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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
A Importância da Rapidez de Atendimento nos Caixas de
Supermercados: um estudo de caso utilizando um modelo
analítico de filas com trocas
José Gilberto Spasiani Rinaldi
São Carlos – SP
2007
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
A Importância da Rapidez de Atendimento nos Caixas de
Supermercados: um estudo de caso utilizando um modelo
analítico de filas com trocas
José Gilberto Spasiani Rinaldi
Tese de doutorado apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia de Produção da
Universidade Federal de São Carlos, como parte dos
requisitos para a obtenção do título de doutor em
Engenharia de Produção, sob a orientação do Prof. Dr.
Reinaldo Morabito.
São Carlos – SP
2007
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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária/UFSCar
R578ir
Rinaldi, José Gilberto Spasiani.
A importância da rapidez de atendimento nos caixas de
supermercados : um estudo de caso utilizando um modelo
analítico de filas com trocas / José Gilberto Spasiani Rinaldi.
-- São Carlos : UFSCar, 2007.
175 f.
Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos,
2007.
1. Pesquisa operacional. 2. Supermercados. 3. Qualidade
de atendimento. 4. Análise de correspondência. 5. Sistemas
de filas com trocas. I. Título.
CDD: 658.4034 (20
a
)
,/_.
~-1
\,
"..-.-.--.-.
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Rod. Washington luís. Km. 235 - CEP, 13565-905 - São Carlos - SP - Brasil
Fone/Fax: (016) 3351-8236/3351-8237 /3351-8238 (ramal: 232)
Em ail:[email protected]
FOLHA DE APROVAÇÃO
I
I
I
I
I
I
\
Aluno(a): José Gilberto Spasiani Rinaldi
TESE DE-DOUTOijADO DEFENDIDA E APROVADA EM 29/06/2007 PELA
COMISSAO JUkGOOORA:
Prat. Dr. Reinaklo Morabito Neto
O~dOr( a) PPGEP /UFSCar
prof.~:a~y~J:~shi .
COPPE/UFRJ
:iwdJ Mm
Prat. Dr. SolonAVenâncio de Carvalho
INPE/LAC
r O '1() ,
-\1 ;(U<\ó Ct-
PraF Dr3\fIlma MayumT ac ibana
DEMEC-FCT/UNESP
Prat.Dr.
Coordena
iv
DEDICATÓRIA
À RENATA
Companheira de todos os momentos... com
quem compartilho aprendizagens diárias,
principalmente, lições de superação e amor!
À MEUS PAIS (GILBERTO E ELZA - in
memorian)
Que tudo fizeram para que eu pudesse
trilhar mais esse caminho...
v
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Reinaldo Morabito pela parceria (pessoal e profissional) estabelecida ao
desenvolver este trabalho. Obrigado pela condução segura e atenciosa desse processo tão
significativo em meu percurso profissional.
Aos professores Fernando Yassuo Chiyoshi, Francisco Louzada Neto, Maria Creusa Bretas
Salles, Solon Venâncio de Carvalho e Vilma Mayumi Tachibana pelas contribuições neste
trabalho de tese.
À empresa que forneceu condições para realização deste trabalho.
À UFSCar e ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção.
A FCT/UNESP de Presidente Prudente pela oportunidade e, em especial, aos colegas do
Departamento de Matemática, Estatística e Computação.
Aos colegas Ana Paula Ianoni, João Eduardo Ramos e Randal Farago pela contribuição
neste trabalho. Aos colegas de convívio no Programa de Pós-Graduação da Engenharia de
Produção.
A toda minha família, em especial meus pais Gilberto e Elza (in memorian) e meus irmãos
Glória, Márcio e Cilene que sempre estiveram presentes em minha vida.
À Renata, pelo apoio e amor incondicional....
Finalmente, agradeço a Deus por me permitir trilhar mais esse caminho e se fazer presente
a todo o momento em minha vida!
Muito obrigado!
vi
RESUMO
A Importância da Rapidez de Atendimento nos Caixas de Supermercados: um estudo
de caso utilizando um modelo analítico de filas com trocas
As empresas de auto-serviço, em geral, têm se preocupado em melhorar seu desempenho
em relação à concorrência, seja para ganhar mercado ou mesmo para sobreviver. É
essencial que apresentem boa qualidade nos produtos oferecidos e/ou serviços prestados.
Assim, neste trabalho, entre outros, um dos objetivos, foi mostrar que o tempo de espera na
fila de caixas de supermercados assume grande importância na rapidez de atendimento e,
portanto, para o nível de serviço dos clientes. Outros objetivos também foram considerados.
As causas pelas quais o cliente freqüenta aquele supermercado e, nestas, a relevância de
cada uma em contraste com as outras, e sua importância relativa. Assim, pôde-se
contextualizar o cenário no qual os clientes enxergam a importância da fila e de seu tempo
de espera. Também, associou-se a escolaridade do cliente a fatores pelos quais este
freqüenta o local, sendo esta uma contribuição interessante devido a existir, no Brasil, uma
relação entre renda e escolaridade. Também, estudaram-se modelos de filas que podem
representar satisfatoriamente o sistema de filas nos caixas de supermercados e identificou-
se, entre eles, o que melhor representou o sistema. Para o modelo de filas com trocas, foi
verificado que os clientes trocam de fila quando percebem outra fila com menos clientes,
sendo que o tamanho desta diferença foi avaliado. Este modelo foi o que melhor
representou a situação comumente encontrada nos supermercados podendo fornecer
subsídios para melhoria de atendimento. Para a viabilização da pesquisa foram contatadas
algumas empresas da cidade de São Carlos/SP, sendo que, daquelas que permitiram a coleta
de dados, uma foi selecionada. Desta forma, este trabalho se trata de um estudo de caso,
tendo limitações inferenciais.
Palavras-chave: supermercados, rapidez de atendimento, análise de correspondência,
sistemas de filas com trocas.
vii
ABSTRACT
The importance of quick responsiveness in supermarket checkouts: a case study using
an analytical queueing model with jockeying
Self-service companies have been concerned about improving their performance in face of
competition, either to conquer new markets or to keep in business. It is essential for them to
present good quality products and/or services. Thus, in this study, one of the aims was to
show that the waiting time in supermarket checkout lines is very important for service
speed and, therefore, for the service level of customers. Other aims include the reasons why
the customer goes regularly to a specific supermarket and, among these reasons, the
relevance of each one in contrast with the others, and its relative importance. As a result, it
was possible to contextualize the scenario in which customers view the importance of
queues and their waiting time. Also, the level of schooling of the customers was associated
with the factors that lead them to go regularly to the place. This is an interesting
contribution because in Brazil there is a relation between income and schooling. Besides,
the queueing models that may satisfactorily represent the supermarket checkouts were
studied and the one that best represents the system was identified. It was verified that the
customers change lines when they notice another line with fewer customers, and the size of
this difference was assessed. The queueing model with jockeying was the one to best
represent the situation commonly found in supermarkets, and it can offer subsidies for
service improvement. In order to carry out this research some companies in the city of São
Carlos/SP were contacted, and one among the ones that allowed the data collection was
selected. Therefore, this is a case study, thus presenting inferential limitations.
Key words: supermarkets, quick responsiveness, correspondence analysis, queueing model
with jockeying.
viii
SUMÁRIO
Resumo........................................................................................................................... vi
Abstract........................................................................................................................... vii
Lista de figuras................................................................................................................ xi
Lista de tabelas................................................................................................................ xiv
Lista dos principais símbolos e siglas............................................................................. xvii
Capítulo 1. Introdução.................................................................................................... 1
1.1 Objetivos deste estudo............................................................................... 6
1.2 Organização do texto................................................................................. 8
Capítulo 2. Supermercados.............................................................................................
9
2.1 Introdução..................................................................................................
9
2.2 Tecnologias aplicáveis a supermercados................................................... 11
2.3 Mão de obra e aspectos legais.................................................................... 14
2.4 Gerenciamento das percepções nas filas de espera.................................... 16
2.5 A troca de filas........................................................................................... 18
Capítulo 3. A realização do experimento e da coleta de dados......................................
20
3.1 Introdução.................................................................................................. 20
3.2 A percepção de alguns gerentes................................................................. 20
3.3 Instrumentos e materiais para a coleta de dados........................................ 21
3.3.1 O questionário elaborado..................................................................... 21
3.3.2 Realização da amostra piloto............................................................... 21
3.3.3 O planejamento da coleta de dados...................................................... 22
3.3.4 A planilha para coleta nas filas............................................................ 23
3.3.5 A filmadora utilizada........................................................................... 24
3.3.6 A caixa para ocultar a filmagem.......................................................... 24
3.3.7 Cronometragem com computador e monitores.................................... 25
3.3.8 Recursos humanos empregados........................................................... 25
3.4 O experimento............................................................................................ 26
3.5 Considerações adicionais........................................................................... 29
Capítulo 4. A Análise dos questionários utilizando técnicas multivariadas................... 31
ix
4.1 Introdução................................................................................................... 31
4.2 Limite de espera e importância das características analisadas na
freqüência ao supermercado.......................................................................
32
4.3 O perfil das características pela análise de agrupamentos......................... 36
4.3.1 Algumas considerações sobre o método de agrupamentos.................. 40
4.3.2 Análise das características do supermercado por meio de
agrupamentos hierárquicos de variáveis............................................. 44
4.4 O número de itens na compra, a percepção de diferença de preços e a
escolaridade dos clientes entrevistados...................................................... 53
4.5 O cruzamento das características pela análise de correspondência........... 58
4.5.1 A análise das características utilizando análise de correspondência
simples................................................................................................ 58
4.5.2 Desenvolvimento algébrico.................................................................. 60
4.5.3 Resultados das análises de correspondência simples para as
características........................................................................................
64
4.5.4 A análise das características utilizando análise de correspondência
múltipla............................................................................................... 86
4.6 Considerações adicionais........................................................................... 95
Capítulo 5. Sistemas de filas com trocas em supermercados.......................................... 99
5.1 Introdução................................................................................................... 99
5.2 As modelagens freqüentemente utilizadas................................................. 103
5.3 O modelo com trocas.................................................................................. 108
5.3.1 A mudança no instante de chegada...................................................... 109
5.3.2 A mudança no instante de saída........................................................... 111
5.4 As suposições dos modelos........................................................................ 116
5.5 Algumas considerações e verificação das suposições................................ 119
5.6 Aplicação dos modelos freqüentemente utilizados.................................... 128
5.7 Aplicação do modelo com trocas............................................................... 132
5.8 Comportamento do modelo com trocas em função do número de filas
para a primeira semana de coleta............................................................... 142
5.9 A simulação do modelo com trocas........................................................... 145
5.9.1 O método de replicações....................................................................... 149
5.9.2 Sistemas terminais e não-terminais....................................................... 151
5.9.3 Simulando o modelo com trocas........................................................... 152
x
Capítulo 6. Conclusões.................................................................................................... 158
Referências...................................................................................................................... 162
Apêndice A...................................................................................................................... 167
Apêndice B...................................................................................................................... 168
Apêndice C...................................................................................................................... 169
Apêndice D...................................................................................................................... 170
Apêndice E...................................................................................................................... 171
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1. Sistema M/M/m de fila única...................................................................... 4
Figura 1.2. Sistemas de filas M/M/1 paralelas............................................................... 4
Figura 2.1. Visão geral dos caixas e empacotadores no supermercado......................... 10
Figura 2.2. No supermercado do futuro, na Alemanha, carrinhos identificam o
cliente e seu perfil, indicando promoções personalizadas............................................. 12
Figura 3.1. Visão frontal da caixa para a filmadora....................................................... 25
Figura 3.2. Visão interna da caixa com a filmadora...................................................... 25
Figura 3.3. Representação do supermercado: posição dos caixas, entrevistadores,
coletores e monitores..................................................................................................... 28
Figura 4.1 Gráfico do tempo máximo de espera (
i
x ) pelo número máximo de
clientes na fila (
i
y
)........................................................................................................
33
Figura 4.2. Visão geral dos métodos de agrupamentos.................................................. 41
Figura 4.3. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando correlação simples e
ligação média para todos os questionários..................................................................... 47
Figura 4.4. Representação gráfica dos agrupamentos e similaridades, utilizando
correlação simples e ligação média, para todos os questionários..................................
48
Figura 4.5. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando correlação
transformada e ligação média para todos os questionários............................................ 49
Figura 4.6. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando-se correlação
simples e ligação média, para a primeira semana de coleta........................................... 50
Figura 4.7. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando-se correlação
transformada e ligação média, para a primeira semana de coleta.................................. 50
Figura 4.8. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando-se correlação
simples e ligação média, para a segunda semana de coleta........................................... 51
Figura 4.9. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando-se correlação
transformada e ligação média, para a segunda semana de coleta.................................. 51
Figura 4.10.
Scree plot dos autovalores para preço, variedade, rapidez, qualidade,
localização, estacionamento e outras, utilizando análise fatorial, sem rotação e com
matriz de correlação....................................................................................................... 52
Figura 4.11. Representação gráfica do número de itens por cliente.............................. 54
Figura 4.12. Representação gráfica das classes para o número de itens por cliente...... 54
Figura 4.13. Representação gráfica dos diferentes níveis de escolaridade para os dias
de coleta......................................................................................................................... 55
Figura 4.14. Representação gráfica para a junção dos diferentes níveis de
escolaridade, para os dias de coleta................................................................................ 56
Figura 4.15. Renda média de um trabalhador associada ao nível de escolaridade para
o Brasil em 2004............................................................................................................ 57
xii
Figura 4.16. Análise de Correspondência Simples considerando-se Preço e
Escolaridade.................................................................................................................... 68
Figura 4.17. Análise de Correspondência Simples considerando-se Localização e
Escolaridade.................................................................................................................... 70
Figura 4.18. Análise de Correspondência Simples considerando-se Rapidez e
Escolaridade.................................................................................................................... 71
Figura 4.19. Análise de Correspondência Simples considerando-se Qualidade e
Escolaridade.................................................................................................................... 73
Figura 4.20. Análise de Correspondência Simples considerando-se Variedade e
Escolaridade.................................................................................................................... 74
Figura 4.21. Análise de Correspondência Simples considerando-se Estacionamento e
Escolaridade.................................................................................................................... 76
Figura 4.22. Análise de Correspondência Simples considerando-se Outras e
Escolaridade.................................................................................................................... 77
Figura 4.23. Análise de Correspondência Simples considerando-se a primeira opção.. 79
Figura 4.24. Análise de Correspondência Simples considerando-se a quarta opção..... 81
Figura 4.25. Gráfico da porcentagem de não respostas para os diferentes níveis de
escolaridade.................................................................................................................... 82
Figura 4.26. Análise de Correspondência Simples considerando-se Diferença de
Preços e Escolaridade..................................................................................................... 83
Figura 4.27. Análise de Correspondência Simples considerando-se as classes para o
número de itens e escolaridade....................................................................................... 85
Figura 4.28. Análise de Correspondência Múltipla considerando-se preço, variedade
e escolaridade................................................................................................................. 89
Figura 4.29. Análise de Correspondência Múltipla considerando-se rapidez,
qualidade e escolaridade................................................................................................. 92
Figura 4.30. Análise de Correspondência Múltipla considerando-se classes de itens,
diferença de preços e escolaridade.................................................................................
94
Figura 4.31. Esquema das análises e associações entre as características apontadas
pelos clientes como motivo de freqüência ao supermercado......................................... 97
Figura 5.1. Três realizações de simulação da fila
M/M/1 considerando o tempo gasto
na fila com
ρ
=0,9..........................................................................................................
100
Figura 5.2. Autocorrelações teóricas do tempo gasto no sistema de fila
M/M/1 com
ρ
=0,9.............................................................................................................................
101
Figura 5.3. Esquema para possíveis mudanças no instante de chegada......................... 110
Figura 5.4. Esquema para possíveis mudanças no instante de saída com um caixa
vazio................................................................................................................................ 112
Figura 5.5. Esquema para mudança instantânea, no momento de saída do cliente do
caixa 1, sem caixa vazio................................................................................................. 112
Figura 5.6. Diagrama parcial das possíveis mudanças nos estados, com
m=4, k=1 e
N=3................................................................................................................................. 114
Figura 5.7. Ajuste para os tempos entre chegadas de todos os clientes nos caixas
normais no dia 5 de dezembro........................................................................................ 122
xiii
Figura 5.8 Ajuste uniforme para o número de clientes que entram nos caixas normais
no dia 5 de dezembro..................................................................................................... 122
Figura 5.9 Ajuste realizado para os tempos de serviço do caixa normal 4, no dia 5 de
dezembro, obtendo uma distribuição exponencial......................................................... 123
Figura 5.10 Ajuste realizado para todos os tempos de serviço dos caixas rápidos, no
dia 5 de dezembro, obtendo uma distribuição exponencial........................................... 124
Figura 5.11 Ajuste uniforme para o número de clientes que entram nos caixas
rápidos, no dia 5 de dezembro....................................................................................... 124
Figura 5.12 Ajuste exponencial dos tempos de serviço no caixa rápido 13, no dia 5
de dezembro................................................................................................................... 125
Figura 5.13 Variação da taxa de entrada para os caixas normais nos períodos de
coleta............................................................................................................................. 126
Figura 5.14 Variação da taxa de entrada para os caixas rápidos nos períodos de
coleta.............................................................................................................................. 126
Figura 5.15 Gráfico mostrando a estabilização do tempo estimado de espera
conforme aumento do número de filas mantendo
µ
λ
m
E
/ fixo (amostra do dia
5/12/04)..........................................................................................................................
144
Figura 5.16 Gráfico mostrando a estabilização do tempo estimado de espera
conforme aumento do número de filas mantendo
µ
λ
m
E
/
fixo (amostra do dia
4/12/04)..........................................................................................................................
145
Figura 5.17 Autocorrelações em função dos lags para uma replicação de caixa
normal para o dia 12 de dezembro................................................................................. 155
Figura 5.18 Autocorrelações em função dos lags para uma replicação de caixa
rápido para o dia 11 de dezembro.................................................................................. 155
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1. Informações gerais sobre a coleta de dados do experimento...................... 23
Tabela 4.1. Intervalos de confiança simultâneos com
α
=0,005...................................
35
Tabela 4.2. Níveis de similaridade e distância...............................................................
47
Tabela 4.3. Variabilidade total explicada pelos 3 fatores.............................................. 53
Tabela 4.4. Cruzamento entre as variáveis Preço e Escolaridade.................................. 59
Tabela 4.5. Porcentagem para o cruzamento entre Preço e Escolaridade...................... 65
Tabela 4.6. Diferença entre as freqüências observada e esperada................................. 65
Tabela 4.7. Distâncias Qui-Quadrado para Preço e Escolaridade..................................
66
Tabela 4.8. Inércias relativas aos componentes.............................................................
67
Tabela 4.9. Contribuições do perfil linha para os componentes.................................... 67
Tabela 4.10. Contribuições do perfil coluna para os componentes................................ 68
Tabela 4.11. Contribuições dos perfis linha e coluna para Localização........................ 69
Tabela 4.12. Contribuições dos perfis linha e coluna para Rapidez.............................. 71
Tabela 4.13. Contribuições dos perfis linha e coluna para Qualidade........................... 72
Tabela 4.14. Contribuições dos perfis linha e coluna para Variedade........................... 74
Tabela 4.15. Contribuições dos perfis linha e coluna para Estacionamento.................. 75
Tabela 4.16. Contribuições dos perfis linha e coluna para Outros................................. 75
Tabela 4.17. Médias das características e suas inércias para não respostas................... 78
Tabela 4.18. Contribuições dos perfis linha e coluna para a primeira opção................ 79
Tabela 4.19. Contribuições dos perfis linha e coluna para a quarta opção.................... 80
Tabela 4.20. Contribuições dos perfis linha e coluna para Diferença de Preços........... 83
Tabela 4.21. Contribuições dos perfis linha e coluna para Classes de Itens.................. 84
Tabela 4.22 Decomposição da inércia para preço, variedade e escolaridade................ 87
Tabela 4.23. Contribuições do perfil coluna para os componentes................................ 88
Tabela 4.24. Decomposição da inércia para rapidez, qualidade.................................... 90
Tabela 4.25. Contribuição do perfil coluna para as componentes................................. 91
Tabela 4.26. Decomposição da inércia para classe de itens e diferença de preços........ 93
Tabela 4.27. Contribuição do perfil coluna para os componentes................................. 93
Tabela 5.1 Quantidades calculadas para a ANOVA...................................................... 118
xv
Tabela 5.2 Taxas de entradas e serviço, a proporção de servidores ocupados,
tamanho amostral e tempo médio de espera na fila para caixas normais e rápidos, nas
duas semanas de coleta..................................................................................................
120
Tabela 5.3 Quantidades calculadas para a ANOVA para as médias de tempos de
serviço, no dia 5 de dezembro........................................................................................ 125
Tabela 5.4 Porcentagens de trocas de filas observadas segundo o tipo de caixa e dias
de coleta......................................................................................................................... 127
Tabela 5.5 Resultados para as filas M/M/m e
m
MM ]1//[ , para a primeira semana de
coleta..............................................................................................................................
129
Tabela 5.6 Resultados para as filas
M/M/m e
m
MM ]1//[
, para a segunda semana de
coleta..............................................................................................................................
129
Tabela 5.7 Resultados para as filas
M/M/m/mN e
m
NMM ]/1//[ para a primeira
semana de coleta............................................................................................................
130
Tabela 5.8 Resultados para as filas
M/M/m/mN e
m
NMM ]/1//[
para a segunda
semana de coleta............................................................................................................
131
Tabela 5.9 Resultados para as filas
M/G/m e
[
]
m
GM 1//
para os dias de coleta...........
132
Tabela 5.10 Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
= 1,6039,
µ
= 0,2384, com tempo observado na amostra de 1,80 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,841, para o dia 3 de dezembro...................................................................
133
Tabela 5.11 Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
= 1,8196,
µ
= 0,6250, com tempo observado na amostra de 1,43 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,728, para o dia 3 de dezembro...................................................................
134
Tabela 5.12 Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
= 1,3182,
µ
= 0,1880, com tempo observado na amostra de 3,36 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,878, para o dia 4 de dezembro...................................................................
135
Tabela 5.13 Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
= 2,3785,
µ
= 0,6693, com tempo observado na amostra de 1,82 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,888, para o dia 4 de dezembro...................................................................
135
Tabela 5.14 Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
= 1,6058,
µ
= 0,2336, com tempo observado na amostra de 1,85 minutos e
µ
λ
m
E
/
= 0,859, para o dia 5 de dezembro...................................................................
136
Tabela 5.15 Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
= 2,0803,
µ
= 0,6228, com tempo observado na amostra de 1,61 minutos e
µ
λ
m
E
/
= 0,835, para o dia 5 de dezembro...................................................................
137
Tabela 5.16 Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
= 1,4172,
µ
= 0,2182, com tempo observado na amostra de 1,39 minutos e
µ
λ
m
E
/
= 0,812, para o dia 10 de dezembro................................................................
137
Tabela 517. Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
= 1,7311,
µ
= 0,6130, com tempo observado na amostra de 1,24 minutos e
µ
λ
m
E
/
= 0,706, para o dia 10 de dezembro.................................................................
138
xvi
Tabela 5.18 Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
= 1,3429,
µ
= 0,1901, com tempo observado na amostra de 3,63 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,883, para o dia 11 de dezembro.................................................................
138
Tabela 5.19 Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
= 2,4239,
µ
= 0,6718, com tempo observado na amostra de 2,19 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,902, para o dia 11 de dezembro.................................................................
139
Tabela 5.20 Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
= 1,6099,
µ
= 0,2254, com tempo observado na amostra de 2,92 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,893, para o dia 12 de dezembro.................................................................
139
Tabela 5.21 Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
= 2,2399,
µ
= 0,6272, com tempo observado na amostra de 2,64 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,893, para o dia 12 de dezembro................................................................
139
Tabela 5.22 Comparação entre os modelos
mMM //
,
m
MM ]1//[ e o melhor
resultado obtido pelo modelo com trocas, para caixas normais e rápidos, na primeira
semana de coleta............................................................................................................
140
Tabela 5.23 Comparação entre os modelos
mMM //
,
m
MM ]1//[ e o melhor
resultado obtido pelo modelo com trocas, para caixas normais e rápidos, na segunda
semana de coleta............................................................................................................
141
Tabela 5.24 Tempo estimado (
q
W
) para o modelo com trocas, com m filas de caixa
normal, sendo
E
λ
variável,
µ
= 0,2336, com tempo observado na amostra de 1,85
minutos e fixando-se
µ
λ
m
E
/ = 0,859, para o dia 5 de dezembro.................................
143
Tabela 5.25 Tempo estimado (
q
W
) para o modelo com trocas, com m filas de caixa
normal, sendo
E
λ
variável,
µ
= 0,1880, com tempo observado na amostra de 3,36
minutos e fixando-se
µ
λ
m
E
/ = 0,878, para o dia 4 de dezembro.................................
144
Tabela 5.26 Resultados da simulação, do modelo com trocas e das amostras para o
tempo médio gasto na fila nos caixas normais.............................................................. 156
Tabela 5.27 Resultados da simulação, do modelo com trocas e das amostras para o
tempo médio gasto na fila nos caixas rápidos............................................................... 156
xvii
LISTA DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS E SIGLAS
ANOVA análise de variância
),( yxd distância entre dois itens
D matriz de distâncias
E característica estacionamento
E
i categoria i de estacionamento
K diferença de clientes para troca de filas
,
k
número de replicações (ou batches)
lag j atraso ou distância de j unidades entre duas observações
L característica localização
L
i categoria i de localização
L número médio de usuários no sistema
i
L
número médio de usuários no caixa i
q
L
número médio de usuários na fila
)1()1( −− JxJ
Λ
matriz diagonal de autovalores
λ
taxa de chegadas
i
λ
taxa de chegadas do caixa i
E
λ
taxa de entradas
µ
λ
m
E
/
proporção de servidores ocupados
m
número de filas no sistema
,
m tamanho das replicações (ou batches)
N número máximo de clientes na fila
i
n
número de clientes no caixa i
,
n
tamanho da rodada de simulação
),...,,(
21 m
nnn
espaço de estados do sistema de filas
O característica outras
O
i categoria i de outras
P característica preço
xviii
Pi categoria i de preço
N
p
probabilidade de perda para o sistema
m
NMM ]/1//[
mN
p probabilidade de perda para o sistema M/M/m/mN
)( JxI
P
matriz de correspondência
p(0) probabilidade do sistema estar vazio
p
),...,,(
21 m
nnn
probabilidade do sistema estar no estado
),...,,(
21 m
nnn
Q característica qualidade de atendimento
Q
i categoria i de qualidade de atendimento
R característica rapidez de atendimento
R
i categoria i de rapidez de atendimento
2
R
coeficiente de explicação
S
matriz amostral de covariâncias
σ
2
∧
(
X
(
,
n )) estimador não viciado para a variância de
X
(
,
n )
Σ
matriz de covariâncias
R
matriz de correlação amostral
ρ
matriz de correlação
ρ
fator de utilização
i
ρ
fator de utilização do caixa i
*
j
ρ
autocorrelação de lag j
ij
ρ
correlação entre duas variáveis aleatórias i e j
γ
medida a ser estimada por simulação
µ
taxa de serviços
i
ν
autovalor i
)( JxI
X
matriz de freqüências
X
i
(
,
m
) média do batch i
X
(
,
n
) média geral na simulação
2
χ
medida de associação Qui-quadrado
xix
2
IJ
χ
inércias das células
n/
2
χ
inércia total
W tempo médio de espera no sistema
q
W
tempo médio de espera na fila
i
q
W
tempo médio de espera na fila i
1
Capítulo 1 - Introdução
As empresas de auto-serviço, em geral, têm se preocupado em melhorar seu
desempenho em relação à concorrência, seja para ganhar mercado ou mesmo para
sobreviver. Com este objetivo é essencial que estas apresentem boa qualidade nos produtos
oferecidos ou serviços prestados. Para tanto, deve-se conduzir melhorias na formação de
competências de seus funcionários e da organização, com objetivo de manter a
competitividade da empresa.
Quando os clientes realizam uma compra, não estão simplesmente adquirindo
um produto. Estão comprando um conjunto de benefícios que, esperam eles, atendam suas
necessidades. Desta forma, é importante a percepção que os clientes têm sobre os
benefícios do que foi comprado. Igualmente, é importante para a empresa saber o que seus
clientes estão comprando dela. Esses benefícios, além de qualidades de bens físicos e
serviços, podem incluir, por exemplo, um ambiente agradável ou uma atmosfera relaxante
no local onde se realiza a compra. Em algumas situações esses benefícios podem garantir
aos clientes da empresa uma agregação de valor. Este raciocínio se aplica ainda mais
fortemente ao setor de serviços.
A competição entre as empresas pode causar uma procura atualizada por
estratégias eficientes para enfrentar mudanças resultantes da busca por consolidação e
ampliação do mercado. Para algumas empresas, como é caso dos supermercados, é de
muita importância desenvolver estratégias orientadas para serviços.
Os supermercados são empresas varejistas, ou seja, representam o último elo do
canal entre um produto e o consumidor, vendem proeminentemente alimentos perecíveis
dispostos em formato para auto-atendimento (self-service) e com caixas (checkouts) na
saída, tratando-se, portanto, de auto-serviço.
Estas empresas têm se preocupado em melhorar o nível de serviço ao
consumidor para fidelizá-lo e aumentar o volume de vendas. Pode-se observar uma forte
tendência de grandes redes de supermercados em fazer uso de tecnologias mais avançadas
que permitam utilizar menor número de empregados, maior número de caixas para
atendimento, maior flexibilidade de horário, maior variedade de produtos e disposição
organizada dos mesmos.
2
De modo geral, o consumidor pode estar fidelizado ao supermercado onde
compra. A freqüência ao estabelecimento faz com que o usuário se acostume ao local,
conhecendo melhor o espaço físico, a variedade encontrada e a disposição dos produtos,
além de ter a percepção dos horários menos congestionados, facilitando suas compras.
Os clientes podem escolher o local de suas compras por fatores como rápido
atendimento, funcionários educados e prestativos em atender, a localização, preço e
estacionamento disponível, entre outros. Contudo, parece que preços altos e filas
exageradas são fatores que podem levar o estabelecimento a uma diminuição da freqüência
dos clientes e, conseqüentemente, a uma queda no volume de vendas.
O cliente que tem como primeira opção o preço dos produtos geralmente faz
pesquisa antes de realizar uma compra, o que pode ser muito facilitado pela distribuição de
encartes de propaganda fornecidos pelos supermercados. Este cliente, pelo tipo de conduta
de compra, é difícil de ser fidelizado. Então, a empresa que apostar como estratégia
principal no fator preço pode encontrar dificuldades para fidelizar seus clientes e, assim,
não alcançar os resultados desejados.
Consumidores podem relacionar o alto tempo total gasto no supermercado para
realizar compras com falta de organização geral deste. No tempo total de permanência do
cliente no supermercado, um fator determinante pode ser o tempo de espera na fila do
caixa. Enquanto circula pelo local escolhendo produtos a serem adquiridos, ele está
executando algo de seu interesse e cujo tempo pode ser razoavelmente controlado.
Contudo, permanecer na fila do caixa é considerado pelo cliente um tempo praticamente
perdido, onde ele não executa qualquer tarefa que contribua com sua compra.
Uma área de estudo que procura minimizar os efeitos da espera na fila é o
gerenciamento das percepções nas filas de espera (COGAN, 1998). Em vários locais,
técnicas aplicadas a esta área têm obtido resultados satisfatórios. Muito se tem pesquisado
para melhoria de atendimento nos supermercados, contudo, os trabalhos com atenção
essencial para filas são poucos.
Alguns estudos procuram relacionar a capacidade de serviço (ou atendimento)
com o aumento da demanda (ITTIG, 2002). Assim, pode-se obter um tradeoff (uma
compensação) entre capacidade de atendimento e volume de vendas, auxiliando na tomada
de decisões.
3
Outros estudos levam em consideração até a justiça na prioridade de
atendimento e psicologia das filas. Algumas filas podem ser injustas, ou seja, não
necessariamente os clientes que chegam primeiro serão atendidos antes. Dependendo das
circunstâncias em que ocorre, isto pode enfurecê-los com sérias conseqüências para a
empresa (LARSON, 1987). Desta forma, quando se utiliza uma única fila de espera, a
tendência é de que o cliente possa ficar mais satisfeito com o serviço prestado. Os
supermercados, por problemas relacionados a espaço físico, se utilizam freqüentemente de
filas paralelas nos caixas. Algumas vezes uma fila única é utilizada para caixas rápidos, por
exemplo.
Entender a motivação e comportamento do consumidor, frente a novas
tecnologias em auto-atendimento também tem sido pesquisados (DABHOLKAR,
BOBBITT e LEE, 2003). Fatores situacionais e características do consumidor foram
estudados e concluiu-se que uma variável relevante para qualquer serviço é a espera
(DABHOLKAR e BAGOZZI, 2002). Até mesmo esperar para baixar informação
(download) pela Internet já preocupa gerentes em relação ao comportamento do usuário.
Também, falhas e sucessos de compra pela Internet têm sido investigados para entender e
predizer tecnologia em auto-atendimento (BOBBITT e DABHOLKAR, 2001).
Percebe-se que a espera, de um modo geral, sensibiliza o cliente em seu futuro
comportamento. Um consumidor insatisfeito com seu tempo de espera talvez possa não
desistir de sua compra naquele momento, contudo, pode não voltar mais àquele
estabelecimento devido a imagem negativa percebida. Esta é uma perda difícil de ser
quantificada e, em longo prazo permanecendo o problema, o estabelecimento terá queda de
demanda possivelmente sem descobrir a razão disto.
As filas dos caixas em um supermercado, sendo responsáveis por grande parte
da espera do cliente, devem ser objeto de estudo quanto ao nível de atendimento desejado
em todo sistema prestador de serviço que a possua. Representá-la, modelando-a
adequadamente, é fase importante para propor melhorias de desempenho.
Devido à existência de uma variedade de filas, houve a necessidade de
desenvolver uma notação que as identificasse. Uma fila, de forma geral, possui seis
características, denotadas como A/B/m/C/N/K (GROSS e HARRIS, 1974), nas quais A
denota a distribuição do tempo entre chegadas sucessivas, B denota a distribuição do tempo
4
de serviço, m denota o número de servidores em paralelo, C denota a disciplina da fila, N
denota o número máximo de usuários no sistema (entre fila e atendimento) e K denota o
tamanho da população, referente a usuários disponíveis. As notações A e B, por exemplo,
podem indicar distribuição exponencial (denotada por M, de Markov, sem memória), ou
Erlang com parâmetro n (denotada por
n
E
), entre outras. A disciplina pode ser FCFS
(quem chega primeiro é atendido primeiro, situação usual), LCFS (quem chega por último é
atendido primeiro), entre outras. Também,
K e N podem ser considerados variando de 1 a
∞
, conforme as características do modelo a ser denotado. Quando a notação C está ausente,
isto significa FCFS. Também, quando há a ausência de
K e/ou N , pode ser considerado
como
∞
.
Filas paralelas têm sido freqüentemente objetos de estudo, como, por exemplo,
o sistema
M/M/m com fila única (MITRANI, 1998), (vide figura 1.1). Estas podem ser
comparadas a
m filas M/M/1 paralelas (também denotadas por
m
MM ]1//[ ), situação
encontrada em supermercados (vide figura 1.2), quando é razoável considerar as
distribuições de chegada e serviço dos usuários como exponenciais negativas.
Saída
Fila
Processo de
chegada
Caixas
Figura 1.1. Sistema M/M/m de fila única.
Saída
Filas
Processo de
chegada
Caixas
Figura 1.2. Sistemas de filas M/M/1 paralelas.
5
Em algumas ocasiões, as distribuições de chegada e/ou de serviço podem não ter
distribuição exponencial e, então, os modelos acima não poderiam adequadamente ser
aplicados. Quando isto ocorre, utilizam-se algumas aproximações referentes ao sistema
com m filas G/G/1 (análogo à figura 1.2) ou a uma fila G/G/m (análoga à figura 1.1), onde
G denota uma distribuição genérica. Ainda, duas outras situações podem ser consideradas:
o modelo de fila M/M/m/FCFS/N (ou simplesmente M/M/m/N) e o modelo de fila
m
NFCFSMM ]//1//[ (ou simplesmente
m
NMM ]/1//[ ). Estes modelos consideram a
impossibilidade física de se alocar muitas pessoas na fila do supermercado. É natural então
que, quando a fila está muito grande, as pessoas desistam das compras, tornando os
modelos com capacidade limitada.
Uma outra situação é considerar as m filas M/M/1/N paralelas, podendo haver a
troca de fila (jockeying) por parte dos clientes, toda vez que houver uma outra fila com
menor número de usuários do que os que estão na fila à sua frente (MORABITO e LIMA,
2004).
O espaço físico é fator importante quando da escolha de um sistema de filas.
Como exemplo, se um supermercado opera com muitos caixas, pode haver grande
limitação em considerar uma única fila. Há também estudos que foram realizados com filas
paralelas e com jockeying probabilístico (FERRARI, 2002).
A aplicação e avaliação de modelos com fila única, e com filas em paralelo, com
ou sem trocas, em uma situação real, se proporciona como interessante problema de
pesquisa. Algumas empresas (supermercados) da cidade de São Carlos/SP foram contatadas
quanto ao interesse em permitir a coleta de dados e realização de estudos. Apesar de
algumas recepções positivas, verificou-se um comportamento de resistência por parte de
alguns gerentes. Estes apostam, preferencialmente, em preços como uma causa
extremamente importante para atração de clientes, alguns deles alegando que a fila não
constitui um fator tão importante para a satisfação dos mesmos. Admitindo-se que as filas
têm importância, duas hipóteses para este comportamento de resistência podem ser
levantadas: a primeira seria a falta de conhecimento da real importância das filas para os
clientes e de suas implicações; e a segunda, poderia constituir-se em certa insegurança para
uma possível aplicação dos resultados obtidos no local analisado.
6
Para melhorar o sistema de filas é preciso estudá-lo, saber sua real importância,
contextualizá-lo na empresa onde este se apresenta, principalmente considerando as
opiniões dos clientes. A realização de troca de filas é um procedimento do cliente que
procura minimizar seu tempo de permanência na fila. Questões importantes de pesquisa são
obtidas, tais como que informações o cliente avaliou quando fez a troca, e assim qual seria
a melhor maneira para representar o sistema de fila do supermercado estudado englobando
este novo conhecimento.
1.1 Objetivos deste estudo
O objetivo geral deste estudo é mostrar que o tempo de espera na fila de caixas
de supermercados desempenha um importante papel para o nível de serviço dos clientes.
De forma mais específica, estudaram-se as causas pelas quais o cliente freqüenta um
supermercado e, nestas, a relevância de cada uma em contraste com as outras, e sua
importância relativa. Assim, pôde-se contextualizar o cenário no qual os clientes enxergam
a importância da fila e de seu tempo de espera. Associar a escolaridade do cliente aos
fatores pelos quais este freqüenta o local foi uma contribuição interessante para
supermercados, pois, no Brasil, existe uma forte relação entre renda e escolaridade.
Conhecer sua clientela é desejo de qualquer empresa que quer fidelizá-la. Desta forma, esta
questão também foi pesquisada.
Outro objetivo é estudar, propor e analisar modelos analíticos de filas eficazes
para mais adequadamente estimar o tempo de espera na fila em supermercados. Em
particular, para o modelo de filas com trocas, foram avaliadas as causas que determinaram
as trocas realizadas pelos clientes. Uma questão interessante que foi observada se refere a
se o cliente avaliou somente o número de pessoas na fila para efetuar a troca. Isto, de fato,
ocorreu, pois pouquíssimos clientes revelaram ter observado a quantidade de trabalho a ser
processada a sua frente.
