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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DA OPERAÇÃO DE
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
CONSIDERANDO OS LIMITES DE ESTABILIDADE
ANGULAR E DE TENSÃO
TESE DE DOUTORADO
Lenois Mariotto
Santa Maria, RS, Brasil
2008
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ii
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DA OPERAÇÃO DE
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA CONSIDERANDO
OS LIMITES DE ESTABILIDADE ANGULAR E DE TENSÃO
por
Lenois Mariotto
Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica, Área de Concentração em Processamento de Energia, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a
obtenção do grau de
Doutor em Engenharia Elétrica
Orientador: Humberto Pinheiro, Ph.D.
Santa Maria, RS, Brasil
2008
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iii
Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
A Comissão Examinadora, abaixo assinada,
aprova a Tese de Doutorado
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DA OPERAÇÃO DE SISTEMAS
ELÉTRICOS DE POTÊNCIA CONSIDERANDO OS LIMITES DE
ESTABILIDADE ANGULAR E DE TENSÃO
elaborada por
Lenois Mariotto
como requisito parcial para obtenção do grau de
Doutor em Engenharia Elétrica
COMISÃO EXAMINADORA:
____________________________
Humberto Pinheiro, Ph.D. (UFSM)
(Presidente/Orientador)
_____________________________
Ildemar Cassana Decker, Dr. (UFSC)
__________________________________
Roberto de Souza Salgado, Ph.D. (UFSC)
__________________________________
Alexandre Campos, Ph.D. (UFSM)
__________________________________
Ghendy Cardoso Junior, Dr. (UFSM)
Santa Maria, 22 de fevereiro de 2008.
iv
_________________________________________________________________________
© 2008
Todos os direitos autorais reservados a Lenois Mariotto. A reprodução de partes ou do todo
deste trabalho só poderá ser feita com autorização por escrito do autor.
Endereço: Rua Appel, 655/701, Bairro Centro, Santa Maria, RS, 97015-030
Fone (0xx)55 32212758; End. Eletr: [email protected]
_________________________________________________________________________
v
AGRADECIMENTOS
Desejo expressar apreço a todas as pessoas que, de algum modo, colaboraram no
desenvolvimento desta Tese. Ao Professor Humberto Pinheiro, pela orientação, pelas
sugestões, pelo incentivo, pela disponibilidade e pela boa vontade demonstradas durante estes
anos de convivência. Ao Professor Ghendy Cardoso Junior, pelo auxílio nas aulas da
Graduação, pelo interesse demonstrado, pela disponibilidade e também pelas boas sugestões.
Aos Professores membros da Comissão Examinadora, pelo profissionalismo e pelas valiosas
contribuições apresentadas. Aos alunos do Doutorado e Mestrado, Tiago Bandeira Marchesan
e Adriano Peres de Morais, pela colaboração nas disciplinas do Curso de Graduação em
Engenharia Elétrica. À Universidade Federal de Santa Maria e à Companhia Estadual de
Distribuição de Energia Elétrica, pelo apoio e pelos recursos financeiros disponibilizados no
projeto P&D associado a esta Tese. Ao acadêmico do Curso de Engenharia Elétrica, Matias
Rossato Muraro, pelo empenho na programação das rotinas em DPL para o Programa
DIgSILENT
®
. Aos Professores, José Renes Pinheiro, Hilton Abílio Gründling e Humberto
Pinheiro, pelas inúmeras vezes que me incentivaram a ingressar no Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica. Aos funcionários da secretaria do PPGEE, Cleonice
Sanger de Oliveira e Artur Rodrigo Schvamborn Paulon, pela atenção e responsabilidade
sempre demonstradas. Ao Centro de Tecnologia, por meio de seu Diretor Professor Eduardo
Rizatti, à Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa, na pessoa de seu Pró-Reitor Professor
Hélio Leães Hey, bem como a todos os professores e funcionários do Curso de Engenharia
Elétrica pelo incentivo e suporte oferecido.
Um agradecimento especial a todos os meus familiares, e uma menção carinhosa aos
meus filhos Thomas e Laura e à minha esposa Maria Isabel, lembrando de um provérbio
italiano: “Col tempo e con la paglia si maturano le nespole”.
vi
RESUMO
Tese de Doutorado
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Universidade Federal de Santa Maria
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DA OPERAÇÃO DE SISTEMAS
ELÉTRICOS DE POTÊNCIA CONSIDERANDO OS LIMITES DE
ESTABILIDADE ANGULAR E DE TENSÃO
AUTOR: LENOIS MARIOTTO
ORIENTADOR: HUMBERTO PINHEIRO, Ph.D.
Data e Local da Defesa: Santa Maria, 22 de fevereiro de 2008.
Este trabalho apresenta novos métodos analíticos e computacionais para a avaliação da
segurança da operação de sistemas elétricos de potência considerando os Limites de Estabilidade
Angular e de Tensão. No tema Estabilidade Angular, desenvolveu-se um método para a estimativa de
margens de segurança transitória baseado em técnicas de redução de redes e geradores coerentes. O
desvio de velocidade angular foi o critério usado para identificar geradores que oscilam juntos. A
redução foi realizada substituindo-se dois grupos de geradores coerentes por um sistema Equivalente
Máquina-Barra Infinita. Com este equivalente, os tempos críticos de abertura de falta e as margens de
segurança são calculados com auxílio do Critério das Áreas Iguais. Os resultados encontrados foram
muito satisfatórios quando comparados com aqueles obtidos por outros métodos, especialmente os que
utilizam a função energia como função de Lyapunov. O método também foi aplicado para a estimativa
de margens de segurança e tempos críticos de abertura de falta, em sistemas de potência na presença
de geração eólica. Foi demonstrado que o método proposto é capaz de selecionar contingências
críticas que precisam ser estudadas com modelos completos de modo a reproduzir o comportamento
real do sistema elétrico. Com relação à Estabilidade Tensão, foi desenvolvido um método analítico e
computacional para análise de estabilidade estática de tensão no plano P-Q. Primeiramente, o método
foi aplicado em um sistema de potência simples com duas barras, e os resultados analíticos e
computacionais foram comparados. Então, um Índice de Estabilidade de Tensão foi deduzido, para
determinar a margem de segurança de cada barra para qualquer estado de operação de um sistema de
potência com n-barras. Com o Índice de Estabilidade de Tensão, é possível identificar barras críticas e
regiões com tendência ao colapso de tensão. Os limites de estabilidade de tensão de um sistema de
distribuição foram analisados através das curvas P-Q , no qual foram considerados diferentes cenários
de operação da geração eólica. Deste modo, foi demonstrado que a geração eólica pode contribuir para
melhorar as margens de segurança de tensão. Finalmente, o método foi aplicado em um sistema de
potência real pertencente à Companhia Estadual de Distribuição de Energia Elétrica. Os métodos
desenvolvidos são computacionalmente eficientes e adequados para o planejamento da expansão e
operação, bem como na operação em tempo real dos sistemas elétricos de potência.
Palavras-chave: Geradores coerentes; Tempos críticos de abertura; Equivalentes eletromecânicos;
Margens de estabilidade transitória; Equivalente Máquina-Barra Infinita; Curvas P-V; Curvas P-Q;
Índice de Estabilidade de Tensão; Colapso de tensão.
vii
ABSTRACT
Doctoral Thesis
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Universidade Federal de Santa Maria
OPERATION SECURITY ASSESSMENT OF ELECTRIC POWER
SYSTEMS BY CONSIDERING THE ANGLE AND VOLTAGE
STABILITY LIMITS
AUTHOR: LENOIS MARIOTTO
RESEARCH SUPERVISOR: HUMBERTO PINHEIRO, Ph.D.
Santa Maria, February 22, 2008.
This work presents new analytical and computational methods for operation security
assessment of electric power systems by considering Angle and Voltage Stability Limits. In the
context of Angle Stability, it was developed a method for estimating transient security margins based
on equivalent network reduction techniques and coherent generators. The angle speed deviation was
the criterion used to identify generators that swing together. The reduced order was accomplished by
replacing two clusters of coherent generators by an One-Machine Infinite Bus equivalent system. With
this equivalent, critical fault clearing times and security margins are calculated with the aid of the
Equal Area Criterion. The results were in a good agreement when compared with others methods,
especially those based on Transient Energy Function used as a Lyapunov function. The method was
also applied for estimating security margins and critical fault clearing times of power systems in the
presence of wind power generation. It was demonstrated that the proposed method can be used to
select critical contingencies, where detailed power system models are needed such that it can
reproduce the actual behavior of the system. With respect to Voltage Stability, it was developed an
analytical and computational method for steady state voltage stability analysis on a P-Q plane. First of
all, it was applied on a simple two-bus power system, and the analytical and computational results
were compared. Then, a Voltage Stability Index was derived, in order to obtain the security margins of
each bus for any operational state of an n-bus power system. It was carried out by using a power
system reduction technique. With the Voltage Stability Index, it is possible to identify critical buses
and the regions that are prone to voltage collapse. The voltage stability limits of a distribution power
system was also analyzed by means of the P-Q curves, by considering different operation scenarios of
wind power generation. It was demonstrated that the wind power can contribute to improve the voltage
security margins. Finally, the method was applied to a real power system of Companhia Estadual de
Distribuição de Energia Elétrica, in the presence of wind power generation. The methods are
computationally efficient and suitable for planning, operation and real-time operation of electric power
systems.
Keywords: Coherent generators; Critical fault clearing times; Electromechanical equivalents;
Transient stability margins; One-Machine Infinite Bus; P-V curves; P-Q curves; Voltage Stability
Index; Voltage collapse.
viii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................1
1.1 C
ONSIDERAÇÕES GERAIS
....................................................................................................1
1.2 E
SCOPO DO TRABALHO
.......................................................................................................2
1.3 O
BJETIVOS DA
T
ESE
...........................................................................................................3
1.4 C
ONTRIBUIÇÕES DA
T
ESE
...................................................................................................4
1.5 R
EVISÃO DA LITERATURA
...................................................................................................5
1.6 O
RGANIZAÇÃO DA
T
ESE
...................................................................................................13
2 FUNDAMENTOS DE ESTABILIDADE ANGULAR..................................................14
2.1 I
NTRODUÇÃO
....................................................................................................................14
2.2 E
STABILIDADE ANGULAR EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
.....................................14
2.2.1
Equações de potência elétrica em um sistema elétrico com duas máquinas ............................... 14
2.3 E
STABILIDADE TRANSITÓRIA EM SISTEMAS
M
ÁQUINA
-B
ARRA
I
NFINITA
..........................19
2.3.1
A equação de oscilação para um sistema Máquina-Barra Infinita .............................................. 19
2.3.2
Solução da equação de oscilação................................................................................................. 20
2.4 A
NÁLISE DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA PELO
C
RITÉRIO DAS
Á
REAS
I
GUAIS
.................21
2.4.1
Interpretação física e matemática do Critério das Áreas Iguais .................................................. 23
2.5 C
ONSIDERAÇÕES FINAIS
...................................................................................................28
3 DESENVOLVIMENTO DE UM MÉTODO ANALÍTICO E COMPUTACIONAL
VISANDO A ESTUDOS DE ESTABILIDADE ANGULAR.............................................29
3.1 I
NTRODUÇÃO
....................................................................................................................29
3.1.1
O modelo matemático para sistemas multimáquinas .................................................................. 30
3.1.2
Coerência entre geradores síncronos........................................................................................... 32
3.2 M
ETODOLOGIA PROPOSTA PARA IDENTIFICAÇÃO DE GERADORES COERENTES
..................33
3.2.1
Descrição das etapas do método de identificação de coerência proposto ................................... 33
3.2.2
Aplicação do método proposto em um sistema elétrico de potência real.................................... 35
3.3 M
ÉTODO PARA REDUÇÃO E CÁLCULO DE EQUIVALENTES ELETROMECÂNICOS
..................38
3.4 A
LGORITMO DE REDUÇÃO PARA SISTEMAS ELÉTRICOS MULTIMÁQUINAS
.........................40
3.5 F
LUXOGRAMA DO MÉTODO DE IDENTIFICAÇÃO DE GERADORES COERENTES
,
REDUÇÃO DE
REDE
,
EQUIVALENTES ELETROMECÂNICOS E CÁLCULO DE TEMPOS CRÍTICOS E MARGENS DE
SEGURANÇA
...............................................................................................................................42
3.5.1
Descrição das etapas do método de identificação de coerência, redução de rede, equivalentes
eletromecânicos e cálculo de tempos críticos e margens de segurança................................................. 42
3.6 E
STUDO DE CASO UTILIZANDO A METODOLOGIA DESENVOLVIDA
.....................................44
ix
3.6.1
Estado inicial de operação........................................................................................................... 45
3.6.2
Redução às barras internas de geração........................................................................................ 45
3.6.3
Simulação numérica no domínio do tempo................................................................................. 47
3.6.4
Agrupamento de dois subsistemas coerentes .............................................................................. 48
3.6.5 Redução de dois subsistemas a um sistema Máquina-Barra Infinita.............................................51
3.6.6 Cálculo do ângulo, tempo crítico e margens de segurança............................................................57
3.7 C
ONSIDERAÇÕES FINAIS
...................................................................................................62
4 ESTUDO DE CASOS DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA ANGULAR USANDO
O CRITÉRIO DE AGRUPAMENTO DE GERADORES COERENTES E
EQUIVALENTES ELETROMECÂNICOS........................................................................63
4.1 I
NTRODUÇÃO
....................................................................................................................63
4.2 C
RITÉRIOS DE PRIORIDADE PARA A ESCOLHA DAS CONTINGÊNCIAS A SEREM ESTUDADAS
COM MODELO DETALHADO
........................................................................................................64
4.2.1
Proteção de linhas de transmissão com relés de distância com várias zonas de proteção........... 64
4.2.2
Proteção de linhas de transmissão por sistemas de teleproteção................................................. 66
4.3 E
XEMPLO
4.1
–
S
ISTEMA
CIGRÉ
COM
7
GERADORES
.......................................................67
4.3.1
Classificação das contingências segundo seu grau de severidade para o sistema CIGRÉ.......... 70
4.4 E
XEMPLO
4.2
–
S
ISTEMA DA
R
EGIÃO
S
UL DO
B
RASIL
......................................................71
4.4.1
Classificação das contingências segundo seu grau de severidade para o sistema da Região Sul do
Brasil .................................................................................................................................................... 74
4.5 C
OMPARAÇÃO COM O MÉTODO DIRETO DE
L
YAPUNOV
.....................................................74
4.5.1
Resultados obtidos pelo Método Proposto e pela Simulação no Domínio do Tempo................. 76
4.5.2
Resultados comparativos com os métodos que empregam o conceito de função energia como
função de Lyapunov.............................................................................................................................. 76
4.5.3
Classificação das contingências pelo seu grau de severidade para o sistema com 3 geradores .. 77
4.6 E
XEMPLO DE ESTABILIDADE ANGULAR EM SISTEMAS REAIS COM A PRESENÇA DE GERAÇÃO
EÓLICA
.......................................................................................................................................78
4.7 C
ONSIDERAÇÕES FINAIS
...................................................................................................82
5 FUNDAMENTOS DE ESTABILIDADE ESTÁTICA DE TENSÃO..........................83
5.1 I
NTRODUÇÃO
....................................................................................................................83
5.2 E
STABILIDADE ESTÁTICA DE TENSÃO DE SISTEMAS DE POTÊNCIA COM DOIS TERMINAIS
...84
5.2.1
Equações para a potência elétrica................................................................................................ 84
5.2.2
Relações entre as tensões e correntes.......................................................................................... 85
5.2.3
Equação da potência complexa injetada na barra de carga ......................................................... 88
5.2.4
Interpretação das equações de potência elétrica.......................................................................... 89
x
5.2.5
Equações para as perdas nas linhas de transmissão..................................................................... 90
5.3 A
NÁLISE DE ESTABILIDADE DE TENSÃO ATRAVÉS DAS CURVAS
P-V.................................91
5.3.1
Exemplo 5.1 – Estudo de estabilidade estática de tensão no plano P-V...................................... 93
5.4 O
BTENÇÃO DO
Í
NDICE DE
E
STABILIDADE DE
T
ENSÃO
–
IET ............................................94
5.5 F
ATORES QUE AFETAM A
E
STABILIDADE DE
T
ENSÃO
.......................................................97
5.6 C
ONSIDERAÇÕES FINAIS
...................................................................................................99
6 DESENVOLVIMENTO DE MÉTODOS ANALÍTICOS E COMPUTACIONAIS
PARA ANÁLISE DE ESTABILIDADE ESTÁTICA DE TENSÃO NO PLANO P-Q .100
6.1 I
NTRODUÇÃO
..................................................................................................................100
6.2 D
ESENVOLVIMENTO DE UM MÉTODO ANALÍTICO PARA O CÁLCULO DOS VALORES CRÍTICOS
EM UM SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA COM DOIS TERMINAIS
...............................................100
6.2.1
Equação para a tensão crítica na barra de carga........................................................................ 100
6.2.2
Equação para o ângulo crítico ................................................................................................... 102
6.2.3
Equação para a potência ativa crítica ........................................................................................ 104
6.2.4
Equação para a potência reativa crítica ..................................................................................... 105
6.3 E
XEMPLO NUMÉRICO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO ANALÍTICO
........................................105
6.4 D
ESENVOLVIMENTO DE UM MÉTODO COMPUTACIONAL PARA A ANÁLISE DE ESTABILIDADE
ESTÁTICA DE TENSÃO ATRAVÉS DAS CURVAS
P-Q...................................................................107
6.4.1
Fluxograma do programa computacional desenvolvido............................................................ 109
6.4.2
Exemplo de aplicação do método computacional em um sistema com duas barras.................. 109
6.5 U
SO DE EQUIVALENTES ELÉTRICOS ESTÁTICOS PARA APLICAÇÃO DO
Í
NDICE DE
E
STABILIDADE DE
T
ENSÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA DE GRANDE PORTE
..............111
6.5.1
Considerações iniciais para o processo de redução de rede ...................................................... 111
6.5.2
Relações entre tensões e correntes no sistema original............................................................. 112
6.5.3
Equivalentes elétricos em cada barra de carga.......................................................................... 114
6.5.4
Fluxograma para o cálculo dos equivalentes estáticos.............................................................. 116
6.6 E
XEMPLO DE APLICAÇÃO DO
Í
NDICE DE
E
STABILIDADE DE
T
ENSÃO EM UM SISTEMA DE
TRANSMISSÃO
..........................................................................................................................118
6.7 C
ONSIDERAÇÕES FINAIS
.................................................................................................120
7 EXEMPLOS DE ESTABILIDADE ESTÁTICA DE TENSÃO EM SISTEMAS
ELÉTRICOS DE POTÊNCIA NA PRESENÇA DE GERAÇÃO EÓLICA..................121
7.1 I
NTRODUÇÃO
..................................................................................................................121
7.2 E
STUDOS DE ESTABILIDADE DE TENSÃO EM UM SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO
....................121
7.2.1
Curvas P-Q da barra 13 com e sem a presença de geração eólica............................................. 123
7.2.2
Curvas P-Q da barra 16 com e sem a presença de geração eólica............................................. 123
xi
7.3 E
FEITO DA GERAÇÃO EÓLICA NOS
L
IMITES DE
E
STABILIDADE DE
T
ENSÃO
.....................124
7.4 I
DENTIFICAÇÃO DAS REGIÕES CRÍTICAS DE UM SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO
.....................125
7.5 N
OVAS PERSPECTIVAS COM CENTRAIS EÓLICAS PARTICIPANDO DO CONTROLE DE TENSÃO E
SUPRIMENTO DE REATIVOS
......................................................................................................126
7.6 C
ARACTERÍSTICAS OPERACIONAIS DAS BARRAS DO SISTEMA DE POTÊNCIA E DO
CONVERSOR
.............................................................................................................................128
7.7 E
STUDOS DE ESTABILIDADE ESTÁTICA DE TENSÃO NO SISTEMA DO EXTREMO SUL DO
RS
–
CEEE-D
NA PRESENÇA DE GERAÇÃO EÓLICA
..........................................................................130
7.7.1
Identificação da região crítica no sistema do extremo sul do RS com carga pesada sem a
presença de geração eólica.................................................................................................................. 131
7.7.2
Identificação da região crítica no sistema do extremo sul do RS com carga pesada e com a
presença de geração eólica.................................................................................................................. 131
7.8 A
NÁLISE DE ESTABILIDADE ESTÁTICA DE TENSÃO NO SISTEMA
CEEE-D .......................131
7.8.1
Análise de Estabilidade estática de tensão no plano P-Q na barra 9454-RGR2........................ 131
7.8.2
Análise da estabilidade estática de tensão no plano P-Q na barra 9419-SLO........................... 132
7.9 C
ONSIDERAÇÕES FINAIS
.................................................................................................133
8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES..................................................................................134
8.1 C
ONCLUSÕES
..................................................................................................................134
8.2 S
UGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS
........................................................................135
BIBLIOGRAFIA..................................................................................................................136
APÊNDICES.........................................................................................................................142
APÊNDICE
A
-
E
XEMPLOS DE CÁLCULO DE ÂNGULO E TEMPO CRÍTICO DE ABERTURA COM O
AUXÍLIO DO
C
RITÉRIO DAS
Á
REAS
I
GUAIS
...............................................................................142
APÊNDICE
B
-
E
XEMPLOS DE CÁLCULO DA TENSÃO
,
POTÊNCIA ATIVA E REATIVA CRÍTICAS
UTILIZANDO O
Í
NDICE DE
E
STABILIDADE DE
T
ENSÃO
..............................................................145
APÊNDICE
C
-
D
ADOS E PARÂMETROS DOS SISTEMAS ELÉTRICOS ESTUDADOS
.....................151
1 INTRODUÇÃO
1.1 Considerações gerais
Em muitos países do mundo, entre estes o Brasil, as empresas do setor elétrico estão
sendo gradativamente reestruturadas. Com isso, o tradicional modelo vertical no qual os
subsistemas de geração, transmissão e distribuição ficavam sob o controle de uma única
empresa, passou para um modelo horizontal em que estes três setores ficaram independentes
e, em alguns casos, sob o controle de diferentes empresas privadas e/ou estatais.
Restrições econômicas e ambientais para investimento em geração e transmissão
obrigam os sistemas elétricos a operar com reduzida margem de segurança, aumentando assim
a complexidade na sua supervisão e controle. A inserção destes sistemas em um ambiente
altamente competitivo faz com que questões operacionais dependam de complexos acordos de
mercado entre fornecedores e consumidores. O aumento nas interligações viabiliza a troca de
energia entre regiões de acordo com os níveis dos reservatórios regulados por variações
sazonais. Contudo, se isto não for acompanhado por um adequado planejamento da operação,
os sistemas podem atingir condições extremas para as quais não foram originalmente
projetados. Com isso, eles correm o risco de operarem próximos de seus limites de
estabilidade angular, de tensão e de freqüência. Um sistema elétrico operando muito
carregado tem margem de manobra muito pequena, tornando-se muito sensível e vulnerável a
perturbações. Por outro lado, a operação com larga margem de segurança representa custos
adicionais proibitivos à operação.
Um novo cenário surgiu nos últimos anos com a participação significativa de energia
distribuída através de fontes renováveis de energia, especialmente a eólica. No seu último
boletim, a WWEA, “World Wind Energy Association”, anunciou uma modificação nas
estimativas e prevê que, até o final de 2010, pode-se atingir mundialmente uma potência
eólica instalada de 160 GW. O impacto da geração distribuída nos sistemas de transmissão e
distribuição tem sido um assunto de interesse das concessionárias de energia e motivo de
intensa pesquisa. Entre os vários aspectos envolvidos, a estabilidade angular e de tensão tem
recebido especial atenção. Em muitos países da Europa, nos Estados Unidos, Canadá,
Austrália, bem como no Brasil são exigidos estudos de impacto de fazendas eólicas na
Estabilidade Transitória Angular e de Tensão
.
Seguindo esta tendência, acentua-se o interesse pelo desenvolvimento de métodos e
algoritmos que forneçam informações sobre as margens de segurança com relação à
2
estabilidade angular e de tensão. Desse modo, tempos críticos de abertura e margens de
segurança são informações importantes no planejamento, operação e coordenação das
proteções de sistemas elétricos de potência.
1.2 Escopo do trabalho
Este trabalho trata do desenvolvimento de novas ferramentas analíticas e computacionais
para a avaliação da segurança transitória e estática da operação de sistemas elétricos de
potência. Para tanto são enfatizados os fenômenos de Estabilidade Transitória Angular (ETA)
e o da Estabilidade Estática de Tensão (EET). O primeiro fenômeno está relacionado com a
perda ou não do sincronismo entre os diversos geradores síncronos. Na ocorrência de grandes
perturbações no sistema, tais como curtos-circuitos com ou sem abertura de linhas, perda de
linhas e/ou transformadores, entrada e/ou saída de grande blocos de geração e/ou cargas,
intensos estudos são necessários para investigar a existência ou não de um novo ponto de
operação estável. A perda de sincronismo entre os geradores compromete a operação dos
sistemas e pode provocar sérios danos ao eixo das máquinas se estas não forem desligadas. O
segundo fenômeno, em geral de evolução lenta e gradual, está fortemente ligado às cargas e
produz, como efeito, a diminuição progressiva das tensões em determinadas barras. De acordo
com a seqüência de eventos, a instabilidade de tensão pode iniciar um colapso sistêmico,
envolvendo desligamento de geradores, transformadores, linhas, compensadores de reativos e
outros componentes do sistema.
O tema Estabilidade Transitória Angular é abordado com base em um novo enfoque para
o conceito de coerência entre geradores. Através disso, são calculados os tempos críticos de
abertura e as margens de segurança dos sistemas elétricos de potência. Os resultados são
comparados com aqueles obtidos pela simulação numérica no domínio do tempo e o Método
Direto de Lyapunov. A técnica desenvolvida tem um tempo de processamento muito rápido, e
os resultados podem ser utilizados na seleção de contingências críticas tanto no planejamento
da expansão e operação como também na operação em tempo real dos sistemas elétricos de
potência.
No contexto da Estabilidade Estática de Tensão, desenvolve-se uma metodologia para
determinar as regiões no plano P-Q com tensões operacionais adequadas. As barras são
ordenadas segundo o seu grau de severidade, determinado por meio de um Índice de
Estabilidade de Tensão (IET) calculado com base em um sistema elétrico equivalente. Com
isto, as áreas críticas são identificadas e o número de barras a serem analisadas é reduzido.
3
1.3 Objetivos da Tese
No contexto dos temas Estabilidade Transitória Angular e Estabilidade Estática de
Tensão de sistemas elétricos de potência, este trabalho tem como objetivos gerais desenvolver
métodos analíticos e computacionais para:
(i) calcular os tempos críticos e as margens de segurança da operação, ordenando as
contingências segundo o seu grau de severidade;
(ii) determinar as regiões e sub-regiões de operação no plano P-Q, considerando os limites de
estabilidade de tensão.
Os objetivos específicos relacionados à Estabilidade Transitória Angular são:
● desenvolver um método analítico e computacional baseado no conceito de coerência,
redução de redes, equivalentes eletromecânicos e o Critério das Áreas Iguais (CAI);
● identificar grupos coerentes de geradores, partindo-se da premissa de que é necessário
observar as trajetórias aproximadas do sistema no período durante e pós-falta, com um tempo
de abertura na vizinhança do seu valor crítico;
● desenvolver uma técnica de redução de rede visando transformar dois grupos críticos de
geradores coerentes em dois subsistemas equivalentes e estes, a um Equivalente Máquina-
Barra Infinita (EMBI);
● calcular os tempos críticos de abertura e as margens de segurança com o auxílio do CAI;
● ordenar as contingências segundo o seu grau de severidade de acordo com a margem de
segurança normalizada;
● definir, de acordo com o tipo de proteção principal das linhas de transmissão, um grau de
prioridade, segundo o qual as contingências poderão ser estudadas por meio de modelos
dinâmicos mais detalhados.
Como objetivos específicos com relação à Estabilidade Estática de Tensão, esta Tese
visa:
● desenvolver um método analítico e computacional para a análise de estabilidade estática de
tensão no plano P-Q;
● desenvolver e mostrar exemplos de aplicação de um IET deduzido para um sistema simples
de duas barras;
● utilizar este índice em sistemas com n-barras através de uma técnica de redução de rede;
● empregar este índice para identificar o grau de severidade das barras, bem com identificar
as regiões críticas com tendência ao colapso de tensão;
4
● analisar, no plano P-Q, as barras mais críticas, que se encontram nas áreas vulneráveis ao
colapso de tensão.
1.4 Contribuições da Tese
No contexto do tema Estabilidade Transitória Angular, a principal contribuição da Tese
com relação a outros trabalhos similares, que utilizam o conceito de coerência e equivalentes
eletromecânicos, relaciona-se com um novo conceito de coerência, visando à confiabilidade
dos resultados bem como à detecção de grupos coerentes incorretos. Isto é possível com um
pequeno acréscimo no processamento computacional utilizado pelo método proposto para a
formação dos grupos coerentes de geradores.
Deste modo, a falha na consistência dos resultados é detectada de duas maneiras:
(i) quando há a convergência no processo da solução numérica da equação algébrica não-
linear equivalente envolvida, resultando em um ângulo crítico que corresponde a um tempo
crítico de abertura fora do intervalo de tempo esperado. Se isto ocorrer, o programa não
calcula as margens de segurança. Este é um caso em que os grupos coerentes formados estão
incorretos, mas próximos de um agrupamento aceitável;
(ii) quando não há a convergência para o ângulo crítico, na procura da solução da equação
algébrica não-linear equivalente resultante. Neste caso, um agrupamento de geradores
incorreto é detectado e não há significado físico nas equações de potência elétrica resultantes.
Além disso, o método proposto tem a capacidade de:
● identificar os casos mais críticos com suas respectivas margens de segurança. Com isso,
consegue-se reduzir o número de contingências a serem analisadas por meio de uma
modelagem detalhada dos componentes da rede;
● estabelecer, a partir da ordem de severidade, um grau de prioridade para cada contingência
de modo a realizar estudos detalhados de acordo com os tempos de operação das proteções
principais das linhas envolvidas.
É importante salientar que, quando o método proposto for usado no planejamento da
expansão, os resultados obtidos com o modelo clássico simplificado adotado são suficientes
para estudos comparativos preliminares de tomadas de decisões sobre alternativas de projeto.
O processo é automático, sem a necessidade da ações “off-line”. Nas aplicações do método
proposto para o planejamento da operação e operação “on-line”, há a necessidade da
interferência de especialistas e operadores principalmente para realizar a análise detalhada dos
casos críticos selecionados.
5
Com relação à Estabilidade Estática de Tensão, as principais contribuições são:
● desenvolvimento de um método analítico com um novo equacionamento para o cálculo da
tensão e potência ativa e reativa críticas aplicado em um sistema de potência com duas barras;
● utilização do método analítico como referência para desenvolver um programa
computacional para sistemas de grande porte, capaz de realizar estudos de estabilidade
estática de tensão no plano P-Q. Com isso, um novo recurso de análise é proposto,
relacionado com a obtenção de regiões e sub-regiões de operação para as cargas, semelhante
ao que é feito com as curvas de capacidade de geradores;
● obtenção de um IET e, através deste, em um processo de redução de rede, determinar-se as
barras e áreas críticas mais vulneráveis ou com tendência ao colapso de tensão. Com isso,
poucas barras são selecionadas para serem analisadas no plano P-Q;
● aplicação do IET em sistemas de potência com n-barras para determinar a margem de
segurança estática de cada barra para cada estado de equilíbrio. A determinação destas
margens é muito útil e deve preceder os estudos de estabilidade transitória angular, que visam
principalmente ao planejamento da expansão e a operação dos sistemas elétricos de potência.
1.5 Revisão da literatura
A Estabilidade Transitória Angular é um dos fenômenos mais importantes e complexos
que ocorrem nos sistemas elétricos de potência. A manutenção do sincronismo entre os
diversos geradores de um sistema torna-se cada vez mais difícil, principalmente devido ao
crescimento das interconexões. Grandes perturbações modificam de maneira significativa o
estado operacional dos sistemas elétricos, resultando em oscilações eletromecânicas entre os
rotores dos geradores. A representação do comportamento dinâmico destes geradores é
complexa e, em estudos de estabilidade transitória, é feita por um sistema de equações
diferenciais ordinárias com restrições algébricas. Estas equações diferenciais e algébricas
podem ser escritas como (STOTT,1979; DECKER et al., 1992):
),( xyfy
=
&
(1.1)
),(0 xyg
=
(1.2)
Onde:
f = Função vetorial que representa equações diferenciais;
6
g = Função vetorial que representa equações algébricas não-lineares;
y = Vetor das variáveis de estado associadas às máquinas síncronas, máquinas primárias e
controladores dinâmicos;
x = Vetor das variáveis de estado associadas às equações algébricas.
A equação (1.1) representa as equações diferenciais das máquinas que têm restrições
algébricas impostas pelas condições operacionais do sistema definidas na equação (1.2).
A equação (1.1) pode ainda ser escrita na seguinte forma:
BuAyuyfy
+
=
=
),(
&
(1.3)
Onde:
A = Matriz quadrada real esparsa com diagonal em blocos de submatrizes, cada um associado
a uma máquina;
B = Matriz retangular real esparsa em blocos de submatrizes, cada um associado a uma
máquina;
u = Variável de interface que representa um subconjunto das variáveis de estado x que
aparecem na equação (1.1).
A equação algébrica (1.2) pode ser subdividida em duas partes:
[
]
[
]
VYVEI =),(
(1.4)
),( VEhu
=
(1.5)
Onde:
I = Vetor de injeção de correntes nodais;
E = Subvetor das variáveis de estado y que aparecem na equação (1.2) necessárias para o
cálculo das correntes injetadas nas barras de geração;
Y = Matriz quadrada de admitância nodal;
V = Vetor das tensões nodais que representam o comportamento do sistema em regime
permanente;
h = Função vetorial não-linear.
7
O estudo de estabilidade transitória consiste na solução numérica simultânea das
equações (1.3), (1.4) e (1.5), por um período em geral de 5 a 10 segundos, considerando
vários tempos de abertura para cada curto-circuito e cada estado de operação. Devido às não-
linearidades envolvidas, salvo casos extremante simples, não existem meios de se encontrar
soluções analíticas explícitas para este sistema de equações. Os métodos numéricos
computacionais utilizados são muito flexíveis e permitem a representação de sofisticados
modelos e controles de máquinas. Apesar do grande progresso na velocidade dos
computadores atuais, o tempo de simulação envolvido é ainda muito grande. Além disso,
estes métodos precisam da análise de resultados “off-line” que dependem da experiência dos
operadores, disponibilizando apenas informações qualitativas tipo “sim” ou “não” sobre a
estabilidade, não fornecendo as margens de segurança e as ações de controle a serem tomadas.
Índices ou margens de estabilidade transitória são indicadores importantes, pois
permitem quantificar o grau de segurança de cada estado operacional de um sistema. Através
destes recursos é possível se tomar ações preventivas e/ou corretivas no planejamento da
expansão e da operação, bem como na operação em tempo real de sistemas elétricos de
potência. A busca por estes indicadores, aliada à inexistência de programas computacionais
em uso que possuam todas estas potencialidades, tem despertado o interesse de muitos
pesquisadores nas últimas décadas, entre estes, (BETTIOL et al., 1997; ERNST et al., 2001;
FERREIRA et al., 2002; HAQUE, 1996; MARIA et al., 1990; PAVELLA et al., 2000; RUIZ-
VEGA et al., 2003; XUE et al., 1988).
Uma metodologia bastante difundida no meio acadêmico visando à obtenção de índices
ou margens de segurança é a que utiliza a redução do sistema original por meio de
equivalentes eletromecânicos. A principal linha de pesquisa envolvendo técnicas de redução
de rede baseia-se no conceito de coerência entre geradores (GHAFURIAN & BERG, 1982;
HAQUE, 1991; SOUZA & SILVA, 1992). A maioria dos curtos-circuitos com abertura de
linhas de transmissão produzem trajetórias no domínio do tempo que resultam na separação
dos geradores do sistema em dois grupos, e os esforços concentram-se na determinação destes
grupos críticos. Em um curto-circuito, os geradores eletricamente mais próximos do defeito
são os mais afetados e, freqüentemente, os responsáveis pela instabilidade da primeira
oscilação e formação de grupos críticos. O principal obstáculo é a identificação destes grupos
críticos com o menor tempo de processamento. Se dois grupos coerentes estiverem claramente
definidos, o CAI pode ser aplicado, desde que seja feita a redução do sistema original a um
EMBI (HAQUE, 1994; PAVELLA et al., 2000; XUE, 1989 e 1993; ZHIDONG, 1993). Este é
8
um método analítico, muito rápido e fornece condições suficientes e necessárias de
estabilidade.
