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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUA¸C
˜
AO EM MATEM
´
ATICA APLICADA
E ESTAT
´
ISTICA
JACKELYA ARAUJO DA SILVA
A TEORIA DA RU
´
INA
APLICADA EM UM MODELO
DE EMPRESA FINANCEIRA
COM RISCO DE CR
´
EDITO
NATAL - RN
2008
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JACKELYA ARAUJO DA SILVA
A TEORIA DA RU
´
INA APLICADA EM UM MODELO DE EMPRESA
FINANCEIRA COM RISCO DE CR
´
EDITO
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao
em Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica - PPGMAE, da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como
requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica.
Orientador: Prof. Dr. Andr´e Gustavo Campos Pereira.
NATAL - RN
2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUA¸C
˜
AO EM MATEM
´
ATICA APLICADA
E ESTAT
´
ISTICA
JACKELYA ARAUJO DA SILVA
A TEORIA DA RU
´
INA APLICADA EM UM MODELO DE EMPRESA
FINANCEIRA COM RISCO DE CR
´
EDITO
Comiss˜ao Examinadora:
Prof
◦
. Dr
◦
. Andr´e Gustavo Campos Pereira (PPGMAE/UFRN - Orientador)
Prof
◦
. Dr
◦
. Francisco Antonio Morais de Souza (DME - UFCG)
Prof
a
. Dr
a
. Viviane Simioli Moreira Campos (DM - UFRN)
NATAL - RN
2008
AGRADECIMENTOS
Agrade¸co a Deus por ter me acolhido em seus bra¸cos nos meus momentos dif´ıceis.
Sem esse aconchego, esse trabalho n˜ao seria conclu´ıdo. Agrade¸co tamb´em a meus pais,
a meus irm˜aos e amigos que conquistei ao longo dessa caminhada. Agrade¸co tamb´em
uma pessoa muito especial a quem devo, em parte, a conclus˜ao desse trabalho, Flank
David. E que com a ajuda dele eu consegui renovar as minhas alegrias.
Agrade¸co tamb´em, ao professor Andr´e Gustavo Campos Pereira, pela paciˆencia
e orienta¸c˜ao dedicada durante a constru¸c˜ao deste trabalho.
Aos professores Francisco Morais e Viviane Simioli, pelas sugest˜oes de melhoria
e corre¸c˜oes, bem como por terem aceito participar da banca.
Ao professor Jaques Silveira, pela participa¸c˜ao no meu exame de qualifica¸c˜ao.
Aos colegas e funcion´arios do PPGMAE, em especial ao secret´ario Paulo, pela
prestatividade e Hermes, pela ajuda com o “meu” computador.
Aos professores de matem´atica da UFCG, em especial ao professor Antonio Jos´e,
pela recomenda¸c˜ao ao mestrado.
Ao professor Dami˜ao, pelas brilhantes e espetaculares aulas e pela paciˆencia e
simplicidade ao ministr´a-las.
Aos professores do PPGMAE, em especial a chefe, pela acolhida como aluna
especial no programa.
Ao meu grande amigo, professor Lu´ıs Barbosa de Sousa, pela amizade e ajuda.
Aos professores do Departamento de Matem´atica da UFPI, pelo apoio cont´ınuo;
em particular, aos professores Ben´ıcio, Barnab´e, Jo˜ao Xavier e ´e claro, ao professor
Marcondes Clark, pela minha recomenda¸c˜ao ao mestrado.
Aos meus sobrinhos, Maria Clara, Jackson Cosme e Matheus Cosme, pela alegria
e por fazerem parte da minha vida.
A minha grande amiga e quase irm˜a, Ana Paula P. C., pelas conversas sem futuro
e pelas boas gargalhadas.
4
DEDICAT
´
ORIA
Dedico esta disserta¸c˜ao a meus
pais: Cosme Dami˜ao da Silva e
Maria Ara´ujo Linhares da Silva
(Dona Rem´edios); a meus irm˜aos:
Jackeline, Jack´elio, Concei¸c˜ao e
J´alio; a meus sobrinhos: Maria
Clara, Jackson e Matheus; e ao
meu amor: Flank David.
5
RESUMO
Neste trabalho estudamos um novo modelo de risco para uma empresa que ´e sen-
s´ıvel a classifica¸c˜ao de risco de cr´edito, proposto por Yang(2003). Obtemos equa¸c˜oes
recursivas para a probabilidade de ru´ına em tempo finito, distribui¸c˜ao do tempo de
ru´ına, sistemas de equa¸c˜oes integrais do tipo Volterra para severidade e distribui¸c˜ao
conjunta do capital antes e depois da ru´ına.
Palavras chaves: Teoria da ru´ına; Classifica¸c˜ao de risco; Cadeia de Markov; Proba-
bilidade de ru´ına; Tempo de ru´ına; Severidade da ru´ına; Sistemas de equa¸c˜oes integrais
do tipo Volterra.
ABSTRACT
In this work we study a new risk model for a firm which is sensitive to its credit
quality, proposed by Yang(2003). Are obtained recursive equations for finite time ruin
probability and distribution of ruin time and Volterra type integral equation systems
for ultimate ruin probability, severity of ruin and distribution of surplus before and
after ruin.
Keywords: Ruin theory; Credit rating; Markov chain; Default probability; Default
time; Severity of ruin; Recursive equation; Volterra type integral equation system.
Conte´udo
Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Preliminares 12
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Processo Estoc´astico e Cadeia de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Processo de Risco a Tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Modelos de Risco com Risco de Cr´editos Markovianos 18
2.1 Classifica¸c˜ao de Risco de Cr´edito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 F´ormula recursiva para a probabilidade de ru´ına em tempo finito . . . . 22
2.4 Distribui¸c˜ao do Tempo de ru´ına . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Distribui¸c˜ao da severidade de ru´ına . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Distribui¸c˜ao do Capital antes e depois da ru´ına . . . . . . . . . . . . . 46
A Esperan¸ca condicional 54
Referˆencias 59
Introdu¸c˜ao
“O valor de nossas expectativas sempre significa algo entre o melhor que podemos
esperar e o pior que podemos temer”- Jacob Bernoulli, 1654-1705.
Mesmo com uma simples defini¸c˜ao de conceito risco o assunto ´e complexo. A
etimologia da palavra risco deriva do italiano antigo “risicare”, cujo significado ´e ousar.
Antigamente, a cerca de 350 anos, pensava-se ser imposs´ıvel prever risco. Por´em, os
instrumentos de quantifica¸c˜ao do risco de perdas em carteiras de ativos tiveram origem
nos trabalhos de Blaise Pascal e Pierre de Fermat, por volta de 1650, com estudos sobre
a teoria das probabilidades. J´a no ano de 1713, como a cria¸c˜ao da Lei dos Grandes
N´umeros, publicada em Ars Conjectandi, Bernoulli deixava uma forte contribui¸c˜ao
para toda ´area financeira, al´em de seus estudos sobre processo de inferˆencia estat´ıstica.
Posteriormente, em 1754, Thomas Bayes demonstrou como tomar decis˜oes mais bem
fundamentadas, associando informa¸c˜oes novas e antigas.
Quando falamos em riscos financeiros, associamos a incerteza do retorno do que
foi investido. Por´em, vale ressaltar que h´a uma diferen¸ca entre risco e incerteza.
Segundo, Geraldo Tosta de S´a [25], tanto risco quanto incerteza est˜ao associados
a um conhecimento imperfeito. Numa situa¸c˜ao dita de risco conhece-se a exata dis-
tribui¸c˜ao de probabilidades de cada um dos eventos poss´ıveis relacionados `a decis˜ao
tomada, ou seja, pode-se construir objetivamente a distribui¸c˜ao de probabilidades do
evento futuro (suposta uma vari´avel aleat´oria). Exemplificando; quando apostamos
em um n´umero no arremesso de dados, ou no jogo da roleta, n˜ao sabemos antecipada-
mente o n´umero que vai sair, mas conhecemos exatamente a probabilidade de acertar
ao efetuarmos uma aposta.
Por outro lado, uma situa¸c˜ao ´e dita de incerteza quando n˜ao temos conhecimento
7
objetivo da distribui¸c˜ao de probabilidades associada aos eventos que poder˜ao ocorrer. O
que se procura numa situa¸c˜ao de incerteza ´e estimar uma distribui¸c˜ao de probabilidade
para um evento futuro, utilizando para isso conhecimento acumulado pelo exame dos
resultados de situa¸c˜ao an´alogas ocorridas no passado. Exemplificando; ao se estimar o
tempo de vida restante de uma pessoa de determinada idade, estamos diante de uma
situa¸c˜ao de incerteza; todavia as companhias seguradoras, para estipular o custo de
uma ap´olice de seguro de vida, utilizam t´abuas de mortalidade constru´ıdas a partir de
observa¸c˜oes passadas.
Basicamente, os tipos de riscos de um investidor financeiro ou institucional s˜ao:
• Risco de mercado: O risco de mercado depende do comportamento do pre¸co do
ativo diante das condi¸c˜oes de mercado. Para entender e medir poss´ıveis perdas
devido `as flutua¸c˜oes do mercado, ´e importante identificar e quantificar o mais
corretamente poss´ıvel as volatilidades e correla¸c˜oes dos fatores que impactam a
dinˆamica do pre¸co do ativo.
• Risco de cr´edito: Est´a relacionado a poss´ıveis perdas quando um dos contratantes
n˜ao honra seus compromissos. As perdas aqui est˜ao relacionadas aos recursos que
n˜ao mais ser˜ao recebidos.
• Risco de liquidez:
´
E o risco de n˜ao conseguir vender determinado ativo no mo-
mento em que se quer vendˆe-lo, pelo seu pre¸co justo.
• Risco de taxas: Decorre de movimentos adversos nos ´ındices e valores vari´aveis
que comp˜oem uma carteira, ou seja, risco que est´a relacionado com as oscila¸c˜oes
de taxas no mercado.
• Risco de cˆambio:
´
E o risco relacionado `a troca de moedas envolvendo passivo
em uma moeda forte (por exemplo, o d´olar americano) e ativo em uma moeda
est´avel (por exemplo, o real brasileiro).
O investidor financeiro aqui citado refere-se `a pessoa f´ısica ou jur´ıdica
que realiza opera¸c˜oes no mercado financeiro e de capitais com a finalidade de auferir
ganhos financeiros. J´a o investidor institucional refere-se `a institui¸c˜ao que possui grande
quantidade de recursos financeiros est´aveis. Estas normalmente investem por longo
prazo e de forma diversificada, por exemplo: renda fixa, a¸c˜oes, im´oveis, etc.
8
O estudo da teoria da ru´ına tem sido a principal ´area de interesse na Ciˆencia
Atuarial, visto que a probabilidade de ru´ına tem sido usada por empresas seguradoras
como uma medida de risco. Por volta de 1905, Filip Lundberg introduziu um modelo
que descreve a quantia de dinheiro que uma seguradora ter´a em caixa ao final de
um per´ıodo. Todos os detalhes podem ser encontrados em Asmussem,[2] ou Grisi,
[17]. Esse modelo est´a intimamente ligado com a quantidade de indeniza¸c˜oes que
chegam a essa seguradora. No modelo, ele assumiu que o processo de chegadas dessas
indeniza¸c˜oes ´e um processo de Poisson homogˆeneo em que as quantias de indeniza¸c˜oes
s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas, independentes do
tempo de ocorrˆencias das indeniza¸c˜oes e que as entradas de prˆemios (pagamentos feitos
`a seguradora) ´e linear no tempo. Esse modelo ficou conhecido como o modelo de risco
cl´assico, cuja express˜ao ´e
R
t
= u + pt −
N (t)
k=1
Y
k
, t > 0, (1)
onde R
t
representa a quantia em dinheiro de uma seguradora ao final do tempo t, u
representa o capital inicial, p a taxa de prˆemio por unidade de tempo, Y
k
representa o
valor da indeniza¸c˜ao paga pela seguradora e N (t) representa a quantidade de pedidos
de indeniza¸c˜oes que chegam `a seguradora at´e o tempo t.
O interesse nesse tipo de modelo ´e sabermos qual a probabilidade dessa empresa
seguradora falir, se ela come¸cou a operar com um capital inicial u, isto ´e,
ψ(u) = P (inf
t≥0
R
t
< 0|R
0
= u).
A express˜ao acima ´e conhecida como probabilidade de ru´ına.
