ads:
I
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
WILLIAM KFOURI
EXPLORAR E INVESTIGAR PARA APRENDER MATEMÁTICA
POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2008
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
II
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
WILLIAM KFOURI
EXPLORAR E INVESTIGAR PARA APRENDER MATEMÁTICA
POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE
MATEMÁTICA, sob a orientação do Professor
Doutor Ubiratan D’Ambrosio.
SÃO PAULO
2008
ads:
III
Banca Examinadora
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
IV
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________Local e Data: ________________
V
Dedico este trabalho à minha família e
principalmente, a minha esposa Maria José por toda
compreensão, paciência ajuda, incentivo, apoio e
amor.
Aos meus filhos Fábio, Tiago e Cíntia.
Aos meus pais, Elias e Benedita (in memorian)
Momentos de Sabedoria
Nas grandes batalhas da vida, o primeiro passo para
a vitória é o desejo de vencer! Gandhi
VI
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a todas as forças do Universo, por toda
proteção, força, saúde, disposição e coragem no desenvolvimento
desse trabalho, mostrando sempre os melhores caminhos para
que eu pudesse concluir mais esta etapa da minha vida.
A minha família, que com todo carinho soube incentivar e
compreender as ausências necessárias para a realização deste
trabalho.
Ao corpo docente do Programa de Estudos Pós-Graduados
em Educação Matemática da PUC-SP, pelo carinho, pelo
empenho em nos oferecer um mestrado bem conceituado na área
de Educação Matemática no decorrer desta jornada e por tudo
que nos ensinaram.
Ao meu orientador, Professor Doutor Ubiratan D’Ambrosio,
pela orientação segura, pelos momentos de troca de experiências,
pela participação na construção de minha trajetória como
professor-pesquisador em formação, pela amizade, pelo orgulho e
honra de compartilhar suas idéias e sabedoria, marcas
registradas desse grande ser humano que tive oportunidade de
conhecer e trabalhar, e ainda por acreditar que um dia este
trabalho seria concretizado. Muito obrigado.
A Secretaria de Educação do Estado de São Paulo através
da CENP (Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas)
pela bolsa de mestrado concedida, dando-me tranqüilidade para
execução e conclusão do curso.
Aos colegas Clécio, Rodrigo e Alexandre, do Grupo de
Pesquisa Educação Matemática (NUPAPEM), pelo apoio e
contribuições no decorrer de nossas conversas.
Aos professores que compuseram a banca de qualificação,
pela sinceridade na análise efetuada.
A Todas as pessoas que de forma direta ou indireta,
contribuíram para a realização deste trabalho, em especial aos
professores que fizeram parte desta pesquisa.
O Autor
Não faz mal que seja pouco.
O que importa é que o avanço de hoje
Seja maior que o de ontem.
Que nossos passos de amanhã
Sejam mais largos que os de hoje.
Daisaku Ikeda
VII
O dia mais belo? Hoje.
A coisa mais fácil? Errar.
O maior obstáculo? O medo.
O maior erro? O abandono.
A raiz de todos os males? O egoísmo.
A distração mais bela? O trabalho.
A pior derrota? O desânimo.
A primeira necessidade? Comunicar-se.
O que mais nos faz feliz? Ser útil aos demais.
O maior mistério? A morte.
Nosso pior defeito? O mau humor.
A pessoa que nos é mais perigosa? A mentirosa.
O sentimento mais ruim? O rancor.
O presente melhor? O mais belo que possamos dar: o perdão.
O bem mais imprescindível? O lar.
A rota mais rápida? O caminho certo.
A sensação que nos é mais agradável? A paz interior.
A maior satisfação? O dever cumprido.
O que nos torna mais humanos, mais tolerantes? A dor.
Os melhores professores? As crianças.
As pessoas mais necessárias? Os pais.
A força mais potente do mundo? A fé.
A mais bela de todas as coisas? O amor... sempre o amor!
Madre Teresa de Calcutá
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
8
RESUMO
Este trabalho teve como objetivo investigar se a Modelagem Matemática seria
uma alternativa viável para o ensino e aprendizagem de Matemática na Educação
Básica, sugerindo-a como uma outra possibilidade para abordar os conteúdos desta
disciplina.
Para isso foi executado um mini-curso sobre este tema, destinado a
professores do Ensino Médio e Fundamental, com intuito de influenciar na prática
docente, além de divulgar, esclarecer e mostrar o que seja o ensino de Matemática
por meio da Modelagem e suas idéias inovadoras e criar outro ambiente de
aprendizagem.
Tínhamos como propósito também analisar a receptividade por parte dos
professores, tornando-os interessados à implementação da Modelagem Matemática
como parte do processo de ensino/aprendizagem e ainda divulgadores desta
estratégia alternativa.
A partir de situações reais, cotidianas e aulas práticas, orientamos nesse mini-
curso professores sobre a importância da Matemática para o conhecimento humano
e compreensão do meio onde se vive.
Apresentamos alguns caminhos que a Modelagem pode proporcionar para
fazer Matemática na sala de aula, de modo diferente e atraente para seus alunos.
Também eliminar o estigma de que a Matemática é considerada difícil por muitos,
desinteressante por outros e até inacessível para a maioria.
Descrevemos nesse trabalho, os encontros e experiências desenvolvidas com
cinqüenta e cinco professores, os quais reconheceram a Modelagem como uma
forma de despertar nos alunos, o interesse para o estudo da Matemática,
favorecendo não somente o ensino, mas também, o desenvolvimento de um espírito
aberto à investigação e a novas experiências. Apresenta como conclusão as
atividades desenvolvidas de Modelagem a ser empregada no ensino de Matemática
e sobre os caminhos para “fazer Matemática” na sala de aula.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Ambiente de aprendizagem; Situações
reais; Prática docente;
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
9
ABSTRACT
This study aims at investigating whether Mathematical Modeling would be a
viable way to the teaching and learning of mathematics in Basic Education,
suggesting it as other possibility to address the contents of this matter.
For that, a mini-course on this subject was implemented, for high school
teachers, with the objective of influencing their teaching practice, in addition to
disclosing, explaining and showing what is the teaching of mathematics through
Modeling and the innovative ideas to create another learning environment.
We also examine the connection and receptivity on the part of teachers,
making them concerned with the implementation of Mathematics Modeling as part of
the process of teaching / learning and advising on this strategy alternative.
From real situations, of their daily lives and practices, this mini-course showed
to the teachers the importance of mathematics to human knowledge and to
understand the environment where they live
We present some ways that the modeling can provide to make mathematics in
the classroom different and attractive to their students. We also, would like to remove
the stigma that mathematics is considered difficult by many, uninteresting by others
and even inaccessible to most.
We described in this work, the meetings and experiences developed with fifty-
five teachers, who recognized Modeling as a way to awaken in the students the
interest for the study of mathematics, not only encouraging the teaching, but also the
development of an open mind to research and new experiences. It is presented, as a
conclusion, the activities developed of Modeling being employed in the teaching of
Mathematics and on the ways to "make Mathematics" in the classroom.
Key words: Mathematical Modeling; environment for learning; real situations;
Practice teaching;
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
10
SUMÁRIO
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO .............................................................................................15
1.1 Considerações sobre o ensino da Matemática...................................15
1.2 Constatação de um problema e justificativa da escolha do tema.......19
1.3 Objetivos.............................................................................................26
1.3.1 Objetivo geral..............................................................................27
1.3.2 Objetivos específicos. .................................................................28
1.4 Questão de pesquisa..........................................................................28
1.5 Metodologia do Trabalho....................................................................29
1.6 Estrutura do trabalho..........................................................................30
CAPÍTULO II
ROMPENDO PADRÕES E VELHOS CONCEITOS.....................................31
2.1 Acontecimentos e indagações atuais na Matemática.........................31
2.2 As propostas de ensino......................................................................32
2.3 Conhecendo um pouco mais sobre esses pilares:.............................35
2.4 O ensino de Matemática e os professores. ........................................44
2.4.1 Situação embaraçosa... Como realmente ajudar seus alunos a
aprender Matemática? .........................................................................45
2.4.2 Estudo sem Fundamento e Saber sem Sabor. ...........................47
2.4.3 Concepções da Matemática e o papel do professor . .................48
2.4.4 Para gostar de Matemática. ........................................................50
2.4.5 O professor de Matemática.........................................................54
2.5 Criar condições para que a aprendizagem possa ocorrer..................55
2.6 Recursos para o ensino da Matemática.............................................56
2.7 Novas estratégias de ensino de Matemática......................................57
CAPÍTULO III
CONCEITUAÇÃO DE MODELAGEM MATEMÁTICA E SUA
IMPORTÂNCIA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM. ....61
3.1 Matemática de situações reais...........................................................64
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
11
3.2 Resolução de Problemas ...................................................................65
3.3 Situação Problema. ............................................................................72
3.4 Tarefa investigativa. ...........................................................................72
3.5 Modelagem Matemática. ....................................................................73
3.6 Modelagem Matemática no âmbito da Educação Matemática ...........84
3.7 Um pouco da História da Modelagem ................................................85
3.8 Ensino por meio da Modelagem Matemática no mundo.....................90
3.9 Modelagem Matemática no Cenário Nacional....................................94
3.10 Modelagem como estratégia de ensino e aprendizagem . ...............97
3.11 O processo de Modelagem como estratégia de ensino..................100
3.12 Argumentos favoráveis e desfavoráveis quanto a Modelagem. .....102
3.12.1 Argumentos favoráveis............................................................103
3.12.2 Argumentos desfavoráveis......................................................105
3.13 Proposta de como avaliar um trabalho de Modelagem . ................107
3.14 Sugestão para realização das primeiras tarefas de Modelagem na
sala de aula....................................................................................111
CAPÍTULO IV
PROCEDIMENTOS DA PESQUISA E METODOLOGIA DO TRABALHO.115
4.1 – Pesquisa Qualitativa......................................................................115
4.2 – Descrição das Etapas e Aspectos do Projeto................................116
4.3 – A Descrição e Carga Horária.........................................................117
4.4 – Participantes da pesquisa..............................................................119
4.5 – A coleta de dados e os registros. ..................................................121
4.6 – Roteiro de Perguntas (Questionário 1) e objetivos........................122
4.7 – Roteiro da entrevista semi-estruturada..........................................124
4.8 – Atividades......................................................................................126
CAPÍTULO V
EXPERIÊNCIAS E SITUAÇÕES DE MODELAGEM. ................................127
5.1 – Atividade 1 apresentada aos professores do mini-curso.............128
5.2 – Atividade 2 Desenvolvida pelos professores do mini-curso.........139
5.2.1. A definição do problema e a coleta de dados. .........................140
5.2.2 – Construção de modelos e validações.....................................141
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
12
5.3 – Atividades propostas durante o mini-curso....................................153
CAPÍTULO VI
PONDERAÇÕES SOBRE A EXPERIÊNCIA REALIZADA. ......................155
6.1 – Analisando a Parte 2 do questionário............................................156
6.2 – Análise da entrevista semi-estruturada. ........................................165
CAPÍTULO VII
CONSIDERAÇÕES FINAIS. ......................................................................172
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................179
LISTA DE ANEXOS
ANEXOS.................................................................................................................189
ANEXO I Projeto Mini Curso Modelagem Matemática .................................191
ANEXO II Questões para conhecer o professor.............................................193
ANEXO III Entrevista (Depois do mini-curso)..................................................195
ANEXO IV Slides do primeiro encontro ...........................................................197
ANEXO V Tabulação Geral dos Dados – Parte 1 Questionário......................201
ANEXO VI Trabalhos dos alunos – Grupo 1....................................................205
ANEXO VII Trabalhos dos alunos – Grupo 2....................................................209
ANEXO VIII Trabalhos dos alunos – Grupo 3....................................................211
ANEXO IX Trabalhos dos alunos – Grupo 4....................................................215
ANEXO X Trabalhos dos alunos – Grupo 5....................................................217
ANEXO XI Trabalhos dos alunos – Grupo 6....................................................219
ANEXO XII Medida real do lote e da escritura - divergências...........................225
ANEXO XIII Demonstrações do Modelo de Heron.............................................227
Demonstração (1)..................................................................227
Demonstração (2)..................................................................229
Demonstração (3)..................................................................231
Demonstração (4)..................................................................233
Demonstração trigonométrica (5)..........................................235
ANEXO XIV Atividade de Modelagem(calças)...................................................237
ANEXO XV Proposta do Grupo I.......................................................................239
ANEXO XVI Proposta do Grupo II......................................................................241
ANEXO XVII Proposta do Grupo III.....................................................................243
ANEXO XVIII Proposta do Grupo IV ....................................................................245
ANEXO XIX Proposta do Grupo V .....................................................................257
ANEXO XX Fotos durante o Curso ...................................................................259
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
13
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Resolução de Problemas e suas divisões. .............................................68
Figura 2 – Esquema de Modelagem proposto por D’Ambrosio................................77
Figura 3 – Esquema proposto por Biembengut........................................................78
Figura 4 – Esquema de uma modelagem proposto por Bassanezi..........................82
Figura 5 – Gráfico das presenças nos encontros...................................................120
Figura 6 – Unidade de área padrão........................................................................132
Figura 7 – Desenho inicial apresentado pelo grupo G4..........................................133
Figura 8 – Esquema para divisão do quadrilátero em dois triângulos....................134
Figura 9 – Gráfico cartesiano dos dados coletados................................................141
Figura 10 – Gráfico do modelo definido pelos grupos I, II e III ...............................142
Figura 11 – Gráfico do modelo definido pelo Grupo IV...........................................143
Figura 12 – Gráfico do modelo definido pelo Grupo V............................................143
Figura 13 – Resultado apresentado pelo programa LINEAR REGRESSION........144
Figura 14 – Gráfico cartesiano mostrando irregularidades no modelo..................146
Figura 15 – Gráfico do primeiro modelo criado na função menor inteiro................147
Figura 16 – Gráfico do segundo modelo criado.....................................................148
Figura 17 – Gráfico da tabela da revista “Manequim”.............................................151
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Organograma proposto Biembengut das fases da Modelagem.............79
Quadro 2 - Tarefas desempenhadas nos casos de Modelagem............................101
Quadro 3 – Seqüência de Modelagem em sala de aula por Biembengut...............111
Quadro 4 - Organograma do Mini curso.................................................................119
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Comparecimento nos encontros ...........................................................120
Tabela 2 – Dados levantados durante o curso com professores de Diadema........141
Tabela 3 – Calças jeans comercializadas atualmente............................................149
LISTA DE SIGLAS
CAEM – Centro de Aperfeiçoamento do Ensino da Matemática
CEB – Câmara de Educação Básica
CEE – Conselho Estadual de Educação
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
CETRANS – Centro de Educação Transdisciplinar
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
14
CIRET – Centro Internacional de Pesquisas e Estudos Transdisciplinares
CNE – Conselho Nacional de Educação
DCNEM – Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
ECMI – European Consortium for Mathematics in Industry
ENEM – Encontro Nacional de Educação Matemática
FFCL – Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras
FINEP – Financiadora de Estudos e Projetos
ICMI – International Comissionon Mathematical Instrucrion
ICTMA – International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and
Applications
IMECC – Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
LDB – Lei de Diretrizes e Bases
MEC– Ministério da Educação, Cultura e do Desporto
NCTM – National Council of Teachers of Mathematics
NUPAPEM – Núcleo de Pesquisa e Apoio a Profissionais de Educação Matemática
OEA – Organização dos Estados Americanos
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio
SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática
SEF – Secretaria de Educação Fundamental
SEMTEC – Secretaria de Educação Média e Tecnológica
UEL – Universidade Estadual de Londrina
UNESCO – United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization
(Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura)
UNESP – Universidade Estadual Paulista
UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas
UNIMEP – Universidade Metodista de Piracicaba
USP – Universidade de São Paulo
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
15
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO.
Os conhecimentos resultantes da minha vivência docente e as inquietações
sobre o ensinar e aprender Matemática instigou o desejo de aperfeiçoar e
expandir meus conhecimentos, a fim de contribuir para uma aprendizagem efetiva
e formação mais sólida de nossos alunos.
Assim, comecei a ler algumas publicações em revistas de educação e de
matemática que pudessem auxiliassem no meu trabalho. Isto despertou a
curiosidade e o interesse de investigar tendências da Educação Matemática
1
e do
ensino moderno desta disciplina. Tal cenário contribuiu para o ingresso no
Programa de Estudos Pós–graduados em Educação Matemática da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo.
1.1 Considerações sobre o ensino da Matemática.
Durante 15 anos de experiência como professor de Ensino Médio,
lecionando Matemática, posso descrever com propriedade e exatidão, que o
ensino desta disciplina tem se caracterizado pela preocupação apenas de
“passar” aos alunos definições de conceitos, regras, procedimentos, entre outras
coisas de maneira rápida, sem se preocupar com a aplicabilidade e o significado
dos conteúdos. Apesar de tudo, encontramos professores que ainda se esforçam
para tornar suas aulas atraentes e motivadoras, nas quais ocorre o envolvimento
dos alunos com os temas trabalhados.
1
A expressão “Educação Matemática” pode se referir simplesmente ao aprendizado de Matemática de
crianças, jovens e adultos. Entretanto, nas últimas décadas, passou a designar uma área de pesquisa e
produção de conhecimento sobre como se ensina e se aprende Matemática. Neste trabalho, sempre
citaremos a Educação Matemática com esse sentido.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
16
Segundo Camilo (2002), pesquisas apontam que tal procedimento, na
maioria das vezes, não leva o aluno a uma aprendizagem efetiva. Percebe-se que
muitos professores valorizam apenas a memorização e a “decoreba” em
detrimento de uma aprendizagem por compreensão e por significado, não dando
ao aluno o prazer e a alegria de compreender e entender a importância da
Matemática. Isto cria no aluno uma aversão e uma antipatia pela disciplina e,
principalmente, pela pessoa do professor.
Matemática é o grande vilão. Encontramos milhares de pessoas
amedrontadas pela Matemática nos bancos escolares, as quais cursam a matéria
por mera imposição do currículo, com pouca ou quase nenhuma motivação. Em
algumas instituições para passar de ano, uma única matéria cuja nota não foi
atingida, não é motivo para reprovar o aluno. Sempre é possível uma “ajudinha”
dos Conselhos de Escola, para sua aprovação. Diante disso alguns alunos até se
recusam a assistir, prestar atenção às aulas e fazer atividades mínimas.
Embora haja esforços dos professores, é visível o descontentamento por
parte de alguns alunos que, sem motivação, assumem uma postura passiva de
apenas fazer por fazer as atividades e cumprir ordens do professor, sem entender
o que está fazendo e o porquê, prejudicando desta forma o aprendizado. As aulas
ficam monótonas e cansativas, pois os professores exploram somente a parte
teórica e execução de exercícios repetitivos de fixação, que não exigem muito do
aluno, a não ser decorar este ou aquele procedimento de resolução, aplicando em
situações irreais, fazendo com que o educando não sinta a ligação que a
Matemática tem com a sua vida e, conseqüentemente, não goste da matéria.
O grande número de notas baixas e exercícios feitos errados têm
provocado em alguns estudantes aversão pela matéria. Além de assustar, causar
baixa auto-estima e produzir insegurança, ocasiona perante os colegas de sala
um complexo de inferioridade, um sentimento de incapacidade e acabam
desistindo de aprender Matemática pelos trâmites costumeiros, causando em
decorrência disso, significativo número de reprovações, desistências e evasões.
Por outro lado, os professores sentem-se decepcionados e frustrados ao
verem o baixo rendimento de seus alunos e acabam culpando o sistema
educacional. Outros até dão boas notas, acreditando na tentativa de ajudar e
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
17
incentivar o aluno, ou ainda, para não mostrarem o fracasso de suas aulas e
legitimar sua incapacidade de ensinar. De quem é realmente a culpa?
Há um tempo, eu estava resolvendo um exercício para um aluno, quando
terminei e perguntei se ele havia entendido, ele respondeu: “Tudo bem, eu
entendi... mas para que serve isso?”. Trata-se de um questionamento comum dos
nossos alunos, assim como “Por que tenho que aprender essa matéria?” ou, “Isso
não vai servir para nada na minha vida”. e outras variações do tema, como: “Eu
odeio Matemática!!!”; “Matemática é uma má temática!!!”: “Se eu soubesse quem
inventou a Matemática, mandaria exterminá-lo!!!
Incontáveis vezes ouvi e ainda ouço frases desse tipo nos corredores das
escolas, como aluno ou professor. Em alguns casos não dou muita importância a
estas questões, mas quando penso na Educação como um todo e conversando
com outros professores, percebo que a Matemática é apenas a ponta de um
iceberg, do universo que é a Educação.
A origem de questionamentos e afirmações desse tipo é corriqueira na sala
de aula e, talvez sejam reflexos da própria democracia ou liberdade de expressão.
O fato é que alguns estudantes de hoje só pensam no imediatismo e não querem
estudar “coisas”, as quais são aparentemente inúteis e, segundo eles próprios,
não têm finalidade alguma.
Argumentos como esses, no sentido de aprender somente o que é usual e
útil, devem ser condenados pelos pais e professores. O educando pode ser
orientado no sentido de aprender hoje para estar bem preparado e poder utilizar
este conhecimento amanhã. Sempre é bom aprender e descobrir coisas novas,
independentes da sua utilidade imediata.
Só para citar alguns exemplos, podemos dizer que Gregor Mendel (1822-
1884) não sabia que estudando o desenvolvimento das ervilhas, mais tarde,
levariam a desvendar a origem das doenças humanas. Michael Faraday (1791-
1867) não pensou em usinas hidrelétricas ao desenvolver suas teorias
trabalhando bobinas e magnetos na produção de corrente elétrica. Marie
Skodowska Curie (1867-1934) não pensou em tratamento terapêutico de radiação
contra o câncer quando estudava emissão de partículas radiativas. Charles
Babbage (1792-1871) quando desenvolvia um aparelho de calcular e estudava
mecanismos ou máquinas para serviços repetitivos que realizassem tarefas para
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
18
o homem, não pensou em computador, modelos automáticos e muito menos
Internet. Alexander Graham Bell (1847-1922) sequer pensou nos celulares ao
estudar a telefonia. Thomas Alva Edison (1847-1931), criador do fonógrafo
(primeiro aparelho de som), jamais imaginou o que temos hoje em som digital.
Quando Albert Einstein inventou a Teoria da Relatividade (uma teoria
eminentemente abstrata) nunca imaginou que fosse desembocar nas bombas
atômicas.
É por isso que muitas vezes não tem sentido perguntar: “Para que serve
isto?” ou “Onde eu vou utilizar isso na minha vida?”, pois não é só o que tem
aplicação imediata é considerado potencialmente importante para a formação de
um futuro promissor do cidadão em qualquer profissão. O conhecimento, mesmo
que não tenha imediata aplicabilidade, é fundamental obtê-lo, cultivá-lo e utilizar a
inventividade humana para saber usufruí-lo. Como dizia Fernando Pessoa: “Tudo
vale a pena se a alma não é pequena”.
Costumo dizer para meus alunos: “O passado não dá para mudar, o
presente está sendo vivido, e o futuro está sendo construído neste instante.
Então, valorize o presente, tenha responsabilidade e crie as melhores condições
para o seu futuro. Você é responsável por ele”. O que deve ser considerado
importante e entendido é o valor do próprio conhecimento. Trata-se do prazer
inerente ao ser humano de aprender e descobrir coisas novas, mesmo aquelas
que aparentemente são inúteis. Faz parte da natureza humana desvendar o que
não se conhece e a felicidade em descobrir como as coisas funcionam, e isso
nunca sai de moda.
Procuro sempre reservar uma ou duas aulas por bimestre para propor um
debate: Tema – “Como seria a minha vida sem a Matemática?” Fazem uma
dramatização dessa situação, mostrando o que seria de nós se o homem não
tivesse “inventado e desenvolvido” a Matemática. Partimos da premissa de que a
Matemática, segundo alguns alunos não serve para nada e existe só para
dificultar a vida deles. Observamos que a Matemática está em vários setores da
nossa vida e é muito útil.
Juntos procuramos em nosso dia-a-dia em jornais, revistas, Internet, etc,
onde poderia estar a Matemática: na Economia (índice de reajustes, financeiros),
nos Esportes (tabelas, gráficos, medidas, contagens), na Arquitetura (desenhos,
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
19
maquetes, cálculos, geometria, ângulos), na Língua Portuguesa (métricas de
poesias, paginação de livros), na Biologia (genética, controle de doenças e
epidemias), na Química (equilíbrios de equações, razão e proporção de
reagentes), na Física (movimento de satélites e transmissão por ondas), na
Estatística (levantamento de dados e pesquisas eleitorais, dados probabilísticos),
na História (linha do tempo, dados históricos), na Geografia (meteorologia,
gráficos, diagramas), nas Artes Plásticas (geometria de pinturas, pontos de fuga,
proporções para desenho do corpo), na Astronomia (fases da lua, estações do
ano, constelações, distâncias astronômicas), etc.
É importante nestes debates, proporcionar experiências para motivar os
alunos, ajudar a refletir e difundir a Matemática, também estimular a criatividade e
a curiosidade científica dos jovens, desenvolver neles capacidades de investigar,
raciocinar, comunicar e cooperar, proporcionar a experimentação, observação e
aquisição da confiança na capacidade de fazer Matemática. Fomentar um
trabalho interdisciplinar que permita ao aluno tomar consciência de que a
Matemática intervém no mundo real em interligação com as outras ciências.
Aprender a dar valor à Matemática.
1.2 Constatação de um problema e justificativa da escolha do tema.
Infelizmente, parece estar crescendo uma rejeição pela Matemática no
ensino básico e isto não é um problema advindo da Matemática, mas do modo
como lidamos com ela na escola. D’Ambrosio (1999) afirma que “o problema
maior do ensino de ciências e Matemática é o fato das mesmas serem
apresentadas de forma Desinteressante, Obsoleta e Inútil, e isso “DÓI” para o
aluno”. Nessa linha de raciocínio, muitos professores e pesquisadores procuram
meios alternativos de eliminar a deterioração e degradações do ensino de
Matemática, buscando torná-la interessante, provocadora e instigante.
Questionam que Matemática ensinar e como ensiná-la?
O ensino da Matemática, como vem sendo executado atualmente, utiliza-se
em geral, de um livro didático cheio de ilustrações e situações-problemas pré-
concebidas baseadas em conteúdos literários dispersos, muitas vezes, traduções
de obras estrangeiras, incompatíveis com a realidade brasileira, recheados de
fórmulas e expressões algébricas prontas. Exercícios mecânicos e repetitivos,
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
20
resolvidos até a exaustão, contribuem para as aulas de Matemática serem
desestimulantes, sem atrativos, carentes de desafios, tanto para professores
quanto para os alunos.
O ensino baseado em conteúdos e conceitos é apresentado como verdade
absoluta e incontestável, limita a capacidade e criatividade dos alunos, por ser
uma coisa pronta e acabada, não havendo motivos e nem estímulos para a
aprendizagem e aquisição de conhecimento. Alguns alunos em busca de boas
notas, até se esforçam o suficiente e adquirem um falso conhecimento, que logo
será esquecido. A menos que ele pretenda fazer um curso na área de Exatas e
ingressar no campo de trabalho, prestando um concurso ou seleção, o domínio do
conteúdo do Ensino Médio será de pouca ou quase nenhuma utilidade.
Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics — NCTM —, dos
Estados Unidos, apresentou recomendações para o ensino de Matemática no
documento "Agenda para Ação". Nele destacava-se a resolução de problemas
como foco do ensino da Matemática nos anos 80. Também a compreensão da
relevância de aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos, na aprendizagem da
Matemática, imprimiu novos rumos às discussões curriculares.
Essas idéias influenciaram as reformas que ocorreram mundialmente, a
partir de então. As propostas elaboradas no período 1980/1995, em diferentes
países, apresentam pontos de convergência. No Brasil essas idéias vieram sendo
discutidas e algumas aparecem incorporadas pelas propostas curriculares de
Secretarias de Estado e Secretarias Municipais de Educação, havendo
experiências bem-sucedidas que comprovam a capacidade delas em produzir
bons resultados. No entanto, é importante salientar que ainda hoje se nota, por
exemplo, a insistência no trabalho com os conjuntos nas séries iniciais, o
predomínio absoluto da Álgebra nas séries finais, a formalização precoce de
conceitos e a pouca vinculação da Matemática de suas aplicações práticas.
Segundo os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) (1999), mais
importante do que transmitir informações/conteúdos para serem reproduzidos
quando solicitados, é desenvolver nos alunos habilidades e estratégias que lhes
permitam, de forma autônoma, gerar novos conhecimentos a partir de outros já
previamente adquiridos. Capacitando-os assim, a aprender a partir de seus
próprios recursos. Certamente, terão melhores condições para adaptar-se às
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
21
mudanças tecnológicas e culturais. Para desenvolver nos alunos tais habilidades,
faz-se necessário investir na Matemática aplicada, contextualizada, interdisciplinar
e em metodologias que os habituem a utilizar conhecimentos prévios, na
perspectiva de encontrar por si próprios, respostas às perguntas que os inquietam
ou que precisem responder, ao invés de esperarem uma resposta pronta do
professor.
Ainda de acordo com os PCN, o ensino de Matemática, devido ao caráter
formativo, instrumental e científico, propicia condições para inserção do indivíduo
num mundo em constante evolução e mudança, contribuindo para investigar,
questionar, pesquisar, construir hipóteses, inferir e generalizar, adquirir confiança
na própria capacidade de pensar, encontrar soluções, trabalhar cooperativamente
e desenvolver capacidades que deles serão exigidas em sua vida social e
profissional.
Skovsmose (2001) destaca que um dos objetivos da Educação Matemática
é habilitar os alunos a aplicar a Matemática na sociedade, utilizando-a no
entendimento da realidade. A sua preocupação está voltada para a formação de
alunos com poder de argumentação através do pensamento reflexivo, com
comprometimento com a realidade.
No PCN o direcionamento do ensino de Matemática está para a aquisição
de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a
preparação de estudos posteriores. Destaca-se a importância do desempenho de
um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento. Procura-se dar
ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos
problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas. Salienta a
importância de se trabalhar com amplo aspecto de conteúdos, incluindo, já no
ensino fundamental, elementos de estatística, probabilidade e combinatória, para
atender à demanda social que indica a necessidade de abordar esses assuntos.
Evidencia-se a necessidade de levar os alunos a compreenderem a importância
do uso da tecnologia e a acompanharem sua permanente renovação.
Em busca do maior aproveitamento dos alunos, inúmeros estudos são
apresentados em eventos e congressos de Educação Matemática, os quais
apontam as mais variadas soluções e estratégias usadas espontaneamente para
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
22
valorização e melhoria da qualidade do ensino de Matemática, apoiando-se na
prática das seguintes linhas metodológicas:
• Matemática e cultura: História da Matemática e Etnomatemática.
• Matemática e novas tecnologias: Uso da informática e calculadoras
gráficas.
• Matemática e diversão: Jogos matemáticos e desafios.
• Matemática experimental: Resolução de problemas, Tarefas investigativas
e Modelagem Matemática.
Em contato com alguns desses trabalhos, os quais apontavam “novas”
tendências do ensino das Matemáticas, a que mais me identifiquei foi com a
Modelagem Matemática. Busquei inúmeros autores que serviram de
embasamento teórico para esta monografia, cada qual com suas definições sobre
a Modelagem. Dentre eles, aponto a professora Beatriz D’Ambrosio que afirma
que a modelagem é “Usada para quebrar a dicotomia existente entre a
Matemática escolar formal e a sua estabilidade na vida real. Os modelos
matemáticos são formas de estudar e formalizar fenômenos do dia-a-dia. É um
processo de construção de um modelo abstrato para descrever um fenômeno”.
Já Biembengut & Hein (2003 p.18), dizem “... A Modelagem Matemática no
ensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos
matemáticos que ele ainda desconhece, ao mesmo tempo em que aprende a arte
de modelar, matematicamente”.
Dentro desse contexto, a partir de 2003, comecei a investigar como essa
metodologia de ensino poderia ajudar a olhar e agir de forma diferente no âmbito
da minha prática, contribuindo para uma aprendizagem efetiva dos meus alunos.
A princípio questionei: como a Modelagem Matemática poderia ajudar a olhar e
agir de forma diferente na minha prática de ensino? Como trabalhar em sala de
aula a Matemática de situações reais, usando a Modelagem Matemática? Quais
as contribuições da Modelagem Matemática no processo ensino-aprendizagem do
Ensino Médio?
Procurei uma forma de buscar relações da Matemática com a realidade e
que poderiam ser atividades de Modelagem Matemática. Percebi que ensinava
uma Matemática perfeita, exata e inflexível: alguns teoremas, fórmulas, o
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
23
raciocínio encadeado e os resultados incontestáveis, sempre apoiados em um
livro didático adotado pela escola, com inúmeros exercícios repetitivos, com
pouca pesquisa e quase sem nenhuma leitura.
Iniciei os trabalhos com aulas diversificadas, alternando momentos, aulas
expositivas, aulas de investigação, situações problemas e Modelagem. No
começo fui muito criticado, mas os alunos tiveram um sensível progresso. Percebi
que as críticas feitas por colegas era devido à resistência a mudança e porque
eles ainda não conheciam estas estratégias.
Na tentativa de apresentar uma alternativa para o ensino de Matemática,
usando a estratégia da Modelagem Matemática, encontrei obstáculos para propor
atividades e muitas dificuldades para trabalhar, devido às exigências do currículo
escolar. Com um pouco de paciência, fui mostrando aos outros professores o que
era a Modelagem Matemática e como poderiam trabalhar em salas do Ensino
Médio. Confesso, cometi acertos e erros, fiz muitas ponderações, construindo e
reconstruindo, mas sempre caminhando no sentido de melhorar a aprendizagem
de Matemática, com capacidade de criar, inventar e projetar soluções para
problemas encontrados no dia-a-dia.
É possível constatar que o insucesso de alguns alunos é freqüentemente
atribuído aos métodos pedagógicos inadequados, que reduzem a motivação deles
e pouco contribui para a aprendizagem de Matemática.
Não foi fácil, mas acreditei e comprovei nas minhas aulas o que Bassanezi
(2002) afirmou: que a Modelagem Matemática pode ser um dos caminhos “que
levam os alunos a despertar maior interesse, ampliar o conhecimento e auxiliar na
estruturação de sua maneira de pensar e agir”, além de mudar de postura e
redefinir o “papel do professor no momento em que perde o caráter de detentor e
transmissor de saber para ser entendido como aquele que está na condução das
atividades, numa posição de partícipe”.(Barbosa, 1999 p. 7). ... Nesse contexto a
palavra “condução” é no sentido de “problematizar” e direcionar as atividades
escolares.
Depois de ler trabalhos internacionais e nacionais, pesquisar em materiais
de Modelagem dos últimos 20 anos, pude constatar e dar créditos a trabalhos
desenvolvidos por Blum & Sloyer (1995); Biembengut (1999 e 2000); Burak (1987
e 1992); Bassanezi (1994 e 2002); Almeida (2001); D’Ambrosio (1990 e 2000);
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
24
Borba (1987 e 1999); Bean (1998 e 1999); Meyer (1998 e 2001); Barbosa (2000 e
2004); Anastácio(1990); Camilo (2002); Caldeira (1992 e 1998); Chaves (2004);
Gazzeta (1989); Correa (1992); Scheffer (2001); Jacobini (1999); Skovsmose
(2000); Araujo (2002); Franchi (1993); Monteiro (1991) entre outros. Todos
destacam o ambiente de ensino-aprendizagem gerado pela utilização da
Modelagem Matemática em sala de aula como estratégia de ensino que propicia
uma aprendizagem efetiva. Apresentam também algumas reflexões em relação à
aprendizagem dos alunos e aceitação dos professores.
Para que o ensino da Matemática conduza a uma aprendizagem eficiente,
assimilando conceitos, visualizando suas aplicações e solucionando problemas, é
necessário que os métodos pedagógicos não visem apenas à memorização de
procedimentos, mas que oportunizem ao estudante usar as ferramentas
Matemáticas adequadas para solucionar problemas do seu cotidiano.
É consenso que a Modelagem Matemática “consiste na arte de transformar
problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando
suas soluções na linguagem do mundo real” segundo, Bassanezi, (2002, p.16).
Ela permite a realização de previsões e tendências e é eficiente a partir do
momento que tomamos consciência de que estamos trabalhando sobre
representações de um sistema ou parte dele. É um processo dinâmico que,
partindo de um problema real, associado a um conjunto de hipóteses, obtém-se
um modelo que forneça possíveis soluções para o problema.
Atualmente posso afirmar que sou um defensor do uso da Matemática de
situações reais, fazendo sempre experimentações usando situações problemas,
tarefas investigativas e principalmente a Modelagem, com o objetivo de contribuir
com o ensino da Matemática e produzir uma aprendizagem efetiva nos
estudantes, encorajando-os a pensar matematicamente a cerca do mundo que os
rodeia. Assim, procuro realizar com os alunos experiências diversas, interpretar
fenômenos e tentar encontrar o modelo matemático que se ajusta aos dados
recolhidos.
Não quero dizer com isso que abandonei o currículo tradicional, pois se
assim o fizesse, seria muito criticado pelo supervisor e coordenadores da escola,
por alguns professores e também pelos pais dos alunos. Entre uma aula e outra,
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
25
injeto atividades que usam modelos já estudados ou crio, com ajuda dos próprios
alunos, situações em que a Modelagem possa ocorrer.
Em trabalhos anteriores, pude constatar que a Modelagem desperta muito
interesse e empolgação nos alunos, principalmente quando o assunto é escolhido
por eles. Modelagem resgata o gosto e o interesse pelas aulas, aproxima a
disciplina da realidade do aluno. Há um comprometimento na busca de soluções
para os problemas, caracterizando atitudes positivas em relação à Matemática.
Também estabelecem contatos com outras áreas do conhecimento,
caracterizando um processo inter, multi e transdisciplinar. Os alunos sentem-se
atuando e a Matemática passa a fazer sentido. Assim, a Modelagem Matemática
confirma-se como uma oportunidade de aprendizagem ampla, geral e irrestrita,
mas também de valorização, de utilidade e embelezamento da Matemática.
Parece ser tudo o que um professor de Matemática deseja em sua sala de
aula: alunos motivados para aprender e adquirir conhecimento em um nível
suficiente para ser aplicado em problemas de outras áreas, sobretudo, saber
utilizá-la para compreender a sua realidade. Diante disso, como professor,
defendo o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino necessária
para o desenvolvimento do cidadão, bem como sua evolução social e tecnológica.
Cheguei até a questionar: “Já que esta estratégia é boa, então por que os
professores de Matemática fazem pouco uso dela, mesmo contando com um
referencial de pesquisa, que já soma mais de vinte anos no Brasil?”
Fazendo reflexões e analisando a forma como a Matemática vem sendo
“ensinada” percebi que a disciplina não corresponde às necessidades do aluno
para a formação da cidadania enquanto seres sociais. O ensino de Matemática
caminha mal e muita coisa deve ser mudada para que ela deixe de ser uma vilã,
um terror para nossos alunos.
Como sugestão para essa mudança, aposto na Modelagem Matemática
como uma estratégia pedagógica e tentativa de recuperar o interesse dos alunos,
com o intuito de minimizar as dificuldades. A partir do cotidiano dos alunos e a
visão da utilização da Matemática em situações reais, a modelagem pode dar
maior motivação, tornar as aulas mais atraentes, interessantes além de dar
maiores oportunidades de participação aos alunos, proporcionando assim,
momentos de aprendizagem mais significativa.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
26
Em breve pesquisa com colegas docentes de diversas escolas e aqui nesta
Instituição (PUC-SP), pude conferir muitos problemas, dentre eles que muitos
professores não conhecem Modelagem Matemática. Confundem “Situação
problema”, “Tarefa Investigativa” e “Modelagem”. Alguns encontram dificuldade de
usar Modelagem na estrutura escolar e ficam embaraçados em expor o assunto,
delimitar e formular um problema, desenvolver o conteúdo, resolver e interpretar.
Outros ainda sentem apuro e insegurança em aulas práticas em que todos atuam
e aperto em reconhecer Matemática no cotidiano, mas o principal deles é a
“Relutância em mudar”.
Mini-curso para professores
Como pesquisador, percebi que tive muita sorte e facilidade em trabalhar
com Modelagem Matemática. Por todas essas questões, resolvi direcionar o foco
desta pesquisa organizando um mini-curso destinado a ajudar, aperfeiçoar e
orientar professores sobre o uso da Matemática de situações reais.
Principalmente, como fazer o uso da estratégia da Modelagem Matemática para
incrementar suas aulas, mostrando a importância e significado da Matemática na
realidade, visando às contribuições para a aprendizagem do aluno. Hoje, o que
era proposta, passou a ser uma realidade e tenho ministrado mini-cursos para
professores da rede Pública do Estado de São Paulo.
Acredito que todos os professores, desde que instruídos e orientados,
poderão trabalhar com a modelagem em complementação aos conteúdos que
estão sendo executados em sala de aula. Embasado em uma pesquisa
bibliográfica específica e reflexões próprias, estabeleço um paralelo entre o que é
ensino tradicional e o ensino através da Modelagem Matemática. Quais as
vantagens na sua utilização e os obstáculos já detectados por aqueles que nos
antecederam na área, abordando aspectos como a pedagogia adotada, a
criatividade, o interesse pelo estudo de Matemática e a avaliação, levando o
professor a refletir sobre a sua prática educativa. A fim de que estes adotem a
modelagem como alternativa e passem a ser divulgadores desta estratégia.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
27
1.3 Objetivos.
“Nos dias de hoje, não basta ao professor abrir a porta, entrar na
sala de aula e dar a sua aula. Ele tem que criar as condições para
que a educação possa acontecer”. Antônio Nóvoa
O presente trabalho tem por objetivo orientar e capacitar professores de
Matemática do Ensino Médio e Fundamental e áreas afins, comprometidos com a
Educação e demais profissionais interessados no tema.
Os professores envolvidos na melhoria da qualidade do ensino tomarão
conhecimento do que é Modelagem Matemática, como poderá ser apresentada e
trabalhada nas atuais concepções do ensino, propondo maneiras de organização
e de condução de aulas através das atividades da Modelagem. Trata-se de uma
alternativa ou uma estratégia para minimizar a crise do ensino da Matemática e
valorizar o conhecimento que o aluno traz e adquire na resolução de situações do
dia-a-dia.
Proponho estimular o professor a conhecer os fundamentos teóricos da
Modelagem Matemática, vivenciá-los no próprio curso e implementá-los em sua
prática de sala de aula. Proponho também, criar uma nova imagem da
Matemática, superando o desprazer e a ansiedade que se gerou em torno da
disciplina nas últimas décadas, e resgatar o gosto e o interesse pelas aulas,
através de temas que tenham significado para o aluno, além de inserir a
Matemática no contexto sociopolítico e econômico desde as séries iniciais,
através de questionamentos e debates, visando à formação do cidadão mais
observador e crítico.
Através de aulas de atividades em grupo, o professor poderá integrar-se
com colegas de mesma formação, trocar experiências enriquecedoras, desinibir,
refletir, debater, promover o conhecimento, aprender, incitar à aprendizagem de
seus alunos e principalmente trabalhar uma aula diferente daquela tradicional.
Os objetivos serão decompostos em geral e específicos:
1.3.1 Objetivo geral.
Mostrar e divulgar a Modelagem Matemática. Dar oportunidade a
professores, quanto à vivência e à construção de atividades cotidianas e
concretas, abrindo caminhos para conduzir as aulas de Matemática.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
28
Redescobertas da Matemática analisando modelos simples que possibilitem a
resolução de problemas de mecânica, biologia, química, eletricidade, situações de
comércio, etc.
1.3.2 Objetivos específicos.
Deseja-se:
- Diagnosticar as dificuldades de compreensão dos conteúdos de
Matemática apontadas pelos professores promovendo discussões e
debates para esclarecimentos de dúvidas.
- Desenvolvimento de técnicas e processos de aprendizagem Matemática,
tendo como base a Modelagem.
- Apresentar materiais de apoio, criados e produzidos por outros
pesquisadores, para serem utilizados nas atividades pelos educadores
para a melhoria da qualidade de ensino. Oficinas e aulas práticas onde
professores atuam.
- Conhecer metodologias utilizadas pelos vários professores para alcançar
os objetivos. Redefinição da própria práxis em contato e interação com
colegas de profissão. Priorizar a cooperação, troca de saberes e de
reciprocidade.
- Colaborar com professores fornecendo sugestões e dicas a serem
trabalhadas com seus alunos, para que construam sua cidadania e
adquiram uma atitude científica perante o Mundo. Motivar os alunos na
aprendizagem de real significado da Matemática. Estimular a criatividade
e a curiosidade científica dos jovens. Desenvolver nos alunos
capacidades de investigar, raciocinar, comunicar e cooperar.
Desenvolver a comunicação oral e escrita.
- Proporcionar momentos para que o professor adquira a confiança para
poder conduzir atividades de Modelagem e proporcionar a
experimentação e observação.
- Favorecer subsídios para um trabalho multidisciplinar que permita tomar
consciência de que maneira e como a Matemática intervém no real em
interligação com as outras ciências.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
29
1.4 Questão de pesquisa
Este trabalho foi desenvolvido com a pretensão de contribuir para a
melhoria do ensino de Matemática, através do uso da estratégia da Modelagem
Matemática, orientando professores, partindo de situações reais, contextualizando
os temas e desenvolvendo conteúdos.
O problema de estudo ficou assim delineado:
Que contribuições um mini-curso de Modelagem Matemática,
destinado aos docentes, poderá trazer para aperfeiçoá-los e melhorar o
ensino da Matemática?
Pretende-se com esta questão mostrar se um trabalho inovador e
diferenciado em sala de aula como é a Modelagem Matemática, poderá ou não
contribuir para melhoria do ensino. Verificar como se dará a participação e a
reação dos professores a partir de situações reais, abordadas na perspectiva da
Modelagem. Certificar-se de que esta estratégia busca estimular, provocar o
raciocínio e resgatar o interesse dos alunos em aprender Matemática por meio de
circunstâncias contextualizadas e cotidianas.
1.5 Metodologia do Trabalho
A Modelagem Matemática é apresentada nesta produção sob a visão do
professor que, após conhecê-la teoricamente e vivenciá-la através do curso como
"professor-aluno", faz a opção por utilizá-la na sala de aula como uma alternativa
metodológica.
Para realização desta pesquisa e estudo, foram escolhidos como
amostragem, professores da rede pública e particular. Para obtenção dos dados
foram elaborados questionários avaliativos, observações dos participantes e suas
dificuldades, além de entrevistas.
Possui este trabalho um caráter colaborativo com outras pesquisas que
estão sendo estudadas, visando à melhoria da qualidade do ensino de
Matemática. Segundo Fiorentini (2006) trata-se de uma pesquisa-ação por se
tratar de um processo qualitativo, investigativo, intencionado, planejado e
sistemático, cujos objetivos são comuns a um grupo e todos os trabalhos se
apóiam mutuamente.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
30
Procura caracterizar o conceito de Modelo e Modelagem, a partir de
literatura científica existente sobre o assunto. Serão apresentados alguns
exemplos e experiências do dia-a-dia, que professores poderão utilizar na sala de
aula, usando a Modelagem como ferramenta estratégica de aprendizagem
Matemática, visando minimizar dificuldades e desinteresse dos estudantes pela
disciplina.
1.6 Estrutura do trabalho
Este trabalho está dividido em sete capítulos compreendendo esta primeira
parte como sendo introdução e com os seguintes teores:
O capítulo II tratará da aprendizagem da Matemática e será examinado
como os diversos estudiosos pensam e entendem a educação relacionada à
Matemática e suas diferentes manifestações.
O capítulo III enfocará a questão da Modelagem no ambiente de ensino e
sua interferência nas práticas pedagógicas. Além de ser abordada como uma
nova proposta de ensino, retrata a alteração de padrões de comportamento do
professor e do aluno diante da introdução da estratégia da Modelagem na escola
e a influência no ensino da Matemática.
No capítulo IV será abordada a metodologia adotada para a análise dos
resultados obtidos em pesquisa feita com professores do Ensino Médio, os
detalhes da pesquisa e como os dados foram analisados.
No capítulo V serão abordadas algumas aplicações de modelagem, estudo
e criação de um modelo efetuado durante o mini-curso.
No capítulo VI constarão a análise e a discussão dos resultados da
pesquisa e será formulada uma proposta metodológica para a melhoria do ensino
da Matemática visando dar ao educador um instrumento teórico apto a interagir
com a sua prática. Propondo uma aprendizagem mediante construções e
tomadas de consciência, tanto pelo educando como pelo educador.
No capítulo VII serão relatadas as conclusões desse trabalho, incluindo
sugestões e recomendações para trabalhos futuros.
Por fim, serão incluídos as referências utilizadas no desenvolvimento desse
trabalho e os apêndices.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
31
CAPÍTULO II
ROMPENDO PADRÕES E VELHOS CONCEITOS.
A Matemática é reconhecida por todos pela sua múltipla importância com
todas as ciências e em todos os graus.
Vivemos uma verdadeira revolução tecnológica e cultural, valorizando a
criatividade e estruturação do pensamento, as quais estão modificando
profundamente a vida das pessoas, as relações da sociedade, quebras de
privacidade dos indivíduos, das organizações e dos próprios países. De certa
forma ela facilita a comunicação, propícia acesso à informação, aumenta a
produtividade e interdependência entre vários setores da produção.
