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MARCO TÚLIO SANTANA ALVES
AVALIAÇÃO NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DOS MÉTODOS ERA E
ERA/OKID PARA A IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS MECÂNICOS
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Engenharia
Mecânica da Universidade Federal de
Uberlândia, como parte dos requisitos
para obtenção do título de MESTRE EM
ENGENHARIA MECÂNICA.
Área de Concentração: Mecânica dos
Sólidos e Vibrações
Orientador: Prof. Dr. José Francisco
Ribeiro
UBERLÂNDIA-MG
2005
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ii
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
A474a
Alves, Marco Túlio Santana, 1974-
Avaliação numérica e experimental dos métodos ERA e
ERA/OKID para a identificação de sistemas mecânicos / Marco
Túlio Santana Alves. - 2005.
121 f. : il.
Orientador: José Francisco Ribeiro.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Uberlândia,
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.
Inclui bibliografia.
1. Engenharia mecânica - Teses. 2. Estimativa de parâmetro -
Teses. 3. Sistemas lineares - Teses. 4. Modelos matemáticos -
Teses. I. Ribeiro, José Francisco. II. Universidade Federal de
Uberlândia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Mecânica. III. Título.
CDU: 621:531.01
Elaborada pelo Sistema de Bibliotecas da UFU / Setor de Catalogação e Classificação
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iv
Ao meu pai, José, a quem devo tudo que sou e que alcancei
Aos meus irmãos, Alessandro e Charmenie, pelo apoio incondicional
À memória de minha mãe, Meigna
v
“O fator fundamental da credulidade dos
espíritos incultos reside na própria ignorância:
acreditam, porque lhes faltam conhecimentos
que lhes permitam criticar ou discordar. O
mesmo se dá com os espíritos pusilânimes: tudo
aceitam, porque não têm ânimo nem disposição
para analisar ou rejeitar aquilo que, por mero
comodismo ou fraqueza, admitem sem
oposição.”
Dante Veoleci
“... verdadeiro valor não dão à gente; essas
honras vãs, esse ouro puro... melhor é merecê-
los sem os ter que possuí-los sem os merecer ”
Camões
vi
AGRADECIMENTOS
À Deus.
À toda minha família, por ter acreditado no meu potencial.
Aos amigos de sempre: Marcelo, Renato, Luigi Roberto (Lui) e Elizabeth Cristina (Lis).
À turma da banda: Juca, Gustavo Fagundes, William, Leandro, por terem
compreendido minha saída para que eu pudesse engajar neste projeto.
Ao amigo Dr. Gustavo Luiz Chagas Manhães de Abreu, por ter me apresentado a área
de Controle, me convencendo a optar por ela, e de me recomendar seu orientador como a
melhor opção para ser o meu também.
Ao Prof. Dr. José Francisco Ribeiro, o Tito, pela paciência, pelos valiosos
ensinamentos que levarei comigo como edificante legado, e pelo tratamento dado a mim e
aos meus “irmãos” de orientação, como uma família, pela sua preocupação, tanto com o
trabalho, quanto com a pessoa.
Ao amigo Rafael Luis Teixeira, pelo incentivo dado ao meu ingresso neste Programa.
À turma do Laboratório Computacional da Pós-Graduação, principalmente para:
Ricardo Simões, Daniel, Sebastião Simões (P.O.), Hexaner, Ciro, Peter, etc.
Ao amigo Ilvan, pela presteza demonstrada no difícil início desta jornada acadêmica.
Aos amigos Patrick, Israel e Leandro pela paciência e auxílio dispensados, sobretudo,
nas atividades experimentais.
Aos professores Sônia Aparecida Goulart de Oliveira e Edsonei Pereira Parreira pelas
cartas de recomendação que, com certeza, foram determinantes para meu ingresso no
Programa.
Às secretárias Lucy, Inês e Kelly pela educação e pelo bom atendimento prestado.
Aos professores de quem fui aluno na Pós-Graduação: José Francisco Ribeiro,
Lépore, João Carlos, Duarte, Marcos Morais, Ribeiro e Válder.
À todos os funcionários da FEMEC.
À Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Uberlândia pela
estrutura e pelos apoios diversos.
À FAPEMIG, pelo auxílio financeiro que viabilizou a realização deste trabalho.
À turma da Sadia, William, Mário, Leandro, Márcia, Tatiana etc., por terem me dado a
oportunidade de aprender um pouco mais e por terem me acolhido com amizade no período
que precedeu a defesa desta. Aquele abraço!
E a todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram e acreditaram nesta
dissertação.
vii
Alves, M. T. S., 2005, “Avaliação Numérica e Experimental dos Métodos ERA e ERA/OKID
para a Identificação de Sistemas Mecânicos”, Dissertação de Mestrado, Universidade
Federal de Uberlândia, Uberlândia, MG.
RESUMO
Este trabalho apresenta dois algoritmos de identificação de sistemas lineares em
espaço de estados, quais sejam: o ERA (Eigensystem Realization Algorithm), desenvolvido
por Juang e Pappa (1985), e o ERA/OKID (Observer/Kalman Filter Identification), por Phan
et al. (1992). Ambos foram concebidos no ambiente da Engenharia Aeroespacial, onde se
fazia imprescindível o surgimento de uma ferramenta confiável para identificação das
complexas estruturas e dos sistemas inerentes.
O primeiro requer que o sistema seja submetido a uma entrada impulsiva e que a
saída (Parâmetros de Markov) decorrente seja organizada numa matriz conhecida como
matriz de Hankel. Esta matriz é então decomposta em valores singulares, o que permite,
com o auxílio dos conceitos de controlabilidade e observabilidade, uma manipulação
matemática conveniente que fornece a realização desejada, ou seja, o sistema em espaço
de estados. O segundo foi concebido para sistemas pouco amortecidos e, por isso,
incorpora, matematicamente, um observador de estado para que seja acrescido um
amortecimento virtual no sinal. Este recurso permite uma compressão dos dados e, por
conseguinte, menor esforço computacional. Assim sendo, o OKID fornece, a partir de
qualquer tipo de entrada, os parâmetros de Markov do observador e do sistema, onde estes
últimos “alimentarão” o ERA.
A motivação do trabalho é a de auxiliar a Engenharia de Controle na identificação, em
espaço de estados, de sistemas complexos, cuja modelagem analítica é dificultada por
razões diversas, além de auxiliar a simulação destes.
Para tanto, o trabalho apresenta a Teoria de Realização de Sistemas, os algoritmos
ERA e ERA/OKID, onde, a partir destes preceitos, foi feita uma avaliação numérica de um
sistema mecânico com 2 GDL’s usando o ERA e uma avaliação experimental de um duto
acústico empregando o ERA/OKID.
A dissertação concluiu que, para os casos estudados, as técnicas apresentadas são
eficientes, constituindo, assim, poderosas ferramentas de identificação, e aponta, ainda,
alguns desdobramentos futuros da pesquisa ora realizada.
Palavras-chave: Identificação de Sistemas, Controle, ERA, OKID, Sistemas Lineares.
viii
Alves, M. T. S., 2005, “A Numerical and Experimental Evaluation of ERA and ERA/OKID for
Mechanical Systems Identification”, M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlândia,
Uberlândia, MG.
ABSTRACT
This work presents two algorithms of identification of state-space linear systems, as
follows: ERA (Eigensystem Realization Algorithm), developed by Juang and Pappa (1985),
and ERA/ OKID (Observer/ Kalman Filter Identification), by Phan et al. (1992). Both were
conceived at the environment of Aerospace Engineering, where it was indispensable the
appearance of a trustworthy tool to identify the complex structures and the inherent systems.
The first one requires that the system is subjected to an impulse input and that the
output (Markov Parameters) is organized in a known matrix as Hankel matrix. This matrix is
then decomposed in singular values, which permits, with the help of the concepts of
controllability and observability, a convenient mathematical manipulation that gives the
desired realization, that is the system in state-space. The second one was conceived for
underdamping systems. Therefore, it results, mathematically, in a state observer, so that, a
virtual damping at the signal is added. This resource allows a data compression and,
consequently, lower computational effort. Thus, OKID provides, from any sort of input,
Markov parameters of the observer and the system, and the last one will feed ERA.
The motivation of the work is to help the Control Engineering in the identification, in
state-space, of complex systems, whose analytical modelling is difficult due to several
reasons. Furthermore, it helps its simulations.
In order to make it possible, the work presents the Theory of Systems Realization,
ERA and ERA/ OKID algorithms, and from these concepts, a numerical assessment of a
mechanical system with two degrees of freedom using ERA, and an experimental
assessment of an acoustic pipe using ERA/ OKID.
The dissertation concluded that, for the studied cases, the presented tecniques are
efficient, and as a result, they become powerful tools of identification and points out some
future perspectives in the realized research.
Keywords: System Identification, Control, ERA, OKID, Linear Systems.
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1
−
Viga engastada com atuador localizado em um nó deste modo de
vibrar ........................................................................................................
12
Figura 2.2
−
Viga engastada com sensor localizado em um nó deste modo de vibrar
14
Figura 2.4
−
Fluxograma do ERA ................................................................................
31
Figura 3.1
−
Efeito da incorporação de um observador no sistema sobre a resposta
no domínio do tempo ...............................................................................
35
Figura 3.2
−
Estratégia do OKID ........................................................................
36
Figura 3.3
−
Diagramas de Bloco: Sistema Real (a) e Sistema com Observador (b) ..
41
Figura 3.4
−
Fluxograma do OKID ...............................................................................
52
Figura 4.1
−
Representação da adição do ruído branco à saída do sistema teórico ...
55
Figura 4.2
−
Sistema mecânico de 2 GDL’s simulado .................................................
56
Figura 4.3
−
Esquema da seqüência das simulações numéricas para o ERA ............
57
Figura 4.4
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado (Sem
Ruído com
50
=
β
=
α
) ............................................................................
58
Figura 4.5
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado (Sem
Ruído com
α = β =
200
) ..........................................................................
59
Figura 4.6
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado (Sem
Ruído com
500
=
β
=
α
) ..........................................................................
60
Figura 4.7
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado
(
%
=
PCT 10
com
50
=
β
=
α
) .................................................................
61
Figura 4.8
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado
(
%
=
PCT 10
com
α = β =
200
) ...............................................................
62
Figura 4.9
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado
(
%
=
PCT 10
com
500
=
β
=
α
) ...............................................................
63
Figura 4.10
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado
(
%
=
PCT 25
com
50
=
β
=
α
) .................................................................
64
Figura 4.11
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado
(
%
=
PCT 25
com
α = β =
200
) ...............................................................
65
x
Figura 4.12
−
FRF, MAC, MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado
(
%
=
PCT 25
com
500
=
β
=
α
) ...............................................................
66
Figura 5.1
−
Desenho Descritivo do Duto Acústico .....................................................
74
Figura 5.2
−
Foto da Bancada Experimental do Duto Acústico ...................................
75
Figura 5.3
−
Esquema da Bancada Experimental .......................................................
75
Figura 5.4
−
Esquema da Convenção de um Ensaio ..................................................
76
Figura 5.5
−
Sinais de Entrada 1, Saída 1 e Saída 2 ...................................................
77
Figura 5.6
−
Sinais de Entrada 2, Saída 1 e Saída 2 ...................................................
78
Figura 5.7
−
Esquema da estratégia para identificação do sistema ............................
79
Figura 5.8
−
Fluxograma da “Otimização Manual” dos parâmetros
p
e
n
..................
79
Figura 5.9
−
FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Excitação (Entrada
1) e o Microfone de Referência (Saída 1) –
α = β =
200
e
p n 70
= =
.....
81
Figura 5.10
−
Coerência entre Alto-Falante de Excitação (Entrada 1) e o Microfone
de Referência (Saída 1) ...........................................................................
81
Figura 5.11
−
FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Excitação (Entrada
1) e o Microfone de Erro (Saída 2) –
α = β =
200
e
p n 70
= =
...............
82
Figura 5.12
−
Coerência entre Alto-Falante de Excitação (Entrada 1) e o Microfone
de Erro (Saída 2) .....................................................................................
82
Figura 5.13
−
FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Controle (Entrada
2) e o Microfone de Referência (Saída 1) –
α = β =
200
e
p n 70
= =
.....
83
Figura 5.14
−
Coerência entre Alto-Falante de Controle (Entrada 2) e o Microfone de
Referência (Saída 1) ................................................................................
83
Figura 5.15
−
FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Controle (Entrada
2) e o Microfone de Erro (Saída 2) –
α = β =
200
e
p n 70
= =
...............
84
Figura 5.16
−
Coerência entre Alto-Falante de Controle (Entrada 2) e o Microfone de
Erro (Saída 2) ..........................................................................................
84
Figura 5.17
−
FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Excitação (Entrada
1) e o Microfone de Referência (Saída 1) –
α = β =
200
e
p n 130
= =
...
84
Figura 5.18
−
FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Excitação (Entrada
1) e o Microfone de Erro (Saída 2) –
α = β =
200
e
p n 130
= =
..............
86
Figura 5.19
−
FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Controle (Entrada
2) e o Microfone de Referência (Saída 1) –
α = β =
200
e
p n 130
= =
..
87
Figura 5.20
−
FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Controle (Entrada
xi
2) e o Microfone de Erro (Saída 2) –
α = β =
200
e
p n 130
= =
...............
88
Figura 5.21
−
Comparação entre os sinais de saídas 1 e 2 medidos e simulados
devido à entrada 1 (Alto-Falante de Excitação) .......................................
89
Figura 5.22
−
Comparação entre os sinais de saídas 1 e 2 medidos e simulados
devido à entrada 2 (Alto-Falante de Controle) .........................................
90
Figura 5.23
−
Resposta Impulsiva (Alto-Falante de Excitação – Microfone de
Referência) ..............................................................................................
91
Figura 5.24
−
Resposta Impulsiva (Alto-Falante de Excitação – Microfone de Erro) ....
91
Figura 5.25
−
Resposta Impulsiva (Alto-Falante de Controle – Microfone de
Referência) ..............................................................................................
92
Figura 5.26
−
Resposta Impulsiva (Alto-Falante de Controle – Microfone de Erro) ......
93
Figura 5.27
−
SOM e Diagonal de
Σ
ΣΣ
Σ
versus o Número de Modos (
200
α = β =
e
p n 70
= =
) ...............................................................................................
93
Figura 5.28
−
SOM e Diagonal de
Σ
ΣΣ
Σ
versus o Número de Modos (
200
α = β =
e
p n 130
= =
) .............................................................................................
93
Figura 5.29
−
Comparação das FRF’s dos sistemas medido, identificado e
identificado reduzido (Alto-Falante de Excitação – Microfone de
Referência) ..............................................................................................
95
Figura 5.30
−
Comparação das FRF’s dos sistemas medido, identificado e
identificado reduzido (Alto-Falante de Excitação – Microfone de Erro)
..................................................................................................................
96
Figura 5.31
−
Comparação das FRF’s dos sistemas medido, identificado e
identificado reduzido (Alto-Falante de Controle – Microfone de
Referência) ..............................................................................................
97
Figura 5.32
−
Comparação das FRF’s dos sistemas medido, identificado e
identificado reduzido (Alto-Falante de Controle – Microfone de Erro)
..................................................................................................................
98
Figura I.1
−
Tela Inicial da Interface Gráfica (TELA 1) ................................................
111
Figura I.2
−
Tela para a escolha do arquivo de dados (TELA 2) ................................
112
Figura I.3
−
Tela para salvar o arquivo que contém o sistema identificado (TELA 3)
113
Figura I.4
−
Tela com os resultados da identificação (TELA 4) ..................................
114
Figura II.1
−
Caracterização das incertezas do sistema ..............................................
115
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1
−
Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(Sem Ruído com
α = β =
50
) ................................................................
58
Tabela 4.2
−
Associação do MAC e MSV com as respec
tivas freqüências naturais
(Sem Ruído com
200
α = β =
) ..............................................................
59
Tabela 4.3
−
Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(Sem Ruído com
α = β =
500
) ..............................................................
60
Tabela 4.4
−
Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 10
com
50
=
β
=
α
) ..............................................................
61
Tabela 4.5
−
Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 10
com
200
α = β =
) ............................................................
62
Tabela 4.6
−
Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 10
com
α = β =
500
) ............................................................
63
Tabela 4.7
−
Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 25
com
50
=
β
=
α
) .............................................
64
Tabela 4.8
−
Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 25
com
200
α = β =
) ............................................................
65
Tabela 4.9
−
Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 25
com
α = β =
500
) ............................................................
66
Tabela 4.10
−
Consolidação das Identificações para todos os casos .........................
67
Tabela 5.1
−
Componentes do Sistema – Duto Acústico ..........................................
74
Tabela 5.2
−
Componentes da Bancada Experimental .............................................
76
Tabela 5.3
−
Características do Sinal de Entrada .....................................................
76
Tabela 5.4
−
Configuração de Parâmetros utilizados nas Identificações ..................
80
xv
LISTA DE SÍMBOLOS
Arábicos
Símbolo Significado
A
matriz da dinâmica do sistema no domínio discreto
m
A
ˆ
matriz da dinâmica do sistema em coordenadas modais
C
A
matriz da dinâmica do sistema no domínio contínuo
A
matriz da dinâmica do sistema com observador incorporado
A
ˆ
matriz
A
identificada
A
~
matriz da dinâmica do sistema com filtro de Kalman incorporado
red
A
ˆ
matriz da dinâmica do sistema identificado reduzido
A
%
matriz da dinâmica do sistema mecânico teórico
B
matriz dos atuadores no domínio discreto
m
B
ˆ
matriz dos atuadores em coordenadas modais
C
B
matriz dos atuadores no domínio contínuo
B
matriz dos atuadores com observador incorporado
B
ˆ
matriz
B
identificada
B
~
matriz dos atuadores com filtro de Kalman incorporado
B
%
matriz dos atuadores do sistema mecânico teórico
red
B
ˆ
matriz dos atuadores do sistema identificado reduzido
C
matriz dos sensores no domínio discreto
m
C
ˆ
matriz dos sensores em coordenadas modais
C
ˆ
matriz
C
identificada
C
%
matriz dos sensores do sistema mecânico teórico
S
C
matriz de amortecimento do sistema mecânico teórico
red
C
ˆ
matriz dos sensores do sistema identificado reduzido
D
matriz de perturbação dos sensores devido aos atuadores no domínio
discreto
D
ˆ
matriz
D
identificada
xvi
D
%
matriz de perturbação dos sensores devido aos atuadores do sistema
mecânico teórico
dt
tempo de amostragem
E
operador Esperança
m
E
matriz auxiliar para determinação de
C
ˆ
r
E
matriz auxiliar para determinação de
B
ˆ
G
matriz do ganho do observador
H
matriz de Hankel
I
matriz identidade
K
ganho do filtro de Kalman
S
K
matriz de rigidez do sistema mecânico teórico
l
tamanho da amostra ou comprimento do vetor de dados
n
l
operador logaritmo neperiano ou logaritmo natural
m
número de entradas
S
M
matriz de massa do sistema mecânico teórico
i
MAC
coerência de amplitude modal relativo ao modo
i
i
MSV
valor singular do modo
i
n
ordem do sistema
red
n
ordem do sistema reduzido
m
O
matriz nula quadrada de ordem
m
r
O
matriz nula quadrada de ordem
r
p
número de parâmetros de Markov do observador
P
matriz de observabilidade
PCT
porcentagem do sinal
(
)
ky
sobre o qual é injetado ruído branco
i
q
evolução temporal “esperada” do modo
i
i
ˆ
q
evolução temporal identificada do modo
i
Q
matriz de controlabilidade
m
Q
matriz de controlabilidade em coordenadas modais
R
matriz resultante da decomposição em valores singulares da matriz
H
r
número de saídas
S
matriz resultante da decomposição em valores singulares da matriz
H
SOM
seletor de ordem do modelo
u
vetor de controle ou de entrada
xvii
U
,
U
matriz dos dados de entrada do sistema
v
matriz de entrada para sistema o sistema com observador
1
v
r
vetor genérico
2
v
r
vetor genérico
V
,
V
,
V
matriz dos dados de entrada do sistema como observador
x
vetor de estados
x
ˆ
estado estimado
m
x
vetor de estados em coordenadas modais
y
vetor das medidas
Y
,
Y
parâmetro de Markov do sistema
Y
~
parâmetro de Markov do filtro de Kalman
Y
,
Y
parâmetro de Markov do observador
( )
Y
1
k
parâmetro de Markov do observador devido à entrada
( )
Y
2
k
parâmetro de Markov do observador devido à saída
(
)
2
~
k
Y
parâmetro de Markov do observador devido à saída para
1
≤
≤
kp
Y
o
k
parâmetro de Markov do ganho do observador
Y
Parâmetros de Markov do sistema para
2
+
≤
pk
w
vetor de ruído no processo
xviii
Gregos
Símbolo Significado
α
parâmetro que compõe o número de linhas da matriz
H
β
parâmetro que compõe o número de colunas da matriz
H
ϕ
vetor arbitrário
ψ
autovetor
Ψ
ΨΨ
Ψ
matriz modal
t
∆
tempo de amostragem
θ
ângulo entre os vetores
1
v
r
e
2
v
r
Λ
ΛΛ
Λ
ˆ
matriz diagonal dos autovalores da matriz
A
ˆ
C
Λ
ΛΛ
Λ
matriz diagonal dos autovalores da matriz
A
no domínio contínuo
i
ˆ
λ
autovalor identificado relativo ao modo
i
i
λ
autovalor “esperado” relativo ao modo
i
ε
matriz dos resíduos
Σ
ΣΣ
Σ
matriz resultante da decomposição em valores singulares da matriz
H
υ
vetor de ruído na medida
σ
elemento da diagonal da matriz
Σ
ΣΣ
Σ
xix
SUMÁRIO
Capítulo I – INTRODUÇÃO 1
Capítulo II – TEORIA DA REALIZAÇÃO DE SISTEMAS 5
2.1 Controlabilidade e Observabilidade ............................................................................
5
2.1.1 Controlabilidade no Domínio do Tempo .........................................................
8
2.1.2 Observabilidade no Domínio do Tempo .........................................................
12
2.2 Conceitos Básicos de Realização ...............................................................................
13
2.3 Eigensystem Realization Algorithm – ERA .................................................................
19
2.3.1 Formulação Básica .........................................................................................
20
2.3.2 Relação com Ruídos ...................................................................................... 24
2.3.3 Técnicas para Distinção dos Modos Reais dos Modos de Ruído .................. 25
2.3.3.1 Coerência de Amplitude Modal – MAC ..............................................
25
2.3.3.2 Valor Singular do Modo – MSV ..........................................................
28
2.3.3.3 Comentários sobre o MAC e o MSV ..................................................
29
2.3.3.4 Estratégia para Redução Modal .........................................................
30
2.4 O Algoritmo .................................................................................................................
