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Rafael Araujo de Sousa
Adaptatividade geométrica e numérica na geração
de malhas de elementos finitos em 2D e 3D
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial
para obtenção do título de Mestre pelo Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-
Rio. Área de Concentração: Estruturas.
Orientador: Luiz Fernando Campos Ramos Martha
Co-orientador: Antônio Carlos de Oliveira Miranda
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2007.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510729/CB
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2
Rafael Araujo de sousa
Adaptatividade geométrica e numérica na geração
de malhas de elementos finitos em 2D e 3D
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil do Centro Técnico
Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão
Examinadora abaixo assinada.
Prof. Luiz Fernando C. R. Martha
Presidente/Orientador
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. Carlos Alberto de Almeida
Departamento de Engenharia Mecânica - PUC-Rio
Prof. Marcelo de Andrade Dreux
Departamento de Engenharia Mecânica - PUC-Rio
Prof. Remo Magalhães de Souza
Departamento de Engenharia Civil - UFPA
Prof. William Wagner Matos Lira
Departamento de Engenharia Civil - UFAL
Prof. José Eugênio Leal
Coordenador Setorial
do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 14 de Fevereiro de 2007.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510729/CB
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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução
total ou parcial do trabalho sem autorização da
universidade, do autor e do orientador.
Rafael Araujo de Sousa
Graduou-se em Engenharia Civil, pela Universidade
Federal do Pará, em fevereiro de 2005. Durante a
graduação atuou na área de estruturas na análise de
vibrações em cabos considerando a rigidez à flexão, a
rigidez ao cisalhamento e a inércia à rotação.
Ficha Catalográfica
De Sousa, Rafael Araujo
Adaptatividade geométrica e numérica na geração de
malhas de elementos finitos
em 2D e 3D
Geração de malhas adaptativas de elementos finitos/
Rafael Araujo de Sousa; orientador:
Luiz Fernando C. R.
Martha ; co-
orientador: Antônio Carlos de Oliveira
Miranda. – 2007.
138 f.:il.; 29,7cm
Dissertação (Mestrado em Engenharia civil)–
Pontifícia Universidad
e Católica do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 2007.
Inclui bibliografia.
1. Engenharia civil – Teses. 2. Elementos finitos. 3.
Análise adaptativa. 4. Geração de malha. 5.
Adaptatividade geométrica. I. Martha, Luiz Fernando
Campos Ramos. II. Miranda, Antôn
io Carlos de Oliveira.
III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510729/CB
4
Aos meus pais, Stélio e Maria do Carmo;
Meu irmão, Allan Araujo de Sousa;
Minha avó, Paula Costa Ferreira Araujo.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510729/CB
5
Agradecimentos
Aos meus pais, Stélio Augusto Amorim de Sousa e Maria do Carmo Araujo de
Sousa e a Deus, que me permitiram ingressar na universidade, um centro de
conhecimento de valor imensurável, ao qual, infelizmente, poucos de nós em
nosso país têm acesso.
A meu irmão Allan Araujo de Sousa; a minha avó, Paula Costa Ferreira Araujo e
a todos meus tios e primos.
À Vanessa Ferreira, que esteve por muito tempo muito presente na minha vida e
que até hoje tem influência sobre minhas decisões.
A todos os professores do departamento de engenharia civil da PUC-RIO,
principalmente ao professor Luiz Fernando C. R. Martha pela orientação e pela
oportunidade de trabalhar em um ambiente agradabilíssimo e em um tema tão
interessante.
Ao Tecgraf pelo apoio financeiro e a todos meus amigos de lá: Joaquim Bento,
William Lira, que sempre esteve disposto a me ajudar em todos instantes que o
solicitei, Isabelle Telles “paraense pai d’égua”, Fábio Pereira “companheiro do
café da AFPUC” e que também sempre se demonstrou pronto para me ajudar,
ao Luiz Fernando Bitton, pelo incentivo em ingressar no Tecgraf e pela confiança
depositada em mim, ao grande Antônio Miranda “Caaaaramba” pela grande
ajuda e orientação no decorrer da dissertação e ao Marcos Arruda, que também
me ajudou bastante e pela sua enorme paciência nas explicações e auxílios
durante a implementação deste trabalho.
A todos meus colegas da pós graduação da PUC, especialmente a Amanda
Jarek, Antônio Vicente “Combatente”, André Guedes “Dedé Bambu” e
principalmente ao pessoal do Norte do Brasil (Pará e Amapá): Ygor Netto “tio
Chico”, Renato Mendes “Bolo”, Plínio, Klessis, Jean ‘’Dado” que me acompanha
desde a graduação e ao grande Adenilson “Mão toca” parceiro do samba, dos
bailes Funks, das disciplinas do mestrado e do esporte.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510729/CB
6
A todos os professores de engenharia civil da UFPa, em especial aos
professores: José Perilo da Rosa Neto, José Raimundo Serra Pacha e
principalmente ao Remo Magalhães de Souza, um grande professor, orientador
e amigo, a quem tenho um grande sentimento de admiração, respeito e amizade.
Ao Tiago Rodrigues da Silva, amigo do período da graduação.
A minha afilhada Arielle Bezerra Pinheiro, minha comadre Andréia Bezerra e ao
meu grande amigo, compadre e xará Rafael Ferreira Pinheiro “Cachacinha”
companheiro dos sambas e cervejas.
A todas outras amizades consolidadas durante minha vida: Fábio Luíz “Chuck” e
toda a sua família, Bruno Flexa “Tabajara”, Bruna Cristina “preta Bru”, Francisco
Rocha “Bulldogru”, Igor Nunes “Malaco”, Evandro Leomar “Mano Brown” e seu
irmão Damião “Jimy”, etc.
A todos os poetas e compositores do samba, que sempre estiveram presentes
durante toda esta estadia no Rio de Janeiro, tanto nos momentos de estudo
quantos nos de lazer.
A CAPES, ao TECGRAF e a PUC-RIO por terem me dado a oportunidade de vir
cursar a pós-graduação com as condições necessárias e suficientes para a sua
conclusão.
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Resumo
De sousa, Rafael Araujo.; Martha, Luiz Fernando C. R.
Adaptatividade geométrica e numérica na geração de malhas de
elementos finitos em 2D e 3D. Rio de Janeiro, 2007. 138p. Dissertação
de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro.
Este trabalho apresenta uma metodologia para geração de malhas
adaptativas de elementos finitos 2D e 3D usando modeladores geométricos com
multi-regiões e superfícies paramétricas. A estratégia adaptativa adotada é
fundamentada no refinamento independente das curvas, superfícies e sólidos.
Inicialmente as curvas são refinadas, no seu espaço paramétrico, usando uma
técnica de partição binária da curva (binary-tree). A discretização das curvas é
usada como dado de entrada para o refinamento das superfícies. A discretização
destas é realizada no seu espaço paramétrico e utiliza uma técnica de avanço de
fronteira combinada com uma estrutura de dados do tipo quadtree para gerar
uma malha não estruturada de superfície. Essas malhas de superfícies são
usadas como dado de entrada para o refinamento dos domínios volumétricos. A
discretização volumétrica combina uma estrutura de dados do tipo octree
juntamente com a técnica de avanço de fronteira para gerar uma malha sólida
não estruturada de elementos tetraédricos. As estruturas de dados auxiliares dos
tipos binary-tree, quadtree e octree são utilizadas para armazenar os tamanhos
característicos dos elementos gerados no refinamento das curvas, superfícies e
regiões volumétricas. Estes tamanhos característicos são definidos pela
estimativa de erro numérico associado à malha global do passo anterior do
processo adaptativo. A estratégia adaptativa é implementada em dois
modeladores: o MTOOL (2D) e o MG (3D), que são responsáveis pela criação de
um modelo geométrico, podendo ter, multi-regiões, onde no caso 3D as curvas e
superfícies são representadas por NURBS.
Palavras-chave
Elementos finitos; análise adaptativa; geração de malha; adaptatividade
geométrica.
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Abstract
De sousa, Rafael Araujo.; Martha, Luiz Fernando C. R.
Geometric and numerical adaptativity of 2D and 3D finite element
meshes. Rio de Janeiro, 2007. 138p. Dissertação de Mestrado -
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio
de Janeiro.
This work presents a methodology for adaptive generation of 2D and 3D
finite-element meshes using geometric modeling with multi-regions and
parametric surfaces. The adaptive strategy adopted in this methodology is based
on independent refinements of curves, surfaces and solids. Initially, the model’s
curves are refined using a binary-partition algorithm in parametric space. The
discratizetion of these curves is used as input for the refinement of adjacent
surfaces. Surface discretization is also performed in parametric space and
employs a quadtree-based refinement coupled to an advancing-front technique
for the generation of an unstructured triangulation. These surface meshes are
used as input for the refinement adjacent volumetric domains. Volume
discretization combines an octree refinement with an advancing-front technique
to generate an unstructural mesh of tetrahedral elements. In all stages of the
adaptive strategy, the refinement of curves, surface meshes and solid meshes is
based on estimated numerical errors associated to the mesh of the previous step
in the adaptive process. In addition, curve and surface refinement takes into
account metric distortions between parametric and Cartesian spaces and high
curvatures of the model’s geometric entities. The adaptive strategies are
implemented in two different modelers: MTOOL (2D) and MG (3D), which are
responsible for the creation of a geometric model with multi-regions, where for
case 3D the curves and surfaces are represented by NURBS, and for the
interactive and automatic finite-element mesh generation associated to surfaces
and solid regions. Numerical examples of the simulation of engineering problems
are presented in order to validate the methodology proposed in this work.
Keywords
Finite elements; adaptive analysis; mesh generation; geometric adaptivity.
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Sumário
1. Introdução 18
1.1. Revisão bibliográfica 22
1.2. Objetivos 27
1.3. Organização do texto 28
2. Base Teórica 29
2.1. Estratégia adaptativa 29
2.2. Estimativa de erro 30
2.3. Métodos de suavização 35
2.3.1. Zienkiewicz e Zhu – Hinton e Campbell (Z2-HC) 36
2.3.2. Superconvergent patch recovery (SPR) 37
2.4 Geração de malhas 39
2.4.1. Geração de malhas não-estruturadas 41
2.4.1.1. Triangulação de Delaunay 42
2.4.1.2. Decomposição espacial recursiva 43
2.4.1.3. Avanço de fronteira 44
3. Processo adaptativo 46
3.1. Resumo do processo adaptativo 46
3.2. Construção da octree / quadtree global baseada no erro numérico 49
3.3. Refinamento da octree / quadtree global baseado na adaptatividade
geométrica das curvas 50
3.4. Refinamento da octree global baseado na adaptatividade geométrica
das superfícies
54
3.5. Refinamento da octree / quadtree global para forçar disparidade de
tamanho mínima
57
3.6. Refinamento das curvas 58
3.7. Discretização das superfícies 61
3.8. Algoritmo de geração de malhas volumétricas 62
3.9. Localização do tamanho característico H para os novos elementos 64
3.10. Considerações finais 66
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10
4. Implementações do processo adaptativo 67
4.1. MTOOL (2D) 69
4.1.1. Adaptatividade no MTOOL 72
4.2. MG (3D) 77
4.2.1. Adaptatividade no MG 78
5. Exemplos 84
5.1. Exemplos em 2D (MTOOL) 85
5.1.1. Peça mecânica com um furo circular 86
5.1.2. Placa quadrada com furo quadrado 92
5.1.3. Viga curta em balanço 96
5.1.4. Placa com furo quadrado com dois materiais 102
5.1.5. Placa complexa com três furos circulares e um quadrado 107
5.1.6. Barragem 111
5.2. Exemplos em 3D (MG) 114
5.2.1. Viga curta em balanço 115
5.2.2. Placa com furo circular 118
5.2.3. Sólido com uma cavidade cilíndrica 121
5.2.4. Eixo cilíndrico 124
5.2.5. Pórtico misto 126
6. Conclusão 129
6.1. Vantagens do método 131
6.2. Desvantagens do método 132
6.3. Sugestões para trabalhos futuros 132
7. Referências bibliográficas 133
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11
Lista de figuras
Figura 1 - Modelo geométrico bidimensional de uma peça mecânica 20
Figura 2 - Malha de elementos finitos criada sobre o modelo geométrico 21
Figura 3 - (a) malha original, (b) malha após o uso da estratégia do tipo h,
(c) malha após o uso da estratégia do tipo p, (d) malha após o
uso da estratégia do tipo r 30
Figura 4 - (a) mostra a contribuição de cada elemento, quadrilateral, para
o valor de tensão, não suavizada, no nó adjacente aos
mesmos, (b) mostra o valor da tensão suavizada no nó
adjacente aos elementos quadrilaterais (Hinton&Campbell-[26]) 37
Figura 5 - Notação da recuperação por patch: nó que forma o patch;
∆
pontos de amostragem; valores nodais determinados pelo
procedimento de recuperação; pontos nodais;
i
ρ distância
entre o ponto de amostragem
i
e o nó que forma o patch;
Ω
denota o domínio do problema e
P
Ω indica o domínio do patch
(Cavalcante-Neto J.B.-1998 [13])
38
Figura 6 - Tipos de malha (Batista V.H.F.-2005 [6]) 40
Figura 7 - Malha de elementos finitos gerada por triangulação de
Delaunay (Batista [6])
42
Figura 8 - Exemplo de geração de uma malha 2D de elementos finitos
usando uma quadtree (Batista [6]) 43
Figura 9 - Estrutura quadtree em forma de diagrama 44
Figura 10 - Exemplo de geração de uma malha 2D de elementos finitos
usando avanço de fronteira (Batista V.H.F.-2005 [6]) 45
Figura 11 - Fluxograma do novo processo adaptativo (2D e 3D) 47
Figura 12 - Curva a ser subdividida segundo os critérios geométricos 51
Figura 13 - (a) Ponto P0 é inserido (b) Inseri-se uma nova subdivisão,
fazendo-se P1 = Pm e Pm sendo a metade do novo trecho 52
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Figura 14 - (a) Tubo com pressão interna, (b) Malha grosseira do modelo
do tubo, (c) resultado do 1º passo do processo adaptativo
usando apenas critérios baseados na estimativa de erro e (d)
resultado do 1º passo do processo adaptativo usando os
critérios de estimativa de erro e os critérios geométricos
53
Figura 15 - Processo de geração de malhas superficiais paramétricas em
3D (Lira [37]) 54
Figura 16 - Superfície com as suas curvas de bordo considerando os
parâmetros da adaptatividade geométrica das curvas 56
Figura 17 - Exemplo de uma malha em uma superfície 3D: (a) sem
considerar informações sobre curvaturas; (b) quadtree auxiliar
construída para realizar a adaptatividade geométrica da
superfície da figura (c) e (c) malha da superfície após se
considerar as suas curvaturas (Lira [37]) 57
Figura 18 - (a) quadtree inicial sem refinamento que força a diferença
mínima entre as células da octree / quadtree, (b) quadtree
final com refinamento adicional que força a diferença mínima
entre as células da octree / quadtree 58
Figura 19 - Refinamento de uma curva reta pela técnica de
Decomposição Espacial Recursiva binária (binary-tree) 59
Figura 20 - (a) malha inicial com todas as curvas do tipo arco de círculo
com dez subdivisões, (b) malha final com suas curvas com o
número de subdivisão menor que dez 60
Figura 21 - Problema de refinamento em cantos quando o valor de h de
cada elemento é associado ao seu centro geométrico 64
Figura 22 - Compara as malhas, referentes ao mesmo passo do processo
adaptativo, com o valor de h de cada elemento associado ao
seu centro geométrico (a) e com o valor de h associado aos
vértices de cada elemento (b) 65
Figura 23 - Fluxograma mostrando o funcionamento do MTOOL 70
Figura 24 - Pseudo código da função _MtoolAdaptiveQt 73
Figura 25 - Pseudo-código da função que preenche o valor de h para
elementos do tipo T3 75
Figura 26 - Pseudo-código da função que constrói a quadtree
considerando ou não a adaptatividade baseada no erro
numérico e na adaptatividade geométrica 76
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Figura 27 - Pseudo código da função _MtoolAdaptiveMesh 76
Figura 28 - Pseudo código no MG que gerencia a gravação e leitura dos
arquivos neutros 80
Figura 29 - Pseudo código no MG que mostra o método mgRegenMeshes 81
Figura 30 - Pseudo código no MG que mostra o método mgAdapt_
CreateMesh, que é o método que gerencia todo o processo
adaptativo
83
Figura 31 - Peça mecânica com um furo circular 86
Figura 32 - Comparação entre os métodos de suavização Z2-HC e SPR,
utlizando-se elementos lineares (T3) usando apenas a
adaptatividade numérica: malha inicial (a), malhas seguintes
(b,c,d) 88
Figura 33 - Exemplo 1 com T3 usando a adaptatividade geométrica e
numérica: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d) 89
Figura 34 - Exemplo 1 com T3 e usando apenas a adaptatividade
geométrica: malha inicial (a), malha seguinte (b) 90
Figura 35 - Exemplo 1 com T6 sem a adaptatividade geométrica mas com
a adaptatividade numérica: malha inicial (a), malhas seguintse
(b,c) 90
Figura 36 - Exemplo 1 com T6 usando a adaptatividade geométrica e
numérica: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c) 91
Figura 37 - Placa quadrada com furo quadrado 92
Figura 38 - Exemplo 2 com T3: malha inicial (a), malha seguinte (b,c,d) 93
Figura 39 - Exemplo 2 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c) 94
Figura 40 - Viga curta em balanço 96
Figura 41 - Exemplo 3 com T3: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d) 97
Figura 42 - Mostra a distribuição da razão de erro
i
ξ
entre os elementos
da malha durante os passos do processo adaptativo 98
Figura 43 - Exemplo 3 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d) 99
Figura 44 - Placa quadrada com furo quadrado com dois materiais 102
Figura 45 - Exemplo 4 com T3: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d) 103
Figura 46 - Exemplo 4 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d) 104
Figura 47 - Placa complexa com três furos circulares e um quadrado 107
Figura 48 - Exemplo 5 com T3: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d) 108
Figura 49 - Exemplo 5 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c) 109
Figura 50 - Barragem bidimensional 111
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14
Figura 51 - Exemplo 6 com T3: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d) 112
Figura 52 - Exemplo 6 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d) 113
Figura 53 - Viga curta em balanço 115
Figura 54 - Exemplo 1 com TETRA10: malha inicial (a), malhas seguintes
(b,c)
116
Figura 55 - Placa com furo circular 118
Figura 56 - Exemplo 2 com TETRA10: malha inicial (a), malhas seguintes
(b,c)
119
Figura 57 - Sólido com cavidade cilíndrica 121
Figura 58 - Exemplo 3 com TETRA10: malha inicial (a), malhas seguintes
(b,c)
122
Figura 59 - Eixo cilíndrico 124
Figura 60 - Exemplo 4 com TETRA10: malha inicial (a), malha seguinte
(b)
125
Figura 61 - Pórtico misto 3D 126
Figura 62 - Exemplo 5 com TETRA10: malha inicial (a), malhas seguintes
(b,c,d) 127
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15
Lista de tabelas
Tabela 1 - Comparação dos resultados para a placa quadrada com furo
quadrado 95
Tabela 2 - Comparação dos resultados para a viga curta em balanço 100
Tabela 3 - Comparação dos resultados para a placa quadrada com furo
quadrado para dois materiais diferentes
105
Tabela 4 - Comparação dos resultados para a placa complexa com três
furos circulares diferentes 110
Tabela 5 - Comparação dos resultados do exemplo bidimensional da
Barragem, mostrando os valores obtidos por Zienkiewicz e o
método proposto
114
Tabela 6 - Comparação dos resultados do exemplo da viga curta em
balanço 3D 117
Tabela 7 - Comparação dos resultados do exemplo da placa 3D com furo
circular 120
Tabela 8 - Comparação dos resultados do exemplo do sólido com uma
cavidade cilíndrica 123
Tabela 9 - Comparação dos resultados do exemplo do eixo cilíndrico 125
Tabela 10 - Mostra os resultados obtidos para o exemplo do pórtico misto 128
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Lista de símbolos
h ...........................................................tamanho característico de cada elemento.
i
h .........tamanho característico de cada elemento no passo anterior do processo.
i
ξ .........................................................................razão de erro de cada elemento.
D
................................matriz que define as tensões em função das deformações.
u
....................................................................................campo de deslocamentos.
ε
.......................................................................................campo de deformações.
S .............................................................................................operador diferencial.
σ
...............................................................................................campo de tensões.
q
.........................................................................................vetor de carregamento.
p
t ....................................................................................vetor de forças prescritas.
N ..............................................................................................funções de formas.
u
ˆ
.........................................................................valores nodais de deslocamento.
u
~
.................................................................solução numérica dos deslocamentos.
K
..................................................................................................matriz de rigidez.
E
........................................................................................módulo de elasticidade.
ν
.........................................................................................coeficiente de Poisson.
Λ
............................................................................................funcional de energia.
f
.........................................................................................vetor de forças nodais.
e
.......................................................................................................................erro.
ε
e ..........................................................................................erro em deformações.
σ
e ..................................................................................................erro em tensões.
e ...................................................................................norma de energia do erro.
η
..........................................................................................................erro relativo.
*
η ...........................................................................................máximo erro relativo.
η
...........................................................................................erro relativo corrente.
SPR..................................................................Superconvergent Recovery Patch.
HCZ
−
2 ...................................................Zienkiewicz e Zhu – Hinton e Campbell.
MEF........................................................................Método dos Elementos Finitos.
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MG...............................................................................................Mesh Generation.
FEMOOP…………….......Finite Element Method – Object Oriented Programming.
MTOOL…………………………………………………..Two-dimensional Mesh Tool.
ESAM…………………………………....Extensible System Attributes Management.
CGC…….................................................................Complete Geometric Complex.
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1
INTRODUÇÃO
Dentre os diversos ramos de estudo da Engenharia Civil, encontra-se a
análise estrutural, que consiste, descrevendo-se de forma resumida, em analisar
as tensões e deformações presentes em um corpo qualquer, quando o mesmo
está submetido a ações externas, tais como carregamentos ou deslocamentos
impostos. Para tanto, é necessário conhecer as propriedades mecânicas dos
materiais da estrutura, tais como seu modelo constitutivo, que define, por
exemplo, se o seu comportamento é linear-elástico ou não-linear e plástico, ou
se é homogêneo ou heterogêneo. Outro item a ser considerado são as
características de atuação das ações externas, que podem ser estáticas ou
dinâmicas. De uma forma resumida, o problema matemático da análise estrutural
consiste em resolver equações diferenciais de equilíbrio (estático ou dinâmico) e
compatibilidade e relações constitutivas em um determinado domínio, com
condições de contorno em termos de deslocamentos e forças que podem variar
ao longo do tempo.
