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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
COMPORTAMENTO DE VÓRTICES
EM NANODISCOS MAGNÉTICOS NA
PRESENÇA DE DEFEITOS NÃO-
MAGNÉTICOS
DIEGO FERREIRA CARNEIRO
Trabalho de dissertação de Mestrado
apresentado à banca examinadora como
requisito parcial à obtenção de título de Mestre
em Física.
ORIENTADOR: PROF. Dr. SIDINEY DE ANDRADE LEONEL
Juiz de Fora, MG , 2006
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Esta dissertação de Mestrado foi analisada e julgada adequada para obtenção de título
de Mestre em Física e avaliada em sua forma final pelo orientador e pelos participantes
da banca examinadora.
Banca examinadora:
_______________________________________
Prof. Dr. Sidiney de Andrade Leonel
_______________________________________
Prof. Dr. Pablo Zimmermann Coura
_______________________________________
Prof. Dr. Winder Alexander de Moura Melo
ii
ads:
Aos meus pais.
iii
Agradecimentos
À Deus, criador e mantenedor do universo;
Aos meus pais Carlos Alberto Alvez Carneiro pelo apoio, carinho e amor que eles tem me
dado;
Ao meu irmão Deivy e minha cunhada Ana Paula pelo apoio e grande amizade que nós
temos;
À minha namorada Jussara Rafael Ângelo pelo amor e compreensão que tem demonstrado
neste período.
Ao grande amigo e parceiro Douglas Martins pela amizade e apoio em todos os momentos.
Aos meus grandes amigos Daniel Berbert e Anderson Moraes que mostraram os grandes
irmãos que são pra mim.
A galera da república André Aredes (boi), Beto, Felipe ( my lord) e Ted, por proporcionarem
momentos inesquecíveis de viola e amizade .
Ao meu orientador. Dr. Sidiney Andrade Leonel, pela amizade construída durante este
período, e grande paciência;
Aos grandes amigos que tive a honra de conhecer, Douglas, Bruno Gonçalves, Fernando,
Otávio, André Aredes, “World trade”, Charles, Ivo, Helen, Roberto Sales, Rubim, Edgar,
Paulo César.
iv
Resumo
Nos últimos anos, o progresso da nanotecnologia permitiu a fabricação de amostras
magnéticas com dimensão na escala nanométrica, bem como a evolução de técnicas
experimentais para medir suas propriedades. Verificou-se experimentalmente que vórtices
aparecem como estados de magnetização de energia mínima em nanodiscos magnéticos. Em
escala nanométrica, o efeito de borda e a energia magnetostática tornam-se importantes,
criando uma anisotropia de borda sobre os spins próximos a esta. Sabe-se que vórtices são
atraídos e presos por defeitos existentes em nanodiscos magnéticos. Isto sugere um
mecanismo de controle do movimento de vórtices. Em nosso trabalho estamos interessados em
verificar os efeitos de dois buracos sobre a estabilidade do vórtice e sobre a curva de histerese
de um nanodisco magnético. Para isto, descrevemos o comportamento magnético de um
nanodisco utilizando o modelo de vórtice rígido (analítico) e o modelo XY (simulação) com
um termo de anisotropia de borda, um termo de interação com um campo externo e potenciais
simulando a existência de buracos. Realizamos cálculos analíticos e de simulação Monte Carlo
verificando que a curva de histerese apresenta dois "saltos" que estão associados com dois
estados estáveis de vórtices presos, em cada situação, em um dos buracos. Verificamos
também que existe um campo crítico que faz o "chaveamento" entre esses dois estados, campo
este dependente da distância entre os buracos. Nossas previsões teóricas concordam com
resultados experimentais recentes, sugerindo a aplicação desse mecanismo para a construção
de memória magnética e elementos de lógica
.
v
Abstract
In recent years, the progress of the nanotechnology allowed the manufacture of
magnetic samples with dimension in the nanometric scale, as well as the evolution of
experimental techniques to measure its properties. It was verified experimentally that vortices
appear as states of magnetization of minimum energy in magnetic dots. In nanometric scale,
the effect of edge and the magnetostatic energy become important, creating an edge anisotropy
on spins next to this. We know that vortices are attracted and imprisoned for existing defects
in magnetic dots. This suggests a mechanism of control of the movement of vortices. In our
work we are interested in verifying the effect of two holes on the stability of the vortex and the
curve of hysteresis of a magnetic dot. For this, we describe the magnetic behavior of a dot
using the model of rigid vortex (analytical) and model XY (simulation) with a term of edge
anisotropy, term of interaction with a external field and potential simulating the existence of
holes. We carry through analytical calculations and of Monte Carlo simulation verifying that
the hysteresis curve presents two “jumps” that are associates with two steady states of
imprisoned vortices, in each situation, one of the holes. We also verify that a critical field
exists that makes the “switching” between these two states, field this dependent of in the
distance between the holes. Our theoretical forecasts agree to recent experimental results,
suggesting the application of this mechanism for the construction of magnetic memory and
elements of logic.
vi
SUMÁRIO
Resumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Abstract. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Materiais magnéticos em baixas dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1 Modelo de Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Modelo XY e Rotor Planar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Modelo XY no limite contínuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 O vórtice e a transição de Kosterlitz-Thouless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 O método Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.1 Considerações gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2 Transição entre estados de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.3 Algoritmo de Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
2 Modelo do nanodisco com dois buracos . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1 Considerações gerais e motivações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 O modelo analítico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Modelo analítico na presença de campo externo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 Cálculo da magnetização. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Obtenção da curva de histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Resultados de simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1 Considerações gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
vii
3.2 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Simulação da curva de histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Conclusão e perspectivas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
viii
INTRODUÇÃO
Os fenômenos magnéticos ganharam uma dimensão muito grande a partir do século
XIX, com a descoberta de sua correlação com a eletricidade. Em 1820, o físico e químico
Hans Crhistian Oersted descobriu que uma corrente elétrica passando por um fio também
produzia efeito magnético, mudando a orientação da agulha de uma bússola nas
proximidades. Mais tarde, o físico e matemático francês Andre Ampère formulou a lei que
relaciona o campo magnético com a intensidade da corrente do fio. O efeito recíproco, pelo
qual um fio próximo de um í mã sofre a ação de uma força quando atravessado por uma
corrente, foi descoberto logo em seguida. Pouco depois, em 1831, Michel Faraday na
Inglaterra e Joseph Henry nos Estados Unidos, descobriram que um campo variável podia
induzir uma corrente elétrica num circuito. No final do século XIX estes três fenômenos
eram perfeitamente compreendidos e já tinham inúmeras aplicações tecnológicas, das quais
o motor e o gerador elétrico eram as mais importantes.
Atualmente, os materiais magnéticos desempenham papel muito importante nas
aplicações tecnológicas do magnetismo. Nas aplicações tradicionais, como em motores,
geradores, transformadores, etc., eles são utilizados em duas categorias: os ímãs
permanentes são aqueles que têm a propriedade de criar um campo magnético constante;
os materiais doces, ou permeáveis, são aqueles que produzem um campo proporcional à
corrente num fio nele enrolado, muito maior ao que seria criado apenas pela corrente. A
terceira aplicação tradicional dos materiais magnéticos, que adquiriu grande importância
nas últimas décadas, é a gravação magnética. Esta aplicação é baseada na propriedade
que tem a corrente numa bobina, na cabeça de gravação, em alterar o estado de
magnetização de um meio magnético próximo. Isto possibilita armazenar no meio a
informação contida num sinal elétrico. A recuperação, ou a leitura, da informação gravada,
é feita, tradicionalmente, através da indução de uma corrente elétrica pelo meio magnético
em movimento na bobina da cabeça de leitura. A gravação magnética é a melhor
tecnologia da eletrônica para armazenamento não-volátil de informação que permite
9
regravação. Ela é essencial para o funcionamento dos gravadores de som e de vídeo, de
inúmeros equipamentos acionados por cartões magnéticos, e tornou-se muito importante
nos computadores.
As propriedades magnéticas das substâncias se devem a uma propriedade intrínseca
dos elétrons, seu spin (palavra em inglês que significa girar em torno de si mesmo). Como
o elétron tem carga, ao spin está associado um momento magnético, o qual se comporta
como uma minúscula agulha magnética, tendendo a se alinhar na direção do campo
magnético a que está submetida. Nos átomos mais comuns o spin total é nulo, pois os
elétrons ocupam os orbitais satisfazendo o princípio de Linus Pauling, ora com o spin num
sentido, ora no outro. Entretanto, para certos elementos da tabela periódica, o spin total é
diferente de zero, fazendo com que o átomo tenha um momento magnético permanente.
Este é o caso dos elementos do grupo de transição do ferro, como níquel, manganês, ferro e
cobalto, e vários elementos de terras raras, como európio, gadolínio, etc. Os materiais
formados por esses elementos ou suas ligas têm propriedades que possibilitam suas
aplicações tecnológicas. O mercado mundial de materiais magnéticos e seus dispositivos
compreendem, atualmente, cerca de 150 bilhões de dólares por ano. Por essa razão, a
pesquisa para seu aperfeiçoamento é muito intensa em todo o mundo. Mas não é apenas
por sua importância tecnológica e econômica que os materiais magnéticos concentram hoje
intensa atividade de pesquisa no mundo inteiro. O magnetismo dos materiais constitui um
dos campos de pesquisa mais férteis e ativos da física, dada à imensa diversidade das suas
propriedades e dos fenômenos que neles são observados.
As aplicações mencionadas são baseadas em propriedades e fenôme nos clássicos,
todos conhecidos e compreendidos desde o início do século XX. A evolução tecnológica
dessas aplicações ocorreu por causa da descoberta de novos ma teriais, aperfeiçoamento das
técnicas de preparação, etc. Porém, nos últimos 15 anos, a pesquisa em materiais
magnéticos ganhou um grande impulso por conta de descobertas feitas com estruturas
artificiais de filmes muito finos. Os filmes finos podem ser preparados por vários métodos
diferentes, dependendo da composição, espessura e aplicação. Todos eles se baseiam na
deposição gradual de átomos ou moléculas do material desejado sobre a superfície de outro
material que serve de apoio, chamado substrato. A fabricação de fil mes ultra-finos, com
espessuras da ordem ou fração de 1 nanômetro ( 1 nm = 10
-9
m), tornou-se possível graças
à evolução das técnicas de alto vácuo. Hoje é possível fabricar estruturas artificiais
controlando a deposição de camadas no nível atô mico, com alto grau de perfeição e pureza.