31
Capítulo III – IDENTIFICAÇÃO COM OBSERVADOR/FILTRO DE KALMAN 35
3.1 Equação Básica do Observador .................................................................................
36
3.2 Cálculo dos Parâmetros de Markov ............................................................................
45
3.2.1 Parâmetros de Markov do Sistema ................................................................ 45
3.2.2 Parâmetros de Markov do Ganho do Observador ..........................................
48
3.3 Considerações importantes sobre a escolha do parâmetro
p
....................................
49
3.4 Relação com o Filtro de Kalman .................................................................................
51
3.5 O Algoritmo OKID .......................................................................................................
52
Capítulo IV – AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO ERA 55
4.1 O Sistema Mecânico Simulado ...................................................................................
55
4.2 Análise de Sensibilidade do ERA aos Parâmetros
α
,
β
e ao Ruído através de
Simulação ...................................................................................................................
56
4.2.1 Sem ruído – PCT = 0% ...................................................................................
57
4.2.2 Com ruído – PCT = 10% .................................................................................
60
4.2.3 Com ruído – PCT = 25% .................................................................................
62
xx
4.3 Análise dos Resultados ...............................................................................................
66
4.3.1 Impacto do Ruído sobre o MAC ..................................................................... 66
4.3.2 Impacto do Ruído sobre o MSV ......................................................................
67
4.3.3 Impacto do Ruído sobre o SOM .....................................................................
67
4.3.4 Impacto de
α
e
β
sobre o MAC ....................................................................
67
4.3.5 Impacto de
α
e
β
sobre o MSV .....................................................................
68
4.3.6 Impacto de
α
e
β
sobre o SOM ....................................................................
68
4.3.7 Conclusões Parciais .......................................................................................
69
4.4 Considerações Parciais .............................................................................................. 70
Capítulo V – AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DO ERA/OKID 73
5.1 Introdução ...................................................................................................................
73
5.2 Bancada Experimental ................................................................................................
73
5.2.1 O Duto Acústico ..............................................................................................
73
5.2.2 O Equipamento e o Esquema de Montagem do Experimento ....................... 74
5.3 O Ensaio ..................................................................................................................... 76
5.3.1 Sinais Injetados e Adquiridos ......................................................................... 77
5.4 Estratégia para a Identificação ....................................................................................
79
5.4.1 Escolha dos parâmetros utilizados no ERA/OKID ..........................................
79
5.5 Resultados e Discussão ..............................................................................................
80
5.5.1 Resultados do 1º Caso ...................................................................................
81
5.5.2 Resultados do 2º Caso ...................................................................................
84
5.5.3 Simulação do Duto Acústico Identificado ....................................................... 89
5.5.3.1 Simulando com uma entrada do tipo “ruído branco” ..........................
89
5.5.3.2 Simulando com uma entrada do tipo impulsiva ..................................
91
5.5.4 Avaliação dos Critérios para Redução Modal .................................................
93
5.5.5 Redução Modal do Sistema Identificado ........................................................
95
5.5.6 Conclusões Parciais .......................................................................................
99
Capítulo VI – CONCLUSÕES 101
Capítulo VII – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 105
Anexo I – A INTERFACE GRÁFICA 111
Anexo II – RELAÇÃO ENTRE OS GANHOS DO OBSERVADOR E DO FILTRO DE
KALMAN
115
Capítulo I
INTRODUÇÃO
A compreensão dos fenômenos da natureza e sua representação por meio de
modelos matemáticos têm sido uma preocupação básica e constante na história das
ciências aplicadas, notadamente nos campos da física e da engenharia. Nesta área tão
positiva do conhecimento pode-se dizer que só se conhece um fenômeno físico a partir do
momento em que se define uma representação matemática para a mesmo, representação
esta que seja capaz de inferir o comportamento do fenômeno no tempo e no espaço, sob
determinadas condições de contorno bem estabelecidas. Um modelo é tanto melhor quanto
melhor for esta representação e menores forem os vínculos ou fronteiras em que está
inserido.
Assim, a representação matemática de sistemas físicos é a pedra angular em que se
assenta a grande parte das construções teóricas da ciência moderna. Se para compreender
e controlar determinado fenômeno é preciso antes conhecê-lo, infere-se que é necessário
antes modelá-lo, ou representá-lo matematicamente.
A área de identificação de sistemas dinâmicos é, no campo da engenharia, o
segmento de pesquisa que busca, a partir de observações e ensaios experimentais, derivar
as representações ou modelos matemáticos dos sistemas estudados. A experimentação e a
representação requerem dos investigadores duas características muito importantes: uma
sólida e rigorosa base matemática e boa dose de intuição no trato do fenômeno
experimental (Santo, 2001 e Deistler, 2004).
As técnicas de identificação têm evoluído acentuadamente nos últimos tempos, isto se
deve em grande parte, ao desenvolvimento dos recursos de informática. Os algoritmos de
identificação têm se tornado mais precisos e velozes.
Sob um prisma histórico, as conquistas mais is importantes na área da identificação
dos fenômenos físicos remontam aos séculos XVIII e XIX. O principal foco, neste período,
era pesquisar por periodicidades e tendências “ocultas”, como, por exemplo, órbitas de
planetas (Laplace, Euler, Lagrange, Fourier, etc). Foi neste período que Gauss, em 1795, se
tornou pioneiro no campo da modelagem e da identificação concebendo o tão conhecido
método dos Mínimos Quadrados. Já na terceira década do século XX, Yule (1927)
investigou os sistemas lineares estocásticos, que envolviam modelos de sistemas com
Capítulo I - I
NTRODUÇÃO
2
média móvel (MA) e auto-regressivos (AR) e que eram usados para explicar ciclos “quase
periódicos”. Um pouco depois, cientistas como Wiener (1930) e Kolmogorov (1939)
contribuíram para o surgimento de teorias de processos estacionários. Concomitantemente,
surgiu a teoria de Máxima Verossimilhança e de estimação para sistemas lineares MIMO
com dimensão finita através de vetores de equações diferença com erros de ruído branco,
ou seja, sistemas ARX. A década de 60 experimentou um grande avanço tecnológico devido
à corrida espacial, o que implicou, naturalmente, no acréscimo de complexidade nos
sistemas inerentes a este segmento. Foi nesta época que foram desenvolvidas as teorias de
estruturas para sistemas MIMO em espaço de estados e sistemas ARMA (Kalman, 1960).
Ainda neste período surgiram técnicas não paramétricas como a estimação espectral e a
estimação de funções de transferência. No início da década 70, Hannah (1969, 1971 e
1976), por exemplo, desenvolveu técnicas de estimação para sistemas SISO valendo-se de
estruturas de modelos AR, ARMA, ARX e ARMAX, enquanto que Box e Jenkis (1970),
criaram um procedimento para identificação de sistemas SISO, incluindo a estimação da
ordem de tais sistemas.
Num contexto mais atual, Lus et al. (2002) relatam que os pesquisadores que
trabalham com teoria de controle preferem, em geral, uma formulação de primeira ordem
para os modelos. Por exemplo, Ibrahim e Mikulcik (1977) propõem um método de
identificação direta para identificação de parâmetros de vibração. Já Ewins (1984) reúne, em
um compêndio, uma gama de métodos de identificação de parâmetros modais tanto no
domínio do tempo quanto no da freqüência. Juang e Pappa (1985) e Juang et al. (1988,
1993) conceberam um método de identificação bastante conveniente para Engenharia de
Controle, que tornou possível obter a representação do sistema em variáveis de estado. A
este algoritmo, inicialmente denominado por ERA (Eigensystem Realization Algorithm), ou
realização de auto-sistema; foram derivadas duas extensões: o ERA/DC, (com correlações
de dados) e o ERA/OKID (com observador/filtro de Kalman). Os resultados desses dois
métodos de identificação geram ou parâmetros modais complexos do sistema em questão,
ou modelos em espaço de estados, de onde também se podem extrair os parâmetros
modais. Na literatura especializada o ERA é um dos procedimentos mais investigados. Ao
estudar este método que nasceu nos laboratórios da NASA (Langley Research Center,
Hampton, Virginia) em meados da década de 80, vindo a tornar-se um produto comercial,
depara-se com inúmeras interrogações notadamente quando se pensa em aplicá-lo a um
sistema físico real. Existem, no método, determinados parâmetros afeitos principalmente à
inicialização e a convergência que, nos artigos publicados, aparecem de maneira vaga e
nebulosa.
Capítulo I - I
NTRODUÇÃO
3
Assim, frente à abrangência e potencialidade do algoritmo ERA – comprovada por
centenas de publicações que se serviram ferramenta comercial – e os detalhes, sob a nossa
ótica, ainda obscuros, pretende-se com este trabalho:
“Estudar o algoritmo ERA e sua variação ERA/OKID,
procurando identificar a sensibilidade do método aos seus
parâmetros de inicialização. Pretende-se avaliar a metodologia
numérica e experimentalmente e desenvolver ainda uma interface
computacional amigável que facilite a utilização do método em
ambiente experimental”.
Para atingir o objetivo proposto o trabalho obedece a seguinte organização: no
Capítulo II é apresentada a Teoria de Realização de Sistemas, de onde derivam os
algoritmos ERA; no Capítulo III é apresentada uma técnica auxiliar de identificação chamada
OKID (Observer/Kalman Identification), que incorpora ou um observador, ou um filtro de
Kalman no sistema a ser identificado; o Capítulo IV é dedicado à simulação numérica do
ERA, onde é avaliada sua sensibilidade aos parâmetros inerentes simulando um sistema
mecânico de dois graus de liberdade; o Capítulo V é reservado à avaliação experimental do
ERA/OKID, onde é identificado um duto acústico, que é um sistema extremamente
complexo e que é acometido por atrasos; no Capítulo VI constam as conclusões e os
desdobramentos futuros desta dissertação.
Capítulo II
TEORIA DA REALIZAÇÃO DE SISTEMAS
No campo da identificação de parâmetros de sistemas dinâmicos vários métodos têm
sido desenvolvidos, analisados e testados. Estabelecer uma relação entre estes métodos é
uma questão que surge naturalmente. Neste capítulo, um arcabouço matemático unificado
baseado na teoria da realização de sistemas, é apresentado para discutir a inter-relação
entre estes métodos. Os métodos no domínio do tempo para identificação de parâmetros
modais no campo das estruturas são baseados na matriz função de transferência, que
fornece os parâmetros de Markov. O conhecimento dos parâmetros de Markov torna
possível a construção da matriz de Hankel, que é a base para a realização do modelo em
espaço de estado discretizado no tempo.
Mas, para se identificar o sistema, ou obter sua realização, faz-se necessário, ainda, o
conhecimento de teorias que permitem avaliar se o sistema pode, ou não, ser controlado
e/ou observado.
Este capítulo começa com a discussão sobre estas teorias. O conceito básico de
realização mínima, que foi desenvolvida por Ho e Kalman (1965), será então descrita.
Posteriormente, o ERA (Eigensystem Realization Algorithm) ou Realização de Auto-Sistema
para identificação de parâmetros modais, que foi desenvolvido por Juang e Pappa (1985), é
apresentado.
2.1 Controlabilidade e Observabilidade
A partir do sistema escrito na forma de espaço de estados é possível derivar teorias
que permitem investigar se todos os estados em questão podem ser controlados e/ou
observados, onde estas são chamadas na literatura de teoria de Controlabilidade e de
Observabilidade, respectivamente. Logo, para que se possa iniciar o desenvolvimento
acerca destas, de acordo com Juang (1994), escreve-se os sistemas invariantes no tempo
da seguinte forma:
(
)
(
)
(
)
ttt uBxAx
cc
+
=
&
(2.1)
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
6
(
)
(
)
(
)
ttt DuCxy
+
=
(2.2)
ou por sua representação no domínio do tempo discreto
(
)
(
)
(
)
kkk BuAxx
+
=
+
1
(2.3)
(
)
(
)
(
)
kkk DuCxy
+
=
(2.4)
onde
•
x
é o vetor de estado
(
)
1n
×
;
•
u
é o vetor de controle ou de entrada
(
)
1r
×
;
•
y
é o vetor das saídas medidas
(
)
1m
×
;
•
C
A
e
A
são as matrizes da dinâmica do sistema nos domínios contínuo e discreto,
respectivamente
(
)
nn
×
;
•
C
B
e
B
são as matrizes dos atuadores nos domínios contínuo e discreto,
respectivamente
(
)
rn
×
;
•
C
e
D
são as matrizes dos sensores
(
)
nm
×
e da perturbação dos sensores devido aos
atuadores
(
)
rm
×
;
Tais equações, Eq. (2.3) e Eq (2.4), são usadas para determinar a resposta do sistema para
qualquer entrada.
A solução no instante t
f
para equação (2.1) é, Kwakernaak (1972):
( )
( )
( )
( )
( )
∫
−−
+=
f
ff
t
t
ttt
f
detet
0
0
0
ττ
τ
uBxx
c
AA
cc
(2.5)
para
0
tt
≥
. A solução para a representação discreta da equação (2.3), no tempo,
f
t k t
= ∆
onde
t
∆
é o tempo de amostragem, é da seguinte forma (Juang, 1994):
( ) ( ) ( )
∑
=
−
−+=
k
j
jk
ikk
1
1
0 BuAxAx (2.6)
ou numa forma matricial compacta
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
7
( ) ( )
[ ]
(
)
( )
( )
( )
−
−
−
⋅+=
−
0
2
2
1
0
12
u
u
u
u
BABAABBxAx
M
L
k
k
k
k
kk
(2.7)
onde
(
)
(
)
0
0 t
xx
=
é o estado inicial em
0
tt
=
.
A derivação das teorias de controlabilidade e observabilidade são similares para os
casos contínuo e discreto. Será abordado, neste trabalho, somente o caso discreto. Além
disso, faz-se necessário, para o bom entendimento das teorias ora citadas, a introdução de
alguns conceitos, como: modo de vibrar e matriz modal, e significados de termos como:
autovalor e autovetor, que neste trabalho são representados pelas letras gregas
λ
e
Ψ
ΨΨ
Ψ
,
respectivamente.
Segundo Thomson e Dalhleh (1998), um sistema de
N
graus de liberdade possui a
mesma quantidade de freqüências naturais, onde para cada uma delas existe um estado de
vibração correspondente com a configuração de deslocamento conhecida por modo normal.
Os termos matemáticos relacionados com essas quantidades são conhecidos como
autovalores e autovetores, respectivamente, onde são determinados a partir de um sistema
de
N
equações do movimento e têm certas propriedades dinâmicas associadas ao sistema.
Logo, eles definem modo como sendo uma vibração livre não amortecida que depende
somente da massa e da rigidez do sistema e de como elas são distribuídas. Quando vibra
em um desses modos, todos os pontos do sistema ficam submetidos a um simples
movimento harmônico que passa através de suas posições de equilíbrio simultaneamente.
Para que um modo de vibrar seja observado é necessário que as condições iniciais
aplicadas ao sistema assim o permita. Para uma condição inicial mais genérica, como uma
excitação impulsiva, a vibração livre resultante pode conter todos os modos de vibrar
simultaneamente. Sob um outro prisma, como no de Seto (1971), modo de vibrar é um
estado de movimento em que todas as massas, em sistemas não contínuos, oscilam
alcançando deslocamentos máximos simultaneamente, passando por suas posições de
equilíbrio, também simultaneamente; ou, alternativamente, é um estado onde todas as
partes móveis do sistema oscilam em fase com uma dada freqüência. Já matriz modal é
aquela que contém os modos de vibrar, ou forma dos modos, de um sistema, e que são
obtidas calculando-se os autovetores deste.
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
8
2.1.1 Controlabilidade no Domínio do Tempo
Um estado
(
)
k
x
de um sistema é dito controlável se este estado pode ser atingido a
partir de qualquer estado inicial do sistema num intervalo de tempo finito por alguma ação
de controle limitada. Se todos os estados são controláveis, o sistema é chamado
completamente controlável ou simplesmente controlável.
Para determinar a controlabilidade completa no tempo de amostragem
k
, é
necessário e suficiente determinar se o estado zero, ao invés de todos os estados iniciais,
pode ser transferido para todos os estados finais. Para justificar o exposto rescreve-se a Eq.
(2.7) na seguinte forma:
( ) ( ) ( )
[ ]
(
)
( )
( )
( )
−
−
−
⋅=−=
−
0
2
2
1
0
12
u
u
u
u
BABAABBxAxx
M
L
k
k
k
kk
ˆ
kk
(2.8)
que é equivalente partir do estado nulo e ir até o estado final
(
)
(
)
(
)
0xAxx
k
kk
ˆ
−=
. Portanto,
se é possível mostrar que o sistema pode ir do estado nulo para qualquer
(
)
k
ˆ
x
, então ele
pode ir de qualquer
(
)
0
x
para qualquer
(
)
k
x
. Uma avaliação da Eq. (2.8) revela que a
matriz
B AB A B A B
2 1k −
L
deve representar um papel importante na determinação
da controlabilidade do sistema.
TEOREMA 2.1 –
O sistema dinâmico, linear, invariante no tempo, com dimensão finita e
discretizado no tempo
(
)
(
)
(
)
kkk
BuAxx
+
=
+
1
de ordem
n
é controlável se, e somente se,
a
n kr
×
bloco da matriz de controlabilidade
Q
k
tem posto
n
, onde
Q B AB A B A B
2 1k
k
−
=
L
(2.9)
PROVA –
Para provar este teorema, primeiro calcula-se a decomposição em valores
singulares de
Q
k
, o que resulta em
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
9
[ ]
S
Q R S R R
S
0
0
0 0
0 0 0 0
T
k kT
k
k k
T
Σ Σ
= ∆
(2.10)
onde
n
T
IRR =
,
S S I
T
kr
=
e
[
]
k21k
,,,diag
σ
σ
σ
=
L
Σ
ΣΣ
Σ
com
0
k21
>
σ
≥
σ
≥
σ
L
. Note
também que
n
I
e
I
kr
significam, respectivamente, a matriz identidade de ordem
n
e
kr
. As
matrizes
k
R
e
0
R
,
k
S
e
0
S
são submatrizes com a apropriada partição de
R
e
S
,
respectivamente. Note que
n
T
IRR =
e
S S I
T
kr
=
implica
kk
T
k
IRR =
e
kk
T
k
ISS =
,
respectivamente. Nesta decomposição é assumido que o número
k
de valores singulares
não-nulos é menor que
n
, que é a ordem do sistema.
Desde que
R
seja uma matriz não-singular, pode-se pré-multiplicar a Eq. (2.8) por
T
R
, o que resulta
( )
[ ]
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
−
−
−
=
−
−
−
=
−
0
3
2
1
00
0
0
3
2
1
12
u
u
u
u
SRR
u
u
u
u
BABAABBRxR
MM
L
k
k
k
k
k
k
k
ˆ
T
k
TkTT
Σ
ΣΣ
Σ
(2.11)
Agora define-se
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
TTTT
T
k
kkk 0321
uuuuu
L
−−−=
. A equação acima se torna
(
)
( )
=
=
0
00
0
00
k
T
kk
k
T
T
k
k
T
T
k
k
ˆ
k
ˆ
uS
u
S
S
xR
xR
Σ
ΣΣ
Σ
Σ
ΣΣ
Σ
(2.12)
Na Eq. (2.12) é possível verificar que a parte inferior do vetor do lado esquerdo desta não
pode ser atingida por qualquer vetor força
k
u
a partir do estado nulo. Isto implica que
aqueles vetores
(
)
k
ˆ
x
, que fazem a componente
(
)
0
0
=k
ˆ
T
xR , não podem ser atingidos a
partir do estado nulo, isto é, o sistema não é controlável.
Para tornar o sistema controlável, é suficiente e necessário eliminar a parte nula no
membro direito da equação acima. A única forma de fazê-lo é incrementar o número de
valores singulares não-nulos
k
, até
n
k
=
(ordem do sistema). Se
n
k
=
, a equação acima
se torna
( )
[ ]
[ ]
k
T
nnk
T
T
n
k
T
k
ˆ
uSu
S
S
xR Σ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
Σ =
=
0
0
0 (2.13)
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
10
Desde que
Σ
ΣΣ
Σ
e
n
S
tenham ambos posto
n
, o vetor de controle
k
u
pode ser resolvido, como
por Juang (1994), da seguinte maneira:
(
)
( )
(
)
( )
[
]
ϕϕ
⋅−+=⋅
−+=
−− T
nn
T
nn
T
n
T
n
T
n
T
nk
k
ˆ
k
ˆ
SSIxRSSSIxRSu
1
†
1
†
Σ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
Σ
(2.14)
onde o sobrescrito
†
significa a pseudo-inversa e
ϕ
é um vetor arbitrário de dimensão
1
nr
×
. Note que
(
)
(
)
S S S S S
† 1
T T
n n n n n
−
= =
desde que
nn
T
n
ISS =
, que é o resultado de
S S I
T
kr
=
como indicado anteriormente. Esta equação simplesmente indica que, para
qualquer vetor
(
)
k
ˆ
x
desejado e um vetor
ϕ
escolhido arbitrariamente, existe um vetor de
controle
k
u
que transferirá o estado nulo ao vetor desejado
(
)
k
ˆ
x
. O fato de
ϕ
ser um vetor
arbitrário faz com que o vetor de controle não seja determinado de uma única forma. Em
outras palavras, existe mais do que um vetor de controle que pode transferir o estado nulo
até o estado final desejado
(
)
k
ˆ
x
. A norma do vetor de controle
k
u
torna-se mínima quando
0
ϕ
=
. Conclui-se, então, um sistema dinâmico, linear, invariante no tempo, com dimensão
finita e discretizado no tempo é
controlável
, se, e somente se, sua matriz de
controlabilidade tem posto igual à ordem do sistema.