A sensibilidade do usuário em relação ao tempo máximo esperado na fila e no
tamanho desta também foi investigada neste trabalho. Relacionar tempo e tamanho de fila
não é tão simples, pois neste caso, a percepção do tempo esperado pelo cliente depende de
vários fatores que muitas vezes não pode ser controlado. Por meio do coeficiente de
7
determinação aproximado notou-se que os clientes não conseguem relacionar de forma
coerente tempo e tamanho de fila.
Para a coleta dos dados nas filas dos supermercados, foram utilizadas planilhas
contendo informações como: tempos entre chegadas nas filas, tempos de serviço nos caixas,
instantes das trocas de fila e as condições em que foram realizadas.
Com o objetivo de coletar informações relevantes sobre a sensibilidade do
usuário em relação ao tempo na fila e as causas pelas quais ele freqüenta o supermercado,
foi planejado e construído um questionário (survey) (REA e PARKER, 2000). Este foi
aplicado utilizando-se amostragem sistemática na saída dos clientes após o atendimento no
caixa. Para realizar a análise dos dados fornecidos pelos questionários, foram necessárias
técnicas estatísticas como análise de regressão, análise de agrupamento hierárquico e
análise de correspondências (JOHNSON e WICHERN, 2002), entre outras. Os
instrumentos principais de pesquisa, então utilizados, foram constituídos de um
questionário, do software estatístico Minitab e da planilha para coleta dos tempos nos
caixas, entre outros.
Para comparar os modelos analíticos de filas foram utilizadas rotinas que
fornecem algumas medidas de desempenho (WOLFF, 1989; KLEINROCK, 1975), que
permitem analisá-los e, assim, originando subsídios que apontaram aquele que melhor
representou a fila real investigada.
Ao se realizar uma pesquisa, é importante que o método de procedimento
assumido seja o mais adequado possível à situação do problema. Nas pesquisas
organizacionais que se realizam atualmente, os métodos utilizados têm grande influência
em pesquisas na área de Ciências Sociais. Contudo, nas organizações existem
características próprias que conduzem a utilização mais freqüente de alguns métodos, sendo
que o estudo de caso é o método de procedimento mais utilizado pela gestão da produção.
Trata-se da análise minuciosa de alguns casos que freqüentemente são encontrados em
organizações, focalizando acontecimentos contemporâneos e tentando facilitar decisões
(YIN, 2001). Desta forma, no presente trabalho, o estudo de caso foi aplicado, existindo até
mesmo a preocupação com a percepção das pessoas, o que é típico deste método de
procedimento.
8
1.2 Organização do texto
O presente texto é organizado em seis capítulos e estruturado da forma a seguir.
O segundo capítulo trata de referenciais sobre supermercados, a percepção dos
clientes em relação aos serviços oferecidos pelos supermercados e os aspectos legais sobre
filas atualmente. Procura ainda discutir sobre gerenciamento das percepções nas filas de
espera e a troca de filas nos supermercados.
O terceiro capítulo procura discutir a percepção de alguns gerentes sobre a
importância das filas para supermercados, motivo pelo qual ampliou-se a pesquisa
inicialmente proposta. Trata também, dos instrumentos e materiais utilizados na coleta de
dados, bem como de seu planejamento e da amostra piloto. Refere-se, ainda, à forma com
que os recursos humanos empregados foram necessários e como o experimento transcorreu
no supermercado. Finalmente, fornece uma impressão geral sobre as contribuições que o
contato direto com os clientes trouxe ao trabalho.
O quarto capítulo trata da análise do questionário. Empregaram-se técnicas
multivariadas para posicionar as categorias pelas quais os clientes freqüentam o
supermercado. Também, procura associá-las à escolaridade, ao tamanho da compra e à
percepção da existência de diferença de preços. Estas associações fornecem subsídios a
decisões gerenciais, visto que, renda está associada à escolaridade, formando um cenário
sobre o comportamento dos clientes.
O quinto capítulo trata dos modelos analíticos de filas que podem ser aplicados
aos supermercados. Alguns desses modelos foram comparados com a intenção de verificar
aquele que melhor representou a situação real encontrada. Também, considerando o modelo
com trocas, foram investigados os motivos que fazem com que os clientes troquem de fila,
podendo contribuir com a melhoria do modelo.
Por último, são apresentadas as conclusões deste trabalho bem como as
perspectivas para pesquisas futuras.
9
Capítulo 2 – Supermercados
2.1 Introdução
Os supermercados e hipermercados podem ser classificados por suas
características ou mesmo pelo número de caixas (checkouts) existentes nas lojas (BRASIL,
1996). Os hipermercados possuem grandes áreas com diversificada gama de produtos,
incluindo alimentos, bebidas, roupas, artigos para residências, artigos para carros, etc.
Geralmente possuem mais de cinco mil metros quadrados. Estes podem ser classificados
também desta forma por possuírem mais de cinqüenta checkouts.
Os supermercados constituem-se, preferencialmente, de itens alimentares. Em
suas classificações, por tamanho, constam lojas de cinco a quarenta e nove checkouts, ou
seja, possuem grande flexibilidade de tamanho. Ainda, os estabelecimentos que possuem
até quatro checkouts são denominados minimercados.
A empresa onde foram coletados os dados possui um total de dezesseis
checkouts condizendo, segundo a definição, como supermercado, tanto por tamanho quanto
por características. Como boa parte das empresas brasileiras, esta, também, caracteriza-se
pelo controle familiar. Sendo fundada há algumas décadas, hoje se encontra sendo
administrada por descendentes, atuando na cidade de São Carlos/SP há mais de quarenta
anos. A empresa tem seis lojas nesta cidade e também em quinze cidades da região, com
um total de vinte e oito lojas. Embora tenha controle familiar, pode-se observar uma
tendência de elevar a profissionalização das administrações e de marketing demonstrando
um bom conhecimento de gerenciamento da empresa.
Neste setor tem existido um forte enfoque à terceirização da mão de obra,
principalmente de operadores de caixa. Contudo, o supermercado em questão não tem
operado assim, havendo inclusive funcionários trabalhando há mais de dez anos na
empresa. Um fato interessante deste setor é que geralmente os únicos contatos diretos da
empresa com os clientes são obtidos por meio dos operadores de caixa. Desta forma, os
supermercados que se utilizam de terceirização de mão de obra com grande rotatividade
têm estes contatos perdidos, diminuindo a importância dos funcionários nas estratégias da
organização, e não se utilizando de informações que poderiam ser valiosas para a empresa.
10
Deve-se ressaltar que, no supermercado onde a pesquisa foi realizada, alguns
operadores de caixa conhecem vários clientes pelo nome, possibilitando um estreitamento
do relacionamento e fornecendo um tratamento diferenciado, o que pode ocasionar
inclusive em fidelização, característica muito desejável neste setor.
Outro diferencial observado na empresa é a presença de empacotadores (vide
figura 2.1). Em vários supermercados têm se observado que o cliente e/ou o caixa ficam
responsáveis por este serviço, podendo haver duas implicações negativas: desprestígio do
cliente e seguramente um atraso no tempo de serviço. No supermercado em questão isto
não ocorre, pois enquanto o cliente efetua o pagamento tem as compras devidamente
embaladas, agilizando a fila, e obtendo uma atenção especial. Ainda, do contato dos
operadores de caixa com os clientes, podem surgir várias informações sobre a percepção
que estes têm em relação ao supermercado, quanto à qualidade e rapidez de atendimento e,
mesmo, a falta de alguns produtos. Quando há rotatividade de mão de obra, muito desta
informação é perdida.
Figura 2.1. Visão geral dos caixas e empacotadores no supermercado.
11
Tais características vêm sendo, também, ressaltadas por alguns autores
(QUEIROZ, GOLVINHAS e SOUZA, 2004), enfatizando a importância dos funcionários
para a empresa como um serviço diferenciado. Enfim, conhecer os seus clientes pode ser
fundamental para uma empresa conhecer o seu negócio.
2.2 Tecnologias aplicáveis a supermercados
Para os supermercados da década de 90, automação poderia ser praticamente
sinônimo de possuir scanner. Hoje estudam-se vários tipos de tecnologias aplicáveis ao
setor, sendo que algumas já estão disponíveis.
Em meados da década passada a consultora Price Waterhouse divulgou que em
2005 os supermercados não teriam mais operadores de caixas e carrinhos, os depósitos
seriam operados por robôs que entregariam as compras já embaladas. Seriam reduzidos
drasticamente o pessoal empregado e o tempo de atendimento, os checkouts seriam
acionados por cartões inteligentes e até mesmo as gôndolas só teriam rótulos e não as
mercadorias (BADIN, 1997).
Como pode-se perceber estes fatos não ocorreram. As novas tecnologias ainda
enfrentam problemas para tais pretensões e também há um outro fator, o preço para utilizá-
las. Contudo, a automação e o uso de tecnologia têm permitido algumas inovações em
supermercados.
Por exemplo, nos supermercados Winn Dixie (EUA) os caixas são inexistentes.
O cliente fica responsável por passar seus itens selecionados pela leitora ótica, passar seu
cartão de crédito e assinar a leitora ótica, indo embora imediatamente. Ainda, recebe
descontos por ter utilizado este tipo de serviço. Observa-se que, por não possuir operadores,
este tipo de método tem custo menor e pode permitir que se disponha de um grande número
desses dispositivos, denominados caixas automáticos (automatic checkouts) (GUERRA,
2006).
Algumas lanchonetes da rede McDonald´s (EUA) estão disponibilizando
telefones instalados nas mesas, permitindo realizar os pedidos sem a presença de um
funcionário. Junto com os telefones estão acopladas leitoras de cartões de crédito,
possibilitando também o pagamento de forma simples e rápida. Toda esta tecnologia
12
aplicada reduz custos, eleva a produtividade, dá mais liberdade e autonomia ao cliente e é
rápida, desde que confiável, levando maior satisfação ao usuário. Entretanto, um sistema de
reserva é sempre necessário para garantir o bom desenvolvimento do serviço.
Alguns supermercados brasileiros têm oferecido a seus clientes o serviço de
compra por Internet. Essa estratégia ainda representa uma fatia muito pequena do mercado,
pois o consumidor tem reservas a este tipo de compra. As razões são que muitos não
compram o produto sem examiná-lo, há dificuldade de atender toda a compra, a segurança
na Internet,
equipamentos incompatíveis, entre outros. Contudo, se a adoção desse serviço
aumentar muito, os supermercados poderão ter informações imediatas sobre estoques,
vendas, etc. Também, poderão identificar o perfil do seu cliente, melhorando o serviço
prestado.
Um exemplo de toda esta tecnologia é apresentado pela Metro, terceiro maior
varejista da Europa (ESTADÃO, 2005). Uma de suas lojas de supermercados, em
Rheinberg (Alemanha), é considerada a mais moderna do mundo, exibindo até mesmo
tecnologias experimentais. Os carrinhos (vide figura 2.2) são dotados de visores, que por
meio do cartão do cliente, o identifica, informando até mesmo promoções focadas ao seu
perfil. As prateleiras têm leitoras de etiquetas eletrônicas e identificam a retirada de um
produto, informando o setor de estoque. As etiquetas dos produtos permitem informar até a
data de validade e, se foram alocadas em local errado, a prateleira avisará. Ainda, os
carrinhos são capacitados para passar todos os produtos de uma só vez e o cliente só pára
para efetuar o pagamento por cartão de débito automático ou crédito. Finalmente, na saída
da loja, os clientes desativam as etiquetas eletrônicas, evitando rastreamento fora do
supermercado.
Figura 2.2. No supermercado do futuro, na Alemanha, carrinhos
identificam o cliente e seu perfil, indicando promoções personalizadas.
13
As limitações do emprego deste tipo de tecnologia são o custo e algumas
barreiras físicas. O investimento ainda é muito alto, pois cada etiqueta eletrônica custa entre
US$ 0,05 a US$ 0,40, o que para muitos produtos poderia representar um acréscimo
considerável de preço e, como conseqüência, haver uma diminuição significativa de seu
consumo, inviabilizando a adoção da etiqueta. Também as leitoras (ou sensores) custam
entre US$ 1000,00 a US$ 4000,00, o que é um valor bastante alto considerando a
quantidade delas que teria que se colocar em um supermercado.
Há também alguns problemas físicos que não foram resolvidos. A água absorve
ondas de rádio e o metal, ao contrário, as refletem. Desta forma, fica difícil colocar a
etiqueta em uma lata de refrigerante, por exemplo. Ainda, há problemas típicos de sistemas
sem fio, como falha de cobertura. As etiquetas precisam estar ao alcance dos sensores e,
nos supermercados com grande número de gôndolas, precisariam haver muitos deles.
Ainda que com as limitações citadas, nos EUA, a rede Walt-Mart tem exigido
de seus maiores fornecedores que adotem a tecnologia, o que tem colocado em alerta
constante os diversos fabricantes de etiquetas eletrônicas. A Gillette tem pago US$ 0,30 por
etiqueta, utilizando-as em pacotes de lâminas de barbear devido ao grande volume de
mercadorias extraviado. Diferentes utilizações têm sido encontradas para as etiquetas
eletrônicas, como registrar a chegada de alunos em uma escola, identificação de animais,
anti-seqüestro (sob a pele), resultados imediatos para atletas, pedágios sem-parar em
rodovias, etc. Essa tecnologia veio para permanecer; os problemas devem ser solucionados
e o custo deve diminuir com a popularização dessa tecnologia.
Deve-se considerar, contudo, que a Walt-Mart está adotando, desde o ano de
2006, previsões a cada quinze minutos de quantos caixas são necessários a cada momento,
baseadas na série histórica de vendas de anos anteriores (ABASE, 2006). Nota-se, portanto,
que apesar de apostar nas etiquetas eletrônicas, ainda investe em tecnologia baseada em
caixas com operadores.
Uma questão a ser abordada é sobre os problemas que as pessoas enfrentam para
utilizar serviços que não são interpessoais (MEUTER et al, 2000), como transações
bancárias por Internet ou instruções em ensino a distância. Isto pode ser um problema
enfrentado pelos supermercados quando das mudanças futuras, especialmente no Brasil
14
onde existe uma forte cultura de inter-relações humanas e, no qual, algumas pessoas ainda
têm dificuldades com o código de barras.
Os custos desta tecnologia também devem representar um problema maior para
o Brasil, pois o acréscimo de preço nas mercadorias seria mais difícil de assimilar, devido
ao baixo poder aquisitivo da população. Anexe a isto os baixos salários pagos por este setor
no país, deixando ainda mais lenta a velocidade de emprego desta tecnologia. A tendência é
que esta mudança vá ocorrendo mais devagar e que o código de barras ainda conviva muito
tempo com a etiqueta eletrônica.
Uma última questão é relativa à preocupação com a privacidade dos clientes.
Nos EUA há o temor de que as etiquetas possam ser utilizadas para rastrear pessoas fora do
supermercado. Também, por meio de cartões, que houvesse o fim do consumo com
privacidade, ou seja, os supermercados teriam o perfil do cliente não só em relação ao
consumo de mercadorias, mas que, por meio delas, tivesse um perfil mais geral (de hábitos,
costumes, comportamentos, etc) de seus clientes. Esta discussão parece estar apenas no
início.
2.3 Mão de obra e aspectos legais
Para o setor de serviços o relacionamento humano tem sido fundamental. Para
supermercados isto não é diferente, uma vez que há contato direto com os clientes e a
avaliação destes em relação ao serviço prestado é muita subjetiva. Neste setor, os
funcionários que atendam às expectativas da empresa são bens que ela deve saber
administrar, oferecendo treinamento, oportunidades de especialização, etc.
No Brasil, apesar dos salários ofertados pelos supermercados serem
considerados baixos, existe muita procura por empregos toda vez que um deles veicula
contratação. Geralmente são pessoas carentes de especialização e treinamento, dificultando
a situação tanto para o pretendente à vaga como para a empresa. Ainda que esta situação
não seja favorável, a fidelização de clientes em supermercados passa pela relação entre os
próprios clientes e os funcionários responsáveis pela qualidade e rapidez de atendimento,
por exemplo.
15
Como um fenômeno mundial, os trabalhadores têm experimentado pressão para
aumento da jornada de trabalho, situação agravada pelo desemprego. Assim, esperas, como
na fila de um supermercado, têm se tornado menos suportável e propiciado aumento
crescente de reclamações. Alguns setores da sociedade brasileira têm percebido a
insatisfação com as esperas e propõe como solução contratação de pessoal para agilização
de serviços, apoiando-se inclusive na questão da falta de empregos.
Em junho de 2005 foi aprovado, pela Câmara Municipal da cidade de São
Paulo, um projeto de lei no qual o tempo máximo de espera em filas de supermercados não
poderia ultrapassar vinte minutos, inclusive para caixas rápidos. A fiscalização se daria por
bilhetes ou senhas com o horário do início de atendimento, e previa multas progressivas
para reincidência. Em dezembro de 2005, o então prefeito da cidade de São Paulo vetou na
íntegra o texto aprovado, alegando principalmente que o tempo estipulado era desprovido
de elementos essenciais em sua eficácia (DOM/SP, 2005, p.73). Contudo, o vereador
proponente do projeto prometeu reformulá-lo e reenviá-lo.
Este projeto foi realizado ancorado na aprovação da lei que limita, na cidade de
São Paulo, em quinze minutos o tempo máximo de espera em filas de banco, sancionada
pelo prefeito em 30 de setembro de 2005. Nas razões de veto da limitação para os
supermercados está que a matéria não guarda semelhança com a situação das agências
bancárias.
Quase que ao mesmo tempo do projeto anterior, outro vereador da cidade de São
Paulo traz uma outra proposta de lei que obriga os supermercados a contratar um
empacotador para cada um dos caixas. Alega que a rapidez aumentaria a satisfação dos
clientes e ao mesmo tempo criaria novos empregos. Salienta, ainda, que se poderia realizar
um vínculo com o programa primeiro emprego do governo federal, o qual ficaria
responsável por metade do salário.
A Associação Paulista de Supermercados (APAS) considera que ambos os
projetos estariam indo contra a prática da livre iniciativa e que o custo seria repassado para
o consumidor. Em alguns outros estados fatos semelhantes ocorreram, como em Santa
Catarina (JORNAL DA CÂMARA, 2006) e Bahia, parecendo que os supermercados
atraíram a atenção para o problema de espera em filas. Esta situação poderá levar ao
caminho contrário à automação, contratando mais mão-de-obra não especializada e não
16
investindo em tecnologia ou, ao contrário, acelerando o processo de automação para reduzir
a espera na fila.
Independentemente de leis, os supermercados que pretendam permanecer no
mercado devem investir em capacitação e treinamento de pessoal (qualidade de
atendimento), bem como minimizar o tempo de espera (rapidez de atendimento).
2.4 Gerenciamento das percepções nas filas de espera
O gerenciamento das percepções nas filas de espera basicamente trata de
procedimentos possíveis para melhorar a satisfação dos clientes em relação aos serviços por
eles recebidos. Existe uma diferenciação entre tempo efetivo de espera e tempo percebido
de espera. O primeiro é aquele aferido por relógio e o segundo é o tempo que o cliente acha
(percebe) que esperou. Se o cliente teve uma espera agradável, ele tende a subestimar este
tempo, caso contrário, a tendência é de haver superestimação.
Maister (apud COGAN, 1998, p.13) desenvolveu teorias sobre a psicologia da
espera focalizando gerenciamento das percepções e expectativas. Segundo ele:
Satisfação = Percepção – Expectativa
ou seja, a satisfação depende do que o cliente percebe e do que ele espera.
Larson (1987) em seu trabalho foi um dos pioneiros a propor gerenciar o tempo
de fila, ocupando a atenção do cliente com algo que lhe pudesse interessar. Ele abordou a
questão do que chama “justiça social da fila”, ou seja, isto deve ser entendido como “quem
chega primeiro deve ser atendido antes”. Quando isto não ocorrer, ou seja, quando o
sistema de fila é injusto (não obedece a esta prioridade) deste ponto de vista, o cliente pode
ficar frustrado ou mesmo furioso. Ele propôs a eliminação do tempo não ocupado e o
reconhecimento das filas como uma oportunidade para ocupar os clientes, inclusive com
algo rentável para a empresa, usando o tempo que seria perdido.
O autor cita o exemplo do supermercado, no qual na abertura de um novo caixa,
clientes rapidamente se deslocam de suas filas e, em algumas vezes, o último de alguma fila
se torna o primeiro em outra. Apesar da intenção do supermercado ter sido reduzir as filas,
17
clientes desfavorecidos podem ficar enfurecidos. Finalmente, em seu trabalho, conclui
ainda que algumas classes de usuários valorizam seu tempo mais que outras, e irão pagar
para evitar ou reduzir esperas em filas.
Katz, Larson e Larson (1991) realizaram uma pesquisa em um banco nos EUA
sobre as conseqüências de dois tipos de mudanças nas filas: na primeira, um visor com
notícias para entreter os clientes na fila e na segunda, um marcador para medir os tempos
de fila. Deste estudo surgiram algumas sugestões para gerenciar percepções dos clientes em
espera, tais como, determinar o tempo tolerado de espera, captar a atenção dos clientes com
distrações, se possível colocá-los fora da fila (sentados, por exemplo), manter recursos não
utilizados para atendimento fora da visão dos clientes, etc. Esta pesquisa teve total enfoque
em gerenciamento de percepções e isto fica mais claro quando os autores afirmam que “se
os usuários pensam que estão satisfeitos, então eles estão satisfeitos” (p.44).
Geralmente o gerenciamento das percepções nas filas de espera tem sido
utilizado quando não foi possível obter redução satisfatória do tempo de espera aplicando-
se medidas operacionais tradicionais. Também, quando não se pretende despender recursos
para solucionar o problema, como documentado por Sasser et al (apud COGAN, 1998,
p.13), no qual espelhos foram instalados em áreas de espera de elevadores em prédios. A
finalidade era prender a atenção dos clientes que, enquanto se observavam nos espelhos,
não notavam a demora, ao invés de investir no aumento de velocidade dos elevadores,
sendo esta uma solução tecnicamente mais correta, mas de custo muito mais elevado.
Ainda que para os bancos a legislação determine que o tempo de atendimento
não pode ultrapassar 30 minutos, estes têm conseguido aplicar o gerenciamento de
percepções utilizando-se de senhas com prioridades, cadeiras de espera, aparelhos de TV,
entre outros.
No caso dos supermercados, é um desafio a questão do gerenciamento de
percepções de clientes. Algumas estratégias como espelhos, música e produtos próximos
das filas em geral não se mostraram eficientes. Atualmente, o fator tempo está cada vez
mais valorizado, desta forma, o consumidor tem se preocupado mais com isto. Também,
depois dos produtos selecionados (mesmo que para isto se gaste muito tempo), o cliente em
geral deseja retirar-se dali o mais breve possível.
18
O desconforto em empurrar o carrinho carregado até a fila e esperar em pé, são
motivos suficientes para abalar sua satisfação com o estabelecimento, se o tempo gasto na
fila for maior que o esperado. Ocorrências ainda não previstas como problemas no caixa e o
sistema de fila injusto podem incomodá-lo ainda mais. Deve-se observar ainda que alguns
produtos refrigerados são perecíveis e perdem suas características com a demora para
acondicioná-los novamente em local apropriado.
De forma geral, quando o tempo que se dispõe é restrito, fato comum
atualmente, gerenciar percepções pode não ajudar o suficiente, portanto, mais satisfação e
fidelização poderão ser obtidas com a redução do tempo gasto em filas. Geralmente, a
primeira idéia que surge para diminuição de tempo gasto é contratação de pessoal, contudo,
um bom conhecimento e gerenciamento sobre como as filas ocorrem no estabelecimento
podem propiciar melhorias com menor investimento. Uma modelagem adequada é tarefa
bastante atrativa nestes casos.
2.5 A troca de filas
Quando um cliente entra em (ou escolhe) uma fila ele provavelmente fez alguma
avaliação na qual vislumbra a hipótese de que levará um tempo menor para ser atendido.
Quando esta expectativa se frustra, ou seja, a fila demora mais do que ele imaginou, é
possível que reconsidere sua decisão e possa mudar para outra fila que, em sua visão, tenha
maior possibilidade de ser atendido mais rapidamente. Na conduta de trocas por parte do
cliente, duas questões interessantes surgem.
A primeira é que quando sua expectativa é frustrada, ele não deixa de analisar a
causa e natureza da ocorrência. Esta pode ser externa ou interna à loja. Como exemplo, um
cliente excessivamente lento à sua frente na fila é uma causa externa e a responsabilidade
não recai sobre a empresa. Contudo, quando a causa é interna, por exemplo, um operador
de caixa lento ou um preço de mercadoria não cadastrado no sistema, o cliente
responsabiliza a empresa e pode ficar com uma imagem negativa da mesma. Esta imagem é
percebida em graus de gravidade variados, dependendo da especificidade da causa
averiguada pelo cliente.
19
A segunda questão é que, se a expectativa do cliente é frustrada, e um outro
cliente que chegou depois dele, em outra fila, vai ser atendido antes, o seu grau de
descontentamento tende a aumentar, pois ele percebe que aquele sistema de atendimento
pode levar a situações injustas.
Quando então um cliente troca de fila, geralmente ele está buscando minimizar
seu tempo de permanência em espera. Também, pode estar tentando minimizar alguma
expectativa de tempo frustrada durante a espera e/ou ainda em busca da justiça que o
sistema deveria realizar, em atender primeiro quem chega antes. Finalmente, ainda que por
nenhum desses motivos, podem haver trocas simplesmente por uma oportunidade que se
apresente na fila, que é percebida e aproveitada pelo cliente com o simples objetivo de
abreviar sua espera.
O desafio de melhorar o atendimento em supermercados reduzindo-se a espera
em filas é um problema antigo. Em 1996, segundo a consultora Nielsen (apud BNDES
1996, p.33), os principais motivos de queixas dos clientes em supermercados referiam-se a
filas no caixa (56%), supermercado lotado (41%), falta de empacotador (35%) e falta de
preço nos produtos (25%). Nota-se, portanto, que todos estes motivos afetam o tempo de
permanência do consumidor na fila.
Estratégias podem ser combinadas para minimizar o problema, contudo, deve
haver empenho em inovação de idéias para um gerenciamento que efetivamente reduza os
tempos de espera na fila, com o menor investimento e/ou custo possível.
20
Capítulo 3 – A realização do experimento e da coleta de dados
3.1 Introdução
Na busca por um local adequado onde se pudesse desenvolver um estudo de
caso e realizar a coleta de dados, deparou-se com algumas dificuldades inerentes aos
gerentes com relação ao estudo de filas dentro de um contexto do gerenciamento dos
supermercados. A proposta de estudo pressupunha uma contribuição futura à
diminuição do tempo de fila dos clientes e, portanto, uma melhoria no nível de
satisfação dos mesmos. Contudo, como é descrito abaixo, pôde-se perceber que, devido
talvez ao desconhecimento do potencial de aplicação da área, houve resistência na
inserção ao estudo proposto. Este fato um pouco inesperado acabou sendo absorvido de
modo a ampliar e enriquecer o desenvolvimento da pesquisa.
3.2 A percepção de alguns gerentes
Foram contatadas quatro empresas para a realização deste trabalho. As três
primeiras empresas possuíam características semelhantes, em estrutura, gerenciamento e
posicionamento quanto à questão de otimizar a rapidez de atendimento e do tempo de
espera nas filas. Nestas, a pesquisa não pôde ser realizada por razões apontadas como:
não permitir filmagem da operação, não haver problemas com filas, criação de
incômodo aos clientes, já possuir algum planejamento implantado para gerenciamento
das filas, não revelar as estratégias que utilizavam para o atendimento dos clientes em
filas, etc.
A quarta empresa contatada é uma rede de supermercados onde já havia sido
realizado um estudo anterior sobre filas em supermercados (MORABITO e LIMA,
2004). Após ser consultada, a empresa decidiu pela realização da pesquisa por meio de
um sócio-proprietário que demonstrou interesse, entretanto, colocou como condição
para a coleta dos dados, que após o término desta, todas as fitas de filmagens fossem
entregues à empresa, por motivos de confidenciabilidade. Optou-se, assim, por
desenvolver o estudo de caso nesta empresa. Esta rede de supermercados atua na região
de São Carlos com lojas espalhadas em algumas cidades da região. A empresa está
estabelecida em São Carlos há mais de quarenta anos, com algumas lojas localizadas em
21
diferentes bairros. O supermercado em que foi realizado o estudo é a maior loja da rede,
tendo um total de dezesseis caixas, entre rápidos, preferencial e normais.
3.3 Instrumentos e materiais para a coleta de dados
3.3.1 O questionário elaborado
Elaborou-se um questionário (apêndice A) com o intuito de comparar a
importância de algumas características pelas quais clientes freqüentam o supermercado.
No questionário procurou-se avaliar o tempo máximo que um cliente espera na fila e o
número máximo de pessoas na fila que ainda não o fazem desistir das compras. Esses
dois limites serão relacionados, permitindo estabelecer uma impressão dos clientes entre
o número de pessoas e o tempo de espera na fila. Uma outra questão procura estabelecer
uma ordem de importância para os clientes em relação a características como: preços
praticados, localização do estabelecimento, qualidade e rapidez de atendimento, entre
outras. Estas foram informadas aos clientes, que decidiam como desejavam ordená-las.
Foram também solicitadas informações a respeito de escolaridade dos clientes, número
de itens comprados e opinião sobre a existência de diferença de preço entre
estabelecimentos distintos. Finalmente, foram solicitadas informações sobre se o cliente
mudou de fila e os motivos que o levaram a realizar a troca.
3.3.2 Realização da amostra piloto
A finalidade de uma amostra piloto, geralmente, é de testar os instrumentos
de coleta de dados e verificar se o tamanho amostral proposto é adequado. Desta forma,
foi realizada uma amostra piloto em uma sexta-feira, dia 19/11/2004, durante um
período de duas horas (das 18h às 20h). Assim, pôde-se observar que, para o referido
dia e horário, havia (como antecipado pelo gerente) uma boa freqüência de clientes,
com formação de filas nos caixas. Uma filmadora foi localizada diagonalmente com o
objetivo de filmar todas as doze filas, captando chegadas, términos de serviços e trocas
de filas realizadas pelos clientes. Constatou-se, contudo, que apenas uma filmadora era
insuficiente para todas as filas e, então, propôs-se ao supermercado utilizar duas
filmadoras, na filmagem, o que foi recusado sob a alegação de que poderia haver
cerceamento de liberdade e constrangimento aos clientes. Disposto isto, decidiu-se
22
manter uma filmadora como auxílio à coleta das mesmas informações, contudo,
utilizando agora planilhas a serem preenchidas por pessoal treinado, o que foi aceito
pela empresa.
Outra contribuição da amostra piloto foi a abertura de mais uma
característica de freqüência dos clientes no supermercado, o estacionamento, que foi
apontado significativamente. Também, decidiu-se por não coletar idade, pois, pela
amostra piloto, percebeu-se que esta questão causava constrangimento aos clientes.
Assim, esta informação foi retirada do questionário.
Quanto ao tamanho amostral, pelas características do questionário, decidiu-
se que, durante todo o período de coleta para as filas, os clientes seriam
ininterruptamente entrevistados. Tal decisão se pautou em tomar o maior tamanho
amostral possível, pois se despendia, em média, cerca de cinco minutos por entrevista
para preenchimento do questionário. Desta forma, no citado período seriam coletadas
aproximadamente vinte e quatro questionários, o que, ainda, foi considerado pouco.
Decidiu-se, então, realizar a coleta com dois entrevistadores, dobrando o tamanho
amostral. Assim, com este procedimento, fica caracterizada uma amostragem
sistemática na qual um cliente é entrevistado, em média, a cada 2,5 minutos. Desta
forma, pelos cálculos obtidos para a amostra piloto, seriam entrevistados cerca de 10%
dos clientes que passariam pelos caixas quando da coleta de dados.
3.3.3 O planejamento da coleta de dados
A coleta de dados foi realizada em dias pré-determinados e no período de 2
horas por dia, por ser considerado (baseado na experiência dos gerentes) como um
período de grande fluxo de clientes e de freqüência aproximadamente estável. Este fato
é importante para a suposição do processo de chegada de usuários, no qual a taxa de
chegada deve ser aproximadamente estacionária, caso contrário, poder-se-ia considerar
um processo não estacionário (por exemplo, um processo de Poisson heterogêneo), mas
tornando a análise bem mais complexa.
Tendo sido realizada a amostra piloto no dia 19/11/2004 (sexta-feira) e com
a aproximação do Natal, as coletas ficaram para os dias 03, 04 e 05/12 e 10, 11 e
12/12/2004, pois assim haveria cerca de duas semanas para confeccionar as planilhas,
planejar a filmagem, selecionar e capacitar os entrevistadores e coletores. Veiculou-se a
23
possibilidade de realizar uma terceira etapa de coleta (nos dias 17, 18 e 19/12), o que
não foi permitido pela empresa devido a proximidade do Natal. Avaliou-se também que
poderia não ser adequado, pois poderia haver um movimento atípico ao andamento
normal do supermercado, viciando os dados.
Na tabela 3.1 encontram-se discriminados os dias e horários de coleta bem
como a quantidade de questionários coletados e o tempo médio de entrevista por
questionário.
Tabela 3.1. Informações gerais sobre a coleta de dados do experimento
Data Horário Questionários
coletados
Tempo médio por
questionário
03/12/2004
(sexta-feira)
18h às 20h 55 2,18 min./quest.
04/12/2004
(sábado)
10h30min. às 12h30min. 55 2,18 min./quest.
05/12/2004
(domingo)
10h30min. às 12h30min. 47 (1) 2,50 min./quest.
10/12/2004
(sexta-feira)
18h às 20h 49 (1) 2,40 min./quest.
11/12/2004
(sábado)
10h30min. às 12h30min. 47 (2) 2,45 min./quest.
12/12/2004
(domingo)
10h30min. às 12h30min. 50 2,40 min./quest.
Observando-se a tabela, pode-se notar que os números estão bastante coesos
sendo que, para a terceira coluna, os números entre parênteses representam os
questionários retirados da amostra referentes a clientes sem escolaridade.
3.3.4 A planilha para coleta nas filas
Devido à filmagem demonstrar-se na amostra piloto como insuficiente, para
obter as informações necessárias foi preciso utilizar-se uma planilha preenchida
manualmente. Para que esta (apêndice B) pudesse atender às necessidades da pesquisa,
inicialmente, ela deveria conter o instante de chegada dos clientes na fila, o instante de
início do serviço nos caixas e o instante de término do serviço, quando o cliente se retira
do sistema. Dever-se-ia também anotar o instante de duas outras ocorrências, que eram
24
a desistência (denotada por D) e a troca (jockeying) de filas. Nesta última, dever-se-ia
também anotar, além do instante de troca, a fila para a qual o cliente se dirigiu. Outra
informação anotada era referente à carga de trabalho (ou à carga relativa ao carrinho de
compra) demonstrada para cada um dos clientes, sendo que isto era aferido pela
quantidade aproximada de itens para cada compra. Assim, a carga poderia ser leve (L,
até 10 itens), moderada (M, de 11 até 50 itens) e pesada (P, acima de 50 itens). Ainda,
qualquer fato que pudesse afetar o andamento do experimento e, portanto, os resultados
da planilha, deveriam ser anotados, como, por exemplo, se o operador de caixa parasse
o atendimento.
Outras informações da planilha eram referentes a posição da fila (ou filas) do
caixa, a data e horário de coleta e o nome do coletor. Por meio de todos esses dados
acredita-se que as informações coletadas são suficientes para as análises propostas.
3.3.5 A filmadora utilizada
A filmagem acabou tornando-se um auxílio para checagem das informações
coletadas por meio das planilhas. Era necessário que a filmadora pudesse registrar as
imagens com cronometragem também em segundos e que tivesse duração de pelo
menos 2 horas, possuindo ainda controle remoto para ser ligada a distância. Foi
utilizada uma filmadora com fitas VHSc JVC EHG40, que em modo SLP tinha duração
em torno de 2 horas e 15 minutos. Desta forma, o equipamento foi capaz de atender as
necessidades do experimento.
3.3.6 A caixa para ocultar a filmagem
Para efetuar a filmagem de forma a não constranger os clientes do
supermercado, foi construída uma caixa de madeira para a filmadora não ficar aparente.
Esta caixa era constituída por uma base quadrada de 32 centímetros e com 35
centímetros de altura, o interno pintado de preto fosco para não propagar luz e a frente
com vidro especial espelhado não permitindo visão de seu conteúdo. A tampa se
encontra atrás com fechamento por velcro colado (vide figuras 3.1 e 3.2). Não foi
notado qualquer cliente observando a caixa durante as filmagens. Esta ficava alocada no
alto de uma das prateleiras, quase imperceptível. Aos operadores de caixa foi informado
25
que a filmagem era relativa somente aos clientes na fila e não aos caixas,
despreocupando-os de qualquer problema que estes pudessem imaginar.
3.3.7 Cronometragem com computador e monitores
Como cronômetro foi utilizado um computador ligado a dois monitores, nos
quais estava aparente a passagem do tempo da coleta. O computador utilizado era
bastante comum, cuja única informação utilizada era um relógio com horas, minutos e
segundos. A ele estava acoplado um cabo de monitor que dividia o sinal em duas saídas
(um divisor de freqüências) para utilização de dois monitores, cada um distante cerca de
5 metros por meio de cabos extensores interligados, com 1 metro de comprimento cada.
Não houve prejuízo de sinal devido as extensões e a imagem do cronômetro nos
monitores apresentava excelente definição, podendo ser vista perfeitamente a distância.
3.3.8 Recursos humanos empregados
Devido à impossibilidade de se utilizar duas ou mais filmadoras para a coleta
de dados, conforme descrito anteriormente houve a necessidade de contratação e
treinamento de pessoal para a realização de tal tarefa. Foram, então, contratadas dez
pessoas, sendo duas delas responsáveis por realizar as entrevistas, cuja coleta aconteceu
por meio do questionário, e oito pessoas para atuarem como coletores, ou seja, eram
responsáveis pelo preenchimento dos dados da planilha.
Figura 3.1. Visão frontal da caixa para
a filmadora.
Figura 3.2. Visão interna da caixa
com a filmadora.
26
Os coletores selecionados tinham experiência de coleta de dados realizada
por meio de planilhas em empresas do setor privado. Os requisitos solicitados eram de
que estas pessoas fossem rápidas, atentas, tivessem disciplina no cumprimento de
horários, conduta e postura ética, soubessem utilizar planilhas estatísticas e,
principalmente, conhecimento sobre a importância que os dados representam para uma
pesquisa desta natureza. Assim, foram contratados alunos do último ano do curso de
Estatística da UFSCar, por preencherem a todos os requisitos desejados e com a
finalidade de garantir a eficácia e fidedignidade na coleta de dados.
Cada coletor tinha sob sua responsabilidade uma das filas de caixa rápido ou
da preferencial, sendo então alocados quatro deles para esta finalidade. Para os oito
caixas normais, utilizaram-se quatro coletores, ou seja, cada um era responsável
simultaneamente por duas filas adjacentes.
Os entrevistadores que ficaram responsáveis pelos questionários tinham
formação superior completa e experiência em atendimento ao público. Este perfil se fez
necessário devido a diversidade dos clientes que freqüentavam o supermercado e a
especificidade das questões a serem respondidas. Os entrevistadores necessitavam de
flexibilidade na condução das entrevistas com o propósito de obter as informações de
modo que estas expressassem verdadeiramente a opinião de quem as prestavam. Ainda,
pelo plano amostral utilizado, o fator da rapidez era importante, pois implicava
diretamente no tamanho amostral obtido.
Cabe ressaltar que todos os envolvidos assinaram um termo de compromisso
no qual assumiram total e irrestrito compromisso de manter sigilo quanto as
informações obtidas por meio dos instrumentos de coleta (planilhas) e cumprimento dos
horários determinados para tal, conforme pode-se observar em detalhes no apêndice C.
