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UNESP
“Controle Ativo de Vibrações em Estruturas Flexíveis
Utilizando Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs)”
RODRIGO BORGES SANTOS
Orientador: Prof. Dr. Vicente Lopes Júnior
Dissertação apresentada a Universidade Estadual
Paulista, UNESP - campus de Ilha Solteira, como
parte dos requisitos necessários para obtenção do
título de Mestre em Engenharia Mecânica.
Ilha Solteira – SP
Fevereiro /2008
Avenida Brasil, 56, Centro - Caixa Postal 31 - CEP 15385-000 - Ilha Solteira -SP, BRASIL.
Fone: 18 3743-1000 Fax: +55 18 3742-2735
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
FACULDADE DE ENGENHARIA – CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
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UNESP
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
TÍTULO: Controle Ativo de Vibrações em Estruturas Flexíveis Utilizando Desigualdades
Matriciais Lineares (LMIs)
AUTOR: RODRIGO BORGES SANTOS
ORIENTADOR: Prof. Dr. VICENTE LOPES JÚNIOR
DATA DA REALIZAÇÃO: 21/02/2008
Aprovada com parte das exigências para obtenção do título de MESTRE em ENGENHARIA
MECÂNICA pela comissão examinadora:
Prof. Dr. VICENTE LOPES JÚNIOR
Departamento de Engenharia Mecânica / UNESP - Ilha Solteira
Prof. Dr. NOBUO OKI
Departamento de Engenharia Elétrica / UNESP - Ilha Solteira
Prof. Dr. JOSÉ MANOEL BALTHAZAR
Departamento de Estatística, Matemática Aplicada e Computação / UNESP - Rio Claro
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação
Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.
Santos, Rodrigo Borges
S237c Controle ativo de vibrações em estruturas flexíveis utilizando desigualdades
matriciais
lineares (LMIs) / Rodrigo Borges Santos. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2008
135 p. : il.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de
Engenharia de
Ilha Solteira, 2008
Orientador: Vicente Lopes Júnior
Bibliografia: p. 124-130
1. Controle ativo de vibrações. 2. Desigualdades matriciais lineares.
3. Controle H∞.
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
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Dedicatória
À
Juraci, Wamer e Maria Regina
pelo amor, apoio e compreensão.
À meu Pai, João, (
in memoriam
), saudades...
“Não se pode ensinar tudo a alguém.
Pode-se, apenas, ajudá-lo a encontrar por si mesmo”
Galileu Galilei
AGRADECIMENTOS
À DEUS por me dar Oportunidades, Paz, Saúde, Amigos . . .
Ao Prof. Vicente Lopes Júnior por acreditar e apoiar a realização desta pesquisa. E, também,
pela amizade criada nestes anos de convívio e por incentivar à pesquisa desde os tempos de
iniciação científica.
Aos amigos de mestrado, Clayton, Camilo, Douglas, Maria Adriana, Paulo Tozoni, enfim, aos
colegas do Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes (GMSINT) da UNESP/Ilha Solteira pelos
momentos de aprendizagem, descontração e amizade.
A Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo suporte financeiro,
projeto n.º 05/58503-1, que foi fundamental para a minha dedicação integral neste trabalho.
Ao Departamento de Engenharia Mecânica (DEM) e ao Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica (PPGEM) da UNESP/Ilha Solteira por todo o apoio para a realização deste
trabalho.
Aos professores do PPGEM que me ajudaram na minha formação.
Aos membros da banca examinadora pelas sugestões e comentários.
SANTOS, R. B. 2008. Controle Ativo de Vibrações em Estruturas Flexíveis Utilizando
Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs). Dissertação de Mestrado (Engenharia Mecânica) -
Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista - UNESP, Ilha Solteira.
Palavras-chave: Controle Ativo de Vibrações, Controle H
∞
, Desigualdades Matriciais Lineares
(LMIs) e Active Mass Damper (AMD).
RESUMO
Este trabalho tem como propósito projetar controladores para aplicação em tempo real em uma
estrutura flexível, objetivando a redução de vibração estrutural. Os controladores são projetados
segundo o enfoque de otimização convexa, com formulações envolvendo desigualdades
matriciais lineares (LMIs). Duas diferentes sínteses de realimentação são consideradas. A
primeira é o projeto de controladores por realimentação de estados, estimados por um
observador. A segunda metodologia é baseada no controle H
∞
via realimentação do sinal de
saída. O modelo matemático da estrutura, usado no projeto dos controladores, foi obtido
utilizando o método de Lagrange. A estrutura considerada representa um modelo de um edifício
flexível controlado por uma massa móvel (Active Mass Damper - AMD) localizada no topo. A
estrutura é submetida a dois tipos de excitações, sísmica e senoidal. Uma mesa de vibração
(Shake Table) foi usada para aplicar as excitações. Para rodar o experimento de controle foi
usado uma placa de aquisição (MultiQ - PCI) e o software de controle Wincon. Os controladores
foram desenvolvidos usando o Simulink e executado em tempo real usando o Wincon. Testes
experimentais foram realizados para comprovação e avaliação das metodologias propostas.
SANTOS, R. B. 2008. Active Vibration Control in Flexible Structures Using Linear Matrix
Inequalities (LMIs). Master of Science in Mechanical Engineering Thesis, Faculdade de
Engenharia, Universidade Estadual Paulista - UNESP, Ilha Solteira.
Keywords: Active Vibration Control, H
∞
Control, Linear Matrix Inequalities (LMIs) and Active
Mass Damper (AMD).
ABSTRACT
The proposal of this work is to design real time controllers for application in flexible structure,
aiming the structural vibration reduction. The controllers are designed by convex optimization
involving linear matrix inequalities (LMIs) approaches. Two different methodologies to
feedback the system are explained. The first one is the design controller by state feedback based
on observer. The second one is based on H
∞
output feedback control. The mathematical model of
the structure, used in the controller design, was obtained by Lagrange’s method. The structure
can represent a flexible building, and it is controlled by a driving mass located at the top. The
structure is submitted to seismic and sinusoidal excitations. A vibration table (Shake Table) was
used to apply the excitations. The experimental tests were realized using an acquisition board
(MultiQ - PCI) and the Wincon control software. The controllers were developed using
Simulink, and it run in real time using the Wincon software. Experimental tests were
accomplished to validate and evaluate the proposal methodologies.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1.1. Desenho esquemático de um sistema de controle ativo.................................... 17
FIGURA 1.2. (a) Helicóptero e vórtices (b) Esquema das hélices com PZTs embutidos....... 18
FIGURA 1.3. Esqui Tradicional e esqui inteligente da companhia ACX............................... 18
FIGURA 1.4. Aeronave com sistema AVC comercial............................................................ 19
FIGURA 1.5. Alguns estragos provocados por terremoto no Japão........................................ 20
FIGURA 1.6. Alguns estragos provocados por terremoto no Peru.......................................... 20
FIGURA 1.7. Sistemas de absorvedores de vibrações em edifícios........................................ 22
FIGURA 1.8. Edifício Kyobashi Seiwa , Tokyo, Japão.......................................................... 23
FIGURA 1.9. (a) Modelo Estrutural (Sistema AMD-2) (b) Mesa de Vibração (Shake
Table I).............................................................................................................
24
FIGURA 2.1. Representação de um sistema dinâmico............................................................ 27
FIGURA 2.2. Exemplo de um sistema de controle a malha aberta......................................... 28
FIGURA 2.3. Um exemplo de um sistema de controle a malha fechada................................ 28
FIGURA 2.4. Modelagem matemática de um sistema dinâmico............................................. 30
FIGURA 2.5. Diagrama de blocos da resposta em freqüência de um sistema........................ 32
FIGURA 2.6. Representação em diagrama de blocos de um sistema em espaço de estados.. 36
FIGURA 2.7. Incerteza aditiva................................................................................................ 44
FIGURA 2.8. Incerteza multiplicativa na saída....................................................................... 44
FIGURA 2.9. Incerteza multiplicativa na entrada................................................................... 44
FIGURA 2.10. Representação gráfica do conceito de estabilidade......................................... 47
FIGURA 2.11. Índices de desempenho no domínio do tempo................................................ 53
FIGURA 3.1. Interpretação geométrica do teorema da estabilidade....................................... 60
FIGURA 4.1. Diagrama de blocos do sistema com realimentação de estados........................ 63
FIGURA 4.2. Representação gráfica de um observador dinâmico.......................................... 68
FIGURA 4.3. Sistema de controle por realimentação de estados utilizando observador........ 70
FIGURA 4.4. Configuração de um sistema genérico de controle............................................ 73
FIGURA 4.5. Representação convexa do problema de controle............................................. 76
FIGURA 4.6. Planta aumentada para o problema de desempenho.......................................... 78
FIGURA 4.7. Funções de Ponderação W
1
e W
2
...................................................................... 81
FIGURA 4.8. Forma padrão da realimentação geral de um sistema com incerteza
dinâmica...........................................................................................................
82
FIGURA 4.9. Problema de desempenho e robustez convertido em problema de robustez..... 86
FIGURA 4.10. Problema de desempenho e robustez convertido em problema de
desempenho......................................................................................................
87
FIGURA 4.11. Modelo com incerteza aditiva......................................................................... 88
FIGURA 4.12. Planta aumentada com a incerteza aditiva....................................................... 88
FIGURA 4.13. Planta generalizada para o projeto com incerteza residual aditiva –
Problema de desempenho e robustez...............................................................
89
FIGURA 4.14. Planta generalizada para o projeto com incerteza residual aditiva –
Problema de desempenho.................................................................................
91
FIGURA 4.15. Planta aumentada na forma final para o projeto com incerteza residual
aditiva – Problema de desempenho..................................................................
92
FIGURA 5.1. Sistema AMD-2 e equipamentos utilizados...................................................... 95
FIGURA 5.2. Montagem experimental.................................................................................... 95
FIGURA 5.3. Active Mass Damper (AMD)............................................................................ 96
FIGURA 5.4. Representação do modelo AMD-2.................................................................... 97
FIGURA 5.5. Planta aumentada para o projeto visando desempenho..................................... 105
FIGURA 5.6. Ponderação sobre a função sensibilidade.......................................................... 106
FIGURA 5.7. FRFs do sistema com e sem controle................................................................ 107
FIGURA 5.8. Função restrição de energia............................................................................... 107
FIGURA 5.9. Sinal de aceleração do primeiro andar para os casos sem e com controle........ 109
FIGURA 5.10. Sinal de aceleração do segundo andar para os casos sem e com controle...... 109
FIGURA 5.11. Força de controle aplicada ao carro, em [V]. 110
FIGURA 5.12. Sinal de distúrbio, que simula uma excitação real de um abalo sísmico........ 110
FIGURA 5.13. Sinal de aceleração do primeiro andar para os casos sem e com controle...... 111
FIGURA 5.14. Sinal de aceleração do segundo andar para os casos sem e com controle...... 112
FIGURA 5.15. Força de controle aplicada ao carro, em [V]................................................... 112
FIGURA 5.16. Sinal de distúrbio senoidal.............................................................................. 113
FIGURA 5.17. FRF da estrutura para o sistema com e sem controle...................................... 114
FIGURA 5.18. Sinal de aceleração do primeiro andar para os casos sem e com controle...... 115
FIGURA 5.19. Sinal de aceleração do segundo andar para os casos sem e com controle...... 116
FIGURA 5.20. Força de controle aplicada ao carro, em [V]................................................... 116
FIGURA 5.21. Sinal de distúrbio, que simula uma excitação real de um abalo sísmico........ 117
FIGURA 5.22. Sinal de aceleração do primeiro andar para os casos sem e com controle...... 118
FIGURA 5.23. Sinal de aceleração do segundo andar para os casos sem e com controle...... 118
FIGURA 5.24. Força de controle aplicada ao carro, em [V]................................................... 119
FIGURA 5.25. Sinal de distúrbio senoidal.............................................................................. 119
FIGURA A 2.1. Diagrama de simulação – projeto H
∞
via realimentação de estados............. 134
FIGURA A 2.2. Diagrama de simulação – projeto H
∞
via realimentação de saída................. 134
LISTA DE TABELAS
TABELA 2.1. Estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo......................................... 49
TABELA 2.2. Índices de desempenho no domínio do tempo................................................. 52
TABELA 5.1. Nomenclatura utilizada na modelagem do sistema AMD-2............................
98
TABELA 5.2. Valores RMS dos sinais obtidos experimentalmente e percentual de redução
de vibração estrutural.......................................................................................
120
LISTA DE SÍMBOLOS
Letras Latinas
A Matriz dinâmica
A
f
Matriz dinâmica do sistema a malha fechada
A
i
Matriz dinâmica com a i-ésima incerteza
A
n
Matriz dinâmica nominal
B Matriz de entrada
B
1
Matriz de entrada de distúrbio
B
2
Matriz de entrada de controle
C Matriz de saídas
C
b
Matriz de controlabilidade
C
i
Matriz circulatória
D Matriz de transmissão direta
d
i
(s) Sinal de distúrbio na entrada do sistema
d
o
(s) Sinal de distúrbio na saída do sistema
e Vetor de erro entre o estado real e o estado estimado
e(s) Sinal de erro entre o sinal de referência e o sinal medido
e'
Sinal de erro ponderado
D
v
Matriz de amortecimento viscoso
G
g
Matriz giroscópica
G Função de transferência do sistema
G
c
Matriz função de transferência do modelo nominal
G
d
Matriz função de transferência do sinal de distúrbio
G
p
Matriz função de transferência do modelo de incerteza aditiva
H Matriz função de transferência do sistema a malha fechada
H
zw
Matriz função de transferência entre a saída regulada e a entrada exógena
H
qp
Matriz função de transferência entre a saída e a entrada relacionadas a incerteza Δ
∞
H
Norma H
∞
do sistema
I Matriz identidade
K Função de transferência do controlador
K
c
Matriz de ganho de realimentação
K
e
Matriz de ganho do observador
m(s) Sinal de ruído
M Matriz de massa ou matriz de inércia
n Ordem da matriz de estados
O
b
Matriz de observabilidade
p Vetor de entrada relacionado a incerteza Δ
p Vetor de parâmetros
P Planta generalizada contendo as interconexões entre os sinais de entrada e saída
q Vetor de saída relacionado a incerteza Δ
q
i
Autovetor
q
k
Vetor de coordenadas generalizada
r(s) Sinal de referência a ser seguido
s Operador de Laplace
S Função sensibilidade
S
p
Matriz politópica do sistema
S
k
Matriz de rigidez
T Função sensibilidade complementar
u Vetor de sinal de controle
u(s) Sinal de controle
u'
Sinal de controle ponderado
U Função restrição de energia
U(s) Transformada de Laplace do sinal de entrada
v Número de vértices de um politopo
V(x) Função de Lyapunov
w Vetor de entradas de distúrbio (exógena)
W
1
Função de ponderação sobre a função sensibilidade
W
2
Função de ponderação sobre a função sensibilidade complementar
W
3
Função de ponderação sobre a função restrição de energia
W
c
Matriz graminiano de controlabilidade
W
o
Matriz graminiano de observabilidade
W
u
Filtro passa alta utilizado para restringir o sinal de controle
W
y
Filtro passa baixa utilizado para aumentar o amortecimento
x Vetor de estados
ˆ
x
Vetor de estados estimados
x
e
Estado de equilíbrio
x
0
Estado de origem
y Vetor de saídas medidas
ˆ
y
Vetor de saídas estimadas
y(s) Sinal de saída da planta
y
' Sinal de saída ponderado
Y(
s)
Transformada de Laplace do sinal de saída
z Vetor de saídas reguladas
Letras Gregas
ω Freqüência em rad/s
ω
s
Freqüência de corte para a função sensibilidade
ω
T
Freqüência de corte para a função sensibilidade complementar
^
Campo dos números complexos
λ
Autovalor
α
v
Coordenadas politópicas de um sistema politópico
σ
i
Valor singular (ganhos principais)
σ Valor singular mínimo
σ
Valor singular máximo
γ
Custo (escalar para a norma H
∞
)
θ
Fase entre a entrada e a saída do sistema.
Δ Conjunto de incertezas
Δ
a
Incerteza aditiva
Δ
i
Incerteza multiplicativa na entrada
Δ
o
Incerteza multiplicativa na saída
Δ
p
Representação de uma perturbação fictícia
Siglas
AMD Massa de Amortecimento Ativo (
Active Mass Damper)
AVC Controle Ativo de Vibrações (
Active Vibration Control)
ATVAs
Active Tuned Vibration Attenuators
EVP Problema de Autovalor (Eigenvalue Minimization Problem)
FRF Função Resposta em Freqüência
GEPV Problema de Autovalor Generalizado (
Generalized Eigenvalue Minimization
Problem
)
KYP Lema de
Kalman - Yakubovich e Popov
LDI Inclusão Diferencial Linear (Linear Deferential Inclusion)
LMIs Desigualdades Matriciais Lineares (
Linear Matrix Inequalities)
LMIP Problema de Factibilidade de uma LMI (
LMI Problem)
LTI Sistema Linear e Invariante no Tempo (
Linear Time Invariant)
LQR Regulador Linear Quadrático (
Linear Quadratic Regulator)
MIMO Sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas (
Multiple Input – Multiple Output)
PBH Teste do posto de
Popov, Belevitch e Hautus
PLDI LDI politópica
PZT Material piezelétrico (
Titanato-Zirconato-Chumbo)
RMS Valor médio quadrático (
Root Mean Square)
SISO Sistema de uma entrada e uma saída (
Single Input - Single Output)
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO......................................................................................... 17
1.1. Objetivos do Trabalho................................................................................... 25
1.2. Organização do Trabalho.............................................................................. 25
2 - MODELAGEM E FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE CONTROLE.... 27
2.1. Modelagem de Sistemas Dinâmicos............................................................ 29
2.1.1. Modelagem no Domínio da Freqüência de Sistemas SISO.....................................
31
2.1.2. Modelagem no Domínio da Freqüência de Sistemas MIMO....................................
33
2.1.3. Modelagem no Domínio do Tempo..........................................................................
33
2.1.4. Equação de Estado para Sistemas Mecânicos Lineares.........................................
36
2.2. Representação de Incertezas no Modelo.................................................... 39
2.2.1. Incertezas Estruturadas............................................................................................
40
2.2.2. Incertezas Não Estruturadas....................................................................................
43
2.3. Estabilidade de Sistemas Dinâmicos........................................................... 45
2.3.1. Ponto de Equilíbrio...................................................................................................
45
2.3.2. Estabilidade de Lyapunov.........................................................................................
46
2.3.3. Função de Lyapunov................................................................................................
47
2.3.4. Estabilidade de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo ....................................
48
2.3.5. Estabilidade de Sistemas de Múltiplos Graus de Liberdade....................................
49
2.4. Índices de Desempenho de Sistemas de Controle..................................... 52
3 - DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES......................................... 54
3.1. História do Uso das LMIs.............................................................................. 54
3.2. Definições Sobre as LMIs............................................................................. 56
3.3. Estudo da Estabilidade Utilizando LMIs...................................................... 58
3.4. Projeto de Sistemas de Controle Utilizando LMIs...................................... 60
4 - PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE........................................... 63
4.1. Projeto via Realimentação de Estados........................................................ 63
4.1.1. Controlabilidade........................................................................................................
64
4.1.2. Observabilidade........................................................................................................
65
4.1.3. Princípio da Dualidade..............................................................................................
67
4.1.4. Observadores de Estados........................................................................................
67
4.1.5. Controle H
∞
via Realimentação de Estados.............................................................
70
4.2. Projeto Robusto H
∞
via Realimentação da Saída........................................
72
4.2.1. Configuração Geral do Problema de Controle..........................................................
72
4.2.2. Representação do Sistema Segundo o Enfoque Convexo......................................
76
4.2.3. Ganhos Principais e Norma Infinita..........................................................................
79
4.2.4. Análise de Robustez.................................................................................................
82
4.2.5. Problema de Desempenho Robusto.........................................................................
85
4.2.6. Projeto Incluindo Robustez à Dinâmica Residual.....................................................
87
4.2.7. Solução do Problema H
∞
via LMI.............................................................................
92
5 - APLICAÇÃO EXPERIMENTAL.............................................................. 94
5.1. Montagem Experimental............................................................................... 94
5.2. Modelo Matemático da Estrutura................................................................. 97
5.3. Representação do Modelo no Espaço de Estados..................................... 102
5.4. Resultados Experimentais............................................................................ 104
5.4.1. Controle H
∞
via Realimentação da Saída.................................................................
105
5.4.2. Controle H
∞
via Realimentação de Estados.............................................................
113
6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................... 121
6.1. Conclusões..................................................................................................... 121
6.2. Sugestões para Futuros Trabalhos.............................................................. 122
6.3. Publicações Originadas a Partir do Presente Trabalho............................. 123
7 - REFERÊNCIAS....................................................................................... 124
APÊNDICE.................................................................................................... 131
A.1. Programas em Matlab®6.5.............................................................................
131
A.2. Procedimento Experimental............................................................................ 133
17
1 - Introdução
A redução de vibração estrutural têm sido, por um longo tempo, tratada por técnicas
tradicionais de controle passivo feito pela adição de materiais viscoelásticos, absorvedores e
alterações de projeto. Porém, estas técnicas podem em alguns casos comprometer requisitos
como, por exemplo, a redução de peso, além de não apresentarem boas características de
robustez. Entretanto, com o avanço das tecnologias aplicadas à engenharia estrutural e devido a
grande exigência no desempenho de sistemas estruturais em diversas áreas de aplicação,
principalmente militar, aeroespacial e civil, a busca por novas técnicas tornou-se imperativa. Esta
busca tem levado as técnicas de controle ativo de vibração (AVC - Active Vibration Control).
Nas últimas décadas, as metodologias de AVC têm recebido significantes contribuições,
sobretudo devido aos avanços no processamento digital de sinais, proposição de novas
metodologias de controle e o surgimento de novos materiais. Em geral, os sistemas de AVC
agem produzindo vibrações no sentido contrário para reduzir as vibrações indesejadas. As
técnicas de AVC utilizam forças de controle, aplicadas na estrutura por um controlador, que se
baseiam em informações obtidas por um sensor. Estas forças procuram reduzir as amplitudes de
vibração estrutural causadas por uma fonte de vibração indesejável de origem primária, figura
1.1.
Figura 1.1: Desenho esquemático de um sistema de controle ativo.
(Fonte: BUENO, 2007)
Como aplicação militar do AVC, pode-se destacar a pesquisa financiada pelo exército
americano, que estão embutindo cerâmicas piezelétricas dentro das hélices do rotor de
helicópteros, as quais produzem uma resposta de realimentação que é utilizada para reduzir a
vibração e o ruído dentro da cabine do piloto, figura 1.2 (THE INSTITUTE OF MATERIALS,
MINERALS AND MINING, 2003).