Em muitos problemas práticos é desejado que todos os modos de vibrar de um
determinado sistema sejam controláveis e é por essa razão que o teorema a seguir é
postulado.
TEOREMA 2.2 –
Considere uma força de controle escalar
(
)
ku
para o sistema discreto
(
)
(
)
(
)
kkk buAxx
+
=
+
1
onde
b
é um vetor coluna. Assuma que a matriz constante
A
tem
autovalores distintos
i
λ
. O sistema é controlável se, e somente se, o vetor constante
bb
1−
= Ψ
ΨΨ
Ψ
m
não tenha elementos nulos, onde
Ψ
ΨΨ
Ψ
é a matriz modal com autovetores de
A
como seus vetores coluna.
PROVA –
Para provar este teorema, primeiro monta-se a seguinte matriz de
controlabilidade:
[
]
[
]
[ ]
bAAbAb
bAAbAbbAAbbQ
1111
1111
−−−−
−−−−
=
==
ΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨ
k
kk
k
L
LL
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
11
[
]
bAAbAbQ
111111 −−−−−−
= ΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨΨ
ΨΨ
ΨΨΨ
ΨΨΨΨ
ΨΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
Ψ
k
k
L
(2.15)
Agora, note que
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
k
k
n
kk
k
n
n
m
,,,diag
,,,diag
,,,diag
Λ
ΛΛ
ΛΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
Ψ
Λ
ΛΛ
ΛΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
Ψ
Λ
ΛΛ
ΛΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
Ψ
Ψ
ΨΨ
Ψ
===
===
==
=
−−−
−−−
−
−
λλλ
λλλ
λλλ
LL
MMM
L
L
21
111
2
22
2
2
1
1121
21
1
1
AAA
AAA
A
bb
(2.16)
Substituindo-se a Eq. (2.16) na Eq. (2.15) vem
[ ]
==
−
−
−
n
k
nnnn
k
m
k
mmk
bbb
bbb
1
2
1
2222
1
000
λλ
λλ
L
MOMM
L
L
L Ψ
ΨΨ
ΨΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΛ
ΛΨ
ΨΨ
Ψ bbbQ
(2.17)
onde
[
]
T
nm
bbbb L
21
=
Se qualquer elemento
i
b
de
m
b
for zero, por exemplo,
0
=
i
b
, então a matriz de
controlabilidade fica da seguinte forma
=
−
−
n
k
nnnn
k
k
bbb
bbb
1
2
1
2222
000
λλ
λλ
L
MOMM
L
L
Q
Esta matriz obviamente tem posto menor que
n
, pois a segunda matriz no membro direito
tem somente
1
n
−
linhas não-nulas. Portanto, se o sistema é controlável, então todos os
elementos
i
b
para
n,,2,1i K
=
devem ser não-nulos. Na prova, é notado que a matriz
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
12
dos autovetores
Ψ
ΨΨ
Ψ
tem um posto completo
n
porque um sistema com autovalores distintos
tem todos os autovetores independentes. Em estruturas,
0
=
i
b
ocorre somente quando a
força de controle
u
é aplicada exatamente no nó do modo correspondente ao autovalor
i
λ
.
Isto significa que se a força de controle
u
estiver localizada no nó de um modo, então o
modo é não controlável, como pode ser visualizado, qualitativamente, na ilustração da Fig.
(2.1).
Figura 2.1 – Viga engastada com atuador localizado em um nó deste modo de vibrar
2.1.2 Observabilidade no Domínio do Tempo
Um estado
(
)
kx
em um dado tempo de amostragem
k
de um sistema é observável
se o conhecimento da entrada
(
)
ku
e da saída
(
)
ky
sobre um intervalo de tempo finito
[
]
,
0 k
determina, completamente, o estado
(
)
kx
. Se todos os estados são observáveis, o
sistema é chamado completamente observável ou simplesmente observável.
Para determinar a observabilidade, é necessário e suficiente verificar se o estado
inicial
(
)
0
x
de um sistema com entrada nula, isto é,
(
)
0
=
ku
, pode ser completamente
determinado a partir da saída
(
)
ky
, uma vez que o conhecimento do estado inicial
(
)
0
x
e
da entrada
(
)
ku
permite o cálculo do estado
(
)
1
−
kx
a partir da Eq. (2.7), onde, tanto o
vetor de medidas
y
quanto o vetor de controle
u
devem ser conhecidos até o instante
k 1
−
.
TEOREMA 2.3 –
O sistema dinâmico, linear, invariante no tempo, com dimensão finita e
discretizado no tempo
(
)
(
)
(
)
kkk BuAxx
+
=
+
1
de ordem
n
com a equação de medida
(
)
(
)
(
)
kkk DuCxy
+
=
de ordem
m
é observável se, e somente se, o bloco
kp n
×
da matriz
P
k
tem posto
n
, onde
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
13
C
CA
P
CA
CA
2
k
k 1
−
=
M
(2.18)
PROVA –
Para provar este teorema, é suficiente verificar se o estado inicial
(
)
0
x
pode ser
reconstruído a partir do conhecimento do vetor de medidas
y
no intervalo de tempo
[
]
,
0 k 1
−
, quando
(
)
0
=
k
u
. Do modelo discreto no tempo, Eq. (2.3) e (2.4) com
(
)
0
=
k
u
,
vem
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
011
00
CAxCxy
Cxy
==
=
( ) ( ) ( )
011 xCACxy
-1k
=−=− kk
M
(2.19)
Esta equação, a Eq. (2.19), pode ser rescrita como
(
)
( )
( )
( )
0
1
1
0
xP
y
y
y
Y
kk
k
=
−
∆
∆∆
∆
(2.20)
onde uma única solução existe se, e somente se,
P
k
tem posto
n
. A única solução deve ser
(
)
kk
YPx
†
=
0 onde o sobrescrito
†
significa a pseudo-inversa.
Baseado no Teorema 2.3, um teorema especial para o modelo discreto no tempo em
coordenadas modais pode ser derivado proporcionando interpretação física dentro da teoria
geral da observabilidade.
Similarmente ao caso da Controlabilidade, o que se deseja é que todos os modos
sejam observáveis, ou seja, que os sensores alocados no sistema sejam capazes de medir
as grandezas físicas inerentes como: deslocamento, velocidade e aceleração. Eis o que
motiva a postulação do próximo teorema.
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
14
TEOREMA 2.4 –
Considere o sistema discreto no tempo
(
)
(
)
(
)
kkk
BuAxx
+
=
+
1
e um vetor de medidas escalar
(
)
k
y
,
K
,2,1k
=
da equação de medidas
(
)
(
)
(
)
kkk
ducxy
+
=
onde
c
e
d
são vetores-linha constantes,
indicando que o sistema tem um só sensor de saída. Assuma que a matriz constante
A
tem
distintos autovalores
i
λ
. O sistema é observável se, e somente se, o vetor constante
Ψ
ΨΨ
Ψ
cc
=
m
não tenha elementos nulos, onde
Ψ
ΨΨ
Ψ
é a matriz modal com autovetores de
A
como seus vetores-coluna.
PROVA –
Este Teorema tem a mesma natureza do Teorema 2.2. Por isso pode ser provado
pela mesma abordagem usada no teorema supracitado.
Fisicamente este teorema implica que se existe um único sensor e ele está localizado
em um nó de um modo, então o modo torna-se não-observável, como pode ser visualizado,
de forma qualitativa, no exemplo da Fig. (2.2). Perceba que, neste modo de vibrar o sensor
não consegue captar, ou “observar”, movimento algum deste nó.
Figura 2.2 – Viga engastada com sensor localizado em um nó deste modo de vibrar
Esta assertiva pode ser facilmente justificada pela transformação do sistema discreto no
tempo.
(
)
(
)
(
)
kkk
BuAxx
+
=
+
1
e
(
)
(
)
(
)
kkk
ducxy
+
=
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
15
para
(
)
(
)
(
)
kkk
mmm
uBxx
+
=
+
Λ
ΛΛ
Λ
1
e
(
)
(
)
(
)
kkk
m
duxcy
+
=
em coordenadas modais, onde
[
]
nmmm
,,,diag
λλλ
L
21
1
====
−
Λ
ΛΛ
ΛΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
Ψ
ccBBxx
Se qualquer elemento
i
c
do vetor
m
c
for zero, por exemplo
0
1
=
c
, então a coordenada
correspondente
1
m
x
é não-observável no sentido que a medida não contém qualquer
contribuição da coordenada modal
1
m
x
.
( )
[ ]
=
mn
m
m
n
x
x
x
cck
M
L
2
1
2
0y
2.2 Conceitos Básicos de Realização
É neste momento do capítulo que se inicia, propriamente, o desenvolvimento do
arcabouço matemático que permitirá a identificação de sistemas. Para tanto, serão utilizados
como ferramentas os conceitos e teorias previamente discutidos.
Num contexto mais introdutório, esta seção tem o objetivo de, a partir dos sinais de
excitação
u
e dos sinais medidos
y
, obter a realização do sistema, ou o sistema
identificado. Ao longo do texto serão apresentadas todas as terminologias e conceitos
complementares pertinentes a estes procedimentos, o que possibilitará ao leitor seu
entendimento e sua implementação.
Inicialmente, escreve-se o sistema discreto como abaixo:
(
)
(
)
(
)
kkk
BuAxx
+
=
+
1
(2.21)
e
(
)
(
)
(
)
kkk
DuCxy
+
=
(2.22)
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
16
Agora, sobre o sistema descrito pelas Eq. (2.21) e Eq. (2.22) aplica-se, uma entrada
impulsiva unitária da forma
[
]
0001
L
=
u
, considerando, ainda, condições iniciais
nulas,
(
)
00
=
x
(Alves e Ribeiro, 2004). Assim, é possível obter, recursivamente, uma
expressão para resposta impulsiva
Y
, cuja dimensão é
r
m
×
, como mostrado abaixo
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
==+=
=+=+
⇒=
=+=
=+=
⇒=
=+=
=+=
⇒=
=+=
=+=
⇒=
=+=
=+=
⇒=
−
k
YBCADuCxy
BABuAxx
BCADuCxy
BABuAxx
CABDuCxy
BABuAxx
CBDuCxy
ABBuAxx
DDuCxy
BBuAxx
1
2
3
2
1
333
334
3
222
223
2
111
112
1
000
001
0
k
k
kkk
kkk
k
k
k
k
k
K
M
que culmina na seguinte seqüência:
BCAYCABYCBYDY
1k
k210
,,,,
−
==== L
(2.23)
Esta seqüência de matrizes constantes é conhecida como matrizes dos
Parâmetros de
Markov
. Os parâmetros de Markov são usados aqui como a base para identificação de
modelos discretos no domínio do tempo, Eq. (2.21) e (2.22), representadas por quatro
matrizes constantes
A
,
B
,
C
e
D
. Já que
0
YD
=
, somente as três matrizes
A
,
B
e
C
precisam ser determinadas. Salienta-se que esta é uma abordagem matemática que permite
obter tais parâmetros. Cabe lembrar que o cada sinal de entrada consegue recuperar a
respectiva coluna das matrizes
B
e
D
. Na prática, obtêm-se os parâmetros de Markov
montando-se a seguinte matriz:
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
17
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
rm
j,i
k
,i
k
,i
k
j,
k
,
k
,
k
j,
k
,
k
,
k
k
×
=
yyy
yyy
yyy
Y
L
MOMM
L
L
21
22212
12111
(2.24)
onde
m,,1i
K
=
e
r,,1j
K
=
, sendo que cada coluna representa a resposta do
sistema à j-ésima entrada e cada linha a i-ésima saída, lembrando ainda que
m
e
r
são,
respectivamente, o número de saídas e de entradas. Em outras palavras, por exemplo, o
elemento
(
)
12,
k
y
é o vetor de medidas relativo à saída 2 devido à entrada 1. Na verdade, a
construção da matriz
Y
k
, como mostrado na Eq. (2.24), é imprescindível para
implementação computacional do método.
Uma
realização
é a determinação de um tripé
[
]
CBA
,,
a partir dos parâmetros de
Markov mostrados na Eq. (2.23), para que o modelo discreto, Eq. (2.21) e Eq. (2.22), seja
satisfeito, ou, como preconiza Juang e Pappa (1985), realização é o processo de construção
da representação, em espaço de estados, de um sistema a partir de dados experimentais.
Segundo Juang (1994) e Moreira (1998), um sistema qualquer tem um número infinito de
realizações que predirá a resposta idêntica para uma entrada particular qualquer, o que do
ponto de vista da engenharia de controle, é suficiente, já que a exigência principal é que
seja mantida a relação entre entrada e saída (Lim et al., 1998). Realização Mínima significa
um modelo que tem a menor dimensão possível em espaço de estados dentre todos os
sistemas realizáveis que tem a mesma relação de entrada e saída. Todas as realizações
mínimas têm o mesmo grupo de autovalores, que são os parâmetros modais do próprio
sistema.
Assuma, então, que a matriz de estado
A
de ordem
n
tem um grupo completo de
autovetores linearmente independentes
(
)
n21
,,,
ψ
ψ
ψ
L
com autovalores correspondentes
(
)
n21
,,,
λ
λ
λ
L
que não são necessariamente distintos. Definindo
Λ
ΛΛ
Λ
como sendo a matriz
diagonal dos autovalores e
Ψ
ΨΨ
Ψ
a matriz dos autovetores, vem:
(
)
n21
,,,diag
λ
λ
λ
=
L
Λ
ΛΛ
Λ
e
[
]
n21
,,,
ψ
ψ
ψ
=
L
Ψ
ΨΨ
Ψ
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
18
A realização
[
]
CBA
,,
pode ser transformada para a realização
[
]
Ψ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΛ
ΛΛ
Λ
CB
,,
1
−
. A
diagonal da matriz
Λ
ΛΛ
Λ
contém a informação dos amortecimentos modais e freqüências
naturais amortecidas. A matriz
B
1−
Ψ
ΨΨ
Ψ
a amplitude modal inicial e a matriz
Ψ
ΨΨ
Ψ
C
a forma dos
modos nos pontos de sensores. Todos os parâmetros modais de um sistema dinâmico
podem, então, ser identificados pelo tripé
[
]
Ψ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΛ
ΛΛ
Λ
CB
,,
1
−
. Os amortecimentos modais e as
freqüências naturais amortecidas desejadas são simplesmente as partes real e imaginária
dos autovalores
C
Λ
ΛΛ
Λ
, após transformação a partir do modelo no domínio discreto para o
domínio contínuo usando a relação
(
)
c
n t
= l
Λ Λ ∆
Λ Λ ∆Λ Λ ∆
Λ Λ ∆
.
É importante notar que a transformação a partir do modelo discreto para o modelo
contínuo não é única. A parte imaginária de um logaritmo natural de um número complexo
pode ser ajustada por adição de qualquer múltiplo de
π
2
, que permite
C
Λ
ΛΛ
Λ
assumir
diferentes valores. Isso corresponde ao fato de que quaisquer duas freqüências que diferem
de um múltiplo de
t2
∆
π
não podem ser distinguidos quando observados no tempo
amostrado. Portanto, na prática, se alguém deseja interpretar as freqüências naturais do
sistema físico, ou o intervalo de tempo de amostragem
t
∆
deve ser suficientemente
pequeno, ou um filtro deve ser adicionado para prevenir as freqüências além da freqüência
de Nyquist, o que pode induzir uma freqüência menor na realização.
A realização de um sistema pode ser obtida a partir da matriz de Hankel generalizada
cuja dimensão é
rm
β
×
α
, composta pelos parâmetros de Markov da Eq. (2.23):
( )
Y Y Y
CA B CA B CA B
Y Y Y
CA B CA B CA B
H
CA B CA B CA B
Y Y Y
k 1 k k 2
k k 1 k 1
k k 1 k 1
k 1 k 2 k
k 2 k 1 k 3
k 1 k k 2
k 1
β
β
β
β
α α α β
α α α β
− + −
+ + −
+ + −
+ + +
+ − + − + + −
+ − + + + −
− = =
L
L
L
L
M M O M
M M O M
L
L
(2.25)
onde
α
e
β
são parâmetros que compõem, respectivamente, o número de linhas e o
número de colunas da matriz de Hankel
H
.
Para o caso quando
1
k
=
,
( )
Y Y Y
CB CAB CA B
Y Y Y
CAB CA B CA B
H
CA B CA B CA B
Y Y Y
1
1 2
2
2 k 2 1
1 2
1 1
0
β
β
β
β
α α α β
α α α β
−
+ +
− + −
+ + −
= =
L
L
L
L
M M O M
M M O M
L
L
(2.26)
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
19
e para o caso em que
2
k
=
,
( )
Y Y Y
CAB CA B CA B
Y Y Y
CA B CA B CA B
H
CA B CA B CA B
Y Y Y
2
2 3 1
2 3 1
3 k 2 2
1 1
1
1
β
β
β
β
α α α β
α α α β
+
+
+ +
+ + −
+ +
= =
L
L
L
L
M M O M
M M O M
L
L
(2.26)
Note que
DY
=
0
não está incluído em
(
)
0
H
. Se
n
≥
α
e
n
≥
β
(onde
n
é a ordem do
sistema), a matriz
(
)
1k
−
H
tem posto
n
, o que pode ser comprovado substituindo-se os
parâmetros de Markov da Eq. (2.23) na Eq. (2.25) e decompondo-se
(
)
1k
−
H
em três
matrizes, como a seguir:
(
)
β
−
α
=− QAPH
1k
1k (2.27)
onde
α
P
e
β
Q
são
( )
nm ×+α
−α
α
=
1
1
2
CA
CA
CA
C
P
M
(2.28)
e
[
]
( )
1
12
+β×
−β
β
=
rm
BABAABBQ L (2.29)
A matriz
α
P
é a matriz de controlabilidade enquanto que a matriz
β
Q é a matriz de
observabilidade. Se a ordem do sistema é
n
então a mínima dimensão da matriz de estado
é
n
n
×
. Se o sistema é controlável e observável, então as matrizes
α
P
e
β
Q
tem posto
n
.
Portanto a matriz de Hankel tem, também, posto
n
.
2.3 Eigensystem Realization Algorithm – ERA
O ERA, Eigensystem Realization Algorithm (ou Algoritmo de Realização de Auto-
Sistema), foi desenvolvido por Juang e Pappa (1985) no contexto da engenharia
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
20
aeroespacial, onde as estruturas e sistemas são bem mais complexos quando comparados
à maioria das aplicações conhecidas. Sendo o ERA um algoritmo de identificação, ele é
capaz de determinar, a partir dos dados experimentais de entrada e de saída, as matrizes
que representam o comportamento dinâmico do sistema em espaço de estados.
A priori, esta técnica vislumbrou duas áreas de oportunidades, a saber: identificação
de parâmetros modais e redução de modelos dinâmicos. Entretanto, o ERA pode ser
empregado como uma poderosa ferramenta no projeto de controladores, já que sua
formulação assim o permite.
Seu nicho de aplicações mais explorado, até então, é o das estruturas mecânicas
como: as aeroespaciais (Juang e Pappa, 1985; Lim et al., 1998; Sczibor e Marques, 2003),
sistemas mecânicos vibratórios (Salazar, 2000; Alves e Ribeiro, 2004), construções civis de
grande porte (Lus et al., 2002), estruturas veiculares automobilísticas, (Rezende et al.,
2004), entre outros.
O arcabouço matemático exigido para compreensão do método reside, basicamente,
na álgebra linear, onde, para este trabalho, o recurso principal é o da decomposição em
valores singulares da matriz de Hankel já apresentada na seção 2.2, que é uma versão
estendida do algoritmo de Ho-Kalman (1965). Já os conceitos físicos necessários para o
entendimento e manipulação dos resultados são de âmbito modal, como: modos de vibrar,
forma dos modos etc.
2.3.1 Formulação Básica
O processo ERA, propriamente dito, inicia com a decomposição da matriz de Hankel,
Eq. (2.26), usando decomposição em valores singulares,
(
)
T
0 SRH Σ
ΣΣ
Σ=
(2.30a)
onde as colunas das matrizes
R
e
S
são ortonormais e
Σ
ΣΣ
Σ
é uma matriz retangular
=
00
0
n
Σ
ΣΣ
Σ
Σ
ΣΣ
Σ
(2.30b)
com
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
21
[
]
niin
,,,,,,diag
σ
σ
σ
σ
σ
KK
121 +
=
Σ
ΣΣ
Σ
(2.30c)
e
(
)
n,,2,1i
i
K
=
σ
monotonicamente decrescente
0
n1ii21
≥
σ
≥
σ
≥
σ
≥
≥
σ
≥
σ
+
LL
Agora, seja
n
R
e
n
S
as matrizes formadas pelas
n
primeiras colunas das matrizes
R
e
S
,
respectivamente. Daí, a matriz
(
)
0
H
fica da seguinte forma:
(
)
T
nnn
0
SRH Σ
ΣΣ
Σ=
(2.32)
Como as matrizes
R
e
S
, são ortonormais, por conseguinte,
n
R
e
n
S
também, aplica-se a
seguinte propriedade:
n
T
nnn
T
n
SSIRR
== (2.33)
Este é um momento importante do desenvolvimento matemático do método. Primeiramente,
faz-se
1
k
=
na Eq. (2.27), igualando à Eq. (2.32); em seguida fatora-se
n
Σ
ΣΣ
Σ
, obtendo a
seguinte expressão:
T
n
21
n
21
nn
T
nnn
SRQPSRQP
Σ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
Σ ⋅=
⇒
=
βαβα
(2.34)
Fazendo uma analogia entre o primeiro e segundo membro da Eq. (2.34) pode-se extrair as
seguintes relações:
21
nn
Σ
ΣΣ
Σ
RP
=
α
e
T
nn
SQ
21
Σ
ΣΣ
Σ=
β
(2.35)
Agora, fazendo
2
=
k
na Eq. (2.27), vem:
(
)
βα
=
AQPH 1
(2.36)
Substituindo, ainda, as matrizes da Eq. (2.35) na Eq. (2.36), tem-se
(
)
T
n
21
n
21
nn
1
SARH
Σ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
Σ=
(2.37)
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
22
Neste momento já é possível determinar a matriz
A
identificada fazendo a seguinte
manipulação matemática:
• Pré e pós-multiplicar ambos os membros da Eq. (2.37) por
T
n
R
e
n
S
,
respectivamente;
• Aplicar a propriedade descrita na Eq. (2.33);
• Isolar a matriz
A
.
