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ESDRAS ADRIANO BARBOSA DOS SANTOS
ESTUDO DE RESULTADOS DO ESPECTRO
MULTIFRACTAL DA RETINA HUMANA, COMO MEDIDA DE
CLASSIFICAÇÃO: UMA APLICAÇÃO DE ANÁLISE DE
AGRUPAMENTO
RECIFE-PE - FEV/2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM BIOMETRIA E ESTATÍSTICA APLICADA
ESTUDO DE RESULTADOS DO ESPECTRO
MULTIFRACTAL DA RETINA HUMANA, COMO MEDIDA DE
CLASSIFICAÇÃO: UMA APLICAÇÃO DE ANÁLISE DE
AGRUPAMENTO
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Biometria e Estatística
Aplicada como exigência parcial à obtenção
do título de Mestre.
Área de Concentração: Desenvolvimento
de Métodos Estatísticos e Computacionais
Orientadora: Profa. Dra. Tatijana Stoši
´
c
Co-orientadores: Prof. Dr. Borko D. Stoši
´
c
Profa. Dra. Laélia P. B. Campos dos Santos
RECIFE-PE - FEV/2008.
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iii
À minha esposa Laélia e
ao meu filho Samuel, com
muito amor.
iv
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a DEUS, por ter me concedido a graça de nascer do amor
dos meus pais e ao longo de minha vida ter permitido chegar até aqui.
Aos meus pais Jairo Santos e Berenice Santos pelo amor, carinho e dedicação na
formação de meu caráter, deixando em meu coração mais que sim ples ensinamentos,
como também o amor a DEUS e seus preceitos, esses sempre estarão em meu coração.
Aos meus irmãos Isaías Magno pela sua sinceridade, Douglas Rafael pelo seu forte
caráter e Débora Caroline pela sua maneira silenciosa de me mostrar os seus sentimentos,
obrigado manos.
À minha esposa Laélia Campos e ao meu filho Samuel que são a razão da minha
persistência e luta.
À minha Orientadora Tatijana Stoši
´
c pela sua paciência e motivação no decorrer da
montagem deste trabalho.
Ao coordenador Prof. Eufrázio de Souza Santos pelo seu empenho em dar aos alunos
da Pós-Graduação em Biometria e Estatística Aplicada as melhores condições de aprendi-
zado e experiência na pesquisa.
Ao Prof. Gauss Mo utinh o Cordeiro pela maneira magistral de evocar de cada um dos
seus alunos o melhor, e paralelamente ao dese nvolvimento intelectual dos mesmos.
À Profa. Cláudia Regina não apenas pela sua orientação du rante a graduação, mas
principalmente por ter me inspirado a seguir sempre em frente, muito obrigado por tudo.
Ao Prof. Borko Stoši
´
c pela transmissão dos seus conhecimentos e principalmente pelo
seu bombardeio de idéias quase que constantes.
Ao S ecretário Marco Antônio dos Santos pela sua confiança e amizade durante todo o
decorrer destes dois anos.
Ao meu amigo Lucas Gallindo p or seu desprendimento no apoio durante todo o decor-
rer da nossa vida acadêmica.
Ao meu amigo Luiz Henrique por sua iniciativa de ajudar a qualquer um no que lhe é
possível fazer e pelo seu ponto de vista sempre crítico.
Ao meu amigo Luciano Sousa pela amizade incondicional, companheirismo e luta, lado
a lado em muitos momentos de nossas vidas, muito obrigado Amigo.
Ao meu amigo Moacy Cabral pela sua obstinação contagiante em sempre estar apren-
dendo novas teorias.
À amiga Rosângela do Nascimento pelos seus conselhos e experiência passados du-
rante nossa convivência.
Ao meu amigo Cândido Dantas que me e nsinou mais do que simples conhecimentos
filosóficos, mostrando-me humanidade.
Aos amigos e companheiros de estudo durante minha graduação em Estatística, vocês
marcaram minha vida de uma forma que nunca vão ser esq uecido s.
Aos amigos e companheiros de estudo do curso de mestrado em Biometria, pelos
momentos de estudo e descontração que passamos juntos.
Aos professores e funcionários do Departamento de E statística e Informática pela con-
vivência agradável durante esses dois anos.
Ao Rev. Núzio Daniel pelas palavras de sabedoria ministradas ao meu coração.
A CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro e ao Programa de Pós-Graduação em
Biometria e Estatística Aplicada pelo suporte logístico e intelectual.
A todos que de alguma forma deixaram em meu coração um pouco de si, cada um de
vocês faz agora parte de minha vida, muito obrigado.
vi
Resumo
A análise de imagens é freqüentemente praticada por oftalmologistas para diagnóstico de
doenças. A insp eção da vascularização da retina pode revelar inícios de doenças como
a retinopatia diabética. Desta forma, existem vários esforços para o desenvolvimento de
métodos mais eficazes no diagnóstico destas doenças. A identificação de anormalidades
requer uma trabalhosa inspeção de uma grande quantidade das imagens por especialistas.
Assim sendo, há necessidade de desenvolvimento de softwares para o auxílio dos oftalmo-
logistas na busca de uma diagnose mais rápida e mais precisa. O uso da dimensão fractal
na busca de diferenciação entre retinas com e sem patologias é mais um dos ramos de
pesquisa realizados nesta área. Recentemente, foi mostrado que a retina humana não é
um fractal simples, mas um multifractal, caracterizado pelo espectro multifractal não trivial.
Neste trabalho, foram aplicado s métodos de agrupamento nos resultados da análise multi-
fractal para verificar a sensibilidade desta análise na diferenciação entre casos patológicos
e casos normais da retina humana. As variáveis usadas são os elementos de espectro
multifractal f(
α
) e dimensões generalizadas D(q), das quais foram escolhidos três conjun-
tos distintos. Os métodos de agrupamento usados para análise foram o método de Ward,
K-médias, PAM e Fuzzy c-means. Como medida para a validação dos grupos obtidos, foi
usada a correlação cofenética para o método de Ward e gráficos de silhueta e silhueta mé-
dia para os métodos K-médias, PAM e Fuzzy c-means. Os resultados mostraram que, para
imagens esqueletonizadas, 70-80% das retinas patológicas (dependendo do método e do
conjunto de variáveis usadas) foram agrupadas corretamente, enquanto que para as ima-
gens segmentadas originais, o agrupamento não apresentou resultados tão satisfatórios.
Este fato indica que a largura dos vasos apresenta menor influência para as conclusões da
análise atual, em comparação com o comprimento dos vasos e suas ramificações. Diante
disso, é possível concluir que a análise multifractal, aliada ao pré-processamento ade-
quado das imagens e a escolha adequada das variáveis, pode ser utilizada para detecção
de casos patológicos o u para o pré-diagnóstico.
Palavras-chave: Análise de Agrupamento, Multifractal, Retina, Vascularização.
vii
Abstract
Image analysis is frequently used by ophthalmologists as part of the diagnostic procedure.
Inspection of the vascular structure of the retina may reveal early stages of pathologies
such as diabetic retinopathy, and there have been various efforts to develop more efficient
methods for diagnosing such diseases. Currently, identification of abnormalities requires a
laborious inspection of a large number of images from the part of specialists, and there is
a necessity of automating this process to provide auxiliary diagnostic tools of high speed
and precision. One of the lines of research conducted in the direction of differentiating
between healthy and pathological retinal images uses the concept of fractal dimension.
Recently it was shown that the vascular structure of the human retina is not a simple fractal,
but rather a multifractal, characterized by a non trivial multifractal spectrum. In this work,
multivariate clustering methods are ap plied to the results of the multifractal analysis, in
order to establish the sensitivity of this analysis, and its ability to differentiate between the
normal and pathological cases of the human retina. The variables used for this purpose
are the elements of the multifractal spectrum f(
α
) and the generalized dimension D(q),
from which three distinct sets of variables were chosen. The clustering methods used for
this study are the Ward method, K-means, PAM and Fuzzy C-means. As a measure of
validation of the obtained groups the cophenetic correlation was used for the Ward method,
and the silhouette graphs for K-means, PAM and Fuzzy C-means. The results show that
for the skeletonized images 70-80% of the pathological images were correctly classified
(depending on the method and the variables used), while for the original segmented images
clustering produces worse results. This fact indicates that the width of the vessels exerts
less influence on the conclusions of the current analysis in comparison with the length
distribution and the ramification structure. Thus, we may conclude that the multifractal
analysis, with adequate pre-processing of the images and choice of variables, can be used
for detection o f pa thological cases, as part of the pre-diagnostic procedure.
Keywords: Clustering Methods, Multifractal, Retina, Vascular Structure.
Lista de Figuras
2.1 Exemplos de fractais: (A) fractal estocástico. (B) fractal determinístico Sier-
pinski Gasket. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Exemplo de um DLA - Diffusion Limited Aggregation em 3 dimensões . . . . 19
2.3 Exemplo de um gráfico de silhueta encontrado no modo de ajuda do software
(R Develop ment Core Team, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Exemplo de imagens do banco STARE: (A) Imagem original e uma retina
patológica; (B) Imagem original de uma retina sadia; (C) Imagem patológica
segmentada pelo observador AH; (D) Imagem sadia segmentada pelo ob-
servador AH; (E) Imagem patológica segmentada pelo observador VK; (D)
Imagem sadia segmentada pelo observador VK. . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Dendrogramas expondo a hierarquia dos agrupamentos formados após a
aplicação do método de Ward às imagens e sque letonizadas, para cada um
dos bancos e observadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Dendrogramas expondo a hierarquia dos agrupamentos formados após a
aplicação do método de Ward às imagens segmentadas, para cada um dos
bancos e observadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Gráficos de silhuetas das imagens esque letonizadas, observador AH, dos
grupos formados pelo algoritmo K-médias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Gráficos d e silhuetas das imagens esqueletonizadas, observador VK, dos
grupos formados pelo algoritmo K-médias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 Gráficos de silhuetas das imagens segmentadas manualmente, observador
AH, dos grupos formados pelo alg oritmo K-médias. . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 Gráficos de silhuetas das imagens segmentadas manualmente, observador
VK, dos grupos formados pelo algoritmo K-médias. . . . . . . . . . . . . . . 56
Lista de Tabelas
2.1 Proposta de Interpretação para o valor da silhueta média (
s(k)) (KAUFMAN;
ROUSSEEUW, 1990, p. 88) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Banco 1: valores de
α
e f(
α
) para q = (−3,0,3) para as imagens esquele-
tonizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Banco 1: valores de
α
e f(
α
) para q = (−3,0,3) para as imagens segmen-
tadas manualmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Banco 2: valores de
α
e f(
α
) para q = (−2,0,2) para as imagens esquele-
tonizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Banco 2: valores de
α
e f(
α
) para q = (−2,0,2) para as imagens segmen-
tadas manualmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Banco 3: valores de D
0
, D
1
e D
2
para as imagens esqueletonizadas e seg-
mentadas manualmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Correlações cofenéticas para os agrupamentos formados pelo método hie-
rárquico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Grupos formados pelo algoritmo K-médias referentes ao Banco 1 . . . . . . 50
4.3 Grupos formados pelo algoritmo K-médias referentes ao Banco 2 . . . . . . 51
4.4 Grupos formados pelo algoritmo K-médias referentes ao Banco 3 . . . . . . 51
4.5 Silhueta média dos agrupamentos formados pelo método K-médias, para
todos os Ban cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Grupos formados pelo algoritmo PAM referentes ao Banco 1 . . . . . . . . . 57
4.7 Grupos formados pelo algoritmo PAM referentes ao Banco 2 . . . . . . . . . 58
4.8 Grupos formados pelo algoritmo PAM referentes ao Banco 3 . . . . . . . . . 58
4.9 Grupos formados pelo algoritmo FUZZY referentes ao Banco 1 . . . . . . . 59
4.10 Grup os formados pelo algoritmo FUZZY referentes ao Ba nco 2 . . . . . . . 59
4.11 Grup os formados pelo algoritmo FUZZY referentes ao Ba nco 3 . . . . . . . 60
4.12 Probabilidade de pertinência para o Banco 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.13 Probabilidade de pertinência para o Banco 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.14 Probabilidade de pertinência para o Banco 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.15 Silhueta média dos agrupamentos formados pelo método PAM para todos
os Bancos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.16 Silhueta média dos agrupamentos formados pelo método Fuzzy para todos
os Bancos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.17 Imagens esqueletonizadas alocadas em grupo oposto ao tipo ao qual fazem
parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.18 Imagens segmentadas manualmente alocadas em grupo oposto ao tipo ao
qual fazem par te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Sumário
1 Introdução 13
2 Revisão de Literatura 15
2.1 O Olho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 A Retina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Fractais & Multifractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Multifractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Análise Multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Análise de Agrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Medidas de Similaridade e Dissimilaridade . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Algoritmos de Agrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Algoritmos Hierárquicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Algoritmos Não Hierárquicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.3 Apresentação G ráfica e Verificação da Qualidade do Agrupamento . 34
3 Materiais e Métodos 38
3.1 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Projeto STARE (STructured Analysis of the Retina Project) . . . . . . 38
3.1.2 Bancos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Métodos Estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Análise de Agrupamento Aplicada ao Banco de Dados . . . . . . . . 44
3.2.2 Apresentação G ráfica e Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Resultados e Discussão 46
4.1 Métodos Hierárquicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Métodos Não Hierárquicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.1 K-médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.2 PAM e Fuzzy c-means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Conclusões 64
Referências Bibliográficas 66
13
1 Introdução
A imagem da retina representa uma estrutura complexa composta de vários elementos
como vasos sangüíneos, fóvea e nervo óptico. Os vasos sang üíne os se apresentam na
imagem como uma rede ramificada que cresce de um ponto (nervo óptico) e segue por
toda a retina. As alterações vasculares da retina são associadas a do en ças como diabetes,
hipertensão arterial, arteriosclerose, etc., que podem comprometer a visão do paciente e
em casos graves levar a cegueira. A lgumas destas doenças como retinopatia diabética
não causam sintomas iniciais. Quando os pacientes apresentam uma baixa na visão é
sinal que a doença já está avançada com danos irreversíveis aos vasos sangüíneos. Isso
torna import ante a detecção precoce de alterações vasculares na retina, que pode ser feita
examinando o fundo de olho por meio de fundus câmera ou angiografia.
Os avanços dos sistemas computacionais facilitam o desenvolvimento e implementa-
ção de métodos (baseados em uso de modelos matemáticos, físicos e estatísticos) que aju-
dam a analisar as imagens médicas, com o objetivo de aumentar a qualidade do processo
diagnóstico e tratamento de doenças. Para aplicar os métodos analíticos e numéricos de
análise sobre os vasos sangüíneos da retina, a estrutura dos vasos deve ser extraída da
imagem (segmentada manualmente utilizando ferramentas gráficas, ou automaticamente
usando processamento digital de imagens). Após segmentação, a imagem do sistema de
vasos pode ser tratada como um objeto geométrico em busca de propriedades relevantes
para identificação de casos patológicos.
Durante a década passada foram feitas várias tentativas da utilização da dimensão
fractal como quantificador das propriedades geométricas do sistema dos vasos sangüí-
neos da retina humana. Os resultados ainda não são co nclusivos principalmente porque
não existe um método eficiente de segmentação automática dos vasos, a partir de imagens
obtidas pelo fundus câmera ou angiografia (MASTERS, 2004). Nessa linha de pesquisa,
tem-se recentemente a publicação de um trabalho realizado por Stosic e Stosic (2006), no
qual foi aplicada a análise multifractal aos vasos da retina para casos patológicos e não
patológicos, com o objetivo de estabelecer se estes objetos representam fractais regulares,
1 Introdução 14
ou d evem ser tratados como multifractais. Os resultados de Stosic e Stosic (2006) mostra-
ram o comportamento multifractal em ambos os casos. As diferenças entre as dimensões
fractais generalizadas apresentadas por Stosic e Stosic (2006), bem como a forma das
curvas do espectro multifractal, indicam possibilidade de uso dessa análise na detecção
de casos patológicos.
Nesse contexto, o objetivo dessa dissertação foi aplicar a análise de agrupamento so-
bre os resultados da análise multifractal encontrada, com o intuito de verificar a viabilidade
do uso desta análise para diferenciar casos patológicos de casos normais.
