No exemplo ilustrado na Figura (3.2), quatro combinações de
conexões em estrela trifásica são possíveis.
O sistema aquecido do PIP é projetado para ser alimentado e controlado
através de um sistema umbilical no caso de um tubo de escoamento aquecido. Neste
cenário, o umbilical é alimentado através da parede do tubo de escoamento, através
de mangueiras cheias de óleo e conectores. As interfaces submarinas entre o PIP
aquecido e o umbilical força/óptico representam a parte principal do projeto.
Os módulos específicos do conector do PIP devem acomodar a conexão subma-
rina entre o umbilical e a extremidade aquecida do PIP. Os conectores submarinos de
força e óticos (parte integrante do sistema de aquecimento do PIP), são requeridos
principalmente quando o sistema é controlado com um umbilical.
Os conectores submarinos de força atuam com elevada densidade de corrente.
Uma vez acoplados, os pinos conectores de força e os soquetes devem permanecer no
interior de câmeras individuais, preenchidas co m óleo, para assegurar a se gurança
48
1
r
d
dr
r
dT
dr
= 0 r
i
< r < r
i+1
(3.1)
com as condições de contorno
T = T
i
em r = r
i
(3.2)
T = T
i+1
em r = r
i+1
(3.3)
onde r
i
e r
i+1
são os raios interno e externo da i−ésima camada , respectivamente,e
T
i
e T
i+1
as temperaturas nas superfícies interna e externa desta cama da.
À partir da solução a nalítica das Eqs. (3.1) - (3.3), a distribuição de tempera-
tura na camada i pode ser obtida como:
T (r) − T i
T
i+1
− T
i
=
ln
r
r
i
ln r
r
i+1
r
i
(3.4)
O fluxo térmico radial nesta camada pode ser obtido derivando-se a distribuição
de temperatura:
q(r) = −κ
dT
dr
=
(T
i
− T
i+1
)
r
κ
i
ln
r
i+1
r
i
r
i
< r < r
i+1
(3.5)
Onde κ
i
é a condutividade térmica da i−ésima camada, assim, para a superfície
interna desta camada, temos:
q(r
i
) =
(T
i
− T
i+1
)
r
i
k
i
ln
r
i+1
r
i
(3.6)
No caso de condução de calor permanente, a potência térmica é constante
através de qualquer área cilíndrica é constante, ou seja,
Q = A
i
q(r
i
) = 2πr
i
Lq(r
i
) (3.7)
onde A
i
= 2πr
i
L é a área da camada i. A diferença de temperatura através desta
pode ser escrita como:
52
T
i+1
− T
i
=
Q
2πk
i
L
ln
r
i+1
r
i
. (3.8)
Para i = 1, ...., N camadas concêntricas temos, na Região 2,
Q = 2πr
N
L
(T
N
− T
N+1
)
r
N
κ
N
ln
r
N+1
r
N
(3.9)
e, para a distribuição de temperaturas na Região 2, temos:
T
1
− T
N+1
=
Q
2πk
i
L
N
i=1
1
κ
i
ln
r
i+1
r
i
. (3.10)
Na Região 1, a transferência de calor po r convecção entre o fluido de produção e
a superfície interna da linha de transporte é descrita pelo coeficiente de transferência
de calor convectivo, h
1
, definido como:
Q = h
1
A
1
(T
f
− T
1
) = h
1
2πr
1
L(T
f
− T
1
) (3.11)
com T
f
a temp era tura do fluido de produção e T
1
a temp era tura na superfície interna
da camada que está em contato com este. Na Região 3, o coeficiente de transferência
de calor convectivo entre a superfície externa e o fluido ambiente, h
a
, é definido
através de:
Q = h
a
A
N+1
(T
N+1
− T
a
) = h
a
2πr
N+1
L(T
N+1
− T
a
) (3.12)
onde T
a
é a temperatura do fluido ambiente. Assim, para a transferência de calor
convectiva (Regiões 1 e 3), a distribuição de temperatura é dada por:
T
f
− T
1
=
Q
h
1
2πr
1
L
, (3.13)
e
T
N+1
− T
m
=
Q
h
a
2πr
N+1
L
. (3.14)
O coeficiente global de transferência de calor global, U, baseado no diâmetro
interno da linha de transporte composta por multicamadas é definido através da
53
transferência de calor entre o fluido de produção e o fluido ambiente, dada através
da expressão:
Q = U2πr
1
(T
f
− T
a
) (3.15)
A diferença de temperatura entre o fluido de produção e o fluido ambiente é
dada por:
T
f
− T
a
=
Q
2πr
1
L
. (3.16)
Portanto, coeficiente de transferência de calor global que engloba os efeitos
condutivos (Região 2) e os efeitos das convecções interna e externa (Regiões 1 e 3),
é obtido somando-se as Eqs. (3.11), (3.13) e (3.14):
U =
1
1
h
1
+
N
i=1
r
1
k
i
ln
r
i+1
r
i
+
1
h
a
r
1
r
N+1
, (3.17)
3.2.2 Transporte de Energia no Fluido de Produção
O perfil térmico do fluido de produção , ou seja a sua distribuição de tem-
peratura ao longo da linha de transporte, pode ser determinado conhecendo-se as
condições de produção e o coeficiente global de transferência de calor U .
Pela primeira lei da termodinâmica, o balanço energético do fluido de produção
é dado por:
˙
M
f
c
p,f
(T
f,in
− T
f,out
) = U2πr
1
L∆T
m
, (3.18)
onde
˙
M
f
é a vazão mássica do fluido de produção, c
p,f
o calor específico, T
f,in
e T
f,out
são a temperatura de entrada (wellhead) e da saída (TLP) do fluido de produção,
respectivamente, r
1
é o diâmetro da camada mais interna da linha de transporte de
aço e L o comprimento da linha de transporte. A diferença média de temperatura
entre o fluido de produção e o fluido ambiente é definida como:
∆T
m
=
(T
f,in
− T
a
) − (T
f,out
− T
a
)
ln
T
f,in
−T
a
T
f,out
−T
a
, (3.19)
54
Para um dado raio interno da linha de transporte r
1
, uma temperatura dada
do fluido ambiente e um perfil térmico desejado (T
f,in
, T
f,out
e assim ∆T
m
), o com-
primento máximo L
max
da linha de transporte que pode ser encontrado, com a
exigência do perfil térmico, são uma função do coeficiente global U e da taxa de
transferência de calor
˙
M
f
c
pf
do fluido de produção. Da Eq. (3.18), resolvemos
L
max
=
˙
M
f
c
p,f
(T
f,in
− T
f,out
)
U2πr
1
∆T
m
. (3.20)
Como a capacidade térmica do fluido de produção,
˙
M
f
c
p,f
, é dada geralmente
pela planta de desenvolvimento do campo, o comprimento máximo de uma linha
de transporte, que pode ser encontrado com a exigência do perfil térmico, é in-
versamente proporcional ao coeficiente global de transferência de calor da linha de
transporte, U. Quanto menor o coeficiente de transferência de calor global, maior
o comprimento da linha de transporte possível para que a temperatura de saída do
fluido de produção possa ser alcançada com a exigência da garantia de escoamento.
Mas, devido à existência de limitações técnicas numa maior redução do coe-
ficiente de transferência de calor global, para uma linha de transporte que possua
um comprimento L maior do que L
max
, apenas o isolamento térmico passivo não é
suficiente para conservar a temperatura do fluido de produção acima de um mínimo
requerido. Assim, uma solução que combine o aquecimento ativo e o isolamento
térmico passivo deve ser implementada.
Se o aquecimento ativo for usado, para um comprimento dado L da linha de
transporte, podemos determinar a demanda de potência de a quecimento ativo, que
é necessária para encontrar o perfil térmico desejado. O balanço global de energia,
para este caso, pode ser escrito como:
˙
M
f
c
p,f
(T
f,in
− T
f,out
) +
˙
Q = U2πr
1
L∆T
m
, (3.21)
onde
˙
Q é a demanda de potência de aquecimento ativo e T
m
é a temperatura média
do fluido de produção. À partir da Eq. (3.21), temos:
˙
Q = U2πr
1
L∆T
m
−
˙
M
f
c
p,f
(T
f,in
− T
f,out
). (3.22)
55
Obviamente, se todos os parâmetros restantes forem os mesmos, quanto mais
longa a linha de transporte, maior a demanda de potência de aquecimento requerida.
A entrada linear média de energia na linha de transporte pode ser calculada como:
˙q
av
=
˙
Q
L
= U2πr
1
∆T
m
−
˙
M
f
c
p,f
(T
f,in
− T
f,out
)
L
. (3.23)
Considerando o aquecimento elétrico direto de uma linha de transporte com-
posta por multicamadas, supondo que as propriedades termo físicas do fluido de
produção e dos materiais da linha de transporte são constantes, podemos escrever a
equação unidimensional de transporte de energia do fluido de produção como:
˙
M
f
c
p,f
dT
f
(z)
dz
= −U2πr
1
L(T
f
− T
m
) + ˙q(z), (3.24)
onde ˙q(z) é a taxa linear de entrada de energia de aquecimento elétrico aplicado
diretamente à linha de transporte. Para a especificação dada de entrada linear de
energia, a distribuição da temperatura ao longo da linha de transporte pode ser
prontamente obtida resolvendo a Eq. (3.24). Estamos interessados em determinar
uma distribuição da taxa de energia linear otimizada, ˙q(z), que minimize a energia
total consumida, mas que ainda mantenha a temperatura do fluido de produção,
acima de um mínimo especificado.
Su et al. (2002) propuseram uma solução de engenharia para este problema
baseando-se nas introspecções físicas. Propuseram começar a aquecer a linha de
transporte somente quando a temperatura do fluido de produção alcançasse uma
temperatura mínima pré-especificada, T
min
. O aquecimento deve manter a tempera-
tura do fluido de produção a uma temperatura constante, esta, T
min
. A taxa de
aquecimento linear requerida é obtida igualando o lado de direito da Eq. (3.24) a
zero:
˙q = U2πr
1
(T
min
− T
m
). (3.25)
Com base nos resultados apresentados por Su et al. (2002) , Figura (3.1),
foi obtida a solução exata da equação unidimensional de transporte de energia do
fluido de produção, Eq. (3.24), que é encontrada fazendo-se T
f
(0) = T
f,in
em z = 0,
56
resultando em:
T (z) = T
m
+ (T
f,in
− T
m
) exp
−
2πr
1
Uz
˙
M
f
c
p,f
+
˙q(z)
2πr
1
U
1 − exp
−
2πr
1
Uz
˙
M
f
c
p,f
.
(3.26)
Para determinar a taxa de energia linear otimizada, ˙q(z), faz-se T
f
(L) = T
f,out
em z = L na Eq. (3.24), obtendo-se a seguinte expressão:
˙q(z) =
2πr
1
U (T
m
− T
f,in
) + 2πr
1
U exp
−
2πr
1
UL
˙
M
f
c
p,f
(T
f,out
− T
m
)
−1 + exp
2πr
1
UL
˙
M
f
c
p,f
. (3.27)
A taxa volumétrica de entrada de energia de aquecimento elétrico direto à
linha de transporte, ˙g(z) é obtida como:
˙g(z) =
˙q(z)
π (r
2
2
− r
2
1
)
. (3.28)
De posse da distribuição de temperatura em estado permanente, os eventos
transientes de ativação e desativaç ão, correspondentes aos períodos críticos de for-
mação de hidratos e dep osiçã o de ceras nas linhas de pro dução devem ser conside-
rados. Para tal fim, na seção seguinte, a simulação transiente da transferência de
calor é apresentada.
3.3 Simulação de Transferência de Calor Transiente
Considerando uma linha de transporte multicamadas composta por dois dutos
de metal concêntricos com material de isolamento térmico no es paço anular. Quatro
tiras de aquecedores elétricos são colocadas simetricamente sobre a superfície externa
do duto de metal que fica em contato com o fluido, como mostrado na Figura
(3.4). O sistema de aquecimento elétrico é composto basicamente por cabos de cobre
agrupados em conjuntos distribuídos ao long o da linha de transporte. A entrada de
aquecimento é produzida pela ativação elétrica dos cabos de aquecimento resistivos.
57
3.3.1 Condução de Calor em uma Linha de Transporte Com-
posta por Multicamadas
Consideramos uma linha de transporte composta que possua N camadas cilín-
dricas e concêntricas, como mostra a Figura (3.4). Cada camada é considerada como
homogênea, isotrópica e com propriedades térmicas constantes. As camadas adja-
centes são consideradas em contato térmico perfeito. A formulação matemática do
problema de condução de calor unidimensional é escrita como
∂T
i
∂t
=
α
i
r
∂
∂r
(r
∂T
i
∂r
) + g
i
(r, z, t), r
i
< r < r
i+1
i = 1, ..., N, (3.29)
onde T
i
(r, t) é a temperatura na i-ésima camada, α
i
= k
i
/ρ
i
c
pi
a sua difusividade
térmica, k
i
a condutividade térmica, ρ
i
a densidade e c
pi
o calor específico. Os raios
interno e externo da i-ésima camada são r
i
e r
i+1
, respectivamente.
A Eq. (3.29) será resolvida sujeita às seguintes condições de contorno e de
interface:
−k
i
∂T
1
∂r
= h
1
(T
f
− T
1
), em r = r
1
, (3.30)
−k
n
∂T
N
∂r
= h
a
(T
N
− T
m
), em r = r
N+1
, (3.31)
T
i
= T
i+1
, em r = r
i+1
i = 1, ..., N, (3.32)
k
i
∂T
i
∂r
= k
i+1
∂T
i+1
∂r
, em r = r
i+1
i = 1, ..., N. (3.33)
onde T
f
é a temperatura do fluido de produção transportado na linha de transporte.
