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Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Curso de Mestrado em Matem´atica
Espa¸cos de Orlicz e uma aplica¸c˜ao a
sistemas hamiltonianos
por
Bruno Henrique Carvalho Ribeiro
sob orienta¸c˜ao do
Prof. Dr. Jo˜ao Marcos Bezerra do
´
O
Disserta¸c˜ao apresentada ao Corpo Do-
cente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao
em Matem´atica - CCEN - UFPB,
como requisito parcial para obten¸c˜ao
do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Mar¸co/2006
Jo˜ao Pessoa - PB
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Espa¸cos de Orlicz e uma aplica¸c˜ao a
sistemas hamiltonianos
por
Bruno Henrique Carvalho Ribeiro
Disserta¸c˜ao apresentada ao Corpo Docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Mate-
m´atica - CCEN - UFPB, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica.
´
Area de Concentra¸c˜ao: An´alise.
Aprovada por:
Prof. Dr. Jo˜ao Marcos Bezerra do
´
O - UFPB (Orientador)
Prof. Dr. Elves Alves de Barros e Silva - UnB
Prof. Dr. Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki - UFV
Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Curso de Mestrado em Matem´atica
Mar¸co/2006
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Agradecimentos
Agrade¸co a minha fam´ılia, por todo o amor e todas as palavras de incentivo recebidos;
a meus amigos e colegas de estudo, do ensino m´edio e da universidade, pelos in´umeros
conselhos e apoio incondicional; a todos os meus educadores; aos professores Fl´avia
Jerˆonimo Barbosa, Everaldo Souto de Medeiros, Ana Maria Bertone e Uberlˆandio
Batista Severo por sempre acreditarem em mim, com palavras estimulantes de confian¸ca;
ao CNPq, pelo apoio financeiro. Agrade¸co tamb´em a Elisandra, por seu carinho,
companherismo, est´ımulo e ajuda. Gostaria de agradecer a meus av´os, Juarez C´ezar
e Am´elia Carvalho, cujas presen¸cas em minha vida foram e s˜ao fundamentais para a
minha forma¸c˜ao humana. Em especial, deixo minha eterna gratid˜ao a meu orientador,
Jo˜ao Marcos Bezerra do
´
O, pois seus esfor¸cos para minha forma¸c˜ao acadˆemica, tanto na
gradua¸c˜ao, quanto no mestrado, ultrapassam a fronteira orientador-orientando e, um dia,
espero po der recompensar.
i
Dedicat´oria
A minha querida av´o Adete (in memoriam)
ii
Resumo
Apresentamos e estudamos os espa¸cos de Orlicz e Orlicz-Sobolev, que s˜ao, respecti-
vamente, generaliza¸c˜oes naturais dos espa¸cos de Lebesgue e Sobolev, a fim de aplic´a-los
na discuss˜ao de existˆencia de solu¸c˜ao para uma classe de sistemas hamiltonianos super-
lineares, com condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet, sobre dom´ınios limitados em R
n
com
n ≥ 3.
iii
Abstract
We study Orlicz and Orlicz-Sobolev spaces, which are natural generalizations of
Lebesgue and Sobolev spaces respectively, in order to apply this theory in the discussion
on existence of solutions for a class of superlinear hamiltonian systems, with Dirichlet
boundary conditions, on bounded domains in R
n
, n ≥ 3.
iv
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 N-fun¸c˜oes 4
1.1 Fun¸c˜oes convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 N-fun¸c˜oes e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 N-fun¸c˜ao complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Mais algumas propriedades das N-fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Classes de Orlicz, espa¸cos de Orlicz 20
2.1 Classes de Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Espa¸cos de Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Desigualdade de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 A norma de Luxemburgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Imers˜oes em espa¸cos de Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 O espa¸co E
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Funcionais lineares nos espa¸cos de Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Espa¸cos de Orlicz-Sobolev, imers˜oes de Sobolev 49
3.1 Espa¸cos de Orlicz-Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Imers˜oes de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 O espa¸co W
1
0
L
M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Sistemas hamiltonianos 67
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 O m´etodo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 O funcional associado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 A geometria do passo da montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.3 A condi¸c˜ao de Palais-Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.4 Redu¸c˜ao ao caso finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.5 Existˆencia de solu¸c˜ao fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Referˆencias Bibliogr´aficas 86
v
Introdu¸c˜ao
Os espa¸cos de Orlicz s˜ao generaliza¸c˜oes naturais dos espa¸cos de fun¸c˜oes de Lebesgue.
Surgiram primeiramente em 1932, num artigo do matem´atico polonˆes Wladyslaw Roman
Orlicz (vide [15]), inicialmente definidos utilizando-se uma condi¸c˜ao que hoje denotamos
por condi¸c˜ao ∆
2
e posteriormente, em 1936, sob a generalidade hoje estudada. Por
possu´ırem estruturas topol´ogica e geom´etrica bastante ricas, tais espa¸cos vˆem sendo
utilizados, nas d´ecadas recentes, em an´alise, equa¸c˜oes diferenciais, equa¸c˜oes integrais,
probabilidade, estat´ıstica matem´atica, etc.
Nosso objetivo, para os trˆes primeiros cap´ıtulos, consiste em apresentar, descrever
e estudar os espa¸cos de Orlicz e espa¸cos de Orlicz-Sobolev, que s˜ao obtidos da mesma
forma em que os espa¸cos de Sobolev s˜ao formados a partir dos espa¸cos de Lebesgue. No
´ultimo cap´ıtulo, aplicamos a teoria apresentada no estudo de existˆencia de solu¸c˜ao fraca
para uma classe de sistemas hamiltonianos superlineares, com condi¸c˜ao de fronteira de
Dirichlet, em dom´ınios limitados de fronteira suave.
Come¸camos, no cap´ıtulo 1, por estudar uma classe especial de fun¸c˜oes convexas
definidas em R a valores em R, chamadas de N-fun¸c˜oes, que desempenham um papel
de definidoras dos espa¸cos de Orlicz. Isto ´e, para cada N-fun¸c˜ao p odemos associar um
espa¸co de Orlicz, da mesma forma em que as fun¸c˜oes |s|
p
, para 1 < p < ∞ (que s˜ao
exemplos especiais de N-fun¸c˜oes), definem os espa¸cos L
p
. Apresentamos tamb´em neste
cap´ıtulo a no¸c˜ao de N-fun¸c˜ao conjugada: dada uma N-fun¸c˜ao M introduzimos uma nova
N-fun¸c˜ao N tal que vale uma desigualdade do tipo Young
uv ≤ M(u) + N(v).
Detalhamos ainda algumas caracter´ısticas adicionais que determinadas N-fun¸c˜oes satis-
fazem e que refletem em propriedades topol´ogicas adicionais para os espa¸cos de Orlicz por
elas definidos.
Dedicamos ent˜ao o cap´ıtulo 2 aos espa¸cos de Orlicz propriamente ditos. Dada uma
N-fun¸c˜ao M estudada no cap´ıtulo anterior, constru´ımos a classe de Orlicz desta N-fun¸c˜ao,
definida pelo conjunto
L
M
(Ω) ≡
u : Ω → R mensur´avel ;
Ω
M(u(x))dx < ∞
,
1
onde dx representa a medida de Lebesgue em R
n
e Ω ⊂ R
n
´e um dom´ınio limitado e aberto.
Observamos que a escolha da medida ´e puramente convencional, uma vez que tal conjunto
de fun¸c˜oes pode ser definido a partir de qualquer medida. Notemos ainda que no caso em
que M(s) = |s|
p
, para 1 < p < ∞ esta classe de Orlicz se resume ao espa¸co L
p
conhecido.
´
E interessante tamb´em salientar que a classe de Orlicz n˜ao ´e necessariamente um espa¸co
vetorial e estudaremos quando de fato isto ocorre. Portanto, a fim de uma defini¸c˜ao
mais geral, chamamos de espa¸co de Orlicz L
M
(Ω) de uma N-fun¸c˜ao M o menor espa¸co
vetorial gerado pela classe de Orlicz desta mesma N-fun¸c˜ao. Com o aux´ılio da no¸c˜ao de
N-fun¸c˜ao complementar, introduzimos ent˜ao os espa¸cos de Orlicz conjugados: Dada um
par de N-Fun¸c˜oes complementares M e N, dizemos que L
M
(Ω) e L
N
(Ω) s˜ao espa¸cos de
Orlicz conjugados. Aqui, novamente, cabe uma analogia aos espa¸cos de Lebesgue. Se
L
M
(Ω) = L
p
(Ω) ent˜ao teremos L
N
(Ω) = L
q
(Ω), onde 1/p + 1/q = 1.
Discutimos, posteriormente, todas as “boas” propriedades dos espa¸cos de Orlicz, tais
como completeza, separabilidade e reflexividade. Todas as propriedades das N-fun¸c˜oes
estudadas no cap´ıtulo 1 revelar-se-˜ao aqui fundamentais para esta discuss˜ao. Por exemplo,
se uma determinada N-fun¸c˜ao M satisfaz a condi¸c˜ao de crescimento chamada condi¸c˜ao
∆
2
, ent˜ao o espa¸co de Orlicz L
M
(Ω) por ela definido ´e separ´avel, e reciprocamente.
Observamos ainda que as condi¸c˜oes impostas `as N-fun¸c˜oes s˜ao quase sempre assint´oticas,
pois, como estamos trabalhando em dom´ınios limitados, determinadas propriedades dos
espa¸cos de Orlicz ser˜ao v´alidas simplesmente exigindo condi¸c˜oes de crescimento das N-
fun¸c˜oes satisfeitas apenas no infinito. Impor condi¸c˜oes de crescimento globais faz-se
necess´ario se pretende-se trabalhar em dom´ınios n˜ao limitados.
Na mesma naturalidade em que s˜ao definidos os espa¸cos de Sobolev W
1,p
(Ω) , a
partir dos espa¸cos de Lebesgue L
p
(Ω), definimos e estudamos, no cap´ıtulo 3, os espa¸cos
de Orlicz-Sobolev W
1
L
M
obtidos a partir dos espa¸cos de Orlicz L
M
. Mais uma vez,
vemos as propriedades b´asicas destes espa¸cos, bem como o importante subespa¸co W
1
0
L
M
.
em sua forma generalizada. Esta abordagem por meio dos espa¸cos de Orlicz-Sobolev nos
permite, por exemplo, impor crescimentos assint´oticos n˜ao necessariamente polinomiais
`as fun¸c˜oes f e g do sistema. Finalizamos ent˜ao o cap´ıtulo com um apˆendice apresentando
o teorema do passo da montanha mencionando.
Toda esta proposta foi elaborada em [5] e assim, este trabalho, al´em de estudar
minuciosamente as caracter´ısticas e propriedades dos espa¸cos de Orlicz e Orlicz-Sobolev,
torna-se, principalmente em seu ´ultimo cap´ıtulo, uma releitura auto explicativa deste
artigo.
3
Cap´ıtulo 1
N-fun¸c˜oes
1.1 Fun¸c˜oes convexas
Defini¸c˜ao 1.1 Uma fun¸c˜ao M : R → R ´e dita convexa se
M
tu
1
+ (1 − t)u
2
≤ tM(u
1
) + (1 − t)M(u
2
),
para qualquer t ∈ [0, 1] e para quaisquer u
1
, u
2
∈ R.
Observa¸c˜ao: Sejam u
1
≤ u
3
≤ u
2
, com u
2
= u
1
, assim
u
3
=
u
2
− u
3
u
2
− u
1
u
1
+
u
3
− u
1
u
2
− u
1
u
2
.
Portanto, se M ´e uma fun¸c˜ao convexa, temos que
M(u
3
) ≤
u
2
− u
3
u
2
− u
1
M(u
1
) +
u
3
− u
1
u
2
− u
1
M(u
2
).
Estamos interessados em estudar apenas as fun¸c˜oes convexas cont´ınuas. Da desigual-
dade acima, podemos deduzir uma propriedade importante de tais fun¸c˜oes: possuir
derivadas laterais bem definidas em cada ponto.
´
E o que mostraremos agora.
Defini¸c˜ao 1.2 Dizemos que M : R → R possui derivada lateral `a esquerda quando
existe a fun¸c˜ao
p
−
: R −→ R
u −→ p
−
(u) = lim
h→0
+
M(u) − M(u − h)
h
.
p
−
´e dita derivada lateral `a esquerda de M.
Similarmente, M possui derivada lateral `a direita p
+
quando est´a bem definida a
fun¸c˜ao
p
+
: R −→ R
u −→ p
+
(u) = lim
h→0
+
M(u + h) − M(u)
h
.
4
Lema 1.1 Uma fun¸c˜ao M : R → R cont´ınua e convexa possui, em cada ponto, uma
derivada `a direita p
+
: R → R e uma derivada `a esquerda p
−
: R → R.
Prova: Fixado u ∈ R, para 0 < h
1
< h
2
vemos que
M(u) − M(u − h
2
)
h
2
≤
M(u) − M(u − h
1
)
h
1
≤
≤
M(u + h
2
) − M(u)
h
2
≤
M(u + h
1
) − M(u)
h
1
.
Dessa forma, podemos concluir que a raz˜ao
M(u) − M(u − h)
h
n˜ao decresce quando h → 0
+
e, consequentemente, p ossui um limite p
−
(u). Analogamente,
a raz˜ao
M(u + h) − M(u)
h
n˜ao cresce quando h → 0
+
, possuindo assim um limite p
+
(u).
Um outro fato importante ´e o seguinte
Lema 1.2 A derivada `a direita p
+
de uma fun¸c˜ao convexa e cont´ınua M ´e n˜ao-
decrescente e cont´ınua `a direita.
Prova: Sejam u
1
< u
2
. Tomemos h ∈ R suficientemente pequeno tal que u
1
< u
2
− 2h.
Portanto u
1
< u
1
+ h < u
2
− h < u
2
, donde conclu´ımos que
M(u
1
+ h) − M(u
1
)
h
≤
M(u
2
− h) − M(u
1
+ h)
u
2
− (u
1
+ 2h)
≤
M(u
2
) − M(u
2
− h)
h
.
Logo, fazendo h → 0
+
, temos
p
+
(u
1
) ≤ p
−
(u
2
).
Mas ´e f´acil verificar que p
−
(u
2
) ≤ p
+
(u
2
) e assim,
p
+
(u
1
) ≤ p
+
(u
2
),
provando a monotonicidade da fun¸c˜ao. Provar continuidade `a direita ´e provar que
lim
u→u
+
0
p
+
(u) = p
+
(u
0
). Para tanto, fixemos h > 0. Temos que
M(u + h
) − M(u)
h
≤
M(u + h) − M(u)
h
, ∀h
∈ (0, h).
Assim, fazendo h
→ 0
+
, conclu´ımos que para cada h > 0, temos
p
+
(u) ≤
M(u + h) − M(u)
h
.
5
Tomando u → u
+
0
nesta inequa¸c˜ao, temos, pela continuidade de M, que para cada h > 0
vale
lim
u→u
+
0
p
+
(u) ≤
M(u
0
+ h) − M(u
0
)
h
.
Fazendo agora h → 0
+
, temos
lim
u→u
+
0
p
+
(u) ≤ p
+
(u
0
).
Por outro lado, para cada u ≥ u
0
, a monotonicidade de p
+
nos garante que p
+
(u) ≥ p
+
u
0
.
Assim, se u → u
+
o
, temos
lim
u→u
+
0
p
+
(u) ≥ p
+
(u
0
),
donde lim
u→u
+
0
p
+
(u) = p
+
(u
0
).
Observa¸c˜ao: Pode-se demonstrar de modo an´alogo que p
−
´e n˜ao-decrescente e cont´ınua
`a esquerda.
Lema 1.3 Uma fun¸c˜ao convexa cont´ınua M ´e localmente lipchitziana.
Prova: Considere I = [a, b]. Sejam a < u
1
< u
2
< b. Pelo que j´a foi observado, temos
M(u
1
) − M(a)
u
1
− a
≤
M(u
2
) − M(u
1
)
u
2
− u
1
≤
M(b) − M(u
2
)
b − u
2
,
donde segue que
p
+
(a) ≤
M(u
2
) − M(u
1
)
u
2
− u
1
≤ p
−
(b).
Dessa forma, existe uma constante C ≥ 0 dependendo de I tal que
|M(u
1
) − M(u
2
)| ≤ C|u
1
− u
2
|.
O que prova que M ´e localmente lipchitziana.
Pelo que foi feito podemos agora enunciar e demonstrar o pr´oximo teorema, que trata
de uma representa¸c˜ao integral para fun¸c˜oes convexas e cont´ınuas.
Teorema 1.1 Cada fun¸c˜ao convexa e cont´ınua M : R → R, satisfazendo M(a) = 0, pode
ser representada sob a forma
M(u) =
u
a
p(t)dt,
onde p : R → R ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-decrescente e cont´ınua `a direita.
6
Prova: Notemos inicialmente que toda fun¸c˜ao convexa e cont´ınua M possui derivada em
quase todo ponto. De fato, pelo que j´a foi estudado, temos, para u
2
> u
1
,
p
−
(u
2
) ≥ p
+
(u
1
) ≥ p
−
(u
1
).
Mas p
−
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em quase todo ponto, por ser mon´otona (uma fun¸c˜ao
mon´otona possui no m´aximo uma quantidade enumer´avel de descontinuidades, vide [14]).
Seja, portanto, u
1
um ponto de continuidade desta fun¸c˜ao. Fazendo u
2
→ u
1
nas
desigualdades acima, obtemos
p
−
(u
1
) ≥ p
+
(u
1
) ≥ p
−
(u
1
) → p
+
(u
1
) = p
−
(u
1
).
Dessa forma, tomemos p = p
+
. Uma vez que M ´e localmente lipchitziana, M ´e a integral
indefinida de sua derivada (definida em quase todo ponto).
1.2 N-fun¸c˜oes e suas propriedades
Estudamos nesta se¸c˜ao a ferramenta b´asica para defini¸c˜ao de um espa¸co de Orlicz,
nosso ambiente de trabalho durante todo o texto.
Defini¸c˜ao 1.3 Uma fun¸c˜ao convexa e cont´ınua M : R → R ´e dita uma N-fun¸c˜ao se
satisfaz as seguintes propriedades:
1. M ´e par;
2. lim
u→0
M(u)
u
= 0;
3. lim
u→∞
M(u)
u
= ∞;
4. M(u) > 0 para u > 0.
As fun¸c˜oes |s|
p
para p ∈ (1, ∞) s˜ao exemplos de N-fun¸c˜oes. Temos tamb´em como
exemplo as fun¸c˜oes M
1
(u) = e
u
2
− 1 e M
2
(u) = e
|u|
− |u| − 1.
Segue do item 2 da defini¸c˜ao acima que se M ´e N-fun¸c˜ao ent˜ao M(0) = 0. Agora, pelo
Teorema 1.1, como M ´e par, temos que M po de ser escrita sob a forma
M(u) =
|u|
0
p(t)dt,
onde p : R → R ´e a derivada `a direita de M. p ´e n˜ao-decrescente e cont´ınua `a direita.
´
E interessante observar que as propriedades que definem a N-fun¸c˜ao M implicam em
algumas propriedades para p.
7
1. u > 0 ⇒ p(u) > 0.
De fato se u > 0 ent˜ao M(u) =
u
0
p(t)dt. Mas p ´e n˜ao-decrescente e, portanto,
u
0
p(t)dt ≤ p(u)
u
0
dt = up(u). Assim p(u) ≥ M(u)/u, donde, pelo item 4 da
Defini¸c˜ao 1.3, p(u) > 0.
2. lim
u→∞
p(u) = ∞.
Segue imediatamente do item 3 da Defini¸c˜ao 1.3, pois p(u) ≥ M(u)/u.
3. p(0) = 0.
Com efeito, tomando u > 0, vemos que
M(2u) =
2u
0
p(t)dt =
u
0
p(t)dt +
2u
u
p(t)dt >
2u
u
p(t)dt > up(u),
ou seja, 0 < p(u) < M(2u)/u. Mas p ´e cont´ınua `a direita, e portanto, pelo item 2
da Defini¸c˜ao 1.3,
0 ≤ p(0) = lim
u→0
+
p(u) ≤ lim
u→0
+
M(2u)/u = 0.
Observe ainda que s´o estamos interessados em estudar a fun¸c˜ao p definida em R
+
,
donde passamos agora a considerar apenas p : R
+
→ R
+
.
Observa¸c˜ao 1.1 Estas propriedades da fun¸c˜ao p caracterizam a N-fun¸c˜ao M. Isto
´e, podemos provar que se M ´e uma fun¸c˜ao dada por M(u) =
|u|
0
p(t)dt onde
p : R
+
→ R
+
´e cont´ınua `a direita, n˜ao decrescente, positiva para valores positivos,
satisfazendo p(0) = 0 e lim
u→∞
p(u) = ∞, ent˜ao M ´e N-fun¸c˜ao.
Com efeito, suponha que M : R → R ´e uma fun¸c˜ao dada por
M(u) =
|u|
0
p(t)dt,
onde p : R
+
→ R
+
satisfaz as propriedades
i) p(0) = 0;
ii) p(t) > 0 ∀ t > 0;
iii) lim
t→∞
p(t) = ∞;
iv) p ´e n˜ao decrescente e
v) p ´e cont´ınua `a direita.
(1.1)
Provemos que M satisfaz a Defini¸c˜ao 1.3:
M ´e cont´ınua, por defini¸c˜ao. Para mostrar que M ´e convexa, ´e suficiente que M
satisfa¸ca a Defini¸c˜ao 1.1 apenas em t = 1/2. A continuidade de M vai garantir a
8
p(u)
u
M(u)
x
y
Figura 1.1: Gr´afico da fun¸c˜ao p
inequa¸c˜ao para todo t ∈ [0, 1]. Sendo assim, suponha inicialmente 0 ≤ u
1
< u
2
. Em
virtude da monotonicidade de p, temos,
M
u
1
+ u
2
2
=
(u
1
+u
2
)/2
0
p(t)dt ≤
u
1
0
p(t)dt +
(u
1
+u
2
)/2
u
1
p(t)dt =
=
u
1
0
p(t)dt +
1
2
(u
1
+u
2
)/2
u
1
p(t)dt +
(u
1
+u
2
)/2
u
1
p(t)dt
≤
≤
u
1
0
p(t)dt +
1
2
(u
1
+u
2
)/2
u
1
p(t)dt +
u
2
(u
1
+u
2
)/2
p(t)dt
=
=
1
2
u
1
0
p(t)dt +
u
2
0
p(t)dt
=
1
2
[M(u
1
) + M(u
2
)] .
Agora, generalizando para u
1
e u
2
arbitr´arios, em virtude de M ser, por defini¸c˜ao, par e
crescente,
M
u
1
+ u
2
2
= M
| u
1
+ u
2
|
2
≤
≤ M
| u
1
| + | u
2
|
2
≤
1
2
[M(u
1
) + M(u
2
)] .
Por ii) em (1.1), M claramente satisfaz a condi¸c˜ao 4 da Defini¸c˜ao 1.3.
Resta-nos verificar as condi¸c˜oes 2 e 3 desta defini¸c˜ao.
Para a condi¸c˜ao 2, observemos que se u > 0 ent˜ao
M(u) =
u
0
p(t)dt ≤ up(u).
9
Assim,
0 ≤ lim
u→0
+
M(u)
u
≤ lim
u→0
+
p(u) = p(0) = 0,
pois p verifica i) e v) em (1.1), por hip´otese. Se u < 0 o resultado ´e an´alogo, pela paridade
de M.
Para finalizar, se u > 0 vemos que
M(u)
u
=
1
u
u
0
p(t)dt ≥
1
u
u
u/2
p(t)dt ≥ p
u
2
1
u
u
u/2
dt =
p(u/2)
2
u→∞
−→ ∞.
Sejam α > 1 e M : R → R dada por
M(u) =
|u|
α
α
.
Claramente, M ´e N-fun¸c˜ao, onde p ´e dada por p(t) = t
α−1
.
1.3 N-fun¸c˜ao complementar
Dada uma fun¸c˜ao p : R
+
→ R
+
satisfazendo as condi¸c˜oes em (1.1), podemos associar
a p um fun¸c˜ao que segue as mesmas caracter´ısticas, definindo q : R
+
→ R
+
dada por
q(s) = sup{t : p(t) ≤ s}.
Mostraremos num lema adiante que q satisfaz todas as condi¸c˜oes em (1.1). Primeiramente
observemos que
1. q(p(t)) ≥ t, ∀ t ∈ R
+
.
Prova: Claramente, t ∈ {r : p(r) ≤ p(t)}. Portanto
q(p(t)) = sup{r : p(r) ≤ p (t)} ≥ t.
2. p(q(s)) ≥ s, ∀ s ∈ R
+
.
Prova: Seja (t
n
) = (q(s) + 1/n). Assim p(t
n
) > s ∀ n ∈ N e
t
n
sup
p(t)≤s
t = q(s). Uma vez que p ´e cont´ınua `a direita, temos
p(q(s)) = lim
t
n
q(s)
p(t
n
) ≥ s.
10
3. q(p(t) − ε) ≤ t, ∀ ε > 0 e ∀ t ∈ R
+
.
Prova: Ora, se u ∈ {r : p(r) ≤ p(t) − ε}, ent˜ao p(u) ≤ p(t) − ε < p(t). Mas
p ´e crescente, e portanto u < t. Portanto, t ´e cota superior para o conjunto acima.
Assim,
q(p(t) − ε) = sup{r : p(r) ≤ p(t) − ε} ≤ t.
4. p(q(s) − ε) ≤ s, ∀ ε > 0 e ∀ s ∈ R
+
.
Prova: De fato n˜ao h´a o que fazer, pois dado ε > 0 ent˜ao pela defini¸c˜ao de supremo
existe um t
0
em {t : p(t) ≤ s} tal que q(s) − ε ≤ t
0
≤ q(s). Mas p ´e crescente e
portanto
p(q(s) − ε) ≤ p(t
0
) ≤ s.
Observa¸c˜ao 1.2 Estas quatro propriedades da fun¸c˜ao q refletem um resultado interes-
sante de que podemos recuperar a fun¸c˜ao p a partir da fun¸c˜ao q da mesma forma em que
q foi definida. Em outras palavras, mostremos que p ´e dada por
p(t) = sup{s : q(s) ≤ t}.
Com efeito, mostremos primeiramente que p(t) ´e cota superior para o conjunto
{s : q(s) ≤ t}. Tomando s neste conjunto, temos q(s) ≤ t. p ´e crescente, e portanto,
p(q(s)) ≤ p(t). Mas a propriedade 2 acima nos diz que p(q(s)) ≥ s. Assim, s ≤ p(t)
e portanto, p(t) ´e cota superior para o conjunto. Agora para qualquer ε > 0, p(t) − ε
pertence ao mesmo, pois q(p(t) − ε) ≤ t, pela propriedade 3 da fun¸c˜ao q. Portanto p(t) ´e
de fato o supremo, concluindo o resultado.