3.4 O experimento
Para a realização do experimento, o computador foi ligado a um nobreak e
colocado em funcionamento 20 minutos antes do seu início. Para poder acoplar o
segundo monitor, era necessário esperar todo o processo de inicialização do
computador, caso contrário não havia sinal (imagem), pois os monitores tinham marcas
e configurações diferentes, o que gerava incompatibilidade. A filmadora era disparada
por controle remoto imediatamente quando o cronômetro do computador chegava ao
27
horário especificado para início da coleta. A filmagem se dava em formato longo, com
gravação na fita de tempo em horas, minutos e segundos.
Procedendo assim, os cronômetros apresentavam pouquíssima diferença e
quando algo estranho ocorria, como um erro de anotação na planilha ou alguma
observação sobre algum fato, podia-se ser auxiliado pela imagem da fita efetuando-se a
correção, se necessária. O objetivo final desta preparação foi a de que todos os coletores
utilizassem o mesmo cronômetro, evitando possíveis discrepâncias que poderiam
ocorrer se utilizadas várias unidades (um cronômetro para cada coletor, por exemplo).
Também, evitava-se qualquer manuseio deste equipamento, facilitando o decorrer do
experimento.
Ao iniciar a coleta de dados os coletores começavam o preenchimento da
planilha com o próximo cliente a entrar na fila, com seu instante de chegada. A partir de
então, este era acompanhado e os próximos clientes que entrassem na fila tinham suas
informações anotadas. Devido a este fato, o cliente em atendimento e os que já se
encontravam na fila antes do horário previsto para o início da coleta não poderiam
pertencer à amostra, assim como não deveriam ser entrevistados. Desta forma, as
entrevistas eram iniciadas com um tempo estipulado de cinco minutos após o início da
coleta e encerradas também cinco minutos depois do término desta.
Pela figura 3.3 pode-se obter uma melhor compreensão do experimento. Os
clientes entravam no supermercado por meio de dois acessos, por uma rampa do
estacionamento coberto e por uma entrada no mesmo nível do piso do supermercado
(setas verdes), em seguida, se dirigiam às gôndolas onde selecionavam os itens a serem
comprados. Posteriormente, dirigiam-se para as filas do caixa segundo o número de
itens a serem adquiridos. Após a compra se retiravam (setas laranja) pelos mesmos
locais de acesso.
Nos dias de coleta estavam em funcionamento três caixas rápidos (R), um
preferencial (P) e oito normais (N), sendo que havia ainda a possibilidade de abertura de
mais quatro caixas, o que não ocorreu durante os períodos de coleta. Os coletores se
posicionavam próximo às gôndolas e em frente aos caixas sem obstruir a fila (losangos
em amarelos, denotados por Ci). Os entrevistadores se colocavam no final do corredor
de saída dos clientes que efetuavam compras (losangos amarelos, denotados por E1 e
E2). Finalmente, a caixa com a filmadora foi posicionada em ângulo sobre uma gôndola
em uma parede lateral do supermercado (vide figura 3.3).
R
16
R
15
R
14
P
13
N
12
N
11
N
06
N
05
...
...
N
01
CAIXAS
M2
M1
E1
E2
C1 C2
Gôndola de
mercadorias
C3 C4
Gôndola de
mercadorias
C5
Gôndola de
mercadorias
C8
Gôndola de
mercadorias
...
Gôndola de
mercadorias
G
Ô
N
D
O
L
A
S
Caixa com
filmadora
C
P
u
Rampa de
ENTRADA /
SAÍDA para
estacionamento
coberto
ENTRADA
SAÍDA
Figura 3.3. Representação do supermercado: posição dos caixas, entrevistadores, coletores e monitores
Legendas: M1: (:monitor 1 com cronômetro); M2 (monitor 2 com cronômetro).
CPU (relógio com precisão em segundos).
E1 (entrevistador 1); E2 (entrevistador 2).
R (caixa rápido); P (caixa preferencial); N (caixa normal).
Fi (fila i; i = 1, 2, ...,16).
Ci (coletor i; i = 1,2,...., 8).
F16 F15 F14 F13 F12 F11 ... F06 F05 ... F01
29
3.5 Considerações adicionais
Apesar de os coletores e entrevistadores estarem o mais imperceptível
possível, ao iniciar a coleta de dados, a presença de algumas pessoas com pranchetas
nas mãos provocou a incidência de alguns episódios em que os clientes se reportavam
aos coletores e entrevistadores com o intuito de saber o que estava ocorrendo.
Alguns poucos clientes paravam próximo aos coletores e entrevistadores
para verificar o que eles anotavam, havendo aqueles que perguntavam se era uma
avaliação dos operadores de caixa e se estes poderiam perder o emprego, evidenciando
visível preocupação com os mesmos. Estas ocorrências eram imediatamente levadas ao
responsável pela pesquisa, que esclarecia o motivo pelo qual o trabalho estava sendo
realizado e que seu objetivo não era avaliar os funcionários, mas possibilitar a melhoria
do atendimento geral do supermercado e, proeminentemente, das filas dos caixas. Cabe
ressaltar que alguns operadores trabalham no local há muitos anos, inclusive
conhecendo clientes pelo nome, e revelando o motivo da preocupação dos mesmos.
Houve pessoas que ao serem abordadas para a entrevista não queriam
responder ao questionário, pois alegavam não ter tempo; estas eram imediatamente
liberadas e logo na seqüência outro cliente era convidado pelos entrevistadores.
O supermercado analisado dispunha de empacotadores que permitiam a
agilização do tempo de serviço dos caixas e comodidade dos clientes que, quando
terminavam de efetuar o pagamento, tinham prontos os pacotes de compras.
Dependendo do volume adquirido, os empacotadores prontamente
colocavam os pacotes em carrinhos e conduziam estes até o veículo do cliente. Por
vezes, quando o cliente residia nas redondezas, esse carrinho era conduzido até sua
residência. Ainda, o supermercado dispunha de serviços de entrega, abrangendo todas as
alternativas possíveis de atendimento.
Fatos bastante interessantes podem ser relatados a respeito da operação dos
caixas. Alguns supermercados, devido ao crescimento de demanda, deveriam abrir mais
caixas, contudo, muitos não possuem sequer espaço físico para isso. No supermercado
analisado, havia um total de dezesseis caixas, mas, segundo o próprio gerente, a
abertura de todos eles raramente ocorria por não haver necessidade. Este fato sugere que
houve um bom planejamento da parte de estrutura física do estabelecimento,
possibilitando até mesmo a ampliação do número de caixas. Outro fato relevante diz
30
respeito ao caixa preferencial. Este deveria atender com prioridade pessoas idosas,
gestantes, lactantes (com crianças de colo) e deficientes, contudo, isto era pouco
observado. O que muitas vezes ocorria era que as pessoas que tinham prioridade não a
utilizavam, colocando-se em outras filas, notadamente em caixas rápidos. O que se pôde
compreender desta situação foi que, devido ao pequeno tempo de espera nas filas, estes
não faziam muita questão deste benefício. Deste modo, o caixa preferencial acabou por
funcionar de maneira muito semelhante aos outros três caixas rápidos.
O experimento transcorreu conforme o planejamento realizado, sem
ocorrências que pudessem prejudicá-lo e possibilitando inclusive uma maior
proximidade com a clientela, que era bastante acessível. Isto fez com que se conseguisse
contemplar detalhes além do que a planilha ou questionário foi capaz de captar.
31
Capítulo 4 – A análise dos questionários utilizando técnicas
multivariadas
4.1 Introdução
O questionário aplicado no supermercado foi realizado com a intenção de
levantar características importantes para os clientes, ou seja, que estimula ou mesmo
determina suas freqüências ao local. Por outro lado, pretende também levantar possíveis
problemas ou falhas que os clientes possam apontar em relação ao atendimento
recebido. Estes problemas devem ser considerados como oportunidades na melhoria
constante da qualidade de atendimento, que deve ocorrer em uma empresa que seja
competitiva no seu mercado de atuação.
Características importantes, como a tolerância máxima dos clientes em
relação ao tamanho e tempo de espera na fila, são abordadas. Ainda, com o objetivo de
comparação, algumas características desejáveis são ordenadas pelos consumidores por
ordem de preferência, permitindo compará-las, tais como preço, localização, rapidez e
qualidade de atendimento, variedade e ainda outras, apontadas com menor freqüência.
Das comparações pôde-se obter as predileções (ou rank de causas) dos clientes em
freqüentar o estabelecimento. Outras informações são analisadas como a escolaridade
dos entrevistados, o número de itens por eles comprados e ainda se acreditam que haja
diferença de preço entre supermercados distintos.
Apesar da riqueza que todas estas informações trazem isoladamente, é ainda
mais interessante analisá-las conjuntamente, ou seja, relacioná-las pode levar a
descobertas úteis para um melhor gerenciamento da qualidade de atendimento. Pode-se,
por exemplo, associar níveis de escolaridade com as características citadas
anteriormente.
Para realizar as análises pretendidas, técnicas estatísticas multivariadas
podem ser empregadas, tais como análise de agrupamentos e análise de
correspondência. Estas técnicas têm sido freqüentemente utilizadas em áreas como
gerenciamento, marketing, medicina, sociologia, economia e mercado, entre várias
outras. As técnicas multivariadas permitem analisar o comportamento de várias
variáveis simultaneamente. Sua compreensão deve auxiliar bastante nas particularidades
exibidas por dados multivariados, como ocorre aqui.
32
4.2 Limite de espera e importância das características analisadas na
freqüência ao supermercado
A idéia básica para as duas primeiras perguntas realizadas aos clientes
(apêndice A) é estabelecer uma relação entre o número máximo de clientes em fila
(pergunta 1) e o máximo tempo de espera em minutos na fila (pergunta 2) que estes
clientes suportariam. Uma regressão linear (sem constante) entre o tempo e o número de
clientes pode ser obtida e comparada com a conhecida lei de Little, na qual
qq
LW
λ
= , ou
seja, o número esperado de clientes na fila
q
L é igual a taxa média de chegada
λ
multiplicada pelo tempo médio de espera na fila
q
W (KLEINROCK, 1975). Deve-se
ressaltar que a lei de Little é para médias e a relação aqui estabelecida é para máximos
de tempo e número de clientes na fila. Pesquisas indicam que os usuários sabem avaliar
mais facilmente o número de clientes na fila, no entanto, não conseguem estabelecer
acertadamente o tempo de espera destes.
Uma equação de regressão linear foi ajustada utilizando-se a resposta de 172
clientes dos 303 entrevistados, sendo que os demais 131 responderam que não
abandonariam as compras e entrariam na fila em qualquer situação que a encontrasse. A
regressão simples tem equação dada por
iii
xy
ε
β
β
++=
10
, para i = 1,2,...,n (4.1)
nos quais
i
y é o predito,
i
x é o preditor e
i
ε
é um erro associado ao modelo. Para os
dados em questão, o número máximo de clientes (da segunda questão) é o predito e o
tempo máximo de espera em minutos (da primeira questão) é o preditor. Admite-se
ainda que 0
0
=
β
para comparação com a lei de Little. Desta forma, utilizando-se os
dados coletados na amostra, foi obtida a equação de regressão
(número máximo de clientes) = 0,42719 . (tempo máximo de espera).
Na teoria de regressão, um primórdio básico para que o modelo seja válido é
avaliar o coeficiente de determinação (
2
R
). Este pode ser entendido como sendo a
proporção de variação explicada pelo preditor, sendo que
10
2
≤≤ R . Valores perto de 1
implicam que grande parte da variabilidade é explicada pelo modelo de regressão e, ao
33
contrário, quando perto de 0, que grande parte da variabilidade está nos erros. Para o
modelo ajustado, uma aproximação para
2
R
é dada por (MONTGOMERY e PECK,
1992, p.48):
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
i
y
y
R
1
2
1
2
2
ˆ
(4.2)
na qual
i
y
ˆ
é o valor estimado pelo modelo para
i
y . Contudo, conforme (4.2), foi obtido
2
R
= 0,52 para o modelo ajustado e, sendo considerado baixo, pode-se dizer que não é
suficiente para predizer os valores
i
y . Pode-se observar na figura 4.1 que os valores
apontados pelos 172 clientes estão muito dispersos, explicando o baixo valor de
2
R
.
3020100
60
50
40
30
20
10
0
Clientes
Tempo
Nota-se na figura uma grande dispersão e, ainda, uma tendência na repetição
das opiniões verificada pela sobreposição de vários pontos. Fica realmente difícil
aproximar os valores por uma reta passando pela origem, como ocorre na lei de Little.
Alguns clientes admitem entrar em fila com até 30 pessoas, contudo a espera máxima
apontada é de 10 minutos, o que é praticamente impossível de ocorrer. Assim,
aparentemente, grande parte dos respondentes não é capaz de relacionar efetivamente o
número de usuários em fila com seus tempos de espera na fila.
Figura 4.1. Gráfico do tempo máximo de espera (
i
x ) pelo número
máximo de clientes na fila (
i
y ).
34
Um aspecto importante para este capítulo está na análise da terceira questão
formulada aos clientes, onde estes alocam em ordem de preferência os motivos pelos
quais freqüentam o supermercado (apêndice A).
Os dados para esta questão foram
introduzidos segundo a ordem com que cada cliente manifestou sua preferência. Como
exemplo, se um cliente colocou em primeira posição de preferência localização, em
segundo preço, em terceiro qualidade de atendimento e não apontou mais nenhuma
outra, o preenchimento da planilha ficou:
Preço Localização Rapidez Qualidade Variedade Estacionamento Outros
6 7 0 5 0 0 0
ou seja, 7 para a característica mais importante, 6 para a segunda, e assim
consecutivamente (repare-se que há 7 alternativas), sendo 0 para as ausentes na resposta
(que não são consideradas de alguma importância para o consumidor).
A suposição de normalidade para testes de hipótese e regiões de confiança
para um vetor de médias é de difícil constatação e poucas vezes verificada, mesmo para
pequenas dimensões. Algumas alternativas podem ser conseguidas quando se possuem
amostras relativamente grandes, contornando a necessidade de normalidade. Um
resultado bastante útil é enunciado. Seja
n
XXX ...,,,
21
uma amostra aleatória de uma
população com média
µ
e matriz de covariâncias positiva definida
Σ
. Se n-p é grande,
então:
n
p
Saa
Xa
,
,
)(
2
αχ
± (4.3)
irá conter
µa
,
para todo
µ
, aproximadamente com probabilidade 1-
α
, sendo p o
número de variáveis aleatórias,
a um vetor de constantes, X o vetor de médias
amostrais,
)(
2
αχ
p
é o valor crítico da distribuição Qui-Quadrado com p graus de
liberdade e nível de significância
α
e S a matriz amostral de covariâncias (JOHNSON
e WICHERN, 2002). Conseqüentemente, do resultado, obtêm-se os respectivos
intervalos simultâneos de confiança 100(1-
α
)% para
p
µ
µ
µ
...,,,
21
n
s
x
p
11
2
1
)(
αχ
±
;
35
n
s
x
p
22
2
2
)(
αχ
± ;
M (4.4)
n
s
x
pp
pp
)(
2
αχ
± ,
nos quais
ii
s é a variância amostral da variável aleatória i. Aqui admite-se que
,
a
=[0,0,...,1,0,...,0], colocando-se a constante 1 na posição adequada para o intervalo
pretendido. Considerando-se os valores coletados na amostra para as variáveis preço,
localização, rapidez, qualidade, variedade, estacionamento e outras, foram obtidos os
intervalos simultâneos de confiança com
α
=0,005, conforme (4.4), dados na tabela 4.1.
Analisando-se estes intervalos simultâneos de confiança, com
α
=0,005,
observa-se que a variável qualidade de atendimento é considerada a característica mais
importante pela qual o cliente freqüenta o supermercado, pois seu intervalo [4,11562,
4,98009] não é sobreposto por nenhum dos outros. Também, a variável rapidez de
atendimento é mais importante que preço, variedade, estacionamento e outras, contudo,
não se pode dizer que rapidez é mais importante que localização. Ainda, preço,
localização e variedade são mais importantes que estacionamento e outras, sendo estas
duas últimas de menor importância. Fazendo-se
α
=0,05, a única mudança constatada é
que localização se torna significativamente mais importante do que variedade para os
clientes. Este fato ressalta a consistência que esta análise traz quanto às características
estudadas. Aqui é possível expressar a força de cada característica na freqüência do
cliente ao supermercado.
Tabela 4.1. Intervalos de confiança simultâneos com
α
=0,005.
Variável Média
ii
s
Limite Inferior Limite Superior
Preço 2,41584 2,83521 1,98022 2,85146
Localização 3,03630 3,13314 2,57837 3,49424
Rapidez 3,35974 2,90112 2,91908 3,80039
Qualidade 4,54785 2,79134 4,11562 4,98009
Variedade 2,28713 2,73318 1,85942 2,71484
Estacionamento 0,21122 0,99748 -0,04716 0,46961
Outras 0,56106 1,70568 0,22318 0,89894
36
Resumindo, pelos intervalos de confiança, é interessante observar que
apostar em preço, como é comum segundo os gerentes de supermercados, pode ser um
engano dependendo da clientela. Neste supermercado, pelo menos, clientes buscam
prioritariamente qualidade e rapidez de atendimento. A próxima técnica empregada dá
informações sobre o perfil de conduta dos clientes, ou seja, explicita a relação de
proximidade entre essas características conforme as respostas dos clientes.
4.3 O perfil das características pela análise de agrupamentos
A análise de agrupamentos (ou conglomerados) difere de métodos de
classificação, pois nestes últimos o número de grupos pode ser conhecido. Este tipo de
análise não pressupõe número nem uma estrutura de conglomerados. Esta técnica toma
como base similaridades (ou proximidades) entre itens (objetos, indivíduos ou
variáveis) que podem ser de alguma forma medidas. Como resultado, obtém-se um certo
número de conglomerados no qual se alocam, devido a sua proximidade, os itens,
inicialmente dispersos (JOHNSON e WICHERN, 2002).
Os procedimentos de conglomerados podem ser divididos em hierárquicos e
não-hierárquicos. Os procedimentos hierárquicos geralmente partem de um número
'
N
total de itens, formando inicialmente
'
N -1 conglomerados, consecutivamente
'
N -2, e
assim consecutivamente, até que um único conglomerado contendo todos os itens seja
formado, de modo aglomerativo. Uma vez que dois itens são inicialmente agrupados, no
decorrer do processo, não serão mais separados. Tal procedimento assemelha-se a
construção em forma de árvore, unindo primeiro os conglomerados com maior
similaridade. Medidas de similaridade são utilizadas inicialmente como critério para a
junção dos conglomerados. Estas medidas podem ser caracterizadas como medidas de
distância ou também como medidas correlacionais. As medidas de distância são
freqüentemente utilizadas quando objetos ou indivíduos são agrupados (JOHNSON e
WICHERN, 2002).
Uma das principais medidas de distância é a distância Euclidiana. Seja
),(
yxd a distância entre dois itens de dimensão p, no qual ],...,,[
21 p
xxx=x e
],...,,[
21 p
yyy=y . A distância Euclidiana é dada por:
37
)()()(...)()(),(
,22
22
2
11
yxyxyx −−=−++−+−=
pp
yxyxyxd . (4.5)
Esta distância é uma das mais conhecidas e utilizadas para análise de
agrupamentos. É comum, também, que seja utilizada como distância
2
),( yxd . Uma
outra medida de distância bastante aplicada é a distância estatística. Esta distância entre
os mesmos itens citados anteriormente é dada por:
)()(),(
,
yxAyxyx −−=d (4.6)
na qual, geralmente, tem-se que a matriz
1−
=SA , sendo S a matriz amostral de
variâncias e covariâncias. Nota-se que é necessário que se conheça a priori os
agrupamentos para calcular
S , o que pode inviabilizar a aplicação desta distância.
Ainda, quando
1−
=SA em (4.6), esta medida é conhecida como distância de
Mahalanobis. Uma outra distância que pode ser utilizada é a distância de Minkowski.
Esta é dada por:
l
p
i
l
ii
yxd
/1
1
),(
−=
∑
=
yx .
Quando l = 1 a medida resultante é a distância absoluta (ou city-block).
Quando l = 2 é obtida a distância Euclidiana. Variando-se l é propiciada uma mudança
de pesos para maiores e menores diferenças. Alguns autores (REIS, 2001) recomendam
que, sempre que possível, sejam utilizadas distâncias que respeitem as seguintes
propriedades métricas:
Simetria: ),(),( xyyx dd = ;
Diferenciabilidade: 0),( >yxd se
yx
≠
;
Indiferenciabilidade: 0),(
=
yxd se e somente se
y
x
=
;
Desigualdade triangular: ),(),(),( yzzxyx ddd
+
<
, em que z é um ponto
intermediário.
Quando o objetivo é agrupar variáveis as medidas de similaridade
geralmente empregadas são medidas correlacionais. Destas, a principal medida é a
38
correlação, muito utilizada por ser de fácil interpretação. Sejam duas variáveis aleatórias
i e j, a correlação entre elas é definida por:
∑∑
∑
==
=
−−
−−
=
n
k
jkj
n
k
iki
n
k
jkjiki
ji
xxxx
xxxx
1
2
1
2
1
)(()(
))((
ρ
(4.7)
na qual n é o número de itens. Utilizando-se como distâncias
ijij
d
ρ
−=1 , obtêm-se
menor distância (maior similaridade) quanto maior a correlação.
Pode-se também empregar a correlação absoluta, ou seja, a distância fica
sendo
ijij
d
ρ
−=1 . A escolha entre correlação ou correlação absoluta deve ser realizada
considerando-se a importância que cada forma tem em relação a natureza dos dados a
serem analisados. Contudo, estas duas formas não obedecem as propriedades métricas
citadas anteriormente, pois não satisfazem a propriedade de desigualdade triangular.
Para tanto, uma transformação do coeficiente de correlação pode ser considerada.
Fazendo-se:
2/1
)]1(5,0[
ijij
d
ρ
−= (4.8)
a nova distância obtida obedece as propriedades métricas. Novamente, quanto maior a
correlação, menor a distância, que varia entre 0 e 1 neste caso. Uma terceira
possibilidade que pode ser empregada como medida de similaridade são os chamados
coeficientes de similaridade (JOHNSON e WICHERN, 2002), contudo, são utilizados
somente para variáveis binárias, o que restringe bastante sua aplicação.
Quando se deseja fazer agrupamentos com padrões similares, estes devem
ser realizados com medidas correlacionais, podendo não haver valores similares, mas
obtendo padrões similares, como é o caso de variáveis. Quando se deseja fazer
agrupamentos com valores similares, deve-se empregar medidas de distância, podendo
obter padrões diferentes, mas havendo valores mais similares, como é o caso de objetos
e indivíduos.
Os conglomerados hierárquicos possuem vários métodos que determinam
como as medidas de similaridade, entre os conglomerados, é definida. Inicialmente,
quando cada observação constitui um conglomerado, a distância entre conglomerados é
simplesmente a distância entre os itens. Posteriormente, quando os itens vão sendo
39
alocados, uma regra de ligação se faz necessária para calcular a similaridade entre os
agrupamentos, sendo que em pelo menos um deles há mais de um item (HAIR et al.,
2005).
Uma regra de ligação freqüentemente utilizada é denominada ligação
simples (single linkage). Ela define como critério de ligação (semelhança) a menor
distância entre dois itens quaisquer pertencentes a agrupamentos distintos. São
calculadas as menores distâncias assim definidas entre todos os agrupamentos
existentes, e a distância mínima destas apontará quais agrupamentos serão agregados.
Este método tende a ligar itens (grupos unitários), preferencialmente, a grupos já
definidos, ao invés de formar novos agrupamentos.
Outro método bastante utilizado é o de ligação completa (complete linkage),
sendo que este é definido como o inverso do anterior. Deste modo, são calculadas as
maiores distâncias entre todos os agrupamentos existentes e a menor delas apontará
quais agrupamentos serão agregados. Este método tende a obter agrupamentos cujos
itens são muito semelhantes entre si, contudo, algumas vezes não apresentam
concordância elevada com a estrutura inicial dos dados.
Um método intermediário entre os anteriores que também pode ser utilizado
é o de ligação média. Este método tem início como os demais tomando a menor
distância para formar o primeiro agrupamento. Após isto, são calculadas médias de
distâncias entre todos os itens de agrupamentos distintos, para todos eles. A menor
distância média de todas indicará a junção a ser realizada. Ao contrário dos dois
métodos anteriores, este não é afetado por valores extremos, a maior ou menor
distância, considerando todos os itens dos agrupamentos.
Ainda, um outro método que pode ser considerado é o método do centróide.
Neste, a distância entre dois agrupamentos é a distância entre seus centróides. Os
centróides são definidos como as médias de todas as variáveis que caracterizam os itens
de cada agrupamento. A menor distância indica qual junção deve ser realizada. Neste
método pode ocorrer que as características de pequenos agrupamentos se percam
quando agregados a grandes agrupamentos.
Por último, um método que pode ser aplicado é o método Ward, que tem
como objetivo minimizar a variação interna dos agrupamentos conforme junções vão
sendo realizadas. Este método tem tendência de formar grupos de tamanhos semelhantes
e, em alguns casos, impor uma estrutura aos dados que não lhe é própria.
40
Todos estes métodos podem ser aplicados e comparados, obtendo-se um
resultado mais consistente na revelação da estrutura dos dados analisados. Deve-se
ressaltar que existem outros métodos a serem considerados, porém com utilização pouco
freqüente.
Os conglomerados hierárquicos podem ainda ser classificados como
aglomerativos, como na situação descrita acima, ou divisivos, quando partem de um
único grupo contendo todos os elementos e vão sucessivamente sendo divididos até que
cada elemento forme um grupo.
Técnicas de conglomerados não-hierárquicos são preferencialmente
designadas para agrupar itens do que variáveis (JOHNSON e WICHERN, 2002). O
número de conglomerados pode ser especificado a priori ou determinado durante o
próprio procedimento a ser realizado para agrupamento. Neste tipo de conglomerado é
permitido que os itens mudem de um conglomerado para outro enquanto o
procedimento se realiza. Inicialmente um conglomerado central é selecionado e todos os
itens em um limiar pré-definido estão nele contidos. Posteriormente, da mesma forma,
um outro conglomerado é escolhido e todos os itens limiares são alocados, repetindo a
operação até que todos estejam em algum conglomerado.
Os itens podem ser realocados se estiverem mais próximos de um outro
conglomerado do que daquele que originalmente estavam. Nos conglomerados não-
hierárquicos geralmente é utilizado um método denominado k-means. Este é
inicializado particionando-se os itens em k conglomerados e, posteriormente, esses itens
são analisados, sendo que aquele que estiver mais próximo de um centróide de outro
conglomerado para lá é deslocado. Distâncias e centróides são recalculados até que
nenhuma realocação seja realizada. Percebe-se aqui a dependência deste processo no
valor de k, que é fixado arbitrariamente. Uma representação geral do método de
agrupamentos está esquematizada na figura 4.2.
4.3.1 Algumas considerações sobre o método de agrupamentos
Uma crítica ao agrupamento não-hierárquico é que o pesquisador pode
conseguir soluções diferentes quando inicialmente são designados conglomerados
centrais distintos. Desta forma a dúvida seria qual a melhor representação de estrutura
da questão investigada.
41
Para o agrupamento hierárquico, uma crítica é quanto a sua instabilidade
quando uma primeira combinação de itens (ou variáveis) pode ter ocorrido com pequena
diferença de critérios. Para tanto, aconselha-se uma divisão da amostra em pelo menos
dois grupos, realizando o mesmo procedimento para verificar se são obtidos
conglomerados similares.
Na análise hierárquica para variáveis, a matriz de correlação amostral,
denotada por
R
, tem fundamental importância, pois dará origem a matriz de distâncias,
denotada por
D . Se as correlações, representando as similaridades, não forem
significantes, este problema será transferido para suas respectivas distâncias. As junções
entre as variáveis são obtidas a partir de diferenças de similaridades, logo as correlações
devem ser estatisticamente distintas para que não sejam gerados grupos espúrios de
variáveis. Devem-se então testar as hipóteses (REIS, 2001):
Conglomerado
Hierárquico
Aglomerativos Divisivos
De variáveis
De itens
(objetos e indivíduos)
Medidas de similaridade
Distâncias
Medidas de similaridade
Correlacionais
Grupos de itens Grupos de variáveis
Método de
Agrupamentos
Conglomerado
Não-Hierárquico
Método
K-means
Grupos de itens
Figura 4.2. Visão geral dos métodos de agrupamentos.
42
=
1
1
1
:
0
L
MOMM
L
L
ρρ
ρρ
ρρ
ρH
versus
≠
1
1
1
:
1
L
MOMM
L
L
ρρ
ρρ
ρρ
ρH
na qual
ρ é a matriz de correlação. Um teste é obtido utilizando-se somente os
elementos fora da diagonal da matriz
R
, usada para estimar ρ . São calculadas as
seguintes quantidades:
∑
≠
=
−
=
p
ki
i
ikk
r
p
r
1
1
1
, para k = 1,2,...,p; (4.9)
−
=
<
∑∑
ik
ki
r
pp
r
)1(
2
; (4.10)
2
22
)1)(2(
])1(1[)1(
ˆ
rpp
rp
−−−
−−−
=
γ
. (4.11)
Como se pode observar,
k
r é a média dos elementos fora da diagonal da k-
ésima coluna de
R
e
r
é a média de todos os elementos fora da diagonal. A estatística
de teste é dada por:
−−−
−
−
=
∑∑∑
=<
p
k
kik
ki
rrrr
r
n
T
1
22
2
)()(
)1(
)1(
γ
(4.12)
sendo que a rejeição de
0
H ocorre quando
)(
2
2/)2)(1(
αχ
−+
>
pp
T
, na qual
)(
2
2/)2)(1(
αχ
−+ pp
é o (100
α
)-ésimo percentil da distribuição Qui-quadrado com (p+1)(p-2)/2 graus de
liberdade.
Outra questão importante é relativa a com quantos agrupamentos a análise
final deve suportar. Vários critérios foram elaborados, contudo nenhum deles pode
garantir com absoluta certeza o número ótimo de agrupamentos.
43
Um primeiro critério é avaliar a curva de decrescimento do nível de
similaridade, conforme os grupos forem se formando. Quando o gráfico de similaridade
com número de grupos tende a sofrer estabilização, existe indício de que deve-se parar
de agrupar os elementos, pois daí em diante a diferença de similaridade entre os grupos
pode ser insignificante e estes fariam a junção ao acaso.
Um outro critério bastante utilizado é realizar uma análise fatorial com o
objetivo de redução do número de fatores (itens ou variáveis) sem perda de
representatividade (ou de informação). Na análise fatorial os valores dos autovalores
(vide apêndice D) de cada eixo (ou fator) representam o quanto da variância amostral
total (ou da informação total) neles ficaram retidas, ou seja, o quanto da variância
original seu respectivo fator explica. A variância total original, por sua vez, pode ser
obtida somando-se todos os autovalores. Estes podem então ser somados do maior para
o menor até que se atinja um nível satisfatório de informação, desprezando os menores,
conseqüentemente, reduzindo a dimensão e, possivelmente, obtendo uma estrutura mais
fácil de ser explicada. Pode ser utilizada tanto a matriz amostral de covariâncias, como a
matriz amostral de correlações, para obter-se os autovalores. Desta forma, a proporção
da variância amostral total explicada pelo j-ésimo fator é dada por:
pp
j
sss +++ ...
ˆ
2211
ν
, para análise fatorial de S ; (4.13)
p
j
ν
ˆ
, para análise fatorial de
R
, (4.14)
sendo que
j
ν
ˆ
é o j-ésimo autovalor (vide apêndice D) ordenado de forma decrescente e
obtido de uma matriz amostral de covariâncias
S
ou a matriz de correlação amostral
R
.
Observa-se, para a análise fatorial de
R
, que p
p
j
j
=
∑
=1
ˆ
ν
, ou seja, em média
cada autovalor teria peso 1, contudo alguns têm valores maiores que 1 e outros não.
Pensando assim, um critério denominado raiz latente (HAIR et al, 2005), determina que
aqueles autovalores que são menores que 1 nem deveriam ser mantidos, pois sequer
explicam a variabilidade de uma única variável.
Utilizando-se as expressões (4.13) ou (4.14), pode-se fazer um gráfico
(conhecido como scree plot) do número de fatores com os autovalores em ordem
decrescente, sendo que seu comportamento é utilizado para determinar o número de
fatores a ser mantido, análogo ao gráfico de similaridades.
44
4.3.2 Análise das características do supermercado por meio de
agrupamentos hierárquicos de variáveis
Inicialmente deve-se testar a estrutura presente nos elementos fora da
diagonal da matriz
R
, usada para estimar ρ . Aplicando-se os dados coletados na
amostra, a matriz amostral de correlações para preço (P), localização (L), rapidez (R),
qualidade (Q), variedade (V), estacionamento (E) e outras (O) é dada por:
P L R Q V E O
=
10,002-0,133-0,214-0,038-0,184-0,184-
10,076-0,0570,0500,061-0,024-
10,104-0,1290,0820,150
10,3330,131-0,094-
10,101-0,061
10,064
1
R .
São obtidas as quantidades abaixo, conforme as expressões (4.9) a (4.11) e a
matriz
R
:
=
0,125632-
0,009178-
0,007983
0,025260-
0,072350
0,055120-
0,004497-
k
r
;
0199077,0−=r ;
804706,0
ˆ
−=
γ
;
102,107
=T ;
40)005,0()(
2
20
2
2/)2)(1(
==
−+
χαχ
pp
.
45
Logo, como
)005,0(
2
20
χ
>T
, ocorre a rejeição de
0
H , ou seja, existe
diferenças significativas nos elementos da diagonal da matriz
R
e a análise de
agrupamentos pode ser aplicada. Inicialmente, para efeito de ilustração do método, é
utilizada como distância
ijij
d
ρ
−=1 , ligação média para todos os 303 questionários. A
matriz
D é:
P L R Q V E O
=
01,0021,1331,2141,0381,1841,184
01,0760,9430,9501,0611,024
01,1040,8720,9180,850
01,1311,094
01,1010,939
00,936
0
0,667
D
.
O menor valor das distâncias (maior similaridade) é 0,667, que liga rapidez
(coluna 3) e qualidade (coluna 4). Logo, compondo as colunas 3 e 4 pela média, a nova
matriz de distâncias fica
P L R,Q V E O
=
0002,1133,1126,1184,1184,1
0076,1946,0061,1024,1
0988,0918,0
0116,1016,1
0936,0
0
0,850
D
A nova junção é realizada entre as colunas 1 e 5, preço e variedade, cuja
distância é 0,850. Como exemplo, a nova distância entre o agrupamento preço e
variedade com o agrupamento rapidez e qualidade fica:
002,1
4
54531413
)4,3()5,1(
≈
+++
=
dddd
d .
A nova matriz
D
fica:
46
P,V L R,Q E O
=
0002,1126,1184,1158,1
0946,0061,1050,1
0116,1002,1
0
0
0,927
D
.
Devido a menor distância encontrada (0,927), a nova junção é dada por
preço e variedade (coluna 1,5) com localização (coluna 2). Repetindo o processo é
obtida:
P,V,L R,Q E O
=
0002,1126,1667,1
0054,1
0040,1
0
0,946
D
.
Realizando a junção 3,4 e 6, a nova matriz fica:
P,V,L R,Q,E O
=
0126,1167,1
0
0
1,044D
.
Finalmente,
P,V,L,R,Q,E O
=
0126,1
0
D .
A figura 4.3, juntamente com a tabela 4.2, pode representar muito bem as
junções obtidas com seus níveis de similaridade, utilizando correlação e ligação média.
47
Como exemplo, a primeira junção realizada na matriz
D
é rapidez com qualidade,
exatamente como ocorre na figura 4.3. O nível de distância na tabela 4.2 é obtido com
os menores valores das matrizes de distância no decorrer do processo de agrupamento,
sendo o nível inicial zero. O nível de similaridade aqui exibido é obtido fazendo-se a
interpolação de seu nível inicial sem junções (100) e o nível de distância
correspondente.
Pela figura 4.3 e pela tabela 4.2 pode-se observar que algumas junções
ocorrem em um nível de similaridade muito baixo (parte de cima da figura 4.3) e estas
junções não devem ser consideradas. Para melhor avaliação, é confeccionado um
gráfico dos níveis de similaridade com o número de agrupamentos.
OutrasEs t ac .Qual.Rap.Loc.Var.Preç o
43,72
62,48
81,24
100,00
Similarity
Variables
Tabela 4.2. Níveis de similaridade e distância.
Passo Nível de Similaridade Nível de Distância
1 66,67 0,667
2 57,50 0,850
3 53,64 0,927
4 52,68 0,946
5 47,78 1,044
6 43,72 1,126
V
ARIÁVEIS
SIMILARIDADE
Figura 4.3. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando correlação
simples e ligação média para todos os questionários.
48
Pela figura 4.4 a seguir percebe-se que o nível de similaridade decresce
muito com menos de 3 grupos (agrupamentos), o que não deve ser considerado.
Observa-se também que há um grande declive logo na primeira junção (de 7 grupos
para 6), referentes a rapidez e qualidade. As junções devem deixar de ser realizadas
quando o nível de similaridade estiver muito baixo, por exemplo, quando houver três
grupos. Contudo, deve-se considerar uma análise mais elaborada com autovalores para
decidir quantos agrupamentos formar.
7654321
100
90
80
70
60
50
40
Agrupamentos
Similaridade
Para melhorar a análise de agrupamentos, pode-se proceder uma comparação
assumindo a ligação média como critério para todas as análises, visando evitar os
problemas que podem ocorrer com a ligação simples e a ligação completa, como
comentado anteriormente. Assim, utilizando a divisão da amostra total em duas
amostras, relativas a primeira semana de coleta (157 questionários) e a segunda semana
(146 questionários) e, variando também o tipo de correlação, sendo aplicadas a
correlação simples e a correlação transformada (expressão (4.8)), que obedecem as
propriedades métricas, pode-se verificar a consistência da análise final obtida.
Parar iniciar a comparação, é realizada a mesma análise que a anterior com a
correlação transformada. Pode-se observar pela figura 4.5 que preço, variedade e
localização estão ligados, bem como rapidez, qualidade e estacionamento, ficando
outras como a última ligação a ser obtida. Nota-se, contudo, pela figura, que o nível de
Figura 4.4. Representação gráfica dos agrupamentos e similaridades,
utilizando correlação simples e ligação média, para todos os questionários.
49
similaridade com que as ligações foram ocorrendo estão abaixo das obtidas com a
análise anterior, na qual utilizava-se correlação simples. Isto provavelmente deve ter
ocorrido como efeito realizado pela transformação, a qual a correlação original foi
submetida.
A seguir, a figura 4.6, utilizando-se correlação simples e ligação média para
a primeira semana de coleta de questionários. Também, as figuras 4.7, 4.8 e 4.9
representam, respectivamente, análise com correlação transformada e ligação média
para a primeira semana de coleta de questionários, correlação simples e ligação média
para a segunda semana de coleta de questionários e, por último, correlação transformada
e ligação média para a segunda semana de coleta de questionários, respectivamente.
Comparando-se as análises, verifica-se que, com exceção da figura 4.7, os
agrupamentos formados basicamente são compostos por preço, variedade e localização
com rapidez, qualidade e estacionamento, mantendo-se isolado outras. Na figura 4.7
observa-se que a ligação ocorrida entre o agrupamento preço e variedade com outro
agrupamento em vez de localização ocorre com pouquíssima diferença de similaridade.
Desta forma, pode-se dizer que, apesar disto, o agrupamento apontado pelas outras
análises pode ser considerado consistente com a primeira delas, da figura 4.3.
OutrasEstac.Qual.Rap.Loc.Var.
