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Gisele Cristina da Cunha Holtz
Traçado automático de envoltórias de esforços em
estruturas planas utilizando um algoritmo evolucionário
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientadores: Luiz Fernando C. R. Martha
Luiz Eloy Vaz
Rio de Janeiro, abril de 2005
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
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Gisele Cristina da Cunha Holtz
Traçado automático de envoltórias de esforços em
estruturas planas utilizando um algoritmo evolucionário
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção
do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão
Examinadora abaixo assinada.
Luiz Fernando Campos Ramos Martha
Presidente / Orientador
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Luiz Eloy Vaz
Co-orientador
UFRJ
Raul Rosas e Silva
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Ivan Fábio Mota de Menezes
Departamento de Informática - PUC-Rio
Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco
UERJ
José Eugênio Leal
Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 14 de abril de 2005
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução
total ou parcial do trabalho sem autorização da
universidade, da autora e do orientador.
Gisele Cristina da Cunha Holtz
Graduou-se em Engenharia Civil, pelo UniFOA - Centro
Universitário de Volta Redonda em 2002. Desenvolveu
seu trabalho de pesquisa com ênfase em computação
gráfica aplicada.
Ficha Catalográfica
Holtz, Gisele Cristina da Cunha
Traçado automático de envoltórias de esforços em
estruturas planas utilizando algoritmo evolucionário /
Gisela Cristina da Cunha Holtz ; orientador: Luiz Fernando
C. R. Martha, Luiz Eloy Vaz. – Rio de Janeiro : PUC,
Departamento de Engenharia Civil, 2005.
v., 123 f. : IL. ; 29,7cm
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia
Civil.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia civil – Teses. 2. Estratégia
evolutiva. 3. Computação evolucionária. 4. Envoltória de
esforços internos. 5. Trem-tipo. I. Martha, Luiz Fernando
Campos Ramos. II . Vaz, Luiz Eloy. III. Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento
de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Agradecimentos
A Deus, pela certeza de Seu amor incondicional.
Aos meus pais, Osmar e Fátima, que não mediram esforços para tornar possível
a concretização desta etapa, dando todo o apoio, carinho e incentivo
necessários.
Ao meu marido Júlio, pelo companherismo, amor e paciência inestimáveis, que
tornaram mais ameno e agradável o tempo dedicado à conclusão deste trabalho.
Ao meu irmão Gustavo, pela amizade e incentivo, e a minha irmã Patrícia, pelos
cuidados e carinhos de uma verdadeira mãe.
Ao professor Luiz Fernando Martha, orientador deste trabalho, pela confiança
que me dedicou, pela qualidade de seus ensinamentos e pela eficiência ao
orientar este trabalho.
Ao professor Luiz Eloy Vaz, co-orientador deste trabalho, pelo direcionamento do
caminho a seguir no desenvolvimento deste trabalho e por suas valiosas
orientações.
Aos professores Francisco Abreu, Nacib Abdala e Ildony Bellei, que foram os
primeiros a me incentivar a seguir este caminho.
A todos os amigos e familiares pelas orações e pelo incentivo, em especial ao
meu avô João Batista e a amiga Laci Tuller, que acompanharam de perto as
dificuldades enfrentadas, e aos novos amigos aqui conquistados, Juliana Vianna,
Patrício Pires e Leandro Ferreira.
Aos amigos do TecGraf que muito contribuíram, direta ou indiretamente, para o
desenvolvimento deste trabalho.
À Ana Roxo e a todos os funcionários e professores do Departamento de
Engenharia Civil da PUC.
Ao TecGraf pelo apoio financeiro e tecnológico durante o curso de mestrado.
À CAPES pelo apoio financeiro durante o curso de mestrado.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Resumo
Holtz, Gisele Cristina da Cunha; Martha, Luiz Fernando C. R. (Orientador);
Vaz, Luiz Eloy (Co-orientador). Traçado automático de envoltórias de
esforços em estruturas planas utilizando um algoritmo evolucionário.
Rio de Janeiro, 2005. 123p. Dissertação de Mestrado - Departamento de
Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
O objetivo deste trabalho é desenvolver dentro do programa FTOOL uma
ferramenta para obtenção de envoltórias de esforços internos devido a cargas
móveis. Envoltórias geralmente são obtidas através de interpolação de valores
limites de seções pré-selecionadas ao longo da estrutura. Estes valores são
obtidos com base no posicionamento da carga móvel em relação às linhas de
influência dos esforços internos. A determinação de valores limites de um
esforço em uma seção constitui um problema de otimização cujo objetivo é
minimizar ou maximizar os valores dos esforços em relação à posição do trem-
tipo que percorre a estrutura. Porém, não existe uma expressão analítica que
defina os valores limites de um esforço em uma seção para um dado trem-tipo, o
que impossibilita o uso da maioria dos métodos clássicos de otimização para
resolver o problema, porque esses métodos requerem, na maioria das vezes, o
uso de pelo menos a primeira derivada da função objetivo em relação às
variáveis de projeto. Portanto, este trabalho adotou algoritmos da Estratégia
Evolutiva (
E
E ) para determinar os valores limites devidos a cargas móveis.
Foram feitas duas implementação distintas de Estratégia Evolutiva, conhecidas
como
EE−+ )1(
λ
e EE−+ )(
λ
µ
. Além de utilizar algoritmos de
EE
para
resolver o problema de envoltórias, foi desenvolvido um outro processo de
solução denominado Força Bruta, que consiste em percorrer com o trem-tipo
toda estrutura por passos pré-estabelecidos e calcular os valores dos esforços
mínimos e máximos. Para a grande maioria dos casos, os resultados obtidos
com a Estratégia Evolutiva foram corretos, porém, em alguns casos mais
críticos, o valor exato da envoltória não é encontrado em algumas seções da
estrutura, embora encontre um valor muito próximo a ele. Observou-se que os
resultados da
EE
podem ser melhorados quando se enriquece a solução com
uma estratégia econômica de posicionamento de cargas concentradas em cima
de picos da linha de influência.
Palavras-chave
Estratégia Evolutiva, Computação Evolucionária, Envoltória de Esforços
Internos, Trem-tipo.
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Abstract
Holtz, Gisele Cristina da Cunha; Martha, Luiz Fernando C. R. (Advisor);
Vaz, Luiz Eloy (Co-advisor). Automatic tracing of envelopes in planar
structures using a evolutionary algorithm. Rio de Janeiro, 2005. 123p.
MSc. Dissertation – Civil Engineering Department, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
The objective of this work is to develop a tool for obtaining envelopes of
internal forces due to load-trains in the FTOOL software. Usually, envelopes are
obtained through interpolation of limiting values on pre-selected sections along
the structure. These values are obtained based on the positioning of the load-
train in relation to influence lines of internal forces. The determination of limiting
values of an effect at a section represents an optimization problem whose
objective is to minimize or maximize the values of that effect in relation to the
position of a load-train that passes along the structure. However, there is no
analytical expression that defines a limiting value of an effect on a section for a
specific load-train. Therefore, classical optimization methods cannot be used to
solve this problem. Rather, the solution requires a method that does not require
derivatives of the objective function. For this reason, this work adopts algorithms
of the Evolution Strategy (ES) to achieve the limiting values due to load-trains.
Two distinct algorithms of the ES, known as
ES
−
+
)1(
λ
and
ES−
+
)(
λ
µ
, were
implemented. In addition to the ES algorithms to trace the envelopes, another
process of solution called
ForceBrute was developed. It consists of moving the
load-train in pre-determined steps along the structure and calculating minimum e
maximum values. In general, the
ES
method converges to the correct solution.
However, there are cases, depending on the complexity of the load-train, that the
algorithms do not find the exact limiting value (although usually very close to it). It
was observed that the
ES results could be complemented and improved with
results from an inexpensive solution in which concentrated loads are positioned
on peak values of the influence lines.
Key-words
Evolution Strategy, Evolutionary Computation, Envelopes of Internal
Forces, Load-Train.
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Sumário
1 Introdução 20
1.1. Objetivo 20
1.2. Organização do Trabalho 21
2 Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 22
2.1. Introdução 22
2.2. Classificação das ações atuantes nas estruturas 22
2.3. Cargas Móveis 23
2.4. Linhas de Influência 24
2.4.1. Traçado de LI 25
2.5. Determinação de esforço extremo com base em LI 26
2.6. Envoltória Limite de Esforços 28
3 Métodos de Otimização 35
3.1. Introdução 35
3.2. Definições 35
3.3. Métodos Determinísticos 36
3.4. Métodos Probabilísticos 38
3.4.1. Computação Evolucionária 38
3.4.1.1. Definições 41
3.4.1.2. Algoritmo Evolucionário 41
3.4.1.3. Principais Ramos da Computação Evolucionária 46
3.4.1.4. Algoritmos Genéticos (AG´s) 47
3.4.1.5. Programação Genética (PG) 48
3.4.1.6. Programação Evolutiva (PE) 50
3.4.1.7. Estratégia Evolutiva (EE) 51
3.4.1.7.1. Distribuição Normal 52
3.4.1.7.2. Algoritmo Padrão de EE 55
3.4.1.8. Comparação entre Estratégia Evolutiva e Algoritmo Genético 57
4 Implementação Computacional 59
4.1. Introdução 59
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4.2. Trem-tipo 59
4.2.1. NBR – 7188 – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de
pedestre 59
4.2.2. NBR – 7189 – Cargas móveis para projetos estrutural de obras
ferroviárias 62
4.2.3. Interface gráfica 63
4.2.4. Carga Concentrada 65
4.2.5. Carga Distribuída 65
4.2.6. Carga de Multidão 67
4.2.7. Estrutura de Dados 69
4.3. Função Aptidão 70
4.3.1. Eventos 71
4.3.1.1. Estrutura de Dados dos Eventos 72
4.3.2. Cálculo da Função Aptidão 75
4.3.3. Envoltória de Esforços no FTOOL 75
5 Algoritmos Implementados 78
5.1. Introdução 78
5.2. Considerações gerais 78
5.3. Estratégia 1+
λ
- EE 80
5.3.1. Sub-divisão do Espaço de busca 80
5.3.1.1. Estrutura de dados 81
5.3.1.2. Inicialização da população 82
5.3.1.3. Mutação 82
5.3.1.4. Seleção 83
5.3.1.5. Critério de parada 85
5.4. Estratégia
µ
+
λ
- EE 85
5.4.1. Estrutura de dados 85
5.4.1.1. Inicialização da população 86
5.4.1.2. Mutação 86
5.4.1.3. Seleção 86
5.4.1.4. Critério de parada 88
5.5. Força Bruta 89
5.6. Cargas-em-picos 90
6 Exemplos de Validação e Análise de Resultados 91
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6.1. Introdução 91
6.2. Exemplo 1 91
6.2.1. Envoltória de Esforço Cortante 92
6.2.1.1. Variação dos Parâmetros 96
6.2.2. Envoltória de Momento Fletor 98
6.3. Exemplo 2 100
6.3.1. Envoltória de Esforço Cortante 100
6.3.2. Envoltória de Momento Fletor 102
6.4. Exemplo 3 104
6.4.1. Envoltória de Esforço Normal 105
6.4.2. Envoltória de Esforço Cortante 106
6.4.3. Envoltória de Momento Fletor 108
6.5. Exemplo 4 109
6.5.1. Envoltória de Esforço Cortante 110
6.5.2. Envoltória de Momento Fletor 111
6.6. Testes Realizados 113
6.6.1. Caso 1 113
6.6.2. Caso 2 115
6.7. Análise do número de avaliações da função aptidão 116
6.8. Análise do tempo de processamento 117
7 Conclusão 119
7.1. Sugestão para trabalhos futuros 120
Referência Bibliográfica 121
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Lista de figuras
Figura 2.1 – Linha de influência de momento fletor em uma seção de uma viga
contínua. 24
Figura 2.2 – Deslocamentos generalizados utilizados no método cinemático. 26
Figura 2.3– Carga permanente uniformemente distribuída atuando em uma viga
contínua. 26
Figura 2.4 – Posicionamento da carga móvel para provocar máximo momento
fletor em uma seção. 27
Figura 2.5 – Posicionamento da carga móvel para provocar mínimo momento
fletor em uma seção. 27
Figura 2.6 – Viga bi-apoiada com balanços, carga permanente e carga móvel. 29
Figura 2.7 – Esforços internos da carga permanente. 29
Figura 2.8 – Esforço cortante máximo e mínimo na seção
esq
B
. 30
Figura 2.9 – Esforço cortante máximo e mínimo na seção
dir
B
. 30
Figura 2.10 – Esforço cortante máximo e mínimo na seção C . 30
Figura 2.11 – Esforço cortante máximo e mínimo na seção
D
. 31
Figura 2.12 – Envoltórias de Esforço Cortante. 32
Figura 2.13 – Momento fletor máximo e mínimo na seção
B
. 32
Figura 2.14 – Momento fletor máximo e mínimo na seção C . 32
Figura 2.15 – Momento fletor máximo e mínimo na seção
D
. 33
Figura 2.16 – Envoltórias de momento fletor. 33
Figura 3.1– Formulação de um problema de otimização. 37
Figura 3.2 – Evolução típica de um A
E
, ilustrada de acordo com a distribuição
da população. Adaptado de EIBEN & SMITH (2003). 40
Figura 3.3 – Esquema geral de um Algoritmo Evolucionário. Adaptado de
BÄCK et al (1997). 45
Figura 3.4 – Ramificação da Inteligência Artificial. Adaptada de
OLIVIERI (2004). 46
Figura 3.5– Seleção utilizando o método da roleta (Barbosa, 1977). 48
Figura 3.6 – Crossover na
PG
: seleção aleatória dos ramos que sofrerão o corte
(SOUSA & ANDRADE, 1998). 49
Figura 3.7 – Crossover na PG : funções resultantes (SOUSA & ANDRADE,
1998). 50
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Figura 3.8 – Aplicação do operador de mutação na
PG
(SOUSA & ANDRADE, 1998). 50
Figura 3.9 – Função de densidade de probabilidade de uma v.a. normal com
média
α
e desvio padrão
σ
. 53
Figura 3.10 – Números gerados pela função rand da biblioteca da linguagem C.54
Figura 3.11– Números gerados pela transformação da v.a. uniforme em v.a.
normal. 54
Figura 4.1 – Trem-tipo composto de um veículo e de cargas uniformemente
distribuídas (NBR – 7188, 1982). 60
Figura 4.2 – Veículos-tipo (NBR – 7188, 1982). 61
Figura 4.3 – Características geométricas do trem-tipo (NBR – 7189, 1985). 62
Figura 4.4 - Interface gráfica para a edição de um novo trem-tipo. 63
Figura 4.5 – Lista expansível para seleção do trem-tipo. 63
Figura 4.6 – Módulo para edição do nome do trem-tipo. 64
Figura 4.7 – Área destinada à edição do comprimento do trem-tipo. 64
Figura 4.8 – Matriz de cargas concentradas. 65
Figura 4.9 – Matriz de cargas distribuídas para trem-tipo rodoviário. 66
Figura 4.10 – Matriz de cargas distribuídas para trem-tipo ferroviário. 66
Figura 4.11 – Cargas de multidão. 67
Figura 4.12 – Trecho de uma ponte. 68
Figura 4.13 – L
I
da reação no apoio
A
, na Seção
II
II
−
. 68
Figura 4.14 – L
I
da reação no apoio A , na Seção
I
I
−
. 69
Figura 4.15 – Trem-tipo unidimensional resultante da transformação do trem-tipo
classe 45 da NBR-7188 (1982) . 69
Figura 4.16 – Estrutura de dados do trem-tipo. 70
Figura 4.17 – Linha de influência com a identificação dos eventos. 72
Figura 4.18 – Estrutura de dados de um evento 72
Figura 4.19 – Botões para seleção dos esforços. 76
Figura 4.20 – Pórtico com envoltória de esforço cortante devido à ação de uma
carga móvel 76
Figura 4.21 – L
I
com trem-tipo nas posições críticas. 77
Figura 5.1 – Pórtico com viga inclinada, trem-tipo e espaço de busca. 79
Figura 5.2 – Determinação do trecho inicial e final. 81
Figura 5.3 – Estrutura de dados dos trechos. 82
Figura 5.4 – Processo de busca por trechos. 84
Figura 5.5 – Estrutura de dados de um indivíduo. 85
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Figura 6.1 – Exemplo 1. 91
Figura 6.2 – Envoltória de esforço cortante do Exemplo 1 para EE
−
+
λ
1 ,
EE−+
λ
µ
, Força Bruta e Cargas-em-picos. 92
Figura 6.3 – L
I
de Esforço Cortante da Seção D
dir
do Exemplo 1 com o trem-tipo
na posição crítica. 95
Figura 6.4 – Diferença entre a envoltória obtida e a envoltória real. 96
Figura 6.5 – Surgimento de falhas na envoltória de esforços cortantes no
balanço. 97
Figura 6.6 – Número de avaliações da função aptidão no Exemplo 1 x ∆ . 97
Figura 6.7 – Variação do esforço cortante máximo na seção
dir
B
do Exemplo 1
em função de
∆ . 98
Figura 6.8 – Envoltória de momento fletor do Exemplo 1 para
EE
−
+
λ
1
,
EE−+
λ
µ
, Força Bruta e Cargas-em-picos. 98
Figura 6.9 – Falha na envoltória de momento fletor ao utilizar a
Estratégia
λ
µ
+ . 100
Figura 6.10 – Exemplo 2. 100
Figura 6.11– Envoltória de esforço cortante do Exemplo 2 para EE
−
+
λ
1 ,
EE−+
λ
µ
e Força Bruta. 101
Figura 6.12 – Envoltória de esforço cortante do Exemplo 2 para Cargas-em-
picos
. 101
Figura 6.13 – Envoltória de momento fletor do Exemplo 2 para EE
−
+
λ
1 ,
EE−+
λ
µ
e Força Bruta. 103
Figura 6.14 – Envoltória de momento fletor do Exemplo 2 para
Cargas-em-picos. 103
Figura 6.15 – Exemplo 3. 105
Figura 6.16 – Envoltória de esforço normal do Exemplo 3 para
EE
−
+
λ
1
,
EE−+
λ
µ
, Força Bruta e Cargas-em-picos. 105
Figura 6.17 – Envoltória de esforço cortante do Exemplo 3 para EE−
+
λ
1 ,
EE−+
λ
µ
, Força Bruta e Cargas-em-picos. 106
Figura 6.18 – Envoltória momento fletor do Exemplo 3 para EE
−
+
λ
1 ,
EE−+
λ
µ
, Força Bruta e Cargas-em-picos. 108
Figura 6.19 – Exemplo 4. 110
Figura 6.20– Envoltória de esforço cortante do Exemplo 4 para
EE
−
+
λ
1
,
EE−+
λ
µ
, Força Bruta e Cargas-em-picos. 110
Figura 6.21– Envoltória de momento fletor do Exemplo 4 para EE
−
+
λ
1 ,
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EE−+
λ
µ
, Força Bruta e Cargas-em-picos. 111
Figura 6.22– Trem-tipo do Caso 1. 113
Figura 6.23– Envoltória de esforço cortante no balanço da estrutura do Exemplo
4 utilizando o trem-tipo do Caso 1 . 114
Figura 6.24– L
I
de esforço cortante da seção
dir
B
do Exemplo 3 com trem-tipo
nas posições críticas. 114
Figura 6.25– Trem-tipo caso 2. 115
Figura 6.26– Envoltória de esforço cortante da estrutura do Exemplo 4 para o
trem-tipo do Caso 2 utilizando
EE
−
+
λ
1 . 115
Figura 6.27– Envoltória de esforço cortante da estrutura do Exemplo 4 para o
trem-tipo do Caso 2 utilizando
Cargas-em-picos. 116
Figura 6.28– Número de avaliações da função aptidão na envoltória de esforço
cortante máximo. 116
Figura 6.29– Tempo de processamento do programa para cálculo da envoltória
de esforço cortante máximo. 117
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Lista de quadros
Quadro 4.1 – Botões de manipulação do trem-tipo. 64
Quadro 4.2 – Possíveis tipos de ocorrência de eventos. 74
Quadro 4.3– Botões para calcular a envoltória de esforços. 75
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Lista de tabelas
Tabela 2.1 – Envoltórias de Esforço Cortante [kN]. 31
Tabela 2.2 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor. 33
Tabela 3.1 – Comparação entre Estratégia Evolutiva e Algoritmo Genético 58
Tabela 4.1 – Cargas dos veículos (NBR – 7188, 1982). 60
Tabela 4.2 – Características dos veículos (NBR – 7188, 1982). 61
Tabela 4.3 – Cargas dos trens-tipo (NBR – 7189, 1985). 62
Tabela 5.1 –. Parâmetros adotados na ES
−
+
)(
λ
µ
. 87
Tabela 6.1 – Resultados obtidos na envoltória de esforço cortante do
Exemplo 1. 92
Tabela 6.2 – Erros relativos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 1. 93
Tabela 6.3 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de esforço cortante do Exemplo 1. 94
Tabela 6.4 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor do
Exemplo 1. 99
Tabela 6.5 – Erros relativos na envoltória de momento fletor do Exemplo 1. 99
Tabela 6.6 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de momento fletor do Exemplo 1. 99
Tabela 6.7 – Resultados obtidos na envoltória de esforço cortante do
Exemplo 2. 101
Tabela 6.8 – Erros relativos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 2. 102
Tabela 6.9 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de esforço cortante do Exemplo 2. 102
Tabela 6.10 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor do
Exemplo 2. 103
Tabela 6.11 – Erros relativos na envoltória de momento fletor do Exemplo 2. 104
Tabela 6.12 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de momento fletor do Exemplo 2. 104
Tabela 6.13 – Resultados obtidos na envoltória de esforço normal na coluna do
pórtico do Exemplo 3. 105
Tabela 6.14 – Erros relativos na envoltória de esforço normal na coluna do
pórtico do Exemplo 3. 106
Tabela 6.15 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de esforço normal do Exemplo 3. 106
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Tabela 6.16 – Resultados obtidos na envoltória de esforços cortantes do
Exemplo 3. 107
Tabela 6.17 – Erros relativos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 3.107
Tabela 6.18 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de esforço cortante do Exemplo 3. 107
Tabela 6.19 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor do Exemplo
3. 108
Tabela 6.20 – Erros relativos na envoltória de momento fletor do
Exemplo 3. 109
Tabela 6.21 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de momento fletor do exemplo 3. 109
Tabela 6.22 – Resultados obtidos na envoltória de esforço cortante do
Exemplo 4. 110
Tabela 6.23 – Erros relativos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 4.111
Tabela 6.24 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de esforço cortante do Exemplo 4. 111
Tabela 6.25 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor do
Exemplo 4. 112
Tabela 6.26 – Erros relativos na envoltória de momento fletor do Exemplo 4. 112
Tabela 6.27 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória
de momento fletor do Exemplo 4. 112
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Lista de Símbolos
Romanos
dx
Distância que a estrutura é discretizada
E
Esforço ou reação
fd
Função densidade
g
Carga uniformemente distribuída
i
Indica uma das variáveis da função objetivo
IND
Índice fornecido pela decodificação da variável
k
Número máximo de gerações que um indivíduo pode permanecer na
população
s
LIM
Ordenada genérica da linha de influência de momento fletor
S
M
Momento fletor em
S
n número de variáveis da função objetivo
na
número de avaliações da função aptidão em uma seção transversal da
estrutura
nb
Número de bits
ger
n
Número de gerações
sec
n
Número de seções transversais que a estrutura foi discretizada
tot
n
Número total de avaliações da função aptidão em toda estrutura
P
Carga concentrada
p
Carga de multidão externa
'p
Carga de multidão interna
c
p
Probabilidade de recombinação (
crossover)
i
p
Probabilidade de seleção
m
p
Probabilidade de ocorrência de mutação de um gene
q
Carregamento acidental de ocupação
q
Carga distribuída correspondente ao vagão cheio no trem-tipo ferroviário
'q
Carga distribuída correspondente ao vagão vazio no trem-tipo ferroviário
R
Reação de apoio
S
Seção transversal da estrutura
t
Tamanho dos sub-grupos de torneios na
P
E
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u
Variável aleatória uniforme
v
Indivíduo genitor
'v
Indivíduo descendente
x
Ponto de busca no espaço
x
Posição da carga unitária no cálculo da linha de influência
x
Posição da carga concentrada do trem-tipo
x
a
Posição inicial da carga distribuída do trem-tipo
xb
Posição final da carga distribuída do trem-tipo
L
x
Limite inferior do espaço de busca
U
x
Limite superior do espaço de busca
z
Variável aleatória normal padrão
l
comprimento do caminho que o trem-tipo irá percorrer
t
l
comprimento do trem-tipo
tot
l
Comprimento total da estrutura
Gregos
α
Média
∆
Deslocamento generalizado
λ
Número de descendentes
µ
Número de genitores
θ
Rotação
ρ
Número de indivíduos que participam da recombinação
σ
Desvio padrão
2
σ
Variância
τ
Parâmetro da Estratégia Evolutiva
'
τ
Parâmetro da Estratégia Evolutiva
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Lista de Abreviaturas
A
E
Algoritmo Evolucionário
AG
Algoritmo Genético
EE
Estratégia Evolutiva
FTOOL Two-dimensional Frame Analysis Tool
L
I
Linha de influência
LIM
Linha de influência de momento fletor
LIQ
Linha de influência de esforço cortante
PDV
Princípio dos deslocamentos virtuais
P
E
Programação Evolutiva
PG
Programação Genética
v.a. Variável aleatória
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1
Introdução
1.1.