Um outro interesse no estudo desse tipo de modelo, ´e sabermos calcular qual a proba-
bilidade de ru´ına de uma empresa seguradora antes de um tempo finito T. Ou seja,
ψ(u, T ) = P ( inf
0≤t≤T
R
t
< 0|R
0
= u).
Infelizmente as respostas exatas a estes questionamentos s˜ao muito dif´ıceis de serem
explicitadas. O que se conseguiu foi estabelecer uma cota superior para tais probabili-
dades de ru´ına, conhecidas como desigualdade do tipo Lundberg. Algumas modifica¸c˜oes
para esse modelo podem ser encontradas em Jarrow [19], Kijima [20], Dickson [7], Cai
9
[4] e [5]. Por exemplo, para o modelo de Lundberg, sob certas hip´oteses, mostra-se que
ψ(u) ≤ e
−γu
onde γ = cte > 0, ´e conhecido como coeficiente de ajuste ou coeficiente de Lundberg.
A demonstra¸c˜ao dessa desigualdade de forma detalhada pode ser encontrada em Grisi
[17]. Outro modelo que se seguiu ao de Lundberg considerou tanto os prˆemios quanto
as indeniza¸c˜oes em um intervalo de tempo como vari´aveis aleat´orias i.i.d. e o capital
da empresa era verificado apenas ao final de cada per´ıodo, obtendo a express˜ao
R
n
= u +
n
i=1
(X
i
− Y
i
),
onde X
i
e Y
i
representavam os valores do prˆemio e da indeniza¸c˜ao pagos no per´ıodo
(i − 1, i).
Desse modelo surgiu a pergunta: E se fosse poss´ıvel a empresa calcular a diferen¸ca
(X
i
− Y
i
) a uma taxa de juro fixa r?
Desta pergunta surgiram dois novos modelos proposto por Cai[4] e [5]:
(i) Considera que o prˆemio ´e pago no in´ıcio do per´ıodo e as indeniza¸c˜oes s˜ao pagas
no final.
R
n
= (R
n−1
+ X
n
)(1 + r) − Y
n
(ii) Tanto os prˆemios quanto as indeniza¸c˜oes s˜ao pagas ao final do per´ıodo
R
n
= R
n−1
(1 + r) + X
n
− Y
n
Poder´ıamos perguntar, e se a estrutura de juros n˜ao for fixa, isto ´e, seja permitido
haver uma mudan¸ca de forma aleat´oria na taxa de juros ao longo do tempo?
Esta pergunta gerou um novo modelo onde a estrutura de juros era uma processo
AR(1) e mais tarde generalizado, supondo que a taxa de juros era uma Cadeia de
Markov.
10
A seguir outra pergunta surge naturalmente: E o risco de solvˆencia de uma em-
presa? Ele n˜ao interfere no processo de capital da mesma, uma vez que os empr´estimos
e as taxas de juros obtidas dependem de tal classifica¸c˜ao?
Este trabalho ´e baseado no artigo Ruin theory in a financial corportion
model with credit risk de Hailiang Yang [29] responde a esta pergunta, pois neste
trabalho o autor analisa a probabilidade de ru´ına de uma empresa que ´e sens´ıvel a
classifica¸c˜ao de risco de cr´edito.
Com o objetivo de ajudar no entendimento deste trabalho, estruturamos essa
disserta¸c˜ao da seguinte forma:
No primeiro cap´ıtulo apresentamos alguns resultados sobre teoria da ru´ına e t´opi-
cos da teoria das probabilidades que utilizamos no restante da disserta¸c˜ao.
No segundo cap´ıtulo, definimos o que vem ser classifica¸c˜ao de risco e apresentamos
dois modelos que refletem o problema anteriormente mencionado cuja express˜ao para
o primeiro modelo ´e dada por:
U
n
= u +
n
j=1
X
I
j−1
j
, n = 1, 2, 3, . . . ,
onde U
0
= u > 0 representa o capital inicial, I
n
denota a classifica¸c˜ao de risco de
cr´edito no intervalo de tempo (n − 1, n), {X
i
j
, j = 1, 2, . . . , n , i = 1, 2, . . . , k} ´e uma
sequˆencia de vari´aveis aleat´orias independentes e para cada i fixado as vari´aveis X
i
j
j = 1, . . . , n s˜ao identicamente distribu´ıdas e representam ainda a diferen¸ca entre o
valor da carteira no final e in´ıcio do intervalo de tempo (j − 1, j) quando a classifica¸c˜ao
de risco de cr´edito ´e i.
Consideraremos tamb´em que para todo m, n ∈ N, X
I
j
n
= X
I
j
m
. q.c. Assim,
chamaremos X
i
j
a mudan¸ca do portf´olio ao final do intervalo (j − 1, j) se a classifica¸c˜ao
de risco de cr´edito da empresa no mesmo intervalo ´e de classe i.
E posteriormente monstramos como proceder para calcular a distribui¸c˜ao do
tempo de ru´ına, a probabilidade de ru´ına em um horizonte infinito, distribui¸c˜ao da
gravidade de ru´ına e a probabilidade antes e depois da ru´ına em um tempo finito para
o primeiro modelo.
11
Existe uma vasta literatura sobre teoria da ru´ına, em Asmussen (200)[2] podemos
encontrar de forma bem clara, estudos sobre processo de risco, resultados que envolvem
a teoria do risco e Cadeias de Markov bem como toda a teoria de probabilidade de ru´ına.
J´a em Rolski et al (1999)[23] encontramos Processo Estoc´asticos aplicados em finan¸cas.
Em Grandell [16] podemos encontrar aspectos da teoria do risco, e para estudos sobre
o capital imediatamente antes e depois da ru´ına, podemos consultar Dufresne [12].
Al´em ´e claro de Gerber [15] onde temos um estudo sobre a probabilidade e severidade
(gravidade) de ru´ına.
Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo apresentamos os conceitos e resultados que utilizaremos no restante
deste trabalho. Na se¸c˜ao 1.2 relembramos alguns conceitos e resultados sobre Cadeias
de Markov e na se¸c˜ao 1.3 falamos um pouco do modelo de risco cl´assico, algumas de
suas modifica¸c˜oes e os resultados obtidos para tais modelos.
1.2 Processo Estoc´astico e Cadeia de Markov
Um processo estoc´astico, ou simplesmente, um processo, ´e uma fam´ılia de
vari´aveis aleat´orias {X
t
, t ∈ T}, definidas sobre um mesmo espa¸co de probabilidade
(Ω, F, P ). Assim, para cada w ∈ Ω fixo, a fun¸c˜ao X
t
(w) na vari´avel t, denotada por
{X
t
(w), t ∈ T}, ´e chamada uma realiza¸c˜ao do processo {X
t
}
t∈T
. A sequˆencia {X
t
}
t∈T
´e
um processo a tempo discreto se o conjunto de ´ındices T for enumer´avel, e um processo
a tempo cont´ınuo, se T for n˜ao enumer´avel.
Defini¸c˜ao 1.1 O conjunto S de todos os valores assumidos por um processo ´e chamado
espa¸co de estados do processo. Se S ´e enumer´avel, dizemos que o processo ´e uma
Cadeia. Se S ´e n˜ao enumer´avel dizemos que o processo tem espa¸co de estados geral.
Defini¸c˜ao 1.2 Um processo estoc´astico {X
t
, t = 0, 1, 2, . . .} com espa¸co de estado
S = {1, 2, 3, . . .} satisfaz a propriedade de Markov se, para cada n e todo i
0
, i
1
, . . . , i
n
em S, temos
13
P (X
n
= i
n
| X
n−1
= i
n−1
, . . . , X
0
= i
0
) = P (X
n
= i
n
|X
n−1
= i
n−1
) . (1.1)
Defini¸c˜ao 1.3 Um processo a tempo discreto {X
t
, t = 0, 1, 2, . . .} com espa¸co de es-
tados enumer´avel, que satisfaz a propriedade de Markov ´e chamado Cadeia de Markov.
Defini¸c˜ao 1.4 Uma cadeia de Markov ´e dita homogˆenea ou estacion´aria no tempo se
a probabilidade de ir de um estado a outro independe do tempo em que o passo ´e dado.
Isto ´e, para quaisquer estados i, j ∈ S, temos:
P (X
n
= j|X
n−1
= i) = P (X
n+k
= j | X
n+k−1
= i) . (1.2)
para k = −(n − 1), −(n − 2), . . . , −1, 0, 1, 2, . . .
Denotamos por P
ij
a probabilidade de transi¸c˜ao do estado i para o estado j
em um passo, ou seja, P (X
n
= j | X
n−1
= i) , n = 1, 2, . . . Assim, a probabilidade de
no tempo n estarmos no estado j sabendo que no tempo n − 1 estamos no estado i
´e dada por P (X
n
= j | X
n−1
= i) = P
(n−1,n)
ij
. Caso a cadeia seja estacion´aria, ent˜ao
P
(n−1,n)
ij
= P
(n+k−1,n+k)
ij
, para todo k = −(n − 1), −(n − 2), . . . , −1, 0, 1, . . . . A essas
probabilidades condicionais denominamos de probabilidades de transi¸c˜ao da cadeia.
Considerando, agora, {X
n
} uma Cadeia de Markov com espa¸co de estados
S = {1, 2, . . . , k}. Para essa cadeia existem n
2
probabilidades de transi¸c˜ao {P
ij
},
i = 1, . . . , k e j = 1, 2, . . . , k. E a melhor maneira de recordarmos esses valores ´e
em forma de uma matrix P = {P
ij
, i, j = 1, 2, . . . , k}, os quais representam a probabil-
idades de irmos de um estado i ao estado j em um passo.
P =
P
11
P
12
· · · P
1n
P
21
P
22
· · · P
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P
n1
P
n2
· · · P
nn
Observe que na matriz de transi¸c˜ao todas as entradas s˜ao n˜ao-negativas, visto que s˜ao
probabilidades; e a soma de cada uma das linhas ´e sempre um.
14
1.3 Processo de Risco a Tempo discreto
Nesta se¸c˜ao relembramos alguns modelos de risco . Em princ´ıpio descrevemos
o modelo cl´assico da teoria da Ru´ına, proposto por Filip Lundberg, e a seguir apre-
sentamos algumas modifica¸c˜oes do mesmo. Podemos encontrar de forma detalhada o
modelo proposto por Lundberg em Asmussem [2]
No modelo cl´assico de risco proposto por Filip Lundberg, o capital de uma em-
presa seguradora no tempo t ´e formado por um capital inicial mais os prˆemios que ela
recebe subtra´ıdo das indeniza¸c˜oes pagas. Lundberg considerou o caso em que o total
de prˆemios recebidos ocorriam segundo uma fun¸c˜ao linear no tempo e as indeniza¸c˜oes
que chegavam a essa seguradora seguiam um processo de Poisson de parˆametro λ e os
valores das indeniza¸c˜oes pagas eram compostos por v.a.’s i.i.d. {Y
n
}
n≥1
. O modelo
ent˜ao era descrito por
R
t
= u + pt −
N (t)
k=1
Y
k
, t > 0, (1.3)
onde R
0
= u ´e o capital inicial da empresa, pt ´e fun¸c˜ao que descreve a entrada dos
prˆemios (linear no tempo), onde p ´e a taxa de prˆemios, N(t) ´e um processo de Poisson
de taxa λ e Y
k
´e o tamanho da k−´esima indeniza¸c˜ao. A vari´avel R
t
representa o capital
de uma empresa seguradora no tempo t e ´e chamado de Processo de Reserva de Risco.
Diz-se que ocorreu a ru´ına quando o processo de capital atinge valores negativos,
e o primeiro instante onde isso ocorre ´e chamado de tempo de ru´ına τ (u), ou seja
τ(u) = inf {t ≥ 0; R
t
≤ 0}.
E assim, definimos a probabilidade de ru´ına do modelo (1.3), por
ψ(u) = P (τ (u) < ∞) = P (R
t
< 0, para algum t < ∞).
Para este modelo, Lundberg considerando que os processos {Y
k
; k = 1, 2, . . .} e
{N(t); t > 0} s˜ao independentes, com E(Y
k
) = µ, ent˜ao a m´edia das indeniza¸c˜oes pagas
por unidade de tempo ser´a λµ.