Alguns métodos e procedimentos adotados na identificação de grupos coerentes visando
à sua aplicação ao EMBI, ou para fins de redução do número de máquinas, são apresentados
na literatura. A solução no domínio do tempo das equações diferenciais linearizadas é
utilizada por SOUZA & SILVA (1992). Os autores inferem que a coerência depende pouco
do tamanho da perturbação e do detalhamento do modelo de máquina considerado. Este é um
procedimento similar ao apresentado por PODMORE (1978), porém, na identificação de
grupos coerentes, os autores não utilizaram o critério do desvio dos ângulos dos rotores e sim
o do desvio da velocidade angular. BRETAS & ALBERTO (2000) utilizaram uma
metodologia que não necessita da linearização e solução das equações diferenciais. Segundo
os autores, os resultados independem da trajetória do sistema e podem ser usados tanto para
estabilidade transitória como para obter informações sobre a localização dos pontos de
equilíbrio instáveis, de grande interesse nos métodos que utilizam a função energia como
função de Lyapunov. SPALDING et al. (1977) calculam os pontos pré-falta de equilíbrio
estável e pós-falta de equilíbrio instável. Neste caso, há necessidade de se obter a solução de
um sistema de equações algébricas não-lineares. HAQUE (1990 e1991) usou a função energia
como função de Lyapunov avaliada nos pontos pós-falta de equilíbrio instáveis aproximados e
ângulos dos rotores durante a falta. Em uma segunda metodologia, índices são obtidos com
base em uma combinação da dinâmica do sistema pré-falta, durante falta, pontos pós-falta de
equilíbrio instáveis e uma medida de admitância ou distância elétrica entre geradores. Em
XUE (1993), foram identificados os grupos críticos por meio da observação de trajetórias
próximas do tempo crítico e seu comportamento em torno do ponto de equilíbrio instável.
JONSSON et al. (2004) determinaram a coerência para aplicações em tempo real, tomando a
medida de velocidade angular do eixo dos geradores combinadas com análise de Fourier.
WANG & CHANG (1994) consideram os desvios de velocidade em três instantes do período
pós-falta, sendo a coerência determinada por meio das técnicas de redes neurais. A energia
cinética, a aceleração das máquinas (DA-ZHONG et al., 1994) e a taxa de variação de energia
cinética (RUDNICK et al., 1981) também já foram usadas como métodos de identificação de
grupos coerentes.
Todos estes procedimentos podem ser agrupados em duas categorias com as seguintes
características:
9
(i) métodos que utilizam a solução numérica no domínio do tempo, com ou sem linearização,
ganham na precisão dos resultados, mas perdem no tempo de processamento e em geral não
são adequados para aplicação em tempo real;
(ii) métodos diretos que usam a função energia como função de Lyapunov e pontos de
equilíbrio economizam tempo de processamento, possuem uma tendência para resultados
conservativos, mas possibilitam aplicações em tempo real.
Todas as técnicas que necessitam calcular pontos pós-falta de equilíbrio instáveis podem
ter problemas de convergência, especialmente em sistemas muito carregados. A procura pelo
ponto de equilíbrio instável de interesse não é trivial e há muitos casos em que a solução não
corresponde ao ponto de equilíbrio instável de interesse.
A Estabilidade de Tensão é um fenômeno que despertou o interesse de pesquisadores em
época mais recente que a estabilidade angular. No cenário mundial, inúmeros incidentes com
colapsos de tensão e desligamentos em cascata foram registrados, inclusive no Brasil
(TAYLOR, 1994). No ano de 2003, dois grandes blecautes chamaram a atenção para a
segurança da operação dos sistemas elétricos. O primeiro ocorreu em agosto de 2003, nos
Estados Unidos e Canadá, causado por um problema na linha de transmissão Niagara-
Mohawk entre os dois países (US-Canada Power System Outage Task Force, 2004). Isso
atingiu cerca de 13 cidades dos Estados Unidos e Canadá, totalizando um corte de 61,8 GW e
afetando cerca de 50 milhões de pessoas. O segundo ocorreu em setembro de 2003, na Itália, e
foi considerado o maior na história daquele país. A perda de uma linha de transmissão na
Suíça sobrecarregou as linhas de transmissão que vêm da França e provocou o desligamento
de todo o sistema italiano. O corte de energia atingiu toda a Itália, exceto a Sardenha, e afetou
mais de 50 milhões de pessoas. Aqui no Brasil, entre os diversos incidentes envolvendo
instabilidade de tensão, destacam-se os apresentados na Tabela 1.1 (LIMA et al., 2004).
Tabela 1.1 - Principais Incidentes de Instabilidade de Tensão no Brasil - 1994-2002
Data Local de Origem do Incidente Regiões Atingidas
13 de dezembro de
1994
Subestação Conversora de Ibiúna Itaipu e a Região Sudeste
26 de março de
1996
Usina Hidroelétrica de Furnas Estado de Minas Gerais, Goiás e Brasília
24 e 25 de abril de
1997
Afundamento da tensão na região da
grande São Paulo
Maior parte do Sistema Interligado
Sul/Sudeste/Centro-Oeste
11 de março de
1999
Subestação de Bauru 72% da Carga do Sistema Interligado
Sul/Sudeste/Centro-Oeste
16 de maio de
1999
Subestação Itumbiara Estado de Goiás, Brasília, Mato Grosso e Sul do
Tocantins
21 de janeiro de
2002
Linha de Transmissão Ilha Solteira -
Araraquara
72% da Carga do Sistema Interligado
Sul/Sudeste/Centro-Oeste
10
Todos esses incidentes estavam associados a um cenário com grandes oscilações de
potência, com flutuações de tensão e freqüência que estão ligadas ao esgotamento da
capacidade de suprimento de potência reativa dos sistemas. Este é um fenômeno que inicia de
forma localizada, espalhando-se de forma progressiva para as barras vizinhas e provocando o
desligamento em cascata de linhas, transformadores e geradores pelos relés de proteção, em
especial os relés de subtensão (ANSI-27) e de freqüência (ANSI-81).
Trata-se, na verdade, de um fenômeno dinâmico, que rigorosamente deve ser estudado
com técnicas não-lineares de simulação no domínio do tempo, semelhante ao que é feito em
Estabilidade Transitória Angular. As equações que descrevem o comportamento dinâmico do
sistema são modeladas por um conjunto de n equações diferenciais com restrições de m
equações algébricas não-lineares descritas em (VAN CUTSEM & VOURNAS, 1998;
HUANG et al., 2002):
),,( pxyfy
=
&
(1.6)
),,(0 pxyg
=
(1.7)
Com
kmn
PpXxYy ℜ⊂∈ℜ⊂∈ℜ⊂∈ ,,
Onde y é o vetor das n variáveis de estado dinâmicas da equação (1.6), x é o vetor das m
variáveis de estado das equações algébricas não-lineares (1.7) e p são os k parâmetros
variáveis associados à configuração do sistema e suas condições de operação. Em sistemas
elétricos de potência, as variáveis de estado são as tensões dos geradores, que, de acordo com
o modelo utilizado, podem ser de regime subtransitório ou transitório, as variáveis do rotor
como posição angular e velocidade, as variáveis do sistema de excitação, controle de
velocidade, e, em alguns casos, a dinâmica do comportamento da carga também pode ser
considerada. As variáveis associadas ao fluxo de potência são os valores instantâneos das
tensões e ângulos das barras de carga. A dinâmica das máquinas, reguladores de tensão e
velocidade, dinâmica da carga e demais dispositivos de controle são representados na equação
(1.6). As equações de fluxo de potência estão representadas na equação (1.7).
Através da solução numérica simultânea deste sistema de equações, é possível se
reproduzir a cronologia dos eventos, sem dúvida muito útil na análise de ocorrências, no
ajuste e coordenação de proteções e para projeto de controles automáticos. No entanto, para
isso, necessita-se de um volume muito grande de informações e dados nem sempre
disponíveis, associado a um excessivo tempo computacional gasto nas simulações que devem
11
ser feitas por dezenas de segundos ou até alguns minutos. Além disso, fica mais difícil
quantificar e indicar diretamente as margens de estabilidade em barras ou regiões críticas. Por
essas razões, principalmente para estudos em grandes sistemas, as técnicas de análise estática
têm sido mais utilizadas e difundidas no meio acadêmico e nas empresas do setor elétrico.
Se admitirmos que toda a dinâmica do sistema se dissipou e que todas as ações de
controle possíveis já foram realizadas, as equações algébricas não-lineares do fluxo de
potência constituem o ponto de partida para a análise estática de estabilidade de tensão. A
existência de soluções com bifurcações tipo sela-nó nestas equações indica a aproximação do
ponto de colapso do sistema. Estas bifurcações ocorrem quando o sistema se aproxima do
ponto de colapso e um pequeno acréscimo de carga ultrapassa o limite estático de estabilidade
de tensão, desaparecendo o último ponto de equilíbrio estável, (VENIKOV et al., 1975;
KWATNY et al., 1986; CHIANG et al., 1990; DOBSON & LU, 1993). A inexistência de
solução para estas equações indica que o sistema não tem condições físicas de atender a certo
perfil de carregamento. Mudanças no despacho de geração, topologia de rede e compensação
de reativos são então necessárias para que exista um novo e seguro estado de operação. O
traçado das curvas P-V, através do Fluxo de Potência Continuado (FPC), com a
parametrização do crescimento da carga na região próxima do colapso onde ocorre a
singularidade da matriz Jacobiana, permitem encontrar o ponto onde uma bifurcação tipo sela-
nó ocorre (AJJARAPU, 1992).
Estudos de estabilidade estática de tensão têm sido historicamente realizados com o
auxílio das curvas P-V e Q-V, existindo inclusive algumas publicações importantes que
abordam este assunto, entre as quais (KUNDUR, 2004; VAN CUTSEM & VOURNAS, 1998;
TAYLOR, 1994). Essas curvas são muito práticas e fornecem informações importantes como
máximo carregamento, limites de intercâmbio entre áreas, alocação ótima de reativos, pontos
de estrangulamento e margens de segurança.
A análise de estabilidade estática de tensão fornece o ponto de máximo carregamento do
sistema, condição na qual ocorre um mau condicionamento ou singularidade na matriz
Jacobiana utilizada no processo de solução do fluxo de potência. Esta condição ocorre em
sistemas em que se aplica um aumento gradual na carga e a solução converge para um ponto
de operação especial. Este é o ponto de máximo carregamento, e para maiores valores de
carga, não existe solução real para as equações de fluxo de potência. A distância em MW de
um particular estado de operação até o ponto de carregamento máximo permite que se avalie o
seu grau de segurança.
12
O grande problema, em sistemas de potência com elevado número de barras, é
determinar quais são os pontos mais vulneráveis ou as áreas com tendência ao colapso de
tensão. Existem diversas publicações relacionadas a este tema com diferentes enfoques. Na
sua maioria, estas tratam da busca por índices para barras ou linhas de modo a identificar as
áreas ou caminhos críticos. MOGHAVVEMI & FARUQUE (1998 e 1999) propuseram um
Índice de Estabilidade de Tensão derivado a partir de um sistema com duas barras. O índice é
aplicado a cada linha do sistema de modo a identificar o ponto ou a área vulnerável ao colapso
de tensão. JASMON et al. (1991) apresentaram uma técnica em que avaliam a estabilidade de
tensão de sistemas elétricos através da redução deste a uma única linha equivalente. A
representação dos parâmetros desta linha é obtida através dos resultados do próprio fluxo de
potência. HAQUE (1995) apresentou um método para identificar o máximo carregamento de
um sistema baseado no teorema de Thévenin. MOHM et al. (2002 e 2006) e ZAMBRONI DE
SOUZA et al. (2000 e 2003) exploraram a técnica do monitoramento da norma do vetor
tangente na identificação de barras e áreas críticas. Essa é a técnica utilizada no programa
ANAREDE
®
(CEPEL-ELETROBRÁS, 2003) para realizar estudos de estabilidade de tensão
no Sistema Interligado Nacional (SIN). Mais recentemente, KOESSLER et al. (2007)
apresentaram um artigo dando ênfase ao uso simultâneo de um fluxo de potência ótimo em
regime permanente, complementado por ferramentas de simulação a curto e longo prazo para
com isso identificar os locais adequados para se aplicar esquemas de alívio de carga.
Uma técnica promissora na análise de estabilidade estática de tensão é aquela em que as
barras críticas e as regiões críticas com tendência ao colapso de tensão são identificadas. Isso
pode ser feito sem a redução da rede (BALAMOUROUGAN et al., 2004) ou com a redução
de rede (HAQUE, 2003).
O Estado da Arte em estabilidade de tensão e freqüência está representado na literatura
pelos métodos e técnicas que utilizam medição fasorial sincronizada como no trabalho
apresentado por DECKER et al. (2006), no qual é desenvolvido um protótipo para monitorar a
freqüência e a tensão sob condições normais e de perturbação no sistema Sul Brasileiro.
GONG et al. (2006) deduziram um Índice de Estabilidade de Tensão-IET de maneira similar
ao inúmeros outros índices já apresentados, ou seja, a partir das equações estáticas de fluxo de
potência. Estes utilizam uma técnica de redução de rede que transforma o sistema em uma
única fonte e impedância equivalente em cujo terminal se conecta a carga a ser analisada
quanto à estabilidade de tensão. Através do IET, determinam a barra mais vulnerável ao
colapso de tensão. Os autores sugerem uma possível aplicação on-line, com o uso da medição
fasorial sincronizada através de medições das tensões e potências.
13
1.6 Organização da Tese
O Capítulo 2 trata dos fundamentos de estabilidade transitória angular, aplicada em
sistemas simples com 2 barras. É dada ênfase à interpretação física e matemática do CAI.
No Capítulo 3, desenvolve-se uma metodologia para o agrupamento de geradores
coerentes, associada a um processo de redução de rede. Utiliza-se um sistema elétrico de 3
geradores como caso base para a compreensão da metodologia desenvolvida.
No Capítulo 4, apresenta-se estudo de casos, incluindo o sistema CIGRÉ e uma possível
configuração do sistema elétrico de potência real da Região Sul do Brasil. Faz-se uma análise
comparativa entre os resultados do método proposto com os métodos diretos que utilizam a
função energia como função de Lyapunov. No sistema de potência real da Região Sul,
considera-se hipoteticamente a participação de significativa parcela de geração eólica,
aplicando-se assim o método desenvolvido e verificando-se o impacto nas margens de
segurança de operação.
O Capítulo 5 trata dos fundamentos de estabilidade estática de tensão com ênfase ao
equacionamento e análise no plano P-V e Q-V. Deduz-se um IET, com exemplos de sua
aplicação apresentados no Apêndice B.
No Capítulo 6, desenvolve-se um método analítico e computacional para análise de
estabilidade de tensão no plano P-Q. Utiliza-se um processo de redução de rede, o qual
transforma o sistema original em um equivalente com duas barras. O equivalente é
representado por uma fonte e uma impedância onde é colocada a carga real da barra a ser
analisada. Com isto, é possível aplicar o IET já deduzido para um sistema equivalente com
dois terminais.
No Capítulo 7, apresentam-se os estudos de estabilidade de tensão realizados em
sistemas de distribuição com inserção de geração eólica. Um sistema elétrico real pertencente
à CEEE-D, considerando-se as conexões futuras de fazendas eólicas, em Santa Vitória do
Palmar, Jaguarão e Dom Pedrito é analisado.
No Capítulo 8, são apresentadas as conclusões.
Nos Apêndices A, B e C, são apresentados exemplos elucidativos clássicos de
estabilidade angular e de tensão, além das Tabelas com os dados completos de todos os
sistemas estudados.
2 FUNDAMENTOS DE ESTABILIDADE ANGULAR
2.1 Introdução
A Estabilidade Transitória Angular trata do estudo do fenômeno de oscilações
eletromecânicas que ocorrem entre os rotores das máquinas síncronas quando sujeitas a
perturbações transitórias. A natureza destas perturbações e sua ordem de grandeza
determinam o modo com que se deve abordar o problema. Pequenas variações da geração
e/ou carga produzem ligeiras mudanças em torno de um ponto de operação e permitem a
representação da dinâmica do sistema por um conjunto de equações diferenciais lineares, que
podem ser analisadas usando-se técnicas da teoria dos sistemas lineares que utilizam
autovalores, autovetores, etc.
Grandes perturbações como curtos-circuitos, com ou sem retirada de linhas,
desligamento de linhas e/ou transformadores, entrada e/ou saída de grandes blocos de geração
e/ou carga, produzem fenômenos oscilatórios com grandes excursões nas variáveis de estado.
Com variações tão significativas, as não-linearidades envolvidas não podem ser
desconsideradas. Tratando-se de ETA, a questão é saber se o sistema, após a ocorrência de
uma grande perturbação, encontra um novo ponto de operação e se este é estável. Investiga-
se, então, se haverá ou não a manutenção do sincronismo entre as máquinas durante o
transitório envolvido. A solução do conjunto de equações diferenciais não-lineares que
descrevem o sistema é normalmente feita nas empresas do setor elétrico através de técnicas
digitais envolvendo integração numérica e análise de curvas.
2.2 Estabilidade angular em sistemas elétricos de potência
Para uma melhor compreensão do fenômeno a ser estudado, será considerado
inicialmente um sistema de potência simples com duas máquinas finitas interligadas por um
sistema de transmissão. As equações de potência elétrica serão deduzidas e algumas
simplificações serão feitas.
2.2.1 Equações de potência elétrica em um sistema elétrico com duas máquinas
Considere o sistema de dois geradores interligados por uma linha de transmissão,
mostrado na Figura 2.1.
15
Figura 2.1 Sistema elétrico de potência com duas máquinas.
Na Figura 2.1 têm-se:
=
21
,
ee
SS Grandezas complexas que representam as potências elétricas aparentes injetadas na
rede em [p.u.];
=
21
,
mm
PP Potências mecânicas da máquinas primárias em [p.u.];
=
21
,MM
Constantes de inércia em [p.u.s
2
/rad];
=
4321
,,, VVVV Módulos dos fasores das tensões de operação nas barras em [p.u.];
=θθθθ
4321
,,, Ângulos dos fasores das tensões nas barras em [rad];
=
43
,
DD
SS Grandezas complexas que representam as demandas aparentes das cargas em
[p.u.];
=
403034
,, yyz Grandezas complexas que representam a impedância série e admitâncias
capacitivas da linha de transmissão em [p.u.];
=
′
=
′
21
dd
XX Reatâncias transitórias de eixo direto das máquinas síncronas em [p.u.];
T
1
, T
2
= Transformadores.
As equações de potências elétricas aparentes injetadas na rede podem ser escritas a partir
de um modelo reduzido da rede. Isso pode ser feito eliminando-se todas as barras que não
estão associadas à nenhum tipo de geração. Com a redução às barras internas de geração, o
sistema original pode ser representado por um sistema simplificado reduzido como mostrado
na Figura 2.2. Qualquer sistema reduzido às suas barras internas, deve apresentar somente
uma conexão direta entre cada par de máquinas.
16
Figura 2.2 – Sistema reduzido às barras internas de geração.
Na Figura 2.2 tem-se:
=
21
,EE
Módulo dos fasores das tensões internas em [p.u.];
=δδ
21
,
Ângulos internos dos fasores das tensões internas das máquinas em [rad];
=
201012
,, yyy Grandezas complexas que representam as admitâncias primitivas da rede
reduzida em [p.u.].
As equações que relacionam tensões e correntes na Figura 2.2 podem ser escritas na sua
forma matricial, ou seja:
=
2
1
2221
1211
2
1
E
E
YY
YY
I
I
r
r
r
r
(2.1)
Onde:
=
21
,
II
r
r
Fasores das correntes injetadas na rede;
=
21
,
EE
r
r
Fasores das tensões nas barras.
Os elementos da matriz
Y
BUS
reduzida são:
111111
θ∠=YY
;
121212
θ∠=YY
;
212121
θ∠=YY
;
222222
θ∠=YY
.
A potência elétrica aparente injetada na barra 1 da rede é dada por:
∗
=+=
11111
IEjQPS
eee
r
r
(2.2)
Colocando-se o valor de
1
I
r
da equação (2.1) em (2.2) obtém-se:
17
[
]
∗
+=
21211111
EYEYES
e
r
r
r
(2.3)
[
]
∗
δ∠θ∠+δ∠θ∠δ∠= ))(())((
221212111111111
EYEYES
e
(2.4)
Devido à forte interação existente entre a potência ativa injetada e a posição angular do rotor,
somente a potência elétrica ativa será considerada na equação (2.4), logo:
[
]
)(coscos
211212211111
2
11
δ−δ−θ+θ= YEEYEP
e
(2.5)
A primeira parcela da equação (2.5) é a potência elétrica equivalente consumida na barra 1 e a
segunda parcela é a potência elétrica transferida da barra 1 para a barra 2.
De maneira similar, a equação que determina a potência elétrica injetada pela máquina 2 é:
[
]
)(coscos
122121122222
2
22
δ−δ−θ+θ= YEEYEP
e
(2.6)
A partir das equações (2.5) e (2.6), obtêm-se as equações para um sistema elétrico com
n
-
máquinas, ou seja:
[
]
∑
≠
=
δ−δ−θ+θ=
n
ij
j
jiijijjiiiiiiei
YEEYEP
1
2
)(coscos (2.7)
Com i = 1,
n
Nas equações (2.5) e (2.6), serão consideradas as seguintes hipóteses simplificadoras:
(i) A rede elétrica é considerada puramente reativa.
Para a equação (2.5), tem-se:
2
2
1211
π
+=θ
π
−=θ e
Logo:
18
)()(
2
cos
2112212112211
δ−δ=
δ−δ−
π
= senYEEYEEP
e
(2.8)
De maneira similar para a equação (2.6):
11221122
)(
ee
PsenYEEP −=δ−δ= (2.9)
Como não há consumo de potência ativa no modelo de rede adotado, percebe-se que, nas
equações (2.8) e (2.9), as posições angulares das duas máquinas, avanço ou atraso, definem
quem irá operar como gerador ou motor, respectivamente.
(ii) A rede elétrica é considerada puramente reativa, com a máquina 2 representada por uma
barra infinita.
Neste caso, a máquina 2 é representada por um sistema cuja freqüência e tensão
permanecem constantes durante uma perturbação. Isto equivale a dizer que a máquina 2 tem
reatância nula e constante de inércia infinita. Tem-se uma configuração Máquina-Barra
Infinita e a máquina 2 pode ser usada como referência, então:
1mm
PP = ;
1
MM =
;
EE =
1
;
δ=δ
1
;
VE =
2
;
0
2
=δ
; e
ee
PP =
1
.
Assim, a rede elétrica pode ser simplificada em um EMBI, conforme mostrado na Figura 2.3.
Figura 2.3 – Sistema Máquina-Barra Infinita.
A equação de potência elétrica (2.8) é então escrita na sua forma mais simples:
δ=δ=δ= senPsen
X
EV
senEVYP
emáxe
12
12
(2.10)
19
Na equação (2.10), a potência elétrica ativa, que pode ser transmitida da máquina 1 à
barra infinita, depende principalmente do número de circuitos de transmissão e da posição
angular do rotor. Para grandes perturbações, o efeito das tensões é pouco significativo, devido
aos limites impostos pela corrente de excitação das máquinas síncronas.
2.3 Estabilidade transitória em sistemas Máquina-Barra Infinita
As simplificações realizadas na seção anterior, onde um sistema elétrico com dois
geradores é transformado em um EMBI, permitem, sem nenhum prejuízo, uma compreensão
física do fenômeno da estabilidade transitória. A Figura 2.4 mostra um sistema onde uma
máquina finita é conectada através de linhas de transmissão a uma barra infinita.
Figura 2.4 – Sistema Máquina-Barra-Infinita.
2.3.1
A equação de oscilação para um sistema Máquina-Barra Infinita
Desconsiderando-se os conjugados de amortecimento, as equações que representam a
dinâmica da máquina síncrona são assim escritas:
ω=ω−ω=
δ
~
)(
s
t
dt
d
(2.11)
aem
PPP
dt
d
M =−=
δ
2
2
(2.12)
Onde:
=
π
=
s
f
H
M Constante de inércia em [p.u.s
2
/rad];
=
H
Constante de inércia em [p.u.s];
s
f
= Freqüência síncrona em [rad/s];
20
ω=
δ
~
dt
d
= Desvio de velocidade com relação a um eixo que gira à velocidade síncrona em
[rad/s];
=
ω
)(
t
Velocidade angular instantânea em [rad/s];
=ω
s
Velocidade angular síncrona em [rad/s];
=
m
P
Potência mecânica da máquina primária em [p.u.];
=
e
P
Potência elétrica entregue à barra infinita em [p.u.];
=
a
P
Potência acelerante em [p.u.].
Em condições normais de operação, a potência mecânica fornecida pela máquina
primária através do seu eixo é transformada em energia elétrica pelo gerador e entregue à rede
elétrica. Desconsiderando-se as perdas por atrito e ventilação, entre outras, tem-se
P
m
=
P
e
e
não há potência acelerante. Na verdade, há pequenos esforços torsionais devido às oscilações
dinâmicas provocadas por variações da freqüência e da carga em torno do ponto normal de
operação. Quando ocorrer um grande desequilíbrio, como o provocado por um curto-circuito
com ou sem abertura de linha, perda de linha ou transformador, entrada e/ou saída de grandes
blocos de geração ou carga, a parte de energia que sobra ou falta se transforma em potência
acelerante ou desacelerante. Neste caso
P
a
=
P
m
–
P
e
≠
0. Isto ocorre devido às mudanças
bruscas que ocorrem na potência elétrica de saída
P
e
.
2.3.2
Solução da equação de oscilação
Devido à natureza não-linear da potência elétrica de saída dada pela equação (2.10),
mesmo na forma mais simples aqui representada, a equação (2.12) é uma equação diferencial
ordinária não-linear. Não existe uma solução explícita para esta equação exceto para o caso de
um curto-circuito trifásico com impedância de falta nula na barra 3 da Figura 2.4 para o
qual 0
=
e
P
. A busca pelo tempo crítico de abertura dos disjuntores deve ser realizada através
de métodos numéricos, considerando-se os períodos durante e pós-falta. O tempo máximo em
que um curto-circuito pode permanecer sem comprometer o sincronismo de um sistema
Máquina-Barra Infinita envolve a solução numérica da equação (2.12), bem como a análise
das curvas
δ
=
f(t)
para diversos tempos de abertura. Uma vez obtido o ponto inicial de
operação, a solução numérica deve considerar todos os pontos de descontinuidade na potência
acelerante. A solução numérica que começa em
t
0+,
passa pelo tempo de abertura
t
abertura
e
21
deve prosseguir até o tempo máximo de simulação. No caso do sistema Máquina-Barra
Infinita, um tempo de simulação de 1 segundo é suficiente. A decisão sobre estabilidade ou
instabilidade pode ser tomada na primeira oscilação, e as equações devem ser resolvidas
esquematicamente como segue:
)()(
2
2
duranteafaltaduranteem
PPP
dt
d
M =−=
δ
−
para
t
0+
≤
t
<
t
abertura
(2.13)
)()(
2
2
faltapósafaltapósem
PPP
dt
d
M
−−
=−=
δ
para
t
abertura
≤
t
≤
T
simulação
(2.14)
Mesmo nesta configuração simples, a procura pelo tempo crítico requer várias soluções
numéricas no domínio do tempo. Se o ângulo entre a máquina finita e a barra infinita tomada
como referência aumenta indefinidamente, tem-se a indicação de instabilidade e deve-se
diminuir o tempo de abertura. Quando o ângulo cresce, atinge um máximo e depois diminui,
tem-se indicação de estabilidade, e o tempo de abertura deve ser aumentado. A procura deve
prosseguir até que o tempo crítico seja encontrado. Em sistemas elétricos com muitas
máquinas, este procedimento não é simples. Uma excelente técnica, capaz de eliminar a
necessidade de se estimar vários tempos de abertura na procura do tempo crítico em estudos
de estabilidade transitória de primeira oscilação, é o Critério das Áreas Iguais.
2.4 Análise de estabilidade transitória pelo Critério das Áreas Iguais
Para sistemas que podem ser reduzidos a uma configuração Máquina-Barra Infinita, o
CAI permite interpretar fisicamente o fenômeno da estabilidade transitória. O CAI não tem
origem muito bem conhecida e surgiu no final da década de 30. É um caso particular da teoria
geral de Lyapunov que, quando aplicada à configuração máquina barra-infinita, fornece uma
função energia específica (MARIOTTO, 1981; DECKER, 1984). O CAI foi inicialmente
desenvolvido considerando as hipóteses simplificadoras de potência mecânica constante,
tensão constante atrás da reatância transitória, cargas representadas por impedâncias
constantes e os conjugados de amortecimento desconsiderados KIMBARK, (1948). Este
método, que será apresentado a seguir, permite encontrar o ângulo crítico de abertura dos
disjuntores sem a necessidade da solução numérica da equação de oscilação.
22
Multiplicando-se cada lado da equação de oscilação (2.12) por
dt
d
M
δ
2
obtém-se:
dt
d
P
M
dt
d
dt
d
a
δ
=
δδ
2
2
2
2
(2.15)
Chamando uma variável auxiliar
⇒
δ
=
dt
d
u
( )
2
2
δ
=
dt
d
u
e derivando esta expressão com
relação ao tempo, tem-se:
( )
2
2
2
2
22
dt
d
dt
d
dt
du
u
dt
d
dt
d
dt
ud δδ
==
δ
=
(2.16)
Comparando as equações (2.15) e (2.16), obtém-se
dt
d
P
Mdt
d
dt
d
a
δ
=
δ
2
2
, logo:
δ=
δ
dP
Mdt
d
d
a
2
2
(2.17)
Integrando-se os dois lados da equação (2.17), no intervalo definido pela condição inicial
00
δ=δ⇒= tt
, e o limite superior representado genericamente pelo ângulo durante ou pós-
falta
δ
, obtém-se:
δ=
δ
∫
δ
δ
dP
Mdt
d
a
0
2
2
(2.18)
Finalmente, da equação (2.18) resulta:
δ=
δ
∫
δ
δ
dP
Mdt
d
a
0
2
(2.19)
23
Para que a máquina mantenha o sincronismo com relação à barra infinita é necessário que a
variação de velocidade do rotor
dt
d
δ
diminua até atingir zero. Fazendo-se 0
=
δ
dt
d
na equação
(2.19) e como 0
2
≠
M
, tem-se:
0)(
00
=δ−=δ
∫∫
δ
δ
δ
δ
dPPdP
ema
(2.20)
2.4.1
Interpretação física e matemática do Critério das Áreas Iguais
Para a compreensão do significado físico da equação (2.20), serão considerados três
condições para um curto-circuito trifásico ocorrendo no sistema representado na Figura 2.4.
(i) Curto-circuito permanente, sem a atuação das proteções
Para um curto-circuito trifásico através de uma impedância de falta não-nula na barra 3
do sistema da Figura 2.4, considere-se por hipótese que o valor máximo da potência elétrica
durante a falta esteja um pouco acima da potência mecânica. Admitindo-se que o curto-
circuito tenha corrente inferior ao pick-up dos relés, as proteções não operam, mantendo a
falta. A Figura 2.5 mostra a representação gráfica desta condição.
Figura 2.5 – Critério de Áreas Iguais para curto-circuito permanente.
Na Figura 2.5, tem-se:
δ=δ=
−
−
senPsen
X
EV
P
máxe
faltapré
faltaprée 1
)(12
)(
(2.21)
24
δ=δ=
−
−
senPsen
X
EV
P
máxe
faltadurante
faltadurantee 2
)(12
)(
(2.22)
O ângulo de operação inicial é dado por:
=δ
−
máxe
m
P
P
sen
1
1
0
(2.23)
O novo ângulo de operação se o sistema for estável será:
=δ
−
máxe
m
P
P
sen
2
1
1
(2.24)
=δ
2
Máximo ângulo alcançado pelo rotor da máquina se o sistema for estável.
Aplicando a equação (2.20) na Figura 2.5, tem-se:
0)()()(
2
1
1
0
2
0
222
=δδ−+δδ−=δδ−
∫∫∫
δ
δ
δ
δ
δ
δ
dsenPPdsenPPdsenPP
máxemmáxmmáxm
(2.25)
Rearranjando a equação (2.25), obtém-se:
δ−δ=δδ−
∫∫
δ
δ
δ
δ
dPsenPdsenPP
mmáxemáxm
2
1
1
0
)()(
22
(2.26)
Conforme mostrado na Figura 2.5, a integral do primeiro termo da equação (2.26) representa
uma área de aceleração A
1
e o segundo termo uma área de desaceleração A
2
. De acordo com
estas áreas, tem-se:
●
Se
A
1
< (
A
2
+
A
3
)
com
A
3
> 0, como no caso ilustrado na Figura 2.5, a energia cinética
armazenada associada à potência acelerante da máquina que tende a tirá-la de sincronismo é
inferior à energia potencial associada à potência desacelerante de recuperação. Com isso, está
garantida a estabilidade com margem de segurança, e o ângulo
δ
cresce a partir de
δ
0
até
25
atingir
δ
2,
quando
A
1 =
A
2,
retornando ao novo ponto de operação representado pelo ângulo
δ
1
.
Nesse caso,
P
m
é menor que o limite de estabilidade transitória, e
A
3
é a margem excedente.
●
Se
A
1 =
(
A
2
+
A
3
)
,
com
A
3
= 0. Nesse caso, a energia cinética associada à potência
acelerante armazenada pela máquina que tende a tirá-la de sincronismo é igual à energia
potencial associada à potência desacelerante de recuperação. Com isso, está garantida a
estabilidade no limite, sem margem, e o ângulo
δ
cresce a partir de
δ
0
até atingir
δ
2,
que
assume o seu valor máximo possível retornando ao novo ponto de operação representado por
δ
1
. Nesse caso,
P
m
é o limite de estabilidade transitória.
●
Se
A
1
>
(
A
2
+
A
3
),
a energia cinética associada à potência acelerante armazenada pela
máquina que tende a tirá-la de sincronismo é maior que a energia potencial associada à
potência desacelerante de recuperação. Com isso, haverá instabilidade e o ângulo
δ
crescerá
indefinidamente a partir de
δ
0
.
(ii) Curto-circuito com abertura da linha no instante em que o ângulo
δ
é menor que o ângulo
crítico
A Figura 2.6 mostra o CAI aplicado ao sistema da Figura 2.4, considerando um curto-
circuito trifásico através impedância nula na barra 4 da linha 4-5, com a abertura da linha de
transmissão em um ângulo menor que o crítico.
Figura 2.6 – Curto-circuito trifásico com abertura de linha em um ângulo menor que o crítico.
26
Nesse caso, a condição de estabilidade é atingida quando
A
1
=
A
2
. A área de
desaceleração
A
3
corresponde à margem excedente. Na Figura 2.6, além das equações (2.21) e
(2.22) do caso anterior, há uma terceira equação resultante da abertura da linha dada por:
δ=δ=
−
−
senPsen
X
EV
P
máxe
faltapós
faltapóse 3
)(12
)(
(2.27)
Os ângulos de interesse são:
=δ
0
Ângulo de operação inicial;
O ângulo pós-falta de equilíbrio estável é dado por:
=δ
−
máxe
m
s
P
P
sen
3
1
; (2.28)
=δ
c
Ângulo de abertura da linha;
=δ
2
Ângulo máximo alcançado.
No momento em que ocorre o curto-circuito, o sistema sofre uma súbita modificação na
equação de potência elétrica, passando a operar sobre a curva durante - falta. A potência
elétrica começa a variar a partir do ângulo inicial
δ
0
, até o ângulo de abertura
δ
c,
quando esta
muda novamente com a abertura da linha, passando a operar agora sobre a curva pós-falta.
Quando ocorrer a condição na qual
A
1
=
A
2,
o ângulo do rotor da máquina atinge seu valor
máximo
δ
2
e retorna após algumas oscilações ao novo ângulo de operação pós-falta
δ
s
. Nesse
caso, o ângulo de abertura
δ
c
é menor que o ângulo crítico e
P
m
é menor que o limite de
estabilidade transitória.
(iii) Curto-circuito com abertura da linha de transmissão no instante em que o ângulo
δ
atinge
o seu valor crítico.
A Figura 2.7 mostra o caso limite no qual
A
1
=
A
2
, sem área de desaceleração excedente.
27
Fig. 2.7 – Curto-circuito trifásico com abertura de linha em um ângulo crítico.
