( PDF ) Conhecimentos relativos à variável, mobilizados por professores da educação básica

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Paulo César Galvão Queiroz

Conhecimentos relativos à variável, mobilizados por

professores da Educação Básica

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Paulo

2008

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Paulo César Galvão Queiroz

Conhecimentos relativos à variável, mobilizados por

professores da Educação Básica

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de MESTRE

EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação do

Professor Doutor Benedito Antonio da Silva.

São Paulo

2008

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Banca Examinadora

________________________________________

utorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

Este trabalho é dedicado a minha esposa, pela sua

compreensão frente aos momentos de ausência, e pela sua

paciência, a meus pais por todo o empenho em me oferecer

uma formação, e foram sem sombra de dúvida meus

primeiros mestres, e a meus alunos... meus mestres

diuturnos.

GRADECIMENTOS

Com relação aos agradecimentos, o mais difícil neste momento é saber

a quem ou o que não agradecer. Sem sombra de dúvida, devo

agradecer a meu orientador, Prof. Benedito Antonio da Silva por todos

seus conselhos, suas orientações, suas infinitas correções e todas suas

idéias que muito colaboraram para que chegássemos ao término, ou

pelo menos que terminássemos esta fase.

A todos os professores do programa, em especial a professora

Silvia

Dias Alcântara Machado

por suas observações e por me fornecer um

artigo que originou minha pesquisa.

A todos os participantes do G2 por todas as ressalvas, dicas com

relação ao trabalho a ser desenvolvido e devo ressaltar que, o

fundamental neste grupo, foi à interação proporcionada pelos alunos

que se encontravam em diversos níveis no que se refere a elaboração

de seus trabalhos, uns iniciantes, outros na fase de coleta de dados,

outros em processo de finalização. Devo muito a vocês...

Não posso deixar de ressaltar meu muito obrigado ao Governo do

Estado de São Paulo pelo programa bolsa mestrado, que financiou

toda minha pesquisa, bem como a Diretoria de Ensino Centro-sul, por

seu pronto atendimento no que se refere à parte burocrática.

Sem esquecer de mencionar amigos como Wagner Marcelo Pommer e

Elaine Ramires Aragão, pelas correções e auxílio prestado em

algumas traduções, por todos nossos trabalhos em grupo, e por nosso

convívio.

A direção, o corpo docente e discente da E. E. Nossa Senhora

Aparecida por todo auxílio prestado em tantas ocasiões que fica até

difícil selecionar quais.

A todos os professores que direta ou indiretamente auxiliaram nas

pesquisas por hora realizadas.

E finalmente, ao Cósmico e a todos os Mestres visíveis e invisíveis que

deste trabalho participaram.

O Autor

ESUMO

Nesta pesquisa buscamos investigar os conhecimentos mobilizados pelos

professores no que se refere às variáveis e suas diferentes utilizações. Procuramos

verificar que conhecimentos, os professores tanto do ensino fundamental como

médio, expressam sobre este conceito, no que se refere a sua interpretação,

simbolização e manipulação de acordo com a fundamentação teórica expressa no

modelo 3UV (três usos das variáveis), principal ferramenta de análise dos dados

obtidos. A parte empírica de nossa pesquisa baseou-se na aplicação de um

questionário piloto que consta de quinze questões e posteriormente, de um

questionário definitivo que consta a seu turno de oito questões. Foram estudadas por

meio deste último dispositivo, as respostas de quinze professores que atuavam em

quatro escolas da Educação Básica sendo três de ensino público, da qual uma delas

de ensino técnico e outra de ensino particular, todas localizadas na cidade de São

Paulo. Com relação ao questionário, o mesmo constava de problemas em linguagem

natural, resolução de expressões algébricas, situações que envolvem dados

tabulares e outras que abordavam gráficos. Segundo o modelo 3UV, as variáveis

atuam dependendo da proposta pela situação a ser explorada como: termo

desconhecido, número genérico ou variáveis em relacionamento funcional. Estes

critérios da variável em seus diferentes papéis foram analisados segundo à

simbolização, manipulação e interpretação. De acordo com os dados obtidos,

concluímos que os professores demonstraram dificuldades no que se refere à

interpretação e à simbolização das variáveis em relacionamento funcional, sendo que

a simbolização de situações referentes às variáveis como número genérico também

apresentaram problemas, porém em um nível menor. Em relação às variáveis que

atuam como termo desconhecido, foram observadas poucas dificuldades. De um

modo geral, a pesquisa mostrou que o conceito de variável pode representar uma

fonte de obstáculos para o ensino e aprendizagem de noções que dele dependem,

como: função, limite, derivada, integral,..., uma vez que as dificuldades que os

próprios professores apresentam na interpretação dos componentes que envolvem tal

conceito, indicam que seu ensino não é trivial.

Palavras-Chave: variável, termo desconhecido, número genérico, relacionamento

funcional, simbolização, manipulação, interpretação.

BSTRACT

In this research we search to investigate the knowledge mobilized for the professors in

whom if they relate to the variable and its different uses. We look for to verify where

knowledge, the professors in such a way of basic education as average, express on

this concept, as for its interpretation, symbolization and manipulation in accordance

with the express theoretical recital in model 3UV (three uses of the variable), main tool

of analysis of the gotten data. The empirical part of our research was based on the

application of a pilot questionnaire who consists later of fifteen questions and, of a

definitive questionnaire that consists its turn of eight questions. They had been studied

by way of this last device, the answers of fifteen professors who acted in four schools

of the Basic Education being three of public education, of which one of them of

education technician and another one of particular education, all located in the city of

São Paulo. With relation to the questionnaire, the same it consisted of problems in

natural language, resolution of algebraic expressions, situations that involve given

tabular and others that approached graphs. According to model 3UV, the variable acts

depending on the proposal for the situation to be explored as: unknown term, generic

number or variable in functional relationship. These criteria of the variable in its

different papers had been analyzed second to the symbolization, manipulation and

interpretation. In accordance with the gotten data, we conclude that the professors

had demonstrated difficulties in that if he relates to the interpretation and the

symbolization of the variable in functional relationship, being that the symbolization of

referring situations to the variable as generic number had also presented problems,

however in a lesser level. In relation to the variable that act as unknown term, few

difficulties had been observed. In a general way, the research showed that the

variable concept can represent a source of obstacles for education and learning of

slight knowledge that on it depend, as: function, limit, derivative, integral..., a time that

the difficulties that the proper professors present in the interpretation of the

components that involve such concept, indicate that its education is not trivial.

Key-words: variable, unknown term, generic number, functional relationship,

symbolization, manipulation, interpretation.

UMÁRIO

APRESENTAÇÃO ..................................................................................................... 11

CAPÍTULO 1 .............................................................................................................. 15

Problemática ...................................................................................................... 15

A gênese da variável relacionada ao desenvolvimento algébrico e suas

notações ..............................................................................................................

CAPÍTULO 2 .............................................................................................................. 35

Fundamentação Teórica ................................................................................... 35

CAPÍTULO 3 .............................................................................................................. 53

Procedimentos Metodológicos ........................................................................ 53

3.1 Sujeitos ........................................................................................................ 54

3.2 Histórico da construção do questionário ...................................................... 55

3.3 O questionário piloto ..................................................................................... 59

3.4 Questionário .................................................................................................. 66

3.5 Aplicação do questionário ............................................................................. 77

CAPÍTULO 4 .............................................................................................................. 79

Análise dos dados coletados ........................................................................... 79

CAPÍTULO 5 .............................................................................................................. 111

Conclusões.......................................................................................................... 111

REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 115

ANEXOS .................................................................................................................... 119

Anexo 1: As questões ......................................................................................... 119

Anexo 2: Questionário piloto ............................................................................... 125

Anexo 3: Questionário ......................................................................................... 130

Anexo 4: Perfil do entrevistado ........................................................................... 133

NDICE DE

U A D R O S

Quadro 1: Decomposição da variável segundo o modelo 3UV ................................. 40

Quadro 2: Aspectos das variáveis segundo mo modelo 3UV .................................... 42

Quadro 3: Aspectos relevantes segundo modelo 3UV para a 1° questão ................. 67

Quadro 4: Aspectos relevantes segundo modelo 3UV para a 2° questão ................. 70

Quadro 5: Aspectos relevantes segundo modelo 3UV para a 3° questão ................. 71

Quadro 6: Aspectos relevantes segundo modelo 3UV para a 4° questão ................. 72

Quadro 7: Aspectos relevantes segundo modelo 3UV para a 5° questão ................. 73

Quadro 8: Aspectos relevantes segundo o modelo 3UV para a 6° questão .............. 74

Quadro 9: Aspectos relevantes segundo o modelo 3UV para a 7° questão .............. 76

Quadro 10: Aspectos relevantes segundo o modelo 3UV para a 8° questão ............ 77

Quadro 11: Erros cometidos pelos professores no item 1d ....................................... 84

Quadro 12: Erros cometidos pelos professores no item 2i ........................................ 89

Quadro 13: Erros cometidos pelos professores no item 3b ....................................... 91

Quadro 14: Erros cometidos pelos professores no item 3d ....................................... 92

Quadro 15: Erros cometidos pelos professores no item 6e ....................................... 99

Quadro 16: Erros cometidos pelos professores no item 7a ....................................... 101

Quadro 17: Erros cometidos pelos professores no item 7d ....................................... 103

NDICE DE

ABELAS

Tabela 1: Campo de atuação, tempo de magistério dos professores ........................ 54

Tabela 2: Tipo de escola na qual o professore atua .................................................. 55

Tabela 3: Porcentagens de questões corretas, incorretas e não respondidas .......... 79

Tabela 4: Porcentagens de questões corretas, incorretas e não respondidas,

relativamente a variável como termo desconhecido ..................................

Tabela 5: Porcentagens de questões corretas, incorretas e não respondidas,

relativamente a variável como número genérico .......................................

Tabela 6: Porcentagens de questões corretas, incorretas e não respondidas,

relativamente a variável em relacionamento funcional ..............................

Tabela 7: Porcentagem de erros segundo a principal característica assumida pela

variável de acordo com o modelo 3UV ......................................................

107

PRESENTAÇÃO

As dificuldades que os alunos apresentam no aprendizado da matemática,

bem como os altos índices de retenção e/ou abandono dos estudos no ensino

superior, aliados a um desempenho insatisfatório no que se refere à educação

básica, conduziram-nos à busca de informações nesse nível de ensino, sobre o

significado da variável, uma vez que este desempenha um papel primordial no

conceito de função.

De acordo com pesquisas realizadas nos diversos níveis de escolaridade

mostram que a linguagem algébrica e seus símbolos, ou seja, a variável e seus

usos são fontes de dificuldades para os estudantes.

O simbolismo matemático, de acordo com FONSECA (1990), constitui um

acréscimo aos símbolos das linguagens naturais. A criança, nos primeiros anos

do ensino fundamental, aprende os dez algarismos e as maneiras de relacioná-los

e a compor um sistema de numeração, bem como os sinais operatórios: +, - , ⋅ , : ,

e √. Estuda depois símbolos particulares, tais como π ou interpretações especiais

como o símbolo de grau (90°, 30°). Considera também os símbolos de

agrupamento como ( ), [ ], { } e sinais de relacionamento como =, >, <.

Mais adiante em seus estudos, o aluno é encaminhado à álgebra, na qual

letras reaparecem num contexto completamente novo: como incógnitas ou

variáveis. Estes elementos, presentes nestes conteúdos matemáticos, os

conduzirão à interpretação e resolução de problemas.

Julgamos que a versatilidade envolvida neste objeto de estudo é o que

torna este tópico um assunto de difícil compreensão para a grande maioria dos

estudantes.

Diante dessa inquietação, tivemos contato no Mestrado Acadêmico da

PUC–SP, com diversos estudos realizados, dentre eles o referente às variáveis

(modelo 3UV - três usos da variável) de TRIGUEROS, M.; URSINI, S. (2001), que

busca classificar um uso mais bem delimitado das variáveis.

Nosso interesse sobre esse modelo se deu porque acreditamos ser ele

capaz de produzir uma maior visibilidade para a classificação das variáveis e suas

interações, como forma de buscar uma melhor compreensão desses aspectos, às

vezes, relegados a segundo plano na construção do pensamento matemático.

Optamos, para efetuar essa investigação, pela elaboração de um

questionário similar ao trabalhado por TRIGUEROS, M.; URSINI, S. (1998), que

foi aplicado no México tanto a alunos do ensino fundamental e médio (ou seus

equivalentes) como a universitários iniciantes e professores de matemática.

Para nossa pesquisa, decidimos limitar a aplicação do questionário apenas

a professores do ensino fundamental e médio, com o objetivo de verificar a

interpretação dada às variáveis de acordo com este modelo.

Nosso trabalho está organizado em cinco capítulos:

No primeiro, proporcionamos a Problemática, o tema escolhido, suas

motivações e relevância. Serão citadas algumas pesquisas realizadas como

forma de melhor embasarmos a nossa questão de nossa pesquisa.

Apresentaremos também o sub-item: A Gênese da Variável Relacionada ao

Desenvolvimento Algébrico e suas Notações, descrevendo uma evolução da

variável tendo por viés seu percurso algébrico e notacional, como também um

levantamento de pesquisas realizadas segundo a questão do significado atribuído

à variável.

No segundo capítulo, descrevemos a Fundamentação Teórica, expomos

estudos relacionados ao modelo 3UV que fundamentam nosso trabalho.

No terceiro capítulo, apresentamos os Procedimentos Metodológicos

que se constituem de explanações relativas à elaboração do questionário piloto

para chegar ao definitivo, bem como a descrição dos sujeitos da pesquisa e

quanto da descrição das escolas onde lecionam. É descrita a análise das

questões, sempre tendo em vista o modelo 3UV.

O quarto capítulo, intitulado Análise dos Dados, efetua a descrição e a

análise dos protocolos apresentados pelos professores.

No quinto e último, tecemos as Conclusões do estudo realizado.

APÍTULO 1

Problemática

Nosso problema de pesquisa, em um primeiro momento, esteve ligado à

transição do Ensino Médio para o Superior, no que se refere a um curso de

ciências exatas, visto que, conforme diversas pesquisas atestam, aí residem

muitas questões que dificultam o aprendizado, especificamente num primeiro

momento de um curso de Cálculo Diferencial e Integral.

Diante desta nova realidade, frequentemente os estudantes deixam

transparecer fragilidades do conhecimento e falta de habilidades supostamente

adquiridas na Educação Básica. Os altos índices de reprovação e abandono

dessa disciplina por parte dos alunos mostram isso.

BARBOSA, G. O.; NETO, B., H. (1992) apresentaram um estudo realizado

na Universidade Federal do Ceará referente ao 1º semestre desse ano, em que

constatam que 72,1% dos alunos matriculados em Cálculo Diferencial e Integral I

não obtiveram êxito. Os percentuais de aprovação em algumas turmas são

baixíssimos, como ocorreu com uma turma de alunos do curso de Matemática,

com 9,4% de aprovação; a outra, com alunos dos cursos de Estatística,

Engenharia Química, com 11% de aprovação e outra ainda com alunos do curso

de Geologia, com apenas 6,3%.

No trabalho de BARUFFI (1999) podemos constatar que os resultados

obtidos entre 1990 e 1995, na Universidade de São Paulo (USP), caracterizaram

uma situação problemática, por exemplo: em MAT 135 (Cálculo para Funções de

uma Variável Real), o índice de reprovação foi de 66,9%, e em MAT 131 (Cálculo

Diferencial e Integral), de 43,8%.

Segundo BEAN (2004) foi realizado na Universidade Estadual de

Campinas (UNICAMP) no período de 1993 até 1996 um estudo intitulado

“Disciplinas Problema”, com o objetivo de identificar na graduação as disciplinas

que possuíam um alto índice de reprovação.

O estudo identificou que dentre os alunos matriculados em Cálculo de Uma

Variável e Cálculo de Várias Variáveis, 37,3% foram reprovados. Constatou

também que os alunos aprovados nessas disciplinas, “aprenderam” mais por

obrigação do que por interesse.

O professor tem a expectativa de que o aluno aproveitará as aulas, listas

de exercícios e outras atividades para envolver-se na disciplina, mas

encontra alunos que agem como se fossem indiferentes à matéria. Por

outro lado, o aluno, cumprindo as exigências do seu curso, espera algo na

disciplina que desperte seu interesse, mas encontra um professor distante,

que parece estar preocupado principalmente em “passar” o conteúdo da

ementa. (BEAN, 2004, p. 1).

Com a pesquisa desenvolvida por MORELLATTI (2001) na

Unesp/Presidente Prudente-SP realizada no período de 1993 a 1998, a autora

constatou que o número de alunos de Cálculo reprovados oscilava entre 50% e

71%.

Na Universidade Federal de Minas Gerais de acordo com LOPES (1999), a

taxa média de reprovação em Cálculo I no período de fevereiro de 1995 a janeiro

de 1997 foi de 43,6%, visto que, em alguns cursos da instituição, a taxa foi de

70% de reprovação.

No entanto, estes baixos índices não são apenas exclusividade para este

tópico. Outras pesquisas mostraram também taxas preocupantes em cursos que

envolvem, de forma geral, outros assuntos da área das chamadas ciências

exatas. A seguir apresentaremos o resultado de duas pesquisas referentes à

evasão e reprovação de alunos em cursos que envolvem matemática.

Em FERNANDES FILHO (2001), por meio de um estudo realizado na

Faculdade de Ciências Tecnológicas da PUC – Campinas, com 156 alunos que

ingressaram em 1996 nos cursos de Engenharia Sanitária e Engenharia Cível,

constatou-se que em 1999 apenas 81 do total de ingressantes permaneciam no

curso. O índice que envolvia tanto evasão quanto reprovação situa-se na casa

dos 48%.

Conforme RAMOS et al. (2005), a Pontifícia Universidade Católica do

Paraná (PUC-PR) tem-se deparado, em seus cursos de graduação, com a baixa

qualificação de seus alunos ingressantes. O gráfico a seguir, apresenta o índice

de evasão nos cursos que envolvem Matemática, no período compreendido de

1999 a 2003.

Fonte: RAMOS et al. (2005)

Os resultados desses estudos parecem indicar que os conhecimentos

matemáticos esperados para determinadas carreiras universitárias,

especificamente para as áreas das ciências exatas, demandam uma grande

capacidade de abstração e interpretação dos elementos fornecidos.

De posse destas informações e de dados referentes a conhecimentos,

agora relacionados às linguagens algébricas em particular no que diz respeito às

variáveis e suas classificações, foi que começamos a delinear o que na verdade

viria a se tornar o objetivo deste trabalho.

Segundo TRIGUEROS, M. et al. (1996), estes conhecimentos além de

serem complexos e estruturados, comprometem sua compreensão se não existir

uma base sólida fornecida pelas idéias fundamentais da álgebra e da geometria.

A identificação dos problemas específicos desta matéria e de suas causas,

assim como da busca de formas alternativas de ensino desenvolvidas para

superar estes problemas são temas que requerem investigações. Com a

finalidade de se aprofundar na compreensão dessas dificuldades para os

estudantes que ingressam nestas carreiras mencionadas para a solução de

problemas algébricos, é conveniente nos atermos a um conceito central

desse tópico: a noção de variável. (TRIGUEROS, M. et al. 1996, p. 351).

Mesmo após ter cursado pelo menos 5 anos de matemática, em que se

enfatiza a manipulação algébrica, do Ensino Fundamental ao Médio mais

precisamente do 7° ao 3° ano, os alunos continuam a apresentar muitas

deficiências no tratamento das expressões algébricas.

O professor do Ensino Superior, para as matérias que envolvem disciplinas

das chamadas ciências exatas, têm expectativas em relação ao conhecimento

apresentado pelos alunos iniciantes, que nem sempre correspondem ao real

estágio em que eles se encontram.

Por sua vez o aluno também possui suas próprias expectativas quanto às

futuras disciplinas da graduação como, por exemplo, o Cálculo Diferencial e

Integral, relacionado-as com seus conhecimentos obtidos no Ensino Médio.

Os professores do Ensino Médio e do Fundamental talvez tenham a

perspectiva de que aquilo que o aluno aprendeu, de uma maneira ou de outra,

seja o embasamento suficiente para enfrentar um curso Superior. Dessa forma,

identificamos questões referentes a pelo menos três perspectivas:

− o ensino da matemática básica visto pela ótica do professor do Ensino

Superior, em relação à questão das variáveis (os conhecimentos

esperados);

− a expectativa do aluno com relação aos futuros tópicos a serem

abordados, tendo em vista o aspecto das variáveis;

− o ensino da Matemática básica, agora visto pela ótica do professor do

Ensino Fundamental e Médio, referenciando-se ao aspecto da variável.

Escolhemos investigar quais são os conhecimentos mobilizados por

professores do Ensino Fundamental e Médio com relação à variável.

Com este intuito buscamos resultados de estudos que tratam das

dificuldades iniciais do ensino e aprendizagem desses conhecimentos que os

alunos trazem do Ensino Básico. Ressaltaremos aqueles oriundos de suas

dificuldades com relação aos estudos algébricos, que segundo MALISANI (2002)

derivam de uma forma inadequada da manipulação da variável.

Esta noção torna-se complexa porque é usada com distintos significados

em situações diversas. Sua gerência depende precisamente da forma

particular de utilizá-los na resolução de problemas. (p. 245).

Os conhecimentos mobilizados da variável, será fundamentado no trabalho

realizado por TRIGUEROS & URSINI (1997, 1998, 2001) referente ao modelo

3UV, que será abordado por nós na fundamentação teórica. Apesar de que em

todos os anos escolares, os alunos aprenderam a manejar técnicas e algoritmos,

isto não favoreceu a compreensão com maior profundidade das variáveis, tendo-

se assim privilegiado um “aprendizado memorístico”.

[...] os professores universitários queixam-se que estes estudantes

continuam mostrando deficiência no manejo de expressões algébricas.

Isto repercute negativamente nos estudos da Calculo Diferencial e

Integral, assim como em outras matérias de Matemática Avançada, ou

naquelas que utilizam a Matemática como ferramenta. (TRIGUEROS, M.

et al; 1996, p. 352).