Assim:
(
)
n
T
n
21
n
21
nn
T
nn
T
n
1 SSARRSHR
Σ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
Σ=
(
)
n
21
n
21
nnn
T
n
1 IAISHR
Σ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
Σ=
(2.38)
Para isolar a matriz
A
basta pré e pós multiplicar a Eq. (2.38), por
21
n
−
Σ
ΣΣ
Σ
(
)
4342143421
nn
21
n
21
n
21
n
21
n
21
nn
T
n
21
n
1
II
ASHR
−−−−
= Σ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
Σ
(
)
21
nn
T
n
21
n
1
ˆ
−−
∑
= Σ
ΣΣ
Σ
SHRA
(2.39)
onde
A
ˆ
é a matriz
A
identificada.
Para a determinação das matrizes
B
e
C
são definidas duas matrizes auxiliares,
como abaixo:
( )
m1m
m
m
m
m
×−β
=
O
O
I
E
M
(2.40)
e
[
]
( )
1rr
rrrr
−α×
=
OOIE L
(2.41)
onde,
m
I
e
r
I
são matrizes identidades de ordem
m
e
r
, respectivamente, e,
m
O
e
r
O
são
matrizes quadradas nulas de ordem
m
e
r
, respectivamente. Desta forma, determina-se a
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
23
matriz
B
multiplicando-se a matriz de controlabilidade da Eq. (2.29) com a Eq. (2.40), como
abaixo:
m
ˆ
EQB
β
=
(2.42)
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
m1m
m
m
m
1mn
mn
1
mn
2
mnmn
ˆ
×−β
−β×
×
−β
×
××
=
O
O
I
BABAABBB
M
L
(
)
mnm
mn
ˆ
×
×
=⋅=
BIBB
(2.43)
Culmina, então, na Eq. (2.43), o desenvolvimento teórico para identificação da matriz
B
ˆ
.
Entretanto, na prática não se dispõe da matriz de controlabilidade para proceder como na
Eq. (2.42). Desta forma, faz-se necessário o emprego da matriz de controlabilidade na forma
da Eq. (2.35), pois esta advém da decomposição da matriz de Hankel, que é construída a
partir de dados experimentais. Logo, a matriz
B
ˆ
é calculada como abaixo:
m
T
n
21
n
ˆ
ESB
Σ
ΣΣ
Σ=
(2.44)
Analogamente, identifica-se a matriz
C
multiplicando-se a matriz auxiliar descrita na Eq.
(2.40) com a matriz de observabilidade descrita na Eq. (2.29), como a seguir:
α
= PEC
r
ˆ
(2.45)
[ ]
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
n1r
nr
1
nr
2
nr
nr
1rr
rrr
ˆ
×−α
×
−α
×
×
×
−α×
=
CA
CA
CA
C
OOIC
M
L
(
)
nr
r
I
ˆ
×
⋅= CC
(2.46)
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
24
A Eq. (2.46) prova a identificação da matriz
C
ˆ
. Da mesma forma que para a matriz
B
ˆ
pode-
se refinar a expressão que identifica a matriz em questão. Substituindo a primeira expressão
da Eq. (2.35) na Eq. (2.45), vem:
21
nnr
ˆ
Σ
ΣΣ
ΣREC =
(2.47)
Finalmente, a matriz
D
ˆ
identificada é simplesmente, segundo a Eq. (2.23), o parâmetro de
Markov quando
0k
=
, ou seja
DY
=
0
0
ˆ
YD =
(2.48)
Conclui-se, então, o desenvolvimento matemático que permitiu a determinação da
formulação básica do ERA, ou seja, aquela que denota a realização de um sistema.
Portanto, resta agora, para a efetiva inicialização do algoritmo, construir a matriz
k
Y
a partir
dos dados coletados experimentalmente, como mostrado na Eq. (2.24).
2.3.2 Relação com Ruídos
Devido aos ruídos de medição e arredondamentos computacionais a matriz
Σ
ΣΣ
Σ
na Eq.
(2.30a) não é exatamente da forma apresentada na Eq. (2.30b), onde, como já mencionado,
n
representa a dimensão esperada para o sistema a ser identificado. A matriz de Hankel
(
)
k
H
apresenta posto completo e a alternativa que se coloca é “truncar” a matriz
Σ
ΣΣ
Σ
retendo
os
n
mais importantes valores singulares. A questão que se coloca no momento é a
seguinte: como se fazer o truncamento, ou ainda, uma vez feito tal “truncamento”, como
analisá-lo, como verificar se a dimensão
n
escolhida é ou não adequada?
Então, da Eq. (2.34), vem:
T
n
21
n
21
nn
α
SRQP Σ
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
Σ ⋅≅
β
(2.49)
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
25
onde o sinal de aproximação
≅
é usado devido ao ruído e ao truncamento dos pequenos
valores singulares não nulos. O gramiano de controlabilidade
T
ββ
QQ
e o gramiano de
observabilidade
α
T
α
PP
, podem ser calculados como
n
T
Σ
ΣΣ
Σ=
ββ
QQ
e
n
T
Σ
ΣΣ
Σ=
αα
PP
(2.50)
O fato dos gramianos de observabilidade e controlabilidade serem iguais e diagonais
implica que o sistema realizado
[
]
DCBA
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
é tanto controlável e observável. Esta
propriedade é chamada de realização internamente balanceada. Isso significa que o sinal de
transferência a partir da entrada até o estado, e, então, do estado até a saída são similares
e balanceadas.
Alguns valores singulares (elementos da diagonal da matriz
n
Σ
) podem ser
relativamente pequenos e, portanto, desprezíveis; em outras palavras, eles contêm muito
mais informações a respeito do ruído do que do sistema propriamente dito. Logo, o sistema
reduzido após a eliminação desses valores singulares é então considerado como a parte
robustamente observável e controlável do sistema realizado e, ainda sim, é capaz de ser
representativo da dinâmica ou do fenômeno. Em outras palavras, Moreira (1998) diz que, o
ruído no sinal faz com que surjam modos residuais não nulos na decomposição em valores
singulares da matriz de Hankel, que são chamados de modos computacionais, cujas
magnitudes são bem inferiores àquelas dos modos que realmente compõe o sistema.
Quanto maior for a magnitude dos modos computacionais maior é o nível de ruído presente
no sinal.
Para auxiliar nesta tarefa existem técnicas que procuram extrair os “modos
computacionais” e auxiliar na determinação da ordem mínima do sistema.
2.3.3 Técnicas para Distinção dos Modos Reais dos Modos de Ruído.
Serão apresentadas, nesta dissertação, duas técnicas para distinção dos modos reais
– aqueles que realmente contribuem para o sistema – dos modos de ruído. São as técnicas:
Coerência de Amplitude Modal (MAC), Valor Singular do Modo (MSV) e uma técnica que é
combinação das anteriores, o SOM, seletor de ordem do modelo.
2.3.3.1 Coerência de Amplitude Modal – MAC
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
26
Primeiramente, conhecendo-se a realização
[
]
DCBA
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
, deve-se transformá-la
para coordenadas modais, como descreve Sczibor e Marques (2003):
Λ
ΛΛ
ΛΨ
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨ
Ψ
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
==
−
AA
m
(2.51)
BB
ˆ
ˆ
ˆ
1−
= Ψ
ΨΨ
Ψ
m
(2.52)
Ψ
ΨΨ
Ψ
ˆ
ˆˆ
CC =
m
(2.53)
Portanto, o sistema identificado em coordenadas modais assume a seguinte forma:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
k
ˆ
k
ˆ
k
k
ˆ
k
ˆ
k
uDxCy
uBxx
mm
mmm
+=
+=+ Λ
ΛΛ
Λ
1
(2.54)
onde
•
Λ
ΛΛ
Λ
ˆ
é uma matriz diagonal que contém os autovalores identificados
i
ˆ
λ
, com
n,,1i
K
=
,
do sistema;
•
m
ˆ
B
é a matriz dos atuadores em coordenadas modais;
•
m
ˆ
C é a matriz dos sensores em coordenadas modais;
Devido ao fato do vetor de medidas
y
ser real, todas as grandezas complexas na Eq.
(2.54), inclusive os autovalores, aparecem como pares de complexos conjugados.
As matrizes
m
ˆ
B
e
m
ˆ
C
podem, ainda, serem abertas, como:
=
n
m
b
ˆ
b
ˆ
b
ˆ
ˆ
M
2
1
B
e
[
]
n21m
c
ˆ
c
ˆ
c
ˆ
ˆ
L=C
(2.55)
e os parâmetros de Markov expressos como
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
27
Y C B
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
n
k 1 k 1
k m m i i i
i 1
c b
λ
− −
=
= Λ =
∑
(2.56)
O leitor pode perceber que na Eq. (2.56) cada parâmetro de Markov pode ser escrito como
uma combinação das
n
componentes que contribuem para o modelo a partir de diferentes
coordenadas modais. Portanto, cada coordenada tem uma seqüência de parâmetros de
Markov descritas como a seguir:
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
2
i i i i i i i i
c b c b c b
λ λ
−
l
L
;
n,,1i
K
=
(2.57)
onde
l
é o comprimento do vetor de dados.
Seja a seqüência definida como
[
]
iiiii
b
ˆ
ˆ
b
ˆ
ˆ
b
ˆ
ˆ
2
−
=
l
L
λλ
i
q
;
n,,1i
K
=
(2.58)
que representa a evolução no tempo reconstruída a partir dos autovalores identificados
i
ˆ
λ e
do vetor linha
i
ˆ
b . Assim sendo, a seqüência completa dos parâmetros de Markov assume a
seguinte forma:
=
∑
=
i
n
i
i
ˆˆ
ˆ
qcDY
1
(2.59)
Neste momento concluiu-se o desenvolvimento que permite determinar a evolução temporal
de cada modo identificado,
ˆ
i
q
. Para se encontrar a evolução “esperada”,
i
q
, deve-se
transformar a matriz de controlabilidade para coordenadas modais (Sczibor, 2003), como
abaixo:
T
nnm
SQ
211
ˆ
Σ
ΣΣ
ΣΨ
ΨΨ
Ψ
−
= (2.60)
onde
m
Q
é a matriz de controlabilidade modal. Desenvolvendo a Eq. (2.32) tem-se:
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
28
[
]
[ ]
[ ]
=
=
−
−
−
nnnnn
m
bbb
bbb
bbb
2
2
2
2222
1
2
1111
l
l
l
L
M
L
L
M
λλ
λλ
λλ
n
2
1
q
q
q
Q
(2.61)
Cabe agora justificar porque a matriz
m
Q
contempla a evolução temporal “esperada”
das contribuições modais dos parâmetros de Markov. O leitor pode verificar na Eq. (2.60) a
referida matriz advém de dois fatores,
Σ
ΣΣ
Σ
e
S
, que por sua vez são provenientes da
decomposição da matriz de Hankel na Eq. (2.32), onde esta última é construída a partir dos
sinais de saídas medidos. Já a evolução temporal dos modos identificados é totalmente
determinada a partir do sistema identificado em coordenadas modais.
O
MAC
pode ser entendido como sendo o produto escalar entre a evolução temporal
“esperada” do modo
i
,
i
q
, e a identificada,
∗
i
ˆ
q
, onde o sobrescrito “
∗
” significa transposto
conjugado, como expresso abaixo:
∗∗
∗
⋅
=
iiii
ii
i
qqqq
qq
MAC
ˆˆ
ˆ
(2.62)
e que o índice
i
está compreendido no intervalo
[
]
,
1 n
em que
n
é a ordem estimada para o
sistema.
Há uma correspondência da Eq. (2.62) com a expressão que calcula o coseno do
ângulo entre dois vetores quaisquer, como ilustrado a seguir:
21
21
vv
vv
vv
v
v
⋅
•
=
θ
cos (2.63)
Portanto, assim como o
θ
cos
, o
i
MAC
pode variar conforme:
10
i
≤
≤
MAC
(2.64)
o que induz a seguinte interpretação: quanto mais próximo da unidade é o
i
MAC
, mais
próximo o modo estimado está do modo real e, quanto mais próximo de zero, mais
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
29
contaminado por ruído a estimação está. Os
MAC
’s de todos os modos forma um vetor,
como abaixo:
[
]
i
MACMACMACMAC
L
21
=
(2.65)
onde
1 i n
< <
e
n
é a ordem estimada para o sistema.
2.3.3.2 Valor Singular do Modo – MSV
O
MSV
(Mode Singular Value), ou Valor Singular do Modo, é uma técnica que
caracteriza a contribuição de cada modo para identificar a resposta impulsiva do modelo, ou
os parâmetros de Markov. É razoável que um modo que dê uma grande contribuição à
resposta impulsiva do modelo identificado dê, também, uma grande contribuição da resposta
impulsiva dos dados. Esta informação garante a eficiência do algoritmo na identificação.
Da Eq. (2.57) fica evidente que cada coordenada modal contribui para resposta impulsiva
por meio de cada seqüência modal, que é quantificada tomando-se seu máximo valor
singular, isto é,
( )
i
ii
iiiiii
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
λ
λλλ
−
⋅
≈++++=
−
1
1
22
bc
bcMSV
l
K (2.66)
onde o sinal de aproximação é valido somente quando
1<
i
ˆ
λ
e o número de parâmetro de
Markov,
l
, é suficientemente grande. Os
MSV
’s de todos os modos também pode ser
alocados em um vetor, como a seguir:
[
]
i
MSVMSVMSVMSV
L
21
=
(2.67)
onde
1 i n
< <
e
n
é a ordem estimada para o sistema.
2.3.3.3 Seletor de Ordem do Modelo (SOM)
É intrínseco ao
MAC
a comparação entre as evoluções temporal identificada e a
“esperada”, como mostrado na Eq. (2.63). Em outras palavras, o
MAC
mede o quão
expressiva está a contribuição de cada modo do modelo quando comparado aos dados
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
30
reais. O
MSV
, por sua vez, é calculado utilizando somente dados provenientes do sistema
identificado em coordenadas modais, ou seja, ele não faz consideração alguma com os
dados reais.
À luz destas observações propõe-se uma formulação heurística para a escolha da
ordem do modelo. Uma vez que o
MSV
é uma forma de refinamento sobre o
MAC
,
sugere-se usar o produto destes dois indicadores como um terceiro critério para seleção da
ordem do modelo. A proposta para definição deste novo critério obedece ao seguinte
algoritmo:
Sejam os vetores
MAC
e
MSV
, mostrados nas Eq. (2.65) e Eq. (2.67),
respectivamente.
• Calcula-se o produto ponto a ponto entre os vetores
MAC
e
MSV
, gerando o vetor
SOM
, cuja sigla significa Seletor da Ordem do Modelo;
• Ordena-se, decrescentemente, o
SOM
;
• Normaliza-se o
SOM
pelo seu valor máximo;
O
SOM
constitui, portanto, um novo critério que auxiliará a redução modal, ou seja, a
determinação da ordem mínima do sistema identificado, onde o
i
SOM
, referente a cada
modo, assim como o
MAC
, varia entre 0 e 1.
2.3.3.4 Estratégia para a Redução Modal
Uma vez identificado a ordem mais apropriado para o modelo, normalmente menor do que
aquela previamente escolhida, é necessário reduzir o modelo até esta ordem. Existem duas
alternativas, a saber: a primeira é a de reaplicar o algoritmo ERA utilizando a nova ordem e
a segunda é de se reduzir o modelo já identificado simplesmente removendo-se os modos
indesejáveis. Seja:
BuA +
=
2
1
2
1
x
x
x
x
&
&
e
DuCy +
=
2
1
x
x
com dimensões apropriadas e
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
31
A
ˆ
red
red
red red red
red red
red red red
red red
11 1n
1n
11 1n
2 n
n 1 n n
red
n n
n 1 n n
n n
n1 n2 nn
a a
a
a a
a
a a
a a
a a a
×
×
= =
L
M O M
L
L
M O M
M
L
L
(2.68)
B
ˆ
red red
red
red red
red
11 1r
11 1r
red
n 1 n r
n r
n 1 n r
n r
n1 nr
n r
b b
b b
b b
b b
b b
×
×
×
= =
L
L
M O M
M O M
L
L
L
(2.69)
C
ˆ
red red
red red
red red
11 1n 11 1n
1n
red
m1 mn mn m1 mn
m n m n
m n
c c c c
c
c c c c c
× ×
×
= =
L L
M O M M M O M
L L
(2.70)
onde as matrizes
red
A
ˆ
,
red
B
ˆ
e
red
C
v
compõe o sistema identificado reduzido, lembrando que
a matriz
D
não sofre alteração com a redução.
Embora esta estratégia de redução apresente um excelente ajuste entre o modelo
reduzido e o completo no domínio da freqüência, ela não garante a concordância do ganho
DC entre os dois modelos. Uma alternativa a esta estratégia é considerar nula na equação
da dinâmica apenas as derivadas dos estados a serem eliminados,
2
x
, e resolver as
equações para
1
x
. A função MODRED do MATLAB
implementa as duas abordagens,
como mencionado.
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
32
2.4 O Algoritmo
Eis o fluxograma para aplicação da técnica.
Figura 2.3 – Fluxograma do ERA
Passo 1
• Excita-se individualmente cada entrada
j
com um sinal impulsivo adquirindo todas as
saídas monitoradas, ou seja, o ensaio deve ser de um sistema SIMO (Single Input /
Multiple Outputs) ou uma entrada / várias saídas.
Passo 2
• Ao final de todos os ensaios realizados no passo 1 monta-se a matriz da Eq. (2.24), onde
as saídas são as respostas impulsivas.
Capítulo II – T
EORIA DA
R
EALIZAÇÃO DE
S
ISTEMAS
33
Passo 3
• Escolhe-se os parâmetros
α
e
β
, montando-se, em seguida, a matriz de Hankel, Eq.
(2.25). A escolha adequada destes requer alguma intuição de engenharia (Juang, 1994).
•
Estima-se uma ordem
n
para o sistema a ser identificado.
Passo 4
•
Decompõe-se a matriz de Hankel
(
)
0
H
em valores singulares.
Passo 5
•
Utilizando-se o
(
)
1
H
da Eq. (2.26) e as Eq. (2.39), Eq. (2.44), Eq. (2.47) e Eq. (2.48)
obtém-se a realização do sistema, ou seja, as matrizes identificadas
A
ˆ
,
B
ˆ
,
C
ˆ
e
D
ˆ
.
Passo 6
•
Aplicam-se os critérios MAC , MSV , SOM conforme discutido na seção 2.3.3, e
seleciona-se uma nova ordem para o sistema.
Passo 7
•
Faz-se nova identificação do sistema retornando-se ao passo 5 com a ordem mínima
selecionada no passo 6, ou reduz-se o sistema usando a formulação apresentada na
Equação 2.68.
Passo 8
•
Comparam-se as respostas impulsivas e as FRF’s dos sistemas real e identificado. Se
não forem satisfatórias, reaplicar o algoritmo.
Capítulo III
IDENTIFICAÇÃO COM OBSERVADOR / FILTRO DE KALMAN
Este capítulo tem a função de apresentar o OKID (Observer/Kalman Identification) que
é uma técnica de Identificação com observador de estado. O OKID é uma metodologia que
foi concebida para ser utilizada, principalmente, na identificação de estruturas levemente
amortecidas, como aquelas que são próprias do segmento aeroespacial. Sabe-se que esta
classe de estruturas, quando excitadas, apresentam uma taxa de decaimento do sinal de
saída muito pequena, ou, do ponto de vista da teoria de controle, tem um tempo de
acomodação muito grande. É neste contexto que se faz necessária a introdução de um
observador de estado que introduz um amortecimento artificial no sistema, o que,
consequentemente, antecipa a estabilização do sinal de saída, diminuindo o comprimento
do vetor de dados adquiridos. A Figura (3.1) ilustra este efeito.
Figura 3.1 – Efeito da incorporação de um observador no sistema sobre a resposta no
domínio do tempo
Este artifício contribui, sobremaneira, tanto para redução do esforço computacional do
método quanto para a precisão dos resultados obtidos.
A incorporação do observador de estado faz com que o sistema verdadeiro se
transforme, matematicamente, em um novo, de onde serão obtidos os parâmetros de
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
36
Markov do observador, como ilustrado na Fig. (3.2). Entretanto, na prática, não são estes
que interessam, mas sim os parâmetros de Markov do sistema verdadeiro. Eis, então, a
principal contribuição do OKID: recuperar os parâmetros de Markov do sistema verdadeiro e
do ganho do observador a partir daqueles obtidos do sistema com observador.
