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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
E
SCOLA DE ENGENHARIA
D
EPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
P
ROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
Avaliação dos Estimadores EKF, CEKF e
MHE para Aplicações em Linha em
Processos
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Giovani Tonel
Porto Alegre
2008
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I
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
E
SCOLA DE ENGENHARIA
D
EPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
P
ROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
Avaliação dos Estimadores EKF, CEKF e
MHE para Aplicações em Linha em
Processos
Giovani Tonel
Dissertação de Mestrado apresentada como
requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Engenharia
Área de concentração: Pesquisa e
Desenvolvimento de Processos
Linha: Modelagem, Simulação e Controle de
Processos
Orientadores:
Prof. Dr. Argimiro Resende Secchi
Prof. Dr. Jorge Otávio Trierweiler
Porto Alegre
2008
II
III
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
E
SCOLA DE ENGENHARIA
D
EPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
P
ROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação Avaliação
dos Estimadores EKF, CEKF e MHE para Aplicações em Linha em Processos,
elaborado por Giovani Tonel, como requisito parcial para obtenção do Grau de
Mestre em Engenharia.
Comissão Examinadora:
Dr. Eng. Luís Gustavo Soares Longhi - REFAP
Prof. Dr. Rafael de Pelegrini Soares - DEQUI/UFRGS
Prof. Dr. Walter Fetter Lages – DELET/UFRGS
IV
V
Agradecimentos
Gostaria de agradecer a minha família, minhas irmãs Adriane Tonel Dognini e
Tatiana Tonel e em especial aos meus pais Selito Tonel e Teresinha Lando Tonel,
pelo empenho de esforços ilimitados, sejam eles de caráter financeiro ou afetivo,
para que eu pudesse de forma satisfatória realizar os meus estudos desde a
Graduação até este curso de Mestrado.
A minha namorada, Danielle Paula Martins, por estar sempre ao meu lado me
apoiando e dividindo angústias e alegrias durante quase todo o período do curso do
Mestrado.
Aos meus orientadores Argimiro Resende Secchi e Jorge Otávio Trierweiler,
por dedicarem seus já limitados tempos na orientação deste trabalho. Ao Jorge ainda
pela parceria nas corridas semanais, em fins de tarde no Parque da Redenção e nos
finais de semana na Orla do Guaíba.
Ao Mestrando Rodolfo Rodrigues e o Mestre Silvio Roberto Taffarel pelo
companheirismo e amizade desde o curso de graduação na Universidade Federal de
Santa Maria.
Ao Mestrando Sebastian Julio de Souza pelo coleguismo e amizade durante o
curso de Mestrado.
Por último gostaria de agradecer ao órgão financiador CAPES, pelo fomento
desta pesquisa.
VI
VII
Resumo
Devido aos constantes avanços computacionais, bem como o
desenvolvimento de eficientes métodos para a solução de problemas de otimização
não-lineares, tem-se tornado interessante a realização de otimização em tempo real e
como conseqüência o uso de estimadores on-line em processos químicos não
lineares. Neste sentido, a atualização automática de modelos de processos torna-se
interessante permitindo a realização de estimativas em tempo real de variáveis
infreqüentemente medidas e/ou imensuráveis e de variáveis estados e parâmetros
desconhecidos que são variantes no tempo. Usualmente, a atualização automática de
modelos é feita baseado em algumas variáveis secundárias que são medidas on-line,
como temperatura, pressão, composição e vazão.
Nos estimadores baseados no filtro de Kalman, como o EKF e CEKF, os
esforços computacionais são relativamente pequenos, variando de um simples
cálculo algébrico de um ganho, por exemplo, o EKF, até a resolução de problema de
otimização quadrático, como exemplo o CEKF. Estes pequenos esforços
computacionais permitem rápidos resultados com relativa acuracidade, mas estes
estimadores baseados no filtro de Kalman podem falhar quando o sistema tem
acentuada não-linearidade, por exemplo. De outra maneira, a formulação MHE é
capaz de tratar uma vasta gama de sistemas não-lineares, como aqueles que têm
inversão do sinal de ganho de acordo com o ponto de operação. No entanto, na
formulação MHE tem-se a necessidade de se resolver um problema NLP não
convexo com muitas equações de desigualdade e graus de liberdade, e como
conseqüência o tempo de processamento torna-se maior que o tempo de amostragem,
fazendo impraticável a execução de ações de controle sobre o sistema em tempo real.
Assim, é necessário a implementação de eficientes técnicas para resolver de maneira
rápida os problemas de otimização dinâmica envolvidos na formulação MHE. Neste
trabalho as estratégias seqüencial e simultânea são exploradas, almejando-se a
aceleração da solução dos estágios de integração e otimização dinâmica do estimador
MHE, permitindo uma ampla avaliação entre o estimador MHE e os estimadores
baseados no filtro de Kalman.
Os estimadores foram aplicados para sete estudos de caso, como a planta de
quatro tanques cilíndricos, o modelo do reator isotérmico com a reação de van de
Vusse e o modelo de um CSTR exotérmico instável. A partir dos resultados, as
vantagens e desvantagens da formulação via horizonte móvel são discutidas de modo
a justificar o elevado esforço empregado na avaliação e projeto deste, comparado
com os estimadores EKF e CEKF, quando o sistema tem acentuada não linearidade,
incertezas no modelo e distúrbios e/ou ruídos nas medições.
VIII
Abstract
Due to the constant computational advances, as well as the development of
efficient methods for solving nonlinear optimization problems, it has become
interesting to carry out dynamic optimizations in real time and the consequent use of
on-line estimators on nonlinear chemical processes. In this framework, the automatic
updating of process models becomes attractive to allow the accomplishment of real-
time estimates of unmeasured or infrequent-measured variables, states variables and
unknown or time-variant model parameters. Usually, the process model updating is
made based on some auxiliary variables that are measured on-line, such as
temperature, pressure, composition, and flow rate.
In the traditional Kalman filter-based estimators, such as EKF and CEKF, the
computational efforts are relatively small, ranging from a simple algebraic
calculation of a gain, as in the EKF case, to the resolution of a quadratic optimization
problem, like in the CEKF case. These small computational efforts allow faster
results with relative accuracy, but these Kalman filter-based estimators may fail
when the system has meaningful nonlinearities. On the other hand, the MHE
formulation is able to treat a large range of nonlinear systems, as those that have the
gain sign inversion according to the operating point. However, it has the necessity to
solve possible non-convex NLP problem with many inequality equations and degrees
of freedom, and as consequence, the processing time may become larger than the
sampling time, making impracticable the execution of the control actions over the
system in real time. Thus, it is necessary to implement efficient techniques to solve
in a fast way the integration and dynamic optimization problems embedded in the
MHE formulation. In this work, sequential and simultaneous strategies are explored
to solve the estimators, aiming to speed up the solution of the integration and
dynamic optimization stages, allowing a comprehensive evaluation between MHE
and Kalman filter-based estimators.
The estimators were applied to seven case studies, like the quadruple tank
system, van de Vusse isothermal CSTR model and a more non-linear and unstable
exothermal CSTR model. From the results, the advantages and drawbacks of the
IX
moving horizon formulation are brought up to justify the high effort spent in the
design and evaluation phases, compared to the EKF and CEKF estimators, when the
system has relatively high nonlinearities, model uncertainties and measurement
disturbances.
X
Sumário
Sumário ............................................................................................................ XII
Lista de Símbolos .......................................................................................... XVII
Introdução ........................................................................................................... 1
1.1 Introdução e Motivação a Estimação de Estados .................................................... 1
1.2 Estrutura da Dissertação .......................................................................................... 4
1.3 Comentários acerca da notação adotada ................................................................. 4
1.4 Referências .............................................................................................................. 5
Revisão sobre Estimação de Estados .............................................................. 7
2.1 Modelos de Sistemas Estocásticos .......................................................................... 8
2.2 Revisão dos Métodos de Estimação de Estados ...................................................... 9
2.3 Formulação Genérica do Estimador de Horizonte Móvel (GMHE) ..................... 10
2.3.1 Motivação Determinística para o GMHE .................................................... 12
2.3.2 Motivação Probabilística para o GMHE ...................................................... 13
2.3.3 Observações sobre o GMHE ........................................................................ 17
2.4 Estimação de Estado Linear .................................................................................. 18
2.4.1 Estimador Batelada ...................................................................................... 19
2.4.2 Filtro de Kalman .......................................................................................... 22
2.4.3 Estimação via Horizonte Móvel ................................................................... 23
2.4.4 Observador de Luenberger ........................................................................... 29
2.4.5 Similaridade entre os Métodos de Estimação Linear ................................... 30
2.5 Estimação Não-Linear ........................................................................................... 31
2.5.1 Filtro de Kalman Estendido - EKF............................................................... 31
2.5.2 Estimação Batelada Não-Linear ................................................................... 33
2.5.3 Horizonte Móvel Não-Linear ....................................................................... 34
2.5.4 Filtro de Kalman Estendido com restrição - CEKF ..................................... 38
2.5.5 Revisão Bibliográfica-Cronológico a cerca da estimação MHE .................. 40
2.5.6 Outros Métodos de Estimação de Estado Não-Lineares .............................. 41
2.6 Estimação de Estados Não-Linear com Restrições ............................................... 42
2.7 Referências ............................................................................................................ 43
Considerações Gerais sobre os Estimadores, EKF, CEKF e MHE ............... 47
3.1 Diferentes Esquemas de Atualização do MHE ..................................................... 47
3.1.1 Atualização a partir da Estimação Filtrada
........................... 48
|
3.1.2 Atualização a partir da Estimação Suavizada
|
........................... 50
3.1.3 Inicialização do MHE via Estimador Batelada ............................................ 51
3.1.4 Integração dinâmica envolvida na formulação MHE ................................... 52
3.2 Solução de Problemas de Integração e Otimização Dinâmica - Estratégias de
Otimização para o Estimador de Horizonte Móvel ..................................................... 53
3.2.1 Discretização e aproximação via colocação ortogonal em elementos
finitos .................................................................................................................... 56
3.2.2 Integradores tradicionais de sistemas DAE’s e ODE’s ................................ 60
3.2.3 Comparativo entre as estratégias seqüencial e simultânea ........................... 60
XI
XII
3.5 Referências ............................................................................................................ 61
Comparação entre os estimadores EKF, CEKF e MHE ................................. 63
4.1 Estudo de Caso 1: sistema instável de um estado. ................................................ 63
4.2 Estudo de Caso 2: sistema de segunda ordem. ...................................................... 65
4.3 Estudo de Caso 3: sistema de segunda ordem oscilatório. .................................... 67
4.4 Estudo de Caso 4: sistema não linear com restrição de desigualdade. ................. 68
4.5 Estudo de Caso 5: modelo 4 tanques cilíndricos. .................................................. 71
4.6 Estudo de Caso 6: modelo reação de van de Vusse – reator CSTR isotérmico. ... 86
4.7 Estudo de Caso 7: reações irreversíveis de primeira ordem – reator CSTR
exotérmico. .................................................................................................................. 93
4.8 Referências ............................................................................................................ 99
Conclusões ...................................................................................................... 101
Comentários adicionais ................................................................................. 105
A.1 Atualização da matriz de covariância P
k-N
via solução dinâmica da equação
de Ricatti ................................................................................................................... 105
A.2 Índice de desempenho para o comparativo entre os estimadores EKF, CEKF
e MHE ....................................................................................................................... 105
Definições ........................................................................................................ 107
Implementação dos estimadores EKF, CEKF e MHE ................................... 111
Descrição das Rotinas Implementadas em Matlab
®
.................................... 113
Lista de Figuras .............................................................................................. XIII
Lista de Tabelas ............................................................................................. XVV
Lista de Figuras
Figura 2.1: Estimação de estado e controle feedback de estado. ....................................... 7
Figura 2.2: Resumo das técnicas de estimação. ............................................................... 10
Figura 2.3: Esquema do estimador de horizonte móvel genérico e a sua função
custo. ..................................................................................................................... 12
Figura 2.4: Diferentes critérios de estimação probabilística............................................ 15
Figura 2.5: Estrutura básica de otimização baseada na estimação de estados. ................ 18
Figura 2.6: Princípio da estimação de estado em batelada. ............................................. 20
Figura 2.7: Exemplo da janela do filtro móvel. ............................................................... 25
Figura 2.8: Estrutura geral de um estimador linear. ........................................................ 30
Figura 3.1: Representação dos diferentes esquemas de atualização do MHE. ................ 48
Figura 3.2: Efeito oscilante devido a atualização a cada o . . . . . . . ... 49N+1 pass s .. ... ... ... .. ... ...
3 3: Esquema de o ci atório na est m . ... .. ... ...
Figura 3.4: Exemplo do efeito oscilante, 1.1,1,111,
11/100 com atualização a cada 1 passos (MUSKE e
RAWLINGS, 1995). ............................................................................................. 50
Figura . talhado do efeito s l i ação filtrada. . . . . ... 49
Figura 3.5: Esquema detalhado da atualização via estados suavizados, se
t . . . . .. ....................... . . ....... 51
m efeito
oscilan e. ....... ... ... .................. ... .......................... ... ... .......
Figura 3.6: Exemplo sem o efeito oscilante para a atualização suavizada 1.1,
1,111,11/100. ............................................ 51
Figura 3.7: Esquema de integração dinâmica envolvido na formulação MHE. .............. 53
Figura 3.8: Perfis de estado e controle com pontos de descontinuidade e não-
diferenciação discretizados em elementos finitos. ................................................ 57
Figura 4.1: Comparação entre o MHE (N=5), EKF e CEKF para o sistema instável
de um estado. ......................................................................................................... 64
Figura 4.6: Representação esquemática da planta de 4 tanques cilíndricos. ................... 73
Figura 4.7: Resultados da simulação para os três estimadores (estados filtrados),
caso (1), para o modelo 4 tanques cilíndricos. ...................................................... 74
Figura 4.8: Resultados da simulação para os três estimadores, (estados estimados ou
níveis superiores), caso (1), para o modelo 4 tanques cilíndricos. ........................ 75
Figura 4.9: Resultados da simulação para os três estimadores (níveis inferiores),
caso (2), para o modelo 4 tanques cilíndricos. ...................................................... 77
Figura 4.10: Resultados da simulação para os três estimadores (níveis superiores),
caso (2), para o modelo 4 tanques cilíndricos. ...................................................... 78
Figura 4.11: Resultados da simulação para os três estimadores (níveis inferiores),
caso (3), para o modelo 4 tanques cilíndricos. ...................................................... 79
Figura 4.12: Resultados da simulação para os três estimadores (níveis superiores),
caso (3), para o modelo 4 tanques cilíndricos. ...................................................... 80
Figura 4.13: Resultados da simulação para os três estimadores, níveis inferiores,
caso (3) com restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos. ..... 82
Figura 4.14: Resultados da simulação para os três estimadores, níveis superiores,
caso (3) com restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos. ..... 83
Figura 4.15: Resultados da simulação do MHE (N=1, 2 e 3), níveis inferiores, caso
(3) com restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos. ............. 84
XIII
XIV
Figura 4.16: Resultados da simulação do MHE (N= 1,2 e 3), níveis superiores, caso
(3) com restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos. ............. 85
Figura 4.17: Esquema do reator isotérmico modelado para reação de van de Vusse. ..... 87
Figura 4.18: Perfil da variável de estado C
A
real e medido para a reação de van de
Vusse, simulações 1 e 2. ....................................................................................... 88
Figura 4.18: Comparação dos valores de C
A
e C
B
real, C
A
filtrado e C
B
estimado para
os três estimadores (EKF, CEKF e MHE) para a reação de van de Vusse,
simulação 1. .......................................................................................................... 89
Figura 4.20: Comparação dos valores de C
A
e C
B
real, C
A
filtrado e C
B
estimado para
os três estimadores (EKF, CEKF e MHE) para a reação de van de Vusse,
simulação 2. .......................................................................................................... 92
Figura 4.21: Perfil de pontos estacionários para o estado x
3
em função de q
c
para o
modelo de reações de primeira ordem irreversíveis (RAMMINGER e
SECCHI, 2007). .................................................................................................... 95
Figura 4.22: Comparação dos estados filtrados x
1
e x
2
para os três estimadores
(EKF, CEKF e MHE) para o reator CSTR exotérmico. ....................................... 96
Figura 4.23: Comparação dos estados estimados x
3
e x
4
para os três estimadores
(EKF, CEKF e MHE) para o reator CSTR exotérmico. ....................................... 96
Figura 4.24: Comparação dos estados filtrados x
1
e x
2
para os três estimadores
(EKF, CEKF e MHE) para o reator CSTR exotérmico, simulação sem ruídos
de medição. ........................................................................................................... 97
Figura 4.25: Comparação dos estados estimados x
3
e x
4
para os três estimadores
(EKF, CEKF e MHE) para o reator CSTR exotérmico, simulação sem ruídos
de medição. ........................................................................................................... 98
Figura B.1: Suavização, Filtragem e Predição (KARL e BJORN, 1984). ..................... 128
Figura C.1: Interface de trabalho no Simulink
®
para rodar as rotinas implementadas
em Matlab
®
. ........................................................................................................ 130
Lista de Tabelas
Tabela 3.1: Comparativo do tempo computacional entre as estratégias seqüencial
(via ode45 e DASSLC) e simultânea (via colocação ortogonal) na formulação
MHE. ..................................................................................................................... 61
Tabela 4.1: Parâmetros dos estimadores para a simulação com o sistema instável de
1 estado. ................................................................................................................ 64
Tabela 4.3: Parâmetros dos estimadores para a simulação com o sistema de segunda
ordem. ................................................................................................................... 66
Tabela 4.4: Parâmetros dos estimadores para a simulação com o sistema de segunda
ordem oscilatório. .................................................................................................. 67
Tabela 4.5: Parâmetros dos estimadores para a simulação com o sistema de segunda
ordem oscilatório. .................................................................................................. 69
Tabela 4.6: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o sistema não
linear com restrição de desigualdade. ................................................................... 70
Tabela 4.7: Soma do erro quadrático para cada um dos estados (N=0,1,2,3,5 e 10),
sistema não linear com restrição de desigualdade................................................. 70
Tabela 4.8: Valores dos parâmetros para o modelo dinâmico com 4 tanques
cilíndricos. ............................................................................................................. 72
Tabela 4.9: Condições iniciais para as variáveis de estado e controladas e degrau nas
variáveis manipuladas para o modelo 4 tanques cilíndricos. ................................ 74
Tabela 4.10: Parâmetros para os estimadores na simulação com o modelo 4 tanques
cilíndricos. ............................................................................................................. 75
Tabela 4.11: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o modelo 4
tanques cilíndricos, caso (1). ................................................................................. 76
Tabela 4.12: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o modelo 4
tanques cilíndricos, caso (2). ................................................................................. 78
Tabela 4.13: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o modelo 4
tanques cilíndricos, caso (3). ................................................................................. 80
Tabela 4.14: Soma do erro quadrático para cada um dos estados, caso (3) com
restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos. .......................... 83
Tabela 4.15: Soma do erro quadrático para cada um dos estados (N= 1,2 e 3), caso
(3) com restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos. ............. 85
Tabela 4.16: Valores dos parâmetros para o modelo reação de van de Vusse,
simulação 1 e 2. ..................................................................................................... 87
Tabela 4.17: Pontos de operação para a reação de van de Vusse. ................................... 87
Tabela 4.18: Parâmetros para os estimadores na simulação com o modelo reação de
van de Vusse, simulação 1. ................................................................................... 88
Tabela 4.19: Soma do erro quadrático para cada um dos estados, simulação 1. ............. 90
Tabela 4.20: Soma do erro quadrático para cada um dos estados (4 primeiras
estimações, t= 20s), simulação 1. .......................................................................... 90
Tabela 4.21: Parâmetros para os estimadores na simulação com o modelo reação de
van de Vusse, simulação 2. ................................................................................... 91
Tabela 4.22: Soma do erro quadrático para cada um dos estados, simulação 2. ............. 91
Tabela 4.23: Soma do erro quadrático para cada um dos estados (12 primeiras
estimações, t= 60s), simulação 2. .......................................................................... 91
XV
XVI
Tabela 4.24: Valores dos parâmetros usados na simulação (TORRES e
TLACUAHUAC, 1999) apud (RAMMINGER e SECCHI, 2007). ..................... 94
Tabela 4.25: Parâmetros para os estimadores na simulação com o reator CSTR
exotérmico. ............................................................................................................ 95
Tabela 4.26: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o reator CSTR
exotérmico. ............................................................................................................ 97
Tabela 4.27: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o reator CSTR
exotérmico, simulação sem ruídos de medição. .................................................... 98
Tabela D.1: Descrição das principais rotinas que compõe os três estimadores
implementados em Matlab®. .............................................................................. 113
Tabela D.2: Rotinas comuns para os três estimadores implementados em Matlab®. ... 114
Tabela D.3: Rotinas do Matlab
®
internas que foram usadas. ........................................ 115
Notação 0
Lista de Símbolos
Símbolos Maiúsculos
,
Matrizes de transição dos estados e distribuição das entradas para sistemas
lineares respectivamente.
Matriz das derivadas do polinômio de Legendre para a discretização via
colocação ortogonal.
, Matrizes
Função integração dinâmica não linear de ,
,
.
de saída para sistemas lineares.



,



,

Jacobiana de f, ex.:
|

|




.
. Matriz de distribuição dos distúrbios-estado.
Jacobiana de , ex.:
|

|
,


,


|
0

0
.
Matriz de coeficientes para os limites inferior e superior dos estados,
ex. .
Matriz dos coeficientes do problema de otimização quadrático,
.
Matriz identidade.
Ordem do polinômio de Legendre na discretização via colocação ortogonal.
XVIII LISTA DE SÍMBOLOS
,


,

,



,
,
Δ 


11
10
01


|

Matriz do filtro linear, ex. filtro de Kalman.
Horizonte de estimação, tempo-discreto.
Distribuição normal ou Gaussiana com média e desvio padrão .
Amplitude ou covariância do distúrbio/ruído (do inglês Noise Amplitude).
Número de elementos na discretização via colocação ortogonal.
Matriz de covariância, solução da equação de Ricatti.
Matrizes de peso para o os filtros de Kalman (ex. EKF e CEKF) e MHE.
Resíduo da discretização via colocação ortogonal.
Matrizes de peso para o GMHE.
Número total de estimações feitas e/ou consideradas na simulação.
Período de amostragem.
Tempo de simulação.
Função custo marginal do MHE.
Limites inferior e superior respectivamente para as variáveis de controle na
discretização via colocação ortogonal.
Limites inferior e superior respectivamente para as variáveis estados na
rtogonaldiscretização via colocação o .
 IntervalodeamostragemΔ .
Símbolos Minúsculos
Vetor de equações de igualdade para o modelo DAE.
Vetor de equações de desigualdade para o modelo DAE.
Coeficiente linear, forma canônica do problema de programação quadrático
(QP).
Valores da diagonal de uma matriz, ex.  , onde  .
Erro de reconstrução. É definido como a diferença entre o estado atual e o
estado estimado, ex.: .
Função de transição do estado.
Pseudo inversa de .
Função que relaciona os estados com as medições (saídas).
XIX
nos limites de cada elemento na discretização via
as do sistema (entradas).
e probabilística.
instáveis.
,
,
,


,
.
,
,
,
O me ima para .



tados (entrada).
o estacionário,

.

Pseudo inversa de .
Pontos de colocação
colocação ortogonal.
Número de variáveis manipulad
Número de estados do sistema.
Número de saídas do sistema, e densidad
Número de pólos (ou modos)
Variável de tempo contínua.
Limite inferior e superior para os estados, ex.
,
O mesmo vale para como definido acima para .
,
,
,
smo vale para como definido ac
. Variável manipulada (entrada).
. Variável de distúrbio nas medidas (saída).
. Variável de distúrbio nos es

. Variável de espaço estado.
Equilíbrio ou estad
Valor inicial.
olocação (para cada elemento )
para o ortogonal.
cação na discretização via colocação
ortogonal, nível dos tanques cilíndricos.
ão da estabilidade exponencial,
Φ (saídas), função custo DAE.
Ξ
os.
Χ
Ψ
Vetor dos valores calculado nos pontos de c
a discretização via colocaçã

. Variável medida (saída).
Ruído branco integrado, pontos de colo
Símbolos Gregos
Fator de esquecimento do custo marginal aproximado.
Fator exponencial usado na definiç
multiplicador de Lagrange, auto-valores.
Restrição nos distúrbios das med çõesi
Restrição nos distúrbios dos estad
Restrição nos estados estimados.
Função custo do estimador Batelada, MHE e CEKF.
XX LISTA DE SÍMBOLOS
Θ
CEKF, ex.: Θ

|
,
|
.
Penalidade para a estimação de estado não-linear para a função custo não-
linear do GMHE.
s
· bolos tempo-contínuos.
·
·
·
om valor ótimo.
·
ou regiões modificadas.
·
·̂
·
·
|
·
 Variável tempo-contínuo no tempo .
·
d o
Vetor de variáveis distúrbios para o problema de otimização quadrático na
formulação
, Funções ortogonais para e respectivamente na discretização via colocação
ortogonal.
Ω
Outros Símbolo
Denota as variáveis e sím
Denota as variáveis com ruído colorido.
Valores de equilíbrio.
Denota variáveis ou uma seqüência c
Denota variáveis aumentadas
Transposto de uma matriz ou vetor.
Valor estimado da variável.
Variável tempo-discreto no tempo .
Variável tempo-discreto no tempo dada a informação até o tempo .
Valor da variável tempo-contí ante o interval Δ,

1
Δ
.
Norma Euclidiana
√
nuo ur
, ou nor
de um vetor ma
.
NormaEuclidianaponderada
√
deumvetor
comrespeitoà
.
es que a função é continuamente diferençável.