No Capitulo 2 do presente trabalho encontra-se a revisão de literatura sobre fractais
e multifractais, bem como análise multifractal cujos resultados de Stosic e Stosic (20 06)
foram usados como variáveis para aplicação dos métodos de agrupamento. Também é
apresentada uma breve revisão referente aos métodos de agrupamentos da análise multi-
variada que serão usados neste estudo. No Capitulo 3 são descritos os materiais e méto-
dos referentes aos banco s de dados usados, bem como a aplicação dos métodos de Ward,
K-médias, PAM e Fuzzy c-means ao referido banco. No Capítulo 4 encontram-se os resul-
tados enco ntrados após aplicação dos métodos e a discussão dos mesmos. O trabalho é
finalizado no Capitulo 5 com a apresentação das conclusões e perspectivas futuras.
15
2 Revisão de Literatur a
2.1 O Olho
O olho é um órgão que permite detectar a luz e transformar essa percepção em
impulsos elétricos. O globo ocular tem este nome por ter a forma de um globo, que por sua
vez fica acondicionad o dentro de uma cavidade óssea chamada órbita, e protegido pelas
pálpebras. O globo ocular possui em seu exterior seis músculos que são responsáveis
pelos movimentos oculares, e também três camadas concê ntricas aderidas entre si com
a função de visão, nutrição e proteção. A camada externa é constituída pela córn ea e
esclera, servindo para proteção. A camada média é dividida em duas partes: a anterior
contendo a íris e o corpo ciliar e a posterior contendo a coróide. A camada interna é
constituída pela retina que é a par te nervosa, sendo composta de célula s nervosas que
leva a imagem através do nervo óptico para que o cérebro a interprete (GUYTON, 1993).
2.1.1 A Retina
A retina é a parte do olho sensível a luz, sendo composta de células nervosas fo-
torreceptoras: os cones, responsáveis pela visão colorida e os bastonetes, responsáveis
pela visão no escuro. Quando os cones e os bastonetes são excitados, os sinais são trans-
mitidos ao longo dos neurônios, na própria retina, e finalmente chegam às fibras do nervo
óptico e córtex cerebral. As camadas da retina estão dispostas da seguinte forma: ca-
mada pigmentada, camada de cones e bastonetes, membrana limitante externa, camada
nuclear externa, contendo o s corpos celulares dos cones e bastonetes, camada plexiforme
externa, camada nuclear interna, camada plexiforme interna, camada ganglionar, camada
de fibras do nervo óptico e finalmente a membrana limitante interna. Após a lu z atravessar
o sistema de lentes do o lho, a mesma penetra na retina por sua superfície interna atraves-
sando as células ganglionares e a s camadas de cones e bastonetes localizados em toda
2.2 Fractais & Multifractais 16
superfície externa da retina. O suprimento sangüíneo que nutre as camadas internas da
retina é derivado da artéria retiniana central, que penetra no globo ocular juntamente com
o nervo óptico, e depois divide-se para irrigar toda a superfície interna da retina. Assim,
em um grau bastante alto, a retina possui seu próprio suprimento sangü íneo , independente
das outras estruturas do olho. Entretanto, a superfície externa da retina é aderente à co-
róide, que é um tecido muito vascularizado entre a retina e a esclerótica. As camadas
externas da retina, incluindo os segmentos externos dos bastonetes e cones, depend em
em grande parte da difusão, a partir dos vasos coróides, para nutrição e principalmente
para o oxigênio (GUYTON, 1993).
2.2 Fractais & Multifractais
2.2.1 Fractais
O conceito de geometria fractal foi introduzido por Benoit Mandelbrot (MANDELBROT,
1982) para descrever o s sistemas naturais formados pelos processos estocásticos que
são longe do equilíbrio. Como exemplos desses sistemas podem-se citar as árvores ra-
mificadas, linhas costeiras, nuvens, polímeros, estruturas cardiopulmonares (rede arterial,
árvore traqueobronquial), etc. (MANDELBROT, 1982; VICSEK, 1993; FEDER, 1988; BAS-
SINGTHWAIGHTE et al., 1994). A diferença existente entre a geometria fractal e a geome-
tria euclidiana é que fractais possuem dimensão não inteira (fracionária) e propriedade de
auto-similaridade (pedaços de objeto que se assemelham ao objeto todo).
Os exemplos citados representam fractais estocásticos e possuem a propriedade de
auto-similaridade em sentido estatístico dentro de um intervalo de escala s ≤ ℓ ≤ S onde
s e S representam os limites da escala (s é proporcional à distância entre as partículas
do sistema e S é proporcional à dimensão linear do sistema). Dentro desse intervalo de
escalas, o volume da região com dimensão linear R é dad o por
V(R) ∝ R
d
f
(2.1)
onde d
f
< D é a dimensão fractal do sistema e D é a dimensão euclidiana do espaço, no
qual o fractal está incorporado (VICSEK, 1993).
Por outro lado, é possível construir os fractais determinísticos, objetos geométricos que
possuem a propriedade de auto-similaridade em todas as escalas. O processo de constru-
ção desses fractais consiste em um procedimento iterativo onde os segmentes do objeto
2.2 Fractais & Multifractais 17
(e.g. triângu los, quadrados) são substituídos por uma estrutura característica (gerador)
para cada tipo de fractal (VICSEK, 1993). Para fractais determinísticos, o procedimento
Figura 2.1: Exemplos de fractais: (A) fractal estocástico. (B) fractal determinístico Sier-
pinski Gasket.
de cálculo da dimensão fractal é a seguinte: se N(ℓ) é o número de unidades da estrutura
em escala ℓ, a diminuição da escala b vezes resulta em um novo número de unidades da
estrutura
N
ℓ
b
= N(ℓ) b
d
f
(2.2)
A dimensão fractal d
f
é dada pela expressão
d
f
=
log
N
(
ℓ
b
)
N(ℓ)
logb
(2.3)
válida para todas as escalas. No caso de Sierpinski Ga sket exposto na figura (2.1b), a
diminuição da escala duas vezes resulta do aumento de triângulos três vezes e a dimensão
fractal calculada pela equação (2.3) tem valor
d
f
=
log3
log2
= 1,585 (2.4)
Para fractais estocásticos, existem vários métodos para o cálculo de dimensão fractal,
como contagem de caixas (“box counting”), método massa-raio (“mass-radius method”), e
método de correlação densidade-densidade (“density-density correlation function method”).
O método contagem de caixas consiste em cobrir a estrutu ra com uma grade de caixas
com arestas de tamanho r e contar o número N(r) de caixas que contém pelo menos
uma partícula do sistema. O número de caixas N(r) depende de r segundo a relação
N(r) ∝ r
−d
f
. Repetindo este valor para vários valores de r, a dimensão fractal pode ser
calculada usando o coeficiente angular da reta obtida pela regressão do gráfico logN(r)
2.2 Fractais & Multifractais 18
versus logr (VICSEK, 1993). Outro método muito usado é massa-raio, onde se constrói
uma seqüência de circunferências de raios crescentes, centralizadas no centro da massa
do sistema. O número de partículas (massa) M dentro da circunferência de raio r, depende
de tamanho r segundo a relação M ∝ r
−d
f
. A dimensão fractal d
f
é calculada como o
coeficiente angular da reta de regressão do gráfico logM versus logr. O método da função
de correlação consiste em calcular a função de correlação
c(r) =
1
N
∑
r
′
ρ
(r+ r
′
)
ρ
(r) (2.5)
onde N é o número de partículas do sistema e
ρ
(r) densidade local (
ρ
(r) = 1 se existe
uma partícula em posição r, e
ρ
(r) = 0 caso contrário). Para objetos fractais, c(r) depende
de r segundo a relação c(r) ∼ r
d
f
−D
, ond e d
f
é a dimensão fractal do sistema e D a
dimensão euclidiana. A dimensão fractal é calculada usando o coeficiente angular da reta
de regressão do gráfico log c(r) versus logr.
2.2.2 Multifractais
Em contraste com fractais simples (ou monofractais), os multifractais são caracteriza-
dos por uma hierarquia de expoentes (VICSEK, 1993; FEDER, 1988). Mais precisamente,
multifractais podem ser vistos como um entrelace de simples fractais. A palavra “hierarquia”
aqui se refere aos diferentes membros deste entrelace, o s quais, têm dimensões fractais
distintas. Se essa propriedade é ignorada e o objeto multifractal é tratado como um fractal
simples (monofractal), os métodos t radicionais do cálculo de dimensão fractal resultam em
um valor intermediário. A dimensão de capacidade (calculada usando o método contagem
de caixas) tem valor maior do que a dimensão de correlação, calculada usando o método
de função e correlação. Assim, para testar se um objeto geométrico deve ser tratado como
um multifractal, o primeiro passo é calcular a dimensã o de ca pacida de e a dimensão de
correlação, e se essas dimensões forem distintas, deve-se realizar a análise multifractal
usando o cálculo de espetro multifractal para descrever as propriedades geométricas do
objeto. Um dos exemplos mais investigados de multifractalidade é a distribuição de proba-
bilidade de crescimento durante o processo de “Dif fusion Limited Aggregation” (DLA)
(HAYAKAWA et al., 1987; NITTMANN et al., 1987). O modelo DLA foi introduzido por Wit-
ten e Sander (1981) para descrever processos como a deposição dos ío ns nos eletrodos e
descargas elétricas (raios) (VICSEK, 1993).
Para a montagem do DLA, coloca-se primeiro uma partícula (semente) na grade. Uma
partícula é lançada longe da semente e se movimenta aleatoriamente (caminho aleatório,
2.2 Fractais & Multifractais 19
ou processo de difusão) até a mesma se posicionar junto da partícula semente, e fica
incluída co mo parte do cluster. Uma nova partícula é lançada longe da semente até ficar
absorvida pelo cluster, e assim por diante. Esse processo é repetido até o cluster atingir
um tamanho pré-definido, resultando em uma estrutura ramificada mostrada na figura 2.2
Figura 2.2: Exemplo de um DLA - Diffusion Limited Aggregation em 3 dimensões
Análise Multifractal
No caso de um multifractal geométrico, analisa-se o número de partículas dentro de
uma região (VICSEK et al., 1990). O procedimento do cálculo da dimensão multifractal
generalizada consiste em cobrir a estrutura analisada com caixas de aresta de tamanho ℓ,
variando posteriormente os valores de ℓ, e registrando os valores de M
i
dentro de i-ésima
caixa, sendo M
o
o número total de partículas do sistema. A dimensão generalizada D
q
para distribuição de massa é definida por:
∑
i
M
i
M
0
q
∼
ℓ
L
(q−1)D
q
(2.6)
onde q é uma variável contínua que torna possível enfatizar as propriedades fractais em
diferentes escalas. As dimensões generalizadas D
0
, D
1
e D
2
representam a dimensão de
capacidade, dimensão de informação e dimensão de correlação, respectivamente. Final-
mente, D
−∞
e D
∞
representam os limites de espetro de dimensões generalizadas, onde a
2.2 Fractais & Multifractais 20
medida de interesse é a mais diluída e mais densa, respectivamente. Para monofractais,
todas as dimen sões generalizadas são iguais, dando um único valor de dimensão fractal.
Para monofractais, o espetro D(q) é constante, enquanto para multifractais D(q) re-
presenta uma função monótona decrescente. A aplicação direta da equação 2.6 é difícil
porque para q < 0 as caixas que contêm um pequeno número de partículas têm uma
grande contribuição na soma do lado esquerdo de 2.6. Pa ra evitar este problema, usa-se
o método Sand Box generalizado (VICSEK et al., 1990; TÉL et al., 1989). Esse método foi
usado com sucesso para demonstrar a multifractalidade geométrica do DLA (VICSEK et
al., 1990). O procedimento consiste em uma seleção aleatória de N pontos que pertencem
à estrutura com total de M
0
pontos e contando para cada um desses pontos escolhidos
o número de partícula s M
i
(R) que pertencem à estrutura dentro das caixas de dimensão
linear crescente R, centralizadas nas partículas escolhidas. A quantidade M
i
(R)/M
0
pode
ser entendida como uma estimação empírica da densidade de probabilidade espacial de
encontrar a partícula pertencente à estrutura na posição correspondente ao ponto esco-
lhido (que aumen ta com a densidade de uma região analisada, sendo maior ou igual a
zero, e sua soma tem valor unitário para o conjunto de caixas não so brepostas de dimen-
são linear R que cobrem completamente a imagem). O lado esquerdo da equação 2.6 pode
ser interpretado como a média da quantidade (M
i
(R)/M)
q−1
de acordo com a distribuição
espacial (M
i
(R)/M
0
). Como no método atual, os centros de caixas de tamanho R são
escolhidos aleatoriamente, a média pode ser calculada para o conjunto escolhido, e pela
equação 2.6 temos
M(R)
M
0
q−1
∼
R
L
(q−1)D
q
(2.7)
A equação 2.7 representa a síntese de um método generalizado de Sand Box (VICSEK
et al., 1990; TÉL et al., 1989), amplamente aceito na literatura como análise de multi-
fractalidade geométrica. A vantagem desse método é que as caixas são centralizadas na
estrutura, então, por constr ução , não se encontram caixas com um número de partículas
muito pequ eno (ou nulo).
Para um tratamento alternativo da multifractalidade usa-se o espectro f(
α
) (VICSEK,
1993; FEDER, 1988; HALSEY et al., 1986) onde
N(
α
) = L
− f(
α
)
(2.8)
representa o número de caixas N(
α
) para as quais a probabilidade P
i
de encontrar uma
2.3 Análise Multivariada 21
partícula dentro de i-ésima região é regida pela lei de escala
P
i
= L
α
i
(2.9)
Sendo f(
α
) entendido como a d imensão fractal da união de regiões com singularidade
entre
α
e
α
+ d
α
,
α
variando entre [−∞,∞]. A relação entre a função D(q) e o espectro
f(
α
) é feita via transformação de Legendre
f(
α
(q)) = q
α
(q) −
τ
(
α
) (2.10)
em que
α
(q) =
d
τ
(
α
)
dq
(2.11)
e
τ
(
α
) ≡ (q− 1)D
q
(2.12)
é o expoente de correlação de massa da q-ésima ordem. No caso de monofractal, a
dimensão fractal não depende de q
D
q
≡ D
, e usando as equações 2.11e 2.12 tem-se
f(
α
) = D e o espetro f(
α
) consiste um único ponto, onde f(
α
) é igual a dimensão fractal
do sistema. Estruturas multifractais são caracterizadas por um espetro f(
α
) não trivial.
2.3 Análise Multivariada
Na pesquisa cientifica aplicada, muitas vezes é essencial a análise de um conjunto
de várias medidas feitas sobre um mesmo indivíduo da amostra. Por exemplo, para o
cálculo do índice de massa corpórea (IMC), duas variáveis são necessárias, o peso e a
altura. Este simples exemplo mostra a necessidade da coleta e da análise de mais de uma
variável presente na amostra. Outro exemplo é o conjun to de dados cujas medidas são
o tamanho e largura das pétalas da planta Iris
1
tomada de duas espécies (ANDERSON,
2003, p. 1).
Para esse tipo de análise são necessárias técnicas que possam lidar com todas as
relações existentes entre as variáveis. O ramo d a estatística para este tipo de aplicação é
chamado de estatística multivariada e também denominado de análise multivariada. Uma
definição dad a para esta área da estatística é a seguinte: a análise multivariada é um
conjunto de técnicas utilizadas em situações que várias variáveis são medidas simultane-
amente, para cada eleme nto amostral (MINGOTI, 2005; HAIR et al., 2005; MARDIA et al.,
1979). Alguns exemplos de técnicas multivariadas para análise de dados são:
1
planta da família das Iridáceas
2.3 Análise Multivariada 22
1. Análise de regressão múltipla: método qu e tem por objetivo examinar as relações
entre uma variável resposta e um conjunto d e variáveis explicativas, sendo esta rela-
ção linear ou não-linear. Esta relação linear é enquadrada no conjunto de modelos
lineares generalizados (HAIR et al., 2005).
2. Análise multivariada de dados: generalização da ANOVA, que objetiva analisar a
variância dos dados onde há mais de uma variável independente.
3. Análise d e co mponentes principais: busca determinar um conjunto reduzido e signi-
ficante de variáveis que expliquem o conjun to de dados (MINGOTI, 2005).