Na maioria dos casos práticos, não se consegue resolver esse problema
matemático analiticamente, quer seja pela complexidade geométrica da
estrutura, pela complexidade das relações constitutivas, pela complexidade das
ações externas, ou pela combinação de todos esses fatores.
Na prática, esse problema é resolvido utilizando-se métodos numéricos,
que fornecem uma solução aproximada do problema. Os métodos numéricos
mais conhecidos para resolver o problema da análise estrutural são o método
das diferenças finitas, o método dos elementos finitos e o método dos elementos
de contorno. O mais difundido é o método dos elementos finitos (MEF). Uma
razão para isto é a confiabilidade da solução numérica obtida e a relativa
simplicidade da implementação computacional do método, possibilitando a
elaboração de programas robustos.
Prazeres em 2005 [51] define formalmente o MEF da seguinte forma: “é
um método numérico aproximado para solução de problemas em meios
contínuos que são descritos através de equações diferenciais, sob determinadas
condições de contorno e condições iniciais. Como o método utiliza pontos do
domínio, é classificado como um método de domínio. Porém, falar de elementos
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510729/CA
19
finitos é falar de uma forma bastante genérica, já que existem vários métodos de
elementos finitos
*
, dentre os quais, o método da rigidez direita ou método dos
deslocamentos é o mais difundido”.
A idéia principal do MEF é subdividir o domínio em pequenas regiões
(elementos) com uma topologia pré-definida (triângulos, quadriláteros,
tetraedros, etc), onde o comportamento do campo de interesse (tensões ou
deslocamentos) pode ser aproximado por funções simples, tais como polinômios
ou funções harmônicas. Os valores do campo em questão nos vértices (nós)
destes elementos são determinados pela solução numérica, donde através da
interpolação destes valores obtêm-se os valores do campo dentro do referido
elemento. Este processo de subdividir o domínio é conhecido como discretização
do modelo, de tal forma, que o modelo discretizado resultante é denominado de
malha de elementos finitos.
Cavalcante-Neto em 1998 [13] destaca outro aspecto importante do MEF,
que é a definição do grau de refinamento da malha, “pois pelo fato das funções
de aproximação dos campos dentro dos elementos serem relativamente simples
é necessário aumentar o grau de refinamento em regiões de gradientes elevados
do campo de solução. O problema disto é que o campo da solução é geralmente
desconhecido. Práticas normais para resolver este problema, envolvem em
aumentar o número de pontos de discretização no domínio computacional e
resolver o sistema de equações resultantes para examinar a mudança relativa na
solução numérica. Em geral, este procedimento consome tempo, depende da
experiência do analista e pode guiar a interpretações erradas se a solução não
tiver entrado em uma faixa assintótica de convergência”.
Este trabalho trata da geração de malha de elementos finitos para modelos
estruturais bi e tridimensionais de forma automática e adaptativa, isto é, com
refinamento da malha de acordo com o gradiente do campo da solução.
Além do problema da geração da malha de elementos finitos, existe o
problema da criação do modelo geométrico da estrutura, de sua visualização e
da visualização dos resultados numéricos da análise estrutural. Estes problemas
são tratados pela Computação Gráfica, que também trata de técnicas de
modelagem de sólidos [27]. Diversas fases são importantes na modelagem de
sólidos, indo desde a interface com o usuário até as estruturas de dados que
serão utilizadas. Portanto, é importante usar programas especiais, chamados de
modeladores, que reproduzem, em formato digital, as formas geométricas dos
*
para mais detalhes ver [51,68]
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20
objetos da simulação [42]. Neste trabalho dois modeladores geométricos foram
usados: o MTOOL (2D) [47] e o MG (3D) [48], ambos desenvolvidos no
Tecgraf/PUC-Rio (Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica). Mais detalhes
sobre esses modeladores serão vistos no capítulo 4.
Processos adaptativos de análise utilizados em conjunção com
ferramentas de modelagem de sólidos têm se tornado muito importantes para
aumentar a confiabilidade do procedimento de análise, pois o tornam menos
dependente da experiência do analista. Um processo adaptativo é um
procedimento para avaliar o erro de discretização do modelo para uma dada
solução e para melhorar esta discretização até se atingir uma tolerância de erro
fornecida para a solução numérica. Portanto, é fundamental, dentro do contexto
adaptativo, definir um método de estimativa do erro de discretização, além de
técnicas de geração adaptativas de malhas em 2D e 3D.
De forma a caracterizar bem o problema que esta dissertação aborda, a
Figura 1 mostra um modelo geométrico bidimensional de uma estrutura e a
Figura 2 mostra uma malha de elementos finitos associada a este modelo.
Figura 1 Modelo geométrico bidimensional de uma peça mecânica.
A Figura 1 mostra o modelo geométrico de uma peça mecânica, onde
estão destacados segmentos de curvas de bordo e os vértices nas extremidades
dos segmentos. As condições de contorno em termos de cargas distribuídas de
bordo aplicadas e de restrições de apoio também estão indicadas.
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21
Figura 2 Malha de elementos finitos criada sobre o modelo geométrico.
A Figura 2 mostra a malha de elementos finitos correspondente ao modelo
da peça mecânica da Figura 1. Estão destacadas as subdivisões de cada
segmento de curva de bordo e a discretização do domínio em elementos finitos.
Na malha de elementos finitos as cargas aplicadas e as restrições de apoio são
transferidas de forma consistente para os pontos nodais (nós) da malha. As
regiões hachuradas (Region), são regiões onde ocorrem concentrações de
tensões. São estas regiões que devem ser mais refinadas, podendo para isto,
diminuir o tamanho dos elementos (estratégia h), aumentar o grau da função de
interpolação (estratégia p), realocar os nós existentes para que os mesmos
fiquem mais próximos destas regiões (estratégia r), ou usando uma combinação
destas técnicas, como por exemplo (estratégia h-p), (estratégia h-r). Neste
trabalho usou-se apenas a estratégia h. Para fazer isso, seria necessário que o
analista tivesse alguma idéia de onde ocorrem às concentrações de tensões do
modelo para refiná-lo onde for necessário. É nesse contexto que se mostra a
importância do processo adaptativo, pois o analista não precisa ter
conhecimento das regiões onde ocorrem às concentrações de tensões. No
processo adaptativo, o refinamento (ou “desrefinamento”) das regiões é feito de
forma automática em conformidade com a estimativa de erro adotada.
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22
1.1. Revisão Bibliográfica
Em 1910 Richardson [52], utilizando diferenças finitas, publicou o primeiro
artigo mostrando um procedimento geral para a estimativa de erro.
Na década de 50 com o uso do método dos elemenos finitos surgiu um dos
primeiros sistemas com aplicação em engenharia, o ICES (Integrate Civil
Engineering) desenvolvido no MIT (Massachussets Institute of Technology). Na
decáda seguinte o surgimento do programa SAP (Structural Analysis Program)
influenciou decisivamente no desenvolvimento do método.
No início da década de 60, as malhas usadas nas simulações de
problemas de engenharia usando o MEF eram geradas manualmente e no
decorrer desta década através do uso de computadores começou-se a
simplificar a tarefa de discretizar domínios mais complexos, resultando no
surgimento de um campo de pesquisa chamado de geração de malhas.
Apesar dos progressos na área de geração de malhas estarem
diretamente relacionados com avanços de outras áreas, como por exemplo:
geometria computacional, estruturas de dados, análise numérica, etc., as
evoluções feitas nestas outras áreas, que foram significativas, não foi de mesma
proporção aos métodos de geração de malhas, o que se tornou um fator
limitante nas simulações de problemas no decorrer da década de 80. Tal
obstáculo serviu de força motriz para que pesquisadores gastassem uma gama
de esforços, embuidos em desenvolver algoritmos capazes de tratar domínios
arbitrários. Thompson & Weatherill em 1992 [58] expõem detalhes dos métodos
de geração de malhas existentes até o referido ano.
Nos anos 70 Babuska and Rheinboldt [4,5] consideraram resíduos locais
para estimar o erro da análise de tal forma que um refinamento poderia ser feito
apenas em elementos onde tivessem ocorrido erros grandes.
Em 1971 Brauchli & Oden [10] usaram um procedimento baseado em
média e na projeção L2 para estimar o erro da análise, procedimento que tinha
fácil implementação em qualquer código de elementos finitos. Este método foi
usado para recuperar os gradientes e bons estimadores de erro foram obtidos.
Já em 1987, Zienkiewicz e Zhu [62] introduziram um estimador de erro baseado
na obtenção de valores melhorados dos gradientes (tensões) usando alguns
processos de recuperação de tensão disponível. Em 1992, Zienkiewicz e Zhu
[63-66] fundamentados no trabalho de Brauchli e Oden desenvolveram o SPR
(Superconvergent Patch Recovery), que é um procedimento de suavização de
gradientes sobre grupos (patches) locais de elementos, onde um procedimento
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23
de mínimos quadrados é aplicado a um campo de gradiente polinomial de ordem
mais elevada em relação ao gradiente considerado em pontos de amostragem
superconvergentes, obtidos através do cálculo de elementos finitos.
Posteriormente, Boroomand e Zienkiewicz [8] apresentaram um novo método
superconvergente, que satisfaz as condições de equilíbrio em uma forma fraca
mas não requer nenhum conhecimento de pontos superconvergentes (REP [13]).
Com base nestas duas formulações, Zienkiewicz, em 2004, [67] divide os
estimadores de erro em dois tipos diferentes: os que são fundamentados em
resíduos e os que utilizam processo de recuperação dos patches. Objetivando
verificar a melhor das duas formulações, Babuska e um grupo de pesquisadores
da universidade do Texas (Austin) fizeram exaustívos testes e produziram uma
metodologia geral. Zienkiewicz [67] nomeia este método como Babuska patch
test. Babuska propôs um valor para cada estimador de erro com um índice de
robustez e depois muitos outros testes concluiram que o índice de robustez foi
definitivamente ótimo para os métodos de recuperação mostrando a
superioridade destes em relação à formulação baseada em resíduos. Neste
mesmo artigo, Zienkiewicz comenta que apesar dos estimadores de erros
existentes fornecerem excelentes resultados eles são uma fonte de pesquisa
ilimitada.
A energia de deformação foi um dos primeiros acréscimos ao processo de
recuperação, o qual foi proposto por Fraeijs de Veubeke [20-22]. Neste trabalho
mostra-se que o procedimento padrão (deslocamento) resultaria em uma energia
de deformação menor que a verdadeira energia contida na estrutura, ou seja, o
cálculo da energia de deformação pelos processos de recuperação sempre
subestimam o valor real da energia de deformação. Consequentemente muitos
testes baseados na energia complementar foram usados como tentativa de
melhorar a obtenção da energia de deformação, porém este processo resultou
em muitas dificuldades. Zienkiewicz chegou até a sugerir alguns
aperfeiçoamentos, mas a metodologia não forneceu uma boa forma prática para
fornecer a energia de deformação de uma análise estrutural.
Cavalcante-Neto [12] propôs um sistema integrado para análise de
elementos finitos em 2D. Sistema que foi dividido em um pré-processador, para
a geração das malhas, um módulo de análise e um pós-processador, para a
visualização dos resultados. Neste trabalho o estimador de erro utilizado foi o de
recuperação e a suavização das tensões foi feita através do projetor de Hinton e
Campbell [26] e utilizando como técnicas para a geração de malha a
decomposição espacial recursiva quadtree numa parte do domínio, binary-tree
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24
no contorno do modelo e entre o domínio e o contorno usa-se a contração de
contorno segundo o critério de Delaunay.
Lo em 1991 [40] apresentou um algoritmo para a discretização em
triângulos de domínios planares arbitrários, gerando malhas de elementos finitos
baseadas na técnica de triangulação de Delaunay e com o gerador de malhas
desenvolvido pelo próprio Lo. A técnica utilizada na geração de malha e o
gerador de malhas usados neste trabalho podem ser vistos com maiores
detalhes em outros dois trabalhos do mesmo autor [38,39].
Beall & Shephard em 1996 [7] propuseram uma estrutura de dados
baseada em uma hierarquia topológica, fornecendo desta forma uma estrutura
de dados robusta para ser utilizada no processo adaptativo.
Sydenstricker et al em 2004 [57] apresentaram uma estimativa de erro a-
posteriori de tensão para problemas com materiais heterogêneos com variações
súbitas das propriedades elásticas.
Souza [56] fundamentado no trabalho de Meyer et al [46] propôs uma
técnica de adaptatividade de geração de malha fundamentada apenas em
critérios geométricos. Outro trabalho voltado para a qualidade da malha sem
considerar a análise numérica de elementos finitos, mas que usa como
estimador de erro a projeção L2 é o de Grosso et al [25]. Outros trabalhos que
fazem refinamento de malha considerando apenas a adaptatividade geométrica
são os três artigos de Schreiner et al [53-55], propondo uma técnica de
remalhamento de superfície e uma nova técnica de avanço de fronteira. O
trabalho de Peixoto et al [49], onde é proposto um método de extração de
malhas adaptativas e o trabalho de Kim et al [30] mostraram uma técnica de
refinamento adaptativo em elementos finitos com enfoque para fluidos. Dentro do
contexto de geração de malha, baseado apenas na adaptatividade geométrica, é
importante ressaltar que o método clássico para extração de malhas a partir de
volumes é o Marching Cubes
*
.
Em 2001 Mackerle [41] divulgou uma exaustiva coleta de artigos
publicados sobre estimativa de erro e adaptatividade em elementos finitos,
desde 1990 até 2000. Neste trabalho Mackerle apenas comenta os tipos de
estimadores de erro e os processos adaptativos já existentes, bem como as suas
várias aplicações, fornecendo posteriormente uma vasta lista de artigos
relacionados a cada tópico abordado.
*
http://www.exaflop.org/docs/marchcubes
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25
O processo adaptativo em 2D já está bem estabelecido no meio científico,
o que não ocorre para o caso 3D, fato também observado por A Merrouche et al
[ 1 ], onde a parte relacionada à modelagem geométrica e geração de malha é
muito mais complicada. Portanto, dos trabalhos pesquisados percebeu-se uma
preocupação em desenvolver técnicas de geração de malhas mais eficientes e
técnicas de otimização aplicadas ao processo de estimativa de erro. Abaixo,
segue um pequeno resumo dos trabalhos que tratam exclusivamente sobre
geração de malhas e adaptatividade 3D.
Frey et al em 1994 [23] apresentaram um algoritmo de geração de malha
3D adaptado para geometrias complexas.
Lee & Lo em 1997 [31] apresentaram um procedimento automático para o
refinamento adaptativo em 3D. Neste trabalho os autores objetivaram eliminar
alguns problemas observados no processo de suavização Superconvergent
patch recovery (SPR), possibilitando obter campos de tensões suavizados mais
“confiáveis” para problemas de elasticidade 3D.
Golias & Dutton em 1997 [24] apresentaram um método para a geração de
tetraedros, baseado na triangulação de Delaunay. O método consiste em um
procedimento de divisão de tetraedros e num método de otimização de malhas
de tetraedros, fundamentado em uma organização topológica, usando a
triangulação de Delaunay para gerar os tetraedros.
Lee & Lo em 1999 [32] usaram técnicas de otimização para obter
melhorias no esforço computacional do processo de refinamento adaptativo de
malhas de elementos finitos.
Cavalcante-Neto [13] estendeu seu trabalho anterior de 2D para 3D,
migrando da linguagem de programação C para a C++, a qual é fundamentada
na técnica de Programação Orientada a Objetos. Neste trabalho os métodos de
suavização usados foram o SPR [63-66] e o REP [13].
Lee et al em 2000 [33] propuseram um algoritmo de refinamento de malha
de elementos finitos 3D onde é possível converter malhas com elementos
lineares em malhas com elementos quadráticos ou cúbicos. Foram testados os
aumentos na ordem dos seguintes tipos de elementos finitos: tetraedro,
pirâmide, hexaedro e prisma.
Lee em 2002 [34] propôs um novo algoritmo de geração de malha para
gerar malhas em superfícies 3D, que é fundamentado em um novo modelo
geométrico.
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26
Aymone em 2003 [3] apresentou aspectos referentes às formulações
Euleriana (descrição espacial) e Lagrangiana (descrição material) em algoritmos
de geração de malhas em 3D.
Choi et al em 2004 [18] apresentaram um algoritmo para geração de
malhas tetraédricas com refinamento local, fundamentado na técnica de avanço
de fronteira, juntamente com uma técnica de otimização, fornecendo desta forma
melhorias locais nas malhas (onde houver concentrações de tensões).
Lee & Xu em 2005 [35] apresentaram um novo algoritmo de geração de
malha 3D para estruturas de paredes finas, este algoritmo é dividido em duas
partes: na primeira fase gera-se uma malha de superfície no meio da estrutura
de parede fina, posteriormente se usa esta malha para gerar a malha sólida 3D
através de extrusão.
Hughes et al em 2005 [28] introduziram um novo tipo de análise, chamado
por eles de análise Isogeometric, que é baseada em NURBS. A principal
característica deste novo tipo de análise é a representação exata dos elementos
por NURBS e o uso do conceito isoparamétrico para definir variáveis, como por
exemplo: deslocamento, temperatura, etc.
Zuo et al em 2005 [68] apresentaram um método para eliminar dificuldades
associadas ao remalhamento de malhas 3D em domínios de qualquer forma
geométrica com ou sem descontinuidade geométrica. O novo algoritmo gera
malhas de tetraedros em modelos com ou sem trincas.
Boussetta et al em 2006 [9] apresentaram um processo adaptativo para
malhas de elementos finitos. Este processo não refaz a malha, mas sim combina
um melhoramento local das arestas e nós vizinhos dos elementos que possuirem
um alto erro. Este processo também é válido para problemas com grande
deformação. Os autores usaram o SPR [63-66] como método de suavização.
Eles estabeleceram um limite máximo de elementos, alegando uma maior
robustez do método proposto.
Acharjee & Zabaras em 2006 [2] apresentaram uma extensão do método
de sensibilidade contínua (CSM) para 3D, esta extensão desenvolve equações
de sensibilidade a partir de diferenciações das equações que governam o
problema.
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27
1.2. Objetivos
O enfoque deste trabalho é o de propor um novo processo adaptativo,
fundamentado no refinamento independente das curvas, superfícies e sólidos.
Além disto, o trabalho visa implementar as técnicas de geração de malha em 2D
e 3D desenvolvidas inicialmente pelos trabalhos de Cavalcante-Neto [12,13],
utilizando estimadores de erro baseados no processo de recuperação dos
patches com uma nova metodologia na geração de malhas adaptativas de
elementos finitos 2D e 3D com modeladores geométricos com multi-regiões e
superfícies paramétricas, usando técnicas de decomposição espacial recursiva:
binary-tree (1D), quadtree (2D) e octree (3D) juntamente com avanço de
fronteira. Dentro do contexto de adaptatividade esse trabalho permite que o
porcesso adaptativo ocorra respeitando a geometria do modelo de tal forma que
que curvas e superfícies do modelo numérico sejam mais próximas das curvas e
superfícies do modelo real.
Como objetivos específicos, citam-se:
• Geração adaptativa de malha em 2D, usando uma quadtree global.
• Geração adaptativa de malhas em 2D respeitando a geometria.
• Geração adaptativa de malha em 3D, usando uma octree global.
• Geração adaptativa de malhas em 3D respeitando a geometria.
• Conseguir refinar localmente regiões da malha que apresentem erros
elevados ou que apresentem elementos de má qualidade de forma.
• Conseguir “desrefinar” localmente regiões da malha que não
apresentem erros elevados ou também que não apresentem elementos
de má qualidade de forma.
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28
1.3. Organização do Texto
O capitulo 2 destina-se a apresentar a teoria utilizada em todo o processo
adaptativo, desta forma ele está dividido em quatro seções: a primeira abordará
as estratégias adaptativas, a segunda abordará a técnica de estimativa de erro
utilizada, a terceira tratará das técnicas de suavização e a última mostrará as
principas técnicas de geração de malhas.
No capítulo 3 se detalha o processo adaptativo utilizado neste trabalho,
mostrando a técnica de geração de malha, a estratégia adaptativa, os critérios
da adaptatividade geométrica, a construção da octree / quadtree global.
O capítulo 4 destina-se a apresentar as implementações feitas para a
realização do trabalho, ou seja, mostra a parte interativa com o usuário do
programa, assim como a parte da implementação referente à adaptatividade,
usando o MTOOL [47] para 2D e o MG [48] para o caso 3D. Os detalhes
referentes a todo processo de modelagem também são apresentados neste
capítulo.
O capítulo 5 apresenta alguns exemplos padronizados na literatura técnica,
objetivando desta forma validar a proposta apresentada pelo respectivo trabalho.
O capítulo 6 apresenta, por fim, as conclusões e sugestões para trabalhos
futuros.
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2
BASE TEÓRICA
Este capítulo tem por finalidade apresentar a formulação teórica do
processo adaptativo adotado neste trabalho. Existem quatro aspectos
fundamentais de um processo adaptativo para o problema da análise estrutural:
a estratégia adaptativa, a técnica de estimativa de erro, os métodos de
suavização utilizados e a técnica utilizada para a geração das malhas de
elementos finitos.
2.1. Estratégia Adaptativa
No contexto de estratégias adaptativas, métodos de extensão têm sido
preferencialmente escolhidos em relação a outros enfoques, conforme citado por
Cavalcante-Neto [12,13]. Estes métodos incluem extensões h, p e r (Figura 3).
Na extensão h a malha é refinada quando o indicador de erro excede uma
tolerância pré-estabelecida de tal forma que se aumente o número de elementos
da malha, diminuindo seus tamanhos, sem aumentar o grau dos seus
polinômios. A extensão p é geralmente empregada em uma malha fixa. Neste
caso se o erro de um determinado elemento exceder a tolerância pré
estabelecida, então a ordem da função do elemento em questão é aumentada
para reduzir o erro. A extensão r (de relocação) é empregada em um número fixo
de nós e tenta mover os nós da malha para áreas que apresentem erros
elevados, fazendo com que esta área fique mais refinada mas permanecendo
com o mesmo número de elementos da malha original. Qualquer uma destas
extensões pode ser também combinada em uma estratégia especial, como por
exemplo, h-p, r-h, etc. A estratégia adaptativa utilizada neste trabalho foi a de
extensão h.
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30
(a) (b)
(c) (d)
Figura 3 (a) malha original, (b) malha após o uso da estratégia do tipo h, (c) malha
após o uso da estratégia do tipo p, (d) malha após o uso da estratégia do tipo r.
