( PDF ) Estimadores de volatilidade no mercado brasileiro: análise de desempenho de estimadores que usam valores extremos

Download PDF

ads:

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS

ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

ARTUR DE BARROS LIMA

ESTIMADORES DE VOLATILIDADE NO MERCADO BRASILEIRO

Análise de desempenho de estimadores que usam valores extremos

SÃO PAULO

2008

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

ARTUR DE BARROS LIMA

ESTIMADORES DE VOLATILIDADE NO MERCADO BRASILEIRO:

Análise de desempenho de estimadores que usam valores extremos

Dissertação apresentada à Escola de

Economia de São Paulo da Fundação Getúlio

Vargas, como requisito para a obtenção de título

de Mestre em Finanças e Economia Empresarial.

Campo de Conhecimento:

Investimentos

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Matone

SÃO PAULO

2008

ads:

Lima, Artur de Barros.

Estimadores de Volatilidade no mercado brasileiro: Análise de

desempenho de estimadores que usam valores extremos / Artur de Barros

Lima. - 2008.

59 f.

Orientador: Ricardo Matone.

Dissertação (Mestrado em Finanças e Economia Empresarial) -

Escola de Economia de São Paulo.

1. Mercado financeiro - Brasil. 2. Investimentos - Análise - Brasil. 3.

Avaliação de ativos. I. Matone, Ricardo. II. Dissertação (mestrado

profissional) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título.

CDU 336.76(81)

ARTUR DE BARROS LIMA

ESTIMADORES DE VOLATILIDADE NO MERCADO BRASILEIRO

Análise de desempenho de estimadores que usam valores extremos

Dissertação apresentada à Escola de

Economia de São Paulo da Fundação Getúlio

Vargas, como requisito para a obtenção de título

de Mestre em Finanças e Economia Empresarial.

Campo de Conhecimento:

Investimentos

Data de aprovação:

___/ ___/ _____

Banca examinadora:

_______________________________________

Prof. Dr. Ricardo Matone (Orientador)

FGV-EAESP

_______________________________________

Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto

FGV-EAESP

_______________________________________

Prof. Dr. Nilson Teixeira

Banco Credit Suisse Brasil S/A

Dedico este trabalho à minha esposa Janaína,

à minha filha Lívia,

e aos meus pais,

Ernani e Roseli.

AGRADECIMENTOS

Expresso minha sincera gratidão àqueles que contribuíram para a elaboração desta

dissertação, em todas as suas fases.

Agradeço ao Prof. Dr. Ricardo Matone, pela confiança no meu trabalho quando acei-

tou orientar-me. Agradeço pelo tempo dedicado a esse trabalho quando da realização de réu-

niões e leituras. Agradeço por ter me orientado de forma a atingir o objetivo deste trabalho.

Aos membros da banca examinadora, Prof. Dr. Nilson Teixeira e Prof. Dr. Afonso de

Campos Pinto, pelo tempo dedicado ao exame desse trabalho e por sua valiosa contribuição

com o peso de toda sua experiência acadêmica e profissional.

Aos amigos Fausto Ferreira e Leonardo Ferreira pela obtenção de alguns dados para a

análise de desempenho dos estimadores, objeto deste trabalho.

À minha esposa Janaína, pelo amor, confiança e compreensão durante a realização do

curso e confecção da dissertação aqui apresentada.

Aos meus pais, Ernani e Roseli, pelo apoio dado sob todas as formas.

RESUMO

O objetivo deste trabalho é analisar o desempenho de estimadores de volatilidade que

utilizam valores extremos (máximo, mínimo, abertura e fechamento) para ativos no mercado

brasileiro. Discute-se o viés dos estimadores usando como referências o estimador clássico, a

volatilidade realizada e a volatilidade implícita de 1 mês da série de opções no dinheiro

(ATM - at the money); discute-se a eficiência quanto à previsibilidade da volatilidade futura

usando o estimador clássico e a volatilidade implícita defasados um período para frente como

variáveis dependentes e a eficiência em si, isto é, quanto ao tamanho da variância do estima-

dor. Como representantes de ativos brasileiros, foram escolhidos a paridade BRL/USD spot e

o Índice Bovespa. Além de bastante líquidos, esses dois ativos têm bastante importância no

mercado brasileiro, seja como benchmark para investimentos, bem como ativos-base para

muitos derivativos operados na Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F) e na Bolsa de Va-

lores de São Paulo (Bovespa). A volatilidade do ativo-base é uma das variáveis para o apre-

çamento de derivativos como opções; muitas estratégias são montadas, no mercado financei-

ro, utilizando-a como referência. A volatilidade também é bastante usada no gerenciamento

de riscos, em modelos como o Value at Risk (VaR), por exemplo.

Palavras-chave: volatilidade, valores extremos.

ABSTRACT

The objective of this work is to analyze the performance of estimators of volatility using

extreme values (maximum, minimum, opening and closing) for assets in the Brazilian

market. It is discussed the bias of estimators using classical estimator, the realized volatility

and the implied volatility of 1 month of the options at the money (ATM) as references, it is

discussed the efficiency about the predictability of future volatility using classical estimator

and implied volatility delayed for a period ahead as dependent variables and efficiency itself,

that is, about the size of the variance of the estimator. As representatives of Brazilian assets,

it was chosen the parity BRL/USD spot and the Bovespa index. Besides fairly liquid, these

two assets are very important in the Brazilian market as benchmark for investments and

underlying for many derivatives operated in the Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F)

and in the Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa). The volatility of the underlying is one

of the variables for derivatives pricing such as options. Many strategies are built in financial

market volatility using it as a reference. The volatility is also used in the management of risk,

in models such as Value at Risk (VaR), for example.

Keywords: volatility, extreme values.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Gráfico 1 – Preço do ativo no tempo 22

Gráfico 2 – Preço do ativo no tempo 25

Gráfico 3 – Evolução do Índice Bovespa de janeiro de 2000 até

setembro de 2007 30

Gráfico 4 – Evolução da paridade BRL/USD spot de janeiro de

2000 até setembro de 2007 31

Gráfico 5 – Retornos diários do índice Bovespa 50

Gráfico 6 – Histograma dos retornos diários do índice Bovespa 50

Gráfico 7 – Retornos diários da paridade BRL/USD spot 51

Gráfico 8 – Histograma dos retornos diários da paridade BRL/USD spot 51

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Teste teórico de viés e eficiência para estimadores de volatilidade usando

valores extremos 28

Tabela 2 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana –

Período 2000 a 2007 33

Tabela 3 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Mês – Período

2000 a 2007 34

Tabela 4 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana –

Período 2004 a 2007 34

Tabela 5 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana –

Período 2000 a 2007 34

Tabela 6 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Mês –

Período 2000 a 2007 35

Tabela 7 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana –

Período 2004 a 2007 35

Tabela 8 – Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana-

Período 2000 a 2007 36

Tabela 9 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Mês - Período

2000 a 2007 37

Tabela 10 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Mês - Período

2004 a 2007 37

Tabela 11 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana –

Período 2000 a 2007 37

Tabela 12 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Mês -

Período 2000 a 2007 38

Tabela 13 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Mês -

Período 2004 a 2007 38

Tabela 14 –Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana - Período 2000 a

2007 39

Tabela 15 – Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Mês - Período 2000 a 2007

Tabela 16

–

Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana - Período 2004 a

2007 40

Tabela 17 – Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana - Período 2000 a

2007 40

Tabela 18 – Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Mês - Período 2000 a

2007 41

Tabela 19 – Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana - Período 2004 a

2007 41

Tabela 20 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

realizada como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Dia 43

Tabela 21 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

realizada como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana 43

Tabela 22 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

realizada como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Dia 43

Tabela 23 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

realizada como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana

Tabela 24 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

implícita como referência – Índice Bovespa 45

Tabela 25 – Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

implícita como referência – Paridade BRL/USD 46

Tabela 26 –Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura –

volatilidade implícita como referência – Índice Bovespa 46

Tabela 27 –Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura –

volatilidade implícita como referência – Paridade BRL/USD 47

Tabela 28 – Equações de previsão de volatilidade futura – volatilidade implícita como

referência – Índice Bovespa 47

Tabela 29 – Equações de previsão de volatilidade futura – volatilidade implícita como

referência – Paridade BRL/USD 48

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 14

1.1 Introdução 14

1.2 Revisão Bibliográfica 16

1.3 Estrutura do Trabalho 19

2 TEORIA 21

3 ESTUDO DE CASO – ÍNDICE BOVESPA E PARIDADE BRL/USD SPOT

3.1 Mercado local brasileiro 29

3.2 Descrição dos dados 31

3.3 Análise dos Resultados 33

3.3.1 Estimador Clássico como referência 33

3.3.2 Volatilidade Realizada como referência 42

3.3.3 Volatilidade Implícita como referência 44

3.4 Análise das diferenças entre a teoria e a verificação empírica 49

4 CONCLUSÃO 53

4.1 Conclusões 53

4.2 Sugestões para novos trabalhos 54

5 APÊNDICE 57

5.1 Gerador de números Aleatórios (Box – Muller) 57

REFERÊNCIAS 59

1. INTRODUÇÃO

1.1. Introdução

O mercado de derivativos no mundo desenvolveu-se bastante nas últimas décadas.

Entre seus principais produtos, estão as opções de ativos. Para se apreçar e construir estra-

tégias no mercado usando opções é preciso estimar a volatilidade do seu ativo-base. Também

a volatilidade dos ativos é bastante usada em gerenciamento de riscos. Vários estudos

teóricos têm sido feitos para melhor modelar, verificar e prever a volatilidade dos ativos.

É intuitivo imaginar que um estimador, utilizando valores extremos aqui definidos

como máximo, mínimo, abertura e fechamento, traduziria melhor a volatilidade observada no

mercado se comparado com o estimador tradicional, que usa apenas os valores de fecha-

mento. Isso se deve ao fato de o primeiro incorporar o comportamento da trajetória ao longo

do tempo e não apenas retratos do valor em momentos específicos (valores de abertura e

fecha-mento são meramente amostras do processo verificadas em determinado momento de

cada período). Valores máximos e mínimos contêm mais informação sobre a volatilidade do

que a abertura e o fechamento. Informações diárias de abertura, máximo, mínimo e

fechamento estão hoje disponíveis para o mercado, seja em jornais, sites e difusores de

informação como Reuters e Bloomberg.

Na recente teoria de finanças, é assumido freqüentemente que os preços dos ativos

seguem um processo estocástico, sendo o movimento geométrico Browniano o mais comu-

mente utilizado. A teoria de apreçamento de opções desenvolvida por Black e Scholes em

1973 assume este comportamento como base. O preço de um ativo S(t), então, segue a

equação diferencial abaixo:

SdzSdtdS

(I)

Em que:

µ é o parâmetro de drift

δ é o parâmetro de volatilidade

dz é um processo de Winner que tem por definição as seguintes características:

1) dz = ε(t) dt (passeio aleatório sem drift) ; ε(t) ~ N(0,1);

2) Para todo s < t a quantidade z(t) – z(s) é uma variável estocástica normal com média

zero e variância t – s;

3) Para qualquer 0< t

< t

, as variáveis z(t

) e z(t

) são não correlacionadas;

4) 0)(

=tz com probabilidade 1.