O que faremos agora ´e mostrar que q satisfaz as mesmas propriedades em (1.1),
caracterizando q como uma esp´ecie de inversa da fun¸c˜ao p e, pela observa¸c˜ao feita acima,
a fun¸c˜ao p torna-se tamb´em esta mesma esp´ecie de inversa da fun¸c˜ao q. Chamamos q de
inversa `a direita de p e consequentemente, p inversa `a direita de q. Esta nomenclatura n˜ao
´e por acaso. Observando a Figura 1.1, podemos deduzir o esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao q
simplesmente fazendo do eixo y o dom´ınio da fun¸c˜ao q. O tra¸co do gr´afico desta fun¸c˜ao ´e
o mesmo tra¸co do gr´afico de p, apenas observando que, onde p possui saltos, q ´e constante,
e onde p ´e constante, q possui um salto.
Lema 1.4 Considere as propriedades dadas em (1.1), para uma certa fun¸c˜ao p : R
+
→
R
+
. Se q : R
+
→ R
+
´e dada por q(s) = sup{t : p(t) ≤ s}, ent˜ao q satisfaz as mesmas
propriedades.
Prova:
q satisfaz i): Claramente, como p(0) = 0 e p verifica ii) ent˜ao {0} = {t : p(t) ≤ 0}.
Assim q(0) = sup{t : p(t) ≤ 0} = 0.
11
q satisfaz ii): Tomemos s > 0 e t
0
> 0 tal que p(t
0
) ≤ s. Tal t
0
existe pois caso ocorresse
p(t) > s para todo t > 0, ent˜ao dada uma seq¨uˆencia 0 < t
n
0, pela continuidade
`a direita de p, ter´ıamos 0 < s ≤ lim
t
n
0
p(t
n
) = p(0) = 0, o que seria um absurdo.
Sendo assim,
q(s) = sup
p(t)≤s
t ≥ t
0
> 0.
q satisfaz iv): Tomando s
1
≤ s
2
em R
+
vemos que {t : p(t) ≤ s
1
} ⊆ {t : p(t) ≤ s
2
}.
Assim, q(s
1
) = sup{t : p(t) ≤ s
1
} ≤ sup{t : p(t) ≤ s
2
} = q(s
2
).
q satisfaz iii): Queremos mostrar que para qualquer seq¨uˆencia s
n
→ ∞, temos q(s
n
) →
∞. Comecemos tomando t
n
→ ∞. Uma vez que p satisfaz iii) temos p(t
n
) → ∞.
Sendo assim, q(p(t
n
)) ≥ t
n
→ ∞. Determinamos portanto a existˆencia de uma
seq¨uˆencia p(t
n
) ≡ λ
n
→ ∞ tal que q(λ
n
) → ∞. Seja agora s
n
→ ∞ arbitr´aria. Uma
vez que q(λ
n
) → ∞, dado C > 0 existe n
1
tal que q(λ
n
1
) ≥ C. Por´em, tomando
este λ
n
1
, uma vez que s
n
→ ∞, podemos encontrar n
0
tal que s
n
≥ λ
n
1
∀ n ≥ n
0
.
Uma vez que q ´e crescente temos ent˜ao
q(s
n
) ≥ q(λ
n
1
) ≥ C, ∀ n ≥ n
0
.
Portanto, q(s
n
) → ∞.
q satisfaz v): Tomemos s
n
s em R
+
. Devemos provar que q(s
n
) → q(s). Suponha, por
absurdo, que q(s
n
) q(s). Como q ´e crescente e s
n
≥ s para todo n ∈ N, temos
q(s
n
) ≥ q(s). Assim, p odemos encontrar ε > 0 tal que q(s
n
) ≥ q(s) + 2ε para todo
n ∈ N, isto ´e, q(s
n
) − ε ≥ q(s) + ε. p ´e crescente, logo
s
n
≥ p(q(s
n
) − ε) ≥ p(q(s) + ε).
Tomando n → ∞ acima, temos p(q(s) + ε) ≤ s, um absurdo.
Temos agora em m˜aos as defini¸c˜oes e resultados necess´arios para a seguinte
Defini¸c˜ao 1.4 Seja M : R → R uma N-fun¸c˜ao dada por
M(u) =
|u|
0
p(t)dt.
Seja q a inversa `a direita de p, isto ´e, q(s) = sup{t : p(t) ≤ s}. A N-fun¸c˜ao N : R → R
dada por
N(v) =
|v|
0
q(s)ds
´e dita N-fun¸c˜ao complementar a M.
12
N(v)
v
q(v)
u
M(u)
p(u)
y
x
Figura 1.2: N-fun¸c˜oes complementares
Sendo assim, a Observa¸c˜ao 1.2 nos diz que se N ´e N-fun¸c˜ao complementar a M ent˜ao,
reciprocamente, M ´e complementar a N, donde iremos nos referir a tal par por N-fun¸c˜oes
mutuamente complementares ou simplesmente N-fun¸c˜oes complementares (ver
Figura 1.2).
J´a observamos que M : R → R dada por M(u) = |u|
α
/α com α > 1 ´e N-fun¸c˜ao e
p(t) = t
α−1
. Logo, q(s) = s
1/(α−1)
e portanto a N-fun¸c˜ao N complementar a M ´e dada
por N(v) = |v|
β
/β onde 1/α + 1/β = 1. Ora, para quaisquer u, v ∈ R, temos a conhecida
desigualdade de Young:
uv ≤
|u|
α
α
+
|v|
β
β
, com
1
α
+
1
β
= 1.
´
E natural, portanto, questionarmos a possibilidade de generaliza¸c˜ao desta desigualdade
para um par qualquer de N-fun¸c˜oes complementares. De fato, o pr´oximo lema mostra que
´e poss´ıvel tal generaliza¸c˜ao.
Antes disso, fa¸camos algumas observa¸c˜oes. Tomando M e N um par de N-fun¸c˜oes
complementares, se u, v ≥ 0, ent˜ao M(u) e N(v) s˜ao, respectivamente as ´areas abaixo das
curvas p e q de 0 a u e de 0 a v, onde p e q s˜ao as fun¸c˜oes das representa¸c˜oes integrais de
M e N, como podemos observar na Figura 1.2. Sendo assim, ´e geometricamente claro, de
acordo com esta mesma figura, que a ´area do quadrado up(u) ´e exatamente igual `a soma
M(u) + N(p(u)). Pela paridade das N-fun¸c˜oes, temos assim a igualdade
|u|p(|u|) = M(u) + N(p|u|). (1.2)
De maneira totalmente an´aloga temos
|v|q(|v|) = M(q(|v|)) + N(v). (1.3)
13
Lema 1.5 (Desigualdade de Young) Dado um par de N-fun¸c˜oes complementares M
e N, temos, para quaisquer u, v ∈ R,
uv ≤ M(u) + N(v).
Prova: Claramente, precisamos apenas nos preocupar com u, v ≥ 0. Suponha ainda
u, v ≥ 0 tais que p(u) ≤ v. Portanto,
v
p(u)
q(s)ds ≥ q(p(u))(v − p(u)) ≥ u(v − p(u)) = uv − up(u).
Assim, utilizando a desigualdade acima e (1.2), temos
M(u) + N(v) = M(u) +
v
0
q(s)ds
= M(u) +
p(u)
0
q(s)ds +
v
p(u)
q(s)ds
≥ M(u) + N(p(u)) + uv − up(u)
= M(u) + N(p(u)) + uv − (M(u) + N(p(u)))
= uv.
Por outro lado, se p(u) > v ent˜ao q(v) < u e basta portanto utilizar um racioc´ınio an´alogo,
trocando os pap´eis de u, v e p, q acima e utilizar a igualdade (1.3) ao inv´es de (1.2).
Outro exemplo de par de N-fun¸c˜oes complementares ´e M(u) = e
|u|
− |u| − 1 e
N(v) = (1 + |v|)ln(1 + |v|) − |v|.
1.4 Mais algumas propriedades das N-fun¸c˜oes
Esta ´ultima se¸c˜ao deste cap´ıtulo destina-se a apresentar algumas propriedades
relevantes das N-fun¸c˜oes que ser˜ao utilizadas ao longo deste trabalho.
Lema 1.6 Se M ´e N-fun¸c˜ao e p ´e tal que M(u) =
|u|
0
p(t)dt ent˜ao
M(u) < up(u), ∀ u > 0.
Prova: Claramente, se u > 0 ent˜ao
M(u) =
u
0
p(t)dt ≤ up(u),
14
pois p ´e n˜ao-decrescente. Sendo assim, suponha que u
0
p(u
0
) = M(u
0
). Iremos mostrar
que u
0
= 0. De fato, temos que
u
0
0
p(u
0
) = u
0
p(u
0
) = M(u
0
) =
u
0
0
p(t)dt.
Logo,
u
0
0
(p(u
0
) − p(t))dt = 0.
Uma vez que p(t) ≤ p(u
0
) se 0 ≤ t ≤ u
0
, ent˜ao ou teremos u
0
= 0 e p ortanto n˜ao haver´a
mais nada a fazer, ou ent˜ao teremos p(t) = p(u
0
) para todo t ∈ (0, u
0
). Assim, uma vez
que p ´e cont´ınua `a direita, temos que
p(u
0
) = lim
t→0
+
p(t) = p(0) = 0,
donde, novamente, u
0
= 0.
Lema 1.7 Se M ´e N-fun¸c˜ao, ent˜ao M(ku) > kM(u), para todo u = 0 e k > 1.
Prova: Supomos, sem perda de generalidade, que u > 0. Assim, pelo Lema 1.6, temos
M(ku) =
ku
0
p(t)dt =
u
0
p(t)dt +
ku
u
p(t)dt
≥ M(u) + (ku − u)p(u) = M(u) + (k − 1)up(u)
> M(u) + (k − 1)M(u) = kM(u).
Proposi¸c˜ao 1.2 Sejam M e N duas N-fun¸c˜oes complementares. Ent˜ao,
t < M
−1
(t)N
−1
(t) ≤ 2t, ∀ t > 0.
Prova: A segunda desigualdade ´e facilmente obtida a partir da desigualdade de Young.
Com efeito, se t > 0, tome u = M
−1
(t) e v = N
−1
(t) no Lema 1.5.
Para a primeira desigualdade, provemos primeiro que N(M(a)/a) < M(a) para todo
a > 0. De fato, tomando v = M(a)/a em (1.3), temos
N
M(a)
a
=
M(a)
a
q
M(a)
a
− M
q
M(a)
a
.
Portanto,
N
M(a)
a
<
M(a)
a
q
M(a)
a
.
15
Uma vez que M(a)/a < p(a) (pelo Lema 1.6), tomemos ε > 0 tal que M(a)/a = p(a) − ε.
Assim
N
M(a)
a
<
M(a)
a
q
M(a)
a
=
M(a)
a
q(p(a) − ε) ≤
M(a)
a
a = M(a).
Para concluir, se t > 0, tomemos ent˜ao a > 0 tal que M(a) = t. Logo,
N
t
M
−1
(t)
< t,
donde
t < M
−1
(t)N
−1
(t).
Abaixo definimos duas propriedades adicionais que determinadas N-fun¸c˜oes satis-
fazem, a condi¸c˜ao ∆
2
e a condi¸c˜ao ∇
2
. Mais adiante veremos a rela¸c˜ao entre ambas.
Ao final desta se¸c˜ao, uma nova condi¸c˜ao ser´a estudada. Tais propriedades ser˜ao impor-
tantes no estudo e classifica¸c˜ao dos espa¸cos de Orlicz, objetivo do pr´oximo cap´ıtulo deste
trabalho.
Defini¸c˜ao 1.5 Dizemos que uma N-fun¸c˜ao M satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
se existem
constantes k > 0 e u
0
≥ 0 tais que
M(2u) ≤ kM(u), ∀u ≥ u
0
.
Escrevemos M ∈ ∆
2
se M ´e uma N-fun¸c˜ao que satisfaz tal condi¸c˜ao.
As fun¸c˜oes |s|
p
para 1 < p < ∞ s˜ao exemplos claros de N-fun¸c˜oes que satisfazem a
condi¸c˜ao ∆
2
. Outros exemplos podem ser vistos nas fun¸c˜oes M
1
(u) = |u|
α
(|l n|u|| + 1),
α > 1 e M
2
(u) = (1 + |u|)ln(1 + |u|) − |u|. Como contraexemplos, temos a N-fun¸c˜ao
complementar a M
2
, dada por N
2
(v) = e
|v|
− |v| − 1 e a N-fun¸c˜ao N(v) = e
v
2
− 1.
Para uma N-fun¸c˜ao M, satisfazer a condi¸c˜ao ∆
2
´e equivalente a satisfazer a inequa¸c˜ao
M(lu) ≤ k
l
M(u), ∀u ≥ u
0
, (1.4)
onde u
0
≥ 0 e k
l
> 0 ´e constante dependendo de l, para qualquer l > 1.
Com efeito, suponha que M satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
e seja l > 1. Tomemos n ∈ N tal
que 2
n
≥ l. Se u ≥ u
0
ent˜ao
M(lu) ≤ M(2
n
u) ≤ k
n
M(u),
e, portanto, k
l
= k
n
. Reciprocamente, se M satisfaz a inequa¸c˜ao (1.4) para l > 1,
tomemos n ∈ N tal que 2 ≤ l
n
. Ent˜ao segue que, para u ≥ u
0
,
M(2u) ≤ M(l
n
u) ≤ k
n
l
M(u),
donde k = k
n
l
.
16
Lema 1.8 Seja M uma N-fun¸c˜ao e p sua derivada `a direita. Assim, s˜ao equivalentes as
afirma¸c˜oes:
1. M ∈ ∆
2
;
2. Existem α > 1 e u
0
> 0 tais que
up(u)
M(u)
< α para todo u ≥ u
0
.
Prova: Suponha que a Afirma¸c˜ao 2 ´e v´alida. Logo, se u ≥ u
0
, temos que
ln
M(2u)
M(u)
=
2u
u
p(t)
M(t)
dt < α
2u
u
1
t
dt = α ln 2.
Portanto,
M(2u) < 2
α
M(u), ∀u ≥ u
0
.
Logo, M ∈ ∆
2
.
Reciprocamente, suponha M ∈ ∆
2
. Tomemos ent˜ao K > 0 e u
0
> 0 tal que
M(2u) ≤ KM (u) se u ≥ u
0
. Assim, se u ≥ u
0
, temos
KM(u) ≥ M(2u) =
2u
0
p(t)dt >
2u
u
p(t)dt ≥ up(u).
Portanto
up(u)
M(u)
< K, ∀u ≥ u
0
.
Pelo Lema 1.7, temos que K > 2, donde segue o resultado.
Defini¸c˜ao 1.6 Dizemos que uma N-fun¸c˜ao M satisfaz a condi¸c˜ao ∇
2
se existem
constantes l > 1 e v
0
≥ 0 tais que
M(v) ≤
1
2l
M(lv), ∀v ≥ v
0
.
Escrevemos M ∈ ∇
2
se M ´e uma N-fun¸c˜ao que satisfaz tal condi¸c˜ao.
Novamente, temos as fun¸c˜oes |s|
p
como exemplos triviais de N-fun¸c˜oes que satisfazem
a condi¸c˜ao ∇
2
. Observamos tamb´em que a fun¸c˜ao M (u) = (1 + |u|)ln(1 + |u|) − |u| ´e
exemplo de N-fun¸c˜ao que satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
e n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao ∇
2
.
De maneira completamente an´aloga ao Lema 1.8, podemos verificar o seguinte
Lema 1.9 Seja M uma N-fun¸c˜ao e p sua derivada `a direita. Assim, se existem β > 1 e
u
0
> 0 tais que up(u)/M(u) ≥ β para todo u ≥ u
0
, ent˜ao M ∈ ∇
2
.
17
Prova: Suponha que a Afirma¸c˜ao 2 ´e verdadeira. Assim, seja l, tal que l
β−1
≥ 2.
Portanto, tomando u ≥ u
0
, temos
ln
M(lu)
M(u)
=
lu
u
p(t)
M(t)
dt ≥ β
lu
u
1
t
dt = β ln l.
Logo, M(lu) ≥ l
β
M(u), se u ≥ u
0
. Como l
β
≥ 2l, temos que M ∈ ∇
2
.
Os pr´oximos dois lemas ser˜ao utilizados para determinar uma rela¸c˜ao existente entre
as condi¸c˜oes ∆
2
e ∇
2
.
Lema 1.10 Sejam M
1
e M
2
s˜ao duas N-fun¸c˜oes complementares a N
1
e N
2
, respectiva-
mente, com p
1
, p
2
, q
1
, q
2
suas respectivas derivadas `a direita. Suponha que existe u
0
tal
que M
1
(u) ≤ M
2
(u) para todo u ≥ u
0
. Ent˜ao N
2
(v) ≤ N
1
(v) para todo v ≥ v
0
= p
2
(u
0
).
Prova: Tomando v ≥ v
0
, temos que
q
2
(v) ≥ q
2
(v
0
) = q
2
(p
2
(u
0
)) ≥ u
0
. (1.5)
Agora, p or (1.3), temos q
2
(v)v = M
2
(q
2
(v)) + N
2
(v). Al´em disso, pela desigualdade de
Young, q
2
(v)v ≤ M
1
(q
2
(v)) + N
1
(v). Assim,
M
2
(q
2
(v)) + N
2
(v) ≤ M
1
(q
2
(v)) + N
1
(v). (1.6)
Agora, se v ≥ v
0
, ent˜ao, por (1.5) e (1.6), temos
N
2
(v) ≤ [M
1
(q
2
(v)) − M
2
(q
2
(v))] + N
1
(v)
≤ N
1
(v).
Lema 1.11 Sejam M e N duas N-fun¸c˜oes complementares, com p e q suas respectivas
derivadas `a direita. Considere M
1
(u) = aM(bu), com a, b > 0. Ent˜ao M
1
´e N-fun¸c˜ao e a
N-fun¸c˜ao complementar a M
1
´e dada por N
1
(v) = aN[v/(ab)].
Prova:
aM(bu) = a
bu
0
p(t)dt.
Assim,
M
1
(u) =
u
0
abp(bt)dt.
Portanto p
1
(t) = abp(bt). Consequentemente, q
1
(s) = sup{t : p
1
(t) ≤ s}, ou seja,
q
1
(s) =
1
b
sup{k : p(k) ≤
s
ab
} =
1
b
q
s
ab
.
Logo,
N
1
(v) =
v
0
1
b
q
s
ab
ds =
1
b
v/(ab)
0
abq(s)ds = aN
v
ab
.
18
Proposi¸c˜ao 1.3 Sejam M e N duas N-fun¸c˜oes complementares. Ent˜ao M ∈ ∆
2
se e
somente se N ∈ ∇
2
.
Prova: Sup onha N ∈ ∇
2
. Tomemos l de acordo com a Defini¸c˜ao 1.6 e definamos N
1
(v) =
(1/2l )N (lv). Pelo Lema 1.11, com a = 1/2l e b = 2, temos que M
1
(u) = (1/2l)M(2u). A
condi¸c˜ao ∇
2
pode ser escrita sob a forma N(v) ≤ N
1
(v), para todo v ≥ v
0
. Segue do Lema
1.10 que existe u
0
tal que M
1
(u) ≤ M(u), para todo u ≥ u
0
, isto ´e, M(2u) ≤ 2lM(u), se
u ≥ u
0
. Portanto, M ∈ ∆
2
.
Agora suponha M ∈ ∆
2
. Logo, existem u
0
≥ 0 e K > 0 tais que M(2u) ≤ KM(u)
se u ≥ u
0
. Tomando a = 1/K e b = 2, e definindo M
1
(u) = aM(bu), temos, pelo Lema
1.11, que N
1
(v) = (1/K)N[(K/2)v]. Al´em disso, pelo Lema 1.10, se v
0
= p(u
0
) ent˜ao
N(v) ≤ (1/K)N[(K/2)v], para todo v ≥ v
0
. Ora, pelo Lema 1.7, K > 2 e portanto,
tomando l = K/2, temos o resultado requerido.
Defini¸c˜ao 1.7 Dizemos que uma N-fun¸c˜ao M ´e ∆-regular se M ∈ ∆
2
∩ ∇
2
.
Obviamente, todas as fun¸c˜oes |s|
p
com 1 < p < ∞ s˜ao ∆-regulares e a fun¸c˜ao
M(u) = e
u
2
− 1 serve como contraexemplo para a defini¸c˜ao acima.
O resultado abaixo ´e conseq¨uˆencia imediata da Proposi¸c˜ao 1.3.
Corol´ario 1.1 Sejam M e N duas N-fun¸c˜oes complementares. M ´e N-fun¸c˜ao
∆-regular se e somente se M e N satisfazem a condi¸c˜ao ∆
2
.
Finalmente, apresentamos uma nova e ´util condi¸c˜ao. Tal propriedade ser´a utilizada
no Cap´ıtulo 4.
Defini¸c˜ao 1.8 Seja M uma N-fun¸c˜ao e p sua derivada `a direita. Dizemos que M ´e
θ-regular, se existe um θ
M
> 1 tal que
lim
u→∞
up(u)
M(u)
= θ
M
.
Tal condi¸c˜ao ´e mais restritiva do que ambas as condi¸c˜oes ∆
2
e ∇
2
. Fato que pode ser
visto na
Proposi¸c˜ao 1.4 Se M ´e θ-regular ent˜ao M ´e ∆-regular.
Prova: Provemos que M satisfaz a Afirma¸c˜ao 2 no Lema 1.8 e a hip´otese do Lema 1.9,
donde concluiremos que M ∈ ∆
2
∩ ∇
2
. De fato, tomemos ε > 0 tal que θ
M
− ε > 1. Por
hip´otese podemos tomar u
0
> 0 satisfazendo
up(u)
M(u)
− θ
M
< ε, ∀u ≥ u
0
.
Portanto, para todo u ≥ u
0
, temos
θ
M
− ε <
up(u)
M(u)
< θ
M
+ ε
19
Cap´ıtulo 2
Classes de Orlicz, espa¸cos de Orlicz
Durante todo o trabalho Ω representar´a um dom´ınio limitado de R
n
, no qual
consideramos a medida de Lebesgue.
2.1 Classes de Orlicz
Defini¸c˜ao 2.1 Seja M uma N-fun¸c˜ao. Definimos a classe de Orlicz da fun¸c˜ao M
como sendo o conjunto
L
M
(Ω) =
u : Ω → R mensur´avel :
Ω
M(u(x))dx < ∞
Para efeito de simplifica¸c˜ao utilizamos durante o texto a seguinte nota¸c˜ao:
ρ(u, M)=
Ω
M(u(x))dx.
Nos casos em que n˜ao houver perigo de confus˜ao, poderemos utilizar o s´ımbolo L
M
ao
se referir `a classe de Orlicz L
M
(Ω).
Como exemplo motivador desta defini¸c˜ao, vemos que se M(s) = |s|
p
, 1 < p < ∞ ent˜ao
L
M
= L
p
, o conhecido espa¸co de Lebesgue das fun¸c˜oes p-integr´aveis. Outros exemplos de
classes de Orlicz s˜ao dados pelas N-fun¸c˜oes mencionadas no cap´ıtulo 1, M
1
(u) = e
u
2
− 1,
M
2
(u) = e
|u|
− |u| − 1, etc.
Um primeiro fato importante com respeito `as classes de Orlicz ´e o seguinte
Teorema 2.1 Seja L
1
(Ω) o espa¸co de Lebesgue das fun¸c˜oes integr´aveis. Ent˜ao
L
1
(Ω) =
M
L
M
(Ω),
uni˜ao tomada sobre todas as N-fun¸c˜oes.
20
Prova: Tomemos u ∈ L
1
(Ω). Considere os conjuntos
Ω
n
= {x ∈ Ω : n − 1 ≤ | u(x)| < n} .
Assim
Ω
| u(x)| dx =
∞
n=1
Ω
n
| u(x)| dx ≥
∞
n=1
(n − 1)| Ω
n
| ≥
∞
n=1
n| Ω
n
| − | Ω|.
Portanto,
∞
n=1
n| Ω
n
| ≤
Ω
| u(x)| dx + | Ω| < ∞.
Tomemos agora uma seq¨uˆencia real (α
n
) estritamente crescente tal que α
1
= 1 e ainda
tenhamos
∞
n=1
α
n
n| Ω
n
| < ∞.
Definimos p : R → R da seguinte forma:
p(t) =
t se 0 ≤ t < 1
α
n
se n ≤ t < n + 1
Logo p ´e n˜ao-decrescente, cont´ınua `a direita, p(0) = 0 e lim
t→∞
p(t) = ∞. Tomemos,
portanto, a N-fun¸c˜ao M dada por
M(v) =
|v|
0
p(t)dt.
Uma vez que
M(n) =
n
0
p(t)dt ≤ nα
n
,
temos
Ω
M(u(x))dx =
∞
n=1
Ω
n
M(u(x))dx ≤
∞
n=1
M(n)| Ω
n
| ≤
∞
n=1
α
n
n| Ω
n
| < ∞.
Isto implica que u ∈ L
M
(Ω).
Reciprocamente, seja u ∈ L
M
(Ω) onde M ´e N-fun¸c˜ao. Provemos que u ´e integr´avel
(caso u ≡ 0 n˜ao h´a o que fazer. Portanto, consideremos u = 0). Seja p a fun¸c˜ao da
representa¸c˜ao integral de M. Sabemos que p(t) → ∞ quando t → ∞. Assim, tomemos
C ∈ R tal que p(| u(x)|/2) ≥ 1 sempre que | u(x)| > C. Defina
Ω
C
= {x ∈ Ω : |u(x)| ≤ C}.
21
Ω
C
´e mensur´avel pois u ´e mensur´avel. Sendo assim,
∞ > 2
Ω
M(u(x))dx = 2
Ω
|u(x)|
0
p(t)dt dx ≥
≥ 2
Ω
| u(x)|
| u(x)|/2
p(t)dt dx ≥ 2
Ω
p
| u(x)|
2
| u(x)|
2
dx =
=
Ω
p
| u(x)|
2
| u(x)| dx ≥
Ω\Ω
C
p
| u(x)|
2
| u(x)| dx.
Agora,
Ω
| u(x)| dx =
Ω\Ω
C
| u(x)| dx +
Ω
C
| u(x)| dx
≤
Ω\Ω
C
| u(x)| dx + C| Ω
C
|
≤
Ω\Ω
C
p
| u(x)|
2
| u(x)| dx + C| Ω
C
| < ∞,
,
demonstrando o teorema.
´
E interessante observar tamb´em que toda fun¸c˜ao mensur´avel essencialmente limitada
pertence `a classe de Orlicz L
M
, para qualquer N-fun¸c˜ao M.
O pr´oximo resultado ´e uma condi¸c˜ao de compara¸c˜ao entre classes de Orlicz e ser´a ´util
mais adiante.
Teorema 2.2 Sejam M
1
, M
2
N-fun¸c˜oes. Assim,
L
M
1
⊂ L
M
2
(2.1)
se e somente se existem constantes u
0
e a tais que
M
2
(u) ≤ aM
1
(u), ∀ u ≥ u
0
. (2.2)
Prova: Suponhamos que (2.2) ´e satisfeito e seja u ∈ L
M
1
. Tomemos
K = {x ∈ Ω : | u(x)| < u
0
}.
Assim,
ρ(u, M
2
) =
Ω\K
M
2
(u(x))dx +
K
M
2
(u(x))dx ≤ a
Ω
M
1
(u(x))dx + M
2
(u
0
)| K| < ∞,
donde u ∈ L
M
2
.