Como vimos, p representa a taxa de prˆemios por unidade de tempo. Usualmente
toma-se p = λµ(1 + θ) e o coeficiente θ, definido por
θ =
p − λµ
λµ
15
´e denomidado carga de seguran¸ca e pode ser interpretado como a propor¸c˜ao de λµ em
que a taxa de prˆemios excede a de indeniza¸c˜oes. Assim Filip Lundberg encontrou o
seguinte limitante para a probabilidade de ru´ına.
Teorema 1.5 Sejam θ(carga de seguran¸ca) e S(t) = u − R(t), Processo de Perda
Agregada M´axima. Se θ < 0 ent˜ao M = sup
t≥0
S(t) = ∞ e a ru´ına ´e certa, isto
´e, ψ(u) = 1. Se θ > 0, ent˜ao M < ∞ e para todo u sificientemente grande temos
ψ(u) < 1.
Em um outro modelo de risco consideram-se tanto os prˆemios quanto as indeniza-
¸c˜oes como processos a tempo discreto {X
k
}
k≥1
e {Y
k
}
k≥1
respectivamente, obtendo o
seguinte modelo
R
n
= u +
n
k=1
(X
k
− Y
k
) , n = 1, 2, . . . (1.4)
onde R
0
= u ´e o capital inicial, e X
k
e Y
k
s˜ao respectivamente o total em prˆemios e
indeniza¸c˜oes pagos no intervalo de tempo (k − 1, k). Para este novo modelo Lundberg
obteve o seguinte limitante para a probabilidade de ru´ına
Teorema 1.6 (Desigualdade de Lundberg): Seja R
n
o processo de reserva de risco a
tempo discreto descrito em (1.4). Suponha que exista γ > 0 tal que E(e
−γ(X
1
−Y
1
)
) = 1.
Nestas condi¸c˜oes temos que
ψ(u) ≤ e
−γu
.
Em 2002, Cai[4] e [5] propˆos modifica¸c˜oes ao modelo cl´assico a tempo discreto descrito
em (1.4), introduzindo taxas de juros com estruturas de dependˆencia auto-regressiva de
ordem 1, AR(1), de modo que possibilitou a obten¸c˜ao de limitantes superiores para a
probabilidade de ru´ına que generaliza e melhoram a desigualdade de Lundberg, citada
anteriormente.Detalhes da demonstra¸c˜ao podem ser encontrados na disserta¸c˜ao de
mestrado defendida na UnB pelo aluno Grisi[17]. O modelo proposto por Jun Cai
(2002a, 2002b) ´e
R
n
= (R
n−1
+ X
n
) (1 + I
n
) − Y
n
, n = 0, 1, 2, . . .
ou equivalentemente
R
n
= u
n
k=1
(1 + I
k
) +
n
k=1
(X
k
(1 + I
k
) − Y
k
)
n
t=k+1
(1 + I
t
)
,
16
onde convenciona-se que
a
t=b
(1 + I
t
) = 1 se a > b e considera-se os prˆemios X
k
sendo
pagos no in´ıcio do per´ıodo (k − 1, k) e investidos durante esse per´ıodo a uma taxa de
juros I
k
e, o modelo
R
n
= R
n−1
(1 + I
n
) + X
n
− Y
n
, n = 0, 1, 2, . . .
ou equivalentemente
R
n
= u
n
k=1
(1 + I
k
) +
n
k=1
(X
k
− Y
k
)
n
t=k+1
(1 + I
t
)
,
e considera-se os prˆemios X
k
sendo pagos apenas no final do per´ıodo (k − 1, k), n˜ao
recebendo juros durante esse tempo.
O pr´oximo modelo de risco foi proposto por Jun Cai e David C.M. Dickson
[7], o qual estende o modelo cl´assico de risco a tempo discreto proposto por Jun
Cai(2002a, 2002b)[4] e [5]. Este modelo ´e praticamente o estudado em Cai(2002a, 2002b),
a menos da entrada de juros oriundos de poss´ıveis investimentos ser uma Cadeia de
Markov. O modelo ´e expresso por
R
k
= R
k−1
(1 + I
k
) − Z
k
, k = 1, 2, . . . . (1.5)
onde R
0
= u ≥ 0 ´e uma constante ( o capital inicial) , {Z
k
, k = 1, 2, 3, . . .} ´e uma
sequˆencia de vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d) com
fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao comum G(z) = P (Z
1
≤ z), e {I
k
, k = 1, 2, . . . .} ´e uma sequˆencia
de vari´aveis aleat´orias e independentes de {Z
k
, k = 1, 2, 3, . . . .}. A perda l´ıquida, Z
k
,
´e calculada no final de cada per´ıodo e ´e igual ao total de indeniza¸c˜oes pagas menos o
total de prˆemios recebidos no per´ıodo k. Assim, Z
k
= Y
k
−X
k
, com {Y
k
, k = 1, 2, 3, . . .}
sequˆencia de vari´aveis aleat´orias i.i.d. independentes de {X
k
, k = 1, 2, 3, . . . .}, que
tamb´em ´e uma sequˆencia de vari´aveis aleat´orias i.i.d. Al´em disso, {I
k
, k = 0, 1, . . .}
denota a taxa de juros no per´ıodo k e ´e uma Cadeia de Markov. Assim, R
k
dado por
(1.5) ´e o capital de uma seguradora com capital inicial u ao final do per´ıodo k. Os
detalhes deste modelo podem ser encontrados na disserta¸c˜ao de mestrado defendida
pela UFCG pelo aluno Santos[26].
A vari´avel R
k
representa o capital de uma empresa seguradora ao final do per´ıodo
(k − 1, k), e ´e chamado de Processo de Reserva de Risco a Tempo discreto.
17
Diz-se que ocorreu a ru´ına quando o processo de capital atinge valores negativos,
e o primeiro instante onde isso ocorre ´e chamado de tempo de ru´ına τ (u), ou seja
τ(u) = min{k ≥ 0, R
k
≤ 0}.
E assim, a probabilidade de ru´ına do modelo (1.5), ´e dada por
ψ(u) = P (τ (u) < ∞) = P
R
k
< 0, para algum k < ∞
= P
∞
k=1
(R
k
< 0)
.
Cap´ıtulo 2
Modelos de Risco com Risco de
Cr´editos Markovianos
Neste cap´ıtulo estudamos os dois modelos de risco para uma empresa ou insti-
tui¸c˜ao financeira que ´e sens´ıvel a classifica¸c˜ao de risco de cr´edito proposto por Hailiang
Yang.
Os modelos propostos em [29] se aplicam a uma corpora¸c˜ao financeira ou com-
panhia de seguros. Nestes modelos para cada intervalo de tempo uma agˆencia de
classifica¸c˜ao de risco de cr´edito fornecer´a uma classifica¸c˜ao de risco de cr´edito para
avaliar a capacidade das empresas em cumprir com suas obriga¸c˜oes, e a dinˆamica da
classifica¸c˜ao de risco de cr´edito ´e modelada usando Cadeias de Markov.
2.1 Classifica¸c˜ao de Risco de Cr´edito
A classifica¸c˜ao de risco ´e uma nota, por risco de cr´edito, atribu´ıda `as empre-
sas, institui¸c˜oes financeiras ou pa´ıses. O resultado ´e obtido atrav´es de uma avalia¸c˜ao
realizada por empresas especializadas. Por´em, vale ressaltar que a classifica¸c˜ao ou nota
n˜ao ´e uma recomenda¸c˜ao financeira, n˜ao ´e uma opini˜ao sobre o potencial econˆomico-
pol´ıtico da empresa ou institui¸c˜ao financeira e tamb´em n˜ao se refere a uma auditoria
cont´abil ou avalia¸c˜ao gerencial. A classifica¸c˜ao de risco de cr´edito se d´a atrav´es de um
pedido formal `a empresa especializada na classifica¸c˜ao. A nota, por risco de cr´edito,
varia de acordo com a capacidade da empresa analisada em honrar compromissos fi-
19
nanceiros num determinado per´ıodo de tempo e com a suscetibilidade `as oscila¸c˜oes
econˆomicas.
´
E importante frisar que a avalia¸c˜ao de risco n˜ao ´e ´unica para todas as companhias
que fornecem a classifica¸c˜ao de risco, uma vez que essas companhias formam opini˜oes.
Por´em, as divergˆencias das agˆencias de classifica¸c˜ao de risco de cr´edito s˜ao maiores `a
medida em que as classifica¸c˜oes se tornarem menores.
Em geral, as emiss˜oes de t´ıtulos por empresas ou pa´ıses s˜ao classificados em trˆes
grupos:
• o grupo que reflete o menor risco;
• o de maior risco;
• e o grupo que reflete o risco extremo e iminente.
A seguir definiremos de forma resumida cada grupo e cada nota por risco de
cr´edito, para maiores detalhes consultar Toscano[30]
I - O grupo que reflete o menor risco.
AAA Excelente qualidade e menor risco. Classifica¸c˜ao que representa solidez
financeira intr´ınseca acima da m´edia. Apresenta risco quase nulo.
AA
´
Otima qualidade e menor risco. Classifica¸c˜ao que representa solidez finan-
ceira intr´ınseca mediana. Apresentam risco baixo.
A Boa qualidade. Classifica¸c˜ao que representa solidez financeira intr´ınseca boa.
Apresentam risco baixo.
BBB Qualidade satisfat´oria. Solidez financeira adequada. S˜ao institui¸c˜oes es-
t´aveis. Apresentam risco baixo.
II - O grupo que reflete o maior risco
BB Qualidade razo´avel. Solidez financeira regular. Com risco m´edio.
B Qualidade razo´avel. Solidez financeira regular e muito exposto `as condi¸c˜oes
econˆomicas. O Risco ´e alto.
20
CCC Qualidade especulativa. Baixa solidez financeira, exigindo eventual as-
sistˆencia externa. O Risco ´e alto.
III - O grupo que reflete o risco extremo e iminente
C Qualidade muito especulativa. Risco de inadimplˆencia. A institui¸c˜ao apre-
senta p´essima solidez financeira. Risco alt´ıssimo.
D Inadimplente.
Existem empresas de classifica¸c˜ao de risco de cr´edito espalhadas em todo o mundo
e, embora cada uma delas utilize classifica¸c˜oes diferentes, sua simbologia de classifica¸c˜ao
´e muito similar. Duas empresas de classifica¸c˜ao de risco de cr´edito bastante conhecidas
s˜ao Standard & Poor´s e Moody´s. As notas citadas acima s˜ao as simbologias de
classifica¸c˜oes utilizadas pela Standard & Poor´s.
2.2 O Modelo
Seja {I
t
}
t≥0
uma Cadeia de Markov homogˆeneo a tempo discreto com espa¸co de
estados S={1, 2, ..., k} e com probabilidades de transi¸c˜ao dadas por
q
ij
= P (I
t+1
= j | I
t
= i) , i, j ∈ S, t = 0, 1, 2, . . . (2.1)
Podemos associar o estado 1 `a classe mais elevada de classifica¸c˜ao de risco de
cr´edito, e o estado k `a classe mais baixa. Na classifica¸c˜ao de risco de cr´edito que
citamos, o estado 1 representaria a nota AAA e o estado k a classifica¸c˜ao D. Ent˜ao q
ij
representa a probabilidade da classifica¸c˜ao de risco de cr´edito no pr´oximo intervalo ser
j dado que no intervalo anterior foi i. E a maneira mais conveniente de recordarmos
esses informa¸c˜oes ´e em forma de uma matriz Q = {q
ij
, i, j = 1, 2, . . . , k}, na qual q
ij
´e a probabilidade de irmos do estado i para o estado j em um passo. Explicitamente
temos:
Q =
q
11
q
12
· · · q
1k
q
21
q
22
· · · q
2k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
q
k1
q
k2
· · · q
kk
21
Seja u o capital inicial e X
i
n
a mudan¸ca do Portf´olio ao final do intervalo n se a
classifica¸c˜ao de risco de cr´edito da empresa no intervalo de tempo n ´e de classe i. O
capital da empresa no tempo n ´e dado por
U
n
= u +
n
j=1
X
I
j−1
j
(2.2)
onde assumimos que
• X
i
n
, n = 1, 2, ... e i = 1, 2, ... , s˜ao vari´aveis aleat´orias que, para intervalos de
tempos diferentes ou classifica¸c˜oes de risco de cr´edito distintas, a mudan¸ca de
portf´olio ´e uma v.a independente ;
• a mudan¸ca de portf´olio no n-´esimo intervalo de tempo depende apenas da classi-
fica¸c˜ao de risco de cr´edito no intervalo de tempo n − 1;
• para todo i fixado i = 1, 2, ..., k , X
i
n
= X
i
m
q.c. para todo m, n = 1, 2, ...., ou seja,
se a classifica¸c˜ao de risco ´e a mesma, o comportamento da mudan¸ca de portf´olio
ser´a o mesmo q.c..