É também bastante aceito e usado que a variação dos preços segue uma distribuição

log-normal e, portanto, a transformação lnS, que é uma aproximação do retorno de S(t), segue

uma distribuição normal, ou seja, a variação dos preços em um intervalo é normalmente dis-

tribuída com média µ' e variância proporcional ao tamanho do intervalo. Verificações empí-

ricas corroboram este resultado. Pelo lema de Ito, temos que o processo X(t) = ln (S(t)) segue

um movimento geométrico Browniano com drift

µµ −=

e variância δ².

As fórmulas de apreçamento de opções são funções independentes do valor do drift

do processo e são, usualmente, funções não-lineares do parâmetro de volatilidade do movi-

mento geométrico Browniano. Como resultado disso, uma atenção especial se dá para a esti-

mação desse valor numérico. A volatilidade usada no modelo é a expectativa do mercado de

qual será a volatilidade realizada durante o resto de vida da opção e os agentes do mercado

usam todas as informações disponíveis para a melhor estimativa do seu valor. O valor da vo-

latilidade também tem grande importância atual no gerenciamento de risco de projetos e

portfólios. Modelos de gerenciamento de risco como o VaR (Value at Risk) utilizam vola-

tilidades e correlações entre os ativos para obterem estimativas de perdas potenciais, dado um

certo nível de confiança.

Vários métodos têm sido propostos para se estimar o parâmetro de volatilidade. O

mais comum é a estimação clássica, em que se define a constante de difusão D do passeio

aleatório como a variância dos valores X(t) após um intervalo de tempo. D é estimado como:

∑

−

)(

)1(

Em que n é o número de intervalos, T é o tamanho do intervalo, d

é o valor observado

para o final de cada intervalo i e d

é a média dos d

.(d

= • d

/n).

O estimador clássico atribui peso uniforme a todas as observações. Uma variação des-

se estimador é o exponential weighted moving average (EWMA), em que se atribui maior

peso às observações recentes, segundo constante de suavização. Uma desvantagem do

EWMA é a arbitrariedade na escolha dessa constante de suavização. As vantagens desses

estimadores são sua simplicidade, a não-dependência em relação à presença de tendência e

não-existência de viés na sua estimação; também os preços dos ativos são obtidos em mo-

mentos definidos, normalmente no fechamento dos negócios do dia. A grande desvantagem é

que esse estimador ignora outras informações que estão disponíveis no mercado, como os va-

lores máximo e mínimo atingidos no intervalo de tempo de análise e o valor de abertura de

cada intervalo.

Este trabalho tem por objetivo discutir o viés e a eficiência de estimadores de volati-

lidade que utilizam valores extremos (máximo, mínimo, abertura e fechamento) para ativos

no mercado brasileiro. Para isso, os testes são feitos considerando-se o estimador tradicional,

a volatilidade realizada e a volatilidade implícita como referências. Quer-se, nesse trabalho,

verificar se, de fato, os estimadores que usam valores extremos apresentam melhor perfor-

mance que o estimador clássico para ativos brasileiros, e se esse indicativo justifica seu uso

em mesas de operações e áreas de gerenciamento de risco no Brasil. Viés e eficiência são ter-

mos estatísticos: entende-se como viés a propriedade de um estimador de, à medida que o

número de observações aumenta (n • •), o valor do estimador não convirja para o valor real

da medida e, afirma-se, um estimador é mais eficiente que outro se o primeiro apresentar

variância menor do que o último. Tais estimadores foram propostos recentemente e, talvez

por isso, sejam ainda pouco utilizados no mercado financeiro.

1.2. Revisão Bibliográfica

O primeiro estudo a partir de valores extremos foi realizado por Michael Parkinson,

em 1980. Esse estudo, na teoria, mostrou que o uso dos valores máximos e mínimos atin-

gidos por uma variável, em um intervalo de tempo na estimação da volatilidade (constante de

difusão), geraria um parâmetro cerca de 5 vezes mais eficiente do que o da estimação clás-

sica. Parkinson (1980) considerou que a variável X(t) = ln(S(t)) não possui tendência (drift) e,

ao invés de usar o tamanho de cada intervalo, ele propôs o uso dos extremos de X(t) em cada

intervalo i. Definindo l

= max X(t) – min X(t), o estimador não viesado obtido por Parkinson

foi:

∑

)(

)2ln(4

Em que T é o tamanho do intervalo e n é o número de intervalos.

Na teoria, tomando-se a variância do novo estimador e comparando-a com a variância

do estimador clássico, verificou-se que a variância do estimador clássico é cerca de 5 vezes

maior que a variância do estimador de Parkinson (1980). Isso significa que obteríamos um

estimador tão eficiente quanto o obtido com o método clássico usando cerca de 5 vezes

menos observações na estimação. Esse ganho de eficiência é de grande utilidade na estima-

ção de volatilidade para ativos em países emergentes, pois muitas vezes não há disponibili-

dade de dados para a estimação e é possível excluir períodos em que existe mudança na es-

trutura do mercado, como heterocedasticidade, que é a mudança da volatilidade ao longo do

tempo. Além disso, informações antigas podem ser pouco relevantes para explicar-se o mo-

mento atual.

No mesmo ano, Garman e Klass (1980) propuseram vários estimadores usando valo-

res extremos, também assumindo a não-presença de drift em X(t) = ln(S(t)) e que o contínuo

monitoramento dos preços. Um dos estimadores propostos possui, na teoria, uma variância

de cerca de 8 vezes inferior ao estimador clássico. Garman e Klass (1980) também

expuseram resultados de simulação feita usando os estimadores e verificaram que todos, à

exceção do clássico, apresentaram viés de baixa. Eles apontam que a principal razão para isso

é a discretização das observações no tempo. Quanto mais se aumentar a freqüência de obser-

vações, mais se reduz o viés. A discretização não gera viés no estimador clássico, mas se tem

perda de eficiência e gera viés e perda de eficiência para os estimadores que usam valores

extremos.

Com o objetivo de flexibilizar a restrição de que o processo não possui drift, Roger e

Satchell (1991) e Yang e Zhang (2000) propuseram novos estimadores tão eficientes quanto

os propostos por Garman e Klass (1980). Yang e Zhang (2000) basicamente complementam

o trabalho de Roger e Satchell (1991), propondo um estimador que contém esse último, mas

corrige o fato de haver um período do dia em que os preços não são observados, causando

um salto, ou seja, uma descontinuidade, no processo. Esse salto é a diferença entre o preço de

fechamento de um dia e o preço de abertura do dia seguinte.

Vários trabalhos foram feitos para se verificar empiricamente o viés e a eficiência dos

estimadores usando valores extremos.

Becker (1983) afirma que, muitas vezes, os preços máximo e mínimo não repre-

sentam o real comportamento da variável, pois eles seriam reflexos de operações feitas por

compradores/vendedores em desvantagens no mercado. Isso é muito freqüente em operações

com papéis ilíquidos devido à assimetria de informações. Também, após análise de regres-

sões feitas para previsão de volatilidade futura usando o estimador clássico como referência,

conclui-se que os estimadores que usam valores extremos possuem informações que o esti-

mador clássico não possui.

Mota e Fernandes (2004) concluíram que os estimadores gerados por Garman e Klass

(1980) têm desempenho semelhante aos gerados pelos modelos GARCH ao se comparar com

a volatilidade realizada pelo Ibovespa. A desvantagem dos modelos GARCH é que eles são

mais difíceis de serem estimados e possuem um alto custo computacional para imple-

mentação.

Toner (1997) também concluiu que os estimadores de Parkinson (1980) e Garman e

Klass (1980) são mais eficientes que o método clássico que usa os preços de fechamento.

Nesse trabalho foram feitos uma série de testes estatísticos de viés e eficiência para o contra-

to futuro do S&P 500.

Li e Weinbaum (2000) discutem a existência de viés em diversos estimadores, inclu-

sive no estimador clássico. É mostrado que, em certas circunstâncias, o estimador clássico

pode apresentar viés de alta. Para se verificar empiricamente tal viés, usou-se a volatilidade

realizada como referência. O estudo empírico de viés foi feito usando dados de 1989 a 1999

para o S&P 100, S&P 500 spot índices, Futuro do S&P 500 e para as paridades Deutsche

Mark/US Dollar, Japonese Yen/US Dollar e US Dollar/British Pound.

Wiggins (1991) compara a eficiência dos estimadores na previsão da volatilidade

futura e analisa o viés do estimador de Parkinson (1980) usando o estimador clássico como

referência. Este seria um trabalho complementar do trabalho de Becker (1983). Foram

escolhidas várias ações e estas foram divididas em 12 grupos, levando em consideração o

valor absoluto do preço e o volume de negócios intra-diários como critérios. É verificado que

a performance do estimador que usa valores extremos difere segundo os grupos.

Wiggins (1992) analisa o viés dos estimadores - usando o estimador clássico como

referência - e sua eficiência na previsão da volatilidade futura. O período de análise do S&P

500 foi de 1982 a 1989.

Duque e Paxson (1997) discutem uma série de hipóteses e questões envolvendo os

estimadores de volatilidade, utilizando valores extremos e a volatilidade implícita. Nesse es-

tudo, são analisadas hipóteses, como possível diferença entre os diversos estimadores de vo-

latilidade histórica e os diversos de volatilidade implícita; discute-se sobre qual é o melhor

para prever o futuro - a volatilidade histórica ou a implícita. Verifica-se, isto é, há evidências

de diferença entre os estimadores em que a volatilidade implícita explica melhor a

volatilidade futura e aqueles em que a volatilidade implícita é parcialmente explicada pela

volatilidade histórica.

1.3. Estrutura do Trabalho

Esse trabalho tem por objetivo discutir o viés e a eficiência de estimadores de vola-

tilidade que utilizam valores extremos (máximo, mínimo, abertura e fechamento) para ativos

do mercado brasileiro. Pretende-se verificar se, para ativos do mercado brasileiro, os estima-

dores que usam valores extremos apresentam performance melhor que o estimador clássico e,

desta forma, propor a sua utilização em mesas de operações e em gerenciamento de riscos.

Discute-se: o viés usando o estimador clássico, utilizando-se como referências a volatilidade

realizada e a volatilidade implícita de 1 mês da série de opções no dinheiro (ATM – at the

money); a eficiência de tais estimadores quanto à previsibilidade da volatilidade futura,

utilizando-se como variáveis dependentes o estimador clássico e a volatilidade implícita

defasados um período para frente; e a eficiência em si, isto é, quanto ao tamanho da variância

do estimador. Os ativos escolhidos são o Índice Bovespa e a paridade BRL/USD spot.

No capítulo 2, faz-se uma revisão sobre a teoria usada no desenvolvimento dos

estimadores e apresentam-se alguns dos diversos estimadores propostos na literatura, que se-

rão utilizados nesse trabalho. Também são apresentados os resultados de um teste simulado

para confirmar as eficiências dos estimadores propostos por Parkinson (1980), Garman e

Klass (GK), Rogers e Satchell (RS) e Yang Zhang (YZ). Basicamente, é gerada uma série de

retornos aleatórios com distribuição normal de média 0 e desvio padrão conhecido e testa-se

a eficiência desses, comparando-os com o estimador clássico. O teste de eficiência será o

mesmo feito por Garman e Klass (1980), que é a razão entre a variância do estimador clás-

sico e a do novo estimador.