2.2. Estimativa de Erro
O conceito de adaptatividade e a própria essência do método dos
elementos finitos estão intrinsicamente ligados à definição de erro, pois o método
dos elementos finitos é um método numérico, ou seja, resolve problemas de
forma aproximada e a idéia do uso da adaptatividade surgiu para melhorar as
características das malhas que tivessem gerado resultados ruins na análise de
elementos finitos. Além disso, é justamente a análise do erro que controla o
critério de convergência do processo adaptativo.
Em geral existem dois tipos de estimativas de erro de discretização: a-
posteriori e a-priori [12,57]. O que se procura, em estratégias a-priori, é tentar
garantir de todas as formas que a malha gerada inicialmente já seja de boa
qualidade, o que é válido e importante mas nem sempre é possível. Já a
estratégia a-posteriori se preocupa em melhorar os resultados da análise de erro
(qualidade da malha) a partir dos resultados de uma dada malha inicial. A
estratégia utilizada neste trabalho é a a-posteriori, pois é a partir dos resultados
da análise de elementos finitos da malha inicial que se obtém os parâmetros
necessários para a geração da nova malha, resultando numa diminuição no valor
do erro.
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31
As análises de erros de discretizações têm se tornado cada vez mais
importantes para aumentar a confiabilidade de modernos métodos numéricos
aplicados a problemas de engenharia. Sempre que um método numérico, como
o MEF, é usado para solucionar equações diferenciais relacionadas a um
funcional definido para um problema discreto, erros são introduzidos pelo
processo de discretização que reduz o modelo matemático contínuo para um
modelo numérico discreto com um número finito de graus de liberdade.
Esta seção descreve de forma sucinta o procedimento normalmente
adotado (Zienkiewicz [66]) para estimativa a-posteriori de erro de discretização
em um modelo de elementos finitos.
Primeiramente será apresentada a formulação pelo MEF de um problema
linear elástico com deslocamentos
u
definidos em um domínio
Ω
e com um
contorno
tu
Γ∪Γ=Γ
, onde
u
Γ
é a parte do contorno em que os deslocamentos
são prescritos e
t
Γ
é a parte do contorno em que os carregamentos são
prescritos.
A equação abaixo apresenta a relação entre deslocamentos e
deformações.
Su
=
ε
(1)
onde
ε
são as deformações,
u
são os deslocamentos e
S
é o operador
diferencial que relaciona as deformações em função dos deslocamentos.
A equação abaixo apresenta a relação constitutiva.
ε
σ
D
=
(2)
onde
σ
são as tensões e
D
é a matriz que define as tensões em função das
deformações.
De posse das equações (1) e (2) pode-se colocar o problema segundo
uma equação diferencial de equilíbrio a um carregamento
q
conforme a
equação abaixo.
0=−≡− qDSuSqLu
T
(3)
onde
L
é o operador diferencial auto-adjunto.
Fazendo-se uma transformação de coordenadas, pode-se obter uma
relação entre as tensões
σ
em
Ω
com o carregamento
p
t
em
t
Γ
através da
seguinte equação.
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32
p
tGDSu =
(4)
onde G é um operador linear que relaciona o campo de tensões e as forças de
superfície no contorno do domínio.
Numa aproximação por elementos finitos, tem-se
u
u
ˆ
≈
=
uN
~
(5)
onde
u
~
é a solução numérica nodal para o campo de deslocamentos,
N
são as
funções de forma, que relacionam deslocamentos nodais com os deslocamentos
em qualquer ponto do interior do domínio de um elemento e
u
ˆ
é a solução, em
termos de deslocamento, no interior do elemento finito. Obtém-se as equações
de aproximação ( por um processo padrão de Galerkin ou equivalentemente por
minimização da energia potencial) para obter
0
~
=
−
fuK
(6)
onde
K
é a matriz de rigidez e
f
é o vetor de forças nodais. Estes dois
parâmetros são obtidos através das seguintes equações
(
)
(
)
∫
Ω
Ω= dSNDSNK
T
(7)
∫∫
ΓΩ
Γ+Ω=
t
p
TT
tNqNf dd
(8)
Zienkiewicz [66] mostra em seu livro dois tipos distintos de estimadores de
erro para problemas de elasticidade: os estimadores de erro baseados no
processo de recuperação de patches e os fundamentados em resíduos. Mas
antes de se elucidar as técnicas de recuperação utilizadas neste trabalho é
necessário definir primeiramente o conceito de erro. Neste livro, Zienkiewicz,
caracteriza o erro como sendo a diferença entre a solução exata e uma solução
aproximada, conforme a equação abaixo.
uue
ˆ
−=
(9)
onde
u
é o resultado analítico e u
ˆ
é o resultado aproximado. Neste contexto
u
é
análogo a uma resposta (por exemplo, deslocamentos) em um procedimento
típico de solução numérica.
De uma forma similar pode-se analisar o erro em análise estrutural através
de comparações entre deformações ou tensões, tendo-se as seguintes
equações como resultado.
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33
εε
ε
ˆ
−=e
(10)
σσ
σ
ˆ
−=
e
(11)
onde
ε
é o valor exato das deformações,
ε
ˆ
é o valor aproximado,
ε
e
é o valor
do erro para deformações,
σ
é o valor exato das tensões,
σ
ˆ
é o valor
aproximado e
σ
e
é o erro referente às tensões.
Zienkiewicz [66] comenta que estas definições de erro podem muitas vezes
levar a resultados ruins, pois para pontos abaixo de cargas pontuais os valores
das deformações e tensões tenderiam ao infinito. Situações similares ocorrem
em problemas que apresentam cantos, onde, como é bem conhecido, ocorrem
singularidades nas tensões em uma análise elástica. Por estas razões é que
foram introduzidos vários tipos de ‘normas’ para avaliar o erro da análise de
elementos finitos. Estas normas podem ser expressas analiticamente de uma
das três formas abaixo.
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
21
1
2121
ddd
∫
∫
∫
Ω
−
Ω
Ω
Ω=Ω=Ω=
σσεε
eDeeDeSeDSee
TTT
(12)
Uma medida mais direta é chamada de norma
2
L
, que pode ser associada
com erros em qualquer quantificação. Para as tensões, a norma
2
L
para o erro é
( ) ( )
(
)
21
2
d
∫
Ω
Ω=
σσ
eee
T
L
(13)
Embora estas normas estejam definidas para todo o domínio, nota-se que
o quadrado de cada norma pode ser obtido somando as contribuições dos
elementos de tal forma que se tenha
∑
=
=
m
i
i
ee
1
22
(14)
onde
i
representa um elemento e
m
o número total de elementos do modelo.
Em uma malha considerada “ótima”, tenta-se fazer com que as contribuições
para este quadrado da norma sejam iguais para todos os elementos. Entretanto,
o valor absoluto da norma de energia ou da norma
2
L tem pouco significado
físico. Desta forma, é preferível adotar um erro relativo
u
e
=
η
(15)
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34
que pode ser determinado para todo o domínio
Ω
ou para subdomínios de
elementos, onde
u
é o valor positivo da raíz quadrada do dobro da energia de
deformação, podendo ser expressa através da seguinte equação
( ) ( )
(
)
21
1
d
∫
Ω
−
Ω=
σσ
Du
T
(16)
O erro relativo da norma de energia (
η
) é usado em estratégias
adaptativas para avaliar o erro de discretização do problema em questão e para
guiar para um refinamento que melhore a qualidade da malha e
conseqüentemente os valores dos resultados obtidos. Em uma estratégia
adaptativa de refinamento baseada em uma extensão h, o estimador de erro irá
definir como o modelo discreto será refinado ou “desrefinado”. Um critério
simples para se atingir o erro da solução dentro de um nível aceitável para todo
o domínio pode ser estabelecido da seguinte forma
*
ηη
≤
(17)
onde
*
η
é o erro máximo permitido e
η
é o erro corrente da análise obtido por
22
eu
e
+
=
ˆ
η
(18)
onde
u
ˆ
é a norma de energia obtida da solução por elementos finitos.
Um critério razoável utilizado para uma “malha ótima” é forçar que a norma
de energia do erro
(
)
i
e
seja igualmente distribuída entre os elementos, desta
forma para um dado elemento
i
, tem-se
m
i
e
m
eu
e =
+
≤
2
1
22
*
ˆ
η
(19)
onde
m
é o número total de elementos.
Pode-se então, desta forma, definir a razão de erro
(
)
i
ξ
como sendo
m
i
i
e
e
=
ξ
(20)
É evidente que o refinamento será necessário se
1>
i
ξ
(21)
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35
Um procedimento mais eficiente consiste em designar completamente uma
nova malha (estratégia adaptativa de extensão do tipo h) que satisfaça o
seguinte requisito
1≤
i
ξ
(22)
No limite do refinamento da malha, assumindo uma certa taxa de
convergência [66], o valor da razão de erro
i
ξ
é então usado para determinar o
novo tamanho dos elementos que serão gerados na nova malha conforme a
equação abaixo
p
i
i
h
h
1
ξ
=
(23)
onde
i
h
é o tamanho inicial do elemento,
h
é o tamanho final e
p
é a ordem
polinomial da função de aproximação.
2.3. Métodos de Suavização
Esta seção descreve os procedimentos de recuperação de patches usados
para se obter o campo
σ
, já que o campo de tensões exato
σ
geralmente é
desconhecido. Inicialmente, é descrita a técnica da suavização por médias
nodais Z2-HC [62] e em seguida é mostrada a técnica SPR [63-66]
fundamentada em sistemas de mínimos quadrados ponderados.
Vale ressaltar que neste trabalho a parte de implementação referente aos
métodos de suavização encontram-se no programa chamado FEMOOP (Martha
et al [43]), que está implementado seguindo uma programação orientada a
objetos em C++.
O FEMOOP [43] é o módulo de análise utilizado tanto em 2D quanto em
3D. No caso 2D, o modelador geométrico utilizado para criar o modelo
geométrico, criar e aplicar os atributos de análise às entidades geométricas,
gerar as malhas de elementos finitos e responsável pela visualização dos
resultados é o MTOOL [47]. Já para o caso 3D, o modelador geométrico é o MG
[48] e visualizador é o POS3D [16].
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36
2.3.1. Zienkiewicz e Zhu – Hinton e Campbell (Z2-HC)
Este método consiste em estimar valores nodais contínuos para nós
internos da malha, podendo ser utilizada uma suavização global ou local
*
. Uma
breve descrição do método é apresentada abaixo.
Após se obter os resultados das tensões nos pontos de Gauss, deseja-se
estimar uma representação global das tensões, de preferência na forma de
valores médios nodais. Portanto os valores de tensões obtidos nos pontos de
Gauss devem ser extrapolados para os nós e suavizados, o que pode ser feito
de forma global ou local.
Na suavização global de tensões, os valores nodais de tensões são
obtidos de forma a minimizar o erro global (de todo o modelo) na avaliação das
tensões nos pontos de Gauss.
O procedimento usual, no entanto, é uma suavização local de tensões.
Neste caso os valores das tensões nos pontos de Gauss são extrapolados para
os nós de cada elemento. Após este passo os valores das tensões para um
determinado nó são diferentes em cada um dos elementos que contém este nó.
O passo seguinte, portanto, é a suavização dos valores nodais, o que
normalmente é feito através de uma média dos valores obtidos de cada
elemento adjacente ao nó. No entanto há casos em que deve existir uma
descontinuidade na tensão, como por exemplo na interface entre dois materiais
diferentes, onde deve haver um valor médio de tensão em um nó de interface
para cada grupo de elementos que forem do mesmo material.
A extrapolação dos valores nos pontos de Gauss para os nós pode ser
feita de duas formas: ou os valores são interpolados ou eles são obtidos através
de um ajuste usando mínimos quadrados.
A Figura 4 mostra de uma forma simplificada a obtenção dos valores
nodais através da contribuição de todos os elemetos adjacentes ao nó, conforme
a idéia do método.
*
para mais detalhes ver [26]
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37
(a) (b)
Figura 4 (a) mostra a contribuição de cada elemento, quadrilateral, para o valor de
tensão, não suavizada, no nó adjacente aos mesmos, (b) mostra o valor da tensão
suavizada no nó adjacente aos elementos quadrilaterais (Hinton & Campbell - [26]).
2.3.2. Superconvergent patch recovery (SPR)
Um campo genérico (por exemplo, tensão) pode ser aproximado pela
seguinte expansão polinomial
Pa
=
σ
(24)
onde
P
contém os termos polinomiais apropriados e
a
é um conjunto de
parâmetros desconhecidos. Pode-se observar que esta expansão é usada para
cada componente do tensor de tensões. Por exemplo, para problemas
bidimensionais usando o elemento finito isoparamétrico quadrático de 8 nós (ver
Figura 5.b) a seguinte aproximação é utilizada
[
]
22
,,,,,1 yxyxyxP =
(25)
[
]
T
aaaaaaa
543210
,,,,,=
(26)
Os coeficientes desconhecidos
i
a
podem ser determinados por ajuste
através do método dos mínimos quadrados ponderados da expansão polinomial
(24) com relação aos valores de
σ
obtidos da solução de elementos finitos nos
pontos de amostragem, isto é,
σ
ˆ
. Pequenos grupos (patches) de elementos são
usados para realizar ajustes locais de mínimos quadrados e um peso
(
)
i
ϖ
é
considerado aqui para enfatizar a influência dos pontos de amostragem que
estão mais próximos do nó que forma o patch (ver Figura 5.b). Desta forma, o
peso
(
)
i
ϖ
pode ser obtido de seguinte maneira
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38
p
i
i
ρ
ϖ
1
=
,
(27)
onde
i
ρ
é a distância Euclidiana entre o ponto de amostragem
i
e o nó que
forma o patch e
p
é um inteiro. O uso de pesos maiores que zero pode ser
efetivo para resolver problemas com gradientes bem elevados e também
melhora o problema do mau condicionamento, que acontece em alguns
problemas que usam o SPR [63-66].
Objetivando ilustrar a recuperação superconvergente discreta [66],
considere um patch de elementos contendo
m
pontos de amostragem, como
ilustrado na Figura 5, onde existe um ponto de amostragem
i
qualquer com
coordenadas Cartesianas
(
)
ii
yx
, em relação aos eixos globais. Assim sendo, o
problema de mínimos quadrados ponderados é reduzido a minimização do
seguinte funcional
( ) ( )
[ ]
∑
=
−=Λ
m
i
iiiii
yxyx
1
2
2
,,
ˆ
σσϖ
(28)
Substituindo a equação (24) na equação (28) obtém-se
( ) ( )
[ ]
∑
=
−=Λ
m
i
iiiii
ayxPyx
1
2
2
,,
ˆ
σϖ
(29)
(a) Malha de elementos finitos (b) Patch destacado
Figura 5 Notação da recuperação por patch: nó que forma o patch;
∆
pontos
de amostragem; valores nodais determinados pelo procedimento de recuperação;
pontos nodais;
i
ρ
distância entre o ponto de amostragem
i
e o nó que forma o patch;
Ω
denota o domínio do problema e
P
Ω
indica o domínio do patch (Cavalcante-Neto
J.B.-1998 [13]).
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39
A Figura 5 mostra uma malha gerada em um exemplo clássico da teoria da
elasticidade, destacando a formação do patch.
O problema de minimização é resolvido fazendo-se 0
=∂Λ∂ a
, levando ao
seguinte conjunto de equações lineares
bAa
=
(30)
onde
( ) ( )
∑
=
=
m
i
iiii
T
i
yxPyxPA
1
2
,,
ϖ
(31)
( ) ( )
∑
=
=
m
i
iiii
T
i
yxyxPb
1
2
,
ˆ
,
σϖ
(32)
Resolvendo-se o sistema de equações em (30) para
a
, pode-se substituir
seu valor na equação (24) e obter o valor das tensões.
2.4. Geração de Malhas
Esta seção apresenta as idéias gerais das principais técnicas de geração
de malhas de elementos finitos. A técnica de geração utilizada neste trabalho foi,
fundamentalmente, a mesma técnica usada no trabalho de Cavalcante-Neto [13],
que combina duas das técnicas apresentadas, tal como descrito no próximo
capítulo.
Usualmente, as malhas são classificadas em três grupos principais, os
quais são: estruturadas, não-estruturadas e as híbridas. Entretanto, não há um
consenso quanto à definição de cada tipo. Uma das sugestões é fazer a
diferenciação baseada na topologia da vizinhança dos elementos. Desta forma,
as malhas estruturadas são caracterizadas por seus nós internos terem um
número constante de elementos adjacentes (ver Figura 6.a). Já as malhas não
estruturadas não apresentam número de elementos adjacentes aos nós internos
de forma constante (ver Figura 6.b). As malhas híbridas, como o próprio nome já
diz, apresentam em algumas regiões do seu domínio características das malhas
estruturadas e em outras partes, características das malhas não-estruturadas
(ver Figura 6.c).
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40
(a) Estruturada (b) Não-estruturada (c) Híbrida
Figura 6 Tipos de malha (Batista V.H.F.-2005 [6]).
Malhas estruturadas discretizam o domínio em elementos possuindo
conectividade implícita, ou seja, precisa-se apenas das coordenadas dos nós
dos elementos para determinar todas as relações de conectividade existente,
facilitando o processo de geração. Já nas malhas não-estruturadas as relações
de conectividade entre os elementos têm que ser obtidas explicitamente através
de uma tabela que especifique claramente a conectividade de cada elemento.
Nas malhas híbridas a conectividade dependerá da combinação final entre as
malhas estruturadas e as não-estruturadas.
As malhas não-estruturadas são preferíveis quando se tratar de
discretização de domínios que apresentem geometrias arbitrárias (complexas),
pois este tipo de malha se ajusta melhor ao contorno, permitem também a
aplicação de refinamento local e adaptativo, o que é impossível em malhas
estruturadas e muito difícil nas híbridas. As malhas híbridas também são usadas
em domínios com geometria arbitrária, mas o processo de geração de malhas é
mais complicado que o processo que usa malhas não-estruturadas.
Os elementos mais freqüentes em malhas estruturadas são quadriláteros
em 2D e hexaedros em 3D. Nas malhas não-estruturadas são os triângulos e
tetraedros, apesar de também ser possível utilizar elementos do tipo
quadriláteros, prismas, pirâmides e hexaedros. Já nas malhas híbridas, podem
ser usados elementos de formas variadas.
O uso preferencial de triângulos e tetraedros nas malhas não-estruturadas
é justificado pelo fato de que estes elementos são capazes de se adaptar a
contornos de domínios complexos e permitem suave transição de tamanho entre
os elementos. Porém, a quantidade de elementos necessários para discretizar
um domínio qualquer usando triângulos e tetraedros é maior quando comparado
ao uso de quadriláteros e hexaedros. Apesar disso, a utilização de triângulos
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41
para problemas 2D continuou sendo usada pelo fato de existirem inúmeros
trabalhos de pesquisa eficientes tratando o processo de geração de malhas
utilizando elementos triangulares [38]; para o caso 3D só em meados da década
de 80 e início da, de 90 é que se começou a pesquisar sobre algoritmos de
geração de malhas sólidas. Devido a este fato, hexaedros eram usados
preferencialmente em detrimento aos tetraedros. Como resultado destas
pesquisas já se têm um número razoável de algoritmos de geração de malhas
3D, porém poucos se destacam por possibilitar precisão, robustez, flexibilidade
quanto às formas do domínio e elevado nível de automatização, além é óbvio, de
resultar em malhas de “boa qualidade”. Carey [11] faz um resumo do avanço da
pesquisa no estudo de técnicas de geração de malhas.
É de grande importância citar que esta seção do trabalho, foi baseada no
trabalho de Batista [6], que apresentou uma enriquecedora revisão bibliográfica
sobre as técnicas de geração de malhas, além de propor uma nova técnica para
a geração de malhas não-estruturadas tetraédricas fundamentada em avanço de
fronteira. Muitas referências citadas no trabalho de Batista [6] também foram
pesquisadas como requisito básico para o compreendimento do assunto
abordado nesta seção, bem como para a elaboração deste trabalho.
2.4.1. Geração de malhas não-estruturadas
A capacidade de adequar-se a domínios arbitrários e a relativa facilidade
de automatização impulsionaram a aplicação das malhas não-estruturadas na
mecânica dos sólidos computacional, na dinâmica dos fluidos computacional e
na geometria computacional. O grande interesse nesta área levou com que
fossem desenvolvidos métodos que tratassem diferentes tipos de domínios
(planos, superfícies tridimensionais e sólidos).
Os principais métodos de geração de malhas não-estruturadas são
baseados na triangulação de Delaunay, Avanço de Fronteira e Decomposição
Espacial Recursiva. Os métodos baseados na triangulação de Delaunay
possuem um sólido embasamento matemático, mas apresentam dificuldades
quando existem restrições tais como o contorno do domínio. Os métodos
baseados no Avanço de Fronteira respeitam o contorno e têm um controle total
da inserção dos nós internos. Já os métodos baseados na Decomposição
Espacial Recursiva possibilitam acoplamento aos modeladores geométricos,
aumentando o grau de automatização dos métodos.
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42
2.4.1.1. Triangulação de Delaunay
A triangulação de Delaunay decompõe poliedros convexos gerados por
conjuntos de pontos de modo único, satisfazendo ao critério da “esfera vazia”,
que assegura que o círculo circunscrito a qualquer triângulo pertencente a
triangulação não contenha pontos em seu interior (ver Figura 7).
Figura 7 Malha de elementos finitos gerada por triangulação de Delaunay (Batista [6]).
Objetivando forçar a presença de arestas em triangulações de Delaunay,
Chew [17] desenvolveu um algoritmo que constrói a chamada triangulação de
Delaunay com restrição. A partir deste instante, diferentes algoritmos surgiram,
servindo de base para novos algoritmos de geração de malhas.
Cavendish et al em 1985 [15] foram os primeiros a aplicarem a
triangulação de Delaunay para a geração de malhas tridimensionais.
As principais características de geradores de malhas fundamentados na
triangulação de Delaunay são: a produção de mais de um elemento por nó
inserido, problemas de arredondamento no teste da “esfera vazia” e o
surgimento de slivers, que são tetraedros cujos os quatro vértices estão
praticamente no mesmo plano.
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43
2.4.1.2. Decomposição Espacial Recursiva
O emprego desta técnica permite a representação de domínios com
formas complexas de modo compacto e hierárquico. A idéia básica envolvida é
similar a um dos paradigmas fundamentais na construção de algoritmos (dividir
para conquistar). Quadtrees e octrees são exemplos de estruturas baseadas
neste conceito e que permitem a modelagem geométrica de domínios bi e
tridimensionais. Yerry & Shephard [60,61] apresentaram um algoritmo para
geração de malhas 2D, onde as malhas são geradas a partir de quadtrees. O
processo pode ser resumido da seguinte forma (vide Figura 8). Primeiramente
define-se um quadrado englobando todo o domínio, que será a primeira célula
da quadtree. Em seguida este quadrado é dividido em quatro partes iguais. Cada
parte (nova célula) pode ser classificada da seguinte forma: cheia quando o
quadrado estiver inteiramente dentro do domínio, vazia quando nenhuma parte
do quadrado estiver dentro do domínio ou parcial quando pelo menos uma parte
da célula estiver dentro do domínio. Cada célula nova é subdividida em outras
quatro células, que também serão classificadas de acordo com o mesmo critério
descrito anteriormente. Este procedimento continua até se atingir o nível de
refinamento desejado, ou no caso adaptativo, até se atingir o erro requerido.