Figura 3.2 – Estratégia do OKID
Dentre os métodos que operam inteiramente no domínio do tempo, o OKID tem se
mostrado eficiente e robusto (Bernal e Gunes, 1999), uma vez que ele é capaz de obter, a
partir de qualquer tipo de sinal de entrada, a resposta impulsiva do sistema verdadeiro, que
é imprescindível para “alimentar” o ERA, além de ser aplicável a qualquer sistema,
independente do quão amortecido ele seja.
3.1 Equação Básica do Observador
Considere o sistema linear, discreto e invariante no tempo descrito por
(
)
(
)
(
)
kkk BuAxx
+
=
+
1
(3.1)
(
)
(
)
(
)
kkk DuCxy
+
=
(3.2)
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
37
Fazendo as condições iniciais nulas,
(
)
00
=
x
, o conjunto destas equações para uma
seqüência de , , , ,
k 0 1 2 1
= −
K l pode ser escrita como
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
101
01
00
00
DuCBuy
Bux
Duy
x
+=
=
=
=
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
∑
∑
−
=
−
−
=
−
−+−−=−
−−=−
++=
+
=
1
1i
1i
1
1i
1i
1i11
i11
2102
102
l
l
lll
ll
M
DuBuCAy
BuAx
DuCBuCABuy
DuABux
(3.3)
Agrupando a Eq. (3.3) numa forma matricial, vem:
(
)
(
)
(
)
UYy =
××× llll rrmm
(3.4)
onde
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
1210
−
=
lL yyyyy
Y D CB CAB CA B
2−
=
l
L
e
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
−
−
−
=
0
30
210
1210
u
uu
uuu
uuuu
U
MO
lL
lL
lL
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
38
A Eq. (3.4) é uma representação matricial da relação entre a evolução no tempo da entrada
e da saída. A matriz
y
é uma matriz dos dados de saída
m
×
l
onde
m
é o número de
saídas e
l
o número de dados adquiridos. A matriz
Y
, de dimensão
m r
×
l
com
r
número
de entradas, contendo todos os parâmetros de Markov
D CB CAB CA B
, , , ,
2−l
K
a
serem determinados. A matriz
U
é uma matriz triangular superior,
r
×
l l
dos dados de
entrada.
Uma análise da Eq. (3.4) indica que existem
m r
×
l
incógnitas na matriz dos
parâmetros de Markov mas somente
m
×
l
equações. Para o caso de
1
r
>
, a solução para
Y
não é única. Contudo, é sabido que, para um sistema linear com dimensão finita,
Y
deve
ser único. A matriz
Y
só pode ser determinada unicamente a partir de um conjunto de
equações para
1
r
=
. Mesmo neste caso, três são as situações que constituem empecilho
para o cálculo de
Y
, a saber:
•
sinal de entrada com valor inicial, isto é,
(
)
00
=
u
;
•
sinal de entrada que não é “rico” suficiente em freqüência, como , por exemplo, um sinal
harmônico;
•
comprimento do vetor de dados,
l
, muito grande.
A ocorrência de qualquer um destes tópicos acima expostos faz com que a matriz
U
se torne mal-condicionada e assim a matriz
1−
=
yUY
não pode ser calculada com precisão.
Agora, considere o caso onde
A
é assintoticamente estável de modo que para algum
p
suficientemente grande,
0
k
≈A
para
pk
≥
. Logo, a Eq. (3.4) pode ser aproximada por:
(
)
(
)
(
)
UY
≈
×++××
y
ll
1pr1prmm
(3.5)
onde
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
1p210
−
=
lLL yyyyyy
D CB CAB CA B
p 1−
=
L
Y
e
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
39
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−−
−−
−−
−
=
1pp
32p0
21p10
1p210
lL
MOMO
lLL
lLL
lLL
uu
uuu
uuuu
uuuuu
U
Note que as matrizes
Y
e
U
, supracitadas, se referem às versões truncadas das matrizes
Y
e
U
mostradas na Eq. (3.4), respectivamente. A escolha do comprimento
(
)
r p 1
> +
l
,
onde
r
é o número de entradas e
p
é um inteiro, é feita tal que
0
k
≈
BCA
para
pk
≥
. A
Eq. (3.5) indica que existem mais equações
m
×
l
do que incógnitas
(
)
1prm
+
×
pois
(
)
r p 1
> +
l
. Conclui-se que os dados têm uma realização na forma da Eq. (3.1), então os
primeiros
p
parâmetros de Markov aproximadamente satisfazem
†
y
UY
=
onde
†
U
é a
pseudo-inversa da matriz
U
, e o erro de aproximação decresce à medida que
p
cresce.
Infelizmente, para estruturas espaciais levemente amortecidas, o inteiro
p
assim
como o comprimento
l
requerido para tornar válida a aproximação descrita na Eq. (3.5),
tornam a matriz
U
é muito grande, dificultando a solução numérica da pseudo-inversa
†
U
.
Diante deste fato, a questão suscitada é: existe alguma forma de acrescentar artificialmente
amortecimento no sistema para permitir a solução da Eq. (3.5) para os parâmetros de
Markov? A teoria de controle, neste caso, sugere que uma realimentação seja adicionada ao
sistema, o que torna o sistema tão amortecido quanto se deseja, adicionando-se e
subtraindo-se o termo
(
)
kGy
no lado direito da equação de estado na Eq. (3.1), vem
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
kkkkk GyGyBuAxx
−
+
+
=
+
1
mas como
(
)
(
)
(
)
kkk DuCxy
+
=
então
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
kkkkkk GyDuCxGBuAxx
−
+
+
+
=
+
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
kkkkkk GyGDuGCxBuAxx
−
+
+
+
=
+
1
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
40
Agrupando os termos em
(
)
kx
e
(
)
ku
, vem
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
kkkk GyuGDBxGCAx
−
+
+
+
=
+
1
Redefinindo
(
)
(
)
(
)
kkk vBxAx +=+ 1
(3.6)
e isolando seus termos, vem:
[ ]
( )
( )
( )
=
−+=
+=
k
k
k
y
u
v
GGDBB
GCAA
(3.7)
onde:
•
A
é a matriz da dinâmica com o observador incorporado (
n
n
×
);
•
B
é a matriz posicionadora dos atuadores com o observador incorporado (
[
]
mrn
+
×
);
•
(
)
k
v
é uma matriz de “entrada”;
•
G
é uma matriz arbitrária
m
n
×
escolhida para fazer a matriz
A
tão estável quanto
desejado.
A figura abaixo ilustra, em forma de diagrama de blocos, um comparativo entre os sistemas
real e com observador, que foi tratado matematicamente por meio das definições descritas
na Eq. (3.7).
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
41
Figura 3.3 – Diagramas de Bloco: Sistema Real (a) e Sistema com Observador (b)
Embora a Eq. (3.6) seja matematicamente idêntica à Eq. (3.1), ela é expressa usando
matrizes
diferentes para o sistema e tem uma entrada diferente também. Na verdade, a Eq.
(3.6) é uma
equação na forma de observador se o estado
(
)
kx
é considerado como um
vetor de
observador de estado. Portanto, os parâmetros de Markov do sistema na Eq. (3.6)
serão
referidos como sendo
parâmetros de Markov do Observador
. A descrição de
entrada-saída
na forma matricial para Eq. (3.6) torna-se:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
VYy
≈
×+−++−+××
llll
r1rmr1rmmm
(3.8)
onde
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
1p210
−
=
lLL
yyyyyy
Y D CB CAB CA B CA B
p 1 2− −
=
l
L L
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
−−
−−
−−
−
=
0
1p0
32p0
21p10
1p210
v
vv
vvv
vvvv
uuuuu
V
MO
lL
MOMO
lLL
lLL
lLL
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
42
A Eq. (3.8) é obtida da Eq. (3.4) pela substituição de
A
por
A
,
B
por
B
e
u
por
v
exceto
na primeira linha. A partir deste ponto do texto, para se situar melhor, o leitor deve
interpretar o termo “pólo” como sendo, também, um autovalor. Prosseguindo, o fato da
matriz
G
, de dimensão
m
n
×
, poder ser escolhida arbitrariamente faz com que os
autovalores de
A
possam ser arbitrariamente atribuídos por um sistema observável. Phan
et al.
(1992) considera a identificação dos parâmetros de Markov para qualquer locação de
pólos do observador para
GCAA +=
; considera ainda que o desenvolvimento matemático
pode ser interpretado como a tentativa de colocar os autovalores de
A
na origem, isto é,
um observador “sem batimento”, salientando que este procedimento tem uma outra
conotação, que é a de introduzir uma freqüência natural nula neste observador; daí o termo
“sem batimento”. Disso resulta que
0
k
=BAC
para
pk
≥
. Quando se trata de dados reais
com ruídos, os autovalores de
A
são na verdade colocados tal que
0
k
≈
BAC
para
pk
≥
onde
p
é um inteiro suficientemente grande. Assim, para resolver os parâmetros de Markov
do observador a partir de dados reais utiliza-se a mesma abordagem feita na Eq. (3.5):
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
VY
≈
×++++××
y
ll
rprmrprmmm
(3.9)
onde
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
1p210
−
=
lLL yyyyyy
D CB CAB CA B
p 1−
=
Y L
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−−
−−
−−
−
=
1pp
32p0
21p10
1p210
lL
MOMO
lLL
lLL
lLL
vv
vvv
vvvv
uuuuu
V
Note que as matrizes
V
e
Y
referem-se às versões truncadas de
V
e
Y
na Eq. (3.8).
Semelhantemente à Eq. (3.5), se os dados têm uma realização na forma das Eq. (3.1) e Eq.
(3.2), ou de suas equivalentes, Eq. (3.6) e (3.2), então os
p
primeiros parâmetros de
Markov aproximadamente satisfazem
†
y
VY
=
onde
†
V
é a pseudo-inversa da matriz
V
e
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
43
o erro de aproximação decresce à medida que
p
cresce. Perceba que os parâmetros de
Markov do observador assim identificados podem não necessariamente aparecer para ter
decaimento assintótico durante os
1p
−
passos, embora isso resulte
0
k
=BAC
para
pk
≥
no caso de dados livre de ruídos. Para que
Y
tenha, então, solução única, todas as linhas
da matriz
V
devem ser linearmente independentes. Além disso, para minimizar o erro
numérico devido ao cálculo da pseudo-inversa, as linhas de
V
devem ser escolhidas de
forma que fiquem o mais independentes possível. Como um resultado, o máximo valor de
p
é o número que minimiza o número
(
)
r m p r
+ + ≤
l
de linhas independentes de
V
. O
p
máximo significa o limite superior da ordem do observador “sem batimento”.
Todas as equações abaixo assumem condições iniciais nula,
(
)
00
=
x
. Para condições
iniciais não nulas, uma abordagem um tanto diferente deve ser usada. A partir da Eq. (3.6)
mostra-se que:
(
)
(
)
(
)
kkk vBxAx +=+ 1
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
1
112
2
+++=
+++=+
kkk
kkk
vBvBAxA
vBxAx
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
M
21
223
23
+++++=
+++=+
kkkk
kkk
vBvBAxBAxA
vBxAx
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
11
11
21
−++++++=
−++−+=+
−−
pkkkk
pkpkpk
ppp
vBvBAvBAxA
vBxAx
L
(3.10)
Usando a equação das medidas, Eq. (3.2), vem:
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
44
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
pkpk
kkk
pkpkpk
p
ppp
++−++
+++++=
+++=+
−
−−
DuvBC
BvACBvACxAC
DuCxy
1
1
2
21
L
L
(3.11)
O conjunto destas equações, para uma seqüência de
, , ,
k 0 1 1
= −
K l
, pode ser escrito
como:
VY
+= xACy
p
(3.12)
onde
(
)
(
)
(
)
[
]
11pp
−
+
=
lL yyyy
(
)
(
)
(
)
[
]
2p10
−
−
=
lL xxxx
D CB CAB CA B
p 1−
=
Y
(3.13)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
p1pr
1p10
31p2p
2p1p
11pp
−×+
−−
−−−
−−
−+
=
l
lL
MOMM
lL
lL
lL
vvv
vvv
vvv
uuu
V
Note que o primeiro termo na Eq. (3.12) representa o efeito do passo precedente
1p
−
. Para
o caso onde
p
A
é suficientemente pequeno e todos os estados em
x
são limitados, a Eq.
(3.12) pode ser aproximada ao se desprezar o primeiro termo do segundo membro, como
abaixo:
VY=y
(3.14)
que tem a seguinte solução calculada por mínimos quadrados:
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
45
[
]
1−
=
††
y
VVVY
ou
[
]
1−
=
††
y
VVVY
(3.15)
considerando, é claro, que
1
T
−
VV exista, caso contrário
1
T T
−
V VV deve ser substituído
por
T
V
. Note o leitor que, a Eq. (3.14) é idêntica à Eq. (3.9) exceto pelo fato do
y
, nesta
última equação, ser substituído por
y
e
V
por
V
, onde, ainda, verifica-se que
y
e
V
são,
respectivamente. subconjuntos das matrizes
y
e
V
pela eliminação das
p
primeiras
colunas. No caso de condições iniciais desconhecidas a Eq. (3.14) deve ser empregada
para eliminar o efeito destas, pois se tornam desprezíveis quando elas são multiplicadas por
A
p
. Em outras palavras, as condições iniciais têm influência desprezível sobre os dados
medidos após
p
passos no tempo. Quando existe ruído presente tanto na medida quanto na
dinâmica do sistema, a eliminação da dependência das condições iniciais faz com que a
resposta do sistema se torne estacionária.
3.2 Cálculo dos Parâmetros de Markov
Os parâmetros de Markov do observador contemplam tanto os parâmetros de Markov
do sistema como os do ganho do observador. Os parâmetros de Markov do sistema são
utilizados para calcular as matrizes
A
,
B
,
C
e
D
, ao passo que os parâmetros de Markov
do ganho do observador são usados para determinar a matriz de ganho do observador
G
.
3.2.1 Parâmetros de Markov do Sistema
Para recuperar os parâmetros de Markov do sistema em
Y
a partir dos parâmetros de
Markov do observador, faz-se a seguinte partição em
Y
, tal como:
[
]
p210
YYYYY L=
(3.16)
onde
DY =
0
(3.17a)
BACY
1−
=
k
k
(3.17b)
(
)
(
)
(
)
[
]
GGCACGDBGCAC
11 −−
+−++=
kk
(3.17c)
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
46
(
)
(
)
[
]
K,3,2,1;
21
=−∆ k
kk
YY (3.17d)
O sinal negativo usado para
(
)
2
k
Y
na Eq. (3.17d) é escolhido tal que
(
)
(
)
GGCACY
1k2
k
−
+=
.
Note que o parâmetro de Markov do observador identificado
0
Y
tem dimensão menor que os
demais. As dimensões dos parâmetros de Markov do observador são as seguintes:
(
)
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
rr
mr
mr
1k2
k
1k1
k
0
×+
×++
×=
−
−
GGCACY
DGBGCACY
DY
∆
∆∆
∆
∆
∆∆
∆
onde, para efeito didático, pode-se inserir a terceira equação da Eq. (3.17d) na Eq. (3.16)
contemplando as dimensões acima mencionadas, como:
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
{
−
−
−=
××
×××××
rr
2
p
mr
1
p
rr
2
2
mr
1
2
rr
2
1
mr
1
1
mr
0
YYYYYYYY
L
(3.18)
Vale informar que, remontando a definição de
B
feita na Eq. (3.7), cada parâmetro de
Markov do observador tem uma parte relativa à entrada,
(
)
1
k
Y e outra relativa à saída
(
)
2
k
Y− .
O desenvolvimento a seguir é de crucial importância tanto para o entendimento do método
quanto para sua implementação. É neste momento que serão feitas as considerações
acerca do
(
)
1
k
Y
e do
(
)
2
k
Y−
que permitirão o prosseguimento do algoritmo.
Inicia-se este processo a partir do primeiro parâmetro de Markov
CB
:
(
)
(
)
( ) ( )
DYY
DCGGDBCCBY
2
1
1
1
1
−=
−+==
(3.19)
Para obter o segundo parâmetro de Markov
CABY
=
2
, considere primeiro o produto
(
)
1
2
Y
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
47
(
)
(
)
(
)
( )
{
{
( )
( )
( ) ( )
DYYYY
DGGCACCBCGCAB
GDBGCACY
2
21
2
12
Y
Y
Y
1
2
2
2
1
2
1
−+=
+++=
++=
44 344 21
Então, para determinar
2
Y
, basta isolá-lo na expressão acima, resultando em:
(
)
(
)
(
)
DYYYYY
2
21
2
1
1
22
−−=
(3.20)
Similarmente, para obter o parâmetro de Markov
BCAY
2
3
=
, considere primeiro o produto
(
)
1
3
Y
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
{
( )
( )
{
( )
( )
( ) ( ) ( )
DYYYYYY
DGGCACCBGGCACCABCGBCA
GDBGCGCAGCGCAAC
GDBGCACY
Y
Y
Y
Y
Y
2
31
2
22
2
13
2
2
2
21
3
2
3
1
2
2
2
2
1
+++=
+++++=
++++=
++=
44 344 2144 344 21
321
Daí utiliza-se o mesmo recurso utilizado para
2
Y
, isola-se
3
Y
na expressão acima, o que
resulta em:
(
)
(
)
(
)
(
)
DYYYYYYY
2
31
2
22
2
1
1
33
−−−=
(3.21)
Por indução matemática, extrai-se a relação geral entre os parâmetros de Markov do
sistema real e do observador, que é:
YYD ==
0
( ) ( )
∑
=
−
=−=
k
1i
ik
2
i
1
kk
p,,1kpara KYYYY
(3.22)
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
48
( )
∑
=
−
∞+=−=
p
1i
ik
2
ik
,,1pkpara KYYY
Uma vez obtidos os parâmetros de Markov do sistema, monta-se a matriz de Hankel e
a partir deles derivam-se as matrizes
A
,
B
,
C
e
D
do sistema, como preconizado no
desenvolvimento do algoritmo ERA, já enunciado no capítulo anterior.
3.2.2 Parâmetros de Markov do Ganho do Observador
Para identificar o ganho do observador, recupera-se, primeiramente, a seguinte
seqüência de parâmetros:
Y CA G
; , , ,
o k 1
k
k 1 2 3
−
= =
K
(3.23)
em termos dos parâmetros de Markov do observador. Na verdade, o primeiro parâmetro na
seqüência é simplesmente:
(
)
2
1
o
1
YCGY ==
(3.24)
O próximo parâmetro é obtido considerando
(
)
2
2
Y
(
)
(
)
( )
{{
( )
o
1
2
1
o
2
2
2
o
1
2
1
o
2
YYY
CGCGCAGGGCACGACY
Y
Y
Y
+=
+=+==
321
que, ao se isolar
o
2
Y
, resulta
(
)
(
)
o
1
2
1
2
2
o
2
YYYY −=
(3.25)
Similarmente,
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
49
(
)
( )
( )
( )
[ ]
( )
{
( )
{
( ) ( )
o
2
2
1
o
1
2
2
o
3
2
2
2
2
2
2
3
o
2
2
1
o
1
2
2
o
3
YYYYY
CAGCGCGGACGCA
GGCAGCGCAAC
GGCGCGCAAGCACGGCAC
GACY
Y
Y
Y
Y
Y
++=
++=
+++=
+++=+=
=
321321321
que resulta em
(
)
(
)
(
)
o
1
2
2
o
2
2
1
2
3
o
3
YYYYYY −−=
(3.26)
Por indução, deduz-se a relação geral, que é:
(
)
( ) ( )
( )
∑
∑
=
−
−
=
−
∞+=−=
=−=
==
p
1i
o
ik
2
i
o
k
1k
1i
o
ik
2
i
2
k
o
k
2
1
o
1
,,1pkpara
p,,2kpara
K
K
YYY
YYYY
YCGY
(3.27)
3.3 Considerações importantes sobre a escolha do parâmetro
p
É sabido que uma vez determinado os parâmetros de Markov é possível obter a
realização em espaço de estados do sistema em questão utilizando o ERA, inclusive seus
parâmetros modais.
A Equação (3.22) mostra que
Y
k
para
k p 1
≥ +
é uma combinação linear dos seus
p
parâmetros de Markov do sistema passados, isto é,
Y
k 1
−
,
Y
k 2
−
, ...,
Y
k p
−
. Em outras palavras,
existe somente
p
parâmetros de Markov do sistema independentes. A questão suscitada,
então, é a seguinte: qual é o valor de
p
que deve ser escolhido para a identificação de um
sistema de ordem
n
? Eis o momento de responder esta questão.
Primeiro, note que existe somente
p 1
+
parâmetros de Markov do observador
calculados como solução em mínimos quadrados a partir da Eq. (3.8). Pela escolha de
p
,
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
50
( )
Y
1
k
e
( )
Y
2
k
são considerados nulos para
k p
>
. A relação entre os parâmetros de Markov
do observador e do sistema pode ser posteriormente desenvolvida. Seja, então, as matrizes
H
,
( )
Y
2
%
e
Y
definidas como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Y Y Y Y Y
2 2 2 2 2
p p 1 p 2 1− −
= − − − −
%
L
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
H
Y Y Y Y
2 3 4 N 1
3 4 5 N 2
4 5 6 N 3
p 1 p 2 p 3 N p
+
+
+
+ + + +
=
L
L
L
M M M O M
L
Y Y Y Y Y
p 2 p 3 p 4 p N 1
+ + + + +
=
L
(3.28)
onde
N
é um inteiro arbitrário suficientemente grande e
H
é, obviamente, a matriz
generalizada de Hankel construída a partir de um determinado número de parâmetros de
Markov do sistema. Então, a partir das Eq. (3.22) e Eq. (3.28) obtém-se:
( )
Y H Y
2
=
%
(3.29)
A partir da definição dos parâmetros de Markov do sistema a matriz pode ser expressa por:
C
CA
H A B AB A B A B PAQ
CA
CA
2 N 1
2
p 1
−
−
= =
L
M
(3.30)
onde
A
é a matriz da dinâmica do sistema,
P
a matriz de observabilidade e
Q
a matriz de
controlabilidade. Então a Equação (3.29) assume a seguinte forma:
( ) ( )
( )
Y H Y H PAQ Y
2 2
= =
% %
(3.31)
É sabido que o posto de uma matriz
H
suficientemente grande é a ordem da parte
controlável e observável do sistema, onde, do ponto de vista experimental, a matriz
A
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
51
identificada representa somente a parte. A dimensão de
H
é
mp Nr
×
onde
N
é um inteiro
arbitrário. Assumindo que
Nr mp
>
, conclui-se que o posto máximo de
H
vale
mp
. A
exposição a seguir constitui a chave para o entendimento do critério de escolha do
parâmetro
p
.