22
Raciocinemos por absurdo para obter a rec´ıproca. Suponhamos que (2.2) n˜ao ´e
satisfeito. Assim, uma seq¨uˆencia indefinidamente crescente de n´umeros (u
n
), com u
1
> 0
pode ser encontrada tal que
M
2
(u
n
) > 2
n
M
1
(u
n
).
Dividimos o dom´ınio Ω em subdom´ınios Ω
n
tais que
| Ω
n
| =
M
1
(u
1
)| Ω|
2
n
M
1
(u
n
)
.
Definimos agora u : Ω → R a fun¸c˜ao mensur´avel dada por
u(x) =
u
n
se x ∈ Ω
n
,
0 se x /∈
∞
n=1
Ω
n
.
A fun¸c˜ao u pertence a L
M
1
, uma vez que
ρ(u, M
1
) =
∞
n=1
Ω
n
M
1
(u(x))dx =
∞
n=1
M
1
(u
n
)| Ω
n
|
=
∞
n=1
M
1
(u
n
)M
1
(u
1
)| Ω|
2
n
M
1
(u
n
)
= M
1
(u
1
)| Ω|
∞
n=1
1
2
n
< ∞.
No entanto, u /∈ L
M
2
, pois
ρ(u, M
2
) =
∞
n=1
Ω
n
M
2
(u(x))dx =
∞
n=1
M
2
(u
n
)| Ω
n
|
>
∞
n=1
2
n
M
1
(u
n
)| Ω
n
| =
∞
n=1
2
n
M
1
(u
n
)M
1
(u
1
)| Ω|
2
n
M
1
(u
n
)
=
∞
n=1
M
1
(u
1
)| Ω| = ∞.
Corol´ario 2.1 Sejam M
1
e M
2
N-fun¸c˜oes. Ent˜ao L
M
1
= L
M
2
se e somente se, existem
constantes a, b e u
0
tais que
aM
2
(u) ≤ M
1
(u) ≤ bM
2
(u) ∀ u ≥ u
0
.
23
Antes de enunciar o pr´oximo resultado, observemos que toda classe de Orlicz L
M
´e
um conjunto convexo de fun¸c˜oes mensur´aveis: se u
1
, u
2
∈ L
M
ent˜ao, supondo t ∈ [0, 1], a
fun¸c˜ao u
t
, definida por u
t
(x) = tu
1
(x) + (1 − t)u
2
(x), ´e tal que
ρ(u
t
, M) =
Ω
M (tu
1
(x) + (1 − t)u
2
(x)) dx
≤ tρ(u
1
, m) + (1 − t)ρ(u
2
, M) < ∞,
donde u
t
∈ L
M
. Por´em, ´e importante notar que em geral L
M
n˜ao ´e espa¸co vetorial, por
exemplo, a classe L
M
1
dada pela N-fun¸c˜ao M
1
(s) = e
s
2
− 1, situa¸c˜ao descrita pelo
Teorema 2.3 A classe de Orlicz L
M
´e um espa¸co vetorial se, e somente se, a N-fun¸c˜ao
M satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
.
Prova: Suponhamos que M satisfa¸ca a condi¸c˜ao ∆
2
. Assim, dado l > 1 existem
constantes k
l
e u
0
tais que M(lu) ≤ k
l
M(u), ∀u ≥ u
0
. Portanto, tomando
K = {x ∈ Ω : | u(x)| < u
0
},
temos
ρ(l u, M) =
Ω\K
M(lu(x))dx +
K
M(lu(x))dx ≤ k
l
Ω
M(u(x))dx + M(lu
0
)| K| < ∞.
Agora, se 0 ≤ l ≤ 1, ent˜ao M(lu(x)) ≤ M(u(x)) pois M ´e par e crescente, concluindo
tamb´em que lu ∈ L
M
. Caso l ≤ 0 segue o mesmo resultado, pela paridade de M.
Portanto, dado qualquer α ∈ R temos que αu ∈ L
M
sempre que u ∈ L
M
. Mais ainda, se
u
1
e u
2
est˜ao em L
M
, ent˜ao
ρ(u
1
+ u
2
, M) =
Ω
M
1
2
(2u
1
(x)) +
1
2
(2u
2
(x))
dx ≤
≤
1
2
Ω
M(2u
1
(x))dx +
1
2
Ω
M(2u
2
(x))dx < ∞.
e, portanto, u
1
+ u
2
∈ L
M
. Logo L
M
´e espa¸co vetorial.
Reciprocamente, suponha que L
M
´e um espa¸co vetorial. Isto significa, em particular,
que 2u ∈ L
M
sempre que u ∈ L
M
. Considere M
1
: R → R a N-fun¸c˜ao definida por
M
1
(v) = M(2v). Seja L
M
1
a clase de Orlicz gerada por esta fun¸c˜ao. Desta forma
L
M
⊆ L
M
1
. Logo, pelo Teorema 2.2, existem constantes a e u
0
tais que
M(2u) = M
1
(u) ≤ aM(u) ∀u ≥ u
0
,
concluindo que M satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
.
24
2.2 Espa¸cos de Orlicz
Sejam M e N duas N-fun¸c˜oes complementares. Considere o conjunto
L
M
(Ω) =
u : Ω → R mensur´avel :
Ω
u(x)v(x)dx < ∞, ∀v ∈ L
N
(Ω)
.
Utilizamos tamb´em a nota¸c˜ao L
M
ao inv´es de L
M
(Ω) sempre que n˜ao houver perigo
de confus˜ao. Para efeito de simplifica¸c˜ao, fazemos uso da nota¸c˜ao:
(u, v)=
Ω
u(x)v(x)dx.
Segue, imediatamente da defini¸c˜ao, que L
M
(Ω) ´e um espa¸co vetorial. Mais ainda,
devido `a desigualdade de Young para N-fun¸c˜oes complementares, temos que, se u ∈ L
M
ent˜ao
(u, v) ≤ ρ(u, M) + ρ(v, N) < ∞,
donde sempre teremos L
M
⊂ L
M
.
O pr´oximo lema se faz ´util para a defini¸c˜ao de uma norma a ser utilizada neste espa¸co.
Lema 2.1 Suponha u ∈ L
M
. Ent˜ao
sup{|(u, v)| : ρ(v, N) ≤ 1} < ∞.
Prova: Vamos supor que a afirma¸c˜ao deste lema n˜ao ´e verdadeira. Assim, podemos
encontrar uma fun¸c˜ao u
0
∈ L
M
positiva e uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes v
n
∈ L
N
todas
positivas, com ρ(v, N) ≤ 1, tais que
Ω
u
0
(x)v
n
(x)dx > 2
n
. (2.3)
Consideremos a seq¨uˆencia crescente de fun¸c˜oes
g
n
(x) =
n
k=1
1
2
k
v
k
(x).
N ´e convexa e, portanto,
ρ(g
n
, N) =
Ω
N
n
k=1
1
2
k
v
k
(x)
dx ≤
Ω
n
k=1
1
2
k
N(v
k
(x))dx
=
n
k=1
1
2
k
Ω
N(v
k
(x))dx =
n
k=1
1
2
k
ρ(v
k
, N) ≤
n
k=1
1
2
k
< 1.
25
Al´em disso, devido a (2.3),
Ω
u
0
(x)g
n
(x)dx =
n
k=1
1
2
k
Ω
u
0
(x)v
k
(x)dx
>
n
k=1
1
2
k
2
k
= n. (2.4)
A seq¨uˆencia mon´otona crescente (g
n
) converge em quase todo ponto para
g(x) =
∞
k=1
1
2
k
v
k
(x).
Uma vez que N ´e crescente, temos que a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes N(g
n
) tamb´em cresce
monotonicamente. Como N ´e cont´ınua, temos ainda que N(g
n
) converge em quase
todo ponto para N(g). Al´em disso, N(g
n
) ≥ 0 e N(g) ≥ 0. Assim, pelo Teorema da
Convergˆencia Mon´otona (vide [10]), temos que
Ω
N(g(x))dx = lim
n→∞
Ω
N(g
n
(x))dx ≤ 1,
concluindo que g ∈ L
N
. Por outro lado, observamos analogamente que a seq¨uˆencia (u
0
g
n
)
tamb´em ´e monotonicamente crescente, n˜ao negativa e converge em quase todo ponto para
u
0
g ≥ 0. Portanto, pelo mesmo teorema e por (2.4),
Ω
u
0
(x)g(x)dx = lim
n→∞
Ω
u
0
(x)g
n
(x)dx = ∞,
contradizendo o fato de que u
0
∈ L
M
.
Este lema nos permite agora introduzir uma norma no espa¸co vetorial L
M
(Ω) dada
pela igualdade:
u
M
= sup
ρ(v, N)≤1
Ω
u(x)v(x)dx
. (2.5)
De fato, como ´e facilmente verificado, ·
M
realmente satisfaz os axiomas usuais,
1. u
M
= 0 se, e somente se, u = 0 (em quase todo ponto),
2. αu
M
= | α|u
M
∀ α ∈ R e ∀ u ∈ L
M
e
3. u
1
+ u
2
M
≤ u
1
M
+ u
2
M
∀ u
1
, u
2
∈ L
M
.
Defini¸c˜ao 2.2 O espa¸co vetorial normado (L
M
(Ω), ·
M
) ´e denominado espa¸co de
Orlicz com respeito `a N-fun¸c˜ao M.
Faremos uma economia usual de nota¸c˜ao, nos referindo ao espa¸co vetorial
normado (L
M
(Ω), ·
M
) apenas como L
M
(Ω), ou L
M
, quando n˜ao apresentar perigo
de confus˜ao.
J´a observamos no Teorema 2.1 que L
M
(Ω) ⊂ L
1
(Ω). O pr´oximo teorema nos d´a um
resultado mais forte que o anterior.
26
Teorema 2.4 Todo espa¸co de Orlicz L
M
(Ω) est´a imerso continuamente no espa¸co de
Lebesgue das fun¸c˜oes integr´aveis. Em outras palavras, dado u ∈ L
M
(Ω) ent˜ao u ∈ L
1
(Ω)
e existe uma constante K > 0 tal que
u
1
≤ Ku
M
.
Prova: Seja N a N-fun¸c˜ao complementar a M. Tomemos C > 0 tal que N(C) = 1/| Ω|.
Podemos fazer isto pois N ´e N-fun¸c˜ao. Dessa forma, a fun¸c˜ao v ≡ C ´e tal que v ∈ L
N
e
Ω
N(v(x))dx = 1. Tomemos u ∈ L
M
. Assim
Ω
|u(x)|dx =
1
C
Ω
u(x)sgnu(x)v(x)dx.
Mas, como N ´e fun¸c˜ao par, a fun¸c˜ao (sgnu)v tamb´em p ertence a L
N
com
ρ((sgnu)v, N) = ρ(v, N) = 1. Portanto,
u
1
=
Ω
| u(x)|dx
=
1
C
Ω
u(x)sgnu(x)v(x)dx
≤
1
C
sup
ρ(v,N)≤1
Ω
u(x)v(x)dx
=
1
C
u
M
.
Com este ´ultimo resultado em m˜aos, estamos aptos a enunciar e demonstrar o j´a
esperado
Teorema 2.5 Todo espa¸co de Orlicz ´e completo.
Prova: Seja (u
n
) uma seq¨uˆencia de Cauchy em L
M
. Pelo Teorema 2.4, (u
n
) tamb´em ´e
seq¨uˆencia de Cauchy em L
1
(Ω). Mas L
1
(Ω) ´e completo e, portanto, existe u
0
∈ L
1
tal
que u
n
− u
0
1
n→∞
−→ 0. Al´em disso, (u
n
) possui uma subseq¨uˆencia (u
n
k
) que converge em
quase todo ponto para u
0
e tal que | u
n
k
(x)| ≤ h(x), em quase to do ponto, para algum
h ∈ L
1
(Ω) (vide [3], Teorema IV.9).
Fixe ε > 0. Como (u
n
k
) ´e ainda seq¨uˆencia de Cauchy, existe k(ε) tal que, para todo
k, k + p > k(ε), temos
Ω
| u
n
k+p
(x) − u
n
k
(x)| | v(x)| dx < ε,
para cada v ∈ L
N
satisfazendo ρ(v, N) ≤ 1. Segue desta ´ultima inequa¸c˜ao primeiramente
que u
0
− u
n
k
∈ L
M
. Consequentemente u
0
∈ L
M
. Al´em disso, tamb´em verificamos
imediatamente desta inequa¸c˜ao que
u
n
k
− u
0
M
≤ ε, ∀k > k(ε),
donde (u
n
k
) converge na norma de Orlicz para u
0
. Como ( u
n
) ´e seq¨uˆencia de Cauchy e
(u
n
k
) ´e subseq¨uˆencia de (u
n
) convergente para u
0
, temos que (u
n
) converge para u
0
na
norma de Orlicz.
2.3 Desigualdade de H¨older
Observemos inicialmente que, pela desigualdade de Young, dada uma fun¸c˜ao
u ∈ L
M
⊂ L
M
, temos
u
M
= sup
ρ(v,N)≤1
|(u, v)| ≤ sup
ρ(v,N)≤1
Ω
|u(x)| |v(x)| dx ≤ ρ(u, M) + 1. (2.6)
Os pr´oximos trˆes lemas ser˜ao necess´arios na deriva¸c˜ao de uma desigualdade de H¨older,
similar `aquela conhecida para espa¸cos de Lebesgue L
p
.
Lema 2.2 Se u ∈ L
M
ent˜ao, para cada v ∈ L
N
temos que
Ω
u(x)v(x)dx
≤
u
M
se ρ(v, N) ≤ 1,
u
M
ρ(v, N) se ρ(v, N) > 1.
Prova: Caso ρ(v, N) ≤ 1 a desigualdade (2.2) ´e imediata da defini¸c˜ao da norma de Orlicz.
Agora, caso ρ(v, N) > 1, pela convexidade de N, temos que
N
v(x)
ρ
(
v, N
)
dx ≤
N(v(x))
ρ
(
v, N
)
,
donde
Ω
N
v(x)
ρ(v, N)
dx ≤
1
ρ(v, N)
Ω
N(v(x))dx = 1.
Sendo assim, ρ(v/ρ(v, N), N) ≤ 1 e, portanto,
Ω
u(x)
v(x)
ρ(v, N)
dx
≤ u
M
,
concluindo a demonstra¸c˜ao.
28
Lema 2.3 Seja M uma N-fun¸c˜ao e seja p sua representante integral, isto ´e, M(u) =
|u|
0
p(t)dt. Suponha u ∈ L
M
, com u
M
≤ 1. Assim, a fun¸c˜ao v
0
= p(| u|) pertence a L
N
e ρ(v
0
, N) ≤ 1.
Prova: Tomemos
u
n
(x) =
u(x) se | u(x)| ≤ n,
0 se | u(x)| > n.
Dessa forma, u
n
´e fun¸c˜ao limitada para cada n, donde p(|u
n
|) tamb´em ´e limitada (p ´e n˜ao-
decrescente). Sendo assim, p(| u
n
| ) ∈ L
N
, para cada n ∈ N. Suponha que a afirma¸c˜ao
deste lema n˜ao ´e verdadeira. Ent˜ao ou v
0
/∈ L
N
(e portanto ρ(v, N) = ∞) ou ent˜ao
1 < ρ(v, N) < ∞. Uma vez que p(| u
n
| ) converge q.t.p. para v
0
, p(| u
n
| ) ´e limitada para
cada n e N ´e continua e crescente, pelo Teorema da convergˆencia dominada de Lebesgue,
conclu´ımos que podemos encontrar n
0
∈ N tal que
Ω
N[p(| u
n
0
(x)| )]dx > 1.
Devido `a igualdade dada em (1.2), temos que
N[p(| u
n
0
(x)| )] < M(u
n
0
(x)) + N[p(| u
n
0
(x)| )] = | u
n
0
(x)| p(| u
n
0
(x)| ).
Comse
Dessa forma,
Ω
M(u(x))dx ≤
Ω
M(u(x)) + N(v
0
(x))
dx =
Ω
u(x)v
0
(x)dx ≤ u
M
.
Podemos agora concluir, a partir do Lema 2.4, uma inequa¸c˜ao bastante ´util neste
estudo:
Ω
M
u(x)
u
M
dx ≤ 1, ∀ u ∈ L
M
, u = 0. (2.7)
Temos agora desenvolvidos os argumentos necess´arios para enunciar e demonstrar o
Teorema 2.6 (Desigualdade de H¨older) Sejam M e N duas N-fun¸c˜oes comple-
mentares. Ent˜ao, para cada u ∈ L
M
(Ω) e cada v ∈ L
N
(Ω) ´e v´alida a desigualdade
Ω
u(x)v(x)dx
≤ u
M
v
N
.
Prova: Devido a (2.7), temos que, dado v ∈ L
N
,
ρ
v
v
N
, N
≤ 1.
Portanto, para cada u ∈ L
M
, a defini¸c˜ao da norma de Orlicz nos garante que
Ω
u(x)
v(x)
v
N
≤ u
M
,
donde segue o resultado.
2.4 A norma de Luxemburgo
Veremos nesta se¸c˜ao que o espa¸co vetorial L
M
(Ω) tamb´em ser´a espa¸co de Banach com
uma norma diferente da norma de Orlicz. Para tanto, come¸camos definindo um conjunto
que `a primeira vista parece ser diferente de L
M
(Ω), mas veremos adiante que na verdade
tratam-se dos mesmos conjuntos.
Considere L
(M)
(Ω) o conjunto dado por
L
(M)
(Ω) =
u : Ω → R mensur´avel : ∃λ > 0 com
Ω
M
u(x)
λ
dx < ∞
.
30
Afirma¸c˜ao: Os conjuntos L
(M)
(Ω) e L
M
(Ω) s˜ao iguais. Mais ainda, ambos s˜ao iguais ao
espa¸co vetorial gerado pelo conjunto L
M
(Ω), denotado por <L
M
(Ω) >.
Com efeito, se u ≡ 0 n˜ao h´a nada a ser feito. Tomemos portanto u = 0. Suponha
u ∈ L
M
. Pela desigualdade (2.7), u
M
> 0 ´e tal que
Ω
M (u(x)/| u
M
) dx ≤ 1. Portanto
u ∈ L
(M)
. Reciprocamente, se u ∈ L
(M)
ent˜ao existe λ > 0 tal que
Ω
M (u(x)/λ) dx < ∞.
Sendo assim, pela desigualdade de Young, dado v ∈ L
N
(N a N-fun¸c˜ao complementar a
M), temos
Ω
u(x)v(x)dx = λ
Ω
u(x)
λ
v(x)dx ≤ λ
Ω
M
u(x)
λ
dx +
Ω
N(v(x))dx
< ∞,
donde u ∈ L
M
. Agora, sendo L
M
espa¸co vetorial contendo L
M
, temos < L
M
> ⊂ L
M
.
Por outro lado, tomando u ∈ L
M
ent˜ao
u = u
M
u
u
M
e pela inequa¸c˜ao (2.7), ρ(u/ u
M
, M) ≤ 1. Em particular u/ u
M
∈ L
M
, donde
u ∈ < L
M
>, concluindo a validade da afirma¸c˜ao.
Esta afirma¸c˜ao e o Teorema 2.3 nos levam ao interessante
Corol´ario 2.2 O espa¸co de Orlicz L
M
(Ω) ´e igual `a classe de Orlicz L
M
(Ω) se e somente
se M ∈ ∆
2
.
No espa¸co vetorial L
(M)
, podemos definir a seguinte norma: Dado u ∈ L
(M)
(Ω),
tomemos
u
(M)
= inf{λ > 0 : ρ(u/λ, M) ≤ 1}.
Verificamos agora que esta fun¸c˜ao realmente define uma norma em L
(M)
.
1. Primeiramente, observemos que ·
(M)
est´a bem definida. Dado u ∈ L
(M)
, temos
que existe λ > 0 e C
u
≥ 0 tais que ρ(u/λ, M) = C
u
. Tomemos t = max{1, C
u
},
como M ´e convexa,
ρ(
u
tλ
, M) ≤
1
t
ρ(
u
λ
, M) ≤
1
C
u
C
u
= 1
2. Claramente, se u = 0 q.t.p. ent˜ao u
(M)
= 0.
3. Observemos agora que se u
(M)
= 0 ent˜ao, para cada λ > 0 temos
Ω
M(u(x)/λ)dx ≤ 1.
31
De fato, se tiv´essemos ρ(u/λ, M ) > 1 ent˜ao, para qualquer ε ∈ (0, λ), como M ´e
convexa e par,
Ω
M(u(x)/ε)dx >
Ω
M(u(x)/λ)dx > 1,
donde ter´ıamos que
u
(M)
≥ λ > 0.
4. Supondo u
(M)
= 0 ent˜ao u = 0 q.t.p.. Caso contr´ario, se u ≥ δ > 0 em A ⊂ Ω
com | A| > 0, ver´ıamos que
Ω
M
u(x)
λ
dx ≥
A
M
u(x)
λ
dx ≥ M
δ
λ
| A|
λ→0
−→ ∞,
o que ´e imposs´ıvel, pelo item 3 acima.
5.
´
E imediato verificar que αu
(M)
= | α| u
(M)
, uma vez que M ´e par.
6. A desigualdade triangular segue da convexidade da fun¸c˜ao M. Com efeito, pela
defini¸c˜ao da norma de Luxemburgo, temos, para cada u , v ∈ L
(M)
e cada ε > 0,
Ω
M
u(x)
u
(M)
+ ε
≤ 1 e
Ω
M
v(x)
v
(M)
+ ε
≤ 1.
Tomando t
0
< 1 adequadamente,
t
0
=
u
(M)
+ ε
u
(M)
+ v
(M)
+ 2ε
=⇒ (1 − t
0
) =
v
(M)
+ ε
u
(M)
+ v
(M)
+ 2ε
vemos que
Ω
M
u(x) + v(x)
u
(M)
+ v
(M)
+ 2ε
dx ≤
≤
Ω
M
t
0
u(x)
u
(M)
+ ε
+ (1 − t
0
)
v(x)
v
(M)
+ ε
dx ≤
≤ t
0
Ω
M
u(x)
u
(M)
+ ε
dx + (1 − t
0
)
Ω
M
v(x)
v
(M)
+ ε
dx ≤
≤ t
0
+ 1 − t
0
= 1.
32
Consequentemente, para todo ε > 0 temos que
u + v
(M)
≤ u
(M)
+ v
(M)
+ 2ε,
portanto,
u + v
(M)
≤ u
(M)
+ v
(M)
.
Observa¸c˜ao: A insistˆencia no uso da nota¸c˜ao L
(M)
ao inv´es de L
M
, uma vez que
ambos os conjuntos s˜ao iguais, ´e proposital; pois iremos nos referir ao espa¸co de Orlicz por
L
(M)
(Ω), ou simplesmente L
(M)
, toda vez que intencionarmos trabalhar ou se referir ao
espa¸co vetorial munido da norma de Luxemburgo. Quando utilizarmos o s´ımbolo L
M
(Ω),
ou L
M
, estaremos trabalhando com a norma de Orlicz.
Consideremos 0 = u ∈ L
(M)
. Seja (k
n
) uma seq¨uˆencia minimizante em
{k : p(u/k, M) ≤ 1}. Isto ´e, tal que k
n
→ inf{k : p(u/k, M) ≤ 1} = u
(M)
. Sendo
assim, para qualquer x ∈ Ω, temos
u(x)
k
n
−→
u(x)
u
(M)
, quando n → ∞.
Portanto, para todo x ∈ Ω temos
M
u(x)
k
n
−→M
u(x)
u
(M)
, quando n → ∞.
Conseq¨uentemente, pelo Teorema de Fatou-Lebesgue,
Ω
M
u(x)
u
(M)
≤ sup
n
Ω
M
u(x)
k
n
≤ 1, ∀ u ∈ L
(M)
(Ω). (2.8)
Lema 2.5 As normas ·
(M)
e ·
M
s˜ao equivalentes. Mais precisamente
u
(M)
≤ u
M
≤ 2u
(M)
Prova: Caso u ≡ 0 n˜ao h´a o que fazer. Caso contr´ario, pela desigualdade (2.7) temos
imediatamente que u
(M)
≤ u
M
. Al´em disso, por (2.6) e (2.8), temos
u
u
(M)
M
≤
Ω
M
u(x)
u
(M)
dx + 1 ≤ 2.
Temos como resultado imediato o
33
Corol´ario 2.3 O espa¸co L
(M)
(Ω) ´e um espa¸co de Banach.
Prova: As normas de Luxemburgo e Orlicz s˜ao equivalentes e o espa¸co ´e Banach com a
norma de Orlicz, pelo Teorema 2.5.
Mostremos agora um fato interessante: Se B
(M)
denota a bola unit´aria em L
(M)
(isto
´e, o espa¸co de Orlicz com respeito `a norma de Luxemburgo), ent˜ao
B
(M)
= {u ∈ L
M
: ρ(u, M) ≤ 1}. (2.9)
Mais precisamente, temos que se u
(M)
≤ 1 ent˜ao ρ(u, M) ≤ u
(M)
e se u
(M)
> 1
ent˜ao ρ(u, M) ≥ u
(M)
.
Com efeito, supondo 0 = u
(M)
≤ 1 ent˜ao, pela convexidade de M e por (2.8) temos
ρ(u, M) =
Ω
M
u
(M)
u
(M)
u(x)
dx ≤ u
(M)
Ω
M
u(x)
u
(M)
≤ u
(M)
.
Agora se u
(M)
> 1, ε
0
> 0 suficientemente pequeno pode ser encontrado tal que para
todo 0 < ε ≤ ε
0
, em virtude novamente da convexidade de M e da defini¸c˜ao da norma de
Luxemburgo, temos
1
u
(M)
− ε
Ω
M(u(x))dx ≥
Ω
M
u(x)
u
(M)
− ε
> 1,
donde segue o resultado, tomando ε → 0.
Consequentemente, por (2.9), temos deduzida uma outra f´ormula para a norma de
Orlicz no espa¸co L
M
:
u
M
= sup
v
(N)
≤1
Ω
u(x)v(x)dx
. (2.10)
Finalmente, torna-se agora natural invocar desigualdades de H¨older mais refinadas.
Se u, v pertencem aos espa¸cos de Orlicz L
M
e L
N
respectivamente, com M, N um par
de N-fun¸c˜oes complementares, ent˜ao, por (2.10), valem as seguintes desigualdades:
Ω
u(x)v(x)dx
≤ u
M
v
(N)
,
Ω
u(x)v(x)dx
≤ u
(M)
v
N
.
(2.11)
Para encerrar esta se¸c˜ao faremos mais uma pequena e ´util observa¸c˜ao com respeito `a
norma de Luxemburgo:
Notemos que se k
0
> 0 ´e tal que
Ω
M
u(x)
k
0
dx = 1,
34
ent˜ao u
(M)
= k
0
. Claramente, uma vez que M ´e estritamente crescente, dado ε > 0
temos que
Ω
M
u(x)
k
0
− ε
dx >
Ω
M
u(x)
k
0
dx = 1.