10
É também possível depositar sobre um filme com certa composição química, outro filme
de composição diferente. Isto possibilita a fabricação de estruturas com propriedades
magnéticas muito diferentes das tradicionais, cuja compreensão microscópica exige o
conhecimento detalhado dos filmes, das interfaces e das interações entre os átomos. Estas
estruturas compreendem filmes simples de uma única camada magnética sobre um
substrato, ou filmes magnéticos e não-magnéticos intercalados, e tamb ém estruturas com
mais de uma dimensão na escala nanométrica, chamadas nano-estruturas magnéticas de
maiores dimensões.
A possibilidade de se fabricar estruturas magnéticas artificiais na escala nanométrica,
tem levado ao surgimento de novas áreas de pesquisa básica em magnetismo, estimuladas
pela descoberta de novos fenômenos. No movimento de um elétron atravessando um filme
grosso (com espessuras de 1 micrômetro ou mais), ele sofre inúmeras colisões no trajeto,
perdendo a memória de seu spin. No entanto, ao atravessar um filme de espessura
nanométrica, ele preserva a orientação original do spin. Isto dá origem a propriedades de
nano-estruturas magnéticas que não eram conhecidas nos materiais. Um dos novos
fenômenos mais importantes é a magnetoresistência gigante, observada em multicamadas
de certos filmes magnéticos (como Fe, Co, Ni e suas ligas) intercalados com filmes
metálicos não magnéticos (como Cr, Cu, Ru). Para certas espessuras dos filmes não-
magnéticos, da ordem de 1 nm, a resistência do sistema varia muito com o campo
magnético nele aplicado. Este fenômeno foi descoberto em 1989, tendo como autor
principal do trabalho original de Mario Baibich [1]. Este efeito permite fabricar um sensor
magnético de dimensões físicas muito reduzidas, que ao ser atravessado por uma corrente
elétrica, desenvolve uma tensão elétrica que depende do campo magnético. Além deste,
vários outros fenômenos foram descobertos nos últimos anos, tais como acoplamento entre
camadas vizinhas, transporte dependente de spin, efeito túnel magnético, entre outros.
Estes fenômenos têm provocado o surgimento de um grande número de trabalhos
científicos que procuram caracterizar as propriedades dos materiais, descobrir novos
sistemas e fenômenos e entender mi croscopicamente suas origens. Por outro lado, as
diversas aplicações desses fenômenos na eletrônica estão dando origem a um novo ramo da
tecnologia, chamado spintrônica, no qual as funções dos dispositivos são baseadas no
controle do movimento dos elétrons através do campo magnético que atua sobre o spin.
Recentemente, a tecnologia de leitura magnética foi revolucionada com a introdução
de cabeças magneto-resistivas, baseadas no efeito de magneto-resistência gigante. Os
11
avanços tecnológicos nesta área são impressionantes. Para exemplificar, a capacidade de
gravação magnética nos discos dos computadores que, em 1995 era de 1
Gigabits/polegada
2
, com a introdução das cabeças de leitura de magneto-resi stência
gigante, passou para 20 Gigabits/polegada
2
em 2002, possibilitando fabricar disk-drives
com capacidades superiores a 100 Gigabits. Nos últimos dois anos ganhou força a idéia de
que será possível fabricar uma memória RAM de efeito túnel ma gnético que venha
substituir as memórias de semicondutores atualmente utilizadas, com a grande vantagem
de ser não-volátil. Além dessas aplicações, muitas outras estão sendo pesquisadas com
base em diversos dispositivos já produzidos em forma de protótipos, como válvulas de
spin, transistor de spin etc.
Como exemplo de outra amostra na escala nanométrica, temos os chamados
“magnetic dots”. Estas amostras magnéticas na forma de cilindro, disco ou prisma são
fabricados com materiais magnéticos tais como Cobalto e liga de Permalloy (Ni
81
Fe
19
).
Estes materiais ferromagnéticos modelados nas três dime nsões espaciais em escala
nanométrica apresentam propriedades interessantes, tanto do ponto de vista fundamental
quanto do ponto de vista de aplicação tecnológica [2]. Vórtices magnéticos são
frequentemente observados em nanopartículas ma gnéticas em forma de disco e estão sendo
investigados de forma intensa, tanto do ponto de vista teórico quanto do ponto de vista
experimental [3,4,5,6,7,8]. Estes nanodiscos magnéticos, por apresentarem esta estrutura
em forma de vórtice, têm grande potencial para aplicações tecnológicas tais como
construção de dispositivos magnéticos de memória de alta densidade [9,10] e sensores de
campo magnético de alta-resolução [11].
Sabe-se que a diminuição das dimensões laterais de um ferromagneto faz com que a
sua energia magnetostática cresça, aumentando a sua competição com a energia de
“exchange”, propiciando assim o aparecimento do vórtice [2]. O efeito de borda torna-se
importante na escala nanométrica, por exemplo, a superfície distorce o campo cristalino
que atua num íon magnético próximo mudando a anisotropia drasticamente. Isto gera uma
anisotropia específica de sítio na borda para os spins, com um eixo preferencial
coincidindo com um vetor normal à superfície.
A influência de defeitos em forma de buracos sobre a magnetização de nanodiscos,
também pode leva r à interessantes aplicações, como controlar o movimento de vórtices
sobre estes nanodiscos. Resultados recentes de simulação e de experimentos [11,12,13]
mostram que vórtices podem ser atraídos e presos por impurezas não-magnéticas ou
12
buracos. Atualmente já é possível, usando-se técnicas de litografia, a fabricação de
nanodiscos de liga de Permalloy contendo buracos e controlar o movimento do vórtice
sobre esses nanodiscos, com a aplicação de um campo magnético externo [12,14,15]. Por
exemplo, elementos magnetoresistivos usados para arma zenamentos de dados ou
operações lógicas, necessitam do “chaveamento” entre dois estados magnéticos estáveis.
Um nanodisco magnético contendo dois buracos e sobre a influência de um campo
magnético externo, pode ser usado como uma for ma alternativa para realizar este
“chaveamento” entre dois estados magnéticos estáveis [16]. A tese a seguir se encontra
organizada da seguinte maneira: no capítulo 1 faremos uma breve revisão sobre os
modelos magnéticos 2D e a dinâmica envolvida. No capítulo 2 será feita uma investigação
analítica de como vórtices magnéticos, descritos pelo modelo de Heisenberg, que estão na
superfície do nano-disco, são influenciados pela presença de dois buracos não-magnéticos
(anti-dots). De forma geral veremos como esses “anti-dots” modificam o potencial de
exchange efetivo experimentado pelo vórtice e a influência na curva de histerese. No
capítulo 3 veremos os resultados da simulação feitos para o nano-disco. E finalmente
apresentaremos as conclusões.
13
CAPÍTULO 1
MATERIAIS MAGNÉTICOS EM BAIXAS DIMENSÕES
Devido à simplificação dos cálculos matemáticos, materiais magnéticos de baixas
dimensões (1D e 2D) tem sido estudado com rigor, no qual podemos exemplificar o
modelo de Ising que é resolvido exatamente para uma e duas dimensões. Porém, mesmo
em baixas dimensões, resultados exatos são dificilmente obtidos levando à introdução de
cálculos numéricos ou aproximados.
Já que a natureza nos apresenta muitas variedades de compostos com características
de materiais magnéticos com baixa dimensionalidade, como supercondutores, cristais
líquidos, filmes super-fluido, passaram-se a produzir materiais que crescem em cadeias ou
camadas, ratificando os modelos 1D e 2D. Além disso, há um grande interesse desse
magnetismo em aplicações tecnológicas como armazenagem e transmissão de dados.
Em muitos casos pode haver uma grande diferença entre os resultados teóricos e
experimentais. Isto ocorre porque a maioria dos modelos teóricos não inclui impurezas que
aparecem nas amostras usadas pelos experimentais. As impurezas aparecem, muitas vezes,
devido às dificuldades encontradas na fabricação de amostras. Nos processos de
crescimento de cristais, por exemplo, a presença, algumas ve zes indesejada, de átomos ou
moléculas de elementos que não estão na constituição original deste cristal é constante. Os
efeitos na estrutura e nas propriedades dos cristais causados por estes ”defeitos” muitas
vezes não podem ser previstos pela teoria.
Nas cadeias ou camadas, que fazem parte dos materiais magnéticos, existem
interação de troca inter-camada ou inter-cadeia devido aos radicais orgânicos ou íons dos
metais alcalinos. Entretanto, apesar da interação de troca ser pequena, esses materiais
podem apresentar comportamento tridimensional para temperaturas muito baixas, como é o
caso do Hélio liquido. Então, acima de certa temperatura, o material apresentará uma
dimensionalidade baixa, tendo uma estrutura de cadeia (1D) ou de camada (2D). Esta é a
conhecida região de flutuação que é muito explorada pelos experimentais.
14
Um exemplo muito conhecido de material 1D é o (Fig.1.1). Já para um
material de comportamento 2D, podemos citar o grafite magneticamente intercalado
(
) (Fig.1.2).
3
CsNiF
22
NiFK
Figura 1.1. Material magnético unidimensional (
).
3
CsNiF
Figura 1.2. Material magnético bidimensional Tetrafluoreto de Níquel de Potássio
(
).
22
NiFK
15
1.1 – MODELO DE HEISENBERG
Ao considerarmos um material magnético, podemos observar suas propriedade
através das leis mecânica quântica. Entretanto, para sistemas magnéticos com milhões de
partículas, é necessário adotar simplificações. Assim, a interação de troca, de origem
eletrostática, é responsável pelas propriedades magnéticas de materiais com momento
magnéticos localizados. Isso dá origem a um termo de interação de troca que pode ser
modelado por
ji
SSJ
r
r
⋅− , onde
i
S
r
é o spin do íon localizado no sitio i. Logo, para um
material com vários spins eletrônicos localizados nos átomos da rede cristalina, o termo da
energia de troca total do sistema é
()
∑
⋅−=
ji
jiij
SSJH
,
r
r
. (1.1)
onde a soma (i,j) indica pares de vizinhos próximos numa rede bidimensional. Este
hamiltoniano isotrópico, que só depende da orientação relativas dos spins, é conhecido
como hamiltoniano de Heisenberg. Para spins vizinhos temos que
. Para
temos o acoplamento ferromagnético, uma vez que a configuração mínima do estado
fundamental é atingida quando os spins estão alinhados paralelamente (
). Da
mesma forma para
teremos o acoplamento antiferromagnético, em que os spins
estão alinhados anti-paralelam
Esta hamiltoniana nos mostra vários modelos teóricos para diferentes valores do parâmetro
de anisot ropia λ:
• Para λ = 1 recuperamos o modelo de Heisenberg isotrópico no qual os spins não tem
direção preferencial para apontar. Como exemplo, temos os íons
e .