Objetivo
Para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas móveis, tais
como pontes rodoviárias, ferroviárias e pórticos industriais, é essencialmente
necessário o conhecimento dos esforços limites, mínimos e máximos, atuantes
nas seções das estruturas. Esses esforços são geralmente dispostos em um
diagrama denominado de envoltória de esforços.
O traçado de envoltórias de esforços é um processo muito trabalhoso.
Ele se baseia na determinação de linhas de influência (consideração de efeitos
de cargas unitárias) do esforço em questão para cada seção da estrutura e no
posicionamento da carga móvel em relação à linha de influência. Esse
posicionamento é feito em várias tentativas, pois, em geral, não é obvia a
posição da carga móvel que provoca um valor extremo do esforço em uma
seção.
O objetivo deste trabalho é desenvolver, dentro do programa FTOOL
(
Two-dimensional Frame Analysis Tool), uma ferramenta para determinar
envoltórias de esforços a partir das posições de atuação do trem-tipo (carga
móvel) que causam os esforços limites.
O FTOOL é um programa educacional de análise estrutural de pórticos
planos. Ao contrário de muitos programas educativos que se preocupam em
ensinar técnicas de análise numérica, o objetivo básico do FTOOL (MARTHA,
1999) é motivar os alunos a aprender o comportamento estrutural. Para tanto,
possui uma interface amigável que permite fácil criação e manipulação dos
modelos.
São poucos os programas que possuem ferramentas para traçado de
envoltórias de esforços e, dos que possuem, muitos o fazem de maneira
incorreta ou incompleta. A idéia natural que surge para explicar o traçado de
envoltórias é movimentar a carga móvel ao longo da estrutura calculando o valor
do esforço em seções pré-estabelecidas da estrutura para cada posição da
carga móvel e, após percorrer toda estrutura, determinar os valores extremos do
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Introdução 21
esforço em cada seção. Isso é feito, por exemplo, pelo programa Dr. Beam (Dr.
SOFTWARE, 2005). Entretanto, esse processo não considera todas as
particularidades dos trens-tipo, como a existência da carga de multidão. Outros
programas, como o STRAP (ATIR, 2005), embora considerem esse tipo de
carga, percorrem toda estrutura com a carga móvel por passos de tamanho pré-
estabelecidos para determinar os esforços limites e, sendo assim, não verificam
todas as posições possíveis.
As dificuldades no processo do traçado de envoltórias de esforços muitas
vezes limitam a percepção dos alunos ao comportamento das estruturas
submetidas a cargas móveis. Este trabalho busca não só traçar envoltórias de
esforços provocados por cargas móveis de forma correta como também oferecer
uma ferramenta educativa eficiente para o ensino do traçado. A implementação
da envoltória de esforços enriquece ainda mais a característica educacional do
FTOOL, pois além da obtenção da envoltória propriamente dita, o aluno pode
analisar para uma seção da estrutura as posições críticas do trem-tipo. Além
disso, pode-se testar diferentes alternativas de trens-tipo, adquirindo
sensibilidade ao comportamento estrutural.
1.2.
Organização do Trabalho
O capítulo dois mostra como se pode obter o esforço em uma seção da
estrutura devido à ação de uma carga móvel a partir da sua linha de influência.
Alguns métodos de otimização são apresentados no capítulo três, onde é
dado uma maior ênfase a Computação Evolucionária, que é uma família de
métodos probabilísticos de otimização a qual pertence a Estratégia Evolutiva,
que foi utilizada neste trabalho.
No capítulo quatro descreve-se a implementação computacional, incluindo
as modificações na estrutura de dados e na interface gráfica do FTOOL para a
criação dos trens-tipo e o traçado das envoltórias de esforços.
Os detalhes da implementação dos algoritmos utilizados para a
determinação dos esforços limites estão no capítulo cinco.
Para a validação da ferramenta desenvolvida, o capítulo seis mostra
exemplos e comparações dos resultados obtidos.
As conclusões finais e comentários foram feitos no capítulo sete, onde
também se ressaltam as características dos resultados obtidos através de cada
método.
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2
Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de
Esforços
2.1.
Introdução
Para o dimensionamento de qualquer estrutura é necessário conhecer os
esforços máximos e mínimos que ela apresentará ao ser submetida ao
carregamento que será destinada. Para estruturas submetidas a cargas móveis
existe um diagrama, denominado de envoltória de esforços, que determina os
valores limites, máximo ou mínimo, para as seções transversais da estrutura.
A seguir, serão apresentados conceitos, relacionados a cargas móveis e
traçado de linhas de influência, necessários ao cálculo das envoltórias de
esforços, bem como será exemplificada a determinação de uma envoltória de
esforços e discutida as maneiras de obtê-la.
2.2.
Classificação das ações atuantes nas estruturas
De acordo com a NBR – 8681 (1984), as ações atuantes nas estruturas,
que são as causas que provocam esforços ou deformações, podem ser
classificadas segundo sua variabilidade no tempo em três categorias:
• Ações permanentes
São as cargas que ocorrem com valores constantes ou de pequena
variação em torno de sua média, durante praticamente toda a vida da
construção. As ações permanentes são divididas em diretas, tais como os
pesos próprios dos elementos da construção, incluindo-se o peso próprio
da estrutura e de todos os elementos construtivos permanentes, e
indiretas, como protensão, recalques de apoio e a retração dos materiais.
• Ações variáveis
São as cargas que ocorrem com valores que apresentam variações
significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. São
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 23
as cargas móveis ou acidentais das construções, isto é, cargas que atuam
nas construções em função de seu uso (pessoas, mobiliário, veículos,
materiais diversos, etc.).
Elas podem ser normais, quando possuem probabilidade de ocorrência
suficientemente grande para que sejam obrigatoriamente consideradas no
projeto das estruturas de um dado tipo de construção, ou especiais, como
ações sísmicas ou cargas acidentais de natureza ou de intensidade
especiais.
• Ações excepcionais
São as cargas que têm duração extremamente curta e muito baixa
probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, mas que devem
ser consideradas nos projetos de determinadas estruturas. Por exemplo,
ações excepcionais podem ser decorrentes de explosões, choques de
veículos, incêndios, enchentes ou sismos excepcionais.
2.3.
Cargas Móveis
Diversas estruturas são solicitadas por cargas móveis. Exemplos são
pontes rodoviárias e ferroviárias ou pórticos industriais que suportam pontes
rolantes para transporte de cargas. Os esforços internos nestes tipos de
estrutura não variam apenas com a magnitude das cargas aplicadas, mas
também com a posição de atuação das mesmas. Portanto, o projeto de um
elemento estrutural, como uma viga de ponte, envolve a determinação das
posições das cargas móveis que produzem valores extremos dos esforços nas
seções do elemento.
No projeto de estruturas submetidas a cargas fixas, a posição de atuação
de cargas acidentais de ocupação também influencia na determinação dos
esforços dimensionantes. Por exemplo, o momento fletor máximo em uma
determinada seção de uma viga contínua com vários vãos não é determinado
pelo posicionamento da carga acidental de ocupação em todos os vãos.
Posições selecionadas de atuação da carga acidental vão determinar os valores
limites de momento fletor na seção. Assim, o projetista terá que determinar, para
cada seção a ser dimensionada e para cada esforço dimensionante, as posições
de atuação das cargas acidentais que provocam os valores extremos (máximos
e mínimos de um determinado esforço).
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 24
Uma alternativa para este problema seria analisar a estrutura para várias
posições das cargas móveis ou acidentais e selecionar os valores extremos.
Este procedimento não é prático nem eficiente de uma maneira geral, exceto
para estruturas e carregamentos simples. O procedimento geral e objetivo para
determinar as posições de cargas móveis e acidentais que provocam valores
extremos de um determinado esforço em uma seção de uma estrutura é feito
com auxílio de Linhas de Influência.
2.4.
Linhas de Influência
Linhas de Influência ( L
I
) descrevem a variação de um determinado efeito
(por exemplo, uma reação de apoio, um esforço cortante ou um momento fletor
em uma seção) em função da posição de uma carga vertical unitária que passeia
sobre a estrutura. Assim, a
L
I
de momento fletor em uma seção é a
representação gráfica ou analítica do momento fletor, na seção de estudo,
produzida por uma carga concentrada vertical unitária, geralmente de cima para
baixo, que percorre a estrutura. Isso é exemplificado na Figura 2.1, que mostra a
L
I
de momento fletor em uma seção
S
indicada. Nesta figura, a posição da
carga unitária
1=P
é dada pelo parâmetro
x
, e uma ordenada genérica da L
I
representa o valor do momento fletor em
S em função de
x
, isto é,
)(xMLIM
SS
= . Em geral, os valores positivos dos esforços nas linhas de
influência são desenhados para baixo e os valores negativos para cima.
S
M
S
(x)
P
= 1
x
Figura 2.1 – Linha de influência de momento fletor em uma seção de uma viga contínua.
Com base no traçados de
sLI '
, é possível obter as chamadas envoltórias
limites de esforços que são necessárias para o dimensionamento de estruturas
submetidas a cargas móveis ou acidentais.
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 25
2.4.1.
Traçado de LI
O FTOOL calcula a linha de influência de um esforço
E
utilizando o
Princípio de Müller-Breslau (SÜSSEKIND, 1997), também conhecido como
método cinemático para o traçado de
L
I
, que foi formulado por Müller-Breslau
no final do século 19.
Este método pode ser demonstrado através do Princípio dos
Deslocamentos Virtuais - PDV (Martha, 2005) e pode ser aplicado para qualquer
tipo de estrutura, isostática ou hiperestática. Embora este método possa ser
utilizado para obtenção de
L
I
de esforços e reações, o FTOOL não calcula L
I
de reações.
De uma maneira resumida, para se traçar a linha de influência de um efeito
E
(esforço ou reação), procede-se da seguinte forma (SÜSSEKIND, 1997):
• rompe-se o vínculo capaz de transmitir o efeito
E
cuja linha de influência
se deseja determinar;
• na seção onde atua o efeito
E
, atribui-se à estrutura, no sentido oposto ao
de
E
positivo, um deslocamento generalizado unitário, que será tratado
com sendo muito pequeno;
• a configuração deformada (elástica) obtida é a linha de influência.
O deslocamento generalizado que se faz referência depende do efeito em
consideração, tal como indicado na Figura 2.2. No caso de uma reação de apoio,
o deslocamento generalizado é um deslocamento absoluto da seção do apoio.
Para um esforço normal, o deslocamento generalizado é um deslocamento axial
relativo na seção de esforço normal. Para um esforço cortante, o deslocamento
generalizado é um deslocamento transversal relativo na seção do esforço
cortante. E para um momento fletor, o deslocamento generalizado é uma rotação
relativa entre as tangentes à elástica adjacentes à seção do momento fletor.
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 26
θ
= 1
V
Q
M
M
Q
Reação de apoio
Esforço cortante
Momento fletor
∆
= 1
∆
= 1
Efeito
Deslocamento
generalizado
N
N
Esforço normal
∆
= 1
Figura 2.2 – Deslocamentos generalizados utilizados no método cinemático.
2.5.
Determinação de esforço extremo com base em LI
A determinação de valores máximo e mínimo de um esforço interno em
uma seção de estudo é exemplificada para o caso do momento fletor na seção
S da Figura 2.1. O carregamento permanente, constituído do peso próprio da
estrutura, é representado por uma carga uniformemente distribuída
g
, tal como
indica a Figura 2.3.
g
S
LIM
S
Figura 2.3– Carga permanente uniformemente distribuída atuando em uma viga
contínua.
Considerando que a ordenada de
(
)
(
)
xMLIM
SS
=
é função de uma carga
concentrada unitária, o valor do momento fletor em
S devido ao carregamento
permanente pode ser obtido por integração do produto da carga infinitesimal
gdx por
()
xM
S
ao longo da estrutura (Equação 2.1):
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 27
∫∫
⋅=⋅=
12
0
12
0
)( gdxLIMgdxxMM
SS
g
S
(2.1)
Considere que existe uma carga móvel atuando sobre a estrutura, que é
composta por uma carga concentrada
P
e por um carregamento acidental de
ocupação que é representado por uma carga uniformemente distribuída
q . Por
ser acidental, a carga
q pode atuar parcialmente ao longo da estrutura. O que
se busca são as posições de atuação das cargas
P
e q que maximizam ou
minimizam o momento fletor em
S . O valor máximo de
s
M é obtido quando a
carga
q está posicionada sobre ordenadas positivas da
s
LIM e a carga P está
sobre a maior ordenada positiva, e o valor mínimo é obtido quando a carga
q
está posicionada sobre ordenadas negativas da
s
LIM e a carga
P
está sobre a
maior ordenada negativa. Isso é mostrado nas Figuras 2.4 e 2.5.
q
q
q
S
LIM
S
P
Figura 2.4 – Posicionamento da carga móvel para provocar máximo momento fletor em
uma seção.
q
S
LIM
S
P
Figura 2.5 – Posicionamento da carga móvel para provocar mínimo momento fletor em
uma seção.
Os valores máximo e mínimo de
s
M devidos somente ao carregamento
acidental podem ser obtidos por integração do produto
qdxLIM
s
. nos trechos
positivos e negativos, respectivamente, da linha de influência, conforme
equações 2.2 e 2.3:
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 28
()
∫∫
⋅+⋅=
12
9
4
0
qdxLIMqdxLIMM
SS
máx
q
S
(2.2)
()
∫
⋅=
9
4
qdxLIMM
S
mín
q
S
(2.3)
Os valores máximo e mínimo de
s
M devidos à carga concentrada podem
ser obtidos pelo produto
PLIM
s
. , onde
s
LIM é a maior ordenada positiva ou
negativa da linha de influência, respectivamente :
(
)
PLIMM
máx
máx
P
S
S
⋅=
(2.4)
(
)
PLIMM
mín
mín
P
S
S
⋅=
(2.5)
Assim, os valores máximos e mínimos finais de
s
M provocados pelo
carregamento permanente e pela carga móvel são :
()
(
)
(
)
máx
P
S
máx
q
S
g
S
máx
S
MMMM ++=
(2.6)
()
(
)
(
)
mín
P
S
mín
q
S
g
S
mín
S
MMMM ++=
(2.7)
Observe que, no caso geral, o valor máximo final de um determinado
esforço em uma seção não é necessariamente positivo, nem o valor mínimo final
é necessariamente negativo. Isto vai depender da magnitude dos valores
provocados pelos carregamentos permanente e acidental. Quando máximo e
mínimo tiverem o mesmo sinal, o esforço dimensionante será o que tiver a maior
magnitude. Quando máximo e mínimo tiverem sentidos opostos, principalmente
no caso de momento fletor, ambos podem ser dimensionantes.
2.6.
Envoltória Limite de Esforços
As envoltórias limites de um determinado esforço em uma estrutura
descrevem para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os valores
máximos e mínimos deste esforço em cada uma das seções da estrutura, de
forma análoga a que descreve o diagrama de esforços para um carregamento
fixo. Assim, o objetivo da Análise Estrutural para o caso de cargas móveis ou
acidentais é a determinação de envoltórias de máximos e mínimos de momentos
fletores, esforços cortantes, etc., o que possibilitará o dimensionamento da
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 29
estrutura submetida a este tipo de solicitação. As envoltórias são, em geral,
obtidas por interpolação de valores máximos e mínimos, respectivamente, de
esforços calculados em determinado número de seções transversais ao longo da
estrutura.
A seguir é mostrado um exemplo de determinação de envoltória de
esforços internos de uma viga bi-apoiada com balanços, carga permanente e
carga móvel (Figura 2.6). Na figura também estão indicadas as seções adotadas
para o cálculo dos valores limites e para o traçado das envoltórias. Devido a
simetria da estrutura em relação à seção
D
, a obtenção dos valores limites será
demonstrada apenas para as seções
A ,
B
, C e
D
, visto que a envoltória de
esforço cortante será anti-simétrica e a de momento fletor será simétrica.
Carga Móvel
Carga Permanente
A
B
C
D
E
F
G
B
esq
B
dir
F
esq
F
dir
Estrutura e seções trans-
versais para envoltórias
Figura 2.6 – Viga bi-apoiada com balanços, carga permanente e carga móvel.
Os esforços devidos à carga permanente foram primeiramente calculados,
ou seja, determinaram-se os diagramas de esforço cortante e de momento fletor
(Figura 2.7).
A
C
D
E G
B
esq
B
dir
F
esq
F
dir
A
B
C
D
E
F
G
Carga Permanente:
Esforços Cortantes [
kN
]
Carga Permanente:
Momentos Fletores [
kNm
]
Figura 2.7 – Esforços internos da carga permanente.
Em seguida, determinaram-se os esforços cortantes máximos e mínimos
devidos à carga móvel para cada seção transversal adotada da estrutura
(Figuras 2.8 a 2.11). O posicionamento do trem-tipo para determinar os valores
limites em cada seção segue o procedimento mostrado na seção 2.5.
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 30
Posição da carga móvel
para
Q
Besq
mínimo
Posição da carga móvel
para
Q
Besq
máximo
(carga móvel não atuando)
LIQ
Besq
B
esq
(
)
[]
kNQ
mc
mín
Besq
00.60)00.1(310)00.1(10)00.1(20
..
.
−=−⋅⋅+−⋅+−⋅=
(
)
0
..
.
=
mc
máx
Besq
Q
Figura 2.8 – Esforço cortante máximo e mínimo na seção
esq
B
.
Posição da carga móvel
para
Q
Bdir
mínimo
Posição da carga móvel
para
Q
Bdir
máximo
LIQ
Bdir
B
dir
()
[]
kNQ
mc
mín
Bdir
75.8)25.0(35.010)25.0(20
..
.
−=−⋅⋅⋅+−⋅=
()
[]
kNQ
mc
máx
Bdir
25.91)00.1(125.010)25.0(35.010)75.0(10)00.1(20
..
.
+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=
Figura 2.9 – Esforço cortante máximo e mínimo na seção
dir
B
.
Posição da carga móvel
para
Q
C
mínimo
Posição da carga móvel
para
Q
C
máximo
LIQ
C
C
()
[]
kNQ
mc
mín
C
50.12)25.0(35.010)25.0(35.010)25.0(20
..
.
−=−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅+−⋅=
()
[]
kNQ
mc
máx
C
50.57)75.0(95.010)25.0(35.010)50.0(10)75.0(20
..
.
+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=
Figura 2.10 – Esforço cortante máximo e mínimo na seção
C
.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 31
Posição da carga móvel
para
Q
D
mínimo
Posição da carga móvel
para
Q
D
máximo
LIQ
D
D
()
[]
kNQ
mc
mín
D
25.31)25.0(35.010)50.0(65.010)25.0(10)50.0(20
..
.
−=−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅+−⋅+−⋅=
()
[]
kNQ
mc
máx
D
25.31)25.0(35.010)50.0(65.010)25.0(10)50.0(20
..
.
+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=
Figura 2.11 – Esforço cortante máximo e mínimo na seção
D
.
A Tabela 2.1 mostra os resultados do esforço cortante máximo e mínimo
nas seções da estrutura devido a cada carregamento atuante e o valor final das
envoltórias de esforço cortante, que estão representadas na Figura 2.12. O
esforço cortante devido à carga móvel na extremidade livre do balanço
corresponde à carga de 20 kN posicionada sobre esta seção.
Tabela 2.1 – Envoltórias de Esforço Cortante [kN].
Seção Carga Carga Móvel Envoltórias
Permanente mínimo máximo mínimo máximo
A
0 -20.00 0 -20.00 0
Besq
-60 -60.00 0 -120.00 -60.00
Bdir
+120 -8.75 +91.25 +111.25 +211.25
C
+60 -12.50 +57.50 +47.50 +117.50
D
0 -31.25 +31.25 -31.25 +31.25
E
-60 -57.50 +12.50 -117.50 -47.50
Fesq
-120 -91.25 +8.75 -211.25 -111.25
Fdir
+60 0 +60.00 +60.00 +120.00
G
0 0 +20.00 0 +20.00
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 32
-
120
Envoltórias:
Esforços Cortantes [
kN
]
-
20
-
60
20
120
60
mínimos
máximos
211.25
111.25
-211.25
-111.25
-47.50
-117.50
47.50
117.50
-31.25
31.25
carga
permanente
faixa de
trabalho
Figura 2.12 – Envoltórias de Esforço Cortante.