As condições iniciais para as temperaturas em cada camada são dadas por:
T
i
(r, 0) = T
i0
(r), r
i
≤ r ≤ r
i
+ 1. i = 1, ..., N. (3.34)
Neste trabalho, o problema de valores inicial e de contorno, Eqs. (3.29) a
(3.34), é resolvido usando-se o método de diferenças finitas de segunda ordem de
Crank-Nicolson.
58
Solução Numérica da Equação de Transporte de Energia no Fluido de
Produção
A Eq. (3.35) é discretizada usando o esquema explícito de diferenças finitas de
segunda ordem de precisão, inicialmente proposto por Warming e Beam (1976):
Preditor
T
n+1
f
j
= T
n
f
j
− λu(T
n
f
j
− T
n
f
j−1
) −
∆t2h
1
(T
n
f
J
− T
r
1
)
r
1
ρ
f
c
pf
. (3.39)
Corretor
T
n+1
f
j
=
1
2
T
n
f
j
+ T
n+1
f
j
− λu(T
n+1
f
j
− T
n+1
f
j−1
) − λu(T
n
f
j+1
− 2T
n
f
j
+ T
n
f
j−1
) −
∆t2h
1
(T
n+1
f
J
− T
r
1
)
r
1
ρ
f
c
pf
(3.40)
onde
λ =
∆t
∆x
,
e o subscrito j correspo nde aos nós em coordenada longitudinal z e o sobrescrito
n corresp o nde aos passos em tempo t, enquanto o sobrescrito n + 1 corresponde a
uma avaliação intermediária em tempo.
No Capítulo 6 são apresentadas as simulações para o sistema de aquecimento
segmentado, considerando quatro diferentes configurações para a linha de transporte
do fluido de produção, três diferentes comprimentos para a mesma, seis vazões e três
temperaturas finais. As resposta s de estados permanente e transiente são abordadas
apenas para a situação de reativação da linha de transp orte, comparando-se os efeitos
do não aquecimento, aquecimento total e aquecimento segmentado, no perfil de
temperatura em relação ao tempo. Na seção seguinte, um sistema elétrico que visa
proporcionar o aquecimento ativo segmentado aqui proposto é apresentado. Este
sistema visa reduzir o consumo de potência de aquecimento durante os períodos
onde o aquecimento a tivo se faz necessário.
60
Capítulo 4
Convecção Forçada Turbulenta na
Região de Entrada Térmica de Dutos
Circulares e Canais de
Placas-Paralelas
Neste capítulo, uma investigação sistemática da convecção forçada turbulenta
em dutos circulares e canais de placas-paralelas com superfícies lisas é apresen-
tado, primeiramente para a transferência de calor plenamente desenvolvida e em
seguida para o problema de entrada térmica. Duas distribuições para a velocidade
e viscosidade turbulenta são empregadas, o modelo de Três - Camadas e a corre-
lação de Churchill (Churchill, 2001) para o tensão turbulenta adimensional. Cinco
modelos para o número de Prandtl turbulento são examinados: (i) de valor cons-
tante (P r
t
= 1.0), (ii) Jischa-Rieke (Jischa e Rieke, 1979 ), (iii) Weigand-Ferguson-
Crawford (Weigand et al., 1997b), (iv) Notter-Sleicher (Notter e Sleicher, 1972) e
(v) Yakhot et al. (Yakhot et al., 1987). O objetivo é comparar os fatores de atrito e
números de Nusselt determinados através dos modelos e compará-los com os resul-
tados obtidos através de correlações empíricas.
61
T (0, r) = T
0
, 0 < r < a, x = 0, (4.4)
onde T é a temperatura, x e r são as coordenadas longitudinal e radial, respecti-
vamente, u(r) o perfil de velocidade turbulenta, α a difusividade térmica do fluido,
α
t
a difusividade térmica turbulenta, T
w
a temperatura uniforme na parede e T
0
a
temperatura uniforme de entrada do fluido no duto. A constante p está relacionada
com a geometria do canal na seguinte forma:
p = 0, para o canal de placas paralelas,
p = 1, para o tubo circular.
Os seguintes parâmetros adimensionais são introduzidos:
η =
r
a
; ξ =
x
a
1
P e
; P e =
u
m
D
α
; θ(ξ, η) =
T (x, r) − T
w
T
0
− T
w
;
U(η) =
u(r)
u
m
=
u(r)
Cu
m
; C =
u
max
u
m
; W (η) =
η
p
U(η)
2
(2−p)
; ε(η) = η
p
1 +
α
t
α
,
(4.5)
onde D = 2
(2−p)
a é o diâmetro hidráulico do duto circular ou do canal de placas
paralelas.
A formula ção matemática do problema pode ago ra ser escrita na sua forma
adimensional como:
W (η)
∂θ(ξ, η)
∂ξ
=
∂
∂η
ε(η)
∂θ(ξ, η)
∂η
ξ > 0, 0 < η < 1, (4.6)
sujeito às condições de contorno e de entrada:
∂θ(ξ, 0)
∂η
= 0, η = 0, ξ > 0, (4.7)
θ(ξ, 1) = 0, η = 1, ξ > 0, (4.8)
θ(0, η) = 1, 0 ≤ η ≤ 1, ξ = 0. (4.9)
63
Para a solução do problema dado pelas Eqs. (4.6)-(4.9), o perfil de velocidade
adimensional W (η) e a difusividade térmica adimensional total ε(η) precisam ser es-
pecificadas. Na seção seguinte são apresentados os modelos de turbulência adotados
para a obtenção da solução.
4.3 Modelos d e Turbulência
Para o perfil de velocidade adimensional W (η) e a difusividade térmica adi-
mensional total ε(η), ao invés de aplicar os modelos de viscosidade turbulenta dife-
renciais (isto é, k-ε, k-ω ou SST), equações alg ébricas simplificadas são adotadas
para prover a solução do problema dado pelas Eqs. (4.6)-(4.9). Duas formulações
são empregadas para o campo de velocidade turbulenta, o modelo de três-camadas
clássico e o modelo de Churchill (Churchill, 2001) e estas por sua vez são compara-
das com correlações empíricas apresentadas na literatura. Maiores detalhes sobre os
modelos empregados encontram-se no Capítulo 2.
4.3.1 Distribuição de Velocidade Turbulenta
Modelo de Três - Camadas Clássico
Distribuição de Velocidade Turbulenta
u
+
= y
+
, para 0 ≤ y
+
< 5, subcamada laminar, (4.10)
u
+
= −3.05 + 5 ln(y
+
), para 0 ≤ y
+
≤ 30, camada limite, (4.11)
u
+
= 5.5 + 2.5 ln
y
+
1.5(1 + η)
(1 + 2η
2
)
, para y
+
> 30, núcleo turbulento.
(4.12)
Modelo de Difusividade Turbulenta Cinética
ε
m
ν
=
k
1
a
+
6
(1 − η
2
)(1 + 2η
2
)
, para y
+
≥ 40, (4.13)
64
ε
m
ν
=
k
2
E
e
k
2
u
+
− 1 − k
2
u
+
−
(k
2
u
+
)
2
2!
−
(k
2
u
+
)
3
3!
, para y
+
< 40, (4.14)
onde k
1
= 0.4, k
2
= 0.407 e E = 10.
Grupos Adimensionais Empregados
y
+
= (1 − η)a
+
; a
+
=
Re
2
(2−p)
f
8
; u
+
=
u(r)
u
m
f
8
; f =
4τ
w
ρu
2
m
2
. (4.15)
Fator de Atrito de Darcy, f
f
8
1
0
(p + 1)η
p
u
+
(η)dη = 1. (4.16)
Razão de Velocidade
C =
5.5 + 2.5 ln(1.5R
+
)
f
8
. (4.17)
Formulação de Churchill (Churchil l, 2001)
Distribuição de Velocidade Adimensional
u
+
= 6.13 +
1
0.436
ln y
+
+ 6.824
y
+
a
+
2
− 5.314
y
+
a
+
3
, (4.18)
onde a
+
= Ru
τ
/ν e R é o raio interno do tubo circular e
u
v
++
= −
ρu
v
τ
, (4.19)
onde τ é a tensão cisalhante total, definido por:
τ = µ
du
dy
− ρu
v
. (4.2 0)
Viscosidade Cinética Turbulenta
ν
t
ν
=
u
v
++
1 − u
v
++
. (4.21)
Tensão Cisalhante Turbulenta
65
u
v
++
=
0.7
y
+
10
4
−8/7
+
exp
−1
0.436y
+
−
1
0.436a
+
1 +
6.95y
+
a
+
−8/7
−7/8
(4.22)
Fator de atrito de Darcy, f
8
f
= 3.30 −
227
a
+
+
50
a
+
2
+
1
0.436
ln a
+
, para o duto circular, (4.23)
8
f
= 4.615 −
155
b
+
+
1
0.436
ln b
+
, para o canal de placas-paralelas. (4.24)
Correlações Empíricas
Correlação de Dean (Dean, 1978) para canal de placas paralelas:
f
4
= 0.073
Re
2
−0.25
, para 1.2 × 10
4
≤ Re ≤ 1.2 × 10
6
. (4.25)
Razão de velocidade na linha central do canal:
C = 1.28
Re
2
−0.0116
, para 1.2 × 10
4
≤ Re ≤ 1.2 × 10
6
. (4.26)
Correlação de Prandtl-Kármán-Nikuradse (Nikuradse, 1932, Prandtl, 1944, von Kár-
mán, 1934) para o tubo circular:
1
√
f
= 1.7372 ln (Re
f) − 0.3946, para Re = 4 × 10
3
a 10
7
. (4.27)
4.3.2 Números de Prandtl Turbulento
A difusividade térmica turbulenta é especificada através do conceito do número
de Prandtl turbulento, ou seja, como a razão entre a viscosidade cinemática turbu-
lenta ν
t
e a difusividade térmica turbulenta α
t
:
P r
t
=
ν
t
α
t
. (4.28)
66
Deste modo, temos
ε(η) =
α + α
t
α
= 1 +
ν
t
ν
P r
P r
t
. (4.29)
Cinco modelos para o número de Prandtl turbulento são aqui considerados:
• Modelo de Prandtl Constante:
P r
t
= 1.0; (4.30)
• Modelo de Jischa-Ricke (Jischa e Rieke, 1979 ):
P r
t
= 0.9 +
182.4
P rRe
0.888
; (4.31)
• Modelo de Weigand-Ferguson-Crawford (Weigand et al., 1997b):
P r
t
=
1
1
2P r
t∞
+ CP e
t
1
P r
t∞
− (CP e
t
)
2
1 − exp
−
1
CP e
t
√
P r
t∞
, (4.32)
onde
P e
t
= P r
ν
t
ν
, (4.33)
e
P r
t∞
= 0.85 +
D
P rRe
0.888
, (4.34)
C = 0.3 e D = 100;
• Modelo de Notter-Sleicher (Notter e Sleicher, 197 2):
P r
t
=
1 + Φ
1 +
10
35+(ν
t
/ν)
0.025P r
ν
t
ν
+ Φ
, (4.35)
onde
Φ = 90P r
3/2
ν
τ
ν
1/4
, (4.36)
e
ν
τ
ν
=
(u
v
)
++
1 − (u
v
)
++
; (4.37)
67
• Modelo de Yakhot et al. (Yakhot et al., 1987):
1
P r
eff
− 1.1793
1
P r
− 1.1793
0.65
1
P r
eff
+ 2.1793
1
P r
+ 2.1793
0.35
=
1
(1 +
M
/ν)
, (4.38)
onde
P r
eff
=
[1 + (ν
t
/ν)]
(ν
t
/ν)
P r
t
+
1
P r
. (4.39)
De posse dos modelos de turbulência, a solução analítica para o problema
proposto é resolvida através da técnica da transformada integral clássica.
4.4 Solução Analítica
O problema definido pelas Eqs. (4.6)-(4.9) pode ser facilmente resolvido através
da técnica da transformada integral clássica (Cotta, 1993, Mikhailov e Özisik, 1984).
Usando a notação de Graetz e seguindo os passos nesta metodologia de solução, o
seguinte problema de autovalor é adotado:
d
dη
η
p
ε(η)
dR
n
(η)
dη
+ λ
2
n
W (η)R
n
(η) = 0, 0 < η < 1, (4.40)
dR
n
(0)
dη
= 0, (4.41)
R
n
(1) = 0, (4.42)
onde R
n
(η) e λ
n
são, respectivamente, as autofunções e os autovalores do sistema. O
problema definido pelas Eqs. (4.40)-(4.42) é resolvido através do bem-estabelecido
método de contagem de sinal (Mikhailov e Özisik, 1984, Mikhailov e Vulchanov,
1983), o qual oferece segurança e cálculos automáticos de muitos autovalores e au-
tovetores como desejado, com precisão controlada.