18
(a)
(b)
Figura 1.2: (a) Helicóptero e vórtices, (b) Esquema das hélices com PZTs embutidos.
(Fonte: BUENO, 2007)
No setor esportivo, a empresa K2 Inc (2003) desenvolveu os chamados “esquis
inteligentes”. Estes possuem sensores e atuadores piezelétricos embutidos a sua estrutura. Os
sensores percebem as vibrações e enviam um sinal a um circuito lógico que produz uma lei de
controle a ser seguida pelo atuador. Os movimentos do atuador, no sentido oposto ao das
vibrações, proporcionam maior estabilidade ao esqui, figura 1.3.
(a) esqui tradicional (b) esqui inteligente
Figura 1.3: Esqui tradicional e esqui inteligente da companhia ACX.
(Fonte: BUENO, 2007)
Em estruturas aeroespaciais as vibrações indesejadas se originam nas fontes acústicas e
vibracionais, com faixas típicas de freqüências de 30 Hz até 10 kHz para fontes acústicas e 20
Hz até 2 kHz para fontes vibracionais (FORGRAVE et al, 1999). Todas estas perturbações
19
podem provocar, por exemplo, vibrações na fuselagem das aeronaves e causar ruído na cabine da
tripulação e passageiros. Assim, atualmente já existem várias empresas no mercado, como
exemplo, a empresa Ultra Electronics Ltda (2003), que desenvolveu, entre outros, um
equipamento denominado Active Tuned Vibration Attenuators (ATVAs), figura 1.4, composto por
sensores/atuadores e controladores acoplados diretamente a fuselagem da aeronave para controle
ativo de vibrações e ruídos (SILVA, 2005).
(a) Aeronave com controle ativo de vibrações
(b) Controlador ativo fixado a fuselagem
Figura 1.4: Aeronave com sistema AVC comercial.
(Fonte: SILVA, 2005)
Porém, não apenas em aplicações aeronáuticas é importante a redução de vibrações. Nas
últimas décadas tem aumentado o interesse de engenheiros e pesquisadores no uso de sistemas
de controle para atenuar os efeitos nocivos de eventos sísmicos. Um sismo (terremoto) é um
fenômeno de vibração brusca e passageira da superfície da Terra, resultante de movimentos
subterrâneos de placas rochosas, de atividade vulcânica, ou por deslocamento (migração) de
gases no interior da Terra, principalmente o metano. O movimento é causado pela liberação
rápida de grandes quantidades de energia sob a forma de ondas sísmicas. O maior terremoto já
registado foi o Grande Terremoto do Chile, ocorrido no dia 22 de maio de 1960, e atingiu a
capital, Santiago, e a cidade Concepción, registrando 9,5 pontos na escala Richter. Cerca de 5
mil pessoas morreram, 3 mil ficaram feridas e 2 milhões ficaram desabrigadas. Os prejuízos
materiais alcançaram US$ 500 milhões e os prejuízos emocionais são incalculáveis.
Recentemente uma série de terremotos vem ocorrendo. Fortes tremores atingiram o norte
do Japão no dia 23 de outubro de 2004. Ao menos 21 pessoas foram mortas e mais de 1.500
ficaram feridas. Os tremores, de até 6,8 graus na escala Richter, ocorreram perto da cidade de
Ojiya, no Estado de Niigata (noroeste de Tóquio) e atingiram várias localidades próximas. Este
20
foi o terremoto que fez mais vítimas no Japão desde o de Kobe, que deixou cerca de 6.400
mortos e mais de 43.000 feridos em janeiro de 1995. Em outubro de 2005 um terremoto de 7,6
graus na escala Richter abalou a região da Caxemira, dividida entre o Paquistão e a Índia.
Estimou-se mais de 80 mil mortos e cerca de 3 milhões de pessoas desabrigadas. A figura 1.5
mostra alguns dos estragos provocados pelos tremores nessas regiões.
(a) Escombros de prédio de dez andares, destruído
por terremoto em Islamabad, no Paquistão.
(b) Em Nagaoka, norte do Japão, buraco foi aberto em
estrada pelo forte terremoto que atingiu a cidade.
Figura 1.5: Alguns estragos provocados por terremoto no Japão.
(Fonte: http://www1.folha.uol.com.br/folha/galeria/album/i_mundo_terremoto.shtml, acesso em 16/08/2007).
Não somente na Ásia este fenômeno é observado. No Peru, um tremor de 7,9 graus na
escala Richter foi registrado na noite da quarta-feira do dia 15 de Agosto de 2007. Mais de 500
pessoas foram mortas e pelo menos 1.300 ficaram feridas. Foi o primeiro terremoto no país de
uma intensidade tão forte. O tremor provocou várias destruições como mostra a figura 1.6.
(a) Estragos provocados pelo tremor na cidade de Ica, Peru.
(b) Fenda aberta pelo terremoto perto da
cidade de Chincha, no Peru.
Figura 1.6: Alguns estragos provocados por terremoto no Peru.
(Fonte: http://noticias.uol.com.br/ultnot/album/070815peru_album.jhtm?abrefoto=22, acesso em 16/08/2007).
21
No entanto, projetos de edifícios, prédios residenciais, hospitais, escolas, entre outras
instalações, principalmente em países como o Japão, Paquistão, Peru, Chile e Estados Unidos,
onde estes eventos naturais são comuns, exigem o desenvolvimento de sistemas que possam
absorver vibrações garantindo, especialmente, segurança as pessoas. Em geral, apenas grandes
corporações desenvolvem estes projetos, pois além de alto custo têm grande complexidade (LIN
et al, 1994, LIU et al, 2000).
Uma variedade de sistemas de controle é proposta para estas aplicações, podendo ser
classificadas como controle passivo ou ativo. Os sistemas de controle passivos, tais como
amortecedores construídos com materiais viscoelásticos, amortecedores de fricção,
amortecedores líquidos ajustados, juntamente com sistemas base-isolação, foram desenvolvidos
como meios de aumentar o amortecimento em uma estrutura (MATHEU, 1997, SOUZA, 2003,
LEE; LI, 2003). No controle passivo são utilizados dispositivos que não exigem energia externa
para operar. Eles dissipam a energia vibratória usando o próprio movimento da estrutura.
Considerando que eles não injetam energia no sistema, eles não são capazes de desestabilizar a
estrutura. Outra vantagem de tais dispositivos é a baixa exigência de manutenção. Exemplos de
dispositivos passivos incluem, entre outros, a base-isolação e os amortecedores de fluidos
viscosos. Um exemplo de projeto que utiliza o dispositivo de base-isolação é mostrado na Fig.
1.7a e o mais recentemente desenvolvido pela Takenaka Corporation (empresa Japonesa de
Arquitetura, Engenharia e Construção), que utiliza sistemas de amortecedores pode ser visto na
Fig. 1.7b.
(a)
22
(b)
Figura 1.7: Sistemas de absorvedores de vibrações em edifícios.
(Fonte: MESQUITA NETO et al, 2007).
Estes sistemas são aceitos como meios viáveis para reduzir vibrações em estrutura.
Entretanto, estes são limitados, pois não podem se adaptar às variações das condições de
operação e são eficientes apenas em uma faixa de operação estreita. Assim, os sistemas passivos
trabalham bem nas condições em que foram projetados, mas não são eficazes em outras
situações.
Uma alternativa bastante versátil envolve o projeto de um sistema de controle ativo. O
conceito de controle ativo se origina do fato de que opera usando fontes de energia externa para
aplicar forças à estrutura. Estas forças são obtidas tipicamente baseadas nas medidas das
respostas estruturais e/ou dos distúrbios. O dispositivo mais utilizado baseado no controle ativo é
o Active Mass Damper (AMD). Este dispositivo inclui um atuador que é usado para posicionar
uma massa a cada instante no topo de um edifício, aumentando o amortecimento da estrutura e a
faixa de freqüência operacional do dispositivo. A primeira implementação deste método de
controle ativo foi executado em 1989, no edifício Kyobashi Seiwa, Tóquio, Japão, pela Kajima
Corporation (Figura 1.8) (SAKAMOTO et al, 1994, SOONG; SPENCER JUNIOR, 2002).
23
Figura 1.8: Edifício Kyobashi Seiwa , Tokyo, Japão.
(Fonte: SAKAMOTO et al, 1994)
O estudo de algoritmos para controle ativo de vibrações em estruturas flexíveis se tornou
uma área de enorme interesse, principalmente devido às inúmeras exigências de ótimo
desempenho em sistemas mecânicos, como aeronaves e estruturas aeroespaciais (SILVA et al,
2003). Nesse sentido, modelos estruturais em escala reduzida são construídos e usados para
estudar importantes aspectos de controle, de forma a garantir as condições exigidas, através da
aplicação de diversos tipos de controladores.
Neste trabalho duas diferentes metodologias de controle são consideradas. A primeira
metodologia é baseada no controle H
∞
via realimentação de estados e, a segunda é baseada no
controle H
∞
via realimentação do sinal de saída. Essas metodologias foram, anteriormente,
estudadas por Silva (2005) e Gonçalves (2003), ex-integrantes do Grupo de Materiais e Sistemas
Inteligentes (GMSINT) da UNESP de Ilha Solteira. Porém, em seus trabalhos não foi possível a
avaliação experimental dos controladores por eles projetados, pois o laboratório não possuía
softwares e hardwares de controle em tempo real. Portanto, a contribuição deste trabalho é a
verificação experimental de controladores projetados baseado nas metodologias propostas, dando
assim, continuidade aos trabalhos citados. O modelo estrutural considerado representa um
edifício de dois andares controlado por uma massa móvel (Active Mass Damper - AMD)
localizada no topo. A estrutura é submetida a dois tipos de excitações: sísmica e senoidal. Uma
24
mesa de vibração (Shake Table) foi usada para simular as excitações. O modelo estrutural e a
mesa de vibração são mostrados na figura 1.9 (a) e (b), respectivamente.
(a) (b)
Figura 1.9: (a) Modelo Estrutural (Sistema AMD-2) (b) Mesa de Vibração (Shake Table I)
O controladores são projetados segundo o enfoque de otimização convexa, com
formulações envolvendo desigualdades matriciais lineares (LMIs - Linear Matrix Inequalities).
A utilização de LMIs se mostraram nos últimos anos como sendo uma ferramenta poderosa para
solucionar problemas de otimização em engenharia. Especialmente, para projeto de sistemas de
controle com inúmeras restrições, pois permitem que especificações possam ser formuladas por
LMIs e posteriormente resolvidas utilizando sofisticadas técnicas de programação convexa.
Atualmente, as LMIs são estudadas por renomados pesquisadores mundiais e aplicadas nas
mais diversas áreas: controle de sistemas contínuos e discretos no tempo (EL GHAOUI;
NICULESCU, 2000), condição de estabilidade para sistemas variantes no tempo (GEROMEL
et
al, 1998,
GEROMEL et al, 2006), controle ótimo, controle robusto, redução de modelos
(GEROMEL et al, 2004, 2005, ASSUNÇÃO; PERES, 2001), controle de sistemas não lineares
(TEIXEIRA et al, 2000), teoria de filtros robustos, identificação de sistemas, controle usando
lógica fuzzy, detecção, localização e quantificação de falhas estruturais em equipamentos
(ABDALLA et al, 1999, 2000). Sana e Rao (2001) utilizaram um sistema pendular simples com
25
dois graus de liberdade e fizeram restrições na forma de LMI para o potencial elétrico de entrada
no atuador e testaram o controlador projetado em tempo real. Este mesmo sistema pendular foi
simulado por Gonçalves et al. (2002), que realizou uma comparação entre o controle ótimo H
2
e
controle ótimo H
∞
, em ambos os casos fazendo realimentação de estados e resolvendo via LMIs.
Gonçalves et al. (2003a) e (2003b) simularam uma síntese de realimentação de estados usando
LMIs clássicas, descritas em Boyd et al. (1994), considerando inclusões diferenciais lineares
(LDI - Linear Deferential Inclusion) com incerteza limitada por norma para um sistema
mecânico 2DOF e para uma viga de alumínio biengastada, respectivamente. Sarracini e Serpa
(2006) mostram resultados de um controlador H∞ projetado com a formulação LMI para
atenuação de uma viga engastada. O modelo reduzido da estrutura foi obtido através da redução
de Guyan e os resultados obtidos foram significativos. Silva et al. (2006) apresentaram o projeto
de um sistema de controle robusto utilizando LMIs para o controle ativo de vibração de uma
placa. Neste contesto, os objetivos deste trabalho são apresentados a seguir.
1.1. Objetivos do Trabalho
Este trabalho tem como meta o projeto de controladores para aplicação em tempo real em
uma estrutura flexível, objetivando a redução de vibração estrutural. Os controladores são
projetados segundo o enfoque de otimização convexa com formulações envolvendo LMIs e, duas
metodologias de controle são consideradas: o controle H
∞
via realimentação de estados,
estimados por um observador e, o controle H
∞
via realimentação do sinal de saída. Testes
experimentais foram realizados para comprovação e avaliação das metodologias propostas.
1.2. Organização do Trabalho
O trabalho está organizado em 4 partes. A primeira parte é apresentada no capítulo 1, onde
é feita uma revisão da literatura sobre a importância e as diversas áreas de aplicação do controle
ativo de vibração. Além disso, nesse capítulo são apresentados os objetivos do trabalho. A
segunda parte está concentrada no capítulo 2, onde se discute a modelagem de sistemas
dinâmicos, incertezas de sistemas dinâmicos e teoria da estabilidade de Lyapunov.
A terceira parte, apresentada nos capítulos 3 e 4, trata da teoria de controle utilizando as
técnicas LMIs. Esta parte dá uma síntese geral das metodologias de controle propostas,
26
evolvendo o projeto de controle H
∞
via realimentação de estados e saída resolvidos por LMIs.
Além disso, esta parte envolve os assuntos: controlabilidade, observabilidade e observadores de
estado.
Por fim, a quarta parte, apresentada no capítulo 5, descreve o sistema AMD-2 utilizado nos
testes experimentais, o equacionamento do modelo matemático do sistema, a montagem
experimental e os resultados obtidos. As considerações finais, envolvendo as conclusões e as
sugestões para trabalhos futuros são apresentadas no capítulo 6.
27
2 - Modelagem e Fundamentos de Sistemas
de Controle
Sistemas dinâmicos são aqueles que evoluem com o tempo e são comumente referidos
como plantas ou processos. A excitação é conhecida como sinal de entrada ou simplesmente
entrada e a resposta como sinal de saída, ou simplesmente saída. Uma representação conveniente
para a relação entre a entrada e a saída de um sistema dinâmico é através do diagrama de blocos,
como mostra a figura 2.1.
Figura 2.1: Representação de um sistema dinâmico
A figura 2.1 representa uma relação simples entrada-saída, no sentido em que a resposta é
um resultado natural da excitação. Esta figura é típica de um sistema não controlado e descreve
uma situação comum. No entanto, em muitas aplicações, é necessário assegurar que o sistema
tenha um desempenho desejado e neste caso é preciso que se faça o projeto de um sistema de
controle. Assim, em sistemas controlados o objetivo é conseguir uma resposta satisfatória
através do uso de um controlador cuja saída chamada de sinal de controle, atua como entrada
para o sistema a controlar. Se o modelo matemático do sistema é conhecido completamente o
projetista é capaz de saber qual é a saída que uma determinada entrada provocará no sistema, e
desta forma poderá determinar a entrada ao sistema, ou sinal de controle u, que produzirá uma
saída desejada y.
Existem duas formas básicas de sistemas de controle: sistemas de controle a malha aberta
e sistemas de controle a malha fechada. Para um sistema de controle a malha aberta, a entrada é
escolhida com base na experiência, de tal forma que o sistema dê o valor de saída desejado. Essa
saída, entretanto, não é modificada de forma a seguir as alterações nas condições de operação.
Logo, em um sistema de controle a malha aberta, a saída não tem efeito no sinal de entrada
(OGATA,
2000). Estes sistemas têm a vantagem de ser relativamente simples e, em
conseqüência, de baixo custo.
28
Como exemplo de controle a malha aberta podemos considerar um forno elétrico o qual
esquenta durante um tempo determinado para conseguir a temperatura desejada. Se os
parâmetros (inércia térmica, isolamento, etc) são bem conhecidos o tempo em que a resistência
deverá ficar ligada poderá ser determinada para cada temperatura desejada. No entanto, qualquer
perturbação no sistema conduzirá a temperaturas inesperadas. A figura 2.2 mostra de forma
esquemática este tipo de controle.
Figura 2.2: Exemplo de um sistema de controle a malha aberta.
Uma forma efetiva de controlar um sistema dinâmico é através do chamado controle por
realimentação (retroação) ou controle a malha fechada. Em um sistema de controle a malha
fechada, o sinal atuante de erro, que é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de retroação
(que pode ser o próprio sinal de saída ou uma função do sinal de saída e de suas derivadas e/ou
integrais), excita o controlador de modo a reduzir o erro e trazer o valor do sinal de saída para o
valor desejado. A expressão controle a malha fechada acarreta sempre o uso de retroação a fim
de reduzir o erro do sistema. A figura 2.3 mostra um esquema básico para um sistema de
controle por realimentação.
Figura 2.3: Um exemplo de um sistema de controle a malha fechada.
Sistemas de controle por realimentação têm muitas vantagens sobre aqueles em malha
aberta. Eles são mais estáveis podendo inclusive estabilizar sistemas que se considerados
separadamente são instáveis. São capazes de compensar distúrbios inesperados e incertezas no
29
modelo da planta, nas medições e nos atuadores. A propriedade de um sistema ser pouco sensível
a variações inesperadas na dinâmica é chamada de robustez. Na verdade esta é a principal
propriedade dos sistemas de controle por realimentação. Por outro lado, estes sistemas de
controle são mais caros que os sistemas de controle em malha aberta, pois precisam de sensores e
unidades de processamento para a implementação do controlador.
O problema fundamental no projeto de um sistema de controle consiste em determinar uma
lei de controle que permita que um sistema dinâmico se comporte da maneira requerida,
apresentando estabilidade e propriedades desejáveis de desempenho e robustez diante de
incertezas.
No estudo de sistemas de controle, precisamos ser capazes de modelar sistemas dinâmicos
e de analisar características dinâmicas. A seguir é introduzida a modelagem de sistemas
dinâmicos para controle ativo de vibrações.
2.1. Modelagem de Sistemas Dinâmicos
A modelagem matemática de um sistema dinâmico é definida como um conjunto de
equações que representam a dinâmica do sistema com exatidão ou, pelo menos, de forma
bastante aceitável.
Na obtenção de um modelo matemático razoavelmente simplificado, freqüentemente se
torna necessário ignorar certas propriedades físicas inerentes ao sistema. Em particular, quando
se deseja obter um modelo matemático linear a parâmetros concentrados (isto é, um modelo que
empregue equações diferenciais ordinárias) sempre será necessário ignorar certas não-
linearidades. Dessa forma, a dinâmica dos sistemas sejam eles mecânicos, elétricos, térmicos,
biológicos ou econômicos, pode ser descrita em termos de equações diferenciais. Tais equações
diferenciais podem ser obtidas utilizando as leis da física que governam o sistema, como por
exemplo, as equações de Newton para sistemas mecânicos ou as equações de Kirchhoff para
sistemas elétricos. A figura 2.4 mostra, de forma esquemática, a modelagem de um sistema
mecânico.
30
Figura 2.4: Modelagem matemática de um sistema dinâmico.
Quando o modelo de um sistema mecânico respeita as propriedades de aditividade e de
homogeneidade, diz-se que este sistema é linear. Embora na realidade todo sistema seja não
linear, é razoável assumir modelos lineares por vários motivos. O principal deles é que existe
uma vasta gama de ferramentas de projeto para sistemas lineares. Dentro de certas regiões um
sistema dinâmico pode ter comportamento puramente linear ou as não linearidades podem ser
aproximadas por um sistema linear. As propriedades de aditividade e homogeneidade são
descritas a seguir:
1. Um sistema com entrada u e saída y, tem a propriedade de aditividade se,
{
}
1
Τ=uy e
{
}
22
Τ
=uy (2.1)
tem-se,
{
}
12 12
Τ
+=+uu
yy
(2.2)
2. Um sistema com entrada u e saída y, tem a propriedade de homogeneidade se,
{
}
, constante, α
αα α
Τ= ∀ ∈ℜuy (2.3)
Quando um sistema não respeita alguma das propriedades anteriores, ele é dito não linear.
Recomenda-se que o projeto de sistema de controle sempre seja iniciado considerando modelos
lineares. Algumas teorias de controle, como o controle robusto, são utilizadas para considerar
alguns casos em que as não linearidades não são consideradas. É certo que muitas vezes o
desempenho de um sistema de controle robusto é inferior ao de um sistema ótimo. Há também
que se considerar o projeto de controladores não lineares por ser, em alguns casos, mais
()
x t
c
k
m
f( )t
≅
Equação Matemática
(
)()()
(
)
mx + cx + kx = ftttt
31
vantajoso economicamente, já que componentes que respondem linearmente dentro de uma
ampla faixa de amplitude são mais caros que componentes não lineares (GONÇALVES,
2003).
Um modelo matemático não é único para um dado sistema. O sistema pode ser
representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode haver muitos modelos matemáticos,
dependendo da perspectiva que se considere. Um modelo matemático pode ser mais adequado do
que outro dependendo do sistema que é alvo de interesse e das circunstâncias particulares. Por
exemplo, em problemas de controle ótimo é vantajoso usar uma representação em espaço de
estados. Por outro lado para análise da resposta transitória ou resposta em freqüência de sistemas
monovariáveis (uma entrada e uma saída) lineares e invariantes no tempo, a representação
através da função de transferência pode ser mais conveniente que qualquer outra.
Basicamente existem duas abordagens para a modelagem de sistemas: através da função de
transferência ou abordagem no domínio da freqüência, e através das equações de estado ou
abordagem no domínio do tempo. O primeiro método é conhecido como controle clássico e usa
a transformada de Laplace para evitar a resolução das equações diferenciais do sistema,
transformando-as em equações algébricas. A maior limitação dessa abordagem é que pode ser
usada somente para representar sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI - Linear Time
Invariant). O segundo método é conhecido como controle moderno e, representa o sistema
dinâmico com um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Esta última pode ser
usada para representar sistemas lineares ou não, variantes ou invariantes no tempo.
2.1.1. Modelagem no Domínio da Freqüência de Sistemas SISO
O princípio básico da modelagem no domínio da freqüência é a chamada função de
transferência. A função de transferência é comumente usada para caracterizar a relação de
entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais
lineares invariantes no tempo.