2.1 Acontecimentos e indagações atuais na Matemática
Encontramos Matemática em tudo, desde o manejo de equipamentos
sofisticados com mecanismos de automação, controle de gastos e produção,
como também, quando procuramos entender fenômenos da natureza e suas
mudanças, causando alterações no clima, aumento da poluição, maremotos,
furações, frentes frias, previsão de chuvas, exploração e prevenção de seus
efeitos, etc.
A Matemática tem assim, um papel fundamental e extraordinário na
preparação dos jovens para a vida a qual a utilizam para entendimento,
interpretação e processamento das informações, controles estatísticos em todos
os níveis, levantamento de dados, relações diversas (sociais, comerciais,
industriais), contabilidade, contagem, medições, raciocínio lógico e dedutivo, etc.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
32
Por esta razão, como professor, tenho grande preocupação com o ensino
da Matemática e reconheço a capacidade que ela possui de renovar seus
conceitos e conhecimentos. Considero, portanto, que se faz necessário um
aprimoramento contínuo para acompanhar o desenvolvimento e a evolução do
mundo.
É imprescindível que o educador moderno saiba aliar à evolução do ensino,
tanto as ações pedagógicas, quanto a evolução dos conteúdos, seus métodos,
suas atitudes e tendências, não só da Matemática, mas também nas outras áreas
de conhecimentos, tais como economia, sociologia política, biologia e medicina,
ecologia (ecossistema, reciclagem e poluente,) política (crescimento, taxas
desenvolvimentos).
2.2 As propostas de ensino
A preocupação com a melhoria da qualidade de ensino é crescente, tanto
de governos, educadores, técnicos quanto especialistas em educação das mais
variadas áreas.
Meyer (1998), afirma que não há nada mais instigante que um conjunto de
pessoas, com formações e áreas de conhecimento distintas, frente a propósitos
comuns concernentes a um grupo de trabalho dedicado ao ensino, à investigação
e à produção de saberes, convergindo esforços para a construção de uma
proposta educacional.
Espero que este trabalho aqui apresentado com muito empenho e
dedicação, seja o início de longa caminhada na construção de reflexões,
propostas, as quais possam gerar boas discussões e venham a se somar a tantas
outras tentativas de contribuição para a melhoria do ensino por todo o nosso país.
Na escola, a Matemática se destaca entre as outras disciplinas por seus
altos índices de reprovação, colaborando sobremaneira para a evasão observada
em todo sistema educacional brasileiro. Existe ainda a crença de que a
Matemática pode classificar os alunos em mais inteligentes e menos inteligentes,
ou os que sabem raciocinar e os que não sabem. No entanto, a Matemática
escolar é apenas uma das formas de se fazer Matemática.
Às vezes, dentre os alunos que não aprendem na sala aula e tiram notas
baixas, pode-se encontrar aqueles que usam a Matemática na vida diária, em
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
33
casa ou no trabalho, vendendo e comprando em feiras, calculando lucros ou
despesas, repartindo custos e consumos, etc. Alguns são capazes de resolver
rapidamente contas de cabeça enquanto outras fazem com calculadoras ou com
lápis e papel. A necessidade de sobrevivência, de não ser ludibriado, enganado e
trapaceado, traz motivação e faz com que seja obrigado a aprender Matemática
para resolver os problemas do dia-a-dia.
Acompanhando as propostas de reforma educacional que vem se
processando desde os anos 80, em todos os níveis de ensino, não só no Brasil
como em todo mundo, percebe-se uma preocupação de que o ensino seja voltado
para a formação do cidadão, criando condições para um trabalho interdisciplinar,
pluri ou multidisciplinar e transdisciplinar, considerando como eixos centrais os
princípios da contextualização, do desenvolvimento de competências e
habilidades.
A UNESCO (United Nations Educational, Scientific and Cultural
Organization) criou no início de 1993, a “Comissão Internacional sobre Educação
para o Século XXI” e um ano depois (12-15 de janeiro de 1994), após estudos, foi
publicado em Paris o Relatório Delors, e logo depois traduzido em diversos
idiomas, cujo título original era “Learning: the treasure within; report of the
UNESCO International Commission on Education for the 21st Century”,
coordenado por Jacques Delors, que sugere as novas orientações para a
Educação ao Longo de toda Vida. O texto traz contribuições, no que se refere a
tendências educacionais e a democratização da educação, colaborando para um
debate mundial de suas principais teses, no qual se firma a condição necessária
para a concepção de uma nova escola para o próximo milênio. Ele fornece pistas,
recomendações e encaminhamentos importantes para o delineamento de uma
nova concepção pedagógica, a profissão de ensino, a globalização, o
desenvolvimento participativo e o papel do corpo docente.
Após inúmeros debates e esforços, o Relatório Mundial para a Educação
no Século XXI, teve sua conclusão em 1996, coordenado por Jacques Delors,
com 266 páginas, publicado em inglês, francês, espanhol, russo, árabe, e chinês.
No Brasil foi publicado em 1998, com o título de “Educação - Um Tesouro a
Descobrir” - e prefaciado pelo Ministro da Educação. No relatório, Capítulo
Quatro, chegou-se à conclusão que a educação do século XXI deveria assentar-
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
34
se em quatro aprendizagens fundamentais, denominados Pilares da Educação:
Aprender a Conhecer, a Ser, a Fazer e a Viver Juntos. Esses pilares foram
pensados em função de um mundo em ritmo de mudanças profundas e das
incertezas e perplexidades geradas por essas mesmas mudanças.
Na apresentação do documento-livro em 1998, o representante da
UNESCO no Brasil Jorge Werthein
2
, relata que “ostenta propostas que
oferecerem caminhos visando à melhoria das práticas pedagógicas dos
educadores no cotidiano da sala de aula”. Na apresentação brasileira de Morin,
“Os sete saberes necessários à educação do futuro”, Werthein esclarece que “As
teses desse importante documento não somente foram acolhidas com entusiasmo
pela comunidade educacional brasileira, como também passaram a integrar os
eixos norteadores da política educacional”. “... Uma educação só pode ser viável
se for uma educação integral do ser. Uma educação que se dirige à totalidade
aberta do ser humano e não apenas a um de seus componentes”. (Jorge
Wenthein. In Morin, 2000. 11)
Outros estudos importantes foram realizados e culminaram em
documentos, dentre eles: a “LDB (Lei de Diretrizes e Bases) 9394/96” de 20 de
dezembro de 1996; da Resolução nº 3 da CEB/CNE, de 26 de junho de 1998, que
institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCNEM); o
Parecer n°15/98, da CNE/CEB, aprovado em 01 de junh o de 1998 (Processo
23001.000309/97-46); os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), elaborados
pela SEMTEC/MEC (desde a primeira versão deste documento, de dezembro de
1997 e depois 01/06/98); os Parâmetros Curriculares do Ensino Fundamental,
(MEC/SEF, Brasília, 1998); os Parâmetros Curriculares do Ensino Médio
(MEC/SEMTEC, Brasília, 1999); Lei nº 10.172/01 (que aprova o Plano Nacional
de Educação); e os PCN+ Ensino Médio (também usada a sigla PCNEM ,
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio, Brasília: SEMTEC/MEC, 2002 e atualizado em
6/12/2003 ).
Examinando estes documentos, pude constatar o delineamento de uma
nova concepção pedagógica em que todos educadores e pesquisadores
2
Jorge Werthein, nascido em Buenos Aires (Argentina) em 1941, sociólogo e educador, é Ph.D em
educação e desenvolvimento pela Universidade de Stanford (USA). Foi Representante da UNESCO no Brasil
desde 1996 até setembro de 2005
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
35
compromissados em educação, estabelecem ou apresentam preceitos
fundamentais para melhoramento das condições e qualidade de ensino do nosso
sistema educacional num futuro próximo.
O alvo principal destes documentos da educação era estudar e refletir
sobre os novos desafios do ensino nos próximos anos, formular propostas e
recomendações que possam servir como plano de atividades, nos quais apontam
as “obrigações” e sugestões para renovação, e ainda, a ação em todos os níveis.
Juntando todos os princípios e valores presentes, percebe-se que as
necessidades básicas de aprendizagem compreendem tanto os instrumentos
essenciais de aprendizagem quanto o conteúdo de que precisam os seres
humanos para sobreviver: desenvolver plenamente suas capacidades, viver e
trabalhar com dignidade, participar plenamente do desenvolvimento, aprimorar a
qualidade de sua vida, tomar decisões com informações suficientes e continuar a
aprender. Precisamos então pensar a avaliação educacional de forma
multidimensional para atender uma necessidade de ver o todo e reduzir os riscos
de uma visão parcial.
Diante do exposto, pode-se representar em termos de desfecho, os quatro
pilares da educação, de forma concisa, suas finalidades e seus objetivos como
uma possibilidade de solução para ensino do século XXI. Delors ressalta
nitidamente os quatro pilares como um novo tipo de educação, ensino de
qualidade que poderá propiciar a construção efetiva de um novo cotidiano escolar,
em que uma nova didática possibilite que os temas a serem trabalhados em aula
sejam vinculados à experiência prévia de cada um dos envolvidos num contexto
sócio-cultural mais abrangente.
2.3 Conhecendo um pouco mais sobre esses pilares.
– Aprender a Conhecer (pensamento); significa a aprendizagem dos métodos
que nos ajudam a distinguir o que é real do que é ilusório, e a ter assim um
acesso inteligente aos saberes da nossa época. É aprender a compreender o
mundo que nos cerca, tanto quanto é necessário para conduzir suas vidas com
alguma dignidade, desenvolver suas habilidades e se comunicar com os outros.
Aprender para se beneficiar das oportunidades oferecidas. Adquirir o espírito
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
36
científico que é indispensável para apropriação de idéias. Segundo Nicolescu
3
, a
inesgotável riqueza do espírito científico, não se dá pela assimilação de uma
enorme massa de conhecimentos, mas pela qualidade do que é ensinado. E
“qualidade” quer dizer fazer com que a criança, o adolescente ou o adulto penetre
no próprio coração da abordagem científica, que tenha o permanente
questionamento relacionado com a resistência dos fatos, das imagens, das
representações e das formalizações.
– Aprender a Fazer (sensação); é tornar as pessoas aptas a enfrentar
numerosas situações e a trabalhar em equipe, não somente uma qualificação
profissional ou treinamento ocupacional: educar para fazer os tipos de trabalho
necessitados no futuro. Significa a aquisição de uma ou várias profissões, bem
como dos conhecimentos e das práticas associadas a ela. A aquisição de uma
profissão passa necessariamente por uma especialização.
– Aprender a Conviver com os outros (emoção): educar para evitar o conflito,
resolvê-lo pacificamente, desenvolver a compreensão do outro e a percepção das
interdependências ao realizar projetos comuns. Aprender a viver junto significa
respeitar as normas culturais, religiosas e políticas que regulamentam as relações
entre as nações e os seres que compõem uma coletividade. Porém, essas
normas devem ser verdadeiramente compreendidas, admitidas interiormente por
cada ser e não sofridas como imposições ou obrigações exteriores. Nicolescu
assegura que, "Viver junto" não quer dizer simplesmente tolerar o outro com suas
diferenças de opinião, de cor de pele e de crenças; submeter-se às exigências
dos poderosos; navegar entre intrigas e discussões, fingindo escutar o outro
embora permanecendo absolutamente convencido das próprias posições.
3
Basarab Nicolescu, Italiano, é um dos mais atuantes e respeitados físicos teóricos no cenário
científico contemporâneo. Professor de física teórica da Universidade Pierre e Marie Curie, em
Paris, onde foi fundador do Laboratório de Física Teórica e de Altas Energias. É também
presidente do Centro Internacional de Pesquisas e Estudos Transdisciplinares (CIRET), fundado
na França, em 1987. Na última década, Nicolescu tem produzido diversos textos que procuram
desvendar as relações entre arte, ciência e tradição, propondo novos modelos de pensamento que
possam resgatar à cultura e à sociedade um ser humano mais completo, capaz de enfrentar os
desafios da complexidade, a intrincada teia de relações entre conhecimentos, disciplinas e
sistemas (naturais, culturais e econômicos), que caracteriza o mundo contemporâneo. Nicolescu
integra o corpo de pesquisadores do Centro de Educação Transdisciplinar - CETRANS, de São
Paulo.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
37
– Aprender a Ser (intuição): educar para se auto-conhecer, despertar a
imaginação, o ânimo e a criatividade; desenvolver sua personalidade com maior
capacidade, segurança, liberdade de pensamento, discernimento e, tanto quanto
possível, tornar-se donos do seu próprio destino, respondendo pelos seus atos.
Aprender a ser significa descobrir os nossos próprios limites e condicionamentos,
descobrir a harmonia ou a desarmonia entre nossa vida individual e social,
investigar as nossas incertezas, as nossas crenças, quer seja educador ou
educando. Segundo o relatório, o desenvolvimento do pensar crítico e autônomo
é agente facilitador para que processos de inércia e passividade sejam superados
e a aquisição, cada vez maior de responsabilidade pessoal, é essencial no nosso
tempo presente. O essencial é o desenvolvimento da estética e do sentido ético,
da sensibilidade, pois são elementos facilitadores de processos que podem
permitir a consciência de que nenhuma das potencialidades humanas deve ser
desprezada e, por isso, o desenvolvimento integral da pessoa humana, em
relação à inteligência, deve ser objeto de constantes pesquisas e
aprimoramentos, visando à aprendizagem integral.
Para entender melhor os quatro pilares da educação é necessário
esclarecer distinções e fazer um comparativo entre a interdisciplinaridade, a
multidisciplinaridade ou pluridisciplinaridade e transdisciplinaridade. No entanto,
como existem divergências conceituais e algumas confusões entre os
pesquisadores do tema, foram adotadas nesse trabalho as definições elaboradas
no Congresso de Locarno, acontecido em Locarno, Suíça, de 30 de abril a 02 de
maio de 1997 e divulgado em O Projeto CIRET-UNESCO, (1997).
A pluridisciplinaridade ou multidisciplinaridade diz respeito ao estudo de um
único objeto de determinada disciplina, ou por diversas disciplinas ao mesmo
tempo, isoladamente e sem nenhuma cooperação, isto é, recorremos a
informações de várias matérias para estudar um determinado elemento, sem a
preocupação de interligar as disciplinas entre si. Por exemplo, uma pintura
renascentista pode ser estudada pelo enfoque da história da arte interligado com
o da física, da química, da religião e da geometria. Um único objeto será, assim,
enriquecido pelo cruzamento de várias disciplinas. A pesquisa pluri ou
multidisciplinar adiciona algo mais e enriquece a disciplina, mas, esse
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
38
enriquecimento permanece apenas no quadro da área em questão. Em outras
palavras, pluri ou multidisciplinaridade representa o estudo de um único objeto
com múltiplos enfoques, revelando a riqueza presente no confronto de idéias.
Geralmente as contribuições teóricas das disciplinas são isoladas, sem interação
com as demais, e, não obstante as suas potencialidades e procedimentos
revelam-se às vezes insuficientes para compreender/analisar a complexidade das
questões embutidas na temática em foco. Obtém-se, assim, um maior
conhecimento do objeto de pesquisa, porém, desagregado.
A interdisciplinaridade diz respeito à transferência dos métodos de uma
disciplina a outra; busca conciliar os conceitos e promover avanços como a
produção de novos conhecimentos. Ela mostra-se importante para uma das
respostas aos problemas provocados pela excessiva compartimentalização do
conhecimento. Em outras palavras, unem fronteiras e é considerada a
convergência de duas ou mais áreas do conhecimento, não pertencentes ao
mesmo setor, as quais se integram, transferem métodos e contribuem para o
avanço das fronteiras da ciência ou tecnologia que geram novos conhecimentos
ou novas disciplinas, o que seria praticamente impossível sem essa interação.
A Física Nuclear e Medicina, por exemplo, juntando forças e gerando meios
com recursos radioisótopos para a cura do câncer; a Computação e Biologia,
gerando biologia computacional e bioinformática. Tanto a pluridisciplinaridade
quanto a interdisciplinaridade ultrapassam as disciplinas, mas sua finalidade
também permanece inscrita na pesquisa disciplinar.
A transdisciplinaridade, (o prefixo "trans" o indica “além de”), ultrapassa as
fronteiras epistemológicas das disciplinas, como as duas modalidades anteriores,
e diz respeito ao que está ao mesmo tempo entre as disciplinas, através das
diferentes disciplinas e além das disciplinas. Sua finalidade é a compreensão do
mundo atual e de dar um sentido à vida através da unidade dos conhecimentos.
Rompe territórios, completando e fazendo a transferência dos métodos de uma
disciplina a outra. Ela é uma forma de ser, saber e abordar, atravessando as
fronteiras epistemológicas de cada ciência, praticando o diálogo dos saberes sem
perder de vista a diversidade e a preservação da vida no planeta, construindo um
texto contextualizado e personalizado de leitura dos fenômenos.
D’Ambrosio nos ensina que:
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
39
“O essencial na transdisciplinaridade reside na postura de
reconhecimento que não há espaço nem tempo culturais
privilegiados que permitam julgar e hierarquizar como mais
corretos – ou mais certos ou mais verdadeiros – os diversos
complexos de explicações e de convivência com a realidade. A
transdisciplinaridade repousa sobre uma atitude aberta, de
respeito mútuo e mesmo de humildade com relação a mitos,
religiões e sistemas de explicações de conhecimentos, rejeitando
qualquer tipo de arrogância ou prepotência”. (1997, p 9/10)
Em resumo, trabalhar por meio de uma ou mais disciplinas é uma atividade
de ocupação multidisciplinar. Já trabalhar entre duas ou mais disciplinas é uma
atividade de ocupação interdisciplinar; e trabalhar além disciplinas é uma
atividade de ocupação transdisciplinar. Nesse sentido D’Ambrosio, faz uma
analogia na afirmação em que as disciplinas são como “gaiolas epistemológicas”
e que devemos, para superar as dificuldades de voar sozinhos e confinados,
“sairmos dessas gaiolas e juntamente com o passarinho de outra gaiola, voarmos
juntos à procura de alguma coisa...criando um modo novo de voar”. Para
encontrar novos caminhos, desvendar o que está oculto, olhar de outra
perspectiva, voar juntos, fora das gaiolas, temos de nos valer dos saberes já
estabelecidos, as disciplinas, e a experiência, nossa e de outros, utilizando-as em
outros contextos. (2003, p 70-71).
De outra forma podemos entender que quando o professor trabalha única e
exclusivamente dentro da sua disciplina, está fazendo um trabalho dentro de sua
gaiola, isto é tratado como uma atividade Multidisciplinar. Quando seu trabalho
envolve duas ou mais disciplinas, está apenas saindo de sua gaiola e indo para
outra, isto é apreciado como uma atividade Interdisciplinar. Quando o trabalho
envolve duas ou mais disciplinas, considerando e valorizando o que já existe,
agregando sempre o novo, isto é considerado uma atividade Transdisciplinar.
D’Ambrosio acrescenta que:
“....experiências anteriores constituem conhecimento, memória do
que se aprendeu, do que se leu, do que se refletiu. É uma forma
de acúmulo de saber...Comportamento e conhecimento são ações
permanentes enquanto se está vivo. Vida é ação, e ação se
manifesta de acordo com o conhecimento e comportamento.
Quando paramos de conhecer coisas novas, não dá mais para
dizer que se está vivo.(2003, p.70-71). A Vida e o Viver
transcendem as disciplinas”.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
40
Estas considerações refletem-se na Educação. É notória a preocupação da
necessidade de colocar em destaque o conhecimento do ser humano, em seus
diferentes níveis de realidade, no qual requer a unificação dos saberes e
independente das áreas. Isto pressupõe que esses saberes sejam claros,
compreensíveis e possam ser vividos coletivamente, dentro de um modelo
globalizado, indo da sociedade de conhecimento, num contexto ético e de
respeito mútuo, de confiança, compromisso e responsabilidade pela ação, até um
desenvolvimento interior e exterior do indivíduo. Um verdadeiro homem de ação
deveria poder dialogar com todos ao mesmo tempo. A linguagem disciplinar é
uma barreira aparentemente intransponível para um neófito (principiante, recém
convertido), e todos nós somos neófitos em relação aos outros. Estamos sempre
aprendendo.
No Congresso de Locarno, Michel Camus
4
, um poeta engajado no
movimento transdisciplinar, apud Nicolescu sugere mais três pilares, os quais
poderiam ser a “missão” do educador de amanhã: aprender a pensar, aprender a
criar, aprender a reunir o que está disperso e a eliminar o que é contingente.
Arrematando e preenchendo o saber pela compreensão, a possessão rígida dos
saberes pela capacidade de re-ligação e de invenção.
Com uma visão mais ampla de Transdisciplinaridade, A UNESCO realizou
a “Commission internationale sur l’éducation pour le vingt et unième siècle” em
Zurique de 27 de fevereiro a 01 de março de 2000, que sugeriu acrescentar mais
dois:
– Aprender a Antecipar: uma vez que não podemos mais permitir aprender pela
destruição;
– Aprender a Participar: através do envolvimento as soluções dos problemas
devem abranger a sociedade;
Até mesmo, na busca do aperfeiçoamento e melhoria da qualidade da
educação e conseqüentemente, a qualidade de vida, o teólogo brasileiro
4
Michel Camus, vice-presidente do Comitê de Iniciativa do Instituto Internacional para a Ópera e a Poesia de
Verona, escritor, filósofo, diretor da Editora "Letras Vivas", produtor-delegado na França-Cultura. Publicou
Adonis, le visionnaire, Monaco, Le Rocher, 2000.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
41
J.B.Libânio
5
sugere outro pilar: Aprender a Discernir, no qual possibilita usar
nossa liberdade para vôos mais altos na descoberta deste rico mundo interior,
onde há tanto para aprender. Discernir significa apreciar, separar ou distinguir
uma coisa de outra, assinalando as diferenças existentes entre elas. Segundo ele
necessitamos de perseverança no auto-conhecimento através do estudo e da
vivência. Mudança de hábitos exige disposição e paciência para atingir o ideal de
viver melhor e estar aberto a experimentar novas sensações sempre, a cada
momento. E um aprendizado, não importa o resultado, fica a certeza da lição.
Dewey (1952) fala do aprender como um processo de crescimento
indefinido. De fato, a capacidade humana de reter informações e experiências
com a qual poderá transformar o futuro é imensa e pode crescer a cada dia.
“O homem não aprende por uma necessidade que, satisfeita, faça
desaparecer aquela capacidade. Aprender é, muito pelo contrário,
uma função permanente do organismo, é a atividade pelo qual o
homem cresce, mesmo quando o seu desenvolvimento biológico
de há muito se completou”.
Dewey (1952)
Aprender é uma questão de adquirir hábitos segundo Dewey, que pode ser
intuitivo ou pelo processo educativo. Tais hábitos podem ser alcançados
autonomamente a tornar-se uma fonte inesgotável de intelectualidade, que dá
flexibilidade de raciocínio, facilidade e eficiência nas várias práticas de ações,
além de serem produtos de educação chegando a ser instrumento para
reeducação permanente, indispensável para a vida.
Diante disso, os PCN possuem as melhores orientações definidas pelos
Conselhos Nacionais, Estaduais e Municipais, sem caráter obrigatório. São
contribuições de especialistas e organizações da sociedade civil. Conforme
sugestão apresentada na cartilha da Reforma do Ensino Médio (p.11) a
educação:
“... deve promover o desenvolvimento pessoal e a autonomia
intelectual do aluno, tornando-o capaz de tomar decisões ao longo
de sua vida, de modo a interferir criticamente na sociedade em
que vive. Por isso é necessário que o currículo deva ter
consonância com as características sociais, culturais e cognitivas
do sujeito humano. Como a construção do conhecimento
científico, tecnológico e cultural é um processo sócio-histórico, o
5
João Batista Libânio é padre jesuíta, escritor e teólogo. Ensina no Instituto de Teologia Santo Inácio, em
Belo Horizonte, e é vigário da paróquia Nossa Senhora de Lourdes, em Vespasiano, na Grande Belo
Horizonte. www.paulus.com.br/imprensa
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
42
ensino pode configurar-se como um momento em que
necessidades, interesses, curiosidades e saberes diversos
confrontem-se com os saberes sistematizados. Portanto, deve-se
abranger todas as dimensões da vida”...“Assim, é importante que
as escolas consolidem suas identidades, respeitando os sujeitos,
integrando-se organicamente ao seu meio social, identificando
dimensões da realidade motivadora de uma proposta curricular
coerente com os interesses e as necessidades de seus alunos.
Nessa perspectiva, muda-se o foco do olhar do ensino para a
aprendizagem, o que leva o aluno a ‘aprender a aprender’,
participando mais efetivamente da construção do seu
conhecimento, desenvolvendo-o enquanto sujeito”.
Mas o que é aprender?
Dewey diz que “aprender significa adquirir um novo modo de agir, um novo
pensar, um novo comportamento (behavior) de nosso organismo” (1952. p.22).
Usando uma máxima popular: “viver para aprender e aprender para viver”. Afinal,
uma coisa é certa, ninguém pode sequer pensar em parar de aprender. Foi-se o
tempo em que o sujeito, depois de uns tantos anos de escola ou empresa, podia
dizer que já havia aprendido tudo o que precisava e dava por encerrada sua vida
de aprendiz. Cada vez mais, é fundamental estar disposto a continuar
aprendendo o que puder, com quem puder, enquanto viver. Afinal, “ninguém é tão
bom que não tenha muito que aprender, nem tão ruim que não tenha o que
ensinar”.
Segundo Emilia Ferreiro em entrevista ao jornal do colégio Bandeirantes de
São Paulo:
“Aprender exige enfrentar desafios intelectuais - e para
permanecer no desafio é preciso ter energia e auto-confiança. Por
isso, é necessário permitir que as crianças aprendam, permitir que
tenham confiança na capacidade de aprender e na capacidade de
continuar aprendendo. O prolongamento da educação básica que
temos hoje é razão mais que suficiente para manter nas crianças
a capacidade de continuar aprendendo e não apenas obrigá-las a
permanecer na escola esses anos todos, simplesmente porque
isso foi estabelecido por lei”.
Segundo Dewey, “aprender para a vida significa que a pessoa não
somente poderá agir, mas agirá do novo modo aprendido, assim que a ocasião
que exija este saber apareça” (1952. p.22).
Isto nos leva a fazer uma ponderação séria, sobre o futuro da educação.
Todas as propostas falam da educação e de suas obrigações. Segundo os textos,
o que cabe à educação é dar informações, mostrar fórmulas e modelos para que
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
43
o indivíduo possa viver socialmente, e ter material suficiente para a sua
sobrevivência. Conforme diz Delors; "À educação cabe fornecer, de algum modo,
os mapas de um mundo complexo e constantemente agitado e, ao mesmo tempo,
a bússola que permite navegar através dele" (Capítulo IV, p.89). Portanto, a
educação deve preparar as crianças e os jovens para possíveis descobertas de
experimentação.
Delors diz mais... “É desejável que a escola lhe transmita ainda mais o
gosto, o desejo e prazer de aprender, a capacidade de ainda mais aprender a
aprender, a curiosidade intelectual. Podemos, até, imaginar uma sociedade em
que cada um seja, alternadamente, professor e aluno” (p. 18). Todos trabalhando
juntos e comprometidos para continuação da educação ao longo de toda a vida.
De forma sintetizada, o relatório Delors, ultrapassa a distinção tradicional
entre educação inicial na escola e educação permanente. Traz respostas ao
desafio para enfrentar um mundo em constante e rápida transformação,
aconselhando que o estudo, além de ser extremamente necessário, deve ser
contínuo, a fim de que o cidadão esteja preparado para acompanhar a inovação,
tanto na vida privada como na vida profissional. Em resumo conta que no
processo ensino-aprendizagem, deve-se desenvolver:
– A capacidade de aprender a aprender continuamente;
– A capacidade de pesquisa, análise, síntese e avaliação;
– O pensamento crítico; comunicar, dialogar e argumentar suas idéias e
opiniões;
– A criatividade, a iniciativa;
– Capacidade de organizar em função das suas necessidades;
– A capacidade de identificar, refletir e resolver problemas, para tomar
decisões;
– A capacidade para trabalhar e conviver em equipe;
– A capacidade de lidar com os imprevistos; assumir riscos; aprender com
os erros;
– A capacidade de fazer previsões ou antecipação de resultados;
– A abertura para o outro que lhe é diferente; ser solidário e benevolente;
– A capacidade de ajuda mútua na construção do conhecimento e
produção do saber.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
44
Diante do exposto acima, percebe-se a necessidade de mudança frente ao
ensino tradicional, centrado no professor. Dentre as possíveis alternativas,
vislumbra-se indistintamente como uma prática pedagógica diferenciada a
estratégia da Modelagem Matemática, conforme será visto mais adiante.
Tratando-se de uma alternativa metodológica de trabalhar a Matemática de forma
que a mesma esteja próxima da vida do aluno e permita que ele possa
compreender e atuar no mundo atual, com a obtenção de modelos matemáticos
ou a resolução de problemas de situações reais, integrando docente e discente,
no processo ensino aprendizagem.
2.4 O ensino de Matemática e os professores.
Saber Matemática torna-se cada vez mais necessário no mundo atual, em
que se generalizam tecnologias e meios de informação baseados em dados
quantitativos e espaciais em diferentes representações. Também a abrangência
de fatos do mundo do trabalho exige da escola, cada vez mais, o
desenvolvimento de pessoas que saibam fazer perguntas, que assimilem
rapidamente informações e resolvam problemas utilizando processos de
raciocínio e pensamento cada vez mais elaborados.
Nas últimas décadas, existiram algumas tentativas de mudanças no ensino
da Matemática, porém mudanças substanciais não ocorreram. Por esse motivo, a
Matemática continua sendo vista como um dos maiores problemas do currículo
escolar.
Prieto
6
(2004) afirma que:
“o que é real e acontece nas escolas é que a maior parte dos
alunos lida bem com a Matemática desde a Educação Infantil até,
aproximadamente, a 3ª série do Ensino Fundamental e daí para
frente passa a odiar essa disciplina”.
Por que grande parte dos alunos chega ao Ensino Médio com muita
dificuldade para usar algoritmos e conceitos estudados nas séries anteriores?
Carvalho (1992, p.15), apud Huppes (2002, p. 44), diz que:
“a sala de aula não é o ponto de encontro de alunos totalmente
ignorantes com o professor totalmente sábio, e sim um local onde
6
Andréa Cristina Sória Prieto é Consultora Pedagógica em Matemática na Futurekids do Brasil,
Pós-Graduada em Psicopedagogia e Direito Educacional com Graduação em Pedagogia.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
45
interagem alunos com conhecimento do senso comum, que
almejam a aquisição de conhecimentos sistematizados, e um
professor cuja competência está em medir o acesso do aluno a
tais conhecimentos”.
A Matemática é vista por grande parte dos professores como uma ciência
pronta e acabada, perfeita e imutável, infalível, rigorosa e precisa. Essa visão,
segundo Prieto (2004), cria dois grandes problemas:
“O primeiro é que o professor julga ser o detentor do saber dos
conteúdos matemáticos e deseja transmiti-los aos alunos para que
passivamente se amoldem aos novos conhecimentos. O segundo
é que o professor passa a idéia de que uma ciência tão perfeita só
pode ser aprendida por pessoas privilegiadas, pois os seus
conteúdos são tão abstratos que nem todos podem entendê-los”.
Por exemplo, Jean Piaget (1988) diz que as estruturas do pensamento são
adquiridas pela ação do sujeito sobre o meio, portanto cabe ao professor criar
condições para a construção progressiva dessas estruturas através de atividades
que envolvam experimentação, reflexão e descobertas.
Carvalho (1994) propõe que deva haver interação entre professor e aluno,
bem como a comunicação entre indivíduos ou grupos do meio. Prieto (2004)
certifica que:
...“cada aluno tem a capacidade de processar as informações de
uma mesma realidade, criando significados próprios e construindo
o seu próprio conhecimento. Para que isso ocorra, o professor
procura adotar uma linguagem simples, clara e objetiva, evitando
assim o desinteresse do aluno. Contextualizando sempre de forma
bem prática a aprendizagem. Interagindo com esses alunos”.
Vindo de encontro a essas idéias, espera-se que o professor possua
amplos conhecimentos da disciplina que ensina, seja competente e comunicativo,
tenha responsabilidade, comprometimento e entusiasmo, saiba envolver seus
alunos e criar situações de aprendizagem.
2.4.1 Situação embaraçosa... Como realmente ajudar seus alunos a aprender
Matemática?
Hoje, o grande desafio é fazer o aluno compreender o seu papel na
sociedade, de agente ativo e transformador da sua realidade, e a importância da
Matemática no seu dia-a-dia.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
46
Quanto à Matemática, inúmeras são as propostas e tentativas por vezes
inéditas nos livros didáticos, as quais colocam à disposição dos professores
novas ferramentas de que poderão (ou não) tirar proveito. Tais ferramentas
podem ser úteis à concretização dos objetivos gerais ou específicos da disciplina.
Dentre as proposições, alguns merecem destaque:
Permitir a participação efetiva dos alunos na sua aprendizagem e a
interação com colegas e professores de várias disciplinas. Não apenas no
espaço da sala de aula e da escola, mas nos espaços de que a sociedade
dispõe.
Apresentar situações de aprendizagem desafiadoras que pretendem,
sempre, envolver tanto o aspecto cognitivo como o emocional, estimulando
a procura de respostas, buscando em pesquisas, debates ou outras formas
de chegar às soluções dos desafios.
Desenvolver os programas curriculares, selecionando temas que estejam
relacionados aos interesses e realidade dos alunos
Usar a transdisciplinaridade como foco principal para o desenvolvimento da
personalidade. Não se trata de investir na perspectiva individualista, mas
de aproximar os alunos à realidade da vida, aos projetos e ansiedades da
sociedade, ou do coletivo.
Parece fácil. Tudo é muito simples no papel, porém devemos analisar não
só a aprendizagem, como também as condições da escola, tipos de alunos e suas
expectativas, capacidade dos professores, características da comunidade da qual
fazem parte.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p.42):
“A educação escolar deve constituir-se em uma ajuda intencional,
sistemática, planejada e continuada para crianças, adolescentes e
jovens durante um período contínuo e extensivo de tempo,
diferindo de processos educativos que ocorrem em outras
instâncias, como na família, no trabalho, na mídia, no lazer e nos
demais espaços de construção de conhecimentos e valores para
o convívio social”. Complementa dizendo que “o objetivo da
educação intelectual não é saber repetir ou conservar verdades
acabadas, pois uma verdade que é reproduzida não passa de
uma semiverdade: é aprender por si próprio a conquista do
verdadeiro, correndo o risco de despender tempo nisso e de
passar por todos os rodeios que uma atividade real pressupõe”.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
47
2.4.2 Estudo sem Fundamento e Saber sem Sabor.
Geralmente, em todos os graus do ensino de Matemática, observa-se que
o estudante ouve, repete e resolve os exercícios a partir de exemplos dados pelo
professor. Este tipo de prática faz com que o processo de ensino-aprendizagem,
ao invés de contribuir para o desenvolvimento do pensamento lógico do indivíduo
e para o fornecimento de experiência na solução de problemas em outro campo
da atividade humana, apenas se restringe a um acúmulo de informações que
nada contribui para a construção do conhecimento.
Segundo Leal (1999, p.18) “esta maneira de ensinar torna esta bela
Ciência em uma ciência fria, acabada em si mesma, de difícil compreensão e sem
espaço para o desenvolvimento da criatividade humana”. Por outro lado, quando
se discute a melhoria do ensino, as preocupações giram em torno das
necessidades dos alunos, da infra-estrutura física da instituição e da formação do
professor, mas dificilmente questiona-se o aperfeiçoamento do professor,
considerando que sua formação é deficiente, na maioria dos casos.
Monteiro (1991, p.110) afirma que inúmeras alternativas que buscam
"tornar o ensino da Matemática mais significativo para quem aprende, na medida
em que parte do real-vivido dos educados para níveis mais formais e abstratos”.
É, portanto, fundamental criar espaços próprios na aula de Matemática – como,
por exemplo, os momentos de discussão – em que a reflexão possa ocorrer.
“É interessante que os alunos partilhem idéias, raciocínios,
processos, estabeleçam conexões, comparações e analogias,
construam conjecturas e negociem significados e desenvolvam
capacidades de comunicar e argumentar”. (Monteiro, 1991,
p.110).
Na dinâmica da discussão, o professor é chamado a intervir no sentido de
fomentar e desenvolver a capacidade dos alunos em aprender compartilhando
com os outros. Muitas vezes, ao mesmo tempo em que o professor procura gerir
a discussão entre os alunos, também se envolve em raciocínio matemático,
tentando compreender e legitimar as idéias apresentadas por eles. Deste modo,
os alunos podem observar de perto o professor a “fazer Matemática”. A
negociação e interpretação das regras de discussão permitem ao professor uma
melhor gestão e dinamização destes momentos. (Rocha, 2004)
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
48
Hurd (2000, p.5) destaca que “o ensino de ciências do século XXI deve ser
organizado em termos de problemas, projetos, investigações e experimentos
relativos aos assuntos de sua própria cultura”, de forma que os estudantes
participem da tomada de decisão, formando julgamentos, e escolhendo ações que
envolvem elementos de risco, incerteza, valores e ética, fazendo uso de
conhecimentos científicos e tecnológicos. Nesse sentido, a exigência faz com que
o aluno deva observar, experimentar, comparar, estabelecer relações, analisar,
justapor, compor, encaixar, levantar hipóteses e argumentar.
2.4.3 Concepções da Matemática e o papel do professor .
Huppes (2002, p. 44) afirma que a Matemática tem sido a imposição
autoritária por um professor que domina o conhecimento matemático e o
transmite a um aluno passivo, que deve se moldar à autoridade da “perfeição
científica”. Por outro lado:
“o sucesso em Matemática representa um critério avaliador da
inteligência dos alunos, na medida em que uma ciência tão nobre
e perfeita só pode ser acessível a mentes privilegiadas, os
conteúdos matemáticos são abstratos e nem todos têm condições
de possuí-lo”. Huppes (2002, p. 44)
Segundo D’Ambrosio (1986, p.22), a aprendizagem da Matemática deve
estar voltada para a melhoria da qualidade de vida, porém,
“Muito pouco do que se faz em Matemática é transformado em
algo que possa representar um verdadeiro progresso no sentido
de melhorar a qualidade de vida. É inadmissível que aceitemos
esse fato sem contestação, como um fato consumado, e não
façamos esforços para mudá-lo”. D’Ambrosio (1986, p.22
)
De acordo com Freire (1995 apud Huppes, p. 49) “A atitude do professor,
que como ponto de partida, subentende que os alunos sejam uma ‘caixa vazia’
em que o conhecimento pode ser despejado, não cabe mais no processo
educativo”. As novas abordagens acentuam o papel ativo dos aprendizes e a
importância dos seus conhecimentos prévios. É necessário que professores criem
situações de aprendizagem em que os alunos sejam ativos e evitar aulas
caracterizadas por um monólogo desgastante para ambos (professor e aluno).
O professor sabe que os alunos são diferentes uns dos outros nas
necessidades, nos interesses, nas aptidões, nas capacidades, que aprendem em
estilos e ritmos diferentes. O difícil é para ele e para a escola trabalhar com essas
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
49
diferenças, pois geralmente as turmas são bastante numerosas, têm um
programa curricular a ser cumprido.
Segundo D’Ambrosio (1986, p.25), “a adoção de uma forma de ensino mais
dinâmica, mais realista e menos formal, mesmo no esquema de disciplinas
tradicionais, permitirá atingir objetivos mais adequados à nossa realidade”. É fácil
perceber que a razão mais evidente é que não conseguem compreendê-la e a
maior parte dos assuntos ensinados não faz parte da vivência do aluno. Porque,
afirma D’Ambrosio (2000, p.31), “interessa à criança, jovem e ao aprendiz em
geral aquilo que tem apelo às suas percepções materiais e intelectuais mais
imediatas”. Muitas pessoas não conseguem dar significado à Matemática, mesmo
que tenham instrumentos intelectuais para realizarem esta tarefa. A tendência
afetiva adquirida é evitar a Matemática.
Por esta razão, de acordo com D’Ambrosio:
“é muito difícil motivar com fatos e situações do mundo atual uma
ciência que foi criada e desenvolvida em outros tempos em virtude
dos problemas de então, de uma realidade, de percepção,
necessidades e urgências que nos são estranhas”. D’Ambrosio
(2000, p.31)
Conforme Perrenoud (2000), no desenvolvimento de competências
privilegia-se as práticas inovadoras e, portanto, as competências emergentes,
aquelas que deveriam orientar as formações iniciais e contínuas, aqueles que
contribuem para a luta contra o fracasso escolar e desenvolvem a cidadania. É
muito difícil destacar quais as competências mais importantes do professor de
Matemática, pois todas são importantes.
O PCN+ destaca que o professor de Matemática deve: saber Matemática,
saber ensiná-la e saber onde se aplicam os conceitos dados em sala. Além disso,
criar situações em que a aprendizagem possa ocorrer, organizar e dirigir
situações de aprendizagem, envolver os alunos em suas atividades, promover
trabalhos em equipe e ensino dinâmico, envolver os pais, utilizar novas
tecnologias e buscar estar sempre atualizado. Esclarece:
“...Esses bons pontos de partida, no entanto, estão cercados de
difíceis obstáculos, como a tradição de ensino estritamente
disciplinar do ensino médio, de transmissão de informações
desprovidas de contexto, ou de resolução de exercícios
padronizados, heranças do ensino conduzido em função de
exames de ingresso ao ensino superior”. (PCN+, p.10-11)
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
50
Freire reforça dizendo:
... "Não há como não repetir que ensinar não é pura transferência
mecânica do perfil do conteúdo que o professor faz ao aluno,
passivo e dócil. Como não há também como não repetir que, partir
do saber que os educandos tenham não significa ficar girando em
torno deste saber. Partir significa pôr-se a caminho, ir-se deslocar-
se de um ponto a outro e não ficar, permanecer." (Freire, 1997
apud Caesura,
7
n. 29, jul./dez. 2006 - 59)
Hoje, como sempre, o professor de Matemática deve manter-se atento ao
que se passa à sua volta. Por um lado o ensino da Matemática é claramente
ineficaz, gerador de incapacidade e traumas; por outro lado são avançadas
propostas potencialmente interessantes para ultrapassar as dificuldades atuais. É
a consciência profissional do professor que o obriga a analisar as propostas que
vão aparecendo e enriquecendo a sua prática com o que observa, transmitindo
ainda as conclusões a que vai chegando. D’Ambrosio afirma que:
".... Havia, e ainda há, infelizmente, matemáticos e mesmo
educadores matemáticos que vêem a Matemática como uma
forma privilegiada de conhecimento, acessível apenas a alguns
especialmente dotados, e cujo ensino deve ser estruturado
levando em conta que apenas certas mentes, de alguma maneira
‘especiais’, podem assimilar e apreciar a Matemática em sua
plenitude". (D’Ambrosio,1986, p.9).
2.4.4 Para gostar de Matemática.
Há diferenças significativas em relação ao “gostar da Matemática” e em
relação ao possuir “domínio” dessa disciplina. Esse trabalho propõe juntar estas
circunstâncias visando incentivar o aluno a participar das atividades Matemáticas
com alegria e entusiasmo, permitindo que ocorram chances de participação,
favorecendo o desenvolvimento de atitudes positivas o que, provavelmente,
possibilitará sucesso na disciplina.
O estudo das atitudes vem se constituindo em um dos temas principais da
psicologia aplicada ao ensino. O desenvolvimento de atitudes favoráveis em
relação à Matemática, bem como estudos sobre as concepções e as crenças em
relação à Matemática, vêm ocupando cada vez mais espaço. Segundo estudos de
7
Caesura: revista crítica de Ciências Sociais e Humanas. Editora da Universidade Luterana do Brasil.
Canoas. Disponível eletronicamente pelo site: www.editoradaulbra.com.br.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
51
Coll
8
(2003), a construção de atitudes positivas nos estudantes deve ser um
objetivo crucial dos educadores que pretendam ir além da simples transmissão de
conhecimentos, garantindo aos alunos espaço para o desenvolvimento de
autoconceito positivo, de autonomia nas tarefas e nos esforços, além do prazer na
solução dos problemas. “As atitudes guiam os processos perceptivos e cognitivos
que conduzem a aprendizagem de qualquer tipo de conteúdo educacional seja
conceitual, procedimental ou atitudinal”. (Coll, 1999,).
O aluno autônomo terá mais confiança na sua habilidade de raciocínio,
bem como na sua capacidade Matemática, e produzirá resultados satisfatórios, se
este for encorajado, sentindo a autonomia e responsabilidade pela sua
aprendizagem.
Os alunos que recebem o conteúdo matemático em sua forma pré-
estabelecida e imposta tornam-se cada vez mais incapazes de transferir as
aprendizagens novas ou de trabalhar com abstrações de pensamento que
possam ser aplicadas em outras situações. Ausubel (1978) apontou que o
conhecimento sobre as diferenças existentes entre a aprendizagem mecânica e a
significativa é básico no processo ensino-aprendizagem. Afirmou que:
“Esta diferença crucial entre as categorias de aprendizagem
mecânica e significativa tem implicações importantes para o tipo
de processo de aprendizagem e memorização subjacentes a cada
categoria. Uma vez que os materiais aprendidos mecanicamente
não interagem com a estrutura cognitiva de forma substantiva,
orgânica, são aprendidos e fixados de acordo com as leis de
associação”. (p.133)
Piaget (1998) tem reiterado a autonomia como um meio para facilitar a
aprendizagem, levando o sujeito a uma maior eficiência e criatividade.
Aparentemente, os professores com atitudes negativas não encorajam os alunos
a desenvolver e a atingir esta autonomia, limitando muito o desenvolvimento do
pensamento crítico, isto é, estimulam a submissão, desencorajando-os no
envolvimento e a participação do aluno nas atividades propostas.
Por outro lado, o aluno não pode estar isento de responsabilidade,
disposição pessoal, objetivos e compromisso com seu próprio aprendizado. Com
8
César Coll Salvador é diretor do Departamento de Psicologia Evolutiva e professor da Faculdade de
Psicologia da Universidade de Barcelona, Espanha. Foi consultor do Ministério da Educação (MEC) entre
1995 e 1996, colaborou na elaboração dos nossos PCNs.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
52
finalidade definida, professores com atitudes positivas procuram despertar estas
obrigatoriedades, com criatividade e sem imposição por meio de incentivos,
trabalhos diferenciados, situações de interesse e do cotidiano deles, participação
do grupo e o uso de tecnologias (calculadora, computador), dentre outros.
A maneira como vem sendo executado o ensino da Matemática, utilizando
situações problemas pré-manipulados e baseados em conteúdos literários, muitas
vezes, traduções de obras estrangeiras, fora da realidade brasileira, recheados de
fórmulas e expressões algébricas prontas, contribuem para a execução de aulas
de Matemática desestimulantes, sem atrativos, carentes de desafios, tanto para
professores quanto para os alunos. Além disso, a experiência demonstra que na
maioria das vezes, não se consegue relacionar aquilo que se aprende com os
problemas do cotidiano do indivíduo e isto provoca atitudes negativas nos alunos.
Segundo Ponte (1992 apud Macintyre p.14), “... O modelo de ensino que
acredita que descrever ou dizer como são as coisas é a melhor forma de ensinar
está ligado, na prática, à reprodução e à memorização da informação; não está
apoiado nos processos ativos da construção do conhecimento, nem conta com a
participação do aluno”, não possibilitando a utilização e a assimilação da
informação.
Para D’Ambrosio (1986), é importante que a criança desenvolva
capacidade de matematizar situações reais e de criar teorias adequadas para as
situações mais diversas. O conteúdo ensinado de Matemática deve permitir o
reconhecimento de informações onde ele esteja. O essencial é identificar o tipo de
informação adequada para certa situação ou fornecer condições mínimas para
que sejam encontrados, entendidos ou esclarecidos, em qualquer nível, os
conteúdos e métodos adequados.
Ensinar a partir de situações reais, para aumentar o interesse e motivação
do aluno é necessário e urgente. Segundo Fischer (1992, p.42, apud Huppes
2002, p. 54):
“o chavão que tomou conta do discurso do professor – ensinar a
partir da realidade – exige não apenas coerência entre discurso e
ação, mas deve ir além disso: exige que os professores
descubram como é a realidade sob o ângulo do pensamento” .
É partindo da realidade que o aluno já conhece e aplicando teorias de
aprendizagem adequadas que se motiva o aluno a desenvolver sua criatividade e
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
53
aprender através de suas próprias ações sobre o mundo. Ele elabora os conceitos
de acordo com suas necessidades e estes o ajudam no seu desenvolvimento. “É
preciso resgatar, na prática de sala de aula, a dialética que existe entre forma e
conteúdo, pois estes perdem o sentido quando separados” (Medeiros, 1987, p. 20
apud Huppes, 2002, p. 54).
A realidade de cada aluno é específica, e o ensino deve estar associado a
essa realidade, respeitando “a leitura do mundo” (Freire, 1999, p. 139),
despertando nele o interesse e criando condições próprias para que se propicie a
aprendizagem.