O problema de autovalor acima permite o desenvolvimento do seguinte par
transformada integral:
Transformada
¯
θ
n
(ξ) =
1
0
W (η)R
n
(η)θ(ξ, η)dη. (4.43)
68
Inversa
θ(ξ, η) =
∞
n=1
1
N
n
R
n
(η)
¯
θ
n
(ξ), (4.44)
onde N
n
, a integral no rmalizada, é dada por:
N
n
=
1
0
W (η)R
2
n
(η)dη. (4.45)
Assim, tomando a transformada integral do sistema Eqs. (4.6)-(4.9), estas
equações são multiplicadas por R
n
(η), integradas sobre o domínio [0, 1] na direção-η
e a seguinte equação diferencial ordinária para o potencial transformado,
¯
θ
n
(η), é
obtida:
d
¯
θ
n
(ξ)
dξ
+ λ
2
n
¯
θ
n
(ξ) = 0, (4.46)
com a condição de entrada transformada dada por:
¯
θ
n
(0) =
¯
f
n
=
1
0
W (η)R
n
(η)dη. (4.47)
A solução para o potencial transformado dada pelas Eqs. (4.46) e (4.47) é
facilmente obtida na forma:
¯
θ
n
(ξ) =
¯
f
n
exp(−λ
2
n
ξ). (4.48)
Conseqüentemente, introduzindo a Eq. (4.48) na equação da inversa, Eq. (4.44),
a solução para θ(ξ, η) é determinada como segue:
θ(ξ, η) =
∞
n=1
¯
f
n
N
n
R
n
(η) exp(−λ
2
n
ξ). (4.49)
Neste ponto, as quantidades referentes ao campo de temperaturas po dem ser
determinadas pela Eq. (4.49). Deste modo, a temperatura média do fluido é definida
como:
θ
m
(ξ) =
1
0
W (η)θ(η, ξ))dη
1
0
W (η)dη
= ω
1
0
W (η)θ(η, ξ)dη, (4.50)
onde
ω =
1
1
0
W (η)dη
. (4.51)
69
Então, substituindo a Eq. (4.49) na Eq. (4.50), a temperatura média do fluido,
θ
m
(ξ), torna-se:
θ
m
(ξ) = ω
∞
n=1
f
2
n
N
n
exp(−λ
2
n
ξ), (4.52)
e o fluxo de calor adimensional na parede é também determinado pela Eq. (4.49)
como segue:
∂θ(ξ, η)
∂η
|
η=1
=
∞
n=1
¯
f
n
N
n
dR
n
(η)
dη
|
η=1
exp(−λ
2
n
ξ) = −
∞
n=1
¯
f
2
n
λ
2
n
N
n
exp(−λ
2
n
ξ). (4.53)
O número de Nusselt local é definido como:
Nu(ξ) =
h(ξ)D
h
κ
= −
2
(2−p)
∂θ(η,ξ)
∂η
|
η=1
θ
m
, (4.54)
posteriormente, substituindo a Eq. (4.53) para
∂θ(η,ξ)
∂η
|
η=1
e a Eq. (4.52) para θ
m
, na
Eq. (4.54) acima, resulta:
Nu(ξ) =
2
2(1−p)
∞
n=1
¯
f
2
n
λ
2
n
N
n
exp(−λ
2
n
ξ)
ω
∞
n=1
¯
f
2
n
N
n
exp(−λ
2
n
ξ)
. (4.55)
O número de Nusselt assintótico, Nu
∞
, é obtido através da Eq. (4.55), con-
siderando apenas o primeiro termo no somatório, produzindo:
Nu
∞
=
2
2(1−p)
λ
2
n
ω
. (4.56)
Uma vez que os autovalores λ
n
e as outras autoquantidades relacionadas po-
dem ser obtidos através do méto do de contagem de sinal, os parâmetros térmicos
podem ser facilmente determinados através das Eqs. (4.52) a (4.56) como funções
dos números de Prandtl e de Reynolds ao longo da reg ião de entrada térmica para
ambos os canais de placas paralelas e tubos circulares.
Para os cálculos da transferência de calor a expressão de Gnielinski (1976) é
utilizada para avaliar o número de Nusselt assintótico:
Nu
∞
=
f
2
(Re − 1000) P r
1 + 12.7
f
2
1
2
P r
2
3
− 1
,
70
para 2.3 × 10
3
≤ Re ≤ 5 × 10
6
, 0.5 ≤ P r ≤ 2000, (4.57)
onde f, o fator de a trito, é obtido através das correlações empíricas para o duto
circular e para o canal de placas-paralelas, Eqs.(4.1 6), (2.63) e (2.64). Pode-se
observar que vários autores chamaram atenção para o fato de que, números de
Nusselt assintóticos obtidos para canal de placas planas, através das expressões de
tubo circular para o fator de atrito, podem ser justamente utilizados na faixa de
números de Prandtl considerada acima. No caso de baixos números de Prandt,
especialmente na faixa de metais líquidos, no entanto, o uso dos resultados de tubo
circular baseado no diâ metro hidráulico efetivo conduz a um erro considerável na
predição dos números de Nusselt plenamente desenvolvidos.
No Capítulo 6, os resultados obtidos para o fator de atrito e para o número de
Nusselt assintótico são ilustrados e comparados com as correlações empíricas, para
uma ampla faixa de números de Reynolds (1 × 10
4
≤ Re ≤ 2 × 10
6
) e diferentes
números de Prandtl (0.01, 0.1, 0.72, 1.0 e 10.0). Pode-se verificar através destes
resultados a influência de cada pa râmetro sobre os modelos de turbulência, bem
como suas limitações previstas. Mais detalhes à respeito dos resultados e da análise
dos mesmos estão no Capítulo 6.
71
Capítulo 5
Solução Híbrida de Diferenças
Finitas-Transformada Integral com
FCT da Convecção Laminar Forçada
Transiente e m um Canal de
Placas-Paralelas
Neste capítulo é apresentada a análise da convecção laminar forçada transiente
com escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido na região de entrada
térmica de um canal de placas-paralelas sujeito a uma mudança de degrau na tempe-
ratura de entrada. Após a formulação do problema físico, o mesmo é resolvido
através de uma esquema misto de transformada integral e diferenças finitas. Dois
esquemas de diferenças finitas são testados e seus resultados são posteriormente
comparados. À partir dos resultados obtidos através da análise matemática do
problema, as equações adimensionais para o campo de temperatura, temperatura
média, fluxo de calor e o número de Nusselt são apresentadas.
5.1 Formulação do Problema
Considerando a convecção laminar forçada transiente com escoamento lami-
72
do fluido, α = k/ρc
p
a difusividade térmica do fluido, k a condutividade térmica do
fluido, T
w
a temperatura constante do fluido ambiente e u(y) é o perfil de velocidade
do fluido.
O problema é agora reescrito na forma adimensional através do uso dos seguintes
grupos adimensionais:
η =
y
b
; τ =
tα
b
2
; ξ =
x
b
1
P e
; P e =
¯uD
h
α
;
U(η) =
u(y)
¯u
=
3
2
(1 − η
2
); θ(ξ, η, τ) =
T (x, y, t) − T
w
T
0
− T
w
; W (η) =
U(η)
4
, (5.6)
onde D
h
(= 4b) é o diâmetro hidráulico do canal.
Fazendo o uso destes grupos adimensionais, podemos agora reescrever a equação
de energia do fluido, Eq. (5.1), na forma adimensional como:
∂θ(ξ, η, τ)
∂τ
+ W (η)
∂θ(ξ, η, τ)
∂ξ
=
∂
2
θ(ξ, η, τ)
∂η
2
, ξ > 0, 0 ≤ η ≤ 1, τ > 0, (5.7)
com as condições de contorno e de entrada
∂θ(ξ, 0, τ)
∂η
= 0, ξ > 0, τ > 0, (5.8)
θ(ξ, 1, τ) = 0, ξ > 0, τ > 0, (5.9)
θ(0, η, τ) = θ
e
(η, τ), 0 ≤ η ≤ 1, τ > 0, (5.10)
e a condição inicial
θ(ξ, η, 0) = θ
0
(ξ, η), ξ > 0, 0 ≤ η ≤ 1. (5.11)
De posse das equações para o problema físico em questão, nas seções subse-
qüentes é apresentado o método de solução usado para a resolução do problema
proposto.
74
5.2 Solução H íbrida - Esquema Misto de Diferenças
Finitas/Transformada Integra l
À partir da transformação integral do problema definido pelas Eqs. (5.7)-(5.11)
os operadores difusivos são eliminados. O sistema de equações diferenciais obtido é
resolvido através de dois esquemas de diferenças finitas, sendo o primeiro, o esquema
de diferenças finitas proposto por Warming e Beam (1976) e o segundo, o Esquema
de Fluxo de Transporte (FCT - "Flux-Correcting Transport"), proposto por Boris
e Book (1973) que são utilizados juntamente com a fórmula da inversa, Eq. (5.16),
para recuperar explicitamente o potencial original, θ(ξ, η, τ ).
5.2.1 Técnica da Transformada Integral
A Técnica de Transformada Integral Generalizada
A técnica de transformação integral clássica (“Classical Integral Transform
Technique” — CITT) consiste na transformação de equações diferenciais parciais
lineares (PDE) em um sistema de equações algébricas (AE) ou em um sistema de
equações diferenciais ordinárias (ODE). O sistema resultante é então resolvido a na-
liticamente e uma fórmula de inversão é usada para obter-se a solução do problema
original Cotta (1993), Cotta e Mikhailov (1997), Cotta (1998).
A aproximação clássica (CITT) não é aplicável na determinação da solução
exata ddo sistema diferencial parcial original de problemas não-lineares, quando o
problema de autovalor associado produz um sistema acoplado de ODE’s e este, por
sua vez, não pode ser resolvido. Assim, CITT passou a ter uma estrutura híbrida
numérico-analítica, oferecendo um controle automático de erro e uma performance
computacional razoavelmente eficiente para uma grande variedade de problemas não
transformáveis, incluindo as formulações não lineares de interesse em escoamentos e
transferência de calor, passando a ser referenciada com Técnica de Transformação
Integral Generalizada (GITT).
A Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT - “Generalized In-
tegral Transform Technique”) consiste em uma combinação de técnicas analíticas
75
associadas à aproximação numérica, tendo sido amplamente utilizada na solução de
problemas de difusão e convecção-difusão de calor e massa. Dependendo da apli-
cação do problema, este método analítico-numérico permite o controle do erro global
presente na solução desta classe de problemas.
Os passos básicos na aplicação de GITT são:
1. Escolher um problema auxiliar associado conveniente (um caso particular do
problema clássico de Sturm-Liouville);
2. Desenvolver um par transformada integral apropriado;
3. Transformar o sistema original de Equações Diferenciais Parciais (P.D.E.) em
um sistema acoplado de Equações Diferenciais Ordinárias (O.D.E.);
4. Avaliar o potencial transformado:
• Truncando o sistema infinito a uma ordem suficientemente grande e então
resolvê-lo através de procedimentos padrões, obtendo-se desta maneira a
solução completa do problema original;
• Sob uma mudança conveniente do problema auxiliar, os termos acoplados
no sistema infinito podem ser desprezados com relação aos elementos da
diagonal principal da matriz dos coeficientes. Desta forma, obtêm-se
soluções aproximadas explícitas, ou seja, desprezam-se os termos fora
da matriz dos coeficientes, resultando assim em uma solução de menor
ordem. Outro procedimento que pode ser adotado é obtido desprezando-
se os termos acoplados através de iterações analíticas sob a solução de
menor ordem, resultando, desta maneira, na solução de menor ordem
iterativa;
5. Usar a fórmula da inversa para obter o potencial original.
Solução Através da Técnica de Transformada Integral Generalizada
A solução formal para o problema de convecção no fluido é obtida através da
técnica da transformada integral e esta p ode ser resolvida a dotando -se o problema
de autovalor auxiliar apropriado dado por:
76
d
2
ψ
i
(η)
dη
2
+ µ
2
i
ψ
i
(η) = 0, 0 ≤ η ≤ 1, (5.12)
com as respectivas condições de contorno homogêneas:
dψ
i
(0)
dη
= 0, (5.13)
ψ
i
(1) = 0. (5.14)
À partir do problema de autovalor auxiliar acima, podemos definir o seguinte
par transformada integral:
Transformada
¯
θ
i
(ξ, τ) =
1
0
ψ
i
(η)
N
1/2
i
θ(ξ, η, τ)dη, (5.15)
Inversa
θ(ξ, η, τ) =
∞
i=1
ψ
i
(η)
N
1
2
i
¯
θ
i
(ξ, τ), (5.16)
onde a norma N
i
é definida como
N
i
=
1
0
ψ
2
i
(η)dη. (5.17)
A solução do problema dado pelas Eqs. (5.12)-(5.17) é conhecido como pro-
blema de Sturm-Liouville para os autovalores µ
i
, as autofunções ψ
i
(η) e as normas
N
i
. Aplicando-se o operador
1
0
ψ
i
(η)
N
1/2
i
dη as Eqs. (5.7), (5.10) e (5.11), temos:
1
0
ψ
i
(η)
N
1
2
i
∂θ(ξ, η, τ)
∂τ
dη +
1
0
W (η)
ψ
i
(η)
N
1
2
i
∂θ(ξ, η, τ)
∂ξ
dη =
=
1
0
ψ
i
(η)
N
1/2
i
∂
2
θ(ξ, η, τ)
∂η
2
dη. (5.18)
Usando a forma inversa, Eq. (5.16), podemos reescrever a Eq. (5.18), após a
integração, como:
∂
¯
θ
j
(ξ, τ)
∂τ
+
∞
j=1
A
ij
∂
¯
θ
i
(ξ, τ)
∂ξ
+ µ
2
i
¯
θ
i
(ξ, τ) = 0, (5.19)
onde
77
A
ij
=
1
0
W (η)
ψ
i
(η)ψ
j
(η)
N
1/2
i
N
1
2
j
dη. (5.20)
Aplicando-se o mesmo
1
0
ψ
i
(η)
N
1/2
i
dη às condições de inicial e de entrada, Eqs. (5.10)
e (5.11), e usando a definição da transformada, Eq. (5.15), temos:
¯
θ
i
(0, τ) =
¯
θ
e,i
(τ), (5.21)
¯
θ
i
(ξ, 0) =
¯
θ
0,i
(ξ), (5.22)
onde
¯
θ
e,i
(τ) =
1
N
1
2
i
1
0
θ
e,i
(η, τ)ψ
i
(η)dη, (5.23)
¯
θ
0,i
(ξ) =
1
N
1
2
i
1
0
θ
0,i
(ξ, η)ψ
i
(η)dη. (5.24)
A Eq. (5.19) é resolvida juntamente com as seguintes condições de contorno e
inicial dadas pela s equações transformadas para as condições de contorno e inicial
dadas acima. O problema está agora reduzido a solução de um sistema finito de
equações hiperbólicas, com a Eq. (5.19) sujeita às condições dadas pelas Eqs. (5.21)-
(5.24) para a temperatura transformada,
¯
θ(ξ, τ).