No capítulo 3, são analisados os dados usados no trabalho para o Índice Bovespa e a

paridade BRL/USD spot. Como motivação, para explicar o período de análise, apresenta-se

uma breve discussão sobre o mercado financeiro brasileiro e a razão da escolha do Índice

Bovespa e da paridade BRL/USD spot para verificar o viés e a eficiência dos estimadores

que usam valores extremos no mercado brasileiro. Também são apresentados os diversos re-

sultados de análise de viés e eficiência dos estimadores. Com o objetivo de explicar as

diferenças verificadas entre a teoria e a prática, realiza-se um teste estatístico para verificar a

distribuição dos retornos dos ativos analisados.

No capítulo 4, são apresentadas as conclusões do trabalho e sugestões para a reali-

zação de trabalhos futuros.

2. TEORIA

Toda a teoria vem do trabalho de Feller (1951). Tem-se como base X

(k=1, ...,

n), uma seqüência de variáveis aleatórias mutualmente independentes com média zero e

variância 1 e define-se S

= X

... +

, M

= max (0, S

, S

,..., S

), m

= min (0,

, S

,..., S

)

e a variável aleatória R

= M

- m

Em uma analogia à variável S(t), que representa os preços de um ativo ao

longo do tempo, X

representaria os retornos de S(t) ao longo do tempo, S

o retorno

acumulado ao longo do período, n seria o número de observações dentro do período e M

seria o máximo valor de S(t) em log no período e m

o valor mínimo de S(t) em log no

período.

Para o caso de presença de drift, a variável S

é reposta por

kSS

−=

(k = 1, ..., n) e definem-se as variáveis R*

, M*

e m*

em analogia às variáveis acima. S*

representaria as variações de S

em relação a uma linha que une a origem ao ponto (n, S

Dessa forma, a tendência é eliminada. O estimador de Naoto (KUNITOMO, 1992), que será

mencionado mais adiante, baseia-se nas propriedades da transformação S*

Feller (1951) discute as diversas propriedades da variável R

e comenta que o range

de R

é certamente não menor que o range de S(t) no período e que, para n muito grande, os

dois ranges seriam praticamente os mesmos. Daí, conclui-se que é possível usar R

para cal-

cular as propriedades da variável X

Os demais cálculos para a construção dos estimadores são feitos sob a forte

consideração de que os preços S(t) seguem o processo SdzSdtdS

como mencionado

em (I) e que a trajetória é contínua e constantemente monitorada. Para o desenvolvimento

dos estimadores, usa-se a teoria dos processos estocásticos.

Como citado nas referências bibliográficas, o primeiro trabalho proposto foi feito por

Parkinson (1980). Enquanto ele usou apenas o máximo e o mínimo da trajetória, vários au-

tores, em seguida, propuseram novos estimadores que usam mais informações e/ou flexibi-

lizam restrições de modelo.

Garman e Klass (1980) assumiram que a variável X(t) = ln(S(t)) não apresenta tem-

dência. Também foi assumido que a trajetória é contínua e que os preços estão mudando,

mesmo quando as bolsas estão fechadas e eles não são observáveis. A dinâmica dos preços

está representada no Gráfico 1, abaixo. Pelo gráfico, o período do dia é dividido em duas

partes, f e (1-f), e o mercado está inicialmente fechado, começando do preço de fechamento

de ontem C

. A trajetória dos preços é, então, não observável, até o mercado abrir em f com o

preço O

No intervalo (1-f) assume-se que o preço é continuamente monitorado com valor

máximo de H

, valor mínimo de L

e valor de fechamento C

. A presença de f,

empiricamente, implica em um salto, ou seja, descontinuidade nas observações, que seria o

gap de C

a O

Em que:

= valor máximo atingido hoje por X(t);

= valor mínimo atingido hoje por X(t);

= valor de abertura de hoje de X(t);

Preço S(t)

Mercado

Fechado

Mercado

Aberto

Tempo t

0 f 1

Fechamento

de Ontem

Abertura de

Hoje

Fechamento

de Hoje

Gráfico 1 - Preço do ativo no tempo

Fonte: Elaboração própria.

= valor de fechamento de hoje de X(t);

= valor de fechamento de ontem de X(t);

f = fração dia (intervalo [0,1]) em que o mercado está fechado;

u = H

–

, valor máximo normalizado pela abertura;

d = L

–

, valor mínimo normalizado pela abertura;

c = C

–

, valor de fechamento normalizado pela abertura.

A utilização de variáveis normalizadas é feita, pois, para muitos estimadores, apenas

o valor do incremento em relação à O

é relevante.

Para analisar a eficiência dos estimadores, Garman e Klass (1980) usaram uma

medida de eficiência que seria a razão entre a variância do estimador clássico (

δ ) e a

variância do estimador proposto (

)var(

)(

yEff

Os estimadores analisados por Garman e Klass (1980) foram:

1) Estimador Tradicional:

∑∑

=−

−

CondeCC

,)(

Este é o estimador clássico, que usa apenas os valores de fechamento. Esse estimador

independe do valor de f.

2) Garman e Klass 1 (GK1):

)1(2

)(

−

=δ

Este estimador inclui o valor de abertura e depende do valor de f. O simples fato de se

incluir o valor de abertura já cria um estimador duas vezes mais eficiente que o estimador

clássico.

3) Parkinson (PK):

)2ln(4

)(

du −

=δ

Este estimador captura somente os valores extremos normalizados pela abertura (u e

d). É o mesmo estimador proposto por Parkinson (1980) e possui uma eficiência cerca de cin-

co vezes superior ao estimador clássico, como já mencionado.

4) Parkinson Modificado (PKM):

)2ln()1(4

))(1()(

dua

COa

−

−−

−

=δ

Este estimador captura os extremos normalizados e os preços de abertura e fecha-

mento. O valor para “a” que implica em mínima variância é a = 0.17, independente do valor

de f. Para esse estimador, na teoria, a eficiência é de 6.2. O estimador, em si, depende de f,

mas sua variância não.

5) Garman e Klass 4 (GK4):

(

)

[

]

222

383.02019.0)(511.0 cudducdu −−+−−=δ

6) Garman e Klass 5 (GK5):

[

]

222

1)2ln(2)(5.0 cdu −−−=δ

Estes estimadores capturam os extremos e o fechamento normalizados (u, d e c). O

sexto estimador é uma forma simplificada do quinto. Para esses estimadores, a eficiência é de

7.4.

7) Garman e Klass 6 (GK6):

)1(

)1()(

COa

−

Este estimador captura todas as informações (abertura, fechamento e

extremos), e o valor para “a” que implica em mínima variância seria a = 0.12, também

independe do valor de f. Para esse estimador, a eficiência é de 8.4. Também aqui, o

estimador, em si, depende de f, mas sua variância não.

Kunitomo (1992) obteve um estimador mais eficiente ainda, cerca de dez

vezes, con-siderando a mesma medida de eficiência usada no trabalho de Garman e Klass

(1980). Kunitomo (1992) permitiu a presença de drift e utilizou valores extremos ajustados

na esti-mação. A figura 2 mostra os extremos ajustados C e E pela tendência, usados na

estimação:

Em que:

B e D são os extremos sem a presença do drift;

C e E são os extremos ajustados com presença de drift;

A e F são os preços de abertura e fechamento, respectivamente.

O estimador proposto é

(

)

( )

∑=

δ , em que T é o tamanho do intervalo, N é

o número de intervalos,

(

)

)()()( e )(min)(max TX

tXtYtYtYR

−=−=

. Como se pode

observar, Y(t) seria X(t) = ln S(t) ajustado pela tendência.

Uma vez que os estimadores propostos por Parkinson (1980) e Garman e

Klass (1980) estão baseados no fato de não existir drift no processo de X(t) = d lnS e que,

empi-ricamente, isso não ocorre com freqüência, novos trabalhos foram feitos, propondo

estima-dores que permitem tendências (drift).

Rogers e Satchell (1991) propuseram o seguinte estimador:

8) Rogers Satchell (RS):

(

)

(

)

[

]

cddcuu −+−=

Este estimador, usando a mesma medida de eficiência de Garman e Klass (1980),

seria cerca de 6 vezes mais eficiente que o estimador clássico. Neste trabalho, Rogers e

Satchell (1991) analisam duas características nos estimadores de Garman e Klass (1980). A

primeira delas é o embasamento, feito considerando a ausência de drift. Se o drift for

pequeno, comparado a variância, então os estimadores GK não sofrem grandes prejuízos na

estimação. A segunda é o fato de não se observar o real valor de máximo e mínimo, devido à

discretização. Mesmo diminuindo o tamanho do intervalo de observação, o viés é corrigido

apenas gradualmente, conforme comprovação empírica, contradizendo Garman e Klass

(1980), que afirmaram que a redução do intervalo eliminaria o efeito negativo de várias com-

siderações feitas no modelo. Então Rogers e Satchell (1991) propuseram uma correção aos

valores máximos e mínimos observados e realizaram uma série de testes simulados, com-

provando que os estimadores com correção conseguiram diminuir bastante o viés de baixa.

Outro estimador independente da presença de tendência foi proposto por Yang e

Zhang (2000):

9) Yang Zhang (YZ):

onde )1(

δδ kkVV

−++=

( )

onde

∑

=−∑

−

ooo

( )

∑

=−∑

−

iic

ccc

onde

(

)

( )













−

• = 1.34 (sugerido no trabalho após estudos)

Como é possível verificar, este estimador nada mais é que a soma da variância do

período em que o mercado está fechado e de uma média ponderada (k é o ponderador) do

estimador clássico (período em que o mercado está aberto) e o estimador proposto por

Rogers e Satchell (1991). Esse estimador, também usando a mesma medida de eficiência de

Garman e Klass (1980), seria, dependendo do valor de n e •, cerca de 14 vezes mais eficiente

que o estimador clássico. Neste trabalho Yang e Zhang (2000) analisam os efeitos da presen-

ça de drift e da relevância do salto do preço na abertura do mercado. Eles afirmam que a

presença de drift e salto de abertura causam viés de baixa nos estimadores de Garman e Klass

(1980). Como esses ocorrem com freqüência na realidade, é importante ter um estimador

independente de µ e f. Também como em Rogers e Satchell (1991), eles afirmam que se o

drift é muito menor que a variância, os estimadores GK não têm grandes prejuízos quanto ao

viés. Empiricamente, os estimadores GK e YZ teriam praticamente o mesmo desempenho,

pois normalmente os drifts são pequenos. Para corrigir o efeito de f na estimação, Yang e

Zhang propõem a fixação dos valores de “a” dos estimadores GK iguais a f. Yang e Zhang

(2000) também propõem um estimador para corrigir o efeito de discretização.