Segundo Ponte (1992, p.19), as interfaces entre Matemática e a realidade
podem aparecer essencialmente de três formas ao longo do processo de ensino-
aprendizagem:
(a) como ponto de partida para a formação de novos conceitos ou idéias
Matemáticas;
(b) como exemplos de aplicação de conceitos e idéias Matemáticas a
problemas concretos;
(c) como situações de modelação, em que se procura fazer o estudo duma
dada situação recorrendo, se necessário, a ferramentas Matemáticas
diversificadas.
Para D’Ambrosio (1986), o ponto que parece de fundamental importância e
que representa o verdadeiro espírito da Matemática é “a capacidade de modelar
situações reais, codificá-las adequadamente, de maneira a permitir a utilização
das técnicas e resultados conhecidos em um outro contexto”. Isto é, a
transferência de aprendizado resultante de certa situação para uma situação nova
é um ponto crucial do que se poderia chamar aprendizado da Matemática e talvez
o objetivo maior do seu ensino.
Levando as atividades de fora para dentro da sala de aula o aluno terá
condições de relacionar o que já sabe com o saber organizado, testando as
aplicações a situações que normalmente são encontradas em sua vida. Conforme
D’Ambrosio (1986), essa recriação de modelos pelo sujeito, que pode usar outros
modelos que já foram incorporados à sua realidade, e que é a essência do
processo criativo, deveria constituir o ponto focal dos sistemas educativos. Se
necessário for à existência de escolas, sua ação seria essencialmente
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
54
proporcionar ambiente para que a realidade, na qual está imersa a criança na
chamada experiência escolar, lhe permita vivenciar, conhecer modelos que serão
por elas utilizados na criação de seus próprios modelos.
Para a resolução de um problema devemos primeiro compreendê-lo e
querer a sua solução para depois traçar um plano de ação e executar esse plano
para finalmente fazer um retrospecto da solução encontrada. Muitas vezes o
indivíduo não é estimulado em sua curiosidade, e com isso, não deseja realmente
resolver o problema que se apresenta. Conforme Dante (1999, p.11), é preciso
desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso
inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas
soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela.
As rápidas mudanças tecnológicas e sociais nos impedem de fazer uma
previsão de quais habilidades, conceitos ou algoritmos são úteis para o preparo
do aluno para seu futuro. Ensinar somente conceitos e algoritmos que atualmente
são relevantes, não parece o caminho. Um caminho razoável é preparar o
educando para lidar com situações novas que a ele se apresentam. Capacitá-lo
para que possa intervir e transformar a sua realidade e também resistir aos
obstáculos que se apresentam. “Ensinar a resolver problemas é uma tarefa mais
difícil do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos” (Dante,
1999, p.30).
Utilizando os conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos o aluno
precisa pensar para elaborar um plano de ação, passar a situação para a forma
Matemática, organizar os dados embutidos no problema, testar uma estratégia de
solução e verificar se realmente chegou à solução pretendida, pois “não se
aprende Matemática para resolver problemas e, sim, se aprende Matemática
resolvendo problemas” afirma Carvalho. (1994, p. 3).
2.4.5 O professor de Matemática
“Existem duas opções na vida: se resignar ou se indignar. E eu
não vou me resignar nunca”. (Darcy Ribeiro
9
)
9
Darcy Ribeiro, etnólogo, antropólogo, professor, educador, ensaísta e romancista, (1922-1997
).
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
55
Tem esse trabalho o propósito de desencadear uma espécie de
descoberta, a fim de ajudar o professor a motivar seus alunos e fazê-los entender
onde se usa a Matemática no cotidiano. Isto nem sempre é apresentado nos livros
didáticos, daí as dificuldades de muitas pessoas que lecionam esta matéria.
Convém continuar ressaltando a atuação de alguns professores, não como
modelo inquestionável de docência, mas como fonte de inspiração para que
continuemos a buscar um melhor caminho para chegarmos ao coração e à mente
de nossos alunos. Um aluno jamais deve permanecer passivo e, mesmo que as
respostas dadas sejam incompletas ou incorretas, o verdadeiro educador sempre
deve fazer um comentário crítico construtivo: “Você quase conseguiu... Valeu a
tentativa”! A forma como ele conduz a aula deve despertar a curiosidade pelo
ouvir e aprender. É importante dar-lhes a oportunidade de “falar de Matemática”,
de explicar suas idéias antes de representá-las no papel. Freire destaca:
“... o bom professor é o que consegue, enquanto fala, trazer o
aluno até a intimidade do movimento do seu pensamento. Sua
aula é assim um desafio e não uma ‘cantiga de ninar’. Seus
alunos cansam mas não dormem. Cansam porque acompanham
as idas e vindas de seu pensamento, surpreendem suas pausas,
suas dúvidas, suas incertezas”. (Freire, 1996, p.96)
Um professor deve buscar um aperfeiçoamento constante, ter um carinho
especial pela profissão que abraçou e saber utilizar sua autoridade com
moderação e imparcialidade. Então, por que não tentar eliminar rapidamente os
poucos casos de conversa paralela durante a aula, chamando a atenção dos
envolvidos de forma humorada? Por que não conversar, em particular, com
qualquer estudante que necessite de uma reprimenda maior? Certamente, todos
os alunos o cumprimentarão nos corredores e irão lhe pedir conselhos e
orientações.
2.5 Criar condições para que a aprendizagem possa ocorrer.
Pelo que se percebe, o desafio de ensinar é tão grande quanto o de
aprender. Utilizar elementos do cotidiano para instigar o aluno é apenas dar
continuidade à curiosidade natural da criança. O aprendizado só se torna chato
quando não há identificação com as necessidades do estudante. Ou seja, ele
deve perceber que aprendendo porcentagem será capaz de calcular os juros das
prestações de seu "mp4" ou seu vídeo game. Só assim terá prazer em aprender.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
56
Já dizia Freire (1999)... "Ensinar não é a pura transferência mecânica do saber ao
aluno, passivo e dócil". Mesmo porque esse aluno não existe mais.
Em geral, os assuntos são apresentados de uma forma reduzida em função
do tempo escasso destinado tanto aos docentes quanto aos alunos. Com esta
proposta, os professores poderão ter acesso a informações atualizadas, simples e
práticas, que poderão ser usadas dentro da aula para motivar e instigar o aluno,
utilizando elementos do cotidiano e despertando a curiosidade natural.
Num mundo em que cada vez mais a máquina estará presente para efetuar
trabalhos rotineiros ou repetitivos, mais ou menos ligados a tarefas de cálculo
intensivo, os desafios de problemas a enfrentar serão melhores desenvolvidos ou
absorvidos se houver o conhecimento matemático.
Hesse
10
, filósofo e pensador, fala como se fosse do professor para o aluno:
"Nada lhe posso dar que já não exista em você mesmo. Não
posso abrir-lhe outro mundo de imagens, além daquele que há em
sua própria alma. Nada lhe posso dar a não ser a oportunidade, o
impulso, a chave. Eu o ajudarei a tornar visível o seu próprio
mundo, e isso é tudo."
2.6 Recursos para o ensino da Matemática.
A psicóloga e professora da Universidade de Oxford Brookes, Inglaterra,
Terezinha Nunes
11
, chamou a atenção para a idéia de que todos podem aprender
Matemática, independente da situação: quer seja família desestruturada,
desnutrição, falta de equipamentos de trabalho, baixo salário dos professores,
classes com número excessivo de alunos, falta de base anterior, etc.
Geralmente observa-se, em todos os graus do ensino, que o estudante
ouve, repete e resolve os exercícios a partir de exemplos dados pelo professor.
Este tipo de prática faz com que o processo de ensino-aprendizagem, ao invés de
10
Hermann Hesse (1877-1962), Contista, poeta, ensaísta e editor de importantes obras da literatura é um
dos maiores prosadores da língua alemã do século XX. Teria sido ele o último representante do romantismo
germânico por enfocar acima de tudo, em ambientes imaginários, rarefeitos, a exaltação da sensibilidade do
personagem e não a sua racionalidade. Os críticos alemães entendem ser Hesse um Dichter, um escritor
com alma de poeta, uma categoria um tanto acima de um Schrifsteller, isto é, um romancista. Ver:
http://www.paralerepensar.com.br/h_hess.htm
11
Terezinha Nunes, psicóloga, chefe do Departamento de Psicologia da Oxford Brookes University, estuda
como nasce nas pessoas o pensamento matemático. Na Universidade Federal de Pernambuco, trabalhou
com operários que mal sabiam escrever, mas entendiam muito de escala e de matemática. Em 2002
concedeu entrevista a revista Edição Nº 161. Publicou o livro, Crianças Fazendo Matemática, juntamente
Peter Bryant.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
57
contribuir para o desenvolvimento do pensamento lógico do indivíduo e para o
fornecimento de experiência na solução de problemas em outro campo da
atividade humana, apenas se restringe a um acúmulo de informações que nada
contribui para a construção do conhecimento.
O mesmo pensa o educador Jorge Falcão
12
, que enfatizou a necessidade
de sair do conceito "giz e cuspe" para o sucesso do ensino da Matemática.
Afirmou "mais importante do que ensinar os símbolos matemáticos é diversificar a
representação desses símbolos e manipulá-los dentro de uma perspectiva familiar
ao conhecimento dos alunos".
Infelizmente, parece estar crescendo uma rejeição pela Matemática no
ensino básico e isto não é um problema advindo da Matemática, mas do modo
que lidamos com ela na escola. Nessa linha de raciocínio, muitos professores e
pesquisadores procuram meios alternativos de eliminar a deterioração e
degradação do ensino de Matemática, buscando torná-la interessante,
provocadora e instigante.
Não será admissível que a análise de "situações da vida real identificando
modelos matemáticos que permitam a sua interpretação e resolução" seja restrito
somente àqueles exercícios que "dão contas exatas". A resolução de problemas
nos domínios da Matemática, da Física, da Economia, das Ciências Humanas,
etc., faz-se necessário, sempre que possível, se envolver o uso de um
computador ou calculadora, uma vez que os avanços tecnológicos também
devem fazer parte da aula. A formulação de "generalizações a partir de
experiências" será em grande parte exeqüível apenas com o auxílio das
capacidades numéricas ou gráficas utilizando-se para melhor aproveitamento uma
calculadora científica ou gráfica ou de um computador.
2.7 Novas estratégias de ensino de Matemática.
O futuro está impregnado cada vez mais de ciência e de tecnologia e, de
certa forma, a Matemática está na raiz de tudo isso. Não podemos ser cidadãos
12
Jorge Tarcisio da Rocha Falcão. Relações entre pensamento e linguagem: explorações teóricas no
contexto da educação matemática. Boletim Gepem, Rio de Janeiro, n. 41, p. 43-56, 2003. Doutor J. T. R.
Falcão. Université de Paris-V, 1992 é Professor da Universidade Federal de Pernambuco, Centro de Filosofia
e Ciências Humanas, Departamento de Psicologia. Área de interesse: Engenharia didática e seqüências
didáticas para o ensino de conteúdos matemáticos, Métodos quantitativos de análise de dados em psicologia,
Cognição e afetividade e Ergonomia cognitiva.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
58
do século XXI sem Matemática. Enxergamos suas formas no manejo de sistemas
em todos os níveis da produção humana, em mecanismos de automação, da
interpretação das informações e da capacidade da tomada de decisões rápidas e
precisas, o que exige um cidadão com habilidades de raciocínio lógico e crítico.
Por esta razão torna-se importante o crescimento de uma Educação Matemática
que colabora para desenvolvimento dessas habilidades durante a formação
escolar e no ensino-aprendizagem desta disciplina.
A educação da Matemática, de acordo com D’Ambrosio (2000, p.68), é
“uma estratégia da sociedade para facilitar que cada indivíduo atinja o seu
potencial e para estimular cada indivíduo a colaborar com outros em ações
comuns na busca do bem comum”.
Estabelecendo relação de comparação, completa:
“Vejo a disciplina Matemática como uma estratégia desenvolvida
pela espécie humana ao longo de sua história para explicar, para
entender, para manejar e conviver com a realidade sensível,
perceptível, e com o seu imaginário, naturalmente dentro de um
contexto natural e cultural”... “Vejo educação como uma estratégia
de estímulo ao desenvolvimento individual e coletivo gerada por
esses mesmos grupos culturais, com a finalidade de se manterem
como tal e de avançarem na satisfação de necessidade de
sobrevivência e de transcendência”... “Conseqüentemente,
Matemática e educação são estratégias contextualizadas e
totalmente interdependentes. Procuro entender a evolução de
ambas e analisar as tendências como as vejo no estado atual da
civilização”. (D’Ambrosio, 1996, p 7)
Considero a Educação Matemática como um campo acadêmico, de
pesquisa, prática e tecnologia, com aspectos de arte e ciência. Enquanto ela se
desenvolve, emergem tendências ou ramificações, visando atender capacidades
do cidadão do futuro e preparar professores para adaptação e, ainda, melhoria
das condições de ensino. Outras disciplinas também têm influência na Educação
Matemática, dentre elas destacam-se a Psicologia, a Filosofia e História. Surgem
a Etnomatemática; Tecnologia, Informática e Comunicação; Formação de
Professores, Filosofia e História da Matemática, Epistemologia e Práticas
Educativas em Educação Matemática, Ensino através de Jogos, Tarefas de
Investigação em Sala de Aula, Resolução de Situações-Problema e Modelagem
Matemática.
Ao refletir sobre as várias tendências, procurei debater com colegas
professores e ouvir as opiniões socializadas dos alunos. Inúmeras sugestões
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
59
surgiram de como trabalhar a Matemática em sala de aula, quer como atividade
de ensino e de aprendizagem, quer como atividade de avaliação, com o objetivo
de tornar as aulas mais atraentes e motivadoras para o aluno, com aulas
envolvendo temas do cotidiano (portanto contextualizadas), favorecendo o
desenvolvimento de habilidades, tais como sociabilidade, solidariedade, raciocínio
crítico e lógico, concentração, conjectura, dentre outras.
Ao iniciar os trabalhos na intenção de criar seguidores e divulgadores do
ensino da Matemática de situações reais, com os primeiros professores, percebi o
conflito e confusão em reconhecer princípios e diferenças entre Resolução de
problemas, Tarefas investigativas e Modelagem Matemática. Notei também a
perturbação em expor um assunto, delimitar e formular problema, o apuro,
tensões e insegurança em aulas práticas em que todos atuam e o aperto em
reconhecer Matemática no cotidiano.
No Capítulo que segue procuro dar sugestões e esclarecimentos sobre tais
estratégias de ensino. Para cada uma dessas metodologias, será necessário o
preparo, esmero e dedicação do professor. Assim, neste trabalho, proponho a
possibilidade de melhoria da qualidade de ensino através da Modelagem
Matemática, orientando através do mini-curso professores que divulgarão esta
estratégia. Mostrando a eles, um embasamento teórico, algumas situações de
Modelagem, vantagens e desvantagens, quando e onde elas poderão ser
aplicadas. O professor poderá se aperfeiçoar das técnicas abordadas na
Modelagem, compreender e aprender, tornando-o um agente ativo perante sua
própria aprendizagem e de seus alunos.
A aula de Matemática deveria ser um dos locais privilegiados para preparar
o Homem que a sociedade hoje reclama. Como escreve Polya (1978):
"O professor de Matemática tem uma grande oportunidade em
mãos. Se preenche seu tempo apenas ensinando algoritmos,
perde a oportunidade, pois mata o interesse dos alunos e bloqueia
seu desenvolvimento intelectual. Se, por outro lado, provoca-lhes
a curiosidade através de problemas proporcionais a seu
conhecimento e os acompanha com questões estimulantes, estará
lhes oferecendo o desejo e os meios para o desenvolvimento de
um pensamento independente”
Para o professor de Matemática, incorporar conhecimentos de áreas
específicas para enriquecer suas aulas, promover integração entre teoria e
prática, contemplando as necessidades dos futuros cidadãos não é tarefa fácil.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
60
Geralmente professores que atuam no ensino básico, possuem experiência
apenas no exercício do magistério, dominam os conteúdos matemáticos, mas não
a sua aplicação. Trabalhar com Modelagem é ir além da rotina exige do professor
de Matemática uma mudança de comportamento, de postura profissional e
humana, dedicação e iniciativa. A rotina, apesar de cômoda, somente contribui
para manter a sua formação deficitária, não favorecendo a melhoria da qualidade
de ensino.
Qualquer que seja a nova metodologia, Congresso de Locarno (1997)
recomenda que essa deva:
... “ser aplicada gradualmente, de maneira pragmática, com
grande prudência e rigor, tomando como finalidade imediata a
formação de formadores”. Recomenda ainda que: “no ensino
deve-se harmonizar a disciplinaridade, a interdisciplinaridade e a
transdisciplinaridade, abordando os fundamentos históricos e
epistemológicos de cada um e manter um fórum transdisciplinar
de história, filosofia e sociologia da ciência, um atelier de pesquisa
transdisciplinar, assim como um centro de orientação tanto de
estudantes como de professores com a finalidade de criar
harmonia e flexibilidade interior e exterior”... “... desenvolvendo
diferentes níveis de inteligência dentro de uma democracia
cognitiva”. (síntese do documento, 1997, parag. V)
O mais importante neste trabalho é romper velhos paradigmas no ensino
tradicional e reconhecimento de novas metodologias científicas de ensino de
Matemática, com temas contextualizados, tarefas realmente significativas,
enquadradas numa visão transdisciplinar, caracterizado pela investigação, por
críticas e questionamentos. É preciso ousar.
Como disse Albert Einstein: "Para descobrir novos caminhos é preciso
sair dos trilhos”.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
61
CAPÍTULO III
CONCEITUAÇÃO DE MODELAGEM MATEMÁTICA E SUA IMPORTÂNCIA
COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO-APRENDIZAGEM.
"Você não pode ensinar nada a um homem; Você pode
apenas ajudá-lo a encontrar a resposta dentro dele mesmo”.
Galileu Galilei
O objetivo deste capítulo é mostrar a Modelagem como estratégia
pedagógica e quais são suas perspectivas de modo geral. Apresento breve
retrospectiva histórica sobre a Modelagem no Brasil e no mundo; como trabalhar
com Resolução de Problemas e quais as diferenças entre “Tarefa de
Investigativas”, “Situações-Problema” e “Modelagem Matemática”. Descrevo a
utilização dela em vários campos do ensino e, em especial, na Educação
Matemática. A idéia não é somente identificar, examinar e compreender a prática
da Modelagem, mas também apresentar as razões de sua aceitação ou rejeição
nos meios acadêmicos e sua aplicação na sala de aula do Ensino Médio pelo
professorado atuante.
Procuro deixar claro que a proposta é a melhoria da qualidade do ensino
da Matemática usando a estratégia da Modelagem, justamente por acreditar na
potencialidade pedagógica da aplicação da Modelagem no ensino de Matemática.
Descrevo diferentes perspectivas do que vem a ser Modelagem e seu uso na
Educação Matemática.
O encaminhamento das idéias deste texto irá percorrer alguns artigos,
teses, dissertações e livros desenvolvidos com enfoque em Modelagem na
Educação Matemática, comparando ou ressaltando as diferentes “definições” ou
perspectivas que ela assume, de acordo com cada autor.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
62
Para o leitor deste trabalho, oriento que na fundamentação teórica deste
capítulo, muitas idéias e propostas de vários pesquisadores são convergentes, de
modo que ao fazer a citação de cada um deles, alguns procedimentos,
características e frases foram repetidos, pois aqui, procuro ser fiel aos
depoimentos, artigos e livros de cada autor, no ano de sua publicação. Por se
tratar de uma metodologia de ensino nova, grande parte dos autores e
pesquisadores, estão vivos e em constante aprimoramento e atualização, num
processo dinâmico e contínuo. Levo em consideração autores cujos trabalhos,
contraditórios ou não, foram feitos até o primeiro semestre de 2007.
O ensino de Matemática desencadeou alguns movimentos nas últimas
décadas do século XX, e surgiram tendências, que procuraram dar outros rumos
ao ensino da Matemática e prática pedagógica. Deste modo, Fiorentini entende
que ”por trás de cada modo de ensinar, esconde-se uma particular concepção de
aprendizagem, de ensino, de Matemática e de Educação. O modo de ensinar
sofre influência também dos valores e das finalidades que o professor atribui ao
ensino da Matemática, da forma como concebe a relação professor-aluno e, além
disso, da visão que tem de mundo, de sociedade e de homem”. (1995, p. 4).
Os professores ao selecionarem antecipadamente as teorias e
metodologias que vão subscrever suas atividades docentes, levam em
consideração concepções e valores que possuem a respeito de sua disciplina e
sobre aprendizagem e ensino. Grande parte dessas concepções e valores,
Fiorentini aponta que sua origem está na própria formação escolar do professor,
fechando uma espécie de círculo em que “eu ensino a mesma coisa que aprendi
e do jeito que meus professores me ensinaram”.
Talvez isso justifique a análise de alguns modos de conceber, interpretar,
considerar e entender o ensino da Matemática. Existem diferentes visões, que por
sua vez são construídas, dependendo da sua região, a partir de determinantes
sócio-políticos ideológicos, culturais, pragmáticos ou costumeiros, científicos ou
críticos, na qual se procura compreender o que acontece dentro das escolas.
Independente das necessidades sociais e interesses locais, e ainda, da
forma que o professor aprendeu, o PCN aponta que a Educação Matemática
provavelmente mude ou sofra alterações para estabelecer relações com as
demais atividades do curso, com a futura atuação profissional dos alunos e o
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
63
exercício da cidadania. Diante disso, surgem novas tendências e propostas para a
Matemática, as quais influenciam as concepções nas práticas docentes e trazem
implicações para a maneira como o professor conduz as atividades.
Na Matemática escolar nos dias atuais seja na educação básica ou
superior, procura-se inserir atividades envolvendo circunstâncias do dia-a-dia ou
Matemática de situações reais, promovendo a resolução de situações problemas,
tarefas de investigação e atividades de Modelagem.
Segundo Barbosa, cinco são os argumentos apresentados para que essas
idéias devam fazer parte do currículo de Matemática: motivação, facilitação da
aprendizagem, preparação para utilizar a Matemática em diferentes áreas,
desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão do papel
sócio-cultural da Matemática (Barbosa, 2003a).
Pode-se dizer que há nestas intenções alguns propósitos: levar os alunos a
aprender Matemática, prepará-los, induzi-los e instigá-los a usarem a Matemática
da realidade, em ocasiões diversas no dia-a-dia.
Verifica-se que a Matemática é um utensílio ou, como dizem, uma
ferramenta que pode ser empregada na execução de inúmeros trabalhos,
processos e situações do dia-a-dia que requerem solução rápida, velocidade do
pensamento, raciocínio lógico, tomada de decisão, seleção de alternativas ou
evidências, tornando-a indispensável em todos os ramos da sociedade.
Isto não é uma tarefa simples. Geralmente é difícil certificar a aplicabilidade
imediata de alguns conceitos em situações reais e entender as diferenças básicas
entre resolução de situação problemas, tarefas de investigação e atividades de
Modelagem. Barbosa (2001b) relata que os professores ao tomarem contato com
a Matemática de situações reais, são simpáticos à proposta e reconhecem a
pertinência de atividades, porém identificam também possíveis obstáculos para
sua implementação, surgindo certa insegurança em relação ao tema.
Ao desenvolver este trabalho, procurei compreender tais dificuldades
enfrentadas pelos docentes, além de identificar e caracterizar as causas da
insegurança, bem como propor as práticas de formação de professores em
relação à Modelagem, sustentado por estudos sobre o tema, apresentando
referências, exposição sucinta das definições, discussões sobre assunto em
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
64
questão, os quais servirão como caução, amparo e garantia para execução de
suas atividades.
3.1 Matemática de situações reais
Considero o fato de que interagir o conhecimento matemático com
situações reais para aprender é fundamental. Conhecimento, sim, apenas
informação, não. Oliveira (2005) afirma que essa é a diferença que não pode ser
ignorada: “o conhecimento supõe diálogo, erros e acertos, análise da informação,
‘criticidade’ e conjectura dos dados, donde se forma seu caráter social, histórico,
cultural, plural e coletivo”. Segundo os PCN, isto é que garante a formação da
cidadania.
O emprego de situações reais no ensino de Matemática anseia, entre
outras coisas, tirar o enfoque de uma Matemática construída apenas de maneira
exata, pronta e acabada, cujo funcionamento se deve apreender por meio da
prática de exercícios, privilegiando a memorização, e direcionando para uma
Matemática que pode ser identificada, com espaço para a criatividade e que
possa ser reconstruída, ou mesmo construída, quando se objetiva conhecer e
compreender a realidade na qual se está inserido.
Neste contexto do ensino de Matemática, trabalhar com situações reais
pode receber diversas denominações pelos pesquisadores. Encontramos termos
como, por exemplo, ambiente de aprendizagem, método, estratégia, metodologia
ou processo de ensino, entre outras. Consideram principalmente, a ação dos
alunos manipularem dados e fatos verdadeiros, havendo necessidade de coletar
informações, identificar, situar, discutir e interpretar. Como conseqüência, os
alunos caminham para a construção do conhecimento, para o pensamento crítico
e reflexivo.
Em um primeiro momento, podemos dizer que trata da realidade composta
por elementos de natureza econômica, física, social, política, psicológica, etc., da
qual se “transpõe um problema para a Matemática onde será tratado através de
teorias e técnicas próprias desta Ciência”. (Bassanezi, 2002, p.25).
Essa transposição pressupõe uma seleção de elementos da realidade, que
podem ser guiadas pelo professor em atividades, de acordo ou não com
conteúdos do currículo escolar, criando ou manipulando modelos, os quais
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
65
revelam regularidades que permitirão fazer previsões e interpretações. Esta forma
de ensino “culmina com a solução efetiva do problema real e não com a simples
resolução formal de um problema artificial”. (D’Ambrosio, 1986, p.11).
Trabalhar com situações reais requer, por parte do professor, a
compreensão e conhecimento de componentes matemáticos, além de técnicas
para exercer a função. Nesse sentido, Israel (2003) relata a importância de uma
bagagem Matemática realmente mínima e, sobretudo, com um pouco de boa
vontade.
Segundo Israel (2003), na busca por uma aprendizagem efetiva de
Matemática, não podemos nos restringir a resolver problemas do cotidiano do
aluno. Isto manifesta uma limitação ou restrição do sentido da presença das
Matemáticas nos alunos. Desta maneira o uso de situações reais baseia-se na
idéia “de eficácia” e, por conseguinte, da “utilização” ou “utilidade” da Matemática.
Conforme ele relata, o aluno deve aprender Matemática, aprender a pensar
matematicamente além de conhecer a fecundidade e as limitações de conceitos e
métodos dessa ciência, independente do seu costumeiro dia-a-dia. Tal
aprendizagem poderá ser também emancipadora, envolvente e revolucionária, o
que o tornará firme e confiante, tanto no raciocínio lógico-dedutivo, quanto na
tomada de decisões no futuro.
3.2 Resolução de Problemas
Passamos agora a mostrar brevemente o que pesquisas apontam como
sendo “resolução de problemas”. Devido a inúmeros trabalhos, sentimos a
necessidade de uma delimitação deste tema e apresentar suas subdivisões para
o ensino da Matemática, considerando que seja um tema extremamente rico e
amplo.
A “resolução de problemas” tem sido enfatizada mundialmente como um
recurso metodológico para proporcionar um aprendizado de Matemática de
melhor qualidade. Ela tem nos dado suporte à crença de que a construção de
conceitos matemáticos pelos alunos se torna mais significativa e duradoura
quando é proporcionada por meio de circunstâncias caracterizadas pela procura,
indagação, investigação e exploração de novos conceitos, que estimulam a
curiosidade do educando.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
66
Embora o processo de formalização em uma ação educativa baseada
nessa concepção seja mais lento, “consegue-se um maior envolvimento do aluno
com o ‘fazer’ matemático de modo a levantar hipóteses e conjecturas para então,
investigá-las e testá-las visando a solução do problema proposto” (D’Ambrosio,
1984, p 16/17).
Para Dante (1999), alguns motivos pelos quais se devem resolver
problemas em Matemática são: fazer o aluno pensar produtivamente, desenvolver
seu o raciocínio, ensiná-lo a enfrentar situações novas e dar-lhe a oportunidade
de se envolver com as aplicações da Matemática. Isto pode tornar as aulas de
Matemática mais interessantes, motivadoras, desafiadoras, além de instrumentar
o aluno com estratégias para solucionar os problemas.
A “resolução de problemas” poderá ser tomada como ponto de partida da
prática educativa em relação ao qual se processa a aprendizagem. Muitas vezes
a resolução de exercícios e resolução de problemas são tarefas que os
professores consideram semelhantes, porém na resolução de exercícios os
alunos dispõem e utilizam mecanismos que os levam, de forma imediata, à
solução. Na resolução de problemas, isto não ocorre de forma instantânea, pois
muitas vezes é preciso levantar hipóteses e testá-las. Desta forma, uma mesma
situação pode ser um exercício para alguns e um problema para outros,
dependendo dos seus conhecimentos prévios.
O PCN+ Ensino Médio, expõe que o ensino vem deixando de se concentrar
na simples memorização de fórmulas ou repetição automatizada de
procedimentos, em situações artificiais ou extremamente abstratas, ganhando
consciência de que é preciso lhe dar um significado, explicitando seu sentido já no
momento do aprendizado. Em resumo, o que se espera é que o aluno seja
competente em resolução de problemas, se não de todos, pelo menos daqueles
que permitam desenvolver formas de pensar matemático.
“A resolução de problemas é peça central para o ensino de
Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se
desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no
enfrentamento de desafios”. (PCN+, p.112)
Na “resolução de problemas”, o tratamento de situações complexas,
diversificadas e do cotidiano oferece ao aluno a oportunidade de pensar por si
mesmo, construir estratégias de resolução e argumentações, relacionar diferentes
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
67
conhecimentos e, enfim, perseverar na busca da solução. E, para isso, os
desafios devem ser reais e fazer sentido.
Continuando o PCN+,
“essa competência não se desenvolve quando propomos apenas
exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matemáticos,
pois, neste caso, o que está em ação é uma simples transposição
analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e
desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não
garante que seja capaz de utilizar seus conhecimentos em
situações diferentes ou mais complexas”. (PCN+, p.113)
Organizar um currículo para o Ensino Médio que atenda às demandas
atuais, inclusive dos alunos no que diz respeito ao aprendizado do que é útil à
vida e ao trabalho. Isso requer uma profunda reflexão por parte dos professores
de suas experiências de trabalho partindo de atividades em sala de aula.
Várias são as iniciativas apresentadas em dissertações, teses, revistas de
educação e eventos, as quais visam contribuir para melhoria da qualidade de
ensino de Matemática, com divulgação de relatos de experiências de profissionais
e pesquisas. Geralmente a partir do estudo de certo fenômeno ou objeto
(problema real), o professor direciona a atividade em sala de aula.
Muito se tem falado que o ensino deve envolver na formação do aluno o
uso de conhecimentos práticos, contextualizados e que respondam às
necessidades da vida contemporânea. Por exemplo, usar tabelas de dados para
criar gráficos, interpretar, analisar, dar tratamento a esses dados e propor
soluções, podem ser o caminho para o desenvolvimento de conhecimentos mais
amplos e abstratos. Em geral esses dados reproduzem ou constituem modelos de
uma determinada situação. Tais modelos são utilizados como instrumentos de
argumentação, questionamentos e debates. Dependendo da atividade pode estar
recheada de interesses tanto dos alunos como do professor.
Uma situação só pode ser considerada como um problema se não
dispomos de procedimentos automáticos que permitam solucioná-lo de forma
imediata, sem exigir um processo de reflexão ou tomada de decisão sobre a
seqüência dos passos a serem seguidos. Essa característica diferencia o
verdadeiro problema de um simples exercício.
Quando se fala em “resolução de problemas” como metodologia de ensino,
significa não ter mecanismos e algoritmos prontos que levem à solução imediata.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
68
No entanto, cabe ressaltar que uma mesma situação pode representar um
problema para certa pessoa enquanto não o representa para outra, seja porque
ela não se interessa pela situação, ou porque não possui mecanismos para
resolvê-la com um investimento mínimo de recursos cognitivos ou porque se trata
apenas de um simples exercício. Desta forma, pode-se dizer que o problema para
alguns, não passa de um exercício para outros, ou ainda, em determinados
casos, uma distração. Tudo depende de interesses e de conhecimentos prévios.
Neste sentido, quando se fala em ensino de Matemática por meio da
resolução de problemas, emergem ao trabalhar no ambiente de aprendizagem
(em sala de aula), algumas implicações e táticas para o uso desta prática
educativa, entre elas podemos destacar três formas variadas de estratégias, com
procedimentos e metodologias específicas:
Situação-Problema.
Tarefas Investigativas.
Modelagem Matemática.
Uma vez traduzido o problema, todo o processo a ser desenvolvido ou
utilizado para resolvê-lo, empregando habilidades e competências
Matemáticas para resolvê-lo, são distintos. Exigem estudos especializados e
neste trabalho será detalhado apenas a Modelagem.
As três formas de “resolução de problemas” podem ser representadas,
conforme o diagrama abaixo:
Figura 1– Quadro comparativo da Resolução de Problemas e suas divisões.
Situação-Problema, Tarefas Investigativas e Modelagem.
É fácil observar pelo diagrama que “resolução de problemas” é um tema
muito amplo. Percebe-se que toda Modelagem é uma “situação–problema”, mas
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
69
nem toda “situação-problema” é Modelagem. Assim como, toda Modelagem é
considerada uma “tarefa investigativa”, porém nem toda “tarefa investigativa” é
Modelagem. Mais adiante descreveremos suas diferenças.
Exercício e problema são coisas diferentes. O exercício pode ser
considerado uma atividade de adestramento no uso de alguma habilidade /
conhecimento matemático já conhecido pelo “resolvedor”, como a aplicação de
um algoritmo conhecido, de uma fórmula conhecida, etc. Problema é aquele que
se torna fonte de inúmeras idéias e é capaz de fertilizar outros campos da
Matemática.
Ambos têm, portanto, seu grau de importância no aprendizado de
Matemática, impulsionando em diversos ramos e propiciando o desenvolvimento
do cidadão. Problema, ainda que simples, pode suscitar o gosto pelo trabalho
mental se desafiar a curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta
da resolução. O exercício envolve mera aplicação e o problema necessariamente
envolve invenção e/ou criação significativa.
Neste sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno e
fazê-lo a se interessar por Matemática, de modo que, ao tentar resolvê-los, o
aluno adquire criatividade e aprimora o raciocínio, além de utilizar e ampliar o seu
conhecimento matemático.
O PCN+ Ensino Médio adverte:
“Isso não significa que os exercícios do tipo “calcule...”,
“resolva...” devam ser eliminados, pois eles cumprem a função do
aprendizado de técnicas e propriedades, mas de forma alguma
são suficientes para preparar os alunos tanto para que possam
continuar aprendendo, como para que construam visões de
mundo abrangentes ou, ainda, para que se realizem no mundo
social ou do trabalho. Não se trata de separar o ensino de
conteúdos específicos das competências, pelo contrário, essas
são duas dimensões da aprendizagem que devem ocorrer
conjuntamente”. (p. 113)
Segundo Pereira (2001), está se tornando cada vez mais comum os livros-
texto e didático, conterem desafios matemáticos dirigidos ao leitor estudante e isto
faz com que muitos pensem que se trata de problemas. Contudo, segundo ele, o
mais adequado seria classificá-los como charadas ou quebra-cabeças, do tipo
que apareciam no rodapé dos antigos almanaques, revistas de palavras cruzadas
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
70
entre outras, que visam mais o entretenimento e levam à obsessão por respostas
corretas.
Pereira mostra que um problema de Matemática é muito mais do que uma
charada, um mistério, um enigma ou questão que se propõe para ser resolvida,
cuja solução depende da decifração das partes para achar a solução. Um real
problema matemático além de representar um desafio exige compreensão,
explicação e interpretação para sua resolução. Proporciona contextualização e
melhora o entendimento, contribui para o desenvolvimento dos vários ramos da
disciplina, traz benefícios para quem o resolve (no sentido de amadurecer
adquirindo habilidades) e ainda permite a possibilidade que ele possa resolver
outros problemas que surgem.
Caracterizando um problema, Resnick apud Pereira (2001), apontou várias
características dos problemas que foram resumidos da seguinte forma:
• Sem algoritmização: o caminho da resolução é desconhecido, ao menos
em boa parte.
• Complexos: precisam de vários pontos de vista
• Exigentes: a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o
caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil.
• Exigem lucidez e paciência: para na aparente desordem buscar
regularidades, os padrões que permitirão a construção do caminho até a
solução.
• Obscuros: pode ocorrer que nem todas as informações necessárias
estejam aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre
as condições estabelecidas pelo problema.
• Pode ou não haver resposta única: além de normalmente ocorrer de
existirem várias maneiras de se resolver um dado problema, pode ocorrer
de não existir uma melhor solução e até de não existir solução; ao contrário
do que a Escola ensina.
Diante disso, percebemos que o aprendizado baseado na resolução de
problemas é extremamente amplo, considerado por Polya (1978) como a
essência do desenvolvimento da Matemática e que pode ser explorado por meio
dos mais variados meios de ensino e em todos os níveis.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
71
Resolver problemas inclui saber organizar as suas idéias e ter criatividade
para fazer novas descobertas, constituindo um dos elementos fundamentais do
desenvolvimento da Matemática como ciência que auxilia a resolução de vários
problemas humanos.
Um professor conhecedor de heurística
13
de resolução de problemas – que,
a meu ver, não se restringe à Matemática - dispõe de um importante recurso para
desenvolver a sua metodologia e com isso facilitar e aprimorar o processo ensino-
aprendizagem, tornando os alunos mais criativos e encorajados a realizar novas
descobertas – o que é importante em todos os campos do conhecimento.
Algumas situações apresentam-se de tal forma que basta entender e
aplicar alguma regra ou algum modelo matemático já conhecido e obter a
resposta. Por outro lado, quando uma atividade é exposta ou proposta pelo
professor, com intuito de desenvolver determinado conteúdo, isto se caracteriza
uma situação-problema. Quando se procura buscar uma regularidade, um padrão,
a partir de uma observação ou enunciado escrito, procurar modelos,
generalizações, ligações, aplicações, verificações e conexões usando raciocínio
Matemático, isto se caracteriza uma tarefa de Investigação.
Existem ainda situações em que as variáveis são muitas, ou os dados são
insuficientes ou não explícitos e, às vezes, não se dispõe de uma única
“ferramenta” Matemática para lidar com todas as variáveis. Quando há algo
“estranho”, que é visto pela primeira vez, no qual não temos recursos imediatos
para entendê-lo e resolvê-lo, faz-se necessário formular hipóteses, procurar
possíveis soluções, fazer conjecturas, isto se caracteriza uma Modelagem.
Monteiro (1991, p.110) reconhece na “resolução de problemas”, situações
que se privilegiam problemas do cotidiano, que buscam "tornar o ensino da
Matemática mais significativa para quem aprende, na medida em que parte do
real-vivido dos educandos para níveis mais formais e abstratos"
3.3 Situação Problema.
13
Heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ramo da ciência que se dedica à procura de documentos
e levantamento de dados
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
72
A “situação-problema” trata-se de um trabalho interdisciplinar que permite o
desenvolvimento da disciplina. É uma circunstância ou desafio inicial na qual o
professor geralmente conhece um procedimento de solução e as propriedades
relacionais que permitem justificar tal procedimento e as atividades envolvidas
estão pré-determinados. Ponte (1992) considera isto com uma atividade fechada.
Pode representar um caso da realidade presente no cotidiano do aluno ou um
caso imaginário fora da realidade do aluno.
De acordo com Pietrocola (2001), a produção do contexto e a finalidade da
situação problema, bem como as adequações ao tema a ser desenvolvido e
produzido, já serão conhecidas antecipadamente. A preparação e mostra de
determinada “situação-problema” deve observar as seguintes características:
1. Percebido pelos alunos como um problema e com alguma importância e
relevante interesse.
2. Adaptado ao nível de conhecimento dos alunos e tema a ser trabalhado.
3. Suficientemente instigador para que os alunos sintam a necessidade de
abordá-lo.
4. Executável no intervalo de tempo disponível.
5. Passível de abordagens multidisciplinares
3.4 Tarefa investigativa.
A “tarefa investigativa” trata-se de um trabalho disciplinar, evolvendo ou
não situações reais, e que permite indagação minuciosa, pesquisa, inquirição e
devassa exploratória, dentro da matéria.
Segundo Ponte (2003), trata-se de desafios, questões que interessam e se
apresentam inicialmente confusas. Embora pareça um conjunto de informações
pouco estruturadas, procura-se formular questões, compor as dúvidas e sobre ela
produzir diversas conjecturas. Depois, testam-se essas conjecturas, verificam-se
a veracidade delas, algumas das quais, perante contra-exemplos, poderão ou não
ser abandonadas. Outras, porém, sem se revelarem inteiramente corretas,
poderão ser aperfeiçoadas.
Ponte classifica a tarefa de investigação, desde a apresentação do
professor, o desenvolvimento do trabalho e a discussão final como sendo uma
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
73
atividade aberta, de natureza investigativa e exploratória. O professor nesta
condição tem o propósito de “provocar o raciocínio”, levando-os a analisar e
refletir sobre o seu aprendizado e a procurar significado para as suas
descobertas.
Segundo Ponte, a realização de tarefa de investigação Matemática, como
conceito educativo, enfrenta dois desafios: um de natureza conceitual e outro de
natureza empírica. Em termos conceituais, consiste em analisar suas possíveis
fontes de legitimidade dos conceitos e procedimentos básicos, ou seja, examinar
as premissas em que possam justificar tal investigação, e ainda, a possibilidade
de estabelecer qualquer paralelo. No que se refere à vertente empírica, consiste
em analisar por meio de experiências os resultados obtidos.
Diante de dificuldades apresentadas, os alunos manipulam as construções,
interpretam, reconhecem e relacionam empiricamente as propriedades. O objetivo
é melhorar as condições de trabalho em sala com atividades nas quais os alunos
possam ter verdadeira aprendizagem, desenvolver novas capacidades, adquirir
novos conhecimentos matemáticos, fazer experimentações, conjecturar,
argumentar e provar.
3.5 Modelagem Matemática.
A Modelagem Matemática trata-se de um trabalho interdisciplinar e
transdisciplinar que permite o desenvolvimento da disciplina, empregando
situações da realidade.
Segundo Bassanezi (2002, p.24).
“A Modelagem Matemática é uma estratégia de ensino-
aprendizagem que, partindo de problemas reais que funcionam
como elemento motivador, leva o aluno a incorporar uma gama de
conhecimentos essenciais à sua ação no meio social”.
Barbosa, ao discutir atividades de modelagem na Educação Matemática
desenvolvidas na escola, tomando por referência Skovsmose (2000), refere-se à
Modelagem como “um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são
convidados a problematizar e investigar, por meio da Matemática, situações com
referência na realidade” (2003, p.69 e 2004, p. 4). Problematizar refere-se ao ato
de criar perguntas e/ou problemas e investigar, refere-se à busca, à seleção, à
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
74
organização e à manipulação de informação e de reflexão, na perspectiva de
resolver os problemas ou responder as perguntas.
O progresso da Matemática está intimamente associado à dedicação de
pensadores e cientistas que não se satisfaziam apenas com o conhecimento dos
aspectos qualitativos dos fenômenos naturais, cuja compreensão é apoiada em
idéias desenvolvidas a partir da intuição e do conhecimento já adquirido.
Hoje o uso da Modelagem é adequado em vários campos da ciência,
porque ela é uma atividade que liga diversas áreas do conhecimento produzindo
integração entre elas e contribuindo com o desenvolvimento científico e
tecnológico. O Homem procura entender e criar modelos na tentativa explicar os
fenômenos, associando a lógica ao uso de ferramentas Matemáticas na busca da
compreensão correta daquilo que está acontecendo no mundo que o rodeia,
ampliando os conteúdos e produções Matemáticas.
3.5.1 Modelo Matemático
A todo o instante, estamos medindo, comparando, avaliando, estimando,
calculando, contando ou expressando alguma quantidade. A Matemática, na
forma de pensamento ou de linguagem, está presente na vida de todas as
pessoas, por mais que elas não se dêem conta disso ou não se interessem pela
mesma. Além disso, pelo seu grande poder de síntese e de entendimento
universal, a Matemática está cada vez mais presente nas informações em todos
os ramos da sociedade atual.
Para entender e resolver os problemas ou situações que deparamos no
dia-a-dia, expresso claramente ou não, precisamos, via de regra, relacionar com
“qualquer coisa” conhecida por nós, que tenha sido previamente
estabelecido/construído culturalmente ou cientificamente e que ainda possa servir
de referência. A essa “qualquer coisa” chamaremos de modelo.
Sabe-se que modelos foram criados ao longo da história da humanidade
para uma determinada circunstância ou época e ainda muitos estão por vir, tanto
no campo social ou científico. Geralmente modelos são projetos que passam por
um processo de produção complexo envolvendo a construção, a elaboração e o
refinamento. Alguns se mostram eficientes aos seus propósitos, outros, porém, se
mostram insuficientes e precisam ser criados ou recriados, modificados,
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
75
reorganizados, remodelados ou reestruturados, com objetivo de melhorar e
atender seus propósitos.
O homem ao tentar compreender o mundo à sua volta, organiza as suas
observações e idéias em estruturas conceptuais as quais são chamadas de
modelos. Portanto a todo o momento estamos dando forma, imitando,
reproduzindo ou manipulando modelos criados por nós ou pelo outros.
O termo modelar, do Latim “Modulari”, no dicionário da Língua Portuguesa,
designa uma representação de alguma coisa. É aquilo que serve como exemplo
de referência, para dar forma, e ainda é dado para ser produzido ou reproduzido.
Na Matemática, um modelo pode ser uma expressão, uma fórmula, um gráfico,
uma equação. Ele (o modelo), segundo Scheffer (1999) representa uma situação
real e pode ser uma figura, um desenho, uma maquete, uma fórmula. Assim
modelo é a representação de uma imagem ou fenômeno que se quer reproduzir e
entender.
O termo “modelo” foi introduzido na Matemática no último Século com a
descoberta das geometrias não euclidianas de Riemann e Lobachewski.
Entretanto, antes disso, pode-se encontrar Modelos Matemáticos nos trabalhos
que envolviam conceitos como função, números naturais, conjuntos, entre outros.
Atualmente, o termo Modelo Matemático é amplamente utilizado no circuito
acadêmico e possui diversas conotações e algumas poucas definições. Abaixo
são apresentadas algumas das definições pesquisadas:
Modelo Matemático é um sistema axiomático consistindo de termos
indefinidos que são obtidos pela abstração e qualificação de idéias essenciais do
mundo real. (Maki & Thompsom, 1973, p. 14, apud Gazzeta, 1989 ).
Segundo Israel (2003) os cientistas designam Modelo Matemático como
sendo qualquer forma de descrição Matemática de uma classe de fenômenos ou
representação Matemática de situação do real.
Segundo Swetz, (1992, p. 65, apud Gaertner, 1994), “Modelo Matemático é
uma estrutura Matemática que descreve aproximadamente as características de
um fenômeno em questão”.
Segundo Granjer, (1997, p. 78, apud Biembengut.1997) Modelo
Matemático é:
“uma imagem que se forma na mente, no momento em que o
espírito racional busca compreender e expressar de forma intuitiva
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
76
uma sensação, procurando relacionar com algo já conhecido,
efetuando deduções”. Complementa dizendo que “um conjunto de
símbolos e relações Matemáticas que traduz, de alguma forma,
um fenômeno em questão ou um problema de situação real, é
denominado de Modelo Matemático”. (Biembengut, 1997, p. 89).
Bassanezi (1997, p. 65 e 2002, p.19), de forma bem simplificada, descreve
modelo como um conjunto de símbolos e relações Matemáticas que representam
de alguma forma o objeto estudado. Mais adiante, aprofundando o conceito, este
autor diz:
“Quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na
tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela - o
processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou
parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um
sistema artificial: o modelo”.
A determinação do tipo de modelo a ser utilizado dependerá da situação
analisada, das variáveis selecionadas e dos recursos disponíveis. Para se chegar
ao Modelo Matemático tem-se que passar por um processo denominado
Modelagem Matemática.
3.5.2 O processo de Modelagem Matemática
Para melhor esclarecer o conceito de Modelagem Matemática serão
apresentadas a seguir algumas das definições encontradas na literatura
consultada.
“A Modelagem Matemática é o processo de escolher
características que descrevem adequadamente um problema de
origem não matemático, para chegar a colocá-lo numa linguagem
Matemática. A Modelagem é um processo interativo em que o
estágio de validação freqüentemente leva a diferenças entre
predições baseadas no modelo e na realidade”. (O’Shea e Berry,
1982, p.06, apud Macintyre, 2002, apud Leal, 1999).
Blum (1995) define Modelagem como sendo um processo de construção de
modelos que transforma uma situação real em uma situação Matemática.
Bassanezi afirma que:
“A Modelagem Matemática é um processo dinâmico de busca de
modelos adequados, que sirvam de protótipos de alguma
entidade”. É utilizado para obtenção, validação e generalização a
fim de fazer previsões. “Consiste na arte de transformar
problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.(1994,
p.45 e 2002, p.16)
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
77
D’Ambrosio (1986), define Modelagem Matemática através do seguinte
esquema:
Figura 2 – Esquema de Modelagem proposto por D’Ambrosio
Segundo D’Ambrosio (1986), o indivíduo é parte integrante e ao mesmo
tempo, observador da realidade. Sendo que ele recebe informações sobre
determinada situação e busca, através da reflexão, a representação dessa
situação em grau de complexidade. Para se chegar ao modelo é necessário que o
indivíduo faça uma análise global da realidade na qual tem sua ação, definindo
estratégias para criar o mesmo, sendo esse processo caracterizado de
Modelagem.