Preço
3,75
35,84
67,92
100,00
Similarity
Variables
SIMILARIDADE
V
ARIÁVEIS
Figura 4.5. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando correlação
transformada e ligação média para todos os questionários.
50
OutrasEs t ac .Qual.Rap.Var.Preç oLoc.
42,66
61,78
80,89
100,00
Similarity
Variables
OutrasEstac.Qual.Rap.Var.PreçoLoc.
3,42
35,61
67,81
100,00
Similarity
Variables
SIMILARIDADE
V
ARIÁVEIS
Figura 4.6. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando-se
correlação simples e ligação média, para a primeira semana de coleta.
SIMILARIDADE
V
ARIÁVEIS
Figura 4.7. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando-se correlação
transformada e ligação média, para a primeira semana de coleta.
51
OutrasEs t a c .Qual.Rap.Var.Loc.Pr e ç o
44,11
62,74
81,37
100,00
Similarity
Variables
OutrasEstac.Qual.Rap.Var.Loc.Preço
5,25
36,84
68,42
100,00
Similarity
Variables
SIMILARIDADE
V
ARIÁVEIS
Figura 4.8. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando-se correlação
simples e ligação média, para a segunda semana de coleta.
Figura 4.9. Representação gráfica dos agrupamentos utilizando-se correlação
transformada e ligação média, para a segunda semana de coleta.
SIMILARIDADE
V
ARIÁVEIS
52
Apesar da análise realizada entre similaridades e número de agrupamentos,
deve-se proceder também uma análise fatorial (AAKER et al., 2004), utilizando-se os
autovalores na determinação do número de fatores a ser mantido no final. Também, não
deve ser descartado o entendimento que os agrupamentos fornecem, sua possível
explicação no que se refere a maior facilidade de análise da situação e da informação
que se pode conseguir. Desta forma, não se deve simplesmente olhar valores de
autovalores, mas também haver coerência no número de fatores a ser assumido com a
representação obtida das informações dos dados.
A figura 4.10 representa o scree plot da análise fatorial utilizando-se, para as
sete variáveis, de seus autovalores ordenados em forma decrescsnte, com matriz de
correlação e sem rotação. Observa-se que 3 como número de fatores pode ser
considerado satisfatório, pois há um grande decréscimo aí e, ainda, os fatores restantes
têm autovalores menores que um, ou seja, tem pouca absorção de informação (ou de
variabilidade), podendo então ser descartados por ter menor importância. Também,
acaba sendo propiciada a análise até então explicitada pelas análises anteriores, ou seja,
o agrupamento preço, variedade e localização, o agrupamento rapidez, qualidade e
estacionamento, e outras isoladamente. Deve-se ressaltar ainda que não havia outra
estrutura de agrupamentos concorrente a esta se fossem considerados outros números de
fatores, o que acaba corroborando ainda mais a análise final obtida.
7 654321
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
Factor Number
Scree Plot de Preço-Outras
Número de fatores
Autovalores
Figura 4.10. Scree plot dos autovalores para preço, variedade, rapidez,
qualidade, localização, estacionamento e outras, utilizando análise fatorial,
sem rotação e com matriz de correlação.
53
Analisando-se ainda a tabela 4.3, pode-se observar que o total da variância
explicada pelos fatores obtidos não é alto, mas, como comentado, a análise de
agrupamentos parece ser bem consistente. Segundo Hair et al. (2005), para este tipo de
informação, em torno de 0,6, pode ser considerado satisfatório.
Tabela 4.3. Variabilidade total explicada pelos 3 fatores.
Fator 1 Fator 2 Fator 3 Total
Variância 1,4496 1,4238 1,0410 3,9144
% da variância 0,207 0,203 0,149 0,559
De forma geral, pode-se notar que ficaram estabelecidos dois grupos
bastante interessantes: no primeiro, rapidez, qualidade e estacionamento e em outro
preço, variedade e localização. Nota-se que um deles privilegia atendimento enquanto o
outro basicamente privilegia preço em mercadorias variadas, portanto bastante distintos.
4.4 O Número de itens na compra, a percepção de diferença de preços e
a escolaridade dos clientes entrevistados.
Outra questão importante é referente ao número de itens que os clientes
costumam comprar no supermercado. Este dado pode ser utilizado para dimensionar o
tamanho dos carrinhos para melhor atender os clientes. Na figura 4.11 está a
distribuição do número de itens para todos os dias de coleta. Observa-se que existe um
decaimento praticamente exponencial, conforme o número de itens vai crescendo. Uma
outra forma de analisar os dados pode ser definindo classes em função do número de
itens, por exemplo, classe A para quem adquire até 15 itens, B até 70 itens e C acima
disto, conforme figura 4.12.
Esta divisão de classes é utilizada posteriormente em outras análises.
Contudo, observa-se que se alocados caixas que atendem até 15 itens, estes são
responsáveis por praticamente dois terços de todas as compras realizadas no
supermercado, enquanto cerca de 11% compram acima de 70 itens. Poderia-se estudar
então a implementação de três tipos de caixas, relativos as classes A (até 15 itens), B (de
16 a 70 itens) e C (acima de 70 itens), proporcional ao número total de caixas e a
freqüência encontrada nas classes. O supermercado em questão tem três tipos de
54
carrinhos e poderia haver um tratamento diferenciado aos clientes que realizam compras
grandes, sem incomodar aqueles com compras menores.
4003002001000
150
100
50
0
Ítens
Frequency
0
10
20
30
40
50
60
70
ABC
Classes
Freqüência
Figura 4.11. Representação gráfica do número de itens por cliente.
Figura 4.12. Representação gráfica das classes para o número de itens por
cliente.
Porcenta
g
em de clientes
Itens
55
Quanto a questão relativa à impressão do cliente em haver diferença de
preços entre supermercados distintos, dos entrevistados, 29,7% disseram não acreditar
que exista e a maioria, 66,7%, afirma que há diferença entre supermercados. Um dado
importante foi obtido com 11 clientes (3,6%) que não sabiam responder. A razão
apontada foi que não faziam compras em outros estabelecimentos, sendo fiéis ao
supermercado analisado.
A escolaridade dos clientes é uma informação bastante importante, pois está
relacionada à renda e, conseqüentemente, ao poder de compra (como é visto
posteriormente). Espera-se que, para diferentes níveis de escolaridade, haja
comportamentos e necessidades distintas, portanto, quantificar esta informação, ainda
que de forma amostral, é importante.
Nos seis dias de coleta foram entrevistados 307 clientes, sendo que apenas
quatro não tinham escolaridade alguma. Estes, até porque não tiveram segurança em
responder as questões, foram retirados das análises estatísticas realizadas, sendo então
utilizadas 303 respostas. Pela figura 4.13 pode-se verificar as porcentagens para as
seguintes categorias de escolaridade: sem escolaridade (s/ escol.), ensino fundamental
incompleto (E.F.I.), ensino fundamental completo (E.F.C.), ensino médio incompleto
(E.M.I.), ensino médio completo (E.M.C.), ensino superior incompleto (E.S.I.) e ensino
superior completo (E.S.C.). Observa-se que há pouca porcentagem para ensino médio e
superior incompletos, diferente do ensino fundamental incompleto.
1,3
15
14,6
1
35,2
2
30,9
0
5
10
15
20
25
30
35
40
junção dos dias
s/ escol.
E. F. I.
E. F. C.
E. M. I.
E. M. C.
E. S. I.
E. S. C.
Escolaridade
Porcentage
m
Figura 4.13. Representação gráfica dos diferentes níveis de escolaridade para
os dias de coleta.
56
Para evitar categorias com pouca representatividade, resolveu-se juntar os
ensinos completos e incompletos, ficando com as categorias sem escolaridade (s/
escol.), ensino fundamental (E.F.), ensino médio (E.M.) e ensino superior (E.S.), cuja
representação gráfica pode ser vista na figura 4.14. Ressalta-se ainda que a junção
encontra justificativa devido ao fato de, somente no ensino fundamental, haver
equilíbrio entre os clientes que o completaram e aqueles que não têm esta escolaridade
completa.
1,3
29,6
36,2
32,9
0
5
10
15
20
25
30
35
40
junção dos dias
s/ escol.
E. F.
E. M.
E. S.
Segundo o IBGE, a cidade de São Carlos, para o censo de 2.000, tinha 5,8%
de sua população sem escolaridade, 43,1% com ensino fundamental (completo ou não),
20,3% co ensino médio (completo ou não) e 30,8% com mais ensino que as classes
anteriores. Deve-se ressaltar que as diferenças obtidas na amostra podem ter duas
hipóteses distintas: a primeira é que provavelmente deve-se à coleta de dados ter sido
realizada quatro anos após o ano do censo, quando então as porcentagens deveriam estar
mais coesas em razão da crescente escolaridade da população em geral. A segunda
hipótese é que a clientela do supermercado pode naturalmente ser de uma parte da
população que tem um nível de escolaridade mais alto que a média da cidade onde está
o supermercado; nesta questão pode ser importante também a localização do
estabelecimento, e a população que o circunda.
Porcentage
m
Figura 4.14. Representação gráfica para a junção dos diferentes níveis de
escolaridade, para os dias de coleta.
Escolaridade
57
Segundo a PNAD (Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio) do IBGE,
um fato interessante que ocorre no Brasil é que a renda média de um trabalhador está
intimamente ligada a sua escolaridade, como revela a figura 4.15. Pessoas com
escolaridades maiores tendem a ter rendas significativamente mais elevadas que aquelas
com escolaridades mais baixas.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Menor que
Primário
Primário Comp. Fund. Comp. Médio Completo Sup. Comp. Mestrado ou
Doutorado
Os níveis de escolaridade são importantes quando forem analisados seus
cruzamentos com as características de freqüência ao supermercado, com o número de
itens comprados, entre outras. Para tanto, a análise de correspondência é empregada,
conforme é visto na próxima seção. Para as análises subseqüentes, devido à maior
facilidade de tratamento, os níveis de escolaridade são considerados como sendo a
categoria Esc1 para o ensino fundamental (E. F.), a categoria Esc2 para o ensino médio
(E. M.) e a categoria Esc3 para o ensino superior (E. S.).
Figura 4.15. Renda média de um trabalhador associada ao nível de escolaridade
para o Brasil em 2004.
Renda Média
Fonte: PNAD 2004
58
4.5 O cruzamento das características pela análise de correspondência
Técnica exploratória desenvolvida pelos franceses, a análise de correspondência
é freqüentemente utilizada para análise de cruzamentos entre variáveis. Resumidamente, é
usualmente empregada para estudar as relações entre variáveis categóricas nominais, como
também as categorias destas mesmas variáveis. Por meio dessa análise, pode-se reconhecer
as relações entre as variáveis e/ou suas categorias, utilizando suas proximidades em um
sistema de projeção plana. Estas proximidades são representadas por distâncias
2
χ
projetadas em um plano e avaliadas segundo seu posicionamento, estabelecendo ou
revelando possíveis associações. O plano resultante da análise é freqüentemente
denominado de mapa de percepções.
O principal objetivo da análise de correspondência é a representação de dados
categóricos em um espaço de dimensão menor identificando seus aspectos. As variáveis
consideradas podem ser nominais e ordinais, com categorias mutuamente exclusivas ou
não. Como produto final é obtido um gráfico, representando associações em uma tabela de
freqüência ou contagem. A análise de correspondência simples pode ser encontrada em
alguns livros, tais como Hair et al. (2005), Aaker et al (2004), Carvalho (2004), Pereira
(2004), Johnson e Wichern (2002), entre outros.
4.5.1 A análise das características utilizando análise de correspondência
simples
Nesta seção está contemplada a análise de correspondência simples, ou seja,
obtida de uma tabela de dupla entrada referente ao cruzamento de duas variáveis. O gráfico
vai então apresentar dois conjuntos de pontos: I pontos correspondendo às linhas e J pontos
correspondendo às colunas. As associações podem ser obtidas por meio dos pontos
(categorias) linha que estão próximas dos pontos (categorias) coluna, e que representam
combinações que ocorrem com maior freqüência do que seria esperado por um modelo de
independência, ou seja, no qual as categorias linha não estariam correlacionadas com as
categorias coluna.
59
Como resultados da análise de correspondência simples, é obtida a melhor
representação bidimensional dos dados e uma medida denominada inércia, que representa a
quantidade de informação retida em cada dimensão.
Como exemplo, pode-se utilizar a característica preço (com sete categorias)
realizando um cruzamento com a escolaridade (com três categorias). As categorias para
preços devem ser entendidas como, por exemplo, P0 sendo a categoria na qual os clientes
não apontaram esta característica. Já, para P7, os clientes apontaram em primeira ordem,
para P6, em segunda ordem, e assim consecutivamente. Este procedimento também é
seguido para todas as outras características. A tabela 4.4 de dupla entrada, representando
essa situação, pode ser vista abaixo.
Tabela 4.4. Cruzamento entre as variáveis Preço e Escolaridade.
Escolaridade
Preço
Esc1 Esc2 Esc3 Total
P0 40 58 65 163
P2 0 0 1 1
P3 12 14 9 35
P4 3 3 8 14
P5 4 8 6 18
P6 7 9 9 25
P7 25 19 3 47
Total 91 111 101 303
Analisando-se a tabela 4.4 de forma simplificada, pode-se observar que a
freqüência, com a qual os clientes apontam preço como a primeira característica pela qual
freqüentam o supermercado (categoria P7), decresce conforme a escolaridade aumenta. Por
outro lado, os clientes que simplesmente não apontaram preço (categoria P0) cresce
conforme aumenta-se a escolaridade. A análise de correspondência então pode ser utilizada
na tentativa de estabelecer o quão próximo as categorias dessas variáveis se encontram, ou
seja, permite avaliar de forma mais fidedigna se a suposta relação pode ser considerada
como autêntica.
60
A tabela de dupla entrada dá origem a matriz
)( JxI
X
de freqüências
encontradas. Para o caso acima,
)( JxI
X é dada por:
)( JxI
X
=
31925
997
684
833
91412
100
655840
.
Esta matriz dá início ao desenvolvimento algébrico da análise de
correspondência.
4.5.2 Desenvolvimento algébrico
O desenvolvimento algébrico da análise de correspondência é importante, pois
permite avaliar a forma com que as distâncias são utilizadas para as associações de
categorias das variáveis. O tópico aqui presente está baseado em Johnson, Wichern (1998).
Seja a matriz
)( JxI
X
, na qual
ij
x
são as freqüências encontradas nas categorias de duas
características distintas a serem pesquisadas. Sem perda de generalidade, é considerado que
I > J e que rank( X ) = J, ou seja, o número de linhas linearmente independentes de X é J.
Também, seja
n o total de freqüências em
)( JxI
X
. A matriz de correspondência, denotada
por
}{
)( ijJxI
p=P (também conhecida por matriz de proporções), é a matriz
)( JxI
X dividida
por
n, ou seja,
n
x
p
ij
ij
= , então:
)()(
1
JxIJxI
n
XP =
.
Agora faz-se a centralização da matriz
)( JxI
P
, denotada por
P
~
, e dada por:
,
)(
~
rcPP −=
JxI
,
61
na qual
)1()( xJJxI
1Pr =
;
)1(
)(
,
xI
IxJ
1Pc =
e 1 é o vetor formado pelo número 1
com dimensão adequada. Desta forma, sendo
∑
=
=
J
j
iji
pr
1
para i = 1,2,...,I, então
1xI
r
é o
vetor soma dos elementos das linhas de
)( JxI
P
, e sendo
∑
=
=
I
i
ijj
pc
1
para j = 1,2,...,J, então
1xJ
c
é o vetor soma dos elementos das colunas de
)( JxI
P
.
Observa-se então que a centralização é obtida fazendo-se a subtração em
)( JxI
P
do produto do total de linhas e total de colunas para cada entrada de
)( JxI
X
.
Definem-se as matrizes diagonais:
),...,,(
21 Ir
rrrdiag=D e
),...,,(
21 Jc
cccdiag=D
.
Após a centralização, deve-se obter a padronização de
)( JxI
P
, cuja matriz é
denotada por
*
P
e dada por:
2/12/1
)(
*
~
−−
=
cr
JxI
DPDP
. (4.15)
Desta forma, a (i,j)-ésima entrada da matriz
*
P é dada por
ji
jiij
ij
cr
crp
p
−
=
*
.
Daqui percebe-se a centralização e a padronização efetuada na matriz
)( JxI
P
.
Havendo calculado a matriz
*
P
, deve-se verificar a associação para a tabela de
dupla entrada executando as fases seguintes. Inicialmente é encontrada a decomposição do
valor singular de
*
P
. Esta é dada por:
,
)1()1()1()1(
)(
*
xJJJxJJxI
JxI
−−−−
= VΛUP
, (4.16)
na qual a matriz
)1( −JxI
U é formada pelos autovetores (vide apêndice D) de
)()(
*
IxJJxI
*,
PP ,
)1( −JJx
V
é formada pelos autovetores de
)(
*
)( JxIIxJ
PP
,
*
e
)
ˆ
...,,
ˆ
,
ˆ
(
121)1()1( −−−
=
JJxJ
diag
ν
ν
ν
Λ
,
ou seja, uma matriz diagonal formada pelos autovalores com
121
ˆ
...
ˆˆ
−
>>>
J
ν
ν
ν
, sendo que
IVVUU
,,
==
.
62
Deve-se agora obter os eixos de coordenadas a serem utilizadas na
representação gráfica para a análise de correspondência. Sejam:
UDU
2/1
)1(
~
rJxI
=
−
VDV
2/1
)1(
~
cJxJ
=
−
Utilizando-se (4.15) e (4.16) é obtido que:
∑
−
=
==−=
1
1
,,
~~
ˆ
~~~
J
j
jjjJxJ
vuVΛUrcPP
,
ν
,
na qual
j
u
~
é o j-ésimo vetor coluna de U
~
e
j
v
~
é o j-ésimo vetor coluna de V
~
.
Da forma representada acima, pode-se verificar que:
)1()1(
11
~
~
~
~
−−
−−
==
JxJcr
IVDVUDU
,,
.
Agora, as colunas de
U
~
definem os eixos de coordenadas para os pontos
representando os perfis coluna de
P
, e as colunas de
V
~
definem os eixos de coordenadas
para os pontos representando os perfis linha de
P .
Uma vez obtidos os eixos, deve-se calcular as coordenadas para os perfis linha e
coluna. As coordenadas dos perfis linha, alocadas em
)1( −JxI
Y
, são obtidas como:
)1)(1()1(
1
)1(
~
−−−
−
−
=
JJJIx
IxI
rJxI
ΛUDY
.
As coordenadas dos perfis coluna, alocadas em
)1( −JxJ
Z
, são obtidas por:
)1)(1()1(
1
)1(
~
−−−
−
−
=
JJJJx
JxJ
cJxJ
ΛVDZ
.
As duas primeiras colunas de
Y
contém os pares de coordenadas de pontos
linha na melhor representação bidimensional dos dados e, da mesma forma, as duas
primeiras colunas de
Z
contém os pares de coordenadas de pontos coluna na melhor
representação bidimensional dos dados.
O procedimento a ser realizado agora é colocar os dois conjuntos de pontos
obtidos acima sobrepostos no mesmo gráfico. Ainda que não haja distância direta entre um
ponto representando perfil coluna e um outro representando perfil linha, o gráfico obtido
63
pode ser interpretado como um cenário de aproximação (ou de correspondência) entre as
categorias (ou variáveis) ali representadas.
Como uma última etapa, deve-se obter uma medida, denominada inércia, de
grande importância para avaliar a análise de correspondência resultante. A inércia total é
uma medida de variação dos dados e pode ser definida por:
Inércia total =
∑
=
=
k
i
i
PPtr
1
2
,
**
ˆ
)(
ν
, (4.17)
na qual
)0
ˆ
...
ˆˆ
(
21
>≥≥≥
k
ν
ν
ν
são os valores não nulos da diagonal de
)1()1( −− JxJ
Λ . Desta
forma, havendo
k autovalores não nulos, então, também, )1,1min()
~
( −−== JIrankk P .
As inércias associadas a alguma dimensão são definidas como o quadrado dos
valores singulares (autovalores) não nulos, ou seja,
2
ˆ
i
ν
. A interpretação dos valores de
i
ν
indicam (como é próprio de autovalores) quanta informação é retida em sua respectiva
dimensão. A inércia associada com a melhor aproximação de
rank reduzido
JK
b
<
tem
inércia
∑
=
b
K
i
i
1
2
ν
. Assim a inércia residual seria dada por
∑
−
+=
1
1
2
J
Ki
i
b
ν
e uma boa aproximação teria
este valor pequeno em relação a inércia total.
Nota-se que deve haver perda de informação quando
3≥k
, ou seja, as variáveis
têm pelo menos quatro categorias. Apesar disto, deve-se avaliar quanto da informação é
perdida, o que pode ser realizado pelas medidas de inércia, quando comparadas a inércia
total verificando a viabilidade (confiança) de aplicação aos resultados obtidos. Desde que a
inércia é uma medida da variação total dos dados, pode-se dizer que se
∑
−
=
+
1
1
22
2
2
1
/)(
J
i
i
ννν
tiver um valor alto, grande parte da informação estará representada em um plano, obtendo-
se então do gráfico uma boa aproximação.
Das expressões (4.15) e (4.17) verifica-se que:
]))()()([()(
,/,//,/
,
** 21
c
21
r
21
c
21
r
DrcPDDrcPD
−−−−
−−= trPPtr =
64
=
∑∑
==
−
I
i
J
j
ji
jiij
cr
crp
11
2
)(
.
É interessante observar a relação entre a medida de associação qui-quadrado
(
2
χ
) para uma tabela de dupla entrada. Esta é dada por:
∑
−
=
ji
ij
ijij
E
EO
,
2
2
)(
χ
,
na qual
ij
O
é a freqüência observada e
ij
E
é a freqüência esperada para ij-ésima célula.
Adaptando-se esta situação, à análise de correspondência, pode-se fazer
ijij
npO =
e
jiij
cnrE =
, e assim:
Inércia total =
n
cr
crp
I
i
J
j
ji
jiij
/
)(
2
11
2
χ
=
−
∑∑
==
.
4.5.3 Resultados das análises de correspondência simples para as
características
As análises de todas as características, apresentadas a seguir, foram
consideradas para todos os 303 questionários, em todos os dias de coleta. Inicialmente,
como um exemplo expondo os cálculos realizados, é retomada a análise da característica
preço associada a escolaridade, apresentando vários resultados e o gráfico para
interpretação das associações.
Em se tratando do cruzamento com a escolaridade, para as características em
questão, não há perda de informação, pois J-1=2, ou seja, o gráfico contém toda a
informação dos dados. Esta situação vai ocorrer em outras análises que são realizadas ainda
neste capítulo.
A partir da tabela 4.4 foram calculadas as porcentagens para o cruzamento entre
preço e escolaridade, apresentadas na tabela 4.5 a seguir.
65
Tabela 4.5. Porcentagem para o cruzamento entre Preço e Escolaridade.
Escolaridade
Preço
Esc1 Esc2 Esc3 Total
P0 13,20 19,14 21,45 53,80
P2 0 0 0,33 0,33
P3 3,96 4,62 2,97 11,55
P4 0,99 0,99 2,64 4,62
P5 1,32 2,64 1,98 5,94
P6 2,31 2,97 2,97 8,25
P7 8,25 6,27 0,99 15,51
Total 30,03 36,63 33,33 100,00
Observa-se da tabela 4.5 que mais da metade dos clientes não optou pela
característica em questão, contudo existe uma informação importante quando se considera
que não há uniformidade entre os clientes que o fizeram. Este fato é levantado pela análise
de correspondência. A diferença entre as freqüências observada e esperada pode ser dada
por
jiij
cnrnp − para I=1,...,7 e J=1,2,3. Como exemplo,
1111
crnnp
−
= 40 - 48,95 = -8,95.
Da tabela 4.6 observam-se valores não condizentes para o modelo de independência para as
categorias P0 e P7, revelando uma suposta tendência de associação.
Tabela 4.6. Diferença entre as freqüências observada e esperada para preço e
escolaridade.
Esc1 Esc2 Esc3
P0 -8,95 -1,71 10,67
P2 -0,30 -0,37 0,67
P3 1,49 1,18 -2,67
P4 -1,20 -2,13 3,33
P5 -1,41 1,41 0,00
P6 -0,51 -0,16 0,67
P7 10,88 1,78 -12,67
66
As distâncias
2
IJ
χ
(ou inércias das células) podem ser dadas por
ji
jiij
cnr
cnrnp
2
)( −
para
I=1,...,7 e J=1,2,3. Como exemplo,
11
2
1111
2
11
)(
cnr
cnrnp −
=
χ
= ≈
−
95,48
)95,8(
2
1,64. Percebe-
se pela tabela 4.7 que, pela ponderação ocorrida, P7 tem valores bastante interessantes em
contraste à independência, ainda que só 15,51% dos clientes tenham apontado preço como
principal característica. Isto ocorre pelo desbalanceamento em relação à escolaridade, e
também pela soma de todos os valores,
.894,29
2
=
χ
Tabela 4.7. Distâncias Qui-Quadrado para Preço e Escolaridade.
Escolaridade
Preço
Esc1 Esc2 Esc3 Total
P0 1,638 0,049 2,094 3,781
P2 0,300 0,366 1,333 2,000
P3 0,211 0,108 0,610 0,929
P4 0,345 0,884 2,381 3,610
P5 0,366 0,300 0,000 0,665
P6 0,034 0,003 0,053 0,090
P7 8,393 0,184 10,241 18,819
Total 11,287 1,894 16,712 29,894
A tabela 4.8 traz as inércias relativas aos eixos (componentes) que irão compor
o gráfico para análise. Ela revela que o componente 1 acumula quase toda a informação dos
dados. A inércia total é obtida fazendo-se
0987,0/
2
≈n
χ
, dos quais 0,0929 (ou 94%) estão
no componente 1. Esta construção se realiza sempre de forma decrescente, ou seja, as
maiores inércias (ou autovalores) vão compondo os primeiros eixos, permitindo avaliar o
quanto está contido no plano bidimensional. As tabelas 4.9 e 4.10, respectivamente das
contribuições do perfil linha e das contribuições do perfil coluna, ajudam a interpretar os
componentes obtidos. A tabela de contribuição do perfil linha é agora analisada
considerando-se alguns conceitos.
67
Tabela 4.8. Inércias relativas aos componentes.
Componentes Inércia Proporção
1 0,0929 0,9417
2 0,0058 0,0583
Total 0,0987 1
Tabela 4.9. Contribuições do perfil linha para os componentes.
Componente 1 Componente 2
Preço Inércia Coordenadas Contribuição Coordenadas Contribuição
P0 0,126 0,152 0,994 -0,011 0,006
P2 0,067 1,329 0,883 0,483 0,117
P3 0,031 -0,159 0,951 -0,036 0,049
P4 0,121 0,457 0,809 0,222 0,191
P5 0,022 0,066 0,117 -0,181 0,883
P6 0,003 0,060 1,000 0,000 0,000
P7 0,630 -0,630 0,991 0,060 0,009
A coluna inércia na tabela 4.9 é a proporção da inércia total contribuída por cada
uma das linhas. Nota-se que P7 tem grande contribuição para o total. Observando-se a
tabela 4.7, das distâncias Qui-Quadrado, vê-se que a contribuição de P7 é
2
3
1
2
7
/
χχ
∑
=J
J
=
18,819/29,894
≈
0,630. As colunas de coordenadas são relativas aos componentes 1 e 2 a
serem alocadas no gráfico bidimensional. São obtidas respectivamente por
)1( −JxI
Y
e
)1( −JxJ
Z
, como descrito anteriormente.
A coluna denominada contribuição refere-se a contribuição do componente para
a inércia das linhas. Percebe-se desses valores porque 94% de toda informação está no
componente 1. Somente P5 tem um valor alto (0,883) para o componente 2. Observa-se
ainda que as categorias P0, P6 e P7 detém 75,9% da inércia total do perfil linha.
A análise da tabela do perfil coluna (tabela 4.10) ocorre de forma análoga a
anterior. Nota-se que as categorias Esc1 e Esc3 explicam grande parte da inércia total,
68
sendo que o componente 1 tem grande contribuição para a inércia destas duas categorias, ao
contrário da categoria Esc2.
Tabela 4.10. Contribuições do perfil coluna para os componentes.
Componente 1 Componente 2
Escol. Inércia Coordenadas Contribuição Coordenadas Contribuição
Esc1 0,378 -0,343 0,951 0,078 0,049
Esc2 0,063 -0,087 0,444 -0,097 0,556
Esc3 0,559 0,405 0,992 0,037 0,008
Por toda a análise do preço percebe-se que a categoria P2 (com freqüência 1)
não é importante e foi retirada para o resultado final, ou seja, para o gráfico bidimensional
(figura 4.16) que, devido não haver perda de informações representa perfeitamente preço
relacionado a escolaridade.
0,40,20,0-0,2-0,4-0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
P7
P6
P5
P4
P3
P0
Figura 4.16. Análise de Correspondência Simples considerando-se
Preço e Escolaridade.
Preço
69
Pela figura 4.16 pode-se dizer que a escolaridade 1 (Esc1) é a que mais se
aproxima de P7, ou seja, para esta classe o preço deve ter grande importância nos motivos
pelos quais freqüenta o supermercado. Por outro lado, a escolaridade 3 (Esc3) se aproxima
de P0 e P4, representando baixa importância para esta categoria, sendo ainda que
escolaridade 2 (Esc2) está alocada em um plano intermediário (de transição). Desta forma,
pode-se observar uma tendência inversa entre preço e escolaridade.
Para as outras características os resultados das análises estão sintetizados em
suas respectivas tabelas e gráficos bidimensionais.
A próxima característica a ser analisada é a localização associada a escolaridade.
A inércia total obtida foi
2
χ
= 12,943, sendo que 77% da informação se encontra no
componente 1. Pela tabela 4.11 nota-se que a categoria L7 tem a maior contribuição para a
inércia total do perfil linha, enquanto para o perfil coluna as inércias estão todas próximas.
Observe-se ainda que 78,3% de toda a informação do perfil linha está nas categorias L7, L6
e L0.
Tabela 4.11. Contribuições dos perfis linha e coluna para Localização.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
L0 0,137 0,501 0,499
L3 0,060 1,000 0,000
L4 0,140 0,983 0,017
L5 0,017 0,743 0,257
L6 0,268 0,511 0,489
L
I
N
H
A
L7 0,378 0,940 0,060
Esc1 0,300 0,135 0,865
Esc2 0,367 0,806 0,194
C
O
L.
Esc3 0,333 0,978 0,022
Pela figura 4.17 observa-se que a escolaridade 3 está muito próxima a L7 e L3,
revelando haver considerável prioridade por esta característica. Ao contrário, a escolaridade
1 está próximo a L0 e a escolaridade 2 em uma posição intermediária. Desta forma, pode-se
70
observar uma tendência de aumento da prioridade da localização conforme existe um
aumento de escolaridade. Deve-se observar ainda o distanciamento entre as categorias de
escolaridade, revelando diferenças para seus posicionamentos em relação à localização.
0,20,10,0-0,1-0,2-0,3
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
L7
L6
L5
L4
L3
L0
A característica rapidez obteve inércia total
2
χ
= 18,853, sendo que 99,35% de
toda informação está no componente 1. Pela tabela 4.12 observa-se que as categorias R7
tem a maior contribuição para a inércia total do perfil linha, enquanto no perfil coluna
quase nenhuma informação está na categoria escolaridade 2. Finalmente, 95,1% de toda
informação do perfil linha está contida nas categorias R7, R6 e R0.
Pela figura 4.18 nota-se alta prioridade de rapidez (categorias R6 e R7) para
escolaridade 3. A escolaridade 1 apresenta baixa prioridade, pois está próxima a R0 e R4,
sendo que a escolaridade 2 novamente se aloca em uma posição intermediária.
Figura 4.17. Análise de Correspondência Simples considerando-se
Localização e Escolaridade.
Localização
71
Tabela 4.12. Contribuições dos perfis linha e coluna para Rapidez.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
R0
0,336 0,997 0,003
R3
0,003 0,211 0,789
R4
0,034 1,000 0,000
R5
0,012 0,883 0,117
R6
0,211 0,998 0,002
L
I
N
H
A
R7
0,404 0,997 0,003
Esc1
0,467 0,997 0,003
Esc2
0,009 0,552 0,448
C
O
L.
Esc3
0,524 0,998 0,002
0,40,30,20,10,0-0,1-0,2-0,3
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
R7
R6
R5
R4
R3
R0
Figura 4.18. Análise de Correspondência Simples considerando-se
Rapidez e Escolaridade.
Rapidez
72
Disposto isto, pode-se dizer que a prioridade de rapidez cresce conforme se
aumenta a escolaridade. Observe-se ainda o isolamento de cada categoria de escolaridade
com as citadas categorias de rapidez, evidenciando a associação entre elas.
A característica qualidade obteve inércia total
2
χ
= 9,947, sendo que 79,9% de
toda informação está presente no componente 1. Pela tabela 4.13 pode-se notar que a
categoria Q0 tem mais que a metade da contribuição para a inércia total do perfil linha,
enquanto a escolaridade 3 tem mais que a metade da contribuição para a inércia total do
perfil coluna. Similarmente às analises anteriores, as categorias Q0, Q6 e Q7 detém juntas
75,8% de toda informação do perfil linha.
Tabela 4.13. Contribuições dos perfis linha e coluna para Qualidade.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
Q0
0,551 0,999 0,001
Q3
0,165 0,008 0,992
Q4
0,003 0,943 0,057
Q5
0,074 0,665 0,335
Q6
0,150 0,990 0,010
L
I
N
H
A
Q7
0,057 0,815 0,185
Esc1
0,203 0,408 0,592
Esc2
0,267 0,701 0,299
C
O
L.
Esc3
0,530 0,998 0,002
Observa-se na figura 4.19 a seguir, que a categoria escolaridade 3 está próxima
às categorias Q6, Q5 e Q7, ou seja, tem alta prioridade em qualidade. As categorias
escolaridade 1 e escolaridade 2 estão mais próximas a Q0 e Q4, indicando baixa prioridade.
Note-se, ainda, que a escolaridade 3 está bem distanciada de escolaridade 1 e escolaridade
2, parecendo atrair as três categorias mais altas de qualidade, ou seja, as categorias Q5, Q6
e Q7.
73
0,20,10,0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,6-0,7
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
Q7
Q6
Q5
Q4
Q3
Q0
A característica variedade obteve inércia total
2
χ
= 7,830, sendo que no
componente 1 está 81,9% de toda informação. Observando-se a tabela 4.14, pode-se
perceber que a categoria V7 tem praticamente dois terços da contribuição para a inércia
total do perfil linha. Também, a categoria escolaridade 2 tem pouco mais da metade da
contribuição para a inércia total do perfil coluna. Deve-se considerar ainda que as
categorias V7, V6 e V0 juntas possuem 75,6% de toda a informação do perfil linha.
A análise gráfica da característica variedade (figura 4.20) revela que, para a
categoria V7, a escolaridade mais próxima é a 2, ainda que distante. A escolaridade 3 está
mais próxima a V5 e V6 e a escolaridade 1 mais próxima a V3 e V0. Pode-se pensar, de
forma geral, que as categorias escolaridade 2 e escolaridade 3 priorizam mais a
característica variedade que a escolaridade 1.
Figura 4.19. Análise de Correspondência Simples considerando-se
Qualidade e Escolaridade.
Qualidade
74
Tabela 4.14. Contribuições dos perfis linha e coluna para Variedade.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
V0
0,083 0,998 0,002
V2
0,110 0,327 0,673
V3
0,088 0,256 0,744
V4
0,022 0,528 0,472
V5
0,024 0,665 0,335
V6
0,009 0,042 0,958
L
I
N
H
A
V7
0,664 0,980 0,020
Esc1 0,310 0,759 0,241
Esc2
0,507 0,993 0,007
C
O
L.
Esc3
0,183 0,440 0,560
0,00-0,25-0,50
0,00
-0,25
-0,50
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
V7
V6
V5
V4
V3
V2
V0
Figura 4.20. Análise de Correspondência Simples considerando-se
Variedade e Escolaridade.
V
ariedade
75
Para as categorias estacionamento (
2
χ
= 11,472) e outras (
2
χ
= 16,788)
houve pouca freqüência nos apontamentos realizados pelos clientes. Assim, as categorias
E0 e O0 (tabelas 4.15 e 4.16) tiveram inércias praticamente iguais a zero. Deve-se observar
Tabela 4.15. Contribuições dos perfis linha e coluna para Estacionamento.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
E0
0,009 0,074 0,926
E2
0,045 0,500 0,500
E4
0,066 0,737 0,263
E5
0,299 0,906 0,094
E6
0,175 0,667 0,333
L
I
N
H
A
E7
0,406 0,792 0,208
Esc1
0,465 0,931 0,069
Esc2
0,140 0,008 0,992
C
O
L.
Esc3
0,395 0,877 0,123
Tabela 4.16. Contribuições dos perfis linha e coluna para Outros.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
O0 0,003 0,531 0,469
O2 0,061 0,959 0,041
O3 0,052 0,260 0,740
O4 0,070 0,371 0,629
O5 0,273 1,000 0,000
O6 0,273 1,000 0,000
L
I
N
H
A
O7 0,268 1,000 0,000
Esc1
0,169 0,710 0,290
Esc2
0,222 0,832 0,168
C
O
L.
Esc3
0,609 1,000 0,000
76
por suas respectivas tabelas que as informações ficaram concentradas nas três primeiras
categorias, E7, E6 e E5 com 88% e O7, O6 e O5 com 81,4%. As categorias estacionamento
e outras tiveram respectivamente 78,1% e 91,4% de suas informações contidas no
componente 1.
A análise gráfica para estacionamento e outras (figuras 4.21 e 4.22) revela que
as categorias de escolaridade estão em torno do centro do gráfico, que está bem próximo de
E0 e O0. Isto ocorre devido a baixa freqüência de apontamentos para essas categorias,
sendo as análises gráficas então, de forma geral, muito pouco informativas.
10-1
1
0
-1
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
E7
E6
E5
E4
E2
E0
Figura 4.21. Análise de Correspondência Simples considerando-se
Estacionamento e Escolaridade.
Estacionamento
77
0,50,0-0,5
0,5
0,0
-0,5
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
O7 O6O5
O4
O3
O2
O0
Várias informações significativas podem ser retiradas das análises anteriores.
Associando-se às médias das características analisadas (vide tabela 4.1) com as inércias das
categorias P0, L0, R0, Q0, V0, E0 e O0, pode-se verificar, pela tabela 4.17, que conforme
as médias das características decrescem, as inércias das respectivas características também
decrescem, com exceção da característica outras.
O aumento da freqüência de não respostas, as quais é atribuído valor zero, faz
com que as médias decresçam juntamente com as inércias. Este fato pode ser explicado
pelas distâncias
2
χ
que diminuem (menor disparidade) conforme a freqüência de zeros
aumenta, causando diminuição da inércia das categorias P0, L0, R0, Q0, V0, E0 e O0.
Figura 4.22. Análise de Correspondência Simples considerando-se
Outras e Escolaridade.
Outras
78
Tabela 4.17. Médias das características e suas inércias para não respostas.
Característica Média Inércia
Qualidade 4,55 Q0 = 0,551
Rapidez 3,36 R0 = 0,336
Localização 3,04 L0 = 0,137
Preço 2,42 P0 = 0,126
Variedade 2,29 V0 = 0,083
Estacionamento 0,21 E0 = 0,009
Outras 0,56 O0 = 0,003
Utilizando-se do fato acima, pode-se pensar em realizar uma análise de
correspondência simples pela ordem de opção associada à escolaridade. Esta análise pode
servir ao estudo sobre quantas opções o cliente aponta, de modo a se confiar nas respostas
de forma geral e, ainda, categorizando por escolaridade. A análise é iniciada pela primeira
opção na qual as sete características foram apontadas, ou seja, têm freqüências maiores que
zero. Desta forma, para a primeira opção, agora as categorias são estacionamento (denotado
por E), localização (por L), outras (por O), preço (por P), qualidade (por Q), rapidez (por
R) e variedade (por V).
