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i
Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de
Avaliação de Ativos Não Lineares
Claudio Henrique da Silveira Barbedo
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto COPPEAD de Administração
Orientador: Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D.
Rio de Janeiro
2008
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ii
Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de
Avaliação de Ativos Não Lineares
ClaudioHenriquedaSilveiraBarbedo
Tese submetida ao corpo docente do Instituto COPPEAD de Administração, da Universidade
Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do
grau de Doutor.
Aprovada por:
____________________________________________ - Orientador
Prof. Eduardo Facó Lemgruber (COPPEAD/UFRJ)
___________________________________
Prof. Ricardo Pereira Câmara Leal (COPPEAD/UFRJ)
___________________________________
Prof. André Luiz Carvalhal da Silva (COPPEAD/UFRJ)
___________________________________
Prof. Octávio Manuel Bessada Lion (Banco Central)
___________________________________
Prof. Myrian Beatriz Eiras das Neves (Banco Central)
RiodeJaneiro
2008
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iii
Agradecimentos
Inicialmente, ao Banco Central do Brasil, por atuar participativamente na formação
técnica de seus recursos humanos, com uma visão sistêmica e integrada.
Ao Programa PDEE de estágio no exterior da CAPES, que me possibilitou a
oportunidade de aprimoramento acadêmico.
Ao corpo docente do COPPEAD/UFRJ e aos funcionários pela excelência do Instituto.
Ao meu orientador, professor Eduardo Facó, pelo apoio antes e durante todo o curso
de Doutorado. Sua experiência e conhecimento contribuíram de maneira ímpar para que eu
chegasse até aqui.
Aos meus pais “in memorian”.
À minha esposa e aos meus dois filhos, Luiz Felipe e Caio, por suportarem as
constantes ausências, pela compreensão, pelo amor e pela força.
iv
FICHA CATALOGRÁFICA
Barbedo, Claudio Henrique da Silveira.
Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de Avaliação de
Ativos Não Lineares/ Claudio Henrique da Silveira Barbedo. - Rio de
Janeiro, 2008.
viii, 95f.
Tese (Doutorado em Administração) - Universidade Federal do Rio de
Janeiro – UFRJ, Instituto COPPEAD de Administração, 2008
Orientador: Eduardo Facó Lemgruber
Opções. 2. Ativos Não-Lineares. 3. Medidas de Risco. I. Lemgruber,
Eduardo Facó (orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro.
Instituto COPPEAD de Administração. III. Título.
v
RESUMO
BARBEDO, Claudio Henrique da Silveira. Estimativa de Medidas de Risco através de
Modelos de Avaliação de Ativos Não Lineares. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio
de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2008. Tese (Doutorado em Administração).
Esta tese explora, através de três ensaios, a aplicação de derivativos, em particular das
opções, como instrumento de medida ou de referência de risco no mercado financeiro. No
primeiro ensaio, o objetivo é analisar dois fatores de risco bem distintos que contribuem
diretamente para a formação da variação de preços dos ativos, ou seja, da volatilidade dos
ativos. O primeiro é a variação de preço devido à chegada de novas informações, o que
conceitualmente é a definição de volatilidade, o segundo, a variação de preço decorrente da
operação do investidor ser uma operação de compra ou de venda do ativo, o que na literatura
é definido como spread de compra e venda. A metodologia de estimação do spread de compra
ou venda embutido nos preços de mercado do ativo é realizada através de modelos de
apreçamento de opção. A metodologia adotada no primeiro ensaio assume, ao invés da opção
padrão de Black e Scholes adotada na literatura, uma opção de escolha americana de opção,
dado que o ativo-objeto escolhido é uma opção.
O segundo ensaio tem por objetivo estender características correntes dos modelos
estruturais da literatura de maneira a apresentar um modelo que melhor incorpore as
características que levem uma empresa à condição de default. O trabalho avalia
probabilidades de default extraídas do mercado de crédito com probabilidades de default
extraídas do mercado de ações. A informação da probabilidade de default contida no mercado
de crédito é extraída através das posições de dívida registrada nas instituições financeiras na
base de dados de crédito do Banco Central do Brasil. A técnica utilizada é a análise de
sobrevivência – survival analysis – que captura o efeito do tempo nas probabilidades de
default. O modelo estrutural desenvolvido para a comparação com as probabilidades geradas
no mercado de crédito é a opção de troca de Margrabe (1978), com taxas de juros
estocásticas, comportamento down-and-out e saltos.
O terceiro ensaio conclui a tese ao demonstrar empiricamente que apesar do
desenvolvimento de modelos de apreçamento de opções ser feito no mundo neutro ao risco, os
resultados obtidos por estes modelos são perfeitamente compatíveis e conversíveis para o
mundo real. Com isso, inferências de medidas de risco conseguidas através dos modelos de
opções, como o spread de compra e venda e a probabilidade de default, são medidas
aplicáveis no mundo real, ainda que sujeitas a suposições matemáticas restritivas quando da
dedução inicial.
vi
ABSTRACT
BARBEDO, Claudio Henrique da Silveira. Estimativa de Medidas de Risco através de
Modelos de Avaliação de Ativos Não Lineares. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio
de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2008. Tese (Doutorado em Administração).
This thesis explores, through three essays, the use of derivatives, especially options, as
risk measure in the financial markets. In the first essay, the aim is to analyze two risk factors
that compose the asset volatilities. The first is the price changes caused by arriving of
unanticipated information, which is the own definition of volatility, the second, the price
changes caused by the fact that the transactions are traded at the bid or at the ask prices. The
methodology to estimate bid-ask spreads embedded in asset prices is developed through
option pricing theory. Instead of standard Black e Scholes options, the proposed model is an
American chooser option.
The second essay extends currently used structural models to reflect firms’ bankruptcy
characteristics and to evaluate the Brazilian debt and equity market. The essay compares
default probabilities extracted from the debt market and from the equity market. Debt market
default probabilities are analyzed through economic sector loans’ records in the Credit
Register Database of the Central Bank of Brazil. The methodology selected is a survival
analysis methodology that represents the changes in the default probability over the term of
the loans. The structural model developed to reconciliate the debt market default probabilities
is an exchange down-and-out barrier option with jumps and stochastic interest rates.
The third essay shows empirically that although option pricing methodologies are built
in risk-neutral worlds, their results are compatible and convertible to the real world. So, risk
measures obtained from option pricing models, as the bid-ask spreads and default
probabilities, might be applied in the real world.
vii
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 1
1.1 Os Instrumentos Derivativos e o Escopo do Trabalho ..................................................... 1
1.2 Características Gerais do Apreçamento das Opções ........................................................ 4
1.3 Características da Pesquisa ............................................................................................... 7
ENSAIO 1
O Efeito do Spread de Compra e Venda na Volatilidade Implícita das Opções no
Mercado Brasileiro: Um Estudo de caso das Opções de Telemar ..................................... 12
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 14
2 AMOSTRA E TRATAMENTO DA BASE DE DADOS ............................................... 17
3 METODOLOGIA ............................................................................................................. 18
3.1 Apreçamento das Opções pelo Modelo de Black & Scholes e de Merton ..................... 18
3.2 Estratégias Delta-Hedge ................................................................................................. 21
3.3 Mecanismos de Aferição do Spread de Compra e Venda .............................................. 23
3.3.1 Roll (1984) ................................................................................................................... 23
3.3.2 Estimação Através de Modelos de Apreçamento de Opções ...................................... 24
4 RESULTADOS ................................................................................................................ 27
5 CONCLUSÃO .................................................................................................................. 34
ENSAIO 2
Estimação de Probabilidades de Default no Brasil: O Modelo Estrutural de Opção de
Troca com Saltos e Barreira .................................................................................................. 36
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 38
2 O MODELO ..................................................................................................................... 41
3 DADOS ............................................................................................................................ 46
4 O EXPERIMENTO .......................................................................................................... 49
viii
4.1 Resultados do Modelo Estrutural ................................................................................... 50
4.2 A Metodologia da Análise de Sobrevivência ................................................................. 52
4.3 Reconciliando a Informação do Mercado e da Base de Dados de Crédito ..................... 58
5 CONCLUSÃO .................................................................................................................. 60
ENSAIO 3
Uma Maneira Simples de se Extrair Medidas Reais de Modelos de Apreçamento de
Derivativos ............................................................................................................................... 63
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 65
2 O MODELO BINOMIAL ................................................................................................ 67
2.1 Modelo Binomial de 1 Passo .......................................................................................... 68
2.2 Modelo Binomial de N Passos ....................................................................................... 71
3 CONVERSÃO DE PROBABILIDADES DE EXERCÍCIO .......................................... 77
4 OBTENÇÃO DE PROBABILIDADES DE DEFAULT REAIS.................................... 78
5 CONCLUSÃO ................................................................................................................. 80
CONCLUSÃO GERAL ........................................................................................................... 81
APÊNDICE .............................................................................................................................. 83
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 87
1
INTRODUÇÃO
1.1 Os Instrumentos Derivativos e o Escopo do Trabalho
Derivativos existem devido a sua capacidade de contribuir para a eficiência da
economia, seja por proporcionar uma garantia de resultados, seja para diferir tributos ou para
tirar vantagem de uma legislação ou uma situação específica.
Estes instrumentos são importantes para o mercado financeiro porque eles possibilitam
que as empresas separem e operem vários tipos de risco. A essência da atividade econômica é
correr riscos, mas apenas os inerentes ao negócio da empresa. A habilidade dos participantes
do mercado financeiro em ajustar sua exposição ao risco promove uma eficiência no fluxo de
capitais, na medida em que permite que estas empresas conduzam suas operações sem se
expor aos riscos paralelos da atividade econômica desenvolvida.
O mercado financeiro e sua respectiva estrutura legal com seus intrincados laços de
propriedade e direitos e diferentes classes de ações e remunerações aos acionistas estão bem
distantes de um mundo padronizado e sem oportunidades de arbitragem. Além disso, cada
mercado tem características distintas de liquidez, negociação e liquidação de operações,
política de transparência e informações. Derivativos podem ser utilizados para reduzir estes
problemas e para que se tire vantagem de potenciais retornos com limitado risco.
Derivativos em geral são utilizados como formas de remuneração, alavancagem
(aumentando o risco), hedge (diminuindo o risco), para implementação de alternativas
específicas de investimento e para a criação de ativos com características particulares como a
de replicar ou sintetizar uma posição.
Hehn (1996) afirma que os derivativos permitem um empacotamento ou
desempacotamento de ativos em um contrato para a transferência dos pagamentos ou
2
recebimentos em data futura e por isso se constitui em um importante instrumento de
gerenciamento de risco. Entretanto, mais do que um instrumento de administração de risco,
derivativos sempre estiveram intrinsecamente ligados à questão da otimização da relação risco
e retorno, segundo Alexander (1996). Esta questão foi desenvolvida a partir da aplicação de
modelos matemáticos, potencializados pelo expressivo surgimento e desenvolvimento de
produtos financeiros e dos computadores portáteis. O enfoque do problema, apresentado de
maneira resumida, é a maximização do retorno do ativo ou da carteira, dado um nível de risco
tolerado.
Markowitz (1952) soluciona esta questão e apresenta a base da moderna teoria de
carteiras, ao introduzir o conceito de risco como um instrumento avaliado por meio da
variância dos retornos do ativo, isto é, do segundo momento desta distribuição. Entretanto,
somente após o surgimento do CAPM, conforme Haugen (2001) surge à possibilidade de se
entender a relação entre o risco e a estrutura de apreçamento de um ativo.
1
A partir da taxa de
juros do ativo livre de risco, um mapa de risco e retorno pôde ser criado para todos os ativos
até então negociados. O novo problema que se desenha então é quando se avalia a
estabilidade destas medidas estatísticas de risco e retorno para diferentes horizontes de tempo,
isto é, o poder preditivo do modelo. Alexander (1996) mostra que para curtos horizontes de
tempo, este poder preditivo é baixo, pois os ativos tendem a ser mais suscetíveis a
performance dos ciclos da economia, mas há uma significativa melhora sobre horizontes de
tempo mais longos. O CAPM possibilita a utilização de sua escala quantitativa para a
alocação ou composição de carteiras baseadas em uma otimização do espectro risco e retorno.
Com isso, o investidor pode decidir se um ativo em particular está “barato”, na medida em
que o seu retorno esperado pela modelagem escolhida é maior que o retorno requerido pelo
mercado no período, sem que haja uma relativa razão justificada.
1
O CAPM foi simultaneamente e independentemente desenvolvido por John Linter (1965), Jan Mossin (1966) e
Willian Sharpe (1964).
3
Neste caso, há um julgamento de valor baseado na perspectiva da razão risco e retorno
do investimento. Se o investidor incluir uma quantidade em espécie, como um ativo, dentro
da sua carteira, ele está criando uma carteira replicante, baseado nas premissas de Black &
Scholes (1973), com inerente suposição de variabilidade ou volatilidade dos ativos de risco.
Neste caso, ele está de fato sintetizando o payoff de uma opção, do qual se pode inferir a
volatilidade implícita deste investimento. A partir daí, pode-se então utilizar o preço de
mercado das opções como referência para a estratégia de investimento através da comparação
da volatilidade inerente à estratégia replicante com a volatilidade implícita das opções.
O investidor enfrenta uma situação, a partir de sua expectativa de retorno, em que deve
escolher se compõe sua carteira com os ativos, ou se adquire a opção, pois a aquisição do
derivativo permite travar a variabilidade do retorno. Se a volatilidade implícita da opção é
menor que a da carteira de investimento, parece ser óbvia esta aquisição combinada com a
manutenção da remuneração dos recursos em espécie pela taxa de juros do ativo livre de
risco. Esta função de servir como parâmetro de comparação mostra que as opções
desempenham um importante papel frente a decisões de investimento, pois possibilitam a
mudança na forma de implementação da estratégia.
A partir desta descrição, é nítido o reconhecimento do papel dos derivativos como
instrumento de benchmark de retorno. Como a relação risco e retorno é um dos conceitos
mais atrelados da área de finanças, o trabalho desenvolve a aplicação do conceito de
derivativos como instrumento de benchmark de risco.
A necessidade de novos instrumentos de benchmark de risco surge da prática da
gestão de risco que mostra que considerar o primeiro e segundo momentos da distribuição de
probabilidade do retorno de uma carteira como medida de risco é insatisfatório, na medida em
que não permite identificar anomalias ou mesmo a extensão de possíveis perdas para uma
dada carteira.
4
Inicialmente, economistas definiram o risco em investimentos como a dispersão dos
retornos. Keynes (1937, apud Levy e Sarnat, 1984) identificou o risco envolvido em um
investimento como a dispersão de resultados a partir do retorno médio e Hicks (1946, apud
Levy e Sarnat, 1984) identificou a variância dos retornos como medida de risco e considerou
que maior esta dispersão, menor a atratividade do investimento. Por conta disto, Hicks sugeriu
que o terceiro momento centrado na esperança da distribuição deve ser um fator significativo
nas decisões do investidor. Marschak (1938) já ressaltava em seu trabalho que a decisão sob
condições de risco deve refletir todos os momentos da distribuição. Baumol (1963, apud Levy
e Sarnat, 1984) é outro autor que argumenta que a variância por si só não indica risco.
Markowitz (1991) posteriormente reconhece este problema e propõe a semivariância como
uma medida de risco alternativa e preferível.
Hoje, é notável que apesar de toda literatura existente envolvendo modelos robustos de
estimação de volatilidade como os da família GARCH e de volatilidade realizada, a
identificação das medidas de variância e covariância é um problema complexo e que
apresenta diferentes soluções. Motivado por diversos desastres financeiros envolvendo
derivativos, nos quais as medidas tradicionais mostraram-se inadequadas, o Valor em Risco
(VaR) surgiu, então, como medida de risco. Apesar disto, algumas medidas de VaR
continuam a confiar nas medidas de variância e covariância, o que leva a limitações similares
às da própria estimação destas variáveis. O objetivo deste trabalho é explorar a aplicação de
derivativos, em particular das opções, como instrumento de medida ou de benchmark de risco
através de três ensaios aplicados.
1.2 Características Gerais do Apreçamento das Opções
Existem duas principais metodologias de apreçamento de opções. A primeira,
introduzida por Black & Scholes (1973) e Merton (1973), é o método da equação diferencial
5
parcial. A técnica consiste na construção de uma equação diferencial parcial a partir de
condições de contorno derivadas das características do preço da opção. Esta equação pode ser
resolvida através de soluções analíticas ou através de métodos numéricos. A segunda, iniciada
por Cox e Ross (1976) e posteriormente por Harrison e Kreps (1979), é o método martingale.
O método consiste em definir o valor da opção como o valor esperado do payoff descontado
sobre uma medida neutra ao risco. Duffie (1996) considera o modelo de Harrison e Kreps
como a estrutura conceitual definitiva para o desenvolvimento da teoria dinâmica dos preços
dos ativos.
A exploração dos principais métodos numéricos de apreçamento da equação
diferencial parcial de Black & Scholes (1973) e Merton (1973) é feita no primeiro ensaio,
com objetivo de calcular o spread de compra e venda de uma opção. Dada a caracterização da
variável spread de compra e venda, descrita no trabalho como uma opção de escolha
americana, a solução numérica aparece devido à impossibilidade de se encontrar uma fórmula
fechada.
O apreçamento de derivativos usualmente ocorre do denominado mundo neutro ao
risco, devido às facilidades características para a implementação do resultado. Neste universo,
uma carteira composta pelo ativo livre de risco e um ativo de risco replicam as características
da opção deste ativo de risco. Para isso, pressupõe-se que a volatilidade do ativo de risco seja
constante, que a taxa de juros seja constante com uma estrutura a termo flat e que o mercado
tenha uma liquidez infinita, ou seja, sem spread de compra e venda. Além disso, o modelo
supõe que o preço de mercado dos ativos comporta-se como um passeio aleatório, que este
ativo não paga dividendos e que não sofre limitações de venda a descoberto.
Logicamente, algumas destas condições podem ser relaxadas, porém, não sem o
contratempo de subseqüentes equações diferenciais parciais muito mais complexas com
limitados ganhos práticos. Entretanto, o problema da acurácia não reside apenas nas
6
suposições do modelo, mas principalmente, na estimação dos parâmetros, e especificamente
da volatilidade. Apesar das conhecidas aproximações, o resultado prático é um modelo que se
comporta como uma boa referência e que se aplicado com experiência e avaliado com o
cuidado de se entender suas suposições, fornece importantes informações para a gerência de
risco.
Uma amostra da tentativa de contorno de algumas suposições da equação de Black &
Scholes, como a taxa de juros constante com estrutura a termo flat, e também da própria
estrutura da opção é apresentada no segundo ensaio. O objetivo do trabalho é encontrar
probabilidades de default de empresas, a partir da idéia de Merton (1974) que visualiza uma
empresa como opção.
A partir da equação de Black & Scholes (1973) chegamos à última escala do
apreçamento de derivativos que é o entendimento da compatibilidade dos preços em ambos os
mundos real e neutro ao risco. Isto porque toda a metodologia de apreçamento desenvolvida
pelos autores baseia-se no mundo neutro ao risco e implica na utilização de probabilidades
sintéticas. O terceiro ensaio discute então duas questões importantes envolvidas nos dois
ensaios anteriores. A primeira questão é: se probabilidades sintéticas são diferentes das
probabilidades reais porque os preços não são diferentes? A resposta a esta questão justifica a
utilização da metodologia de apreçamento de opções como instrumento de medida do spread
de compra e venda no primeiro trabalho. A segunda questão é: como converter probabilidades
sintéticas de modelos de opções em probabilidades de default aplicáveis no mundo real? A
resposta a esta questão demonstra como se obteve no segundo ensaio probabilidades de
default verdadeiras. Além disso, o terceiro ensaio mostra que, embora os retornos dos ativos
sejam diferentes nos mundos real e neutro ao risco, a volatilidade é a mesma em ambos os
mundos. Isto abre espaço para a aplicação do conceito de apreçamento de opções em diversas
áreas. Por exemplo, o desenvolvimento de estratégias de seguro de carteiras para a
7
modelagem da metodologia de exigência de capital. O seguro de carteiras envolve o hedge de
uma posição pela compra e venda sucessiva dos ativos. A estratégia auto-financiada requer a
quebra da carteira em uma posição em ativo-objeto e uma posição em caixa. À medida que o
preço do ativo-objeto sobe, os recursos são transferidos do caixa para a posição em ativo-
objeto. Se o preço do ativo-objeto cai, esta posição é diminuída e os recursos são transferidos
para o caixa. Estes procedimentos podem replicar comportamentos de alocação de capital ou
mesmo de modelos de valor em risco.