Barbosa apoiado em alguns autores/pesquisadores internacionais, define
Modelagem Matemática na perspectiva da Matemática aplicada, como sendo:
“todo o processo de abordagem de um problema não matemático,
envolvendo a construção do modelo matemático, que vai desde a
simplificação da situação real com vistas a reduzir o número de
variáveis até a obtenção do modelo através da utilização de
objetos matemáticos, como gráficos, equações, inequações, para
representar certos aspectos de uma situação real”. Barbosa
(2003, p.53),
Para Biembengut, Modelagem é o processo envolvido no ato ou efeito de
se adquirir um modelo. Podendo, sob alguns aspectos, ser considerado um
processo artístico:
“pois para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de
Matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de
intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir que
conteúdo matemático melhor se adapta e senso lúdico para jogar
com as variáveis envolvidas” (Biembengut & Hein, 2003, p.12)
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
78
Biembengut também propõe que a Modelagem é um meio para integrar
dois conjuntos disjuntos: Matemática e realidade. Apresenta o seguinte esquema
para representar essa proposta(1997, p. 65):
Figura 3 – Esquema proposto por Biembengut
Todos os autores citados se referem à Modelagem Matemática como um
processo de traduzir a linguagem do mundo real para o mundo matemático. Mas
para que isto ocorra, uma série de procedimentos devem ser realizados.
Biembengut (1997 e 2000, p.13-15), agrupa e identifica esses procedimentos em
três etapas, subdivididas em seis sub-etapas, a saber:
1ª etapa: Interação com o assunto;
a) reconhecimento da situação problema;
b) familiarização com o assunto a ser modelado – pesquisa.
Nesta etapa, considerada fase preliminar de envolvimento, a situação a ser
estudada será delineada e para torná-la mais clara deverá ser feita uma pesquisa
sobre o assunto escolhido através de um estudo indireto (por meio de livros,
jornais, revistas especializadas) ou direto (por meio de experiências em campo e
de dados obtidos junto a especialistas da área).
2ª etapa: Matematização
a) formulação do problema – hipótese;
b) resolução do problema em termos do modelo.
Para Biembengut (1997), esta é a fase mais complexa e desafiadora, pois
é nesta que se dará a tradução da situação problema para a linguagem
Matemática, ou seja, é aqui que se formula um problema e escreve-o segundo um
modelo que leve a solução. Assim, intuição e criatividade são elementos
indispensáveis. Para formular e validar as hipóteses considera necessário:
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
79
i. Classificar as informações (relevantes e não relevantes) identificando fatos
envolvidos;
ii. Decidir quais os fatores a serem perseguidos – levantando hipóteses;
iii. Identificar constantes envolvidas;
iv. Generalizar e selecionar variáveis relevantes;
v. Selecionar símbolos apropriados para as variáveis;
vi. Descrever estas relações em termos matemáticos.
Ao final desta etapa, deve-se obter um conjunto de expressões e fórmulas,
ou equações algébricas, ou ainda, gráficos, representações que levem a solução
ou permitam a dedução dela. Desta forma, o problema passa a ser resolvido com
o ferramental matemático que se dispõe. Isto requererá um conhecimento
razoável sobre as entidades Matemáticas envolvidas na formulação do modelo.
3ª etapa: Modelo Matemático
a) Interpretação da solução;
b) Verificação ou validação.
Para a conclusão e utilização do modelo é necessária uma checagem para
verificar em que nível este modelo se aproxima da situação-problema
apresentada. Assim, a interpretação do modelo deve ser feita através de análise
das implicações da solução, derivada do modelo que está sendo investigado, para
então, verificar sua adequabilidade, retornando à situação problema investigado,
avaliando o quão significativa e confiável é a solução. Se o modelo não atender
às necessidades que o gerou, o processo deve ser retomado para a 2ª etapa,
mudando hipóteses variáveis, e outros.
Em resumo, o diagrama a abaixo, proposto por Biembengut (1999),
representa o processo.
Quadro 1 – Organograma proposto Biembengut das várias fases da Modelagem
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
80
Esse esquema é um guia de possíveis caminhos para a construção de um
Modelo Matemático, contudo não é suficiente para efetivar a construção do
modelo, pois a Modelagem é uma arte que envolve, além de habilidades,
experiência e sensibilidade lógica Matemática.
Porém, para a utilização do processo de Modelagem Matemática em
cursos regulares, objeto deste estudo, o método deve sofrer algumas alterações
levando em consideração o grau de escolaridade dos alunos, o tempo disponível
que terão para o trabalho de classe, o programa a ser cumprido e a abertura por
parte da comunidade escolar para implantar mudanças. Além disso, o professor
deve ter conhecimento seguro sobre Modelagem e para tanto, deve realizar um
estudo sobre a respectiva metodologia, elaborar alguns modelos e já ter
experiência da proposta no ensino.
A Modelagem sempre esteve presente na construção do conhecimento
matemático, pode-se inclusive dizer que, “a modelagem é Matemática por
excelência” (D’Ambrosio no prefácio de Bassanezi, 2002, p. 11). Na tentativa de
representar fatos e fenômenos observados na realidade, através de símbolos e
relações que pudessem ser socialmente compartilhados, a humanidade foi, aos
poucos, criando seus modelos matemáticos, ao mesmo tempo em que, forçava o
desenvolvimento da Matemática.
Segundo Bassanezi (2002), a Modelagem Matemática busca, a partir de
um “problema não Matemático”, fazer levantamento de dados quantos forem
necessários, para obter a sua resolução através de um modelo Matemático dentro
de uma teoria Matemática conhecida que facilite sua obtenção. Lembra que os
métodos existentes em dada teoria podem não ser suficientes para a resolução
do problema e não convergir para os resultados desejados. Neste caso,
recomenda o autor, volta-se ao problema inicial, simplificando-o sem, contudo,
descaracterizá-lo, mas tornando-o matematicamente tratável. A solução correta
será aquela que poderá ser aplicada, justificando a decisão da resposta do
problema com argumentação adequada.
Bassanezi propõe um quadro sinótico e simplificado para o que ele chama
de atividades esquema de uma Modelagem Matemática e destaca e identifica
diversas etapas, a saber:
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
81
1ª etapa: Experimentação – É uma atividade essencialmente
laboratorial e/ou estatístico onde se processa a obtenção de dados experimentais
ou empíricos para dar conta do problema não matemático e que ajudam na
compreensão do problema, na modificação do modelo e na decisão de sua
validade. Inclui atividades elementares, como “medir e fazer levantamentos”.
2ª etapa: Abstração – É o momento de selecionar as variáveis
essenciais, formular ou problematizar questões em linguagem “natural”, levantar
hipóteses e simplificar o problema em termos matemáticos.
3ª etapa: Resolução – Quando acontece a troca da linguagem natural
das hipóteses pela linguagem do universo matemático coerente, em outras
palavras, quando é obtido o modelo matemático capaz de responder a questão.
Quando os argumentos conhecidos não são suficientes, novos métodos podem
ser necessários, ou então o modelo deve ser simplificado.
4ª etapa: Validação – É o processo de aceitação ou não do modelo
proposto. Comparação entre a solução obtida via resolução do modelo
Matemático e os dados reais. Nesse momento, os modelos, juntamente com as
hipóteses que lhes são atribuídas devem ser confrontados com os dados
empíricos, comparando suas soluções e previsões com os valores obtidos no
sistema real.
5ª etapa: Modificação – É um processo de decisão, no qual alguns
fatores ligados ao problema original podem provocar rejeição ou aceitação do
modelo inicial. Diante de uma negativa, a solução é voltar aos dados iniciais do
experimento, e retomar o processo. O grau de aproximação desejado será o fator
preponderante na decisão. Caso o grau de aproximação entre os dados reais e a
solução do modelo não seja aceito, deve-se modificar as variáveis ou a lei de
formação e com isso o próprio modelo original é modificado e o processo se inicia
novamente.
6ª etapa: Aplicação. A Modelagem eficiente e conseqüente modelo
adequado, permitem fazer previsões, tomar decisões, explicar e entender; enfim,
participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas mudanças de
maneira eficaz, garantida e segura.
A figura (4) abaixo representa o esquema de Modelagem Matemática
segundo Bassanezi. (2002, p. 27). As setas contínuas indicam, segundo o autor, a
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
82
primeira aproximação. A busca de um modelo matemático que melhor descreva o
problema estudado torna o processo dinâmico, indicado pelas setas pontilhadas.
Figura 4– Esquema de uma modelagem proposto por Bassanezi
O modelo, segundo Bassanezi (2002), seria o ponto de ligação entre as
informações captadas pelo indivíduo e sua ação sobre sua realidade. O modelo
situa-se no nível do indivíduo e é criado por ele como um instrumento de auxílio
para a compreensão da realidade. O processo de Modelagem, ou seja, o caminho
de criação do modelo, ainda segundo este autor, é o processo mediante o qual se
definem as estratégias de ação do sujeito sobre a realidade.
A importância do modelo matemático, segundo Bassanezi, consiste em se
ter uma linguagem concisa que explora nossas idéias de maneira clara e sem
ambigüidades, além de proporcionar um arsenal enorme de resultados (teoremas)
que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções
numéricas. Os modelos matemáticos ainda podem ser formulados de acordo com
a natureza dos fenômenos ou situações analisadas e classificadas conforme o
tipo de Matemática utilizada.
Em Machado (2005, p. 31) consta que, a despeito de algum jogo de
palavras, parece haver consenso sobre Modelagem Matemática consistir na “arte
de transformar situações problemas em modelos matemáticos” ou “como um
processo de obtenção e validação de um modelo matemático”. O propósito é
chegar a um modelo matemático capaz de dar conta de uma situação da
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
83
realidade. Sua utilização no âmbito da Educação Matemática é o que difere
conforme o contexto e a finalidade, ou seja, o “onde” e o “para que” a Modelagem
vai ser utilizada.
Almeida & Dias (2004) acrescentam o fato de que as atividades de
Modelagem são essencialmente cooperativas, sendo que a cooperação e a
interação entre os alunos e entre professor e aluno têm papel fundamental na
construção do conhecimento.
Niss (1993) atenta para o fato de que as atividades deste tipo (Modelagem)
servem para motivar e apoiar a aquisição e compreensão de conceitos, métodos
e resultados matemáticos.
A seguir, apresentar-se-á o método que utiliza a essência da Modelagem
Matemática, porém, com adaptações para os cursos regulares, denominados de
Modelação Matemática.
3.5.3 Modelação Matemática
Modelação é o termo usado por Bassanezi (2002), Biembengut & Hein
(2000) para designar o método que utiliza a essência da Modelagem, porém, com
adaptações para os cursos regulares com programas predefinidos, denominando
assim, Modelação Matemática.
Biembengut & Hein (2000) definem Modelagem Matemática como
estratégia de ensino-aprendizagem e ao considerá-la um método de ensino,
designa como “Modelação Matemática” (p.7). Consideram que “Modelagem é o
processo que envolve a obtenção de um modelo” como já foi dito e denominam
Modelação Matemática como “o método que utiliza a essência da modelagem em
cursos regulares, com programa” (p.18).
Mas segundo Barbosa (2001) estas variações ou alteração da
nomenclatura pode mudar o foco, gerando argumentação e discussões
desgastantes. Entretanto, tentativas de outros nomes são válidas, como
Modelação ou modelização, mas não vingaram na Educação Matemática
brasileira. O termo Modelagem continua sendo reconhecido pela comunidade de
professores e pesquisadores, o que garante sua legitimidade quer seja como
processo ou método de ensino aprendizagem.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
84
3.6 Modelagem Matemática no âmbito da Educação Matemática
Ao contrário do que se acredita, Modelagem Matemática não se resume
em apenas resolver problemas em sala utilizando situações reais ou do cotidiano,
como acontece com alguns professores. Quando pensam estar fazendo
Modelagem, na verdade, eles podem simplesmente estar resolvendo um
problema como outro qualquer.
A Modelagem Matemática como ambiente de ensino e de aprendizagem,
possui uma intenção muito clara: criar um espaço baseado na indagação e
investigação, um cenário de pesquisa e inquirição, diferente da forma como
atualmente é trabalhado no ensino tradicional, visivelmente hegemônico nas
escolas. Diferente também quanto à estrutura curricular, pois nos cursos
regulares temos o programa definido e que deve ser cumprido integralmente e,
como Biembengut lembra, pode causar preocupações éticas, filosóficas e
metodológicas.
A Modelagem deve auxiliar o ensino e não gerar um trabalho a mais e
desnecessário para o professor, prejudicando o andamento dos conteúdos. Por
esta razão, é comum o professor fazer uma atividade de Modelagem Matemática
apenas porque sobrou certo tempo em seu cronograma, querendo aproveitar a
motivação e o tema escolhido pelos alunos. Mesmo desta forma, podem ocorrer
problemas quando o tema escolhido pelos alunos desvia para outros conteúdos
distantes do interesse daquele momento de ensino. Seria sensato por parte do
professor, ter um relacionamento de convívio entre o conteúdo curricular e as
atividades de Modelagem para valorizar o ensino-aprendizagem de Matemática.
Para Bassanezi (2002, p.38) a utilização da Modelagem como uma
estratégia de aprendizagem, além de tornar um curso de Matemática atraente e
agradável, pode levar o aluno a: desenvolver um espírito de investigação, utilizar
a Matemática como ferramenta para resolver problemas em diferentes situações e
áreas, entender e interpretar aplicações de conceitos matemáticos e suas
diversas facetas, relacionar sua realidade sócio-cultural com o conhecimento
escolar e, por tudo preparar os estudantes para a vida real, como cidadãos
atuantes na sociedade.
Para Borba (1999), possibilita a espiralização do ensino-aprendizagem de
Matemática, uma vez que requer conteúdos estudados anteriormente; desse
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
85
modo, os estudantes têm a oportunidade de recontextualizar os conceitos
internalizados em períodos escolares passados, fortalecê-los, ou mesmo corrigi-
los.
Burak (1987, p. 21 e 1992 p. 62) define a Modelagem Matemática como
estratégia de ensino e um método para compreensão das ciências, pois consiste
"num conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar
explicar matematicamente os fenômenos que o homem vive em seu cotidiano,
ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões”. Afirma ainda que a Matemática
escolar está marcada pelo “como fazer”, deixando de lado o “por que fazer”,
apassivando o aluno e deixando-o dependente do professor. Assim, este autor
entende ser necessário “através da ação do fazer, chegar ao saber”, atribuindo à
Modelagem a virtude de incentivar no aluno a liberdade para raciocinar,
conjecturar, estimar e dar vazão à criatividade, numa aproximação da postura
científica. (Burak, 1992)
Levando em consideração toda a teoria que foi apresentada até aqui e as
definições destes pesquisadores, é possível concluir que, Modelagem Matemática
é um método que, ao se propor uma situação/questão escrita na linguagem
corrente e proposta pela realidade, transforma tal situação em linguagem
simbólica da Matemática, fazendo aparecer um modelo matemático, que por ser
uma representação significativa do real, que se analisado e interpretado segundo
as teorias Matemáticas, devolve informações interessantes para a realidade que
se está questionando.
Em sentido figurado, Bassanezi (2002, p.25) coloca que:
“a obtenção de um modelo pressupõe (...) a existência de um
dicionário que interpreta, sem ambigüidades, os símbolos e
operações de uma teoria Matemática em termos da linguagem
utilizada na descrição do problema estudado, e vice-versa”.
Logo, quanto mais conteúdo matemático possuir o modelador, mais
“palavras” terão o seu dicionário.
3.7 Um pouco da História da Modelagem
A Modelagem é tão antiga quanto a própria Matemática, surgindo de
aplicações na rotina diária dos povos antigos. Ao longo da história o
conhecimento da humanidade foi desenvolvido através de teorias criadas a partir
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
86
de observações do mundo real. Certamente se faz presente desde os primórdios
do homem: As pinturas rupestres, que estão entre as obras artísticas mais
remotas de que se tem notícia, são indicativas de cenas da vida cotidiana de
nossos ancestrais, constituindo-se, pois, em modelos daquilo que eles
consideravam como seu mundo.
Ainda na Idade da Pedra, o homem sentiu a necessidade de símbolos que
servissem para contar/representar, na perspectiva de registrar/comunicar, as
quantidades que percebia em seu meio. Como o homem é um ser racional, que
busca a todo instante adaptar-se ao seu meio, começou a elaborar alguns
artifícios que o possibilitassem resolver seus problemas de contagem. Conta a
história da Matemática que, a princípio, o homem usava os dedos das mãos e dos
pés para contar, em uma relação do tipo 1 para 1, depois passou a usar outras
partes do corpo, como cotovelos, pulsos e ombros, mantendo a mesma relação.
Quando estes já não suportavam mais as quantidades, usavam pedrinhas
que amontoavam em grupos de cinco, talvez por ser uma quantidade familiar.
Algumas vezes faziam marcas em pedaços de madeira ou de osso. Assim, a
pretexto de resolver um problema humano e caminhando, de forma não
intencional, no sentido de estabelecer o primeiro modelo matemático – o número,
que pedirá o trabalho e a colaboração de várias civilizações para ser lapidado até
chegar aos moldes como, atualmente, são universalmente conhecidos. Começa o
desenvolvimento, ainda que de forma embrionária, do que hoje chamamos de
Matemática.
A Matemática foi se desenvolvendo por meio da prática no qual precisavam
construir moradias, cuidar da terra, plantar, colher, armazenar o produto da
colheita, construir sistemas de irrigação e de drenagem e criar animais para a
subsistência não só individual, mas também de toda a comunidade. Para tais
atividades, invariavelmente, precisava quantificar, medir, calcular, estimar,
generalizar e comparar, criando modelos para atender as demandas tecnológicas
do tempo.
Desenvolvendo a si mesmo, enquanto ciência, a Matemática ao mesmo
tempo em que oferecia soluções para alguns problemas, propunha problemas
teóricos que só poderiam ser resolvidos dentro da própria Matemática, elaborando
o que hoje é conhecido pelo nome de regras ou de propriedades.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
87
“Os processos empíricos, suficientes o bastante para responder às
questões na forma do como, não mais bastavam para as indagações mais
científicas na forma de por quê”. (Eves, 2002). A modelagem propiciou também,
fazer averiguações e descobertas Matemáticas, obtidas já por dedução e não
mais por intuição ou por experimentação.
Foi procurando identificar e codificar o quê do mundo era desconhecido ou
misterioso, fazendo generalizações que se estabeleceram importantes modelos
matemáticos, os quais serviram de base para o desenvolvimento de toda a
Ciência-Matemática subseqüente. Os primeiros exercícios de Modelagem fizeram
a Matemática evoluir extraordinariamente a partir de problemas gerados pelas
circunstâncias, sistematizando o conhecimento, reforçando argumentos e tomada
de decisões. Diante dessa especialidade e superior qualidade, a Modelagem
sempre esteve presente na construção do conhecimento matemático.
De uma forma genial para a época, Tales de Mileto (639-568 a.C.), com
varas e sombras, criou um modelo que determinou a altura de uma pirâmide e
desenvolveu a teoria dos triângulos semelhantes.
Pitágoras (580-500 a.C.) fundou uma escola que tinha como lema: “Tudo é
número”. Deu-nos a entender que para eles os números faziam parte da natureza
das coisas e que, portanto, a Matemática já seria a modeladora de tudo.
Segundo Platão (428-347 a.C.), a Matemática seria capaz de modelar o
caráter das pessoas. Ele defendia entusiasticamente que o estudo da Matemática
fornecia o mais refinado treinamento do espírito e que, portanto, era essencial que
fosse cultivada pelos filósofos e pelos que deveriam governar seu Estado ideal,
para tornarem-se modelos de seres completos e perfeitos. A Matemática parecia
da mais alta importância a Platão devido ao seu componente lógico e à atitude
abstrata gerada pelo seu estudo. (Eves, 2002, p.132).
Eudoxo (488–355a.C.) utilizando modelos geométricos, explicou o
movimento dos planetas e das estrelas, imaginando que os astros estivessem
presos a esferas celestes transparentes, todas girando em torno da Terra. Criou
fórmulas (modelos) para calcular volume do cone e da pirâmide que até hoje são
usadas.
Euclides (300 a.C.) reuniu e organizou os descobrimentos de seus
antecessores em treze livros ou capítulos denominados “Elementos de Euclides”.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
88
O impacto causado pelo rigor matemático euclidiano transformou os “Elementos”
em uma obra incontestável por toda a idade média e moderna, constituindo-se em
um modelo clássico de organização formal da Matemática por um período de
mais de dois milênios.
Apolônio de Perga (c.262 a.C– 190 a.C) estudou modelos das Secções
Cônicas que é considerado como uma das principais obras científicas da
Antigüidade. Mostrou que de um único cone podem ser obtidas a elipse, a
parábola e a hipérbole, simplesmente variando a inclinação do plano de seção.
Arquimedes (287–212 a.C.) matematizou os fenômenos físicos criando
modelos, no sentido de utilizá-los na construção de máquinas, e, dessa forma, foi
o primeiro a deduzir as leis das alavancas e das roldanas e, ainda, a descobrir por
que os barcos e os navios flutuam. Ensinou a calcular o número “π” e a
determinar a área de figuras, como elipses, parábolas e cilindros com um método
que séculos depois daria origem ao chamado cálculo integral (“EURECA”, Edição
Especial da Revista Galileu, 2002).
Eratóstenes (276–194 a.C.) calculou o raio da Terra chegando a um valor
aproximado de 40.000 km, cometendo um erro de apenas 75 km,
aproximadamente. Elaborou um dispositivo que calcula todos os números primos
menores que um número n: o crivo de Eratóstenes. (Eves, 2002).
Diofanto (325-409) teve uma importância enorme para o desenvolvimento
da álgebra e uma grande influência sobre os europeus que posteriormente se
dedicaram à teoria dos números. Em suas obras, Diofanto resolve mais de uma
centena de problemas que levam a equações (Eves, 2002) e, para escrever suas
equações, utilizou modelos e símbolos que marcaram a passagem da álgebra
retórica, em que as expressões são escritas por palavras, para a álgebra
sincopada na qual algumas expressões vêm escritas em palavras e outras
abreviadas.
Com isto, ele abriu caminho para que outros matemáticos, como o árabe
Al-Khowarizmi (c.825) e o francês Fançois Viéte (1540–1603), criassem a álgebra
simbólica, em que as equações são totalmente escritas com símbolos os quais
podem ou não representar modelos, tal como as conhecemos hoje (Guelli, 1992).
Johannes Kepler (1571 – 1630), que descreveu um modelo para previsão
do movimento dos astros, um dos mais notáveis trabalhos de indução jamais feito
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
89
na ciência. Kepler influenciado por seus estudos religiosos desenvolvera a idéia
de que ”Deus é o Geômetra supremo, construiu o universo com formas
geométricas perfeitas”. Ele levou tão a sério esta sua crença que em um
determinado momento dedicou parte de sua vida a tentar montar o “quebra-
cabeças” celeste que se lhe apresentava. Antes de formular os seus precisos
modelos ou leis, desenvolveu um raciocínio que visava explicar as órbitas dos
planetas conhecidos e suas distâncias ao sol. Sabemos que se os gregos,
principalmente Apolônio não tivessem estudado as secções cônicas, Kepler talvez
não teria proposto as leis fundamentais da história da astronomia. A justificação
dessas leis levou Isaac Newton (1642 – 1727) a criar a Mecânica Celeste.
Galileu Galilei (1546-1642) foi um exemplo de cientista que usou a
Modelagem Matemática para descrever fenômenos naturais do mundo físico e
buscar explicações e padrões de como e porque eles ocorrem. Antes de Galileu,
filósofos e cientistas concentravam-se em explicar o porquê dos fenômenos
naturais. Algumas deduções eram a partir de reflexões filosóficas da própria
mente, outras a partir de experimentos.
Com Galileu, nasceu a procura de fórmulas Matemáticas descrevendo
como esses fenômenos ocorrem, área hoje conhecida como Modelagem
Matemática. Note que uma fórmula Matemática descrevendo um fenômeno não é,
em geral, uma explicação das causas do fenômeno! O importante para Galileu
não era saber o porquê, mas como as coisas ocorrem.
Com esses exemplos, percebe-se que na tentativa de representar fatos e
fenômenos observados na realidade, através de símbolos e relações que
pudessem ser socialmente compartilhados, a humanidade foi, aos poucos,
criando seus modelos matemáticos, ao mesmo tempo em que, forçava o
desenvolvimento da Matemática.
É indiscutível o uso da Modelagem no desenvolvimento dos diversos ramos
das ciências, porém no Ensino de Matemática ainda sofre rejeições,
principalmente na educação básica. Felizmente professores e pesquisadores
estão conseguindo quebrar estas barreiras. Já é comum o uso desta estratégia de
ensino em alguns cursos superiores de engenharia, tecnologia, biológica, etc.
Atualmente a proposta da Modelagem no ensino de Matemática expandiu-se para
todas as partes do mundo e em todos os níveis de escolaridade, despertando o
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
90
interesse de diversos educadores matemáticos desde o século passado. Vejamos
a seguir algumas considerações relevantes para que esta mudança venha
ocorrendo.
3.8 Ensino por meio da Modelagem Matemática no mundo.
No começo dos anos 80, as aplicações da Matemática ganharam
destaque, principalmente pela emergência do computador incorporando métodos
numéricos, estatística, investigação operacional e controle matemático. Também
surge relevância no campo que trata de questões relacionadas ao ensino-
aprendizagem, em especial da Matemática, nos diferentes níveis de ensino.
Pesquisas realizadas na área de Educação Matemática apontam que a disciplina
ensinada na sala de aula e a forma de como vem sendo transmitida, não
acompanharam a evolução que correspondem às demandas atuais.
Na busca de alternativas, a Modelagem Matemática passou a ser
estreitamente associada ao desenvolvimento econômico-tecnológico-social
tratada com Modelagem de dados e sistemas, simulação, controle e pesquisa
operacional. Quanto às questões relacionadas ao ensino-aprendizagem,
educadores e pesquisadores matemáticos pertencentes ao ICMI (International
Comissionon Mathematical Instrucrion), iniciaram o que se configurou como
sendo um movimento internacional de Modelagem, com a participação destacada
dos ingleses, alemães e australianos, que desembocou na realização, em 1983,
da primeira ICTMA cuja sigla significa “International Conference on the Teaching
of Mathematical Modelling and Applications”, ou seja, Comunidade Internacional
dos Professores de Modelagem e de Aplicações Matemáticas.
A comunidade é uma organização da sociedade que existe para promover
aplicações e Modelagens em todas as áreas de instrução da Matemática. Ela
fornece desde a sua fundação, serviços aos membros participantes, promoção de
eventos como a conferência bienal e a publicações de trabalhos. Conta ainda com
uma Web site “http://www.ictma.net/”, contendo a indicação da missão da
comunidade, detalhes da sociedade e dos vários serviços disponíveis.
As ICTMAs são também um importante fórum internacional devotado às
questões de Modelagem e Aplicações no âmbito da Educação Matemática. Nele,
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
91
discutem-se experiências de sala de aula, pesquisas e reflexões sociais e
epistemológicas convergentes com o tema.
Modelagem a partir disso, pode ser definida em termos dos propósitos e
interesses subjacentes à sua implementação, conduzindo a implicações
conceituais e curriculares. Percebe-se que a Modelagem Matemática é vista como
um método pelo qual se podem abordar as diversas situações da vida. Aliada a
essa visão da prática, do habitual e do costumeiro, se junta à crença em que
dessa maneira os alunos aprenderiam e se interessariam pelo estudo da
disciplina.
Kaiser-Messmer (1991) iniciam um movimento em defesa das aplicações e
Modelagem no ensino de Matemática. Segundo elas, um marco importante nesse
movimento é o “Lausanne Symposium”, em 1968, apud Barbosa (2001 e 2003),
que tinha por tema “Como ensinar Matemática de modo que seja útil”. Para essas
autoras, “o simpósio sublinhou a utilização das estruturas Matemáticas na
realidade como o maior objetivo do ensino de Matemática. Isto não significa o
ensino de aplicações prontas, mas a habilidade para matematizar e modelar
problemas e situações extramatemáticos” (p.vi).
Kaiser-Messmer (1991) apud Barbosa (2001) cita que Modelagem pode ser
definida em termos dos propósitos e interesses subjacentes à sua
implementação, conduzindo a implicações conceituais e curriculares. Aponta duas
visões gerais que predominam nas discussões internacionais sobre Modelagem:
“a pragmática e a científico-humanista”.
A perspectiva pragmática argumenta que o currículo deve ser organizado
em torno das aplicações práticas e utilitárias, removendo os conteúdos
matemáticos que não são aplicáveis em áreas não-Matemáticas. Os tópicos
matemáticos ensinados na escola devem ser aqueles que são úteis para
sociedade (ibid., p. 84). A ênfase é colocada no processo de resolução de
problemas práticos aplicados e suas técnicas de resolução, focalizando o
processo de construção de modelos matemáticos.
A perspectiva científico-humanista, por sua vez, busca estabelecer
relações com outras áreas a partir da própria Matemática. Ela considera a ciência
Matemática e sua estrutura como um guia indispensável para ensinar Matemática,
a qual não pode ser abandonada. Refere-se ao conhecimento matemático como a
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
92
ciência e ideais humanísticas da instrução com foco na habilidade dos alunos
principiantes de criar relações entre a Matemática e a realidade. Assim a
Modelagem, para os “científicos”, é vista como uma forma de introduzir novos
conceitos.
Em suma, a perspectiva pragmática volta-se para aspectos externos da
Matemática enquanto que a científica, para os internos. O foco permanece,
portanto, na Matemática e sua capacidade de resolver problemas de outras áreas.
Kaiser-Messmer (1991) aponta ainda, uma terceira perspectiva como
sendo emancipadora, também denominada de perspectiva integrativa que é a
reunião harmoniosa das outras duas com o propósito de analisar o papel da
Matemática nas práticas sociais, com objetivo de servir a todos os níveis, atingir
alvos traçados e dar ênfase no conhecimento reflexivo, no qual a Matemática e a
Modelagem são consideradas como meios para questionar a realidade.
Barbosa (2001a) denominou esta última como perspectiva sócio-crítica,
cuja tarefa é tentar sistematizar os interesses que a sustenta e suas implicações
para a sala de aula.
“As atividades de Modelagem são consideradas como
oportunidades para explorar os papéis que a Matemática
desenvolve na sociedade contemporânea. Nem Matemática nem
Modelagem são “fins”, mas sim “meios” para questionar a
realidade vivida. Isso não significa que os alunos possam
desenvolver complexas análises sobre a Matemática no mundo
social, mas que Modelagem possui o potencial de gerar algum
nível de crítica. É pertinente sublinhar que necessariamente os
alunos não transitam para a dimensão do conhecimento reflexivo,
de modo que o professor possui grande responsabilidade para
tal”.(Barbosa, 2001a)
Já o dinamarquês Skovsmose (1990) distingue três tipos diferentes de
conhecimento que podem ser relacionados à Modelagem Matemática:
– O conhecimento matemático em si;
– O conhecimento tecnológico, que se refere a como construir e usar
um modelo matemático;
– o conhecimento reflexivo, que se refere à natureza dos modelos e os
critérios usados em sua construção, aplicação e avaliação.
Skovsmose (2000) exibe a noção de “ambiente de aprendizagem”
alegando que nestas condições os alunos são estimulados a desenvolverem
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
93
determinadas atividades. A palavra “ambiente” considerada quanto à extensão da
sua significação, diz respeito a um lugar, circuito ou espaço que cerca, envolve.
Um ambiente de aprendizagem é construído na sala de aula (ou mesmo virtual)
para dar suporte a um trabalho investigativo e no qual os estudantes são
convidados a formular questões, buscar explicações para elas e refletir sobre os
resultados obtidos. São chamados também por esse autor de “Cenários para
Investigação”.
Modelagem, segundo Skovsmose, é um ambiente de aprendizagem ou um
Cenário para Investigação constituído a partir do momento em que há interesse
dos alunos. Eles se envolvem e aceitam (assumem como participantes ativos) o
processo de exploração e de explicação. São estimulados a investigarem
situações de outras áreas que não a Matemática por meio da Matemática.
Skovsmose apud Jacobini (1999) destaca que, ao propor os cenários para
investigação nas aulas de Matemática, faz com a intenção de se contrapor às
situações de aprendizagem em que o professor é o centro das atenções, o
conteúdo matemático é transmitido através de aulas conferenciais, com exercícios
repetitivos à exaustão e as discussões são centradas nos conteúdos curriculares
matemáticos. Nesse último modelo, denominado pelo autor de “paradigma do
exercício” (2000) e por D’Ambrosio (2001) de “educação formal” (de Matemática),
após a introdução dos conceitos teóricos e da resolução de alguns problemas,
outros similares são propostos para serem resolvidos tanto em sala de aula como
fora dela.
Após a 12° ICTMA, Kaiser-Messmer (2006) reforçam d uas das
perspectivas de 20 anos atrás (1986) e apresentam outras que abordam metas
educacionais para o uso da Modelagem, conforme segue:
Perspectiva Realística com objetivos Pragmático e utilitário, isto é,
resolvendo os problemas reais do mundo, compreendendo do mundo real.
Perspectiva Contextual com objetivos argumentativos, psicológicos e
assuntos relacionados; conformidade de sentimentos, isto é, resolvendo
problemas com uso da palavra, estabelecendo a comunicação e
encadeamento das idéias de um texto.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
94
Perspectiva Educacional diferenciada didática e pedagogicamente, cujo
objetivo é estruturar processos de ensino-aprendizagem, dando
responsabilidades aos professores e alunos.
Perspectiva Sócio-crítica cujo objetivo Pedagógico é a compreensão do
mundo, unindo a escola e a sociedade. O papel dos pais, na educação dos
filhos.
Perspectiva Epistemológica ou teórica, cujo objetivo são os processos
cognitivos e compreensão destes, os quais ocorrem durante o ensino de
Matemática por meio da Modelagem (Abstração e generalização).
Em parte estas perspectivas têm como base as proposições de reformulação
e adaptação curricular, fazendo uso de uma adaptação e organização
Praxeológica da Matemática. Descrevem as relações entre o professor, o saber e
o aluno.
Para que haja aprendizagem, o professor não deve apenas efetuar uma
comunicação de um conhecimento, mas propor uma situação permitindo a
devolução de um bom problema ao aluno, no qual esse conhecimento é
necessário à obtenção da solução.
3.9 Modelagem Matemática no Cenário Nacional.
Desde a década de 70, em breve análise de material elaborado pelo
IMECC (Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica), que teve
como diretor o professor Ubiratan D’Ambrosio, no período de 1972 até 1980,
mostra uma proposta para o ensino de funções a partir de situações cotidianas,
ou seja, eram colocadas situações do dia-a-dia para que o aluno fosse
estabelecendo as relações que propiciaria melhor compreensão do conceito de
função. As propostas apresentadas não abandonavam as ferramentas
Matemáticas, mas utilizavam-nas no momento em que era necessário
institucionalizar o conceito matemático.
No mesmo período, na década de 1970, Biembengut (2003) lembra que um
dos primeiros trabalhos de Modelagem no ensino foi do professor Aristides
Camargo Barreto, da PUC-RJ (Pontifica Universidade Católica do Rio de Janeiro).
Fiorentini (1996) declara que o movimento de Modelagem Matemática na
Educação Matemática está ligado ao método com alunos da iniciação científica e
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
95
em algumas disciplinas da área da Matemática Aplicada e Engenharia. Reforça a
favor do Professor Aristides Barreto que durante os trabalhos, surgiram as
primeiras atividades que procuravam desenvolver uma “estratégia de ensino” que
utilizasse modelos matemáticos como motivação para o estudo de Matemática.
Em 1977 a Unicamp, por meio do Instituto de Matemática, Estatística e
Ciência da Computação, organiza sob coordenação do professor Ubiratan
D’Ambrosio, Simpósio de Matemática, com o objetivo de discutir tendências no
ensino de Matemática nas escolas elementares e secundárias. Conta com o
patrocínio da OEA(Organização dos Estados Americanos), do Ministério da
Educação e Cultura e do Comitê Internacional de Educação Matemática.
A Unicamp implanta em 1981 o Laboratório de Matemática Aplicada, junto
ao Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação, para organizar
massa crítica de técnicos e pesquisadores e servir de centro motivador de
pesquisas em teoria e técnicas de análise numérica, para prestar apoio a
indústrias e outros setores de produção, com coordenação do professor Miguel
Taube Netto.
A partir de novas idéias e propostas, em 1982, o professor Ubiratan
D’Ambrosio, do Instituto de Matemática da Unicamp, apresenta os resultados de
um programa de reformulação do ensino das ciências baseado na valorização dos
contextos socioculturais. Surgem, nesta época, programas alternativos chamado
de “Etnomatemática” para incorporar ao ensino da Matemática.
Em 1984, professor Rodney Bassanezi e Eduardo Sebastiani Ferreira, do
Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação da Unicamp,
desenvolvem novo método, dirigido a professores de todos os níveis, que torna a
Matemática mais acessível e atraente. Este método leva ao que chamamos hoje
de Modelagem Matemática.
A consolidação e a difusão se efetuaram por vários professores, em
particular, pelo professor Bassanezi, da Unicamp e seus orientandos. Ele
organizou pela primeira vez um curso de especialização para professores em
Guarapuava (PR), Explica ele:
“Inicialmente faz-se um levantamento dos possíveis temas que
poderiam ser abordados pela Modelagem Matemática... Divididos
em grupos de mesmo interesse, passa-se à fase de visitas aos
locais a serem pesquisados... Cada grupo trabalha em seu projeto
independentemente – o professor de cada disciplina [do curso de
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
96
especialização] funciona na maior parte do tempo como monitor
dos grupos” (Bassanezi, p. 135).
Essas idéias foram sendo ampliadas e culminaram na Proposta Curricular
do Estado de São Paulo, um documento importante para situar as indicações
curriculares referentes para o ensino de Matemática, que foi elaborada pela
Equipe Técnica de Matemática, da Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas - CENP, em 1986.
Nesse documento a inclusão da Matemática nos currículos escolares é
justificada a partir de duas vertentes básicas que são:
Ela é necessária em atividades práticas que envolvem aspectos
quantitativos da realidade, como são as que lidam com grandezas,
contagens, medidas, técnicas de cálculo, etc.
Ela desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar,
projetar, transcender o que é imediatamente sensível.
Portanto, a Matemática tem uma dupla função: aplicações práticas e o
desenvolvimento do raciocínio. Esses dois aspectos são, de fato, componentes
básicos indispensáveis na elaboração dos próximos currículos de ensino de
Matemática. Acrescenta D’Ambrosio que a proposta curricular poderá abordar a
Matemática a partir do contexto sócio-cultural dos alunos.
Atualmente a proposta da Modelagem no ensino de Matemática expandiu-
se para todos os níveis de escolaridade, despertando o interesse de diversos
educadores matemáticos e resultando em dissertações de mestrado e teses de
doutorado. Só para ilustrar algumas que serviram de embasamento teórico deste
trabalho, citamos experiências conduzidas no Ensino Fundamental (Burak, 1987;
Biembengut, 1990; Gustineli, 1991; Caldeira 1998), Ensino Médio (Biembengut,
1990; Burak, 1992; Bean, 1998; Almeida 2000), Ensino Superior (Borba, Meyer,
Scheffer, Meneghetti & Hermini, 1997, 1999; Franchi, 1993; Jacobini, 1999),
Formação de Professores (Gazzeta, 1989; Anastácio, 1990; Burak, 1992;
Barbosa, 2000) e Educação de Adultos (Monteiro, 1991).
Segundo Fiorentini (1996), os caminhos do movimento de Modelagem
Matemática no Brasil possuem contornos bastante particulares, o que é ótimo
para o ensino brasileiro. Tem uma conotação mais antropológica e sócio política
do que as experiências desenvolvidas em outros países.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
97
O movimento de Modelagem no Brasil cresce a cada dia. Como
decorrência disso, deparamos com novos desafios, sejam teóricos ou práticos.
Em 1997, a Unicamp, por meio do IMECC, organiza, sob coordenação do
professor Laércio Vendite, o Encontro Mathematics for Industry, com o objetivo de
discutir a Modelagem Matemática Aplicada à Indústria. Conta com o patrocínio da
ECMI (European Consortium for Mathematics in Industry) e da FINEP.
Tivemos ainda, a realização da I, II, III e IV Conferência Nacional sobre
Modelagem e Educação Matemática na UNESP (Rio Claro, SP, 1999), na
Universidade São Francisco (Itatiba, SP, 2001), na Universidade Metodista de
Piracicaba - UNIMEP (Piracicaba, SP, 2003), na Universidade Estadual de Feira
de Santana (Feira de Santana, BA, 2005) e na Universidade Federal de Ouro
Preto (Ouro Preto, MG, 2007). Também inúmeros encontros estaduais
espalhados por todo o país e nacionais promovidos por especialistas na área de
Educação Matemática e estudantes de pós-graduação.
3.10 Modelagem como estratégia de ensino e aprendizagem de Matemática.
“... O método educacional mais importante é aquele em que o
aluno é transportado para uma atividade real..." Albert Einstein
De tudo o que tenho vivido até hoje nas minhas variadas profissões,
considero a docência a mais complexa de todas as atividades. Quando penso que
sou professor de Matemática para formar indivíduos, sinto um arrepio que
estremece meu corpo e a minha alma, tamanha a responsabilidade.
Para ser professor não basta ter o diploma da graduação. É preciso ser
professor com atualização dos saberes constantes da prática e com a teorização
que compõe essa práxis. Não me basta, sendo professor, saber o que faço.
Preciso saber por que faço para quem faço, quando faço.
Tal reflexão tive, quando lendo os PCN, pude perceber a inovação de que
a escola e a Matemática devem trabalhar juntas para preparar e adequar seus
alunos à sociedade em que vão se inserir, possibilitando que eles sejam cidadãos
conscientes, interfiram nas mais diversas situações, sendo capazes de
participarem ativa, crítica e criativamente de um mundo permeado pela ciência e
pela tecnologia e que possam participar da gestação de uma sociedade mais
justa e solidária.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
98
Esta nova escola que se deseja para a transformação social precisará
sofrer inúmeras mudanças em todos os níveis, principalmente na formação de
professores, para que eles adquiram e desenvolvam competências profissionais,
além da consciência do necessário movimento de refletir e fundamentar suas
práticas. As possibilidades de conquista de uma sociedade justa e fraterna
passam obrigatoriamente pela escola.
O fato é que isto não é tarefa simples ou rápida, mas necessária. Através
do confronto de idéias e interesses, chegar ao melhor resultado, sem que haja
submissão, mas respeito ao pluralismo e às diferenças.
Quando os PCN discorrem em desenvolver a capacidade de usar a
Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real,
imediatamente penso dentro dessa perspectiva, na Modelagem Matemática como
estratégia de ensino concentrada na possibilidade de envolver os alunos em um
ambiente capaz de investigar situações originadas na realidade, porém não
apenas para exercitar ou problematizar, mas, fundamentalmente, para que haja a
possibilidade de questioná-la e tirar conclusões através da Matemática.
No prefácio de seu livro “Conceitos Fundamentais da Matemática”, Bento
de Jesus Caraça (1975), diz que:
“A Matemática é um organismo vivo, impregnado de condição
humana, com as suas forças e as suas fraquezas e subordinado
às grandes necessidades do homem na luta pelo entendimento e
pela libertação”, mergulhando tanto como qualquer outro ramo da
Ciência, na vida real.
É indiscutível o uso da Modelagem no desenvolvimento das ciências,
porém na Educação Matemática ainda sofre rejeições, principalmente no ensino
de base. Toda mudança e inovações não só no ensino, como em qualquer outra
posição, geralmente geram problemas, desconforto e até pânico.
Lembremos a passagem do mundo agrícola e artesanal para o mundo
mecanizado durante a Revolução Industrial, no qual ocorreu a substituição da
maioria dos artesãos pelo trabalho mecânico, atualmente substituído pelo trabalho
automático executado por máquinas.
Nem por isto devemos ficar irremediavelmente pessimistas. Os
radicalismos obscurecem a visão. Todos podemos procurar adotar posturas que
permitam uma compreensão e adaptação mais alargada do mundo. As pessoas
acomodadas e com um espírito negativo, sempre estarão dispostas a protestar e
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
99
opor a tudo e a todos. Chaves (2005) diz que se “engessamos” uma concepção
para o que é Modelagem, se não procuramos pedagogicamente adaptar o método
ao nosso contexto escolar, sempre diremos que não dá para utilizá-la. E isso,
sempre ocorrerá, não só com a Modelagem, mas com qualquer outro método de
ensino-aprendizagem que receba o mesmo tratamento.
Toda modificação ou inovação na área educacional pode ou não ser
agradável e trazer satisfação e prazer. Contudo, deve-se dizer que o professor é o
protagonista neste enredo. É necessário se interar, experimentar, aprender, ir se
qualificando aos poucos. Assim as pessoas se tornam mais motivadas a fazerem
parte do processo, querendo abrir caminhos para uma transformação social, em
que seja possível questionar e recriar valores tradicionais até então impostos.
Educação como ato político, visão crítica, ambiente favorável, integração
grupal, relações democráticas, motivação para planejar participativamente,
conhecimento teórico, envolvimento das pessoas da comunidade, disposição para
arriscar, são requisitos para que aconteçam mudanças. Colocar-se como sujeito
na construção de um projeto de Modelagem na escola exige que todos os
envolvidos tenham motivação e conhecimento, evitando-se ativismo ou práticas
vazias de significado, pois principalmente do grupo de professores depende a
manutenção ou transformação nas práticas de ensino de uma escola.
Segundo Barbosa (2000) e Biembengut & Hein (2003), as finalidades e
objetivos de Matemática no currículo moderno, estabelecem que a Modelagem
poderá fazer parte integrante dos conteúdos, pois assumem importância
significativa não só pelo desenvolvimento de técnicas específicas, mas também
estratégias que, constituem uma base de apoio no qual os alunos utilizam na
fundamentação e contextualização durante sua atividade Matemática
independentemente do tema proposto, de distintos tipos de enunciado, pois trata-
se de um processo pelo qual se constrói e se reforça a estrutura Matemática.
Propõe trabalhar sempre a partir de situações da realidade, desenvolver
atividades que sejam feitas interdisciplinarmente e também que impliquem no
crescimento de uma atitude investigativa que estimula a criatividade, a
imaginação e os significados matemáticos.
De acordo com Biembengut & Hein (2003), o processo de Modelagem
quando aplicado em cursos regulares, precisa de cautela e precaução levando em
conta o grau de escolaridade dos alunos, tempo disponível que terão para
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
100
trabalho extra classe, programa a ser cumprido e o estágio em que o professor se
encontra em relação à Modelagem.
Para facilitar e para amenizar a dificuldade e a insegurança de se introduzir
a Modelagem, Biembengut (1997, p. 55), sugere para aqueles que não se sentem
seguros para aplicar o método, começar da seguinte forma:
a) Apresentar cada um dos conteúdos do programa a partir de modelos já
conhecidos;
b) Aplicar trabalhos ou projetos realizados por colegas, por tempo curto,
com uma única turma e de preferência aquela em que melhor domínio
tem de Matemática;
c) Como trabalho extraclasse, para os alunos, solicita-se que busquem
exemplos ou tentem criar seus próprios modelos, sempre a partir da
realidade.
3.11 O processo de Modelagem como estratégia de ensino
“Eu ouço e eu esqueço. Eu vejo e eu lembro. Eu faço e eu entendo”.
Provérbio Chinês
É preciso que se desenvolva no aluno uma atitude positiva para enfrentar
problemas e situações novas com persistência, levando-o a não desistir dos
obstáculos. Só se aprende fazendo.
Conforme Scheffer (1999) identifica, existem pelo menos 14 processos
diferenciados para a Modelagem e todas merecem respeito, apesar de que
algumas são convergentes em alguns pontos e divergentes em outros. Tais
divergências/diferenças se dão em plano Epistemológico, Metodológico, de
Ensino (Superior, Médio, Fundamental) e outros. Entretanto, nosso intuito não é
aprofundar essas discussões, apenas situar a proposta que foi tratada no mini-
curso, o qual propiciou a execução deste trabalho.
Para Biembengut (1999), o processo de Modelagem no ensino básico deve
viabilizar o ensino de conteúdos matemáticos preestabelecidos, a ponto de torná-
los significativos para os alunos.
Segundo Barbosa (2001a, p.2 e 2003, p.70), no ambiente de ensino e de
aprendizagem da Modelagem Matemática, identifica-se “três níveis de
possibilidades”, as quais ele chama de “casos”. “Os casos não são prescritivos,
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
101
mas trata-se da idealização de um conjunto de práticas correntes na comunidade”
(p.70).
O autor afirma que os casos 1, 2 e 3 não representam configurações
estanques, mas sim, regiões de possibilidades. Eles não pretendem engessar a
prática, todavia, uma vez que é reflexão sobre a prática, alimentá-la. Esta
classificação chama a atenção para o fato de que os professores e os alunos
podem se envolver com diferentes maneiras de implementar a Modelagem no
currículo, re-elaborando de acordo com as possibilidades e as limitações
oferecidas pelo contexto escolar, por seus conhecimentos e preferências. (idem,
2001, p.10).