Reiteramos que queremos investigar os significados que os professores de

matemática da Educação Básica atribuem às variáveis, segundo o modelo 3UV.

Como forma de iniciarmos nossos trabalhos, faremos a seguir um breve

histórico do desenvolvimento algébrico tendo por viés suas notações, bem como

de alguns modelos no que se refere à compreensão e interpretação das variáveis.

A gênese da variável relacionada ao desenvolvimento algébrico

e suas notações

A origem da álgebra perde-se no decorrer do tempo, assim como a própria

etimologia da palavra que a designa. Segundo BAUMGART, (2001) a palavra

aritmética deriva do grego arithmos (número), ao passo que o termo álgebra na

verdade é uma variante latina da palavra árabe al-jabr, parte do título da obra

Hisab al-jabr w’al-muqabalah

, escrita por Mohamed Ibn-Musa al-Khowarizmi por

volta do ano 825.

A álgebra, durante muito tempo, esteve ligada ao conceito matemático de

se efetuar operações com números e à resolução de problemas. No entanto,

temos que uma das mais importantes idéias da álgebra repousa em seu

simbolismo, ou seja, na noção de variável.

A linguagem matemática e suas representações, de acordo com BOYER

(1983), levaram muito tempo até chegar ao que hoje conhecemos, uma vez que

somente nos últimos seis séculos, o homem mostrou-se capaz de escrever seus

pensamentos por meio de registros. O palavreado simbólico presente em todos os

conteúdos matemáticos, conduz à interpretação e resolução de problemas. Por

meio do uso da simbologia é possível, supor, produzir ou generalizar resultados

de situações para problemas equacionáveis.

A álgebra evoluiu ao longo da história passando por três grandes estágios:

− 1° estágio: não inclui símbolos, mas sim a utilização da linguagem

coloquial (1700a.C. – 250 d.C.).

− 2° estágio: Inclusão de símbolos para a representação de quantidades

desconhecidas com o objetivo de sua resolução (250 d.C. – 1600 d.C.).

− 3º estágio: Utilização de símbolos para expressar relações genéricas,

provar regras, descrever funções (1600 d.C. – até hoje).

Ressaltamos que o desenvolvimento da variável é acompanhado da

evolução algébrica e se processou por meio de três estágios:

− o retórico (ou verbal);

− o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras);

− o simbólico.

E além de relacionarmos as idéias da álgebra com a noção de variável, não

podemos nos esquecer de suas notações específicas, presentes em cada um dos

períodos mencionados anteriormente, corroborando com as idéias de SFARD

(1995) quando diz:

Ciência da restauração (ou reunião) e redução.

Muitas pessoas, mesmo os estudantes de Matemática, geralmente se

surpreendem ao verificar que a notação algébrica, a qual em nossa

opinião é inseparável da álgebra, é uma invenção recente. Até o século

XVI, o processo computacional, quer generalizado ou não, era

apresentado verbalmente, ou como uma mistura de palavras e símbolos.

(p. 18).

Álgebra Retórica

Álgebra Egípcia

A chamada álgebra retórica ou o pré-simbolismo algébrico teve início cerca

de 4.000 anos atrás, no antigo Egito e na antiga Mesopotâmia, região entre os

rios Tigre e Eufrates, correspondente ao que é hoje o Iraque.

Com relação à matemática praticada no antigo Egito, no que se refere a

seu simbolismo e suas estruturas algébricas, podemos mencionar o chamado

papiro Rhind.

Este papiro, um dos mais antigos documentos da antiguidade, foi adquirido

em 1858 numa cidade perto do Nilo por Henry Rhind (daí ser conhecido por

papiro Rhind), também é conhecido por papiro Ahmes, em honra a seu copista. O

mesmo consta de 85 problemas, os quais revelam que a base do sistema

numérico utilizado era decimal. Nas palavras de abertura de seu escriba, temos

seu propósito: “Mostrar cálculos precisos, conhecimento das coisas existentes,

todos os mistérios e todos os segredos”.

Além disso, foi dada uma clara ênfase a problemas práticos para a época,

tais como cálculo de área, quantidade de material para uma determinada

construção ou pagamento de salário na forma de pão.

O documento revela que a operação aritmética era fundamental no antigo

Egito, em que as multiplicações e divisões eram efetuadas por sucessivas

duplicações:

Uma multiplicação de, digamos 69 por 19 seria efetuada somando 69

com ele mesmo para obter 138, depois adicionando a si próprio para

alcançar 276, novamente duplicado para obter 552 e mais uma vez, dando

1104, que é, naturalmente dezesseis vezes 69. Como 19 = 16 + 2 + 1, o

resultado da multiplicação de 69 por 19 é 1104 + 138 + 69 isto é, 1311.

(BOYER 1983, p. 11).

Os problemas apresentados são do tipo aritmético, mas existem outros que

mereceriam na linguagem atual à designação de algébricos da forma x + ax = b

ou x + ax + bx = c, em que a, b, c são conhecidos e x é o termo desconhecido. A

variável é chamada de “aha” e sua solução se encontra pelo método chamado de

“método da falsa posição” em que se atribui um valor falso para a incógnita. O

valor obtido é comparado com o resultado que se busca e, usando proporções

procura-se obter a resposta correta. Estas questões eram formuladas como

problemas com resposta e explicações do tipo “faça dessa maneira”. No entanto,

essas “receitas” não são dadas como regras, mas como exemplos de solução.

Reproduzimos a seguir a resolução do problema 24 apresentado por BEKKEN

(1994).

Uma quantidade e seu

fazem 19

Obs.:

significa

da quantidade

Suponha que a quantidade seja 7. Segue-se então que a quantidade mais sua

sétima parte

é igual a 8. Assim é necessário multiplicar 7 pelo número de vezes que 8 cabe em

Supondo x = 7, temos:

⋅

Assim, multiplicando 7 pelo número de vezes que 8 cabe em 19, teríamos:

133

7 =⋅

Resolução adaptada de BEKKEN, p. 16

Com relação à utilização e obtenção de valores fracionários obtidos nesta

resolução, devemos ressaltar que segundo BOYER (p. 9-10) com advento de

civilizações mais avançadas principalmente durante a idade do bronze

(dependendo da cultura ressaltada este período pode estender-se de 2.000 a.C a

1.200 a.C) a necessidade do conceito de fração e sua notação parece ter surgido.

Para a civilização egípcia, as frações unitárias (isto é, com o numerador 1) eram

livremente manipuladas apesar das frações em geral terem sido um enigma para

os mesmos. O papiro Rhind fornecia algumas tabelas que traduziam algumas

frações como sendo a soma de frações unitárias. Por exemplo, a fração 2/5 era

indicada como 1/3 + 1/15.

Obs. A quantidade obtida 133/8 representa uma quantidade situada entre

os números 16 e 17.

Álgebra Babilônica

A chamada álgebra babilônica refere-se na verdade à matemática

praticada na antiga Mesopotâmia, a região que compreendia a Babilônia.

Escavações arqueológicas revelaram cerca de 500.000 “tábuas” de barro com

escrita cuneiforme, e segundo AABOE (1984) e BEKKEN (1994), perto de 400

destas referem-se à matemática e têm sido traduzidas desde 1920.

Apesar de existirem poucos destes tabletes intactos, pois os mesmos

foram produzidos através de argila em geral não cozida, estes revelam uma

escrita cuneiforme (escritos em forma de cunha, impressas por meio de uma

espécie de estilete sobre o tablete, enquanto este se achava ainda úmido).

O sistema de numeração utilizado consistia numa mistura entre as bases

10 e 60. Segundo VOGELI (1997), os números menores que 60 eram

representados na base 10 e para aqueles iguais ou superiores, na base 60. Os

processos aritméticos eram efetuados por meio de tabelas: multiplicação, inversos

multiplicativos, quadrados, cubos e exponenciais. As tábuas de inversos eram

usadas para reduzir a divisão à multiplicação.

As tábuas de barro utilizadas na álgebra babilônica, além das diferenças

notacionais comparadas às egípcias, não trazem qualquer simbolismo para o

termo desconhecido e tratam mais uma vez de receitas fixas que deveriam ser

aprendidas.

Álgebra Sincopada

Álgebra Grega

Durante o século VI a.C., surgiram dois homens Tales de Mileto (624-548

a.C.) e Pitágoras de Samos (580-500 a.C.aproximadamente) que a seu turno

tiveram condições de viajar aos centros antigos do conhecimento como o Egito,

Babilônia e possivelmente a Índia. Nessas viagens tiveram contato com a

geometria egípcia e as tabelas babilônicas.

A tradição grega diz que Tales de Mileto levou a matemática do Egito para

a Grécia e foi quem começou a dar à mesma a forma que esta teve desde a

antiguidade, enfatizando-se a noção da demonstração. Há poucas razões para

duvidar que o interesse grego pela matemática tenha se iniciado na época de

Tales, embora não saibamos dizer quais foram as realizações dele. No entanto,

com os elementos que conhecemos da matemática egípcia e da babilônica,

parece-nos provável que o impulso original proveio da Mesopotâmia e não do

Egito.

Ainda com relação à matemática Grega, nos confrontaremos com

problemas de ordem contextuais totalmente diferentes daqueles da matemática

babilônica, pois os textos destas fontes (os tabletes de argila), apesar de

danificados e/ou quebrados, não poderiam ter sua autenticidade posta à prova.

Para comprovar este fato, podemos salientar que os trabalhos de Euclides que

foram escritos em torno de 300 a.C. estão contidos, por sua vez, em antigos

manuscritos que datam do século X d.C. Portanto, esses escritos são cópias das

cópias.

Segundo AABOE (1984), nosso conhecimento da matemática grega

baseia-se sobretudo nos trabalhos de Euclides em torno de 300 a.C., Arquimedes

de 287 a 212 a.C. e Apolônio em cerca de 200 a.C., salienta que:

Os elementos de Euclides são portanto o mais antigo texto matemático

grego que nos chega completo [...] Euclides conseguiu incorporar, neste

único trabalho, de forma bem disposta e apresentada, praticamente todo o

conhecimento matemático acumulado por seus antecessores. (AABOE,

1984, p. 46).

Usualmente supõe-se que a maior parte do conteúdo dos primeiro livros de

Os Elementos é devida aos pitagóricos

. A álgebra grega formulada por Euclides

(300 a.C), apesar de essencialmente geométrica, segue métodos e padrões

babilônicos para a resolução de equações.

Séculos mais tarde, no período de 250 a 350 d.C encontram-se os

trabalhos do maior algebrista grego, Diofante de Alexandria. Sua principal obra

conhecida é Arithmetica, tratado composto de 13 livros dos quais apenas os 6

primeiros foram preservados.

A Arithmetica

era um tratado caracterizado por um alto grau de habilidade

matemática. A obra é quase toda dedicada à resolução de equações.

Apesar de Diofante ser chamado frequentemente o pai da álgebra, tal

designação não deve ser tomada literalmente (segundo BOYER, 1983). Se

pensarmos em notação, teríamos boas razões para este título, mas em termos de

motivação e conceitos esta pretensão é menos justificada.

A arithmetica não é uma exposição sistemática sobre operações

algébricas ou as funções algébricas ou a resolução de equações algébricas

[...] não há desenvolvimento postulacional, nem se faz um esforço para

achar todas as soluções possíveis. (BOYER 1983, p. 133).

Nos livros preservados da Arithmetica há um uso de abreviações

sistemáticas para potências de um número, segundo CAJORI (1993) o termo

desconhecido em álgebra definido por Diofante é representado pela letra grega ς

com um acento ς’ ou na forma ς

o’

. A suposição de que este símbolo seja uma

mera abreviação taquigráfica e não um símbolo algébrico como x, nos conduz à

mesma função.

Temos ainda que na aritmética de Diofante:

x² é representado por Δ

x³ é representado por K

é representado por Δ

é representado por ΔK

é representado por K

Membros da escola fundada por Pitágoras, por volta de 540 a.C. em Crotona na península Italiana.

Arithmetica é uma coleção de cerca de 150 problemas, todos estudados em torno de exemplos numéricos,

pretendendo generalizar o método. BOYER (p. 132-133).

Podemos ressaltar ainda que os coeficientes numéricos eram escritos

depois dos símbolos para as potências.

Na sentença polinomial a seguir, veja sua transcrição de acordo com a

simbologia diofantina:

x³ + 13x² + 5x + 2 Sentença Polinomial

ιδ

Sentença Diofantina

= x³

+ =

= x²

13 =

ιδ

= x

= 5

(representação da unidade)

= 2

Adaptado de CAJORI, 1993, p. 73.

Nesta representação podemos ressaltar algumas particularidades segundo

o autor:

− o símbolo

é utilizado para sinalizar que após o mesmo encontrar-se-á

o termo independente.

− a insígnia

que equivale ao sinal de adição, só foi utilizada uma vez,

pois se subentendia que a expressão apenas admitia esta operação.

Temos por este modelo que todos os termos tanto positivos quanto

negativos eram agrupados, escreviam-se primeiro todos os positivos e

após, os negativos precedidos pelos sinais que o simbolizavam (a

notação para a subtração era representada pelo símbolo ), não

havendo desta forma a necessidade da repetição sistemática destes

sinais operatórios.

A seguir apresentamos o método Diofantino para uma resolução algébrica

(este problema consta na obra Arithmetica):

Achar dois números tais que sua soma seja 20 e a soma de seus

quadrados 208.

Os números não são designados por x e y, mas por (10 + x) e (10 – x)

(notação atual). Temos que a equação (10 + x)² + (10 – x)² = 208, assim

considerada admite apenas uma solução. Desta forma, para x = 2 os números

procurados são 8 e 12.

Diofante semelhantemente aos algebristas babilônicos estava resolvendo

problemas e não equações, com a diferença que trabalhava com números e não

com medidas de grãos, dimensões de campos ou unidades monetárias como no

caso da álgebra egípcia e a mesopotâmica.

Álgebra Indu

Na Índia, os algebristas também utilizavam abreviações e iniciais de

algumas palavras para símbolos, além de distinguirem quantidades negativas por

um ponto e não possuírem um sinal característico para designar quantidades

positivas. Nenhum tipo de símbolo ou marca indicava operações de adição,

multiplicação e etc. Não havia também nenhum sinal para designar uma

desigualdade (maior ou menor), ou para uma igualdade.

Os símbolos, para o termo desconhecido, não eram restritos a apenas um,

havia uma grande variedade de denominações, como em Brahmagupta e outros

escritos hindus posteriores. As incógnitas eram designadas pelos nomes das

cores, com exceção da primeira: (CAJORI, 1993).

ru para rupa, número absoluto

ya para yovat-tavot, a primeira incógnita

ca para calaca (preto), a segunda incógnita

ni para nícala (azul), a terceira incógnita

pi para pítaca (amarelo), a quarta incógnita

pa para pandu (branco) a quinta incógnita

lo para lohita (vermelho), a sexta incógnita

c para caraní para número irracional ou raiz quadrada

ya v para x², sendo v uma contração da palavra varga, número ao quadrado

Adaptado de CAJORI, 1993, p. 75

Em Bhaskara, ao invés da utilização de cores, a multiplicação de termos

desconhecidos diferentes (como x e y) é chamada de bhavita (produto) e

abreviado por bha:

O produto de dois termos desconhecidos é designado por três letras ou

sílabas, como ya⋅ca bha; ca⋅ni bha; etc. Se uma das quantidades possui

uma potência maior, mais sílabas ou letras são requeridas; para o

quadrado, cubo, etc., são da mesma forma denotados por sílabas iniciais

va, gha, va-va, va-gha, gha-gha, etc. Assim ya va⋅ca gha bha significará o

quadrado da primeira incógnita multiplicada pelo cubo da segunda. O

ponto adicionado entre dois fatores, em algumas cópias dos textos e seus

comentários, não possui nenhuma dimensão especial para esta notação.

(COLEBROKE apud CAJORI 1993, p. 81).

Tomando a palavra varga para o quadrado de um número e g’hana para o

cubo, temos em Bhaskara e escritos anteriores:

4° potência = varga-varga ⇒ (n²)² = n

5° potência = varga-g’hana-gháta ⇒ n²⋅ n

= n

obs. gháta significa produto

6° potência = varga-g’hana ou g’hana-varga ⇒ (n²)³ = n

7° potência = varga-varga-g’hana-gháta ⇒ (n²)²⋅ n³ = n

8° potência = varga-varga-varga ⇒ [(n²)²]² = n

9° potência = varga-g’hana-gháta ⇒ (n³)³ = n

Adaptado de CAJORI, 1993, p. 80

Álgebra Simbólica

Francis Vieta foi o primeiro matemático a utilizar letras na notação formal

matemática. Sua principal contribuição à álgebra aparece no seu livro In Artem

Analyticam Isagoge (Introdução à Arte Analítica), que trata as equações

algébricas sob um novo ponto de vista. Seu mérito está em ter usado letras não

somente para representar a “incógnita”, mas também para representar os

coeficientes ou quantidades conhecidas. Usava consoantes para representar

termos conhecidos e reservava as vogais para representar as incógnitas:

Este trabalho pode ser ajudado por um certo artifício. Magnitudes dadas

serão distinguidas das desconhecidas e requeridas por um simbolismo,

uniforme e sempre fácil de perceber, como é possível designando as

quantidades requeridas pela letra A ou por outras letras vogais A, E, I, O,

U e as dadas pelas letras B, G, D ou outras consoantes. (In Artem

Analyticam Isagoge apud MILIES, p. 8).

Assim a equação que escreveríamos como bx² + cx = d poderia ser

representada na forma:

B in A quadratum plus C plano in A aequalia D solido.

Historicamente, a invenção da notação algébrica em 1564 por Francis

Vieta teve efeitos imediatos. Em cinqüenta anos a Geometria Analítica

foi inventada e trazida a uma forma avançada. Em cem anos surgiu o

Cálculo. Esse é o poder da álgebra como aritmética generalizadora.

(USISKIN, p. 14)

René Descartes utilizou de forma sistemática as letras: a, b, c para as

constantes e x, y, z para os termos desconhecidos. O uso dessas letras apareceu

pela primeira vez no livro La Geometrie (1637) de Descartes. De acordo com

PINEDO (2001), comenta-se que no instante da impressão do livro, em virtude da

grande quantidade de equações que possuía, o editor que estaria ficando sem

determinadas letras para continuar a mesma sugeriu a Descartes se poderia

utilizar-se de outras letras nas equações. O editor assim, escolheu a letra x, já

que no francês esta letra é muito pouco utilizada. Esta decisão contribuiu para o

fato de agora, “calcularmos x” na álgebra.

A Variável

O conceito de variável desenvolveu-se ao longo da história, à medida que o

uso das letras difundiu-se e generalizou-se. Especialistas categorizavam as

variáveis em diferentes formas, mas existe um consenso geral que o uso

particular da variável é determinado pelo contexto matemático. Em décadas

recentes, pesquisadores da educação matemática têm iniciado investigações com

relação aos significados atribuídos à variável.

Atualmente, temos a tendência de evitar a distinção “nome-objeto” e pensar

numa variável simplesmente como um símbolo que pode ser substituído por

números.

Muitos alunos acham que todas as variáveis são letras que representam

números. Contudo os valores assumidos por uma variável nem sempre

são números, mesmo na matemática do segundo grau. Na geometria, as

variáveis muitas vezes representam pontos, como se vê no uso de A, B e

C, quando escrevemos “se AB = BC, então Δ ABC é isósceles”. Na

lógica as variáveis p e q muitas vezes representam proposições; na

análise, a variável f muitas vezes representa função; na álgebra linear, a

variável A pode representar uma matriz ou a variável v um vetor; e em

álgebra superior a variável * pode representar uma operação. (USISKIN,

p. 11).

Dentre estudos realizados tendo por objetivo a compreensão e

interpretação das variáveis, deteremo-nos em alguns autores que julgamos

preponderantes para o trabalho a ser desenvolvido, sem esquecer que nossa

Fundamentação Teórica, será o Modelo 3UV de URSINI e TRIGUEROS.

KUCHEMANN (1981), num estudo desenvolvido originalmente por COLLIS

(1975), categorizou as letras conforme sua interpretação, de acordo com o nível

mínimo requerido para um bom desempenho. Segundo CHRISTO (2006),

KUCHEMANN classificou o uso das letras por crianças com relação a seis tipos

de respostas dadas:

Letra como valor: A letra recebe um valor numérico desde o principio

Encontre os valores numéricos de a para a + 5 = 8 ou encontre m sabendo que n

= 4 para m = 3n + 1.

Letra não considerada: É ignorada ou sua existência é reconhecida sem que se

de, à letra o seu significado.

Sabendo que a + b = 43, determine o valor de a + b + 2.

Letra utilizada como um objeto concreto: É vista como um objeto palpável ou

como um termo semelhante.

Exemplo: 12y + 3y = 15y

Letra considerada como uma incógnita específica: Ela é vista como um

número específico, mas desconhecido.

Na figura abaixo, determine uma fórmula que represente a área do retângulo em

questão:

Letra como número genérico: A letra é vista como representado ou capaz de

assumir vários valores ao invés de apenas um.

Os termos presentes em identidades numéricas: 1 ⋅ b = b; ou em emprego de

propriedades, como:

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

, conduzem-nos a relações sempre verdadeiras no

campo dos números reais, evidentemente excetuando-se valores que possam

trazer problemas com relação às condições de existência.

Letra como uma variável: Vista como representando um domínio de valores não

específicos e como possibilidade de perceber uma relação sistemática entre dois

conjuntos de valores. Na física, a expressão que relaciona as temperaturas Kelvin

) e Celsius (t

) é dada por: t

= t

+ 273.

O trabalho de KUCHEMANN concluiu que as três primeiras categorias no

uso das variáveis (como valor, não considerada, considerada como objeto

concreto) são as mais elementares. Sua pesquisa identificou que os participantes

atribuíram respostas adequadas, mesmo sem serem capazes de pensarem numa

variável como um representante numérico.

USISKIN (1995), considerando que os alunos estão estudando álgebra

quando encontram variáveis pela primeira vez (letras), temos que a compreensão

de seu significado e a arte de operacionalizá-las constituem uma das grandes

finalidades da álgebra.