A primeira opção obteve inércia
2
χ
= 46,264, sendo que no componente 1
está 80,4% de toda a informação. Os resultados gerais podem ser vistos na tabela 4.18.
Percebe-se, como era esperado, que qualidade tem a menor contribuição para a inércia total
do perfil linha e escolaridade 3 tem quase metade da contribuição para a inércia total do
perfil coluna.
Analisando-se a figura 4.23, observa-se que o posicionamento das categorias de
escolaridade estão compatíveis com as análises anteriores para as características: a
escolaridade 1 próxima de preço (aqui denotado por P), compatível com escolaridade 1
próximo de P7 (na figura 4.16), a escolaridade 2 próxima de variedade (V), compatível
com escolaridade 2 sendo a mais próxima de V7 (na figura 4.20) e, ainda, a escolaridade 3
próxima de localização (L), rapidez (R) e qualidade (Q), compatível respectivamente com
as análises anteriores para localização (na figura 4.17), rapidez (na figura 4.18) e qualidade
(na figura 4.19).
79
Tabela 4.18. Contribuições dos perfis linha e coluna para a primeira opção.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
E 0,101 0,582 0,418
L 0,106 0,842 0,158
O 0,097 0,843 0,157
P 0,407 0,997 0,003
Q 0,012 0,369 0,631
R 0,165 0,979 0,021
L
I
N
H
A
V 0,112 0,022 0,978
Esc1 0,385 0,851 0,149
Esc2 0,137 0,121 0,879
C
O
L.
Esc3 0,478 0,961 0,039
10-1
1
0
-1
Component 1
Component 2
ESC3
ESC2
ESC1
Symmetric Plot
V
R
Q
P
O
L
E
Figura 4.23. Análise de Correspondência Simples considerando-se a
primeira opção.
Primeira Opção
80
Para a análise das demais opções, deve-se considerar uma nova categoria, aqui
denominada simplesmente como
zero. Esta se refere aos clientes que pararam de optar em
alguma das categorias anteriores atribuindo-se valor zero para todas as restantes. Desta
forma, conforme se diminui o grau de prioridade aumenta-se a freqüência de
zeros. Como
exemplo, na análise para a quarta opção foi obtida uma inércia total
2
χ
= 9,356, sendo
que no componente 1 está 76,7% de toda informação. Observando-se a tabela 4.19 percebe-
se que a categoria preço tem 38,6% da contribuição para a inércia total do perfil linha.
Novamente, a categoria escolaridade 3 tem quase a metade (47,3%) da contribuição para a
inércia total do perfil coluna.
Tabela 4.19. Contribuições dos perfis linha e coluna para a quarta opção.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
Zero 0,006 0,917 0,083
E 0,081 0,007 0,993
L 0,193 0,995 0,005
O 0,249 0,649 0,351
P 0,386 0,948 0,052
Q 0,005 0,780 0,220
R 0,068 0,474 0,526
L
I
N
H
A
V 0,012 0,461 0,539
Esc1 0,171 0,068 0,932
Esc2 0,356 0,840 0,160
C
O
L.
Esc3 0,473 0,965 0,035
Analisando-se a figura 4.24, verifica-se que agora todas as categorias de
escolaridade se encontram próximas e com distância equivalentes em relação à categoria
zero, sendo que esta se aloca bem perto ao centro do gráfico. Esta situação se deve ao
aumento do número de não respostas, ou seja, aumento da freqüência do valor zero. Nota-
se então que a escolaridade 3 perde sua característica de grande diferenciação em relação às
escolaridades 1 e 2. Agora, para a categoria preço a escolaridade mais próxima é a 3,
81
enquanto para a rapidez é a escolaridade 1. Percebe-se então que parece ter havido uma
inversão de posicionamento das escolaridades 1 e 3 em relação a análise da primeira e
quarta opção, nessas categorias.
0,50,0-0,5
0,5
0,0
-0,5
Component 1
Component 2
ESC3
ESC2
ESC1
Symmetric Plot
V
R
Q
P
O
L
E
Zero
O aumento de zeros devido a não apontamentos (não respostas) para as
características, da segunda opção à sétima, vai conduzindo a categoria zero para o centro
do gráfico, levando consigo as categorias de escolaridade. Lembrando que a quantidade de
informação está na disparidade, percebe-se que, conforme há o aumento do grau da opção a
categoria zero, também aumenta sua freqüência e vai perdendo inércia. Desta forma pode-
se pensar que não seja necessário colocar mais de três opções ordenadas de resposta para os
clientes, pelo menos para o local no qual os dados foram coletados. Esta idéia pode ser
melhor entendida observando-se a figura 4.25, na qual está representada a evolução de não
respostas para as diferentes escolaridades. Pode-se notar que até a terceira opção a
categoria escolaridade 3 tem uma porcentagem maior de respostas que as escolaridades 1 e
Figura 4.24. Análise de Correspondência Simples considerando-se a
quarta opção.
Quarta Opção
82
2, mas todas se tornam praticamente equivalentes para a opção 4. Observa-se ainda, de
forma geral, que quanto maior a escolaridade, existe uma tendência de mais respostas
obtidas, contudo há um limite para este comportamento.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Opção
1
Opção
2
Opção
3
Opção
4
Escolaridade 1
Escolaridade 2
Escolaridade 3
Foi também realizada a análise quanto a impressão do cliente de diferença de
preços entre supermercados distintos, associada a escolaridade do cliente. As três categorias
foram alocadas como não existindo diferenças de preços (N), existindo (S) e não sabendo
se existe ou não (NS). A análise de correspondência simples para diferença de preço obteve
inércia total
2
χ
= 5,340 e com 92,8% de toda informação contida no componente 1. Pela
tabela 4.20, pode-se observar que a categoria N tem praticamente dois terços da
contribuição para a inércia total do perfil linha. Agora, as escolaridades 1 e 3 têm juntas
praticamente toda a contribuição para a inércia total do perfil coluna.
Analisando-se a figura 4.26, observa-se que a categoria escolaridade 1 está mais
próxima da categoria S, enquanto a escolaridade 2 está mais próxima ao centro, em posição
intermediária entre S e NS. Claramente, a escolaridade 3 está muito mais próxima a N e
isolada das demais categorias, ou seja, esta categoria está associada a não haver diferenças
de preços entre supermercados, ao contrário da escolaridade 1.
%
Figura 4.25. Gráfico da porcentagem de não respostas para os diferentes
níveis de escolaridade.
83
Tabela 4.20. Contribuições dos perfis linha e coluna para Diferença de Preços.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
N 0,648 1,000 0,000
S 0,280 0,991 0,009
LINHA
NS 0,072 0,028 0,972
Esc1 0,514 0,978 0,022
Esc2 0,046 0,008 0,992
C
O
L.
Esc3 0,440 0,966 0,034
0,20,10,0-0,1
0,2
0,1
0,0
-0,1
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
NS
S
N
Figura 4.26. Análise de Correspondência Simples considerando-se
Diferença de Preços e Escolaridade.
Diferença de Preços
84
Outra análise realizada foi das classes relativas ao número de itens adquiridos
por cliente, associado à escolaridade do cliente. Desta análise foi obtida uma inércia total
2
χ
= 0,927, sendo que 93% de toda informação está no componente 1. Observando-se a
tabela 4.21 nota-se que a categoria B (de 16 a 70 itens) tem 68,4% da contribuição para a
inércia total do perfil linha. Também, a categoria escolaridade 1 tem 64,5% da contribuição
para a inércia total do perfil coluna.
Tabela 4.21. Contribuições dos perfis linha e coluna para Classes de Itens.
Perfis
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
A 0,251 0,972 0,028
B 0,684 0,998 0,002
LINHA
C 0,065 0,050 0,950
Esc 1 0,645 0,999 0,001
Esc 2 0,230 0,873 0,127
C
O
L.
Esc 3 0,125 0,680 0,320
Analisando-se a figura 4.27, pode-se notar claramente que a escolaridade 1 está
associada à categoria B (compras médias), pois se encontra bastante distante das demais e
de forma bem isolada. Nota-se também que a escolaridade 2 está associada à categoria A
(compras pequenas, até 15 itens), pois estão bem próximas. Finalmente, a escolaridade 3 é a
que está mais próxima da isolada categoria C (compras grandes com mais de 70 itens),
contudo, esta escolaridade parece se encontrar em uma posição intermediária entre as
categorias A e C. Pode-se pensar, então, que a escolaridade 3 pode estar realizando
compras cujo número de itens é relativo às duas classes em questão.
As análises de correspondência simples realizadas contribuem para um melhor
entendimento de algumas características importantes, pelas quais os clientes freqüentam o
supermercado, associadas com os graus de escolaridade estipulados. Também pôde-se
realizar as análises pelo nível de opção decrescente, de modo a ter uma visão das mudanças
ocorridas durante este processo, associadas à escolaridade do cliente. Dos muitos fatores
que poderiam ser considerados para expandir o conhecimento sobre o perfil dos clientes,
além das características já citadas, foram também analisadas a percepção de diferença de
85
0,080,060,040,020,00-0,02-0,04
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
-0,02
-0,04
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Symmetric Plot
C
B
A
preços e as classes sobre a quantidade de itens adquiridos associados com a escolaridade,
obtendo resultados interessantes.
Todas as análises anteriores dão suporte e direcionamento a análises mais
abrangentes. Desta forma, a análise de correspondência múltipla, na qual mais de duas
variáveis são cruzadas, permite a associação de características como preço e variedade com
escolaridade. Cruzamentos desse tipo podem ser obtidos ampliando o alcance dos
resultados até aqui encontrados, tornando os resultados mais completos. Contudo, deve-se
ressaltar que a aplicação dessa técnica acarreta perda de informações que devem ser
avaliadas.
Figura 4.27. Análise de Correspondência Simples considerando-se as
classes para o número de itens e escolaridade.
Número de Itens
86
4.5.4 A análise das características utilizando análise de correspondência
múltipla
A análise de correspondência, de forma geral, é uma técnica ainda pouco
difundida e conhecida apesar de sua ampla possibilidade de utilização. Como comentado, a
análise de correspondência simples pode ser encontrada em Hair et al (2005), Aaker et al
(2004), Carvalho (2004), Pereira (2004), Johnson; Wichern (2002), entre outros. Contudo,
nenhum deles traz informações relevantes sobre a análise de correspondência múltipla,
sendo apenas citada como existente.
A análise de correspondência múltipla é uma extensão da análise de
correspondência simples para o caso de três ou mais variáveis categóricas. Este
procedimento é muito parecido com o anterior (GREENACRE e BLASIUS, 2006, p. 49);
as variáveis com suas categorias são ajustadas em uma seqüência de forma que fiquem
todas no mesmo espaço multidimensional. Desta forma, a análise de correspondência
múltipla realiza uma análise de correspondência simples na qual cada coluna da matriz
corresponde a um nível da variável categórica. Anteriormente, uma tabela de dupla entrada
era analisada, enquanto que aqui, uma tabela de múltiplas entradas é projetada dentro de
uma dimensão.
O procedimento da análise de correspondência múltipla traz algumas alterações
importantes para a análise dos dados. Utilizando-se apenas uma dimensão (ou uma
variável), obtém-se apenas contribuições para um perfil, o das colunas. Não se pode
desprezar da análise o número de categorias para cada variável original, ainda que todas
tenham sido alocadas como uma única variável. Então, se os números de categorias em
cada bloco (das variáveis originais) de categorias são dados por
j
CCC ...,,,
21
, o número
de dimensões é dado por
∑
=
−
j
i
i
C
1
)1(
, para i = 1,2,...,j. (4.18)
Da mesma forma como ocorria na análise de correspondência simples, a análise
múltipla considera partições da estatística
2
χ
. Assim sendo, o número de dimensões (eixos
ou componentes) determina também o número de inércias (e de autovalores), tornando
válida a mesma idéia sobre perda de informações citada anteriormente.
87
Apesar da análise de correspondência múltipla se tornar uma poderosa
ferramenta para analisar a associação de um grande número de variáveis, percebe-se, pela
expressão (4.18), que pode haver mais facilmente perda de informação. Existe então uma
relação direta entre esta perda e a dimensão desejada (geralmente pequena).
Como exemplo, para melhor entendimento da técnica, é considerada a análise
das características preço e variedade, juntamente com escolaridade. Percebe-se que o
número de dimensões (novos componentes gerados por autovalores decrescentes) é dado
por (7-1) + (7-1) + (3-1) = 14, já que as categorias P1 e V1 tiveram freqüência zero. A
tabela 4.22 fornece uma síntese da decomposição dos componentes para a análise das
características preço, variedade e escolaridade. A coluna denominada inércia, como
ocorria na análise de correspondência simples, é o valor de n/
2
χ
calculado para
cada um dos componentes. Na terceira coluna estão os valores proporcionais de cada uma
das inércias e, na última coluna, a respectiva proporção acumulada.
Tabela 4.22. Decomposição da inércia para preço, variedade e escolaridade.
Componentes Inércia Proporção Acumulada
1 0,5246 0,1124 0,1124
2 0,4655 0,0998 0,2122
3 0,4376 0,0938 0,3059
4 0,4069 0,0872 0,3931
5 0,3678 0,0788 0,4719
6 0,3529 0,0756 0,5476
7 0,3422 0,0733 0,6209
8 0,3300 0,0707 0,6916
9 0,3068 0,0657 0,7574
10 0,2908 0,0623 0,8197
11 0,2786 0,0597 0,8794
12 0,2154 0,0461 0,9255
13 0,2101 0,0450 0,9705
14 0,1375 0,0295 1,0000
Total 4,6667
88
Observa-se da tabela 4.22 que, para não haver grande perda de informações,
seria necessário utilizar-se um grande número de componentes, contudo, esta análise está
também amparada nas análises de correspondências simples para estas duas características.
Na tabela 4.23, podem ser observadas as contribuições do perfil coluna para os
componentes. A interpretação desta tabela é análoga à que foi realizada na análise de
correspondência simples. Nota-se pelos valores das inércias que nenhuma das categorias se
destaca das outras. Também, pode-se perceber, pelas contribuições dos componentes, que
em raras exceções dois componentes seriam suficientes.
Tabela 4.23. Contribuições do perfil coluna para os componentes.
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
P0 0,033 0,447 0,230
P2 0,071 0,006 0,016
P3 0,063 0,578 0,134
P4 0,068 0,005 0,067
P5 0,067 0,016 0,045
P6 0,066 0,004 0,038
P7 0,060 0,054 0,322
V0 0,032 0,555 0,000
V2 0,071 0,031 0,000
V3 0,067 0,014 0,523
V4 0,066 0,332 0,031
V5 0,064 0,128 0,021
V6 0,065 0,035 0,010
V7 0,064 0,001 0,019
Esc1 0,050 0,014 0,148
Esc2 0,045 0,006 0,002
Esc3 0,048 0,039 0,107
89
Observando-se a figura 4.28, nota-se que a escolaridade 3 está perto da
categoria P0, como ocorreu para a análise de correspondência simples, da mesma forma a
escolaridade 1 está perto das categorias P6, P5, P4 e P7, o que está condizente com a
análise anterior conforme a figura 4.16. Para a característica variedade, a escolaridade 1 se
encontra mais próxima de V0, como ocorria anteriormente (vide figura 4.20), e a
escolaridade 3 se encontra agora próxima de V7, sendo que, na análise anterior estava
próxima de V5 e V6 e distante de V7. A escolaridade 2 agora está próxima a V7 e também
a V6, tendo análise parecida com a anterior. Ainda para a escolaridade 2, na análise
anterior se encontrava próxima às categorias P3, P5, P6 e P0 e, agora, as categorias são P0,
P6 e P5, portanto, ainda condizente com a análise realizada.
3210-1-2
3
2
1
0
-1
-2
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
V7
V6
V5
V4
V3
V2
V0
P7
P6
P5
P4
P3
P2
P0
Column Plot
Figura 4.28. Análise de Correspondência Múltipla considerando-se
preço, variedade e escolaridade.
Preço e Variedade
90
Apesar da análise de correspondência múltipla apontar necessidade de muitos
componentes, sua análise comparada às efetuadas com a análise de correspondência
simples revelam a não existência de conflito entre elas, ao contrário, parece existir grande
concordância e similaridade nos resultados. Desta forma, pela coerência encontrada, pode-
se considerar a validade do resultado obtido.
Outra análise realizada foi das características rapidez, qualidade e escolaridade.
Na tabela 4.24 podem ser observadas as inércias relativas aos componentes. Nota-se um
quadro muito semelhante à análise anterior no qual, considerando a perda de informações,
um grande número de componentes deveria ser considerado.
Tabela 4.24. Decomposição da inércia para rapidez, qualidade.
Componentes Inércia Proporção Acumulado
1 0,5416 0,1354 0,1354
2 0,5194 0,1298 0,2652
3 0,4290 0,1072 0,3725
4 0,4138 0,1034 0,4759
5 0,3934 0,0983 0,5743
6 0,3586 0,0897 0,6639
7 0,3009 0,0752 0,7391
8 0,2682 0,0670 0,8062
9 0,2460 0,0615 0,8677
10 0,2374 0,0593 0,9270
11 0,1498 0,0375 0,9645
12 0,1421 0,0355 1,0000
Total 4,0000
Também, pelas contribuições do perfil coluna para os componentes, na tabela
4.25, é observado também um quadro muito semelhante à análise anterior. Deve-se então
observar o gráfico bidimensional para verificar se existem contradições em relação as
análises de correspondência simples.
91
Tabela 4.25. Contribuição do perfil coluna para as componentes.
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
R0 0,050 0,644 0,020
R3 0,081 0,067 0,024
R4 0,079 0,031 0,016
R5 0,072 0,021 0,119
R6 0,063 0,328 0,198
R7 0,073 0,002 0,121
Q0 0,062 0,536 0,010
Q3 0,083 0,016 0,001
Q4 0,079 0,049 0,083
Q5 0,074 0,246 0,008
Q6 0,062 0,001 0,227
Q7 0,057 0,062 0,170
Esc1 0,058 0,073 0,001
Esc2 0,053 0,014 0,000
Esc3 0,056 0,145 0,002
Analisando-se a figura 4.29, pode-se evidenciar que as escolaridades 1 e 2 têm
baixa prioridade em qualidade e rapidez, acentuada para a categoria escolaridade 1. Este
resultado está bastante coerente com as análises de correspondência simples obtidas para
rapidez e qualidade (vide figuras 4.18 e 4.19). Da mesma forma, esta coerência é mantida
observando-se que existe alta prioridade em rapidez e qualidade para a categoria
escolaridade 3. Um fato interessante é notado do lado direito da figura 4.29 na qual as
categorias Q6 e R7 se encontram no lado superior do gráfico, enquanto as categorias Q7 e
R6 estão no lado inferior, se contrapondo, parecendo que os clientes optavam alternando
primeira e segunda opção entre estas categorias. Ainda, em torno da categoria escolaridade
3, estão várias categorias de alta e média prioridade para rapidez e qualidade, como ocorria
com as análises de correspondência simples.
92
Novamente, apesar da análise de correspondência múltipla apontar necessidade
de muitos componentes, a não existência de conflito entre as análises de correspondência
simples e múltipla permite então considerar a validade do resultado obtido.
10-1
1
0
-1
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
Q7
Q6
Q5
Q4
Q3
Q0
R7
R6
R5
R4
R3
R0
Column Plot
A última análise realizada neste capítulo é referente ao cruzamento das classes
de itens, diferença de preços e escolaridade. Aqui, o número de componentes é (3-1) + (3-
1) + (3-1) = 6, referentes a classes de itens, a diferença de preços e escolaridade,
respectivamente. Pela tabela 4.26, observa-se que as inércias referentes aos componentes
têm valores muito próximos, denotando um quadro parecido com as duas análises
anteriores. Agora, contudo, o número de componentes é bem menor, mas deveria se
considerar pelo menos uma inércia acumulada de 0,7, ou seja, quatro componentes.
Figura 4.29. Análise de Correspondência Múltipla considerando-se
rapidez, qualidade e escolaridade.
Rapidez e Qualidade
93
Tabela 4.26. Decomposição da inércia para classe de itens e diferença de preços.
Eixos Inércia Proporção Acumulada
1 0,3797 0,1898 0,1898
2 0,3509 0,1755 0,3653
3 0,3417 0,1708 0,5361
4 0,3296 0,1648 0,7009
5 0,3184 0,1592 0,8601
6 0,2797 0,1399 1,0000
Total 2,0000
Considerando-se as contribuições do perfil coluna para os componentes (tabela
4.27), nota-se novamente que nenhuma das inércias se destaca muito das outras, estando
bem equilibradas.
Tabela 4.27. Contribuição do perfil coluna para os componentes.
Categorias
Inércias
Contribuição do
Componente 1
Contribuição do
Componente 2
A 0,061 0,039 0,406
B 0,125 0,000 0,313
C 0,148 0,085 0,041
N 0,117 0,566 0,011
S 0,056 0,495 0,002
NS 0,161 0,004 0,136
Esc 1 0,117 0,347 0,309
Esc 2 0,106 0,001 0,424
Esc 3 0,111 0,359 0,016
Como ocorreu nas duas análises anteriores, compara-se a análise múltipla com
as análises simples para classes de itens e diferença de preços. Pela figura 4.30 observa-se
que a escolaridade 3 está bem próxima às categorias N e C, enquanto a escolaridade 1 está
mais próxima às categorias S e B. A escolaridade 2 está mais próxima à categoria A e entre
94
as categorias S e NS. Este cenário pode ser quase que totalmente corroborado pelas análises
de correlação simples, se observadas as figuras 4.26 e 4.27. O fato de não haver quase
nenhuma mudança para a análise de correspondência múltipla pode ser devido ao fato do
número bem menor de categorias. Além disso, deve-se lembrar que, para todas as análises,
os gráficos bidimensionais estão em sua melhor representação, ou seja, com as duas
maiores inércias.
Resumindo, clientes com escolaridade 3 estão associados com maiores compras
e em não acreditar em diferença de preços, clientes com escolaridade 1 estão associados em
acreditar em diferença de preços e realizar compras médias. A escolaridade 2 está associada
a compras pequenas e tem uma posição intermediária em relação a diferença de preços.
210-1
2
1
0
-1
Component 1
Component 2
Esc3
Esc2
Esc1
NS
S
N
C
B
A
Column Plot
Classes de Itens e Diferença de Preços
Figura 4.30. Análise de Correspondência Múltipla considerando-se
classes de itens, diferença de preços e escolaridade.
95
Deve-se ressaltar que todas as análises múltiplas estão amparadas pelas análises
de correspondências simples respectivas, contudo, levando-se em consideração as inércias
acumuladas nos dois primeiros eixos e, utilizando-se de rigor estatístico, estas análises não
estariam válidas.
4.6 Considerações adicionais
Algumas características percebidas pelos clientes em supermercados
influenciam suas decisões, determinando suas preferências. Neste capítulo, foram
analisadas as características preço, localização, rapidez, qualidade, variedade,
estacionamento e outras.
Os preços estipulados pelos supermercados são influenciados pelos
concorrentes, tanto que uma prática comum é a pesquisa de preços. A localização é
apontada pelas empresas desse setor como sendo um fator prioritário para o bom
desempenho do negócio. A esse fator, deve-se considerar condições de acesso,
concorrência e um estudo sobre as condições sócio-econômicas do local. A rapidez tem
assumido um papel cada vez mais importante neste setor, sendo que uma das queixas mais
freqüentes nos supermercados refere-se a filas nos caixas, supermercado lotado e falta de
empacotador. A melhoria da qualidade de serviços de atendimento é importante, pois pode
proporcionar ao cliente boa impressão em termos de percepção do valor atribuído à relação
custo/benefício da compra. A variedade é uma característica importante, pois permite ao
cliente a escolha em quantidade e qualidade. Além disso, para redução da dependência de
fornecedores, algumas redes têm investido em produtos com marcas próprias. A
característica estacionamento pode ter se tornado importante nos últimos tempos. Isto
porque existem clientes que utilizam veículos para realizar compras e querem guardá-los
em local apropriado para sua comodidade. Finalmente, existem outras características que,
com menor freqüência, devem ser o motivo pelo qual o cliente freqüenta o supermercado.
Destas características apresentadas muito já se apostou em preço, contudo, com
a intensificação da disputa pelo cliente, cada vez mais informado e exigente, o preço, muito
provavelmente, não é o único e nem o principal fator que determina uma compra. Observa-
se que, por meio dos intervalos de confiança simultâneos obtidos (seção 4.2), pode-se notar
96
que qualidade e rapidez de atendimento formam as características mais apontadas pelos
clientes como motivo de freqüência ao supermercado. Estas duas características podem ser
consideradas estatisticamente superiores a característica preço para freqüentar o
supermercado, na opinião dos clientes da empresa estudada.
Qualidade e rapidez de atendimento são características que foram associadas
por meio de análise de agrupamentos hierárquicos. Então, os clientes podem ter revelado,
segundo os dados coletados, que estas características estão interligadas e pertencem a um
conceito mais global, de satisfação com o atendimento recebido. Assim, se a rapidez de
atendimento estiver afetada negativamente, isto será refletido na satisfação do cliente,
podendo, além disso, afetar sua percepção quanto à qualidade de atendimento recebida.
Os cruzamentos dessas características com a escolaridade dos clientes, por meio
de análise de correspondência, permitem realizar algumas considerações. A característica
preço está associada às escolaridades mais baixas, enquanto localização, rapidez e
qualidade estão associadas a escolaridades mais altas. Cruzando-se rapidez, qualidade e
escolaridade, pode-se perceber que escolaridades mais baixas têm pouca prioridade com
relação a estas características, ao contrário de escolaridades mais elevadas.
Finalmente, o cruzamento de classes de itens, diferença de preços e escolaridade
permite considerar que clientes com escolaridades mais altas parecem efetuar compras com
maior número de itens e não acreditar haver diferença de preços entre supermercados. Ao
contrário, escolaridades mais baixas parecem realizar compras menores e acreditar haver
diferença de preços. Isto se torna mais coerente quando é considerada a pesquisa da PNAD
(2004), na qual clientes com maior escolaridade provavelmente têm maior renda. Para estes
clientes, não haver diferenças de preços deve ser interpretado como não haver diferença
significativa de preços, o que é inerente ao seu poder aquisitivo. Além disso, efetuar
compras possivelmente maiores também depende de sua possibilidade financeira.
Deve-se ressaltar que para os dados deste trabalho, 32,9% dos clientes são da
categoria escolaridade 3, dos quais somente 2% não completaram o ensino superior, e
30,9% tem, no mínimo, o ensino superior completo. Além disso, outro fato conhecido é que
a escolaridade no Brasil, em geral, tem aumentado ano a ano e como conseqüência os
clientes devem ficar cada vez mais exigentes.
97
Quando se pensa em rapidez de atendimento em supermercados é inevitável
relacioná-la ao tempo de fila. Pequenas esperas dentro do supermercado, enquanto se faz
compras, parecem bem suportadas pelos clientes. O que poderia afetar negativamente a
rapidez de atendimento é um tempo de fila alto, quando os clientes dificilmente se ocupam
com alguma tarefa, dado que suas compras terminaram. Uma vez modificada a rapidez de
atendimento, pode-se obter, como conseqüência, modificar a possível fidelização de
algumas categorias de clientes (vide figura 4.31).
Desta forma, é possível que o principal atrativo para a freqüência aos
supermercados, do ponto de vista dos clientes, não sejam mercadorias variadas e com preço
acessível. Estes clientes podem até mesmo pagar um pouco mais por qualidade e rapidez no
atendimento recebido. Desta forma, preço pode não ter toda a importância que em geral lhe
é atribuída, desde que seja similar à concorrência, pelo menos é o que sugere a análise no
estudo de caso do supermercado pesquisado. Ainda, a satisfação ao atendimento recebido
pode ser um fator determinante para a desejada fidelização, o que não ocorre com preço.
Qualidade de atendimento
Rapidez de atendimento
Localização
Preço
Variedade
Características mais importantes
(intervalos de confiança simultâneos)
Junção
Análise de
conglomerados
hierárquicos
Satisfação no atendimento
Maior escolaridade
Compras possivelmente maiores
Preços equivalentes
Associação
Análise de
correspondência
FIDELIZAÇÃO
Figura 4.31. Esquema das análises e associações entre as características apontadas
pelos clientes como motivo de freqüência ao supermercado.
98
Pode-se considerar que, devido ao crescente nível de escolaridade dos
brasileiros, os supermercados devem esperar também um aumento do nível de exigência
dos consumidores. Seria então estratégico antecipar-se quanto à satisfação no atendimento
e assim possibilitando a fidelização de seus clientes.
Com os resultados obtidos, nota-se que preço não é a característica mais
importante para os clientes, principalmente aos de maior escolaridade. Quando se pensa em
rapidez de atendimento, logo se associa ao tempo de espera na fila que, quando elevado,
gera muitas reclamações. O cliente pode também associar grandes compras a altos tempos
de espera, evitando assim supermercados em que haja demora nas filas.
99
5 - Sistemas de filas com trocas em supermercados
Neste capítulo são apresentados, aplicados e comparados modelos analíticos de
filas para representar sistemas de caixas comumente encontrados em supermercados.
5.1 Introdução
A teoria das filas foi desenvolvida com intuito de fornecer modelos analíticos
para se obter previsões sobre o comportamento dos sistemas de atendimentos. Atualmente a
teoria das filas é aplicada em várias áreas distintas como manufatura, telefonia, tráfego de
aeronaves, reparo de máquinas, administração hospitalar, entre outras, podendo ser citados
como exemplo as filas para pagamento de compras em supermercados ou para se obter
atendimento de um serviço bancário desejado. Um dos principais objetivos ao se estudar
um sistema de filas é obter-se algumas medidas para conhecer seu nível de eficiência e, se
necessário e possível, propor algumas políticas ou configurações alternativas para otimizar
esse sistema.
Observando-se os sistemas de caixas freqüentemente encontrados em
supermercados, pode-se pensar, em primeira análise, que se tratam apenas de um conjunto
de filas G/G/1 em paralelo. Se os processos de chegada e serviço dos usuários puderem ser
representados por distribuições exponenciais, então têm-se o sistema de fila M/M/1 que, em
sua forma mais simples, tem sala de espera com capacidade infinita e apenas um servidor
apresentando algumas características importantes no que diz respeito ao seu
comportamento. Este sistema tem a propriedade de se esvaziar infinitas vezes com
probabilidade 1, já que é regenerativo para
ρ
<1, e pode ficar muito cheio rapidamente, ou
seja, apresenta alta variabilidade no número de usuários presentes no sistema e tempo gasto
pelos mesmos.
Como ilustração, foram feitas três realizações independentes da simulação da
fila M/M/1, com 700 observações cada uma, considerando a variável tempo gasto na fila
com taxa de chegadas
λ
=0,9 e taxa de serviços
µ
=1 e representadas na figura 5.1
(RINALDI, 1999). Deve-se ressaltar que estas realizações partiram em situação de
100
igualdade, ou seja, foram iniciadas com tempo médio gasto (ou de espera) na fila, obtido
como
9
)(
=
−
=
λµµ
λ
q
W
unidades de tempo
o que corresponde ao tempo médio gasto na fila M/M/1 com as taxas consideradas.
700600500400300200100
50
40
30
20
10
0
Observações
Tempos de Espera na Fila
Apesar de partir nesta situação (no mesmo ponto), pela figura 5.1, observam-se
comportamentos distintos em relação às observações de tempo gasto na fila para as
realizações consideradas (se analisadas suas médias para este período, aquela da realização
representada em verde é visivelmente maior que as outras), bem como no número de
passagens para o estado vazio que cada uma delas obtém. Evidentemente esta situação é
agravada pelo alto valor do fator de utilização considerado (
µ
λ
ρ
/
=
= 0,9). Deve-se
ressaltar que quando
1→
ρ
, como conseqüência,
∞
→
q
W
.
De forma geral, para a fila
M/M/1, quando o valor do fator de utilização é alto, o
sistema tende a se tornar instável, ou seja, apresenta alta variabilidade em suas medidas. Se
fossem três caixas de supermercados, para este período, este sistema não seria justo, pois
notam-se grandes diferenças de tempos de espera nas filas. Evidentemente, em uma
Figura 5.1. Três realizações de simulação da fila M/M/1
considerando o tempo gasto na fila com
ρ
=0,9.
Observações
Tempo Gasto na Fila
q
W
101
situação real, um novo cliente que chega irá entrar na menor fila encontrada, evitando que
as filas fiquem tão discrepantes. Também, após estar em alguma fila, o cliente
provavelmente não desprezará a oportunidade de mudar-se para outra que se apresente com
menos clientes. Desta forma, pode-se dizer que o sistema é equilibrado (ou auto-regulado)
por meio do próprio comportamento dos clientes e espera-se alguma uniformidade para as
chegadas nas filas.
As trocas de filas têm outras conseqüências quando se considera um sistema
composto de filas
M/M/1 independentes e em paralelo. Em cada fila, a função de
autocorrelação (denotada por
*
j
ρ
) entre as observações do tempo gasto na fila revela que
existe forte correlação, mesmo entre observações mais distantes (vide figura 5.2), sendo
que estas distâncias podem ser medidas pelos
lags, ou atrasos. Como exemplo, a
autocorrelação entre duas observações
i
x
e
ji
x
+
é dada por
*
j
ρ
= corr(
jii
xx
+
,
), ou seja, a
correlação entre duas observações que distam
j observações uma da outra (ou de lag j). Pela
figura, observa-se que mesmo com
lag 100, a autocorrelação está acima de 0,5, forte para
este lag, explicando possivelmente o comportamento de altas e baixas alongadas para as
três realizações representadas na figura 5.1. Quando clientes trocam de fila, rompem esta
forte estrutura de autocorrelação, deixando falhas em sua seqüência, e alterando o
comportamento anterior.
Figura 5.2. Autocorrelações teóricas do tempo gasto no sistema de
fila
M/M/1 com
ρ
=0,9 (FISHMAN, 1996, p. 550).
lag
102
Utilizando-se modelos de filas que permitam realizar trocas
, espera-se uma
aproximação da realidade dos supermercados e obter melhorias, como menor tempo de
espera na fila, e propiciar um sistema mais justo ao usuário. Algumas pesquisas realmente
apontam nessa direção, como em Zhao e Grassmann (1995), na qual analisam um modelo
com filas paralelas de servidores heterogêneos com uma fila para cada um, serviço com
distribuição exponencial, tempos entre chegadas com uma distribuição arbitrária, sendo
permitidas trocas para filas com menos clientes. Por meio de matriz-geométrica
solucionaram o modelo, obtendo significativa vantagem utilizando-se trocas em relação ao
mesmo modelo sem trocas.
Ferrari (2002) analisou um sistema de filas com três servidores com distribuição
de tempos de serviço exponenciais, heterogêneos, em paralelo e permitindo trocas
probabilísticas (não obrigatórias) entre as filas após o usuário examinar o número de
clientes nas filas e seu grau de vizinhança. Em suas conclusões ressalta que o sistema com
troca
probabilística apresenta menor ociosidade que o sistema tradicional M/Mi/3 com fila
única, no qual Mi denota que os três servidores operam de forma independente entre si.
Koenigsberg (1966) analisou várias estratégias para troca entre duas filas
paralelas. A troca denominada instantânea tem como característica obrigar o cliente a
executá-la. Outro tipo analisado por ele foi a probabilística, na qual o usuário opta ou não
pela troca, podendo a troca ainda ser regida pelas probabilidades de uma distribuição
exponencial. Finalmente, analisou a possibilidade de realizar a troca em duas direções, da
fila maior para a menor, ou vice versa.
Um modelo denominado por Koenigsberg como “
Teller´s Windows with
Jockeying”
é composto por dois servidores paralelos e independentes com filas próprias.
As chegadas ocorrem segundo um processo de Poisson e os tempos de serviço são
distribuídos exponencialmente. O usuário que chega escolhe a fila de menos clientes, se
houver igualdade de condições, entra em qualquer uma, aleatoriamente. Estando em uma
fila, se ele observa a existência de uma outra menor com uma diferença maior que um
usuário, instantaneamente ele se transfere para ela. Este modelo pode ser interpretado como
um caso particular do modelo analisado no presente trabalho, quando a diferença entre filas
for maior que dois usuários e/ou com número maior de filas.
103
5.2 As modelagens freqüentemente utilizadas
Uma primeira modelagem que pode ser pensada é com o sistema de fila
Markoviano no qual há
m caixas atendendo em paralelo e com uma única fila, tornando este
justo para os clientes. Trata-se então do modelo M/M/m com fila única e disciplina de
atendimento FCFS (
First Come, First Served). Deve-se considerar a taxa média de
chegadas
λ
(clientes por unidade de tempo) e que os caixas são idênticos e independentes,
ou seja, tem a mesma capacidade de atendimento, com taxa média
µ
(clientes por unidade
de tempo) e o funcionamento de um não interfere nos outros.
Este sistema de filas é considerado de simples análise e, em equilíbrio, várias
medidas de desempenho podem ser obtidas (KLEINROCK, 1975). A medida de maior
importância para este estudo é o tempo médio de espera na fila, denotada por
q
W
, e
determinada pela expressão:
!)1(
)/(
2
0
mm
p
W
m
q
ρµ
µλ
−
=
(5.1)
na qual o fator de utilização, denotado por
ρ
, e a probabilidade do sistema estar vazio,
denotada por
0
p
, são obtidos respectivamente pelas expressões:
µ
λ
ρ
m
=
e (5.2)
1
1
0
0
!)1(
)/(
!
)/(
−
−
=
−
+=
∑
mi
p
m
m
i
i
ρ
µλµλ
. (5.3)
Apesar deste modelo ter análise simples e ser justo, é pouco realista, pois os
supermercados geralmente não possuem espaço físico para que seja formada uma única
fila, pelo menos considerando os caixas normais.
104
A situação que comumente se observa é a utilização de filas paralelas, ou seja,
uma fila para cada caixa. Assim, uma outra modelagem que pode ser pensada é admitir que
os caixas são supostamente idênticos e independentes com taxa de serviço
µ
, e agora se
consideram a taxa de chegada m
/
,
λλ
= para cada uma das m filas. Neste caso supõe-se
que, uma vez que o cliente entrou em uma fila, ele não mudará para outra. Este sistema
descrito é o de
m filas M/M/1 paralelas e independentes. Assim, como o anterior, é de
simples análise e várias medidas de desempenho podem ser obtidas, dentre as quais, o
tempo médio de espera na fila, determinado pela expressão (KLEINROCK, 1975):
)/(
/
,
,
m
m
W
q
λµµ
λ
−
= . (5.4)
Este modelo, denotado por
m
MM ]1//[ , parece ser mais realista para representar
sistemas de caixas de supermercado do que o primeiro, contudo, além de não ser
socialmente justo, não prevê que o cliente possa escolher em que fila entrar e realizar a
troca quando julgar vantajoso, o que é comum de ocorrer na prática. Deve-se ressaltar ainda
que nenhum dos dois modelos considera que o cliente possa simplesmente desistir das
compras, o que acontece quando este julga que as filas estão maiores do que ele toleraria.
Pensando-se assim, poderiam-se considerar os dois modelos anteriores de forma
truncada, ou seja, aceitar novos clientes que chegam até que as filas tenham um número
máximo de
N pessoas (entre serviço e fila) e, a partir daí, os clientes seriam perdidos, pois
desistiriam das compras. Desta forma, podem ser considerados também o modelo
M/M/m/mN com fila única e o modelo
m
NMM ]/1//[
. Deve-se salientar que, deste modo,
os dois modelos levam ao mesmo número máximo de clientes no sistema, ou seja,
mN, e,
ainda, é suposto aqui e para o presente trabalho que
1
<
ρ
.