1.3 Características da Pesquisa
A contribuição deste trabalho reside na identificação dos derivativos como
instrumento de referência de risco, precisamente de liquidez e de crédito. Esta necessidade
surge da prática da gestão de risco e da própria dificuldade estatística de estimação dos
segundos momentos das distribuições. Como a negociação de opções significa, em última
instância, a negociação de volatilidade, o preço destas opções, junto com informações de
probabilidade e payoffs possíveis, se compõe em uma importante variável para o
gerenciamento do risco. A apresentação deste conceito ocorre através de três ensaios. No
primeiro ensaio, o objetivo é analisar dois fatores de risco bem distintos que contribuem
diretamente para a formação da variação de preços dos ativos, ou seja, da volatilidade. O
primeiro é a variação de preço devido à chegada de novas informações, o que conceitualmente
é a definição de volatilidade, o segundo, a variação de preço decorrente da operação do
investidor ser uma operação de compra ou de venda do ativo, o que na literatura é definido
como spread de compra e venda. A metodologia de estimação do spread de compra ou venda
embutido nos preços de mercado do ativo é realizada através de modelos de apreçamento de
opção. Copeland e Galai (1983) destacam que a formação do valor do spread de compra e
venda e a relação deste custo com o preço do ativo e a volatilidade são bem explicadas pelo
8
comportamento do preço da opção com as suas demais variáveis. Em seu artigo, os autores
demonstram que as operações de compra e de venda dos agentes no mercado são uma
combinação de opções de compra ou de venda e que os trabalhos empíricos publicados até
então demonstram consistência com este modelo.
A metodologia adotada no primeiro ensaio supõe, ao invés da opção padrão de Black
& Scholes adotada por Copeland e Galai, uma opção de escolha americana de opção, dado
que o ativo-objeto escolhido é a opção de Telemar. O mercado de opções foi escolhido por se
tratar de ativos que espelham a volatilidade do ativo-objeto, na impossibilidade de haver uma
estimativa confiável de volatilidade que realmente defina a medida de risco do ativo-objeto. O
preço da opção tem relação direta com a volatilidade do ativo-objeto, portanto quando se
verifica que uma opção está cara, na realidade, isto significa que a volatilidade do ativo-objeto
está alta. Nota-se que a determinação do preço justo da opção significa a determinação da
volatilidade justa para o mercado.
Pela impossibilidade de se chegar a uma fórmula fechada, elege-se o método das
diferenças finitas como aproximação para as derivadas parciais da equação diferencial parcial
do preço de um derivativo de uma opção ativo-objeto. Os resultados da aplicação da
metodologia proposta para mensuração do spread indicam a correção do viés de estimação de
volatilidades. A volatilidade do mercado brasileiro de opções é reestimada e encontram-se
valores sensivelmente menores, permitindo a correção de outro viés verificado na base de
dados, a identificação de lucros sistematicamente positivos para estratégias de arbitragem e
delta-hedge. Além disso, contorna-se a limitação da metodologia de cálculo do spread ex-
post, bem como o problema de pouca liquidez de opções sobretudo muito fora-do-dinheiro no
mercado brasileiro, que não chegam a ser negociadas ou apresentam grandes intervalos entre
as negociações. O artigo traz uma contribuição para estimativa do risco de liquidez através de
modelos de VaR considerando a existência do spread de compra e venda no preço dos ativos.
9
No segundo artigo, o objetivo é estender as propriedades correntes dos modelos
estruturais da literatura de maneira a apresentar um modelo que melhor incorpore as
características que levem uma empresa à condição de default. O trabalho procura ainda
avaliar probabilidades de default extraídas do mercado de crédito com probabilidades de
default extraídas do mercado de ações. Esta informação é muito importante para a inferência
do VaR de crédito. A informação da probabilidade de default contida no mercado de crédito é
extraída através das posições de dívida registrada nas instituições financeiras dividido por
setor da economia, da base de dados de crédito do Banco Central do Brasil. A técnica
utilizada é a análise de sobrevivência – survival analysis – que captura o efeito do tempo nas
probabilidades de default. A técnica permite uma robusta estimação dos dados censurados,
isto é, dados referentes às empresas que ao tempo do estudo não haviam entrado em default.
O procedimento de estimação é baseado na metodologia de riscos proporcionais de Cox
(1972). Esta técnica está sendo utilizada pela primeira vez na base de dados do Banco Central,
classificada de acordo com os setores da Bovespa, e para isto, foi necessário modificar a base
através da inclusão de variáveis necessárias para a classificação do estado de default.
Para medida da probabilidade de default a partir do valor de mercado das empresas,
utiliza-se a modelagem de risco de crédito desenvolvida inicialmente por Merton (1974).
Neste caso, a probabilidade de default é inferida do valor de mercado das empresas sob
suposições específicas da evolução do movimento do ativo e da dívida. O trabalho original de
Merton é baseado em algumas suposições simplistas sobre a estrutura das empresas, como o
compromisso da firma pagar o valor total da sua dívida aos credores na maturidade. A técnica
supõe que o valor de mercado dos ativos do devedor atinja seu “ponto de default” quando o
valor de mercado cai abaixo do valor das obrigações. A probabilidade de default é
determinada a partir do valor corrente do ativo do devedor, da volatilidade do ativo e do nível
e da composição de sua dívida pela fórmula de Black & Scholes.
10
Este trabalho relaxa a suposição de que o default ocorre somente no vencimento da
dívida, a partir de Black e Cox (1976) e Longstaff e Schwartz (1995), e supõe que a
insolvência ocorre a qualquer momento que a dívida é maior que o valor de mercado do ativo.
Neste caso, a opção definida é uma opção com barreira down-and-out. Além disso,
consistente com a literatura e com o comportamento da dívida das empresas, o modelo
também relaxa a hipótese de que o preço de exercício, no caso o valor de mercado da dívida, é
constante ao longo da vida da opção. Para isso, o trabalho supõe que a dívida, assim como o
ativo, se comporta como um movimento browniano geométrico com taxas de juros
estocásticas, modeladas pela estrutura a termo de Vasicek (1977) ou de Cox, Ingersoll e Ross
(1985). Com isso, a opção definida para estimação da probabilidade de não exercício é a
opção de troca de Margrabe (1978), com taxas de juros estocásticas, comportamento down-
and-out e com saltos. Pelo nosso conhecimento, é a primeira vez que se apresenta esta
fórmula fechada e a aplicação conceitual de uma opção deste tipo.
O terceiro ensaio conclui a tese ao demonstrar empiricamente que apesar do
desenvolvimento de modelos de apreçamento de opções ser feito no mundo neutro ao risco, os
resultados obtidos por estes modelos são perfeitamente compatíveis e conversíveis para o
mundo real. Com isso, inferências de medidas de risco conseguidas através dos modelos de
opções, como o spread de compra e venda e a probabilidade de default, são medidas
aplicáveis no mundo real, ainda que sujeitas a suposições matemáticas restritivas quando da
dedução inicial. O ensaio foi desenvolvido a partir da implementação da mudança de medida
de Radon-Nikodym em planilha eletrônica e posteriormente, a apresentação do teorema de
Girsanov (1960).
O ensaio demonstra ainda que a volatilidade do ativo é a mesma no mundo real e no
mundo neutro ao risco e apresenta uma metodologia para se converter probabilidades de
exercício neutras ao risco em probabilidades de exercício reais, objeto de interesse da área de
11
opções reais e da área de crédito, quando o escopo é a estimação de probabilidades de default
através de preços de ações.
12
Ensaio 1
O Efeito do Spread de Compra e Venda na Volatilidade Implícita das
Opções no Mercado Brasileiro: Um Estudo de caso das Opções de Telemar
13
RESUMO
Embora não explicitamente reportado, operadores de opção na
Bovespa pagam um preço diferente para compra e para venda. Bases de
dados de preços de fechamento, previamente utilizadas em todos os estudos
sobre o mercado de opções no Brasil, não refletem os valores reais do preço
do ativo, devido à existência do spread. Neste trabalho, usamos um modelo
de opção americana para estimar spreads de compra e venda para opções de
Telemar com objetivo de criar uma base de dados de preços ajustados. O
trabalho mostra que os spreads de compra e venda explicam vários vieses
previamente reportados sobre a volatilidade das opções.
ABSTRACT
Although not explicitly reported, option traders on the Bovespa
exchange pay an implicit bid-ask spread on each trade. Reported transaction
prices that comprise the databases previously used to study the Brazilian
options markets do not reflect actual option values at the time of the trades,
but actual values plus (for purchases) or minus (for sales) the bid-ask spread.
We use an American option model to estimate Telemar call options bid-ask
spreads, and to create a database of spread-adjusted trade prices. We find
that the bid-ask spreads explain several previously reported puzzles
regarding asset volatilities.
14
1 INTRODUÇÃO
O processo de formação de preços dos ativos financeiros no mercado brasileiro
incorpora custos de transação que não são visíveis para investidores. Estes custos são
resultantes de preços diferenciados de execução das ordens, caso estas sejam a mercado ou
limitada.
1
A maior velocidade na realização da operação implica em custos referentes à posse
do ativo e à informação por parte de agentes prontos para negociar estas ordens.
2
Estes custos
compõem o spread de compra e venda. Como as cotações de preços das bases de dados
disponíveis no Brasil não distinguem este componente, há uma parcela embutida nos preços
dos ativos que são geradas pela existência do spread.
Roll (1984) sugere uma metodologia para calcular o spread de compra ou venda
implícito nas séries de preços de ativos financeiros. Estes valores de spreads ficaram bem
próximos aos indicados para as ações negociadas na NYSE, mas significativamente diferente
para as ações da AMEX.
3
Huang e Stoll (1996) encontram estimativas compatíveis desta
metodologia com os custos efetivos da NYSE e da Nasdaq. Schultz (2000) afirma que a
metodologia de Roll apresenta um desempenho surpreendentemente bom quando baseada em
dados intradiários para avaliação do spread das ações da Nasdaq. Após o trabalho de Roll,
uma série de trabalhos aperfeiçoaram sua técnica de covariância serial, como Stoll (1989),
Chu et al. (1996) e Chen e Blenman (2003).
Uma extensa literatura tem documentado a relação entre custos de execução de ordens
e a variação nos preços dos ativos no mercado internacional. Brock e Kleidon (1992), por
exemplo, observam um padrão em forma de “U” para o comportamento intradiário dos
spreads na NYSE. Os autores afirmam que este comportamento na abertura e no fechamento
do pregão é uma resposta dos formadores de mercado às pressões de compra, pelo receio de
1
Ordens a mercado têm execução imediata enquanto as ordens limitadas não possuem garantia de execução.
2
Os custos de informação se referem à seleção adversa, que são custos incorridos pelos formadores de mercado
devido a transações com agentes mais bem informados sobre o determinado ativo.
3
New York Stock Exchange e American Stock Exchange, respectivamente.
15
negociar um ativo com agentes mais bem informados. Por outro lado, baixos spreads devem-
se a necessidade de venda pelo receio de deter um elevado estoque de um título. O mesmo
padrão intradiário é verificado para a volatilidade por Abhyankar et al (1997) na Bolsa de
Londres, o que indica uma influência dos custos de execução das ordens nas estimativas das
volatilidades dos ativos.
4
Entretanto, como os spreads de compra e venda são visíveis nestes
mercados, é possível reestimar volatilidades implícitas ajustadas a estes custos. No mercado
brasileiro, Moreira e Lemgruber (2004) encontram padrão semelhante para a volatilidade
intradiária do índice Bovespa, o que implicaria na necessidade de um ajuste ao spread de
compra e venda.
Outro ponto que reforça a necessidade de ajuste dos preços dos ativos no Brasil para
estimação da volatilidade é o fato de que trabalhos que analisam volatilidade apresentam
resultados bastante distintos no mercado americano e brasileiro. Latané e Rendleman (1976) e
Beckers (1981) verificam que a volatilidade implícita do mercado de opções americano é uma
medida superior da variância futura do retorno do ativo-objeto. No Brasil, Sanvicente (1996)
constata que as volatilidades implícitas do mercado de opções não são consideradas no
processo de formação dos preços dos ativos-objeto. Gabe e Portugal (2003) verificam que a
volatilidade histórica prevê de maneira mais eficiente a volatilidade futura, quando comparada
à implícita indicada pelo modelo de Black & Scholes. Araújo, Barbedo e Lemgruber (2004)
constatam volatilidades implícitas extremamente altas no mercado de opções no período de
19/02/01 a 16/12/02. Galvão (2002) investiga o uso de dados intradiários com intervalos de
30 minutos na precificação de opções no mercado acionário brasileiro comparando a
eficiência de volatilidades histórica e implícita e conclui que a primeira é mais eficiente em
momentos mais calmos e a segunda em períodos mais voláteis.
4
Outros trabalhos que verificaram este mesmo padrão foram McInish e Wood (1990), Lehmann e Modest (1994)
e Werner e Kleidon (1996).
16
O artigo propõe uma metodologia de estimação do spread de compra e venda
embutido nos preços de mercado das opções, com base em Copeland e Galai (1983) para
ajuste do preço dos ativos e estimação de uma volatilidade implícita mais real. O banco de
dados utilizado, pelo nosso conhecimento inexplorado por pesquisadores no mercado
brasileiro, é composto pelos preços intradiários de ações e opções de compra efetivamente
negociadas de 01/12/2003 a 04/12/2004. A metodologia de tratamento das observações de
preços segue Rubinstein (1985).
5
A análise dos preços do mercado de opções na base de
dados intradiária permite a eliminação de ruídos de apreçamento e torna possível inferir a
volatilidade do ativo-objeto a partir da variação do preço da opção.
Os resultados da aplicação da metodologia proposta para mensuração do spread
indicam a correção do viés de estimação de volatilidades. A volatilidade do mercado
brasileiro de opções é reestimada e encontram-se valores sensivelmente menores, permitindo
a correção de outro viés verificado na base de dados, a identificação de lucros
sistematicamente positivos para estratégias de arbitragem e delta-hedge.
6
Por último, o
trabalho apresenta uma resposta para a verificação de ruídos em testes empíricos de
precificação de modelos no mercado brasileiro de opção quando classificados de acordo com
a proximidade do dinheiro e investiga a relação de endogeneidade entre a volatilidade e o
spread.
O presente trabalho está organizado da seguinte maneira. A Seção 2 apresenta as
características da amostra e o tratamento da base de dados. A Seção 3 cobre a metodologia do
trabalho. Os resultados obtidos são descritos e comentados na Seção 4, e a Seção 5 conclui o
estudo.
5
Rubinstein (1985) é o primeiro a apresentar uma metodologia de tratamento de dados intradiários para
precificação de opções baseado no desenvolvimento da base de dados de opções de Berkeley.
6
Volatilidades implícitas sobre-avaliadas implicam na venda de opções e compra do ativo-objeto para compor a
estratégia de delta-hedge. A venda das opções por preços elevados propicia ganhos de arbitragem para parcela
elevada das séries analisadas.
17
2 AMOSTRA E TRATAMENTO DA BASE DE DADOS
A amostra consiste de séries de preços intradiários de ações e opções de compra da
empresa Telemar no período de 01/12/03 a 04/12/04, obtidos do banco de dados da Bolsa de
Valores de São Paulo. A base de dados continha todas as negociações efetivamente ocorridas
em cada dia, o que proporcionou a possibilidade de se trabalhar com os dados sem o
artificialismo de aproximações de intervalos de tempo. Neste período, as opções de Telemar
corresponderam por aproximadamente 85% do volume total negociado de opções na Bolsa.
O mercado de opções foi escolhido por se tratar de ativos que melhor espelham a
volatilidade do ativo-objeto, dada a impossibilidade de haver uma estimativa confiável de
volatilidade que realmente defina a medida de risco do ativo-objeto. O preço da opção tem
relação direta com a volatilidade do ativo-objeto, pois quando se verifica que uma opção está
cara, na realidade, isto significa que a volatilidade do ativo-objeto está alta. A determinação
do preço justo da opção significa a determinação da própria volatilidade justa de mercado.
A metodologia de tratamento de dados é baseada em Rubinstein (1985). Trabalha-se
com um subconjunto da base de dados a fim de se reduzir ruídos estatísticos. Os dados
selecionados são os que satisfizeram simultaneamente aos seguintes critérios: a) o preço da
ação permanece constante por um tempo mínimo de 5 minutos; b) as negociações
consideradas são as ocorridas após 10 minutos de abertura do mercado e até 10 minutos antes
do fechamento; c) o número de negócios é maior que 5.
O primeiro critério garante que a opção tenha um tempo suficiente para se ajustar ao
preço da ação, o segundo visa eliminar problemas com preços artificiais que podem ocorrer na
abertura e fechamento do pregão. O terceiro critério tenta assegurar uma razoável liquidez no
mercado de opções e conseqüentemente o preço justo.
Com o tratamento, a base de dados é reduzida de 4.800.000 preços de opções para
83.000. Verifica-se então se o estudo concentrado neste subconjunto poderia causar um
18
resultado diferente, em comparação à alternativa de se trabalhar com a base completa.
Extraem-se amostras da base de dados completa e da base de dados reduzida e apreçam-se as
opções pelo modelo de Black & Scholes. O objetivo é avaliar se os erros de apreçamento,
medidos pela diferença entre o preço do modelo e o de mercado, são diferentes de acordo com
a base de dados. Foram feitas 10 extrações de ambas as bases de dados com 5.000
observações. Para ambas as amostras, não se rejeita a hipótese de que os erros de precificação
são estatisticamente iguais.
3 METODOLOGIA
Para que seja possível verificar o quanto o preço de uma opção, estimada por um
determinado modelo, é diferente do de mercado, necessita-se do preço de mercado da opção,
do preço simultâneo da ação, do tempo para expiração, do preço de exercício, da taxa de juros
até o vencimento e da volatilidade da ação. Supõe-se que apenas o último item é um
problema, tendo em vista que os demais, se não estão completamente contornados pelo
tratamento dos dados, não causam fortes distorções nos preços. A estimação de volatilidade é
a mais significativa dificuldade na precificação de ativos.
7
Como a volatilidade implícita
incorpora as expectativas futuras dos agentes de mercado, opta-se por trabalhar com esta
variável. Para diminuir problemas de estimação, trabalha-se com a volatilidade implícita da
transação imediatamente anterior do mesmo preço de exercício, que na grande maioria dos
casos é representada pela negociação do segundo de tempo anterior.
3.1 Apreçamento das Opções pelo Modelo de Black & Scholes e de Merton
Compara-se o desempenho do modelo de apreçamento de Black & Scholes (1973) e o
de saltos de Merton (1973) no mercado brasileiro, pela diferença entre o preço de cada
7
Para uma breve discussão do assunto, veja Lemgruber (1995).
19
modelo e o de mercado.
8
A hipótese nula é que os preços de mercado e os do modelo de
Black & Scholes não exibem diferenças sistemáticas. Desta forma, poderíamos afirmar que a
volatilidade do ativo-objeto é razoavelmente conhecida e, portanto, no mercado intradiário, a
estimação de volatilidade não representa um grande obstáculo. A Tabela 1 mostra a raiz do
erro quadrático médio de cada modelo classificado pela proximidade do dinheiro da opção e
tempo para vencimento.