Se
p
é escolhido de tal sorte que
mp n
>
(ordem da matriz
A
) e
( )
Y
2
%
é escolhido
unicamente, então a matriz
A
realizada com ordem
n
deve existir. Conclui-se então que, o
número de parâmetros de Markov do observador calculados,
p
, deve ser escolhido tal que
mp n
>
, onde
m
é o número de saídas. Obviamente que
p
pode ser menor que a ordem
real do sistema de múltiplas saídas. Para um sistema SISO o valor de
p
pode ser maior ou
igual que a ordem do sistema. O número
p
determina, então, o número máximo de
parâmetros de Markov (independentes) do sistema, como visto na Eq. (3.22). Portanto,
mp
representa o limite superior da ordem do sistema identificado. Uma importante ressalva é
que, quando uma matriz de Hankel é formada com o propósito de identificação, não há
benefício algum em incluir parâmetros de Markov adicionais além daquele número
necessário para criar uma matriz de Hankel de posto completo.
3.4 Relação com o Filtro de Kalman
A correspondência entre os ganhos do observador e do filtro de Kalman é expressa
pela Eq. (3.32). A metodologia para calcular ambos, em módulo, é exatamente a mesma. As
implicações matemáticas que provam esta relação estão detalhadas no Anexo II. É esta
relação que confere, portanto, uma natureza estocástica à identificação.
GK −=
(3.32)
3.5 O Algoritmo OKID
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
52
Figura 3.4 – Fluxograma do OKID
Passo 1
•
Escolher o valor de
p
(ver Eq. (3.9)) que determina o número de parâmetros de Markov
do observador. Em geral, a exigência é que
p
seja maior que a ordem real do sistema
(pelo menos 2 a 3 passos de tempo maior);
•
Para condições iniciais nulas, montar as matrizes
y
e
V
(ver Eq. (3.9)); já para
condições iniciais não nulas montar as matrizes
y
e
V
(ver Eq. (3.14));
•
Calcular a solução por mínimos quadrados a matriz dos parâmetros de Markov do
observador
Y
(ver Eq. (3.15)).
Passo 2
Capítulo III – I
DENTIFICAÇÃO COM
O
BSERVADOR
/F
ILTRO DE
K
ALMAN
53
•
A partir dos parâmetros de Markov do observador identificados, emprega-se a Eq. (3.31)
para determinar os parâmetros de Markov combinados do sistema e do ganho do
observador.
Passo 3
•
Determinar a realização do modelo em espaço de estados do sistema e do ganho do
observador a partir dos parâmetros de Markov do sistema e do ganho do observador
usando ERA ou ERA/DC, que não é tratado nesta dissertação mas que é discutido por
Juang (1994).
•
Analisar e selecionar a ordem da realização mínima utilizando os critérios discutidos no
Capítulo II.
Passo 4
•
Encontrar os autovalores e autovetores do sistema realizado, o transformando para
coordenadas modais para que seja possível a identificação dos parâmetros modais, que
incluem freqüências, amortecimentos e forma dos modos nas posições dos sensores.
Capítulo IV
AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO ERA
Este capítulo tem o objetivo de avaliar numericamente a robustez do método ERA na
sua formulação clássica.
A avaliação deste algoritmo verificará sua sensibilidade à variação dos parâmetros
α
e
β
, que compõem a dimensão da matriz de Hankel
H
(Eq. (2.25)), no caso de adição de
ruído branco, em níveis crescentes, à saída do sistema. Tal adição corresponderá a uma
porcentagem sobre o sinal de saída
y
, como representado no esquema abaixo.
Figura 4.1 – Representação da adição do ruído branco à saída do sistema teórico
Logo, a partir da representação ilustrada na Fig. (6.1) pode-se extrair a seguinte expressão
matemática:
(
)
(
)
(
)
(
)
kkPCTkk
RB
yυyy
⋅
⋅
+
=
(
)
(
)
[
]
(
)
kkPCTk
RB
yυy
⋅
⋅
+
=
1
(4.1)
onde,
•
(
)
k
RB
y
é o sinal de saída medido com o ruído branco contemplado;
•
(
)
ky
é o sinal de saída medido (teórico) sem ruído;
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
56
•
PCT
é a porcentagem do sinal
(
)
k
y
sobre o qual é injetado ruído branco;
•
(
)
k
υ
é um ruído branco;
4.1 O Sistema Mecânico Simulado
A Figura (4.2) ilustra o clássico sistema mecânico a ser simulado e identificado, um
sistema MCK de 2 GDL’s.
Figura 4.2 – Sistema mecânico de 2 GDL’s simulado
onde as matrizes de massa, rigidez e amortecimento são:
S
,
,
=
2 5 0
kg
0 1 5
M
,
S
, ,
, ,
⋅ − ⋅
=
− ⋅ ⋅
4 5
5 4
2 5 10 1 5 10
N
m
1 5 10 1 5 10
K
e
S
10 5
Ns
5 5
m
−
=
−
C
respectivamente, e as matrizes de estado são:
S S S S
0 I
2 2 2
1 1
×
− −
=
− −
%
A
M K M C
→
(dinâmica)
1
T
1
m
0 0 0
=
B
%
→
(atuadores)
[
]
=
V
m
2000 0 0 0
%
C → (sensores)
0
=
D
%
→
(perturbação dos sensores devido aos atuadores)
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
57
4.2 Análise de Sensibilidade do ERA aos Parâmetros
α
,
β
e ao Ruído através de
Simulação
O planejamento das simulações obedecerá ao esquema ilustrado abaixo.
Figura 4.3 – Esquema da seqüência das simulações numéricas para o ERA
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
58
4.2.1 Sem ruído – PCT = 0%
Figura 4.4 – FRF, MAC e MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado.
(Sem Ruído com
50
α β
= =
) – CASO 1
Tabela 4.1 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(Sem Ruído com
50
α β
= =
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 1,0000
1,0000 1,0000 1,0000 0,2952 0,2952 0,3228 0,3228 0,3421 0,3421
MSV 2,1514
2,1514 2,1860 2,1860 0 0 0 0 0 0
Freqüência
(rad/s)
133,2 133,2 47,5 47,5 5094,2 5094,2 7103,6 7103,6 648,6 648,6
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
59
Figura 4.5 – FRF, MAC e MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado.
(Sem Ruído com
α = β =
200
) – CASO 2
Tabela 4.2 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(Sem Ruído com
α = β =
200
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 1,000 1,000 1,000 1,000 0,0149 0,0149 0,0305 0,0072 0,0167 0,0167
MSV 4,2986
4,2986 4,0485 4,0485 0 0 0 0 0 0
Freqüência
(rad/s)
47,5 47,5 133,2 133,2 1,1980 1,1980 0,8712 1,5329 0,9910 0,9910
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
60
Figura 4.6 – FRF, MAC e MSV e SOM dos Sistemas Simulado e Identificado.
(Sem Ruído com
500
=
β
=
α
) – CASO 3
Tabela 4.3 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(Sem Ruído com
500
=
β
=
α
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 1,000 1,000 1,000 1,000 0,0262 0,0058 0,0057 0,0057 0,0043 0,0032
MSV 6,6595
6,6595 5,7779 5,7779 0 0 0 0 0 0
Freqüência
(rad/s)
47,5 47,5 133,2 133,2 7490 11438 13729 13729 14316 18091
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
61
4.2.2 Com ruído – PCT = 10%
Figura 4.7 – FRF, MAC e MSV dos Sistemas Simulado e Identificado.
(
%
=
PCT 10
com
50
=
β
=
α
) – CASO 4
Tabela 4.4 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 10
com
50
=
β
=
α
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 0,9812
0,6917 0,9368 0,9368 0,9764 0,9764 0,9997 0,9997 0,9999 0,9999
MSV 0,3610
0,1717 0,3291 0,3291 0,3977 0,3977 1,1171 1,1171 2,2540 2,2540
Freqüência
(rad/s)
6664,7
6714,8 2438,4 2438,4 1721,7 1721,7 170,1 170,1 125,7 125,7
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
62
Figura 4.8 – FRF’s, MAC’s e MSV’s dos Sistemas Simulado e Identificado.
(
%
=
PCT 10
com
α = β =
200
) – CASO 5
Tabela 4.5 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 10
com
α = β =
200
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 0,4026
0,4026 1,000 1,000 1,000 1,000 0,9587 0,9587 0,9637 0,9637
MSV 0,3056
0,3056 4,2929 4,2929 4,0430 4,0430 0,3637 0,3637 0,2789 0,2789
Freqüência
(rad/s)
4683,0
4683,0 47,5 47,5 133,1 133,1 2017,0 2017,0 1922,4 1922,4
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
63
Figura 4.9 – FRF, MAC e MSV dos Sistemas Simulado e Identificado.
(
%
=
PCT 10
com
500
=
β
=
α
) – CASO 6
Tabela 4.6 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 10
com
500
=
β
=
α
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 1,000 1,000 1,000 1,000 0,7155 0,7155 0,8877 0,8877 0,2691 0,2691
MSV 6,6625
6,6625 5,7815 5,7815 0,3557 0,3557 0,4161 0,4161 0,1910 0,1910
Freqüência
(rad/s)
47,5 47,5 133,2 133,2 4280,6 4280,6 5371,7 5371,7 5771,1 5771,1
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
64
4.2.3 Com ruído – PCT = 25%
Figura 4.10 – FRF, MAC e MSV dos Sistemas Simulado e Identificado.
(
%
=
PCT 25
com
50
=
β
=
α
) – CASO 7
Tabela 4.7 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 25
com
50
=
β
=
α
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 0,9385
0,9385 0,9544 0,9544 0,9304 0,9304 0,9997 0,9997 0,9919 0,9912
MSV 0,4092
0,4092 0,3984 0,3984 0,3962 0,3962 1,9952 1,9952 3,2205 2,4965
Freqüência
(rad/s)
5782,6
5782,6 4234,5 4234,5 2439,3 2439,3 164,7 164,7 245,1 307,1
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
65
Figura 4.11 – FRF’s, MAC’s e MSV’s dos Sistemas Simulado e Identificado.
(
%
=
PCT 25
com
α = β =
200
) – CASO 8
Tabela 4.8 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 25
com
α = β =
200
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 1,000 1,000 1,000 1,000 0,9579 0,9579 0,8562 0,8562 0,0950 0,0950
MSV 4,2810
4,2810 4,0485 4,0485 0,3833 0,3833 0,5124 0,5124 0,1566 0,1566
Freqüência
(rad/s)
47,4 47,4 133,3 133,3 5062,2 5062,2 4295,0 4295,0 3979,8 3979,8
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
66
Figura 4.12 – FRF’s, MAC’s e MSV’s dos Sistemas Simulado e Identificado.
(
%
=
PCT 25
com
α = β =
500
) – CASO 9
Tabela 4.9 – Associação do MAC e MSV com as respectivas freqüências naturais
(
%
=
PCT 25
com
α = β =
500
)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MAC 1,000 1,000 1,000 1,000 0,9180 0,9180 0,8248 0,8248 0,8781 0,8781
MSV 6,6880
6,6880 5,7896 5,7896 0,6553 0,6553 0,6726 0,6726 0,4028 0,4028
Freqüência
(rad/s)
47,5 47,5 133,2 133,2 6046,3 6046,3 4317,2 4317,2 5011,2 5011,2
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
67
Tabela 4.10 – Consolidação das Identificações para todos os casos
Freqüência Natural
(rad/s)
Amortecimento
(%)
Caso
PCT (%)
β
=
α
1
ω
2
ω
1
ξ
2
ξ
Real - - 47,5 133,2 1,14 2,34
1 50 47,5 133,2 1,14 2,34
2 200 47,5 133,2 1,14 2,34
3
0
500 47,5 133,2 1,14 2,34
4 50 - 125,7 - 48,2
5 200 47,4 133,3 0,99 2,31
6
10
500 47,5 133,2 1,12 2,36
7 50 - 164,7 - 18,8
8 200 47,4 133,3 0,67 2,28
9
25
500 47,5 133,2 1,21 2,33
4.3 Análise dos Resultados
4.3.1 Impacto do ruído sobre o
MAC
Notou-se que, fixando-se os valores de
α
e
β
, a evolução do nível de ruído fez com
que os
MAC
dos modos que não contribuíram efetivamente para o modelo aumentasse.
Esta observação procede uma vez que o critério
MAC
mede o quão alinhados estão as
evoluções “esperadas” e identificadas de cada modo, como discutido na seção 2.3.3.3. Em
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
68
outras palavras, isso quer dizer que o
MAC
tende a reconhecer o ruído incidente no sinal
de saída utilizado na identificação. É importante dizer que, mesmo para o caso sem ruído
ocorreram
MAC
consideráveis para os modos que não contribuem efetivamente para o
modelo. Isso se deve aos “modos computacionais” decorrentes de erros de arredondamento
computacional, o que simula um “ruído”.
4.3.2 Impacto do ruído sobre o
MSV
Fixando-se, também, os valores de
α
e
β
, o acréscimo de ruído no sinal de saída,
utilizado no algoritmo de identificação, não interferiu nos valores dos
MSV
daqueles modos
que realmente compõem o sistema. Entretanto, os
MSV
correspondentes àqueles modos
insignificantes sofreram um discreto aumento, mas, mesmo assim, eles eram bem reduzidos
quando comparados com os modos efetivos, não configurando, portanto, motivo para
confusão. Este comportamento se deve ao fato do
MSV
ser um critério que analisa a
contribuição de cada modo para resposta impulsiva do sistema sem fazer comparação com
os dados reais, onde é natural concluir que os
MSV
dos modos efetivos se sobressaiam
frente aos demais, independentemente do nível de ruído incidente.
4.3.3 Impacto do ruído sobre o
SOM
O comportamento do
SOM
, para um mesmo valor de
α
e
β
, é, qualitativamente, o
mesmo do
MSV
, já que este último constitui uma envoltória, ou uma “janela” sobre o
MAC
,
como preconizado na seção 2.3.3.3.
4.3.4 Impacto de
α
e
β
sobre o
MAC
Esta análise foi feita mantendo-se constante o nível de ruído sobre o sinal de saída do
sistema, onde os parâmetros
α
e
β
foram variados crescentemente. Mas, para tanto,
algumas considerações foram feitas. Foi apresentado, na seção 2.3.3, que o
MAC
depende
das evoluções temporais identificada,
ˆ
i
q
, e “esperada”,
i
q
, de cada modo
i
(
, ,
i 1 n
=
L
),
onde estas são funções do comprimento do vetor de dados
l
, como mostrado nas Eq.
(2.58) e Eq. (2.61), respectivamente. No entanto, para se avaliar o comportamento do
MAC
submetido à variação de
l
, substituiu-se ele por
α
e
β
, que são iguais neste estudo. Logo,
ˆ
i
q
e
i
q
assumem a seguinte forma:
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
69
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
2
i i i i i i
q b b b
β−
= λ λ
L (4.2)
2
i i i i i i
q b b b
β−
= λ λ
L
(4.3)
A informação mais flagrante observada nos casos estudados foi o fato de que a
evolução dos valores de
α
e
β
ratificaram os modos efetivos mantendo seus respectivos
MAC
iguais à unidade. Uma justificativa para o este comportamento é o fato de
α
e
β
maiores contemplar, na matriz de Hankel, maior número de parâmetros de Markov (como
evidenciado na Eq. (2.25)), o que torna o vetor de dados mais representativo. Entretanto,
observou-se que o comportamento dos
MAC
correspondentes aos demais modos não
seguia uma tendência, o que, neste caso, fragiliza a confiança neste critério.
4.3.5 Impacto de
α
e
β
sobre o
MSV
Similarmente ao item anterior, substituiu-se o
l
por
β
na Eq. (2.66), culminando na
Eq. (4.4):
(
)
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
2 2
i i i i i i
MSV c 1 b
β−
= + λ + λ + + λK (4.4)
Foi observado que os
MSV
dos modos efetivos, quando fixou-se o nível de ruído,
aumentava à medida que
α
e
β
também, enquanto que os dos demais modos variaram
sem tendência mas numa escala muito menor, de forma que podem ser desprezados. É
imprescindível dizer que
ˆ
i
c
e
ˆ
i
b
mensuram, respectivamente, o quão observável e o quão
controlável é o modo
i
. Em outras palavras, quanto maior é a observabilidade e
controlabilidade de um determinado modo, mais importante é sua contribuição para o
modelo, e, portanto, ele deve ser retido. Caso contrário, seu
MSV
será bem pequeno, o que
permite que o respectivo modo seja alijado do modelo.
4.3.6 Impacto de
α
e
β
sobre o
SOM
O comportamento do
SOM
, para um nível de ruído e com a variação de
α
e
β
, é,
pela mesma razão exposta no ítem 4.3.3, qualitativamente o mesmo do
MSV
.
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
70
4.3.7 Conclusões Parciais
•
Quanto ao
MAC
ou Coerência de Amplitude Modal
O
MAC
revelou-se um bom “ratificador” dos modos efetivos mas que não pode ser
utilizado isoladamente, já que, como foi visto, ele pode ter um valor próximo da unidade e
estar vinculado a um modo que não contribui para o modelo.
•
Quanto ao
MSV
ou Valor Singular do Modo
O
MSV
revelou-se um critério mais confiável, pois ele é calculado somente sobre o
sistema identificado, ou seja, a sua convergência para os modos efetivos é mais rápida,
como foi observado nos casos estudados. Além disso, os
MSV
dos modos alheios ao
modelo são insignificantes quando comparados aos dos modos efetivos. Contrariamente ao
MAC
, o
MSV
pode ser utilizado isoladamente.
•
Quanto ao
SOM
ou Seletor da Ordem do Modelo
Como foi tratado no Capítulo II, o
SOM
foi concebido para constituir um critério
híbrido a partir do
MAC
e do
MSV
aliando, é claro, as potencialidades de ambos. Como já
foi dito anteriormente, o
MSV
é a “janela” ou filtro do
MAC
, onde o
SOM
contempla os
modos efetivos de forma mais visível e em ordem decrescente, o que facilita a análise e
determinação da ordem mínima do modelo. Esta tendência é facilmente observada em
todas as tabelas deste capítulo, onde realmente existe um vínculo entre os
MAC
e
MSV
mais altos com as freqüências naturais reais do sistema, como mostrado nas áreas
sombreadas, o que, intuitivamente, sugeriu a concepção do
SOM
.
•
Quanto à estimação da ordem do modelo (
n
)
Como na prática o sistema a ser identificado é, em princípio, desconhecido,
recomenda-se identificá-lo com uma ordem relativamente alta. Esta escolha demanda uma
boa intuição de Engenharia, sobretudo em sistemas complexos. Após a identificação lança-
se mão dos critérios supracitados para determinação da ordem mínima do modelo, que
será, então, utilizada na sua redução.
Capítulo IV – A
VALIAÇÃO
N
UMÉRICA DO
ERA
71
•
Quanto à escolha dos parâmetros
α
e
β
Como já foi discutido no Capítulo II, a única exigência a ser respeitada é a seguinte:
n
α ≥
e
n
β ≥
. Portanto, pelo mesmo motivo do item anterior, deve-se ter bom senso
atribuindo a eles altos valores relativos.
•
Quanto à Estimação do Ganho DC
Todas as identificações realizadas denotam, através da comparação entre as FRF’s
simulada e identificada, que o algoritmo revela uma dificuldade em estimar o ganho DC do
sistema.
4.4 Considerações Parciais
Para que esta dissertação explore todos os critérios de distinção dos modos reais dos
modos de ruído apresentados será avaliado experimentalmente, no próximo capítulo, um
sistema bem mais complexo, onde será aplicado, para se determinar a ordem mínima do
modelo, o critério da análise dos gramianos de controlabilidade e de observabilidade
discutido na seção 2.3.3.4.
Capítulo V
AVALIAÇÃO
EXPERIMENTAL
DO
ERA/OKID
5.1 Introdução
Na grande maioria das publicações o ERA/OKID é aplicado em sistemas
extremamente complexos, como aqueles próprios da engenharia aeroespacial, como
tratados por: Juang et al. (1993), Juang (1994), Chen e Valasek (1999) e Hur e Valasek
(2003), por exemplo.
No entanto, vislumbrou-se, nesta dissertação, a aplicação do ERA/OKID para
identificar sistemas acústicos, que apresentam atrasos, pequenas não-linearidades, e que
cuja determinação analítica dos modelos é extremamente complexa (Delfino et al., 2004).
Para atingir este objetivo, além da implementação dos algoritmos em MATLAB
, foi
construída, no Laboratório de Sistemas Mecânicos da FEMEC, uma bancada experimental
composta por um duto acústico – sistema a ser identificado –, por 2 microfones (sensores) 2
alto-falantes (atuadores).
O sucesso da identificação deste sistema permitirá a sua simulação numérica, bem
como o projeto de controladores que demandam o conhecimento do sistema em espaço de
estados.
5.2 Bancada Experimental
A descrição da bancada experimental é feita em dois tópicos. O primeiro descreve o
duto acústico e o segundo a montagem dos equipamentos envolvidos.