As medidas de desempenho para esses modelos também podem ser facilmente
obtidas (GROSS e HARRIS, 1974). Para ambos os modelos, a medida de maior interesse é
q
W
. Considerando-se o modelo M/M/m/mN com fila única, o tempo médio de espera na fila
é obtido pela expressão:
q
W
=
Eq
L
λ
/
, (5.5)
105
na qual
E
λ
(taxa de entradas, referente aos usuários que efetivamente entram no sistema) e
o número médio de usuários na fila (
q
L
) são dados respectivamente por:
)1(
mNE
p
−
=
λ
λ
e (5.6)
[]
mmNmmN
m
q
mmN
m
mp
L
−+−
+−−−−
−
=
ρρρ
ρ
ρ
)1)(1(1
)1(!
)(
1
2
0
,
nos quais a probabilidade de perda (
mN
p
) e a probabilidade de o sistema estar vazio (
0
p
)
são dadas respectivamente por:
0
!
1
p
mm
p
mN
mN
mN
=
µ
λ
e
1
1
0
1
0
)/(1
)/(1
!
)/(
!
1
−
−
=
+−
−
−
+
=
∑
m
n
mmNm
n
m
m
mn
p
µλ
µλµλ
µ
λ
.
Da expressão (5.6) observa-se que a taxa de chegadas
λ
deve ser corrigida, pois
se trata de um sistema com perda, medida por
mN
p
. Para este sistema, por haver perda de
clientes, o fator de utilização não corresponde à utilização média do sistema, que é então
a proporção de servidores ocupados. Aqui, esta proporção é dada por
µ
λ
m
E
/
.
De forma análoga ao sistema anterior, pode-se considerar o sistema de fila
formado por m filas M/M/1/N, ou seja,
m
NMM ]/1//[
, com taxa de chegadas
m/
,
λλ
=
em
cada uma das filas. O tempo médio de espera na fila é obtido pela expressão:
q
W
=
µ
/1
−
W , (5.7)
na qual o tempo médio de espera no sistema é dado por:
W
=
E
L
λ
/
,
106
em que o número médio de usuários no sistema (L),
E
λ
e
ρ
são obtidos como:
)1)(1(
])1(1[
1
1
ρρ
ρρρ
−−
++−
=
+
+
N
NN
NN
L ,
)1(
NE
p
−
=
λ
λ
e
µλρ
/
,
= ,
sendo ainda que
1
1
)1(
+
−
−
=
N
N
N
p
ρ
ρρ
.
Ainda, como informação adicional para este sistema, a probabilidade de o
sistema estar vazio é dada por
)1/()1(
1
0
+
−−=
N
p
ρρ
. Novamente, como discutido na fila
M/M/m/mN, a taxa de chegadas deve ser corrigida, pois se trata de um sistema com perda,
medida por
N
p
para cada fila. Observa-se que o tempo médio de espera no sistema é o
tempo médio de espera em qualquer das m filas e que o número máximo de clientes no
sistema é dado por mN. Deve-se ressaltar que há outras formas de modelar a desistência do
usuário. Como exemplo, podem existir desistências na chegada (o usuário, ao chegar,
desiste porque observa que a fila está muito grande) representadas por uma função
decrescente da taxa de chegadas com o número de usuários no sistema. Em geral, quando o
sistema está com n usuários, chegadas são desencorajadas. A desistência é representada por
a
n
n
C
+
=
1
1
para n=0,1,2,...
onde a é uma constante tal que
0≥a
, a ser determinada. Também, abandonos na espera (o
usuário, ao esperar muito tempo na fila, abandona o sistema) pode ser obtido como
107
n
g
D
n
n
+=1
na qual
n
g
é uma função de abandono a ser determinada em cada caso. A
função
n
g
e o parâmetro a podem ser obtidos, por exemplo, aplicando-se técnicas de
regressão.
Uma outra possibilidade para representar filas em supermercados é a aplicação
de modelos de filas com distribuições genéricas. Inicialmente pode-se pensar em m filas
M/G/1, com taxa de chegadas m/
,
λλ
= para cada uma das filas, sendo que o número
médio de usuários no sistema pode ser obtido pela fórmula de Pollaczek e Khintchine
(ARENALES et al, 2006), cuja expressão é
)1(2
2
2
,2
ρ
σλρ
ρ
−
+
+=
s
L
(5.8)
na qual
µλρ
/
,
=
e
2
s
σ
é a variância do tempo de serviço. As demais medidas de
desempenho podem ser obtidas utilizando-se a fórmula de Little. Da mesma forma que para
os demais modelos, pode-se pensar agora no modelo M/G/m com taxa de chegadas
λ
. Uma
aproximação para o número médio de usuários no sistema é baseada na fórmula de
Kraemer e Lagenbach-Belz (BITRAN e MORABITO, 1996), dada por
mMMq
s
L
C
mL
//
2
)(
2
)1(
+
+=
ρ
(5.9)
na qual
mMMq
L
//
)(
é o número médio de usuários no sistema M/M/m,
µλρ
/
,
= e
s
C
é o
coeficiente de variação do tempo de serviço. Novamente, as demais medidas de
desempenho podem ser obtidas utilizando-se a fórmula de Little.
Um outro modelo, mais completo que os modelos markovianos
M/M/m/mN
m
NMM ]/1//[
anteriores, foi proposto por Morabito e Lima (2004), considerando a
desistência do serviço e a troca de filas pelos clientes nas
m filas M/M/1/N paralelas. Desta
108
forma, em relação aos modelos markovianos anteriores, este modelo se torna mais próximo
da situação na qual, geralmente, os supermercados operam. Apesar de ainda não ser
completamente justo permite, como realmente ocorre, que o cliente troque de filas na
tentativa de abreviar seu tempo de espera. Este modelo é detalhado a seguir.
5.3 O modelo com trocas
A proposta deste modelo, em sua formulação, é englobar algumas características
que ocorrem na prática em filas de supermercados, que alguns modelos abordam de forma
isolada. Inicialmente, algumas considerações devem ser realizadas. Em supermercados,
conforme depoimentos de alguns gerentes, é bastante comum que, quando os clientes
encontram um certo número de pessoas na fila, desistam de comprar. Desta forma,
considera-se que a partir de
N pessoas, contadas entre fila e serviço, os clientes que chegam
se retiram do estabelecimento sem efetuar suas compras. Também, se a diferença de
usuários entre duas filas estiver maior que um certo número, diga-se
k, os consumidores
trocam de fila na tentativa de abreviar sua espera. Ainda, se o consumidor que chega
decidir entrar na fila, o fará onde considera que irá demorar menos.
Existe algum subjetivismo em fixar um valor para
N, pois o comportamento
para desistência pode variar de um cliente para o outro. Também, o valor de
k pode variar
de acordo com a expectativa e a quantidade de tempo disponível do cliente no instante de
decisão. Contudo, para o modelo a seguir, será fixado um valor para
N, a ser definido em
situação prática, e quando houver uma diferença maior que a estipulada (
k) entre duas filas,
o modelo considera que o cliente necessariamente efetuará a mudança para a fila menor.
O espaço de estados do sistema, denotado por
),...,,(
21 m
nnn
, é referente ao
número de clientes encontrados em cada um dos
m caixas em um dado instante. Seja então
o espaço de estados do sistema com
m filas,
),...,,(
21 m
nnn
, na qual
i
n
é o número de
clientes no caixa
i, para i=1,2,...,m. A partir da forma com que está sendo considerado o
modelo, pode-se observar que, para todo caixa
i,
Nn
i
≤
≤
0
, e o espaço de estados pode
ser definido por:
),...,,(
21 m
nnn
109
no qual
Nn
i
≤≤0
e
knn
ji
≤− para
j
i
≠
e i,j = 1,2,...,m.
Observa-se que, das duas condições acima, não se permite que nenhum caixa
tenha mais que
N clientes (em fila e em serviço) e, que nenhum dos caixas possa ter, entre
si, uma diferença no número de clientes maior que
k. Como exemplo, se m=4, k=1 e N=3,
um possível estado é (1,2,2,1) e um impossível é (1,2,3,1).
No modelo de fila em questão, podem ocorrer mudanças do estado atual de duas
formas. Estas se referem a dois instantes, nos quais é possível transições entre os estados:
no instante de chegada de um novo cliente e no instante em que algum cliente termina de
ser servido e deixa o caixa. No primeiro, o cliente chega e, se não houver saturação do
sistema, entra em qualquer uma das filas menores, com probabilidades iguais. No segundo,
o cliente deixa o sistema e, dependendo do estado em que o sistema fica quando da saída,
isto pode envolver também alguma troca de clientes nas filas.
5.3.1 A mudança no instante de chegada
Para haver mudança no instante de chegada, é necessário que, para um presente
estado
),...,,...,,(
21 mi
nnnn
, algum
Nn
i
<
, ou seja, o sistema não está saturado. Então, um
novo estado
),...,1,...,,(
21 mi
nnnn +
pode ser obtido, com taxa de transição
,
/ m
λ
. Aqui,
'
m
é tal que
mm ≤
,
e se refere ao número de possíveis transições a partir de
),...,,...,,(
21 mi
nnnn
, pois alguns caixas podem estar lotados. Outra condição para que uma
mudança ocorra é que
knn
ji
≤−+1 para todo
j
i
≠
e j = 1,2,...,m, ou seja, é necessário
também que a diferença entre o número de clientes nos caixas não seja superior ao que foi
estipulado (o valor de
k). De modo geral,
,
m
é definido pela expressão
(
)
∑
=
≤−+=
m
i
ji
knnm
1
,
1
δ
(5.10)
na qual
(
)
11 =≤−+ knn
ji
δ
se knn
ji
≤−+1 para todo
j
i
≠
e j = 1,2,...,m;
110
(
)
01 =≤−+ knn
ji
δ
, caso contrário.
Deve-se então, a partir do estado presente, contar as possíveis transições para
balancear a taxa de transição
,
/ m
λ
. Como exemplo, sejam m=4, k=1 e N=4 e um estado
atual (1,0,1,0). Uma transição de chegada pode ser realizada para o estado (1,1,1,0), pois
knn ≤=−+ 01
12
;
knn ≤=−+ 01
32
;
knn ≤=−+ 11
42
mas não pode ser realizada para o estado (2,0,1,0), pois
knn >=−+ 21
21
.
Outra transição também poderia ser para o estado (1,0,1,1) e, assim sendo,
percebe-se duas possibilidades para efetuar a mudança de estado por meio de uma chegada.
Desta forma, tendo duas possibilidades, pode-se obter que
2
,
=m
e, logo, a taxa de
transição para os referidos estados é dada por
2/
λ
. A figura 5.3 representa um esquema
das possíveis mudanças para esta situação.
1,0,1,0
1,1,1,0
1,0,1,1
2/
λ
2/
λ
Figura 5.3. Esquema para possíveis mudanças
no instante de chegada.
111
5.3.2 A mudança no instante de saída
Para a mudança no instante de saída, há dois subcasos que podem ser
considerados: o primeiro se refere a quando há pelo menos um caixa vazio e o segundo, a
quando todos as caixas estão ocupados.
i- Quando há pelo menos um caixa vazio:
A partir da função indicadora:
1)(
=
j
n
φ
, se
0
>
j
n
0)( =
j
n
φ
, se
0=
j
n
, para j=1,2,...,m,
pode-se obter que:
∑
=
<
m
j
j
mn
1
)(
φ
em razão de haver pelo menos um
0
=
j
n
. Desta forma, se
knn
ji
≤−−1
para todo
j
i ≠ e
j = 1,2,...,m, então, a partir de um estado
),...,,...,,(
21 mi
nnnn
com
0>
i
n
, muda-se para um
novo estado
),...,1,...,,(
21 mi
nnnn −
com taxa de transição
µ
. Como exemplo, se m=4, k=1 e
N=4, então se o estado atual é (1,0,1,1), pode-se mudar somente para (0,0,1,1), (1,0,0,1) ou
(1,0,1,0) com taxa de transição
µ
(vide figura 5.4).
ii- Quando não há caixas vazios:
Na situação em que todos os caixas estão ocupados, pode-se observar que
∑
=
=
m
j
j
mn
1
)(
φ
.
112
Assim como ocorreu com as mudanças no instante de chegada, agora também é
necessário conhecer o número de possíveis transições do estado presente. Como exemplo,
seja o estado (1,2,1,1) com m=4, k=1 e N=4 e que, devido ao término do serviço, o cliente
do caixa 1 saia do sistema. Instantaneamente, um cliente do caixa 2 se desloca para o caixa
1, deixando o sistema no estado (1,1,1,1) (vide figura 5.5, a seguir). Observa-se então que,
como k=1, qualquer uma das quatro possíveis saídas só podem levar a um único estado, que
é (1,1,1,1), então com taxa 4
µ
.
De forma geral, a partir do estado
),...,,...,,(
21 mi
nnnn
, a mudança para
),...,1,...,,(
21 mi
nnnn −
ocorre se
knn
ji
≤−−1 para todo
j
i
≠
e j = 1,2,...,m e com taxa de
transição
,,
/ mm
µ
(com
mm ≤
,,
), sendo
,,
m
dado pela expressão:
(
)
∑
=
≤−−=
m
i
ji
knnm
1
,,
1
δ
(5.11)
1
1
1
1
1
1
Figura 5.5. Esquema para mudança instantânea, no
momento de saída do cliente do caixa 1, sem caixa vazio.
1,0,1,1
0,0,1,1
1,0,0,1
1,0,1,0
µ
µ
µ
Figura 5.4. Esquema para possíveis mudanças
no instante de saída com um caixa vazio.
113
na qual
(
)
11 =≤−− knn
ji
δ
se knn
ji
≤−−1 para todo
j
i
≠
e j = 1,2,...,m;
(
)
01 =≤−− knn
ji
δ
, caso contrário.
Desta forma, por meio da razão
,,
/ mm , pode-se balancear a taxa de transição de
acordo com os possíveis novos estados. Nota-se que, no exemplo anterior da figura 5.5,
tem-se 1
,,
=m , logo,
µµ
4/
,,
=mm .
Para solução do problema, é preciso montar cada uma das equações de
equilíbrio (ou de balanço) para as probabilidades de cada possível estado
),...,,(
21 m
nnn
do
sistema de fila, obtendo-se um sistema de equações lineares nas probabilidades de
equilíbrio. Para que não haja indeterminação, é suficiente substituir uma das equações pela
que representa a soma das probabilidades de todos os possíveis estados como sendo igual a
1. As equações do sistema a ser resolvido devem restringir-se às condições
Nn
i
≤
e
knn
ji
≤− para
j
i ≠ e j=1,2,...,m, conforme descrito anteriormente.
Se nenhuma condição fosse imposta sobre o valor de k, o sistema linear gerado
pelo problema teria
m
N )1( +
incógnitas, o que revela uma tendência em crescer
exponencialmente com o número de caixas m. Para melhor entendimento sobre o
funcionamento do sistema de fila, fez-se uma ilustração de parte de todas as possíveis
mudanças de estados, de um exemplo com um sistema no qual m=4, k=1 e N=3 (vide figura
5.6). Observando-se o diagrama, pode-se montar as equações de equilíbrio para cada um
dos estados possíveis do sistema. Como exemplo, a equação do estado (1,1,2,1) fica
).2,2,1,1()
22
()1,2,2,1()
22
(
)1,2,1,2()
22
()1,1,1,1(
4
)1,2,1,1()
333
4(
pp
ppp
µ
µµµ
µ
µ
µ
µ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
++++++
++++=+++
114
No exemplo acima, a partir do estado (1,1,2,1) pode-se alcançar os seguintes
estados: (1,1,1,1) com taxa 4
µ
(relativo a uma saída; note que 1
,,
=m ), (2,1,2,1) com taxa
3/
λ
, (1,2,2,1) com taxa
3/
λ
e (1,1,2,2) com taxa
3/
λ
(relativos a uma chegada; note que
3
,
=m
), explicando o lado esquerdo da equação. Pelo lado direito, o estado (1,1,2,1) pode
ser obtido a partir do estado (1,1,1,1) com taxa
4/
λ
(relativo a uma chegada; note que
4
,
=m ) e pelos estados (2,1,2,1), (1,2,2,1) e (1,1,2,2), com as respectivas taxas
2/2/
µ
µ
µ
++ , 2/2/
µ
µ
µ
++ e
µ
µ
µ
+
+
2/2/ (ou
µ
2 , relativos a uma saída; note
que
2
,,
=m
). A igualdade estabelece o equilíbrio que deve existir no sistema.
Continuando este procedimento, são obtidas as respectivas equações (vide
exemplo no apêndice E) para todos os estados possíveis, considerando-se ainda que
∑
possíveis
nnnn
nnnnp
4321
,,,
4321
),,,(
= 1. Com a resolução do sistema linear em
),,,(
4321
nnnnp
, são
obtidas estas probabilidades e, assim, a distribuição de equilíbrio do sistema. Com esta,
podem ser calculadas várias medidas de desempenho para o sistema. Por exemplo, o fator
de utilização para o caixa i é obtido pela expressão:
Figura 5.6. Diagrama parcial das possíveis mudanças nos estados, com m=4,
k=1 e N=3.
1,1,1,1
2,1,1,1
1,2,1,1
1,1,2,1
1,1,1,2
2,2,1,1
2,1,2,1
2,1,1,2
1,2,2,1
1,2,1,2
1,1,2,2
2,2,2,1
2,2,1,2
2,1,2,2
1,2,2,2
2,2,2,2
...
...
115
∑
>
=
0),...,,(
21
21
),...,,(
im
nparannn
mi
nnnp
ρ
(5.12)
ou seja, a soma de todas as probabilidades onde
0>
i
n
(ocupado). Como exemplo, seja a
situação em que m=4, k=1 e N=2. Pode-se calcular
1
ρ
(o fator de utilização do primeiro
caixa) somando-se todas as probabilidades
),,,(
4321
nnnnp
nas quais
0
1
>n .
Alternativamente, para simplificação, pode-se também realizar este cálculo de forma
complementar, ou seja, subtrair de 1 (a probabilidade total) todas as probabilidades
),,,(
4321
nnnnp
nas quais
0
1
=n
. Então é obtido
1
ρ
= 1- [ p(0,0,0,0) + p(0,0,01) + p(0,1,0,0) + p(0,0,1,0) + p(0,0,1,1) +
p(0,1,0,1) + p(0,1,1,0) + p(0,1,1,1) ].
Também, o tempo médio de espera na fila do caixa i é obtido por:
µ
λ
1
)//(),...,,...,,(
0),...,,...,,(
21
21
−=
∑
>
imi
i
nparannnn
Emiiq
mnnnnpnW
(5.13)
Na expressão acima, o termo
∑
>0),...,,...,,(
21
21
),...,,...,,(
imi
nparannnn
mii
nnnnpn
fornece o
número médio de usuários do caixa i (
i
L
), para o modelo em questão. A taxa de entrada
),...,,(1(
21 mE
nnnp−=
λ
λ
) é dividida por m, pois os clientes que chegam se distribuem
pelos m caixas eqüitativamente. Pela lei de Little, a razão entre este número médio de
usuários (
i
L
) e a taxa m
E
/
λ
fornece o tempo médio de espera no caixa i (
i
W
) que,
subtraído do tempo médio de serviço (
µ
/1 ), leva a obter o tempo médio de espera na fila
do caixa i (
i
q
W
).
O modelo com trocas mostra-se bastante flexível, sendo que o modelo M/M/m
com fila única e o modelo
m
MM ]1//[ são casos particulares dele. Fazendo-se k=1 e
∞→N
para o modelo com trocas, este se torna o modelo M/M/m (ou M/M/m/
∞
) com fila
116
única. Intuitivamente, se
∞→N
então não há desistências e com k=1 as mudanças
ocorrem com diferença mínima de clientes na fila, ocasionando maior agilidade e
funcionamento muito próximo ao de uma fila única, inclusive tornando mais justo o
sistema.
Também, fazendo-se
∞
→k
e
∞
→N
para o modelo com trocas e supondo
que cada chegada escolhe aleatoriamente uma das filas para entrar
, este se torna o modelo
m
MM ]1//[
. Intuitivamente, se
∞
→N
não há desistências e se
∞→k
não há trocas,
portanto, o sistema se torna igual a
m filas M/M/1 paralelas e independentes. Poderia-se
pensar ainda no modelo com trocas, retirando as trocas (com
∞
→k
). Este modelo se torna
então um sistema com
m filas M/M/1/N paralelas e independentes. De forma geral, pode-se
observar que o modelo com trocas é bem abrangente, conforme as situações de
k e N.
Para a utilização dos modelos de filas apresentados, é preciso que as suposições
que os suportam sejam averiguadas. Para tanto, são apresentados alguns resultados sobre
processo de Poisson e distribuições de probabilidade que devem ser verificadas. Também, é
apresentada a análise de variância (ou ANOVA), com a finalidade de utilizá-la para a
investigação da igualdade de médias de tempo de serviço para os distintos caixas
considerados. A verificação de todas as suposições se fazem necessárias para aplicação dos
modelos a serem comparados e aos resultados obtidos.
5.4 As suposições dos modelos
1- Para o processo de Poisson e suas partições
É conhecido que para um processo de Poisson com taxa
λ
, os correspondentes
tempos entre chegadas são variáveis aleatórias exponenciais independentes e identicamente
distribuídas com média
λ
/1 . De maneira inversa, pode-se dizer que, se os tempos entre
chegadas para um processo de chegadas são variáveis aleatórias exponenciais
independentemente e identicamente distribuídas com média 1/
λ
, então o processo em
questão é Poisson com taxa
λ
(LAW e KELTON, 1991, p.406; ARENALES et al., 2006).
Assim, averiguando-se a distribuição exponencial e supondo-se independência, pode-se
aproximar a um processo de Poisson.
117
Um outro resultado importante é sobre a partição de um processo de Poisson.
Inicialmente, seja o número de eventos que ocorrem em um dado período de tempo uma
variável aleatória Poisson com parâmetro
λ
. Se cada evento é classificado como sendo do
tipo
i com probabilidade
i
p
, para i=1,2,...,n, com 1
1
=
∑
=
n
i
i
p , e supondo que são
independentes entre si, então o número de eventos do tipo
i que ocorrem, para i=1,2,...,n, é
uma variável aleatória Poisson com parâmetro respectivo
i
p
λ
, para i=1,2,...,n.
Como conseqüência deste fato, é obtido um resultado importante sobre a
partição de um processo de Poisson. Seja um fluxo de chegadas com um processo de
Poisson com taxa
λ
, e seja uma partição de forma supostamente independente em n
categorias de acordo com as probabilidades
n
ppp ,...,,
21
e
∑
=
n
i
i
p
1
=1. Então, para uma dada
categoria
i, com i=1,2,...,n, seu respectivo fluxo de chegadas é um processo de Poisson com
taxa
λ
i
p
e independente dos outros n-1 processos (WOLFF, 1989, p.74). Desta forma,
verificando que o fluxo de chegadas a ser distribuído (particionado) pelas filas é um
processo de Poisson, todos os outros resultantes de partições independentes também o
serão. Contudo, a dificuldade é verificar a independência, o que geralmente é suposto.
2- Para uniformidade das chegadas
Especialmente para o modelo com trocas é necessário testar se a distribuição dos
clientes pelos caixas é eqüitativa. Desta forma, deve-se testar se ocorre uniformidade de
chegadas nos caixas, tanto para os caixas rápidos como para os caixas normais analisados.
Uma vez constatada a uniformidade, pode-se considerar que os clientes entram de forma
relativamente eqüitativa nas filas, resultando que seus processos de Poisson devem ter taxas
aproximadamente equivalentes.
3- Para distribuição exponencial dos tempos de serviço
Outra hipótese importante que deve ser testada é relativa à distribuição
exponencial para os tempos de serviço dos caixas. Além disso, deve-se testar a igualdade de
118
suas médias, o que também é suposto pelos modelos.
4- Para igualdade de médias dos tempos de serviço
Pode-se utilizar a análise de variância (ANOVA) para testar a igualdade de
médias dos tempos de serviço. O teste pode ser sumariado da forma a seguir. Seja
i
nlll
XXX ,...,,
21
uma amostra aleatória de uma distribuição ),(
2
σµ
l
N , com l = 1,2,...,g,
com
g amostras aleatórias independentes. Testa-se a hipótese
0
H
:
g
µ
µ
µ
==
=
...
21
com uma
estatística
F e com as quantidades presentes na tabela 5.1, a seguir. Rejeita-se
0
H
a um
nível de significância
α
se
)(
)/(
)1/(
1
,1
1
Re
α
∑
>
−
−
=
=
−−
=
∑
g
l
l
gng
g
l
ls
F
F
gnSS
gSS
F
(5.14)
Tabela 5.1. Quantidades calculadas para a ANOVA.
Fonte de variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade
Fator
∑
=
−=
g
l
llF
xxnSS
1
2
)(
g-1
Resíduos
∑∑
==
−=
g
l
n
j
lljs
l
xxSS
11
2
Re
)(
∑
=
−
g
l
l
gn
1
Total
∑∑
==
−=
g
l
n
j
ljCor
l
xxSS
11
2
)(
∑
=
−
g
l
l
n
1
1
A condição de normalidade pode ser relaxada quando os valores de
l
n
são
relativamente grandes. No caso dos caixas normais, como exemplo, há oito amostras
aleatórias independentes e a hipótese testada é
0
H
:
821
...
µ
µ
µ
=
=
=
, ou seja, se as médias
dos tempos de serviço para cada caixa podem ser consideradas como iguais.
119
Para testar as suposições que envolvem distribuições de probabilidade (como
para a distribuição de probabilidade dos tempos de serviço), foi utilizado o software BestFit
4.0 da Palisade Tools (BESTFIT, 2000). Este software fornece a distribuição que melhor se
ajusta aos dados com base nos testes não-paramétricos Qui-Quadrado, Kolmogorov-
Smirnov e Anderson-Darling (CONOVER, 1999). Desta forma, os testes podem ser
realizados obtendo-se relativa segurança nas conclusões sobre as distribuições de
probabilidade admitidas nos modelos.
5.5 Algumas considerações e verificação das suposições
Como descrito no capítulo 3, seções 3.3 e 3.4, os dados utilizados se referem a
seis amostras, em dois finais de semana, para um supermercado na cidade de São Carlos.
São aqui analisadas algumas características das amostras relativas ao primeiro final de
semana, nos dias 03, 04 e 05 de dezembro de 2004, conforme horários especificados na
tabela 3.1. Também, são relatadas as principais ocorrências em relação à verificação das
suposições para a segunda semana de coleta, nos dias 10, 11 e 12 de dezembro. Deve-se
lembrar que foram considerados oito caixas normais e quatro caixas rápidos, sendo que um
destes últimos era preferencial, mas, como observado anteriormente, funcionou
praticamente como um caixa rápido (vide figura 3.3).
Por meio da planilha (apêndice B) preenchida pelos coletores, algumas
informações importantes foram obtidas, das quais algumas essenciais para a aplicação dos
modelos em questão. Na tabela 5.2 pode-se observar, além das taxas de serviço, a taxa de
entradas no sistema (
E
λ
), a proporção de servidores ocupados (
µ
λ
m
E
/
), o tamanho
amostral e o tempo médio de espera na fila (denominado como valor observado), para
caixas normais e rápidos, nas duas semanas de coleta. A taxa de chegadas é formada pelos
clientes que entram nas filas e pelos clientes que desistem das compras devido ao número
de clientes nas filas, sendo que estes últimos não puderam ser observados. Nota-se ainda,
que apesar dos valores altos de
µ
λ
m
E
/
, o tempo médio de espera na fila não é grande para
os dois tipos de caixa considerados.
É possível estimar a taxa de chegadas (
λ
) por meio de um processo iterativo
utilizando-se a taxa de entradas (
E
λ
) e a probabilidade de perda (
mN
p
), quando se utiliza
120
um modelo com número de clientes na fila limitado (N), como é o caso do modelo com
trocas. Esta probabilidade se refere ao evento do sistema estar lotado, podendo haver então
perda e é calculada de forma relativa ao modelo que está se utilizando. Também, se a
probabilidade de perda é muito pequena, este processo não se faz necessário.
Tabela 5.2. Taxas de entradas e serviço, a proporção de servidores ocupados, tamanho
amostral e tempo médio de espera na fila para caixas normais e rápidos, nas duas semanas
de coleta.
Dia
Tipo de
caixa
E
λ
clientes/min
µ
clientes/min
µ
λ
m
E
/
Total das
amostras
Valor
observado
(min.)
Normal 1,6039 0,2384 0,841 194 1,80 03/12
Rápido 1,8196 0,6250 0,728 220 1,43
Normal 1,3182 0,1880 0,878 159 3,36 04/12
Rápido 2,3785 0,6693 0,888 287 1,82
Normal 1,6058 0,2336 0,859 195 1,85 05/12
Rápido 2,0803 0,6228 0,835 253 1,61
Normal 1,4174 0,2182 0,812 179 1,39 10/12
Rápido 1,7311 0,6130 0,706 209 1,24
Normal 1,3429 0,1901 0,883 168 3,63 11/12
Rápido 2,4239 0,6718 0,902 297 2,19
Normal 1,6099 0,2254 0,893 202 2,92 12/12
Rápido 2,2399 0,6272 0,893 266 2,64
O processo iterativo pode ser descrito em três passos (FONTANELLA e
MORABITO, 2002):
Passo 1: Faça
E
λλ
=
0
como sendo a taxa de chegadas média inicial e faça n=1.
Passo 2: Calcule a probabilidade de perda
n
mN
p
e a taxa
)1(
1 n
mN
nn
E
p−=
−
λλ
, onde
n
mN
p é obtido do modelo considerado, utilizando-se
1−n
λ
, m,
µ
e N.
121
Passo 3: Se
E
λ
e
n
E
λ
estiverem suficientemente próximos, então pare com
1−
=
n
λλ
. Caso contrário, faça )(
1 n
EE
nn
λλλλ
−+=
−
, n = n+1, e volte para o passo 2.
Observa-se que a taxa de chegadas é obtida em função da taxa de entradas e da
probabilidade de perda relativa ao modelo utilizado, incorporando os clientes que devem ter
sido perdidos pela limitação da fila. É realizada uma análise mais detalhada para a amostra
coletada no dia 05 de dezembro, para os caixas normais, principalmente no que for relativa
a verificação das suposições para aplicação de todos os modelos considerados. Inicialmente
é necessário que os tempos entre chegadas para todos os clientes, antes de se distribuírem
pelos caixas, tenha uma distribuição exponencial. Utilizou-se o software BestFit 4.0 e este
apontou, para os testes Qui-Quadrado, Kolmogorov-Smirnov e Anderson-Darling, com
pelo menos 5% de significância, não rejeitar a hipótese de distribuição exponencial.
A figura 5.7 ilustra os dados observados (em colunas) e a curva obtida do ajuste
da distribuição exponencial. Observando-a nota-se grande semelhança dos dados
observados com a distribuição exponencial. Desta forma, pode-se assumir um processo de
Poisson para o processo de chegadas e, conseqüentemente, para os processos derivados
para cada um dos oito caixas normais, conforme resultados explanados anteriormente.
Pode-se agora testar a uniformidade para o número de clientes que chegam em
cada um dos caixas. Novamente, utilizando-se o BestFit e o teste Qui-Quadrado, não se
pode rejeitar, com 5% de significância, esta hipótese. A figura 5.8 denota uma uniforme
ajustada ao número de chegadas para os oito caixas normais (com os caixas de 12 a 05
renomeados respectivamente como de 01 a 08). Assim, pode-se considerar que os clientes
entram de forma relativamente eqüitativa pelas filas dos caixas normais.
Observando-se ainda a figura 5.8, nota-se que a fila onze (renomeada na figura
como 2) tem uma freqüência bem abaixo do esperado (em vermelho). Ainda que este fato
não tenha levado a rejeição da uniformidade, sua causa foi investigada. Isto ocorreu porque
um cliente fez uma compra muito grande, com tempo de serviço de aproximadamente 28
minutos, fazendo com que outros clientes evitassem entrar nesta fila. Também, isto fez com
que houvesse a rejeição da igualdade das médias dos tempos de serviço (testada pela
ANOVA), bem como da distribuição exponencial (testada da mesma forma que dos tempos
entre chegadas) para este caixa.
122
IntUniform(1; 8)
X <= 1,0000
5,0%
X <= 8,0000
95,0%
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0123456789
Expon(4,1827)
X <= 0,21454
5,0 %
X <= 12 ,53 0
95,0%
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
-5 0 5 10 15 20 25 30 35
Ex
p
onencial
Figura 5.7. Ajuste para os tempos entre chegadas de todos os
clientes nos caixas normais no dia 5 de dezembro.
Figura 5.8. Ajuste uniforme para o número de clientes que
entram nos caixas normais no dia 5 de dezembro.
123
Retirando-se o ponto da amostra (considerado um outlier), ambas as hipóteses
não foram mais rejeitadas, considerando um nível de significância de 5%. Como ilustração,
a figura 5.9 apresenta o ajuste realizado para a distribuição exponencial para os tempos de
serviço do caixa normal 4, no dia 5 de dezembro.
Exponencial
X <= 26,708
5,0%
X <= 416,13
95,0%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Apesar do ponto (outlier), quando retirado, deixar todas as suposições
satisfeitas, este foi mantido na amostra, pois esta é uma situação que de fato ocorre em se
tratando de filas em supermercados. Também, foi possível com isto testar se os modelos
são robustos a estas ocorrências.
O total das amostras para os caixas normais e rápidos (tabela 5.2) revela que o
número de clientes que passam pelos caixas rápidos é sensivelmente maior que para os
caixas normais. Estes então se distribuem por quatro caixas e, com poucos itens,
experimentam pequenos tempos de fila e serviço. Nos caixas rápidos, com alto fluxo de
clientes e tempos coesos, pode-se verificar que o processo de chegadas é Poisson (vide
figura 5.10, para a distribuição exponencial), o número de clientes pelos caixas é uniforme
(vide figura 5.11) e que os tempos de serviço são exponenciais (como exemplo, vide figura
5.12), com médias consideradas idênticas pela ANOVA (como exemplo, vide tabela 5.3),
Figura 5.9. Ajuste realizado para os tempos de serviço do caixa normal 4,
no dia 5 de dezembro, obtendo uma distribuição exponencial.
124
todos com 5% de significância. Igualmente, estas conclusões são obtidas para os três dias
de coleta. Provavelmente isto ocorre devido ao tamanho amostral e a limitação do número
de itens em dez unidades, tornando os dados bem consistentes.
Exponencial
X <= 11,7 3 2
5,0%
X <= 750,67
95,0%
0
0,5
1
1, 5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-0,5 0 0,5 1 1,5 2
IntUniform(1; 4)
X <= 1,0000
5,0%
X <= 4,0000
95,0%
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Deve-se investigar ainda o comportamento das taxas de entrada no que se refere
a sua estabilização no decorrer do tempo em que a amostra foi coletada, tanto para os
caixas normais como para os rápidos. O período de coleta de 2 horas foi dividido em quatro
Figura 5.10. Ajuste realizado para todos os tempos entre chegadas nos caixas
rápidos, no dia 5 de dezembro, obtendo uma distribuição exponencial.
Figura 5.11. Ajuste uniforme para o número de clientes que
entram nos caixas rápidos, no dia 5 de dezembro.
125
partes e as taxas foram recalculadas, para cada parte, e dispostos em dois gráficos (figuras
5.13 e 5.14), para analisar seus comportamentos.
Exponencial
X <= 19 ,170
5,0%
X <= 2 8 4 , 6 0
95,0%
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1, 2
-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Tabela 5.3. Quantidades calculadas para a ANOVA para as médias de tempos de
serviço, no dia 5 de dezembro.
Fonte de
variação
Soma de Quadrados Graus de Liberdade
Fator
=
F
SS
19974,61592
g-1=3
Resíduos
=
s
SS
Re
29847,39348
∑
=
−
g
l
l
gn
1
=191
Total
=
Cor
SS
49822,0094
∑
=
−
g
l
l
n
1
1
=194
Conclusão
60,2%)5(06,2
191/
3/
191,3
Re
=<== F
SS
SS
F
s
F
Não se rejeita
0
H
:
4321
µ
µ
µ
µ
===
Figura 5.12. Ajuste exponencial dos tempos de serviço no
caixa rápido 13, no dia 5 de dezembro.
126
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
parte 1 parte 2 parte 3 parte 4
5/dez
4/dez
3/dez
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
parte 1 parte 2 parte 3 parte 4
5/dez
4/dez
3/dez
Pela figura 5.13 pode-se perceber que existe um comportamento um pouco
distinto para o dia 4 de dezembro, pois este apresenta uma taxa de entrada relativamente
inferior aos demais dias. Também, analisando-se o comportamento no decorrer no período
de duas horas em suas quatro divisões (partes 1,2,3 e 4 na figura 5.13), pode-se considerar
que não houve variação significativa das taxas durante o período de coleta. Caso contrário,
poderia-se tratar de um processo não estacionário, onde a taxa seria da forma
)(t
E
λ
.
Observando-se a figura 5.14 nota-se que existe um comportamento com relativa variação,
Figura 5.13. Variação da taxa de entrada para os caixas
normais nos períodos de coleta.
Figura 5.14. Variação da taxa de entrada para os caixas
rápidos nos períodos de coleta.
127
para a taxa de entrada dos caixas rápidos, somente para o dia 4 de dezembro, um sábado.
Apesar disto, esta parece não ter tendência em estar apenas crescendo ou apenas declinando
no decorrer do período. Desta forma, pode-se considerar as taxas relativamente estáveis
para o período de coleta.
As ocorrências havidas na segunda semana de coleta, referentes aos dias 10, 11
e 12 de dezembro, foram com menor intensidade de freqüência que na primeira. Em um dos
caixas normais, no dia 11, foi atendido um cliente com muitos itens, o que levou a um
tempo de serviço alto, ocasionando o mesmo problema que para um caixa normal do dia 5.
Também, todos os caixas rápidos tiveram um bom comportamento em relação às
suposições e as taxas de entrada apresentaram pouca variação no período de coleta. Em
resumo, uma situação muito parecida com a primeira semana.
Poder-se-ia pensar na questão de analisar o impacto que as trocas de filas têm
sobre o comportamento do cliente no supermercado, como também nos modelos que as
utilizam como um fator diferenciador. É necessário verificar o quão freqüente o cliente
realiza a troca, e se este realmente é um fator que deve ser englobado nas análises como
importante. No supermercado estudado isto foi obtido de duas formas: perguntando ao
cliente em um questionário, e observando e anotando as trocas nas filas dos caixas, sendo
esta última apresentada na tabela 5.4.
Tabela 5.4. Porcentagens de trocas de filas observadas segundo o tipo de
caixa e dias de coleta.
Dia Caixas Normais Caixas Rápidos
3/12 4,2% 9,4%
4/12 7% 12,1%
5/12 8,5% 10,5%
O resultado para as porcentagens do número de trocas de filas, em primeira
análise, não parece muito consistente com o tipo de caixa na qual está o cliente. Nos caixas
normais onde, em média, os tempos de fila e em serviço são maiores que nos caixas
rápidos, os clientes poderiam obter considerável diminuição do tempo total de espera
efetuando a troca para uma fila menor. Contudo, as filas dos caixas rápidos têm um menor
tempo médio de espera, ou seja, existe mais dinamismo (mais trocas de estados) em suas
128
filas e as oportunidades de trocas podem aparecer, com maior freqüência, sendo uma
possibilidade de explicação ao resultado obtido.
Considerando-se o total de trocas (para todos os dias), a porcentagem aferida na
coleta de dados observando-se as filas foi de 8,3%. No questionário aplicado aos clientes
(apêndice A), também foi perguntado se estes haviam realizado alguma troca de filas e a
porcentagem obtida foi de 8,2%, revelando muita coerência nas informações prestadas e as
observadas nas filas. Desta forma, pode-se considerar que para o cliente, pelo fato de
lembrar-se devidamente das trocas, estas podem ser interessantes. Acredita-se, então, que
as trocas são importantes como reguladoras do tamanho das filas, uniformizando-as. No
momento que o cliente chega e se junta à fila mais conveniente e/ou quando realiza uma
troca, ele faz com que as filas não tenham tamanhos tão distintos, diferenciando o modelo
que as engloba dos demais.