Diz-se que ocorreu a ru´ına ou inadimplˆencia no tempo n se U
n
≤ 0. O tempo de
ru´ına, ´e definido por T = inf{k; U
k
≤ 0}. Observe que
P (T ≤ n) = P
n
k=1
{U
k
≤ 0}
.
De fato, considere A = {w; inf{k; U
k
(w) ≤ 0} ≤ n} e B =
n
k=1
{w; U
k
(w) ≤ 0}.
Seja a ∈ A ent˜ao existe k
0
≤ n tal que U
k
0
(a) ≤ 0. Assim a ∈ {w; U
k
0
(w) ≤ 0} .
Portanto, a ∈
n
k=1
{w; U
k
(w) ≤ 0} o que implica que a ∈ B. Logo A ⊂ B.
Agora seja b ∈ B , ent˜ao b ∈ {w; U
k
(w) ≤ 0} para algum k ≤ n. Ent˜ao existe
k
0
≤ n tal que U
k
0
(b) ≤ 0. Portanto, inf{k; U
k
(b) ≤ 0} ≤ k
0
≤ n. Assim inf{k; U
k
(b) ≤
0} ≤ n e portanto b ∈ {w; inf {k; U
k
(w) ≤ 0} ≤ n}. Logo B ⊂ A.
Assim
P (T ≤ n | U
0
= u, I
0
= i
0
) = P
n
k=1
{U
k
≤ 0} | U
0
= u, I
0
= i
0
.
22
A probabilidade de ru´ına no tempo n dado que o capital inicial da empresa ´e u e
a classifica¸c˜ao de risco inicial ´e i
0
´e definida como:
ψ
n
(u, i
o
) = P (T ≤ n | U
0
= u, I
0
= i
0
) . (2.3)
Sendo o modelo usado para calcular a probabilidade de inadimplˆencia no futuro,
assumimos que I
0
foi obtido baseado em informa¸c˜oes anteriores( incluindo o capital
inicial). Neste trabalho suporemos que U
n
´e independente de I
n
. N˜ao inclu´ımos o estado
de inadimplˆencia no espa¸co de estado de {I
n
}
n≥0
, porque na pr´atica inadimplˆencia ´e
um assunto mais dif´ıcil por envolver muitas outras vari´aveis e, portanto requer um
estudo aprofundado da dependˆencia de tais vari´aveis.
Como estamos supondo X
i
m
= X
i
n
q.c. para todo m, n, denotaremos a distribui¸c˜ao
de X
i
n
por F
i
(x), ∀n. Usaremos tamb´em a nota¸c˜ao F
i
(x) para indicar 1 − F
i
(x) =
P (X
i
n
> x), x ∈ R.
2.3 F´ormula recursiva para a probabilidade de ru´ına
em tempo finito
Considere
ϕ
n
(u, i
0
) = 1 − ψ
n
(u, i
0
), (2.4)
que definimos como a probabilidade de solvˆencia de uma empresa com capital inicial u
e classifica¸c˜ao de cr´edito inicial i
0
. Assim, de (2.3)
ϕ
n
(u, i
0
) = 1 − P
n
k=1
{U
k
≤ 0} | U
0
= u, I
0
= i
0
=
= P
n
k=1
{U
k
> 0} | U
0
= u, I
0
= i
0
.
O teorema a seguir mostra que ´e poss´ıvel obter uma f´ormula recursiva para tal proba-
bilidade
23
Teorema 2.1 ϕ
n
(u, i
0
) safistaz a seguinte equa¸c˜ao recursiva:
ϕ
1
(u, i
0
) = F
i
0
(−u) = 1 − F
i
0
(−u), (2.5)
ϕ
n
(u, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
ϕ
n−1
(u + y, i)dF
i
0
(y) n = 2, 3, . . . . (2.6)
Demonstra¸c˜ao: Assuma que no tempo t = 0, tem-se I
0
= i
0
. Logo,
P (I
0
= i
0
) = 1. Observe que, para n = 1, temos
ϕ
1
(u, i
0
) = P (U
1
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
I
0
1
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
X
I
0
1
> −u | I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
> −u | I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
> −u
= F
i
0
(−u).
Para n = 2
ϕ
2
(u, i
0
) = P
2
k=1
{U
k
> 0} | U
0
= u, I
0
= i
0
= P (U
1
> 0, U
2
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
I
0
1
> 0, u + X
I
0
1
+ X
I
1
2
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
X
I
0
1
> −u, X
I
0
1
+ X
I
1
2
> −u | I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
> −u, X
i
0
1
+ X
I
1
2
> −u | I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
> −u, X
i
0
1
+ X
I
1
2
> −u
=
Ω
I
(X
i
0
1
>−u,X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
dP
=
Ω
I
(X
i
0
1
>−u)
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
(X
i
0
1
>−u)
c
I
(X
i
0
1
>−u)
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
I
(X
i
0
1
>−u)
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
dP +
(X
i
0
1
>−u)
c
I
(X
i
0
1
>−u)
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
dP.
Agora utilizando a defini¸c˜ao A.8 de esperan¸ca condicional temos
24
ϕ
2
(u, i
0
) =
(X
i
0
1
>−u)
E
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
| X
i
0
1
dP
=
{w;X
i
0
1
(w)∈(−u,∞)}
E
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
| X
i
0
1
dP
=
∞
−u
E
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u)
| X
i
0
1
= y
dF
i
0
(y)
=
∞
−u
P
X
i
0
1
+ X
I
1
2
> −u | X
i
0
1
= y
dF
i
0
(y)
=
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − y | X
i
0
1
= y
dF
i
0
(y).
Como a mudan¸ca no portf´olio em intervalos de tempo distintos s˜ao independentes
podemos reescrever a ´ultima equa¸c˜ao da seguinte forma
ϕ
2
(u, i
0
) =
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − y
dF
i
0
(y). (2.7)
Note que podemos reescrever P
X
I
1
2
> −u − y
da seguinte maneira
P
X
I
1
2
> −u − y
= P
X
I
1
2
> −u − y, I
1
∈ S, I
0
= i
0
=
k
i=1
P
X
I
1
2
> −u − y, I
1
= i, I
0
= i
0
=
k
i=1
P
X
I
1
2
> −u − y | I
1
= i, I
0
= i
0
P (I
1
= i | I
0
= i
0
) P (I
0
= i
0
)
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
> −u − y | I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E(I
(X
I
1
2
>−u−y)
| I
1
= i).
Observe que a fun¸c˜ao indicadora acima envolve apenas a vari´avel I
1
. Represen-
tando este fato por f (I
1
), temos
P
X
I
1
2
> −u − y
=
k
i=1
q
i
0
i
E(f (I
1
) | I
1
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
j
f(j)P (I
1
= j | I
1
= i).
Mas,
P (I
1
= j | I
1
= i) =
1, i = j
0, c.c
25
Assim,
P
X
I
1
2
> −u − y
=
k
i=1
q
i
0
i
j
f(j)P (I
0
= j | I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
E(f (I
0
) | I
0
= i). (2.8)
Como hav´ıamos comentado anteriormente, iniciamos o processo com capital ini-
cial u > 0 e classifica¸c˜ao de risco de cr´edito I
0
= i
0
. Vale ressaltar que a express˜ao
em (2.8) n˜ao faz referˆencia ao in´ıcio do processo, uma vez que a classifica¸c˜ao de risco
de cr´edito no tempo em que se inicia os estudos do processo ´e i
0
. Como as vari´aveis
mudan¸ca de portf´olio independem do capital inicial e para cada I
j
fixado, X
I
j
n
= X
I
j
m
q.c. para todo m, n ∈ N, temos ent˜ao que
P
X
I
1
2
> −u − y
=
k
i=1
q
i
0
i
E(I
(X
I
0
2
>−u−y)
| I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
E[I
(X
I
0
1
>−u−y)
| U
0
= u + y, I
0
= i]
=
k
i=1
q
i
0
i
P
u + y + X
I
0
1
> 0 | U
0
= u + y, I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P (U
1
> 0 | U
0
= u + y, I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
ϕ
1
(u + y, i). (2.9)
Substituindo (2.9) em (2.7) e pelo fato de ϕ
1
(u + y, i) ser uma fun¸c˜ao mensur´avel
n˜ao negativa obtemos
ϕ
2
(u, i
0
) =
∞
−u
k
i=1
q
i
0
i
ϕ
1
(u + y, i)dF
i
0
(y)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
ϕ
1
(u + y, i)dF
i
0
(y).
26
De modo geral
ϕ
n
(u, i
0
) = P
n
k=1
{U
k
> 0} | U
0
= u, I
0
= i
0
= P (U
1
> 0, U
2
> 0, . . . , U
n
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
I
0
1
> 0, u +
2
j=1
X
I
j−1
j
> 0, . . . , u + X
I
0
1
+
+
n
j=2
X
I
j−1
j
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
.
Substituindo o valor da vari´avel I
0
na express˜ao da probabilidade de ru´ına e
usando o fato das vari´aveis mudan¸ca de portf´olio serem independentes do capital inicial
do processo, obtemos
ϕ
n
(u, i
0
) = P
X
i
0
1
> −u, X
i
0
1
+ X
I
1
2
> −u, . . . , X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
> −u | I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
> −u, X
i
0
1
+ X
I
1
2
> −u, . . . , X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
> −u
=
Ω
I
X
i
0
1
>−u,X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
>−u
dP
=
Ω
I
(
X
i
0
1
>−u
)
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
> −u
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
> −u
dP .
Da Defini¸c˜ao A.8 de esperan¸ca condicional temos
ϕ
n
(u, i
0
) =
(X
i
0
1
>−u)∈σ(X
i
0
1
)
E
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
> −u
| X
i
0
1
27
Como assumimos que as vari´aveis mudan¸ca de portf´olio s˜ao independentes a
equa¸c˜ao anterior se reduz a
ϕ
n
(u, i
0
) =
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − y, . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
> −u − y
dF
i
0
(y). (2.10)
Note que podemos reescrever P
X
I
1
2
> −u − y, . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
> −u − y
da seguinte
maneira
P
X
I
1
2
> −u − y, X
I
1
2
+ X
I
2
3
> −u − y, . . . , X
I
1
2
+
n
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y
= P
X
I
1
2
> −u − y, . . . , X
I
1
2
+
n
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y, I
1
∈ S, I
0
= i
0
=
k
i=1
P
X
I
1
2
> −u − y, . . . , X
I
1
2
+
n
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y | I
1
= i, I
0
= i
0
P (I
1
= i | I
0
= i
0
) P (I
0
= i
0
)
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
X
I
1
2
>−u−y,...,X
I
1
2
+
n
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y
| I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E[f (I
1
, I
2
, . . . , I
n−1
) | I
1
= i]. (2.11)
Da defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional para vari´aveis aleat´orias discretas e do fato
de {I
j
, j = 0, 1, . . . .} ser uma Cadeia de Markov homogˆenea ent˜ao
E[f (I
1
, . . . , I
n−1
) | I
1
= i] =
i
1
∈S
.
.
.
i
n−1
∈S
f(i
1
, . . . , i
n−1
)P (I
1
= i
1
, . . . , I
n−1
= i
n−1
| I
1
= i)
=
i
1
∈S
.
.
.
i
n−1
∈S
f(i
1
, . . . , i
n−1
)P (I
0
= i
1
, . . . , I
n−2
= i
n−1
| I
0
= i)
= E(f (I
0
, I
1
, . . . , I
n−2
) | I
0
= i). (2.12)
E portanto, substituindo (2.12) em (2.11) temos
28
P
X
I
1
2
> −u − y, X
I
1
2
+ X
I
2
3
> −u − y, . . . , X
I
1
2
+
n
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y
=
k
i=1
q
i
0
i
E[f (I
0
, I
1
, . . . , I
n−2
) | I
0
= i]
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
X
I
0
2
>−u−y,...,X
I
0
2
+
n
j=3
X
I
j−2
j
> −u − y
| I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P
u + y + X
I
0
2
> 0, . . . , u + y + X
I
0
2
+
n
j=3
X
I
j−2
j
> 0 | I
0
= i
.