Para se verificar os valores teóricos de eficiência dos estimadores usando valores

extremos na literatura, foi realizado um teste dirigido no qual gera-se uma série de retornos

que seguem um movimento geométrico browniano com desvio padrão 20% (variância 4%) e

media 0. Foram gerados 1.440 retornos intra-diários em 500 dias (o processo de geração

usado foi o Box-Muller. Gerador está apresentado no apêndice I). Os 1.440 retornos intra-

diários corresponderiam a observações a cada minuto, durante 24hs. O modelo assume que

os preços se movem o tempo inteiro, sendo que, em um período do dia, eles não são obser-

váveis. Nesse teste foi usado f = 0.5, ou seja, o mercado está fechado na metade do dia. Aqui

não se faz distinção entre a volatilidade do período em que o mercado está fechado e o perío-

do em que ele está aberto. Intuitivamente, seria correto considerar uma volatilidade menor

para o período em que o mercado está fechado, pois a ocorrência e a divulgação de novas

informações para o mercado durante esse período são bem menores do que no período em

que o mercado está aberto.

A Tabela 1 apresenta o viés dos estimadores e mostra uma comparação da eficiência

dos resultados obtidos com os resultados teóricos. A medida de eficiência usada é a mesma

de Garman e Klass (1980) mencionada anteriormente.

Tabela 1 - Teste teórico de viés e eficiência para estimadores de volatilidade usando

valores extremos

Valor Teórico 4%

Estimador Valor

Desvio-

Padrão

Eficiência

teórica

Tradicional

4.01%

0.38%

GK1 3.84%

0.27%

2.02

2.00

PK 3.84%

0.16%

5.55

5.20

PKM 3.81%

0.15%

6.97

6.20

GK4 3.77%

0.12%

9.98

7.40

GK5 3.77%

0.12%

9.97

7.40

GK6 3.84%

0.12%

9.93

8.40

RS 3.77%

0.14%

7.99

6.00

YZ 4.00%

0.22%

3.04

3.57

Fonte: elaboração própria

Pode-se verificar na Tabela 1 que para os estimadores GK4, GK5 e RS rejeita-se a

hipótese nula Valor = 4.0% com 95% de nível de confiança e para os demais não se rejeita.

Dentro desses, todos, com exceção de YZ, que não apresentou viés, apresentaram ligeiro viés

de baixa. Isso, conforme Garman e Klass (1980) comentaram, se deve à discretização das

observações no tempo. O viés de baixa deve-se ao fato de não observarmos o real valor de

máximo e mínimo. Estaria sendo feita a verificação de um máximo inferior ao máximo real e

um mínimo superior ao mínimo real. Como mencionado na teoria, se aumentássemos o

número de observações intra-diárias (n • •), o viés tenderia a zero e a eficiência tenderia ao

valor teórico.

3. ESTUDO DE CASO - ÍNDICE BOVESPA E PARIDADE BRL/USD SPOT

3.1. Mercado local brasileiro

Faz-se, nesta parte do trabalho, um breve resumo dos acontecimentos recentes no

mercado brasileiro, como motivação para justificar a escolha dos períodos analisados.

Para verificar a performance dos estimadores usando os valores extremos aplicados

ao mercado brasileiro, foram feitos alguns testes para a paridade BRL/USD spot e o Índice

Bovespa. A razão para a escolha do Índice Bovespa e da paridade BRL/USD spot é baseada

nos resultados obtidos no teste simulado, pois, para diminuir o efeito de discretização e/ou

dados não observáveis no tempo, temos que ter ativos com grande volume de negócios du-

rante o dia, ou seja, ativos bastante líquidos. Outra razão para a escolha desses ativos é a sua

importância no mercado financeiro brasileiro. As principais opções no mercado de deriva-

tivos na BM&F são do Índice Bovespa e de dólar. Desta forma, é muito importante a estima-

tiva da volatilidade para o apreçamento desses derivativos.

O Gráfico 3, abaixo, mostra a evolução do Índice Bovespa e o Gráfico 4 mostra a

evolução da paridade BRL/USD spot no período que começa em 2000 e segue até set./2007.

Verificam-se comportamentos bem diferentes das variáveis ao longo do tempo.

Para o Índice Bovespa, a partir de 2003 verifica-se uma tendência de alta nos preços

com alguns períodos de crise, como maio de 2006 e agosto de 2007. Em maio de 2006 ti-

vemos uma crise devida ao temor de que o FED pudesse aumentar consideravelmente a taxa

básica de juros da moeda norte-americana para conter uma possível pressão inflacionária.

Nesse momento, houve uma migração dos investimentos estrangeiros de ativos de alto risco,

como a bolsa brasileira, para ativos sem risco, como os títulos do governo norte-americano.

Em agosto de 2007, tivemos a crise no mercado imobiliário norte-americano com os chama-

dos subprimes. Muitos investidores tiveram grandes prejuízos, o que fez com que eles tives-

sem que vender posições em todo o mundo para cobrir chamadas de margem de posições

alavancadas. Vários hedge funds não permitiram saques de investidores e anunciaram gran-

des prejuízos após rever a metodologia de marcação a mercado dos chamados CDOs

(Collateralized Debt Obligation). Muitos bancos americanos e europeus também tiveram for-

tes prejuízos após reverem suas posições. Devido à forte presença de hedge funds nos merca-

dos mundiais, o alastramento da crise foi inevitável. Dada a alta liquidez de ativos no mer-

cado brasileiro, os investidores começaram as vendas por aqui. Houve, nessa época, uma

fuga considerável de capital da nossa bolsa de valores e forte depreciação do Real frente ao

Dólar.

Para a paridade BRL/USD também se verifica uma tendência de apreciação do Real a

partir de 2004. É possível ver claramente a crise de desconfiança dos investidores em relação

à eleição do presidente Lula, em 2002. Nesse momento, a paridade atingiu o seu máximo his-

tórico de 4 BRL para 1 USD desde 1994, com a implementação do Real. Também se verifica

aumento na volatilidade em maio de 2006 e em agosto de 2007 devido às crises já men-

cionadas.

Fica claro, pelos gráficos abaixo, que a partir de meados de 2003 o Brasil entrou em

um ciclo de valorização de ativos locais e apreciação da moeda BRL. Isso não ocorreu só no

Brasil, mas no mundo inteiro. Estávamos em um período de alta liquidez e otimismo no mer-

cado internacional e de redução de aversão ao risco pelos investidores.

Na primeira parte do trabalho, na qual se usa o estimador clássico como referência, é

analisado se existe diferença entre os resultados ao usarem-se dados desde 2000 até 2007 ou

ao usarem-se dados desde 2004 até 2007. Com isso, se pode verificar se a quebra de estrutura

no mercado, ou seja, o início desse ciclo de bonança no mercado mundial, afeta o resultado

quanto à performance dos estimadores que usam valores extremos.

Indice Bovespa

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

3-jan-00

3-abr-00

3-jul-00

3-out-00

3-jan-01

3-abr-01

3-jul-01

3-out-01

3-jan-02

3-abr-02

3-jul-02

3-out-02

3-jan-03

3-abr-03

3-jul-03

3-out-03

3-jan-04

3-abr-04

3-jul-04

3-out-04

3-jan-05

3-abr-05

3-jul-05

3-out-05

3-jan-06

3-abr-06

3-jul-06

3-out-06

3-jan-07

3-abr-07

3-jul-07

Gráfico 3 - Evolução do Índice Bovespa de janeiro de 2000 até setembro de 2007.

Fonte: Elaboração própria.

Paridade BRL/USD

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

3-jan-00

3-abr-00

3-jul-00

3-out-00

3-jan-01

3-abr-01

3-jul-01

3-out-01

3-jan-02

3-abr-02

3-jul-02

3-out-02

3-jan-03

3-abr-03

3-jul-03

3-out-03

3-jan-04

3-abr-04

3-jul-04

3-out-04

3-jan-05

3-abr-05

3-jul-05

3-out-05

3-jan-06

3-abr-06

3-jul-06

3-out-06

3-jan-07

3-abr-07

3-jul-07

Gráfico 4 - Evolução da paridade BRL/USD spot de janeiro de 2000 até setembro de

2007.

Fonte: Elaboração própria.

3.2. Descrição dos Dados

Os estimadores escolhidos para a análise foram o tradicional, o PK, o PKM, o GK6, o

RS e o YZ. A não-escolha dos outros estimadores mencionados neste trabalho para a reali-

zação dos testes deve-se ao fato de muitos serem redundantes ou de difícil construção. Por

exemplo, da família GK, foram escolhidos PK, PKM e GK6, pois esses basicamente cobrem

todo o espectro, e não foi escolhido o estimador de Naoto (KUNITOMO, 1992) devido à di-

ficuldade na sua construção, dada a necessidade de informações intra-diárias por um período

mais longo do que o obtido para a análise usando a variância realizada.

Para os primeiros testes, em que se utiliza o estimador clássico como referência, os

dados foram obtidos da Bloomberg e o período de estudo começa em Janeiro de 2000 e ter-

mina em Setembro de 2007. Os dados são diários e foram capturados os valores de máximo,

mínimo, abertura e fechamento para calcular os estimadores de volatilidade. Antes de usá-los

foi verificada a consistência dos dados, isto é, se o máximo é de fato maior ou igual que o

mínimo, abertura e fechamento e se o mínimo é de fato menor ou igual que o máximo,

abertura e fechamento.

Foi calculada a volatilidade usando dados de 1 semana e 1 mês para o estimador tra-

dicional, Parkinson, Parkinson Modificado, Garman Klass 6, Rogers Satchell e Yang Zhang.

Tanto para 1 semana como para 1 mês, não se faz sobreposições de dados. Os estimadores

semanais e mensais são o somatório de dados diários. Desta forma, tem-se 384 períodos de 1

semana e 91 períodos de 1 mês. A escolha de dois períodos foi feita para se verificar se os

resultados são dependentes da janela de observação. Para análise dos resultados a partir de

2004, foram utilizados apenas os dados de 1 semana, pois há poucos pontos para dados de 1

mês. Nesse caso, tem-se 185 períodos de 1 semana.

Para a análise empírica usando a volatilidade realizada como referência (ver definição

no item 3.3.2), foram utilizadas observações de 5 em 5 minutos para o Índice Bovespa Futuro

e para a paridade BRL/USD, no período que começa em 06 de março de 2007 até 28 se

setembro de 2007. O período escolhido foi o máximo com freqüência de 5 em 5 minutos,

conseguido junto à Bloomberg. A escolha da freqüência de 5 em 5 minutos foi baseada no

trabalho de Andersen e Bollerslev (2003) que afirma que a freqüência para se analisar a vola-

tilidade realizada deve ser de, no mínimo, 30 em 30 minutos e, no máximo, de 5 em 5

minutos. Se for escolhida uma freqüência maior, podem-se introduzir erros, devido a feno-

menos de microestrutura, como falta de liquidez. Desta forma, há 143 observações diárias e

29 observações semanais. Também para os testes foram utilizados os estimadores tradicional,

Parkinson, Parkinson Modificado, Garman Klass 6, Rogers Satchell e Yang Zhang.

Para os testes usando a volatilidade implícita ATM de 1 mês como referência, foram

usados dados diários entre setembro de 2004 inclusive e setembro de 2007, inclusive. Para a

paridade BRL/USD foram usadas informações obtidas da base de dados do Banco Credit

Suisse e para o Índice Bovespa, da base de dados do Banco Santander.