Tabela 1 – Diferença entre o Preço das Opções Calculado pelos Modelos de Black & Scholes e Merton e o
Preço de Mercado através da Raiz do Erro Quadrático Médio (REQM) no Período de 01/12/03 a 04/12/04,
para Toda a Base de Dados Intradiária Tratada pela Metodologia de Rubinstein. O Critério de Classificação da
Proximidade do Dinheiro foi pelo Delta da Opção.
Proximidade do
Dinheiro
Modelo
Dias para o Vencimento
Todos os
vencimentos
1 - 5 6 - 10 11 –20 21 - 30 31 - 40
Muito Fora-do-
Dinheiro
Black&Scholes
3.77% 4.83% 2.30% 3.23% 3.50% 3.54%
Merton
4.02% 5.21% 2.62% 3.64% 3.35% 3.87%
Estatística KW
(0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0844) (0.0000)
Observações
942 2032 2995 980 56 7005
Fora-do-Dinheiro
Black&Scholes
9.34% 11.76% 1.12% 4.49% 2.69% 6.50%
Merton
8.88% 11.27% 1.36% 4.36% 2.58% 6.25%
Estatística KW
(0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0001) (0.0000)
Observações
1902 6687 15218 4228 327
28362
No-Dinheiro
Black&Scholes
12.71% 8.92% 3.59% 7.97% 2.77% 7.77%
Merton
12.37% 8.59% 3.56% 7.81% 2.53% 7.55%
Estatística KW
(0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0894) (0.0000)
Observações
3415 7850 10422 2815 162
24644
Dentro-do-Dinheiro
Black&Scholes
14.65% 22.52% 9.44% 19.99% 3.24% 16.71%
Merton
14.42% 22.21% 9.29% 19.83% 3.23% 16.48%
Estatística KW
(0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0738) (0.0000)
Observações
3077 5884 6989 1662 47
17659
Muito Dentro-do-
Dinheiro
Black&Scholes
36.22% 20.97% 15.30% 30.66% 2.09% 27.37%
Merton
36.18% 20.99% 15.33% 30.56% 2.07% 27.35%
Estatística KW
(0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0002) (0.1543) (0.0000)
Observações
1899 1600 1271 469 13
5252
A Estatística de Kruskal-Wallis (KW) é usada para comparar ambos os modelos. P-valores entre
parênteses. Todos os valores são estatisticamente diferentes de zero para o nível de significância
de 5%.
As opções foram classificadas de acordo com a proximidade do dinheiro, seguindo o
conceito de Costa (1998) para a classificação de opções muito fora-do-dinheiro, que é um
8
A metodologia utilizada para a determinação dos saltos, no modelo de Merton, é a minimização do erro
quadrático médio do modelo com os preços de mercado do mês anterior.
20
delta menor que 0,15 e para as muito dentro-do-dinheiro, que é um delta maior que 0,85. Para
as demais, opções fora-do-dinheiro são as que possuem o delta entre 0,15 e 0,4, as no-dinheiro
são as que possuem o delta entre 0,4 e 0,6 e as dentro-do-dinheiro são as que possuem o delta
entre 0,6 e 0,85.
9
A Tabela 1 apresenta um padrão de erro que se torna maior à medida que as opções se
aproximam do vencimento e que os preços de exercício decrescem. Verifica-se que à exceção
das opções muito fora-do-dinheiro, que são as que possuem a menor volatilidade, a
metodologia de Merton, que considera a possibilidade de saltos nos preços dos ativos,
apresenta um erro médio menor. Para verificar se o resultado produzido pelo modelo de
Merton é significativamente diferente do de Black & Scholes, foi aplicado o teste não
paramétrico de Kruskal-Wallis. À exceção das opções muito dentro-do-dinheiro, com tempo
de vencimento maior que 31 dias, rejeita-se a hipótese nula de que os valores produzidos
pelos modelos provêm de funções de distribuição similares a 10% de nível de significância.
Isto pode indicar que o processo que melhor se adequa ao comportamento das opções no
mercado brasileiro é o processo contínuo com saltos.
10
O teste não paramétrico de Kruskal-
Wallis também é utilizado para verificar se os valores produzidos pelos modelos são
estatisticamente iguais a zero e também se rejeita esta hipótese.
A verificação sistemática de erros de apreçamento, observado na Tabela, pode ser
explicada na literatura, vide Rubinstein (1985), pelo fato do mercado não ser eficiente, pelo
fato da estrutura matemática dos modelos de precificação não ser correta ou pela existência de
variáveis incorretamente estimadas. Em relação ao primeiro argumento, embora possa haver
alguma ineficiência esporádica como demonstrado por Torres, Bonomo e Fernandes (2002),
esta situação é pouco provável, pois deveríamos considerar que não há agentes no mercado
brasileiro capazes de tirar proveito desta situação. Em relação ao modelo de Black & Scholes,
9
O critério adotado visa distribuir da maneira mais uniforme possível as opções pelos três grupos restantes.
10
Para uma discussão mais aprofundada do assunto, veja Carr e Wu (2003).
21
como enfatizado por Hull (2003), apesar de algumas imperfeições já verificadas, nenhum
outro modelo de avaliação de opções apresentou performance superior que justificasse a
preferência pela utilização em seu lugar. Opta-se então pela investigação da variável
volatilidade do preço do ativo.
3.2 Estratégias Delta-Hedge
A avaliação da volatilidade implícita é realizada através de estratégias dinâmicas de
delta-hedge. O objetivo da construção desta estratégia é verificar se, considerando preços
intradiários, estratégias de compra do ativo-objeto e venda da opção ou venda do ativo-objeto
e compra da opção produzem lucros sistemáticos. Isto poderia demonstrar que a volatilidade
do ativo-objeto, a variável considerada mais importante, não estaria razoavelmente apreçada
pelo mercado.
A estratégia utilizada é a compra de uma quantidade delta de ativos-objeto e venda da
opção. São realizadas todas as estratégias delta-hedge possíveis de 07/05/2004 a 04/12/2004,
o que perfaz um total de 85 estratégias. A Figura 1 apresenta o resultado de cada uma delas.
As carteiras iniciais foram criadas considerando a negociação de 1.000 unidades de opção. A
estratégia compreende o ajuste contínuo da posição com a quantidade determinada pelo delta
da opção. Em cada negociação foi considerado um limitador, a fim de tornar a negociação
mais realista, no qual a quantidade de opções compradas ou vendidas não pode ser maior do
que a quantidade efetivamente negociada naquele dia.
22
(1.466)
(966)
(466)
34
534
1.034
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Número de Estratégias
Os lucros máximo e mínimo observados são de R$ 1.092,85 e R$ -1.365,24. A média
de todos os lucros é de R$ 300,00 enquanto que a média da perdas é de R$ -186,00. O lucro
médio de um operador que realizasse todas as estratégias é de R$ 242,69 e a mediana é de R$
170,68. Aproximadamente, 90% das estratégias resultam em lucro no vencimento, o que
significa que a volatilidade implícita com base nos preços negociados é maior que a
volatilidade implícita real do ativo.
11
Esta verificação sistemática de lucros na estratégia,
somada a não percepção ou atuação dos agentes neste mercado, pode ser explicada pela
existência de problemas microestruturais que inviabilizam oportunidades de arbitragem,
mesmo considerando que a volatilidade não é negociada a um preço justo. Como o principal
problema microestrutural é o spread de compra e venda implícito nos preços dos ativos, o
estudo investiga as metodologias de estimação e o tratamento da base de dados.
11
Não foram considerados custos de transação, embora Fama e Blume (1966) demonstrem que mesmo um
operador paga pelo menos 0,1% de custos. Os lucros verificados nas estratégias continuam significativos ainda
que considerados custos operacionais. Por outro lado, a baixa liquidez observada no mercado brasileiro poderia
impossibilitar o rebalanciamento perfeito das estratégias e desta forma, impactar de maneira mais significativa o
resultado final.
Figura 1 - Lucros e Perdas das Estratégias Delta-Hedge em Reais($). (Cada Ponto Indica uma Série de Opção)
23
3.3 Mecanismos de Aferição do Spread de Compra e Venda
3.3.1 Roll (1984)
A existência do spread é verificada no mercado, segundo Roll (1984), pela covariância
negativa entre series sucessivas de retornos do ativo-objeto, a partir da observação de Fama
(1965) de que a mudança de preço ocorre se e somente se uma informação não antecipada é
recebida pelos agentes do mercado. Portanto, a variância é essencialmente determinada pela
chegada de novas informações e pela covariância entre mudanças sucessivas de preço. Esta
covariância só se justifica se considerarmos que o tipo de ordem da transação, compra ou
venda, influencia o preço do ativo.
Roll apresenta uma estimativa para o spread de compra e venda baseado na
percentagem sobre o preço da ação:
tjtj
Spread
,,
cov2 −=
onde cov
j,t
é a covariância da série de retornos j com esta mesma série considerando a
defasagem de um tempo t igual a um dia. A Figura 2 apresenta o histograma dos spreads e a
estatística descritiva.
0
10
20
30
40
0% 1% 5% 10% 20% 30% 50% 100% 200% 250%
Spread
Frequência
Figura 2 - Histograma e Estatística Descritiva dos Spreads (de Compra e Venda) Estimados de acordo com a
Metodologia de Roll
Mínimo 0.00%
1Q 0.64%
Mediana 1.37%
3Q 8.32%
Máximo 243.34%
Média 14.42%
Desvio
Padrão
41.62%
24
Foi possível estimar o spread de 83 séries da amostra. Para outras duas series, foram
obtidas covariâncias positivas. Para três series, os spreads estimados ficaram acima de 200%.
Quando estas séries são excluídas da amostra, o valor máximo de spread se reduz para
44,11% com uma média de 6,70%. O spread estimado de acordo com este método apresenta a
tendência de ficar maior à medida que o preço de exercício aumenta. Opções extremamente
fora-do-dinheiro apresentam o maior spread e extremamente dentro-do-dinheiro apresentam o
menor spread.
A grande variação dos spreads verificados nesta metodologia sugere que a técnica ex-
post de Roll pode não ser aplicável para as curtas séries de opções do mercado brasileiro.
Além disso, dado a substancial variação cross section da volatilidade, o spread varia também
de acordo com o tempo, o que sugere a necessidade de um método alternativo para se estimar
um spread de compra e de venda mais coerente com a realidade do mercado.
3.3.2 Estimação Através de Modelos de Apreçamento de Opções
Modelos de apreçamento de opção podem auxiliar a estimação de spreads de opção.
Em um mercado de ordens a mercado, o investidor paga ao market maker um prêmio, o
spread de compra ou de venda, para comprar ou vender a opção pelo preço justo. Copeland e
Galai (1983) argumentam que estes spreads podem ser estimados por uma opção padrão de
Black & Scholes, considerando que a opção européia vence no intervalo de cotação do ativo.
Pode-se observar que a possibilidade de negociação a qualquer momento neste intervalo de
cotação implica que o spread é similar a uma opção americana. Além disso, dado que
investidores podem executar ordens de compra ou de venda, esta escolha tem que ser inclusa
na metodologia de avaliação. A metodologia proposta é uma opção de escolha americana para
estimar os spreads, com preço de exercício igual ao preço justo da opção de Telemar e o
25
preço do ativo igual ao preço justo mais ou menos o spread. O tempo para o vencimento é o
intervalo de cotação do ativo, estimado como um minuto e meio. Os demais parâmetros do
modelo são a taxa negociada nos contratos DI futuro como proxy para a taxa de juros do ativo
livre de risco e a volatilidade implícita da opção de Telemar. Equações (1) e (2) apresentam o
spread de compra e venda em função de opções de compra e venda. O resultado do modelo é
dado pelo
(
)
spreadspread
askbidMax ;
.
(
)
σ
,,,,
fspreadspread
RTKbidKfbid
+
=
(1)
(
)
σ
,,,,aa
spreadspread f
RTKskKfsk
+
=
(2)
Como, no problema determinado acima, o cálculo da opção (ou do spread) é iterativo,
isto é, o valor justo do ativo-objeto é somado ou diminuído do próprio valor da opção, e dado
que a opção é americana, opta-se por duas metodologias de estimação de preço. A primeira
por árvore binomial, com 50 passos devido ao problema de iteração, com posterior correção
por procedimentos de redução de variância. A técnica de redução de variância consiste em
avaliar uma opção européia de opção pela metodologia de árvore binomial e por fórmula
fechada. O valor da variável de interesse, a opção americana de opção, é corrigida então pela
diferença entre as duas européias. A segunda metodologia empregada para o cálculo da opção
americana de opção é o método das diferenças finitas.
A aplicação do método das diferenças finitas implica encontrar uma aproximação para
as derivadas parciais da equação diferencial parcial do preço de um derivativo de uma opção
ativo-objeto com base na expansão em série de Taylor. Várias metodologias de diferenças
finitas são sugeridas na literatura. Como apontado por Ikonen e Toivanen (2005), a
estabilidade e a consistência da discretização do tempo é a mais importante propriedade para
o apreçamento de opções por este método. Esta aproximação da derivada do tempo pode ser
26
realizada para frente (forward), para trás (backward) ou centrada. Neste caso, temos os
métodos explícito, implícito e de Crank-Nicolson, respectivamente. O método de Brennan-
Schwartz implica em uma aproximação para trás da derivada do tempo e uma aproximação
centrada para as demais derivadas. O método de Courtadon aplica esta mesma idéia ao
logaritmo do preço do ativo-objeto.
12
O processo de seleção envolveu avaliar a efetividade dos esquemas numéricos de
diferenças finitas no apreçamento de uma opção no-dinheiro e compará-los com o preço
gerado pelo modelo de Black & Scholes. A Tabela 2 apresenta a raiz do erro quadrático
médio (REQM) para os cinco métodos selecionados.
Tabela 2 – Comparação de Métodos de Diferença Finita pela Raiz Do Erro Quadrático Médio (REQM) e Tempo de
Processamento de CPU (em segundos).
N
úmero de
Intervalos
de Tempo
Método Explícito Método Ímplicito
Método de
Brennan- Schwartz
Método de Courtadon
Método de Crank-
Nicolson
REQM
Tempo
de
CPU
REQM
Tempo
de
CPU
REQM
Tempo
de
CPU
REQM
Tempo de
CPU
REQM
Tempo
de
CPU
25 0.05880 0.05 0.00470 0.04 0.00320 0.05 0.05630 0.06 0.00290 0.05
50 0.03940 0.11 0.00230 0.04 0.00120 0.05 0.05609 0.11 0.00250 0.11
100 0.00110 0.16 0.00120 0.05 0.00330 0.05 0.05610 0.17 0.00900 7.11
200 0.00060 0.33 0.00060 0.05 0.00110 0.11 0.05620 0.39 0.00100 9.33
O método selecionado foi o de diferenças finitas implícitas pelo critério de tempo de
processamento da CPU e erro médio. A aproximação escolhida implica na utilização de
diferenças forward-backward para as derivadas parciais da equação diferencial parcial dada
pela Equação (3).
t
PP
t
P
jiji
∆
−
=
∂
∂
−+ 1,1,
,
G
PP
G
P
jiji
∆
−
=
∂
∂
−+
2
1,1,
e
2
,1,1,
2
2
2
G
PPP
G
P
jijiji
∆
−
+
=
∂
∂
−+
(3)
12
Para maiores detalhes dos métodos, ver Tavella e Randall (2000).
27
A construção do método envolve um espaço M∆t = T (tempo para expiração da opção)
e N∆G = Gmax (preços da opção) que definem um plano com M+1 e N+1 pontos, sendo Pi,j
o preço da opção no tempo i∆t dado que a opção ativo-objeto tem preço j∆G, onde i = 0…N e
j = 0…M. Considerando as condições de contorno para os extremos de Pi,j, pode-se resolver o
conjunto de equações da coluna N–1 e encontrar os valores para todo o plano recursivamente
através da solução do sistema de equações de cada coluna.
4 RESULTADOS
Pelo modelo de apreçamento de opção, os spreads estimados variaram de 1% a 35%
do valor da opção. Com base no trabalho seminal de Demsetz (1968), roda-se uma regressão
destes spreads contra as variáveis de mercado identificadas como importantes para verificar
se relações similares de proporcionalidade são encontradas. Das variáveis significativas, o
spread calculado pela metodologia proposta é proporcional à volatilidade do ativo e ao preço
da opção. Relação similar é verificada por Demsetz ao analisar o comportamento dos spreads
efetivos na NYSE. A Tabela 3 mostra a regressão do spread como variável independente
contra as variáveis descritas acima e a variável quantidade de opções negociadas. Os
resultados encontrados são estatisticamente significativos conforme o p-valor do teste t
descrito.
Tabela 3 – Regressão do Spread contra a Quantidade de Opções Negociadas, Volatilidade Implícita e Preço da
Opção no Período.
Variáveis Coeficientes P Valor (Estatística t)
Interseção -0,0884 0,0000
Quantidade de Opções Negociadas
0,0000 0,0007
Volatilidade Implícita 0,2613 0,0000
Preço da Opção 0,0246 0,0000
Teste F 0,0000 R-Quadrado 0,7549
A Figura 3 a seguir apresenta os resultados das estratégias delta-hedge implementadas
considerando-se a existência de diferenças entre o preço de compra e o preço de venda do
28
ativo resultante do spread. A simulação das estratégias considerando a existência do spread
apresenta uma específica limitação, dado que nossa base de dados não permite a identificação
se a negociação do ativo é uma transação iniciada por um investidor-comprador ou por um
investidor-vendedor. Considerando-se características operacionais do mercado de opções no
Brasil e o comportamento das opções na base de dados, verifica-se que a maior parte das
opções são levadas até o vencimento. Desta forma, adota-se a necessária simplificação de que
o preço disponibilizado em nossa base de dados é o preço de compra para o investidor. Assim,
o preço de venda deste investidor seria o preço registrado na base de dados diminuído de duas
vezes o spread.
13
Partindo-se do resultado das estratégias da Figura 1, no qual há ganhos em quase a
totalidade, verifica-se que a consideração da existência do spread produz uma inversão
significativa nos resultados. A Figura 3 apresenta a estatística descritiva dos resultados das
estratégias de acordo com o método de estimação do spread.
Lucros e perdas estão distribuídos em torno de zero. O valor de uma estratégia que
apostasse na execução de todos os possíveis delta-hedge apresenta valor negativo por todas as
13
O preço de mercado é o preço de compra do ativo, isto é, o preço “justo” acrescido do spread. O preço de
venda é o resultado da diminuição do spread no preço justo.
Estatística
Diferenças
Finitas
(FDM)
Binomial
(BT)
Roll
Mínimo (1.578,83) (1.572,08) (12.568,91)
1Q (139,04) (156,20) (75,13)
Mediana (30,67) 14,26 13,65
3Q 70,81 1,00 1,00
Máximo 776,30 758,03 998,51
Média (59,02) (14,62) (338,14)
Desvio-
Padrão 320,71 343,96 2.089,36
Figura 3 – Estatística Descritiva e Histograma, em Valores Financeiros, dos Resultados das Estratégias
Delta-Hedge, Aplicando as Estimativas de Spread pela Metodologia de Roll e pela Proposta, segundo os
Métodos Binomial e Diferenças Finitas, no Período de 07/05/04 a 04/12/04.
0
5
10
15
20
25
-1000 -750 -500 -250 -50 0 100 200 300 400 800
BT FDM Roll
29
metodologias. A metodologia de Roll apresenta as maiores perdas devido aos spreads acima
de 100% verificados para algumas séries.
14
Desconsiderando-se estas séries, a média de todas
as estratégias pela metodologia de Roll passa a ser de R$ 46,29. O valor máximo do ganho
nas estratégias se reduz para R$ 998,51 com os spreads estimados pela metodologia de Roll e
R$ 776,30 e R$ 758,03 quando os spreads são estimados por modelos de apreçamento de
opção. Neste último caso, os resultados das estratégias são menos concentrados nos extremos
e convergem em direção ao meio da distribuição de lucros e perdas.