4. Análise fatorial: busca descrever a variabilidade original do co njun to de dados em
termos de um n úmero reduzido, porém significante de variáveis aleatórias, chamadas
de fatores comuns e q ue estão relacionadas aos dados através de um modelo linear
(MINGOTI, 2005).
5. Análise de discriminante linear: dado o conhecimento a priori das características dos
agrupamentos existentes em uma população, esta técnica desenvolve uma função
capaz de classificar novos elementos a algum dos grupos com perfil semelhante a
esta (MINGOTI, 2005).
6. Análise de correlação canônica: técnica que tenta estabelecer se há ou não uma
relação linear entre dois conjuntos de variáveis (covariáveis e respostas) (MINGOTI,
2005).
7. Análise de agrupamento: técnica que objetiva a classificação de indivíduos em gru-
pos, através de características presentes nestes indivíduos (MINGOTI, 2005). Este
trabalho utilizará a análise de agrupamento para avaliar o banco de da dos descrito
no Capítulo 3.
Outra área em que existe a necessidade do uso de múltiplas variáveis é a de Re-
conhecimento de padrões. Esta área é um ramo da inteligência artificial direcionada a
classificação ou descrição de observações. O reconhecimento de padrões permite clas-
sificar informações (padrões) baseado, ou no conhecimento a priori, ou em informações
estatísticas extraídas dos padrões. O reconhecimento de padrões pode ser dividido em
duas classes de métodos. Os métodos de classificação supervisionados (e.g. análise de
discriminante), no qual os objetos são identificados como membros de uma classe prede-
finida e os métodos de classificação não-supervisionados (e.g. análise de agrupamentos),
onde indivíduos são assinalados em uma classe não definida (JAIN et al., 2000).
2.4 Análise de Agrupamento 23
2.4 Análise de Agrupamento
A Análise de agrupamento é o termo usado para nomear uma série de técnicas que têm
por finalidade dividir os elementos de uma amostra, ou população, em grupos de forma que
os elementos pertencentes a um mesmo grupo sejam semelhantes entre si com respeito
às variáveis (características) que neles foram medidas. Enquanto os grupos sejam o mais
heterogênios quanto possível (MINGOTI, 2005).
Para atingir este objetivo, algumas questões precisam ser levantadas e discutidas.
Segundo Hair et al. (2005) estas questões são três: (i) Como é definida a similaridade;
(ii) Como é formado o agrupamento; (iii) e Quantos grupos podem ser formados. Porém,
Barroso e Artes (2003, pg 10-14) aporta uma divisão detalhada destas questões, sendo
expostas a seguir.
1. Escolha do critério de presença
2
- etapa em que as variáveis devem ser definidas
e todas as transformações realizadas, além da escolha do cr itério que será utilizado
para a determinação dos grupos. No presente trabalho, a proximidade dos pontos é
usada como medida de semelhança entre os objetos da amostra.
2. Definição do número de grupos - etapa em que o número de grupos deve ser
definido dado um conhecimento prévio dos dados.
3. Formação dos grupos - etapa em que se deve definir o algoritmo que será utilizado
na identificação dos grupos.
4. Validação dos agrupamentos - etapa onde deve ser garantido o fato de que as
variáveis têm comportamento diferenciado nos diversos grupos, supondo que cada
grupo seja uma amostra aleatória de alguma subp opu lação, aplicando técnicas infe-
renciais p ara compará-las.
5. Interpr etação dos grupos - ao final do processo de formação de grupos é impor-
tante caracterizar os grupos formados. O uso de estatísticas descritivas é recomen-
dado nesta fase da análise.
2.4.1 Medidas de Similaridade e Dissimilaridade
Uma questão importante refere-se ao critério que deve ser adotado para decidir o quão
dois elementos do conjunto de dados podem ser considerados como semelhantes ou dis-
2
Esta é uma fase investigativa do conjunto de dados.
2.4 Análise de Agrupamento 24
tintos. Para responder esta questão é necessário considerar medidas de semelhança entre
os elementos amostrais. Assim, considerando que cada elemento amostral possui infor-
mações de p variáveis armazenadas em um vetor, a comparação de diferentes elementos
amostrais poderá ser feita através de medidas matemáticas (métricas), que possibilitem
a comparação destes vetores (MINGOTI, 2005). Estas medidas podem ser chamadas de
coeficiente de parecença segundo Bussab et al. (1990). As medidas podem ser classifica-
das em qualitativas e quantitativas. As medidas qualitativas são atributos, características
ou propriedades categóricas que particularizam ou descrevem o objeto. Estas podem des-
crever diferenças, indicar presença ou ausência de uma característica ou propriedade. Por
exemplo, a variável sexo só pode assumir as características masculina ou feminina. Já as
variáveis quantitativas, como seu nome já expressa, são incógnitas que assumem valores
numéricos (HAIR et al., 2005). As medidas de comparação podem ser divididas em duas
categorias: medidas de similaridade (quanto maior o valor, mais semelhantes sã o os ob-
jetos) e dissimilaridade (quanto maior o valor, mais distintos são os objetos) (BUSSAB et
al., 1990). As distâncias são as mais usadas no estudo de dados constituídos de variáveis
quantitativas. Uma medida de distância d(i. j) representa uma distância entre os elementos
i e j se as condições abaixo forem satisfeitas:
a) d(i, j) ≥ 0 ∀i, j; i = j;
b) d(i,i) = 0;
c) d(i,k) = d(k,i);
c) d(i,k) ≤ d(i, m) + d(m,k).
Para se definir medidas de distâncias é necessário tomar um conjunto de dados constituído
de n elementos amostrais, on de para cada um destes foram medidas p variáveis. Então,
para cada elemento j, i = {1,2,...n}, é definido o vetor de medidas como
X
j
= (X
1j
,X
2j
,...,X
nj
,) (2.13)
em que X
i, j
é o valor observado da variável i medida no elemento j.
Entre as medidas de dissimilaridade mais comuns estão a distância Euclidiana e a dis-
tância de Manha ttan e entre as medidas de similaridade tem-se a Cor relação de Pearson.
Estas são definidas da seguinte forma:
• A distância euclidiana entre um par de elementos amostrais l e k sendo l = k é
2.5 Algoritmos de Agrupamento 25
definida por:
d(l,k) =
(X
l
− X
k
)
′
(X
l
− X
k
)
1/2
=
p
∑
i=1
(X
il
− X
ik
)
2
1/2
(2.14)
• A distância Manhattan (City-block distance) entre elementos amostrais l e k sendo
l = k é definida por:
d(l,k) =
p
∑
i=1
w
i
|
X
il
− X
ik
|
(2.15)
em que W
i
são os pesos de ponderação para as variáveis.
• A cor relação entre dois elementos amostrais l e k sendo l = k é definida por:
Cor(l,k) =
∑
p
i=1
X
il
−
X
l
X
ik
− X
k
∑
p
i=1
X
il
−
X
l
·
∑
p
i=1
X
jk
−
X
k
(2.16)
Existem várias outras medidas qu e podem ser usadas na análise de agrupamen to e
algumas destas são mostradas em Mingoti (2005), Mardia et al. (1979), Barroso e Artes
(2003) ou Hair et al. (2005).
2.5 Algoritmos de Agrupamento
Os algoritmos utilizados na construção de grupos são geralmente classificados em
duas famílias de técnicas: Hierárquicas e Não Hierárquicas. As hierárquicas são técnicas
que muitas vezes são usadas como uma espécie de análise exploratória, com o intuito de
identificar indícios de possíveis agrupamentos presentes na amostra. Enquanto para as
técnicas não hierárquicas é necessária a definição prévia do número de grupos para sua
aplicação (MINGOTI, 2005).
2.5.1 Algoritmos Hierárquicos
Os métodos hierárquicos são divididos em aglomerativos e divisivos. Os aglomerati-
vos partem do pressuposto de que existem na amostra n grupos de indivíduos, ou seja,
cada elemento amostral forma um grupo distinto. Em cada passo do algoritmo, os elemen-
tos mais similares são agregados formando grupos, até que todos os eleme ntos formem
um único grupo. Os métodos hierárquicos divisivos trabalham na direção oposta, onde
todos os elementos são alo cado s e m um único grupo inicial. Este grupo é dividido em
2.5 Algoritmos de Agrupamento 26
dois subgrupos de modo que exista grande semelhança entre os objetos dos mesmos sub-
grupos e também uma grande dissimilaridade entre elementos de subgrupos distintos. A
cada passo do algoritmo, os elementos são subdivididos em outros subgrupos dissimila-
res até que haja tantos subgrupos quantos elementos amostrais. A variância interna no
início do processo aglomerativo é nula pois cada grupo é representado por um elemento
e ao final de todas as etapas do algoritmo tem-se a variância máxima, porque todos os
elementos estão alocados em um grupo. Sendo o contrário para o processo divisivo. Em
cada estágio do procedimento de agrupamento, os grupos são comparados através de
uma medida de similaridade ou dissimilaridade previamente escolhida (HAIR et al., 2005).
Como os métodos de agrupamento aglomerativos e divisivos se comportam de maneira
análoga, mas oposta, será considerado nesse estudo apenas os métodos aglomerativos.
Existem vários métodos de agrupamento hierárquicos. Os mais comuns são: o método
de Ligação Simples (Single Linkage), Ligação Completa (Complet Linkage), Ligação Mé-
dia (Average Linkage), Centróide (Centroid Linkage) e Ward, entre outros a presentados
em Mingoti (2005), Mardia et al. (1979), Barroso e Artes (2003), Hair et al. (2005 ). Nesta
dissertação, dos métodos supracitados, apenas será detalhado o método de Ward.
Método de WARD
Também conhecido como método de “mínima variância”, o método de Ward como todo
método hierárquico aglomerativo parte do pressuposto de que cada elemento da amostra
seja um grupo original e a cada passo os conglomerados que minimizam a função objetivo
sejam agrupados até a formação de um único grupo. Assim, pode-se observar em alguns
métodos hierárquicos, que a cada passo de exe cução do algoritmo, a similaridad e entre os
elementos do grupo decresce. Isto é, a variação entre os grupos diminui e a variação entre
os elementos aumenta. No ano de 1963, Ward propôs um método de agrupamento ba-
seado nesta mudança de variação da similaridade interna e externa dos grupos formados
a cada passo. Assim, a medida de homogeneidade é a soma de quadrados total de uma
análise de variância (MINGOTI, 2005). Os princípios básicos do método são os seguintes:
(a) Inicialmente cada elemento é considerado um conglomerado;
(b) Em cada passo a soma dos quadrados da distância euclidiana de cada elemento
amostral é correspondente ao vetor das médias do conglomerado, isto é
SS
i
=
n
i
∑
j=1
X
ij
−
X
i.
′
X
ij
− X
i.
=
n
i
∑
j=1
p
∑
k=1
X
ikj
−
X
ki.
2
1/2
(2.17)
2.5 Algoritmos de Agrupamento 27
em que n
i
é o número de elementos da amostra no agrupamento g
i
, X
ij
é o vetor
do j-ésimo elemento do i-ésimo grupo,
X
i
é o centróide do i-ésimo grupo g
i
e SS
i
representa a soma de quadrados do conglomerado g
i
. Em cada passo t a soma total
dos quadrados é dada por:
SSR =
n
g
∑
l=1
= SS
i
(2.18)
em que n
g
é o número de grupos existentes no passo t.
A distância entre os grupos g
i
e g
j
é definida como:
d(g
i
,g
k
) =
n
i
· n
j
n
i
+ n
j
X
i.
− X
j.
′
X
i.
− X
j.
=
p
∑
k=1
X
ik.
− X
jk.
2
1/2
(2.19)
que é a soma de quadrados entre os grupos g
i
e g
j
. Em cada passo do algoritmo de
agrupamento, os dois co nglomerados que minimizam a distância (2.19) são combinados.
Dada a distância (2.19) é possível demonstrar que esta é a diferença entre a soma total
dos quadrados, antes e depois de combinar os conglomerados g
i
e g
j
. Logo, o método de
Ward combina os grupos que minimizam SSR.
2.5.2 Algoritmos Não Hierárquicos
Os procedimentos não hierárquicos a tuam de modo diferente dos métodos hierárqui-
cos. Estes métodos não envolvem um processo de construção em árvore. Em vez disso,
designam os objetos da amostra a agrupamentos assim que o número de conglomerados
seja designado. Assim, por exemplo, a solução de um agrupamento com seis grupo s não
é apenas a combinação de dois grupos a partir d a solução de sete agregados, mas sim
busca a melhor solução com exatos seis grupos. Resumidamente, estes procedimentos
primeiramente selecionam uma semente de agrupamento como centro inicial deste, e os
objetos restantes que estejam dentro d e uma distância previamente especificada são alo-
cados ao grupo representado por cada um dos centros. Em seguida, outra semente é
escolhida e esta alocação aos grupos continua até que um critério de parada seja alcan-
çado (HAIR et al., 2005). Entre os métodos de agrupamento não hierárquicos os mais
comuns são: K-médias (K-means), PAM (Partitional Around Medoids) (KAUFMAN; ROUS-
SEEUW, 1990) e Fuzzy (KAUFMAN; ROUSSEEUW, 1990), este último seguindo a lógica
fuzzy de conjuntos.
2.5 Algoritmos de Agrupamento 28
Método de K-médias
O método de K-médias (HARTIGAN, 1975, p. 84) é muito utilizado em problemas prá-
ticos. Basicamente, cada objeto amostral é alocado àquele grupo cujo centróide (vetor de
médias amostral para o grupo ) é o mais próximo do vetor de valores observados para o
respectivo elemento. Sua descrição formal é d ada a seg uir.
Seja A(i, j) o valor da j-ésima variável para o i-ésimo objeto em que (1 ≤ i ≤ n) e
(1 ≤ j ≤ p). Os valores da variável são apropriados de modo que a distância euclidiana
possa ser usada como medida de dissimilaridade. Dada uma partição (P(n, k)) que divide
os objetos em k, a saber l = {1,2,3,...k}, cada um dos n objetos deve ser alocado a
apenas um dos k grupos. Seja B(l, j) = {c
1
,...c
p
} a média da j-ésima variável sobre os
objetos do grupo l. Seja N(l) o número de objetos pertencentes ao grupo l. A distância
entre cada o bjeto i e o grupo l é dada por
d(i,l) =
p
∑
j=1
(A(i, j) − B(l, j))
2
1/2
(2.20)
O erro referente a partição é
e[P(n,k)] =
n
∑
i=1
d(i,l(i))
2
(2.21)
em que l(i) é o grupo que contêm o objeto i. O procedimento geral consiste em buscar
uma partição que minimize e[(P(n,k))] pelo movimento de um objeto i de um grupo para o
outro. A busca se encerra quando o movimento do objeto não muda o valor de e[(P(n,k))].
Os passos de aplicação do algoritmo são:
1. Assumindo uma partição inicial em k clusters, calcule B(l, j), o valor de e[(P(n, k))]
inicial.
e[P(n,k)] =
n
∑
i=1
d(i,l(i))
2
(2.22)
em que d(i,l(i)) denota a distância euclidiana entre o objeto i e a média do grupo
que o contém i.
2. Para o objeto 1 calcule:
A =
N(l) · (d(1,l))
2
N(l) + 1
−
N[l(1)] · (d(1,l(1)))
2
N[l(1)] − 1
(2.23)
2.5 Algoritmos de Agrupamento 29
Este é o acréscimo no erro da transferência do objeto 1 do cluster onde o mesmo
está alocado para o cluster l. Se o mínimo de A para algum l = l(1) for negativo,
transfere-se o objeto 1 do grupo l(1) para o grupo l. Ajusta-se o valor da média de
l(1) e l e adiciona o valor do incremento A ao erro e[(P(n,k))].
3. Repita o passo 2 para os demais objetos.
4. Se o movimento de um objeto de um cluster para outro não provocar mudança em
e[(P(n,k))], pare. Caso contrário, repita o passo 2.
O algoritmo implementado no software (R Development Core Team, 2007) está exposto no
trabalho de Hartigan e Won (197 9).
Método PAM (Partitional Around Medoids)
O método PAM apresentado por Kaufman e Rousseeuw (1990, p. 102) é usado para
agrupar objetos para os quais foram medidas p variáveis de escala no mínimo intervalar.