A noção de variável é multifacetada, consideremos as seguintes equações

abaixo, nas quais convém ressaltar que todas possuem o mesmo formato: O

produto de dois números é igual a um terceiro.

kxy

tgxxsenx

hbA

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

1)4

cos)3

5040)2

USISKIN (1995, p. 10).

De acordo com uma por uma das diferentes características nas equações

acima, temos:

1) Fórmula

Temos que A representa a área. b a base e h a altura.

2) Equação

Pensamos em x como uma incógnita.

3) Identidade

Nesta situação, x é o argumento de uma função.

4) Propriedade

A expressão constante neste item generaliza um modelo aritmético e n

identifica um exemplo do modelo.

5) Função que traduz uma proporcionalidade

x é o argumento de uma função y é o valor e k, uma constante (ou um

parâmetro, dependendo de como é usado).

USISKIN descreve também quatro significados da variável ligados a

diferentes finalidades da álgebra, que a autora descreve como concepções, a

saber:

− Concepção 1: Na álgebra vista como aritmética generalizada, a noção

de variável aparece como forma de universalizar um padrão:

-1 ⋅ 5 = -5

-2 ⋅ 5 = -10

-x ⋅ y = -xy

segundo a autora, neste caso, as instruções–chave, são traduzir e generalizar.

− Concepção 2: Procedimento para a resolução de determinados

problemas.

Adicionando-se três ao quíntuplo de certo número, sua soma vale 48.

Achar este número.

Passando-se este enunciado para a linguagem matemática temos: 5x + 3 =

48 e se utilizando de procedimentos algébricos temos:

5x + 3 = 48

5x + 3 + (- 3) = 48 + (- 3)

5x = 48

5x : 5 = 45 : 5

x = 9

neste caso, as instruções–chave, segundo USISKIN, são simplificar e resolver.

− Concepção 3: A álgebra vista como um estudo entre relacionamentos

ou entre quantidades.

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3,4) com inclinação

A equação é do tipo y = mx + b e podemos tecer alguns comentários

relativos às letras (x, y, m, b). As letras x e y parecem incógnitas consagradas

pela tradição, particularmente há uma função de x em y (ou seja x é o domínio e

y o contradomínio) no entanto, quanto as letras m e b não fica tão evidente se

representam ou não um argumento.

Especificamente para este problema como m = 2 (inclinação), o mesmo

trata-se de uma constante e não de um parâmetro. Com a determinação de m, b,

de um parâmetro, torna-se uma incógnita. Como um ponto foi fornecido temos

que a equação:

y = 2x + b, torna-se

4 = 2 ⋅ 3 + b

e temos portanto b = -2. Achamos apenas a incógnita b, e obtivemos a resposta:

y = 2x – 2

neste outro item, as instruções–chave, segundo USISKIN, são relacionar e grafar.

− Concepção 4: Membros de um sistema arbitrário

Considere o seguinte problema: Fatorar 3x² + 4ax – 132a².

Como a expressão acima não se trata de uma equação (não há nenhuma

variável que atue como termo desconhecido), muito menos de uma função ou

relação (a variável não é um argumento). Também não há nenhum modelo

aritmético a ser generalizado.

A resposta para esta questão (3x + 22a) (x – 6a). Neste caso, as

instruções-chave, segundo USISKIN, são manipular e justificar.

De acordo com estes estudos, vemos que a álgebra não pode mais ser

apenas considerada como uma aritmética generalizada, ou mesmo como um

veículo para a resolução de certos problemas, mas sim como a chave para a

concepção de estruturas matemáticas.

A compreensão limitada das variáveis pode causar a inabilidade para

identificar ou interpretar as variáveis na solução de problemas, ou

produzir equações genéricas para representação de situações. (Virginia

Department of Education, p. 111).

No capítulo seguinte apresentamos a fundamentação teórica que embasa

nosso trabalho que visa a investigar a interpretação dada pelos professores da

educação básica à variável, segundo o modelo descrito por tal teoria.

APÍTULO 2

Fundamentação Teórica

A ampliação da linguagem algébrica e sua utilização para diferentes

propósitos requerem o desenvolvimento da noção de variável como um conceito

multifacetado, já que, estão inclusos em seu âmago diversos aspectos

diferenciados. Como descrito no capítulo anterior, o trabalho de KUCHEMANN

(1981), que enfatiza os usos e interpretações distintos das variáveis como a

categorização das letras, conforme a interpretação, ou o trabalho de USISKIN

(1995) segundo os quais as variáveis são interligadas a concepções algébricas,

como aritmética generalizada, resolução de problemas, estudo de relações ou de

estruturas. Vários outros pesquisadores têm realçado os usos distintos das

variáveis como PHILIPP (1992), ARCAVI, A; SCHOENFELD, A. (1987), no

entanto buscaremos referência nos trabalhos de URSINI e TRIGUEROS, pois

relacionam além da simbolização, a manipulação e interpretação da variável de

acordo com sua utilização, seu ensino.

Estas diferentes concepções e usos da variável são frequentemente

trabalhadas simultaneamente no ensino da álgebra escolar. Embora os

estudantes sejam habitualmente ensinados quanto a seu uso, não foram

enfatizados aspectos característicos e particulares para cada um deles,

como forma de ajudar os estudantes a diferenciá-las. TRIGUEROS, M.;

URSINI, S., 2003 (p. 1).

A variável tem se mostrado um conceito difícil para estudantes das mais

diferentes idades, conforme atestam diversas pesquisas como as de

TRIGUEROS, M.; URSINI, S. (2003, 2004), de SOKOLOWSKI (2000), etc.

Verificou-se que diversos aspectos da variável foram insuficientemente

trabalhados e além disso, suas diversas facetas deveriam ser integradas e

diferenciadas quando necessário para se fundamentar um pensamento algébrico

maduro.

Espera-se que os estudantes universitários sejam capazes de manipular,

interpretar e simbolizar os seus diferentes usos de acordo com o modelo 3UV

(Três Usos da Variável): termo desconhecido, números genéricos (incluindo os

parâmetros) e variáveis em relacionamento funcional.

A intenção deste trabalho é investigar os conhecimentos que os

professores do Ensino Fundamental e Médio mobilizam com relação à variável,

segundo tal modelo.

Modelo 3UV

Um dos aspectos que podemos considerar com relação às possíveis

interpretações, resoluções e abordagens às sentenças matemáticas em seu

sentido mais amplo, traduz-se nas interpretações dadas às variáveis.

Diversas pesquisas realizadas por URSINI e TRIGUEROS verificaram que

apenas um dos aspectos da variável foi levado em conta, ou mais precisamente,

seu uso como termo desconhecido.

Como conseqüência, para os mais diferentes níveis de escolaridade do

ensino fundamental, passando pelo ensino médio e terminando no superior, o

conceito de variável, bem como seus usos flexíveis, ainda é considerado de difícil

assimilação por estudantes das mais diferentes idades. Assim o modelo 3UV

apresenta uma decomposição das noções envolvidas que destaca aspectos

relevantes para a concepção de seus diferentes usos.

A compreensão da noção de variável implica, pela nossa perspectiva, na

possibilidade de superar a simples realização de cálculos e operações com

letras e símbolos, para alcançar uma compreensão das razões por que

funcionam estes procedimentos, a capacidade de prever aonde conduzem,

e a possibilidade de estabelecer relações entre os distintos aspectos que as

variáveis assumem no contexto da álgebra elementar. (TRIGUEROS;

URSINI; 1998, p. 446).

Three Uses Of Variable.

O modelo 3UV ou os Três usos da variável consiste na interpretação da

variável segundo três formatos bem delineados:

− Variável como termo desconhecido;

− Variável como número genérico;

− Variáveis em relacionamento funcional.

Para variáveis que atuam como termo desconhecido, ressaltaremos

algumas características básicas para sua compreensão. Primeiro é necessário

diferenciá-las em situação ou problema no qual o valor da variável envolvida

possa ser determinado, daquelas em que não se pode. Em segundo lugar é

indispensável que possamos representar quantidades desconhecidas

simbolicamente e desenvolver as expressões algébricas que descrevam

relacionamentos entre os dados fornecidos.

De posse de igualdades ou desigualdades estabelecidas é necessário

também sermos capazes de manipular os símbolos envolvidos como forma de

encontrar um valor ou valores de um ou mais termos desconhecidos que tornem

as sentenças verdadeiras. Além do mais, é importante estarmos aptos a substituir

os valores obtidos para a variável como forma de verificar a veracidade dos

resultados encontrados.

Com relação ao número genérico, um pré-requisito para desenvolver uma

compreensão da variável com esta característica, é a habilidade de reconhecer

padrões e encontrar ou deduzir regras gerais que os descrevam. Para tanto é

necessário distinguir as variáveis das constantes relacionadas numa variedade de

circunstâncias que envolvam desde situações geométricas a numéricas ou o fato

de estarem relacionadas com formulações para determinadas situações. É

necessário também ser capaz de usar símbolos para representar declarações,

regras ou métodos, reconhecê-los como a representação de um objeto

indeterminado, manipulá-lo (expandir e fatorar) expressões que envolvam

números genéricos sem a necessidade, por sua vez, de atribuir-lhes valores

específicos.

Números genéricos aparecem em expressões do tipo 7x -12 que

representam sentenças com a ausência do sinal de igualdade que a seu turno

fazem com que x possa assumir qualquer valor, tautologias 4x + 23 = 4x + 23 nas

quais qualquer que seja o valor atribuído a x a suposta igualdade será mantida,

fórmulas genéricas como S = S

+ vt, encontradas na física onde S, t dependendo

da situação proposta podem atuar como variáveis enquanto que S

, v operam

como parâmetros dependendo das situações delineadas ou ainda em equações

expressas em forma generalizada do tipo ax + b = cx + d na qual a variável é x e

os termos a, b, c, d podem interagir ora como parâmetros, ora como constantes. É

necessário interpretá-las como quantidades genéricas e distingui-las das variáveis

simbólicas que representam quantidades desconhecidas que possam ser

determinadas.

Para a compreensão das variáveis em relacionamento funcional é

necessário reconhecer situações em que ocorram a variação simultânea das

mesmas, bem como o aspecto relacional entre ambas. Estas circunstâncias

podem envolver informações representadas em tabelas, gráficos, expressões

analíticas ou problemas verbais. Para cada uma destas representações é

importante perceber a correspondência entre as variáveis e que a alteração de

uma delas, provoque mudanças na outra. Este reconhecimento relacional implica

na capacidade de determinar o valor de uma das variáveis quando a outra é

reconhecida.

A habilidade de trabalhar com a variação se reflete na possibilidade de se

determinar intervalos ou encontrar situações em que uma função seja crescente,

decrescente, assuma valores positivos ou negativos, bem como admita valores de

máximo ou mínimo, ou outras características peculiares. Também é necessário

ser capaz de representar as informações em termos de diferentes

representações. Quando se requer uma representação algébrica, é necessário

simbolizar as variáveis relatadas e distinguir equações de expressões com

ausência do sinal de igualdade. É também importante poder manipular os

símbolos para expressar este relacionamento de uma maneira convincente, de

modo que seja possível deduzir as características requeridas.

Em virtude de cada um destes três usos que se pode fazer da variável,

podemos salientar diferentes aspectos presentes, referentes à simbolização,

interpretação e manipulação das mesmas.

A Simbolização para cada um de seus três usos, caracteriza-se pela

tradução de determinadas situações por intermédio de um termo desconhecido

ou equações que a definam; pela representação por meio de um termo geral ou

a dedução de uma regra particular para determinadas situações numéricas ou

geométricas; ou pela reprodução de uma relação funcional tendo por base as

variáveis dependentes e independentes, seja qual for a maneira pela qual estes

dados sejam apresentados: tabela de valores, expressão algébrica, gráfico, ou

outras.

Para o uso da variável como termo desconhecido a simbolização

caracteriza-se pela tradução de sentenças simples à linguagem algébrica para a

resolução de problemas (equações lineares, quadráticas, etc.).

Por sua vez a simbolização da variável como número genérico se revela

pela representação de sentenças simples, termos gerais, seqüências numéricas,

que envolvam estes elementos para a linguagem algébrica.

Quanto às variáveis para um relacionamento funcional podemos salientar

que sua simbolização caracteriza-se pela reprodução de uma expressão verbal,

uma tabela, um gráfico, que pressupõem necessariamente duas grandezas inter-

relacionadas, para a linguagem algébrica.

A Interpretação da variável pode ser caracterizada segundo cada um dos

seus usos como, uma incógnita presente numa equação qualquer, uma

generalização que expresse situações mensuráveis e a representação de

variações conjuntas para outras situações diversas.

No caso da interpretação da variável como termo desconhecido, temos o

reconhecimento de um elemento simbólico numa equação ou em situações

problema como uma entidade que representa valores que possam ser

determinados.

Com relação à variável que atua como número genérico, sua interpretação

repousa na percepção de um padrão (figura e/ou seqüência), numa tautologia

como representando qualquer número, ou no reconhecimento da variável

simbólica numa expressão com ausência do sinal de igualdade.

Mediante a existência de variáveis em relacionamento funcional devemos

levar em consideração suas correspondências exercidas entre as quantidades

numéricas relatadas, e a variação comum das mesmas.

Podemos descrever a Manipulação como a utilização de diversos artifícios

algébricos: fatorar, simplificar, expandir, transpor ou balancear uma equação, uma

expressão qualquer, ou relacionamento funcional. Sempre a fim de se buscar uma

solução, obter uma expressão correlata ou analisar o comportamento de uma

função.

No que se refere a manipulação das variáveis como termo desconhecido,

encontramos a simplificação e expansão das equações sempre em busca de sua

solução.

Para as variáveis que atuam como número genérico, sua manipulação

repousa no desenvolvimento das expressões algébricas por meio de

simplificações, fatorações, etc.

Aos nos depararmos com variáveis em relacionamento funcional quanto a

manipulação das mesmas, podemos ressaltar que possui como finalidade

manusear sua representação analítica como meio de determinar o valor da

variável independente e/ou dependente, como também intervalos da variação,

produzir seu gráfico, bem como qualquer outra representação correlata.

A seguir apresentamos um quadro que sintetiza os diversos aspectos da

variável que foram ressaltados:

DECOMPOSIÇÃO DA VARIÁVEL

Simbolização Interpretação Manipulação

Variável como

Termo

Desconhecido

Simbolizar um termo

desconhecido em uma

situação particular e/ou

uma equação.

Interpretar um símbolo

como um termo

desconhecido nas equações

em que aparece uma ou

mais vezes.

Fatorar, simplificar,

expandir, transpor ou

balancear uma equação

para tornar a variável o

sujeito da equação

Variável como

Número

Genérico

Simbolizar um objeto

genérico envolvido em

métodos ou regras gerais

deduzidos com base em

testes padrões, de famílias

numéricas e/ou

geométricas.

Interpretar um símbolo

como um objeto genérico

em expressões algébricas

ou em métodos gerais.

Fatorar, simplificar e

expandir para

desenvolver uma

expressão.

Variáveis em

relação

Funcional

Simbolizar uma relação

funcional segundo uma

tabela, um gráfico ou um

problema em língua

natural.

Interpretar a variação

correspondente em

expressões analíticas,

tabelas e em gráficos.

Fatorar, simplificar,

expandir para rearranjar

uma expressão,

substituir valores para

determinar intervalos

de variação, valores de

máximo/mínimos.

Quadro 1. Baseado em TRIGUEROS; URSINI; REYES; 1996, p. 317.

A Variável como termo desconhecido implica, segundo TRIGUEROS, M.;

URSINI, S. (1997) no reconhecimento de algo desconhecido que pode ser

determinado considerando as limitações dos problemas, ou seja:

− Reconhecimento de um símbolo presente numa equação como algo que

representa um valor.

− Capacidade de substituição da variável por um valor que torne a

equação verdadeira.

− Execução de operações algébricas e/ou aritméticas para a determinação

dessa quantidade desconhecida.

− Identificação do termo desconhecido em determinadas situações e sua

simbolização.

A Variável como número genérico requer:

− Reconhecimento de um símbolo como a representação de um objeto

genérico.

− Desenvolvimento de uma idéia padrão, distinguindo aspectos invariantes

numa situação-problema.

− Identificar a variável como número genérico quando aparece em

expressões com ausência do sinal de igualdade, seqüências numéricas

ou numa seqüência de figuras.

As Variáveis em relacionamento funcional exigem:

− Reconhecimento das correspondências entre tabelas, gráficos,

problemas verbais ou expressões analíticas.

− Identificação das variáveis dependentes e independentes.

Em conseqüência de cada um destes três usos que a variável pode

assumir, podemos ressaltar diversos aspectos nas quais as mesmas podem ser

manuseadas.

Reproduzimos a seguir um quadro em que as autoras descrevem e

classificam as habilidades e competências relacionadas para cada um destes

aspectos da variável.

Variável como

Termo

Desconhecido

U1 - Reconhecer e identificar numa situação-problema a presença

de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

limitações do problema;

U2 - Interpretar a variável simbólica que aparece na equação,

como um ente que pode assumir valores específicos;

U3 - Substituir a incógnita pelo valor ou valores que fazem da

equação uma indicação verdadeira;

U4 - Determinar a incógnita que aparece na equação ou nos

problemas executando as operações algébricas e/ou aritméticas

requeridas;

U5 - Identificar a incógnita em uma situação específica e

representá-la simbolicamente numa equação.

Variável como

Número Genérico

G1 - Reconhecer um padrão, perceber regras nas seqüências e

em problemas similares;

G2 - Interpretar uma variável simbólica como um representante

geral, entidade indeterminada que pode assumir qualquer valor;

G3 - Interpretar a variável simbólica como um objeto

indeterminado que se pode operar;

G4 - Desenvolver a idéia de método geral que distingue as

variáveis das constantes em problemas similares, até chegar a

uma simbolização de um método geral e do objeto geral no qual

atua;

G5 - Manipular um símbolo para simplificar ou desenvolver

expressões algébricas.

Variáveis em

Relacionamento

Funcional

F1 - Reconhecer as correspondências relacionadas entre as

incógnitas independentemente das representações utilizadas

(tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);

F2 - Determinar os valores da variável dependente pelo valor dado

a uma independente;

F3 - Determinar os valores da variável independente dado o valor

da dependente;

F4 - Reconhecer a variação comum das variáveis envolvidas em

uma relação independentemente da representação utilizada

(tabelas, gráficos, expressões analíticas);

F5 - Determinar o intervalo de variação de uma variável dada o

intervalo da variação da outra;

F6 - Expressar um relacionamento funcional de forma tabular,

gráfica e/ou analítica baseado na análise dos dados de um

problema.

Quadro 2. Fonte: TRIGUEROS; URSINI, 2001; 4, p. 328

Com relação à terminologia utilizada como variáveis, termo desconhecido,

incógnita, transcrevemos uma citação de TRIGUEROS e URSINI:

Haverá ainda quem considere inadequada a terminologia “variável como

incógnita” pelo fato de que uma incógnita não é variável dado que

representa um valor fixo. Não obstante, consideramos que a primeira

percepção das grandezas literais ao trabalhar com problemas algébricos é

ou teria que ser, de símbolos que representam qualquer valor e num

segundo momento, quando se definem seu papel específico dentro da

expressão na qual aparecem. Assim, por exemplo, diante de uma

equação, se toma consciência de que a variável representa valores

específicos somente depois de realizar, de fato mentalmente, as operações

necessárias que permitem nos certificarmos que se trata efetivamente de

uma equação e não, por exemplo, de uma tautologia. Por esta razão nos

parece que o uso da terminologia “variável como incógnita” ser

adequada. (TRIGUEROS, M.; URSINI, S.; 1998, p. 447).

A seguir descreveremos exemplos de utilização do modelo 3UV,

destacando para cada uma delas as competências e habilidades requeridas para

seu uso.

Aplicações do Modelo 3UV

Apresentaremos algumas aplicações do Modelo 3UV segundo seus

diversos aspectos:

U - Variável como Termo Desconhecido:

Exemplo 1: Escreva uma equação que expresse a multiplicação de um

número desconhecido por três e que adicionado a dois, resulte em onze.

( )5

: Esta simples situação proposta poderia ser expressa pela equação: 3x + 2 =

11.

: A expressão 3x + 2 = 11 representa uma equação do 1° grau, pois apresenta

o sinal de igualdade (=) e possui um termo desconhecido x elevado à 1° potência.

: Por se tratar de uma equação do 1° grau, possui uma única solução.

: Resolução da equação requerida, efetuando-se as operações algébricas e/ou

aritméticas requeridas.

Os códigos utilizados encontram-se à tabela presente na página 42.

211223

1123

−=−+

: Ao se substituir x por 3, verificar se este valor torna a igualdade verdadeira.

G - Variável como Número Genérico:

Exemplo2: Quantos valores a variável pode assumir em x² + 5x + 6x² - 3x –

: A expressão x² + 5x + 6x² - 3x - 2 não é uma equação, pois não apresenta o

sinal de igualdade.

: A variável x na expressão, da forma como proposta pode assumir qualquer

valor.

e G

: Na expressão a presença de x

como x que poderiam a seu turno ser

deslocados a fim de serem operados

x² + 5x + 6x² - 3x – 2

x² + 6x² + 5x - 3x - 2

: A variável simbólica na expressão pode ser manipulada:

x² + 5x + 6x² -3x - 2

7x² + 2x -2

F - Variáveis em Relacionamento Funcional:

Exemplo 3: Determinada escola de ensino fundamental II e médio efetua o

pagamento de seus professores através do seguinte sistema:

− um valor fixo de $ 3,00 por mês

− a quantidade de aulas dadas multiplicada por 2

Determine a uma fórmula que forneça o valor deste salário.

: Pela situação expressa acima, atribuindo a x o número de aulas dadas em

determinado mês e chamando de y o salário a ser recebido, podemos representar

o relacionamento descrito por: y = 2x + 3

: Reconhecer a correspondência estabelecida pelas variáveis x e y nesta

representação.