Após se atingir este critério de parada da subdivisão, as células do tipo parcial
são seccionadas para satisfazer o contorno e a quadtree é modificada para
forçar um único nível de diferença entre células adjacentes, o que suaviza a
transição entre os tamanhos dos elementos. Finalmente converte-se os
quadrados em triângulos e ajusta-se os pontos do contorno. Estes ajustes são
responsáveis pela distribuição irregular dos pontos ao longo do contorno, o que é
uma das características do método.
(a) Quadtree (b) Vértices gerados (c) Malha final
Figura 8 Exemplo de geração de uma malha 2D de elementos finitos usando uma
quadtree (Batista [6]).
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44
A Figura 9 mostra a quadtree em forma de diagrama de árvore referente à
quadtree mostrada na Figura 8.a, com as células que estão parcialmente dentro
do domínio, células que estão totalmente dentro e células que estão fora do
domínio.
Figura 9 Estrutura quadtree em forma de diagrama.
2.4.1.3. Avanço de Fronteira
Esta técnica foi concebida no trabalho de Lo em 1985 [38] surgindo com o
intuito de gerar malhas em domínios bidimensionais arbitrários. Inicialmente o
contorno do domínio é representado pela união disjunta de arestas delimitando
um polígono fechado simples. Os nós pertencentes ao contorno externo são
ordenados em sentido anti-horário. Já os nós internos são numerados em
sentido contrário. Devido a esta ordenação fica definido que a área a ser
triangulada fica sempre à esquerda das arestas do domínio. Antes de se iniciar a
discretização são calculadas as coordenadas dos nós internos do domínio
obedecendo o espaçamento nodal estabelecido. A etapa de triangulação inicia
com a definição de um fronte de geração exatamente igual ao contorno do
domínio. Então selecionam-se dois nós do domínio que sejam capazes de gerar
um elemento com cada aresta do fronte. O nó que resultar em um elemento com
“melhor qualidade”, segundo o critério aplicado, será o nó escolhido. Desta forma
o fronte vai avançando até que não haja mais aresta que não pertença a nenhum
elemento. A Figura 10 ilustra a descrição do método feita acima.
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45
(a) Fronte inicial (b) Avanço do fronte (c) Malha final
Figura 10 Exemplo de geração de uma malha 2D de elementos finitos usando avanço de
fronteira (Batista V.H.F.-2005 [6]).
Apesar da concepção do algoritmo ser atribuida a Lo foi o algoritmo
idealizado por Peraire et al em 1987 [50] que popularizou o método, pois a
inovação proposta por Peraire et al permite maior controle na inserção de nós e
o acoplamento a processos adaptativos. Nesse trabalho, Peraire et al montam
uma lista com nós candidatos para formar o elemento, com um ponto ideal e
com os nós vizinhos à aresta selecionada. O nó escolhido será aquele que
formar um elemento, cujo o interior não contenha outro nó da lista dos
candidatos e cuja as arestas não interceptem nenhuma aresta do fronte.
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3
PROCESSO ADAPTATIVO
Este capítulo descreve o processo adotado para a geração adaptativa de
malhas de elementos finitos 2D e 3D utilizada neste trabalho. Conforme
mencionado anteriormente, este processo é fundamentado no algoritmo para
geração de malhas volumétricas desenvolvido por Cavalcante-Neto [13] e no
algoritmo de geração de malhas de superfície desenvolvido por Miranda et al
[45]. Portanto, este capítulo objetiva também descrever sucintamente as técnicas
de geração de malhas volumétricas e de superfície. A versão 2D do algoritmo é
um caso particular dessas técnicas [44].
3.1. Resumo do processo adaptativo
A estratégia adaptativa utilizada neste trabalho é a do tipo h com
estimativa de erro a-posteriori. Os métodos de suavização de respostas
(estimativa de resposta “melhorada”), tal como descrito no capítulo anterior, são
o Z2-HC [62], baseado na média nodal, e o SPR [63-66], baseado em
recuperação de patches. A técnica de geração de malhas é baseada em
Decomposição Espacial Recursiva (seção 2.4.1.2) e Avanço de Fronteira (seção
2.4.1.3), usando os algoritmos desenvolvidos por Cavalcante-Neto e Miranda et
al, mas com uma nova abordagem da técnica de Decomposição Espacial
Recursiva, pois as estruturas de dados do tipo quadtree (2D) e octree (3D) não
têm mais apenas a função de gerar pontos no interior do domínio. Nas versões
anteriores, essas estruturas de dados eram utilizadas para cada região do
domínio (sub-domínio) de forma independente (uma estrutura por região). A
partir deste trabalho, estas estruturas são globais, isto é, existe apenas uma
estrutura quadtree ou octree para gerenciar o processo de geração adaptativa de
malhas de um modelo (mesmo que tenha várias regiões). Além disso, essas
estruturas agora são responsáveis pelo refinamento das curvas e superfícies,
além de controlar o tamanho dos elementos que são gerados no domínio. A
Figura 11 mostra o fluxograma do processo adaptativo apresentado neste
trabalho.
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47
Figura 11 Fluxograma do novo processo adaptativo (2D e 3D).
A descrição do processo pode ser resumida da seguinte forma.
Primeiramente, por se usar uma estimativa de erro a-posteriori, parte-se de um
modelo sólido ou plano, onde já exista uma malha de elementos triangulares /
tetraédricos associada. Posteriormente, seleciona-se o método de suavização
que se deseja utilizar. Em seguida, o programa de análise (FEMOOP [43]) lê o
arquivo gerado pelo modelador e gera um arquivo que contém informações das
razões de erro associados a cada elemento
(
)
i
ξ
(ver equação 20) de acordo
com o método de suavização adotado. E são estes valores que são usados para
refinar a octree / quadtree global.
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48
Considera-se que existe um modelador geométrico associado ao ambiente
de geração adaptativa de malhas de elementos finitos. O modelo geométrico
plano tem uma descrição topológica dos vértices, curvas e regiões planas, assim
como uma descrição geométrica associada, que consiste das coordenadas dos
vértices e representação matemática das curvas. Em 3D, a descrição topológica
envolve vértices, curvas, superfícies e regiões; e a descrição geométrica também
considera a representação matemática das superfícies. Tanto no caso plano
quanto no tridimensional o modelo pode conter várias regiões. Neste ambiente,
os atributos da simulação, tais como propriedades de materiais, cargas e
restrições de suporte, estão associados às entidades geométricas. Dessa forma,
as entidades da malha de elementos finitos (nós e elementos) recebem
automaticamente os atributos das entidades geométricas que estão associadas.
Com isso, pode-se regerar as malhas sem que os atributos sejam perdidos.
Neste trabalho, o modelador utilizado é o MTOOL [47] para o caso 2D e o MG
[48] para o caso 3D.
A razão de erro de cada elemento e as curvaturas das curvas e superfícies
vão definir os tamanhos dos novos elementos que serão gerados no próximo
passo do processo adaptativo. A distribuição espacial do tamanho dos novos
elementos é armazenada em uma estrutura de dados global do tipo octree (3D) /
quadtree (2D).
A idéia de se utilizar essas técnicas de decomposição espacial recursiva
para armazenar a distribuição espacial dos tamanhos dos elementos em um
processo de geração de malhas de elementos finitos não é nova. Cavalcante-
Neto [13] e Miranda [44,45] lançaram esta idéia. A novidade apresentada é o fato
de a octree / quadtree ser global, isto é, uma única estrutura de dados é criada
para todo o modelo, mesmo que ele tenha várias regiões. Nos trabalhos citados
uma octree / quadtree era gerada para cada região do modelo. Além disso, a
octree / quadtree global contém as informações sobre os tamanhos dos
elementos necessários para reduzir o erro de discretização (adaptatividade
numérica) e sobre os tamanhos dos elementos necessários para modelar
adequadamente as curvaturas de curvas e superfícies (adaptatividade
geométrica).
A próxima seção descreve a construção da octree / quadtree global em
função da razão de erro dos elementos finitos da malha anterior. A seção 3.3
descreve o refinamento da octree / quadtree global de acordo com as curvaturas
das curvas. No caso 3D, a octree é refinada subseqüentemente em função da
geometria das superfícies tal como descrito na seção 3.4.
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49
Uma vez obtida a octree / quadtree global levando em conta o erro
numérico e as curvaturas de curvas e superfícies, o passo seguinte é a geração
da malha de elementos finitos propriamente dita. A geração de malhas é feita por
regiões e parte da discretização das curvas (seção 3.6) para gerar as malhas de
superfície no caso 3D (seção 3.7) e das malhas de domínio no caso 2D. No caso
3D, a geração da malha sólida (seção 3.8) de uma região depende da
discretização das suas curvas e superfícies de bordo.
A necessidade de ordenar a discretização começando pelas curvas,
passando pelas superfícies e finalizando com as regiões se deve a dois motivos.
Primeiro, por se adotar uma técnica de Avanço de Fronteira, que parte do
contorno discretizado de cada região. Segundo, a discretização prévia das
fronteiras das regiões força a compatibilidade entre as malhas das regiões.
Após se realizar um passo do processo adaptativo, é mostrado o resultado
do erro corrente, identificando se é necessário ou não mais um passo.
3.2. Construção da octree / quadtree global baseada no erro
numérico
O primeiro cubo / quadrado da octree / quadtree global é incializado com a
menor dimensão que é capaz de envolver completamente o modelo (vide seção
2.4.1.2).
Após se inicializar a octree / quadtree global, calcula-se, de acordo com o
(a) volume (área) de cada elemento e com a razão de erro
(
)
i
ξ
associada a ele,
o tamanho característico
h
que será associado ao seu centro geométrico. Este
tamanho característico será usado no refinamento da octree / quadtree e é
calculado da seguinte forma. Primeiramente, calcula-se o volume / área real do
elemento
(
)
REALREAL
AV ,
. Em seguida calcula-se o comprimento
L
da aresta (lado)
do tetraedro (triângulo) regular (eqüilátero) que tem o (a) mesmo (mesma)
volume (área) do elemento. A aresta
L
é adotada como o tamanho
característico
i
h
do elemento na malha inicial. Esse cálculo é feito com base nos
tetraedros / triângulos regulares / eqüiláteros pois estas são as formas ideais dos
elementos que serão gerados na nova malha.
O valor de
L
para o caso plano é obtido da seguinte equação, através da
relação entre a área do triângulo eqüilátero e o seu lado.
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50
3
4
REAL
A
L =
(33)
O valor de
L
para o caso tridimensional é obtido da seguinte equação, que
é obtida pela relação entre o volume do tetraedro regular e sua aresta.
3
2
12
REAL
V
L =
(34)
O tamanho característico h que será associado ao centro geométrico de
cada elemento será o valor de
L
obtido pelas equações (33) ou (34) dividido
pelo valor
i
ξ
do elemento, de acordo com a equação (23), considerando Lh
i
=
.
O refinamento da octree / quadtree é realizado localizando a célula da
octree / quadtree onde se encontra o centro geométrico de cada elemento e
testanto se o tamanho desta célula é maior que o tamanho h . Em caso
afirmativo a célula da octree / quadtree será dividida em 8 cubos / 4 quadrados
iguais. O refinamento termina quando os centros geométricos de todos
elementos estiverem localizados em células, cujos os tamanhos são menores ou
iguais aos tamanhos característicos dos elementos correspondentes.
3.3.
Refinamento da octree / quadtree global baseado na
adaptatividade geométrica das curvas
Outra ferramenta muito importante idealizada e implementada durante o
desenvolvimento deste trabalho foi a adaptatividade geométrica das curvas de
bordo. Em muitas ocasiões, quando se usa o processo adaptativo apenas
baseado no erro numérico da malha, a nova malha gerada (no passo seguinte
do processo) não respeita a geometria real das curvas do modelo. Isto acontece,
sobretudo, quando estas curvas possuem trechos com curvaturas acentuadas e
não há nesses trechos concentrações de tensões que requeiram maior
refinamento dos mesmos. Nesses casos, utiliza-se o processo adaptativo
baseado nos estimadores de erro juntamente com a adaptatividade geométrica,
que busca refinar mais os trechos com maiores curvaturas para que as
geometrias das curvas sejam respeitadas.
Devido a isso, após ser inicializada e refinada a octree / quadtree global
através do erro numérico, o processo adaptativo tem a opção de considerar as
curvaturas das curvas do modelo no refinamento da octree / quadtree global.
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51
O processo adaptativo considerando também a adaptatividade geométrica
de curvas depende de alguns parâmetros que são fornecidos como dados de
entrada.
1) Tolerância angular (ang
TOL
);
2) Distância máxima, medida ao longo da curva, entre duas subdivisões
consecutivas pertencentes à curva (d
MAX
);
3) Distância mínima, medida ao longo da curva, entre duas subdivisões
consecutivas pertencentes à curva (d
MIN
).
O refinamento da octree / quadtree global considerando esses parâmetros
para cada curva é feito de forma recursiva. A curva é subdividida em trechos
sobre os quais se efetuam testes que, se forem satisfeitos, irão resultar no
acréscimo de uma nova subdivisão à curva. Se estes testes falharem, o trecho é
subdividido em dois novos trechos de comprimentos iguais, e os testes são
novamente realizados para cada um destes trechos, recursivamente.
Inicialmente, utiliza-se a curva inteira como primeiro trecho a ser testado.
Em seguida, se necessário, a curva vai sendo subdividida até que os critérios
adotados sejam todos satisfeitos para cada trecho testado.
Usando-se a Figura 12 como referência, pode-se descrever, em ordem, os
testes efetuados para cada trecho:
Figura 12 Curva a ser subdividida segundo os critérios geométricos.
1) Compara-se entre o comprimento total do trecho, medido ao longo da
curva (Figura 12), e a distância mínima permitida entre duas subdivisões
consecutivas. Se o comprimento total do trecho for menor ou igual à distância
mínima permitida, o ponto P0 é acrescentado como uma nova subdivisão da
curva (Figura 13.a). Se o comprimento total do trecho for maior que a distância
mínima permitida, passa-se ao teste seguinte.
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52
Figura 13 (a) Ponto P0 é inserido (b) Inseri-se uma nova subdivisão, fazendo-se P1 = Pm
e Pm sendo a metade do novo trecho.
2) Compara-se entre o comprimento total do trecho, medido ao longo da
curva, e a distância máxima permitida entre duas subdivisões consecutivas. Se o
comprimento total do trecho for maior que a distância máxima permitida, o trecho
deve ser subdividido em dois novos trechos de igual comprimento sobre os quais
os mesmos testes descritos aqui serão aplicados (Figura 13.b). Isto é obtido
fazendo-se P1 = Pm para o primeiro trecho (em vermelho) e P0 = Pm para o
segundo trecho (em preto), e recalculando-se os pontos intermedirários para
cada trecho (pontos localizados na metade do comprimento de cada trecho). Se
o comprimento total do trecho for menor que a distância máxima permitida,
passa-se ao teste seguinte.
3) Calcula-se o ângulo entre os vetores cujos vértices iniciais encontram-se
no ponto localizado na metade do comprimento do trecho em questão (ponto
Pm) e cujos vértices finais encontram-se sobre os pontos inicial e final do trecho
(P0 e P1). Calcula-se, então, o módulo da diferença entre o valor deste ângulo e
180º. Se esta diferença for menor que a tolerância angular pré-estabelecida, o
ponto P0 é acrescentado como uma nova subdivisão da curva (Figura 13.a). Se
esta diferença for maior que a tolerância angular pré-estabelecida, o trecho é
subidivido em dois novos trechos de comprimento iguais (Figura 13.b) sobre os
quais os mesmos testes descritos aqui serão aplicados.
Os critérios da adaptatividade geométrica podem ser estabelecidos pelo
usuário do programa, de tal forma, que os trechos das curvas que apresentem
maiores curvaturas serão mais refinados. Este fato também se torna muito
importante para adaptatividade baseada em erro, pois, em geral, são justamente
estes trechos que normalmente apresentam grande gradiente de tensões.
Neste trabalho, a adaptatividade geométrica é utilizada no refinamento da
octree / quadtree global da seguinte forma:
1) Calcula-se o número de subdivisões da curva;
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53
2) De cada trecho obtém-se as coordenadas Cartesianas do seu centro
geométrico e o tamanho do trecho;
3) Estes valores são repassados para o refinamento da octree / quadtree
global. Isto é feito de forma análoga ao que foi descrito na seção anterior para
refinar a octree / quadtree de acordo com o tamanho característico requerido
pela razão de erro numérico.
A Figura 14.a, 14.b, 14.c e 14.d tentam ilustrar a importância do uso da
adaptatividade geométrica. A Figura 14.a mostra um tubo submetido a pressão
interna (no ambiente de modelagem), a Figura 14.b mostra o mesmo tubo
representado por uma malha de elementos finitos bem grosseira, a Figura 14.c
mostra o resultado após o primeiro passo da adaptatividade usando apenas
critérios baseados na estimativa de erro, percebe-se nesta figura, que houve
uma melhora na qualidade da malha em comparação com a malha da
Figura 14.b, já a Figura 14.d mostra o resultado após o primeiro passo da
adaptatividade usando os critérios baseados na estimativa de erro e a
adaptatividade geométrica, percebe-se que nesta figura há uma melhora na
qualidade da malha em comparação com as malhas das Figura 14.b e 14.c.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 14 (a) Tubo com pressão interna, (b) Malha grosseira do modelo do tubo, (c)
resultado do 1º passo do processo adaptativo usando apenas critérios baseados na
estimativa de erro e (d) resultado do 1º passo do processo adaptativo usando os critérios
de estimativa de erro e os critérios geométricos.
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54
3.4. Refinamento da octree global baseado na adaptatividade
geométrica das superfícies
No caso 3D, um ponto muito importante que deve ser considerado é a
geração de malhas em superfícies de forma arbitrária, levando em consideração
a curvatura das mesmas. Dessa forma, após o refinamento da octree global
considerando os critérios da análise de erro e usando-se os critérios da
adaptatividade geométrica das curvas, deve-se refinar a octree global
considerando também as curvaturas das superfícies. Para tanto, usou-se neste
trabalho o algoritmo desenvolvido por Miranda e Martha [45], que foi uma
extensão da técnica de geração de malhas proposta por Cavalcante-Neto [13].
Nesse algoritmo a malha é gerada no espaço paramétrico da superfície,
mas ângulos e distâncias são calculados no espaço Cartesiano 3D. Desta forma,
os elementos finitos podem ser distorcidos no espaço paramétrico. Mas quando
são mapeados ao espaço Cartesiano 3D devem apresentar boa razão de
aspecto. O algoritmo usa um mapeamento de métrica desenvolvido por Tristano
[59] para obter as distâncias e distorções corretas entre os dois espaços
(Figura 15).
Figura 15 Processo de geração de malhas superficiais paramétricas em 3D (Lira [37]).
Tristano et al também desenvolveram um algoritmo de geração de malhas
de superfície, porém a principal diferença entre os dois algoritmos está na
estratégia de como guardar as informações de métricas entre os espaços
Cartesiano e Paramétrico. No trabalho de Tristano [59] usa-se uma triangulação
auxiliar, já no algoritmo desenvolvido por Miranda e Martha [45] usa-se uma
quadtree auxiliar para guardar estas informações.
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55
Esse trabalho mantém a idéia de Miranda e Martha de utilizar a quadtree
auxiliar das superfícies para guardar as informações de métricas. Uma
alternativa seria guardar essas informações na octree global. Entretanto, se teria
dificuldade em saber que informações estariam associadas a quais superfícies,
quando uma mesma célula da octree global contivesse trechos de mais de uma
superfície. Por essa razão cria-se a quadtree auxiliar, mas os valores dos
tamanhos característicos h que controlam os tamanhos dos elementos a serem
gerados na malha de superfície, continuam sendo guardados na octree global.
No trabalho de Tristano [59] também se usa uma quadtree no espaço
paramétrico, mas ela tem apenas a função de gerar pontos no interior do
domínio para depois, com a técnica de Delaunay, gerar a malha. Já no trabalho
de Miranda e Martha [45] os pontos no interior do domínio são inseridos
concomitantemente aos elementos da malha, utilizando uma técnica da avanço
de fronteira que é descrita nas seções 3.7 e 3.8.
Conforme será descrito nessas seções, a descrição do contorno das
superfícies serve como entrada de dados para o algoritmo de Miranda e Martha
[45]. A definição destes pontos não é tarefa do algoritmo. Portanto, é necessário
que as curvas do contorno das superfícies também apresentem uma
discretização que considerem as curvaturas presentes. É neste contexto, que se
percebe o importante acréscimo de se considerar a adaptatividade geométrica
das curvas tal como mostrado na seção anterior.
O refinamento da octree global considerando as curvaturas das superfícies
é feito da seguinte maneira. Para cada superfície gera-se uma quadtree auxiliar
com base na discretização das curvas de bordo e de suas curvaturas. Neste
estágio não é necessário gerar uma malha associada à superfície, pois o
objetivo é apenas o refinamento da octree global. Cada quadtree auxiliar é
refinada conforme o algoritmo de Miranda et al da seguinte forma. A subdivisão
das curvas de bordo da superfície determina a profundidade local da quadtree e
posteriormente a quadtree é refinada para evitar que células do interior sejam
maiores que células que contenham as curvas de bordo. Em seguida a quadtree
é refinada para forçar uma disparidade entre células vizinhas de no máximo um
nível de profundidade na decomposição recursiva. O último passo é o
refinamento da quadtree para forçar a mínima diferença de curvatura entre
células adjacentes.
Neste último passo, calculam-se os vetores normais de cada célula da
quadtree auxiliar. Os vetores normais de duas células adjacentes,
A
N e
B
N , são
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56
avaliados no centro geométrico das mesmas. Calcula-se a inclinação
(
)
θ
entre
as células adjacentes através do produto escalar entre os seus vetores normais.
( )
BA
BA
NN
NN
⋅
=
θ
cos
(35)
O valor de
(
)
θ
cos
encontrado é comparado com o valor mínimo
(
)
MIN
θ
cos
.
(
)
(
)
MIN
θθ
coscos <
(36)
Se o critério da inequação (36) não for atendido, deve-se, então, calcular
um novo tamanho de célula
NEW
H , baseado no tamanho antigo
OLD
H ,
(
)
θ
cos
e
(
)
MIN
θ
cos
, onde o valor de
MIN
θ
sugerido por Miranda et al é de 30º.