A função de transferência de um sistema SISO (uma entrada e uma saída - Single Input-
Single Output) representado por equações diferenciais lineares invariantes no tempo é definida
como sendo a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída (função resposta) e a
transformada de Laplace do sinal de entrada (função excitação), na hipótese de que todas as
condições iniciais são nulas. Esta relação é escrita conforme a equação:
32
()
(
)
()
01
01
Y
G
U
z
z
p
p
s
bbs bs
s
saas as
+++
==
+++
(2.4)
Sendo que Y(s) e U(s) são as transformadas de Laplace dos sinais de saída e entrada
respectivamente. As raízes do polinômio do numerador da função de transferência são chamadas
zeros do sistema e as raízes do polinômio do denominador são chamadas de pólos do sistema. Os
pólos estão relacionados com a estabilidade do sistema e sua posição no plano complexo (ou
plano s) indica se o sistema é estável ou não. Se qualquer desses pólos estiver situado no
semiplano direito do plano s (região à direita do eixo imaginário) representa um sistema instável.
Por outro lado, se todos os pólos estiverem situados no semiplano esquerdo (região à esquerda
do eixo imaginário) representa um sistema estável
(OGATA, 2000). Ademais, quanto mais perto
fique um pólo da origem das coordenadas mais lenta será a resposta do sistema. Os zeros
geralmente se relacionam com a forma da resposta no tempo.
Os sistemas dinâmicos físicos em geral são representados por funções de transferência
estritamente próprias, isto é,
(
)
lim G 0
s
s
→∞
=
(2.5)
Em outras palavras o grau do polinômio do denominador é sempre maior que o grau do
polinômio do numerador da função de transferência.
Quando a função de transferência é avaliada em valores imaginários, s=j
ω
, tem com
resultado a Função Resposta em Freqüência do sistema ou FRF. Esta função representa o
comportamento de um sistema quando é excitado harmonicamente com uma freqüência
ω
. A
figura 2.5 ilustra o comportamento de um sistema quando excitado harmonicamente.
Figura 2.5: Diagrama de blocos da resposta em freqüência de um sistema.
O termo D
0
é um escalar e é chamado de ganho do sistema;
θ
é fase entre a entrada e a
saída do sistema.
Representações gráficas da FRF formam uma parte importante da teoria de controle
(VALER, 1999). O principal tipo é o diagrama de Bode.
G(j
ω
)
sen(
ω
t) D
0
sen(
ω
t+
θ
)
33
Diagramas de Bode: Consistem dos gráficos do módulo e da fase da FRF versus a
freqüência de excitação. Os diagramas de Bode têm sido usados amplamente no projeto e na
análise de sistemas de controle, bem como para a identificação experimental dos parâmetros ou
da função de transferência do sistema. Para melhor visualização deste gráfico, os diagramas de
Bode usam escala logarítmica para a magnitude e para a freqüência. Por convenção é adotado o
decibel (dB) como unidade de medida da magnitude da FRF, tal que o número de decibéis é
dado por 20 log│G (j
ω
)│.
2.1.2. Modelagem no Domínio da Freqüência de Sistemas MIMO
Os sistemas SISO são na verdade um subconjunto de sistemas de múltiplas entradas e
múltiplas saídas (MIMO - Multiple Input – Multiple Output). Os sistemas MIMO podem ser
representados através de uma matriz de funções de transferência G(s). O elemento g
ij
(s) da
matriz representa a função de transferência entre a entrada u
j
(t)
e a saída y
i
(t) do sistema. De
forma que,
(
)
(
)
(
)
Gsss=
⎡⎤
⎣⎦
yu (2.6)
()
() ()
() ()
11 1
1
G
r
qqr
gs gs
s
gs gs
⎡
⎤
⎢
⎥
=⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
(2.7)
sendo q o número de variáveis de saída e r o número de variáveis de entrada do sistema.
2.1.3. Modelagem no Domínio do Tempo
Seguindo uma tendência atual dos sistemas de engenharia, que estão se tornando cada vez
mais complexos, devido, principalmente, à necessidade de realização de tarefas complexas, pode
ser vantajoso usar a formulação de sistemas no domínio do tempo, também conhecida como
representação em espaço de estados.
34
Sistemas complexos possuem muitas entradas e muitas saídas e podem ser variantes no
tempo. Com estas características os métodos de análise em engenharia também se tornam
complexos. Uma nova forma de analisar e projetar sistemas de controle complexos é a
abordagem baseada no conceito de estado. O conceito de estado não é novo, mas a sua aplicação
no controle moderno é recente e com recursos computacionais mais eficientes e rápidos se
tornou viável a análise do espaço de estados.
A teoria de controle moderno contrasta com a teoria do controle convencional no sentido
de que a primeira é aplicável a sistemas com entradas e saída múltiplas, linear ou não linear,
variante ou invariantes no tempo, enquanto a última é aplicável apenas aos sistemas
monovariáveis (uma única entrada e uma única saída), lineares e invariantes no tempo. Enquanto
a análise em sistemas monovariáveis é feita no domínio da freqüência, nos sistemas de múltiplas
entradas e múltiplas saídas (MIMO) a abordagem é centrada essencialmente no domínio do
tempo.
Abaixo são descritas, de forma sucinta, as variáveis utilizadas nesta formulação (OGATA,
2000).
Estado
O estado de um sistema dinâmico é definido pelos valores do menor conjunto de variáveis
que, em conjunto com as entradas do sistema determina completamente o comportamento do
sistema.
Variáveis de Estado
As variáveis de estado de um sistema dinâmico são as grandezas cujos valores determinam
o estado do sistema. Se forem necessárias pelo menos n variáveis x
1
,x
2
,...,x
n
para descrever
completamente o comportamento de um sistema dinâmico, então tais n variáveis são um
conjunto de variáveis de estado.
Vetor de Estado
Se n variáveis são necessárias para descrever completamente o comportamento de um dado
sistema, então estas n variáveis de estado podem ser consideradas n componentes de um vetor x.
Tal vetor é chamado de vetor de estado.
35
Espaço de Estado
O espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos x
1
, x
2
,...,x
n
é
chamado de espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço
de estados.
Para se obter a representação em espaço de estados de um sistema de ordem n, é necessário
escrever este sistema em n equações diferenciais de primeira ordem. Assim cada variável
dinâmica é uma variável de estado.
A forma genérica de um sistema descrito na forma de espaço de estados é descrita pela
equação (2.8).
() () ()
() () ()
,,
:
,,
tttt
S
tttt
⎧
=
⎡
⎤
⎪
⎣
⎦
⎨
=
⎡
⎤
⎪
⎣
⎦
⎩
xfxu
ygxu
(2.8)
sendo
n
ℜ∈x
o vetor de estados,
r
ℜ∈u
o vetor de entradas,
q
∈
ℜy o vetor de saídas medidas ,
n a ordem do sistema, r sinais de entrada e q sinais de saída.
Para sistemas lineares invariantes no tempo a equação na forma de espaço de estados pode
ser deduzida da equação 2.8 para,
(
)
(
)
(
)
() () ()
⎩
⎨
⎧
+=
+=
ttt
ttt
S
DuCxy
BuAxx
: (2.9)
Na equação 2.9,
A : Matriz dinâmica [n x n]
B : Matriz de entradas [n x r]
C : Matriz de saídas [q x n]
D : Matriz de transmissão direta [q x r]
A representação em diagrama de blocos de um sistema linear invariante no tempo na forma
de espaço de estados é mostrada na figura 2.6.
36
Figura 2.6: Representação em diagrama de blocos de um sistema em espaço de estados.
2.1.4. Equação de Estado para Sistemas Mecânicos Lineares
A equação diferencial que descreve o movimento de um sistema mecânico pode ser obtida,
considerando que o sistema tem parâmetros concentrados, através das leis de Newton, equações
de Lagrange ou outro método que seja conveniente.
Todos os métodos convergem para a equação diferencial de segunda ordem, que pode ser
escrita na seguinte forma geral linear e invariante no tempo (MEIROVITCH, 2000),
()
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)()
kvgkkik
tttt++ ++ =Mq D G q S C q f
(2.10)
onde,
M = M
T
: Matriz de massa ou matriz de inércia
D
v
= D
v
T
: Matriz de amortecimento viscoso
G
g
= -G
g
T
: Matriz giroscópica
S
k
= S
k
T
: Matriz de rigidez
C
i
= - C
i
T
: Matriz circulatória
q
k
(t) : Vetor de coordenadas generalizada
f(t) : Vetor força externa generalizada
Para sistemas mecânicos mais simples, apenas as matrizes de massa, amortecimento
viscoso e rigidez são definidas. Além disso, a matriz de massa é sempre definida positiva.
A representação na forma de espaço de estados do sistema descrito pela equação 2.10 é
dada por,
37
()
()
()
() ()
11
1
ki v g
ttt
−−
−
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
=+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
−+−+
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
0I
0
xxf
MSC MDG
M
(2.11)
sendo,
()
(
)
()
k
k
t
t
t
⎡
⎤
⎡⎤
=
⎢
⎥
⎣⎦
⎣
⎦
q
x
q
(2.12)
A equação 2.11 pode ser representada na forma matricial como:
() () ()ttt
=
+xAxBu
(2.13)
Em outras palavras, reescreve-se a equação diferencial de segunda ordem em equações
diferenciais de primeira ordem, através da inserção de um vetor
x(t), chamado de vetor de
estados. Entretanto, o tamanho do sistema aumenta se comparado com o sistema original.
Uma descrição genérica de variáveis de estado de um sistema de ordem
n envolve n
integradores; as saídas destes são as variáveis de estado. As entradas de cada um dos
integradores são dirigidas como uma combinação linear dos sinais de estados e das entradas
(DERUSSO, 1997),
()
(
)
(
)
(
)()
() () () () ()
() () () () ()
1111 122 1 111 1
2 21 1 22 2 2 21 1 2
11 2 2 11
X=aX +aX + +aX +bU + +bU
X =a X +a X + +a X +b U + +b U
X =a X +a X + +a X +b U + +b U
nn rr
nn rr
nn n nnn n nrr
sss ss s
sss ss s
sss ss s
(2.14)
O parâmetro
s nas equações (2.14) indica que são representadas no domínio de Laplace.
No domínio do tempo, as equações acima formam um conjunto de
n equações diferenciais de
primeira ordem nas
n variáveis de estado e nas r entradas,
38
1
11 1 12 2 1 11 1 1
2
21 1 22 2 2 21 1 2
11 2 2 11
dx
=a x +a x + +a x +b u + +b u
dt
dx
=a x+a x+ +a x+bu+ +b u
dt
dx
=a x+a x+ +a x+bu+ +bu
dt
nn rr
nn rr
n
n n nn n n nr r
(2.15)
O termo (
t) foi suprimido na equação (2.15) para facilidade de visualização. Essas
equações de estado podem ser escritas na forma compacta em notação matricial,
1 1 11 12 1 1 11 1
1
2 2 21 22 2 2 21 2
2
12 1
xxaa axb b
u
xxaa axb b
u
d
== +
dt
xxaa axb b
u
nr
nr
n n n n nn n n nr
r
⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦
(2.16)
ou,
BuAxx
x
+==
dt
d
(2.17)
A matriz coluna de variáveis de estado,
1
2
x
x
=
x
n
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
x
(2.18)
é chamada de vetor de estados. As entradas são arranjadas na forma de vetor, com
r sendo o
número de entradas:
1
2
u
u
=
u
r
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
u
(2.19)
39
As saídas do sistema são similarmente arranjadas na forma de vetor, com q sendo o
número de saídas:
1
2
y
y
=
y
q
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
y
(2.20)
Que podem ser escritas como uma combinação linear das variáveis de estado pelas equações,
1111122 1
11 2 2
y =c x +c x + +c x
y =c x +c x + +c x
nn
qq q qnn
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(2.21)
ou
11112 11
12
ycc cx
=
ycc cx
n
qqq qnn
⎡⎤⎡ ⎤
⎡
⎤
⎢⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣⎦⎣ ⎦
(2.22)
ou
Cxy
=
(2.23)
Nessa formulação foi assumido que a matriz de transmissão direta D é igual a zero.
2.2. Representação de Incertezas no Modelo
A idéia de sistemas dinâmicos incertos é central para a teoria de controle robusto. Para
propósitos de projeto, o comportamento dinâmico de sistemas complexos deve ser aproximado
para modelos de complexidade relativamente baixa. A diferença entre estes modelos e o sistema
real é chamada de incerteza do modelo. Outra causa de incerteza é o desconhecimento de alguns
componentes do sistema, ou a mudança de seu comportamento devida a alterações de operação.
40
Finalmente, incertezas podem ser originadas de parâmetros físicos que se alteram com o tempo.
Note que a incerteza do modelo deve ser distinguida de ações exógenas como distúrbios ou ruído
originado das medidas (GAHINET
et al, 1995).
Devido às incertezas de modelo duas características devem ser consideradas:
• A incerteza deve ser pequena onde alto desempenho é requerido (compromisso entre
desempenho e robustez). Em outras palavras, o modelo linear deve ser suficientemente exato na
banda de controle.
• Quanto mais informação se tenha sobre a incerteza (fase, estrutura, invariância no
tempo, entre outras), melhor será o desempenho.
Existem duas classes principais de incertezas:
• Incertezas dinâmicas, que consistem em componentes dinâmicos omitidos no modelo
linear que causam variações no comportamento dinâmico durante a operação. Por exemplo,
modos flexíveis à altas freqüências, não-linearidades devido a entradas excessivas e variações
lentas no tempo.
• Incertezas de parâmetros, que se originam na imprecisão dos valores dos parâmetros
físicos, ou nas variações desses parâmetros durante a operação. Exemplos destes tipos de
incerteza incluem os coeficientes de rigidez e amortecimento em sistemas mecânicos,
coeficientes aerodinâmicos em equipamentos de vôo e capacitores e indutores em circuitos
elétricos.
O modelo não é capaz de emular perfeitamente o comportamento de um sistema real para
todas as faixas de operação. Alguns modelos conseguem ser mais fiéis ao sistema do que outros
para a faixa de operação, entretanto, não estão livres de erros. Os erros são inseridos no modelo
devido a alguma aproximação ou uma dinâmica que não foi considerada. Entretanto, é possível
representar estas incertezas. Existem duas classes básicas de representação de incertezas:
• Incertezas estruturadas;
• Incertezas não estruturadas.
2.2.1. Incertezas Estruturadas
Como o próprio nome diz, as incertezas estruturadas estão relacionadas com a estrutura do
sistema e na maioria dos casos estão relacionadas com variações nos parâmetros da planta. Como
um exemplo destas incertezas pode-se citar as variações nas freqüências naturais do sistema.
Para um sistema descrito na forma de espaço de estados, estas incertezas podem ser
41
representadas como variações nas matrizes do sistema. Um exemplo é quando existe um tipo de
incerteza estruturada na matriz de estados do sistema, esta pode ser representada por ΔA e a
matriz de estados passa a ser escrita por,
n
=
+ΔAA A (2.24)
Na equação 2.24 o termo
A
n
é chamado de matriz de estados nominal, já a matriz dinâmica
A é a matriz de estados real e é desconhecida.
A incerteza pode ser escrita do seguinte modo (GONÇALVES, 2003),
max
1
, com
p
n
ii i
i
aaa
=
Δ= ≤
∑
AA (2.25)
A
i
é matriz dinâmica do sistema com a i-ésima incerteza (incerteza no i-ésimo parâmetro
estrutural),
a
i
é um escalar e n
p
é o número total de parâmetros incertos. Para sistemas descritos
no domínio da freqüência, as incertezas são escritas em termos de variação dos pólos e zeros do
sistema nominal.
Modelos politópicos para representação de incertezas estruturadas
São denominados sistemas politópicos os sistemas lineares variantes no tempo:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() () () () ()
ttttt
ttttt
uDxCy
uBxAx
+=
+
=
(2.26)
cuja matriz do sistema S
p
(t), é dada por:
(
)
(
)
() ()
()
p
tt
t
tt
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
AB
S
CD
(2.27)
Esta matriz varia com um número fixo de matrizes politópicas, isto é,
()
{}
{
}
11
,, : : 0, 1
vv
pp1pvipiii
ii
t
αα α
==
∈=≥=
∑∑
SSS S… (2.28)
42
sendo
S
p1
,...,S
pv
os sistemas vértices, dados por
11
11
,,
vv
p1 pv
vv
⎡
⎤
⎡⎤
==
⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣
⎦
AB
AB
SS
CD
CD
…
(2.29)
sendo
v o número de vértices do politopo.
Em outras palavras,
S
p
(t) é uma combinação convexa das matrizes dos sistemas S
p1
,...,S
pv
.
Os números não negativos
1
,,
v
α
α
… são chamados de coordenadas politópicas de S
p
(t).
Modelos a parâmetros-dependentes afim para representação de incertezas estruturadas
As equações dos sistemas sempre envolvem incertezas ou variação de coeficientes no
tempo. Quando um sistema é linear, este naturalmente dá origem a um modelo parâmetro-
dependente na forma,
(
)
(
)
()
p
p
p
=+
=
xA xB u
yC x
(2.30)
As matrizes
A(⋅), B(⋅) e C(⋅) são funções conhecidas de algum vetor de parâmetros
p=(p
1
,...,p
m
). Estas equações geralmente são originadas de equações do movimento, equações de
circuitos elétricos, etc.
No caso desta dependência tem-se,
()
(
)
()
011 011
011
,
mm mm
mm
pp p pp p
pp p
= + ++ = + ++
=+ ++
AAA ABBB B
CCC C
(2.31)
Os modelos a parâmetros-dependentes afim são adequados para utilização em análise e
síntese baseadas nas funções de Lyapunov. A representação de incertezas na forma de politopos
é encontrada em muitos problemas de controle. Além disto, modelos dependentes de parâmetros
podem ser transformados em modelos politópicos equivalentes.
Quantificação da incerteza de parâmetros
A incerteza de parâmetros é quantificada como uma faixa de valores do parâmetro e
possivelmente as taxas de variações destes parâmetros. A incerteza de parâmetros pode ser
43
descrita como uma caixa no espaço de parâmetros. Isto corresponde ao caso onde a incerteza ou
o parâmetro variante no tempo p
i
está dentro de uma faixa de dois valores extremos
determinados empiricamente, ou seja,
[
]
i
i
i
ppp ,∈ (2.32)
sendo que
i
p
e
i
p são os valores mínimo e máximo, respectivamente. Se p = (p
1
,...,p
m
) é um
vetor com todas as incertezas de parâmetros, a equação (2.32) delimita um hiper-retângulo no
espaço de parâmetros
m
ℜ chamada de caixa de parâmetros (Parameter Box).
2.2.2. Incertezas Não Estruturadas
Incertezas que não podem ser representadas como função de um parâmetro específico são
classificadas como incertezas não estruturadas. Geralmente é uma forma de se representar a
dinâmica não modelada, como, por exemplo, o truncamento das altas freqüências de um sistema
mecânico. As incertezas não estruturadas podem ser descritas em termos de suas amplitudes, e
podem ser descritas como modelos de incertezas aditivas e multiplicativas (SILVA, 2005).
Os tipos de incertezas não estruturadas mais comuns são: o modelo de incerteza aditiva, o
modelo de incerteza multiplicativa na saída e o modelo de incerteza multiplicativa na entrada. O
modelo de incerteza aditiva é dado por:
(
)
(
)
(
)
na
sss=+GG Δ (2.33)
sendo
G(s) a função de transferência real, G
n
(s) a função de transferência nominal e ∆
a
(s)
representando a incerteza aditiva. Moreira (1998) utiliza, no projeto de controlador H
∞
robusto,
este modelo de incerteza. A representação deste sistema é mostrada na figura 2.7.
44
Figura 2.7: Incerteza aditiva.
O modelo de incerteza multiplicativa na saída é dado por:
(
)
(
)
(
)
(
)
on
sss=+G ΙΔ G
(2.34)
sendo
I a matriz identidade e ∆
o
(s) representando a incerteza multiplicativa na saída. A
representação deste sistema é mostrada na figura 2.8.
Figura 2.8: Incerteza multiplicativa na saída.
Já o modelo de incerteza multiplicativa na entrada é dado por:
(
)
(
)
(
)
(
)
ni
ss s=+GGΙΔ (2.35)
sendo
∆
i
(s) a representação da incerteza multiplicativa na entrada. A representação deste sistema
é mostrada na figura 2.9.
Figura 2.9: Incerteza multiplicativa na entrada.
∆
i
(s)
G(s)
G
n
(s)
G
n
(s)
∆
o
(s)
G(s)
G
n
(s)
∆
a
(s)
G
(s)
45
Quantificação de incertezas não estruturadas: incerteza com norma limitada
Limitantes de normas especificam a quantidade de incerteza em termos de ganho L
2
.
Ganho L
2
é definido como a máxima razão entre as saídas e entradas do sistema:
2
2
2
2
L
w0
L
wL
w
sup
w
∞
≠
∈
Δ
Δ= (2.36)
sendo
2
L
w a energia do sinal de entrada. Além disto, limitantes de normas também são úteis
para quantificar incertezas paramétricas dependentes de freqüência (SILVA, 2005).
2.3. Estabilidade de Sistemas Dinâmicos
A análise da estabilidade é um tópico fundamental no estudo de sistemas dinâmicos. Dois
tipos de estabilidade são de interesse. O primeiro relaciona a capacidade de um sistema de
retornar a um ponto de equilíbrio depois de um deslocamento arbitrário. O segundo relaciona a
capacidade de um sistema para produzir uma resposta limitada para uma excitação limitada
(VALER, 1999).
2.3.1. Ponto de Equilíbrio
Consideremos o seguinte sistema dinâmico, na forma de equação de estado e em ausência
das excitações externas.
(
)
,
f
t=xx
(2.37)
Um ponto de equilíbrio é um estado x
e
do sistema (2.37) no qual:
(
)
e
,0ft
=
x (2.38)
46
Sistemas não lineares podem ter mais de um ponto de equilíbrio. Para o caso de sistemas
lineares invariantes no tempo a equação (2.37) é simplificada resultando em:
(
)
t=xAx
(2.39)
Se a matriz A é não singular o sistema tem como único ponto de equilíbrio (x
e
=0).
2.3.2. Estabilidade de Lyapunov
Em sistemas lineares e invariantes no tempo, dispõe-se de muitos critérios para determinar
a estabilidade, como o critério de estabilidade de Routh e o critério de estabilidade de Nyquist.
Porém, em sistemas não-lineares nenhum destes critérios é aplicado. O método mais geral para
estes casos é o segundo método de Lyapunov, ou método direto de Lyapunov, que também se
aplica em sistemas lineares e se mostra útil em controle ótimo quadrático.
Lyapunov apresentou dois métodos para determinar a estabilidade de sistemas dinâmicos.
No primeiro método a forma explícita da solução das equações diferenciais é utilizada para
análise. Já no segundo método, também conhecido como método direto de Lyapunov, é possível
determinar a estabilidade sem resolver as equações de estado, o que é muito vantajoso tendo em
vista que a solução de equações de estados não-lineares costuma ser muito difícil.