Este sistema, Eq. (5.19), é truncado em um número suficientemente grande de
termos na expansão, N, reduzindo o problema a ser resolvido no campo transformado
ao seguinte sistema acoplado de equações hiperbólicas:
∂
¯
θ
j
(ξ, τ)
∂τ
+
N
j=1
A
ij
∂
¯
θ
i
(ξ, τ)
∂ξ
+ µ
2
i
¯
θ
i
(ξ, τ) = 0, (5.25)
onde A
ij
é definido pela Eq. (5.20), sujeito às condições dadas pelas Eqs. (5.21)-
(5.24). Após o trucamento do sistema, a solução numérica para o problema abordado
deve ser obtida. Nas seções seguintes são apresentados os modelos de diferenças
finitas que são usados nesta solução.
78
5.2.2 Esquema Upwind de Diferenças Finitas
Nesta seção é propo sta uma solução numérica para o sistema truncado dado
pela Eq. (5.25). Baseados em trabalhos anteriores (Cotta e Gerk, 1994, Cotta et al.,
1986, Warming e Beam, 1976), um esquema de diferenças finitas explícito de segunda
ordem de precisão é adotado. O sistema truncado dado pela Eq. (5.25) pode ser
resolvido por diferenças finitas baseado em uma extensão do esquema de diferenças
avançadas de Warming e Beam para a equação clássica de onda (Warming e Beam,
1976). Aplicando-se o esquema de diferenças finitas de Warming e Beam (1976)
ao sistema de equações, Eqs. (5.19)-(5.24 ), escrito na forma de diferenças finitas
torna-se:
Preditor
¯
θ
n+1
i,k
=
¯
θ
n
i,k
− λ
N
j=1
A
ij
¯
θ
n
j,k
−
¯
θ
n
j,k−1
− µ
2
i
∆τ
¯
θ
n
i,k
, (5.26)
Corretor
¯
θ
n+1
i,k
=
1
2
[a
1
+ a
2
− λa
3
− λa
4
− a
5
] , (5.27)
com
a
1
=
¯
θ
n
i,k
, a
2
=
¯
θ
n+1
i,k
, a
3
=
N
j=1
A
ij
¯
θ
n+1
j,k
−
¯
θ
n+1
j,k−1
,
a
4
=
N
j=1
A
ij
¯
θ
n
j,k
− 2
¯
θ
n
j,k−1
+
¯
θ
n
j,k−2
, a
5
= µ
2
i
∆τ
¯
θ
n+1
i,k
,
nas equações acima, o sobrescrito n refere-se a variável temporal, k para a coorde-
nada ξ e n + 1 para uma avaliação intermediária no tempo. Além disso,
λ =
∆τ
∆ξ
. (5.28)
No entanto, o critério de estabilidade dado p or Warming e Beam (1976) de-
senvolvido para sistemas de equações hiperbólica s é dado por:
0 ≤ ν
i
≤ 2, i = 1, ..., N, (5.29)
ν
i
=
c
i
∆τ
∆ξ
, (5.30)
79
onde ν
i
é o número de Courant que, deve satisfazer a Eq. (5.29) para todos os
autovalores c
i
, com a restrição de que todos os autovalores devem ser positivos.
Uma vez que o algoritmo dado pelas Eqs. (5.26) e (5.27) é marchante ao longo
da direção ξ e no tempo τ até a posição e tempo finais, a fórmula explícita da in-
versa, Eq. (5.16), será usada para obter o potencial original, θ(ξ, η, τ) em alguma
posição desejada. A obtenção de θ(ξ, η, τ) é dada nas seções seguintes. Na próxima
seção é apresentado o Esquema de Fluxo de Transporte (FCT - "Flux-Correcting
Transport"), proposto por Boris e Book (1973) e aqui aplicada para contornar os
problemas de instabilidade apresentado pelo método de Warming e Beam e propor-
cionar um parâmetro de comparação entre os dois métodos de diferenças finitas.
5.2.3 Esquema de Fluxo de Transporte (FCT - "Flux-Correcting
Transport")
Devido a restrição e a o critério de estabilidade, imposto pelo método proposto
por Warming e Beam, exposto na seção anterior e, sabendo que os esquemas de
diferenças finitas de segunda o rdem introduzem oscilações numéricas em torno das
descontinuidades, é apresentado nesta seção o método proposto por Boris e Book
(1973), o Esquema de Fluxo de Transporte (FCT - "Flux-Correcting Transport"),
para contornar tais inconveniências e proporcionar um parâmetro de comparação
entre os dois métodos.
Antes de introduzir o método FCT, faremos uma mudança de notação, dada
por:
y =
¯
θ
1
(ξ, τ) ,
¯
θ
2
(ξ, τ) , ....,
¯
θ
N
(ξ, τ)
. (5.31)
O Esquema de Fluxo de Transporte (FCT) é implementada através dos seguintes
passos:
i) Solução Difusiva y
n+1
através da regra
¯
y
n+1
k
= y
n+1
k
+ σ(y
n+1
k+1
− y
n+1
k
+ y
n+1
k−1
), (5.32)
onde σ é um coeficiente de amortecimento.
80
ii) Antidifusiva
¯
y
n+1
através da regra
y
n+1
k
=
¯
y
n+1
k
− σ(D
k+1/2
− D
k−1/2
), (5.33)
onde D
k+1/2
é obtida pela seguinte método
D
k+1/2
= S max[0, min[S∆
k−1/2
, |D
1
k+1/2
|, S∆
k+3/2
]], (5.34)
D
1
k+1/2
=
1
8
(y
n+1
k+1
− y
n+1
k
), (5.35)
S = sign(∆
k+1/2
), (5.36)
∆
k+1/2
=
¯
y
n+1
k+1
−
¯
y
n+1
k
, ∆
k−1/2
=
¯
y
n+1
k
−
¯
y
n+1
k−1
, ∆
k+3/2
=
¯
y
n+1
k+2
−
¯
y
n+1
k+1
. (5.37)
O algoritmo dado pelas Eqs. (5.32) e (5.37) é marchante ao longo da direção ξ
e no tempo τ até a posição e tempo finais, a fórmula explícita da inversa, Eq. (5.16),
será usada para obter o potencial original, θ(ξ, η, τ) em alguma posição desejada,
como feito na seção anterior para o método “upwind” de Warming e Beam. Na
seção seguinte são apresentados os parâmetros usados para a solução do problema
apresentado.
5.3 Expressões Finais
Nesta seção são apresentados os parâmetros usados na solução do problema
apresentado, entre eles, o potencial transformado, θ(ξ, η, τ ), a temperatura média
do fluido, θ
av
(ξ, τ), o fluxo de calor adimensional
∂θ(ξ,η,τ )
∂η
η=1
e o número de Nusselt
local, Nu(ξ, τ). Primeiramente são apresentados alguns resultados importantes obti-
dos à partir dos dados referentes as seções anteriores, necessários para a obtenção
dos parâmetros listados.
A solução do problema de autovalor associado, Eqs. (5.12) - (5.14) é imediata
e dada por:
ψ
i
(η) =
√
2 cos µ
i
η, (5.38)
µ
i
=
2i − 1
2
π, (5.39)
81
e a norma, N
i
definida pela Eq. (5.17) dada por:
N
i
=
1
0
cos
2
µ
i
ηdη =
1
2
. (5.40)
Após a resolução do problema no campo transformado, obtido por diferenças
finitas como mostrado nas seções anteriores, aplicamos agora a expressão da inversa,
Eq. (5.16), para retornar ao potencial original:
θ(ξ, η, τ) =
N
i=1
1
N
1/2
i
ψ
i
(η)
¯
θ
i
(ξ, τ), (5.41)
Além do potencial, θ(ξ, η, τ), outra quantidade de interesse prático é o poten-
cial médio, definido como
θ
av
(ξ, τ) =
1
0
W (η)θ(ξ, η, τ )dη
1
0
W (η)dη
, (5.42)
usando a definição da inversa, Eq. (5.41), podemos escrever:
θ
av
(ξ, τ) =
N
i=1
¯
H
i
¯
θ
i
(ξ, τ), (5.43)
onde
¯
H
i
=
1
0
ψ
i
(η)W (η)dη
N
1/2
i
1
0
W (η)dη
. (5.44)
O fluxo de calor na parede (η = 1) é obtido através da equação da inversa,
Eq. (5.41), resultando:
∂θ(ξ, η, τ)
∂η
η=1
= −
√
2
N
i=1
µ
i
sin(µ
i
)
¯
θ
i
(ξ, τ). (5.45)
O número de Nusselt local é definido por:
Nu(ξ, τ) =
D
h
b
∂θ(ξ,η,τ )
∂η
η=1
θ(ξ, 1, τ) − θ
av
(ξ, τ)
, (5.46)
o que nos dá
Nu(ξ, τ) =
4
√
2
N
i=1
µ
i
sin(µ
i
)
¯
θ
i
(ξ, τ)
θ
av
(ξ, τ)
. (5.47)
82
De posse das equações, apresentamos, no Capítulo 6, os resultados numéricos
correspondentes ao problema da convecção laminar forçada transiente, em um canal
de placas-paralelas com escoamento laminar, o qual resulta no conhecido perfil de
velocidade parab ólico para c ondição de esco amento plenamente desenvolvido de um
fluido Newtonia no. Foram gerados resultados com e sem o Esquema de Fluxo de
Transporte (FCT) com o objetivo de comparar tais resultados, cabe aqui lembrar
que os resultados sem o esquema adotado (FCT) foram apresentados p or Cotta e
Gerk (1994) e Guedes et al. (1994) em seus trabalhos originais. Co mo uma primeira
verificação, o uso do esquema FCT elimina as instabilidades apontadas por Warm-
ing e Beam para o método upwind na solução do problema e este ainda possui um
comportamento mais satisfatório do problema de convecção laminar forçada tran-
siente em um canal de placas-paralelas apresentado. Mais detalhes à respeito dos
resultados são mostradas no Capítulo 6.
83
Capítulo 6
Resultados e Discussões
Neste Capítulo, são apresentados os resultados obtidos à partir das formulações
apresentadas nos Capítulos 3, 4 e 5, à fim de se investigar os efeitos dos parâme-
tros considerados em cada um dos casos abordados. Primeiramente, os resultados
obtidos para o PIP ativamente aquecido são mo strados e analisados, na seqüência,
os resultados gerados para a transferência de calor forçada turbulenta e laminar são
apresentados.
6.1 Tubulações Compostas Multicamadas com Aque-
cimento Elétrico Ativo
A solução numérica proposta para o modelo matemático foi implementada
em um programa de computador em Fortran90. Todos os aspectos descritos no
Capítulo 3 foram incluídas na implementação computacional. Devido a deficiência
de dados mais realísticos da tubulação, condições hipotéticas foram assumidas nas
simulações e, os dados apresentados por Fleyfel et al. (2004), referentes a produção
de óleo em águas profundas na África, também foram usados. O objetivo é analisar
o comportamento da tubulação composta multicamadas em condições de estado
estacionário e durante a reativação da produção, avaliando a capacidade desta em
manter a temperatura acima da temperatura máxima de aparecimento de parafinas
(WAT = 40.56
◦
C). Três configurações de aquecimento foram simuladas: Tubulação
84
sem Aquecimento Elétrico Ativo, Tubulação com Aquecimento Elétrico em toda a
sua extensão e Tubulação com Aquecimento Elétrico Segmentado.
As tubulações estão na configuração pipe-in-pip e (PIP) co m dutos interno e
externo de aço e com polipropileno como material de isolação no espaço anular do
PIP. Quatro diferentes configurações geométricas foram assumidas. As propriedades
geométricas das tubulações estão listadas na Tabela 6 .1 e, suas propriedades termo
físicas na Tabela 6.3. As propriedades termo físicas do fluido de produção são dadas
na Tabela 6.4. A temperatura mínima da água do mar circunvizinha é assumida
como 4
◦
C e três diferentes valores para a temperatura de entrada são abordados:
99
◦
F (210
◦
C), 87.8
◦
C (190
◦
F ) e 76.66
◦
C (170
◦
F ). Neste estudo, consideramos que
o fluido é aquecido acima de uma temperatura máxima de entrada 99
◦
C (210
◦
C)
antes de entrar na tubulação. Para análise de sensibilidade, também a tempera-
tura de entrada ( wellhead) do fluido produzido de 76.66
◦
C (170
◦
C) é assumida.
Três diferentes comprimentos da linha de transporte de produção, 18km, 36km e
90km e seis diferentes vazões, 12.0761kg/s, 16.1014kg/s, 20.1268kg/s, 24.1521kg/s,
28.1775kg/s e 32.2028kg/s são considerados. Portanto, para cada configuração da
tubulação, 54 diferentes casos são gerados, cada um deles abrangendo as três con-
figurações de aquecimento simuladas. Deste modo, os 768 casos abrangem todas
as configurações de PIP abordadas. O coeficiente de transferência de calor entre o
fluido ambiente (água do mar) e a camada mais externa da tubulação, h
a
, o coe-
ficiente de transferência de calor entre a camada mais interna da tubulação e o
fluido de produção, h
1
e o coeficiente de transferência de calor global, U, para cada
uma das configurações geométricas do PIP estão listados na Tabela 6.2. À seguir, é
apresentada a análise dos resultados obtidos.
85
Tabela 6.1: Propriedades Geométricas dos Dutos Compostos Multicamadas.
Notação Configuração r
1
r
2
r
3
r
4
da Linha (m) (m) (m) (m)
6A 6
+
1
8
+ 2
+
1
8
0.0762 0.079375 0.130175 0.13335
6B 6
+
1
8
+ 3
+
1
8
0.0762 0.079375 0.155575 0.15875
8A 8
+
1
8
+ 2
+
1
8
0.1016 0.10795 0.15875 0.165
8B 8
+
1
8
+ 3
+
1
8
0.1016 0.10795 0.18415 0.1905
Tabela 6.2: Coeficiente de Transferência de Calor Global para as Configurações do
PIP.