Como aplica¸c˜ao desta ´ultima afirma¸c˜ao, calculemos a norma de Luxemburgo da fun¸c˜ao
caracter´ıstica κ(·, A) de um subconjunto A mensur´avel qualquer de Ω. Uma vez que
M(u) = 0 ⇔ u = 0, temos
Ω
M
κ(x, A)M
−1
1
|A|
dx =
Ω
κ(x, A)
1
|A|
dx = 1,
donde segue que
κ(·, A)
(M)
=
1
M
−1
1
|A|
. (2.12)
2.5 Imers˜oes em espa¸cos de Orlicz
Defini¸c˜ao 2.3 Dizemos que a N-fun¸c˜ao M
1
domina a N-fun¸c˜ao M
2
( escrevemos M
2
≺ M
1
) se existem constantes k e t
0
positivas tais que
M
2
(t) ≤ M
1
(kt), ∀ t ≥ t
0
.
Duas N-fun¸c˜oes M
1
e M
2
s˜ao ditas equivalentes ( escrevemos M
1
∼ M
2
) quando
M
2
≺ M
1
e M
1
≺ M
2
.
Uma no¸c˜ao mais forte po de ser considerada na seguinte
Defini¸c˜ao 2.4 Sejam M
1
e M
2
duas N-fun¸c˜oes. Dizemos que M
2
cresce estritamente
mais lento que M
1
( escrevemos M
2
≺≺ M
1
) quando para todo k > 0 temos
lim
t→∞
M
2
(kt)
M
1
(t)
= 0.
Observa¸c˜ao: Claramente M
2
≺≺ M
1
⇔ M
2
≺ M
1
e M
2
M
1
. Temos tamb´em, do fato
de estarmos sempre trabalhando com Ω limitado, que os conjuntos L
M
1
(Ω) e L
M
2
(Ω) s˜ao
iguais sempre que M
1
∼ M
2
.
Faremos nesta se¸c˜ao alguns teoremas de imers˜ao nos espa¸cos de Orlicz. Trabalharemos
nos espa¸cos L
(M)
, ou seja, os espa¸cos de Orlicz munidos da norma de Luxemburgo.
Observe que os mesmos resultados de imers˜ao apresentados neste trabalho valem com
respeito `a norma de Orlicz, uma vez que s˜ao normas equivalentes, e a escolha da norma
de Luxemburgo para apresentar tais imers˜oes se deu apenas devido `a maior facilidade na
demonstra¸c˜ao.
35
Teorema 2.7 Se M
2
≺ M
1
ent˜ao L
(M
1
)
(Ω) → L
(M
2
)
(Ω), continuamente.
Prova: Uma vez que M
2
≺ M
1
, tomemos k e t
0
positivos tais que
M
2
(t) ≤ M
1
(kt), ∀ t ≥ t
0
.
Sejam t
1
= M
−1
2
1
2|Ω|
e K = max
1,
M
2
(t
0
)
M
1
(kt
1
)
. Afirmamos que para todo t ≥ t
1
temos
M
2
(t) ≤ KM
1
(kt).
De fato, se t
1
≥ t
0
, n˜ao h´a o que fazer pois K ≥ 1. Agora se t
1
< t
0
ent˜ao para t ≥ t
0
tamb´em n˜ao h´a o que fazer. Peguemos ent˜ao t
1
≤ t ≤ t
0
. Assim, M
1
(kt
1
) ≤ M
1
(kt) e
M
2
(t) ≤ M
2
(t
0
). Portanto,
M
2
(t) ≤
M
2
(t
0
)
M
1
(kt
1
)
M
1
(kt) ≤ KM
1
(kt),
verificando a afirma¸c˜ao.
Agora, tomando u ∈ L
(M
1
)
(Ω) e definindo
Ω(u) =
x ∈ Ω :
|u(x)|
2Kku
(M
1
)
< t
1
,
temos
Ω
M
2
|u(x)|
2Kku
(M
1
)
dx =
Ω(u)
M
2
|u(x)|
2Kku
(M
1
)
dx +
Ω\Ω(u)
M
2
|u(x)|
2Kku
(M
1
)
dx
≤
Ω(u)
M
2
(t
1
)dx + K
Ω\Ω(u)
M
1
k
|u(x)|
2Kku
(M
1
)
dx
≤
1
2|Ω|
|Ω| +
K
2K
Ω\Ω(u)
M
1
|u(x)|
u
(M
1
)
dx
≤
1
2
+
1
2
= 1.
Portanto u ∈ L
(M
2
)
(Ω) e u
(M
2
)
≤ 2Kku
(M
1
)
.
Em outras palavras, demonstramos que se M
2
≺ M
1
ent˜ao seq¨uˆencias convergentes em
L
(M
1
)
s˜ao levadas em seq¨uˆencias convergentes em L
(M
2
)
. O pr´oximo resultado nos mostra
uma imers˜ao mais “forte”.
Teorema 2.8 Suponha que M
2
≺≺ M
1
. Ent˜ao, se uma seq¨uˆencia (u
n
) em L
(M
1
)
´e
limitada e converge em medida, temos que (u
n
) ´e convergente em L
(M
2
)
.
36
Prova: Fixe ε > 0 e defina v
j,k
(x) = (u
j
(x) − u
k
(x))/ε. Consequentemente (v
j,k
) forma
uma seq¨uˆencia limitada em L
(M
1
)
. Considere K > 0 tal que v
j.k
(M
1
)
≤ K. Uma vez que
M
2
≺≺ M
1
, tomemos t
0
> 0 tal que
M
2
(t) ≤ M
1
1
4K
t
≤
1
4
M
1
t
K
, ∀ t ≥ t
0
.
Seja δ =
1
4M
2
(t
0
)
. Defina ainda
Ω
j,k
=
x ∈ Ω : |v
j,k
(x)| ≥ M
−1
2
1
2|Ω|
.
Como (u
n
) ´e convergente em medida, tomemos N suficientemente grande tal que, se
j, k ≥ N, ent˜ao |Ω
j,k
| ≤ δ. Pondo
Ω
j,k
= {x ∈ Ωj, k : |v
j,k
(x)| ≥ t
0
} e Ω
j,k
= Ω
j,k
\ Ω
j,k
,
temos, para j, k ≥ N,
Ω
M
2
(|v
j,k
(x)|)dx =
Ω\Ω
j,k
M
2
(|v
j,k
(x)|)dx +
Ω
j,k
M
2
(|v
j,k
(x)|)dx +
Ω
j,k
M
2
(|v
j,k
(x)|)
≤
|Ω|
2|Ω|
+
1
4
Ω
j,k
M
1
|v
j,k
(x)|
K
dx + M
2
(t
0
)|Ω
j,k
|
≤
1
2
+
1
4
+
1
4
= 1.
Portanto, v
j,k
(M
2
)
≤ 1, ou seja, u
j
− u
k
(M
2
)
≤ ε.
Como conseq¨uˆencia imediata do Teorema 2.8 temos o seguinte corol´ario, que ser´a
utilizado mais a frente, para imers˜oes compactas nos espa¸cos de Orlicz-Sobolev, estudados
no pr´oximo cap´ıtulo.
Corol´ario 2.4 Suponha que M
2
≺≺ M
1
. Se S ⊂ L
(M
1
)
´e limitado em L
(M
1
)
e pr´e-
compacto no espa¸co de Lebesgue das fun¸c˜oes integr´aveis L
1
, ent˜ao S ´e pr´e-compacto em
L
(M
2
)
.
Prova: Seja (u
n
) uma seq¨uˆencia em S. Tomemos uma subseq¨uˆencia (u
n
k
) de (u
n
) tal que
u
n
k
→ u, em L
1
. Pelo Teorema de Vitali, (u
n
k
) ´e uma seq¨uˆencia convergente em medida.
Portanto, pelo Teorema 2.8, temos que ( u
n
k
) ´e seq¨uˆencia convergente em L
(M
2
)
.
37
2.6 O espa¸co E
M
Desenvolvemos nesta se¸c˜ao ferramentas para discuss˜ao de separabilidade e reflexivi-
dade dos espa¸cos de Orlicz. Come¸camos por definir uma no¸c˜ao de convergˆencia que ser´a
´util, adiante, para a separabilidade destes espa¸cos.
Defini¸c˜ao 2.5 Dizemos que uma seq¨uˆencia (u
n
) em L
M
´e convergente em m´edia para
uma fun¸c˜ao u
0
∈ L
M
se
lim
n→∞
Ω
M(u
n
(x) − u
0
(x))dx = 0.
Pelo Lema 2.4, vemos que convergˆencia na norma de Orlicz sempre implica em
convergˆencia em m´edia. Por´em, em geral, a rec´ıproca n˜ao ocorre. De fato, caso a fun¸c˜ao M
n˜ao satisfa¸ca a condi¸c˜ao ∆
2
ent˜ao pode-se construir uma seq¨uˆencia em L
M
convergente em
m´edia para 0, por´em, n˜ao convergente na norma de Orlicz (vide [13]). Contudo, quando
a N-fun¸c˜ao M satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
ent˜ao estas duas no¸c˜oes coincidem. Provemos isto
no pr´oximo teorema. Antes, precisaremos do seguinte resultado:
Lema 2.6 Suponha que M ∈ ∆
2
. Considere (v
n
) seq¨uˆencia em L
M
convergente em m´edia
para 0. Ent˜ao (tv
n
) tamb´em ´e convergente em m´edia para 0 para qualquer t ≥ 0.
Prova: Para 0 ≤ t ≤ 1 a demonstra¸c˜ao ´e evidente, pois, pela convexidade de M, temos
M(tv
n
) ≤ tM(v
n
), onde n˜ao precisamos da condi¸c˜ao ∆
2
. Agora se t > 1, ent˜ao temos,
pela condi¸c˜ao ∆
2
sob a forma (1.4), que existem constantes C > 0 e v
0
≥ 0 tais que
M(tv) ≤ CM(v), ∀ v > v
0
.
Seja portanto A
n
= {x ∈ Ω : |v
n
(x)| ≤ v
0
}. Logo
Ω
M(tv
n
(x))dx =
Ω\A
n
M(tv
n
(x))dx +
A
n
M(tv
n
(x))dx
≤ C
Ω\A
n
M(v
n
(x))dx +
A
n
M(tv
n
(x))dx
≤ C
Ω
M(v
n
(x))dx +
A
n
M(tv
n
(x))dx.
Ora, a primeira integral do lado direito da equa¸c˜ao acima tende a zero quando n → ∞,
por hip´otese.
Resta-nos verificar que s
n
:=
A
n
M(tv
n
(x))dx → 0, quando n → ∞. Primeiramente,
vemos que (s
n
) ´e uma seq¨uˆencia limitada. De fato,
|s
n
| ≤
A
n
|M(tv
n
(x))|dx ≤ M(tv
0
)|A
n
| ≤ M(tv
0
)|Ω|, ∀n ∈ N.
38
Sendo assim, torna-se suficiente demonstrar que qualquer subseq¨uˆencia de (s
n
) possui
uma subseq¨uˆencia que converge para 0. Tomemos ent˜ao uma subseq¨uˆencia (s
n
k
)
∞
k=1
de
(s
n
). Consideremos a subseq¨uˆencia de mesmos ´ındices de (v
n
). Sabemos, por hip´otese,
que
Ω
κ(x, A
n
k
)M(v
n
k
(x))dx =
A
n
k
M(v
n
k
(x))dx ≤
Ω
M(v
n
k
(x))dx → 0,
onde κ(·, A
n
k
) denota a fun¸c˜ao caracter´ıstica do conjunto A
n
k
. Consequentemente,
podemos extrair uma subseq¨uˆencia de κ(·, A
n
k
)M(v
n
k
) que ainda denotaremos pelos
mesmos ´ındices, tal que
κ(x, A
n
k
)M(v
n
k
(x)) → 0,
em quase todo ponto (vide Teorema IV.9 em [3]). Considerando a restri¸c˜ao de M ao
dom´ınio R
+
e trocando a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes v
n
por |v
n
| caso necess´ario (n˜ao h´a problema
em fazˆe-lo, pois M ´e par), uma vez que M ´e N-fun¸c˜ao, ent˜ao M admite uma inversa M
−1
em R
+
cont´ınua tal que M
−1
(t) = 0 ⇔ t = 0. Dessa forma, a convergˆencia em quase todo
ponto acima acima nos garante que
κ(x, A
n
k
)|v
n
k
|(x) = M
−1
[M(κ(x, A
n
k
)v
n
k
(x))]
= M
−1
[κ(x, A
n
k
)M(v
n
k
(x))] → M
−1
(0) = 0.
Portanto,
κ(x, A
n
k
)t|v
n
k
|(x) → 0,
donde
κ(x, A
n
k
)M(tv
n
k
(x)) = M[κ(x, A
n
k
)tv
n
k
(x)] → M(0) = 0,
convergˆencias dadas em quase todo ponto. Todo este trabalho nos garantiu ent˜ao que a
seq¨uˆencia de fun¸c˜oes κ(·, A
n
k
)M(tv
n
k
) converge para 0 em quase todo ponto. Al´em disso,
essas fun¸c˜oes s˜ao limitadas:
κ(·, A
n
k
)M(tv
n
k
) ≤ M(tv
0
).
E, como estamos trabalhando em Ω limitado, temos que a fun¸c˜ao constante M(tv
0
) est´a
em L
1
(Ω). Podemos, portanto, invocar o Teorema da convergˆencia dominada de Lebesgue
para finalmente garantir que
s
n
k
=
A
n
k
M(tv
n
k
(x))dx =
Ω
κ(x, A
n
k
)M(tv
n
k
(x))dx → 0.
Teorema 2.9 Se a N-fun¸c˜ao M satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
, ent˜ao convergˆencia em m´edia
no espa¸co L
M
´e equivalente a convergˆencia em norma.
Prova:
Tomemos ε > 0 e k ∈ N suficientemente grande para que 1/2
k−1
< ε. Uma vez que
M ∈ ∆
2
, o Lema 2.6 nos diz que
lim
n→∞
Ω
M[2
k
(u
n
(x) − u
0
(x))]dx = 0.
Sendo asism, tomemos n
0
∈ N tal que para todo n ≥ n
0
tenhamos
Ω
M[2
k
(u
n
(x) − u
0
(x))]dx < 1.
Assim, devido a (2.6), para n ≥ n
0
, temos
2
k
(u
n
− u
0
)
M
≤ ρ(2
k
(u
n
− u
0
), M) + 1 < 2.
Da´ı,
u
n
− u
0
M
<
1
2
k−1
< ε,
concluindo que (u
n
) converge em norma para u
0
.
Lema 2.7 Dada u ∈ L
M
(Ω), podemos encontrar uma sequˆencia de fun¸c˜oes
u
n
∈ L
∞
(Ω) tal que, (u
n
) converge em m´edia para u.
Prova: Tomemos
u
n
(x) =
u(x) se |u(x)| ≤ n
0 se |u(x)| > n
Assim, definindo A
n
= {x ∈ Ω : |u(x)| > n}, temos
Ω
M(u
n
(x) − u(x))dx =
Ω\A
n
M(u
n
(x) − u(x))dx +
A
n
M(u
n
(x) − u(x))dx
=
Ω\A
n
M(0)dx +
A
n
M(−u(x))dx
=
A
n
M(u(x))dx.
Mas |A
n
| → 0 pois, caso contr´ario, existiria uma subseq¨uˆencia (A
n
k
) tal que |A
n
k
| ≥ ε
para algum ε > 0, donde ter´ıamos,
Ω
M(u(x))dx ≥
A
n
k
M(u(x))dx ≥ M(n
k
)|A
n
k
| ≥ M(n
k
) ε, ∀k ∈ N.
Um absurdo, pois M(n
k
)→∞, quando k → ∞, contrariando a hip´otese de u ∈ L
M
.
Portanto,
lim
n→∞
Ω
M(u
n
(x) − u(x))dx = lim
n→∞
A
n
M(u(x))dx = 0.
40
Defini¸c˜ao 2.6 Definimos o fecho em L
M
(Ω) do espa¸co das fun¸c˜oes essencialmente
limitadas L
∞
(Ω) na norma de Orlicz por E
M
(Ω), ou simplesmente E
M
, caso n˜ao haja
perigo de confus˜ao.
Mais sucintamente,
E
M
(Ω) = L
∞
(Ω)
·
M
.
Ora, por tudo que foi desenvolvido nesta se¸c˜ao, temos de imediato o seguinte
Teorema 2.10 E
M
=L
M
se e somente se M ∈ ∆
2
. Em outras palavras, L
∞
´e denso no
espa¸co de Orlicz L
M
apenas quando M satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
.
Prova: Provemos que em geral temos
E
M
⊆ L
M
. (2.13)
Feito isto, teremos demonstrado que E
M
L
M
quando M n˜ao satisfaz ∆
2
, pois L
M
L
M
quando M n˜ao satisfaz tal condi¸c˜ao, de acordo com o Corol´ario 2.2. Seja, portanto,
u ∈ E
M
. Por defini¸c˜ao, tomemos u
1
∈ L
∞
tal que u − u
1
M
< 1/2. Logo, pelo Lema
2.4, temos
Ω
M[2u(x) − 2u
1
(x)]dx ≤ 2u − u
1
M
< 1.
Isto implica que 2u−2u
1
pertence a L
M
. J´a sabemos que qualquer fun¸c˜ao em L
∞
pertence
a L
M
. Sendo assim, escrevendo
u =
1
2
[2u − 2u
1
] +
1
2
[2u
1
],
vemos que u tamb´em pertence a L
M
, uma vez que L
M
´e um conjunto convexo.
Supondo agora que M satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
, ent˜ao pelo Corol´ario 2.4, temos
L
M
= L
M
e pelo Lema 2.7 dado u ∈ L
M
= L
M
podemos encontrar (u
n
) em L
∞
convergindo em m´edia para u. Mas o Teorema 2.9 garante que essa convergˆencia tamb´em
se d´a na norma de Orlicz. Portanto u ∈ E
M
, como quer´ıamos demonstrar.
O teorema que se segue agora nos d´a um crit´erio de separabilidade para o espa¸co de
Orlicz L
M
.
Teorema 2.11 E
M
´e um espa¸co separ´avel.
Prova: Consideremos u ∈ L
∞
com u
∞
= a. Pelo Teorema de Luzin, podemos encontrar
uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas (u
n
) uniformemente limitadas, |u
n
(x)| ≤ a, tal que,
para cada n, a diferen¸ca u
n
(x) − u(x) difere de 0 apenas em um conjunto Ω
n
cuja medida
41
´e menor que 1/n. Sendo assim,
u
−
u
n
(M)
= inf
k
:
Ω
M
u(x) − u
n
(x)
k
dx
≤
1
= inf
k :
Ω
M
κ(x, Ω
n
)
u(x) − u
n
(x)
k
dx ≤ 1
≤ inf
k :
Ω
M
κ(x, Ω
n
)
2a
k
dx
= 2aκ(·, Ω
n
)
(M)
.
Tomando n → ∞, ent˜ao |Ω
n
| → 0. Em virtude de (2.12), temos κ(·, Ω
n
)
(M)
→ 0, e
portanto u − u
n
(M)
→ 0, donde segue que
lim
n→∞
u − u
n
M
= 0,
devido `a equivalˆencia das normas.
Provamos ent˜ao que o conjunto das fun¸c˜oes cont´ınuas C(Ω) ´e denso em E
M
(Ω). Ora,
mas sabemos tamb´em que dada v em C(Ω) podemos construir um seq¨uˆencia de p olinˆomios
com coeficientes racionais convergindo uniformemente para v. Caso tal convergˆencia
implicar em convergˆencia com respeito a norma de Orlicz, ent˜ao teremos demonstrado que
o espa¸co enumer´avel dos polinˆomios com coeficientes racionais ´e denso em E
M
, concluindo
a separabilidade do mesmo. Portanto, provemos tal afirma¸c˜ao: Seja (v
n
) seq¨uˆencia de
fun¸c˜oes cont´ınuas tal que v
n
→ v, uniformemente. Ent˜ao v
n
− v
M
→ 0. Com efeito,
dado ε > 0 existe n
0
tal que |v
n
(x) − v(x)| < ε ∀ n ∈ N e ∀ x ∈ Ω. Consequentemente,
por (2.6), se n ≥ n
0
, temos
v
n
− v
M
≤ sup
ρ(v,N)≤1
Ω
|v
n
(x) − v(x)|dx
≤ ε sup
ρ(v,N)≤1
Ω
|v(x)|dx
≤ ε
Ω
M(1)dx + 1
= ε(M(1)|Ω| + 1),
donde v
n
− v
M
→ 0.
Corol´ario 2.5 Se M ∈ ∆
2
ent˜ao L
M
´e separ´avel.
Prova: Segue dos Teoremas 2.10 e 2.11.
42
Iremos demonstrar adiante que se M n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
ent˜ao L
M
n˜ao pode
ser separ´avel. Por´em, antes de chegarmos a este resultado, precisaremos de alguns lemas
que ser˜ao expostos e demonstrados primeiramente.
Lema 2.8 Suponha que M /∈ ∆
2
. Ent˜ao existem u, v fun¸c˜oes tais que
1. αu ∈ L
M
para todo α ≤ 1 e βu /∈ L
M
para todo β > 1.
2. αv ∈ L
M
para todo α < 1 e βv /∈ L
M
para todo β ≥ 1.
Prova: Come¸camos mostrando que se M n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
ent˜ao ´e p oss´ıvel
construir uma seq¨uˆencia (u
n
) estritamente crescente indo para o infinito tal que
M(u
1
) > 1 e M
1 +
1
n
u
n
> 2
n
M(u
n
).
Vejamos como isto ´e poss´ıvel. Consideremos primeiramente l
n
= 1 + 1 /n. Como cada
l
n
> 1 ent˜ao M n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao dada em (1.4) para cada l
n
. Sendo assim, con-
struiremos passo a passo a seq¨uˆencia, a partir de cada l
n
:
Para l
1
tomemos u
0
tal que M(u
0
) > 1 e tomemos u
1
> u
0
tal que
M(l
1
u
1
) > 2M(u
1
).
Para l
2
consideremos u
1
+ 1 e u
2
≥ u
1
+ 1 tal que
M(l
2
u
2
) > 2
2
M(u
2
).
Para l
3
tomemos u
2
+ 1 e u
3
≥ u
2
+ 1 tal que
M(l
3
u
3
) > 2
3
M(u
3
).
Seguindo esta l´ogica para cada n, vemos que ´e poss´ıvel construir a seq¨uˆencia requerida.
Considere agora subconjuntos Ω
n
disjuntos dois a dois tais que
|Ω
n
| =
|Ω|
2
n
M(u
n
)
.
Defina u da seguinte forma:
u(x) =
u
n
se x ∈ Ω
n
0 se x /∈
∞
n=1
Ω
n
A fun¸c˜ao u pertence a L
M
pois
Ω
M(u(x))dx =
∞
n=1
Ω
n
M(u(x))dx =
∞
n=1
M(u
n
)|Ω
n
| < ∞.
A convexidade de L
M
nos garante ent˜ao que αu ∈ L
M
para qualquer α ≤ 1.
43
Tomemos β > 1. Dessa forma, consideremos n
0
a partir do qual todo n ≥ n
0
´e tal que
β > 1 + 1/n. Assim, para cada n acima de n
0
temos ent˜ao
Ω
n
M(βu(x))dx = M(βu
n
)|Ω
n
| > M
1 +
1
n
u
n
|Ω
n
| > 2
n
M(u
n
)|Ω
n
| = |Ω|.
Sendo assim
Ω
M(βu(x))dx =
∞
n=1
Ω
n
M(βu(x))dx ≥
∞
n=n
0
Ω
n
M(βu(x))dx >
∞
n=n
0
|Ω| = ∞.
Agora defina v por
v(x) =
1 +
1
n
u
n
se x ∈ Ω
n
0 se x /∈
∞
n=1
Ω
n
.
Para β ≥ 1 temos
Ω
M(βv(x))dx ≥
Ω
M(v(x))dx =
∞
n=1
M
1 +
1
n
u
n
|Ω
n
| >
>
∞
n=1
2
n
M(u
n
)|Ω
n
| = ∞.
Mas se α < 1 ent˜ao tomando n
0
tal que α(1 + 1/n) < 1 para todo n ≥ n
0
, se n ≥ n
0
,
temos
Ω
n
M(αv(x))dx = M
α
1 +
1
n
u
n
|Ω
n
| < M(u
n
)|Ω
n
| =
|Ω|
2
n
.
Consequentemente,
Ω
M(α(v(x))dx =
n
0
n=1
Ω
n
M(α(v(x))dx +
∞
n=n
0
Ω
n
M(α(v(x))dx < ∞.
Se d(u, A) = inf
v∈A
u − v
M
´e a distˆancia da fun¸c˜ao u ao conjunto A, ent˜ao defina
Π(E
M
, r)={u ∈ L
M
: d(u, E
M
) < r}.
O pr´oximo resultado ent˜ao descreve a disposi¸c˜ao do espa¸co E
M
no espa¸co L
M
quando
M n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
.
Lema 2.9 Suponha que M /∈ ∆
2
. Ent˜ao
Π(E
M
, 1) L
M
Π(E
M
, 1).
44
Prova: Provemos a primeira inclus˜ao mostrando que qualquer fun¸c˜ao u
0
∈ E
M
pertence
`a classe L
M
e qualquer outra fun¸c˜ao em L
M
contida na bola aberta de centro u
0
e raio 1
tamb´em est´a nesta classe. Seja, assim, u ∈ L
M
tal que u − u
o
M
< 1. Tomemos α tal
que u − u
o
M
< 1 − α. Ora, E
M
´e espa¸co vetorial e, portanto, (1/α)u
0
∈ E
M
. Agora,
por (2.13) temos (1/α)u
0
∈ L
M
. Uma vez que (u − u
0
)/(1 − α)
M
< 1, pelo Lema 2.4
temos (u − u
0
)/(1 − α) ∈ L
M
. Sendo assim, escrevendo
u = (1 − α)
u − u
0
1 − α
+ α
u
0
α
,
vemos, pela convexidade do conjunto L
M
, que u ∈ L
M
.
Provemos agora a segunda inclus˜ao. Tomando u ∈ L
M
, dado ε > 0 pelo Lema 2.7,
podemos tomar u
ε
∈ E
M
limitada tal que
Ω
M(u(x) − u
ε
(x))dx < ε.
Sendo assim, por (2.6), u − u
ε
< 1 + ε, donde
d(u, E
M
) = inf
v∈E
M
u − v
M
≤ u − u
ε
< 1 + ε.
Uma vez que ε ´e arbitr´ario temos d(u, E
M
) ≤ 1, ou seja, u ∈ Π(E
M
, 1).
Resta-nos provar que as inclus˜oes s˜ao pr´oprias.
Ora, no Lema 2.8 constru´ımos uma fun¸c˜ao u ∈ L
M
tal que α u ∈ L
M
para todo α ≤ 1
e βu /∈ L
M
se β > 1. Mostremos que tal u n˜ao pode pertencer Π(E
M
, 1). Claramente
se d(u, E
M
) fosse menor que 1 ent˜ao tomar´ıamos β > 1 tal que βd(u, E
M
) < 1. Sendo
assim, uma vez que d(βu, E
M
) = βd(u, E
M
), a primeira inclus˜ao demonstrada implicaria
que βu ∈ L
M
contrariando a propriedade b´asica da u. Analogamente, constru´ımos neste
mesmo lema uma fun¸c˜ao v /∈ L
M
tal que αv /∈ L
M
se α ≤ 1 e βv ∈ L
M
se β > 1.