Na Figura 2.7, os ângulos envolvidos são:
=δ
0
Ângulo de operação inicial;
=δ
s
Ângulo pós-falta de equilíbrio estável;
=δ
cr
Ângulo crítico de abertura da linha;
O ângulo pós-falta de equilíbrio instável é dado por:
su
δ−π=δ
. (2.29)
Nesse caso,
P
m
é o limite de estabilidade transitória. O ângulo
δ
u
é o máximo valor
alcançado pelo rotor da máquina. Após algumas oscilações, o ângulo do rotor da máquina
retorna ao novo estado de operação correspondente ao ângulo
δ
s
. Na Figura 2.7, quando
A
1
=
A
2
, o ângulo de abertura é o ângulo crítico
δ
cr
procurado. A equação que representa esta
condição é dada por:
( ) ( )
∫ ∫
δ
δ
δ
δ
δδ+δδ=δ−δ
cr u
cr
dsenPdsenPP
emáxemu
0
)(
max320
(2.30)
Resolvendo a equação (2.30), o ângulo crítico de abertura procurado
δ
cr
será:
−
δ−δ+δ−δ
=δ
−
máxemáxe
máxeumáxemu
cr
PP
PPP
23
0230
1
coscos)(
cos
(2.31)
28
A existência de uma solução para a equação (2.31) está condicionada à gravidade e ao
tipo do curto-circuito estudado. A forma explícita para o cálculo do ângulo crítico de abertura
só foi possível devido à hipótese simplificadora considerada de que o sistema era puramente
reativo. Entretanto, o CAI pode ser aplicado em sistemas reais incluindo resistências e
capacitâncias nos quais a equação (2.30) resulta em uma equação algébrica não-linear da
forma
f
(
δ
cr
)=0, cuja solução pode ser encontrada por métodos numéricos convencionais. Na
prática, o conhecimento do ângulo crítico não pode ser utilizado diretamente no ajuste dos
relés de proteção, e sim o seu tempo crítico correspondente. A grande vantagem do CAI está
relacionada ao fato de que a busca às cegas pelo tempo crítico não é mais realizada. Basta
realizar a solução numérica da equação de oscilação (2.12). Quando nesta solução numérica o
ângulo
δ
atingir o seu valor crítico
δ
cr,
o tempo correspondente será o tempo crítico
t
cr
procurado. O processo é muito rápido e não há necessidade de se analisar as curvas
δ
=
f(t)
.
No entanto, isto só pode ser feito na topologia Máquina-Barra Infinita ou em sistemas que
possam ser reduzidos a esta configuração. Este tema será desenvolvido no capítulo seguinte.
No Apêndice A, são apresentados alguns exemplos das formulações apresentadas neste
capítulo para o cálculo do ângulo e tempo crítico de abertura.
2.5 Considerações finais
Dentro do contexto de estabilidade transitória angular, destaca-se a importância do CAI
como ferramenta analítica para a análise de estabilidade transitória. Além de auxiliar no
cálculo do tempo crítico de abertura, este permite determinar, em qualquer instante de
abertura de uma linha de transmissão, a margem de segurança correspondente. As limitações
deste método relacionam-se ao fato de que o CAI só pode ser aplicado em uma configuração
final Máquina-Barra Infinita. O desenvolvimento de uma metodologia que permita a
transformação de sistemas multimáquinas em um sistema EMBI será apresentado no próximo
capítulo.
3 DESENVOLVIMENTO DE UM MÉTODO ANALÍTICO E
COMPUTACIONAL VISANDO A ESTUDOS DE ESTABILIDADE
ANGULAR
3.1 Introdução
A solução numérica no domínio do tempo é o método mais utilizado na análise de
estabilidade transitória. Este tem a vantagem de suportar modelos sofisticados e de fornecer
com muita precisão informações como ângulos e velocidades das máquinas, aceleração e
potências, etc. Sua principal desvantagem é o tempo computacional gasto com inúmeras
simulações realizadas para várias topologias e estados iniciais de operação. Além disso, a
conclusão final exige ainda a análise de curvas de oscilação por especialistas da área, sem
quantificar o grau de segurança do sistema para um determinado ajuste das proteções.
Margens e índices de segurança auxiliam os operadores dos sistemas elétricos de
potência na tomada de ações preventivas e/ou corretivas contra eminentes colapsos do
sistema. Um procedimento bastante utilizado para quantificar a segurança de um estado de
operação envolve a redução da dimensão dos sistemas elétricos através de equivalentes
eletromecânicos.
A maioria dos curtos-circuitos com retirada de linha resultam em trajetórias no domínio
do tempo que levam à separação do sistema em dois subsistemas. Por isso, os esforços
concentram-se na determinação destes grupos coerentes de geradores. Se dois subsistemas
coerentes estiverem claramente definidos, técnicas de redução de redes podem ser aplicadas
para a formação de um sistema Equivalente Máquina-Barra Infinita, no qual é possível aplicar
o CAI. O EMBI representa uma transformação de um sistema dinâmico
n
-dimensional em
uma máquina equivalente, cujo comportamento pode ser estudado considerando apenas uma
única equação dinâmica.
Neste capítulo, descreve-se a metodologia proposta para a identificação e formação de
grupos críticos de geradores utilizando os desvios de velocidade angular como critério de
coerência. Mostra-se também o procedimento utilizado para a realização do processo de
redução dos grupos coerentes encontrados. Apresentam-se também as operações necessárias
para formar os equivalentes de potências mecânicas, elétricas e constantes de inércia das
máquinas de um mesmo grupo. Finalmente, é apresentado o fluxograma simplificado de todo
o método desenvolvido para o cálculo de tempos críticos e margens de segurança.
30
3.1.1
O modelo matemático para sistemas multimáquinas
Neste trabalho, adota-se o modelo clássico simplificado normalmente utilizado em
estudos de estabilidade transitória da primeira oscilação. As equações diferenciais que
representam a dinâmica dos eixos dos rotores das máquinas são assim escritas:
isi
i
t
dt
d
ω=ω−ω=
δ
~
)( (3.1)
aieimi
i
i
i
i
PPP
dt
d
D
dt
d
M =−=
δ
+
δ
2
2
(3.2)
Com
i
= 1,
n
Onde:
n
= número de geradores;
=
π
=
s
i
i
f
H
M
Constante de inércia da
i
-ésima máquina em [p.u.s
2
]/rad;
=
i
H
Constante de inércia da
i
-ésima máquina em [p.u.s];
f
s
= Freqüência nominal de operação em [rad/s];
t
= Tempo em segundos;
i
D
= Constante de amortecimento da
i
-ésima máquina em [p.u.s]/rad;
i
δ
= Posição angular do eixo da i-ésima máquina com relação a um eixo que gira à velocidade
síncrona em [rad];
i
i
dt
d
ω=
δ
~
= Desvio da velocidade angular de cada gerador com relação à velocidade síncrona
em [rad/s];
)(
t
i
ω
= Velocidade angular em cada instante em [rad/s];
s
ω
= Velocidade síncrona em [rad/s];
mi
P
= Potência mecânica de entrada da
i
-ésima máquina primária em [p.u.];
ei
P
= Potência elétrica ativa injetada na rede pela
i
-ésima máquina em [p.u.];
=
ai
P
Potência acelerante da
i
-ésima máquina em [p.u.].
Onde
P
ei
já foi definida na equação (2.7) e é dada por:
31
( )
[
]
jiijijji
n
ij
j
iiiiiei
YEEYEP δ−δ−θ∑+θ=
≠
=
coscos
1
2
;
Com,
i
= 1,
n
Onde
:
=
i
E
módulo da tensão interna da
i
-ésima máquina em [p.u.];
iiiii
YE θ
cos
2
= carga ativa equivalente na barra
i
em [p.u.];
=θ
iiii
Y
, módulo e ângulo dos elementos da diagonal da matriz
Y
BUS
reduzida às barras
internas de geração em [p.u.], [rad];
=θ
ijij
Y
, módulo e ângulo dos elementos fora da diagonal da matriz
Y
BUS
reduzida às barras
internas de geração em [p.u.], [rad].
Nas equações (3.1) e (3.2), serão realizadas algumas hipóteses e simplificações:
●
as máquinas são representadas por uma tensão constante em série com sua reatância
transitória de eixo direto, calculadas a partir de uma solução pré-falta do fluxo de potência.
Admite-se, então, que, durante o transitório, o enlace de fluxo nas máquinas síncronas
permaneça constante;
●
amortecimentos síncronos e assíncronos são desconsiderados;
●
admite-se que a potência mecânica de entrada das máquinas primárias permaneça constante
durante períodos transitórios curtos. Justifica-se, uma vez que as constantes de tempo dos
reguladores de velocidade são maiores que o período transitório considerado;
●
os desvios de freqüência do sistema durante o transitório resultam em pequenas variações
nos parâmetros de linha e constantes de inércia das máquinas e por isso não são considerados;
●
o modelo de carga adotado é o de impedância constante;
●
representa-se a rede elétrica reduzida às barras internas de geração pela sua matriz
admitância de barra
BUS
Y
.
32
3.1.2
Coerência entre geradores síncronos
Observando-se inúmeras trajetórias de ângulos dos rotores das máquinas síncronas na
ocorrência de curtos-circuitos seguidos de abertura de linhas, constata-se que, na maioria dos
casos, assim que o sistema se torna instável, formam-se dois grupos. A possibilidade da
transformação destes dois grupos
A
e
B
em um sistema Máquina-Barra Infinita permite que se
obtenham informações que não seriam possíveis nos estudos convencionais de estabilidade
transitória. Entre estas está a margem de segurança da operação, que permite avaliar o grau de
segurança do sistema para cada tempo de abertura de uma linha de transmissão. Para que isso
possa ser feito, a tarefa mais difícil é a identificação dos grupos coerentes de geradores. A
dificuldade reside no fato de que as oscilações eletromecânicas dos rotores das máquinas são
intrinsecamente não-lineares. O confronto entre o tempo de computação gasto e a correta
identificação dos grupos coerentes é um fator relevante a ser considerado. Não há como se
desprezar a ação sincronizante pós-falta, e pequenas diferenças nos tempos de abertura podem
formar grupos completamente distintos. O critério de coerência que será utilizado neste
trabalho exige um tempo adicional de simulação para garantir a segurança dos resultados.
Define-se coerência como sendo a propriedade que têm certos geradores em oscilarem
muito próximos durante uma perturbação transitória. Um par de geradores (
i
,
j
) é dito
coerente, dentro de uma tolerância
ξ
, em uma perturbação transitória, quando tiverem um
comportamento dinâmico semelhante durante um tempo de observação
T
obs
,
que inclui
necessariamente os períodos durante e pós-falta. Alguns critérios de coerência já mencionados
no Capítulo 1 foram testados, entre os quais o do desvio de posição angular, o desvio de
velocidade angular, a energia cinética e a aceleração de máquinas. Os resultados mostraram
que o método mais adequado para a determinação de grupos coerentes de geradores é aquele
que considera o desvio de velocidade angular de geradores. Este pode ser representado
formalmente pela seguinte equação.
ξ≤ω−ω
∞→
)(
~
)(
~
suplim tt
ji
t
(3.3)
Obviamente, não há necessidade de se considerar uma trajetória por um tempo de
observação tão longo para se identificar grupos coerentes de geradores, e a equação (3.3) pode
ser reescrita como:
33
ξ≤ω−ω
)(
~
)(
~
tt
ji
para
obs
Tt ≤≤
0 (3.4)
Tratando-se de estabilidade transitória da primeira oscilação, pode-se afirmar que a
maioria dos casos se resolve com um tempo de observação menor ou igual a 1 segundo. Esse
tempo tem uma relação direta com o número de máquinas no sistema estudado. Na próxima
seção, será desenvolvido um método de identificação de geradores coerentes baseado nos
aspectos já ressaltados neste capítulo.
3.2 Metodologia proposta para identificação de geradores coerentes
Como ponto de partida, considera-se que todos os curtos-circuitos serão realizados nas
barras das subestações no início ou fim das linhas de transmissão. Deseja-se que estes curtos-
circuitos sejam eliminados de forma definitiva pelas proteções principais destas linhas com
certa margem de segurança.
3.2.1
Descrição das etapas do método de identificação de coerência proposto
●
Para cada evento, curto-circuito com abertura de linha, assume-se inicialmente um tempo de
abertura de 600 ms. Realiza-se a solução numérica no domínio do tempo do sistema original
com
n
-máquinas. O passo de integração deve ser escolhido considerando-se o tamanho do
sistema e o método numérico empregado. Isso para evitar-se o risco de possíveis problemas
de instabilidade numérica. Neste trabalho, será utilizado o método de Runge-Kutta de quarta
ordem.
●
Se o sistema for estável para o tempo de abertura de 600 ms, o evento não é potencialmente
grave e pode ser desconsiderado. Somente casos críticos serão analisados.
●
Se o sistema for instável para o tempo de abertura de 600 ms, este tempo será reduzido em
intervalos, por exemplo de 50 em 50 ms, até que ocorra em dois tempos consecutivos uma
instabilidade seguida de estabilidade. A adoção do intervalo de 50 ms é apenas por segurança,
pois, na maioria dos sistemas estudados, usou-se um intervalo de redução de 100 em 100 ms,
e os grupos críticos foram identificados corretamente. Obviamente, esse intervalo de redução
depende do número de geradores do sistema estudado.
34
●
Escolhe-se a última trajetória instável que precede uma estável, faz-se a média dos desvios
de velocidade angular dos rotores calculada a partir de
t
0+
até o tempo de observação
T
obs.
Para
isso, o desvio de velocidade angular
i
ω
~
de cada máquina com relação à velocidade síncrona
s
ω
, já definido em (3.1), é assim escrito:
sikik
t ω−ω=ω )(
~
para
i
= 1,
n
e
k = 1, N
(3.5)
Onde
n
é o número de geradores e
N
o número de pontos observados. A média dos desvios de
velocidade de cada máquina
i
ω
~
é dada pela equação:
∑
=
ω
∆
=ω
N
k
ik
obs
i
T
t
1
~~
para
i
= 1,
n
(3.6)
●
Os valores de
i
ω
~
são ordenados em ordem decrescente.
●
Os desvios sucessivos de
i
ω
~
são calculados fazendo-se:
11,
~
~
~
++
ω−ω=ω
iiii
para
i
= 1,
n
-1 (3.7)
●
Um índice de qualidade de coerência
q
e uma tolerância
ξ
a ser admitida entre os desvios
de velocidade para formar grupos coerentes são determinados de maneira similar ao que foi
descrito por SOUZA & SILVA (1992). Designando-se
máx
ij
ω
~
e
mín
ij
ω
~
os máximos e mínimos
desvios de velocidade entre dois geradores consecutivos na equação (3.7), a relação entre
q
e
ξ
é dada pela equação:
(
)
(
)
mín
ij
máx
ij
máx
ij
q ω−ωξ−ω=
~
~
~
(3.8)
O significado do índice de qualidade
q
pode ser entendido analisando-se a equação (3.8) pelos
extremos, ou seja:
Se
mín
ij
ω=ξ
~
→
q
= 1, isto implica alta qualidade dos grupos, neste caso (
n
-1) grupos são
formados.
Se
máx
ij
ω=ξ
~
→
q
= 0,
isto implica baixa qualidade dos grupos e, neste caso, todas as máquinas
ficam no mesmo grupo.
Isolando o valor de
ξ
na equação (3.8), tem-se:
35
(
)
máx
ij
mín
ij
qq ω−+ω=ξ
~
1
~
(3.9)
A formação dos grupos começa com
q
= 1 na equação (3.9) e vai diminuindo até
formarem-se dois grupos de geradores coerentes. Com isso, o procedimento torna-se
automático e o valor de
q
e, conseqüentemente, o valor de
ξ
estão relacionados com o
tamanho do sistema e a localização do curto-circuito.
3.2.2
Aplicação do método proposto em um sistema elétrico de potência real
O Método de identificação de coerência apresentado na seção anterior será aplicado no
sistema elétrico de potência da Região Sul do Brasil mostrado na Figura 3.1. Este sistema tem
10 usinas, 45 barras e 73 linhas de transmissão/transformadores. Os dados e parâmetros de
linha foram retirados de DECKER (1984) e estão apresentados na Tabela C.1 do Apêndice C.
O estado inicial de operação para carga pesada está na Tabela C.2 do Apêndice C.
1–36 Segredo 12–42 Londrina 24 Rancho Queimado
2–29 Barracão 13 Siderópolis 27 Curitiba Norte
3–15 Passo Fundo 14 Farroupilha 30–38 Gravataí
4–18 Salto Osório 16 Xanxerê 31–40 Venâncio Aires
5–25 Foz da Areia 17 Pato Branco 32 Pinheiros
6–33 Salto Santiago 19–25 Foz da Areia 37 Cidade Industrial
7–34 Jorge Lacerda A 20 São Mateus 41 Apucarana
8–35 Jorge Lacerda B 21–26 Curitiba 43 Maringá
9–35 Jorge Lacerda C 22 Joinville 44 Campo Mourão
10–39Itaúba 22–28 Blumenau 45 Forquilhinha
11 Ivaiporã
Figura 3.1 – Diagrama unifilar do sistema elétrico de potência da Região Sul do Brasil.
36
A Tabela 3.1 apresenta o estado inicial de operação do sistema reduzido às barras
internas de geração para operação com carga pesada.
Tabela 3.1 – Sistema da Região Sul do Brasil reduzido às barras internas
Barra de
Geração
Reatância
Transitória
d
X
'
[p.u.]
Constante
De Inércia
M
]
rad
s.u.p
[
2
−
Tensão
Interna
E [p.u.]
Ângulo
Interno do
Rotor
δ [graus]
Potência
Mecânica de
Entrada
[p.u.]
1 0,02160 0,33136 1,04622 15,954 13,57943
2 0,03670 0,16149 1,03187 2,140 6,49884
3 0,10390 0,05602 1,12523 -5,725 2,15017
4 0,02840 0,20340 1,10051 20,556 10,50079
5 0,02410 0,33025 1,05081 8,264 11,09910
6 0,02430 0,29306 1,05244 20,659 13,25029
7 0,13520 0,02318 1,09915 -22,880 0,90012
8 0,15340 0,03608 1,13252 -18,410 1,20029
9 0,08000 0,06631 1,12147 -16,512 2,41063
10 0,04320 0,10738 1,05654 -3,812 4,89912
Para ilustrar a metodologia desenvolvida na identificação de coerência, será simulado um
curto-circuito trifásico na barra 18, em Salto Osório, com desligamento da linha 18-19, de 230
kV, que interliga Salto Osório à Foz da Areia. Um intervalo de integração de 0,05 segundos e
um tempo de observação de 1 segundo foi utilizado para a identificação dos grupos coerentes.
Utilizando-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver as equações do sistema
original e empregando as equações (3.7) e (3.9), tem-se
=ω
máx
ij
~
2,64022 rad/s,
=ω
mín
ij
~
0,00247 rad/s e
q
= 0,900, resultando em
ξ
= 0,26625 rad/s.
A Figura 3.2 mostra os desvios de velocidade angular do sistema original, considerando-
se a última trajetória instável que precede uma estável, no tempo de abertura de 0,10
segundos. Logo, a próxima trajetória com tempo de abertura menor que 0,10 segundos será
estável. Neste exemplo, o grupo A tem apenas o gerador 4 e o grupo B tem os geradores (1, 2,
3, 5, 6, 7, 8, 9, e 10). As Figuras 3.3, 3.4 e 3.5 mostram para o mesmo caso o comportamento
da posição angular, energia cinética e a aceleração.
Figura 3.2 – Curto-circuito na barra 18 com retirada da linha 18-19 em 0,10 segundos
.
37
Figura 3.3 – Posição angular para curto-circuito na barra 18 com retirada da linha 18-19 em 0,10 segundos.
Figura 3.4 – Energia cinética para curto-circuito na barra 18 com retirada da linha 18-19 em 0,10 segundos.
Figura 3.5 – Aceleração para curto-circuito na barra 18 com retirada da linha 18-19 em 0,10 s.
Todos os geradores que atenderem ao critério de coerência apresentado nesta seção serão
colocados no seu respectivo grupo, que terá um equivalente elétrico, mecânico, bem como
uma constante de inércia equivalente. Na próxima seção, será apresentado o método de
redução de grupos coerentes através de equivalentes eletromecânicos.
38
3.3 Método para redução e cálculo de equivalentes eletromecânicos
Equivalentes eletromecânicos são feitos, juntando-se na mesma barra todos os geradores
que pertencem a um mesmo grupo. No método proposto, isso é feito com os geradores que
têm a média dos desvios de velocidade angular igual ou menor do que a tolerância
ξ
admitida.
Para cada curto-circuito estudado, calcula-se a potência elétrica de saída, a potência mecânica
de entrada e a constante de inércia equivalente de cada grupo. Curtos-circuitos que ocorrem
próximos às barras de geração de sistemas elétricos de potência, em geral, têm a propriedade
de produzirem trajetórias no domínio do tempo que permitem identificar dois grupos de
máquinas. Quando isso ocorre, equivalentes eletromecânicos podem ser formados de maneira
semelhante à descrita por GHAFURIAN & BERG (1982). Neste trabalho, no entanto, as
tensões terminais
i
V
r
foram substituídas pelas tensões internas reduzidas às barras internas de
geração
i
E
r
do modelo clássico simplificado.
Para esclarecer o procedimento de redução, considere-se um sistema elétrico hipotético
de 4 usinas geradoras representado pelo seu equivalente reduzido às barras internas de
geração, mostrado na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Diagrama unifilar de um sistema hipotético com 4 geradores reduzido às barras internas de geração.
Para demonstrar somente um passo do algoritmo de redução, admite-se por hipótese que,
para um curto-circuito trifásico, os geradores 3 e 4 sejam identificados como coerentes dentro
39
de uma tolerância
ξ
definida pelo processo apresentado na seção 3.2.1. Será também
considerado que estes geradores têm uma relação entre suas tensões internas representada pela
grandeza complexa
b
. Deste modo:
ξ≤ω−ω
43
~
~
(3.10)
b
E
E
=
3
4
r
r
(3.11)
Na Figura 3.6,
ii
y
e
ij
y
são as admitâncias primitivas da rede reduzida às barras internas de
geração. Logo, as equações nodais na forma matricial para o sistema reduzido (4x4) são:
=
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
E
E
E
E
YYYY
YYYY
YYYY
YYYY
I
I
I
I
r
r
r
r
r
r
r
r
(3.12)
Logo:
(
)
3
1413
2
12
1
11
1
EYbYEYEYI
r
r
r
r
+++=
(3.13)
(
)
3
2423
2
22
1
21
2
EYbYEYEYI
r
r
r
r
+++=
(3.14)
(
)
3
3433
2
32
1
31
3
EYbYEYEYI
r
r
r
r
+++=
(3.15)
(
)
3
4443
2
42
1
41
4
EYbYEYEYI
r
r
r
r
+++=
(3.16)
Multiplicando (3.16) por
*
b
, e somando (3.15) e (3.16) resulta
:
(
)
e
IIbI
r
r
r
=+
4
*
3
(3.17)
Colocando-se na forma matricial:
40
(
)
( )
( ) ( ) ( )
+++++
+
+
=
3
2
1
44
2
43
*
343342
*
3241
*
31
24232221
1413
12
11
2
1
E
E
E
YbYbYbYYbYYbY
YbYYY
YbYYY
I
I
I
e
r
r
r
r
r
r
(3.18)
As operações necessárias para realizar-se a redução estão indicadas entre parênteses nas
linhas e colunas 3 da equação matricial (3.18). A potência elétrica injetada na rede, deve
permanecer constante no sistema equivalente, logo:
[
]
[
]
∗
∗
+=
originaleequivalent
e
IbIEIE
433
*
3
r
r
r
r
r
(3.19)
[
]
[
]
originaleequivalent
e
IEIEIE
∗∗∗
+=
44333
r
r
r
r
r
r
(
3.20)
Finalmente, depois desta redução, um sistema equivalente de 3 barras é obtido tomando-se as
tensões e ângulos da máquina que permanece, denominada máquina base do grupo. Logo:
33
EE =
′
(3.21)
33
δ=δ
′
(3.22)
Para obter as potências mecânicas e constantes de inércia equivalente, basta realizar a soma
direta destas grandezas associadas às máquinas agrupadas. Então:
433
mmm
PPP +=
′
(3.23)
433
MMM +=
′
(3.24)
Com isso, a equação de potência elétrica equivalente das máquinas 3 e 4 agrupadas, com os
seus valores de tensões e ângulos iniciais dados por (3.21) e (3.22) bem como as admitâncias
definidas em (3.18), assume exatamente o valor dado pela equação (3.23).
3.4 Algoritmo de redução para sistemas elétricos multimáquinas
Os geradores devem ser eliminados, um por um, até que cada um dos grupos A e B
contenham somente uma máquina equivalente. Os elementos de cada
n
-1 linhas e colunas
devem ser modificados de acordo com as equações:
41
●
Elemento da diagonal:
nnnnnnnn
nn
YbYbYbYY
2
1,
*
,11,1
1,1
+++=
′
−−−−
−−
(3.25)
●
Elementos fora da diagonal da linha
i
=
n
– 1
njijij
YbYY
∗
+=
′
para
j =
1
, n-
2 (3.26)
●
Elementos fora da diagonal da coluna
j
=
n
– 1
inijij
YbYY +=
′
para
i =
1
, n-
2 (3.27)
Para cada gerador a ser eliminado, os valores de
b
que aparecem nas equações (3.25), (3.26)
e (3.27) devem ser calculados da seguinte maneira:
●
Se a eliminação estiver ocorrendo no grupo
A
i
j
i
E
E
b
r
r
=
(3.28)
Com
Aji
∈
),( , onde
i
e
j
correspondem aos geradores base e eliminado do grupo
A,
respectivamente.
●
Se a eliminação estiver ocorrendo no grupo
B
k
j
k
E
E
b
r
r
=
(3.29)
Com
Bjk
∈
),( , onde
k
e
j
correspondem aos geradores base e eliminado do grupo
B,
respectivamente.
As equações (3.21), (3.22), (3.23), e (3.24) são reescritas para representar o
procedimento de agrupamento genérico para dois subsistemas. Para cada subsistema resultam
4 equações, ou seja:
42
●
Para o subsistema
A
iA
EE =
(3.30)
Onde
i
é o índice do gerador base para os agrupamentos do subsistema
A
iA
δ=δ
(3.31)
∑
∈
=
Ai
mimA
PP
(3.32)
∑
∈
=
Ai
iA
MM
(3.33)
●
Para o subsistema
B
kB
EE =
(3.34)
Onde
k
é o índice do gerador base para os agrupamentos do subsistema
B
kB
δ=δ
(3.35)
∑
∈
=
Bk
mBmB
PP
(3.36)
∑
∈
=
Bk
kB
MM
(3.37)
Através de reduções sucessivas, dois subsistemas equivalentes A e B são formados.
3.5 Fluxograma do método de identificação de geradores coerentes, redução de rede,
equivalentes eletromecânicos e cálculo de tempos críticos e margens de segurança
3.5.1
Descrição das etapas do método de identificação de coerência, redução de rede,
equivalentes eletromecânicos e cálculo de tempos críticos e margens de segurança
As principais etapas do método proposto são:
●
fluxo de potência para determinar o estado inicial de operação;
●
redução às barras internas de geração para encontrar as matrizes de admitâncias reduzidas
pré-falta, durante - falta e pós-falta, potência mecânica de entrada, e as tensões e ângulos
internos;
43
●
solução numérica no domínio do tempo do sistema original para formar os dois subsistemas
equivalentes
A
e
B;
●
cálculo dos parâmetros dos dois subsistemas equivalentes
A
e
B;
●
aplicação do CAI para o cálculo das margens de segurança e tempos críticos de abertura.
O fluxograma simplificado com os principais blocos do método desenvolvido é mostrado
na Figura 3.7.
44
Figura 3.7 – Fluxograma computacional simplificado do Método Proposto.
Para ilustrar todas as etapas do programa computacional desenvolvido, a seguir será
apresentado um exemplo aplicado em um sistema de potência com 3 geradores, em que são
mostrados todos os resultados parciais obtidos.
3.6 Estudo de caso utilizando a metodologia desenvolvida
O sistema de potência apresentado em KIMBARK (1948) é mostrado na Figura 3.8. Este
é composto por 10 barras, 3 usinas e 18 linhas/transformadores. Com pequenas modificações,
devido à inclusão dos transformadores, este sistema é utilizado como caso base para a
demonstração do método proposto. Os dados e parâmetros do sistema estão na Tabela C.3 do
Apêndice C.
45
Figura 3.8 – Diagrama unifilar do sistema elétrico de potência com 3 geradores.
3.6.1
Estado inicial de operação
O estado inicial de operação foi encontrado através de um fluxo de potência que utiliza o
método de Newton-Raphson, e os resultados encontram-se na Tabela C.4 do Apêndice C.
3.6.2
Redução às barras internas de geração
Para um curto-circuito trifásico na barra 6, com retirada definitiva da linha 6-7, as
matrizes
Y
BUS
(3x3)
reduzidas às barras internas de geração são obtidas através da seguinte
equação, (ANDERSON, 2003):
(
)
rnrrnrnnnxnBUS
YYYYY
1
)(
−
−=
(3.38)
Onde
Y
nn
, Y
nr
, Y
rr
e Y
rn
são as submatrizes extraídas da matriz não reduzida de ordem [
n+r
] x
[
n+r
], sendo
n
é o número de geradores e
r
o número de barras sem geração. No caso
exemplo, tem-se
n
= 3 e
r
= 7.
(i) A matriz não reduzida
Y
BUS (n+r) x (n+r)
é obtida a partir da matriz admitância de barra
utilizada no fluxo de potência, modificada por meio da inclusão do efeito das reatâncias
transitórias dos geradores e das admitâncias das cargas. Somente os elementos da diagonal da
matriz admitância de barra do fluxo de potência que possuem geradores e ou cargas são
alterados. A matriz de admitância reduzida pré-falta é então obtida diretamente da equação
(3.38), logo:
46
Y
BUS
(3x3)
pré-falta
=
++
++
++
j3,70370 - 0,32026j2,99082 0,66734j0,50457 0,09562
j2,99082 0,66734 j4,53747 - 1,56051j1,08885 0,20872
j0,50457 0,09562j1,08885 0,20872j1,65693 - 0,02908
(ii) A matriz admitância de barra reduzida durante-falta é obtida a partir da matriz admitância
de barra não reduzida modificada pela existência de um curto-circuito trifásico franco. Para
isto, basta eliminar e linha e coluna correspondente à barra em curto-circuito da matriz
admitância não reduzida e aplicar a equação (3.38), logo:
Y
BUS
(3x3)
durante-Falta
=
++
++
++
j4,53965 - 0,08636j1,38670 0,18363j0,10811 0,01166
j1,38670 0,18363j7.61431 - 0,56496j0.32703 0,03134
j0,10811 0,01166j0.32703 0,03134j1,84416 - 0,00182
(iii) A matriz admitância de barra reduzida pós-falta é obtida a partir da matriz admitância de
barra não reduzida modificada pela abertura tripolar dos disjuntores associados aos terminais
da linha de transmissão em que ocorre o curto-circuito trifásico. Para isto, os elementos
jiijjjii
YYYY ,,, da matriz admitância não reduzida pós-falta serão alterados devido à retirada
dos elementos primitivos
jiijji
yyyy
,,,
00
do modelo
π
equivalente da linha de transmissão.
Aplicando novamente a equação (3.38), obtém-se:
Y
BUS
(3x3)
pós-Falta
=
++
++
++
j3,70189 - 0,32030j2,98419 0,66698j0.50943 0.09567
j2,98419 0,66698 j4.51317 - 1.56293j1.07101 0,20799
j0.50943 0.09567j1.07101 0,20799j1,64387 - 0.02902
Os valores de tensões e ângulos internos
i
δ
são obtidos a partir das equações:
′
+
′
+=+=δ
′
∠
di
i
Gi
di
i
Gi
iiiíi
X
V
P
jX
V
Q
VjbaE
(3.39)
onde:
i
E
= Módulo do fasor da tensão interna do gerador;
=
i
V
Módulo do fasor da tensão terminal do gerador obtido no fluxo de potência;
=
Gi
P
Potência ativa injetada na barra;
47
Gi
Q
= Potência reativa injetada na barra;
=
′
di
X
Reatância transitória de eixo direto do gerador;
22
iii
baE +=
; (3.40)
][
1
i
i
i
a
b
tg
−
=δ
′
; (3.41)
iii
δ
′
+
θ
=
δ
para
i
=1,
n;
(3.42)
i
δ
= ângulo interno do rotor do gerador;
i
θ
= ângulo da tensão terminal do gerador.
A Tabela 3.2 apresenta os resultados do estado de operação para o sistema reduzido às barras
internas de geração.
Tabela 3.2 – Dados iniciais de operação na base de 100 MVA
Barra de
Geração
Reatância
Transitória
d
X
'
[p.u.]
Constante
De Inércia
M
]
rad
s.u.p
[
2
−
Tensão
Interna
E [p.u.]
Ângulo
Interno do
Rotor
δ [graus]
Potência
Mecânica de
Entrada
[p.u.]
1 0,23333 0,01671 1,16651 22,965 0,79959
2 0,05000 0,11141 1,01037 10,669 2,30035
3 0,12000 0,04244 1,00040 9,420 0,89956
3.6.3
Simulação numérica no domínio do tempo
A simulação numérica no domínio do tempo foi realizada com o sistema reduzido às
barras internas de geração através do método de Runge-Kutta de quarta ordem, seguindo os
procedimentos já apresentados na seção 3.2.1. A Figura 3.9 mostra a última trajetória instável
precedendo uma trajetória estável para curto-circuito na barra 6 com retirada da linha 6-7 para
tempos de abertura de 600 e 500 ms, respectivamente.
48
Figura 3.9 – Curto-circuito trifásico na barra 6 com abertura da linha 6-7 em 600 ms.
Figura 3.10 – Curto-circuito trifásico na barra 6 com abertura da linha 6-7 em 500ms.
Das equações (3.7) e (3.9), tem-se
=ω
máx
ij
~
9,63656 rad/s,
=ω
mín
ij
~
0,02420 rad/s e
q
= 0,999,
resultando em
ξ
= 0,03381 rad/s. Observa-se, na Figura 3.9, que existe uma ótima coerência
entre as máquinas 2 e 3, ficando no grupo
A
máquina 1 e no grupo
B
as máquinas (2 e 3).
3.6.4
Agrupamento de dois subsistemas coerentes
Nesta seção, será apresentada a dedução das fórmulas necessárias para realizar a redução
de dois subsistemas em um único sistema equivalente. A Figura 3.11 mostra que,
primeiramente o sistema original é reduzido a dois subsistemas equivalentes
A
e
B.
49
Figura 3.11 –Subsistemas equivalentes A e B.
Na Figura 3.11, define-se os seguintes parâmetros para os dois subsistemas
A
e
B
equivalentes:
BA
EE , = Módulos dos fasores das tensões internas;
BA
δδ , = Ângulos internos dos rotores;
eBeA
PP
, = Potências elétricas injetadas;
mBmA
PP
, = Potências mecânicas de entrada das turbinas;
BA
MM , = Constantes de inércia;
=
00
,,
BAAB
yyy
Admitâncias primitivas resultantes do processo de redução do sistema
original.
As admitâncias próprias
BBAA
YY
, e as admintâncias de transferências
BAAB
YY
, das
matrizes reduzidas (2x2) antes, durante e pós-falta do sistema equivalente mostrado na Figura
3.11, são representadas pelas equações que seguem:
AAAAABAAA
YyyY θ∠=+=
0
; (3.43)
BBBBBABBB
YyyY θ∠=+=
0
; (3.44)
50
ABABABAB
YyY θ∠=−=
; (3.45)
BABABABA
YyY θ∠=−=
. (3.46)
O agrupamento das máquinas 2 e 3 é feito utilizando-se as equações (3.25), (3.26),
(3.27), (3.28) e (3.29). As matrizes reduzidas
Y
BUS
pré-falta, durante-falta e pós-falta (2x2)
equivalentes são obtidas a partir das matrizes
Y
BUS(3x3)
apresentadas na seção 3.6.2. Logo:
Y
BUS (pré-falta)
=
+
+
j2,24723 - 3.19568j1,59039 0,29248
j1,58626 0,31426j1,65693 - 0,02908
Y
BUS (durante-falta)
=
+
+
j9.31943 - 1,01317j0,43430 0,04055
j0.43380 0,04522j1,84416 - 0,00182
Y
BUS( reduzida pós-falta)
=
+
+
j2.23428 - 3.19712j1,57736 0.29170
j1.57323 0,31369j1,64387 - 0.02902
Os valores das tensões, ângulos, potências mecânicas e constantes de inércia para os
subsistemas
A
e
B
equivalentes são mostrados na Tabela 3.3.
●
Para o subsistema
A,
(Equações 3.30–3.33):
1
EE
A
= ;
1
δ=δ
A
;
1
mmA
PP =
;
1
MM
A
= .