Os “casos” de Barbosa (2003, p.70) são categorizados conforme as tarefas
que competem ao professor e/ou aos alunos desenvolverem dentro do processo
de Modelagem, na sala de aula, conforme quadro a seguir:
Quadro 2 – Tarefas desempenhadas por alunos e professores nos casos de
Modelagem (Barbosa, 2001)
Nível 1 ou Caso 1: Os dados estão no problema. Trata-se da
problematização de algum episódio real: a partir das informações qualitativas
e quantitativas apresentadas no texto da situação, o aluno desenvolve a
investigação do problema proposto. O professor apresenta a descrição de
uma situação-problema, com as informações necessárias à sua resolução e o
problema formulado, cabendo aos alunos o processo de resolução.
Nível 2 ou Caso 2: Tem-se o problema matemático, mas sem os dados.
Trata-se da apresentação de um problema aplicado: os dados são coletados
pelos próprios alunos durante o processo de investigação. O professor traz
para a sala um problema de outra área da realidade, cabendo aos alunos a
coleta das informações necessárias à sua resolução.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
102
Nível 3 ou Caso 3: Temos um problema ‘não-matemáticos’ e buscamos todos
os dados. Tema gerador: os alunos coletam informações qualitativas e
quantitativas, formulam e solucionam o problema. A partir de temas não-
matemáticos, os alunos formulam e resolvem problemas. Eles também são
responsáveis pela coleta de informações e simplificação das situações-
problema.
No Caso 1, o professor apresenta um problema, devidamente relatado,
com dados qualitativos e quantitativos, cabendo aos alunos, acompanhados pelo
professor, a tarefa de resolver o problema. Já no Caso 2, os alunos deparam-se
apenas com o problema para investigar. Ao professor, cabe apenas a tarefa de
formular o problema inicial. Por fim, no Caso 3, trata-se de projetos desenvolvidos
a partir de temas ‘não-matemáticos’, que podem ser escolhidos pelo professor ou
pelos alunos.
Observa-se que do Caso 1 ao Caso 3 à medida que diminui a quantidade
de tarefas que cabe ao professor aumenta a do aluno, transferindo para este mais
responsabilidade pela resolução do problema e por conseqüência, pela sua
própria aprendizagem, sem, entretanto, eximir o professor da condução do
processo.
Assim, por exemplo, um professor ainda iniciante no que diz respeito ao
uso da Modelagem pode optar pelo Caso 1, no qual ele toma para si a maior
quantidade das tarefas a serem desenvolvidas e, à medida que começar a sentir-
se mais seguro e/ou mais a vontade dentro de seu contexto, vai transferindo mais
tarefas aos alunos, enveredando assim pelos outros “casos” e assumindo uma
postura, cada vez mais predominante, de mediador entre o conhecimento e o
aprendiz, deixando de ser o que detém e transmite o conhecimento para ser
aquele que, por meio de tarefas, oportuniza a aquisição do conhecimento. Ser,
portanto, aquele que ensina a aprender.
3.12 Argumentos favoráveis e desfavoráveis quanto a Modelagem.
Para aplicar Modelagem no ensino em geral, em primeiro lugar, o professor
que deseja ensiná-la precisa aprender a fazer Modelagem, em sua essência, no
processo de desenvolvimento, em suas raízes e utilizá-la como estratégia de
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
103
ensino da Matemática. Em segundo lugar, ter sempre em mente que a
Modelagem pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por
conteúdos matemáticos que ainda desconhece, ao mesmo tempo em que
aprende a arte de modelar, matematicamente os fenômenos do cotidiano.
O ensino da Matemática usando a estratégia da Modelagem pode ser feito
de várias maneiras. Na educação fazer uso da Modelagem não significa somente
criar um modelo. Pode-se dizer também que é fazer uso de um modelo já
conhecido e não apenas fazer um modelo novo. O ato de modelar diz respeito, a
grosso modo, à representação/interpretação de algo já existente, bem como à
tentativa de se prever eventos - com base em fenômenos decorridos ou reafirmar
tais previsões. Em resumo, ensino de Matemática por meio de Modelagem, pode-
se criar um modelo ou usar modelos prontos ou ainda, dar veracidade a um
modelo já criado.
Contudo, vários motivos são colocados como benefícios ou obstáculos
para trabalhar e implantar a metodologia da Modelagem no ensino da
Matemática. O objetivo neste momento é relacioná-los para que possa servir de
reflexão a todos.
3.12.1 Argumentos favoráveis
Vários pesquisadores apontam vantagens em introduzir Modelagem no
ensino da Matemática, a citar: Blum & Niss (1991), Bassanezi (1994, 2002) apud
Ferreira (2003, p. 58). Essas vantagens são apontadas como cinco argumentos
descritos a seguir.
1. Argumento formativo – enfatiza as aplicações Matemáticas como processos
para desenvolver capacidade em geral e atitudes dos estudantes, tornando-os
exploratórios, criativos e habilidosos.
2. Argumento de competência crítica – focaliza a preparação dos alunos para a
vida real como cidadãos atuantes na sociedade e competentes para reconhecer e
entender exemplos de aplicações de conceitos matemáticos. Skovsmose(1990,
2000a, 2001) e Skovsmose e Borba (2000) ao tratar da Educação Matemática
Crítica enfatizam esse argumento. Os autores ao referirem-se a Educação
Matemática Crítica estão admitindo que a Matemática deva ter um papel político e
social no desenvolvimento, contribuindo para a formação de um cidadão crítico.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
104
3. Argumento da utilidade – enfatiza que a instrução Matemática pode preparar o
estudante a utilizar a Matemática como ferramenta para resolver problemas em
diferentes situações e áreas.
4. Argumento intrínseco – considera que a Modelagem fornece ao estudante um
rico arsenal para entender e interpretar a própria Matemática em todas as suas
facetas.
5. Argumento de aprendizagem – garante que os processos aplicativos facilitam
ao estudante compreender melhor os argumentos matemáticos, fixar os conceitos
e os resultados e valorizar a própria Matemática.
Barbosa (2003a, p.2), apoiado em Blum (1995), apresenta cinco
argumentos para a inclusão de Modelagem no currículo:
Motivação: os alunos sentir-se-iam mais estimulados para o estudo de
Matemática, já que vislumbrariam a aplicabilidade do que estudam na
escola;
Facilitação da aprendizagem: os alunos teriam mais facilidade em
compreender as idéias Matemáticas, já que poderiam conectá-las a
outros assuntos; o conteúdo matemático passa a ter significação, deixa
de ser abstrato e passa a ser concreto.
Preparação para utilizar a Matemática em diferentes áreas: os alunos
teriam a oportunidade de desenvolver a capacidade de aplicar
Matemática em diversas situações, o que é desejável para moverem-se
no dia-a-dia e no mundo do trabalho;
Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração: os alunos
desenvolveriam habilidades gerais de investigação; Desenvolvimento
do raciocínio, lógico e dedutivo em geral.
Compreensão do papel sócio-cultural da Matemática: os alunos
analisariam como a Matemática é usada nas práticas sociais;
Desenvolvimento do aluno como cidadão crítico e transformador de sua
realidade. [grifos nossos].
Burak (1992) complementa que a Modelagem pode colaborar para
“construir uma atitude científica do estudante perante o Mundo”, proporcionando
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
105
experiências que ajudem a refletir e difundir a Ciência, estimular a criatividade e a
curiosidade científica dos jovens, adquirir a confiança na capacidade de fazer
Matemática, aprender a dar valor à Matemática.
Para Bassanezi (2002), a utilização da Modelagem para o ensino-
aprendizagem da Matemática, além de tornar um curso desta disciplina atraente e
agradável, pode levar o aluno a: desenvolver um espírito de investigação, utilizar
a matéria como ferramenta para resolver problemas em diferentes situações e
áreas, entender e interpretar aplicações de conceitos matemáticos e suas
diversas facetas, relacionar sua realidade sócio-cultural com o conhecimento
escolar e, por tudo preparar os estudantes para a vida real, como cidadãos
atuantes na sociedade.
3.12.2 Argumentos desfavoráveis
Embora sejam vários os argumentos favoráveis para o uso da Modelagem,
há alguns obstáculos, principalmente na aplicação de Modelagem como processo
de ensino-aprendizagem em cursos regulares. Blum & Niss (1991) e Bassanezi
(1994, 2002) apud Ferreira (2003, p. 59), destacam os seguintes obstáculos:
1. Obstáculos instrucionais – o processo de Modelagem pode ser um caminho
muito lento, devido ao seu envolvimento interdisciplinar, não dando tempo para
cumprir todo o programa. Por outro lado, alguns professores têm dúvida se as
aplicações e conexões com outras áreas fazem parte do ensino da Matemática.
Bassanezi (2002, p.37), aponta que as escolas exigem que programas dos cursos
regulares devam ser cumpridos integralmente e, como a Modelagem é um
processo demorado isto pode não acontecer.
2. Obstáculos para os estudantes - os alunos estão acostumados com o professor
sendo o transmissor de conhecimentos, e quando são colocados como o centro
do processo ensino-aprendizagem, podem se sentir incapazes e se tornar
apáticos nas aulas. No ensino tradicional, os alunos simplesmente seguem
receitas, sendo mais simples, e ao mesmo tempo, atingem o objetivo que é obter
boas notas. Além disso, a formação de uma classe heterogênea pode dificultar a
conexão dos conhecimentos teóricos com a situação prática. Se o tema escolhido
não for motivador para a classe, pode haver desinteresse. Franchi (1993) revela
que, ao incorporar Modelagem Matemática em suas aulas regulares, os seus
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
106
alunos se sentiram apáticos ao indagar e investigar situações reais. É comum os
alunos pedirem por aplicações de Matemática e isso pode ser alcançado ao se
envolverem com Modelagem Matemática, porém poderão surgir aplicações com
alto grau de dificuldade, desestimulando muitas vezes o corpo discente.
3. Obstáculos para os professores - muitos professores que não se sentem à
vontade com o desenvolvimento da Modelagem, podem sentir sua autoridade
ameaçada por falta de conhecimento do processo ou por medo de se depararem
com situações embaraçosas quanto às aplicações da Matemática em outras
áreas. Acreditam também que perderão muito tempo para preparar as aulas, além
disso, não terão disponibilidade para realizar atividades desta natureza e cumprir
todo o programa.
Para Bassanezi (2002, p.37), “apesar de todos os argumentos favoráveis
ao uso da Modelagem Matemática, muitos colocam obstáculos, principalmente
quando aplicada em cursos regulares”, tais como:
O programa dos cursos regulares que devem ser cumpridos
integralmente e, como a Modelagem é um processo demorado isto
pode não acontecer.
O aluno está acostumado ao ensino tradicional e com o uso da
Modelagem ele pode se perder ou tornar-se apático.
Na Modelagem o aluno passa ser o centro do processo de ensino-
aprendizagem, ou seja, ele é responsável pelos resultados obtidos e
pela dinâmica do processo, logo, a aula poderá caminhar mais
devagar.
Com classes heterogêneas e com muitas dificuldades em relação aos
conhecimentos, o tema escolhido pode ser interessante e motivador
para uns e desinteressante e desmotivador para outros.
Barbosa (1999), em um estudo feito para saber o que os professores
pensam sobre a Modelagem, concluiu que eles reconhecem obstáculos para
implementá-la, embora concordem que traz vantagens para a aprendizagem
Matemática.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
107
Neste sentido, percebe-se também que há certo receio em conduzir as
atividades devido ao seu despreparo e, desta forma, contribuir para o
enfraquecimento da autoridade do professor em sala de aula, pois os alunos
possuem liberdade em seus processos de aprendizagem. Também ocorre a
cobrança por parte de supervisores e diretores na preparação para o vestibular,
deste modo não sobra tempo para desenvolver atividades extras como a
Modelagem.
3.13 Proposta de como avaliar um trabalho de Modelagem Matemática.
“Aprender é construir significados e Ensinar é
oportunizar essa construção”. Vasco Pedro Moretto
O processo de ensino através da Modelagem Matemática busca uma
mudança na maneira de conceber a aprendizagem e de abordar os conteúdos
matemáticos. Isto implica também em mudar o modo de avaliar e seus objetivos.
Ao repensar as idéias que ainda predominam sobre a avaliação atual em
Matemática, como avaliar apenas o que os alunos memorizam de regras e
esquemas, observa-se que esse tipo de avaliação é muito limitado, uma vez que
não leva em conta a compreensão dos conceitos, o desenvolvimento de atitudes
e procedimentos, nem tampouco a criatividade nas soluções.
Pensando bem é sempre um problema, mas não é só na Educação. Em
todo e qualquer trabalho que se preze, avaliar é preciso. Não há como planejar
algo novo sem antes olhar para trás e fazer aquelas perguntas fundamentais de
qualquer avaliação: O que foi bom? O que não foi bom? O que podia ser melhor?
Entretanto, sabemos que nem sempre é um momento que agrada. Talvez seja
porque ao avaliar um processo, as pessoas envolvidas sentem o ego ferido diante
de uma constatação de que uma função desempenhada por ela não foi boa ou
poderia ser melhor. Por isso, poderíamos dizer que avaliar nem sempre é algo
agradável, tanto para quem avalia quanto para quem é avaliado.
As diferentes formas e instrumentos de avaliação sejam elas atividades,
provas, trabalho em classe e extraclasse, seminários e trabalho em grupo,
participação ativa em sala de aula, quer seja oral ou escrita, são sempre
processos complexos, os quais fazem parte do sistema educacional. A Avaliação
fornece tanto para o professor quanto para o aluno, informações sobre o que está
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
108
ocorrendo e sendo realizado na aprendizagem. Tem a avaliação um importante
suporte para acompanhamento do aprendizado e fornecimento de “feedback”.
Conforme meus estudos, acredito que a avaliação deve existir, mas não com esta
concepção, segundo o qual, por um meio procura-se ‘medir’ e ‘classificar’ as
pessoas com base em um mesmo referencial.
Segundo Oliveira (2005), avaliação pode ocorrer de três modalidades
distintas, a saber: diagnóstica, somativa e formativa.
Avaliação diagnóstica: (à priori) Leva em consideração a bagagem do
estudante. (o antes)
Esta modalidade avaliativa tem por finalidade proporcionar informações
acerca das capacidades da pessoa antes de iniciar um processo de ensino-
aprendizagem propriamente dito, ou uma de suas fases. Além disso, pode permitir
determinar a presença (ou ausência) de habilidades e pré-requisitos. Entre os
instrumentos relacionados à avaliação diagnóstica, os mais comuns são os pré-
testes e questionários visando posicionamentos em relação às habilidades que se
deseja aferir. Estes instrumentos, em geral, buscam resgatar noções anteriores
sobre determinados assuntos. Podem evitar introduções e/ou recapitulações
desnecessárias, além de representar a possibilidade de aproveitar melhor o
tempo do curso, permitindo adequar o conteúdo ao nível de quem aprende. Este
tipo de avaliação é um auxiliar poderoso do planejamento, o qual deve
permanecer aberto e flexível para os “encaixes” que este tipo de avaliação venha
eventualmente proporcionar.
Avaliação somativa: Leva em consideração a constatação dos resultados
do processo. (o durante).
Este é o tipo de avaliação mais amplamente empregado, tanto no meio
empresarial quanto acadêmico. Quando alguém utiliza as palavras “prova”,
“teste”, “exame”, entre outras, está se referindo, na maior parte das vezes, a esta
modalidade avaliativa. Enquanto a avaliação diagnóstica não atribui nota ou grau
de classificação, a avaliação somativa sempre o faz – e nem poderia ser
diferente, pois sua finalidade básica é aferir o domínio alcançado sobre
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
109
determinado assunto durante e ao final de um período qualquer (final de um
curso, de um módulo, de um mês/bimestre/semestre, etc.).
A atribuição da nota resultante da aplicação de um instrumento somativo
pode ser comparada a uma fotografia: registra-se ali um momento de verificação,
por si só incapaz de fornecer um diagnóstico amplo de aprendizagem. A avaliação
somativa não deve ser desprezada, mais que isso, é preciso reconhecer que
alguns processos de ensino-aprendizagem, por razões institucionais/legais,
exigem a atribuição de um conceito, uma nota, o que gera uma classificação, uma
hierarquia. Mas avaliar não é classificar, simplesmente. A classificação pode ser,
se necessária, um dos múltiplos aspectos de um processo avaliativo mais amplo.
Sendo assim, não é recomendável buscar os julgamentos sobre aprendizagens
somente em instrumentos de caráter somativo.
Avaliação formativa: Leva em consideração o resultado a partir do
acompanhamento contínuo e dinâmico. (o depois).
Talvez esta seja a modalidade de avaliação menos praticada, em todos os
âmbitos, principalmente na educação conservadora, pois ela é função da tradição
classificatória que vigora na sociedade contemporânea; tradição que reduziu a
avaliação ao caráter simplista da prova isolada, aplicada no final de um curso. As
finalidades deste modelo não envolvem apenas a atribuição de nota, mas o
recolhimento de subsídios para que estudantes e professores recebam
“feedbacks” consistentes sobre a trajetória que realizam em um curso.
Envolve a chance de analisar resultados provisórios e efetuar correções de
rumos, além de posicionar os participantes do processo de ensinar/aprender em
relação as suas conquistas, prioridades, defasagens e objetivos. Tais pontos
revelam consistências indicadoras do conhecimento que precisa ser mais
amplamente consolidado para ser usado no futuro. Ao obter semelhantes
informações com o uso de instrumentos formativos, os professores podem refazer
estratégias e reformular o planejamento.
Os estudantes, por sua vez, podem solicitar apoio de maneira mais
eficiente e administrar melhor o tempo, dedicando-se ao estudo de pontos que
considerem mais necessários. E isso no espaço do curso, quando ainda é
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
110
possível reorientar, corrigir, mudar. A avaliação formativa é, portanto, processual,
continuada, o que significa que sua prática acompanha o processo integralmente.
Os três mecanismos de avaliação mencionados acima são sugestões e
devem conter múltiplos aspectos nas atividades de Modelagem Matemática.
Acima de tudo, na avaliação seria necessário compreender o significado de certo
conhecimento para a maturação global do aluno.
D’Ambrosio (2000) afirma que:
“as avaliações como vêm sendo conduzidas (...), pouca resposta
tem dado à deplorável situação dos nossos sistemas escolares.
Além disso, tem aberto espaço para deformações às vezes
irrecuperáveis, tanto em nível de alunos e professores, quanto de
escolas e do próprio sistema”.
Segundo Biembengut (2000), é fundamental que o professor adote uma
teoria de avaliação que leve em conta a mensuração do aprendizado do aluno.
Essa avaliação pode ser objetiva, através de comunicação de resultados
(decisões, inferências, opiniões), provas, exercícios e trabalhos (Organização do
trabalho escrito e exposição oral), ou subjetiva, embasada na observação do
professor, dentre elas destacamos: participação, assiduidade, cumprimento de
tarefas e relatórios, espírito comunitário, qualidade dos questionamentos. A
avaliação deve ser entendida, também, como um instrumento de análise do
trabalho do professor, permitindo o seu redirecionamento, se necessário.
A escola tem assumido a responsabilidade de preparar nossos jovens para
o melhor desempenho em uma sociedade contraditória, desigual e competitiva,
em que os pontos de partida e de chegada nem sempre são os mesmos para
todos. Na perspectiva atual de um currículo de Matemática para o ensino, novas
funções são indicadas para a avaliação, nas quais se destacam uma dimensão
social e dimensão pedagógica.
Dimensão social: atribui-se a função de fornecer aos estudantes
informações sobre o desenvolvimento das capacidades e competências
exigidas socialmente, a fim de que possam exercer sua cidadania e inserir-
se no mercado de trabalho.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
111
Dimensão pedagógica: atribui-se a função de fornecer aos professores
informações do que está ocorrendo na aprendizagem, para que este se
conscientize e trace novas metas ou estratégias.
3.14 Sugestão para realização das primeiras tarefas de Modelagem na sala
de aula.
Nesta direção, reconhecemos que o ambiente de ensino e aprendizagem
pelo uso da Modelagem Matemática, traz a possibilidade de desenvolver nos
estudantes a atuação como sujeitos de seu aprendizado, provendo, durante o
cumprimento das etapas requeridas, a aprendizagem do conteúdo,
contextualizando-o a partir de um problema real a ser investigado e ainda
proporcionando o ganho de benefícios extra-matemáticos à medida que estimula
o conhecimento reflexivo e a tomada de decisões. Isso é o que D’Ambrosio (1986,
p. 44), chama de o “verdadeiro espírito da Matemática” e talvez, o objetivo maior
do seu ensino.
De acordo com Biembengut (2000), o ensino com Modelagem Matemática,
abrange cinco momentos: diagnóstico, escolha do tema ou modelo matemático,
desenvolvimento do conteúdo programático, orientação de Modelagem, avaliação
do processo. Para orientar e acompanhar os alunos no desenvolvimento do
trabalho, o professor deve fazer um planejamento que leve em consideração o
número de horas-aula da disciplina e as etapas propostas pelo autor, que estão
representadas no quadro abaixo.
Quadro 3 – Seqüência de Modelagem em sala de aula proposto por Biembengut
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
112
Esses momentos estão apresentados e comentados na seqüência.
Diagnóstico:
É o levantamento do perfil da turma, com os dados socioeconômicos dos
alunos, suas metas e objetivos, o tempo de estudo disponível para o
desenvolvimento de atividades extraclasse, o turno, enfim, as características
determinantes do planejamento e dinâmica das aulas.
Escolha de um tema ou modelo matemático: Definição do problema.
O professor pode sugerir temas abrangentes e motivadores, que desperte
interesse dos alunos e sobre o qual, de certa maneira, seja fácil obter dados e
informações. Os alunos também podem participar da escolha do tema para se
tornarem participantes do processo e co-responsáveis pelo ensino-aprendizagem.
Segundo o autor, a opção por temas de interesse do aluno amplia a sua
motivação para o estudo e o seu comprometimento com as tarefas inerentes ao
trabalho com a Modelagem (investigações, construções de modelos, simulações,
discussões de resultados, relatórios), além de gerar uma expectativa de como
esse assunto vai relacionar-se com a Matemática. Esse relacionamento torna-se
o principal responsável pelo desenvolvimento do conteúdo curricular.
Desenvolvimento do conteúdo programático:
Esta fase é semelhante à do processo de Modelagem, não esquecendo
que agora existe um conteúdo programático, vinculado ao currículo escolar, e que
cabe ao professor fazê-lo fluir a partir do tema. Para tanto, o professor deve
seguir as mesmas etapas e sub-etapas do processo de Modelagem,
acrescentando o conteúdo matemático necessário ao desenvolvimento do modelo
procurado.
Fazer esse relacionamento com o programa da disciplina é, na maioria das
vezes, a atividade mais difícil para o professor, principalmente porque ele precisa
realizar esse trabalho em sala de aula, muitas vezes sem ter tido a possibilidade
de preparar suas atividades (os assuntos surgem em função dos problemas), com
vários grupos reclamando a sua presença e com pouco tempo para refletir sobre
as questões levantadas pelos alunos.
Orientação de Modelagem:
Tendo como objetivo fazer modelos matemáticos, o professor deve criar
condições que levem os alunos a essa autonomia, incentivando a pesquisa,
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
113
promovendo a habilidade em formular e resolver problemas, despertando a
criatividade. Consiste em Pesquisa exploratória (Levantamento de dados),
Formulação de hipóteses e questões (Levantamento do(s) problema(s) ou
situações problema), Resolução do(s) problema(s) e desenvolvimento dos
conteúdos matemáticos no contexto do tema, Verificação e análise crítica das
soluções. (Validade do modelo).
A necessidade de coleta de dados e de pesquisa sobre o assunto em
estudo é uma característica importante do trabalho com a Modelagem no ensino e
essas tarefas são, geralmente, realizadas em grupos de alunos. Os resultados
dessas tarefas e a necessidade de se buscarem respostas para as questões
levantadas por eles constituem-se no próprio embasamento das atividades
didáticas relativas aos tópicos do programa do curso. E aí reside outra dificuldade
para o professor, uma vez que tais atividades extraclasse se desenvolvem em
ritmos e prazos diferentes, de acordo com dinâmicas próprias de cada grupo, o
que representa séria ameaça para um desenvolvimento harmônico e tempestivo
do programa.
Para tanto, o professor deve prover um ambiente com liberdade e
descontração, estimulando a participação no grupo no qual o aluno está inserido,
sem se esquecer de incentivar a criatividade individual. Desta forma, poderá obter
resultados satisfatórios em relação ao aprendizado de Matemática.
Avaliação do processo:
No ensino básico é fundamental que o professor leve em conta o real do
aprendizado do aluno. Nessa avaliação temos que levar em consideração a
capacidade para enfrentar e solucionar problemas, saber buscar e realizar
pesquisa, comprometido com os objetivos propostos pelo grupo, organização do
trabalho escrito, analisar, interpretar e argumentar sobre os resultados obtidos;
consolidação de conhecimentos matemáticos e exposição oral comunicando seus
resultados.
Nesse sentido, Chaves (2005, p. 26) apoiada em Bassanezi(2002),
defende que em sua sala de aula:
“a utilização da Modelagem para o ensino aprendizagem da
Matemática, além de tornar um curso de Matemática atraente e
agradável, pode levar o aluno a desenvolver um espírito de
investigação, utilizar a Matemática como ferramenta para resolver
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
114
problemas em diferentes situações e áreas, entender e interpretar
aplicações de conceitos matemáticos e suas diversas facetas,
relacionar sua realidade sociocultural com o conhecimento escolar
e, por tudo preparar os estudantes para a vida real, como
cidadãos atuantes na sociedade”. Chaves (2005, p. 26)
Acrescento que na educação básica, podemos chegar ou não a um
modelo. O importante é fazer o aluno se “aproximar” da Matemática, aprendendo
técnicas para manipular dados, interpretar e re-interpretar dados, estabelecer uma
rotina heurística (arte de inventar, de fazer descobertas), desenvolver a
curiosidade, ser apto a experimentar e investigar qualquer problema proposto,
enfim, criar atitudes positivas à disciplina, perder a repugnância e o medo da
Matemática.
Adiciono ainda que é uma oportunidade de eliminar mitos típicos dos
estudantes sobre a natureza da Matemática. Dentre eles destaco:
Os problemas matemáticos têm uma e somente uma resposta correta.
Existe somente uma forma correta de resolver um problema matemático e,
normalmente, o correto é seguir a última regra demonstrada em aula pelo
professor.
Entender Matemática é somente memorizá-la e aplicar mecanicamente aquilo
que aprenderam, pois geralmente não tem nada a ver com o mundo real.
Finalizando, para Huppes (2002, p.86) “aprender explorando” é a proposta
para envolver os estudantes na sua própria aprendizagem, deixando-os aprender
executando tarefas com as quais eles se preocupam. Esse envolvimento poderá
ser o meio para que a mudança educacional em massa aconteça neste país.
Segundo o autor a interatividade (relação aluno x aluno, aluno x professor, aluno x
tecnologia e aluno x conteúdo), tem gerado melhorias significativas na Educação
e seus benefícios futuros serão grandes. “Se elas não puderem ser alcançadas,
as conseqüências futuras podem ser sérias, aumentando as desigualdades cada
vez mais profundas na sociedade”. Para Moran (1998, p.86), apud Huppes
(2002,p.87) a interação traz benefícios “quando o aluno desenvolve a
aprendizagem cooperativa e a pesquisa em grupo, há troca de resultados”. Dessa
forma “a interação bem sucedida aumenta a aprendizagem”.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
115
CAPÍTULO IV
PROCEDIMENTOS DA PESQUISA E METODOLOGIA DO TRABALHO.
Procuramos neste capítulo apresentar a nossa proposta metodológica que
norteou a pesquisa de campo e das análises. Iremos tratar da metodologia de
pesquisa que melhor nos forneça elementos para responder à questão. A seguir
apresentaremos o perfil de nossos sujeitos bem como os instrumentos de coleta
de dados e dos critérios de análise da investigação desenvolvida na pesquisa.
Finalmente o roteiro das entrevistas.
4.1 Pesquisa Qualitativa.
Este trabalho consiste em uma pesquisa de campo qualitativa realizada
durante um mini-curso para professores de Matemática da rede pública do Estado
de São Paulo. Pressupõe o contato direto entre o pesquisador com o professor
que está sendo investigado, analisando através de entrevistas, questionário
avaliativo, observações dos participantes e suas dificuldades. Possui um caráter
colaborativo com outras pesquisas que estão sendo estudadas, visando à
melhoria da qualidade do ensino de Matemática. Segundo Fiorentini (2006), trata-
se de uma pesquisa-ação por se tratar de um processo investigativo,
intencionado, planejado e sistemático, cujos objetivos são comuns a um grupo e
todos os trabalhos se apóiam mutuamente.
Procuro caracterizar o conceito de modelo e Modelagem, a partir de
literatura científica existente sobre o assunto. Serão apresentados alguns
exemplos e experiências do dia-a-dia, que professores poderão utilizar na sala de
aula, usando a Modelagem como ferramenta de aprendizagem Matemática.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
116
4.2 Descrição das Etapas e Aspectos do Projeto.
Resumo do Projeto:
Oferecer um mini-curso de Especialização em Modelagem Matemática
para professores. Projeto enviado às Diretorias de ensino de Diadema e Leste 3,
conforme ANEXO I.
Os objetivos do projeto são:
Em primeiro lugar, o professor que deseja ensinar Matemática usando a
metodologia da Modelagem, precisa aprender a fazer Modelagem, em sua
essência, conhecer o processo de desenvolvimento em suas raízes e utilizá-la
como estratégia de ensino da Matemática usando procedimentos, rotinas e
modos adequados.
Metas Gerais: Mostrar algumas maneiras de se organizar e de se conduzir
atividades de Modelagem Matemática em sala de aula, para que sirvam de
inspiração a professores desejosos em utilizar a referida estratégia de ensino-
aprendizagem em suas respectivas realidades educacionais.
Metas Específicas: aprofundar o conhecimento científico e técnico de
professor de Matemática, trabalhar a Modelagem Matemática como uma
estratégia de Ensino-Aprendizagem de conceitos matemáticos, valorizando-os
num contexto multidisciplinar e interdisciplinar, valorizar o conhecimento de cada
participante do curso na construção de modelos matemáticos de situações reais,
transferir conhecimentos adquiridos na graduação e na sua experiência como
docente, aos estudantes dos ensinos Fundamental e Médio.
Considero como propósito e alvo principal o desenvolvimento de
professores conhecedores do que seja Modelagem e tornam-se agentes
multiplicadores desta metodologia no futuro. Visa resgatar a importância da
discussão teórico-metodológica para a compreensão do campo de pesquisa
participante, percebida e entendida como a alternativa epistemológica, na qual,
professores pesquisadores e pesquisados tornam-se sujeitos ativos da produção
do conhecimento.
Incorporar as noções de sentido e significado às situações de ensino e
aprendizagem da Matemática. Procuro apontar uma mudança de estilo na prática
educativa, no qual proponho demonstrar uma alternativa de como ensinar e
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
117
aprender Matemática através de situações reais, de modo que se torne
importante para os alunos.
Mostra-se que tal alternativa contribui para a luta contra as ações
destituídas de sentido na sala de aula e permite ao aluno perceber a importância
da Matemática escolar. É com esta perspectiva que introduzo as atividades de
Modelagem Matemática, com a finalidade de atribuir sentido e construir
significados para Matemática, conforme propostas dos PCN, o qual demanda
situações de ensino e aprendizagem que induzam relações entre a Matemática e
a vida dos alunos.
4.3 A Descrição e Carga Horária.
O trabalho de investigação foi desenvolvido em dois mini-cursos em
momentos distintos, realizados em quatro encontros cada.
O primeiro nos meses de março e abril de 2007, realizado na oficina
pedagógica da Diretoria de ensino da cidade de Diadema. O segundo nos meses
de maio e junho de 2007, realizado na oficina pedagógica da Diretoria de Ensino
Leste 3 da Cidade de São Paulo.
O mini-curso teve duração de 16 (dezesseis) horas, sendo quatro
encontros e quatro horas. As atividades foram feitas em pequenos grupos e o
questionário de forma individual.
O encontro teve início com a apresentação do pesquisador e qual o
propósito do curso, pois era necessário que os participantes estivessem cientes
do trabalho e da importância da sua colaboração. Foi comunicado ainda que fotos
seriam tiradas com objetivo de mostrar o desenvolvimento das atividades e
trabalhos, e que as identificações dos presentes não seriam reveladas no
trabalho, em hipótese alguma.
Programação:
Primeiro encontro:
Foi feito um questionário, conforme Anexo II, para conhecer os professores
da região, e também sobre as idéias que eles possuíam sobre Modelagem, entre
outras questões. Em seguida foi apresentada uma Palestra em Data-show,
conforme anexo IV, contendo exposição da importância da Matemática e a crise
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
118
no ensino, tendências da Educação Matemática, mostra das propostas de reforma
educacional e melhoria da qualidade de ensino. Dentre as tendências,
destacamos a Modelagem em breve base teórica, os principais pesquisadores e
as vertentes desses temas. Procuramos responder às seguintes questões: O que
é Modelagem Matemática? De que forma podemos utilizá-la em nossas salas de
aula? Os professores estão preparados para usar esta metodologia?
Segundo encontro:
Voltou-ser às idéias do encontro anterior com retomada das definições e
conceitos, e em seguida, mostras de exemplos e atividades de Modelagem
Matemática para o Ensino Fundamental e Médio, com seus respectivos critérios
de elaboração. Levantamento de possíveis problemas para a aplicação das
atividades de Modelagem por parte dos alunos, professores e instituições.
Terceiro Encontro:
Etapa 1: Apresentação aos professores o cálculo da área de um
quadrilátero por meio da Modelagem. Por não ter tempo para pesquisas fora da
oficina, a situação foi apresentada como sendo “Caso 1”, segundo Barbosa, no
qual os dados estão no problema fornecido pelo professor. Assim, foi apresentada
a Escritura de um Imóvel e as informações necessárias à sua resolução.
Etapa 2: Esta operação foi denominada como “Mão na Massa” e nela os
professores fizeram a criação de um modelo de uma situação cotidianas e
concretas. Nesta fase, analisou-se as dificuldades de se trabalhar com uma
situação real e como encaminhar uma atividade de Modelagem.
Foi solicitado aos professores participantes do mini-curso a elaboração em
grupo de atividades e temas, os quais servirão de sugestões para serem
trabalhados no ensino básico.
Quarto Encontro:
Foram feitos debates, questionamentos e troca de experiências entre
professores. Neste dia, procurou-se responder o seguinte: É possível utilizar a
Modelagem Matemática em nossas salas de aula? Como elaborar uma atividade
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
119
de Modelagem? Como é possível orientar os professores a redirecionar a
Matemática a usar situações reais e do cotidiano?
Breve análise conjunta das atividades feita pelos alunos e entrevista com
dois professores, doravante denominados Professor “A” e Professor “B”, para
sentir suas dificuldades e motivações em trabalhar com Modelagem e verificar a
viabilidade do uso da Modelagem no Ensino Básico.
Para maior clareza e entendimento, os encontros foram distribuídos
conforme o organograma abaixo:
Quadro 4 - Organograma do Mini curso
4.4 Participantes da pesquisa.
Este trabalho trata de uma situação planejada, que traz no seu contexto a
realização de um mini-curso de Modelagem no ensino de Matemática para
professores desta disciplina e, portanto, considera como sujeito da pesquisa, o
próprio professor.
Os professores envolvidos na pesquisa são todos da rede pública do
Estado de São Paulo e foram convidados pelos ATPs (Assistentes Técnico-
Pedagógicos – Oficina) a comparecer na “Orientação Técnica de Matemática”.
Participaram da pesquisa inicialmente, ou seja, no primeiro encontro, vinte
e quatro professores da Diretoria de Ensino Diadema e trinta e um professores da
Modelagem
Matemática
Primeiro
Encontro
Segundo
Encontro
Terceiro
Encontro
Quarto
Encontro
Informações e
Questionário
Exemplos de
atividades
Execução de
atividade
modelagem
Questionário e
entrevista
Palestra
Fund. Modelagem
Mão na
massa
Elaboração de
propostas
Fechamento e
avaliação
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
120
24
20
19
18
31
27
23
22
0
5
10
15
20
25
30
35
1 2 3 4
Encontros
Qtdd Professores
Diadema
Leste 3
Quantidade Professores
Diretoria de Ensino Leste 3 da Cidade de São Paulo, totalizando cinqüenta e
cinco inscritos. No segundo encontro desistiram oito professores, cinco no terceiro
encontro e dois no último num total de quinze professores desistentes. Desta
forma, foram considerados para efeito de pesquisa somente quarenta
professores, os quais participaram de todos os encontros.
Tabela 1 – Comparecimento nos encontros
Fonte: Lista de presença no mini-curso. Anexo V (Tabulação dos dados)
Dos participantes de Diadema, podemos observar que quatro professores
desistiram após o primeiro encontro, um no segundo e outro após o terceiro. Já
na Leste 3, percebemos a desistência de quatro professores após o primeiro
encontro, quatro no segundo e um após o terceiro encontro.
Figura 5 – Gráfico das presenças nos encontros
Na tabela acima, pode-se constatar que dos cinqüenta e cinco inscritos,
houve uma desistência de quinze professores, representando 27,3% no total de
participantes. Diante dos dados, podemos constatar que em Diadema houve vinte
e quatro inscrições, dos quais desistiram seis professores (25% dos inscritos).
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
121
Quanto aos professores da Leste 3, houve trinta e uma inscrições, dos quais
desistiram nove professores (29,0% dos inscritos).
Não satisfeito com as desistências dos professores, procurei saber os
motivos pelo qual abandonaram o curso. Pensei em vários fatores tratando da
qualidade do curso, como por exemplo: conteúdo do curso não despertou
interesse, ou curso cansativo e desgastante, ou por ser a Modelagem complicada
demais, ou não gostaram da proposta e consideram-na inviável no Ensino Básico,
falta de motivação, etc.
Surpreendentemente, a causa da desistência, nada tinha com o curso
propriamente dito. Dentre os quinze que desistiram, cinco deles alegaram não ter
tempo para dedicação ao curso, pois trabalhavam em vários lugares, para ter uma
renda digna e sustentar sua família. Dois foram morar em outra cidade, inclusive
pedindo remanejamento do local de trabalho e largaram suas aulas. Seis deram
como desculpa sua desorganização pessoal e que no momento, não havia
condições de estudo de coisa nenhuma, uma vez que não poderiam se dedicar
nos encontros. Um deles se afastou por problemas de saúde e outro não foi
encontrado para justificar o abandono do curso. Segundo informações da escola
que trabalha, ele teve que viajar às pressas para o norte (terra de seus pais), e
voltaria somente após o término do curso.
Conforme o andamento do curso, prossegui nas investigações e foi
possível entender que a questão da “falta de tempo” e “não ter cabeça para
pensar em outras coisas” naquele momento estava relacionada ao “fator
novidade”, pois, acredito eu, movimentar-se em direção a nova tendência, fora do
tradicional, pode causar medo ou embaraço, levando a imprevistos que podem
demorar em ajustar-se à nova temporalidade, causando insegurança.
4.5 A coleta de dados e os registros.
Conforme o plano de nossas atividades, a organização da pesquisa e a
coleta de dados aconteceram da seguinte forma:
Considerações iniciais – Aplicação de um questionário objetivando conhecer
os sujeitos da pesquisa (Anexo II) no início do primeiro encontro.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
122
O questionário foi desenvolvido em uma seqüência de tal forma que
pudessem ser adquiridos os materiais necessários para a confecção da coleta de
dados.
Durante a realização do mini-curso, foram coletados dados referentes à
presença e desenvolvimento dos professores durante as atividades propostas.
Nesta fase procurei estar atento a todas as manifestações, envolvimento
nas discussões e participação das atividades.
Execução de entrevistas (Anexo III) no quarto encontro, objetivando o
conhecimento adquirido no curso.
Depois de realizadas as entrevistas, feitas as transcrições, passou-se à
fase da textualização e análise das mudanças de comportamento e atitudes em
relação à metodologia, cujo objetivo era elaborar um texto estruturado, não
deixando de apresentar todas as considerações dos entrevistados, fazendo um
(re) arranjo, respeitando as considerações de cada um.
4.6 Roteiro de Perguntas (Questionário 1) e objetivos.
O questionário, conforme Anexo II, foi elaborado a fim de conhecer os
professores e também as idéias e conhecimento que possuem sobre Modelagem,
entre outras questões, foi assim composto:
PARTE 1
Pergunta 1 – Referente à idade e sexo.
Objetivo: Conhecer características dos sujeitos, neste caso os professores.
Pergunta 2 - Referente local de trabalho.
Objetivo: Conhecer que tipo de escola o professor trabalha: Escola da rede
Pública, Particular ou Técnica Profissionalizante.
Pergunta 3 – Referente à formação e gosto pela profissão.
Objetivo: Conhecer o nível de formação do sujeito: Curso Normal, Graduação,
Complementação, Especialização, Mestrado ou Doutorado. E ainda se o
participante do mini-curso gosta ou não da profissão de professor.
Pergunta 4 – Referente ao tempo de formado e quanto tempo leciona.
Objetivo: Verificar a experiência profissional de cada professor.
Pergunta 5 – Referente às séries do ensino que costuma trabalhar e qual o
número de aulas semanais.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
123
Objetivo: Identificar em que nível de ensino o professor leciona e o seu tempo
para preparar suas aulas e investir no seu auto-aprimoramento.
Pergunta 6 – Referente a quantas escolas trabalha atualmente.
Objetivo: Diagnosticar a correria que geralmente sofrem os docentes que
trabalham em várias escolas, e o tempo de trabalho durante o dia, como é
dividido: parte em sala e parte no deslocamento entre as escolas.
Pergunta 7 – Referente a outras atividades além da docência.
Objetivo: Verificar o que mais pode fazer o professor, além de lecionar para poder
ter uma renda que satisfaça suas necessidades financeiras. Saber se o sujeito
dedica-se somente a atividades educacionais, ou se tem uma segunda opção.
Pergunta 8 – Referente a congressos, seminários ou encontros.
Objetivo: Verificar se os professores costumam freqüentar ou participar de
eventos na área de Matemática, por livre e espontânea vontade.
Estas respostas estão tabuladas e analisadas no Anexo V.
PARTE 2
Pergunta 9 – Referente a tendências da Educação Matemática.
Objetivo: Verificar se os professores conhecem alguma tendência trabalhada nos
últimos 20 anos na área de Matemática. Dentre elas apresentamos a Resolução
de Problemas, Etnomatemática, Jogos Matemáticos, Desafios Quebra-cabeças, o
uso da tecnologia TICs, História da Matemática, Tarefas Investigativas e
Modelagem Matemática. Caso conheça ou não, conferir quais tendências pode
haver mais afinidade ou simpatia. E também, verificar sua propensão, intenção e
disposição natural para qual proposta desejam conhecer melhor.
Pergunta 10.a – Referente ao problema do ensino de Matemática. (causas)
Objetivo: Verificar quais motivos os professores apontam para o insucesso do
ensino da Matemática e o baixo rendimento.
Pergunta 10.b – Referente ao problema do ensino de Matemática. (sugestões)
Objetivo: Verificar quais sugestões ou soluções possíveis os professores apontam
para favorecer a aprendizagem de Matemática
Pergunta 11 – Referente à profissão de professor.
Objetivo: Verificar o que os professores acham da sua profissão e falam dela para
outros que a queiram seguir.
Pergunta 12 – Referente a propostas de trabalho e melhoria do ensino.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
124
Objetivo: Verificar se os professores possuem projetos que pretendem fazer e que
por vezes não conseguem por em prática.
Pergunta 13 – Referente à Matemática na formação do cidadão.
Objetivo: Verificar o que os professores falam da importância da Matemática na
formação do cidadão.
Estas respostas estão analisadas no Capítulo VI.
4.7 Roteiro da entrevista semi-estruturada.
Na elaboração do roteiro da entrevista semi-estruturada atentei para que
esse não se constituísse em uma “camisa de força” e trouxesse constrangimento
ao entrevistado, alterando a dinâmica natural da entrevista. Assim tentei
direcionar as questões de modo a obter os dados considerados necessários para
uma conclusão consistente e substantiva.
A preocupação foi a de não estabelecer perguntas fechadas, mas algumas
que orientassem a entrevista para o objetivo proposto. Havia uma ordem a ser
seguida, previamente preparado, mas prevalecia à vontade de estabelecer uma
relação dialógica entre o entrevistador e o sujeito, deixando-o livre para se colocar
sobre o assunto.
O roteiro da entrevista semi-estruturada foi elaborado utilizando uma
análise, à priori, que levou em consideração os seguintes aspectos: as possíveis
maneiras de abordar as questões, evitar a indução das respostas, prever os
possíveis conhecimentos adquiridos sobre as estratégias de Modelagem
Matemática e as perspectivas de uso no futuro em suas salas de aula.
Entrevista (realizada depois do mini-curso) Anexo III
Pergunta 1 - Fale da sua formação. Já tinha visto alguma coisa em termos de
Modelagem?
Objetivo: Conhecer o perfil do professor e sua trajetória profissional. Identificar a
presença e a valorização da Modelagem Matemática na sua graduação, cursos
de capacitação ou eventos.
Pergunta 2 – Falando na Modelagem Matemática, você a considera uma
alternativa viável para se aprender Matemática no Ensino Médio? Tem alguma
vantagem?
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
125
Objetivo: Investigar o que o professor pensa a respeito da Modelagem. Se ela
realmente possibilita o acesso ao conhecimento matemático, a partir do
conhecimento cotidiano.
Pergunta 3 – Você acha que a Modelagem resgata o gosto e o interesse pelas
aulas, trazendo motivação para o aluno, já que ele passa a participar ativamente
da aula, dando opiniões que serão levadas em conta pelo professor?
Objetivo: Investigar se existem vantagens e desvantagens, ao fazer atividades de
Modelagem e estarem motivados para aprender.
Pergunta 4 – Agora falando da Modelagem e você como professor. Como você
trabalharia as atividades de Modelagem na sua sala de aula? Você sente-se
preparado para desenvolver atividades com Modelagem?
Objetivo: Investigar se o professor reconhece que a Modelagem Matemática é
uma forma de vivenciar a Matemática não como um conhecimento pronto e
acabado, mas como uma forma de construir esse conhecimento. Usando fatos
reais os alunos podem dar mais valor à Matemática.
Pergunta 5 – A Modelagem não elimina o conteúdo matemático tradicional. Ela
sugere mudanças no sentido de aproximar a disciplina da realidade do aluno. O
que ela contribui para a formação do cidadão da atualidade?
Objetivo: Investigar se o professor percebe na Modelagem, uma alternativa para
que os alunos realmente aprendam Matemática e aprendê-la em um nível
suficiente para ser aplicada em problemas de outras áreas, sobretudo, saibam
utilizá-la no seu cotidiano.
Pergunta 6 – O curso atendeu às suas expectativas?Tem alguma sugestão?
Objetivo: Investigar se o professor teve um bom aproveitamento do curso, suas
impressões e suas sugestões ou críticas.
4.8 Atividades.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
126
As atividades foram planejadas com base em situações reais e temas
transversais, visando trabalhar a Modelagem Matemática dentro dessa
perspectiva.
De início apresentei algumas situações da realidade e estratégias possíveis
para sua exploração em sala de aula, de modo a construir um modelo matemático
que explique a solução para o problema. Após exemplos, passamos para situação
de execução de uma tarefa de Modelagem pelos próprios professores. Ou seja,
estudar e criar um modelo matemático que represente o número tamanho da
calça jeans de uma pessoa de acordo com a medida do quadril. Para tanto foi
distribuído o Anexo VII, para coleta de dados coletivamente e depois, separados
em grupos para elaboração dos modelos. Esta atividade será descrita
inteiramente no próximo capítulo.
Por não haver muito tempo no mini-curso para propor outras atividades de
interesse deles, apresentei a Modelagem de uma situação real desenvolvida com
alunos do Ensino Médio, referente ao cálculo da área de um terreno qualquer.
Mostrei a todos a Escritura de um imóvel para explorar e verificar se a área do
terreno constante na escritura estava realmente correta. Nesta situação, os
alunos procuraram calcular a área fazendo o uso de modelos já conhecidos,
conforme será relatado também no próximo capítulo.
Procurei no curso integrar a teoria e prática nas atividades propostas, no
qual, o professor tenha amparo e conhecimento seguro sobre Modelagem para
poder aplicar nas suas aulas. Diante disso, adquirir firmeza e convicção do uso da
Modelagem, passando a ser agente multiplicador desta estratégia de ensino.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
127
CAPÍTULO V
EXPERIÊNCIAS E SITUAÇÕES DE MODELAGEM.
Meu objetivo neste capítulo é apresentar atividades de Modelagem
Matemática. Tais atividades têm a finalidade de auxiliar a construção do
conhecimento científico dos professores e, com isso, fazer com que se sintam
seguros em “inovar” suas aulas de Matemática e, de certa forma, propor uma
mudança na postura do professor em sala de aula. Este trabalho é coletivo e
possibilita o enriquecimento com a troca de idéias e experiências entre
professores, promovendo o conhecimento e o uso de diferentes recursos
metodológicos.