O teste não paramétrico de Kruskal-Wallis foi utilizado para avaliar a hipótese nula
que todas as metodologias produzem resultados que representam a mesma função de
distribuição. Ao nível de confiança de 95%, a hipótese nula não é rejeitada. Isto significa que
os resultados do modelo proposto são estatisticamente similares com os encontrados pela
metodologia de Roll. A técnica de Roll prevê ganho em 46 das 85 estratégias ou 54% das
vezes, que é uma previsão bastante “justa” considerando que se trata de uma estratégia sem
desembolso inicial. A metodologia proposta prevê ganho em 48 das 85 vezes pelo modelo
binomial e 33 das 85 vezes pelo método de diferenças finitas. Isto demonstra que os lucros de
estratégias delta-hedge tendem a zero quando a volatilidade implícita é corretamente avaliada.
O método de diferenças finitas é mais conservador que o de Roll, o que pode ser
verificado pelo próprio histograma, porém obteve resultados semelhantes de inversão do sinal
do resultado das estratégias delta-hedge em 62 estratégias. Dos resultados diferentes das
metodologias de apreçamento de opção em relação à de Roll, 13 aconteceram em opções
muito dentro-do-dinheiro que são as que apresentam o menor spread pelo método das
covariâncias. A metodologia proposta apresenta ainda a perspectiva da possibilidade de
reestimação da volatilidade “justa” para cada preço de exercício e vencimento, tendo em vista
14
Nestes casos, considera-se o spread como sendo o próprio preço da opção.
30
que o spread é calculado para cada negociação intradiária. Como conseqüência, a
metodologia permite a composição de uma base de dados de preços justos.
Uma suposição da hipótese de eficiência de mercado é que não haja um padrão de
comportamento nas séries temporais de retornos dos ativos financeiros. Conseqüentemente,
não seria possível verificar movimentos de reversão de preços, pois isto atrairia a atenção de
day traders e outros especialistas para se antecipar a estes movimentos, que não espelham
uma verdadeira chegada de novas informações. Este padrão de previsibilidade indicaria ainda
que o mercado foi incapaz de prover liquidez para a formação do preço justo do ativo.
Constroem-se então índices de variância intradiário, para um teste comparativo do
padrão de previsibilidade nos preços com e sem o spread de compra e venda. Para cada
negociação, a razão de variância é calculada pela multiplicação da volatilidade implícita pela
raiz quadrada do prazo em ano até o vencimento. As volatilidades utilizadas são a
efetivamente negociada e a volatilidade calculada sem o spread incluído no preço do ativo. O
resultado esperado é que, sem o spread, o padrão de comportamento dos preços tenha uma
tendência a um passeio aleatório e que a volatilidade ajustada ao prazo seja comparativamente
próxima, em cada preço de exercício, o que provê uma medida de risco mais fiel à idéia de
variações causadas exclusivamente pela chegada de novas informações.
Inicialmente, testa-se se as novas volatilidades implícitas calculadas sem o spread são
estatisticamente diferentes das volatilidades implícitas anteriores pelo teste estatístico anterior
a 95% de nível de confiança. Há rejeição sistemática da hipótese nula de igualdade das
volatilidades à exceção das séries fora e ou muito fora-do-dinheiro. Para estas séries, a
amostra pequena de dados inviabiliza algumas comparações.
15
A seguir, utiliza-se o desvio-padrão das volatilidades estimadas em cada preço de
exercício, como o parâmetro referencial para verificar se o conjunto das novas volatilidades
15
As séries mais fora-do-dinheiro de vencimento em agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro
apresentam amostras menor que 20 negociações.
31
implícitas, sem o spread, está mais próxima estatisticamente do que o conjunto das
volatilidades estimadas considerando o spread. A Tabela 4 apresenta os resultados.
Tabela 4 – Estatística das Volatilidades Implícitas Estimadas com Spreads
(Amostra sem Ajuste) e sem Spreads Embutidos nos Preços do Ativo (Amostr
a
com Ajuste).
Opção Amostra sem Ajuste Amostra com Ajuste
Vencimento da Série Média Desvio-Padrão Média Desvio-Padrão
Janeiro
35,54% 10,31% 34,09% 8,21%
Fevereiro
33,87% 5,12% 30,32% 2,52%
Março
41,64% 8,77% 38,82% 5,17%
Abril
40,84% 4,49% 39,03% 4,36%
Maio
38,31% 1,52% 37,23% 1,51%
Junho
36,11% 3,17% 34,73% 2,65%
Julho
35,77% 6,05% 34,13% 3,18%
Agosto
38,26% 4,21% 37,18% 3,77%
Setembro
33,88% 3,79% 32,83% 3,08%
Outubro
33,16% 3,97% 32,07% 3,18%
Novembro
29,22% 3,22% 28,43% 2,80%
Dezembro
27,85% 1,76% 26,99% 1,22%
Verifica-se que a volatilidade implícita estimada sem o spread, classificada de acordo
com o vencimento da série, é comparativamente menos dispersa, o que ratifica parcialmente a
hipótese descrita anteriormente. No caso das séries de opção que vencem em fevereiro e
julho, esta dispersão é reduzida para 50% do valor anterior. A conclusão é que, supondo-se a
existência de um spread nos preços de mercado, verifica-se que o padrão de previsibilidade
nos preços é consideravelmente menor, o que poderia inviabilizar operações de arbitragem de
investidores para correção de imperfeições nos preços.
A Tabela 5 demonstra o quanto estas volatilidades são diferentes de acordo com a
proximidade do dinheiro, quando estimadas com ou sem o spread, o que poderia ratificar a
afirmação de que os ruídos associados aos preços negociados tornam testes de seleção do
melhor modelo de precificação do mercado uma difícil tarefa.
32
Pela Tabela, verifica-se um padrão de comportamento que poderia explicar os erros
crescentes, partindo-se da opção mais fora-do-dinheiro para a mais dentro-do-dinheiro,
verificados na Tabela 1 pelas metodologias de Black & Scholes e de Merton. Empiricamente,
percebe-se que quanto mais dentro do dinheiro está a opção, maior a diferença entre a
volatilidade implícita da amostra com e sem spreads embutidos nos preços.
A Tabela 5 distingue dois tipos de causas de volatilidade. O que se classifica como
volatilidade dos ativos do mercado brasileiro pode ser causada pela chegada de novas
informações ou pela variação do spread implícito no preço do ativo. A influência desta
segunda variável é tão menor quanto mais explícita ela esteja no mercado, ou seja, é menor
em um mercado regulamentado com spread de compra e venda e competição entre os market
makers. Dado a não verificação destas características no mercado brasileiro, é importante
determinar em que extensão o spread implícito no preço do ativo influencia a volatilidade do
ativo.
Para este propósito, utilizou-se inicialmente o teste de causalidade de Granger.
Entretanto, para o nível de confiança de 99%, não foi possível distinguir os efeitos entre as
variáveis. Por esta razão, examina-se a endogeneidade entre o spread implícito no preço do
ativo e a volatilidade do ativo através de modelos de mínimos quadrados de dois estágios
(two-stage least squares method).
Tabela 5 – Volatilidades Implícitas Estimadas com Spreads (Amostra sem
Ajuste) e sem Spreads Embutidos nos Preços do Ativo (Amostra com
Ajuste), Classificadas de acordo com a Proximidade do Dinheiro.
Proximidade do Dinheiro
Amostra
sem Ajuste
Amostra com
Ajuste
Diferença
relativa
Muito Fora-do-Dinheiro 37,12% 36,22% 2,48%
Fora-do-Dinheiro 35,91% 35,04% 2,49%
No-Dinheiro 34,78% 33,38% 4,20%
Dentro-do-Dinheiro 35,79% 33,40% 7,15%
Muito Dentro-do-Dinheiro 36,83% 31,45% 17,10%
33
Um sistema de equações simultâneas é definido para determinar se o spread implícito
no preço do ativo determina a volatilidade do ativo ou vice versa. Ambas as variáveis são
incluídas na especificação do modelo de mínimos quadrados. A primeira equação é
representada pela seguinte notação:
QtdecPreçocVolccSpread
4321
+
+
+
=
(4)
Onde
Vol é a volatilidade do ativo, eçoPr é o preço de negociação do ativo-objeto e
Qtde é a quantidade de opção comprada ou vendida em cada negociação. A segunda equação
é representada por:
TctcSpreadccVol
8765
Re
+
+
+
=
(5)
Onde
tRe é o retorno do ativo-objeto e
T
é o tempo para vencimento da opção. Se o
coeficiente
2
c
na Equação 4, simultaneamente determinado, é significante, há uma indicação
que a volatilidade é importante para explicar o
spread de compra e venda. Por outro lado, se o
coeficiente
6
c na Equação 5, simultaneamente determinado, é significante, há uma indicação
que o
spread de compra e venda é importante para explicar a volatilidade. Os resultados para
o mês de janeiro são demonstrados na Tabela 6.
Tabela 6 – Regressão de Mínimos Quadrados de Dois Estágios, segundo as
Equações (4) e (5), Aplicada as Amostras do Mês de Janeiro.
Mínimos quadrados de
dois estágios
(Marquardt)
Coeficientes Erro Padrão P-valor da
Estatística t
Intercepto -0,0188 0,0057 0,0011
Volatilidade -0,0052 0,0210 0,8016
Preço 0,0439 0,0011 0,0000
Quantidade 0,0000 0,0000 0,0000
Intercepto 0,3576 0,0019 0,0000
Spread
1,2083 0,0095 0,0000
Retorno -0,7749 0,1831 0,0000
Tempo para Vencto -0,0037 0,0001 0,0000
Equação: SPREAD = C(1) + C(2)*VOL + C(3)*PRECO + C(4)*QTDE
Observações: 7967
R2 0,76 R2 Ajustado 0,76
Equação: VOL = C(5) + C(6)*SPREAD + C(7)*RET + C(8)*TEMPO
Observações: 7967
R2 0.78 R2 Ajustado 0.78
34
A Tabela 6 demonstra que o coeficiente
2
c não é significante e que o coeficiente
6
c é
significante, o que indica que a alta volatilidade do ativo é explicada devido ao
spread
implícito no seu preço. Entretanto, esta conclusão é bastante limitada dado que os coeficientes
de
2
c e
6
c dos demais vencimentos não são significativos ao nível de confiança de 99%.
A verificação da influência dos
spreads na volatilidade dos ativos é consistente com
uma gama de trabalhos empíricos que documentaram padrões de U nos dados intradiários dos
spreads de compra e venda do mercado de ações, como em Chan, Chung e Johnson (1995),
Werner e Kleidon (1996), Abhyankar et al (1997), Brockman e Chung (1998) e Ahn, Bae e
Chan (1999). Em todos os casos, esta componente era isolada, o que gerava valores
consideravelmente menores de volatilidade.
5 CONCLUSÃO
Este trabalho se propôs a apresentar alternativas para estimar o spread de compra e
venda de ativos. A contribuição do trabalho é a apresentação de uma opção de escolha
americana como uma alternativa eficiente para estimativa de
spreads de opção. A base de
dados escolhida é composta pelos preços intradiários da ação e das opções de Telemar de
dezembro de 2003 a dezembro de 2004. Quando a existência do
spread é considerada nos
preços do ativo, a volatilidade implícita se reduz de forma consistente e o conjunto de
volatilidade de diversos preços de exercício de opção tende a uma menor dispersão. O
trabalho demonstra que os
spreads influenciam na estimativa da volatilidade das opções.
Estratégias delta-hedge são criadas para verificar possibilidade de arbitragem. Quando
os
spreads são considerados, os lucros das estratégias tendem a zero, o que indica a
importância deste componente em trabalhos que investigam a possibilidade de lucros em
estratégias no mercado brasileiro. Os
spreads são estimados pela técnica de Roll e por duas
metodologias iterativas baseadas em modelos de apreçamento de opção. Estes modelos
35
permitem a obtenção de
spreads ex-ante e produzem resultados consistentes com um fair
game
. Os spreads estimados pela opção de escolha americana apresentam resultados
estatisticamente similares aos resultados ex post da técnica de Roll.
Esta pesquisa não se esgota nestes procedimentos. Uma base de dados com indicação
da identificação do iniciador da transação poderia contornar uma importante limitação
deste estudo. Além disso, um período maior da base de dados poderia auxiliar na
determinação da endogeneidade entre
spread e volatilidade. Soma-se a isso, a aplicação de
outras técnicas de apreçamento de opções para a determinação do
spread e técnicas
econométricas para tratamento da relação
spread-volatilidade.
36
Ensaio 2
Estimação de Probabilidades de Default no Brasil: O Modelo Estrutural de
Opção de Troca com Saltos e Barreira
37
RESUMO
O trabalho desenvolve uma fórmula tratável de um modelo estrutural para a
estimação de probabilidades de default de empresas. O modelo supõe neutralidade de
risco para a modelagem do comportamento do movimento do ativo e da dívida da
empresa. O modelo é compatível com vários modelos de estrutura a termo de taxa de
juros e possui como características, efeitos de saltos que aproximam a chegada de
informação e uma barreira estocástica que simula o ponto de falência da empresa.
Comparam-se os resultados deste modelo com as probabilidades de default da base de
dados de crédito do Banco Central estimadas pela metodologia de análise de
sobrevivência. O desempenho do modelo é superior a outros três modelos estruturais.
Utilizam-se também as probabilidades de default de setores para calibrar o modelo. O
processo é executado através de ajustes na volatilidade do salto. Esta análise permite
demonstrar que a volatilidade do salto explica relativamente bem as diferenças
verificadas entre as probabilidades de default geradas no mercado de dívida e as
probabilidades de default estimadas através de preços de mercado.
ABSTRACT
We develop a non-complex and tractable structural model to calculate firm’s
default probability. We assume risk-neutrality to model the behavior of the firm’s
asset and debt. The model is compatible with general term structure of interest rates.
Jump factors proxy the arrival of information. A stochastic barrier simulates firm’s
bankruptcy. We compare our model estimates’ results with the default probabilities
predicted by a survival analysis applied to the debt information database of Central
Bank of Brazil. The experiment results are very good. Our model outperforms other
three structural models. Finally, we use firm’s sector failure probabilities to calibrate
the model. This process can be executed through adjusts in the model jump volatility.
It is shown that the jump volatility variable explains relatively well the difference
between debt and equity market failure probabilities observed.
38
1 INTRODUÇÃO
O Acordo de Basiléia II orienta Bancos Centrais a monitorar o risco de crédito das
carteiras de instituições financeiras através de regras de requerimento mínimo de capital.
Desde 1988 o Acordo motiva seus membros a adoção de modelos proprietários. Neste
sentido, Cipollini e Missaglia (2004) destacam que há, desde então, um imenso número de
pesquisas na literatura financeira sobre risco de crédito. Como os gerentes de risco costumam
focar na sua probabilidade de perdas, os autores afirmam que esta análise de risco de crédito
deveria ser baseada no mesmo princípio usado para estimar o valor em risco de mercado, ou
seja, em valores de mercado. Duffie e Singleton (2003) também afirmam que probabilidades
de default desempenham um papel central nos modelos de risco de crédito. Tudela e Young
(2005) afirmam que a correta estimação das probabilidades de default é essencial para a
estabilidade do sistema financeiro e para uma política de crédito mais acurada.
Modelos estruturais e reduzidos são usados para avaliar estas probabilidades. No
primeiro modelo, inicialmente proposto por Merton (1974), é utilizada a abordagem de ativos
contingentes e a insolvência é ativada por um processo de gatilho. No segundo, apresentado
em Duffie e Singleton (1999), o evento de insolvência é ativado por um processo de
intensidade, governado por uma
hazard rate, usualmente modelada como uma variável de
Poisson. Modelos estruturais ganharam mais popularidade entre bancos centrais e
organizações internacionais. O Banco da Inglaterra e o Banco Central Europeu publicam suas
estimativas de indicadores de probabilidades de default baseados no modelo de Merton desde
2004, nos seus Financial Stability Reviews.
1
O Fundo Monetário Internacional também provê
estes indicadores baseados no mesmo modelo.
KMV e Moody’s desenvolveram, de maneira muito bem sucedida, modelos de risco
de crédito com base na metodologia estrutural. Crosbie e Bohn (2002) demonstram que o
1
Veja Bank of England (2004) e European Central Bank (2004).
39
KMV estende a estrutura do trabalho de Black e Scholes (1973) e Merton. O KMV supõe que
a empresa é uma opção perpétua com o ponto de insolvência se comportando como uma
barreira para o valor de mercado do ativo da empresa. Múltiplas classes de dívida são
modeladas. Os resultados do KMV são apoiados por uma base de dados com mais de 250.000
empresas por ano e 4.700 eventos de insolvência que são usados para encontrar a distância ao
default da empresa, uma medida que indica o número de desvios padrões que a empresa está
distante do seu ponto de insolvência. Sobehart e Stein (2000) demonstram que o modelo da
Moody’s é o modelo de Merton com informações adicionais do modelo reduzido. A Moody’s
usa informação de crédito das empresas e variáveis macroeconômicas, através de uma
regressão logística, para obter um ajuste nas probabilidades de default.
Tudela e Young (2005) percebem um ganho na precisão da metodologia da Moody’s e
do KMV quando a informação do modelo estrutural e do modelo reduzido são combinadas.
Os procedimentos da Moody’s e do KMV tentam integrar a informação disponível no
mercado de dívida e no mercado de ações. Esta integração é muito importante, pois a falta de
coerência destas informações poderia encorajar operações de arbitragem. Mitchell, Pedersen e
Pulvino (2007) demonstram como um arbitrador pode lucrar com preços descasados entre o
mercado de dívida e o de ações. Chatiras e Mukherjee (2004) afirmam que oportunidades de
arbitragem ocorrem porque os mercados, quase freqüentemente, reagem diferente uns dos
outros à chegada de informação. Os autores executam várias operações de arbitragem bem
sucedidas usando informações obtidas do mercado de dívida e do mercado de derivativos.
No Brasil, Prado, Bastos e Duarte (2000) destacam que a motivação para o
desenvolvimento de modelos sofisticados de risco de crédito é restrito pela falta de
informação dos mercados de dívida. De fato, o processo de constituição de base de dados por
parte de instituições de crédito ainda é incipiente e a divulgação é muito limitada até por conta
de problemas jurídicos em relação ao sigilo dos dados. Esta restrição leva ao natural
40
desenvolvimento de modelos estruturais. Entretanto, a quantidade de trabalhos empíricos no
mercado brasileiro sobre este tema é desprezível. Hermanny (2000) aplica o modelo de
Merton para avaliar probabilidades de default de duas empresas. Seus resultados corretamente
indicam uma prévia alta probabilidade de quebra para uma das empresas que posteriormente
se tornou insolvente. Minardi (2005) compara probabilidades de default extraídas do modelo
de Merton com avaliações de crédito de empresas brasileiras pelas agências Moody’s e
Standard and Poor’s. A autora não encontrou diferenças significativas entre as variáveis
estudadas.
O objetivo do trabalho é estender a aplicação de modelos estruturais usuais para que
estes reflitam características verificadas em processos de insolvência de empresas. O trabalho
avalia o mercado de dívida e o mercado de ações brasileiro. O modelo proposto compara o
valor de mercado dos ativos com o tamanho da dívida na estrutura de capital da empresa em
qualquer tempo até o vencimento. A estrutura da dívida e, conseqüentemente, o ponto de
insolvência apresenta um movimento estocástico.
2
Esta incerteza é capturada através da
suposição de que a razão dívida-ativo evolui como um movimento browniano geométrico.