As Figuras de 2.13 a 2.15 mostram como foi feita a determinação dos
momentos fletores máximos e mínimos devidos à carga móvel para cada seção
transversal da estrutura.
Posição da carga móvel
para
M
B
mínimo
Posição da carga móvel
para
M
B
máximo
LIM
B
(carga móvel não atuando)
B
()
[]
kNmM
mc
mín
B
00.105)00.3(35.010)00.3(20
..
.
−=−⋅⋅⋅+−⋅=
()
0
..
.
=
mc
máx
B
M
Figura 2.13 – Momento fletor máximo e mínimo na seção
B
.
Posição da carga móvel
para
M
C
mínimo
Posição da carga móvel
para
M
C
máximo
LIM
C
C
()
[]
kNmM
mc
mín
C
00.90)75.0(35.010)25.2(35.010)25.2(20
..
.
−=−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅+−⋅=
()
[]
kNmM
mc
máx
C
00.195)25.2(125.010)50.1(10)25.2(20
..
.
+=⋅⋅⋅+⋅+⋅=
Figura 2.14 – Momento fletor máximo e mínimo na seção
C
.
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 33
Posição da carga móvel
para
M
D
mínimo
Posição da carga móvel
para
M
D
máximo
LIM
D
D
()
[]
kNmM
mc
mín
D
00.75)50.1(35.010)50.1(35.010)50.1(20
..
.
−=−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅+−⋅=
()
[]
kNmM
mc
máx
D
00.255)00.3(125.010)50.1(10)00.3(20
..
.
+=⋅⋅⋅+⋅+⋅=
Figura 2.15 – Momento fletor máximo e mínimo na seção
D
.
A Tabela 2.2 mostra os resultados do momento fletor máximo e mínimo
nas seções da estrutura devido a cada carregamento atuante e o valor final das
envoltórias de momento fletor, que estão representadas na Figura 2.16.
Tabela 2.2 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor.
Seção Carga Carga Móvel Envoltórias
Permanente mínimo máximo mínimo máximo
A
0 0 0 0 0
B
-90 -105 0 -195 -90
C
+180 -90 +195 +90 +375
D
+270 -75 +255 +195 +525
E
+180 -90 +195 +90 +375
F
-90 -105 0 -195 -90
G
0 0 0 0 0
Envoltórias:
Momentos Fletores [
kNm
]
mínimos
máximos
carga
permanente
faixa de
trabalho
-195
-195
-90
-90
90
90
195
525
375
375
Figura 2.16 – Envoltórias de momento fletor.
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Cargas Móveis, Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços 34
Conforme visto, para determinar os valores limites de esforços em uma
seção transversal precisa-se conhecer as posições de atuação do trem-tipo que
causam esses esforços limites. Para casos mais simples de trem-tipo e linhas de
influência, como no exemplo acima, é intuitiva a determinação dessas posições
limites. Porém, para casos mais complexos, torna-se impossível essa
determinação por simples observação.
Esse problema de determinar posições limites constitui um problema de
otimização, em que o objetivo é minimizar e maximizar os valores dos esforços
nas seções transversais dos elementos estruturais em função da posição de
atuação do trem-tipo. Porém, não existe uma função matemática que descreva a
envoltória de esforços de uma estrutura, o que torna impossível o uso da maioria
dos métodos clássicos de otimização para resolver este problema, já que muitos
deles utilizam derivadas da função objetivo, como será visto no capitulo seguinte.
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3
Métodos de Otimização
3.1.
Introdução
Os problemas de otimização são problemas de maximização ou
minimização de função de uma ou mais variáveis num determinado domínio,
sendo que, geralmente, existe um conjunto de restrições nas variáveis.
Os algoritmos usados para a solução de um problema de otimização
podem ser, basicamente, determinísticos ou probabilísticos.
Neste capítulo são apresentadas as principais características desses
métodos, apresentando suas vantagens e desvantagens. Serão abordados de
uma maneira mais detalhada os algoritmos de computação evolucionária, que
pertencem a uma família de métodos probabilísticos de otimização, visto que
este trabalho se baseou em um destes métodos, conhecido como Estratégia
Evolutiva ( E
E
).
Alguns trabalhos utilizando algoritmos de computação evolucionária vêm
sendo desenvolvidos no Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, dos
quais pode-se citar DEL SAVIO (2005), RAMIRES (2004) e BORGES(2003).
3.2.
Definições
Para melhor entendimento dos algoritmos de otimização, faz-se necessário
o conhecimento de alguns conceitos e definições utilizados na literatura
(BASTOS, 2004). A seguir são listados alguns termos usualmente relacionados a
um problema de otimização qualquer:
• Variáveis de projeto: São aquelas que se alteram durante o processo de
otimização, podendo ser contínuas (reais), inteiras ou discretas.
• Restrições: São funções de igualdade ou desigualdade sobre as variáveis
de projeto que descrevem situações de projeto consideradas não
desejáveis.
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Métodos de Otimização
36
• Espaço de busca: É o conjunto, espaço ou região que compreende as
soluções possíveis ou viáveis sobre as variáveis do projeto do problema a
ser otimizado, sendo delimitado pelas funções de restrição.
• Função Objetivo: É a função de uma ou mais variáveis de projeto que se
quer otimizar, minimizando-a ou maximizando-a.
• Ponto Ótimo: É o ponto formado pelas variáveis de projeto que extremizam
a função objetivo e satisfazem as restrições.
• Valor Ótimo: É o valor da função objetivo no ponto ótimo.
3.3.
Métodos Determinísticos
Os métodos de otimização baseados nos algoritmos determinísticos –
maioria dos métodos clássicos – geram uma seqüência determinística de
possíveis soluções requerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a
primeira derivada da função objetivo em relação às variáveis de projeto.
Nestes métodos, a função objetivo e as restrições são dadas como
funções matemáticas e relações funcionais. Além disso, a função objetivo deve
ser contínua e diferenciável no espaço de busca (BASTOS, 2004). Esse tipo de
problema pode ser representado matematicamente da seguinte forma:
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Métodos de Otimização
37
Maximizar / Minimizar:
),...,,(
21 n
xxxf
Satisfazendo:
(
){ }
1211
,...,, bxxxg
n
≤
=≥
M
()
{
}
mnm
bxxxg
≤
=≥,...,,
21
em que:
n
xxx ,...,,
21
- variáveis de projeto
),...,,(
21 n
xxxf - função objetivo
m
ggg ,...,,
21
- restrições
Figura 3.1– Formulação de um problema de otimização.
Quando se trata de um problema de variáveis discretas, considera-se um
espaço de busca com variáveis contínuas que, após a otimização, fornecerão
uma aproximação das variáveis de projeto para as disponíveis no espaço
discreto. Entretanto, isso gera um trabalho adicional na escolha das variáveis
discretas mais próximas das contínuas encontradas. Sempre existirão duas
opções de variáveis discretas para cada variável contínua, ou seja, uma
imediatamente superior e outra imediatamente inferior.
Os métodos determinísticos apresentam teoremas que lhes garantem a
convergência para uma solução ótima que não é necessariamente a solução
ótima global. Como nesses métodos a solução encontrada é extremamente
dependente do ponto de partida fornecido, pode-se convergir para um ótimo
local, por isso não possuem bom desempenho em otimizar funções multimodais,
isto é, funções que possuem vários ótimos locais.
De acordo com OLIVIERI (2004), BASTOS (2004) e HAFTKA(1993), os
problemas de otimização abordados pelos métodos clássicos podem ser
classificados em duas classes, conforme as características da função objetivo e
das restrições:
• Programação Linear: quando a função objetivo e as restrições são funções
lineares das variáveis de projeto. O Método Simplex (HADLEY, 1982) é o
método mais tradicional para solucionar este tipo de problema de
otimização;
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Métodos de Otimização
38
• Programação Não-Linear: quando a função objetivo, ou pelo menos uma
das restrições, é uma função não-linear das variáveis de projeto. Nesta
classe, os métodos que mais se destacam são:
Método de Programação Linear Seqüencial, Método de Programação
Quadrática Seqüencial, Método das Direções Viáveis e Método do
Gradiente Reduzido, entre outros.
3.4.
Métodos Probabilísticos
Os métodos de otimização baseados nos algoritmos probabilísticos usam
somente a avaliação da função objetivo e introduzem no processo de otimização
dados e parâmetros estocásticos. Por não utilizarem a derivada da função
objetivo, são considerados métodos de ordem zero.
São listadas a seguir algumas vantagens dos algoritmos probabilísticos em
relação aos algoritmos determinísticos (BASTOS, 2004):
• a função objetivo e as restrições não precisam necessariamente ter uma
representação matemática;
• não requerem que a função objetivo seja contínua ou diferenciável;
• trabalham adequadamente, tanto com parâmetros contínuos quanto com
discretos, ou ainda com uma combinação deles;
• não necessitam de formulações complexas ou reformulações para o
problema;
• não há restrição alguma quanto ao ponto de partida dentro do espaço de
busca da solução;
• realizam buscas simultâneas no espaço de possíveis soluções através de
uma população de indivíduos;
• Otimizam um grande número de variáveis, desde que a avaliação da
função objetivo não tenha um custo computacional demasiadamente alto.
A maior desvantagem em relação aos métodos clássicos é o tempo de
processamento.
3.4.1.
Computação Evolucionária
Segundo BÄCK et al.(1997), a Computação Evolucionária teve origem no
final da década de 50 e permaneceu relativamente desconhecida da comunidade
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Métodos de Otimização
39
científica por aproximadamente três décadas, devido principalmente à falta de
computadores eficientes na época, mas também devido à metodologia pouco
desenvolvida durante as primeiras pesquisas. Durante a década de setenta, os
trabalhos de Holland, Rechenberg, Shwefel e Foger foram fundamentais para
modificar a imagem da Computação Evolucionária que, a partir de então,
começou a ser largamente desenvolvida.
Os Algoritmos Evolucionários (
sAE' ) formam uma classe de métodos de
otimização probabilísticos que são inspirados por alguns princípios baseados em
mecanismos evolutivos encontrados na natureza, como auto-organização e o
comportamento adaptativo (BEYER et al, 2002).
De acordo com BARBOSA (1997), um algoritmo evolucionário se distingue
dos métodos determinísticos mais comuns basicamente por:
• empregar uma população de indivíduos, ou soluções;
• trabalhar sobre uma codificação das possíveis soluções (genótipos) e não
sobre as soluções (fenótipos) propriamente ditas;
• empregar regras de transição probabilísticas;
• não requerer informações adicionais (derivadas, por exemplo) sobre a
função a otimizar e as restrições.
Assim, a busca de soluções pode se dar em conjuntos não-convexos com
funções objetivo também não-convexas e não-diferenciáveis podendo-se
trabalhar simultaneamente com variáveis reais, lógicas e inteiras. Vale ressaltar
também que os
sAE' não são facilmente presos a mínimos locais como é o
caso dos algoritmos usuais dos métodos determinísticos. Ao utilizar um
A
E
,
essas características podem levar à descoberta de soluções não convencionais
que não poderiam ser vislumbradas por serem contra-intuitivas. É um paradigma
que não exige conhecimento prévio de uma maneira de encontrar a solução.
Para a utilização de
A
E
em problemas de otimização com restrições, uma
das possibilidade é utilizar um método de penalização. Isso pode ser feito
através da pena de morte, onde um indivíduo é simplesmente eliminado da
população quando violar as restrições ou quando não for possível avaliar sua
aptidão
*
. Porém, possui a desvantagem de poder estar descartando um indivíduo
potencialmente útil ao processo evolutivo. Outra maneira seria introduzir uma
*
Utilizou-se a palavra “aptidão” como tradução da palavra “fitness” usualmente
adotada na literatura inglesa para se referir ao desempenho de um indivíduo da
população.
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Métodos de Otimização
40
função de penalização para incorporar as restrições à função objetivo, de
maneira análoga ao que se faz nos métodos clássicos de otimização, reduzindo
a aptidão dos indivíduos que violam as restrições (BARBOSA, 1997).
Para ilustrar o comportamento de um
A
E
, considera-se uma função
objetivo unidimensional a ser maximizada. A Figura 3.2 mostra três etapas da
busca evolucionária, mostrando como os indivíduos são distribuídos no começo
(a), meio (b) e fim (c) do processo de evolução. Na primeira fase, imediatamente
após a inicialização da população, os indivíduos são aleatoriamente espalhados
em todo o espaço de busca. Depois de algumas gerações a distribuição
modifica-se: devido aos operadores de variação e seleção, a população
abandona as regiões de baixa aptidão e começa a ocupar áreas de maior
aptidão. No final da busca, tendo sido escolhida uma condição de parada
apropriada, toda a população está concentrada em torno de poucos pontos,
onde alguns desses pontos podem ser sub-ótimos. Pode ocorrer de todos os
membros da população se posicionarem em torno de um ótimo local ao invés de
um ótimo global. Essa convergência prematura é um efeito conhecido de perda
rápida de diversidade, que leva a população a ficar presa a ótimos locais (EIBEN
& SMITH, 2003).
Figura 3.2 – Evolução típica de um A
E
, ilustrada de acordo com a distribuição da
população. Adaptado de EIBEN & SMITH (2003).
Conforme CORTES & SAAVEDRA (2000), a Computação Evolucionária
tem sido utilizada com sucesso para resolução de complexos problemas de
otimização. Seu principal obstáculo é a precisão da solução a ser encontrada,
pois o quanto mais próximo da solução ótima se deseja chegar, mais poder
computacional e tempo de processamento são exigidos, principalmente quando
são utilizadas funções multimodais.
Indivíduos no domínio da
função aptidão
Função aptidão
Indivíduos no domínio da
função aptidão
Função aptidão
Indivíduos no domínio da
função aptidão
Função aptidão
(a)
(b)
(c)
Início
Meio
Fim
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Métodos de Otimização
41
3.4.1.1.
Definições
Para a utilização de um A
E
são necessárias algumas definições
adicionais que são particulares a esse tipo de algoritmo (BASTOS, 2004; EIBEN
& SMITH, 2003). Como a Computação Evolucionária é baseada em mecanismos
evolutivos encontrados na natureza, muitos termos adotados pelos
sAE'
baseiam-se na Genética, tais como:
• Cromossomo ou genótipo– representa um indivíduo no espaço do
A
E
, ou
seja, representa um indivíduo codificado;
• Fenótipo – representa um indivíduo no espaço de busca original;
• Indivíduo – é um membro da população;
• Gene – unidade básica do cromossomo, ou seja, é um elemento do vetor
que representa o cromossomo;
• População – conjunto de indivíduos ou cromossomos;
• Geração – ordem evolutiva das diferentes populações;
• Operações genéticas – conjunto de operações que o
A
E
realiza sobre
cada um dos cromossomos;
• Função aptidão – quando o
A
E é utilizado em um problema de
otimização, a função aptidão equivale à função objetivo.
3.4.1.2.
Algoritmo Evolucionário
A principal idéia em que se baseia qualquer variação de um Algoritmo
Evolucionário é: dada uma população de indivíduos, a pressão do meio ambiente
causa uma seleção natural que evolui a população. Sendo assim, qualquer
algoritmo evolucionário deve ter as seguintes componentes básicas para
resolver um problema (MICHALEWICZ, 1996; EIBEN & SMITH, 2003;
BARBOSA, 1997; BÄCK et al, 1997):
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Métodos de Otimização
42
• Uma representação genética das soluções do problema;
A representação ou codificação de um indivíduo quando se utiliza um
A
E
consiste em relacionar o espaço real do problema com o espaço adotado
pelo
A
E , ou seja, representar/codificar os elementos do espaço real no
espaço do
A
E
. Cada elemento do espaço de busca é denominado
fenótipo e sua representação no espaço do
A
E é denominado genótipo.
Para ilustrar esse processo, considere que em um problema de otimização
bidimensional de números inteiros que adote um
A
E
com representação
binária, onde o alfabeto é composto dos símbolos 0 e 1,
{}
21
, xxx
=
seja
uma possível solução do problema. Sendo o cromossomo codificado com
cinco bits para cada uma das variáveis do problema, elas podem ser
representadas da seguinte maneira:
1
x =00100
2
x =10100
Essas codificações seriam os genes que concatenados formam o
cromossomo, que representa uma possível solução do problema:
0010010100
Para recuperar os valores das variáveis no espaço real, ou seja, obter o
fenótipo, é necessário um processo de descodificação:
1
IND = 0x2
4
+ 0x2
3
+ 1x2
2
+ 0x2
1
+ 0x2
0
= 4
2
IND = 1x2
4
+ 0x2
3
+ 1x2
2
+ 0x2
1
+ 0x2
0
= 20
Para um problema com variáveis inteiras, o valor da variável é igual ao
próprio índice fornecido pela codificação (
IND ). No caso de variáveis
discretas, a decodificação fornece um índice que localiza o valor da
variável numa lista de referência, que representa o espaço de busca para
esta variável (BASTOS, 2004).
Para as variáveis contínuas, tem-se a seguinte decodificação:
12 −
−
+=
nb
L
i
U
i
i
L
ii
xx
INDxx
(3.1)
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Métodos de Otimização
43
Onde:
x
- ponto de busca no espaço.
L
x - limite inferior do espaço de busca;
U
x - limite superior do espaço de busca;
nb - número de bits;
IND -Índice fornecido pela decodificação da variável;
i - número de variáveis;
Segundo BASTOS (2004), a utilização de codificação binária é dada pelas
seguintes razões:
¾ Extrema facilidade para criar e manipular vetores binários;
¾ Utiliza rigorosamente a precisão determinada para cada variável;
¾ Altamente indicada para se operar com variáveis discretas.
Porém, quando o problema em análise necessita que as variáveis
envolvidas sejam de alta precisão numérica, a codificação binária possui
enorme desvantagem pois, neste caso, faz-se necessário que os
cromossomos possuam um comprimento extremamente grande, reduzindo
a performance do
A
E
. Outra desvantagem é a necessidade constante de
conversão entre os valores reais e os binários nas diversas iterações do
processo.
• População
O papel da população é manter as possíveis soluções. Enquanto os
indivíduos são estáticos, isto é, não se modificam, a população é uma
unidade de evolução. Dada uma representação, definir uma população
equivale a decidir o número de indivíduos que irão formá-la. Em alguns
sAE'
mais sofisticados a população pode ter uma estrutura adicional, com
medidas de distância ou relações de vizinhança. Em quase todas as
aplicações de
A
E
o tamanho da população é constante, não sendo
modificado durante a evolução.
• Uma maneira de inicializar a população;
A inicialização da população geralmente é simples na maioria das
aplicações de
A
E
, e é feita gerando indivíduos aleatoriamente. Porém,
algumas heurísticas podem ser usadas para gerar uma população inicial
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Métodos de Otimização
44
com maior aptidão, como, por exemplo, iniciar a população com soluções
aproximadas conhecidas ou contendo algum tipo de informação prévia. Se
isso vale o esforço computacional extra envolvido, depende muito da
aplicação.
• Uma função aptidão
A função aptidão é a responsável pelo processo de seleção dos indivíduos
e deve indicar a qualidade de cada indivíduo na população, sendo assim,
influi diretamente na evolução da população. Tecnicamente, é uma função
que designa uma medida de qualidade ao genótipo, ou seja, a aptidão.
• Operadores genéticos
Os operadores genéticos alteram a composição genética dos filhos durante
a reprodução. O papel dos operadores é criar novos indivíduos a partir dos
antigos. Os operadores trabalham sobre a codificação das possíveis
soluções (genótipo) e não sobre as soluções (fenótipos) propriamente
ditas. Os principais operadores são recombinação e mutação.
A recombinação é um operador que une informações de dois ou mais
genótipos pais para gerar um ou dois descendentes. O operador de
recombinação é estocástico, isto é, é aleatória a escolha de que partes de
cada pai será recombinada e o modo que estas partes serão
recombinadas.
A mutação é um operador que após ser aplicado a um genótipo gera um
filho. Similar a recombinação, a mutação é um operador sempre
estocástico: seu resultado – o filho – depende dos resultados de uma série
de escolhas aleatórias.
• Um mecanismo de seleção
O papel da seleção é diferenciar os indivíduos baseados nas suas
qualidades, em particular, permitir que os melhores indivíduos tornem-se
pais da próxima geração.
• Um critério de parada
Caso o problema tenha um valor ótimo da função aptidão conhecido, o
critério de parada pode ser quando este valor for atingido, considerando
uma certa precisão. Porém, como
sAE' são estocásticos e não há
garantias de que o valor ótimo será atingido, essa condição pode nunca
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Métodos de Otimização
45
ser satisfeita e o algoritmo nunca parar. As opções comumente usadas
como critério de parada são:
1. tempo máximo transcorrido;
2. o número total de avaliações da função aptidão atingir um número
limite;
3. quando a aptidão melhorar muito pouco durante um certo período de
tempo (ou um certo número de gerações ou um certo número de
avaliações da função aptidão);
4. quando a diversidade da população diminuir até um certo limite, sendo
diversidade uma medida do número de diferentes soluções presente na
população, que pode ser medido pelas diferentes aptidões presentes na
população ou pelo número de diferentes fenótipos ou genótipos
presentes.
A partir do que foi visto acima, percebe-se que a combinação da aplicação
de variação, através dos operadores genéticos, e seleção levam a melhorar o
valor da aptidão e, em conseqüência, melhorar a população. Pode-se perceber
essa evolução como se fosse um processo de otimização, através da busca de
valores ótimos, que, no decorrer do processo, ficam cada vez mais próximos.
Alternativamente, essa evolução é vista como um processo de adaptação.
Deste ponto de vista, a aptidão não é vista como uma função objetivo a ser
otimizada, mas como uma necessidade do meio ambiente. O processo evolutivo
faz a população adaptar-se ao meio ambiente cada vez melhor. A seguir é
mostrado um pseudo-código que representa um algoritmo evolucionário.
Geração = 0
Inicializa população (P) ;
Avalia os indivíduos;
Enquanto o critério de parada não for satisfeito repita:
1. Recombinação
2. Mutação
3. Avaliação dos descendentes
4. Seleção
5. Geração = Geração +1
Figura 3.3 – Esquema geral de um Algoritmo Evolucionário. Adaptado de BÄCK et al
(1997).
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Métodos de Otimização
46
Porém, para que a implementação de um algoritmo evolucionário tenha
sucesso quando aplicado a um problema real, as componentes listadas acima
requerem algumas heurísticas adicionais, que estão relacionadas à
representação genética das soluções, aos operadores que alteram suas
composições, aos valores de vários parâmetros, aos métodos de inicialização
da população e até mesmo à própria função aptidão.
3.4.1.3.
