ads:
Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Física
Estudo, via simulações, do comportamento de
Vórtices em Nanodiscos Magnéticos
Ivo de Almeida Marques
Juiz de Fora – MG
Março de 2007
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Física
Estudo, via simulações, do comportamento de
Vórtices em Nanodiscos Magnéticos
Ivo de Almeida Marques
Orientador: Prof. Dr. Sidiney de Andrade Leonel
Juiz de Fora – MG
Março de 2007
Dissertação de Mestrado apresentada
à banca examinadora como requisito
parcial obrigatório à obtenção do
título de Mestre em Física.
ads:
A meus pais e minha amada, pelo apoio e carinho.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer:
- A Deus, fonte primária de tudo;
- Aos meus pais, Paulo e Ilza, por terem me dado a dádiva da vida e por me apoiarem durantes
estes meses de curso;
- À minha noiva Regiane, pelo amor, companheirismo, apoio, incentivo, paciência e
compreensão;
- Ao professor Sidiney, pela orientação, ajuda e incentivo;
- A TODOS os professores e funcionários da UFJF. Em especial aos professores: Pablo,
Virgílio e Barone;
- A TODOS os colegas de curso com quem tive a oportunidade de conviver. Agradeço em
especial a: Flávia, Adriana, Helen, Leandro, Daniel, Paulo Romildo, Marreco, Charles, André,
Bruno(s), Diego, Otávio, Alberto(s) e Douglas;
- Aos membros da banca;
- À CAPES, pelo apoio financeiro.
Understanding the influence of shape opens
the way to designing new nanostructured
magnetic materials where the magnetic
p
roperties can be tailored to a particular
application with a very high degree of
precision.
R. P. Cowburn
[1]
Resumo
Nos últimos anos, o progresso da nanotecnologia permitiu a fabricação de amostras
magnéticas na escala nanométrica, bem como a evolução de técnicas experimentais para
medir suas propriedades. Verificou-se experimentalmente que o estado fundamental de um
Nanodisco Magnético pode ser a configuração de Vórtice ou a configuração de domínio
único, dependendo de parâmetros como raio e espessura do Nanodisco Magnético.
Em escala nanométrica, o efeito de borda e a energia magnetostática tornam-se
importantes, criando uma anisotropia de borda sobre os spins próximos a esta. Previsões
teóricas indicam que o estado fundamental de um Nanodisco Magnético deve ser a
configuração de domínio único. É importante enfatizar que tais previsões são baseadas em
teorias que não levam em consideração a espessura da borda.
No texto subseqüente analisamos, via simulações Monte Carlo, o efeito da espessura
da borda sobre o estabelecimento do estado fundamental em Nanodiscos Magnéticos. Nossos
resultados mostraram que a espessura da borda possui influência considerável sobre o
estabelecimento do estado fundamental em tais sistemas.
Analisamos também, via simulações Monte Carlo e Dinâmica de Spins, o efeito da
inclusão de um buraco circular, no centro de um Nanodisco Magnético, sobre a configuração
de Vórtice. Neste caso, nossos resultados mostraram que o buraco prende a configuração de
Vórtice. Tal efeito pode ser usado para criar esquemas de chaveamento baseados no
aprisionamento e soltura da configuração de Vórtice por buracos em Nanodiscos Magnéticos
submetidos a campo externo.
Abstract
In the last years, the progress of the nanotechnology allowed the production of
magnetic samples with dimensions in the nanometric scale, as well as the evolution of
experimental techniques to measure their properties. It was verified experimentally that the
fundamental state of a Magnetic Nanodisk can be the Vortex configuration or the single
domain configuration, depending on parameters as ray and thickness of Magnetic Nanodisk.
In nanometric scale, the border effect and the magnetostatic energy become important,
creating a border anisotropy on the close spins to the border. Theoretical forecasts indicate
that the fundamental state of a Magnetic Nanodisk should be the single domain configuration.
It is important to emphasize that such forecasts are based on theories that don't take into
account the thickness of the border.
In the subsequent text we analyzed, by Monte Carlo simulations, the effect of the
thickness of the border on the establishment of the fundamental state in Magnetic Nanodisks.
Our results showed that the thickness of the border possesses considerable influence on the
establishment of the fundamental state in such systems.
We also analyzed, by Monte Carlo simulations and Spin Dynamics, the effect of the
inclusion of a circular hole, in the center of a Magnetic Nanodisk, about the Vortex
configuration. In this case, our results showed that the hole pinning the Vortex configuration.
Such effect might be used for switching schemes employing pinning and depinning of the
Vortex configuration by holes in Magnetic Nanodisks submitted to external field.
Índice
Introdução ....................................................................................................................... 09
Capítulo 1 – Nanodiscos Magnéticos .............................................................. 13
1.1 – Nanodiscos Magnéticos e possíveis aplicações .................................................. 13
1.2 – Obtenção de Nanodiscos Magnéticos ................................................................. 15
1.3 – Curvas de Histerese em Nanodiscos Magnéticos ............................................... 17
1.4 – Microscopia de Lorentz em Nanodiscos Magnéticos ......................................... 20
1.5 – Modelo teórico para o estudo de Nanodiscos Magnéticos ................................. 22
1.6 – Buracos em Nanodiscos Magnéticos .................................................................. 28
Capítulo 2 – Método Monte Carlo e Dinâmica de spins ..................... 30
2.1 – Método Monte Carlo .......................................................................................... 30
2.2 – Dinâmica de spins .............................................................................................. 38
Capítulo 3 – Resultados das simulações ....................................................... 41
3.1 – Simulações usando o método Monte Carlo ........................................................ 41
3.2 – Simulações usando o método Dinâmica de spins ............................................... 51
3.3 – Conclusões ......................................................................................................... 58
Apêndices ......................................................................................................................... 59
Apêndice A – A interação de troca ............................................................................. 59
Apêndice B – O Limite Contínuo ............................................................................... 63
Apêndice C – Obtenção das equações de movimento para
l
S
................................... 69
Referências Bibliográficas ..................................................................................... 71
9
Introdução
[2, 3, 4]
Não se sabe ao certo quando foi observada pela primeira vez a existência do
magnetismo (a palavra magnetismo está associada ao fenômeno pelo qual um ente tem o
poder de atrair e influenciar outro ente). Os primeiros relatos sobre as propriedades
“maravilhosas” de um certo mineral de ferro foram feitos pelos gregos e datam de 800 a.C.. O
nome de tal mineral, posteriormente reconhecido como sendo Fe
3
O
4
, teria sido derivado do
nome de um pastor de ovelhas grego chamado Magnes que ficara surpreso ao observar que a
ponta de seu cajado fora atraída por uma pedra que encontrara ao longo de seu caminho. A
província grega onde Magnes teria vivido passou a se chamar Magnésia e a pedra magnetita,
de onde veio o termo magnetismo.
A primeira aplicação tecnológica dos materiais magnéticos foi a bússola. Inventada,
segundo alguns historiadores, pelos chineses em torno de 2000 a.C.. Referências no ocidente
sobre o uso da bússola só ocorreram por volta de 1180, no livro do inglês Alexander Neckan.
O primeiro livro sobre o assunto foi publicado em 1269 pelo engenheiro militar
francês Pierre Pélerin de Maricourt (Petrus Peregrinus). Em seu trabalho, Peregrinus compilou
tudo o que se sabia até então e agregou a isto suas próprias experiências e observações. Tal
livro tornou-se o primeiro tratado de física experimental. Peregrinus foi também o primeiro a
pôr em evidência uma das questões fundamentais do Eletromagnetismo, a questão do mono
pólos magnéticos, ao observar que não se podia isolar um pólo ou carga magnética.
Dos filósofos naturais que estudaram o magnetismo o mais famoso é Willian Gilbert
de Colchester, chamado de “Pai do Magnetismo”, pois sistematizou as especulações sobre o
assunto. Dilo sendo Fe
10
confiança de seu tempo, junto com suas maiores contribuições. Ele também foi o primeiro a
afirmar que a Terra é um ímã, ou seja, possui um campo magnético próprio.
Os fenômenos magnéticos ganharam uma dimensão muito grande a partir do século
XIX, com a descoberta de sua correlação com a eletricidade. Em 1820 Oersted e Ampère
anunciaram a descoberta de que uma corrente elétrica gera uma força magnética, propiciando
a invenção do motor elétrico. Por outro lado, na década de 1840, Faraday e Henry
descobriram que um campo magnético variável podia induzir uma corrente elétrica num
circuito, possibilitando a invenção do gerador elétrico.
Após a descoberta dos efeitos magnéticos das correntes elétricas, meado do século
XIX, foi sugerido por Ampère, que a magnetização de meios materiais (ímãs permanentes)
deveriam se originar de correntes microscópicas, que foram denominadas correntes de
Ampère. Assim, todos os fenômenos magnéticos (campos magnéticos) seriam gerados por
correntes elétricas, da mesma forma que todos os fenômenos elétricos (campos elétricos) são
gerados por cargas elétricas.
No final do século XIX Pierre Curie realizou medidas de magnetização em função da
temperatura, determinando a famosa lei de Curie. Em 1891 James Erwin publicou um livro
com as propriedades conhecidas dos materiais usados em motores, reatores e geradores. Foi
ele quem sugeriu o nome histerese para a curva de magnetização em função do campo. Em
1905, Paul Langevin explicou o diamagnetismo. Em 1907, Pierre Wiess fez o primeiro
modelo para um material ferromagnético, que consistia de momentos microscópios, sob a
ação de um campo médio local criado pelos vizinhos.
Em 1922 Stern realizou medidas do momento angular e do momento magnético do
elétron. Em 1925 Uhlembeck e Gouldsmit introduziram a idéia do spin eletrônico
(propriedade intrínseca do elétron a qual se associa um momento magnético). Também neste
ano, Ising desenvolveu um modelo mais sofisticado para um material ferromagnético, que
11
continha uma interação entre dois spins em átomos vizinhos. Durante a década de 1920 a
Mecânica Quântica foi formulada através do trabalho de vários cientistas. No início da década
seguinte Heisenberg, Pauli, Dirac e Van Vleck utilizaram a Mecânica Quântica para explicar a
interação magnética entre átomos vizinho em um sólido. Tal explicação encontra-se no
apêndice A.
Nos últimos quinze anos a pesquisa em materiais magnéticos ganhou um grande
impulso por conta de descobertas feitas com estruturas artificiais de filmes finos. A
possibilidade de se fabricar estruturas magnéticas na escala nanométrica tem levado ao
surgimento de novas áreas de pesquisa em magnetismo. Um dos novos fenômenos mais
importantes é a magneto-resistência gigante, observada em multicamadas de certos filmes
magnéticos (como Fe, Co, Ni e suas ligas) intercalados com filmes metálicos não magnéticos
(como Cr, Cu, Ru). Este fenômeno foi observado em 1988 nos trabalhos de Albert Fert e seu
grupo, o qual participava o brasileiro Mário Baibich
[5]
. Além deste, vários outros fenômenos
foram descobertos nos últimos anos, tais como acoplamento entre camadas vizinhas,
transporte dependente de spin, efeito túnel magnético, entre outros.
Atualmente o magnetismo é um dos campos de pesquisa mais férteis e mais ativos na
Física da Matéria Condensada. Do ponto de vista da pesquisa básica, os fenômenos
magnéticos representam uma aplicação complexa de Mecânica Quântica, Física Estatística e
Eletromagnetismo. Por outro lado, os materiais magnéticos desempenham um papel
importante na tecnologia moderna. Isto faz com que o magnetismo exerça uma grande atração
sobre os físicos teóricos e experimentais.
12
O presente trabalho tem por objetivos apresentar uma visão geral sobre Nanodiscos
Magnéticos e apresentar resultados de simulações em tais sistemas. O texto subseqüente está
dividido em três capítulos:
• no capítulo 1 faremos uma exposição geral sobre Nanodiscos Magnéticos,
• no capítulo 2 apresentaremos os métodos que utilizamos para o estudo de tais sistema e
• no capítulo 3 mostraremos os resultados obtidos e as conclusões inferidas.
13
Capítulo 1 – Nanodiscos Magnéticos
1.1 – Nanodiscos Magnéticos e possíveis aplicações
É chamado Nanodisco Magnético (NDM) todo filme fino em forma de disco e em
escala nanométrica que possui propriedades magnéticas. Em análises teóricas, como feito
neste trabalho, modela-se um NDM em uma rede de Bravais
[6]
quadrada (rede bidimensional)
e associa-se um vetor de “spin clássico” a cada ponto da rede. A figura 1.1(a) mostra tal
modelagem para um NDM com magnetização resultante na direção x
ˆ
. Já a figura 1.1(b)
representa o mesmo NDM com magnetização resultante nula. O raio de tal disco é igual a 7
parâmetros de rede (um parâmetro de rede, numa rede quadrada, é a menor distância entre
dois spins).