A escolha do estimador clássico de volatilidade, da volatilidade realizada e da vola-

tilidade implícita como referências se deve a:

1) Estimador clássico: é o estimador mais usado na prática, pois é não viesado e de

fácil mensuração.

2) Volatilidade realizada: é uma medida livre de erros e é observável, isto é, não é

algo latente. Também se pode verificar o viés do estimador clássico mencionado

por Becker (BECKER, 1983).

3) Volatilidade implícita: é a que melhor representa a expectativa do mercado quanto

à volatilidade futura, sendo usada para apreçamento das opções no mercado.

Os resultados das análises são expressos em termos de volatilidade anualizada, ou

seja, Vol

ano

= (252^0.5) * Vol

dia,

em que 252 é o número de dias úteis no ano, e não em

termos de variância, apesar de todos os estimadores estarem escritos na forma de variância

no capítulo 2 deste trabalho.

3.3. Análise dos Resultados

3.3.1. Estimador Clássico como Referência

Supondo que o estimador tradicional seja um estimador não viesado, foram feitos

testes de viés para os outros estimadores usando-o como referência, testes de eficiência dos

estimadores quanto à previsão da volatilidade do próximo período e regressões, considerando

o estimador tradicional defasado de um período para frente como variável dependente e os

outros estimadores, individualmente, como variáveis independentes. Nas regressões foram

incluídos componentes MA (média móvel) e AR (auto-regressivo) para eliminar correlação

entre os resíduos segundo o teste estatístico Q de Ljung-Box. Para analisar parcimônia foram

usados os critérios de Akaike (AIC) e Schwartz (SBC). A heterocedasticidade foi corrigida

usando o parâmetro de White e a estimação foi feita usando o método dos mínimos

quadrados. O software usado para as regressões foi o EViews.

As tabelas de 2 a 7 mostram os testes de viés para os estimadores, usando o estimador

tradicional como referência.

Tabela 2 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana – Período 2000 a 2007

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Tradicional-

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Tradicional

26.77%

10.91%

PK 23.81%

7.67%

2.96%

0.68%

PKM 23.87%

7.69%

2.90%

0.68%

GK6 22.38%

7.32%

4.39%

0.67%

RS 21.96%

7.91%

4.81%

0.69%

YZ 22.81%

7.77%

3.96%

0.68%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 3 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Mês – Período 2000 a 2007

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Tradicional-

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Tradicional

27.74%

8.00%

PK 24.13%

6.29%

3.61%

1.07%

PKM 24.18%

6.31%

3.56%

1.07%

GK6 22.70%

5.90%

5.04%

1.04%

RS 22.40%

6.13%

5.34%

1.06%

YZ 23.27%

6.27%

4.47%

1.07%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 4 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana – Período 2004 a 2007

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Tradicional -

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Tradicional

24.17%

9.92%

PK 21.73%

6.95%

2.44%

1.27%

PKM 21.73%

6.96%

2.44%

1.11%

GK6 20.41%

6.73%

3.76%

1.10%

RS 20.12%

7.41%

4.05%

1.14%

YZ 20.84%

7.17%

3.32%

1.13%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 5 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana – Período 2000 a 2007

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Tradicional -

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Tradicional 13.25%

10.04%

PK 12.73%

7.60%

0.52%

0.64%

PKM 13.53%

7.89%

-0.27%

0.65%

GK6 13.28%

7.49%

-0.03%

0.64%

RS 12.35%

7.11%

0.90%

0.63%

YZ 13.34%

7.62%

-0.08%

0.64%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 6 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Mês – Período 2000 a 2007

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Tradicional -

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Tradicional 14.01%

8.43%

PK 13.06%

7.02%

0.94%

1.15%

PKM 13.86%

7.29%

0.15%

1.17%

GK6 13.58%

6.92%

0.43%

1.14%

RS 12.65%

6.55%

1.35%

1.12%

YZ 13.64%

7.02%

0.37%

1.15%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 7 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana – Período 2004 a 2007

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Tradicional -

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Tradicional 11.77%

7.33%

PK 11.85%

5.56%

-0.09%

0.67%

PKM 12.11%

5.61%

-0.34%

0.68%

GK6 12.02%

5.43%

-0.25%

0.67%

RS 11.68%

5.39%

0.08%

0.67%

YZ 12.04%

5.49%

-0.27%

0.67%

Fonte: Elaboração própria.

Pode-se verificar que com 95% de nível de confiança para o Índice Bovespa, rejeita-

se a hipótese nula de que a diferença entre o estimador tradicional e os estimadores usando

valores extremos é nula, ou seja, temos viés nos estimadores. O mesmo não ocorre para a

paridade BRL/USD. Pode-se também verificar que em todos os casos, a variância do estima-

dor tradicional é superior à dos estimadores em estudo. Como nos testes teóricos, é verificado

ligeiro viés de baixa para todos os estimadores. A razão para isso seria a mesma já

comentada no teste simulado acima. Utilizando dados a partir de 2004, não se verifica ne-

nhum resultado diferente para o Índice Bovespa e, para a paridade BRL/USD, o viés prati-

camente desaparece. Também para dados posteriores a 2004, verifica-se uma variância me-

nor para os estimadores usando valores extremos. Para os dados a partir de 2004, não se veri-

fica nenhuma diferença significativa nos resultados para o Índice Bovespa. Para a paridade

BRL/USD, verifica-se ligeiro viés de alta para alguns estimadores. Como se pode constatar,

os resultados são bem melhores para a paridade BRL/USD do que para o Índice Bovespa.

Para avaliar a relativa eficiência do estimador tradicional e os estimadores em estudo

quanto à previsão da volatilidade do próximo período, definem-se as seguintes medidas:

quadrático erro :)()(

−=

OTiTi

SE δδδ

[

]

absoluto erro :)(

−=

OTiTi

AE δδδ

Em que

δ é a volatilidade do estimador i no período T e

1+OT

δ é a volatilidade do

estimador clássico em T+1.

Fazendo a diferença entre o SE do estimador tradicional e o SE do estimador em

questão, pode-se verificar a eficiência na previsão. A eficiência é conferida se a diferença

entre os SE’s for estatisticamente significantemente diferente de zero. Para se verificar qual

estimador é mais eficiente, a minimização do erro quadrático médio é equivalente a mini-

mizar a perda esperada associada à estimação. O mesmo é feito usando AE. A análise usando

o erro absoluto (AE) é feita para checar se outliers não estão prejudicando os resultados.

As tabelas de 8 a 13 mostram os resultados da análise de eficiência.

Tabela 8 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana - Período 2000 a 2007

Estimador

Média (SE Tradic. –

SE Estimador)

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

SE’s)

10^6

Média (AE Tradic. –

AE Estimador)

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

AE’s)

10^6

PK -2,848

1,374

12,891

4,869

PKM -2,808

1,373

12,958

4,861

GK6 -4,404

1,497

7,914

5,071

RS -5,984

1,659

2,956

5,260

YZ -4,468

1,532

8,073

5,094

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 9 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Mês - Período 2000 a 2007

Estimador

Média (SE Tradic. –

SE Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos SE’s)

x 10^6

Média (AE Tradic. –

AE Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

AE’s) x 10^6

PK 413

1,703

2,265

8,198

PKM 450

1,700

2,791

8,184

GK6 -664

1,836

-2,160

8,512

RS -1,390

1,925

-5,050

8,711

YZ -505

1,815

-1,390

8,478

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 10 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Mês - Período 2004 a 2007

Estimador

Média (SE Tradic. –

SE Estimador)

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

SE’s)

10^6

Média (AE Tradic. –

AE Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

AE’s)

10^6

PK 3,290

1,676

14,612

6,430

PKM 3,291

1,676

14,615

6,430

GK6 2,210

1,813

11,251

6,680

RS 1,117

1,954

8,593

6,959

YZ 2,261

1,837

12,433

6,728

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 11- Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana – Período 2000 a 2007

Estimador

Média (SE Tradic. –

SE Estimador)

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

SE’s)

10^6

Média (AE Tradic, –

AE Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

AE’s)

10^6

PK 3,357

2,266

14,232

4,739

PKM 3,273

2,260

12,920

4,727

GK6 3,367

2,264

13,625

4,720

RS 3,308

2,245

14,599

4,762

YZ 3,302

2,253

13,348

4,730

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 12 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Mês - Período 2000 a 2007

Estimador

Média (SE Tradic. –

SE Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

SE’s) x 10^6

Média (AE Tradic. –

AE Estimador) x

10^6

Desvio Padrão

(diferença dos

AEs) x 10^6

PK 1,370

2,857

6,224

9,144

PKM 1,377

2,822

4,423

9,028

GK6 1,674

2,741

5,749

8,931

RS 1,629

2,754

6,512

9,006

YZ 1,582

2,754

5,319

8,960

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 13 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura – estimador

clássico como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Mês - Período 2004 a 2007

Estimador

Média (SE Tradic. –

SE Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

SE’s) x 10^6

Média (AE Tradic. –

AE Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos

AE’s) x 10^6

PK 2,321

1,070

12,903

5,126

PKM 2,255

1,071

12,257

5,130

GK6 2,247

1,078

11,803

5,112

RS 2,119

1,081

11,383

5,158

YZ 2,108

1,080

11,185

5,154

Fonte: Elaboração própria.

Pelas tabelas de 8 a 13, para o Índice Bovespa não se verifica nenhuma eficiência na

previsão da volatilidade futura, mas para a paridade BRL/USD, verifica-se eficiência. No ca-

so de dados de 1 semana não se rejeita a eficiência com 85% de nível de confiança. Para o

período que começa em 2004, tanto para o Índice Bovespa como para a paridade BRL/USD

spot, os estimadores propostos são estatisticamente mais eficientes que o tradicional com

95% de confiança.

As tabelas de 14 a 19 mostram os resultados das regressões feitas considerando o es-

timador tradicional defasado 1 período para frente como variável dependente e os estima-

dores sem defasagem como variáveis independentes. Regressões significam modelos mais

sofisticados e custosos para se estimar a volatilidade futura. Os valores entre parêntesis nas

tabelas representam o desvio padrão dos coeficientes das regressões.