Notação Configuração da Linha h
1
(W/m) h
a
(W/m) U (W/m
2 ◦
C)
6A 6
+
1
8
+ 2
+
1
8
500 100 4.50786
6B 6
+
1
8
+ 3
+
1
8
500 100 3.31426
8A 8
+
1
8
+ 2
+
1
8
500 100 4.33494
8B 8
+
1
8
+ 3
+
1
8
500 100 3.96564
Tabela 6.3: Propriedades Termo Físicas dos Dutos Compostos Multicamadas.
Material ρ (kg/m
3
) C
p
(J/kg
◦
C) κ (W/m
◦
C)
Aço 7700 502.1 52.34
Polipropileno 775 2000 0.17
Aço 7700 502.1 52.34
Tabela 6.4: Propriedades do Fluido.
Propriedade T
f,in
(
◦
C) WAT (
◦
C) µ (kg/ms) C
p
(J/kg
◦
K) ρ (kg/m
3
)
Valor 76.0 40.56 0.012 a 60
◦
C 2700.0 875.0
0.02 a 45.55
◦
C
86
6.1.1 Análise dos Resultados
Para ilustrar os resultados obtidos através da simulação computacional do
problema de análise térmica em tubulações multicamadas com aquecimento elétrico,
alguns casos foram selecionados, e estão ilustrados pelas Figuras (6.1)-(6.24) e tam-
bém p ela s Tabelas (6.5 )-(6.11 ). Com o objetivo de analisar os da dos expostos de
forma mais concisa, os dados foram subdivididos com base no comprimento da
linha. Em to da s as simulações foi assumido para a temp era tura mínima do fluido,
T
min
= 4
◦
C e T
f,out
≈ W AT (
◦
C) = 42
◦
C para a temperatura de saída (TLP) do
fluido produzido. h
1
= 500W/m e h
a
= 100W/m .Adotou-se o tempo de simulaçã o
de 10 horas para a geração dos resultados. Para avaliar a eficiência do aquecimento
direto segmentado, a tubulação foi dividida em nove seções, n
heat
= 9. Para o caso
da tubulação sem aquecimento elétrico direto, n
heat
= 0 e, no caso de aquecimento
total, n
heat
= 9.
Linha de Transporte com 18km de Extensão
A análise das tubulações com 18km de extensão é ilustrada através das Figuras
(6.1) a (6.8) e das Tabelas 6 .5 a 6.7. As Figuras (6.1) e (6.2) apresentam os resultados
obtidos para o PIP 6A (6
+
1
8
+ 2
+
1
8
) com L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
C e
˙
M
f
= 16.1014kg/s. A Figura (6.1) mostra a evolução temporal do aquecimento
da tubulação após a reativação da produção bem como a evolução da temperatura
de estado estacionário para a configuração dada, sem a presença de aquecimento
ativo. Pode-se perceber que, após aproximadamente 10 horas toda a tubulação
está aquecida acima da temperatura de formação de hidratos (WAT = 40.56
◦
C)
para as condições de produção em águas profundas e ultra-profundas. Na Figura
(6.2) são apresentadas as evoluções temporais para os casos de aquecimento total
da tubulação e aquecimento s egmentado. À partir da a nálise da figura, percebe-se a
baixa discrepância entre os resultados obtidos para as duas situações. Nesta configu-
ração, a entrada linear de aquecimento requerida calculada de ˙q = 13.1601W/m, e
conseqüentemente a demanda de aquecimento total requerida, para os 18km da
tubulação, n
heat
= 9,
˙
Q = 236.882kW na situação de aquecimento total desta. A
taxa volumétrica de entrada de energia de aquecimento elétrico direto à tubulação
87
calculada é ˙g = 8480.586W/m
3
. Com o intuito de prover uma maior compreensão
da evolução do aquecimento temporal da tubulação, na Tabela 6.5 é apresentada a
análise temporal para o caso de aquecimento segmentado da tubulação. O número
de seções aquecidas para esta configuração é decrescente à medida que o tempo
evolui. Ao final de 1 0 horas, apenas 2km da tubulação estão aquecidos, ou seja,
n
heat
= 1. Isto representa uma economia de 88,89 % na demanda de aquecimento
elétrico requerido, pois apenas 26.320kW são necessários para aquecer a tubulação
acima de WAT. Po rtanto, à partir da análise dos resultados mostrados na Tabela 6.5,
os 210.562kW , resultantes da diferença entre os dois métodos de aquecimento, são
despendidos para o ambiente e não influenciam no aquecimento final da tubulação .
A pequena diferença apresentada na Figura (6.2) é devida ao tempo de estabilização
requerido pelo sistema de aquecimento segmentado, superior ao tempo de 10 horas
usado nas simulações.
As Figuras (6.3) e (6.4) ilustram os resultados obtidos para o PIP 6B (6
+
1
8
+ 3
+
1
8
) com L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
C e
˙
M
f
= 16.1014kg/s para as três
situações de aquecimento. A análise das Figuras mostra o comportamento similar
destas com os apresentados nas Figuras (6.1) e (6.2). O aumento da espessura do
isolamento se reflete na queda mais acentuada do número de seções aquecidas com o
decorrer do tempo, como pode ser observado na Tabela 6 .6, que mostra a distribuição
temporal de temperatura ao longo da tubulação, em cada uma das seções de 2km
de comprimento, bem como o número de seções aquecidas, n
heat
para cada situação.
No caso do aumento da espessura do isolamento, para o mesma configuração da
tubulação, pode-se perceber que, ao final das 10 horas de simulação, a demanda de
aquecimento elétrico após 8 horas é 88,89% menor do que a apresentada para o caso
onde a linha de transporte é aquecida em toda a sua extensão e, ao final das 10
horas de simulação esta é nula, ou seja, não há necessidade de aquecer a tubulação.
Uma análise similar a apresentada para o PIP de 6
é feita para o PIP de
8
. As Figuras (6.5) e (6.6) para o PIP 8A (8
+
1
8
+ 2
+
1
8
) com L = 18km,
T
f,in
= 87.8
◦
C e
˙
M
f
= 16.1014kg/s para as três situações de aquecimento. Após
10 horas, para a situação de não aquecimento, a temperatura de estado estacionário
não é alcançada. A demanda linear de aquecimento requerida para esta configu-
88
ração é calculada como ˙q = 45.564W/m, totalizando uma entrada de aquecimento
de
˙
Q = 821.482kW para o aquecimento total da tubulação. Com o aquecimento
segmentado, após 10 horas, apenas 273.383kW (n
heat
= 3)são necessários para aque-
cer a tubulação acima de WAT, assim, 546.765kW são economizados através do uso
deste método de aquecimento. As Figuras (6.7) e (6.8) para o PIP 8B (3
de iso-
lamento) mostram um comportamento similar ao apresentado pelo PIP 8A (2
de
isolamento). Ao final de 10 horas, n
heat
= 3, com uma demanda de aquecimento line-
ar de 4.627W/m, uma entrada de aquecimento de 27.760kW são necessários para o
aquecimento através do sistema segmentado, gerando uma economia de 55, 519kW
em relação ao sistema totalmente aquecido. Para ambos os PIP 8B (3
de isola-
mento) e PIP 8A (2
de isola mento) o uso do aquecimento seg mentado representa
uma economia de 66.67% na demanda de energia de aquecimento do sistema.
Na Tabela 6.7 é apresentada a análise do número de seções aquecidas, geradas
pelo método de aquecimento segmentado, para cada uma das configurações de PIP
simuladas. Pode-se perceber, através da análise dos dados apresentados que, para
uma tubulação de 18km de extensão após 10 horas de simulação, para o PIP de 6
para vazões acima de 16kg/s e, para o PIP de 8
com vazões superiores a 24kg/s
o a quecimento ativo é desnecessário, co nsiderando-se as temperaturas de entrada
especificadas para o fluido.
89
Tabela 6.5: Análise da Eficiência do Aquecimento Elétrico Segmentado: PIP 6A,
L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s.
t n
heat
˙q
˙
Q
˙
Q
seg
Economia Economia
(horas) (kW/m) (kW) (kW) (kW) (%)
1 9 0.013 236.882 236.882 0.0 0.00
2 8 0.013 236.882 210.562 26.320 11.11
3 7 0.013 236.882 184.241 52.640 22.22
4 6 0.013 236.882 157.921 78.961 33.33
5 5 0.013 236.882 131.601 105.281 44.44
6 4 0.013 236.882 105.281 131.601 55.56
7 3 0.013 236.882 78.961 157.921 6 6.67
8 2 0.013 236.882 52.640 184.241 7 7.78
9 2 0.013 236.882 52.640 184.241 7 7.78
10 1 0.013 236.882 26.320 210.562 88.89
90
Tabela 6.6: Distribuição de Temperatura [Linha de Transporte sem Aquecimento
Ativo, com Aquecimento Ativo em Toda Extensão e com Aquecimento Segmentado],
Número de Seções Aquecidas: PIP 6B, L = 18km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
=
16.1014kg/s.
L T(0h) T(2h) T(4h) T(6h) T(8h) T(9h) T(10h) T(est)
0 km 87.80 87.80 87.80 87.80 87.80 87.80 87.80 87.80
2 km 4.00 78.60 81.25 81.94 82.13 82.17 82.19 81.91
4 km 4.00 64.43 74.13 76.13 76.13 76.85 76.92 76.44
6 km 4.00 33.12 65.92 70.18 71.51 71.78 71.93 71.35
8 km 4.00 7.27 55.71 63.85 66.33 66.86 67.17 66.62
10 km 4.00 4.06 41.47 56.86 61.08 62.01 62.56 62.22
12 km 4.00 4.00 22.54 48.88 55.59 57.09 58.01 58.13
14 km 4.00 4.00 8.46 39.42 49.70 52.00 53 .43 54.33
16 km 4.00 4.00 4.42 28.07 43.26 46.59 48 .70 50.79
18 km 4.00 4.00 4.01 16.19 36.13 40.77 43 .74 47.50
n
heat
Sem Aquec. 0 0 0 0 0 0 0 -
n
heat
Aquec. Tot. 9 9 9 9 9 9 9 -
n
heat
Aquec. Seg. 9 7 5 3 1 1 0 -
92
Tabela 6 .7: Número de Seçõ es Aquecidas apó s 10h: Linha de Transporte com 18km
de Extensão.
PIP T
f,in
˙
M
f
12 kg/s 16 kg/s 20 kg/s 24 kg/s 28 kg/s 32 kg/s
6A 76.66
◦
C (170
◦
F ) 4 3 1 0 0 0
6A 87.8
◦
C (190
◦
F ) 3 1 0 0 0 0
6A 99
◦
C (210
◦
F ) 2 0 0 0 0 0
6B 76.66
◦
C (170
◦
F ) 3 1 0 0 0 0
6B 87.8
◦
C (190
◦
F ) 3 1 0 0 0 0
6B 99
◦
C (210
◦
F ) 2 0 0 0 0 0
8A 76.66
◦
C (170
◦
F ) 5 4 3 2 1 0
8A 87.8
◦
C (190
◦
F ) 5 3 2 1 0 0
8A 99
◦
C (210
◦
F ) 4 3 2 0 0 0
8B 76.66
◦
C (170
◦
F ) 5 4 3 1 0 0
8B 87.8
◦
C (190
◦
F ) 5 3 2 0 0 0
8B 99
◦
C (210
◦
F ) 5 3 1 0 0 0
96
Linha de Transporte com 36km de Extensão
Quatro cas os abrangendo as linhas de escoamento com 36 km estão ilustrados
nas Figuras (6.9) a (6.16). Devido aos critérios adotados nas simulações, de que
a entrada linear de energia deve satisfazer a condição de manter a temperatura do
sistema acima de WAT, e devido a extensão relativamente grande da tubulação, em
nenhum dos casos, como pode ser o bservado nas figuras, a temperatura de estado
estacionário foi alcançada. Para resolver este problema, um aumento na demanda de
energia de aquecimento e o tempo de simulação devem ser adotados. O objetivo deste
trabalho é analisar a eficiência do sistema de aquecimento segmentado proposto e,
para tal fim, os resultados aqui apresentado s são suficientes para realizar tal análise.
Nas Figuras (6.9) e (6.10) mostram a evolução do campo de temperatura para
o caso do PIP 6A com L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s para
os três casos simulados. Uma taxa de aquecimento de 61.777W/m é necessá ria para
aquecer a linha acima de WAT. Uma economia de demanda de aquecimento, após
10 horas, de 44,44% (988.432W ) para o aquecimento segmentado é obtida usando-se
1235.540W , que é a demanda exigida através do método de aquecimento segmentado.
Para o PIP 6B com L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s, os perfis
de temperatura para os três casos são mostrados nas Figuras (6.11) e (6.12), para
uma demanda de aquecimento linear de 33.410W/m, uma economia de 668.208W
(55,56%) é alcançada usando o método de aquecimento segmentado. A Tabela 6.8
mostra a evolução do aquecimento segmentado para os PIP 6A e 6B. Novamente
a queda temporal no número de seções aquecidas é alcançada, aumenta ndo-se a
espessura da camada de isolamento térmico, como pode ser observado à partir dos
dados apresentados na Tabela 6.8.
Os resultados obtidos para os PIP 8A e PIP 8B com L = 36km, T
f,in
=
87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s são ilustrados nas Figuras (6.13) a (6.15). Os
resultados também po dem ser vistos na Tabela 6.9 na qual é feita uma análise da efi-
ciência do aquecimento segmentado, comparando os resultados obtidos para a linha
de transporte de 8
com 2
e 3
. Para uma entrada linear de energia de aquecimento
de 90.456W/m, uma queda de 66.67% na demanda de potência de aquecimento u-
sando o sistema segmentado para o PIP 8A. O PIP 8B apresenta a mesma redução
97
de 66.67% na demanda de potência de aquecimento para o sistema segmentado, e
possue uma entrada linear de energia calculada de 54.111W/m.Analisando os re-
sultados apresentados na Tabela 6.9, o comportamento das duas configurações em
relação a evolução temporal é idêntico, variando apenas a demanda de potência
de aquecimento requerida para cada configuração. Ao final de 10 horas, apenas
33.33% da demanda de potência de aquecimento ativo quando a linha de transporte
é aquecida em toda sua extensão é necessário para manter a temperatura acima da
temperatura de WAT.