Matriz real de tamanho .
Denota os valores reais não-negativos.
matrizpositivadefinida

Denota o número de vez
Espaço Euclidiano de dimensão .
Capítulo 1
Introdução
1.1 Introdução e Motivação a Estimação de Estados
As mudanças sofridas pelo mundo em que vivemos se tornam cada vez mais agudas
ao longo do tempo. A evolução na qualidade e funcionalidade dos produtos a um preço
competitivo, antes objetivo secundário das empresas, hoje é a “razão de vida das mesmas”. A
estagnação evolutiva dos produtos de uma empresa pode fazer com que a mesma perca uma
fatia considerável do mercado para suas concorrentes.
Por estes fatores, estratégias de monitoramento, otimização e controle de processos
deixam de ter uma importância preponderantemente acadêmica e passam a ser cada vez mais
necessárias industrialmente. Essa necessidade, associada ao considerável crescimento
computacional, vem impulsionando definitivamente o projeto otimizado de produtos.
Neste sentido a estimação torna-se atrativa, permitindo o acompanhamento em tempo
real de variáveis imensuráveis, esparsamente medidas, variáveis de estado e parâmetros de
processo desconhecidos ou variantes no tempo.
Diversos autores (por exemplo Rao e Rawlings (2002)) consideram a descrição de
sistemas dinâmicos através de variáveis de estado. Esta é uma construção natural quando da
modelagem de processos químicos e biológicos, porque ela compacta de forma resumida a
informação passada necessária para o entendimento do comportamento futuro do processo.
Por exemplo, temperatura, pressão, e concentrações podem compor o estado de um sistema de
monofásico quimicamente reativo. No entanto, raramente um estado está diretamente
disponível através de medições de processo, e tipicamente necessita ser inferido através de
medições secundárias de processo ou via um subconjunto de outras variáveis mensuráveis
(medidas de saída do processo). Por exemplo, o peso molecular médio de muitos polímeros é
inferido através de medições de viscosidade. Também, a concentração de um sistema simples
2 1. INTRODUÇÃO
e quimicamente reativo, pode ser inferida pela temperatura do reator, sua variável de estado
mais fácil de ser medida.
Assim, estimações dos estados atuais baseados nas medidas de saída do processo
devem ser usadas (FINDEISEN, 1997). A estimação de estados tem como propósito usar de
uma forma “ótima” a informação disponível através do modelo do processo e das medições
para obter estimativas de estados imensuráveis do sistema dinâmico. Esta informação pode ser
usada para o monitoramento e o controle do processo (JALEEL VALAPPIL, 2000).
A estimação de parâmetros e estados é uma parte integral de muitas estratégias de
modelagem, monitoramento e controle de processos (TONEL et al., 2007).
O sucesso de muitos métodos de detecção de falha e de controladores baseados em
modelo depende diretamente da acuracidade do modelo do processo e das estimativas dos
estados chaves (ROBERTSON et al., 1996).
Um método de estimação padrão para sistemas lineares é o filtro de Kalman (1960). A
contribuição da aproximação de Kalman veio do fato que este proporciona uma solução
recursiva e probabilística “ótima” para sistemas dinâmicos. O filtro de Kalman difere do
método de Wiener (1949), porque ele pode ser aplicado para sistema dinâmicos, sendo assim
o seu emprego é possível para uma larga classe de problemas, sejam eles tempo-discretos ou
tempo-contínuos. Em adição, dados os limites computacionais existentes por volta de 1960, a
estrutura recursiva para o filtro de Kalman forneceu um método de solução tratável.
Uma desvantagem dessa aproximação é que a mudança direta para um problema de
estimação de estados não-linear não é possível. Kushner (1964), observa que a exata solução
no sentido probabilístico é dimensionalmente infinita e conseqüentemente algumas
aproximações devem ser feitas. Dois exemplos de métodos de aproximação são: o filtro de
Kalman Estendido (EKF) e os filtros linearizados estatisticamente. Estes métodos baseiam-se
na linearização em torno do último estado estimado. No entanto, estes métodos podem
fornecer desvios significativos entre o estado real e o estado estimado para sistemas altamente
não-lineares.
Para sistemas lineares pode ser mostrado que o filtro de Kalman é equivalente ao
estimador via mínimos quadrados em batelada (do inglês Batch Least-Squares Estimator –
BLSE). O método BLSE estima os estados pela minimização do erro quadrático entre o
modelo do sistema e as medidas de saída do mesmo. Este método torna-se
computacionalmente inviável com o passar do tempo. Todas as medidas de saída disponíveis
do sistema são usadas para a estimação, isto conduz para um crescimento contínuo do
problema de otimização. Este crescimento computacional faz o método tornar-se inútil para
problemas cuja aplicação se faz em tempo real (real-time). Normalmente faz-se uso desta
técnica para a estimação de estados e parâmetros em modo off-line, desde que uma expansão
para sistemas não-lineares seja possível e que os resultados da estimação sejam
satisfatoriamente precisos.
1.1 INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO A ESTIMAÇÃO DE ESTADOS 3
Há inúmeros fatores que justificam a reconsideração do método dos mínimos
quadrados para aplicações em tempo real. Em primeiro lugar, os limites computacionais que
se travavam em 1960, para os quais se demandou uma formulação recursiva pura, tem hoje
quase que desaparecido devido o avanço contínuo das tecnologias computacionais e dos
métodos de otimização numérica. O método de Programação Quadrática Seqüencial (SQP),
por exemplo, tem reduzido consideravelmente o tempo necessário para resolver problemas de
programação não-linear. Adicionalmente, o uso de otimização baseada em algoritmos
permitiu a inclusão de informações sobre o sistema na forma de restrições de igualdade e
desigualdade. Limites nos ruídos e/ou distúrbios de medição e nos estados do sistema são
exemplos destas restrições
1
. Tal informação não pode ser incorporada nos métodos de
estimação recursiva e poderia ser conseqüentemente perdida. Adicionalmente o uso de
técnicas de estimação via mínimos quadrados (LSE), permite o uso explícito de modelos de
sistemas não-lineares, em contraste com os métodos de aproximação como EKF. Não existe a
necessidade de fornecer informação adicional sobre derivadas, desde que nenhuma
aproximação linear seja necessária.
O desenvolvimento de softwares eficientes de otimização e os avanços no poder
computacional na última década, também permitiram um acréscimo de pesquisa na área de
estimadores de estados para sistemas não-lineares baseados em otimização.
Motivado pelas técnicas de controle baseadas em otimização como Controle Preditivo
(MPC), que usam um horizonte de predição fixo para calcular a próxima ação de controle,
inúmeros métodos de estimação de estados com horizonte móvel (MHE) têm sido propostos
na literatura. Estes métodos superam parcialmente os problemas associados com o
crescimento do problema de otimização que ocorre na estimação batelada (BLSE) a cada nova
medição, fazendo sua aplicação impraticável para processos em tempo real. Muske e
Rawlings (1995) reformularam o problema como um Estimador de Horizonte Móvel
recursivo para sistemas lineares e não-lineares.
Por tratar com problemas não-lineares, restrições nos estados e nos distúrbios, a
formulação MHE é reportada na literatura como vantajosa frente aos filtros de Kalman. Mas
na formulação MHE é necessário resolver um problema NLP, possivelmente não-convexo,
com muitas equações de desigualdade e graus de liberdade, e como conseqüência, o tempo de
processamento pode se tornar maior que o tempo de amostragem, fazendo impraticável a
execução de ações de controle sobre o sistema em tempo real. Assim, implementação de
técnicas eficientes para resolver os problemas de otimização dinâmica e de integração
associados à formulação MHE são necessárias.
Este trabalho faz uma avaliação entre os clássicos estimadores baseados no filtro de
Kalman (EKF e CEKF) e o estimador de horizonte móvel (MHE), discutindo suas respectivas
desvantagens e vantagens na estimação de estados, como uma ferramenta de monitoramento
visando o posterior controle e/ou otimização.
1
Isto é de especial importância nos casos em que se há medidas não-confiáveis ou deficientes, o que
por conseqüência poderiam deturpar os resultados.
4 1. INTRODUÇÃO
1.2 Estrutura da Dissertação
Esta dissertação apresenta-se dividida em cinco capítulos, conforme descritos a seguir:
O capítulo 1 traz uma introdução e motivação à estimação de estados via horizonte
móvel (MHE) e os filtros de Kalman (EKF e CEKF), tema esse que será abordado na
dissertação.
No capítulo 2 é feita uma revisão da estimação de estados, bem como a dedução das
três técnicas de estimação estudadas, com ênfase na formulação via horizonte móvel, tanto
para o caso linear como para o caso não-linear.
O capítulo 3 apresenta algumas considerações que serão exploradas nas formulações
do EKF, CEKF e, principalmente, do MHE.
No capítulo 4 é feita uma comparação sistemática entre as três formulações de
estimadores para uma gama variada de problemas com peculiares características e/ou desafios
à estimação.
Nas conclusões são resumidos os principais resultados obtidos, bem como sugestões
de trabalhos futuros na área.
No final de cada capítulo são adicionadas as respectivas referências bibliográficas
utilizadas.
1.3 Comentários acerca da notação adotada
Este trabalho esta focado em métodos de estimação de estados para sistemas tempo-
discretos. Dado que modelos de sistemas puramente discretos não podem ser derivados para a
maioria dos sistemas reais, modelos tempo-contínuos também são considerados. Assim, as
variáveis tempo-contínuas são diferenciadas das tempo-discretas pela barra ·, onde · é
uma variável qualquer. O índice tempo para variáveis tempo-discretas é um subscrito,
enquanto que para as variáveis tempo-contínuas a notação padrão · é usada. Por exemplo
representa o estado de um sistema tempo-contínuo no tempo , denota o estado de um
sistema discreto e/ou discretizado no instante de tempo.

̂
·
|
|
Em geral o estado estimado e o estado real não coincidem. Assim, símbolos e/ou
vaiáveis com o acento circunflexo · denota estados estimados. Dado que as técnicas de
estimação usam informações passadas, faz-se necessário o uso do índice duplo
, que
representa a correspondente variável no tempo contendo informações até o tempo . Por
exemplo denota o estado estimado para o tempo  no tempo (usando
informações até o tempo ). Variáveis ótimas são marcadas pelo asterisco sobrescrito ·.
A seguir são apresentados os modelos de sistema que são assumidos nesta dissertação.
1.4 REFERÊNCIAS 5
Sistemas Não Lineares Tempo-Contínuos:
Sistemas tempo-contínuos podem ser dados pelas seguintes equações
,
,

,
,
,com

0
dado
  
(1.1)
,
,

.

(1.2)
Mas como freqüentemente a saída é somente medida em instantes de tempo de amostragem
discretos, então a equação de medição pode ser escrita por,
,
,
 
.

(1.3)
Onde são os estados, são as variáveis manipuladas, são as medições, são os distúrbios
nos estados, são os distúrbios medidos. Ainda  , significa que é um tempo inteiro.
Sistemas Não Lineares Tempo-Discretos:
Sistemas tempo-discretos podem ser dados pelas seguintes equações
,
,

,
,com
dado

,
,
 
.

(1.4)
(1.5)
Se e são lineares em e o sistema é chamado de linear. No caso de medições discretas,
os sistemas tempo-discretos lineares podem ser escritos por:


,com
dado



.
(1.6)
(1.7)
1.4 Referências
FINDEISEN, P. K. Moving Horizon State Estimation of Discrete Time Systems
. (Thesis M.S.
--University of Wisconsin--Madison 1997.). 1997. xix, 157 p.
JALEEL VALAPPIL, C. G. Systematic estimation of state noise statistics for extended
Kalman filters. AIChE Journal, v.46, n.2, p.292-308. 2000.
KALMAN, R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Trans.
ASME - Basic Engineering: 35-45 p. 1960.
KUSHNER, H. J. On the differential equations satisfied by conditional densities of markov
processes. SIAM Journal on Control and Optimization, v.2, p.106. 1964.
MUSKE, K. R. e J. B. RAWLINGS. Nonlinear Moving Horizon State Estimation. In: R.
Berber (Ed.). Methods of Model Based Process Control. Antalya: Kluwer Academic, v.293,
1995. Nonlinear Moving Horizon State Estimation, p.349-365. (Applied Sciences)
6 1. INTRODUÇÃO
RAO, C. V. e J. B. RAWLINGS. Constrained process monitoring: Moving-horizon approach.
AIChE Journal, v.48, n.1, p.97-109. 2002.
ROBERTSON, D. G., J. H. LEE e J. B. RAWLINGS. A Moving Horizon-Based Approach
for Least-Squares Estimation. AIChE Journal, v.42, n.8, August, p.2209-2224. 1996.
TONEL, G., A. R. SECCHI e J. O. TRIERWEILER. Atualização Automática de Modelos
para Otimização em Tempo Real. OKTOBER FÓRUM. Porto Alegre - Brazil, 2007. p.
WIENER, N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. New
York: John Wiley & Sons. 1949
Capítulo 2
Revisão sobre Estimação de Estados
Para muitos sistemas reais os estados não podem ser medidos diretamente,
conseqüentemente estimadores de estados podem ser utilizados para estimá-los a partir de
medições e conhecimento das variáveis de entrada do modelo.
Os dois objetivos básicos da estimação de estados são:
1. Fazer estimação dos estados não medidos a partir de medições de processo;
2. Reduzir a influência do ruído medido nos estados estimados e medidos.
A combinação de estimação de estados e de controle feedback é mostrada na Figura 2.1.
Para sistemas estocásticos lineares com ruído Gaussiano (Seção 2.1) o filtro de
Kalman (1960) fornece uma solução ótima para resolver este tipo de problema. Os ruídos de
processo e de saída são assumidos variáveis aleatórias e Gaussianas com média igual a zero e
covariância conhecida e independentes entre si e do estado.
Figura 2.1: Estimação de estado e controle feedback de estado.
8 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
2.1 Modelos de Sistemas Estocásticos
Nos capítulos seguintes serão considerados sistemas discretos variantes no tempo,
não-lineares e sobre influência de distúrbios, equacionados da seguinte forma:

,


,

0,1,2,…
 


1 .
repre
pode s in
esenta a
, dos estados
amado t


(
2.1)
é o estado do sistema, : descreve a propagação do estado x do
tempo até como uma função do estado anterior
e da entrada
senta o vetor de distúrbio ligado ao estado, também denominado de ruído de processo,
o qual “entra” no sistema via a matriz de distribuição 

. er terpretado
como uma “força motriz” aleatória adicional que atua no sistema.
 
repr
variável de saída que depende da função não-linear :


e das
entradas
. Outra contribuição para medida de saída é o vetor de distúrbio de medição
 
, ch ambém de ruído de medição.
Revisão: A motivação probabilística para o estimador de mínimos quadrados esclarece
porque é necessário que e entrem no sistema de forma linear. Já da motivação
determinística dada na seção 2.3.1 é necessário que e entrem no sistema desacoplados
da entrada e do estado, respectivamente (MUSKE, 1995).
A maior parte deste trabalho não considera as entradas , pois para sistemas lineares
isto não representa uma limitação dado que, o sistema pode ser trocado pela trajetória nominal
resultante da entrada . Porém para sistemas não-lineares isto não é possível. Mudanças
significativas dos algoritmos não-lineares apresentados deverão ser necessárias se as entradas
são consideradas. Assim, na seção 2.4 não são consideradas as entradas e a partir da
seção 2.5 as entradas são consideradas em todas as equações.
O Significado de G, uma Motivação Probabilística
De um ponto de vista probabilístico, oferece a possibilidade de considerar um ruído
colorido como resultante de um ruído branco. Para isto, o sistema é aumentado por estados
adicionais
que representam os termos relativos ao ruído colorido.

,


, 

,


,

(
2.2)
2.2 REVISÃO DOS MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS 9
2.2 Revisão dos Métodos de Estimação de Estados
O problema de estimação de estados pode ser considerado e atacado a partir de dois
pontos de vista diferentes.
Ponto de Vista Determinístico
Nesta abordagem o problema de estimação é tratado como sendo puramente
determinístico. Na maioria das vezes, isto é considerado se nenhuma informação satisfatória a
respeito dos distúrbios e está disponível. Outra razão é o caso em que as influências de
e sobre o sistema são negligenciáveis. Esta tarefa é então freqüentemente considerada
como uma recuperação ótima a partir de um erro de estimação do estado inicial ou como a
extração de estados não-mensuráveis a partir das saídas.
,
,
:
,
,

A maior parte dos algoritmos que se enquadram nessa categoria são projetados para
achar uma recuperação “ótima” a partir de um valor de partida incorreto. Esses métodos de
estimação de estados são geralmente chamados de observadores.
Ponto de Vista Probabilístico
Neste segundo caso usa-se a informação probabilística de e . Os resultados da
estimação são freqüentemente ótimos no sentido que eles são mais prováveis sob as
informações de saída dadas. Métodos baseados nestas idéias são geralmente chamados de
filtros.
A estabilidade destes métodos é freqüentemente e somente mostrada para o caso
nominal. Isto significa que um erro na estimação inicial a estimação resultante irá, sob a
influência de nenhum distúrbio, convergir para o estado real .
Com o objetivo de aplicar estas técnicas, as distribuições de probabilidade de
devem ser conhecidas. Sob esta informação o
problema de estimação pode ser visto como o cálculo do “máximo” da função densidade
probabilística. Para sistemas lineares uma solução recursiva do filtro de Kalman pode ser
derivada. Uma extensão para o caso não-linear genérico via os então chamados filtros de
Kalman estendidos (EKF) é possível, (JAZWINSKI, 1970) e (GELB, 1974).
Outros métodos de estimação de estado são também conhecidos como métodos de
aproximação estatística. Estes aproximam as equações de medição e do sistema por séries de
polinômios (GELB, 1974).
A maior parte dos subseqüentes métodos de estimação baseado em otimização
apresentados, podem ser derivados a partir dos pontos de vista probabilístico e determinístico.
Para uma derivação probabilística, os distúrbios são considerados Gaussianos com média zero
e sem restrições nos estados e distúrbios. Na Seção 2.3.2 é dado uma motivação probabilística
dos então chamados métodos de estimação via mínimos quadrados para modelos com a
estrutura semelhante a Equação (2.1).
10 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
Estes métodos foram explorados em meados de 1960 por Bryson e Ho (1975) e
Jazwinski (1970). Limitações numéricas e computacionais fizeram a implementação prática
impossível naquela época. Estes métodos ganharam interesse nos últimos anos (Michalska e
Mayne (1995), Muske e Rawlings (1995), Robertson et al. (1996) e Tyler e Morari (1997)).
Uma das razões para isto é a possibilidade de incluir explicitamente informações adicionais a
respeito dos distúrbios, como limites superiores e inferiores. Estes limites nos distúrbios,
porém, torna impossível se chegar aos algoritmos resultantes via uma maneira probabilística
pura, desde que as distribuições subjacentes não sejam distribuições Gaussianas longas. Por
outro lado parece ser natural incluir limites, desde que o distúrbio real é normalmente limitado
em tamanho. Os métodos resultantes podem ser vantajosos em relação às técnicas padrões,
como exemplo, o filtro de Kalman (KF) e o filtro de Kalman estendido (EKF),
(ROBERTSON et al., 1996), (MUSKE e RAWLINGS, 1995) e (TYLER e MORARI, 1997).
Um resumo dos métodos de estimação considerados é mostrado na Figura 2.2.
Figura 2.2: Resumo das técnicas de estimação.
2.3 Formulação Genérica do Estimador de Horizonte Móvel
(GMHE)
A maioria dos métodos que serão apresentados nas seções seguintes são baseados no
esquema de estimação por mínimos quadrados. Uma versão genérica desse esquema,
seguindo o estimador de horizonte móvel genérico (GMHE, do inglês Generic Moving
Horizon Estimation) é formulada como segue:
2.3 FORMULAÇÃO GENÉRICA DO ESTIMADOR DE HORIZONTE MÓVEL (GMHE) 11
min
|
,…,
|
Ψ
 
|
|
|

|
|



|
|
(
2.3)

sujeito às equações de igualdade,
|



|
|

|

|
,…,1

|

|
,…,
(
2.4)
Aqui 
0

, 
0

,
 |

|
0

e

é a estim ão do estado in al no tempo . 
, representa o tamanho do horizoaç ici nte
de estimação ou a janela de estimação, de acordo com a Figura 2.3.
ado maior quando comparado com . Limites adicionais nos
estados
|
, nas entradas
|
e nos distúrbios/ruídos
|
e
|
devem ser considerados.
Este conceito de GMHE pode ser motivado a partir de suposições adicionais acerca do
ruído associado aos estados e as saídas de um ponto de vista probabilístico. Contudo uma
motivação totalmente determinística também pode ser possível. Isto é especialmente
importante do ponto de vista de engenharia, pois permite a fácil inserção de restrições e
distúrbios, sem haver preocupação sobre as mudanças introduzidas na densidade
probabilística das funções.
penaliza o erro de predição da saída, penaliza o vetor de ruídos estimados nos
estados e
 |
penaliza o erro de estimação inicial. Se for esperado um erro pequeno para a
predição do modelo frente o erro de medição, então se toma um maior quando comparado
com . O valor de
|
, oriundo da otimização, será menor que o valor correspondente de
|
para manter o valor da função custo baixo. Para o caso em que as medidas de saída sejam
confiáveis o valor de é tom
12 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
Figura 2.3: Esquema do estimador de horizonte móvel genérico e a sua função custo.
2.3.1 Motivação Determinística para o GMHE
Consideremos as seguintes equações vetoriais de diferenças:







,
,


|
ão por mín
(
2.5)
Aqui, tem as mesmas dimensões como no caso anterior. :
descreve a influência de dependendo do estado atual do sistema. Seguindo a representação
dada por Jazwinski (1970), e não são considerados como distúrbios com estatísticas
bem definidas. Ao invés, eles representam erros de caráter desconhecido, sendo então que a
equação (2.5) não é uma equação de diferenças estocásticas. Em vez disto, é como uma
equação diferencial ordinária (ODE) que pode ser resolvida se os erros forem conhecidos.
é um erro de modelagem determinístico ou um termo de distúrbio não modelado.
Suponhamos que uma seqüência de distúrbios oriundos de observações , até um tempo ,
esteja disponível. Adicionalmente, considerando que o valor estimado de , chamado de
(ou ) esteja disponível, a seqüência
,…,
é então calculada (estimada) de forma
que os erros e em (2.5) sejam minimizados. Uma prática interpretação para isto é que a
solução de (2.5) deveria passar tão próximo quanto possível das observações
,…,
. Um
possível método para se chegar a isso pode ser pelo uso da clássica aproximaç imos
2.3 FORMULAÇÃO GENÉRICA DO ESTIMADOR DE HORIZONTE MÓVEL (GMHE) 13
quadrados. Para isso a equação seguinte (2.6) deve ser minimizada com respeito a seqüência
|
:
Ψ
 
|
|

|

|



|
|

(
2.6)
jeita às equações de igualdade,
su
|

 
|
|

|

|

|
0,1,2,…,1

|

|
0,1,2,…,
(
2.7)
O acento circunflexo ·̂ e o subíndice duplo ·
|
são usados, para que os valores da
timiza
.3.2 Motivação Probabilística para o GMHE
o probabilística no problema de
tura probabilística pode ser
resumid
ação, com as medidas atuais e passadas 
|
, 0,1,…, e
as distribuições probabilísticas, encontrar a distribuição da probabilidade do estado

|
e extrair deste o mais provável estado estimado

|
.
o ção não coincidam com os reais valores da equação (2.5). O primeiro termo
corresponde a nossa suposição no valor dado como valor da estimação inicial
. , e
são matrizes positivas definidas simétricas e podem ser vistas como matrizes de pesos. Elas
são medidas quantitativas da confiabilidade na equação de observação, na parte dinâmica do
modelo do sistema e da estimação passada, respectivamente.
O problema de estimação como colocado na Equação (2.6) é um problema de
otimização em batelada
1
. O valor estimado de depende de
todas as
informações até este
tempo. Isto irá conduzir para um crescimento contínuo do número de variáveis, conforme o
tempo avança. Há várias maneiras diferentes para contornar este problema. No caso linear
sem restrições é possível resolver o problema de otimização batelada recursivamente. Isto
conduz para uma versão derivada deterministicamente do filtro de Kalman. Outra maneira é
considerar bateladas separadas. Na batelada 1 somente usa-se a informação de 0 a 
. A próxima batelada considera as medidas de
de 
1 a 
e assim por diante.
O algoritmo resultante é freqüentemente chamado de processo batelada. Esta não é uma boa
idéia dado que nenhuma informação é carregada de um cálculo para outro. Uma aproximação
diferente é o GMHE introduzido na Seção 2.3. Neste caso, uma “janela” de tamanho move-
se sobre as medidas de saída, veja Figura 2.3. As informações sobre cálculos anteriores são
carregados com as estimativas “iniciais”

e

.
A maior vantagem na motivação determinística por mínimos quadrados é a
possibilidade em incluir restrições nos erros sem ter que modificar as distribuições
consideradas. Isto nos permite incluir explicitamente informações sobre os erros, como
valores máximos e mínimos.
2
Os métodos LSE também surgem de uma formulaçã
estimação de estados. A estimação de estados (SE) em uma estru
a como segue:
Dada a partida da estim
su
1
Na Subseção item 2.4.3 é mostrado como se chegou até a equação (2.3) a partir da equação (2.6).
14 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
A forma fechada da expressão analítica da distribuição da probabilidade dos estados é
muito difícil de ser obtida, até mesmo se forem considerados o ruído e a estimativa da partida
omo ruídos Gaussianos com média zero. No entanto uma solução analítica fechada não é
freqüen
• ritério: Maximizar a densidade probabilística
Isto pode ser visto como a mais provável “estimação única”. Quando um dado ruído
formes, esta estimativa é a máxima
•
sta é a média condicional.
• inimizar o desvio máximo  
|
.
sta é a chamada mediana ou estimativa minimax.
A v o para caso escalar ( Figura 2.4.
Desde el, o uso da média condicional e da
stimativa modo
2
é usado
freq
c
temente necessária. O cálculo da estimação de estados pode ser vista como uma
“busca” por um ótimo da função densidade probabilística com respeito a uma norma
adequada. Soluções para este problema são possíveis sem o total e/ou completo conhecimento
da função densidade probabilística (JAZWINSKI, 1970).
Os critérios freqüentemente usados para computar a estimação

|
de | são:
C
Solução:
á
|
anterior e funções densidade-estado são uni
ade estimada. probabilid
Critério: Minimizar 
|

Solução:

|
.
E
Critério: M
Solução:
é
E
isualizaçã monovariável) desses critérios é dado na
que uma forma analítica fechada não esteja disponív
minimax não é favorável. Conseqüentemente ao invés disso, o e
üentemente como a melhor estimativa para .
O seguinte modelo de sistema é considerado:

,
, 0,1,2,…
(2.8)

,
ste modelo de sistema é diferente do considerado em (2.1). A derivação seguinte esclarece
odelo simples.
E
porque faz sentido considerar o m
,…,
|
,…,
2
O modo é definido como a máxima probabilidade (“pico” na Figura 2.4) ou a mais provável
estimativa de  , (JAZWINSKI, 1970).
2.3 FORMULAÇÃO GENÉRICA DO ESTIMADOR DE HORIZONTE MÓVEL (GMHE) 15
Figura 2.4: Diferentes critérios de estimação probabilística.
Suposições adicionais:
A.1 As distribuições para são conhecidas;
,
,
:
,
,

  
,
,

|

|

,

,…,
|
,

,…,
,

,…,
|
,

,…,
,

,…,
|
,

,…,

,

,…,
|
,

,…,

,

,…,

,

,…,
A.2 , ;
A.3 são variáveis aleatórias não correlacionadas e indepen-
dentes.
O cálculo da estimativa que maximiza a função densidade probabilística pode ser dividida em
duas etapas:
Etapa 1. derivação da probabilidade de todos  em relação a seqüência de
medidas conhecidas  .
Etapa 2. cálculo do modo de  .
Etapa 1:
Expressando  usando o teorema de Bayes resulta em:
(
2.9)
Da equação (2.8) vê-se que cada valor

depende somente do valor de
e

. Isto implica que a seqüência
é uma propriedade de Markov (Seqüência de
Markov), (GRINSTEAD e SNELL, 1990). A seqüência de Markov é uma seqüência de
variáveis randômicas 
,
,
,…
que tem a propriedade que, dado o estado atual, os
estados futuros e passados são independentes. Como uma conseqüência dessa propriedade a
seqüência
também o é. E assim fazendo-se o uso da propriedade de “desacoplamento” de
arkov conduz-se a: M
16 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
,