A primeira atividade foi desenvolvida por alunos do ensino médio e
apresentada aos professores do mini-curso, procurando mostrar aos professores,
uma experiência que tive com meus alunos no segundo semestre de 2005.
A segunda atividade foi por mim denominada por “Mão na Massa”,
desenvolvida em grupo durante o mini-curso sob minha orientação, no qual os
professores foram convidados a atuar efetuando uma atividade de Modelagem
Matemática, procurando proporcionar ao professor a vivência de uma aula de
Matemática diferenciada, na qual a atividade experimental é incentivada e, a partir
dela, articulada discussões de questões envolvendo reestruturação das ações
interdisciplinares e transdisciplinares.
A “Mão na Massa” visa organizar o trabalho do professor e dos alunos,
bem como a interação entre todos através da argumentação, da investigação e do
registro da atividade. Tem como objetivo ao fazer Modelagem utilizando
atividades experimentais, a compreensão de conceitos, procedimentos e
processos, reconhecer manejo e técnicas necessárias para trabalho em sala.
Desta forma, eu (no papel de professor-pesquisador) e os professores (sujeitos da
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
128
pesquisa) realizamos observações em conjunto, bem como as ações do trabalho
e conversamos sobre os resultados, formulando hipóteses e conclusões.
São observados objetos ou fenômenos do mundo real, próximo, perceptível
e possível de experimentação. Durante as investigações surgem argumentos,
raciocínios, discutem suas idéias e resultados, constroem seus conhecimentos.
As atividades propostas quando bem elaboradas, contemplam o projeto
pedagógico da escola, atendem às exigências curriculares da aprendizagem e
propiciam autonomia aos alunos.
5.1 Atividade 1: Apresentada aos professores do mini-curso.
Trata-se de calcular a área de um terreno de medidas irregulares,
totalmente murado e plano “por meio da Modelagem”. Neste momento,
apresentamos um trabalho que foi desenvolvido em sala de aula com trinta e um
alunos da rede Estadual, do 3° ano do Ensino Médio do período da manhã
durante seis aulas, no último semestre de 2005, conforme artigo por mim
apresentado no Ebrapem
14
de Belo Horizonte de 2006.
Em todo o processo de desenvolvimento da atividade, os alunos puderam
contar com a ajuda e orientações do professor. De posse de uma escritura de
compra e venda de imóvel, próximo à escola, solicitei aos alunos que conferissem
se as informações constantes no documento eram verdadeiras. O imóvel
constituía de um terreno de medidas irregulares, totalmente murado e plano.
Trecho da escritura:
S A I B A M quantos esta pública escritura virem que aos
vinte dois (22) dias do mês de março do ano de dois mil e
quatro (2004), da Era Cristã, nesta Cidade [..... ] o imóvel
constituído pelo terreno de número [...], sito à rua [....],com
área de 460,25 m
2
, com limites e confrontações de 12,00
metros de frente para a rua principal; 33,00 metros pelo lado
direito de quem da referida rua olha para o imóvel,com o lote
06; 30,00 metros pelo lado esquerdo com o lote 04; e 18
metros de fundos com o lote 17, registrado no Cartório de
Registro Imobiliário de [.....],com Matrícula [.....] Livro [...],
fls.[...] ,....
14
EBRAPEM (Encontro Brasileiro dos Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática) é um
espaço de discussão para pesquisadores juniores em Educação Matemática. Destinado ao debate, permite
que o pesquisador iniciante discuta o seu processo de investigação e o “fazer” da sua pesquisa em
andamento.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
129
Com esta descrição, são lançadas duas perguntas:
1 – Como saber se a área indicada na escritura está realmente correta?
2 – Qual seria o modelo mais indicado para calcular a área do terreno?
A princípio comuniquei que seria uma atividade em grupo, feita em sala e
depois conferida no local. Foram solicitados material de medição (trena), folhas de
papel milimetrado tamanho A3, uma régua, compasso e esquadros.
Lendo a escritura, os alunos perceberam facilmente que se tratava de um
terreno na forma de quadrilátero irregular de dimensões 12x30x33x18 metros.
Formaram-se os grupos Grupo 1 (G1), Grupo 2 (G2), Grupo 3 (G3), Grupo 4 (G4)
e Grupo 5 (G5), cada um com cinco alunos em cada e Grupo 6 (G6), com seis
alunos. Solicitei para que cada grupo desenhasse no papel milimetrado o modelo
do terreno, como quisessem, na escala 1:100 (lê-se, escala um para cem).
Embora os trabalhos fossem de cada grupo separado, as dúvidas eram
esclarecidas no coletivo, uma vez que se tratavam do mesmo tema. Cada grupo
tinha um aluno monitor que o representava, e todas as perguntas partiam sempre
dele. Para melhor entendimento dos diálogos narrados abaixo entre o
pesquisador e os alunos dos grupos, professor William doravante será
demominado de “Will” e os grupos foram denominados de G1, G2, e assim
sucessivamente.
Primeira Parte: Escalas
Várias perguntas surgiram:
G1 – Professor, o que é escala?
G4 – Por onde eu começo o desenho?
G5 – Os desenhos serão todos iguais?
Tive que intervir e fazer alguns esclarecimentos: explicar o que é uma
escala, fazer alguns exemplos e demonstrações. Mostrei que desenhar o terreno
em tamanho real no caderno seria impossível. Teríamos que reduzir as medidas
para o tamanho da folha mantendo as proporções. Após breve revisão de
conceito de razão e proporção, a classe concordou que representar cada metro
como se fosse 1 cm.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
130
Então, o que seria 1 cm no papel, representaria na realidade 1 metro. Mas
como 1 metro é igual a 100 cm, costuma-se dizer: 1 cm no papel equivale a 100
cm na real ou escala um para cem, (1:100).
Sanadas as primeiras dúvidas, apareceram outras.
G2 – Ah, professor, então 12 metros vão representar 12 centímetros, 30 metros
vão representar 30 centímetros e assim por diante?
Will – Correto. Agora é só efetuar o desenho.
G4 – Mas não vai caber no caderno! O desenho é muito grande.
Will – Por isso que foi solicitado que cada grupo trouxesse uma folha de papel A3.
G3 – Professor, vou fazer primeiro um rascunho no caderno. Um centímetro
valendo 10 metros, pode?
Will – Claro que pode. Que escala é esta?
G3 – Não sei? Como faço para saber?
Novamente tive que fazer explicações sobre razão e proporção, e ainda, a
relação entre o tamanho real e o desenho no papel. Chegamos à conclusão que
1centímetro no papel equivale a 10 metros no real. Sabendo-se que cada metro
tem 100 centímetros, chegamos à escala 1cm:1000cm. Assim a escala seria
1:1000.
Segunda Parte: Explicado o que é escala, fomos aos desenhos com as
dimensões da escritura e todos preferiram fazer primeiro o rascunho, antes de
passar para o papel milimetrado A3. Trata-se de um quadrilátero irregular
(12x30x33x18 metros) e sem nenhuma informação adicional.
Deixando a critério dos alunos, quatro modelos de desenhos foram
apresentados e cada um com um formato diferente. Para facilitar o esboço do
terreno, os grupos aproveitaram os traços do papel milimetrado, usando o ângulo
de 90°. Dois grupos começaram pela frente com o âng ulo reto (90°) na direita.
Dois outros com o ângulo reto na esquerda. Como a maioria começava por um
ângulo reto em um dos cantos, questionei:
Will – Onde está na escritura que um ângulo é reto?
Um espanto geral na sala. Imediatamente alguns apagaram o que estavam
fazendo e perguntaram:
G2 – Como assim?
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
131
G1 – Posso fazer como eu quiser?
Will – Sim, desde que você mantenha as dimensões constantes na escritura.
Vocês possuem autonomia para desenhar o terreno que quiserem.
Com criatividade muitos terrenos foram imaginados. No anexo VIII consta
alguns desenhos feitos pelos alunos e escolhidos para efetuar as outras etapas. A
partir dos desenhos chegou-se a conclusão que podem existir infinitos tipos de
terrenos, e com os dados da escritura nada se pode dizer da sua forma.
Quadrilátero é uma figura que pode ser facilmente mudada. Sua estrutura não é
fixa e pode se deformar mantendo os lados iguais. “A medida dos lados é a
mesma, mas com ângulos diferentes em cada caso”. – Disseram eles.
Will – Perfeito. Até agora, está tudo certo. Mas qual “desses terrenos” é aquele
cuja área consta na escritura (460,25 m
2
)?
Terceira parte: Calcular a área do terreno que você desenhou.
Novo “bombardeamento” de perguntas:
G1– Professor, que fórmula eu uso?
G2– As áreas dos terrenos serão todas iguais, ou cada terreno terá uma área?
G3– Esta figura não é quadrado, nem retângulo, nem trapézio, não é nada,
portanto não tem área? Isso eu não sei fazer?
G4– Como se calcula a área de uma figura tão “esquisita”?
Will – “Não sei! Vamos modelar e pensar juntos?” (Respondi com ar de espanto).
Comecei a fazer suposições sobre possíveis cálculos da área.
Will – Medir é comparar, mas como medir superfícies?
Começou a discussão e o levantamento de seus conhecimentos prévios.
Após debate e aproveitando o conhecimento dos próprios alunos tive que rever
alguns tópicos.
Em Matemática, área é um número que representa a medida da extensão
ocupada por uma superfície. Este valor numérico expressa o número de vezes
que a unidade-padrão de área cabe na superfície. Existem várias unidades de
medida de área, sendo o mais utilizado o metro quadrado (m
2
) - conforme
Sistema Internacional de Unidades e os seus múltiplos e submúltiplos.
Pedi para fixar
uma unidade de superfície padrão para ser usada em cada
desenho, depois comparar com o total.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
132
Figura 6 – Unidade de área padrão
Solicitei que verificassem e contassem quantos desses quadradinhos havia
no desenho de cada um. Orientei para que fizessem as aproximações e
procurassem achar as quantidades deles. Anotassem a área e passassem cada
desenho para o outro grupo contar.
Muitas reclamações, e discussões entre os grupos. Acompanhei o debate
no G3:
Aluno A – Eu não vou ficar contando que nem bobo!
Aluno B – Eu não enxergo direito esses quadradinhos! Minha vista fica toda
embaralhada! Preciso de uma lupa.
Aluno C – Professor, esse desenho está muito pequeno. Dá para aumentar um
pouco mais.
Aluno D – “Tô sem paciência, profe”... Isso vai demorar muito tempo.
Aluno A – Isso é muito chato! Não tem um jeito mais fácil?
Aluno D – Tem alguns cantinhos que não dá para contar. Considero ou não como
área?
Aluno C – O desenho daquele grupo (apontando para o G5), é diferente do nosso.
Qual está correto?
O importante numa aula com Modelagem Matemática é aproveitar cada
questão apontada pelos alunos como uma oportunidade de ensinar e atribuir
significado à Matemática na nossa vida. Quando os próprios alunos reconhecem
e sentem as suas dificuldades, é a chance que o professor tem de poder exibir e
justificar a necessidade da Matemática, dando significado aos conteúdos,
mostrando os porquês e, sobretudo, valorizando o que está sendo ensinado.
Acredito também que isso aproxima a Matemática do aluno,
desmistificando que Matemática é difícil e que não serve para nada, tornando-a
uma aliada usada com prazer para superar as dificuldades.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
133
Figura 7 – Desenho inicial apresentado pelo grupo G4.
Começaram as contagens e recontagens, no final temos:
Grupo 1 – 455 m
2
; Grupo 2 – 480 m
2
; Grupo 3 – 388 m
2
;
Grupo 4 – 449 m
2
; Grupo 5 – 481 m
2
e Grupo 6 – 447 m
2
;
Após esta etapa foi feita uma comparação entre todos os resultados
obtidos. Foi simples analisar e ver que nenhum deles bateu com o que está na
escritura. Questionei com a classe, qual gráfico era o mais correto?
G2 – Comparado com a escritura o nosso parece o mais certo, embora tenha uma
pequena diferença.
Will – É verdade, mas não é o resultado da escritura. Em se tratando de um valor
aproximado está bom. Mas como somos bons calculistas e exigentes não
podemos aceitar este valor, não é mesmo?
Surgiu naquele instante uma agitação, desconforto e desinteresse pela
aula. Tive que propor uma alternativa melhor para calcular a área.
Will – Vamos fazer agora o desenho em escala maior no papel milimetrado e ver
se podemos enxergar melhor e aproximar da área real.
Retomaram a partir da segunda parte: a execução dos desenhos no papel
milimetrado A3, conforme o rascunho e cálculo da área através da soma.
Começaram as contagens e recontagens, no final obtivemos:
Grupo 1 – 457 m
2
; Grupo 2 – 469 m
2
; Grupo 3 – 463 m
2
;
Grupo 4 – 460 m
2
; Grupo 5 – 455 m
2
e Grupo 6 – 462,5 m
2
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
134
Confrontando todos os resultados obtidos, novamente nenhum deles
estava de acordo com o que está na escritura. Questionei a classe. Depois
daqueles modelos ampliados e outros cálculos, qual modelo seria o mais correto?
G2 – Mudou um pouco, mas continuam errados, Professor. O que devemos
fazer?
Propus que dividissem o quadrilátero ao meio e calculassem pela fórmula
do triângulo, conforme figura a seguir:
Figura 8 – Esquema para divisão do quadrilátero em dois triângulos.
Alguns componentes dos grupos logo perceberam:
G5 – Ah! Esta eu sei! Área do triangulo é base vezes altura dividido por dois.
G2 – Tudo bem, mas qual o valor da base e da altura?
Will – Se seu desenho está em escala, basta medir o valor com a régua.
Lembrando que cada centímetro equivale 1 metro.
Refizeram os cálculos e chegaram a resultados diferentes daqueles iniciais,
devido às aproximações e erros de medidas. Mediram inicialmente a diagonal
com relativa aproximação e depois as alturas também aproximadas. Para o
cálculo da área com aproximações, os erros aumentaram e os resultados
esperados foram outros motivos de discussão.
Começaram as contagens e recontagens, no final tivemos:
Grupo 1 – 462,15 m
2
; Grupo 2 – 472,50 m
2
; Grupo 3 – 463,32 m
2
;
Grupo 4 – 471,89 m
2
; Grupo 5 – 467,50 m
2
e Grupo 6 – 435,11 m
2
.
G4 – Continua errado, professor. E as diferenças foram maiores ainda.
Will – Deve ser porque vocês tiraram as medidas da base e altura dos triângulos
errados.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
135
Novo descontentamento e desinteresse pela aula. Tive que propor uma
alternativa melhor para calcular a área. Para minimizar os erros, foi sugerido o
cálculo da área pela aplicação da fórmula modelo de Heron:
O uso da estratégia de ensino usando a Modelagem Matemática abre
espaço para desenvolver outros conteúdos, inclusive demonstrações diversas,
tais como o modelo de cálculo de área de um triângulo qualquer conhecendo
apenas o comprimento de seus lados. Como não era esse nosso objetivo e o
tempo escasso, tratei apenas de demonstrar o modelo algebricamente sem
preocupar com a investigação sobre o tema, conforme Anexo XIII. Embora em
sala só apresentamos uma demonstração, solicitei aos alunos que procurassem
outras formas de provar o modelo de Heron. Resolvi acrescentar no anexo
também quatro outras demonstrações apresentadas pelos alunos.
Assim, já que os lados do quadrilátero são fixos, bastava considerar uma
diagonal e estaria dividido em dois triângulos. Com isso, a única aproximação a
ser feita foi a da medida da diagonal do quadrilátero e os resultados melhoraram
bastante.
Grupo 1 – 462,31 m
2
Grupo 2 – 465,00 m
2
Grupo 3 – 462,77 m
2
Grupo 4 – 467,94 m
2
Grupo 5 – 466,49 m
2
e Grupo 6 – 436,58 m
2
.
Mesmo assim nenhum resultado bateu com o valor da área descrita na
escritura (460,25m
2
).
Nova discussão entre os cálculos apresentados da área. Muitos alunos
ficaram cismados e afirmaram estar errado o valor da escritura. Propuseram até
avisar o dono do imóvel que a área registrada na escritura estava errada.
Chegaram a afirmar que o calculista do registro de imóveis tinha feito as contas
erradas.
Diante da indignação de não chegar à resposta certa, os grupos G1 e G5
após várias tentativas, já estavam desistindo de fazê-la. Além de não chegarem à
resposta final, ficaram confusos acerca de tudo o que estavam desenvolvendo.
2
)).().(.(
cba
pondecpbpappÁrea
+
+
=−−−=
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
136
Naquele momento, comecei a admitir a possibilidade de que a escritura
estivesse errada. Lancei um desafio: “Qual dos grupos está correto?” “Se
estivéssemos diante do proprietário do imóvel, qual seria a área do terreno dele?”
Consegui com isso novamente a atenção e o interesse dos alunos. Afinal
todos fizeram as contas certas, tinham certeza de seus cálculos e criaram uma
espécie de rixa para saber qual era o mais correto.
Como o intuito era ensinar Matemática e não disputa, procurei esclarecer
que somente com as medidas dos quatro lados, não seria possível definir a
medida real da área. O quadrilátero pode se “mover” e sem alterar as medidas
dos lados, podemos ter muitos terrenos diferentes. Os alunos perceberam que
com as medidas dos quatro lados não é possível definir uma única medida real da
área.
A proposta era visitar o local e verificar então quais as medidas reais do
terreno e principalmente a medida de uma diagonal.
Quarta parte: Calcular a área real do terreno.
Todos os grupos, isoladamente, foram até o terreno, tiraram as medidas
dos lados e uma diagonal. Devido a inexperiências dos alunos, algumas medidas
foram imprecisas, mas suficientes para perceber a importância da Matemática, o
desenvolvimento de um espírito aberto à investigação e a novas experiências.
As medidas encontradas erradas foram conferidas retornando ao local e
efetuando nova medição. Chegaram às seguintes medidas: Frente 12,00 metros;
Lateral direita 33,00 metros; lateral esquerda 30,00 metros; fundos 18,00 metros;
diagonal 35,91 metros, partindo da esquerda da frente do lote para o lado direito
no fundo. Conforme Anexo XII.
Não tiveram dúvidas em aplicar o modelo de Heron para resolver o
problema.
Área real medida no local A= 467,00 m
2
Área na escritura A= 460,25 m
2
Portanto, constataram que realmente há um erro para mais em relação ao
que está no cartório de registro de imóveis. O proprietário poderá pedir a correção
e pagar um pouco mais de imposto, já que a área real é maior, ou ficar quieto e
deixar as coisas como estão.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
137
Relato, comentários e impressões que passei ao realizar esta atividade com
alunos.
A metodologia adotada na atividade reserva ao docente o importante papel
de mediador entre o fato proposto e o aluno. A partir de um conteúdo, cabe a ele
estabelecer diálogo para complementar a explanação, contornar situações e
favorecer a participação mais ativa dos alunos no processo de aprendizagem.
Sua principal finalidade é de que os conceitos abstratos da Matemática
sirvam de modelos para situações concretas e reais, permitindo analisar, prever e
tirar conclusões em qualquer circunstância, seja ela formal ou empírica.
De maneira geral a Modelagem Matemática é uma forma de despertar o
interesse para o estudo da Matemática, favorecendo não somente o ensino, mas
também, contribuir de forma significativa para reflexões. Usando situações
práticas aplicamos a "matematização" e técnicas para a resolução, e ainda, para
interpretações das soluções encontradas na linguagem do mundo real,
possibilitando o ensino de uma Matemática crítica e reflexiva.
Comentários da atividade durante o mini-curso
Os professores perceberam a diversidade de conceitos que poderão ser
trabalhados e desenvolvidos a partir de simples cálculo de área e fazendo uma
ligação da Matemática com a vida social, o que é muito positivo. Não se trata
apenas da aplicação direta de conhecimentos matemáticos, sem que haja
contextualização, mas uma exploração ampla dos contextos e da Matemática
envolvida.
Consideraram interessante aproveitar o conhecimento prévio do aluno
sobre um determinado contexto para favorecer o entendimento de conceitos e
procedimentos matemáticos. Segundo depoimentos, a Modelagem pode também
servir para introduzir um conteúdo com uso de contexto para ilustrar certo tópico a
ser estudado e que as situações do cotidiano evidenciam o papel da Matemática
em outras áreas do conhecimento.
Segundo os professores, esta atividade propicia a discussão de questões
do contexto social, favorecem as conexões da Matemática com outras áreas do
saber, e também com outros aspectos importantes para a formação da cidadania
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
138
crítica e responsável. Envolvem neste caso, conceitos de registro de imóveis,
trabalho de leituras de documentações e cálculo de impostos.
Quanto a conteúdos matemáticos, podem ser trabalhados com esta
atividade, escalas e ampliações, desenho de planta baixa, noção de grandezas,
medidas de precisão, unidades e conversão, números significativos; figuras
geométricas como polígonos (triângulos e quadriláteros), perímetros,
aproximações e estudo de área relativa à composição e decomposição de figuras
planas. Desenvolver habilidades de ler, interpretar e raciocinar matematicamente,
identificar propriedades, fazer abstrações com base em situações concretas,
generalizar, organizar, representar e intervir no real, utilizar calculadoras e
inclusive as novas tecnologias de computação e de informação.
Quanto aos alunos, percebemos que na atividade de Modelagem o
professor tem que os ajudar a enxergar o que é importante em Matemática, fazer
nesta oportunidade o “resgate” dos conteúdos básicos necessários e corrigir
conceitos. Isto se refere a uma “paradinha” no estudo do conteúdo em foco,
dentro dos quais são tratados no currículo, remeter-se a alguns conceitos básicos
que foram ou não bem vistos e entendidos no passado. Constatei que mesmo os
alunos despreparados ou considerados fracos, começam a se interessar pela
Matemática, pois ela passa a fazer sentido ou tem algum significado.
Constatamos também o interesse dos alunos em medir e conferir a área do
seu imóvel (apartamento ou casa), e até mesmo calcular a área do terreno onde
moram. Sugeri que cada aluno procurasse uma situação real ou fato que
possibilitasse o cálculo da área (campo de futebol, quadras, pátio da escola,
terreno do estacionamento, etc.) e fizessem a exposição dos seus trabalhos. Além
da nota, é claro, o intuito era de valorizar e incentivar os alunos, buscando
circunstâncias da realidade.
Finalizando os trabalhos, dos trinta e um alunos da sala, doze
apresentaram seus projetos com cálculos de áreas, dos quais cinco eram de suas
casas, três de terrenos da região onde moram, dois do pátio e escadarias da
escola, um do estacionamento e um do campo de futebol.
Alguns argumentos foram interessantes, pois se tratavam de situações
reais e justificativas plausíveis. Só para citar alguns:
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
139
Aluno 1 – Fiz o cálculo da área do piso de casa. Meu pai vai trocar o piso de
cerâmica de casa, pôr um novo “perolizado”, que é muito caro. Calculei o quanto
vai ter que comprar.
Aluno 2 – Fiquei sabendo que, ao lado da minha casa, o piso do estacionamento
de terra vai ser concretado. Calculei a área do cimentado novo.
Aluno 3 – No campo de futebol Society, que freqüento aos domingos, a areia será
trocada por grama sintética em todo o campo e mais 1 metro nas laterais e
fundos. Calculei a área de grama a ser comprada pelo dono.
5.2 Atividade 2: Desenvolvida pelos professores do mini-curso.
Esta atividade foi baseada no trabalho de Maria Lucia de Carvalho
Fontanini, aluna mestranda da UEL (Universidade Estadual de Londrina) e
adaptada para utilização nesta proposta. A questão é saber: se existe alguma
relação ou um modelo representativo entre “Número da calça” e “medida do
quadril?”
Material necessário: fita métrica, uma folha de papel quadriculado para
produção do gráfico, papel em branco para anotações dos dados levantados e
montagem de tabelas.
Em se tratando de professores, procurei saber quais conceitos poderiam
ser desenvolvidos a partir desta idéia. Imediatamente começaram a manifestar
interesse e citar conteúdos que poderiam ser trabalhados. Seguem alguns
registros: quantificação de dados, contagem, construção e representação gráfica,
medição, sistema de unidades, proporção, números representativos de medidas,
funções, geometria e estatística.
Procurou-se também questionar as possíveis competências e habilidades
desenvolvidas nesta atividade. Sem esperar muito tempo, eles foram se
pronunciando, dizendo sem constrangimento o que achavam. Dentre as várias
manifestações sobre o que pensam e sentem, apresento:
Selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações
representados de diferentes formas para tomar decisões e enfrentar situações-
problema.
Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de
produção e de comunicação, por exemplo: calculadoras e computadores.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
140
Identificar uma situação-problema, selecionando e interpretando informações
correlatas, formulando hipóteses, selecionando estratégias de resolução e
prevendo resultados, em especial em outras áreas do conhecimento.
Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos. Fazer e validar
conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos
conhecidos, relações e propriedades.
Identificar variáveis, construir tabelas, diagramas e precisão de medidas.
Interpretar e construir gráficos relativos a funções afins.
Interpretar e criticar resultados dentro do contexto da situação.
Colaborar nos trabalhos de grupo partilhando saberes e responsabilidades.
Formular hipóteses e prever resultados. Utilizar a Matemática para
representar, interpretar e intervir no real.
5.2.1. A definição do problema e a coleta de dados.
A aula-atividade foi iniciada com uma explicação prévia do que era
pretendido: achar um modelo matemático, como explicação da realidade, que
relacione o número da etiqueta de cada calça com o tamanho do quadril da
pessoa que veste.
O passo seguinte seria recolher dos dados efetuando a medida de todos os
presentes na sala. Eu, logo de início, de posse de uma fita métrica tirei minha
medida coloquei na tabela do Anexo XIV: Quadril 110 centímetros - calça número
48. Assim, sucessivamente, continuaram as medições e registros. Logo após,
seguiu-se à construção coletiva da representação gráfica no plano cartesiano dos
dados obtidos. Posteriormente, pedi à turma que formasse grupos de trabalho.
Solicitei que os grupos relacionassem através de uma função linear, a medida do
quadril com o número da calça.
Segue abaixo o levantamento dos dados ocorrido no terceiro encontro, com
trinta pessoas, sendo: Eu, dois membros da Diretoria de Ensino, dezenove
professores participantes do curso, além de outras oito pessoas presentes na
escola (serventes, inspetor, coordenador, secretário, etc.)
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
141
Tabela 2 – Dados levantados durante o curso com professores de Diadema
Quadril N°Calça
Quadril N°Calça
Quadril N°Calça
Quadril N°Calça
110 48 118 52 105 46 107 46
98 42 109 48 102 44 105 46
89 36 95 40 115 50 104 44
115 50 96 40 116 50 100 44
100 44 98 42 119 52 97 42
88 36 99 42 115 48 90 38
92 38 94 40 113 48
96 42 112 48 108 46
Conforme anexo XIV
5.2.2 – Construção de modelos e validações
De posse dos dados levantados, os dezenove professores se dividiram em
cinco grupos e começaram a realização das etapas da Modelagem.
a) Representação gráfica dos dados obtidos pela sala e a tabela da revista.
Sem maiores dificuldades os professores identificaram as grandezas,
dividiram o papel quadriculado, procuraram a escala mais adequada, definiram
como eixo das abscissas a medida do quadril representada pela letra “q” e como
eixo das ordenadas o número da etiqueta representada pela notação “E(q)”
Figura 9 – Gráfico cartesiano dos dados coletados
b) Construção de um modelo
Diante do gráfico acima, foi solicitado aos grupos que procurassem uma
relação entre as duas grandezas. A proposta era procurar a reta que mais se
aproximasse de conjunto de pontos levantados. Como estávamos falando em
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
142
Modelagem Matemática para o Ensino Básico, não havia sentido falar em
regressão linear, ou Método dos Mínimos Quadrados, Correlação, etc., pois o
objetivo não era este. Orientei para fazerem um ajuste linear dos dados, quer
dizer, para encontrarem a reta, tipo y = ax + b, que mais se aproximasse dos
nossos pontos ou passasse no maior número de pontos possíveis.
Cada grupo procurou chegar a uma função observando os pontos
apresentados na figura 6. Elaboraram hipóteses, julgaram, fizeram conjecturas,
porém chegaram a números diferentes para a relação entre o quadril e o número
da calça, representada por uma função do primeiro grau. Assim, tomando dois
pontos da tabela eles resolveram um sistema e obtiveram modelo.
Ajuste do modelo linear efetuado pelos Grupos I, II e III:
Grupo I : Tomou como base os pontos Vermelhos (102 , 44) e (90 , 38)
Grupo II : Tomou como base os pontos Azuis (110 , 48) e (90 , 38)
Grupo III : Tomou como base os pontos Verdes (94 , 40) e (118 , 52)
Figura 10 – Gráfico do modelo definido pelos grupos I, II e III
Em todos os casos obtiveram o seguinte modelo:
75,0)(
−
=
qqE
Sendo “q” é a medida do quadril em cm e “E(q)” a numeração da calça.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
143
Ajuste do modelo linear efetuado pelo grupo IV:
Grupo IV: Tomou como base os pontos (113, 48) e (98,42)
Figura 11 – Gráfico do modelo definido pelo Grupo IV
Obtiveram o seguinte modelo:
Ajuste do modelo linear efetuado pelo Grupo V:
Grupo V: Tomou como base os pontos (118, 52) e (92,38)
Figura 12 – Gráfico do modelo definido pelo Grupo V
Obtiveram o modelo:
8,2
15
6
)( += qqE
54,11
26
14
)( −= qqE
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
144
Diante dos modelos construídos, propusemos comparar e debater os
resultados:
• “Qual dos resultados é o melhor?” “Qual deles é o mais representativo?”
• “Quantos pontos realmente fazem valer o modelo?”
Ao analisar os modelos, percebeu-se que os mesmos, só poderiam ser
aplicados para alguns poucos valores. A medida de quadril 100 cm e etiqueta 44
de um professor, não seria encaixada em nenhum dos três modelos propostos.
Caso ele tivesse que comprar uma calça teria que ser número 43, cuja
numeração de calça não existe.
Já a medida de quadril 105 cm de acordo com os modelos apresentados
teria na etiqueta a numeração 45,5 que também não existe. E ainda surgiu a
questão de medida decimal. Qual deveria ser o número da calça de uma pessoa
cujo quadril mede 98,5 cm?
Em se tratando de um mini-curso para professores graduados na Área de
Matemática, apresentei, a título de curiosidade, um site
15
que faz o ajuste linear
de dados on-line, caso o professor queira tirar suas dúvidas e fazer um “tira-
teima” do ajuste feito à mão.
Figura 13 – Resultado apresentado pelo programa LINEAR REGRESSION APPLET
15
Site http://science.kennesaw.edu/~plaval/applets/LRegression.html ; LINEAR REGRESSION APPLET
desenvolvido pelo Dr. Philippe B. Laval, na Universidade de Estado de Kennesaw. O National Science
Foundation departamento dos E.U. de instrução FIPSE E-mail: [email protected] Acesso pelo:
http://cursos.if.uff.br/fisica19/doku.php/ajuste_linear
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
145
Temos: Y = 0,47952680468196773 .X – 5,172546896044209
Com Correlação 0,98079069076680
No qual X representa a medida do quadril “q” e Y o número na etiqueta “E(q)”.
Fazendo arredondamento para duas casas decimais:
Y = 0,48.x – 5,17 ou E(q) = 0,48.q – 5,17
Percebemos que o modelo que mais se aproximou foi o apresentado pelos
Grupos I, II e III:
Mesmo assim, nenhum deles é suficiente para servir de referência, como
modelo da situação proposta.
c) Reestruturação e busca de um modelo mais representativo
Inúmeros foram os questionamentos na tentativa de encontrar o modelo
que poderia “encaixar” a maior quantidade de pontos. Como orientador da
atividade procurei chamar a atenção para pontos fundamentais: o número da
etiqueta é sempre um número inteiro (de 36 a 52); Todas as etiquetas possuem
números pares (portanto, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52). Qualquer que seja a
medida do quadril “q” deverá corresponder a um número inteiro “E(q)”.
Surgiu entre os grupos uma tentativa de que, para resolver este problema,
seria necessário utilizar a função Maior Inteiro. Para minha surpresa, apenas dois
professores dentre os dezenove, conheciam tal função. Durante alguns minutos a
atividade de Modelagem foi interrompida para explicação do que é a função e
qual a representação gráfica.
Apresentei para o grupo a definição e a representação das funções
“popularmente” denominadas Piso e Teto: Função Piso[x] refere-se ao Maior
Inteiro menor ou igual a x, enquanto Função Teto [x] refere-se ao Menor Inteiro
maior ou igual a x.
A função usada neste caso é a Maior Inteiro, cuja definição é a função que
a cada número real x associa o maior inteiro menor ou igual a x.
[x]= {maior inteiro menor ou igual a x}
Voltando à Modelagem, todos estavam interessados agora em saber qual
seria aquela função. Neste instante passamos unir as forças, ou seja, sob a
orientação do pesquisador todos os grupos agora participavam de uma conversa
a fim de procurar um modelo que mais se aproximasse do ideal.
7.5,0)(
−
=
qqE
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
146
Segue os registros da conversa entre os professores, doravante
denominados de P1, P2, P3 e assim sucessivamente, sob minha observação
como Orientador, denominado Will:
P1 – Já que a etiqueta é par, a função deverá ser do tipo y = 2.k
P2 – Além de multiplicar por 2. k deverá ser um número inteiro, portanto
y = 2.[k]
P3 – Onde você quer chegar?
P2 – Olhando para o gráfico a calça que tem mais é o número 42... Tem seis
medidas diferentes de quadril... 100, ou 99, ou 98, 97, 96, ou 95...
P3 – Tá e daí?
P2– Vamos fazer o caminho inverso... Veja só:
Se y= 2. [k] e y = 42, então [k] = 21, certo?
P1 – Certo!
P3 – Já entendi... para cada medida do quadril o valor de [k] tem que ser 21.
P2 – Quer dizer, se o quadril for uma dessas medidas o resultado tem que ser 21.
P1 – “Pera aí!”... tem pessoas com o mesmo quadril e calças diferentes....Veja o
96 cm. Tem uma pessoa que veste 40 e outra 42... Qual é o correto?
P3 – Sei lá! Vamos pela maioria... 96 é o número 42...
P4 – Eu acho que não! Veja bem... O 96 deve ser a calça 40 no mínimo, mas isso
não impede que um outro use 42. Talvez goste de calça frouxa ou goste do “bicho
solto”....– (Risos )
Will – Você falou uma palavra interessante... ”Mínimo”. Isso quer dizer que uma
pessoa de calça 40 poderá usar uma 42 também, mas não o contrário.
P1 – É horrível usar calça apertada...
P3 – Então você quer dizer que esses dois são “calça frouxa”? (risos) Disse
apontando para os pares ordenados (95,42) e (96, 42).
Figura 14 – Gráfico cartesiano mostrando irregularidades no modelo
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
147
P2 – Isso. Assim como esses dois, também têm o (100, 44), (115,50).
Will – Então como poderá ser o gráfico, já que entre dois quadris de mesma
medida a que prevalece é a menor.
P2 – Vamos fazer por tentativas...
Will – Isso... Comecem fazendo um intervalo de três em três.
Cada grupo voltou a pegar o gráfico e traçar possíveis modelos. O grupo V
se adiantou e apresentou para a classe um primeiro modelo possível.
Figura 15 – Gráfico do primeiro modelo criado na função menor inteiro
P2 – Veja que, por esta função ficaram apenas 5 pontos fora dela.
Will – Tudo bem, mas esta função não é contínua. Existem brechas entre os seus
traços. Veja por exemplo quem tem quadril 113 cm, não vai encontrar calça no
seu modelo. Já o quadril 89 cm, não sabe se compra 36 ou 38.
P2 – E se fizer o intervalo maior... tipo... de 4 em 4 para tapar os “buracos” .
P3 – Precisamos tomar cuidado para que um intervalo não avance em cima do
outro.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
148
O grupo IV, por sua vez, construiu o seguinte modelo:
Figura 16 – Gráfico do segundo modelo criado
Will – Legal! Este modelo parece ser melhor de todos, pois somente 4 pontos
ficaram fora dele. Ok. Todos parecem concordar que esse modelo é o melhor,
não é mesmo? Agora só falta matematizá-lo. Alguém tem alguma idéia?
d) Matematização de um novo modelo
Após breve paralisação e silêncio, começaram as conversas paralelas a
procura do melhor modelo (fórmula).
P5 – Bom, pelo que percebi a calça número 42 veste as pessoas de quadril maior
que 96 e menor ou igual a 100.
Como o tempo estava se esgotando resolvi juntar todos os grupos e com o
gráfico do grupo IV, coordenar a matematização do modelo.
Will – Como já foi dito, a etiqueta é par, a função deverá ser um número inteiro
par, portanto: y = 2. [k] onde k depende da medida do quadril. Perceba que
pelo gráfico, a calça cujo número é 42, corresponde a pessoas de quadril maior
que 96 e menor ou igual a 100. Assim, se 96
<
q
≤
100 então E(q) = 42.
Will – Se y = 2. [k] e y = 42 então [k] = 21, portanto temos que chegar a 21
Vamos supor que q = 99 cm então: devemos dividir por 4 , ver o maior número
inteiro menor que este resultado.
Assim 99
÷
4 = 24,75. Portanto, o maior inteiro menor que 24,75 é o 24.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
149
( )
−
= 3
4
99
*2qE
(
)
[
]
(
)
375,24*2
−
=
qE
( )
−
= 3
4
108
*2qE
Mas, lembre-se que temos que chegar ao 21. Logo devemos subtrair 3 e
finalmente multiplicar por dois.
Com este modelo, todos os resultados obtidos seriam múltiplos de dois,
portanto pares. Resolvemos fazer uma verificação. Prossegui dizendo:
Will – Sendo q = 99 pelo gráfico, devemos obter calça número 42. Assim,
efetuando,
Temos:
Portanto, E(q )= 42 . Viram como deu certo?
Solicitei que todos fizessem cálculos e comprovassem a veracidade do
modelo. Bastava chutar um valor de medida do quadril e verificar se dava certo o
modelo. Tomaram como base a tabela da revista Manequim.
Tabela 3 – Calças jeans comercializadas atualmente
Nº da calça 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
Quadril (cm)
88 92 96 100
104
108
112
116
120
124
Fonte: Revista Manequim, edição 551, novembro de 2005.
Logo no primeiro momento apareceu um número que invalidava o modelo.
Todos curiosos para saber qual era o número que não dava certo.
e) Validação do modelo
P6 – Vamos supor a medida 108 cm, pela tabela da revista deverá ser 46, mas
pelo modelo criado, não dá certo. Pode verificar!
Will – Ok. Vamos conferir juntos: Seja q = 108, então aplicaremos o modelo:
( )
−
= 3
4
*2
q
qE
(
)
(
)
324*2
−
=
qE
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
150
Efetuando
Temos:
Portanto E(q)= 48 e não 46 conforme a tabela.
Após uma pausa.
Will – Realmente você tem razão!... Falei olhando para todos.
Um enorme silêncio ficou na sala. Pelo que pude observar, certo
descontentamento, decepção e sensação de engano se espalhou entre os
professores. Procurei tranqüilizá-los dizendo:
Will – Calma pessoal. Modelagem é assim mesmo. Temos que lembrar que
estamos lidando com problemas reais e precisam ser validados, testados,
reformulados, confrontados com os dados empíricos e, em alguns casos, buscar
novos métodos se necessários. Diante de uma negativa, a solução é voltar aos
dados iniciais do experimento, e retomar o processo.
Alguns balançaram a cabeça no sentido de confirmação, mas continuavam
confusos.
Will – O grau de aproximação desejado será o fator preponderante na decisão.
Lembrando que já fizeram a aproximação para uma reta e ninguém achou que
ficou plenamente satisfatório. Caso o grau de aproximação entre os dados reais e
a solução do modelo não seja aceito, devem modificar as variáveis ou a lei de
formação e com isso o próprio modelo original é modificado e o processo se inicia
novamente.
P7 – Mas vamos jogar esse modelo fora e procurar outro?
Will – Quem sabe? Tudo depende da sua exigência!
P2 – Podemos aproveitar o que já temos?
Will – Claro que sim! Alguém tem alguma sugestão?
Todos ficaram pensativos, mas ninguém se pronunciou. Devido à falta de
tempo, prossegui com a análise do modelo.
(
)
[
]
(
)
327*2
−
=
qE
(
)
(
)
327*2
−
=
qE
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
151
Will – Percebam que todos os dados da tabela fornecida pela “Revista Manequim”
são múltiplos de Quatro! Será que não podemos ter um modelo diferente para
estas medidas?
P8 – E pode?
Will – Claro que pode? Se vocês pensarem um pouco, podem perceber que
temos uma função ponto a ponto. Podemos definir o modelo como sendo uma
função com duas sentenças.
P2 – Como assim?
Will – Note que existe uma função que relaciona todos os pontos representados
por todos esses pontos... – Falei apontando para a tabela da revista e os pares
ordenados: (88, 36), (92, 38), (96, 40), (100, 42),... em diante.
Figura 17 – Gráfico da tabela da revista “Manequim”.
Will – Percebam que estes pontos realmente formam uma reta, cuja equação é:
E(q) = 0,5. q – 8.
Will – Desta forma podemos completar o modelo como sendo:
Ν∈≠
−
Ν∈=−
=
nnqse
q
nnqseq
qE
,4,3
4
*2
,4,8.5,0
)(
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
152
Will – Agora que já temos o modelo, deixo para vocês fazerem a validação do
mesmo, inicialmente com os dados já levantados e depois comparando com
outros.
Para concluir e validar o modelo era necessário avaliar e definir o quanto
ele se aproxima da situação-problema representada, bem como o grau de
confiabilidade de sua utilização, embora somente neste parágrafo falamos de
processo de validação. Como podemos perceber nas etapas acima, este
procedimento foi utilizado várias vezes durante o processo de Modelagem de
maneira informal. Sempre que chegava a um modelo, o grupo e o orientador
checavam se este dava conta da situação real. A cada incompatibilidade entre o
modelo encontrado e a situação real, este era modificando, originando um novo
modelo, repetindo o procedimento até chegar ao modelo final.
Nesta atividade, foi possível notar que o objetivo foi alcançado, pois todos
os professores vivenciaram o processo de criação de um modelo. Alguns
chegaram a validar o modelo matemático apresentado, no entanto, o interesse
maior era buscar e mostrar detalhadamente os conteúdos matemáticos
envolvidos (conceito e representação de função) e o que poderão ser trabalhados
a partir dela, as competências e habilidades que permitirão avaliar o desempenho
desta proposta. Dentre eles destacam:
Tabelas e gráficos: Reconhecer quando há correspondência entre duas
grandezas; distinguir funções representadas por tabelas, por fórmulas e por
gráficos; efetuar cálculos e interpretar resultados usando a notação f(x).
Representar geometricamente pares ordenados, sistema cartesiano;
Identificar variáveis relevantes e selecionar os procedimentos para a
produção, análise e interpretação de resultados; função linear y = a x + b, e
observar o significado dos coeficientes “a” e “b”. Função “menor inteiro”
Desenvolver habilidades no emprego de procedimentos e estratégias
adequadas para resolução de problemas; utilizar a Matemática para
representar, interpretar e intervir no real. Explorar raciocínio dedutivo e
indutivo.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
153
Medir e expressar medidas adequadamente, avaliando sua precisão; fazer
e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a esboços, fatos
conhecidos, relações e propriedades.
A inquietação e a impaciência em encontrar a Matemática numa situação
real e representá-la em seu modelo caracterizam, de certa forma, uma
necessidade de encontrar conexões entre uma situação qualquer e a Matemática.
Diante disso, acredito que tal anseio pode representar o desenvolvimento de uma
visão mais ampla acerca do processo ensino-aprendizagem da Matemática, em
que se leva em consideração o importante papel do professor de Matemática, no
sentido de auxiliar seus alunos a construírem conhecimentos.
5.3 Atividades propostas durante o mini-curso.
No último dia do curso, foram solicitados que os professores escolhessem
um possível tema para execução do trabalho de Modelagem na escola. Este
trabalho tinha como objetivo que os professores pudessem vivenciar por completo
um processo de Modelagem e dificuldades, desde a escolha do tema até as
previsões e conclusões sobre o modelo desenvolvido, além de, durante o curso,
também aprender e reconhecer o que é Modelagem Matemática. Esta é a
concepção de Modelagem Matemática na formação de professores defendida por
Almeida e Dias (2006) e permite aos professores ter experiência pessoal com a
alternativa pedagógica que poderão vir a usar em sua atividade docente.
O trabalho solicitado foi dividido em seis momentos:
1° Momento: Escolha de um tema possível de ser trab alhado em sala de aula,
evidenciando propriedades e características da Modelagem, apresentadas no
mini-curso.
2° Momento: Traçar metas e objetivos do tema acima proposto, identificar
atividades e questionamentos, a fim de fazer investigações acerca das idéias de
Modelagem. Poderão ser divididos em 2.1. Geral e 2.2. Específico.
3° Momento: Produzir justificativa e argumentos que comprovam a viabilidade da
proposta. Propiciar aos alunos a oportunidade de vivenciar a Matemática de
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
154
situações cotidianas e reais, visando otimizar a aprendizagem e motivar o
estudante.
4° Momento: Refere-se a descrever algumas caracterí sticas, tais como: Público
alvo; Séries participantes; Metodologia e descrição dos trabalhos.
5° Momento: Refere-se a descrições, se possível, de recursos e materiais
empregados, equipamentos, cronograma das atividades e tarefas.
6° Momento: Trata-se de como avaliar a participação dos alunos nestas
atividades, quer seja, com a elaboração de relatórios ou participação ativa nas
discussões em grupo, os quais poderão contribuir para a sua avaliação bimestral.
Segue a descrição das atividades propostas pelos professores
Grupo I: Consumo da conta de telefone, conforme Anexo XV
Grupo II: Música no intervalo conforme, Anexo XVI
Grupo III: Financiamento, conforme Anexo XVII
Grupo IV: Custo do pãozinho, (pão francês) conforme Anexo XVIII
Grupo V: Pintura da escola, conforme Anexo XIX
Foi um trabalho muito interessante o qual todos os professores puderam se
expressar e com estímulos diversos produziram temas criativos para futuros
trabalhos com Modelagem. Teve como objetivo:
Exercitar, através da mobilização de uma série de recursos pessoais, a
contextualização e a compreensão da diversidade;
Facilitar a convivência e troca de idéias, inclusive abrindo caminhos para
ampliar as possibilidades de atuação e realização de outro encontro para
ver possíveis resultados.
Importante notar que os temas propostos para os trabalhos derivam
diretamente do cotidiano dos alunos, são situações reais e envolvem Modelagem
Matemática.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
155
CAPÍTULO VI
PONDERAÇÕES SOBRE A EXPERIÊNCIA REALIZADA.
Ao trabalharmos com Modelagem no ensino da Matemática percebemos
que ela nos impõe um grande desafio a serem enfrentados pelos professores,
alunos, pais e da própria escola. Talvez seja porque grande parte dos professores
foi formada numa pedagogia tradicional e conservadora. Diante disso torna-se
difícil se acostumem com estas novas situações.e superar em cada ação a forma
de se encaminhar a prática pedagógica em sala de aula.
Durante a execução desse trabalho pudemos identificar algumas fases
essenciais:
(I) Divulgação para os professores presentes quais as tendências do
ensino da Matemática no século XXI. Esta foi à fase inicial com exposição
problemas do ensino de Matemática e quais as possíveis dificuldades dos alunos
em aprendê-la.
(II) Procura de uma solução, para tirar a educação Matemática da situação
de vilã do ensino básico. Apresentação da proposta do que seja a Modelagem
Matemática e de que forma poderá ser utilizada como alternativa de aprender
com situações reais. Exibição de fundamentos teóricos e principais pesquisadores
de Modelagem.
(III) Exemplos de Modelagem e como trabalhar em sala de aula no Ensino
Básico. Pesquisas, explorações e criações de temas possíveis para trabalhar em
sala de aula.
(IV) O professor investigando e aprendendo para ensinar Matemática por
meio da Modelagem. Nesta fase denominada “mão na massa” os professores
fazem todo o processo de Modelagem, desde o levantamento e apuração dos
fatos, até o modelo final e sua validação. A todo o momento, os professores, em
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
156
grupo, revelaram o despreparo em lidar com situações novas, embora tivessem
mostrado dedicação e interesse em obter soluções adequadas às situações
propostas.
(V) Debates e discussões sobre o tema Modelagem. Ela é uma solução?
Ela é viável no ensino básico e permite explorar conteúdos do currículo? Depois
de todos conhecerem o processo da Modelagem através de exemplos e até
construírem um modelo, passou-se a debater aspectos favoráveis e desfavoráveis
para implementação destas atividades no curso. Analisou-se também o preparo
do professor ao lidar com situações novas e imprevistas, quais adaptações terão
que ser feitas. Além da necessidade do professor em se aprimorar
constantemente com novas tecnologias (calculadora, computadores, softwares) e
adaptações às novas tendências do ensino com diferentes abordagens.
A seguir descrevo depoimentos e opiniões dos professores sobre a
importância de resolver problemas fundamentados, da compreensão da
Matemática no mundo real e a promoção da Modelagem como uma alternativa
inovadora para aprender esta disciplina.
Destaco a necessidade de cursos como este, o qual serviu de base para
este trabalho, para levar novos conhecimentos a professores que se encontram
fora do “mundo acadêmico”, principalmente aqueles da Rede Pública Estadual de
ensino, que foram sujeitos desta pesquisa.