Figura 1.1 – Representação de um NDM com e sem magnetização resultante, figura 1.1(a) e figura 1.1(b),
respectivamente.
)(a
)(b
14
Oberlin Smith, em 1887, foi o primeiro
[3]
a sugerir a utilização de materiais
magnéticos para o armazenamento de dados. Atualmente este é o maior e mais promissor
campo de aplicações para tais materiais. Como exemplos de equipamento que utiliza o
armazenamento magnético têm-se os HD’s (hard disks), os disquetes (floppy disks) e fitas
magnéticas (vídeo cassete e áudio cassete). Outras aplicações atuais de destaque são em
memórias não voláteis de computador, as MRAM’s
[7]
(magnetoresistive random access
memory), e em sensores de campo magnético de alta-resolução
[8]
.
Os HD’s armazenam seus dados em domínios magnéticos
[1]
na escala de sub-
micrômetros. Assim, um conhecimento detalhado do magnetismo na escala nanométrica é
então essencial para o desenvolvimento de melhores HD’s.
Por exemplo, em uma superfície de 25cm
2
de área podemos colocar cerca de 25.10
10
nanodiscos de raio igual a 25nm e distribuídos conforme a figura 1.2. Temos que 1GB (giga-
byte) vale pouco menos de 10
10
byts, se for possível gravar um byt de informação em cada
NDM, e como veremos é possível em teoria, na superfície de 25cm
2
de área poderemos gravar
aproximadamente 25 GB’s de informação.
Figura 1.2 – Possível disposição de NDM’s para aplicação em armazenamento de dados.
R
R
R
RR
R
R
R
R
R2
R2
15
1.2 – Obtenção de Nanodiscos Magnéticos
O primeiro passo na obtenção de NDM’s é o crescimento de filmes finos. Existem
diversos métodos de crescimento de filmes finos, contudo, neste trabalho descreveremos
apenas um, a epitaxia por feixes moleculares (MBE; do inglês “molecular beam epitaxy”). O
termo “epitaxia” significa que existe uma relação cristalográfica entre o filme que está sendo
crescido e o cristal que está sendo usado como substrato. Já o termo “feixe” significa que,
devido ao grande livre caminho médio das partículas, os átomos, ou moléculas, que serão
usados para crescer o filme não interagem entre si até chegarem à superfície que está sendo
crescida. A MBE foi desenvolvida no final da década de 1960 nos laboratórios da “Bell
Telephone” por J. R. Arthur e A. Y. Cho. Tal técnica consiste na produção de filmes
cristalinos pela exposição de um substrato cristalino (comumente um “wafer” de Si), aquecido
e sob condições de ultra-alto vácuo, a feixes atômicos ou moleculares.
Hetero-estruturas de filmes alternados com composições distintas (por exemplo, GaAs
e AlGaAs) e espessuras nanométricas podem ser produzidas com controle de suas espessuras
na escala atômica, ou seja, a espessura de cada camada pode ser predefinida e controlada com
a precisão do tamanho do átomo. Na direção do crescimento tais hetero-estruturas são
sistemas nanométricos, mas no plano ortogonal a essa direção são filmes macroscópicos, na
escala de centímetros.
O segundo passo na obtenção de NDM’s consiste em “recortar” em discos os filmes
obtidos anteriormente. Técnicas de litografia utilizando feixes eletrônicos permitem que se
façam tais “recortes” nos filmes, formando estruturas magnéticas na escala nanométrica
(magnetic dots). O método de litografia por feixe de elétrons (LFE) é análogo à foto-
litografia. Abaixo apresentamos o algoritmo para a construção de nanodiscos utilizando a
LFE.
16
• Cresce-se um filme, sobre um “wafer” de Si, com o material que se quer formar o
nanodisco;
• Cresce-se, sobre o filme anterior, uma camada de material “elétron-resistente”
(material que se torna resistente a certo tipo de ataque químico, que chamaremos de
ataque A, quando exposto a feixes eletrônicos);
• Utilizando o feixe de elétrons de um microscópio eletrônico faz-se uma varredura na
superfície da camada “elétron-resistente”, formando regiões resistentes ao ataque A;
• Removem-se, através do ataque A, as regiões que não foram expostas ao feixe de
elétrons;
• Finalmente, o que restou da camada de material “elétron-resistente” é removida
através de outro tipo de ataque químico.
A figura 1.3 mostra imagens
[9]
de microscopia eletrônica de varredura de NDM’s feitos
de Supermalloy (Ni
80
Fe
14
Mo
5
).
Figura 1.3 – Imagens de microscopia eletrônica de varredura de NDM’s feitos de Supermalloy.
17
1.3 – Curvas de Histerese em Nanodiscos Magnéticos
A forma da curva de Histerese de um NDM revela informações detalhadas sobre seu
estado remanescente de magnetização (em campo externo nulo) e também sobre o mecanismo
pelo qual sua magnetização reage à aplicação de campo externo. R. P. Cowburn et al.
[9]
mediram curvas de Histerese em NDM’s feitos de Supermalloy (Ni
80
Fe
14
Mo
5
) e, através de
tais medidas, constataram que podemos identificar duas configurações distintas: uma
configuração de Vórtice e uma configuração de domínio único. A figura 1.4 apresenta duas
curvas de Histerese representativas, uma para cada configuração.
Figura 1.4 – Curvas de Histerese representativas das configurações de Vórtice, (a), e domínio único, (b).
Para a configuração representada pela figura 1.4(a) vemos que à medida que o campo
externo é reduzido, a partir do campo de saturação, o NDM mantém magnetização máxima,
até certo valor de campo crítico, próximo a zero, em que a magnetização vai a zero. Deste
ponto em diante a magnetização reaparece progressivamente à medida que o valor de campo é
abaixado, até a saturação na direção oposta. A perda subida da magnetização, próxima a
campo zero, é característica da formação da configuração de fluxo fechado (configuração de
Vórtice). Neste caso, a campo nulo, os spins estão paralelos uns aos outros e paralelos à borda
do disco. Quando o campo externo possuir valor negativo, este deformará o Vórtice e
Campo (Oe) Campo (Oe)
18
“empurrará” seu centro para longe do centro do disco. Para campos mais negativos, o Vórtice
fica instável, até o ponto em que este é aniquilado.
Já na configuração representada pela figura 1.4(b) o NDM possui alta magnetização
remanescente (~80%), até em campos baixos (~5 Oe). Este comportamento é característico da
configuração de domínio único. Neste caso, a campo nulo, os spins estão alinhados uns com
os outros na direção em que o campo estava sendo aplicado, resultando em um “spin gigante”.
A troca de sentido da magnetização ocorre simplesmente como um giro do “spin gigante”.
Outros resultados experimentais importantes
[10, 11, 12]
demonstraram que a
configuração de Vórtice em um NDM pode ser “presa” por um buraco no interior do disco e
manipulada através da aplicação de campo externo. Por exemplo, a figura 1.5 apresenta a
curva de histerese, obtida por M. Rahm et al.
[11]
, para um NDM feito de Permalloy (Ni
81
Fe
19
)
que possui um buraco circular em seu interior. Os platôs de pouca inclinação no centro da
curva de histerese indicam que o buraco “prende” a configuração de Vórtice. No caso
anterior, figura 1.4, o centro do Vórtice desloca-se linearmente em relação ao campo externo
(para valores “baixos” de campo).
Figura 1.5 – Curva de Histerese para NDM feito de Permalloy (Ni
81
Fe
19
) que possui um buraco circular em seu
interior.
Campo Externo (kOe)
19
A figura 1.6 apresenta o gráfico, obtido por T. Uhlig et al.
[12]
, da posição do centro do
Vórtice em função do campo externo aplicado em um NDM. O gráfico mostra um
comportamento aproximadamente linear na região central, em torno de campo zero. Ao
aproximar da borda do NDM a inclinação do gráfico diminui, indicando que o movimento do
Vórtice é mais “difícil” próximo à borda.
Figura 1.6 – Posição do centro do Vórtice em função do campo externo aplicado em um NDM.
Por outro lado, a figura 1.7 apresenta o gráfico, também obtido por T. Uhlig et al.
[12]
,
da posição do centro do Vórtice em função do campo externo aplicado para um NDM que
possui um buraco circular em seu centro. Na figura 1.7(a) começou-se com campo positivo de
saturação e foi diminuindo-o até a saturação na direção oposta. Enquanto que na figura 1.7(b)
Começou-se com campo negativo de saturação e foi aumentando-o. Vemos que após o
Vórtice se aproximar de certa distância do buraco, ele “pula” para dentro do mesmo. As linhas
horizontais mostram que o Vórtice fica preso no buraco.
Campo Magnético Externo (kA/m)
20
Figura 1.7 – Posição do centro do Vórtice em função do campo externo aplicado em um NDM que possui um
buraco circular em seu centro.
1.4 – Microscopia de Lorentz em Nanodiscos Magnéticos
Existem diversos métodos experimentais para o estudo de propriedades de NDM’s,
mas, neste trabalho citaremos apenas a Microscopia de Lorentz (ML). Tal método é muito
utilizado para o estudo das excitações topológicas do tipo Vórtice.
A ML é baseada na influência da força de Lorentz sobre a trajetória de um elétron num
microscópio eletrônico. As amostras são afinadas e depois vistas num microscópio eletrônico
de transmissão. Pode ser alcançada uma resolução espacial da ordem de 10 nm. É importante
ter em mente que a técnica de ML resulta numa informação magnética que é uma média sobre
toda a trajetória dos elétrons quando eles atravessam a amostra. Após passarem pela amostra
os elétrons são detectados usando-se ou um filme fotográfico, ou uma tela fluorescente ou
uma câmera CCD, gerando uma “imagem” da amostra.
A figura 1.8 mostra imagens de NDM’s de Permalloy (Ni
81
Fe
19
) e Co feitas utilizando-
se a ML, tais imagens foram obtidas por Raabe et al.
[13]
. Para aplicar a ML, os NDM’s foram
colocados em um filme (de Si
3
N
4
) transparente a elétrons. No canto superior direito da figura
Campo Magnético Externo (kA/m)
Campo Magnético Externo (kA/m)
)(a )(b
21
1.8(a) mostra-se uma representação esquemática da montagem do sistema. As espessuras dos
nanodiscos de cobalto e Permalloy utilizados foram de 30 nm e 43 nm, respectivamente. Já a
espessura da camada de Si
3
N
4
foi de 20 nm. Aberturas foram feitas na parte de baixo do
substrato de Si através de ataque químico anisotrópico, definido áreas livres maiores do que
100 x 100 µm.
Figura 1.8 – Imagens de NDM’s de Permalloy, (a), e Co, (b), feitas utilizando-se a ML.
A figura 1.9 mostra uma representação esquemática da deflexão sofrida por feixes de
elétrons que passam através de um NDM que apresenta uma excitação topológica do tipo
Vórtice.
Nanodiscos Magnéticos
Substrato de Si
22
Figura 1.9 – Representação esquemática da deflexão sofrida por feixes de elétrons que passam através de um
NDM que apresenta uma excitação topológica do tipo Vórtice.
1.5 – Modelo teórico para o estudo de Nanodiscos Magnéticos
As propriedades dos materiais magnéticos são, a princípio, completamente
especificadas pela Mecânica Quântica. Porém, o tratamento de um sistema macroscópico real
contendo milhares de milhões de partículas torna-se inviável através dessa descrição. Assim,
simplificações tornam-se essenciais no estudo de tais sistemas. Se os átomos que formam um
determinado sólido apresentarem um momento angular total não nulo (que pode aparecer
devido ao movimento dos elétrons ao redor do núcleo e, ou, devido ao spin do elétron),
aparecerão interações magnética entre tais átomos. Como primeira simplificação, considera-se
que as interações entre átomos magnéticos (com momento magnético total não nulo) são
basicamente de dois tipos: interação dipolo-dipolo e interação de troca (ou de Heisenberg).
23
A interação do tipo dipolo-dipolo aparece devido ao fato de existir um momento de
dipolo magnético associado ao momento angular total do elétron. Ela é muito fraca e não
desempenha um papel importante no alinhamento dos spins. É a interação de troca a principal
responsável pelo alinhamento dos spins, consequentemente, ela é também a principal
responsável pela formação dos materiais magnéticos. Tal interação é de origem Coulombiana
e é devido à anti-simetria dos estados de um elétron (apêndice A).