Principais Ramos da Computação Evolucionária
A Computação Evolucionária é uma das áreas da Inteligência Artificial,
juntamente com as Redes Neurais e os Sistemas de Lógica Nebulosa (Figura
3.4). A maioria das implementações de algoritmos evolucionários vem de três
ramos fortemente relacionados, porém independentemente desenvolvidos
(BEYER, 2002 e BÄCK et al, 1997):
• Algoritmos Genéticos ( sAG' );
• Programação Evolutiva ( sPE' );
• Estratégias Evolutivas ( sEE' ).
Além dos ramos citados acima, alguns autores, com MICHALEWICZ
(1996), citam ainda a Programação Genética (
sPG' ) como um importante ramo
da Computação Evolucionária.
Figura 3.4 – Ramificação da Inteligência Artificial. Adaptada de OLIVIERI (2004).
As principais diferenças entre esses ramos estão na representação dos
indivíduos, nos operadores utilizados (mutação e/ou recombinação) e no
mecanismo de seleção, embora ultimamente a fronteira entre eles vem se
tornando menos nítida.
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Métodos de Otimização
47
3.4.1.4.
Algoritmos Genéticos (AG´s)
Segundo BARBOSA (1977) e BÄCK (1997), o AG foi desenvolvido
principalmente por John Holland no final da década de 60 buscando inspiração
no que se conhece sobre o processo de evolução natural, conhecimento este
iniciado solidamente com a teoria da evolução de Darwin no seu famoso livro A
Origem das Espécies.
Na maioria das aplicações que utilizam
sAG' , a forma mais comum de
construção de uma codificação é utilizar uma cadeia binária, de comprimento
fixo. Isso ocorre porque a teoria dos
sAG' foi desenvolvida com base nesta
representação, mas DAVIS (1991) acha que essa representação não é natural e
é desnecessária na maioria dos casos.
O principal operador é a recombinação, também conhecido como
crossover na literatura inglesa, e a mutação é vista como um operador de
pequena importância. De forma simplificada, no alfabeto binário, os operadores
funcionam da seguinte maneira:
• A mutação é definida pela modificação do símbolo ocorrente em uma
posição do cromossomo: se 1 ele passa a 0 e vice-versa. A probabilidade
m
p de ocorrência de mutação de um gene é geralmente muito pequena,
da ordem de
l/1
, onde
l
é número de bits do cromossomo.
• O crossover, no algoritmo padrão, é chamado crossover de um ponto.
Através de um esquema de seleção implementado, dois indivíduos são
escolhidos e, com probabilidade p
c
, são submetidos à operação de
recombinação. Uma posição de crossover é sorteada e o material genético
dos pais é recombinado conforme o esquema abaixo:
p
1
: 1111111 f
1
: 1111000
p
2
: 0000000 f
2
: 0000111
Existem outras variações deste operador que podem ser empregadas,
como crossover de dois pontos, crossover uniforme, etc.
• A seleção é tipicamente implementada utilizando um esquema
probabilístico. A probabilidade
i
p de seleção do i -ésimo indivíduo da
população vir a ser selecionado é proporcional à sua aptidão relativa,
conforme equação 3.2 (BÄCK et al, 1997;BARBOSA,1977).
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Métodos de Otimização
48
∑
=
=
m
i
i
fi
fi
p
1
(3.2)
Onde
)(
i
xffi = é assumida positiva e m é o número de indivíduos da
população.
Um método que aplica essa técnica é o Método da Roleta (roullete wheel
selection, na literatura inglesa), onde indivíduos de uma geração são
escolhidos para fazer parte da próxima geração, através de um sorteio de
roleta. Os indivíduos são representados na roleta proporcionalmente ao
seu índice de aptidão. Finalmente, a roleta é girada um determinado
número de vezes, dependendo do tamanho da população, e são
escolhidos como indivíduos que participarão da próxima geração, aqueles
sorteados na roleta (Figura 3.5).
Figura 3.5– Seleção utilizando o método da roleta (Barbosa, 1977).
3.4.1.5.
Programação Genética (PG)
O paradigma da PG foi desenvolvido por John Koza (KOZA,1992).
Segundo MICHALEWICZ (1996), esta técnica constitui uma maneira de fazer
uma busca no espaço de possíveis programas computacionais para escolher o
melhor deles, ou seja, é uma técnica de geração automática de programas de
computador, onde a partir de especificações de comportamento, o computador
deve ser capaz de induzir um programa que as satisfaça (KOZA, 1992)
.
p
1
p
2
p
3
p
4
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Métodos de Otimização
49
Conforme descrito por RODRIGUES (1992), a técnica baseia-se na
combinação de idéias da teoria da evolução (seleção natural), genética
(reprodução, cruzamento e mutação), inteligência artificial (busca heurística) e
teoria de compiladores (representação de programas como árvores sintáticas).
Os programas são formados pela livre combinação de funções e terminais
adequados ao domínio do problema. Parte-se de dois conjuntos:
F
como sendo
o conjunto de funções e
T
como o conjunto de terminais. O conjunto
F
pode
conter operadores aritméticos (+, -, * etc), funções matemáticas (seno, logaritmo
etc), operadores genéticos (E, OU etc) dentre outros. Cada
Ff ∈ tem
associada uma aridade (número de argumentos) superior a zero. O conjunto
T
é
composto pelas variáveis, constantes e funções de aridade zero (sem
argumentos).
O processo evolutivo ocorre a partir da aplicação dos operados genéticos a
população e pelo processo de seleção, que é baseado na aptidão dos
programas, até atingir um determinado critério de parada.
Usualmente, para avaliar a aptidão é fornecido um conjunto de casos de
treinamento, contendo valores de entrada e saída a serem aprendidos. A cada
programa são fornecidos os valores de entrada e confronta-se a sua resposta ao
valor esperado de saída. A aptidão será proporcional à proximidade da resposta
do programa ao valor de saída esperado. O operador de reprodução apenas
seleciona um programa e o copia para a próxima geração sem sofrer nenhuma
mudança em sua estrutura. As Figuras 3.6 e 3.7 mostram a aplicação do
operador de recombinação (crossover) em duas funções selecionadas, que
partilham informação genética e dão origem a duas novas funções diferentes.
Figura 3.6 – Crossover na PG : seleção aleatória dos ramos que sofrerão o corte
(SOUSA & ANDRADE, 1998).
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50
Figura 3.7 – Crossover na PG : funções resultantes (SOUSA & ANDRADE, 1998).
A mutação nem sempre é efetuada, pois depende de um valor que indica a
probabilidade de existir mutação numa determinada geração. Quando é
efetuada, uma função é escolhida aleatoriamente para sofrer mutação (Figura
3.8).
Figura 3.8 – Aplicação do operador de mutação na PG (SOUSA & ANDRADE,
1998).
3.4.1.6.
Programação Evolutiva (PE)
De acordo com BÄCK et al. (1997) e MICHALEWICZ (1996), a P
E
surgiu
originalmente como uma tentativa de criar inteligência artificial. O objetivo era
desenvolver máquinas de estado finitas (MEF) para prever eventos com base em
observações anteriores. Uma MEF é uma máquina abstrata que transforma uma
seqüência de dados de entrada em uma seqüência de dados de saída. A
transformação depende de certas regras de transição.
Os indivíduos são usualmente representados por vetores de números
reais. Geralmente cada genitor gera um filho. A mutação ocorre tipicamente com
probabilidade uniforme e é originalmente implementada como uma mudança
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51
randômica (ou através de múltiplas mudanças) da descrição das MEF de acordo
com cinco diferentes modificações:
• mudança de um dado de saída;
• mudança de uma regra de transição;
• inclusão de uma regra de transição;
• exclusão de uma regra de transição;
• mudança da regra de transição inicial.
Não é utilizada a recombinação.
O processo de seleção ocorre como uma série de torneios entre sub-
grupos dentro da população. Cada indivíduo da população é avaliado contra
t
(obrigatoriamente
1>t e usualmente 10
≤
t ) outros indivíduos escolhidos
randomicamente da população. Para cada comparação é marcado um vencedor.
Permanecem na população os
µ
indivíduos que tiveram o maior número de
vitórias.
3.4.1.7.
Estratégia Evolutiva (EE)
A primeira versão de sEE' foi EE
−
+
)11( , que empregava um esquema
simples de seleção-mutação trabalhando em um único indivíduo que gera um
único descendente através da mutação Gaussiana e ambos são submetidos ao
processo de seleção, que elimina a solução mais pobre. Mais tarde, esta teoria
evolui para
EE
−
+ )1(
µ
, no qual uma população de
µ
indivíduos se recombina
de maneira randômica para formar um descendente, que sofre mutação e em
seguida, passa pelo processo de seleção.
Nas versões descritas acima, a convergência era lenta e a busca ponto a
ponto era susceptível a estagnar em mínimos locais.
Mais tarde, visando sanar essas deficiências, desenvolveram-se outras
versões, utilizando a estratégia denominada multi-membros, onde o tamanho da
população é maior que um. Atualmente, os dois principais tipos são (COSTA &
OLIVEIRA, 2002; BEYER et al., 2002; BÄCK et al., 1997):
• EE−+ )(
λ
µ
Conhecida como estratégia soma, onde
µ
pais produzem
λ
filhos, sendo
µ
λ
> , gerando uma população de
λ
µ
+
indivíduos. Nesta estratégia, os
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52
λ
µ
+ indivíduos participam do processo de seleção, que determina os
µ
indivíduos que serão os pais da próxima geração.
• EE−),(
λ
µ
Conhecida como estratégia vírgula, se difere da estratégia soma porque
apenas os
λ
filhos participam do processo de seleção. Assim, o período
de vida de cada indivíduo é limitado a apenas uma geração. Segundo
CORTES & SAAVEDRA (2000), este tipo de estratégia tem bom
desempenho em problemas onde o ponto ótimo é em função do tempo, ou
onde a função é afetada por ruído.
Note também que ambas estratégias apresentadas são extremos da
estratégia mais geral
EEk −),,(
λ
µ
, onde
∞
≤
≤
k1 representa o número máximo
de gerações que um indivíduo pode permanecer na população.
Nas versões atuais, a descendência é obtida submetendo-se os indivíduos
da geração a dois operadores: cruzamento e mutação. O cruzamento é feito de
forma aleatória e a mutação é feita tipicamente através de uma perturbação
Gaussiana de média nula e desvio padrão unitário, porém outros tipos de
mutação são possíveis. Aplica-se também a idéia de auto-adaptação do
parâmetro desvio padrão (
σ
) durante o processo evolutivo, o que é uma das
características chaves do sucesso das estratégias evolutivas.
3.4.1.7.1.
Distribuição Normal
Para utilizar um algoritmo de
sEE'
é necessário conhecer uma maneira de
gerar variáveis aleatórias segundo uma distribuição normal ou gaussiana.
O modelo probabilístico citado acima é chamado Modelo Normal e suas
origens remontam a Gauss em seus trabalhos sobre erros de observações
astronômicas, por volta de 1810, daí o nome de distribuição Gaussiana para tal
modelo (BUSSAD & MORETTIN, 2004).
De uma maneira geral, diz-se que uma variável aleatória (v.a.)
β
tem
distribuição normal com média
α
e variância
2
σ
, onde
+∞<<
∞
−
α
e
∞<<
2
0
σ
, se sua função de densidade de probabilidade é dada por:
∞<<−∞=
−−
β
πσ
σαβ
σαβ
,
2
1
),,(
22
2/)(2
ef
(3.3)
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53
Podemos dizer que ),(~
2
σαβ
N .
A Figura 3.9 ilustra uma curva normal, determinada por valores particulares
de
α
e
σ
.
Figura 3.9 – Função de densidade de probabilidade de uma v.a. normal com média
α
e
desvio padrão
σ
.
Quando
0=
α
e 1=
σ
, temos uma distribuição padrão ou reduzida.
Há vários métodos para gerar v.a. normais, mas uma observação
importante é que basta gerar uma v.a. normal padrão, pois qualquer outra pode
ser obtida desta. De fato, gerado um valor
1
z
da v.a. )1,0(~ NZ , para gerar um
valor
1
β
de uma v.a. ),(~
2
σαβ
N basta usar a transformação;
11
.z
σ
α
β
+
=
(3.4)
Um método eficiente para gerar v.a. com distribuição normal é o Método de
Box-Müller (BUSSAD & MORETTIN, 2004). Nesse método são geradas duas
v.a. normal padrão
1
z
e
2
z , independentes, e )1,0(N , a partir de duas v.a. com
distribuição uniforme em [0,1],
1
u
e
2
u
, como mostra as equações 3.5 e 3.6
(BUSSAD & MORETTIN, 2004) :
)2cos(log2
211
uuz
π
−=
(3.5)
)2(log2
212
usenuz
π
−=
(3.6)
A Figura 3.10 mostra o resultado da geração de números aleatórios
usando a função rand da biblioteca padrão da linguagem C.
0
σ
α
+
α
σ
α
−
()
β
fd
β
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Métodos de Otimização
54
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 200 400 600 800 1000
Figura 3.10 – Números gerados pela função rand da biblioteca da linguagem C.
Na Figura 3.11 é apresentado o resultado da geração de números
aleatórios com distribuição normal a partir da variável aleatória uniforme gerada
pela função rand da biblioteca da linguagem C.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 3.11– Números gerados pela transformação da v.a. uniforme em v.a. normal.
Número de variáveis
Variáveis aleatórias normais
Número de variáveis
Variáveis aleatórias normais
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55
3.4.1.7.2.
Algoritmo Padrão de EE
As componentes básicas de um Algoritmo Evolucionário quando aplicadas
a um algoritmo de
sEE' possuem características particulares, que estão
detalhadas a seguir (CORTES & SAAVEDRA, 2000; EIBEN & SMITH,2003 ):
• Representação dos Indivíduos
Nas
sEE'
, cada indivíduo é representado por um par de vetores reais da
forma
()
σ
,xv = , onde x representa um ponto de busca no espaço, ou
seja, é o vetor das variáveis da função objetivo, e
σ
o vetor de desvio
padrão associado.
• Inicialização da população
A inicialização da população geralmente é feita de maneira muito simples,
gerando aleatoriamente os indivíduos. Porém, pode-se utilizar alguma
heurística para iniciar a população, tal como gerar indivíduos que sejam
possíveis soluções do problema.
• Recombinação dos
µ
pais até gerar
λ
descendentes.
Há inúmeras variações desse operador. Quanto ao número de genitores
que participam da recombinação, ela pode ser chamada de recombinação
de multi-pais, onde mais de dois indivíduos participam da geração de
apenas um descendente, sendo
ρ
(1≤
ρ
≤
µ
), onde
ρ
é o número de
indivíduos que irão participar da recombinação para gerar um
descendente
. Normalmente, escolhe-se
ρ
=2 ou
ρ
=
µ
(recombinação
global). Quanto as diferentes maneiras de recombinar os genitores, pode-
se citar como exemplos típicos a recombinação discreta e a recombinação
intermediária:
¾ Recombinação discreta
Um descendente é gerado a partir de dois ou mais genitores escolhidos
randomicamente na população ancestral. As variáveis que irão formar o
novo descendente são escolhidas randomicamente entre as variáveis dos
genitores.
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56
Para ilustrar esse processo é mostrado um exemplo onde dois indivíduos
da população ancestral,
(
)
aa
xa
σ
,
=
e
(
)
bb
xb
σ
,
=
, são escolhidos
randomicamente e recombinados para formar um descendente,
()
',''
σ
xv = . A recombinação é feita gerando-se uma variável aleatória u
com distribuição uniforme no intervalo de [0,1], amostrada individualmente
para cada componente do vetor
'v .
u ≤0.5
→
iai
xx
,
'
=
u >0.5
→
ibi
xx
,
'
=
u ≤0.5
→
iai ,
'
σ
σ
=
u
>0.5
→
ibi ,
'
σ
σ
=
Com i=1,...,n ; onde n é o número de variáveis da função objetivo.
¾ Recombinação Intermediária
A diferença da recombinação discreta é que as variáveis que irão formar o
novo indivíduo são obtidas através da média aritmética das variáveis dos
pais ao invés de realizar uma escolha randomica das variáveis. Sendo
assim, usando o mesmo exemplo mostrado acimo, as variáveis do novo
descendente poderiam ser obtidas da seguinte
(
)
2/xxx
i,bi,a
'
i
+=
(
)
2/
i,bi,a
'
i
σσσ
+=
As vantagens e desvantagens da recombinação para uma função objetivo
em particular devem ser notadas durante o desenvolvimento, pois não há
uma recomendação generalizada para o uso deste operador.
• Mutação do desvio padrão e dos descendentes
Faz-se a mutação dos desvios padrões e, em seguida, a mutação dos
descendentes seguindo as equações 3.7 e 3.8 (BÄCK & HAMMEL, 1994;
BÄCK et al, 1997):
)),(N.),(N'.(exp.
ii
'
i
1010
ττσσ
+=
(3.7)
),(Nxx
'
ii
'
i
σ
0+=
(3.8)
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57
onde:
i = 1,...,n; sendo n o número de variáveis da função objetivo;
N
(0,1) representa um número Gaussiano com média zero e desvio
padrão unitário. Nota-se que esse número é o mesmo para todos os
indivíduos quando multiplicado pelo fator
'
τ
e, quando multiplicado por
τ
,
deve ser obtido independentemente para cada valor de i. Os valores
sugeridos para os parâmetros
'
τ
e
τ
são mostrados nas equações 3.9 e
3.10, respectivamente.:
1
)2('
−
= n
τ
(3.9)
1
2
−
= n
τ
(3.10)
Este esquema pode sofrer modificações. Uma opção é usar uma versão
simplificada, onde é usado o mesmo desvio padrão para todas as variáveis
da função objetivo.
É importante observar que os valores de
τ
e
'
τ
dependem das
características da função objetivo e os valores ótimos para estes
parâmetros podem ser diferentes dos valores propostos.
Nota-se que na mutação dos descendentes o desvio padrão será diferente
a cada geração, o que consiste no conceito de auto-adaptação.
• Seleção
Avalia-se a aptidão dos genitores e descendentes, onde serão escolhidos
os
µ
indivíduos com os melhores valores da aptidão, os quais serão os
pais na próxima geração.
3.4.1.8.
Comparação entre Estratégia Evolutiva e Algoritmo Genético
A partir do que foi visto nos itens anteriores, a Tabela 3.1 apresenta uma
comparação entre Estratégia Evolutiva e Algoritmo Genético na sua forma
padrão.
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Métodos de Otimização
58
Tabela 3.1 – Comparação entre Estratégia Evolutiva e Algoritmo Genético
EE
AG
Representação Números reais Binária
Seleção Esquema de seleção
determinístico:
)(
λ
µ
+
ou
),(
λ
µ
.
Esquema de seleção
probabilístico:
A
probabilidade
de cada indivíduo permanecer
na população é proporcional ao
valor de sua aptidão.
Mutação Principal operador Operador de pequena
importância e é aplicada através
de inversão de bits.
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4
Implementação Computacional
4.1.
Introdução
Para a implementação do cálculo de envoltória de esforços devido à ação
de cargas móveis, foram necessárias algumas modificações na interface gráfica
e na estrutura de dados do FTOOL. Essas modificações, que serão descritas a
seguir, incluem a edição e manipulação dos trens-tipo, a avaliação da função
aptidão, incluindo a estrutura de dados desenvolvida, e o traçado da envoltória
de esforços.
4.2.
Trem-tipo
Trens-tipo representam as cargas móveis verticais que devem ser
consideradas nos projetos estruturais de obras novas, bem como na verificação
e no reforço de obras existentes. A Associação Brasileira de Normas Técnicas
(ABNT) possui duas normas relacionadas a cargas móveis em pontes
rodoviárias, ferroviárias e passarela de pedestres, as quais estão resumidas nos
próximos dois itens. Em seguida serão descritos os elementos da interface
gráfica e a estrutura de dados criados para a manipulação dos trens-tipo .
4.2.1.
NBR – 7188 – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de
pedestre
De acordo com o carregamento a que a via estiver sujeita, a NBR – 7188
(1982) prevê as seguintes classes de trem-tipo para as rodovias brasileiras:
• classe 45: na qual a base do sistema é um veículo-tipo de 450 kN de peso
total;
• classe 30: na qual a base do sistema é um veículo-tipo de 300 kN de peso
total;
• classe 12: na qual a base do sistema é um veículo-tipo de 120 kN de peso
total.
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Implementação Computacional 60
60
Para passarelas de pedestres há uma única classe, na qual a carga móvel
é uma carga uniformemente distribuída de intensidade
p
= 5kN/m, não majorada
pelo coeficiente de impacto.
A composição dos trens-tipo citados acima está na Tabela 4.1 e na Figura
4.1. O veículo-tipo e suas características podem ser observados na Tabela 4.2 e
na Figura 4.2.
Tabela 4.1 – Cargas dos veículos (NBR – 7188, 1982).
Veículo Carga
Peso total
p
'p
Class
e da
ponte
Tipo
kN tf kN/m
2
Kgf/m
2
kN/m
2
Kgf/m
2
Disposição
da carga
45 45 450 45 5 500 3 300
Carga p em
toda a pista
30 30 300 30 5 500 3 300
Carga p’
nos
passeios
12 12 120 12 4 400 3 300
Figura 4.1 – Trem-tipo composto de um veículo e de cargas uniformemente distribuídas
(NBR – 7188, 1982).
A carga distribuída de intensidade
p
é aplicada em toda a pista de
rolamento, nesta incluídas as faixas de tráfego, os acostamentos e os
afastamentos, desconsiderando apenas a área ocupada pelo veículo.
Os passeios, independentemente de largura e altura, são carregados com
a carga distribuída de intensidade
'p .
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Implementação Computacional 61
61
Tabela 4.2 – Características dos veículos (NBR – 7188, 1982).
Unidade Tipo 45 Tipo 30
Tipo
12
Quantidade de eixos Eixo 3 3 2
Peso total de veículo kN-tf 450-45 300-3 120-2
Peso de cada roda dianteira kN-tf 75-7,5 50-5 20-2
Peso de cada roda traseira kN-tf 75-7,5 50-5 40-4
Peso de cada roda intermediária kN-tf 75-7,5 50-5 -
Largura de contato b
1
de cada roda
dianteira
m 0,50 0,40 0,20
Largura de contato b
3
de cada roda
dianteira
m 0,50 0,40 0,30
Largura de contato b
2
de cada roda
dianteira
m 0,50 0,40 -
Comprimento de contato de cada
roda
m 0,20 0,20 0,20
Área de contato de cada roda m
2
0,20xb 0,20xb 0,20xb
Distância entre os eixos m 1,50 1,50 3,00
Distância entre os centros de roda
de cada eixo
m 2,00 2,00 2,00
Figura 4.2 – Veículos-tipo (NBR – 7188, 1982).
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Implementação Computacional 62
62
4.2.2.