Admite-se que a equação (2.37) possui uma única solução começando numa dada condição
inicial, que é designada por ϕ(t;{x
0
},t
0
) = {x
0
}, sendo t o tempo observável e {x
0
} um estado de
origem no tempo inicial t
0
.
Pode-se designar uma região esférica de raio k em torno de um estado de equilíbrio {x
e
},
por ||{x}-{x
e
}|| k, sendo ||{x}-{x
e
}|| a norma Euclidiana. Sendo S(
δ
) a região que consiste em
todos os pontos tais que ||{x
0
}-{x
e
}||
δ
e S(
ε
) a região ||ϕ(t;{x
0
},t
0
) – {x
e
}|| ε. Um estado de
equilíbrio é estável no sentido de Lyapunov se para um S(ε) houver um S(
δ
) tal que uma
trajetória iniciada em S(
δ
) não deixe S(ε) à medida que t aumenta indefinidamente
(MEIROVITCH, 1990). Um estado de equilíbrio é assintóticamente estável se for estável no
sentido de Lyapunov e se toda solução começando em S(
δ
) convergir para {x
e
}, sem deixar S(
ε
).
Os conceitos de estabilidade e instabilidade são representados na figura 2.10.
47
Figura 2.10: Representação gráfica do conceito de estabilidade: (a) Estável; (b) Assintóticamente
estável e (c) Instável.
Na prática, a estabilidade assintótica é mais importante do que o conceito de estabilidade
visto no parágrafo anterior. O problema é então identificar a maior região onde se encontra a
estabilidade assintótica, que é chamada de domínio de atração. Uma característica desejável em
qualquer sistema de controle é que este tenha estabilidade assintótica em grande escala, isto é,
toda a solução neste domínio converge para {x
e
} à medida que t cresce indefinidamente. Para
isto ser verdadeiro deve existir apenas um estado de equilíbrio.
2.3.3. Função de Lyapunov
O segundo método de Lyapunov é baseado no fato de que se um sistema tem um equilíbrio
assintóticamente estável, então a energia armazenada neste sistema deslocado dentro do domínio
de atração decairá com o tempo até finalmente assumir um valor mínimo do estado de equilíbrio.
No entanto, para certos sistemas, não existe uma definição clara de função energia. Então, para
superar esta dificuldade Lyapunov introduziu o conceito de função de Lyapunov que é uma
função de energia fictícia a qual é o conceito mais geral e amplamente aplicável que a definição
de energia.
A função de Lyapunov denotada por V(x(t)) é uma função real e escalar do vetor de estado
x(t) com primeira derivada contínua que satisfaz as seguintes relações:
1. ( ( )) > 0, ( ) 0
2. ( ( )) 0, ( ) 0
tt
tt
∀
≠
≤
∀≠
Vx x
Vx x
48
Segundo Método de Lyapunov: Uma condição suficiente para que um sistema seja estável é
que exista uma função de Lyapunov. Além disso, se a derivada da função V(x(t)) é estritamente
menor que zero, o sistema é assintóticamente estável.
É importante entender que não se pode apresentar nenhuma conclusão sobre o segundo
método de Lyapunov sem que exista uma função de Lyapunov. Neste caso é necessário
encontrar uma função de Lyapunov ou aplicar o teorema da instabilidade de Lyapunov. Um
inconveniente da teoria de Lyapunov é que não existe uma forma sistemática de encontrar uma
função candidata para verificar a estabilidade.
2.3.4. Estabilidade de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo
Considere um sistema linear de primeira ordem dado por,
Axx
=
(2.40)
sendo x um vetor de tamanho n x 1. Com o objetivo de verificar a condição de estabilidade para
este sistema, escolhe-se a seguinte função de Lyapunov,
T
=VxPx (2.41)
a derivada no tempo da função de Lyapunov se torna,
(
)
TT TT
=+= +V x Px x Px x A P PA x
(2.42)
para estabilidade deste sistema, requer-se que
T
+
=−AP PA Q
(2.43)
sendo
Q uma matriz definida positiva satisfazendo a propriedade
T
0>xQx para todo
0
≠
x
e
T
QQ = . Desta forma,
0
T
=
−<VxQx
(2.44)
49
Assim, formula-se um teorema para estabilidade de um sistema linear, ou seja, o sistema
linear
Axx =
é estável se e somente se, existir uma matriz definida positiva
P que satisfaça a
equação 2.43 para uma dada matriz definida positiva
Q.
Partindo do segundo método de Lyapunov é possível demonstrar que para estes sistemas a
análise de estabilidade se reduz à análise da parte real dos autovalores Re(
λ
i
) da matriz de estado
A ou dos pólos da função de transferência para modelos no domínio da freqüência. A tabela 2.1
sintetiza as condições de estabilidade para estes sistemas (VALER, 1999).
Tabela 2.1: Estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.
Condição Implicação
1. Re(
λ
i
)<0 para todo i
Sistema assintóticamente estável.
2. Re(
λ
i
)<0 para alguns i, e
Re(
λ
j
)=0 para outros j, e
(a)
λ
j
é um autovalor simples =>
(b)
λ
j
é um autovalor múltiplo =>
Sistema estável, mas não assintóticamente estável.
Sistema instável.
3. Re(
λ
i
)>0 para alguns i
Sistema instável.
2.3.5. Estabilidade de Sistemas de Múltiplos Graus de Liberdade
Nas seções anteriores foram apresentados conceitos de estabilidade. É necessário agora
estender estes conceitos para sistemas linearizados de múltiplos graus de liberdade, os quais são
originados da análise por elementos finitos. Entender estabilidade de sistemas de múltiplos graus
liberdade é essencialmente importante para compreensão e projeto de sistema de controle por
realimentação.
Sistemas sem amortecimento
Utilizando a teoria da estabilidade de Lyapunov se deseja analisar a estabilidade de um
sistema de múltiplos graus de liberdade linearizado. Considerando um sistema dinâmico de
dimensão n, que é geralmente obtido da análise por elementos finitos, a equação governante do
movimento do sistema sem amortecimento é descrita por,
kkk
+
=Mq S q Fu
(2.45)
50
sendo
M a matriz de massa, S
k
a matriz de rigidez, q
k
o vetor de coordenadas generalizadas, F a
matriz de influência da entrada e
u o vetor de entradas. No caso de não existir esforços externos,
a vibração livre é satisfeita por,
0
kkk
+
=Mq S q
(2.46)
e a solução do sistema da equação 2.46 é puramente senoidal.
()
{}
1
k
n
it
kkk
k
tce
ω
φ
=
=
∑
q
(2.47)
{
}
k
φ
e
k
ω
são parâmetros do sistema. A estabilidade do sistema, equação 2.46, pode ser provada
de várias maneiras. Uma delas é a teoria de Lyapunov. Considerando o fato de que a energia
cinética mais a energia potencial é um indicador direto da energia do sistema, uma função
candidata de Lyapunov é dada por,
11
22
TT
kk kkk
=+VqMq qSq
(2.48)
A função de Lyapunov é sempre positiva, (V > 0), desde que as matrizes de massa e
rigidez satisfaçam,
TT
kk kkk
> 0, ≥ 0qMq qSq
(2.49)
para , 0
kk
≠qq
e matrizes simétricas de massa e rigidez.
A derivada da função de Lyapunov (equação 2.48) em conjunto com a equação 2.45
fornece,
(
)
TT
kkkkk
=+=VqMq Sq qFu
(2.50)
Na ausência de forças de entrada, isto é u = 0, a equação 2.50 se torna,
0, ou constante==VV
(2.51)
51
Em outras palavras, a energia do sistema é conservada e o movimento é do tipo puramente
senoidal. É importante notar que a estabilidade não depende propriamente dos parâmetros do
sistema, isto é, a massa e a rigidez foram tiradas da análise na equação 2.50. Quando se desejar
projetar uma lei de controle, projeta-se u de forma que o sistema seja estável, então uma possível
solução para o sistema é selecionar u tal que,
0
<
V
(2.52)
Em outras palavras, a energia decresce em torno do ponto de equilíbrio com uma escolha
correta da força de controle.
Sistemas com amortecimento
A forma linearizada da equação do movimento de um sistema com amortecimento é
descrita por,
kvkkk
+
+=Mq D q S q Fu
(2.53)
sendo que D
v
é a matriz de amortecimento não negativa definida. O sistema é intuitivamente
estável devido ao termo de amortecimento introduzido. Para verificar a estabilidade deste
sistema, escolhe-se uma função candidata de Lyapunov,
11
22
TT
kk kkk
=+VqMq qSq
(2.54)
A derivada da função de Lyapunov com relação ao tempo é dada pela primeira parte da
equação 2.50, que substituído na equação do movimento 2.53, pode-se obter,
(
)
T
kvk
=− +Vq Dq Fu
(2.55)
Na ausência de forças externas, a derivada da função de Lyapunov torna-se,
T
kvk
=−VqDq
(2.56)
52
Se a matriz de amortecimento é definida positiva então a derivada da função de Lyapunov
se torna sempre menor que zero e o sistema é assintóticamente estável. No caso da matriz do
sistema ser somente semi-definida, então a estabilidade assintótica do sistema não é garantida.
Neste caso deve-se utilizar outra técnica, ou outra função de Lyapunov para verificação da
estabilidade.
2.4. Índices de Desempenho de Sistemas de Controle
Além da estabilidade, os sistemas de controle devem ter bom desempenho, isto é, boa
qualidade da resposta, isso significa:
•
Resposta dinâmica rápida
•
Baixo erro em regime permanente (entre o sinal de referência e a resposta do sistema)
•
Baixo esforço (ou energia) de controle.
De modo a quantificar o desempenho de um sistema são definidos os índices de
desempenho. Estes índices são definidos, no domínio do tempo, a partir da resposta a um degrau.
A tabela 2.2 mostra os principais índices usados com esta finalidade.
Tabela 2.2: Índices de desempenho no domínio do tempo.
Característica Desejado Propósito Índice de Desempenho
Velocidade de Resposta Rápida O sistema responde
rapidamente às
entradas
•
Tempo de Resposta (t
s
)
•
Tempo de Elevação (t
r
)
•
Tempo de Pico (t
p
)
•
Sobre Valor (M
p
)
Erro na Resposta em
Regime
Baixo A diferença entre a
resposta e o valor
desejado tem que
ser pequena
•
Erro em Regime
Tempo de Resposta ou Acomodação (
t
s
): É o tempo requerido para que a resposta a um
degrau diminua até ficar dentro de um porcentual (usualmente 2% ou 5 %) do valor final. O
53
tempo de resposta de um sistema linear pode ser determinado aproximadamente com base no
autovalor (pólo) dominante (aquele com parte real negativa mais perto da origem). Se o pólo
dominante é-
σ
+j
ω
o tempo de resposta aproximado será de 4 a 6 vezes
σ
.
Tempo de Elevação ou Subida (
t
r
): É o tempo necessário para que a resposta passe de
10% a 90%, 5% a 95%, ou de 0% a 100% do seu valor final.
Tempo de Atraso (
t
d
): É o tempo necessário para que a resposta alcance, pela primeira
vez, a metade (50%) do valor final.
Tempo de Pico (
t
p
): É o tempo necessário para que a resposta atinja o valor máximo.
Sobre Valor ou Percentual de Overshoot (
M
p
): É o máximo valor de pico da curva de
resposta medido a partir do valor unitário.
A resposta a um degrau de um sistema típico é ilustrada na figura 2.11.
Figura 2.11: Índices de desempenho no domínio do tempo.
54
3 - Desigualdades Matriciais Lineares
O propósito deste capítulo é mostrar a utilização das desigualdades matriciais lineares
(LMIs) em aplicações de controle de sistemas mecânicos. As LMIs tem aparecido como uma
nova e poderosa ferramenta na análise e projeto de sistemas de controle nos maiores eventos da
área. Com o desenvolvimento das técnicas de otimização convexa as LMIs tem se tornado uma
importante ferramenta, com muitas aplicações futuras.
Neste capítulo são apresentados os principais fundamentos envolvidos no controle via
LMIs. Inicialmente é feito um breve histórico do uso de LMI na teoria de controle e na seqüência
são apresentadas definições preliminares sobre LMIs. Em seguida considerações sobre
estabilidade utilizando LMIs são apresentadas. E, finalmente, é apresentado o projeto de sistemas
de controle utilizando LMIs considerando incertezas politópicas.
3.1. História do Uso das LMIs
A utilização das LMIs em problemas de análise dinâmica teve início em 1890 com a
publicação da Teoria de Lyapunov (BOYD
et al, 1994b). A idéia de Lyapunov foi mostrar que o
sistema dinâmico:
Αxx
=
(3.1)
é estável, isto é, todas as trajetórias convergem a zero, se e somente se existir uma matriz P
positiva definida tal que:
T
+
<AP PA 0 (3.2)
A inequação acima é conhecida como desigualdade de Lyapunov e é resultado direto do 2.º
teorema de Lyapunov. A inequação (3.2) é uma forma especial de LMI. Lyapunov também
mostrou que esta LMI pode ser resolvida analiticamente através de um conjunto de equações
lineares equivalentes.
Na década de 40 Lur’e, Postnikov e outros na antiga União Soviética aplicaram o método
de Lyapunov para alguns problemas práticos de engenharia de controle, especialmente em
55
problemas de estabilidade de sistemas de controle com não-linearidade no atuador. Apesar de
não resolverem explicitamente na forma de LMI, o critério utilizado tinha a forma de uma
desigualdade matricial. Esta desigualdade era reduzida a uma inequação polinomial que podia
ser resolvida à “mão” e foi a primeira demonstração que a teoria de Lyapunov poderia ser
utilizada em problemas práticos de engenharia.
Já no início dos anos 60, Yakubovich, Popov, Kalman e outros pesquisadores reduziram a
solução das LMIs que surgiram no problema de Lur’e a um critério gráfico simples, chamado
atualmente de lema KYP (Kalman-Yakubovich e Popov) ou, também, de
positive real-lemma.
Este lema tem muitas variantes na literatura e podem ser aplicados a sistemas de ordem elevada,
apesar de não serem atraentes em sistemas com não-linearidades. Para Boyd
et al. (1994a) a
contribuição do lema KYP foi mostrar que certas classes de problemas envolvendo LMI podem
ter solução através de métodos gráficos.
O lema KYP e suas extensões foram exaustivamente estudados até a metade dos anos 60 e
foram relacionadas a idéias de passividade, ao teorema dos ganhos pequenos e ao controle ótimo
quadrático. Em 1970 foi mostrado que as LMIs que apareciam no lema KYP poderiam ser
resolvidas não apenas graficamente, mas também pela solução de certas equações algébricas de
Riccati (BOYD
et al, 1994a). Neste mesmo período a solução do problema do regulador linear
quadrático (LQR), envolvendo a resolução da equação de Riccati, marcou época, sendo utilizada
até hoje em problemas de controle ótimo (PERES, 1997).
Neste estágio a maioria dos problemas com restrições LMI envolviam soluções via
métodos analíticos, como método direto para sistemas de ordem pequena, métodos gráficos e
soluções de equações de Riccati. Porém a partir da década de 70, constatou-se que as LMIs que
aparecem na teoria de controle podem ser formuladas como problemas de otimização convexa e
solucionadas via algoritmos numéricos. Pyatnitskii e Skorodinskii foram, provavelmente, os
primeiros a mostrar isto claramente. Eles reduziram o problema de Lur’e a um problema de
otimização convexa envolvendo LMIs, que podia ser solucionado pelo algoritmo do elipsóide.
Segundo Boyd
et al. (1994b), Pyatnitskii e Skorodinskii foram os primeiros a formular a solução
de uma LMI por meio de um algoritmo de busca convexa com garantias de se encontrar uma
solução.
Dois desenvolvimentos recentes fizeram com que este enfoque ganhasse destaque. O
primeiro foi o grande aumento na capacidade dos computadores e o segundo o desenvolvimento
de poderosos algoritmos numéricos para otimização convexa (BOYD
et al, 1993). Entre eles,
pode-se destacar o desenvolvimento de um método de programação linear que resolve problemas
56
descritos na forma de LMIs com convergência polinomial, muito útil na prática, que foi proposto
por Karmarkar em 1984. Em 1988, Nesterov e Nemirovskii desenvolveram o método de pontos
interiores, que se aplica diretamente nos problemas de programação convexa que envolvem
LMIs (ASSUNÇÃO; TEIXEIRA, 2001, BOYD et al, 1994a). Geromel (1989) desenvolveu um
procedimento de análise convexa e otimização global para localização de atuadores utilizando
LMIs. Já em 1991, Geromel
et al. propõem um procedimento para a solução do projeto de
controladores via LMIs considerando incertezas paramétricas descritas por inclusões diferenciais
lineares politópicas (PLDI). Este procedimento é discutido em aplicações práticas em Silva
et al.
(2004).
Através do método proposto por Nesterov e Nemirovskii, o enfoque de controle via LMI
começou a se tornar popular. Atualmente é possível resolver rapidamente problemas de
otimização convexa que não tem solução analítica através de técnicas tradicionais. Além disto, a
solução de muitos problemas de otimização convexa pode ser obtida em tempo computacional
relativamente pequeno, se comparado à solução via uma técnica convencional (BOYD et al,
1993). Somado a tudo isto está o fato de inúmeros pacotes computacionais especializados em
LMIs serem disponíveis, como o
LMI Control Toolbox do Matlab® (GAHINET et al, 1995), ou
o software
LMISol de domínio público (OLIVEIRA et al, 1997).
3.2. Definições Sobre as LMIs
Uma LMI é definida como sendo uma desigualdade matricial da forma (BOYD et al,
1994b):
()
0FxFxF
m
>+=
∑
=1i
ii0
(3.3)
sendo x ∈ R
m
a variável, F
0
e F
i
matrizes simétricas com F
i
=F
i
T
∈ R
nxn
e i = 0,1,...,m dados. O
conjunto {x│F(x)>0} é convexo e positivo definido. A LMI da ineq. (3.3) é equivalente a um
conjunto de n inequações polinomiais em x.
Múltiplas LMIs, F
1
(x)>0,..., F
n
(x)>0, podem ser expressas como uma LMI simples através
da diag(F
1
(x)>0,..., F
n
(x))>0. Sendo que, diag(F
1
(x)>0,..., F
n
(x))>0 denota a matriz diagonal com
() ()
1n
Fx,…,F x>0
na diagonal. Além disto, nenhuma distinção é feita entre o conjunto de
57
LMIs e uma LMI simples, ou seja, as LMIs F
1
(x)>0,..., F
n
(x)>0 são iguais a LMI
diag(F
1
(x)>0,..., F
n
(x))>0.
Um resultado importante em LMI é que uma classe de desigualdades não-lineares podem
ser convertidas na forma de LMI através do uso do complemento de Schur. A idéia básica é,
() ()
() ()
T
T
⎡⎤
>
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Qx Sx
0
Sx Rx
(3.4)
sendo Q(x)=Q
T
(x), R(x)=R
T
(x) e S(x) são dependentes afins de x. A inequação (3.4) é
equivalente a desigualdade matricial não-linear:
() () () () ()
1
,0
T−
−>>Qx SxRx Sx 0 Rx
(3.5)
Uma demonstração do complemento de Schur pode ser encontrada em VanAntwerp e
Braatz, (2000). Existem muitos problemas convexos e quasi-convexos comuns que aparecem na
teoria de controle. Na seqüência são apresentados os mais comuns.
Problema de Factibilidade de uma LMI (LMIP -
LMI Problem)
Dada uma LMI A(x)>0, o problema de factibilidade de uma LMI (LMIP) corresponde a
encontrar x
fact
tal que a desigualdade A(x
fact
)>0 é verdadeira, ou determinar que a LMI é
infactível. LMIP é um problema de factibilidade convexa. O problema de estabilidade de
Lyapunov, mostrado na inequação (3.2) é um exemplo de um LMIP.
Problema de Autovalor (EVP –
Eigenvalue Minimization Problem)
O problema de autovalor (EVP), neste caso, se restringe a minimizar o máximo autovalor
de uma matriz, sujeito a LMI (BOYD
et al, 1993):
()
()
0xB
0xAI
>
>−λ
λ
à sujeito
minimizar
(3.6)
58
sendo A e B matrizes simétricas que dependem da variável de otimização x. EVP é um problema
de otimização convexa e pode aparecer em controle com problemas de minimização de
funcionais.
Problema de Autovalor Generalizado (GEVP -
Generalized Eigenvalue Minimization
Problem)
O problema de autovalor generalizado (GEVP), neste caso, se restringe a minimizar o
máximo autovalor generalizado de um par de matrizes dependentes de uma variável e sujeitos a
restrições LMI. A forma geral de um GEVP é:
() ()
()
()
0xC
0xB
0xAxB
>
>
>−λ
λ
à sujeito
minimizar
(3.7)
sendo A, B e C matrizes simétricas dependentes de x. GEVP é um problema quasi-convexo. Um
problema quasi-convexo envolve uma função matemática quasi-convexa. Considere um conjunto
convexo
C, f : C→ R é denominada uma função quasi-convexa se ∀ x
1
, x
2
∈ C e ∀ α ∈ (0,1);
f(αx
1
+(1- α) x
2
) ≤ max{f(x
1
), f(x
2
)}.Quando estas matrizes são todas diagonais, este problema se
reduz a um problema de programação linear fracional geral. Muitas funções quasi-convexas não-
lineares podem ser representadas na forma de um GEVP.
3.3. Estudo da Estabilidade Utilizando LMIs
As desigualdades matriciais lineares são ferramentas importantes para o estudo da
estabilidade de sistemas descritos no espaço de estados (BOYD et al, 1994b). Considere o
sistema linear autônomo dado pela equação 3.8, na ausência de excitações externas.
Axx
=
(3.8)
sendo x o vetor de estados e A uma matriz constante. Se A é não singular, então o único estado
de equilíbrio é a origem x = 0. Para este sistema, pode-se definir uma função de Lyapunov:
59
(
)
V0
T
=
>xxPx (3.9)
Sua derivada em relação ao tempo é:
() ( )
(
)
V
T
TT T TT
=+= + = +x x Px x Px Ax Px x PAx x A P PA x
(3.10)
Como V(x) foi escolhida definida positiva, para se ter estabilidade assintótica é
necessário que
()
V x
seja definida negativa (
(
)
V0
<
x
).
Portanto para a estabilidade do sistema da equação (3.8) é necessário que:
0<+ PAPA
T
(3.11)
Desta forma, pode-se escrever um teorema para análise da estabilidade de sistemas
descritos na forma de espaço de estados
(ASSUNÇÃO et al, 2001).
TEOREMA 3.1.