Como descrito no apêndice A, a interação de troca entre dois elétrons localizados em
átomos distintos da rede leva a uma expressão do tipo
jiji
SSJ
r
r
.
,
, onde
i
S
r
é o spin localizado na
posição i,
j
S
r
é o spin localizado na posição j e J
i,j
é um fator que depende da distância entre os
átomos (sítios) da rede. Em extensão direta à interação de troca temos o modelo de
Heisenberg isotrópico, que é definido pelo seguinte Hamiltoniano:
..
,
,
∑
≠
=
ji
ji
jijiT
SSJH
r
r
Por ser uma interação de curto alcance, como segundo simplificação, restringe-se o
somatório na equação acima apenas aos pares de vizinhos próximos. A constante J
i,j
é a
constante de acoplamento entre dois sítios da rede. Neste trabalho examinaremos apenas
sistemas para os quais J
i,j
é independente de quais pares de vizinhos próximos se tome.
Quando J
i,j
< 0 a equação (1-1) representa um acoplamento ferromagnético, neste caso, a
energia é mínima quando os vetores
i
S
r
e
j
S
r
estão paralelos ( 1. =
ji
SS
r
r
). De forma análoga,
quando J
i,j
> 0 a equação (1-1) representa um acoplamento antiferromagnético, a energia é
mínima quando os vetores
i
S
r
e
j
S
r
são antiparalelos ( 1. −=
ji
SS
r
r
). Neste trabalho estamos
interessados apenas em acoplamentos ferromagnéticos. Usaremos o símbolo <i,j> para
designar pares de vizinhos próximos. Assim, com o que foi dito acima, podemos reescrever a
equação (1-1) como:
)11(
−
24
,.
,
∑
><
−=
ji
jiT
SSJH
r
r
onde J > 0.
Para levar em consideração a presença de campos de anisotropia (não homogeneidade
de direção) definimos o modelo ferromagnético de Heisenberg anisotrópico através do
Hamiltoniano:
.)(
,
∑
><
++−=
ji
z
j
z
i
y
j
y
i
x
j
x
iT
SSSSSSJH
λ
O Hamiltoniano acima leva-nos a vários modelos teóricos para diferentes valores do
parâmetro de anisotropia λ:
• Para λ = 1 recuperamos o modelo de Heisenberg isotrópico, o qual os spins não têm
direção preferencial para apontar.
• Para 0 ≤ λ < 1 temos o modelo de Heisenberg de plano-fácil, o qual os spins tendem a
alinhar uns com os outros no plano xy, como mostrado na figura 1.10.
Figura 1.10 – Estado fundamental de uma rede quadrada de um sistema ferromagnético de plano-fácil.
• Para λ > 1 temos o modelo de Heisenberg de eixo-fácil, o qual os spins tendem a
alinhar uns com os outros na direção do eixo z, como mostrado na figura 1.11.
)21(
−
)31(
−
25
Figura 1.11 – Estado fundamental de uma rede quadrada de um sistema ferromagnético de eixo-fácil.
Como mostrado na seção 1.3, em NDM’s observa-se configurações de Vórtice e
configurações de domínio único. Tais configurações são excitações planares, assim, na
descrição teórica, trabalharemos com o modelo fortemente planar, o qual λ = 0. Desta forma,
podemos reescrever o Hamiltoniano (1-3) como:
.)(
,
∑
><
+−=
ji
y
j
y
i
x
j
x
iT
SSSSJH
A equação acima representa o termo de troca no Hamiltoniano de um NDM. O
próximo passo é determinar o termo devido à energia magnetostática do disco.
Sabe-se do eletromagnetismo
[14]
que a uma amostra magnética pode-se associar uma
densidade volumétrica de carga magnética ρ
m
e uma densidade superficial de carga magnética
σ
m
dadas, respectivamente, por:
M
M
r
.−∇=
ρ
e
,
ˆ
.nM
M
r
=
σ
onde
M
r
é a magnetização e
n
ˆ
é o versor normal à superfície.
Neste trabalho estamos assumindo que os NDM’s possuem espessuras muito finas.
Desta forma, não consideraremos a densidade volumétrica de carga magnética e teremos
também que a densidade superficial se restringirá à borda do disco.
)41(
−
)51(
−
26
i
ρ
i
R
r
j
R
r
i
m
r
j
m
r
A
B
j
n
ˆ
i
ρ
ˆ
y
ˆ
x
ˆ
i
θ
ˆ
Sabe-se, também do eletromagnetismo
[14]
, que o campo magnético
B
r
gerado por um
dipolo magnético
i
m
r
é dado por:
.
ˆ
4
2
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
××∇=
r
r
mB
i
r
r
π
µ
Calculando o rotacional acima, em coordenadas cilíndricas, temos que:
[
]
zmmB
z
iii
i
i
ˆ
ˆ
2
4
3
0
+−=
θ
πρ
µ
θ
r
.
A equação acima está escrita no sistema de coordenadas com origem no dipolo, se a
reescrevermos, de forma aproximada e também em coordenadas cilíndricas, no sistema com
origem no centro do disco e calculada no ponto B, ver figura 1.12, teremos que:
()
()
[]
zzmnnmB
ijji
i
ˆˆ
.
ˆˆ
.2
4
3
0
rr
r
+−=
πρ
µ
.
A energia do dipolo
j
m
r
submetido ao campo gerado pelo dipolo
i
m
r
, ver figura 1.12, é
dado por:
Figura 1.12 – Localização de dois dipolos magnéticos vizinhos na borda de um disco.
)61(
−
)71(
−
)91(
−
)81(
−
()( )
()
()
[]
zmzmnmnmmBE
jijjji
i
j
ˆ
.
ˆ
.
ˆ
.
ˆ
.2
4
.
3
0
rrrrr
r
+=−=
πρ
µ
.
27
Em sistemas fortemente planares as componentes fora do plano dos spins são muito
pequenas. Assim, em analogia à equação (1-9) e supondo que as direções dos spins vizinhos
são quase paralelas, escrevemos o termo referente à energia magnetostática da borda como:
(
)
,
ˆ
.
2
'
''
∑
=
i
iiBM
nSCH
r
onde C
B
(C
B
>0) é uma constante (constante de borda) e i’ indica que o somatório é realizado
apenas sobre os spins da borda. É importante enfatizar que o termo acima não é realmente a
energia magnetostática. Ao introduzirmos tal termo esperamos que este possa imitar o efeito
da energia magnetostática, ou seja, aumentar a energia total do sistema quando os spins
adquirirem componente normal à borda do disco.
Alguns pesquisadores
[15, 16]
consideraram diretamente a equação (1-10) como sendo o
termo representativo para a energia magnetostática. Com tudo, o conceito de borda é um tanto
quanto artificial, afinal, por definição, uma borda tem espessura zero. Em um sólido real as
cargas magnéticas superficiais estão na verdade localizadas num volume muito pequeno
próximo à superfície (ou borda, no caso em questão). Assim, neste trabalho, vamos supor que
a densidade de cargas na borda cai exponencialmente com a distância do ponto em
consideração em relação à borda do disco. Desta forma, o termo devido à energia
magnetostática da borda deverá ser reescrito como:
()
(
)
,
ˆ
.
2
∑
−
=
i
ii
D
BM
nSeCH
i
r
λ
onde λ é uma constante (constante de decaimento), D
i
é a menor distância do spin i à borda e
o índice
i, ao invés de i’, indica que o somatório é realizado sobre todos os spins do disco.
Para λ = 1,0 o termo de energia magnetostática é relevante apenas para os spins que
estão a uma distância à borda menor do que um parâmetro de rede, o que equivale
aproximadamente à equação (1-10). Já para λ = 0,1 tal termo é relevante apenas para os spins
que estão a uma distância à borda menor do que dez parâmetros de rede.
)101(
−
)111(
−
28
O terceiro e último termo do Hamiltoniano de um NDM que iremos considerar
representa a interação do disco com um campo magnético externo uniforme (termo de
Zeeman). Tal termo é dado simplesmente por:
∑
−=
i
iZ
SBH ,.
r
r
onde
B
r
é o campo magnético externo e o somatório é realizado sobre todos os spins do disco.
Finalmente podemos escrever o Hamiltoniano que usaremos para descrever um NDM
com anisotropia fortemente planar e que interage com um campo magnético externo
uniforme. Por simplicidade adotaremos que o campo magnético externo está na direção
x
ˆ
,
paralelo ao plano do disco. Desta forma, o Hamiltoniano será dado por:
()
(
)
.
ˆ
.)(
2
,
∑∑∑
−++−=
−
>< i
x
i
i
ii
D
B
ji
y
j
y
i
x
j
x
i
SBnSeCSSSSJH
i
r
λ
Em trabalhos analíticos utiliza-se a versão contínua da equação acima. Contudo, o
enfoque da presente dissertação está na utilização de métodos numéricos, assim nos ateremos
à equação (1-13). Mas, por completeza do trabalho, apresentamos a passagem do modelo
discreto para o modelo contínuo no apêndice B.
1.6 – Buracos em Nanodiscos Magnéticos
Neste trabalho consideraremos também NDM’s que contem buracos circulares em seu
interior. A figura 1.13(a) mostra um modelo de NDM que possui um buraco circular de raio
igual a dois parâmetros de rede. Já a figura 1.13(b) mostra um modelo de NDM que possui
dois buracos circulares de raios iguais a um parâmetro de rede. Em ambas as figuras o raio do
disco é igual a quinze parâmetros de rede.
)121(
−
)131(
−
29
Figura 1.13 – (a) Representação de um NDM com um buraco. (b) Representação de um NDM com dois buracos.
O Hamiltoniano que usaremos para descrever um NDM com n buracos tem a mesma
estrutura que a equação (1-13), com a particularidade de que agora teremos mais n termos de
energia magnetostática. Tal Hamiltoniano é aceitável nos casos em que as distâncias entre os
buracos e as distâncias entre os buracos e a borda do disco forem grandes o suficiente para
que o Hamiltoniano de cada spin tenha, no máximo, um termo de energia magnetostática
significativo. É importante enfatizar que a condição acima é satisfeita, nos casos tratados
neste trabalho, devido ao fator de decaimento exponencial existente na equação (1-13).
Do ponto de vista de possíveis aplicações, a inclusão de buracos circulares é de grande
relevância. Por exemplo, um NDM com dois buracos circulares pode apresentar estados
biestáveis
[17]
, sendo possível, através da aplicação de campo magnético externo, fazer
“chaveamento” entre os dois estados estáveis. Utilizando esta idéia e já pensando em
possíveis aplicações, M. Rahm, J. Stahl e D. Weiss desenvolveram uma álgebra
[18]
de
“chaveamento” entre os buracos de um NDM. Tal álgebra, a princípio, poderia ser usada para
realizar operações lógicas em futuros computadores.
)(a
)(b
30
Capítulo 2 – Método Monte Carlo e Dinâmica de spins
2.1 – Método Monte Carlo
2.1.1 – Conceitos básicos sobre teoria de probabilidade e Física Estatística
Abaixo apresentamos algumas definições
[19]
relevantes para o desenvolvimento do
presente trabalho:
Probabilidade Condicional: Fala-se em “Probabilidade de A dado que B” e simboliza-se por
P(A|B) para indicar a probabilidade de que o resultado seja A sabendo-se que é B
(obviamente P(A|B) só será não nula se existir a intersecção de A com B). A probabilidade
condicional P(A|B) está relacionada com a probabilidade conjunta P(A,B) por
)()|()()|(),( APABPBPBAPBAP
=
=
.
Para um conjunto completo de eventos disjuntos, R
1
, R
2
, ..., R
n
, e sendo A um evento
qualquer, temos que
)(),()()|( APRAPRPRAP
n
i
i
n
i
ii
==
∑∑
.
Variável Aleatória
: Uma variável, V, cujo valor não pode ser previsto com segurança antes de
sua observação é chamada de variável aleató ria.
Processo Estocástico
: Uma Variável Aleatória cujo valor varia aleatoriamente ao longo do
tempo é dita Processo Estocástico.
)12(
−
)22(
−
31
Processo Estocástico Markoviano
: Um Processo Estocástico é dito Markoviano quando as
informações em tempos anteriores ao da última informação são irrelevantes para a
distribuição de probabilidades em tempos posteriores.
Micro-estado
: Um micro-estado é o conjunto de valores, num dado instante, que especifica os
estados de todo os constituintes de um determinado sistema.