5.2.1 O Duto Acústico
O duto acústico é ilustrado na Fig. (5.1), onde constam as dimensões utilizadas e as
posições dos sensores e atuadores, bem como as convenções utilizadas relativas às
entradas e saídas. O duto é feito de PVC de 150 mm de diâmetro interno.
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
74
Figura 5.1 – Desenho Descritivo do Duto Acústico
A Tabela (5.1) discrimina os itens que compõem o sistema, segundo a Fig. (5.1).
Tabela 5.1 – Componentes do Sistema – Duto Acústico
Item Descrição
1 Microfone de Erro – SAÍDA 2
2
Junção em Y a 45º – PVC ∅150 mm
3
Tubo Selado – PVC ∅150 mm
4 Alto-Falante de Controle – ENTRADA 2
5 Microfone de Referência – SAÍDA 1
6 Alto-Falante de Excitação – ENTRADA 1
5.2.2 O Equipamento e o Esquema de Montagem do Experimento
A Figura (5.2) ilustra bancada utilizada enquanto que a Fig. (5.3) ilustra claramente o
esquema utilizado no experimento.
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
75
Figura 5.2 – Foto da Bancada Experimental do Duto Acústico
Figura 5.3 – Esquema da Bancada Experimental
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
76
Todos os elementos utilizados no experimento estão discriminados na Tab. (5.3).
Tabela 5.2 – Componentes da Bancada Experimental
Item Descrição Características
1 Microcomputador Pentium 4 – 2GHz – 512 MB
2 Placa de Aquisição de Dados e Controle
dSpace
3 Fonte de Alimentação
± 12 V
4 Amplificador dos Alto-Falantes
5 Microfone de Referência Eletreto
6 Amplificador dos Microfones
7 Microfone de Erro Eletreto
8 Alto-Falante de Controle Bravox 6” – BA6SS 140 W RMS
9 Alto-Falante de Excitação Bravox 6” – BA6SS 140 W RMS
10 Filtro Passa-Baixa 500 Hz (incorporado em 4 e 5)
5.3 O Ensaio
Como mostrado na Fig. (5.1) e na Tab. (5.1) o sistema em questão, o duto acústico, é
composto por 2 entradas e 2 saídas. Entretanto, o sistema foi ensaiado na modalidade
SIMO por duas vezes, ou seja, ensaiou-se a Entrada 1 adquirindo-se as Saídas 1 e 2 e,
posteriormente, procedendo igualmente com a Entrada 2.
Todas as características do sinal de entrada utilizado no experimento estão descritas
na Tab. (5.3):
Tabela 5.3 – Características do Sinal de Entrada
Tipo do Sinal de Entrada Ruído Branco
Amplitude do Sinal de Entrada (V)
± 0,5 (máxima)
Freqüência de Amostragem (Hz) 5000
Tempo de Amostragem (ms) 0,2
Duração do Ensaio (s) 5
Número de Pontos 25000
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
77
Neste trabalho, considerou-se um ensaio como sendo a aquisição dos sinais relativos
aos dois sistemas SIMO inerentes ao duto acústico em questão, como esquematizado pela
Fig. (5.3).
Figura 5.4 – Esquema da Convenção de um Ensaio
Neste contexto, foram realizados 10 ensaios, onde, para cada um deles, foi gerado um ruído
branco diferente como sinal de entrada. Foram utilizados, do vetor de dados, apenas 1000
pontos, o que equivale a 0,2 segundo de aquisição. A utilização de um número maior de
pontos pode problemas no cálculo da pseudo-inversa da matriz
V
(ver Eq. (3.15).
5.3.1 Sinais Injetados e Adquiridos
As figuras seguintes, Fig. (5.5) e Fig. (5.6), mostram os sinais relativos a um
determinado ensaio.
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
78
Figura 5.5 – Sinais de Entrada 1, Saída 1 e Saída 2
Figura 5.6 – Sinais de Entrada 2, Saída 1 e Saída 2
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
79
A partir dos sinais de todos os ensaios calculou-se a FRF média para que ela servisse
de referência para a identificação. Para tanto, foi aplicado, a todos os sinais, um
janelamento do tipo Hanning antes do cálculo das Transformadas de Fourier, ou das “fft’s”.
5.4 Estratégia para a Identificação
A estratégia empregada foi a de calcular, utilizando o OKID, os parâmetros de
Markov do sistema relativos a cada ensaio para, no final, calcular a média dos parâmetros
de Markov do sistema. Este recurso pode ser utilizado pois estes parâmetros nada mais são
que a resposta impulsiva do sistema, como discutido no Capítulo II. Uma vez executado este
passo, “alimenta-se” o ERA, que fará a identificação propriamente dita do “sistema médio”. A
Figura (5.6) ilustra mais claramente a referida estratégia.
Figura 5.7 – Esquema da estratégia para identificação do sistema
5.4.1 Escolha dos parâmetros utilizados no ERA/OKID
A escolha dos parâmetros utilizados nos algoritmos ERA e OKID foi feita tendo como
referência a FRF média dos 10 ensaios realizados. Na verdade foi feita uma busca iterativa
para determinação dos parâmetros
p
e
n
, como no fluxograma da Fig. (5.8), onde
α
e
β
compõem a dimensão da matriz de Hankel
H
.
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
80
Figura 5.8 – Fluxograma da Busca Iterativa dos parâmetros
p
e
n
O resultado desta otimização é o seguinte:
p n 130
= =
. Entretanto, para efeito de
comparação, decidiu-se identificar o sistema utilizando, também, os seguintes valores:
p n 70
= =
. Perceba o leitor que não há problema algum em
p
e
n
serem iguais, já que a
relação a ser respeitada é a seguinte:
pm n
≥
, mesmo para sistemas com múltiplas saídas,
que é o caso deste trabalho, onde
m 2
=
(2 saídas).
5.5 Resultados e Discussão
Os resultados a seguir foram obtidos identificando-se o duto acústico a partir de 2
(duas) configurações dos parâmetros inerentes, como na Tab. (5.4):
Tabela 5.4 – Configuração de Parâmetros utilizados nas Identificações
Parâmetros
1º Caso
p n 70
= =
200
α = β =
2º Caso
p n 130
= =
200
α = β =
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
81
Como o filtro dos amplificadores, tanto dos alto-falantes quanto dos microfones, têm
banda passante de 0 a 500 Hz, optou-se por utilizar esta mesma faixa para plotar os
gráficos das FRF’s dos sistemas medido e identificado.
5.5.1 Resultados do 1º Caso
Figura 5.9 – FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Excitação (Entrada 1) e o
Microfone de Referência (Saída 1) –
200
α = β =
e
p n 70
= =
Figura 5.10 – Coerência entre Alto-Falante de Excitação (Entrada 1) e o Microfone de
Referência (Saída 1)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
82
Figura 5.11 – FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Excitação (Entrada 1) e o
Microfone de Erro (Saída 2) –
200
α = β =
e
p n 70
= =
Figura 5.12 – Coerência entre Alto-Falante de Excitação (Entrada 1) e o Microfone de Erro
(Saída 2)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
83
Figura 5.13 – FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Controle (Entrada 2) e o
Microfone de Referência (Saída 1) –
200
α = β =
e
p n 70
= =
Figura 5.14 – Coerência entre Alto-Falante de Controle (Entrada 2) e o Microfone de
Referência (Saída 1)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
84
Figura 5.15 – FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Controle (Entrada 2) e o
Microfone de Erro (Saída 2) –
200
α = β =
e
p n 70
= =
Figura 5.16 – Coerência entre Alto-Falante de Controle (Entrada 2) e o Microfone de Erro
(Saída 2)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
85
5.5.2 Resultados do 2º Caso
Figura 5.17 – FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Excitação (Entrada 1) e o
Microfone de Referência (Saída 1) –
200
α = β =
e
p n 130
= =
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
86
Figura 5.18 – FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Excitação (Entrada 1) e o
Microfone de Erro (Saída 2) –
200
α = β =
e
p n 130
= =
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
87
Figura 5.19 – FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Controle (Entrada 2) e o
Microfone de Referência (Saída 1) –
200
α = β =
e
p n 130
= =
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
88
Figura 5.20 – FRF’s Identificada e Medida entre o Alto-Falante de Controle (Entrada 2) e o
Microfone de Erro (Saída 2) –
200
α = β =
e
p n 130
= =
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
89
5.5.3 Simulação do Duto Acústico Identificado
5.5.3.1 Simulando com uma entrada do tipo “ruído branco”
Nesta seção foi simulado, no domínio do tempo, o duto acústico identificado no 2º
Caso, devido a superposição das FRF’s medidas e identificada, o que garante maior
fidedignidade. O sinal de entrada para a simulação foi o mesmo utilizado no ensaio
experimental. A Figura (5.20) e a Fig. (5.21) ilustram as comparações entre os sinais de
saídas medidos e simulados a partir do duto identificado, onde a primeira figura é relativa à
Entrada 1 e a segunda à Entrada 2.
Figura 5.21 – Comparação entre os sinais de saídas 1 e 2 medidos e simulados devido à
entrada 1 (Alto-Falante de Excitação)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
90
Figura 5.22 – Comparação entre os sinais de saídas 1 e 2 medidos e simulados devido à
entrada 2 (Alto-Falante de Controle)
Os resultados das comparações feitas nas Fig. (5.20) e Fig. (5.21) revela que a
identificação do duto acústico foi eficiente. Entretanto, o leitor pode perceber que os sinais
de saídas simulados no sistema identificados levaram cerca de 0,02 segundo para superpor
os sinais medidos experimentalmente. No entanto, vale lembrar que o resultado da
identificação é proveniente de 10 ensaios, ou seja, é um “sistema médio” e que os sinais de
saídas utilizados como referência é correspondente a um determinado ensaio, que foi
escolhido aleatoriamente, uma vez que não é possível fazer média dos sinais decorrentes
da excitação por ruído branco. Enfim, mesmo diante dessa realidade o sistema identificado
é representativo do sistema real.
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
91
5.5.3.2 Simulando com uma entrada do tipo impulsiva
Esta seção tem o objetivo de verificar se o ERA/OKID tem potencial para captar
atrasos inerentes a sistema acústicos, analisando as respostas impulsivas.
Figura 5.23 – Resposta Impulsiva (Alto-Falante de Excitação – Microfone de Referência)
Figura 5.24 – Resposta Impulsiva (Alto-Falante de Excitação – Microfone de Erro)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
92
Figura 5.25 – Resposta Impulsiva (Alto-Falante de Controle – Microfone de Referência)
Figura 5.26 – Resposta Impulsiva (Alto-Falante de Controle – Microfone de Erro)
Todas as figuras mostradas nesta seção revelaram que o ERA/OKID foi eficiente
bastante ao ponto de explicitar, nas respostas impulsivas, os atrasos entre a injeção do sinal
pelos alto-falantes e a captação pelos microfones.
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
93
5.5.4 Avaliação dos Critérios para Redução Modal
Nesta seção foram utilizados dois critérios para determinação da ordem mínima do
modelo, ou seja, aqueles que distinguem os modos efetivos dos modos relativos a ruídos, a
saber: o
SOM
e a análise dos gramianos de controlabilidade e observabilidade, que
equivale, conceitualmente e numericamente, a análise da diagonal da matriz
Σ
ΣΣ
Σ
apresentada
na Eq. (2.32), o que foi realmente feito. O emprego destes dois critérios resultou nas Fig.
(5.26) e Fig. (5.27), relativos, respectivamente, ao 1º e ao 2º caso identificados.
Figura 5.27 – SOM e Diagonal de
Σ
ΣΣ
Σ
versus
o Número de Modos
(
200
α = β =
e
p n 70
= =
)
Figura 5.28 – SOM e Diagonal de
Σ
ΣΣ
Σ
versus
o Número de Modos
(
200
α = β =
e
p n 130
= =
)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
94
Analisando-se ambas as figuras observa-se que, para o caso do sistema estudado,
que o
SOM
apresenta um decaimento mais “rápido” quando a ordem estimada para o
sistema identificado aumenta. No caso da diagonal da matriz
Σ
ΣΣ
Σ
não se observou mudança
devido ao aumento da ordem. No entanto, percebe-se que, para os dois casos, a diagonal
de
Σ
ΣΣ
Σ
converge, ou estabiliza, bem antes do
SOM
, o que sugere o descarte deste último
para fins de redução modal, apesar dele também estabilizar quase no mesmo ponto para o
caso em que
200
α = β =
e
p n 130
= =
. Logo, utilizando-se o critério eleito, determina-se a
ordem mínima pela análise visual da Fig. (5.27), onde 40 é o valor encontrado para esta. Os
valores acima deste corresponde a modos não-observáveis e não-controláveis.
O que se conclui a partir das observações acima e da teoria explanada na seção 2.3.2
é que a análise da diagonal de
Σ
ΣΣ
Σ
revelou ser um critério mais robusto e econômico que o
SOM
, já que ele não depende do sistema identificado em coordenadas modais para seu
cálculo e nem que seja ordenado decrescentemente, ele depende apenas de
Σ
ΣΣ
Σ
, que é tão
somente o resultado da decomposição em valores singulares da matriz de Hankel
H
.
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
95
5.5.5 Redução Modal do Sistema Identificado
Uma vez determinada a ordem mínima do sistema, ou seja,
red
n 40
=
, procede-se a
redução modal conforme explicado na seção 2.3.3.4. O resultado desta redução pode ser
observado nas Fig. (5.28), Fig. (5.29), Fig. (5.30) e Fig. (5.31), onde são comparadas as
FRF’s dos sistemas real, identificado e identificado reduzido. O sistema reduzido foi o
identificado no 2º Caso (seção 5.5.2), uma vez que ele se revelou mais representativo pelo
fato das FRF’s medida e identificada estarem superpostas. Vale dizer que, escolheu-se uma
escala de freqüência mais ampla, 0 a 1000 Hz, para que o leitor pudesse visualizar melhor o
efeito da redução.
Figura 5.29 – Comparação das FRF’s dos sistemas medido, identificado e identificado
reduzido (Alto-Falante de Excitação – Microfone de Referência)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
96
Figura 5.30 – Comparação das FRF’s dos sistemas medido, identificado e identificado
reduzido (Alto-Falante de Excitação – Microfone de Erro)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
97
Figura 5.31 – Comparação das FRF’s dos sistemas medido, identificado e identificado
reduzido (Alto-Falante de Controle – Microfone de Referência)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
98
Figura 5.32 – Comparação das FRF’s dos sistemas medido, identificado e identificado
reduzido (Alto-Falante de Controle – Microfone de Erro)
Capítulo V – A
VALIAÇÃO
E
XPERIMENTAL DO
ERA/OKID
99
5.5.6 Conclusões Parciais
Concluiu-se que, para o caso do duto acústico, era impossível validá-lo sem que
estivessem disponíveis as FRF’s correspondentes aos dados medidos, elas constituíram,
desta forma, a referência mais confiável. Vale lembrar que a escolha do número de
parâmetros de Markov do observador,
p
, e da ordem,
n
, que resultou na melhor
identificação, só foi possível através da “otimização manual” explicada na seção 5.4.1, onde
a condição de parada era justamente a superposição das FRF’s identificada sobre as
medidas.
Observou-se que foi possível, ainda, reduzir o sistema identificado empregando os
critérios discutidos na seção 2.3.3, onde o sistema passou da ordem
130
para ordem
40
. No
entanto, se o sistema fosse identificado, inicialmente, com a ordem
n 40
=
não haveria
superposição das FRF’s, tendência esta que é mostrada nas Fig. (5.9), Fig. (5.10), Fig.
(5.11) e Fig. (5.12), onde a identificação utilizou os seguintes valores:
200
α = β =
e
p n 70
= =
. Sob um prisma mais prático, é preferível identificar um sistema com uma ordem
estimada alta, já que cabe o recurso da redução.
Outra informação interessante, que pode ser abstraída das Fig. (5.29), Fig. (5.30), Fig.
(5.31) e Fig. (5.32), é o fato das FRF’s, tanto o sistema identificado completo quanto o
reduzido, superporem à medida até cerca de 600 Hz. Além disso, observando-se desde a
Fig. (29) até a Fig. (32) nota-se a dificuldade em se identificar o ganho DC do sistema, como
já mencionado no Capítulo IV.
Em suma, toda essa argumentação justifica o fato do processo de identificação de
sistemas demandar um perfil intuitivo marcante por parte do pesquisador e de ser encarado,
também, como uma “arte”, como preconizado por Santo (2001) e Deistler (2004), visto que,
neste trabalho, viveu-se um dilema entre a disponibilidade de eficientes algoritmos de
identificação e a ausência de uma metodologia rígida ou automática que permitisse a
escolha dos parâmetros de inicialização destes.
Capítulo VI
CONCLUSÕES
Estudou-se neste trabalho o método ERA de identificação de sistemas dinâmicos,
notadamente as suas duas variações principais: o ERA puro (ou original) e o ERA/OKID. A
formulação matemática destas duas abordagens foi vista em detalhes, assim como algumas
foram realizadas algumas avaliações numéricas e experimentais. Ao longo do
desenvolvimento do trabalho propôs-se uma nova metodologia de análise (
SOM
) e
determinação dos modos efetivos presentes no sistema objeto da identificação.
Desenvolveu-se também uma interface computacional amigável e facilitadora para ser
utilizada na aplicação dos algoritmos.
Uma das preocupações preliminarmente posta neste trabalho para o estudo do ERA
como metodologia de identificação de sistemas dinâmicos foi a investigação da
sensibilidade do método aos seus parâmetros de inicialização. Esta análise foi conduzida
por meio de ensaios experimentais e numéricos que permitiram concluir que:
• tanto o ERA quanto o ERA/OKID revelaram-se instrumentos valiosos e eficientes na
identificação dos sistemas dinâmicos;
• comprovou-se a alta sensibilidade dos algoritmos aos parâmetros
α
e
β
, que compõem
a dimensão da matriz de Hankel, sobretudo nos casos em que há ruído no sinal. Quanto
maior
α
e
β
melhor foi a identificação e maior o custo computacional;
• comprovou-se que é tanto mais difícil a identificação de um sistema quanto maior for o
nível de ruído presente no sinal;
• o ERA/OKID demandou maior esforço computacional que o ERA no processo de
identificação;
• o ERA/OKID revelou-se, para os casos estudados, mais robusto que o ERA, pois não
depende da entrada impulsiva – mais difícil de ser gerada – como o algoritmo ERA;
• o ERA/OKID revelou-se bastante eficiente e robusto para a identificação do duto
acústico, que é um sistema bastante complexo com níveis consideráveis de atraso e
forte amortecimento;
Capítulo VI – C
ONCLUSÕES
102
• a escolha do número (
p
) de parâmetros de Markov do Observador e da ordem (
n
)
estimada para o sistema identificado revelou ser, para os casos estudados, uma que
requer alguma experiência e intuição do pesquisador;
• para os casos estudados a disponibilidade das FRF’s de referência (medidas) foi muito
importante para os ajustes dos modelos identificados;
• quanto aos critérios de distinção dos modos efetivos daqueles relativos a ruído a análise
dos gramianos de controlabilidade e observabilidade (ou diagonal da matriz
Σ
) revelou-
se mais robusta e imediata que o
SOM
. Essa assertiva vale para os casos aqui
estudados. Em outras situações, devido aos níveis de ruídos presentes principalmente,
isto pode não ser verdadeiro. Em linhas gerais, a escolha da ordem efetiva do modelo
deve ser feita a partir de uma análise conjunta dos vários critérios discutidos no trabalho,
quais sejam: dos gramianos, do
SOM
, do
MSV
e do
MAC
.
•
por fim, verificou-se nos ensaios alguma dificuldade nas metodologias em se estimar o
ganho DC dos sistemas.
Pode-se dizer que, de uma maneira geral, os objetivos postos para este trabalho,
quais sejam:
“Estudar o algoritmo ERA e sua variação ERA/OKID,
procurando identificar a sensibilidade do método aos seus
parâmetros de inicialização. Pretende-se avaliar a metodologia
numérica e experimentalmente e desenvolver ainda uma interface
computacional amigável que facilite a utilização do método em
ambiente experimental”.
foram atingidos restando como desdobramento para futuros trabalhos:
•
avaliar a sensibilidade dos parâmetros
α
e
β
, à posição e ao número de sensores e
atuadores presentes no sistema;
•
automatizar a escolha dos parâmetros
p
e
n
através de um processo de otimização
acoplado ao ERA/OKID, onde, por exemplo, a partir das FRF’s reais e identificadas se
derivaria um funcional apropriada a ser minimizado.
•
estudar e eventualmente propor mecanismos que melhorem a identificação do ganho DC
dos sistemas e;
Capítulo VI – C
ONCLUSÕES
103
•
comparar o ERA com métodos de identificação que utilizam como dados de entrada o
comportamento dos sistemas no domínio da freqüência.
Finalmente, evidenciou-se ser indispensável para uma boa identificação o grau de
sensibilidade do pesquisador diante do fenômeno investigado. Algo imponderável, portanto
e decorrente da sua familiaridade com as bancadas do laboratório e do nível de
conhecimento teórico dos fenômenos que cercam o sistema a ser identificado.
Capítulo VII
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AGBABIAN, M. S., MASRI, S. F., MILLER, R. K., and CAUGHEY, T. K., 1991, “System
Identification Approach to Detection of Structural Changes”, ASCE Journal of Engineering
Mechanics, 117(2), pp. 370-390.
AGUIRRE, L. A., 2004, “Introdução à Identificação de Sistemas – Técnicas Lineares e
Não-Lineares aplicadas a Sistemas Reais”, Editora UFMG, 2ª Edição, Belo Horizonte –
MG, Brasil.
ALVES, M. T. S. e RIBEIRO, J. F., 2004, “Identificação de Sistemas Mecânicos Lineares
usando o ERA (Eigensystem Realization Algorithm)”, III Congresso Nacional de
Engenharia Mecânica, Belém-PA, Brasil.