Este método busca por k elementos representativos chamados de Medóides entre os ob-
jetos do conjunto de dados. Após en contrar os k elementos, os k grupos são construídos
pela atribuição dos elementos restantes ao agrupamento representado pelo medóide mais
próximo. O algoritmo co ntinua escolhendo os k elementos até que a soma total das dis-
similaridades dos objetos representativos seja a mínima. O algoritmo consiste de duas
partes. A primeira parte é chamada de BUILD, esta busca objetos um a um até que k
objetos representativos sejam escolhidos. E a segunda, chamada de SWAP, busca refi-
nar o agrupamento formado no BUILD. Esta escolha é finalizada quando a soma total das
dissimilaridades entre os objetos representativos e os restantes dos elementos da amostra
alcança um valor mínimo. O primeiro objeto é aquele mais central, para o qual a soma das
distâncias naquele passo seja a menor possível. Na seqüência, em cada passo outro ob-
jeto é escolhido, o qual, decresce a soma das dissimilaridades. Para encontrar este objeto
deve-se executar os seguintes passos:
1. Considere um objeto i ainda não selecionado.
2. Considere então outro objeto j. Calcule a distância euclidiana (D
j
) entre o elemento
j e o elemento previamente selecionado mais similar. Calcule a distância d( j,i) entre
j e o objeto i. Após isso calcule D
j
− d( j,i).
2.5 Algoritmos de Agrupamento 30
3. Se esta diferença for positiva, o objeto j contribui para a decisão de selecionar o
objeto i. E assim:
C
ji
= max(D
j
− d( j,i),0) (2.24)
4. Calcule o total do ganho obtido pela seleção de i
∑
j
C
ji
(2.25)
5. Escolha o objeto ainda não selecionado que
minimize
i
∑
j
C
ji
(2.26)
Este processo continua até que k objetos sejam encontrados. A segunda parte chamada
SWAP tem o objetivo de tentar refinar o agrupamento primariamente estabelecido pelo
BUILD. Este processo realiza todas as possíveis intercomparações entre pares de elemen-
tos (i,h), onde i foi selecionado como e lemento representativo e h não. Este determina
qual será o impacto, sobre o agrupamento formado, ao selecionar h em lugar de i. Para
calcular o efeito do SWAP sobre o agrupamento deve-se seguir dois passos:
1. Considere um objeto j e calcule a contribuição C
jih
ao SWAP:
a. Se j é mais distante de i e h do que de outro elemento representativo, tem-se
C
jih
= 0.
b. Se j não é tão distante de i do que de algum outro elemento representativo
selecionado no BUILD (d( j,i) = D
j
) serão consideradas duas situações:
i. j é mais próximo de h e de i do que dos outros elementos representati-
vos, ou seja d( j, i) < E
i
, onde E
i
é a distância entre j e todos os objetos
representativos exceto i. Nesta condição a contribuição é dada por:
C
jih
= d( j,h) − d( j, i) (2.27)
ii. j está no mínimo tão distante de h quanto do segundo objeto representativo,
ou seja, d( j,h) ≥ E
j
. Neste caso, a contribuição do objeto j ao SWAP é
C
jih
= E
j
− D
j
(2.28)
OBS: Pode-se observar que no item anterior a contribuição C
jih
pode ter
valores positivos ou negativos dependen do da p osição dos objetos j,h e
2.5 Algoritmos de Agrupamento 31
i, sendo positiva apenas quando j está mais próximo de i do que h. Isso
indicando que o SWAP não é favorável do ponto de vista do objeto j. Por
outro lado, no caso ii a contribuição será sempre positiva. Pois não será
vantajoso trocar i por h, quando este último está mais próximo de j que de
outro objeto representativo.
iii. j está mais distante de i que de pelo menos um dos outros objetos repre-
sentativos, mas próximo de h que de algum objeto representativo. Neste
caso a contribuição de j para o SWAP é
C
jih
= d( j,h) − D
j
(2.29)
2. Calcula-se o valor:
T
ih
=
∑
j
C
jih
(2.30)
3. Seleciona -se o par (i, h) o qual
minimize
i,h
T
ih
(2.31)
4. Caso o mínimo T
ih
seja negativo o SWAP é executado novamente, isto é, o algoritmo
retorna ao passo 1. Entretanto, se o mínimo de T
ih
for positivo ou zero o algoritmo
pára.
Pode-se notar que todos os pares são considerados e que o algoritmo não depende
da ordem das variáveis dos objetos na entrada do programa.
O algoritmo Fuzzy
Nos métodos de partição até aqui citados cada elemento pode apenas pertencer a
um grupo, ou seja, se for atribuído um valor para indicar sua presença ou ausência em um
grupo seu valor seria 0 se pertencesse e 1 se não. Portanto, métodos de partição clássicos
são algumas vezes chamados d e métodos de formação de grupos fechados. Já o método
fuzzy de agrupamento (KAUFMAN; ROUSSEEUW, 1990), baseado na lógica fuzzy de
conjuntos, permite a escolha através do coeficiente de agrupamento, com variação entre 0
e 1, onde a qual grupo o objeto deve ser mais bem agrupado.
Seu objetivo principal é minimizar a função:
2.5 Algoritmos de Agrupamento 32
C =
k
∑
υ
=1
∑
n
i, j=1
u
2
i
υ
u
2
j
υ
d(i, j)
2
∑
n
j=1
u
2
j
υ
(2.32)
em que d(i, j) representa a distância entre os objetos i e j, enquanto u
i
υ
é o coeficiente de
pertinência do objeto i a o cluster
υ
. É possível notar alguns detalhes nesta função. Para
começar a mesma contém apenas a d(i, j) e u
i
υ
, sendo este último o valor desconhecido
que deve ser encontrado. Tem-se ainda que a soma presente no numerador seja feita
para todos os pares de elementos da amostra. Nesta soma, cada par aparece duas vezes
porque os pares (i, j) e ( j,i) ocorrem e é por isso que a fração é dividida por 2. E a
soma externa é feita para todos os clusters
υ
. Finalmente, é possível notar com estas
considerações que a função (2.32) é um tipo de dispersão. O coeficiente de pertinência
possui as seguintes restrições:
u
i
υ
≥ 0 para i = {1,...,n};
υ
= {1,.. ., k} (2.33)
∑
υ
u
i
υ
= 1 para i = {1,...,n} (2.34)
Expressando que o coeficiente não pode ser negativo e que a soma de todos os coefi-
cientes deve ser igual a 1 logo o u
i
υ
assemelha-se a uma probabilidade do objeto pertencer
ao grupo
υ
.
O método f uzzy oferece uma vantagem sobre o s outros métodos de agrupamento. Este
apresenta para cada elemento uma probabilidade de pertencer a ca da um dos grupos cujo
número é arbitrariamente determinado. Estes valores podem ser agrupados em uma tabela
que será denominada Tabela de probabilidades de pertinência.
O processo de maximização está bem detalhado no livro “Finding Groups in Data : an
introdution to Cluster Analysis” escrito por Kaufman e Rousseeuw.
Uma variação deste método é o Fuzzy c-means proposto por Bezdek (1981), cita do
por (MINGOTI, 2005) e consiste em dado um número c de grupos predefinidos, o mesmo
busca minimizar a função objetivo 2.35
J =
c
∑
i=1
n
∑
j=1
u
ij
m
d
X
j
,V
i
(2.35)
em que V
i
é o centróide ponderado do conglomerado i, para 1 ≤ i ≤ c, m > 1 é o parâmetro
Fuzzy; u
ij
é a probabilidade de que o elemento X
j
pertença ao conglomerado; d
X
j
,V
i
é
a distância euclidiana entre o objeto X
j
e o centróide V
i
.
2.5 Algoritmos de Agrupamento 33
A partição é dada através da maximização da função 2.35 com a atualização dos va-
lores u
ij
e dos centróides V
i
por
u
ij
=
c
∑
k=1
x
i
− c
j
x
i
− c
k
2
m−1
−1
(2.36)
em que
V
i
=
∑
n
j=1
u
ij
X
j
∑
n
j=1
u
ij
(2.37)
para todo i = {1,2, . . . ,c} e j = {1, 2, ... ,n}. Para encontrar a solução final, devem-se ter
os valores de V
i
e u
ij
iniciais. Nos algoritmos disponíveis, os valores de u
ij
são gerados por
uma distribuição uniforme no intervalo [0,1]; os valores dos centróides vão se modificando
a cada interação e o algoritmo é interrompido quando o número de iterações é alcançado
ou quando o programa é incapaz de minimizar o valor da função objetivo por um valor
ε
.
Ao contrário do método K-médias, que fornece como resultado uma partição na qual cada
elemento pertence a um único cluster, no método Fuzzy, para cada elemento amostral,
estima-se a probabilidade de que o mesmo elemento pertença a ca da um dos c clusters
formados. Assim, é possível identificar os elementos amostrais que estão na interface, ou
seja, que se assemelham a mais de um dos c grupos. Passos do Algoritmo:
1. Inicialize co m os valores da matriz U = [U
ij
], U
(0)
2. Em cada pa sso k calcule os valores de V
(k)
j
com U
(k)
V
(k)
i
=
∑
n
j=1
u
(k)
ij
X
j
∑
n
j=1
u
(k)
ij
3. Calcule os valores de U
k
, U
k+1
, J
(k)
e J
(k+1)
u
ij
=
c
∑
k=1
X
i
− c
j
X
i
− c
k
2
m−1
−1
4. Se
J
(k+1)
− J
(k)
<
ε
for satisfeito pare, senão retorne ao passo 2.
2.5 Algoritmos de Agrupamento 34
2.5.3 Apresentação Gráfica e Verificação da Qualidade do Agrupa-
mento
A construção de gráficos permite ao pesqu isador uma melhor visualização dos d ados
sob investigação. Nos métodos de agrupamento podem-se usar alguns tipos de gráficos
para visualização e verificação da qualidade do agrupamento.
Dendograma
Na análise de agrupamento hierárquica, após o término do procedimento, pode-se
construir um gráfico chamado de dendograma ou dendrograma. Este gráfico tem a forma
de uma árvore, onde no eixo vertical tem-se a medida de similaridade ou dissimilaridade
e no eixo h orizontal apresentam-se os elementos da amostra numa ordem conveniente
relacionada ao histórico do agrupamento. As lin has verticais, partindo dos elementos
amostrais agrupados, têm a altura correspondente ao nível em que os elementos foram
considerados semelhantes, isto é, a distância do agrupamento ou o nível de similaridade
(BUSSAB et al., 1990; BARROSO; ARTES, 2003; HAIR et al., 2005).
Gráfico de Silhueta
Uma dificuldade na aplicação do método de agrupamento é decidir o número de clus-
ters e co mo d istinguir uma má alocação de um elemento a um grupo. Uma maneira de
solucionar estes problemas é através do cálculo da silhueta de cada elemen to. A silhueta
é um coeficiente que mede o quão bem alocado cada elemento está ao seu grupo com-
parado aos outros clusters formados. Esta medida é calculada em termos da média da
distância euclidiana entre o elemento i e todos os elementos do grupo de i, comparando
com as médias das distâncias entre i e os elementos do grupo vizinho.
A silhueta é construída da seguinte maneira.
Considere um objeto i presente na amostra pertencente a um cluster A e calcule
a(i) =
∑
( j∈A) j=i
d
(i, j)
n
A
− 1
(2.38)
que representa a média de dissimilaridade entre todos os elementos do grupo A.
Agora considerando um cluster C diferente de A, pode-se definir
d
i,C
=
∑
( j∈C)
d
(i, j)
n
C
(2.39)
2.5 Algoritmos de Agrupamento 35
onde esta representa a média da dissimilaridade entre i e todos os elementos de C. Calcule
esta medida para todos os agrupamentos C = A cluster objetos e escolha a menor desta,
a qual é definida como b(i).
b(i) = mim
d
i,C
; C = A (2.40)
O cluster B para o qual d
i,C
= b(i) é chamado de vizinhança o objeto i. Logo, pode-se
definir o valor da silhueta de s(i) como
s(i) =
b(i) − a(i)
max{a(i),b(i)}
(2.41)
É notório que o valor de s(i) está no intervalo [−1, 1] e o mesmo pode ser interpretado
da seguinte forma:
• para s(i) próximo de 1 é muito pequeno em relação à b(i). Em outras palavras, o
objeto i está muito próximo dos objetos do seu grupo em comparação com o seu
vizinho.
• para s(i) em torno de zero, a(i) e b(i) são aproximadamente iguais indicando que o
mesmo pode ser um objeto intermediário entre A e B.
• para s(i) próximo de −1, o valor de b(i) é muito menor do que o valor de a(i). Em
outras palavras, o objeto i está muito próximo do seu vizinho do que do grupo ao qual
ele foi assinalado, ou seja, i está erroneamente alocado a A.
Assim, para a construção do gráfico de silhueta, os objetos devem ser divididos em gru-
pos de acordo com o resultado do método de agrupamento. Em cada grupo, os elementos
são ordenados em ordem decrescente seguindo o valor da silhueta. Cada objeto é repre-
sentado por uma barra horizontal, cujo o comprimento é o valor da silhueta. Desta forma,
todos os elementos são expostos em um único diagrama (figura 2.3) onde a qualidade do
agrupamento pode ser analisada .
A silhueta é uma boa ferramenta para a verificação do número de clusters. A média
das silhuetas
s(k) é definida por:
s(k) =
n
∑
i=1
s(i) (2.42)
e pode ser usada para selecionar o melhor valor do número de grupos (k) pela escolha do
valor de
s(k) quando s(k) é máximo. Executa-se o método de agrupamento escolhido para
2.5 Algoritmos de Agrupamento 36
Silhouette width s
i
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Silhouette plot of pam(x = ruspini, k = 4)
Average silhouette width : 0.74
n = 75
4 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 20 | 0.73
2 : 23 | 0.75
3 : 17 | 0.67
4 : 15 | 0.80
Figura 2.3: Exemplo de um gráfico de silhueta encontrado no modo de ajuda do software (R Development
Core Team, 2007).
todos os possíveis valores de (k) a saber k = {2,3, . .. ,n−1} onde tem-se max(
s(k)) como
o número de grupos para amostra. A medida SM =
s(k) é um coeficiente de qualida de da
perda de dimensionalidade da estrutura do agrupamento. Kaufman e Rousseeuw (1990)
apresenta uma proposta de interpretação apresentada na Tabela 2.1.
Tabela 2.1: Proposta de Interpretação para o valor da silhueta média (s(k)) (KAUFMAN;
ROUSSEEUW, 1990, p. 88)
Intervalo de SM Interpretação
0,71− 1, 00 Existe uma forte estrutura de agrupamento formada.
0,51− 0, 70 Existe uma razoável estrutura para o agrupamento.
0,26− 0, 50 Existe uma fraca estrutura para o agrupamento, e poderia ser artificial.
Para uma melhor conclusão é aconselhável a aplicação de métodos de
agrupamentos adicionais.
≤ 0,25 Foi encontrada uma estrutura não substancial de agrupamento.
Correlação Cofenética
Na Bioestatística, a correla ção cofenética ou coeficiente de correlação cofenética é
uma medida que quantifica o quão fielmente um dendograma preser va a distância original
entre um par de objetos. A correlação é uma medida de validação utilizada principalmente
2.5 Algoritmos de Agrupamento 37
para os métodos de agrupamento hierárquicos. Estas medidas assemelham-se a correla-
ção de Pearson entre a matriz de distâncias originais (O) e a matriz de distâncias baseadas
no dendrograma, esta última chamada de Matriz Cofenética (C). Esta é definida da se-
guinte maneira:
cor
cof
=
∑
n−1
i=1
∑
n
j=i+1
(c
ij
−
c)(o
ij
− o)
[
∑
n−1
i=1
∑
n
j=i+1
(c
ij
−
c)][
∑
n−1
i=1
∑
n
j=i+1
(o
ij
−
o)]
(2.43)
Valores desta medida que são próximos de 1, e segundo Bussab et al. (1990), maiores que
0,8, indicam uma pequena distorção provocada pelo método de agrupamento. Existem
outras maneiras de verificar a qualidade de métodos de agrupamento tanto hierárquicos
quanto não hie rárquicos. Isto é feito através do gráfico de silhueta dos agrupamentos
formados.