2+
Mn
+3
Fe
• Para
10 <≤
λ
os spins tendem a alinhar com o plano xy, oque leva ao modelo de
Heisenberg de plano – fácil (Fig.1.3).
Figura 1.3. Rede quadrada de um sistema ferromagnético de plano – fácil no estado
fundamental.
• Para λ > 1 os spins têm a preferência de apontar na direção do eixo z. Isto caracteriza a
simetria de eixo-fácil (fig.1.4), no qual temos como exemplo
.
+2
Co
Figura 1.4. Sistema ferromagnético de eixo – fácil.
17
Vale ratificar que podemos adicionar um campo externo na teoria, introduzindo um termo
proporcional à
∑
⋅
i
i
SB
r
r
na hamiltoniana.
1.2 MODELO XY E ROTOR PLANAR
Como extensão dos modelos citados anteriormente, temos dois de grande interesse
na física, que é o modelo XY e o Rotor Planar. Como sistemas que equivalem a esses
modelos, podemos citar os superfluidos, supercondutores, cristais líquidos, etc. Estes são
obtidos fazendo λ = 0 na hamiltoniana (1.2).
(1.3)
).(
,
∑
+−=
ji
y
j
y
i
x
j
x
i
SSSSJH
Apesar da hamiltoniana do modelo XY e Rotor Planar serem iguais, a diferença dos
modelos é que o XY possui dinâmica e o Rotor Planar não. Isto porque, no modelo XY, o
vetor de spin
S
r
possui três componentes
kSjSiSS
z
i
y
i
x
ii
ˆ
ˆˆ
++=
r
, enquanto os spins do
Rotor Planar têm duas componentes
jSiSS
y
i
x
ii
ˆˆ
+=
r
. Assim o Rotor Planar não possui
dinâmica, já que,
[
]
[
]
0,, == HSHS
y
i
x
i
, pois
0
=
z
S
. Apesar de termos Componentes z de
spin no modelo XY,
não aparece no hamiltoniano, oque mostra a grande tendência dos
spins ficarem no plano.
z
S
Para o modelo XY a dinâmica é obtida da seguinte forma :
[
]
HS
dt
Sd
i
i
i
,
r
r
h =
. (1.4)
Os operadores de spins
i
S
r
satisfazem à regra de quantização canônica
[
]
ij
iji
SiSS
γ
αβγβα
δε
h=,
(1.5)
18
onde
é o pseudotensor de Levi-Civita completamente anti-simétrico . Esse
pseudotensor assume o valor +1 se α, β, γ cíclicos e -1 se α, β, γ forem anticíclicos.
αβγ
ε
Ao adotarmos o limite clássico
∞
→S
, podemos calcular de forma direta o comutador da
expressão (1.5) e obter a equação de movi
Figura 1.5. Rede quadrada com interação entre primeiros vizinhos.
Seja o vetor de spin
i
S
r
representado por
)cos,sinsin,cos(sin
iiiiii
S
θφθφθ
=
r
, onde
i
φ
é o ângulo azimutal e
i
θ
o ângulo polar. Assim a Hamiltoniana (1.3) para esta
aproximação fica:
(1.6).
∑
−−=
ji
jiji
JH
,
)cos(sinsin
φφθθ
Cada spin tem apenas quatro vizinhos (Fig.1.5). Assim é conveniente separar o somatório
em dois, de forma que:
.
∑∑∑
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
==i
j
j
jii
j
jjii
senJH
φθφθθφφθ
cossincossinsinsinsin
4
1
4
1
Como nesta aproximação o espaçamento de rede tende a zero, podemos expandir os
vizinhos do spin
i
S
r
em torno do sitio i como:
...)sin(sin
2
)sin(sinsinsinsinsin
2
22
11
+
∂
∂
+
∂
∂
±=
±± iiiiiiii
x
a
x
a
φθφθφθφθ
20
...)sin(sin
2
)sin(sinsinsinsinsin
2
22
22
+
∂
∂
+
∂
∂
±=
±± iiiiiiii
y
a
y
a
φθφθφθφθ
...)cos(sin
2
)cos(sincossincossin
2
22
11
+
∂
∂
+
∂
∂
±=
±± iiiiiiii
x
a
x
a
φθφθφθφθ
...)cos(sin
2
)cos(sincossincossin
2
22
22
+
∂
∂
+
∂
∂
±=
±± iiiiiiii
y
a
y
a
φθφθφθφθ
Aqui representa o espaçamento de rede, enquanto i+1 e i-1 são os spins mais próximos
ao sitio i pela direita e esquerda, respectivamente. Da mesma forma i+2 e i-2 são os
vizinhos de cima e de baixo respectivamente. Substituindo os termos aci ma na
Halmitoniana e substituindo o somatório por uma integral
a
∑
∫
→
i
a
dxdy
2
, teremos:
()()
()()
.cossincossincossin
sinsinsinsinsinsinsin4
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+−
∫
φθφθφθ
φθφθφθθ
yx
yx
a
a
dxdy
JH
(1.7)
Podemos integrar por partes os termos similares que aparecem abaixo.
() ()
dx
dx
d
dx
dx
d
2
2
2
sinsinsinsinsinsin
∫∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
φθφθφθ
() ()
dx
dx
d
dx
dx
d
2
2
2
cossincossincossin
∫∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
φθφθφθ
.
Calculando de forma similar para as derivadas em y e substituindo na Halmitoniana,
teremos:
21
()()
()()
.cossincossin
sinsinsinsinsin4
2
2
2
2
22
2
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
∫
φθφθ
φθφθθ
dy
d
dx
d
dy
d
dx
d
a
a
dxdy
JH
Sabendo que
()
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
θφ
φθφθ
φ
θφ
θ
φθφθ
coscossinsin2
sincossincossinsin
2
22
2
22
2
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
e
()
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
θφ
φθφθ
φ
θφ
θ
φθφθ
coscossinsin2
sinsincoscoscossin
2
22
2
22
2
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
A Hamiltoniana ficará
.sin)(cos)(cos
4
2
22222
2
∫
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∇+∇+=
θφθθθ
a
dxdy
J
H
(1.8)
onde o fator 1/2 foi inserido para não se contar o mesmo par de sítios duas vezes.
22
Figura 1.6. Representação do spin nos campos φ e m.
É muito comum em matéria condensada, adotar a parametrização de spin
),sin1,cos1(
22
mmmS
i
φφ
−−=
r
, onde φ e m são campos escalares relacionados aos
ângulos azimutal e polar conforme a figura 1.6. Desta forma a Hamiltoniana fica:
.))(1()(
1
4
2
222
2
2
2
2
∫
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∇−+∇
−
+=
φ
mm
m
m
m
a
dxdy
J
H
(1.9)
Podemos achar a dinâmica para os campos m e φ pela equação quântica de movimento:
[
]
hS
dt
Sd
i
i
i
,
r
r
h =
(1.10)
onde h é a densidade hamiltoniana dada por
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∇−+∇
−
+=
222
2
2
2
2
))(1()(
1
4
2
φ
mm
m
m
m
a
J
h
(1.11)
No limite em que
, os campos m e φ forma m um par de variáveis canonicament e
conjugadas. De forma que
∞→S
23
ϕ
∂
∂
=
h
m
&
e
m
h
∂
∂
−=
ϕ
&
(1.12)
A fim de descrevermos o limite contínuo do modelo de Heisenberg isotrópico,
vamos considerar uma função T que descreve a interação de uma componente do spin
localizado no sítio i com seus quatro vizinhos próximos:
(1.13)
)()(
2211
αααααα
−+−+
+++=
iiiiii
SSSSSST
onde
zy
x
,,=
α
. Então escrevemos as componentes dos primeiros vizinhos como uma
expansão em serie de Taylor de forma que:
....22
2
2
2
2
2
2
+
∂
∂
++
∂
∂
+=
α
α
ααα
α
αα
i
i
iii
i
ii
S
y
S
aSSS
x
S
aSST
, (1.14)
em que
a
é o espaçamento de rede, ou de outra maneira
α
αα
α
i
ii
i
S
y
S
x
S
aST
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+=
2
2
2
2
22
)(4
, (1.15)
onde consideramos apenas termos de segunda ordem na expansão. Então, considerando as
3 componentes e trocando as somas em (1.1) por integrais da forma
∫
2
a
dxdy
, obtemos
24
2
3
1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2)(4
a
dxdy
S
y
S
x
S
Ja
a
dxdy
SJH
α
αα
αα
α
∫∫
∑
∫∫
∑
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+−=
(1.16)
Integrando por parte os termos envolvendo derivadas segundas e dividindo a expressão
acima por 4 para não contarmos novame nte o sítio i, temos:
dxdy
y
S
x
SJ
a
dxdy
SJH
∫∫
∑
∫∫
∑
==
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−=
3
1
3
1
22
2
2
2
)(
αα
αα
α
(1.17)
lembrando que . A hamiltoniana (1.17) fica : kSjSiSS
zyx
ˆ
ˆˆ
++=
r
∫∫ ∫∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−=
2
22
22
2
2
)( dx
y
S
x
SJ
xdS
a
J
H
r
r
r
(1.18)
em que
. A hamiltoniana pode ainda ser substituída por
dxdyxd =
2
∫∫
∂=− xdS
J
EH
22
0
)(
2
r
µ
(1.19)
sendo
2,1=
µ
e
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∂
yx
,
µ
. Neste caso
∫∫
−= xdS
a
J
E
22
2
0
)(
r
é a energia fundamental
do sistema. Tomando essa energia como sendo 0
0
=
E , obtemos finalmente que:
∫∫
∂= xdS
J
H
22
)(
2
r
µ
(1.20)
25
1.4 O VÓRTICE E A TRANSIÇÃO DE KOSTERLITZ - THOULESS
Quando consideramos modelos de plano-fácil, verifica-se o surgimento de excitações
topológicas chamadas de vórtices. Tais excitações ocorrem, basicamente, devido à baixa
dimensionalidade do sistema. É sabido também que os vórtices são responsáveis pela
transição de Kosterlitz-Thouless. Acredita-se que estes sejam responsáveis pelo pico
central na função correlação dinâmica [19], observado através de simulações [20,21,22].