51
●
Para o subsistema
B,
(Equações 3.34–3.37):
2
EE
B
= ;
2
δ=δ
B
;
32
mmmB
PPP +=
;
32
MMM
B
+=
.
Tabela 3.3 – Dados iniciais para os dois subsistemas A e B equivalentes
E
A
p.u.
δ
A
graus
E
B
p.u.
δ
B
graus
P
mA
p.u.
P
mB
p.u.
M
A
]
rad
s.u.p
[
2
−
M
B
]
rad
s.u.p
[
2
−
1,16651 22,965 1,01037 10,669 0,79959 3,19991 0,01671 0,15385
3.6.5 Redução de dois subsistemas a um sistema Máquina-Barra Infinita
As equações de oscilação para cada subsistema
A
e
B
da Figura 3.11 são assim escritas:
eAmA
A
A
PP
dt
d
M −=
δ
2
2
(3.47)
eBmB
B
B
PP
dt
d
M −=
δ
2
2
(3.48)
Subtraindo-se (3.48) de (3.47), tem-se:
B
eBmB
A
eAmA
BA
M
PP
M
PP
dt
d
)()(
)(
2
2
−
−
−
=
δ−δ
(3.49)
Multiplicando a equação (3.49) por
BA
BA
MM
MM
+
, resulta:
52
( ) ( )
eBmB
BA
A
eAmA
BA
BBA
BA
BA
PP
MM
M
PP
MM
M
dt
d
MM
MM
−
+
−−
+
=
δ−δ
+
2
2
)(
(3.50)
Ou ainda:
+
−
−
+
−
=
δ−δ
+
BA
eBAeAB
BA
mBAmAB
BA
BA
BA
MM
PMPM
MM
PMPM
dt
d
MM
MM
2
2
)(
(3.51)
Deste modo, a equação (3.51) pode ser escrita na seguinte forma:
EeqMeqeq
PP
dt
d
M −=
δ
2
2
(3.52)
Onde:
BA
δ−δ=δ (3.53)
BA
BA
eq
MM
MM
M
+
= (3.54)
BA
mBAmAB
Meq
MM
PMPM
P
+
−
= (3.55)
=
Eeq
P
BA
eBAeAB
MM
PMPM
+
−
(3.56)
De acordo com as equações (2.5) e (2.6), as equações de potência elétrica dos dois
subsistemas
A
e
B
equivalentes são:
)cos(cos
2
δ−θ+θ=
ABABBAAAAAAeA
YEEYEP
(3.57)
)cos(cos
2
δ+θ+θ=
BABAABBBBBBeB
YEEYEP
(3.58)
Substituindo as equações (3.57) e (3.58) em (3.56), resulta:
53
BA
BAABAAB
BA
ABBABBA
BA
BBBBBAAAAAAB
Eeq
MM
MYEE
MM
MYEE
MM
YEMYEM
P
+
δ+θ
−
+
δ−θ
+
+
θ−θ
=
)cos()cos(coscos
22
(3.59)
Ou, ainda:
)cos()cos(
21
δ+θ−δ−θ+=
BAABCEeq
KKPP
(3.60)
Onde:
=
C
P
BA
BBBBBAAAAAAB
MM
YEMYEM
+
θ−θ
coscos
22
(3.61)
BA
BABBA
MM
MYEE
K
+
=
1
(3.62)
BA
ABAAB
MM
MYEE
K
+
=
2
(3.63)
Os dois termos cossenoidais da equação (3.60) podem ser reduzidos a um único termo,
considerando-se a variável
δ
como referência conforme mostra a Figura 3.12, (KIMBARK,
1948).
Figura 3.12 – Representação geométrica da equação (3.60)
A partir da Figura 3.12, pode-se escrever a equação (3.60) na seguinte forma:
)cos(
τ−δ+=
MCEeq
PPP
(3.64)
Em que:
54
22
VHP
M
∑+∑=
(3.65)
∑
∑
=τ−
−
H
V
tg
1
(3.66)
Onde:
BAAB
KKH θ−θ=∑ coscos
21
(
)
BAAB
senKsenKV θ+θ−=∑
21
Então como:
222
VHP
M
∑+∑=
Tem-se:
(
)
BAABBAABM
sensenKKKKP θθ−θθ−+=
coscos2
21
2
2
2
1
2
)cos(2
21
2
2
2
1
BAABM
KKKKP θ+θ−+=
(3.67)
Ainda, da equação (3.66) tem-se:
θ−θ
θ+θ
=τ
−
BAAB
BAAB
KK
senKsenK
tg
coscos
21
21
1
(3.68)
A equação (3.64) pode ainda ser escrita na forma:
)(
ψ−δ+= senPPP
MCEeq
(3.69)
Em que:
o
90
−τ=ψ
(3.70)
55
A Figura 3.13 mostra a representação gráfica genérica da equação (3.69):
Figura 3.13 – Representação gráfica da equação de potência elétrica equivalente.
Considere, agora, uma curva de potência elétrica pós-falta genérica, como mostrado na
Figura 3.14. Os ângulos pós-falta de equilíbrio estável e instável são obtidos, respectivamente,
quando ocorre a intersecção da potência mecânica equivalente
Meq
P
,com a potência elétrica
equivalente pós-falta
)(
faltapósEeq
P
−
.
Figura 3.14- Potência elétrica equivalente no período pós-falta.
Então, na Figura 3.14 obtém-se:
56
faltapós
faltapósM
faltapósCMeq
s
P
PP
sen
−
−
−
−
ψ+
−
=δ
)(
)(
1
(3.71)
Ainda, na Figura (3.14), verifica-se a seguinte relação entre ângulos:
ψ−δ+δ=π+ψ
su
Logo, o ângulo pós-falta de equilíbrio instável é:
su
δ
−
ψ
+
π
=
δ
2
(3.72)
A equação de oscilação (3.52) pode ser reescrita como:
)]([
2
2
ψ−δ+−=
δ
senPPP
dt
d
M
MCMeqeq
(3.73)
Retomando o caso exemplo, os valores da constante de inércia e potência mecânica
equivalente da equação (3.73) são obtidos usando-se as equações (3.54) e (3.55),
respectivamente, ou seja:
eq
M
= 0,01507 ]
rad
s.u.p
[
2
−
Meq
P =
0,40775 p.u.
As potências elétricas equivalentes (3.69) contidas na equação (3.73) são obtidas aplicando-
se, respectivamente, as equações (3.61), (3.62), (3.63), (3.67), (3.68) e (3.70).
A Tabela 3.4 apresenta os parâmetros obtidos e utilizados para o cálculo da potência elétrica
equivalente durante- falta
:
Tabela 3.4 – Parâmetros para a potência elétrica durante-falta
P
C
p.u.
K
1
p.u.
K
2
p.u.
θ
AB
graus
θ
BA
graus
P
M
p.u.
τ
graus
Ψ
graus
–0,09910
0,46359
0,05037
85,05
84,67
0,51318
85,149
– 4,851
57
Então, a equação de potência elétrica (3.69) para o período durante-falta fica:
)851,4(51318,009910,0
)(
o
+δ+−=
−
senP
faltaduranteEeq
(3.74)
E a equação de oscilação equivalente resultante para o período durante-falta (3.73) é:
[ ]
)851,4(51318,009910,040775,001507,0
2
2
o
+δ+−−=
δ
sen
dt
d
(3.75)
A Tabela 3.5 apresenta os parâmetros obtidos e utilizados para o cálculo da potência elétrica
equivalente pós-falta:
Tabela 3.5 – Parâmetros para a potência elétrica pós-falta
P
C
p.u.
K
1
p.u.
K
2
p.u.
θ
AB
graus
θ
BA
graus
P
M
p.u.
τ
graus
Ψ
graus
-0,28414
1,70548
0,18523
78,72
79,52
1,87877
80,818
– 9,182
A equação de potência elétrica equivalente (3.69) para o período pós-falta é:
)9,182(87877,128414,0
)(
°+δ+−=
−
senP
faltapósEeq
(3.76)
A equação de oscilação equivalente resultante para o período pós-falta (3.73) é:
)]9,182(87877,128414,0[40775,001507,0
2
2
°+δ+−−=
δ
sen
dt
d
(3.77)
3.6.6 Cálculo do ângulo, tempo crítico e margens de segurança
A Figura 3.15 mostra as áreas acelerante e desacelerante para o caso exemplo.
58
Figura 3.15 – Aplicação do Critério de Área Iguais para o caso exemplo.
Aplicando-se o CAI na Figura 3.15, na condição
A
1
=
A
2
, obtém-se:
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
∫ ∫
δ
δ
δ
δ
−−
δ+δ=δ−δ
cr u
cr
dPdPP
faltapósEeqfaltaduranteEeqMequ
0
0
(3.78)
Os valores dos ângulos
δ
o
e
δ
s
e
δ
u
são obtidos das equações (3.53), (3.71) e (3.72),
respectivamente, ou seja:
000
BA
δ−δ=δ
= 12,296°
δ
s
= 12,426°
δ
u
= 149,209°
Colocando-se os valores de
δ
o
,
δ
u
,
P
Meq
, P
Eeq(durante-falta),
e
P
Eeq(pós-falta)
calculados nas equações
(3.53), (3.72), (3.55), (3.74) e (3.76) em (3.78), resulta na seguinte equação algébrica não-
linear:
054407,018504,0)182,9cos(87877,1)851,4cos(51318,0)( =+δ++δ++δ−=δ
crcrcrcr
f
(3.79)
Cuja derivada primeira é dada pela equação:
59
18504,0)182,9(87877,1)851,4(51318,0)(
++δ−+δ=δ
′
crcrcr
sensenf
(3.80)
A solução da equação (3.79) pode ser encontrada aplicando-se o método iterativo para
solução de equações algébricas não-lineares de Newton-Raphson, que consiste na resolução
do seguinte algoritmo:
)(
)(
)(
)(
)()1(
k
cr
k
cr
k
cr
k
cr
f
f
δ
′
δ
−δ=δ
+
(3.81)
Como estimativa inicial para a solução da equação (3.81), considera-se:
2
)(
0
)0(
δ
−
δ
=δ
u
cr
(3.82)
A solução de )(
cr
f δ
é geralmente encontrada com poucas iterações na equação (3.81)
A Tabela 3.6 mostra a evolução do processo de convergência do método de Newton-Raphson
partindo-se de
)0(
cr
δ
= 68,4565° dado pela equação (3.82). O ângulo crítico de abertura de
122,616º é encontrado em 4 iterações.
Tabela 3.6 – Cálculo do ângulo crítico
)(
)(
k
cr
f δ
[p.u.]
)(
(
k
cr
f δ
′
[p.u]
)(
)(
)(
)(
k
cr
k
cr
f
f
δ
′
δ
[p.u]
)1(
+
δ
k
cr
[graus]
1,01993 -1,15863 0,88029 118,893
0,05445 -0,86720 0,06278 122,490
0,00176 -0,81031 0,00218 122,615
0,00000 122,616
A margem de segurança normalizada
η
derivada da Figura 2.6 é definida por:
[
]
)(
)()(
2
12
c
cc
A
AA
δ
δ
−
δ
=η (3.83)
Onde:
=δ
)(
1
c
A
Área de aceleração no instante corresponde ao ângulo de abertura
c
δ
;
=δ
)(
2
c
A
Área de desaceleração no instante corresponde ao ângulo de abertura
c
δ
.
60
A evolução das margens de segurança para o caso exemplo é mostrada na Tabela 3.7.
Tabela 3.7 – Evolução das margens de segurança
Tempo
[s]
Ângulo do
Rotor [graus]
Área A
1
[p.u.]
Área A
2
[p.u.]
Margem
η
[p.u.]
0,050 13,974 0,01020 1,84108 0,99446
0,100 18,874 0,03763 1,83083 0,97945
0,150 26,612 0,07400 1,79020 0,95866
0,200 36,612 0,10931 1,69698 0,93559
0,250 48,202 0,13573 1,53966 0,91185
0,300 60,722 0,15024 1,32371 0,88650
0,350 73,635 0,15469 1,06902 0,85530
0,400 86,607 0,15395 0,80125 0,80786
0,450 99,541 0,15387 0,54387 0,71708
0,500 112,588 0,16037 0,31531 0,49139
0,510 115,241 0,16301 0,27446 0,40608
0,520 117,919 0,16623 0,23556 0,29431
0,530 120,625 0,17011 0,19876 0,14413
0,540 123,365 0,17471 0,16423 -0,06385
0,550 126,144 0,18012 0,13217 -0,36284
0,600 140,860 0,22295 0,01815 -11,28123
A Tabela 3.7 mostra que a margem de segurança torna-se negativa assim que o ângulo crítico
de abertura
cr
δ
= 122,616° é ultrapassado. Para este ângulo, o tempo crítico correspondente
encontrado pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem foi
cr
t
= 0,537 segundos.
A Tabela 3.8 mostra a síntese dos resultados obtidos pelo Método Proposto (MP) e pela
Solução no Domínio do tempo (SDT) do sistema original.
Tabela 3.8 – Síntese dos resultados comparados com a SDT
NC BCC NL B1 B2 GA q
máx
i
ω
~
mín
i
ω
~
ξ
MP SDT
1 5 12 5 7 (1), (2,3) 0,999 14,52556 0,05942 0,07388 0,376 0,37
2 8 4 4 8 (1), (2,3) 0,999 25,71879 0,00425 0,02997 0,218 0,21
3 9 8 5 9 (1), (2,3) 0,999 16,36584 0,03811 0,05444 0,401 0,40
4 10 16 6 10 (1), (2,3) 0,999 13,05033 0,01042 0,02346 0,446 0,44
5 4 10 4 6 (1), (2,3) 0,999 20,10544 0,02874 0,02874 0,270 0,27
6 6 15 6 7 (1), (2,3) 0,999 9,63656 0,02420 0,03381 0,537 0,54
7 7 13 7 9 (1), (2,3) 0,999 11,53890 0,04417 0,05566 0,388 0,38
8 5 11 5 10 (1), (2,3) 0,999 14,47899 0,05612 0,07055 0,376 0,37
Onde:
NC = Número do caso;
BCC = Barra em curto-circuito;
NL = Número da linha desligada;
B1 = Barra de origem da linha;
61
B2 = Barra de destino da linha;
GA = Geradores agrupados formando grupos coerentes;
q
= Índice de qualidade dos grupos formados;
ξ
= Tolerância admitida para a formação dos grupos de geradores;
MP = Tempo crítico de abertura obtido pelo método proposto;
STD = Tempo crítico de abertura obtido por simulação numérica no domínio do tempo.
As Figuras 3.16 e 3.17 representam as trajetórias do sistema equivalente no plano de fase
(
δ
x
ω
) e (
t
x
ω
). A consistência dos resultados pode ser verificada com o auxílio da Tabela
3.8.
Figura 3.16 – Representação no plano de fase para o sistema Máquina-Barra Infinita para tempos de abertura de
300 ms (azul), 540 ms (verde) e 550 ms (vermelho).
Figura 3.17 – Desvios de velocidade angular para o sistema Máquina-Barra Infinita para tempos de abertura de
300 ms (azul), 540 ms (verde) e 550 ms (vermelho).
62
3.7 Considerações finais
Neste capítulo, apresentou-se uma nova metodologia para identificação de geradores
coerentes com aplicação em um sistema elétrico de potência real. Um algoritmo para a
redução de rede e o equacionamento para o cálculo de equivalentes eletromecânicos foram
também desenvolvidos. Apresentou-se um fluxograma simplificado com os principais blocos
dos programas computacionais desenvolvidos. Finalmente, para uma melhor compreensão, a
metodologia foi aplicada em um sistema teste com detalhamento de todas suas etapas,
passando pela redução, equivalentes eletromecânicos, cálculo de tempos críticos e margens de
segurança. No próximo capítulo, serão apresentados exemplos de estudos de estabilidade
angular em alguns sistemas elétricos de potência, usando a metodologia desenvolvida.
4 ESTUDO DE CASOS DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
ANGULAR USANDO O CRITÉRIO DE AGRUPAMENTO DE
GERADORES COERENTES E EQUIVALENTES
ELETROMECÂNICOS
4.1 Introdução
Neste capítulo, serão apresentados alguns casos utilizados para validar a metodologia
descrita no capítulo anterior. A ordenação da severidade das contingências será feita com base
nos valores das margens de segurança normalizadas. A prioridade para a análise de casos com
o modelo detalhado será feita de acordo com o grau de risco que está associado aos tempos de
operação das proteções principais das linhas de transmissão.
Serão realizados estudos de estabilidade transitória no sistema CIGRÉ, com 17 barras, 20
linhas de transmissão/transformadores e 7 geradores e em uma possível configuração do
sistema elétrico de potência da Região sul do Brasil, com 45 barras, 73 linhas/transformadores
e 10 geradores. Além disso, um sistema elétrico de 9 barras, 9 linhas e 3 geradores é utilizado
para comparar o método proposto com aqueles que utilizam a função energia como função de
Lyapunov. Por fim, é realizado um estudo onde é considerada a presença hipotética de
geração eólica no sistema elétrico da Região Sul do Brasil.
A metodologia proposta pode ser utilizada no planejamento da expansão, da operação e
na operação em tempo real como definido nos Procedimentos de Rede do Operador Nacional
do Sistema Elétrico (ONS), da seguinte forma:
●
Planejamento da expansão: Por se tratar de estudos preliminares tendo em vista um
horizonte de vários anos, muitas vezes, não há necessidade de se utilizar modelos detalhados
dos componentes do sistema. Neste caso, a metodologia é bastante útil, pois centenas de casos
com inúmeras topologias e parâmetros podem ser processados rapidamente e estes resultados
preliminares são úteis na avaliação do impacto na estabilidade transitória.
●
Planejamento da Operação: No planejamento a médio prazo, os estudos devem ser
realizados considerando-se uma antecipação de um ano. Como a metodologia calcula as
margens de segurança, seleciona contingências e estabelece graus de prioridade para estudo
detalhado, consegue-se reduzir o número de contingências a serem examinadas com
tranqüilidade no tempo previsto pelos especialistas da área, favorecendo o estabelecimento de
estratégias para, por exemplo, aumentar as margens de segurança da operação.
64
●
Operação em Tempo Real: Aqui as decisões devem ser tomadas, por exemplo,56 no
máximo em 60 minutos. Neste caso, os resultados fornecidos pelo método são úteis, no
entanto a análise detalhada dependerá do tamanho do sistema e do número de contingências
críticas selecionadas.
4.2 Critérios de prioridade para a escolha das contingências a serem estudadas com
modelo detalhado
Todos os curtos-circuitos a serem estudados ocorrem nas linhas de transmissão e serão
eliminados pela abertura simultânea e definitiva dos disjuntores colocados nas extremidades
destas. De modo geral, as proteções principais das linhas de alta e extra-alta tensão são feitas
por meio de relés de distância com várias zonas de proteção ou um sistema de teleproteção,
que utiliza canais de comunicação entre as subestações para estabelecer a lógica de abertura
dos disjuntores.
4.2.1
Proteção de linhas de transmissão com relés de distância com várias zonas de proteção
A função proteção de distância (ANSI-21) mede, através de transformadores de corrente
e de potencial (TCs e TPs), as relações entre tensões e correntes de um circuito protegido, ou
seja, mede o valor da impedância entre o local da aplicação da proteção até o ponto em que
ocorre o curto-circuito. Os principais componentes de uma função de distância são mostrados
no diagrama simplificado da Figura 4.1:
Figura 4.1 – Componentes principais de um esquema de proteção de distância.
65
A impedância vista pelo relés de distância é uma função direta da sua localização com
respeito ao ponto em que ocorre o curto-circuito. Logo, não há influência do nível de curto-
circuito no alcance de um relé ANSI-21. Os tempos de abertura dos disjuntores são obtido por
temporizadores auxiliares independentes. Decorridos os respectivos tempos de ajuste, a tensão
contínua é aplicada nos mecanismos de disparo dos disjuntores.
A característica operacional simplificada de uma proteção de distância numérica digital é
mostrada na Figura 4.2, onde as regiões de operação são delimitadas pelas regiões internas
dos polígonos restringidas também pelas retas de direcionalidade. Nesse caso, três zonas de
proteção são apresentadas.
Figura 4.2 – Característica operacional de um proteção de distância digital.
Devido às imprecisões nas medidas dos TCs e TPs, bem como dos parâmetros elétricos
das linhas de transmissão, a proteção destas não pode ser feita com ajustes em exatos 100%
do comprimento da linha. Utiliza-se, então, a proteção por zonas como mostra a Figura 4.3,
eliminado-se assim um possível problema de sobrealcance ou subalcance dos relés. Em geral,
ajusta-se a primeira zona em torno de 85% da linha, a segunda zona em 120% e a terceira, em
200% ou até mais.
66
Figura 4.3 – Proteção de linhas de transmissão com relés 21-ANSI com três zonas.
De modo geral, a primeira zona de proteção é feita em alta velocidade, sem temporização
intencional, resultando em um tempo total de eliminação do defeito em torno de 100 ms. O
tempo de coordenação da primeira e a segunda zona fica em torno de 400 a 500 ms para relés
eletromecânicos e de 250 a 300 ms para relés numéricos. O tempo de abertura para a operação
da terceira zona é em geral de 1 s ou mais.
4.2.2
Proteção de linhas de transmissão por sistemas de teleproteção
Relés de distância em ambas as extremidades de uma linha, associados a um canal de
comunicação para enviar e receber o sinal de bloqueio ou disparo de uma subestação para
outra, formam um sistema de proteção seletivo de linhas de transmissão com uma única zona
de proteção como mostra a Figura 4.4. Os principais canais de comunicação utilizados em
sistemas de alta e extra-alta tensão são: Onda Portadora através dos próprios condutores da
linha, Sistemas de Microondas e Cabos de Fibra Ótica.
Figura 4.4 – Proteção de linhas de transmissão utilizando canal de comunicação.
67
De acordo com ZIEGLER (1999), os tempos envolvidos nos diversos dispositivos existentes
nos sistemas de teleproteção são:
Tempo para os relés detectarem uma falta > 10-60 ms;
Tempo para a conversão do sinal a ser enviado > 1-5 ms;
Recepção e decisão sobre o sinal> 6-40 ms;
Atraso adicional devido a ruído de sinal> 0-20 ms;
Tempo de operação dos relés auxiliares> 0-10 ms;
Mecanismo de disparo dos disjuntores> 30-40 ms;
Tempo de extinção de arco dos disjuntores> 10-20 ms.
Considerando os dois sistemas de proteção de linhas apresentados e objetivando-se selecionar
contingências críticas com relação à estabilidade transitória, vai-se estabelecer os seguintes
níveis de Prioridades para Estudos Detalhados (PED):
●
PED-1 – Todas as contingências com tempo crítico de abertura calculado pelo método
proposto, menor que o tempo de abertura dos disjuntores correspondente à primeira zona de
relés de distância convencionais por zonas, ou aos sistemas que utilizam teleproteção: Até
0,200 s;
●
PED-2 – Todas as contingências com tempo crítico de abertura calculado pelo método
proposto, entre os limites de abertura dos disjuntores referente à operação da segunda zona
dos relés de distância:(0,200 até 0,400 s];
●
PED-3 – Todas as contingências com tempo crítico de abertura calculado pelo método
proposto, superior ao tempo de abertura correspondente à operação da segunda zona dos relés
de distância: Acima de 0,400 s.
4.3 Exemplo 4.1 – Sistema CIGRÉ com 7 geradores
O sistema elétrico de potência CIGRÉ é mostrado na Figura 4.5, cujos dados e
parâmetros de linha encontram-se na Tabela C.5 do Apêndice C.
68
Figura 4.5 – Diagrama unifilar do sistema elétrico CIGRÉ.
O estado inicial de operação está na Tabela C.6 do Apêndice C. Os dados do sistema
reduzido às barras internas de geração na base de 100 MVA são mostrados na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Sistema elétrico CIGRÉ reduzido às barras internas
Barra de
Geração
Reatância
Transitória
d
X
'
[p.u.]
Constante
De Inércia
M
]
rad
s.u.p
[
2
−
Tensão
Interna
E [p.u.]
Ângulo
Interno do
Rotor
δ
[graus]
Potência
Mecânica de
Entrada
[p.u.]
1 0,05 0,06021 1,09693 5,354 2,17048
2 0,08 0,04112 1,17178 -3,187 1.20054
3 0,04 0,07592 1,08716 -3,857 2,56122
4 0,02 0,09549 1,08423 1,341 3,00007
5 0,05 0,06021 1,09836 4,563 2,29969
6 0,05 0,06775 1,01116 0,373 1,59977
7 0,06 0,05682 1,05187 4,684 1,74044
Os resultados encontrados pelo método proposto e pela simulação numérica no domínio do
tempo são mostrados na Tabela 4.2, onde:
NC = Número do caso;
BCC = Barra em curto-circuito;
NL = Número da linha desligada;
B1 = Barra de origem da linha;
B2 = Barra de destino da linha;
GA = Geradores agrupados formando grupos coerentes;
q
= Índice de qualidade dos grupos formados;
ξ
= Tolerância admitida para a formação dos grupos de geradores;
69
MP = Tempo crítico de abertura obtido pelo método proposto;
STD = Tempo crítico de abertura obtido por simulação numérica no domínio do tempo.
Tabela 4.2 – Resumo dos resultados para o sistema elétrico CIGRÉ
NC BCC NL B1 B2 GA q
ξ
MP SDT
1 8 9 8 11 (1), (2,3,4,5,6,7) 0,99 0,19315 0,340 0,348
2 8 8 8 10 (1), (2,3,4,5,6,7) 0,99 0,19448 0,342 0,34
3 10 10 9 10 (1,2,4,5,6,7),(3) 0,98 0,25022 0,386 0,39
4 11 16 11 16 (1,2,3,6,7),(4,5) 0,80 1,38527 0,496 0,49
5 11 17 11 17 (1,2,3,6,7),(4,5) 0,78 1,40101 0,495 0,49
6 10 13 10 16 (1,2,4,5,6,7),(3) 0,98 0,27425 0,387 0,39
7 10 12 10 11 (1,2,4,5,6,7),(3) 0,97 0,36845 0,385 0,38
As Figuras 4.6 e 4.7 apresentam os desvios de velocidade angular obtidos pela simulação
numérica no domínio do tempo, utilizando-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem para
o caso NC = 1.
Figura 4.6 – Curto-circuito na barra 8 com abertura da linha 8-11 no tempo de 0,348 s.
Figura 4.7 – Curto-circuito na barra 8 com abertura da linha 8-11 no tempo de 0,349 s.
70
4.3.1
Classificação das contingências segundo seu grau de severidade para o sistema CIGRÉ
No exemplo 4.1 apresentado, a Ordem de Severidade (OS) e as PED de cada
contingência de acordo com o exposto na seção 4.2 são apresentados nas Tabelas 4.3 e 4.4. A
ordem de severidade é feita com base nos seguintes critérios:
●
Tabela 4.3 – Critério 1 -Neste caso, a margem de segurança normalizada de cada
contingência (M1) é calculada considerando o tempo de abertura dos disjuntores de 100 ms,
ou seja, associada à operação da primeira zona dos relés de distância convencionais.
Tabela 4.3 – Ordenação segundo a Ordem de Severidade: Critério 1
NC OS BCC NL B1 B2 M1 MP SDT PED
1 1 8 9 8 11 0,97499 0,340 0,348 2
2 2 8 8 8 10 0,97727 0,342 0,34 2
7 3 10 12 10 11 0,98543 0,385 0,38 2
3 4 10 10 9 10 0,98589 0,386 0,39 2
6 5 10 13 10 16 0,98627 0,387 0,39 2
5 6 11 17 11 17 0,99403 0,495 0,49 3
4 7 11 16 11 16 0,99429 0,496 0,49 3
●
Tabela 4.4 - Critério 2. Neste caso, a margem de segurança normalizada de cada
contingência (M2) é calculada considerando o tempo de abertura dos disjuntores de 200 ms,
ou seja, associada à operação de sistemas de proteção de linhas por teleproteção, que utilizam
canais de comunicação entre as subestações.
Tabela 4.4 – Ordenação segundo a Ordem de Severidade: Critério 2
NC OS BCC NL B1 B2 M2 MP SDT PED
1 1 8 9 8 11 0,88926 0,340 0,348 2
2 2 8 8 8 10 0,89808 0,342 0,34 2
7 3 10 12 10 11 0,93685 0,385 0,38 2
3 4 10 10 9 10 0,93895 0,386 0,39 2
6 5 10 13 10 16 0,94075 0,387 0,39 2
5 6 11 17 11 17 0,97534 0,495 0,49 3
4 7 11 16 11 16 0,97636 0,496 0,49 3
Com relação às Tabelas 4.3 e 4.4, observa-se que os critérios 1 e 2 não alteram a ordem de
severidade. Com relação à prioridade para estudo detalhado, por se tratar de um sistema com
carga média, não foi encontrada nenhuma contingência com PED-1.
71
4.4 Exemplo 4.2 – Sistema da Região Sul do Brasil
Os resultados para o sistema elétrico de potência real da Região Sul do Brasil com 10
geradores, 45 barras e 73 linhas de transmissão/transformadores já apresentado no Capítulo 3,
são mostrados na Tabelas 4.5.
Tabela 4.5 – Resumo dos resultados no sistema da Região Sul do Brasil – 45 Barras
NC BCC NL B1 B2 GA q
ξ
MP SDT
1 18 30 18 19 (1,2,3,5,6,7,8,9,10),(4) 0,90 0,26625 0,090 0,093
2 18 28 16 18 (1,2,3,5,6,7,8,9,10),(4) 0,98 0,21975 0,126 0,12
3 18 32 18 44 (1,2,3,5,6,7,8,9,10),(4) 0,93 0,71709 0,128 0,13
4 18 29 17 18 (1,2,3,5,6,7,8,9,10),(4) 0,98 0,21852 0,127 0,12
5 33 56 32 33 (1,2,3,4,5,7,8,9,10),(6) 0,97 0,30219 0,327 0,36
6 33 14 11 33 (1,2,3,4,5,7,8,9,10),(6) 0,96 0,25635 0,321 0,34
7 33 57 33 36 (1,2,3,4,5,7,8,9,10),(6) 0,96 0,31136 0,276 0,28
8 39 66 39 40 (1,2,3,4,5,6,7,8,9),(10) 0,95 0,38669 0,159 0,16
9 39 26 15 39 (1,2,3,4,5,6,7,8,9),(10) 0,98 0,09473 0,195 0,19
10 25 13 11 25 (1,2,3,4,5,6,10),(7,8,9) 0,93 0,51279 (*) 0,401
As Figuras 4.8 e 4.9 mostram os desvios de velocidade obtidos pela simulação numérica
no domínio do tempo obtido pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem para o caso NC = 1.
Figura 4.8 – Curto-circuito na barra 18 com abertura da linha 18-19 no tempo de 0,093 s.
Figura 4.9 – Curto-circuito na barra 18 com abertura da linha 18-19 no tempo de 0,094 s
72
No caso NC=10 assinalado por (*) na Tabela 4.3, não foi possível identificar dois grupos
de máquinas coerentes, devido à natureza complexa do modo de oscilação apresentado.
Analisando as Figura 4.10 e 4.11, à primeira vista pode-se concluir que a perda de
sincronismo ocorre a partir de 1,5 segundos, pela separação das máquinas (7, 8 e 9) com
relação às máquinas (1, 2, 3, 4, 5, 6 e 10).
Figura 4.10 – Curto-circuito trifásico na barra 25 com abertura da linha 11-25 no tempo de abertura de 0,456
segundos.
Figura 4.11 – Curto-circuito trifásico na barra 25 com abertura da linha 11-25 no tempo de abertura de 0,457 s.
Entretanto, aumentado o tempo de simulação para 4 segundos, o tempo crítico encontrado foi
de 0,401 segundos, com a máquina 4 saindo de sincronismo com relação as máquinas (1, 2, 3,
5, 6, 7, 8, 9 e 10) como mostram as Figuras 4.12 e 4.13.
73
Figura 4.12 – Curto-circuito trifásico na barra 25 com abertura da linha 11-24 no tempo de abertura de 0,401
segundos.
Figura 4.13- Curto-circuito trifásico na barra 25 com abertura da linha 11-24 no tempo de abertura de 0,402 s.
A Figura 4.13 mostra que, em sistemas multimáquinas, a perda de sincronismo pode
ocorrer bem além da primeira oscilação. Nesse caso, o evento deve ser examinado com
atenção através da simulação numérica no domínio do tempo no sistema original. Oscilações
complexas não são comuns em sistemas com poucas máquinas, sendo mais freqüentes em
grandes sistemas elétricos nos quais as formações de vários grupos podem ocorrer. Nesses
casos, a redução da rede pode ser feita aplicando-se a metodologia apresentada na seção 3.2.
Obviamente, com mais de dois grupos não é possível aplicar o CAI. Entretanto, cada grupo
pode ser representado por uma máquina equivalente, e os tempos críticos podem ser
encontrados pela solução numérica de um menor número de equações. Com isso, o tempo de
simulação pode ser reduzido de maneira significativa.
74
4.4.1
Classificação das contingências segundo seu grau de severidade para o sistema da
Região Sul do Brasil
As Tabelas 4.6 e 4.7 apresentam a OS e a PED pelos critérios 1 e 2, respectivamente:
Tabela 4.6 – Ordenação segundo a Ordem de Severidade: Critério 1
NC OS BCC NL B1 B2 M1 MP SDT PED
1 1 18 30 18 19 -0,23184 0,090 0,093 1
2 2 18 28 16 18 0,40980 0,126 0,12 1
4 3 18 29 17 18 0,41699 0,127 0,13 1
3 4 18 32 18 44 0,43089 0,128 0,12 1
8 5 39 66 39 40 0,62370 0,159 0,16 1
9 6 39 26 15 39 0,79770 0,195 0,19 1
7 7 33 57 33 36 0,92451 0,276 0,28 2
6 8 33 14 11 33 0,95596 0,321 0,34 2
5 9 33 56 32 33 0,95754 0,327 0,36 2
10 10 25 13 11 25 0,98597 (*) 0,401 3
Tabela 4.7 – Ordenação segundo a Ordem de Severidade: Critério 2
NC OS BCC NL B1 B2 M2 MP SDT PED
1 1 18 30 18 19 -10,35584 0,090 0,093 1
2 2 18 28 16 18 -3,57933 0,126 0,12 1
3 3 18 32 18 44 -3,54448 0,128 0,13 1
4 4 18 29 17 18 -3,50838 0,127 0,12 1
8 5 39 66 39 40 -0,81403 0,159 0,16 1
9 6 39 26 15 39 -0,06899 0,195 0,19 1
7 7 33 57 33 36 0,65254 0,276 0,28 2
6 8 33 14 11 33 0,80693 0,321 0,34 2
5 9 33 56 32 33 0,81668 0,327 0,36 2
10 10 25 13 11 25 0,94770 (*) 0,401 3
Por meio das Tabelas 4.6 e 4.7, pode-se verificar a ordem de severidade estabelecida
pelas margens de segurança considerando os critérios 1 e 2 e que somente as contingências 3
e 4 mudaram de posição. Por se tratar de um sistema com carga pesada, 6 contingências foram
classificadas como PED-1. O caso NC = 10 (*) foi classificado como PED-3 com base na
simulação numérica no domínio do tempo.
4.5 Comparação com o método direto de Lyapunov
O método proposto será agora comparado com os resultados obtidos nos métodos que
empregam o conceito de função energia como função de Lyapunov. Bons resultados foram
obtidos por KAKIMOTO et al. (1980) e DECKER (1984) ao empregar o conceito de
Superfície Limite de Energia Potencial (PEBS). A Metodologia que encontra os Pontos de
75
Equilíbrio Instáveis de Controle (BCU) apresentado por CHIANG (1994 e 1995) mostrou
muita eficiência e aprimorou os conceitos apresentados por PRABHAKARA & EL-ABIAD
(1975) e as aplicações em MARIOTTO (1981), que calculavam os pontos de equilíbrio
instáveis mais próximos.
Muitos trabalhos são encontrados na literatura, que visam obter melhores funções de
Lyapunov para melhorar ainda mais os resultados encontrados para os tempos críticos de
abertura, especialmente nas situações em que o sistema está operando sob condições críticas
de carga. Como as funções energia são construídas tomando como base cargas modeladas por
impedância constante e um modelo reduzido de rede, as condutâncias envolvidas são em geral
significativas e não podem ser desconsideradas. Não existe ainda um método totalmente
adequado para encontrar funções energia que leve em conta o efeito das condutâncias das
linhas de transmissão e cargas. As funções até agora usadas que levam em conta parcialmente
este efeito são apresentadas em BRETAS & ALBERTO (2003) e DHOLE & KHEDKAR
(2005). De qualquer modo, os resultados obtidos até agora por meio destes métodos são
promissores.