Considere o sistema autônomo descrito pela equação (3.8), sendo x o vetor de
estados e
A uma matriz n
×
n constante e não singular. Uma condição necessária e suficiente
para que o estado de equilíbrio
x = 0 seja assintóticamente estável é que, exista uma matriz P
positiva definida, simétrica, tal que
0<+ PAPA
T
A interpretação geométrica deste teorema é mostrada na figura 3.1. A figura mostra a
função V(x) e o caminho da evolução dos estados do sistema da equação (3.8) sem forças
externas. Os estados estão restritos ao lugar geométrico delineado por V(x), ou seja, pela função
de Lyapunov escolhida. Note que
(
)
V x
é sempre negativa ao longo de V(x). Então, a função
V(x) decresce ao longo do tempo, o que implica que o sistema é assintóticamente estável.
60
Figura 3.1: Interpretação geométrica do teorema da estabilidade.
3.4. Projeto de Sistemas de Controle Utilizando LMIs
O projeto de sistema de controle utilizando LMIs considera a lei de realimentação de
estados tal que o ganho de realimentação é dado por,
=
c
uKx (3.12)
O sistema em malha fechada tem a seguinte equação na forma de espaço de estados
(
)
f
=+ =+ =
cc
xAxBKx ABKxAx
(3.13)
Para que o sistema em malha fechada da equação (3.13) seja estável, é necessário que
exista uma matriz simétrica definida positiva P tal que,
0<+
f
T
f
PAPA
ou
()()
0
T
+
++ <
cc
ABK PPABK (3.14)
61
com P > 0.
A inequação (3.14) não é uma LMI, pois existe o produto de duas variáveis a serem
encontradas, P e K
c
. Para obtenção do problema convexo deve-se trabalhar a inequação (3.14)
algebricamente.
Primeiramente, multiplica-se ambos os lados dos termos da inequação (3.14) por P
-1
(a
matriz inversa de P existe, uma vez que ela é considerada simétrica positiva definida). Tem-se
então,
0
TTT−−−−
+
++ <
1111
cc
AP BK P P A P K B (3.15)
Definindo duas novas variáveis, W = P
-1
e Z = K
c
P
-1
= K
c
W, tem-se,
0
0
TTT
+
++<
>
AW BZ WA Z B
W
(3.16)
O ganho do controlador para este sistema é dado por,
K
c
= ZW
-1
(3.17)
Projeto de sistemas de controle com incertezas politópicas utilizando LMIs
Um sistema com incertezas politópicas com
v vértices pode ser estabilizado por meio de
projeto por LMIs (GONÇALVES, 2003). Este sistema com incertezas politópicas será
estabilizável se,
ii
0
0
TTT
+
++<
>
AW BZ WA Z B
W
(3.18)
sendo
i
A o i-ésimo vértice do politopo, i = 1,2,...,v. Mais detalhadamente, o projeto de
controlador robusto que estabiliza o sistema incerto consiste em resolver simultaneamente as
seguintes LMIs:
11
0
TTT
+
++<AW BZ WA Z B
22
0
TTT
+
++<AW BZ WA ZB
62
0
TTT
vv
+
++<AW BZ WA ZB
0>W (3.19)
sendo W = W
T
e v o número total de vértices do politopo.
O controlador é dado por: K
c
= ZW
-1
63
4 - Projeto de Sistemas de Controle
4.1. Projeto via Realimentação de Estados
A lei de controle por realimentação tem muitas aplicações em sistemas dinâmicos. A idéia
básica da lei de controle por realimentação é ler o sinal de saída do sistema e através dele criar o
sinal do atuador. O vetor de estados do sistema é então utilizado para gerar o sinal do atuador. A
lei de controle por realimentação tem a vantagem de que o sistema pode estar exposto a
excitações aleatórias.
Considere um sistema de controle descrito na forma de espaço de estados a seguir,
Cxy
BuAxx
=
+
=
(4.1)
A lei de controle por realimentação pode ser escrita na seguinte forma,
=
c
uKx (4.2)
Esta lei de controle é chamada de
realimentação completa de estados e utiliza todas as
variáveis de estado do sistema. A matriz K
c
é chamada de matriz de ganho de realimentação de
estados. O diagrama de blocos que descreve o controle por realimentação no espaço de estados é
mostrado na figura 4.1.
Figura 4.1: Diagrama de blocos do sistema com realimentação de estados.
Substituindo-se a equação (4.2) na equação (4.1) tem-se,
64
= ( )
c
xA+BKx
(4.3)
A solução desta equação é dada por
()
(t) = e (0)
t
c
A + BK
xx (4.4)
sendo x(0) o estado inicial devido a perturbações externas. A estabilidade e as características da
resposta transitória são determinadas pelos autovalores da matriz (A+BK
c
). Se a matriz K
c
for
escolhida de forma adequada, a matriz (A+BK
c
) pode ser feita uma matriz assintóticamente
estável e, qualquer que seja x(0) ≠ 0, é possível fazer x(
t) tender a 0 quando t tende para infinito.
Os autovalores da matriz (A+BK
c
) são chamados pólos do regulador. Se estes pólos do regulador
forem localizados no semiplano
s da esquerda, então x(t) tende a 0 quando t tende a infinito. O
problema de impor a localização dos pólos a malha fechada é dito o problema da alocação de
pólos.
Como visto na figura 4.1, o sistema de controle com realimentação completa de estados
requer o conhecimento de todos os estados do sistema. Muitas vezes o acesso a todos os estados
do sistema não é disponível devido, por exemplo, ao número limitado de sensores. Um outro
fator, também importante, no projeto de sistema de controle no espaço de estados é saber se
todos os estados podem ser controlados. Assim é necessário definir dois conceitos importantes
no projeto de sistemas de controle por realimentação no espaço de estados que são
controlabilidade e observabilidade.
4.1.1. Controlabilidade
Um sistema dinâmico descrito na forma de espaço de estados é dito controlável se, para
todo instante
t
1
> 0, o estado inicial x(0) = x
0
e estado final x
1
, existe uma entrada u(t) tal que a
solução do sistema satisfaça
x(t
1
) = x
1
. Caso contrário o sistema é dito não controlável (ZHOU,
1995).
A controlabilidade pode ser verificada utilizando alguns critérios algébricos:
(i)
A matriz de controlabilidade C
b
65
b
−
⎡
⎤
=
⎣
⎦
n1
CBAB AB (4.5)
tem posto
n.
(ii)
A matriz graminiano de controlabilidade
c
0
T
t
T
eed
ττ
τ
=
∫
AA
WBB (4.6)
é definida positiva para todo
t > 0.
(iii) A matriz
[
]
BIA
λ
−
(4.7)
tem posto completo para todo
∈
λ
, o campo dos números complexos. Esta condição é chamada
de teste do posto de
Popov, Belevitch e Hautus (PBH).
(iv)
Não existe autovetor q
i
de A
T
que seja ortogonal a todas as colunas de B. Ou seja, dado
A
T
q
i
=
λ
i
q
i
, então a condição: q
j
T
B = 0, implica 0
j
≡
q .
(v)
Os autovalores de (A+BK
c
) podem ser livremente alocados por uma escolha adequada de
K
c
.
4.1.2. Observabilidade
Um sistema dinâmico descrito na forma de espaço de estados é dito
observável se, para
qualquer
t
1
> 0, o estado inicial x(0) = x
0
pode ser determinado pela história temporal da entrada
u(t) e a saída y(t) no intervalo [0, t
1
]. Caso contrário o sistema é dito não observável (ZHOU,
1995).
A observabilidade pode ser verificada utilizando alguns critérios algébricos:
66
(i) A matriz de observabilidade O
b
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−1n
b
CA
CA
C
O
(4.8)
tem posto
n.
(ii)
A matriz graminiano de observabilidade
(
)
o
0
T
t
T
te ed
ττ
τ
=
∫
AA
WCC (4.9)
é definida positiva para todo
t > 0.
(iii) A matriz
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
C
IA
λ
(4.10)
tem posto
n para todo
λ
∈
.Teste do posto PBH.
(iv)
Não existe autovetor q
i
de A que seja ortogonal a todas as linhas de C. Ou seja, dado A
T
q
i
=
λ
i
q
i
, então a condição: Cq
j
= 0, implica q
j
≡0 .
(v)
Os autovalores de (A-K
e
C) podem ser livremente alocados por uma escolha adequada de K
e
.
O termo (A - K
e
C) é obtido no item 4.1.4.
(vi)
O par (A
T
, C
T
) é controlável.
67
4.1.3. Princípio da Dualidade
Observando as propriedades de controlabilidade e observabilidade é possível notar relações
entre os dois conceitos. Pode-se dizer que o problema de controlabilidade é dual ao problema de
observabilidade
(VALER, 1999).
Um sistema linear e invariante no tempo (LTI)
(
)
(
)
(
)
() ()
⎩
⎨
⎧
=
+=
tt
ttt
S
Cxy
BuAxx
: (4.11)
é dual ao sistema (e vice versa),
() () ()
() ()
ˆ
ˆ
:
ˆ
ttt
S
tt
⎧
=+
⎪
⎨
=
⎪
⎩
xAxBu
yCx
(4.12)
se
T
T
T
CC
BB
AA
=
=
=
ˆ
ˆ
ˆ
(4.13)
O sistema LTI da equação 4.11 é controlável (observável) somente se o sistema dual da equação
4.12 for observável (controlável) (VALER, 1999).
4.1.4. Observadores de Estados
Quando houver variáveis de estado não disponíveis para medição, o projeto de sistema de
controle por realimentação de estados não pode ser feito, a não ser que se estime as variáveis não
medidas. Processos de derivação de variáveis para obtenção de outras não são aconselháveis,
tendo em vista que o processo de derivação acarreta decréscimo da relação sinal/ruído do
sistema, sendo que o ruído varia mais rapidamente que o sinal de comando. Dependendo das
grandezas com que se trabalha, a relação sinal/ruído pode ser comprometida por um simples
68
processo de derivação. As variáveis não medidas, no entanto, podem ser estimadas. Um
dispositivo, circuito elétrico ou programa de computador que estime estas variáveis é chamado
de observador de estado ou simplesmente observador. Quando todas as variáveis do sistema são
estimadas, este observador é chamado de
observador de ordem completa. Quando o número de
variáveis estimadas é menor que o total de variáveis do sistema este observador é chamado de
observador de ordem reduzida.
Basicamente, um observador de estado é um modelo matemático do sistema baseado no
seu comportamento físico. O modelo matemático é usado para construir o sistema físico baseado
na leitura de um sensor.
Assumindo um sistema descrito na forma de espaço de estados
Cxy
BuAxx
=
+
=
(4.14)
O observador dinâmico pode ser escrito na seguinte forma
(
)
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
=
++ −
=
e
xAxBuK
yy
yCx
(4.15)
Sendo
K
e
o ganho do observador a ser determinado e y a saída do sensor que alimenta a
dinâmica do observador. A representação gráfica de um observador dinâmico é mostrada na
figura 4.2.
Figura 4.2: Representação gráfica de um observador dinâmico.
Para entender o funcionamento do observador, combinam-se as equações (4.14) e (4.15) de
modo que,
69
(
)
ˆ
ˆˆ
−
=−− −
e
xx AxAxK
yy
(4.16)
Introduzindo um vetor de erro definido por
xxe
ˆ
−
=
(4.17)
O vetor de erro representa o erro entre o sistema real e o observador dinâmico. A derivada
do vetor de erro pode, também, ser escrita considerando que
xCy
ˆˆ
=
por,
(
)
=−
e
eAKCe
(4.18)
A solução da equação (4.18) pode ser obtida por similaridade com a equação (4.3). O vetor
de erro, portanto, é dado por,
()
(
)
()
0
t
te
−
=
e
AKC
ee
(4.19)
A partir da equação (4.19), percebe-se que o comportamento dinâmico do vetor erro é
determinado pelos autovalores da matriz (
A-K
e
C). Se a matriz (A-K
e
C) for uma matriz estável, o
vetor erro convergirá para zero seja qual for o valor inicial do vetor erro
e(0). Além disso, se o
sistema for completamente observável pode-se provar que é possível escolher uma matriz
K
e
tal
que a matriz (
A-K
e
C) possua autovalores desejados. Então, o projeto de um observador de
ordem completa se torna determinar a matriz de ganho do observador
K
e
tal que a matriz (A-
K
e
C) possua autovalores apropriados. Esses autovalores são usualmente escolhidos de modo que
a resposta do observador seja mais rápida que a resposta do sistema. Uma regra prática consiste
em escolher uma resposta do observador pelo menos duas a cinco vezes mais rápida que a
resposta do sistema. O projeto do observador pode ser feito de forma análoga ao projeto do
controlador considerando o princípio de dualidade.
Nos sistemas de controle com realimentação de estados, pode-se utilizar os estados
estimados para realimentar o sistema. O esquema de um sistema de controle de realimentação
que utiliza um observador de estados é mostrado na figura 4.3.
70
Figura 4.3: Sistema de controle por realimentação de estados utilizando observador.
4.1.5. Controle H∞ via Realimentação de Estados
Este item apresenta o controle H
∞
considerando realimentação de estados para um sistema
contínuo. Grande parte do que é apresentado neste item foi estudo do trabalho de Peres (1997)
que contribuiu com as parametrizações apresentadas a seguir.
Considerando um sistema linear e invariante no tempo (LTI):
(
)
uDwDCxy
xxuΒwΒAxx
21
021
0
++=
=
,
+
+
=
(4.20)
sendo
A a matriz dinâmica, B
1
a matriz de entrada de distúrbio, B
2
a matriz de entrada de
controle,
C a matriz de saída, D
1
e D
2
as matrizes de transmissão direta, x o vetor de estados, w o
vetor de distúrbio e
u o vetor de entrada de controle.
Assumindo controle por realimentação de estados para a LTI descrita pela equação (4.20),
uma lei de controle linear pode ser dada por:
=
c
uKx (4.21)
71
sendo K
c
a matriz de ganho de realimentação a ser determinada. Considera-se também que D
1
=0
e
D=D
2
. As matrizes à malha fechada são dadas por:
f2
=
+
c
Α ABK (4.22)
f
=
+
c
CCDK (4.23)
O interesse é encontrar o conjunto de ganhos estabilizantes definido por:
{
}
f
: é assintóticamente estável=
cc
KKA (4.24)
ou seja, todos os autovalores de
A
f
têm parte real negativa.
A norma H
∞
pode ser calculada a partir de uma relação entre um limitante superior
γ
>0
para a norma H
∞
e a existência de uma matriz definida positiva P, a partir do seguinte enunciado,
║H║
∞
<
γ
se e somente se a desigualdade:
-2
ff 11ff
TTT
γ
+
++≤AP PA PBBP CC 0 (4.25)
admitindo P=P
T
>0 como solução e sendo
γ
um escalar.
O problema consiste em sintetizar um controlador para manter as variáveis de desempenho
do sistema,
z, pequenas na presença de entradas exógenas w. O controle H
∞
ótimo consiste em
encontrar todos os controladores admissíveis tal que a norma H
∞
seja minimizada (BURL, 1999).
Enquanto o controle H
∞
sub-ótimo, dado
γ
> 0, consiste em encontrar todos os controladores
admissíveis, se existir um, tal que a norma H
∞
<
γ
.
O problema de otimização H
∞
pode ser definido a partir da caracterização de todos os
estados de ganhos de realimentação que estabilizem o sistema. O problema da maneira como é
enunciado não é convexo nas variáveis de interesse, então se torna necessário definir um novo
espaço paramétrico para que o problema convexo possa ser obtido. Após esta parametrização
convexa as LMIs resultantes podem ser utilizadas para a solução do problema.
A partir da relação entre a norma H
∞
e a existência de uma matriz P, dada pela equação
(4.25), uma condição equivalente é encontrada multiplicando-se à esquerda e à direita por
P
-1
e
fazendo
W = P
-1
> 0:
72
-2
ff11 ff
TT T
γ
+++ ≤A W WA B B WC C W 0 (4.26)
A equação (4.26) não envolve de maneira convexa as variáveis de interesse, pois a matriz
de ganho
K
c
está embutida dentro de A
f
, C
f
e da matriz W. Assim, deve-se definir um novo
espaço paramétrico, obtendo-se assim o problema de otimização convexa:
,,
TTT
221
1
min
0
-
TTT
T
μ
μ
μ
μ
>
>
⎡⎤
−−− +
⎢⎥
≥
⎢⎥
⎢⎥
+
⎣⎦
WZ
W0
AW WA B Z Z B B WC Z D
BI00
CW DZ 0 I
(4.27)
sendo
µ =
γ
2
.
A prova deste problema é feita reescrevendo as restrições da equação (4.27) utilizando o
complemento de Schur. A minimização deste problema garante um valor ótimo para a norma H
∞
.
A prova desta equação pode ser encontrada em Peres (1997) e Palma (2007).
A solução da equação (4.27) fornece
min H
μ
∞
= e o ganho ótimo H
∞
de
realimentação é dado por:
1
−
=
c
KZW (4.28)
sendo Z e W obtidos a partir da solução do problema de otimização (4.27). Usando a equação
(4.27) é possível também definir o problema sub-ótimo substituindo a LMI
µ >0 por µ > µ’.
4.2. Projeto Robusto H∞ via Realimentação da Saída
4.2.1. Configuração Geral do Problema de Controle
Considere o sistema mostrado na figura 4.4, o qual se aplica a uma vasta classe de
problemas de controle. Para este sistema, tem-se como sinais típicos:
73
y(s)
+
+
-
+
+
+
+
u(s) e(s) r(s)
d
0
(s)
m(s)
d
i
(s)
K(s) G(s)
+
•
r(s), o sinal de referência a ser seguido;
•
d
i
(s), o sinal de distúrbio na entrada do sistema;
•
d
o
(s), o sinal de distúrbio na saída do sistema;
•
m(s), o sinal de ruído;
• y(s), a saída da planta;
• e(s), o sinal de erro entre a referência e o sinal medido e
• u(s), o sinal de controle.
sendo G(s) o modelo do sistema (planta), K(s) o controlador e s é a variável de Laplace.
Figura 4.4: Configuração de um sistema genérico de controle
Com base na figura 4.4 algumas características importantes do sistema são definidas no
domínio da freqüência. Estas funções são fundamentais para a síntese e análise do sistema de
controle (MOREIRA, 1998). Assim sendo, considere as seguintes relações entrada-saída:
•
Saída da planta
[
]
[
]
[] []
11
11
0
(s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s)
(s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s)
i
yrd
dm
−−
−−
=+ ++ +
++ −+
IG K G K IG K
IGKG IGKGK
(4.29)
•
sinal de erro
[
]
(
)
1
0
(s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s)
i
ery rd m d
−
=−=+ − + −IG K G K G (4.30)
74
•
sinal de controle
[]
(
)
)s()s()s()s()s()s( (s))s()s()s()s()()s(
0
1
i
dmdreu GKGKGIKK −+−+==
−
s (4.31)
De (4.29), (4.30) e (4.31), definem-se as seguintes funções características de um sistema de
controle
•
Função Sensibilidade
[
]
1
)s()s()s(
−
+= KGIS (4.32)
•
Função Sensibilidade Complementar
[
]
)s()s()s()s()s(
1
KGKGIT
−
+= (4.33)
• Função Restrição de Energia
[
]
1
)s()s()s()s(
−
+= KGIKU
(4.34)
Destas três funções, condições importantes que dizem respeito ao desempenho do sistema
podem ser estabelecidas, bem como condições preliminares de robustez. Assim, substituindo
(4.32) em (4.30), com
d
i
(s)=d
0
(s)=0, tem-se o erro da resposta do sistema relacionado às funções
sensibilidade e sensibilidade complementar:
)s( )s()s( )s()s(
mre TS
−
=
(4.35)
Para s=
jω, se a norma da matriz sensibilidade tende a zero no intervalo de freqüência
ω
0
<ω<ω
1
, o erro da resposta do sistema é muito pequeno em relação à entrada de referência.
Também, ocorre uma redução da sensibilidade do sistema a ruídos, se a norma da função
sensibilidade complementar tender a zero.
Substituindo (4.33) em (4.29), com
d
i
(s)=d
0
(s)=m(s)=0, obtém-se
(s) (s) (s)yr
=
T
(4.36)
75
Neste caso, pode-se dizer que a saída do sistema acompanha melhor a referência aplicada
quanto mais próxima a norma de
T(s) está de I. Entretanto, com m(s)≠0 será grande a influência
do sinal de ruído na saída, uma vez que
(
)
(s) (s) (s) (s)yrm=−T (4.37)
Ocorre aqui um conflito entre as características de seguir a referência e de atenuar o ruído.
Este conflito também surge entre as definições de
S(s) e T(s). De (4.32) e (4.33) tem-se a
seguinte propriedade estabelecida,
IST
=
+
)s( )s( (4.38)
Como estas funções dependem de
K(s), quando, para um dado s=jω, a norma de K(s) se
aproxima de infinito, a norma de
S(s) se aproxima de zero e a norma de T(s) se aproxima da
unidade. Daí considerar
T(s) como o complemento da função sensibilidade. Como r(s) e, por
conseqüência,
e(s) são sinais com um espectro de freqüência concentrado na região de baixa
freqüência e
m(s) é geralmente associado à alta freqüência, este compromisso conflitante é
resolvido atribuindo pesos diferentes a
T(s) e S(s) em regiões de freqüência específicas. Estas
duas funções são, como já descrito, geralmente usadas para especificar requisitos de desempenho
no domínio da freqüência. Entretanto, elas também são usadas para especificar robustez, como
mostrado em Doyle e Stein (1981). Isto porque a redução do ganho da função sensibilidade está
ligada a uma menor sensibilidade do sistema controlado a efeitos de mudanças nos parâmetros
da planta, assim como a função sensibilidade complementar fornece informações sobre a
robustez quanto à dinâmica desconhecida de alta freqüência (FRANKLIN
et al, 1994).
Substituindo (4.34) em (4.31), com
d
i
(s) = d
0
(s)=0, tem-se:
(
)
(s) (s) (s) (s) (s) (s)ur m=+UGK (4.39)
Como se pode notar,
U(s) especifica o ganho do sinal de controle. Desta forma, esta função
é usada para restringir o nível do sinal de controle.
Portanto,
S(s), T(s) e U(s) representam relações fundamentais que são freqüentemente
usadas para especificar requisitos de projeto em diversas técnicas de controle, no domínio da
freqüência. A despeito do avanço de técnicas no domínio do tempo em teoria de controle nos
76
últimos tempos, o domínio da freqüência continua sendo uma escolha natural e direta para a
análise de robustez. Em vista disto, considera-se toda a descrição que segue como sendo no
domínio da freqüência e, assim, a dependência em relação a s será omitida, para todas as
variáveis, na notação adotada a partir daqui.