Na Tabela 6.10 a análise do número de seções aquecidas para as configurações
de PIP com 36km de extensão é apresentada. Pode-se observa r que com o aumento
da vazão e, pa ra temperaturas de entrada mais elevadas, o número de seções a
serem aquecidas diminui, diminuindo assim o consumo de energia de aquecimento
para cada configuração.
98
Tabela 6.8: Análise da Eficiência do Aquecimento Elétrico Segmentado: PIP 6,
L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s.
6A 6B
t n
heat
˙
Q
seg
Econ. Econ. n
heat
˙
Q
seg
Econ. Econ.
(horas) (kW) (kW) (%) (kW) (kW) (%)
1 9 3256.419 0.0 0.00 9 120 .187 0.0 0.00
2 9 3256.419 0.0 0.00 8 106 .833 13.35 4 11.11
3 8 2894.595 361.824 11.11 8 106.833 13.354 11.11
4 8 2894.595 361.824 11.11 7 93.479 26.708 22.22
5 8 2894.595 361.824 11.11 6 80.125 40.062 33.33
6 7 2532.770 723.649 22.22 6 80.125 40.062 33.33
7 7 2532.770 723.649 22.22 5 66.771 53.416 44.44
8 7 2532.770 723.649 22.22 5 66.771 53.416 44.44
9 6 2170.946 1085.473 33.33 4 53.416 66.771 55.56
10 6 2170 .94 6 1085.4 73 33.33 4 53.416 66.771 55.56
101
Tabela 6.9: Análise da Eficiência do Aquecimento Elétrico Segmentado: PIP 8,
L = 36km, T
f,in
= 87.8
◦
C(190
◦
F ) e
˙
M
f
= 16.1014kg/s.
8A 8B
t n
heat
˙
Q
seg
Econ. Econ. n
heat
˙
Q
seg
Econ. Econ.
(horas) (kW) (kW) (%) (kW) (kW) (%)
1 9 3256.419 0.0 0.00 9 194 8.00 9 0.0 0.00
2 9 3256.419 0.0 0.00 9 194 8.00 9 0.0 0.00
3 8 2894.595 361.824 11.11 8 1731.563 216.445 11.11
4 8 2894.595 361.824 11.11 8 1731.563 216.445 11.11
5 8 2894.595 361.824 11.11 8 1731.563 216.445 11.11
6 7 2532.770 723.649 22.22 7 1515.118 432.891 22.22
7 7 2532.770 723.649 22.22 7 1515.118 432.891 22.22
8 7 2532.770 723.649 22.22 7 1515.118 432.891 22.22
9 6 2170.946 1085.473 33.33 6 1298.672 649.336 33.33
10 6 2170 .94 6 1085.4 73 33.33 6 1298 .67 2 649.336 33.33
104
Tabela 6.10: Número de Seções Aquecidas após 10h: Linha de Transporte com 36km
de Extensão.
PIP T
f,in
˙
M
f
12 kg/s 16 kg/s 20 kg/s 24 kg/s 28 kg/s 32 kg/s
6A 76.66
◦
C (170
◦
F ) 7 6 5 4 3 3
6A 87.8
◦
C (190
◦
F ) 6 5 4 3 2 1
6A 99
◦
C (210
◦
F ) 6 5 4 2 1 0
6B 76.66
◦
C (170
◦
F ) 6 5 4 3 2 1
6B 87.8
◦
C (190
◦
F ) 6 4 3 2 1 0
6B 99
◦
C (210
◦
F ) 5 4 3 2 1 0
8A 76.66
◦
C (170
◦
F ) 7 7 6 5 5 4
8A 87.8
◦
C (190
◦
F ) 7 6 5 5 4 3
8A 99
◦
C (210
◦
F ) 7 6 5 4 4 3
8B 76.66
◦
C (170
◦
F ) 7 6 6 5 4 4
8B 87.8
◦
C (190
◦
F ) 7 6 5 5 4 3
8B 99
◦
C (210
◦
F ) 7 6 5 5 4 3
105
Linha de Transporte com 90km de Extensão
Os resultados obtidos para as tubulações com aquecimento ativo de 90km de
extensão estão ilustrados nas Figuras (6.17) a (6.24) e na Tabela 6.11. Devido a
extensão da linha e ao tempo computacional adotado, novamente nenhum dos casos
abordados atingiu a temperatura de estado estacionário. O s resultados obtidos para
o PIP de 6
com aquecimento ativo segmentado mostram uma redução típica de
33.33% na demanda de potência de aquecimento e, pa ra o PIP de 8
esta representa
uma redução de 22.22%.
106
Tabela 6.11: Número de Seções Aquecidas após 10h: Linha de Transporte com 90km
de Extensão.
PIP T
f,in
˙
M
f
12 kg/s 16 kg/s 20 kg/s 24 kg/s 28 kg/s 32 kg/s
6A 76.66
◦
C (170
◦
F ) 8 8 7 7 7 6
6A 87.8
◦
C (190
◦
F ) 8 8 7 7 6 6
6A 99
◦
C (210
◦
F ) 8 7 7 6 6 5
6B 76.66
◦
C (170
◦
F ) 8 8 7 7 6 6
6B 87.8
◦
C (190
◦
F ) 8 7 7 6 6 5
6B 99
◦
C (210
◦
F ) 8 7 6 6 5 5
8A 76.66
◦
C (170
◦
F ) 8 8 8 7 7 7
8A 87.8
◦
C (190
◦
F ) 8 8 8 7 7 7
8A 99
◦
C (210
◦
F ) 8 8 8 7 7 7
8B 76.66
◦
C (170
◦
F ) 8 8 8 7 7 7
8B 87.8
◦
C (190
◦
F ) 8 8 8 7 7 7
8B 99
◦
C (210
◦
F ) 8 8 8 7 7 7
111
Comentários
Como era previsto, o sistema que combina o a quecimento ativo usado em con-
junto com o isolamento passivo da tubulação de transp o rte do fluido de produção
reduz a probabilidade de aparecimento de hidratos e ceras durante a produção em
estado permanente. O uso do aquecimento ativo segmentado aqui proposto apre-
senta uma redução na demanda de potência de aquecimento que varia entre 22%,
para as tubulaçõ es mais extensas, a 88.89% no caso de linhas de transporte mais
curtas. Assim, podemos inferir que o uso do sistema de aquecimento segmentado
é uma solução viável para sistemas de produção de petróleo e gás em condições
típicas de águas profundas e ultra-profundas. Para obter-se tempos de aquecimento
mais efetivos para as linhas com extensão acima de 90km, a entrada de potência
de aquecimento pode ser aumentada. Neste estudo, usamos como base de cálculo,
o valor mínimo de demanda de aquecimento necessária para manter a temperatura
acima da tempera tura de formação de hidratos (WAT) para as condições adotadas.
112
6.2 Convecção Forçada Turbulenta na Região de
Entrada Térmica de Dutos Circulares e Canais
de Placas-Para lelas
Nesta seção são apresentados os resultados para o fator de atrito e para o
número de Nusselt asintótico da convecção forçada turbulenta na região de entrada
térmica de dutos circulares e canais de placas-paralelas que são ilustrados e compara-
dos com as correlações empíricas, para uma ampla faixa de números de Reynolds
(1×10
4
≤ Re ≤ 2×10
6
) e diferentes números de Prandtl (0.01, 0.1, 0.72, 1.0 e 10.0).
Sob condições, podemos verificar a influência de cada parâmetro sobre os modelos
de turbulência, bem como suas limitações previstas.
6.2.1 Fator de Atrito
As Tabelas 6.12 e 6.13, bem como as Figuras (6.25) e (6 .26) ilustram o com-
portamento do fator de atrito frente aos modelos de turbulência adotados em função
do número de Reynolds e da geometria analisada.
Na Tabela 6.12, os valores calculados para fator de atrito do esc oa mento tur-
bulento em um duto circular liso são apresentados. Os resultados são dados para
os dois modelos de turbulência adotados, modelo de Três - Camadas e modelo de
Churchill (2001), comparados aos resultados obtidos através da correlação clássica
de Prandtl-Kármán-Nikuradse (PKN) (Nikuradse, 1932, Prandtl, 1944, von Kár-
mán, 1934) para o duto circular. Na Figura (6.25) os resultados apresentados são
apresentados de forma gráfica para melhor visualização dos valores apresentados.
Da aná lise dos valores mostrados na Tabela 6.12, pode-se perceber ambos os mode-
los produzem resultados similares aos dados pela correlação empírica. Além disso,
uma análise mais detalhada mostra que o s resultados que melhor se aproximam dos
apresentados através da correlação empírica são os calculados através do modelo de
Churchill (2001). De modo geral, para esta situação, os resultados diferem apenas
à partir da terceira casa decimal, justificando o comportamento aproximadamente
idêntico deste dois modelos na Figura (6.25).
113
De modo análogo, na Tabela 6.13, os valores obtidos para o fator de atrito do
escoamento turbulento em um canal de placas-paralelas liso através da correlação
empírica de Dean (1978), são comparados aos obtidos à partir do modelo de Três -
Camadas e do modelo de Churchill (2001). Novamente, ambos os modelos podem ser
usados para estimar o fator de atrito do escoamento turbulento no canal de placas-
paralelas. Os resultados obtidos para ambos os modelos considerados apresentam
discrepâncias à partir da segunda casa decimal, quando comparados aos valores cal-
culados através da correlação empírica. A análise mais detalhada destes resultados
mostra que, novamente, os resultados obtidos através do modelo de Churchill (2001)
são os que melhor se aproximam dos obtidos através da correlação empírica, como
pode ser visto na Figura (6.26).
Comparando-se os resultados mostrados nas Tabelas 6.12 e 6.13 percebe-se
que, para a faixa de números de Reynolds considerada, os resultados para o fator de
atrito obtidos para o canal de placas-paralelas podem, em princípio, ser aplicados
diretamente pa ra o tubo de geometria circular e vice-versa. Além disso, o modelo de
Churchill (2001) comporta-se de modo mais satisfatório do que o modelo de Três -
Camadas sistematicamente nas duas geometrias e na faixa de números de Reynolds
considerada.
114
Tabela 6.12: Fator de Atrito para o Duto Circular Resultante da Análise Proposta
e para a Correlação Empírica.
Re 3-Camadas Churchill PKN
1 × 10
4
0.03015494 0.03140044 0.03104903
5 × 10
4
0.01979200 0.02088789 0.02100580
1 × 10
5
0.01699692 0.01805000 0.01808885
5 × 10
5
0.01242937 0.01337735 0.01323124
1 × 10
6
0.01100879 0.01190867 0.01171017
Tabela 6.13: Fator de Atrito para o Canal de Placas-Paralelas Resultante da Análise
Proposta e para a Correlação Empírica.
Re 3-Camadas Churchill Dean
1 × 10
4
0.03113116 0.03186152 0.03200216
5 × 10
4
0.02027690 0.02108828 0.02321866
1 × 10
5
0.01738444 0.01821031 0.01952449
5 × 10
5
0.01267484 0.01348068 0.01305681
1 × 10
6
0.01121436 0.01199586 0.01097943
115
6.2.2 Número de Nusselt Assintótico
As Tabelas 6.14 a 6.21, de modo similar ao demonstrado para o fator de atrito,
ilustram o número de Reynolds assintótico, como função dos números de Prandtl
e Reynolds e da geometria envolvida, comparados aos valores o btidos através da
comparação com a correlação de Gnielinski (1976) combinada com as correlações
para o fator de atrito dada pelo modelo de turbulência adotado, modelo de Três -
Camadas e Modelo de Churchill (2001).
As Tabelas 6.14 e 6.15 mostram o número de Nusselt assintótico para o duto
circular, obtidos através do modelo de modelo de Três - Camadas, para cinco dife-
rentes modelos para o número de Prandtl turbulento. Os resultados são comparados
aos valores obtidos para o número de Nusselt assintótico à partir da correlação em-
pírica de Gnielinski (1976), com o fator de atrito dado pela Eq. (4.16), para o modelo
de Três - Camadas. As Tabelas 6.16 e 6.1 7 mostram o número de Nusselt assintótico
para o duto circular obtidos pelo modelo de Churchill (2001), para cinco diferentes
modelos para o número de Prandtl turbulento. Os resultados são comparados aos
valores obtidos para o número de Nusselt assintótico à partir da correlação empírica
de Gnielinski (1976), com o fator de atrito dado pela Eq. (2.63), para o modelo de
Churchill (2001).
Nas Tabelas 6.18 e 6.19 são apresentados os valores obtidos para o número
de Nusselt assintótico para o canal de placas-paralelas obtidos através do modelo
de Três - Camadas com cinco diferentes modelos para o número de Prandtl turbu-
lento, comparados aos resultados obtidos através da correlação empírica de Gnielin-
ski (1976), com o fator de atrito dado pela Eq. (4.16), para o modelo de Três -
Camadas. Nas Tabelas 6.20 e 6.21 o número de Nusselt obtido para o canal de pla-
cas paralelas através do modelo de Churchill (2001), com os diferentes modelos para
o número de Prandtl turbulento e para a correlação empírica de Gnielinski (1976),
com o fator de atrito dado pela Eq. (2.61), para o modelo de Churchill (2001).