Como para todo m, n ∈ N, X
I
j
n
= X
I
j
m
q.c. e as vari´aveis mudan¸ca de portf´olio
s˜ao independentes do processo de capital,
P
X
I
1
2
> −u − y, X
I
1
2
+ X
I
2
3
> −u − y, . . . , X
I
1
2
+
n
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y
=
k
i=1
q
i
0
i
P
u + y + X
I
0
1
> 0, . . . , u + y +
n−1
j=1
X
I
j−1
j
> 0 | U
0
= u + y, I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P (U
1
> 0, . . . , U
n−1
> 0 | U
0
= u + y, I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
ϕ
n−1
(u + y, i). (2.13)
Substituindo (2.13) em (2.10)
ϕ
n
(u, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
ϕ
n−1
(u + y, i)dF
i
0
(y), n = 2, 3, . . . .
Consideremos agora o modelo que permite aplicar (ou fazer empr´estimos) a quan-
tia representada pela mudan¸ca de portif´olio `a uma taxa de aplica¸c˜ao e/ou empr´estimo
r por per´ıodo. A aplica¸c˜ao sempre se dar´a ao final do per´ıodo n.
Utilizamos o modelo
U
n
= u +
n
j=1
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
, (2.14)
para modelar a dinˆamica do processo de capital ao final de n per´ıodos.
Com as suposi¸c˜oes feitas at´e o momento, a saber, X
i
n
, n = 1, 2, ... e i = 1, 2, ..., s˜ao
29
vari´aveis aleat´orias independentes, assumimos tamb´em que a mudan¸ca do portf´olio
no n-´esimo intervalo de tempo depende apenas da classifica¸c˜ao de risco de cr´edito
da empresa no intervalo de tempo n − 1, e para todo i fixado i = 1, 2, ..., k , X
i
n
=
X
i
m
q.c. para todo m, n = 1, 2, ...., ou seja, se a classifica¸c˜ao de risco ´e a mesma, o
comportamento da mudan¸ca de portf´olio ser´a o mesmo q.c..
Teorema 2.2 Seja
ψ
n
(u, i
0
) a probabilidade de ru´ına antes ou no tempo n para o
modelo (2.14) com classifica¸c˜ao de risco inicial i
0
e um capital inicial u. Considerando
ϕ
n
(u, i
0
) = 1 −
ψ
n
(u, i
0
) temos que ϕ
n
(u, i
0
) satisfaz a seguinte equa¸c˜ao recursiva
ϕ
1
(u, i
0
) = F
i
0
(−u) (2.15)
ϕ
n
(u, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
ϕ
n−1
(u + y(1 + r), i)dF i
0
(y), n ≥ 2 (2.16)
Demonstra¸c˜ao: Para n = 1
ϕ
1
(u, i
0
) = P (U
1
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
I
0
1
(1 + r)
0
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
X
I
0
1
> −u | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
> −u | U
0
= u, I
0
= i
0
= 1 − P
X
i
0
1
≤ −u
=
F
i
0
(−u).
Para n = 2
ϕ
2
(u, i
0
) = P
2
k=1
U
k
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
= P (U
1
> 0, U
2
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
I
0
1
> 0, u + X
I
0
1
(1 + r) + X
I
1
2
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
X
I
0
1
> −u, X
I
0
1
(1 + r) + X
I
1
2
> −u | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
> −u, X
i
0
1
+ X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
=
Ω
I
(
X
i
0
1
>−u,X
i
0
1
+X
I
1
2
(1+r)
−1
>−u(1+r)
−1
)
dP
=
Ω
I
(X
i
0
1
>−u)
I
(
X
i
0
1
+X
I
1
2
(1+r)
−1
>−u(1+r)
−1
)
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
I
(
X
i
0
1
+X
I
1
2
(1+r)
−1
>−u(1+r)
−1
)
dP.
30
Utilizando a defini¸c˜ao A.8 de esperan¸ca condicional segue
ϕ
2
(u, i
0
) =
(X
i
0
1
>−u)
E
I
(
X
i
0
1
+X
I
1
2
(1+r)
−1
>−u(1+r)
−1
)
| X
i
0
1
dP
=
∞
−u
E
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
(1+r)
−1
>−u(1+r)
−1
)
| X
i
0
1
= y
dF
i
0
(y)
=
∞
−u
P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y | X
i
0
1
= y
dF
i
0
(y).
Como as vari´aveis mudan¸ca de portf´olio para intervalos de tempo diferentes s˜ao
independentes temos ent˜ao
ϕ
2
(u, i
0
) =
∞
−u
P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y
dF
i
0
(y). (2.17)
Podemos reescrever P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y
da seguinte forma
P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y
= P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y, I
1
∈ S, I
0
= i
0
=
k
i=1
P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y, I
1
= i, I
0
= i
0
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y | I
1
= i, I
0
= i
0
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y | I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
(
X
I
1
2
(1+r)
−1
>−u(1+r)
−1
−y
)
| I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E [f(I
1
) | I
1
= i] =
k
i=1
q
i
0
i
E [f(I
0
) | I
0
= i]
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
0
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y | I
0
= i
.
Como foi suposto, temos que o capital inicial independe do processo de capital e
que para todo m, n ∈ N, X
I
j
m
= X
I
j
n
, q.c. temos que
31
P
X
I
1
2
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
0
1
(1 + r)
−1
> −u(1 + r)
−1
− y | U
0
= u + y(1 + r), I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P
u + y(1 + r) + X
I
0
1
> 0 | U
0
= u + y(1 + r), I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P (U
1
> 0 | U
0
= u + y(1 + r), I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
ϕ
1
(u + y(1 + r), i). (2.18)
Substituindo (2.18) em (2.17) temos que
ϕ
2
(u, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
ϕ
1
(u + y(1 + r), i)dF
i
0
(y).
Para n qualquer
ϕ
n
(u, i
0
) = P
n
k=1
(U
1
> 0, U
2
> 0, . . . , U
n
> 0) | U
0
= u, I
0
= i
0
= P (U
1
> 0, U
2
> 0, . . . , U
n
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
) =
= P
u + X
I
0
1
> 0, u + X
I
0
1
(1 + r) + X
I
1
2
> 0, u + X
I
0
1
(1 + r)
2
+ X
I
1
2
(1 + r)
+X
I
2
3
> 0, . . . , u +
n
j=1
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
> −u, X
i
0
1
(1 + r) + X
I
1
2
> −u, X
i
0
1
(1 + r)
2
+ X
I
1
2
(1 + r)
+X
I
2
3
> −u, . . . ,
n
j=1
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u | U
0
= u, I
0
= i
0
=
(X
i
0
1
>−u)
I
X
i
0
1
(1+r)+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
(1+r)
n−1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
E
I
X
i
0
1
(1+r)+X
I
1
2
>−u,...,
n
j=1
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u
| X
i
0
1
dP
32
=
(X
i
0
1
>−u)
E
I
X
i
0
1
(1+r)+X
I
1
2
>−u,...,
n
j=1
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u
| X
i
0
1
dP
=
∞
−u
P
X
i
0
1
(1 + r) + X
I
1
2
> −u, X
i
0
1
(1 + r)
2
+ X
I
1
2
(1 + r) + X
I
2
3
> −u,
, . . . , X
i
0
1
(1 + r)
n−1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u | X
i
0
1
= y
dF
i
0
(y)
=
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − y(1 + r), X
I
1
2
(1 + r) + X
I
2
3
> −u − y(1 + r)
2
, . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
| X
i
0
1
= y
dF
i
0
(y)
=
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − y(1 + r), X
I
1
2
(1 + r) + X
I
2
3
> −u − y(1 + r)
2
, . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
dF
i
0
(y). (2.19)
Note que P
X
I
1
2
> −u − y(1 + r), . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
pode ser reescrita da seguinte forma
P
X
I
1
2
> −u − y(1 + r), . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
= P
X
I
1
2
> −u − y(1 + r), . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
, I
1
∈ S,
I
0
= i
0
)
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
> −u − y(1 + r), . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
|
I
1
= i, I
0
= i
0
)
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
> −u − y(1 + r), . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
|
I
1
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
E (f(I
1
, I
2
, . . . , I
n−1
) | I
1
= i)
33
=
k
i=1
q
i
0
i
E (f(I
0
, I
1
, . . . , I
n−2
) | I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
0
2
> −u − y(1 + r), . . . ,
n
j=2
X
I
j−2
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
|
I
0
= i) .
Como foi suposto, temos que X
I
j
n
= X
I
j
m
q.c. para todo m, n ∈ N e que o capital
inicial independe do processo de capital, ent˜ao
P
X
I
1
2
> −u − y(1 + r), . . . ,
n
j=2
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j
> −u − y(1 + r)
n−1
=
=
k
i=1
q
i
0
i
P
u + y(1 + r) + X
I
0
1
> 0, . . . , u + y(1 + r)
n−1
+
n−1
j=1
X
I
j−1
j
(1 + r)
n−j−1
> 0 |
U
0
= u + y(1 + r), I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
ϕ
n−1
(u + y(1 + r), i) (2.20)
Substituindo (2.20) em (2.19)
ϕ
n
(u, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
ϕ
n−1
(u + y(1 + r), i)dF
i
0
(y), n = 2, 3, . . . .
34
Seja
G
n
(u, i
0
) = P (T = n | U
0
= u, I
0
= i
0
) (2.21)
usando o m´etodo recursivo, obtemos os seguintes resultados:
Teorema 2.3 A distribui¸c˜ao do tempo de ru´ına pode ser obtida usando a seguinte
equa¸c˜ao recursiva.
G
1
(u, i
0
) = F
i
0
(−u) (2.22)
G
n
(u, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
G
n−1
(u + y, i)dF
i
0
(y) (2.23)
Demonstra¸c˜ao: Observe que, para n = 1, temos
G
1
(u, i
0
) = P (T = 1 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (inf{k; U
k
≤ 0} = 1 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (U
0
> 0, U
1
≤ 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= E
I
(U
0
>0,U
1
≤0)
| U
0
= u, I
0
= i
0
.
Ent˜ao com u > 0 temos I
(U
0
>0)
= 1. Da´ı,
G
1
(u, i
0
) =
E
I
(U
0
>0,U
1
≤0)
| U
0
= u, I
0
= i
0
, se u > 0
0, se c.c
Assim, para u > 0
G
1
(u, i
0
) = P
u + X
I
0
1
≤ 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
X
i
0
1
≤ −u
= F
i
0
(−u).
Recursivamente,
G
n
(u, i
0
) = P (T = n | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (U
1
> 0, . . . , U
n−1
> 0, U
n
≤ 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
I
0
1
> 0, . . . , u + X
I
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> 0, u+
+X
I
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
.
35
Substituindo o valor da vari´avel I
0
na express˜ao acima e como as vari´aveis mu-
dan¸ca de portif´olio, X
j
, independem do capital do processo, segue
G
n
(u, i
0
) = P
X
i
0
1
> −u, . . . , X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u
=
Ω
I
X
i
0
1
>−u,...,X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u
dP.
Note que (X
i
0
1
> −u) ∈ σ(X
i
0
1
), ent˜ao pela defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional
devemos ter
G
n
(u, i
0
) =
(X
i
0
1
>u)
E
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,
n−1
j=1
X
I
j−1
j
> −u,
n
j=1
X
I
j−1
j
≤ −u
| X
i
0
1
dP
=
(X
i
0
1
>u)
P
X
i
0
1
+ X
I
1
2
> −u, . . . , X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u | X
i
0
1
dP
=
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − y, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − y,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y | X
i
0
1
= y
dF
i
0
(y).
Como as vari´aveis mudan¸ca de portf´olio em intervalos de tempos distintos s˜ao
independentes, a equa¸c˜ao acima se reduz a
G
n
(u, i
0
) =
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − y, . . . , X
I
1
2
+
n−1
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y,
X
I
1
2
+
n
j=3
X
I
j−1
j
≤ −u − y
dF
i
0
(y). (2.24)
36
Mas,
P
X
I
1
2
> −u − y, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − y,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
= P
X
I
1
2
> −u − y, . . . , X
I
1
2
+
n−1
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y, X
I
1
2
+
+
n
j=3
X
I
j−1
j
≤ −u − y, I
1
∈ S, I
0
= i
0
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
> −u − y, . . . , X
I
1
2
+
n−1
j=3
X
I
j−1
j
> −u − y, X
I
1
2
+
n
j=3
X
I
j−1
j
≤ −u − y | I
1
= i
.