5.6 Aplicação dos modelos freqüentemente utilizados
Apesar da importância que há em tratar as trocas entre filas, podem ser
considerados outros modelos de filas que não privilegiam esta ocorrência. Alguns deles
foram citados anteriormente e são agora aplicados para os dados coletados. Nas tabelas 5.5
e 5.6 encontram-se os resultados para os modelos de filas M/M/m e
m
MM ]1//[ , para os
mesmos dias e parâmetros dos dias de coleta em duas semanas, constando do tempo médio
de espera na fila (
q
W
) para cada modelo com seus respectivos desvios (desvio da razão
entre o valor modelado e o observado, em porcentagem) em relação ao valor observado na
amostra. Pode-se notar a diferença existente nas estimativas entre a fila
M/M/m (com fila
única) e a fila
m
MM ]1//[
(com filas paralelas independentes). Neste caso, desconsiderar a
dependência existente nas filas traz grande vício na estimação dos tempos de espera na fila.
Desta forma, ainda que com estimativas alternantes em sua qualidade, o modelo de fila
única tem melhores resultados. Nota-se nas tabelas 5.5 e 5.6 que o modelo
m
MM ]1//[ em
geral superestima o tempo de espera na fila. Deve-se ressaltar ainda que este modelo
(
M/M/m) é um caso particular do modelo com trocas quando k=1 e ∞→N para o primeiro
momento (em média) (KOENIGSBERG, 1966).
129
Tabela 5.5. Resultados para as filas
M/M/m e
m
MM ]1//[ , para a primeira semana de coleta.
M/M/m
m
MM ]1//[
ρ
Dia
Caixa
q
W
desvio
q
W
desvio
Valor
Observado
(minutos)
0,841 03/12 N 1,8159
0,9%
22,18
1232,3%
1,80
0,728 03/12 R 0,6957
48,7%
4,2824
299,5%
1,43
0,878 04/12 N 3,4397
2,4%
37,7379
1123,2%
3,36
0,888 04/12 R 2,5594
40,6%
11,8973
653,7%
1,82
0,859 05/12 N 2,2640
22,4%
26,1374
1412,8%
1,85
0,835 05/12 R 1,6086
0,1%
8,1291
504,9%
1,61
Tabela 5.6. Resultados para as filas
M/M/m e
m
MM ]1//[
, para a segunda semana de coleta.
M/M/m
m
MM ]1//[
ρ
Dia
Caixa
q
W
desvio
q
W
desvio
Valor
Observado
(minutos)
0,812 10/12 N 1,4744
6,1%
19,7924
1423,9%
1,39
0,706 10/12 R 0,6076
-51,0%
3,9173
315,9%
1,24
0,883 11/12 N 3,6885
1,6%
39,7087
1093,9%
3,63
0,902 11/12 R 3,0074
37,3%
13,7033
625,7%
2,19
0,893 12/12 N 3,5288
20,8%
36,9499
1265,4%
2,92
0,893 12/12 R 2,8757
8,9%
13,2810
503,1%
2,64
Uma outra possibilidade é realizar o mesmo experimento considerando-se uma
capacidade máxima para as mesmas filas em questão. É natural, então, que esta capacidade
seja equivalente ao que é considerado no modelo com trocas, para efeito de comparação. É
importante ressaltar que existe certo subjetivismo, para o modelo com trocas, em fixar o
130
valor de
N, ou seja, em considerar a capacidade máxima das filas. No caso do
supermercado, como discutido anteriormente, os clientes ficam em pé com suas compras
em carrinhos ocupando um espaço físico considerável, dependendo do tamanho da fila.
Também, de acordo com informações obtidas do gerente daquele supermercado, nos caixas
normais, os clientes reclamam quando as filas têm mais de três pessoas. Observando-se as
planilhas e as filmagens realizadas para a coleta de amostras, pôde-se notar que o número
máximo de pessoas nos caixas rápidos e normais, ainda que em raras oportunidades, foram
respectivamente 7 e 5. Os resultados podem ser vistos nas tabelas 5.7 e 5.8. Ali constam os
valores de
q
W
e de seu desvio, a probabilidade do sistema estar saturado (
mN
p
, ou perda) e
de estar completamente vazio (
0
p
, ou vazio).
Para o modelo
M/M/m/mN foram utilizadas as taxas de entrada (
E
λ
), pois as
probabilidades de perda são muito pequenas (vide tabelas 5.7 e 5.8). Desta forma, o
procedimento iterativo descrito anteriormente foi desnecessário. No modelo
m
NMM ]/1//[ , as probabilidades de perda não são pequenas, contudo, como pode ser
notado, todas as estimativas para este modelo estão bem acima do valor observado. Então,
aplicar o procedimento iterativo só iria aumentá-las.
Tabela 5.7. Resultados para as filas
M/M/m/mN e
m
NMM ]/1//[ para a primeira semana
de coleta.
M/M/m/mN
m
NMM ]/1//[
µ
λ
m
E
Dia
Caixa
q
W
Perda Vazio
desvio
mN
p
0
p
q
W
Perda Vazio
desvio
mN
p
0
p
Valor
Observado
(minutos)
0,841 03/12 N 1,57
-12,8%
0,00034 0,00084 6,95
286%
0,10352 0,24606 1,80
0,728 03/12 R 0,69
-51,7%
0,00006 0,04296 2,92
104%
0,03196 0,29546 1,43
0,878 04/12 N 3,27
-2,7%
0,00123 0,00054 9,24
175%
0,11689 0,22596 3,36
0,888 04/12 R 2,32
27,5%
0,00502 0,01309 4,44
144%
0,07965 0,18236 1,82
0,859 05/12 N 2,17
17,3%
0,00065 0,00068 7,26
292%
0,11004 0,23597 1,85
0,835
05/12
R
1,51
-6,2%
0,00145
0,02118
3,69
129%
0,06118
0,21599
1,61
131
Tabela 5.8. Resultados para as filas
M/M/m/mN e
m
NMM ]/1//[ para a segunda semana
de coleta.
M/M/m/mN
m
NMM ]/1//[
µ
λ
m
E
Dia
Caixa
q
W
Perda Vazio
desvio
mN
p
0
p
q
W
Perda Vazio
desvio
mN
p
0
p
Valor
Observado
(minutos)
0,812 10/12 N 1,46
5,3%
0,00116 0,00116 7,29
524,5%
0,09303 0,26354 1,39
0,706 10/12 R 0,61
-50,8%
0,00003 0,04860 2,82
127,4%
0,02739 0,31334 1,24
0,883 11/12 N 3,40
-6,3%
0,00145 0,00050 9,22
154,0%
0,11940 0,22243 3,63
0,902 11/12 R 2,62
19,6%
0,00670 0,01129 3,86
76,2%
0,08474 0,17443 2,19
0,893 12/12 N 3,17
8,6%
0,00199 0,00044 7,87
169,5%
0,12320 0,21720 2,92
0,893 12/12
R
2,58
-2,3%
0,00574 0,01279 4,07
54,2%
0,08128 0,17977 2,64
Novamente, como para o caso anterior, o modelo que trata o sistema como com
filas paralelas independentes tem o problema de superestimar o tempo de espera na fila.
Também o modelo
M/M/m/mN tem alternância de estimativas (ainda que mais suaves),
assim como ocorria com o modelo
M/M/m. Contudo, nota-se que os desvios para o modelo
m
NMM ]/1//[ estão bem menores que para o modelo
m
MM ]1//[ , ainda que sejam
grandes.
Uma outra possibilidade de abordagem do problema é utilizar filas com
distribuições genéricas. No presente caso pode-se pensar em
m filas M/G/1 (
[]
m
GM 1// ) e
uma fila
M/G/m. Com as expressões 5.8 e 5.9 e a fórmula de Little, foram obtidos os
tempos médios de espera na fila para os dias de coleta, que podem ser vistos na tabela 5.9 a
seguir. Pelos resultados obtidos, percebe-se que os modelos produziram estimativas muito
ruins, principalmente para as filas paralelas e independentes, pois todas elas
superestimaram em muito o valor observado, sendo que o menor desvio obtido foi de
10,4%. Assim, pode-se pensar que, neste caso, estes modelos podem ser descartados como
uma alternativa em aproximar a situação das filas no supermercado.
132
Tabela 5.9. Resultados para as filas
M/G/m e
[
]
m
GM 1//
para os dias de coleta.
Dia
ρ
Caixa
M/G/m
desvio
[
]
m
GM 1//
desvio
Valor
observado
(min.)
0,841 N 3,99
121,7%
30,38
1587,8%
1,80 03/12
0,728 R 1,58
10,5%
5,34
273,4%
1,43
0,878 N 5,13
52,7%
43,24
1186,9%
3,36 04/12
0,888 R 6,21
241,2%
11,22
516,5%
1,82
0,859 N 4,03
117,8%
24,61
1230,3%
1,85 05/12
0,835 R 3,16
96,3%
8,30
415,5%
1,61
0,812 N 2,19
57,6%
19,69
1316,5%
1,39 10/12
0,706 R 1,43
15,3%
5,32
329,0%
1,24
0,883 N 4,35
19,8%
34,86
860,3%
3,63 11/12
0,902 R 8,26
277,2%
15,36
601,4%
2,19
0,893 N 8,96
206,8%
39,88
1265,7%
2,92 12/12
0,893 R 5,98
126,5%
9,25
250,4%
2,64
5.7 Aplicação do modelo com trocas
Após admitir como satisfeitas todas as suposições para a aplicação do modelo
com trocas
, deve-se investigar se este é capaz de estimar satisfatoriamente o tempo médio
de espera na fila, observado na amostra. O modelo foi implementado em linguagem Pascal
e compilador Delphi, utilizando-se um computador Atlhon 3500 de 64 bits com 2 Gbytes
de memória. Os sistemas lineares gerados são resolvidos por meio do método de Gauss-
Jordan e podem ter milhares de equações. Por exemplo, o modelo com
m =8, k=2 e N=3
envolve 12866 equações, cuja geração e resolução consumiu mais de 3 horas. Por outro
lado, sistemas com cerca de 6000 equações foram resolvidos em 29 minutos, e sistemas
menores, com 1000 equações, consumiram apenas 10 segundos para serem resolvidos.
133
Para o modelo com trocas foi utilizado o processo iterativo para estimar as taxas
de chegadas (
λ
) a partir das taxas de entradas, para que o resultado final pudesse ser mais
fidedigno.
A amostra coletada no dia 3 (vide tabela 5.2) apresentou dois pontos que podem
ser considerados como
outliers: um tempo de serviço de aproximadamente 22,6 minutos no
caixa de número 13 e outro, também em tempo de serviço, aproximadamente de 22,5
minutos no caixa 10. Nota-se que se tratam de caixas normais, onde algumas vezes se
apresentam compras com grande número de itens. Quando os pontos são retirados, as
suposições que haviam sido rejeitadas (igualdade das médias e distribuição exponencial
para os tempos de serviço) são verificadas, podendo-se aplicar os modelos. Também, como
realizado anteriormente, os pontos foram mantidos com a finalidade de avaliar a robustez
dos modelos a variações nos parâmetros (taxa de serviços). As demais suposições, como
processo de chegadas e uniformidade de entradas nos caixas, não apresentaram problemas
de rejeição.
Na tabela 5.10 pode-se observar que, para os caixas normais, o desvio
observado obtido quando
k=1 e N=5 (valor de N como comentado anteriormente) é de
apenas -1,2%, o que é um resultado bastante interessante e equivalente ao modelo M/M/m
que obteve um desvio de 0,9%. Poder-se-ia pensar em
k=2, contudo, pela última linha da
tabela pode-se observar que o resultado fica superestimado, mesmo para N=3.
Tabela 5.10. Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
=
1,6039,
µ
= 0,2384, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 1,80 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,841, para o dia 3 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
1,6061 1 4 1,7028 -5,4% 0,0014 0,0008 0,4499
1,6044 1 5 1,7790 -1,2% 0,0003 0,0008 0,4494
1,6041 1 6 1,8052 0,3% 0,0001 0,0008 0,4492
1,6232 2 3 3,1639 75,8% 0,0119 0,0001 0,5312
Diferentemente dos caixas normais, uma conclusão distinta é obtida para os
caixas rápidos (tabela 5.11 a seguir), com
k=2 e N=7 (valor de N como comentado
134
anteriormente). Observa-se que os clientes têm maior tolerância nestes caixas (
k=2) que a
averiguada nos caixas normais. Contudo, o desvio aqui obtido é -11,9%, um valor razoável
como estimativa do observado. Ainda assim, é equivalente ao obtido pelo modelo
M/G/m
(10,5%) e bem menor que para os modelos
M/M/m e M/M/m/mN.
Nota-se que os desvios são, em quase todos os casos, menores que os obtidos
nas tabelas 5.5, 5.7 e 5.9, ainda que para o modelo
M/M/m o desvio para os caixas normais
seja de apenas 0,9%. Observa-se também que, devido aos valores menores de
µ
λ
m
E
/ neste
dia, existe menor sensibilidade quando
N é alterado para N-1 ou N+1, tanto para os caixas
normais quanto para os rápidos.
Tabela 5.11. Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
=
1,8196,
µ
= 0,6250, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 1,43 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,728, para o dia 3 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
1,8200 1 6 0,6880 -51,9% 0,0002 0,0430 0,5272
1,8198 1 7 0,6924 -51,5% 0,0001 0,0430 0,5272
1,8196 1 8 0,6941 -51,5% 0,0000 0,0430 0,5272
1,8201 2 6 1,2531 -12,4% 0,0003 0,0225 0,5982
1,8198 2 7 1,2600 -11,9% 0,0001 0,0225 0,5980
1,8196 2 8 1,2620 -11,7% 0,0001 0,0225 0,5980
1,8196 3 7 1,7656 23,5% 0,0001 0,0147 0,6401
Analisando-se a amostra do dia 04/12 (vide tabela 5.2), ocorreu
outlier, assim
como no dia 03/12. Houve um tempo de serviço de aproximadamente 33 minutos no caixa
normal de número 10. Da mesma forma anterior, as suposições de igualdade das médias
dos tempos de serviço entre os caixas e da distribuição exponencial do caixa 10 foram
rejeitadas em função deste ponto. Uma vez retirado, as suposições foram verificadas com
5% de significância. Contudo, o ponto foi mantido na amostra, pelos mesmos motivos
citados anteriormente. Quanto ao processo de chegadas e a uniformidade de entrada nos
caixas, as conclusões são as mesmas da amostra anterior. Para os caixas rápidos, também
como citado anteriormente, todas as suposições foram verificadas.
135
Na tabela 5.12 a seguir, pode-se observar que, para os caixas normais do dia 4
de dezembro, o desvio do observado obtido quando
k=1 e N=5 é de apenas -3,5%, portanto
um resultado bastante interessante apesar dos desvios dos modelos M/M/m (2,4%) e
M/M/m/mN (-2,7%) estarem um pouco melhor.
. Contudo, a mesma conclusão não é obtida para os caixas rápidos (tabela 5.13),
com
k=1 e N=7, pois seu desvio foi de 18,8%, um resultado pouco razoável, apesar de ser o
menor para todos os modelos utilizados. Neste dia, um sábado, foram verificadas filas
maiores, o que é corroborado pelos valores de
µ
λ
m
E
/ estarem mais elevados. Assim
sendo, os clientes, de forma geral, estavam com pouca tolerância à diferença de tamanho de
filas. Nota-se ainda que, para caixas normais e rápidos, existe alguma sensibilidade quando
N é alterado para N-1 ou N+1, provavelmente devido ao alto valor de
µ
λ
m
E
/
.
Tabela 5.12. Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
=
1,3182,
µ
= 0,1880, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 3,36 minutos e
µ
λ
m
E
/
= 0,878, para o dia 4 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
1,3231 1 4 2,9971 -10,8% 0,0037 0,0005 0,3620
1,3198 1 5 3,2440 -3,5% 0,0012 0,0005 0,3613
1,3187 1 6 3,3548 -0,2% 0,0004 0,0005 0,3611
1,3402 2 3 4,3796 30,3% 0,0200 0,0001 0,4429
Tabela 5.13. Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
=
2,3785,
µ
= 0,6693, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 1,82 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,888, para o dia 4 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
2,4020 1 6 1,9961 9,7% 0,0100 0,0126 0,2369
2,3921 1 7 2,1615 18,8% 0,0058 0,0127 0,2363
2,3866 1 8 2,2802 25,3% 0,0034 0,0128 0,2359
2,3930 2 7 2,6320 44,6% 0,0069 0,0054 0,2765
136
Na tabela 5.14 abaixo pode-se notar que, para os caixas normais do dia 5 de
dezembro, o desvio do tempo observado obtido é de 18,1% (de 1,85 para 2,19 minutos)
quando o número máximo de clientes na fila (
N) é 5 e a diferença entre filas (k) é 1. As
probabilidades de haver perda no sistema e do sistema ficar completamente vazio são
pequenas e a ociosidade (probabilidade de pelo menos um caixa vazio, denotada por
ocioso) está em cerca de 0,4. Como de fato ocorreu neste dia, em raras situações a fila era
maior que três pessoas, pois, como ressaltado, isto poderia gerar reclamações pelos clientes.
Também, pelos resultados do modelo, estes parecem ter pouca tolerância à diferença de
tamanho de filas, efetuando a troca ainda que vá diminuir apenas uma posição à sua frente.
Os resultados com
k=2 e N=3 ampliam os desvios obtidos aqui, podendo então ser uma
situação descartada para os caixas normais neste dia, já que, com
k=2 e conforme N cresce,
os desvios tendem a aumentar.
Observa-se também que existe alguma sensibilidade do modelo quando
N=5 é
alterado para 6 ou 4, contudo, provavelmente isto se deve ao alto valor de
µ
λ
m
E
/. Apesar
do desvio ser pouco razoável (18,1%), nenhum outro modelo apresentou um resultado
melhor.
Tabela 5.14. Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
=
1,6058,
µ
= 0,2336, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 1,85 minutos e
µ
λ
m
E
/
= 0,859, para o dia 5 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
1,6095 1 4 2,0549 11,1% 0,0023 0,0007 0,4057
1,6069 1 5 2,1855 18,1% 0,0007 0,0007 0,4048
1,6061 1 6 2,2348 20,8% 0,0002 0,0007 0,4047
1,6268 2 3 3,3720 82,3% 0,0155 0,0001 0,4881
Para os caixas rápidos (tabela 5.15), duas situações poderiam concorrer como
satisfatórias: uma com
k=1 e N=7 e a outra com k=2 e N=7. Isto poderia ser pensado, pois
com
k=1 há subestimação do tempo de espera e observa-se uma tendência em crescer o
valor estimado pelo modelo. Contudo, como se pôde notar, para
k=2 e N=7 o desvio
aumentou bastante, descartando-se esta possibilidade. Desta forma, pode-se, então, para os
137
caixas rápidos do dia 5 de dezembro, assumir que o cliente tem pouca tolerância à espera,
como ocorre para os caixas normais. Também, como ocorre para os caixas normais, existe
alguma sensibilidade quando
N=7 é alterado para 6 ou 8, provavelmente devido ao valor de
µ
λ
m
E
/ . Ainda deve-se ressaltar que o desvio obtido aqui, apesar de satisfatório, é maior
que para a fila
M/M/m (0,1%), contudo menor que para todos os outros modelos.
Tabela 5.15. Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
=
2,0803,
µ
= 0,6228, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 1,61 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,835, para o dia 5 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
2,0870 1 6 1,4636 -9,1% 0,0032 0,0209 0,3395
2,0834 1 7 1,5259 -5,2% 0,0015 0,0210 0,3393
2,0818 1 8 1,5623 -3,0% 0,0007 0,0210 0,3391
2,0840 2 7 2,0808 29,2% 0,0019 0,0096 0,3921
São apresentados agora sucintamente os resultados obtidos na coleta da segunda
semana, referente aos dias 10, 11 e 12 de dezembro. No dia 10/12 (uma sexta-feira)
ocorreu, no caixa rápido, a menor proporção de servidores ocupados em toda a coleta
realizada. O comportamento para este dia ficou muito parecido com a sexta-feira anterior
(03/12) levando a pensar que, talvez, haja menor movimento neste dia da semana para
aquele horário. Também, o comportamento para o valor de
k foi idêntico ao da semana
anterior, contudo, as estimativas apresentaram melhores resultados (vide tabelas 5.16 e 5.17
a seguir).
Tabela 5.16. Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
=
1,4172,
µ
= 0,2182, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 1,39 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,812, para o dia 10 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
1,4183 1 4 1,4271 2,7% 0,0006 0,0012 0,5163
1,4175 1 5 1,4622 5,2% 0,0001 0,0012 0,5162
1,4191 1 6 1,4714 5,9% 0,0000 0,0012 0,5162
1,4172 2 3 3,1649 127,7% 0,0155 0,0001 0,4881
138
Tabela 5.17. Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
=
1,7311,
µ
= 0,6130, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 1,24 minutos e
µ
λ
m
E
/
= 0,706, para o dia 10 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
1,7313 1 6 0,6039 -51,3% 0,0001 0,0486 0,5620
1,7313 1 7 0,6068 -51,1% 0,0000 0,0486 0,5619
1,7311 1 8 0,6072 -51,0% 0,0000 0,0486 0,5620
1,7314 2 6 1,1794 -4,9% 0,0002 0,0262 0,6349
1,7311 2 7 1,1830 -4,6% 0,0000 0,0262 0,6349
1,7311 2 8 1,1843 -4,5% 0,0000 0,0262 0,6348
1,7311 3 7 1,6885 36,2% 0,0001 0,0175 0,6772
Para o dia 11 de dezembro foram obtidas conclusões semelhantes com as do dia
04 de dezembro (ambos os dias um sábado) no que se refere tanto a estimativas quanto ao
comportamento dos clientes para troca de filas. Nos caixas normais foi obtido
k=1
enquanto, para os caixas rápidos,
k=2, revelando assim mais tolerância dos clientes que
utilizaram este serviço (vide tabelas 5.18 e 5.19, a seguir).
Tabela 5.18. Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
=
1,3429,
µ
= 0,1901, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 3,63 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,883, para o dia 11 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
1,3487 1 4 3,1475 -13,3% 0,0044 0,0005 0,3452
1,3449 1 5 3,4363 -5,3% 0,0015 0,0005 0,3443
1,3436 1 6 3,5737 -1,6% 0,0005 0,0005 0,3440
1,3429 2 3 4,2576 17,3% 0,0181 0,0001 0,4606
Finalmente, para o dia 12 de dezembro, obteve-se um cenário também muito
parecido ao domingo anterior (dia 05/12). Novamente, houve mais tolerância nos caixas
rápidos, com
k=2 (vide tabelas 5.20 e 5.21 abaixo).
139
Tabela 5.19. Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
=
2,4239,
µ
= 0,6718, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 2,19 minutos e
µ
λ
m
E
/
= 0,902, para o dia 11 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
2,4553 1 6 2,1917 0,1% 0,0132 0,0108 0,2101
2,4432 1 7 2,4036 9,8% 0,0081 0,0109 0,2092
2,4348 1 8 2,5527 16,6% 0,0050 0,0110 0,2095
2,4435 2 7 2,8474 30,0% 0,0093 0,0046 0,2463
Tabela 5.20. Medidas para o modelo com trocas, com 8 filas de caixa normal sendo
E
λ
=
1,6099,
µ
= 0,2254, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 2,92 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,893, para o dia 12 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
1,6179 1 4 2,8936 -0,9% 0,0055 0,0004 0,3208
1,6131 1 5 3,2128 10,0% 0,0021 0,0004 0,3187
1,6112 1 6 3,3745 15,6% 0,0008 0,0004 0,3181
1,6232 2 3 3,6661 25,6% 0,0205 0,0001 0,4392
Tabela 5.21. Medidas para o modelo com trocas, com 4 filas de caixa rápido sendo
E
λ
=
2,2399,
µ
= 0,6272, com tempo observado de espera na fila na amostra, de 2,64 minutos e
µ
λ
m
E
/ = 0,893, para o dia 12 de dezembro.
λ
k N
q
W
Desvio Perda Vazio Ocioso
2,2605 1 6 2,1795 -17,4% 0,0107 0,0122 0, 2306
2,2527 1 7 2,3798 -9,9% 0,0064 0,0122 0,2286
2,2480 1 8 2,5246 -4,8% 0,0039 0,0122 0,2276
2,2643 2 6 2,6595 0,7% 0,0128 0,0051 0,2697
2,2549 2 7 2,8842 9,3% 0,0076 0,0051 0,2667
2,2493 2 8 3,0466 15,4% 0,0046 0,0051 0,2652
2,2576 3 7 3,3750 27,8% 0,0090 0,0027 0,2921
140
Nota-se, para a segunda semana de coleta, muita semelhança com os resultados
obtidos na primeira, não só em relação aos tempos esperados na fila, mas também em
relação aos valores de
k, aos desvios, às probabilidades de perda, do sistema estar
completamente vazio e de haver ociosidade (de haver pelo menos um caixa desocupado).
Ainda, as flutuações nas estimativas de
q
W
causadas pelos diferentes valores de N têm
comportamentos muito coesos para as duas semanas.
Nas tabelas 5.22 e 5.23 foi realizado um resumo das comparações entre os
modelos apresentados e aplicados. Foram destacados, em negrito, em todas as situações e
para todos os modelos comparados, os menores desvios obtidos, como também os desvios
aceitáveis, ou seja, que não são os menores, mas que são considerados toleráveis. Nota-se
que o modelo com trocas tem, de modo geral, melhores estimativas que os demais modelos.
Tabela 5.22. Comparação entre os modelos
mMM //
,
m
MM ]1//[ e o resultado obtido
pelo modelo com trocas, para caixas normais e rápidos, na primeira semana de coleta.
Dia
Tipo de
caixa
mMM //
q
W
(desvio)
m
MM ]1//[
q
W
(desvio)
M/M/m/mN
q
W
(desvio)
m
NMM ]/1//[
q
W
(desvio)
Trocas
q
W
(desvio)
Valor
obser-
vado
(min.)
Normal
m=8
1,8159
(0,9%)
22,18
(1232,3%)
1,57
(-12,8%)
6,95
(286%)
1,7790
(-1,2%)
1,80
03
Rápido
m=4
0,6957
(48,7%)
4,2824
(299,5%)
0,69
(-51,7%)
2,92
(104%)
1,2600
(-11,9%)
1,43
Normal
m=8
3,4397
(2,4%)
37,7379
(1123,2%)
3,27
(-2,7%)
9,24
(175%)
3,2440
(-3,5%)
3,36
04
Rápido
m=4
2,5594
(40,6%)
11,8973
(653,7%)
2,32
(27,5%)
4,44
(144%)
2,1615
(18,8%)
1,82
Normal
m=8
2,2640
(22,4%)
26,1374
(1412,8%)
2,17
(17,3%)
7,26
(292%)
2,1855
(18,1%)
1,85
05
Rápido
m=4
1,6086
(0,1%)
8,1291
(504,9%)
1,51
(-6,2%)
3,69
(129%)
1,5259
(-5,2%)
1,61
141
Ainda que em seis (das doze) situações, seu comportamento não tenha sido
melhor, em duas delas os desvios foram de apenas -1,2% e -3,5%, podendo ser
considerados quase que equivalente aos desvios da
M/M/m, respectivamente de 0,9% e de
2,4%, relativos aos caixas normais dos dias 3 e 4 de dezembro.
É notório o impacto que as trocas de filas surtem nas estimativas quando se
consideram as filas paralelas independentes, como no caso do modelo de fila
m
MM ]1//[.
Os desvios obtidos denotam o quanto pode ser prejudicial às análises dos sistemas
desconsiderar a dependência, quando esta existe. Também, pode parecer, em análise inicial,
que os modelos
mMM // e M/M/m/mN são concorrentes ao modelo com trocas. Deve-se
lembrar que, de fato, o modelo
mMM //
pode ser visto como o caso particular do modelo
com trocas com
k=1 e
∞→N
. Como as probabilidades de perda do modelo com trocas
com
k=1 e N=5 (para caixas normais) e com k=1 e N=7 (para caixas rápidos) são pequenas,
esperam-se resultados similares aos obtidos pelo modelo com trocas.
Tabela 5.23. Comparação entre os modelos
mMM //
,
m
MM ]1//[
e o resultado obtido
pelo modelo com trocas, para caixas normais e rápidos, na segunda semana de coleta.
Dia
Tipo de
caixa
mMM //
q
W
(desvio)
m
MM ]1//[
q
W
(desvio)
M/M/m/mN
q
W
(desvio)
m
NMM ]/1//[
q
W
(desvio)
Trocas
q
W
(desvio)
Valor
obser-
vado
(min.)
Normal
m=8
1,4744
(6,1%)
19,7924
(1423,9%)
1,46
(5,0%)
7,29
(524,5%)
1,4622
(5,2%)
1,39
10
Rápido
m=4
0,6076
(-51,0%)
3,9173
(315,9%)
0,61
(-50,8%)
2,82
(127,4%)
1,1830
(-4,6%)
1,24
Normal
m=8
3,6885
(1,6%)
39,7087
(1093,9%)
3,40
(-6,3%)
9,22
(154,0%)
3,4363
(-5,3%)
3,63
11
Rápido
m=4
3,0074
(37,3%)
13,7033
(625,7%)
2,62
(19,6%)
3,86
(76,2%)
2,4036
(9,8%)
2,19
Normal
m=8
3,5288
(20,8%)
36,9499
(1265,4%)
3,17
(8,6%)
7,87
(169,5%)
3,2128
(10,0%)
2,92
12
Rápido
m=4
2,8757
(8,9%)
13,2810
(503,1%)
2,58
(-2,3%)
4,07
(54,2%)
2,8842
(9,3%)
2,64
142
Para melhor comparação entre os modelos foi realizado o cálculo das médias
dos valores absolutos dos seus respectivos desvios. Assim, ao realizar-se um cálculo
simples, observa-se que esta média para o modelo
M/M/m é 18,2% para a primeira semana
e 21% para a segunda semana (valores próximos aos obtidos para o modelo
M/M/m/mN, de
19,7% e 15,4%, respectivamente), sendo que para o modelo com trocas foram 9,8% e 7,4%,
respectivamente.
O comportamento de
k parece estar ligado ao tipo de caixa e ao valor de
µ
λ
m
E
/ . Como exemplo, nos caixas rápidos foram obtidos resultados com k=2, ou seja, os
clientes trocam de fila para ganhar duas posições e não uma (com
k=1). Como ali, o tempo
gasto na fila deve ser pequeno, a compensação da troca deve ser maior. Por outro lado,
mesmo em caixas rápidos, são obtidos resultados com
k=1 mas com valor de
µ
λ
m
E
/
mais
alto (deve-se lembrar que, para os caixas rápidos do dia 12, os desvios para
k=1 e k=2
ficaram praticamente iguais).
Concluindo, em geral, o modelo de filas com trocas mostra-se mais eficiente
(com desvios menores) e mais consistente em suas medidas, ou seja, seu comportamento é
mais harmônico que os outros modelos considerados. Neste modelo, devido a se conhecer a
distribuição de equilíbrio dos estados do sistema, várias medidas de desempenho podem ser
calculadas, contudo, o tempo de espera na fila é a mais importante para este estudo.
De forma geral, para o supermercado analisado e nos dias de coleta realizados,
pode-se dizer que as trocas de filas, quando englobadas ao modelo, tendem a melhorar seu
desempenho em estimar o tempo de espera observado na fila. Também, deixam as
estimativas mais consistentes, ou seja, com menor variabilidade que os outros modelos.
Este fato é importante para avaliar e propor melhorias em sistemas de filas comumente
encontradas em supermercados.
5.8 Comportamento do modelo com trocas em função do número de filas
para a primeira semana de coleta
Um experimento foi realizado para observar o comportamento das estimativas
de tempo de espera na fila em função do número de filas (mantendo-se
µ
λ
m
E
/
fixo) para
algumas possibilidades dos caixas normais.
143
Este estudo foi realizado exatamente pelo aumento exponencial do número de
equações em função de
N. O objetivo era verificar se seria razoável simplesmente
decompor um sistema de filas em subsistemas menores e independentes, que poderiam ser
analisados isoladamente. Então, para algumas situações, o número de filas (
m) foi sendo
elevado, mantendo-se a carga de trabalho (
µ
λ
m
E
/) constante.
Pelas tabelas 5.24 e 5.25 e figuras 5.15 e 5.16 (a seguir), nota-se que, para um
mesmo
N e para k=1, o decaimento dos valores parece ser relativamente acentuado e
harmônico, conforme o número de filas (
m) vai aumentando.
Observa-se que para
N=4 e k=1, quando m=4 é obtido que
q
W
=3,2664 minutos
e, quando
m=8, é obtido que
q
W
=1,9958, valores muito diferentes. Analisando-se este fato
pode-se dizer que não é razoável simplesmente decompor um sistema com
m=8 em dois
subsistemas com
m=4 (supostamente independentes). Assim, com base nos resultados
obtidos, esta idéia pode ser desconsiderada para este modelo com trocas.
Na tabela 5.25, apresentada a seguir, não foi possível obter os cálculos relativos
aos modelos quando um grande número de filas foi considerado (denotados com o símbolo
*). Como exemplo, quando se utilizam
m=8, N=3 e k=2 é necessário resolver um sistema
com 12866 equações. O máximo que se consegue resolver, pelo menos com essa
implementação computacional, é
12
14
−
equações, ou seja, 16.383 equações.
Tabela 5.24. Tempo estimado (
q
W ) para o modelo com trocas, com m filas de caixa
normal, sendo
E
λ
variável,
µ
= 0,2336, com tempo observado na amostra de 1,85 minutos
e fixando-se
µ
λ
m
E
/
= 0,859, para o dia 5 de dezembro.
m (n. de filas);
E
λ
N = 3, k = 1 N = 4, k = 1
2; 0,401544 2,4241 4,0095
3; 0,602316 2,3734 3,6532
4; 0,803088 2,2498 3,2664
5; 1,00386 2,0997 2,8956
6; 1,204632 1,9425 2,5577
7; 1,405404 1,7877 2,2578
8; 1,606176 1,6401 1,9958
9; 1,806948 1,5022 1,7691
144
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
23456789
N=3;k=1
N=4;k=1
Tabela 5.25. Tempo estimado (
q
W
) para o modelo com trocas, com m filas de caixa
normal, sendo
E
λ
variável,
µ
= 0,1880, com tempo observado na amostra de 3,36 minutos
e fixando-se
µ
λ
m
E
/
= 0,878, para o dia 4 de dezembro.
M (n. de filas);
E
λ
N = 5, k = 1 N = 6, k = 1
2; 0,3295 6,9768 8,5885
3; 0,4943 6,2179 7,3601
4; 0,6591 5,4668 6,2487
5; 0,8239 4,7807 5,3001
6; 0,9886 4,1737 4,5095
7; 1,1534 3,6532 3,8663
8; 1,3182 3,2094 3,3425
9; 1,4830 * *
Figura 5.15. Gráfico mostrando a estabilização do tempo estimado de
espera conforme aumento do número de filas mantendo
µ
λ
m
E
/
fixo
(amostra do dia 5/12/04).
145
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2345678
N=5;k=1
N=6;k=1
Observando-se a tabela 5.25, pode-se obter a mesma conclusão que para a tabela
5.24, onde a divisão de um sistema com
m=8 em outro com m=4 não deve ser considerada
razoável. Analisando-se os resultados, nota-se que os valores estimados para
m=4 estão
acima dos valores estimados quando
m=8 pelo menos em 38%, portanto uma diferença
muito grande.
Como pode ser observado, o decaimento das curvas ocorrem de forma
acentuada, desencorajando a estratégia proposta.
5.9 A simulação do modelo com trocas
A simulação é uma forma de representar algum sistema real de interesse através
de um modelo matemático implementado em computador. Para que esta representação seja
válida é necessário que todas as características do sistema a ser simulado sejam
amplamente conhecidas e muito bem avaliadas. É freqüentemente utilizada para avaliar um
novo sistema proposto, modificações que se pretenda introduzir em algum já existente, ou
ainda para se obter informações sobre algum sistema cujas medidas teóricas não puderam
ser obtidas analiticamente. Pode-se ainda utilizá-la com o objetivo de validar algum sistema
Figura 5.16. Gráfico mostrando a estabilização do tempo estimado de
espera conforme aumento do número de filas mantendo
µ
λ
m
E
/ fixo
(amostra do dia 4/12/04).
146
estudado ou comparar dois ou mais sistemas de forma a inferir qual deles terá melhor
desempenho. Atualmente observa-se um crescente uso da simulação em várias áreas das
engenharias, entre outras. Isto ocorre porque sua utilização é simples e pode fornecer
resultados quase imediatos.
Para que se tenham resultados representativos é necessário que se realizem
muitas rodadas de simulação, ou seja, repeti-la várias vezes, pois para cada rodada é obtido
apenas um valor da estatística. A diferença de resultados entre as rodadas é devido ao fato
de que em cada uma delas é utilizada uma semente aleatória distinta. Com essas repetições,
obtêm-se resultados consistentes para que se possa inferir sobre o sistema de interesse.
Também, se forem conhecidas algumas medidas de desempenho deste, pode-se compará-
las com os resultados obtidos pelo simulador, verificando se o sistema está representado
satisfatoriamente. Por outro lado, a quantidade de observações em cada rodada deve ser
suficiente para que o valor da estatística de interesse seja representativo.
Uma vez que a simulação represente bem o sistema de interesse, geralmente o
resultado que se busca é estimar adequadamente a média (e seu intervalo de confiança) ou
então alguma medida teórica
γ
desconhecida. Como se está analisando sistemas
estocásticos estacionários, onde os dados não são independentes, geralmente enfrenta-se,
entre outros, dois problemas que têm reflexos diretos na qualidade dos resultados obtidos
para posterior análise estatística.
O primeiro problema trata da redução da influência (ou vício) das condições
iniciais da simulação nas observações coletadas devido à presença de correlação entre as
observações de um processo estocástico. Se a simulação é iniciada com o sistema vazio e
ocioso, até que este adquira equilíbrio (estacionariedade) é decorrido um período, chamado
período transitório inicial. Por exemplo, em um experimento descrito (LAW, 1977),
depara-se com este problema quando se calcula a média dos tempos de espera em uma fila
M/M/1 com taxa de ocupação 0,9 e iniciada vazia. Após coletar 320 tempos de espera,
concluiu-se que a média com valor 6,01 ainda não estava suficientemente perto do seu
valor teórico de 8,1, de modo a considerar-se que esta fila pudesse ter entrado em
equilíbrio, se esta média pudesse ser tomada como um critério de decisão. Se quer-se obter
informações sobre o sistema estacionário, é necessário saber aproximadamente o instante a
147
partir do qual esta condição está satisfeita para, a partir daí, coletar as observações que
efetivamente serão analisadas estatisticamente.
Com o objetivo de localizar o instante a partir do qual o sistema estará
aproximadamente estacionário e, portanto, conseguir reduzir o vício devido as condições
iniciais à um nível desprezível, muitas regras de inicialização foram propostas
(PAWLIKOWSKI, 1990). Contudo, não se conseguiu uma regra única que detectasse
adequadamente este período para uma grande quantidade e variedade de sistemas
estocásticos, pois as regras têm diferentes critérios para tratar deste problema, mesmo que
se restrinjam a verificar estacionariedade de valores médios. Desta forma pode haver
necessidade de se pesquisar qual regra trará melhores resultados do sistema estocástico que
está sendo simulado.