( )
( )
θ
θ
cos
cos
MIN
OLD
NEW
H
H
=
(37)
Para ilustrar a geração da quadtree auxiliar, a Figura 16 mostra uma
superfície 3D sobre a qual será feita a geração da malha com as suas curvas de
bordo já tendo sido refinadas segundo os critérios geométricos estabelecidos, de
tal forma que os trechos de maior curvatura são mais discretizados.
Figura 16 Superfície com as suas curvas de bordo considerando os parâmetros da
adaptatividade geométrica das curvas.
A Figura 17 ilustra a importância de se considerar a curvatura da superfície
na geração de malhas. A Figura 17.a mostra uma malha sem considerar as
curvaturas das curvas de bordo e da superfície. A Figura 17.b mostra a quadtree
auxiliar construída para realizar a adaptatividade geométrica da superfície e a
Figura 17.c mostra a malha quando se considera a curvatura.
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57
(a) (b)
(c)
Figura 17 Exemplo de uma malha em uma superfície 3D: (a) sem considerar informações
sobre curvaturas; (b) quadtree auxiliar construída para realizar a adaptatividade
geométrica da superfície da figura (c) e (c) malha da superfície após se considerar as
suas curvaturas (Lira [37]).
F
inalmente, após a construção da quadtree auxiliar da superfície, é
realizado o refinamento da octree global. Isto é efetuado de forma análoga ao
que foi feito para refinar a octree global devido ao erro numérico e à curvatura
das curvas. Para cada célula da quadtree, localiza-se a célula da octree global
que contém o seu centro. Refina-se a célula da octree, forçando que o seu
tamanho fique menor ou igual ao tamanho da célula da quadtree auxiliar.
3.5. Refinamento da octree / quadtree global para forçar
disparidade de tamanho mínima
Em seguida a octree / quadtree é refinada para manter, entre duas células
vizinhas, apenas um nível de diferença de profundidade na decomposição
recursiva, evitando uma má transição entre os elementos da malha a ser gerada.
A Figura 18 mostra um exemplo bidimensional com esse ajuste, onde as células
marcadas em “x” serão refinadas conforme este critério.
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58
(a) (b)
Figura 18 (a) quadtree inicial sem refinamento que força a diferença mínima entre as
células da octree / quadtree, (b) quadtree final com refinamento adicional que força a
diferença mínima entre as células da octree / quadtree.
A Figura 18, também mostra a capacidade que o algoritmo tem de tratar
modelos com multiregiões, pois as regiões em cor mais escura, são regiões com
propriedades diferentes das de cor mais clara. Isto é muito importante para tratar
modelos que possuam características diferentes em regiões diferentes, tal como:
relações constitutivas, propriedades térmicas, espessura, etc, variando ao longo
do modelo.
3.6. Refinamento das curvas
Após a construção da octree / quadtree global, o passo seguinte é refinar
as curvas do contorno do modelo. Isto é feito através da técnica de
Decomposição Espacial Recursiva binária (binary-tree) da curva. Desta vez, as
novas subdivisões das curvas serão as subdivisões finais do passo corrente do
processo adaptativo, pois agora a octree / quadtree global já contém todos os
parâmetros necessários à execução do processo adaptativo.
A decomposição recursiva binária é descrita a seguir. Caso o tamanho da
curva seja maior que o tamanho da célula em que o centro da curva está, a
curva será dividida pela metade. O processo é repetido para as duas metades
restantes e assim sucessivamente até que o critério acima não seja atendido. A
Figura 19 ilustra esta técnica para uma curva reta em 2D. A quadtree no trecho é
mostrada tracejada. No início (Refinamento 0), a curva tem um único segmento
de subdivisão, que abrange todo o seu comprimento. No passo seguinte
(Refinamento 1), a curva é dividida em dois segmentos iguais. No terceiro passo
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59
(Refinamento 2), os dois segmentos são divididos em outros dois. No passo
seguinte (Refinamento 3), apenas os segmentos da parte da direita são
divididos. Finalmente, no último passo (Refinamento 4) somente o último
segmento é dividido pela metade.
Figura 19 Refinamento de uma curva reta pela técnica de Decomposição Espacial
Recursiva binária (binary-tree).
Esse uso da octreee / quadtree para refinar a curva e para controlar o
tamanho dos elementos é inovador, pois na estratégia anterior de Cavalcante-
Neto [12,13] para se refinar as curvas, buscava-se a informação sobre o
tamanho característico
(
)
h dos elementos adjacentes à curva, de tal forma que
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60
era necessário, primeiramente, determinar os nós pertencentes à curva para
depois se determinar os elementos adjacentes a estes nós.
Esse procedimento não era eficiente, principalmente em 3D, pois exigia
uma busca de elemento adjacente para cada segmento da curva. Alguns outros
detalhes da estratégia, que não estão relatados aqui, também dificultavam o
refinamento binário da curva. A estratégia atual é muito mais eficiente, pois só
envolve uma consulta de localização em uma octree / quadtree global.
Outro ponto muito importante deste algoritmo está na sua capacidade de
“desrefinar” regiões em que a análise de erro indique um excessivo grau de
refinamento das mesmas. Ou seja, o algoritmo é capaz de indentificar as regiões
em que se faz necessário um maior refinamento, bem como as regiões em que o
contrário é o que é requerido.
A Figura 20.a mostra uma malha inicial onde todas as curvas do tipo arco
de círculo possuem dez subdivisões. Após um passo do processo adaptativo
(Figura 20.b) considerando apenas o erro numérico, verifica-se que todas curvas
estavam mais discretizadas que o necessário (segundo os critérios de erro
estabelecidos).
(a) (b)
Figura 20 (a) malha inicial com todas as curvas do tipo arco de círculo com dez
subdivisões, (b) malha final com suas curvas com o número de subdivisão menor que
dez.
Deve-se ressaltar que cada segmento de discretização da curva
corresponde a um lado ou aresta de elemento finito. No caso de elementos
quadráticos, ainda existirá um nó no meio do segmento que corresponde ao nó
de meio de lado ou aresta do elemento.
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61
3.7. Discretização das superfícies
No caso 2D, após o refinamento das curvas, como a quadtree global já
está gerada e contendo as informações necessárias para definir o tamanho dos
elementos gerados na malha de superfície, parte-se para a geração das malhas
nas regiões planas. O algoritmo adotado para gerar a malha de elementos
triangulares em uma região plana é uma versão simplificada [44] do algoritmo de
geração de malhas volumétricas que é descrito na próxima seção. Por isso, o
algoritmo 2D não será descrito aqui. A quadtree global é utilizada para definir o
tamanho dos elementos gerados.
No caso 3D, o algoritmo de geração de malha em uma superfície é
semelhante ao algoritmo de geração em uma região plana. Isto porque a
geração é feita no espaço paramétrico bidimensional da superfície. A principal
diferença é que os tamanhos dos elementos gerados ficam definidos pela octree
global. Além disso, para compensar as distorções entre as métricas (ângulos e
distâncias) dos espaços paramétrico e cartesiano 3D, uma estrutura de dados do
tipo quadtree auxiliar da superfície é utilizada. O procedimento é idêntico ao que
foi descrito na seção 3.4, diferenciando-se apenas no fato de que agora os
critérios da adaptatividade geométrica já foram considerados no refinamento da
octree global. Portanto, o tamanho das células da quadtree auxiliar é ditado pela
octree global.
Uma vez gerada a quadtree auxiliar, o algoritmo de geração de malhas de
superfície segue o que está descrito no trabalho de Miranda et al [44] que, como
foi dito, é uma versão simplificada do algoritmo de geração 3D que é descrito na
próxima seção.
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62
3.8. Algoritmo de geração de malhas volumétricas
Esta seção descreve o algoritimo de geração de malha volumétrica em
uma dada região do modelo que é delimitada por um conjunto de superfícies. O
algoritmo foi concebido para atender três requisítos específicos. Primeiramente,
o algoritmo deve produzir elementos de boa forma, evitando elementos com
apectos ruins. Apesar do algoritmo não garantir limites nos aspectos de forma
dos elementos, são tomados os cuidados necessários a cada passo para gerar
os elementos com a melhor forma possível.
O segundo requisito é que o algoritmo deve gerar uma malha que se
conforme com a malha triangular no contorno da região. Isto é importante em
vários contextos, como por exemplo em propagação de trincas, pois permite que
a geração de uma nova malha ocorra localmente em uma região próxima a uma
trinca se propagando, ou seja, um número relativamente pequeno de elementos
próximos à trinca podem ser removidos criando um vazio na malha; outra
aplicação, de interesse direto deste trabalho, é na simulação de problemas com
a adaptatividade, onde após uma análise de erro realizada, pode-se remover
apenas uma parte localizada da malha, gerando-se igualmente um vazio na
mesma e conseqüentemente a necessidade de geração de novos elementos que
se conformem com os outros elementos remanescentes da malha anterior e que
atendam aos critérios de erro pré-estabelecidos.
O terceiro requisito do algoritmo é que ele tenha a capacidade de criar uma
boa transição entre regiões com elementos de tamanhos variáveis. Esse
requisito também é importante no contexto de propagação de trincas e na
análise adaptativa, pois nestas situações, dependendo do gradiente de tensões,
é necessário que se gerem maiores elementos em uma região do que em outra.
Porém essa transição deve ser suave, do contrário podem ocorrer problemas
numéricos.
O algoritmo trata casos onde as superfícies tridimensionais possuem
curvaturas acentuadas. Neste caso, a malha superficial 3D resultante deve ser
mais refinada onde houver maior curvatura. Este procedimento evita que
elementos vizinhos sejam pontiagudos, o que seria indesejável para o
procedimento de análise.
Este algoritmo incorpora aspectos de procedimentos de geração de
malhas bastante conhecidos, os quais já foram apresentados no capítulo
anterior, incluindo alguns aspectos originais. Ele usa a técnica de avanço de
fronteira juntamente com uma árvore octária (octree) como orientação local para
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63
o tamanho dos elementos a serem gerados. O método de avanço de fronteira é
dividido em duas fases: uma, chamada de fase baseada na geometria, que
objetiva a criação de elementos com a máxima qualidade de forma. A outra é
denominada de fase baseada na topologia, onde os critérios de formação de
elementos ótimos são menos restritivos e o algoritmo tenta criar elementos
válidos, usando apenas considerações topológicas. Estas duas adições na
técnica de avanço de fronteira são certamente uma das melhores características
deste algoritmo. Outro aspecto incluído de grande importância são os chamados
procedimentos de “volta-passo”, que são tentativas de fechar a malha de um
domínio, quando a técnica de avanço de fronteira tradicional falha. A
necessidade deste procedimento surge pelo fato de não ser garantida a
discretização de qualquer volume em tetraedros, o que não ocorre quando se
usam triângulos na geração de malhas 2D. É importante mencionar que neste
algoritmo, os procedimentos de “volta-passo” não são somente usados em um
estágio de pós-processamento para melhorar a qualidade da malha, mas
também durante a fase de avanço de fronteira, quando um volume menor que
não pôde ser subdividido em tetraedros é encontrado. Neste caso, não somente
a validação da malha é garantida, como também a qualidade da mesma é
melhorada. Neste algoritmo os nós internos são gerados simultaneamente com a
geração dos elementos. Este algoritmo também gerencia descontinuidades no
domínio ou no contorno do modelo, como nos exemplos que envolvem trincas.
A entrada de dados do algoritmo é a descrição facetada (discretização) do
contorno da região onde a malha vai ser gerada, que é obtido por uma lista de
nós, definidos por suas coordenadas e por uma lista de faces triangulares,
definidas por sua conectividade nodal. Este tipo de entrada de dados pode
representar geometrias de qualquer forma, incluindo buracos ou trincas e pode
ser facilmente incorporado em qualquer sistema de elementos finitos. Dentro da
estratégia adaptativa adotada, a discretização do contorno de cada região, que
inclui a discretização das curvas e superfícies da fronteira da região, é feita a
priori, conforme foi descrito na seção anterior.
A seguir mostra-se os principais passos utilizados pelo algoritmo.
a) Utilização da octree global (gerada conforme citado nas seções anteriores)
b) Procedimento de avanço de fronteira
b.1) Geração de elementos baseada em geometria (elementos ótimos);
b.2) Geração de elementos baseada em topologia (elementos válidos);
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b.3) Geração de elementos baseada em procedimento “volta-passo” com
remoção de elementos que estejam impedindo a técnica de avanço de
fronteira fechar a geração da malha dentro de um domínio.
c) Melhoria local da malha
c.1) Suavização Laplaciana com testes de validação;
c.2) Avaliação da qualidade e procedimento “volta-passo” local com
remoção de elementos.
3.9. Localização
do tamanho característico h para os novos
elementos
Esta seção faz uma discussão sobre a maneira de se refinar a octree /
quadtree global em função do erro numérico (seção 3.2). A estratégia adotada
consiste em associar o tamanho característico h de cada elemento ao seu
centro geométrico, como sugerida por Cavalcante-Neto [12,13]. Outra
possibilidade encontrada nos outros trabalhos pesquisados foi a de associar o
valor de h aos pontos de Gauss de cada elemento, o que torna o processo um
pouco mais lento. A estratégia de associar o valor de h de cada elemento ao
seu centro geométrico resulta em malhas com uma transição mais suave entre
as regiões com diferentes gradientes de tensões, mas apresenta um problema
de dificultar o refinamento de cantos (Figura 21).
Figura 21 Problema de refinamento em cantos quando o valor de
h
de cada elemento é
associado ao seu centro geométrico.
A Figura 21 mostra que as subdivisões das curvas não vão aumentando do
canto onde apresenta maior concentração de tensões. Isto só acontece com
aumento dos passos do processo adaptativo.
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65
Como tentativa de evitar este problema tentou-se relacionar o tamanho
característico
(
)
h de cada elemento aos seus vértices. Entretanto neste caso,
elementos de fronteira de uma região que apresente uma alta concentração de
tensão acabam passando para outra região o erro correspondente à região
anterior, ocasionando com isto, refinamento excessivo em regiões que não
requeiram tal nível de refinamento.
(a) (b)
Figura 22 Compara as malhas, referentes ao mesmo passo do processo adaptativo, com
o valor de
h
de cada elemento associado ao seu centro geométrico (a) e com o valor de
h
associado aos vértices de cada elemento (b).
Pela Figura 22 percebe-se que quando o valor de h
é associado ao centro
geométrico do elemento gera-se um número menor de elementos e regiões que
não apresentam concentrações de tensões elevadas não são refinadas
desnecessariamente. Diferentemente, quando o valor de h é associado aos
vértices dos elementos, o problema de refinamento dos cantos é amenizado,
pois o próprio vértice de canto terá tantos valores de h
associados a ele quanto
for o número de elementos adjacentes a este vértice, gerando desta forma um
novo problema, o refinamento excessivo e desnecessário em determinadas
regiões, que não apresentem elevadas concentrações de tensões, o que está
destacado na Figura 22.b.
Portanto, em ambas possibilidades de associação do valor de h aos
elementos foram encontrados probelmas. Por isso optou-se pela estratégia
adotada por Cavalcante-Neto.
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3.10. Considerações finais
Esta seção visa justificar o duplo refinamento das curvas e da geração das
quadtrees auxiliares, para o caso 3D, proposto para o processo adaptativo (vide-
Figura 11).
A idéia central do processo adaptativo em 3D é a criação de uma estrutura
octree global para armazenar a distribuição espacial dos tamanhos
característicos dos elementos finitos que serão gerados em cada passo do
processo. Esta estrutura é construída em três passos, levando em conta o erro
numérico (primeira etapa), curvatura das curvas (segunda etapa) e curvatura das
superfícies (terceira etapa). A octree final de cada passo do processo adaptativo
é utilizada para discretizar curvas, superfícies e regiões (geração da malha).
Para se levar em conta as curvaturas das superfícies constrói-se uma
primeira versão de uma estrutura quadtree auxiliar para cada superfície,
seguindo o procedimento proposto por Miranda et al [45]. Ocorre que para se
criar a quadtree auxiliar é preciso partir de um refinamento das curvas de bordo
da superfície. Por isso, é necessário, fazer um refinamento prévio das curvas,
que leva em consideração o erro numérico (informação contida na octree global
inicial) e as curvaturas das curvas. Esse refinamento prévio de curvas não é
utilizado para a discretização final das curvas, pois neste estágio ainda não se
levou em conta as curvaturas de todas as superfícies na construção final da
octree global.
Por outro lado, a primeira versão da quadtree auxiliar de cada superfície
não levou em conta o erro numérico no interior da superfície e a influência das
outras superfícies. Por isso esta versão é descartada sem que se gere uma
malha na superfície. Ela é apenas utilizada para refinar a octree global
considerando a curvatura de cada superfície. Somente após a construção da
octree global e de se obter a discretização final das curvas é que se cria a
quadtree auxiliar final de cada superfície. Esta versão final é utilizada para
discretizar a superfície.
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4
IMPLEMENTAÇÕES DO PROCESSO ADAPTATIVO
Este capítulo apresenta as implementações do novo processo adaptativo
tanto para os problemas 2D quanto para os 3D. Entende-se por processo
adaptativo todo o procedimento necessário para a geração de malhas
adaptativas. Portanto estão incluídos neste contexto a estratégia adaptativa (h),
os métodos de suavização (Z2-HC [62] e SPR [63-66]), os estimadores de erro e
as técnicas de geração de malhas.
Antes é importante esclarecer alguns detalhes. Por exemplo, o processo
de simulação de um problema físico é dividido em três partes: representação
geométrica e topológica do modelo (módulo de modelagem), solução do
problema (módulo de análise) e interpretação dos resultados (módulo de
visualização).
Tanto para o problema 2D quanto para o 3D, usou-se somente um
programa de análise, denominado FEMOOP [43], mas os outros dois módulos
são diferentes, dependendo da dimensão do problema. Para o caso 2D, o
programa responsável pelo módulo de modelagem e pelo módulo de
visualização é o MTOOL [47]. Para o caso 3D, o MG [48] é o programa
responsável pelo módulo de modelagem e o POS-3D [16] é responsável pelo
módulo de visualização. Em 2D, os módulos de modelagem e visualização
integrados em um único programa (MTOOL [47]), que se comunica
automaticamente com o módulo de análise (FEMOOP [43]). Esta integração
ainda não foi feita para o caso 3D. Entretanto, para se fazer o processo
adaptativo não é necessário o módulo de visualização. Portanto, o processo
adaptativo foi implementado no MTOOL [47] (2D) e no MG [48] (3D). Outra
diferença entre os dois casos é que o MTOOL foi desenvolvido usando-se a
linguagem de programação C e o MG [48] foi desenvolvido em C++,
fundamentada no paradigma de programação orientada a objetos.
Outro aspecto muito importante na simulação de problemas físicos é o
gerenciamento dos atributos. Nos dois casos, o módulo responsável por esta
parte é o ESAM (Extensible System Attributes Management)
*
. O gerenciamento
*
para maiores detalhes ver [36].
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68
de atributos é importante para que os modeladores sejam capazes de atender
aos diversos tipos de análise em engenharia, como, por exemplo, estrutural,
naval, termodinâmica, etc. Os atributos para cada tipo de simulação devem
poder ser configurados sem a necessidade de se alterar o código-fonte do
modelador.
O ESAM também possibilita que uma interface seja definida para a captura
dos dados referentes aos atributos do MTOOL [47] e do MG [48]. Existe, ainda,
um mecanismo que permite ao usuário do MTOOL [47] ou do MG [48]
implementar a rotina responsável pela geração do arquivo de dados, referente a
comunicação entre os pré-processadores e os módulos de análise. Assim, os
novos atributos incorporados ao programa de análise podem ser facilmente
inseridos aos pré-processadores, a partir da definição de uma interface para
capturar os seus dados, bem como a inclusão, pelo próprio usuário do sistema,
dos dados referentes a esses atributos na rotina que gera o arquivo de dados
lido pelo programa de análise. No ESAM, a configuração dos atributos é feita
através de arquivos que contém instruções a linguagem de programação
extensível LUA [29] (linguagens extensíveis são usadas para estender ou
configurar uma aplicação para fins particulares). Esta linguagem é interpretada,
permitindo que a configuração dos atributos seja feita sem a necessidade de
recompilação do sistema. Este sistema utiliza uma abordagem conhecida como
modelagem baseada em geometria. Neste tipo de abordagem, os atributos são
associados às entidades geométricas do modelo e a discretização desta
geometria (malha de elementos finitos) herda automaticamente estes atributos.
Este tipo de modelagem oferece diversas vantagens, como, por exemplo, um
melhor suporte para a automação do processo de modelagem, incluindo geração
automática de malhas e conseqüentemente facilitando a utilização do processo
adaptativo, pois os atributos são associados às entidades geométricas do
modelo, não precisando serem redefinidos durante o refinamento da malha.
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69
4.1. MTOOL (2D)
Nesta seção, apresenta-se de forma sucinta o programa MTOOL [47], bem
como todos os outros componentes usados no seu desenvolvimento.
O MTOOL [47] é um programa utilizado para simulações numéricas de
problemas bidimensionais pelo Método dos Elementos Finitos. Este sistema
integra, em um único ambiente, os módulos de pré-processamento (sistema
gráfico interativo e configurável para geração, edição e manipulação de malhas
de elementos finitos bidimensionais) e pós-processamento, responsáveis pela
geração do modelo numérico para análise pelo MEF e visualização de
resultados, com o programa de análise numérica FEMOOP [43] (análises
numéricas quasi-estáticas, com não-linearidade física, de modelos de estado
plano de tensão, estado plano de deformação e aximétricos). Este sistema é
extensível e configurável, permitindo que novas funcionalidades sejam
facilmente implementadas.
Este sistema foi desenvolvido utilizando-se o sistema de interface com o
usuário IUP/LUA
*
que permite a obtenção de uma interface atrativa, configurável
e eficiente para execução das tarefas. Sob o sistema de interface e o sistema
para geração de malhas propriamente dito, encontra-se o sistema gráfico
CD [19], que garante a portabilidade multi-plataforma da visualização. Outra
ferramenta importante utilizada no desenvolvimento do MTOOL [47] é a
biblioteca, HED [42], que manipula estruturas de dados topológicas para o
gerenciamento de subdivisões planares. Além disso, foi utilizado um sistema
configurável para o gerenciamento de atributos, ESAM, escrito na linguagem
interpretada LUA [29].
O MTOOL [47] é composto por cinco módulos responsáveis pelas diversas
tarefas envolvidas em um processo de simulação (modelagem geométrica,
especificação dos atributos, geração da malha de elementos finitos, análise
numérica e visualização dos resultados), e por um módulo principal responsável
pelo gerenciamento e integração dos outros módulos (Figura 23).