Este movimento conjunto é modelado por uma opção de troca com uma barreira flutuante que
indica o momento de insolvência. Para reconciliar os mercados de dívida e de ações adiciona-
se um processo de salto ao modelo. O modelo final é uma opção de troca com barreira down-
and-out, com saltos e com taxa estocástica de juros. Este modelo é uma extensão de modelos
estruturais tradicionais e reflete de maneira mais precisa características verificadas no
mercado brasileiro de dívida. Pelo nosso conhecimento, esta é a primeira vez que esta
metodologia é proposta. Embora o resultado final não seja uma fórmula fechada, na
concepção plena da definição, apresenta-se uma aproximação computacional bem razoável. O
modelo proposto permite combinar informações do mercado de dívida e do mercado de ações.
2
Por exemplo, é comum que as empresas ajustem suas obrigações à medida que elas estejam próximas do ponto
de insolvência. Benos e Papanastasopoulos (2007) afirmam que as obrigações aumentam com a aproximação do
momento de falência.
41
Os preços das ações são obtidos da base da Bovespa. Para incorporar as informações do
mercado de dívida, analisam-se os registros da base de dados de crédito do Banco Central do
Brasil, divididos por setores da economia, através de uma metodologia de análise de
sobrevivência (
survival analysis). Na seqüência, um experimento é conduzido para avaliar o
desempenho comparativo do modelo proposto com três outros modelos estruturais. O modelo
proposto apresenta os melhores resultados.
O trabalho está organizado da seguinte maneira. A Seção 2 deriva o modelo. Além
disso, apresenta-se uma discussão sobre as diferenças entre o modelo proposto e os demais
modelos da literatura. A Seção 3 descreve as bases de dados utilizadas, principalmente a base
de dados de crédito do Banco Central, e o tratamento dos dados para a extração das
probabilidades de default. A Seção 4 apresenta os resultados e uma breve descrição da
metodologia de análise de sobrevivência. A Seção 5 conclui o trabalho e discute as limitações
do modelo proposto.
2 O MODELO
Black e Scholes (1973) e Merton (1974) introduziram a base acadêmica para o
desenvolvimento de modelos estruturais de análise de risco de crédito. Eles brilhantemente
demonstraram que o valor da empresa é contingente ao valor de mercado dos ativos. Esta base
teórica possibilitou uma consistente e intuitiva estrutura para avaliar o nível de endividamento
da empresa e sua estrutura de capital. Outros autores então estenderam as suposições de
Merton para que este modelo pudesse se comportar mais próximo de condições reais de
mercado. Black e Cox (1976) remediam o problema da suposição de que a insolvência só
poderia acontecer no vencimento da dívida. Os autores introduzem uma barreira de
insolvência fixa que caso atingida em qualquer instante do tempo determinaria o momento de
insolvência. Zhou (1997) apresenta uma versão de modelagem que permite a ocorrência de
42
processos de saltos no comportamento do valor de mercado do ativo. Longstaff e Schwartz
(1995) combinaram a estrutura desenvolvida por Merton com o modelo de Vasicek de taxa de
juros e uma estrutura exógena de determinação da insolvência financeira. Jones, Mason e
Rosenfeld (1984) também relaxam a suposição de taxa de juros determinística. Os autores
concluem que a introdução de taxa de juros com comportamentos estocásticos melhora o
desempenho dos modelos que empregam a análise de ativos contingentes. Kim, Ramaswamy
e Sundaresan (1993) incorporam o procedimento descrito em Cox, Ingersoll e Ross (1985)
para a modelagem da estrutura a termo de taxa de juros e observam o fluxo de caixa da
empresa para a determinação das condições de falência. Collin-Dufresne e Goldstein (2001)
apresentam um modelo que estende o trabalho de Longstaff e Schwartz (1995) e incluem
barreiras de insolvência estocástica. Madan e Unal (1998) e Duffie e Singleton (1999)
desenvolvem uma classe de modelos de taxa de juros com comportamentos estocásticos que
incorporam a possibilidade de variações abruptas (
hazard rate) no comportamento do ativo de
maneira a permitir a probabilidade imediata de insolvência.
O trabalho apresenta uma opção de troca com barreira down-and-out, com saltos e
com taxa estocástica de juros para a estimação da probabilidade de default de uma empresa.
Valores de mercado dos ativos e valores da dívida são, por suposição, sensíveis a variações de
taxa de juros e ao comportamento da
hazard rate. Em relação ao valor de mercado do ativo, a
suposição é coerente com os demais modelos da literatura. Em relação ao valor da dívida, esta
suposição reflete características do mercado brasileiro. Em 2006, por exemplo, 56% das
dívidas das empresas de curto e longo prazo com bancos privados foram negociadas a taxas
flutuantes.
3
O modelo adota as suposições padrão que as negociações ocorrem de maneira
contínua em um mercado perfeito e sem custos de transação, sem impostos e os valores de
3
Febraban (2006).
43
mercado obedecem a um processo de difusão lognormal. O modelo permite ainda que uma
grande variedade de estruturas a termo de taxa de juros possa ser adotada.
Para incorporar os saltos no comportamento do valor de mercado dos ativos,
),(
1
tS e
da dívida,
),(
2
tS segue-se o processo descrito em Merton (1976), definido por:
()
2,1,,~,)()1()(
)(
)(
=−−++=
−
iNxdttdNetdBdt
tS
tdS
i
i
i
x
xiiii
x
iii
i
i
σµµλσω
(1)
onde )(
tdB
i
é o processo Browniano padrão para o ativo i, )(tdN
i
é um processo de
contagem Poisson com taxa
i
λ
,
i
ω
é a tendência ou a taxa de retorno esperada do movimento,
i
σ
é a volatilidade e
i
µ
é o efeito esperado do tamanho do salto nos preços do ativo, dado
por ]1[
−
i
x
Q
eE .
Aplica-se o Lema de Itô para obtenção do movimento relativo entre os ativos 1 e 2,
obtendo-se:
)]()()1)(1()()1()()1()(
))()(()[(
)(
)(
)(
)(
21211122
221121
2
221
2
1
2
1
2121
tdNtdNeetdNetdNedt
tdBtdBdt
tS
tS
tS
tS
d
xxxx
−−+−+−+−
+−+−+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
µλµλ
σσσρσσωω
(2)
onde,
ρ
é a correlação entre o processo de difusão do valor de mercado do ativo e da dívida.
4
Os últimos três termos da Equação 2 são os processos de saltos do movimento do ativo e da
dívida. Seguindo Merton, a suposição padrão é que os termos são independentes do
componente Browniano. O último termo da Equação reflete a co-dependência entre os saltos.
Em ocasiões de stress de crédito, espera-se observar saltos simultâneos do ativo e da dívida na
mesma direção. Em circunstâncias normais, é razoável pressupor que os componentes
aleatórios de salto,
i
x , são independentes e refletirão a alteração do risco por setores
4
Em modelos estruturais esta correlação é sempre positiva. A medida que a parcela de risco da dívida diminui e
a dívida tende a livre de risco, a correlação cai e tende a zero.
44
econômicos e segundo fatores macroeconômicos.
5
Como conseqüência, o último termo da
Equação (2) desaparece.
Para se mover para uma medida martingale equivalente, executa-se uma mudança de
medida através de
),()(
~
tdBdttBd
ii
i
+=
θ
2
1
1
1
ρσ
σ
ω
θ
−
−
=
r
e
2
2
2
2
σ
σ
ω
θ
−
−
=
r
, para obter:
6
)]()1()()1()())()([(
211122
2
~
2
1
~
1
21
tdNetdNedttBdtBd
P
dP
xx
t
t
−+−+−+−=
−
µλµλσσ
(3)
A Equação (3) mostra que
)(
)(
2
1
tS
tS
P
t
=
se comporta como um processo padrão de
comportamento de retornos com dois componentes de saltos independentes.
De acordo com a demonstração em Merton (1976), pode-se verificar que a dinâmica
do preço do ativo com dois componentes de saltos independentes apresenta a seguinte
equação integro-diferencial:
0)()],(),([
2
1
)(
2
1
2
2
22
2211
21
=−+−
∂
∂
+
∂
∂
−−+
∂
∂
∑
∫
=
+∞
∞−
−
n
xx
n
dxxftSCtSeCrC
P
C
P
P
C
Pr
t
C
λσµλµλ
(4)
A Equação (4) é a solução para a Equação (3). Considerando que )),(),(,(
2
21
σ
tStStC
é o preço da opção de troca convencional de dois ativos, o preço da opção de troca com saltos
é dado por:
)2),(),(,(
!!
)()(
2
2
2
1
21
2
2
2
121
0
21
)(
0
21
T
m
T
n
tStStC
mn
TTe
m
mn
T
n
δδ
σρσσσ
λλ
λλ
++−+
∑∑
∞
=
+−
∞
=
,
(5)
onde λ é o número esperado de saltos por ano e δ a mudança percentual no preço do ativo
explicado pelos saltos.
5
Verificou-se que no período de 2000 a 2003, a dívida das empresas estudadas estava muito ligada a fatores
macroeconômicos, como taxas indexadas a outras moedas e taxas pós fixadas.
6
Margrabe (1978) foi o primeiro a prover uma solução analítica para a opção de troca. A mesma solução pode
ser alcançada através da mudança de medida descrita acima.
45
A partir daí, segue-se a idéia apresentada em Liu e Wang (1999) no qual a incerteza da
estrutura a termo de taxa de juros é capturada por um processo estocástico generalista como o
descrito no modelo de Vasicek (1977) ou em Cox, Ingersoll e Ross (1985). A suposição é que
a taxa de juros segue um movimento Browniano, )()(
00
tdWtdB
=
. Aplica-se a decomposição
de Cholesky para a obtenção dos Brownianos dos ativos 1 e 2 na Equação (6). A estrutura de
correlação dos ativos é dada por
01
ρ
,
02
ρ
e
12
ρ
, onde o subscrito 0 indica a taxa de juros, e 1 e
2 os respectivos ativos.
)(1)()(
1
2
010011
tdWtdWtdB
ρρ
−+=
)(
1
)(
1)(
1
)()(
2
2
01
2
020112
2
021
2
01
020112
0022
tdWtdWtdWtdB
ρ
ρρρ
ρ
ρ
ρρρ
ρ
−
−−+
−
+=
−−
(6)
Conseqüentemente, o novo processo
)(tP
, conforme definido inicialmente na
Equação (1), passa a ser dado por:
.2,1),,(~,)()1()()(
)(
)(
=−−++=
−
iNxdttdNetdBdttr
tP
tdP
i
i
i
x
xiiii
x
ii
i
i
σµµλσ
(7)
Seguindo a demonstração de Liu e Wang (1999), a fórmula final para a opção de troca
com saltos e taxas de juros estocásticas é dada por:
7
)]()([
!!
)()(
,,22,,11
0
21
)(
0
21
xdSxdS
mn
TTe
mnmn
m
mn
T
n
φφ
λλ
λλ
−
∑∑
∞
=
+−
∞
=
(8)
onde
∫
=
−+−+
=
T
t
p
mn
sdBx
T
xTtStS
xd )(,
)''()''(2))()(ln(
)(
0
022011
2
01
2
1
2
02
2
221
,,1
σ
ρσρσρσρσ
,)()(
,,1,,2
Txdxd
pmnmn
σ
−=
2
0220111221
2
1
2
2
)''()''2''(
ρσρσρσσσσσ
−−−+=
p
7
Liu e Wang (1999) apresentam uma formula fechada para o apreçamento de uma opção de troca com taxa de
juros estocásticas.
46
e,'
2
1
2
1
2
1
T
n
δ
σσ
+=
T
m
2
2
2
2
2
2
'
δ
σσ
+=
A partir daí, usa-se uma fórmula de barreira de opção para derivar a função de
probabilidade acumulada da primeira passagem no tempo, isto é, a freqüência esperada de
insolvência anterior ao vencimento da dívida. Para modelar este comportamento estocástico
do valor de mercado do ativo e da dívida, incorpora-se ao modelo uma barreira down-and-out
que representa um gatilho de falência. A probabilidade que uma empresa representada por
uma opção down-and-out entre em estado de insolvência até um tempo T é dado por:
,
)
)(
)(
(log()
)(
)(
(log(
!!
)()(
1
2
2
1
0
21
)(
0
21
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
×+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
∑∑
∞
=
+−
∞
=
T
tS
tS
W
T
tS
tS
mn
TTe
PD
pp
m
mn
T
n
σ
η
φ
σ
η
φ
λλ
λλ
(9)
onde
∫
∫
−=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
=
T
p
p
T
p
Tdssr
dssr
tS
tS
W
0
2
2
0
2
1
2
)
2
)((e,
2
)(
)(
)(
log(2
exp
σ
η
σ
σ
A primeira parte da Equação (9), seguinte ao somatório, é derivada de Merton e
expressa a probabilidade que o valor de mercado do ativo esteja abaixo da barreira de
insolvência no tempo T. O termo seguinte leva em conta as trajetórias possíveis do
movimento do valor de mercado do ativo e mede a probabilidade de que o ponto de barreira
seja cruzado antes do tempo T.
3 DADOS
As fontes das bases de dados usadas para estimar as probabilidades de default através
dos modelos estrutural e reduzido são a Economática e a base de dados da central de risco de
47
crédito do Banco Central do Brasil. A primeira base é um banco privado de informações com
preços de mercado e informações de balanços e demonstrativos contábeis para empresas
listadas. A base de dados da central de risco de crédito do Banco Central do Brasil é um banco
de informações oficiais de todas as transações acima de R$ 5.000,00 no Brasil. Esta base foi
criada em 1997 para permitir o aprimoramento das atividades de supervisão. A base contém
informações-chave de crédito para o uso da fiscalização do Banco. O acesso a informação foi
permitido sem a identificação individual e incluiu, dentre várias características das empresas,
registros de crédito, exposições e vencimentos, a classificação de risco dos próprios bancos,
as perdas e garantias. Os dados são dispostos em bases mensais. As instituições financeiras
podem obter a informação agregada de tomadores de recurso, porém somente com expressa
autorização destes. Em 2002, a base de dados alcançou mais que 7 milhões de registros, com
72% relacionados a indivíduos, representando 27% do total da exposição de crédito, e 28%
relacionado a empresas, representando 73% do total da exposição de crédito.
8
Os registros de
crédito das empresas são classificados por cada instituição financeira em nove níveis de risco,
de acordo com um sistema de ordenamento determinado pelo Banco Central. O tomador é
considerado em insolvência se sua classificação de crédito foi incluída nos últimos cinco
grupos por alguma instituição financeira. Com isso, caracteriza-se que a empresa está em
estado de default. Isto significa que a definição de insolvência neste trabalho tanto pode estar
ligado ao não pagamento total de dívidas, como ao atraso parcial por um período maior que
90 dias. Esta limitação da classificação decorre do fato de se trabalhar com critérios
previamente definidos pelo Banco Central. Como regra geral, as classificações são revistas a
cada doze meses ou a cada seis meses se a dívida do tomador estiver acima de um
determinado nível.
8
Para uma melhor descrição da base de dados, ver Schechtman et al (2004). A partir de 2004, a base incorporou
novas informações de crédito e passou a ser denominada Sistema de Informações de Crédito do Banco Central.
48
A comparação entre os resultados do modelo estrutural e do modelo reduzido é
possível desde que as amostras sejam representações da mesma população de empresas. O
problema inicial é que enquanto se verifica um número muito grande de empresas na base de
dados do Banco Central, este número é significativamente pequeno na bolsa de valores de São
Paulo, pois as empresas listadas são geralmente as maiores corporações do país. Além disso,
poucas empresas da Bovespa apresentam a liquidez necessária para a implementação do
modelo.
9
O critério de seleção destas empresas na Bovespa foi o ranking de liquidez da
Economática em 2002.
10
Os dados coletados foram preços de ações, número de ações
negociadas, dívida e taxa de juros livre de risco.
11
A amostra final contém 47 empresas não
financeiras cujo volume de negociação corresponde a aproximadamente 50% do volume de
negociação total da Bovespa em 2002.
12
Todas as empresas foram classificadas nos seus
respectivos setores econômicos de acordo com os dados da base de crédito: petroquímica,
siderurgia, papel e celulose, alimentos, bebidas e cigarro, têxtil, telecomunicações e energia.
13
O faturamento líquido da amostra selecionada corresponde a aproximadamente 45% do
faturamento total das empresas listadas em 2002. As estatísticas do faturamento líquido são
usadas para selecionar a amostra de empresas da base de dados do Banco Central. Esta
amostra final representa 30% dos maiores empréstimos corporativos, divididos por setores
econômicos, de janeiro de 2002 a abril de 2004.
A Tabela 1 apresenta o relacionamento entre os faturamentos de ambas as bases. As
estatísticas da base de dados do Banco Central foram providas pelo próprio Banco e por isso,
9
Em 2002, havia cerca de 410 empresas listadas na Bovespa, mas como demonstrado por Medeiros e Ramos
(2004) somente 70 empresas já respondiam por 97,6% do volume negociado.
10
O indicador de liquidez da Economática apresenta informações de todas as empresas listadas. O critério
considera o número de negócios, o volume financeiro e o número de dias de negociação com pelo menos um
negócio.
11
Os contratos futuros de DI de um dia foram usados como aproximação para a taxa livre de risco.
12
O volume de negociação total é reduzido devido a: 1) Instituições Financeiras correspondiam a
aproximadamente 11% do volume da Bolsa; 2) Petrobrás e Vale do Rio Doce, que correspondiam a 20% do
volume de negócios, foram excluídas, pois cada empresa representava aproximadamente 100% do seu respectivo
setor econômico e não estavam incluídas na base de dados de crédito.
13
Geração de energia e transmissão estão incluídos neste ultimo grupo.
49
não foi possível a aplicação de testes não paramétricos. O teste t indica que não é possível
rejeitar a hipótese nula de que a média das séries é igual. O teste F não rejeita a hipótese nula
de que a variância das séries é igual. Desta forma, supõe-se que as amostras são
representações da mesma população.
Tabela 1 – Estatística Descritiva do Faturamento Líquido das Empresas
Listadas e das Empresas com os 30% Maiores Empréstimos da Base de
Dados do Banco Central (BC). Dados em Milhões de Reais.
Estatística
Base de Dados da
Economática
(Modelo Estrutural)
Base de Dados do BC
(Modelo Reduzido)
Média 3.383 3.014
Mediana 1.816 1.645
Desv. Padrão 4.031 3.833
1
o
Quantil 805 523
3
o
Quantil 5.398 4.218
Número de
Firmas 47 60
4 O EXPERIMENTO
Para cada empresa da amostra, estima-se a probabilidade de default através do modelo
proposto. Um intervalo de confiança de 95% é criado para checar se os resultados são
compatíveis com os obtidos pela análise de sobrevivência aplicada na base de dados do Banco
Central. Além disso, para avaliar o desempenho do modelo proposto, comparam-se estes
resultados com o de outros três modelos: o modelo de Merton simples, o modelo de Merton
com uma estrutura down-and-out e o modelo de Merton com uma estrutura de uma opção
down-and-out de troca com taxas de juros estocásticas. No final, reconciliam-se as
probabilidades de default do modelo proposto com a da base de dados do Banco Central
através da calibragem do parâmetro de volatilidade do salto.
50
4.1 Resultados do Modelo Estrutural
Emprega-se o método dos cumulantes, descrito em Beckers (1981), para a estimação
dos saltos anuais verificados para cada empresa e suas respectivas alterações percentuais nos
preços dos ativos. Supõe-se que a probabilidade de saltos é diferente para cada ação e que o
salto é definido como qualquer retorno maior que três desvios padrões. Uma janela móvel de
cinco anos, com dados de informações dos balanços, é utilizada para se estimar a correlação
entre os valores de mercado do ativo e da dívida.