Macro-estado
: Um macro-estado, também chamado de Estado Termodinâmico, fica
especificado pelo conjunto das variáveis macroscópicas, tais como, volume, pressão,
temperatura, magnetização, densidade, etc.
Sistema ergódico
: Um sistema físico é dito ergódico quando qualquer um de seus micro-
estados pode ser atingido, a partir de qualquer outro, por uma seqüência de transições. Uma
conseqüência importante da ergodicidade é que uma média temporal, sobre um sistema em
equilíbrio e sobre um tempo suficientemente longo, dá o mesmo resultado que uma média
sobre todos os micro-estados, equação (2-5).
Seja um sistema físico S em equilíbrio térmico com um reservatório térmico R a uma
temperatura T. Temos que o micro-estado atual de S é uma variável aleatória. A probabilidade
de ocorrência do micro-estado m é dada pela Distribuição de Boltzmann
[20]
, também
chamada de Distribuição Canônica. Ou seja, temos que
()
(
)
,
'
'
∑
−
−
=
m
E
E
m
m
e
e
mP
β
β
onde E
m
é a energia do micro-estado m,
Tk
B
1
=
β
, sendo k
B
a constante de Boltzmann, e a
soma em m’ é realizada sobre todos os possíveis micro-estados do sistema. O denominador da
equação acima,
∑
−
=
'
'
m
E
m
eZ
β
,
)32(
−
)42(
−
32
é conhecido como função de partição. O conhecimento de sua forma funcional em termos das
variáveis macroscópicas permite o estabelecimento de várias relações importantes da
termodinâmica. O valor esperado de um observável A é dado por
(
)
,
'
'
∑
∑
−
−
=
m
E
m
E
m
m
m
e
eA
A
β
β
onde A
m
é o valor do observável A no micro-estado m. Em especial, temos que a energia
interna U é dada por
(
)
∑
∑
−
−
==
'
'
m
E
m
E
m
m
m
e
eE
EU
β
β
.
Ou, em termos da função de partição:
T
Z
TkU
B
∂
∂
=
ln
2
.
2.1.2 – O princípio do balanço detalhado
Consideremos um sistema físico cuja distribuição de probabilidades para os micro-
estados m no instante t é P(m,t). Da equação (2-2) podemos relacionar as distribuições de
probabilidades em dois instantes diferentes por
()
(
)
(
)
','','|,,
'
tmPtmtmPtmP
m
∑
= ,
onde P(m,t|m’,t’) é a probabilidade condicional de que o micro-estado seja m no instante t,
dado que era m’ no instante t’.
)52(
−
)72(
−
)82(
−
)62(
−
33
Suponhamos que a distribuição de probabilidade para os micro-estados do nosso
sistema obedeça à relação:
()
(
)
(
)
(
)
',',|,'','','|, tmPtmtmPtmPtmtmP
=
.
Substituindo a equação (2-9) em (2-8) temos que:
()
(
)
(
)
(
)
',',',|,',
'
tmPtmptmtmPtmP
m
==
∑
.
Assim, a hipótese expressa na equação (2-9) implica em uma distribuição de
probabilidade constante no tempo para os micro-estados, ou seja, P(m,t)=P(m) é uma
distribuição de equilíbrio.
As probabilidades de transição por unidade de tempo entre as configurações m e m’
são dadas por:
'
)','|,(
)'(
tt
dt
tmtmdP
mmW
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=→
e
'
)',|,'(
)'(
tt
dt
tmtmdP
mmW
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=→
.
Derivando a equação (2-9) em relação a t, no instante t=t’, e usando as relações acima
chegamos a:
)'(
)(
)'(
)'(
mP
mP
mmW
mmW
=
→
→
.
A equação acima é conhecida como Princípio do Balanço Detalhado. Os resultados
anteriores mostram que ela representa condição suficiente para que a distribuição P(m) seja de
equilíbrio. Da equação (2-11) vemos que, em equilíbrio, um micro-estado m será tanto mais
provável quanto maior forem as probabilidades de transição dos demais micro-estados para
ele.
Neste trabalho estamos interessados em estudar sistemas de spins, em forma de disco,
que estão em equilíbrio térmico com um reservatório térmico à temperatura T, assim, P(m)
deverá ser dada pela distribuição de Boltzmann. Então, o Princípio do Balanço Detalhado
pode ser reescrito como:
)102(
−
)112(
−
)122(
−
)92(
−
34
()
E
EE
ee
mmW
mmW
mm
∆−
−−
==
→
→
β
β
'
)'(
)'(
.
Pela equação acima vemos que a probabilidade de transição entre os estados depende
somente da diferença de energia entre os mesmos. Vemos também que (2-13) não especifica
de forma unívoca as probabilidades de transição. Em simulações Monte Carlo, as duas
escolhas mais freqüentes são dadas ou pelo algoritmo de Glauber
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆−=→ EghmmW .
2
1
tan1
2
1
'
β
,
ou pelo algoritmo Metrópolis
()
⎩
⎨
⎧
=→
∆− E
e
mmW
.
1
'
β
0;
0;
>∆
≤
∆
E
E
.
Utilizando-se o teorema central do limite pode-se provar que Processos Estocásticos
Markovianos, com probabilidade de transição definida pela equação acima, tem a propriedade
correta de convergência, ou seja, a distribuição de probabilidade converge para aquela de
equilíbrio quando o número de passos Monte Carlo vai para infinito.
2.1.3 – Método Monte Carlo e o algoritmo de Metropolis
O método Monte Carlo é baseado em amostragens aleatórias e surgiu antes mesmo dos
computadores, para resolver problemas com integrais complicadas. Sua primeira aplicação
real em física foi feita por Enrico Fermi em 1930 para o estudo da difusão de nêutrons. No
final da segunda guerra mundial, em Los Alamos, o método foi aprimorado por Von
Neumann, Ulam e Metropolis, também para o estudo da difusão de nêutrons. O nome Monte
Carlo foi dado por Metropolis em 1947 devido ao intenso uso de números aleatórios nos
cálculos.
)132(
−
)142(
−
)152(
−
35
A princípio, o valor médio de qualquer observável pode ser obtido através da equação
(2-5), no entanto para um sistema real o número de micro-estados é tão grande que torna o
cálculo do somatório na equação (2-5) impraticável. Neste ponto introduz-se a idéia central do
Método Monte Carlo, ao invés de calcular a equação (2-5) de forma exata, sorteia-se uma
amostra de N micro-estados, m=m
1
, m
2
, ..., m
N
, distribuídos pelos possíveis micro-estados do
sistema conforme a distribuição P(m) e calcula-se os valores médios dos observáveis
relevantes em relação a este conjunto de N micro-estados. Desta forma teremos que:
∑
=
=
N
m
mm
mA
N
A
1
)(
1
.
O algoritmo de Metropolis
[21]
, descrito abaixo, é uma maneira de obter uma amostra
de N micro-estados distribuída segundo a distribuição de Boltzmann.
Algoritmo de Metropolis
1.
Começa-se com o disco em um dado micro-es tado, escolhido de forma aleatória;
2.
Escolhe-se um spin do disco;
3.
Sorteia-se uma nova orientação para este spin;
4.
Calcula-se ∆E = E
f
– E
i
, variação na energia associada à mudança de orientação do
spin escolhido no item 2;
5.
Se ∆E < 0 a nova orientação é aceita, ou seja, o sistema muda de micro-estado;
)162(
−
36
6.
Se ∆E > 0 sorteia-se um número N
ale.
no intervalo [0,1]. Este número é então
comparado com
E
e
∆− .
β
;
•
Se N
ale.
<
E
e
∆− .
β
a nova orientação é aceita, ou seja, o sistema muda de micro-
estado;
• Se N
ale.
>
E
e
∆− .
β
a nova orientação não é aceita e o sistema volta ao micro-
estado que estava antes de passar no item 3;
7.
Repete-se os passos acima, desde o item 2, para todos os outros spins do disco.
O algoritmo apresentado do item 2 ao item 7 define aquilo que chamamos de Passo Monte
Carlo. Em simulações Monte Carlo, executa-se vários passos Monte Carlo até que o macro-
estado de equilíbrio seja atingido, ou seja, até que os valores das variáveis macroscópicas,
obtidas como médias sobre os micro-estados percorridos, adquiram valores constantes.
Podemos encarar cada Passo Monte Carlo como sendo uma interação com o reservatório
térmico. O efeito dessa interação varia de acordo com a temperatura que entra através do fator
de Boltzmann para mudar a orientação de um determinado spin.
Após atingido o equilíbrio térmico realiza-se mais N Passos Monte Carlo afim de
finalmente gerar os N micro-estados que serão utilizados na equação (2-10). Como no
algoritmo de Metropolis as médias tomadas são médias temporais, em vez de médias sobre
todos os micro-estados, uma exigência para sua validade é que o sistema seja ergódico.
O número de passos Monte Carlo necessários para que o sistema atinja o equilíbrio varia
com o tamanho do disco, quanto maior este maior será o número de passos necessários para
atingir o equilíbrio. Em geral, nos primeiros passos o sistema ainda não atingiu o equilíbrio e,
37
neste caso, os valores das quantidades termodinâmicas variam significativamente de um passo
a outro. Isto faz com que, por exemplo, a energia do sistema oscile bastante. Conforme
aumentamos o número de passos, estas oscilações vão diminuindo e os valores das
quantidades termodinâmicas passam a ter uma pequena variação em torno dos valores médios.
Em particular, a energia oscilará pouco em torno do valor médio para a temperatura desejada.
Assim, quando observarmos este comportamento para as quantidades termodinâmicas do
sistema saberemos que este está em equilíbrio térmico com o reservatório.
2.1.4 – Algoritmo de Wolff e Super-Relaxação
Wolff
Ulli Wolff
[22]
criou um algoritmo de Monte Carlo no qual um cluster (conjunto de spins)
é atualizado simultaneamente, ao contrário do algoritmo de Metropolis, onde apenas um único
spin é atualizado. Sua vantagem está em reduzir consideravelmente o “critical slowing down”,
dificuldade encontrada por sistemas de spin clássico em atingir o equilíbrio térmico em baixas
temperaturas.
Super-Relaxação
1.
Escolhe-se um sítio i aleatório e calcula-se o campo efetivo gerado pelos seus vizinhos
mais próximos j, dado por
(
)
∑
+=
j
y
y
jx
x
jef
eSeSH
ˆˆ
r
;
)172(
−
38
i
S
r
i
S
r
ef
H
r
ef
H
r
α
α
2. Desloca-se
i
S
r
em relação à direção de
ef
H
r
, como mostrado na figura 2.1;
3.
Repete-se o procedimento acima para todos os sítios da rede.
Esta técnica consiste em diminuir a correlação entre os spins do sistema, tornando-se
muito eficiente quando aplicada em conjunto com os algoritmos de Metropolis e Wolff.
Figura 2.1 – Orientação espacial do spin antes (esquerda) e após (direita) seu deslocamento em relação a
ef
H
r
.
2.2 – Dinâmica de spins
Em simulações Monte Carlo o sistema evolui estocasticamente via um processo
Markoviano, sendo a dinâmica estocástica artificial e dependente do algoritmo. Contudo, para
um sistema com graus de liberdade contínuos existe uma dinâmica “verdadeira” em tempo
real. Tal dinâmica, que chamaremos de dinâmica de spins, é obtida através da equação de
movimento
[23]
:
[]
HS
i
dt
Sd
l
l
,
r
h
r
−
= ,
onde
h é a constante de Planck dividida por
π
2 , H é o Hamiltoniano do sistema e
[
]
lll
SHHSHS
r
r
r
−≡, é o comutador de
l
S
r
com H.
)182(
−
39
Muitas propriedades importantes de sistemas de spins, tais como excitações de onda
de spin e vórtices, estão intimamente relacionadas à dinâmica em tempo real. O método de
dinâmica de spins fornece uma aproximação determinística para obter o comportamento
dinâmico de tais sistemas.
Substituindo o Hamiltoniano de um NDM, equação (1-13), na equação anterior e
calculando o comutador, ver apêndice C, obtém-se as seguintes equações de movimento para
as componentes de
l
S
r
:
(
)
(
)
ll
y
l
z
l
D
B
j
y
j
z
l
x
l
nSnSeCSJSS
l
ˆ
.2
'
'
r
&
λ
−
+−=
∑
,
(
)
(
)
z
lll
x
l
z
l
D
B
j
x
j
z
l
y
l
BSnSnSeCSJSS
l
+−=
−
∑
ˆ
.2
'
'
r
&
λ
e
(
)
(
)
(
)
y
lll
y
l
x
l
x
l
y
l
D
B
j
x
j
y
l
j
y
j
x
l
z
l
BSnSnSnSeCSJSSJSS
l
−−+−=
−
∑
∑
ˆ
.2
'
'
'
'
r
&
λ
,
onde j’ indica que o somatório é realizado sobre os vizinhos próximos a
l
S
r
.