*
http://www.tecgraf.puc-rio.br/iup
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70
Figura 23 Fluxograma mostrando o funcionamento do MTOOL.
O MTOOL [47] (Two-dimensional Mesh Tool) possui dois ambientes bem
distintos. O primeiro é responsável pela definição da geometria e topologia do
modelo. Este ambiente é suportado pela estrutura de dados topológica HED
(half-edge data structure) [42], que permite assegurar a consistência do modelo
durante a sua criação. É possível, por exemplo, identificar interseções entre as
curvas, determinar se uma região (face) foi definida ou dividida, verificar os
efeitos indiretos de uma determinada atribuição (por exemplo, a troca do número
de subdivisões de uma curva elimina as malhas adjacentes, caso contrário o
modelo ficaria inconsistente), etc. A implementação desta estrutura de dados
topológica é complexa e ocupa um espaço de memória relativamente grande
para a sua realização. Entretanto, a biblioteca de rotinas HED [42] oferece uma
interface de alto nível (nível abstrato), abstraindo a complexidade desta estrutura
de dados. O segundo ambiente do MTOOL [47] apresenta uma representação
única de malhas de elementos finitos convencional, obtida a partir da conversão
das malhas do modelo de regiões, definido no ambiente de edição do modelo.
No segundo ambiente, o usuário pode realizar operações típicas de modelos de
elementos finitos, como, por exemplo, consultar a incidência nodal de cada
elemento finito gerado na conversão. No entanto, não existem funções para
edição da malha, pois não se tem o suporte de uma estrutura de dados
topológica. Para isso, o usuário pode retornar ao ambiente de edição do modelo,
realizar as alterações necessárias e fazer uma nova conversão para o modelo de
elementos finitos.
ESAM
Módulo principal
Análise
(FEMOOP
)
Pós-processador
(MTOOL)
Pré-processador
(MTOOL)
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71
O módulo de visualização fornece informações qualitativas e quantitativas
sobre a malha e os resultados referentes à mesma. A análise quantitativa é feita
através de gráficos de resposta e funções de consulta, que fornecem
informações tais como número de nós ou incidência do elemento. A análise
qualitativa consiste basicamente na representação visual de resultados, que
podem ser de dois tipos: resultados escalares, como componentes de tensão ou
campo de temperatura, e resultados vetoriais, tais como campo de
deslocamentos ou campo de velocidades. Os resultados de campos escalares
podem ser fornecidos nos pontos nodais, de forma suavizada ou não, ou nos
pontos de Gauss. Para auxiliar na visualização do modelo, existem funções para
manipular o campo de visão, tais como a possibilidade de mudar os limites da
janela de visualização ou fazer um zoom em todo o modelo ou em alguma face
do mesmo. O programa ainda permite visualizar a animação do modelo com a
resposta de um determinado caso e campo ao longo de diversos passos. A
entrada de dados referente à malha de elementos finitos e aos resultados
obtidos a partir da análise numérica é feita através de arquivos neutros.
O módulo principal é responsável pelo gerenciamento e integração dos
demais módulos do MTOOL [47] (MTOOL, ESAM, FEMOOP).
Neste módulo são chamadas as funções de inicialização referentes aos
outros módulos do sistema. Outra tarefa realizada por este módulo consiste na
conversão dos arquivos gerados pelo programa FEMOOP [43] contendo os
resultados da análise, que possuem formatos próprios, para que possam ser
interpretados pelo pós-processador MTOOL [47], que utiliza o formato do arquivo
de dados NeutralFile
*
.
*
ver (http://www.tecgraf.puc-rio.br/neutralfile)
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72
4.1.1. Adaptatividade no MTOOL
Para que o uso da adaptatividade pudesse ser disponibilizado pelo
programa MTOOL [47], foram implementados módulos responsáveis pelo
refinamento da binary-tree e a conseqüente subdivisão das curvas e módulos
responsáveis pelo refinamento da quadtree e o consecutivo controle do tamanho
dos elementos que serão gerados nas malhas de superfície.
Como o MTOOL [47] é dividido em dois ambientes (o ambiente de
modelagem e o ambiente de malha) foi necessário separar o processo
adaptativo nestes dois ambientes. Desta forma, após se selecionar o método de
suavização e determinar à razão de erro máxima
*
η
, passa-se para o ambiente
de malha e se faz a análise por elementos finitos. Em seguida executa-se a
opção da análise adaptativa com ou sem a adaptatividade geométrica.
O processo adaptativo no MTOOL [47] está composto basicamente por
duas funções, que são: _MtoolAdaptiveQt e _MtoolAdaptiveMesh.
A função _MtoolAdaptiveQt tem fundamentalmente as seguintes tarefas.
1) Ler as informações do erro de cada elemento e associa o valor de
h
ao
centro geométrico de cada elemento (
MtoolGetError
);
2) Calcular em qual das coordenadas Cartesianas está a maior dimensão
do sólido, guardando-as (
MtoolGetBoundBox
);
3) Construir a
quadtree
global (
Adapt_CreateQuadtree
).
As tarefas da função _
MtoolAdaptiveQt
podem ser visualizadas na Figura 24.
// variáveis da função
vars = xmax, ymax, xmin, ymin, n_elem, n_nodes, eta, inf_el_eachnode,
par0, par1, par2, par3
// captura o parâmetro que verfica se será feita a adaptatividade geométrica
par0 = 0 ou 1
// testa se é para ser feita a adaptatividade geométrica
Se par0 = 1 capturam-se os outros parâmetros necessários para
a adaptatividade geométrica.
// tolerância mínima da distância entre as subdivisões estipulada pelo usuário
// do programa
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73
par1 = d
MIN
;
// tolerância máxima da distância entre as subdivisões estipulada pelo usuário
// do programa
par2 = d
MAX
;
// tolerância angular estipulada pelo usuário do programa
par3 = ang
TOL
fim Se
Se par0 = 0 não se fará a adaptatividade geométrica e inicializam-se
os outros parâmetros como zero.
par1 = 0; // tolerância mínima da distância entre os pontos
par2 = 0; // tolerância máxima da distância entre os pontos
par3 = 0; // tolerância angular
fim Se
// captura o parâmetro que verfica se será feita a adaptatividade baseada em
// erro
par4 = 0 ou 1
// preenche o vetor
inf_el_eachnode
e retorna o valor do erro corrente
eta = MtoolGetError (n_elem, n_nodes, inf_el_eachnode);
// calcula as coordenadas da
Bound Box
(coordenadas cartesianas máximas e
mínimas)
MtoolGetBoundBox (n_elem, xmax, xmin, ymax, ymin);
// Cria a
quadtree
no ambiente de malha
Adapt_CreateQuadtree (xmax, ymax, xmin, ymin, n_elem, inf_el_eachnode,
n_nodes, par0, par1, par2, par3, par4);
// retorna o valor do erro corrente
(eta)
Figura 24 Pseudo código da função _MtoolAdaptiveQt.
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74
Na função
MtoolGetError
mostrada da Figura 24, calcula-se o valor de
h
discutido na seção 3.2, que é o valor que controlará o refinamento da
quadtree
,
da
binary-tree
e o tamanho dos elementos triangulares que serão gerados no
interior da malha.
A Figura 25
mostra o trecho de código com o cálculo de
h
quando se usa
elementos lineares T3. No caso quadrático (T6), o trecho de código para o
cálculo de
h
é praticamente o mesmo. A única diferença está no instante de
calcular a área existente e no valor de
p
usado para obter o valor de
h
, pois
conforme a equação (23), o valor de
p
varia de acordo com o grau do polinômio
de aproximação, ou seja
1
=
p
para o T3 e
2
=
p
para o T6.
// variáveis da função
vars = norm_beb, norm_bub, eta_barra, beb, bub, i, k, a, hold, hnew, fact, erro
// calcula a área do elemento triangular T3 (a) através dos valores
// nodais dos vértices do elemento P1(v1x,v1y), P2(v2x,v2y) e P3(v3x,v3y)
a = 0.5*det[(v1x*v2y)+(v2x*v3y)+(v3x*v1y)-(v2y*v3x)-(v1y*v2x)-(v1x*v3y)]
// valor de L após se igualar às áreas existente e ideal
hold = sqrt( 4 * a / sqrt(3) );
// lê do arq '.pos' o valor de RATIO_ERRO para cada elemento
De i = 0 até i < nelem faz-se i = i + 1
// lê o RATIO_ERRO do elemento corrente
(
)
i
ε
error = ResElScalarField.nod[i]
// lê o NORM_ERRO do elemento corrente
(
)
e
beb = ResElScalarField.nod[i]
// lê o NORM_TENSOR do elemento corrente
(
)
u
ˆ
bub = ResElScalarField.nod[i]
// atualiza os valores das variáveis
norm_bub = norm_bub + bub*bub;
norm_beb = norm_beb + beb*beb;
fim De.
// preenche o valor do erro relativo corrente
eta_barra = sqrt(norm_beb)/sqrt((norm_bub)+(norm_beb))
eta = (eta_barra*100)
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75
// calcula o novo valor de '
h
'
fact = pow( error, 1.0/1 );
hnew = hold / fact;
// preenche o novo valor de 'h'
s = hnew
Figura 25 Pseudo-código da função que preenche o valor de
h
para elementos do tipo
T3.
Na função
Adapt_CreateQuadtree
mostrada na Figura 24, constrói-se a
quadtree
global, considerando ou não a adaptatividade geométrica, o que é
indicado pelo valor da variável
par
0 e considerando ou não a adaptatividade
baseada no erro numérico, o que é indicado pelo valor da variável
par
4.
// variáveis da função
vars = n_pts // indica o número de pontos adicionados a curva devido os
// critérios da adaptatividade geométrica
inf_pts // vetor que guardará as coordenadas Cartesianas do centro
// geométrico de cada trecho e o tamanho do mesmo
i // contador
// parâmetros da função
nelem // número de elementos na malha
inf_msh // vetor que guardará as coordenadas Cartesianas do centro
// geométrico de cada elemento da malha e o valor de h
Se par0 = 1 constrói-se a quadtree global levando em consideração a
adaptatividade geométrica
Para cada curva do sólido
SdvAdaptRefineStretchGeom(par1, par2, par3, n_pts, inf_pts);
// passa as informações de todos os trechos de cada curva para a construção
// da quadtree
De i = 0 até i < n_pts faz-se i = i + 1
AddVertexSize (inf_pts)
Fim De;
fim Para;
fim Se;
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76
Se par4 = 1 constrói-se a quadtree global levando em consideração a
adaptatividade baseada no erro numérico
// passa as informações de todos os elementos da malha para
// a construção da
quadtree
De i = 0 até i < nelem faz-se i = i + 1
AddVertexSize (inf_msh);
Fim De;
fim Se;
Figura 26 Pseudo-código da função que constrói a quadtree considerando ou não a
adaptatividade baseada no erro numérico e na adaptatividade geométrica.
Já a função _
MtoolAdaptiveMesh
tem como tarefa:
1) Chamar a função
Adapt_CreateMesh
que efetivamente gera a nova
malha conforme os parâmetros de erro numérico e geométricos.
As tarefas da função _
MtoolAdaptiveMesh
podem ser visualizadas na
Figura 27.
// Gera a nova malha no ambiente geométrico
Adapt_CreateMesh ( );
// Desaloca as memórias que foram alocadas durante a execução da função
Adapt_End ( );
Figura 27 Pseudo código da função _MtoolAdaptiveMesh.
Na Figura 27, uma função que merece destaque é a
Adapt_CreateMesh
,
pois é nesta função que se subdivide as curvas do modelo e gera-se a nova
malha de superfície conforme a
quadtree
global
.
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77
4.2. MG (3D)
O
MG
[48] é um pré-processador que foi originalmente desenvolvido para
geração de superfícies (cascas) em modelos de elementos finitos, sendo, na
seqüência, estendido para considerar também malhas sólidas. O
MG
[48]
incorpora duas capacidades importantes em modelagem 3D pelo MEF. A
primeira está relacionada com a interface com o usuário e procedimentos
gráficos interativos para gerar malhas em superfícies e a segunda relaciona-se
com a interseção de superfícies paramétricas
O algoritmo para interseção de superfícies usado no
MG
[48] é baseado
em um esquema para interseção de superfícies paramétricas onde as malhas de
superfícies existentes são usadas como suporte para a definição inicial das
curvas de interseção. Uma estrutura de dados auxiliar, definida no espaço
paramétrico de cada superfície, permite a construção das curvas de
trimming
(curvas resultantes da interseção entre superfícies e que possuem
representação nos espaços paramétricos destas e no espaço Cartesiano) sem a
necessidade de se realizar buscas globais.
O
MG
[48] foi incialmente útil para a representação de modelos
geométricos, porém sua estrutura de dados original não foi baseada em qualquer
conceito formal de modelagem geométrica. Em várias ocasiões, a consistência
geométrica de um modelo era realizada com a intervenção do usuário. Por
exemplo, não existia a capacidade de detectar automaticamente quando um
volume no espaço é definido por um conjunto de retalhos de superfícies (ou seja,
superfícies limitadas pelas suas curvas de bordo). O usuário devia indicar a
construção explicitamente, o que pode não ser uma tarefa trivial na modelagem
de um problema real de engenharia. Essa capacidade é particularmente
importante na geração de malhas formadas por elementos finitos sólidos, onde
algumas vezes é desejável ter várias regiões com mapeamentos distintos, cada
uma definida com suas respectivas malhas de contorno geradas por diferentes
tipos de algoritmos.
Lira em 2002 [37] propôs uma técnica que permite o reconhecimento
automático de regiões sólidas, adotando uma metodologia que é baseada em
uma representação topológica completa de uma subdivisão espacial, chamada
Complete Geometric Complex
(
CGC
) [14].
A representação
CGC
é implementada como uma biblioteca de classes, no
contexto da programação orientada a objetos (POO), provendo um conjunto de
operadores de alto nível que manipulam uma subdivisão espacial. Estes
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78
operadores recebem como parâmetros de entrada as informações geométricas
dos retalhos de superfícies que são, então, inseridas na subdivisão espacial.
Estas informações geométricas são automaticamente transformadas em
informações topológicas requeridas pelos operadores de baixo nível. A
implementação original da
CGC
[14] tratava apenas de retalhos de superfícies
planas. No trabalho de Lira isso foi estendido para superfícies curvas e
paramétricas.
4.2.1. Adaptatividade no MG
O processo adaptativo foi inserido no
MG
[48] através de módulos que
foram adicionados ao programa com as seguintes tarefas. Os responsáveis por
todo o gerenciamento do processo adaptativo (classe
mgAdaptive
)
,
os
responsáveis pelo refinamento da
binary-tree
e a conseqüente subdivisão das
curvas e os responsáveis pelo refinamento da
octree
e o consecutivo controle do
tamanho dos elementos que serão gerados nas malhas de superfície e
volumétrica.
Como o
MG
[48] constitui apenas a parte do pré-processamento, pode-se
implementar todo o processo adaptativo apenas no ambiente de malha.
Partindo-se do princípio que já se tem o modelo com todos os seus
atributos preenchidos, seleciona-se o método de suavização e se determina à
máxima razão de erro
*
η
. Na seção que trata dos arquivos de saída está a
opção de executar a análise adaptativa com ou sem a adaptatividade
geométrica.
O processo de comunicação entre os programas é feito através de
arquivos neutro. O
MG
[48] fornece como dado de saída um arquivo neutro que
será lido pelo
FEMOOP
[43] (módulo de análise) que por sua vez fornece um
outro arquivo de saída (ver Figura 28) sobre o qual se obtêm as informações de
erro que serão utilizadas para o cálculo dos novos tamanhos dos elementos.
// variáveis da função
vars = xmax, ymax, xmin, ymin, n_elem, n_nodes, eta, inf_el_eachnode,
par0, par1, par2, par3,
eta // retorna o erro corrente
adpt // objeto da classe
mgAdaptive
et = 0, // 0=linear, 1=quadratic
ek = 1, // 0=shell, 1=solid
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79
ei = 0 // 0=all model, 1=selected
command // variável com a extensão certa para chamar o Femoop
f // referência para arquivo neutro
// captura o parâmetro que verifica se será feita a adaptatividade geométrica
par0 = 0 ou 1
// testa se é para ser feita a adaptatividade geométrica
Se par0 = 1 capturam-se os outros parâmetros necessários para
a adaptatividade geométrica.
// tolerância mínima da distância entre as subdivisões estipulada pelo usuário
// do programa
par1 = d
MIN
;
// tolerância máxima da distância entre as subdivisões estipulada pelo usuário do
// programa
par2 = d
MAX
;
// tolerância angular estipulada pelo usuário do programa
par3 = ang
TOL
fim Se;
Se par0 = 0 não se fará a adaptatividade geométrica e inicializam-se
os outros parâmetros como zero.
par1 = 0; // tolerância mínima da distância entre os pontos
par2 = 0; // tolerância máxima da distância entre os pontos
par3 = 0; // tolerância angular
fim Se;
// captura o parâmetro que verifica se será feita a adaptatividade baseada em
// erro
par4 = 0 ou 1
// manipula o nome do arquivo para mandá-lo de forma adequada
// (extensão correta) ao programa de análise constrói a malha
building ( et, ek, ei )
// salva o arquivo usando o Esam.
createMesh( mesh )
writeMesh ( f )
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80
// chama o programa de análise (femoop)
roda(command);
// executa o processo adaptativo
mgRegenMeshes(mesh, f, eta, par0, par1, par2, par3, par4))
// destroi a malha.
kill();
// fecha o arquivo '.pos'
fclose( f );
// chama a função em Lua que mostra o resultado de erro da análise
ResultError (eta);
Figura 28 Pseudo código no MG que gerencia a gravação e leitura dos arquivos neutros.
O método
mgRegenMeshes
da classe
mgAdaptive
é que realmente
gerencia todo o processo adaptativo. Este método é mostrado detalhadamente
na Figura 29.
// variáveis da função
vars = new_size, n_elements, xmax, ymax, zmax, xmin, ymin, zmin, oct,
new_tpts, pra_val
// obtém o número de elementos da malha
n_elements = getNumberOfElems( );
// cria a Bound Box
mgGetBoundBox(n_elements, xmax, xmin, ymax, ymin, zmax, zmin);
// Inicia a
octree
passando as coordenadas Cartesianas máximas
OctreeBegin (xmax, ymax, zmax, xmin, ymin, zmin);
// preenche os valores
new_size
de todos os elementos da malha e o valor do
// erro corrente
eta
mgGetErroSizeEachElement (mesh, new_size, eta));
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81
// refina a
octree
global considerando o erro numérico e com os critérios de erro
// geométrico das curvas, caso esta opção tenha sido selecionada, porém as
// mesmas não são subdivididas neste estágio.
mgCreateOctree (oct, xmax, ymax, zmax, xmin, ymin, zmin, mesh,
new_size, par0, par1, par2, par3);
// Caso se opte pela adaptatividade geométrica as curvas subdividas
Se par0 = 1
Para cada curva do sólido
// subdividem-se as curvas com os critérios de erro e de adaptatividade
// geométrica passando-se o número de pontos (new_pts) e as suas
// coordenadas paramétricas (par_val).
segmentSetSubd(new_pts, par_val);
fim Para;
fim Se;
// refina a
octree
global com os valores passados pela
quadtree
auxiliar
// considerando a curvatura das mesmas
mgRefineOctSurface(oct);
// método responsável pela subdivisão das curvas e pela geração das novas
// malhas de superfícies e volumétricas
mgAdapt_CreateMesh ( mesh );
Figura 29 Pseudo código no MG que mostra o método mgRegenMeshes.
Todos os métodos presentes na Figura 29 são da classe
mgAdaptive
. O
método
mgGetBoundBox
da Figura 29 é responsável por obter as maiores
coordenadas cartesianas do modelo, informação que será usada para a
construção da octree.
O método
mgGetErroSizeEachElement
é responsável por ler as
informações necessárias do arquivo neutro para a estimativa de erro e por
calcular os novos valores de
h
para cada elemento da malha, conforme a
equação 34, guardando estas informações na estrutura de dados
new_size
(ver
Figura 29).
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82
O método
mgCreateOctree
recebe os valores extremos do modelo
preenchidos no método
mgGetBoundBox
, cria a
octree
global e a refina de
acordo com os dados contidos na variável
new_size
e com os parâmetros da
adaptatividade geométrica das curvas.
O método
mgRefineOctSurface
recebe, como parâmetros de entrada, as
curvas de todo modelo subdivididas conforme os critérios de erro numérico e os
parâmetros da adaptatividade geométrica das curvas. Este método tem a função
de refinar a
octree
global conforme os critérios de curvatura em cada superfície,
conforme o algoritmo de Miranda
et al
(vide – seção 3.4).
O último método que aparece na Figura 29, dentro do método
mgRegenMeshes
, é o
mgAdapt_CreateMesh
. Ele é responsável pelo
refinamento das curvas, pela geração das novas malhas de superficie e pela
geração da malha volumétrica. Este método pode ser visto na Figura 30.
A Figura 30 mostra em forma de pseudo código as principais
funcionalidades do método
mgAdapt_CreateMesh
da classe
mgAdaptive
.
// variáveis do método
seg // é um ponteiro para um objeto da classe mgSegment
octree // é um objeto da classe mgOctree
p2 // é um ponteiro para um objeto da classe mgPatch2d
tetra // é um ponteiro para um objeto da classe mgTetra
n_pts // número de pontos da subdivisão da curva
c_par // coordenadas paramétricas dos pontos das subdivisões de cada curva
// para cada curva do modelo gera-se a nova subdivisão usando as informações
// de erro contidas na
octree
, preenchendo-se o número de pontos com suas
// respectivas coordenadas paramétricas através do seguinte método
// da classe
mgAdaptive
mgPointsOnEdgeOCT(seg, 1, octree, n_pts, c_par)
// de posse destas informações geram-se os novos pontos da subdivisão através
// do método
segmentMakeUse
da classe
mgSegment
segmentSetSubd(new_pts, par_val)
// com as novas subdivisões das curvas geram-se as novas malhas de superfície
// através do método
patch2dReplaceMesh
da classe
mgPatch2d
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83
patch2dReplaceMesh( mgGenMesh2d::CONTRACTION )
// com as novas subdivisões das curvas e com as novas malhas de superfície
// geradas geram-se as novas malhas volumétricas através do método
//
RebuildTetra
da classe
mgTetra
RebuildTetra ( )
Figura 30 Pseudo código no MG que mostra o método mgAdapt_ CreateMesh, que é o
método que gerencia todo o processo adaptativo.