,…,
|
,

,…,

|

,

,…,

|



,

,…,
|
,

,…,


Usando o teorema da função de transferência probabilística, como mostrado em Jazwinski
(1970) para o cálculo das novas probabilidades, resulta em:


,



,



,

,…,



,



,






,

,

,
,




,


,

,…,
,

,…,
|
,

,…,
arg max
,

,…,



,

(2.10)
Observações: O resultado dado em (2.10) é achado considerando-se  . Para
fins de cálculo assume-se que as premissas variáveis sejam fixas, o que significa que elas
não são mais aleatórias.
é a inversa de assumindo e
constantes. Esta não é a inversa usual de com respeito à
. O mesmo acontece para

como a inversa de com respeito à .
Para reformular (2.9) uma equação adicional para  é necessária. Esta
densidade depende somente da seqüência e conseqüentemente não muda com a escolha de
. Mas isto pode ser visto como uma constante com respeito à
, onde este valor não tem
nenhuma influência na localização do máximo de para uma
dada seqüência
.
Etapa 2:
Usando as relações derivadas da etapa 1, o problema de otimização seguinte tem que ser
resolvido para o cálculo do modo de
:


,

·


,



,



(
3
2.11)
Esta é estimativa do modo probabilístico não-linear genérico para . Para derivar desta
equação à aproximação por mínimos quadrados determinística, as seguintes restrições
adicionais são necessárias:
A.4
e
entram no sistema da seguinte forma desacoplada e linear :
3
Para um tratamento mais rigoroso e geral, mesmo com entrada de distúrbios no sistema similar ao
dado em (2.5) ver em Friedland e Bernstein (1966).
2.3 FORMULAÇÃO GENÉRICA DO ESTIMADOR DE HORIZONTE MÓVEL (GMHE) 17





0,1,2,…
A.5 Todas as variáveis aleatórias são uma distribuição normal Gaussiana:
~ 
0,
, 
~ 
0,
,
~ 
,
ob estas condições


,



,

,


o resultado
aximização de uma função exponencial com expoen
S
da otimização é a m te negativo,
(ROBERTSON et al., 1996). Isto permite simplificar (2.11) para o seguinte problema de
otimização:
arg max
,

,…,










torna-se
atrizes de peso ,,
respectivamente. A partir disso, a formulação dos
mínimo
nto do horizonte de filtragem.
Um ar
i
a
é “grande” em relação a então estamos menos confiantes no
odelo do que nas medições e vice-versa. A matriz
dá uma medida de confiança em
os para
timização baseada na estimação de estados é natural. No entanto é possível o uso de uma
função custo de estados não-linear ao invés de uma função quadrática na otimização.

com o resultado da otimização
,

,…,
. Isto iguala-se a aproximação por
mínimos quadrados em batelada, onde suas matrizes de covariância inversas

,

,

,
são iguais as m
(2.12)
s quadrados do problema de otimização surge naturalmente de um arranjo
probabilístico.
A Figura 2.3 proporciona uma interpretação gráfica do problema de otimização e as
conexões entre as medidas, estados reais e estimados para o GMHE. Ainda nesta figura, uma
expansão para uma janela de “estimação” do horizonte móvel é mostrada. Para as equações
derivadas aqui igual a , corresponde a um contínuo crescime
ranjo do estimador por mínimos quadrados em conjunto com um controlador de
realimentação (feedback) de estados é mostrado na Figura 2.5.
Nesta formulação as matrizes e são os parâmetros de ajuste do modelo com as
medidas do processo. As matrizes carregam o significado de como os erros estão distribuídos
entre modelo e as med ções (saídas). Adicionalmente aos seus significados estatísticos, as
matrizes têm um simples significado: a matriz dá uma medida da confiança no modelo,
enquanto que a matriz dá uma medida da confiança n s observações do processo (process
sensors). Assim se a matriz
m
relação ao estado inicial
F
4
F.
2.3.3 Observações sobre o GMHE
Como mostrado na Seção 2.3.2 o uso da aproximação por mínimos quadrad
o
,e
têm interpretações opostas de ,,
.
4
Notar que as matrizes
18 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
Ψ
Ω
|

|
,
|
Ω
|
,
|
,
|

Ω
f

|
,

|
(2.13)
Esta aproximação não é ainda considerada aqui, pois um entendimento da aproximação
normal por mínimos quadrados é apropriado antes de considerarmos as formulações mais
gerais.
tado Linear
rsiva
om o objetivo de calcular a próxima estimação. Porém a formulação batelada contempla a
possibi
Figura 2.5: Estrutura básica de otimização baseada na estimação de estados.
2.4 Estimação de Es
Esta Seção discute a aplicação de métodos baseados nos mínimos quadrados para
sistemas lineares. Para sistemas lineares é possível formular um algoritmo de solução
recursiva para o método dos mínimos quadrados que permite um cálculo rápido do próximo
estado estimado em função do último calculado. Esta formulação recursiva foi primeiro
proposta por Kalman (1960).
O método de espaço-estados de Kalman promoveu um intenso interesse na teoria do
filtro, por superar as suposições estacionárias restritivas da teoria de Wiener-Kolmogorov do
filtro linear, abrindo novas perspectivas. Para sistemas lineares com estrutura de ruído
Gaussiano, os quais são considerados na formulação do filtro de Kalman, a decisão que
maximiza a função densidade probabilística é fácil de ser obtida, desde que o modo e a média
condicional sejam iguais. Assim não há razão para o uso de uma formulação não-recu
c
lidade de incorporar restrições adicionais, permitindo descrever um conhecimento
prévio do sistema, como a restrição do estado à uma certa região ou as limitações físicas
influenciadas pelos distúrbios. Esta adição de restrições não é possível por formulações
2.4 ESTIMAÇÃO DE ESTADO LINEAR 19
recursivas, e assim informações importantes sobre características específicas do sistema são
perdidas, as quais poderiam ajudar a melhorar ou acelerar a convergência da estimação.
Primeiramente o estimador de estados em batelada (BSE) é apresentado e após isto o
horizonte móvel são motivados e duas diferentes
proximações, onde são garantidas suas estabilidades sob suas respectivas restrições, são
iscutidas. A parte seguinte (2.4.4) fornece uma curta introdução da idéia básica de m
e projeto de observadores lineares. No final desta Seção (2.4.5) é mostrado que todos os
étodos de estimação linear podem ser reduzidos para a mesma estrutura básica.
odelos de sistema considerado nesta Seção são lineares e têm a seguinte estrutura
ar a dada em (1.6) e (1.7)):
filtro de Kalman é discutido como uma solução recursiva do estimador batelada sem restrição.
Nesta Seção do trabalho os estimadores de
a
d étodos
d
m
Os m
(simil à estrutur



(2.14)
Se a formulação por mínimos quadrados, resultante de uma derivação probabilística/
eterminística em 2.3.1, 2.3.2 é usada como um método para estimar os estados de um
sistema, estar-se-á falando sobre o estimador via mínimos quadrados em batelada. Este
stimador pode também ser visto do ponto de vista do GMHE com igual a e
o tempo:
min
|
,…,
|
Ψ
 
|




(2.15)
onde
é dado.
.4.1 Estimador Batelada 2
d
e
conseqüentemente ele é variante n
|

|

|



|

|

(2.16)
sujeita as equações de igualdade,
|

|
|
|


|
0,1,2,…, 1

|

|
0,1,2,…,
(2.17)
estado estimado resultante da minimização pode ser calculado usando a seguinte equação
em dep
Esta formulação tem o inconveniente de que o problema de otimização cresce
conforme o tempo avança e torna-se computacionalmente intratável (conforme Figura 2.6),
mesmo para sistemas pequenos. A estabilidade pode também ser deduzida da estabilidade do
O
endência da seqüência 
|
calculada:
|



|

 



20 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
filtro de Kalman, devido à equivalência entre a estimação de estados em batelada e o filtro de
Kalman. O teorema seguinte dades de estabilidade da estimação de estado
em batelada sem restrição.
resume as proprie
o de estados em batelada sem restrição) O BSE
ado em (2.16), (2.17), com

0,

0 e

0 é globalmente e assintoticamente
estável e a estimativa
|
converge para
se (A,C) é detectável
5
.
Prova: a prova é dada em Muske (1995).
a possibilidade em
corporar o conhecimento prévio sobre o sistema na forma de restrições, resultando no
batelada com restrição. Este estimador tem a desvantagem que o
roblema de otimização cresce com o tempo. A solução para isto são os estimadores de
horizon
A inclusão de restrições na formulação do BSE muda a estrutura do estimador,
perfazendo a mudança de um estimador linear para um estimador não-linear.
Teorema 2.1 (Estabilidade da estimaçã
d
Figura 2.6: Princípio da estimação de estado em batelada
6
.
Desde que a estimação de estado em batelada fornecer o mesmo resultado como na
forma recursiva do filtro de Kalman, não existe vantagem em usar esta formulação intratável
computacionalmente. Porém, a vantagem da formulação batelada vem d
in
estimador de estado em
p
te retrocedido ou móvel (MHE) que são discutidos na Seção 2.4.3.
Batelada com restrição
5
Ver definição de detectabilidade em Muske (1995).
6
Embora esta não seja a maneira mais adequada, a representação do perfil de estado estimado () foi
feita via hold somente para melhor visualização.
2.4 ESTIMAÇÃO DE ESTADO LINEAR 21
As seguintes restrições de estado e medidas são consideradas em adição as equações dadas em
(2.16), (2.17)
Χ
|
| 
,

|

,
,
1,2,3,…,
Ξ
|
| 
,

|

,
,
0,1,2,…, 1
(2.18)
O fato de que o primeiro estado estimado
|
e o primeiro distúrbio
|
não possuírem
restrições, garante-se a viabilidade do problema de otimização quadrática associado a cada
passo de tempo (MUSKE, 1995).
Se as restrições de estado são consideradas para um instável o estimador poderia não
ser capaz de seguir o estado real
para todas as trajetórias possíveis do mesmo. Como
resultado um teorema de estabilidade nominal genérico, para um instável, não pode ser
deduzido. Isto não significa que restrições nos estados não podem ser usadas, mas sim que
elas somente fazem sentido se uma garantia de que o sistema real não irá violar estas
restriçõ er
Adicionalmente, para (2.18) é considerado que ambos os conjuntos Χ
,Ξ
contem a
rigem, Equação (2.19), (para um caso de entrada não-zero o resultado do estado real t
ções). Isto é necessário para garantir que o estimador convirja
ara o valor do estado real, e também assegurar que as restrições formem uma região convexa
om estas definições os seguintes teoremas sobre a estabilidade do BSE podem derivados:
assintoticamente,
Prova: iv
ra
|

não-
ecrescente. A convergência de
|
deriva da estabilidade de e da convergência de
|
an, a
stabilidade da origem é dada pela estabilidade do filtro de Kalman ao redor da origem.
es poderá ser dada. Um modo para garantir que isto aconteça, poderia s pelo o uso
de um controlador que força o sistema a ir para a região das restrições. Porém o uso de tal
controlador modifica a questão de estabilidade de todo o loop feedback. Este é com certeza
um problema mais complicado que o anterior. Portanto nenhuma restrição nos estados para A
instável será considerada aqui.
o
estar dentro da região das restri
em de
p
para o problema de otimização quadrática.
,
0
,á
,
0
,á
(2.19)
C
Teorema 2.2 (Estabilidade Assintótica Nominal da estimação de estado em batelada
para A estável) Se A é estável então o BSE dado em (2.16), (2.17), é um estimador estável
nominal e globalmente com os conjuntos Χ
,Ξ
de restrições.
a prova será somente esboçada. Para a exata der ação ver Muske (1995). A
viabilidade das restrições deriva do fato de que nenhuma delas são colocadas na primeira
estimação pa
e
|
. A convergência da seqüência do erro na estimação
|
|
deriva do fato de que o seu valor, para cada , é limitado através de
Ψ
Ψ

,0,…,0
. Esta soma converge para um valor fixo desde que seja estável e

0. Adicionalmente nós sabemos que a seqüência Ψ
*
é monotomicamente
d
(Ψ
*
converge e

0 então resulta que
|
converge para 0). A estabilidade de 0 é
garantida pelo fato de que exista uma região em torno da origem que o BSE com restrição é
igual ao BSE sem-restrição. Desde que o BSE sem-restrição é equivalente ao filtro Kalm
e
22 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
Teorema 2.3 (Estabilidade Assintótica Nominal da estimação de estados em batelada
para A instável) Se (,) é detectável e instável en ão o BSE t dado em (2.16), (2.17), é um
stimador estável assintoticamente, nominal e globalmente com o conjunto de restrições Ξ
.
s da prova dada pelo Teorema 2.2, conforme Muske (1995). A
viabilid
rsiva para o problema dos mínimos
mpo. Adicionalmente a isso se inclui a necessidade de se guardar as medidas passadas,
étodo batelada, que aqui é dispensada. O novo estado é calculado usando somente
mais nova medida e o estado calculado anteriormente.
O filtro para sistemas invariantes no tempo e para sistemas autônomos discretos pode ser
scrito como segue:
|
,
|

çã   0
|

|
, 
|

|
  1,2,…
Correção:
e
Prova: a prova deriva em parte
ade deriva do Teorema 2.2. A convergência é similar ao estimador batelada linear
desde que uma seqüência de zeros
|
seja a seqüência de distúrbios de estados para todo
(distúrbios nulos). A estabilidade é a mesma para um estável.
2.4.2 Filtro de Kalman
Esta formulação para o estimador de estado linear foi primeiramente proposta por
Kalman (1960). Kalman propôs o filtro em seu trabalho original usando uma aproximação
geométrica chamada de teoria da projeção geométrica. Porém devido à linearidade dos
modelos usados vários outros métodos diferentes e também deduzidos intuitivamente foram
propostos. Jazwinski (1970) fornece uma boa revisão para as diferentes possibilidades. O
autor deduz o filtro de Kalman de um modo direto usando um arranjo probabilístico rigoroso.
Depois disso ele também apresenta uma idéia básica por trás dos outros métodos de dedução
como os mínimos quadrados determinístico, projeção ortogonal e probabilidade máxima.
O filtro de Kalman apresenta uma solução recu
quadrados em batelada dado na Seção anterior (Eq. (2.16) e (2.17)), eliminando assim a
demanda computacional crescente durante a solução do problema batelada com o passar do
te
como no m
a
e
redição: P
|

|



| 

|

|


|

|


|
0,1,2,…
(2.20)
Esta estimação é a variância mínima estimada se
e
são variáveis independentes
com média zero, aleatórias e distribuídas normalmente com covariâncias e , e
uma
variável independente, aleatória e distribuída normalmente com covariância
. Para
processos lineares isto tam
covariâ
conseguir o ajuste dos parâmetros para o estimador é feito pela suposição de que a natureza
bém é a “mais provável” ou a máxima probabilidade estimada. As
ncias e estipulam a magnitude esperada para os distúrbios nos estados e nas
medidas respectivamente. Através da aproximação probabilística, um método rigoroso para
2.4 ESTIMAÇÃO DE ESTADO LINEAR 23
Gaussiana do processo estocástico seja satisfeita e as covariâncias sejam conhecidas ou
possam ser quantificadas.
O estado estimado filtrado é calculado usando um estado estimado predito através do
último valor calculado e da sua atual medida. A matriz
pode ser vista como um ganho
último estado estimado
|
. Já
|
é calculado pela iteração de
icatti com condição inicial . A convergência da iteração de Ricatti garante a
qu dad
a:
an é
ominalmente e exponencialmente estável devido a (,) ser detectável, (,
½
) ser
stabilizável, 0,0 e
0.
m s bateladas anteriores. Considerável conhecimento é então perdido
na form
uma n
está disponível. A informação passada é
incorpo
ap
úmero de variáveis de
decisão
apresentado pelas equações (2.16) e (2.17). O problema como apresentado requer a solução de
feedback linear que penaliza a diferença entre a atual medição e a sua predição.
é calculada
usando a covariância do
R
|
estabilidade sobre certas condições.
A estabilidade do filtro de Kalman resulta da iteração da E ação de Ricatti que é a pelo
seguinte teorem
Teorema 2.4 (Estabilidade Exponencial do Filtro de Kalman) O filtro de Kalm
n
e
Prova: Para a prova ver De Souza, Gevers et al. (1986) e Robert, Vincent et al. (1991).
2.4.3 Estimação via Horizonte Móvel
Como mostrado anteriormente, o BSE requer a solução do problema dos mínimos
quadrados usando todas as medidas de saída anteriormente conhecidas para calcular a
estimação filtrada. Uma possível solução para reduzir o montante de informação a ser
processada a cada tempo é começar com um novo cálculo batelada a cada passo de tempo
pelo truncamento do vetor de medidas passadas. Até mesmo com uma idéia mais inferior
poderia se iniciar com uma nova seqüência de estimação em batelada após um tamanho de
horizonte específico ser alcançado. Os métodos que usam esta idéia têm a desvantagem que
eles não têm ligação co a
a de estados passados. Jazwinski (1970) propôs outra idéia, os chamados filtros de
memória limitada. Estes filtros foram construídos sobre a idéia do uso da covariância passada
e valores médios para iniciar ova batelada. Porém, ele considera somente sistemas com
distúrbio nas medidas ().
Em outra aproximação, um horizonte móvel tenta preservar as informações passadas
pelo uso de uma janela de “informações” que desliza sobre as medidas. O estado é estimado
através de um horizonte de (1) medidas de saída mais recentes, que se move à frente a
cada tempo de amostragem quando uma nova medida
rada usando uma estimação de partida

que é calculada a partir dos estados
filtrados passados e da matriz de peso específica

. A diferença entre os métodos
resentados encontra-se no modo de como a nova estimação inicial e o novo peso inicial são
calculados, e assim como é garantida a estabilidade.
A janela de dados móvel reduz o problema do crescimento do n
, encontrado no estimador de estados em batelada, para um número fixo. As primeiras
estimações são computadas usando um estimador batelada similar ao apresentado em 2.4.1.
O nome “estimação via horizonte móvel” vem da analogia com uma janela de estimação
deslizante ou móvel, cujo esquema pode ser visualizado na Figura 2.7.
Várias opções diferentes existem para a solução de problemas matemáticos como o
24 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
um problema de programação não-linear (NLP), embora tratável, computacionalmente
grande. Se o modelo do processo é rígido (stiff) ou tem dinâmicas instáveis, estratégias
simultâneas, na quais a discretização e o problema de otimização são resolvidos
simultaneamente, são freqüentemente vantajosas, (BIEGLER, 1997), (BIEGLER, 1998) e
(BOCK et al., 1998) apud (RAO e RAWLINGS, 2002). Quando o modelo do processo é
linear e quando as restrições formam um conjunto de poliedros convexos, a programação
matemática reduz-se para programação quadrática cujo problema de esforço computacional é
bem menor. Para implementações on-line é necessário limitar o tamanho do problema
matemático dado pelas equações (2.16) e (2.17). Conseqüentemente é necessária uma
stratégia para a compressão/compactação dos dados. A estratégia aplicada é a programação
dinâmica aproximada. Rearranjando a função objetivo Ψ
de (2.16), dividindo em duas partes
:0   1
e
: 
:
Ψ
 
|

|

e
|

|



|

|



|

|



|

|

(2.21)
Assumindo que o sistema (2.21) acima apresenta o comportamento de Markov,
(GESTHUISEN, 2001), ou seja, a expressão,




epende somente de

,

,…,
,
|
,…,
|
. O princípio da otimalidade nos
permite calcular o problema de estimação dado pela equação (2.11) como um problema MHE.
ssim podemos substituir as equações (2.16) e (2.17) pelo seguinte problema matemátic
|
,…,
|

|
|

|

|

d
A o:
 Ψ




|

|



|

|

sujeito às restrições da Equação (2.17), onde
(2.22)



|

|
|


|

|
(2.23)
é a função custo marginal que é obtida de uma analogia com o EKF (considerando que
tenha sua inversa). Usar o EKF para aproximar o custo marginal tem muitas vantagens.
Quando não existem restrições o estimador é o próprio filtro de Kalman estendido. Neste caso
como o modelo do processo é linear, o estimador reduz-se para o filtro de Kalman.
2.4 ESTIMAÇÃO DE ESTADO LINEAR 25
O custo marginal é fundamental na estimação, pois pela compressão de dados, isto nos
permite transformar o problema matemático sem limites em um equivalente problema de
dimensão fixa. Quanto mais a aproximação do custo marginal

·
satisfazer certas
condições técnicas, a não-divergência ou a estabilidade é garantida (RAO e RAWLINGS,
1998). Quando o modelo do processo é linear a covariância do filtro de Kalman, embora
exista restrições, resulta em um estimador estável (RAO et al., 1999b). Porém quando o
modelo do processo é não linear, a covariância do filtro de Kalman estendido não garante
estabilid edade e m ições adicionais são necessárias para garantir a estabilidade. Em termos
ráticos deveria existir um grau de “esquecimento”: o estimador não deveria ponderar os
dados passados tão fortemente. Uma propriedade do filtro de Kalman é que ele esquece
exponencialmente os dados passados (ANDERSON, 1999) apud (RAO e RAWLINGS,
2002). Então pela adição de um fator de esquecimento para o custo marginal aproximado, a
robustez dos estimadores, ameaçados de divergirem, pode melhorar. Uma estratégia simples
para gerar um fator de esquecimento é pré-multiplicar o custo marginal aproximado por um
escalar 0,1.
HE sem-res es
A primeira formulação do MHE usa um filtro de Kalman para fazer a atualização dos
valores iniciais. Este algoritmo e o equivalente ao filtro de Kalman (semelhante a
equival Kalm
Muske et a
uinte. O tida
|

) a 1 intervalos de tempo passados.
|

|


p
Figura 2.7: Exemplo da janela do filtro móvel.
M triçõ
ência do estimador batelada e o filtro de an) foram apresentados em um artigo de
l. (1993). Isto formará uma base para o esquema MHE com restrição apresentado
na item seg valor de par é calculado a partir do valor ótimo estimado
(
|
26 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
Para a matriz de penalidade inicial
|
usa-se ao invés a matriz de Ricatti
|
, onde a mesma é resultante da atualização do filtro de Kalman como dado em
.20) com
|

. Notar que
|
é a covariância extrapolada do estado esti
no tempo .
|
|

(2 mado

|
,…,
|
Ψ


|

|

|



|

|

(2.24)
ujeita às equações de igualdade,
s
|

|

|
|
|


|
,…,1

|

|
,…,
(2.25)
om,
|

Muske et al. (1993) mostraram que o valor do estado estimado predito
|
alculado usando o esquema em (2.24) é equivalente a estimação do filtro de Kalman
calcula

c
|
̂
|


|

|






c
do pelo emprego da equação (2.20) se o sistema usado é autônomo:


(2.26)
A estabilidade do esquema de horizonte móvel pode ser deduzido da estabilidade do
filtro d
ma que surge é a questão sobre o conjunto de restrições que podem ser usadas e
também
uma dis de vista probabilístico foi
e Kalman usando a equivalência entre o filtro de Kalman e o MHE com o filtro de
Kalman como atualizador.
Método com Restrição 1 – Nenhuma Restrição Inicial
Desde que estimador de horizonte móvel, com atualização via filtro de Kalman para os
casos sem-restrição, dá o mesmo resultado que o filtro de Kalman, não há mais razão para o
uso desta aproximação, devido ao tempo computacional adicional que é necessário para
resolver o problema de otimização. A motivação para o uso da formulação do horizonte
móvel é a possibilidade de empregar restrições. Uma discussão sobre a vantagem da
incorporação de restrições é feita de uma maneira mais ampla no item 2.6. Fazendo-se isto,
um proble
o tipo do esquema de atualização que deverá ser empregado. Esta formulação foi
dada por Muske (1995) e cussão adicional do ponto
2.4 ESTIMAÇÃO DE ESTADO LINEAR 27
proposto no trabalho de Robertson et al. (1996). A idéia por trás desta for ão é usar as
propriedades de estabilidade do filtro de Kalman de forma a achar um MHE de estabilização
nominal.
mulaç
anterio
es
r
m o objetivo de dar um melhor ajuste na estimação. Se as restrições de estado
er
em
ara um caso de entrada não-zero, o resultado do estado real tem que se encontrar na região
das restrições). Isto se faz necessário para garantir que o estimador possa convergir para o
valor do estado real e também assegurar que as restrições formem uma região convexa
ontendo o sistema de estados reais com o objetivo de assegurar o problema de otimização
quadrático. O estimador resultante com as apropriadas restrições tem a seguinte estrutura:

|
,…,
|
Ψ

|
|

Esta formulação usa um estado inicial estimado
|
calculado pelo emprego do
filtro de Kalman no tempo 1 e usando o valor predito
|
( ver a equação
(2.20) e como calcular isto). Denotaremos aqui estas estimações iniciais de ̂
|
, de forma a
evitar confusão com as estimações passadas. Como matriz de peso inicial, a matriz de
covariância de predição
|

do filtro de Kalman é usada.
As duas escolhas res garantem a estabilidade do estimador, pelo emprego das
propriedades de estabilidade do filtro de Kalman. Porém esta não é uma idéia muito intuitiva,
desde que, como resultado das estimações de partida usadas, não é em geral possível a
colocação de restrições nas estimações iniciais de forma a manter uma programação
quadrática possível de ser resolvida. No entanto o estado estimado inicial
|
e o
distúrbio-estado inicial
|
permanecem sem restrição (MUSKE, 1995). Os conjuntos
de restrições resultantes são dados em (2.28). Outra desvantagem do uso do filtro de Kalman
como chute inicial é que não há nenhuma conexão entre as estimações MHE passadas e a
timação calculada recentemente, pois desde que valores iniciais são usados, os mesmos
poderiam violar as restrições. Assim este filtro pode ser visto como uma extensão do filtro de
Kalman normal, com o fato de que estrições adicionais nos últimos N valores são
empregadas co
são consideradas para um instável, o estimador poderá não s capaz de seguir o estado real
para todas as possíveis trajetórias de
. No entanto, restrições nos estados para A instável
são usadas aqui. Esta é uma restrição similar a aquela que foi necessária para a estimação de
estado em batelada sem-restrições com instável (ver 2.4.1) com o objetivo de garantir a
convergência.
Necessidades adicionais são que ambos os conjuntos Χ
,Ξ
tenham que conter a orig
(p
c
|

|

|



|

|

(2.27)
|
̂
|

|
|

|


|
 ,… 1

|

|
 ,…
Χ
sujeita a,
|
| 
,

|

,
,
1,2,…,
Ξ
|
| 
,

|

,
,
,1,…,1
(2.28)
28 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
com,
|

|
  
eorema 2.5 (Estabilidade Assintótica nominal) O estimador dado por (2.27) e (2.28) em
viavelmente vem da escolha das restrições e a estabilidade vem da
stabilidade assintótica do filtro de Kalman em torno da origem. A estabilidade assintótica
mador ao redor da origem,
USKE, 1995).
(199
e não r
or da
|
rmação “real” vinda de estimações anteriores ou de
ediçõ
nte.
O resultado do problema de otimização de horizonte móvel pode ser dado como segue
(como resultado da livre flutuação, o mesmo conjunto de restrições implementado para o
MHE anterior pode ser usado):

|
,…,
|
Ψ

|

|



|

|

ujeito a,
̂
|
̂
|





Muske (1995) mostra a estabilidade assintótica para este estimador. O resultado é dado pelo
seguinte teorema.
T
2.4.3 é para um estável, assintótico nominal e globalmente se (,) é detectável e 1.
Para um instável, o mesmo se aplica se Χ
for todo o espaço