Os vórtices nos apresentam um mínimo local de energia do sistema. As
configurações mais simples de vórtices que surgem são as do tipo planar. Neste, há uma
anisotropia suficientemente grande para provocar o confinamento dos spins no plano.
Assim, fazendo m = 0 na expressão (1.11) temos:
()
∫
∇= rd
J
H
2
2
2
φ
. (1.21)
Esta hamiltoniana define a versão continua do modelo Rotor Planar, em que a
correspondente equação de movimento, do princípio variacional, fica:
00
2
=∇⇒=
φ
δφ
δ
H
. (1.22)
A equação de Laplace acima possui uma solução do tipo vórtice, o qual pode ser
representado por:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
ν
ν
ν
φ
xx
yy
qyx
1
tan),(
(1.23)
em que q é definida como a carga topológica do vórtice e o par
(
)
νν
yx , é o centro do
sistema. Pensemos então uma configuração em que a carga topológica é q = +1, conforme
a figura (1.7). Uma forma de definir um vórtice é pela configuração na qual a soma da
26
diferença dos ângulos de spins vizinhos, numa mesma distância do centro, seja múltiplo de
π
2
. Podemos sintetizar esta definição através de um conjunto de condições de contorno
sobre uma integral de circulação, da forma:
∫
=⋅∇ )(2)( qldr
πφ
r
r
(1.24)
em que as curvas fechadas englobam a posição do centro do vórtice )(
ν
r
r
Figura 1.7. Vórtice de carga topológica q = +1.
Um vórtice com carga topológica q = -1 é usualmente chamado de antivórtice e pode ser
representado pela figura (1.8).
27
Figura. 1.8. Antivórtice com carga topológica q = -1
Podemos, também, obter a energia do vórtice no limite contínuo. Primeiramente,
como o problema é cilindricamente esférico, podemos calcular a integral de circulação
(1.24) da forma:
∫
∇=⋅∇=
φπφπ
rldq 2)(2
r
r
(1.25)
ficando
r
q
=∇
φ
. Utilizando este resultado na hamiltoniana (1.21), chegamos a seguinte
energia:
∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
π
π
2
0
2
2
2
ln
1
2
L
a
a
L
Jq
r
rdr
Jq
E
(1.26)
como
φ
∇
diverge para grandes distâncias, é necessário levar em consideração os limites
da integral radial de (1.26), em que L é o tamanho do sistema e
é o espaçamento de rede.
Comumente usa-se o valor
no limite inferior da integral.
a
aa 24.0
0
=
28
favorecendo pares vórtice-antivórtice. A configuração deste tipo pode ser vista na figura
(1.9) e é representado por:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−−
ν
ν
(
)
0
2
/ln2 aRJJE
av
ππ
+≅
−
(1.31)
em que R é a distância entre o vórtice e o antivórtice. Assim, este tipo de transição de fase
é caracterizada pela separação dos pares vórtice-antivórtice em vórtices livres.
Para verificar em que temperatura ocorre a transição, vejamos a energia livre do
vórtice, que é dada por:
TsEF
−
=
, (1.32)
em que E é dada por (1.26) e
, a entropia representada por
s
Ω
=
ln
B
Ks
. Assim a energia
livre fica:
)/ln()2( aLTKJF
B
−
=
π
, (1.33)
Da expressão acima, vemos que para pequenas temperaturas
)2( TKJ
B
>
π
a tendência do
aparecimento de pares vórtice-antivórtice prevalece, caso contrário, vórtices livres
aparecem de forma espontânea. A temperatura em que ocorre esta mudança de
comportamento é estimada por:
Bc
KJT 2/
π
=
(1.34)
1.5 O MÉTODO MONTE CARLO
Neste tópico trataremos de um poderoso método de simulação que nos ajuda o
resolver problemas envolvendo sistemas no estado de equilíbrio termodinâmico. Assim,
este método esta baseado em conceitos da mecânica estatística de equilíbrio.
31
1.5.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
Consideremos, inicialmente, um sistema com N partículas sendo que
,
20
10≈N
como o caso de um gás ou liquido. Se fossemos tratar a dinâmica de cada partícula
separadamente, teríamos N equações diferenciais acopladas para resolver. Caso
calculássemos uma por uma, necessitaríamos de um computador com uma memória
inexistente hoje em dia, além disso, teríamos comparar nossa solução com observações
macroscópicas como pressão e temperatura, por exemplo. Essas grandezas macroscópicas
são somas dos constituintes microscópicos, que feitas de forma apropriada acharíamos uma
grandeza do tipo
),( tx
r
ρ
, sendo
x
r
a posição da amostra e t o tempo. Comparar
),( tx
r
ρ
com o respectivo resultado experimental traria muitas divergências, sendo necessário
realizar médias em intervalos espaços-temporais próximos aos do experimento. Entretanto,
a mecânica estatística não realiza média espaço-temporais, citada acima, mas uma média
chamada “média de ensemble”. Esta é feita de tal forma que a média de uma variável A
representada por
A
é realizada sobre todos os estados do ensemble, de forma que, para
um ensemble canônico, temo s:
∑
∑
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
i
B
i
i
B
i
i
TK
E
TK
E
A
A
exp
exp
(1.35)
em que
é o valor de A no i-ésimo estado e é a energia deste estado. Como a soma é
feita em todas as configurações microscópicas possíveis, este cálculo se torna complicado
já que N é muito grande. A idéia central do método Monte Carlo reside exatamente em
escolher as configurações mais relevantes em cada temperatura, ao invés, de usar todas as
configurações possíveis para o sistema. Esta é a idéia da chamada amostragem seletiva. Ao
escolhermos esse método seletivo devemos levar em consideração que algumas
configurações são mais prováveis que outras, de for ma que se uma configuração
gera
uma probabilidade
, a expressão (1.35) fica:
i
A
i
E
i
n
)(
i
nP
32
∑
∑
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
i
B
i
i
i
B
i
ii
TK
E
nP
TK
E
nPA
A
exp)(
exp)(
(1.36)
Uma escolha apropriada para
é a distribuição de equilíbrio dada por:
)(
i
nP
Z
TK
E
nP
B
i
ieq
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
exp
)(
(1.37)
onde Z é a função partição. Daí a expressão (1.35) fica, simplesmente:
M
A
A
M
i
i
∑
=
=
1
(1.38)
em que M é o numero de estados usados para calcular a média. Nos sistemas estudados
pelo método Monte Carlo, pode-se usar vários tipos de algoritimos. Dentre os quais se
destaca o de Metropolis, como veremos adiante.
1.5.2 TRANSIÇÃO ENTRE ESTADOS DE ENERGIA
Como a idéia do método consiste em escolhermos uma seqüência aleatória de
configurações independentes, chamada cadeia de Markov, consideremos
()
ii
xxW → a
probabilidade de transição por unidade de tempo entre as configurações
e
i
x
i
x . Uma
condição suficiente para garantir que o equilíbrio seja atingido é a condição de balanço
detalhado:
33
(1.39)
)
(
()
(
)
(
)
iiiii
xpxp → .
i
xWxxWx
=
→
Portanto, as probabilidades de transição devem ser escolhidas de tal forma que:
(1.40)
()
()
()
.
iii
EEE
ii
ii
ee
xxW
xx
∆−−−
==
→
→
β
.
.
W
β
Pela equação acima vemos que a probabilidade de transição entre os estados depende
somente da diferença de energia entre os mesmos. Vemos também que (1.40) não
especifica de forma unívoca as probabilidades de transição. Em simula ções Monte Carlo,
as duas escolhas mais freqüentes são dadas ou pelo algoritmo de Glauber,
(1.41)
()
,
1
1
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎡
⎞
⎜
⎛
∆−=→
iii
Exx .
2
tan
2
⎣
⎟
⎠
⎝
ghW
β
ou pela prescrição de Metrópolis
(1.42)
1.5.3 ALGORITMO DE METROPOLIS
Neste trabalho estamos interessados em simular como um sistema de spins, modelo
XY, interage com seu meio, o que em mecânica estatística é chamado de reservatório
térmico. Sabe-se que no modelo XY ferromagnético a energia é mínima quando todos os
spins estão paralelos e contidos no plano, mas, devemos considerar também o efeito de
desordem provocado pela temperatura (flutuações térmicas).
()
=
→
ii
xx
;
.
<∆
∆
∆−
i
E
E
Ee
i
β
W
0>
i
0;1
.
34
Vamos assumir que o sistema em interesse esteja em equilíbrio térmico com o
reservatório à temperatura T, também vamos assumir que este seja descrito pelo ensemble
canônico, pois a energia do sistema pode flutuar entre uma configuração e outra. Neste
ensemble, a probabilidade P
est.
de encontrar o sistema em um dado estado, a uma
temperatura T, é dada por
(1.43)
,
.
= CP
β
.
Γ
−
Γ
E
e
onde C é uma constante de proporcionalidade e E
Г
é a energia do sistema no estado Г.
Cada estado Г é determinado por uma configuração particular dos spins da rede, esta
configuração particular é chamada de microestado do sistema na linguagem da mecânica
estatística.
Analisando do ponto de vista microscópico, a mudança do sistema de um estado
acessível para outro é devida à interação do mesmo com o reservatório. Cada mudança de
orientação de um dado spin faz com que o sistema receba ou doe calor para o reservatório
térmico. O método Monte Carlo usa uma aproximação estocástica[24], chamada cadeia de
Markov, para simular a troca de energia da rede de spins com o reservatório térmico.
Para fazer com que a rede atinja um estado de equilíbrio, modelamos sua interação
com o reservatório térmico, que está à temperatura T, através do algoritmo de Metropolis
[25]. O algoritmo de Metropolis é constituído pelas seguintes etapas.
1. Começamos com a rede em um dado microestado, escolhido de forma aleatória;
2. Um spin da rede é escolhido aleatoriamente;
3. Sorteia-se uma nova orientação para este spin;
4. Calcula-se ∆E = E
f
– E
i
, variação na energia associada à mudança de orientação do
spin escolhido no item 2;
5. Se ∆E < 0 então aceita-se esta nova orientação, ou seja, o sistema muda de
microestado, pois a energia abaixou;
35
6. Se ∆E > 0 então sorteia-se um número N
ale.
no intervalo [0,1]. Este número é então
comparado com ;
E
e
∆− .