Sabe-se que {I
j
, j = 1, 2, . . . .} ´e uma cadeia de Markov homogˆenea e que para
todo m, n ∈ N, X
I
j
n
= X
I
j
m
q.c., e al´em disso pela defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional
para vari´aveis aleat´orias discretas, devemos ter
P
X
I
1
2
> −u − y, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − y,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
=
k
i=1
q
i
0
i
E (f(I
1
, I
2
, . . . , I
n−1
) | I
1
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
E (f(I
0
, I
1
, . . . , I
n−2
) | I
0
= i)
Contudo, temos que o capital inicial independe das vari´aveis X
j
assim,
P
X
I
1
2
> −u − y, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − y,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
0
1
> −u − y, . . . , X
I
0
1
+
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u − y, X
I
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y | U
0
= u + y, I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P (U
1
> 0, . . . , U
n−2
> 0, U
n−1
≤ 0 | U
0
= u + y, I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
G
n−1
(u + y, i). (2.25)
Substituindo (2.25) em (2.24) e como G
n−1
(u + y, i) ´e uma sequˆencia de fun¸c˜oes
mensur´aveis n˜ao negativa, ent˜ao a express˜ao da distribui¸c˜ao do tempo de ru´ına fica
37
determinada por
G
n
(u, i
0
) =
∞
−u
k
i=1
q
i
0
i
G
n−1
(u + y, i)dF
i
0
(y)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
G
n−1
(u + y, i)dF
i
0
(y).
Usando este modelo proposto por Hailiang Yang[29] para considerar o risco de
inadimplˆencia, n˜ao somente obtemos a probabilidade de inadimplˆencia, como tamb´em
a distribui¸c˜ao do tempo de inadimplˆencia. Al´em disso, veremos na pr´oxima se¸c˜ao como
obter a distribui¸c˜ao da severidade de ru´ına. Note que tudo que fizemos foi para um
tempo de ru´ına finito. Vejamos agora como proceder para o c´alculo da probabilidade
de ru´ına no horizonte infinito, isto ´e,
lim
n→∞
ψ
n
(u, i
0
) = ψ(u, i
0
).
A probabilidade de ru´ına no horizonte infinito ´e definida por
ψ(u, i
0
) = P
∞
k=1
{U
k
≤ 0} | U
0
= u, I
0
= i
0
.
Ent˜ao, por defini¸c˜ao
ψ(u, i
0
) =
∞
n=1
G
n
(u, i
0
).
De fato, seja A = {w; inf{k; U
k
(w) ≤ 0} < ∞} e B =
∞
k=1
{w; U
k
(w) ≤ 0},
mostremos que A = B.
Seja a ∈ A, ent˜ao existe k
0
∈ N tal que U
k
0
(a) ≤ 0. Assim a ∈ {w; U
k
0
(w) ≤ 0} e
portanto, a ∈
∞
k=1
{w; U
k
(w) ≤ 0}. Logo temos que a ∈ B, ou seja A ⊂ B. Agora seja
b ∈ B, temos b ∈
∞
k=1
{w; U
k
(w) ≤ 0}. Ent˜ao existe um k
0
∈ N tal que U
k
0
(b) ≤ 0. Logo,
inf{k; U
k
(b) ≤ 0} ≤ k
0
< ∞ e, assim inf{k; U
k
(b) ≤ 0} < ∞ e b ∈ {w; inf{k; U
k
(w) ≤
0} < ∞},ou seja B ⊂ A. Destas duas inclus˜oes conclu´ımos que A = B.
Note que,
P (T ≤ n) ↑ P (T < ∞)
38
De fato, considerando A
n
= {w; inf {k; U
k
(w) ≤ 0} ≤ n}temos que, se a ∈ A
n
, ent˜ao
inf{k; U
k
(a) ≤ 0} ≤ n ≤ n + 1 o que implica A
n
⊂ A
n+1
. Portanto, quando n → ∞
A
n
↑
∞
n=1
A
n
.
Pela continuidade de probabilidade condicional,
ψ
n
(u, i
0
) = P (T ≤ n|U
0
= u, I
0
= i
0
) ↑ P (T < ∞ | U
0
= u, I
0
= i
0
) = ψ(u, i
0
).
Ent˜ao,
ψ(u, i
0
) = P (T < ∞ | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
∞
n=1
(T = n) | U
0
= u, I
0
= i
0
=
∞
n=1
P (T = n | U
0
= u, I
0
= i
0
)
=
∞
n=1
G
n
(u, i
0
)
= G
1
(u, i
0
) +
∞
n=2
G
n
(u, i
0
). (2.26)
Substituindo a equa¸c˜ao da distribui¸c˜ao do tempos de ru´ına (2.23) em (2.26) temos
ψ(u, i
0
) = G
1
(u, i
0
) +
∞
n=2
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
G
n−1
((u + y), i)dF
i
0
(y)
. (2.27)
Como os termos envolvidos em (2.27) s˜ao positivos e G
n−1
((u+y), i) ´e mensur´avel
n˜ao negativa, segue
ψ(u, i
0
) = G
1
(u, i
0
) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
n=2
∞
−u
G
n−1
((u + y), i)dF
i
0
(y)
= G
1
(u, i
0
) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
∞
n=2
G
n−1
((u + y), i)
dF
i
0
(y)
= G
1
(u, i
0
) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
∞
n=1
G
n
((u + y), i)
dF
i
0
(y)
= G
1
(u, i
0
) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
ψ(u + y, i)dF
i
0
(y).
39
Portanto a probabilidade de ru´ına no horizonte infinito pode ser expressa da
seguinte maneira
ψ(u, i
0
) = G
1
(u, i
0
) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
ψ(u + y, i)dF
i
0
(y), i
0
= 1, 2, . . . , k.
2.5 Distribui¸c˜ao da severidade de ru´ına
Na teoria da ru´ına, al´em do interesse na probabilidade de ru´ına, tamb´em estuda-
se a gravidade no momento da ru´ına, ou seja, qu˜ao s´erio (grande) foi o preju´ızo que
levou a companhia `a ru´ına. Para estudar esta caracter´ıstica, devemos introduzir uma
fun¸c˜ao que modela tal propriedade. Esta fun¸c˜ao deve ter como vari´aveis as informa¸c˜oes
dispon´ıveis no in´ıcio do processo bem como o n´ıvel de preju´ızo estamos considerando,
ou seja, as vari´aveis dessa fun¸c˜ao s˜ao:
• O capital inicial, u ≥ 0.
• A classifica¸c˜ao de risco inicial I
0
= i
0
• A severidade da ru´ına que desejamos estudar, y > 0.
Considere a fun¸c˜ao H : R
+
×R
+
×S −→ [0, 1], onde S ´e espa¸co de estados do processo,
definida por
H(u, y, i
0
) = P (U
T
≤ −y, T < ∞ | U
0
= u, I
0
= i
0
)
que nos d´a a distribui¸c˜ao da severidade de ru´ına, isto ´e, a probabilidade da empresa
ruir num tempo finito e no instante da ru´ına o preju´ızo ser maior que y, dado que o
capital inicial da empresa ´e u e classifica¸c˜ao inicial de risco ´e i
0
. Podemos reescrever
H(u, y, i
0
) da seguinte maneira
40
H(u, y, i
0
) = P
U
T
≤ −y,
∞
n=1
(T = n) | U
0
= u, I
0
= i
0
=
∞
n=1
P (U
T
≤ −y, T = n | U
0
= u, I
0
= i
0
)
=
∞
n=1
P (U
n
≤ −y, U
0
> 0, U
1
> 0, . . . , U
n−1
> 0, U
n
≤ 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
=
∞
n=1
E
I
(U
n
≤−y,U
0
>0,U
1
>0,...,U
n−1
>0,U
n
≤0)
| U
0
= u, I
0
= i
0
.
Como u > 0, temos I
(U
0
>0)
= 1. Da´ı,
H(u, y, i
0
) =
∞
n=1
E
I
(U
1
>0,...,U
n−1
>0,U
n
≤0,U
n
≤−y)
| U
0
= u, I
0
= i
0
, se u > 0
0, c.c
Observe que (U
n
≤ 0, U
n
≤ −y) = (U
n
≤ −y). Assim, para u > 0,
H(u, y, i
0
) =
∞
n=1
P (U
1
> 0, . . . , U
n−1
> 0, U
n
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
=
∞
n=1
P
u + X
I
0
1
> 0, . . . , u + X
I
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> 0, u+
X
I
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
=
∞
n=1
P
X
i
0
1
> −u, . . . , X
I
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
I
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −y − u | U
0
= u, I
0
= i
0
.
Considere
h
n
(u, y, i
0
) = P
X
i
0
1
> −u, . . . ,
n−1
j=1
X
I
j−1
j
> −u,
n
j=1
X
I
j−1
j
≤ −y − u | U
0
= u, I
0
= i
0
.
onde, h
n
(u, y, i
0
) ´e a probabilidade de que a ru´ına ocorra no tempo n e o capital da
empresa no momento da ru´ına ser inferior a −y dado que o capital inicial da empresa ´e
u e a classifica¸c˜ao de risco inicial ´e i
0
. E podemos escrever a distribu¸c˜ao da severidade
da ru´ına da seguinte maneira
H(u, y, i
0
) =
∞
n=1
h
n
(u, y, i
0
).
41
Mostremos que podemos calcular h
n
(u, y, i
0
) recursivamente e obtermos
h
1
(u, y, i
0
) = P (X
i
0
1
≤ −u − y) = F
i
0
(−u − y) (2.28)
h
n
(u, y, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
h
n−1
(u + x, y, i)dF
i
0
(y). (2.29)
Para n = 1
h
1
(u, y, i
0
) = P (T = 1, U
1
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (U
1
≤ 0, U
1
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (u + X
I
0
1
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (X
i
0
1
≤ −u − y)
= F
i
0
(−u − y).
Para n = 2
h
2
(u, y, i
0
) = P (T = 2, U
2
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (U
1
> 0, U
2
≤ 0, U
2
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (U
1
> 0, U
2
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (u + X
I
0
1
> 0, u + X
I
0
1
+ X
I
1
2
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (X
i
0
1
> −u, X
i
0
1
+ X
I
1
2
≤ −u − y)
=
Ω
I
(X
i
0
1
>−u,X
i
0
1
+X
I
1
2
≤−u−y)
dP
=
Ω
I
(X
i
0
1
>−u)
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
≤−u−y)
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
≤−u−y)
dP.
Note que (X
i
0
1
> −u) ∈ σ(X
i
0
1
), consequentemente
h
2
(u, y, i
0
) =
(X
i
0
1
>−u)∈σ(X
i
0
1
)
E
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
≤−u−y)
| X
i
0
1
dP
=
∞
−u
E
I
(X
i
0
1
+X
I
1
2
≤−u−y)
| X
i
0
1
= x
dF
i
0
(x)
=
∞
−u
P
X
i
0
1
+ X
I
1
2
≤ −u − y | X
i
0
1
= x
dF
i
0
(x)
=
∞
−u
P
x + X
I
1
2
≤ −u − y | X
i
0
1
= x
dF
i
0
(x).
42
Como as vari´aveis mudan¸ca de portf´olio em intervalos de tempos distintos s˜ao
independentes,
h
2
(u, y, i
0
) =
∞
−u
P
X
I
1
2
≤ −u − y − x
dF
i
0
(x). (2.30)
Mas,
P
X
I
1
2
≤ −y − u − x
= P (X
I
1
2
≤ −y − u − x, I
1
∈ S, I
0
= i
0
)
=
k
i=1
P
X
I
1
2
≤ −y − u − x, I
1
= i, I
0
= i
0
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
≤ −y − u − x | I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
(
X
I
1
2
≤−y−u−x
)
| I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E [f(I
1
) | I
1
= i]
=
k
i=1
q
i
0
i
E [f(I
0
) | I
0
= i]
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
(
X
I
0
2
≤−y−u−x
)
| I
0
= i
.