Existem muitos métodos numéricos para resolver conjuntos de equações diferenciais
ordinárias com condições iniciais. Um dos mais usados, e que foi empregado neste trabalho, é
o método de Runge-Kutta
[24]
de quarta ordem. Este método é definido através das seguintes
equações:
()
llll
ll
KKKK
t
SS
,
4
,
3
,
2
,
1
22.
6
αααααα
+++
∆
+= ; zy
x
,,
=
α
,
onde
t∆ é o incremento no tempo e as constantes acima são dadas por:
(
)
ll
l
SSK
r
&
αα
=
,
1
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+=
2
.
1
,
2
l
ll
l
Kt
SSK
r
r
&
αα
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+=
2
.
2
,
3
l
ll
l
Kt
SSK
r
r
&
αα
e
)222(
−
)232(
−
)192(
−
)202(
−
)212(
−
)242(
−
)252(
−
40
(
)
l
ll
l
KtSSK
3
,
4
.
r
r
&
∆+=
αα
.
A resolução da equação (2-22) requer um conjunto de condições iniciais, em dinâmica
de spins tais condições são geralmente impostas arbitrariamente ou geradas através do método
Monte Carlo. Vale ressaltar que, como o Hamiltoniano de um NDM é independente do tempo,
o método de dinâmica de spins neste caso é micro-canônico, ou seja, a energia é conservada
durante a integração das equações de movimento.
)262(
−
41
Capítulo 3 – Resultados das simulações
3.1 – Simulações usando o método Monte Carlo
3.1.1 – Considerações gerais sobre as simulações usando Monte Carlo
Para que os resultados das simulações Monte Carlo descrevam de forma correta o
sistema físico de interesse (um NDM) precisamos desprezar, no cálculo dos valores médio das
quantidades termodinâmicas, os passos em que há grande oscilação da energia do sistema, ou
seja, os passos onde o sistema ainda não está em equilíbrio térmico com o reservatório. Um
critério utilizado para assegurar que esses passos não entrem no cálculo das grandezas físicas
desejadas é desprezar os primeiros (20(R/a))
2
passos Monte Carlo, onde R é o raio do disco.
Lembrando que R é dado em unidades do parâmetro de rede. Nossas médias foram calculadas
sobre os 15(R/a) passos Monte Carlo imediatamente após os passos iniciais que foram
desconsiderados. Em nossos resultados de simulações, quando não indicado, as barras de erro
são menores do que os símbolos usados.
As simulações Monte Carlo foram realizadas em discos de raios entre 6a e 50a. Por
conveniência, assumimos que J = S = 1. Também por conveniência, medimos temperatura,
energia, constante de borda e campo magnético externo em unidades de J. O Hamiltoniano
utilizado nas simulações, ver seção 1.5, é dado por:
()
(
)
∑∑∑
−++−=
−
>< i
x
i
i
ii
D
B
ji
y
j
y
i
x
j
x
i
SBnSeCSSSSJH
i
2
,
ˆ
.)(
r
λ
.
)13(
−
42
Todos os programas utilizados foram escritos em Fortran 77
[25]
e compilados ou com
uso do compilador g77, para Linux, ou com uso do programa Power Station 4.0, para
Windows. A função Wrand(Idum)
[26]
foi utilizada como geratriz para os números aleatórios.
Para ilustrar como o sistema atinge o equilíbrio térmico, a figura 3.1 mostra o
comportamento de sua energia em função do número de passos Monte Carlo para um NDM,
descrito pelo Hamiltoniano (3-1), de raio igual a 20a, B = 0, C
B
/J = 3,0, λ = 0,3 e à
temperatura T/J = 0,25. A configuração inicial foi escolhida de forma aleatória. Pelo gráfico
observamos que após um número suficientemente grande de passos, o valor da energia passa a
oscilar com pequena amplitude em torno de um dado valor (valor médio). A partir do “ponto
de pouca oscilação”, pode-se dizer que o sistema encontra-se em equilíbrio térmico com o
reservatório à temperatura T/J = 0,25.
0 2000 4000 6000 8000 10000
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
Energia por spin (em unidades de J)
Passos Monte Carlo
Energia por spin em função do número de passos Monte Carlo
Raio do disco = 20a
T/J = 0,25
λ = 0,3
C
B
/J = 3,0
Figura 3.1 – Energia por spin em função do número de passos Monte Carlo para um dado NDM (a campo nulo).
43
3.1.2 – Resultados de Monte Carlo para Nanodiscos Magnéticos sem buraco
Os resultados das simulações Monte Carlo a baixas temperaturas mostraram que,
partindo de configurações iniciais aleatórias e a campo externo nulo, um NDM apresenta duas
possíveis configurações de equilíbrio, uma do tipo Vórtice e outra do tipo Meio-Vórtice. O
termo Meio-Vórtice foi sugerido por V. E. Kireev e B. A. Ivanov
[15]
, sendo identificado como
a configuração de domínio único nos trabalhos experimentais, ver seção 1.3. Por exemplo, as
figuras 3.2(a) e 3.2(b) mostram configurações de equilíbrio do tipo Vórtice e Meio-Vórtice,
respectivamente, em um NDM de raio 8a com C
B
/J = 2,0, λ = 1/3 e temperatura T/J = 0,1.
Figura 3.2 – Configurações de equilíb rio : (a) do tipo Vórtice e (b) do tipo Meio-Vórtice.
Com o intuito de determinar qual das configurações anteriores é a mais provável para
o estado fundamental do sistema, calculamos numericamente a energia da configuração de
Vórtice e a energia da configuração de Meio-Vórtice para valores finitos de C
B
e λ. Para tais
cálculos foram utilizados NDM de raios entre 6a e 50a. A figura 3.3 apresenta alguns dos
resultados obtidos.
)( b)( a
44
0 1020304050
-1,9
-1,8
-1,7
-1,6
-1,5
Energia por spin (em unidades de J)
R / a
C
B
/J = 0,5
λ = 1,0
Configuração tipo Vórtice
Configuração tipo Meio-Vórtice
0 1020304050
-1,9
-1,8
-1,7
-1,6
-1,5
Energia por spin (em unidades de J)
R / a
C
B
/J = 3,0
λ = 1,0
Configuração tipo Vórtice
Configuração tipo Meio-Vórtice
0 1020304050
-1,9
-1,8
-1,7
-1,6
-1,5
Energia por spin (em unidades de J)
R / a
C
B
/J = 0,5
λ = 1 / 2
Configuração tipo Vórtice
Configuração tipo Meio-Vórtice
0 1020304050
-1,9
-1,8
-1,7
-1,6
-1,5
45
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
-1,95
-1,90
-1,85
-1,80
-1,75
Energia por spin (em unidades de J)
C
B
/J
λ = 1 / 4
Configuração tipo Vórtice ( R = 20a )
Configuração tipo Meio-Vórtice ( R = 20a )
Configuração tipo Vórtice ( R = 40a )
Configuração tipo Meio-Vórtice ( R = 40a )
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
-1,95
-1,90
-1,85
-1,80
-1,75
Energia por spin (em unidades de J)
C
B
/J
λ = 1 / 2
Configuração tipo Vórtice ( R = 20a )
Configuração tipo Meio-Vórtice ( R = 20a )
Configuração tipo Vórtice ( R = 40a )
Configuração tipo Meio-Vórtice ( R = 40a )
1/4 1/3 1/2 1
-1,95
-1,90
-1,85
-1,80
-1,75
Energia por spin (em unidades de J)
λ
C
B
/J = 3,0
Configuração tipo Vórtice ( R = 20a )
Configuração tipo Meio-Vórtice ( R = 20a )
Configuração tipo Vórtice ( R = 40a )
Configuração tipo Meio-Vórtice ( R = 40a )
1/4 1/3 1/2 1
-1,95
-1,90
-1,85
-1,80
-1,75
Energia por spin (em unidades de J)
λ
C
B
/J = 1,5
Configuração tipo Vórtice ( R = 20a )
Configuração tipo Meio-Vórtice ( R = 20a )
Configuração tipo Vórtice ( R = 40a )
Configuração tipo Meio-Vórtice ( R = 40a )
configuração de Meio-Vórtice, indicando que a configuração de Vórtice é mais favorável.
Tais resultados podem ser observados mais claramente através das figuras 3.4 e 3.5.
Figura 3.4 – Energia por spin em função do parâmetro C
B
/J para λ = ½ (a) e λ = ¼ (b).
Figura 3.5 – Energia por spin em função do parâmetro λ para C
B
/J = 1,5 (a) e C
B
/J = 3,0 (b).
A figura 3.4 mostra o comportamento da energia por spin em função do parâmetro
C
B
/J para dois valores fixos de λ em NDM’s de raios 20a e 40a. Desta figura, vemos que para
os dois valores de λ, e para ambos os valores de R, um aumento no parâmetro C
B
/J faz com
que a configuração do tipo Vórtice seja mais favorável. Já a figura 3.5 mostra o
comportamento da energia por spin em função do parâmetro λ para dois valores fixos de C
B
/J
)( a
)( b
)( a
)( b
46
em NDM’s de raios 20a e 40a. A partir desta figura, observamos que para os dois valores de
C
B
/J, e para ambos os valores de R, um decréscimo no parâmetro λ faz com que a
configuração do tipo Vórtice seja também a mais favorável.
Os resultados numéricos acima indicam que a “espessura” da borda é um fator
importante no estabelecimento do estado fundamental do sistem a.
A figura 3.6 mostra a curva de histerese para um NDM de raio 20a com C
B
/J = 3,0,
λ = 1/3 e temperatura T/J = 0,4. É importante enfatizar que as figuras anteriores indicam que,
para esta combinação de valores dos parâmetros, a configuração de Vórtice é a mais
favorável. Na figura 3.6 observa-se dois platôs centrais com pequena inclinação. Tais platôs
na curva de histerese, como mencionado na seção 1.3, estão associados à presença da
configuração de Vórtice no disco. Os resultados apresentados na figura 3.6 estão em bom
acordo qualitativo com os resultados experimentais apresentados na seção 1.3 (ver figura 1.4).
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
M
y
/M
s
B/J
Curva de Histerese para um NDM
Raio do disco = 20a
T/J = 0,4
λ = 1 / 3
C
B
/J = 3,0
Figura 3.6 – Curva de Hist erese para um NDM de raio 20a com C
B
/J = 3,0, λ = 1/3 e T/J = 0,4.
47
Já a figura 3.7 mostra a curva de histerese para um NDM de raio 20a com C
B
/J = 3,0,
λ = 1/4 e temperatura T/J = 0,4. Observa-se que para λ = 1/4 as inclinações dos platôs centrais
são menores do que no caso em que λ = 1/3. Este fato indica que a configuração de vórtice
centrado é mais estável no caso em que λ = 1/4 do que no caso em que λ = 1/3.
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
M
y
/M
s
B/J
Curva de Histerese para um NDM
Raio do disco = 20a
T/J = 0,4
λ = 1 / 4
C
B
/J = 3,0
Figura 3.7 – Curva de Hist erese para um NDM de raio 20a com C
B
/J = 3,0, λ = 1/3 e T/J = 0,4.
Por fim, a figura 3.8 mostra a curva de histerese para um NDM de raio 20a com
C
B
/J = 3,0, λ = 1 e temperatura T/J = 0,4. Neste caso não é observada a presença de platôs
centrais, indicando a ausência da configuração de vórtice e a conseqüente presença da
configuração de Meio-Vórtice.
48
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
M
y
/M
s
B/J
Curva de Histerese para um NDM
Raio do disco = 20a
T/J = 0,4
λ = 1
C
B
/J = 3,0
Figura 3.8 – Curva de Hist erese para um NDM de raio 20a com C
B
/J=3,0, λ = 1 e T/J = 0,4.
As curvas de histerese, obtidas via Monte Carlo, most ram c omportamentos compatíveis
com os observados nas figuras 3.3, 3.4 e 3.5, reforçando a hipótese de que a espessura da
borda pode ser um fator importante no estabelecimento do estado fundamental do sistema e
que esta pode também influenciar no aparecimento da configuração de Vórtices em NDM.