Tabela 14 - Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana - Período 2000 a 2007

Equação MA(1) AR(1) SE * 100 R^2 Ajustado

Tradicional (t+1) = 0.27 + 0.44 * Tradicional (t)

9.64

19.19%

(0.01) (0.06)

Tradicional (t+1) = 0.10 + 0.70 * PK

9.28

25.11%

(0.02) (0.08)

Tradicional (t+1) = 0.10 + 0.70 * PKM

9.28

25.21%

(0.02) (0.08)

Tradicional (t+1) = 0.15 + 0.52 * GK 0.19

9.46

22.23%

(0.02) (0.08) (0.07)

Tradicional (t+1) = 0.19 + 0.36 * RS 00.29

9.55

20.81%

(0.02) (0.07) (0.07)

Tradicional (t+1) = 0.16 + 0.46 * YZ 0.21

9.50

21.69%

(0.02) (0.08) (0.07)

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 15 - Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Mês - Período 2000 a 2007

Equação MA(1) AR(1) SE * 100 R^2 Ajustado

Tradicional (t+1) = 0.27 + 0.77 * Tradicional (t) -0.50

7.32

15.95%

(0.02) (0.13) (0.17)

Tradicional (t+1) = 0.15 + 0.51 * PK 7.30

15.50%

(0.03) (0.11)

Tradicional (t+1) = 0.15 + 0.51 * PKM 7.29

15.61%

(0.03) (0.11)

Tradicional (t+1) = 0.16 + 0.53 * GK 7.35

14.38%

(0.03) (0.12)

Tradicional (t+1) = 0.17 + 0.47 * RS 7.45

12.04%

(0.03) (0.11)

Tradicional (t+1) = 0.17 + 0.48 * YZ 7.40

13.23%

(0.03) (0.11)

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 16 - Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana - Período 2004 a 2007

Equação MA(1) AR(1) SE * 100 R^2 Ajustado

Tradicional (t+1) = 0.24 + 0.43 * Tradicional (t)

9.05

17.63%

. (0.01) (0.07)

Tradicional (t+1) = 0.08 + 0.75 * PK 8.49

26.97%

.(0.02) (0.09)

Tradicional (t+1) = 0.08 + 0.75 * PKM 8.49

26.96%

(0.02) (0.09)

Tradicional (t+1) = 0.09 + 0.73 * GK 8.66

24.26%

(0.02) (0.11)

Tradicional (t+1) = 0.15 + 0.44 * RS 0.26

8.71

23.81%

(0.02) (0.10) (0.09)

Tradicional (t+1) = 0.10 + 0.68 * YZ 8.69

23.71%

(0.02) (0.11)

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 17 - Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana - Período 2000 a 2007

Equação AR(2) AR(7) SE * 100 R^2 Ajustado

Tradicional (t+1) = 0.14 + 0.46 * Tradicional (t)

0.25

8.13

35.05%

. (0.02) (0.05) (0.06)

Tradicional (t+1) = 0.03 + 0.83 * PK 0.18

7.48

45.02%

(0.01) (0.11) (0.08)

Tradicional (t+1) = 0.03 + 0.80 * PKM 0.16

7.51

44.49%

(0.01) (0.10) (0.07)

Tradicional (t+1) = 0.02 + 0.84 * GK 0.17

7.51

44.58%

(0.01) (0.11) (0.08)

Tradicional (t+1) = 0.03 + 0.87 * RS 0.19

7.50

44.63%

(0.01) (0.12) (0.08)

Tradicional (t+1) = 0.02 + 0.82 * YZ 0.17

7.53

44.27%

(0.01) (0.11) (0.08)

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 18 - Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Mês - Período 2000 a 2007

Equação AR(2) AR(7) SE * 100 R^2 Ajustado

Tradicional (t+1) = 0.15 + 0.29 * Tradicional (t)

0.39

6.97

32.44%

(0.02) (0.10) (0.14)

Tradicional (t+1) = 0.09 + 0.40 * PK 0.37

6.99

31.99%

(0.03) (0.16) (0.16)

Tradicional (t+1) = 0.09 + 0.40 * PKM 0.36

7.00

31.73%

(0.02) (0.15) (0.16)

Tradicional (t+1) = 0.08 + 0.43 * GK 0.34

6.99

32.03%

(0.02) (0.17) (0.16)

Tradicional (t+1) = 0.09 + 0.45 * RS 0.36

6.97

32.32%

(0.02) (0.19) (0.16)

Tradicional (t+1) = 0.09 + 0.42 * YZ 0.35

7.00

31.86%

(0.02) (0.16) (0.16)

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 19 - Equações de previsão de volatilidade futura – estimador clássico como

referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana - Período 2004 a 2007

Equação AR(2) AR(7) SE * 100 R^2 Ajustado

Tradicional (t+1) = 0.12 + 0.31 * Tradicional (t)

0.24

6.54

20.74%

(0.01) (0.09) (0.09)

Tradicional (t+1) = 0.03 + 0.71 * PK 6.12

29.12%

(0.01) (0.10)

Tradicional (t+1) = 0.03 + 0.70 * PKM 6.21

28.62%

(0.01) (0.10)

Tradicional (t+1) = 0.03 + 0.71 * GK 6.24

27.65%

(0.01) (0.10)

Tradicional (t+1) = 0.04 + 0.69 * RS 6.33

25.71%

(0.01) (0.10)

Tradicional (t+1) = 0.03 + 0.69 * YZ 6.31

26.12%

(0.01) (0.10)

Fonte: Elaboração própria.

Pelos resultados das Tabelas acima, mais uma vez não se pode inferir que os

estimadores usando valores extremos prevêem melhor a volatilidade futura que o estimador

tradicional, a não ser para o caso da paridade BRL/USD com observação semanal para o

período de 2000 a 2007. Nesse caso, o R^2 ajustado verificado para os estimadores usando

valores extremos é maior que o verificado na regressão usando o estimador tradicional. No

caso, usando dados a partir de 2004, pode-se afirmar que os estimadores usando valores ex-

tremos prevêem melhor a volatilidade futura tanto para o Índice Bovespa quanto para a pari-

dade BRL/USD. Também se verifica que o coeficiente dos estimadores é maior do que os

termos ARMA, mostrando que a maior parte da explicação da volatilidade futura vem destes

estimadores e não dos termos ARMA.

3.3.2 Volatilidade Realizada como referência

Define-se volatilidade realizada como a soma dos quadrados dos retornos ocorridos

em amostras contínuas de tamanhos iguais, durante um período t. Ela converge em proba-

bilidade para a variância do processo à medida que se diminui o tamanho da amostra.

A fim de se examinar empiricamente o viés e a eficiência dos estimadores, tem-se a

volatilidade realizada em uma data t definida como:

(

)

(

)

∑

tjt

rδ

Em que r

j,t

significa o retorno do ativo no intervalo intra-diário j do dia t. Estudos

mostram que tal estimador usando alta freqüência, com fracas considerações, pode ser con-

siderado livre de medidas de erro. A utilização da volatilidade realizada como estimador de

volatilidade mostra-se bastante custosa, pelo fato de se precisar de dados intra-diários por

longos períodos.

As tabelas de 20 a 23 apresentam os resultados dos testes de viés usando a

volatilidade realizada como referência.

Tabela 20 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

realizada como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Dia

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Realizado -

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Realizado 24.40%

11.95%

Tradicional

21.38%

17.16%

3.02%

1.75%

PK 25.76%

13.89%

-1.35%

1.53%

PKM 29.81%

17.60%

-5.41%

1.78%

GK6 29.85%

17.62%

-5.45%

1.78%

RS 25.34%

15.76%

-0.94%

1.65%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 21 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

realizada como referência – Índice Bovespa – Dados de 1 Semana

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Realizado–

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Realizado 25.24%

9.93%

Tradicional

25.89%

10.97%

-0.66%

2.75%

PK 26.98%

11.12%

-1.74%

2.77%

PKM 31.38%

14.40%

-6.14%

3.25%

GK6 31.22%

14.88%

-5.99%

3.32%

RS 26.80%

13.03%

-1.56%

3.04%

YZ 31.35%

14.90%

-6.12%

3.32%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 22 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

realizada como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Dia

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Realizado -

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Realizado 14.46%

8.58%

Tradicional

11.06%

10.25%

3.40%

1.10%

PK 12.19%

7.83%

2.27%

0.95%

PKM 12.54%

7.94%

1.93%

0.96%

GK6 12.50%

7.70%

1.97%

0.95%

RS 12.00%

7.80%

2.46%

0.95%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 23 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

realizada como referência – Paridade BRL/USD – Dados de 1 Semana

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Realizado –

Estimador)

Desvio-

Padrão

(diferença)

Realizado 15.13%

7.27%

Tradicional

12.97%

8.73%

2.16%

2.11%

PK 12.86%

6.65%

2.27%

1.83%

PKM 13.19%

6.77%

1.94%

1.85%

GK6 13.13%

6.55%

2.00%

1.82%

RS 12.78%

6.45%

2.35%

1.81%

YZ 13.20%

6.68%

1.93%

1.83%

Fonte: Elaboração própria.

Pelas tabelas de 20 a 23 verifica-se que para o Índice Bovespa, os resultados são dife-

rentes para 1 dia e 1 semana. Para verificação diária, os estimadores PK e RS possuem

eficiência superior ao estimador tradicional, e não rejeitamos a hipótese nula de que volati-

lidade realizada é igual aos estimadores. Para verificação semanal, nenhum estimador apre-

senta-se mais eficiente que o estimador tradicional. Para a paridade BRL/USD, tanto para

verificação semanal quanto para verificação diária, os estimadores possuem eficiência supe-

rior ao estimador tradicional. Quanto ao viés, todos apresentam viés de baixa; rejeitamos a

hipótese nula de igualdade para verificação diária e não rejeitamos para nenhum estimador na

verificação semanal, com 95% de confiança. Os dados acima corroboram o fato de que a ve-

rificação empírica da volatilidade realizada é maior que a da volatilidade estimada da

maneira tradicional, mostrando que a volatilidade intra-diária é maior que a volatilidade diá-

ria. Isso explicaria o porquê da volatilidade implícita ser, na média, maior que a volatilidade

obtida pelo estimador clássico.

3.3.3 Volatilidade Implícita como referência

Volatilidade implícita é definida como aquela que, usada no modelo de apreçamento

de opções, atinge o valor de mercado da opção. Ela espelha a expectativa do mercado quanto

à volatilidade futura. Alguns problemas para se obter a volatilidade implícita do mercado são

levantados:

1) Dados não simultâneos para opções e ativo-base;

2) Inconsistência se o modelo de apreçamento usado para se obter a volatilidade im-

plícita não for o mesmo que o mercado utiliza.

3) Ineficiências de mercado que causam oportunidades de arbitragem.

Usando a volatilidade implícita ATM (at the money) de 1 mês como referência, foram

feitos testes de viés para os estimadores, testes de eficiência desses quanto à previsão da vo-

latilidade do próximo período e regressões considerando a volatilidade implícita defasada de

um período para frente como variável dependente e os outros estimadores, individualmente,

como variáveis independentes. Também nas regressões foram usados componentes MA

(média móvel) e AR (auto-regressivo) para eliminar correlação entre os resíduos segundo o

teste estatístico Q de Ljung-Box. Para analisar parcimônia foram usados os critérios de

Akaike (AIC) e Schwartz (SBC). A heterocedasticidade foi corrigida usando o parâmetro de

White e a estimação foi feita usando o método dos mínimos quadrados. O software usado

para as regressões foi o EViews.

As tabelas 24 e 25 apresentam os resultados dos testes de viés usando a volatilidade

implícita como referência.