4.2.2. Representação do Sistema Segundo o Enfoque Convexo
Segundo o enfoque moderno de controle, sistemas lineares, como o da figura 4.4, podem
ser convertidos em uma outra forma de representação. Esta representação alternativa se aplica a
uma larga classe de problemas de controle e propõe uma solução unificada via otimização
convexa (BOYD; BARRATT, 1990). A esta representação, mostrada na figura 4.5, dá-se o nome
de representação convexa. Neste cenário todas as entradas do sistema são reunidas em um vetor
de entradas exógenas,
w. A saída se divide em um vetor de saídas medidas y, usadas para
realimentar o sistema, e um vetor de saídas reguladas
z, contendo os sinais a serem controlados.
Nesta representação
K é a função de transferência do controlador, P é a planta generalizada, que
contém as interconexões entre os sinais de entradas e saídas. Ressalta-se aqui que a planta
generalizada
P só contém informações referentes a um número limitado de modos que se deseja
controlar. Por fim, tem-se o vetor de sinais de controle
u. Como vantagem adicional, a
representação convexa se aplica tanto a sistema monovariáveis como multivariáveis.
Figura 4.5: Representação convexa do problema de controle.
Assim, o modelo matemático pode ser dado por:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
u
w
P
u
w
PP
PP
y
z
yuyw
zuzw
(4.40)
y
z
w
P
K
u
77
onde P
zw
, P
zu
, P
yw
e P
yu
são as matrizes funções de transferência das saídas em função das
entradas, como indicado pelos subscritos. No domínio convexo, a matriz função de transferência
de malha fechada é dada por:
(
)
yw
1
uyzuzwzw
PKPIKPPH
−
−+= (4.41)
e o problema geral de controle pode ser resumido da seguinte forma:
Determine um controlador
K que realimente o sistema com um sinal u, calculado a partir de um
sinal de medidas
y, tal que o sistema em malha fechada H
zw
satisfaça certos requisitos de
projeto, dados em termos da relação entre as saídas reguladas
z, e as entradas exógenas w.
Considere então um problema de controle com os requisitos típicos de erro de resposta
pequeno, atenuação de ruído e energia limitada de atuação. Assumem-se como entradas
exógenas os sinais de referência e de ruído,
[
]
T
m r=w , e como saídas reguladas, incluindo
funções de ponderação adequadas,
• Erro ponderado
ee'
1
W
=
• Saída ponderada
2
'
y
y
=
W
• Sinal de controle ponderado
uu
3
' W
=
Tem-se, assim, de (4.35), (4.37) e (4.39) as seguintes relações entrada/saída a controlar:
•
()
1
e' r - m= WS T
•
()
2
y' r m=−WT
•
()
3
(s) (s) (s) (s)u' r m=+WU G K
78
Assim,
H
zw
inclui a função sensibilidade, que está relacionada ao erro com que o sistema
segue a referência, a função sensibilidade complementar que está associada ao requisito de
rejeição a ruídos, e a função
U, que se refere à restrição de energia do atuador.
As funções de ponderação,
W
1
, W
2
e W
3
, têm o objetivo de acentuar certas regiões de
freqüência em detrimento de outras. A ponderação sobre o erro, por exemplo, exibe um peso alto
na região de baixa freqüência e um peso baixo na região de alta freqüência. Isto porque a
característica requerida de erro é que o sistema tenha uma resposta transitória que siga a
referência com um erro pequeno e que tenha um erro de regime reduzido. Esta característica é
alcançada com uma função sensibilidade que apresente baixo ganho na região de freqüência
inferior à freqüência de corte especificada para o sistema. Com esta função de ponderação, que
dá maior peso à região de baixa freqüência, o termo (
W
1
T m) se torna desprezível na saída e'.
Desta forma a função
S prepondera na saída regulada e'.
Por outro lado, a função de ponderação sobre a saída do sistema apresenta um peso baixo
na região de baixa freqüência e um peso alto na região de alta freqüência. Desta forma, inclui-se
no projeto a atenuação de ruído de alta freqüência na saída. A ponderação sobre
U, por sua vez,
limita a banda passante do sinal de controle e a sua magnitude.
O diagrama do sistema na sua configuração final, incluindo as funções de ponderação
necessárias, é apresentado na figura 4.6. Esta figura descreve o que se denomina
planta
aumentada usada como modelo de projeto para a síntese do controlador.
Figura 4.6: Planta aumentada para o problema de desempenho
Considerando o sistema descrito acima, com as entradas e saídas selecionadas e suas
respectivas ponderações, define-se o que é usualmente chamado de problema de desempenho:
79
Sintetizar um controlador K que satisfaça a seguinte desigualdade:
||
H
zw
||
gn
<
γ
sendo || . ||
gn
uma norma genérica e
γ
o custo definido do projeto. Neste trabalho a norma infinita
é a utilizada.
4.2.3. Ganhos Principais e Norma Infinita
A teoria moderna de robustez está fundamentada na teoria de ganhos principais do sistema,
que é apresentada sucintamente a seguir. Considerando um sistema tal que
uy G
=
(4.42)
Seus ganhos principais são definidos como
u
u
u
y G
=
(4.43)
sendo || . || uma norma vetorial euclidiana. Assumindo, sem perda de generalidade, que
||
u||=1,pode-se escrever
GGG
G
*
s
==
u
u
(4.44)
sendo || . ||
s
a norma espectral e G* o complexo conjugado de G. Tem-se assim a definição da
norma espectral de
G, que está relacionada com seus valores singulares. Assim, definindo
{
}
i
s
, i 1,2,3,...,n==G σ (4.45)
tem-se que os valores singulares de
G, denominados σ
i
, que são os ganhos principais do sistema.
Definindo-se o mínimo e o máximo valor singular respectivamente por
80
{
}
{
}
i
i
min
max
=
=
σσ
σσ
(4.46)
tem-se que
s
≤
≥σ G σ (4.47)
i. e., os ganhos de um sistema multivariável são limitados pelo maior e pelo menor valor singular
do sistema. Como conseqüência, os valores singulares extremos podem ser usados para análise
do sistema.
Por exemplo, a função sensibilidade (4.32) e a função sensibilidade complementar (4.33)
podem ser analisadas tendo como base os valores máximo e mínimo de seus valores singulares.
Suponha um requerimento típico onde a matriz sensibilidade deva ter um ganho menor que um
dado valor
A na região de baixa freqüência e a função sensibilidade complementar deva ter uma
ganho menor que
B na região de alta freqüência. A transcrição deste requerimento, usando
valores singulares, pode ser,
()
()
T
s
,
,
ωωω
ω
ω
ω
<≤
<
≤
B
A
)T(σ
)S(σ
j
j
(4.48)
Esta especificação pode ainda ser dada através da
norma infinita, definida como o valor
supremo do máximo valor singular do sistema,
(
)
∞<<=
∞
0 , sup ωω)G(σ G j (4.49)
sendo
G uma função estável e própria (MACIEJOWSKI, 1989).
No exemplo dado, a norma infinita pode ser usada para estabelecer o limitante superior das
funções
S e T. Para isso, definem-se as funções de ponderação no domínio da freqüência:
• W
1
com alto ganho na região ω<ω
s
e um ganho muito pequeno para ω>ω
s
e
• W
2
com ganho baixo na região ω<ω
T
e um ganho alto para ω>ω
T
, como mostrado na
figura 4.7.
81
Figura 4.7: Funções de Ponderação W
1
e W
2
A especificação dada em (4.48) torna-se
1
1
2
1
≤
≤
∞
∞
TW
SW
(4.50)
Sabe-se de Truxal (1955) que em uma situação ideal onde o ganho é unitário em toda a
faixa de freqüência (condição "
all-pass" em inglês), o controlador que satisfaz a desigualdade,
1≤HW (4.51)
é dado por
1
W
=
H (4.52)
sendo
W o inverso da função de malha fechada desejada e H a função de transferência do
sistema em malha fechada. Portanto,
W
1
e W
2
são selecionadas de tal maneira que S e T são
moldadas para assumir a forma inversa dessas funções. Então, tendo |
W
1
|<1/A para ω<ω
s
e
|
W
2
|<1/B para ω>ω
T
, se a solução ótima é encontrada para a equação (4.50), isto significa que
||
S||<A para ω<ω
s
, e que ||T||<B para ω>ω
T
.
A partir dos conceitos de representação convexa e de norma infinita introduzidos acima é
que se descreve o problema de robustez e modelagem de incerteza de que trata o restante deste
capítulo.
82
4.2.4. Análise de Robustez
Segundo o enfoque convexo, a robustez é introduzida no projeto do sistema de controle
como um laço de realimentação adicional, além do laço de controle. Qualquer incerteza referente
a dinâmica desconhecida ou omitida durante a fase de modelagem e/ou identificação aparece
como uma perturbação inserida neste laço. Assim, dado um sistema perturbado,
P
pert
, este pode
ser parametrizado em função de uma dinâmica nominal,
P, e uma realimentação normalizada Δ
∈ D, onde D representa um conjunto de matrizes funções de transferência que reúne todas as
incertezas do sistema.
(
)
, D∈= ΔΔP,PP
pertpert
(4.53)
Esta representação permite representar a incerteza na forma de uma realimentação externa
ao modelo nominal, conforme mostrado na figura 4.8.
Figura 4.8: Forma padrão da realimentação geral de um sistema com incerteza dinâmica.
A equação. (4.54) mostra a relação entre a planta generalizada
P e os três respectivos sinais
de entradas e saídas (SILVA, 2005).
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
u
w
p
P
u
w
p
PPP
PPP
PPP
y
z
q
yuywyp
zuzwzp
quqwqp
(4.54)
z
y
P
K
Δ
w
u
q p
83
sendo os vetores p e q relacionados às especificações de robustez (entradas e saídas da
perturbação desconhecida
Δ).
Esta nova representação para o sistema tem a seguinte matriz função de transferência,
(
)
qw
1
qpzpzw
pert
zw
ΔΔ HHIΗHH
−
−+= (4.55)
sendo
H
zw
o sistema nominal em malha fechada, definido em (4.41), e a demais matrizes funções
de transferências são:
(
)
yp
1
uyzuzpzp
PKPIKPPH
−
−+= (4.56)
(
)
yw
-1
uyquqwqw
PKPIPPH −+=
(4.57)
(
)
yp
1
uyquqpqp
PKPIKPPH
−
−+=
(4.58)
O que se espera é que o sistema de malha fechada (4.55) atenda os requisitos de
desempenho, como amortecimento dos modos de interesse dentro de limites específicos de
consumo de energia e se mantenha estável, mesmo na presença de possíveis perturbações
Δ
(MOREIRA, 1998). Estes requisitos serão atendidos se as funções de transferência dada pelas
equações (4.41), (4.56) até (4.58) mantiverem estáveis (BOYD; BARRATT, 1990). Do problema
de pequenos sinais, Levine (1996), sabe-se que um sistema em malha fechada,
(
)
3
1
211
HHHHH
−
−= I (4.59)
sendo (
I-H
1
H
2
) não singular, é estável se
gngn
gn
gn
21
1
1 HH
H
H
−
=
(4.60)
ou ainda se
1
21
<
gngn
HH (4.61)
84
sendo || . ||
gn
uma norma genérica com a seguinte propriedade
gngngn
2121
HHHH ≤ (4.62)
Para o sistema perturbado da equação (4.55), se
Δ tem um limitante superior,
gn
Δ
Δ
D
supM
∈
=
(4.63)
O sistema é estável se
1M
qp
<
gn
H (4.64)
e
∞<
∞<
∞<
gn
gn
gn
zw
qw
zp
H
H
H
(4.65)
Assim, o problema geral de robustez pode ser definido da seguinte forma:
Achar um controlador K tal que
∞<
∞<
∞<
<
gn
gn
gn
gn
zw
qw
zp
qp
1M
H
H
H
H
sendo
gn
Δ
Δ
D
supM
∈
=
85
o máximo ganho para o conjunto de perturbações D.
A norma infinita é uma escolha natural a ser usada na definição acima, uma vez que ela
satisfaz a equação (4.62) e também pode ser usada para estabelecer o limitante na equação
(4.63). Além do mais, a norma infinita só existe para funções estáveis, o que significa que as
desigualdades da equação (4.65) são satisfeitas por definição. De tudo isto, o problema de
robustez pode ser reescrito da seguinte forma:
Achar um controlador K tal que
1M
qp
<
∞
H
sendo
∞
∈
= Δ
Δ
D
supM
o máximo ganho para o conjunto de perturbações D.
4.2.5. Problema de Desempenho Robusto
Reunindo os problemas de desempenho e de robustez, tem-se o que se define como
problema de desempenho robusto, que pode ser escrito como:
Achar um controlador K tal que as seguintes desigualdades sejam satisfeitas
γ<
<
∞
∞
zw
qp
M
1
H
H
com H
qp
, H
zw
e M dados pelas equações (4.41), (4.58) e (4.63), e
γ
como um custo para o
requisito de desempenho.
Este problema pode ser resolvido pela teoria de valores singulares estruturada incluindo
uma perturbação fictícia Δ
p
conectada às entradas e saídas ligadas ao desempenho, z e w, do
86
q
p
u y
P
K
Δ
w
diagrama da figura 4.8 (DOYLE; STEIN, 1981). Assim, os requisitos de desempenho são
adicionados à especificação de robustez, ficando o sistema como ilustrado na figura 4.9.
Figura 4.9: Problema de desempenho e robustez convertido em problema de robustez.
Um dos métodos para se resolver este problema é o chamado "μ-Synthesis" via o enfoque
Iteração D-K (MACIEJOWSKY, 1989,
BALAS et al, 1994). Entretanto, ele requer um pesado
esforço computacional e, normalmente, gera um controlador de ordem maior que a planta
aumentada (XIE, 1996).
Para evitar o inconveniente do uso da iteração D-K é adotado neste trabalho o mesmo
enfoque alternativo proposto na tese de Moreira (1998). Neste enfoque, o problema de
desempenho e robustez é convertido em um problema de desempenho. Isto é feito abrindo-se o
laço de realimentação da incerteza e inserindo a variável q junto ao vetor de saídas reguladas z e
o vetor p junto ao vetor de entradas exógenas w.
Assim, define-se um novo vetor de saídas reguladas z’=[q z]
T
e um novo vetor de entradas
exógenas w’=[p w]
T
. O novo problema é minimizar a norma infinita da função de transferência
entre w’ e z’. Tem-se então um problema de desempenho e robustez convertido em um problema
simplesmente de desempenho, como mostra a equação seguinte:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
w
p
HH
HH
z
q
z
zwzp
qwqp
,
(4.66)
Δ
p
z
87
O inconveniente é o acoplamento que se cria entre o problema de desempenho e robustez,
uma vez que a entrada relacionada a robustez, vetor p, influência a saída relacionada ao
desempenho, vetor z, e vice-versa. Para diminuir o efeito entre os termos cruzados da equação
(4.66) um fator atenuante K
d
pode ser inserido na entrada do vetor p e o inverso deste ganho é
inserido na saída do vetor q com o propósito de minimizar esta influência, como já havia sido
proposto e discutido em detalhes no trabalho de Moreira (1998). A figura 4.10 mostra a
configuração final do projeto a ser utilizado no presente trabalho.
Figura 4.10: Problema de desempenho e robustez convertido em problema de desempenho.
4.2.6. Projeto Incluindo Robustez à Dinâmica Residual
Em sistemas mecânicos estruturais existe a possibilidade de se considerar a dinâmica não-
modelada, ou dinâmica residual, como uma incerteza não-estruturada. A seguir, a forma de se
modelar a dinâmica residual como uma incerteza aditiva é tratada.
Considere, inicialmente, um sistema com um modelo, G
c
, de baixa ordem e que contém os
modos a serem controlados e, toda a dinâmica residual de alta freqüência modelada como
incerteza aditiva, G
r
, tal que o modelo de ordem cheia do sistema, G, seja dado por,
rc
GGG
+
=
(4.67)
A representação deste sistema é mostrada na figura 4.11.
w’
z’
w z
y
P
K
1/K
d
K
d
u
p
q
88
Figura 4.11: Modelo com incerteza aditiva.
A função de transferência G
r
é conhecida (assumindo que G é conhecido), mas têm uma
dinâmica muito complexa, sendo assim, pode-se substituir G
r
por uma função limitante superior
G
p
com dimensão muito menor, sendo que G
p
deve ser escolhida de forma a atender:
∞
∞
≤
pr
ΔGG (4.68)
sendo
1Δ ≤
∞
. Portanto, se existir um controlador projetado utilizando G
p
(sendo que G
p
deve
satisfazer a inequação (4.68)), também estará satisfeito o modelo de incerteza G
r
. A vantagem de
se utilizar G
p
é ter um controlador de ordem muito menor do que se teria se utilizássemos G
r
.
Transportado para a representação convexa, o diagrama do modelo da figura 4.11 é
redesenhando, como mostrado na figura 4.12.
Figura 4.12: Planta aumentada com a incerteza aditiva.
As metas gerais do projeto são aumentar o coeficiente de amortecimento dos modos de
baixa freqüência da estrutura, limitar o sinal de energia e garantir robustez à dinâmica residual.
Sendo assim, definimos duas saídas reguladas: o sinal y’, que é a ponderação do sinal medido
por um filtro passa baixa W
y
, que tem como função aumentar o amortecimento, e o sinal de
controle u’, que é ponderado por um filtro passa-alta W
u
, que tem como propósito restringir o
+
+
p
q
u
G
c
G
r
y
p q
G
p
Δ
+
y
u
+
G
c
89
nível do sinal de controle exigido. Os filtros de ponderação W
y
e W
u
têm como metas dar a
forma desejada para os sinais de saída regulada e são parâmetros livres para a escolha do
projetista. A condição de robustez é assegurada pela imposição de um modelo de incerteza G
p
,
atendendo a inequação (4.68).
O primeiro passo para o projeto do controle H
∞
é a montagem da planta generalizada
contendo a planta nominal G
c
e o modelo de distúrbio G
d
, sendo G
c
e G
d
funções de
transferência de pequena ordem e ambas com os mesmos pólos, pois o que muda é apenas a
matriz de entrada (G
c
tem como entrada o sinal de controle e G
d
o sinal de distúrbio):
(
)
()
1c1c
1
ccd
2c2c
1
ccc
s
s
DBAICG
DBAICG
+−=
+−=
−
−
(4.69)
Além destas funções, os dois filtros de projeto são inseridos na malha junto com o modelo
de incerteza aditiva adotado. A configuração geral deste projeto é mostrada na figura 4.13.
Figura 4.13: Planta generalizada para o projeto com incerteza residual aditiva – Problema de
desempenho e robustez.
Como discutido anteriormente, abre-se o laço de realimentação da incerteza Δ e converte-
se o problema de desempenho e robustez, visto na figura 4.13, em um problema de desempenho
(MOREIRA, 1998). A figura 4.14 mostra a nova configuração, onde é inserido um fator
p
q
+
+
+
+
G
c
G
d
w
u
G
p
W
u
W
y
Δ
u
’
y
’
y
z’
90
atenuante K
d
e seu inverso com a finalidade de diminuir o efeito das normas entre os sinais
cruzados relacionados a desempenho e robustez.
As matrizes da função de transferência deste sistema são:
[]
cyudpyw'
1-
dcp
u
cy
uz'
dydy
w'z'
00
00
GPKGP
KGG
W
GW
P
KWGW
P
=,=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
(4.70)
sendo w
’
=[w p]
T
, z
’
=[z q]
T
e z =[y’ u’]
T
.
Após algumas manipulações algébricas obtém-se a função de transferência entre o sinal z
’
e w
’
à malha fechada dada por:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
d
d
1-
dp
u
y
w'z'
K0
0G
UU
UU
SS
KG00
0W0
00W
H (4.71)
sendo S e U as funções de sensibilidade e de restrição de energia definidas em (4.32) e (4.34),
respectivamente.
91
Figura 4.14: Planta generalizada para o projeto com incerteza residual aditiva - Problema de
desempenho.
É importante observar que na figura 4.14 tanto a função W
u
quanto o modelo de incerteza
G
p
estão ponderando o vetor de entrada de controle u e estão relacionados à função de restrição
de energia U, como pode ser comprovado pela equação (4.71). Assim ambas as funções, W
u
e
G
p
, podem ser usadas para limitar o sinal de controle e especificar características de robustez à
dinâmica residual. Porém, W
u
também está relacionado com a robustez referente a ruídos de alta
freqüência proveniente de sensores de medida. Além disto, muitos autores utilizam W
u
, tentando
substituir (ou encontrar) uma função de transferência que se aproxime de G
p
, ou seja, que sirva
de limitante superior para o modelo de incerteza de dinâmica de alta freqüência não modelada.
Entretanto, na maioria das aplicações de engenharia de controle estrutural, este modelo é
conhecido (G
r
), assim o projeto se torna muito mais fácil e direto a partir da especificação apenas
de G
p
, sendo que W
u
pode ser omitido do projeto. Inclusive é conceitualmente mais correto
especificar robustez à dinâmica residual a partir apenas de G
p
, uma vez que esta função está
relacionada a saída de incerteza q. Para maiores detalhes deste assunto e uma descrição completa
do que foi discutido acima recomenda-se Moreira (1998).
Uma nova configuração pode então ser dada pela figura 4.15. Um ganho atenuante K
w
também é inserido na entrada do vetor w, uma vez que o sinal de distúrbio pode ter uma energia
maior do que o sinal de controle u. Assim, esta atenuação na entrada w tem como meta reduzir o
+
+
+
+
G
c
G
d
w
u
W
y
p
y
K
d
y’
G
p
W
u
1/K
d
u’
q
92
nível do sinal de distúrbio na saída relacionada à incerteza q, o que não causa maiores
problemas, uma vez que o sistema em questão é assumido ser linear.
Figura 4.15: Planta aumentada na forma final para o projeto com incerteza residual aditiva –
Problema de desempenho.
A montagem da planta aumentada pode ser realizada com o auxílio do Simulink® ou, mais
facilmente, a partir da função sconnect do LMI toolbox do Matlab® (GAHINET et al,1995).
Para solucionar o problema H
∞
relacionado, pode-se utilizar a formulação via enfoque de Riccati
ou a solução baseada em LMI. Na próxima seção é apresentada sucintamente à solução via LMI.
4.2.7. Solução do Problema H
∞
via LMI
A formulação para solucionar o problema H
∞
pode ser feita pelo enfoque LMI proposto por
Gahinet e Apkarian (1994) e com as rotinas já implementadas no LMI toolbox do Matlab®
(GAHINET et al, 1995).