.
Prova: A convergência da estimação de estados vem do uso da estimação do filtro de Kalman
como atualizador,
e
vem da convergência, viabilidade e da estabilidade local do esti
(M
Método com Restrição 2 – Estimação Inicial Sem-Penalização
Muske (1995) e Muske e Rawlings 5) apresentaram um método de
implementação do problema de estimação MHE com restrição qu equer o uso do filtro
de Kalman como estimador e ao mesmo tempo garante a estabilidade nominal do mesmo.
Este método permite que a primeira estimação
|
varie livremente pela remoção da
penalidade


na estimação inicial para o distúrbio de estado
|
. Uma interpretação
probabilística para isto é que o val estimação de partida é completamente incerto.
Este estimador herda a mesma deficiência do MHE com o filtro de Kalman fazendo a
estimação de partida. Nenhuma info
m es de tempos anteriores a  entram no cálculo.
|
pode ser escolhido tanto
grande ou pequeno como necessário para minimizar a função custo, desde que este entre na
função custo somente indiretame
s
|
̂
|


|

|

|
|
|


|
,…,1

|

|
,…,
(2.29)
2.4 ESTIMAÇÃO DE ESTADO LINEAR 29
Χ

|

| 
,

|

,
, 1,2,…,
Ξ

|

| 
,
|

,
, ,1,…,1
(2.30)
As restrições nos estados são consideradas somente se o modelo do sistema usado é
estável egi
C
timi
995). Isto é necessário para garantir que a Hessiana resultante
do problema de otimização seja positiva definida e assim juntamente com a convexidade das
.29) e
rova: A restrição para 1 garante uma solução única para o problema quadrático. A
ma similar ao MHE com estimação
possível pois
necessitar-se-ia um inversível. Para o problema MPC isto é possível, desde que a predição
aproximação dada por Tyler e Morari (1997),
sugere
, de outra maneira não se pode garantir que o estado real fique na r ão de restrição,
desde que os estados possam se deslocar para o infinito.
ontudo um completo e novo problema resulta da remoção de

, mas isto não
garante que exista uma única solução para o problema de o zação quadrática, desde que
não se tenha um peso definido e positivo (ou uma matriz de peso definida e positiva) em
|
. Uma única solução pode ser garantida se a restrição para sistemas com (,)
observável e se um tamanho de horizonte maior ou igual a 1 pólos (ou modos) instáveis
(), forem impostos (MUSKE, 1
restrições, garante-se solução única. As propriedades de estabilidade do estimador são
resumidas no seguinte teorema:
Teorema 2.6 (Estabilidade Assintótica nominal) O estimador dado pelas Equações (2
(2.30) é para um estável, assintótico nominal e globalmente em Χ
e Ξ
, se (,) for
detectável e 1.
O mesmo se aplica, para um instável, se nenhuma restrição for imposta nos estados.
P
convergência, viabilidade e a estabilidade derivam de for
e partida via filtro de Kalman (MUSKE, 1995). d
Método com Restrição 3 – Predição do Futuro
O MHE pode ser visto como uma contraparte da estimação de estado do problema
MPC, conseqüentemente parece lógico usar idéias similares no MHE às usadas no MPC
(EATON, 1992) e (TENNY, 2002). A estabilidade do MPC pode ser garantida pela extensão
do horizonte de predição ou por um horizonte de controle infinito no futuro (exemplos em
Muske e Rawlings (1993), e Scokaert et al. (1997). Uma similaridade para o MHE poderia
ser a extensão do horizonte de estimação para um passado infinito. Isto no entanto não é
implementável, pois somente um número finito de dados (medições) está disponível. Para o
MHE, um cálculo contrário, cálculo para um futuro infinito, nem sempre é
vá em direção do tempo positivo (futuro). A
predizer o infinito no futuro, ao invés de ir à direção do tempo passado.
2.4.4 Observador de Luenberger
Outro método para construir um estimador recursivo de estado usando estimações
passadas, segundo Muske (1995), semelhante ao filtro de Kalman, é selecionar uma matriz de
ganho constante baseado em alguns critérios de desempenho desejado, ao invés de determinar
o ganho das matrizes de covariância dos processos estocásticos. Este estimador é considerado
30 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
como um sistema dinâmico, onde este é dirigido pelas medições de um controlador e/ou filtro
de ganho. Este sistema é designado a imitar o comportamento do sistema real com o passar do
tempo. Esta aproximação é tida como o observador de Luenberger (LUENBERGER, 1964),
sendo um método determinístico. O critério de desempenho é baseado na estabilidade do
observador e do comportamento dinâmico da reconstrução do erro (equação do erro entre o
observador e o sistema real). O observador é estável se e somente se todos os autovalores
resultantes das dinâmicas do erro tiverem valores estritamente menores que 1 (em módulo). O
erro resultante
seja est
rolado pelas medições feedback. O loop é fechado devido a
passagem da variável diferença (entre a saída predita
e a medições reais
) através do
ontrolador e/ou filtro linear de ganho . A estrutura base e geral é mostrada na Figura
descrita pela seguinte equação:
ganho do observador é conseqüentemente escolhido de modo que a equação do
ável.
2.4.5 Similaridade entre os Métodos de Estimação Linear
Para o caso linear sem restrição é importante frisar que os métodos de estimação
lineares como o filtro de Kalman, MHE, Batelada e o observador de Luenberger podem ser
formulados para um sistema cont
2.8, e c
é




(2.31)
o critério de desempenho. Probabilisticamente o objetivo é minimizar a influência
do ruído de medição e do distúrbio de estado no sistema. Para o observador de Luenberger é
localização dos pólos para o “observador com loop
Figura 2.8: Estrutura geral de um estimador linear.
A diferença entre estes estimadores está contida em . Para o MHE com filtro de
Kalman como atualizador, o filtro de Kalman e o Batelada, é calculado com o objetivo de
minimizar
frequentemente calculado via a técnica de
fechado”.
2.5 ESTIMAÇÃO NÃO-LINEAR 31
2.5 Estimação Não-Linear
Esta Seção fornece uma breve revisão sobre os métodos de estimação de estados para
os sistemas não-lineares mais gerais dados pela equação (2.1). Por várias razões, o problema
da filtragem para sistemas não-lineares é considerado mais difícil, do qual também deriva
uma variedade mais ampla de técnicas de solução que para o caso linear. Em oposição às
técnicas de filtragem linear, existe uma pequena justificativa teórica para uso da média
condici
los, uma aplicação de métodos de
aproxim
sistemas não-lineares é apresentada, pela
near, e então o estimador de estado via
os por uma interpretação probabilística
do prob
primeira ordem. Este estimador calcula a
estimaç
a de equações são considerados. Para os filtros de Kalman estendidos de
alta or
onal, como uma estimação ótima, desde que
não esteja em uma distribuição
Gaussiana. Se for usada a formulação dos mínimos quadrados probabilística do item 2.3.2
para calcular a melhor estimação, então podem-se obter valores que podem ser
substancialmente diferentes da média condicional.
Embora métodos de estimação ótima possam ser derivados, eles freqüentemente não
podem ser usados na forma fechada, devido que os mesmos reivindicam a solução de
problemas de dimensão infinita. Para superar estes obstácu
ação é necessária com o objetivo de tornar os algoritmos usáveis. Esses algoritmos
resultantes fornecem somente soluções subótimas. Especialmente se o modelo é bastante não-
linear esses métodos são somente estimadores estáveis localmente, que podem divergir e/ou
convergir para valores irreais com o passar do tempo.
Primeiramente nesta Seção, a expansão “lógica” do filtro de Kalman linear para o caso
não-linear é apresentada. Este método é o filtro de Kalman estendido (EKF) de primeira
ordem que calcula a solução de maneira recursiva similar ao caso linear. Depois, a extensão
dos métodos via mínimos quadrados lineares para
formulação do estimador de estado em batelada não-li
horizonte móvel não-linear. Estes métodos são motivad
lema de estimação dado no item 2.3.2. Finalmente, uma curta revisão sobre outros
métodos de estimação é feita.
2.5.1 Filtro de Kalman Estendido - EKF
Um método direto para gerar um filtro não-linear ótimo é linearizar o modelo não
linear em torno de um dado ponto (ponto de operação ou ponto estacionário) e aplicar a
estimação de estado linear ótima para estas equações linearizadas. Um método que usa esta
idéia é o Filtro de Kalman Estendido (EKF) de
ão atual aplicando o filtro de Kalman, nas equações do sistema linearizado, em torno
do último estado filtrado. Este método é essencialmente justificado se o sistema linearizado
fornece uma boa representação do comportamento do sistema real para uma vizinhança
suficiente em torno do atual estado do sistema.
Uma extensão para filtros de alta ordem é possível se os termos de alta ordem da série
de Taylor do sistem
dem e também para a exata derivação do filtro de Kalman estendido, Gelb (1974)
fornece uma boa revisão sobre a aplicação das técnicas de filtragem linear e não-linear. Uma
derivação partindo de um ponto de vista probabilístico pode ser encontrada em (JAZWINSKI,
1970).
32 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
O EKF é sem dúvida o mais popular estimador e tem sido usado na comparação com
outros estimadores baseados em horizonte. Devido a estas razões, no trabalho de Robertson et
al. (1996) a propagação da estimação inicial e a matriz de pesos para o estimador de horizonte
t al. (1996) é feita
ma discussão detalhada da equivalência entre o EKF e o estimador de horizonte móvel, e
como estas idéias são estendidas para outros algoritmos de aproximação não-linear.
O EKF considerado aqui é descrito no seguinte sistema de tempo discreto:
móvel são baseadas no algoritmo EKF. Ainda no trabalho de Robertson e
u

,



0,1,2,…
(2.32)
ordem.
não-linear, a existência da aproximação via série de Taylor
é ainda possível se
for pequeno, pois se faz uma expansão em torno de
da expressão
O mesmo vale se
for pequeno em


. Assim,
plicando o filtro de Kalman tempo variante para a série de Taylor de primeira ordem produz
o seguinte algoritmo para o EKF:
:
com ,  
para garantir a existência de uma aproximação via série de Taylor de primeira
Se a equação do modelo é



,
.
a
Observação/Correção
|
|


|
|
|


|

|
(2.33)
Predição de
|
e
|
(forma contínua):
|

|
,
|
|

|

(2.34)
nde, o

,

|


|

|

|
|

|

Nesta formulação, quando da disponibilidade da medição, o estado atual é corrigido
e/ou atualizado usando o ganho do filtro de Kalman, calculado com uma aproximação linear
de e baseado nos valores do estado predito (
|
) e da matriz de covariância (
|
),
2.5 ESTIMAÇÃO NÃO-LINEAR 33
onde ambos foram calculados a um passo de tempo atrás. O novo estado do sistema (
|
),
bem como sua matriz de covariância (
|
), são preditos um passo à frente usando as
equações do sistema não-linear.
iltros de Kalman foram encontradas na
literatu
Song (1992), Song e
Grizzle
truturas de sistema idênticas à dada por (2.32).
Esta estrutura permite formular um problema de otimização de “mínimos quadrados”
omo uma solução direta de uma formulação probabilística. O estimador batelada não linear
Muske e Rawlings (1995). Nessa formulação,
ariáveis de distúrbio do sistema são restringidos pelo mesmo conjunto de restrições
no estimador batelada linear. Estas restrições são dadas em (2.18). Com estas
es o estimador de estado não-linear tem a seguinte estrutura, similar ao BSE linear em
2.4.1:

|
,…,
|
Ψ

|

Diferentes formas de implementação dos f
ra. Findeisen (1997), apresenta o EKF executando a etapa de predição antes da etapa
de observação/correção. Já no trabalho de Robertson, Lee et al. (1996), a etapa de
observação/correção é preliminar a etapa predição. Esta última formulação é usada mais tarde
como um mecanismo de atualização para o algoritmo MHE não-linear.
(1995) fornecem um teorema que garante a estabilidade local do EKF sob fortes
condições.
2.5.2 Estimação Batelada Não-Linear
Como mostrado no item 2.3.2, a formulação mínimos quadrados em batelada pode
também ser aplicada para sistemas não-lineares com distúrbios nas medições e nos estados,
para es
c
com restrição considerado aqui foi proposto por
estados e v
,Ξ
comoΧ
restriçõ
|

|

|



|

|

(2.35)
sujeito a,
|


|
|

|
,

|
0,1,2,…,1

|

|
0,1,2,…,
|
Χ
,
|
Ξ
(2.36)

,
|
Esta aproximação, devido as não-linearidades do sistema, tem mais limitações
computacionais que o estimador de estado batelada linear. Isto, no entanto não é prático para
aplicações em tempo real. Muske e Rawlings (1995) formularam o seguinte teorema de
As estimações de estado atuais resultante desta minimização podem ser calculadas aplicando
a seqüência calculada 
|
para o seguinte conjunto de equações recursivas:
| |
|


|
0,1,2,…
34 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
convergência, considerando a reconstrução inicial dos erros
para o qual uma seqüência de
ruído estado viável 
|
, e zeros de erros de reconstrução no tempo finito, existem:
Teorema 2.7 (Convergência do NBSE com restrição) Por (2.35), (2.36) e dado BSE com
ara o caso nominal para o valor correto de
o para sistemas lineares, não é possível justificar o estimador de
horizonte móvel não-linear usando esses resultados. No entanto os estimadores de horizonte
tados aqui são baseados em algumas propriedades do
estimador GMHE apresentado anteriormente na Seção 2.3. A diferença entre os métodos
apresen
Livre F
eira estimação do estado-distúrbio
não é penalizada na função objetivo, permitindo que o primeiro estado estimado seja
estado e de
medição. Um problema é que algumas propriedades do estimador linear com estimação inicial
livre são também carregadas. O peso zero no distúrbio de medição inicial pode ser visto num
rranjo probabilístico junto com o fato de que não se tem nenhuma informação sobre os
valores iniciais. Isto significa também que nenhuma informação obtida nos passos anteriores
usada com o objetivo de melhorar a próxima estimação.
estimador NMHE com estimação inicial não-penalizada tem a seguinte forma:

|
,…,
|
Ψ


0,

0,

0,
converge p
se o sistema considerado é observável uniformemente.
Prova: A prova baseia-se nos mesmos métodos que são usados para mostrar a convergência
do BSE linear, e a única diferença é que outra condição de observabilidade é necessária
devido ao fato que os sistemas são considerados não lineares.
2.5.3 Horizonte Móvel Não-Linear
Desde que não é possível calcular uma solução recursiva fechada para o problema de
estimação batelada com
móvel não-linear (NMHE) apresen
tados está na seleção das estimações iniciais e dos matrizes de pesos. Para o caso
linear, a covariância do respectivo estado estimado era usada como garantia de estabilidade.
Em outro método foi permitido que a primeira estimação no horizonte pudesse flutuar o
quanto necessário.
lutuação do Estado Inicial
Esta aproximação é uma forma direta de método apresentado em 2.4.3. Ela foi
proposta primeiramente por Michalska e Myne (1995), para sistemas tempo-contínuos não-
lineares. Já uma versão tempo-discreto é proposta por Muske e Rawlings (1995) e Muske e
Edgar (1996).
A maior vantagem desta aproximação é que a estabilidade para o caso nominal pode
ser mostrada de um modo similar ao que foi mostrado na formulação batelada, usando uma
função custo incrementada. O principio básico é que a prim
escolhido livremente, pois este estado não está também incluído nas restrições de
a
é
O
|

|



|

|

(2.37)
2.5 ESTIMAÇÃO NÃO-LINEAR 35
sujeito a,
|

|
,

|

|

|
|
Χ
,
|
Ξ
(2.38)
com as seguintes restrições de desigualdade:
Χ
|
| 
,

|

,
,
1,2,…,
Ξ
|
| 
,

|

,
,
1,,…,1
ência do NMHE com restrição e com Estimação Inicial não
Penalizada) O NMHE dado por (2.37), (2.38) com

0,

0,
converge para
Prova:
parte será apresentado um estimador que utiliza um filtro de Kalman estendido
como um atualizador para a estimação da matriz de covariância
|
. Ele foi proposto
mulação de atualização usando métodos
milares a aqueles que são usados na derivação do filtro de Kalman estendido (EKF).
Adicionando-se a variável distúrbio de medição (
|
), como variável a ser otimizada, ao
problema de otimização, pode se adicionar restrições nesta e com isso permitir a melhora da
stimação.
Observação/Correção:
(2.39)
Teorema 2.9 (Converg
o caso nominal para o valor correto de
se o sistema considerado é observável
uniformemente.
A prova baseia-se na prova mostrada para o caso do MHE linear como o mesmo
esquema de atualização.
Horizonte Móvel Não-Linear com Atualização da Matriz de Covariância via Filtro de
Kalman Estendido (EKF)
Nesta
por Robertson et al. (1996), de onde derivou a for
si
e

|
,…,
|
,
|
,…,
|
Ψ

|
|

|

|

|



|

|

(2.40)
jeita às restrições de igualdade,
|
|

|
,

|
 ,…, 1

|

|
 ,…,
e às seguintes restrições de desigualdade:
su
|
|

36 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
Χ
|
|
,

|

,
,
1,2,…,
Ξ
|
|
,
|

,
,
1,,…,1
Θ
|
|
,
|

,
,
,1,…,
(2.41)
com a atualização de
|
sendo calculada usando as seguintes equações:
|
|


|

|

(2.42)
stimação de
|
(forma contínua):
E
|

|
,
|
|

|

(2.43)

,

onde,
|

|


|

|
|

|

|

|


Predição (
|
):
|

|
,
(2.44)
o leve à um suficientemente grande e com isso um custo computacional
levado. Assim é preciso reconciliar estes dois compromissos quando na escolha do tamanho
o horizonte. De um ponto de vista teórico, o MHE é estável quanto maior for o tamanho do
ou o índice de observabilidade do sistema.
nte Móvel Não-Linear com Atualização da Matriz de Covariância via Solução
inâmica da Matriz de Ricatti
Considerando que a matriz de covariância possui inversa, a atualização e estimação
da mesma pode ser feita via solução da equação dinâmica de Ricatti (forma discreta), (RAO et
al., 2003):
A escolha do tamanho do horizonte é um parâmetro de ajuste no MHE, (Rao e
Rawlings (2002). O desempenho do MHE melhora com o aumento deste, embora uma
minimizaçã
e
d
horizonte que a ordem
orizoH
D
 |

|
|
|


|
(2.45)
nde,
o
2.5 ESTIMAÇÃO NÃO-LINEAR 37

,



|

|

|

|


ssim o MHE resultante tem a seguinte estrutura:
bservação/Correção:

|
,…,
|
,
A
O
|
,…,
|
Ψ

|
|

|

|

|



|

|

(2.46)
jeita às restrições de igualdade,
|
|

|
|

|
,

|
 ,…, 1

|

|
 ,…,
es de desigualdade:
Χ
su
e às seguintes restriçõ
|
| 
,

|

,
,
1,2,…,
Ξ
|
| 
,

|

,
,
1,,…,
Θ
1
|
| 
,

|

,
,
,1,…,
(2.47)
om as etapas de atualização e estimação de sendo calculada pela solução da equação
c
dinâmica de Ricatti:
|

|
|
|


|
nde,
(2.48)
o

,

|

|


|

|
|

|

|

|


Predição (
|
):
38 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
|

|
,
(2.49)
Segundo Marcon et al.(2002) uma vantagem do uso da atualização via solução da
equação/matriz dinâmica de Ricatti (forma discreta) é que na etapa de predição do filtro são
integradas apenas as equações que descrevem o comportamento dinâmico do processo. Já na
formul
integrado e pode vir a ser problemático para sistemas com elevado número de estados.
Entreta
ente todas estas
aborda
ca de Ricatti na estimação de estados com restrições
.
de estabilidade.
ndido com restrição - CEKF
O CEKF (do inglês Constrained Extended Kalman Filter) é um tipo alternat
ização, ele é originário da formulação do MHE, que foi
(1995) e Robertson et al. (1996).
A formulação do CEKF descrita a seguir é basicamente a resolução do problema MHE
horizonte de estimação igual a zero (0). Isto é similar ao Filtro de Kalman
bém possui horizonte de predição igual a zero na
CE F proposto por Gesthuisen et al. (2001) usa a
olução da equação/matriz dinâmica de Ricatti para a atualização da matriz de covariância .
Observação/Correção:
|
,
|
ação do filtro com atualização via EKF é necessário integrar simultaneamente, além do
modelo dinâmico, as equações diferenciais relacionadas à matriz de covariância (forma
contínua), que ainda segundo Marcon et al. (2002) aumenta muito o tamanho do sistema a ser
nto, pode-se facilmente se integrar separadamente as equações que descrevem o
modelo e as que atualizam a matriz de covariância, o que reduz consideravelmente a
dimensão do problema, podendo ainda proceder na atualização discreta da matriz de
covariância, o que descartaria a necessidade de se integrar o sistema. Praticam
gens levam a resultados equivalentes para a maioria dos casos em que a não-
linearidade do sistema não é pronunciada (MARCON et al., 2002). Rao et al. (2003) fazem
uso da solução da equação/matriz dinâmi
para sistemas não-lineares discretos.
A necessidade da solução da matriz de Ricatti, segundo Grewal e Andrews (2001), é
uma das etapas mais criticas. Ainda em Grewal e Andrews (2001) é encontrado uma ampla
discussão sobre os métodos de solução da matriz diferencial de Ricatti
Mais adiante, no capítulo 3 (item 3.2.1), é apresentada a formulação MHE resultante
quando do uso da estratégia simultânea para a solução do problema de integração dinâmica
envolvido na solução das restrições de igualdade da equação (2.46).
Para as duas formulações MHE dados por (2.40) até (2.44) e (2.46) até (2.49) não
possui prova ou garantia
2.5.4 Filtro de Kalman Este
ivo de
estimador de estado baseado em otim
introduzido por Muske e Rawlings
com
Estendido convencional (EKF), que tam
etapa de correção. Também o estimador K
s

Ψ

|
|

|

|

|
(2.50)
2.5 ESTIMAÇÃO NÃO-LINEAR 39
sujeita as restrições de igualdade,
|
|

|

|

|
as seguintes restrições de desigualdade:
Ξ
e

|

|
,

|

,
Θ

|

|
,

|

,
(2.51)
com as etapas de atualização e estimação de sendo calculada pela solução da equação de
Ricatti:
|

|
|
|


|
nde,

,

(2.52)
o
|

|


|

|
|

|


|

Predição (
|
):
|

|

|
,
(2.53)
Uma a
proximação para este estimador pode ser feita considerando-se que as variáveis
distúrbios e estejam relacionadas de forma quadrática. Então a equação (2.50) pode ser
escrita na forma canônica de um problema de otimização quadrática:

Ψ
Θ
T
Θ

T
Θ
(2.54)

|
0
onde, Θ

, ,  e 0
| |

0
sujeita à restrição de igualdade:
Θ


|
(2.55)
e às seguintes restrições de desigualdade:
40 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
Ξ
|
|
,

|

,
Θ
|
|
,

|

,
(2.56)
O problema de otimização representado pela equação (2.50) pode possuir vários
mínimos locais e isto representa um esforço maior para o otimizador na busca do mínimo
global. Quando na forma de um problema descrito pela equação (2.54), tem-se um único
mínimo global o que resulta em uma solução mais rápida, a qual pode ser obtida via métodos
de Programação Quadrática (QP). Além do leve esforço computacional necessário para a
solução deste tipo de problema, existem implementados eficientes solvers de programação
quadrática como por exemplo a rotina quadprog do Matlab
®
.
2.5.5 Revisão Bibliográfica-Cronológico a cerca da estimação MHE
A estimação via horizonte móvel não é uma idéia nova, pois tem sido proposta por
inúmer
s não-linear. Tjoa e Biegler (1991) e Albuquerque e Biegler
timização
e (1993b)
discutir
e (2000) discutiram estratégias multi-escala para o MHE e os
benefícios da incorporação de restrições na estimação. Gesthuisen e Engell (1998) discutiram
a ap a
(1999)
compan
probab
derivar da estimação de estados via
hori n
dem
mínima
MHE l
Rao e
estabili
mostra
monito
os pesquisadores. Embora distinto de controle, a estimação via horizonte móvel é vista
melhor de uma perspectiva histórica como um descendente do controle preditivo baseado em
modelo. O sucesso do emprego da otimização on-line em controle, como demonstrado pelo
sucesso industrial do controle preditivo baseado em modelo Qin e Badgwell (1997) e (1998),
forneceram uma motivação inicial para o MHE. A primeira proposta de MHE sem-restrições
veio de Thomas (1975) e Kwon et al. (1982), embora Jang et al. (1986) terem sido os
primeiros a propor o MHE sem-restrições como uma estratégia de otimização on-line. Muitos
pesquisadores na área de controle de processos estenderam o trabalho de Jang e co-autores.
Bequete e co-autores (Bequette (1991) e Ramamurthi et al. (1993)) investigaram estratégias
de horizonte móvel para estimação de estados como uma extensão lógica do controle
preditivo baseado em modelo. Kim et al. (1991) investigaram estratégias de horizonte móvel
para a reconciliação de dado
(1995) e (1996) investigaram técnicas numéricas e estatísticas relacionadas à o
baseada em reconciliação de dados não-linear. Narasimhan e Harikumar (1993a)
am estratégias de reconciliação de dados estática incorporando restrições. Marquardt e
co-autores Binder et al. (1998)
lic ção do MHE para uma planta piloto de um reator de polimerização, e Russo e Young
discutiram a aplicação do MHE para um processo de polimerização industrial na
hia química Exxon.
Robertson e Lee (1995) e (2002) e Robertson et al. (1996) invetigaram a interpretação
ilística das restrições na estimação. Muske et al. (1993) e (Muske e Rawlings (1995)
am algumas condições preliminares para a estabilidade
zo te móvel com restrições de desigualdade. Tyler e Morari (1996) e Tyler (1997)
onstraram como restrições podem levar para a instabilidade sistemas com fase não-
. Findeisen (1997) investigou a estabilidade da estrutura de programação dinâmica do
inear e sem-restrições com esquemas de atualização filtrada e suavizada. Rao (2000),
Rawlings (1998) e Rao et al. (1999b) forneceram condições suficientes para
dade com mínimas suposições em um ajuste resumido. Rao e Rawlings (2002)
ram que a adição de restrições no MHE melhora e simplifica o problema de
ramento de processos.
2.5 ESTIMAÇÃO NÃO-LINEAR 41
2.5.6
estado
•
• Observador de Linearização do Erro: Estes métodos são algoritmos recursivos usando
âmico.
Uma estimação para o estado é calculada usando um observador linear no sistema
somente em casos que uma solução atual
pode ser encontrada.
linear vem
Outros Métodos de Estimação de Estado Não-Lineares
Aqui é apresentado uma pequena revisão sobre alguns outros métodos de estimação de
não-lineares existentes.
Aproximação da Estimação Inicial: Este método é baseado na idéia do uso da
formulação de horizonte móvel via mínimos quadrados para calcular a nova
estimação. A diferença entre este e as formulações MHE apresentadas anteriormente é
que nenhum erro no estado é considerado. Como resultado a parcela
|
na
formulação MHE é retirada. Michalska e Mayne (1995) demonstram a convergência
nominal para este método. Implementações deste estimador podem ser encontradas em
Bequette (1991), Jang et al. (1986) e Kim et al. (1991).
métodos geométricos similares àqueles usados na linearização feedback. Estes
métodos são baseados na idéia da transformação da coordenada local tal que o
correspondente sistema transformado seja linear na reconstrução do erro din
linearizado e transformando o resultado de volta para as coordenadas normais. Uma
vantagem deste método é que a linearização garante a estabilidade local da estimação
em torno do estado nominal. A maior desvantagem destes métodos é que é necessário
resolver um conjunto de equações diferenciais parciais (EDP’s) para calcular a
transformação. Para muitos sistemas este cálculo é uma tarefa não-trivial. Como
resultado, estes métodos podem ser usados
• Observador de Luenberger Estendido: A aplicação do observador de linearização do
erro envolve a necessidade do cálculo da transformação da coordenada. Desde que isto
seja somente calculado facilmente para classes limitadas de sistemas, outros métodos
de solução são necessários, nos quais não se faça necessário uma transformação não
linear explicitamente. Esta formulação se refere como o observador de Luenberger
estendido desde que o ganho do observador seja calculado pela linearização das
EDP’s. Este método pode ser visto como a contraparte determinística do EKF.
• Observador de Modo Deslizante: Esta técnica de estimação de estado não
ganhando interesse, e foi introduzido por Slotine et al. (1987) e usa a chamada
“superfície deslizante” dos sistemas não-lineares para projetar um observador.
• Aproximação Estatística Polinomial: O EKF utiliza uma expansão em série de Taylor
do sistema de equações para calcular a próxima estimação. Outra idéia é usar
aproximações polinomiais para caracterizar o sistema de equações. Estas
aproximações polinomiais permitem o cálculo do erro quadrado médio com o objetivo
de calcular uma nova estimação. Gelb (1974) e Stengel (1986) discutem alguns
métodos baseados nestas idéias.
42 2. REVISÃO SOBRE ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
2.6 Estimação de Estados Não-Linear com Restrições
A grande virtude do MHE é a sua habilidade de incorporar restrições na estimação. De
um modo plausível sistemas com dinâmicas não lineares motivam ainda mais o uso do MHE,
embora se acredite na existência de diversas outras formas alternativamente competitivas para
o MHE
TLE e
ZEITZ
0. Uma razão para o sucesso do filtro de Kalman estendido é
ue freqüentemente a maioria dos problemas com redução de custo via otimização é obtido
urante as primeiras iterações de Newton. O desempenho raramente melhora tangencialmente
ionais forem feitas. Modelos de sistemas com não linearidades
comprometer a estabilidade do EKF.
Sem restrições, o MHE tende a executar a mesma estimação que o filtro de Kalman
edição na forma de restrições são informações adicionais às leis físicas e às correlações
processos são limitados. Variáveis de estado como temperatura e concentração,
sideram
gnificantes.
sem restrições. De um ponto de vista teórico, uma outra virtude do MHE é que ele
fornece garantias de estabilidade (RAO e RAWLINGS, 1998), embora muitos outros métodos
também forneçam garantias de estabilidade. Por exemplo, pode-se construir um estimador
estável usando uma transformação de coordenada local pela injeção de saídas (BES
, 1983) e (KRENER e ISIDORI, 1983) apud (RAO e RAWLINGS, 2002).
Garantias de estabilidade são importantes, mas desempenho é o predominante. O EKF
fornece somente pequenas garantias de estabilidade para modelos de processo não-lineares
(SONG e GRIZZLE, 1995) apud (RAO e RAWLINGS, 2002). O MHE sem-restrições pode
ser visto como uma forma do filtro de Kalman estendido, ou melhor, o filtro de Kalman
estendido pode ser visto como uma forma de MHE sem-restrições. Diferença entre as duas
estratégias está no grau de otimização: o filtro de Kalman estendido executa somente uma
iteração de Newton, enquanto o MHE sem-restrições executa tantas iterações de Newton
forem necessárias para satisfazer as condições (local) de otimalidade. Embora o MHE sem-
restrições pode ser visto como uma forma iterativa do filtro de Kalman estendido iterativo e o
filtro de Kalman estendido como uma estratégia sub-ótima para o MHE sem-restrições com
um tamanho de horizonte 
q
d
mesmo se iterações adic
acentuadas porém podem
estendido iterativo. O desempenho muda quando se adiciona restrições ao problema.
Restrições conseqüentemente motivam o uso do MHE.
Para uma classe de problemas, o conhecimento de incertezas nas variáveis de estado e
m
empíricas. Por exemplo, muitas incertezas de processo, como parâmetros de modelo e
istúrbios ded
são sempre positivas e limitadas. Estas restrições, ao contrário das incertezas de processo, são
implicitamente obrigadas pelo modelo físico do processo. Porém, quando se con
modelos aproximados, esta obrigação implícita poderá ser ignorada e então é necessário a
inclusão também de restrições de desigualdade nas variáveis de estado objetivando reconciliar
modelo aproximado com as medições do processo. Nos estudos de caso do capítulo 4 é o
demonstrado que, para uma classe de problemas envolvendo distúrbios limitados e modelos
aproximados, restrições de desigualdade são necessárias para obter estimações de estado
isicamente sif
2.7 REFERÊNCIAS 43
2.7 Referências
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Capítulo 3
Considerações Gerais sobre os Estimadores,
EKF, CEKF e MHE
Neste capítulo são apresentadas algumas considerações gerais a cerca da
implementação dos estimadores EKF, CEKF e principalmente do MHE que serão aplicadas
neste trabalho.
3.1 Diferentes Esquemas de Atualização do MHE
Esta seção discute as diferentes maneiras para a atualização do valor do estado inicial
. A transferência de “informação”, a qual está disponível na forma de estados
anteriormente estimados, para a atual estimação via parece ser viável para a
estabilidade do estimador. Findeisen (1997) propôs dois possíveis casos de se lidar com esta
“transferência de informação”:




, ,,0




0
• o uso de
|
, a “estimação filtrada” calculada a 1 passos
atrás;
• o uso do último valor suavizado (smoothed value)
|
.
É possível também usar outros valores suavizados
|
, no entanto as maiores
vantagens e desvantagens dos diferentes esquemas de atualização podem ser exploradas com
os dois esquemas apresentados. Muske e Rawlings (1995), propuseram um teorema para o
estimador de horizonte móvel linear, com atualização usando a estimação filtrada e
atualização usando a estimação suavizada. Para ambos os casos a estabilidade é calculada
para

e para sistemas observáveis, onde . O
esquema de atualização é mostrado na Figura 3.1.
48 3. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS ESTIMADORES, EKF, CEKF E MHE
Figura 3.1: Representação dos diferentes esquemas de atualização do MHE.
3.1.1 Atualização a partir da Estimação Filtrada
|
|
|
|
|
|
A maior motivação para o uso de vem do fato que nenhuma informação
de entrada é sobre valorizada durante a estimação. O valor de usado durante a estimação
de
, vem antes do fim do atual horizonte , isto garante que nenhuma
informação oriunda de medição seja usada duas vezes. Se ao contrário uma atualização como
é usada, a informação de entrada será usada mais de uma vez. Isto não é favorável
do ponto de vista probabilístico. No entanto uma desvantagem do uso de
junto
com a constate é a ocorrência de uma “estimação” oscilante, conforme mostrado na
Figura 3.2.
3.1 DIFERENTES ESQUEMAS DE ATUALIZAÇÃO DO MHE 49
Figura 3.2: Efeito oscilante devido a atualização a cada N+1 passos.
Este efeito pode ser melhor interpretado dividindo o algoritmo de estimação resultante
em “independentes” estimadores e rodando com passo de tempo alterado (defasados), onde
os mesmos possuem tempo de amostragem de  passos de tempo. O esquema é mostrado
na
1

1.1

(3.1)
Figura 3.3. Uma vez estes estimadores terem alcançado as estimações iniciais, através
do estimador batelada (ver seção 3.1.3), somente as estimações de cada estimador tem
associações entre si.
Figura 3.3: Esquema detalhado do efeito oscilatório na estimação filtrada.
Como exemplo de simulação com este comportamento, Muske e Rawlings (1995)
apresentam o sistema de equações dado pela equação (3.1) que consiste em um sistema
instável de um único estado.
50 3. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS ESTIMADORES, EKF, CEKF E MHE
Os parâmetros do estimador foram escolhidos como segue:




1,
/100 e o tamanho do horizonte 13. O sistema dado é observável 1.1, e como
/
existe,
que 0  0. A perturba .
do estado du
uema de atualização usando o estado filtrado.
Figura 3.4: Exemplo do efeito oscilante, 1.1,1,




1,

1/100
com atualização a cada 1 passos (MUSKE e RAWLINGS, 1995).
3.1.2 Atualiza
Este método de atualização usa o valor do estado estimado suavizado calculado a um
po atrás. Devido ao “curto” período este esquema de atualização não tem
otivação pr abilística
stimação nos
ermite

1
então o sistema é controlável. O estado real tem valor
0 no início, o que significa
ção nominal da partida é
|
2
A Figura 3.4 mostra claramente a oscilação rante a estimação, introduzido pelo
esq
ção a partir da Estimação Suavizada
|
instante de tem
nenhum estimador com efeito oscilante. No entanto, não há nenhuma m ob
para o uso deste valor. A curta conexão entre a última estimação e a atual e
p derivar uma estabilidade similar a do MPC (do inglês Model Predictive Control) com
horizonte finito. A Figura 3.5 mostra uma ilustração do método de atualização da estimação
suavizada.
3.1 DIFERENTES ESQUEMAS DE ATUALIZAÇÃO DO MHE 51
Figura 3.5: Esquema detalhado da atualização via estados suavizados, sem efeito oscilante.
A Figura 3.6 foi retirada de Muske e Rawlings (1995) e mostra o resultado do MHE
com atualização suavizada aplicado ao mesmo sistema e com os mesmos parâmetros usados
para o MHE do exemplo anterior com atualização filtrada. Observa-se que nenhum estimador
de efeito oscilante é introduzido, e que também a estimação suavizada proporciona uma
rápida convergência do erro estimado para o valor zero. Para tanto o esquema de atualização
adotado neste trabalho foi usando a estimação suavizada.
Figura 3 1,




1,

1/100.
0
0
.6: Exemplo sem o efeito oscilante para a atualização suavizada 1.1,
3.1.3 Inicialização do MHE via Estimador Batelada
Como o MHE trabalha com uma janela passada de informações (medições), salvo para
um tamanho de horizonte  , o mais comum é não possuirmos medições anteriores a
partida da estimação. Uma alternativa então para estimador MHE, seria inicializar com um
tamanho de horizonte  e ir aumentando até o mesmo atingir o horizonte especificado,
52 3. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS ESTIMADORES, EKF, CEKF E MHE
caso este seja maior que zero. Isto significa rodar o estimador batelada até atingir o horizonte
de estimação especificado. Para a primeira estimação, pode-se executar tanto o estimador
CEKF (MHE com  ) descrito pelas equações (2.45) a (2.49) ou sua aproximação para
um problema de programação quadrática descrito pelas equações (2.50) a (2.56).
0
3.1.4 Integração dinâmica envolvida na formulação MHE
A modelagem matemática do sistema dinâmico freqüentemente resulta em um
conjunto de equações diferenciais não lineares (GESTHUISEN et al., 2001):
,

0


(3.2)
ções contínuas em (3.2) têm de ser transformadas para
forma de tempo discreto. Para sistemas não lineares isto é usualmente feito pela integração
do sistema no período de amostragem 


:


Em sistemas com amostragem, as equa
a

 

,




,

0


(3.3)
O índice indica o tempo atual de amostragem 
. Na equação (3.4) é mostrado as
equações da integração dinâmica envolvidas na formulação MHE (quando o sistema é do tipo
.2)).
(3
|

|1

|
|

|
 
,
 
|
1

| | 1|
1
 
,
 
2
|

|

,
 
1|
1
(3.4)
A Figura 3.7 mostra o esquema da integração dinâmica envolvido na formulação MHE.
3.2 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE INTEGRAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DINÂMICA - ESTRATÉGIAS DE
OTIMIZAÇÃO PARA O ESTIMADOR DE HORIZONTE MÓVEL 53
Figura 3.7: Esquema de integração dinâmica envolvido na formulação MHE.
3.2 Solução de Problemas de Integração e Otimização
Dinâmica - Estratégias de Otimização para o Estimador de
Horizonte Móvel
Na formulação do problema MHE, bem como na solução de problemas de controle
ótimo (NMPC) existe a necessidade de executar uma otimização dinâmica de forma a
determinar um conjunto de variáveis ótimas, pela otimização de um dado índice de
desempenho (função objetivo ou custo) e sujeito a restrições específicas. Problemas de
controle ótimo (OCP’s) ou problemas de otimização algébricos diferenciais (DAOP’s) não
podem ser resolvidos via programação não-linear porque a otimização de perfis contínuos é
um problema dimensional infinito (RIASCOS e PINTO, 2004).
Segundo Cervantes e Biegler (1999) e Cervantes et al. (2001) problemas de otimização são
classificados em tarefas off-line e on-line. As tarefas off-line são:
Æ projeto de controle para evitar transientes indesejáveis nos processos químicos, incluindo
partidas (startups) e paradas de planta, manipulação de perturbações (resultante de distúrbios
severos), e transições para pontos de operação diferentes.
Æ estudos de procedimentos de segurança e avaliação de esquemas de controle em situações
anormais.
54 3. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS ESTIMADORES, EKF, CEKF E MHE
Æ estratégias sistemáticas para lidar com interação entre processos e projeto de
equipamentos, e ajuste de controladores.
Tarefas on-line:
Æ identificações de sistemas com modelos de processos não-lineares para estimar estados e
entradas de processos imensuráveis, incluindo também reconciliação de dados e estimação de
parâmetros;
Æ o controle preditivo não-linear (NMPC) requer a solução de um problema de otimização
dinâmico para determinar uma trajetória on-line, atualizando o modelo do processo a cada
nova medição;
Da modelagem de processos químicos, dentro da Engenharia Química, obtêm-se
freqüentemente um sistema de Equações Algébrico Diferenciais (DAE) ou um conjunto de
Equações Diferenciais Ordinárias (ODE). A formulação DAE consiste em equações
diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico do sistema, oriundos de balanços de
massa e energia, e equações algébricas que asseguram relações físicas e termodinâmicas.
Uma formulação geral de um problema de otimização é assim definido:
min
,
,
,,
Φ
,
,
,,

,
,
,,
,
,

,
,
,,
0
sujeito ao modelo DAE (semi-explícito):


·
,
,
(3.5)
onde:
vetor de equações de restrições,
limites inferior e superior para as variáveis de estado,
limites inferior e superior para as variáveis de controle.
Sem perda de generalidade, pode se considerar que o índice (ASCHER e PETZOLD,
1997) do modelo DAE, descrito por (3.5), seja igual a um e que a função objetivo é uma
forma linear de Mayer conforme Cervantes e Biegler (1999) e Cizniar et al. (2006).
Problemas de otimização dinâmica podem ser resolvidos tanto via aproximação
variacional ou via a aplicação de discretização que converte o problema tempo-contínuo
original em um problema discreto. A primeira aproximação é baseada na obtenção de uma
solução para as condições clássicas de otimalidade, onde são conhecidos como métodos
3.2 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE INTEGRAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DINÂMICA - ESTRATÉGIAS DE
OTIMIZAÇÃO PARA O ESTIMADOR DE HORIZONTE MÓVEL 55
indiretos. Já os métodos que discretizam o problema tempo-contínuo original pode ser divido
em duas categorias, de acordo com o modo de discretização. Cervantes e Biegler (1999)
fazem uma distinção entre os métodos que discretizam somente os perfis de controle
(discretização parcial) e aqueles que discretizam os perfis de controle e o dos estados
(discretização total).
Basicamente, o problema parcialmente discretizado pode ser resolvido tanto via
programação dinâmica ou via aplicação de estratégias (seqüencial-direto) de programação
não-linear (NLP). Uma característica básica destes métodos é que a cada iteração uma solução
viável do sistema DAE, para dados valores de controle, é obtido por integração. A principal
vantagem desses métodos é que eles geram problemas discretos menores que os métodos de
discretização total.
Os métodos que aplicam a discretização total nos problemas tempo-discretos também
usam estratégias NLP para resolver sistemas discretos e são conhecidos como métodos
simultâneos diretos. Estes métodos podem usar diferentes problemas NLP e técnicas de
discretização, mas a característica relevante é que eles resolvem o sistema DAE de uma única
vez, permitindo a solução direta de problemas com restrições e/ou limites nas variáveis de
estado e nas de controle, Riascos e Pinto (2004). Adicionalmente, eles possuem melhores
propriedades de estabilidade que os métodos de discretização parcial.
Portanto, para resolver o problema de otimizaçao dinâmica não-linear (NLP),
envolvido na formulação MHE, existem três estratégias básicas, a seqüencial (single-
shooting), multiple-shooting (ou multishooting) e a simultânea.
Na estratégia seqüencial as restrições de igualdade são resolvidas a cada passo da
otimização, com a integração numérica do sistema de equações diferenciais. Devido ao
grande esforço numérico nas integrações, o cálculo do MHE seqüencial demanda um elevado
tempo computacional. Outra desvantagem é a impossibilidade de controlar as restrições nos
estados durante a integração do sistema pelos integradores tradicionais (tais como Runge-
Kutta). Se a integração diverge, o algoritmo de otimização não convergirá também.
O multiple-shooting serve como transição entre a aproximação seqüencial e a
simultânea, esta última é baseada na discretização completa das variáveis de controle e de
estado. No multiple-shooting o domínio do tempo é dividido em pequenos elementos de
tempo e o modelo DAE é integrado separadamente em cada elemento. As variáveis de
controle são tratadas como na aproximação seqüencial. Alem disso, para obter a informação
do gradiente, as equações de sensibilidade são obtidas para as variáveis de controle e para as
condições iniciais dos estados em cada elemento. Finalmente, restrições de igualdade são
adicionadas ao NLP para realizar a junção dos elementos e assegurar que os estados são
contínuos no decorrer dos elementos. Com esta aproximação, restrições de desigualdade para
o controle e estado podem ser impostas diretamente aos pontos discretos (BIEGLER et al.,
2001) apud (DE SOUZA e SECCHI, 2007). Devido a maior complexidade desta técnica, não
56 3. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS ESTIMADORES, EKF, CEKF E MHE
foram investidos esforços para a implementação da mesma na formulação MHE, ficando
assim somente como uma sugestão de trabalhos futuros.
Na estratégia simultânea as restrições de igualdade são transformadas em restrições de
igualdade puramente algébricas via técnicas de discretização. Uma das técnicas de
discretização muito usada para a aproximação das equações diferenciais não lineares é o
método dos resíduos ponderados, Cuthrell e Biegler (1987), onde comumente se usa
colocação ortogonal. Nesta técnica, as variáveis de estado e controle são aproximadas por
polinômios. Com o conjunto de restrições de igualdade algébricas, o problema pode ser
resolvido usando, por exemplo, os tradicionais algoritmos de SQP. Desta forma, é possível
também controlar as restrições para os estados em cada passo de otimização.
A aplicação da colocação ortogonal para a solução simultânea de OCPs foi proposta
por Biegler (1984), onde equações diferenciais são discretizadas usando colocação ortogonal
com polinômios de Legendre; o DAE é então transformado em um conjunto de equações de
igualdade e resolvido como um NLP. Na Subseção 3.2.3 é apresentado um comparativo entre
as estratégias seqüencial e simultânea dentro da formulação MHE.
3.2.1 Discretização e aproximação via colocação ortogonal em
elementos finitos
Considerando que o modelo DAE dado pela equação (3.5) seja um problema de valor
inicial (PVI) sob um elemento finito , pode se transformar estas equações diferenciais em
equações algébricas usando colocação ortogonal. O tempo é divido em 
elementos finitos e normalizados em cada um, onde estes admitem descontinuidade em seu
perfil (

,
0,1
,



Figura 3.8).
Então a relação entre o tempo e o tempo normalizado  é:
1,…,, 1,…,
 

,

,

, 1,…,
(3.6)
onde são os elementos limites incluídos como graus de liberdade adicionais, e são
os pontos de colocação que correspondem as raízes do polinômio de Legendre ortogonal (que
pertence a classe dos polinômios de Jacobi). Rice e Do (1995) mostram que a escolha dos
pontos de colocação é crítica e concluem que polinômios de Jacobi são particularmente
atrativos.
Os polinômios de Legendre para a aproximação dos perfis das variáveis de estado e de
controle são:
(3.7)
onde,
3.2 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE INTEGRAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DINÂMICA - ESTRATÉGIAS DE
OTIMIZAÇÃO PARA O ESTIMADOR DE HORIZONTE MÓVEL 57



,
, 0,…,
,

,

,1,…,



(3.8)
e
(3.9)
onde,
,
, 1,…,
1
(3.10)
Assim o perfil de estado é aproximado por um polinômio de ordem  (em cada elemento
), e o perfil de controle por um polinômio de ordem , permitindo a representação de pontos
de descontinuidade no perfil da variável de controle e pontos de não diferenciação no perfil da
variável de estado, conforme a Figura 3.8.
Figura 3.8: Perfis de estado e controle com pontos de descontinuidade e não-diferenciação
discretizados em elementos finitos.
58 3. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS ESTIMADORES, EKF, CEKF E MHE
e em
, ,

,


,

(3.7) e (3.9) respectivamente, são coeficientes polinomiais que
correspondem as variáveis a serem otimizadas. As funções e
são dependentes somente
da localização dos pontos de colocação. Com a aproximação polinomial o DAE pode ser
escrito através de um conjunto de equações residuais, em cada ponto de colocação (raízes do
polinômio de Legendre):




,
,
,
,
,
0
1,…,, 1,…,

,

(3.11)
Em uma notação vetorial para as derivadas do polinômio de Legendre nos pontos de
colocação, tem-se a forma (RICE e DO, 1995):
·
,
,
,…,
1,…,
(3.12)
Em (3.12),
é uma matriz de dimensão  que é calculada a partir de , e 1


,
é o vetor
dos valores calculado nos pontos de colocação. De (3.6) vem:
1




,

(3.13)
Substituindo (3.12) e (3.13) em (3.11) obtêm-se um conjunto de equações residuais
algébricas:
·
1




,
,
,
,
,
0
1,…,, 1,…,
min
,
,
,
,
,
Φ
,
,
,
,
,

,

(3.14)
Outras restrições devem ser adicionadas para garantir a continuidade do perfil do
estado nos limites do elemento. Conseqüentemente, os polinômios são extrapolados para gerar
um ponto inicial para o próximo elemento. Com a aproximação via colocação ortogonal, o
OCP ou o DAE torna-se um problema NLP:
(3.15)
sujeito a;
·
1



,
,
,
,
,
0

,
,
,
0

,
,
,
0
,

3.2 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE INTEGRAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DINÂMICA - ESTRATÉGIAS DE
OTIMIZAÇÃO PARA O ESTIMADOR DE HORIZONTE MÓVEL 59
,