β
• Se N
ale.
< então aceita-se esta nova orientação, ou seja, o sistema
muda de microestado;
E
e
∆− .
β
• Se N
ale.
> então não é aceita a nova orientação e o sistema
permanece no mesmo microestado;
E
e
∆− .
β
7. Repete-se os passos acima, desde o item 2, até que a rede esteja em equilíbrio
térmico com o reservatório, ou seja, até que as flutuações na energia interna
tornem-se pequenas.
O algoritmo apresentado do item 2 ao item 6 define aquilo que chamamos de passo
Monte Carlo. Para garantir que a rede esteja em equilíbri o térmico com o reservatório,
devemos realizar muitos passos Monte Carlo, permitindo a todos os spins da rede várias
oportunidades de mudar de direção. Pode-se imaginar cada passo Monte Carlo como
representado uma interação da rede com o reservatório térmi co.
O número de passos Monte Carlo necessários para que o sistema atinja o equilíbrio
varia com o tamanho da rede, quanto maior esta, maior será o número de passos
necessários para atingir o equilíbrio. Em geral, nos primeiros passos o sistema ainda não
atingiu o equilíbrio e, neste caso, os valores das quantidades termodinâmicas variam
significativamente de um passo a outro. Isto faz com que, por exemplo, a energia do
sistema oscile bastante. Conforme aumentamos o número de passos, estas oscilações vão
diminuindo e os valores das quantidades termodinâmicas passaram a ter uma pequena
variação em torno dos valores médios. Em particular, a energia oscilará um pouco em
torno do valor mínimo para a temperatura desejada. Assim, quando observarmos este
comportamento para as quantidades termodinâmicas do sistema, saberemos que este está
em equilíbrio térmico com o reservatório.
Por exemplo, no caso de sistemas magnéticos, as principais quantidades
termodinâmicas calculadas são:
- energia média por spin
36
(1.44)
,
∑
=
i
E
M
E
1
1=
M
i
- magnetização média na direção Z por spin
(1.45)
,
1
∑
=
z
SM
1=
M
i
iz
M
- calor específico por spin
(1.46)
2
2
2
1
EE
−
∂
TK
T
E
M
C
b
v
=
∂
=
- e susceptibilidade na direção Z a campo nulo
(1.47)
.
TK
=
χ
2
2
MM
b
−
37
CAPÍTULO 2
MODELO DO NANODISCO COM DOIS BURACOS
2.1 CONSIDERÇÕES GERAIS E MOTIVAÇÕES
Como mencionado na introdução, recentes progressos na nanotecnologia
promoveram resultados interessantes, possibilitando muitas aplicações em materiais
magnéticos, como por exemplo o armazenamento magnético de alta densidade usando uma
disposição em forma de nanodiscos (chamados também de partículas magnéticas), como
sensores magnéticos de alta resolução. Conseqüentemente, há um gra nde interesse nas
propriedades micromagnética de filmes magnéticos nanoestruturados. O uso de nanodiscos
magnéticos em alguns dispositivos, requer um comportame nto do vórtice de certa forma
controlável, provocando um tipo de “chaveamento” entre configurações bem definidas.
Desta forma, estruturas magnéticas do tipo vórtice, que são observados freqüentemente em
nanodiscos ferromagnéticos, podem ter um papel importante. Muitas características do
comportamento de vórtices nos nanodiscos de diversas formas foram estudadas
experimental e teoricamente por vários autores[12-16]. Em geral, estes trabalhos não
consideram irregularidades, como defeitos, na estrutura do nanodisco. A influência dos
defeitos na magnetização pode também conduzir a aplicações interessantes. Por exemplo,
pode ser vantajoso fazer um nanodisco magnético de forma apropriada e mover o núcleo
do vórtice entre defeitos fixos, em vez de inverter a magnetização do nanodisco como um
todo. Recentemente, tornou-se possível a fabricação de nanodiscos constituídos de liga de
38
Permalloy, que contêm um ou mais defeitos definidos litograficamente[15]. As medidas da
magnetização nestes nanodisco com buracos mostram que a estrutura de vórtice pode ser
manipulada intencionalmente [14,15], como vemos na figura (2.1), que representa uma
parte da curva de histerese para um nanodisco com dois buracos [15]. Na fig. (2.1) o
vórtice fica preso num dos buracos dependendo do valor do campo aplicado. A região
retangular representa o aprisionamento do vórtice nos buracos, o que mostra um
“chaveamento” entre eles.
Figura 2.1: Histerese para um disco de Permalloy em que a região retangular
representa o “chaveamento” do vórtice entre dois buracos.
De fato, as simulações micromagné ticas e as experiências [14,15] mostraram que o
núcleo do vórtice pode ser fixado em um defeito. Entretanto, não foram realizados muitos
cálculos analíticos para interação do vórtice com defeitos para este problema. Motivados
pelos resultados experimentais apresentados nas referencias [15,17], vamos estudar
analiticamente, neste capítulo, o comportamento de vórtices num modelo de nanodisco
ferromagnético com dois buracos. Nós empregamos um modelo que combina o modelo de
vórtice rígido [8] ao recente modelo proposto para estudar a interação de vórtice-impureza
[26,27]. Esta combinação não é simples já que o modelo tem que ser ajustado à energia
magnetostática presente num sistema finito como um nanodisco. A energia para um
nanodisco, na presença de um campo externo
H
r
, na aproximação contínua pode ser dada
por [3]:
39
[
]
∫∫
⋅−∇= rdHMMMA
L
W
s
222
))(/(
2
r
r
r
, (2.1)
o primeiro termo está associado à interação de troca e pode ser obtida facilmente como na
equação (1.20) que é de natureza local, e o segundo termo está associado à interação com o
campo, que pode ser magnetostático e externo. Aqui
M
r
representa a magnetização do
nanodisco, enquanto
é a magnetização de saturação e A, a constante de troca.
s
M
2.2 O MODELO ANALÍTICO:
Considere um pequeno disco magnético descrito pelo modelo Heisenberg, num
formato cilíndrico, tendo espessura L e raio R, onde a razão
1<<
R
L
. Desta maneira
podemos assumir que a magnetização
M
r
ao longo do eixo z é uniforme. Assim, numa boa
aproximação, a energia desse nanodisco com dois buracos (anti-dots), na presença de um
campo magnético aplicado, pode ser escrito como:
(
)
[
]
∫∫
−−+−∂∂=
S
extms
rdrrUrrUhhmMmmALW
rrrrr
r
r
rrr
2
2211
2
)()(2))((
2
1
µ
µ
(2.2)
onde, A é a constante de troca,
/
s
mMM=
r
r
é o vetor unitário que descreve a magnetização
ao longo de S (área do disco),
s
M
é a magnetização de saturação,
/
mm
hHM=
s
r
r
é o campo
desmagnetizante,
ext
h
r
é o campo externo. Já o potencial ( )
i
Ur r
i
−
r
r
, com i = 1, 2, diz
respeito aos dois buracos não-magnéticos distribuídos através da face do disco, onde
se
()
ii
Ur r−=
rr
0
i
rr
ρ
−
≤
rr
e ( ) 1
ii
Ur r
−
=
r
r
se
i
rr
ρ
−
≥
r
r
. Aqui cada buraco corresponde a
ausência de spins num pequeno círculo de raio
ρ
com a mesma espessura L. Assim, nosso
sistema é formado por um disco de raio R e espessura L contendo duas cavidades
cilíndricas com raio
R<<
ρ
e cada um centrado em
i
r
r
, conforme a figura (2.2).
40
A princípio cada buraco atrai o vórtice [26], modificando o sistema. Do ponto de
vista do termo de troca, os buracos conduzem o vórtice ao estado de menor energia, como
veremos. Além disso, a distribuição de cargas ao longo das bordas internas dos buracos
aumentará a energia magnetostática, além de alterar o produto escalar
sempre que o
buraco não estiver no centro geométrico da face do disco, onde é o vetor unitário normal
à superfície do disco. Assim, o campo
ˆ
.mn
r
ˆ
n
m
h
r
pode ser expresso em termos do potencial
associado a este, onde
e
mm
h =−∇Φ
r
B
mVi e
B
xt
Φ
=Φ +Φ +Φ
. Aqui, é o potencial
magnetostático relacionado à carga volumétrica, enquanto
V
Φ
B
ext
Φ
e
B
i
Φ
estão relacionados às
bordas externas e internas (dos buracos), respectivamente. Vamos considerar a simetria da
magnetização do vórtice em
.
0r =
r
r
Figura 2.2: Nanodisco de raio R, contendo dois buracos alinhados no eixo x, nas posições
e
1
r
r
2
r
r
a partir do centro do disco.
Neste caso, é conveniente escrever:
(sin cos , sin sin , cos )m
θ
ϕθϕ θ
=
r
, com
ν
θ
θ
= e
arctan( / ) / 2yx
ϕ
π
=±
. Consideramos
ν
θ
tal que sin 0
ν
θ
=
no centro do disco,
0r
=
r
,
enquanto sin 1
ν
θ
→ , longe do centro do disco,
a
r
>>
, onde a é o espaçamento de rede.