NBR – 7189 – Cargas móveis para projetos estrutural de obras
ferroviárias
A NBR – 7189 (1985) prevê as seguintes classes de trens-tipo ferroviários
brasileiros:
• TB-360: para ferrovias sujeitas a transporte de minério de ferro ou outros
carregamentos equivalentes;
• TB-270: para ferrovias sujeitas a transporte de carga geral;
• TB-240: para ser adotado somente na verificação de estabilidade e projeto
de reforço de obras existentes;
• TB-170: para vias sujeitas exclusivamente ao transporte de passageiros
em regiões metropolitanas ou suburbanas.
As características dos trens-tipo citados acima podem ser observadas na
Figura 4.3 e na Tabela 4.3.
Figura 4.3 – Características geométricas do trem-tipo (NBR – 7189, 1985).
Tabela 4.3 – Cargas dos trens-tipo (NBR – 7189, 1985).
TB Q (kN) q (kN/m) q’(kN/m) a (m) b (m) c (m)
360 360 120 20 1,00 2,00 2,00
270 270 90 15 1,00 2,00 2,00
240 240 80 15 1,00 2,00 2,00
170 170 25 15 11,00 2,50 5,00
Tratando-se de trem-tipo ferroviário, o cálculo da envoltória de esforços é
feito utilizando dois valores para carga distribuída,
q e 'q , que são valores da
carga considerando vagão cheio e vazio, respectivamente. O cálculo é feito de
forma a majorar o esforço, tornando o efeito da carga o mais desfavorável
possível. Por exemplo, nos trechos em que a aplicação da carga distribuída
a b
a
c
b
Q
Q
Q
Q
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Implementação Computacional 63
63
cause um efeito favorável, considera-se que atua
'q
, que é o menor valor para a
carga distribuída, e quando o efeito for desfavorável, considera-se que atua
q
,
que é o maior valor.
4.2.3.
Interface gráfica
A interface gráfica criada no FTOOL para a edição do trem-tipo pode ser
vista na Figura 4.4, onde aparecem em destaque o módulo de edição de trem-
tipo e o botão criado para acessar este módulo.
Figura 4.4 - Interface gráfica para a edição de um novo trem-tipo.
A seleção de um determinado trem-tipo pode ser feita através da lista
expansível, indicada na Figura 4.5.
Figura 4.5 – Lista expansível para seleção do trem-tipo.
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Implementação Computacional 64
64
Para a manipulação e visualização do trem-tipo, além dos botões padrões
do FTOOL, foram adicionados à interface novos botões, como pode ser visto no
Quadro 4.1:
Quadro 4.1 – Botões de manipulação do trem-tipo.
Cria um novo trem- tipo
Importa a lista de trens-tipo de outro arquivo
Renomeia o trem-tipo
Faz uma cópia do trem-tipo corrente
Remove o trem-tipo corrente
Exibe apenas o trem-tipo
Ao traçar uma linha de influência, exibe o trem-tipo nas posições críticas
Ao selecionar a opção de criar um novo trem-tipo ou copiar o trem-tipo
corrente, é exibido um módulo para edição do nome do novo trem-tipo, conforme
Figura 4.6.
Figura 4.6 – Módulo para edição do nome do trem-tipo.
Cada trem-tipo tem associado a ele um comprimento, que pode ser editado
através da área mostrada na Figura 4.7.
Figura 4.7 – Área destinada à edição do comprimento do trem-tipo.
O trem-tipo é composto por cargas concentradas, cargas uniformemente
distribuídas e cargas de multidão. Ao inserir qualquer carga no trem-tipo,
considera-se que ela seja orientada no sentido de cima para baixo e, por isso,
conforme a convenção de sinais do FTOOL, as cargas sempre aparecem com
um sinal negativo, mesmo quando este não é colocado durante a edição.
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Implementação Computacional 65
65
4.2.4.
Carga Concentrada
A matriz de carga concentrada, Figura 4.8, é composta por duas colunas:
•
x
– posição da carga em relação à origem do trem-tipo;
•
P
– valor da carga.
Figura 4.8 – Matriz de cargas concentradas.
Não se permite criar um trem-tipo com cargas concentradas ocupando a
mesma posição, nem com posição menor que a origem ou maior que o
comprimento do trem-tipo. Para adicionar uma nova carga concentrada ao trem-
tipo deve-se primeiro entrar com a posição e depois com o valor da carga. À
medida que são inseridas novas cargas, estas são automaticamente ordenadas
pela posição, da menor para a maior. Acima da matriz existem dois botões que
permitem aumentar e diminuir o número de linhas da matriz, porém, não se
permite que o número de linhas seja menor que cinco. O número de linhas
visíveis é sempre igual a quatro.
4.2.5.
Carga Distribuída
A matriz de cargas distribuídas varia conforme o tipo de trem-tipo, que é
definido por um marcador localizado acima da matriz. A opção padrão é trem-
tipo rodoviário (Highway load-train).
No caso de trem-tipo rodoviário, Figura 4.9, aparecem três colunas:
•
x
a - posição inicial da carga;
• xb - posição final da carga;
• q - valor da carga.
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66
Figura 4.9 – Matriz de cargas distribuídas para trem-tipo rodoviário.
No caso de trem-tipo ferroviário (Railway load-train), Figura 4.10,
aparecem quatro colunas:
•
x
a
- posição inicial da carga;
•
xb
- posição final da carga;
• q - valor da carga considerando o vagão cheio;
•
'q
- valor da carga considerando o vagão vazio.
Figura 4.10 – Matriz de cargas distribuídas para trem-tipo ferroviário.
Não se permite criar um trem-tipo com cargas distribuídas que se
sobreponham. As posições inicial e final da carga devem ser maiores que a
origem e menores que o comprimento do trem-tipo. Para adicionar uma nova
carga distribuída ao trem-tipo deve-se primeiro entrar com as posições inicial e
final e depois com o valor da carga. No caso do trem-tipo ferroviário, a primeira
carga a ser editada deve ser
q e depois 'q . À medida que são inseridas novas
cargas, estas são automaticamente ordenadas pela posição inicial, da menor
para a maior. Quando o valor de
x
a é maior que xb ou q é menor do que 'q ,
automaticamente invertem-se estes valores. É possível modificar o tipo do trem-
tipo mesmo depois de já ter sido criado. Ao transformar um trem-tipo rodoviário
em ferroviário,
q e 'q assumem o valor de q e, caso a transformação seja
inversa,
q mantém seu valor e ignora-se 'q . Similarmente à matriz de cargas
concentradas, a matriz de cargas distribuídas possui botões que permitem
manipular o número de linhas.
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Implementação Computacional 67
67
4.2.6.
Carga de Multidão
Podem existir dois tipos de carga de multidão:
• Externa (
p
): atua nos intervalos que não estão sob o trem-tipo.
• Interna (
'p
): atua na mesmo intervalo ocupado pelo trem-tipo.
A Figura 4.11 mostra a área na interface destinada à edição dessas
cargas. Quando não houver uma dessas cargas de multidão, seu valor deve ser
igual a zero. As cargas de multidão podem atuar parcialmente ao longo da
estrutura. O que se busca são as posições de atuação das cargas interna e
externa que maximizam ou minimizam o esforço. O valor máximo de um
determinado esforço será obtido quando as cargas de multidão estão
posicionadas sobre ordenadas positivas da
L
I
, e o valor mínimo é obtido
quando estiverem posicionadas sobre ordenadas negativas da
L
I
.
Figura 4.11 – Cargas de multidão.
A carga de multidão interna é um caso particular que ocorre ao transformar
um trem-tipo bidimensional em unidimensional. Por exemplo, os trens-tipo da
NBR-7188 (1982) são bidimensionais e, ao serem utilizados para projetar uma
estrutura plana, eles deve ser transformados em unidimensionais.
Como exemplo desse procedimento, a Figura 4.12 ilustra o trecho de uma
ponte com duas vigas longitudinais da qual deseja-se dimensionar uma das
vigas utilizando o trem-tipo classe 45 da NBR-7188 (1982). Este procedimento
deve ser feito à parte da presente implementação computacional.
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Implementação Computacional 68
68
Figura 4.12 – Trecho de uma ponte.
A Figura 4.13 representa a seção transversal
II
II
−
e mostra a
L
I
da
reação em
A , que representa o efeito da carga móvel sobre uma das vigas
longitudinais do exemplo. Como esta seção está sob a área de atuação do
veículo-tipo, posiciona-se o trem-tipo na posição que provoca a maior reação no
apoio
A e calcula-se a reação
A
R provocada apenas pelas cargas
concentradas. A carga de multidão, que inicialmente era distribuída por unidade
de área, é transformada em uma carga por unidade de comprimento. Para isso,
considera-se a carga de multidão apenas na área da
L
I
que aumentaria a
reação em
A .
conc
A
R = 75 x 1.21 + 75 x 1.04 = 168.75 KN
'p = 12 x 5 = 60.00 kN/m
Figura 4.13 –
L
I
da reação no apoio
A
, na Seção
II
II
−
.
II
II
I
I
p
p
p
p
A
1.00
1.25
-0.25
75 kN
75 kN
5 kN/m
2
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Implementação Computacional 69
69
Já a seção transversal
I
I
− , mostrada na Figura 4.14, não está sob o
veículo-tipo. Então, deve-se apenas transformar a carga de multidão
p
em
carga por unidade de comprimento, de maneira similar ao que foi feito com
'p .
p
= 15 x 5 = 75.00 kN/m
Figura 4.14 – L
I
da reação no apoio A , na Seção
I
I
−
.
O trem-tipo unidimensional resultante que irá atuar na direção longitudinal
da viga do exemplo é mostrado na Figura 4.15.
Figura 4.15 – Trem-tipo unidimensional resultante da transformação do trem-tipo classe
45 da NBR-7188 (1982) .
4.2.7.
Estrutura de Dados
A estrutura de dados do trem-tipo (Figura 4.16) é formada por um ponteiro
para a lista duplamente encadeada de cargas concentradas (conclist), um
ponteiro para a lista duplamente encadeada de cargas uniformemente
distribuídas (uniflist) e pelos seguintes parâmetros:
5 kN/m
2
1.00
1.25
-0.25
A
168.75 kN
168.75 kN
168.75 kN
p
= 75.00 kN/m
p
’ = 60.00 kN/m
1.50
1.50
1.50
1.50
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Implementação Computacional 70
70
• acc_ext – valor da carga de multidão externa;
• acc_int – valor da carga de multidão interna;
• conc_load – número de cargas concentradas;
• unif_load – número de cargas distribuídas;
• length – comprimento do trem-tipo;
• type – tipo de trem-tipo, que pode ser rodoviário ou ferroviário;
• symmetry – flag que indica se o trem-tipo é simétrico ou não.
As estruturas que guardam as informações das cargas concentradas e
distribuídas são formadas por ponteiros (prev e next) que fazem o
encadeamento das respectivas listas e por parâmetros que armazenam os
dados de cada carga inserida pelo usuário, os quais já foram descritos
anteriormente ao mostrar as matrizes de edição dessas cargas.
Figura 4.16 – Estrutura de dados do trem-tipo.
4.3.
Função Aptidão
Como já foi visto, a envoltória de esforços de uma estrutura é um diagrama
que representa, para cada seção transversal da estrutura, os esforços limites
devido à ação de uma carga móvel. Então, pode-se dizer que existe um diferente
problema de otimização a ser resolvido para cada uma dessas seções. O
método usado para resolver esse problema será discutido adiante, porém, pode-
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Implementação Computacional 71
71
se adiantar que será necessária uma função aptidão, que será responsável por
indicar a qualidade da solução durante o processo de otimização.
Neste caso, a função aptidão calcula o esforço em uma determinada seção
transversal da estrutura para uma dada posição do trem-tipo. Durante o
processo de otimização, a avaliação desta função será feita inúmeras vezes,
para diferentes posições do trem-tipo.
Visando diminuir o esforço computacional envolvido nestes cálculos, ao se
iniciar o processo de otimização em uma determinada seção transversal faz-se
uma análise da
L
I
e armazena-se as informações referentes a alguns de seus
pontos, visto que o cálculo do esforço em uma seção transversal é realizado a
partir de informações obtidas através da
L
I
.
Na presente implementação, a
L
I
é calculada pelo FTOOL conforme
descrito na Seção 2.4.1 e exportada para a avaliação da envoltória como uma
seqüencia de valores, que são tratados como uma função linear por partes.
Como o passo de avaliação é muito pequeno, o erro de avaliação de valores
pontuais e de área é muito pequeno. Isso deve ser verificado em
implementações futuras, através do cálculo da área da
L
I
utilizando integração
numérica.
4.3.1.
Eventos
A análise da L
I
consiste em identificar alguns pontos de maior importância
e guardar informações sobre eles. Estes pontos, Figura 4.17, foram
denominados de eventos, que são pontos onde ocorrem:
• valores máximos ou mínimos;
• mudanças de sinal, isto é, pontos em que a L
I
tenha valor nulo;
• descontinuidades;
• o início ou o fim de um trecho de valor constante;
• o início ou o fim da própria L
I
.
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Implementação Computacional 72
72
Figura 4.17 – Linha de influência com a identificação dos eventos.
4.3.1.1.
Estrutura de Dados dos Eventos
Esses eventos são organizados em uma lista duplamente encadeada e,
para guardar as informações referentes a eles, criou-se uma estrutura de dados,
Figura 4.18, formada por dois ponteiros (prev e next) que fazem o
encadeamento da lista e pelos seguintes parâmetros:
• type – tipo de evento;
• pos – posição em relação à origem da L
I
em que ocorre o evento;
• val_left – valor à esquerda do evento;
• val_right – valor à direita do evento;
• area – área à esquerda do evento.
Figura 4.18 – Estrutura de dados de um evento
Mudança de
sinal
Discontinuidade +
Máximo + Mínimo
Mínimo
Mudança de
sinal
Fim da LI
Início da LI +
Máximo
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Implementação Computacional 73
73
Foram identificados os seguintes tipos de evento:
• IL_START – início da
L
I
;
• IL_END – fim da L
I
;
• IL_DISCONT_UP – descontinuidade na L
I
, sendo o valor à esquerda
maior que o valor à direita;
• IL_DISCONT_DOWN – descontinuidade na L
I
, sendo o valor à esquerda
menor que o valor à direita;
• IL_MIN – ponto de mínimo da L
I
;
• IL_MAX – ponto de máximo da
L
I
;
• IL_CROSS_UP – quando a L
I
cruza o eixo e o valor à esquerda é maior
que o valor à direita;
• IL_CROSS_DOWN – quando a L
I
cruza o eixo e o valor à esquerda é
menor que o valor à direita;
• IL_CTE_START – início de um intervalo da L
I
de valor constante;
• IL_CTE_END – fim de um intervalo da L
I
de valor constante.
Como em um evento pode ocorrer a combinação dos vários tipos descritos
acima, a classificação quanto ao tipo de evento foi realizada utilizando
combinação binária dos tipos de eventos. O Quadro 4.2 exibe os possíveis tipos
de ocorrência de eventos, isolados ou combinados.
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Implementação Computacional 74
74
Quadro 4.2 – Possíveis tipos de ocorrência de eventos.
EVENTOS COMBINADOS
IL_MAX
IL_MIN
IL_CTE_START
IL_CROSS_UP
IL_START
IL_MAX
IL_CROSS_ DOWN
IL_MAX
IL_MIN
IL_CTE_END
IL_MAX IL_CROSS_DOWN
IL_END
IL_MIN IL_CROSS_UP
IL_CTE_START
IL_CTE_END
IL_CTE_START
IL_CTE_END
IL_MIN
IL_CTE_START
IL_DISCONT_UP
IL_MAX
IL_MIN
IL_CTE_START
IL_CTE_END
IL_CTE_START
IL_CTE_END
IL_MAX
IL_CTE_START
IL_DISCONT_DOWN
IL_MIN
IL_MAX
IL_MAX
IL_CROSS_UP IL_CROSS_DOWN
IL_MIN
EVENTOS ISOLADOS
IL_CROSS_UP
IL_CROSS_DOWN
IL_MAX
IL_MIN
IL_CTE_START
IL_CTE_END
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Implementação Computacional 75
75
4.3.2.
Cálculo da Função Aptidão
Para se calcular o valor de um determinado esforço em uma seção
transversal da estrutura, dados a linha de influência deste esforço nesta seção e
a posição do trem-tipo, deve-se fazer o somatório das seguintes parcelas:
• produto de cada carga concentrada pelo valor da ordenada da L
I
na
posição da carga. Quando houver uma descontinuidade na posição da
carga, deve-se assumir o valor mais desfavorável, ou seja, quando tratar
de envoltória máxima dos esforços, deve contribuir aumentando o valor da
função aptidão e no caso de envoltória mínima, diminuindo;
• produto de cada carga uniformemente distribuída pela área L
I
sob a
carga. No caso de trem-tipo ferroviário, os dois valores definidos para
cada carga distribuída, um correspondente ao carregamento de um vagão
cheio e outro ao carregamento de um vagão vazio, devem ser utilizados no
cálculo de forma que contribuam de maneira mais desfavorável;
• caso haja valores definidos para as cargas de multidão, faz-se o produto
entre este valor e as áreas da
L
I
que sejam desfavoráveis.
4.3.3.
Envoltória de Esforços no FTOOL
Na interface gráfica, dentro do módulo de edição de trens-tipo, foram
criados botões para calcular a envoltória de esforços (Quadro 4.3).
Quadro 4.3– Botões para calcular a envoltória de esforços.
Calcula a envoltória de esforços considerando apenas a carga móvel
Calcula a envoltória de esforços considerando a carga permanente além
da carga móvel
Porém, deve-se entender como o programa analisa a estrutura antes de
fazer o cálculo da envoltória de esforços e conhecer as possíveis maneiras de
interagir com o programa.
Primeiro deve-se selecionar o trem-tipo e o esforço, Figura 4.19, para o
qual deseja-se obter a envoltória. Ao selecionar o esforço, o programa verifica se
estão definidas as propriedades de todos os elementos estruturais e, caso
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Implementação Computacional 76
76
positivo, entra em modo de pós-processamento. Caso, ao solicitar o cálculo da
envoltória, já esteja em modo de pós-processamento, a envoltória será traçada
para o tipo de esforço corrente. Caso não haja esforço selecionado, a opção
padrão é o esforço cortante.
Figura 4.19 – Botões para seleção dos esforços.
Em seguida, é verificado se a estrutura forma um caminho contínuo, isto é,
que não apresente elementos estruturais isolados, e suave, que apresente uma
inclinação viável ao deslocamento de uma carga móvel sobre ela. Caso
contrário, solicita que o usuário selecione o caminho que o trem-tipo irá
percorrer, embora a envoltória continue sendo calculada para todos os
elementos estruturais. Para se fazer a seleção, deve-se verificar se o botão que
indica que será traçada a
L
I
para novas seções, Figura 4.19, não está
selecionado, e, permanecendo com a tecla SHIFT pressionada, clicar nos
elementos que irão formar o caminho do trem-tipo. Por exemplo, no pórtico da
Figura 4.20, considerando um trem-tipo qualquer que se desloque apenas sobre
a viga do pórtico, o valor da envoltória nas colunas do pórtico não será nulo,
pois, ao deslocar-se sobre a viga, o trem-tipo causará esforços nas seções
transversais das colunas.
Figura 4.20 – Pórtico com envoltória de esforço cortante devido à ação de uma carga
móvel
Momento fleto
r
Cortante
Normal
Traçar linha de influência
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Implementação Computacional 77
77
A estrutura é discretizada em um certo número de seções, que é obtido
estimando a distância entre as seções através da equação 4.1.
ldx 005,0=
(4.1)
O número total de seções (
sec
n ) é dado pela equação 4.2.
dx
l
n
tot
=
sec
(4.2)
Onde:
dx
- distância entre as seções transversais da estrutura;
l - comprimento do caminho que o trem-tipo irá percorrer;
tot
l - comprimento total da estrutura.
Para cada uma dessas seções, calcula-se a linha de influência e
determinam-se os valores máximo e mínimo do esforço nessa seção através do
algoritmo de otimização desenvolvido. Sempre serão consideradas seções nos
apoios e na extremidade livre de balanços.
Existe também a opção de calcular os esforços limites apenas em uma
seção da estrutura. Sempre que o botão para exibir o trem-tipo nas posições
críticas (Quadro 4.1) estiver selecionado, calcula-se automaticamente o valor
dos esforços limites ao traçar a
L
I
para uma determinada seção transversal,
além de desenhar o trem-tipo nas posições que causam esses esforços limites.
O trem-tipo é desenhado conforme a convenção de sinais da
L
I
, ou seja, se os
valores positivos da
L
I
são desenhados na parte superior de cada membro da
estrutura, o trem-tipo será desenhado na parte superior da estrutura na posição
que causa o esforço máximo e na parte inferior na posição que causa o esforço
mínimo (Figura 4.21).
Deve-se ressaltar que esse desenho das posições do trem-tipo é muito
importante para o aprendizado do aluno sobre a consideração de cargas móveis
em estruturas.
Figura 4.21 –
L
I
com trem-tipo nas posições críticas.
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5
Algoritmos Implementados
5.1.
Introdução
O método de otimização adotado para determinar a envoltória de esforços
limites foi a Estratégia Evolutiva que, como já foi descrito no capítulo 3, faz parte
da família dos algoritmo evolucionários, não exige uma representação
matemática da função objetivo e apresenta bom desempenho ao lidar com
funções multimodais, como é o caso da envoltória de esforços. Porém, como
existem variações dentro desse método, fez-se a implementação de duas
maneiras distintas, de forma que fosse possível avaliar qual apresentaria melhor
comportamento para esse tipo de problema. As estratégias implementadas
foram as conhecida como
EE−+
λ
1 e EE
−
+
λ
µ
, cujos detalhes da aplicação
neste problema em particular serão discutidos a seguir. Além de utilizar
algoritmos de
E
E
para resolver o problema de envoltórias, foi desenvolvido um
outro método de solução denominado Força Bruta. Para refinamento dos
resultados obtidos por esses métodos foi desenvolvido o processo Cargas-em-
picos.
5.2.
Considerações gerais
Algumas considerações podem ser feitas de uma maneira geral para
ambos os algoritmos evolucionários utilizados. São elas:
• Função Aptidão
Não existe uma função matemática que descreva a envoltória de esforços
de uma estrutura de forma a exercer o papel de função aptidão. Porém,
dentro do FTOOL foi desenvolvido um módulo que determina o valor de
um esforço em uma seção da estrutura, dada a posição do trem-tipo.
Nos algoritmos de
E
E
implementados, o valor desse esforço exerce o
papel de função aptidão, ou seja, apresentará melhor aptidão o indivíduo
que tiver o maior valor do esforço no caso de envoltória de esforços
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Algoritmos Implementados 79
79
máximos e, no caso de envoltória de esforços mínimos, o indivíduo com o
menor valor.