O segundo problema diz respeito à obtenção de estatísticas apropriadas devido à
correlação existente entre as observações de um processo estocástico. A presença desta
correlação dificulta bastante que se obtenha um estimador da variância da média amostral
que faça uma boa aproximação desta e, conseqüentemente, que se calcule um intervalo de
confiança que cubra o parâmetro verdadeiro com o nível de confiança e precisão desejados.
Por outro lado, existem vários métodos de coleta de dados de simulação. Cada
método apresenta diferentes condições de aplicação, portanto, fornecendo diferentes
estatísticas para análise dos dados coletados. Também, por possuírem estruturas distintas,
apresentam problemas que se diferem (LAW e KELTON, 2000; PAWLIKOWSKI, 1990;
FREITAS, 2001). Contudo, a correlação entre as observações de um processo estocástico
se apresenta como um grande problema a ser considerado nos métodos que utilizam uma
única grande rodada de simulação. Há métodos que escapam deste problema, mas
enfrentam outros, como o método de replicações, que é visto mais adiante.
Descreve-se agora o método de coleta de dados
batch means. Suponha uma
longa rodada de simulação de tamanho
,
n
de um processo estocástico estacionário, dividida
em
,
k
batches (blocos) consecutivos e não sobrepostos de tamanho
,
m
, tal que
,,,
/ knm =
,
com
,
m inteiro. Neste método, é calculada a média de cada um dos batches,
totalizando
,
k médias, e usa-se como estimador para uma medida de interesse
γ
do
processo estacionário, a média geral dessas médias. Neste caso a definição do tamanho dos
148
batches,
,
m , é importante, pois se este for suficientemente grande, tem-se que as médias
dos
batches são assintóticamente não correlacionadas entre si. Além disso, se o tamanho de
,
m
for suficiente, essas médias são assintóticamente normalmente distribuídas e
assintóticamente independentes. Sendo assim, pode-se calcular um intervalo de confiança
para
γ
usando-se como seu estimador a média geral (LAW e KELTON, 2000). Contudo,
tomar um valor para
,
m maior que o necessário (para algum
,
n fixado), para satisfazer
as suposições de normalidade e independência, implica, por exemplo, em aumento no meio
comprimento esperado do intervalo de confiança para
γ
, havendo um acréscimo na
probabilidade de se cobrir pontos que são estatisticamente diferentes de
γ
, ou seja, um
teste estatístico rejeitaria a hipótese de igualdade. Se, porém,
,
m for menor que o
necessário, as médias dos
batches poderiam estar altamente correlacionadas, tornando-se a
maior fonte de erro deste método, devido ao vício induzido no estimador da variância da
média geral.
No método de
batch means, para que haja representatividade, devem ser
realizadas várias rodadas de simulação com sementes distintas onde, para todas as rodadas,
um mesmo tamanho de
batch é previamente determinado. Desta forma há perda de precisão
nos resultados, pois cada rodada têm resultados diferentes, obtendo, portanto, resultados de
correlações diferentes. Assim, haveria necessidade de tamanhos de
batches distintos e
adequados para dissipá-las.
Uma variante do método
batch means, chamado batch means espaçado, procura
diminuir o efeito da correlação entre as médias dos
batches inserindo espaços (observações
não utilizadas nas estatísticas) entre
batches consecutivos, obtendo assim estimadores
menos viciados que o método anterior e melhorando a cobertura do intervalo de confiança
para a média do processo analisado (FOX et al., 1991). Além disso, para este método é
possível determinar um estimador fortemente consistente para a variância do processo.
Contudo, existe a perda das observações referentes aos espaços inseridos entre os
batches.
Existem ainda outros métodos, como o
batch means sobreposto que, a cada
observação, da primeira até a
)1(
,,
+− mn
-ésima, um batch de tamanho
,
m
é coletado. A
idéia é oposta a do
batch means espaçado e as médias dos batches são extremamente
correlacionadas. Existem ainda outros métodos (PAWLIKOWSKI, 1990; LAW e
149
KELTON, 2000) como o método regenerativo, cujos
batches têm ciclos (comprimentos)
aleatórios determinados pelos instantes sucessivos de tempo em que o processo se regenera
(inicia novamente).
5.9.1 O método de replicações
No método de replicações (LAW e KELTON, 2000; FREITAS, 2001), a
simulação é repetida um número pré-fixado de vezes onde, para cada repetição, é usada
uma seqüência de números pseudo-aleatórios diferente. Conseqüentemente, essas
repetições, assim tomadas, são estatisticamente independentes. Para cada repetição é
calculada a média das observações que foram coletadas, fornecendo uma nova seqüência de
médias, ainda independente umas das outras.
O inconveniente deste método é que a cada
rodada deve ser determinado o período transitório inicial, cujo vício é sua maior fonte de
erro, podendo também haver, dependendo do sistema, considerável perda de informações.
Nos métodos que utilizam uma grande rodada de simulação, como no método
batch means,
o problema de vício de inicialização é considerado uma única vez a cada rodada, porém não
se pode utilizar da independência entre os
batches, como a obtida pelo método de
replicações.
Fazendo-se agora
,
k
replicações com m observações cada uma, haverá um total
de
,,,
kmn =
observações e uma seqüência de
,
k
variáveis aleatórias
X
i
(
,
m
), i=1,2,...,
,
k
(média da replicação
i)
, que são as médias das
,
k replicações, calculadas por
X
i
(
,
m ) =
∑
=
,
1
,
1
m
j
ji
X
m
, para i = 1,2,...,
,
k
onde
X
ij
é a j-ésima variável aleatória da seqüência de variáveis aleatórias na replicação i.
Pode-se visualizar a estrutura usual de uma particular replicação do seguinte modo:
150
Replicação Descarte Observações Utilizadas Média
i d
,
,...,,
21
mi
ii
xxx x
i
(
,
m )
onde observa-se a i-ésima replicação com d observações descartadas e sua média,
respectivamente. Usa-se, como estimador pontual para a média
γ
do processo estacionário,
a seguinte estatística (média geral)
X (
,
n ) =
1
1
k
X
i
i
k
=
∑
(
,
m ).
Sabendo-se que este estimador é não viciado para
γ
e que a seqüência de médias são
independentemente e identicamente distribuídas, pode-se obter um estimador não viciado
para a variância de
X
(
,
n ), dado por
σ
2
∧
(
X
(
,
n
)) =
∑
=
−
,
1
,
(
)1(
1
k
j
k
X
j
(
,
m
) -
X
(
,
n
) )
2
Sabendo-se que
X
(
,
n
) é uma soma de variáveis aleatórias independente e
identicamente distribuídas, pode-se considerar a estatística
T
1
,
−k
= (
X
(
,
n
) -
γ
) /
σ
∧
(
X
(
,
n
))
que tem uma distribuição t-Student padrão com
,
k
-1 graus de liberdade. Usando o
resultado obtido pode-se facilmente calcular um intervalo de confiança para
γ
. Supondo o
nível de significância
α
conhecido, este intervalo é dado por
X
(
,
n
) -
2/1,1
,
α
−−k
t
σ
∧
(
X
(
,
n
))
≤
≤
γ
X
(
,
n
) +
2/1,1
,
α
−−k
t
σ
∧
(
X
(
,
n
)) (5.13)
151
na qual
2/1,1
,
α
−−k
t é o valor da distribuição t-Student com
,
k -1 graus de liberdade. Quando
houver mais de 30 replicações pode-se substituir a t-Student pela Normal padrão obtendo
uma boa aproximação para o intervalo considerado. Fazendo-se uma análise detalhada do
período transitório inicial a ser considerado e não havendo a possibilidade de uma grande
perda de observações pode-se considerar o método de replicações uma boa alternativa ao
método de
batch means devido aos problemas mencionados anteriormente.
5.9.2 Sistemas terminais e não-terminais
Os sistemas a serem simulados dividem-se em terminais e não-terminais. Os
sistemas terminais apresentam condições iniciais fixas e alguma ocorrência que determina o
fim da simulação. Alguns exemplos desses sistemas podem ser verificados em bancos,
restaurantes, escolas, etc. Geralmente estes sistemas se apresentam vazios como condição
inicial e retornam a este estado quando no fim de seu funcionamento. Nos sistemas não-
terminais, em várias ocasiões, não se conhecesse as condições iniciais e nem há uma
ocorrência que determine o fim da simulação (ou o final de seu funcionamento). Alguns
exemplos são sistemas de segurança, comunicações, hospitais, entre outros. Pode-se
perceber que nem todos os sistemas são facilmente classificáveis, apresentando
características próprias pertencentes a sistemas terminais e não-terminais.
Nos sistemas terminais, uma prática comum é determinar o tamanho da amostra
(ou número de replicações) para um nível de confiança (ou de precisão) anteriormente
definido para a média de uma medida de desempenho avaliada. Desta forma, geralmente é
simulado todo o período de funcionamento do sistema terminal a ser estudado.
Nos sistemas não-terminais, as condições iniciais não são determinadas e,
geralmente, se deseja estudá-los em equilíbrio. Para tanto é necessário retirar da análise as
observações do período transitório inicial. Também, como não há uma ocorrência para o
final da simulação, deve-se determinar um período de forma a não alongá-lo
desnecessariamente. Pode-se observar então que para este tipo de sistema estes dois
problemas devem ser enfrentados.
152
5.9.3 Simulando o modelo com trocas
O modelo com trocas utilizado nas seções anteriores tem algumas características
bem específicas (no processo de chegadas e condições de troca) cujo modelo de simulação
deve representar com bastante fidelidade. Com esta finalidade, os resultados obtidos por
simulação são comparados aos obtidos pela aplicação do modelo analítico. Deve-se lembrar
que o próprio modelo com trocas faz algumas aproximações em relação ao que na realidade
ocorre no supermercado e, assim sendo, os resultados da simulação devem se aproximar
menos aos obtidos na amostra do que aos obtidos pelo modelo.
Uma situação que deve ser considerada com cuidado é referente às condições de
local e período de onde foram retirados os dados em relação a simulação a ser realizada.
Pela tabela 3.1 podem ser observados os horários de coleta; em alguns dias das 10h30 min.
às 12h30min. e em outros das 18h as 20h. Pode-se observar que se trata de uma parte de um
período de tempo inserido em um sistema terminal. Contudo, observa-se que não se
conhece as condições iniciais do sistema, o que é uma característica de sistemas não-
terminais, inclusive, não retornando ao estado inicial quando do final da coleta.
Law e Kelton (2000, p.518) sugerem duas aproximações heurísticas para este
caso: em uma delas deve-se coletar dados sobre o número de usuários presentes no local, no
mesmo período considerado, para vários dias e iniciar a simulação aleatoriamente, de
acordo com a proporção de clientes encontrados. Assim, para várias rodadas de simulação
existe relativa independência, pois diferentes condições de inicialização seriam obtidas (de
acordo com a proporção observada). A outra regra sugerida é que seja simulado o período
todo, desde a abertura do local até o fim do período de coleta, retirando-se depois o período
inicial, relativo ao início de todo o processo até o começo da coleta.
Para a segunda aproximação, onde ocorre a retirada das observações da
simulação no período citado, percebe-se que ocorre uma representação fiel do cenário que
seria encontrado no supermercado para os clientes que dele se utilizam no horário da coleta
de dados. Também, é mais complexa a aplicação da primeira aproximação apresentada,
pois haveriam vários dias de observação das condições iniciais, o que para este estudo não
foi realizado.
153
Uma próxima etapa a ser enfrentada diz respeito ao método de coleta de dados a
ser utilizado. Poderia ser pensado no método
batch means, contudo, duas horas pode ser um
período pequeno, e assim, poderia haver correlação entre os
batches, maior fonte de vício
deste método de coleta de dados. O método de replicações pode ser indicado desde que a
avaliação do período transitório inicial não aponte que este seja muito longo. Law e Kelton
(2000, p.213) afirmam que “um método estatístico para construir intervalos de confiança
para a média geral deve ser fácil e fornecer bons resultados estatísticos. Em consideração a
isto, o método de replicação é definitivamente superior”. Resultados de Law e Kelton
(1984) mostram que é melhor realizar replicações mais longas do que mais replicações,
pois assim obtém-se maior cobertura de
γ
nos intervalos de confiança gerados na
simulação. Contudo, no presente caso, o período de cada replicação é fixo pois deve
corresponder à situação real da coleta realizada no supermercado e, além disso, considerar
um número de replicações pequeno poderia aumentar a cobertura de
γ
nos intervalos de
confiança, mas com aumento na amplitude dos mesmos. Fishman (1996) sugere que, para
cada replicação, sejam utilizadas no mínimo cem observações, sem contar as descartadas,
referentes ao período transitório inicial. Pode-se considerar ainda que, com
,
k =30, os
intervalos de confiança já podem utilizar a distribuição normal, obtendo boa aproximação.
Considerando todos estes aspectos, pode-se realizar a simulação do modelo com trocas de
forma conveniente e obter resultados confiáveis.
A simulação foi realizada utilizando-se o
software ARENA, com ênfase em
buscar informações sobre o tempo médio gasto na fila com trocas, enfoque principal deste
trabalho. Deve-se observar que o simulador foi construído considerando-se que todas as
distribuições de tempo de serviço eram exponenciais, como o modelo com trocas considera,
contudo, como foi descrito anteriormente, em alguns caixas, para alguns dias da coleta, isto
não ocorreu. Desta forma, o simulador representa o modelo com trocas, mas com
aproximações em relação aos dados obtidos na coleta. Inicialmente deve-se verificar se não
existe um vício considerável referente ao período transitório inicial. Sabe-se que este vício
ocorre quando ainda há autocorrelação significativamente diferente de zero, influenciando
as observações coletadas após considerar o referido período como terminado. Desta forma,
analisar o decaimento das autocorrelações aumentando-se os
lags, para este período, é uma
maneira de verificação da condição necessária.
154
Para determinar aproximadamente quando termina o período, Freitas (2001,
p.235) sugere que se verifique em que
lag a autocorrelação se torna próxima de zero. Desta
maneira, a partir de então, pode-se pressupor que a influência será praticamente nula, ou
seja, supondo-se que a autocorrelação está próxima de zero no
lag j, a observação
i
x não
mais influencia significativamente a observação
ji
x
+
. Ainda, nos procedimentos práticos,
costuma-se multiplicar o número de observações referentes a este período por dez como
forma de, praticamente, garantir o término do período transitório inicial. Para este trabalho
as situações menos favoráveis ocorrem onde este período é de 2,5 horas, como nos dias 11
e 12/12. Nos outros dias restantes, utilizando-se deste critério, seus respectivos períodos são
todos menores que dos dias 11 e 12/12, de 2,5 horas.
Decidiu-se então realizar trinta replicações, para cada dia e tipo de caixa,
coletando inclusive seus respectivos períodos transitórios iniciais. Para exemplificar são
apresentados os gráficos (vide figuras 5.17 e 5.18) referentes as autocorrelações para os
caixas normais do dia 12/12 e para os caixas rápidos do dia 11/12, sendo que, nestes dias,
ocorreram as maiores proporções de servidores ocupados. As duas figuras revelam o
comportamento dos dois cenários descritos acima. Para o caixa normal, obteve-se que
0
*
20
≈
ρ
e então deveria-se descartar 200 observações; para o caixa rápido, obteve-se
09,0
*
32
=
ρ
e então deveria-se descartar 320 observações, o que poderia parecer muito,
contudo, deve-se ressaltar que os respectivos períodos transitórios iniciais contém mais
observações que o solicitados por esta regra. Desta forma, considera-se o vício desprezível
e o método de replicações pode ser assumido para a simulação. Deve-se ressaltar que, para
todas as replicações realizadas e em todos os cenários considerados, encontraram-se
resultados semelhantes aos obtidos aqui.
155
15010050
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
Autocorrelação
A
utocorrelação típica para caixa normal
15010050
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
Autocorrelação
Autocorrelação típica para caixa rápido
Observando-se as figuras, nota-se que o decaimento das autocorrelações para os
caixas normais é mais acentuada e de menor magnitude que para as autocorrelações para os
caixas rápidos. Isto, provavelmente, se deve ao fato de que, nos caixas rápidos, os tempos
de fila são mais coesos pelo fato da limitação do número de itens a ser processado. De
modo oposto, os caixas normais aceitam qualquer número de itens a ser processado,
obtendo menor coesão e, portanto, um decaimento mais rápido. Deve-se observar ainda que
isto ocorreu de forma geral para os dados analisados.
Em cada rodada de simulação realizada foram obtidas 30 replicações
independentes, cujo tempo de execução foi menor que um segundo. Utilizando-se a
expressão 5.13, foram calculados os limites dos intervalos de confiança com
05,0=
α
, e as
lag j
lag j
Figura 5.17. Autocorrelações em função dos lags para uma replicação
de caixa normal para o dia 12 de dezembro.
Figura 5.18. Autocorrelações em função dos lags para uma replicação
de caixa rápido para o dia 11 de dezembro.
156
médias dos tempos de espera na fila. Nas tabelas 5.26 e 5.27 podem ser vistos os resultados
obtidos pela simulação, pelo modelo com trocas e pela amostra coletada.
Tabela 5.26. Resultados da simulação, do modelo com trocas e das amostras
para o tempo médio gasto na fila nos caixas normais.
Resultados da Simulação
Dia de
coleta
µ
λ
m
E
/
Média L.I. L.S.
Resultado
Modelado
Resultado
Observado
03/12 0,841 2,09 1,75 2,43 1,78 1,80
04/12 0,878 3,07 2,73 3,41 3,2 3,36
05/12 0,859 2,21 1,87 2,55 2,19 1,85
10/12 0,812 1,70 1,36 2,04 1,46 1,32
11/12 0,883 3,67 3,33 4,01 3,44 3,63
12/12 0,893 2,56 2,22 2,90 3,21 2,92
Tabela 5.27. Resultados da simulação, do modelo com trocas e das amostras para
o tempo médio gasto na fila nos caixas rápidos.
Resultados da Simulação
Dia de
coleta
µ
λ
m
E
/
Média L.I. L.S.
Resultado
Modelado
Resultado
Observado
03/12 0,728 0,95 0,61 1,29 1,26 1,43
04/12 0,888 1,83 1,49 2,17 2,16 1,82
05/12 0,835 1,47 1,13 1,81 1,53 1,61
10/12 0,706 0,93 0,59 1,27 1,18 1,24
11/12 0,902 2,11 1,77 2,45 2,40 2,19
12/12 0,893 2,81 2,47 3,15 2,88 2,64
Pela tabela 5.26 pode-se observar que quase todos os intervalos de confiança
cobrem os resultados obtidos pelo modelo com trocas, com exceção do dia 12/12, onde o
resultado obtido por simulação apresentou uma razoável subestimação não capturando o
resultado obtido por modelagem. Todas as condições para esse dia foram verificadas e nada
que divergisse significativamente dos outros dias foi encontrado. Apesar deste fato, em
geral, os resultados da simulação podem ser considerados satisfatórios para os caixas
normais em relação aos resultados modelados.
157
Para os caixas rápidos, deve-se observar na tabela 5.27 que todos os resultados
simulados (médias) estão subestimando os resultados obtidos pelo modelo. Uma
possibilidade de explicação é que o período transitório inicial ainda possa estar
influenciando o período subseqüente, onde coletaram-se os dados referentes a tabela. Esta
idéia pode ser reforçada pela magnitude das autocorrelações para os caixas rápidos, como
pode ser notado na figura 5.18. Contudo, todos os intervalos de confiança obtidos por
simulação estão cobrindo os resultados obtidos pelo modelo com trocas, com
05,0=
α
de
confiança, fato esse muito importante para que se possam utilizar os resultados obtidos por
meio de simulação. Deve-se ressaltar ainda que o número de trocas observadas na
simulação foi bem maior que as observadas nas amostras coletadas no supermercado. Estas
eram de adjacências mais próximas à fila na qual originalmente o cliente se encontrava, o
que não ocorre na simulação. De modo geral, os resultados alcançados pela simulação
representam bem o modelo analítico com trocas, apesar das aproximações realizadas para
as distribuições de tempos de serviço e do período de simulação ter sido fixado de acordo
com a situação real.
158
6 - Conclusões
Os supermercados são empresas de auto-serviço e como tal têm se preocupado
em melhorar continuamente seus desempenhos em nível de serviço para conseguirem
fidelização de seus clientes. Para alcançar este objetivo é necessário que apresentem boa
qualidade nos produtos oferecidos e nos serviços prestados. O supermercado pesquisado
neste estudo possui dezesseis caixas, trabalha essencialmente com itens alimentares,
caracteriza-se pelo controle familiar e atua na cidade de São Carlos há mais de quarenta
anos. Desta forma, é uma empresa como grande parte das empresas brasileiras desse
segmento.
Um dos objetivos deste trabalho foi o de revelar a importância relativa da
rapidez de atendimento na opinião dos clientes que freqüentam o supermercado. Desta
forma, esta importância recai principalmente sobre o tempo de espera na fila e suas
conseqüências para os usuários. Outro objetivo deste trabalho foi o de analisar modelos
analíticos de filas que pudessem ser mais eficazes para estimar o tempo de espera na fila em
supermercados.
O gerenciamento de percepções em filas de espera em supermercados parece
algo difícil de ser aplicado, motivando a pesquisa em modelagem para melhor gerenciar os
tempos de espera. Contudo, como visto, aparentemente os clientes não são capazes de
relacionar corretamente o tamanho de uma fila com seu tempo de espera. Este fato é
interessante, pois esta relação (Lei de Little) existe, mas a dificuldade dos clientes em
enxergá-la pode ser devido a conseguir medir (estimar) corretamente o tempo para
atendimento, relativo ao número de pessoas que estão na fila.
Utilizando-se intervalos de confiança simultâneos foi possível observar que o
preço não é a principal característica pela qual os clientes freqüentam o supermercado. Esta
característica, na opinião dos clientes, ficou em quarto lugar de preferência, sendo que
qualidade e rapidez de atendimento foram estatisticamente as mais apontadas. Por meio de
análise de conglomerados hierárquicos de variáveis, pôde-se notar que qualidade e rapidez
de atendimento foram associadas com diferentes tipos de correlações e ligações e, desta
forma, compõem o que se poderia denominar de satisfação no atendimento, um possível
fator de fidelização de clientes.
159
Foram levantadas características como, número de itens nas compras, percepção
de diferença de preços em relação a outros estabelecimentos e a escolaridade dos clientes
entrevistados. Estas informações foram associadas às características de freqüência ao
supermercado. Como resultado das análises de correspondência simples e múltiplas, as
duas importantes características qualidade e rapidez revelaram-se associadas a
escolaridades mais altas que, possivelmente, realizam compras maiores e acreditam não
haver diferença significativa de preços. Otimizar estas características pode ser essencial
para conseguir a fidelização dos clientes que não optam por preço como principal motivo
de realizar ali suas compras.
Foram apresentados e empregados alguns sistemas de filas que poderiam ser
utilizados para aproximar o sistema de filas comumente encontrado em supermercados, tais
como os sitemas
mMM //
, M/M/m/mN,
m
MM ]1//[
,
m
NMM ]/1//[
e, ainda, os sistemas
mais genéricos
M/G/m e
[]
m
GM 1//
. O que se pode observar é que as filas paralelas e
independentes, em geral, superestimaram os tempos de espera na fila, enquanto as restantes
têm muita variabilidade em suas estimativas.
Um modelo analítico de filas com trocas foi empregado sendo que este foi capaz
de reduzir para cerca da metade a média dos desvios absolutos de seus principais
concorrentes, os modelos
mMM //
e M/M/m/mN. Também, demonstrou alguma robustez
em absorver os efeitos causados por
outliers, que foram mantidos na análise pois estes
ocorrem no sistema de filas do supermercado. Deve-se ressaltar que, quando retirados estes
pouco influenciaram nos resultados devido a estar-se analisando o tempo médio de espera
na fila, ou seja, valores médios com boa quantidade de pontos. Ainda, o modelo, devido a
permitir a realização de trocas de filas, se aproxima do comportamento de um sistema de
fila única (apesar de ter filas em paralelo), tornando então o sistema possivelmente mais
justo para o cliente que o utilize. Outro aspecto importante é em que situações os clientes
efetuam as trocas. Parece que estas ocorrem em função do número de clientes nas filas, não
importando a carga de trabalho (número de itens dos carrinhos à sua frente). Também, o
número ganho de posições na troca de fila (
k) parece estar relacionado ao fator de utilização
da fila e do tipo de caixa.
Algumas perspectivas de pesquisa futura podem ser consideradas. Uma questão
interessante é analisar o comportamento dos clientes no que se refere às trocas de filas
160
existentes no sistema. A diferença entre filas (
k) é importante, pois revela, de certa forma, a
impaciência dos clientes (isto é, quando
k=1, por exemplo). Pode-se pensar que quanto
maior o movimento no supermercado (isto é, quanto maior o valor de
ρ
), menor a
disposição de esperar do cliente. Desta forma, pode-se investigar se
k é uma função de
ρ
,
ou seja, se é plausível supor que
)(
ρ
k
, e/ou se é uma função dos parâmetros, ou seja,
),(
µ
λ
k . Também, uma outra questão interessante que pode ser estudada é analisar o
comportamento do tempo de espera na fila estimada pelo modelo, variando-se os valores
dos parâmetros dentro de uma faixa de utilização plausível para sistemas reais. Pode-se, por
exemplo, fazer uma superfície de resposta com as estimativas, e, em seguida, otimizá-la
para se obter menores esperas.
Uma extensão do modelo seria obtida considerando-se classes de usuários, por
exemplo, pelo número de itens comprados e em três categorias de carrinhos: leve,
moderado e pesado. O espaço de estados do modelo de filas com trocas cresceria muito e,
com isso, as dificuldades computacionais seriam bem maiores. Uma idéia seria considerar
que os tempos de atendimento para os diferentes tipos de carrinhos são iguais, reduzindo
novamente o espaço de estados. Contudo, ao se testar três filas de caixas normais do dia 5
de dezembro (pela ANOVA), em todas elas resultaram haver diferença de tempos de
serviço para distintos tipos de carrinhos. Este resultado é interessante, pois na amostra
coletada, por meio de entrevistas com os clientes, apenas 0,6% apontaram ter trocado de
fila por avaliar haver carrinhos mais vazios em outra fila. Este fato tem implicações para o
modelo com trocas: ele justifica a política adotada em trocas baseadas em número de
clientes, e não em número de itens, e, com isso, o modelo com trocas consegue representar
(ou capturar) o comportamento dos clientes. Este comportamento pode mudar se o cliente
puder ser avisado quanto à sua percepção (errada), por exemplo, no supermercado do futuro
(vide figura 2.2).
A aceleração (ou
speed-up) do servidor também pode ser considerada nos
modelos de filas. Para se verificar se isto ocorreu, pode-se testar se os tempos de serviço
dos usuários atendidos sem fila são iguais aos dos usuários atendidos com fila. Uma
questão a ser analisada é se o fato do valor de
ρ
ser alto pode provocar a aceleração do
serviço a ponto de haver significância estatística. Pode-se pensar em utilizar também o
modelo de filas com desistência na chegada dos clientes, contudo, nestes casos, geralmente,
161
existe grande dificuldade em estimar a taxa de chegadas (
λ
) em função do estado do
sistema na prática.
Uma outra estratégia que pode ser considerada para o modelo de filas com
trocas é a simulação discreta para problemas que apresentem espaços de estados muito
grandes. Modelos de simulação podem ser úteis para validar as aproximações dos modelos
analíticos para problemas maiores.
Utilizar modelos de filas que representem bem a situação encontrada em
supermercados parece ser o caminho para obter a melhor política de gerenciamento dos
tempos de espera na fila. Com este objetivo, as trocas de filas, comuns e já incorporadas ao
comportamento dos clientes, não deve ser desprezada nestes modelos.
162
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167
APÊNDICE A
QUESTIONÁRIO
Questões
Qual o tempo máximo aceitável de espera em uma fila de caixa? _________minutos
Você (Sr., Sra., ...) abandonaria suas compras se observasse quantos clientes nas filas?
____
Ordenar quais as características mais importantes pelas quais freqüenta este
supermercado:
( ) preço dos produtos
( ) localização do supermercado
( ) rapidez no atendimento dos caixas (tempo de fila, etc)
( ) qualidade de atendimento nos caixas (cortesia, etc)
( ) variedade de mercadorias no supermercado
( ) estacionamento
( ) outras; ______________________________________________
Escolaridade do entrevistado ___________________________________
Número de itens comprados: ____
Você (Sr, Sra,...) acredita que para uma compra exista diferença significativa de preços
entre supermercados distintos? ______________________
Para os clientes que realizaram jockeying:
Qual o motivo pelo qual houve a troca de fila:
( ) menor número de clientes na outra fila
( ) carrinhos mais vazios (menos carregados) na outra fila
( ) os dois motivos anteriores
( ) considerou que o outro caixa estava mais rápido
( ) predileção pelo outro caixa
( ) outros motivos ___________________________________________________
168
N. Carga Chegada
na fila
Entrada
em
serviço
Sai do
serviço
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
N. Carga Chegada
na fila
Entrada
em
serviço
Sai do
serviço
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
APÊNDICE B
PLANILHA
Filas: ____ e ____ Dia: _________ (_________ Horas) N.:_____________________
Tempos: Horas (H): Minutos (M): Segundos (S) (H/M/S)
Carga: Leve (L); Moderada (M); Pesada (P) Desistência: D → (H/M/S)
Jockeying na fila i: Fila (i-n) ←(H/M/S)← Fila (i) →(H/M/S)→ Fila (i+n) p/n=1,2,...
169
APÊNDICE C
TERMO DE COMPROMISSO
Eu ___________________________________, RG _____________, estarei realizando prestação
de serviços à José Gilberto Spasiani Rinaldi, aluno do Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Produção, nível Doutorado, da Universidade Federal de São Carlos, referente a
coleta de dados em uma Rede de Supermercados na cidade de São Carlos nos dias 03, 04,
05/12/2004 e 10, 11, 12/12/2004.
Torna-se declarado no presente Termo de Compromisso que estou ciente:
1- de que o Processo de Coleta de Dados se pauta em padrões ético-profissionais (sigilo quanto
as informações obtidas por meio dos instrumentos de coleta: planilhas);
2- de que todo material utilizado para coleta dos dados (planilhas originais manuscritas e
digitadas, respectivamente junto com o disquete) será entregue ao responsável José Gilberto
Spasiani Rinaldi;
3- de que estarei no Supermercado por um período de tempo necessário para desenvolvimento
da coleta;
4- de que em hipótese alguma serão veiculadas informações obtidas pela coleta de dados em
qualquer ambiente ou meio de comunicação;
São Carlos, 2 de dezembro de 2004
____________________________
(prestador de serviço)
RG:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
RECIBO
Eu ___________________________________, RG ________________, recebi de José Gilberto
Spasiani Rinaldi a quantia de R$ _________________, referente à coleta de dados nos dias 03, 04,
05/12/2004 e 10, 11, 12/12/2004 totalizando __h de serviços prestados e para clareza firmo o
presente.
São Carlos, 14 de dezembro de 2004.
___________________________
(prestador de serviço)
RG:
170
APÊNDICE D
DEFINIÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES
Definição de autovalor:
Seja A uma matriz quadrada kxk e I a matriz identidade kxk. Então, os
escalares
k
λ
λ
λ
,...,,
21
satisfazendo a equação polinomial IA
λ
− =0 são denominados
autovalores da matriz
A
.
Definição de autovetor:
Seja
A
uma matriz quadrada kxk e
i
λ
um autovalor de
A
. Se
1kx
x é um
vetor tal que
kx1
0x ≠
1kx
(não é um vetor com elementos iguais a zero), e também
xAx
λ
=
então
1kx
x é dito ser um autovetor da matriz A associado ao autovetor
i
λ
.
171
APÊNDICE E
Exemplo com todas as respectivas equações do sistema de fila com trocas, sendo N=3, k=1,
m=4,
E
λ
=2,0803 e
µ
=0,6228.
estado 0000:
(0.52 + 0.52 + 0.52 + 0.52) p[0000] = 0.62 p[1000] + 0.62 p[0100] + 0.62 p[0010] + 0.62 p [0001]
estado 0001:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 0.62)p[0001] = 0.52 p[0000] + 0.62 p[1001] + 0.62 p[0101] + 0.62p [0011]
estado 0010:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 0.62) p[0010] = 0.52 p[0000] + 0.62 p[1010] + 0.62 p[0110] + 0.62 p[0011]
estado 0011:
(1.04 + 1.04 + 0.62 + 0.62) p[0011] = 0.69 p[0001] + 0.69 p[0010] + 0.62 p[1011] + 0.62 p [0111]
estado 0100:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 0.62) p[0100] = 0.52 p[0000] + 0.62 p[1100] + 0.62 p[0110] + 0.62 p[0101]
estado 0101:
(1.04 + 1.04 + 0.62 + 0.62) p[0101] = 0.69 p[0001] + 0.69 p[0100] + 0.62 p[1101] + 0.62 p[0111]
estado 0110:
(1.04 + 1.04 + 0.62 + 0.62) p[0110] = 0.69 p[0010] + 0.69 p[0100] + 0.62 p[1110] + 0.62 p[0111]
estado 0111:
(2.08 + 0.62 + 0.62 + 0.62) p[0111] = 1.04 p[0011] + 1.04 p[0101] + 1.04 p[0110] + 0.62 p[1111]
estado 1000:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 0.62) p[1000] = 0.52 p[0000] + 0.62 p[1100] + 0.62 p[1010] + 0.62 p[1001]
estado 1001:
(1.04 + 1.04 + 0.62 + 0.62) p[1001] = 0.69 p[0001] + 0.69 p[1000] + 0.62 p[1101] + 0.62 p[1011]
172
estado 1010:
(1.04 + 1.04 + 0.62 + 0.62) p[1010] = 0.69 p[0010] + 0.69 p[1000] + 0.62 p[1110] + 0.62 p[1011]
estado 1011:
(2.08 + 0.62 + 0.62 + 0.62) p[1011] = 1.04 p[0011] + 1.04 p[1001] + 1.04 p[1010] + 0.62 p[1111]
estado 1100:
(1.04 + 1.04 + 0.62 + 0.62) p[1100] = 0.69 p[0100] + 0.69 p[1000] + 0.62 p[1110] + 0.62 p[1101]
estado 1101:
(2.08 + 0.62 + 0.62 + 0.62) p[1101] = 1.04 p[0101] + 1.04 p[1001] + 1.04 p[1100] + 0.62 p[1111]
estado 1110:
(2.08 + 0.62 + 0.62 + 0.62) p[1110] = 1.04 p[0110] + 1.04 p[1010] + 1.04 p[1100] + 0.62 p[1111]
estado 1111:
(0.52 + 0.52 + 0.52 + 0.52 + 0.62 + 0.62 + 0.62 + 0.62) p[1111] = 2.08 p[0111] + 2.08 p[1011] +
2.08 p[1101] + 2.08 p[1110] + 2.49 p[2111] + 2.49 p[1211] + 2.49 p[1121] + 2.49 p[1112]
estado 1112:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 2.49) p[1112] = 0.52 p[1111] + 1.25 p[2112] + 1.25 p[1212] + 1.25 p[1122]
estado 1121:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 2.49) p[1121] = 0.52 p[1111] + 1.25 p[2121] + 1.25 p[1221] + 1.25 p[1122]
estado 1122:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[1122] = 0.69 p[1112] + 0.69 p[1121] + 0.83 p[2122] + 0.83 p[1222]
estado 1211:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 2.49) p[1211] = 0.52 p[1111] + 1.25 p[2211] + 1.25 p[1221] + 1.25 p[1212]
estado 1212:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[1212] = 0.69 p[1112] + 0.69 p[1211] + 0.83 p[2212] + 0.83 p[1222]
173
estado 1221:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[1221] = 0.69 p[1121] + 0.69 p[1211] + 0.83 p[2221] + 0.83 p[1222]
estado 1222:
(2.08 + 0.83 + 0.83 + 0.83) p[1222] = 1.04 p[1122] + 1.04 p[1212] + 1.04 p[1221] + 0.62 p[2222]
estado 2111:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 2.49) p[2111] = 0.52 p[1111] + 1.25 p[2211] + 1.25 p[2121] + 1.25 p[2112]
estado 2112:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[2112] = 0.69 p[1112] + 0.69 p[2111] + 0.83 p[2212] + 0.83 p[2122]
estado 2121:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[2121] = 0.69 p[1121] + 0.69 p[2111] + 0.83 p[2221] + 0.83 p[2122]
estado 2122:
(2.08 + 0.83 + 0.83 + 0.83) p[2122] = 1.04 p[1122] + 1.04 p[2112] + 1.04 p[2121] + 0.62 p[2222]
estado 2211:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[2211] = 0.69 p[1211] + 0.69 p[2111] + 0.83 p[2221] + 0.83 p[2212]
estado 2212:
(2.08 + 0.83 + 0.83 + 0.83) p[2212] = 1.04 p[1212] + 1.04 p[2112] + 1.04 p[2211] + 0.62 p[2222]
estado 2221:
(2.08 + 0.83 + 0.83 + 0.83) p[2221] = 1.04 p[1221] + 1.04 p[2121] + 1.04 p[2211] + 0.62 p[2222]
estado 2222:
(0.52 + 0.52 + 0.52 + 0.52 + 0.62 + 0.62 + 0.62 + 0.62) p[2222] = 2.08 p[1222] + 2.08 p[2122] +
2.08 p[2212] + 2.08 p[2221] + 2.49 p[3222] + 2.49 p[2322] + 2.49 p[2232] + 2.49 p[2223]
estado 2223:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 2.49) p[2223] = 0.52 p[2222] + 1.25 p[3223] + 1.25 p[2323] + 1.25 p[2233]
174
estado 2232:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 2.49) p[2232] = 0.52 p[2222] + 1.25 p[3232] + 1.25 p[2332] + 1.25 p[2233]
estado 2233:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[2233] = 0.69 p[2223] + 0.69 p[2232] + 0.83 p[3233] + 0.83 p[2333]
estado 2322:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 2.49) p[2322] = 0.52 p[2222] + 1.25 p[3322] + 1.25 p[2332] + 1.25 p[2323]
estado 2323:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[2323] = 0.69 p[2223] + 0.69 p[2322] + 0.83 p[3323] + 0.83 p[2333]
estado 2332:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[2332] = 0.69 p[2232] + 0.69 p[2322] + 0.83 p[3332] + 0.83 p[2333]
estado 2333:
(2.08 + 0.83 + 0.83 + 0.83) p[2333] = 1.04 p[2233] + 1.04 p[2323] + 1.04 p[2332] + 0.62 p[3333]
estado 3222:
(0.69 + 0.69 + 0.69 + 2.49) p[3222] = 0.52 p[2222] + 1.25 p[3322] + 1.25 p[3232] + 1.25 p[3223]
estado 3223:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[3223] = 0.69 p[2223] + 0.69 p[3222] + 0.83 p[3323] + 0.83 p[3233]
estado 3232:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[3232] = 0.69 p[2232] + 0.69 p[3222] + 0.83 p[3332] + 0.83 p[3233]
estado 3233:
(2.08 + 0.83 + 0.83 + 0.83) p[3233] = 1.04 p[2233] + 1.04 p[3223] + 1.04 p[3232] + 0.62 p[3333]
estado 3322:
(1.04 + 1.04 + 1.25 + 1.25) p[3322] = 0.69 p[2322] + 0.69 p[3222] + 0.83 p[3332] + 0.83 p[3323]
175
estado 3323:
(2.08 + 0.83 + 0.83 + 0.83) p[3323] = 1.04 p[2323] + 1.04 p[3223] + 1.04 p[3322] + 0.62 p[3333]
estado 3332:
(2.08 + 0.83 + 0.83 + 0.83) p[3332] = 1.04 p[2332] + 1.04 p[3232] + 1.04 p[3322] + 0.62 p[3333]
estado 3333:
(0.62 + 0.62 + 0.62 + 0.62) p[3333] = 2.08 p[2333] + 2.08 p[3233] + 2.08 p[3323] + 2.08 p[3332]
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