,

,

1
, 2,…,
,

,

0
, 2,…,
,

,

1
∆



, 1,…,

,

,0,…,1

,

, 0,…,1

|
,
|
,
,|
Ψ


Embora haja uma equivalência entre as formulações MHE e MPC (como já citado
anteriormente), na formulação MHE não é necessário a discretização em elementos finitos do
perfil de controle. Russo e Young (1999) utilizaram colocação ortogonal para a solução de um
sistema DAE para a estimação de estados e parâmetros usando um modelo de processo de
polimerização industrial.
Então para a formulação MHE, usando a estratégia simultânea com colocação
ortogonal, o problema de otimização fica assim descrito:
|
|

|

|

|



|

|

(3.16
sujeito às equações de igualdade :
,|

,|
|
,|

,|

|
,…, 1

,|

|
,…,
onde,
)
·

,|
,
,
,|

,|

1,…,
,…,
0,…,
e limites nas variáveis :
60 3. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS ESTIMADORES, EKF, CEKF E MHE

 
|




|




|


,…,
0,…,
onde,

,|
,
,|
,…,
,|
,|

,

1
, 2,…,1
Neste trabalho foi considerado o tamanho dos elementos fixos e igual ao tempo de
nte
Matlab
®
existe uma série de integradores de ODE’s
disponíveis, como exemplo o ode45 (Runge-Kutta), ode23, ode15s, etc. Estes funcionam bem
fornece
e
83), e o DASSLC que é uma versão
modificada do DASSL implementado em linguagem C por Secchi et al. (1991), são capazes de
r
3.2.3 Comparativo entre as estratégias seqüencial e simultânea
Aqui é apresentado um comparativo do temp acional demandado na solução
do problema de programação dinâmica (NLP) envolvido n MHE
,|

|
,|

|
,|

|
,…,
1,…,
0,…,
amostragem




e o número de elementos igual ao tamanho do horizo
móvel .
3.2.2 Integradores tradicionais de sistemas DAE’s e ODE’s
No ambiente de simulação do
ndo bons resultados, porém demandam elevado tempo computacional e por ora só
resolvem sistemas ODE’s e uma class especial de DAE’s (sistemas linearmente implícitos).
Já outros solvers como o DASSL (do inglês Diferential-Algebraic System Solver),
implementado em linguagem Fortran
®
por Petzold (19
esolver tanto sistemas DAE’s como ODE’s
1
.
o comput
não-linear a formulação
1
O código do solver DASSL pode ser encontrado em Hauan (2007), e o código do DASSLC pode ser
encontrado no REPOSITÓRIO NACIONAL DE PROGRAMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA /
ALGORITMOS NUMÉRICOS (SECCHI, 2007). Ambos com as duas respectivas interfaces para Matlab
®
3.3 REFERÊNCIAS 61
usando a estratégia seqüencial via os integradores S ia
simultânea com co açã g
Na Tabela 3.1 são apresentados os tempos computacionais para cada estratégia,
variand
ode45 e DAS LC e via a estratég
loc o orto onal.
o o tamanho do horizonte de 2 até 4. O problema testado foi o reator isotérmico de
van de Vusse apresentado no capítulo 4, onde paralelamente, foram adicionados também os
tempos computacionais dos estimadores EKF e CEKF.
Tabela 3.1: Comparativo do tempo computacional entre as estratégias seqüencial (via ode45
e DASSLC) e simultânea (via colocação ortogonal) na formulação MHE.
EKF* CEKF*
MHE**
Seqüencial Simultânea
ode45 DASSLC
Col. Ortogonal
4 s 7 s
N=2 N=3 N=4 N=2 N=3 N=4 N=2 N=3 N=4
63 s 120 s 212 s 32 s 62 s 106 s 34 s 73 s 110 s
(*) usando DASSLC. (**) parâmetros do otimizador fmincon: TolX= 10
‐4
e TolCon= 10
‐4
.
A Tabela 3.1 mostra que o tempo computacional, quando utilizada a estratégia
seqüencial com o integrador ode45, é praticamente duas vezes maior quando utilizado o
horizonte de tamanho maior que 2 a estimação on-line torna-se
po de simulação ultrapassa o tempo de amostragem (). Como
visto no item 3.2.2 o integrador ode45 é computacionalmente mais lento que os integradores
sse resultado é esperado uma vez que para modelos de baixa escala a estratégia seqüencial
usando as estratégias seqüencial via Runge-
solver DASSLC. Para um
impossível, visto que o tem
DASSL e DASSLC. Portanto neste trabalho não será usado o integrador ode45 em nenhumas
das etapas de integração dos estimadores aqui implementados. A estratégia seqüencial via
DASSLC foi ligeiramente mais rápida que a estratégia simultânea via colocação ortogonal.
E
consegue lidar bem com esse número de variáveis. Para tanto a estratégia simultânea só é
justificada para modelos de larga escala. Em Tonel et al. (2007) também pode ser encontrado
m comparativo de desempenho para o MHE, u
Kutta (ode45) e simultânea via colocação ortogonal, para o modelo de 4 tanques cilíndricos.
3.3 Referências
ASCHER, U. M. e L. R. PETZOLD. Computer Methods for Ordinary Differential Equations
and Differential-Algebraic Equations SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics
gramming and orthogonal collocation. Computers & Chemical Engineering
1997. 332 p.
BIEGLER, L. T. Solution of dynamic optimization problems by successive quadratic
rop , v.8, n.3-4,
. Advances in Simultaneous
p.243-247. 1984.
IEGLER, L. T., A. M. CERVANTES e A. WÄCHTERB
Strategies for Dynamic Process Optimization. February 19, 2001. 2001
62 3. CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE OS ESTIMADORES, EKF, CEKF E MHE
CERVANTES, A. e L. T. BIEGLER. Optimization Strategies for Dynamic Systems: 21 p.
1999.
CIZNIAR, M., M. FIKAR e M. A. LAFITI. MATLAB Dynamic Optimisation Code -
DYNOPT. Bratislava, Slovak Republic, 2006. 2006.
CUTHRELL, J. E. e L. T. BIEGLER. On the optimization of differential-algebraic process
systems. AIChE Journal, v.33, n.8, p.1257-1270. 1987.
DE SOUZA, S. J. e A. R. SECCHI. Parametrização Automatizada das Variáveis de Controle
Em Problemas de Otimização Dinâmica. OKTOBER FÓRUM. Porto Alegre - Brazil, 2007. 9
p.
FINDEISEN, P. K. Moving Horizon State Estimation of Discrete Time Systems. (Thesis M.S.
--University of Wisconsin--Madison 1997.). 1997. xix, 157 p.
GESTHUISEN, R., K. U. KLATT e S. ENGELL. Optimization-based State Estimation: a
Comparative study for the batch Polycondensation of Polyethyleneterephthalate. European
ontrol Conference, 2001. p.
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C
HAUAN, S. DASSL: MEX Interface Programming.
www.andrew.cmu.edu/user/stein . 2007 2007.
MUSKE, K. R. e J. B. RAWLINGS. Nonlinear Moving Horizon State Estimation. In: R.
Berber (Ed.). Methods of Model Based Process Control. Antalya: Kluwer Academic, v.293,
1995. Nonlinear Moving Horizon State Estimation, p.349-365. (Applied Sciences)
PETZOLD, L. R. DASSL: Differential algebraic system solver. Sandia National Laboratories.
Livermore, California. 1983
RIASCOS, C. A. M. e J. M. PINTO. Optimal control of bioreactors: a simultaneous approach
for complex systems. Chemical Engineering Journal, v.99, n.1, p.23-34. 2004.
RICE, R. G. e D. D. DO. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers
: John
Wiley & Sons. 1995. 730 p.
RUSSO, L. P. e R. E. YOUNG. Moving-horizon state estimation applied to an industrial
polymerization process. American Control Conference, 1999. Proceedings of the 1999. San
Diego, CA, 1999. 1129-1133 p.
SECCHI, A. R. DASSLC: REPOSITÓRIO NACIONAL DE PROGRAMAS DA
ENGENHARIA QUÍMICA / ALGORITMOS NUMÉRICOS.
http://www.enq.ufrgs.br/enqlib/numeric/
. 2007 2007.
SECCHI, A. R., M. MORARI e E. C. BISCAIA. Dawrs: A differential-algebraic system
solver by the waveform relaxation method. The Sixth Distributed Memory Computing
Conference (DMCC6). Portland, Oregon. April, 1991. 502-505 p.
TONEL, G., A. R. SECCHI e J. O. TRIERWEILER. Atualização Automática de Modelos
para Otimização em Tempo Real. OKTOBER FÓRUM. Porto Alegre - Brazil, 2007. p.
Capítulo 4
Comparação entre os estimadores EKF, CEKF e
MHE
Neste Capítulo são apresentados sete estudos de casos, onde os estimadores EKF,
CEKF e MHE são submetidos a uma ampla avaliação. Os quatro primeiros estudos
compreendem sistemas que não possuem significado físico real. Neles busca-se mostrar como
a escolha das matrizes pode afetar a estimação de estados (falta de sintonia).
Também é mostrado como restrições nos distúrbios podem melhorar a estimação de estados
para o caso onde há incertezas no modelo do sistema. Os três últimos estudos de casos tratam
de problemas e/ou sistemas reais, nos quais busca-se explorar, além das características citadas
anteriormente, a estimação para problemas com: não-linearidade acentuada, inversão de
ganho, restrições nos distúrbios, modelos com incertezas, distúrbios nas variáveis medidas
com considerável amplitude e/ou covariância e distúrbios nas condições inicias.
|
,
12
5
|
, e 
|
2
4.1 Estudo de Caso 1: sistema instável de um estado.
O sistema dado pela equação (3.1) foi tomado como o primeiro estudo de caso para
teste da implementação do estimador de horizonte móvel MHE. Aqui o MHE foi pela
primeira vez submetido a uma avaliação juntamente com os estimadores tradicionais baseados
no filtro de Kalman: o EKF e o CEKF. Findeisen (1997) fixou um horizonte  para este
caso, mas aqui foi fixado um horizonte  . Para este caso o sistema é observável, e as
matrizes de peso bem como os demais parâmetros para os estimadores são
dados na Tabela 4.1.
Baseado nos valores dos parâmetros considerados para a estimação, significa que o
problema real está sobre influência de um pequeno distúrbio no estado , mas com um
grande distúrbio de medição , uma vez que  . A estimação inicial é . Na
Figura 4.1 são apresentados os resultados da estimação para os três estimadores.
64 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Tabela 4.1: Parâmetros dos estimadores para a simulação com o sistema instável de 1 estado.
Parâmetros Valor

|

|
1
1
100
1
Como conseqüência do valor inicial baixo da matriz de covariância existe uma
demora na convergência da estimação para o valor real (falta de sintonia), uma vez que a
condição inicial para o estimador foi dada bem distante da real. Percebe-se, porém, que no
estado estacionário todos os estimadores convergem para o valor real. O estimador EKF
inicialmente oscila e só mais adiante consegue convergir para o valor real. A resposta do
CEKF é idêntica a encontrada por Findeisen (1997), onde a estimação caminha lentamente
para o valor real. O MHE inicia com a mesma trajetória do CEKF, mas muito antes ele
“percebe” a incoerência e inicia uma trajetória de correção em direção ao valor real.

5 0
 5
0
Figura 4.1: Comparação entre o MHE (N=5), EKF e CEKF para o sistema instável de um
estado.
Aumentando-se mais o tamanho do horizonte , além de 5, a trajetória de estimação
obtida pelo estimador MHE não se altera mais tão significantemente. Porém variando o
tamanho do horizonte de  até  vão se obtendo trajetórias que se afastam da
trajetória em direção a trajetória obtida pelo estimador CEKF. Para verificar a
implementação a condição de horizonte zero  para o MHE também foi simulada
produzindo, o mesmo resultado obtido com CEKF, certificando a implementação realizada.
Neste exemplo fica claro como uma realimentação maior de informações (horizonte de
medições passadas) consegue fazer com que o estimador MHE não se perca nas primeiras
4.2 ESTUDO DE CASO 2: SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM. 65
estimações, como o EKF, e nem demore a convergir como o CEKF, acelerando para o valor
real. Na Tabela 4.2 é apresentado o erro quadrático para cada um dos estimadores.
Tabela 4.2: Soma do erro quadrático para o sistema linear com um estado.
Estado EKF CEKF
MHE
N=0 N=2 N=5
x
30.25 2.02 2.02 0.94 0.69
A sintonia e/ou ajuste dos filtros é uma assunto crucial devido a necessidade de se
quantificar a acuracidade do modelo em termos da matriz de covariância dos ruídos de
processo para processos caracterizados por incertezas estruturais que são variantes tempo
(SALAU et al., 2008).
Para sistemas reais que possuem baixo grau de não-linearidade poderíamos usar o
estimador MHE inicialmente para fazermos a sintonia da matriz e posteriormente
poderíamos usar tanto o estimador EKF como o CEKF para a estimação de estados, já que
ambos apresentam bom desempenho para sistemas lineares ou pouco não-lineares, quando
estão sintonizados. De forma prática então os estimadores EKF e CEKF seriam reinicializados
com os valores iniciais dos estados e da matriz de covariância fornecidos pelo MHE.
Para este caso ainda, com maior facilidade para o EKF e menor para o CEKF, podem
estes estimadores divergir no decorrer da estimação uma vez que  e então a informação
contida por uma única medição ( ) pode não ser suficiente para evitar que os mesmos
mantenham-se na trajetória de estimação real. Neste caso necessitar-se-ia novamente recorrer
ao MHE para “trazer” a estimação para próximo do valor real.
0
0

53
⁄
2 3
⁄
10
2/3 1
2 3
⁄

) . Os
A simulação MHE com  para este exemplo também serviu para fazer a primeira
validação da implementação da formulação MHE desenvolvida aqui neste trabalho, ao
comparar com os resultados do CEKF.
4.2 Estudo de Caso 2: sistema de segunda ordem.
O sistema considerado foi retirado de Muske e Rawlings (1995), e consiste de um
sistema de segunda ordem (dois estados). O sistema de equações é dado por:
(4.1)
ou seja, a variável medida () tem uma relação linear com os dois estados do sistema (
 
parâmetros dos estimadores foram escolhidos conforme a Tabela 4.3.
66 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Tabela 4.3: Parâmetros dos estimadores para a simulação com o sistema de segunda ordem.
Parâmetros Valor

|

|
1 300
⁄
1 300
⁄
11
100
1
O tamanho do horizonte de estimação foi escolhido igual a 3 ( ). O sistema dado
é observável e tem autovalores . O estado inicial do sistema real tem valor
, o que significa que . A estimação inicial é .
3
1 e 
23
⁄
0 0
0  0
|
4 0

Na Figura 4.2 é apresentado os resultados para a simulação dos três estimadores. Aqui
novamente os resultados são semelhantes aos obtidos para o sistema de 1 estado. Neste caso
nota-se que o EKF apresentou uma grande oscilação inicial devido ao grande erro no valor
inicial estimado dos estados e o fato da matriz de covariância inicial ter um valor pequeno.
Novamente o MHE foi o que apresentou os melhores resultados. Para tamanho de horizonte
maior que 3 percebeu-se que a estimação não tem melhora significativa, o que portanto, não
justifica o seu aumento.
Figura 4.2: Comparação entre o MHE (N=3), EKF e CEKF para o sistema de segunda
ordem*
,
**.
(*) para simplicidade da notação, na legenda desta figura e das figuras subseqüentes o índice
que denota o estado () aparecerá em subscrito () nas mesmas, ao invés de sobrescrito e
entre parênteses ( ). Também no texto muitas vezes, se fará referência ao estado portando
somente o índice subscrito.
(**) foi mostrado somente o estado para melhor visualização no gráfico.
4.3 ESTUDO DE CASO 3: SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM OSCILATÓRIO. 67
4.3 Estudo de Caso 3: sistema de segunda ordem
oscilatório.
O sistema considerado aqui é o sistema apresentado no estudo de caso anterior
modificado. O sistema de equações é dado por:


0.1 1.1
0.95 0


10

(4.2)
Os parâmetros dos estimadores foram escolhidos conforme a Tabela 4.4.
Tabela 4.4: Parâmetros dos estimadores para a simulação com o sistema de segunda ordem
oscilatório.
Parâmetros Valor

|

|

1.0 0.9
0.9 1.0
11
100
1
O tamanho do horizonte de estimação foi escolhido igual a 5 ( ). Agora este
sistema apresenta autovalores complexos conjugados , que têm como
valor absoluto  , apresentando, portanto, comportamento oscilatório e
instável (levemente instável).
5
0.05  1.021
1.02231
0
5
Na Figura 4.3 é apresentado os resultados da simulação para o sistema de segunda
ordem modificado. Este exemplo mostra como os estimadores CEKF e MHE, baseados em
otimização, retornam uma estimação oscilante. O MHE com  retorna a mesma
estimação oscilante (em torno do valor) que o estimador CEKF. Com horizonte  o
MHE retorna um resultado amortecido em comparação ao CEKF e converge para o valor real
muito antes que o CEKF. Embora o MHE tenha convergido para o valor real, praticamente no
mesmo instante de tempo que o EKF, o CEKF foi o que apresentou os melhores resultados
para a estimação. Porém o EKF é um estimador “localmente estável”. Assim se ocorrerem
pequenas mudanças na dinâmica do sistema, ou o estimador for operado com parâmetros
diferentes da Tabela 4.4 a estimação pode oscilar em torno do valor real e/ou divergir.
68 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura 4.3: Comparação entre o MHE (N=5), EKF e CEKF para o sistema de segunda
ordem oscilatório.
4.4 Estudo de Caso 4: sistema não linear com restrição de
desigualdade.
Este estudo de caso foi baseado no trabalho de Rao et al. (2003), e objetiva-se mostrar
como restrições de desigualdade podem melhorar a estimação de estados quando os distúrbios
são limitados. O modelo do sistema é dado pelas seguintes equações:


0.1

0.5

1





0.99

0.2



2


0.6 1.2
|
0.9 1.7
|
0.3 0.5
0
(4.3)
Considera-se que  é uma seqüência de variáveis independentes com média zero,
aleatórias e normalmente distribuídas, com amplitude (ou covariância) igual a 0.01 e é
uma seqüência de variáveis independentes com média zero, aleatórias e normalmente
distribuídas, com covariância igual a 1. A condição inicial real é , e a
estimativa inicial é , ou seja, . Para capturar a informação
contida na seqüência randômica  , adicionou-se então uma restrição de desigualdade nesta,
de forma que .
Os parâmetros dos estimadores foram escolhidos conforme a Tabela 4.5.
4.4 ESTUDO DE CASO 4: SISTEMA NÃO LINEAR COM RESTRIÇÃO DE DESIGUALDADE. 69
Tabela 4.5: Parâmetros dos estimadores para a simulação com o sistema de segunda ordem
oscilatório.
Parâmetros Valor

|

|
11
11
0.01
1
O tamanho do horizonte MHE () foi simulado para e 10 e os resultados
comparativos entre o MHE ( ), EKF e CEKF são apresentados na
0,2,5
0
0,2,5
e 
0
0
Figura 4.4. Na
Figura 4.5, são apresentados os resultados para o estimador MHE com e 10. Em
ambas as figuras são mostrados o estado real , o estado filtrado e o estado estimado .
Na Figura 4.4 pode ser visto que o EKF falha tanto para o estado filtrado quanto para
o estado estimado, e não converge para o valor real, nem mesmo com o passar do tempo. Isso
se deve ao fato do EKF não incorporar as restrições nas variáveis . O CEKF conseguiu
melhores resultados em relação ao EKF, para o estado filtrado, uma vez que ele consegue
levar em conta a informação fornecida (restrição em ). Já para o estado estimado o CEKF
falha, gerando um resultado influenciado pelo distúrbio de medição . Esse resultado ruim
para o estado estimado vem do fato de o CEKF fazer uma aproximação do problema de
otimização como um problema quadrático e não conseguir assim obter uma solução viável
para o problema não-linear com restrição de desigualdade. De fato nas simulações foi
observado que o algoritmo QP gerava uma advertência de não sucesso na solução do
problema. O resultado obtido para o MHE com horizonte  comparado com o resultado
obtido pelo estimador CEKF mostra que o MHE consegue obter resultados melhores que o
CEKF, unicamente por não fazer uma aproximação do problema de otimização e, assim,
juntamente com a informação fornecida (restrição em ), consegue obter uma solução viável
para o mesmo. Na Tabela 4.6 são apresentados os resultados da soma do erro quadrático para
cada um dos estados, para os três estimadores.
Apesar de ter-se obtido bons resultado para o MHE com  , simulou-se para
horizontes maiores o comportamento do estimador. Nota-se pela Figura 4.5 que a estimação
dos estados se aproxima cada vez mais do valor real com o aumento do número de medições
usadas pelo MHE. Isto mostra que o erro associado à estimação vai reduzindo gradualmente
com o aumento do horizonte. Porém, percebe-se pela Tabela 4.7, que a redução do erro para
horizontes () superiores a 5 não é justificada.
70 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura 4.4: Comparação dos resultados da simulação entre os estimadores MHE (N=0), EKF
e CEKF para o sistema não linear com restrição de desigualdade.
Tabela 4.6: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o sistema não linear com
restrição de desigualdade.
Estado EKF CEKF
MHE
(N=0)
x
1
278.82 0.83 0.21
x
2
23.85 18.30 3.86
Tabela 4.7: Soma do erro quadrático para cada um dos estados (N=0,1,2,3,5 e 10), sistema
não linear com restrição de desigualdade.
Estado
MHE
N=0 N=1 N=2 N=3 N=5 N=10
x
1
0.21 0.20 0.19 0.17 0.14 0.13
x
2
3.86 3.85 2.91 2.26 1.53 1.42
4.5 ESTUDO DE CASO 5: MODELO 4 TANQUES CILÍNDRICOS. 71
Figura 4.5: Resultados da simulação para o estimador MHE (N=0,2,5 e 10), para o sistema
não linear com restrição de desigualdade.
4.5 Estudo de Caso 5: modelo 4 tanques cilíndricos.
O quarto caso de estudo utilizado para a comparação dos estimadores foi um modelo
de uma planta laboratorial composta por quatro tanques cilíndricos. Esta planta foi proposta
por Johansson (2000), onde possui diversas características interessantes para estudos na área
de controle multivariável de processos. Paralelamente temos o também especial interesse em
investigar o comportamento dos estimadores quando há inversão de ganho de planta, pois se
espera que os mesmos falhem na estimação diante deste comportamento dinâmico peculiar
que é apresentado por esta planta, conforme abordagem feita por Marcon et al. (2002). Do
balanço de massa do sistema obtém-se as equações do modelo dinâmico da planta, equações
(4.4), conforme notação ilustrada na Figura 4.6.











1

(4.4)


1

onde,
: área da seção transversal de cada um dos tanques;
72 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE


1
1

 

 
 
1
 
1
 
1 
0
0
: nível de cada um dos tanques
1
;
: constante relacionada à resistência ao escoamento do fluido;
: vazão volumétrica através da válvula ;
: vazão volumétrica através da válvula ;
: vazão volumétrica medida na saída do tanque 1;
: vazão volumétrica medida na saída do tanque 2;
: parcela do escoamento que irá diretamente para o tanque 1 0 ;
: parcela do escoamento que irá diretamente para o tanque 2 0 .
O fluido utilizado no processo é água. O fluxo de líquido total de cada bomba é dado
pela soma . O fluxo para o tanque 1 é dado por e para o tanque 4 é 1 ,
para os tanques 2 e 3 o cálculo é idêntico. As variáveis manipuladas nesse sistema são as
vazões e , dadas pelas aberturas das válvulas , e as variáveis , dadas pela
abertura das válvulas . Conforme a posição das válvulas , o processo apresenta
condições distintas de operação. À medida que suas aberturas são alteradas, o modelo
apresenta um zero de transmissão que se move ao longo do eixo real, assumindo valores
positivos e negativos. As distintas condições de operação podem ser classificadas conforme os
valores da soma :
o sistema apresenta características de sistema de fase mínima
2
;
o sistema apresenta características de fase não-mínima (resposta
inversa)
3
;
o sistema apresenta ganho multivariável nulo, ou seja,  .
Os valores dos parâmetros da planta laboratorial utilizadas na modelagem estão na Tabela
4.8.
Tabela 4.8: Valores dos parâmetros para o modelo dinâmico com 4 tanques cilíndricos.
Parâmetros Valor Unidade
A
1
, A
2
28.0 cm
2
A
3
, A
4
32.0 cm
2
R
1
, R
3
3.1 cm
5/2
s
-1
R
2
, R
4
2.5 cm
5/2
s
-1

1
Para este estudo de caso, usaremos como a variável que representa os estados do modelo ao invés
de
.
2
Com e grandes ocorre alimentação direta dominante, logo sem resposta inversa.
3
Alimentação indireta dominante provoca o surgimento de resposta inversa.
4.5 ESTUDO DE CASO 5: MODELO 4 TANQUES CILÍNDRICOS. 73
Figura 4.6: Representação esquemática da planta de 4 tanques cilíndricos.
Neste estudo de caso objetiva-se filtrar os ruídos oriundos da medição e estimar os
níveis dos tanques 1, 2, 3 e 4, usando o modelo dinâmico da planta descrito por (4.4). Isto
pode ser obtido de duas maneiras: (1) através da medição direta dos níveis dos tanques 1 e 2
, ou (2) pela medição das respectivas vazões de saída (variáveis secundárias) dos
tanques 1 e 2 (  e ). Nesta última, uma vez conhecida a relação (equação) entre a
variável medida () e o respectivo estado () pode-se usar esta informação, ainda que esta
possa ser não-linear e conter ruído, para alimentar o estimador.

e 
e 
Caso (1): sem desvios no modelo com mudança de fase mínima para fase não-mínima.
Os dados medidos são gerados a partir da simulação do modelo real com a adição de um ruído
gaussiano ou ruído branco  nos estados ( ) as quais serão as variáveis de entrada
dos estimadores. Este ruído consiste em uma seqüência de variáveis independentes com média
zero, aleatórias e normalmente distribuídas, com covariância igual a . Na simulação parte-
se de um ponto de operação no qual o sistema apresenta características de fase mínima e,
devido à mudança na abertura das válvulas, passa para o ponto de fase não-mínima. A Tabela
4.9 apresenta os valores inicias para os estados e as alterações realizadas nas variáveis ,
e , , tidas como as variáveis manipuladas.
74 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Tabela 4.9: Condições iniciais para as variáveis de estado e controladas e degrau nas
variáveis manipuladas para o modelo 4 tanques cilíndricos.
Parâmetros Valor Inicial (t= 0s) Degrau (t= 300s)

,

12.4,12.7 

,

1.8,1.4 
,
8.0,8.2 

8.0,8.2 

,
0.7,0.6 0.3,0.3
Figura 4.7: Resultados da simulação para os três estimadores (estados filtrados), caso (1),
para o modelo 4 tanques cilíndricos.
Na Figura 4.7 são apresentados os resultados para os estados filtrados ( ), na
 
Figura 4.8 para estados estimados ( ) e na Tabela 4.11 é apresentado a soma do erro
quadrático médio. Observa-se que todos os estimadores tiveram bons resultados, inclusive
para a mudança do ponto de operação da planta acompanhada pela inversão do sinal de ganho
da planta. A Tabela 4.10 apresenta os valores dos parâmetros dos estimadores para a
simulação.
4.5 ESTUDO DE CASO 5: MODELO 4 TANQUES CILÍNDRICOS. 75
Tabela 4.10: Parâmetros para os estimadores na simulação com o modelo 4 tanques
cilíndricos.
Parâmetros Valor Unidade
P
0
|
0
111110
cm
2
Q
1111
cm
2
R
5 5  0.1
cm
2
Período de amostragem ()
10
s
Amplitude do ruído ()
5 5  0.1
cm
Distúrbio inicial ( )
|
3 3
cm
onde, .
|

|

0
Na Tabela 4.11 pode-se perceber que o erro para os três estimadores é bem próximo
um do outro, os quais podem ser considerados praticamente iguais. Como os resultados do
MHE com tamanho de horizonte  já foram bons, não houve a necessidade de se
empregar um tamanho de horizonte maior.
Figura 4.8: Resultados da simulação para os três estimadores, (estados estimados ou níveis
superiores), caso (1), para o modelo 4 tanques cilíndricos.
76 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Tabela 4.11: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o modelo 4 tanques
cilíndricos, caso (1).
Estado EKF CEKF
MHE
(N=0)
z
1
0.19 0.16 0.16
z
2
0.19 0.17 0.17
z
3
0.00 0.00 0.00
z
4
0.00 0.00 0.00
Caso (2): variáveis medidas  e .
̂



̂
/

·

Os dados medidos são gerados a partir da simulação do modelo real com a adição de um ruído
gaussiano ou ruído branco  nas variáveis medidas ( e ). Este ruído consiste
em uma seqüência de variáveis independentes com média zero, aleatórias e normalmente
distribuídas, com covariância igual a . Para este caso tem-se normalmente uma equação
não-linear, que relaciona as variáveis de estado estimadas  com as variáveis medidas
, do tipo:
(4.5)
onde agora possui a mesma unidade da variável medida ( ), neste caso a vazão
volumétrica ().
Na Figura 4.9 são apresentados os resultados para os níveis inferiores ( ), agora
também como estados estimados, na Figura 4.10 os níveis superiores () e na Tabela
4.12 é apresentado a soma do erro quadrático.
4.5 ESTUDO DE CASO 5: MODELO 4 TANQUES CILÍNDRICOS. 77
Figura 4.9: Resultados da simulação para os três estimadores (níveis inferiores), caso (2),
para o modelo 4 tanques cilíndricos.
78 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura 4.10: Resultados da simulação para os três estimadores (níveis superiores), caso (2),
para o modelo 4 tanques cilíndricos.
Tabela 4.12: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o modelo 4 tanques
cilíndricos, caso (2).
Estado EKF CEKF
MHE
(N=0)
z
1
0.27 0.21 0.19
z
2
0.36 0.27 0.22
z
3
0.01 0.00 0.00
z
4
0.01 0.00 0.00
Pode-se perceber pela Tabela 4.12 que o melhor desempenho foi do estimador MHE
mesmo com tamanho de horizonte  . Fica claro que o efeito da não-linearidade
associado à equação de medição torna a estimação mais difícil tanto para o EKF quanto para o
CEKF. Esse fato pode se agravar se incertezas na equação de medição ou no modelo
dinâmico do processo estiverem presentes. Essa situação é mostrada no caso seguinte.
0
Caso (3): variáveis medidas  e  e modelo diferente da planta.
4.5 ESTUDO DE CASO 5: MODELO 4 TANQUES CILÍNDRICOS. 79
Uma situação típica é possuir um modelo matemático que aproxima o comportamento de um
equipamento e/ou processo real, cuja origem vem da realização de balanços de massa e de
energia. Quase na totalidade dos processos existentes na área de Engenharia Química o
modelo existente não leva em conta alguns parâmetros, variáveis e distúrbios modelados ou
medidos, o que acarreta na impossibilidade do monitoramento e controle deste. Neste sentido
aproveitando a peculiaridade do Caso (2), e grifando-se aqui novamente a relação não linear
entre a variável medida e o respectivo estado, no modelo da planta de 4 tanques cilíndricos,
iremos simular a estimação de estados usando um modelo diferente da planta real. Assim a
Equação (4.6) representa a relação real entre as variáveis medidas e as variáveis (estados)
estimadas, onde porém o estimador continua com a Equação (4.5) como seu modelo para
estimação dos estados a partir da medição de ().