• Espaço de busca
As posições do trem-tipo que causam os esforços máximos e mínimos
para cada seção transversal da estrutura são pontos no espaço de busca.
Sendo o FTOOL um programa de análise de pórticos planos e
considerando que o trem-tipo desloca-se apenas horizontalmente, o
espaço de busca é unidimensional e essas posições são descritas apenas
por uma variável.
Sendo assim, o espaço de busca será a projeção horizontal do caminho a
ser percorrido pelo trem-tipo acrescida do comprimento do trem-tipo, pois a
busca é feita considerando desde posições onde todo o trem-tipo é
posicionado sobre o caminho de busca, até posições que o considera
parcialmente ou completamente fora deste caminho. A origem será sempre
a posição inicial deste caminho. Como exemplo, é mostrado na Figura 5.1
o espaço de busca considerado no caso de um pórtico com viga inclinada
e um dado trem-tipo, onde:
l - comprimento do caminho que o trem-tipo irá percorrer;
t
l - comprimento do trem-tipo.
Figura 5.1 – Pórtico com viga inclinada, trem-tipo e espaço de busca.
Origem
t
l
l
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Algoritmos Implementados 80
80
• Parâmetros Adotados
Para utilizar qualquer um dos algoritmos descritos a seguir será necessário
estabelecer os parâmetros a serem utilizados. O ideal seria determinar
valores ótimos para os parâmetros a cada problema, o que consistiria um
processo de tentativa e erro para cada estrutura que se desejasse traçar a
envoltória. Porém, como a idéia é que estes parâmetros fiquem internos no
FTOOL, não permitindo que o usuário possa alterá-los, foram realizados
vários testes em diferentes estruturas, com diferentes dimensões e com
trens-tipo variados e estabeleceu-se, para cada algoritmo implementado,
valores para esses parâmetros que fornecem bons resultados na maioria
dos casos.
5.3.
Estratégia 1+
λ
- EE
Essa estratégia foi implementada utilizando heurísticas adicionais
relacionadas a envoltórias de esforços.
O operador de mutação foi utilizado para obter os descendentes a partir do
genitor, embora não tenha sido aplicado ao desvio-padrão. A idéia de auto-
adaptação do desvio-padrão não foi utilizada a cada geração porque a busca foi
feita através da sub-divisão do espaço de busca. O operador de recombinação
não foi utilizado.
5.3.1.
Sub-divisão do Espaço de busca
Por se tratar de um problema unidimensional, foi possível fazer a busca
dividindo-se o espaço de busca em trechos e determinando para cada um deles
os esforços máximo e mínimo locais. No final, os esforços limites globais são
determinados a partir dos resultados locais obtidos.
Os trechos de uma
L
I
são limitados por eventos do tipo IL_START,
IL_END, IL_DISCONT_UP, IL_DISCONT_DOWN, IL_MIN, IL_MAX,
IL_CROSS_UP e IL_CROSS_DOWN.
Outra particularidade é que o posicionamento do trem-tipo foi feito a partir
da posição da maior carga concentrada, sendo que quando houver mais de uma
carga com o mesmo valor, a referência será a carga mais próxima à origem do
trem-tipo. Quando não houver carga concentrada, toma-se como referência a
própria origem do trem-tipo.
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Algoritmos Implementados 81
81
Como a busca deve ser feita considerando desde posições onde o trem-
tipo esteja todo posicionado sobre a estrutura a posições que o deixem
parcialmente ou completamente fora dela, existe um trecho antes do início da
L
I
, que é dado pela distância da maior carga concentrada até o início da L
I
, e
um após o fim da
L
I
, que é dado pela distância entre o fim da L
I
e a maior
carga concentrada, como está ilustrado pela Figura 5.2.
Figura 5.2 – Determinação do trecho inicial e final.
5.3.1.1.
Estrutura de dados
Os trechos de busca são organizados em uma lista duplamente
encadeada. A estrutura de dados criada para guardar as informações referentes
a esses trechos é formada por dois ponteiros (prev e next) que fazem o
encadeamento da lista e pelos seguintes parâmetros (Figura 5.3):
• pos_init – posição inicial do trecho em relação à origem da L
I
;
• pos_end – posição final do trecho, em relação à origem da L
I
;
• val_max – valor máximo da envoltória no trecho;
• pos_max – posição da origem do trem-tipo em relação à origem da L
I
que
ocorre o valor máximo da envoltória;
• sent_max – sentido do trem-tipo que causa o valor máximo da envoltória;
• val_min – valor mínimo da envoltória no trecho;
• pos_min – posição do início do trem-tipo em relação à origem da
L
I
que
ocorre o valor mínimo da envoltória;
• sent_min – sentido do trem-tipo que causa o valor mínimo da envoltória.
Trecho Inicial
Trecho Final
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Algoritmos Implementados 82
82
Figura 5.3 – Estrutura de dados dos trechos.
5.3.1.2.
Inicialização da população
A inicialização da população pode ser feita de maneira aleatória, mas
visando obter um melhor desempenho, optou-se por inicializar a população
selecionando posições que fossem possíveis soluções do problema.
Ao traçar manualmente a envoltória de esforços de uma determinada
estrutura sujeita a ação de um trem-tipo que possua cargas concentradas, é
intuitivo posicionar a maior carga concentrada sobre os valores extremos e
descontinuidades da
L
I
, pois em grande parte dos casos, são as posições mais
desfavoráveis à estrutura, isto é, posições que causam os maiores esforços.
Então, como os trechos são limitados por eventos destes tipos e como
nesta estratégia a população possui apenas um indivíduo, a busca em cada
trecho inicia-se com um indivíduo que represente a maior carga concentrada do
trem-tipo posicionada no início do trecho. No fim da busca no trecho avalia-se o
indivíduo que corresponde a maior carga concentrada do trem-tipo posicionado
no final do trecho.
5.3.1.3.
Mutação
Na estratégia EE−+
λ
1 a população possui apenas um indivíduo que
sofre mutação para gerar os
λ
descendentes.
Ao optar por essa estratégia, o primeiro passo foi ajustar o número de
descentes (
λ
) que seriam gerados. Na literatura (BÄCK & HAMMEL, 1994;
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Algoritmos Implementados 83
83
COSTA & OLIVEIRA, 2002; BACK,1992) encontram-se recomendações para
utilizar valores de
µ
λ
entre cinco e sete quando o valor de
µ
não for muito
pequeno. Como nessa estratégia
µ
é igual a um, foi adotado
λ
igual a dez, que
conforme testes realizados, foi o valor que apresentou melhores resultados.
A mutação é realizada a partir de uma perturbação Gaussiana de média
nula e um determinado desvio padrão, conforme equação 3.8.
Visando explorar as características da
L
I
, o valor do desvio padrão (
σ
) é
determinado a partir de uma porcentagem do comprimento de cada trecho, tendo
sido estipulado um valor de 25% do comprimento. Por exemplo, trechos com
pequenos comprimentos correspondem a áreas mais perturbadas, onde uma
pequena variação na posição do trem-tipo tende a causar uma maior variação no
valor do esforço que se pretende traçar a envoltória. Neste caso é necessária
uma maior atenção durante a busca, ou seja, deve-se utilizar um desvio padrão
pequeno. Porém, visando evitar que o desvio padrão assuma valores muito
pequenos e torne a busca muito lenta ou valores muito grandes de forma que
não seja possível encontrar resultados satisfatórios, estabeleceu-se o valor
máximo e o mínimo que o desvio padrão pode assumir, sendo:
00,4
max
=
σ
m
20,0
min
=
σ
m
5.3.1.4.
Seleção
Após a mutação do indivíduo pai para gerar os
λ
descendentes, a
população passa a ter 1+
λ
indivíduos, dos quais apenas um é selecionado para
permanecer na população.
A seleção é feita com base na avaliação da função aptidão, de forma que o
indivíduo que apresentar a melhor aptidão permanece na população.
Quando em uma determinada geração a população não se modificar, isto
é, nenhum dos
λ
descendentes gerados apresentar melhor aptidão que o pai, é
sinal que este ponto pode ser um máximo/mínimo local. Sendo assim, optou-se
por fazer uma busca local, diminuindo o valor do desvio padrão para o valor
min
σ
, visando melhorar a qualidade da solução encontrada. Isso é mostrado na
Figura 5.4, onde o primeiro ponto de máximo/mínimo local é indicado como 1º
ponto limite. A busca prossegue com este valor de desvio padrão até a próxima
geração que a população não se modificar, ou seja, até encontrar um próximo
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Algoritmos Implementados 84
84
ponto limite. Feito isso, isola-se o espaço onde já foi realizada a busca dentro do
trecho e reinicia-se a busca a partir de uma nova posição inicial, que é
determinada a partir dos seguintes passos:
• após fazer a busca utilizando o valor
σ
calculado com base no
comprimento do trecho e encontrar o primeiro ponto limite, marca-se uma
suposta posição inicial para a próxima busca somando-se
σ
a posição
deste ponto;
• continua-se a busca utilizando-se
min
σ
e, após a determinação do novo
ponto limite, calcula-se outra possível posição inicial somando-se
min
σ
ao
novo ponto encontrado;
• a posição a partir da qual se reiniciará a busca será a posição mais a
direita entre as duas posições calculadas anteriormente. A população será
iniciada com um indivíduo correspondente a esta posição e voltará a ser
usado o desvio padrão original (
σ
).
Figura 5.4 – Processo de busca por trechos.
Ao fim da busca no trecho, avalia-se o indivíduo que corresponde à
posição final do trecho. Seleciona-se o melhor entre este indivíduo e o que
representa a população.
Fazendo-se a busca desta forma pode-se garantir que todas as áreas da
estrutura foram abrangidas.
Não existe uma fórmula que determine o número de avaliações da função
aptidão, pois este número varia a cada vez que o cálculo da envoltória é
solicitado. Para cada seção transversal da estrutura, a função aptidão é avaliada
um diferente número de vezes.
σ
σ
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85
5.3.1.5.
Critério de parada
Como foi visto, a busca é feita dividindo-se o espaço de busca em trechos
e fazendo com que o trem-tipo percorra todos eles. Logo, o critério de parada é
completar a busca em todos os trechos.
5.4.
Estratégia
µ
+
λ
- EE
Na estratégia EE−+
λ
µ
não se utilizou a sub-divisão do espaço de busca
em trechos com a finalidade de avaliar o comportamento de um algoritmo de E
E
quando não lhe é fornecido informações adicionais do problema.
O único operador utilizado foi a mutação, que também foi aplicado ao
desvio padrão, ou seja, empregou-se auto-adaptação do desvio padrão. Para
isso, cada indivíduo tem associado a ele um desvio-padrão.
5.4.1.
Estrutura de dados
Criou-se uma estrutura para representar os indivíduos que armazena as
seguintes informações (Figura 5.5):
• pos – posição do trem-tipo no espaço de busca;
• dp – desvio padrão associado ao indivíduo;
• env – valor da função aptidão;
• ger – número de gerações que o indivíduo permanece na população;
Figura 5.5 – Estrutura de dados de um indivíduo.
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86
5.4.1.1.
Inicialização da população
A inicialização da população foi feita de maneira aleatória, utilizando uma
distribuição uniforme para gerar os indivíduos. Foi utilizado como ponto de
referência para o posicionamento do trem-tipo a sua origem. O desvio padrão
associado a cada indivíduo foi inicializado com o mesmo valor para todos os
indivíduos da população. Este valor foi estipulado como sendo 10% do
comprimento total do espaço de busca, conforme equação 5.1.
()
t
ll1,0 +=σ
(5.1)
onde:
l
- comprimento do caminho que o trem-tipo irá percorrer;
t
l - comprimento do trem-tipo;
5.4.1.2.
Mutação
Na EE−+
λ
µ
todos os indivíduos da população sofrem mutação para
gerar os
λ
descendentes. Para a utilização da auto-adaptação do desvio padrão
(
σ) durante o processo evolutivo, aplicou-se as equações 3.7, 3.9 e 3.10. Sendo
assim, antes do operador de mutação ser aplicado à população para gerar os
descendentes, ele é aplicado ao desvio padrão. A mutação dos genitores é feita
através da aplicação da equação 3.8.
5.4.1.3.
Seleção
Após a mutação de todos os genitores, os quais geraram
µ
λ
/
descendentes cada um, a população passa a ter
λ
µ
+
indivíduos, dos quais
apenas
µ
indivíduos são selecionados para permanecer na população.
Foram implementados os seguintes tipos de seleção:
• Seleção global
A seleção foi realizada fazendo uma concorrência entre todos os
λ
µ
+
indivíduos da população, de forma que os
µ
indivíduos que apresentassem o
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Algoritmos Implementados 87
87
melhor aptidão fossem selecionados para serem os genitores da próxima
população. Porém, observou-se que certas vezes esse processo de seleção
causava uma diminuição prematura da diversidade da população,
prejudicando o processo evolutivo. Uma das causas observadas era a
inicialização do desvio padrão, que era feita sempre com um mesmo valor,
sem levar em conta as dimensões do trem-tipo e da estrutura, o que causava
uma convergência prematura quando este valor era muito pequeno em
relação às dimensões. Para corrigir esse erro, foi estabelecida a inicialização
do desvio padrão através da equação 5.1.
Observou-se também que quando o tamanho da população (
µ
) é pequeno,
ela pode não representar todo o espaço de busca, o que também pode levar
a uma convergência para um máximo ou mínimo local .
• Seleção Individual
Cada genitor compete apenas com seus descendentes para permanecer na
população, através da avaliação da aptidão. É como se os indivíduos dessa
população evoluíssem paralelamente.
Os dois tipos de seleção tiveram bons resultados quando os parâmetros
foram adequadamente estabelecidos. Ou seja, na seleção global é mais
importante a população ter maior número de indivíduos (
µ
) do que continuar o
processo evolutivo por um maior número de gerações (
ger
n ). Já na seleção
individual, o número de gerações (
ger
n ) exerce papel fundamental. Conhecendo
essas propriedades foram estabelecidos os seguintes valores para os
parâmetros:
Tabela 5.1 –. Parâmetros adotados na ES
−
+
)(
λ
µ
.
Seleção
Parâmetros
Global Individual
g
e
r
n 15 40
µ
20 7
λ
60 21
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88
5.4.1.4.
Critério de parada
Primeiramente pensou-se em adotar um critério de parada baseado na
diversidade da população, estabelecendo-se um limite até o qual ela iria diminuir.
Porém, poderia levar muito tempo até que a diversidade diminui-se até o limite
desejado, desperdiçando um esforço muitas vezes desnecessário, pois, em
muitos casos, pode existir uma boa solução na população antes que a
diversidade atinja o limite estabelecido.
A opção adotada foi estabelecer o número máximo de gerações até o qual
a população iria evoluir.
O número de avaliações da função aptidão para cada seção transversal da
estrutura varia diretamente com o número de gerações da população, com o
tamanho da população e com número de descendente, conforme a equação 5.2:
(
)
[
]
ger
nna
λ
µ
+= 2
(5.2)
onde:
na - número de avaliações da função aptidão em uma seção transversal da
estrutura;
µ
- número de genitores;
λ
- número total de descendentes gerados a cada geração;
ger
n
- número de gerações.
O número dois só aparece na equação 5.2 caso o trem-tipo não seja
simétrico, pois, neste caso, o mesmo processo de otimização será realizado
duas vezes, considerando o trem-tipo percorrendo a estrutura nos dois sentidos.
A equação 5.3 fornece o número total de avaliações da função aptidão:
sectot
n.nan =
(5.3)
onde:
tot
n - número total de avaliações da função aptidão em toda estrutura;
sec
n - número de seções transversais que a estrutura foi discretizada;
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89
5.5.
Força Bruta
O processo que foi denominado Força Bruta não é um algoritmo
evolucionário e nem propriamente um método de otimização. Consiste apenas
em percorrer toda estrutura por passos de tamanho pré-estabelecido com o
trem-tipo e calcular os valores dos esforços máximo e mínimo. Caso o trem-tipo
não seja simétrico, esse processo é realizado percorrendo a estrutura com o
trem-tipo nos dois sentidos. No final são determinados os esforços críticos na
seção transversal em questão.
Neste processo, a precisão dos resultados depende do tamanho do passo
(
∆ ), ou seja, quando menor o valor de
∆
maior a chance de se obter bons
resultados. Porém,
∆ é um fator que influência o número de vezes que serão
calculados os esforços, logo, quanto menor
∆
, maior o número de vezes que o
cálculo dos esforços será repetido e conseqüentemente mais caro fica o
processo. O número de repetições do cálculo do esforço também depende do
tamanho do trem-tipo e do comprimento do caminho que ele deve percorrer e é
determinado pela equação 5.4:
+
+
= 12
∆
t
ll
na
(5.4)
onde:
na - número de avaliações da função aptidão em uma seção transversal da
estrutura;
l - comprimento do caminho que o trem-tipo irá percorrer;
t
l - comprimento do trem-tipo;
∆ -distância que determina de quanto em quanto será calculado o valor dos
esforços .
Sendo o trem-tipo simétrico, o número dois não aparece na equação 5.4.
A determinação do
∆ a ser usado foi a grande dificuldade encontrada para
utilizar este método. A princípio pensou-se em estabelecer um valor a ser usado
em todos os casos, porém, observou-se que o valor ótimo de
∆ variava
principalmente com o comprimento
l . Sendo assim, caso
∆
fosse estabelecido
a partir de um valor que fornecesse bons resultados na envoltória de esforços de
uma estrutura cuja dimensão
l fosse pequena, ao utilizar esse
∆
para traçar
envoltória de esforços de uma estrutura cuja dimensão
l
fosse muito maior, o
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Algoritmos Implementados 90
90
número de avaliações da função aptidão seria muito grande,
desnecessariamente.
Então, estabeleceu-se uma relação entre
l e o valor de
∆
a ser utilizado
em cada problema, conforme a equação 5.5.
l0025,0=∆
(5.5)
5.6.
Cargas-em-picos
O Cargas-em-picos não é um método de otimização. Consiste em calcular
o valor do esforço considerando cada carga concentrada posicionada sobre os
picos da
L
I
, que ocorrem em eventos da L
I
dos tipos IL_MAX ou IL_MIN, no
caso de envoltória de esforços máximos ou mínimos, respectivamente, e sobre o
início e o fim de intervalos da
L
I
de valor constante, identificados por eventos do
tipo IL_CTE_START e IL_CTE_END. Assim, quando o esforço crítico ocorrer
nesta situação, o que acontece freqüentemente, teremos o valor exato do
esforço.
O número de avaliações da função aptidão depende da configuração da
L
I
e do número de cargas concentradas que o trem-tipo possui. Sendo assim, é
constante ao traçar a envoltória de um determinado esforço para um mesmo
problema. Geralmente esse número é praticamente desprezível em relação ao
realizado pelos outros algoritmos implementados.
Este processo pode ser realizado como um complemento para refinamento
dos métodos citados anteriormente. Para fins de comparação entre os métodos
implementados, ele será tratado como um método independente, evitando assim
mascarar os resultados obtidos em cada método.
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6
Exemplos de Validação e Análise de Resultados
6.1.
Introdução
A seguir serão apresentados exemplos de envoltórias de esforços de
pontes rodoviárias e ferroviárias. Os primeiros exemplos foram concebidos com
dimensões usuais em projetos de pontes e submetidos aos trens-tipo da
NBR – 7188 (1982) e NBR – 7189 (1985) Também foi feito um exemplo para
testar o comportamento dos algoritmos implementados em estruturas com
dimensões menores que as usuais. Além disso, são descritas
algumas particularidades notadas em diferentes testes realizados e faz-se
uma análise do desempenho de cada método em função do número de
avaliações da função aptidão e do tempo de processamento.
6.2.
Exemplo 1
Trata-se de uma ponte rodoviária que possui três vãos e dois balanços nas
extremidades (Figura 6.1). Embora seja mais comum encontrar casos de pontes
simétricas, neste exemplo optou-se por variar as dimensões dos vãos e dos
balanços para tentar criar maior dificuldade na determinação da envoltória. Foi
utilizado o trem-tipo unidimensional (Figura 4.15) resultante da transformação
realizada na Seção 4.2.6 do trem-tipo bidimensional classe 45 da NBR-7188
(1982).
Figura 6.1 – Exemplo 1.
A seguir serão traçadas as envoltórias de esforço cortante e de momento
fletor utilizando os algoritmos implementados.
B
A
C
D
E
F
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 92
92
6.2.1.
Envoltória de Esforço Cortante
Utilizando qualquer um dos algoritmos a envoltória obtida apresentou a
mesma configuração, como mostra a Figura 6.2. Os resultados da envoltória de
esforços máximos e mínimos obtidos através de cada algoritmo nas seções dos
apoios e nas extremidades dos balanços, utilizando os parâmetros citados na
Seção 4.6, estão apresentados nas Tabela 6.1. Foram calculados os erros
relativos utilizando como valores de referência os melhores resultados obtidos
entre os algoritmos implementados em cada uma dessas seções, o que pode ser
visto na Tabela 6.2.
Figura 6.2 – Envoltória de esforço cortante do Exemplo 1 para
EE
−
+
λ
1
, EE−+
λ
µ
,
Força Bruta e Cargas-em-picos.
Tabela 6.1 – Resultados obtidos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 1.
EE−+
λ
1
(kN)
EE
−
+
λ
µ
(kN)
Força Bruta
(kN)
Cargas-em-picos
(kN)
máx min máx min máx min máx min
A
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
B
esq
0,00 -813,90 0,00 -812,13 0,00 -813,86 0,00 -813,90
B
dir
1365,28 -368,00 1364,43 -367,98 1361,61 -367,98 1365,29 -367,98
C
esq
193,95 -1760,76 193,61 -1760,85 193,45 -1757,26 193,94 -1760,98
C
dir
2060,64 -243,43 2060,57 -243,39 2055,26 -243,39 2060,63 -243,39
D
esq
123,99 -2090,89 123,98 -2090,88 123,97 -2090,43 123,98 -2091,06
D
dir
2082,31 -208,75 2082,28 -208,10 2080,55 -207,00 2082,29 -208,75
E
esq
212,66 -1666,78 212,64 -1667,06 212,63 -1658,70 212,63 -1667,06
E
dir
1038,90 0,00 1038,86 0,00 1037,59 0,00 1038,90 0,00
F
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
B C D
E
A
F
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 93
93
Tabela 6.2 – Erros relativos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 1.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
B
esq
0,000 0,000 0,000 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000
B
dir
0,001 0,000 0,063 0,000 0,270 0,000 0,000 0,005
C
esq
0,000 0,012 0,175 0,000 0,258 0,002 0,005 0,000
C
dir
0,000 0,000 0,003 0,000 0,261 0,000 0,000 0,016
D
esq
0,000 0,008 0,008 0,000 0,016 0,000 0,008 0,000
D
dir
0,000 0,000 0,001 0,003 0,085 0,008 0,001 0,000
E
esq
0,000 0,017 0,009 0,000 0,014 0,005 0,014 0,000
E
dir
0,000 0,000 0,004 0,000 0,126 0,000 0,000 0,000
F
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
O número de avaliações da função aptidão realizadas em cada estratégia
ao traçar a envoltória de esforço cortante que apresentou os valores presentes
na Tabela 6.1, sendo
197
sec
=n , estão na Tabela 6.3 e foram obtidos da seguinte
maneira:
• EE−+
λ
1
Nesta estratégia não exista um número fixo de avaliações da função
aptidão, que varia a cada execução do cálculo da envoltória. Porém, observa-se
que este número é extremamente dependente dos comprimentos
l e
t
l
.