: Nesta situação a variável y pode desempenhar o papel de variável

independente, ao se atribuir um valor para a mesma, podemos calcular o valor da

dependente x:

para y = 3, temos: y = 2x +3

3 = 2x + 3

3 – 3 = 2x + 3 – 3

0 – 2x = 2x – 2x

-2x = 0

x = 0

: Agora, ao se atribuir um valor a x esta passa a ser à variável independente e

torna-se possível obter ao valor da dependente y.

para x = 1, temos: y = 2x + 3

y = 2.1 + 3

y = 5

: Para esta função, y = 2x + 3, à medida que x aumenta os valores de y

também, conforme podemos observar pela tabela abaixo constituída pela relação

de cinco valores e mediante o gráfico cartesiano também descrito, podemos

concluir que a função é crescente:

Notação Tabular

x y

-2 -1

-1 1

0 3

1 5

2 7

Notação Gráfica

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

: Tanto pela tabela de dados como pela representação gráfica, pode-se verificar

ainda que uma variação de 1 unidade para a variável independente (0 < x < 1),

resulta numa variação de duas unidades na variável dependente (0 < y < 2).

Apresentaremos agora situações oriundas do campo da física para

descrever, dependendo da interpretação solicitada, a questão das variáveis

segundo o modelo 3UV ressaltando também a presença de parâmetros.

Para calcularmos a intensidade da força de repulsão ou atração entre duas

cargas elétricas, utilizamos a “Lei de Coulomb” dada pela fórmula:

QQK

F =

na qual tem-sê:

− F é a força eletrostática

− d é a distância entre as cargas

− Q

e Q

são as cargas elétricas

− K é a constante eletrostática do vácuo

De posse de tal lei, deseja-se solucionar o problema: Determine a

intensidade da força de origem eletrostática proveniente de duas cargas elétricas

puntiformes, iguais e positivas a C cada uma, a 3 metros de distância uma

da outra. Sabendo que K = nm

102

−

⋅

109 ⋅

-2

, sendo dado:

QQK

F =

Para esta fórmula temos, segundo o modelo 3UV:

− F e d como variáveis em relacionamento funcional.

− K é uma constante.

− Q

e Q

atuam como parâmetros.

Considerando-se Q

e Q

duas cargas elétricas puntiformes positivas e

iguais a C cada uma, F e d segundo o modelo 3UV são variáveis em

relacionamento funcional. Por exemplo, atribuindo-se a d o valor 3, calcula-se

facilmente o valor de F.

102

−

⋅

Neste problema, como foram fornecidas as cargas e a distância e fora

solicitada a força, temos de acordo com o modelo 3UV destacam-se as

habilidades e competências:

: Perceber que nesta situação que os valores K, d atuam como constantes,

enquanto que Q

, Q

como parâmetros, pois o problema em questão quer saber o

valor de F.

: Observar que F é a variável independente, enquanto que d a variável

dependente.

QQK

F =

Substituindo na expressão as constantes:

889

102102109

−−

⋅⋅⋅⋅⋅

e desenvolvendo a mesma:

889

102102109

−−

⋅⋅⋅⋅⋅

104

−

⋅=

Poderíamos ainda ressaltar, como forma de verificarmos a aplicabilidade

do modelo 3UV, particularmente para questões deste tipo, outros

desenvolvimentos.

Determine o valor da carga Q

sabendo que Q

possui valor de C e

que distantes 3m produzem uma força eletrostática de intensidade .

102

−

⋅

NF 104 ⋅=

7−

Sabendo que

QQK

F =

e a constante eletrostática do vácuo vale K =

109 ⋅

-2

Neste caso temos Q

que na questão anterior era um parâmetro, passou a

se tornar um termo desconhecido, enquanto que d de termo desconhecido,

passou a parâmetro. Nisto reside o grande poder e o grande problema das

variáveis.

[...] ao enfrentar problemas ligeiramente mais complexos os estudantes

mostram ainda dificuldades em identificar o termo desconhecido, em

considerar que um parâmetro poderia ser visto temporariamente como um

termo desconhecido a fim de progredir para a solução de um problema,

em simbolizar uma indicação geral e em trabalhar com uma variação

comum. (TRIGUEROS, M.; URSINI, S

., 2006, p. 4)

Como forma de buscar uma articulação maior entre todos os meandros do

Modelo 3UV e para adequar esta fundamentação teórica quanto a sua

aplicabilidade, analisaremos uma questão proposta no artigo de TRIGUEROS, M.;

URSINI, S.

(2004). Convém ressaltar que esta questão como exposta abaixo, foi

direcionada tanto a alunos do Ensino Médio quanto do Ensino Superior no

México.

Questão:

Quais são os valores de x para que a área do retângulo mostrado na figura

possa estar entre 168 e 288? Se o valor de x aumentar ou diminuir, o que

acontecerá ao valor da área? (TRIGUEROS, M.; URSINI, S., 2004)

Ensino Médio Ensino Su

erio

6 6

(

x+3

)

I I

Para a resolução desta questão é fundamental interpretar x², bem como

(x+3)

como números genéricos, manipulá-los a fim de gerar novas expressões.

Devemos também considerar o valor de x e sua correspondência com o valor da

área, determinando assim os valores requeridos para esta variação. Neste

exemplo em geral, resolveremos a título de exemplo a questão relacionada ao

Ensino Superior, levando-se em conta o Modelo 3UV.

Temos desta forma, para a questão direcionada ao Ensino Superior, que os

estudantes de forma geral (mesmo os universitários) possuem o hábito de decorar

fórmulas; no caso proposto, a área do retângulo; sem examinar o problema em

que a intenção da pergunta foi focalizar a atenção dos estudantes quanto a

simbolização, interpretação e manipulação das variáveis.

Simbolização:

− Por meio da área da figura em questão, obtemos a expressão

6[(x + 3)

+ 12], na qual necessitaremos executar operações algébricas e

manipulações convenientes. (U

)

− Mediante o questionamento que se refere à variação da área proposta

entre 168 e 288, necessitaremos expressar esta situação segundo

simbolizações apropriadas:

168 < 6[(x+3)

+ 12] < 288 (U

)

Manipulação:

− A utilização da variável envolve, neste caso, a equação quadrática e seu

desenvolvimento:

168 < [x² + 6x + 21]6 < 288 (U

); (U

)

obtenção da inequação dupla, seu desenvolvimento e interpretação dos

resultados:

28 < (x² + 6x + 21) < 48; (G

)

(I)

(II)

28 < (x² + 6x + 21) < 48

(I) (x² + 6x + 21) < 48

(x² + 6x + 21) < 48

x² + 6x + 21 - 48 < 0

x² + 6x - 27 < 0

x² + 6x - 27 = 0

= -9 e x

= 3

Estudo do sinal desta inequação designada por (I): x² + 6x -27

+ − +

-9 3

(II) 28 < (x² + 6x + 21)

28 < (x² + 6x + 21)

28 - x² - 6x - 21 < 0

- x² - 6x + 7 < 0

- x² - 6x + 7 = 0

= -7 e x

= 1

Estudo do sinal da inequação designada por (II): - x² - 6x + 7

− + −

-7 3

Interpretação:

Quadro-resumo das inequações (I) e (II)

-9 -7 1 3

+ +

Assim, temos: -9 < x < -7 ou 1 < x < 3.

Cada equação possui duas raízes nas quais os estudantes devem

considerar as mais significantes e possíveis nos termos propostos (G

, G

− Para que valores de x a área é maior que 168 e menor que 288? (F

)

Através desta estratégia, basta estabelecer agora os valores aproximados

nos intervalos, cabendo aqui uma análise com relação aos valores propostos e os

valores obtidos:

Para x tendendo a 3 pela direita, o valor da área tende a 288

Para x tendendo a 1 pela esquerda, o valor da área tende a 168 (F2)

Para x tendendo a -7 pela direita, o valor da área tende a 168

Para x tendendo a -9 pela esquerda, o valor da área tende a 288.

Apesar de não termos a designação clara de um domínio, levamos em

conta que pelo fato do problema estar relacionado à área, os valores

subentendidos são números reais.

No próximo capítulo, apresentaremos as considerações metodológicas,

todos os dados relevantes com relação ao questionário definitivo e o piloto, bem

como os professores que foram avaliados no que se refere as variáveis.

APÍTULO 3

Procedimentos Metodológicos

A fim de colher dados para nossa investigação junto a professores da

Educação Básica, elaboramos e aplicamos um questionário, um piloto e

posteriormente o definitivo. Tanto o piloto quanto o definitivo foram organizados

tendo por base trabalhos de TRIGUEROS, M.; URSINI, S., (1998).

O piloto, que consta de 15 questões, foi aplicado a oito professores de

matemática de uma Escola Estadual da cidade de São Paulo, como forma de

verificarmos se os enunciados eram claros e adequados àquilo que pretendíamos

verificar. A escolha desta Unidade Escolar deve-se ao fato de já mantermos bom

relacionamento com a direção e com os professores da mesma, além de sua

localização facilitar o trabalho.

A escola em questão abrange três períodos, permeando os ensinos

Fundamental I (1° ao 5°ano), Fundamental II (6° ao 9° ano) e Ensino Médio (1º ao

3° ano). Participaram da atividade os professores que lecionavam matemática

durante o mês de junho 2007.

O questionário definitivo, por sua vez, foi aplicado a professores de quatro

escolas; sendo três do Ensino Público (das quais uma delas de ensino técnico) e

uma particular da cidade de São Paulo, nos meses de Setembro/Outubro de

2007. Os protocolos dos professores foram analisados tomando-se por base os

parâmetros contidos no modelo 3UV.

3.1 Sujeitos

Os professores participantes além do questionário, responderam também a

um Perfil do entrevistado

como forma de conhecermos alguns dados relativos à

sua formação superior, campo de atuação (séries e níveis aos quais atua), bem

como há quanto tempo lecionam.

Com estes dados, elaboramos a tabela abaixo:

Professor

Níveis em que

atuou

Níveis e Séries que

atua hoje

Ano da

conclusão

do curso

superior

Tempo em

exercício

01 E.F.II, E.M. E.M.- 1°,2°,3° 2001 9 anos

02 E.F.II, E.M.

E.F.II- 8°

E.M.- 2°

1993 15 anos

03 E.F.I, E.F.II, E.M.

E.F.II- 8°

E.M.- 3°

1974 33 anos

04 E.F.I, E.F.II, E.M. E.F.II- 5° 2002 6 anos

05 E.F.II, E.M.

E.F.II- 5°,6°

E.M.- 1º,2°

1982 25 anos

06 E.F.II, E.M. E.F.II- 5°,6°,7° 1990 8 anos

07 E.F.II, E.M.

E.F.II- 5°,6°,7°,8°

E.M.- 1º,2°,3°

2004 5 anos

08 E.F.II, E.M. E.F.II- 5°,6°,7°,8° 2005 3 anos

09 E.F.II, E.M. E.F.II- 6°,7° 1991 15 anos

10 E.F.II, E.M. E.M.- 1º,2°,3° 1980 25 anos

11 E.F.II, E.M.

E.F.II- 5°,8°

E.M.- 3°

1980 25 anos

12 E.F.II, E.M. E.M.- 2° 1976 31 anos

13 E.F.II, E.M. E.M.- 1º,2°,3° 1985 15 anos

14 E.F.II, E.M. E.M.- 1º,2°,3° 1993 13 anos

15 E.F.II, E.M. E.M.- 1º,2°,3° 1985 16 anos

Tabela 1: Campo de atuação, tempo de magistério dos professores

Para cada tipo de escola na qual o questionário foi proposto, utilizamos das

siglas:

E.E. - Escola Estadual, E.T.E. - Escola Técnica Estadual, E.P. - Escola

Particular.

Com relação às escolas abordadas e seus professores, encontramos:

Anexo 4.

Escola Professores

E.E. 01 01, 02, 03, 04, 05, 06

E.E. 02 13,14,15

E.T. 10,11,12

E.P. 07,08,09

Tabela 2: Tipo de escola na qual o professore atua

E.E. 01: Escola Estadual que possui 16 salas de Ensino Fundamental I e II e 14

classes de Ensino Médio, envolvendo os três períodos.

E.E. 02: Escola Estadual que possui 20 salas para o Ensino Fundamental II, 17

classes para o Ensino Médio, 3 classes para o E.J.A. (Ensino de jovens e

adultos).

E.T.E.: Escola Estadual Técnica que possui 30 classes de Ensino Médio.

E.P.: Escola Particular que possui 5 classes de Ensino Fundamental I, 4 classes

de Ensino Fundamental II e 3 classes de Ensino Médio, funcionando em dois

períodos, manhã e tarde.

3.2 Histórico da construção do questionário

Com relação às etapas pelas quais passou o questionário desde os de

TRIGUEROS, M.; URSINI, S.

, até a elaboração das questões que originaram tanto

o piloto quanto o definitivo de nossa pesquisa, podemos dividi-lo em dois

momentos distintos:

1°: As questões começaram a ser desenvolvidas por meio do trabalho de

TRIGUEROS, et al. (1996), e se constituía originalmente de 52

perguntas cuja resolução não requeria desenvolvimentos algébricos

completos, visavam apenas a colocar em evidência cada uma das

características da variável, segundo o modelo 3UV. Desses 52 itens,

35 são provenientes de um trabalho anterior, encontrado em URSINI

(1994), desenvolvido inicialmente para serem aplicados a alunos de 12

e 13 anos. As outras 17 abordavam problemas gráficos, relações

funcionais, assim como o manejo de tabelas numéricas.

As questões, de acordo com o modelo 3UV, foram assim distribuídas:

Termo Desconhecido Número Genérico Variáveis Relacionadas

Interpretação 5 4 11

Simbolização 2 7 5

Manipulação 1 7 8

Gráfico - - 2

Total 8 18 26

2°: Com base nas análises dos resultados foi elaborado um novo, desta

vez constituído por 65 perguntas

(TRIGUEROS, M.; URSINI, S., 1997)

em que cada uma das questões continuava a relacionar-se a aspectos

da variável previstos pelo modelo 3UV. Algumas destas perguntas

foram adaptadas de outros questionários elaborados por outros

investigadores como KUCHEMANN, 1981. Este foi o trabalho pelo qual

nos referenciamos para a consecução de nosso questionário.

Neste último, a quantidade de questões com relação ao modelo 3UV, pode

também ser distribuída segundo TRIGUEROS, M.; URSINI, S., (1998):

Termo Desconhecido Número Genérico Variáveis Relacionadas

Interpretação 8 9 10

Simbolização 7 4 5

Manipulação 4 6 7

Gráfico - - 5

Total 19 19 27

Estas 65 questões foram aplicadas a 164 alunos ingressantes em uma

universidade privada mexicana. Estes estudantes cursavam economia,

administração, ciências políticas e relações internacionais, cursos que requerem

ao menos três disciplinas de Matemática Avançada como, por exemplo: cálculo

diferencial e integral, álgebra linear, probabilidade e estatística.

O gráfico a seguir apresenta a porcentagem

de acertos referentes a cada

questão, no qual podemos verificar que:

− nenhum aluno respondeu corretamente a todas as perguntas,

Anexo 1.

A porcentagem de acertos está expressa na tabela no eixo vertical e encontra-se em notação unitária.

− nenhuma das questões foi respondida a contento por todos os

estudantes,

− apenas sete questões foram respondidas com exatidão por mais de 90%

dos mesmos.

Perguntas

Fonte: TRIGUEROS; URSINI, 1998, p. 451.

As autoras concluíram que a aprendizagem das noções relativas à variável

foram pouco significativas. Apesar de os alunos serem capazes de reconhecer o

papel das incógnitas em expressões simples, um ligeiro aumento da

complexidade das mesmas provocou generalizações inadequadas e a busca de

soluções memorizadas.

As atenções dos estudantes direcionaram-se a características superficiais

das expressões e a procedimentos aritméticos envolvidos na solução. As

dificuldades encontradas foram ainda maiores quando os problemas envolviam

relações entre variáveis.

Conforme TRIGUEROS, M.; URSINI, S., (2001) o mesmo questionário

também foi aplicado a 74 Professores Mexicanos (secondary school teachers) e

suas respostas também foram analisadas segundo o modelo 3UV. Seis destes

foram selecionados para serem entrevistados. Foi impressionante verificar que os

resultados obtidos e as respostas incorretas foram similares aos universitários

iniciantes.

Os professores entrevistados demonstraram dificuldades em diferenciar o

termo desconhecido do número genérico. Ocorreu também uma tendência de se

evitar métodos algébricos e uma preferência em procedimentos aritméticos, além

disso, os professores tiveram dificuldade em aceitar expressões abertas como

válidas (ausência do sinal de igualdade “=”), pois trataram a variável que atuava

como número genérico, como termo desconhecido, com a finalidade de se

encontrar seu valor mais tarde.

O uso da variável como relacionamento funcional foi o que trouxe mais

problemas. Tiveram dificuldades com perguntas comuns acerca da variação e de

sua simbolização, e também com a continuidade numérica. Para eles somente os

números inteiros e racionais eram respostas possíveis para os problemas

discutidos. (Juarez, 2001, apud TRIGUEROS, M.; URSINI, S., (2001)).

Como no caso dos alunos:

− nenhum dos Professores respondeu corretamente a todas as perguntas,

− nenhuma das questões foi respondida com exatidão por todos os

professores.

A porcentagem de respostas corretas por professor é mostrada no seguinte

gráfico

Porcentagem

de respostas

corretas

por

professor

100

Acertos %

Professores

Gráfico baseado em TRIGUEROS; URSINI 2001, p. 330.

A intenção desse trabalho foi investigar a compreensão dos estudantes e

dos professores com relação ao aspecto de interpretação das incógnitas. A

análise foi efetuada segundo o modelo 3UV de acordo com três quisitos: resposta

correta, resposta incorreta e não respondeu, além de também serem ressaltados

na análise, as respostas incorretas.

Nosso objetivo, ao aplicar um questionário similar, é verificar como os

professores brasileiros do Ensino Básico interpretam a variável, fundamental para

o Ensino Superior no que se refere ao Cálculo Diferencial e Integral.

Assim elaboramos um questionário piloto

composto por 15 questões

adaptadas de TRIGUEROS, M.; URSINI, S (1997), como forma de verificar se os

elementos constituintes servirão para analisar os critérios de escolha dos usos

preconizados pelo modelo 3UV que queremos observar.

3.3 O questionário piloto

1) Neste exercício, não calcule este número. Escreva somente uma sentença

que expresse: Um número desconhecido que...

a) multiplicado por 13 seja igual a 127:________________________________

b) multiplicado pela soma deste mesmo número com 2 seja igual a 6:________

c) seja igual a 6 mais outro número desconhecido:_______________________

d) seja dividido por 5 e o resultado somado a 7:_________________________

2) Para cada uma das seguintes expressões, quantos valores a letra pode

assumir?

a) x + 2 = 2 + x b) 3 + a + a = a + 10 c) x = x d) 4 + s

e) x + 5 = x + x f) 3 + a + a + a + 10 g) 7x² = 2x – 5

−

i) (x + 1)² = x² + 2x + 1 j) 4 + x² = x (x + 1)

Anexo 2

3) Para cada uma das seguintes expressões, escreva os valores que a letra

pode assumir:

a) 13x + 27 – 2x = 30 + 5x b) (x + 3)² = 36

c) 4 + x = 2 d)

4) Se x + 3 = y

a) Que valores x pode assumir?

b) Que valores y pode assumir?

c) Atribua um valor a x, para este valor quantos e quais valores y pode assumir?

d) Se quisermos que os valores de y sejam maiores que 3 mas menores que 10,

que valores podem ser atribuídos a x?

e) Se x assumir valores entre 8 e 15, os valores de y estarão entre que valores?

5) Se y = 7 + x, construa seu gráfico e responda

a) Se y = 7 + x, o que acontece aos valores de y quando x aumenta?

b) Considerando os valores de x menores que -7 o que acontece ao valor de y

quando x

aumenta?

c) Considerando os valores de x variando de -7 a zero, o que acontece ao valor

de y

quando x aumenta?

d) Considerando os valores de x maiores que zero, o que acontece ao valor de

y quando

x aumenta?

6) Calcula-se o perímetro de uma figura somando-se a medida de seus

lados. Escreva uma fórmula que expresse o perímetro do quadrilátero ao

lado.

7) Na figura seguinte, o polígono não é completamente visível. Desta forma

não sabemos quantos lados tem, assim diremos que o mesmo possui n

lados. Cada lado mede 5 unidades. Escreva uma fórmula para calcular o

perímetro deste polígono

8) Escreva uma fórmula para determinar a área das seguintes figuras:

a) b)

9) Complete a tabela e responda aos itens abaixo

Tempo (segundos) Velocidade

0 0 m/s

10 30 m/s

20 60 m/s

b) Se o tempo aumenta, o que se passa com a velocidade?

c) Marque num sistema de eixos cartesianos, os pontos obtidos na tabela e

esboce uma curva passando por eles.

d) Escreva uma lei geral que associe os números da esquerda com os da

direita da lista.

Questão adaptada de BOOTH, L. R., p. 26.

10) Observe os seguintes dados:

x y

0 0

10 100

-15 225

25 625

20 400

-10 100

15 225

-20 400

a) O que acontece com y quando o valor de x cresce?

b) Marque num sistema de eixos cartesianos, os pontos obtidos na tabela e

esboce uma curva passando por eles.

c) Escreva uma fórmula geral que associe as variáveis x e y

d) Com base no gráfico obtido, responda:

i) Para que valor de x, y atinge seu máximo?

ii) Para que valor de x, y atinge seu mínimo?

e) Se quisermos que o valor de y esteja entre 256 e 10.000, entre que valores

devem estar x?

f) Se por sua vez, x assumir valores entre -2 e 26, entre que valores estarão

11) Observe as figuras seguintes:

Número de pontos

Figura 1 • 1

Figura 2

• •

Figura 3

• • •

Figura 4

Figura 5

Figura 6

a) Quantos pontos há na figura 4?

b) Desenhe a figura 5 e determine seu número total de pontos

c) Desenhe a figura 6 e calcule seu número total de pontos

d) Imagine que possamos seguir desenhando até uma figura m. Quantos

pontos têm esta figura?