14
Janelas de um ano são utilizadas para se
estimar volatilidades das ações e da taxa de juros. A covariância entre as ações e a dívida é
obtida ao se igualar as volatilidades dos dois lados do balanço patrimonial. A covariância
entre a dívida e a taxa de juros depende da covariância entre os ativos e a taxa de juros e a
covariância entre as ações e a taxa de juros. Utiliza-se um conjunto de dados de um ano para
estimar estes últimos parâmetros. Supõe-se que o valor de mercado da dívida é o montante de
empréstimos de curto e longo prazo, montantes devidos a credores e outras obrigações de
longo prazo.
15
As correlações entre ativos e dívida, classificados por setores econômicos, são baixas
e muito próximas. A verificação de altas correlações poderia apontar reações simultâneas às
informações por parte de ativos e dívidas. A correlação média foi de 0,025 indicando que não
houve choques simultâneos de preços e que as probabilidades de default estimadas são
estáveis ao longo do tempo analisado. Este último ponto é reforçado pelo fato de que a
volatilidade anual da taxa de juros, 2,23%, foi baixa, e que as volatilidades dos ativos das
empresas também foram muito baixas. Estas volatilidades variaram de 0,78% a 31,18%.
Embora as volatilidades das ações tenham sido bem consideráveis, de 30% para as mais
14
Informações financeiras de balanços contábeis foram a única fonte de informação de preços disponível para a
obtenção das correlações.
15
Yu e Fung (2005) destacam razões para a inclusão de empréstimos de curto prazo e montantes devidos a
credores como proxy para as obrigações das empresas. Eles afirmam que a probabilidade da dívida de curto
prazo causar insolvência é alta.
51
líquidas até 70%, volatilidades baixas das dívidas e a alavancagem financeira explicam as
baixas volatilidades dos ativos.
Para calcular a probabilidade de default na Equação (9), necessita-se conhecer o valor
de mercado dos ativos e sua volatilidade. Segue-se então o procedimento iterativo descrito em
Merton (1974) para obtenção destas variáveis. O valor de mercado das ações, na Equação (8),
é função do valor da empresa, a volatilidade dos retornos das ações e o valor da dívida.
16
A
volatilidade do valor dos ativos da empresa é função da volatilidade dos retornos das ações,
do valor de mercado das ações e dos ativos e de sua derivada apresentado pela variável
)(
,,1
xd
mn
φ
na Equação (8).
A Tabela 2 apresenta as probabilidades de default estimadas pelo modelo proposto
para cada setor econômico.
17
Os vencimentos indicados correspondem aos dois maiores na
base de dados de crédito para cada setor. Estima-se um intervalo de confiança de 95%. Este
intervalo é baseado em Merton (1974). A variância das perdas da carteira depende dos pesos
de cada empresa na matriz de covariância. A covariância da insolvência de duas empresas é
estimada supondo-se que a probabilidade conjunta de default é dada por uma distribuição
normal bivariada. As variações dos intervalos são conseqüência direta da distribuição
binomial.
Pelos dados da Tabela 2, verificamos a não evidência de correlação entre as
probabilidades de default dos setores e a alavancagem das empresas que compõem o setor. O
setor com a menor probabilidade de default observada, papel e celulose, é o terceiro mais
alavancado. O setor com a maior probabilidade de default, têxtil, é apenas o sétimo mais
alavancado. Este descasamento entre probabilidades de default e alavancagem é verificado
16
O valor de mercado das ações é igual ao produto do número de ações em circulação pelo preço da ação.
17
Os resultados da Tabela foram obtidos com a suposição de saltos não simultâneos, como discutido na
passagem da Equação 2 para 3. Entretanto, é possível que os saltos aconteçam sempre de maneira simultânea.
Para comparar esta hipótese com a do modelo proposto, rodamos simulações de Monte Carlo para obter
probabilidades de default de acordo com a Equação 2. As probabilidades de default obtidas da simulação
apresentam resultados muito similares aos do modelo proposto.
52
ainda quando se estima probabilidades de default de setores pela média ponderada de cada
empresa, considerando seus respectivos valores de capitalização de mercado. Os intervalos de
confiança apresentados nas colunas 5 e 6 da Tabela 2 são usados para avaliar o modelo a luz
dos resultados da base de dados de crédito.
Tabela 2 - Probabilidades de Default (PD) Médias por Setores Econômicos e Intervalos de
Confiança de 95% (IC).
As probabilidades de default individuais são estimadas por uma opção down-and-out de troca
com taxas de juros estocásticas e saltos. As probabilidades médias são obtidas por uma
ponderação com pesos iguais para cada empresa. A amostra consiste de 47 empresas. A
alavancagem é obtida pela razão entre valor de mercado dos ativos e dívida.
Setor Econômico
#
Fir-
mas
PD
Médio
Maturidade
do Default
(meses)
IC
95%
IC
95%
PD
Ponderada
pela
Capitalização
Alavancagem
Média
Petroquímica 10
4.90% 12 0.00% 15.52% 3.15%
0.47
6.48% 15 0.00% 18.41% 4.86%
Siderurgia 8
5.12% 12 0.00% 17.28% 4.11%
0.69
6.82% 15 0.00% 20.80% 5.85%
Papel e Celulose 5
0.51% 7 0.00% 5.75% 0.50%
0.51
0.66% 8 0.00% 6.62% 0.65%
Alimentos 3
2.36% 12 0.00% 16.56% 1.40%
0.46
3.57% 15 0.00% 20.75% 1.95%
Bebida e Tabaco 2
1.05% 1 0.00% 13.14% 0.86%
0.27
1.45% 15 0.00% 15.66% 1.11%
Têxtil e Roupas 4
12.35% 12 0.00% 37.13% 1.91%
0.35
14.92% 15 0.00% 41.46% 2.56%
Telecomunicação 5
0.71% 10 0.00% 7.76% 0.69%
0.44
1.01% 12 0.00% 9.49% 1.02%
Energia 10
2.73% 12 0.00% 13.60% 3.09%
0.67
3.93% 15 0.00% 17.32% 4.38%
4.2 A Metodologia da Análise de Sobrevivência
Há uma ligação entre os resultados produzidos por modelos estruturais e pelos
reduzidos. Thomas (2006) afirma que não há diferença conceitual entre modelos estruturais e
53
reduzidos. Segundo o autor, a única diferença é relativa a maneira de se tratar a informação.
Guo, Jarrow e Zeng (2005) provêem uma rigorosa análise matemática para transformar
modelos estruturais em modelos de intensidade reduzidos. Elizalde (2005) deriva uma taxa
acumulada de insolvência consistente com um modelo reduzido através da especificação de
um modelo estrutural, onde investidores não tem acesso a informações completas sobre a
dinâmica dos processos que disparam a insolvência das empresas.
A técnica de análise de sobrevivência é derivada de modelos de forma reduzida. Seus
resultados representam as mudanças na probabilidade de default ao longo da vida útil do
empréstimo. A técnica especifica a probabilidade de falha, dado que não houve insolvência,
até um período determinado t, que permite a comparação com um modelo estrutural down-
and-out. O resultado deste modelo difere de outros modelos tradicionais, como a regressão
logística, porque incorpora o momento da insolvência no ciclo de vida do empréstimo. A
metodologia supõe a insolvência como a realização de um processo aleatório em que o
momento é uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade pode ser caracterizada
por uma função de sobrevivência, )(1)(Prob)( tFtTtS
−
=
>
=
, onde t é o tempo da falha, T
é o tempo do evento, S(t) a função de sobrevivência e F(t) é a função de distribuição
cumulativa para a variável aleatória.
A função de densidade de probabilidade f(t) é igual a -dS(t)/dt = S’(t). A função risco
(hazard function) )(th utilizada para descrever a distribuição do tempo até a insolvência é
).(/)(/)/(lim)(
'
tStSdttTdttTtPth −=>+<<=
Embora várias funções de risco pudessem ser utilizadas para a estimação das
probabilidades de falha, emprega-se a função de risco proporcional proposta por Cox (1972).
Além do fato do modelo ser o mais empregado em regressões de dados de sobrevivência,
54
outro motivo que levou a seleção deste modelo, é a não necessidade de suposições sobre a
distribuição dos dados.
18
O modelo apresenta a seguinte forma:
),()(),/(
0
BXgthBXth
=
(10)
Onde X representa uma coleção de variáveis que afeta a probabilidade de falha. )(
0
th é o
termo não paramétrico denominado função de risco de linha de base (baseline hazard
function). B representa os coeficientes do modelo, a serem estimados, que descrevem como
cada variável indicada afeta a probabilidade de falha. A função g apresenta um
comportamento exponencial.
Nossa amostra de dados de crédito compreende a informação de crédito mensal de 60
empresas do mercado brasileiro, divididas pelos oito setores da Tabela 2, o que perfaz um
total de 12.000 registros aproximadamente. As variáveis explicatórias utilizadas na análise de
sobrevivência são os pagamentos em dia, a dívida total, a dívida atrasada, as perdas
anteriores, o colateral, que é uma garantia diretamente ligada à operação, a instituição
financeira credora e/ou o conglomerado financeiro a que ela pertence, a classificação de
crédito do evento e outras garantias gerais envolvidas na operação. As variáveis pagamentos
em dia e dívida atrasada são subdivididas em períodos conforme definido pelo Banco Central.
A regressão para cada setor econômico segue a Equação 10. A Tabela 3 lista as regressões
finais, as variáveis por setor e os p-valores do teste t.
18
Glennon e Nigro (2005), Whalen (1991) e Lane, Looney e Wansley (1986).
55
Tabela 3 – Regressões de Análise de Sobrevivência por Setores Econômicos.
As Variáveis Explicatórias são: B) pagamentos em dia por vencimento: B1: até 180 dias; B2: de 181
a 360; e B3 mias de 360 dias; C) dívida total; E) dívida atrasada por período: E1:de 15 a 60 dias; E2: de 61
a 180 dias; E3: de 181 a 360 e E4, mais de 360 dias; F) perdas; G) colateral; H) instituição financeira e I)
conglomerado financeiro. A regressão segue a Equação 10.
Setor Econômico Equações
Petroquímica
E11082.2C1003.2B2103.77-B11021.1
-6-8-77
×+×+××−=
−
PD
)0014.0()0921.0()0230.0()0370.0(
Siderurgia
C1016.7B3106.99-B2101.12-B11063.9
-8-8-78
×+×××−=
−
PD
)0002.0()0000.0()0040.0()0000.0(
E21025.3E1108.1
-7-7
×+×+
)0000.0()0130.0(
Papel e Celulose
I104.2E2105.99B21034.1B11061.2
-4-867
×+×+×−×−=
−−
PD
)0627.0()0480.0()0211.0()0680.0(
Alimentos
E31043.1E21018.3E1108.45B11016.3
-5-7-87
×+×+×+×−=
−
PD
)0027.0()0360.0()0011.0()0380.0(
Bebida e Tabaco
G103.1C103.2B3102.41-B2102.4-B11035.2
-6-6-6-66
×+×+×××−=
−
PD
)0620.0()0630.0()0641.0()0580.0()0570.0(
Têxtil
+×+×××−=
−
C1074.3B3103.62-B2104.94-B11062.6
-7-7-77
PD
)0000.0()0000.0()0000.0()0000.0(
F108.01-E11084.2
-8-7
××+
)2800.0()0120.0(
Telecomunicação
E2102.1C1093.1B3101.97-B2102.7-B11099.1
-7-7-7-77
×+×+×××−=
−
PD
)0130.0()0001.0()000.0()0004.0()0000.0(
Energia
+×+×××−=
−
C101.3B3103.16-B2103.02-B11011.3
-7-7-77
PD
)0026.0()0019.0()0046.0()0022.0(
H101.05-G106.34E21085.1
-3-9-7
××+×+
)0075.0()2800.0()0720.0(
Para cada registro de cada empresa há dezesseis variáveis explicatórias. As empresas
foram agrupadas por setor e o critério de seleção das variáveis foi a razão de verossimilhança
e o teste t. Os sinais das variáveis gerados pela regressão provêem uma interessante
caracterização das estimativas de probabilidade de default. Por exemplo, verifica-se que os
pagamentos em dia são negativamente relacionados à probabilidade de default. Dívidas
56
atrasadas e o montante de dívida total são positivamente relacionados. Em relação às demais
variáveis do modelo, não foi possível verificar relações significativas.
19
A Tabela 4 apresenta as estimativas de probabilidades de default para cada setor
econômico pela metodologia de análise de sobrevivência. O setor têxtil e o siderúrgico
apresentam as maiores probabilidades de default. Este fato também é verificado na Tabela 2.
Outra similaridade entre as Tabelas 2 e 4 é o fato de não ter sido verificado o relacionamento
entre as probabilidades de default dos setores e suas respectivas alavancagens.
As probabilidades de default listadas na Tabela 4 são estimadas para os dois maiores
vencimentos. Os resultados de cada setor da Tabela 4 são comparados às estimativas de
probabilidades de default e aos seus respectivos intervalos de confiança indicados na Tabela
2. Estes resultados também são comparados as estimativas de probabilidade de default de três
outros modelos: o modelo de Merton simples, o modelo de Merton com uma estrutura down-
and-out e o modelo de Merton com uma estrutura de uma opção de troca down-and-out com
taxa de juros estocástica.
Tabela 4 – Probabilidades de Default (PD) por Setores Econômicos.
Os resultados são obtidos pela metodologia de análise de sobrevivência
aplicada aos 30% maiores empréstimos da base de dados de crédito. As
maturidades dos defaults são as duas maiores extraídas da base.
Setor Econômico
Default
PD
Default
PD
(em meses) (em meses)
Petroquímica 12 1.00% 15 1.20%
Siderurgia 12 7.90% 15 8.10%
Papel e Celulose 7 0.00% 8 0.00%
Alimentos 12 0.90% 15 1.00%
Bebida e Tabaco 1 0.00% 15 0.00%
Têxtil 12 7.50% 15 8.80%
Telecomunicação 10 3.30% 12 3.30%
Energia 12 5.90% 15 6.20%
19
Foi rodada uma regressão de painel, mas as variáveis garantias gerais e perdas não tiveram coeficientes
significativos.
57
Para o modelo proposto, verifica-se que as probabilidades de default da base de dados
de crédito listadas na Tabela 4 estão dentro do intervalo de confiança, apresentados na Tabela
2, para todos os setores e vencimentos. Este fato não é observado para os outros três modelos.
Para o modelo de Merton simples e para a versão down-and-out, as probabilidades de falha
dos setores de siderurgia, telecomunicações e energia não estão dentro do intervalo de
confiança. Para o modelo de Merton com uma estrutura de uma opção de troca down-and-out
e taxas de juros estocásticas, a exceção de telecomunicações, todos os setores encontram-se
incluídos no intervalo.
O teste de médias revela que os resultados do modelo proposto são menos dispersos
que os resultados das demais metodologias. Com isso, as probabilidades de default para o
conjunto de empresas do mesmo setor econômico são mais próximas. Além disso, quando o
processo de salto é levado em consideração, há uma correção dos erros de estimação de cada
empresa na direção correta do intervalo de confiança. Para 77,8% das situações, quando a
opção de troca down-and-out apresenta uma probabilidade de default maior que a
probabilidade da base de dados de crédito, a inclusão do salto ajusta a probabilidade para
baixo. Quando a opção de troca down-and-out apresenta uma probabilidade de default menor
que a probabilidade da base de dados de crédito, a inclusão do salto ajusta a probabilidade
para cima em 100% das vezes.
A Tabela 5 apresenta a estatística descritiva dos erros de estimação, bem como a
distância padrão da probabilidade de default de cada modelo e das estimativas da Tabela 4. O
modelo de Merton com uma estrutura de uma opção de troca down-and-out com taxa de juros
estocástica e saltos apresenta a menor mediana e desvio padrão das medidas de erro.
58
Tabela 5 – Estatística Descritiva das Medidas de Erro dos
Modelos Estruturais.
Estatística
Merton
(1974)
Merton
Down-and-
Out
Opção de
Troca
Down-and-
Out
Opção de
Troca
Down-and-
Out com
Saltos
Mínimo (1,58) (1,58) (1,58) (1,51)
1
o
Quantil (0,82) (0,69) (0,56) (0,51)
Mediana (0,52) (0,43) (0,35) (0,31)
3
o
Quantil (0,35) (0,34) (0,10) 0,20
Máximo 5,49 9,02 15,16 12,74
Média (0,45) (0,28) 0,37 0,38
Desv.
Padrão
1,15 1,70 2,80 2,47
4.3 Reconciliando a Informação do Mercado e da Base de Dados de Crédito
Duffie e Lando (2001) demonstram que é possível transformar um modelo estrutural
com um tempo para default previsível em um modelo de forma reduzido. Astebro e Chen
(2003) afirmam que efeitos de processos de saltos deveriam ser incorporados ao modelo
estrutural para ajustar estes resultados com as probabilidades de default dos modelos
reduzidos. O objetivo é estimar o impacto da informação do mercado de crédito através de um
evento de salto no preço da ação da empresa. Devido à base de dados de crédito estudada não
possibilitar a estimativa da probabilidade de default de cada firma, utiliza-se as probabilidades
de setores da Tabela 4 como proxies. O modelo proposto é flexível o suficiente para se ajustar
a diferentes estruturas de spreads de crédito o que permite o seu uso como modelo de
previsão. Por conta desta propriedade, estimam-se as mudanças percentuais do preço da ação
explicadas pelo salto de maneira que os resultados do modelo estrutural de cada empresa
sejam iguais às probabilidades de default de setores econômicos da Tabela 4.
59
Tabela 6 – Estatística Descritiva das Volatilidades do Salto (δ).
Os resultados foram estimados para cada empresa, mas estão apresentados por
setores.
Estatística
(δ)
Energia Alimentos Têxtil Telecom. Siderurgia Petroquímica
Mínimo
0,50% 0,17% 5,60% 4,30% 1,06% 9,30%
1
o
Quantil
2,75% 2,24% 9,40% 6,85% 2,78% 11,15%
Mediana
5,10% 4,30% 13,20% 9,75% 3,60% 13,00%
3
o
Quantil
8,20% 18,15% 17,00% 15,58% 18,35% 15,85%
Máximo
12,20% 32,00% 20,80% 26,90% 28,10% 18,70%
Média
5,51% 12,16% 13,20% 12,68% 10,72% 13,67%
Desv.
Padrão 3,74% 17,31% 10,75% 9,97% 10,78% 4,74%
A Tabela 6 apresenta a estatística descritiva das volatilidades dos saltos das empresas
classificadas por setor econômico. A análise dos resultados proporciona um interessante
insight sobre a utilização de modelos estruturais para a estimação de probabilidades de default
no período estudado. Assim como na Tabela 5, como os resultados não apresentam uma
distribuição normal, usa-se a mediana como medida primária de tendência central. Para a
maioria dos setores, as volatilidades observadas no mercado de ações não são altas o bastante
para igualar as probabilidades de default em ambos os mercados. Isto ocorre porque há
informação negativa ou uma maior aversão a risco no mercado de dívida destes setores. Por
exemplo, observa-se que a volatilidade do setor têxtil deveria ser 13,20% maior para que
houvesse uma reconciliação entre os mercados de ação e dívida. No setor petroquímico,
dever-se-ia observar uma volatilidade 13% maior. Isto significa que credores são mais
cuidadosos quando estão lidando com empresas destes setores econômicos. Para o setor de
siderurgia, uma volatilidade somente 3,6% maior já reconciliaria ambos os mercados.
Por outro lado, em alguns setores observa-se que as volatilidades do mercado de ações
são muito altas, como o papel e celulose e bebidas e fumo. Nestes setores, ou os credores não
percebem o risco da mesma forma que os investidores do mercado de ações, ou apresentam
comportamento de tomadores de risco.
60
O desvio padrão indica o quão disperso esta medida de aversão a risco do mercado de
ações, indicada pela volatilidade teórica do salto, está distribuída entre as empresas. Os
setores de alimentos e siderurgia apresentam medidas de dispersão bem consideráveis. Isto
significa que as empresas destes setores são mais heterogêneas, o que pode ser confirmado
pelas diferenças entre os máximos e mínimos. Por outro lado, as empresas dos setores de
energia e petroquímica aparentam ser mais homogêneas.