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5
EXEMPLOS
Neste capítulo são apresentados vários exemplos com soluções
conhecidas objetivando validar a eficiência do novo processo adaptativo. Os
resultados obtidos nestes exemplos são comparados com os resultados obtidos
por Cavalcante-Neto [12,13], já que o trabalho desenvolvido pelo referido autor
foi usado como base para a elaboração deste trabalho. Outros exemplos
analisados neste trabalho também foram feitos por outros autores:
Zienkiewicz [66] e A Merrouche [1].
É importante enfatizar que as comparações feitas neste capítulo têm
apenas o intuito de mostrar o aspecto das malhas com os resultados do
processo adaptativo conforme a evolução do processo, mostrando também o
comportamento do critério de convergência para todos os casos (equação 17).
Portanto, não cabe avaliar, através dos resultados, qual método é mais eficiente
ou rápido, pois em alguns exemplos não se sabe qual foi à técnica de geração
de malha, nem o método de suavização e nem o critério de erro adotado pelos
outros autores, não conseguindo, desta forma, compatibilizar as características
iniciais do problema: número de nós (NN), número de elementos (NE) e o
número de graus de liberdade (GDL). Além disto, qualquer alteração na
discretização das curvas do modelo resultarão em malhas diferentes, mesmo
que as condições inciais tenham sido compatíveis.
O capítulo está dividido em duas seções: exemplos em 2D, rodados no
MTOOL [47] e exemplos em 3D, rodados no MG [48]. Em todos os exemplos 2D
foram usados os seguintes valores para o erro máximo permitido:
%10
*
=
η
para
elementos lineares e
%5
*
=
η
para elementos quadráticos, conforme o que é
recomendado na literatura. Para os exemplos 3D, usou-se somente elementos
quadráticos e adotou-se dois valores diferentes de
*
η
. Em alguns casos usou-se
%5
*
=
η
e em outros
%8
*
=
η
, conforme os valores encontrados de onde os
exemplos foram obtidos.
É importante ressaltar que pelo fato de não ser o objetivo deste trabalho
comparar os métodos de suavização existentes, foi utilizado apenas no primeiro
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85
exemplo do caso 2D o método SPR [63-66]. Neste mesmo exemplo se faz uma
comparação entre os dois métodos, mostrando a pequena diferença entre
ambos, justificando, desta forma, apenas o uso do Z2-HC [62] nos demais
exemplos.
Nas últimas malhas de todos os exemplos apresentou-se, apenas por
motivos ilustrativos, as malhas seguintes caso o critério de convergência não
tivesse sido atingido no passo anterior do processo adaptativo.
5.1. Exemplos em 2D (MTOOL)
Foram usados seis exemplos com o objetivo de validar a implementação
do processo adaptativo no MTOOL [47]. Em todos os exemplos se fez uma
análise para elementos lineares (T3) e outra para elementos quadráticos (T6).
Pode ser observada uma nítida diferença entre os aspectos das malhas
geradas para elementos lineares e quadráticos, sendo que para os lineares (T3)
a malha apresenta um alto grau de refinamento em regiões que não apresentam
grande concentração de tensões. Outros trabalhos na literatura também
destacam este fato.
O terceiro exemplo foi oportuno para mostrar a distribuição da razão de
erro
(
)
i
ξ
de cada elemento das malhas resultantes de cada passo do processo
adaptativo. A tabela de cores referente a máxima tensão principal vai do azul
escuro (compressão) ao vermelho escuro (tração). Já a tabela de cores referente
a razão de erro
i
ξ
vai do azul (valores negativos) ao vermelho (valores
positivos).
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86
5.1.1. Peça mecânica com um furo circular
O primeiro exemplo é a análise de uma peça mecânica com um furo
circular. Este exemplo é importante para mostrar a influência da adaptatividade
geométrica na convergência feita em conjunto com a análise de erro. Neste
exemplo também se faz uma comparação entre os métodos de suavização que
foram disponibilizados no programa. Considera-se para a solução deste
problema estado plano de deformação com o módulo de elasticidade
5
10=E
, e
coeficiente de Poisson
25.0
=
ν
e espessura
1
=
e
A Figura 31 abaixo mostra as
características do problema.
F = 1
1
1
1
1 1 3 1 1 1 1
2 1 3 3 1 2 1
Figura 31 Peça mecânica com um furo circular.
Como os parâmetros de entrada da adaptatividade geométrica são
estabelecidos pelo usuário, adotaram-se os seguintes valores para os exemplos
tamanho máximo (d
MAX
) de segmento da discretização da curva igual à metade
do comprimento da curva, tamanho mínimo (d
MIN
) igual ao próprio comprimento
da curva e a tolerância angular (ang
TOL
) igual a dois graus.
Neste exemplo ao se usar elementos do tipo (T3) foram necessários três
passos do processo adaptativo. Já para elementos do tipo quadrático (T6) foram
necessários dois passos do processo adaptativo. Nos dois casos a convergência
independe do uso da adaptatividade geométrica. Mas mesmo assim, percebe-se
através do valor de
η
e do número de elementos gerados que o processo
converge mais rapidamente quando se considera o efeito geométrico.
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87
É evidente que a influência da adaptatividade geométrica varia conforme
os valores estipulados para os parâmetros de entrada.
A Figura 32 apresenta as malhas com as suas características e os
resultados da análise de erro para elementos lineares (T3) utilizando-se os dois
métodos de suavização apresentados neste trabalho (Z2-HC [62] e SPR [63-
66] ). Nesta figura não se está utilizando a adaptatividade geométrica.
A Figura 33 mostra os aspectos das malhas com os elementos lineares
(T3) usando-se a adaptatividade geométrica durante o processo adaptativo.
A Figura 34.b ilustra a malha resultante após se realizar um passo do
processo adaptativo usando-se somente a adaptatividade geométrica, passando
como parâmetros de análise os dados mostrados na Figura 34.a.
A Figura 35 mostra os aspectos das malhas deste exemplo usando
elementos quadráticos (T6) e sem usar a adaptatividade geométrica. Já a Figura
36 mostra o aspecto das malhas com os elementos quadráticos (T6) usando-se
a adaptatividade geométrica durante o processo adaptativo.
Z2-HC SPR
(a) NN = 74, NE = 110
GDL = 141,
η
= 35.28 %
(a) NN = 74, NE = 110
GDL = 141,
η
= 35.40 %
(b) NN = 955, NE = 1772
GDL = 1890,
η
= 10.98 %
(b) NN = 1067, NE = 1985
GDL = 2112,
η
= 11.77 %
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88
(c) NN = 3913, NE = 7456
GDL = 7798,
η
= 4.85 %
(c) NN = 4327, NE = 8290
GDL = 8624,
η
= 4.93 %
(d) Malha resultante com o Z2-HC (d) Malha resultante com o SP
Figura 32 Comparação entre os métodos de suavização Z2-HC e SPR, utlizando-se
elementos lineares (T3) usando apenas a adaptatividade numérica: malha inicial (a),
malhas seguintes (b,c,d).
Na Figura 32 percebe-se que o método Z2-HC [62], que é menos
complexo matematicamente e por isso é bem conhecido no meio técnico
apresenta resultados bem próximos ao SPR [63-66]. Desta forma, todos os
outros exemplos serão apresentados apenas usando-se o Z2-HC [62] como
método de suavização, pois também, não é o objetivo deste trabalho comparar
os métodos de suavização existentes.
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89
(a) NN = 74, NE = 110
GDL = 141,
η
= 35.28 %,
d
MAX
= 1/2 comp
CUR
, d
MIN
= comp
CUR
,
ang
TOL
= 2°
(b) NN = 1029, NE = 1897
GDL = 2035,
η
= 10.89 %,
d
MAX
= 1/2 comp
CUR
, d
MIN
= comp
CUR
,
ang
TOL
= 2°
(c) NN = 4000, NE = 7626
GDL = 7970,
η
= 4.79 %,
d
MAX
= 1/2 comp
CUR
, d
MIN
= comp
CUR
,
ang
TOL
= 2°
(d) Aspecto final da malha
Figura 33 Exemplo 1 com T3 usando a adaptatividade geométrica e numérica: malha
inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
Nos resultados da Figura 33 pode-se perceber que as curvas de bordo
próximas a regiões que não apresentam grande concentrações de tensões foram
mais refinadas do que as mesmas curvas quando se usou somente a
adaptatividade numérica. Isto acontece justamente pelo uso da adaptatividade
geométrica, pois desta forma se gera um número maior de elementos na malha
e consecutivamente a análise de erro converge mais rapidamente.
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90
(a) NN = 74, NE = 110
GDL = 141,
η
= 35.28 %,
d
MAX
= 1/2 comp
CUR
, d
MIN
= comp
CUR
,
ang
TOL
= 2°
(b) Aspecto final da malha
Figura 34 Exemplo 1 com T3 e usando apenas a adaptatividade geométrica: malha inicial
(a), malha seguinte (b).
(a) NN = 242, NE = 104
GDL = 472,
η
= 12.51 %
(b) NN = 1164, NE = 540
GDL = 2302,
η
= 3.27 %
(c) Aspecto final da malha
Figura 35 Exemplo 1 com T6 sem a adaptatividade geométrica mas com a
adaptatividade numérica: malha inicial (a), malhas seguintse (b,c).
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91
(a) NN = 242, NE = 104
GDL = 472,
η
= 12.51 %,
d
MAX
= 1/2 comp
CUR
, d
MIN
= comp
CUR
,
ang
TOL
= 2°
(b) NN = 1699, NE = 789
GDL = 3364,
η
= 1.81 %,
d
MAX
= 1/2 comp
CUR
, d
MIN
= comp
CUR
,
ang
TOL
= 2°
(c) Aspecto final da malha
Figura 36 Exemplo 1 com T6 usando a adaptatividade geométrica e numérica: malha
inicial (a), malhas seguintes (b,c).
Observando a Figura 36.b e c com a Figura 36.b e c, percebe-se que a
principal diferença entre as malhas, na sua respectiva ordem do processo
adaptativo, é o grau de refinamento das curvas do tipo arco de círculo. Dessa
forma, nas malhas em que se considerou a adaptatividade geométrica, obteve-
se um maior número de elementos e consequentemente uma convergência mais
rápida.
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92
5.1.2. Placa quadrada com furo quadrado
O segundo exemplo analisado é uma placa quadrada com um furo
quadrado, submetida a um carregamento lateral unitário. Devido às condições de
simetria apenas um quarto da placa foi modelado. Este exemplo é mostrado para
demonstrar a aplicabilidade do processo adaptativo proposto para multiregiões.
Considerou-se estado plano de tensões, com módulo de elasticidade
5
10=E
,
coeficiente de Poisson
3.0
=
ν
e espessura
1
=
e
. Neste exemplo, considerou-se
três regiões, para que fosse possível ter condições iniciais iguais as que foram
obtidas por Cavalcante-Neto [13]. A Figura 37 mostra as características do
problema.
F = 1
50 50
Figura 37 Placa quadrada com furo quadrado.
Para este exemplo foram necessários três passos do processo adaptativo
usando o T3 e apenas dois passos usando o T6 para satisfazer a equação (17).
No trabalho de Cavalcante-Neto [12], também foram necessários três passos
para os dois tipos de elementos satisfazerem a referida equação.
A Figura 38 e a Figura 39 mostram os aspectos das malhas com os
elementos lineares (T3) e quadráticos (T6) com as suas características, número
de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de liberdade (GDL).
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93
(a) NN = 21, NE = 24
GDL = 36,
η
= 33.27 %
(b) NN = 181, NE = 314
GDL = 347,
η
= 13.97 %
(c) NN = 817, NE = 1529
GDL = 1606,
η
= 6.28 %
(d) Aspecto final da malha
Figura 38 Exemplo 2 com T3: malha inicial (a), malha seguinte (b,c,d).
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94
(a) NN = 65, NE = 24
GDL = 120,
η
= 9.03 %
(b) NN = 220, NE = 99
GDL = 428,
η
= 4.72 %
(c) Aspecto final da malha
Figura 39 Exemplo 2 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c).
A Tabela 1 compara os resultados obtidos deste trabalho com os de
Cavalcante-Neto [12].
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95
Tabela 1 Comparação dos resultados para a placa quadrada com furo quadrado.
Cavalcante-Neto Processo adaptativo proposto
1º Elemento linear (T3)
NN 21 21
NE 24 24
GDL 36 36
η
33.27 % 33.27 %
2º Elemento linear (T3)
NN 240 181
NE 413 314
GDL 464 347
η
13.45 % 13.97 %
3º Elemento linear (T3)
NN 693 817
NE 1265 1529
GDL 1365 1606
η
7.77 % 6.28 %
1º
Elemento quadrático (T6)
NN 65 65
NE 24 24
GDL 120 120
η
9.02 % 9.03 %
º Elemento quadrático (T6)
NN 141 220
NE 60 99
GDL 272 428
η
5.77 % 4.72 %
Na Tabela 1, a primeira coluna contém os números correspondentes ao
passo do processo adaptativo.
Os valores do erro corrente
η
obtidos pelo processo adaptativo proposto
reduzem mais rapidamente. Isto pode ser visto pelos valores de
η
em cada
passo do processo. Apenas no segundo passo do caso linear foi que a
formulação proposta apresentou um valor de
η
maior que o resultado obtido por
Cavalcante-Neto.
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96
5.1.3. Viga curta em balanço
O terceiro exemplo é uma viga curta em balanço sob carregamento
distribuído unitário no seu bordo superior. Considera-se para a solução deste
problema estado plano de deformação com módulo de elasticidade
1
=
E
,
coeficiente de Poisson
3.0
=
ν
e espessura
1
=
e
. A Figura 40 mostra as
características do problema.
F = 1
1.0
Figura 40 Viga curta em balanço.
Para este exemplo foram necessários três passos do processo adaptativo
tanto usando o T3 quanto o T6 para satisfazer a equação (17). No trabalho de
Cavalcante-Neto [12] também foram necessários três passos para que as
malhas com os dois tipos de elementos pudessem satisfazer a referida equação.
A Figura 41 e a Figura 43 mostram os aspectos das malhas com os
elementos lineares (T3) e quadráticos (T6) com as suas características, número
de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de liberdade (GDL).
Este exemplo também é muito bom para ilustrar como ocorre a distribuição
das razões de erro
(
)
i
ξ
entre os elementos da malha conforme a evolução do
processo adaptativo. Desta forma, a Figura 42 mostra esta distribuição de erro
conforme uma tabela de cores referente aos valores de
(
)
i
ξ
para cada elemento.
Como o processo adaptativo se propõe a homogeneizar estes valores para todos
os elementos, espera-se que no final do processo a figura esteja praticamente
de uma cor só.
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97
(a) NN = 9, NE = 8
GDL = 12,
η
= 35.47 %
(b) NN = 93, NE = 158
GDL = 168,
η
= 13.49 %
(c) NN = 373, NE = 678
GDL = 702,
η
= 5.77 %
(d) Aspecto final da malha
Figura 41 Exemplo 3 com T3: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
Na Figura 41.b a malha não está mostrando maior discretização nos
cantos que apresentam concentração de tensões (canto esquerdo superior e
inferior), o que só começa a ser verificado a partir da Figura 41.c, quando o
critério de convergência já é atendido, conforme a equação (17).
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98
(a) Distribuição da razão de erro
i
ξ
refente a malha inicial.
(b) Distribuição da razão de erro
i
ξ
refente a primeira malha resultante do
processo adaptativo.
(c) Distribuição da razão de erro
i
ξ
refente a última malha resultante do
processo adaptativo.
Figura 42 Mostra a distribuição da razão de erro
i
ξ
entre os elementos da malha
durante os passos do processo adaptativo.
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99
(a) NN = 25, NE = 8
GDL = 40,
η
= 10.55 %
(b) NN = 95, NE = 40
GDL = 172,
η
= 6.54 %
(c) NN = 284, NE = 129
GDL = 534,
η
= 3.55 %
(d) Aspecto final da malha
com as isofaixas
Figura 43 Exemplo 3 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
Na Figura 43.b a malha não está apresentando maior discretização nos
cantos que apresentam concentração de tensões (canto esquerdo superior e
inferior), o que só é observado a partir da Figura 43.d quando já foi satisfeito o
critério de convergência, conforme a equação (17).
A Tabela 2 compara os resultados obtidos deste trabalho com os de
Cavalcante-Neto [12].
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100
Tabela 2 Comparação dos resultados para a viga curta em balanço.
Cavalcante-Neto Processo adaptativo proposto
1º Elemento linear (T3)
NN 9 9
NE 8 8
GDL 12 12
η
35.19 % 35.47 %
2º Elemento linear (T3)
NN 128 93
NE 214 158
GDL 230 168
η
11.80 % 13.49 %
3º Elemento linear (T3)
NN 525 373
NE 940 678
GDL 970 702
η
5.64 % 5.77 %
1º Elemento quadrático (T6)
NN 25 25
NE 8 8
GDL 40 40
η
11.08 % 10.55 %
2º Elemento quadrático (T6)
NN 68 95
NE 27 40
GDL 118 172
η
6.15 % 6.54 %
3º Elemento quadrático (T6)
NN 141 284
NE 60 129
GDL 256 534
η
3.83 % 3.55 %
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101
Os valores do erro corrente
η
obtidos pelo processo adaptativo proposto
reduzem mais lentamente para o caso linear e mais rapidamente para o caso
quadrático. Isto pode ser visto pelos valores de
η
em cada passo do processo.
Apenas no segundo passo, do caso quadrático, foi que o valor de
η
da
formulação proposta foi maior do que o valor obtido por Cavalcante-Neto.
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102
5.1.4. Placa com furo quadrado com dois materiais
O quarto exemplo é a mesma placa do exemplo 2, mas considerando dois
materiais diferentes. Este exemplo é mostrado para demonstrar a aplicabilidade
do processo adaptativo proposto para regiões de materiais distintos. A diferença
é dada no módulo de elasticidade das regiões, onde uma ficou sendo o triplo da
outra, tal que
5
1
10=E
,
5
2
103⋅=E
, o coeficiente de Poisson
3.0
=
ν
e espessura
1
=
e
para ambos os materiais A Figura 44 mostra as características do
problema.
F = 1
E1
E2
50 50
Figura 44 Placa quadrada com furo quadrado com dois materiais.
Para este exemplo foram necessários três passos do processo adaptativo
tanto usando o T3 quanto usando o T6 para satisfazer a equação (17). No
trabalho de Cavalcante-Neto [12] foram necessários três passos para que as
malhas com os dois tipos de elementos pudessem satisfazer a referida equação.
A Figura 45 e a Figura 46 mostram os aspectos das malhas com os
elementos lineares (T3) e quadráticos (T6) com as suas características, número
de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de liberdade (GDL).
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103
(a) NN = 21, NE = 24
GDL = 36,
η
= 35.76 %
(b) NN = 215, NE = 380
GDL = 416,
η
= 16.32 %
(c) NN = 1095, NE = 2078
GDL = 2164,
η
= 7.18 %
(d) Aspecto final da malha
com as isofaixas
Figura 45 Exemplo 4 com T3: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
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104
(a) NN = 65, NE = 24
GDL = 120,
η
= 14.98 %
(b) NN = 355, NE = 164
GDL = 698,
η
= 7.05 %
(c) NN = 893, NE = 426
GDL = 1770,
η
= 3.51 %
(d) Aspecto final da malha
com as isofaixas
Figura 46 Exemplo 4 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
A Tabela 3 compara os resultados obtidos deste trabalho com os de
Cavalcante-Neto [12].
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105
Tabela 3 Comparação dos resultados para a placa quadrada com furo quadrado
com dois materiais diferentes.
Cavalcante-Neto Processo adaptativo proposto
1º Elemento linear (T3)
NN 21 21
NE 24 24
GDL 36 36
η
35.76 % 35.76 %
2º Elemento linear (T3)
NN 286 215
NE 503 380
GDL 558 416
η
14.41 % 16.32 %
3º Elemento linear (T3)
NN 1077 1095
NE 1999 2078
GDL 2135 2164
η
7.33 % 7.18 %
1º Elemento quadrático (T6)
NN 65 65
NE 24 24
GDL 120 120
η
19.37 % 14.98 %
2º Elemento quadrático (T6)
NN 308 355
NE 141 164
GDL 606 698
η
6.57 % 7.05 %
3º Elemento quadrático (T6)
NN 629 893
NE 296 426
GDL 1246 1770
η
3.26 % 3.51 %
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106
Nesta tabela pode-se perceber que para o caso linear, ambas as
formulações fornecem o mesmo valor de
η
para o primeiro passo, no segundo
passo o valor obtido de
η
foi maior para a formulação proposta. Já para o
terceiro passo, o valor de
η
obtido pela formulação proposta, foi menor.
No caso quadrático apenas no primeiro passo o valor de
η
obtido pela
formulação proposta foi menor que o valor encontrado por Cavalcante-Neto.
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107
5.1.5. Placa complexa com três furos circulares e um quadrado
O quinto exemplo é a análise de uma placa complexa com três furos
circulares e um quadrado sob um carregamento lateral unitário. Este exemplo é
importante para mostrar a eficácia do processo adaptativo proposto para
problemas com geometria complexa. Considera-se para a solução deste
problema estado plano de deformação com
5
10=E
,
3.0
=
ν
e espessura
1
=
e
. A
Figura 47 mostra as características do problema.
F = 1
100
150100
60
60
110
150200
100
Figura 47 Placa complexa com três furos circulares e um quadrado.
Para este exemplo foram necessários três passos do processo adaptativo
quando se usou o T3 e dois passos quando se usou o T6 para satisfazer a
equação (17). No trabalho de Cavalcante-Neto [12] também foram necessários
três passos para satisfazer a referida equação. Esse autor só analisou este
problema para o caso quadrático (T6).
A Figura 48 e a Figura 49 mostram os aspectos das malhas com os
elementos lineares (T3) e quadráticos (T6) com as suas características, número
de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de liberdade (GDL).
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108
(a) NN = 112, NE = 163
GDL = 210,
η
= 24.58 %
(b) NN = 970, NE = 1763
GDL = 1907,
η
= 11.53 %
(c) NN = 3905, NE = 7372
GDL = 7751,
η
= 5.15 %
(d) Aspecto final da malha
com as isofaixas
Figura 48 Exemplo 5 com T3: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
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109
(a) NN = 451, NE = 201
GDL = 876,
η
= 10.20 %
(b) NN = 1609, NE = 749
GDL = 3176,
η
= 4.67 %
(c) Aspecto final da malha
com as isofaixas
Figura 49 Exemplo 5 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c).
A Tabela 4 compara os resultados obtidos para o caso quadrático deste
trabalho com os de Cavalcante-Neto [12].
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110
Tabela 4 Comparação dos resultados para a placa complexa com três furos circulares e
um quadrado.
