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OBSERVAT
´
ORIO NACIONAL - MCT
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM ASTRONOMIA
Colapso Gravitacional Radiante com
Viscosidade de Cisalhamento
Gustavo Pinheiro
Orientado r: Dr. Roberto Chan
Rio de Janeiro, 28 de Fevereiro de 2008
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Quando a hora dobra em triste e tardo toque
E em no ite hor r enda vejo escoar-se o dia,
Quando vejo esvair-se a violeta, ou que
A prata a preta tˆemp ora assedia;
Quando vejo sem folha o tronco antigo
Que ao rebanho estendia sombra franca
E em feixe atado agora o verde trigo
Seguir o carro, a barba hirsuta e branca;
Sobre tua beleza ent˜ao questiono
Que h´a de sofrer do Tempo a dura prova,
Pois as gra¸cas do mundo em aba ndono
Morrem ao ver nascendo a gra¸ca nova.
Contra a foice do Tempo ´e v˜ao combate,
Salvo a prole, que o enfrenta se te abate.
William Shakespeare
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AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer Ao Que N˜ao Consigo Explicar... Ao meu pai (v´eio)
e minha m˜ae (v´eia), meus irm˜aos Gilson (C˜ao) e Gabriel (Pato).
Agrade¸co imensamente ao Professor Roberto Chan pela oportunidade de
realizar essa disserta¸c˜ao, pela paciˆencia e dedica¸c˜ao.
Sou muito grato `a Professora Maria de F´atima Alves da Silva, que ao
in´ıcio da gradua¸c˜ao me incentivou para o estudo da Gravita¸c˜ao e Ensino
de F´ısica. Agrade¸co tamb´em pela orienta¸c˜ao nas ´areas citadas, imensa ded-
ica¸c˜ao e `a gentileza de, ap´os ta nto, aceitar participar da banca.
Agrade¸co `a CAPES pelo suporte financeiro.
Agrade¸co `a Sociedade Astronˆomica Brasileira e ao Observat ´orio Nacional
pela possibilidade de exp or meu trabalho e poder participar da XXXIII Re-
uni˜ao Anual da SAB.
Posso mesmo escrever o que eu quiser???
Devo agradecer `a minha namorada Soraia Patinha (Zoraid, no brinque
com as coisas do outro mundo!!!), sua famlia e `a PeGro Lucas Birigui.
Agrade¸co `a minha fam´ılia, v´o Dirce, vˆo Arlindo (ausente apenas fisica-
mente), v´o Inayh´a, vˆo Gilson, tios, tias, primos e primas que est˜ao sempre
na torcida.
Aos amigo s Talles (amigo desde criancinha que ele ainda ´e) e fam´ılia,
Andre ZDMatador e Bel Guevara (Os camaradas), K´atia Kato, Geanderson,
Diogo Z´e Lingui¸ca, Andre Sem No¸c˜ao Nicolai, Rafael Aranha (que me faz
de p...), Mar´ılia Carneiro Voador, Carlinha, Ramon, Nelson Metal, Sapeca e
Lycia, F´atima (a qui sem formalidades), Clark (com seus papos desbitolantes
das ciˆencias humanas), Joana Maria (que sempre troca a ordem das coisas),
Tio Lingui¸ca, Fernanda Hingel, Giselle Faur.
Amigos do ON: Da niel Mello (que insistentemente perguntava: “E a
tese???” ou ent˜ao: “pega ´agua l´a!), Alain-Jacques (desistiu???), Mary Jane
ii
(Mala que me prepara festas de anivers´ario) e Pato Pateta, Don Nobar Oc-
tavio de Flores Baella, Dudu Lenho, Sheyse Burguer, Luan Ghezzi, Mauricinho
Casaquinho, Ro dney, Rodrigo Eterno Calouro e Fl´avia, Ernandes, Beck,
Didier Curty, Jean (novo med´ıocre), Suze, Maricela Flamenguista, Maria
Aldinez Baixinha Cara de Fuinha Gnomo da Floresta, Ger´onimo, Vera Dino
e Iara (que sempre me ajudam), Beethoven, Ed´esio, Andr´e, Germ´an, fun-
cion´arios do ON.
Novamente grato `a Albert Einstein que, mais uma vez, me proporcionou
o que escrever. E `aquele pessoal das quatro ´ultimas p´aginas, inclusive os que
nem tive tempo de ler.
Agrade¸co aos demais curiosos que abriram essa disserta¸c˜ao mesmo sem
fazer id´eia do que possa ser colapso gravitacional.
iii
RESUMO
Um novo modelo ´e proposto para uma estrela radiante colapsando con-
sistindo de um fluido com viscosidade possuindo fluxo de calor na dire¸c˜a o
radial e com emiss˜ao de radia¸c˜ao para o exterior. Em um tr abalho anterior
foi introduzida uma dependˆencia temporal em g
rr
, al´em das fun¸c˜oes depen-
dentes do tempo g
θθ
e g
φφ
. O objetivo deste trabalho ´e generalizar este
modelo pr´evio introduzindo viscosidade de cisalhamento e compar´a-lo com
o modelo de colapso n˜ao viscoso. O comportamento da densidade, press˜ao,
massa, luminosidade e´ındice adiab´atico efetivo ´e analisado. Nosso trabalho ´e
comparado ao caso de um fluido viscoso do modelo anterior para uma estrela
com 6 M
⊙
. A press˜ao da estrela no in´ıcio do colapso ´e isotr´opica, mas devido
`a presen¸ca da viscosidade, a press˜ao se torna mais e mais anisotr´opica. O
buraco negro nunca ´e formado po r que a condi¸c˜ao de forma¸c˜ao do hor izonte
aparente nunca ´e satisfeita. Um observador no infinito percebe uma fonte
pontual irradiando exponencialmente at´e alcan¸car o tempo de m´axima lu-
minosidade e repentinamente a estrela se a pa ga. O ´ındice adiab´atico efetivo
tem um comporta mento n˜a o usual porque temos um regime n˜ao adiab´atico
no fluido devido ao fluxo de calor.
iv
ABSTRACT
A new model is proposed to a collapsing ra diating star consisting of a n
isotropic fluid with shear viscosity undergoing radial heat flow with outgoing
radiation. In a previous paper was intr oduced a function time dependent into
the g
rr
, besides the time dependent metric functions g
θθ
and g
φφ
. The aim of
this work is to generalize this previous model by introducing shear viscosity
and compare it to the non-viscous collapse. The behavior of the density,
pressure, mass, luminosity and the effective adiabatic index is analyzed. Our
work is compared to the case of a collapsing shearing fluid of a previous
model, for a star with 6 M
⊙
. The pressure of the star, at the beginning of
the collapse, is isotropic but due to the presence of the shear the pressure
becomes more and more anisotropic. The black hole is never formed because
the apparent horizon formation condition is never satisfied. An observer at
infinity sees a radial point source radiating exp onentially until reaches the
time of maximum luminosity and suddenly the star turns off. The effective
adiabatic index has a very unusual behavior because we have a non-adiabatic
regime in the fluid due to t he heat flow.
v
Nota¸c˜ao e Conven¸c˜oes
• Assinatura da m´etrica: (- + + +)
•
´
Indices latinos variam de 1 a 3 e ´ındices gregos de 0 a 3.
´
Indices
repetidos obedecem `a conven¸c˜ao de Einstein.
• Derivada parcial:
∂φ
∂x
α
≡ φ,
α
= ∂
α
• Derivada covariante: A
α
;
β
= A
α
,
β
+Γ
α
λβ
A
λ
• Nesta disserta¸c˜ao adotaremos unidades com c = G = 1, de modo que
a constante gravitacional de Einstein ´e κ = 8π.
vi
Conte´udo
Resumo iv
Nota¸c˜ao e Conven¸c˜oes vi
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 O Colapso Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivo da Disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Equa¸c˜oes de C ampo 9
2.1 Formas M´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Tensor Momento-Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Tensor de Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Tensor de Einstein e Equa¸c˜oes de Campo . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Condi¸c˜oes de Jun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Solu¸c˜ao as Equa¸c˜oes de Campo 19
3.1 Modelo da Configura¸c˜ao Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 C ondi¸c˜oes de E nergia 33
4.0.1 Condi¸c˜oes de Energia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.0.2 Condi¸c˜oes de Energia Dominante . . . . . . . . . . . . 36
4.0.3 Condi¸c˜oes de Energia Forte . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.0.4 Sum´ario das Condi¸c˜oes de Energia . . . . . . . . . . . 38
5 Resultados F´ısicos 45
6 C onclus˜oes 52
vii
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
1.1 O Col apso Gravitacional
Sobre uma estrela simetricamente esf´erica atua constantemente a for¸ca
gravitacional relativa `a sua pr´opria massa, comprimindo-a radialmente. Em
contrabalan¸co `a isto, a press˜a o t´ermica do g ´as mant´em a estrela em equil´ıbrio
se esta fo r suficientemente quente. Esta alta temperatura prov´em das rea¸c˜oes
nucleares dos elementos qu´ımicos presentes no interior da estrela, que geram
energia suficiente para suportar a compress˜ao. Existe portanto, uma disputa
permanente entre a gravidade da estrela e a press˜ao t´ermica.
N´ucleos de elementos qu´ımicos mais leves, come¸cando pelo Hidrogˆenio,
se fundem nas regi˜oes mais internas da estrela formando elementos cada vez
mais pesados, liberando energia nesse processo. Entretanto, tais rea¸c˜oes nu-
cleares exigem uma quantidade de energia para que possam ocorrer, e esta
demanda aumenta para n´ucleos cada vez mais pesados, terminando no n´ucleo
de ferro,
56
Fe, que possui grande energia de liga ¸c˜ao por nucleon, e portant o,
alta estabilidade.