Uma nova função energia de Lyapunov (AEF) apresentada por DHOLE & KHEDKAR
(2005) mostrou resultados consistentes e será utilizada como referência na comparação com
os resultados obtidos pelo Método Proposto (MP) neste trabalho.
Para fins de comparação, será utilizado o sistema elétrico de potência da Figura 4.14, o
qual é composto por 3 geradores e 9 barras (ANDERSON, 2003). Os dados e parâmetros de
linha e estado inicial de operação estão nas Tabelas C.7 e C.8 do Apêndice C.
Figura 4.14 – Diagrama unifilar do sistema elétrico de potência com 3 geradores e 9 barras.
Os dados do sistema reduzido às barras de geração na base de 100 MVA estão na Tabela 4.8.
76
Tabela 4.8 – Sistema com 3 geradores reduzido às barras de geração
Barra de
Geração
Reatância
Transitória
d
X
'
[p.u.]
Constante
De Inércia
M
]
rad
s.u.p
[
2
−
Tensão
Interna
E [p.u.]
Ângulo
Interno do
Rotor
δ
[graus]
Potência
Mecânica de
Entrada
[p.u.]
1 0.0608 0.12541 1.05664 2.270 0.71571
2 0.1198 0.03395 1.05020 19.732 1.62982
3 0.1813 0.01597 1.01697 13.162 0.84956
4.5.1
Resultados obtidos pelo Método Proposto e pela Simulação no Domínio do Tempo
Foram simulados curtos-circuitos trifásicos em todas as barras do sistema. Os resultados
obtidos com o Método Proposto e a SDT estão na Tabela 4.9, onde
máx
ij
ω
~
,
mín
ij
ω
~
são os
máximos e mínimos desvios de velocidade angular encontrados entre os geradores,
respectivamente.
Tabela 4.9 – Resultados comparativos do Método Proposto e a SDT
NC BCC NL B1 B2 GA q
máx
i
ω
~
mín
i
ω
~
ξ
MP SDT
1 4 8 4 5 (1), (2,3) 0,999 12,65262 0,31697 0,32890 0,314 0,320
2 5 8 5 4 (1), (2,3) 0,999 9,13495 0,19812 0,20706 0,410 0,408
3 4 9 4 6 (1), (2,3) 0,999 13,38723 0,05703 0,07036 0,310 0,312
4 6 9 6 4 (1), (2,3) 0,999 7,65086 0,23705 0,24447 0,456 0,453
5 5 6 5 7 (1), (2,3) 0,999 9,31937 0,12709 0,13628 0,329 0,320
6 7 6 7 5 (1), (2,3) 0,999 10,51507 1,48604 1,49507 0,185 0,163
7 6 7 6 9 (1), (2,3) 0,999 3,72478 0,24999 0,25347 0,394 0,392
8 9 7 9 6 (1), (2,3) 0,999 15,19143 1,34121 1,35506 0,237 0,216
9 7 4 7 8 (2),(1,3) 0,999 12,99974 0,68831 0,70063 0,185 0,183
10 8 4 8 7 (2),(1,3) 0,999 9,61945 0,94492 0,95359 0,286 0,276
11 8 5 8 9 (2),(1,3) 0,999 11,56891 0,90947 0,92013 0,317 0,305
12 9 5 9 8 (3),(1,2) 0,999 21,74969 0,24861 0,27011 0,244 0,237
4.5.2
Resultados comparativos com os métodos que empregam o conceito de função energia
como função de Lyapunov
Os resultados comparativos do método proposto com três métodos diretos que utilizam a
função energia como função de Lyapunov são mostrados na Tabela 4.10, onde:
PEBS = Potential Energy Boundary Surface;
BCU = Boundary Controlling Unstable Equilibrium Point;
AEF = Antigen Energy Function;
MP = Método proposto;
SDT = Simulação no Domínio do Tempo.
77
Tabela 4.10 – Método Proposto e os Métodos Diretos de Lyapunov
NC BCC NL B1 B2 PEBS BCU AEF MP SDT
1 4 8 4 5 0.325 0.322 0.325 0.314 0.320
2 5 8 5 4 0.430 0.440 0.429 0.410 0.408
3 4 9 4 6 0.322 0.319 0.322 0.310 0.312
4 6 9 6 4 0.475 0.464 0.475 0.456 0.453
5 5 6 5 7 0.344 0.354 0.344 0.329 0.320
6 7 6 7 5 0.191 0.198 0.173 0.185 0.163
7 6 7 6 9 0.410 0.403 0.410 0.394 0.392
8 9 7 9 6 0.249 0.242 0.240 0.237 0.216
9 7 4 7 8 0.204 0.153 0.195 0.185 0.183
10 8 4 8 7 0.319 0.373 0.318 0.286 0.276
11 8 5 8 9 0.329 0.353 0.329 0.317 0.305
12 9 5 9 8 0.245 0.264 0.244 0.244 0.237
A Tabela 4.10 mostra que o Método Proposto apresenta resultados muito consistentes, quando
comparados com os resultados obtidos por simulação numérica. Com relação aos métodos
diretos que empregam a função energia como função de Lyapunov, observa-se que, na
maioria dos casos, os resultados obtidos pelo Método Proposto foram mais precisos.
4.5.3
Classificação das contingências pelo seu grau de severidade para o sistema com 3
geradores
A Tabela 4.11 mostra a ordem de severidade pelo critério 1.
Tabela 4.11 – Ordem de Severidade pelo Critério 1
NC OS BCC NL B1 B2 M1 MP SDT PED
6 1 7 6 7 5 0,69258 0,185 0,163 1
9 2 7 4 7 8 0,75984 0,185 0,183 1
8 3 9 7 9 6 0,82786 0,237 0,216 2
10 4 8 4 8 7 0,89313 0,286 0,276 2
5 5 5 6 5 7 0,89421 0,329 0,320 2
12 6 9 5 9 8 0,92119 0,244 0,237 2
7 7 6 7 6 9 0,93509 0,394 0,392 2
11 8 8 5 8 9 0,93558 0,317 0,305 2
3 9 4 9 4 6 0,94915 0,310 0,312 2
1 10 4 8 4 5 0,94979 0,314 0,320 2
2 11 5 8 5 4 0,95919 0,410 0,408 3
4 12 6 9 6 4 0,96731 0,456 0,453 3
A Tabela 4.12 mostra a ordem de severidade pelo critério 2.
78
Tabela 4.12 – Ordem de Severidade pelo Critério 2
NC OS BCC NL B1 B2 M2 MP SDT PED
9 1 7 4 7 8 -0,29944 0,185 0,183 1
6 2 7 6 7 5 -0,21343 0,185 0,163 1
8 3 9 7 9 6 0,35809 0,237 0,216 2
12 4 9 5 9 8 0,57670 0,244 0,237 2
10 5 8 4 8 7 0,62165 0,286 0,276 2
5 6 5 6 5 7 0,66158 0,329 0,320 2
11 7 8 5 8 9 0,75439 0,317 0,305 2
3 8 4 9 4 6 0,77144 0,310 0,312 2
1 9 4 8 4 5 0,77717 0,314 0,320 2
7 10 6 7 6 9 0,78901 0,394 0,392 2
2 11 5 8 5 4 0,85547 0,410 0,408 3
4 12 6 9 6 4 0,88738 0,456 0,453 3
Nesse caso, a ordem de severidade determinada pelos critérios 1 e 2 foi bastante alterada.
No entanto a prioridade para estudo detalhado foi mantida. Cabe ressaltar que a ordem de
severidade determinada pelo método proposto usando modelo clássico simplificado, poderá
sofrer alterações quando da análise com modelo detalhado.
4.6 Exemplo de estabilidade angular em sistemas reais com a presença de geração
eólica
Nos últimos anos, as fontes renováveis de energia, especialmente a eólica, tiveram um
considerável desenvolvimento. No seu último boletim, a WWEA, “World Wind Energy
Association”, anunciou uma modificação nas estimativas e prevê que até o final de 2010
pode-se atingir mundialmente uma potência eólica instalada de 160 GW. O impacto da
geração distribuída nos sistemas de transmissão e distribuição tem sido um assunto de
interesse das concessionárias de energia e motivo de intensa pesquisa (NUNES et al., 2004;
EPING et al., 2005). Entre os vários aspectos envolvidos, a estabilidade angular tem recebido
especial atenção. Em muitos países da Europa, nos Estados Unidos, Canadá, Austrália bem
como no Brasil, são exigidos estudos de impacto de fazendas eólicas na estabilidade
transitória.
Devido à natureza estocástica do vento, a energia capturada por turbinas eólicas varia de
maneira randômica. Para reduzir-se a qualidade de energia fornecida e para limitar esforços
mecânicos, muitos fabricantes de turbinas eólicas adotam o conceito de velocidade variável de
modo que a freqüência constante do sistema elétrico de potência a ser conectado seja isolada
da freqüência dos geradores eólicos por conversores estáticos (CA-CC-CA).
Uma revisão na literatura mostra que a maioria dos trabalhos publicados sobre geração
eólica trata do comportamento dinâmico destes geradores perante a simulação de curtos-
79
circuitos no ponto comum de conexão (PCC), ou próximo deste. Normalmente esses estudos
visam prever problemas de afundamento de tensão que possam desconectar a usina eólica do
sistema. Tais estudos são conhecidos como “Low Voltage Ride Through Capability” (LVRT)
de turbinas eólicas.
Poucos são os trabalhos que examinam a influência das fazendas eólicas nas margens de
estabilidade transitória do sistema de transmissão. Sistemas que possuem um alto grau de
penetração de geração eólica necessitam de uma reserva girante adicional que deve ser
provida pelos geradores convencionais. Esta reserva deve estar pronta e sincronizada à rede
para entrar em operação em no máximo 10 minutos na eventual perda de geração eólica. De
acordo com a BWEA, “British Wind Energy Association”, altos níveis de penetração eólica
podem aumentar os níveis de reserva girante, já que o fator de carga de uma fazenda eólica
fica em torno de 30%. Um estudo realizado pela CEGB, “Central Electricity Generating
Board”, estimou que fontes intermitentes de energia devessem suprir mais de 20% da
demanda máxima na Inglaterra e País de Gales. Esta reserva girante adiciona inércia ao
sistema e tem significativa influência nos tempos críticos de abertura.
Seguindo-se esta tendência, deseja-se analisar o impacto na estabilidade angular do
sistema de potência e, para tanto, os curtos-circuitos serão simulados nas proximidades das
usinas convencionais. Com curtos-circuitos eletricamente distantes do PCC, as correntes e
tensões durante a perturbação não chegam a sofrer alterações significativas neste ponto,
permanecendo as eólicas conectadas. Turbinas eólicas de velocidade variável não perdem o
sincronismo com relação ao PCC, com curtos-circuitos ocorrendo em pontos distantes a este.
Isso porque possuem um mecanismo de controle chamado PLL, “Phase Locked Loop”, que
mantém o sincronismo entre a tensão da rede no lado AC do conversor e o PCC, mesmo com
oscilações de tensão.
Atualmente, em grandes fazendas eólicas, as turbinas de velocidade variáveis mais
usadas são as que utilizam o DFIG, “Double Fed Induction Generators” e o DDSG, “Direct-
Drive Synchronous Generators”. Em alguns países, esta última é muito utilizada, e no Brasil,
o maior parque eólico em operação, em Osório-RS que tem 3 fazendas de 50 MW cada,
totalizando 150 MW, utiliza esta tecnologia. A Figura 4.15 mostra os principais blocos do
conceito de turbina eólica utilizando geradores síncronos com grande número de pólos cujos
conversores devem ser dimensionados para potência em torno de 1,3 p.u. O rotor e gerador
estão no mesmo eixo, dispensando a caixa de engrenagem. Os geradores precisam ter um
grande número de pólos para que possam operar com baixa velocidade.
80
Figura 4.15 – Turbina eólica com gerador síncrono diretamente conectado.
Como não existe interação entre a freqüência do sistema de transmissão e a freqüência
dos geradores eólicos de velocidade variável, os estudos de estabilidade transitória podem ser
feitos modelando fazendas eólicas como barras
P-Q.
Existe uma forte e sensitiva relação entre a potência elétrica ativa de saída dos geradores
e a posição angular dos seus rotores. Para mostrar esse efeito, as fazendas eólicas serão
diretamente ligadas às barras de carga, operando com fator de potência unitário. Este modo de
operação é muito comum em turbinas de velocidade variável e afetará diretamente a potência
elétrica dos geradores convencionais.
Em uma possível configuração do sistema elétrico de potência da Região Sul do Brasil,
considera-se um carregamento total de 6648 MW, aqui designado por Cenário I. Considera-se
também para o mesmo carregamento a inserção local de 1300 MW de geração eólica, aqui
designado por Cenário II. Para isso, admitiram-se hipoteticamente 9 fazendas eólicas
representadas por turbinas de velocidade variável, com geradores síncronos ligados à rede
através de conversores nas barras 20, 21, 22, 23, 24, 27, 37, 38 e 40, como mostra a Figura
4.16. O sistema reduzido às barras de geração para os Cenários I e II pode ser encontrado,
respectivamente, em (MARIOTTO & PINHEIRO, 2006) e (MARIOTTO et al., 2007). Os
resultados estão apresentados nas Tabelas 4.13, 4.14 e 4.15.
Tabela 4.13 – Tempos críticos - MP e SDT: Cenário I
NC BCC NL B1 B2 MP SDT PED
1 18 30 18 19 0,090 0,093 1
2 18 28 16 18 0,126 0,12 1
3 18 32 18 44 0,128 0,13 1
4 18 29 17 18 0,127 0,12 1
5 33 56 32 33 0,327 0,36 2
6 33 14 11 33 0,321 0,34 2
7 33 57 33 36 0,276 0,28 2
8 39 66 39 40 0,159 0,16 1
9 39 26 15 39 0,195 0,19 1
10 25 13 11 25 (*) 0,401 3
81
Tabela 4.14 – Tempos críticos - MP e SDT: Cenário II
NC BCC NL B1 B2 MP SDT PDE
1 18 30 18 19 0.176 0.18 1
2 18 28 16 18 0.203 0.20 2
3 18 32 18 44 0.203 0.20 2
4 18 29 17 18 0.204 0.20 2
5 33 56 32 33 0.388 0.41 2
6 33 14 11 33 0.387 0.40 2
7 33 57 33 36 0.354 0.35 2
8 39 66 39 40 0.241 0.25 2
9 39 26 15 39 0.276 0.27 2
10 25 13 11 25 (*) 0.51
3
A Tabela 4.15 mostra as margens de segurança para os dois cenários considerando um
curto-circuito trifásico na barra 18, em Salto Osório, com abertura da linha de transmissão 18-
19, Salto Osório à Foz da Areia. O caso NC = 10 (*) novamente foi classificado como PED-3
com base na simulação numérica no domínio do tempo.
Tabela 4.15- Margens de Segurança: Cenário I e II
Tempo
em [ s ]
Margem em p.u.
Cenário I
Margem em p.u.
Cenário II
0.020 0.94852 0.98898
0.040 0.79716 0.95600
0.060 0.55198 0.90118
0.080 0.21389 0.82417
0.100 -0.23184 0.72345
0.120 -0.82975 0.59533
0.140 -1.68095 0.43232
0.160 -3.00963 0.22066
Figura 4.16 - Diagrama unifilar do sistema elétrico de potência da Região Sul do Brasil com a presença de 9
fazendas eólicas.
82
Comparando as Tabelas 4.13 e 4.14, percebe-se que a presença de geração eólica
aumentou os tempos críticos de abertura. A Tabela 4.15 mostra o conseqüente ganho na
margem de segurança normalizada para o caso NC = 1.
4.7 Considerações finais
Os exemplos apresentados comprovaram a precisão e confiabilidade do método
proposto. A coerência dos resultados, quando comparados com os métodos diretos e o da
simulação numérica no domínio do tempo, recomenda a utilização da metodologia proposta.
A ordenação das contingências segundo seu grau de severidade e a sua classificação em
ordem de prioridade para realizar estudos detalhados de estabilidade transitória são de grande
utilidade no planejamento da expansão e operação bem como na operação em tempo real de
sistemas elétricos de potência.
A presença de geradores eólicos acionados por turbinas de velocidade variável próximos
da carga alivia os geradores convencionais e muda substancialmente o fluxo de potência nas
linhas. A demanda pode ser mantida ou até aumentada com a presença de geração eólica.
Devido à natureza estocástica do vento, as unidades convencionais precisam manter uma
reserva girante adicional sincronizada com a rede. Como conseqüência, há um aumento da
inércia efetiva do sistema, das margens de segurança de operação e dos tempos críticos de
abertura das linhas.
Contudo, o estudo aqui realizado restringiu-se às questões puramente técnicas. As
conclusões referentes ao aumento das margens de segurança operacional não levaram em
conta o custo da instalação e operação de uma fazenda eólica. Recomenda-se cautela, pois
provavelmente não se justificaria um investimento na instalação de centrais eólicas
objetivando apenas melhorar a margem de segurança transitória.
5 FUNDAMENTOS DE ESTABILIDADE ESTÁTICA DE TENSÃO
5.1 Introdução
Estabilidade de tensão é a capacidade de um sistema em manter as tensões dentro de
limites operacionais aceitáveis quando submetido a contingências ou aumento de carga. Um
sistema é considerado instável quando o aumento da demanda de carga e ou alterações nas
condições de operação produzem uma progressiva e incontrolável queda de tensão,
conduzindo o sistema ou parte deste a um perfil de tensões extremamente baixo (KUNDUR,
1994).
A instabilidade de tensão é um fenômeno essencialmente local, mas suas conseqüências
podem ampliar de maneira significativa o problema. Uma destas conseqüências é um
fenômeno bem mais complexo, chamado colapso de tensão, que é uma seqüência de eventos
sucessivos, que resultam em subtensões acentuadas em todas as barras ou em uma região
significativa do sistema.
O colapso de tensão pode ocorrer em diversas escalas de tempo. Se ocorrer em um
transitório muito rápido, a estabilidade de tensão pode ocorrer quase que simultaneamente
com o fenômeno da estabilidade angular. Por exemplo: Um curto-circuito em um ponto que
interliga dois sistemas sincronizados pode produzir uma separação angular entre eles que, se
chegar a 180° elétricos, produz em algum ponto da conexão um centro elétrico com tensão
nula (VENIKOV, 1980). No entanto os colapsos de tensão nem sempre resultam em
problemas irreversíveis de estabilidade angular. Até mesmo colapsos de tensão ocorridos no
período transitório, com tempos de abertura lentos, não resultam necessariamente em perda de
estabilidade angular. Embora nem sempre seja possível separar estes dois fenômenos, pode-se
dizer que, em geral, estabilidade angular é um problema vinculado à geração e a estabilidade
de tensão um problema relacionado à carga.
A estabilidade de tensão é um fenômeno que está intimamente ligado com a quantidade,
localização e natureza das fontes de reativos disponíveis. Por exemplo, se a fonte de reativos
estiver muito distante da carga, se for insuficiente ou depender muito de compensação
capacitiva em paralelo, simples contingências como perda de linha ou aumento significativo
da carga podem levar a uma acentuada diminuição da tensão. Por isso, a operação sucessiva
de relés de subtensão e subfrequência (ANSI-27 e ANSI-81) pode provocar desligamentos em
cascata. Em geral, o início do declínio da tensão é lento e gradual e os operadores não
84
identificam isso como um sintoma de colapso. Quando percebem este risco eminente, já é
tarde para tomar medidas corretivas.
Trata-se de um fenômeno dinâmico que deve ser estudado com técnicas não-lineares de
simulação no domínio do tempo. Estas técnicas, no entanto, além do enorme tempo
computacional envolvido, têm dificuldade em quantificar e indicar diretamente as margens de
estabilidade em barras ou regiões críticas. Além disso, resultados obtidos da análise dinâmica
sempre necessitam da intervenção de especialistas da área. Por estas razões, as técnicas de
análise estática têm sido mais utilizadas e difundidas no meio acadêmico e nas empresas do
setor elétrico.
5.2 Estabilidade estática de tensão de sistemas de potência com dois terminais
Técnicas estáticas são muito úteis para determinar a margem de carga ou a segurança de
um estado de operação com relação ao ponto de colapso de tensão. Os operadores do sistema
elétrico devem conhecer o carregamento máximo de cada barra nas quais as tensões
permaneçam dentro de valores aceitáveis, sem causar nenhum problema ou danos aos
equipamentos.
5.2.1
Equações para a potência elétrica
As relações entre tensão e potência ativa e reativa são derivadas das equações de fluxo de
potência. Para melhor analisar estas relações, considere o sistema representado por um
sistema alimentando uma carga através de uma linha de transmissão, como mostra a Figura
5.1.
Figura 5.1 - Sistema Elétrico de Potência com dois terminais.
85
As variáveis e parâmetros a serem utilizados estão descritos como segue:
=θ∠=
111
VV
r
Fasor de tensão no lado da fonte;
=θ∠=
222
VV
r
Fasor de tensão no lado da carga;
=α∠=
111
II
r
Fasor de corrente injetada pela fonte;
=α∠=
222
II
r
Fasor de corrente injetada na carga;
=α∠=
121212
II
r
Fasor de corrente injetada no ramo série da linha de transmissão;
=α∠=
101010
II
r
Fasor de corrente injetada no ramo paralelo no lado da fonte;
=α∠=
202020
II
r
Fasor de corrente injetada no ramo paralelo no lado da carga;
=β∠= ZZ
Grandeza complexa representando a impedância série da linha de transmissão;
=θ∠=
shshsh
YY
Grandeza complexa representando a admitância capacitiva em paralelo da
linha de transmissão;
=+=φ∠=
2222
jQPSS
Grandeza complexa representando a potência aparente na barra de
carga.
5.2.2
Relações entre as tensões e correntes
(i) Equação para
1
V
r
Pela lei de Kirchoff de tensões no diagrama da Figura 5.1, vem:
2121
VIZV
r
r
r
+=
(5.1)
86
A corrente na linha entre as barras 1 e 2 é dada por:
2212
2
I
Y
VI
sh
rrr
+=
(5.2)
Colocando-se a equação (5.2) em (5.1) obtém-se:
2221
2
VI
Y
VZV
sh
rrrr
+
+= (5.3)
Fatorando
2
V
e
2
I
na equação (5.3)
[ ]
221
1
2
IZV
Y
ZV
sh
rrr
+
+= (5.4)
Designando-se as constantes
A
e
B
como:
+=α∠= 1
2
sh
Y
ZAA [adimensional] (5.5)
β∠=β∠= ZBB
[Ohms] (5.6)
A equação (5.4) pode ser assim escrita:
221
IBVAV
r
r
r
+=
(5.7)
(ii) Equação para
1
I
r
Aplicando a lei de Kirchoff das correntes no diagrama da Figura 5.1, tem-se:
)(
2201012101
IIIIII
r
r
r
r
r
r
++=+= (5.8)
221220101
2
2
)(
I
Y
V
Y
VIIII
shsh
rrrrrrr
++=++=
(5.9)
87
Substituindo o valor de
1
V
r
dado pela equação (5.4) em (5.9), obtém-se:
{
[ ]
} { }
22221
22
1
2
I
Y
V
Y
IZV
Y
ZI
shshsh
rrrrr
+++
+= (5.10)
Fatorando
2
V
r
e
2
I
r
na equação (5.10), tem-se:
221
1
24
1 I
YZ
V
YZ
YI
shsh
sh
rrr
++
+= (5.11)
Designando-se as constantes
C
e
D
como:
+=
4
1
sh
sh
YZ
YC [Siemens] (5.12)
+= 1
2
sh
YZ
D [adimensional] (5.13)
E a equação (5.11) pode ser assim escrita:
221
IDVCI
r
r
r
+=
(5.14)
Colocando as equações (5.7) e (5.14) na forma matricial, tem-se :
=
2
2
1
1
I
V
DC
BA
I
V
r
r
r
r
(5.15)
De modo geral, linhas de transmissão curtas, com comprimento de até 80 km, podem ser
representadas simplesmente por uma impedância série equivalente. Em linhas médias entre 80
a 240 km, as constantes
DeCBA
,, da equação (5.15) devem ser calculadas considerando o
modelo
π
nominal. Em linhas de transmissão longas, com comprimento acima de 240 km,
recomenda-se a utilização do modelo
π
equivalente.
88
5.2.3
Equação da potência complexa injetada na barra de carga
A potência complexa aparente entregue à carga é dada pela equação:
22222
jQPIVS +==
∗
r
r
(5.16)
Da equação (5.7)
−
=
B
VAV
I
21
2
r
r
r
(5.17)
Colocando (5.17) em (5.16), obtém-se:
∗
−
=
B
VAV
VS
21
22
r
r
r
(5.18)
β−∠
θ−∠α−∠−θ−∠
θ∠=
B
VAV
VS
))((
2211
222
(5.19)
α−β∠
−
β+θ−θ∠
=
B
AV
B
VV
S
)()(
2
21221
2
(5.20)
Da equação (5.16)
[
]
φ+φ=φ∠=+= jsenSSjQPS
cos
22222
(5.21)
Separando a potência ativa e reativa da equação (5.21), obtém-se, respectivamente:
)cos()cos(
2
2
12
21
2
α−β
−β+θ−θ
=
B
AV
B
VV
P
(5.22)
)()(
2
2
12
21
2
α−β
−β+θ−θ
= sen
B
AV
sen
B
VV
Q
(5.23)
89
Designando-se:
21
θ−θ=θ
(5.24)
α
−
β
=
γ
(5.25)
2
2
P
Q
tg =φ
(5.26)
Substituindo (5.24), (5.25) e (5.26) em (5.22) e (5.23), obtém-se:
)cos()cos(
2
221
2
γ
−θ−β
=
B
AV
B
VV
P
(5.27)
)()(
2
221
22
γ
−θ−β
=φ= sen
B
AV
sen
B
VV
tgPQ
(5.28)
5.2.4
Interpretação das equações de potência elétrica
Para facilitar a interpretação, as equações (5.27) e (5.28) serão simplificadas. Para isso a
linha de transmissão da Figura 5.1 será considerada puramente reativa e com 0
=
sh
Y
. Os
valores das constantes
A
e
B
calculados nas equações (5.5) e (5.6) são, respectivamente:
oo
0101
2
1
=α=⇒∠=+= eA
YZ
A
sh
oo
90900
=β=⇒∠=+=+==β∠= eXBXjXjXRZBB
Da equação (5.25):
o
90
=α−β=γ
90
Substituindo os valores de
A
,
B
,
β
e
γ
nas equações (5.27) e (5.28), resulta:
θ= sen
X
VV
P
21
2
(5.29)
X
V
X
VV
Q
2
221
2
cos
−θ=
(5.30)
Com relação às equações (5.29) e (5.30), observa-se que:
●
para fluir potência ativa da barra 1 à barra de carga 2, o sinal do ângulo
θ
entre as tensões
21
VeV
r
r
deve ser positivo;
●
a maximização de transferência de potência ativa através de linhas muito longas necessita
de uma grande diferença angular
θ
, colocando em risco a estabilidade angular;
●
para diferenças angulares
θ
acima de
o
90 elétricos, a transferência de potência ativa
começa a diminuir até se anular, e a exigência de potência reativa aumenta perigosamente,
comprometendo as curvas de capabilidade dos geradores. Se o ângulo
θ
chegar a
o
180
elétricos, ocorre em um ponto da linha um centro elétrico com tensão nula, como se fosse um
curto-circuito trifásico franco com elevado consumo de reativos;
●
a potência reativa que chega à barra de carga depende principalmente do módulo das
tensões
21
VeV
r
r
. Observe que, se a diferença angular
θ
for zero,
1
V
tem que ser maior que
2
V
para que a potência reativa seja entregue à carga. Se
21
VV =
com ,0
o
=θ
toda a potência
reativa gerada será consumida na linha de transmissão.
5.2.5
Equações para as perdas nas linhas de transmissão
Da equação (5.16) vem:
∗
−
=
2
22
2
V
jQP
I r
r
(5.31)
Logo:
91
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
22
2
2
))((
V
QP
V
jQPjQP
III
+
=
+−
==
∗
rr
(5.32)
As perdas Ativas e Reativas nas linhas de transmissão são, respectivamente:
+
==
2
2
2
2
2
2
2
22
V
QP
RRIP
perdas
(5.33)
+
==
2
2
2
2
2
2
2
22
V
QP
XXIQ
perdas
(5.34)
Com relação às equações (5.33) e (5.34), observa-se que:
●
um aumento de potência reativa na carga produz um aumento das perdas de potência ativa e
reativa nas linhas de transmissão, que são inversamente proporcionais à tensão de
transmissão;
●
sempre que possível, a potência reativa deve ser gerada próximo do ponto de consumo, de
modo a minimizar as perdas por transferência nas linhas de transmissão.
5.3 Análise de estabilidade de tensão através das curvas P-V
Uma das principais técnicas de análise estática de estabilidade de tensão baseia-se na
construção das curvas
P-V.
Estas fornecem informações valiosas para o planejamento e para a
operação dos sistemas elétricos. Além disso, as condições em que ocorre o limite de
estabilidade de tensão fornecem meios de se obter índices e margens de segurança, cujos
conceitos podem ser estendidos para sistemas elétricos interconectados mais complexos.
Deseja-se analisar o valor eficaz da tensão na barra 2. Rearranjando as equações (5.27) e
(5.28), obtém-se:
)cos()cos(
21
2
2
2
θ−β
=γ
+
B
VV
B
AV
P (5.35)
)()(
21
2
2
2
θ−β
=γ
+φ
sen
B
VV
sen
B
AV
tgP (5.36)
92
Elevando-se ao quadrado separadamente e somando-se as equações (5.35) e (5.36), elimina-se
convenientemente o ângulo (
β
–
θ
) e obtém-se:
( )
( )
01cos
2
22
2
2
2
2
12
4
2
2
=φ++
−γφ+γ
+
tgPV
B
V
sentg
B
AP
V
B
A
(5.37)
que é uma equação biquadrada assim escrita:
0
2
2
4
2
=++ cbVaV
(5.38)
Onde:
2
=
B
A
a
(5.39)
(
)
2
2
12
cos2
B
VsentgABP
b
−γφ+γ
=
(5.40)
(
)
φ+=
22
2
1
tgPc
(5.41)
A solução da equação (5.38) é :
a
acbb
V
2
4
)(
2
2
2
−±−
=
(5.42)
Somente soluções positivas para
V
2
são de interesse prático, logo:
a
acbb
V
2
4
2
2
−±−
=
(5.43)
Para cada valor de potência consumida pela carga, as tensões
1
2
V
e
2
2
V
são obtidas por meio
da solução da equação (5.43). Estas são interpretadas da seguinte forma:
93
●
0)4(
2
>− acb
: Neste caso, existem duas soluções reais para a equação (5.43), sendo que
se
2
2
1
2
VV >
,
1
2
V
é um ponto superior da curva
P-V
, representa um ponto de operação estável, e
2
2
V
é um ponto inferior da curva
P-V
e representa um ponto de operação instável.
●
0)4(
2
=− acb
: Esta é a condição em que os dois pontos de equilíbrio anteriores
desaparecem, resultando em
cr
VVV
2
2
2
1
2
==
. Este é o ponto de colapso de tensão.
●
0)4(
2
<− acb
: Neste caso, não existe solução real para a equação (5.43) e o sistema não
pode operar sob essa condição de carga.
5.3.1
Exemplo 5.1 – Estudo de estabilidade estática de tensão no plano
P-V
Para ilustrar os conceitos já apresentados, será considerado um sistema alimentando uma
carga através de uma linha de transmissão de 345 kV com seus parâmetros obtidos em
HAQUE (2002), cujos valores em p.u. na base de 100 MVA foram calculados a partir de seu
modelo
π
equivalente. Detalhes do procedimento de cálculo podem ser encontrados em
MARIOTTO, L. et al. (2007):
1038,00104,0
jZ +=
p.u.
178,2
jY
sh
=
p.u.
O gráfico da Figura 5.2 mostra as curvas
P-V
para quatro diferentes fatores de potência.
A margem de segurança de operação corresponde à distância, em MW, de um certo ponto de
operação ao limite de potência na carga representado pelo nariz da curva
P-V
. A passagem do
fator de potência da carga, de indutivo para resistivo puro e finalmente para capacitivo,
mostra um aumento de capacidade de carregamento do sistema. Na Figura 5.2, observa-se que
as potências ativas críticas para fatores de potência (0,80 e 0,90 indutivos, unitário e 0,95
capacitivo), são, respectivamente de (256; 317; 486 e 644) MW. As tensões críticas
correspondentes são de (0,61; 0,64; 0,76 e 0,89) p.u. No entanto, o ganho em capacidade de
carregamento é acompanhado por uma acentuada diminuição da margem de segurança. Com
isso, tem-se uma falsa indicação de segurança, pois um ponto de operação normal escorrega
para o ponto de colapso com um pequeno aumento de carga. Por precaução, os pontos de
operação com tensões aceitáveis não devem ficar muito próximos do ponto de colapso.
94
Figura 5.2 - Curvas P-V para o sistema elétrico em estudo.
Com relação às curvas
P-V
obtidas com incrementos graduais na carga, algumas
observações podem ser feitas:
●
De modo geral, somente pontos de operação do ramo superior são condições satisfatórias
para a operação e correspondem às soluções de maiores tensões. Nesta região, a tensão cai
mais lentamente do que o aumento da corrente.
●
O ramo inferior corresponde às soluções de menores tensões, ou seja, são pontos de
operação instáveis. Nesta região, as tensões caem mais rapidamente que o aumento de
corrente.
●
À medida que se melhora o fator de potência da carga, o limite de potência que pode ser
entregue à carga aumenta. No entanto, a margem de segurança diminui. Para uma tensão de
operação desejada na carga de 1,0 p.u., a operação com fator de potência 0,95 capacitivo leva
o sistema a operar próximo ao ponto de colapso.
●
Para cargas sobrecompensadas, há uma região no ramo superior da curva
P-V
em que a
tensão aumenta, pois, quanto mais potência ativa for consumida, mais potência reativa é
produzida pela carga.
5.4 Obtenção do Índice de Estabilidade de Tensão – IET
O IET indica o grau de risco do sistema, fornecendo uma informação numérica da
proximidade ou não do colapso de tensão. Pretende-se estender o uso do índice desenvolvido
para classificar, em ordem decrescente de risco ao colapso, todas as barras dos sistemas a
serem estudadas. Deste modo, as barras ou áreas de vulnerabilidade podem ser identificadas
para serem monitoradas. Para isso, as equações e os conceitos já apresentados para duas
barras podem ser utilizados e estendidos posteriormente para sistemas maiores.
95
Na equação (5.43), a condição 04
2
=− acb
corresponde a um estado de operação no
qual o fluxo de potência convencional não tem mais convergência. Tem-se nesta condição o
“nariz” da curva
P-V
, ou seja, o limite de estabilidade de tensão. O sistema só será estável
quando 04
2
≥− acb
. Com os respectivos valores de
a, b
e
c
. das equações (5.39), (5.40) e
(5.41), tem-se:
( )
( )
014
cos2
)4(
22
2
2
2
2
2
12
2
≥φ+
−
−γφ+γ
=− tgP
B
A
B
VsentgABP
acb
(5.44)
Dividindo toda a equação (5.44) por
2
b
, obtém-se o IET, ou seja:
(
)
(
)
( )
[ ]
1
cos2
14
2
2
12
22
2
2
≤
−γφ+γ
φ+
=
VsentgABP
tgPAB
IET
(5.45)
Assim, para que a estabilidade seja garantida para uma dada condição de carga, deve-se
assegurar que:
1
≤
IET
(5.46)
Os valores assumidos pelo IET
estão sempre
entre os limites [0,00 e 1,00]. Esse índice é
importante e pode ser utilizado para determinar o grau de severidade das barras. Através do
IET, pode-se identificar precisamente um conjunto de barras críticas com tendência ao
colapso de tensão.
A Figura 5.3 mostra o comportamento do IET do sistema de 345 kV já mencionado. Os
parâmetros envolvidos na equação (5.45) são:
o
r
000,1
1
∠=V
p.u.
o
27,841043,0.1038,00104,0
∠=+= jZ
p.u.
178,2
jY
sh
=
p.u.
oo
27,8427,841043,0
=β⇒∠=B
96
oo
75,075,088692,0
2
1
=α⇒∠=+= Z
Y
A
sh
o
52,83
=α−β=γ
4843,0)(90,0cos
=
φ
⇒
=
φ
tgindutivo
A potência ativa varia desde zero com IET = 0 até atingir seu valor crítico 17,3
2
=
cr
P
p.u.,
correspondente a 535,1
22
=φ= tgPQ
crcr
p.u., quando IET= 1,00.
Figura 5.3 – Índice de Estabilidade de Tensão em função da potência ativa.