̂
.

Figura 4.11: Resultados da simulação para os três estimadores (níveis inferiores), caso (3),
para o modelo 4 tanques cilíndricos.
(4.6)
A Figura 4.11 mostra os resultados para os estados estimados (níveis inferiores) para os três
estimadores.
Nota-se na Figura 4.11 que o valor da estimação para os níveis inferiores se afastou
do real (para todos os três estimadores), uma vez que se considerou serem os dados oriundos
da medição mais confiáveis que os dados calculados pelo modelo matemático da planta. Na
estimação dos níveis superiores tanto o CEKF quanto o MHE para 0, obteve-se
resultados idênticos ao real. O mesmo não aconteceu com o EKF, pois após a inversão de
ganho da planta, a trajetória de estimação para os níveis superiores seguiu afastada do valor
real.
80 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura 4.12: Resultados da simulação para os três estimadores (níveis superiores), caso (3),
para o modelo 4 tanques cilíndricos.
N
pelos três estimadores.
cilíndricos, caso (3).
Estado
MHE
(N=0)
a Tabela 4.13 encontram-se os valores da soma do erro quadrático, para cada estado, obtido
Tabela 4.13: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o modelo 4 tanques
EKF CEKF
z
1
13.94 10.98 9.29
z
2
22.94 19.55 15.05
z
3
0.16 0.00 0.00
z
4
0.51 0.00 0.00
Como visto no Estudo de Caso 4 (4.4), conhecendo-se o comportamento do distúrbio
pode-se usar esta informação, como uma restrição de desigualdade, para melhorar a
estimaç
F
ão de estado. Baseado nos resultados dos estimadores para os níveis inferiores na
igura 4.11, pode se usar uma restrição de desigualdade
0 para buscar uma estimação
mais próxima do real para este caso. Na Figura 4.13 são apresentados os resultados para os
níveis inferiores e na Figura 4.14 são apresentados os resultados para os níveis superiores.
Nota-se que para os estimadores CEKF e MHE houve uma sensível melhora dos resultados
(níveis estimados inferiores 1 e 2), uma vez que os mesmos permitem a adição de restrições
4.5 ESTUDO DE CASO 5: MODELO 4 TANQUES CILÍNDRICOS. 81
de desigualdade no problema de otimização, o que não ocorre no EKF, justificando assim o
resultado idêntico obtido para o caso sem a restrição de desigualdade na variável
.
Comparando o MHE com o CEKF, usando um horizonte 0, conseguiram-se resultados
melhores para o MHE em relação ao CEKF. A justificativa vem do fato da formulação MHE
tratar melhor problemas não lineares, principalmente quando as variáveis de otimização (ou
variáveis de decisão) apresentam restrições. Assim, a consideração de um problema de
Programação Quadrática (QP) adotada pela formulação CEKF, não convergiu para uma
solução viável do problema de otimização envolvido (TONEL et al., 2008b).
Na Figura 4.14 se observa que existe uma discrepância inicial (“pico”) entre os
estados estimados pelo MHE e o valor real. O fato da estimação inicial fornecida (̂
e ̂
)
para os
mediç
m erro
nos e
estados (
e 
) ser um pouco distante da real, faz com que todos os estimadores
busquem corrigir essa discrepância de modo a levar a estimação para o mais próximo do real,
já nas primeiras ões disponíveis. A justificativa para o aparecimento do pico na
estimação MHE vem da imposição da restrição de desigualdade na variável de decisão
(
0), o que limita a ação desta variável na tentativa do estimador fazer a correção da
estimativa inicial dos estados (
e 
). Assim o estimador MHE assume que existe também
u na estimativa inicial de ̂
e ̂
(distribuição dos erros), almejando a atualização das
corretas condições, e a estimação dos estados estimados se distancia do real. Posteriormente a
correção da discrepância inicial stados filtrados a estimação dos estados estimados
iniciou sua trajetória de volta para as proximidades do respectivo valor real, caracterizando
assim o aparecimento do pico, uma vez que as condições iniciais fornecidas para os estados
(
e 
) são as mesmas das condições iniciais reais, ou seja,
̂
e 
̂
.
82 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura 4.13: Resultados da simulação para os três estimadores, níveis inferiores, caso (3)
com restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos.
4.5 ESTUDO DE CASO 5: MODELO 4 TANQUES CILÍNDRICOS. 83
Figura 4.14: Resultados da simulação para os três estimadores, níveis superiores, caso (3)
com restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos.
Tabela 4.14: Soma do erro quadrático para cada um dos estados, caso (3) com restrição de
desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos.
Estado EKF CEKF
MHE
(N=0)
z
1
13.94 2.98 0.26
z
2
22.94 6.06 0.96
z
3
0.16 0.00 0.18
z
4
0.51 0.00 0.28
Nas Figura 4.15 e Figura 4.16 são apresentados os resultados para a estimação para o
MHE, via estratégia seqüencial usando o solver DASSLC para e via estratégia
simultânea usando colocação ortogonal para  . Na
1,2 e 3
1 Tabela 4.15 são apresentados os
resultados da soma do erro quadrático para cada estado.
Os resultados obtidos via a estratégia seqüencial com colocação ortogonal (Figura
4.15) mostram a deficiência deste método quando as variáveis a serem otimizadas do
problema MHE necessitam ser intensamente exploradas objetivando a busca da solução do
84 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
problema NLP, onde este está sujeito a restrições de igualdade e desigualdade. Isto é a
conseqüência da falha da solução do problema DAE na aproximação polinomial do perfil de
estado via colocação ortogonal. Este problema é relatado por Vasantharajan e Biegler (1990)
apud Riascos e Pinto (2004) onde eles propõem duas estratégias para o controle do erro na
aproximação de perfis de estado via colocação ortogonal. Para casos como este seria
necessário a implementação de uma estratégia de controle do erro, conforme feito por Riascos
e Pinto (2004) para controladores MPC. Porém, este tratamento não se enquadra no escopo
deste trabalho e fica como uma sugestão de trabalho futuro. Sendo assim, se focou os esforços
na estratégia seqüencial quando a estratégia simultânea via colocação ortogonal não obteve
sucesso.
Figura 4.15: Resultados da simulação do MHE (N=1, 2 e 3), níveis inferiores, caso (3) com
restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos.
A Tabela 4.15 mostra que o erro associado à estimação diminui (estratégia
seqüencial) com o aumento do tamanho do horizonte, mas para um tamanho de horizonte
maior que 2 não há melhora significativa da estimação.
4.5 ESTUDO DE CASO 5: MODELO 4 TANQUES CILÍNDRICOS. 85
Figura 4.16: Resultados da simulação do MHE (N= 1,2 e 3), níveis superiores, caso (3) com
restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos.
Tabela 4.15: Soma do erro quadrático para cada um dos estados (N= 1,2 e 3), caso (3) com
restrição de desigualdade, para o modelo 4 tanques cilíndricos.
Estado
MHE
(N=1)
MHE
(N=2)
MHE
(N=3)
MHE (N=1)
Seqüencial (DASSLC) Simultâneo (Col. Ort.)
z
1
0.30 0.32 0.32 6.25
z
2
0.97 0.83 0.83 14.27
z
3
0.14 0.13 0.13 0.15
z
4
0.30 0.19 0.19 0.24
86 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
4.6 Estudo de Caso 6: modelo reação de van de Vusse –
reator CSTR isotérmico.
Neste estudo de caso iremos explorar o comportamento da reação de van de Vusse
realizada em um reator isotérmico idealmente agitado, conforme a Figura 4.17. Esse sistema
é tido como um problema clássico às técnicas de controle.
Reatores batelada são geralmente aplicados para produzir uma vasta variedade de
produtos especiais, então há um grande interesse em melhorar a operação dos mesmos com o
fim de encontrar produtos de alta qualidade e pureza enquanto se minimiza a conversão do
produto indesejado (ARPORNWICHANOP et al., 2005).
A reação de van de Vusse consiste em uma reação em série e uma em paralelo
segundo o seguinte esquema reacional:


2



(4.7)
O objetivo é a produção de B. Os componentes C e D são subprodutos. A reação de
van de Vusse controlada isotermicamente é modelada por:










exp
°
 273.15
(4.8)
onde é dado pela equação de Arrhenius,
, 1,2  3


⁄


é a variável manipulada (inverso do tempo de residência),
é a variável controlada (concentração do componente ),
distúrbio (concentração de entrada do componente ).
constante pré-exponencial.
é a energia de ativação.
Como o objetivo é a maximização da produção do componente é necessário o
conhecimento da concentração do reagente e do produto para a otimização das condições
operacionais ao longo da reação. Assim o objetivo da estimação é promover a estimação do
componente , tido como o estado imensurável, através da medição direta da concentração do
componente na reação, de modo a fornecer condições iniciais atualizadas para o esquema
de controle e/ou otimização.
4.6 ESTUDO DE CASO 6: MODELO REAÇÃO DE VAN DE VUSSE – REATOR CSTR ISOTÉRMICO. 87
Devido ao modelo desta reação apresentar uma maior não-linearidade, quando
comparada com o modelo da planta de 4 tanques cilíndricos, foram efetuadas simulações
levando a reação de um ponto de operação à outro, de modo a obter uma troca de sinal no
ganho do modelo, e assim verificar novamente o comportamento dos estimadores frente a
esse desafio às técnicas de controle. Os valores dos parâmetros da reação, de van de Vusse
usados nas simulações, que foram retirados de Engell et al., (1993) apud Trierweiler (1997),
estão na Tabela 4.16.
Tabela 4.16: Valores dos parâmetros para o modelo reação de van de Vusse, simulação 1 e 2.
Parâmetros Valor Unidade

,

1.287  10



9.043  10
·
⁄
,
9758.3
8560.0
Na Figura 4.17 é apresentado o esquema do reator isotérmico modelado para reação de van
de Vusse. Para simplificação a temperatura da reação será mantida constante via camisa
externa do reator.
Figura 4.17: Esquema do reator isotérmico modelado para reação de van de Vusse.
Os valores dos pontos de operação para o reator isotérmico com a reação de van de
Vusse foram retirados de Trierweiler (1997) e estão na Tabela 4.17.
Tabela 4.17: Pontos de operação para a reação de van de Vusse.
Pontos de operação* 1 2
Concentração de A na entrada [mol/L]
4.1 5.1
Temperatura do reator [ºC]
134.14 113.61
f [h-1]
18.83 14.19
(*) mudança de ponto de operação (degrau) nos 70 s de reação.
88 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
As três variáveis, concentração de na entrada/alimentação , temperatura do
reator e taxa de diluição são as variáveis manipuladas da estimação.



|


Simulação 1:
Para esta simulação o valor real dos estados iniciais são respectivamente, 2.0 e 0.2 mol/L (
e ) e o valor do distúrbio inicial ( ) é de 1.0 mol/L em , assim o valor do estado
inicial estimado ( ) é 3.0 mol/L. Na Tabela 4.18 são apresentados os parâmetros dos
estimadores considerados para a simulação 1.
Tabela 4.18: Parâmetros para os estimadores na simulação com o modelo reação de van de
Vusse, simulação 1.
Parâmetros Valor Unidade

|

|
10 10

⁄
5 5

⁄
10

⁄
5

0.3 0.0

⁄
Na Figura 4.18 são apresentados os resultados comparativos das estimações obtidas
pelos três estimadores, para o estado filtrado ( ) e o estado estimado ( ) respectivamente,
na simulação da mudança do ponto de operação 1 para o ponto de operação 2 (simulação 1)
com o modelo reação de van de Vusse.



Nota-se que para todos os estimadores o perfil do estado filtrado ( ) sofreu
influência do distúrbio na medição (conforme Figura 4.18), como resultado de estar se
acreditando que a estimação esteja sob influência de um também considerável distúrbio no
modelo.
Figura 4.18: Perfil da variável de estado C
A
real e medido para a reação de van de Vusse,
simulações 1 e 2.
4.6 ESTUDO DE CASO 6: MODELO REAÇÃO DE VAN DE VUSSE – REATOR CSTR ISOTÉRMICO. 89
Figura 4.19: Comparação dos valores de C
A
e C
B
real, C
A
filtrado e C
B
estimado para os três
estimadores (EKF, CEKF e MHE) para a reação de van de Vusse, simulação 1.
Na Tabela 4.19 são apresentados os resultados para do erro quadrático das estimações
obtidas pelos três estimadores, para a simulação da mudança do ponto de operação 1 para o
ponto de operação 2 (simulação 1), com o modelo da reação de van de Vusse. Para o MHE
são apresentados os resultados para as estratégias seqüencial, via solver DASSLC, e
simultânea via colocação ortogonal. O CEKF é o que apresenta os melhores resultados. Já
para o MHE com estratégia seqüencial observa-se que a estimação do estado é afetada pela
adição do distúrbio de medição onde isto é agravado quando a estratégia simultânea é usada.
Aumentando o tamanho do horizonte do MHE pode-se melhorar a estimação/filtragem do
estado , mas por outro lado piora-se a estimação do estado . Esse comportamento é
mostrado para a simulação seguinte (simulação 2) na
Tabela 4.22, onde o erro quadrático em
função do tamanho do horizonte diminui para o estado filtrado e aumenta para o estado
estimado . Novamente esse efeito é conseqüência da distribuição dos erros da estimação via
formulação MHE.
90 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Tabela 4.19: Soma do erro quadrático para cada um dos estados, simulação 1.
Estado EKF CEKF
MHE(N=2)
Col. Ortogonal DASSLC
C
A
2.54 1.80 2.40 2.01
C
B
0.04 0.08 1.38 0.21
Na Tabela 4.20 são apresentados os resultados o erro quadrático para as 4 primeiras
estimações. O objetivo é mostrar a rapidez com que cada estimador busca eliminar o distúrbio
da estimativa inicial. Para um tamanho de horizonte  o MHE não consegue resultados
melhores que o EKF e CEKF como esperado. O efeito da distribuição dos erros é também
sentido já nas primeiras estimações, onde o erro quadrático em função do tamanho do
horizonte diminui para o estado filtrado e aumenta para o estado estimado , conforme
mostrado na simulação seguinte (simulação 2) na
2
Tabela 4.23.
Tabela 4.20: Soma do erro quadrático para cada um dos estados (4 primeiras estimações, t=
20s), simulação 1.
Estado EKF CEKF
MHE(N=2)
Col. Ortogonal DASSLC
C
A
1.50 1.50 1.45 1.47
C
B
0.04 0.02 0.11 0.05
Simulação 2:
Nesta simulação aumentou-se o valor do distúrbio inicial ( ), usado anteriormente na
simulação 1, ou seja, o valor do estado inicial estimado ( é considerando 4.0 mol/L.
Também são alterados os parâmetros dos estimadores para os valores descritos na
|

|
Tabela
4.21. O objetivo é mostrar como a estimação pode ser prejudicada com condições iniciais
distantes das reais mesmo considerando-se matriz de covariância inicial pequena (sem
sintonia) e matriz de covariância grande. É esperado que o estimador MHE possa trazer a
estimação o mais rápido para próximo do real com o aumento do tamanho do horizonte de
estimação .
Conforme os estudos de caso 1, 2 e 3 deste capítulo, o MHE provou ser superior
mesmo quando existe a falta de sintonia causada por um valor pequeno da matriz de
covariância inicial . Segundo Russo e Young (1999) a seleção da matriz de peso inicial (ou
matriz de covariância inicial ) demonstra ter um significativo impacto nos esforços
computacionais envolvidos na estimação via horizonte móvel. Assim fica justificado o tempo
maior de simulação do estimador MHE, quando existe a falta de sintonia por parte da matriz
de covariância inicial com o distúrbio inicial ( ), comparado com o caso quando há
sintonia. Na Tabela 4.21 são apresentados os parâmetros dos estimadores considerados para a
simulação 2.
4.6 ESTUDO DE CASO 6: MODELO REAÇÃO DE VAN DE VUSSE – REATOR CSTR ISOTÉRMICO. 91
Tabela 4.21: Parâmetros para os estimadores na simulação com o modelo reação de van de
Vusse, simulação 2.
Parâmetros Valor Unidade

|

|
1 1

⁄
5 5

⁄
50

⁄
5

0.3 0.0

⁄
Na Tabela 4.22 são apresentados os resultados comparativos das estimações obtidas
pelos três estimadores, para a simulação da mudança do ponto de operação 1 para o ponto de
operação 2 (simulação 2) com a reação de van de Vusse. Para o MHE são apresentados os
resultados para as estratégias seqüencial,via solver DASSLC, e simultânea via colocação
ortogonal. O EKF é o que apresentou os melhores resultados. Novamente pelo aumento do
tamanho do horizonte de estimação MHE pôde-se melhorar a filtragem do estado , mas por
outro lado piorou-se a estimação do estado .
Tabela 4.22: Soma do erro quadrático para cada um dos estados, simulação 2.
Estado EKF CEKF
MHE
(N=0)
Col.
(N=2)
Dasslc
(N=2)
Col.
(N=4)
Dasslc
(N=4)
C
A
9.20 12.01 12.02 10.51 10.12 10.64 9.45
C
B
0.31 1.82 1.81 5.30 1.84 9.40 1.96
Tabela 4.23: Soma do erro quadrático para cada um dos estados (12 primeiras estimações, t=
60s), simulação 2.
Estado EKF CEKF
MHE
(N=0)
Col.
(N=2)
Dasslc
(N=2)
Col.
(N=4)
Dasslc
(N=4)
C
A
8.75 11.92 11.93 9.45 10.00 9.50 9.40
C
B
0.23 0.95 0.95 1.92 1.06 3.00 1.29
Na Figura 4.20 são apresentados os resultados comparativos das estimações obtidas
pelos três estimadores, para o estado filtrado ( ) e o estado estimado ( ), respe-
ctivamente, na simulação da mudança do ponto de operação 1 para o ponto de operação 2
(simulação 2) com o modelo reação de van de Vusse.


92 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura 4.20: Comparação dos valores de C
A
e C
B
real, C
A
filtrado e C
B
estimado para os três
estimadores (EKF, CEKF e MHE) para a reação de van de Vusse, simulação 2.
Os resultados para o MHE mostram que o aumento no tamanho do horizonte piorou a
estimação do estado e, portanto este não é justificado, salvo, porém, se o objetivo único é
melhorar a filtragem do estado . A estimação de pode ser melhorada se restrições forem
adicionadas como mostrado no estudo da planta de 4 tanques cilíndricos.

|
0
Para este estudo de caso com a reação de van de Vusse, baseado nas simulações 1 e 2,
conclui-se que os três estimadores conseguiram promover a estimação do perfil de
concentração de (), tido como o estado estimado, embora o modelo apresente uma
inversão no sinal de ganho para a mudança entre os pontos de operação simulados, o que
representa um desafio para os estimadores baseados nos filtros de Kalman segundo Tonel, et
al. (2008a) e (2008b). Para este caso, como a variável medida do processo é o estado e
relação deste com o estado a ser estimado é razoavelmente não-linear, a estimativa de
torna-se uma tarefa difícil. Para ambas as simulações (1 e 2) foi-se considerado que a
condição inicial estimada ( ) é a mesma da real, ou seja, . Se for dada uma
condição inicial estimada distante da real a estimação do estado poderá não convergir para
4.7 ESTUDO DE CASO 7: REAÇÕES IRREVERSÍVEIS DE PRIMEIRA ORDEM – REATOR CSTR
EXOTÉRMICO
. 93
o valor real e assim necessitaríamos de uma medição de uma variável secundária, na qual o
estado pudesse estar relacionado, de modo a melhorar a estimação.


4.7 Estudo de Caso 7: reações irreversíveis de primeira
ordem – reator CSTR exotérmico.
Neste estudo de caso iremos explorar o comportamento de um reator CSTR
exotérmico encamisado onde ocorrem duas reações irreversíveis de primeira ordem. A
modelagem do reator encamisado, onde ocorre a reação ÆÆ, é dada pelo
equacionamento abaixo (TORRES e TLACUAHUAC, 1999):















Δ


Δ



 








 

exp 


(4.9)
onde as constantes cinéticas são dadas pela equação de Arrhenius,
1,2


O conjunto de equações dados por (4.9) pode ser reescrito para uma forma adimensional:











  







β















1
(4.10)
onde:
,


1
e é a concentração adimensional do reagente , é a concentracao adimensional do
componente , é a temperatura adimensional do reator e é a temperatura adimensional
94 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
da camisa de resfriamento. Em Torres e Tlacuahuac (1999) são encontrados os demais
parâmetros adimensionalizados.
O sistema possui diversas características interessantes para o estudo da estimação de
estados, como alta não-linearidade, instabilidade e diversos pontos estacionários para os
mesmos parâmetros, os quais são apresentados na Tabela 4.24. Dependendo da condição
inicial dada, o sistema pode se deslocar para qualquer um dos pontos que compõe o perfil
apresentado na Figura 4.21. Assim, a estimação de estados se torna uma tarefa difícil para os
estimadores uma vez que os mesmos podem convergir para um dos pontos estacionários
diferentes do real (TONEL et al., 2008b).
Tabela 4.24: Valores dos parâmetros usados na simulação (TORRES e TLACUAHUAC,
1999) apud (RAMMINGER e SECCHI, 2007).
Variável Valor Variável Valor
0.133 10.0




8.0 1.0
1.0 1000.0
1.0 1.0
1.0 0.0
0.01 0.0
1.0 -1.0
Conforme a Figura 4.21, pode-se constatar que para um determinado valor de em
torno de 2 (ex. ) existem 5 pontos estacionários para o estado , formado por 3
ramos estáveis (1Æ2, 4Æ5 e 7Æ8) e dois instáveis (3Æ4 e 6Æ7).
2.3
Embora este sistema seja uma representação física de um processo real, e o mais
plausível seria se medir as temperaturas (estados e ) e estimar as concentrações (estados
e ), iremos aqui considerar o mesmo como somente um sistema de quatro estados onde a
estimação do estado representa um desafio à estimação. Para tal, iremos considerar como
variáveis medidas os estados e e os estados e serão os estados estimados.
4.7 ESTUDO DE CASO 7: REAÇÕES IRREVERSÍVEIS DE PRIMEIRA ORDEM – REATOR CSTR
EXOTÉRMICO
. 95
Figura 4.21: Perfil de pontos estacionários para o estado x
3
em função de q
c
para o modelo de
reações de primeira ordem irreversíveis (RAMMINGER e SECCHI, 2007).
Para esta simulação o valor real dos estados iniciais e serão respe-
ctivamente 0.01, e 6.0 e o valor do distúrbio inicial ( ) será de 0.1 nos valores de
e
iniciais. Um ruído de medição (), de amplitude (NA) e/ou covariância igual a 0.01,
foi adicionado às variáveis medidas. Na
,
,
0.2,8.0
|
Tabela 4.25 são apresentados os parâmetros dos
estimadores assumidos na simulação.
Tabela 4.25: Parâmetros para os estimadores na simulação com o reator CSTR exotérmico.
Parâmetros Valor