Analisando-se os resultados obtidos para o para o duto de geometria circular
e para o canal de placas-paralelas, dados nas Tabelas 6.14 e 6.15, pode-se perceber
que os números de Nusselt assintótico são fortemente influenciados pelos modelos
de turbulência para o campo de velocidade e para o número de Prandtl turbu-
117
lento. Ainda, é observada a notável influência dos números de Prandtl e Reynolds
na determinação do número de Nusselt a ssintótico. Para um determinado número
de Reynolds, o aumento do número de Prandtl conduz a um aumento no número
de Nusselt assintótico. Quando observamos a variação do número de Reynolds,
mantendo o número de Prandtl fixo, este comportamento torna-se ainda mais evi-
dente. As discrepâncias apresentadas pelos modelos para determinados números de
Reynolds deve-se ao fato de estes estarem fora da faixa de números de Reynolds
onde o modelo para o número de Prandtl turbulento e modelo de turbulência são
válidos. Também, pode-se perceber que o modelo de Três - Camadas perde fide-
lidade quando comparado ao modelo de Churchill (2001) para as duas geometrias
analisadas, à medida que os valores de Prandtl e Reynolds aumentam. Além disso,
pode-se observar a influência dos números de Prandtl e Reynolds nos valores obtidos
através da correlação empírica de Gnielinski (1976), para o fator de atrito dado pelo
modelo de Tre - Camadas e pelo modelo de Churchill (2001) para as duas geo metrias
analisadas. Pode-se concluir, à partir desta análise, que o valores para o número de
Nusselt assintótico, calculados a través desta correlação, não são sensíveis ao modelo
de turbulência empregado.
Portanto, à partir da análise dos resultados numéricos obtidos nas Tabelas 6.14
a 6.21, pode-se notar que o modelo de Churchill (2001) para o campo de velocidade,
combinado com o modelo de Yakhot-Orszag-Yakhot (Y-O-Y) para o número de
Prandtl turbulento, tem uma melhor resposta na determinação do número de Nusselt
assintótico, do que a apresentada por todos os outros modelos, para as faixas de
números de Reynolds e números de Prandtl consideradas.
118
Tabela 6.14: Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e Através da Corre-
lação Empírica para o Duto Circular − Modelo de Três - Camadas com Diferentes
Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica.
Modelo-P r
t
Re P r = 0.01 P r = 0.1 P r = 0.72 P r = 1.0 P r = 10.0
P r
t
= 1 - - 28.9633 33.6539 80.9750
J-R - - 30.8753 35.8892 85.2040
W-F-C 5.0095 9.4962 28.5477 33.3495 80.3299
N-S 1 × 10
4
4.8857 7.7780 31.5474 36.7 44 4 87.1993
Y-O-Y 5.0707 10.3150 30.9192 36.5991 97.2410
Empírica 5.3409 9.4039 29.7846 34 .93 02 89.9983
P r
t
= 1 - - 95.5818 114.5193 314.2779
J-R - - 103.2569 123.6613 332.2528
W-F-C 6.6043 27.0898 98.1011 117.2763 314.2330
N-S 5 × 10
4
5.1718 12.7298 104.0255 124.8589 338.4896
Y-O-Y 6.9410 27.8513 103.8494 126.1179 377.1550
Empírica 6.9245 22.8821 106.2327 128.6605 381.800 0
P r
t
= 1 - - 164.1934 1 98 .709 2 571.9666
J-R - - 178.1443 215.4751 605.8067
W-F-C 8.7804 44.7711 170.4801 205.5017 573.5637
N-S 1 × 10
5
5.3962 21.1658 179.3437 216.2765 615.3814
Y-O-Y 9.2749 45.3267 179.4288 219.7519 686.1304
Empírica 8.6293 37.3930 182.8950 223.8495 699.715 2
P r
t
= 1 - - 599.3646 7 39 .079 8 2344.7259
J-R - - 655.5015 807.8829 2493.7426
W-F-C 24.0619 151.4941 634.4848 777.6598 2365.6375
N-S 5 × 10
5
8.7565 91.0891 710.0208 811.7808 2514.768 3
Y-O-Y 24.3675 151.0028 662.0221 823.8996 2810.8816
Empírica 19.8400 132.8116 661.4022 825.2987 2864.7933
119
Tabela 6.15: Continuaçã o: Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e
Através da Correlação Empírica para o Duto Circular − Modelo de Três - Camadas
com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica.
Modelo-P r
t
Re P r = 0.01 P r = 0.1 P r = 0.72 Pr = 1.0 Pr = 10.0
P r
t
= 1 - - 1059.8115 1315.6101 4356.1739
J-R - - 1162.3463 1442.2783 4646.7845
W-F-C 39.7313 260.4645 1129.0032 1392.4493 43 97.0 27 8
N-S 1 × 10
6
14.5620 173.9156 1351.0598 1466.5894 4673.94 99
Y-O-Y 39.6055 259.0751 1175.0174 1470.8949 5235.8 84 7
Empírica 31.9097 235.5410 1164.1105 1462.3078 5280.19 23
P r
t
= 1 - - 1886.4691 2355.3335 7581.2573
J-R - - 2074.0825 2588.3188 8017.5652
W-F-C 66.7123 451.9679 2020.8902 2507.4954 76 84.0 39 1
N-S 2 × 10
6
26.8844 332.0217 2580.3437 2687.4713 8015.62 14
Y-O-Y 65.8691 449.1678 2098.6180 2638.8852 8891.4 49 1
Empírica 53.6653 420.7108 2062.7097 2606.4755 9762.10 05
120
Tabela 6.16: Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e Através da Corre-
lação Empírica para o Duto Circular − Modelo de Churchill (2001) com Diferentes
Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica.
Modelo-P r
t
Re P r = 0.01 P r = 0.1 P r = 0.72 P r = 1.0 P r = 10.0
P r
t
= 1 - - 29.0755 34.1692 91.3757
J-R - - 31.1399 36.6306 97.1174
W-F-C 4.9657 9.1493 28.6771 33.9103 90.4024
N-S 1 × 10
4
4.8530 7.6714 31.8869 37.5 92 0 99.8795
Y-O-Y 5.0133 9.9088 31.1942 37.4 07 1 114.1703
Empírica 5.3409 9.4039 29.7846 34 .93 02 89.9983
P r
t
= 1 - - 100.3753 1 20 .988 6 359.2886
J-R - - 108.6993 131.0311 383.2936
W-F-C 6.5950 27.8568 103.1146 124.0072 358.0836
N-S 5 × 10
4
5.1506 12.7942 109.5021 132.3025 391.8830
Y-O-Y 6.9446 28.6540 109.3436 133.7447 447.2930
Empírica 6.9245 22.8821 106.2327 128.6605 381.800 0
P r
t
= 1 - - 174.3529 2 12 .011 2 656.3496
J-R - - 189.5260 230.4516 701.3562
W-F-C 8.8827 46.8953 181.0946 219.3301 656.0609
N-S 1 × 10
5
5.3790 22.2955 190.9603 231.3216 714.7093
Y-O-Y 9.4406 47.4808 190.9098 235.2010 816.1172
Empírica 8.6293 37.3930 182.8950 223.8495 699.715 2
P r
t
= 1 - - 647.5590 8 00 .912 4 2708.0914
J-R - - 709.0254 876.9129 2904.6465
W-F-C 25.5047 162.9487 685.0838 842.2721 2724.6321
N-S 5 × 10
5
8.9951 102.8068 778.3678 883.4382 2936.8918
Y-O-Y 25.9607 162.3659 716.0262 894.8777 3358.3797
Empírica 19.8400 132.8116 661.4022 825.2987 2864.7933
121
Tabela 6.17: Continuaçã o: Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e
Através da Correlação Empírica para o Duto Circular − Modelo de Churchill (200 1)
com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica.
Modelo-P r
t
Re P r = 0.01 P r = 0.1 P r = 0.72 Pr = 1.0 P r = 10.0
P r
t
= 1 - - 1151.9558 1433.5245 5004.0798
J-R - - 1264.5776 1573.7410 5368.7575
W-F-C 42.7637 282.4287 1226.1226 1516.1272 5070.1802
N-S 1 × 10
6
15.6527 197.3468 1497.6873 1607.6353 5406.8725
Y-O-Y 42.7781 280.8218 1278.2211 1605.9257 6140.7524
Empírica 31.9097 235.5410 1164.1105 1462.3078 5280.1923
P r
t
= 1 - - 2060.5908 2577.6658 9145.6151
J-R - - 2267.1329 2835.8002 9884.4682
W-F-C 72.6210 493.2939 2205.4624 2742.9760 8987.7823
N-S 2 × 10
6
30.1069 377.1084 2867.7799 2964.7777 9973.3306
Y-O-Y 71.8775 490.0554 2293.6837 2892.7268 12017.2521
Empírica 53.6653 420.7108 2062.7097 2606.4755 9762.1005
122
Tabela 6.18: Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e Através da Corre-
lação Empírica para o Canal de Placas-Paralelas − Modelo de Três - Camadas com
Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica.
Modelo-P r
t
Re P r = 0.01 P r = 0.1 P r = 0.72 P r = 1.0 P r = 10.0
P r
t
= 1 - - 32.4907 37.1869 84.5803
J-R - - 34.4049 39.4248 88.8232
W-F-C 8.8025 12.7840 31.6940 36.5291 83.7144
N-S 1 × 10
4
8.6980 12.2896 35.2755 40.4737 90.9504
Y-O-Y 8.8067 13.3497 34.3888 40.1952 101.4135
Empírica 6.5962 10.8238 30.7853 36.0024 91.7238
P r
t
= 1 - - 101.0022 1 20 .209 7 321.5548
J-R - - 108.7923 129.4668 339.6445
W-F-C 10.2765 30.2 971 103.0112 122.4803 321.1239
N-S 5 × 10
4
9.0681 16.6660 110.1501 131.4771 346.6629
Y-O-Y 10.2341 30.8930 109.3015 132.0477 385.8695
Empírica 8.6854 24.0056 118.3157 142.2143 407.310 9
P r
t
= 1 - - 171.6881 2 06 .736 6 583.1665
J-R - - 185.8654 223.7311 617.2286
W-F-C 12.2001 48.5 595 177.3999 212.9565 584.2094
N-S 1 × 10
5
9.2255 22.0995 186.9281 225.4870 628.1878
Y-O-Y 12.1863 48.9658 187.0559 228.1850 699.6128
Empírica 10.8238 37.4979 198.4519 241.6156 735.5667
P r
t
= 1 - - 618.8027 7 60 .772 8 2380.8899
J-R - - 675.8874 830.5701 2530.7953
W-F-C 27.2184 159.1500 653.2188 798.5242 2400.7978
N-S 5 × 10
5
11.1458 86.0632 698.5044 829.8239 2555.7076
Y-O-Y 27.0825 158.4526 682.2989 847.0561 2854.0110
Empírica 24.0056 120.6698 652.1952 814.4188 2839.2858
123
Tabela 6.19: Continuaçã o: Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e
Através da Correlação Empírica para o Canal de Placas-Paralelas − Modelo de
Três - Camadas com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica.
Modelo-P r
t
Re P r = 0.01 P r = 0.1 P r = 0.72 Pr = 1.0 Pr = 10.0
P r
t
= 1 - - 1091.4700 1351.4624 4396.2144
J-R - - 1195.7629 1479.9884 4681.0391
W-F-C 43.3222 271.9214 1160.0670 1427.4579 44 44.1 64 3
N-S 1 × 10
6
15.1989 167.3074 1312.7599 1487.0462 4711.52 69
Y-O-Y 42.7839 270.2729 1208.3523 1509.3485 5268.4 90 5
Empírica 37.4979 205.8000 1087.8230 1371.0561 5053.04 97
P r
t
= 1 - - 1939.3422 2416.5247 8176.9182
J-R - - 2130.3358 2653.6333 8731.4200
W-F-C 71.2477 469.7052 2073.4916 2566.6425 82 60.7 04 4
N-S 2 × 10
6
25.5154 324.5644 2542.8221 2705.6105 8765.36 91
Y-O-Y 69.9766 466.5720 2154.7321 2706.2574 9841.8 56 8
Empírica 60.9892 354.0203 1815.0473 2306.9864 8972.67 29
124
Tabela 6.20: Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e Através da Corre-
lação Empírica para o Canal de Placas-Paralelas − Modelo de Churchill (2001) com
Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica.
Modelo-P r
t
Re P r = 0.01 P r = 0.1 P r = 0.72 P r = 1.0 P r = 10.0
P r
t
= 1 - - 30.8595 35.8655 93.3102
J-R - - 32.8824 38.3000 99.1049
W-F-C 8.7164 11.8140 30.0293 35.2401 92.2360
N-S 1 × 10
4
8.6396 11.8500 33.8695 39.5032 102.0735
Y-O-Y 8.7047 12.1775 32.8658 39.1351 116.7173
Empírica 6.5962 10.8238 30.7853 36.0024 91.7238
P r
t
= 1 - - 103.1715 1 23 .830 2 363.0071
J-R - - 111.5123 133.8987 387.1138
W-F-C 10.1779 29.9 593 105.4320 126.4334 361.5900
N-S 5 × 10
4
9.0214 16.4624 112.9611 136.0821 396.6869
Y-O-Y 10.1132 30.5495 112.0742 136.7019 452.1356
Empírica 8.6854 24.0056 118.3157 142.2143 407.310 9
P r
t
= 1 - - 178.2990 2 16 .132 8 662.0797
J-R - - 193.5450 234.6532 707.2458
W-F-C 12.1191 49.2 322 184.5250 222.9800 661.4540
N-S 1 × 10
5
9.1804 21.8739 194.5923 236.4613 722.2077
Y-O-Y 12.0960 49.6561 194.8398 239.5200 823.5274
Empírica 10.8238 37.4979 198.4519 241.6156 735.5667
P r
t
= 1 - - 658.1029 8 12 .491 3 2727.0429
J-R - - 720.0055 888.9458 2924.2681
W-F-C 27.9432 167.4667 694.9707 853.1412 2742.3295
N-S 5 × 10
5
11.1080 93.9522 747.6334 888.6848 2960.2250
Y-O-Y 27.9264 166.7122 726.8972 907.1891 3383.0851
Empírica 24.0056 120.6698 652.1952 814.4188 2839.2858
125
Tabela 6.21: Continuaçã o: Nu
∞
(ξ) Calculado Através da Análise Proposta e
Através da Correlação Empírica para o Canal de Placas-Paralelas − Modelo de
Churchill (2001) com Diferentes Modelos para P r
t
e a Correlação Empírica.