ALVIN, K. F., 1993, “Second-Order Structural Identification State-Space Base System
Realizations”, PhD Thesis, University of Colorado, USA.
BERNAL, D. e GUNES B., 1999, “Performance of an Observer State-Space Identification
in the Presence of Mild Nonlinearities”.
BOX, G. E. P. e JENKINS, G. M., 1970, “Time Series Analysis, Forecasting and Control”,
Holden-Day, San Francisco.
CHEN, W. and VALASEK, J., 1999, “Observer/Kalman Filter Identification for On-Line
System Identification of Aircraft”, AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference,
Portland-OR, USA.
Control System Toolbox for use with MATLAB, Version 5, 2002.
Capítulo VII – R
EFERÊNCIAS
B
IBLIOGRÁFICAS
106
DEISTLER, M, 2004, “System Identification – General Aspects and Structure”,
Interuniversity Attraction Poles – Phase V – "Dynamical Systems and Control:
Computation, Identification and Modelling, Louvain-la-Neuve, Belgium.
DELFINO, L. C., NUÑEZ, I. J. C., CARDOSO, P. M., RIBEIRO, J. F., 2004, “Controle
Ativo de Ruídos em Dutos Implementado em Plataforma DSP”, 14º POSMEC – Simpósio
do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal de
Uberlândia.
EWINS, D. J., 1984, “Modal Testing: Theory and Practice”, Letchworth, Research Studies
Press.
HANNAH, E. J., 1969, “The Identification of Vector Mixed Autoregressive-Moving Average
Systems”, Biometrika, 57, 223-225.
HANNAH, E. J., 1971, “The Identification Problem for Multiple Equation System with
Moving Average Errors”, Econometrica, 39, 751-766.
HANNAH, E. J., 1976, “The Identification and Parameterization of ARMAX and State
Space Forms”, Econometrica, 44(4), 713-723.
HO, B. L. e KALMAN, R. E., 1965, “Effective Construction of Linear State-Variable Models
from Input/Output Data”, 3
rd
Annual Allerton Conference on Circuit and System Theory,
pp. 449-459.
HUR, G. B. e VALASEK, J., 2003, “System Identification of Powered Parafoil-Vehicle from
Flight Test Data”, AIAA.
IBRAHIM, S. R. e MIKULCIK, E. C., 1977, “A Method for the Direct Identification of
Vibration Parameters from the Free Response”, Shock and Vibration Bulletin, 47(4),
pp.183-198.
IBRAHIM, S. R., 1977, “Random Decrement Technique for Modal Identification of
Structures”, Journal of Spacecraft and Rockets, 14(11), pp.696-700.
JUANG, J. N., 1994, “Applied System Identification”, Prentice Hall PTR, Englewood Cliffs,
New Jersey, USA.
Capítulo VII – R
EFERÊNCIAS
B
IBLIOGRÁFICAS
107
JUANG, J. N. and PAPPA, R. S., 1985, “An Eigensystem Realization Algorithm for Modal
Parameter Identification and Modal Reduction”, Journal of Guidance, Control and
Dynamics, Vol. 8, nº 5, pp. 620-627.
JUANG, J. N., COOPER, J. E., WRIGHT, J. R., 1988, “An Eigensystem Realization
Algorithm Using Data Correlations (ERA/DC) for Model Parameter Identification”, Control
Theory and Advanced Technology, 4(1), pp.5-14.
JUANG, J. N., PHAN, M., HORTA, L. G., LONGMAN, R.W., 1993, “Identification of
Observer/Kalman Filter Markov Parameters: Theory and Experiments”, Journal of
Guidance, Control, and Dynamics, 16(2), pp.320-329.
KAILATH, T., 1980, “Linear Systems”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
KALMAN, R. E., 1960, “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”,
Journal of Basic Engineering, 82D, 35–45.
KOLMOGOROV, A. N., 1939, Sur l'interpolation et l'extrapolation des suites
stationnairres: C.R. Acad. Sci., 208, 2043-2045.
KWAKERNAAK, H. and SIVAN, R., 1972, “Linear Optimal Control Systems”, John Wiley &
Sons.
LEW, J. S., JUANG, J. N., LONGMAN, R. W., 1993, “Comparison of Several Systems
Identification Methods for Flexible Structures”, Journal of Sound and Vibration, pp. 461-
480.
LIM, R. K., PHAN, M. Q., LONGMAN, R. W., 1998, “State-Space System Identification
with Identified Hankel Matrix”, Department of Mechanical and Aerospace Engineering
Technical Report nº 3045, Princeton University, Princeton, New Jersey, USA.
LIU, J. J., MA, C. K., KUNG, I. C., LIN, D. C., 2000, “Input Force Estimation of a
Cantilever Plate by using a System Identification Technique”, Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, Elsevier, pp. 1309-1322.
Capítulo VII – R
EFERÊNCIAS
B
IBLIOGRÁFICAS
108
LUS, H., BETTI, R., LONGMAN, R.W., 1999, “Identification of Linear Structural Systems
Using Earthquake-Induced Vibration Data”, Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, 28, 1449-1467.
LUS, H., 2001, “Control Theory Based System Identification”, PhD. Thesis, Columbia
University, New York.
LUS, H., BETTI, R., LONGMAN, R.W., 2002, “Obtaining Refined First Order Predictive
Models of Linear Structural Systems”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics,
31, pp.1413-1440.
LUS¸, H., BETTI, R., DE ANGELIS, M., and LONGMAN, R. W., 2002, “Constructing
Second Order Models of Mechanical Systems From Identified State Space Realizations.
Part I: Numerical Investigations”, ASCE Journal of Engineering Mechanics.
MOORE, B. C., 1981, “Principal Component Analisys in Linear Systems: Controllability,
Observability and Model Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-
26, Nº 1, pp. 17-32.
MOREIRA, F. J. O., 1998, “Um Controlador H
∞
de Banda Limitada para o Controle Ativo
de Vibrações Estruturais”, Tese de Doutorado, UNICAMP, p247.
PHAN, M. Q., HORTA, L. G., JUANG, J. N., LONGMAN, R. W., 1992, “Identification of
Linear Systems by an Asimptotically Stable Observer”, NASA Langley Research Center
Report L-16940, Hampton-VA, USA.
REZENDE, J. C. C., BORGES, J. A. F., PINTO FILHO, R. R., LEAL, M. F., 2004,
“Comparação entre um Modelo de Elementos Finitos (MEF) e Análise Modal de uma
Estrutura Veicular”, III Congresso Nacional de Engenharia Mecânica, Belém-PA, Brasil.
RIVERA, D. E., 1998, “System Identification for Process Control: A Short Course –
Module Three”, Department of Chemical, Bio and Materials Engineering and Control
Systems Engineering Laboratory, Arizona State University.
Capítulo VII – R
EFERÊNCIAS
B
IBLIOGRÁFICAS
109
SALAZAR, J. W. A., 2000, “Identificação de Sistemas de Estruturas Mecânicas e
Aplicações”, Dissertação de Mestrado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro,
Rio de Janeiro-RJ, Brasil.
SANTO, I. A. C. P. E., 2001, “Modelação e Estimação de Parâmetros”, Prova de Aptidão
Pedagógica e Capacidade Técnica, Universidade do Minho, Portugal.
SCZIBOR, V. and MARQUES, F. D., 2003, “Wing Structure Modal Parameter Estimation
and Qulaification using ERA”, 17
th
International Congress of Mechanical Engineering
(COBEM 2003), São Paulo-SP, Brazil.
SETO, W. W., 1971, “Vibrações Mecânicas”, Editora McGraw-Hill, Rio de Janeiro, Brasil.
SILVA, S. e LOPES JR., V., 2004, “Active Damping using LMI Controller Based in an
Identified Model by ERA”, 3º Congresso Temático de Dinâmica e Controle da SBMAC,
Ilha Solteira-SP, Brasil, pp. 504-511.
SMYTH, A. W., MASRI, S. F., CAUGHEY, T. K., HUNTER, N. F., 2000, “Surveillance of
Intricate Mechanical Systems on the Basis of Vibration Signature Analysis”, ASME
Journal of Applied Mechanics, 67(3), pp.540-551.
THAN, M. T., 1999, “Dynamic Models for Controller Design”, Department of Chemical and
Process Engineering”, University of Newcastle.
TJÄRNSTRÖM, F., 2002, “Variance Expressions and Model Reduction in System
Identification”, PhD Thesis, Linköping Universitet, Sweden.
YULE, G. U., 1927, “On a Method of Investigating Periodicities in Disturbed Series with
Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers”, Philosophical Transactions of the Royal
Society, Series A 226, 267-298.
WIENER, N., 1930, “Generalised Harmonic Analysis”, Acta Mathematica, 35, 117-258.
ANEXO I
A Interface Computacional
Tendo em vista uma utilização amigável dos algoritmos desenvolvidos construiu-se
uma interface gráfica. Esta interface é de grande utilidade para usuários não profundamente
familiarizados com os procedimentos de identificação.
Algumas telas da referida interface são mostradas abaixo, onde a tela inicial é
ilustrada pela Fig. (I.1).
Dados Inseridos
Manualmente
Dados Inseridos
Manualmente
Dados Inseridos
Automaticamente
Dados Inseridos
Automaticamente
Dados Inseridos
Manualmente
Dados Inseridos
Manualmente
Dados Inseridos
Automaticamente
Dados Inseridos
Automaticamente
Figura I.1 – Tela Inicial da Interface Gráfica (TELA 1)
Anexo I – A
I
NTERFACE
G
RÁFICA
112
A interface requer do usuário dados de entrada, o arquivo com os dados
experimentais, cuja organização e detalhamento estão descritos no “help” do programa.
Arquivo com os
dados experimentais
Arquivo com os
dados experimentais
Arquivo com os
dados experimentais
Arquivo com os
dados experimentais
Figura I.2 – Tela para a escolha do arquivo de dados (TELA 2)
Uma vez carregado o arquivo de dados o sistema procede a identificação oferecendo
a opção ao usuário de salvar o sistema identificado, conforme mostrado na Fig. (I.3).
Anexo I – A
I
NTERFACE
G
RÁFICA
113
Arquivo com o
Sistema Identificado
Arquivo com o
Sistema Identificado
Arquivo com o
Sistema Identificado
Arquivo com o
Sistema Identificado
Figura I.3 – Tela para salvar o arquivo que contém o sistema identificado (TELA 3)
Finalmente, os resultados, comparativo entre as FRF’s real e identificada e o MSV,
são mostrados graficamente como na Fig. (I.4).
Anexo I – A
I
NTERFACE
G
RÁFICA
114
Figura I.4 – Tela com os resultados da identificação (TELA 4)
ANEXO II
Relação entre os ganhos do Observador e do Filtro de Kalman
No capítulo III foi feito um desenvolvimento matemático para obter a forma de se
calcular o ganho do observador. Além disso, foi postulada uma relação entre os ganho do
observador calculado e o ganho do Filtro de Kalman que será justificada por este anexo.
Existem basicamente duas maneiras de caracterizar, do ponto de vista estocástico, as
incertezas do sistema que incluem o ruído no processo (entrada) e o ruído medido (saída).
Uma delas é descrever o processo e os ruídos medidos diretamente em termos de suas
covariâncias estatísticas. A outra maneira é especificar a equação do filtro de Kalman com
seu ganho de Kalman, que é função das covariâncias do processo e dos ruídos medidos. A
figura abaixo ilustra a questão.
Figura II.1 – Caracterização das incertezas do sistema
O filtro de Kalman tem sido estudado por décadas. Para calcular o ganho do filtro de
Kalman, o modelo do sistema deve ser conhecido e as covariâncias individuais do ruído no
processo e do ruído na medida também. Na prática, estas exigências são um tanto restritas,
uma vez que, nem o sistema nem as características do ruído podem ser conhecidas
exatamente. Não obstante, o modelo matemático do sistema pode ser derivado
analiticamente, ou experimentalmente, a partir de dados de entrada e saída através de um
método de identificação de sistemas. Uma estimativa da covariância do ruído na medida
pode ser obtida pela consulta das características do sensor. A covariância do ruído no
processo, contudo, é quase impossível de se obter pela medida direta, logo, desta forma,
algumas suposições são requeridas. Isso então dificulta a precisa determinação das
116
características dos ruídos no processo e na medida. O ruído no processo contempla tanto
as incertezas no sistema quanto o ruído na entrada propriamente dito.
Sejam as equações Eq. (II.1) e Eq. (II.2) reescritas de forma contemplar ruídos no
processo e na medida como
(
)
(
)
(
)
(
)
kkkk wBuAxx ++=+1 (II.1)
(
)
(
)
(
)
(
)
kkkk υDuCxy ++= (II.2)
onde
•
(
)
kw é o ruído no processo, que é branco, suposto Gaussiano e de média nula, cuja
matriz de covariância é
V
Q
;
•
(
)
kυ é o ruído na medida, que é branco, suposto Gaussiano e de média nula, cuja matriz
de covariância é
V
R
;
É feita uma hipótese onde
(
)
kw e
(
)
kυ são estatisticamente independentes entre si.
Um típico filtro de Kalman para a Eq. (II.1) pode então ser escrita como
(
)
(
)
(
)
(
)
kkkk
r
KεBuxAx ++=+
ˆˆ
1 (II.3)
onde
•
(
)
kx
ˆ
é o estado estimado;
•
K
é o ganho do filtro de Kalman;
•
r
ε é o resíduo;
A equação da medida estimada é, por conseguinte, da seguinte forma:
(
)
(
)
(
)
kkk DuxCy +=
ˆˆ
(II.4)
O termo
r
ε
é definido como
(
)
(
)
kk
r
yyε
ˆ
−=
(II.5)
Substituindo a Eq. (II.4) na Eq. (II.5), vem
117
(
)
(
)
(
)
kkk
r
DuxCyε −−=
ˆ
(II.6)
e agora a Eq. (II.6) na Eq. (II.3)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
kkkkkk DuxCyKBuxAx −−++=+
ˆˆˆ
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
kkkkkk KDuxKCKyBuxAx −−++=+
ˆˆˆ
1
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
(
)
kkkk KyuKDBxKCAx +−+−=+
ˆˆ
1
( )
[ ]
( )
[ ]
(
)
( )
−+−=+
k
k
kk
y
u
KKDBxKCAx
ˆˆ
1
(II.7)
Definindo
KCAA −=
~
[
]
KKDBB
−=
~
( )
(
)
( )
=
k
k
k
y
u
v
onde
•
A
~
é a matriz da dinâmica
A
com o filtro de Kalman incorporado;
•
B
~
é a matriz dos atuadores
B
com o filtro de Kalman incorporado;
•
v
é uma matriz de realimentação.
Reescrevendo a Eq. (II.7) utilizando as matrizes acima definidas, vem
(
)
(
)
(
)
kkk vBxAx
~
ˆ
~
ˆ
+=+ 1
(II.8)
Agora, isolando
(
)
ky
ˆ
da Eq. (II.5)
(
)
(
)
r
kk εyy −=
ˆ
118
e o substituindo na Eq. (II.3), determina-se a equação de medida, como abaixo
(
)
(
)
(
)
kkk
r
DuxCεy +=−
ˆ
(
)
(
)
(
)
r
kkk εDuxCy
+
+
=
ˆ
(II.9)
Fazendo uma analogia entre as Eq. (II.6) e Eq. (II.8) nota-se que elas são idênticas se
KG
−
=
e
(
)
0
=
k
r
ε
. Esta afirmação pode, a princípio, parecer estranha, já que, o cálculo do
ganho do filtro de Kalman depende tanto da covariância do ruído no processo,
V
Q
, quanto
da covariância do ruído na medida,
V
R
. Mas, o que garante
KG
−
=
é o fato das equações
para os cálculos do ganho do observador, Eq. (II.6), e do ganho de Kalman, Eq. (II.8), serem
as mesmas, salvo pelo termo de erro
r
ε
, que será tratado em seguida.
A combinação das Eq. (II.7) e Eq. (II.8) pode ser escrita matricialmente, como a seguir:
xACεVYy
ˆ
~
~
p
++=
(II.10)
onde
y
e
V
estão definidos de forma semelhante como para a Eq. (II.12) e
[
]
BACBACBCDY
~
~
~
~
~
~
1p −
= L
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2p210
−
−
=
lL
xxxxx
ˆˆˆˆˆ
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
12p1pp
rrrr
−
+
+
=
lL εεεεε
sendo
ε
a matriz de resíduos, cujos elementos são definidos na Eq. (II.5), e
l
o
comprimento do vetor de dados. Caso ocorra do observador ser o filtro de Kalman, então o
resíduo é branco, tem média nula e é Gaussiano.
Pós-multiplicando ambos os membros da Eq. (II.10) por
T
V
, obtém-se
TpTTT
VVxACVεVVYVy
ˆ
~
++=
(II.11)
Particionando
V
em linhas
119
[
]
TT
p
T
p
T
p
T
021
vvvvV L
−−
=
(II.12)
o que significa que
(
)
(
)
(
)
[
]
i1p1ii
i
+
−
−
+
=
lL
vvvv
;
p,,2,1,0i K
=
Então, a Eq. (II.11) pode ser rescrita como
[ ]
[ ] [ ]
T
0
T
1p
T
p
pT
0
T
1p
T
p
T
00
T
1p0
T
p0
T
01p
T
1p1p
T
p1p
T
0p
T
1pp
T
pp
T
0
T
1p
T
p
vxvxvxACεvεvεv
vvvvvv
vvvvvv
vvvvvv
Yvyvyvy
ˆˆˆ
~
~
LL
L
MOMM
L
L
L
−−
−
−−−−
−
−
+=
−
(II.13)
Analisando o termo
T
Vε
( ) ( ) ( ) ( )
∑∑
−
=
−−
=
+−=++=
1l
pk
T
r
ipl
0j
T
r
T
i
ipkkjijp
v
ε
v
εε
v ;
p,,2,1,0i K
=
(II.14)
Considerando um processo ergódico, o valor esperado de
(
)
(
)
ipkk
T
r
+−
v
ε
pode ser obtido
da seguinte forma (Juang, 1994):
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
pkipkk
p
1
ipkkE
1
pk
T
r
T
r
>+−
−
=+−
∑
−
=
∞→
;lim
l
l
l
v
ε
v
ε
Na Eq. (II.10), a escolha de um
p
suficientemente grande implica que os efeitos dos
transientes do filtro de Kalman são desprezíveis de forma que
0≈xAC
~
. Assim sendo, pode-
se reescrever a Eq. (II.11) da seguinte forma:
[
]
=−
−
∞→
TT
p
VVYyV
~
lim
l
l
1
120
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
kk1pkkpkkE
pkk1kkkkE
TTTp
T
r
T
r
T
r
vxvxvxAC
v
ε
v
ε
v
ε
ˆˆˆ
~
L
L
−+++
−−=
(II.15)
para todo
pk
>
.
Escolhendo um observador tal que
[
]
1
TT
−
= VVVyY
~
(II.16)
no limite
∞
→
l
a Eq. (II.14) recai em
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
kk1pkkpkkE
pkk1kkkkE
TTTp
T
r
T
r
T
r
vxvxvxAC
vεvεvε
ˆˆˆ
~
−++−=
=−− L
(II.17)
Sendo
A
~
, que está na forma de um observador, assintoticamente estável e o
p
escolhido
suficientemente grande, pode-se negligenciar o lado direito da Eq. (II.17), isto é,
(
)
(
)
[
]
0ikkE
T
r
=−vε (II.18)
para
p,,0i
K
=
e
pk
>
.
Substituindo a definição de
v
feita na Eq. (II.7) na Eq. (II.18) resulta
(
)
(
)
[
]
( ) ( )
[ ]
p1j0jkkE
p0i0ikkE
T
r
T
r
,,
,,
K
K
==−
==−
yε
uε
(II.19)
para
pk
>
, o que implica que o resíduo
(
)
k
r
ε
em qualquer instante de tempo
k
é ortogonal
á função de entrada
(
)
ik
−
u
com o atraso
pi0
≤
≤
e à função de saída
(
)
jk
−
y
com o
atraso
pj1
≤
≤
.
Dado um conjunto de dados de um sistema dimensionalmente finito descrito pelas Eq.
(II.1) e Eq. (II.2), então existe um filtro de Kalman com a propriedade que o resíduo é
branco, tem média nula e é Gaussiano, isto é,
121
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
kj0kjE0kE
T
rrr
≠== ;; εεε
(II.20)
e que satisfaz o princípio de ortogonalidade
(
)
(
)
[
]
k1i0ikkE
T
r
,,; K==−yε
(II.21)
Se o processo experimental é estacionário e aleatório, o ganho do filtro de Kalman é uma
constante que recupera os parâmetros do Markov do filtro de Kalman no limite quando
∞
→
l
, satisfazendo, então, a solução por mínimos quadrados se, é claro, existir
[
]
1−
T
VV
.
Esta inversa sempre existe no caso da entrada ser suficientemente “rica” na freqüência.
Juang (1994) conclui que, qualquer observador que satisfaça a Eq. (II.15), ou sua
equivalente, Eq. (II.16), reproduz o mesmo mapeamento entre entrada e saída como faz um
filtro de Kalman se o comprimento do vetor de dados e a ordem do observador são
suficientemente grandes tal que o erro de truncamento na Eq. (II.15) seja desprezível.
Portanto, quando se reduz a ordem do sistema, o observador identificado tende a ser um
filtro de Kalman e, desta forma, o
G
calculado a partir dos parâmetros de Markov do ganho
do observador fornece o ganho do filtro de Kalman, basta, para tanto, fazer a consideração
abaixo:
GK
−
=
(II.22)
Na prática, devido à presença de fatores como distúrbios, não-linearidades, ruídos
não-brancos no processo e na medida, o filtro identificado resultante não é o de Kalman.
Neste caso, o filtro identificado é simplesmente um observador que é calculado a partir dos
dados de entrada e de saída que minimiza o resíduo no sentido dos mínimos quadrados.
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