Outra possibilidade de equil´ıbrio ocorre quando a press˜ao de f´ermions
degenerados, neutrons ou el´etrons, impede a contra¸c˜ao da estrela. Uma es-
trela formada por el´etrons degenerados, chamada an˜a branca, possui massa
inferior a aproximadamente 1.4 M⊙, chamado limite de Chandrasekhar. Em
estrelas com massas logo acima deste limite, a press˜ao gravitacional propicia
1
a ocorrˆencia de outro fenˆomeno, a captura eletrˆonica, onde um el´etron e um
pr´oton d˜ao origem a um neutron emitindo um neutrino eletrˆonico, deixando
a estrela rica em neutrons. Estes nucleons em estado degenerado suportam a
compress˜ao, desde que a massa desta estrela seja inferior a aproximadamente
2 M⊙, conhecido como limite de O ppenheimer-Volko ff .
Com massas acima de 2 M⊙, sem capacidade de realizar fus˜oes ou de
sustentar-se atrav´es da press˜ao n˜ao t´ermica da mat´eria degenerada, a estrela
inevitavelmente colapsa, isto ´e, sua massa ´e sugada fortemente para o cen-
tro. D ependendo de caracter´ısticas desta estrela, em determinadas ocasi˜oes
o produto final do colapso ´e um buraco negro.
H´a tempos se imaginava a possibilidade de estrelas que n˜ao emitissem luz
para o exterior. Em 1795 em seu livro ”Exposi¸c˜ao do Sistema de Mundo”,
Laplace propˆos que uma estrela com a mesma densidade da Terra e diˆametro
250 vezes maior que o solar seria invis´ıvel. Esta id´eia estava baseada no fato
j´a conhecido naquele tempo de que at´e mesmo a luz est´a sujeita `a a¸c˜ao da
for¸ca da gravidade. A velocidade de escape necess´aria para se livrar de tal
campo gravitacional de alt´ıssima intensidade deveria ser superior `a veloci-
dade da luz, e por isso o corpo seria invis´ıvel para um observador arbitraria-
mente distante. Vale ressaltar que em 1984 ficou conhecido pela comunidade
cient´ıfica que John Michell em 1783 j´a havia previsto a existˆencia de tais cor-
pos celestes de maneira an´aloga `a de Laplace. Estas suposi¸c˜oes sustenta das
na Lei da Gr avita¸c˜ao de Newton descrevem objetos que, tal qual um buraco
negro, n˜ao emitem luz.
A explicac˜ao comtemporˆanea para o fenˆomeno dos corpos negros veio com
a publica¸c˜ao da Teoria da Relatividade Geral em 1915. Esta teoria traduz
em geometria do espa¸co-tempo o que era tido como for¸ca g r avitacional, sendo
a fonte para a curvatura desta geometria a quantidade de mat´eria presente.
Assim, como disse o f´ısico americano John Wheeler: “o espa¸co diz `a mat´eria
como se mover e a mat´eria diz ao espa¸co como se curvar” [1]. Portanto, a ge-
ometria do espa¸co- tempo e a mat´eria est˜ao relacionadas. Isto est´a sintetizado
na equa¸c˜ao de Einstein:
G
µν
= κT
µν
, (1.1)
onde G
µν
o tensor de Einstein que nos d´a a geometria do espa¸co- t empo.
2
A constante κ ´e a constante de acoplamento gravitacional. O tensor T
µν
,
chamado de Tensor Momento-Energia, carrega as informa¸c˜oes f´ısicas sobre a
fonte de gravita¸c˜ao.
Um mˆes ap´os a publica¸c˜ao desta teoria de gravita¸c˜ao, o astrˆonomo alem˜ao
Karl Schwarzschild obteve a primeira solu¸c˜a o exata no v´acuo das equa¸c˜oes
de Einstein, excetuando-se a solu¸c˜ao trivial do espa¸co-tempo plano. Esta
representava a f orma do espa¸co-tempo em torno de uma estrela sem carga
e sem rota¸c˜ao. Para descrever os espa¸cos-tempos exterior e interior de uma
estrela est´atica, Schwarzschild usou o tensor momento-energia de um fluido
perfeito a ssumindo densidade constante para esta, sendo com isso poss´ıvel a
resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes de campo.
Em 19 39, no contexto da Teoria Relatividade Geral, Oppenheimer e Sny-
der descreveram o colapso de uma nuvem de g´as livre de press˜ao (fluido de
poeira) em queda livre, usando uma m´etrica simetricamente esf´erica geral
para o interior da estrela, tendo a descri¸c˜ao do espa¸co-tempo exterior dado
pela solu¸c˜ao de Schwarzschild citada no par´agrafo anterior. Segundo este
modelo, uma estrela de alta massa sem combust´ıvel nuclear que n˜a o mais
sup orta a press˜ao gravitacional colapsa indefinidamente. O raio da estrela se
aproxima cada vez mais do raio gravitacional (r
0
= 2M), sendo M a massa
da estrela. Ao cruz´a-lo nenhuma informa¸c˜ao pode ser enviada ao exterior.
Um observador com´ovel na superf´ıcie da estrela ver´a este fenˆomeno em um
tempo finito curto, calculado ser de um dia. J´a um observador na regi˜ao ex-
terior `a estrela percebe uma dura¸c˜ao infinita para o mesmo f enˆomeno. Sinais
luminosos emitidos na superf´ıcie antes de se alcan¸car o raio gravitacional r
0
sofrem um crescente deslocamento para o vermelho. A estrutura formada do
colapso de uma estrela s´o passou a ser chamada de buraco negro no final da
d´ecada de 6 0, nome criado pelo f´ısico americano John Wheeler.
Com o sucesso desta primeira descri¸c˜ao formal da forma¸c˜ao de um buraco
negro, foi poss´ıvel a proposi¸c˜ao de modelos cada vez mais real´ısticos, com de-
scri¸c˜oes mais completas da hidrodinˆamica do fuido contido na estrela e do
espa¸co- t empo exterior, incluindo a radia¸c˜ao. Mcvittie [2] ampliou o trabalho
de Oppenheimer e Snyder usando a Relatividade Geral e a hidrodinˆamica
newtoniana. Misner e Sharp [3] consideraram o efeito de introduzir termos
de gradiente de press˜a o nas equa¸c˜oes de movimento. V´arias tentativas foram
feitas para formular e resolver as equa¸c˜oes da hidrodinˆamica relativ´ıstica
3
para o colapso gravitacional incluindo fluxo de calor e radia¸c˜ao. Baardeen
[4], May e White [5], Snyder e Taub [6] e Misner e Sharp [7] consideraram o
problema do colapso com simetria esf´erica quando o transp orte de energia ´e
por difus˜ao de radia¸c˜ao.
Uma estrela colapsando irradia parcialmente ou toda sua massa na forma
de energia para o exterior. Para descrever esse fator, Va idya [8] calculou
um elemento de linha para uma dada regi˜ao de radia¸c˜ao usando o tensor
momento-energia relativo a um fluido nulo dado por:
T
µν
= εX
µ
X
ν
, (1.2)
onde ε ´e a densidade de enegia radiante, e X
µ
´e um vetor nulo.
A m´etrica encontrada, muito usada posteriormente, ficou conhecida como
m´etrica de Vaidya e tem a forma:
ds
2
+
= −
1 −
2m(v)
r
dv
2
− 2dvdr + r
2
(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
). (1.3)
Mais tarde, Vaidya [9] obteve uma solu¸c˜ao matem´atica para o problema
do colapso gravitacional com ra dia¸c˜ao numa forma anal´ıtica simples. Beken-
stein [10] obteve a m´etrica que corresponde a uma distribui¸c˜ao esfericamente
sim´etrica arbitr´aria de fluido perfeito carregado e deduziu as equa¸c˜oes para
o colapso desta distribui¸c˜ao generalizando o formalismo de Misner e Sharp
[3]. Szekeres [11] investigou em detalhes uma classe de solu¸c˜oes que rep-
resentam nuvens de poeira que colapsam gravitacionalmente e Baym [12]
estudou as equa¸c˜oes de campo dependentes do tempo para esferas de flu-
ido radiante onde o tensor momento-energia ´e dado pela soma do tensor
momentum-energia para um fluido perfeito com o de uma radia¸c˜ao que ex-
pande radialmente. Lake e Hellaby [13] continua ram o estudo do colapso de
esferas de fluido radiante.
Nos est´agios ”normais”da evolu¸c˜a o, a energia irradiada po r uma estrela
relativamente `a sua massa ´e desprez´ıvel (para uma estrela como o Sol temos
L
⊙
∆t/M
⊙
≈ 10
−4
, onde ∆t = 4, 5 × 10
9
anos ´e a idade do Sol). No entanto,
nos est´agios finais do colapso, essa radia¸c˜ao pode n˜ao ser desprez´ıvel (nesta
disserta¸c˜ao veremos a situa¸c˜ao onde a estrela irradia toda a sua massa inicial
4
num intervalo de tempo de alguns microsegundos). Essa radia¸c˜ao pode ser
levada em conta utilizando-se a m´etrica de Vaidya. O elemento de linha in-
troduzido por Vaidya ´e uma generaliza¸c˜ao n˜ao est´atica do elemento de linha
de Schwa r zschild. A m´etrica de Va idya, como a de Schwarzshild, ´e esferica-
mente sim´etrica e t em uma peculiaridade em rela¸c˜ao a essa ´ultima, representa
o campo de radia¸c˜ao de um fluido nulo ra dial, como definido por (1.2), de
uma ”estrela”. A m´etrica de Vaidya, embora em primeira aproxima¸c˜ao de-
screva um corpo de massa m radiante, tem dois pro blemas. Por um lado o
fluido nulo n˜ao obedece `as equa¸c˜oes de Maxwell, embora numa aproxima¸c˜ao
de ´otica geom´etrica possa ser visto como um campo Maxwelliano [15]. Por
outro lado a radia¸c˜ao ´e radial e por isso um observador situado no infinito
ver´a um s´o f´oton proveniente do corpo de massa m e n˜ao um disco como
seria esperado.