Esta investigação mostra que as mudanças na educação, ou acontecem na
sala de aula ou não acontecem. É lá o espaço nobre, considerado o mais
importante, mais significativo e mais rico de todo o sistema educacional. Entre
suas paredes, o professor coloca em prática as decisões sobre o que ensinar e
como ensinar. De nada vale uma quantidade enorme de estudos, propostas e
pesquisas, se os professores não os conhecem, não sabem como e quando
utilizá-los ou aplicá-los.
6.1 Analisando a Parte 2 do questionário.
(Anexo II - Questões para conhecer o professor), verificamos na pesquisa
as seguintes considerações:
• Referente a tendências da educação Matemática.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
157
Dos professores pesquisados, verificou-se que dentre as novas tendências
(Resolução de problemas, Etnomatemática, Jogos Matemáticos, Desafios
Quebra-cabeças, o uso da tecnologia TICs, História da Matemática, Tarefas
Investigativas e Modelagem Matemática), todos já ouviram falar, mas fazem
pouco ou quase nenhum uso em sala de aula. Notamos que cinqüenta dos
cinqüenta e cinco professores (91%) conhecem somente aquelas apresentadas
como notas e reflexões nos livros didáticos, que utilizam para ministrar suas
aulas, ou através de cursos nas oficinas das Diretorias de ensino. Apenas cinco
(9%) deles já tiveram oportunidade de ler livros, artigos e revistas sobre outras
tendências.
Apesar disso, todos os participantes da pesquisa mostraram-se simpáticos
às novas idéias, abertos e receptivos às mudanças. Procuraram aprimorar seus
conhecimentos, adquirir mais afinidade com as novas propostas e ferramentas,
como forma de somar recursos para sua atividade em sala de aula.
Em depoimento, professores alegaram serem todas as tendências
interessantes e viáveis para o ensino da Matemática. Devido à carência de cursos
de aperfeiçoamento e de capacitação para professores, solicitaram que a
Diretoria poderia promover novos encontros e mini-curso. Isso pode ser
constatado através das manifestações:
–“Gostaria de conhecer todas essas tendências... Quando será o próximo curso?”...
– “Saí da faculdade de licenciatura em 2004 e nunca ouvi falar de Etnomatemática
e Modelagem Matemática... Os cursos de graduação deveriam preparar melhor os
professores”... – “Tudo que vier para melhorar o ensino da Matemática será muito
bem vindo”
• Referente ao problema do ensino de Matemática. (causas do insucesso da
Matemática e o baixo rendimento)
Segundo os professores pesquisados, inúmeros são os motivos. A “culpa”
para eles é distribuída entre os governantes, os docentes, os familiares e dos
próprios alunos. Seguem alguns depoimentos:
Por parte dos Governantes:
–“Falta de investimento nas escolas e na formação contínua do professor, além
de baixos salários”... –”Política governamentais inadequadas em relação à
educação”...–“O governo deveria tratar os professores com mais respeito”. –
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
158
“Problema sócio econômico: Alunos com várias deficiências (afetiva, nutricional,
trabalha para ajudar a família)”... –“Salas de aulas superlotadas, na maioria dos
casos”... –“A violência que traz insegurança e impede o bom desenvolvimento do
ensino”... –“Utilização de livro não contextualizado e pouca disponibilidade de
material didático para aulas alternativas”... –“O governo geralmente opta por
livros didáticos mais baratos e com poucas páginas
”.
Por parte dos Professores:
–“Falta de compromisso de professores com o ensino”.... –”Pouco ou nenhum
tempo para pesquisa e preparo de aulas diferenciadas”.... – “Falta de tempo ou
acomodação do professor em aprimorar o seu conhecimento”. .. – “Os
professores das escolas públicas precisam de tempo livre para leitura e estudos
complementares”.... –“A dificuldade do professor em mudar o processo ensino
aprendizagem (ainda somos muito tradicionais)”... –“Temas descontextualizados,
assuntos e aulas que geram desinteresse”.
Por parte da Família:
–“Falta de acompanhamento nos estudos, incentivo e estímulo ao raciocínio”... –
“Lares desestruturados e família ausente”... –“Desinteresse por parte da família
em incentivar o filho a estudar”. –“O conceito monstruoso da Matemática que a
criança traz de casa. Mito que já vem dos pais de que matemática é
extremamente difícil”.... –“A escola ensina a matéria (português, matemática etc),
pais educam. Se a criança não tem estrutura em casa, não vai conseguir
acompanhar as aulas”.
Por parte dos Alunos:
–
“Falta de concentração, interesse e atenção. Isso gera indisciplina e eles só
pensam em brincar”.... – “Os alunos não reservam um tempo para estudos fora
da escola. Ficam horas e horas no videogame, Internet (em sites escusos à
educação) e outras coisas fúteis”. ... –“A visão pessimista existente em
matemática leva a certos preconceitos: – A matemática é difícil... ou - Eu não
vou conseguir aprender!”... –“Dificuldade de leitura, interpretação e escrita.
Como eles não são “cobrados” e ocorre praticamente à aprovação automática,
não há compromisso com os estudos e isso gera falta de interesse no aluno”.
Ausência de objetivos futuros...
–“O aluno acha que a presença já é o
bastante para passar de ano. Não é importante aprender o que eu nunca vou
usar”. ...
Objetividade em relação à formação
. –“Onde vou usar isso no
mercado de trabalho”.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
159
É evidente que todas as causas do insucesso da Matemática e os baixos
rendimentos apresentados, trata-se de um desabafo de professores ou “gritos da
alma” por indignações a procura de um ou vários culpados.
Lembrando das palavras de Gonzaguinha - “Quando eu soltar a minha voz,
por favor, entenda, que palavras, por palavras eis aqui uma pessoa se
entregando. Coração na boca, peito aberto vou sangrando…”. Por simples que
seja esta citação, estão implícitos outros sentidos. Traz consigo certa angústia,
frustração, desconforto e inúmeras reflexões. Traduz de maneira clara e direta, o
retrospecto da vida, trabalho e jeito de viver do professor.
Todavia, professores presentes nesse mini-curso querem uma educação
de qualidade e estão procurando criar espaço ou abrir caminho para melhoria do
ensino. Na questão a seguir, argumentam sobre propostas que possibilitam a
reversão do quadro.
• Referente às estratégias para o sucesso do ensino de Matemática.
(Verificar quais sugestões ou soluções possíveis os professores apontam para
favorecer a aprendizagem de Matemática).
Segundo os professores pesquisados, nesta questão eles responderam
dando sugestões e soluções possíveis, de maneira análoga, distribuídas entre os
governantes, os docentes, os familiares e dos próprios alunos. Seguem alguns
depoimentos:
Por parte dos Governantes:
–“Políticas públicas de educação, com investimento nas escolas e na formação
contínua do professor, além de valorização de salários do professor”... –“Número
menor de alunos em sala e aulas de reforço, para alunos com defasagem de
ensino”. –“Segurança nas escolas”. ... –“Melhor regularização, preparação e
controle do ensino da matemática nas séries iniciais”. ... –“Mais reconhecimento
e apoio aos professores, com cursos para aprofundamento dos professores em
diversos temas e orientações técnicas”.
Nesse mesmo sentido
– “Investir na
formação de professores e capacitar os que já estão lecionando”... –“Promover
encontros periódicos com professores de matemática para troca de
experiências”.
Através do Programa Nacional do Livro Didático - PNLD, o governo federal
adquire e distribui gratuitamente livros didáticos de todas as disciplinas para todos
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
160
os alunos das escolas públicas. Como sugestão:
– “O governo poderá optar por
comprar livros didáticos contextualizados e com matemática de situações reais,
mostrando as novas tendências”.
Por parte dos Professores:
–“Aulas dinâmicas e problemas práticos, estimulando o interesse do aluno”. ... –
“Trabalhos e projetos que envolvam leitura e interpretação desde a mais tenra
idade”... –“Exercícios mais voltados ao cotidiano do aluno. Aprendizagem na
prática, aplicando a matemática em todos os momentos possíveis estimulando o
raciocínio com situações reais”. ... –“Conscientização da importância da
matemática. Mostrar através de situações práticas a importância da matemática
na vida moderna”. ... –“Criar meios para que os alunos achem a matemática
inovadora e motivadora, que vai lhe ajudar futuramente”. ...–“Seqüências
didáticas diferenciadas utilizando investigação científica, de modo que a
matemática tenha sentido para os alunos”. ... –“Trazer assuntos interessantes e
fazer os alunos gostarem da matéria”. ... –“Demonstração de situações
concretas onde o aluno veja que a matemática não é ‘bicho de sete cabeças’.
Apagar a imagem de que ele não será capaz de aprender matemática”. ... –
“Situações que façam com que o aluno tenha interesse pela matemática.
Desafios para que eles possam participar da aula”.... –“Trabalhar com uma
linguagem mais próxima da linguagem do aluno, com situações que eles
compreendam”. ... –“Conseguir fazer uma ligação com a realidade do aluno.
Estimular o aluno para o mercado de trabalho
”.
Por parte da Família:
–“Cooperação da família e da comunidade. Políticas governamentais que
estruturassem as famílias para que estas pudessem orientar melhor os seus
filhos”... –“Responsáveis mais presentes e atentos a seus pupilos, no incentivo e
na cobrança de ensino/aprendizagem”.... –“Estimular os filhos a superar
obstáculos e desafios de qualquer natureza”.
Por parte dos Alunos:
– “Conscientização de suas obrigações”... – “Desenvolver o gosto pelo estudo no
geral. Estudar é uma questão de hábito”... –“Perceber a devida importância
social ao ato de aprender”... –“Ter compromisso com os estudos, objetivos de
vida e responsabilidade com o seu futuro”... –“Ter vontade de aprender”. ... –“Ser
mais aplicado, ou seja, estudar e buscar novas formas de solucionar suas
dúvidas e dificuldades”... –“Os alunos precisam ser estudantes e não meros
espectadores”... –“Estar aberto e receptivo para mudanças”.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
161
Tais argumentos apresentados na pesquisa indicam indícios dos rumos do
ensino no Brasil, sob pena de falência do sistema de Ensino Público, gratuito e de
qualidade. Estas questões exigirão a união de todos aqueles que se dedicam ao
ensino neste país envolvendo governantes, famílias, educadores e educandos,
para discussão na busca de soluções e proposição de alternativas. O pretexto
dessa questão era fomentar debates e indicar contribuição de profissionais que
atuam na sala de aula, a fim de servir para estudos posteriores.
• Referente à profissão de professor. (Verificar o que os professores acham
da sua profissão e falam dela para outros que a queiram seguir)
Perceba como as palavras profissão e professor se parecem? Elas
nasceram da mesma raiz etimológica, o que faz todo o sentido: o professor é a
primeira das profissões. Todas as outras especialidades e habilidades técnicas só
podem existir quando há professores ensinando-as aos seus discípulos. Toda
profissão precisa de professores. Ambas as palavras derivam do latim
“professum”, que por sua vez vem do verbo “profitēri”. De acordo com o Dicionário
Houaiss (ver também Dicionário Etimológico da Língua Portuguesa de José Pedro
Machado), são muitos significados convergindo para um só sentido: professar,
prometer, protestar, obrigar-se, confessar, mostrar, dar a conhecer, ensinar; que
requer iniciativa, responsabilidade, segurança e de liderança; aquele que é
versado em qualquer ramo de ciência ou arte.
Há unanimidade dentre professores pesquisados, dizendo que é preciso
gostar da profissão e buscar sempre se aperfeiçoar, uma vez que ela é muito
desafiadora e exigente. Seguem alguns depoimentos:
–“Que é uma grande profissão, mas precisa de reflexões diárias”... – “Que é uma
profissão espinhosa, porém gratificante”... –“O trabalho de professor exige
aptidão, comprometimento, dedicação, amor pela matemática e pelo próximo,
ainda muita, muita paciência”... –“ Acima de tudo fazer aquilo que você gosta e
sinta prazer em realizá-la”.
Considero uma profissão gratificante, de constante aprimoramento e de
novos rumos. Sempre será uma profissão do futuro, afinal as pessoas caminham
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
162
nesta terra há 12 milhões de anos e a única coisa que vêem repetindo neste
tempo todo é o processo de aprendizado.
Embora todos gostem de sua profissão, verificamos que trinta e quatro
dentre os cinqüenta e cinco (62%) não a indicariam para outras pessoas pela falta
de reconhecimento e valorização. Seguem declarações:
–
“Ganha muito pouco por tudo aquilo que é de sua responsabilidade. Existem
profissões que ganham muito mais e não possuem tantas obrigações ”... –“Dar
aulas para ser maltratado por alunos e ter uma profissão totalmente
desrespeitada? Não indico isso pra ninguém”. ... –“As pessoas não querem ter
uma profissão que é um fracasso”.
É sabido que parte dos formados em Licenciatura no país não trabalham
como professores nas escolas brasileiras. A desvalorização desta profissão
diminuiu o interesse de estudantes para esses cursos. Em julho, o Conselho
Nacional de Educação (CNE) chegou a divulgar um estudo que falava em apagão
de professores, já que o país teria um déficit de 246 mil profissionais. (Jornal O
Estado de São Paulo, 15 outubro de 2007)
Considerando o professor como formador de opinião, hábitos e costumes,
este número de 62% que não indicam sua profissão para outros e suas
justificativas, é extremamente preocupante. Sem querer ser pessimista, esses
professores poderão servir de parâmetros para os alunos e ninguém mais se
interessar pela profissão de professor. Brevemente, se não houver uma
valorização em todos os sentidos do professor, não haverá docentes para lecionar
nesse país.
Inspirado nas orientações de D’Ambrosio, acredito que um professor deve
ensinar a sonhar: a sonhar que o aprendizado que está ministrando pode ser um
ótimo companheiro para se obter tudo aquilo que o aluno pensa conseguir em sua
vida, que o conhecimento é o caminho do saber, e o saber auxilia no caminho do
ter e do ser.
Os professores têm de procurar ser como general estrategista: conhecer
muito além de sua área de ensino para poder ensinar e compreender esta nova
geração de alunos.
•
•
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
163
• Referente a propostas de trabalho e melhoria do ensino. (Verificar se os
professores possuem projetos ou sugestões para a melhoria do ensino de
Matemática).
Seguem algumas propostas apresentadas:
Propor tipos de problemas que enriqueçam as experiências dos alunos
sobre o sentido de fazer Matemática.
Propor problemas abertos (que dêem margem a diferentes respostas),
possibilitando que os alunos utilizem estratégias próprias e adquiram
confiança na sua maneira de produzir Matemática e fazer as novas
aquisições.
Criar situações os quais os alunos consultem a si mesmos, aos colegas e
às fontes de informação disponíveis antes de pedir ajuda ao professor.
Propiciar momentos em que os alunos troquem informações, argumentem
e reflitam sobre produções e afirmações suas e dos colegas.
Propor atividades em que os alunos se sintam responsáveis pelo controle e
verificação dos resultados obtidos, analisem acertos e erros, dispondo-se a
reelaborar seus procedimentos quando necessário.
Apresentar, com freqüência, situações didáticas que envolvam cálculo
mental e tenham momentos para exposição do que pensam e fazem,
colaborando para que eles manifestem suas opiniões e discutam dando
sentido na produção matemática.
Propor ampliação de conteúdos além do programa mínimo exigido.
Utilização de variáveis didáticas e estratégias de resolução, de acordo com
os conhecimentos de cada sala.
Utilização de objetos e instrumentos (como jogos, e calculadora) para a
abordagem de diferentes conteúdos matemáticos.
• Referente à Matemática na formação do cidadão. (Verificar o que os
professores falam da importância da Matemática na formação do cidadão).
A Matemática é uma ciência que provém da construção humana, seus
conceitos surgiram da necessidade do homem resolver situações-problema.
Essas situações normalmente estão relacionadas com outras áreas, as quais
usam conceitos matemáticos para melhor entendimento e busca de soluções.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
164
Desta forma, a Matemática não é apenas uma disciplina, é uma forma de pensar
que deve estar ao alcance de todos. Sendo assim, somos capazes de aprender
Matemática, independente do meio social que estamos inseridos, uma vez que
ela é parte integrante de nossas raízes culturais.
Daí não ser concebível um ensino da Matemática escolar que enfatize a
memorização, que se detenha no ensino de procedimentos, ou seja, de
algoritmos, em detrimento da aprendizagem que desenvolva as capacidades
cognitivas, de análise, de produzir conhecimento, no nosso caso - conhecimento
matemático.
Uma escola que vai além da transmissão do conhecimento acumulado,
preocupando-se também com o papel de formar cidadãos atuantes, necessita
despertar o interesse e raciocínio sobre as transformações que acontecem no
contexto social.
Não se trata apenas de produzir tal conhecimento, mas também levá-lo
para uma melhor qualidade de vida, que focalize o papel do conteúdo da
Matemática na formação do cidadão consciente, crítico, reflexivo e autônomo,
conhecedor de seus direitos e deveres, capaz de ser um agente do processo de
construção de uma sociedade mais justa e solidária, que não veja o aluno apenas
como um depósito de informações.
Seguem algumas declarações:
–“A matemática possibilita ao aluno realizar investigações, resolver problemas,
desenvolver o raciocínio e a criatividade do aluno”... –“Matemática tem sido
apontada como ‘possibilitadora’ do desenvolvimento de habilidades e
competências essenciais a formação do cidadão do mundo atual”... – “A
matemática ao ser estudada e analisada pode aumentar o senso crítico do
cidadão, aprimorando a sua formação e tornando-o mais participativo, hábil,
sensato, conhecedor, informado ponderado diante da sociedade”... – “Faz o
indivíduo (cidadão) pensar com lógica”.
Segundo o PCN, a Matemática ajuda na formação do cidadão modificando
na forma de pensar, e isso só será possível se houver alterações na visão do
professor sobre a natureza do conhecimento matemático e o papel da Matemática
na formação do cidadão para atuar nesta sociedade em transformação.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
165
Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos
históricos:
“... ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos
matemáticos do passado e do presente, o professor tem a
possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do
aluno diante do conhecimento matemático”. (PCN, 1997, p. 34).
A Matemática é componente importante na construção da cidadania, na
medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos
científicos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar.
Acredito que a Matemática permite ao cidadão “tratar” as informações que
recebe cotidianamente, aprendendo a lidar e raciocinar com dados estatísticos,
tabelas e gráficos. Desenvolve habilidades e capacidades de avaliação,
interpretação, análises, argumentação e, até mesmo, tomadas de decisões nas
mais diversas circunstâncias, sempre em consonância com os temas e conteúdos
a que for exposto. Além do mais, pode propiciar inserção das pessoas no mundo
do trabalho, tornando-o reconhecido e sabedor de seu papel em nossa sociedade.
6.2 Análise da entrevista semi-estruturada. (Anexo III)
Foram escolhidos ao acaso e sem nenhum critério para a seleção dois
professores no final do curso. Reuni com cada professor separadamente, para
pesquisar sobre a viabilidade do uso da Modelagem Matemática no ensino
Básico. Apresentaremos aqui a transcrição de fatos relevantes e análise de cada
pergunta feita na entrevista.
Pergunta 1 - Fale da sua formação. Já tinha visto alguma coisa em termos de
Modelagem?
P1: – Sou professor da rede pública estadual, moro em Itaquera, São Paulo.
Trabalho há onze anos lecionando matemática no Ensino Médio. Sempre
trabalho apoiado em um livro didático, adotado pela escola. Nunca imaginei que
modelagem poderia ser algo desse tipo. Imaginava ser trabalhos com massa de
modelar ou alguma coisa relacionada a modelo e moda. Coisas do tipo: fazer
molde de objetos.
P2: – Sou professor efetivo da rede estadual e também trabalho numa escola
particular. Tenho conhecimento na área matemática e física e leciono há sete
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
166
anos. Procuro trabalhar nas aulas com jornais e revistas, jogos e desafios. Sou
um mediador. Forneço informações básicas (presentes nos textos e no material
didático) e faço alguns esclarecimentos. Promovo o debate e resolvo muitos
exercícios. Nunca vi nem ouvi nada de ensinar Matemática por meio da
Modelagem. Nem mesmo na minha graduação, que terminei há pouco tempo
.
É pertinente o registro da trajetória do professor neste momento, pois esta
questão mostra que são profissionais jovens, mas com relativa experiência (7 e
11 anos), que estão procurando aprimorar-se e preocupados com ensino da
Matemática.
Pergunta 2 – Falando na Modelagem Matemática, você a considera uma
alternativa viável para se aprender Matemática no Ensino Médio? Tem alguma
vantagem?
P1: – É claro que sim. É uma alternativa viável para uso em sala de aula, capaz
de estabelecer relações entre o cotidiano e outras áreas do conhecimento, como
sugerem os PCNs. Com a Modelagem o ensino fica mais contextualizado e o
aluno percebe a utilidade da matemática na sua vida. A aula deixa de ser repleta
de exercícios repetitivos e resolvidos mecanicamente; torna-se uma aula
diversificada, podendo envolver atividades multidisciplinares, com temas reais e
do cotidiano. Acaba com aquela história de soluções rápidas sem muito ou
nenhum esforço. Na Modelagem, pelo que percebi, isso não existe. O aluno
aprende Matemática utilizando e fazendo Matemática.
P2: – Sem dúvida nenhuma. Modelagem é uma possibilidade valiosa para a
solução de problemas de aprendizado de Matemática. Por meio dela, as
soluções dos problemas e as demonstrações são apresentadas de tal modo que
passam por levantamento de dados, ensaios e tentativas de resolução e busca
de novos caminhos. Considero fundamental para o desenvolvimento e a
capacidade de usar o conhecimento científico para identificar questões e tirar
conclusões baseadas em evidências, de modo a compreender e a ajudar na
tomada de decisões com fatos da realidade. A matemática que se passa nas
escolas atualmente é como um mundo arrumado, pronto e acabado:
procedimentos e fórmulas nos lugares corretos onde tudo se encaixa. Atividade
escolar tipo Modelagem, oferece condições sob as quais os alunos são
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
167
convidados a atuar. Isso propicia determinadas ações e discussões fantásticas,
associado à problematização e investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar
perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, seleção,
organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas.
Nestas respostas verifica-se o que pensam a respeito da Modelagem.
Constatamos que ela realmente possibilita o acesso ao conhecimento
matemático, pois parte de situações contextualizadas.
Pergunta 3 – Você acha que a Modelagem resgata o gosto e o interesse pelas
aulas, trazendo motivação para o aluno, já que ele passa a participar ativamente
da aula, dando opiniões que serão levadas em conta pelo professor?
P1: – Sabemos o quanto é difícil despertar o interesse dos alunos pelas aulas de
Matemática. Mas acredito, pelo pouco que aprendi a respeito da modelagem,
que sim. Através de temas que têm significado para eles, experimentos ou
atividades participativas, estimulam sua curiosidade, surge a criação de
hipóteses e o pensamento crítico. Pelo que percebi, a Modelagem permite aos
alunos fazerem experiências, conjecturas, evidenciarem propriedades e, com a
mediação do professor, buscarem explicações para o que está sendo
empiricamente constatado, tendo até possibilidades de fazer previsões. Por
outro lado, cabe ao professor, como mediador e facilitador da aprendizagem,
tomar certas medidas pertinentes para cada momento. Imagine que o aluno
esteja acostumado ao ensino tradicional. Com o uso da modelagem ele pode
ficar “boiando” (se perder) ou torna-se apático. Ainda mais se o tema escolhido
não for interessante para ele. O professor que não se sentir preparado a
desenvolver a modelagem poderá se meter em complicações ou situações
embaraçosas e constrangedoras. Eu sou um que tenho medo desses
problemas. Precisa ter mais cursos de aprimoramento para todos nós que
queremos trabalhar com Modelagem.
P2: – Não saberia responder esta pergunta, pois ainda estou “engatinhando” na
modelagem. Penso que os alunos teriam mais facilidade em entender as idéias
matemáticas, já que poderiam conectá-las a outros assuntos e vista na prática. É
comum o aluno pedir por aplicações de Matemática e isso pode ser alcançado
ao se envolverem com Modelagem. O conteúdo matemático passará a ter
sentido, deixando de ser abstrato e fora da realidade, para passar a ser
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
168
concreto. Porém, os alunos devem ser preparados e estarem “abertos” a outra
estratégia. Aqueles alunos que estiverem acostumados com o professor sendo o
transmissor de conhecimentos, e quando são colocados como o centro do
processo ensino-aprendizagem, podem se sentir incapazes e se tornar apáticos
nas aulas. No ensino “comum” (entende-se tradicional), os alunos simplesmente
seguem “receitas”, sendo mais simples, e ao mesmo tempo, atingem o objetivo
que é obter boas notas. Uma coisa eu garanto: conceitos matemáticos quando
estudados considerando a realidade dos alunos, eles passam a refletir a sua
importância A escolha do tema, a coleta de informações e dados realizados pela
equipe de alunos, fazem com que cada um, indiretamente, se sinta um pouco
responsável pela resolução do problema.
Embora dificultoso, acredito que todos professores possuem condições de
repensar o ensino da Matemática, para conseqüentemente, melhorar a relação
ensino-aprendizagem. Eles tiveram a oportunidade de vivenciar experiências com
Modelagem, analisar vantagens e desvantagens de seu uso. Perceberam que ela
torna o ensino da Matemática mais significativo, mais dinâmico,
conseqüentemente, mais atraente, sedutora e motivadora para o aluno, tendo
como conseqüência uma aprendizagem mais efetiva, com possibilidade de
aplicação na vida cotidiana.
Pergunta 4 – Agora falando da Modelagem e você como professor. Você
trabalharia como as atividades de Modelagem na sua sala de aula? Você sente-
se preparado para desenvolver atividades com Modelagem?
P1: – Preciso ler um pouco mais e participar de outros cursos de aprimoramento.
Gostei muito da idéia, mas ainda não estou preparado. Vou começar por coisas
simples como funções de primeiro grau. Os exemplos e experiências que você
passou durante nossos encontros podem ser o começo para enriquecer as
minhas aulas. A maior dificuldade que encontrei, foi à identificação de qual
conteúdo matemático usar. Estou acostumado a resolver problemas usando
sempre conteúdos vistos anteriormente, e não problemas investigativos como
propõe a modelagem matemática. Vou encarar como um desafio.
P2: – Sinceramente: não. Desde a apresentação dos PCNs e da LDB no fim da
década passada, penso que estamos num período de transição. É difícil para
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
169
qualquer professor deixar de trabalhar da maneira considerada tradicional (zona
de conforto com livros e material de apoio) e iniciar uma nova maneira de
trabalhar em sala de aula, onde muitas vezes o professor não pode prever quais
questões irão surgir, por exemplo (zona de risco ou imprevisível). Assim, o
trabalho com a Modelagem em sala de aula exige que o docente esteja
preparado para possíveis imprevistos, principalmente quando o tema escolhido
para o desenvolvimento do trabalho parte do aluno. Como educadores, temos
que nos adaptar às novas tendências, tecnologias e adaptar as mudanças. Por
exemplo: assim como todos educadores precisam aprender um pouco
informática, também necessitam aprender matemática de situações reais. De
início, ensinar matemática por meio da Modelagem ou outra proposta qualquer,
pode causar resistência em lidar com o novo. Surge naturalmente certa
relutância em mudar, no qual procuram-se defeitos, imperfeições e embaraços,
nos quais causam estorvo e desqualificam a proposta mesmo sem conhecer.
Com o tempo, estudando um pouco mais, lendo e participando de mini-cursos
como esse, fatalmente acabará por se interar, experimentar, aprender, ir se
qualificando aos poucos. Assim abrirá caminhos e poderá mostrar como a
Matemática serve para uma transformação econômico-social-cultural, onde seja
possível questionar e recriar valores tradicionais até então impostos.
Pelas respostas, percebe-se que os professores entrevistados reconhecem
que a Modelagem é uma forma de vivenciar e valorizar a Matemática não como
um conhecimento pronto e acabado, mas como uma forma de construir esse
conhecimento. Usando fatos reais os alunos passam dar mais valor à Matemática.
Afirmam não terem condições de realizá-lo por terem aprendido muito pouco
devido ao curto tempo do curso.
Pergunta 5 – A Modelagem não elimina o conteúdo matemático tradicional. Ela
sugere mudanças no sentido de aproximar a disciplina da realidade do aluno. O
que ela contribui para a formação do cidadão da atualidade?
P1: – “Me corrija” se eu estiver errado. A Modelagem é uma nova proposta de
ensino de Matemática. Ela envolve questões da realidade e também propicia
condições para que os alunos possam refletir sobre seu papel de cidadão
perante a sociedade. Contribui para a formação de várias formas: É um trabalho
onde a execução e produção das atividades geralmente feito em grupo, portanto,
cooperativo. Aprende-se a usar a Matemática para representar, interpretar e
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
170
intervir na vida real. Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a
modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades. Contribui para
formar um cidadão com conhecimentos e métodos matemáticos para aplicá-los
em situações científicas, de trabalho e cotidianas.
P2: – Esta é uma pergunta para ver se eu prestei atenção no curso? (risos) Você
falou tudo... Bom... Num trabalho de Modelagem, os problemas são extraídos a
partir de situações da realidade, com temas escolhidos ou sugeridos, no qual
estudantes tenham interesse e se envolvam na resolução deles. Implica em
desenvolver atividades que ao serem trabalhadas interdisciplinarmente,
contribuem para a construção e significado dos conceitos matemáticos. Amplia
as habilidades do raciocínio lógico e de argumentação, buscando questões
como “o que acontecerá se”... que ajuda a aprender a analisar um argumento e
a reconhecer argumentos válidos e não-válidos no contexto matemático e
interpretações dos problemas da vida diária.
.
Nas respostas apresentadas, os docentes entrevistados conseguiram
absorver as idéias propostas no mini-curso. Esta nova maneira de olhar a
Matemática vinculada a um contexto sócio-cultural-político, contribui
significativamente na atividade escolar. A Modelagem Matemática convida o aluno
a atuar, investigar, levantar hipóteses, tomar atitudes, discutir e procurar possíveis
soluções. Ela desenvolve habilidades de exploração e compreensão da
Matemática no mundo e prepara para utilizá-la em diversas áreas do
conhecimento, familiarizando os alunos com mecanismos de cálculo com
desembaraço e que saibam, mais tarde, utilizar em situações da vida real.
Através disso, é preciso repensar as aulas de Matemática, não podemos
mais associá-las somente a conteúdos de alto nível de abstração e que não
possuam ligação com a vida dos alunos.
Pergunta 6 – O curso atendeu às suas expectativas? Tem alguma sugestão?
Ao finalizar a entrevista, solicitei aos professores que falassem sobre suas
impressões do mini-curso e suas sugestões ou críticas.
P1: – Valeu. Gostei muito do curso, apesar de pouco tempo. Tudo foi muito bem
especificado e colocado de maneira clara. Além disso, o assunto abordado foi
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
171
muito interessante e os debates proveitosos, pois trataram diretamente do
assunto na sala de aula. Adquirir novos conhecimentos sempre nos faz crescer.
Pretendo aplicar as atividades em sala de aula e despertar o interesse dos
alunos.
P2: – Gostei muito do seu trabalho e de sua pesquisa. O tema realmente é
interessante e aprendemos várias maneiras de ensinar Matemática. As aulas
foram dinâmicas e assim deveriam ser com nossos alunos. Seria bom que uma
maior parte de colegas professores e nossos estudantes pudessem conhecer.
As discussões e os encaminhamentos que os participantes (professores) deram
para o trabalho foram ótimos. Eles conhecem bem a realidade da sala de aula, e
conseguiram fazer boas articulações entre Matemática e esta realidade, sempre
com um olhar sócio-crítico. Foi uma ótima interação!
Com estas falas podemos observar que os professores gostaram do curso,
concordam com a inserção de novos rumos para o ensino da Matemática, porém
não sabem ou não têm clareza de como fazê-lo. As mudanças no ensino estão
ocorrendo muito rapidamente, precisam de incentivo e tempo para se adaptar às
mudanças e conseguirem acompanhá-las.
Nos depoimentos, observa-se a clareza de não fazer do ensino atual o
mesmo que foi feito durante sua formação e para que isso ocorra há necessidade
de se procurar novos caminhos e adaptá-los à realidade do universo que está
inserido.
Entre os motivos, citam que o mundo sofreu grandes alterações, e que a
preocupação agora está centrada na formação de cidadãos que possam ser
inseridos na sociedade, enquanto que em sua época de formação valia mais
decorar conceitos do que os entender.
À falta de conhecimento do professor considera-se como um grande
obstáculo que poderia ser minimizado com cursos que promovam a atualização
do profissional, sobretudo no que concerne à inserção de novos conteúdos no
currículo.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
172
CAPÍTULO VII
CONSIDERAÇÕES FINAIS.
“
Se nada ficar destas páginas, algo, pelo menos, esperamos que
permaneça: nossa confiança no povo. Nossa fé nos homens e na
criação de mundo em que seja menos difícil amar”. Paulo Freire
Feita esta pesquisa, percebemos nestes encontros a disposição dos
participantes em repensar as formas de ensino. Constatamos que em muitas
situações o professor demonstra interesse em relação ao ensino de Matemática
por meio da Modelagem, mas por se mostrar um trabalho inovador, encontra
barreiras em sua trajetória.
Também observamos que os encontros de curta duração atingem as
expectativas dos professores, por serem momentos em que ocorre a aquisição de
conhecimento de forma clara e objetiva, há trocas de experiências e reflexões
sobre os trabalhos que estão sendo executados.
Os questionamentos foram elaborados tendo como princípio analisar a
receptividade e percepção de professores de Matemática acerca da Modelagem
no processo de ensino-aprendizagem desta disciplina. Diante da impossibilidade
e inviabilidade de abranger todo o universo, foi tomado como amostragem
cinqüenta e cinco professores da rede pública estadual de São Paulo. Foi mantido
o anonimato dos professores por uma questão de discrição e respeito aos
profissionais, bem como para motivar a sinceridade das respostas que melhor
identificassem suas posturas profissionais.
As interpretações aqui construídas referem-se aos sujeitos desta pesquisa,
de modo que não se pretende torná-las absolutas em relação a outros contextos e
sujeitos, mas as conclusões que emergem deste trabalho refletem, com certeza, a
realidade do ensino de Matemática na maioria das instituições.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
173
Percebe-se, naqueles que fizeram o mini-curso sobre Modelagem, muito
interesse e dedicação para o aprendizado de novas tendências da Educação
Matemática. A busca por novas alternativas e tudo aquilo que foge à pedagogia
tradicional, atrai a atenção dos alunos e é sempre bem vista, desde que os
professores estejam trabalhando com Matemática de situações reais e cotidianas.
A relação entre a realidade e o mundo matemático é um dos aspectos mais
positivos da Modelagem. Assim, se aceita a idéia de que este método conduz a
um trabalho de natureza interdisciplinar, o qual requer diálogo constante com
outras áreas do conhecimento.
Portanto, é necessária uma transformação na postura do professor que
deve diferir substancialmente da chamada “escola tradicional”. Por trás desta
percepção está a idéia de que a Modelagem na sala de aula reorganiza as
relações de conhecimento entre professor e aluno, com nova divisão de
responsabilidades.
Considero satisfatório o fato de que os professores entrevistados
reconhecem que a Modelagem Matemática traz vantagens para o ensino-
aprendizagem, mas não souberam mencioná-las com firmeza. Isso ocorre porque,
na realidade, esses professores nunca utilizaram Modelagem em suas aulas.
Contudo, apesar de não se sentirem seguros e verem dificuldades na
implementação da Modelagem, o fato de possuírem iniciativa e querer abraçar a
proposta, pode-se dizer que o primeiro passo de uma longa caminhada já foi
dado.
Foi percebido também que os professores ainda valorizam o cumprimento
dos programas, os quais têm relação direta com os livros didáticos adotados por
eles. Verificamos que este respeito aos programas deve-se, em boa parte, à
pressão dos demais membros do ambiente escolar, entre eles supervisores,
diretores e pais.
Reforçamos as idéias de Franchi (1993), que a maioria dos alunos não
querem raciocinar. Preferem algo pronto e acabado. Eles estão acostumados a
ver o professor como transmissor de conhecimento e, portanto, têm uma postura
passiva em relação à aula. Esperam receber explicações e participar apenas
fazendo perguntas ou resolvendo exercícios. Quando o trabalho os coloca no
centro do processo ensino-aprendizagem, em que eles são convidados a
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
174
investigarem atividades e quando os resultados dependem de suas ações, a aula
passa a caminhar em ritmo lento, pois eles não estão acostumados a agir e nem
sempre sabem o que fazer, ou por onde começar.
Segundo Chaves (2004)...
“Enquanto estivermos presos a conteúdos a cumprir em um
predeterminado tempo, enquanto os currículos de nossas escolas
estiverem com as disciplinas fragmentadas, onde cada professor
que as apresenta, fala de um conhecimento de forma isolada, o
máximo que conseguiremos é utilizar a Modelagem de forma
esporádica e ainda com adaptações”.
Nos debates foram citados obstáculos relevantes à falta de motivação dos
alunos para a aprendizagem e relatam sobre a dificuldade dos alunos na fase
inicial do trabalho com modelos.
A partir da pesquisa, percebemos que na sua formação acadêmica, o
professor raramente teve contato com a Modelagem, e quando muitas vezes
gostaria de entender e superar seus medos e conflitos, não lhes é proporcionado
um acesso fácil a cursos. De fato, a adoção da Modelagem demanda maiores
qualificações do professor como, por exemplo, a disposição para adquirir
conhecimentos interdisciplinares. Também ele necessitará, sobretudo, de espírito
inovador, aumentando sua iniciativa para a pesquisa e de flexibilidade perante os
obstáculos.
As condições necessárias para o professor implementar Modelagem no
ensino são: ter atrevimento, persistência, audácia, um grande desejo de modificar
sua prática pedagógica e disposição para conhecer e aprender uma nova
proposta. Há necessidade de familiaridade no uso da Modelagem.
Não deixa de ser positivo o fato de que todos os participantes concordaram
que o ensino de Matemática não pode continuar a ser mecânico e exato: um
conjunto de fórmulas e passos que, se repetidos corretamente, levam
invariavelmente à solução de um problema hipotético.
Nossas hipóteses se confirmaram, ou seja, existem muitos professores que
se sentem tolhidos e com medo de enfrentar aulas de Modelagem. Por outro lado,
encontramos também professores entusiasmados, audaciosos, corajosos e
principalmente críticos em relação a esta nova realidade da sociedade e
conseqüentemente da escola.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
175
A Modelagem, que contempla uma abordagem externalista para a
Matemática, em outras palavras, trata-se de um método de ensino que contempla
a pesquisa e o estudo/discussão de problemas que dizem respeito à realidade
dos alunos. Nesse contexto, o aluno terá uma aprendizagem mais significativa e
efetiva da Matemática se esta estiver relacionada ao seu cotidiano e à sua
cultura. Ou seja, o processo de aprendizagem dar-se-ia a partir da compreensão
e sistematização do modo de pensar e de saber do aluno (Fiorentini, 1995).
Com isso, para que esse quadro se reverta é necessário que a prática
educativa esteja dirigida para o interesse dos estudantes, que professores e
alunos tenham objetivos bem definidos e que eles sejam os mesmos.
O que se observa nas escolas, narrado pelos pesquisados, é o
distanciamento entre professor e aluno. Cada um preocupado com seus próprios
objetivos. A relação entre eles, que deveria ser de compromisso mútuo na
superação das dificuldades, acaba por se tornar uma relação de poder e
opressão.
Portanto, se o ensino de Matemática está em crise, é porque ele já não se
justifica mais pela aplicação de fórmulas, pelo estímulo à memorização,
“decorebas”, ou pela preparação do aluno para o vestibular.
A Matemática precisa ser ensinada como um instrumento para a
interpretação do mundo em seus diversos contextos. Sendo assim, acreditamos
que a Modelagem Matemática possa provocar uma mudança no ensino de
Matemática, que até o momento é vista por alguns alunos como uma disciplina de
pouca utilidade.
Contudo, ao analisar o ponto de vista da prática docente, pode-se
encontrar algumas sugestões/ propostas quanto à implementação da Modelagem:
Comece viabilizando o uso da Modelagem na forma de projetos; de
preferência interdisciplinares com apoio de outros colegas professores;
Sempre que possível, cumpra integralmente os conteúdos escolares pré-
estabelecidos pela Escola ou Órgão gestor; de início a Modelagem não
deve desnortear o currículo proposto pela escola.
Seja como um “guerreiro estrategista”; mudanças geram conflitos e isso
pode não ser nada bom para o ensino de Matemática. Um dito popular que
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
176
tem muito significado nestas horas: “aprenda a comer pelas beiradas”: é
fundamental para não queimar a língua, nem os lábios. Seja sutil.
Nesta pesquisa faz-se notar e comprovar que a Modelagem Matemática
transforma a Matemática fria e acabada baseada apenas nos livros didáticos em
uma ciência viva, que se desenvolve a cada modelo matemático elaborado, numa
ciência dinâmica, possuidora da mesma dinâmica que caracteriza a sociedade e a
História humana, propriamente dita, pois conduz professor e aluno à constante
pesquisa, contribuindo para a atualização, aperfeiçoamento e desenvolvimento de
ambos e como conseqüência, permite que o professor passe de agente
autoridade para agente aliado e orientador.
Conseguimos nesta pesquisa mostrar que um trabalho inovador e
diferenciado em sala de aula como é a Modelagem Matemática, pode sem dúvida
nenhuma, contribuir para melhoria do ensino. Apesar das dificuldades enfrentadas
a partir de situações reais, esta forma de ensinar é viável. Constatamos que ela
busca estimular, provocar o raciocínio e resgatar o interesse dos alunos em
aprender Matemática por meio de circunstâncias contextualizadas e cotidianas.
Proposta de um modelo de avaliação de atividades de modelagem.
No trabalho com Modelagem Matemática o aluno não pode ser encarado
como um receptáculo de informações. Ele é o agente de cultura, um ser ativo e
por isso, capaz de superar as convenções e promover transformações. Desta
forma, muitos aspectos podem ser observados pelo professor, dos quais o
levarão a uma nota ou um número exigido pelo sistema.
O professor é sempre orientado a não usar um único instrumento de
avaliação, por exemplo, a aplicação de provas. E para ajudar no processo de
avaliação do professor e assegurar apreensão dos conhecimentos matemáticos
de forma significativa pelos alunos, pode ser solicitado um trabalho de
Modelagem Matemática em grupo e, durante a execução desse trabalho, o
professor deve ficar atento à qualidade dos questionamentos por parte dos
alunos, suas discussões e decisões sobre a natureza do problema levantado,
observar e orientar os alunos na obtenção dos dados necessários sobre o
problema a ser modelado, instigando a elaboração de modelos matemáticos e
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
177
fazendo com que os alunos interpretem as soluções fornecidas pelo modelo
encontrado, tornando-o válido ou não.
D’Ambrosio (1998) e Barbosa (2001), com relação à avaliação de um
projeto de Modelagem Matemática, sugerem uma avaliação por meio de relatórios
de todas as etapas do processo de Modelagem, analisando o grau de
desenvolvimento do aluno bem como o seu processo de evolução, ou seja, o que
ele realmente aprendeu através da Modelagem Matemática. Através destes
relatórios, pode-se avaliar o desenvolvimento da comunicação oral e escrita; a
análise crítica dos resultados e interpretações destes: avaliar, além da
apresentação com clareza, organização e limpeza, como também a pontualidade.
Por outro lado o professor pode avaliar todo o comportamento e
participação do aluno, a começar pela escolha do tema interessante; trabalho de
modo participativo e cooperativo; disposição para aprender; respeito às diversas
opiniões e diferenças individuais; argumentação quanto a fazer explicações,
previsões e eventuais tomadas de decisão.
O professor deve estar atento também quando o aluno faz reflexões de
auto-análise, no qual o aluno ao tentar resolver o problema, reconhece seus
pontos fortes e fracos, quer no conhecimento, quer nas estratégias, buscando ser
mais eficaz. Apenas a fim de exemplificar, cito o caso de um aluno que, ao fazer
uma atividade de Modelagem, precisava saber calcular volumes. Por iniciativa
própria, procurou em livros de geometria e “sites” na Internet, como fazer o
cálculo para poder chegar ao modelo. Por esta presteza e afã, o ato também
merece nota.
Finalizando, espera-se que este trabalho possa esclarecer o que é
Modelagem Matemática e, principalmente, que possa contribuir para incentivar
colegas docentes de Matemática e de matérias afins, à adoção de uma nova
postura frente ao ensino da disciplina. Sugerimos como proposta para esta
mudança a utilização da Modelagem, pois sua implantação significará a oferta de
um ensino de Matemática sintonizado com os objetivos dos PCN’s. Sua
implantação promoverá alunos, com diferentes motivações e interesses, criando
condições para sua inserção num mundo em mudanças e contribuirá para
desenvolver as capacidades que deles serão exigidas em sua vida social e
profissional.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
178
Temos motivos para crer que ao se trabalhar com Modelagem Matemática
em sala de aula o professor desenvolva e adquira novos saberes ou re-significa
saberes antigos. Conforme já foi dito, ela rompe com o ensino tradicional baseado
no paradigma conteúdo, exemplo e exercício, geralmente com atividades que
possuem somente uma resposta correta.
O ensino de Matemática baseado em Modelagem poderá acabar com essa
concepção. Os problemas reais abordados matematicamente poderão ter várias
soluções, nenhuma solução, uma única solução e até mesmo soluções não
previstas pelo docente.
Portanto, acreditamos que uma prática com características de Modelagem
Matemática poderá modificar ações do professor desta disciplina, pois, sua aula
deixará de ser previsível e os acontecimentos dificilmente seguirão uma ordem
criteriosa de conteúdos pré-estabelecida durante o planejamento da aula.
A Modelagem Matemática ainda tem um longo caminho para que esteja
presente na prática dos docentes. Inclui-se neste longo caminho, a ruptura de
paradigmas, a maturidade para se aplicar novas atividades que contemplem a
Matemática de situações reais, bem como as aceitações dos docentes.
"O homem nasceu para aprender, aprender tanto quanto a vida lhe permita”.
João Guimarães Rosa (1908 - 1967)
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
179
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; MARTINS, Neide., “Modelagem Matemática: uma
aplicação usando a merenda escolar”, Anais eletrônicos do VII ENEM – Encontro
Nacional de Educação Matemática. Rio de Janeiro, 2001.
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle; DIAS, Michele Regiane. Um estudo sobre o uso da
modelagem matemática como estratégia de ensino aprendizagem. Bolema, n° 22, 2004.
ANASTÁCIO, Maria Queiroga Amoroso. Considerações sobre a Modelagem Matemática
e a Educação Matemática. 1990. 100 f. Dissertação (Mestrado) – Instituto de Geociências
e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1990.
ARAUJO, Jussara. Loyola., Cálculo, Tecnologias e Modelagem Matemática: As
discussões dos alunos. Rio Claro. Tese de Doutorado - Instituto de Geociências e
Ciências Exatas – UNESP. 2002.
AUSUBEL, David Paul, NOVAK, Joseph D. . HANESIAN, Helen. Educational Psychology:
A Cognitive View (2nd Ed.). New York: Holt, Rinehart & Winston, 1978.. Psicologia
Educacional. Trad. de Eva Nick et al. Rio de Janeiro: Interamericana.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. O que pensam os professores sobre a modelagem
Matemática? Zetetiké,Campinas, v.7, n.11, 1999. Disponível em:
http://sites.uol.com.br/joneicb . Acesso em: 05/06/2004.
________ Uma perspectiva para a modelagem Matemática. In: Anais do IV Encontro
Brasileiro de Estudantes de Pós-graduação em Educação Matemática. Rio Claro:
Programa de Pós-graduação em Educação Matemática, 2000.
________ Modelagem na educação Matemática: contribuições para o debate teórico. DA
ANPED, 24., 2001, Caxambu. Anais ...Caxambu: ANPED, 2001a. Disponível em:
www.anped.org.br/24/tp1.htm#gt19 Acesso em; 08/07/2004.
________ Modelagem Matemática e os professores: A questão da formação. Artigo
(Bolema, ano 14, pp 5 a 23, 2001b).
________ Modelagem Matemática na sala de aula. Perspectiva, publicação da
Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões - Erechim / RS:
EdiFAPES, v.27, n. 98, Junho de 2003a.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
180
________ Uma perspectiva de Modelagem Matemática. In: Conferencia nacional sobre
Modelagem e Educação Matemática, 2003b, Piracicaba. Anais... UNIMEP. Disponível
em: http://sites.uol.com.br/joneicb . Acesso em: 05/06/2004.
BASSANEZI, Rodney C.B. Ensino–aprendizagem com Modelagem Matemática: uma
nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
________ Modelagem Matemática. Dynamis, v.1, n.7, p.55-83, 1994.
________.Modelagem como Metodologia de Ensino de Matemática. In: Ata do CIAEM,
Santo Domingo, República Dominicana. 1982.
BASSANEZI, Rodney C.B. e Biembengut, Maria Salete. Modelação Matemática: uma
velha forma de pesquisa - um novo método de ensino. Revista Números, Tenerife,
Espanha: 1997.CD-ROM.
_______ Modelagem na Matemagicalândia. In: Bolema – Boletim de Educação
Matemática, Ano 7, n. 8, p.15 – 37.1992.