Mostremos que v ∈ Π(E
M
, 1). De fato, d(v, E
M
) = 1, caso contr´ario, poder´ıamos tomar
α < 1 tal que d(βv, E
M
) > 1, donde inplicaria, a partir da segunda inclus˜ao demonstrada
neste lema que βv /∈ L
M
, contrariando a propriedade de v.
Para finalizar esta se¸c˜ao, temos ent˜ao o esperado resultado:
Teorema 2.12 L
M
´e separ´avel se e somente se M ∈ ∆
2
.
Prova: Se M satisfaz ∆
2
ent˜ao L
M
´e separ´avel, de acordo com o Corol´ario 2.5.
Agora suponha que M n˜ao satisfaz tal condi¸c˜ao. Seja tamb´em {u
n
} um conjunto
enumer´avel de fun¸c˜oes em L
M
. Vejamos que podemos construir uma u em L
M
distante
de qualquer u
i
deste conjunto, provando que L
M
n˜ao po de ser separ´avel.
Para tanto utilizamos o Teorema de Lusin, para garantir a existˆencia de um conjunto
mensur´avel Ω
⊂ Ω tal que |Ω\Ω
| ≤ ε para ε pequeno e no qual as fun¸c˜oes u
n
(na
verdade, as restri¸c˜oes de u
n
ao conjunto Ω
) s˜ao cont´ınuas e limitadas para cada n. Dessa
45
forma, temos u
n
∈ E
M
(Ω
) (denote a norma de Orlicz do espa¸co L
M
(Ω
) por |||·|||
M
). Mas,
uma vez que M n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao ∆
2
vimos no final da demonstra¸c˜ao do Lema 2.9
que ´e poss´ıvel encontrar w ∈ L
M
(Ω
) tal que d(w, E
M
(Ω
)) = 1. Estendendo w para todo
o dom´ınio Ω, de forma que se anule fora de Ω
e denotando por u tal extens˜ao, temos que
u − u
n
M
≥ |||w − u
n
|||
M
≥ d(w, E
M
(Ω
)) = 1.
2.7 Funcionais lineares nos espa¸cos de Orlicz
Como j´a vem sendo mencionado, durante toda esta se¸c˜ao M e N representar˜ao duas
N-fun¸c˜oes complementares.
O espa¸co vetorial de todos os funcionais lineares T : L
M
( ou L
(M)
) → R
cont´ınuos ´e chamado de espa¸co dual de L
M
( respectivamente L
(M)
) e denotado por L
∗
M
( respectivamente L
∗
(M)
). Obviamente L
∗
M
= L
∗
(M)
e a utiliza¸c˜ao de ambas simbologias
ocorrer´a apenas para distinguir normas utilizadas no mesmo espa¸co. Pois mencionamos
L
∗
M
ao trabalharmos no dual de L
M
, munindo-o da norma
T
∗
M
= sup{|T (u)| : u
M
≤ 1}
e L
∗
(M)
munindo-o da norma
T
∗
(
M
)
= sup{|T (u)| : u
(M)
≤ 1}.
Para cada v ∈ L
N
, podemos definir um funcional T
v
: L
M
→ R, dado por
T
v
(u) =
Ω
u(x)v(x)dx. (2.14)
Assim, a desigualdade de H¨older garante que este funcional linear ´e cont´ınuo, pois
|T
v
(u)| =
Ω
u(x)v(x)dx
≤ v
N
u
M
.
Portanto, T
v
∈ L
∗
(M)
e
T
v
∗
(M)
= sup
Ω
u(x)v(x)
: u
(M)
≤ 1
= v
N
.
Logo, a fun¸c˜ao
L
N
−→
L
∗
(M)
(2.15)
v −→ T
v
46
define uma imers˜ao isom´etrica ( ou seja, uma fun¸c˜ao linear que preserva a norma ) entre
estes dois espa¸cos.
´
E natural questionar se esta imers˜ao ´e sobrejetiva. Isto ´e, se todo funcional linear
em L
∗
M
tem a forma (4.2). O fato ´e que nem sempre isto ocorre. Situa¸c˜ao descrita pelo
pr´oximo resultado.
Proposi¸c˜ao 2.13 Se M /∈ ∆
2
ent˜ao a imers˜ao (2.15) n˜ao ´e sobrejetiva.
Prova: Podemos, por hip´otese, tomar u
0
∈ L
M
\E
M
. Defina um funcional linear cont´ınuo
T em <E, u
0
> tal que T (u) = 0 se u ∈ E
M
e T (u
0
) = 1. Estendemos T a um funcional
linear cont´ınuo em L
M
, pelo Teorema de Hanh-Banach. Suponha que T ´e dado por (4.2),
para algum v ∈ L
N
. Considere a seq¨uˆencia de truncamentos
v
n
(x) =
v(x) se |v(x)| ≤ n,
0 se |v(x)| > n.
Logo, cada v
n
´e limitada e, portanto, pertence a E
M
. Por´em, a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes
positivas v
n
v converge em quase todo ponto para v
2
. Assim, pelo Teorema de Fatou-
Lebesgue,
0 = sup
n
T (v
n
) = sup
n
Ω
v
n
(x)v(x)dx ≥
Ω
v
2
(x)dx,
donde conclu´ımos que v = 0, o que ´e um absurdo pois T (u
0
) = 1.
Este “problema” pode ser contornado se considerarmos agora, ao inv´es do espa¸co L
∗
(M)
,
o dual do espa¸co E
(M)
(isto ´e, o espa¸co E
M
munido da norma de Luxemburgo), denotado
por E
∗
(M)
. Em outras palavras, considere imers˜ao isom´etrica
L
N
−→ E
∗
(M)
(2.16)
v −→ T
v
.
Temos o seguinte
Teorema 2.14 A imers˜ao (2.16) ´e sobrejetiva, ou seja, todo funcional T ∈ E
∗
(M)
´e dado
por (4.2).
Prova: Seja T ∈ E
∗
(M)
. Considere Σ = {U ⊆ Ω : U ´e mensur´avel }. Defina em Σ a
fun¸c˜ao
F : Σ −→ R
U −→ F (U) = T (κ(·, U)).
Por (2.12), temos que
|F (U)| ≤ T
∗
(M)
κ(·, U)
(M)
|U|→0
−→ 0,
47
donde, pelo Teorema de Radon-Nikodyn, podemos encontrar uma fun¸c˜ao v mensur´avel
tal que
F (U) =
U
v(x)dx.
Portanto se w ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel simples, isto ´e, assumindo um n´umero finito de
valores, vemos que
T (w) = T
α
i
κ(·, U
i
)
=
α
i
T (κ(·, U
i
))
=
α
i
F (U
i
) =
α
i
U
i
v(x)dx =
Ω
w(x)v(x)dx.
Tomando w ∈ L
∞
, temos tamb´em T (w) =
Ω
w(x)v(x)dx. Para tanto, ´e suficiente
observar que se w ´e essencialmente limitada, podemos tomar uma seq¨uˆencia (w
n
) de
fun¸c˜oes simples convergindo em quase todo ponto e em E
(M)
para w. Novamente, por
densidade de L
∞
em E
(M)
temos que para qualquer u ∈ E
(M)
,
T (u) =
Ω
u(x)v(x)dx.
Para concluir, falta-nos apenas mostrar que v ∈ L
N
(Ω). Sendo assim, tome u ∈ L
M
.
Como de costume, considere os truncamentos u
n
∈ L
∞
u
n
(x) =
u(x) se |u(x)| ≤ n
0 se |u(x)| > n
Logo, |u
n
v| → |uv| em quase todo ponto, e, pelo Teorema de Fatou-Lebesgue,
Ω
u(x)v(x)dx
≤ sup
n
Ω
|u
n
(x)v(x)|dx
=
= sup
n
|T (|u
n
|sgnv)| ≤ T
∗
M
sup
n
u
n
M
≤ T
∗
M
u
M
< ∞.
Portanto, v ∈ L
N
, como quer´ıamos demonstrar.
Finalmente, a Proposi¸c˜ao 2.13 e o Teorema 2.14, nos dizem que
L
∗
(M)
= L
N
⇔ M ∈ ∆
2
e analogamente,
L
∗
(N)
= L
M
⇔ N ∈ ∆
2
.
Portanto, temos de imediato o seguinte
Corol´ario 2.6 L
M
´e um espa¸co reflexivo se e somente se M ´e ∆-regular.
Prova: Segue imediatamente da Proposi¸c˜ao 2.13, do Teorema 2.14 e do Corol´ario 1.1.
48
Cap´ıtulo 3
Espa¸cos de Orlicz-Sobolev, imers˜oes
de Sobolev
Estudaremos neste cap´ıtulo os espa¸cos de Orlicz-Sobolev. Estes s˜ao obtidos a partir
dos espa¸cos de Orlicz, da mesma maneira em que obtemos os espa¸cos de Sobolev a partir
dos espa¸cos de Lebesgue. Come¸camos por definir e estudar as propriedades b´asicas
de tais espa¸cos e posteriormente exibindo imers˜oes dos espa¸cos de Orlicz-Sobolev em
espa¸cos de Orlicz. Tais imers˜oes tˆem o intuito de generalizar as conhecidas imers˜oes de
Sobolev e o Teorema de Rellich-Kondrachov (para o caso p ≤ n, onde n ´e a dimens˜ao
do espa¸co R
n
no qual Ω est´a contido. Ver [3], Se¸c˜ao IX.3). Ao final do cap´ıtulo
apresentamos um homeomorfismo entre dois espa¸cos de Orlicz-Sobolev gerados por N-
fun¸c˜oes complementares, que ser´a utilizado ao longo do cap´ıtulo 4.
3.1 Espa¸cos de Orlicz-Sobolev
Defini¸c˜ao 3.1 Dada M uma N-fun¸c˜ao, definimos o espa¸co de Orlicz-Sobolev W
1
L
M
(Ω)
como sendo o espa¸co vetorial
W
1
L
M
(Ω) =
u ∈ L
M
(Ω) :
existem f
1
, f
2
, · · · , f
n
∈ L
M
(Ω) tais que
Ω
u
∂φ
∂x
i
dx = −
Ω
f
i
φdx ∀φ ∈ C
∞
0
(Ω) ∀i = 1, · · ·, n
Se u ∈ W
1
L
M
ent˜ao tais f
i
s˜ao ´unicas, devido ao Lema IV.2 em [3]. Assim, denotemos
∂u
∂x
i
= f
i
e ∇u =
∂u
∂x
1
,
∂u
∂x
2
, · · · ,
∂u
∂x
n
.
A conhecida nota¸c˜ao n˜ao ´e por acaso.
´
E imediato verificar que uma fun¸c˜ao u ∈ W
1
L
M
que possua todas as derivadas parciais no sentido usual, verifica tamb´em a igualdade
49
∂u/∂x
i
= f
i
. Tais fun¸c˜oes f
i
s˜ao portanto chamadas de derivadas fracas da fun¸c˜ao u, o
que justifica tal nota¸c˜ao.
Observamos ainda que podemos identificar o espa¸co W
1
L
M
como um subespa¸co de
um produto cartesiano de L
M
, n + 1 vezes:
W
1
L
M
−→ L
M
× L
M
× · · · × L
M
≡
n+1
L
M
(3.1)
u −→ (u, ∇u)
Definimos ent˜ao duas normas em W
1
L
M
imediatamente atrav´es da defini¸c˜ao natural de
norma em
n+1
L
M
. Se u ∈ W
1
L
M
, sejam
u
W
1
L
M
= max
1≤i≤n
u
M
,
∂u
∂x
i
M
e
u
W
1
L
(M)
= max
1≤i≤n
u
(M)
,
∂u
∂x
i
(M)
Claramente, pelo Lema 2.5, as normas s˜ao equivalentes com
u
W
1
L
(M)
≤ u
W
1
L
M
≤ 2u
W
1
L
(M)
.
Teorema 3.1 W
1
L
M
´e um espa¸co de Banach.
Prova: Uma vez que (3.1) define uma imers˜ao isom´etrica, ´e suficiente mostrar que a
imagem de tal imers˜ao ´e fechada. Sendo assim, tomemos
(u
k
, ∇u
k
) → (u, u
1
, · · · , u
n
), quando k → ∞.
Nosso objetivo ´e mostrar que u
i
= ∂u/∂x
i
para cada i = 1, · · · , n. Como (u
k
, ∇u
k
)
converge em
n+1
L
M
para (u, u
1
, · · · , u
n
), ent˜ao u
k
→ u e ∂u
k
/∂x
i
→ u
i
em L
M
, para
cada i. Agora, fixado φ ∈ C
∞
0
, temos que φ, ∂φ/∂x
i
∈ L
N
,para cada i, onde N denota a
N-fun¸c˜ao complementar a M. Portanto
v −→
Ω
v(x)φ(x)dx e v −→
Ω
v(x)
∂φ
∂x
i
(x)dx
definem funcionais lineares cont´ınuos em L
M
. Consequentemente,
Ω
u
k
(x)
∂φ
∂x
i
(x)dx −→
Ω
u(x)
∂φ
∂x
i
(x)dx e
Ω
∂u
k
∂x
i
(x)φ(x)dx −→
Ω
u
i
(x)φ(x)dx.
Portanto, uma vez que
Ω
u
k
(x)
∂φ
∂x
i
(x)dx = −
Ω
∂u
k
∂x
i
(x)φ(x)dx,
conclu´ımos que
Ω
u(x)
∂φ
∂x
i
(x)dx = −
Ω
u
i
(x)φ(x)dx,
50
para cada i = 1, · · · , n. Portanto, como φ ´e arbitr´ario, temos, por defini¸c˜ao, que
u
i
= ∂u/∂x
i
, para cada i, como quer´ıamos demonstrar.
Em particular, vemos na demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1, que o espa¸co W
1
L
M
´e
subespa¸co fechado de
n+1
L
M
. Definimos tamb´em o espa¸co W
1
E
M
, de maneira an´aloga
`a Defini¸c˜ao 3.1. Assim, muitas das propriedades estudadas nos espa¸cos L
M
(E
M
) ser˜ao
facilmente verificadas para o espa¸co W
1
L
M
(W
1
E
M
). Podemos resum´ı-las no seguinte
Teorema 3.2
1. W
1
E
M
´e separ´avel;
2. W
1
L
M
= W
1
E
M
´e separ´avel se e somente se M ∈ ∆
2
;
3. Para cada T ∈ (W
1
E
M
)
∗
existem v
i
∈ L
N
, i = 0, · · · , n tais que
T (u) =
Ω
u(x)v
0
(x)dx +
n
i=1
Ω
∂u
∂x
i
(x)v
i
(x)dx;
4. W
1
L
M
´e reflexivo se e somente se M ´e ∆-regular.
Prova: O item 1 Segue do Teorema 2.11. J´a o item 2 ´e conseq¨uˆencia do Teorema 2.10 e do
Teorema 2.12. O Teorema 2.14 prova o item 3. Finalmente, o item 4 segue imediatamente
do Corol´ario 2.6.
3.2 Imers˜oes de Sobolev
Destinamos esta se¸c˜ao ao estudo de imers˜oes dos espa¸cos de Orlicz-Sobolev nos espa¸cos
de Orlicz. Com o objetivo de motivar tal estudo, fa¸camos um breve coment´ario a respeito
das imers˜oes de Sobolev. Mais detalhes podem ser vistos em [3], [1].
Considere W
1,p
(Ω) o espa¸co de Sobolev obtido a partir do espa¸co de Lebesgue L
p
(Ω).
Se Ω ⊂ R
n
´e limitado, de fronteira suave, com n ≥ 3, ent˜ao, para todo p < n temos que
W
1,p
(Ω) → L
p
∗
(Ω),
continuamente, onde p
∗
= np/(n − p) ´e chamado de expoente cr´ıtico de Sobolev. Al´em
disso, para todo q ∈ [1, p
∗
), temos que a imers˜ao
W
1,p
(Ω) → L
q
(Ω),
existe e ´e compacta.
51
Nosso intuito ´e generalizar este resultado para espa¸cos de Orlicz e espa¸cos de Orlicz-
Sobolev. Observe que, para cada p < n (ou cada N-fun¸c˜ao |t|
p
) constru´ımos um novo
expoente p
∗
> 1 (ou ent˜ao, uma nova N-fun¸c˜ao |t|
p
∗
) tal que as imers˜oes acima s˜ao
v´alidas. Seguindo esta id´eia, dada uma N-fun¸c˜ao M satisfazendo alguma propriedade,
iremos construir uma N-fun¸c˜ao M
∗
de forma que a imers˜ao
W
1
L
M
→ L
M
∗
existe e ´e cont´ınua. Al´em disso, veremos que qualquer N-fun¸c˜ao A crescendo estritamente
mais lento que M
∗
( tal ´e o caso da N-fun¸c˜ao |t|
q
, com 1 < q < p
∗
), em rela¸c˜ao `a N-fun¸c˜ao
|t|
p
∗
) ´e tal que a imers˜ao
W
1
L
M
→ L
A
existe e ´e compacta.
Lema 3.1 Seja M uma N-fun¸c˜ao satisfazendo
1
0
M
−1
(τ)
τ
1+1/n
dτ < ∞ (3.2)
∞
1
M
−1
(τ)
τ
1+1/n
dτ = ∞. (3.3)
ent˜ao a fun¸c˜ao M
−1
∗
: R
+
−→ R
+
dada por
M
−1
∗
(t) =
t
0
M
−1
(τ)
τ
1+1/n
dτ (3.4)
´e bijetiva e sua inversa M
∗
´e N-fun¸c˜ao.
Prova: Claramente, M
−1
∗
´e estritamente crescente, portanto injetiva. Tamb´em ´e
imediato verificar que M
−1
∗
(0) = 0. Al´em disso, observando a hip´otese (3.3), temos que
M
−1
∗
(t)rightarrow∞, quando t → ∞. Uma vez que esta fun¸c˜ao ´e tamb´em cont´ınua, por
defini¸c˜ao, temos que M
−1
∗
´e sobrejetiva. Sendo assim, fica bem definida a fun¸c˜ao inversa
M
∗
. Provemos que tal fun¸c˜ao ´e N-fun¸c˜ao (na verdade, a extens˜ao par de M
∗
para toda a
reta R ´e que ser´a a N-fun¸c˜ao desejada).
• M
∗
´e cont´ınua, estritamente crescente e M
∗
(0) = 0, imediatamente da defini¸c˜ao.
• M
∗
´e convexa. Para tanto, provemos que M
−1
∗
´e cˆoncava. Por defini¸c˜ao,
(M
−1
∗
)
(t) =
M
−1
(t)
t
1+1/n
.
Agora, dado s ≥ 0 e 0 ≤ α ≤ 1, temos,
M(αM
−1
(s)) ≤ αM(M
−1
(s)).
52
Portanto
αM
−1
(s) ≤ M
−1
(αs),
para qualquer s ≥ 0 e para todo 0 ≤ α ≤ 1. Supondo agora 0 < a ≤ b, ent˜ao
a/b ≤ 1 e tomando α = a/b e s = b, temos
M
−1
(a) ≥
a
b
M
−1
(b) ≥
a
b
1+1/n
M
−1
(b).
Logo,
(M
−1
∗
)
(a) =
M
−1
(a)
a
1+1/n
≥
M
−1
(b)
b
1+1/n
= (M
−1
∗
)
(b).
Portanto, (M
−1
∗
)
´e decrescente, provando que M
−1
∗
´e cˆoncava.
• Devemos provar que
lim
t→∞
M
∗
(t)
t
= ∞.
Para tanto, ´e suficiente verificar
lim
t→∞
M
−1
∗
(t)
t
= 0.
Portanto, pela regra de L’Hˆopital, temos
lim
t→∞
M
−1
∗
(t)
t
= lim
t→∞
M
−1
(t)
t
1+1/n
= lim
t→∞
M
−1
(t)
t
1
t
1/n
= 0.
• Temos finalmente que
lim
t→0
M
∗
(t)
t
= 0,
onde a demonstra¸c˜ao de tal fato ocorre de maneira completamente an´aloga `a feita
acima, utilizando a regra de L’Hˆopital.
Suponha que M(t) = |t|
p
, ent˜ao a inversa de M em R
+
´e dada por M
−1
(t) = t
1/p
.
Se M satisfaz as hip´oteses (3.2) e (3.3) ent˜ao ´e f´acil verificar que p ≤ n. Al´em disso,
calculando diretamente M
∗
vemos que M
∗
(t) = |t|
p
∗
, onde p
∗
´e o expoente cr´ıtico de
Sobolev, np/(n − p). Fazendo analogia `as imers˜oes de Sobolev, ´e natural ent˜ao esperar
que se M ´e uma N-fun¸c˜ao satisfazendo estas hip´oteses, ent˜ao h´a uma imers˜ao do espa¸co
W
1
L
M
em L
M
∗
. O pr´oximo teorema enuncia tal imers˜ao.
Teorema 3.3 Seja Ω limitado e admiss´ıvel
1
. Suponha que a N-fun¸c˜ao M satisfaz as
hip´oteses (3.2) e (3.3). Se M
∗
´e dada por (3.4), ent˜ao temos a imers˜ao cont´ınua
W
1
L
M
→ L
M
∗
.
1
Por admiss´ıvel, entendemos os dom´ınios em que ocorrem as imers˜oes de Sobolev
W
1,1
(Ω) → L
q
(Ω), com 1 ≤ q ≤ n/(n − 1).
53
Al´em disso, se Φ ´e N-fun¸c˜ao crescendo estritamente mais lento que M
∗
(vide Defini¸c˜ao
2.4) ent˜ao a imers˜ao
W
1
L
M
→ L
Φ
existe e ´e compacta.
Prova: Por defini¸c˜ao,
dM
−1
∗
ds
(s) =
M
−1
(s)
s
1+1/n
, ∀s > 0.
Logo, se t = M
−1
∗
(s), temos
dM
∗
dt
(t) =
1
dM
−1
∗
(s)/ds
=
s
1+1/n
M
−1
(s)
=
(M
∗
(t))
1+1/n
M
−1
(M
∗
(t))
.
Portanto, a N-fun¸c˜ao M
∗
satisfaz a equa¸c˜ao diferencial
M
−1
(M
∗
(t))
dM
∗
dt
(t) = (M
∗
(t))
1+1/n
. (3.5)
Considere N a N-fun¸c˜ao conjugada de M. Conseq¨uentemente, pela proposi¸c˜ao 1.2,
temos, para todo t, que
M
∗
(t) ≤ M
−1
(M
∗
(t))N
−1
(M
∗
(t)).
Logo, por (3.5), temos
M
−1
(M
∗
(t))
dM
∗
dt
(t) = M
∗
(t) (M
∗
(t))
1/n
≤ M
−1
(M
∗
(t)) (M
∗
(t))
1/n
N
−1
(M
∗
(t)),
donde conclu´ımos que
dM
∗
dt
(t) ≤ (M
∗
(t))
1/n
N
−1
(M
∗
(t)) ∀t ∈ R.
Definindo σ(t) = (M
∗
(t))
1−1/n
, vemos que
dσ
dt
(t) =
n − 1
n
M
−1/n
∗
(t)
dM
∗
dt
(t)
≤
n − 1
n
M
−1/n
∗
(t)M
1/n
∗
(t)N
−1
(M
∗
(t))
=
n − 1
n
N
−1
(σ(t))
n/(n−1)
(3.6)
Suponha inicialmente que u ∈ W
1
L
M
∩ L
∞
, u = 0. Se f(λ) =
Ω
M
∗
[u(x)/λ]dx ent˜ao f
est´a bem definida para toda a reta, ´e cont´ınua e tal que f(λ) → 0 e f(λ) → ∞, quando
λ → ∞. conseq¨uentemente, existe K > 0 tal que f(K) = 1. Portanto K = u
(M
∗
)
e
Ω
M
∗
u(x)
K
= 1. (3.7)
54
Tome f(x) = σ(|u(x)|/K). Como estamos supondo u essencialmente limitada, temos, por
(3.6) que σ ´e fun¸c˜ao lipchitziana na imagem de |u|/K. Al´em disso, u ∈ W
1,1
(Ω), pois
u ∈ L
M
, ∂u/∂x
i
∈ L
M
para todo i = 1, · · · , n e L
M
→ L
1
, pelo Teorema 2.4. Assim, a
fun¸c˜ao composta f = σ ◦ (|u|/K) est´a em W
1,1
(Ω) e, pela regra da cadeia,
∂f
∂x
i
(x) = σ
|u(x)|
K
1
K
sgnu(x)
∂u
∂x
i
(x).
Agora, pelo Teorema de imers˜ao de Sobolev, (ver [3]), temos W
1,1
(Ω) → L
n/(n−1)
(Ω) e
portanto,
f
n/(n−1)
≤ C
1
n
j=1
∂f
∂x
j
1
+ f
1
(3.8)
= C
1
1
K
n
j=1
Ω
σ
|u(x)|
K
∂u
∂x
j
(x)
dx +
Ω
σ
|u(x)|
K
dx
.
Sendo assim, por (3.7), (3.8) e pela desigualdade de H¨older em (2.11), temos
1 =
Ω
M
∗
|u(x)|
K
dx
(n−1)/n
=
Ω
σ
|u(x)|
K
n/(n−1)
dx
(n−1)/n
= f
n/(n−1)
≤
2C
1
K
n
j=1
σ
|u|
K
(N)
∂u
∂x
j
(M)
+C
1
Ω
σ
|u(x)|
K
dx. (3.9)
Por (3.6),
σ
|u|
K
(N)
≤
n − 1
n
N
−1
σ
|u|
K
n/(n−1)
(N)
=
n − 1
n
inf
λ > 0 :
Ω
N
N
−1
[M
∗
(|u(x)|/K)]
λ
dx ≤ 1
.
Por´em, se λ > 1, ent˜ao, novamente por (3.7),
Ω
N
N
−1
[M
∗
(|u(x)|/K)]
λ
dx ≤
1
λ
Ω
N
N
−1
M
∗
|u(x)|
K
dx
=
1
λ
< 1.
Portanto,
inf
λ > 0 :
Ω
N
N
−1
[M
∗
(|u(x)|/K)]
λ
dx ≤ 1
≤ 1,
55
donde temos que
σ
|u|
K
(N)
≤
n − 1
n
. (3.10)
Sejam g(t) = M
∗
(t)/t e h(t) = σ(t)/t. Portanto,
lim
t→∞
g(t)
h(t)
= lim
t→∞
M
∗
(t)
σ(t)
= lim
t→∞
M
∗
(t)
1/n
= ∞.
Assim, tomemos t
0
> 0 tal que
h(t) ≤
g(t)
2C
1
, ∀ t ≥ t
0
.
Al´em disso, uma vez que h ´e limitada em intervalos limitados, tomando
C
2
= C
1
sup
[0,t
0
]
h(t), temos, para cada t ≥ t
0
,
σ(t) = h(t)t ≤
1
2C
1
g(t)t =
1
2C
1
M
∗
(t)
e para cada 0 ≤ t ≤ t
0
,
σ(t) = h(t)t ≤
C
2
C
1
t.