Em determinados est´agios do colapso, a tempetarura aumenta tanto que
a produ¸c˜ao de neutrinos ´e intensa tal qual sua emiss˜ao para fora da estrela.
Misner [14] obteve as equa¸c˜oes b´asicas do colapso gravitacional esf´erico, per-
mitindo uma transferˆencia de calor onde a energia int erna da estrela ´e con-
vertida em emiss˜ao de um fluxo de neutrinos para o exterior que eram repre-
sentados por um fluido nulo. Em 1973, Griffiths [15] desenvolveu uma teoria
de muitas part´ıculas para os neutrinos, assumindo propaga¸c˜ao radial e n˜ao
intera¸c˜a o entre os mesmos. Ele aplicou este resultado a uma estrela com um
campo de radia¸c˜ao descrito pela m´etrica de Vaidya. Comparando as pro-
priedades macrosc´opicas dos campos de f´otons e neutrinos, ele mostrou que
estas eram equivalentes em qualquer espa¸co-tempo.
O campo de radia¸c˜ao fora de uma estrela pode ser estudado tamb´em,
usando as coordenadas r adiativas introduzidas por Bondi et al. [16], dadas
por:
ds
2
= −e
2β
V
r
+ 2dtdr
+ r
2
(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
), (1.4)
onde t ´e a ”mesma”coordenada nula v de Vaidya, V = V (r, t), β = β(r, t)
e β → 0 quando r → ∞. Na regi˜ao exterior da estrela temos β = 0 e
V = r − 2 ˜m(t), onde ˜m(t) ´e a generaliza¸c˜ao da massa de Schwarzschild. O
elemento de linha de Bondi se transforma no elemento de Vaidya se assumir-
mos β = 0 e ˜m uma fun¸c˜ao ar bitr´aria de t.
5
Usando o elemento de linha (1.4), Bondi [17] estudou esferas colapsantes
impondo restri¸c˜o es na escolha das fun¸c˜oes β(r, t) e V (r, t), para que se ten-
ham sistemas fisicamente a ceit´aveis. Este trabalho fo i utilizado por Herrera
et al. [18] num novo m´etodo para a o bten¸c˜ao de modelos de esferas colap-
santes. Eles propuseram um m´etodo semi-anal´ıtico geral para a obten¸c˜ao
de modelos de colapso a partir de solu¸c˜oes est´aticas das equa¸c˜oes de Ein-
stein. A id´eia deste m´etodo consistia em evitar a integra¸c˜ao direta das
equa¸c˜oes de campo. Ao inv´es disto, sup˜oe-se uma rela¸c˜ao entre as quan-
tidades f´ısicas que descrevem a mat´eria. Esta rela¸c˜a o, que ´e sugerida pelas
equa¸c˜oes de campo, relaciona continuamente os modelos com suas corre-
spondentes solu¸c˜oes est´aticas. Herrera et al. [1 9], usando este m´etodo,
extenderam-no para o caso de uma esfera colapsante com fluxo de calor.
Barreto et al. [20], tamb´em utilizando este m´etodo, estudaram a influˆencia
dos processos de difus˜ao de energia na dinˆamica de esferas radiantes. Chan et
al. [21], utilizando o trabalho de Barr eto et al. [20], estudaram os processos
difusivos atrav´es da evolu¸c˜ao de trˆes quantidades f´ısicas: o ´ındice adiab´atico
efetivo, o escalar de cisalhamento associado `a quadrivelocidade e a temper-
atura.
A maioria dos trabalhos pr´evios considerou somente movimento do fluido
sem cisalhamento (de Oliveira, Santos & Kolassis [22]; Bonnor, de Oliveira
& Santos [23], Wagh et al. [24]). Esta simplifica¸c˜ao nos permite a obten¸c˜ao
de solu¸c˜oes exatas da s equa¸c˜oes de Einstein em alguns casos, mas ´e um tanto
n˜ao realista. Tamb´em n˜ao ´e muito realista considerar fluxo de calor sem
viscosidade, e quando ela ´e introduzida ´e desej´avel permitir cisalhamento
no movimento do fluido. Num trabalho recente, Mart´ınez [25], usando o
m´etodo semi-num´erico de Herrera, Jimenez & Ruggeri [18], analisou o colapso
gravitacional de um fluido anisotr´opico com viscosidades de cisalhamento e
volumar mas n˜ao resolveu as equa¸c˜oes de Einstein acopladas com termos de
viscosidade, isto ´e, resolveu as equa¸c˜oes para um fluido anisotr´opico e so-
mente depois as equa¸c˜oes de transporte foram introduzidas.
Com o desenvolvimento e melhor utiliza¸c˜ao da hidrodinˆamica e da ter-
modinˆamica para uma caracteriza¸c˜ao mais rigorosa do fluido estelar, diversos
trabalhos posteriores foram feitos considerando termos como viscosidade de
cisalhamento, viscosidade volumar, fluxo de calor, anisotropia de press˜ao.
6
1.2 Objetivo da Di sserta¸c˜ao
Este trabalho consiste no desenvolvimento de um modelo para o colapso
de uma estrela considerando viscosidade de cisalhamento, anisotropia de
press˜ao, fluxo de calor radial em seu interior, e emiss˜ao de radia¸c˜ao para
a regi˜a o exterior.
Os trabalhos de Chan [26], [27] avaliam o impacto do cisalhamento sobre
a anisotropia da press˜ao. Em Chan [28] o modelo de colapso inclui a viscosi-
dade de cisalhamento, mas a ´unica fun¸c˜ao m´etrica dependente do tempo ´e o
raio geom´etrico C(r, t). Em 2 003, Chan [29] analisa o movimento cisalhante
incluindo fun¸c˜oes dependentes do tempo e da coordenada radial, sendo estas
separ´aveis nas tais coordenadas, tanto para o raio com´ovel B(r, t), quanto
para o raio geom´etrico C(r, t), mas sem incluir a viscosidade.
Esta disserta¸c˜ao trata-se de uma generaliza¸c˜ao dos trabalhos de Chan [2 8],
[29], em que as fun¸c˜oes m´etricas que r epresentam o raio com´ovel B(r, t) e o
raio geom´etrico C(r, t) desta estrela s˜ao propostos como fun¸c˜oes separ´aveis
das coor denadas radiais e temporais, mantendo a fun¸c˜ao A(r, t) = A
0
(r) de-
pendente apenas da coordenada radial, ao mesmo tempo em que a viscosidade
de cisalhamento ´e considerada.
ds
2
−
= −A
2
(r, t)dt
2
+ B
2
(r, t)dr
2
+ C
2
(r, t)(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
). (1.5)
A(r, t) = A
0
(r), (1.6)
B(r, t) = B
0
(r)h(t), (1.7)
C(r, t) = rB
0
(r)f(t). (1.8)
7
Schwarzschild Exterior
Fluxo de Calor
Radiacao Exterior (Vaidya)
Viscosidade de Cisalhamento
Schwarzschild Interior
+
. .
..
(Densidade Constante)
Figura 1.1: Do lado esquerdo temos a estrela est´atica antes do in´ıcio do colapso. Do
lado direito temos a e strela em colapso.
Na figura acima est˜ao dispo stas duas situa¸c˜oes distintas do colapso. Na
primeira, temos a estrela est´atica antes do in´ıcio do colapso onde, os espa¸cos-
tempos interior e exterior s˜ao descritos pelas solu¸c˜oes de Schwarzschild in-
terior e exterior, sendo que a solu¸c˜ao interior servir´a de condi¸c˜ao de con-
torno para o modelo posteriormente. Na situa¸c˜ao posterior, t emos a estrela
em colapso com emiss˜ao de radia¸c˜ao para o exterior, tendo a descri¸c˜ao do
espa¸co- t empo exterior dado pela m´etrica de Vaidya [8].
A pesquisa realizada resultou em um artigo que recentemente foi publi-
cado na revista General Relativity and Gravitation (2 008), e com este tra-
balho esperamos contribuir na obten¸c˜ao de modelos cada vez mais real´ısticos
para a fase final da evolu¸c˜ao estelar.
8
Cap´ıtulo 2
Equa¸c˜oes de Campo
2.1 Formas M´etricas
Neste cap´ıtulo devemos apresentar as formas m´etricas dos espa¸cos-tempos
referentes ao corpo colapsando, assim como os elementos que comp˜oem o ten-
sor momento-energia que descreve o fluido estelar e os componentes do Tensor
de Einstein.
Come¸cando com o interior da estrela, a f orma mais geral de um elemento
de linha que podemos propor para um corpo com simetria esf´erica constitu´ıdo
de um fluido com movimento de cisalhamento ´e dada por:
ds
2
−
= −A
2
(r, t)dt
2
+ B
2
(r, t)dr
2
+ C
2
(r, t)(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
), (2.1)
onde o sub´ındice (-) em ds
2
indica que este elemento de linha trata do interior
da estrela.
Representaremos a sup erf´ıcie da esfera em colapso que divide as regi˜oes
interna e externa pela letra Σ . Definimos uma forma m´etrica com´ovel com
esta superf´ıcie usando a coordenada temporal τ, a coordenada radial da
sup erf´ıcie R(τ) e as coordenadas angulares usuais θ e φ.
ds
2
= g
ı
dξ
i
dξ
j
= −dτ
2
+ R
2
(τ)(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
). (2.2)
9
Tendo os ξ
i
, com i = 1, 2, 3, como coordenadas da superf´ıcie Σ.
Assim ξ
i
= (τ, θ, φ).
Enquanto o corpo colapsa, radia¸c˜ao ´e emitida para o exterior. Como j´a
foi discutido no cap´ıtulo 1, a m´etrica de Vaidya [8] caracteriza este campo
de radia¸c˜ao ao redor da estrela. Relembrando, esta ´e dada por:
ds
2
+
= −
1 −
2m(v)
r
dv
2
− 2dvdr + r
2
(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
), (2.3)
onde o sub´ındice (+) em ds
2
indica que este elemento de linha trata da regi˜ao
exterior `a estrela.