Tabela 24 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

implícita como referência – Índice Bovespa

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Tradicional -

Estimador)

Desvio Padrão-

(diferença)

Implícita 27.12%

3.58%

Tradicional

23.65%

6.13%

3.47%

0.26%

PK 21.08%

4.95%

6.04%

0.22%

PKM 21.08%

4.96%

6.04%

0.22%

GK6 19.98%

4.81%

7.14%

0.22%

RS 19.98%

5.21%

7.14%

0.23%

YZ 20.57%

5.16%

6.55%

0.23%

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 25 - Teste empírico de viés para estimadores de volatilidade – volatilidade

implícita como referência – Paridade BRL/USD

Estimador Média

Desvio-

Padrão

Média

(Tradicional -

Estimador)

Desvio-Padrão

(diferença)

Implícita 12.77%

3.58%

Tradicional

12.55%

5.50% 0.22% 0.24%

PK 12.60%

4.95% 0.17% 0.22%

PKM 12.35%

4.92% 0.42% 0.22%

GK6 12.50%

4.85% 0.27% 0.22%

RS 12.22%

4.80% 0.55% 0.22%

YZ 12.53%

4.87% 0.24% 0.22%

Fonte: Elaboração própria.

Pelas tabelas 24 e 25 pode-se, considerando a volatilidade implícita como referência e

com 95% de nível de confiança, confirmar a presença de viés de baixa em todos os estima-

dores, inclusive o tradicional, para o Índice Bovespa, e afirmar que não há viés para todos os

estimadores no caso da paridade BRL/USD spot, com exceção para os estimadores RS e

PKM. Também é verificado que o desvio padrão dos estimadores usando valores extremos

são menores do que para o estimador tradicional.

As tabelas de 26 a 27 apresentam os resultados dos testes de eficiência usando a

volatilidade implícita como referência.

Tabela 26 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura –

volatilidade implícita como referência – Índice Bovespa

Estimador

Média (SE Tradic. – SE

Estimador) x 10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos SE’s) x

10^6

Média (AE Tradic. –

AE Estimador) x 10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos AE’s) x

10^6

PK -1,165

215

-11,616

1,593

PKM -1,170

215

-11,645

1,594

GK6 -2,442

225

-27,596

2,786

RS -2,688

229

-21,888

1,623

YZ -1,862

220

-16,569

1,603

Fonte: Elaboração própria.

Tabela 27 - Teste de eficiência relativa na previsão de volatilidade futura –

volatilidade implícita como referência – Paridade BRL/USD

Estimador

Média (SE Tradic. – SE

Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos SE’s)

10^6

Média (AE Tradic. –

AE Estimador) x

10^6

Desvio-Padrão

(diferença dos AE’s)

10^6

PK 310

5,187

989

PKM 321

4,817

972

GK6 293

5,050

997

RS 277

4,078

982

YZ 310

5,136

988

Fonte: Elaboração própria.

Pelas tabelas 26 e 27 verifica-se que, para o Índice Bovespa, os estimadores usando

valores extremos não apresentam maior eficiência que o estimador tradicional quanto à pre-

visibilidade da volatilidade implícita defasada um período para frente. Para a Paridade

BRL/USD spot, pode-se verificar tal eficiência com 95% de confiança.

As tabelas 28 e 29 mostram os resultados das regressões feitas considerando a

volatilidade implícita defasada um período para frente como variável dependente e os esti-

madores sem defasagem como variáveis independentes. Os valores entre parêntesis nas tabe-

las representam o desvio padrão dos coeficientes das regressões.

Tabela 28 - Equações de previsão de volatilidade futura – volatilidade implícita como

referência – Índice Bovespa

Equação AR(1) MA(2) SE * 100 R^2 Ajustado

Implicita (t+1) = 0.27 + 0.01 * Tradicional (t) 0.94

1.14

89.66%

(0.01) (0.04) (0.01)

Implicita (t+1) = 0.24 + 0.16 * PK 0.93

1.14

89.77%

(0.02) (0.08) (0.02)

Implicita (t+1) = 0.24 + 0.16 * PKM 0.93

1.14

89.77%

(0.02) (0.08) (0.02)

Implicita (t+1) = 0.23 + 0.23 * GK 0.92

1.13

89.89%

(0.01) (0.07) (0.02)

Implicita (t+1) = 0.23 + 0.20 * RS 0.92

1.13

89.93%

(0.01) (0.05) (0.02)

Implicita (t+1) = 0.23 + 0.21 * YZ 0.92

1.13

89.90%

(0.01) (0.06) (0.02)

Fonte: Elaboração própria.

Nota: o coeficiente para o estimador Tradicional não é estatisticamente

significante a 90% de nível de confiança.

Tabela 29 - Equações de previsão de volatilidade futura – volatilidade implícita como

referência – Paridade BRL/USD

Equação AR(1) MA(2) SE * 100 R^2 Ajustado

Implicita (t+1) = 0.12 + 0.11 * Tradicional (t ) 0.98

-0.17

0.81

94.96%

(0.01) (0.04) (0.02) (0.11)

Implicita (t+1) = 0.10 + 0.21 * PK 0.97

-0.18

0.81

94.98%

(0.01) (0.09 (0.02) (0.11)

Implicita (t+1) = 0.10 + 0.22 * PKM 0.97

-0.19

0.81

94.99%

(0.01) (0.09) (0.02) (0.11)

Implicita (t+1) = 0.11 + 0.13 * GK 0.97

-0.18

0.81

94.93%

(0.01) (0.08) (0.01) (0.11)

Implicita (t+1) = 0.12 + 0.08 * RS 0.98

-0.17

0.81

94.90%

(0.01) (0.07) (0.01) (0.11)

Implicita (t+1) = 0.11 + 0.13 * YZ 0.98

-0.18

0.81

94.92%

(0.01) (0.08) (0.01) (0.11)

Fonte: Elaboração própria.

Nota: os coeficientes para os estimadores GK, RS e YZ não são

estatisticamente significantes a 90% de nível de confiança

Pelas tabelas 28 e 29, não se verifica nenhuma eficiência superior dos estimadores

usando valores extremos, comparando-os com o estimador tradicional. Verifica-se que o coe-

ficiente de AR (1) (Autoregressive) é próximo de 1, o que nos leva a acreditar na presença de

raiz unitária nas séries de volatilidade implícita. Ao fazer o teste de Dickey-Fuller, com 95%

de grau de confiança, não se verifica presença de raiz unitária para o Índice Bovespa, mas

sim para a paridade BRL/USD spot. A presença de raiz unitária compromete os resultados

das regressões, pois essas seriam regressões espúrias, que se caracterizam por R^2 alto, e isso

é exatamente o que se observa na tabela 29. Também se verifica que praticamente os termos

AR explicam a volatilidade implícita futura.

3.4. Análise das diferenças entre a teoria e a verificação empírica

As verificações empíricas não refletiram totalmente a teoria. Fatores de eficiência na

casa de 10 não foram verificados. As principais razões para a existência de viés são a

discretização das observações no tempo e o fato de os preços serem negociados com in-

crementos definidos (spreads). Outra razão para explicar a diferença da teoria para a rea-

lidade é o fato de que os estimadores usando valores extremos foram construídos assumindo

que os preços seguem o processo dS = µ S dt +

S dz, em que dz é um passeio aleatório sem

drift. Os retornos então seguiriam dlnS = (µ - δ²/2) dt + δ dz. Em um mundo teórico onde se

tem verificação contínua da trajetória, seria esperado um excelente desempenho dos esti-

madores que usam valores extremos. No mundo discreto como na prática, os estimadores pó-

dem ser piores que o estimador clássico quanto ao viés e à eficiência. Desde que as fortes

considerações mencionadas não são verificadas na prática, o uso dos estimadores que usam

valores extremos passa a ser questionável. Mesmo para a paridade BRL/USD spot, que apre-

sentou melhores resultados, a eficiência verificada ficou longe dos valores teóricos. Em ou-

tros trabalhos realizados na literatura, nos quais se analisa empiricamente o desempenho de

estimadores que usam valores extremos, como Wiggins (1991), Wiggins (1992), Toner

(1997) e Becker (1983), também não se verificaram as eficiências obtidas na teoria.

Para se verificar se, de fato, os preços seguem o processo mencionado acima,

analisou-se o comportamento dos retornos diários do Índice Bovespa e da paridade

BRL/USD. Para a análise, foram usados os dados a partir de janeiro de 2003, que seria o

início do ciclo de bonança observado no mercado internacional e brasileiro.

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

200 400 600 800 1000

IBOV

Gráfico 5 - Retornos diários do Índice Bovespa

Fonte: Elaboração própria.

100

150

200

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

Series: IBOV

Sample 1 1180

Observations 1180

Mean 0.001424

Median 0.001921

Maximum 0.051615

Minimum -0.068566

Std. Dev. 0.016148

Skewness -0.288229

Kurtosis 3.694868

Jarque-Bera 40.07794

Probability 0.000000

Gráfico 6 - Histograma dos retornos diários do Índice Bovespa

Fonte: Elaboração própria.

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

200 400 600 800 1000

BRLUSD

Gráfico 7 - Retornos diários da paridade BRL/USD spot

Fonte: Elaboração própria.

100

150

200

-0.0250 -0.0125 0.0000 0.0125 0.0250 0.0375

Series: BRLUSD

Sample 1 1180

Observations 1180

Mean -0.000558

Median -0.000840

Maximum 0.039499

Minimum -0.031319

Std. Dev. 0.008777

Skewness 0.528673

Kurtosis 5.330928

Jarque-Bera 322.1010

Probability 0.000000

Gráfico 8 - Histograma dos retornos diários da paridade BRL/USD spot

Fonte: Elaboração própria.

Pelo teste de normalidade de Jarque-Bera se rejeita a hipótese nula de normalidade

dos retornos com 95% de confiança. Portanto, a não-verificação empírica da teoria deve-se

ao fato de o preço dos ativos não seguir o processo dS = µ S dt +

S dz, em que dz é um

processo de Winner. Apesar disso, verifica-se que os estimadores para a paridade BRL/USD

apresentaram melhor comportamento do que os do Índice Bovespa. Isso pode dever-se ao

fato de:

1) Retornos reais das ações não serem corretamente representados, pois não se consi-

derou efeitos de dividendos, juros de capital próprio, bonificação, direitos de

subscrição, etc.

2) Futuro de Ibovespa na BM&F possuir um limitador de queda intra-diário de 10%, ou

seja, se o preço cair 10% em um dia, o circuit break é acionado e o mercado pára por

alguns instantes. Dado que a volatilidade do Ibovespa é alta, esta limitação não é

desprezível para o modelo. Semelhante limitação existe para o futuro de Dólar na

BM&F, mas a volatilidade do spot é bem menor que a do Ibovespa. Em outras

palavras, o efeito desta limitação sobre o mercado de bolsa é maior do que para o

mercado de câmbio. Vale mencionar que essa limitação afeta os estimadores que

usam valores extremos, pois o máximo e o mínimo não seriam de fato observados, e

não afeta, ou afeta pouco, o estimador clássico.

4. CONCLUSÃO

4.1 Conclusões

O trabalho tem como objetivo analisar a performance dos estimadores de volatilidade

que usam valores extremos (máximo, mínimo, abertura e fechamento) para ativos no

mercado brasileiro. Testes estatísticos de viés e eficiência foram realizados para o Índice

Bovespa e a paridade BRL/USD spot utilizando o estimador clássico, a volatilidade realizada

e a volatilidade implícita como referências.