Portanto,
σ(t) ≤
1
2C
1
M
∗
(t) +
C
2
C
1
t, ∀ t ≥ 0.
Conseq¨uentemente, utilizando (3.7) e a desigualdade de H¨older, temos
C
1
Ω
σ
|u(x)|
K
dx ≤
1
2
Ω
M
∗
|u(x)|
K
dx + C
2
Ω
|u(x)|
K
dx
≤
1
2
+
C
3
K
u
(M)
, (3.11)
onde C
3
= 2C
2
1
(N)
.
Combinando agora (3.9), (3.10) e (3.11), vemos que
1 ≤
2C
1
K
n − 1
n
n
j=1
∂u
∂x
j
(M)
+
1
2
+
C
3
K
u
(
M).
Portanto,
1
2
≤
2C
1
K
n − 1
n
n max
1≤i≤n
u
(M)
,
∂u
∂x
i
(M)
+
C
3
K
max
1≤i≤n
u
(M)
,
∂u
∂x
i
(M)
,
ou seja,
u
(M
∗
)
≤ Cu
W
1
L
(M)
,
56
onde C = 4C
1
(n − 1) + 2C
3
.
Provamos assim que a imers˜ao requerida ´e v´alida para qualquer u ∈ W
1
L
M
essencialmente limitada. Suponha agora que u ∈ W
1
L
M
. Defina, para cada k ∈ N,
o truncamento
u
k
(x) =
|u(x)| se |u(x)| ≤ k,
k se |u(x)| > k.
Claramente, u
k
∈ W
1
L
M
∩ L
∞
e
∂u
k
∂x
j
=
∂u
∂x
j
(x) se |u(x)| ≤ k,
0 se |u(x)| > k.
Al´em disso, se k
1
≤ k
2
ent˜ao
u
k
1
(M
∗
)
≤ u
k
2
(M
∗
)
.
Mais ainda, (u
k
(M
∗
)
) forma uma seq¨uˆencia limitada, pois
u
k
(M
∗
)
≤ Cu
k
W
1
L
(M)
≤ Cu
W
1
L
(M)
.
Portanto,
K ≡ lim
k→∞
u
k
(M
∗
)
≤ Cu
W
1
L
(M)
.
Finalmente, uma vez que u
k
(x)/K → |u(x)|/K para todo x, temos que M
∗
(u
k
(x)/K) →
M
∗
(|u(x)|/K), e, pelo Teorema de Fatou-Lebesgue,
Ω
M
∗
u(x)
K
dx ≤ sup
k
Ω
M
∗
u
k
(x)
K
dx ≤ 1,
ou seja,
u
(M
∗
)
≤ K ≤ Cu
W
1
L
(M)
,
concluindo que
W
1
L
M
→ L
(M
∗
)
.
Suponha agora que Φ ≺≺ M
∗
. Conseq¨uentemente, L
M
∗
→ L
Φ
, pelo Teorema 2.7.
Portanto, W
1
L
M
→ L
Φ
. Provemos que tal imers˜ao ´e compacta. De fato, dado S
limitado em W
1
L
M
, como a imers˜ao W
1
L
M
→ L
(M
∗
)
´e cont´ınua, temos que S ´e limitado
em L
M
∗
. Al´em disso, W
1
L
M
→ W
1,1
, continuamente. Mais ainda, pelo Teorema de
Rellich-Kondrachov, W
1,1
→ L
1
compactamente. Assim W
1
L
M
→ L
1
, compactamente.
Portanto
S
´e pr´e-compacto em
L
1
. Ora, pelo Corol´ario 2.4, temos que
S
´e tamb´em
pr´e-compacto em L
Φ
, concluindo a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.3.
Observa¸c˜ao 3.1 De acordo com [9] as imers˜oes estabelecidas no Teorema 3.3 ser˜ao
´otimas (no sentido de que o espa¸co L
M
∗
´e o menor espa¸co de Orlicz no qual o espa¸co
W
1
L
M
est´a imerso) sempre que a N-fun¸c˜ao M ´e dominada por uma fun¸c˜ao polinomial
|t|
p
para algum p < n. Em [1], p´ag. 277, verifica-se que tal imers˜ao n˜ao ´e ´otima, quando,
por exemplo, M(t) = |t|
n
.
57
Defini¸c˜ao 3.2 Sejam Φ e Ψ duas N-fun¸c˜oes ∆-regulares. Ent˜ao (Φ, Ψ) formam um par
cr´ıtico de Orlicz se existe M uma N-fun¸c˜ao ∆-regular tal que, se N denota a N-fun¸c˜ao
complementar a M, ent˜ao as imers˜oes
W
1
L
M
→ L
Φ
e W
1
L
N
→ L
Ψ
existem e s˜ao ´otimas.
Temos, por exemplo, que se Φ(t) = |t|
r
, com 1 < r < n ent˜ao p = rn/(n + r) ´e tal que
p
∗
= r e sendo q = p/(p − 1), tomemos s = q
∗
. Assim, temos que (Φ, Ψ) formam um par
critico de Orlicz, onde Ψ(t) = |t|
s
. Um exemplo diferente dos espa¸cos de Leb esgue pode
ser visto em [5] e s˜ao N-fun¸c˜oes dadas p or
Φ
1
(
s
) =
cs
p+1
(ln
s
)
α
,
com
c
≥
0 e
p
+ 1
>
n
n − 2
e
Ψ
1
= ds
q+1
(lns)
−α
q+1
p+1
,
onde
1
p + 1
+
1
q + 1
= 1 −
2
n
.
O pr´oximo resultado destina-se a dar condi¸c˜oes para existˆencia de pares cr´ıticos de
Orlicz.
Teorema 3.4 Seja M uma N-fun¸c˜ao e seja p a sua derivada `a direita. Suponha que M
´e θ-regular, com
lim
s→∞
p(s)s
M(s)
= θ
M
, θ
M
∈ (2, n). (3.12)
Ent˜ao (M
∗
, N
∗
) forma um par cr´ıtico de Orlicz, onde N denota a N-fun¸c˜ao complementar
a M. Al´em disso, temos que M
∗
e N
∗
s˜ao θ-regulares e satisfazem
1. θ
M
∗
≡ lim
s→∞
sM
∗
(s)
M
∗
(s)
>
n
n − 2
e
2.
1
θ
M
∗
+
1
θ
N
∗
= 1 −
2
n
.
Prova: A hip´otese (3.12) expressa o fato de que M ´e θ-regular, com 2 < θ
M
< n.
Primeiramente, temos que provar que a imers˜ao
W
1
L
M
→ L
M
∗
´e ´otima. Para tanto, precisamos verificar que M ´e dominada por alguma fun¸c˜ao |t|
p
, com
p < n. De fato, de (3.12), temos que, dado ε > 0 existe s
0
> 0 tal que
p(s)
M(s)
≤
θ
M
+ ε
s
, ∀ s ≥ s
0
.
58
Portanto, integrando ambos os lados, obtemos, para cada s > s
0
,
s
s
0
p(ξ)
M(ξ)
dξ ≤ (θ
M
+ ε)
s
s
0
1
ξ
dξ,
ou seja,
ln
M(s)
M(s
0
)
≤ ln
s
s
0
θ+ε
.
Logo, provamos que dado ε > 0, existem K
ε
e s
ε
constantes positivas tais que, se s > s
ε
,
ent˜ao
M(s) ≤ K
ε
s
θ
M
+ε
. (3.13)
Portanto, tomemos ε suficientemente pequeno afim de θ
M
+ ε < n. Dessa forma M
torna-se uma N-fun¸c˜ao dominada por |t|
θ
M
+ε
, concluindo a otimalidade da imers˜ao.
Sejam
M ≡ M
−1
e p a derivada `a esquerda de
M. Um simples c´alculo nos leva a
concluir que
lim
t→∞
tp(t)
M(t)
=
1
θ
M
.
Observe ainda que
M
−1
∗
(s) =
M(s)/s
1+1/n
. Da´ı, utilizando a regra de L’Hˆopital, temos
lim
s→∞
s
M
−1
∗
(s)
M
−1
∗
(s)
= lim
s→∞
M(s)s
−1/n
M
−1
∗
(s)
= lim
s→∞
p(s)s
−1/n
− (1/n)s
−1/n−1
M(s)
M(s)/s
1+1/n
= lim
s→∞
sp(s)
M(s)
−
1
n
=
n − θ
M
nθ
M
. (3.14)
Portanto, M
∗
´e θ-regular com θ
M
∗
= nθ
M
/(n − θ
M
) > n/(n − 2), provando a afirma¸c˜ao
1 deste teorema. Agora, para provarmos que N
∗
´e θ-regular, ´e suficiente verificar que N
´e θ-regular e o resultado segue de maneira completamente an´aloga `a feita acima. Seja
ent˜ao q a derivada `a direita da N-fun¸c˜ao N. Tomando s = p(t) temos ent˜ao que t → ∞
se e somente se s → ∞ e, portanto,
1
θ
M
= lim
t→∞
M(t)
tp(t)
= lim
t→∞
st − N(s)
st
= 1 − lim
t→∞
N(s)
sq(s)
.
Logo,
1
θ
N
= lim
t→∞
sq(s)
N(s)
= 1 −
1
θ
M
=
θ
M
− 1
θ
M
.
Conseq¨uentemente, da mesma forma que derivamos (3.14), podemos concluir que N
∗
´e
tamb´em θ-regular e
θ
N
∗
=
nθ
N
n − θ
N
.
59
Al´em disso, uma vez que θ
N
= θ
M
/(θ
M
− 1), temos que θ
N
< n, e, analogamente a (3.13),
conclu´ımos que N ´e N-fun¸c˜ao dominada por |t|
p
, para algum p < n. Assim, a imers˜ao
W
1
L
N
→ L
N
∗
´e tamb´em ´otima.
Para provar a afirma¸c˜ao 2, observamos que
1
θ
M
∗
+
1
θ
N
∗
=
n − θ
M
nθ
M
+
n − θ
N
nθ
N
=
1
θ
M
+
1
θ
N
−
2
n
= 1 −
2
n
.
3.3 O espa¸co W
1
0
L
M
Da mesma forma em que definimos os espa¸cos W
1,p
0
(Ω), podemos definir o espa¸co
W
1
0
L
M
, sendo o fecho na norma ·
W
1
L
(M)
do espa¸co C
∞
0
(Ω). Na simbologia matem´atica
usual,
W
1
0
L
M
(Ω) = C
∞
0
(Ω)
·
W
1
L
(M)
.
Analogamente, poder´ıamos definir o espa¸co W
1
0
E
M
. Por´em, ´e imediato verificar que
dada qualquer
M
N-fun¸c˜ao, teremos sempre
W
1
0
E
M
=
W
1
0
L
M
. Com efeito, suponha que
u ∈ W
1
0
L
M
. Conseq¨uentemente, existe (u
k
) em C
∞
0
tal que u
k
→ u em W
1
L
(M)
. Isto
implica que u
k
→ u e ∂u
k
/∂x
i
→ ∂u/∂x
i
, em L
(M)
, para cada i = 1, · · · , n. Logo,
u, ∂u/∂x
1
, · · · , ∂u/∂x
n
∈ E
M
, por defini¸c˜ao do espa¸co E
M
. Portanto, u ∈ W
1
0
E
M
, como
quer´ıamos demonstrar.
Continuando as analogias dos espa¸cos de Orlicz-Sobolev com os espa¸cos de Sobolev,
nos perguntamos se ´e poss´ıvel derivar uma desigualdade de Poincar´e para os espa¸cos
W
1
0
L
M
, obtendo assim uma nova norma neste espa¸co, que, devido a esta desigualdade,
ser´a equivalente `as normas definidas no in´ıcio deste cap´ıtulo, e ´e dada por
u
1,(M)
= ∇u
(M)
. (3.15)
Tal desigualdade de fato ocorre e ´e apresentada e demonstrada no pr´oximo teorema
(vide [11], Se¸c˜ao 2.4).
Teorema 3.5 Existe uma constante c > 0 tal que
u
(M)
≤ c
n
i=1
∂u
∂x
i
(M)
,
para todo u ∈ W
1
0
L
M
(Ω).
60
Prova: Suponha que |Ω| = d. Provemos inicialmente que
Ω
M(u(x))dx ≤
Ω
M
2d
∂u
∂x
1
, ∀ u ∈ w
1
0
L
M
. (3.16)
Com efeito. Admita inicialmente u ∈ C
∞
0
(Ω). Ent˜ao, pela desigualdade de Jenssen (vide
Teorema 4.3.3.1 em [10]),
M(u(x
1
, x
2
, · · ·, x
n
)) = M
x
1
−∞
∂u
∂x
1
(ξ, x
2
, · · ·, x
n
)dξ
= M
x
1
−∞
d
d
∂u
∂x
1
(ξ, x
2
, · · ·, x
n
)dξ
≤
1
d
∞
−∞
M
d
∂u
∂x
1
(ξ, x
2
, · · ·, x
n
)
dξ.
Integrando ambos os lados da equa¸c˜ao acima sobre Ω, temos portanto,
Ω
M(u(x))dx ≤
Ω
M
d
∂u
∂x
1
(x)
dx. (3.17)
Claramente, (3.17) torna-se tamb´em v´alido para toda u ∈ W
1
0
L
M
, cujo suporte suppu
´e compacto em Ω. Portanto, tomando agora u ∈ W
1
0
L
M
, consideremos o aberto Ω
1
contendo
¯
Ω, de diˆametro 2d, e estendemos u para todo este aberto, impondo u = 0 em
Ω
1
\ Ω. Conseq¨uentemente, u ∈ W
1
0
L
M
(Ω
1
) e suppu ´e compacto em Ω
1
. Portanto, por
(3.17) podemos escrever
Ω
M(u(x))dx =
Ω
1
M(u(x))dx ≤
Ω
1
M
2d
∂u
∂x
1
dx =
Ω
M
2d
∂u
∂x
1
dx,
provando a validade de (3.16).
Obviamente, todo o processo na demonstra¸c˜ao de (3.16) pode ser feito analogamente
para todas as outras derivadas parciais de u. Com isso, derivamos facilmente a
desigualdade de Poincar´e. De fato, se u ∈ W
1
0
L
M
ent˜ao
u/(2d∂u/∂x
i
(M)
) ≡ ˜u
i
∈ W
1
0
L
M
.
Portanto, por (3.16),
Ω
M(˜u
i
(x))dx ≤
Ω
M
2d
∂u/∂x
i
2d∂u(x)/∂x
i
(M)
dx ≤ 1, ∀i = 1, · · ·, n
Logo,
Ω
M
u(x)
2d∂u/∂x
i
(M)
dx ≤ 1, ∀i = 1, · · ·, n
ou, equivalentemente,
u
(M)
≤ 2d
∂u
∂x
i
(M)
, ∀i = 1, · · ·, n,
61
demonstrando o teorema.
Podemos definir ent˜ao uma nova norma em W
1
0
L
M
, dada por (3.15), que, devido ao
Teorema 3.5, ´e equivalente `as normas do espa¸co W
1
L
M
. Conv´em observar que a fun¸c˜ao
dada em (3.15) ´e de fato uma norma apenas em W
1
0
L
M
, uma vez que ∇u
(M)
= 0
implica que ∇u = 0, ou seja, u ≡ cte. Portanto, em W
1
0
L
M
, u = 0. Denotaremos o
espa¸co (W
1
0
L
M
, ·
1,(M)
) por W
1
0
L
(M)
.
Na mesma forma em que definimos a norma de Orlicz para uma fun¸c˜ao em um espa¸co
de Orlicz - ver (2.5) - podemos definir uma outra norma no espa¸co W
1
0
L
M
. Considere N
a N-fun¸c˜ao complementar a M. Defina assim,
u
1,M
= sup
Ω
∇u(x)∇v(x)dx : v ∈ W
1
0
L
(N)
, v
1,(N)
≤ 1
. (3.18)
ou equivalentemente,
u
1,M
= sup
Ω
∇u(x)∇v(x)dx
: v ∈ W
1
0
L
(N)
, v
1,(N)
≤ 1
.
·
1,(M)
e ·
1,M
, s˜ao normas equivalentes e, de acordo com o Lema 2.5, temos
·
1,(M)
≤ ·
1,M
≤ 2 ·
1,(M)
.
Denotaremos o espa¸co (W
1
0
L
M
, ·
1,M
) simplesmente por W
1
0
L
M
.
Conv´em observar tamb´em que o supremo do lado direito da equa¸c˜ao (3.18) pode ser
tomado na esfera de raio 1 em W
1
0
L
(N)
, que denotaremos por S
1
(W
1
0
L
(N)
). De fato, se
v ∈ W
1
0
L
(N)
com 0 < v
1,(N)
< 1, tomemos v
= v/v
1,(N)
. Assim v
1,(N)
= 1 e, se
u ∈ W
1
0
L
M
,
Ω
∇u(x)∇v
(x)dx
=
1
v
1,(N)
Ω
∇u(x)∇v(x)dx
>
Ω
∇u(x)∇v(x)dx
.
Suponha agora que M ´e uma N-fun¸c˜ao ∆-regular. Assim, pelo Teorema 3.2, item 4,
temos que W
1
0
L
M
e W
1
0
L
(N)
s˜ao reflexivos. Mais ainda, p elo Teorema 2, p´agina 297, em
[17], podemos supor que ambos os espa¸cos s˜ao uniformemente convexos (p´ag 51 em [3]).
Com a ajuda das duas normas vistas acima, podemos definir a seguinte fun¸c˜ao
: W
1
0
L
M
\ {0} −→ S
1
(W
1
0
L
(N)
) (3.19)
u −→ u,
onde u ´e tal que u
1,M
=
Ω
∇u(x)∇u(x)dx. De fato, provemos que tal fun¸c˜ao est´a bem
definida.
62
Existˆencia: Provemos que dado u ∈ W
1
0
L
M
, u = 0, existe tal u.
Por defini¸c˜ao,
u
1,M
= sup
Ω
∇u(x)∇w(x)dx : w ∈ W
1
0
L
(N)
e w
1,(N)
= 1
.
Assim, tomando (v
n
) seq¨uˆencia maximizante em
Ω
∇u(x)∇v(x)dx : v ∈ W
1
0
L
(N)
e v
1,(N)
= 1
temos que v
n
1,(N)
= 1 e sendo W
1
0
L
(N)
um espa¸co de Banach reflexivo, passando `a
subseq¨uˆencia se necess´ario, podemos assumir que v
n
v em W
1
0
L
(N)
. Assim,
v
1,(N)
≤ lim inf
n→∞
v
n
1,(N)
= 1.
Como v
n
v, temos
Ω
∇u(x)∇v
n
(x)dx →
Ω
∇u(x)∇v(x)dx,
pois T
u
(v) :=
Ω
∇u(x)∇v(x)dx ´e um funcional linear em
W
1
0
L
(N)
∗
. Mas, pela escolha
de (v
n
),
Ω
∇u(x)∇v
n
(x)dx → u
1,M
.
Portanto,
u
1,M
=
Ω
∇u(x)∇v(x)dx.
Temos que provar ainda que v
1,(N)
= 1. Raciocinamos por absurdo, supondo que
v
1,(N)
< 1. Tomando v
= v/ v
1,(N)
ent˜ao v
1,(N)
= 1 e
u
1,M
≥
Ω
∇u(x)∇v
(x)dx =
1
v
1,(N)
Ω
∇u(x)∇v(x)dx > u
1,M
,
o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Unicidade: Utilizando o fato de que W
1
0
L
(N)
´e uniformemente convexo, mostremos que
u ´e ´unico. Com efeito, suponha que existem v, w ∈ S
1
(W
1
0
L
(N)
) tais que v = w e
Ω
∇u(x)∇v(x)dx =
Ω
∇u(x)∇w(x)dx = u
1,M
.
Portanto, temos tamb´em que v = −w. Conseq¨uentemente, uma vez que W
1
0
L
(N)
´e suposto
uniformemente convexo, vemos que
0 <
v + w
2
1,(N)
< 1.
63
Sendo assim, defina ρ ≡ 2/v + w
1,(N)
> 1. Logo,
u
1,M
≥
Ω
∇u(x)∇
v + w
v + w
1,(N)
(x)dx
= ρ
Ω
∇u(x)∇
v + w
2
(x)dx
= ρ
1
2
Ω
∇u(x)∇v(x)dx +
1
2
Ω
∇u(x)∇w(x)dx
= ρu
1,M
> u
1,M
,
o que ´e imposs´ıvel.
A fun¸c˜ao em (3.19) simplesmente nos diz que para cada u em W
1
0
L
M
, existe uma
´unica fun¸c˜ao u em S
1
(W
1
0
L
(N)
) que atinge a norma (3.18). Observe que a reflexividade
de W
1
0
L
M
foi essencial para a existˆencia de u e a convexidade uniforme de W
1
0
L
(N)
foi
fundamental para a unicidade desta mesma fun¸c˜ao.
Introduzimos agora a fun¸c˜ao til que ser´a utilizada ao longo do cap´ıtulo 4. Defina
∼ : W
1
0
L
M
−→ W
1
0
L
(N)
(3.20)
u −→ u,
onde u ´e tal que u
1,(N)
= u
1,M
e
Ω
∇u(x)∇u(x)dx = u
2
1,M
.
Lema 3.2 A fun¸c˜ao til dada em (3.20) ´e um homeomorfismo homogˆeneo.
Prova: Utilizaremos os resultados obtidos sobre a fun¸c˜ao em (3.19). Provemos
primeiramente que u existe. Claramente se u = 0 ent˜ao u = 0 e reciprocamente. Tomemos
ent˜ao u = 0. Seja portanto u de acordo com (3.19). Defina ent˜ao u = u
1,M
u. Logo,
u
1,(N)
= u
1,M
e
Ω
∇u(x)∇u(x)dx = u
1,M
Ω
∇u(x)∇u(x)dx = u
2
1,M
.
Provemos a unicidade de u. Tomemos v ∈ W
1
0
L
(N)
tal que v
1,(N)
= u
1,M
e
Ω
∇(x)u∇v(x)dx = u
2
1,M
. Portanto,
v
u
1,M
1,(N)
= 1 e
Ω
∇u(x)∇
v
u
1,M
(x)dx = u
1,M
.
Portanto, pela unicidade de u, temos que v/u
1,M
= u, ou seja, v = u.
Verifiquemos agora que a fun¸c˜ao til ´e cont´ınua. Claramente, ∼ ´e cont´ınua na origem,
pois se u
k
→ 0 em W
1
0
L
M
ent˜ao u
k
1,M
→ 0 e conseq¨uentemente, u
k
1,(N)
→ 0.
Logo, u
k
→ 0 em W
1
0
L
(N)
. Agora, se u = 0 tomemos u
k
→ u em W
1
0
L
M
. Da´ı, temos
que u
k
1,(N)
= u
k
1,M
→ u
1,M
= u
1,(N)
. Em particular, ( u
k
1,(N)
) forma uma
seq¨uˆencia limitada e, sendo W
1
0
L
(N)
reflexivo, podemos tomar uma subseq¨uˆencia tal que
64
u
k
v ∈ W
1
0
L
(N)
. Por´em, para tal subseq¨uˆencia, temos tamb´em u
k
1,(N)
→ u
1,(N)
.
Como W
1
0
L
(N)
´e uniformemente convexo, conclu´ımos que u
k
→ v em W
1
0
L
(N)
. Resta-nos
ent˜ao mostrar que u = v. Do fato de u
k
convergir fracamente para v, temos que
Ω
∇u
k
(x)∇u
k
(x)dx →
Ω
∇u(x)∇v(x)dx.
Por´em,
Ω
∇u
k
(x)∇u
k
(x)dx = u
k
1,M
u
k
1,(N)
.
Como temos que u
k
1,M
u
k
1,(N)
→ u
1,M
u
1,(N)
, conclu´ımos, portanto,
Ω
∇u(x)∇v(x)dx = u
1,M
u
1,(N)
.
Al´em disso, temos v
1,(N)
≤ lim inf u
k
1,(N)
= u
1,(N)
, donde, supondo, por absurdo,
que v
1,(N)
< u
1,(N)
, chegamos a uma contradi¸c˜ao an´aloga `a estabelecida na prova da
existˆencia de u, e assim, podemos concluir que v
1,(N)
= u
1,(N)
. Pela unicidade de u,
temos u = v, provando a continuidade da fun¸c˜ao.
Provemos que ∼ ´e homogˆenea. Seja ρ ∈ R e u ∈ W
1
0
L
M
. Assim,
Ω
∇(ρu(x))∇(ρu(x))dx = ρ
2
Ω
∇u(x)∇u(x)dx = ρ
2
u
2
1,M
= ρu
2
1,M
e
ρu
1,(N)
= |ρ|u
1,(N)
= |ρ|u
1,M
= ρu
1,M
,
donde conclu´ımos que ρu = ρu.
Provemos a injetividade. Suponha ent˜ao que u, v ∈ W
1
0
L
M
, u = v. Observe
que se u = λv ent˜ao u = λv, donde tamb´em ter´ıamos u = v. Agora se tiv´essemos
u
1,M
= v
1,M
, ent˜ao tamb´em ter´ıamos u
1,(N)
= v
1,(N)
. Portanto, consideremos
apenas u = v tais que u
1,M
= v
1,M
. Assim, sabemos ent˜ao que u
1,(N)
= v
1,(N)
.
Suponha, por absurdo, que u = v. Temos ent˜ao,
Ω
∇
u(x)
2u
1,M
∇
u(x)
u
1,(N)
dx =
1
2
e, similarmente,
Ω
∇
v(x)
2v
1,M
∇
v(x)
v
1,(N)
dx =
1
2
.
Somando estas duas equa¸c˜oes, como u = v, temos
Ω
∇
u(x) + v(x)
2u
1,M
∇
u(x)
u
1,(N)
dx = 1.
Conseq¨uentemente,
u + v
2u
1,M
1,M
≥ 1,
65
ou seja, conclu´ımos que
u + v
1,M
= u
1,M
+ v
1,M
. (3.21)
Provemos ent˜ao que (3.21) ´e imposs´ıvel, levando a uma contradi¸c˜ao. De fato, se tal
igualdade fosse v´alida, ter´ıamos
u/u
1,M
+ v/v
1,M
2
1,M
= 1,
o que ´e um absurdo, pois em um espa¸co uniformemente convexo, se v = w = 1 e
v = w, ent˜ao (v + w)/2 < 1.
Agora, verifiquemos tamb´em que ∼ ´e sobrejetiva.
Seja v ∈ W
1
0
L
(N)
. Queremos encontrar u ∈ W
1
0
L
M
tal que
Ω
∇u(x)∇v(x)dx =
v
2
1,(N)
e u
1,M
= v
1,(N)
. Consideremos o conjunto
A
v
≡
Ω
∇w(x)∇v(x)dx : w ∈ W
1
0
L
M
and w
1,M
= v
1,(N)
.
Temos que sup A
v
= v
2
1,(N)
. Seja (u
n
) uma seq¨uˆencia maximizante para A
v
, isto ´e,
u
n
1,M
= v
1,(N)
e
lim
n→∞
Ω
∇u
n
(x)∇v(x)dx = sup A
v
.