A massa do sistema dentro da superf´ıcie de separa¸c˜ao ´e representada por
m(v), que ´e uma fun¸c˜ao do tempo retardado v. A coordenada radial ´e rep-
resentada em negrito (r) para ser diferenciada da coordenda ra dial interior.
As coordenadas angulares s˜ao as mesmas em todos os casos po r se tra t ar de
simetria esf´erica.
2.2 Tensor Momento-Energia
O tensor momento-energia tr ata do conte´udo f´ısico, de determinada fonte
de gravita¸c˜ao.
´
E este tensor que carrega as informa¸c˜oes sobre as carac-
ter´ısticas do fluido contido na estrela. Para o nosso modelo este tensor ´e
dado por:
T
αβ
= [(µ + p
t
)u
α
u
β
+ p
t
g
αβ
+ (p − p
t
)X
α
X
β
+q
α
u
β
+ q
β
u
α
− 2ησ
αβ
] , (2.4)
10
onde:
µ - densidade de mat´eria-energia
p
t
- press˜ao tangencial
u
α
- quadri-velocidade do fluido
g
αβ
- tensor m´etrico
p - press˜ao radial
X
α
- quadri-vetor unit´ario na dire¸c˜ao radial
q
α
- fluxo de calor radial
η - coeficiente de viscosidade de cisalhamento
σ
αβ
- tensor de cisalhamento.
2.3 Tensor de Cisalhament o
O cisalhamento ´e um movimento que ocorre devido a diferentes quadri-
velocidades entre elementos vizinhos em um fluido. A este movimento rel-
ativo est´a associada a chamada viscosidade de cisalhamento. O tensor que
representa o cisalhamento ´e dado da seguinte maneira:
σ
αβ
= u
(α;β)
+ ˙u
(α
u
β)
−
1
3
Θ(g
αβ
+ u
α
u
β
), (2.5)
com
˙u
α
= u
α;β
u
β
, (2.6)
Θ = u
α
;α
, (2.7)
onde o ponto e v´ırgula representa a derivada covariante e o parˆentese sobre
os ´ındices representa opera¸c˜ao de simetriza¸c˜ao nestes ´ındices. Θ ´e chamado
escalar de expans˜ao que determina o afastamento ou aproxima¸c˜ao das linhas
de fluxo, e ˙u
α
´e a quadri-acelera¸c˜ao.
Usando coordenadas com´oveis, temos:
u
α
= A
−1
δ
α
0
, (2.8)
e sendo o fluxo de calor radial, podemos represent´a-lo por:
q
α
= qδ
α
1
. (2.9)
11
Com isso, os compo nentes n˜ao nulos do tensor de cisalhamento s˜ao:
σ
11
=
2B
2
3A
˙
B
B
−
˙
C
C
, (2.10)
σ
22
= −
C
2
3A
˙
B
B
−
˙
C
C
, (2.11)
σ
33
= σ
22
sin
2
θ. (2.12)
Um c´alculo simples mostra que:
σ
αβ
σ
αβ
=
2
3A
2
˙
B
B
−
˙
C
C
2
. (2.13)
Definindo o escalar σ como:
σ = −
1
6
σ
αβ
σ
αβ
= −
1
3A
˙
B
B
−
˙
C
C
. (2.14)
Podemos escrever ent˜ao:
σ
11
= −2B
2
σ, (2.15)
σ
22
= C
2
σ, (2.16)
σ
33
= C
2
σ sin
2
θ. (2.17)
Usando (2.1) e (2.7), n´os podemos escrever:
Θ =
1
A
˙
B
B
+ 2
˙
C
C
. (2.18)
12
2.4 Tensor de Eins tein e Equa¸c˜oes de Campo
No primeiro cap´ıtulo apresentamos o tensor de Einstein, que descreve a
geometria do espa¸co-temp o interior, sem contudo mostrar sua forma. Esta ´e
dada por:
G
µν
= R
µν
−
1
2
g
µν
R, (2.19)
sendo R
µν
os componentes do tensor de Ricci e R o escalar de Ricci dados
respectivamente por:
R
µν
= R
γ
µγν
, (2.20)
R = g
µν
R
µν
. (2.21)
O tensor R
α
βγδ
´e o chamado tensor de curvatura de Riemann, escrito em
termo das conex˜oes afim Γ
α
βδ
, que s˜ao dados por:
R
α
βγδ
= Γ
α
βδ,γ
− Γ
α
βγ,δ
+ Γ
α
µγ
Γ
µ
βδ
− Γ
α
µδ
Γ
µ
βγ
, (2.22)
Γ
α
βδ
=
1
2
g
αν
(g
νβ;δ
+ g
νδ;β
− g
βδ;ν
). (2.23)
Com estas defini¸c˜oes em m˜aos podemos calcular os componentes n˜ao nulos
do tensor de Einstein interiores `a superf´ıcie Σ e encontrar as equa¸c˜oes de
campo, usando as equa¸c˜oes (2.1),(2.4), (2.8) , (2.9) e (2.15), (2.16), (2.17).
G
−
00
= −
A
B
2
2
C
′′
C
+
C
′
C
2
− 2
C
′
C
B
′
B
+
A
C
2
+
˙
C
C
˙
C
C
+ 2
˙
B
B
= κA
2
µ, (2.24)
G
−
11
=
C
′
C
C
′
C
+ 2
A
′
A
−
B
C
2
−
B
A
2
2
¨
C
C
+
˙
C
C
2
− 2
˙
A
A
˙
C
C
= κB
2
(p + 4ησ), (2.25)
13
G
−
22
=
C
B
2
C
′′
C
+
A
′′
A
+
C
′
C
A
′
A
−
A
′
A
B
′
B
−
B
′
B
C
′
C
+
C
A
2
−
¨
B
B
−
¨
C
C
−
˙
C
C
˙
B
B
+
˙
A
A
˙
C
C
+
˙
A
A
˙
B
B
= κC
2
(p
t
− 2ησ), (2.26)
G
−
33
= G
−
22
sin
2
θ, (2.27)
G
−
01
= −2
˙
C
′
C
+ 2
C
′
C
˙
B
B
+ 2
A
′
A
˙
C
C
= −κAB
2
q. (2.28)
Os pontos significam derivadas em rela¸c˜ao `a coordenada temporal t e
ap´ostrofo significam derivadas em r ela¸c˜ao `a coordenada radial r.
2.5 Condi¸c˜oes d e Jun¸c˜ao
Temos dois espa¸cos-tempo s diversos inicialmente desconexos e uma su-
perf´ıcie de separa¸c˜ao. Precisamos conectar as solu¸c˜oes, unir estes espa¸cos-
tempos. Para isso, usamos condi¸c˜oes de jun¸c˜ao cujas principais conhecidas
s˜ao: Darmois [30 ], O’Brien e Synge [31] e Lichnerowicz [32]. A primeira e a
terceira s˜ao equivalentes, segundo o trabalho de Bonnor e Vickers [33 ].
Para nosso estudo, as condi¸c˜o es de jun¸c˜ao mais adequadas s˜ao as de Dar-
mois por serem mais completas. Estas afirmam que a m´etrica e a curvatura
extr´ınseca devem ser cont´ınuas na superf´ıcie de separa¸c˜ao. Seguindo o trata-
mento dado por Israel [34] e [35] temos:
(ds
2
)
Σ
= (ds
2
−
)
Σ
= (ds
2
+
)
Σ
, (2.29)
K
−
ij
= K
+
ij
, (2.30)
onde K
±
ij
´e a curvatura extr´ınseca a Σ, dada por:
14
K
±
ij
= −n
±
α
∂
2
x
α
∂ξ
i
∂ξ
j
− n
±
α
Γ
α
βγ
∂x
β
∂ξ
i
∂x
γ
∂ξ
j
, (2.31)
onde n
±
α
s˜ao vetores unit´arios normais a Σ, as coordenadas interiores e exteri-
ores s˜ao dadas por x
α
, e onde os ξ
i
s˜ao coordenadas que definem a superf´ıcie
Σ, lembrando que novamente o super´ındice (-) indica interior e o sup er´ındice
(+) indica exterior.
Atrav´es das condi¸c˜oes de jun¸c˜ao, temos:
dt
dτ
= A(r
Σ
, t)
−1
, (2.32)
C(r
Σ
, t) = r
Σ
(v), (2.33)
dv
dτ
−2
Σ
=
1 −
2m
r
+ 2
dr
dv
Σ
. (2.34)
O vetor unit´ario normal a Σ (para mais detalhes, veja [36]) ´e dado por:
n
−
α
= B(r
Σ
, t)δ
1
α
, (2.3 5)
n
+
α
=
1 −
2m
r
+ 2
dr
dv
−1/2
Σ
−
dr
dv
δ
0
α
+ δ
1
α
Σ
. (2.36)
Ent˜ao, os componentes n˜ao nulos da curvatura extr´ınseca s˜ao:
K
−
ττ
= −
dt
dτ
2
A
′
A
B
Σ
, (2.37)
K
−
θθ
=
C
′
C
B
Σ
, (2.38)
K
−
φφ
= K
−
θθ
sin
2
θ, (2.39)
15
K
+
ττ
=
d
2
v
dτ
2
dv
dτ
−1
−
dv
dτ
m
r
2
Σ
, (2.40)
K
+
θθ
=

dv
dτ
1 −
2m
r
r +
dr
dτ
r
Σ
, (2.41)
K
+
φφ
= K
+
θθ
sin
2
θ. (2.42)
Das equa¸c˜oes (2.38) e (2.4 1) temos:

dv
dτ
1 −
2m
r
r +
dr
dτ
r
Σ
=
C
′
C
B
Σ
. (2.43)
Usando as equa¸c˜oes (2.32), (2.33), (2.34), escrevemos (2.43) como:
m =
C
2
1 +
˙
C
A
2
−
C
′
B
2
Σ
, (2.44)
que ´e a energia dentro da hipersuperf´ıcie Σ [37].