Na Figura 5.3, observa-se um comportamento não-linear do índice
IET
em função da
potência da carga. A reta tangente à curva do
IET
tem inclinação bem suave em torno do
ponto nominal de operação (1 p.u. = 100MW), mas torna-se muito íngreme ao se aproximar
do ponto de colapso de tensão no qual IET
= 1. Isso demonstra que a sensibilidade da tensão
em torno do ponto normal de operação é pequena quando ocorre aumento de carga. No
entanto, quando a tensão começar a se tornar mais crítica com o aumento gradativo da carga,
a sensibilidade do índice é muito grande. Isso mostra que o ponto de colapso é eminente.
Alguns exemplos de aplicação do IET para o cálculo da tensão e potência ativa e reativa
críticas,
crcrcr
QPV
222
,,
,
são apresentados no Apêndice B.
97
5.5 Fatores que afetam a Estabilidade de Tensão
Algumas ações combinadas podem ajudar a prevenir ou evitar problemas de
instabilidade de tensão:
●
a colocação de banco de capacitores é relativamente barato e eficaz quando situado próximo
à carga, mas tem suas limitações, pois fornecem menos reativos exatamente quando o sistema
mais necessita;
●
a construção de novas linhas de transmissão;
●
a compensação série capacitiva tem sido usada, mas tem um custo muito alto, além de
produzir problemas aos relés de proteção de linhas;
●
a alocação de geradores mais próximos dos centros consumidores diminui o fluxo de
potência ativa nas linhas. Nos últimos anos, isto tem sido intensificado com novas formas de
geração distribuída como usinas eólicas, células de combustível, pequenas hidroelétricas,
entre outras;
●
a instalação de Compensadores Síncronos e especialmente Compensadores Estáticos de
Reativos são eficazes devido a sua rapidez de resposta;
●
se os recursos acima não forem suficientes, esquemas de alívio de carga devem ser
utilizados quando o risco de colapso for eminente. Um corte de carga no lugar preciso é uma
excelente forma de interromper um processo de instabilidade de tensão. Isto pode ser feito
manualmente se o fenômeno de instabilidade for lento, ou automático quando a evolução de
instabilidade for muito rápida. Este é um recurso muito utilizado e tem a seu favor o fato de
que é preferível realizar alívio de carga sob o controle da concessionária do que correr o risco
do desligamento total do sistema.
Segundo KUNDUR (1994), um cenário típico que caracteriza o início do colapso de
tensão pode apresentar uma cronologia como a que segue:
●
um sistema de potência com grandes unidades geradoras próximas aos centros de carga,
com várias unidades fora de operação. Nesse caso, todas as linhas estariam sobrecarregadas e
as reservas de potência reativa seriam mínimas;
●
a perda de uma linha sobrecarregada poderá provocar uma sobrecarga nas linhas adjacentes,
aumentando rapidamente a demanda de potência reativa, produzindo uma redução das tensões
nos centros de carga devido à demanda excessiva de reativos extras;
98
●
os controles automáticos de tensão das usinas tentarão rapidamente elevar a tensão,
aumentando a corrente de excitação;
●
a energia reativa injetada provoca um aumento nas quedas de tensão nas linhas,
transformadores, etc.;
●
neste momento, os geradores começam a atingir seus limites térmicos de correntes de
armadura e de campo de acordo com suas curvas de capacidade;
●
as ações dos reguladores de velocidade, tentando manter a freqüência, cortam parte da carga
pelos sistemas de alívio de carga;
●
a redução da tensão se reflete na distribuição, e os Comutadores de Derivações em Carga
tentam restabelecer a tensão aos níveis normais e, a cada mudança de derivação, mais carga
permanece ligada e mais potência reativa será exigida, aumentando ainda mais a queda de
tensão;
●
gradualmente, cada um dos geradores começa a atingir seus limites de potência reativa
impostas pela corrente de campo máxima;
●
quando o primeiro gerador atingir a sua corrente de excitação máxima, este perde a
capacidade de regular sua tensão e se transforma em uma barra
P-Q
. Deste modo, sua tensão
começa a cair e também corre risco de entrar em colapso;
●
com sua tensão terminal caindo e com os MW fornecidos fixos, a corrente de armadura
começa a crescer e mais potência reativa é exigida;
●
começa então a haver necessidade de se transferir potência reativa para todos os outros
geradores sobrecarregados, um por um;
●
com poucos geradores com controle de tensão automática ativos, o sistema fica extremante
vulnerável à instabilidade de tensão;
●
além disso, com tensões baixas, diminui o suporte de reativos dos bancos de capacitores,
pois
c
c
X
V
Q
2
=
;
●
este processo pode levar ao colapso de tensão com possível efeito na estabilidade angular e
o conseqüente blecaute.
Em resumo, o colapso de tensão é influenciado pelas seguintes aspectos:
●
linhas de transmissão muito longas conectando unidades geradoras e centros de carga;
●
atuação de Comutadores de Derivações em Carga sobre condições desfavoráveis;
●
problemas de coordenação entre as ações de controle e relés de proteção;
99
●
uso exagerado de banco de capacitores.
O ideal é um balanço criterioso entre compensação série , capacitores shunt,
compensadores síncronos e compensação estática de reativos.
5.6 Considerações finais
Neste capítulo, foram apresentados os fundamentos de estabilidade de tensão com
exemplos elucidativos clássicos demonstrados e resolvidos por simulação computacional. Um
IET foi deduzido para um sistema com dois terminais, com o objetivo de ser utilizado
posteriormente em sistemas elétricos maiores. No próximo capítulo, será desenvolvido um
método analítico e computacional visando à sua aplicação em sistemas de potência com
n
-
barras.
6 DESENVOLVIMENTO DE MÉTODOS ANALÍTICOS E
COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE DE ESTABILIDADE
ESTÁTICA DE TENSÃO NO PLANO P-Q
6.1 Introdução
O procedimento analítico apresentado no Capítulo 5, com exemplos no Apêndice B, tem
a desvantagem de que o cálculo de
cr
V
2
e
cr
P
2
por meio da solução das equações (5.43) e (B.6),
não são imediatas, já que há necessidade de se analisar as respostas encontradas. Neste
capítulo, será desenvolvido um método analítico para o cálculo dos valores críticos para
tensão, ângulo e potências
crcrcrcr
SeQP
222
cr
2
,,,V θ
, em um sistema elétrico com dois terminais.
As equações obtidas são bastante elucidativas e de fácil aplicação.
6.2 Desenvolvimento de um método analítico para o cálculo dos valores críticos em um
sistema elétrico de potência com dois terminais
As equações desenvolvidas nesta seção poderão ser aplicadas a sistemas elétricos com
qualquer número de geradores, linhas e barras, desde que seja feita uma redução de rede. A
natureza das equações que serão obtidas facilita muito a obtenção de resultados. Com os
valores de
crcr
QeP
22
, pode-se traçar a característica com os limites de estabilidade de tensão
no plano
P-Q
do sistema elétrico em estudo.
As equações serão obtidas considerando o fato de que, quando um sistema elétrico é
carregado até o seu limite estático de tensão, ocorre uma singularidade na Matriz Jacobiana
utilizada no método de Newton-Raphson, impossibilitando com isso sua inversão. O traçado
das curvas
P-V
a partir deste ponto só é possível através de recursos numéricos especiais.
6.2.1
Equação para a tensão crítica na barra de carga
O método que será desenvolvido nesta seção utiliza a condição na qual o determinante da
matriz Jacobiana é nulo no ponto da bifurcação das curvas
P-V
. Para tanto vai-se reescrever as
equações (5.27) e (5.28) da seguinte maneira:
( )
0coscos),(
2
221
221
=γ+θ−β−=θ
B
AV
B
VV
PVf
(6.1)
101
( )
0),(
2
221
222
=γ+θ−β−=θ sen
B
AV
sen
B
VV
QVf
(6.2)
Uma mudança de um ponto de operação pode ocorrer devido a variações em
2
P
e/ou
2
Q
. As
variações que podem surgir em
),(
21
θVf
e
),(
22
θVf
em torno de um ponto de operação podem
ser colocadas na forma matricial, ou seja:
∆
θ∆
∂
∂
θ∂
∂
∂
∂
θ∂
∂
=
∆
∆
2
2
22
2
11
2
1
V
V
ff
V
ff
f
f
(6.3)
A singularidade da matriz Jacobiana da equação (6.3) determina a condição de máxima
potência transferida para a carga, ou seja,
cr
PP
22
=
, o que corresponde ao ponto de colapso de
tensão em que
cr
VV
22
=
. O último ponto de operação estável para
2
V
é obtido quando o
determinante da matriz Jacobiana em (6.3) for nulo, portanto:
0
2
2
1
2
21
=
θ∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
θ∂
∂ f
V
f
V
ff
(6.4)
Os elementos da equação (6.4) são assim definidos:
( )
θ−β
−
=
θ∂
∂
sen
B
VVf
211
;
( )
γ+θ−β
−
=
∂
∂
sen
B
ABV
sen
B
V
V
f
21
2
2
2
;
( )
γ+θ−β
−
=
∂
∂
cos
2
cos
21
2
1
B
ABV
B
V
V
f
;
( )
θ−β=
θ∂
∂
cos
212
B
VVf
.
102
Substituindo estes valores na equação (6.4) e após algumas manipulações algébricas, tem-se:
{
}
[
]
{
}
0)cos(.cos)(.2
2121
=θ−βγ+θ−βγ− sensenAVVVV
(6.5)
Na equação (6.5),
0
21
≠VV
pois
0
1
≠V
e
0
2
≠V
; tal que pode ser reescrita como:
[
]
0)cos(.cos)(.2
21
=θ−βγ+θ−βγ− sensenAVV
(6.6)
Logo:
[
]
)cos(.cos)(.2
21
θ−βγ+θ−βγ= sensenAVV
(6.7)
Como esta é a condição em que
crcr
VV θ=θ
⇒
=
22
, tem-se:
[ ]
)cos(.cos)(.2
1
2
crcr
cr
sensenA
V
V
θ−βγ+θ−βγ
=
(6.8)
Fazendo uso da relação trigonométrica
(
)
yxsenysenxyx cos.cos.cos +=−
e sabendo que,
conforme a equação (5.25),
α
−
β
=
γ
, obtém-se:
)cos(2
1
2
α−θ
=
cr
cr
A
V
V
(6.9)
6.2.2
Equação para o ângulo crítico
Rearranjando as equações (6.1) e (6.2), tem-se
γ
−θ−β
= cos)cos(
2
221
2
B
AV
B
VV
P
(6.10)
γ
−θ−β
=φ sen
B
AV
sen
B
VV
tgP
2
221
2
)(
(6.11)
103
Dividindo a equação (6.11) pela equação (6.10) e substituindo o valor de
2
V
pelo seu valor
crítico
cr
V
2
, obtido na equação (6.9), obtém-se:
γ−α−θθ−β
γ−α−θθ−β
=φ
cos)cos().cos(2
)cos().(2
crcr
crcr
sensen
tg
(6.12)
Utilizando as duas fórmulas trigonométricas recursivas abaixo:
][
)()(
2
1
cos.
yxsenyxsenysenx −++=
][
)cos()cos(
2
1
cos.cos
yxyxyx ++−=
Fazendo:
α−θ=
θ−β=
cr
cr
y
x
Obtém-se:
cr
yx
yx
θ−α+β=−
γ
=
α
−
β
=
+
2
Fazendo as devidas substituições na equação (6.12), obtém-se:
)2(
)2cos(
)2(
cr
cr
cr
tg
sen
tg θ−α+β=
θ−α+β
θ−α+β
=φ
(6.13)
Deste modo, o ângulo crítico pode ser calculado por meio da equação:
(
)
2
φ
−
α
+
β
=θ
cr
(6.14)
104
6.2.3
Equação para a potência ativa crítica
Substituindo o valor de
2
V
por
cr
V
2
da equação (6.9) na equação (6.10) tem-se:
[
]
)(cos4
cos)cos().cos(2
2
2
1
2
α−θ
γ−α−θβ−θ
=
cr
crcr
cr
AB
V
P
(6.15)
Utilizando a fórmula trigonométrica recursiva:
][
)cos()cos(
2
1
cos.cos
yxyxyx ++−=
(6.16)
Definindo:
β−θ=
cr
x
α−θ=
cr
y
Tem-se:
α−β−θ=+
cr
yx
2
γ
−
=
β
−
α
=
−
yx
Logo:
γ
=
γ
−
=
−
cos)cos()cos(
yx
Substituindo em (6.16)
[
]
)2cos(cos
2
1
cos.cos
α−β−θ+γ=
cr
yx
Tomando só o termo entre colchetes do numerador da equação (6.15),
[
]
γ−α−β−θ+γ=γ−=γ−α−θβ−θ
cos)2cos(cos
2
1
2coscos.cos2cos)]cos().[cos(2
crcrcr
yx
Substituindo-se a expressão resultante em (6.15):
)(cos4
)2cos(
2
2
1
2
α−θ
α−β−θ
=
cr
cr
cr
AB
V
P
(6.17)
105
Substituindo-se o valor de
cr
θ
da equação (6.14) em (6.17), obtém-se:
)(cos4
cos
2
2
1
2
α−θ
φ
=
cr
cr
AB
V
P
(6.18)
6.2.4
Equação para a potência reativa crítica
De maneira similar, a equação para a potência reativa crítica pode ser obtida, ou seja:
)(cos4
2
2
1
2
α−θ
φ
=
cr
cr
AB
senV
Q
(6.19)
A potência aparente crítica é, então:
)(cos4
2
2
1
2
α−θ
=
cr
cr
AB
V
S
(6.20)
6.3 Exemplo numérico de aplicação do método analítico
O sistema de potência de duas barras mostrado na Figura 6.1 será utilizado para
demonstrar a validade do método analítico desenvolvido. Os dados são os mesmos do
Exemplo 5.1 da subseção 5.3.1.
Figura 6.1 - Sistema Elétrico utilizado para o traçado das curvas P-Q.
o
r
000,1
1
∠=V
p.u.
1043,027,841043,0
=
⇒
∠= BB
o
p.u. e
o
27,84
=β
106
88692,075,088692,0
=
⇒
∠= AA
o
e
o
75,0
=α
o
84,25)(90,0cos
=φ
⇒
=φ indutivo
Para o cálculo de
cr
θ
,
cr
V
2
,
cr
P
2
,
cr
Q
2
e
cr
S
2
, são utilizadas as equações (6.14), (6.9), (6.18),
(6.19) e (6.20), respectivamente. Neste caso,
o
59,29
=θ
cr
6436,0
2
=
cr
V
p.u.
169,3
2
=
cr
P
p.u.
535,1
2
=
cr
Q
p.u.
5222,3
2
=
cr
S
p.u.
A Tabela 6.1 mostra uma síntese dos resultados para o caso em que a barra de carga 2 opera
no I e IV quadrantes no plano
P-Q
. As curvas
P-V
são mostradas na Figura 6.2.
Tabela 6.1 – Operação da barra 2 no I e IV quadrantes
Quadrante
φ
graus
tg
φ
rad
cos
φ
rad
cr
θ
graus
cr
V
2
p.u.
cr
P
2
p.u.
cr
Q
2
p.u.
I 36,87 0,7500 0,80 24,07 0,6139 2,564 1,923
I 25,84 0,4843 0,90 29,59 0,6436 3,169 1,535
I 0,00 0,0000 1,00 42,51 0,7558 4,857 0,000
IV -18,19 -0,3286 0,95 51,61 0,8931 6,444 -2,117
Figura 6.2 – Curvas P-V para operação no I e IV quadrantes no plano P-Q.
107
A Tabela 6.2 mostra a síntese dos resultados para o caso em que a barra de carga 2 opera no II
e III quadrantes no plano
P-Q
. As curvas
P-V
são mostrada na Figura 6.3.
Tabela 6.2 – Operação da barra 2 no II e III quadrantes
Quadrante
φ
graus
tg
φ
rad
cos
φ
rad
cr
θ
graus
cr
V
2
p.u.
cr
P
2
p.u.
cr
Q
2
p.u.
II 143,13 -0,7500 -0,80 -29,05 0,6497 -2,871 2,153
II 154,16 -0,4843 -0,90 -34,57 0,6909 -3,653 1,769
II 180,00 0,0000 -1,00 -47,49 0,8465 -6,093 0,000
III 198,19 0,3286 -0,95 -56,58 1,0445 -8,811 -2,895
Figura 6.3 – Curva P-V para operação no II e III quadrantes no plano P-Q.
6.4 Desenvolvimento de um método computacional para a análise de estabilidade
estática de tensão através das curvas P-Q
Uma valiosa informação para o planejamento e operação de sistemas elétricos refere-se à
análise de estabilidade de tensão no plano
P-Q
. A região de operação no plano
P-Q
pode ser
obtida para cada fator de potência de carga a ser considerado. Para isso, basta encontrar o
valor de
cr
P
2
na equação (6.18), como demonstrada no exemplo anterior, e encontrar o valor
de
cr
Q
2
correspondente. Com isso, determina-se, de maneira analítica, a curva que limita o
máximo carregamento.
Se uma determinada margem de tensão for admitida como adequada pelas
concessionárias de energia elétrica, esses limites de tensão podem ser usados para determinar
108
uma região de operação de cada barra, nas quais as tensões permaneçam dentro de valores
operacionais aceitáveis.
Em sistemas de potência com grande número de geradores, barras, linhas e cargas, isto
deve ser feito através de programas computacionais. Para determinar estas regiões de
operação, utilizou-se a ferramenta DIgSILENT
®
Programming Language (DPL), que é uma
linguagem de programação interna do programa DIgSILENT
®
(DIgSILENT GmbH, 2004) e
que tem uma sintaxe similar ao C++. O fluxograma simplificado do programa desenvolvido é
mostrado na Figura 6.4. As principais etapas do método são:
●
declaração de objetos externos: todos os objetos que serão acessados individualmente pela
rotina em DPL devem ser declarados como “Objetos Externos”. Isso permite que os
elementos do sistema simulado sejam acessados e seus parâmetros modificados. Permite
também a execução de fluxos de potência e a leitura e escrita de dados, entre outros;
●
seleção do fator de potência: O incremento de carga é realizado gradativamente até o
sistema alcançar o limite de estabilidade de tensão para o fator de potência da carga
considerado. A execução da DPL é interrompida quando o limite de estabilidade de tensão é
encontrado;
●
inicialização da potência da carga: para cada fator de potência da carga, é necessário
realizar as simulações com os valores iniciais de potência ativa e reativa com sucessivos
incrementos, até o limite de estabilidade de tensão ser encontrado;
●
realização do fluxo de potência: para cada possível ponto de operação, um fluxo de potência
é realizado. Se o sistema é estável, os valores da tensão, da potência ativa e a potência reativa
da carga são lidos para posterior análise. Se o sistema for instável, um novo fator de potência
é selecionado e uma nova simulação é iniciada;
●
análise dos resultados: Se o sistema for estável para o atual ponto de operação, os resultados
são lidos e tratados da seguinte forma:
(i) todos os valores de potência ativa e reativa em que o sistema é estável são armazenados
para a construção da região de estabilidade de tensão no plano
P-Q;
(ii) se a tensão na barra da carga estiver dentro dos limites adequados para a operação, os
valores das potências ativas e reativas são armazenados para a construção da sub-região de
tensões dentro de limites operacionais no plano
P-Q;
●
incremento da potência da carga: se para um dado fator de potência da carga o sistema é
estável, as potências ativas e reativas são incrementadas.
109
6.4.1
Fluxograma do programa computacional desenvolvido
Figura 6.4 - Fluxograma para o cálculo de regiões de operação no plano P-Q.
6.4.2
Exemplo de aplicação do método computacional em um sistema com duas barras
O sistema de potência de duas barras mostrado na Figura 6.1 será utilizado para
exemplificar o procedimento computacional desenvolvido. Os dados da linha de transmissão
são os mesmos do exemplo anterior. A Figura 6.5 mostra a curva
P-Q
da região de operação
estável, bem como a sub-região em verde, com tensões dentro de limites operacionais, neste
caso, entre 0,90 e 1,10 p.u., obtida através do método proposto. O limite de estabilidade de
tensão desenvolvido analiticamente na seção 6.2, coincidiu com a solução numérica
computacional.
A adição de geração na barra 2 pode produzir fluxo reverso quando a potência gerada na
barra 2 é maior que a carga local instalada.
110
Com relação à presença da geração na barra 2, é interessante observar:
●
operação no primeiro quadrante
)(
22
jQP +
: A carga da barra 2 recebe potência ativa e
reativa indutiva supridas pela geração da barra 2 e sistema;
●
operação no quarto quadrante:
)(
22
jQP −
: A carga da barra 2 recebe potência ativa e
reativa capacitiva supridas pela geração da barra 2 e sistema;
●
operação no segundo quadrante:
)(
22
jQP +−
: Há potência ativa líquida excedente na barra
2 e, neste caso, a geração da barra 2 envia potência ativa ao sistema. A potência reativa
líquida na barra 2 é indutiva;
●
operação no terceiro quadrante:
)(
22
jQP −−
: Há potência ativa líquida excedente na barra
2 e a geração da barra 2 continua enviando potência ativa ao sistema, mas a potência reativa
líquida na barra 2 é capacitiva.
Figura 6.5 - Limites de Estabilidade de Tensão no Plano P-Q.
O método pode ser utilizado em sistemas mais complexos e permite determinar o limite
de estabilidade de tensão e a sub-região na qual a tensão em cada barra de carga permanece
dentro de valores operacionais aceitáveis. Naturalmente, o estudo detalhado no plano
P-Q
em
cada barra de carga de um sistema elétrico de grande porte exigiria um tempo computacional
considerável. Na próxima seção, será apresentado um procedimento para a redução de rede,
no qual algumas barras do sistema serão identificadas como de interesse para estudos, de
acordo com o seu índice de severidade.
111
6.5 Uso de equivalentes elétricos estáticos para aplicação do Índice de Estabilidade de
Tensão a sistemas elétricos de potência de grande porte
O cálculo de índices que determinam a proximidade de colapso de tensão em cada barra
do sistema permite determinar margens individuais. Por meio destes, as barras mais críticas e
as regiões ou sub-regiões mais vulneráveis poderão ser selecionadas e ações preventivas e/ou
corretivas que devem ser adotadas. Atualmente, as concessionárias dividem o controle e a
operação dos sistemas interconectados. O cálculo destes índices ajudará a identificar
consumidores e concessionárias responsáveis por áreas suscetíveis ao colapso de tensão. Isto
pode ser feito de duas maneiras:
(i) com o auxílio de técnicas computacionais aplicadas à solução do fluxo de potência
continuado;
(ii) por meio da medição fasorial sincronizada que atualiza as medidas de tensão e potência
continuamente, enviando-as a um centro de controle. Para isso é fundamental a existência de
um sistema de comunicação rápido e confiável.
Como os parâmetros do sistema só se alteram com a mudança da topologia da rede, os índices
podem ser calculados em tempo real ou próximo deste.
6.5.1
Considerações iniciais para o processo de redução de rede
Na Figura 6.6, tem-se a representação parcial simplificada de um grande sistema elétrico
de potência de grande porte em que serão identificados três tipos de barras:
●
Barras Tipo L = Podem ser barras de carga ou de geração fixa com
P
e/ou
Q
≠
0,
ou ainda
barras
P-V
transformadas em barras
P-Q
quando o limite de geração de reativos for atingido;
●
Barras Tipo T = Barras de passagem, sem carga e ou geração local;
●
Barras Tipo G = Barras de geração
P-V
(tensão controlada), ou
V
-
θ
(swing).
112
Figura 6.6 - Representação parcial simplificada de um sistema elétrico de potência.
6.5.2
Relações entre tensões e correntes no sistema original
No sistema a ser estudado, a relação entre as correntes e tensões no sistema com todas as
barras preservadas é:
(
)
(
)
(
)
sistemasistemasistema
VYI =
(6.21)
Em que:
=
sistema
I
Vetor de todas as correntes nodais;
=
sistema
V
Vetor de todas as tensões nodais;
=
sistema
Y
Matriz admitância nodal do sistema utilizada no fluxo de potência.
Considerando os Subvetores e Submatrizes das barras tipo L, T e G, têm-se:
=
G
T
L
GGGTGL
TGTTTL
LGLTLL
G
T
L
V
V
V
YYY
YYY
YYY
I
I
I
(6.22)
113
=
L
I
Subvetor das correntes injetadas nas barras de carga;
=
T
I
Subvetor das correntes injetadas nas barras de passagem;
=
G
I
Subvetor das correntes injetadas no sistema pelos geradores;
=
L
V
Subvetor das tensões nas barras de carga;
=
T
V
Subvetor das tensões nas barras de passagem;
=
G
V
Subvetor das tensões nas barras de geração.
Da equação (6.22) têm-se:
GLGTLTLLLL
VYVYVYI ++=
(6.23)
GTGTTTLTLT
VYVYVYI ++=
(6.24)
Somando (6.23) e (6.24) e levando em conta que não há cargas nas barras tipo T,
0=
T
I
.
GTGLGTTTLTLTLLLL
VYYVYYVYYI
)()()(
+++++=
(6.25)
Da equação (6.24)
TT
GTGLTL
T
Y
VYVY
V
)(
+
−=
(6.26)
Substituindo
T
V
da equação (6.26) na equação (6.25) e realizando algumas operações
algébricas, tem-se:
GLGTGTTLTLTLTTLTLLL
VYYYYVYYYYI
)()(
11
+−+−=
−−
(6.27)
114
Multiplicando a equação (6.27) por
(
)
1
1
−
−
−
TLTTLTLL
YYYY
, resulta em:
GLGLLLL
VAIZV +=
(6.28)
Em que:
(
)
1
1
−
−
−=
TLTTLTLLLL
YYYYZ
(6.29)
(
)
LGTGTTLTLLLG
YYYYZA −=
−
1
(6.30)
6.5.3
Equivalentes elétricos em cada barra de carga
Para processar os índices associados à cada barra, é necessário reduzir todo o sistema a
uma única fonte e linha de transmissão equivalente para cada barra tipo L a ser considerada
(GONG et al., 2006).
Da equação (6.28) tem-se:
∑∑
α∈α∈
+=
Mk
GkLGjkLi
Ni
LLjiLj
VAIZV
rrr
(6.31)
Com
Nj
α
∈
e
Mk
α
∈
N
= Número de barras tipo
L;
M
= Número de barras tipo
G.
Como:
∗
−
=
Li
Li
Li
V
S
I
r
r
(6.32)
Com
i
=
1, N
115
Substituindo
Li
I
r
da equação (6.32) na equação (6.31)
Gk
Mk
LGjk
jiNi
Li
Li
LLji
Lj
Lj
LLjjLj
VA
V
S
Z
V
S
ZV
r
rr
r
∑∑
α∈≠α∈
∗
∗
+
−
+
−
=
,
(6.33)
Deste modo, cada barra de carga tipo L pode ser representada por um equivalente como na
Figura 6.7.
Figura 6.7 - Sistema equivalente para cada barra tipo L.
Onde:
LjLjLj
QPS +=
= Grandeza complexa representando a potência na barra de carga
j;
=
Lj
V
r
Fasor de tensão na barra de carga
j;
=
eqj
Z
Impedância complexa equivalente antes da barra
j;
=
eqj
I
r
Fasor de corrente injetada no ramo equivalente
eqj
Z
;
=
eqj
V
r
Fasor de tensão equivalente antes da impedância
eqj
Z
.
116
A potência complexa entregue à barra
j
é dada por:
∗
∗
−
==
eqj
Ljeqj
Lj
eqj
LjLj
Z
VV
VIVS
r
r
rrr
(6.34)
Em que:
LLjjeqj
ZZ =
(6.35)
Da equação (6.34) têm-se:
∗
+=
Lj
Lj
LLjjLjeqj
V
S
ZVV
r
rr
(6.36)
Substituindo
Lj
V
r
dado na equação (6.33) na equação (6.36) obtém-se:
∑∑
≠α∈
∗
α∈
−
+=
jiNi
Li
Li
LLjiGk
Mk
LGjkeqj
V
S
ZVAV
,
r
rr
(6.37)
6.5.4
Fluxograma para o cálculo dos equivalentes estáticos
No fluxograma da Figura 6.8 é apresentado de modo simplificado, os principais blocos
do método proposto para o cálculo dos equivalentes estáticos, Índices de Estabilidade de
Tensão, identificação de regiões críticas e análise de estabilidade de tensão no plano
P-Q.
Os
principais blocos do programa computacional são:
●
definição das submatrizes e matrizes das equações (6.22), (6.29) e (6.30);
●
obtenção de
eq
Z
e
eq
V
r
definidos respectivamente nas equações (6.35) e (6.37);
●
cálculo do Índice de Estabilidade de Tensão definido na equação (5.45);
●
identificação da região com tendência ao colapso de tensão e sua barra crítica;
●
processamento do programa que gera as curvas no plano
P-Q
das barras selecionadas.
117
Figura 6.8 – Fluxograma computacional simplificado do Método Proposto.
118
6.6 Exemplo de aplicação do Índice de Estabilidade de Tensão em um sistema de
transmissão
O sistema elétrico de potência com 3 máquinas e 9 barras da Figura 6.9, cujos dados e
parâmetros podem ser encontrados nas Tabelas C.7 e C.8 do Apêndice C, será utilizado para
ilustrar o procedimento proposto para o cálculo dos Índices de Estabilidade de Tensão. A
partir de um estado normal de operação e através de um fluxo de potência continuado,
pretende-se quantificar através do IET o grau de severidade de cada barra quando o sistema
atingir o ponto de colapso de tensão.
Figura 6.9 – Diagrama unifilar do sistema de 3 geradores e 9 barras.
No sistema da Figura 6.9 foram consideradas duas condições de operação:
●
os geradores 2 e 3 sem limites de geração de potência reativa;
●
os geradores 2 e 3 com seus limites de geração de potência reativa fixos.
Os resultados são mostrados na Tabela 6.3. Para a segunda condição IET (
2
), os geradores 2 e
3 passam de barras
P-V
para
P-Q
assim que perdem a capacidade de regular a tensão.
Tabela 6.3 - Índices de Estabilidade de Tensão
Barra
IET (1)
P
cr
=745 MW
Barra
IET (2)
P
cr
= 655 MW
5 0.70847 8 0.95358
4 0.60563 2 0.84126
6 0.37754 5 0.83954
8 0.18984 6 0.53803
7 0.09986 3 0.43865
9 0.04234 4 0.35477
7 0.06490
9 0.02129
119
A Figura 6.10 mostra a evolução do IET(1) em que não há limite de geração de reativos
para os geradores 2 e 3 . Note que a barra 4 é uma barra de passagem, sem carga ou geração,
mas tem um alto valor de IET. Isto se deve ao fato de que na barra 4 está ligado o gerador que
opera como barra “swing” responsável por toda a geração extra necessária para atender ao
aumento de carga.
Figura 6.10 – Índices de Estabilidade de Tensão para a primeira condição.
A Figura 6.11 mostra os Índices de Estabilidade de Tensão para a segunda condição, ou
seja, com os geradores 2 e 3 fornecendo apenas seus limites nominais de geração de potência
ativa. Assim que estes geradores atingem seus limites de reativos, os Índices Estabilidade de
Tensão sofrem uma variação brusca devido à transformação destas barras
P-V
para
P-Q
.
Como conseqüência, a barra de carga número 8 sofre a maior variação no IET
.
As barras
críticas e a ordem de severidade mostradas na Tabela 6.3 obtidas pelo Método Proposto,
foram as mesmas encontradas pela técnica de monitoramento da norma do vetor tangente
apresentadas por ZAMBRONI DE SOUZA et al. (2000 e 2003), e aqui validada pelo
programa ANAREDE
®
do CEPEL-ELETROBRÁS (2003).
Figura 6.11
– Índices de Estabilidade de Tensão para a segunda a condição.
120
6.7 Considerações finais
Neste capítulo, foi apresentado um método analítico e computacional para a análise de
estabilidade de tensão no plano
P-Q.
A redução de um sistema com
n
-barras a um equivalente
com dois terminais permite calcular os Índices de Estabilidade de Tensão em cada barra. Com
isso, regiões críticas são identificadas, poucas barras são selecionadas para estudos,
facilitando, assim, a análise no plano
P-Q
, com menor tempo de processamento.
7 EXEMPLOS DE ESTABILIDADE ESTÁTICA DE TENSÃO EM
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA NA PRESENÇA DE
GERAÇÃO EÓLICA
7.1 Introdução
Neste capítulo, são apresentados exemplos de estudo de estabilidade estática de tensão
no plano
P-Q
em sistemas elétricos de transmissão, subtransmissão e distribuição na presença
de geração eólica. Primeiramente, será estudado um sistema de distribuição radial com a
colocação de geração eólica no extremo de um alimentador. A região com maior tendência ao
colapso de tensão será determinada em conformidade com a abordagem descrita no capítulo
anterior. Também será realizada uma análise das limitações operacionais impostas pela
turbina eólica e o sistema elétrico no Ponto de Conexão Comum. Finalmente, os mesmos
estudos serão realizados no sistema elétrico de potência real da CEEE-D.
7.2 Estudos de estabilidade de tensão em um sistema de distribuição
A Tabela 1 do Anexo à Resolução 676 da Agência Nacional de Energia Elétrica
(ANEEL) estabelece limites de tensões consideradas como adequada, precária e crítica para
cada nível de tensão de operação. Por exemplo, se for de interesse manter o nível de tensão
operacional de um sistema elétrico operando entre 1 a 69 kV em
%5
±
, é possível, através do
método proposto, determinar as combinações de potência ativa e reativa de modo a manter as
barras de carga com tensões dentro destes limites. Com isso, a Resolução 676 da ANEEL
estaria atendida, pois a mesma estabelece para este nível de tensão os limites entre 0,93 a 1,05
p.u. como tensões adequadas.
As curvas P-Q serão então construídas para o sistema de distribuição da Figura 7.1, com
18 barras de 12,47 kV e 19 linhas/transformadores. O sistema elétrico de potência equivalente
é conectado ao sistema de distribuição em 12,47 kV na barra 1 através de um transformador
de 10 MVA 138-12,47 kV, podendo operar com sobrecarga contínua de 35% sob refrigeração
forçada. O gerador eólico tem tensão e potência nominal de 0,69 kV e 7,5 MW e, quando em
operação, está ligado através de um conversor estático e transformador à barra 12. Parâmetros
de rede e os resultados de um fluxo de potência com a eólica operando como uma barra P-Q
com fator de potência unitário estão nas Tabelas C.9 e C.10 do Apêndice C. As cargas
nominais estão distribuídas em conformidade com o limite térmico dos condutores e
correspondem a uma carga base de (13,50 + j5,10) MVA.
122
Os limites de tensão considerados nas barras de distribuição foram entre 0,95 a 1,05 p.u.
Foram simulados dois diferentes cenários para o sistema: O primeiro com uma barra de
geração eólica operando com fator de potência unitário tipo P-Q e o segundo sem a presença
da geração eólica. As Figuras 7.2, 7.3, 7.4 e 7.5 mostram as regiões de operação para diversos
fatores de potência da carga, com e sem geração eólica. Para cada fator de potência a ser
estudado, fixa-se todos os valores de demanda ativa de cada barra e calcula-se a demanda
reativa correspondente. Partindo-se de valores inferiores aos nominais, incrementa-se
uniformemente a carga. As regiões e sub-regiões são formadas com o processamento do fluxo
de potência continuado. As sub-regiões em verde mostram os pontos de operação da carga
que correspondem a tensões operacionais entre 0,95 e 1,05 p.u. Analisando as Figuras, é
possível notar que há uma diminuição da região operacional quando não há geração eólica. A
região em vermelho mostra a região não-operacional, com tensões fora dos limites
estipulados.
Figura 7.1 - Diagrama Unifilar do sistema de distribuição em estudo.
123
7.2.1
Curvas P-Q da barra 13 com e sem a presença de geração eólica.
Figura 7.2 - Carregamento da barra 13 – Regiões de Estabilidade de Tensão com a presença de geração
eólica.
Figura 7.3 - Carregamento da barra 13 – Regiões de Estabilidade de Tensão sem a presença de geração eólica.
7.2.2
Curvas P-Q da barra 16 com e sem a presença de geração eólica.
Figura 7.4 - Carregamento da barra 16 – Regiões de Estabilidade de Tensão com a presença de geração
eólica.
124
Figura 7.5 - Carregamento da barra 16 – Regiões de Estabilidade de Tensão sem a presença de geração eólica.