38
3 Materiais e Métodos
3.1 Dados
3.1.1 Projeto STARE (STructured Analysis of the Retina Project)
O projeto STARE foi concebido e iniciado em 1975 por Dr. Michael Goldbaum, da
Universidade de Califórnia, San Diego, e foi financiado continuamente pelos Institutos Na-
cionais de Sa úde dos EUA, (National Institutes of Health (U.S.A.)) desde 1986. Durante
este tempo, mais de 30 pesqu isadores contribuíram ao projeto, com os conhecimentos
que vão da medicina à engenharia. As imagens e os dad os clínicos foram fornecidos pelo
Shiley Eye Center na universidade de Califórnia e pelo Veterans Administration Medical
Center também em San Diego.
3.1.2 Bancos
Do projeto STARE foram coletadas 20 imagens sendo 10 destas pertencentes a indi-
víduos com algu ma patologia e 10 pertencentes a indivíduos com retinas normais. Estas
imagens foram segmentadas
1
por dois observadores chamados aqui de AH e VK. Após
coletar estas imagens do bando STARE, as imagens foram esqueletonizadas
2
por Stosic e
Stosic (2006). Posteriormente, foram calculadas as dimensões generalizadas e o espectro
multifractal de todas as imagens, tanto as segmentadas manualmente, quanto as imagens
esqueletonizadas, para os dois observadores. Assim, a estrutura do s bando ficou dividida
em 20 imagens segmentadas manualmente por AH e VK, totalizando 40 e estas 20 ima-
gens foram esqueletonizadas somando ao estudo mais 40. Logo, tem-se um conjunto de
80 imagens de retinas. Na figura 3.1 tem-se o exemplo de duas imagens, uma patológica
e outra não patológica.
1
Este termo significa em marcar os pixels na imagem que pertencem a vasos da retina, com auxílio de
algum programa gráfico.
2
Esqueletonizar significa tomar apenas a ramificação da árvore vascular da retina sem levar em conta o
volume.
3.1 Dados 39
As imagens patológicas foram nomeadas de P
1
...P
10
e as imagens de pacientes com
retinas normais foram nomeadas de N
1
...N
10
. Este banco de dados não contém informa-
ção de quais patologias estão presentes e assim é possível que haja patologias em estados
diversos ou até patologias que não afetem a vascularização da retina.
Figura 3.1: Exemplo de imagens do banco STARE: (A) Imagem original e uma retina patológica; (B) Imagem
original de uma retina sadia; (C) Imagem patológica segmentada pelo observador AH; (D) Imagem sadia
segmentada pelo observador AH; (E) Imagem patológica segmentada pelo observador VK; (D) Imagem sadia
segmentada pelo observador VK.
Os bancos de dados consistem de valores das dimensões multifractais generalizadas
e de elementos do espectro multifractal f(
α
), ambos resultados de análise realizada por
Stosic e Stosic (2006). Destes, foram escolhidas como variáveis os pares de valores de
α
e f(
α
) do espectro, para
τ
(q = −3, 0, 3) e
τ
(q = −2, 0, 2) constituinte dos bancos no-
meados de Banco 1 e 2, respectivamente. As dimensões generalizadas (multifractais) D
0
,
D
1
e D
2
são constituintes do Banco 3, sendo estes apresentados nas Tabelas 3.1 a 3. 5.
Para cada observador existem dois tipos de imagens (esqueletonizadas e segmentadas
manualmente) e 3 bancos, constituindo um total de 12 matrizes de dados analisadas.
3.1 Dados 40
Tabela 3.1: Banco 1: valores de
α
e f(
α
) para q = (−3, 0, 3) p ara as imagens esqueleto-
nizadas
Imagens
Observador AH Observador VK
α
(−3) f(
α
(−3))
α
(0) f(
α
(0))
α
(3) f(
α
(3))
α
(−3) f(
α
(−3))
α
(0) f(
α
(0))
α
(3)
α
( f(3))
P1 1,70 1,33 1,56 1,54 1,48 1,44 1,73 1,40 1,60 1,59 1,55 1,52
P2
1,69 1,28 1,54 1,52 1,45 1,40 1,75 1,32 1,59 1,57 1,48 1,42
P3
1,62 1,33 1,51 1,50 1,46 1,43 1,73 1,42 1,62 1,61 1,58 1,56
P4
1,62 1,35 1,52 1,51 1,47 1,44 1,70 1,45 1,61 1,60 1,56 1,53
P5
1,69 1,36 1,57 1,55 1,51 1,49 1,77 1,51 1,67 1,66 1,63 1,61
P6
1,65 1,40 1,55 1,54 1,49 1,45 1,81 1,47 1,68 1,66 1,61 1,57
P7
1,68 1,40 1,58 1,56 1,51 1,47 2,01 1,32 1,70 1,68 1,65 1,65
P8
1,46 1,54 1,49 1,49 1,44 1,39 1,76 1,46 1,61 1,58 1,48 1,41
P9
1,54 1,32 1,46 1,45 1,41 1,39 1,66 1,41 1,57 1,56 1,53 1,50
P10
1,63 1,33 1,52 1,50 1,45 1,42 1,76 1,46 1,64 1,62 1,56 1,53
N1
1,68 1,45 1,60 1,59 1,56 1,54 1,75 1,52 1,67 1,66 1,65 1,65
N2
1,66 1,38 1,56 1,55 1,51 1,49 1,81 1,46 1,68 1,67 1,64 1,61
N3
1,76 1,32 1,60 1,59 1,55 1,53 1,81 1,45 1,69 1,68 1,67 1,67
N4
1,80 1,39 1,65 1,64 1,59 1,56 1,84 1,48 1,71 1,70 1,67 1,66
N5
1,73 1,45 1,63 1,61 1,55 1,51 1,78 1,44 1,66 1,65 1,61 1,59
N6
1,72 1,42 1,61 1,59 1,52 1,47 1,83 1,44 1,69 1,67 1,63 1,60
N7
1,69 1,43 1,59 1,58 1,54 1,51 1,79 1,45 1,67 1,66 1,65 1,64
N8
1,71 1,43 1,61 1,60 1,57 1,55 1,76 1,48 1,66 1,65 1,63 1,62
N9
1,65 1,42 1,57 1,56 1,55 1,54 1,78 1,48 1,67 1,66 1,65 1,64
N10
1,79 1,41 1,65 1,63 1,59 1,56 1,85 1,44 1,70 1,69 1,68 1,67
3.1 Dados 41
Tabela 3.2: Banco 1: valores de
α
e f(
α
) p ara q = (−3, 0, 3) para as imagens segmentadas
manualmente
Imagens
Observador AH Observador VK
α
(−3) f(
α
(−3))
α
(0) f(
α
(0))
α
(3) f(
α
(3))
α
(−3) f(
α
(−3))
α
(0) f(
α
(0))
α
(3)
α
( f(3))
P1 2,02 0,96 1,59 1,54 1,40 1,31 2,06 1,07 1,65 1,58 1,41 1,31
P2
1,98 1,04 1,60 1,55 1,39 1,30 2,00 1,21 1,65 1,57 1,37 1,26
P3
1,92 1,03 1,56 1,51 1,40 1,34 1,94 1,24 1,66 1,59 1,43 1,34
P4
1,76 1,21 1,55 1,52 1,40 1,31 1,97 1,19 1,65 1,57 1,34 1,21
P5
1,89 1,20 1,62 1,59 1,49 1,44 2,12 1,19 1,74 1,68 1,53 1,44
P6
1,92 1,12 1,60 1,54 1,39 1,30 2,18 1,06 1,72 1,67 1,51 1,41
P7
1,93 1,16 1,62 1,56 1,42 1,35 2,11 1,13 1,72 1,68 1,57 1,52
P8
1,87 1,09 1,56 1,52 1,39 1,30 2,05 1,24 1,68 1,60 1,41 1,30
P9
1,73 1,08 1,48 1,44 1,32 1,24 1,96 1,14 1,62 1,55 1,39 1,30
P10
1,96 1,11 1,62 1,57 1,42 1,34 2,18 1,05 1,71 1,64 1,47 1,38
N1
1,95 1,18 1,63 1,58 1,44 1,37 1,99 1,22 1,69 1,66 1,57 1,53
N2
1,96 1,08 1,60 1,55 1,44 1,38 2,02 1,20 1,71 1,67 1,57 1,50
N3
2,07 1,10 1,65 1,58 1,40 1,32 2,03 1,23 1,71 1,66 1,52 1,44
N4
2,00 1,27 1,71 1,65 1,47 1,38 2,06 1,27 1,76 1,71 1,59 1,52
N5
2,08 1,17 1,71 1,64 1,49 1,41 2,10 1,19 1,73 1,68 1,57 1,51
N6
1,99 1,18 1,65 1,60 1,45 1,38 2,11 1,15 1,74 1,69 1,57 1,51
N7
1,90 1,23 1,63 1,58 1,46 1,38 2,12 1,11 1,71 1,66 1,54 1,48
N8
1,99 1,07 1,63 1,59 1,46 1,38 2,15 1,02 1,70 1,66 1,55 1,50
N9
1,92 1,15 1,63 1,59 1,50 1,45 2,16 1,02 1,72 1,68 1,59 1,54
N10
1,94 1,23 1,67 1,63 1,54 1,49 2,09 1,16 1,74 1,70 1,59 1,53
3.1 Dados 42
Tabela 3.3: Banco 2: valores de
α
e f(
α
) para q = (−2, 0, 2) p ara as imagens esqueleto-
nizadas
Imagens
Observador AH Observador VK
α
(−2) f(
α
(−2))
α
(0) f(
α
(0))
α
(2) f(
α
(2))
α
(−2) f(
α
(−2))
α
(0) f(
α
(0))
α
(2) f(
α
(2))
P1 1,65 1,45 1,56 1,54 1,51 1,49 1,68 1,51 1,60 1,59 1,56 1,56
P2
1,64 1,42 1,54 1,52 1,48 1,46 1,71 1,44 1,59 1,57 1,52 1,50
P3
1,59 1,42 1,51 1,50 1,47 1,46 1,69 1,53 1,62 1,61 1,59 1,58
P4
1,58 1,44 1,52 1,51 1,48 1,47 1,67 1,53 1,61 1,60 1,57 1,57
P5
1,65 1,47 1,57 1,55 1,53 1,52 1,74 1,60 1,67 1,66 1,64 1,64
P6
1,62 1,47 1,55 1,54 1,50 1,49 1,77 1,56 1,68 1,66 1,62 1,61
P7
1,65 1,49 1,58 1,56 1,53 1,52 1,95 1,46 1,70 1,68 1,66 1,66
P8
1,47 1,52 1,49 1,49 1,46 1,45 1,75 1,48 1,61 1,58 1,52 1,50
P9
1,51 1,39 1,46 1,45 1,42 1,42 1,63 1,50 1,57 1,56 1,54 1,53
P10
1,60 1,42 1,52 1,50 1,47 1,46 1,74 1,52 1,64 1,62 1,58 1,57
N1
1,65 1,54 1,60 1,59 1,57 1,56 1,71 1,61 1,67 1,66 1,65 1,65
N2
1,62 1,48 1,56 1,55 1,53 1,52 1,76 1,59 1,68 1,67 1,65 1,64
N3
1,70 1,47 1,60 1,59 1,56 1,55 1,75 1,60 1,69 1,68 1,67 1,67
N4
1,74 1,54 1,65 1,64 1,61 1,60 1,79 1,61 1,71 1,70 1,68 1,68
N5
1,70 1,54 1,63 1,61 1,57 1,56 1,74 1,56 1,66 1,65 1,62 1,62
N6
1,68 1,51 1,61 1,59 1,54 1,53 1,77 1,58 1,69 1,67 1,65 1,64
N7
1,66 1,51 1,59 1,58 1,55 1,54 1,74 1,58 1,67 1,66 1,65 1,65
N8
1,67 1,53 1,61 1,60 1,58 1,57 1,72 1,59 1,66 1,65 1,64 1,63
N9
1,62 1,51 1,57 1,56 1,55 1,55 1,73 1,59 1,67 1,66 1,65 1,65
N10
1,73 1,54 1,65 1,63 1,61 1,60 1,78 1,60 1,70 1,69 1,68 1,68
3.1 Dados 43
Tabela 3.4: Banco 2: valores de
α
e f(
α
) p ara q = (−2, 0, 2) para as imagens segmentadas
manualmente
Imagens
Observador AH Observador VK
α
(−2) f(
α
(−2))
α
(0) f(
α
(0))
α
(2) f(
α
(2))
α
(−2) f(
α
(−2))
α
(0) f(
α
(0))
α
(2) f(
α
(2))
P1 1,92 1,21 1,59 1,54 1,44 1,41 1,98 1,28 1,65 1,58 1,45 1,42
P2
1,88 1,27 1,60 1,55 1,43 1,40 1,96 1,31 1,65 1,57 1,41 1,37
P3
1,83 1,24 1,56 1,51 1,42 1,40 1,88 1,39 1,66 1,59 1,46 1,43
P4
1,69 1,38 1,55 1,52 1,44 1,41 1,91 1,35 1,65 1,57 1,40 1,36
P5
1,81 1,40 1,62 1,59 1,52 1,50 2,03 1,40 1,74 1,68 1,56 1,53
P6
1,85 1,30 1,60 1,54 1,43 1,40 2,08 1,30 1,72 1,67 1,55 1,52
P7
1,86 1,34 1,62 1,56 1,45 1,43 2,00 1,40 1,72 1,68 1,60 1,58
P8
1,79 1,27 1,56 1,52 1,43 1,40 2,02 1,31 1,68 1,60 1,46 1,43
P9
1,66 1,26 1,48 1,44 1,36 1,33 1,89 1,30 1,62 1,55 1,43 1,40
P10
1,88 1,31 1,62 1,57 1,46 1,43 2,08 1,29 1,71 1,64 1,51 1,48
N1
1,88 1,34 1,63 1,58 1,47 1,44 1,91 1,44 1,69 1,66 1,59 1,58
N2
1,87 1,29 1,60 1,55 1,47 1,44 1,92 1,45 1,71 1,67 1,59 1,57
N3
2,00 1,25 1,65 1,58 1,44 1,41 1,94 1,44 1,71 1,66 1,56 1,53
N4
1,93 1,43 1,71 1,65 1,52 1,48 1,97 1,50 1,76 1,71 1,63 1,60
N5
1,99 1,37 1,71 1,64 1,52 1,49 2,01 1,41 1,73 1,68 1,59 1,57
N6
1,92 1,35 1,65 1,60 1,49 1,46 2,01 1,41 1,74 1,69 1,59 1,57
N7
1,83 1,39 1,63 1,58 1,49 1,46 2,02 1,35 1,71 1,66 1,57 1,54
N8
1,89 1,32 1,63 1,59 1,49 1,47 2,03 1,31 1,70 1,66 1,58 1,56
N9
1,82 1,38 1,63 1,59 1,53 1,51 2,02 1,35 1,72 1,68 1,61 1,59
N10
1,86 1,44 1,67 1,63 1,56 1,55 1,98 1,44 1,74 1,70 1,62 1,60
3.2 Métodos Estatísticos 44
Tabela 3.5: Banco 3: valores de D
0
, D
1
e D
2
para as imagens esqueletonizadas e segmen-
tadas manualmente
Imagens
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
D
0
D
1
D
2
D
0
D
1
D
2
D
0
D
1
D
2
D
0
D
1
D
2
P1 1,54 1,53 1,52 1,59 1,58 1,57 1,54 1,49 1,46 1,58 1,52 1,49
P2
1,52 1,51 1,49 1,57 1,55 1,53 1,55 1,50 1,46 1,57 1,50 1,45
P3
1,50 1,49 1,48 1,61 1,60 1,59 1,51 1,47 1,44 1,59 1,54 1,50
P4
1,51 1,50 1,49 1,60 1,59 1,58 1,52 1,49 1,46 1,57 1,50 1,45
P5
1,55 1,54 1,53 1,66 1,65 1,65 1,59 1,56 1,54 1,68 1,63 1,59
P6
1,54 1,52 1,51 1,66 1,64 1,63 1,54 1,49 1,46 1,67 1,62 1,58
P7
1,56 1,55 1,54 1,68 1,67 1,66 1,56 1,52 1,48 1,68 1,64 1,62
P8
1,49 1,48 1,47 1,58 1,56 1,54 1,52 1,48 1,45 1,60 1,54 1,50
P9
1,45 1,44 1,43 1,56 1,55 1,54 1,44 1,41 1,38 1,55 1,50 1,46
P10
1,50 1,49 1,48 1,62 1,60 1,59 1,57 1,52 1,49 1,64 1,58 1,54
N1
1,59 1,58 1,58 1,66 1,66 1,66 1,58 1,53 1,50 1,66 1,63 1,61
N2
1,55 1,54 1,53 1,67 1,66 1,65 1,55 1,51 1,49 1,67 1,64 1,61
N3
1,59 1,57 1,57 1,68 1,68 1,67 1,58 1,52 1,48 1,66 1,62 1,59
N4
1,64 1,63 1,62 1,70 1,69 1,69 1,65 1,59 1,55 1,71 1,68 1,65
N5
1,61 1,60 1,59 1,65 1,64 1,63 1,64 1,59 1,55 1,68 1,64 1,62
N6
1,59 1,57 1,56 1,67 1,66 1,65 1,60 1,55 1,51 1,69 1,64 1,62
N7
1,58 1,57 1,56 1,66 1,66 1,65 1,58 1,54 1,51 1,66 1,62 1,59
N8
1,60 1,59 1,58 1,65 1,65 1,64 1,59 1,55 1,52 1,66 1,62 1,59
N9
1,56 1,56 1,55 1,66 1,66 1,65 1,59 1,56 1,54 1,68 1,64 1,62
N10
1,63 1,62 1,61 1,69 1,69 1,68 1,63 1,60 1,58 1,70 1,66 1,64
3.2 Métodos Estatísticos
Com o objetivo de verificar a viabilidade de diferenciação das retinas, através do uso da
dimensão multifractal como medida de parecença entre objetos, serão usados os conjuntos
de dados citados na seção (3.1.2). A análise de agrupamento será usada como ferramenta
para quantificar a diferenciação entre as imagens patológicas e não patológicas.