Por causa da reflexividade de W
1
0
L
M
, p odemos supor que (u
n
) converge fracamente para
u ∈ W
1
0
L
M
(para alguma subseq¨uˆencia). Assim, vemos que
lim
n→∞
Ω
∇u
n
(x)∇v(x)dx =
Ω
∇u(x)∇v(x)dx.
logo,
Ω
∇u(x)∇v(x)dx = sup A
v
= v
2
1,(N)
.
Falta-nos provar que u
1,M
= v
1,(N)
. Mas isto ´e claro, pois, por um lado, temos
u
1,M
≤ lim inf u
n
1,M
= v
1,(N)
e por outro, vemos que
v
2
1,(N)
=
Ω
∇u(x)∇v(x)dx ≤ u
1,M
v
1,(N)
.
Final
Cap´ıtulo 4
Sistemas hamiltonianos
4.1 Introdu¸c˜ao
Aplicamos agora a teoria estudada nos cap´ıtulos anteriores a fim de discutir existˆencia
de solu¸c˜oes fracas para a seguinte classe de sistemas hamiltonianos superlineares:
−∆u = g(v) em Ω,
−∆v = f(u) em Ω,
u = 0, v = 0 sobre ∂Ω,
(4.1)
onde Ω ´e um subconjunto aberto de R
n
, com n ≥ 3, com fronteira ∂Ω suave.
Denotemos F e G como as fun¸c˜oes primitivas de f e g, respectivamente. Em [4],
considera-se o funcional associado ao sistema definido no espa¸co H
1
0
(Ω) × H
1
0
(Ω). Assim,
torna-se necess´ario impor que as fun¸c˜oes F e G p ossuam crescimento menor ou equivalente
a |s|
2
∗
, onde 2
∗
designa o expoente cr´ıtico de Sobolev 2n/(n − 2).
Tal condi¸c˜ao de crescimento polinomial pode ainda ser melhorada. Em [6, 12] utiliza-
se uma configura¸c˜ao menos usual, os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria, obtendo-se
com isto um crescimento mais abrangente, onde pode-se permitir que F e G possuam
crescimentos cr´ıticos dados por |s|
p+1
e |s|
q+1
, onde 1/(p + 1) + 1/(q + 1) = 1 − 2/n . Por
exemplo, podemos supor que F tenha crescimento maior que |s|
2
∗
desde que compensemos
proporcionalmente no crescimento de G. Esta proporcionalidade ´e dada pela equa¸c˜ao da
hip´erbole cr´ıtica, vista acima.
O que fazemos neste cap´ıtulo ´e adequar o funcional associado a um produto de espa¸cos
de Orlicz-Sob olev apropriados. Al´em de evitarmos trabalhar em espa¸cos de Sobolev
fracion´arios, podemos permitir, com esta proposta, crescimentos n˜ao necessariamente
polinomiais para as fun¸c˜oes F e G, e, com isso, atrav´es de um m´etodo variacional,
67
obtermos solu¸c˜oes fracas para o sistema (4.1). Esta abordagem via espa¸cos de Orlicz-
Sobolev foi prop osta em [5]. Quest˜oes como regularidade e positividade de tais solu¸c˜oes
foram ignoradas, pois o que pretendemos aqui ´e expor t´ecnicas variacionais utilizando a
teoria estudada ao longo deste trabalho. Provamos, portanto, o seguinte teorema devido
a [5]:
Teorema 4.1 Suponha que F e G satisfa¸cam as condi¸c˜oes (H
1
) − (H
3
) adiante. Ent˜ao
o sistema (4.1) possui uma solu¸c˜ao fraca n˜ao trivial.
4.2 O m´etodo variacional
Utilizamos uma t´ecnica minimax, o teorema do passo da montanha generalizado (vide
Apˆendice), a fim de discutir existˆencia de solu¸c˜oes (no sentido fraco) ao sistema (4.1).
Isto ´e feito associando a este sistema um funcional definido num espa¸co de fun¸c˜oes
adequado, cujos pontos cr´ıticos a serem encontrados determinam solu¸c˜oes do sistema.
O Teorema do passo da montanha entra ent˜ao como ferramenta para a busca de tais
pontos cr´ıticos. Come¸camos por definir o funcional associado, impondo as hip´oteses que
julgamos necess´arias. Posteriormente, verificamos se tal funcional satisfaz a “geometria”
do passo da montanha. Atrav´es de uma redu¸c˜ao por dimens˜ao finita, detectamos uma
seq¨uˆencia de pontos cr´ıticos para o funcional, quando restrito a espa¸cos de dimens˜ao
finita. Finalmente, um processo de aproxima¸c˜ao nos permite encontrar o ponto cr´ıtico
procurado.
4.2.1 O funcional associado
Sejam F : R → R e G : R → R as primitivas das fun¸c˜oes f e g, resp ectivamente. Isto
´e
F (u) ≡
u
0
f(t)dt e G(v) ≡
v
0
g(t)dt
Algumas hip´oteses sobre as fun¸c˜oes F e G ser˜ao requeridas, com o intuito de obter
solu¸c˜oes para o sistema (4.1) atrav´es do m´etodo proposto neste cap´ıtulo. Sendo assim,
considere M uma N-fun¸c˜ao θ-regular, com 2 < θ
M
< n (ver Defini¸c˜ao 1.8) e N sua N-
fun¸c˜ao complementar. Pelo Teorema 3.4, N tamb´em ´e θ-regular. Tomemos o par cr´ıtico
de Orlicz ( M
∗
, N
∗
), de acordo com a Defini¸c˜ao 3.2 e o Teorema 3.4. Consideremos ent˜ao
as seguintes hip´oteses:
(H
1
) F e G s˜ao N-fun¸c˜oes que crescem estritamente mais lento que M
∗
e N
∗
, respectiva-
mente (vide Defini¸c˜ao 2.4), tais que
lim
t→0
F (t)
M
∗
(t)
< ∞ e lim
t→0
G(t)
N
∗
(t)
< ∞.
68
Associamos ao sistema (4.1) o funcional
I(u, v) =
Ω
∇u(x)∇v(x)dx −
Ω
F (u(x)) + G(v(x))
dx. (4.2)
Nosso objetivo consiste em buscar pontos cr´ıticos para o funcional I em um espa¸co de
Orlicz-Sobolev apropriado. Obviamente, pela hip´otese (H
1
) o espa¸co E ≡ W
1
0
L
M
×W
1
0
L
N
torna-se o candidato mais apropriado. Vale salientar que M e N s˜ao escolhidos ainda de
forma que W
1
0
L
M
e W
1
0
L
(N)
sejam espa¸cos uniformemente convexos. Tal escolha ´e poss´ıvel,
de acordo com o Teorema 2, p´agina 297, em [17]. Observemos que o funcional I : E → R
´e de classe C
1
e sua derivada em um ponto (u, v) ´e dada por
I
(u, v)(η, ξ) =
Ω
∇u(x)∇ξ(x)dx +
Ω
∇v(x)∇η(x)dx −
−
Ω
f(u(x))η(x)dx −
Ω
g(v(x))ξ(x)dx.
(4.3)
Fazemos uso do Teorema do passo da montanha generalizado (vide Apˆendice), a fim
de obtermos ponto cr´ıtico n˜ao trivial para o funcional (4.2). Para tanto, consideramos
ainda as seguintes hip´oteses:
(H
2
) Existem constantes θ > 2 e t
0
> 0, tais que, para todo t ≥ 0,
0 < θF (t) ≤ tf(t) e 0 < θG(t) ≤ tg(t);
(H
3
) existem σ > 2 e c > 0 tais que, para to do s ∈ [0, 1],
F (st) ≤ cs
σ
F (t) e G(st) ≤ cs
σ
G(t).
Com o aux´ılio da fun¸c˜ao til, definida em (3.20), consideremos as seguintes subvar-
iedades de E:
E
+
=
(u, u) : u ∈ W
1
0
L
M
e E
−
=
(u, −u) : u ∈ W
1
0
L
M
.
Claramente, ambos n˜ao possuem uma estrutura linear, pois ∼ n˜ao ´e uma trans-
forma¸c˜ao linear. Contornamos este “problema” ao definir em E uma nova estrutura
vetorial, com o aux´ılio da fun¸c˜ao til. Definamos a “soma til”
+ : E × E → E dada por
(u, v)
+(w, z) ≡ (u + v,
v + z). (4.4)
Com esta estrutura podemos provar o seguinte
Lema 4.1 Para cada (w, z) em E existem ´unicos elementos (u, u) ∈ E
+
e (v, − v) ∈ E
−
tais que
(z, w) = (u, u)
+ (v, −v),
em outras palavras,
E = E
+
⊕ E
−
.
Prova: Segue imediatamente das propriedades da fun¸c˜ao til, vistas no Lema (3.2), donde
u = (z + w)/2 e v = (z − w)/2.
69
4.2.2 A geometria do passo da montanha
Lema 4.2 Existem ρ
0
, σ
0
> 0, tais que I(z) ≥ σ
0
para todo z ∈ ∂B
ρ
0
∩ E
+
.
Prova: Observemos que
I(u, u) =
Ω
∇u(x)∇u(x)dx −
Ω
F (u(x))dx −
Ω
G(u(x))dx
=
1
2
u
2
1,M
−
Ω
F (u(x))dx +
1
2
u
2
1,(N)
−
Ω
G(u(x))dx. (4.5)
Agora, tomemos C
0
> 0 tal que ·
(M
∗
)
≤ C
0
·
1,M
e ·
(N
∗
)
≤ C
0
·
1,(N)
. Assim,
se v ∈ W
1
0
L
M
´e tal que v
1,M
= C
−1
0
ent˜ao temos que v
(M
∗
)
≤ 1 e portanto
Ω
M
∗
(v(x))dx ≤ 1. Conseq¨uentemente, uma vez que, por hip´otese, F ≺≺ M
∗
, temos
que
Ω
F (|v(x)|)dx ≤ C
1
, para algum C
1
> 0. Logo, dado ρ ∈ [0, 1], temos, por (H
3
)
Ω
F (ρ|v(x)|)dx ≤ cρ
σ
Ω
F (|v(x)|)dx ≤ cC
1
ρ
σ
,
donde temos que
1
2
ρv
2
1,M
−
Ω
F (ρv(x))dx ≥
1
2
C
−2
0
ρ
2
− cC
1
ρ
σ
.
Al´em disso, de maneira completamente an´aloga, deduzimos que
1
2
ρv
2
1,(N)
−
Ω
G(ρv(x))dx ≥
1
2
C
−2
0
ρ
2
− cC
2
ρ
σ
,
para algum C
2
> 0.
Portanto, tomando K = c(C
1
+ C
2
), temos que, se v
1,M
= C
−1
0
, ent˜ao
I(ρv, ρv) ≥ C
−2
0
ρ
2
− Kρ
σ
,
para todo ρ ∈ [0, 1]. Como, por hip´otese, σ > 2, tomemos ρ
1
suficientemente pequeno tal
que
σ
0
≡ C
−2
0
ρ
2
1
− Kρ
σ
1
> 0.
Defina finalmente ρ
0
≡ ρ
1
C
−1
0
. Logo, sendo z ∈ ∂B
ρ
0
∩ E
+
, ent˜ao z = (ρ
1
v, ρ
1
v), com
v
1,M
= C
−1
0
, donde concluimos que
I(z) = I(ρ
1
v, ρ
1
v) ≥ σ
0
.
Antes do pr´oximo resultado, observemos que, da hip´otese (H
2
), podemos extrair duas
conclus˜oes:
70
1. Para todo t ≥ t
0
, temos
θ
t
≤ f(t)F (t),
donde vemos que
t
t
0
θ
τ
dτ ≤
t
t
0
f(τ )
F (τ )
dτ
e, conseq¨uentemente, existe C > 0 tal que
t
θ
≤ CF (t), ∀t ≥ t
0
.
Sendo assim, t
θ
≺ F e portanto, L
F
(Ω) → L
θ
(Ω), continuamente. Obviamente, de
maneira an´aloga, temos tamb´em a imers˜ao cont´ınua L
G
(Ω) → L
θ
(Ω).
2. Existem K > 0 e K
1
> 0 tais que F (t) ≥ Kt
θ
− K
1
sempre que t ≥ 0. De fato,
se t > t
0
ent˜ao, pelo que foi visto acima, temos F (t) ≥ Kt
θ
. Agora, se 0 ≤ t ≤ t
0
,
pondo
K
1
≡ max
0≤τ≤t
0
|F (τ ) − Kτ
θ
|,
temos ent˜ao F (t) ≥ Kt
θ
− K
1
, e portanto, a afirma¸c˜ao desejada. Mais ainda, pela
paridade de F , temos que
F (t) ≥ K|t|
θ
− K
1
∀ t. (4.6)
Analogamente, temos
G(t) ≥ K|t|
θ
− K
2
∀ t. (4.7)
Considere agora uma base de Schauder {e
i
} em W
1
0
L
M
de forma que (e
1
, e
1
)
E
= 1.
Defina assim, para cada par de constantes R
0
, R
1
, o conjunto
Q
R
0
,R
1
≡ {r(e
1
, e
1
)
+ w : w ∈ E
−
, w
E
≤ R
0
e 0 ≤ r ≤ R
1
}.
Lema 4.3 Existem constantes R
0
e R
1
positivas, tais que I(z) ≤ 0 para todo z ∈
∂Q
R
0
,R
1
, onde ∂Q
R
0
,R
1
refere-se `a fronteira do conjunto Q
R
0
,R
1
com respeito ao subespa¸co
<(e
1
, e
1
) >
+ E
−
.
Prova: Estudamos separadamente trˆes subconjuntos que formam a fronteira de Q
R
0
,R
1
.
(i) Primeiramente, suponha que z ∈ ∂Q
R
0
,R
1
∩ E
−
, onde R
0
e R
1
s˜ao duas quaisquer
constantes positivas. Consequentemente, z = (w, − w), e
I(z) =
Ω
∇w(x)∇(− w(x))dx −
Ω
F (w(x))dx +
Ω
G(− w(x))dx
= −
Ω
∇w(x)∇ w(x)dx −
Ω
F (w(x))dx +
Ω
G( w(x))dx
= −w
2
1,M
−
Ω
F (w(x))dx +
Ω
G( w(x))dx
≤ 0.
71
(ii) Se z = r(e
1
, e
1
)
+ (w, − w) = (re
1
+ w,
re
1
− w), com (w, − w)
E
= R
0
e 0 ≤ r ≤ R
1
.
Provemos que podemos encontrar, caso R
1
= 1, R
suficientemente grande tal que, se
z ∈ ∂Q
R
,1
, ent˜ao I(z) ≤ 0. De fato,
I(z) ≤
Ω
∇(re
1
+ w)(x)∇(
re
1
− w)(x)dx
=
Ω
∇(2re
1
− re
1
+ w)(x)∇(
re
1
− w)(x)dx
= −
Ω
∇(w − re
1
)(x)∇(
w − re
1
)(x)dx − 2r
Ω
∇e
1
(x)∇(
w − re
1
)(x)dx
= −w − re
1
2
1,M
+ 2r
Ω
∇e
1
(x)∇(
re
1
− w)(x)dx
≤ −w
2
1,M
− re
1
2
1,M
+ 2re
1
1,M
w
1,M
+ 2r
Ω
∇e
1
(x)∇(
re
1
− w)(x)dx
≤ −w
2
1,M
− re
1
2
1,M
+ 2re
1
1,M
w
1,M
+ 2re
1
1,M
re
1
− w
1,(N)
= −w
2
1,M
− re
1
2
1,M
+ 2re
1
1,M
w
1,M
+ 2re
1
1,M
re
1
− w
1,M
≤ −w
2
1,M
− re
1
2
1,M
+ 4re
1
1,M
w
1,M
+ 2r
2
e
1
2
1,M
≤ −w
2
1,M
+ 4rw
1,M
+ r
2
≤ −w
2
1,M
+ 4w
1,M
+ 1. (4.8)
Portanto, tomemos R
suficientemente grande para que, se (w, − w)
E
= R
, ent˜ao
−w
2
1,M
+ 4w
1,M
+ 1 ≤ 0. Portanto, I(z) ≤ 0 se z = r(e
1
, e
1
) + (w, − w) com
(w, − w)
E
= R
. Tomando agora ρ ≥ 1 ent˜ao, para 0 ≤ r ≤ ρ, (w, − w)
E
= ρR
e z = r(e
1
e
1
)
+ (w, − w), temos tamb´em, por homogeineidade, I(z) ≤ 0.
(iii) Finalmente, resta-nos encontrar ent˜ao R
1
tal que z = R
1
(e
1
, e
1
) + R
1
(w, − w), com
(w, − w)
E
≤ R
satisfaz I(z) ≤ 0, uma vez que, tomando R
0
= R
1
R
, temos o resultado
requerido.
Considere ent˜ao z = σ(e
1
, e
1
)
+σ(w, − w) = (σe
1
+ σw,
σe
1
− σw), com (w, − w)
E
≤
R
. Assim, devido a (4.6) e (4.7), temos
I(z) ≤ σ
2
e
1
+ w
1,M
e
1
− w
1,(N)
−
− Kσ
θ
Ω
|e
1
+ w|(x)
θ
dx +
Ω
|
e
1
− w|
θ
(x)dx
+ K
3
.
Provemos agora que
δ
0
≡ inf
(w,−w)
E
≤R
Ω
|e
1
+ w|(x)
θ
dx +
Ω
|
e
1
− w|
θ
(x)dx
> 0.
Raciocinando por absudo, suponha que existe (w
n
) em W
1
0
L
M
tal que (w
n
, − w
n
)
E
≤ R
e
lim
n→∞
Ω
|e
1
+ w
n
|
θ
(x)dx +
Ω
|
e
1
− w
n
|
θ
(x)dx
= 0.
72
Logo, existe w ∈ W
1
0
L
M
tal que w
n
w para alguma subsequˆencia de (w
n
).
Por hip´otese, temos que F ≺≺ M
∗
e, sendo assim, temos a imers˜ao compacta
W
1
0
L
M
→ L
F
. Al´em disso, vimos, da hip´otese (H
2
), que L
F
→ L
θ
. Portanto a imers˜ao
W
1
0
L
M
→ L
θ
existe e ´e compacta. Logo, w
n
→ w fortemente em L
θ
. Pela continuidade
da fun¸c˜ao ∼, temos que
e
1
− w
n
→
e
1
− w
n
tamb´em em L
θ
, donde concluimos que
e
1
+ w
θ
+
e
1
− w
θ
= 0. Ou seja, e
1
= w e e
1
= −w, o que ´e um absurdo. Portanto,
por (4.8), temos
I(z) ≤ ρ
2
(1 + r
)
2
− Kρ
θ
δ
0
+ K
3
, ∀ ρ ≥ 0,
donde ´e poss´ıvel tomar R
1
suficientemente grande tal que
I(z) ≤ R
2
1
(1 + R
)
2
− KR
θ
1
δ
0
+ K
3
≤ 0.
4.2.3 A condi¸c˜ao de Palais-Smale
Nesta subse¸c˜ao provamos uma proposi¸c˜ao que nos dar´a as condi¸c˜oes necess´arias para
que o funcional satisfa¸ca a condi¸c˜ao de Palais-Smale (em espa¸cos de dimens˜ao finita),
requeridas na hip´otese do Teorema do passo da montanha generalizado.
Proposi¸c˜ao 4.2 Seja (u
m
, v
m
) uma sequˆencia em E tal que
(I
1
) I(u
m
, v
m
) = c + δ
m
onde δ
m
→ 0 quando m → ∞.
(I
2
) |I
(u
m
, v
m
)(η,
ξ)| ≤ ε
m
(η,
ξ)
E
, onde η, ξ ∈ {0, u
m
, v
m
} e ε
m
→ 0 quando m → 0.
Ent˜ao existe C > 0 tal que
u
m
1,M
≤ C, v
m
1,(N)
≤ C,
Ω
f(u
m
(x))u
m
(x)dx ≤ C,
Ω
g(v
m
(x))v
m
(x)dx ≤ C,
Ω
F (u
m
(x))dx ≤ C,
Ω
G(v
m
(x))dx ≤ C.
Prova: De (I
1
) temos
Ω
∇u
m
(x)∇v
m
(x)dx −
Ω
F (u
m
(x))dx −
Ω
G(v
m
(x))dx = c + δ
m
. (4.9)
73
Tomando (η,
ξ) = (u
m
v
m
), ent˜ao
2
Ω
∇u
m
(x)∇v
m
(x)dx−
Ω
f(u
m
(x))u
m
(x)dx−
Ω
g(v
m
(x))v
m
(x)dx
=
= |I
(u
m
, v
m
)(u
m
, v
m
)| ≤ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
.
(4.10)
Assim, por (H
2
), (4.9) e (4.10),
(θ−2)
Ω
[F (u
m
)+G(v
m
)]dx = −2
Ω
[F (u
m
)+G(v
m
)]dx +
+
Ω
θF (u
m
)dx +
Ω
θG(v
m
)dx
≤ −2
Ω
[F (u
m
)+G(v
m
)]dx +
+
Ω
f(u
m
)u
m
dx +
Ω
g(v
m
)v
m
dx + K
≤ 2
Ω
∇u
m
∇v
m
dx−
Ω
F (u
m
)dx−
Ω
G(v
m
)dx
+
+
2
Ω
∇u
m
∇v
m
dx−
Ω
f(u
m
)u
m
dx−
Ω
g(v
m
)v
m
dx
+ K
≤ 2c + 2δ
m
+ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
+ K,
donde, tomando C
0
= max{2, 2c + K}, temos
(θ−2)
Ω
[F (u
m
(x))+G(v
m
(x))]dx ≤ C
0
1 + δ
m
+ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
.
Como θ > 2, temos ent˜ao,
Ω
F (u
m
(x))dx ≤ C
0
1 + δ
m
+ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
(4.11)
e
Ω
G(v
m
(x))dx ≤ C
0
1 + δ
m
+ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
. (4.12)
Por (4.9), (4.11) e (4.12), temos
Ω
∇u
m
(x)∇v
m
(x)dx = c + δ
m
+
Ω
F (u
m
(x))dx +
Ω
G(v
m
(x))dx
≤ c + δ
m
+ 2C
0
1 + δ
m
+ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
= c + (2C
0
+ 1)δ
m
+ 2C
0
+ ε
m
2C
0
(u
m
, v
m
)
E
.
Tomando C
1
= 2C
0
+ max{c, 1}, temos que
Ω
∇u
m
(x)∇v
m
(x)dx ≤ C
1
1 + δ
m
+ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
. (4.13)
74
Combinando (4.10) e (4.13), deduzimos que
Ω
f(u
m
)u
m
dx+
Ω
g(v
m
)v
m
dx ≤ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
+ 2
Ω
∇u
m
(x)∇v
m
dx
≤ ε
m
(u
m
, v
m
)
E
+2C
1
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
≤ C
2
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
,
onde C
2
= 2C
1
+ 1. Conseq¨uentemente, po demos concluir que
Ω
f(u
m
(x))u
m
(x)dx ≤ C
2
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
(4.14)
e
Ω
g(v
m
(x))v
m
(x)dx ≤ C
2
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
. (4.15)
Precisamos provar, portanto, que a seq¨uˆencia
(u
m
, v
m
)
E
´e limitada.
Tomemos (η,
ξ) = (0, u
m
) em (I
2
). Assim,
Ω
∇u
m
(x)∇u
m
(x) −
Ω
g(v
m
(x))u
m
(x)dx
≤ ε
m
(0, u
m
)
E
= ε
m
u
m
1,(N)
,
donde temos que
u
m
2
1,M
−
Ω
g(v
m
(x))u
m
(x)dx ≤ ε
m
u
m
1,(N)
. (4.16)
Consideremos κ tal que ·
(N
∗
)
≤ κ ·
1,(N)
e tomemos
U
m
≡
u
m
κu
m
1,(N)
.
Conseq¨uentemente,
U
m
1,(N)
= 1/κ e
U
m
(N
∗
)
≤ 1. Por (4.16), temos ent˜ao,
u
m
1,M
≤ ε
m
+ κ
Ω
g(v
m
(x))
U
m
(x)dx. (4.17)
Notemos que, como G ≺≺ N
∗
, temos que existem α > 0 e β > 0, tais que
Ω
G(
U
m
(x))dx ≤ α
Ω
N
∗
(
U
m
(x))dx + β, (4.18)
donde temos que
1
α
Ω
G(
U
m
(x))dx ≤ 1 + β.
Al´em disso, do fato de G ser N-fun¸c˜ao, sabemos que
ab ≤ G(a) + g
−1
(b)b.
75
Tomando y = g(v
m
(x)) e b =
U
m
(x), temos
g(v
m
(x))
U
m
(x) ≤ G(
U
m
(x)) + v
m
(x)g(v
m
(x)). (4.19)
Combinando ent˜ao (4.15), (4.17), (4.18) e (4.19), temos
u
m
1,M
≤ κ
Ω
G(
U
m
(x)) + v
m
(x)g(v
m
(x))
dx + ε
m
≤ κα(1 + β) + κC
2
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
+ ε
m
≤
κα(1 + β)κC
2
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
+ ε
m
.
Logo, se C
3
≡ κ
α(1 + β)C
2
, temos ent˜ao que
u
m
1,M
≤ ε
m
+ C
3
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
. (4.20)
Agora, de maneira completamente an´aloga, considerando em (I
2
) (η, ξ) = (v
m
, 0),
podemos estimar v
m
1,M
, deduzindo que existe C
4
> 0 tal que
v
m
1,(N)
≤ ε
m
+ C
4
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
. (4.21)
Somando (4.20) e (4.21), temos
(u
m
, v
m
)
E
≤ C
5
u
m
1,M
+ v
m
1,(N)
≤ C5
2ε
m
+ (C
3
+ C
4
)
1+δ
m
+ε
m
(u
m
, v
m
)
E
e , tomando, C
6
= C
5
(C
3
+ C
4
), ent˜ao
(1 − C
6
ε
m
)(u
m
, v
m
)
E
≤ 2C
5
ε
m
+ C
6
+ C
6
δ
m
,
donde temos que
(u
m
, v
m
)
E
≤
2C
5
ε
m
+ C
6
+ C
6
δ
m
1 − C
6
ε
m
≤ C
7
. (4.22)
Combinando (4.11), (4.12), (4.14), (4.15), (4.20) e (4.21) com (4.22), temos demonstrada
esta proposi¸c˜ao.
4.2.4 Redu¸c˜ao ao caso finito
Considerando as variedades E
+
e E
−
e admitindo temporariamente, apenas para efeito
de analogia, o espa¸co vetorial (E,
+, ·), observamos que, uma vez que temos E = E
+
⊕ E
−
76
e os Lemas (4 .2), (4.3), podemos compar´a-los com as hip´oteses (I
1
) e (I
2
) no Teorema 2
no Apˆendice. Por´em, o fato de E
+
e E
−
serem espa¸cos de dimens˜ao infinita nos impede
de usar tal teorema. O que fazemos ent˜ao ´e uma aproxima¸c˜ao por dimens˜ao finita desses
espa¸cos.
Tomemos ent˜ao a base de Schauder {e
i
} de W
1
0
L
M
, considerada no Lema (4.3).