O enfoque LMI permite solucionar computacionalmente problemas com grande dimensão
e com o mérito de eliminar problemas de irregularidades de restrições encontrados
freqüentemente em soluções baseadas no enfoque via Riccati. A solução do problema é feita no
domínio do tempo, portanto, a planta generalizada P, descrita na figura 4.15, deve estar escrita
no espaço de estados:
+
+
+
+
G
c
G
d
w
u
W
y
p
y
K
d
y’
G
p
1/K
d
q
K
w
93
uDwDxCy
uDwDxCz
uBwBAxx
22212
12111
21
'
''
'
++=
++=
+
+
=
(4.72)
sendo as matrizes A, B
1
, B
2
, C
1
, C
2
, D
11
, D
12
, D
21
e D
22
as matrizes que descrevem a realização
no espaço de estados para a planta generalizada P. O problema ótimo H
∞
é solucionado
diretamente do seguinte problema de otimização:
minimizar
γ
, com as variáveis R=R
T
e S=S
T
, tal que:
0
I0
0N
IDB
DIRC
BRCRAAR
I0
0N
<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ−
γ−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
12
T
11
T
1
111
1
T
1
T
T
12
(4.73)
0
I0
0N
IDC
DISB
CSBSASA
I0
0N
<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
21
111
T
11
T
1
T
11
T
T
21
γ
γ (4.74)
0
SI
IR
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
(4.75)
sendo que
N
12
e N
21
denotam as bases de espaços nulos de (B
2
T
, D
12
T
) e (C
2,
D
21
),
respectivamente.
Para solucionar este problema, pode-se utilizar a função hinflmi do LMI Toolbox do
Matlab®. Esta função soluciona o problema H
∞
acima a partir do conhecimento da planta
generalizada
P, que pode ser montada com o auxilio do Simulink® ou do comando sconnect.
Como resultado é obtido um controlador
K para realimentação do sinal medido.
94
5 - Aplicação Experimental
A verificação experimental de estratégias de controle de vibração estrutural é essencial
para eventual implementação em escala real. Entretanto, poucos pesquisadores possuem
instalações disponíveis para testes em estruturas reais, portanto, realizam experiências de
controle de vibração estrutural em escala reduzida. Modelos em escala de bancada são
construídos adequadamente para que possam ser usados para estudar importantes aspectos de
controle de vibração em escala real, incluindo: interação controlador - estrutura, dinâmica do
atuador e sensor, projeto de realimentação de estados, controle de spillover, etc (SANTOS et al,
2007a). Neste sentido, o presente capítulo exemplifica o projeto de controladores baseado na
metodologia H
oo
utilizando desigualdades matriciais lineares (LMIs) para o controle de vibração
em tempo real de um modelo estrutural. A estrutura considerada e os equipamentos utilizados
nos testes experimentais são apresentados a seguir.
5.1. Montagem Experimental
Os equipamentos utilizados para o experimento de controle ativo de vibração consistiram
de:
Estrutura: O modelo considerado é manufaturado pela Quanser Consulting Inc., e
representa um modelo de um edifício flexível controlado por uma massa ativa móvel. Este
modelo consiste de uma armação de aço com uma massa controlável localizada no topo e que
pode ser configurado para 1 ou 2 andares. A configuração de dois andares foi a utilizada. A
altura entre os andares é de 502 mm e cada coluna de aço possui uma seção de 1.75 x 108 mm e
massa de 0.24 kg. A massa total da estrutura é 3.5 kg, onde a massa do primeiro andar é 1.16 kg
e a massa do segundo andar é 1.38 kg. As freqüências naturais de vibração da estrutura são de
1.7 Hz e 5.1 Hz com as correspondentes razões de amortecimento de 0.013 e 0.062,
respectivamente.
O modelo do Active Mass Damper - Two-Floor (AMD-2) e os equipamentos que
foram utilizados nos testes experimentais são mostrados na figura 5.1. A montagem experimental
é mostrada na figura 5.2.
95
Figura 5.1: Sistema AMD-2 e equipamentos utilizados.
Figura 5.2: Montagem experimental.
96
Active Mass Damper (AMD): O AMD fornece a força de controle para a estrutura. Como
ilustrado na figura 5.3, este sistema consiste de um carro equipado com um motor DC que se
movimenta ao longo de um trilho por um mecanismo de pinhão. O máximo percurso do carro é
de ± 95 mm e a massa total é 0.65 Kg.
Figura 5.3: Active Mass Damper (AMD).
Sensores: Cada andar da estrutura é equipado com um acelerômetro capacitivo DC com
faixa de escala de ± 5 g e sensibilidade de 9.81 m/s
2
/V (1g/V). Estes acelerômetros consistem de
um único chip com sinal condicionado. A posição do carro é diretamente medida por um
encoder óptico ligado a um pinhão adicional. Este oferece alta resolução, 4096 counts/revolution
e, sensibilidade de 2.275E-5 m/count.
Computador: O computador usado é um Pentium IV, 2.8 GHz, 1 GB de RAM e 40 MB
de Hard Disc.
Amplificador de Potência: Os amplificadores usados são os da Quanser® UPM 1503 e
UPM 2405.
Shaker Table I: Este sistema, mostrado na figura 5.1, é usado para aplicação da força
externa na estrutura e pode ser usado, por exemplo, para simular terremotos e avaliar o
desempenho do AMD. O sistema é equipado com um motor com alto torque que pode
movimentar uma massa de até 5 kg em até 1g (9.81 m/s
2
). O percurso máximo é de ± 20 mm.
Controle Digital: O controle digital é alcançado por uso de uma placa de aquisição
MultiQ - PCI e com o software de controle em tempo real WinCon. O controlador é
desenvolvido usando o Simulink® (1997) e executado em tempo real usando o WinCon. A placa
tem 14-bits analógico/digital (A/D) e 13-bits digital/analógico (D/A) e possui 4 canais de saídas
analógicas e 16 canais de entradas analógicas. O código Simulink® é automaticamente
97
convertido para código C e diretamente interfaceado pelo software Wincon para rodar o
algoritmo de controle na CPU do micro computador.
5.2. Modelo Matemático da Estrutura
A figura 5.4 representa o sistema AMD-2. A direção positiva do deslocamento horizontal
está para a direita quando o modelo é olhado de frente.
Figura 5.4: Representação do modelo AMD-2.
Para pequenas deflexões angulares, o sistema é modelado como se fosse um sistema
massa-mola padrão. No presente modelo os coeficientes de amortecimento B
fl
e B
f2
são
desprezados. A tabela 5.1 lista os símbolos e notações usadas na modelagem matemática do
sistema AMD- 2.
98
Tabela 5.1: Nomenclatura utilizada na modelagem do sistema AMD-2
Símbolo Descrição Valor e
Unidade
M
f1
Massa do primeiro andar 1.160 kg
M
f2
Massa do segundo andar (com a rack) 1.380 kg
K
f1
Constante de rigidez linear do primeiro andar (relativa a base) 500 N/m
K
f2
Constante de rigidez linear do segundo andar (relativa ao
primeiro andar)
500 N/m
M
c
Massa total do carro (com as duas massas adicionais) 0.650 kg
R
m
Resistência da armadura do motor 2.6 Ω
K
t
Constante de torque do motor 7.67E-3 N.m/A
K
m
Constante de força eletromotriz 7.67E-3 V.s/rad
J
m
Momento de inércia do rotor 3.90E-7 Kg.m
2
K
g
Relação de engrenagem da caixa planetária 3.71
η
g
Eficiência da caixa planetária 100 %
η
m
Eficiência do motor 100 %
r
mp
Raio do pinhão do motor 6.35E-3 m
B
eq
Coeficiente de amortecimento viscoso equivalente (pinhão do
motor)
3.0 N.s/m
V
m
Voltagem de armadura no motor do carro Volts (V)
F
c
Força de controle (produzida pelo motor) Volts (V)
c
x(t)
Posição do carro (relativa ao segundo andar) m
c
x(t)
Velocidade linear do carro (relativa ao segundo andar) m/s
f1
x(t)
Deslocamento linear do primeiro andar (relativo a shake table) m
f1
x(t)
Velocidade linear do primeiro andar (relativo a shake table) m/s
f1
x(t)
Aceleração linear do primeiro andar (relativo a shake table) m/s
2
f2
x(t)
Deslocamento linear do segundo andar (relativo ao primeiro
andar)
m
f2
x(t)
Velocidade linear do segundo andar (relativa ao primeiro andar) m/s
99
f2
x(t)
Aceleração linear do segundo andar (relativa ao primeiro andar) m/s
2
st
x(t)
Velocidade linear da shake table (relativa a base) m/s
st
x(t)
Aceleraçãolinear da shake table (relativa a base) m/s
2
f1
X(t)
Aceleração absoluta do primeiro andar m/s
2
f2
X(t)
Aceleração absoluta do segundo andar m/s
2
st
X(t)
Aceleração absoluta da mesa de excitação (Shake Table) m/s
2
b
X(t)
Aceleração absoluta da base m/s
2
As equações dinâmicas do modelo são obtidas através do método de Lagrange.
Considerando a aproximação deste método, é necessário determinar o Lagrangeano, L, do
sistema, que é calculado através da energia potencial e cinética total do sistema. A representação
definida na figura 5.4 é utilizada como referência para obter as equações de energia.
Neste caso, o sistema é considerado com três graus de liberdade, sendo x
c
(t), x
f1
(t) e x
f2
(t)
as coordenadas generalizadas em valores relativos. Além disso, a força aplicada pelo carro, F
c
(t),
e a aceleração da mesa de excitação,
st
x(t)
, são as entradas do sistema.
A energia potencial total, V
T
, é apenas devida a energia potencial elástica e pode ser
expressa como:
22
f1 f1 f2 f2
T
11
V= K(x(t))+ K(x(t))
22
(5.1)
A energia cinética total, T
T
, é dada pela soma das seguintes energias:
Ttcrcf1f2
T = T + T + T + T (5.2)
sendo, T
tc
a energia cinética de translação do carro, T
rc
a energia cinética rotacional devido ao
carro motorizado (visto que, a direção de translação do carro é ortogonal a rotação do motor) e,
finalmente, T
f1
e T
f2
as energias cinéticas de translação do primeiro e segundo andares,
respectivamente.
A energia cinética de translação do carro é expressa em função da velocidade linear do
centro de gravidade, como mostra a seguinte equação:
100
()
2
tc c c f2 f1 st
1
T = M x (t) + x (t) + x (t) + x (t)
2
(5.3)
A energia cinética rotacional é dada por:
(
)
2
2
mg c
rc
2
mp
JK x(t)
1
T=
2r
(5.4)
A energia cinética de translação do primeiro andar é dada por:
()
2
f1 f1 f1 st
1
T= M x(t)+x(t)
2
(5.5)
E finalmente, a energia cinética de translação do segundo andar é dada por:
()
2
f2 f2 f2 f1 st
1
T = M x (t) + x (t) + x (t)
2
(5.6)
Substituindo as equações (5.3), (5.4), (5.5) e (5.6) na equação (5.2), a energia cinética total
do sistema pode ser expressa da seguinte forma:
() () ()
() ( )
2
222
mg
T c c c f1 f2 f1 c f2 f2
mp
2
c f1 f2 st c f1 f2 st c c f2 f1 f2
c f1 f2 f1 st c f2 f2 st
JK
11 1
T= M+ x(t) + (M+M +M)x(t) + (M+M)x(t) +
2r 2 2
1
+ (M + M + M ) x (t) + M x (t) + x (t) + x (t) x (t) + (M + M )x (t)x (t) +
2
+ (M + M + M )x (t)x (t) + (M + M )x (t)x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(t)
(5.7)
Por definição, as três equações de Lagrange têm a seguinte forma:
xc
c
c
dL
L
Q
x
dt x
⎛⎞
∂
∂
−=
⎜⎟
⎜⎟
∂
∂
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(5.8)
101
f1
f1
f1
dL
L
Q
x
dt x
⎛⎞
∂
∂
−=
⎜⎟
⎜⎟
∂
∂
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(5.9)
f2
f2
f2
dL
L
Q
x
dt x
⎛⎞
∂
∂
−=
⎜⎟
⎜⎟
∂
∂
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(5.10)
sendo L o Lagrangeano e definido como sendo igual a:
TT
LT V
=
−
(5.11)
Q
xc
é a força generalizada aplicada na coordenada generalizada x
c
, Q
f1
é a força generalizada
aplicada na coordenada generalizada x
f1
, e Q
f2
é a força generalizada aplicada na coordenada
generalizada x
f2
.
Para este sistema, as forças generalizadas Q
xc
, Q
f1,
e Q
f2
são dadas por:
xc c eq c
Q (t) = F (t) - B x (t)
(5.12)
f1 f2
Q(t)=Q(t)=0
(5.13)
Nota-se que a força de atrito do carro e força de amortecimento viscoso dos dois andares
são desprezadas. Calculando a equação (5.8) resulta a primeira equação de Lagrange:
()()
22
cmp m g c
cf1 f2 st c eqc
2
mp
(M r + J K )x (t)
+ M x (t) + x (t) + x (t) = F (t) - B x (t)
r
(5.14)
Da mesma forma, calculando a equação (5.9) resulta a segunda equação de Lagrange:
f1 f1 c c c f1 f2 f1 c f2 f2
cf1f2st
K x (t) + M x (t) + (M + M + M )x (t) + (M + M )x (t) +
+(M + M + M )x (t) = 0
(5.15)
Finalmente, calculando a equação (5.10) resulta a terceira equação de Lagrange:
f2 f2 c c c f2 f1 c f2 f2 c f2 st
K x (t) + M x (t) + (M + M )x (t) + (M + M )x (t) + (M + M )x (t) = 0
(5.16)
102
Resolvendo as equações (5.14), (5.15) e (5.16) em conjunto, resultam as três equações de
movimento do sistema:
()
()
2
mg
c f2 c f2 c eq c f2 c c f2 f2
2
mp
cf2c
JK
M M + (M + M ) x (t) + B M + M x (t) - M K x (t) =
r
=M+M F(t)
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(5.17)
f1 f1 f1 f1 f2 f2 f1 st
M x (t) + K x (t) - K x (t) = -M x (t)
(5.18)
(
)
()
()
22 2
f1 c f2 mp c f2 m g f2 f1 c eq mp c
22
c f2 mp c f2 m g f1 f1
222
f1cf2cmp cf1f2mgf2f2 f1cmpc
MMMr+(M+M)JKx(t)-MMBrx(t)+
-MMr +(M+M )JK Kx(t)+
(M M + M M )r + (M + M + M )J K K x (t) = -M M r F (t)
(5.19)
Se B
eq
e J
m
forem desprezados, as equações (5.17), (5.18) e (5.19) se tornam:
(
)
c f2c c f2f2 c f2 c
M M x (t) - M K x (t) = M + M F (t)
(5.20)
f1 f1 f1 f1 f2 f2 f1 st
M x (t) + K x (t) - K x (t) = -M x (t)
(5.21)
(
)
(
)
(
)
22 2
f1 c f2 mp f2 c f2 mp f1 f1 f1 c f2 c mp f2 f2
2
f1 c mp c
MMMr x(t)-MMr K x(t)+(MM+MM)r K x(t)=
=-M Mr F(t)
(5.22)
5.3. Representação do Modelo no Espaço de Estados
Para projetar e implementar um controlador com realimentação de estados, a representação
do modelo no espaço de estados é a forma mais indicada. É importante ser lembrado que a
representação no espaço de estados representa as equações diferenciais lineares que descrevem a
dinâmica do sistema. As seguintes relações representam o modelo no espaço de estados:
103
12
(t) (t) (t) (t)x = Ax +Bw +Bu
(5.23)
(t) (t) (t)y=Cx+Du
(5.24)
sendo:
A a matriz dinâmica, B
1
a matriz de entrada de distúrbio, B
2
a matriz de entrada de
controle,
C a matriz de saída, D a matriz de transmissão direta, x(t) o vetor de estados, w(t) o
vetor de distúrbio e
u(t) o sinal de controle.
Para esse sistema o vetor de estados é dado por:
[]
cf1f2cf1f2
(t) = x (t) x (t) x (t) x (t) x (t) x (t)
T
x
(5.25)
sendo [ ]
T
a transposta da matriz.
O vetor de saída medido é o seguinte:
[
]
cf1f2
(t) = x (t) x (t) x (t)
T
y
(5.26)
Nas equações (5.23) e (5.24) o sinal de controle
u(t) é a força F
c
(t) aplicada pelo carro
motorizado, então:
c
(t) = F (t)u
(5.27)
sendo F
c
(t) expressa por:
2
gtmc gtm
c
2
mmp
mmp
K K K x (t) K K V (t)
F(t) = - +
Rr
Rr
(5.28)
Reescrevendo as equações de movimento (5.17), (5.18) e (5.19) na forma de espaços de
estados (Eqs. (5.23) e (5.24)) e utilizando os valores dos parâmetros do sistema disponíveis no
manual do usuário Quanser Consulting, Inc. (S.d.) e, usando a equação (5.28) para converter a
força F
c
(t) (Newton) para entrada em voltagem (V
m
), as matrizes A, B
1
, B
2
, C e D são dadas por:
104
00 0 100
00 0 010
00 0 001
=
0 0 278.43 -18.69 0 0
0 -431.03 431.03 0 0 0
0 431.03 -766.49 5.98 0 0
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
A (5.29)
12
00
00
00
= =
03.00
-1 0
0 -0.96
⎡
⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦
B B
(5.30)
10 0 000 0
= 0 -431.03 431.03 0 0 0 = 0
0 431.03 -766.49 5.98 0 0 -0.96
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
CD
(5.31)
Uma vez obtido o modelo no espaço de estados o primeiro passo é a projeto de controle e,
o segundo, a verificação experimental. O projeto de controladores e os resultados de testes de
controle para o sistema apresentado no item 5.1 são apresentados a seguir.
5.4. Resultados Experimentais
Neste trabalho são ilustradas as duas diferentes sínteses de projeto de controladores
descritas no capítulo 4. A primeira metodologia é baseada no projeto de controle H
∞
via
realimentação da saída. Já a segunda, é baseada no projeto de controle via realimentação de
estados estimados por um observador dinâmico. Ambas as técnicas são solucionadas por LMIs.
Testes experimentais para dois tipos de excitações (sísmica e senoidal) são realizados e os
resultados são discutidos.
105
5.4.1. Controle H
∞
via Realimentação da Saída
No presente trabalho apenas o requisito de desempenho é considerado, a saber, a estrutura
a ser controlada é simples, com dois graus de liberdade e não apresenta uma dinâmica residual.
Entretanto, requisitos de robustez podem ser introduzidos sempre que necessário. Enfim, o
objetivo é o projeto de um controlador,
K, baseado na metodologia H
∞
via realimentação de
saída que a amorteça os dois modos da estrutura, assegure rejeição a distúrbios e limite o sinal de
controle. Para satisfazer estas especificações o primeiro passo é escolher um filtro
W
y
(função
peso da sensibilidade) com a função de aumentar o coeficiente de amortecimento do 1º e do 2°
modo. Para isso, é escolhido um filtro passa-baixa de 2º ordem com freqüência de corte entre a
1° e a 2º freqüência natural. Com propósito de restringir o nível do sinal de controle exigido, um
ganho
K
u
é adicionado como parâmetro complementar. O modelo da planta aumentada é
mostrado na figura 5.5. Nesta figura,
G
c
é a função de transferência da planta, G
d
é modelo de
distúrbio e
γ
é o ganho de projeto. A planta foi montada utilizando a função sconnect e o cálculo
do controlador solucionado fazendo o uso da função
hinflmi, ambas são funções do Toolbox do
Matlab
®6.5. O algoritmo em Matlab®6.5 para resolver este problema de controle é apresentado
no apêndice A1.
Figura 5.5: Planta aumentada para o projeto visando desempenho.
A função de ponderação sobre a função sensibilidade, obtida após um processo iterativo de
ajuste, é dada por:
y
2
7.994
=
s +16.96s + 799.4
W
106
E também, após um processo iterativo de ajuste dos ganhos
K
u
e
γ
, chegou-se ao seguinte
conjunto de parâmetros finais:
K
u
= 0.05 e
γ
= 0.01
A figura 5.6 mostra o gráfico do valor singular da função
W
y
.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Valores Singulares (dB)
Freqüência (Hz)
Sistema
Filtro Wy
Figura 5.6: Ponderação sobre a função sensibilidade. Unidade dB: V/(m/s
2
).
As características de desempenho do controlador resultante é avaliado no domínio da
freqüência. A função sensibilidade à malha fechada,
S, que é a relação entre a saída medida y e a
entrada exógena
w, é mostrada na figura 5.7. A especificação de desempenho é cumprida uma
vez que se observa uma redução desejada nos picos dos dois primeiros modos controlados, em
relação ao sistema a malha aberta.
107
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
Freqüência (Hz)
Valores Singulares (dB)
Sem Controle
Com Controle
Figura 5.7: FRFs do sistema com e sem controle. Unidade dB: V/(m/s
2
).
A função de restrição de energia,
U, que é a relação entre o sinal de controle u e a entrada
exógena
w é mostrada na figura 5.8. A função de restrição de energia representa a distribuição de
energia do sinal de controle distribuído para cada modo do sistema. Assim, nota-se que a energia
de controle está bem distribuída entre os dois modos.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Freqüência (Hz)
Valores Singulares (dB)
Figura 5.8: Função restrição de energia. Unidade dB: V/(m/s
2
).
108
Após a análise teórica de desempenho, o sistema de controle é validado via simulação em
tempo real. O experimento inclui os equipamentos apresentados na
Montagem Experimental,
item 5.1. O procedimento experimental e o diagrama Simulink
® utilizado para a realização dos
testes de controle são apresentados no apêndice A2. Foram realizados dois testes de controle: No
primeiro a estrutura foi submetida a uma excitação sísmica e no segundo a uma excitação
senoidal. Os resultados obtidos são apresentados na seqüência.
TESTE 1: Excitação Sísmica
Neste teste o sinal de distúrbio foi a simulação, em escala reduzida, de um terremoto. Este
sinal é gerado no Simulink
® e dirigido ao motor da ShakeTable.
Para comparação entre o desempenho do sistema controlado e do sistema sem controle,
realizou-se um ensaio na mesma configuração com controle e sem controle. Os dados da
simulação em tempo real são monitorados e armazenados pelo programa
Wincon/Server. As
respostas no tempo adquiridas durante o intervalo de simulação são mostradas nas figuras a
seguir. A figura 5.9 mostra a resposta obtida pelo acelerômetro colocado no primeiro andar. A
figura 5.10 mostra a resposta obtida pelo acelerômetro colocado no segundo andar. A figura 5.11
mostra a força de controle dirigida ao motor do carro (atuador). E finalmente, a figura 5.12
mostra o sinal de distúrbio aplicado à estrutura através da
Shake Table. A aquisição dos sinais foi
feita a uma taxa de amostragem de 1 kHz.
109
Figura 5.9: Sinal de aceleração do primeiro andar para os casos sem e com controle.
Figura 5.10: Sinal de aceleração do segundo andar para os casos sem e com controle.
110
Figura 5.11: Força de controle aplicada ao carro, em [V].
Figura 5.12: Sinal de distúrbio, que simula uma excitação real de um abalo sísmico.