BEAN, Dale. Modelagem na Cinemática: A curva de regressão em busca da velocidade
instantânea. VI Encontro Nacional de Educação Matemática (VI ENEM) Anais, Vol.1 pg
221, 1998, São Leopoldo-RS
________ O que é modelagem Matemática?.Artigo: Educação Matemática em Revista,
SBEM R.S., n. 9, ano 8, pp 49 a 57, 1999.
BIEMBENGUT, Maria Salete. & HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no ensino. 3°.ed.
São Paulo: Contexto, 2003.
________ Avaliação no ensino. Artigo publicado na revista “Seminários em Revista” em
Blumenau, 1999. Apresentado como Conferência no II Simpósio de Educação
Matemática em Chivilcoy – ARG, 2000.
BIEMBENGUT, Maria Salete. Modelagem Matemática e implicações no ensino-
aprendizagem de Matemática. Blumenau:.134p. (FURB 1999).
BLUM, Werner, HUNTLEY, I e SLOYER, C. ‚ Advances and Perspectives in the teaching
of Mathematical Modelling and Applications. University of Delaware, 1995.
BLUM, Werner. “Applications and Modelling in Mathematics teaching – a review of
arguments and instructional aspects”, Lecture given at the Fourth Interaction Conference
on the Teaching mathematical Modelling and Applications, Chichester: Roskilde
University, 1989.
BLUM, Werner, NISS, Mogens. Applied mathematical problem solving, Modelling,
Applications, and links to other subjects: state, trends and issues in Mathematics
Instruction. Educational Studies in Mathematics, v. 22, n. 1, p. 27-68, 1991.
BORBA, Marcelo de Carvalho - A Modelagem enquanto proposta pedagógica. Caderno
de Resumos da I Conferência Argentina de Educação Matemática (I CAREM), Buenos
Aires, Argentina, p. 74. 1999
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
181
________ Tecnologias Informáticas na Educação Matemática e Reorganização do
Pensamento. In. M. A. V. Bicudo (ed.). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções
e Perspectivas. São Paulo, Editora UNESP, p. 297 - 313, 1999.
________ Um Estudo de EtnoMatemática: sua Incorporação na Elaboração de uma
Proposta Pedagógica para o “Núcleo-Escola” da favela de Vila Nogueira-São Quirino. Rio
Claro: UNESP, 1987. Dissertação (Mestrado)- IGCE, Universidade Estadual Paulista.
BORBA, Marcelo de Carvalho e BOVO, Audria Alessandra (1999). Modelagem em sala
de aula de Matemática: interdisciplinaridade e pesquisa em biologia. Revista de
Educação Matemática SBEM - SP, p.27- 33, ano 8, n. 6 e 7, 2002
BRASIL. Ministério da Educação. PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais, para o
ensino fundamental Documento introdutório: versão preliminar. Brasília: MEC, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. PCNEM - Parâmetros Curriculares Nacionais:
Ensino Médio. Brasília, 1999. MEC/SEMTEC 364 p.
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura.: PCN+ Ensino Médio: Orientações
Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília:
SEMTEC/MEC, 2002.
BRASIL. LDB – Lei de Diretrizes e bases da educação Nacional. Lei nº 9394/96, de 20 de
dezembro de 1996.
BROUSSEAU Guy. Les obstacles épistémologiques et les problèmes em mathématiques
Recherches en didactique des mathématique, Vol. 4, n°2. Grenoble : La pensée sauvage.
1983.
________ Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherche en
Didactique des Mathématiques, 9 (10), p 33-112, . Grenoble : La pensée sauvage. 1986
BURAK, Dionísio Modelagem Matemática: Uma metodologia alternativa para o ensino da
Matemática na 5a. Série Dissertação de Mestrado, UNESP, RIO CLARO, Brasil 1987.
________ Modelagem Matemática: ações e interações no processo ensino-
aprendizagem. Tese (doutorado em Psicologia Educacional).Unicamp. Campinas, 1992.
329p.
________.Critérios norteadores para adoção da modelagem Matemática no ensino
fundamental e secundário. Artigo (Revista Zetetiké, ano2, n° 2, pp 47 a 60).
CALDEIRA, Ademir Donizeti. . Educação Matemática e Ambiental: um contexto de
mudanças, Campinas – SP: FE/UNICAMP – Campinas. Tese de doutorado. 1998.
________ Uma Proposta Pedagógica em EtnoMatemática na Zona Rural da Fazenda
Angélica em Rio Claro. Rio Claro - UNESP, 1992. Dissertação (Mestrado) – Universidade
Estadual Paulista.
CAMILO, Antônio Vamir. Modelagem Matemática: uma perspectiva para o ensino de
Matemática no ensino médio. Universidade de Contestado, UnC, Fundações
Educacionais de
Caçador - Concórdia - SC. Tese de mestrado. 2002.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
182
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa, Livraria Sá
da Costa Editora, 1975.
CARRAHER, Terezinha; Carraher, David; Schliemann, Ana Lúcia – Na vida dez, na
escola zero. Ed. Cortez, São Paulo,1991
CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do Ensino da Matemática. 2°ed São Paulo:
Cortez, 1994- Coleção Magistério 2° grau.
CHAVES, Maria Isaura de Albuquerque. Um modelo de Modelagem Matemática para o
Ensino Médio - artigo_CNNECIM- NPI/UFPA 2004 Acesso 13/05/2006
http://www.ufpa.br/npadc/gemm/documentos/docs/artigo_CNNECIM.pdf
CHEVALLARD, Yves ; BOSCH, M. & GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo perdido
entre o ensino e a aprendizagem. Tradutora Daisy Vaz de Moraes. Porto Alegre: Artmed
Editora, 2001.
________ La Transposición Didáctica: del saber sabio al saber enseñado. Editora Aique,
Argentina, 1991.
CORRÊA, Roseli de Alvarenga. A Modelagem: o Texto e a História inspirando Estratégias
na Educação Matemática. Dissertação de Mestrado - Instituto de Geociências e Ciências
Exatas – UNESP. Rio Claro, 1992.
COLL, César Salvador. Currículos Devem Mudar. Artigo Revista Nova Escola, Edição Nº
167, Novembro de 2003. Entrevista realizada em Barcelona, 02-06-1999 Acesso
20/03/2007. http://novaescola.abril.com.br/index.htm?ed/167_nov03/html/falamestre
________ Psicologia da educação. Artes Médicas. Porto Alegre: 1999
D’AMBROSIO, Ubiratan. A influência da tecnologia no fazer matemático ao longo da
história. VII Seminário Nacional de História da Ciência e da Tecnologia, São Paulo, 1 a 4
de agosto de 1999. http://vello.sites.uol.com.br/snhct.htm. Busca em 03/2004.
________ Da realidade à ação: Reflexões sobre Educação e Matemática. São Paulo,
Summus Editorial. 1986.
________ "Etnomatemática: Arte ou Técnica de Explicar e Conhecer".São Paulo: Ática,
1990.
________ Transdisciplinaridade. São Paulo. Ed. Palas Athena, 1997
________ Educação Matemática da teoria a prática. 6ª Edição. Campinas. SP. Editora
Papirus, 2000.
________ Etnomatemática, elo entre as tradições e modernidade. Belo Horizonte:
Autêntica, 2001.
________ A interdisciplinaridade. Novas possibilidades da ciência. Revista Kairós do
Programa de Estudos Pós-Graduados em Gerontologia PUC-SP-EDUC, vol.6 nº1, pp. 67-
84, junho de 2003. 190p.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
183
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo.
Editora Ática. 1999.
DELORS, Jacqques. Educação Um tesouro a descobrir, São Paulo: Cortez Brasília:
DF:MEC:ENESCO,1999.
DEWEY, John. Vida e educação. 3° ed. São Paulo, Mel horamentos, 1952. Tradução de
Anísio Teixeira.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Editora da UNICAMP, Campinas,
1995.
FERREIRA, Denise Helena Lombardo, Artigo Modelagem Matemática e Educação
Ambiental: PUC – Pontifícia Universidade Católica de Campinas, SP - Brasil.
FIORENTINI, Dario. LORENZATO, Sergio , “Investigação em Educação Matemática –
percursos teóricos e metodológicos” ed. Autores Associados. 2006.
FIORENTINI, Dario. Alguns Modos de Ver e Conceber o Ensino da Matemática no Brasil:
Campinas. Revista Zetetiké n° 4(3), 1-37 . 1995
FIORENTINI, Dario (org.). Formação de professores de Matemática: explorando novos
caminhos com outros olhares. Campinas: Mercado de letras, 2003.
FREIRE, Paulo. O compromisso político do educador com a pesquisa. Palestra proferida
na Fundação Educacional Regional Jaraguaense - FERJ. Jaraguá do Sul, 16 de out.
1995.
________ Pedagogia da autonomia: Saberes necessários à prática educativa. 1996.. São
Paulo. Editora Paz e Terra. 9ª. Edição 1996 ou 10ª. Edição 1999.
FRANCHI, Regina Helena de Oliveira Lino. A Modelagem Matemática como estratégia de
aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral nos cursos de Engenharia. Dissertação de
Mestrado – Instituto de Geociências e Ciências Exatas – UNESP. Rio Claro, 1993.
________ Uma proposta curricular para cursos de Engenharia utilizando Modelagem
Matemática e Informática. Tese de Doutorado – Instituto de Geociências e Ciências
Exatas – UNESP. Rio Claro, 2002.
GAERTNER, Rosinete. Modelação Matemática no 3º Grau – uma estratégia de ensino-
aprendizagem de Matemática no curso de administração de empresa. Blumenau, 1994.
Dissertação de Mestrado, Universidade Regional de Blumenau.
GAZZETA, Marineuza. A Modelagem como Estratégia de Aprendizagem na Matemática
em Cursos de Aperfeiçoamento de Professores. 1989. 150 f. Dissertação (Mestrado) –
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro,
1989.
GUSTINELI, Odesnei Aparecida Pastori. Modelagem Matemática E Resolução de
Problemas: uma visão global em Educação Matemática. Dissertação de Mestrado –
Instituto de Geociências e Ciências Exatas – UNESP. Rio Claro, 1990.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
184
HUPPES, Roque. Uma proposta de melhoria do ensino-aprendizagem de Matemática.
2002. 147f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) – Programa de Pós-
graduação em Engenharia de Produção, UFSC, Florianópolis.
HURD, Paul Dehart. Science education for the 21st Century. School Science and
Mathematics, v. 100, n. 6, p. 282-287, out/2000.
ICTMA Anais de Congresso 2005. ICTMA12 Model transitions in the real world:
Research, Teaching, Practice. City University, London, England, 2005.
ISRAEL, Giorgio. La Mathématisation du Réel, Essai Sur La Modélisation Mathématique.
Paris, Éditions Du Seuil, 2003.
JACOBINI, Otávio Roberto. A Modelação Matemática aplicada no ensino de Estatística
em cursos de graduação. Dissertação de Mestrado. - Instituto de Geociências e Ciências
Exatas - UNESP, Rio Claro. 1999.
________ A Modelagem Matemática como instrumento de ação política na sala de aula.
225 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências
Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro. 2004.
________ A Modelagem Matemática no contexto da Educação Matemática Crítica; IV
Conferencia Nacional sobre Modelagem e Educação Matemática, Feira de Santana, 07 e
08 de novembro de 2005
KRULIK, Stephen e REYES, Robert E.A resolução de problemas na Matemática escolar.
São Paulo: Atual, 1997.
KAISER Gabriele, SRIRAMAN Bharath. A global survey of international perspectives on
modelling in mathematics education. ZDM 2006. Vol. 38(3)
KAISER-MESSMER, Gabriele. Application-oriented mathematics teaching: a survey of the
theoretical debate. In: NISS, M.; BLUM, W; HUNTLEY, I. Teaching of mathematical
modeling and applications. Chichester: Ellis Horwood, p. 83-92, 1991.
________ Introduction to the Working Group “Applications and modelling” (G14) (To
appear in) Proceedings of the 4th European Congress of Mathematics Education, in St.
Feliu de Guixols, Spain, Feb 16-22, 2005.
LEAL, Simone. Modelação Matemática: Uma Proposta Metodológica Para o Curso de
Economia, Dissertação de Mestrado , Universidade Federal de Santa Catarina ,
Florianópolis - SC ,1999
LIBÂNEO, José Carlos. Organização e Gestão da Escola, Goiânia:Alternativa, 2001.
________ Didática, São Paulo: Cortez,1991. (Gestão da Aprendizagem)
________ Educação escolar: Políticas, Estrutura e Organização.São Paulo:Cortez, 2003.
LIBÃNIO, João Batista. Qual o futuro do cristianismo?São Paulo, Ed.Paulus, 2006.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
185
LIPP, Marilda Emmanuel Novaes. Pesquisa sobre Stress no Brasil: saúde, ocupações e
grupos de risco. Ed. Papirus: São Paulo, 1996.
________ (org.). O stress do professor. Campinas: Papirus, 2002.
MACINTYRE, Ana Beatriz Lott. Tecnologia e Prazer – O Ensino da Matemática Aplicada
a Administração. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Santa Catarina – SC
Programa de Pós graduação Engenharia de Produção. 2002.
MACHADO Júnior, Arthur Gonçalves: Modelagem Matemática no ensino-aprendizagem e
resultados . Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Pará – Belém: [1.n], 2005.
________ A modelagem como caminho para “fazer Matemática” na sala de aula. GEMM -
Grupo de Estudos em Modelagem Matemática. Universidade Federal do Para - Belém, 08
a 11 de dezembro de 2004 acesso fevereiro de 2005
http://www.ufpa.br/npadc/gemm/documentos/doc_01.htm
MEDEIROS, Cleide Farias de. Por Uma Educação Matemática como Intersubjetividade.
In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. Educação Matemática. São Paulo. Editora
Moraes. 1987. p.13-44.
MEYER, João Frederico Costa & CALDEIRA, Ademir Donizeti. Educação Matemática e
Ambiental: uma proposta de formação continuada – e de mudanças. Zetetiké – CEMPEM
– FE/UNICAMP v. 9, n 15/16 – jan/dez 2001. p.155/170.
MEYER, João Frederico Costa.; "Modelagem Matemática: Do Fazer ao Pensar", Palestra
no VI Encontro Nacional de Educação Matemática (VI ENEM) Anais, Vol.1 pg 67, 1998 ,
São Leopoldo-RS
MONTEIRO, Alexandrina. O ensino de Matemática para adultos, através do método
Modelagem Matemática. Dissertação de Mestrado – Instituto de Geociências e Ciências
Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1991.
________ Alfabetização Matemática de adultos ([1991]) Unicamp
MORIN, Edgar. Os Sete Saberes Necessários à Educação do Futuro, Tradução Catarina
Eleonora F. Silva e Jeanne Sawaya; São Paulo: Cortez, 2000.
NICOLESCU, Basarab. Definition of transdisciplinarity, 2003. Acesso 15/06/2007
Disponível em: http://www.interdisciplines.org/interdisciplinarity/papers/5/24/
________ Reforma da Educação e do Pensamento: Complexidade e
Transdisciplinaridade, Tradução de Paulo dos Santos Ferreira, 2003. Acesso 03/03/2007.
Disponível em: http://www.engenheiro2001.org.br/artigos/Nicolescu.DOC
________ O Manifesto da Transdisciplinaridade. Tradução de Lúcia Pereira de Souza.
Triom, São Paulo, 1999.
NISS, Morgens. Aspects of the nature and state of research in Mathematics Education.
Educational Studies in Mathematics, n° 40, 1999, an d Dordrecht, the Netherlands an ICMI
Study, Kluwer Studies im Mathematics, 1993.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
186
OLIVEIRA, Gerson Pastre de. Avaliação no ensino a distancia: a Aprendizagem e o
Ambiente . Artigo Pesquisa e avaliação Faculdade de Educação da Universidade de São
Paulo (USP) CEETEPS/FATEC Jundiaí – SP 2005.
________ Avaliação da aprendizagem nos cursos superiores: uma discussão sobre a
relevância da qualidade. Revista de Educação e Ensino. USF, v.4, n.1,1999.
PEDROSO, Solange Regina. Modelagem como método de aprendizagem e ensino.
Monografia (UNICAMP-Campinas 1997).
PEREIRA, Antônio Luiz. Motivação para a disciplina MAT450 – Seminários de Resolução
de Problemas. Artigo. São Paulo, IME-USP, agosto de 2001, 17p. Acessado dia
31/01/2007 http://www.ime.usp.br/~trodrigo/documentos/mat450/mat450-2001242-
seminario-8-resolucao_problemas.pdf
PERRENOUD, Philippe. Pedagogia diferenciada: das intenções à ação. Porto Alegre:
Artes Médicas, 2000. 183 p.
________ Desenvolvimento de competências. Revista Nova Escola - Edição Nº154 –
Agosto 2002, Masao Goto Filho, Red. Nova Escola. www.uol.com.br/novaescola
PIAGET, Jean. Para onde vai a Educação. 10ª Edição. Rio de Janeiro. José . Olympio,
1988.
________ Psicologia e Pedagogia.. 9ª Impressão. Rio de Janeiro. Editora Forense
Universitária. 1998.
PIETROCOLA, Maurício. Ensino de Física: conteúdo, metodologia e epistemologia numa
concepção integradora. Florianópolis/Brasília: Editora da Usc/Inep, 2001. v. 1.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.
PONTE, João Pedro da. BROCARDO, Joana. & OLIVEIRA, Hélia (2003). Investigações
Matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora.
PONTE, João Pedro da. A modelação no processo de aprendizagem. Educação e
Matemática nº 23. 1992.
PRIETO, Andréa Cristina Sória. Mais que um dilema matemático... Como realmente
ajudar seus alunos a aprender Matemática? Artigo do Portal Planeta Educação. acesso
10/04/2006 http://www.planetaeducacao.com.br/novo/artigo.asp?artigo=522
RESNIK, L. & COLLINS, Allan. Cognición y Aprendizaje. En Anuario Psicología. Nº 69, pp
189-197. Barcelona, Grafiques 92, S.A, 1996.
ROCHA, Alexandra, artigo Discutindo Matemática, Conferências Plenárias ProfMat 2004.
Cavilhã, site www.apm.pt/profmat2004
SBM, Sociedade Brasileira de Matemática e Conferencista da 55ª Reunião da SBPC,
professora Suely Druck, da Universidade Federal Fluminense, do Rio de Janeiro.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
187
SCHEFFER, Nilce Fátima. Modelagem Matemática: Uma abordagem para o ensino-
aprendizagem da Matemática. Educação Matemática em revista, SBEM, ano 8 n.9, abr.
2001.
SPINA, Catharina de Oliveira Corcoll. Modelagem Matemática no Processo Ensino-
Aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral para o Ensino Médio; 2002.
SILVA, Adelina L. & SÁ, Isabel de. Saber estudar e estudar para saber. Cidade do Porto,
Porto editora, 1997, Coleção Ciências da Educação.
SILVA, Clóvis Pereira da. Sociedades e Revistas Cientificas Fundadas no Brasil entre
1889 e 1989. Artigo 10 de novembro de 2001- revista UniAndrade- Ciências Exatas e
Tecnológicas, da UNIANDRADE - Curitiba, Paraná.
SKOVSMOSE, Ole. Cenários para investigação. Bolema – Boletim de Educação
Matemática. Rio Claro, Ano 13, n.14, p.66-91, 2000.
________ Educação Matemática crítica: a questão da democracia. Campinas /SP:
Papirus, 2001. (Coleção Perspectivas em Educação Matemática).
VIANNA,Carlos Roberto. Matemática e história: algumas relações e implicações
pedagógicas. São Paulo: FE-USP, 1995. 228p. Dissertação de Mestrado. Orientador:
Nilson J. Machado.
________ Vidas e circunstâncias na Educação Matemática. São Paulo, FE-USP, 2000. Tese de
Doutorado. Orientador: Antônio Miguel.
________ Resolução de Problemas In: Temas em Educação I - Livro das Jornadas
2002.Ed.Curitiba. Futuro Congressos e Eventos, 2002, p. 401-410.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
188
ANEXOS
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
189
ANEXO I – PROJETO MINI CURSO MODELAGEM MATEMÁTICA
MINI CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM
MODELAGEM MATEMÁTICA PARA PROFESSORES
CURSO 100% PRESENCIAL
Tema : Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem
Matemática
Responsável: Professor William Kfouri
Objetivos: Capacitar professores de ensino de Matemática do ensino médio,
fundamental e áreas afins. Mostrar maneiras de se organizar e de se conduzir aulas por
meio de atividades de Modelagem Matemática.
Oportunizar e orientar professores quanto à vivência e a construção de atividades
cotidianas e concretas. Redescobertas da matemática analisando modelos simples de
problemas de mecânica, biologia, química, eletricidade, situações de comercio, etc..
Justificativa: Dentre as Tendências em Educação Matemática, a modelagem é “Usada
para quebrar a dicotomia existente entre a matemática escolar formal e a sua
estabilidade na vida real. Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar
fenômenos do dia-a-dia. É um processo de construção de um modelo abstrato para
descrever um fenômeno”. (Beatriz D’Ambrosio)
Trata-se de uma iniciativa de minimizar a crise no ensino da Matemática,
melhorando a instrução, resgatando o gosto e o interesse pelas aulas, traduzindo e
contextualizando a “realidade do mundo real” em estruturas matemáticas.
O projeto se propõe a estimular o professor a não apenas conhecer os fundamentos
teóricos da Modelagem Matemática, mas vivenciá-la no próprio curso e implementá-la em
sua prática de sala de aula. Através de aulas de atividades em grupo, ele poderá integrar-se
com colegas de mesma formação, trocar experiências enriquecedoras, desinibir, refletir,
debater, promover o conhecimento, aprender incitar à aprendizagem de seus alunos e
principalmente trabalhar uma aula diferente daquela tradicional.
Programa e Metodologia
Conteúdo: Aplicação de Modelagem Matemática na resolução de problemas cotidianos.
O mini-curso será desenvolvido através de exposição oral e trabalho em grupo.
1° etapa: Breve resumo da fundamentação teórica, reflexões de Modelagem e modelos
matemáticos.
2° etapa: Exemplos de alguns casos e aplicações da modelagem em sala de aula.
3° etapa: Oficina “mão na massa”
Realização de atividades em grupo pelos professores com modelagem. Construção de uma
situação de modelagem por meio de suas próprias vivências; Comparação de resultados e
investigação de dificuldades
4° Etapa: Análise conjunta das atividades propostas. Sentir suas dificuldades e motivações
em trabalhar com Modelagem.
Público alvo: Destina-se a Professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
190
Material empregado:
Quadro negro; Apostila; Retro-projetor ou Data-show; Softwares (Cabri Géomètre II ou
Winplot ou Graph).
Carga horária: 16 horas-aula.
Horário das aulas: Sábados das 8h às 12h
Número de vagas: 20 participantes
Serão entregues certificados ao final do curso a todos com 100% de participação.
Bibliografia Básica
ANASTÁCIO, Maria Queiroga A.. Considerações sobre a Modelagem Matemática e a
Educação Matemática. 1990. Diss. (Mestrado) UNESP, Rio Claro, 1990.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. O que pensam os professores sobre a modelagem
matemática? Zetetiké,Campinas, v.7, n.11, 1999.
BASSANEZI, Rodney C.B. Ensino–aprendizagem com Modelagem Matemática: uma
nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
BEAN, Dale. O que é modelagem matemática?.Artigo: Educação Matemática em Revista,
BIEMBENGUT, Maria Salete. & HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no ensino. 3°.ed.
São Paulo: Contexto
BLUM, W. “Applications and Modelling in Mathematics teaching – a review of arguments
and instructional aspects”, Lecture given at the Fourth Interaction Conference on the
Teaching mathematical Modelling and Applications, Chichester: Roskilde University,
1989.
BURAK, Dionísio Modelagem Matemática: Uma metodologia alternativa para o ensino da
matemática na 5a. série Dissertação de Mestrado, UNESP, Rio Claro, Brasil 1987.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: Reflexões sobre Educação e Matemática.
São Paulo, Summus Editorial. 1986.
GAZZETA, Marineuza. A Modelagem como Estratégia de Aprendizagem na Matemática
em Cursos de Aperfeiçoamento de Professores. 1989. Diss. (Mestrado) – Instituto de
Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1989.
HUPPES, Roque. Uma proposta de melhoria do ensino-aprendizagem de matemática.
2002. 147f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) – Programa de Pós-
graduação em Engenharia de Produção, UFSC, Florianópolis.
MEYER, João Frederico Costa.; "Modelagem Matemática: Do Fazer ao Pensar", Palestra
no VI Encontro Nacional de Educação Matemática (VI ENEM) Anais, Vol.1 pg 67, 1998 ,
São Leopoldo-RS
SCHEFFER, Nilce F. Modelagem Matemática: Uma abordagem para o ensino-
aprendizagem da matemática. Educação Mat. em revista, SBEM, ano 8 n.9, abr. 2001.
SKOVSMOSE, Ole. Cenários para investigação. Bolema – Boletim de Educação
Matemática. Rio Claro, Ano 13, n.14, p.66-91, 2000.
ANEXO II – QUESTÕES PARA CONHECER O PROFESSOR
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
191
Caro professor, os dados desse questionário são pertinentes à pesquisa que visa a
melhoria do ensino da Matemática. Sua colaboração e informações serão de grande valia
para o êxito deste trabalho. Em nenhuma hipótese sua identificação será revelada. Os
dados serão analisados de forma global e sigilosa.
Nome:.........................................................................................................................
Parte 1
Caso exerça outra atividade. Qual?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Freqüenta congressos, seminários ou encontros da área Matemática?
( ) sim ( ) não ( ) às vezes
Qual foi o mais recente? Qual o tema desenvolvido onde você participou?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Parte 2
Qual das tendências acima você gostaria de conhecer melhor para trabalhar com seus
alunos?
__________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
O problema do ensino de Matemática.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
192
Indique as três principais causas do insucesso da Matemática e o baixo rendimento.
1=_____________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2=_____________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3=_____________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Estratégias para o Sucesso
Indique três sugestões ou soluções possíveis para favorecer a aprendizagem de
Matemática
1=_____________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2=_____________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3=_____________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Outros:
O que você falaria a seus filhos, parentes ou amigos que queiram seguir sua profissão?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Existem propostas de trabalho que você gostaria de fazer e não está conseguindo? Por
quê?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
De que forma a Matemática atual ajuda na formação do individuo?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
______________________________
Visto do Professor
ANEXO III - ENTREVISTA (DEPOIS DO MINI-CURSO)
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
193
Pergunta 1 – Fale da sua formação. Já tinha visto alguma coisa em termos de
Modelagem?
Pergunta 2 – Falando na Modelagem Matemática, você a considera uma
alternativa viável para se aprender Matemática no Ensino Médio? Tem alguma
vantagem?
Pergunta 3 – Você acha que a Modelagem resgata o gosto e o interesse pelas
aulas, trazendo motivação para o aluno, já que ele passa a participar ativamente
da aula, dando opiniões que serão levadas em conta pelo professor?
Pergunta 4 – Agora falando da modelagem e você como professor. Você
trabalharia como as atividades de modelagem na sua sala de aula? Você sente-
se preparado para desenvolver atividades com modelagem?
Pergunta 5 – A Modelagem não elimina o conteúdo matemático tradicional. Ela
sugere mudanças no sentido de aproximar a disciplina da realidade do aluno. O
que ela contribui para a formação do cidadão da atualidade?
Pergunta 6 – O curso atendeu às suas expectativas? Tem alguma sugestão?
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
194
ANEXO IV – SLIDES DO PRIMEIRO ENCONTRO
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
195
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
196
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
197
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
198
ANEXO V – TABULAÇÃO GERAL DOS DADOS – PARTE 1 QUESTIONÁRIO
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
199
P1, P2,......P55 - sujeitos da pesquisa. Professores de Matemática
Azul – Sujeitos que não terminaram o curso, considerados evadidos.
Análise dos Dados
IDADE: Conhecer a faixa etária dos professores que procuram curso de novas
tendências.
Consta nesta pesquisa 10 professores com menos de 30 anos, vinte e dois
de 31até 40 anos, 7 de 41 a 50 anos e 1 professor com mais de 51 anos.
Analisando as idades, podemos observar que a mesma tem uma maior
concentração entre professores com menos de 40 anos, o que representa 80%
das idades dos sujeitos pesquisados. Caracterizam portanto por professores
jovens interessados em conhecer novas técnicas de ensino e a Modelagem
Matemática.
Grande surpresa foi que a de professores jovens, ou recentemente saídos
da graduação, não conhecerem novas formas de ensinar Matemática e de
trabalhar novas tendências tipo Modelagem, Etnomatemática, Tarefas de
investigação e uso das TICs (softwares).
GE – Gênero:
Participaram da pesquisa inicialmente, ou seja, no primeiro encontro, vinte
e quatro professores da Diretoria de Ensino Diadema, sendo dez do sexo
masculino e catorze do feminino; e trinta e um professores da Diretoria de Ensino
Leste 3 da Cidade de São Paulo, sendo onze do sexo masculino e vinte do
feminino. Durante o curso tivemos a desistência seis professores em Diadema e
nove na Leste 3. Desta forma foram considerados para efeito da pesquisa
somente quarenta professores, sendo treze do sexo masculino (32,5%) e vinte
sete do feminino (67,5%).
Assim sendo dos vinte um inscritos do sexo masculino, desistiram oito o
que representa 38% e dos trinta e quatro inscritos do sexo feminino desistiram
sete, o que representa 20,6%
FORMADO: Representa o tempo de formação do professor: Verificar a
experiência profissional de cada professor.
Pela pesquisa percebemos que 32,5% dos professores possuem menos de
5 anos de formação; 57,5% dos professores possuem de 6 a 10 anos de
formação e apenas 10,0% dos professores possuem mais de 10 anos de
formação. Trata-se, portanto, de um público bastante jovem e com poucos anos
de formação.
LECIONA: quanto tempo leciona com professor de matemática. Verificar a
experiência profissional de cada professor
Pela pesquisa percebemos que 40,0% dos professores lecionam menos de
5 anos; 45,0% dos professores lecionam de 6 a 10 anos e apenas 15,0% dos
professores lecionam mais de 10 anos de formação. Trata-se, portanto, de um
público bastante jovem e que 85% deles lecionam menos de 10 anos.
NÍVEL: Verificar quanto nível de ensino costuma trabalhar.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
200
Pela pesquisa percebemos que 37,5% dos professores lecionam no Ensino
Fundamental; 62,5% dos professores lecionam no Ensino médio. Pelos sujeitos
da pesquisa observa-se que nenhum deles trabalha no ensino infantil e superior.
Razão pela qual, considero todos eles e suas respostas como essencial e
primordial para esta pesquisa, pois se trata de Modelagem Matemática para a
Educação Básica.
AULA SEM – Aulas semanais: Verificar quantas aulas semanais costuma
trabalhar atualmente
Pela pesquisa percebemos que 27,5% dos professores lecionam menos de
trinta aulas semanais; 52,5% dos professores lecionam de trinta a quarenta e
cinco aulas semanais e 20,0% dos professores lecionam mais de quarenta e
cinco aulas semanais. Analisando esses números e as conversas durante o
curso, pode-se perceber que 72,5% dos professores trabalham e com muitas
aulas ao dia, dividido parte em sala, parte na preparação de aulas e correção de
atividades. Constatamos que, entre os pesquisados, não sobra tempo algum para
estudar novas tendências e verificar perspectivas na sua área.
ESC – Escolas: quantas escolas trabalham atualmente.
Pela pesquisa percebemos que 22,5% dos professores lecionam em uma
única escola; 37,5% dos professores lecionam duas escolas e 40,0% dos
professores lecionam três escolas. Analisando esses números, nota-se que
77,5% dos professores trabalham em pelo menos, duas escolas e vivem intensas
correrias no seu dia, devido o deslocamento entre as escolas. Praticamente sem
tempo para reciclar e investir no seu auto-aprimoramento.
EVENTO: Referente à freqüência de eventos na área de matemática, tais como
congressos, seminários ou encontros.
Pela pesquisa percebemos que 20,0% dos professores costumam participar
de eventos; 17,5% dos professores não participam. Questionados por isso
alegaram que sequer ficam sabendo de eventos na área de matemática ou falta
de oportunidade tais como falta de tempo, falta de comunicação, informações
distorcidas e atrasadas.
E 62,5% dos professores participam às vezes. Questionados sobre quais
eventos costumam freqüentar, 20 dos professores afirmaram participar de
Oficinas na Diretoria de Ensino, 3 deles freqüentam mostra de trabalhos no
CAEM-USP e 2 já freqüentaram pelo menos 1 congresso (não especificado).
DESIST – desistentes: professores que se evadiram do curso. P1 até P4 são as
presenças e faltas durante os quatro encontros.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
201
ANEXO VI – TRABALHOS DOS ALUNOS – GRUPO 1
Desenho no papel quadriculado A4
Desenho no papel quadriculado A3
Contas no papel A3
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
202
Contagem das partes:
Calculo da diagonal usando Teorema de Pitágoras
Medindo as alturas em escala e calculando a Área fazendo
2
altura x base
Área =
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
203
Cálculo da área
pelo modelo de Heron
D
esenho feito pelos
alunos e representado no
Software Cabri-Geometry..
A frente do terreno possui
ângulo de 90 graus à Esquerda
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
204
ANEXO VII – Trabalhos dos alunos – Grupo 2
Desenho no papel quadriculado A4
Desenho no papel quadriculado A3
Contas no papel A3
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
205
Contagem das partes:
Medindo diagonal e alturas com a escala. Calculando a Área fazendo
2
altura x base
Área =
ANEXO VIII – TRABALHOS DOS ALUNOS – GRUPO 3
Desenho no papel quadriculado A4
A frente do terreno possui
ângulo de 90 graus à Direita
465 m
2
Cálculo da área
pelo modelo de Heron
Desenho feito pelos
alunos e representado no
Software Cabri-Geometry..
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
206
Desenho no papel quadriculado A3
Contas no papel A3
Contagem das partes:
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
207
Medindo diagonal e alturas com a escala.
Calculando a Área fazendo
2
altura x base
Área =
Cálculo do semi-perímetro
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
208
Cálculo da área pelo modelo de Heron
Desenho feito pelos alunos e representado no Software Cabri-Geometry
A frente do terreno possui ângulo de 90 graus à Esquerda
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
209
ANEXO IX – TRABALHOS DOS ALUNOS – GRUPO 4
Desenho no papel quadriculado A4
Desenho no papel quadriculado A3
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
210
Contas no papel A3
Contagem das partes:
Medindo as alturas e a diagonal em escala. Calculando a Área fazendo
2
altura x base
Área =
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
211
Cálculo da área pelo
modelo de Heron
Desenho feito pelos alunos e
representado no Software
Cabri-Geometry.
A frente do terreno possui
ângulo de 90 graus à Direita
467.44m
2
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
212
ANEXO X – TRABALHOS DOS ALUNOS – GRUPO 5
Desenho no papel quadriculado A4
Desenho no papel quadriculado A3
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
213
Contas no papel A3
Contagem das partes:
Medindo as alturas em escala e calculando a Área fazendo
2
altura x base
Área =
Desenho feito pelos alunos e
representado no Software Cabri-
Geometry.
A frente do terreno não possui
nenhum ângulo de 90 graus
Cálculo da área pelo
modelo de Heron
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
214
ANEXO XI – TRABALHOS DOS ALUNOS – GRUPO 6
Desenho no papel quadriculado A4
Desenho no papel quadriculado A3
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
215
Contas no papel A3
Contagem das partes:
Medindo as alturas e a em escala e calculando a Área fazendo
2
altura x base
Área =
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
216
Cálculo da área pelo
modelo de Heron
Desenho feito pelos alunos e
representado no Software
Cabri-Geometry.
A frente do terreno não possui
nenhum ângulo de
90 graus
.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
217
ANEXO XII – MEDIDA REAL DO LOTE E DA ESCRITURA - DIVERGÊNCIAS
.
Desenho com medidas reais.
Frente 12,00 metros; Lateral direita
33,00 metros; lateral esquerda 30,00
metros; fundos 18,00 metros;
diagonal 35,91 metros, partindo da
esquerda da frente do lote para o lado
direito no fundo.
Desenho das medidas
constantes na escritura.
Mesmas dimensões e Área de
460,25 m
2
. Terreno imaginado pelo
registro de imóveis para cobrança
de impostos e tributos.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
218
ANEXO IX– DEMONSTRAÇÕES DO MODELO DE HERON
DEMONSTRAÇÃO DO MODELO DE HERON DE ALEXANDRIA (1)
Modelo para calcular a área de um triângulo qualquer conhecendo apenas os seus lados.
Seja um triangulo qualquer de lados a, b, c.
Área é base vezes altura dividido por dois.
Chamamos de semiperímetro 2p , Temos 2p = a + b + c
Subtraindo 2a de cada lado da igualdade: 2(p – a) = – a + b + c
Subtraindo 2b de cada lado da igualdade: 2(p – b) = a – b + c
Subtraindo 2c de cada lado da igualdade: 2(p – c) = a + b – c
Separando o lado
“c”
em
“m”
e
“n”
, podemos dizer que
c= m + n
Sendo “h” altura, temos dois triângulos retângulos nos quais
a
2
= m
2
+ h
2
e
b
2
= n
2
+ h
2
Como
m = c – n
, então
m
2
= (c – n)
2
e
m
2
= c
2
–2cn+ n
2
Adicionando
“h
2
”
em cada lado temos:
m
2
+ h
2
= c
2
– 2cn + n
2
+ h
2
Substituindo
a
2
e
b
2
,
temos:
a
2
= c
2
– 2cn + b
2
Isolando o
“n”
temos:
Agora, sabendo que
b
2
= n
2
+ h
2
ou
h
2
= b
2
– n
2
, vamos desenvolver o produto notável.
h
2
= b
2
– n
2
portanto
h
2
= (b
+ n). (b
– n)
2
Área
hc
×
=
c
abc
n
2
222
−+
=
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
219
Substituindo o
“n”,
ficamos assim:
Como a área é:
Portanto:
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
c
cpbpapp
hAssim
c
cpbpapp
c
cpbpapp
h
c
cpbpapp
c
cpbpapp
h
c
cbacbacbacba
h
c
cba
c
acb
h
c
acb
c
acb
h
c
accbb
c
accbb
h
c
abccb
c
accbb
h
c
abccb
c
abccb
h
c
abc
b
c
abc
bh
−−−
=
−−−
=
−−−
=
−−−
=
−−−
=
−++−++−++
=
−−
×
−+
=
−−×−
×
−+
=
−+−×−
×
−++
=
+−−
×
−++
=
−+−
×
−++
=
−+
−×
−+
+=
2..2
:
2..2
2..4
2..4
4
2.2.2.2
4
...
22
2
1
2
2
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
222222
2
222222
2
222222
2
222222
2
Substituindo
Arranjando
Fatorando
Trinômio quadrado perfeito
Arranjando
Fatorando
Diferença de quadrados
Substituindo
Extraindo a Raiz
Simplificando
2
)).().(.(
cba
pondecpbpappÁrea
+
+
=−−−=
( )( ) ( )
c
cpbpappc
Áreatemos
hc
Área
2
2..2
2
−−−×
=
×
=
Obs.:
Encontramos nos livros didáticos os três nomes para a fórmula:
Heron, Herão ou Hierão.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
220
DEMONSTRAÇÃO DO MODELO DE HERON DE ALEXANDRIA (2)
Demonstração apresentada na RPM (Revista do Professore de Matemática)
número 36.
Heron de Alexandria viveu no século II d.C. na cidade de Alexandria
(obviamente). Foi engenheiro e matemático. Sua fórmula para calcular a área de
um triângulo:
Sendo p
a
metade do perímetro do triângulo.
Demonstração: Seja o triangulo ABC qualquer
I é o centro da circunferência inscrita
2
)).().(.(
cba
pondecpbpappÁrea
+
+
=−−−=
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
221
DABC-AJa-pBDAC-AJb-pBJAB-AJc-p : Então
p
2
CACBAB
2
FCEC
2
EBBD
2
AFAD
AJ
CE. = BJ que tal AB reta- semida ponto o J Seja-3
CFCE e BEDB ,AFAD
: temos ,CEI ∆ CFI ∆ BEI ∆ BDI ∆ AFI ∆ ADI ∆ Como
pr
2
AC)BCr.(AB
2
r.AC
2
r.BC
2
r.AB
ABI ∆ área:Temos
2
r.AC
AIC ∆ áreae
2
r.BC
IBC ∆ área
2
r.AB
ABI ∆ área a Como
∆AIC
Area
∆IBC
Area
ABI
∆
Area
ABC
∆
Area
a
-
1
======
=
++
=
+
+
+
+
+
=
===
≡≡≡−
=
++
=++=
===
+
+
=
2
.
4)
Seja K o ponto construído como indicado na figura. O quadrilátero AKBI é inscritível
numa circunferência de diâmetro AK;
logo ∠ ABI + ∠ AKB =180°
e, como α + β + γ = 180°
temos:
∠ AIB + ∠CIE = 180° , de onde ∠ AKB = ∠CIE = γ
Então temos: ∆CIE ≈ ∆AKB , o que implica
r
BK
BJ
AB
r
BJ
r
CE
BK
AB
=⇒==
5)
No triângulo retângulo
∆ALI
temos :
r
2
= DL . AD
e de
∆
DLI ≈
∆BLK
temos :
r
BK
DL
LB
LB
BK
DL
r
=⇒=
Assim temos
, o que implica ou , que
Juntamente com
r
2
= DL . AD
leva a
AJ
2
. r
2
= BJ . AJ . BD . AD
.
Usando–se as igualdades apresentadas em 3, obtemos
p
2
.r
2
= (p–c)p(p–b)(p–a)
que, pela
igualdade exibida em
1
,
demonstra-se a fórmula.
))()((:
))()(())()((.
2222
cpbpappSAssim
cpbpappScpbpapprpS
−−−=
−−−=⇒−−−==
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
222
DEMONSTRAÇÃO DO MODELO DE HERON DE ALEXANDRIA (3)
Bibliografia consultada: SANGIORGI, Oswaldo. Matemática. Curso ginasial –
4ªsérie. São Paulo. Editora Nacional. 1961. Página 118 e p.179–180.
Aplicando a relação do cosseno no triângulo ABH cos B=
c
n
→
n = c cos B (I)
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC: )(cos2
222
Baccab −+=
(II)
Aplicando I em II,
ancab 2
222
−+=
Isolando n, temos:
a
bca
n
2
222
−+
= (III)
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABH:
→
c
2
= h
2
+ n
2
isolando h
2
= c
2
– n
2
(IV)
Aplicando III em IV temos:
Decompondo o numerador, como diferença de dois quadrados:
( )
(
)
22
2
222
2
2
4
))()()((
4
2
a
cabcabbcabca
a
bcaac
h
+−−+−+++
=
−+−
=
(V)
Indicando o perímetro do triângulo ABC por
2p = a+b+c
, podemos determinar o valor de cada um dos fatores
que compõem o numerador, assim:
a + c – b = a + b + c – 2b = 2p –2b = 2(p – b)
b + a – c = a + b + c – 2c = 2p –2c = 2(p – c)
b – a + c = a + b + c – 2a = 2p –2a = 2(p – a)
Substituindo destes valores na relação (V), temos:
22
2
))()(.(4
4
)(2).(2).(2.2
a
cpbpapp
a
cpbpcpp
h
−−−
=
−−−
=
e finalmente:
Sendo a Área do triângulo ABC dado por:
2
.ha
S =
, substituindo h pelo valor determinado, temos:
))()((
2
.
2
2
cpbpapp
a
aah
S −−−==
→
))()(( cpbpappS −−−=
Fórmula de Herão de Alexandria
(
)
( )
(
)
2
2
222
2
2
222
22
4
2
2
a
bcaac
a
bca
ch
−+−
=
−+
−=
))()((
2))()((4
2
cpbpapp
a
a
cpbpapp
h −−−=
−−−
=
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
223
DEMONSTRAÇÃO DO MODELO DE HERON DE ALEXANDRIA (4)
Esta demonstração foi baseada em um trabalho intitulado Heron´s formula via
proofs without words, de autoria de Roger B. Nelsen, publicada no The College
Mathematics Journal, vol. 32, no 4, september 2001
.
A demonstração baseia–se no seguinte.
Seja ∆ABC um triângulo com lados medindo a, b e c conforme ilustramos na figura
(a) abaixo. Nesta figura também representamos as bissetrizes dos ângulos internos do
∆ABC assim como a sua circunferência inscrita. Na figura (b) mostramos os raios , de
medida r, nos pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados do ∆ABC
1. As três bissetrizes internas de um triângulo encontram–se em um mesmo ponto, O,
que é centro da circunferência inscrita nesse triângulo.
Justificativa: Se considerarmos dois lados de um triângulo, os pontos eqüidistantes
desses dois lados estão na bissetriz do ângulo que eles formam. O centro O da
circunferência inscrita no triângulo é eqüidistante dos três lados e, portanto, é a
interseção das três bissetrizes
.
2. Traçando o raio e os pontos de tangência do circulo com os lados do triângulo temos:
AB’ = AC’ , BA’ = BC’ e CA’ = CB’.
Justificativa: Os triângulos retângulos AOB’ e AOC’ são congruentes pois têm a mesma
hipotenusa AO e catetos medindo r. Portanto,
AB’ = AC’. As outras igualdades são obtidas de modo análogo.
Perímetro = a + b + c ou Perímetro= x + x + y + y + z + z= 2x+2y+2z
Segue que o semiperímetro, ou metade do perímetro: p, do ∆ABC satisfaz as
seguintes relações:
p = x + y + z = x + a = y + b = z + c.
3. Se r é o raio da circunferência inscrita num triângulo de semiperímetro p, a
área desse triângulo é
S = p × r.
Justificativa: a figura anterior mostra que as áreas S dos triângulos indicados
satisfazem a igualdade
S
∆ABC
= S
∆OBC
+ S
∆OAB
+ S
∆OAC
Logo:
S
∆ABC
=
rp
rcbarcrbra
×=
×
+
+
=
×
+
×
+
×
2
)(
2
2
2
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
224
Geometricamente:
Arranjando:
Lema. Se
α
αα
α
,
β
ββ
β
e
γ
γγ
γ
são medidas positivas de três ângulos tais que
α
αα
α
+
β
ββ
β
+
γ
γγ
γ
= p/2,
então temos
Aplicando o lema aos ângulos cujas medidas são
α
αα
α
,
β
ββ
β
e
γ
γγ
γ
, que estão representados
no triângulo da figura 1 (b) temos que :
assim, de acordo com a última observação abaixo da figura 1, podemos
afirmar que
x = p–a, y = p–b e z = p–c, o que conjuntamente com a expressão:
Implica em que
O que completa a prova.
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
225
DEMONSTRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA DO MODELO DE HERON DE
ALEXANDRIA (5)
Seja o ângulo entre dois lados e , usando a lei dos cossenos::
Equação fundamental da trigonometria sin
2
α + cos
2
α =1
temos:
Sabendo que a área do triângulo é:
Substituindo:
α
sin
2
1
bcS =
∆
bc
cabacbcba
bcS
2
222
2
1
222222444
+++−−−
=
∆
(
)
(
)
(
)
(
)
4
cbabcaacbcba
S
−+−+−+++
=
∆
))()(( csbsassS −−−=
∆
bc
cabacbcba
2
222
sin
222222444
+++−−−
=
α
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
226
ANEXO XIV – ATIVIDADE DE MODELAGEM
Número da calça e medida do quadril
Nº da calça 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
Quadril (cm) 88 92 96 100 104 108 112 116 120 124
Fonte:
Revista Manequim
,
edição 551, novembro de 2005.
Confira se está correta a tabela acima: com os alunos da sala, pais
professores, inspetores de aluno etc. Atividade consiste em medir o quadril
das pessoas e verificar o número de calça ela usa.
a)
Construa a Tabela de pesquisa:
b) Represente graficamente os dados obtidos pela sala e a tabela da revista.
c) Construa a tabela com valores médios para cada número
Nº da calça 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
Quadril (cm)
Fonte:
Alunos da Série ___________
d) Comparar e descrever os resultados dos outros grupos.
e) Que Nº da calça deve comprar uma pessoa que possui quadril 102 cm? E
100cm? E 104 cm?
f) O que pode significar várias medidas possuírem o mesmo número de
calça?
g) Que numero de calça deverá comprar uma pessoa de quadril 98,5?
h) Construir um modelo que represente e generalize os dados levantados.
N(q) em função de q
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
227
ANEXO XV – PROPOSTA DO GRUPO I
Proposta de atividade de Modelagem Matemática
Consumo da conta de telefone
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
228
ANEXO XVI – PROPOSTA DO GRUPO II
Proposta de atividade de Modelagem Matemática
Grupo II: Música no intervalo
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
229
ANEXO XVII – PROPOSTA DO GRUPO III
Proposta de atividade de Modelagem Matemática
Grupo III : Financiamento
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
230
ANEXO XVIII – PROPOSTA DO GRUPO IV
Proposta de atividade de Modelagem Matemática
Grupo IV Custo do pãozinho
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
231
ANEXO XIX – PROPOSTA DO GRUPO V
Proposta de atividade de Modelagem Matemática
Grupo V : Pintura na Escola
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
232
ANEXO XX – FOTOS DURANTE O CURSO
Professores efetuando atividades de modelagem.
Com a fita métrica efetuando a medida da Cintura. Levantamento de dados para
criação do modelo
Explorar e Investigar para Aprender Matemática por meio da Modelagem Matemática William Kfouri
233
Apresentação no mini-curso
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