Vale ressaltar que a express˜ao acima n˜ao se refere `a classifica¸c˜ao de risco inicial,
I
0
, uma vez que ao iniciarmos o estudo do processo fixamos I
0
= i
0
. Al´em disso temos
que para todo m, n ∈ N, X
I
j
n
= X
I
j
m
q.c. e que as vari´aveis aleat´orias mudan¸ca de
portf´olio independe do processo de capital inicial, ent˜ao
P (X
I
1
2
≤ −y − u − x) =
k
i=1
q
i
0
i
E
I
(
X
I
0
1
≤−y−u−x
)
| I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
0
1
≤ −y − u − x | U
0
= u + x, I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P
u + x + X
I
0
1
≤ −y | U
0
= u + x, I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P (U
1
≤ −y | U
0
= u + x, I
0
= i)
43
Assim,
P (X
I
1
2
≤ −y − u − x) =
k
i=1
q
i
0
i
h
1
(u + x, y, i). (2.31)
Substituindo (2.31) em (2.30), a probabilidade de que a ru´ına ocorra no tempo
n = 2 e o capital no momento da ru´ına seja inferior a −y ´e dada por
h
2
(u, y, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
h
1
(u + x, i)dF i
0
(x).
Para n qualquer temos
h
n
(u, y, i
0
) = P (T = n, U
n
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (U
1
> 0, . . . , U
n−1
> 0, U
n
≤ 0, U
n
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
I
0
1
> 0, . . . , u +
n−1
j=1
X
I
j−1
j
> 0, u +
n
j=1
X
I
j−1
j
≤ −y |
U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
i
0
1
> 0, . . . , u + X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> 0, u + X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −y |
U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P
u + X
i
0
1
> 0, . . . , u + X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> 0, u + X
i
0
1
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −y
=
Ω
I
u+X
i
0
1
>0,u+X
i
0
1
+X
I
1
2
>0...,u+X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> 0, u + X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −y
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
dP
=
∞
−u
E
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
| X
i
0
1
= x
dF
i
0
(x)
=
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − x, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u
−y − x | X
i
0
1
= x
dF
i
0
(x).
44
Como as vari´aveis mudan¸ca de portf´olio em intervalos de tempos distintos s˜ao
independentes
h
n
(u, y, i
0
) =
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − x, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x
dF
i
0
(x). (2.32)
Note que P
X
I
1
2
> −u − x, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x
pode
ser reescrito da seguinte maneira
P
X
I
1
2
> −u − x, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x
= P
X
I
1
2
> −u − x, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x, I
1
∈ S,
I
0
= i
0
)
=
k
i=1
P
X
I
1
2
> −u − x, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x,
I
1
= i, I
0
= i
0
)
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
> −u − x, . . . ,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x |
I
1
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
X
I
1
2
>−u−x,...,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x
| I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E [f(I
1
, I
2
, . . . , I
n−1
) | I
1
= i] =
k
i=1
q
i
0
i
E [f(I
0
, I
1
, . . . , I
n−2
) | I
0
= i]
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
X
I
0
2
>−u−x,...,
n−1
j=2
X
I
j−2
j
> −u − x,
n
j=2
X
I
j−2
j
≤ −u − y − x
| I
0
= i
45
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
X
I
0
1
>−u−x,...,
n−2
j=1
X
I
j−1
j
> −u − x,
n−1
j=1
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x
U
0
= u + x, I
0
= i] =
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
0
1
> −u − x, . . . ,
n−2
j=1
X
I
j−1
j
> −u − x,
n−1
j=1
X
I
j−1
j
≤ −u − y − x |
U
0
= u + x, I
0
= i) =
=
k
i=1
q
i
0
i
P (U
1
> 0, . . . , U
n−2
> 0, U
n−1
≤ −y | U
0
= u + x, I
0
= i) =
=
k
i=1
q
i
0
i
P (T = n − 1, U
T
≤ −y | U
0
= u + x, I
0
= i) =
=
k
i=1
q
i
0
i
h
n−1
(u + x, y, i). (2.33)
Substituindo (2.33) em (2.32) temos
h
n
(u, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
h
n−1
(u + x, y, i)dF
i
0
(x). n = 2, 3, . . . .
Note que a severidade da ru´ına satisfaz ao seguinte sistema de equa¸c˜oes integrais
conhecido como Volterra Acoplada.
H(u, y, i
0
) =
∞
n=1
h
n
(u, y, i
0
) =
= h
1
(u, y, i
0
) +
∞
n=2
h
n
(u, y, i
0
). (2.34)
Substituindo (2.29) em (2.34) temos
H(u, y, i
0
) = h
1
(u, y, i
0
) +
∞
n=2
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
h
n−1
(u + x, y, i)dF
i
0
(x)
. (2.35)
Como os termos envolvidos em (2.35) s˜ao positivos e h
n−1
(u + x, y, i) ´e uma
sequˆencia de fun¸c˜oes mensur´aveis n˜ao negativas segue
46
H(u, y, i
0
) = h
1
(u, y, i
0
) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
∞
n=1
h
n
(u + x, y, i)dF
i
0
(x)
= h
1
(u, y, i
0
) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
H(u + x, y, i)dF
i
0
(x)
, i
0
= 1, 2, . . . , k.
Assim, para calcularmos a severidade de ru´ına, basta calcularmos a probabilidade
de ru´ına ocorrer em um tempo finito e no momento da ru´ına o preju´ızo que levou a
empresa `a ru´ına ser superior a y.
2.6 Distribui¸c˜ao do Capital antes e depois da ru´ına
Ter conhecimento de qualquer informa¸c˜ao sobre o processo de capital ´e de extrema
importˆancia tanto para preven¸c˜ao quanto para rea¸c˜ao a eventos adversos. Nesta se¸c˜ao
estudamos duas destas informa¸c˜oes a saber, a distribui¸c˜ao de capital antes e depois
da ru´ına, ou seja, estudaremos a conex˜ao do capital no instante antes da ru´ına com a
ru´ına em si. Para estudar a distribui¸c˜ao do capital antes e depois da ru´ına introduzimos
uma fun¸c˜ao que reflita este fenˆomeno no instante da ru´ına. Esta fun¸c˜ao deve ter como
vari´aveis todas as informa¸c˜oes iniciais do processo e mais o valor antes da ru´ına e o
valor depois da ru´ına que desejamos analisar. Considere
W (u, x, y, i
0
) = P (U
T
≤ −y, U
T −1
> x, T <quψeaFψψTfψψψTdψTFψψTfψψψTdψ>x,T<quψeaFψFψIψψTfψψψψTdψ,TFψψTfψψTdψTFψeaFψψ ,
47
= P
U
T
≤ −y, U
T −1
> x,
∞
n=1
(T = n) | U
0
= u, I
0
= i
0
=
∞
n=1
P (U
T
≤ −y, U
T −1
> x, T = n | U
0
= u, I
0
= i
0
)
=
∞
n=1
P (U
n
≤ −y, U
n−1
> x, U
1
> 0, . . . , U
n−1
> 0, U
n
≤ 0 | U
0
= u, I
0
= i
0
)
=
∞
n=1
P (U
1
> 0, . . . , U
n−1
> x, U
n
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
)
=
∞
n=1
P
u + X
I
0
1
> 0, ..., u +
n−1
j=1
X
I
j−1
j
> x, u +
n
j=1
X
I
j−1
j
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
=
∞
n=1
P
u + X
i
0
1
> 0, ..., u + X
i
0
1
+ . . . + X
I
n−2
n−1
> x, u + X
i
0
1
+ . . . + X
I
n−1
n
≤ −y
Considerando
w
n
(u, x, y, i
0
) = P
X
i
0
1
> −u, ..., X
i
0
1
+ . . . + X
I
n−2
n−1
> −u + x, X
i
0
1
+ . . . + X
I
n−1
n
≤ −u − y
.
podemos escrever a probabilidade da ru´ına em que o capital antes da ru´ına era maior
que x e na ru´ına o capital era menor que −y, dado que o capital inicial era u e a
classifica¸c˜ao de risco inicial era i
0
por
W (u, x, y, i
0
) =
∞
n=1
w
n
(u, x, y, i
0
).
Teorema 2.4 w
n
(u, x, y, i
0
) definida anteriormente satisfaz as seguintes equa¸c˜oes
w
1
(u, x, y, i
0
) =
F
i
0
(−u − y), se u > x
0, se u ≤ x
w
2
(u, x, y, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u+x
F
i
(−u − y − s)dF
i
0
(s)
w
n
(u, x, y, i
0
) =
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u+x
w
n−1
(u + s, x, y)dF
i
0
(s), n ≥ 3
48
Demonstra¸c˜ao
Para n = 1 temos
w
1
(u, x, y, i
0
) = P (U
1
≤ −y, U
0
> x, T = 1|U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (U
1
≤ −y, U
0
> x, U
0
> 0, U
1
≤ 0|U
0
= u, I
0
= i
0
)
= P (U
1
≤ −y, U
0
> x|U
0
= u, I
0
= i
0
)
ent˜ao para u > x, I
(U
0
>x)
= 1 e portanto,
w
1
(u, x, y, i
0
) =
P (u + X
I
49
w
2
(u, x, y, i
0
) =
∞
−u+x
P (X
I
1
2
≤ −u − y − s)dF
i
0
(s). (2.36)
Observe que
P
X
I
1
2
≤ −u − y − s
= P
X
I
1
2
≤ −u − y − s, I
1
∈ S, I
0
= i
0
=
k
i=1
P
X
I
1
2
≤ −u − y − s, I
1
= i, I
0
= i
0
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
≤ −u − y − s | I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
(
X
I
1
2
≤−u−y−s
)
| I
1
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
(
X
I
0
2
≤−u−y−s
)
| I
0
= i
Mas, como para todo m, n ∈ N, X
I
j
n
= X
I
j
m
, q.c. e como s˜ao independentes do capital
inicial podemos reescrever a equa¸c˜ao da seguinte maneira
P
X
I
1
2
≤ −u − y − s
=
k
i=1
q
i
0
i
E
I
(
X
I
0
1
≤−u−y−s
)
| U
0
= u + s, I
0
= i
.
´
E importante salientar novamente que, a express˜ao acima n˜ao faz referˆencia ao
in´ıcio do processo, uma vez que a classifica¸c˜ao de risco de cr´edito no tempo em que se
inicia os estudos do processo ´e i
0
, apenas estamos utilizando os recursos citados acima
a fim de obter a defini¸c˜ao de w
1
(u, x, i
0
).
Como −u + x < s , ou melhor, u + s > x segue que
P
X
I
1
2
≤ −u − y − s
=
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
0
1
≤ −u − y − s | U
0
= u + s, I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P
u + s + X
I
0
1
≤ −y | U
0
= u + s, I
0
= i
=
k
i=1
q
i
0
i
P (U
1
≤ −y | U
0
= u + s, I
0
= i)
=
k
i=1
q
i
0
i
w
1
(u, x, y, i). (2.37)
50
Substituindo (2.37) em (2.36),temos
w
2
(u, x, y, i
0
) =
∞
−u
k
i=1
q
i
0
i
w
1
(u, x, y, i)dF
i
0
(s)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
w
1
(u, x, y, i)dF
i
0
(s).