• EE−+
λ
µ
Os resultados apresentados na Tabela 6.1 foram obtidos utilizando a
seleção individual, embora a seleção global também tenha apresentado
resultados igualmente satisfatórios. Sendo o trem-tipo simétrico,
ger
n
= 40,
µ
= 7 e
λ
= 21, empregando as Equações 5.2 e 5.3, temos:
na = 7+ 21 x 40 = 847
tot
n = 847 x 197 = 166859
Caso fosse utilizado seleção global,
ger
n = 15,
µ
= 20 e
λ
= 60,
teríamos:
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 94
94
na = 20+ 60 x 15 = 920
tot
n = 920 x 197 = 181240
Nota-se que o número de avaliações da função aptidão em uma seção
transversal (
na
) é sempre constante para qualquer estrutura, independente de
suas características, inclusive é o mesmo ao traçar a envoltória dos outros
esforços, desde que sejam adotados os mesmos parâmetros. Porém, os
resultados obtidos a cada execução do algoritmo pode apresentar diferentes
valores e o número total de avaliações (
tot
n ) varia em função do número de
seções transversais (
sec
n
) que a estrutura foi discretizada.
• Força Bruta
Sendo
l = 113 m e
t
l = 6 m, o número de avaliações foi obtido aplicando
as Equações 5.3, 5.4 e 5.5.
∆ = 0,0025 x 113 = 0,2825
an =
+
+
1
2825,0
6113
≈ 422
tot
n = 197 x 422 = 83134
Além do número de avaliações da função aptidão ser constante para
qualquer um dos esforços, os valores obtidos serão sempre os mesmos a cada
solicitação de cálculo da envoltória.
• Cargas-em-picos
O número de avaliações depende do número de cargas concentradas do
trem-tipo e da configuração da
L
I
em cada seção transversal, logo, varia em
cada seção transversal e para cada tipo de esforço.
Tabela 6.3 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
esforço cortante do Exemplo 1.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 422 422 - -
tot
n
149020 156642 166859 166859 83134 83134 1740 1758
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 95
95
Deve-se ressaltar que devido ao trem-tipo ser simétrico, o número de
avaliações da função aptidão cai pela metade. Isso ocorre porque os esforços
causados pelo trem-tipo nos dois sentidos são iguais, não havendo necessidade
de realizar o processo de otimização em ambos sentidos.
Com os parâmetros adotados todas as estratégias apresentaram ótimos
resultados, apresentando variações muito pequenas nos valores obtidos, como
se pode observar nas Tabelas 6.1 e 6.2. O processo Força Bruta foi o que
apresentou os piores resultados, embora o maior erro tenha sido de apenas
0,27%. Ao longo do comprimento da estrutura não foram detectadas falhas
visíveis dos algoritmos em repetidas solicitações de cálculo da envoltória .
Como os resultados obtidos aplicando apenas o processo Cargas-em-
picos correspondem realmente aos esforços críticos, conclui-se que para o caso
dessa estrutura e do trem-tipo em questão, os esforços cortantes limites
ocorreram sempre ao posicionar alguma das cargas concentradas em um dos
eventos da
L
I
selecionados pelo processo.
Uma ferramenta importante disponível para a conferência dos resultados é
a possibilidade de determinar o valor dos esforços limites ao traçar a linha de
influência de um esforço e visualizar o trem-tipo nas posições que causam esses
esforços. Por exemplo, podemos verificar a posição do trem-tipo que provocou o
valor do esforço máximo, que ocorreu na seção D
dir
(Figura 6.3).
Figura 6.3 – L
I
de Esforço Cortante da Seção D
dir
do Exemplo 1 com o trem-tipo na
posição crítica.
Como os valores da envoltória são calculados apenas em algumas seções
e os valores entre estas seções são obtidos através de interpolação linear dos
resultados, às vezes a configuração da envoltória difere um pouco do que seria a
configuração real. Por exemplo, no balanço
AB o resultado obtido pode ser
visto na Figura 6.4a enquanto a Figura 6.4b mostra o que seria a envoltória real.
B
C
D
E
F
A
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 96
96
(a)
(b)
Figura 6.4 – Diferença entre a envoltória obtida e a envoltória real.
6.2.1.1.
Variação dos Parâmetros
A seguir será analisado como a variação dos parâmetros influencia os
resultados e estudados os valores ótimos para este problema.
• EE−+
λ
1
Nessa estratégia a população é inicializada com um indivíduo que
corresponde a maior carga concentrada posicionada no início do trecho e, no fim
da busca por trecho, faz-se a verificação da maior carga posicionada no fim do
trecho. Observou-se que os esforços limites quase sempre ocorriam nessas
situações e que, neste caso, os parâmetros
λ
e
σ
adotados não influenciam a
qualidade dos resultados obtidos, influenciando apenas o número de avaliações
da função aptidão.
• EE−+
λ
µ
Foi mantida a relação
µ
λ
/ = 3 e variou-se o número de gerações, no caso
da seleção individual, e o tamanho da população (
µ
) na seleção global. No
primeiro caso, ao diminuir o critério de parada para trinta gerações, na grande
maioria das vezes não surgiram falhas na envoltória. Porém, ao diminuir mais o
número de gerações (
ger
n ) começaram a surgir algumas falhas com maior
freqüência, principalmente nos balanços, como mostra a Figura 6.5. Já a
seleção global se mostrou bem sensível a variação de
µ
, pois ao fazer =
µ
15
a envoltória começou a apresentar falhas com freqüência.
B
A
B
A
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 97
97
Figura 6.5 – Surgimento de falhas na envoltória de esforços cortantes no balanço.
Essas falhas acontecem por este método ser probabilístico e precisar de
tempo e diversidade suficientes para encontrar uma solução satisfatória. Neste
método não se tem nenhuma informação adicional do problema, como acontece
na
EE−+
λ
1 que utiliza a busca por trechos.
• Força Bruta
A Figura 6.6 mostra a variação do número de avaliações da função aptidão
em uma seção transversal em função da variação do
∆
.
Figura 6.6 – Número de avaliações da função aptidão no Exemplo 1 x
∆
.
Para avaliar a variação da qualidade da solução em função da variação do
∆ , tomou-se como exemplo o esforço cortante máximo na seção
dir
B
, como
mostra a Figura 6.7. Observa-se que não existe uma função definida que
exprima essa variação, porém, percebe-se que a partir de um certo valor, o
aumento do
∆ diminui muito a probabilidade de obter bons resultados.
∆
Nº de avaliações da função aptidão
B
A
0
500
1000
1500
2000
2500
00,511,522,53
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 98
98
É interessante observar que nem sempre o menor
∆
corresponde ao
melhor resultado. Vale lembrar que a sensibilidade dos resultados à variação do
∆ depende muito das características da estrutura e do trem-tipo.
Figura 6.7 – Variação do esforço cortante máximo na seção
dir
B
do Exemplo 1 em
função de
∆ .
6.2.2.
Envoltória de Momento Fletor
Como ocorreu na envoltória de esforços cortantes, a envoltória de
momento fletor também apresentou a mesma configuração ao utilizar qualquer
um dos algoritmos implementados (Figura 6.8). Os resultados e os erros obtidos
nas seções onde ocorreram os valores máximos e mínimos da envoltória estão
apresentados na Tabela 6.4 e 6.5, respectivamente, e o número de avaliações
da função aptidão estão na Tabela 6.6.
Figura 6.8 – Envoltória de momento fletor do Exemplo 1 para
EE
−
+
λ
1
, EE−+
λ
µ
,
Força Bruta e Cargas-em-picos.
C
D
E
F
G
B
H
A
I
1280
1290
1300
1310
1320
1330
1340
1350
1360
1370
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
∆
Cortante máximo na seção B
di
r
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 99
99
Tabela 6.4 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor do Exemplo 1.
EE−+
λ
1
(kNm)
EE
−
+
λ
µ
(kNm)
Força Bruta
(kNm)
Cargas-em-picos
(kNm)
máx min máx min máx min máx min
A
0,06 -0,04 0,06 -0,04 0,06 -0,04 0,06 -0,04
B
0,00 -2524,31 0,00 -2510,62 0,00 -2514,03 0,00 -2524,31
C
7556,77 -4883,16 7557,06 -4883,16 7547,31 -4883,03 7557,06 -4883,15
D
2428,57 -11653,03 2428,57 -11653,04 2428,53 -11652,77 2428,56 -11653,02
E
11183,66 -3544,07 11183,87 -3544,07 11174,13 -3544,03 11183,93 -3544,06
F
2001,78 -13339,01 2002,21 -13339,02 1990,03 -13338,90 2002,44 -13339,00
G
11859,80 -5046,92 11860,94 -5047,16 11852,13 -5026,51 11861,37 -5047,72
H
0,00 -5302,22 0,00 -5294,70 0,00 -5254,63 0,00 -5303,47
I
0,11 -0,09 0,11 -0,09 0,11 -0,09 0,11 -0,09
Tabela 6.5 – Erros relativos na envoltória de momento fletor do Exemplo 1.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
B
0,000 0,000 0,000 0,005 0,005 0,004 0,000 0,000
C
0,004 0,000 0,000 0,000 0,129 0,000 0,000 0,000
D
0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,000 0,000 0,000
E
0,002 0,000 0,001 0,000 0,088 0,000 0,000 0,000
F
0,033 0,000 0,011 0,000 0,620 0,000 0,000 0,000
G
0,013 0,016 0,004 0,000 0,078 0,004 0,000 0,000
H
0,000 0,024 0,000 0,002 0,000 0,009 0,000 0,000
I
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Tabela 6.6 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
momento fletor do Exemplo 1.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 422 422 - -
tot
n
154921 152941 164318 164318 81868 81868 1494 1677
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Exemplos de Validação e Análise de Resultados 100
100
Os resultados obtidos foram muito satisfatórios, com pequenas variações
nos valores. Similarmente a envoltória de esforços cortantes, os momentos
fletores limites ocorreram sempre ao se posicionar alguma carga concentrada
sobre os limites dos trechos da
L
I
. Ao se utilizar a Estratégia EE−+
λ
µ
algumas vezes surgiram falhas ao longo da envoltória, como a da Figura 6.9.
Figura 6.9 – Falha na envoltória de momento fletor ao utilizar a Estratégia
λ
µ
+ .
Como já foi dito anteriormente, essas falhas ocorrem em conseqüência do
processo evolutivo. Por ser visivelmente detectada, esse tipo de falha não
desqualifica esse método de determinação da envoltória. Ao detectar a falha o
usuário pode solicitar novo cálculo da envoltória que provavelmente não ocorrerá
a mesma falha.
6.3.
Exemplo 2
Este exemplo trata de uma ponte ferroviária (Figura 6.10) que, como no
Exemplo 1, possui vãos não simétricos apenas no intuito de criar maior
dificuldade na determinação da envoltória. Foi utilizado o trem-tipo TB-360 da
NBR – 7189 (1985).
Figura 6.10 – Exemplo 2.
6.3.1.
Envoltória de Esforço Cortante
As configurações das envoltórias de esforços cortantes são mostradas nas
Figuras 6.11 e 6.12. Os resultados e os erros obtidos estão na Tabela 6.7 e 6.8,
A B
C E D
F
F
G
H
I
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Exemplos de Validação e Análise de Resultados 101
101
respectivamente, e o número de avaliações da função aptidão está na Tabela
6.9.
Figura 6.11– Envoltória de esforço cortante do Exemplo 2 para EE
−
+
λ
1 , EE−+
λ
µ
e Força Bruta.
Figura 6.12 – Envoltória de esforço cortante do Exemplo 2 para Cargas-em-picos.
Tabela 6.7 – Resultados obtidos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 2.
EE−+
λ
1
(kN)
EE
−
+
λ
µ
(kN)
Força Bruta
(kN)
Cargas-em-picos
(kN)
máx min máx min máx min máx min
A
2473,31 -388,66 2460,44 -388,67 2424,20 -388,68 2473,47 134,69
B
esq
134,15 -3309,97 134,15 -3310,10 134,15 -3271,83 0,00 -3310,14
B
dir
3547,62 -475,32 3528,21 -475,32 3480,38 -475,30 3547,41 -38,37
C
esq
241,60 -3673,03 241,60 -3672,15 241,60 -3655,50 0,00 -3674,66
C
dir
3901,68 -233,34 3901,23 -223,34 3882,57 -233,34 3901,49 0,00
D
esq
302,83 -3827,66 302,83 -3828,28 302,83 -3794,26 0,00 -3829,03
D
dir
3435,61 -395,72 3422,97 -395,68 3432,35 -395,72 3435,39 -75,21
E
esq
541,26 -3397,15 541,26 -3394,78 541,25 -3348,59 142,22 -3397,01
E
dir
3544,38 -108,25 3543,65 -108,25 3487,11 -108,25 3544,06 0,00
F
245,52 -2704,68 245,52 -2703,77 245,52 -2640,04 0,00 -2705,72
A B
C E D
F
B D
A
C E
F
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 102
102
Tabela 6.8 – Erros relativos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 2.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,006 0,005 0,527 0,003 1,992 0,000 0,000 134,653
B
esq
0,000 0,005 0,000 0,000 0,000 0,012 100,000 0,000
B
dir
0,000 0,000 0,547 0,000 1,895 0,000 0,006 91,928
C
esq
0,000 0,044 0,000 0,001 0,000 0,005 100,000 0,000
C
dir
0,000 0,000 0,012 0,043 0,490 0,000 0,005 100,000
D
esq
0,000 0,036 0,000 0,000 0,000 0,009 100,000 0,000
D
dir
0,000 0,000 0,368 0,000 0,095 0,000 0,006 80,994
E
esq
0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,014 73,724 0,004
E
dir
0,000 0,000 0,021 0,000 1,616 0,000 0,009 100,000
F
0,000 0,038 0,000 0,001 0,000 0,024 100,000 0,000
Tabela 6.9 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
esforço cortante do Exemplo 2.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 1216 1216 - -
tot
n
424014 433362 167706 167706 240768 240768 3084 3080
Ao contrário do que aconteceu no Exemplo 1, os esforços limites nem
sempre ocorreram com alguma carga concentrada nos picos da
L
I
e, por isso, a
envoltória obtida utilizando Cargas-em-picos, Figura 6.12, não apresentou
resultados corretos em todas seções transversais.
6.3.2.
Envoltória de Momento Fletor
As Figuras 6.13 e 6.14 mostram as envoltórias de momento fletor, as
Tabelas 6.10 e 6.11 apresentam os resultados e os erros obtidos e a Tabela
6.12 exibe o número de avaliações da função aptidão.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Exemplos de Validação e Análise de Resultados 103
103
Figura 6.13 – Envoltória de momento fletor do Exemplo 2 para EE
−
+
λ
1 , EE−+
λ
µ
e
Força Bruta.
Figura 6.14 – Envoltória de momento fletor do Exemplo 2 para Cargas-em-picos.
Tabela 6.10 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor do Exemplo 2.
EE−+
λ
1
(kNm)
EE
−
+
λ
µ
(kNm)
Força Bruta
(kNm)
Cargas-em-picos
(kNm)
máx min máx min máx min máx min
A 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
B
18458,63 -5952,95 18475,34 -5952,95 18457,41 -5952,92 18482,17 -4411,44
C
4695,11 -24185,19 4695,11 -24184,78 4694,95 -24184,78 1561,62 -24179,69
D
20173,00 -7211,50 20174,03 -7211,50 20168,28 -7211,20 20177,86 -7211,32
E
2456,56 -30487,58 2456,55 -30487,58 2456,52 -30486,80 365,40 -30487,12
F
24951,07 -4399,80 24949,14 -4399,80 24938,45 -4399,90 24951,16 -4399,80
G
3441,87 -28242,70 3441,87 -28241,85 3441,72 -28242,69 2607,20 -28241,21
H
16962,02 -9872,65 16967,80 -9872,63 16965,98 9872,65 16969,65 -9872,07
I
4331,79 -24514,16 4331,78 -24514,30 4331,73 -24514,13 1145,57 -24509,32
J
22762,61 -4292,06 22762,13 4292,06 24514,13 4292,04 22763,83 -1951,11
L 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
C
D
E
F
G
I H
L
J
A
A
L
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 104
104
Tabela 6.11 – Erros relativos na envoltória de momento fletor do Exemplo 2.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
B
0,127 0,000 0,037 0,000 0,134 0,000 0,000 25,895
C
0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,000 66,739 0,023
D
0,024 0,000 0,019 0,000 0,047 0,000 0,000 0,002
E
0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,000 85,126 0,002
F
0,000 0,002 0,008 0,000 0,051 0,000 0,000 0,002
G
0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,000 24,250 0,005
H
0,045 0,000 0,011 0,000 0,022 2,000 0,000 0,006
I
0,000 0,001 0,000 0,000 0,001 0,000 73,554 0,020
J
7,145 0,000 7,147 2,000 0,000 2,000 7,140 54,541
L
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Tabela 6.12 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
momento fletor do Exemplo 2.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 1216 1216 - -
tot
n
422604 422668 163471 163471 234688 234688 2776 2908
O método Cargas-em-picos também não foi capaz de determinar os
esforços limites em todas seções, o que pode ser visto pela Tabela 6.10 e
Tabela 6.11 e na Figura 6.14. Os outros métodos apresentaram apenas
pequenas variações nos resultados obtidos.
6.4.
Exemplo 3
Este exemplo representa o pórtico de um viaduto rodoviário (Figura 6.15) a
ser dimensionado pelo trem-tipo unidimensional (Figura 4.15) resultante da
transformação realizada na Seção 4.2.6 do trem-tipo bidimensional classe 45 da
NBR-7188 (1982).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Exemplos de Validação e Análise de Resultados 105
105
Figura 6.15 – Exemplo 3.
6.4.1.
Envoltória de Esforço Normal
Como pode ser visto na Figura 6.16, apenas as colunas dos pórticos
possuem valores não nulos na envoltória de esforço normal. Além disso, este
valor é constante em todas as seções das colunas.
Figura 6.16 – Envoltória de esforço normal do Exemplo 3 para EE
−
+
λ
1 , EE−+
λ
µ
,
Força Bruta e Cargas-em-picos.
A Tabela 6.13 mostra os valores encontrados ao utilizar cada um dos
algoritmos implementados. Os erros relativos estão apresentados na Tabela 6.14
e a Tabela 6.15 mostra o número de avaliações da função aptidão.
Tabela 6.13 – Resultados obtidos na envoltória de esforço normal na coluna do pórtico
do Exemplo 3.
EE−+
λ
1
(kN)
EE
−
+
λ
µ
(kN)
Força Bruta
(kN)
Cargas-em-picos
(kN)
máx min máx min máx min máx min
A
0 -2300,22 0 -2300,19 0 -2300,18 0 -2300,22
B
0 -2300,22 0 -2300,19 0 -2300,18 0 -2300,22
A
B
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 106
106
Tabela 6.14 – Erros relativos na envoltória de esforço normal na coluna do pórtico do
Exemplo 3.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,000 0,000 0,000 0,001 0,000 0,002 0,000 0,000
B
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Tabela 6.15 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
esforço normal do Exemplo 3.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 427 427 - -
tot
n
171664 162831 220220 220220 111020 111020 1560 1374
6.4.2.
Envoltória de Esforço Cortante
A envoltória de esforço cortante do pórtico em questão pode ser vista na
Figura 6.17. As Tabelas 6.16, 6.17 e 6.18 mostram os resultados da envoltória,
o erro relativo e e o número de avaliações da função aptidão, respectivamente.
Figura 6.17 – Envoltória de esforço cortante do Exemplo 3 para EE
−
+
λ
1 ,
EE−+
λ
µ
, Força Bruta e Cargas-em-picos.
B
C
E
F
A
D
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 107
107
Tabela 6.16 – Resultados obtidos na envoltória de esforços cortantes do Exemplo 3.
EE−+
λ
1
(kN)
EE
−
+
λ
µ
(kN)
Força Bruta
(kN)
Cargas-em-picos
(kN)
máx min máx min máx min máx min
A
1269,53 -438,91 1269,50 -438,70 1261,53 -438,70 1269,54 -438,70
B
esq
0,00 -2225,75 0,00 -2225,57 0,00 -2225,82 0,00 -2225,82
B
dir
1603,84 -221,20 1603,80 -221,22 1600,87 -221,22 1603,85 -221,22
C
esq
221,20 -1603,49 221,18 -1603,83 220,46 -1602,36 221,22 -1603,85
C
dir
2225,86 0,00 2225,78 0,00 2225,82 0,00 2225,82 0,00
D
439,03 -1268,30 439,01 -1269,41 439,01 -1264,19 439,01 -1269,54
E
2300,11 0,00 2300,07 0,00 2300,07 0,00 2300,05 0,00
F
0,00 -2300,11 0,00 -2300,07 0,00 -2300,07 0,00 -2300,05
Tabela 6.17 – Erros relativos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 3.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,001 0,000 0,003 0,048 0,631 0,048 0,000 0,048
B
esq
0,000 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
B
dir
0,001 0,009 0,003 0,000 0,186 0,000 0,000 0,000
C
esq
0,009 0,022 0,018 0,000 0,344 0,001 0,000 0,000
C
dir
0,000 0,000 0,004 0,000 0,002 0,000 0,002 0,000
D
0,000 0,098 0,005 0,000 0,005 0,004 0,005 0,000
E
0,000 0,000 0,002 0,000 0,002 0,000 0,003 0,000
F
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003
Tabela 6.18 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
esforço cortante do Exemplo 3.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 427 427 - -
tot
n
136076 143456 220220 220220 111020 111020 1662 1659
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 108
108
6.4.3.
Envoltória de Momento Fletor
A envoltória de momento fletor tem a configuração da Figura 6.18. Os
resultados, os erros relativos e o o número de avaliações da função aptidão
estão na Tabela 6.19, 6.20 e 6.21.
Figura 6.18 – Envoltória momento fletor do Exemplo 3 para EE
−
+
λ
1 , EE−
+
λ
µ
,
Força Bruta e Cargas-em-picos.
Tabela 6.19 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor do Exemplo 3.