7.3 Efeito da geração eólica nos Limites de Estabilidade de Tensão
Para verificar o impacto da inserção de geração eólica no Limite de Estabilidade de
Tensão (LET) no sistema de distribuição da Figura 7.1, serão considerados quatro cenários de
operação:
(i) não há geração eólica e a barra “swing” é a única fonte de potência;
(ii) a geração eólica opera como uma barra P-Q com fator de potência unitário;
(iii) a geração eólica opera como uma barra P-V com limite de reativos Q
lim
= 3,27 MVAr;
(iv) a velocidade do vento é muito baixa para produzir potência ativa, e o conversor produz
somente potência reativa.
A configuração base de carga é mostrada na Tabela C.10 do Apêndice C e, para cada
cenário de operação, é feito um incremento uniforme de carga em cada barra. Nesse caso,
cada carga tem uma direção de crescimento uniforme de acordo com seu fator de potência. O
porcentual de acréscimo de carga possível e a potência crítica entregue à carga no momento
em que ocorre o colapso de tensão são mostrados na Tabela 7.1.
Tabela 7.1 – LET para quatro cenários de operação
Cenário Modo de Operação
da Geração eólica
Porcentual
de acréscimo
Potência Crítica
MW
I P
G
= 0 e Q
G
= 0 69% 22,56
II P
G
= 7,5 e Q
G
= 0 91% 25,50
III P
G
= 6,75 barra P-V 104% 27,23
IV P
G
= 0,0 e Q
G
= 7,5 97% 26,30
A Figura 7.6 mostra o comportamento do limite de estabilidade de tensão do sistema
para os quatro cenários de operação.
125
.
Figura 7.6 - Limites de estabilidade de tensão no plano P-Q do sistema.
Essas curvas foram obtidas considerando fatores de potência da carga entre 0,8 indutivo
e 0,95 capacitivo. A potência ativa nominal de cada carga foi tomada como base, e a potência
reativa calculada a partir de cada fator de potência estudado. Os modos de operação da eólica
como barra P-V ou até mesmo funcionado como fonte de reativos, quando a velocidade do
vento estiver muito baixa, merecem ser considerados.
7.4 Identificação das regiões críticas de um sistema de distribuição
A identificação das barras críticas que indicam a região do sistema com tendência ao
colapso de tensão é feita com base no IET. Para tal, são utilizados os conceitos e formulações
apresentados nas seções 5.4 e 6.5. As barras críticas identificadas são mostradas na Tabela 7.2
e são as mesmas para os quatro cenários considerados. A região crítica definida no momento
em que o sistema entra em colapso de tensão localiza-se nas barras 5-6-7 e 8. Entre estas
barras, a número 8 é a que apresenta o maior índice de severidade e é, portanto, a barra crítica.
Esta barra será então considerada para analisar seu comportamento durante o acréscimo de
carga com relação aos limites operacionais de tensão. A Figura 7.7 mostra as regiões de
operação adequadas de tensão na barra 8, considerando os limites entre 0,95 e 1,05 p.u..
Unindo-se as extremidades das curvas LS (potência superior) e LI (potência inferior) de
mesma cor, tem-se as regiões operacionais dentro dos limites adequados de tensão para cada
cenário considerado. LS representada curva limite de tensão de 0,95 p.u., e LI corresponde ao
limite de tensão de 1,05 p.u..
126
Tabela 7.2 – Região crítica pelo IET
Barras
críticas
IET sem
geração
eólica
Barras
críticas
IET com
A geração
eólica como
Barra P-Q
8 0.51933 8 0.44769
7 0.48865 7 0.42257
6 0.38328 6 0.32810
5 0.12530 5 0.11355
Figura 7.7 - Regiões operacionais adequadas na barra 8
7.5 Novas perspectivas com centrais eólicas participando do controle de tensão e
suprimento de reativos
Os principais fabricantes mundiais de aerogeradores desenvolvem pesquisas e testes com
o objetivo de produzir fazendas eólicas capazes de participar do controle de tensão e
compensação de reativos. Segundo a empresa Enercon, ENERCON (02/2007), fabricante das
Turbinas do Parque Eólico de Osório-RS, o seu último modelo de turbina E70/2.3 MW, com
FACTS (Flexible Alternating Current Transmission System), recebeu aprovação do Operador
Nacional do Sistema de Transmissão da Grã-Bretanha (NGTE). Os testes realizados com este
modelo de turbina mostraram que o mesmo pode ser usado no controle de tensão,
respondendo às flutuações de tensão do sistema e fornecendo 90% da potência reativa
estipulada pelas Normas da NGTE em menos do que 1 segundo. Segundo as Normas da
NGTE, além de fornecer potência reativa em regime normal de operação, as fazendas eólicas
devem responder às solicitações dinâmicas de reativos na rede básica durante curtos-circuitos.
127
A utilização de dispositivos FACTS com controles otimizados garante que as turbinas
forneçam a quantidade de reativos necessários, independente da velocidade do vento no
momento da demanda. O intercâmbio de potência ativa e reativa de uma turbina eólica em
porcentagem da potência nominal estipulado pelas Normas da NGTE é mostrado na Figura
7.8. Todos os pontos internos delimitados pela linha preta são factíveis de operação: à
esquerda, absorvendo reativos e à direita, gerando reativos.
Figura 7.8 – Limites operacionais de turbinas eólicas segundo as normas da NGTE.
O diagrama mostra que, para níveis de geração acima de 20% da potência nominal, a
fazenda eólica deve se capaz de fornecer até 33% de potência reativa com relação à potência
ativa nominal no Ponto de Conexão Comum. Como os cabos e os transformadores até o Ponto
de Conexão Comum consomem potência reativa, o modelo antigo E-70/2 MW da empresa
Enercon, com característica em V mostrado em azul na Figura 7.9, não atendia a todas as
especificações da NGTE e necessitava de fontes adicionais externas de reativos para atender
esta Norma.
Figura 7.9 – Característica Operacional do modelo E-70/2 MW da Enercon.
128
A solução com FACTS incorporada ao novo modelo E-70/2,3 MW permite o
atendimento total das Normas NGTE como mostrado na Figura 7.10. Os limites delimitados
pela Norma são ultrapassados como mostra a região excedente externa em azul fornecida pelo
novo modelo de turbina.
Figura 7.10 – Característica operacional do modelo E-70/2,3 MW da Enercon.
7.6 Características operacionais das barras do sistema de potência e do conversor
Como mencionado anteriormente, o avanço da tecnologia na construção de turbinas
eólicas com conversores permite que fazendas eólicas possam realizar o controle de potência
ativa e reativa. CHRISTIANSEN & JOHNSEN (2006) selecionaram seis normas para
turbinas eólicas a serem conectadas na rede elétrica. Os requisitos principais considerados
pelos autores levaram em conta as recomendações de países como Canadá, Dinamarca,
Alemanha, Irlanda, Escócia e demais países do Reino Unido. As características mais
restritivas para a conexão foram definidas considerando aspectos de controle de tensão,
qualidade de tensão, controle de geração ativa, freqüência e efeito “flicker”. Os limites
operacionais de potência ativa e reativa considerando as restrições destes países são
mostrados no polígono com contornos em preto definido na Figura 7.11.
A Figura 7.11 mostra as curvas P-Q para a barra onde o gerador eólico foi conectado.
Foram considerados, simultaneamente, os limites operacionais de tensão na barra 12 e os
limites de injeção de potência do conversor. Sobreposta à característica operacional definida
pelas normas dos seis países já mencionados, coloca-se a curva limite de tensão aceitável de
subtensão na barra 12. A potência da carga foi considerada constante e a geração eólica
129
variando em degraus de 0,5%. A região demarcada em verde corresponde à área aceitável de
tensões, comum para a geração eólica que atende a norma do seis países citados e o sistema.
A região excedente demarcada em azul, acima da linha do limite de tensão operacional
adequada ou segura, é o acréscimo operacional proporcionado pela nova turbina da empresa
Enercon. Estas regiões podem ser ainda mais restritivas se forem considerados os limites
térmicos impostos pela corrente nos conversores. Estas áreas (verde e azul acima da linha
limite), contêm as combinações de potência que a geração eólica pode operar respeitando os
limites de tensão adequada. Os outros pontos de operação da turbina eólica abaixo da linha
limite são restritivos devido às limitações impostas pelas tensões menores que 0,95 p.u. na
barra 12.
Figura 7.11 – Limites operacionais impostos ao sistema pelo conversor.
Um acréscimo na região de produção de reativos da fazenda eólica permitiria ampliar a
região de tensões operacionais adequadas no Ponto de Conexão Comum. A característica
operacional do modelo E-70/2,3 MW da empresa Enercon da Figura 7.10 é sobreposta a da
Figura 7.11 e mostra uma área verde comum com as Normas dos seis países citados e uma
área extra em azul à direita da linha com tensões operacionais aceitáveis.
130
7.7 Estudos de estabilidade estática de tensão no sistema do extremo sul do RS –
CEEE-D na presença de geração eólica
O Diagrama unifilar da Figura 7.12 mostra de maneira simplificada o sistema de
potência de transmissão, subtransmissão e distribuição do extremo sul do Rio Grande Sul,
incluindo as possíveis futuras inserções de geração eólica, 20 MW em Santa Vitória do
Palmar, 50 MW em Jaguarão e 12 MW em Dom Pedrito. Os dados e parâmetros de linhas
bem como o estado inicial de operação para carga pesada total de (340,65 + j66,09) MVA,
sem a presença de geração eólica, estão nas Tabelas C.11 e C.12 do Apêndice C.
Dois cenários serão analisados no sistema pertencente à CEEE-D da Figura 7.12: Em
ambos os casos, não será imposto limite de reativos nas barras 1199-GUA2, 1230-LIV2,
1239-UPME e 1258-CIN.
●
Cenário I: Sistema atualmente em operação sem a presença de geração eólica;
●
Cenário II: Sistema atual com a inserção de 82 MW totais de geração eólica nas barras
9452-SVP, 9163-JGR e 9423-DPE. As eólicas serão consideradas como barras P-Q operando
com fator de potência unitário.
Figura 7.12 – Diagrama do sistema elétrico de potência do extremo sul do Rio Grande do Sul – CEEE-D
131
7.7.1
Identificação da região crítica no sistema do extremo sul do RS com carga pesada sem a
presença de geração eólica
A máxima sobrecarga admitida acima do ponto normal de operação mostrado na Tabela
C.12 do Apêndice foi de 68,1%. Este é o ponto de colapso de tensão do sistema e a potência
crítica é de 572 MW. As 15 barras mais críticas do sistema em ordem de severidade são 9454-
RGR2, 9433-RLB, 9426-TRE, 9439-BAL, 9457-BIA2, 9445-RGR1, 9430-RG3, 9427-TER,
9429-TEC, 9434-CSN, 9468-DCSN, 9437-COR, 9496-TAI, 9263-QUIN e 9412-PEL1 e
definem assim a região mais vulnerável ao colapso de tensão para o carregamento na direção
considerada. A primeira barra a entrar em colapso de tensão é a 9454-RGR2.
7.7.2
Identificação da região crítica no sistema do extremo sul do RS com carga pesada e com
a presença de geração eólica
A Tabela C.13 do Apêndice C mostra o ponto de operação após a convergência do fluxo
de potência do sistema elétrico em estudo, considerando a presença de geração eólica nas
Barras de Santa Vitória do Palmar, Jaguarão e Dom Pedrito. A máxima sobrecarga admitida
acima do ponto normal de operação, mostrado na Tabela C.13 do Apêndice C, foi de 70,8%.
A potência crítica neste caso é de 582 MW. As 8 barras mais críticas do sistema em ordem de
severidade são 9419-SLO, 9411-IRA, 9409-CPV, 9410-ECZ, 9407-ENT864, 9414-VAS,
9415-CAM2 e 9364-CAM1 e definem assim a região mais vulnerável ao colapso de tensão
para o carregamento na direção considerada. A primeira barra a entrar em colapso de tensão é
a 9419-SLO. É interessante notar que a presença de 82 MW de geração eólica mudou a região
crítica encontrada no Cenário I. Embora a geração de energia eólica represente apenas 25% da
carga nominal, houve uma mudança significativa dos reativos gerados na barra 1239-UPME e
1258-CIN. A análise da saída de fluxo de potência no momento de colapso mostra,
respectivamente para as barras citadas, uma geração de (507,9 e 204,6) MVAr para o cenário I
e (232 e 30,4) MVAr para o cenário II.
7.8 Análise de estabilidade estática de tensão no sistema CEEE-D
7.8.1
Análise de Estabilidade estática de tensão no plano P-Q na barra 9454-RGR2
Para a barra 9454-RGR2 identificada como crítica no cenário I, foram construídas as
regiões P-Q para os dois cenários anteriores, sem e com a presença de geração eólica. Estas
são mostradas nas Figuras 7.13 e 7.14.
132
Comparando as Figuras 7.13 e 7.14, percebe-se que, além da potência que pode ser
fornecida à barra aumentar significantemente, ocorre também um aumento na região de
operação adequada do ponto de vista do nível de tensão.
Figura 7.13 - Região P-Q barra 9454-RGR2, sem a presença de geração eólica.
Figura 7.14 - Região P-Q barra 9454-RGR2, com a presença de geração eólica.
7.8.2
Análise da estabilidade estática de tensão no plano P-Q na barra 9419-SLO
Para a barra 9419-SLO identificada como crítica no cenário II, foram construídas as
curvas P-Q para os dois cenários estudados, sem e com a presença de geração eólica. Estas
são mostradas nas Figuras 7.15 e 7.16
133
Figura 7.15 - Região P-Q barra 9419-SLO, sem a presença de geração eólica.
Figura 7.16 - Região P-Q barra 9419-SLO, com a presença de geração eólica.
Novamente percebe-se que, além da potência que pode ser entregue à barra aumentar
significantemente, a região de operação aceitável também sofre um aumento considerado.
7.9 Considerações finais
Neste capítulo
,
foram apresentados alguns estudos de estabilidade estática de tensão no
plano P-Q, onde os limites de estabilidade e as regiões seguras de operação foram
determinados. As regiões críticas foram identificadas com base na redução de redes e cálculo
dos IET proposto neste trabalho. Os estudos foram realizados em sistemas reais atualmente
em operação e pertencente ao Sistema Interligado Nacional (SIN). A metodologia
desenvolvida é bastante útil para o planejamento da expansão e operação e da operação em
tempo real de sistemas elétricos de potência.
8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES
8.1 Conclusões
Com relação à Estabilidade Transitória Angular, apresentou-se uma nova metodologia
visando identificar os grupos críticos de geradores coerentes, bem como um processo de
redução de rede até a configuração final Máquina-Barra Infinita. O Método Proposto foi
testado em vários sistemas e os resultados estão muito próximos daqueles obtidos por meio de
simulação numérica no domínio do tempo e com os métodos que utilizam o conceito de
função energia como função de Lyapunov.
Quando o objetivo é o planejamento da expansão com um horizonte de alguns anos, as
margens se segurança obtidas com o método proposto que utiliza o modelo clássico
simplificado podem ser utilizadas para viabilizar ações preventivas com relação aos casos
mais críticos identificados. Estas margens podem também ser utilizadas para tomada de
decisões preliminares sobre alternativas de projeto.
Para aplicações no planejamento da operação e para a operação em tempo real, a seleção
de poucas contingências críticas facilita muito a análise com modelo detalhado e a tempo de
se aplicar ações preventivas e ou corretivas pelos operadores dos sistemas.
A grande vantagem da metodologia proposta está no fato de que, quando os resultados
para os tempos críticos não ficam dentro de uma faixa esperada, estes são automaticamente
rejeitados e encaminhados para análise convencional por simulação numérica no domínio do
tempo. Na prática isto significa que, se os dois grupos de geradores não foram formados de
maneira correta, ou não houve a formação clara de dois grupos coerentes, o equivalente
formado não pode representar a dinâmica de todos os geradores do sistema original. Isso torna
o método totalmente automático, e a intervenção dos operadores ou especialistas só é
requerida nestes poucos casos.
O estudo adicional realizado com geração eólica teve o objetivo de verificar o impacto
produzido pela reserva adicional girante exigida por este tipo de geração, nos tempos críticos
de abertura e margens de segurança.
A ordem de severidade das contingências bem como o grau de prioridade para estudo
detalhado fornecidos pelo método proposto são de real importância tanto para o planejamento
como para a operação de sistemas elétricos de potência.
135
Com relação à Estabilidade de Tensão, desenvolveu-se uma metodologia analítica e
computacional para a análise de estabilidade estática de tensão no plano P-Q. As equações
analíticas para o valores críticos derivadas para sistemas com dois terminais são de aplicação
direta e com significado físico. Foram encontrados limites e regiões adequadas de tensões de
operação que podem ser usados no planejamento da expansão e da operação, bem como na
operação em tempo real de sistemas elétricos de potência. O conhecimento prévio das áreas
com tendência ao colapso determinado pelo IET pode ser utilizado on-line pelos operadores
do sistema. Estas regiões adequadas ou seguras podem ser interpretadas como características
de carregamento de uma barra, semelhante às curvas de capacidade de geradores.
Os estudos realizados com a inserção de energia eólica serviram para mostrar os limites
de geração eólica com relação às restrições impostas pela regulação de tensão do sistema.
Destaca-se a possibilidade de ampliar a participação das fazendas eólicas no controle de
tensão e suprimento de reativos dos sistemas elétricos de potência, mesmo quando as
condições de vento não forem favoráveis.
8.2 Sugestões para futuros trabalhos
Com relação ao tema Estabilidade Transitória Angular, sugere-se:
●
utilizar a metodologia proposta no trabalho para selecionar contingências críticas que
devem ser estudadas com modelos detalhados dos componentes do sistema, simultaneamente
com um programa de estabilidade transitória já em uso pelas empresas, como, por exemplo o
ANATEM
®
do CEPEL;
●
utilizar o método de identificação de geradores coerentes proposto no trabalho como
ferramenta auxiliar ao programa SIME (SIngle Machine Equivalent), estático e/ou dinâmico.
Com relação ao tema Estabilidade Estática de Tensão, sugere-se:
●
aprimorar a metodologia desenvolvida visando à inclusão de modelos de carga dependentes
da tensão, e até mesmo considerar um tratamento probabilístico de carga;
●
desenvolver novos estudos para utilização das curvas P-Q definidas previamente,
juntamente com as medições em tempo real das tensões e potências.
BIBLIOGRAFIA
AJJARAPU, V.; CHRISTY, C.
The Continuation Power flow: A tool for Steady State
Voltage Stability Analysis.
IEEE Transactions On Power Systems, Vol. 7, No. 1, pp. 416-
423, February 1992.
ANDERSON, P.M.; FOUAD, A.A.
Power System Control and Stability.
2
nd
edition, IEEE
Press, Wiley Interscience, 2003.
BALAMOUROUGAN, V.; SIDHU, T.S.; SACHDEV, M.S.
Technique for online
prediction of voltage collapse.
IEE Proc. Gener. Transm. Distrib., Vol. 151, No. 4, pp. 453-
460, July 2004.
BETTIOL, A.L.; ZHANG, Y.; WEHENKEL, L.; PAVELLA, M.
Transient Stability
Investigation on a Brazilian Network by SIME.
APSCOM-97, Hong Kong, pp. 1-6,
November 1997.
BRETAS, N.G.; ALBERTO, L.F.C.
Coherency on Electrical Power Systems.
POWERCON 2000, Perth-Australia, Vol. 1, pp. 157-162, 2000.
BRETAS, N.G.; ALBERTO, L.F.C.
Lyapunov Function for Power Systems with Transfer
Conductances: Extension of the Invariance Principle.
IEEE Trans. On Power Systems,
Vol. 18, No. 2, pp. 769-777, May 2003.
CEPEL-ELETROBRÁS
.
Programa de Análise de Redes–ANAREDE:
Manual do Usuário
V08-Janeiro de 2003.
CHIANG, H.-D.; CHU, C.-C.
Theoretical Foundation of the BCU Method for Direct
Stability Analysis of Network-Reduction Power System Models with Small Transfer
Conductances
. IEEE transactions On Circuit and Systems, Vol. 42, No. 5, pp. 252-265, May
1995.
CHIANG, H.-D.; WU, F.F.; VARAIYA, P.P.
A BCU Method for Direct Analysis of Power
System Transient Stability
. IEEE Transactions On Power Systems, Vol. 9, No. 3, pp. 1194-
1208, August 1994.
CHIANG, H.-D.; DOBSON, I.; THOMAS, R.J.
On Voltage Collapse in Electric Power
Systems.
IEEE Transactions On Power Systems, Vol. 5, No. 2, pp. 601-608, May 1990.
CHRISTIANSEN, W.; JOHNSEN, D.T.
Analysis of requirements in selected Grid Codes.
Section of Electric Power Engineering, Technical University of Denmark, January 2006.
DA-ZHONG, F.; CHUNG, T.S.; DAVID, A.K.
Fast
Transient Stability Estimation Using a
Novel Dynamic Equivalent Reduction Technique.
IEEE Trans. On power Systems, Vol. 9,
No. 2, pp. 995-1001, May 1994.
DECKER, I.C.
Análise de estabilidade transitória em sistemas de potência usando o
conceito de superfície limite de energia potencial.
Dissertação de Mestrado. UFSC. 1984.
137
DECKER, I.C.; DOTTA, D.; AGOSTINI, M.N.; ZIMATH, S.L.; SILVA, A.S.
Performance
of a synchronized phasor measurements system in the Brazilian power system. IEEE
Power Engineering Society General Meeting, Canada. June 2006.
DECKER, I.C.; FALCÃO, D.M.; KASZKUREWICZ, E.
Parallel Implementation of a
Power System Dynamic Simulation Methodology using the Conjugate Gradient Method.
Transactions On Power Systems, Vol. 7, No. 1, pp. 458-465, February 1992.
DHOLE, G.M.; KHEDKAR, M.K.
Antigen energy function: a new energy function for
transient stability assessment.
Electric Power System Research, Vol. 74, pp. 315-322, 2005.
DIgSILENT GmbH.
DIgSilent Power Analysis Software
: User’s Manual Version Power
Factory 13.0 for Educational Purposes. Germany, 2004.
DOBSON, I., LU, L.
New Methods for Computing a Closest Saddle Node Bifurcation and
Worst Case Load Power Margin for Voltage Collapse.
IEEE Transactions On Power
Systems, Vol. 8, No. 3, pp. 905-913, August 1993.
ENERCON -
Enercon Magazine for Wind Energy
. Windblatt Magazine, 02/2007.
Disponível em: <:http://www.enercon.de> em 31/01/2008.
EPING, C. et al.
Impact of Large Scale Wind Power on power System Stability.
Fifth
International Workshop on Large–Scale Integration of Wind Power and Transmission
Networks for Offshore Wind Farms, Glasgow-Scotland, April 2005.
ERNST, D. et al.
A Unified Approach to Transient Stability Contingency Filtering,
Ranking and Assessment.
IEEE Trans. On Power Systems, Vol. 16, No. 3, pp. 435-443,
August 2001.
FERREIRA, C.M.M.; DIAS PINTO, J. A.; BARBOSA, F.P.M.
On-Line Security of an
Electric Power Systems using a Transient Stability Contingency Screening and Ranking
Technique.
IEEE MELECOM 2002, Cairo-Egypt, pp. 371-335, May 2002.
GHAFURIAN, A.; BERG, G.J.
Coherency-Based Multimachine Stability Study
. IEE Proc.
Vol. 129, Pt C, No. 4, pp. 153-160, July 1982.
GHARTEMANI, M.K.; IRAVANI, M.R.
A Method for Synchronization of Power
Electronic Converter in Polluted and Variable-Frequency Environments
. IEEE Trans.
On Power Systems, Vol. 19, No. 3, pp. 1263-1270, August 2004.
GONG, Y.; SCHULZ, N.; GUZMAN, A.
Synchrophasor-Based Real-Time Voltage
Stability Index
, IEEE PES Power System Conference & Exposition, Atlanta-Georgia, USA,
pp. 1029-1036, October/November 2006.
HAQUE, M.H.
A fast method for determining the voltage stability limit of a power
system
, Electric Power System Research, Vol. 32, pp. 35-43, 1995.
HAQUE, M.H.
On-line monitoring of maximum permissible loading of a power system
within voltage stability limits
, IEE Proc. Gener. Transm. Distrib. Vol. 150, No. 1, pp. 107-
112, January 2003.
138
HAQUE, M.H.
Determination of Steady-State Voltage Stability Limit Using P-Q Curve.
IEEE Power Engineering Review, pp. 71-72, April 2002.
HAQUE, M.H.
Equal-Area Criterion: An Extension for Multimachine Power Systems.
IEE Proc. Gen. Transm. Distribution. Vol. 141, No. 3, pp. 191-197, May 1994.
HAQUE, M.H.
Hybrid Method of Determining the Transient Stability Margin of a
Power Systems.
IEE Proc. Transm. Distrib. Vol. 143, No. 1, pp. 27-32, January 1996.
HAQUE, M.H.
Identification of Coherent Generators for Power System Dynamic
Equivalents Using Unstable Equilibrium Point.
IEE Proc. Vol. 138, Pt C, No. 6, pp. 546-
552, November 1991.
HAQUE, M.H; RAHIM, A.H.M.A.
Identification of Coherent Generators Using Energy
Function.
IEE Proc. Vol. 137, Pt C, No. 4, pp. 255-260, July 1990.
HUANG, G.M. et al.
A New Bifurcation Analysis for Power System Dynamic Voltage
Stability Studies.
IEEE Power Engineering Society Winter Meeting, Vol. 2, pp. 882-887,
January 2002.
JASMON, G.B.; CALLISTUS, L.H.; LEE, C.
Prediction of voltage collapse in power
systems using a reduced system model.
IEE International Conference on control. London,
pp. 32-36, March 1991.
JONSSON, M.; BEGOVIC, M.; DAALDER, J.
A New Method Suitable for Real-Time
Generator Coherency Determination
. IEEE Trans. On Power Systems, Vol. 19, No. 3, pp.
1473-1482, 2004.
KAKIMOTO, N.; OHSAWA, Y.; HAYASHI, M.
Transient Stability Analysis of
Multimachine Power Systems with Field Flux Decays via Lyapunov Direct Method
.
IEEE Transactions On Power Systems, PAS-99, pp. 1819-1827, 1980.
KIMBARK, E.W.
Power System Stability: Elements of Stability Calculation.
Vol. I, John
Willey and Sons, 1948.
KOESSLER, R. et al.
Voltage Stability Study of the PJM system Following Extreme
Disturbances.
IEEE Trans. On Power Systems, Vol. 22, No. 1, pp. 285-293, February 2007.
KUNDUR, P, et al.
Definition and Classification of Power System Stability.
IEEE Trans.
On Power Systems, Vol.19, No. 2, pp. 1387-1401, May 2004.
KUNDUR, P.
Power System Stability and Control.
The EPRI Power System Engineering
Series, McGraw-Hill, Inc, New York, 1994.
KWATNY, H., et al.
Static Bifurcations in Electric Power Network: Loss of Steady-State
Stability and Voltage Collapse.
IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol. CAS-33,
No. 10, pp. 981-991, October 1986.
139
LIMA et al.
Blecautes no Brasil.
Anais do Encontro de Pesquisadores em Sistemas de
Potência. Campinas. 2004.
MARIA, G.A.; TANG, C.; KIM, J.
Hybrid Transient Stability Analysis.
IEEE Trans. On
Power Systems, Vol. 5, No. 2, pp. 384-393, May 1990.
MARIOTTO, L.
Análise
e Computação do Domínio de Estabilidade de Grandes Sistemas
Elétricos de Potência.
Dissertação de Mestrado. UFSM. 1981.
MARIOTTO, L.; PINHEIRO, H.
Identificação de Grupos Coerentes para Cálculo de
Tempos Críticos e Margens de Segurança de Sistemas Elétricos de Potência.
Congresso
Brasileiro de Automática. Salvador-BA. p. 2022-2027. Outubro de 2006.
MARIOTTO, L.; PINHEIRO, H. CARDOSO JUNIOR, G. MURARO, M.R.
An analytical
tool for Computing Transient Stability Analysis Margins of a Power Systems with Large
Amount of Wind Power.
International Conference on Clean Electrical Power, pp. 747-753,
Capri – Italy, May 2007.
MARIOTTO, L.; PINHEIRO, H.; CARDOSO JUNIOR, G; MURARO, M.R.
Determination
of the Static Voltage Stability Region of Distribution Systems with the Presence of Wind
Power Generation,
International Conference on Clean Electrical Power, pp. 556-562, Capri –
Italy, May 2007.
MARIOTTO, L.; PINHEIRO, H.; CARDOSO JUNIOR, G; MURARO, M.R.; JASKULSKI,
I.W.
Determination of the Impact of Wind Power Generation on the Steady-State
Voltage Stability of Distribution Systems,
9° Congresso Brasileiro de Eletrônica de
Potência., pp. 602-606, Blumenau – SC. Outubro de 2007.
MOGHAVVEMI, M.; FARUQUE, M.O.
Power system security and voltage collapse: a
line outage based indicator for prediction.
Electric Power System Research. Vol. 21 pp.
455-461, 1999.
MOGHAVVEMI, M.; FARUQUE, M.O.
Technique for contingency monitoring and
voltage collapse prediction.
IEE Proc. Gener. Transm. Distrib., Vol. 145, No. 6, pp., 634-
640, November 1998.
MOHN, F.W.; DE SOUZA, C.Z.
Tracing PV and QV Curves with the Help of a CRIC
Continuation Method.
IEEE Trans. On Power System., Vol. 21, No. 3, pp. 1115-1122,
August 2006.
MOHN, F.W.; DE SOUZA, C.Z.
On fast decoupled continuation power flows
. Electric
Power System Research. Vol. 63, pp. 105-111, 2002.
NUNES, M.V.A. et al
. Influence of the Variable-Speed Wind Generators in Transient
Stability Margin on the Conventional Generators Integrated in Electrical Grids
. IEEE
Trans. On Energy Conversion Systems, Vol. 19, No. 4, pp. 692-701, December 2004.
PAVELLA, M.; ERNST, D.; R-VEGA, D.
Transient Stability of Power Systems: A unified
Approach to assessment and control.
Kluwer Academic publisher. 2000.
140
PODMORE, R
. Identification of Coherent Generators for Dynamic Equivalents.
IEEE
Trans. Vol. PAS 97, No. 4, pp. 1344-1354, July/August 1978.
PRABHAKARA, F.S.; EL-ABIAD, A.H.
A simplified determination of transient stability
regions for Lyapunov methods.
IEEE Trans. Power App. Syst., PAS-94(2), pp. 672-689,
March/April 1975.
RUDNICK, H.; PATINO, R.I.; BRAMELLER, A.
Power system dynamic equivalents:
Coherency recognition via the rate of change of kinetic energy.
IEE Proc. Pt C, Gen.
Transm. and Distrib., pp. 325-333, 1981.
RUIZ-VEGA, D.; PAVELLA, M.
A Comprehensive Approach to Transient Stability
Control: Part I – Near Optimal Preventive Control
. IEEE Trans. On Power Systems, Vol.
18, No. 4, pp. 1446-1453, November 2003.
SOUZA, E.J.S.P, SILVA, A.M.L.
An Efficient Methodology for Coherency-Based
Dynamic Equivalents
, IEE Proc., Vol. 139, Pt C, No. 5, pp. 371-382, 1992.
SPALDING, B.D; YEE, H.; GOUDIE, D.B.
Coherency Recognition for Transient
Stability Studies Using Singular Points
. IEEE Trans. Vol. PAS-96, No. 4, pp. 1368-1375,
July/August. 1977.
STOTT, B.
Power System Dynamic Response Calculations.
Proceedings of the IEEE, Vol.
67, No. 2, pp. 219-241, February 1979.
TAYLOR, CARSON W.
Power System voltage Stability
. McGraw-Hill, Inc. New York.
1994.
US-Canada Power System Outage Task Force
. Final Report on august 14, 2003 Blackout in
United States and Canada: Causes and Recommendations.
April 2004. Disponível em:
<https://reports.energy.gov/> em 31/01/08.
VAN CUTSEM, T.; VOURNAS, T.
Voltage Stability of Electric Power Systems.
Kluwer
Academic Publishers.1998.
VENIKOV, et al.
Estimation of Electric Power System Steady-State Stability in Load
Flow Calculation
.
IEEE Transactions On Power App. Systems, Vol. PAS-94, No. 3, pp.
1034-1038, May/June 1995.
VENIKOV, V
.
Processes in Electrical Power Systems
. Mir Publishers. Moscow. 1980.
WANG, M.H.; CHANG, H.C.
Novel Clustering Method for Coherency Identification
Using an Artificial Neural Network.
IEEE Trans. On Power Systems, Vol. 9, No. 4, pp.
2056-2062, November 1994.
XUE, Y.
Dynamic Extended Equal Area Criterion Part 1. Basic Formulation.
IEEE/NTUA Athens, Power Tech. Conference, pp. 889-895, September 1993.
141
XUE, Y.; CUTSEM, T. V.; RIBBENS-PAVELLA, M.
A Simple Direct Method for Fast
Transient Stability Assessment of Large Power Systems.
IEEE Trans. On Power Systems.
Vol. 3, No. 2, pp. 400-412, May 1988.
XUE, Y.; CUTSEM, T. V.; RIBBENS-PAVELLA, M;
Extended Equal Area Criterion,
Justifications, Generalizations, Applications.
IEEE Trans. On power Systems, Vol. 4, No.
1, pp. 44-52, February 1989.
XUE, Y.; PAVELLA, M.
Critical-Cluster Identification in Transient Stability Studies.
IEE Proc., Vol. 140, Pt C, No. 6, pp. 481-489, November 1993.
ZAMBRONI DE SOUZA, A.C. et al.
On-Line Voltage Stability Monitoring
. IEEE Trans.
On Power Systems. Vol. 15, No. 4, pp. 1300-1305, November 2000.
ZAMBRONI DE SOUZA, A.C. et al.
A new contingency analysis for voltage collapse
assessment.
Electric Power & Energy Systems. Vol. 25, 781-785, 2003.
ZIEGLER, G.
Numerical Distance Protection
–
Principles and Application.
Siemens AG,
Berlin and Munich, Publicis MCD, Munich and Erlangen. 1999.
ZHIDONG, S.
Novel Extended Equal Area Criteria with Detailed Power Systems
Models.
IEEE TENCON, pp. 77-81, Beijing, 1993.
APÊNDICES
APÊNDICE A - Exemplos de cálculo de ângulo e tempo crítico de abertura com o
auxílio do Critério das Áreas Iguais
Exemplo A.1
- Considere no sistema apresentado na Figura 2.4 um curto-circuito
trifásico com impedância de falta nula no início da linha de transmissão 4-5. Fisicamente,
somente as proteções nas extremidades da linha 4-5 operam. Os dados e parâmetros pré-falta
são:
00
12,1 δ∠=δ∠= EE
r
p.u.
0,1=
m
P p.u.
75,3
=
H p.u.s
13,0=
′
d
X p.u.
10,0
5231
==
−−
XX p.u.
=
−
53
X 0,30 p.u.
15,0
5443
==
−−
XX p.u.
Com as equações (2.21), (2.22) e (2.27), obtém-se:
δ=
−
senP
faltaprée
33333,2
)(
δ=
−
senP
faltadurantee
58844,0
)(
δ=
−
senP
faltapóse
77778,1
)(
Com as equações (2.23), (2.28) e (2.29), obtém-se:
o
38,25
0
=δ
o
23,34=δ
s
o
77,145=δ
u
143
Substituindo-se os respectivos valores na equação (2.31), resulta em um ângulo
crítico
o
19,85=δ
cr
Realizando-se a solução numérica da equação de oscilação durante falta (2.13) com o
método de Runge-Kutta de quarta ordem, com intervalo de integração de 0,01 s, encontrou-se
para o tempo de 0,25 segundos uma posição angular do rotor da máquina
δ
= 85,03°<
o
19,85=δ
cr
. Para um tempo de abertura de 0,26 segundos, a posição do rotor é
δ
=
89,40°>
o
19,85=δ
cr
. Portanto, dentro da precisão definida no intervalo de integração de 0,01
s, o tempo crítico de abertura da linha 4-5 é de 0,25 segundos.
Exemplo A.2
- No sistema representado na Figura 2.4, considere um curto-circuito
trifásico com impedância de falta nula no início da linha de transmissão 3-4. Um curto-
circuito no início da linha 3-4 pode ser tratado eletricamente como se estivesse ocorrendo na
própria barra 3, levando sua tensão para zero. Com tensão nula na barra 3, não há potência
elétrica transmitida da máquina síncrona à barra infinita durante - falta. Fisicamente somente
as proteções da linha 3-4 atuam isolando a linha. Nestas condições, os dados e as potências
envolvidas são os mesmos do exemplo A.1, alterando somente a potência elétrica transmitida
durante - falta, então:
=
−
)(
faltadurantee
P 0,00 p.u.
Os ângulos pré-falta, pós-falta de equilíbrio estável e instável também são os mesmos do
exemplo A.1.