Para construir as figuras do exercício anterior foram agregados

pontos

e) Quantos pontos foram colocados para se passar da figura 1 a 2?

f) Quantos pontos foram colocados para se passar da figura 2 a 3?

g) Quantos pontos foram colocados para se passar da figura m a seguinte?

h) Escreva uma fórmula que mostre como vamos agregando pontos até

chegar à figura m

12) Observe as seguintes igualdades e complete:

)43(

321

⋅

=++

)54(

4321

⋅

=+++

•

=+++++ n...4321

13) Para cada uma das três situações a seguir, estabeleça uma fórmula para

resolver o que se pede:

a) A área total da figura abaixo é 27. Calcule o lado do quadrado sombreado

b) Jose é 15 anos mais velho que Daniel, A soma de suas idades é 41. Qual são

as idades de José e Daniel?

c) Alugar um automóvel custa $25 por dia mais $0,12 por quilometro rodado.

Quantos quilômetros Tiago pode rodar em um dia, se só dispõe de $40?

14) Dada a expressão: 40 – 15x – 3y = 17y – 5x

a) Qual é o valor de y para x = 16?

b) Supondo que o valor de y que esteja entre 1 e 5, entre que valores deve

estar x?

c) Supondo agora que x esteja entre -5 e 5, para que valor x alcançará seu

valor máximo?

15) Dado o seguinte gráfico:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

a) Entre que valores de x, os valores de y crescem?

b) Entre que valores de x, os valores de y decrescem?

c) Para que valor de x, se obtém o valor máximo de y?

d) Para que valor de x, se obtém o valor mínimo de y?

Com estas questões pretendíamos investigar os conhecimentos

mobilizados pelos professores, segundo o modelo 3UV, as questões subdivididas

em 59 itens, foram assim distribuídas:

Termo Desconhecido Número Genérico Variáveis Relacionadas

Interpretação 8 5 16

Simbolização 5 3 10

Manipulação 4 1 5

Gráfico - - 2

Total 17 9 33

As 15 questões foram inicialmente divididas em dois blocos, que seriam

aplicados em dias distintos. No entanto, após um acordo prévio com os

participantes, as duas fases foram realizadas numa mesma sessão:

− A primeira etapa constava das questões de 1 a 10.

− A segunda etapa incluía por sua vez as perguntas de 11 a 15.

O tempo médio gasto por professor para a resolução das quinze questões

foi de aproximadamente 1 hora e quarenta minutos (1h40min).

Em função da extensão do questionário aplicado, decidimos pela

eliminação de algumas questões e/ou itens, como forma de torná-lo mais “enxuto”

e proporcionar uma melhor interpretação dos dados, com relação a nossos

objetivos.

Em nossa análise preliminar, as questões que envolveram apenas

observações e interpretações imediatas tais como 11c, 11f, 12, assim como a 10

(a, b, c, d) que suscitaram muitas dúvidas com relação ao enunciado, foram

reformuladas para o questionário definitivo.

Mediante uma análise mais aprofundada, concluímos:

− na 1° questão, itens a, c, d foram efetuadas pequenas alterações em

valores numéricos, que em nada alteraram os objetivos da mesma,

− os itens 4 e 5, em razão de sua similaridade, foram combinados em um

único, com seus enunciados reformulados,

− as questões 6, 7 e 8, pelo fato de avaliarem o mesmo aspecto foram

suprimidas,

− ao constatarmos similaridade entre 9 e 10, suprimimos a primeira, e

reformulamos a segunda,

− na reformulação da pergunta 11, os itens c, f, h da mesma foram

cancelados,

− tanto as questões 12 e 14, bem como o item a da pergunta 13 foram

eliminadas, pois os aspectos que viriam a ser avaliados já foram

verificados em itens anteriores.

Na construção do questionário definitivo, além das alterações já expostas,

a ordem de alguns itens foi alterada com a finalidade de aproximar as questões

que pressupunham certa similaridade:

− as questões 13 e 11 passarão a ser respectivamente 5 e 6 no novo

questionário.

− a pergunta 10 passou a ser a 7.

− a indagação 15 tornou-se a questão 8.

3.4 O questionário (definitivo)

Com base nos resultados da aplicação do questionário piloto, elaboramos o

definitivo, composto de 8 questões

Os 38 itens que compõem as 8 questões que serão quantificados e

qualificados, nos termos do modelo 3UV, podem ser assim dispostos:

Termo Desconhecido Número Genérico Variáveis Relacionadas

Interpretação 6 5 3

Simbolização 5 2 2

Manipulação 6 1 4

Gráfico - - 4

Total 17 8 13

A análise das questões referem-se às expectativas de respostas, bem

como aquilo que se quer avaliar, tendo por base o modelo 3UV.

Anexo 3.

Questão 1

1) Neste exercício, não calcule este número. Escreva somente uma sentença que expresse:

Um número desconhecido que...

a) multiplicado por 14 seja igual a 127: ___________________________________

b) multiplicado pela soma deste mesmo número com 2 seja igual a 6: ___________

c) seja igual a 8 mais outro número desconhecido: __________________________

d) seja dividido por 5 e o resultado somado a 3: ____________________________

Nesta 1º questão, as situações estão expressas em linguagem natural e

após a transcrição do enunciado para a escrita algébrica não se deve determinar

um resultado.

Desta forma, queremos verificar qual o procedimento do professor diante

da passagem do enunciado, da linguagem natural para a algébrica, a

simbolização empregada diante de situações simples que permeiam os três

critérios do modelo 3UV, sem sua resolução.

Os itens a e b subentendem equações apresentando a variável como

termo desconhecido e o sinal de igualdade. Já em c, existem duas variáveis em

relacionamento funcional e o item d por sua vez, trata de uma sentença que não

envolve o sinal de igualdade e a variável atua como número genérico, de acordo

com o modelo 3UV.

O quadro abaixo expressa o principal aspecto da variável que se quer

avaliar, de acordo com o modelo 3UV: U = Termo Desconhecido, G = Número

Genérico, F = Variáveis Relacionadas.

1° Questão - Itens Modelo 3UV

a U

b U

c F

d G

Quadro 3

Questão 2

2) Para cada uma das seguintes expressões, quantos valores a letra pode assumir?

a) x + 2 = 2 + x

b) 3 + a + a = a + 10

c) x = x

d) 4 + s

e) x + 5 = x + x

f) 3 + a + a + a + 10

g) 7x² = 2x – 5

−

i) (x + 1)² = x² + 2x + 1

j) 4 + x² = x (x + 1)

Esta questão difere da anterior em dois aspectos:

− As situações estão expressas na linguagem algébrica

− Aqui se pede, em cada caso, a quantidade e não quais valores as

variáveis podem assumir.

Como fora solicitado apenas a quantidade de valores envolvidos, queremos

verificar a interpretação e análise por parte dos professores, se os mesmos irão

optar pela resolução das expressões propostas, como forma de certificar-se dos

fatos esperados, ou se darão preferência por respostas imediatas por intermédio

de simples observações e/ou soluções memorizadas.

Os itens a, c e i representam uma identidade; queremos verificar como os

professores interpretam o fato de a variável, que atua como um número genérico,

poder assumir infinitos valores. Além disso, em i temos a variável x elevada ao

quadrado num dos membros, enquanto que no outro, o quadrado de um binômio

a ser desenvolvido. Queremos investigar também se o professor se detém na

observação deste fato, ou se opta em responder inadvertidamente que a variável

pode assumir dois valores.

Já, em d e f não há o sinal de igualdade, tanto as letras s em d como a em

f podem assumir mais uma vez, infinitos valores. Queremos observar como os

professores avaliam este fato, se os mesmos irão igualar a expressão a zero,

para tratar as variáveis presentes como termo desconhecido.

Para b e e temos duas equações do 1° grau nas variáveis a e x

respectivamente, que podem ser resolvidas por manipulações algébricas. Em

cada uma delas há apenas um valor que a letra pode assumir. Espera-se que

para este tipo de questão na qual a variável assume a função de termo

desconhecido, o índice de acertos seja elevado.

Além disso, tanto b e quanto f foram escolhidas formas assemelhadas,

com a intenção de verificar a reação dos sujeitos frente à existência ou não do

sinal de igualdade e, consequentemente, quanto ao número de valores que a

variável a pode assumir em cada caso. Nestes itens, as variáveis assumem

papéis completamente diferentes de acordo com o modelo 3UV.

Nos itens g, h, e j, a variável que aparece elevada ao quadrado,

desempenha o papel termo desconhecido. Queremos, de maneira geral, verificar

se o professor analisará de forma criteriosa estes itens, ou se optará por

respostas memorizadas.

A expressão g, que se apresenta numa forma “amigável”, representa uma

equação do 2º grau com duas raízes complexas (não reais). Pretendemos

investigar se os professores optam por escolher como resposta que a letra não

pode assumir nenhum valor real, ou se respondem que possuem duas soluções

por se tratar de uma equação de grau 2, já que nenhuma informação referente ao

domínio foi fornecida.

A equação h é apresentada na forma fracionária, e a variável por sua vez

encontra-se no denominador, fato este que possivelmente não ocasionará

qualquer problema quanto a sua eventual resolução, embora a mesma não tenha

sido solicitada. Queremos averiguar se esta ocorrência acarretará dificuldades e

se o professor fará qualquer menção quanto a isto.

Em j apesar de aparentar uma equação do 2° grau, na realidade trata-se

de uma equação do 1°, que a seu turno possui apenas uma solução.

Serão ressaltados neste quadro e nos demais, habilidades e competências

relacionadas para cada um destes aspectos das variáveis abordados pelo modelo

3UV.

2° Questão - Itens Modelo 3UV

a G1, G5

b U1,U4

c G2

d G2

e U1,U4

f G2,G3

g U1,U4

h U1,U4

i G1,G3,G5

j U1,U2,U4

Quadro 4

Questão 3

3) Para cada uma das seguintes expressões, escreva os valores que a letra pode assumir:

a) 13x + 27 – 2x = 30 + 5x

b) (x + 3)² = 36

c) 4 + x = 2

Esta questão difere das anteriores em dois aspectos:

− A exigência de sua solução (ou soluções)

− A variável x, em todos os itens abordados, tem o papel de termo

desconhecido.

Espera-se para esta questão uma grande quantidade de acertos, visto que

a variável em todos os itens, atua como termo desconhecido, e apenas

manipulações algébricas são requeridas para a resposta.

Nos itens a e c, são representadas equações do 1° grau e em a, a

resolução requer um maior número de manipulações algébricas enquanto que o

item c pode ser resolvido por simples inspeção.

Os itens b e d são apresentados como equações do 2° grau. A do item b

pode ser resolvida por meio do desenvolvimento do quadrado da soma que nela

figura, ou recorrendo-se à resolução de duas equações do 1° grau, x + 3 = 6 e x +

3 = - 6. Desejamos investigar se os professores recorrem a um destes

procedimentos ou consideram apenas a solução imediata, x = 3.

O item d, por sua vez, requer uma simples manipulação algébrica, apesar

de o termo desconhecido situar-se no denominador da fração.

Destacamos neste quadro para cada item da questão, aspectos relevantes

do modelo 3UV presentes:

3° Questão – Itens Modelo 3UV

A U2,U4

B U2,U4

C U2,U4

D U2,U4

Quadro 5

Questão 4

4) Se x + 3 = y

a) Que valores x e y podem assumir?

b) Atribua um valor a x, para este valor quantos e quais valores y pode assumir?

c) Se quisermos que os valores de y sejam maiores que 3 mas menores que 6, que valores

podem ser atribuídos a x?

d) Se x assumir valores entre -4 e 1, os valores de y estarão entre que valores?

e) Considerando os valores de

x maiores que zero, o que acontece ao valor de y quando x

aumenta?

Nesta questão, as variáveis atuam, segundo o modelo 3UV, como variáveis

em relacionamento funcional. A intenção é constatar como o professor especifica

este relacionamento, ou seja, como interpreta, manipula e simboliza as situações

propostas. Convém ressaltar que nenhuma informação foi fornecida quanto ao

domínio ou contradomínio da função.

Para o item a da questão 4, queremos verificar a interpretação dadas às

variáveis x e y que estão em relacionamento funcional feita pelo professor.

Enquanto que no item b continuamos a observar como o sujeito reconhece

as correspondências entre x e y, pois ao ser atribuído aqui um valor a x,

desejamos saber quantos valores de y poderiam ser obtidos.

Com c e d desejamos averiguar a forma como os professores trabalham

com intervalos de variação no que diz respeito à interpretação e à simbolização.

O item e por sua vez, quer averiguar como os professores abordam o

crescimento da função, sobretudo com relação à interpretação e manipulação

para esta variação.

Enfatizamos neste quadro, aspectos da variável em relacionamento

funcional presentes na resolução destes itens:

4° Questão - Itens Modelo 3UV

A F1,F2,F3,F4

B F1,F4

C F1,F4

D F1,F3,F4

E F1,F2,F5

Quadro 6

Questão 5

5) Escreva uma fórmula para resolver os seguintes problemas:

a) Jose é 15 anos mais velho que Daniel. A soma de suas idades é 41. Quais são as idades

de José e Daniel?

b) Alugar um automóvel custa $25 por dia mais $0,12 por quilometro rodado. Quantos

quilômetros Tiago pode rodar em um dia, se só dispõe de $40?

Na questão 05 as variáveis presentes desempenham o papel de termo

desconhecido (item b). Queremos examinar se os professores vão simbolizar

estas situações como solicitado pelo enunciado, ou buscar sua resolução, pois:

− No item a temos a conversão de uma questão na linguagem natural para

a algébrica. Podemos salientar que na representação algébrica, a

variável tem o caráter de termo desconhecido.

− Em b, teríamos as variáveis em relacionamento funcional se não fosse

fornecido o preço a ser pago, com a menção do mesmo temos que, a

variável, neste caso a quantidade de quilômetros, atua também como

termo desconhecido.

Nestes dois itens objetivamos conferir como os professores abordam estas

indagações, visto que, além de as soluções não serem exigidas, as variáveis

assumem a característica de termo desconhecido.

Abaixo, estão expressos aspectos pertinentes da variável que atua com

termo desconhecido, presentes nos itens da questão proposta:

5° Questão - Itens Modelo 3UV

a U1,U2,U3

b U1,U2,U3

Quadro 7

Questão 6

6) Observe as figuras seguintes:

Número de pontos

Figura 1

•

Figura 2

• •

Figura 3

• • •

Figura 4

Figura 5

a) Quantos pontos há na figura 4?

b) Desenhe a figura 5 e determine seu número total de pontos

c) Imagine que possamos seguir desenhando até uma figura m. Quantos pontos tem esta

figura?

Para construir as figuras do exercício anterior foram agregados pontos

d) Quantos pontos foram colocados para se passar da figura 1 a 2?

e) Quantos pontos devem ser colocados para se passar da figura m à seguinte?

Na questão 6, as variáveis em cada item vão assumir diferentes

conotações de acordo com o modelo 3UV:

Modelo 3UV Itens

Termo Desconhecido a, b, d

Número Genérico c, e

Nesta questão, foram abordados dois usos da variável envolvidos pelo

modelo 3UV, no que diz respeito à interpretação, simbolização e manipulação.

Nos itens a e b os números de pontos solicitados assumem o papel de

termo desconhecido, nos quais estes elementos representados na tabela, através

de sua progressão, podem ser associados aos números 1, 4, 9,..., que

representam a seu turno quadrados perfeitos. Queremos observar se há aqui, por

parte dos professores, a interpretação e simbolização destes elementos.

Nos itens c, e e ocorre a introdução do parâmetro m, que atua como um

número genérico e possui a obrigatoriedade de ser um número natural para

representar a situação proposta pelo quadro. Para c existe a exigência da

simbolização do parâmetro, enquanto que para e necessita-se da manipulação do

mesmo.

Em d, mediante o cálculo das quantidades de pontos adicionados, a

variável presente na questão volta a assumir a função de termo desconhecido. No

entanto, exige-se aqui a manipulação da mesma.

Já no item e, para o mesmo parâmetro m citado anteriormente, deseja-se a

sua simbolização, a obtenção de uma fórmula.

Para os itens expressos abaixo, destacamos os aspectos mais importantes

relacionados ao modelo 3UV:

6° Questão - Itens Modelo 3UV

a U1,U2,U4

b U1,U2,U4

c G1,G3

d U1,U4

e G1,G3

Quadro 8

Questão 7

7) Observe os seguintes dados:

x y

0 0

10 100

-15 225

25 625

20 400

-10 100

15 225

-20 400

a) Determine o que acontece com y quando o valor de x cresce.

b) Para que valor de x, y atinge seu valor máximo?

c) Escreva uma fórmula geral que associe as incógnitas x e y.

d) Se por sua vez, x assumir valores entre -2 e 26, entre que valores estarão y?

A questão 7 por sua vez, possui como diferencial das anteriores o fato de

os dados referentes à situação proposta, estarem dispostos na forma tabular.

Os termos desconhecidos postados, neste item, representam variáveis

relacionadas e assim queremos verificar como os professores, mais uma vez

interpretam, simbolizam e manipulam estas grandezas, quanto as suas variações.

Nos itens a e b, pedem-se o comportamento dos dados expressos na

tabela, quanto ao crescimento/decrescimento, enquanto que em c solicita-se a

sua lei de formação. Já o item d, ao estabelecer um intervalo de variação para x,

pede-se o comportamento respectivo de y.

Com a resolução da questão 7 quer-se verificar, num primeiro momento,

como os professores irão considerar as possíveis soluções, sobretudo nos itens

b, d: Se só considerarão soluções dadas pelos números constituintes da tabela

ou se apresentarão soluções contendo todos os números reais possíveis.

Para o item a pede-se apenas que o professor deduza o comportamento

esperado da função representada e em c, a fórmula que associa estes dados.

Ressaltaremos também que os elementos fornecidos pela tabela encontram-se

fora de ordem, queremos constatar se antes da resolução dos itens propostos, o

professor reconstruirá a tabela, ou até mesmo se esboçará um possível gráfico

para a situação proposta, apesar de não haver qualquer tipo de exigência quanto

a este procedimento.

Para a variável em relacionamento funcional, os aspectos importantes que

queremos observar estão no quadro abaixo.

7° Questão - Itens Modelo 3UV

a F1,F4

b F1,F2,F4

c F1,F4,F6

d F1,F2,F4,F5

Quadro 9

Questão 8

8) Observando o gráfico da função abaixo, responda:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

a) Entre que valores de x, os valores de y crescem?

b) Entre que valores de x, os valores de y decrescem?

c) Para que valor de x, se obtém o valor máximo de y?

d) Para que valor de x, se obtém o valor mínimo de y?

Na questão 8, por meio de um gráfico dado, foram solicitados os intervalos

de crescimento, decrescimento bem como os pontos de máximo e/ou mínimo da

função representada.

Nesta situação, como as variáveis presentes x e y estão em

relacionamento funcional, queremos verificar como os professores avaliam estas

situações, no que diz respeito à interpretação dos intervalos numéricos presentes,

bem como a simbolização das mesmas.

Como nenhuma informação no que se refere ao domínio fora fornecido,

bem como qualquer outra concernente à circunstância exposta pelo gráfico,

consideramos corretas aquelas que avaliaram apenas as informações pertinentes

à situação apresentada, ou então se devidamente justificadas. Devemos ressaltar

que os itens c e d pela própria abrangência destes itens não consideraremos a

dicotomia certo ou errado, apenas faremos comentários referentes às respostas

obtidas.

No quadro abaixo, figuram os aspectos a serem observados no que se

refere a uma variável em relacionamento funcional:

8° Questão - Itens Modelo 3UV

a F1,F3,F5

b F1,F3,F5

c F1,F3,F5

d F1,F3,F5

Quadro 10

3.5 Aplicação do questionário

O questionário foi aplicado a 15 professores de quatro escolas situadas da

Zona Sul de São Paulo; sendo três estaduais, uma delas técnica e uma escola

particular.

Os professores não trabalharam todos ao mesmo tempo, mas sim de

acordo com as possibilidades e conveniências, de horário e de local. Mesmo no

caso em que o trabalho se realizou com pequenos grupos, as respostas foram

dadas individualmente e em uma única sessão de cerca de 50 minutos.

Nas escolas estaduais, com a existência do HTPC (Hora de Trabalho

Pedagógico Coletivo) houve maior facilidade em se encontrar os professores de

matemática, e com a concordância das direções consultadas, bem como dos

coordenadores do período, tivemos sucesso em nossas aplicações, e, é claro,

que contamos com a colaboração dos professores.

Nas escolas particulares e técnicas, o número de sessões foi maior em

virtude da adequação dos horários dos professores que puderam participar.

As sessões transcorreram de maneira tranqüila e procuramos não tecer

qualquer comentário com relação à natureza de nosso trabalho. Procuramos

deixar os professores bem à vontade com relação às respostas para que

evitássemos um direcionamento das mesmas.

Ao final da aplicação, para alguns professores explicitamos qual era o

aspecto que queríamos observar através do experimento e a maioria mostrou-se

curiosa acerca dos resultados e por isso nos comprometemos a dar-lhes retorno

no devido tempo.

No próximo capítulo, são apresentados as descrições e análises das

respostas obtidas.

APÍTULO 4

Análise dos dados coletados

Para que pudéssemos ter uma idéia global das respostas obtidas pelos

professores, construímos um gráfico, em que são indicadas as porcentagens de

questões respondidas corretamente, incorretamente e não respondidas.

100

1a 1b 1c 1d 2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g 2h 2i 2j 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d 4e 5a 5b 6a 6b 6c 6d 6e 7a 7b 7c 7d 8a 8b

% acertos % erros % em branco

Tabela 3: Porcentagens de questões corretas, incorretas e não respondidas

Verificamos que apenas duas perguntas, 6a, 6b foram respondidas

corretamente por todos os professores. Pela análise dos protocolos, também

verificamos que nenhum professor respondeu corretamente a todas as questões.

Além disso, de acordo com o gráfico que descreve as respostas quantitativamente

obtivemos:

− Três itens foram respondidos corretamente por mais de 90% de todos os

professores: 2c, 5a, 6d.

− 25 itens, apresentaram mais de 50% de acerto (1a, 1b, 1c, 2a, 2b, 2d,

2e, 2f, 2g, 2h, 2i, 2j, 3a, 3c, 3d, 4b, 4c, 4d, 4e, 5b, 6c, 7b, 7c, 8a, 8b).