EE−+
λ
1
(kNm)
EE
−
+
λ
µ
(kNm)
Força Bruta
(kNm)
Cargas-em-picos
(kNm)
máx min máx min máx min máx min
A
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
B
esq
0,00 -21429,04 0,00 -21429,05 0,00 -21429,01 0,00 -21429,04
B
dir
12252,63 -77,56 12252,69 -77,56 12248,40 -77,56 12252,70 -77,54
C
21868,54 0,00 21868,20 0,00 21862,36 0,00 21868,60 0,00
D
esq
12252,67 -77,64 12252,65 -77,64 12252,67 -77,64 12252,67 -77,62
D
dir
0,00 -21429,04 0,00 -21429,05 0,00 -21429,02 0,00 -21429,04
E
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
F
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
G
32529,23 0,00 32529,24 0,00 32529,24 0,00 32528,90 0,00
H
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
I
32529,23 0,00 32529,24 0,00 32529,13 0,00 32528,90 0,00
B
C
D
F
G
H
I
A
E
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 109
109
Tabela 6.20 – Erros relativos na envoltória de momento fletor do Exemplo 3.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
B
esq
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
B
dir
0,001 0,000 0,000 0,000 0,035 0,000 0,000 0,026
C
0,000 0,000 0,002 0,000 0,029 0,000 0,000 0,000
D
esq
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,026
D
dir
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
F
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
G
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,000
H
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
I
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,000
Tabela 6.21 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
momento fletor do exemplo 3.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 427 427 - -
tot
n
140441 155780 220220 220220 111020 111020 1368 1560
Os resultados obtidos neste exemplo também foram satisfatórios, inclusive
na envoltória de esforço normal, apresentando apenas pequenas variações nos
resultados.
6.5.
Exemplo 4
Para avaliar o comportamento dos algoritmos implementados ao lidar com
estruturas com dimensões relativamente pequenas, foi feito um exemplo com a
estrutura da Figura 6.19 e o trem-tipo unidimensional (Figura 4.15) resultante da
transformação realizada na Seção 4.2.6 do trem-tipo bidimensional classe 45 da
NBR-7188 (1982).
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 110
110
Figura 6.19 – Exemplo 4.
6.5.1.
Envoltória de Esforço Cortante
A Figura 6.20 mostra a configuração da envoltória de esforço cortante e os
resultados estão apresentados na Tabela 6.22. Na Tabela 6.23 são mostrados
os erros relativos e na Tabela 6.24 pode-se observar o número de avaliações da
função aptidão.
Figura 6.20– Envoltória de esforço cortante do Exemplo 4 para EE
−
+
λ
1 , EE−+
λ
µ
,
Força Bruta e Cargas-em-picos.
Tabela 6.22 – Resultados obtidos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 4.
EE−+
λ
1
(kN)
EE
−
+
λ
µ
(kN)
Força Bruta
(kN)
Cargas-em-picos
(kN)
máx min máx min máx min máx min
A
612,33 -89,55 611,96 -89,55 612,33 -89,55 612,33 -89,53
B
esq
7,00 -767,59 7,00 -769,66 7,00 -769,88 6,96 -769,88
B
dir
789,98 -25,76 789,51 -25,77 789,98 -25,76 789,98 -25,59
C
esq
81,13 -789,65 81,13 -790,08 81,13 -790,09 81,10 -790,08
C
dir
637,83 -146,79 637,77 -147,71 637,83 147,00 637,83 -147,00
D
esq
183,07 -526,06 183,07 -526,18 183,06 -527,27 182,88 -527,27
D
dir
457,60 0,00 457,60 0,00 457,60 0,00 457,60 0,00
E
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
C
B
A
A
B
C
D
E
D
E
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 111
111
Tabela 6.23 – Erros relativos na envoltória de esforço cortante do Exemplo 4.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,000 0,000 0,060 0,000 0,000 0,000 0,000 0,022
B
esq
0,000 0,297 0,000 0,000 0,000 0,000 0,571 0,000
B
dir
0,000 0,039 0,059 0,000 0,000 0,000 0,000 0,698
C
esq
0,000 0,056 0,000 0,000 0,000 0,000 0,037 0,001
C
dir
0,000 0,623 0,009 0,000 0,000 1,995 0,000 0,481
D
esq
0,000 0,229 0,000 0,002 0,005 0,000 0,104 0,000
D
dir
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Tabela 6.24 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
esforço cortante do Exemplo 4.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 497 497 - -
tot
n
118456 123847 169400 169400 99400 99400 1845 1830
6.5.2.
Envoltória de Momento Fletor
A Figura 6.21 mostra a configuração da envoltória de esforço cortante e os
resultados estão apresentados na Tabela 6.17. As Tabelas seguintes, 6.26 6.27,
mostram o erro relativo e o número de avaliações da função aptidão.
Figura 6.21– Envoltória de momento fletor do Exemplo 4 para EE
−
+
λ
1 , EE−+
λ
µ
,
Força Bruta e Cargas-em-picos.
C
B
D
E
F
G
A
H
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 112
112
Tabela 6.25 – Resultados obtidos na envoltória de momento fletor do Exemplo 4.
EE−+
λ
1
(kNm)
EE
−
+
λ
µ
(kNm)
Força Bruta
(kNm)
Cargas-em-picos
(kNm)
máx min máx min máx min máx min
A
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
B
985,48 -316,94 989,08 -317,01 987,37 -316,99 989,09 -316,91
C
55,97 -1009,96 56,01 -1010,19 56,01 -1010,14 55,59 -1009,90
D
1014,73 -236,97 1015,08 -237,04 1014,47 -237,04 1015,22 -236,94
E
221,51 -1001,41 221,57 -1001,53 221,56 -1001,53 221,49 -1000,44
F
513,98 -508,59 516,12 -508,64 515,95 -508,64 516,60 -508,13
G
0,00 -541,07 0,00 -540,18 0,00 -542,00 0,00 -542,00
H
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Tabela 6.26 – Erros relativos na envoltória de momento fletor do Exemplo 4.
EE−+
λ
1
(%)
EE
−
+
λ
µ
(%)
Força Bruta
(%)
Cargas-em-picos
(%)
máx min máx min máx min máx min
A
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
B
0,365 0,022 0,001 0,000 0,174 0,000 0,000 0,032
C
0,071 0,023 0,000 0,000 0,000 0,000 0,750 0,029
D
0,048 0,030 0,014 0,000 0,074 0,000 0,000 0,042
E
0,027 0,012 0,000 0,000 0,005 0,000 0,036 0,109
F
0,507 0,010 0,093 0,000 0,126 0,000 0,000 0,100
G
0,000 0,172 0,000 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000
H
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Tabela 6.27 – Número de avaliações da função aptidão no traçado da envoltória de
momento fletor do Exemplo 4.
EE−+
λ
1
EE
−
+
λ
µ
Força Bruta Cargas-em-picos
máx min máx min máx min máx min
na
- - 847 847 497 497 - -
tot
n
122968 125004 166859 166859 97909 97909 1485 1644
Tanto na envoltória de esforço cortante quanto na de momento fletor, o
Cargas-em-picos apresentou valores corretos e portanto os esforços limites
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 113
113
ocorreram sempre em uma posição correspondente a alguma carga concentrada
sobre picos da
L
I
.
Baseando-se nos bons resultados obtidos, tanto na envoltória de momento
fletor quanto na de esforço cortante, pode-se concluir que os algoritmos
implementados apresentam bom funcionamento tanto em estruturas de
pequenas dimensões quanto nas de grandes dimensões quando são utilizados
os trens-tipo da norma brasileira.
6.6.
Testes Realizados
Além dos exemplos que foram mostrados acima, foram realizados diversos
testes adicionais para diferentes casos de estruturas e trens-tipo. Os resultados
obtidos foram sempre positivos.
Observou-se que nos casos de trens-tipo formados apenas por cargas
distribuídas nunca surgiram falhas. Além disso, estruturas com menores
dimensões apresentaram maior probabilidade do surgimento de falhas nos
processos
EE−+
λ
1 e EE−+
λ
µ
. Provavelmente isso ocorra porque as
variações da
L
I
são mais bruscas neste caso.
Porém, a partir destes testes pode-se observar algumas particularidades,
que estão mostradas a seguir.
6.6.1.
Caso 1
Uma situação particular ocorre no balanço do Exemplo 4 ao traçar a
envoltória de esforço cortante utilizando o trem-tipo da Figura 6.22. O resultado
obtido quando foi utilizado apenas o Cargas-em-picos está na Figura 6.23a. Para
os demais métodos, a Figura 6.23b mostra o resultado.
Figura 6.22– Trem-tipo do Caso 1.
4
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 114
114
(a)
(b)
Figura 6.23– Envoltória de esforço cortante no balanço da estrutura do Exemplo 4
utilizando o trem-tipo do Caso 1 .
Em uma primeira análise diría-se que o pico na envoltória da Figura 6.23a
aparenta ser algum tipo de falha. Porém, ao analisar a
L
I
nesta seção (Figura
6.24), vê-se que este é o resultado correto. Isso ocorre porque em qualquer
outra seção do balanço é possível posicionar apenas uma das cargas
concentradas sobre valores não nulos da
L
I
. Apenas nesta seção onde surge o
pico é que se consegue posicionar duas cargas sobre valores não nulos da
L
I
,
causando um salto no valor da envoltória.
Figura 6.24– L
I
de esforço cortante da seção
dir
B
do Exemplo 3 com trem-tipo nas
posições críticas.
Apenas o Cargas-em-picos é capaz de sempre detectar quando há esse
tipo de pico na envoltória, que acontece quando duas cargas concentradas estão
posicionadas no início e no fim de um trecho de valor constante da
L
I
.
Nos métodos evolutivos a posição crítica do trem-tipo é encontrada porque
durante o processo são geradas posições próximas à critica, as quais
geralmente possuem uma alta aptidão, que ajudam na evolução da população.
Neste caso isso não ocorre, pois nenhuma posição, por mais próxima que seja
A
B
CDE
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 115
115
da posição crítica, causa um valor da envoltória próximo ao que ocorre na
posição crítica. Sendo assim, é muito pequena a probabilidade de gerar
aleatoriamente indivíduos que correspondam exatamente a esta posição crítica.
No Força Bruta ocorre o mesmo problema, pois também é muito pequena
a probabilidade de se posicionar o trem-tipo exatamente na posição crítica a
partir do
∆ utilizado.
6.6.2.
Caso 2
Ao utilizar o trem-tipo da Figura 6.25 para traçar a envoltória de esforço
cortante da estrutura do Exemplo 4 utilizando
EE
−
+
λ
1
, apareceram algumas
falhas, mais freqüentes que o normal, conforme Figura 6.26. Porém, ao utilizar o
processo Cargas-em-picos, estas falhas não aparecem (Figura 6.27).
Figura 6.25– Trem-tipo caso 2.
Figura 6.26– Envoltória de esforço cortante da estrutura do Exemplo 4 para o trem-tipo
do Caso 2 utilizando
EE−+
λ
1 .
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 116
116
Figura 6.27– Envoltória de esforço cortante da estrutura do Exemplo 4 para o trem-tipo
do Caso 2 utilizando Cargas-em-picos.
Essas falhas surgem devido a um efeito de escala, ou seja, a intensidade
das cargas é muito menor que a de trens-tipo usuais e, em conseqüência, os
valores das envoltórias também são muito menores, tornando as variações dos
resultados mais perceptíveis visualmente.
Uma solução para evitar essas falhas seria a combinação dos processos
EE−+
λ
1
e Cargas-em-picos.
6.7.
Análise do número de avaliações da função aptidão
Para analisar a variação do número de avaliações da função aptidão, fez-
se um gráfico (Figura 6.28) que mostra o número de avaliações da função
aptidão realizadas para traçar a envoltória de esforço cortante máximo em cada
exemplo.
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
1234
Exemplo
n
tot
Figura 6.28– Número de avaliações da função aptidão na envoltória de esforço cortante
máximo.
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 117
117
Pode-se perceber que
tot
n sofre maior variação na EE−
+
λ
1 , pois
depende das dimensões
l
e
t
l . No Força Bruta a variação também é grande,
porém é menor do que na
EE
−
+
λ
1 pois depende apenas da dimensão l . Já
na
EE−+
λ
µ
a variação é muito pequena de um exemplo para o outro, pois o
número de avaliações da função aptidão em uma seção transversal (
na ) é
sempre o mesmo para qualquer problema. A única coisa que influencia essa
variação é o número de seções (
sec
n ) que o problema será discretizado. O
Cargas-em-picos não varia muito e
tot
n é sempre muito pequeno em relação aos
outros métodos.
6.8.
Análise do tempo de processamento
A Figura 6.29 mostra a variação tempo de processamento gasto no cálculo
da envoltória de esforços em cada um dos exemplos anteriores, incluindo o
tempo necessário para o cálculo da
L
I
. Foi utilizado um computador com
processador Pentium III de 1,1 GHz e 512 Mb de memória RAM.
0
2
4
6
8
10
12
1234
Exemplo
Tempo (s)
Figura 6.29– Tempo de processamento do programa para cálculo da envoltória de
esforço cortante máximo.
Observa-se que o tempo gasto pelo processo Cargas-em-picos equivale
praticamente ao tempo necessário para calcular apenas a
L
I
em cada seção da
estrutura. Sendo assim, é desprezível o tempo adicional devido a utilização do
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Exemplos de Validação e Análise de Resultados 118
118
processo Cargas-em-picos como refinamento dos outros métodos, visto que
todos já consideram o tempo gasto com o cálculo da
L
I
.
Na maioria dos casos, o tempo gasto pelo
EE
−
+
λ
1 é próximo ao tempo
consumido pelo Força Bruta.
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7
Conclusão
Nos exemplos analisados, tanto com pequenas ou grandes dimensões,
todos os algoritmos tiveram ótimos resultados. Por ser um método que não
utilizou informações adicionais relacionadas ao problema de envoltória de
esforços, o método de
EE−+
λ
µ
foi o que apresentou maiores variações nos
resultados, embora essas variações sejam muito pequenas.
No Força Bruta não aparecem falhas visíveis, embora muitas vezes não se
consiga determinar os resultados corretos. Sua desvantagem é que toda vez que
se faz a determinação da envoltória de um esforço usando um certo
∆ , sempre
se encontra o mesmo resultado. Sendo assim, mesmo quando o resultado obtido
não seja o correto, ele se repetirá toda vez que calcular a envoltória. Embora os
métodos
EE−+
λ
1 e EE−+
λ
µ
estejam sujeitos ao surgimento de falhas
visíveis, elas raramente repetem-se numa nova solicitação de cálculo da
envoltória.
O Cargas-em-picos justificou seu uso para refinamento dos resultados,
pois na maioria dos casos o esforço limite ocorre com alguma carga concentrada
posicionada nos picos da
L
I
e em certas situações é o único método capaz de
determinar o valor exato do esforço. Além disso, apresentou um custo
computacional muito baixo, pois seu tempo de processamento é praticamente
desprezível em relação aos outros métodos.
A partir dessas observações, optou-se por usar o método
EE−
+
λ
1 em
conjunto com o Cargas-em-picos como o processo padrão de determinação de
envoltórias no FTOOL.
A maior dificuldade encontrada em todos os métodos foi estimar os
parâmetros a serem utilizados, tais como desvio padrão (
σ
), tamanho da
população (
µ
), número de descendentes (
λ
) a serem gerados e o valor de ∆ .
Para a grande maioria dos casos, os resultados obtidos foram exatos, porém, em
alguns casos mais críticos, o valor exato da envoltória não é encontrado em
algumas seções da estrutura, embora se encontre um valor muito próximo a ele.
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Conclusão 120
120
Com as implementações realizadas, o FTOOL ganhou uma importante
ferramenta para o ensino de envoltórias de esforços, pré-dimensionamento e
verificação de estruturas sujeitas à ação de cargas móveis.
7.1.
Sugestão para trabalhos futuros
Como sugestão para trabalhos futuros, pode-se citar:
• Implementação de envoltórias de esforços devido à combinação de
carregamentos;
• Aplicação dos algoritmos desenvolvidos em problemas bidimensionais
para envoltória de esforços em placas à flexão, ou seja, com aplicação em
lajes de pontes ou de pavimentos de prédios.
• Implementação do cálculo da área da L
I
através de integração numérica.
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Referência Bibliográfica
1. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) – NBR –
7188 –
Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre. Rio
de Janeiro, 1982.
2. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) – NBR –
7189 –
Carga móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias. Rio
de Janeiro, 1985.
3. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) – NBR –
8681 –
Ações e segurança nas estruturas. Rio de Janeiro, 1984.
4. ATIR Engeneering Software.
STRAP – Structural Analysis Programs.
Disponível em: <http://www.atirsoft.com/atirnew/strap_bridge.htm> .
Acesso em: 31 mar. 2005.
5. BÄCK, T.
Evolutionary Algorithms. ACM SIGBIO Newsletter, jun. 1992,
v. 12, n. 2
.
6. BÄCK, T.; HAMMEL, U.
Evolution Strategies Applied to Perturbed
Objective Functions.
Congress on Evolutionary Computation, 1994, p. 40-
45.
7. BÄCK, T.; HAMMEL, U.; SCHWEFEL, H.-P.
Evolutionary Computation:
Comments on the History and Current State.
IEEE Transaction on
Evolutionary Computation, abr. 1997, v. 1, n. 2,
8. BARBOSA, H. J. C.,
Algoritmos Genéticos para Otimização em
Engenharia: Uma Introdução aos Algoritmos Genéticos.
2a Escola de
Verão em Computação Científica, LNCC, Rio de Janeiro, Brasil, 1977.
9. BASTOS, E. A.
Otimizaçao de Seções Retangulares de Concreto
Armado Submetidas à Flexo-Compressao Oblíqua Utilizando
Algoritmos Genéticos.
Rio de Janeiro, 2004. Dissertação de Mestrado –
Universidade Federal do Rio de Janeiro, 168 p.
10. BEYER, H.-G.; SCHWEFEL, H.-P; WEGENER, I.
How to Analyse
Evolutionary Algorithms.
Theoretical Computer Science, set. 2002,
v.287, p. 101-130.
11. BORGES, L. A. C. ; LIMA, L. R. O.; SILVA, L. A. P. S. ; VELLASCO, P. C.
G. S.
Evaluation of the Post-Limit Stiffness of Beam-to-Column Semi-
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Referências Bibliográficas 122
Rigid Joints Using Genetic Algorithms. Proceedings of the 9th
International Conference on Civil and Structural Engineering Computing.
Civil-Comp Press, Edinburgo, 2003, v. 1, p. 1-12.
12. BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A.
Estatística Básica. 5. ed. São Paulo:
Saraiva, 2004. 526 p.
13. CORTES, O. A. C.; SAAVEDRA, O. R.
Estratégias Evolutivas Paralelas
em Otimização Multimodal.
INFOCOMP – Revista de Ciência da
Computação – Anais da III SECICOM, nov. 2000, v. 2, n. 1, p. 63-68.
14. COSTA, L.; OLIVEIRA, P.
An Evolution Strategy for Multiobjective
Optimization.
Proceedings of the CEC 2002 - Congress on Evolutionary
Computation, Honolulu, USA, 2002.
15. DARWIN, C. A Origem das Espécies. Hemus – Livraria Editora Ltda, São
Paulo, SP.
16. DAVIS, L.
Handbook of Genetic Algorithms. Van Nostrand Reinhold,
New York ,1991. ISBN: 0442001738.
17. DEL SAVIO, A. A.; VELLASCO, P. C. G. S.; ANDRADE, S. A. L.;
MARTHA, L. F.
Genetic Algorithm Optimization of Semi-Rigid Steel
Structures.
Proceedings of the The Eighth International Conference on the
Application of Artificial Intelligence to Civil, Structural and Environmental
Engineering - AICC2005. Civil-Comp Press, Rome, Italy, 2005, v. 1, p. 1-6.
18. Dr. SOFTWARE, LLC. Seattle
, WA. Disponível em: <
http://www.drsoftware-home.com/index.html
> . Acesso em: 03 abr. 2005.
19. EIBEN, A. E.; SMITH, J. E.
Introduction to Evolutionary Computing.
Springer, Cap. 2, p. 15-35, 2003. ISBN: 3-540-40184-9. Disponível em: <
http://www.cs.vu.nl/%7Egusz/ecbook/Eiben-Smith-Intro2EC-Ch2.pdf
>.
Acesso em: 03 abr. 2005.
20. HADLEY, G.
Programação linear. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois,
1982. 460 p.
21. HAFTKA, R. T.; GURDAL, Z.
Elements of structural optimization. 3rd.
rev. and expanded ed., with corrections. - Dordrecht : Kluwer Academic,
1993. 481p. : ISBN 0792315057 (broch.)
22. KOZA, J. R.
Genetic Programming: On the Programming of Computers
by Means of Natural Selection
. Cambridge, MA, MIT Press, 1992.
23. MARTHA, L. F.–
Métodos Básicos da Análise de Estruturas. Disponível
em: < http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm
>. Acesso em: 03 abr. 2005.
24. MARTHA, L. F.–
Ftool: A Structural Analysis Educational Interactive
Tool
. Proceedings of Workshop in Multimedia Computer Techniques in
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0310953/CA
Referências Bibliográficas 123
Engineering Education. Graz, Aústria: Institute for Structural Analysis,
Technical University of Graz, 1999, p. 51-65.
25. MICHALEWICZ, Z.
Evolutionary Computation: Practical Issues.
Proceedings of 1996 IEEE International Conference on Evolutionary
Computation, IEEE Press, Florida, 1996, p. 57-62
26. OLIVIERI, B. P.
Otimização do Projeto de Pontes Protendidas Pré-
moldadas pelo método dos Algoritmos Genéticos.
Rio de Janeiro,
2004. Dissertação de Mestrado – Universidade Federal do Rio de Janeiro,
145 p.
27. RAMIRES, F. B.; LIMA, L. R. O.; ANDRADE, S. A. L.; VELLASCO, P. C. G.
S.; SILVA, J. G. S.
Genetic Algorithms Structural Optimisation of
Beam-to-Column Semi-Rigid Joints.
Proceedings of the The Seventh
International Conference on Computational Structures Technology -
CST2004. Stirling : Civil-Comp Press, Lisboa, 2004, v. 1, p. 1-13,.
28. RODRIGUES, E. L. M.
Evolução de Funções em Programação
Genética orientada a gramáticas.
Curitiba, 2002. Dissertação de
Mestrado – Universidade Federal do Paraná, 116 p.
29. SOUSA, L; ANDRADE, J.
Programação Evolutiva e AGs. Disponível em:
< http://laseeb.isr.ist.utl.pt/publications/tfc/sisapr/pg.html
>. Acesso em: 03
abr. 2005.
30. SÜSSEKIND, J. C.
Curso de Análise Estrutural: Estruturas Isostáticas.
Porto Alegre: Editora Globo, 1997. v. 2.
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