111
TESTE 2: Excitação Senoidal
As respostas obtidas são mostradas a seguir. A figura 5.13 mostra a resposta obtida pelo
acelerômetro colocado no primeiro andar. A figura 5.14 mostra a resposta obtida pelo
acelerômetro colocado no segundo andar. A figura 5.15 mostra a força de controle dirigida ao
motor do carro (atuador). O sinal de distúrbio senoidal é mostrado na figura 5.16. Como no teste
anterior, este sinal é gerado no Simulink
® e dirigido ao motor da Shake Table.
Figura 5.13: Sinal de aceleração do primeiro andar para os casos sem e com controle.
112
Figura 5.14: Sinal de aceleração do segundo andar para os casos sem e com controle.
Figura 5.15: Força de controle aplicada ao carro, em [V].
113
Figura 5.16: Sinal de distúrbio senoidal.
5.4.2. Controle H
∞
via Realimentação de Estados
Em função da disponibilidade dos equipamentos ou, dificuldade de medidas, nem todas as
variáveis de estados estão, geralmente, disponíveis para a realimentação. Neste caso, os
deslocamentos e as velocidades dos andares não são diretamente medidos. Portanto, a estratégia
de controle é baseada em um observador dinâmico. O observador dinâmico pode ser escrito na
seguinte forma:
(
)
ˆ
ˆˆ
(t) (t) (t) (t) (t)
ˆˆ
(t)
e
x=Ax+Bu+Ky-y
y(t) = Cx
sendo
ˆ
(t)x
o vetor de estados observados, K
e
o ganho do observador a ser determinado, y(t) a
saída medida que alimenta a dinâmica do observador e
ˆ
(t)
y
a saída estimada. A representação
gráfica do observador dinâmico é mostrada na Fig. 4.2.
A matriz de ganho do observador,
K
e
, foi determinada tal que os autovalores (pólos) da
matriz (
A-K
e
C), sejam os seguintes:
114
[-40 -45 -50 -55 -60 -65]
Esta localização dos pólos assegurou que o observador não interferisse na dinâmica do
sistema. A localização foi escolhida baseada no critério de que os pólos do observador devem
estar de 5 a 6 vezes distantes dos pólos do sistema a malha fechada (OGATA, 2000).
Para o cálculo da matriz
K
e
foi utilizado a seguinte linha de comando do Matlab®:
OP = [-40 -45 -50 -55 -60 -65 ]
K
e
= place(A
T
,C
T
,OP)
T
sendo OP um vetor contendo a localização desejada para os pólos do observador.
O comando
place calcula a matriz K
e
tal que o autovalor da matriz (A-K
e
C) é o
especificado no vetor
OP.
Utilizando o LMI Toolbox do Matlab
® 6.5 o controlador H
∞
foi obtido resolvendo a LMI
(4.27) e o ganho foi obtido através da Eq. (4.28). O controlador sub-ótimo H
∞
foi resolvido
usando
µ> µ’, com µ’=100. O algoritmo em Matlab®6.5 para resolver este problema de controle
é apresentado no apêndice A1.
A Figura 5.17 mostra a função de resposta em freqüência do sistema com e sem controle
H
∞
, para uma faixa de freqüência de 20 Hz.
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
Magnitude (dB)
Sem Controle
Com Controle
Freqüência (Hz)
Figura 5.17: FRF da estrutura para o sistema com e sem controle. Unidade dB: V/(m/s
2
).
115
A seguir são apresentados os resultados obtidos em tempo real para os dois tipos de
excitações consideradas anteriormente. O procedimento experimental e o diagrama Simulink
®
utilizado para a realização dos testes de controle são apresentados no apêndice A2.
TESTE 3: Excitação Sísmica
As figuras 5.18 e 5.19 mostram o sinal de aceleração do primeiro e do segundo andar da
estrutura (Fig. 5.2), respectivamente, quando submetida a uma excitação sísmica, como mostrada
na fig.5.21. A figura 5.20 mostra a força de controle dirigida ao motor do carro, em Volts.
Figura 5.18: Sinal de aceleração do primeiro andar para os casos sem e com controle.
116
Figura 5.19: Sinal de aceleração do segundo andar para os casos sem e com controle.
Figura 5.20: Força de controle aplicada ao carro, em [V].
117
Figura 5.21: Sinal de distúrbio, que simula uma excitação real de um abalo sísmico.
TESTE 4: Excitação Senoidal
Neste teste a estrutura foi submetida a uma excitação senoidal. O sinal da excitação é
mostrado na figura 5.25. As figuras 5.22 e 5.23 mostram o sinal de aceleração do primeiro e do
segundo andar da estrutura, respectivamente. A figura 5.24 mostra a força de controle dirigida ao
motor do carro, em Volts.
118
Figura 5.22: Sinal de aceleração do primeiro andar para os casos sem e com controle.
Figura 5.23: Sinal de aceleração do segundo andar para os casos sem e com controle.
119
Figura 5.24: Força de controle aplicada ao carro, em [V].
Figura 5.25: Sinal de distúrbio senoidal.
Os testes experimentais apresentados acima mostraram que a atenuação de vibração
estrutural foi atingida para ambos os tipos de metodologias adotadas e, também, para os dois
120
tipos de excitações consideradas. A tabela 5.2 mostra os valores médios quadráticos (RMS -
Root Mean Square) para os sinais de aceleração dos andares e para os sinais da força de controle.
Mostra também, o percentual de redução de vibração em termos de valores RMS.
Tabela 5.2: Valores RMS dos sinais obtidos experimentalmente e percentual de redução de
vibração estrutural.
Valor RMS (m/s
2
) Metodologia de
Controle
Tipo de
Excitação
Andar
Sem
controle
Com
controle
% de
redução de
vibração
Força em
valor
RMS (V)
1° andar 0,68 0,36 46,70 Sísmica
(teste 1)
2° andar 1,16 0,58 50,06
0,31
1° andar 2,37 0,74 68,60
Realimentação
da saída
Senoidal
(teste 2)
2° andar 3,95 1,05 73,22
0,66
1° andar 0,65 0,30 55,36 Sísmica
(teste 3)
2° andar 1,11 0,53 52,70
0,51
1° andar 2,11 0,47 77,75
Realimentação
de Estados
Senoidal
(teste 4)
2° andar 3,52 0,78 77,73
0.72
Pode-se observar que os resultados obtidos a partir das metodologias propostas
apresentaram pequenas diferenças entre si. Considerando as excitações sísmicas, testes 1 e 3,
observa-se que a força de controle (em volts) aplicada ao carro é menor quando utilizada a
metodologia H
∞
com realimentação da saída. Porém, a atenuação de vibração é menor quando
comparada com os resultados obtidos com o controle via realimentação de estados. Nos testes 2
e 4, que foram utilizados excitação senoidal, também é observado que a força de controle é
menor quando aplicado o controle via realimentação da saída e, também, há uma menor
atenuação de vibração estrutural. Tais diferenças são devido ao parâmetro
K
u
considerado no
projeto do controlador H
∞
via realimentação de saída que serviu para restringir o nível do sinal
de controle e, consequentemente, diminui a atenuação de vibração já que menos força foi
aplicada à estrutura. Outro fator que influenciou nos resultados foi o problema de engrenamento
entre o pinhão do carro e a cremalheira. Havia folga entre os dentes da engrenagem e os dentes
do trilho o que não garantia uma tração uniforme e continua e, portanto, influenciando na força
aplicada a estrutura pelo carro.
121
6 - Considerações Finais
6.1. Conclusões
No presente trabalho se buscou validar experimentalmente o projeto de controladores
baseado no controle H
∞
com realimentação de estados e saída resolvidos por LMIs. Essas
metodologias foram, anteriormente, estudadas por ex-integrantes do grupo
GMSINT/UNESP/Ilha Solteira (Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes), Silva (2005) e
Gonçalves (2003). Porém, não foi possível a simulação em tempo real dos controladores por eles
projetados, pois, até a conclusão de seus trabalhos o laboratório não possuía uma placa para
aquisição e controle em tempo real. No entanto, com a aquisição do sistema AMD-2 e
Shaker
Table I
da Quanser®, além de Softwares e Hardwares de controle em tempo real foi possível a
simulação em tempo real. Assim, com os equipamentos disponíveis no laboratório, foi possível a
validação da metodologia e a execução deste trabalho.
Inicialmente, o modelo analítico do sistema AMD-2 foi obtido utilizando a aproximação
Lagrangeana e a representação no espaço de estados. Em seguida, o problema de controle H
∞
com realimentação de estados e da saída foi resolvido por desigualdades matriciais lineares
(LMIs) e a implementação em tempo real foi realizada. Então, testes experimentais utilizando
dois tipos de excitações foram realizados e os resultados obtidos mostram uma significante
redução nas amplitudes de vibração, mostrando que o uso de LMIs é uma ferramenta poderosa
em problemas de controle. Vale ressaltar que neste trabalho não se procurou avaliar qual a
melhor das duas metodologias de controle propostas, mas sim, mostrar que ambas as
metodologias estudadas são uma forma efetiva de redução de vibração em situações reais,
mesmo considerando algumas aproximações na modelagem do sistema.
Neste trabalho apenas o problema de desempenho foi considerado no projeto dos
controladores, porém, a teoria de controle robusto foi apresentada e certamente será objeto de
estudo para outros integrantes do grupo GMSINT e de futuras simulações em tempo real do
sistema AMD-2 considerando incertezas no modelo. Além disso, no projeto do controlador H
∞
com realimentação da saída o sistema AMD-2 foi considerado como sendo SISO, sendo a
aceleração do primeiro andar a saída realimentada.
Outras metodologias de controle foram estudadas durante o desenvolvimento deste
trabalho, tais como: Alocação de Pólos e o Regulador Linear Quadrático (LQR -
Linear
122
Quadratic Regulator), ambas via LMIs. No entanto, as simulações em tempo real para essas
metodologias foram realizadas e os resultados se mostraram bem próximos dos apresentados
neste trabalho, ver Santos
et al. (2006) e Santos et. al. (2007b).
Finalmente, o estudo da teoria de controle apresentada neste trabalho, envolvendo
conhecimentos teóricos, permitiu a aplicação prática dos conhecimentos teóricos. Além disso,
este trabalho permitiu uma atitude de trabalho sistematizado, o exercício de senso crítico e
observação, além de possibilitar a capacidade de sentir as próprias deficiências e buscar auto-
aprimoramento. E ainda, este trabalho foi uma forma efetiva de se familiarizar com possíveis
problemas quando se implementa o projeto de sistemas de controle em situações reais.
6.2. Sugestões para Futuros Trabalhos
Este trabalho apresentou basicamente os assuntos envolvidos no projeto de controladores
para aplicação em tempo real em um modelo estrutural. Entretanto, inúmeros tópicos de pesquisa
podem ser aprofundados a partir deste trabalho, tais como:
• Para o mesmo sistema projetar e implementar em tempo real o controle via realimentação
de saída considerando o sistema como sendo SIMO (
Single Input – Multiple Output) já
que no presente trabalho apenas uma das saídas foi alimentada.
• Projeto de sistema de controle via realimentação de estados ou saída considerando
incertezas no modelo. A inclusão de incertezas certamente tornará o problema mais
próximo da realidade.
• Modelagem da estrutura considerando algumas não-linearidades no modelo, por
exemplo, nas junções entre os andares. Então, projetar controladores não-lineares
utilizando, por exemplo, modelos fuzzy Takagi-Sugeno e LMIs, visando a redução de
vibração estrutural.
• Aumentar o número de andares do sistema AMD-2 para 4 ou 5. Então, verificar
experimentalmente a posição ótima de atuadores e sensores utilizando normas de
sistemas, por exemplo, a H
2
e a H
∞
. O posicionamento de atuadores e sensores através de
normas abre grande perspectiva para pesquisas futuras.
• Projeto de controladores no domínio discreto. Espera-se que os resultados experimentais
sejam melhores para os controladores digitais do que para os controladores obtidos a
partir das técnicas analógicas descritas no presente trabalho.
123
6.3. Publicações Originadas a Partir do Presente Trabalho
Congressos (nacionais e internacionais):
SANTOS, R. B.; BUENO, D. D.; MARQUI, C. R.; LOPES JUNIOR, V. Controle de vibração
de uma estrutura flexível baseado na metodologia de alocação de pólos utilizando desigualdades
matriciais lineares (LMIs). In: SIMPÓSIO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
MECÂNICA, 16, 2006, Uberlândia.
Anais.... Uberlândia: Universidade Federal de Uberlândia,
2006.
SANTOS, R. B.; BUENO, D. D.; MARQUI, C. R.; LOPES JUNIOR, V.
Active vibration control
of a two - floors building model based on H
2
and H
∞
methodologies using linear matrix
inequalities (LMIs). In: CONFERENCE & EXPOSITION ON STRUCTURAL DYNAMICS -
IMAC, 26, 2007, Orlando.
Anais... Orlando: [s.n], 2007.
SANTOS, R. B; BUENO, D. D.; MARQUI, C. R.; LOPES JUNIOR, V. Experimental vibration
control based on linear quadratic regulator (LQR) using LMIs. In: CONGRESSO TEMÁTICO
DE DINÂMICA CONTROLE E APLICAÇÕES - DINCON, 6, 2007, São José do Rio Preto.
Anais.... São José do Rio Preto: [s.n.], 2007.
SANTOS, R. B.; BUENO, D. D.; MARQUI, C. R.; LOPES JUNIOR, V. H
∞
controller with
output feedback using linear matrix inequalities for application in building model. In:
INTERNATIONAL CONGRESS OF MECHANICAL ENGINEERING - COBEM, 19, 2007,
Brasília.
Anais... Brasília: [s.n.], 2007.
Revista:
SANTOS, R. B.; BUENO, D. D.; MARQUI, C. R.; MESQUITA N., C.; LOPES JUNIOR, V.
Controle robusto de vibração em estruturas flexíveis baseado no regulador linear quadrático via
desigualdades matriciais lineares.
SBA Sociedade Brasileira de Automática, 2007 (artigo
revisado e aceito para publicação).
124
7 - Referências
ABDALLA, M. O.; ZIMMERMAN, D. C.; GRIGORIADIS, K. M. Structural damage detection
using strain data via linear matrix inequality based methods. In: AMERICAN CONTROL
CONFERENCE, 1999, San Diego.
Anais … [s.l.]: [s.n.], 1999. p. 1114-1118.
ABDALLA, M. O.; ZIMMERMAN, D. C.; GRIGORIADIS, K. M. Reduce optimal parameter
update in structural systems using LMIs. In: AMERICAN CONTROL CONFERENCE, 2000,
Chicago.
Anais … [s.l.]: [s.n.], 2000. p. 991-995.
ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M.C.M. Projeto de sistema de controle via LMIs usando o
MATLAB. In: APLICAÇÕES EM DINÂMICA E CONTROLE - APLICON, 2001, São Carlos.
Anais ... São Carlos: [s.n.], 2001.
ASSUNÇÃO, E.; PERES, P.L.D.
Otimização global para os problemas de redução H
2
de
modelos e redução H
2
da ordem do controlador. SBA - Revista Controle & Automação,
Campinas, v. 12, n. 2, p. 93-101, 2001.
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131
Apêndice - A
A.1. Programas em Matlab®6.5
1. Projeto de Controle Ótimo H
∞
Arquivo MatLab®6.5: controle_Hoo_AMD2.m
% POS-GRADUAÇAO EM ENG. MECANICA - UNESP/ILHA SOLTEIRA
% Projeto de Controle Hoo Via LMIs : Realimentação de Estados
% Sistema AMD-2 Active Mass Damper - Two Floors
% Rodrigo Borges Santos - 2007
clc; clear
load modelo_AMD2; % Lê o modelo do sistema AMD-2
n=length(A); % Dimensão da matriz A
m=size(B2,2); % Auxiliar na dimensão de Z
setlmis([]); % Inicio da montagem das LMIs
mi=lmivar(1,[1 1]); % Declaração que mi e uma variável escalar
Z=lmivar(2,[m n]); % Declaração que Z e uma matriz retangular 1 x n
W=lmivar(1,[n 1]); % Declaração que W e uma matriz simétrica n x n
lmiterm([-1 1 1 W],-A,1,'s'); % LMI #1: -A*W-W*A'
lmiterm([-1 1 1 Z],-B2,1,'s'); % LMI #1: -B2*Z-Z'*B2'
lmiterm([-1 2 1 0],B1'); % LMI #1: B1'
lmiterm([-1 3 1 W],C,1); % LMI #1: C*W
lmiterm([-1 3 1 Z],D,1); % LMI #1: D*Z
lmiterm([-1 2 2 0],eye(1)); % LMI #1: 1
lmiterm([-1 3 1 Z],D,1); % LMI #1: D*Z
lmiterm([-1 3 3 mi],1,eye(1)); % LMI #1: 1*mi
lmiterm([-2 1 1 W],1,1); % LMI #2: W
lmiterm([-3 1 1 mi],1,1); % LMI #3: mi
lmiterm([-3 1 1 0],-100); % LMI #3: -100
lmicontroloo=getlmis; % Termino da montagem das LMIs
nvar1=decnbr(lmicontroloo); % Numero de variáveis de decisão das LMIs
objc1=zeros(nvar1,1); % Definindo a variável a ser otimizada
objc1(1)=1; % Variável de otimização: mi
options(1)=0;
options(2)=200;
options(3)=0;
options(4)=20;
options(5)=0;
[objcopt,xopt]=mincx(lmicontroloo,objc1,options);
miopt=dec2mat(lmicontroloo,xopt,mi);
Wf=dec2mat(lmicontroloo,xopt,W);
Zf=dec2mat(lmicontroloo,xopt,Z);
minHoo=sqrt(miopt); % Norma Hoo do sistema a malha fechada
Kc=Zf*inv(Wf) % Ganho do controlador
132
2. Projeto de Controle H
∞
via Realimentação da Saída
Arquivo MatLab®6.5: projeto_desempenho.m
% POS-GRADUAÇAO EM ENG. MECANICA - UNESP/ILHA SOLTEIRA
% Projeto de Controle Hoo Via LMIs : Realimentação da Saida
% Sistema AMD-2 Active Mass Damper - Two Floors
% Rodrigo Borges Santos - 2007
clc; clear
load modelo_AMD2_Saida; % Lê o modelo do sistema AMD-2
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
%PROJET DO FILTRO Wy: Incrementa o Amortecimento
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
fpico=2*pi*4.5;
zeta=.3;
num_wy=2.5e0*[fpico*fpico];
den_wy=1e0*[1 2*zeta*fpico fpico*fpico];
Wy=tf(num_wy,den_wy);
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
%FORMATO DE DADOS LTISYS
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
g1 = ltisys(A,B1,C(2,:),0); % Modelo do Disturbio
g2 = ltisys(A,B2,C(2,:),0); % Modelo Nominal
wy=ltisys('tf',num_wy,den_wy); % Filtro Wy
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
%GANHOS DE PROJETO
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
gama=0.01; % Ganho de Projeto
ku=0.05; % Limita o Sinal de Controle
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
%MONTAGEM DA PLANTA GENERALIZADA
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
inputs='w';
outputs='Wy,Ku';
Kin='K:Gn+Gd';
[Paug,r]=sconnect(inputs,outputs,Kin,'Gn:K',g2,'Gd:w',g1,'gama:Gn+Gd',gama,
'Wy:gama',wy,'Ku:K',ku);
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
%PROJETO DO CONTROLADOR Hoo
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
options(1)=0;
options(2)=0;
options(3)=1e-3;
[gopt,controlador]=hinflmi(Paug,r); % Calcula o Controlador Hoo Via LMI
[Acontrol,Bcontrol,Ccontrol,Dcontrol,e]=ltiss(controlador);
[num_c,den_c]=ltitf(controlador);
Ks=tf(num_c,den_c); % Controlador K(s)
133
A.2. Procedimento Experimental
A seguir são apresentados os passos para a implementação em tempo real dos
controladores projetados. O objetivo deste procedimento é facilitar futuras reproduções dos
testes experimentais realizados neste trabalho e de servir como referência para outros integrantes
do grupo GMSINT da UNESP de Ilha Solteira.
Obs: Todos os arquivos utilizados para a simulação em tempo real estão disponíveis em:
D:\Rodrigo\Pos_Graduacao\Controle_AMD2\Hoo_Estados ou Hoo_Saida, no computador
utilizado para testes experimentais do sistema da Quanser
®
.
• Passo 1. Rodar no Matlab o arquivo chamado par_AMDeST1.mat. Este arquivo inicializa
todos os parâmetros do modelo estrutural AMD-2 e da
Shake Table I que serão usados pelos
diagramas do Simulink.
• Passo 2. Rodar no Matlab o arquivo chamado controle_Hoo_AMD.m caso deseja-se fazer o
controle H
∞
via realimentação de estados. Para o controle via realimentação da saída deve-se
rodar o arquivo
projeto_desempenho.m. Estes arquivos, apêndice A.1, calculam os controladores
projetados.
Atenção! Para o caso do controle H
∞
via realimentação de saída, o sinal da saída
alimentada é a aceleração do primeiro andar. Para este caso o sistema foi considerado como
sendo SISO ( Single Input – Single Output ).
• Passo 3. Abrir no Simulink o arquivo tempo_real_estados .mdl caso deseja-se fazer o
controle H
∞
via realimentação de estados. Deverá-se obter um diagrama semelhante ao da figura
A 2.1. Para o controle via realimentação da saída deve-se abrir o arquivo
tempo_real_saida .md.
Neste caso, deverá-se obter um diagrama semelhante ao da figura A 2.2.
134
Figura A 2.1: Diagrama de simulação – projeto H
∞
via realimentação de estados.
Figura A 2.2: Diagrama de simulação – projeto H
∞
via realimentação de saída.
135
• Passo 4. Verificar se todas conecções do sistema AMD-2 e Shake Table I estão corretas
(consultar o manual do usuário -
Quanser User Manual). Além disso, verificar se as conecções
dos canais de entrada e saída da placa
MultiQ -PCI estão de acordo com as definidas pelo
usuário nos diagramas SimulinK. Garantido isto, pode-se dar potência ao sistema ligando os
módulos de potências.
Atenção! O módulo de potência para o sistema AMD-2 é o UPM 1503 (220 V) e o módulo de
potência para o sistema
Shake Table I é o UPM 2405 (110 V).
• Passo 5. Compilar o código de tempo real correspondente ao diagrama, usando o
WinCon/Bluid, na opção da barra de menus do Simulink. Depois do sucesso de compilação e
carregado o
WinCon - Client e Server, usar-se o WinCon - Server para controlar em tempo real o
sistema AMD-2. Então, para começar a simulação a malha fechada e em tempo real basta clicar
no botão START/STOP da janela do
WinCon - Server.
• Passo 5. Monitorar on-line os movimentos do carro, as deflexões dos andares, a força de
controle e os sinais de distúrbio através dos
SCOPES disponíveis na janela do WinCon - Server.
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