− com relação aos itens com maior incidência de erros (50 % ou mais),

podemos destacar: 1d, 3b, 4a, 7a, 7d. No item 6e, apesar de suas

porcentagens de erro serem inferiores a 50%, ao considerarmos

simultaneamente as respostas em branco, seu percentual ultrapassa o

índice supracitado. Alem disso, nos itens 7a, 7d houve uma taxa de

erros na casa dos 80%.

Para que os dados apresentados pela Tabela 4 possam ser explorados

com maior clareza, resolvemos construir outras três, tendo a mesma base de

avaliação.

As questões foram agrupadas de acordo com aquilo que se queria avaliar

segundo o modelo 3UV, sendo, portanto separadas pelo critério:

Tabela 4 – Variável como termo desconhecido

Tabela 5 – Variável como número genérico

Tabela 6 – Variáveis em relacionamento funcional

Relativamente a cada um destes três usos da variável, apresentamos a

seguir as tabelas.

Termo Desconhecido

100

1a 1b 2b 2e 2g 2h 2j 3a 3b 3c 3d 5a 5b 6a 6b 6d

% acertos % erros % em branco

Tabela 4: Porcentagens relativas à variável como termo desconhecido

Como observamos neste gráfico, a maioria das questões que envolveram a

variável como termo desconhecido não ofereceram grandes problemas aos

professores, com exceção dos itens 3b, cujo índice de erros foi superior ao de

acertos e o item 3d com 46,7% de erros.

Número Genérico

100

1d 2a 2c 2d 2f 2i 6c 6e

% acertos % erros % em branco

Tabela 5: Porcentagens relativas à variável como número genérico

Já com relação à variável como número genérico os itens 1d e 6e são os

que representaram maiores dificuldades.

Relacionamento Funcional

100

1c 4a 4b 4c 4d 4e 7a 7b 7c 7d 8a 8b

% a ce rto s % e r ro s % e m b ra n co

Tabela 6: Porcentagens relativas à variável em relacionamento funcional

Para as variáveis em relacionamento funcional, observamos uma maior

quantidade de erros; as questões 4a, 7a, 7d ofereceram um índice de acertos

inferior a 50%.

Análise das respostas obtidas

Na questão 1, foram apresentadas quatro situações na linguagem natural

e foi solicitado aos professores que as transcrevessem para a linguagem

algébrica. Pedia-se somente que o participante escrevesse uma sentença que

traduzisse cada uma das situações. Desta forma, foram consideradas erradas as

respostas que explicitaram os valores numéricos resultantes, bem como àqueles

oriundos de uma simbolização equivocada da variável.

Com relação ao item 1a, pediu-se a expressão que representasse a

situação: “um número desconhecido que multiplicado por 14 seja igual a 127”. De

acordo com o modelo 3UV, a variável presente atua como termo desconhecido.

Para esta questão, encontramos um pequeno índice de erros. Dentre eles

destacamos o do professor P6 que ao invés de transcrever a expressão na

linguagem algébrica, criou uma expressão numérica: 10 · 14 - 3 - 10 que

representa o número 127, ou seja, descreveu uma expressão, cujo resultado é o

proposto pelo enunciado.

Já P12, apesar de representar a expressão proposta, resolveu a equação

obtida e encontrou um valor aproximado para a variável:

14x = 127; x = 127/14; x

≅

Com relação às respostas consideradas corretas, encontramos uma

unanimidade para as mesmas, visto que em todos os protocolos considerados,

encontramos apenas menção à expressão 14x = 127 como solicitado pelo

enunciado.

O item 1b solicita o mesmo para: “um número que multiplicado por sua

soma com 2 seja igual a 6”. Nesta expressão, a variável também atua como termo

desconhecido. Constatamos que os professores não cometeram erros relativos à

resolução da questão como na anterior mas encontramos, no entanto, erros

relacionados à simbolização da mesma, como os que seguem:

O professor P10 interpretou de forma equivocada o enunciado, visto que

em sua resposta atribuiu como solução x + 2 = 6 não considerando desta forma a

multiplicação envolvida, P12, por sua vez, introduziu duas variáveis, considerando

as incógnitas pertinentes à situação proposta como variáveis em relacionamento

funcional expressando como solução y(x + 2) = 6.

P14 forneceu a solução (14 + 2) x = 6, que aparentemente não possui

nenhuma relação com o que fora proposto, nos fez pensar que a inclusão do

número 14 ocorreu pelo fato do item anterior ter mencionado este termo.

Acreditamos que o professor confundiu os dados pertinentes aos itens propostos.

As resoluções consideradas corretas, expressaram a sentença:

x(x + 2) = 6.

Em 1c, foi requerido que os professores explicitassem uma expressão

algébrica para expressar: “um número desconhecido seja igual a 8 mais outro

número desconhecido”. Este é um exemplo de variáveis em relacionamento

funcional e houve um único erro e dois protocolos sem resolução.

O professor P10, com a solução x = 8 + x, interpretou a variável presente

no enunciado como um termo desconhecido, pois afinal retratou a situação

reportando-se a apenas uma variável, ao invés de um relacionamento funcional.

As réplicas adequadas, todas sem exceção expressaram y = 8 + x.

No item 1d, foi proposto uma expressão algébrica que traduzisse: “um

número desconhecido que seja dividido por 5, e o resultado somado a 3”. Como

expresso pelo quadro abaixo, houve uma grande quantidade de erros: nove, além

de dois casos sem resposta.

Trata-se de uma sentença que não envolve igualdade e a variável atua,

segundo o modelo 3UV, como um número genérico.

Questão 1d

Professor Correta Incorreta Não Respondeu Erro Cometido

P1 - X - x/5 = y + 3

P2 X - - -

P3 - X - x/5 = x + 3

P4 - X - x/5 = x + 3

P5 X - - -

P6 X - - -

P7 - X - x/5 = x + 3

P8 - X - x/5 = y + 3

P9 - X - x = x ÷ 5 + 7

P10 - X - x/5 =

P11 X - - -

P12 - X - x/5 = x + 3

P13 - - X -

P14 - X - x/5 = x + 3

P15 - - X -

Quadro 11

Observa-se no quadro que os professores P3, P4, P7, P12, P14

expressaram respostas idênticas.

Mais da metade dos professores introduziu o sinal de igualdade, fazendo

com que a variável assumisse a função de termo desconhecido, ao invés de um

número genérico, como proposto pelo enunciado.

Possivelmente, este fato pode ter acontecido porque no enunciado da

questão aparece a palavra “resultado”, o que pode ter induzido os professores a

interpretar a situação como representando uma igualdade. No entanto, o que nos

parece mais plausível como já testemunharam outras pesquisas realizadas, é a

dificuldade dos professores em aceitar expressões com ausência do sinal de

igualdade como válidas. Fato este também observado por TRIGUEROS, M.;

URSINI, S (2001):

Os professores tiveram dificuldades em aceitar expressões abertas como

válidas (G2), isto foi demonstrado por sua tendência de ao seu fim

adicionar-lhe um sinal de igual e assim mudar o significado dessas

sentenças (de G2 para U2, segundo o modelo 3UV). Desta forma, quando

um sinal de igualdade é presente, se sentem compelidos a encontrar um

resultado específico. (p. 331)

Dois outros professores P1 e P8 deram como solução

+= y

que além

da introdução do sinal de igualdade, adicionaram uma nova variável,

transformando uma situação que apresentava as variáveis como número genérico

para variáveis em relacionamento funcional.

Além destes, P9 com a solução: x = x ÷ 5 + 7 tratou a seu turno a variável

presente como termo desconhecido.

Com relação às respostas corretas, todas apenas transcreveram de

maneira imediata o que fora solicitado:

Para a 2° questão, foram apresentadas dez expressões algébricas e foi

solicitado o número de valores que as variáveis presentes em cada sentença

poderiam assumir. Assim, foram consideradas erradas aquelas respostas que

expressaram resultados, sem qualquer menção à quantidade de soluções, como

solicitado. Além do mais quer se verificar também a interpretação dada às

variáveis.

No item 2a, relativo à expressão x + 2 = 2 + x poucos erros foram

encontrados. Com relação aos mesmos, P5 ao expressar: “nenhum valor, pois os

membros se anulam”, pareceu-nos demonstrar problemas no que diz respeito à

consideração do tipo de variável envolvida, pois avaliou a mesma como um termo

desconhecido buscando uma solução “viável” para a igualdade. Por sua vez P9,

ao enfatizar: “Somente 1 valor por vez, ou seja n valores”, nos pareceu mostrar

insegurança quanto à conclusão solicitada, como se a variável presente pudesse

assumir o papel simultaneamente de termo desconhecido e número genérico,

para uma mesma situação algébrica. Além disso, não explicitou o quer quis dizer

com “n valores”.

As respostas consideradas corretas correspondem a: infinitos, infinitos

valores, qualquer valor.

Em 2b, para a expressão 3 + a + a = a + 10, também foram encontrados

poucos erros, dois relativos à quantidade de soluções e uma resposta incompleta.

O professor P10 realizou parte da manipulação requerida, escreveu

3 + a = 10, sem mencionar a quantidade de soluções como fora solicitado. Já P13

e P14, apenas limitaram-se a expressar simplesmente: “qualquer valor, infinitos”.

Estas respostas foram dadas por estes professores sistematicamente para todos

os itens da questão 2, o que nos levou a concluir que em situações nas quais as

variáveis não assumem a condição de termo desconhecido, ou que o foco da

questão não se apresente como o valor da incógnita, os mesmos admitiram

sempre estas soluções.

Com relação às respostas consideradas como corretas, podemos ressaltar

pelos protocolos obtidos, duas classes de soluções:

− respostas imediatas do tipo: um valor, 1, apenas um, produzidas pelos

professores P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P11, P12, P15.

− respostas “completas” que além da determinação do que fora solicitado,

optaram também pela resolução das expressões propostas

apresentados pelos professores P8, P9.

Para 2c, na expressão x = x encontramos apenas um erro, P3 atribuiu

apenas o valor “dois” sem qualquer menção ao procedimento utilizado.

Nas demais, que consideramos corretas, as respostas além de imediatas

foram dadas por: Infinitos, infinitos valores, qualquer valor. Em um único

protocolo, o professor mencionou que mediante a atribuição de valores, segundo

o universo de números reais, poderíamos obter qualquer número real.

Para a sentença 4 + s, presente no item 2d, em todas as respostas

corretas os professores referenciaram-se a infinitos valores.

A única exceção foi o erro cometido por P5: “Nenhum valor, pois não é uma

igualdade”. Para o mesmo, o fato de a sentença não possuir o sinal de igualdade,

torna inviável qualquer consideração. O professor tratou esta sentença que

envolvia um número genérico, segundo modelo 3UV, como um termo

desconhecido. Além disso, localizamos também a não resolução deste item por

parte de P3 (resposta em branco).

Para as resoluções corretas, encontramos mais uma vez as soluções

atribuídas como nas anteriores: Infinitos, infinitos valores, qualquer valor.

Na expressão x + 5 = x + x, presente no item 2e verificamos uma

quantidade de erros pouco maior que a anterior. Com relação às respostas

corretas, podemos ressaltar que a maioria dos professores atribuiu uma resposta

imediata: “um único valor” (ou algo correlato). Dois professores P11 e P13, que

apesar de resolverem a equação, deram a resposta como proposto pelo

enunciado.

Com relação aos erros encontrados, os professores apresentaram como

solução respostas do tipo “infinitos” por P14 e P15 e “infinitos valores” por P10

sem qualquer menção ao raciocínio utilizado.

Para o item 2f: 3 + a + a + a + 10, que possui semelhanças com o item 2b,

verificamos que o índice de erros também foi pequeno. Os professores que

haviam errado 2b acertaram 2f. Este fato parece ser surpreendente, uma vez que

em 2b tratava-se de uma equação e aqui não. Observamos, ainda, a ocorrência

de duas respostas em branco, delimitadas por P3 e P15.

Deparamo-nos, além de um erro interpretativo: “Nenhum valor, pois não é

uma igualdade” cometido por P5, também com outro de natureza manipulatória:

3a + 13 cometido por P9.

O fato da não existência do sinal de igualdade tanto neste item quanto em

2d não provocou erros como àqueles cometidos no item já analisado 1d, cujo

índice foi bastante elevado. Em outras palavras, para este item nenhum professor

introduziu o sinal de igualdade e admitiram a idéia de mais de uma solução

(infinitas soluções). Pareceu-nos que os professores são capazes de interpretar

sentenças que não envolvem o sinal de igualdade e, no entanto, mostraram

grandes dificuldades para simbolizá-las.

Com relação aos itens 2g, 2h, 2i apesar de sua aparente analogia, pois

todas se referem a equações do 2º grau, as soluções obtidas nem sempre são

números reais. Queríamos verificar se os professores ressaltam este fato ou se

inadvertidamente atribuem soluções imediatas. Foram consideradas corretas

todas as respostas que expressaram a quantidade de soluções, independente da

resolução apresentada.

O item 2g, 7x² = 2x – 5 que apresenta uma equação do 2° grau não

ofereceu grandes problemas, pois apesar da existência de duas raízes

complexas, muitos professores conforme atestaram suas soluções, responderam

diretamente como: P1, P2, P6, P7, P8, P9. Outros como P4, P5 admitiram

somente soluções no campo dos números reais e atribuíram desta forma,

nenhuma solução. Verificamos que P10, P11, P12, que relacionaram duas

soluções no campo dos complexos, devidamente sinalizadas.

Com relação aos erros encontrados temos P13 que resolveu a equação e

atribuiu como soluções valores equivocados: x = 1 e x = 5/7 sem fazer qualquer

menção quanto ao número das mesmas como proposto pelo enunciado, enquanto

P14 admitiu infinitas soluções.

Como já citado anteriormente, nesta questão, boa parte dos professores

não fez qualquer menção à resolução e expressaram respostas diretamente

levando em conta o fato de que equações do 2° grau, admitem duas soluções,

como é o caso do protocolo do professor P8, retratado abaixo:

Constatamos em alguns protocolos, soluções que fizeram menção ao

domínio da função envolvida, que não fora fornecido, bem como a determinação

das soluções no campo complexo.

Em 2h, a equação

−

tem duas raízes distintas no campo real, porém

irracionais. Dentre as soluções consideradas erradas, podemos ressaltar dois

casos:

− erros interpretativos: respostas do tipo infinitos valores ou qualquer valor,

pois a variável presente fora considerada um número genérico,

cometidos por P8, P10, P13, P14.

− erro de manipulação: apesar do papel atribuído à variável ser coerente,

a resolução fora encaminhada de forma errônea, pois na verdade

determinou-se a condição de existência da equação e não a quantidade

de soluções como solicitado, erro este cometido por P3: “Um valor

diferente de 2 e -2”.

Em 2i, (x + 1)² = x² + 2x + 1 temos uma identidade e que, portanto, admite

infinitas soluções. A variável atua como um número genérico.

Dentre os erros encontrados, podemos citar que os mesmos não possuem

qualquer referência quanto à resolução, como pode ser verificado pelo quadro

abaixo:

Questão 2i

Professor Correta Incorreta Não Respondeu Erro Cometido

P1 - X - 2 valores

P2 X - - -

P3 - X - Valores positivos

P4 X - - -

P5 - X - Nenhum valor

P6 X - - -

P7 - X - Dois, pois ambos são o

quadrado da soma

P8 X - - -

P9 X - - -

P10 X - - -

P11 X - - -

P12 X - - -

P13 X - - -

P14 X - - -

P15 - X - nenhum

Quadro 12

Os erros foram provenientes de soluções imediatas, sendo que alguns

professores consideraram que a igualdade possuía duas soluções, e outros ainda

expressaram que esta equação não possuía nenhuma solução.

Por se tratar aparentemente de uma equação do 2° grau, o professor sem

qualquer desenvolvimento algébrico, atribuiu uma resposta memorizada.

Para as respostas consideradas corretas, podemos citar: infinitos valores,

qualquer valor, infinitos do domínio.

A igualdade do item 2j, 4 + x² = x(x + 1), é na realidade uma equação do 1°

grau apesar de sua aparente semelhança com uma quadrática.

Dentre os erros encontrados, podemos ressaltar P13 e P14 que mais uma

vez responderam inadvertidamente: qualquer valor e infinitos respectivamente.

Para uma das respostas erradas apontadas neste item, optamos por

mostrar seu erro cometido, visto que o mesmo nos deixou clara a confusão

enfrentada nesta questão, respondendo: “infinitos valores, ou seja, pensando bem

nenhum valor, pois a identidade não é verdadeira para todo x”.

Este protocolo mostra um conflito quanto à categorização da variável, como

número genérico ou termo desconhecido.

Na questão 3, foram apresentadas quatro equações e desta vez, foram

solicitadas suas soluções. Nesse sentido, as variáveis em todos os itens

assumem o papel de termo desconhecido. Aqui, o índice de acertos foi bastante

elevado, com exceção dos itens 3b e 3d, nos quais os erros concentraram-se

notadamente quanto à manipulação algébrica. Procuramos, nesta questão, avaliar

as questões propostas ainda segundo a interpretação das variáveis.

Em 3a, fora solicitado para a equação, 13x + 27 – 2x = 30 + 5x, os valores

que a variável pode assumir.

Deparamo-nos com erros relativos à interpretação do enunciado como o

apresentado por P1 que expressa: “1 valor”, referindo-se à quantidade de

soluções possíveis, não qual. Para P8, “x = 2”, que, apesar de haver interpretado

corretamente o papel da variável, cometeu um erro durante a resolução. Já P14,

respondeu como em itens anteriores, para todas as expressões: “qualquer valor”.

Com relação às questões corretas, encontramos nos protocolos a solução

representada por x = ½, sendo que em pelo menos dois destes os professores

fizeram menção à quantidade de soluções, além da solução proposta,

possivelmente influenciados pela questão anterior. Em todos os protocolos

verificados, encontramos ainda um deles, P12, que apesar de constatar a

resposta como solicitada, forneceu o domínio, isto é, fez menção aos valores que

tornariam a sentença válida.

Para o item 3b, (x + 3)² = 36, o primeiro membro é o quadrado de uma

soma envolvendo a variável. Localizamos uma grande quantidade de erros

quanto à manipulação, apesar de todos os professores considerarem a variável

presente como termo desconhecido. O quadro a seguir descreve o número de

acertos e erros, expressando estes últimos.

Questão 3b

Professor Correta Incorreta Não Respondeu Erro Cometido

P1 X - 2 valores

P2 X -

P3 X - x = 3

P4 X - x = ± 3

P5 X -

P6 X - x = 3

P7 X -

P8 X -

P9 X - (-6 ±√108)/2

P10 X -

P11 X -

P12 X -

P13 X - Δ = 180

P14 X - Qualquer valor

P15 X - x = 3

Quadro 13

Neste item, o índice de erros ultrapassou os 50%; os professores

cometeram erros algébricos, deram respostas imediatas como foi o caso de três

deles, apresentaram apenas um dos valores da variável que satisfaz a equação,

ou nada concluíram com relação aos valores que a variável poderia assumir como

solicitado.

Observamos que o professor P1 em toda questão 3, deu a quantidade de

valores e não quais são eles como pedido pelo enunciado proposto.

Para P3, P4, P6, P9, P13, P15 cometeram erros quanto à manipulação da

variável e P14 continuou a citar a expressão: “qualquer valor”.

Nas resoluções corretas, todos os participantes desenvolveram o quadrado

da soma que figurava na expressão e, após procedimentos algébricos referentes

às equações do segundo grau, deram a solução solicitada.

Da mesma forma como ocorrido no item 3a, a expressão 4 + x = 2, em 3c,

ocasionou poucos erros e estes foram de natureza interpretativa. Com relação a

este item, constatamos a quase totalidade de acertos.

Dentre os erros encontrados, observamos que P1 ao invés de interpretar a

variável como termo desconhecido e determinar seu valor, o mesmo atribuiu a

quantidade de soluções, como solicitado na questão anterior, e P14 continuou a

expressar “qualquer valor”.

Para as resoluções consideradas corretas, todos atribuíram x = - 2 e nos

protocolos apenas P10 fez menção quanto ao conjunto universo no tocante à

resolução dessa expressão.

Com relação ao item 3d,

, encontramos um índice de acertos

pouco superior a 50%. Ocorreram erros de natureza manipulatória, como

descritos pela tabela abaixo, e localizamos também erros nas chamadas

respostas imediatas, no que se refere à interpretação da variável.

Questão 3d

Professor Correta Incorreta Não Respondeu Erro Cometido

P1 - X - 2 valores

P2 - X - x’ = 2√2 e x’’ = -2√2

P3 X - - -

P4 X - - -

P5 X - - -

P6 - X - x = 2

P7 - X - x = 4

P8 X - - -

P9 X - - x = 2

P10 X - - -

P11 X - - -

P12 X - - -

P13 - X - x = 4

P14 - X - Qualquer valor

P15 - X - x = 4

Quadro 14

Com exceção de P14, os professores interpretaram corretamente a variável

como termo desconhecido. Provavelmente, por simples inspeção, dois

participantes apresentaram apenas um dos valores possíveis e outros três deram

o valor x² ao invés de x. P1 continuou dando a quantidade de valores que a

incógnita pode assumir e P14, como sempre, expressou o seu “carimbo”:

“qualquer valor”. Já P2, por erro de manipulação algébrica, obteve x² = 8 e não

2a² = 8, o que acarretou sua resposta errônea.

Com relação às respostas corretas, verificamos que todos os professores

realizaram manipulações similares; podemos destacar que no protocolo de P12,

além da resolução propriamente dita, encontramos novamente a expressão do

domínio de validade, que não fora solicitado nem fornecido pelo enunciado.

Na questão 4, as variáveis x e y encontram-se em relacionamento

funcional, estabelecida pela expressão: x + 3 = y. Pediu-se a determinação de

que valores uma das variáveis poderia assumir ao atribuir-se a outra determinada

variação, os valores que poderiam ser obtidos ora para x, ora para y.