Para n ≥ 2,
w
n
(u, x, y, i
0
) = P (U
1
> 0, . . . , U
n−2
> 0, U
n−1
> x, U
n
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
) =
= P
u + X
I
0
1
> 0, . . . , u + X
I
0
1
+
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> 0, u + X
I
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> x, u + X
I
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −y | U
0
= u, I
0
= i
0
= P
u + X
i
0
1
> 0, . . . , u + X
i
0
1
+
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> 0, u + X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> x, u + X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −y
=
Ω
I
X
i
0
1
>−u,...,X
i
0
1
+
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u + x
I
X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
dP
=
(X
i
0
1
>−u)
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u
I
X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u + x, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
dP
Como (X
i
0
1
> −u) ∈ σ(X
i
0
1
), ent˜ao da defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional temos
51
w
n
(u, x, y, i
0
) =
(X
i
0
1
>−u)
E
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u
I
X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u + x, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
| X
i
0
1
dP
=
∞
−u
E
I
X
i
0
1
+X
I
1
2
>−u,...,X
i
0
1
+
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u
I
X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u + x, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y
| X
i
0
1
= s
dF
i
0
(s)
=
∞
−u
P
X
i
0
1
+ X
I
1
2
> −u, . . . , X
i
0
1
+
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u, X
i
0
1
+
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u+
+x, X
i
0
1
+
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − y | X
i
0
1
= s
dF
i
0
(s)
=
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − s, . . . ,
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u − s,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u
−s + x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − s − y
dF
i
0
(s)
=
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − s, . . . ,
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u − s,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u
−s + x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − s − y, I
1
∈ S, I
0
= i
0
dF
i
0
(s)
=
∞
−u
k
i=1
P
X
I
1
2
> −u − s, . . . ,
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u − s,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u
−s + x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − s − y, I
1
= i, I
0
= i
0
dF
i
0
(s)
52
=
∞
−u
k
i=1
q
i
0
i
P
X
I
1
2
> −u − s, . . . ,
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u − s,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u
−s + x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − s − y | I
1
= i, I
0
= i
0
dF
i
0
(s)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
P
X
I
1
2
> −u − s, . . . ,
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u − s,
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u
−s + x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − s − y | I
1
= i
dF
i
0
(s)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
E
I
X
I
1
2
>−u−s,...,
n−2
j=2
X
I
j−1
j
> −u − s
I
n−1
j=2
X
I
j−1
j
> −u − s + x,
n
j=2
X
I
j−1
j
≤ −u − s − y
| I
1
= i
dF
i
0
(s)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
E
I
X
I
0
2
>−u−s,...,
n−2
j=2
X
I
j−2
j
> −u − s
I
n−1
j=2
X
I
j−2
j
> −u − s + x,
n
j=2
X
I
j−2
j
≤ −u − s − y
| I
0
= i, U
0
= u + s
dF
i
0
(s)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
P
X
I
0
1
> −u − s, . . . ,
n−3
j=1
X
I
j−1
j
> −u − s,
n−2
j=1
X
I
j−1
j
> −u
−s + x,
n−1
j=1
X
I
j−1
j
≤ −u − s − y | I
0
= i, U
0
= u + s
dF
i
0
(s)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
P (U
1
> 0, . . . , U
n−3
> 0, U
n−2
> x, U
n−1
≤ −y | I
0
= i, U
0
= u + s)
=
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
w
n−1
(u + s, x, y, i). n = 2, 3, . . . .
53
Assim distribui¸c˜ao conjunta do Capital antes e depois da ru´ına ser´a dada por
W (u, x, y, i
0
) =
∞
n=1
w
n
(u, x, y, i
0
)dF
i
0
(s)
= w
1
(u, x, y, i
0
) +
∞
n=2
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
w
n−1
(u + s, x, y, i)dF
i
0
(s)
. (2.38)
Como os termos envolvidos em (2.38) s˜ao positivos e w
n−1
(u + s, x, y, i) ´e uma
sequˆencia de fun¸c˜oes mensur´aveis n˜ao negativas, segue ent˜ao que
W (u, x, y, i
0
) = w
1
(u, x, y, i
0
) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
∞
n=2
w
n−1
(u + s, x, y, i)dF
i
0
(s)
= P (X
i
0
1
≤ −u − y) +
k
i=1
q
i
0
i
∞
−u
∞
n=1
w
n
(
Apˆendice A
Esperan¸ca condicional
Neste cap´ıtulo apresentamos alguns resultados referentes a integra¸c˜ao de vari´aveis
aleat´orias e de esperan¸ca condicional, todos os detalhes est˜ao explicitados em Chung[6].
Come¸camos esta se¸c˜ao relembrando a defini¸c˜ao de σ-´algebra gerada por uma v´ari´avel
aleat´oria.
Defini¸c˜ao A.1 Sejam (Ω, F) e (R, B(R)) espa¸cos mensur´aveis, onde B(R) ´e a σ-
´algebra gerada por intervalos abertos da reta (σ-´algebra de Borel) e X : Ω −→ R
uma vari´avel aleat´oria. Definimos a σ−´algebra gerada por X, denotada por σ(X), como
σ(X) = X
−1
(B(R)) = {A ∈ F; A = [X ∈ B], para algum B ∈ B(R)}.
E de modo an´alogo `a defini¸c˜ao 1.1, sejam X
1
, X
2
, . . . , X
n
vari´aveis aleat´orias em
(Ω, F) e B(R) a σ-´algebra de Borel. Definimos a σ-´algebra gerada por X
1
, X
2
, . . . , X
n
denotada por σ(X
1
, X
2
, . . . , X
n
) da seguinte forma:
σ(X
1
, X
2
, . . . , X
n
) := σ
{X
−1
j
(B) | j ∈ {1, 2, . . . , n}, ∀B ∈ B(R)}
.
No que segue, considere o espa¸co de probabilidade (Ω, F, P ) e X : Ω −→ R uma
vari´avel aleat´oria. Como P (•) est´a definida em F, denotaremos a probabilidade do
evento {w ∈ Ω; X(w) ∈ B, B ∈ B(R)} como P ({w ∈ Ω; X(w) ∈ B}), P (X ∈ B) ou
ainda P (X
−1
(B)).
O pr´oximo Teorema define a probabilidade induzida por uma vari´avel aleat´oria.
55
Teorema A.2 Cada vari´avel aleat´oria sobre o espa¸co de probabilidade (Ω, F, P ) induz
um espa¸co de probabilidade (R, B(R), P
X
) por meio de seguinte correspondˆencia
∀B ∈ B(R), P
X
(B) = P
X
−1
(B)
= P (X ∈ B) . (A.1)
Na express˜ao acima, P
X
´e dita uma “medida de distribui¸c˜ao de probabilidade
induzida por X” ou medida de probabilidade de X, e est´a associada `a sua fun¸c˜ao de
distribui¸c˜ao F
X
, chamada fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de X. Especificamente, F
X
´e dada por
F
X
(x) = P
X
(
−∞, x
) = P (X ≤ x) ∀n ∈ R (A.2)
Teorema A.3 Seja X : Ω −→ R uma vari´avel aleat´oria e f : R −→ R ´e uma fun¸c˜ao
Borel mensur´avel, ent˜ao f (X) ´e uma vari´avel aleat´oria.
O resultado tamb´em vale para um vetor aleat´orio.
Se X
1
, X
2
, ..., X
n
: Ω −→ R s˜ao vari´aveis aleat´orias e f : R
n
−→ R ´e uma fun¸c˜ao
B(R
n
, R) mensur´avel, ent˜ao f(X
1
, ..., X
n
) ´e uma vari´avel aleat´oria.
O valor esperado de uma vari´avel aleat´oria X , quando existe, ´e dado por
E(X) =
Ω
X(w)P (dw) =
Ω
XdP
O pr´oximo teorema mostra a rela¸c˜ao entre a integral de uma fun¸c˜ao de uma v.a. (f(X))
com respeito a uma medida de probabilidade P sobre os conjuntos em F, e a integral
com respeito a medida induzida por esta v.a. P
X
sobre os conjuntos em B(R).
Teorema A.4 Sejam X uma vari´avel aleat´oria sobre o espa¸co de probabilidade (Ω, F, P ),
(R, B(R), P
X
) o espa¸co de probabilidade induzido por essa vari´avel aleat´oria e f uma
fun¸c˜ao Borel mensur´avel. Ent˜ao temos
Ω
f(X)dP =
R
f(x)dP
X
, (A.3)
desde que um dos lados exista.
Teorema A.5 Seja (X, Y ) um vetor aleat´orio sobre o espa¸co de probabilidade (Ω, F, P )
e (R
2
, B
2
(R), P
X,Y
) o espa¸co de probabilidade induzido por esse vetor e seja f uma
fun¸c˜ao de duas vari´aveis Borel mensur´avel. Ent˜ao,
Ω
f(X, Y )dP =
R
2
f(x, y)dP
X,Y
. (A.4)
56
Como consequˆencia do Teorema 1.4, temos: se P
X
e F
X
denotam, respectiva-
mente, a medida de probabilidade e a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao induzida por X, ent˜ao
E(X) =
R
xdP
X
=
∞
−∞
xdF
X
(x)
e mais geralmente
E(f (X)) =
R
f(x)dP
X
=
∞
−∞
f(x)dF
X
(x)
desde que a esperan¸ca exista.
Defini¸c˜ao A.6 Sejam (Ω, F, P ) um espa¸co de probabilidade e B ∈ F, tal que P (B) >
0. Definimos P
B
(A) = P (A | B), sobre F, da seguinte forma:
P
B
(A) =
P (A ∩ B)
P (B)
, ∀A ∈ F. (A.5)
Note que P
B
(•) : F −→ [0, 1] ´e uma medida de probabilidade ou, simplesmente, uma
probabilidade.
Defini¸c˜ao A.7 A esperan¸ca condicional relativa a B ∈ F de uma vari´avel aleat´oria
integr´avel Y ´e a integral dessa vari´avel aleat´oria com respeito `a medida de probabilidade
definida anteriormente, ou seja,
E
B
(Y ) =
Ω
Y dP
B
=
1
P (B)
B
Y dP.
Defini¸c˜ao A.8 Seja X uma vari´avel aleat´oria sobre (Ω, F, P ) com E|X| < ∞, G uma
σ−´algebra tal que G ⊆ F. Definimos a esperan¸ca condiconal de X dado G como sendo
a vari´avel aleat´oria E(X | G) tal que
(i) E(X | G) ´e G− mensur´avel
(ii) ∀A ∈ G,
A
E(X | G)dP =
A
XdP.
Quando G = σ(Y ) denotamos E(X | σ(Y )) por E(X | Y ).
Lema A.1 Se X ´e σ(Y )-mensur´avel ent˜ao X = ϕ(Y ) para alguma fun¸c˜ao Borel men-
sur´avel ϕ : R → R.
57
A vers˜ao deste lema para vetor aleat´orio pode ser escrita
Se X ´e σ(Y
1
, ..., Y
n
)-mensur´avel, onde Y
1
, ..., Y
n
s˜ao v.a.’s definidas sobre o mesmo
espa¸co de probabilidade de X, ent˜ao X = ϕ(Y
1
, . . . , Y
n
) para alguma fun¸c˜ao Borel
mensur´avel ϕ : R
n
→ R.
E o pr´oximo resultado diz o seguinte
Seja σ(Y
1
, . . . , Y
n
) a σ−´algebra gerada por Y
1
, Y
2
, . . . , Y
n
e X uma vari´avel aleat´oria em
(Ω, F, P ), com E|X| < ∞, denotaremos E(X | σ(Y
1
, . . . , Y
n
)) por E(X | Y
1
, . . . , Y
n
).
Como por defini¸c˜ao E(X | Y ) ´e σ(Y )−mensur´avel, pelo lema 1.1 temos E(X |
Y ) = ϕ(Y ), onde ϕ ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel. Analogamente, E(X | Y
1
, . . . , Y
n
) =
ϕ(Y
1
, . . . , Y
n
) e ϕ ´e uma fun¸c˜ao B(R)
n
−mensur´avel.
Vejamos agora algumas propriedades de Esperan¸ca Condicional. Sejam X, Y vari´aveis
aleat´orias em (Ω, F, P ) com E|X| < ∞ e G ⊆ F.
(a) Se X ´e G− mensur´avel⇒ E(X | G) = X
(b) Se σ(X) ⊂ σ(Y ) ⇒ E(X | σ(Y )) = X
(c) E(E(X | G)) = E(X)
(d) Sejam G
1
, G
2
, σ−´algebra tais que G
1
⊂ G
2
⊂ F, ent˜ao
E(E(X | G
1
) | G
2
) = E(X | G
1
) = E(E(X | G
2
) | G
1
)
(e) Seja Z vari´avel aleat´oria G−mensur´avel e E|XZ| < ∞, ent˜ao
E(XZ | G) = ZE(X | G)
(f) E(X | Y ) = E(X) se X e Y s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes.
Assim para vari´aveis aleat´orias discretas, temos
E(X | Y
1
= y
1
, . . . , Y
n
= y
n
) =
x
xP (X = x | Y
1
= y
1
, . . . , Y
n
= y
n
) .
Note que,
E(X) = E(E(X | Y
1
, . . . , Y
n
)) =
R
n
E(X | Y
1
= y
1
, . . . , Y
n
= y
n
)dF
Y
1
,...,Y
n
(y
1
, . . . , y
n
)
58
e que para A ∈ F evento arbitr´ario e Y vari´avel aleat´oria em (Ω, F, P ), temos
P (A) = E(I
A
) = E(E(I
A
| Y )) =
R
E(I
A
| Y = y)dF
Y
(y) =
R
P (A | Y = y)dF
Y
(y).
Mais geralmente temos
P (A) =
R
n
P (A | Y
1
= y
1
, . . . , Y
n
= y
n
)dF
Y
1
,...,Y
n
(y
1
, . . . , y
n
).
Bibliografia
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