3.1.3 – Resultados de Monte Carlo para Nanodiscos Magnéticos com um buraco
Em termos de possíveis aplicações, as configurações do tipo Vórtice são muito mais
promissoras do que as do tipo Meio-Vórtice. Assim, de agora em diante (inclusive na seção
sobre dinâmica de spins) vamos nos ater apenas às configurações do tipo Vórtice.
Recentemente, tornou-se possível a fabricação de NDM com um ou mais buracos
definidos litograficamente
[27]
. Medidas da magnetização nestes nanodiscos com buracos
49
mostraram que a estrutura de vórtice pode ser manipulada intencionalmente. De fato, as
experiências
[10, 27]
mostraram que o núcleo do Vórtice pode ser fixado em um buraco.
O foco desta subseção é analisar como a inclusão de um buraco circular, no centro do
NDM, ver seção 1.6, afeta a estabilidade da configuração de Vórtice. Para este fim,
realizamos simulações Monte Carlo, obtendo assim curvas de histerese. Usamos C
BB
para
denotar a constante de borda do buraco.
A figura 3.9 mostra a curva de histerese para um NDM de raio 20a com C
B
/J = 5,0,
λ
= 0,3 e temperatura T/J = 0,4. Tal NDM possui um buraco circular, em seu centro, de raio
3a com C
BB
/J = 0. Como antes, os dois platôs centrais na curva de histerese estão associados à
presença da configuração de vórtice no disco.
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
M
y
/M
s
B/J
Curva de Histerese para um NDM
Raio do disco = 20a
Raio do buraco = 3a
T/J = 0,4
λ = 0,3
C
B
/J = 5,0
C
BB
/J = 0
Figura 3.9 – Curva de Histerese para um NDM que possui um buraco circular em seu centro.
Já as figura 3.10 e 3.11 mostram as curvas de histerese para dois NDM que têm os
mesmos valores de parâmetros dados acima, exceto os valores de C
BB
/J, que valem,
respectivamente, 2,0 e 5,0. De tais figuras, observa-se que quanto maior o valor da constante
50
de borda do buraco maior serão os platôs, indicando maior estabilidade para a configuração de
Vórtice. Isto significa que o Vórtice fica preso mais fortemente ao buraco, sendo necessário
um valor de campo, B/J, maior para arrancá-lo.
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
M
y
/M
s
B/J
Curva de Histerese para um NDM
Raio do disco = 20a
Raio do buraco = 3a
T/J = 0,4
λ = 0,3
C
B
/J = 5,0
C
BB
/J = 2,0
Figura 3.10 – Curva de Histerese para um NDM que possui um buraco circular em seu centro.
A partir dos resultados experimentais, ver seção 1.3, vemos que a inclusão do buraco
no NDM faz com que seja mais difícil deslocar o Vórtice do centro do disco, contudo, vemos
que esta diferença não é tão acentuada como indica o gráfico da figura 3.11. Assim,
imaginamos que o valor da constante de borda do buraco seja menor do que o valor da
constante de borda do disco. Ou seja, C
BB
< C
B
.
51
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
M
y
/M
s
B/J
Curva de Histerese para um NDM
Raio do disco = 20a
Raio do buraco = 3a
T/J = 0,4
λ = 0,3
C
B
/J = 5,0
C
BB
/J = 5,0
Figura 3.11 – Curva de Histerese para um NDM que possui um buraco circular em seu centro.
3.2 – Simulações usando o método Dinâmica de spins
3.2.1 – Considerações gerais sobre as simulações usando Dinâmica de spins
Os resultados das simulações usando dinâmica de spins foram todos obtidos em
NDM’s de raio 20a, com λ = 0,3. Para obtenção do comportamento dinâmico, integramos as
equações de movimento (equações 2-22) usando a configuração de Vórtice centrado como
condição inicial do sistema. Como no método Monte Carlo, assumimos que J = S = 1 e, por
conveniência, energia, constante de borda, campo magnético externo e tempo são dados em
52
unidades de J. Os programas utilizados foram escritos em Fortran 77
[25]
e compilados com o
uso do programa Power Station 4.0, para Windows. Por fim, utilizamos ∆t/J = 0,0025.
Como mencionado na seção 2.2, a dinâmica de spins é um método micro-canônico,
sendo a energia conservada durante a integração das equações de movimento. Assim, um teste
de validação importante consiste em verificar se o programa utilizado realmente conserva a
energia. A figura 3.12 apresenta a dependência da energia por spin de um NDM, a campo
externo nulo, em relação ao número de passos no tempo, sendo a configuração inicial do
sistema dada aleatoriamente. Observa-se que a energia é realmente conservada durante a
evolução temporal.
0 50000 100000 150000 200000 250000
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Energia por spin (em unidades de J)
Passos no tempo
Energia por spin em função do número de passos no tempo (a campo nulo)
Raio do disco = 20a
λ = 0,3
C
B
/J = 2,0
Figura 3.12 – Energia por spin em função do número de passos no tempo em um NDM (a campo externo nulo).
53
3.2.2 – Resultados de Dinâmica de spins para Nanodiscos Magnéticos sem buraco
Nesta subseção, analisamos o efeito de um campo magnético externo sobre a posição de
equilíbrio da configuração do tipo Vórtice em NDM’s. Tal análise foi feita da seguinte forma:
• Iniciamos o NDM com a configuração do tipo Vórtice centrado (figura 3.13(a));
• Integramos as equações de movimento. Lembrando que o campo magnético externo
foi aplicado na direção x
ˆ
, sendo o movimento do Vórtice observado na direção y
ˆ
;
• Entre 400.000 e 600.000 passos no tempo “medimos”, em relação ao centro do disco,
a coordenada y do centro do Vórtice. Como ilustração, apresentamos na figura 3.13(b)
o estado de equilíbrio, após 600.000 passos no tempo, de um NDM onde C
B
/J = 3,0 e
B/J = 0,07;
• Repetimos o procedimento acima para alguns valores de campo, sendo a configuração
inicial sempre a de Vórtice centrado;
• Lançamos os resultados em um gráfico (figura 3.14) da coordenada y do centro do
Vórtice em função do campo magnético externo aplicado.
Figura 3.13 – (a) Configuração inicial e (b) Configuração após 600.000 passos no tempo, temos que C
B
/J = 3,0.
)( a
)( b
54
0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Deslocamento Y (em unidades de a)
B / J
C
B
/J = 1,0
C
B
/J = 2,0
C
B
/J = 3,0
Deslocamento Y em função do campo externo
R = 20a
λ = 0,3
Figura 3.14 – Deslocamento Y em função do campo magnético externo.
Da figura 3.14, observa-se que quanto maior o valor do parâmetro de borda mais difícil
fica deslocar o Vórtice do centro do disco. Observa-se também que a borda do NDM age
como uma “barreira” ao movimento do Vórtice.
3.2.3 – Resultados de Dinâmica de spins para Nanodiscos Magnéticos com buracos
Começamos a presente subseção analisando a “força” com que um buraco prende uma
configuração do tipo Vórtice. Para este tipo de análise, usamos buracos de raio igual a 1a e
centrados no centro do disco. A metodologia empregada é similar à usada na subseção
anterior. Integramos as equações de movimento, usando a configuração do tipo Vórtice
centrado como estado inicial para o sistema. Após 500.000 passos no tempo verificamos se o
Vórtice estava, ou não, preso ao buraco. Repetimos o procedimento para outros valores de
campo magnético externo, até determinarmos o valor de campo capaz de arrancar o Vórtice
55
do Buraco. Lançamos os resultados obtidos em um gráfico (figura 3.15) do campo necessário
para arrancar o Vórtice do buraco em função do parâmetro de borda do buraco. Observa-se
que quanto maior C
BB
mais fortemente o buraco “prende” o Vórtice.
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
Campo (em unidades de J)
C
BB
/ J
C
B
/J = 1,0
C
B
/J = 3,0
Campo para arrancar o Vórtice do buraco
Figura 3.15 – Campo necessário para arrancar o Vórtice do buraco.
Em trabalho recente, A. R. Pereira et al.
[28]
mostraram que, no modelo XY, um
Vórtice é atraído por uma linha de impurezas e, ao passar pela linha, principia a executar
movimento oscilatório não-harmônico sobre a linha de impurezas. Motivados por tal trabalho,
analisamos o efeito que um buraco circular, não centrado no disco, causa sobre um vórtice
centrado no disco. Como no trabalho citado acima, observamos que o buraco atrai o Vórtice e
que, ao passar pelo buraco, o Vórtice principia a executar movimento oscilatório não-
harmônico sobre o buraco. A figura 3.16 apresenta o comportamento da coordenada x do
Vórtice em função do número de passos no tempo. Os valores dos parâmetros do NDM
encontram-se no próprio gráfico.
56
0 15000 30000 45000 60000 75000
16
17
18
19
20
21
Componente X (em unidades de a)
Passos no tempo
Oscilação da componente X do centro do Vórtice (a campo nulo)
Coordenadas do centro do buraco (16,5 : 20,5)
Raio do buraco = 1a
C
B
/J = 3,0
C
BB
/J = 0,3
Figura 3.16 – Oscilação da componente X do centro do Vórtice (a campo nulo).
Por fim, realizamos simulações de Dinâmica de Spins em NDM’s com dois buracos
circulares. As coordenadas dos centros dos buracos são (16,5 : 20,5) e (24,5 : 20,5). Usamos
C
B
/J = 3,0. A figura 3.17 apresenta a configuração de equilíbrio, após 100.000 passos no
tempo, para o caso em que ambos os buracos tem o mesmo raio (1a), mas constante de borda
diferente. A constante de borda do buraco da direita é 2,0 enquanto que a do buraco da
esquerda é 1,0. Desta figura, vemos que quanto maior a constante de borda do buraco mais
fortemente ele atrai o Vórtice.
Já a figura 3.17(b) apresenta a configuração de equilíbrio, também após 100.000
passos no tempo, para o caso em que os buracos têm a mesma constante de borda (1,0J), mas
raios diferentes. O raio do buraco da direita é igual a 2a enquanto que o raio do buraco da
esquerda é igual a 1a. Vemos que quanto maior o raio do buraco mais fortemente ele atrai o
Vórtice.
57
Figura 3.17 – Configur ação de equilíbrio para um NDM com dois buracos de mesmo raio, mas C
BB
’s diferentes.
Figura 3.18 – Configur ação de equilíbrio para um NDM com dois buracos d e mesmo C
BB
, mas raios diferentes.
58
3.3 – Conclusões
Em trabalho recente, Kireev e Ivanov
[15]
estudaram os estados fundamental e meta-
estável de NDM’s. Eles utilizaram o modelo de Heisenberg XY com um termo adicional para
descrever a anisotropia devido à presença da superfície. Eles mostraram, tanto no limite
contínuo quanto usando simulações numéricas, que a configuração de Meio-Vórtice (domínio
único) é energeticamente mais favorável do que a configuração de Vórtice. Contudo,
resultados experimentais indicam a presença da configuração de Vórtice em NDM’s à baixa
temperatura.
No presente trabalho, consideramos a espessura da borda, a qual não havia sido levada
em consideração em trabalhos anteriores. O modelo utilizado para descrever um NDM é
baseado na equação (1-13). Nossos resultados mostram que a espessura da borda influência
consideravelmente no estabelecimento do estado fundamental de NDM’s. Nossas curvas de
histerese mostram que, usando valores apropriados para a espessura da borda, os NDM’s
apresentam a configuração de Vórtice, o que está em bom acordo com os resultados
experimentais.
Nossos resultados mostram também que a inclusão de um buraco circular no interior
de um NDM altera significativamente sua curva de histerese, sendo tal alteração conseqüência
do aprisionamento da configuração de Vórtice pelo buraco. Tal efeito pode ser usado para
criar esquemas de chaveamento baseados no aprisionamento e soltura da configuração de
Vórtice por buracos em NDM’s submetidos a campo externo.
59
APÊNDICES
APÊNDICE A – A interação de troca
Em um sólido magnético, usando-se uma abordagem simplista, dividem-se os elétrons
em três categorias:
1. elétrons de caroço (elétrons localizados em camadas internas e preenchida),
2. elétrons de condução (elétrons não localizados) e
3. elétrons desemparelhados (elétrons localizados em camadas não preenchidas).
Suponhamos que em um sólido magnético cada átomo possui apenas um elétron do
tipo 3. Desta forma, o estado de tais elétrons pode ser especificado usando-se apenas dois
números quânticos, n e m, onde:
• n → define o sítio do átomo onde o elétron está ligado e
• m → define a componente z do spin do elétron.