Esta questão apresentou uma quantidade de erros superior a 50% no item

4a, e em torno de 46% para 4c como expressos na Tabela 6. Neste item,

queremos avaliar para as variáveis em relacionamento funcional como os

professores simbolizam, manipulam e interpretam as mesmas.

Em 4a, perguntou-se que valores que x e y poderiam assumir sabendo que

x + 3 = y. Com relação aos erros ocorridos, verificamos que em alguns casos

professores que delimitaram soluções gerais, ou seja, não levaram em conta o

relacionamento funcional apresentado pelas variáveis.

Neste item, os professores: P1, P2, P7, P8, P10 e P15 fizeram referência a

infinitos valores, qualquer valor. Encontramos ainda a citação: “x e y = x + 3”

realizada por P3 que não concluiu nada, bem como a repetição sistemática

qualquer valor de P14.

Dentre as consideradas corretas, ressaltaremos neste item as respostas

fornecidas por P5 e P11:

P11

Quanto a P12, sua resolução apenas citou: Depende do domínio (valores

atribuídos a x), resolução também considerada correta por nós, pois o professor

considerou as variáveis em Relacionamento Funcional.

Para o item 4b, o questionamento diz respeito a quantos e quais valores

pode assumir y ao se atribuir um valor qualquer a x.

Verificamos poucos erros, a saber: P6 deu uma resposta numérica “1”.

Encontramos também respectivamente nos professores P9, P11, P14 as

respostas: “qualquer valor em R”, “depende do conjunto numérico escolhido”,

“qualquer valor”.

Com relação às respostas consideradas corretas, praticamente todas

representaram exemplos numéricos: P1, P2, P3, P4, P6, P7, P8, P10, P12, P13,

com exceção de P5 e P15 que atribuíram soluções gerais.

P15 por sua vez, expressou para a resolução solicitada: ”para cada x um

único y”.

Em 4c, as variáveis apesar de estarem em relacionamento funcional, foram

estabelecidas restrições, mediante intervalos de variação. Para que y assuma

valores entre 3 e 6 pergunta-se que valores podem ser atribuídos a x.

Houve mais de 50% de respostas certas. Ocorreram erros de natureza

interpretativa, pois consideraram apenas algumas das soluções, mesmo para os

números naturais como, P4: “x = 1

⇒

y = 4, x = 2

⇒

y = 5”. Verificamos também

um erro de natureza simbólica como mostrou o protocolo de P13: “y > 3 < 6”.

Encontramos ainda outro de natureza interpretativa, como revelado pela

descrição abaixo:

Ressaltaremos nesta situação outras soluções que foram consideradas

corretas, como as atribuídas apenas por números naturais dadas por P6: “{1,2}” e

P7: “x = 1; x = 2”. Podemos destacar que foram fornecidas também respostas em

língua natural pelos professores: P2, P3, P5, P9, P12, P15.

Apenas um professor, P11, delimitou uma resolução algébrica para este

enunciado como expresso abaixo:

Em 4d delimitou-se uma variação a x (de - 4 a 1) e solicitou-se a

determinação da variação que ocorreriam em y para esta situação.

Obtivemos neste item, um índice maior de sucesso, pois os erros

encontrados dizem respeito apenas à quantidade de soluções.

P4 atribui apenas um único valor: “x = -3

⇒

y = 0”, P13 por sua vez

forneceu-nos um intervalo numérico: “-4 < x < 1”, que não representa a solução

para o que foi solicitado, além da intermitente resposta “qualquer valor” de P14.

Para as respostas consideradas corretas, podemos ressaltar que a quase

totalidade das soluções versaram entre soluções imediatas do tipo: “y estará entre

-1 e 4”, “valores entre -1 e 4”, “todo y entre -1 e 4”, apenas localizamos uma

solução concebida de maneira diferente realizada por meio do protocolo de P11:

Ainda com relação a esta questão, temos outro fato que nos chamou a

atenção. Apesar da aparente similaridade entre os itens 4c e 4d, o índice de erros

na primeira foi muito maior que a segunda. A única diferença explícita é que

enquanto em 4c foi atribuída uma variação para a variável dependente y e pede-

se sua correspondência para a variável independente x, em 4d ocorreu o inverso.

O que nos levou a pensar no fato de tradicionalmente atribuir-se uma maior

importância para a variável dependente e não o contrário.

Para 4e, perguntou-se o que ocorreria para y à medida que x aumenta

sabendo que o mesmo só admite valores positivos. Neste item, o índice de

acertos foi grande. No entanto a maioria dos professores limitou-se a dizer que y

aumenta. Encontramos ainda nas respostas consideradas corretas, o protocolo de

P11 que resolveu o exercício algebricamente e delimitou com exatidão a solução:

y > 3.

Com relação aos erros encontrados, podemos citar P4: fica três unidades

menor que x que demonstra segundo nossa compreensão problemas

relacionados ao crescimento e decrescimento de uma das variáveis relacionadas,

e ainda P13 com a solução imediata: x > 0, segundo o qual além de atribuir uma

solução imediata sem qualquer menção quanto ao raciocínio utilizado, mostrou

confundir a qual das variáveis o enunciado referia-se ao solicitar a variação.

Na questão 5, foram pedidos em seus dois itens, que se escrevesse uma

fórmula para a resolução dos problemas propostos. Queríamos verificar como o

professor simbolizava estas situações, as variáveis em ambas atuam termo

desconhecido.

O item 5a pressupõe que a soma das idades de dois sujeitos é 41,

valendo-se que um dos mesmos é 15 anos mais velho. A variável, segundo o

modelo 3UV, atua como termo desconhecido e mais uma vez, apenas a

expressão resolutiva fora requerida.

Neste item, observamos que a quase totalidade dos professores buscou a

representação algébrica da situação proposta, além de insistirem na busca de x.

Localizamos apenas um erro, onde P3 além de não conseguir expressar a

equação, também não forneceu uma solução considerada errada.

No item 5b, fora solicitado a quilometragem que um sujeito poderia

percorrer ao alugar um veículo que custava $25 ao dia mais $0,12 por quilômetro

rodado se só dispunha de $40. A variável presente nesta questão atua também

como termo desconhecido, na qual mais uma vez, a solução não fora exigida.

Neste item como no anterior, boa parte dos professores apesar de partirem

da fórmula resolutiva, insistiram na busca de resoluções. Isto, talvez, se deva ao

fato de que na questão figura a expressão: “Quantos quilômetros”.

As respostas consideradas erradas para este item, cometidas pelos

professores P6, P9 e P14 dizem respeito à resolução da questão e na não

obtenção da fórmula resolutiva, como indicada pelo enunciado, o erro cometido

por P9 expressa isto:

Na Questão 6, os dados foram fornecidos por meio de uma tabela na qual

aparecem figuras de pontos desenhados em progressão, bem como o número da

figura.

Perguntam-se em seus itens, quais são os números de pontos das figuras

4 e 5, a maneira pela qual estes pontos estão sendo agregados (quantidades

adicionadas), o número de pontos que possuiria uma figura m e além disso, a

fórmula representativa que mostre como estes elementos estão sendo

justapostos.

Nos itens 6a e 6b, conforme verificado pelos protocolos apresentados, os

professores não encontraram qualquer dificuldade quanto à delimitação da

quantidade de pontos exigida. Nestes itens, encontramos totalidade de acertos e

convém ressaltar que a variável presente nos mesmos, assume a função de

termo desconhecido.

Para o item 6c, no qual fora solicitada a quantidade de pontos existentes

para uma figura m, a variável por sua vez assume a função de número genérico.

Foram encontrados dois erros, um de natureza interpretativa: “infinitos pontos”

dada por P14 e outro resultado de um erro algébrico ou notacional: m (ao invés de

m²) por P9, além de um protocolo sem resolução de P13.

Para as resoluções corretas, todos os professores relataram apenas o que

fora exigido, sem qualquer outro comentário: m

Em 6d, como se solicitou a quantidade de pontos que deveriam ser

colocados para se passar da figura 1 a 2, a variável para este quesito voltou a

assumir a condição de termo desconhecido.

Por sua vez, encontramos totalidade de acertos para as respostas

apresentadas e apenas uma não respondida, a do professor P13.

Já para 6e, a variável comporta-se como número genérico, pois se pleiteia

a quantidade de pontos que deveriam ser adicionados para passar de uma figura

m para a seguinte. Nesta situação, encontramos uma quantidade de erros

considerável como expresso pela tabela abaixo:

Questão 6e

Professor Correta Incorreta Não Respondeu Erro Cometido

P1 - X - m = n

P2 X - - -

P3 - X - m + 2

P4 - - X -

P5 X - - -

P6 X - - -

P7 - X - m + (m + 1)

P8 - X - m

+ 2

P9 - X - m + 2

P10 - - X -

P11 - X - m - 1

P12 X - - -

P13 - - X -

P14 - X - n pontos

P15 - - X -

Quadro 15

Já era esperado que os professores encontrassem dificuldades em

estabelecer um padrão para o número de pontos acrescentados a uma figura para

obter a seguinte.

Com relação às falhas apontadas, apenas um professor cometeu um erro

quanto à natureza da variável, P1 interpretou a situação proposta como variáveis

em relacionamento funcional: “m = n²”.

Todos os demais erros encontrados, apesar de sua interpretação correta,

foram relativos à manipulação da variável.

Para alguns protocolos nos quais constatamos resoluções corretas, como

para P2 e P5, encontramos a interpretação das situações propostas e a

manipulação das variáveis que originaram a seu turno a solução correta: 2m -1.

Verificamos também que nas resoluções apresentadas por P6 e P12:

m² - (m – 1)², nas quais as variáveis não foram manipuladas, como os dados

foram corretamente interpretados, foram consideramos adequadas.

Diante dos resultados obtidos na questão 6, visto que a mesma permeia

duas estruturas do modelo 3UV: termo desconhecido e número genérico

observamos:

− Os itens 6a, 6b, 6d, apresentaram um índice de acerto superior a 90%

(nestes itens, as incógnitas pertinentes, assumiram o papel de termo

desconhecido), enquanto que em 6c que exigia apenas a interpretação

da incógnita, apesar de referir-se aos números genéricos, encontramos

um índice de acertos superior aos 70%.

− No item 6e, as variáveis presentes assumem o papel de número

genérico no qual exigia-se além da interpretação, a manipulação dos

dados. Encontramos, neste item, um índice de erros superior a 70%,

incluindo para tanto as questões erradas e não respondidas.

Os professores mostraram muitas dificuldades para expressar um

relacionamento entre dados fornecidos por uma tabela para a consecução de uma

fórmula ou sentença algébrica que as expresse.

Na questão 7, com os dados distribuídos em forma de tabela, exigiu-se a

determinação do comportamento de y de acordo com o crescimento de x, bem

como da existência ou não de pontos de máximo. Ao delimitar-se um intervalo de

variação para x, perguntou-se como se comportariam os valores de y mediante

esta limitação. Queremos verificar nestes itens como os professores interpretam,

manipulam e simbolizam as variáveis em relacionamento funcional, só que agora

expressas através de uma tabela de valores.

Solicitou-se em 7a qual seria o comportamento de y para um crescimento

de x. As respostas consideradas corretas foram as que mediante os dados

fornecidos pela tabela, puderam ser mensurados. Os professores demonstraram

muitas dificuldades com relação ao comportamento desses dados (crescimento e

decrescimento) como mostram os elementos da tabela abaixo, na qual figura

apenas uma resposta correta:

100

Questão 7a

Professor Correta Incorreta Não Respondeu Erro Cometido

P1 - - X -

P2 - X - y aumenta

P3 - X - sim

P4 - X - aumenta

P5 X - - -

P6 - X - y cresce

P7 - X - eleva ao quadrado (dobra)

P8 - X - é elevado ao quadrado

P9 - X - cresce também para x positivo e/ou x negativo

P10 - X - quando os valores de x crescem os de y

também crescem

P11 - X - também cresce

P12 - X - y cresce

P13 - - X -

P14 - X - também cresce

P15 - X - x cresce também

Quadro 16

As respostas podem indicar que a grande maioria dos participantes se

ateve apenas aos valores positivos de x. Apenas um deles durante a resolução

desta questão, em específico, procurou organizar os dados relativos à tabela e

construiu um gráfico (considerando x percorrendo R), para perceber melhor esta

variação, apesar de não haver chegado a nenhuma conclusão.

Encontramos também, neste item, respostas em linguagem natural, além

do apelo a respostas intuitivas, tendo em vista que não consideraram o problema

sob todos os ângulos, detendo-se no fato de apenas serem obtidos valores

positivos.

A quase totalidade dos professores optou por respostas imediatas, do tipo:

y aumenta, y cresce, quando os valores de x crescem os de y também crescem.

Alguns perceberam a relação envolvida nesta situação sem chegar a

alguma conclusão, como: “é elevado ao quadrado”. Cometeram também outros

erros; esses de natureza algébrica; como confundir o quadrado com o dobro de

um número: (P7) “eleva ao quadrado (dobra)”.

Reproduzimos a seguir o protocolo apresentado por P1 para este item, que

apesar de não haver concluído nada com relação à resolução, aproximou-se do

esperado:

101

Para esta questão podemos ressaltar que, a quase totalidade dos

professores nos pareceu influenciada no enunciado pela assertiva x cresce,

considerando apenas os valores positivos de x.

Com relação a resolução correta, a mesma só foi dada pelo protocolo P5,

no qual apesar de utilizar-se de uma solução em linguagem natural, expressou

corretamente a relação proposta entre x e y:

No item 7b, ao ser solicitado o valor máximo para y, queríamos verificar a

forma como os professores buscariam a solução, para este relacionamento

funcional entre x e y. As soluções que envolveram apenas dados fornecidos pela

tabela foram consideradas certas, bem como aquelas que consideraram um

domínio mais amplo, desde que devidamente sinalizado.

Dentre todas as respostas corretas, em apenas uma delas (P12), foi

estabelecido um domínio para a função, delimitando-se assim os valores de

máximo para y. Os professores que apresentaram respostas diretas apenas em

102

função dos dados da tabela, não acrescentaram qualquer tipo de aprofundamento

ou discussão.

Com relação aos erros encontrados, podemos ressaltar P7 que considerou

simplesmente a resposta: “infinitos valores” e por sua vez P8: “infinitos valores

para x e y, portanto não tem um valor máximo”, enquanto que P14 nos forneceu

uma solução incompleta: “quando x, y cresce”.

Por sua vez em 7c, fora solicitado a descrição de uma fórmula para a

associação dos termos x e y.

Apesar da quase totalidade dos professores ter percebido a relação y = x²,

um protocolo, P11, apresentou uma “solução” estranha justificando-se que pelo

fato da função não ser linear, então a mesma não poderia ser representada por

uma fórmula. Encontramos também alguns protocolos sem a resposta desse item:

P1, P9, P13. Este fato é surpreendente uma vez que a função f(x) = x² é

frequentemente trabalhada na Educação Básica.

Em 7d, fora solicitado qual seria o intervalo de variação para y quando x

variar no intervalo de -2 a 26.

Observamos uma quase quantidade de erros neste item, pois os

professores optaram por respostas imediatas, apenas elevando ao quadrado os

extremos de variação de x, sem verificarem com maior cuidado o que acontece

com a variação de y que decresce, quando x é negativo.

Questão 7d

Professor Correta Incorreta Não Respondeu Erro Cometido

P1 X - - -

P2 X - - -

P3 - X - 4 e 676

P4 - X - entre 4 e 676

P5 - X - 4 < x < 676

P6 - X - 4 − 436

P7 - X - entre 4 e 676

P8 X - - -

P9 - - X -

P10 - X - entre 4 e 676

P11 - - X -

P12 - X - y estará entre 4 e 676

P13 - - X -

P14 - X - entre nenhum valor

P15 - X - entre 4 e 676

Quadro 17

103

Exibimos o protocolo de um participante, que evidencia o procedimento de

escolha:

Este erro, cometido por P3, foi freqüentemente encontrado em quase todos

os protocolos.

Com relação às respostas corretas, produzidas por P2 e P8, todas foram

similares à escrita por P1: “y estará entre 0 e 676”.

Na questão 8, as variáveis estão em relacionamento funcional

representado por um gráfico. Inquiriu-se nos itens da mesma, sobre o

crescimento, o decrescimento e pontos de máximo e de mínimo.

Em 8a, solicitou-se a determinação do intervalo de crescimento de y,

mediante os dados que podem ser obtidos por meio do gráfico fornecido.

Em todas as soluções apresentadas, a variação de x entre 0 e 1 figurou

nos protocolos, mesmo nas resoluções consideradas incorretas, como é o dos

professores que admitiram também os valores de x menores que zero, uma

interpretação equivocada da situação em questão. P4 considerou os valores de y:

“entre 0 e 1 e x < 0”, P9 por sua vez: “0

≤

1 e -

∞

≤

0”, P14 optou por

valores: “entre 0 e 1 e 0 a -

∞

”, e que P13 não respondeu este item.

Com relação às corretas, observamos que as respostas foram fornecidas

ora em linguagem natural: “entre 0 e 1”, ou algo correlato, por P2, P7, P15, ou em

linguagem algébrica: “0 < x < 1” pelos professores P1, P3, P5, P6, P8, P10, P11,

P12.

Consideraremos uma das soluções corretas cujo autor foi o único a mostrar

preocupação quanto ao domínio da função, antes de manifestar qualquer solução.

104

P11

Para 8b, apesar de a pergunta ser similar à anterior, afinal para este item

fora solicitado para quais valores de x, y decresce, localizamos um índice de

erros um pouco superior à anterior.

Os professores que responderam incorretamente ao item anterior, erraram

este também, no entanto encontramos dois professores que acertaram a primeira,

mas erraram esta (P3 e P10).

Uma diferença importante que encontramos com relação às respostas

erradas, foi à natureza das mesmas. Designamos estes erros levando-se em

conta o modelo 3UV, como erros interpretativos e erros simbólicos para estas

variáveis em relacionamento funcional.

Erros interpretativos:

− P3 não considerou os valores que constituem o intervalo de 1 a 2,

respondendo: -

∞

≤

0 e 2 < x <

∞

− P4 não considerou os valores negativos para x, a apresentar como

solução: x > 1

− P9 por sua vez, além de não considerar os valores negativos de x, não

considerou os valores maiores que 2 e expressou: 1

≤

Erros simbólicos:

− Localizamos dois outros professores que, além de atribuírem respostas

erradas, cometeram erros relacionados ao aspecto simbólico da solução.

Temos respectivamente P10: 4 < x < 0 e P14: 1 e 2, 0 a -

∞

Tanto 8c quanto em 8d, ao solicitar-se os valores de máximo e mínimo

respectivamente, constatamos maneiras diversas em relação à interpretação

gráfica destes dados.

105

Em 8c no qual fora solicitado o valor máximo de y, encontramos respostas

similares dadas por P2, P3, P5, P7, P8, P14 que se referiram a: “-

∞

”.

Provavelmente estes professores consideraram a função definida em R e, com

esta resposta quiseram que quanto menor, for o valor de x, maior será o valor de

y e, assim, não há um número real que seja ponto de máximo da função. P1 e P4

atribuíram como solução o valor “-5”. Os participantes P6, P10, P15 que indicaram

como solução o valor 1, possivelmente se ativeram ao domínio [-5, 5] e então

indicaram x = 1 como sendo um ponto de máximo local da função. O protocolo de

P13 não apresentou solução alguma.

O professor P9 com a simples menção x < 0, também pode ter imaginado

que o domínio de f fosse R e ter querido expressar que o ponto de mínimo é um

valor negativo de x, sem saber indicar qual. Por sua vez P11 e P12 delimitaram

cada um a seu turno, uma variação para x para poderem atribuir o valor máximo

de y, como solicitado, apresentando as respostas:

P11

P12

Para o item 8d, por sua vez, foi solicitado o ponto de mínimo da função,

encontramos respostas similares dadas pelos professores P2, P3, P6, P7, P9,

P14, como: “-

∞

”. Possivelmente, estes professores admitiram como para o item

anterior que o gráfico expressa uma função definida em R. Para as demais

soluções, encontradas nos protocolos P1, P4, P5, P8, P10, P11, P12, P15 estes

professores delimitaram suas resoluções, provavelmente, para o domínio [-5 , 5]

como no item anterior e responderam que o valor mínimo para y = 5.

Encontramos, ainda, o protocolo de P13 sem resolução alguma.

106

Nestes dois casos específicos, as variáveis estão em relacionamento

funcional. Pelas respostas obtidas, boa parte respondeu de forma imediata,

observamos os mesmos tipos de procedimento em ambos, os mesmos

obstáculos quanto ao reconhecimento das variações comuns envolvidas, tanto

pela variável dependente quanto pela variável independente.

Com relação às resoluções encontrados, em ambos estes itens temos que

P1, P4, P5, P8 admitiram apenas os valores definidos pelo gráfico sem qualquer

outra informação, já para P11, P12, mesmo para P10, além de trabalharem com

os valores dados pelo gráfico, delimitaram restrições aos valores de x, para que

pudessem definir com maior precisão aos valores procurados.

Mediante dados obtidos pelo questionário de acordo com a porcentagem

de erros encontrados no que se refere à principal característica assumida pela

variável, segundo o modelo 3UV, podemos distribuí-los segundo o gráfico abaixo:

100

Termo

Desconhecido

Número Genérico Relacionamento

Funcional

Tabela 7: Porcentagem de erros segundo a principal característica

assumida pela variável de acordo com o modelo 3UV

Verificamos que os professores mostraram dificuldades em especial com

relação à interpretação das variáveis em relacionamento funcional, apesar de os

chamados números genéricos também representarem obstáculos, só que em

menor escala. Quanto às variáveis que atuam como termo desconhecido, não

foram localizadas grandes dificuldade, nesse caso verificamos que tanto a

interpretação quanto a simbolização não representaram muitas dificuldades. Para

107

os itens com uma exigência manipulatória mais elaborada localizamos, por sua

vez, problemas de ordem algébrica, como mostraram os protocolos.

Além disso, de uma forma geral, os professores demonstraram muitas

dificuldades para questões que envolveram a interpretação de figuras, gráficos e

tabelas.