3.2.1 Análise de Agrupamento Aplicada ao Banco de Dados
Neste trabalho foram utilizados o método de agrupamento hierárquico WARD e os
métodos não hierárquicos K-médias, PAM e Fuzzy c-means. O método hierárquico foi
primeiramente aplicado como uma forma descritiva dos agrupamentos e a aplicação dos
métodos não hierárquicos como uma forma confirmatória dos agrupamentos. Os méto-
dos de WARD e K-médias foram escolhidos po r seu grande uso na literatura, enquanto
os demais foram selecionados para que seus resultados fossem comparados ao método
K-médias. Em particular, foi escolhido o método Fuzzy por sua versatilidade no processo
3.2 Métodos Estatísticos 45
de alocação dos grupos, pois é baseado na lógica fuzzy de conjuntos, e assim formando
grupos de uma maneira diferenciada. Além dos motivos citados para escolha dos méto-
dos, outro foi a disponibilidade destes no software (R Development Core Team, 2007), o
qual é gratuito e de código fonte aberto. E ste programa estatístico dá ao operador uma boa
liberdade na reprogramação de suas rotinas para o cálculo e ain da ap resentação dos resul-
tados de modo elegante. A medida numérica de dissimilaridade entre um par de elementos
amostrais escolhida foi a distância euclidiana, definida na seção 2.4.1. Como os bancos
coletados do STARE estão divididos em imagens de retinas patológicas e não patológicas,
o número de grupos foi dividido em dois para todos os métodos de agrupamento.
3.2.2 Apresentação Gráfica e Validação
Gráfico de Silhueta
O gráfico de silhueta é um procedimento usado para análise de qualidade dos agrupa-
mentos obtidos, apresentados por vários autores como (BARROSO; ARTES, 2003; KAUF-
MAN; ROUSSEEUW, 1990; ROUSSEEUW, 1987). Neste procedimento cada objeto é re-
presentado por um valor da silhueta o qual mostra se este está bem alocado, mal alocado
ou representa um cluster individual.
Dendrogramas
Para ser observada a seqüência de formação dos agrupamentos, foi construído o den-
drograma para o método Ward de agrupamento.
Correlação Cofenética
A correlação é uma medida de validação utilizada principa lmente para os métodos de
agrupamento hierárquicos. Estas medidas assemelham-se a correlação de Pearson entre
a matriz de distâncias originais e a matriz de distâncias baseadas no dendrograma, esta úl-
tima chamada de Matriz Cofenética. Valores próximos de 1, segundo Bussab et al. (1990)
maiores que 0,8, já indicam uma pequena distorção provocada pelo método de agrupa-
mento. Existem outras maneiras de verificar a qualidade de métodos de agrupamento
tanto hierárquicos quanto não hierárquicos. Isto é feito através d o gráfico de silhueta dos
agrupamentos formados.
46
4 Resultados e Discu ssão
Neste item serão apresentados os resultados da aplicação de métodos de análise de
agrupamento, que teve como finalidade verificar a sensibilidade da análise multifractal para
classificação de imagens de retinas. Como exposto na seção 2.4, estes métodos têm o ob-
jetivo de separar os elementos amostrais em grupos distintos. Esta separação é baseada
em características medidas nos indivíduos da amostra estudada. Como os métodos mul-
tivariados são divididos em hierárquicos e não hierárquicos, os resultados deste estudo
também estão divididos desta forma.
4.1 Métodos Hierárquicos
Esse estudo foi iniciado pela aplicação dos métodos hierárquicos por dois motivos. Pri-
meiro por sua facilidade de execução; e segundo pela facilidade de apresentação gráfica
do resultado. A medida de dissimilaridade usada foi a distância euclidiana. Os dendrogra-
mas expostos a seguir apresentam os grupos formados após a aplicação do método de
Ward aos dados de cada um dos bancos. Aqui será convencionado como bo m resultado a
presença de ape nas imagens de um tipo alocadas em um único grupo
1
.
No ca so das imagens esqueletonizadas segmentadas pelo observador VK para todos
os bancos analisados, 70% de retinas patológicas (P1,P2,P3,P4,P8,P9,P10) formam um
grupo e 30% (P5,P6,P7) se agrupam junto às retinas normais, (Figura 4.1 B,D,F). No caso
das imagens segmentada s manualmente pelo mesmo observador, o grupo de retinas pa-
tológicas contém 60% do total, sendo que a retina (P10) encontrada no grupo anterior foi
deslocada para o grupo de retinas normais (Figura 4.2 B,D,F). N o caso do observador
AH, os resultados não são tão consistentes (Figura 4.1 & Figura 4.2 A,C,E ), pois não se
tem a homogeneidade encontrada tanto para as imagens esqueletonizadas quanto para as
imagens seg menta das manualmente, onde para o banco 3 tem-se um grupo constituído
1
Os resultados serão informados através de porcentagens de alocação, como por exemplo, se 10 imagens
patológicas são encontradas em um grupo, tem-se 100% de alocação.
4.1 Métodos Hierárquicos 47
apenas de imagens de um tipo.
Os resultados citados no parágrafo anterior mostram que as imagens segmentadas
pelo observador VK produzem resultados melhores e mais regulares do que as imagens
segmentadas pelo observado AH. Isto pode ser explicado pelo fato de que a segmentação
manual feita pelo mesmo resulta em imagens mais detalhadas. E em ambos os casos,
as imagens esqueletonizadas mostraram-se melhores para aplicação do método de agru-
pamento com a formação de grupos homogêneos
2
. Isso evidencia que as alterações em
comprimento e ramificação dos vasos são mais sign ificantes para detecção de casos pa-
tológicos do q ue a largura dos vasos.
Para avaliar os resultados apresentados pelos dendrogramas pode-se usar a correla-
ção cofenética, a qua l mede o grau de distorção provocado pela aplicação do dendrograma
nos resultados. Os seus valores são apresentados na Tabela 4 .1. Segundo Bussab et al.
(1990) o valor ideal desta correlação é subjetivo e aconselha a os leitores um patamar em
torno de 0, 8, o qual já indica uma pequena distorção provocada pelo dendrograma. Logo,
observando a Tabela 4.1, na qual estão exibidas as correlações, pode-se observar que o
observador VK em todos os bancos possui uma correlação maior quando comparado com
o observador AH. Focalizando agora o observador VK individua lmente, percebe-se que o
mesmo possui valores maiores de correlação para imagens segmentadas manualmente.
Isso mostra que o resumo realizado pelo dendrograma é mais sensível para a segmentação
manual com o diâmetro dos vasos incluído no cálculo da análise da dimensão multifractal.
Tabela 4.1: Correlações cofenéticas para os agrupamentos formados pelo método hierár-
quico
Bancos Banco 1 Banco 2 Banco 3
Observador AH VK AH VK AH VK
Esqueletonizadas 0,63 0,71 0,57 0,75 0,69 0,87
Seg. Manualmente
0,58 0,86 0,58 0,85 0,59 0,9
Observando estes resultados como uma avaliação inicial percebe-se que os dados
podem ser usados como variáveis de classificação. Mas, para confirmar esta afirmação,
serão usados os métodos de classificação não hierárquicos.
2
Aqui este termo indica grupos com apenas um tipo de imagem.
4.1 Métodos Hierárquicos 48
N3
N4
N10
P6
P5
P7
N2
N5
N1
N8
N9
N6
N7
P8
P9
P4
P3
P10
P1
P2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens Esqueletonizadas Obs. AH, Banco 1
Método WARD
imagens
Height
A
P9
P10
P1
P3
P4
P2
P8
P7
N4
N3
N10
N2
N6
P6
N5
N7
N9
N1
P5
N8
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Imagens Esqueletonizadas Obs. VK, Banco 1
Método WARD
imagens
Height
B
N4
N10
N5
N1
N8
N3
N6
N7
N9
N2
P5
P7
P2
P1
P6
P4
P3
P10
P8
P9
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens Esqueletonizadas Obs. AH, Banco 2
Método WARD
imagens
Height
C
P10
P3
P1
P4
P9
P2
P8
P7
N3
N4
N10
N1
N8
P5
N7
N9
N2
N6
P6
N5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Imagens Esqueletonizadas Obs. VK, Banco 2
Método WARD
imagens
Height
D
P9
P8
P3
P10
P2
P4
P1
P6
P5
N2
P7
N9
N4
N10
N3
N6
N7
N5
N1
N8
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Imagens Esqueletonizadas Obs. AH, Banco 3
Método WARD
imagens
Height
E
N4
N10
N5
P6
N8
N1
N9
P5
N7
N3
P7
N2
N6
P8
P2
P9
P3
P10
P1
P4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens Esqueletonizadas Obs. VK, Banco 3
Método WARD
imagens
Height
F
Figura 4.1: Dendrogramas expondo a hierarquia dos agrupamentos formados após a apli-
cação do método de Ward às imagens esqueletonizadas, para ca da um dos bancos e
observadores.
4.1 Métodos Hierárquicos 49
N4
N5
N10
N7
P5
N9
P4
P9
N6
P7
N1
N2
N8
P6
P10
P3
P8
N3
P1
P2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Imagens Seg. Manualmente Obs. AH, Banco 1
Método WARD
imagens
Height
A
P1
P3
P8
P9
P2
P4
P6
P10
N8
N9
P7
N6
N5
N10
P5
N7
N4
N3
N1
N2
0.0 0.5 1.0 1.5
Imagens Seg. Manualmente Obs. VK, Banco 1
Método WARD
imagens
Height
B
N4
N5
N10
N7
P5
N9
P4
P9
P3
P8
P1
P2
P6
N3
N2
P7
P10
N6
N1
N8
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Imagens Seg. Manualmente Obs. AH, Banco 2
Método WARD
imagens
Height
C
P1
P8
P3
P9
P2
P4
P6
P10
N9
N7
N8
N3
N1
N2
N4
N10
P5
P7
N5
N6
0.0 0.5 1.0 1.5
Imagens Seg. Manualmente Obs. VK, Banco 2
Método WARD
imagens
Height
D
P9
P2
P1
P6
P3
P4
P8
N10
N4
N5
N1
N3
N2
P7
P10
P5
N9
N6
N7
N8
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Imagens Seg. Manualmente Obs. AH, Banco 3
Método WARD
imagens
Height
E
P1
P3
P8
P9
P2
P4
P10
P5
P6
N3
N7
N8
N4
N10
N5
N6
P7
N9
N1
N2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
Imagens Seg. Manualmente Obs. VK, Banco 3
Método WARD
imagens
Height
F
Figura 4.2: Dendrogramas expondo a hierarquia dos agrupamentos formados após a apli-
cação do método de Ward às imagens segmentadas, para cada um dos b anco s e obser-
vadores.
4.2 Métodos Não Hierárquicos 50
4.2 Métodos Não Hierárquicos
Nesta fase do estudo, a lguns métodos particionais de agrupamento foram aplicado s
como K-médias, PAM, e Fuzzy c-means. Primeiramente, foi aplicado o método K-médias,
passando posteriormente para o método PAM e concluindo com o Fu zzy c-means, verifi-
cando cada um os resultados e validando os resultados através de algumas medidas como
a silhueta e silhueta média.
4.2.1 K-médias
Os resultados do método k-médias estão apresentados na s Tabelas 4.2, 4.3 e 4.4.
Semelhantes aos resultados exibidos pelo método de Ward, para as imagens esqueleto-
nizadas, as retinas patológicas agrupam-se com 80% (P1,P2,P3,P4,P6,P8,P9,P10) para
o observador AH e com 70% (P1,P2,P3,P4,P8,P9,P10) para o observador VK em todos
os bancos analisados. Em todos os casos as retinas normais agrupam-se corretamente.
No caso das imagens segmentadas manualmente pelo observador AK, os dois grupos re-
presentam a mistura de retinas normais e patológicas, enquanto para o observador VK as
retinas patológicas se agrupam com 60% (P1,P2,P3,P4,P8,P9) em todos os bancos anali-
sados. Novamente, as imagens esqueletonizadas mostraram-se melhores para detecção
de casos patológicos.
Tabela 4.2: Grupos formados pelo algoritmo K-médias referentes ao Banco 1
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P1 P5 P5 P1 P1 P5 P5 P1
P2 P7
N1 P2 P2 P6 P6 P2
P3 N1
N4 P3 P3 P7 P7 P3
P4 N2
N5 P4 P4 N1 P10 P4
P6 N3
N6 P6 P8 N2 N1 P8
P8 N4
N7 P7 P9 N3 N2 P9
P9 N5
N9 P8 P10 N4 N3
P10 N6
N10 P9 N5 N4
N7
P10 N6 N5
N8
N2 N7 N6
N9
N3 N8 N7
N10
N8 N9 N8
N10 N9
N10
4.2 Métodos Não Hierárquicos 51
Tabela 4.3: Grupos formados pelo algoritmo K-médias referentes ao Banco 2
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P1 P5 P1 P5 P1 P5 P5 P1
P2 P7
P2 N1 P2 P6 P6 P2
P3 N1
P3 N4 P3 P7 P7 P3
P4 N2
P4 N5 P4 N1 P10 P4
P6 N3
P6 N6 P8 N2 N1 P8
P8 N4
P7 N7 P9 N3 N2 P9
P9 N5
P8 N8 P10 N4 N3
P10 N6
P9 N9 N5 N4
N7
P10 N10 N6 N5
N8
N2 N7 N6
N9
N3 N8 N7
N10
N9 N8
N10 N9
N10
Tabela 4.4: Grupos formados pelo algoritmo K-médias referentes ao Banco 3
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P5 P1 P1 P5 P1 P5 P1 P5
P7 P2
P2 N1 P2 P6 P2 P6
N1 P3
P3 N4 P3 P7 P3 P7
N2 P4
P4 N5 P4 N1 P4 P10
N3 P6
P6 N6 P8 N2 P8 N1
N4 P8
P7 N7 P9 N3 P9 N2
N5 P9
P8 N8 P10 N4 N3
N6 P10
P9 N9 N5 N4
N7
P10 N10 N6 N5
N8
N2 N7 N6
N9
N3 N8 N7
N10
N9 N8
N10 N9
N10
4.2 Métodos Não Hierárquicos 52
Para se obter mais informações a respeito da alocação dos elementos aos grupo s for-
mados usam-se os gráficos de silhueta apresentados nas figuras 4.3 a 4.6. Os gráficos ex-
postos no lado esquerdo das figuras exibem as silhuetas dos agrupamentos formados pelo
método K-médias. Enquanto no lado direito têm-se os gráficos de silhueta dos elementos
agrupados arbitrariamente em dois grupos contendo apenas patológicos e normais. Os va-
lores de s(i) baixos e negativos evidenciam que o objeto está erroneamente alocado a este
grupo. Além disso, valores próximos de zero indicam que o objeto pode ser considerado
como um elemento intermediário segundo Kaufman e Rousseeuw (1990, pg 86).