41
Em outras palavras, a magnetização consiste numa região onde um pequeno trecho de uma
componente do spin sai do plano, regulando a energia de troca, e outra região onde os spins
estão praticamente confinados na face do disco. Neste caso, as quantidades
em
ˆ
mn⋅
r
rR
=
e são identicamente nulas e não contribuem para o campo
m∇⋅
r
m
h
r
. Se considerarmos um
buraco não-magnético centralizado em
1
r
r
, o potencial devido a este atrairá o vórtice de
modo a minimizar a energia de troca. Porém, esse deslocamento produz um aumento da
energia magnetostática, visto que
ˆ
0mn
⋅
≠
r
na borda lateral do disco, além das cargas
superficiais da borda interna do buraco. Assim, além da magnetização do vórtice não exibir
simetria cilíndrica, temos uma competição entre os termos de troca e magnetostático a fim
de minimizar a energia total, o que torna o problema interessante. Tal problema foi tratado
nos trabalhos [4] e [22] em que os resultados analíticos estavam qualitativamente de
acordo com a simulação micromagnética. Aqui trataremos mais um buraco centrado em
2
r
r
e por simplicidade ambos os buracos estão alinhados no eixo x conforme a figura 2.2. Para
ver este efeito consideraremos o cálculo baseado na energia de troca usando dois defeitos
de raio
a=
ρ
(espaçamento de rede). Nós iremos generalizar os cálculos para defeitos
maiores e incluiremos a energia magnetostática assim como a influência do campo
magnético externo. O potencial experimentado pelo vórtice na presença dos dois defeitos
de raio
a=
ρ
colocados nas posições
1
r
r
e
2
r
r
, devido à energia de troca é defino por:
EEV
buraeff
−
=
cos
, (2.3)
em que
e
cosbura
E
E
são as energias do vórtice na presença dos buracos e na ausência
deles, respectivamente. Assim o potencial efetivo pode ser dado por [27]:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
+
−
+
−=
))((
1ln
2
),(
22
2
22
1
4
22
2
2
22
1
2
21
brbr
a
br
a
br
aA
rrV
eff
π
(2.4)
onde
é uma constante introduzida para eliminar divergências quando o c entro do vórtice
coincide com o centro do buraco.
b
42
Para ver o que acontece com a eq. (2.3) quando consideramos um buraco maior
( ja=
ρ
, ), imaginamos j sítios vazios distribuídos no disco em que a distância entre
eles é mantida fixa. Se o vórtice é fixado num buraco, a presença de outros buracos deve
diminuir a energia que fixa o vórtice, pois os outros buracos també m atraem o vórtice. Os
dois buracos de raio
1>j
a>
ρ
atraem o vórtice através do potencial similar à (2.3), porém
agora a constante
b
deve ser diferente e é estimada considerando j centros de buracos e
centro do vórtice no mesmo ponto de acordo com a Ref. [27], de forma que
j
b≈
ρ
. A
energia depende agora, não somente do número de buracos, mas da sua distribuição no
disco. Nosso interesse é em dois buracos de tamanho arbitrário de forma que
R<<
ρ
. O
buraco é formado por j sítios vazios, vizinhos e de raio
que forma um buraco de raio
a
ρ
.
Na discussão acima, consideramos somente a energia de troca. Neste caso, se o
vórtice está, inicialmente, no centro do disco, os buracos localizados nas posições
1
r
r
e
2
r
r
farão, a princípio, com que o vórtice desloque para um dos buracos, minimizando a energia
do sistema. Contudo, o trabalho de Guslienko [8] mostrou que para um deslocamento d,
em que
, do centro do vórtice em relação ao centro de um disco, a energia de troca,
similarmente obtida como a equação (1.18), também decresce por:
Rd <<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
1ln
2
)(
R
dA
dw
π
(2.5)
Assim, a energia de troca devido ao deslocamento do centro do vórtice em direção ao
centro de um dos defeitos do nanodisco pode ser dado por:
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
+−+−
+
⎢
⎣
⎡
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
−
+−
−−=
])][()[(
)()(
1)1(ln
2
),(
22
2
22
1
4
22
2
2
22
1
2
2
21
bsRrbsRr
a
bsRr
a
bsRr
a
s
A
rrV
exc
π
, (2.6)
43
onde
R
d
s =
, mede o deslocamento relativo do centro do vórtice, enquanto
1.147b
ρ
≅
de
acordo com a referência [3]. Vale ratificar que este modelo é valido para um deslocamento
relativo pequeno (
). Podemos notar que cada termo
1<<s
()
2
2
2
/
i
i
a
g
rsR b
=
−−
rr
corresponde ao potencial atrativo que cada buraco produz no vórtice, enquanto o produto
12
g
g
, presente no último termo do potencial, diz respeito à competição entre eles [25].
Quando temos um sistema magnético pequeno, as coisas se tornam mais interessantes uma
vez que o vórtice sofre um distúrbio no seu perfil e a magnetização já não tem simetria
cilíndrica. Daí, a energia magnetostática aumenta e uma força restauradora aparece a fim
de puxar o vórtice de volta ao centro do disco. Essa energia magnetostática está
relacionada somente às cargas superficiais
nM
ˆ
⋅=
r
σ
que aparecem na borda do disco e na
parede interna dos buracos, e pode ser dada por [8]:
∫∫
−
=
'
'
'
)()(
2
1
rr
rr
dSdSW
m
rr
r
r
σσ
, (2.7)
onde
)cos(21
)sin(
)(
2
ϕ
ϕ
σ
ss
s
Mr
s
−+
−=
r
, (2.8)
a integral é tomada sobre toda a superfície do disco e o deslocamento do vórtice é
assumido como paralelo ao eixo Ox. Calculando
como função de s para a borda do
disco, temos:
m
W
)()/()2(2)0()(
2
0
222
111
sIRLFRMWsWV
smmm
γ
γ
γ
ρ
∑
>
−=−=
(2.9)
Onde
44
2
1
1
0
()
1
() 1
xt
Jt
e
Fx dt
txt
∞
−
⎛⎞
−
=−
⎜⎟
⎝⎠
∫
e
∫
+−
=
π
γ
γ
0
2
)cos(21
)sin()sin(
2)(
sts
tt
dtsI
(2.10)
γ
γ
J,...,2,1=
são funções de Bessel e para s pequeno, podemos usar a expansão
. A contribuição, devido ao buraco da esquerda, é estimada
considerando duas regiões:
)()(
2
1,
22
sOsI +=
µµ
δπ
RRrs //
1
ρ
<−
e
RRrs //
1
ρ
≥−
. Se o centro do vórtice
coincide com o centro do buraco
0/
1
=− Rrs
. Para a primeira região
RRrs //
1
ρ
<−
, a
contribuição da energia magnetostática, devido o buraco da esquerda, pode ser escrita
como:
∑
>
−−−=
0
1
2
1
222
2
)/()/()/)(2(2
γ
γγ
ρρ
RrsILFRrsRMV
sm
(2.11)
Para a região
RRrs //
2
ρ
<−
, relativo ao buraco da esquerda, temos um caso similar à
eq.(2.10) dado por:
∑
>
−−−=
0
2
2
2
222
3
)/()/()/)(2(2
γ
γγ
ρρ
RrsILFRrsRMV
sm
(2.12)
Por outro lado, a segunda região
RRrs //
1
ρ
≥−
e
RRrs //
2
ρ
≥−
, em que o centro do
vórtice está fora dos buracos, o produto
nm
ˆ
⋅
r
será negativo numa metade da cavidade e
positivo na outra metade. Desta forma, as cargas magnéticas na parede da cavidade nã o
mudam apreciavelmente com a distância entre os centros do vórtice e do buraco. De forma
que:
∑
>
−=
0
22222
3
)/()/()/)(2(2
γ
γγ
ρρρρ
RILFRRMV
sm
(2.13)
45
Daí, a energia magnetostática total
mmmmag
VVVV
321
+
+
=
, para um pequeno deslocamento
do vórtice, é estimada por:
2
22 2 2 2 2 2 2 2
1
12 1 1
2
2
2222 2222
2
11
(, , ) 2 ( 2 ) ( / ) 2 ( 2 ) ( / )
2(2)(/) 2(2)(/)
ss
ss
r
Vsrr M R FLRs M R FLR s
R
r
MR F Rs MR F R
RR
πρ παρ
ρ
πβ ρρ πγ ρρ
⎛⎞
=− + − −
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞
+− −+−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
rr
+
(2.14)
onde o primeiro termo está relacionado com a energia magnetostática de toda a superfície
do disco, incluindo a lateral, enquanto os outros termos estão associados ao aprisionamento
do vórtice num dos buracos. Como vimos, teremos três situações dis tintas:
i) O vórtice está centrado no primeiro buraco, daí α = 1 e β =
γ
= 0;
ii) O vórtice está centrado no segundo buraco, daí α = γ = 0 e β = 1;
iii) O vórtice não está preso num dos buracos, daí α = β = 0 e γ = 1.
De maneira direta podemos representar o potencial experimentado pelo vórtice, na
ausência de campo externo, como:
12
(, , )
eff ex mag
Vsrr V V
=
+
r
r
(2.15)
Apresentamos abaixo o potencial efetivo
em função de s. Vemos que estados
biestáveis que aparecem no potencial efetivo, em que o vórtice fica preso num dos buracos,
aparecem para certos valores dos raios dos buracos ρ, separação dos centros dos buracos
eff
V
12
D
rr≡−
rr
e a largura de Exchange
/
ex s
lA= M
. Estes estados biestáveis ocorrem para
D pequeno. Como vemos nas figuras (2.3), (2.4), (2.5) e (2.6), adotamos R = 250 nm e L =
30 nm.
46
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
s
1
2
3
4
5
6
7
v
eff
Figura 2.3. Mostra o gráfico de
versus s. A origem do sistema de coordenadas é o
centro do nanodisco e os buracos estão centrados nas posições
eff
V
1
30rnm
=
− (s = -0.12) e
(s = 0.12) respectivamente. Aqui ρ = 5nm e
2
30rn= m m17
ex
ln
=
.
Na figura (2.3) aparecem dois estados metaestáveis, relacionados aos dois buracos.
Entretanto, a mínima energia se encontra entre os dois buracos (s = 0) o que favorece o
aprisionamento do vórtice no centro do disco.
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
s
2
3
4
5
6
7
Para a figura (2.4), foi mantida a mesma distância entre os buracos da figura (2.3), porém
os raios dos buracos foram aumentados para ρ = 10 nm. Neste caso o centro do vórtice
tende a se deslocar para um dos buracos, onde se encontra o estado de mínima energia.
Figura 2.5. como função de s, em que
eff
V
1
ˆ
(50 )rnm=− i
r
e
1
ˆ
(50 )rnmi=
r
, ρ = 42.5 nm e
nm. 5.7
ex
l =
Assim como na figura (2.3), a figura (2.5) mostra o potencial efetivo de interação do
vórtice, em que a mínima energia para o vórtice se encontra no centro do disco, porém a
largura de “exchange” é agora 5.7
ex
l
=
nm.
48
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
s
0
100
200
300
400
v
eff
Figura 2.6.
como função de s. Aqui os parâmetros são idênticos à figura (2.3), porém,
e
rn
eff
V
1
ˆ
(80 )rnm=−
r
2
ˆ
(80 )mi=i
r
De posse desses resultados, vemos que os estados biestáveis tendem a diminuir se
aumentarmos a distância entre os buracos ou diminuirmos o raio do buraco, dependendo da
largura de Exchange. Nas figuras (2.4) e (2.6) os estados biestáveis aumentam e o centro
do vórtice tende a ficar preso num dos buracos espontaneamente. Estes resultados
analíticos estão, qualitativamente, de acordo com os experimentos, mas os estados
biestáveis podem ser observados experimentalmente para separações dos defeitos da ordem
de 200nm, porém, para os cálculos analíticos, estes estados podem ocorrer para separação
do buraco no máximo da ordem de 120nm. Tal divergência pode ser explicada pelo fato de
que os cálculos analíticos são válidos para pequenos deslocamentos do centro do vórtice.