Cavalcante-Neto Processo adaptativo proposto
1º Elemento linear (T6)
NN 275 451
NE 113 201
GDL 524 876
η
12.47 % 10.20 %
2º Elemento linear (T6)
NN 953 1609
NE 431 749
GDL 1878 3176
η
5.71 % 4.67 %
Percebe-se que no processo adaptativo proposto os valores de
η
obtidos
a cada passo são menores do que os obtidos por Cavalcante-Neto, porém como
as características iniciais não foram equivalentes, não se pode afirmar com
certeza em qual caso se obteve a convergência de forma mais rápida.
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111
5.1.6. Barragem
O sexto exemplo é a análise de uma barragem bidimensional submetida a
pressão hidrostática. Este exemplo é importante para mostrar a eficácia da
utilização do processo adaptativo proposto para problemas com geometria
complexa. Este exemplo também foi analisado por Zienkiewicz [66]. Considera-
se para a solução deste problema estado plano de deformação com
1
=
E
,
3.0
=
ν
e espessura
1
=
e
.
A Figura 50 mostra as características do problema.
5
65 9 7 5
4 4 8 5
1 2 3 4 6 12
5
10
1
2 3 1 7
Figura 50 Barragem bidimensional.
Para este exemplo foram necessários três passos do processo adaptativo
tanto quando se usou elementos do tipo T3 como quando se usou o T6. O
mesmo número de passos foi obtido por Zienkiewicz [66] para elementos
quadráticos, porém o número de elementos gerados pelo método proposto é
bem maior, fato que pode ser observado na Tabela 5.
A Figura 51 e a Figura 52 mostram os aspectos das malhas com os
elementos lineares (T3) e quadráticos (T6) com as suas características, número
de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de liberdade (GDL).
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112
(a) NN = 65, NE = 94
GDL = 100,
η
= 31.99 %
(b) NN = 563, NE = 1008
GDL = 1068,
η
= 18.78 %
(c) NN = 3503, NE = 6660
GDL = 6884,
η
= 7.42 %
(d) Aspecto final da malha
com as isofaixas
Figura 51 Exemplo 6 com T3: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
A Figura 51.c mostra a malha do processo adaptativo. Nesta mesma
figura, pode-se observar a influência da qualidade do elemento linear, pois
mostra um refinamento em regiões em que não ocorrem altas concentrações de
tensões, o que ocorre em menor intensidade para os elementos quadráticos,
conforme a Figura 52.b.
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113
(a) NN = 224, NE = 94
GDL = 390,
η
= 22.16 %
(b) NN = 1324, NE = 614
GDL = 2546,
η
= 7.16 %
(c) NN = 3008, NE = 1422
GDL = 5878,
η
= 3.18 %
(d) Aspecto final da malha
com as isofaixas
Figura 52 Exemplo 6 com T6: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
A Tabela 5 compara os resultados obtidos para o caso quadrático deste
trabalho com os de Zienkiewicz [66].
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114
Tabela 5 Comparação dos resultados do exemplo bidimensional da barragem,
mostrando os valores obtidos por Zienkiewicz e o método proposto.
Zienkiewicz Processo adaptativo proposto
1º Elemento quadrático (T6)
NN ─ 224
NE ─ 94
GDL 728 390
η
16.50 % 22.16 %
2º Elemento quadrático (T6)
NN ─ 1324
NE ─ 614
GDL 1764 2546
η
4.90 % 7.16 %
3º Elemento quadrático (T6)
NN ─ 3008
NE ─ 1422
GDL ─ 5878
η
─ 3.18 %
Percebe-se que no processo adaptativo proposto os valores de
η
obtidos
a cada passo são maiores do que os obtidos por Zienkiewicz. Mas como as
características iniciais não foram equivalentes, não se pode afirmar com certeza
em qual caso se obteve a convergência de forma mais rápida.
5.2. Exemplos em 3D (MG)
Foram usados cinco exemplos com o objetivo de validar a implementação
do processo adaptativo no MG [48]. Em todos os exemplos se fez apenas
análise para elementos quadráticos (TETRA10).
Deve-se ressaltar que os exemplos que também foram analisados por
Cavalcante-Neto [13], não foram analisados de forma completamente
automática, requerendo do usuário interferências em cada passo para a
construção das malhas.
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115
5.2.1. Viga curta em balanço
O primeiro exemplo é uma viga curta em balanço, fixa em uma
extremidade e submetida a uma pressão distribuída vertical na sua extremidade
livre. Este problema também foi analisado por Cavalcante-Neto [13]. Adotou-se o
valor de
%5
*
=
η
, considerando para a solução deste problema módulo de
elasticidade
1
=
E
e coeficiente de Poisson
3.0
=
ν
.
A Figura 53 mostra as
características do problema.
1.0
0.25
1.0
face x = 0, u = 0
y
z
face y = 0,
u = v = w = 0
face y = 1,
P = -1.0
Figura 53 Viga curta em balanço.
Para este exemplo foram necessários dois passos do processo adaptativo.
O mesmo número de passos foi obtido por Cavalcante-Neto [13], porém o
número de elementos gerados pelo método proposto é bem maior, fato que pode
ser observado na Tabela 6.
A Figura 54 mostra o aspecto das malhas para cada passo do processo
adaptativo com os elementos quadráticos (TETRA10) e com as suas
características, número de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de
liberdade (GDL).
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116
(a) NN = 599, NE = 336
GDL = 1604,
η
= 7.48 %
(b) NN = 3921, NE = 2240
GDL = 10304,
η
= 3.18 %
(c) Aspecto final da malha
Figura 54 Exemplo 1 com TETRA10: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c).
A Tabela 6 compara os resultados obtidos para o caso quadrático deste
trabalho com os de Cavalcante-Neto [13].
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117
Tabela 6 Comparação dos resultados do exemplo da viga curta em balanço 3D.
Cavalcante-Neto Processo adaptativo proposto
1º Elemento quadrático (TETRA10)
NN 386 599
NE 177 336
GDL 807 1604
η
7.90 % 7.48 %
2º Elemento quadrático (TETRA10)
NN 1122 3921
NE 609 2240
GDL 2625 10304
η
4.20 % 3.18 %
Na Tabela 6 a primeira coluna contém os números correspondentes ao
passo do processo adaptativo e os dados com as características das malhas.
Percebe-se que no processo adaptativo proposto os valores de
η
obtidos
a cada passo são menores do que os obtidos por Cavalcante-Neto. Porém o
número de elementos é maior. Portanto, como as características iniciais não
foram equivalentes, não se pode afirmar com certeza em qual caso se obteve a
convergência de forma mais rápida.
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118
5.2.2. Placa com furo circular
O segundo exemplo é uma placa fina com um furo circular, submetida a
uma tensão axial. Devido à simetria, apenas um quarto da placa foi analisado.
Este problema também foi analisado por Cavalcante-Neto [13]. Adotou-se o valor
de
%5
*
=
η
, considerando para a solução deste problema módulo de
elasticidade
06E10
+
=
E
e coeficiente de Poisson
33.0
=
ν
.
A Figura 55 mostra
as características do problema.
10
y
z
face y = 0, v = 0
20
5
face z = 0, w = 0
face y = 20, Py = 1000
Figura 55 Placa com furo circular.
Para este exemplo foram necessários dois passos do processo adaptativo,
um passo a menos do que obteve Cavalcante-Neto [13]. Porém, o número de
elementos gerados pelo método proposto é bem maior, fato que pode ser
observado na Tabela 7.
A Figura 56 mostra o aspecto das malhas para cada passo do processo
adaptativo com os elementos quadráticos (TETRA10) e com as suas
características, número de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de
liberdade (GDL).
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119
(a) NN = 124, NE = 61
GDL = 337,
η
= 10.58 %
(b) NN = 2046, NE = 989
GDL = 5428,
η
= 3.53 %
(c) Aspecto final da malha
Figura 56 Exemplo 2 com TETRA10: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c).
A Tabela 7 compara os resultados obtidos para o caso quadrático deste
trabalho com os de Cavalcante-Neto [13].
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120
Tabela 7 Comparação dos resultados do exemplo da placa 3D com furo circular.
Cavalcante-Neto Processo adaptativo proposto
1º Elemento quadrático (TETRA10)
NN 45 124
NE 12 61
GDL 54 337
η
10.50 % 10.58 %
2º Elemento quadrático (TETRA10)
NN 313 2046
NE 160 989
GDL 684 5428
η
6.50 % 3.53 %
Como as características iniciais não foram equivalentes, não se pode
afirmar em qual caso se obteve a convergência de forma mais rápida. Até
porque no primeiro passo a formulação de Cavalcante-Neto apresenta o valor de
η
menor, mas no passo seguinte já apresenta o valor de
η
maior.
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5.2.3. Sólido com uma cavidade cilíndrica
O terceiro exemplo é um sólido com uma cavidade cilíndrica, submetida a
uma pressão axial. Este problema também foi analisado por A Merrouche [ 1 ],
adotando o valor de
%8
*
=
η
, considerando para a solução deste problema
módulo de elasticidade
1
=
E
,
coeficiente de Poisson
3.0
=
ν
.
A Figura 57 mostra
as características do problema.
100
100
60
60
100
x
z
y
face z = 100,
w = v = u = 0
Figura 57 Sólido com cavidade cilíndrica.
Para este exemplo foram necessários dois passos do processo adaptativo.
A Merrouche [1] obteve convergência após cinco passos.
A Figura 58 mostra o aspecto das malhas para cada passo do processo
adaptativo com os elementos quadráticos (TETRA10) e com as suas
características, número de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de
liberdade (GDL).
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122
(a) NN = 864, NE = 527
GDL = 2466,
η
= 12.62 %
(b) NN = 5302, NE = 3230
GDL = 15207,
η
= 6.14 %
(c) Aspecto final da malha
Figura 58 Exemplo 3 com TETRA10: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c).
A Tabela 8 compara os resultados obtidos para o caso quadrático deste
trabalho com os de A Merrouche [1].
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123
Tabela 8 Comparação dos resultados do exemplo do sólido com uma cavidade cilíndrica.
A Merrouche Processo adaptativo proposto
1º Elemento quadrático (TETRA10)
NN ─ 864
NE 140 527
GDL ─ 2466
η
23.50 % 12.62 %
2º Elemento quadrático (TETRA10)
NN ─ 5302
NE ─ 3230
GDL ─ 15207
η
─ 6.14 %
No trabalho de A Merrouche [1], só são apresentados os números de
elementos e o erros correntes
η
correspondentes ao passo inicial e final. Do
último passo os valores obtidos foram os seguintes:
26643
=
NE
e
%50.7
=
η
.
Como as características iniciais não foram equivalentes, não se pode
afirmar em qual caso se obteve a convergência de forma mais rápida.
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124
5.2.4. Eixo cilíndrico
O quarto exemplo é um eixo cilíndrico, uniformemente carregado em uma
extremidade e preso em outra. Devido a simetria, apenas um quarto do problema
foi modelado. Este problema também foi analisado por A Merrouche [ 1 ],
adotando o valor de
%8
*
=
η
, considerando para a solução deste problema
módulo de elasticidade
1
=
E
,
coeficiente de Poisson
3.0
=
ν
.
A Figura 59 mostra
as características do problema.
100
50
20
20
40
P = 1
face x = 0
u = v = w = 0
z
y
x
Figura 59 Eixo cilíndrico.
Para este exemplo foi necessário apenas um passo do processo
adaptativo. A Merrouche [ 1 ] obteve convergência após quatro passos.
A Figura 60 mostra o aspecto das malhas para cada passo do processo
adaptativo com os elementos quadráticos (TETRA10) e com as suas
características, número de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de
liberdade (GDL).
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125
(a) NN = 1906, NE = 1171
GDL = 5349,
η
= 5.86 %
(b) Aspecto final da malha
Figura 60 Exemplo 4 com TETRA10: malha inicial (a), malha seguinte (b).
A Tabela 9 compara os resultados obtidos para o caso quadrático deste
trabalho com os resultados obtidos por de A Merrouche [ 1 ].
Tabela 9 Comparação dos resultados do exemplo do eixo cilíndrico.
A Merrouche Processo adaptativo proposto
1º Elemento quadrático (TETRA10)
NN ─ 1906
NE 184 1171
GDL ─ 5349
η
21.50 % 5.86 %
No trabalho de A Merrouche [1], só são apresentados os números de
elementos e o erros correntes
η
correspondentes ao passo inicial e final. Do
último passo os valores obtidos foram os seguintes:
32985
=
NE
e
%00.7
=
η
.
Como as características iniciais não foram equivalentes, não se pode
afirmar em qual caso se obteve a convergência de forma mais rápida.
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126
5.2.5. Pórtico misto 3D
O quinto exemplo é um pórtico misto, composto por três barras, sendo
cada barra composta de um material diferente. O pórtico é uniformemente
carregado em uma extremidade e preso em outra. Como o exemplo tem apenas
a finalidade de mostrar a aplicabilidade do processo adaptativo para problemas
com multiregiões, adotaram-se propriedades hipotéticas paras os materiais.
Sendo assim, atribui-se os seguintes valores para os módulos de elasticidade:
1
1
=E
,
2
2
=E
e
3
3
=E
e os seguintes valores para os coeficientes de Poisson
2.0
1
=
ν
,
3.0
2
=
ν
e
4.0
3
=
ν
. As dimensões, as condições de contorno e atributos
do problema são mostrados na Figura 61. Adotou-se o valor de
%5
*
=
η
.
y
z
1
1
5
1
5
1
5
face y = 0,
u = v = w = 0
barra 3
barra 1
barra 2
P = 1
Figura 61 Pórtico misto 3D.
Para este exemplo foram necessários três passos do processo adaptativo.
A Figura 62 mostra o aspecto das malhas para cada passo do processo
adaptativo com os elementos quadráticos (TETRA10) e com as suas
características, número de nós (NN), número de elementos (NE) e graus de
liberdade (GDL).
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127
(a) NN = 229, NE = 112
GDL = 609,
η
= 13.71 %
(b) NN = 3452, NE = 1839
GDL = 10026,
η
= 9.08 %
(c) NN = 18901, NE = 11629
GDL = 55365,
η
= 2.67 %
(d) Aspecto final da malha
Figura 62 Exemplo 5 com TETRA10: malha inicial (a), malhas seguintes (b,c,d).
É possível observar na Figura 62 um gradativo refinamento nas regiões
onde ocorrem elevadas variações de tensões, como por exemplo a barra 1 que
está submetida à flexão, cisalhamento e torção é bem mais refinada que as
outras. A barra 2 que está submetida à flexão e cisalhamento é pouco menos
refinada que a barra 1 e a barra 3 que está submetida apenas a tração foi a
menos refinada durante o processo adaptativo.
A Tabela 10 mostra os resultados obtidos em cada passo do processo
adaptativo.
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128
Tabela 10 Mostra os resultados obtidos para o exemplo do pórtico misto.
Processo adaptativo proposto
1º Elemento quadrático (TETRA10)
NN 229
NE 112
GDL 609
η
13.71 %
2º Elemento quadrático (TETRA10)
NN 3452
NE 1839
GDL 10026
η
9.08 %
3º Elemento quadrático (TETRA10)
NN 18901
NE 11629
GDL 55365
η
2.67 %
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6
CONCLUSÃO
Este trabalho abordou um novo processo adaptativo para geração de
malhas de elementos finitos em 2D e 3D. Entende-se por processo adaptativo,
todos os componentes necessários para a geração de novas malhas com a
menor intervenção possível do usuário. Por isto foram apresentadas todas as
principais partes integrantes do processo. Os modeladores geométricos usados
foram o MTOOL [47] (2D) e o MG [48] (3D) com as respectivas estruturas de
dados topológica HED [42] (2D) e CGC [14] (3D). Os modeladores foram
desenvolvidos no Tecgraf/PUC-RIO (Grupo de Tecnologia em Computação
Gráfica).
Foram mostradas as principais técnicas de estimativa de erro (em
recuperação de patches e em resíduos), as técnicas de suavização (Z2-HC [62],
SPR [63-66]), as estratégias adaptativas (de extensão h, r, p, ou combinação
entre elas) e a parte referente à geração de malhas (estruturadas, não-
estruturadas e híbridas). Como neste trabalho trabalhou-se com as malhas não-
estruturadas, pois elas se adequam melhor a domínios arbitrários e são de fácil
automação, apresentou-se as principais técnicas para este tipo de malha, que
são: Decomposição Especial Recursiva, Triangulação de Delaunay e Avanço de
Fronteira.
O processo adaptativo, deste trabalho, está fundamentado no refinamento
independente de curvas, superfícies e sólidos, usando uma estimava de erro a-
posteriori baseada nas normas de erro, métodos de suavização do tipo Z2-HC
[62] e SPR [63-66] e usando, de forma hierárquica, as técnicas de geração de
malha de Decomposição Espacial Recursiva binary-tree (1D), quadtree (2D) e
octree (3D) juntamente com Avanço de Fronteira. Foi tomado como referência o
trabalho apresentado por Cavalcante-Neto [12,13], o qual não era totalmente
automático, pois era necessário se discretizar manualmente as curvas próximas
às regiões de grande concentrações de tensões (3D). Para o caso plano (2D)
era necessária uma estrutura de dados para guardar relações de adjacência
entre curvas e elementos, o que dificultava o processo de refinamento das
curvas. A técnica de Decomposição Espacial Recursiva tinha apenas a função
de gerar pontos no interior do domínio.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0510729/CA
130
Neste trabalho, estendeu-se a função da técnica de Decomposição
Espacial Recursiva, o que foi uma de suas principais contribuições, pois agora,
além de garantir a boa transição entre os elementos da malha, esta estrutura
guarda as informações da razão de erro, que são obtidas do resultado de análise
de elementos finitos. Com esse novo enfoque, os tipos de estruturas usadas na
Decomposição Espacial Recursiva são nomeadas de octree / quadtree global.
Portanto, não é mais necessário obter as relações de adjacência entre
elementos e curvas para refinar as curvas, bastando apenas consultar as
informações guardadas na octree / quadtree global.
Outra contribuição deste trabalho consiste no fato de se fazer todo o
processo adaptativo baseado no erro numérico, mas obedecendo à geometria do
modelo através da utilização da adaptatividade geométrica de curvas e
superfícies. Os parâmetros da adaptatividade geométrica para as curvas são
definidos por três variáveis: tamanho mínimo (d
MIN
) e tamanho máximo (d
MAX
) de
um segmento de subdivisão e uma tolerância angular (ang
TOL
). Conforme o
preenchimento destas variáveis, tem-se um nível diferente de refinamento para
as curvas, porém os trechos de maior curvatura geralmente são mais refinados
(vide exemplo 5.1.1). No caso 3D, também é feita a adaptatividade geométrica
de superfícies, através do uso do algoritmo desenvolvido por Miranda et al [45].
A influência da adaptatividade geométrica no processo adaptativo é feita durante
o refinamento da octree / quadtree global.
Através do uso da octree / quadtree global o processo adaptativo para
modelos com multi-regiões (vide exemplos 5.1.2, 5.1.4 e 5.2.5) fica facilitado,
pois as malhas de superfície e volumétricas (3D) são geradas individualmente
para cada região, usando-se apenas a octree / quadtree global como parâmetro
de controle do tamanho dos elementos que são gerados nas malhas no decorrer
do processo adaptativo.
Acrescentado ao aspecto inovador da octree / quadtrre global e ao uso da
adaptatividade geométrica de curvas e superfícies para a geração de malhas,
está o fato deste trabalho concretizar um objetivo, que há muito tempo é
almejado pelo grupo de pesquisa no qual ele está inserido (Tecgraf/PUC-RIO),
pois utilizando-se como base as técnicas desenvolvidas por Cavalcante-Neto
[12,13] e o algoritmo de Miranda et al [45] automatizou-se o processo de geração
de malhas adaptativas em 2D e 3D. De tal forma, que os únicos dados de
entrada para se realizar tal processo são o(s) sólido(s) / superfície(s) com as
suas respectivas malhas iniciais associadas. Uma vez feita a análise (FEMOOP
[43]), o processo refina as regiões em que ocorrem altas concentrações de
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131
tensões e “desrefina” regiões em que o refinamento existente é desnecessário.
Para ilustrar este fato e a eficácia do método, apresentou-se no capítulo 5, vários
exemplos conhecidos no meio técnico, onde foi possível verificar que todos os
requisitos necessários para validar tal procedimento adaptativo foram atendidos.
6.1. Vantagens do Método
Como vantagens do processo adaptativo proposto pode-se citar.
• a criação da octree / quadtree global, facilitando o processo de
refinamento das curvas do modelo e o controle na geração dos
elementos da nova malha de elementos finitos;
• o fato de que durante o processo adaptativo se respeite à
geometria do modelo, através da utilização da adaptatividade
geométrica das curvas e superfícies;
• tratar problemas que envolvem multi-regiões de forma simples e
direta;
• o processo não refina somente regiões em que ocorrem altas
concentrações de tensões como também “desrefina” as regiões
onde o refinamento existente é desnecessário.
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132
6.2. Desvantagens do Método
Em relação às desvantagens do processo adaptativo proposto
apresentado, pode-se citar:
• A necessidade de se utilizar duas vezes os algoritmos de
adaptatividade geométrica para curvas e superfícies. No primeiro
estágio, estes algoritmos são usados apenas para refinar a octree /
quadtree global. No segundo estágio é que efetivamente se subdivide
as curvas e gera-se as malhas de superfície.
6.3. Sugestões para Trabalhos Futuros
Como sugestões para trabalhos futuros em continuação ao que foi
desenvolvido neste trabalho, apresentam-se:
• Analisar de forma mais consistente as vantagens e desvantagens de se
associar o tamanho característico
h
de cada elemento finito aos seus
vértices ou aos centros de gravidade dos mesmos;
• Procurar considerar a adaptatividade geométrica das superfícies no
refinamento da octree global sem precisar utilizar os algoritmos de
adaptatividade geométrica duas vezes;
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Referências Bibliográficas
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Commun. Numer. Meth. Engng, 14, 397-407.
[ 2 ] Acharjee, S.; Zabaras, N., 2006. ‘The continuum sensitivity method for the
computational design of three-dimensional deformation processes’. Comput.
Methods Appl. Mech. Engrg., 195, 6822-6842
[ 3 ] Aymone, J. L. F.’Mesh motion techniques for the ALE formulation in 3D large
deformation problems’. Krieger, New York.
[ 4 ] Babuska, I.; Rheinboldt, C., 1978. ’A-posteriori error estimates for the finite element
method’. Int. J. Numer. Meth. Engng., 12, 1597-1615.
[ 5 ] Babuska, I.; Rheinboldt, C., 1979. ‘Adaptive approaches and reability estimates in
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[ 6 ] Batista, V. H. F., 2005. ‘Geração de malhas não estruturadas tetraédricas utilizando
um método de avanço de fronteira’. Dissertação de Mestrado. COPPE /
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Brasil.
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