|

|
111 1
111 1
2 2
1
A Figura 4.22 mostra os resultados para os estados filtrados e a Figura 4.23 mostra os
resultados para os estados estimados. A Tabela 4.26 apresenta o resultado da soma do erro
quadrático de estimação relativo a cada estado. Os resultados mostram que os estimadores
EKF e CEKF falham tanto na estimação dos estados estimados quanto para os estados
filtrados. Nota-se que a estimação converge para outros pontos estacionários diferentes do
real. De fato aqui erros pequenos na estimação fazem com que os estimadores (EKF e CEKF)
caiam diante de um sistema como este, com não-linearidade acentuada, instabilidade e
distúrbios de modelo e de medição.
Os resultados do estimador MHE com um tamanho de horizonte  comprovam
que o uso de uma quantidade maior de informações e/ou feedbacks contribuiu para melhoria
da estimação. A simulação do MHE com horizonte  não foi possível uma vez que o
mesmo reporta um erro no cálculo da atualização da matriz de covariância , devido à
alguns dos seus auto-valores serem negativos. Isso demonstra que o otimizador do estimador
MHE não conseguiu obter uma solução real para o problema de otimização envolvido.
1
0
|
96 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura 4.22: Comparação dos estados filtrados x
1
e x
2
para os três estimadores (EKF, CEKF
e MHE) para o reator CSTR exotérmico.
Figura 4.23: Comparação dos estados estimados x
3
e x
4
para os três estimadores (EKF,
CEKF e MHE) para o reator CSTR exotérmico.
4.7 ESTUDO DE CASO 7: REAÇÕES IRREVERSÍVEIS DE PRIMEIRA ORDEM – REATOR CSTR
EXOTÉRMICO
. 97
Tabela 4.26: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o reator CSTR
exotérmico.
Estado EKF CEKF
MHE
(N=1)
x
1
0.02 0.17 0.00
x
2
0.07 0.03 0.02
x
3
11.20 27.44 1.21
x
4
1.03 2.51 0.11
Para demonstrar como os distúrbios de medição afetam a estimação, foi simulado o
mesmo caso anterior, mas sem ruídos de medição nas variáveis medidas e . A
Figura
4.24 mostra os resultados para os estados filtrados e a Figura 4.25 mostra os resultados para
os estados estimados da simulação com os três estimadores sem distúrbios de medição. A
Tabela 4.27 apresenta o resultado da soma do erro quadrático de estimação relativo a cada
estado (simulação com os três estimadores na ausência de distúrbios de medição).
Figura 4.24: Comparação dos estados filtrados x
1
e x
2
para os três estimadores (EKF, CEKF
e MHE) para o reator CSTR exotérmico, simulação sem ruídos de medição.
98 4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura 4.25: Comparação dos estados estimados x
3
e x
4
para os três estimadores (EKF,
CEKF e MHE) para o reator CSTR exotérmico, simulação sem ruídos de
medição.
O EKF teve uma pequena melhora nos resultados, mas que ainda é considerado um
resultado ruim. Já para o estimador CEKF houve uma sensível melhora da estimação em
relação à estimação com ruído na medição. Para o MHE foi possível simular para um
tamanho de horizonte igual a  onde os resultados foram praticamente os mesmos do
estimador CEKF, conforme a
0
Tabela 4.27.
Tabela 4.27: Soma do erro quadrático para cada um dos estados para o reator CSTR
exotérmico, simulação sem ruídos de medição.
Estado EKF CEKF
MHE
(N=0)
x
1
0.01 0.00 0.00
x
2
0.07 0.01 0.01
x
3
9.90 0.42 0.49
x
4
0.91 0.04 0.05
Este estudo de caso mostra como os estimadores baseados nos filtros de Kalman
podem falhar quando se estiver tratando de sistemas com não-linearidade acentuada,
instabilidade, multiplicidade operacional e distúrbios de modelo e de medição. Saindo em
vantagem novamente, o estimador MHE mostra sua robustez na estimação de estados e fixa
seu compromisso na obtenção de bons resultados, superiores aos estimadores EKF e CEKF,
com pequenos tamanhos de horizonte demandando assim um baixo custo computacional e
por conseqüência um tempo computacional também menor.
4.8 REFERÊNCIAS 99
Um outro efeito nocivo causado pela instabilidade deste sistema é figurado quando um
valor alto de for dado em relação ao distúrbio inicial . Com grande a estimação
inicial é penalizada fortemente e assim para este caso pode divergir para um dos diversos
pontos de equilíbrio ou estacionários () existentes. Para o EKF e CEKF esse efeito é
irreversível, enquanto que o MHE pode se recuperar pelo aumento considerável do seu
horizonte de estimação . Porém, isto não é recomendável uma vez que devido a alta não
linearidade do sistema, o tempo computacional necessário será alto, ultrapassando assim o
período de amostragem do mesmo.
|
Sistemas com características severas semelhantes, como reatores de FCC, processos
com reciclo, processos integrados, etc. são exemplos de aplicações industriais possíveis e
justificáveis para estimação de estados usando a estimação via horizonte móvel.
4.8 Referências
ARPORNWICHANOP, A., P. KITTISUPAKORN e I. M. MUJTABA. On-line dynamic
optimization and control strategy for improving the performance of batch reactors. Chemical
Engineering and Processing. 44: 101-114 p. 2005.
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TRIERWEILER, J. O. A Systematic Approach to Control Structure Design. Chemical
Engineering Department, University of Dortmund, Dortmund, 1997. 178 p.
VASANTHARAJAN, S. e L. T. BIEGLER. Simultaneous strategies for optimization of
differential-algebraic systems with enforcement of error criteria. Computers & Chemical
Engineering, v.14, n.10, p.1083-1100. 1990.
Capítulo 5
Conclusões
O foco deste trabalho foi baseado em três objetivos principais. Primeiro foi promover
uma revisão bibliográfica a respeito dos métodos e/ou técnicas de estimação de estados com
ênfase na formulação MHE. O segundo foi a implementação da formulação de horizonte
móvel, bem como a dos estimadores EKF e CEKF, em um software de engenharia. A
realização de um comparativo de desempenho entre as técnicas implementadas, aplicadas para
diferentes tipos de sistemas e/ou modelo de processos na área de controle, figurou o último
objetivo a ser buscado neste trabalho. Uma aplicação teórica e prática com a planta
laboratorial de seis tanques esféricos, que se tornou operante no LACIP
1
, foi almejado nos
últimos meses do trabalho, porém isto não foi possível devido a alguns contratempos.
Da aplicação para os estudos de caso propostos no capítulo 4, permitiu-se uma
avaliação ampla entre os estimadores EKF, CEKF e MHE na busca da mais eficiente e
robusta técnica para a estimação de estados. Como apostado inicialmente, a formulação via
horizonte móvel mostrou ter robustez superior, em relação aos estimadores tradicionais
baseados no filtro Kalman.
A estimação via horizonte móvel mostrou ser mais eficiente, em relação ao EKF e
CEKF quando na presença de grandes distúrbios ( ) nas condições iniciais estimadas, ao
mesmo tempo em que se há uma falta de sintonia com relação a matriz e pouca confiança
na medição ( ). As simulações com sistemas lineares, apresentados nos estudos de caso
1, 2 e 3, mostraram que o estimador MHE pôde melhorar a estimação, ou seja, não se perder
nas primeiras estimações como o EKF e nem demorar a convergir como o CEKF. Isto foi
conseguido com tamanhos de horizonte não tão grandes, sem, portanto, comprometer a
estimação devido ao tempo computacional. Para sistemas lineares com dinâmicas
semelhantes, mas de alta ordem (ou larga escala), o MHE foi sugerido fazer a sintonia inicial
|
1
LACIP – Laboratório de Controle e Integração de Processos.
102 5. CONCLUSÕES
da matriz e posteriormente a estimação é prosseguida tanto pelo EKF ou pelo CEKF (após
reinicialização com os valores fornecidos pelo MHE), com um menor esforço computacional
em relação ao MHE.
|
0
,|
|
1
Trabalhando com sistemas e/ou modelos de processo (estudos de caso 4, 5 e 6) com
baixa não-linearidade, inversão de sinal de ganho, distúrbios iniciais de modelo ( ) e
distúrbios de medição (), os estimadores EKF e CEKF geraram bons resultados, sem assim
demandar uma ferramenta com esforço maior como o MHE. O MHE, porém, foi sugerido ser
acionado sempre que houver falta de sintonia por parte da matriz de covariância inicial . De
outra forma também o MHE pode ser operando em paralelo com um destes estimadores, com
pequeno (ex.: ), e então sempre que for necessário a ordem pode ser aumentada.
Conforme os estudos de caso 4 e 5, o aparecimento de incertezas de modelo e o uso de
restrições para melhorar a estimação, praticamente exclui o uso do estimador EKF e limita o
desempenho do CEKF, ambos no exercício da estimação de estados. Esta impossibilidade do
EKF vem da não incorporação de restrições por esta técnica, uma vez que estas são úteis para
a garantia da estimação quando na presença de incertezas de modelo. O CEKF apresentou
resultados melhores que o EKF (erro quadrático menor), mas a estimação não convergiu, ao
longo do tempo, para o valor real. O MHE, porém foi o que melhor conseguiu utilizar a
informação disponível na variável distúrbio (), encontrando uma solução viável para o
problema de otimização. O aumento no horizonte de estimação () mostrou trazer a
estimação cada vez para mais próxima do valor real. Nestas simulações outras dificuldades
para a estimação como distúrbio nas condições iniciais e distúrbios de medição com
amplitude considerável, também estiveram presentes, tornando a tarefa de estimação ainda
mais complicada para os estimadores.
A troca de sinal de ganho, testada nos estudos de caso 5 e 6 mostrou não ser um
problema para a estimação, uma vez que os estimadores trabalham com a matriz Jacobiana
atualizada a cada instante de tempo, baseado no valor do estado corrigido.
Do comparativo feito entre as estratégias seqüencial e simultânea para a formulação
MHE nos estudos de caso 5 e 6, a estratégia simultânea com colocação ortogonal mostrou ser
falha para os casos onde distúrbios de modelo () e de medição () com amplitude
considerável estavam presentes. A necessidade do controle do erro na integração bem como o
melhoramento da estimativa do perfil inicial dos estados ( ) para a solução do problema
descrito por (3.13) foi identificada. Na simulação sem ruídos de medição e para modelos
pouco não-lineares os resultados da estratégia simultânea são idênticos a seqüencial. Os
tempos computacionais (DASSLC versus Colocação Ortogonal) também foram parecidos
(item 3.2.3).
A aplicação para um sistema e/ou processo com acentuada não-linearidade,
instabilidade e multiplicidade operacional, pôs as técnicas de estimação a um severo teste no
estudo de caso 7. A presença de distúrbios na condição inicial ( ) e na medição () tornou
a estimação de estados uma tarefa ainda mais complicada. Os resultados mostraram que tanto
o EKF como o CEKF, falham na estimação e na filtragem dos dados enquanto o MHE (com
horizonte ) conseguiu bons resultados. A simulação com ausência de ruídos de medição
5. CONCLUSÕES 103
mostrou que a estimação via CEKF é melhorada significativamente o que não aconteceu,
porém, com o EKF.
De maneira geral o MHE teve robustez superior frente aos estimadores EKF e CEKF
na estimação de estados, e assim este trabalho veio encorajar o uso da estimação via horizonte
móvel, como uma técnica de controle avançado justificável em se tratando de sistemas e/ou
processos com características que tornam a estimação de estados dificultada. Neste trabalho,
foi mostrado que onde os demais estimadores falham, a estimação pode ser melhorada usando
o MHE, mesmo com horizontes pequenos, não demandando assim um excessivo tempo
computacional.
Além do código dos estimadores EKF, CEKF e MHE implementado e disponibilizado
em software Matlab
®
, acredita-se que a contribuição deste trabalho vem da possibilidade de
oferecer suficiente material e suporte para a tarefa da escolha do melhor e mais adequado
método de estimação de estados, frente às diferentes características de cada sistema e/ou
modelo de processo, visando à posterior execução de controle e otimização desses processos
químicos na área de engenharia química.
Dada a ampla gama de assuntos relacionados à estimação de estados que foram
abordados aqui, alguns necessitam ser melhores explorados na intenção de tornar este trabalho
como uma boa referência no campo de estimação de estados. Assim a seguir são listados
alguns desses possíveis assuntos, que são aqui sugestões e/ou propostas de trabalhos futuros:
1) Migração das rotinas para outra linguagem: objetivando-se trabalhar com sistemas
maiores (escala maior) que os apresentados neste trabalho, existe primeiramente a
necessidade de se implementar os algoritmos (implementados em Matlab
®
) em alguma
linguagem de programação (C, C++, Fortran ou Java), de modo a permitir, que
aplicações futuras em tempo real sejam possíveis para sistemas deste tipo.
2) Investir em um novo otimizador: o otimizador fmincon usado nas rotinas do MHE é
uma dependência do software Matlab
®
, e assim uma resistência à migração para outra
linguagem. Assim na busca de possível um candidato, para a substituição do fmincon,
o IPOPT (do inglês Interior Point OPTimizer) se apresenta como um opção
promissora. Tentativas foram-se feitas para o uso do IPOPT (JIPOPT em Java), mas
esbarrou-se na criação da interface para a plataforma Windows
®
.
3) Implementação de estratégias de controle de erro: conforme discutido no capítulo 4 é
necessária a implementação de estratégias para o controle do erro na aproximação dos
perfis de estado via colocação ortogonal, dentro da formulação MHE. A melhora na
estimativa dos perfis inicias para a solução do problema de otimização também pode
ser desenvolvido paralelamente.
4) Implementar a estratégia de multiple-shooting: a implementação da estratégia de
integração multiple-shooting na formulação MHE torna-se atrativa para um
104 5. CONCLUSÕES
comparativo com as estratégias seqüencial (single-shooting) e simultânea já
implementadas.
5) Aplicação prática a planta de tanques esféricos: uma aplicação teórica e prática com a
planta laboratorial de tanques esféricos é interessante uma vez que esta reúne muitas
características interessantes às técnicas de controle.
Apêndice A
Comentários adicionais
A.1 Atualização da matriz de covariância P
k-N
via solução
dinâmica da equação de Ricatti
Como visto na formulação do MHE não-linear a desvantagem da formulação MHE
com atualização via EKF, em relação a atualização da matriz de covariância via solução da
matriz de Ricatti (secção 2.5.3), é que se tem a necessidade de integrar simultaneamente, além
do modelo dinâmico, as equações diferenciais relacionadas à matriz de covariância , o que
aumenta muito o tamanho do sistema a ser integrado e pode vir a ser problemático para
sistemas com elevado número de estados. Portanto neste trabalho a atualização da matriz de
covariância , para a formulação MHE, será feita via à solução dinâmica da matriz de Ricatti
(forma discreta), descrita pela equação (2.45), ao invés do uso do filtro EKF (forma contínua),
como foi no pioneiro trabalho de Robertson et al. (1996).
A.2 Índice de desempenho para o comparativo entre os
estimadores EKF, CEKF e MHE
Rao et al. (2003) adotaram a soma do erro quadrático de estimação como um índice de
desempenho na comparação entre as estimações feitas pelos estimadores EKF e MHE, que é
dado por:

1



 
(A.1)
onde
é o valor do estado real no tempo e
é o valor do estado estimado ou
filtrado para o tempo , e é o número total de estimações feitas e/ou consideradas na
simulação. Neste trabalho este índice de desempenho, dado pela equação (3.17) foi usado nas
comparações feitas com o estimador MHE e com os estimadores tradicionais (EKF e CEKF).
106 1. COMENTÁRIOS ADICIONAIS
REFERÊNCIA
RAO, C. V., J. B. RAWLINGS e D. Q. MAYNE. Constrained state estimation for nonlinear
discrete-time systems: stability and moving horizon approximations. Automatic Control,
IEEE Transactions on, v.48, n.2, p.246-258. 2003.
ROBERTSON, D. G., J. H. LEE e J. B. RAWLINGS. A Moving Horizon-Based Approach
for Least-Squares Estimation. AIChE Journal, v.42, n.8, August, p.2209-2224. 1996.
Apêndice B
Definições
Sistemas e Processos. Um sistema é uma coleção de objetos relacionados
tratados como um todo para o propósito de modelar seu comportamento. É chamado de
dinâmico se os atributos de interesse estão mudando constantemente com o tempo. Um
processo é a evolução de um sistema sobre o tempo.
Tempo contínuo e tempo discreto. Embora algumas vezes seja conveniente
modelar o tempo como uma quantidade contínua, é por conseqüentemente mais prático
considerar este como uma forma de valores discretos. (Muitos relógios, por exemplo,
avançam em passos de tempo discreto.)
Vetores e Variáveis de Estado. O estado de um sistema dinâmico em um dado
instante de tempo é caracterizado por valores instantâneos de seus atributos de interesse. Para
os problemas de interesse deste trabalho, os atributos de interesse podem ser caracterizados
por números reais, como temperaturas, concentrações, etc. Uma variável de estado de um
sistema está associado a um número real. O vetor estado de um sistema tem variáveis de
estado como seus elementos componentes. O sistema é considerado fechado se o estado
futuro do sistema, em todo o tempo, é unicamente determinado pelo estado atual. Por
exemplo, negligenciando os campos de gravidade oriundos de outros corpos de massa do
universo, o sistema solar pode ser considerado como um sistema fechado. Se um sistema
dinâmico não é fechado, então as causas exógenas são chamadas “entradas” do sistema. Este
vetor de estados de um sistema pode ser completo no sentido que o estado futuro do sistema é
unicamente determinado por seu estado atual e suas entradas futuras. Com o objetivo de obter
um vetor estado completo para um sistema, pode-se estender as componentes da variável
estado para incluir derivadas de outras variáveis de estado. Isto permite o uso da velocidade
ou a aceleração (a derivada da velocidade) como variáveis de estado, por exemplo.
Modelos Espaço-Estado para Sistemas Dinâmicos. Com o intuito de que os
estados futuros possam ser determinados a partir de seus estados atuais e entradas futuras, o
comportamento dinâmico de cada variável estado do sistema deve ser uma função conhecida
de valores instantâneos, em função das outras variáveis de estado e das entradas do sistema.
Como exemplo canônico voltamos ao nosso sistema solar, onde a aceleração de cada corpo é
108 2. DEFINIÇÕES
uma função conhecida da posição relativa dos outros corpos. O modelo de espaço-estado para
um sistema dinâmico representa estas dependências funcionais em termos de equações
diferenciais de primeira-ordem (em tempo contínuo) ou equações de diferenças (em tempo
discreto). As equações diferenciais e de diferenças, que representam o comportamento de um
sistema dinâmico, são chamadas de equações de estado. Se elas podem ser representadas por
funções lineares, então isto é chamado de um sistema dinâmico linear.
Modelos de Sistema Dinâmico Linear. O modelo para um sistema dinâmico
linear em tempo continuo pode ser expressado de forma geral como uma equação diferencial
vetor de primeira-ordem:





Φ


Γ


 
Φ

Φ
Φ


Φ
Φ

.
(B.1)
edir diretamente. Um modelo de sistema dinâmico é dito ser
observável, dado um conjunto de saídas, se é viável determinar o estado do sistema a partir
daquelas saídas. Se a dependência de uma saída com o estado do sistema é linear, isto
,
onde  é o vetor estado sistema n-dimensional no tempo ,  é sua matriz de
coeficiente dinâmico ,  é o vetor de entrada do sistema r-dimensional, e  é a
matriz que acoplagem das entradas. O correspondente modelo para um sistema dinâmico
linear em tempo-discreto pode ser expressado em geral por:
,
onde

é o vetor de estados do sistema n-dimensional no tempo

,
é o seu
valor no tempo


, Φ

é a matriz de transição dos estados  para o sistema no
tempo

,
é o vetor de entrada para o sistema no tempo , e Γ é a correspondente
matriz de acoplamento das entradas.
Sistemas Dinâmicos Variantes e Invariantes no Tempo. Se e (ou Φ e C) não
dependem de (ou ), então o modelo contínuo (ou discreto) é chamado tempo-invariante.
De outro modo, o modelo é tempo-variante.
Transformação de Modelos Tempo-Contínuo para Tempo-Discreto. Um modelo
de um sistema dinâmico em tempo-contínuo pode ser transformado em um modelo tempo-
iscreto usando a equação d
(B.1):


Sistemas Lineares, Saídas de Modelos e Observabilidade. A saída de um sistema
dinâmico é algo que podemos m
pode ser expressado na forma:
,
2. DEFINIÇÕES 109
onde
-linear implica que o problema não linear (NLP) envolvido na formulação
HE seja bem-formulado, não-singular e subseqüentemente que as condições de otimalidade
de Kuhn-Tucker sejam satisfeitas. A matriz as lineares, é
definida como:

é chamado de matriz de sensibilidade da medição. Esta pode ser uma função tempo-
contínuo  ou tempo-discreto 
. Observabilidade pode ser caracterizada pelo rank de
uma matriz de observabilidade associados com o modelo do sistema dado.
Segundo Russo e Young (1999) a observabilidade de sistemas lineares é uma
propriedade global. Muske e Edgar (1996) propõe que testes de observabilidade linearizados
são usualmente adequados para a determinação da observabilidade de sistemas não-lineares.
Russo e Young (1999) propõe para a estimação via horizonte móvel que a observabilidade de
um sistema não
M
de observabilidade, para sistem
Φ
Φ



teste para observabilidade
pode ser simplificado para sistemas tempo-invariante.) Notar que a determinação da
observ
Definição de Estado Suavizado (Smoothed), Filtrado e Predito. Assumindo
que tor de edições
dado por (B.2), para estimar , tem-se três
casos possíveis:
()
2- Filt (0)
3- Predição (0)
(B.2)
Figura B.1 ilustra os três diferentes casos.

Φ

Φ


O sistema é observável se e somente se sua matriz de observabilidade tiver rank
completo () para o qualquer inteiro 0 ou tempo 
. O
para modelos tempo-contínuos,
para modelos tempo-discretos.
abilidade (contínua ou discreta) depende do intervalo sobre o qual a matriz de
observabilidade é determinada (XIAO-HUA e WEI-BIN, 1989).
se conheça o ve m
1- Suavização 0
ragem
,
|
A
110 2. DEFINIÇÕES
Figura B.1: Suavização, Filtragem e Predição (KARL e BJORN, 1984).
REFERÊNCIA
KARL, A. J. e W. BJORN. Computer Controlled Systems: Theory and Design: Prentice Hall
Professional Technical Reference. 1984. 432 p.
MUSKE, K. R. e T. F. EDGAR. Nonlinear state estimation. In: M. A. H. A. D. E. Seborg
(Ed.). Nonlinear Process Control: Prentice Hall, 1996. Nonlinear state estimation, p.311-370
RUSSO, L. P. e R. E. YOUNG. Moving-horizon state estimation applied to an industrial
polymerization process. American Control Conference, 1999. Proceedings of the 1999. San
Diego, CA, 1999. 1129-1133 p.
XIAO-HUA, X. e G. WEI-BIN. Nonlinear observer design by observer error linearization.
SIAM J. Control Optim., v.27, n.1, p.199-216. 1989.
Apêndice C
Implementação dos estimadores EKF, CEKF e
MHE
Os três estimadores (EKF, CEKF e MHE) foram implementados em Matlab
®
(versão
6.5) com interface gráfica no Simulink
®
. O método de colocação ortogonal foi também
inteiramente implementado em rotinas do Matlab
®
. As rotinas originais dos solvers DASSL e
DASSLC em linguagem Fortran
®
e C foram compiladas juntamente com suas respectivas
interfaces em padrão mex para arquivos do tipo dll (Dynamic Link Library). Outras rotinas
importantes do Matlab
®
usadas foram o otimizador fmincon e o integrador ode45 (Runge-
Kutta), este ultimo usado inicialmente, mas posteriormente foi abandonado devido ao alto
tempo computacional.
As simulações foram rodadas em um PC Pentium IV
®
3.0 GHz com 2.0 GB de
memória CACHE. Na Figura C.1 é apresentada a interface criada no software Simulink
®
.
Rotinas extras implementadas em Matlab
®
durante este trabalho estão disponíveis no
repositório pessoal da MathWorks (TONEL, 2007).
112 3. IMPLEMENTAÇÃO DOS ESTIMADORES EKF, CEKF E MHE
Figura C.1: Interface de trabalho no Simulink
®
para rodar as rotinas implementadas
em Matlab
®
.
REFERÊNCIA
TONEL, G. My FileExchange: The MathWorks - FileExchange.
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadAuthor.do?objectId=1095501&o
bjectType=author. 2007 2007.
Apêndice D
Descrição das Rotinas Implementadas em
Matlab
®
Na Tabela D.1 é apresentado as principais rotinas de cada um dos três estimadores
implementados no software Matlab
®
. Na Tabela D.2 são mostradas as rotinas comuns para
os três estimadores. Na Tabela D.3 as rotinas internas do Matlab
®
utilizadas.
Tabela D.1: Descrição das principais rotinas que compõe os três estimadores
implementados em Matlab®.
Rotina Descrição
EKF
EKF.m Contém a rotina principal do EKF (S-function).
EKF_c.m Executa a parte de correção e/ou atualização do EKF.
CEKF
CEKF.m Contém a rotina principal do CEKF (S-function).
CEKF_c.m Executa a parte de correção e/ou atualização do CEKF.
114 4. DESCRIÇÃO DAS ROTINAS IMPLEMENTADAS EM MATLAB®
Rotina Descrição
MHE
confun.m
Contém as restrições de igualdade e desigualdade do
MHE.
confun.dll Versão compilada da rotina confun.m.
MHE.m Contém a rotina principal do MHE (S-function).
MHE_objfun.m Função objetivo do MHE.
MHE_objfun.dll Versão compilada da rotina MHE_objfun.m.
MHE – Colocação Ortogonal
guest.m
Cria o chute inicial (ou estimativa do perfil de estado) das
variáveis de estado discretizadas para o problema de
integração e/ou otimização dinâmica.
nonlincon.m
Contém as restrições de igualdade da aproximação dos
perfis de estado via colocação ortogonal.
nonlincon.dll Versão compilada da rotina nonlincon.m.
orthcoll.m Calcula as raízes dos polinômios de Jacobi normalizados.
Tabela D.2: Rotinas comuns para os três estimadores implementados em Matlab®.
Rotina Descrição
bounds.m
Contém os limites inferiores e superiores das variáveis
de estado , das variáveis e .
call_input_data.m
Interface gráfica para a entrada de parâmetros de
simulação.
check.m Faz uma checagem dos dados de inicialização.
Dassl. f
Rotina original do solver DASSL em linguagem
Fortran.
Dasst.f Interface mex do Dassl.f para o Matlab
®
.
dassl.dll Rotina do DASSL compilada (com a interface).
dasslc.c Rotina original do solver DASSLC em linguagem C.
dasslc2ml.c Interface mex do dasslc.c para o Matlab
®
.
dasslc.dll Rotina do DASSL compilada (com a interface).
DAEp.m
Retorna os resíduos do modelo ODE (ODEpmfun.m),
para a integração com os solvers DASSL ou DASSLC.
EKF_CEKF_MHE.mdl Interface gráfica no Simulink
®
para a simulação.
Fmatrix.m Matriz Jacobiana de
,

.
Gmatrix.m Matriz Jacobiana de  .
ini_EKF_CEKF_MHE.m Inicialização para a simulação no Simulink
®
.
model_choose.m
Interface gráfica para a escolha do modelo a ser
simulado.
ODEpmfun.m Contém modelo dinâmico do sistema.
115
Rotina Descrição
plot_EKF_CEKF_MHE.m Plota os dados de simulação.
pmfun.m Calcula o valor futuro de ,
,,.
prbs.m
Geração de sinal PRBS (do inglês Pseudo-Random
Binary Sequence).
Ppred.m
Equação de predição da matriz de covariância , via
EKF.
process.m Simula o processo real (S-function).
Pxpred.m
Modelo ODE de predição de e da matriz de
covariância , via EKF.
smfun.m
Predição da saída (
) através do estado estimado,

.
Tabela D.3: Rotinas do Matlab
®
internas que foram usadas.
Rotina Descrição
fmincon.m
Calcula o máximo ou o mínimo de uma função objetivo
(MHE_objfun.m) sujeita a equações de igualdade e
desigualdade (confun.m).
quadprog.m Resolve o problema de programação quadrática.
ode45.m Integrador tipo Runge-Kutta, não-rígido (nonstiff).
Obs.: neste trabalho todas as versões (as quais possuem tanto a versão .m como a .dll) de
rotinas .dll (ou mex) foram utilizadas, ao invés de suas respectivas versões em .m (m-file). Isto
permitiu uma maior rapidez computacional quando do uso das mesmas. No caso as rotinas do
DASSL (implementado em Fortran), DASSLC (implementado em C) e Colocação Ortogonal
(implementado em Matlab), a compilação para um mesmo padrão (mex) permitiu fazer o
comparativo
1
relativo aos seus respectivos tempos computacionais (item 3.2.2 e 3.2.3). Não
foi possível, porém fazer um padrão mex das rotinas internas do Matlab
®
, apresentadas na
Tabela D.3, devido as suas enormes dependências a outras sub-rotinas internas do Matlab
®
.
1
Isto é somente um comparativo aproximado do tempo computacional demandado, uma vez que o
ambiente de execução é diferente.
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