Das equa¸c˜oes (2.37) e (2.4 0), usando (2.32) , temos:
d
2
v
dτ
2
dv
dτ
−1
−
dv
dτ
m
r
2
Σ
= −
A
′
AB
Σ
. (2.45)
Substituindo as equa¸c˜oes (2.32), (2.33) e (2.44 ) em (2.43) podemos escr-
ever:
dv
dτ
Σ
=
C
′
B
+
˙
C
A
−1
Σ
. (2.46)
Derivando (2.46) com respeito a τ e usando as equa¸c˜oes (2.44), (2.46),
reescrevemos (2.45) como:
16
C
2AB
Σ
2
˙
C
′
C
− 2
C
′
C
˙
B
B
− 2
A
′
A
˙
C
C
+
B
A
2
¨
C
C
− 2
˙
C
C
˙
A
A
+
A
C
2
+
˙
C
C
2
−
A
B
2
C
′
C
2
−
A
B
2
2
A
′
A
C
′
C
Σ
= 0. (2.47)
Comparando (2.47) com (2.25) e (2.28), finalmente podemos escrever:
(p + 4ησ)
Σ
= (qB)
Σ
. (2.48)
Este resultado ´e an´alog o ao obtido por Chan [29] para um fluido com
movimento de cisalhamento, mas agora g eneralizado para um fluido interior
com viscosidade de cisalhamento.
A luminosidade total para um observador em repouso no infinito ´e dada
por:
L
∞
= −
dm
dv
Σ
= −
dm
dt
dt
dτ
dv
dτ
−1
Σ
. (2.49)
Derivando (2.44) com respeito a t, usando (2.32 ) , (2.46) e (2.25), obtemos:
L
∞
=
κ
2
(p + 4ησ)C
2
C
′
B
+
˙
C
A
2
Σ
. (2.50)
Sabemos que um feixe de radia¸c˜ao emitido pr´oximo a um campo grav-
itacional, tal qual uma estrela emitindo energia, ao tentar escapar deste, ´e
desviado continuamente para o vermelho quando visto por um observador em
repouso e distante da fonte de gravita¸c˜ao. Este desvio significa diminui¸c˜a o
da frequˆencia da radia¸c˜a o e portanto, perda de energia, que ´e tanto maior
quanto maior a intensidade deste campo gravitacional. Esse f enˆomeno grav-
itacional ´e chamado redshift gravitacional e serve de teste para a Teoria da
17
Relatividade Geral.
Durante o colapso da estrela, quanto mais a superf´ıcie se aproxima do raio
gravitacional, maior ´e o redshift gravitacional sofrido pela radia¸c˜ao emitida,
tendendo a um valor infinito no horizonte. Com isso, para saber sobre a
forma¸c˜ao do horizonte de eventos, precisamos encontrar a divergˆencia do
redshift gravitacional. Este ´e dado por:
∆ν
ν
Σ
=
dv
dτ
Σ
. (2.51)
No caso que estudamos, observando a equa¸c˜ao (2.46), notamos que para
um observador no infinito esta quantidade diverge quando
C
′
B
+
˙
C
A
Σ
= 0. (2.52)
Este resultado ser´a utilizado porteriormente.
18
Cap´ıtulo 3
Solu¸c˜ao as Eq ua¸c˜oes de C ampo
Como foi visto no primeiro cap´ıtulo, a m´etrica que define o espa¸co-
tempo interior ´e dada pela equa¸c˜ao (2.1), onde temos as fun¸c˜oes m´etricas
A(r, t), B(r, t) e C(r, t) dadas de maneira geral. Lembramos que B(r, t) rep-
resenta o raio pr´oprio, o qual sua evolu¸c˜ao ´e p erbebida por um observador
com´ovel com a superf´ıcie da estrela, enquanto C(r, t) representa o raio lumi-
nosidade, com evolu¸c˜ao percebida por um observador exterior.
Nos artigos de Chan [26], [27], [28], [38] foram propo stas solu¸c˜oes das
equa¸c˜oes de campo com a forma:
A(r, t) = A
0
(r), (3.1)
B(r, t) = B
0
(r), (3.2)
C(r, t) = rB
0
(r)f(t), (3.3)
onde A
0
(r) e B
0
(r) s˜ao solu¸c˜oes de um fluido est´atico perfeito.
Assim como em Chan (2003) [29], pro pomos uma solu¸c˜oes da forma:
A(r, t) = A
0
(r), (3.4)
B(r, t) = B
0
(r)h(t), (3.5)
19
C(r, t) = rB
0
(r)f(t). (3.6)
Onde as fun¸c˜oes A
0
e B
0
, que ser˜ao apresenta da s futuramente neste texto,
s˜ao as fun¸c˜oes m´etricas da solu¸c˜ao est´atica de Schwarzschild representando
o in´ıcio do colapso quando f(t) = h(t) = 1.
Assim, o escalar de expans˜ao (2.18) ´e escrito como:
Θ =
1
A
0
˙
h
h
+ 2
˙
f
f
, (3.7)
e o escalar de cisalhamento (2.14) escrito como:
σ =
1
3A
0
˙
f
f
−
˙
h
h
. (3.8)
Desta forma as equa¸c˜oes de campo (2.24)-(2.28) ficam da seguinte maneira:
κµ = κ
µ
0
h
2
+
1
A
2
0
˙
f
f
˙
f
f
+ 2
˙
h
h
+
1
r
2
B
2
0
1
f
2
−
1
h
2
, (3.9)
κp = κ
p
0
h
2
−
1
A
2
0
2
¨
f
f
+
˙
f
f
2
−
1
r
2
B
2
0
1
f
2
−
1
h
2
−
4κη
3A
0
˙
f
f
−
˙
h
h
(3.10)
κp
t
= κ
p
0
h
2
−
1
A
2
0
¨
f
f
+
¨
h
h
+
˙
h
h
˙
f
f
+
2κη
3A
0
˙
f
f
−
˙
h
h
(3.11)
κq =
2
A
0
B
2
0
h
2

˙
f
f
B
′
0
B
0
+
1
r
−
A
′
0
A
0
−
−
˙
h
h
B
′
0
B
0
+
1
r

, (3.12)
20
onde densidade e press˜ao no in´ıcio do colapso s˜ao :
κµ
0
= −
1
B
2
0
2
B
′′
0
B
0
−
B
′
0
B
0
2
+
4
r
B
′
0
B
0
, (3.13)
κp
0
=
1
B
2
0
B
′
0
B
0
2
+
2
r
B
′
0
B
0
+ 2
A
′
0
A
0
B
′
0
B
0
+
2
r
A
′
0
A
0
. (3.14)
Substituindo as equa¸c˜oes (3.10) e (3.12) em (2.48), assumindo tamb´em
que p
0
(r
Σ
) = 0, obtemos uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem em f(t) e
h(t), que n˜ao p odemos resolver analiticamente por possuir um n´umero maior
de inc´ognitas do que de equa¸c˜oes:
2
¨
f
f
+
˙
f
f
2
+
1
h
a
˙
f
f
− ¯a
˙
h
h

+ b
1
f
2
−
1
h
2
= 0, (3.15)
onde
a =
2
A
0
B
0
B
′
0
B
0
+
1
r
−
A
′
0
A
0

Σ
, (3.16)
¯a =
2
A
0
B
0
B
′
0
B
0
+
1
r

Σ
, (3.17)
e
b =
A
2
0
r
2
B
2
0
Σ
. (3.18)
Para obter as quantidades f´ısicas do problema precisamos primeiramente
encontrar uma fun¸c˜ao h(t) apropriada. Inicialmente assumimos uma solu¸c˜ao
particular f (t) = 1. Esta suposi¸c˜ao ´e r azo´avel e ficar´a claro posteriormente
que f (t) = 1 e h(t) = 1 descrevem a configura¸c˜ao no in´ıcio do colapso. Com
isso chegamos a uma equa¸c˜ao diferencial para h(t)
21
a
0
˙
h − h
2
+ 1 = 0, (3.19)
onde a
0
= ¯a/b e r esolvendo esta equa¸c˜ao chegamos a um resultado j´a encon-
trado em Chan [53]
h(t) = − tanh
t
a
0
. (3.20)
Usando a equa¸c˜ao (3.19) podemos escrever (3.15 ) da seguinte maneira:
2f
¨
f +
˙
f
2
+ a(f/ h)
˙
f + b(1 − f
2
) = 0. (3.21)
A resolu¸c˜ao desta foi po ss´ıvel atrav´es do M´etodo de Runge-Kutta, para
a qual usamos o c´odigo FORTRAN [39], escolhendo parˆametros iniciais que
ser˜ao mostrados a seguir, e assumindo que t → −∞ representa a configura¸c˜ao
est´atica inicial com
˙
f(t → −∞) → 0 e f(t → −∞) → 1. Assumimos tamb´em
que f(t → 0) → 0. Isto significa que o raio de luminosidade C(r
Σ
, t) tem
o valor de r
Σ
B
0
(r
Σ
) no in´ıcio do colapso e desaparece ao fim da evolu¸c˜ao.
Analogamente, o r aio pr´oprio tem o valor de h(t)
r
0
B
0
(r)dr no in´ıcio do
colapso e tamb´em tendendo a zero ao final do colapso.
3.1 Modelo da Config ura¸c˜ao In icial
No in´ıcio do colapso temos um configura¸c˜ao est´atica de um fluido perfeito
com densidade de energia constante caracterizada pela solu¸c˜ao interior de
Schwarzschild [40]. Esta situa¸c˜ao ´e reproduzida, como j´a foi dito antes,
quando f (t) = h(t) = 1, e para:
A
0
=
g(r)
2(1 + r
2
Σ
)(1 + r
2
)
, (3.22)
B
0
=
2R
1 + r
2
, (3.23)
onde
22
g(r) = 3 (1 − r
2
Σ
)(1 + r
2
) − (1 + r
2
Σ
)(1 − r
2
), (3.24)
e
R = m
0
(1 + r
2
Σ
)
3
4r
3
Σ
. (3.25)
Sendo r
Σ
o raio inicial da estrela em coordenadas com´oveis e m
0
a massa
inicial o sistema.