As medidas da volatilidade teórica dos saltos podem ser úteis para a previsão de
probabilidades de default. A incerteza dos modelos na previsão das probabilidades pode ser
explicada pela não consideração do fator de salto. Este fator pode ser utilizado como uma
penalidade nos modelos estruturais de maneira a produzir resultados precisos entre os
mercados de ação e de crédito ou entre modelos estruturais e reduzidos. Para a amostra
estudada, a penalidade mínima para qualquer setor não chega a uma volatilidade do salto
maior do que 10%. Por exemplo, para o setor de alimentos, a penalidade mínima é de 0,17% e
a máxima, uma volatilidade maior em 32%.
5 CONCLUSÃO
A pesquisa desenvolve uma fórmula tratável de um modelo estrutural que permite o
cálculo de probabilidades de default de empresas. Este modelo proposto é desenvolvido sob
suposições de processos neutros ao risco para o comportamento do ativo e da dívida através
de movimentos Brownianos geométricos. O modelo é compatível com uma série de estruturas
a termo de taxa de juros. Fatores de saltos são adicionados ao modelo proposto para tornar o
modelo sensível à chegada de novas informações. Além disso, o modelo apresenta uma
barreira estocástica para detectar a insolvência em qualquer momento que o valor de mercado
do ativo alcance um valor menor do que a dívida. O modelo final apresentado é uma
aproximação computacional bem razoável para estimativas de probabilidades de default.
61
Um experimento é conduzido no mercado brasileiro, através da base de dados de
crédito do Banco Central. Os registros da base foram classificados de acordo com os setores
econômicos e as probabilidades de default foram estimadas através da metodologia de análise
de sobrevivência. Verifica-se que se considerarmos os dados agregados por setor econômico,
todas as probabilidades de default geradas na base de dados de crédito estão dentro do
intervalo de confiança do modelo proposto. Este resultado foi comparado com os resultados
gerados por três outros modelos estruturais e o desempenho de todos eles foi relativamente
pior.
Quando as probabilidades de default individuais das empresas, geradas pelo modelo
estrutural proposto, são comparadas como as probabilidades de default setoriais da base de
crédito os resultados não são tão bons. Isto já era esperado, pois para esta segunda base de
dados não é possível estimar a probabilidade de default de cada empresa. Para ultrapassar esta
limitação, utilizam-se as probabilidades de default setoriais como uma referência para a
calibragem do modelo proposto. O processo é executado através do ajuste da volatilidade do
salto. O procedimento gera resultados interessantes. Demonstra-se que a variável calibrada
explica de maneira bem razoável a diferença entre as probabilidades de default verificadas no
mercado de ações e no mercado de dívida.
Modelos estruturais, por definição, apresentam a limitação de necessitarem de dados
de mercado. Esta característica, dado o atual estágio do mercado de capitais brasileiros e dado
ao número pequeno de empresas listadas, pode inviabilizar uma aplicação mais ampla deste
modelo. Entretanto, como detalhado anteriormente, dado a dificuldade da obtenção de bases
de dados, este modelo ainda se apresenta como a melhor alternativa para estimativa e
tratamento do risco de crédito, principalmente se complementado por informações de modelos
reduzidos. Para futuras pesquisas, uma base de dados de crédito com identificação das
empresas poderia auxiliar na melhor compreensão e no teste dos resultados deste modelo.
62
Destaca-se ainda, que dado que o salto é o fator responsável pela efetiva correção dos erros de
estimação, pelo menos se considerarmos a amostra estudada, modelos estruturais mais
simples, decorrentes do caso geral deduzido neste trabalho, poderiam ser testados. Desta
forma, poderíamos ter pelo menos mais dois modelos com perspectivas de apresentarem bons
resultados: O modelo de Merton com saltos e um modelo com estrutura de uma opção de
troca com saltos.
63
Ensaio 3
Uma Maneira Simples de se Extrair Medidas Reais de Modelos de
Apreçamento de Derivativos
64
RESUMO
O objetivo deste artigo é explicar o porquê de apesar dos preços
extraídos dos modelos de opções serem estimados com base em probabilidades
sintéticas, eles serem os mesmos no mundo real e no mundo neutro ao risco.
Recursos de planilha eletrônica são apresentados para a discussão de princípios
teóricos relacionados ao apreçamento de derivativos, por exemplo, a igualdade
entre volatilidades reais e volatilidades neutras ao risco. Além disso, uma rotina
de conversão de probabilidades sintéticas para probabilidades reais é
apresentada, o que é muito útil para a análise de problemas de opções reais e
para a estimação de probabilidades de default de empresas.
ABSTRACT
This paper is helpful to explain students that although synthetic
probabilities are different from true probabilities, derivative prices are the same
in real and risk-neutral worlds. We explore the resources of an Excel
spreadsheet to discuss the main theoretical principles related to options. For
example, we show that risk-neutral and true volatilities are equal, even though
securities expected returns are different in both worlds. We present a routine to
convert derivatives models synthetic probabilities of exercise into actual
probabilities, which is a very useful tool to analyze real option problems as, for
instance, the task of estimating company’s default probabilities.
65
1 INTRODUÇÃO
Em 1973, Fisher Black e Myron Scholes (Black e Scholes, 1973) publicaram seu trabalho
seminal sobre precificação e hedging de opções européias plain vanilla. Uma solução fechada foi
derivada e o lema de Itô (Itô, 1942) foi formalmente apresentado à área de finanças. Embora a
fórmula apresente uma solução analítica elegante, o modelo mais intuitivo só apareceu em 1979,
com o trabalho de Cox, Ross e Rubinstein (Cox, Ross e Rubinstein, 1979). Este modelo facilitou
o entendimento sobre o apreçamento de derivativos e o apreçamento de opções reais,
rapidamente tornando-se disseminado por operadores e interessados na área.
Neste trabalho de 1979, os autores demonstram que a solução do modelo converge para
Black & Scholes quando as mesmas suposições se fazem válidas, quando o período de tempo
tende a infinito e o comprimento de cada passo é infinitesimalmente curto. A criação de carteiras
sem risco exclui oportunidades de arbitragem e permite a obtenção de preços justos dos
derivativos ao se descontar os payoffs ponderados pelas probabilidades sintéticas pela taxa de
juros do ativo livre de risco. Como conseqüência, o conceito de neutralidade ao risco aparece e os
preços de todos os derivativos tornam-se função das probabilidades sintéticas, dos payoffs
esperados e da taxa de juros.
Entender que, apesar das probabilidades sintéticas serem diferentes das probabilidades
reais, o preço dos derivativos é o mesmo em ambos os mundos, não é uma tarefa muito simples.
Além disso, a complexidade pode aumentar se a informação desejada é a probabilidade, ao invés
do preço, pois neste caso há a necessidade de tratamento das informações estimadas no mundo
neutro ao risco. A metodologia desenvolvida pela KMV (2001 e 2002) foi a primeira a tratar a
probabilidade de default neutra ao risco de Black & Scholes. Através de uma base de dados
própria de freqüências de default de empresas, a metodologia chega a uma probabilidade de
default verdadeira, ajustada ao risco para qualquer horizonte de tempo. Farmen et al (2000)
66
apontam que a estimação da probabilidade de default verdadeira é crucial para que os bancos
consigam computar dentre outras informações, perdas esperadas e perdas inesperadas, o capital
econômico e medidas de retorno ajustadas para risco. O artigo deriva um modelo de conversão e
discute exemplos numéricos da diferença entre probabilidades de default sintéticas e reais e as
conseqüências na gestão de risco de crédito. Em suas conclusões, os autores ressaltam que os
bancos não devem ignorar informações do mercado de ações, principalmente a probabilidade de
default derivada de modelos de opção, mas devem ajustar esta estimativa devido à possibilidade
das probabilidades neutras ao risco subestimarem o risco verdadeiro. A partir daí, vários
trabalhos empíricos investigaram a relação entre probabilidades de default sintéticas e reais,
como Bohn (2000), Huang e Huang (2003) e Driesen (2005). Dois importantes estudos apontam
para diferenças significativas entre probabilidades estimadas no mundo neutro ao risco e
probabilidades estimadas no mundo real. Liu et al (2003) encontram diferenças significativas
entre densidades neutras ao risco e densidades verdadeiras e derivam uma transformação através
de calibragem de fatores estatísticos. Berndt et al (2004) realizam o mais extensivo estudo
empírico sobre probabilidades de default. Neste estudo, preços de mercado de CDS (credit
default swaps) são utilizados para inferir probabilidades de default neutras ao risco. Os autores
rodaram regressões dos spreads observados para os CDS’s de 5 anos contra freqüências
esperadas de default de 5 anos de uma grande quantidade de empresas. A pesquisa demonstra que
probabilidades de default verdadeiras e neutras ao risco podem diferir substancialmente. Com
isso, os autores recomendam cuidados a serem considerados no gerenciamento do risco e
principalmente, a necessidade da distinção dos dois conceitos, mundo neutro ao risco e mundo
real, quando da apresentação de dados das empresas.
Este trabalho discute o problema de estimação de variáveis no mundo neutro ao risco e no
mundo real de uma maneira bem simples, provendo uma metodologia para se entender a intuição
67
por trás do uso de mudanças de medida de probabilidade. No caso discreto, a mudança de
probabilidade é possível devido ao teorema de Radon-Nikodym, que transforma a média sem
alterar a variância. No caso contínuo, a mudança é possível devido ao teorema de Girsanov
(1960). Através de uma planilha eletrônica, demonstra-se que apesar dos retornos dos ativos
serem diferentes no mundo real e no mundo neutro ao risco, a volatilidade é a mesma. Além
disso, exercícios são apresentados para ilustrar a metodologia de obtenção de probabilidades de
exercício verdadeiras.
O artigo está dividido na seguinte estrutura: a Seção 2 discute o modelo binomial e
apresenta um modelo teórico de mudança de medida através de árvores binomiais. A Seção 3
apresenta o processo de conversão de probabilidades de exercício. A Seção 4 ilustra um exemplo
aplicado a probabilidades de default e a Seção 5 conclui o estudo.
2 O MODELO BINOMIAL
O modelo binomial requer a quebra do tempo para expiração do derivativo em intervalos
de tempo ou passos. O movimento do ativo-objeto é representado em uma árvore recombinada de
preços com ramificações para baixo e para cima. A árvore representa todas as possíveis
trajetórias que o ativo-objeto pode realizar durante a vida da opção. Na data de expiração, isto é,
no final da árvore, todos os valores intrínsecos da opção são determinados. Subsequentemente, os
preços das opções em cada passo da árvore são obtidos de trás para frente, através de
probabilidades neutras ao risco do ativo-objeto de movimento para cima ou para baixo
descontadas pelo ativo livre de risco. Ajustes para dividendos e exercícios de opções de venda
americana são também possíveis.
68
2.1 Modelo Binomial de 1 Passo
Este exemplo segue as suposições de Cox, Ross e Rubinstein sobre o movimento do preço
do ativo-objeto. Considera-se uma opção de compra padrão de um ativo-objeto que não paga
dividendos, com os seguintes parâmetros:
Preço do Ativo Atual = $100
Preço de Exercício = $110
Volatilidade Anual do Ativo = 60%
Taxa de Juros Livre de Risco (em ano) = 6%
Tempo para o Vencimento (em dias) = 180
Como demonstrado por Copeland, Weston e Shastri (2005), a suposição de não
arbitragem permite o cálculo de probabilidades neutras ao risco baseadas no movimento binomial
do ativo-objeto e na taxa de juros do ativo livre de risco. Supondo-se que o preço do ativo-objeto
pode se mover para cima por um fator de crescimento u ou para baixo por um fator d, a
probabilidade sintética
,q
é dada por
du
dr
q
−
−
+
=
1
, onde,
t
S
eu
∆
=
σ
e
t
S
ed
∆−
=
σ
.
Na formula acima,
t∆
indica o intervalo de tempo de um passo, em bases anuais, isto é, o
tempo para expiração dividido pelo número de passos,
r
é a taxa de juros de um passo do ativo
livre de risco e
S
σ
a volatilidade anual. Os resultados são válidos para qualquer par de u e d, com
a restrição por arbitragem de que
urd
≤
+
≤
1
.
A taxa de retorno e a variância do ativo-objeto em um mundo binomial neutro ao risco são
dadas por
1))1(( −−+= dqqu
µ
e
22
))(1( duqq −−=
σ
. A taxa de retorno anual e a variância
69
anual são
]1)1[(
1
−+
∆t
µ
e t∆
σ
, respectivamente. O lado esquerdo da Tabela 1 apresenta os
resultados da opção descrita acima para o modelo binomial de um passo. Os preços dos
derivativos e as respectivas taxas de retorno esperadas, ou
drifts, são obtidas e apresentadas no
lado direito da Tabela. Observe que no mundo neutro ao risco, todos os retornos esperados são
iguais. Estes retornos esperados são calculados pelo produto dos retornos esperados da opção na
árvore binomial de um passo pelas suas respectivas probabilidades sintéticas. A probabilidade
sintética da opção de compra (call) é
q. Para a opção de venda européia (put), a probabilidade
sintética é
1-q.
Tabela 1. Avaliação Neutra ao Risco do Modelo Binomial de 1 Passo
Resultados do Mundo Neutro ao Risco
Preço da Ação (S) 100 Preço da Opção de Compra 17,86640402
Preço de Exercício (K) 110 Preço da Opção de Venda 24,70784888
Volatilidade anual (
σ
s
)
60%
Tempo para Vencimento (dias) 180 Ação Call Put
Taxa de Juros Livre de Risco 6% Retorno Esperado de 1 passo 2,956% 2,956% 2,956%
Número de Passos 1 Retorno Esperado Anual 6,00% 6,00% 6,00%
Parâmetros
∆
t
0,5 Volatilidade da Ação 1 passo 0,432716909
Tx de Juros sem Risco 1 passo 2,956% Volatilidade Anual da Ação 0,611954122
u
1,52846516
d
0,654251092 Probabilidade de Exercício da Call 42,93%
q (probabilidade sintética)
0,429313524 Probabilidade de Exercício da Put 57,07%
Dados
=(1+6%)^0,5-1
=1- 42,93%
As probabilidades indicadas acima para os títulos não são as verdadeiras probabilidades.
As probabilidades de exercício verdadeiras dos derivativos são obtidas se supormos que
conhecemos o custo de capital do ativo-objeto,
k
S
, isto é, o retorno esperado pelo investidor por
estar investindo nesta ação. Desta forma, podemos estimar as probabilidades verdadeiras para
70
movimentos de subida e descida,
p e 1-p. A probabilidade de subida é ,
1
du
dks
p
t
−
−
+
=
∆
onde
t
ks
∆
é o custo de capital de um passo. A equação necessária para o cálculo da volatilidade no
mundo real é similar à do mundo neutro ao risco, apresentada anteriormente, porém com
p ao
invés de
q.
A Tabela 2 reapresenta os dados com objetivo de indicar a probabilidade verdadeira
,
p
a
verdadeira taxa de retorno anual para os três títulos, suas volatilidades e a probabilidade de
exercício estimada pelo modelo binomial de um passo. No exemplo, o custo de capital anual da
ação é supostamente dado como 30%.
Tabela 2. Variáveis do Mundo Real do Modelo Binomial de 1 Passo
Resultados do Mundo Real
Preço da Ação (S) 100 Preço da Opção de Compra 17,86640402
Preço de Exercício (K) 110 Preço da Opção de Venda 24,70784888
Volatilidade anual (
σ
s
)60%
Tempo para Vencimento (dias) 180 Ação Call Put
Taxa de Juros Livre de Risco 6% Retorno Esperado de 1 passo 14,018% 33,30% -19,87%
Custo de Capital Anual da Ação 30% Retorno Esperado Anual 30,00% 77,69% -35,79%
Número de Passos 1
Parâmetros
Volatilidade da Ação 1 passo 0,434372456
∆
t
0,5 Volatilidade Anual da Ação 0,614295419
Custo de Capital 1 passo 14,018%
u
1,52846516 Probabilidade de Exercício da Call 55,58%
d
0,654251092 Probabilidade de Exercício da Put 44,42%
p (probabilidade verdadeira)
0,555841356
Dados
=(1+30%)^0,5-1
Ao compararmos os resultados das Tabelas 1 e 2, observa-se que no mundo real os
retornos esperados dos títulos não são semelhantes. Assim como na Tabela 1, o retorno esperado
é dado como o produto dos retornos esperados da opção na árvore binomial de um passo pelas
suas respectivas probabilidades, neste caso, verdadeiras. O retorno esperado da opção de compra
71
é maior que o retorno esperado da ação devido ao maior risco. O retorno esperado da opção de
venda é negativo, o que indica que investidores compram este título apenas para hedge. A
probabilidade de exercício da opção de compra é maior no mundo real do que no mundo neutro
ao risco. Por outro lado, a probabilidade de exercício da opção de venda é menor. Os fatores de
subida e descida não se alteram. Com relação às volatilidades, embora os retornos esperados dos
títulos sejam consideravelmente diferentes em ambos os mundos, as volatilidades anuais são
bastante próximas.
2.2 Modelo Binomial de N Passos
À medida que o número de passos aumenta, há uma convergência entre a distribuição de
probabilidade do modelo binomial e a função de distribuição normal. Cox, Ross e Rubinstein
demonstram que se
t
eu
∆
=
σ
e
t
ed
∆−
=
σ
, então os preços do ativo-objeto apresentam uma
distribuição lognormal e os resultados do modelo convergem para Black & Scholes. A Tabela 3
apresenta o resultado para diferentes números de passos de 1 a 10.000. Verifica-se que, no mundo
neutro ao risco, os retornos esperados são os mesmos para todos os ativos, ou seja, a taxa de juros
do ativo livre de risco. Este valor não se altera com a variação do número de passos. À medida
que o número de passos aumenta, os preços dos derivativos convergem para Black & Scholes.
A Tabela 3 apresenta resultados do modelo binomial de n passos no mundo neutro ao
risco e no mundo real para opções de compra e de venda. Os resultados indicam que retornos
esperados no mundo real e no mundo neutro ao risco são diferentes e que a diferença entre a
volatilidade real e a volatilidade neutra ao risco converge rapidamente para zero. Os retornos
esperados são estimados por funções em visual basic apresentadas no Apêndice. A mudança de
referência de risco,
q e p, também denominada de mudança de medida é conduzida pela
72
adaptação do retorno esperado do ativo-objeto, ou o
drift. Esta mudança não causa modificação
da volatilidade. Entretanto, as diferenças entre a probabilidade de exercício neutra ao risco e a
probabilidade de exercício real são significativamente diferentes. A Figura 1 ilustra o
comportamento das diferenças entre as volatilidades e das diferenças entre as probabilidades em
ambos os mundos de acordo com o número de passos.
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
0
40
8
0
1
6
0
3
20
6
4
0
100
0
15
00
Passos
Diferença entre as
Probabilidades
-0,25%
-0,20%
-0,15%
-0,10%
-0,05%
0,00%
Diferença entre as
Volatilidades
Figura 1. Diferenças entre as Probabilidades e as Volatilidades Estimadas no Mundo Real e no Mundo
Neutro ao Risco, de acordo com o Número de Passos.