Definamos
E
n
= <e
1
, · · · , e
n
>
e
E
n
= {v : v ∈ E
n
}.
Definamos tamb´em E
+
n
e E
−
n
, dados pelas restri¸c˜oes das variedades E
+
e E
−
ao espa¸co
E
n
, respectivamente. Isto ´e,
E
+
n
= {(u, u) : u ∈ E
n
} e E
−
n
= {(u, −u) : u ∈ E
n
} .
Como no Lema 4.2.1, temos que
E
n
×
E
n
= E
+
n
⊕ E
−
n
.
A continuidade da fun¸c˜ao til e a soma til definida em (4.4) nos permitem definir as
seguintes “proje¸c˜oes” cont´ınuas:
P
−
n
: E
+
n
⊕ E
−
n
−→ E
−
n
, P
−
n
(u, v) =
u − v
2
, −
u − v
2
,
P
+
n
: E
+
n
⊕ E
−
n
−→ E
+
n
, P
+
n
(u, v) =
u + v
2
,
u + v
2
.
Consideramos ainda o seguinte conjunto:
Q
n
≡
w
+ r(e
1
, e
1
) : w ∈ E
−
n
, w
E
≤ R
0
e 0 ≤ r ≤ R
1
,
onde R
0
e R
1
s˜ao obtidos no Lema 4.3, e tamb´em a classe de fun¸c˜oes:
H
n
≡
h ∈ C(Q
n
, E
+
n
⊕ E
−
n
) : h(z) = z sobre ∂Q
n
,
onde aqui, tomamos ∂Q
n
como a fronteira de Q
n
relativa ao espa¸co E
+
n
⊕ E
−
n
.
Uma vez que estamos considerando as variedades E
+
n
e E
−
n
, no lugar de subespa¸cos
vetoriais, como no Teorema do passo da montanha generalizado dado no Apˆendice,
recorremos a um lema de “linking”, que segue a mesma linha de racioc´ınio utilizada
na proposi¸c˜ao 1 deste mesmo apˆendice.
Lema 4.4 O conjunto h(Q
n
) ∩ ∂B
ρ
0
∩ E
+
n
´e n˜ao vazio, para qualquer h ∈ H
n
, onde ρ
0
´e
obtido no Lema 4.2.
77
Prova: Devemos provar que existe (u, v) em Q
n
tal que
h(u
0
, v
0
) = ρ
0
e P
−
n
h(u
0
, v
0
)
= 0. (4.23)
Seja (u, v) = w
+ s(e
1
, e
1
) ∈ Q
n
. Definamos, para cada t ∈ [0, 1], a fun¸c˜ao cont´ınua
ϕ
t
: Q
n
−→ E
−
n
+ <(e
1
, e
1
) >, dada por
ϕ
t
(w
+s(e
1
, e
1
)) = tP
−
n
h(u, v)
+(1 − t)w
+
t
P
+
n
h(u, v)
E
+ (1 − t)s − ρ
0
(e
1
, e
1
).
Observamos que para qualquer (u, v) = w
+ s(e
1
, e
1
) em ∂Q
n
, temos
P
−
n
h(u, v)
= P
−
n
(u, v) = w
e
P
+
n
h(u, v)
E
= s(e
1
, e
1
)
E
= s,
donde temos que
ϕ
t
(w
+s(e
1
, e
1
)) = w
+ (s − ρ)(e
1
, e
1
).
Redefinimos ρ
0
satisfazendo 0 < ρ
0
< R
1
, de forma que, para qualquer
(u, v) ∈ ∂Q
n
, temos
ϕ
t
(u, v) = (0, 0), ∀t ∈ [0, 1].
Sendo assim, temos que
ϕ
0
(w
+s(e
1
, e
1
) = w
+ (s − ρ
0
)(e
1
, e
1
)
´e homot´opico a
ϕ
1
(w
+ s(e
1
, e
1
) = P
−
n
h(u, v)
+
P
+
n
h(u, v)
E
− ρ
0
(e
1
, e
1
).
Utilizando as propriedades topol´ogicas do grau em variedades orient´aveis de dimens˜ao
finita (vide [18]), temos que o grau das fun¸c˜oes ϕ
t
com respeito a Q
n
e (0, 0) est´a bem
definido e
d(ϕ
1
, Q
n
, (0, 0)) = d(ϕ
0
, Q
n
, (0, 0)).
Al´em disso, ρ
0
(e
1
, e
1
) ∈ Q
n
´e o ´unico elemento que satisfaz ϕ
0
(ρ
0
(e
1
, e
1
)) = 0. Portanto,
d(ϕ
0
, Q
n
, (0, 0)) = 1, donde concluimos que existe (u, v) ∈ Q
n
tal que ϕ
1
(u, v) = 0. Isto ´e
equivalente a afirmar (4.23).
Definindo, portanto,
c
n
= inf
h∈H
n
max
z∈Q
n
I(h(z)),
uma vez que, em virtude dos Lemas 4.2 e 4.4,
max
z∈Q
n
I(h(z)) ≥ σ
0
> 0, ∀h ∈ H
n
,
temos
c
n
≥ σ
0
> 0.
78
Observemos tamb´em que uma vez que Id
E
+
n
⊕ E
−
n
∈ H
n
, temos, para
z = r(e
1
, e
1
)
+ (u, −u) = (re
1
+ u,
re
1
− u) ∈ Q
n
,
I(z) ≤
Ω
∇(re
1
+ u)(x)∇(
re
1
− u)(x)dx
≤ −u
2
1,M
+ 4ru
1,M
+ r
2
≤ K,
onde estas desigualdades foram determinadas na demonstra¸c˜ao do Lema 4.3. Conseq¨uen-
Tflte, temos que
c
n
≤ max
z∈Q
n
I(z) ≤ K,
para alguma constante K > 0. Consideremos (u
m
, v
m
) uma seq¨uˆencia de Palais-Smale
em E
+
n
⊕ E
−
n
, isto ´e,
1.
I(u
m
, v
m
)
´e sequˆencia limitada e
2. I
(u
m
, v
m
) → 0.
Sendo assim, existe uma subseq¨uˆencia (u
m
, v
m
) satisfazendo as hip´oteses (I
1
) e (I
2
)
da proposi¸c˜ao 4.2. Por esta mesma proposi¸c˜ao, temos ent˜ao que (u
m
, v
m
) ´e limitada.
Uma vez que E
+
n
⊕ E
−
n
Tf difls˜ao finita, uma nova subsequˆencia pode ser tomada
converglte e portanto, temos que I|
E
+
n
⊕ E
−
n
satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale. Pelos
Lemas 4.2 e 4.3 e pelo que foi visto no Lema 4.4 podemos demonstrar, utilizando os
mesmos argumltos de contradi¸c˜ao na demonstra¸c˜ao do Teorema do passo da montanha
gleralizado no Apˆendice, que c
n
´e valor cr´ıtico de I|
E
+
n
⊕ E
−
n
, para cada n, com pontos
cr´ıticos correspondentes z
n
∈ E
+
n
⊕ E
−
n
. Observamos tamb´em que, de acordo com a
proposi¸c˜ao 4.2, temos que a sequˆencia de pontos cr´ıticos z
n
´e tal que z
n
E
≤ C.
4.2.5 Existˆencia de solu¸c˜ao fraca
Prova do teorema 4.1: De acordo com a ´ultima subse¸c˜ao, sabemos que existe
uma seq¨uˆencia (z
n
) tal que, para cada n, z
n
∈ E
n
×
E
n
, I(z
n
) ≤ c
n
∈ [σ
0
, K] e
I|
E
n
×E
n
(z
n
) = 0. Al´em disso, temos que z
n
E
≤ C. Tomemos ent˜ao uma subseq¨uˆencia
de (z
n
) tal que z
n
= (u
n
, v
n
) z = (u, v), para algum z ∈ E. Novamlte pela proposi¸c˜ao
4.2, temos que
Ω
F (u
n
(x))dx ≤ C,
Ω
G( v
n
(x))dx ≤ C,
Ω
f(u
n
(x))u
n
(x)dx ≤ C e
Ω
g( v
n
(x)) v
n
(x)dx ≤ C. Utilizando ent˜ao o Lema 2.1 em [7], conclu´ımos que
f(u
n
) → f(u) e g( v
n
) → g(v) em L
1
.
Tomando (0 , η) e (ξ, 0) ∈ E
n
×
E
n
em (4.3) e uma vez que
I|
E
n
×E
n
(u
n
, v
n
) = 0, temos
portanto,
Ω
∇ v
n
(x)∇ξ(x)dx =
Ω
f(u
n
(x))ξ(x)dx, ∀ ξ ∈ E
n
, (4.24)
e
Ω
∇u
n
(x)∇η(x)dx =
Ω
g( v
n
(x))η(x )dx, ∀ η ∈
E
n
. (4.25)
79
Fixemos agora ξ ∈
n∈N
E
n
. Assim ξ ∈ E
k
para algum k ∈ N. Por defini¸c˜ao dos espa¸cos
E
n
, temos ent˜ao que ξ ∈ E
j
para qualquer j ≥ k. Sendo assim, temos, por (4.24), que
Ω
∇ v
n
(x)∇ξ(x)dx =
Ω
f(u
n
(x))ξ(x)dx, ∀n ≥ k. (4.26)
Tomemos n → ∞ em ambos os membros da equa¸c˜ao (4.26). Pelo lado direito, uma vez
que v
n
v, temos que
lim
n→∞
Ω
∇ v
n
(x)∇ξ(x)dx =
Ω
∇v(x)∇ξ(x)dx. (4.27)
Pelo lado esquerdo, observemos primeiramente que se ξ ∈ E
n
ent˜ao ξ ∈ W
1
0
L
M
. Por
defini¸c˜ao, tomemos uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes (ξ
k
) em C
∞
0
(Ω) tais que ξ
k
→ ξ em W
1
0
L
M
.
Observemos que para cada k fixo, temos que
Ω
f(u
n
(x))ξ
k
(x)dx −
Ω
f(u(x))ξ
k
(x)dx
≤ ξ
k
∞
f(u
n
) − f(u)
1
n→∞
−→ 0.
Agora, uma vez que ξ
k
→ ξ e W
1
0
L
M
→ L
1
, temos que, para alguma subseq¨uˆencia
ξ
k
(x) → ξ(x) em quase todo ponto. Logo, fixado w ∈ E
n
temos que
f(w(x))ξ
k
(x) → f(w(x))ξ(x)
em quase todo ponto. Uma vez que |f(w( x))ξ
k
(x)| ≤ ξ
k
∞
|f(w(x))| e f(w) ∈ L
1
, temos
pelo Teorema da convergˆencia dominada de Lebesgue, que
Ω
f(w(x))ξ
k
(x)dx −
Ω
f(w(x))ξ(x)dx
→ 0, ∀w ∈ E
n
,
quando k → ∞. Conseq¨uentemente, temos que para todo ξ ∈
n∈N
E
n
,
lim
n→∞
Ω
f(u
n
(x))ξ(x)dx =
Ω
f(u(x))ξ(x)dx. (4.28)
Sendo assim, pondo (4.27) e (4.28) em (4.26), temos
Ω
∇v(x)∇ξ(x)dx =
Ω
f(u(x))ξ(x)dx, ∀ ξ ∈
n∈N
E
n
. (4.29)
Partindo agora de (4.25), p or um processo inteiramente an´alogo, deduzimos tamb´em
que
Ω
∇u(x)∇η(x)dx =
Ω
g(v(x))η(x)dx, ∀ η ∈
n∈N
E
n
. (4.30)
Temos que provar que
n∈N
E
n
´e denso em E = W
1
0
L
M
× W
1
0
L
(N)
. De fato, uma
vez que, por defini¸c˜ao,
n∈N
E
n
´e denso em W
1
0
L
M
, ent˜ao
n∈N
E
n
´e denso em W
1
0
L
N
,
80
pois ∼ ´e homeomorfismo. Sendo assim, dado, (ξ, η) ∈ E e tomando uma sequˆencia
(ξ
k
, η
k
) ∈
n∈N
(E
n
×
E
n
), tal que (ξ
k
, η
k
) → (ξ, η) em E, temos que
Ω
∇v(x)∇ξ
k
(x)dx →
Ω
∇v(x)∇ξ(x)dx
e, pelo Teorema da convergˆencia dominada de Lebesgue,
Ω
f(u(x))ξ
k
(x)dx →
Ω
f(u(x))ξ(x)dx.
Donde, por (4.29), temos
Ω
∇v(x)∇ξ(x)dx =
Ω
f(u(x))ξ(x)dx, ∀ ξ ∈ W
1
0
L
M
.
Analogamente, por (4.30), tamb´em temos
Ω
∇u(x)∇η(x) dx =
Ω
g(v(x))η(x)dx, ∀ η ∈ W
1
o
L
(N)
.
Portanto, (u, v) ´e um ponto cr´ıtico de I, e, conseq¨uentemente, solu¸c˜ao fraca do sistema
(4.1).
Resta-nos mostrar que (u, v) ´e n˜ao trivial. Suponha, por contradi¸c˜ao que
(u, v) = (0, 0). Tomemos ent˜ao uma fun¸c˜ao F
1
, ∆-regular, tal que F (x) ≤ F
1
(x),
f(x) ≤ f
1
(x) ∀x ∈ R
+
, e F
1
≺≺ M
∗
. Uma vez que u
n
u = 0, temos que u
n
(F
1
)
→ 0,
pois a imers˜ao W
1
0
L
M
→ L
(F
1
)
´e compacta. Sendo assim, temos que, tomando n
0
tal que
u
n
(F
1
)
< 1, para todo n ≥ n
0
, vale
Ω
F (u
n
(x))dx ≤
Ω
F
1
(u
n
(x))dx ≤ u
n
(F
1
)
n→∞
−→ 0.
Uma vez que F
1
´e ∆-regular, temos que xf
1
(x) ≤ cF
1
(x), para algum c > 1, e portanto,
0 ≤
Ω
f(u
n
(x))u
n
(x)dx ≤
Ω
f
1
(u
n
(x))u
n
(x)dx ≤ c
Ω
F
1
(u
n
(x))dx → 0.
Portanto, tomando ξ = u
n
em (4.24), temos que
Ω
∇u
n
(x)∇ v
n
(x)dx → 0. Al´em disso,
uma vez que G ≺≺
A
∗
e v
n
v = 0 em W
1
0
L
(N)
,temos v
n
→ v em L
(G)
. Isto implica
tamb´em que
Ω
G( v
n
(x))dx → 0. Logo, concluimos que c
n
= I(u
n
, v
n
) → 0, o que ´e um
absurdo, pois temos que c
n
≥ σ
0
, para qualquer n ∈ N. Logo, (u, v) = 0.
81
Apˆendice
Apresentamos aqui o teorema do passo da montanha, sob uma forma generalizada. O
cap´ıtulo consiste inicialmente num pequeno resumo dos principais resultados da teoria do
grau de Brouwer, necess´arios para o desenvolvimento de tal teorema, e, posteriormente,
na apresenta¸c˜ao e demonstra¸c˜ao do mesmo.
Grau topol´ogico em dimens˜ao finita (Brouwer)
Definiremos uma fun¸c˜ao que nos dar´a informa¸c˜oes quanto `a existˆencia, unicidade ou
multiplicidade de solu¸c˜oes para equa¸c˜oes da forma ϕ(x) = b, onde ϕ ∈ C(Ω, R
N
), Ω ⊂ R
N
aberto e limitado e b ´e um ponto fixado em R
N
. Tal fun¸c˜ao ´e denotada por d e a cada
terno (ϕ, Ω, b) associa um n´umero inteiro d(ϕ, Ω, b) o grau de ϕ sobre Ω com respeito a b.
Os resultados desta se¸c˜ao podem ser encontrados em [2] ou [8].
Come¸caremos definindo o grau para valores regulares de ϕ ∈ C
1
(Ω) ∩ C(Ω), isto ´e,
para os pontos b ∈ R
N
tais que ϕ
(x) ´e invert´ıvel para todo x ∈ ϕ
−1
(b). Num segundo
momento, estenderemos a defini¸c˜ao do grau para qualquer valor de ϕ ∈ C
2
(Ω) ∩ C(Ω) e
por fim, generalizamos a defini¸c˜ao para aplica¸c˜oes ϕ ∈ C(Ω).
Denotamos por S
ϕ
o conjunto dos pontos cr´ıticos de ϕ, ou seja, o conjunto dos pontos
x ∈ Ω tais que ϕ
(x) n˜ao ´e invert´ıvel. Neste caso, b = ϕ(x) ´e dito um valor cr´ıtico (ou
singular) de ϕ.
Defini¸c˜ao 1 Sejam ϕ ∈ C
1
(Ω) ∩ C(Ω) e b ∈ R
N
\ϕ(∂Ω ∪ S
ϕ
), onde Ω ⊂ R
N
´e aberto e
limitado. Ent˜ao definimos,
d(ϕ, Ω, b) = Σ
x∈ϕ
−1
(b)
sgnJ
ϕ
(x).
Modifiquemos a defini¸c˜ao inicial de mo do a abranger tamb´em valores singulares.
Defini¸c˜ao 2 Sejam Ω ⊂ R
N
aberto e limitado, ϕ ∈ C
2
(Ω) ∩ C(Ω) e b /∈ ϕ(∂Ω).
Ent˜ao definimos, d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω, b
1
), onde b
1
´e um valor regular de ϕ tal que
|b
1
− b| < (b, ϕ(∂Ω)) e d(ϕ, Ω, b
1
) ´e dado pela Defini¸c˜ao 1, onde
(b, ϕ(∂Ω)) = inf{|b − a| : a ∈ ϕ(∂Ω)}.
Generalizemos agora a defini¸c˜ao do grau para fun¸c˜oes cont´ınuas suficientemente
pr´oximas de fun¸c˜oes C
2
(Ω) ∩ C(Ω).
Defini¸c˜ao 3 Sejam Ω ⊂ R
N
aberto e limitado, ϕ ∈ C(Ω) e b ∈ R
N
\ϕ(∂Ω). Ent˜ao
definimos d (ϕ, Ω, b) = d(φ, Ω, b), onde φ ∈ C
2
(Ω) ∩ C(Ω) ´e uma fun¸c˜ao tal que
φ − ϕ
∞
< (b, ϕ(∂Ω)) e o d(φ, Ω, b) ´e dado pela Defini¸c˜ao 2.
82
Principais propriedades do grau de Brouwer
d
1
) Continuidade em rela¸c˜ao a fun¸c˜ao. Sejam ϕ ∈ C(Ω, R
N
) e b /∈ ϕ(∂Ω). Existe
uma vizinhan¸ca V de ϕ em C(Ω, R
N
) tal que para toda ψ ∈ V ,
b /
∈
ψ
(
∂
Ω) e
d
(
ψ,
Ω
, b
) =
d
(
ϕ,
Ω
, b
)
d
2
) Invariˆancia homot´opica do grau. Sejam H ∈ C(Ω×[0, 1], R
n
) e b /∈ H(∂Ω×[0, 1]).
Ent˜ao d(H(., t), Ω, b) ´e constante para t ∈ [0, 1].
d
3
) O Grau ´e constante em componentes conexas do R
N
\ϕ(∂Ω). Se b e
ˆ
b est˜ao na
mesma componente conexa de R
N
\ϕ(∂Ω), ent˜ao,
d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω,
ˆ
b)
d
4
) Aditividade. Seja Ω = Ω
1
∪Ω
2
, onde Ω
1
e Ω
2
s˜ao abertos de R
N
tais que Ω
1
∩Ω
2
= ∅.
Se b /∈ ϕ(∂Ω
1
) ∪ ϕ(∂Ω
2
) ent˜ao,
d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω
1
, b) + d(ϕ, Ω
2
, b)
Conseq¨uˆencias das propriedades do grau de Brouwer
d
5
)
d(I, Ω, b) =
1 se b ∈ Ω
0 se b /∈ Ω
d
6
) Se b /∈ ϕ(Ω) ent˜ao d(ϕ, Ω, b) = 0.
d
7
) Se d(ϕ, Ω, b) = 0 ent˜ao existe x
0
∈ Ω tal que ϕ(x
0
) = b.
d
8
) Sejam K ⊂ Ω fechado e b /∈ ϕ(K) ent˜ao d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω − K, b).
O teorema do passo da montanha generalizado
Seja E um espa¸co de Banach real. Precisaremos de uma importante propriedade de
compacidade com respeito a funcionais em E, chamada de condi¸c˜ao de Palais-Smale,
definida abaixo.
Defini¸c˜ao 4 dizemos que um funcional I ∈ C
1
(E, R) satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-
Smale ou simplesmente (PS), quando qualquer seq¨uˆencia (u
k
) em E satisfazendo
1.
I(u
n
)
´e seq¨uˆencia limitada e
2. I
(u
n
) → 0,
possui uma subseq¨uˆencia convergente.
Faremos uso do conhecido lema da deforma¸c˜ao, cuja demonstra¸c˜ao pode ser vista em
[16] e est´a enunciado a seguir.
83
Teorema 1 (lema da deforma¸c˜ao) Sejam E um espa¸co de Banach real e I ∈ C
1
(E, R)
satisfazendo (PS). Se c ∈ R, ε > 0 e O ´e alguma vizinhan¸ca de K
c
= {x ∈ E; I(x) =
c e I
(x) = 0}, ent˜ao existem ε ∈ (0, ε) e η ∈ C([0, 1] × E, E) tais que
1 η(0, u) = u, ∀u ∈ E;
2 η(t, u) = u, ∀t ∈ [0, 1], se I(u) /∈ [c − ε, c + ε];
3 η(t, ·) ´e um homeomorfismo de E sobre E para cada t ∈ [0, 1];
4 η(t, u) − u
E
≤ 1, ∀t ∈ [0, 1] e ∀u ∈ E;
5 I(η(t, u)) ≤ I(u), ∀t ∈ [0, 1] e ∀u ∈ E;
Se A
s
= {x ∈ E; I(x) ≤ s} ent˜ao temos ainda
6 η(1, A
c+ε
\O) ⊆ A
c−ε
;
7 Se K
c
= ∅ ent˜ao η(1, A
c+ε
) ⊆ A
c−ε
;
8 Se I(u) ´e par em (u)ent˜ao η(t, u) ´e ´ımpar em u.
Podemos agora estabelecer o seguinte teorema do passo da montanha, devido a [16]:
Teorema 2 Seja E um espa¸co de Banach real com E = V ⊕ X onde V tem dimens˜ao
finita. Suponha que I ∈ C
1
(E, R) satisfaz (PS) e
(I
1
) existem constantes ρ, α > 0 tais que I|
∂B
ρ
∩X
≥ α e
(I
2
) existe um e ∈ ∂B
1
∩ X e R > ρ tais que se Q ≡
B
R
∩ V
⊕ {re; 0 < r < R} ent˜ao
I|
∂Q
≤ 0.
Ent˜ao I possui um valor cr´ıtico c ≥ α que pode ser caracterizado por
c ≡ inf
h∈Γ
max
u∈Q
I(h(u)),
onde
Γ = {h ∈ C(Q, E); h ≡ Id em ∂Q}.
Aqui, ∂Q refere-se `a fronteira de Q relativamente a V ⊕ < e>.
Prova: Devemos provar que
c ≥ α. (4.31)
Isto ser´a feito na pr´oxima proposi¸c˜ao. Suponha portanto que (4.31) ´e v´alido. Ent˜ao, um
argumento padr˜ao de contradi¸c˜ao mostra que c ´e de fato um valor cr´ıtico.
Claramente, supondo K
c
= ∅, tome ε = α/2 e sejam ε, η ∈ C([0, 1] × E, E) de acordo
com o lema da deforma¸c˜ao. Assim, p elo item 7 temos,
I(η(1, h(u))) ≤ c − ε ∀u tal que I(h(u)) ≤ c + ε.
84
Logo, tome h ∈ Γ tal que
max
u∈Q
I(h(u)) ≤ c + ε.
´
E suficiente provar ent˜ao que η(1, h(·)) ∈ Γ. De fato, se u ∈ ∂Q ent˜ao h(u) = u e
η(1, h(u)) = η(1, u). Uma vez que
I(u) ≤ 0 ≤ c −
α
2
= c − ε,
temos que I(u) /∈ [c − ε, c + ε], portanto
η(1, h(u)) = η(1, u) = u ∀u ∈ ∂Q.
Logo, η(1, h(·)) ∈ Γ, uma contradi¸c˜ao pois
c ≤ max
u∈Q
I(η(1, h(u))) ≤ c − ε.
Para verificarmos (4.31), estabeleceremos o seguinte resultado:
Proposi¸c˜ao 1 Se h ∈ Γ, ent˜ao
h(Q) ∩ ∂B
ρ
∩ X = ∅.
Prova: Seja P : E → V o operador proje¸c˜ao. Assim, para cada h ∈ Γ devemos encontrar
u ∈ Q satisfazendo
P (h(u)) = 0
Id − P
(h(u))
E
= ρ.
(4.32)
Considerando
¯
Q como sendo o fecho do conjunto Q com respeito `a V ⊕ <e>, temos que
se u ∈
¯
Q ent˜ao u = v + re onde v ∈
¯
B
R
∩ V e 0 ≤ r ≤ R, com v e r ´unicos. Sendo
assim, podemos identificar
¯
Q como um subconjunto de R× V . Defina ent˜ao um operador
φ : R × V −→ R × V , tal que
φ(r, v) =
(Id − P )
h(v + re)
E
, P (h(v + re))
.
Uma vez que P ´e um operador cont´ınuo, temos ent˜ao que φ ∈ C(Q, R × V ). Tomando
ent˜ao u ∈ ∂Q, como h|
∂Q
≡ Id, temos
φ(u) =
(Id − P )
h(u)
E
, P (h(u))
=
u − P (u)
E
, P (u)
=
v + re − P (v + re)
E
, v
=
re
E
, v
= (r, v) = u.
Portanto,
φ|
∂Q
= Id. (4.33)
Observemos ainda que (ρ, 0) = ρe + 0 = ρe ∈ Q, por ( I
2
). Logo, se (r, v) ∈ ∂Q, temos
φ(r, v) = (ρ, 0). Agora, como V tem dimens˜ao finita, temos d
φ, Q, (ρ, 0)
bem definido
e, por (4.33),
d
φ, Q, (ρ, 0)
= d
Id, Q, (ρ, 0)
= 1.
Portanto, pelas propriedades do grau em dimens˜ao finita, temos que existe u ∈ Q tal que
φ(u) = (ρ, 0) = ρe. Isto ´e equivalente a (4.32), como quer´ıamos demonstrar.
85
Referˆencias Bibliogr´aficas
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Oxford, 2003.
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de Doctorat, Universite de Paris VI, 1975.
[3] Br´ezis, Ha¨ım, Analyse functionelle, Masson, Paris, 1983.
[4] da Costa, S. S. I., Existˆencia de solu¸c˜oes para uma classe de sistemas hamiltonianos
fortemente indefinidos, Disserta¸c˜ao de Mestrado, UFPB, http://www.mat.ufpb.br/˜
jmbo, 2001.
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´
O, J. M., Ruf, B., An Orlicz-space approach to superlinear
elliptic systems, Journal of Functional Analysis 224, no. 2, 471-496, 2005.
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