A densidade de energia inicial e a press˜ao s˜ao dadas por:
κµ
0
=
3
R
2
, (3.26)
κp
0
=
6
R
2
(r
2
Σ
− r
2
)
g(r)
. (3.27)
A configura¸c˜ao inicial da estrela corresp onde a um caro¸co de h´elio de uma
pr´e-sup ernova. Abaixo apresentamos os valores de massa inicial e raio inicial
[41] e seus correspondentes em unidades de segundo.
Massa inicial - m
0
= 6M
⊙
= 2.963 × 10
−5
s
Raio inicial - r
Σ
= 1.6 × 10
5
km = 5.337 × 10
−1
s.
E com esses valores resolvemos numericamente a equa¸c˜ao (3.21). Adiante
est´a exposto o gr´afico relativo `as fun¸c˜oes f (t) e h(t). Como j´a f oi mencionado
essas fun¸c˜oes tendem a valores f(t) = h(t) → 1 no in´ıcio do colpaso e ten-
dem a zero ao final do colapso. Percebemos por este gr´afico (figura 3.1) que
diferentes valores da fun¸c˜ao f(t) ou h(t) est˜ao relacionados com diferentes in-
stantes de tempo. Isso nos servir´a como base para determinar a passagem do
tempo nos perfis plotados para as demais grandezas estudadas, como press˜oes
radial e ta ngencial, densidade, escalar de cisalhamento e fluxo de calor.
23
Figura 3.1: Comportamento temporal das fun¸c˜oes f (t) e h(t) pa ra o modelo com e sem
viscosidade de cisalhamento. O tempo est´a e m segundos e f(t) e h(t) s˜ao adimenso inais.
Agora podemos volta r `a equa¸c˜ao de condi¸c˜ao de forma¸c˜ao do buraco negro
usando essa configura¸c˜ao. Usamos as equa¸c˜oes (3.4)-(3.6), (3.22)-(3.27) em
(2.52) e temos que:
˙
f
bh
f
bh
h
bh
= −
2r
2
Σ
(1 − r
2
Σ
)
2
m
0
(1 + r
2
Σ
)
4
≈ −3.606 × 10
3
. (3.28)
Mostramos abaixo um gr´afico desta equa¸c˜ao que nos mostra que a condi¸c˜ao
(3.28) para a f orma¸c˜ao do buraco negro nunca ´e satisfeita. Isto ´e um primeiro
indicador de que o horizonte de eventos n˜ao ´e formado, o que poderia nos
levar a pensar que uma singularidade nua ´e formada. Isto n˜ao ocorre e ficar´a
claro quando analisarmos posteriormente o gr´afico de evolu¸c˜ao da massa.
24
Figura 3.2: A fun¸c˜ao h
˙
f/f como fun¸c˜ao do tempo. O tempo est´a em segundos.
25
Assumimos que η ´e constante, mas em geral o coeficiente de viscosidade
de cisalhamento depende da temperatura e da densidade do fluido [42]. Es-
colhemos valores de η sendo 1.347 × 10
31
, 3.368 × 10
31
e 6.735 × 10
31
g cm
−1
s
−1
, que correspondem aos valores 1000, 2500 e 5000 s
−1
, respectivamente,
em unidades de tempo.
Na figura ( 3.3) percebemos que a press˜ao radial diminui com o aumento
da viscosidade de cisalhamento enquanto a press˜ao tangencial figura (3.4)
aumenta com este coeficiente. J´a o gr´afico que relaciona estas press˜oes,
figura (3.5) (η = 0) vemos que a press˜ao ´e isotr´opica no in´ıcio do colapso
(f = 1) mas se torna cada vez mais anisotr´opica com a passagem do tempo.
Este comportamento permanece no modelo n˜ao viscoso (η = 0). Nova mente
conv´em lembrar que diferentes instantes de tempo s˜ao relacionados `a difer-
entes valores da fun¸c˜ao f(t).
Est˜ao expostos adiante os gr´aficos que exibem o comportamento temporal
das grandezas envolvidas no modelo. Vemos pela figura (3.6) que o escalar
de cisalhamento se torna cada vez mais negativo com a passagem do t empo .
A densidade de energia possui uma grande divergˆencia no centro da es-
trela que aumenta com a passagem do tempo, mas tende a um valor constante
na superf´ıcie, como mostra a figura (3.7). Percebemos que esta densidade ´e
contante no in´ıcio do colapso de acordo com o modelo de configura¸c˜ao inicial.
Esta grandeza independe do valo r do coeficiente η, e por isso, as curvas foram
plotadas considerando apenas varia¸c˜oes nos valores de f (t).
O fluxo de calor, como podemos ver na figura (3.8), que ´e nulo no in´ıcio do
colapso, como foi proposto, vai aumentando com a passagem do tempo . Tal
qual a densidade, o fluxo de calor independe da viscosidade de cisalhamento.
26
0
2
4
6
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
0.2 0.4 0.6 0.8 1
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
Figura 3.3: Perfis de press˜a o radial para quatro diferentes valores de η. Os raios r e r
Σ
est˜ao em unidades de segundo a press˜ao radial em unidades de s
−2
.
27
0
2
4
6
8
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
0.2 0.4 0.6 0.8 1
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
Figura 3.4: Perfis de press˜ao tangencial para quatro diferentes valores de η. Os raios r
e r
Σ
est˜ao em unidades de segundo a press˜ao tangencial em unidades de s
−2
.
28
0
0.5
1
1.5
2
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.5
1
1.5
2
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f = 1
f = 0.9
f = 0.8
f = 0.7
f = 0.6
Figura 3.5: Os per fis para quatro valores de η para a raz˜ao entre as press˜oes radial e
tangencial. Os raios r e r
Σ
est˜ao em unidades de seg undo, as press˜oes radial e tangencial,
p e p
t
, est˜ao e m unidade de s
−2
.
29
Figura 3.6: Perfis do escalar de cisalhamento como uma fun¸c˜ao do temp o. Os raios r e
r
Σ
est˜ao em segundos.
30
Figura 3.7: Perfis de densidade para o modelo com e sem viscosidade de cisalhamento.
Os raios r e r
Σ
est˜ao em segundos e a densidade em unidades de s
−2
.
31
Figura 3.8: Perfis do fluxo de calor escalar para os modelos com e sem viscosidade de
cisalhamento. Os raios r e r
Σ
est˜ao em segundos e o fluxo de calor q est´a em unidade de
s
−2
.
32
Cap´ıtulo 4
Condi¸c˜oes de Energia
As equa¸c˜oes de campo por si s´o nada nos ajuda a inferir sobre a reali-
dade f´ısica de determinado modelo. Este, para ser considerado fisicamente
razo´avel deve respeitar um conjunto de condi¸c˜oes restritivas que chamamos
de condi¸c˜oes de energia. Todas as formas de mat´eria conhecidas obedecem
tais condi¸c˜oes. Para mais detalhes de tais condi¸c˜oes, consultar [43].
O tratamento dado neste trabalho para as condi¸c˜oes de energia segue o
trabalho de Kolassis, Santos & Tsoubelis [44], e s˜ao derivadas a partir do j´a
comentado Tensor Momento-Energia, atrav´es de uma equa¸c˜ao de autovalores
dada da seguinte maneira:
|T
αβ
− λ g
αβ
| = 0, (4.1)
que no modelo estudado se traduz em:
A
2
(µ + λ) −AB¯q 0 0
−AB¯q B
2
(p − λ − 2ησ
11
) 0 0
0 0 C
2
(p
t
− λ − 2ησ
22
) 0
0 0 0 C
2
(p
t
− λ − 2ησ
33
)
= 0,
(4.2)
onde ¯q = qB, e o determinante desta matriz ´e dado por:
(µ + λ)(λ − p + 2ησ
11
) + ¯q
2
×
×(λ − p
t
+ 2ησ
22
)(λ − p
t
+ 2ησ
33
)A
2
B
2
C
4
= 0. (4.3)
33
Em rela¸c˜ao aos autovalores as condi¸c˜oes s˜ao:
a) condi¸c˜ao fr aca
−λ
0
≥ 0, (4.4)
e
−λ
0
+ λ
i
≥ 0, (4.5)
b) condi¸c˜ao dominante
λ
0
≤ λ
i
≤ −λ
0
, (4.6)
c) condi¸c˜ao forte
−λ
0
+
i
λ
i
≥ 0, (4.7)
e
−λ
0
+ λ
i
≥ 0, (4.8)
onde os valores i = 1, 2, 3, representam os autovalores correspondentes a os
autovetores tipo -espa¸co e λ
0
representa o autovalor associado ao autovetor
tipo-tempo.
Voltamos agora `a equa¸c˜ao 4.3. Uma das poss´ıveis solu¸c˜oes ´e:
(µ + λ)(λ − p + 2ησ
11
) + ¯q
2
= 0, (4.9)
que pode ser escrita como:
λ
2
+ (µ − p + 2ησ
11
)λ + ¯q
2
− µ(p − 2ησ
11
) = 0. (4.10)
As r a´ızes desta equa¸c˜ao s˜ao:
λ
0
= −
1
2
(µ − p + 2ησ
11
+ ∆), (4.11)
e
λ
1
= −
1
2
(µ − p + 2ησ
11
− ∆), (4.12)
onde
∆
2
= (µ + p − 2ησ
11
)
2
− 4¯q
2
≥ 0. (4.13)
34
Para ter solu¸c˜oes reais, ∆ deve ser maior ou igual a zero. Esta equa¸c˜ao
pode ser reescrita da forma:
|µ + p − 2ησ
11
| − 2|¯q| ≥ 0. (4.14)
A segunda solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (4.3) ´e:
(λ − p
t
+ 2ησ
22
)(λ − p
t
+ 2ησ
33
) = 0, (4.15)
Na qual as ra´ızes s˜ao dadas por:
λ
2
= p
t
− 2ησ
22
, (4.16)
e
λ
3
= p
t
− 2ησ
33
. (4.17)
Calculados os autovalores, podemos analisar as condi¸c˜oes de energia.