49
2.3 MODELO ANALÍTICO NA PRESENÇA DE CAMPO EXTERNO
A presença de um campo magnético externo na direção perpendicular a linha que une
os centros dos buracos pode contribuir para o deslocamento do vórtice na direção do eixo
x. Supondo que o campo é aplicado na direção do eixo y, a contribuição da energia de
Zeeman pode ser aproximada por:
, (2.16)
)()2(
0
222
sshRMV
extshext
−−−≅
ρπ
em que
é o campo externo e é a posição de equilíbrio do vórtice que é
calculada fazendo
/
ext ext s
hHM=
r
r
0
s
0
eff
dV
ds
=
em (2.15). Assim, o novo potencial de interação pode ser dado
por:
'
eff hext
VV V
=
+
(2.17)
Claramente, com a presença do campo externo, teremos uma nova posição de equilíbrio
0h
s
s≠
que é calculada fazendo
'
0
dV
ds
=
, em que o ponto de mínimo na figura (2.7) se
apresenta em
para
621.0
'
≈V
121.0
−
≈
h
s e na figura (2.8) em para
.
621.0
'
≈V
121.0≈
h
s
50
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
s
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
v
eff
+v
ext
Figura 2.7. Potencial de interação na presença de um campo externo aplicado na direção y.
Os parâmetros deste caso são os mesmos da figura (2.4) e o campo externo é dado por
. A mínima energia para o vórtice é no buraco da esquerda.
ˆ
(0.10)
ext
h=−
r
y
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
s
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
v
eff
+v
ext
Figura 2.8. Potencial de interação na presença de um campo externo aplicado na direção y.
Os parâmetros deste caso são os mesmos da figura (2.4) e o campo externo é dado por
porém
. Aqui, a mínima energia para o vórtice é no buraco da direita.
ˆ
(0.10)
ext
h= y
r
Vemos que a aplicação de um camp o magnético externo nos sentidos positivo e negativo
do eixo y faz com que o vórtice tenha a mínima energia num dos buracos, ou seja, pode
favorecer o aprisionamento do vórtice em um dos buracos. Isso nos possibilita certo
51
controle do vórtice através do campo externo aplicado. É possível que o vórtice desenvolva
uma pequena oscilação em torno do ponto de equilíbrio, isto devido à oscilação topológica
que ocorre em torno de impurezas magnéticas.
2.3.1 Cálculo da Magnetização
Como vimos acima, a posição de equilíbrio
000
(, )sxy
=
para o vórtice na ausência
do campo magnético, pode ser obtida fazendo-se
0
eff
dV
ds
=
. Está claro, que depende dos
parâmetros do disco e dos buracos, além disso, pelo sistema de coordenadas adotado,
e . Assim a magnetização ao longo da face do disco pode ser obtida
minimizando o primeiro termo da hamiltoniana (2.2) e será dada por:
0
s
0
0x ≠
0
0y =
()
0
2
2
0
()
x
y
ms
x
sR y
=
−+
m
,
(
)
()
2
2
0
0
0
)(
yRsx
Rsx
sm
y
+−
−
±
=
, (2.18)
no qual os sinais
±
estão associados às rotações horária e anti – horária do vetor
m
r
na
face do disco, respectivamente. Já que o sistema possui simetria sobre reflexão no eixo x, a
magnetização ao longo do eixo x anul a-se, enquanto a componente y da magnetização será
dada por:
00
22 2
12
11 1
() () ()
ys y y y
disco buraco buraco
0
M
M m s dxdy m s dxdy m s dxdy
R
ππρπρ
⎡⎤
≅−−
⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫
(2.19)
Que é valido para
0
1ss−<<
. As integrações acima são tomadas na área da face do disco
e nos dois buracos (de mesmo raio ρ), respectivamente.
52
Com a presença do campo magnético externo, a posição de equilíbrio para o vórtice
será
. Assim, as componentes da magnetização média do nanodisco na presença do
campo magnético externo são
h
s
0=
x
M
e
y
M
que é dada por (2.18) com
substituído por
. No cálculo da magnetização iremos usar o sinal de baixo (sentido
anti-horário da magnetização), o que indica que o vórtice prenderá no buraco da direita
para
e no da esquerda para
)(
0
sm
y
)( sm
0>
h 0
hy
ext
<
ext
h . Usando os parâmetros do nanodisco
e considerando ,
nml
=
nmR 250= nmL 30
ex
17
=
,
nm10
=
ρ
, e , plotamos a
magnetização média
nmD 60=
y
M
versus necessário para manter o centro do vórtice na
posição
como mostra a figura (2.9). Nós representaremos esse campo por .
Como o campo desta figura não é varrido num intervalo constante não podemos associar
com a histerese. Assim o gráfico dá apenas a magnetização do disco necessária para
manter o vórtice tanto dentro quanto fora do buraco.
ext
h
h
s
)(
hext
sh
-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.3
h
ext
Hs
h
L
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.30.3
M
Y
4
3
2
1
Figura.2.9. Magnetização vs campo externo para manter o vórtice em
.
h
s
Notemos que há quatro regiões indicadas com linhas retas. Duas delas têm a mesma
inclinação (1 e 4 na Fig.2.9) e (2 e 3 na Fig.2.9). As linhas 1 e 4 mostram a magnetização
necessária para manter o vórtice em posições fora dos buracos, enquanto as linhas 2 e 3
nos dão a situação em que o centro do vórtice está no buraco da esquerda ou da direita.
53
2.3.2 Obtenção da curva de histerese
De acordo com a figura 2.9 podemos obter o traço de histerese para um disco com
os mesmos parâmetros do caso acima. Nos experimentos, geralmente, o campo magnético
externo é varrido num intervalo de -1 a 1. É necessário lembrar que os dois buracos estão
localizados nas posições
e
nmr 30
1
−= nmr 30
2
=
. Quando o campo está decrescendo, a
magnetização média também decresce devido o deslocamento do vórtice como na fig. 2.10
(linha 1), já que a posição de equilíbrio do centro do vórtice muda ao se aproximar de um
dos buracos. Seguindo o processo, para o valor de campo 182.0
≈
ext
h o centro do vórtice
encontra a borda do buraco da direita e o valor da magnetização média é
.
A partir daí, um pequeno decréscimo do campo causará uma queda abrupta na
magnetização como vemos na fig. 2.10 (linha 2), pois o centro do vórtice cai dentro do
buraco, tendo um rápido deslocamento e o campo
sy
MM 196.0≈
182.0
≈
ext
h não é suficiente para manter
Figura 2.10. traço de histerese para o nanodisco com dois buracos
o centro do vórtice tão próximo da borda interna do buraco. Depois, a magnetização cairá
vagarosamente através da linha 3 até o valor em que o campo vale
e
. Esta pequena inclinação da linha 3 está associada a forte interação entre o
112.0−≈
ext
h
sy
MM 098.0≈
54
vórtice e o buraco quando o centro vórtice está dentro do buraco. A queda abrupta que
ocorre na linha 4 está associada a saída do buraco da direita e entrada no buraco da
esquerda. Já a linha 5 diz respeito a interação do vórtice com a borda interna do buraco da
esquerda seguida da linha 6, quando o vórtice sai deste buraco.
A região retangular central mostrada na histerese da figura (2.10) está
qualitativamente de acordo com os resultados experimentais das referências [14,15]. U m
comportamento interessante ocorre na regi ão central da histerese que está associada a dois
estados estáveis . As variações na região central da histerese estão relacionadas ao salto do
centro do vórtice de um estado para o outro, o que chamamos de “chaveamento” entre
estados. Este mecanismo de “chaveamento” pode ser explicado da seguinte maneira:
Consideremos, inicialmente, o estado de equilíbrio quando o centro do vórtice está num
dos buracos, por exemplo, na esquerda. Nesta situação, a força de aprisionamento,
associada ao potencial
, atua no centro do vórtice. Depois que se aumenta o campo
magnético externo ao longo do eixo y ( ), é possível mover o vórtice através da
barreira de potencial que separa os dois buracos. Assim, o vórtice saltará para o buraco da
direita. Quando o campo é invertido ocorrerá o mesmo processo e o vórtice voltará para o
buraco da esquerda, fechando o ciclo.
eff
V
0>
y
h
55
CAPÍTULO 3
RESULTADOS DE SIMULAÇÕES
3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
Realizamos simulações de Monte Carlo usando o algoritmo de Metropolis numa rede
quadrada em forma de disco com dois buracos (ver fig. 3.1). Para que as simulações de
Monte Carlo dêem resultados aceitáveis, é necessário desprezar, no cálculo dos valores
médios das grandezas, os passos em que há grande oscilação da energia do sistema, ou
seja, os passos nos quais o sistema ainda não está em equilíbrio. Para compararmos os
resultados com as previsões teóricas do capítulo 2, partimos de configurações iniciais do
tipo vórtice centrado (Fig. 3.1). Este procedimento ajuda o sistema a equilibrar mais rápido
(com menos passos Monte Carlo).
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
Como os resultados experimentais sugerem que estes sistemas têm um comportamento
fortemente planar (pela presença de vórtices), vamos simular um nanodisco magnético pelo
modelo de rede discreta descrito pelo hamiltoniano abaixo [3]:
2
'
,
'
)
ˆ
()(
∑∑
⋅++−=
i
i
y
j
y
i
ji
x
j
x
i
nSBSSSSJH
r
(3.1)
em que a primeira parte está associada a hamiltoniana do modelo XY, já que estamos
considerando o disco com espessura desprezível e as somas são sobre os sítios i e sobre
seus primeiros vizinhos j. O segundo termo está associado aos efeitos de borda do disco,
pois estamos considerando um sistema finito, em que a soma se estende sobre os spins da
borda i’. No segundo termo
n
é o vetor normal à superfície e B corresponde a uma
constante de anisotropia que orienta
ˆ
S
r
com respeito à superfície. Desta forma, haverá uma
competição entre energia de troca e a energia magnetostática associada à borda do disco.