O operador de Hamilton de interação Coulombiana entre dois elétrons do tipo 3 que
encontram-se em átomos diferentes (átomo A e átomo B), usando-se o formalismo de segunda
quantização, é dado
[29]
por:
,,,,
4
,,,
2
1
33442211
4321
4321
,,,,
,,,
,,,
4433
0
2
2211 mnmnmnmn
mmmm
nnnn
aaaamnmn
d
e
mnmnH
++
∑
=
πε
onde:
• os números quânticos n
1
, m
1
, n
3
e m
3
referem-se a um dos dois elétrons,
• os números quânticos n
2
, m
2
, n
4
e m
4
referem-se ao outro elétron,
• os números quânticos m
i
’s podem valer +½ ou -½,
)1(
−
A
60
• os números quânticos n
i
’s podem valer n
A
ou n
B
e
• d é o operador que dá a distância entre os dois elétrons.
Temos que:
4231
,,432144332211
,|,,,,|,,,
mmmm
nnnnmnmnmnmn
δδ
= ,
assim:
13242211
21
4321
,,,,
,
,,,
43
0
2
21
,
4
,
2
1
mnmnmnmn
mm
nnnn
aaaann
d
e
nnH
++
∑
=
πε
.
Estamos considerando que existe apenas um elétron do tipo 3 por átomo, assim, para
que na soma acima não apareçam termos que representam dois elétrons em um mesmo sítio,
devemos usar a seguinte restrição:
{}( )
(
)
(
){}
3241423143214321
,,,,,, nnnnnnnnondennnnnnnn =∧
=
∨
=
∧
=
=
.
Usando-se a restrição acima na equação (A-3), teremos que:
21
HHH
+
=
onde:
11222211
21
21
,,,,
,
,
21
0
2
211
,
4
,
2
1
mnmnmnmn
mm
nn
aaaann
d
e
nnH
++
∑
=
πε
e
12212211
21
21
,,,,
,
,
12
0
2
212
,
4
,
2
1
mnmnmnmn
mm
nn
aaaann
d
e
nnH
++
∑
=
πε
.
Temos que Iaaaa
mnmnmnmn
=
++
11222211
,,,,
, onde I é o operador identidade. Definindo a
integral de Coulomb e a integral de troca, respectivamente, por
21
0
2
21,
,
4
,
21
nn
d
e
nnK
nn
πε
=
e
12
0
2
21
2
,
,
4
,
2
21
nn
d
e
nnJ
nn
πε
h
= , teremos que:
)2(
−
A
)3(
−
A
)4(
−
A
)5(
−
A
61
.
22
1
2
1
12212211
21
21
21
21
21
21
,,,,
,
,
,
2
,
,
, mnmnmnmn
mm
nn
nn
mm
nn
nn
aaaaJIKH
++
∑∑
+=
h
O primeiro termo da expressão acima é constante, assim, como a energia é definida a menos
de uma constante aditiva, podemos retirá-lo do Hamiltoniano. A equação (A-6) pode ser
reescrita como:
.
4
12222111
21
21
21
,,,,
,
,
,
2
mnmnmnmn
mm
nn
nn
aaaaJH
++
∑
−=
h
Temos que os operadores de spin no sítio n, usando o formalismo de segunda
quantização, são dados
[29]
por:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
+
+
−−
+
+
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
)(
nnnn
x
aaaanS
h
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
+
+
−−
+
+
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
)(
nnnn
y
aaaa
i
nS
h
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
−
+
−+
+
+
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
)(
nnnn
z
aaaanS
h
Desta forma, teremos que:
{}
++=
−
+
++
+
−+
+
−−
+
+
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
21
22112211
2
)().(
nnnnnnnn
aaaaaaaanSnS
h
rr
{}
++
−
+
−−
+
−+
+
++
+
+
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
22112211
4
nnnnnnnn
aaaaaaaa
h
{}
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
22112211
4
+
+
+−
+
−−
+
−+
+
+
+−
nnnnnnnn
aaaaaaaa
h
,
ou, de forma alternativa:
{}
++=
−
+
++
+
−+
+
−−
+
+
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
21
22112211
2
)().(
nnnnnnnn
aaaaaaaanSnS
h
rr
{}
++
−
+
−−
+
−+
+
++
+
+
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
22112211
2
nnnnnnnn
aaaaaaaa
h
{}
I
4
2
h
− .
)6(
−
A
)7(
−
A
)8(
−
A
)9(
−
A
)10(
−
A
)11(
−
A
)12(
−
A
62
Realizando os somatórios em m
1
e m
2
na equação (A-7), teremos que:
.
4
21
22112211
22112211
21
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
,
2
∑
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
++
−=
−
+
−−
+
−−
+
++
+
−
+
+
−−
+
++
+
++
+
+
nn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nn
aaaaaaaa
aaaaaaaa
JH
h
Comparando as equações (A-12) e (A-13) vemos que
∑∑
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=
2121
2121
,,
21
2
,
2
,
2
)().(
2
42
1
4
nnnn
nnnn
nSnSJIJH
rr
h
hh
.
O primeiro termo da expressão acima é constante, assim, como antes, podemos retirá-lo do
Hamiltoniano. Desta forma, obtemos que
{
}
∑
−=
21
21
,
21,
)().(
2
1
nn
nn
nSnSJH
r
r
.
Realizando os somatórios acima, lembrando que por definição
ABBA
nnnn
JJ
,
63
APÊNDICE B – O Limite Contínuo
Analiticamente pode-se utilizar teoria de campos
[30]
, a qual descreve sistemas com
infinitos graus de liberdade, para estudar sistemas de spins localizados. Uma forma de obter
uma
teoria de campos correspondente a um NDM é tomar o limite contínuo da equação (1-13).
Numa rede quadrada, isto é feito assumindo-se que o espaçamento de rede é desprezível e que
a direção de spins vizinhos varia lentamente. Isto corresponde a analisar a região de grandes
comprimentos de onda e baixas energias, sendo, portanto, aplicado à faixa de baixas
temperaturas.
Figura B.1 – (a) Parametrização do spin nos campos m e
φ
. (b) Rede quadrada, mostrando os quatro primeiros
vizinhos do spin
i
S
r
.
Seja o vetor de spin
S
r
parametrizado por
(
)
mSenmCosmS ,1,1
22
φφ
−−=
r
, onde
os parâmetros m e
φ
são definidos pela figura B.1(a). Com tal parametrização, o
Hamiltoniano de troca, equação (1-4), pode ser dado por:
{
}
∑
><
−−+−−−=
ji
jijijijiT
SenSenmmCosCosmmJH
,
2222
1111
φφφφ
.
)1(
−
B
)( a
)(b
64
Como mostrado na figura B.1(b), cada spin têm apenas quatro vizinhos próximos. Assim, é
conveniente separar o somatório acima em dois, de forma que:
∑∑∑
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
+
≠
−=
+
≠
−=i
j
i
ij
ij
jiij
i
ij
ij
jiiT
SenmSenmCosmCosm
J
H
φφφφ
2
2
22
2
2
22
1111
2
,
onde o fator ½ foi introduzido para não se contar o mesmo par de sítios duas vezes.
Como nesta aproximação o espaçamento de rede tende a zero, ou seja, é desprezível,
pode-se, com boa aproximação, expandir os vizinhos do spin
i
S
r
em torno do sítio i como:
(
)
(
)
iiiiiiii
Cosm
x
a
Cosm
x
aCosmCosm
φφφφ
2
2
22
22
1
2
1
1
2
111 −
∂
∂
+−
∂
∂
±−≅−
±±
,
(
)
(
)
iiiiiiii
Cosm
y
a
Cosm
y
aCosmCosm
φφφφ
2
2
22
22
2
2
2
1
2
111 −
∂
∂
+−
∂
∂
±−≅−
±±
,
(
)
(
)
iiiiiiii
Senm
x
a
Senm
x
aSenmSenm
φφφφ
2
2
22
22
1
2
1
1
2
111 −
∂
∂
+−
∂
∂
±−≅−
±±
e
(
)
(
)
iiiiiiii
Senm
y
a
Senm
y
aSenmSenm
φφφφ
2
2
22
22
2
2
2
1
2
111 −
∂
∂
+−
∂
∂
±−≅−
±±
.
Substituindo os termos acima na equação (B-2) e trocando o somatório por uma integral, ou
seja,
∫∫
∑
→
2
a
dxdy
i
, tem-se que:
(
)
(
)
∫∫∫∫
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−+
−
−−=
φφ
φφ
Senm
yx
Senm
Cosm
yx
Cosm
a
m
dxdy
J
dxdy
a
J
H
T
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
11
4
2
2
.
O primeiro termo acima é constante, assim, pode-se redefinir o Hamiltoniano de forma que
este termo não aparece.
Através de integração por partes, tem-se que:
(
)
(
)
αφ
α
αφ
α
φ
dCosmdCosmCosm
2
22
2
2
2
111
∫∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
−=−
∂
∂
−
e
)2(
−
B
)3(
−
B
65
(
)
(
)
αφ
α
αφ
α
φ
dSenmdSenmSenm
2
22
2
2
2
111
∫∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
−=−
∂
∂
−
,
onde
α
pode ser x ou y. Substituindo os termos acima na equação (B-3), obtêm-se que:
(
)
(
)
(
)
(
)
.1111
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∫∫
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
+=
φφφφ
Senm
y
Senm
x
Cosm
y
Cosm
xa
m
dxdy
J
H
T
Mas, sabe-se que:
(
)
()
α
φ
α
φφ
α
φ
φ
α
φ
φ
α
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂ m
CosmSenSenm
m
m
Cosm
Cosm 21
1
1
2
22
2
2
22
2
2
e
(
)
()
α
φ
α
φφ
α
φ
φ
α
φ
φ
α
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂ m
CosmSenCosm
m
m
Senm
Senm 21
1
1
2
22
2
2
22
2
2
.
Assim:
()
()
()
∫∫
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∇−+∇
−
+=
2
2
2
2
2
2
2
1
1
4
2
φ
PPT
mm
m
m
a
m
dxdy
J
H
,
onde
j
y
i
x
P
ˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
=∇
.
Para modelos de plano-fácil, verifica-se o surgimento de excitações topológicas
chamadas de vórtices. Tais excitações ocorrem, basicamente, devido à baixa
dimensionalidade do sistema. As configurações mais simples de vórtices que surgem são as
do tipo planar. Neste há uma anisotropia grande o suficiente para provocar o confinamento
dos spins ao plano. Para um vórtice planar, tem-se
0
=
m
na equação (B-5), de forma que:
()
{
}
∫∫
∇=
2
2
φ
PT
dxdy
J
H .
Aplicando o princípio variacional à equação acima, tem-se que:
()
00
2
=∇⇒=
φ
δφ
δ
P
T
H
.
A equação de Laplace acima possui uma solução do tipo vórtice, a qual é dada por:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
v
v
v
xx
yy
qArctgyx ),(
φ
,
)4(
−
B
)5(
−
B
)6(
−
B
)7(
−
B
)8(
−
B
66
em que a constante q é definida como a carga topológica do vórtice e o par ),(
vv
yx é seu
centro. A figura B.2(a) mostra a configuração de um vórtice planar onde
1
+
=
q .
Alternativamente, define-se um vórtice como sendo a configuração na qual a soma da
diferença dos ângulos de spins vizinhos, numa mesma distância ao centro, seja )(2 q
π
. Tal
definição pode ser sintetizada através de um conjunto de condições de contorno sobre uma
integral de circulação de forma que:
∫
=∇ )(2).( qldr
P
πφ
r
r
,
onde as curvas fechadas englobam o centro do vórtice,
v
r
r
. Um vórtice com carga topológica
1−=q
é comumente chamado de anti-vórtice. A figura B.2(b) mostra a configuração de um
anti-vórtice.
Figura B.2 – Representação esquemática de um vórtice, (a), e de um anti-vórtice, (b).
Pode-se obter a energia de um vórtice no limite contínuo. Primeiramente, como um
vórtice possui simetria de rotação no plano, tem-se que:
φππφ
PP
rqldr ∇==∇
∫
2)(2).(
r
r
,
ficando
r
q
P
=∇
φ
. Substituindo o resultado acima na equação (B-6), obtêm-se que:
)( a )(b
)9(
−
B
)10(
−
B
67
∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
π
πφ
2
0
0
2
2
2
0
ln
1
2
L
a
T
a
L
Jqrdrd
r
Jq
E
,
onde L é o tamanho do sistema e a constante
0
a é introduzida para evitar divergências na
energia. Comumente usa-se o valor aa 24,0
0
=
.