Os valores da silhueta média são maiores para as imagens esqueletonizadas do que
para as imagens segmentadas manualmente pelo observador AH em todos os bancos.
Este resultado indica que as imagens esqueletonizadas têm uma melhor alocação geral,
confirmando que estas imagens são mais apropriadas para aplicação do método de agru-
pamento. No caso do observador VK não existe uma grande diferença entre os valores
das silhuetas médias para as imagens esqueletonizadas e segmentadas manualmente,
da mesma forma que foi mostrado pelo método de Ward, o método K-médias evidencia a
regularidade nas imagens segmentadas por este observador.
Tabela 4.5: Silhueta média dos agrupamentos formados pelo método K-médias, para todos
os Bancos
Observadores Tipos Banco 1 Banco 2 Banco 3
AH
Esqueletonizadas 0,42 0,35 0,48 0,48 0,56 0,48
Seg. Manualmente 0,30 0,19 0,32 0,21 0,51 0,32
VK
Esqueletonizadas 0,53 0,33 0,59 0,37 0,74 0,40
Seg. Manualmente 0,54 0,28 0,56 0,32 0,76 0,40
4.2 Métodos Não Hierárquicos 53
N2
P5
P7
N3
N9
N6
N4
N10
N7
N1
N5
N8
P6
P1
P8
P2
P9
P4
P10
P3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser. AH, K−médias, Banco 1
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 8 | 0.31
2 : 12 | 0.49
s(i)
A Silhieta média 0.42
N2
N9
N3
N6
N7
N4
N1
N10
N5
N8
P7
P5
P6
P1
P8
P2
P9
P4
P10
P3
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser. AH, K−médias, Banco 1
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.25
2 : 10 | 0.46
s(i)
A’ Silhieta média 0.35
N2
P5
P7
N9
N3
N4
N10
N6
N7
N1
N5
N8
P1
P6
P8
P2
P9
P4
P10
P3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser. AH, K−médias, Banco 2
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 8 | 0.42
2 : 12 | 0.52
s(i)
B Silhieta média 0.48
N2
N9
N3
N7
N6
N4
N10
N1
N5
N8
P7
P5
P1
P6
P8
P9
P2
P4
P10
P3
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser. AH, K−médias, Banco 2
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.32
2 : 10 | 0.49
s(i)
B’ Silhieta média 0.48
P1
P6
P9
P2
P4
P8
P10
P3
N2
P5
P7
N9
N4
N10
N7
N6
N5
N3
N8
N1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser. AH, K−médias, Banco 3
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 12 | 0.56
2 : 8 | 0.56
s(i)
C Silhieta média 0.56
N2
N9
N4
N7
N10
N6
N3
N5
N1
N8
P7
P5
P1
P6
P9
P2
P8
P4
P10
P3
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser. AH, K−médias, Banco 3
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.41
2 : 10 | 0.54
s(i)
C’ Silhieta média 0.48
Figura 4.3: Gráficos de silhuetas das imagens esqueletonizadas, observador AH, dos gru-
pos formados pe lo algoritmo K-médias.
4.2 Métodos Não Hierárquicos 54
P7
N5
P6
N1
N8
P5
N6
N10
N9
N4
N7
N2
N3
P10
P3
P2
P8
P4
P1
P9
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser. VK, K−médias, Banco 1
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 7 | 0.46
2 : 13 | 0.56
s(i)
A Silhieta média 0.53
N5
N1
N8
N6
N10
N4
N2
N9
N7
N3
P5
P6
P7
P10
P3
P4
P8
P1
P2
P9
−0.5 0.0 0.5 1.0
Imagens esquel. obser. VK, K−médias, Banco 1
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.04
2 : 10 | 0.62
s(i)
A’ Silhieta média 0.33
P7
N5
P6
N8
N1
N4
N10
P5
N6
N9
N7
N3
N2
P10
P3
P8
P4
P2
P9
P1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser.VK, K−médias, Banco 2
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 7 | 0.54
2 : 13 | 0.61
s(i)
B Silhieta média 0.59
N5
N8
N4
N1
N6
N10
N7
N9
N3
N2
P5
P6
P7
P10
P3
P4
P9
P1
P8
P2
−0.5 0.0 0.5 1.0
Imagens esquel. obser. VK, K−médias, Banco 2
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.07
2 : 10 | 0.68
s(i)
B’ Silhieta média 0.37
N5
P6
N4
N10
N8
N3
P5
P7
N7
N1
N9
N6
N2
P10
P3
P4
P2
P9
P1
P8
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens esquel. obser.VK, K−médias, Banco 3
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 7 | 0.66
2 : 13 | 0.78
s(i)
C Silhieta média 0.74
N5
N8
N4
N10
N3
N7
N1
N9
N6
N2
P7
P5
P6
P10
P3
P4
P2
P9
P1
P8
−0.5 0.0 0.5 1.0
Imagens esquel. obser.VK, K−médias, Banco 3
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.11
2 : 10 | 0.69
s(i)
C’ Silhieta média 0.4
Figura 4.4: Gráficos de silhuetas das imagens esqueletonizadas, observador VK, dos gru-
pos formados pe lo algoritmo K-médias.
4.2 Métodos Não Hierárquicos 55
P7
N8
N3
P4
N2
P10
P9
P6
P1
P8
P2
P3
N1
N6
N5
N7
N9
P5
N4
N10
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens seg. manual. obser. AH, K−médias, Banco 1
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 8 | 0.41
2 : 12 | 0.23
s(i)
A Silhieta média 0.3
N2
N3
N8
N7
N1
N9
N10
N4
N6
N5
P5
P7
P10
P1
P4
P2
P6
P3
P9
P8
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens seg. manual. obser. AH, K−médias, Banco 1
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.11
2 : 10 | 0.27
s(i)
A’ Silhieta média 0.19
N1
N8
N7
N6
N5
P5
N9
N4
N10
P7
N3
P10
P4
N2
P9
P1
P6
P2
P8
P3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens seg. manual. obser. AH, K−médias, Banco 2
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 11 | 0.24
2 : 9 | 0.41
s(i)
B Silhieta média 0.32
N2
N3
N7
N1
N9
N8
N10
N6
N5
N4
P5
P10
P7
P1
P2
P4
P6
P9
P3
P8
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens seg. manual. obser. AH, K−médias, Banco 2
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.15
2 : 10 | 0.27
s(i)
B’ Silhieta média 0.21
N1
N7
N6
N8
N10
N4
P5
N5
N9
N3
P10
P7
N2
P9
P3
P2
P4
P8
P1
P6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens seg. manual. obser. AH, K−médias, Banco 3
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 11 | 0.50
2 : 9 | 0.52
s(i)
C Silhieta média 0.51
N2
N3
N1
N7
N10
N8
N6
N9
N4
N5
P5
P10
P7
P9
P2
P1
P6
P3
P4
P8
−0.5 0.0 0.5 1.0
Imagens seg. manual. obser. AH, K−médias, Banco 3
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.29
2 : 10 | 0.34
s(i)
C’ Silhieta média 0.32
Figura 4.5: Gráficos de silhuetas das imagens se gmen tada s manualmente, observador
AH, dos grupos formados pelo algoritmo K-médias.
4.2 Métodos Não Hierárquicos 56
P1
P3
P8
P9
P4
P2
P10
N3
P6
N1
N4
P5
N2
N8
N9
N7
N5
N10
P7
N6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens seg. manual. obser. VK, K−Médias, Banco 1
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 14 | 0.53
2 : 6 | 0.56
s(i)
A Silhieta média 0.54
N3
N8
N9
N7
N1
N4
N2
N6
N5
N10
P7
P5
P6
P10
P3
P1
P8
P9
P4
P2
−0.5 0.0 0.5 1.0
Imagens seg. manual. obser. VK, K−Médias, Banco 1
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.08
2 : 10 | 0.47
s(i)
A’ Silhieta média 0.28
P8
P3
P1
P9
P4
P2
P10
P6
N3
N8
N1
N2
N7
N4
P5
N9
N10
P7
N6
N5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens seg. manual. obser. VK, K−Médias, Banco 2
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 14 | 0.55
2 : 6 | 0.58
s(i)
B Silhieta média 0.56
N8
N7
N3
N9
N1
N4
N2
N6
N5
N10
P7
P5
P6
P10
P3
P8
P9
P4
P1
P2
−0.5 0.0 0.5 1.0
Imagens seg. manual. obser. VK, K−Médias, Banco 2
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.11
2 : 10 | 0.52
s(i)
B’ Silhieta média 0.32
P10
N4
N7
N10
N8
P6
N3
P5
N1
N9
N6
N2
N5
P7
P8
P3
P9
P1
P4
P2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Imagens seg. manual. obser. VK, K−Médias, Banco 3
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 6 | 0.79
2 : 14 | 0.75
s(i)
C Silhieta média 0.76
N7
N3
N4
N8
N10
N1
N2
N9
N6
N5
P7
P5
P6
P10
P8
P3
P9
P4
P2
P1
−0.5 0.0 0.5 1.0
Imagens seg. manual. obser. VK, K−Médias, Banco 3
n = 20
2 clusters C
j
j : n
j
| ave
i∈Cj
s
i
1 : 10 | 0.08
2 : 10 | 0.71
s(i)
C’ Silhieta média 0.4
Figura 4.6: Gráficos de silhuetas das imagens se gmen tada s manualmente, observador
VK, dos grupos formados pelo algoritmo K-médias.
4.2 Métodos Não Hierárquicos 57
4.2.2 PAM e Fuzzy c-means
Os grupos formados por estes métodos de agrupamento, são apresentados nas Ta-
belas de 4.6 a 4.11. No caso das retinas esqueletonizadas os resultados são idênticos
ao método K-médias com exceção do método PAM para banco 2 observador AH onde a
imagem (P1) foi alocada ao grupo onde estão alocadas as imagens normais. No caso das
imagens segmentadas manualmente surgem outras diferenças em relação ao K-médias.
No método PAM banco 1 observador AH, foi obtido um grupo de retinas patológicas com
70% do total, contra uma mistura encontrada para o método K-médias. Já no método
FUZZY foram encontradas diferenças para o banco 2, observador VK no grupo onde se
encontram apenas imagens patológicas, com acréscimo da imagem P10.
Estas afirmações podem ser confirmadas através da análise dos valores das probabili-
dades de pertinência expostos nas Tabelas 4.12 a 4.14. Nestas Tabelas, pode-se observar
que as maiores probabilidades de pertinência de cada um dos elementos são dadas aos
grupos que estão apresentados nas Tabelas 4.9, 4.10 e 4.11, confirmando assim os resul-
dados dos agrupamentos formados.
Tabela 4.6: Grupos formados pelo algoritmo PAM referentes ao Banco 1
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P1 P5 P1 P5 P1 P5 P1 P5
P2 P7
P2 P7 P2 P6 P2 P6
P3 N1
P3 P10 P3 P7 P3 P7
P4 N2
P4 N1 P4 N1 P4 P10
P6 N3
P6 N2 P8 N2 P8 N1
P8 N4
P8 N3 P9 N3 P9 N2
P9 N5
P9 N4 P10 N4 N3
P10 N6
N5 N5 N4
N7
N6 N6 N5
N8
N7 N7 N6
N9
N8 N8 N7
N10
N9 N9 N8
N10 N10 N9
N10
4.2 Métodos Não Hierárquicos 58
Tabela 4.7: Grupos formados pelo algoritmo PAM referentes ao Banco 2
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P1 P2 P1 P4 P1 P5 P1 P5
P5 P3
P2 P5 P2 P6 P2 P6
P7 P4
P3 N4 P3 P7 P3 P7
N1 P6
P6 N7 P4 N1 P4 P10
N2 P8
P7 N9 P8 N2 P8 N1
N3 P9
P8 N10 P9 N3 P9 N2
N4 P10
P9 P10 N4 N3
N5
P10 N5 N4
N6
N1 N6 N5
N7
N2 N7 N6
N8
N3 N8 N7
N9
N5 N9 N8
N10
N6 N10 N9
N8 N10
Tabela 4.8: Grupos formados pelo algoritmo PAM referentes ao Banco 3
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P1 P5 P1 P5 P1 P5 P1 P5
P2 P7
P2 N1 P2 P6 P2 P6
P3 N1
P3 N4 P3 P7 P3 P7
P4 N2
P4 N5 P4 N1 P4 P10
P6 N3
P6 N6 P8 N2 P8 N1
P8 N4
P7 N7 P9 N3 P9 N2
P9 N5
P8 N8 P10 N4 N3
P10 N6
P9 N9 N5 N4
N7
P10 N10 N6 N5
N8
N2 N7 N6
N9
N3 N8 N7
N10
N9 N8
N10 N9
N10
4.2 Métodos Não Hierárquicos 59
Tabela 4.9: Grupos formados pelo algoritmo FUZZY referentes ao Banco 1
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P5 P1 P1 P5 P5 P1 P1 P5
P7 P2
P2 P7 P6 P2 P2 P6
N1 P3
P3 N1 P7 P3 P3 P7
N2 P4
P4 N4 N1 P4 P4 P10
N3 P6
P6 N5 N2 P8 P8 N1
N4 P8
P8 N6 N3 P9 P9 N2
N5 P9
P9 N7 N4 P10 N3
N6 P10
P10 N8 N5 N4
N7
N2 N9 N6 N5
N8
N3 N10 N7 N6
N9
N8 N7
N10
N9 N8
N10 N9
N10
Tabela 4.10: Grupos formados pelo algoritmo FUZZY referentes ao Banco 2
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P5 P1 P5 P1 P5 P1 P5 P1
P7 P2
N1 P2 P6 P2 P6 P2
N1 P3
N4 P3 P7 P3 P7 P3
N2 P4
N5 P4 N1 P4 N1 P4
N3 P6
N6 P6 N2 P8 N2 P8
N4 P8
N7 P7 N3 P9 N3 P9
N5 P9
N8 P8 N4 P10 N4 P10
N6 P10
N9 P9 N5 N5
N7
N10 P1 0 N6 N6
N8
N2 N7 N7
N9
N3 N8 N8
N10
N9 N9
N10 N10
4.2 Métodos Não Hierárquicos 60
Tabela 4.11: Grupos formados pelo algoritmo FUZZY referentes ao Banco 3
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
P5 P1 P5 P1 P1 P5 P5 P1
P7 P2
N1 P2 P2 P6 P6 P2
N1 P3
N4 P3 P3 P7 P7 P3
N2 P4
N5 P4 P4 N1 P10 P4
N3 P6
N6 P6 P8 N2 N1 P8
N4 P8
N7 P7 P9 N3 N2 P9
N5 P9
N8 P8 P10 N4 N3
N6 P10
N9 P9 N5 N4
N7
N10 P1 0 N6 N5
N8
N2 N7 N6
N9
N3 N8 N7
N10
N9 N8
N10 N9
N10
Tabela 4.12: Probabilidade de pertinência para o Banco 1
Retinas
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
1 2 Escolha 1 2 Escolha 1 2 Escolha 1 2 Escolha
P1 0,34 0,66 2,00 0,76 0,24 1,00 0,02 0,98 2,00 0,81 0,19 1,00
P2
0,20 0,80 2,00 0,88 0,12 1,00 0,15 0,85 2,00 0,98 0,02 1,00
P3 0,01 0,99 2,00 0,91 0,09 1,00 0,17 0,83 2,00 0,89 0,11 1,00
P4 0,01 0,99 2,00 0,59 0,41 1,00 0,08 0,92 2,00 0,93 0,07 1,00
P5
0,68 0,32 1,00 0,14 0,86 2,00 0,91 0,09 1,00 0,08 0,92 2,00
P6 0,28 0,72 2,00 0,91 0,09 1,00 0,86 0,14 1,00 0,21 0,79 2,00
P7 0,76 0,24 1,00 0,45 0,55 2,00 0,69 0,31 1,00 0,01 0,99 2,00
P8
0,33 0,67 2,00 0,91 0,09 1,00 0,14 0,86 2,00 0,92 0,08 1,00
P9 0,14 0,86 2,00 0,69 0,31 1,00 0,08 0,92 2,00 0,95 0,05 1,00
P10
0,01 0,99 2,00 0,72 0,28 1,00 0,20 0,80 2,00 0,34 0,66 2,00
N1 0,94 0,06 1,00 0,10 0,90 2,00 0,87 0,13 1,00 0,18 0,82 2,00
N2 0,61 0,39 1,00 0,70 0,30 1,00 0,99 0,01 1,00 0,11 0,89 2,00
N3
0,82 0,18 1,00 0,54 0,46 1,00 0,96 0,04 1,00 0,25 0,75 2,00
N4 0,86 0,14 1,00 0,17 0,83 2,00 0,94 0,06 1,00 0,15 0,85 2,00