Assim, teremos uma configuração de energia mínima quando os vetores de spin da borda
estiverem perpendiculares ao vetor normal, ou seja, tangentes à borda em cada ponta desta
e os demais spins no plano em forma de vórtice centrado. Nas simulações utilizamos redes
quadradas LxL = 40x40. Por conveniência assumimos que J = S = 1 e medimos a
temperatura em unidades de J ( JTT
med
/
=
).
3.2 RESULTADOS OBTIDOS
Apresentaremos a seguir os resultados de simulação Monte Carlo para o sistema
descrito pela hamiltoniana (3.1) na presença de dois buracos não-magnéticos a fim de
visualizarmos como o sistema atinge o equilíbrio a uma certa temperatura. Na figura 3.2
mostramos a energia do sistema em função do número de passos Monte Carlo à
temperatura
, para uma rede 40 x 40 em forma de disco com dois buracos
(figura 3.3) de raio
05.0/ =JT
a1=
ρ
e a distância entre os seus centros
aD 10
=
, em que é o
a
57
espaçamento de rede. Aqui o parâmetro de anisotropia
01.0/
=
JB
. Pelo gráfico da Fig.
3.2 observamos que após 5000 passos Monte Carlo o vórtice estabilizou entre os dois
buracos. Realizamos várias simulações e vimos que para uma razão
12.0~/ D
ρ
, o estado
estável para o vórtice se encontra no centro do disco. Este resultado está de acordo com as
previsões analíticos das figuras 2.3 e 2.5.
0 20000 40000 60000 80000 100000
-1.91
-1.90
-1.89
-1.88
-1.87
-1.86
-1.85
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Figura 3.3: Configuração do vórtice na rede 40x40 com dois buracos de raio
a1=
ρ
e
distância entre eles
aD 10
=
, após 50.000 passos Monte Carlo.
Nas figuras 3.4 e 3.5 mostramos, respectivamente, a energia em funç ão do número de
passos Monte Carlo e a configuração da rede em forma de disco após 50.000 passos. Neste
caso consideramos que o raio do buraco vale
a3
=
ρ
e a distância entre os centros dos
buracos permanece
, para o parâmetro de anisotropia . Assim como
anteriormente, o sistema estabilizou após 5000 passos. Vemos que agora o estado de
estabilidade do vórtice se encontra num dos buracos. Realizamos várias simulações e
notamos que para uma razão
aD 10= 01.0/ =JB
32.0~/ D
ρ
o vórtice tende a ficar aprisionado num dos
buracos, o que está de acordo com as previsões analíticos referentes às figuras 2.4 e 2.6.
59
0 20000 40000 60000 80000 100000
-1.89
-1.88
Figura 3.4: Energia por spin X passos Monte Carlo para uma rede 40x40 em forma de
disco com dois buracos de raio
a3
=
ρ
e a distância entre eles
aD 10=
Figura 3.5: Configuração do vórtice numa rede 40x40 com dois buracos de raio
a3=
ρ
e
distância entre eles
aD 10
=
, após 50.000 passos Monte Carlo.
-1.87
-1.86
-1.85
-1.84
-1.83
O estudo analítico apresentado no capítulo 2 é baseado no modelo do vórtice rígido e
energia magnetostática. Neste estudo não aparece explicitamente um termo ou parâmetro
relacionando a energia magnetostática com uma anisotropia de borda, similar ao termo B
que aparece na ham
Figura 3.7 : Configuração de equilíbrio do vórtice para B = 0.05
Consideremos, a seguir, a aplicação de um campo magnético no sentido positivo
do eixo y, no mesmo sistema da figura 3.4 . As figuras 3.8 e 3.9 mostram a energia por
spin em função do número de passos Monte Carlo e as configurações do vórtice com a
aplicação do campo, respectivamente. Vemos que após 5000 passos o vórtice estabilizou
no buraco da esquerda (Figura 3.9 (a)). Ao chegar em 15000 passos, o campo externo foi
ligado e a energia do sistema aumentou até 30000 passos, e a partir deste ponto a energia
estabilizou mostrado o aprisionamento do vórtice no buraco da direita (Figura 3.9(b)).
Assim como nos resultados analíticos das figuras 2.7 e 2.8, podemos ver que a presença de
um campo externo pode forçar o vórtice a sair de um buraco e ser aprisionado no outro
buraco (chaveamento).
62
0 10000 20000 30000 40000 50000
-1.89
Figura 3.8: Energia por spin X passos Monte Carlo para uma rede 40x40 em forma de
disco com dois buracos de raio
a3
=
ρ
e a distância entre eles
aD 10
=
que mostra a
transição da estabilidade do vórtice d e um buraco para o outro, após um campo ser ligado.
(a) (b)
Figura 3.9: (a) Configuração do vórtice aprisionado no buraco da esquerda após 5000
passos Monte Carlo (antes). (b) Configuração do vórtice aprisionado no buraco da direita,
devido à presença de um campo externo, após 30000 passos (depois).
-1.88
-1.87
-1.86
-1.85
-1.84
-1.83
-1.82
E ia por spin (unidades de J)
Passos Monte Carlos
nerg
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
3.2.1 Simulação da curva de Histerese
Com o objetivo de simular a curva de Histerese, consideramos
a2=
ρ
e
aD 14
=
para
. O intervalo de variação do campo externo é entre -0.1 até 0.1.
Parta obter uma configuração estável do sistema, variamos a temperatura de até
. Após os primeiros 30.000 passos Monte Carlo, o vórtice estabilizou no buraco
da direita. Quando chegamos aos 60.000 passos, o campo externo foi ligado. Obtivemos
assim uma curva de histerese representada na figura 3.10. Note que esta curva tem um
comportamento qualitativo semelhante ao comportamento experimental apresentada na
figura 2.1. Com a simulação, vimos que o vórtice permaneceu no buraco da direita (figura
3.11) para a variação do campo de
01.0−=B
Jh
ext
/
2.0/ =JT
1.0/ =JT
1.0/
−
=
Jh
ext
até 04.0/
=
Jh
ext
( linha 1 da figura
3.10).
Figura 3.10 : Curva de histerese para o disco com
a2
=
ρ
e .
aD 14=
64
Figura 3.11: Uma configuração do vórtice referente à linha 1 da curva de histerese.
Quando o campo externo chega a 04.0/
=
Jh
ext
, ocorre um salto abrupto na magnetização
de
para
12.0/ =
sy
MM 51.0/
=
sy
MM
(linha 2 da figura 3.10). Nesta situação,
podemos ver uma configuração do vórtice na transição do buraco da direita para o da
esquerda (figura 3.12)
Figura 3.12: Uma configuração do vórtice referente à linha 2 da curva de histerese.
65
Seguindo o processo, o vórtice se mantem preso no buraco da esquerda (figura 3.13)
quando o campo é varrido de 1.0/
=
Jh
ext
até 04.0/
−
=
Jh
ext
de acordo com a linha 3 da
figura 3.10.
Figura 3.13: Uma configuração do vórtice referente à linha 3 da curva de histerese.
Ao chegar no campo
, ocorre uma queda abrupta na magnetização de
para
04.0/ −=Jh
ext
28.0/ −=
sy
MM 45.0/
−
=
sy
MM
conforme a linha 4 da figura 3.10. Neste caso o
vórtice solta do buraco da esquerda ( ver figura 3.14), e volta para o buraco da direita,
fechando assim o ciclo.
66
Figura 3.14: Uma configuração do vórtice referente à linha 4 da curva de histerese
Assim como na curva de histerese obtida no modelo contínuo, ocorre um
“chaveamento” entre as duas configurações estáveis do vórtice. Entret anto, o platô central
obtido na histerese via simulação (figura 3.10) e experimental (figura 2.1) possui uma
inclinação maior que a do platô da curva de histerese da figura 2.10. Isto porque no cálculo
analítico consideramos o modelo de vórtice rígido, porém nas simulações e nos
experimentos o vórtice pode apresentar deformações, o que é fisicamente provável.
67
CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS FUTURAS
Como visto dos resultados experimentais e de nossas previsões teóricas, quando
dois buracos são incluídos num nanodisco magnético com magnetização do tipo vórtice,
este poderá ficar preso num dos buracos, ou seja, apresentar estados biestáveis de energia .
Dos cálculos analíticos, vimos que a aplicação de um campo externo promove o
salto do vórtice de um buraco para o outro, o que chamamos de “chaveamento” entre os
buracos. Com isto construímos a curva de histerese e obtivemos um comportamento
similar ao obtido experimentalme nte [14,15]. Entretanto, o “loop” central da curva de
histerese do modelo analítico, relacionado ao “chaveamento” do centro do vórtice entre
dois estados estáveis, é verificada para pequenos valores de
ρ
e em comparação
daqueles usados nos experimentos. Assim nossos resultados analíticos concordam com os
experimentais para pequenos deslocamentos do centro do vórtice em relação à posição de
equilíbrio
.
D
h
s
Nas simulações Monte Carlo, conseguimos observar os estados biestáveis que
aparecem para o vórtice, assim como o mecanismo de “chaveamento”. Diferentemente do
modelo analítico, o “loop” central da curva de histerese vi a simulação apresenta uma certa
inclinação, semelhante aos resultados experimentais. Isto acontece, pois nas simulações
não consideramos o modelo de vórtice rígido e levamos em consideração os efeitos de
temperatura.
Em nossas simulações usamos um modelo de rede discreta baseado no modelo XY,
com adição do termo de anisotropia de borda relacionado à energia magnetostática. Neste
termo aparece um parâme tro de anisotropia B que pode ter o seu valor ajustado de forma
que quanto maior o seu valor, maior a tendência do vórtice de ficar centrado. Isto influi no
valor do campo de “chaveamento” e nos estados biestáveis de energia do vórtice e deve ser
levado em consideração do ponto de vista experimental. Na parte final desse trabalho
fizemos uma breve investigação sobre o efeito do parâmetro B e vi mos que realmente este
interfere no valor campo mínimo de “chaveamento”. Pretendemos, em trabalhos futuros,
entender melhor os efeitos desse parâmetro de anisotropia B sobre a formação dos estados
de vórtices nos nanodiscos e relacioná-los aos efeitos de borda e a geometria do sistema.
68
BIBLIOGRAFIA
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[27] F. M. Paula, A. R. Pereira, and L. A. S. Mól, Phys. Lett. A 329,
155 (2004)
70
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