4.0.1 Condi¸c˜oes de Energia Fraca
Das equa¸c˜oes (4.4) e (4.11) encontramos a primeira das condi¸c˜o es fracas:
µ − p + 2ησ
11
+ ∆ ≥ 0. (4.18)
Da equa¸c˜ao (4.5), fazendo i = 1 e usando as equa¸c˜oes (4.11) e (4.12)
temos a segunda condi¸c˜ao de energia fra ca:
∆ ≥ 0, (4.19)
que ´e igual `a condi¸c˜ao (4.13).
Da equa¸c˜ao (4.5), agora fazendo i = 2 e usando as equa¸c˜o es (4.11) e
(4.16) temos a terceira condi¸c˜ao fraca:
µ − p + 2ησ
11
+ 2(p
t
− 2ησ
22
) + ∆ ≥ 0. (4.20)
35
Com a equa¸c˜ao (4.5), fazendo i = 3 usando (4.11) e (4.17) temos a quarta
condi¸c˜ao fraca:
µ − p + 2ησ
11
+ 2(p
t
− 2ησ
33
) + ∆ ≥ 0. (4.21)
4.0.2 Condi¸c˜oes de Energia Dominante
De (4 .6 ), fazendo i = 1 e usando (4.11) e (4.12) temos a inequa¸c˜ao:
−(µ − p + 2ησ
11
+ ∆) ≤ −(µ − p + 2ησ
11
− ∆)
≤ µ − p + 2ησ
11
+ ∆, (4.22)
que pode ser dividida em duas inequa¸c˜oes:
∆ ≥ 0, (4.23)
e
µ − p + 2ησ
11
≥ 0. (4.24)
Da equa¸c˜ao (4.6), colocando i = 2 e usando as equa¸c˜oes (4.11) e (4.16)
chegamos na inequa¸c˜ao:
−(µ − p + 2ησ
11
+ ∆) ≤ 2(p
t
− 2ησ
22
) ≤ µ − p + 2ησ
11
+ ∆, (4.25)
que pode ser dividida em duas inequa¸c˜oes, dadas por:
µ − p + 2ησ
11
+ 2(p
t
− 2ησ
22
) + ∆ ≥ 0, (4.26)
e
µ − p + 2ησ
11
− 2(p
t
− 2ησ
22
) + ∆ ≥ 0. (4.27)
36
Da equa¸c˜ao (4.6), e com i = 3, usando (4.11) e (4.1 7) temos a inequa¸c˜ao:
−(µ − p + 2ησ
11
+ ∆) ≤ 2(p
t
− 2ησ
33
) ≤ µ − p + 2ησ
11
+ ∆, (4.28)
que novamente dividimos em duas chegando a:
µ − p + 2ησ
11
+ 2(p
t
− 2ησ
33
) + ∆ ≥ 0, (4.29)
e
µ − p + 2ησ
11
− 2(p
t
− 2ησ
33
) + ∆ ≥ 0. (4.30)
4.0.3 Condi¸c˜oes de Energia Forte
Substituindo as equa¸c˜oes (4.11), (4.12), (4.16 ) e (4.17) na equa¸c˜ao (4.7)
chegamos `a primeira condi¸c˜ao de energia forte dada por:
2p
t
− 2η(σ
22
+ σ
33
) + ∆ ≥ 0. (4.31)
Desde que uma das condi¸c˜oes fracas, equa¸c˜ao (4.5), ´e a mesma para
a condi¸c˜ao f orte (4.8), assim n´os temos que a segunda, terceira e quarta
condi¸c˜ao de energia forte s˜ao iguais `as equa¸c˜oes (4.19)-(4.21), dadas por:
∆ ≥ 0, (4.32)
µ − p + 2ησ
11
+ 2(p
t
− 2ησ
22
) + ∆ ≥ 0, (4.33)
e
µ − p + 2ησ
11
+ 2(p
t
− 2ησ
33
) + ∆ ≥ 0. (4.34)
37
4.0.4 Sum´ario das Condi¸c˜oes de Energia
Resumindo os resultados, reescrevemos as condi¸c˜oes de energia. As condi¸c˜oes
de energia para um fluido simetricamente esf´erico, no qual o tensor ten-
sor momento- energia ´e da do por (2.4), s˜ao completamente satisfeitas se as
seguintes inequa¸c˜oes forem satisfeitas:
(i) |µ + p − 2ησ
11
| − 2|¯q| ≥ 0, (4.35)
(ii) µ − p + 2p
t
+ ∆ + 2η(σ
11
− 2σ
22
) ≥ 0, (4.36)
(iii) µ − p + 2p
t
+ ∆ + 2η(σ
11
− 2σ
33
) ≥ 0, (4.37)
al´em disso,
a) para a condi¸c˜ao de energia fraca
(iv) µ − p + ∆ + 2ησ
11
≥ 0, (4.38)
b) para a condi¸c˜ao de energia dominante
(v) µ − p + 2ησ
11
≥ 0, (4.39)
(vi) µ − p − 2p
t
+ ∆ + 2η(σ
11
+ 2σ
22
) ≥ 0, (4.4 0)
(vii) µ − p − 2p
t
+ ∆ + 2η(σ
11
+ 2σ
33
) ≥ 0, (4.41)
c) para a condi¸c˜ao de energia forte
(viii) 2p
t
+ ∆ − 2η(σ
22
+ σ
33
) ≥ 0, (4.42)
onde ∆ =
(µ + p − 2ησ
11
)
2
− 4¯q
2
.
38
Estas equa¸c˜oes, usando as equa¸c˜oes (2.15)-(2.17) e (3.4)-(3.6), podem ser
reescritas como:
(i) |µ + p + 4ηB
2
0
h
2
σ| − 2|¯q| ≥ 0 , (4.43)
(ii) µ − p + 2p
t
+ ∆ − 4ηB
2
0
σ(h
2
+ r
2
f
2
) ≥ 0, (4.44)
(iii) µ − p + 2p
t
+ ∆ − 4ηB
2
0
σ(h
2
+ r
2
f
2
sin
2
θ) ≥ 0, (4.45)
(iv) µ − p + ∆ − 4ηB
2
0
h
2
σ ≥ 0 , (4.46)
(v) µ − p − 4ηB
2
0
h
2
σ ≥ 0 , (4.47)
(vi) µ − p − 2p
t
+ ∆ − 4ηB
2
0
σ(h
2
− r
2
f
2
) ≥ 0, (4.48)
(vii) µ − p − 2p
t
+ ∆ − 4ηB
2
0
σ(h
2
− r
2
f
2
sin
2
θ) ≥ 0, (4.49)
(viii) 2p
t
+ ∆ − 2ηr
2
B
2
0
σf
2
(1 + sin
2
θ) ≥ 0, (4.50)
onde ∆ =
(µ + p + 4ηB
2
0
h
2
σ)
2
− 4¯q
2
.
Para minimizar o s valores das equa¸c˜oes (4.45), (4.49) e (4.50) na rela¸c˜ao
em θ, escolhemos os valores de sin
2
θ = 0, 1, 0, respectivamente, desde que
η ≥ 0 e σ ≤ 0 (veja a figura 3.6).
39
Para verificar as condi¸c˜oes de energia, est˜ao plotadas adiante a evolu¸c˜a o
temporal destas condi¸c˜oes para diversos valores de raio e para dois valores
de η (0 and 5000).
Atrav´es das figuras 4.1 (i) e 4.2(i) podemos concluir que a inequa¸c˜ao
[|µ + p + 4ηB
2
0
σ| − 2 |¯q| ≥ 0] n˜ao ´e satisfeita para raios mais internos em
instantes mais avan¸cados do colapso. Isso acontece porque a raiz quadrada
deste termo ´e justamente o termo ∆, e sua negatividade proporcionar´a val-
ores imagin´arios de ∆, o que causa uma indetermina¸c˜ao nesta condi¸c˜a o de
energia e nas demais em que este termo aparece. Isto pode ser visto na
condi¸c˜ao (4.50) que n˜ao pode ser mais avaliada para raios mais internos e in-
stantes mais avan¸cados de tempo [figura s 4.3(viii) e 4.4(viii)], onde o termo
[|µ + p + 4ηB
2
0
σ| − 2|¯q| ≥ 0 ] dentro da raiz passa a ser negativo.
40
0
2
4
6
8
(i) (ii)
-0.003 -0.002 -0.001 0
0
2
4
6
t
(iii)
-0.002 -0.001 0
t
(iv)
Figura 4.1: As condi¸c˜o es de energia (4.43) -(4.46), para o modelo sem viscosi-
dade, onde η = 0. O tempo est´a em segundos e as outras quantidades est˜ao
em unidades de s
−2
.
41
0
2
4
6
8
(i) (ii)
-0.003 -0.002 -0.001 0
0
2
4
6
t
(iii)
-0.002 -0.001 0
t
(iv)
Figura 4.2: As condi¸c˜oes de energia (4.43)-(4.46), para o modelo com vis-
cosidade, onde η = 5000. O tempo est´a em segundos e as outras quantidades
est˜ao em unidades de s
−2
.
42
0
2
4
6
8
(v) (vi)
-0.003 -0.002 -0.001 0
0
2
4
6
t
(vii)
-0.002 -0.001 0
t
(viii)
Figura 4.3: As condi¸c˜o es de energia (4.47) -(4.50), para o modelo sem viscosi-
dade, onde η = 0. O tempo est´a em segundos e as outras quantidades est˜ao
em unidades de s
−2
.