Substituindo-se os respectivos valores na equação (2.31), chega-se ao angulo o ângulo crítico
de abertura,
o
198,69=δ
cr
.
Como este é um caso particular em que a potência elétrica durante - falta é nula, pode-se
encontrar uma solução analítica para a equação de oscilação. Logo, da equação (2.13), tem-se:
M
P
M
PP
dt
d
m
faltaduranteem
0
)(
2
2
−
=
−
=
δ
−
(A.1)
144
Chamando uma variável auxiliar
2
2
dt
d
dt
du
dt
d
u
δ
=
⇒
δ
= e substituindo-se na equação (A.1),
obtém-se:
⇒
=
M
P
dt
du
m
dt
M
P
du
m
= (A.2)
Integrando-se cada lado desta equação, resulta:
dtt
M
P
dt
M
P
dt
d
u
mm
=δ
⇒
=
δ
= (A.3)
Integrando-se novamente, obtém-se:
Ct
M
P
t
m
+=δ
2
2
)( (A.4)
Quando t = 0,
δ
(0) = C =
δ
0
e, portanto, a equação (A.4) fica:
0
2
2
)( δ+=δ t
M
P
t
m
(A.5)
Quando t = t
cr
,
δ
(t
cr
) =
δ
cr
. Substituindo estes valores na equação (A.5), chega-se a expressão:
m
cr
sm
cr
cr
Pf
H
P
M
t
)(
2
)(2
00
δ−δ
π
=
δ−δ
=
(A.6)
Substituindo os valores já utilizados no exemplo A.1 e com
o
198,69=δ
cr
, obtém-se um
tempo crítico exato t
cr
= 0,17444 s.
145
APÊNDICE B - Exemplos de cálculo da tensão, potência ativa e reativa críticas
utilizando o Índice de Estabilidade de Tensão
Exemplo B.1
- Carga indutiva pura, desconsiderando a resistência série e a capacitância
em paralelo da linha de transmissão.
oo
9090 =β=
⇒
∠= eXBXB
oo
0101 =α=
⇒
∠= eAA
o
90=α−β=γ
φ
=
tg
Q
P
2
2
0,1
1
=V
p.u.
Substituindo estes valores na equação (5.45), obtém-se:
( )
2
2
12
2
2
2
2
4
VXQ
QX
IET
−
=
(B.1)
Para
1
=
IET
, na equação (B.1), o valor de reativos entregue à carga atinge seu valor crítico,
logo:
( )
4085,2
1038,04
1
4
2
2
1
22
====
X
V
QQ
cr
p.u.
Quando 04
2
=− acb a tensão
2
V
na carga tem o seu valor crítico, então da equação (5.43)
a
b
VV
cr
2
22
−
+==
(B.2)
146
Das equações (5.39) e (5.40) vem
2
1
X
a =
2
2
12
2
X
VXQ
b
cr
−
=
Substituindo estes valores em (B.2) resulta:
crcr
Q
V
V
2
2
1
2
2
−=
= 0,50 p.u.
Os resultados analíticos acima foram reproduzidos através do fluxo de potência continuado
como mostra a Figura B.1.
Figura B.1 - Curva
Q-V
para carga indutiva pura.
Exemplo B.2 - Carga com fator de potência unitário, desconsiderando a resistência série
e a capacitância em paralelo da linha de transmissão.
oo
9090
=β=
⇒
∠= eXBXB
oo
0101
=α=
⇒
∠= eAA
147
o
90
=α−β=γ
0
0
22
2
===φ
PP
Q
tg
0,1
1
=V
p.u.
Na equação (5.45)
4
1
2
2
2
4
V
PX
IET =
(B.3)
Quando o valor de
1
=
IET
na equação (B.3), o valor da potência ativa entregue à carga
atinge seu valor crítico. Então:
817,4
2
2
1
22
===
X
V
PP
cr
p.u.
Na equação (B.2)
a
b
VV
cr
2
22
−
==
Das equações (5.39) e (5.40):
2
1
X
a =
2
2
1
X
V
b
−
=
7071,0
2
1
2
2
1
2
===
V
V
cr
p.u.
A Figura B.2 mostra o resultado obtido por simulação computacional.
148
Figura B.2 - Curva
P-V
para carga com fator de potência unitário.
Exemplo B.3 - Linha de transmissão com modelo π equivalente e carga com fator de
potência 0,90 indutivo.
o
r
000,1
1
∠=V
p.u.
o
27,841043,0.1038,00104,0
∠=+= jZ
p.u.
178,2
jY
sh
=
p.u.
oo
27,8427,841043,0
=β
⇒
∠=B
oo
75,075,088692,0
2
1
=α
⇒
∠=+= Z
Y
A
sh
o
52,83
=α−β=γ
4843,090,0cos
=
φ
⇒
=
φ
tg
Para 00,1
=
IET
na equação (5.45), a potência ativa na carga é crítica, então
cr
PP
22
=
.
Reescrevendo a equação de
IET
em uma forma quadrática, obtém-se:
(
)
]
[
{
]
[
}
(
)
]
[
0cos41cos4
4
12
2
1
2
2
2
22
=+γφ+γ−φ+−γφ+γ VPsentgABVPtgsentgAB
(B.4)
149
Que pode ser escrita na forma:
0
2
2
2
=
′
+
′
+
′
cPbPa
(B.5)
Cuja solução é da forma:
a
cabb
PP
cr
′
′′
−
′
±
′
−
==
2
4
2
22
(B.6)
Onde
cba
′
′
′
,, são, respectivamente,
[
]
(
)
(
)
[
]
φ+−γφ+γ=
′
2
22
1sincos4
tgtgABa
(B.7)
(
)
(
)
γφ+γ−=
′
sincos4
2
1
tgABVb
(B.8)
4
1
Vc =
′
(B.9)
Resolvendo as equações (B.7), (B.8) e (B.9), obtém-se:
0302,0
−
=
′
a
2198,0
−
=
′
b
00,1
=
′
c
Colocando estes valores na equação (B.6), vem:
..169,3
22
upPP
cr
==
..535,1
222
uptgPQQ
crcr
=φ==
A solução da equação (5.43) para 169,3
22
==
cr
PP
p.u. e 04
2
=− acb
, fornece
cr
V
2
.
150
6436,0
)31,72(2
91,59
2
22
=+=
−
+==
a
b
VV
cr
p.u.
Os resultados obtidos na simulação computacional são mostrados na Figura B.3.
Figura B.3 - Curva
P-V
para carga com fator de potência 0,90 indutivo.
151
APÊNDICE C - Dados e parâmetros dos sistemas elétricos estudados
Tabela C.1 – Parâmetros do sistema da Região Sul do Brasil em 100 MVA
Linha
Número
Da
Barra
Para
Barra
R
p.u.
X
p.u.
Y
sh/2
p.u.
1 1 36 0,0000 0,0068 0,0000
2 2 29 0,0000 0,0136 0,0000
3 3 15 0,0000 0,0460 0,0000
4 4 18 0,0000 0,0114 0,0000
5 5 25 0,0000 0,0067 0,0000
6 6 33 0,0000 0,0114 0,0000
7 7 34 0,0000 0,0871 0,0000
8 8 35 0,0000 0,0701 0,0000
9 9 35 0,0000 0,0450 0,0000
10 10 39 0,0000 0,0236 0,0000
11 11 12 0,0007 0,0145 0,8305
12 11 12 0,0007 0,0145 0,8305
13 11 25 0,0018 0,0227 1,1361
14 11 33 0,0014 0,0204 1,2238
15 12 42 0,0000 0,0063 0,0000
16 13 14 0,0386 0,1985 0,1700
17 13 35 0,0096 0,0491 0,0421
18 13 45 0,0033 0,0167 0,0143
19 14 15 0,0463 0,2378 0,2042
20 14 15 0,0463 0,2378 0,2042
21 14 37 0,0177 0,0910 0,0793
22 14 37 0,0177 0,0910 0,0793
23 14 37 0,0177 0,0910 0,0793
24 15 16 0,0163 0,0835 0,0720
25 15 16 0,0163 0,0835 0,0720
26 15 39 0,0250 0,1548 0,2345
27 16 17 0,0163 0,0835 0,0720
28 16 18 0,0316 0,1621 0,1392
29 17 18 0,0153 0,0861 0,0672
30 18 19 0,0306 0,1523 0,1351
31 18 44 0,0344 0,1760 0,1520
32 18 44 0,0344 0,1760 0,1520
33 19 20 0,0245 0,1256 0,1021
34 19 25 0,0000 0,0300 0,0000
35 20 21 0,0088 0,0415 0,2606
36 21 22 0,0182 0,0935 0,0798
37 21 22 0,0182 0,0935 0,0798
38 21 26 0,0000 0,0062 0,0000
39 22 23 0,0154 0,0776 0,0675
40 22 23 0,0154 0,0776 0,0675
41 23 24 0,0216 0,1105 0,0932
42 23 24 0,0216 0,1105 0,0932
43 23 28 0,0000 0,0062 0,0000
44 24 35 0,0180 0,0920 0,0777
45 24 35 0,0180 0,0920 0,0777
46 25 26 0,0019 0,0280 1,6788
47 25 27 0,0019 0,0274 1,6434
48 25 29 0,0014 0,0195 1,1984
49 25 36 0,0005 0,0070 0,4196
50 26 27 0,0005 0,0069 0,4108
51 26 28 0,0012 0,0175 1,0485
52 29 30 0,0021 0,0309 1,8592
53 30 38 0,0000 0,0062 0,0000
54 31 32 0,0022 0,0300 1,9150
55 31 40 0,0000 0,0062 0,0000
56 32 33 0,0014 0,0195 1,1985
57 33 36 0,0005 0,0070 0,4196
58 34 35 0,0000 0,0590 0,0000
59 35 45 0,0129 0,0657 0,0564
60 37 38 0,0022 0,0111 0,0116
61 37 38 0,0022 0,0111 0,0116
62 37 38 0,0019 0,0101 0,0102
63 37 40 0,0207 0,0933 0,0859
64 37 40 0,0168 0,0930 0,0860
152
65 37 40 0,0176 0,0984 0,0899
66 39 40 0,0202 0,1129 0,1031
67 41 42 0,0125 0,0641 0,0555
68 41 42 0,0089 0,0461 0,0398
69 41 43 0,0110 0,1184 0,1014
70 41 44 0,0229 0,1174 0,1014
71 42 43 0,0172 0,0884 0,0717
72 42 43 0,0172 0,0884 0,0717
73 43 44 0,0181 0,0929 0,0804
Tabela C.2 – Estado inicial – Região Sul do Brasil em 100 MVA
Barra
N
V
p.u.
θ
Graus
L
P
p.u.
L
Q
p.u.
G
P
p.u.
G
Q
p.u.
1 1,020 0,00 0,000 0,000 13,58
-0,665
2 1,020 -10,96 0,000 0,000
6,50
-0,416
3 1,040 -16,73 0,000 0,000
2,15
0,646
4 1,020
5,15 0,000 0,000 10,50
1,471
5 1,022 -6,16 0,000 0,000 11,10
-0,183
6 1,018 3,17 0,000 0,000 13,25
-0,595
7 1,030 -29,05 0,000 0,000
0,90
0,478
8 1,030 -27,49 0,000 0,000
1,20
0,593
9 1,030 -26,12 0,000 0,000
2,41
0,975
10 1,000 -15,37 0,000 0,000
4,90
0,813
11 1,036 -10,87 0,000 2,000 0,00 0,000
12 1,027 -13,09 0,000 0,000 0,00 0,000
13 0,957 -36,47 1,770 0,680 0,00 0,000
14 1,022 -36,12 1,910 0,420 0,00 0,000
15 1,016 -22,11 1,710 0,185 0,00 0,000
16 0,988 -17,63 1,260 0,470 0,00 0,000
17 0,986 -10,74 0,460 0,147 0,00 0,000
18 1,010 -1,52 2,810 0,565 0,00 0,000
19 0,998 -14,92 2,790 0,607 0,00 0,000
20 0,971 -25,73 1,300 0,294 0,00 0,000
21 0,977 -26,08 4,270 -0,250 0,00 0,000
22 0,921 -32,98 3,100 1,410 0,00 0,000
23 0,955 -31,57 4,240 0,906 0,00 0,000
24 0,964 -33,65 1,170 0,531 0,00 0,000
25 1,026 -10,23 0,000 0,000 0,00 0,000
26 0,980 -23,62 0,000 1,500 0,00 0,000
27 0,982 -22,03 3,680 2,196 0,00 0,000
28 0,963 -29,44 0,000 0,000 0,00 0,000
29 1,029 -15,79 1,740 0,918 0,00 0,000
30 1,036 -32,47 0,000 1,500 0,00 0,000
31 1,040 -25,84 0,000 1,500 0,00 0,000
32 1,043 -13,34 0,000 1,500 0,00 0,000
33 1,035 -5,07 0,000 0,000 0,00 0,000
34 0,992 -33,44 1,260 0,398 0,00 0,000
35 0,993 -32,21 0,000 0,000 0,00 0,000
36 1,028 -5,05 0,000 0,000 0,00 0,000
37 1,039 -36,26 8,130 1,100 0,00 0,000
38 1,049 -35,66 6,120 -4,550 0,00 0,000
39 0,988 -22,10 4,040 1,350 0,00 0,000
40 1,046 -28,36 3,930 -1,110 0,00 0,000
41 0,992 -18,29 2,620 0,132 0,00 0,000
42 1,011 -15,08 2,290 1,830 0,00 0,000
43 0,980 -18,12 1,840 0,602 0,00 0,000
44 0,972 -14,61 1,390 0,537 0,00 0,000
45 0,954 -36,25 0,901 0,553 0,00 0,000
Totais 64,73 17,92 66,49 3,12
153
Tabela C.3 – Parâmetros do sistema com 10 barras em 100 MVA
Linha
Número
Da
Barra
Para
Barra
R
p.u.
X
p.u.
Y
sh/2
p.u.
1 1 8 0,0000 0,1000 0,0000
2 2 9 0,0000 0,0200 0,0000
3 3 10 0,0000 0,0600 0,0000
4 4 8 0,0000 0,3000 0,0000
5 4 8 0,0000 0,3000 0,0000
6 4
5 0,0000 0,1800 0,0000
7 4 5 0,0000 0,1800 0,0000
8 5 9 0,0000 0,1200 0,0000
9 5 9 0,0000 0,1200 0,0000
10 4
6 0,0000 0,1000 0,0000
11 5
10 0,0000 0,1600 0,0000
12 5
7 0,0000 0,0500 0,0000
13
7
9 0,0000 0,0500 0,0000
14
7
9 0,0000 0,0500 0,0000
15
6
7 0,0000 0,2000 0,0000
16
6
10 0,0000 0,1000 0,0000
17
7 10 0,0000 0,0500 0,0000
18
7 10 0,0000 0,0500 0,0000
Tabela C.4 – Estado inicial do sistema com 10 barras em 100 MVA
Barra
N
V
p.u.
θ
Graus
L
P
p.u.
L
Q
p.u.
G
P
p.u.
G
Q
p.u.
1 1,077 14,42 0,00 0,00
0,800 0,3534
2 1,001
4,14 0,00 0,00
2,300 0,0563
3 0,998
3,21 0,00 0,00
0,900 -0,0289
4 1,012
3,86 0,00 0,00
0,00
0,0000
5 1,003
1,65 0,00 0,00
0,00
0,0000
6 1,005
1,80 0,00 0,00
0,00
0,0000
7 1,002
1,02 0,00 0,00
0,00 0,0000
8 1,047 10,36 0,00
0,00 0,00 0,0000
9 1,001
1,51 2,00
0,00 0,00 0,0000
10 1,001
0,11 2,00
0,00 0,00 0,0000
Totais 4,00 0,00 4,00 0,3808
Tabela C.5 – Parâmetros do sistema com 17 barras em 100 MVA
Linha
Número
Da
Barra
Para
Barra
R
p.u.
X
p.u.
Y
sh/2
p.u.
1 1 8 0,0000 0,0240 0,0000
2 2 9 0,0000 0,0380 0,0000
3 3 10 0,0000 0,0220 0,0000
4 4 11 0,0000 0,0290 0,0000
5 5 12 0,0000 0,0240 0,0000
6 6 13 0,0000 0,0210 0,0000
7 7 14 0,0000 0,0270 0,0000
8 8 10 0,0099 0,0484 0,1013
9 8 11 0,0099 0,0484 0,0506
10 9 10 0,0450 0,1237 0,1013
11 9 17 0,0164 0,0638 0,1519
12 10 11 0,0119 0,0780 0,1519
13 10 16 0,0115 0,0553 0,1013
14 11 12 0,0040 0,0198 0,1013
15 11 13 0,0075 0,0198 0,6075
16 11 16 0,0488 0,1916 0,1013
17 11 17 0,0164 0,0652 0,1519
18 13 15 0,0188 0,0628 0,1013
19 14 15 0,0119 0,0780 0,1519
20 15 16 0,0488 0,1916 0,1013
154
Tabela C.6 – Estado inicial do sistema com 17 barras em 100 MVA
Barra
N
V
p.u.
θ
Graus
L
P
p.u.
L
Q
p.u.
G
P
p.u.
G
Q
p.u.
1 1,060 0,00 0,00 0,000
2,17 0,681
2 1,060 -7,62 0,00 0,000
1,20
1,435
3 1,050 -1,29 0,00 0,000
2,56
0,861
4 1,050
-1,68 0,00 0,000
3,00
1,719
5 1,050 -1,16 0,00 0,000
2,30
0,898
6 1,010 -4,12 0,00 0,000
1,60
-0,039
7 1,020
-0,90 0,00 0,000
1,74 0,457
8 1,046 -2,69
0,00
0,000 0,00 0,000
9 1,009 -10,06
2,00
1,200 0,00 0,000
10 1,033 -4,27
0,00
0,000 0,00 0,000
11 1,006 -6,40 6,50 4,050 0,00 0,000
12 1,031 -4,08 0,00 0,000 0,00 0,000
13 1,011 -6,00 0,80 0,300 0,00 0,000
14 1,009 -3,52 0,90 0,400 0,00 0,000
15 0,991 -7,19 1,00 0,500 0,00 0,000
16 0,958 -9,40 2,30 1,400 0,00 0,000
17 0,995 -9,84 0,90 0,450 0,00 0,000
Totais 14,40 8,30 14,57 6,01
Tabela C.7- Parâmetros sistema com 9 barras em 100 MVA
Linha
Número
Da
Barra
Para
Barra
R
p.u.
X
p.u.
Y
sh/2
p.u.
1 1 4 0,0000 0,0576 0,0000
2 2 7 0,0000 0,0625 0,0000
3 3 9 0,0000 0,0586 0,0000
4 7 8 0,0085 0,0720 0,0745
5 8 9 0,0119 0,1008 0,1045
6 7
5 0,0320 0,1610 0,1530
7 9 6 0,0390 0,1700 0,1790
8 4 5 0,0100 0,0850 0,0880
9 4 6 0,0170 0,0920 0,0790
Tabela C.8 - Estado inicial do sistema com 9 barras em 100 MVA
Barra
N
V
p.u.
θ
Graus
L
P
p.u.
L
Q
p.u.
G
P
p.u.
G
Q
p.u.
1 1,040
0,00 0,00 0,00
0,7164 0,2705
2 1,025
9,28 0,00 0,00
1,6300 0,0665
3 1,025
4,66 0,00 0,00
0,8500 -0,1086
4 1,026 -2,22 0,00 0,00 0,0000 0,0000
5 0,996
-3,99 1,25 0,50 0,0000 0,0000
6 1,013
3,69 0,90 0,30 0,0000 0,0000
7 1,026
3,72 0,00 0,00 0,0000 0,0000
8 1,016
0,73 1,00
0,35 0,0000 0,0000
9 1,032
1,97 0,00
0,00 0,0000 0,0000
Totais 3,15 1,15 3,196 0,228
155
Tabela C.9– Dados do sistema com 20 barras em 40 MVA
Linha
N
Da
Barra
Para
Barra
R
p.u.
X
p.u.
Y
sh/2
p.u.
1 1 2 0,1196 0,1263 0,00
2 2 3 0,1250 0,1505 0,00
3 2 9 0,0713 0,0185 0,00
4 2 10 0,0664 0,0702 0,00
5 3 4 0,0936 0,1129 0,00
6 3 5 0,6294 0,7586 0,00
7 5 6 0,3123 0,3766 0,00
8 5 7 0,6240 0,4947 0,00
9 5 8 0,6559 0,5201 0,00
10 10 11 0,0561 0,0592 0,00
11 10 16 0,0859 0,0908 0,00
12 11 12 0,0471 0,0496 0,00
13 11 15 0,0370 0,0095 0,00
14 12 13 0,0800 0,0844 0,00
15 12 14 0,0257 0,0067 0,00
16 16 17 0,0229 0,0059 0,00
17 16 18 0,0286 0,0075 0,00
18 19 1 0,0000 0,2800 0,00
19 20 12 0,0000 0,2800 0,00
Tabela C.10 – Estado inicial do sistema com 20 barras -Eólica - P-Q
Barra
N
Tipo
(*)
V
p.u.
θ
Graus
L
P
MW
L
Q
MVAr
G
P
MW
G
Q
MVAr
1 0 1,039 -2,3 0,4 0,1 0,0 0,0
2 0 1,004 -2,4 0,4 0,1 0,0 0,0
3 0 0,989 -2,8 0,4 0,1 0,0 0,0
4 0 0,988 -2,9 0,5 0,2 0,0 0,0
5 0 0,937 -4,5 0,5 0,2 0,0 0,0
6 0 0,930 -4,8 0,6 0,2 0,0 0,0
7 0 0,926 -4,7 0,5 0,2 0,0 0,0
8 0 0,925 -4,7 0,5 0,2 0,0 0,0
9 0 1,002
-2,4 0,8 0,3 0,0 0,0
10 0 0,994 -2,1 0,8 0,3 0,0 0,0
11 0 0,993 -1,8 1,0 0,4 0,0 0,0
12 0 0,995 -1,4 2,0 0,9 0,0 0,0
13 0 0,992 -1,5 1,0 0,3 0,0 0,0
14 0 0,995 -1,4 0,8 0,3 0,0 0,0
15 0 0,992 -1,8 0,8 0,3 0,0 0,0
16 0 0,987 -2,4 1,5 0,6 0,0 0,0
17 0 0,986 -2,4 0,5 0,2 0,0 0,0
18 0 0,986 -2,4 0,5 0,2 0,0 0,0
19 2 1,08 0,0 0,0 0,0 6,4 6,5
20 1 0,994 1,7 0,0 0,0 7,5 0,0
Totais 13,5 5,1 13,9 6,5
(*)
Barra tipo 0 = Barra de carga ou P-Q;
Barra tipo 1 = Barra de tensão regulada ou P-V;
Barra tipo 2 = Barra de referência ou V-
θ
.
156
Tabela C.11 – Sistema CEEE-D - Dados e parâmetros de linhas de transmissão no formato do programa ANAREDE
Da
Barra
Para a
Barra
Resistência
Porcentual
Reatância
Porcentual
Susceptância
MVAr
Capacidade
Normal
MVA
Capacidade
Emergência
MVA
1258 1236 4,74 23,66 42,40 270 270
1199 1194 1,71 8,55 15,32 239 239
1230 1188 2,89 14,44 25,88 270 270
1194 9364 0,00 16,31 0,00 83 83
1188 9360 0,00 26,56 0,00 90 120
9234 1239 0,00 14,43 0,00 115 115
9234 9232 0,00 34,28 0,00 30 30
1236 9228 0,00 5,36 0,00 83 83
1236 9228 0,00 5,36 0,00 83 83
9428 9424 0,00 40,55 0,00 25 31
9412 9416 0,00 42,45 0,00 20 20
1246 9262 0,00 10,44 0,00 50 50
1246 9263 0,00 12,88 0,00 165 165
1194 1239 3,74 18,71 33,93 239 239
1188 1239 0,87 4,82 8,81 239 239
1239 1236 1,37 11,61 23,01 364 364
1239 1236 1,37 11,61 23,01 364 364
1239 1246 2,92 14,59 26,15 239 239
1236 1246 0,84 4,18 7,50 270 270
9364 9415 2,81 6,33 0,416 41 59
9364 9414 39,43 42,12 0,512 23 33
9364 9419 76,86 82,12 0,999 23 33
9364 9407 35,54 79,00 5,222 41 59
9407 9410 1,12 2,50 0,165 41 59
9410 9411 21,86 48,60 3,212 41 59
9407 9409 12,86 28,20 1,864 41 59
9263 9468 4,04 15,16 0,276 54 79
9468 9434 1,15 4,30 0,078 54 79
9468 9429 1,18 4,43 0,080 54 79
9429 9427 0,18 0,73 0,012 30 43
9427 9426 1,38 5,47 0,087 30 43
9426 9454 1,17 4,38 0,079 54 79
9263 9437 3,04 11,40 0,207 54 79
9437 9430 2,59 10,27 0,164 30 43
9430 9457 0,45 1,78 0,029 30 43
9457 9439 0,37 1,47 0,023 30 43
9439 9433 0,84 3,34 0,053 30 43
9433 9454 1,17 4,38 0,079 54 79
9263 9445 5,07 15,95 1,015 48 71
9263 9496 13,57 42,63 2,713 48 71
9262 9186 9,87 33,84 10,053 108 164
9186 9452 4,09 15,21 4,013 108 164
9445 9454 5,50 5,87 0,071 23 33
9263 9412 13,37 41,66 2,657 48 71
9360 9422 6,96 15,47 1,023 41 59
9422 9469 14,66 45,69 2,914 48 71
9469 9435 2,20 2,35 0,029 23 33
9469 9232 4,33 4,62 0,056 23 33
9360 9423 61,31 93,16 1,250 30 43
9232 9441 3,26 12,21 0,222 54 79
9232 9438 5,03 5,37 0,065 23 33
9428 9368 11,81 37,10 2,361 48 71
9001 9163 3,59 12,10 2,748 100 100
9228 9424 0,74 2,48 0,564 100 100
9228 9352 0,86 2,95 0,877 108 164
9352 9416 0,86 3,20 0,844 108 164
9352 9420 0,40 1,37 0,406 108 164
9228 9353 2,70 9,24 2,745 108 164
9353 9254 0,79 2,73 0,811 108 164
9353 9234 5,42 18,59 5,524 108 164
9254 9001 4,18 15,55 3,680 95 95
1 9452 0,00 10,00 0,00 20 30
2 9163 0,00 15,00 0,00 50 75
3 9463 0,00 20,00 0,00 12 18
157
Tabela C.12 – Sistema CEEE-D - Fluxo de Potência com carga pesada sem a presença de geração eólica no formato do ANAREDE
Barra Nome Tensão
kV
Tipo
(*)
Tensão
p.u.
Ângulo
graus
Geração
MW
Geração
MVAr
Carga
MW
Carga
MVAr
Shunt
MVAr
1188 BAG2 230 0 1,042 -1,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1194 CAM 230 0 1,030 -3,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1199 GUA2 230 1 1,000 -0,2 63,0 -53,1 0,0 0,0 0,0
1230 LIV2 230 1 1,000 8,3 116,0 -54.7 0,0 0,0 0,0
1236 PEL3 230 0 1,061 -6,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1239 UPME 230 1 1,060 -3,5 125,0 -14,2 0,0 0,0 0,0
1246 QUIN 230 0 1,056 -7,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1258 CIND 230 2 1,050 0,0 51,2 -35,6 0,0 0,0 0,0
9001 AGR 138 0 1,064 -9,3 0,0 0,0 5,98 0,65 0,0
9163 JGR 138 0 1,063 -9,7 0,0 0,0 6,53 0,22 0,0
9186 MML 138 0 1,076 -10,5 0,0 0,0 3,81 1,63 0,0
9228 PEL3 138 0 1,058 -7,9 0,0 0,0 15,75 4,28 0,0
9232 UPME 69 0 1,046 -9,5 0,0 0,0 13,05 0,76 0,0
9234 UPME 138 0 1,062 -6,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9254 POS 138 0 1,063 -8,2 0,0 0,0 4,35 1,09 0,0
9262 QUIN 138 0 1,067 -8,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9263 QUIN 69 0 1,030 -13,5 0,0 0,0 7,07 1,74 0,0
9352 DPEL1 138 0 1,050 -8,9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9353 DPOS 138 0 1,063 -8,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9360 BAG2 69 0 1,037 -7,8 0,0 0,0 17,41 2,72 0,0
9364 CAM1 69 0 1,049 -9,3 0,0 0,0 21,97 0,80 0,0
9368 CGU 69 0 1,032 -12,9 0,0 0,0 6,47 3,96 0,0
9407 EN864 69 0 1,086 -14,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9409 CPV 69 0 1,085 -15,2 0,0 0,0 3,70 -0,27 0,0
9410 ECZ 69 0 1,086 -14,7 0,0 0,0 4,35 -0,27 0,0
9411 IRA 69 0 1,093 -15,2 0,0 0,0 0,98 -0,09 0,0
9412 PEL1 69 0 1,031 -13,4 0,0 0,0 18,49 4,35 0,0
9414 VAS 69 0 0,997 -11,6 0,0 0,0 11,42 1,50 0,0
9415 CAM2 69 0 1,048 -9,5 0,0 0,0 7,18 2,0 4,0
9416 PEL1 138 0 1,047 -9,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9419 SLO 69 0 0,975 -17,5 0,0 0,0 13,27 2,38 6,8
9420 PEL2 138 0 1,047 -9,2 0,0 0,0 48,95 7,61 0,0
9422 BAG1 69 0 1,030 -9,1 0,0 0,0 14,90 3,37 0,0
9423 DPE 69 0 0,979 -13,5 0,0 0,0 10,12 -0,46 0,0
9424 PEL4 138 0 1,057 -8,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9426 TRE 69 0 1,004 -16,2 0,0 0,0 4,0 1,31 0,0
9427 TER 69 0 1,007 -15,8 0,0 0,0 1,50 0,49 0,0
9428 PEL4 69 0 1,049 -11,8 0,0 0,0 10,77 -0,18 0,0
9429 TEC 69 0 1,007 -15,7 0,0 0,0 2,65 0,87 0,0
9430 RGR3 69 0 1,007 -16,1 0,0 0,0 7,07 -1,37 0,0
9433 RLB 69 0 1,004 -16,4 0,0 0,0 2,50 0,82 0,0
9434 CSN 69 0 1,009 -15,4 0,0 0,0 5,44 3,70 0,0
9435 CRM2 69 0 1,044 -9,5 0,0 0,0 1,95 0,64 0,0
9437 COR 69 0 1,018 -14,9 0,0 0,0 0,60 0,20 0,0
9438 CCB2 69 0 1,044 -9,6 0,0 0,0 3,90 1,28 0,0
9439 BAL 69 0 1,004 -16,3 0,0 0,0 6,85 2,25 0,0
9441 CRB1 69 0 1,046 -9,6 0,0 0,0 0,45 0,15 0,0
9445 RGR1 69 0 1,008 -16,1 0,0 0,0 21,76 7,61 3,7
9452 SVP 138 0 1,073 -11,2 0,0 0,0 8,16 2,18 0,0
9454 RGR2 69 0 1,003 -16,4 0,0 0,0 19,58 5,44 3,6
9457 BIA2 69 0 1,005 -16,2 0,0 0,0 5,00 1,64 0,0
9468 DCSN 69 0 1,011 -15,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9469 EM910 69 0 1,045 -9,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9496 TAI 69 0 1,028 -14,2 0,0 0,0 2,72 1,09 0,0
Totais 355,2 -157,6 340,65 66,09 18,1
158
Tabela C.13 – Sistema CEEE-D - Fluxo de Potência com carga pesada com a presença de geração eólica no formado ANAREDE
Barra Nome Tensão
kV
Tipo
(*)
Tensão
p.u.
Ângulo
graus
Geração
MW
Geração
MVAr
Carga
MW
Carga
MVAr
Shunt
MVAr
1188 BAG2 230 0 1,044 9,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1194 CAM 230 0 1,030 7,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1199 GUA2 230 1 1,000 10,7 63,0 -53,1 0,0 0,0 0,0
1230 LIV2 230 1 1,000 19,5 116,0 -55,7 0,0 0,0 0,0
1236 PEL3 230 0 1,065 3,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1239 UPME 230 1 1,060 7,4 125,0 -26,4 0,0 0,0 0,0
1246 QUIN 230 0 1.060 3,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1258 CIND 230 2 1.050 0.0 -30,6 -22,7 0,0 0,0 0,0
9001 AGR 138 0 1,083 8,0 0,0 0,0 5,98 0,65 0,0
9163 JGR 138 0 1,094 10,6 0,0 0,0 6,53 0,22 0,0
9186 MML 138 0 1,099 4,6 0,0 0,0 3,81 1,63 0,0
9228 PEL3 138 0 1,060 2,9 0,0 0,0 15,75 4,28 0,0
9232 UPME 69 0 1,048 2,5 0,0 0,0 13,05 0,76 0,0
9234 UPME 138 0 1,063 5,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9254 POS 138 0 1,071 5,2 0,0 0,0 4,35 1,09 0,0
9262 QUIN 138 0 1,071 3,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9263 QUIN 69 0 1,034 -2,7 0,0 0,0 7,07 1,74 0,0
9352 DPEL1 138 0 1,051 1,9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9353 DPOS 138 0 1,068 4,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9360 BAG2 69 0 1,043 4,9 0,0 0,0 17,41 2,72 0,0
9364 CAM1 69 0 1,049 1,6 0,0 0,0 21,97 0,80 0,0
9368 CGU 69 0 1,033 -2,0 0,0 0,0 6,47 3,96 0,0
9407 EN864 69 0 1,086 -3,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9409 CPV 69 0 1,085 -4,3 0,0 0,0 3,70 -0,27 0,0
9410 ECZ 69 0 1,086 -3,8 0,0 0,0 4,35 -0,27 0,0
9411 IRA 69 0 1,093 -4,3 0,0 0,0 0,98 -0,09 0,0
9412 PEL1 69 0 1,034 -2,6 0,0 0,0 18,49 4,35 0,0
9414 VAS 69 0 0,997 -0,7 0,0 0,0 11,42 1,50 0,0
9415 CAM2 69 0 1,048 1,4 0,0 0,0 7,18 2,0 4,0
9416 PEL1 138 0 1,049 1,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9419 SLO 69 0 0,975 -6,6 0,0 0,0 13,27 2,38 6,8
9420 PEL2 138 0 1,048 1,6 0,0 0,0 48,95 7,61 0,0
9422 BAG1 69 0 1,035 3,4 0,0 0,0 14,90 3,37 0,0
9423 DPE 69 0 1,062 5,5 0,0 0,0 10,12 -0,46 0,0
9424 PEL4 138 0 1,058 2,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9426 TRE 69 0 1,008 -5,4 0,0 0,0 4,0 1,31 0,0
9427 TER 69 0 1,011 -4,9 0,0 0,0 1,50 0,49 0,0
9428 PEL4 69 0 1,051 -0,9 0,0 0,0 10,77 -0,18 0,0
9429 TEC 69 0 1,011 -4,9 0,0 0,0 2,65 0,87 0,0
9430 RGR3 69 0 1,011 -5,3 0,0 0,0 7,07 -1,37 0,0
9433 RLB 69 0 1,008 -5,6 0,0 0,0 2,50 0,82 0,0
9434 CSN 69 0 1,013 -4,6 0,0 0,0 5,44 3,70 0,0
9435 CRM2 69 0 1,046 2,6 0,0 0,0 1,95 0,64 0,0
9437 COR 69 0 1,022 -4,1 0,0 0,0 0,60 0,20 0,0
9438 CCB2 69 0 1,045 2,5 0,0 0,0 3,90 1,28 0,0
9439 BAL 69 0 1,009 -5,5 0,0 0,0 6,85 2,25 0,0
9441 CRB1 69 0 1,047 2,5 0,0 0,0 0,45 0,15 0,0
9445 RGR1 69 0 1,012 -5,3 0,0 0,0 21,76 7,61 3,7
9452 SVP 138 0 1,103 5,5 0,0 0,0 8,16 2,18 0,0
9454 RGR2 69 0 1,007 -5,6 0,0 0,0 19,58 5,44 3,7
9457 BIA2 69 0 1,010 -5,4 0,0 0,0 5,00 1,64 0,0
9468 DCSN 69 0 1,015 -4,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9469 EN910 69 0 1,047 2,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
9496 TAI 69 0 1,032 -3,4 0,0 0,0 2,72 1,09 0,0
1 SVP-E 0,69 0 1,103 6,4 20,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2 JGR-E 0,69 0 1,092 14,2 50,0 0,0 0,0 0,0 0,0
3 DPE-E 0,69 0 1,062 6,8 12,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Totais 355,4 -157,9 340,65 66,09 18,2
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