N5 0,94 0,06 1,00 0,23 0,77 2,00 0,84 0,16 1,00 0,03 0,97 2,00
N6
0,93 0,07 1,00 0,07 0,93 2,00 0,96 0,04 1,00 0,01 0,99 2,00
N7 0,97 0,03 1,00 0,15 0,85 2,00 0,99 0,01 1,00 0,03 0,97 2,00
N8 0,96 0,04 1,00 0,49 0,51 2,00 0,92 0,08 1,00 0,13 0,87 2,00
N9
0,84 0,16 1,00 0,16 0,84 2,00 0,97 0,03 1,00 0,12 0,88 2,00
N10 0,88 0,12 1,00 0,17 0,83 2,00 0,93 0,07 1,00 0,03 0,97 2,00
Assim, é possível perceber que nos métodos PAM e Fuzzy as imagens esqueletoni-
zadas possuem resultados que apresentam melhores alocaçõ es do que imagens segmen-
tadas manualmente. E ainda, as imagens segmentadas pelo observador AH possuem
4.2 Métodos Não Hierárquicos 61
Tabela 4.13: Probabilidade de pertinência para o Banco 2
Retinas
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
1 2 Escolha 1 2 Escolha 1 2 Escolha 1 2 Escolha
P1 0,36 0,64 2,00 0,21 0,79 2,00 0,02 0,98 2,00 0,04 0,96 2,00
P2 0,11 0,89 2,00 0,10 0,90 2,00 0,09 0,91 2,00 0,03 0,97 2,00
P3
0,01 0,99 2,00 0,06 0,94 2,00 0,13 0,87 2,00 0,17 0,83 2,00
P4 0,00 1,00 2,00 0,37 0,63 2,00 0,07 0,93 2,00 0,06 0,94 2,00
P5 0,64 0,36 1,00 0,83 0,17 1,00 0,98 0,02 1,00 0,94 0,06 1,00
P6
0,25 0,75 2,00 0,03 0,97 2,00 0,91 0,09 1,00 0,72 0,28 1,00
P7 0,78 0,22 1,00 0,48 0,52 2,00 0,66 0,34 1,00 1,00 0,00 1,00
P8
0,19 0,81 2,00 0,07 0,93 2,00 0,10 0,90 2,00 0,12 0,88 2,00
P9 0,15 0,85 2,00 0,29 0,71 2,00 0,09 0,91 2,00 0,06 0,94 2,00
P10 0,02 0,98 2,00 0,41 0,59 2,00 0,17 0,83 2,00 0,50 0,50 2,00
N1
0,97 0,03 1,00 0,80 0,20 1,00 0,93 0,07 1,00 0,88 0,12 1,00
N2 0,56 0,44 1,00 0,27 0,73 2,00 1,00 0,00 1,00 0,90 0,10 1,00
N3 0,93 0,07 1,00 0,47 0,53 2,00 0,98 0,02 1,00 0,88 0,12 1,00
N4
0,88 0,12 1,00 0,85 0,15 1,00 0,93 0,07 1,00 0,89 0,11 1,00
N5 0,96 0,04 1,00 0,79 0,21 1,00 0,84 0,16 1,00 0,99 0,01 1,00
N6 0,97 0,03 1,00 0,90 0,10 1,00 0,99 0,01 1,00 0,99 0,01 1,00
N7
0,98 0,02 1,00 0,88 0,12 1,00 0,99 0,01 1,00 0,92 0,08 1,00
N8 0,98 0,02 1,00 0,86 0,14 1,00 0,94 0,06 1,00 0,83 0,17 1,00
N9
0,81 0,19 1,00 0,87 0,13 1,00 0,98 0,02 1,00 0,95 0,05 1,00
N10
0,89 0,11 1,00 0,83 0,17 1,00 0,95 0,05 1,00 0,96 0,04 1,00
Tabela 4.14: Probabilidade de pertinência para o Banco 3
Retinas
Observador AH Observador VK
Esqueletonizadas Seg. Manualmente Esqueletonizadas Seg. Manualmente
1 2 Escolha 1 2 Escolha 1 2 Escolha 1 2 Escolha
P1 0,32 0,68 2,00 0,00 1,00 2,00 0,99 0,01 1,00 0,00 1,00 2,00
P2
0,03 0,97 2,00 0,02 0,98 2,00 0,95 0,05 1,00 0,02 0,98 2,00
P3 0,01 0,99 2,00 0,05 0,95 2,00 0,87 0,13 1,00 0,03 0,97 2,00
P4 0,00 1,00 2,00 0,01 0,99 2,00 0,97 0,03 1,00 0,02 0,98 2,00
P5
0,62 0,38 1,00 0,98 0,02 1,00 0,01 0,99 2,00 0,99 0,01 1,00
P6 0,21 0,79 2,00 0,00 1,00 2,00 0,06 0,94 2,00 0,97 0,03 1,00
P7 0,78 0,22 1,00 0,24 0,76 2,00 0,01 0,99 2,00 1,00 0,00 1,00
P8
0,02 0,98 2,00 0,02 0,98 2,00 0,97 0,03 1,00 0,05 0,95 2,00
P9
0,14 0,86 2,00 0,22 0,78 2,00 0,96 0,04 1,00 0,02 0,98 2,00
P10 0,01 0,99 2,00 0,32 0,68 2,00 0,84 0,16 1,00 0,62 0,38 1,00
N1
1,00 0,00 1,00 0,57 0,43 1,00 0,00 1,00 2,00 0,99 0,01 1,00
N2 0,57 0,43 1,00 0,19 0,81 2,00 0,00 1,00 2,00 1,00 0,00 1,00
N3 0,99 0,01 1,00 0,32 0,68 2,00 0,02 0,98 2,00 0,97 0,03 1,00
N4
0,89 0,11 1,00 0,91 0,09 1,00 0,06 0,94 2,00 0,93 0,07 1,00
N5 0,97 0,03 1,00 0,93 0,07 1,00 0,14 0,86 2,00 1,00 0,00 1,00
N6
0,98 0,02 1,00 0,94 0,06 1,00 0,00 1,00 2,00 0,99 0,01 1,00
N7
0,98 0,02 1,00 0,87 0,13 1,00 0,01 0,99 2,00 0,96 0,04 1,00
N8 0,99 0,01 1,00 0,93 0,07 1,00 0,04 0,96 2,00 0,97 0,03 1,00
N9
0,88 0,12 1,00 0,99 0,01 1,00 0,00 1,00 2,00 0,99 0,01 1,00
N10 0,90 0,10 1,00 0,89 0,11 1,00 0,05 0,95 2,00 0,96 0,04 1,00
4.2 Métodos Não Hierárquicos 62
silhuetas médias menores do que as imagens segmentadas pelo observador VK, para as
imagens segmentadas manualmente, para todos os bancos.
Para verificar a qualidade do s grupos formados podem-se usar as silhuetas médias
apresentadas nas Tabelas 4.15 e 4.16. Nestas tabelas, as silhuetas médias das imagens
esqueletonizadas são maiores do que as das imagens segmentadas manualmente como
também as silhuetas médias do observador AH são menores que as silhuetas das imagens
segmentadas pelo observador VK, ratificado assim as afirmações delineadas no parágrafo
anterior.
Tabela 4.15: Silhueta média dos agrupamentos formados pelo método PAM p ara todos os
Bancos
Observadores Tipos Banco 1 Banco 2 Banco 3
AH
Esqueletonizada 0,42 0,35 0,48 0,48 0,56 0,48
Seg. Manualmente 0,32 0,19 0,26 0,21 0,51 0,32
VK
Esqueletonizada 0,53 0,33 0,59 0,37 0,74 0,40
Seg. Manualmente 0,54 0,28 0,56 0,32 0,76 0,40
Tabela 4.16: Silhueta média dos agrupamentos formados pelo método Fuzzy para todos
os Bancos
Observadores Tipos Banco 1 Banco 2 Banco 3
AH
Esqueletonizada 0,42 0,35 0,48 0,48 0,56 0,48
Seg. Manualmente 0,28 0,19 0,32 0,21 0,51 0,32
VK
Esqueletonizada 0,53 0,33 0,59 0,37 0,74 0,40
Seg. Manualmente 0,54 0,28 0,54 0,32 0,76 0,40
Observando todos os agrupamentos formados pe los métodos hierárquicos e não hie-
rárquicos, nota-se que quase sempre as mesmas imagens deslocam-se do grupo imagens
patológicas para o grupo de imagens normais. Usando esta quantidade para as imagens
que se deslocaram como medida de er ro, pode-se fazer uma análise mais profunda dos
resultados obtidos. Estas imagens estão expo stas nas Tabelas 4.17 e 4.18. Assim, para
as imagens esqueletonizadas, observam-se que as imagens patológicas (P5,P7; 20%) são
deslocadas do seu grupo para o grupo de imagens normais em todos os métodos exceto no
método de Ward no Banco 2 para o observador AH. Já para o observador VK, as imagens
deslocadas para todos os métodos de agrupamento são as (P5,P6,P7; 30%). Analisando
a Tabela 4.18, o bserva-se que para o observador AH apenas a imagem (P5; 10%) é des-
locada para todos os bancos, com exceção do Banco 2 para o método PAM. E do mesmo
modo que ocorreu para o observador VK para as imagens esqueletonizadas, tem-se uma
repetição das (P5,P6 ,P7, P10; 10%) para todos os métodos, exceto para o método Fuzzy
4.2 Métodos Não Hierárquicos 63
c-means no Banco 2. Este comportamento indica que as imagens (P5,P7) e talvez as (P6
e P10) sejam imagens de retinas com a presença de um tipo de patologia que não altere a
árvore vascular da retina. Considerando esta alocação errônea como uma margem de erro,
e usando como medida de comparação, as imagens esqueletonizadas produzem melhores
resultados, bem como o o bservador VK é mais constante em suas segmentações.
Tabela 4.17: Imagens esqueletonizadas alocadas em grupo oposto ao tipo ao qual fazem
parte
Ward K-Médias PAM Fuzzy-cmeans
Bancos 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
AH
P5 N7 P1 P5 P5 P5 P5 P1 P5 P5 P5 P5
P6 N9 P5 P7 P7 P7 P7 P5 P7 P7 P7 P7
P7 P6 P7
P7
VK
P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5
P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6
P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7
Tabela 4.18: Imagens segmentadas manualmente alocadas em grupo oposto ao t ipo ao
qual fazem par te
Métodos Ward K-Médias PAM Fuzzy-cmeans
Bancos 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
AH
P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 N1 P5 P5 P5 P5
N1 N1 P7 N2 N2 N2 P7 N2 N2 P7 N2 N2
N2 N2 P10 N3 N3 N3 P10 N3 N3 N2 N3 N3
N3 N3 N8 N5 N3
N6 N6 N6
N8 N8 N8
P4
P5
VK
P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5 P5
P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6 P6
P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7 P7
P10 P10 P10 P10 P10 P10 P10 P10 P10 P10 P10
64
5 Conclusões
A inspeção do sistema vascular da retina humana é extremamente importante para
detecção de doenças como retinopatia diabética e oclusão de vasos causada pela hi-
pertensão e arteriosclerose. Estas doenças se manifestam como alterações em vasos
sangüíneos da retina e têm como conseqüência a diminuição da visão do p aciente e em
estados avançados podem levar a cegueira. Para prevenir danos irreversíveis é necessá-
ria a detecção precoce dessas doenças. Isso pode ser feito através de exames periódicos
incluindo a inspeção da imagem da retina obtida pelo fundus câmera, angiografia, junta-
mente com outros aparelhos de captação de imagens que estão em constante evolução.
Um método automático composto de segmentação dos vasos, e posterior análise de va-
sos segmentados usando modelos matemáticos físicos e estatísticos, pode ser usado na
detecção dessas doenças, mas ainda representa um desafio para ciência. Durante a dé-
cada passada foram feitas várias tentativas com o uso da dimensão fractal para descrever
e quantificar as propriedades geométricas do sistema vascular da retina humana (MAS-
TERS, 2004). Os resultados ainda não são conclusivos principalmente porque não existe
um método eficiente e preciso de segmentação automática de vasos a partir da imagem
obtida pelo fundus câmera, a ngio grafia e outros aparelhos. Na maioria dos estudos foram
usadas imagens segmentadas manualmente que incluem fatores subjetivos como o nível
dos detalhes de segmentação e que depende do treinamento do observador.
Recentemente, foi mostrado que o sistema vascular da retina possui uma complexi-
dade maior do que um fractal simples representando um multifractal geométrico caracte-
rizado pela hierarquia de expoentes e espectro multifractal não trivial (STOSIC; STOSIC,
2006). Os resultados da análise multifractal de retinas patológicas e retinas n ormais indi-
cam que essa pode ser usada para detectar casos patológicos. Para analisar essa pos-
sibilidade, aplicam-se métodos de agrupamento nos resultados da análise multifractal das
imagens de retinas segmentadas manualmente e também das imagens esqueletonizadas.
As variáveis usadas no agrupamento foram as dimensões fractais generalizadas e os ele-
mentos de espectro multifractal, dos quais foram escolhidos três conjuntos distintos. Os
métodos de agrupamento usados foram Ward, K-médias, PAM e Fuzzy c-means. Para
5 Conclusões 65
avaliar os grupos formados foram usados a correlação cofenética e o gráfico da silhueta.
Os resultados obtidos após a aplicação dos quatro métodos de agrupamento usand o como
variáveis três conjuntos de dados extraídos dos resultados da análise multifractal das ima-
gens segmentadas manualmente pelo dois observadores e também das mesmas imagens
esqueletonizadas (sendo 10 imagens de retinas normais e 10 de retinas patológicas) mos-
traram que:
a) As imagens esqueletonizadas são mais apropriadas para identificação de casos pa-
tológicos que as imagens segmentadas manualmente. Para imagens esqueletoniza-
das, 70-80% das retinas patológicas (dependendo do método e conjunto de variáveis
usadas) foram agrupadas corretamente, enquanto qu e as imagens segmentadas ma-
nualmente os resultados não foram consistentes. Este fato indica que o comprimento
de vasos e suas ramificações são fatores mais relevantes para as conclusões da
análise atual do que a largura dos vasos.
b) O fato d o deslocamento das retinas pa tológicas P5, P6 e P7 para o grupo de retinas
normais, observado em todos os casos de agrupamento (usando as imagens esque-
letonizadas), pode significar que essas retinas não possuem patologias que causam
alterações nos vasos. O banco de dados STARE de onde se or iginaram as imagens
usadas no estudo atual, não disponibiliza informações sobre o tipo das patologias.
c) A diferença nos resultados de agrupamento para as retinas segmentadas pelo dois
observadores, indica a necessidade de desenvolvimento de algoritmos eficientes de
segmentação automática que deverão provavelmente eliminar os fatores subjetivos
(Influência de Julgadores) presentes na segmentação manual. Além disso, a seg-
mentação automática possibilitará o uso de amostras de tamanho maior, aumentando
a consistência das análises estatísticas.
Finalmente, é possível concluir que a análise multifractal (com pré-processamento ade-
quado das imagens e escolha das variáveis) pode ser utilizada para detecção de casos
patológicos da retina humana.
Uma seqüência natural desse trabalho seria analisar uma patologia específica (e.g. re-
tinopatia diabética) usando amostras de tamanho maior e outros métodos de agrupamento
(e.g. Análise de Discriminante).
66
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