Os principais resultados encontrados foram:

1) Usando o estimador clássico como referência:

a) Teste de Viés:

i. Índice Bovespa: os estimadores usando valores extremos

apresentaram viés de baixa. Enquanto o valor médio de

volatilidade obtido para o estimador clássico é da ordem de 25%,

o valor médio para os estimadores usando valores extremos é da

ordem de 22%. O desvio-padrão da diferença é da ordem de 1%

e, portanto, com 95% de confiança rejeita-se a hipótese de não

existência de viés.

ii. Paridade BLR/USD spot: os estimadores usando valores extre-

mos não apresentaram viés. A diferença entre os estimadores é

da ordem de 0.50% e como o desvio padrão é da ordem de 1%,

com 95% de confiança, não se rejeita a hipótese de não-

existência de viés.

b) Teste de Eficiência:

i. Índice Bovespa: os estimadores usando valores extremos apre-

sentaram desvio padrão menor que o estimador clássico. A

eficiência, segundo medida descrita no capítulo 2, é da ordem de

2.0. A eficiência máxima observada foi 2.25. Nenhum estimador

apresentou eficiência estatisticamente significante, a 95% de

confiança, superior ao estimador clássico quanto à previsibili-

dade da volatilidade futura. Nas regressões, obtiveram-se R^2

maiores, cerca de 25%, utilizando os estimadores que usam

valores extremos.

ii. Paridade BLR/USD spot: os estimadores usando valores extre-

mos apresentaram desvio-padrão menor que o estimador clás-

sico. A eficiência, segundo medida descrita no capítulo 2, é da

ordem de 1.70. A eficiência máxima observada foi 2.0. Nenhum

estimador apresentou eficiência estatisticamente significante, a

95% de confiança, superior ao estimador clássico quanto à previ-

sibilidade da volatilidade futura. Nas regressões, obtiveram-se

R^2 maiores, cerca de 30%, utilizando os estimadores que usam

valores extremos.

2) Usando a volatilidade realizada como referência:

a) Teste de Viés:

i. Índice Bovespa: os resultados são divergentes, considerando o

período de análise. Para dados de um dia, o estimador clássico

apresenta viés de baixa e para 1 semana, não apresenta viés. Os

estimadores que usam valores extremos possuem comportamen-

tos diferentes entre si. Enquanto os estimadores PK e RS não

apresentam viés, os outros apresentam viés de alta.

ii. Paridade BLR/USD spot: todos os estimadores apresentam viés

de baixa para dados de 1 dia e não o apresentam para dados de 1

semana, com 95% de confiança.

b) Teste de Eficiência:

i. Índice Bovespa: os estimadores usando valores extremos diver-

gem entre si quanto à eficiência. Enquanto os estimadores PK e

RS apresentam eficiência de cerca de 1.50 para dados de 1 dia, a

eficiência é inferior a 1 para dados de 1 semana.

ii. Paridade BLR/USD spot: os estimadores usando valores extre-

mos apresentaram desvio-padrão menor que o estimador clás-

sico. A eficiência, segundo medida descrita no capítulo 2, é da

ordem de 1.70. A eficiência máxima observada foi 1.83.

3) Usando a volatilidade implícita em opções no dinheiro (ATM – at the money) de 1

mês como referência:

a) Teste de Viés:

i. Índice Bovespa: todos os estimadores, incluindo o clássico, apre-

sentaram viés de baixa. Enquanto o valor médio de volatilidade

obtido para a volatilidade implícita é de 27%, o valor médio para

os estimadores é da ordem de 21%. O desvio padrão da diferença

é da ordem de 0.25% e, portanto, com 95% de confiança, rejeita-

se a hipótese de não-existência de viés.

ii. Paridade BLR/USD spot: a maioria dos estimadores usando valo-

res extremos não apresenta viés. Apenas os estimadores PKM e

RS apresentaram ligeiro viés de baixa. A diferença entre os esti-

madores é da ordem de 0.25% e, como o desvio-padrão é da or-

dem de 0.22%, com 95% de confiança, não se rejeita a hipótese

de não-existência de viés.

b) Teste de Eficiência:

i. Índice Bovespa: os estimadores usando valores extremos apre-

sentaram desvio padrão menor que o estimador clássico. A efi-

ciência, segundo medida descrita no capítulo 1, é da ordem de

1.40. A eficiência máxima observada foi 1.60. Nenhum estima-

dor apresentou eficiência estatisticamente significante, a 95% de

confiança, superior ao estimador clássico quanto à previsibi-

lidade da volatilidade futura. Nas regressões, obtiveram-se R^2

próximos a 1 e que o componente AR(1) explica cerca de 90%

da volatilidade implícita.

ii. Paridade BLR/USD spot: os estimadores usando valores extre-

mos apresentaram desvio-padrão menor que o estimador clás-

sico. A eficiência, segundo medida descrita no capítulo 1, é da

ordem de 1.20. A eficiência máxima observada foi 1.32. Todos

os estimadores apresentaram eficiência estatisticamente signifi-

cante, a 95% de confiança, superior ao estimador clássico quanto

à previsibilidade da volatilidade futura. Nas regressões, obtive-

ram-se R^2 próximos a 1 e que se tem a presença de raiz unitária.

Como se pode ver pelos resultados, de uma forma geral, os estimadores que usam

valores extremos apresentaram-se melhores que o estimador clássico. Eficiências superiores

a 5, que eram esperadas segundo a teoria, não foram verificadas. A principal razão para essa

diferença entre teoria e prática é que toda a teoria está baseada no fato de que os retornos dos

ativos seguem um processo estocástico com distribuição normal. Como foi verificado, para o

Índice Bovespa e Paridade BRL/USD, os retornos não têm tal comportamento. Após teste

estatístico, rejeita-se a hipótese nula de normalidade.

4.2 Sugestões para novos trabalhos

Atualmente, no mercado brasileiro, os estimadores que usam valores extremos não

são freqüentemente usados. Dados os resultados deste trabalho, fica a sugestão de que eles

sejam discutidos em congressos nacionais de finanças e em futuros trabalhos.

Como sugestão de novo trabalho, pode-se testar para o Índice Bovespa e a paridade

BRL/USD spot o estimador que usa a correção do efeito da discretização dos dados no tem-

po, que foi proposto por Rogers e Satchell (1991) e também por Yang e Zhang (2000). Como

mencionado anteriormente, um dos fatores de viés para os estimadores é a discretização das

observações no tempo. Então, pode-se verificar se a correção traz benefícios para os esti-

madores em termos de viés e eficiência e se ela faz com que a realidade se aproxime mais da

teoria.

Para tentar eliminar o efeito de limitação de queda intra-diária, pode-se fazer um

tratamento nos dados de forma a se eliminar outliers. Wiggins (1991) propôs a retirada de

outliers segundo critérios de variação intra-diários entre a abertura, o máximo, o mínimo e o

fechamento.

APÊNDICE

A seguir, é apresentado o gerador de números aleatórios utilizado neste trabalho para

verificar os valores teóricos de eficiência dos estimadores que usam valores extremos em

relação ao estimador tradicional. A rotina abaixo foi usada no Microsoft Excel.

5.1. Geração de números aleatórios (Box – Muller).

Sub GenerateRandomNumbers()

Dim pi As Double, a As Double, c As Double

Dim n As Long, n_max As Long

Dim j As Integer

Dim i() As Double

‘Dim X() As Double

Dim k() As Double

pi = 4 * Atn(1)

a = 7 ^ 5

c = 2 ^ 31 - 1

n_max = 1440 '# random numbers

j = 251

ReDim i(n_max)

'ReDim X(n_max)

ReDim k(n_max)

k(0) = 0

For n = 1 To n_max

k(n) = n

Next n

While j < 501

i(0) = j 'seed for the linear congruential generator

For n = 1 To n_max 'I() divided by c is iid U(0,1)

i(n) = c * (a * i(n - 1) / c - Int(a * i(n - 1) / c)) 'a times I() modulo c

Next n

For n = 1 To n_max - 1 Step 2

'Box-Muller method: X() is iid N(0,1)

'X(n) = Sqr(-2 * Log(i(n) / c)) * Cos(2 * pi * (i(n + 1) / c))

'X(n + 1) = Sqr(-2 * Log(i(n) / c)) * Sin(2 * pi * (i(n + 1) / c))

Range("A1").Offset(k(n) - 1, j - 251).Value = Sqr(-2 * Log(i(n) / c)) * Cos(2 *

pi * (i(n + 1) / c))

Range("A1").Offset(k(n), j - 251).Value = Sqr(-2 * Log(i(n) / c)) * Sin(2 * pi

* (i(n + 1) / c))

Next n

j = j + 1

Wend

End Sub

REFERÊNCIAS

ANDERSEN, T. G. et al. Modeling and forecasting realized volatility. Econometric, v. 71,

n.2, p. 579-625, mar. 2003.

BECKERS, S. Variances of security price returns based on high, low and closing prices.

Journal of Business, v. 56, p. 97-112, jan.1983.

DUQUE, J.; PAXSON, D. A. Empirical evidence on volatility estimators. Disponível em:

<http://pascal.iseg.utl.pt/~jduque/jd_empirical%20evidences.pdf>. Acesso em: 29 jan. 2008.

FELLER, W. The symptotic distribution of the range of sums of random variables. Annals of

Mathematical Statistics, v. 22, p. 427-32, 1951.

GARMAN, M; KLASS, M. On the estimation of security price volatilities from historical

data. Journal of Business, v. 53, 67-78, jan. 1980.

KAI, Li; WEINBAUM, D. The empirical performance of alternative extreme value

volatility estimators. Disponível em: <

http://www.qf.nthu.edu.tw/~jtyang/Teaching/Risk_management/Papers/Quant_Methods/The

%20Empirical%20Performance%20of%20Alternative%20Extreme%20Value%20Volatility

%20Estimators.pdf>. Acesso em: 28 jan. 2008.

KUNITOMO, N. Improving the parkinson method of estimating security price volatilities.

Journal of Business, v. 65, n. 2, p.295-302, abr.1992.

PARKINSON, M. The extreme value method for estimating the variance of the rate of

return. Journal of Business, v. 53, n. 1, p.61-66, jan. 1980.

ROGERS, L. C. G.; SATCHELL, S. E. Estimating variance from high, low and closing

prices. Annals of Applied Probability, v.1, n. 4, p.504-512, 1991. Disponível em: <

http://www.jstor.org/view/10505164/di983986/98p00357/0>. Acesso em: 28 jan. 2008.

SÁ MOTA, B.; FERNANDES, M. Desempenho de estimadores de volatilidade na bolsa de

valores de São Paulo. Revista Brasileira de Economia, v. 58, n.3, p. 429-448, jul./set.

2004.

TONER, M. What is the best estimator of price volatility in futures markets. 1997.

Disponível em: < http://www.sirca.org.au/Papers/1997005.pdf>. Acesso em: 28 jan. 2008.

WIGGINS, J. Empirical tests of the bias and efficiency of the extreme-value estimator for

common stocks.

Journal of Business

, v.64, n.3, p. 417-432, jul.1991.

WIGGINS, J. Estimating the Volatility of S&P 500 Futures Price Using the Extreme-Value

Method. Journal of Futures Markets, v.12, p. 265-273, 1992.

YANG, D.; ZHANG, Q. Drift-Independent volatility estimation based on high, low, open and

close prices. Journal of Business, v. 73, n. 3, p. 477-491, jul. 2000.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 