Modelo-P r
t
Re P r = 0.01 P r = 0.1 P r = 0.72 Pr = 1.0 P r = 10.0
P r
t
= 1 - - 1168.8567 1452.4181 5049.9825
J-R - - 1282.3127 1593.5241 5423.7321
W-F-C 45.2944 289.0562 1242.2957 1534.1464 5092.1855
N-S 1 × 10
6
15.3702 186.8615 1427.0294 1604.6270 5471.2045
Y-O-Y 44.9081 287.2413 1295.8396 1626.1560 6257.8120
Empírica 37.4979 205.8000 1087.8230 1371.0561 5053.0497
P r
t
= 1 - - 2088.5134 2610.2834 9366.0372
J-R - - 2296.8651 2871.1223 10065.3603
W-F-C 75.6247 503.3466 2232.2018 2771.7682 9499.3386
N-S 2 × 10
6
26.8380 365.8436 2803.0616 2940.6504 10114.3635
Y-O-Y 74.5055 499.8412 2323.0920 2929.8134 11502.7062
Empírica 60.9892 354.0203 1815.0473 2306.9864 8972.6729
126
6.2.3 Entrada Térmi ca
A influência dos modelos de turbulência, tanto para o número de Nusselt,
quanto para a temperatura média do fluido na região de entrada térmica para o
duto circular e para o canal de placas paralelas, são examinados através das Figuras
(6.27.a) a (6.34.b). Considerando o caso particular de Re = 5 × 10
5
e P r = 0.72,
de acordo com o resultados apresentados na seção anterior, nas Figuras (6.27.a) a
(6.30.b), plotamos ap ena s o modelo de Churchill (2001), devido ao seu melhor com-
portamento, para os cinco modelos de números de Prandtl turbulento propostos.
As Figuras (6.27.a) e (6.27.b) mostram os números de Nusselt na região de entrada
térmica de um duto circular e de um canal de placas-pa ralelas , respectivamente,
usando o modelo de Churchill (2001) para cinco diferentes números de Prandtl tur-
bulento e, nas Figuras (6.29.a) e (6.29.b) a temperatura média é apresentada para
as mesmas condições.
Nas Figuras (6.28.a), (6.28.b), (6.30.a) e (6.30.b) comparamos o modelo de
Três - Camadas com o modelo de Churchill usando dois modelos para o número de
Prandtl turbulento para demonstrar os números de Nusselt e a temperatura média
na região de entrada térmica de dutos circulares e canais de placas paralelas.
Nas Figuras (6.31.a) a (6.34.b) o número de Nusselt para o duto circular e
para o canal de pla cas- paralela s são plotados para os dois modelos de turbulência
adotados, modelo de Churchill (2001) e modelo de Três - Camadas, para os mes-
mos valores de números de Prandtl e Reynolds. Da análise destas figuras, pode-se
concluir que, tanto para o duto circular quanto para o canal de placas-paralelas,
através do uso do modelo de Churchill (2001) a região plenamente desenvolvida é
alcançada nas posições próximas a região de entrada térmica. Com o aumento do
número de Reynolds, mantendo-se o mesmo valor para o número de Prandtl, neste
caso, P r
t
= 10.0 pode-se considerar que a transferência de calor é praticamente,
plenamente desenvolvida nas regiões extremamente próximas a região de entrada
dos dutos. Assim, a análise destas figuras indica que, com o aumento do número de
Reynolds, mais rápido é o desenvolvimento da transferência de calor.
Nas Figuras (6.29.a), (6.29.b), (6.30.a), (6.30.b), (6.33.a), (6.33.b), (6.34.a) e
(6.33.b) ilustram o comportamento da temperatura média do fluido na região de
127
entrada térmica, tanto para o duto circular quanto para o canal de placas-paralelas,
para os modelos de Três - Camadas e para o modelo de Churchill (2001) para
diferentes configurações de escolha dos modelos de número de Prandtl turbulento.
À partir da aná lise dos casos apresentados, pode-se observar que o número de
Nusselt na região de entrada é fortemente influenciado pela escolha do modelo de
turbulência, enquanto que a temperatura média do fluido para a mesma situação,
é menos sensível ao modelo de turbulência a dotado. Como um apanhado geral
das soluções, percebe-se que o modelo de Churchill (2001), apresenta os melhores
resultados para as situações abordadas, do que os resultados obtidos através do
modelo de Três - Camadas.
128
6.3 Convecção Laminar Forçada Transiente com Es-
coamento Laminar Plenamente Desenvolvido Hi-
drod inamicamente na Região de Entrada Tér-
mica de um Canal de Placas-Par alelas
Nesta seção, apresentamos os resultados numéricos correspondentes ao pro-
blema da convecção laminar forçada transiente em um canal de placas-paralelas com
escoamento laminar, o qual resulta no co nhecido perfil de velocidade parabólica para
condição de plenamente desenvolvido e um fluido Newtoniano. Geramos resultados
com e sem o Esquema de Fluxo de Transporte (FCT), com o objetivo de comparar
tais resultados. Cabe, aqui, lembrar que os resultados obtidos sem o esquema ado-
tado (FCT) foram apresentados por Cotta e Gerk (1994) e Guedes et al. (1994) em
seus trabalhos originais. Para gerar estes resultados, foram usados, para o com-
primento máximo na coordenada longitudinal adimensional, ξ
max
= 0.01, tempo
máximo adimensional, τ
max
= 0.02, ordem de truncamento, NR = 50, número de
intervalos na direção longitudinal adimensional, Nξ = 500 e número de passos de
tempo adimensional, Nτ = 5000.
Temperatura Média do Fluido
Quando os resultados apresentados nas Figuras (6.35) e (6.36) são compara-
dos, para a temperatura média do fluido, pode-se perceber que a oscilação dada pelo
esquema usado por Cotta e Gerk (19 94 ) e Guedes et al. (19 94), esquema “upwind”
modificado de Warming e Beam (1976), em seus trabalhos originais e reproduzida
aqui, é totalmente eliminada quando usamos a aproximação aqui introduzida, ou
seja, o esquema FCT ("Flux-Correcting Transport"), propo sta por Boris e Book
(1973). Portanto, com a solução híbrida analítico numérica proposta, o proemi-
nente overshoot devido ao perfil de velocidade variável na seção transversal do duto
é eliminada e, este overshoot é sustentada ao longo da direção do escoa mento, de
acordo com os resultados prévios obtidos por Cotta e Gerk (1994) em seu trabalho
original para situação de escoamento com perfil de velocidade constante ("slug flow")
137
e o comportamento da solução numérica é esperado para sustentar muito mais lenta-
mente os efeitos dos erros de dispersão devido aos gradientes pronunciados muito
menores agora existentes. Assim, o acordo entre os dois esquemas é excelente, in-
cluindo a região de entrada do canal, a frente de onda e a região de dispersão.
Deve-se recordar que uma solução exata pa ra propósitos de comparação não está
disponível neste caso.
Número de Nusselt
A Figuras (6.37) e (6.38) apresenta o número de Nusselt local em resposta a
uma mudança de degrau na temperatura de entrada com e sem o uso do esquema
FCT, respectivamente. Pode-se perceber que, existe um bom acordo entre ambos os
resultados, exceto para os casos limitantes, ou seja, para τ = 0.004 e τ = 0.02, embo -
ra, com o esquema FCT, a condição de estado estacionária seja mais rapidamente
alcançada.
Fluxo de Calor Adimensional na Parede
Nas Figuras (6.39) e (6.40) ilustramos ∂θ(ξ, 1, τ)/∂η para ambos os esquemas
com e sem o esquema FCT, respectivamente. Pode-se perceber que aqui também
um bom acordo entre os resultados é conseguido, embora novamente possa-se ver
que, com o uso do esquema FCT, a condição de estado estacionário é alcançada mais
rapidamente.
138
Comentários
Pode-se perceber que, através dos resultados apresentados nesta seção para os
números de Nusselt, para a temperatura média do fluido e para o fluxo de calor adi-
mensional na parede, o uso do Esquema FCT ("Flux-Correcting Transport") de Boris
e Book (1973), que consiste em um esquema de diferenças finitas de primeira ordem,
aqui aplicado nos overshoot do esquema finito de segunda ordem “upwind” modifi-
cado de Warming e Beam (1976), e utilizado por Cotta e Gerk (1994) e Guedes et al.
(1994) em seus trabalhos originais, elimina completamente as oscilações numéricas
presentes nos resultados apresentados. Ainda, através do uso do método proposto,
através do uso do Esquema FCT ("Flux-Correcting Transport"), a condição de es-
tado permanente é alcançada mais rapidamente, tanto para temperatura média do
fluido, quanto para o fluxo de calor adimensional na parede, quando comparados
aos resultados apresentados por Cotta e Gerk (1994) e Guedes et al. (1994) para os
mesmos parâmetros.
142
Capítulo 7
Conclusões e Sugestões
Neste trabalho, é desenvolvido um estudo analítico- numérico de transferência
de calor em dutos com aquecimento ativo na parede, visando as suas aplicações na
produção de petróleo e gás natural em águas profundas e ultra-profundas, bem como,
sua aplicação na simulação termo-hidráulica de reatores nucleares. É proposto um
sistema otimizado de aquecimento elétrico segmentado, com o objetivo de minimizar
a demanda energética de aquecimento das linhas de transporte de petróleo e gás
natural em águas profundas. Dois problemas clássicos de transferência de calor con-
vectiva foram estudados usando-se técnicas analítica ou híbrida analítico-numérica,
por serem diretamente associados ao problema físico em questão. Foi investigada
a influência dos modelos de escoamento turbulento e de número de Prandtl turbu-
lento no cálculo de número de Nusselt na região de entrada térmica, assim como seus
valores na região plenamente desenvolvida. Por fim, uma solução híbrida analítico-
numérica da convecção laminar transiente em dutos foi obtida usando-se a técnica
de transformada integral e o método de diferenças finitas.
Baseado nas análises e resultado s apresentados nos capítulos anteriores, as
seguintes conclusões são obtidas:
1. Concluímos que o método proposto de aquecimento segmentado, reduzirá sig-
nificativamente a demanda de potência elétrica de aquecimento para a garantia
de escoamento através do aquecimento elétrico direto segmentado.
2. É mostrado que ambos, os números de Nusselt assintótico e de entrada são
143
fortemente influenciados pelos modelos de turbulência adotados para o campo
de velocidade e pelo número de Prandtl turbulento.
3. Os resultados numéricos indicam que o modelo de Churchill (200 1) combinado
com o modelo de Yakhot-Orszag-Yakhot possui melhor performance do que
outras combinações na faixa de números de Reynolds e Prandtl considerados.
4. Observa-se que a solução híbrida proposta para a convecção transiente laminar
remove com sucesso as oscilações numéricas presentes na solução da tempera-
tura média obtidas sem o uso da correção FCT, os resultados do fluxo de calor
adimensional e assim do número de Nusselt diferem das soluções obtidas sem
o uso da correção FCT.
A fim de dar continuidade ao presente trabalho, as seguintes sugestões são
propostas para trabalhos futuros:
1. Implementar experimentalmente o esquema elétrico proposto para o aqueci-
mento elétrico segmentado em laboratório, visando a possível implementação
em campo.
2. Realizar simulações de transiente térmica usando dados reais do campo de
propriedades termo físicas e da especificação de tubulações, objetivando uma
avaliação mais precisa do desempenho do método de aquecimento propo sto.
3. Implementar correlações de transferência de calor multifásica na análise tran-
siente de tubulações compostas multicamadas, aperfeiçoando a modelagem dos
fenômenos físicos envolvidos.
4. Estuda-se a convecção turbulenta transiente em dutos circulares e de placas
paralelas, usando os modelos de turbulência investigados no Capítulo 4 e o
método de solução proposto no Capítulo 5.
5. Estudar a transferência de calor conjugada estacionária de convecção forçada,
laminar e turbulento, em dutos com aquecimento na parede.
6. Estudar a transferência de calor conjugada transiente de convecçã o forçada,
laminar e turbulento, em dutos com aquecimento na parede.
144
Aspectos E létricos: Circuitos
Trifásicos
A quase totalidade da energia elétrica no mundo é gerada e transmitida por
meio de sistemas elétricos trifásicos (aproximadamente) equilibrados e simétricos. O
sistema de aquecimento elétrico segmentado proposto para gerar o aquecimento ativo
das linhas de escoamento da produção de petróleo e gás natural em águas profundas
utiliza ligações em configuração estrela trifásicas. Para um melhor posicionamento
da dissertação, alguns fatores preponderantes relacionados a este tipo de ligação
elétrica são expostos nesta seção.
Representação Senoidal
O ângulo característico de um sistema trifásico é dado por
θ
c
=
2π
3
= 120
◦
. (1)
Sendo que:
• Um circuito trifásico é simétrico quando ele p o ssui tensões e correntes trifásicas
simétricas em qualquer ponto de sua configuração;
• As tensões (ou correntes) trifásicas de um circuito trifásico são ditas simétricas
quando elas podem ser representadas por fasores balanceados;
• Diz-se que um conjunto de três fasores, representativos de três tensões (ou
correntes) de um certo sistema trifásico, são balanceados, quando eles possuem
o mesmo módulo e estão defasados um do outro de um mesmo ângulo, igual
ao ângulo característico θ
c
do sistema trifásico;
145
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