Na primeira questão, na qual almejávamos avaliar a simbolização das

variáveis segundo o modelo 3UV, observamos que durante a aplicação do

questionário os professores mostraram certa insegurança, em função das

perguntas a nós dirigidas e em função do tempo gasto para a resolução das

questões, frente a aparente “simplicidade” do que fora solicitado pelo enunciado,

apesar de não ser uma questão trivial.

Com relação às variáveis como números genéricos no que tange a

manipulação interpretação e simbolização destes termos, os professores

demonstram certa dificuldade em admitir expressões com, a ausência do sinal de

igualdade, pelo menos quanto a sua simbolização. Visto que, para expressões

nas quais foram exigidas as interpretação das mesmas, não demonstraram

grandes problemas. Mostrando com isso que os professores, apesar de

possuírem dificuldades em aceitar uma expressão com a ausência do sinal de

igualdade, no entanto de posse da mesma, ou seja, quando de sua definição

estabelecida, puderam aceitá-la com uma maior naturalidade. Em outros termos,

os professores interpretam melhor do que simbolizam as situações nas quais as

variáveis que atuam como número genérico, estão presentes.

Para as variáveis em relacionamento funcional, encontramos erros

diversos, que foram da interpretação a simbolização da resposta obtida.

Convém ressaltar que a certas situações propostas foram atribuídas

variações para a variável dependente e pediu-se a variação para a independente

e em outro item, o inverso. Constatamos um índice de erros na primeira superior à

segunda situação, o que nos levou a pensar no fato de tradicionalmente atribuir-

se uma importância maior para o cálculo da variável dependente e não o

contrário.

108

Para as questões nas quais foi exigida apenas uma fórmula resolutiva para

as situações propostas, os professores demonstraram muitas dificuldades em

aceitar a simples transcrição dos enunciados propostos. Observamos a

preocupação dos participantes em querer apresentar, neste tipo de questão, além

da fórmula de resolução, mostrar também a necessidade de se obter uma solução

numérica a qualquer custo.

109

APÍTULO 5

Conclusões

A intenção deste trabalho foi analisar a forma como os conhecimentos no

que se refere à manipulação, simbolização e interpretação da variável, umas das

noções centrais da matemática, são mobilizados pelos professores, fato este que

refletirá indubitavelmente em seu ensino.

Escolhemos essa investigação ao tomarmos conhecimentos de alguns

artigos referentes ao aprendizado das variáveis, particularmente ao modelo 3UV

(como consta em nossa fundamentação teórica), que foram objeto de discussões

no grupo G2 - Matemática do Ensino superior: Didática do Ensino do Cálculo,

cujo objetivo é discutir o ensino e o aprendizado do Cálculo explicita que, o

conhecimento relacionado às variáveis permeia de uma forma ou outra, também,

os conceitos estudados nessa disciplina.

Notamos que os professores que participaram desta atividade, mostraram

muita curiosidade a respeito da mesma, pois ao final de cada encontro quando

procuramos tecer alguns comentários relativos ao mote da pesquisa, ouvimos as

mais variadas opiniões e, ao mencionarmos nossos objetivos, no que concerne às

variáveis e especificamente ao modelo 3UV, os professores, de uma forma geral,

mostraram-se curiosos com relação a nossos resultados, de modo que nos

comprometemos a dar-lhes um feedback no devido tempo e mostrar parte dos

resultados obtidos.

O modelo 3UV mostrou ser de grande utilidade quanto à diagramação de

uma atividade referente ao ensino de matemática, em especial levando-se em

111

conta a simbolização, manipulação e interpretação das incógnitas dentre os usos

que se faz da variável: termo desconhecido, número genérico, relacionamento

funcional.

Pela tabela 7 (p. 107) na qual apresentamos o índice de erros referentes a

cada um dos usos das variáveis, podemos ressaltar que encontramos cerca de

18,7% de respostas incorretas relativas ao uso das variáveis como termo

desconhecido, 24,2% relativamente ao seu uso como número genérico e 40%

respectivamente para os itens que envolvem as variáveis em relacionamento

funcional.

Com relação aos erros no que concernem às variáveis que atuam como

termo desconhecido, os itens correspondentes envolviam a interpretação das

variáveis. Já em relação aos itens que envolvem números genéricos, os erros

cometidos dizem respeito à simbolização e interpretação das variáveis. No que se

refere às variáveis em relacionamento funcional, os erros cometidos ocorreram

nos itens que envolviam a interpretação, outros sobre a manipulação e ainda

outros que abrangiam a simbolização da variável.

De acordo com os resultados observados, os professores apresentaram

problemas quanto à interpretação e simbolização das variáveis, no que se refere

ao relacionamento funcional e, em menor escala, para variáveis que atuam como

número genérico.

Relativamente à interpretação, as variáveis em relacionamento funcional

foram também as que mais apresentaram problemas de uma forma geral e que

estas dificuldades foram manifestadas pelos professores quando os dados foram

expressos em situações diferenciadas, como forma tabular, linguagem natural ou

mesmo em notação gráfica.

Em expressões nas quais a variável atuava como número genérico, ficou

claro que simbolização das mesmas foi a que representou mais dificuldades, pois

como os dados obtidos já mostraram, os participantes tiveram sérios problemas

na análise das sentenças com ausência do sinal de igualdade, e por outro lado,

agiram com certa tranqüilidade com relação à interpretação de uma expressão

apresentada na sua representação algébrica.

112

Outro fato digno de nota foi que, dois professores quase em todos os itens,

apenas limitaram-se a expressar simplesmente: qualquer valor, infinitos. Estas

respostas dadas por estes professores sistematicamente, na maioria dos itens,

nos levou a concluir que em situações nas quais as variáveis não assumem a

condição de termo desconhecido, ou que o foco da questão não se apresente

como incógnita, os mesmos acreditam que as expressões acima resumem toda e

qualquer solução.

Outro dado que nos pareceu contundente, foi que os professores que

atuam na escola técnica, mostrarem-se mais cuidadosos e precisos em suas

soluções no que se refere às suas conclusões, fato este que aconteceu em menor

escala para os professores das outras escolas do ensino público e mesmo do

ensino particular.

Os resultados obtidos em nosso trabalho representam elementos iniciais

para o conhecimento do tratamento dado à noção de variável por professores da

Educação Básica. Tal fato aponta para a necessidade de outros estudos neste

aspecto, além de investigações sobre a mobilização de conhecimentos no uso de

variáveis também relativa a alunos tanto do Ensino Básico como do superior e

ainda a professores deste nível de ensino. Consideramos ainda ser pertinente

também analisar a maneira como esta noção é tratada em livros didáticos dos

diferentes níveis de ensino.

113

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118

NEXOS

Anexo 1

As Questões

Cuestionario

NOMBRE______________________________MATRICULA_______

En este ejercicio, solamente escribe una fórmula. NO CALCULES el número.

1. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido multiplicado por 13 es igual

a 127.

2. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido multiplicado por la suma del

mismo número desconocido con 2 es igual a 6.

3. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido es igual a 6 más otro

número desconocido.

4. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido dividido por 5 y el resultado

sumado a 7.

Para cada una de las siguientes expresiones ¿cuántos valores puede tomar la letra?

+=+22

6. 31++= 0

aaa

8. 4 +

+=+5

10. 310+++

aaa

11. 7x

=2x-5

12. x / x

- 4 = 3

13.

()

+12

14.

()

119

Para cada una de las siguientes expresiones escribe los valores que piensas que puede

tomar la literal:

15. 13 27 2 30 5

+−=+

16.

()

+=33

17. 42+=

18.

10 1 2

Reduce las siguientes expresiones a una equivalente:

19.

()( )

12+−

20. aa a+−53=

21.

yyyy

24 58++ −−

El perímetro de una figura se calcula sumando la longitud de sus lados. Escribe la

fórmula que expresa el perímetro de la siguiente figura.

22.

Escribe una fórmula para calcular el área de las siguientes figuras:

23. 24.

25. En la siguiente figura, el polígono no es completamente visible. Debido a que no

sabemos cuántos lados tiene el polígono en total diremos que tiene N lados. Cada lado

mide 2 centímetros de longitud.

120

Observa las siguientes figuras:

Número de puntos

Figura #1 * 1

Figura #2 * * 4

* *

Figura #3 * * *. 9

* * *

Figura #4

1. ¿Cuántos puntos hay en la figura #4?

2. Dibuja la figura #5 y da el número total de puntos.

3. Dibuja la figura #6 y da el número total de puntos.

4. Imagínate que puedes seguir dibujando figuras hasta la figura #m. ¿Cuántos puntos en

total tendrá la figura #m?

Si para hacer las figuras del ejercicio anterior vas agregando puntos.

5. ¿Cuántos puntos agregas para pasar de la figura #1 a la #2?

6. ¿Cuántos puntos agregas para pasar de la figura #2 a la #3?

7. ¿Cuántos puntos agregas para pasar de la figura #m a la siguiente?

8. Escribe una fórmula que muestre cómo vas agregando puntos hasta llegar a la figura

#m.

Observa las siguientes igualdades:

9. Completa:

123 34 2

123445

123

++ + + =

()/

...

y+=3

121

10. ¿Qué valores puede tomar x?

11. ¿Qué valores puede tomar y?

12. Si y = 7, ¿qué les pasa a los valores de y cuando los valores de x aumentan?

Te encuentras en una papelería en donde se hacen fotocopias. Para evitarse estar

haciendo multiplicaciones el empleado elabora una tabla.

13. Complétala.

número de copias precio

5 6.25

10 12.50

25.00

25 31.25

62.50

100

1. Escribe la regla general si n denota el número de copias

Observa la siguiente tabla y contesta las preguntas.

tiempo velocidad

0 0 m/s

10 30 m/s

15 m/s

20 60 m/s 25

60 r

1. Completa la tabla

2. Si aumenta el tiempo ¿qué le pasa a la velocidad, aumenta o disminuye?

3. En una hoja aparte, sobre un sistema de coordenadas marca los puntos de la tabla y

únelos trazando aproximadamente una curva.

4. Escribe la regla general que asocia a los números de la lista de la izquierda con los

números de la lista de la derecha.

Considera la siguiente expresión y=3+x.

5. Si queremos que los valores de y sean mayores que 3 pero más pequeños que 10, ¿Qué

valores puede tomar x?

6. Si x toma valores entre 8 y 15, ¿entre qué valores caerán los valores de y?

122

De las siguientes dos expresiones n+2 y 2xn

7. ¿Cuál es más grande?

8. Justifica tu respuesta.

El peso de la mercancía que se compra en el mercado se mide con una báscula. En el

puesto de Don Pachito, por cada kilogramo de peso la charola de la báscula se

desplaza 4 cm.

9. Encuentra una relación entre el peso de la compra y el desplazamiento de la charola.

10. Si la charola se desplaza 10.5 cm al pesar una bolsa de manzanas ¿Cuantos kilos pesa

la bolsa?

Plantea los siguientes problemas y escribe para cada uno una fórmula que permita

resolverlos:

11. El área total de la siguiente figura es 27. Calcula el lado del cuadrado sombreado.

1. Juan es 15 años mayor que Santiago. La suma de las dos edades es 41. ¿Cuáles son las

edades de Juan y Santiago?

2. Rentar un automóvil cuesta N25.00 por día, más N$12 por kilómetro. ¿Cuántos

kilómetros, en un día, puede manejar Diego si solamente tiene N40.00?

Observa los siguientes datos de un experimento y contesta las preguntas.

x y

0 0

10 100

-15 225

25 625

20 400

-10 100

15 225

-20 400

123

1. Determina que pasa con el valor de y cuando el valor de x va creciendo.

2. ¿Para qué valor de x, alcanza y su valor máximo?

3. ¿Para qué valor de x z, alcanza y su valor mínimo?

4. Escribe la regla general que relaciona a la variable x con la variable y.

5. Si queremos que el valor de y esté entre 256 y 10000 ¿entre qué 0valores tiene que

estar x?

6. Si x toma valores entre -2 y 26 ¿entre qué valores estará y?

Dada la expresión 40-15x-3y=17y-5x

7. ¿Qué valor tendrá y para x=16?

8. Para que el valor de y esté entre 1 y 5 ¿entre qué valores debe estar x?

9. Supón que x toma valores entre -5 y 5 ¿Para qué valor de x alcanza y su valor máximo?

Dada la gráfica siguiente:

1. ¿Entre qué valores de x, los valores de y crecen?

2. ¿Entre qué valores de x, los valores de y decrecen?

3. ¿Para qué valor de x, se obtiene el valor máximo de y?

4. ¿Entre qué valor de x se obtiene el valor mínimo de y?

124

Anexo 2

Questionário Piloto

Nome:_____________________________________________________Data__/__/__

1) Neste exercício, não calcule este número. Escreva somente uma sentença que

expresse: Um número desconhecido que...

a) multiplicado por 13 seja igual a 127:_______________________________________

b) multiplicado pela soma deste mesmo número com 2 seja igual a 6:_______________

c) seja igual a 6 mais outro número desconhecido:______________________________

d) seja dividido por 5 e o resultado somado a 7:________________________________

2) Para cada uma das seguintes expressões, quantos valores a letra pode assumir?

a) x + 2 = 2 + x b) 3 + a + a = a + 10 c) x = x d) 4 + s

e) x + 5 = x + x f) 3 + a + a + a + 10 g) 7x² = 2x – 5

−

i) (x + 1)² = x² + 2x + 1 j) 4 + x² = x (x + 1)

3) Para cada uma das seguintes expressões, escreva os valores que a letra pode

assumir:

a) 13x + 27 – 2x = 30 + 5x b) (x + 3)² = 36

c) 4 + x = 2 d)

4) Se x + 3 = y

a) Que valores x pode assumir?

b) Que valores y pode assumir?

c) Atribua um valor a x, para este valor quantos e quais valores y pode assumir?

d) Se quisermos que os valores de y sejam maiores que 3 mas menores que 10, que

valores podem ser atribuídos a x?

e) Se x assumir valores entre 8 e 15, os valores de y estarão entre que valores?

5) Se y = 7 + x, construa seu gráfico e responda

a) Se y = 7 + x, o que acontece aos valores de y quando x aumenta?

b) Considerando os valores de x menores que -7 o que acontece ao valor de y quando x

aumenta?

c) Considerando os valores de x variando de -7 a zero, o que acontece ao valor de y

quando x aumenta?

d) Considerando os valores de x maiores que zero, o que acontece ao valor de y quando

x aumenta?

125

6) Calcula-se o perímetro de uma figura somando-se a medida de seus lados. Escreva

uma fórmula que expresse o perímetro do quadrilátero ao lado.

x 5

7) Na figura seguinte, o polígono não é completamente visível. Desta forma não

sabemos quantos lados tem, assim diremos que o mesmo possui n lados. Cada lado

mede 5 unidades. Escreva uma fórmula para calcular o perímetro deste polígono.

8) Escreva uma fórmula para determinar a área das seguintes figuras:

a) b)

a m

9) Complete a tabela e responda aos itens abaixo

Tempo (segundos) Velocidade

0 0 m/s

10 30 m/s

20 60 m/s

b) Se o tempo aumenta, o que se passa com a velocidade?

c) Marque num sistema de eixos cartesianos, os pontos obtidos na tabela e esboce uma

curva passando por eles.

d) Escreva uma lei geral que associe os números da esquerda com os da direita da lista.

126

10) Observe os seguintes dados:

x y

0 0

10 100

-15 225

25 625

20 400

-10 100

15 225

-20 400

a) O que acontece com y quando o valor de x cresce?

b) Marque num sistema de eixos cartesianos, os pontos obtidos na tabela e esboce uma

curva passando por eles.

c) Escreva uma fórmula geral que associe as variáveis x e y

d) Com base no gráfico obtido, responda:

i) Para que valor de x, y atinge seu máximo?

ii) Para que valor de x, y atinge seu mínimo?

e) Se quisermos que o valor de y esteja entre 256 e 10.000, entre que valores devem

estar x?

f) Se por sua vez, x assumir valores entre -2 e 26, entre que valores estarão y?

11) Observe as figuras seguintes:

Número de pontos

Figura 1 • 1

Figura 2

• •

Figura 3

• • •

Figura 4

Figura 5

Figura 6

a) Quantos pontos há na figura 4?

b) Desenhe a figura 5 e determine seu número total de pontos

c) Desenhe a figura 6 e calcule seu número total de pontos

d) Imagine que possamos seguir desenhando até uma figura m. Quantos pontos têm

esta figura?

127

Para construir as figuras do exercício anterior foram agregados pontos

e) Quantos pontos foram colocados para se passar da figura 1 a 2?

f) Quantos pontos foram colocados para se passar da figura 2 a 3?

g) Quantos pontos foram colocados para se passar da figura m a seguinte?

h) Escreva uma fórmula que mostre como vamos agregando pontos até chegar a figura m

12) Observe as seguintes igualdades e complete:

)43(

321

⋅

=++

)54(

4321

⋅

=+++

•

+++ n...4321

13) Para cada uma das três situações a seguir, estabeleça uma fórmula para resolver

o que se pede:

a) A área total da figura abaixo é 27. Calcule o lado do quadrado sombreado

3 3

b) Jose é 15 anos mais velho que Daniel, A soma de suas idades é 41. Qual são as

idades de José e Daniel?

c) Alugar um automóvel custa $25 por dia mais $0,12 por quilometro rodado. Quantos

quilômetros Tiago pode rodar em um dia, se só dispõe de $40?

14) Dada a expressão: 40 – 15x – 3y = 17y – 5x

a) Qual é o valor de y para x = 16?

b) Supondo que o valor de y que esteja entre 1 e 5, entre que valores deve estar x?

c) Supondo agora que x esteja entre -5 e 5, para que valor x alcançara seu valor

máximo?

128

15) Dado o seguinte gráfico:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

a) Entre que valores de x, os valores de y crescem?

b) Entre que valores de x, os valores de y decrescem?

c) Para que valor de x, se obtém o valor máximo de y?

d) Para que valor de x, se obtém o valor mínimo de y?

129

Anexo 3

Questionário

Nome: ____________________________________________________ Data__/__/__

1) Neste exercício, não calcule este número. Escreva somente uma sentença que

expresse: Um número desconhecido que...

a) multiplicado por 14 seja igual a 127:_______________________________________

b) multiplicado pela soma deste mesmo número com 2 seja igual a 6:_______________

c) seja igual a 8 mais outro número desconhecido:______________________________

d) seja dividido por 5 e o resultado somado a 3:________________________________

2) Para cada uma das seguintes expressões, quantos valores a letra pode assumir?

a) x + 2 = 2 + x

b) 3 + a + a = a + 10

c) x = x

d) 4 + s

e) x + 5 = x + x

f) 3 + a + a + a + 10

g) 7x² = 2x – 5

−

i) (x + 1)² = x² + 2x + 1

j) 4 + x² = x (x + 1)

3) Para cada uma das seguintes expressões, escreva os valores que a letra pode

assumir:

a) 13x + 27 – 2x = 30 + 5x

b) (x + 3)² = 36

c) 4 + x = 2

4) Se x + 3 = y

a) Que valores x e y podem assumir?

b) Atribua um valor a x, para este valor quantos e quais valores y pode assumir?

c) Se quisermos que os valores de y sejam maiores que 3 mas menores que 6, que

valores podem ser atribuídos a x?

130

d) Se x assumir valores entre -4 e 1, os valores de y estarão entre que valores?

e) Considerando os valores de x maiores que zero, o que acontece ao valor de y quando

x aumenta?

5) Para cada uma das duas situações a seguir, estabeleça uma fórmula para resolver o

que se pede:

a) Jose é 15 anos mais velho que Daniel, A soma de suas idades é 41. Quais são as

idades de José e Daniel?

b) Alugar um automóvel custa $25 por dia mais $0,12 por quilometro rodado. Quantos

quilômetros Tiago pode rodar em um dia, se só dispõe de $40?

6) Observe as figuras seguintes:

Número de pontos

Figura 1

•

Figura 2

• •

Figura 3

• • •

Figura 4

Figura 5

a) Quantos pontos há na figura 4?

b) Desenhe a figura 5 e determine seu número total de pontos

c) Imagine que possamos seguir desenhando até uma figura m. Quantos pontos tem esta

figura?

Para construir as figuras do exercício anterior foram agregados pontos

d) Quantos pontos foram colocados a mais para se passar da figura 1 a 2?

e) Quantos pontos devem ser colocados a mais para se passar da figura m à seguinte?

131

7) Observe os seguintes dados:

x y

0 0

10 100

-15 225

25 625

20 400

-10 100

15 225

-20 400

a) O que acontece com y quando o valor de x cresce?

b) Para que valor de x, y atinge seu valor máximo?

c) Escreva uma fórmula geral que associe as incógnitas x e y

d) Se por sua vez, x assumir valores entre -2 e 26, entre que valores estarão y?

8) Observando o gráfico da função abaixo, responda:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

a) Entre que valores de x, os valores de y crescem?

b) Entre que valores de x, os valores de y decrescem?

c) Para que valor de x, se obtém o valor máximo de y?

d) Para que valor de x, se obtém o valor mínimo de y?

132

Anexo 4

Perfil do entrevistado

Este cadastro possui a finalidade de conhecer o perfil do professorado que participou da

pesquisa, como também de fornecer alguns elementos para análise. Seus dados pessoais

não serão divulgados sob nenhuma circunstância.

Nome: __________________________________________________(pode ser fictício)

Sexo: M ( ) F ( )

Idade:_________________

Aspectos Profissionais

Em quais redes você leciona:

( ) Rede Pública ( ) Rede Particular

Disciplina(s) que leciono:__________________________________________________

______________________________________________________________________

Há quanto tempo você leciona?_____________________________________________

______________________________________________________________________

Séries e Níveis de Ensino que já trabalhei:

Nível Séries Tempo em

exercício

Fundamental I

Fundamental II

Ensino Médio

Ensino Superior

Séries e Níveis de Ensino que trabalho atualmente:

Nível Séries

Fundamental I

Fundamental II

Ensino Médio

Ensino Superior

133

Aspectos Acadêmicos

Formação Instituição Ano de conclusão

( ) Graduação:

( ) Especialização (mínimo de 360

horas):

( ) Mestrado:

( ) Doutorado:

( ) Outros:

134

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