O termo referente à energia magnetostática, equação (1-11), no limite contínuo vem do
eletromagnetismo
[31]
, podendo ser dado por:
∫∫
−
=
'
)'()(
'
2
1
rr
rr
dSdSH
M
rr
r
r
σ
σ
,
onde nMr
ˆ
.)(
r
r
=
σ
é a densidade superficial de carga magnética. Vale lembrar que, neste caso,
apenas as cargas superficiais contribuem para a energia magnetostática do sistema.
Por fim, o termo referente à energia de interação do NDM com um campo magnético
uniforme externo, equação (1-12), no limite continuo pode ser dado por:
∫
−= SB
a
dxdy
H
Z
r
r
.
2
.
Considerando a parametrização de spin dada pela figura B.1(a), teremos que:
{
}
∫
−+−−=
φφ
SenmBCosmB
a
dxdy
H
yxZ
22
2
11
Finalmente, o Hamiltoniano, no limite contínuo, de um vórtice planar em um NDM,
considerando a parametrização de spin dada pela figura B.1(a), submetido a um campo
magnético externo,
xBB
ˆ
=
r
, é dado por:
()
{}
∫∫∫∫∫
−
−
+∇=
φ
σ
σ
φ
Cos
a
dxdy
B
rr
rr
dSdSdxdy
J
H
P
2
2
'
)'()(
'
2
1
2
rr
r
r
.
)11(
−
B
)12(
−
B
)13(
−
B
)15(
−
B
)14(
−
B
68
Seja d a distância do centro do vórtice em relação ao centro do disco de raio R, como
indicado na figura (B.3). Define-se
R
d
s =
. Para os casos em que s é muito menor que um,
Guslienko et al. mostraram
[31]
que:
()
)(
2
0
sOBsHH +−=
,
onde
()
0
H é a energia total do vórtice centrado no centro do disco.
Figura B.3 – Representação esquemática de um vórtice cujo centro está a uma distância d do centro do disco de
raio R.
Assim, no limite contínuo, a energia do sistema é linear para pequenos deslocamentos
do centro do vórtice em relação ao centro do disco.
)16(
−
B
d
R
69
APÊNDICE C – Obtenção das equações de movimento para
l
S
r
As equações de movimento para as componentes de
l
S
r
são obtidas a partir de
[23]
:
[]
HS
i
S
x
l
x
l
,
h
&
−
=
,
[
]
HS
i
S
y
l
y
l
,
h
&
−
= e
[
]
HS
i
S
z
l
z
l
,
h
&
−
= .
O Hamiltoniano do sistema, equação (1-13), pode ser reescrito como:
()
(
)
,
ˆ
.)(
2
1
2
,
,
∑∑∑
−++−=
−
i
x
i
i
ii
D
B
ji
y
j
y
i
x
j
x
iji
SBnSeCSSSSJH
i
r
λ
onde
JJ
ji
=
,
se
i
S
r
e
j
S
r
forem vizinhos próximos e 0
,
=
ji
J caso contrário.
• Obtenção da equação de movimento para
x
l
S
Substituindo
()
2
−
C
na primeira equação de
(
)
1
−
C
chegamos a:
()
[]
()
()
[
]
[]
∑∑
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+++
−−
=
−
i
x
i
x
l
y
i
y
i
x
i
x
i
x
l
D
B
j
y
j
y
i
x
j
x
i
x
lji
x
l
SSBnSnSSeCSSSSSJ
i
S
i
,,,
2
1
2
,
λ
h
&
.
Temos que:
(
)
[
]
[
]
[
]
(
)
i
l
y
j
z
i
j
l
z
j
y
i
y
j
y
i
x
l
x
j
x
i
x
l
y
j
y
i
x
j
x
i
x
l
SSSSiSSSSSSSSSSS
δδ
+=+=+ h,,,
,
()
[
]
(
)
(
){}
i
l
y
i
z
i
y
i
y
i
x
i
x
i
y
i
y
i
x
i
x
i
i
l
y
i
z
i
y
i
y
i
x
i
x
i
x
l
nSnSnSnSnSnSinSnSS
δδ
+++=+ h
2
, e
[
]
0, =
x
i
x
l
SS .
Desta forma:
(
)
(
)
ll
y
l
z
l
D
B
j
y
jjl
z
l
x
l
nSnSeCSJSS
l
ˆ
.2
,
r
&
λ
−
+−=
∑
.
Podemos também reescrever a equação acima como:
(
)
(
)
ll
y
l
z
l
D
B
j
y
j
z
l
x
l
nSnSeCSJSS
l
ˆ
.2
'
'
r
&
λ
−
+−=
∑
,
onde
j’, ao invés de j, indica que o somatório é realizado sobre os vizinhos próximos a .
l
S
r
)1(
−
C
)2(
−
C
)3(
−
C
)4(
−
C
)5(
−
C
70
•
Obtenção da equação de movimento para
y
l
S
Substituindo
()
2
−
C
na segunda equação de
(
)
1
−
C
chegamos a:
()
[]
()
()
[
]
[]
∑∑
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+++
−−
=
−
i
x
i
y
l
y
i
y
i
x
i
x
i
y
l
D
B
j
y
j
y
i
x
j
x
i
y
lji
y
l
SSBnSnSSeCSSSSSJ
i
S
i
,,,
2
1
2
,
λ
h
&
.
Temos que:
(
)
[
]
[
]
[
]
(
)
i
l
x
j
z
i
j
l
z
j
x
i
y
j
y
i
y
l
x
j
x
i
y
l
y
j
y
i
x
j
x
i
y
l
SSSSiSSSSSSSSSSS
δδ
+−=+=+ h,,,
,
()
[
]
(
)
(
){}
i
l
x
i
z
i
y
i
y
i
x
i
x
i
y
i
y
i
x
i
x
i
i
l
x
i
z
i
y
i
y
i
x
i
x
i
y
l
nSnSnSnSnSnSinSnSS
δδ
+++−=+ h
2
, e
[
]
i
l
z
i
x
i
y
l
SiSS
δ
h−=,.
Desta forma, já fazendo o somatório sobre os vizinhos próximos a
l
S
r
, obtemos que:
(
)
(
)
z
lll
x
l
z
l
D
B
j
x
j
z
l
y
l
BSnSnSeCSJSS
l
+−=
−
∑
ˆ
.2
'
'
r
&
λ
.
•
Obtenção da equação de movimento para
z
l
S
Substituindo
()
2
−
C na terceira equação de
(
)
1
−
C chegamos a:
()
[]
()
()
[
]
[]
∑∑
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+++
−−
=
−
i
x
i
z
l
y
i
y
i
x
i
x
i
z
l
D
B
j
y
j
y
i
x
j
x
i
z
lji
z
l
SSBnSnSSeCSSSSSJ
i
S
i
,,,
2
1
2
,
λ
h
&
.
Temos que:
(
)
[
]
[
]
[
]
(
)
(
)
{
}
j
l
x
j
y
i
i
l
y
j
x
i
j
l
y
j
x
i
i
l
x
j
y
i
y
j
y
i
z
l
x
j
x
i
z
l
y
j
y
i
x
j
x
i
z
l
SSSSSSSSiSSSSSSSSSSS
δδδδ
+−+=+=+ h,,, ,
()
[
]
()
(
)
(
)( ){}
y
i
y
i
x
i
x
i
i
l
y
i
x
i
i
l
x
i
y
i
i
l
y
i
x
i
i
l
x
i
y
i
y
i
y
i
x
i
x
i
y
i
y
i
x
i
x
i
z
l
nSnSnSnSnSnSnSnSinSnSS +−+−+=+
δδδδ
h
2
,
e
[
]
i
l
y
i
x
i
z
l
SiSS
δ
h=,.
Desta forma, já fazendo o somatório sobre os vizinhos próximos a
l
S
r
, obtemos que:
(
)
(
)
(
)
y
lll
y
l
x
l
x
l
y
l
D
B
j
x
j
y
l
j
y
j
x
l
z
l
BSnSnSnSeCSJSSJSS
l
−−+−=
−
∑
∑
ˆ
.2
'
'
'
'
r
&
λ
.
)6(
−
C
)7(
−
C
)8(
−
C
)9(
−
C
71
Referências Bibliográficas
[1] – Cowburn, R. P.
Journal of Physics D. Vol. 33, Pg. R1-R16. Ano 2000.
[2] – Rocha, José Fernando M. et al.
Origens e Evolução das Idéias da Física. Cap. III, p.
185-281. Editora da UFBA. Ano 2002.
[3] – Rezende, Sérgio Machado.
Revista Brasileira de Ensino de Física. Vol. 22, Pg. 293.
Ano 2000.
[4] – Ribeiro,
Giuliano Augustus Pavan. Revista Brasileira de Ensino de Física. Vol. 22, Pg.
299. Ano 2000.
[5] – Baibich, M. N. et al.
Physical Review Letters. Vol. 61, Pg. 2472. Ano 1988.
[6] – Ashcroft, N. W.; Mermin, N. D.
Solid State Physics. Edição internacional. Editora
Sauders college publishing. Ano 1976.
[7] – Parkin, S. S. P. et al.
Journal of Applied Physics. Vol. 85, Pg. 5828. Ano 1999.
[8] – Chapman, J. N. et al.
Journal of Applied Physics. Vol. 83, Pg. 5321. Ano 1998.
[9] – Cowburn, R. P. et al.
Physical Review Letters. Vol. 83, Pg. 1042. Ano 1999.
[10] – Rahm, M. et al.
Journal of Applied Physics. Vol. 95, Pg. 6708. Ano 2004.
[11] – Rahm, M. et al.
Journal of Applied Physics. Vol. 93, Pg. 7429. Ano 2003.
[12] – Uhlig, T. et al.
Physical Review Letters. Vol. 95. Pg. 237205. Ano 2005.
[13] – Raabe, J. et al.
Journal of Applied Physics. Vol. 88, Pg. 4437. Ano 2000.
[14] – Machado, Kleber Daum.
Teoria do Eletromagnetismo. Vol. II. Editora da UEPG.
Ano 2002.
[15] – Kireev, V. E.; Ivanov, B. A..
Physical Review B. Vol. 68, Pg. 104428. Ano 2003.
[16] – Pereira, A. R. et al.
Journal of Applied Physics. Vol. 101. Ano 2007.
[17] – Carneiro, D. F..
Comportamento de Vórtices em Nanodiscos Magnéticos na
Presença de Defeitos Não-Magnéticos
. Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade
Federal de Juiz de Fora. Ano 2006.
72
[18] – Rahm, M.; Stahl J.; Weiss, D..
Applied Physics Letters. Vol. 87, Pg. 182107. Ano
2005.
[19] – Scherer, Cláudio.
Métodos Computacionais da Física. Editora Livraria da Física. Ano
2005.
[20] – Reif, F..
Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Edição internacional.
Editora McGraw-Hill. Ano 1985.
[21] – Metropolis, Nicholas et al.
Journal of Chemical Physics. Vol 21, Pg. 1087. Ano 1953.
[22] – Wolff, Ulli.
Physical Review Letters. Vol. 62, Pg. 361. Ano 1989.
[23] – Sakurai, J. J.; Tuan, S. F..
Modern Quantum Mechanics - Revised Edition. Editora
Addison-Wesley. Ano 1994.
[24] – Dorn, W. S.; McCracken, D. D..
Cálculo numérico com estudos de casos em Fortran
IV. Editora Campus. 1º reimpresão. Ano 1981.
[25] – Cereda, R. L. D.; Maldonati, J. C..
Introdução ao Fortran 77 para
microcomputadores. Editora McGraw-Hill. An o 1987.
[26] –
Computers in Physics. Vol. 6, Nº 5, Sept. Oct (522). Ano 1992.
[27] – Rahm, M.; Stahl, J.; Wegscheider, W.; Weiss, D..
Applied Physics Letters. Vol. 85,
Pg. 1553. Ano 2004.
[28] – Pereira, A. R. et al.
Physical Review B. Vol. 71, Pg. 14403. Ano 2005.
[29] – White, Robert M..
Quantum Theory of Magnetism. Second Edition. Editora
McGraw-Hill. Ano 1983.
[30] – Mól, L. A. S..
Estudo de Materiais Magnéticos de Baixa Dimensionalidade
Dopados com Impurezas Não Magnéticas. Dissertação de Mestrado apresentada à
Universidade Federal de Viçosa. Ano 2004.
[31] – Guslienko, K. Y. et al.
Applied Physics Letters. Vol. 78, Pg. 3848. Ano 2001.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