73
Tabela 3. Retorno Esperado e Volatilidade do Ativo-Objeto, Preços de Opções e Probabilidades de Exercício do Modelo Binomial de N Passos
Passos
Retorno
Esperado
Anual
Volatilidade
Anual
Retorno
Esperado
Anual
Volatilidade
Anual
Preço
Retorno
Esperado
Anual
Probabilidade
de Exercício
Retorno
Esperado
Anual
Probabilidade
de Exercício
Preço
Retorno
Esperado
Anual
Probabilidade
de Exercício
Retorno
Esperado
Anual
Probabilidade
de Exercício
1 6,00% 61,20% 30,00% 61,43% 17,8664 6,00% 42,93% 77,69% 55,58% 24,7078 6,00% 57,07% -35,79% 44,42%
5 6,00% 60,24% 30,00% 60,30% 14,5685 6,00% 44,02% 111,01% 54,18% 21,4099 6,00% 55,98% -35,87% 45,82%
10 6,00% 60,12% 30,00% 60,15% 14,4900 6,00% 32,26% 114,16% 41,58% 21,3314 6,00% 67,74% -35,08% 58,42%
50 6,00% 60,02% 30,00% 60,03% 14,1842 6,00% 38,77% 117,19% 48,27% 21,0256 6,00% 61,23% -35,50% 51,73%
100 6,00% 60,01% 30,00% 60,02% 14,1532 6,00% 32,87% 117,60% 41,98% 20,9947 6,00% 67,13% -35,51% 58,02%
500 6,00% 60,00% 30,00% 60,00% 14,1693 6,00% 35,68% 117,56% 44,97% 21,0107 6,00% 64,32% -35,44% 55,03%
1000 6,00% 60,00% 30,00% 60,00% 14,1652 6,00% 35,76% 117,61% 45,06% 21,0066 6,00% 64,24% -35,44% 54,94%
10000 6,00% 60,00% 30,00% 60,00% 14,1614 6,00% 35,44% 117,65% 44,71% 21,0028 6,00% 64,56% -35,45% 55,29%
Mundo Neutro ao Risco Mundo Real
Ativo-Objeto
Mundo Neutro ao Risco Mundo Real
Opção de Compra Opção de Venda
Mundo Neutro ao Risco Mundo Real
Os resultados por Black & Scholes são: Preço da Opção de Compra = 14,1612; Preço da Opção de Venda Européia = 21,0027; Probabilidade de Exercício da
Opção de Compra N(d2) = 35,64%, e N(-d2) = 64,36% para a Opção de Venda Européia. Neste exemplo, os preços das opções de compra e de venda são
dados pelas funções ‘opt_binomial’. As probabilidades de exercício são estimadas por ‘Prob_exercise_binomial’ e os retornos esperados anuais são
calculados por ‘opt_binomial_expectedreturn’. Estas funções encontram-se no Apêndice.
74
Pelo gráfico, a diferença entre volatilidades tende a zero. Isto significa que à medida
que nos movemos para uma medida de risco diferente, a taxa esperada de crescimento do
retorno do ativo muda, mas a volatilidade permanece a mesma. Isto ocorre devido à mudança
de probabilidade. No caso discreto, a mudança de probabilidade é possível pela aplicação do
teorema de Radon-Nikodym. Pelo teorema, se a derivada da medida neutra ao risco com
respeito à medida do mundo real existe, então, este resultado pode ser utilizado para
transformar a média sem alterar a variância.
Considere o movimento de um ativo representado por uma árvore de dois passos,
conforme a Figura 2.
Tempo 0 Tempo 1 Tempo 2
Do tempo zero ao tempo dois, podem-se seguir as seguintes trajetórias: {0, 1, 2}, {0,
1, 0}, {0, -1, 0} e {0, -1, -2}. As probabilidades de cada trajetória podem ser representadas de
acordo com a Tabela 4.
p
3
1-p
3
1-p
1
1-p
2
p
2
p
1
0
1
-1
2
0
-2
Figura 2. Árvore Recombinante de Dois Passos.
75
Tabela 4. Probabilidades de Trajetórias
Possíveis na Árvore Recombinante de Dois
Passos.
Trajetória Probabilidade
{0, 1, 2} p
1
p
2
= :
1
π
{0, 1, 0} p
1
(1- p
2
)
= :
2
π
{0, -1, 0} (1 - p
1
) p
3
= :
3
π
{0, -1, -2} (1 - p
1
)(1 – p
3
)
= :
4
π
Este mapeamento de trajetórias representado pelas probabilidades de trajetórias pode
ser visto como a especificação da Medida P. Conhecendo-se
1
π
,
2
π
,
3
π
e
4
π
é possível
determinar-se p
1
,
p
2
e
p
3
. Esta mesma trajetória também pode ser representada com
probabilidades q
1
,
q
2
e
q
3
. Neste caso, as novas probabilidades de trajetórias seriam
'
1
π
,
'
2
π
,
'
3
π
e
'
4
π
e a medida correspondente a estas especificações é a Medida Q. Dado a razão
i
i
π
π
'
para cada trajetória i, o mapeamento de trajetórias destas razões pode ser escrito como
dP
dQ
. Esta variável é denominada a derivada de Radon-Nikodym de Q com respeito a P no
tempo 2. A Figura 3 a seguir retrata como se dá a mudança de medida.
76
Para um processo estocástico contínuo, a mudança é possível devido à aplicação do
teorema de Girsanov (1960). O teorema permite que todos os derivativos possam ser
apreçados como se o investidor fosse neutro ao risco. Como conseqüência do teorema, o
drift,
que incorpora preferências de risco do investidor, é somente uma medida de probabilidade e
não uma variável que necessita ser estimada para o modelo de apreçamento. Com isso,
embora dois investidores quaisquer possam discordar da taxa de retorno esperada de uma
ação, eles irão concordar sobre o valor justo da opção desta ação, supondo que eles estimem a
mesma volatilidade.
O teorema de Girsanov foi importante para a aplicação dos martingales no
apreçamento de opções.
1
A definição de um processo de Itô significa estimar a probabilidade
de cada trajetória que o processo pode seguir, através de uma função densidade de
probabilidade. Entretanto, uma simples função não irá capturar a natureza do processo, nem
mesmo todas as distribuições para cada tempo
t. Necessita-se de todas as distribuições em
cada tempo
t condicional a cada história
S
ℑ
para todos os tempos s < t. Estas distribuições
são determinadas sobre uma medida de probabilidade. Aplicando o teorema de Girsanov,
1
A teoria de martingales foi proposta originalmente por Ville (1939) e permite que se estime o preço livre de
arbitragem de qualquer ativo.
2
'
2
ππ
3
'
3
ππ
Figura 3. Mudança de Medida no Último Passo da Árvore, de acordo
com a Derivada de Radon-Nikodym.
4
'
4
ππ
1
'
1
ππ
77
muda-se esta medida e o novo processo pode ser reescrito como uma integral de Itô cujo
processo é martingale.
2
A intuição de tempo contínuo na Figura 1 é obtida pelo maior número de passos e
demonstra que a diferença de volatilidades é zero. Isto significa que mudanças de medida de
neutro ao risco para real não impactam a volatilidade. Em relação às probabilidades, a
diferença entre a medida neutra ao risco e a real se estabiliza. Com isso, faz-se necessário uma
conversão de probabilidades.
3 CONVERSÃO DE PROBABILIDADES DE EXERCÍCIO
O modelo que reproduz o comportamento do preço do ativo
S pode ser aproximado
pela dinâmica descrita por uma equação diferencial estocástica, ,
SdWSdtdS
σ
µ
+
=
onde
σ
é
a volatilidade dos retornos do ativo e
µ
é o retorno esperado do ativo. No mundo neutro ao
risco, como o preço de mercado do risco é zero, o comportamento deste mesmo ativo seria
,
~
WSdrSdtdS
σ
+= onde
r
é a taxa de juros do ativo livre de risco. Girsanov mostra que os
dois processos estão relacionados se
dtdWWd
λ
+=
~
. Desta forma, a solução obtida no
mundo neutro ao risco é válida no mundo real, e, comparando-se as equações diferenciais dos
dois mundos, verificamos que
σ
µ
λ
)( r
−
=
.
Considerando que
λ
é o retorno esperado da ação no mundo real e que quando o
número de passos aumenta, a binomial tende a uma função de distribuição normal cumulativa
Φ , a transformação de uma probabilidade neutra ao risco ( rn ) de uma opção de compra para
uma probabilidade real (
R
) é dada por:
))((
1
λ
+ΦΦ=
−
rnR
2
Ver Shreve (2003).
78
Para uma opção de venda, o sinal anterior ao retorno esperado da ação no mundo real
deve ser negativo. Esta mudança é extremamente útil para derivativos com fórmulas fechadas.
Seja um warrant com preço de conversão de $28, preço da ação de $25, volatilidade 30%,
taxa de juros livre de risco de 14.5% e custo de capital de 25%. Pela equação de Black &
Scholes, temos uma probabilidade de exercício de 79%. Entretanto, se convertermos esta
probabilidade de exercício para o mundo real, chegamos ao valor de 96%. Esta precisão é
importante para que investidores possam compreender realmente os benefícios deste título.
Para a opção descrita no item 2.1, o prêmio de risco é dado por,
(
)
T
TRK
S
fS
σ
λ
−
=
,
onde,
S
K e
f
R , são os custos de capital e a taxa de juros livre de risco, e
S
σ
a volatilidade
anual. Desta forma, temos que
(
)
,%301ln
+
=
S
K
(
)
%,60e5.0,%61ln ==
+
=
Sf
TR
σ
com
um prêmio de risco,
λ
, de 0.2405. Por Black & Scholes,
(
)
2
dN é a probabilidade de
exercício, igual a 35,64%, e
2
d sua inversa, igual a –0,3681. A probabilidade de exercício
verdadeira da opção de compra é obtida adicionando-se o
λ
a
2
d
, cujo resultado é -0.1276, e
estimando-se sua correspondente distribuição normal cumulativa padrão, no caso igual a
44.92%.
4 OBTENÇÃO DE PROBABILIDADES DE DEFAULT REAIS
A metodologia examinada acima é útil para estimar probabilidades de default reais
baseadas em preços de ações. A probabilidade de default neutra ao risco é estimada pelos
procedimentos sugeridos por Merton (1974), no qual a empresa é avaliada como uma opção.
Neste caso, se os ativos estimados a valor de mercado é menor ou igual ao valor de mercado
da dívida, a empresa será entregue aos credores. Neste exercício, replica-se o exemplo
apresentado no capítulo vinte e seis de Hull (2003), convertendo-se a probabilidade sintética
79
para a verdadeira. O valor de mercado das ações da empresa é de $ 3 milhões com uma
volatilidade anual de 80%. A empresa apresenta um montante de dívidas no valor de $ 10
milhões a ser paga em um ano. A taxa de juros livre de risco é de 5% e o custo de capital da
ação é definido como 16%.
A aplicação do modelo de Merton demanda a solução do par de equações simultâneas
que resolve a volatilidade do ativo )(
V
σ
e o valor de mercado dos ativos da empresa )(
0
V . A
primeira equação é a própria formula de Black & Scholes no qual o ativo-objeto é o ativo da
empresa e o valor da opção de compra é o valor de mercado das ações (1). A segunda equação
é obtida a partir do lema de Itô (2).
)()(
2100
dNDedNVE
rT−
−=
(1)
010
)( VdNE
VE
σ
σ
=
(2)
onde
Tdd
T
TrDV
d
V
V
V
σ
σ
σ
−=
++
=
12
2
0
1
e
)()/ln(
.
No exemplo, temos que 10e1,05,0,8,0,3
0
=
=
=
=
= DTrE
E
σ
. Resolvendo as equações (1)
e (2), encontramos que 2123,0e40,12
0
=
=
V
V
σ
. A probabilidade de exercício neutra ao
risco,
()
2
dN , é a probabilidade que a empresa honre a dívida. Conseqüentemente, a
probabilidade de default é
12,7%ou127,0)(1
2
=
− dN
.
Agora, podemos estimar o custo médio ponderado de capital da empresa (CMPC). O
valor de mercado da dívida é 40,9
00
=
−
EV . Isto representa 75% do valor dos ativos. O
custo de capital da dívida é TValueMarketValueFace /)/ln( 0623,01/)4,9/10(
=
=
Ln .
80
Como o custo de capital das ações foi fornecido, supondo uma alíquota zero de imposto de
renda, temos que 0623,0*75,016,0*25,0
+
=CMPC 0,085987
=
.
O prêmio de risco
λ
é 170,01
2123,0
05,0085987,0
=
−
. Com isso, chegamos a
probabilidade de default verdadeira, 16,53%, dada pela distribuição normal cumulativa padrão
de
9731,0170,014,1
2
−=
+
−=+−
λ
d .
5 CONCLUSÃO
Este artigo ilustra o processo de mudança de medida de probabilidade através de um
exemplo em planilha eletrônica. A exploração dos recursos das planilhas é apresentada nas
tabelas e em funções de visual basic descritas no apêndice.
Simula-se o modelo binomial com diferentes números de passos para se ilustrar a
convergência no caso discreto e no caso contínuo. Para simulações com elevado número de
passos, a distribuição de probabilidade binomial tende para uma função de distribuição
normal. Adicionalmente, demonstra-se que volatilidades no mundo neutro ao risco e no
mundo real são iguais, mesmo sabendo-se que os retornos esperados são diferentes. O artigo
apresenta um modelo teórico de mudança de medida através de árvores binomiais utilizando a
derivada de Radon-Nikodym e termina com um exercício prático de conversão de
probabilidades de exercício do mundo neutro ao risco para o mundo real, que é bastante útil
em processos de análise de opções reais e para estimação de probabilidades de default.
81
CONCLUSÃO GERAL
O objetivo deste trabalho foi explorar a aplicação de derivativos, em particular das
opções, como instrumento de medida ou de referência de risco através de três ensaios
aplicados.
No primeiro ensaio, adota-se uma opção de escolha americana para as estimativas dos
spreads de compra e venda embutido nos preços das opções de Telemar. A base do trabalho é
o artigo de Copeland e Galai (1983) que destacam que a formação do valor do spread de
compra e venda e a relação deste custo com o preço do ativo e a volatilidade são bem
explicadas pelo comportamento do preço de uma opção. Os resultados da aplicação da
metodologia proposta para mensuração do spread indicam a correção do viés de estimação de
volatilidades. A volatilidade do mercado brasileiro de opções é reestimada e encontram-se
valores sensivelmente menores, permitindo a correção de outro viés verificado na base de
dados, a identificação de lucros sistematicamente positivos para estratégias de arbitragem.
Além disso, contorna-se a limitação da metodologia de cálculo do spread ex-post, bem como
o problema da estimação de spreads para opções de pouca liquidez, sobretudo as muito fora-
do-dinheiro.
No segundo ensaio, adota-se uma opção de troca de Margrabe (1978), com taxas de
juros estocásticas, comportamento down-and-out e com saltos para estimativa das
probabilidades de default de empresas no mercado brasileiro. A base deste trabalho é a
modelagem de risco de crédito por opções, desenvolvida inicialmente por Merton (1974).
Apresenta-se, pela primeira vez, um modelo que contorna uma série de limitações empíricas
para a estimação da probabilidade de default e absorve todos os demais modelos da literatura,
fazendo com que estes se tornem casos específicos. Os resultados da aplicação do modelo
proposto mostram que ao considerarmos os dados agregados por setor econômico, todas as
probabilidades de default geradas na base de dados de crédito do Banco Central estão dentro
82
do intervalo de confiança deste modelo. Este resultado foi comparado com os resultados
gerados por três outros modelos estruturais e o desempenho de todos eles foi relativamente
pior. Além disso, os resultados do modelo proposto são menos dispersos que os resultados das
demais metodologias e quando o processo de salto é levado em consideração, há uma
correção dos erros de estimação de cada empresa na direção correta do intervalo de confiança.
Por último, verifica-se que o modelo proposto é flexível o suficiente para se ajustar a
diferentes estruturas de spreads de crédito o que permite o seu uso como modelo de previsão.
O terceiro ensaio demonstra empiricamente que apesar do desenvolvimento de
modelos de precificação de opções ser feito no mundo neutro ao risco, os resultados obtidos
por estes modelos são perfeitamente compatíveis e conversíveis para o mundo real. Com isso,
inferências de medidas de risco conseguidas através dos modelos de opções, como o spread de
compra e venda e a probabilidade de default, são medidas aplicáveis no mundo real, ainda que
sujeitas a suposições matemáticas restritivas quando de sua dedução inicial.
83
APÊNDICE
Funções em Visual Basic (Excel versão português) Utilizadas no Terceiro Ensaio
'Variáveis
'S e K em valores monetários
'rf – Taxa anual
'T – Em dias
'Vol – Volatilidade Anual
'n = número de passos
'type = Call ou Put
Function opt_binomial(S, K, rf, u, d, T, n, type)
'Estima o preço da opção de acordo com o modelo Binomial
rf = Log(1 + rf) / 360 * (T / n)
If UCase(Left(type, 1)) = "C" Then
alfa = 1
Else
alfa = -1
End If
q = (Exp(rf) - d) / (u - d)
For i = 0 To n
sol = sol + Application.BinomDist(i, n, q, 0) * _
Application.Max(alfa * (S * u ^ i * d ^ (n - i) - K), 0)
Next i
sol = sol * Exp(-rf * n)
If Left(type, 1) = "p" Then sol = K * Exp(-rf * n) - S + sol
opt_binomial = sol
End Function
84
_________________________________________________________________________
Function Prob_exercise_binomial(S, K, rf, u, d, n, type, q)
'Estima a Probabilidade de Exercício da Opção de acordo com o modelo Binomial
'q = probabilidade no mundo real ou no mundo neutro ao risco
a = Int(Log(K / S * d ^ (-n)) / Log(u / d)) + 1
For i = a To n
sol = sol + Application.BinomDist(i, n, q, 0)
Next i
If Left(type, 1) = "p" Then sol = 1 - sol
Prob_exercise_binomial = sol
End Function
____________________________________________________________________
Function Prob_exercise_BS(S, K, rf, vol, T, type)
' Estima a Probabilidade de Exercício da Opção usando o modelo de Black & Scholes
rf = Log(1 + rf)
T = T / 360
d2 = (Log(S / K) + (rf - vol ^ 2 / 2) * T) / (vol * Sqr(T))
sol = Application.NormSDist(d2)
If Left(type, 1) = "p" Then sol = 1 - sol
Prob_exercise_BS = sol
End Function
85
_____________________________________________________________________
Function call_BS(S, K, rf, vol, T, type)
' Estima o preço da opção usando o modelo de Black & Scholes
alfa = 1
rf = Log(1 + rf)
T = T / 360
If Left(type, 1) = "p" Then alfa = -1
d1 = (Log(S / K) + (rf + vol ^ 2 / 2) * T) / (vol * Sqr(T))
d2 = d1 - vol * Sqr(T)
nd1 = Application.NormSDist(alfa * d1)
nd2 = Application.NormSDist(alfa * d2)
sol = S * alfa * nd1 - K * alfa * Exp(-rf * T) * nd2
call_BS = sol
End Function
_________________________________________________________________________
Function opt_binomial_expectedreturn(S, K, rf, Ks, vol, T, n, type, World)
'Estima o retorno esperado de acordo com o modelo Binomial
'World - ‘Neutro’ ou ‘Real’
'Ks – Custo de Capital da Empresa
dt = T / 360 / n
u = Exp(vol * Sqr(dt))
d = Exp(-vol * Sqr(dt))
If UCase(Left(type, 1)) = "C" Then
alfa = 1
Else alfa = -1
End If
If UCase(Left(world, 1)) = "N" Then
z = rf
Else z = Ks
End If
' Taxa de Juros Efetiva
86
rf = (1 + z) ^ (T / 360 / n) - 1
q = (1 + rf - d) / (u - d)
If K = 0 Then
x = S
Else x = opt_binomial(S, K, rf, u, d, T, n, type)
End If
If K <> 0 Then
For i = 0 To n
sol = sol + Application.BinomDist(i, n, q, 0) * _
(Application.Max(alfa * (S * u ^ i * d ^ (n - i) - K), 0) / x - 1)
Next i
Else For i = 0 To n
sol = sol + Application.BinomDist(i, n, q, 0) * (S * u ^ i * d ^ (n - i) / x - 1)
Next i
End If
sol = (1 + sol) ^ (360 / T) - 1
opt_binomial_expectedreturn = sol
End Function
87
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