43
0
2
4
6
8
(v) (vi)
-0.003 -0.002 -0.001 0
0
2
4
6
t
(vii)
-0.002 -0.001 0
t
(viii)
Figura 4.4: As condi¸c˜oes de energia (4.47)-(4.50), para o modelo com vis-
cosidade, onde η = 5000. O tempo est´a em segundos e as outras quantidades
est˜ao em unidades de s
−2
.
44
Cap´ıtulo 5
Resultados F´ısi cos
Neste cap´ıtulo mostramos as quantidades f´ısicas calculadas para este mod-
elo e comparamos com o modelo n˜ao viscoso. Estas s˜ao a massa-energia apri-
sionada dentro da hipersuperf´ıcie Σ, a luminosidade total percebida por um
observador em r epouso no infinito e o ´ındice adiab´atico efetivo.
Come¸camos pela energia do sistema dentro da hipersuperf´ıcie. Da equa¸c˜ao
(2.44) e usando (3.4)-(3.6) e (3.22)-(3.27)temos:
m
m
0
=
f
16r
6
Σ
(1 − r
2
Σ
)h
2
m
2
0
(1 + r
2
Σ
)
8
˙
f
2
h
2
+
+4r
4
Σ
(1 − r
4
Σ
)
2
(h
2
− f
2
) + 16r
6
Σ
(1 − r
2
Σ
)
2
f
2
, (5.1)
onde a energia inicial do sistema ´e:
m
0
= −
r
2
B
′
0
+
r
3
B
′2
0
2B
0
Σ
. (5.2)
Podemos perceber pela figura (5.1) que a energia total aprisionada dentro
da hipersuperf´ıcie Σ desaparece no instante −2.0×10
−5
s, aproximadamente.
O que significa que a estrela irradiou toda a massa no processo de colapso e
explica porque o horizonte aparente nunca ´e for mado.
45
Figura 5.1: Comportamento temporal da energia total aprisionada na hipersuperf´ıcie Σ
para os mo delos com e sem viscosidade. O tempo, m e m
0
est˜ao em unidades de se gundos.
46
A luminosidade total ´e calculada com uso das equa¸c˜oes ( 2.50) e (3.4 )-
(3.6), e ´e dada por:
L
∞
= κ
m
2
0
(1 + r
2
Σ
)
4
f
2
8r
4
Σ
×
×

1 − r
2
Σ
1 + r
2
Σ
f
h
+
m
0
(1 + r
2
Σ
)
3
˙
f
2r
2
Σ
(1 − r
2
Σ
)
2
p
Σ
+
4η
3
1 + r
2
Σ
1 − r
2
Σ
˙
f
f
−
˙
h
h

.(5.3)
Vemos pela figura (5.2) que a luminosidade percebida por um observador
em repouso no infinito cresce exponencialmente at´e o instante −2.0 × 10
−5
s,
onde a massa da estrela desaparece.
Em princ´ıpio temos a id´eia de que a luminosidade ´e extremamente depen-
dente da viscosidade de cisalhamento por possuir o coeficiente de viscosidade
de cisalhamento (η) na equa¸c˜ao. Esta id´eia ´e refutada quando analisamos as
equa¸c˜oes (2.49) e (2.48) e percebemos que o s fatores envolvidos s˜ao na ver-
dade geom´etricos, e portanto, a luminosidade independe deste fator, o que
pode ser percebido como uma curva ´unica no gr´afico da figura (5.2)
47
Figura 5.2: Comportamento temporal da luminosidade percebida por um observador em
repouso no infinito para os modelos com e sem viscosidade. O tempo est´a em segundos e
a luminosidade ´e adimensional.
48
Para avaliar a instabilidade dinˆamica de um sistema em determinado in-
stante de tempo, devemos conhecer o ´ındice adiab´atico, que chamamos de
efetivo por se tratar de um sistema com fluxo de calor. Este ´ındice define
o quanto um sistema ´e est´avel, compress´ıvel. Par a mais detalhes veja [45].
Este ´ındice ´e definido como:
Γ
eff
=
∂(ln p)
∂(ln µ)
(5.4)
Atrav´es de um tr abalhoso c´alculo, usando as equa¸c˜oes (3.9)-(3.10), (3.21)
e (3.22)-(3.27), o ´ındice adiab´atico efetivo ´e escrito como:
Γ
eff
=
∂(ln p)
∂(ln µ)
r=const
=
˙p
˙µ
µ
p
=
=

288r
2
e(r) + 12d(r)k(r)
f
2
+ 6ac(r)k(r)hf
˙
f − 8κηA
0
c(r)k(r)(h
3
+ h)f
2
/a
0
f
˙
h+
+c(r)k( r)j(r, t)f
3h
2
˙
f
2
+ bh
2
(1 − f
2
)
+
+k(r)h
˙
f
c(r)(12bh
2
+ aj(r, t)f
2
) − 12d(r)h
2

×
×2
−1

24r
2
d(r)f
2
+ k(r)
c(r)(3h
2
˙
f
2
+ afh
˙
f + bh
2
(1 − f
2
))−
− 2d (r)f
2

f
˙
h + c(r)k(r)(3h
3
˙
f
3
+ ah
2
f
˙
f
2
)+
+k(r)
˙
f
bc(r)h
3
(1 − f
2
) + 2d(r)h
3
− 2c(r)k(r)f
2
˙
fh
˙
h(1 + h
2
)/a
0
−1
×
×
12r
2
d(r)f
2
+ k(r)
c(r)h
2
˙
f
2
+ d(r)(h
2
− f
2
)
+
+ 2c(r)k(r)f
˙
fh
˙
h
×
×
72r
2
e(r)f
2
+ k(r)
c(r)j(r, t)hf
˙
f + 3 [c(r)b − d(r)]×
× (h
2
− f
2
)
− c(r)k(r)l(r, t)f
2
˙
h
−1
, (5.5)
49
onde
c(r) = r
2
m
2
0
(1 + r
2
Σ
)
8
, (5.6)
d(r) = r
6
Σ
g
2
(r), (5.7)
e(r) = r
6
Σ
(r
2
Σ
− r
2
)g( r), (5.8)
k(r) = (1 + r
2
)
2
, (5.9)
j(r, t) = 3a − 4 κηA
0
h. (5.10)
l(r, t) = 3 a
o
b − 4κηA
0
h. (5.11)
Comparando as figuras Γ
eff
(η = 0 e η = 0) podemos ver que a evolu¸c˜ao
temporal dos ´ındices adiab´aticos efetivos n˜ao s˜ao muito diferentes grafica-
mente. Esta ´e a raz˜ao para plotar a quantidade δΓ = Γ
eff
(η = 0)−Γ
eff
(η = 0)
inv´es de Γ
eff
para os modelos com η = 0. Podemos notar pela figura 5.3
(η = 0) que logo ap´os o pico e luminosidade (veja a figura 5.2) existe uma
grande discontinuidade em Γ
eff
devido principalmente ao comportamento da
press˜ao. O efeito da viscosidade ´e de aumentar ainda mais essas discon-
tinuidades.
50
-100
-50
0
50
100
-0.003 -0.002 -0.001 0
-100
-50
0
50
t
-0.002 -0.001 0
t
Figura 5.3: Comportamento tempor al do ´ındice adiab´atico efetivo Γ
eff
para quatro
valor e s de η. A quantidade δΓ ´e definida como Γ
eff
(η = 0) − Γ
eff
(η = 0). O tempo est´a
em segundos, Γ
eff
e δΓ s˜ao adimensionais.
51
Cap´ıtulo 6
Conclus˜oes
A pesquisa possibilitou a cria¸c˜ao de um modelo de colapso de uma estrela
com fluxo de calor, anisotropia de press˜ao e viscosidade de cisalhamento, em
que as dependˆencias nas f un¸c˜oes m´etricas s˜ao generalizadas com a inclus˜ao
de fun¸c˜oes temporais nos raios com´ovel e geom´etrico. Analisamos tamb´em
o comportamento das grandezas relativas ao modelo e comparamos com o
modelo sem viscosidade plotando ta mb´em as grandezas para η = 0.
Como foi mostrado, um buraco negro nunca ´e formado porque a condi¸c˜ao
para a forma¸c˜ao do horizonte aparente nunca ´e satisfeita. Isso poderia ser
interpretado como a forma¸c˜ao de uma sigularidade nua. Entretanto percebe-
mos que a estrela irradia toda a sua massa antes de alcan¸car a sigularidade
r = 0 e t = 0.
A densidade e a press˜ao possuem va lo res negativos o que n˜ao no s parece
razo´avel fisicamente `a primeira vista. Ent retanto, devido ao fluxo de calor
(o termo ∆) as condi¸c˜oes de energia s˜ao parcialmente satisfeitas, entretanto
existem pont os em que tais condi¸c˜oes no podem ser avaliadas devido va l-
ores negativos dentro da raiz quadrada do termo delta, como j´a foi analisado.
A press˜ao ´e isotr´opica no in´ıcio do colapso, mas se torna cada vez mais
anisotr´opica devido `a presen¸ca da viscosidade de cisalhamento.
52
Um observador em repouso no infinito percebe uma fonte irradiando ex-
ponencialmente at´e alcan¸car um m´aximo de luminosidade e depois a estrela
apaga por ter exaurido toda a sua massa.
O ´ındice adiab´atico efetivo tem um comportamento n˜ao usual devido ao
fluxo de calor. Este ´ındice se torna negativo a medida que a press˜ao e a
densidade se tornam negativas.
O estudo realizado abre novas perspectivas para o estudo do colapso grav-
itacional, visto que ´e poss´ıvel tor nar o modelo mais geral com a inclus˜ao da
viscosidade volumar na composi¸c˜ao do fluido estelar.
53
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