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Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao Cient´ıfica
Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Modelagem Computacional
Controle
´
Otimo do Vetor da Mal´aria para o Modelo
Matem´atico Sazonal
Por
Ana Paula Pintado Wyse
PETR
´
OPOLIS, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2007
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CONTROLE
´
OTIMO DO VETOR DA MAL
´
ARIA PARA O
MODELO MATEM
´
ATICO SAZONAL
Ana Paula Pintado Wyse
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO LABORAT
´
ORIO NACIONAL
DE COMPUTA¸C
˜
AO CIENT
´
IFICA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECES-
S
´
ARIOS PARA A OBTEN ¸C
˜
AO DO GRAU DE DOUTOR EM CI
ˆ
ENCIAS EM
MODELAGEM COMPUTACIONAL
Aprovada por:
Prof. Luiz Bevilacqua, D.Sc.
(Presidente)
Prof. Marat Rafikov, D.Sc
Prof. Adilson Brand˜ao, D.Sc
Prof. Augusto C´esar Noronha Gale˜ao, D.Sc.
Prof. Hyun Mo Yang, D.Sc.
Prof. Michel Iskin Costa, D.Sc.
PETR
´
OPOLIS, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2007
ads:
Wyse, Ana Paula Pintado
W994c controle ´otimo do vetor da mal´aria para o modelo matem´atico sazonal /
Ana Paula Pintado Wyse; orientadores: Luiz Bevilacqua e Marat Rafikov -
Petr´opolis, RJ: LNCC, 2007.
xviii, 130 p.; 29 cm
Tese (doutorado) – Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao Cient´ıfica, 2007.
Inclui bibliografia
1. Epidemiologia - Pesquisa. 2.Modelos matem´aticos 3.Mal´aria 4.Controle
´otimo 5.Mosquitos transgˆenicos I. Bevilacqua, Luiz II. Rafikov, Marat III.
MCT/LNCC IV. T´ıtulo
CDD 614.532
Quem planta flores,
planta beleza e perfumes para alguns dias.
Quem planta ´arvores,
planta sombra e frutos por anos,
talvez s´eculos.
Mas quem planta id´eias verdadeiras,
planta para a eternidade.
Jesus
iv
Aos meus pais, Soares e Terezinha, com
imenso amor
v
Agradecimentos
A conclus˜ao dessa etapa se deve `a colabora¸c˜ao de todos os que me ajudaram,
seja com a parte t´ecnica, financeira, ou com uma palavra ou gesto de carinho em
um momento dif´ıcil. O dia em que cheguei em Petr´opolis foi um dos dias mais
felizes da minha vida e agrade¸co a Deus, n˜ao s´o por isso, mas pelas oportunidades
que tive e pelos amigos que encontrei aqui. Agrade¸co aos meus orientadores, Prof.
Bevilacqua e Prof. Marat, que ao longo desses anos de trabalho transmitiram,
al´em de conhecimentos t´ecnicos, uma inestim´avel li¸c˜ao de vida. Ao meu querido
Boness pelo carinho, compreens˜ao, paciˆencia, disponibilidade e apoio t´ecnico e
principalmente, por fazer parte da minha vida.
`
A minha fam´ılia, que sempre
me incentivou e esteve presente em minha forma¸c˜ao, Adalberto, Deyse, Anderson,
Rog´erio, Marina, Luiza, v´o Ezia, av´os Quita e Silv´erio, tios Oady e Beta, Vitor. Ao
Vlady e ao Fidel pelo carinho incondicional e pela companhia constante no decorrer
do curso. Ao Gazoni pela solidariedade e indispens´avel apoio t´ecnico. Aos colegas
da UNIFAP, especialmente ao Guzm´an, pelo apoio para a conclus˜ao deste trabalho.
Aos meus amigos e colegas Ana, Eliane, Patr´ıcia, Simone, M´arcio, Guilherme,
Rubem, Cris, Santina, Erasmo, Rosa, Paula, Claudia e a todos os que, mesmo n˜ao
nomeados, compartilharam esta caminhada. Aos professores pelos conhecimentos
transmitidos, os quais foram indispens´aveis `a minha forma¸c˜ao. Aos funcion´arios
do LNCC, especialmente Ana Neri, Ana Paula,
ˆ
Angela, Paulo, B´arbara, Cristina,
Gioconda e Tatiana. Aos colegas do GEOMA, especialmente ao Bruce Nelson e sua
esposa, que me receberam em seu lar durante parte da pesquisa. Ao Sr. Newton
pela torcida e ao Dr. Manuel Ces´ario pelas discuss˜oes sobre imunidade e tratamento
da mal´aria. Agrade¸co ao CNPq e ao GEOMA pelo suporte financeiro.
vi
Resumo da Tese apresentada ao LNCC/MCT como parte dos requisitos necess´a-
rios para a obten¸c˜ao do grau de Doutor em Ciˆencias (D.Sc.)
CONTROLE
´
OTIMO DO VETOR DA MAL
´
ARIA PARA O
MODELO MATEM
´
ATICO SAZONAL
Ana Paula Pintado Wyse
Abril , 2007
Orientador: Luiz Bevilacqua, D.Sc.
Co-orientador: Marat Rafikov, D.Sc
Na Amazˆonia ocorre uma varia¸c˜ao na incidˆencia de mal´aria que est´a intima-
mente relacionada `a varia¸c˜ao pluviom´etrica ao longo do ano. O modelo matem´atico
aqui proposto considera esta sazonalidade e diferentes intensidades de tratamento
acess´ıveis `as pessoas infectadas. Experimentos num´ericos descrevem a flutua¸c˜ao
sazonal e evidenciam uma rela¸c˜ao inversa entre temperatura e eficiˆencia do tra-
tamento, mostrando que um aumento na temperatura afeta fortemente o per´ıodo
latente extr´ınseco, reduzindo a eficiˆencia do investimento em sa´ude. Como o tra-
tamento para os infectados existe, ´e importante concentrar esfor¸cos nesse sentido
para obter sucesso no controle da mal´aria. Por outro lado, embora o investimento
em tratamento seja uma foma eficaz de impedir a epidemia, isso nem sempre ´e
suficiente, pois ´e fato que o protozo´ario tem se mostrado cada vez mais resistente
aos medicamentos; por esse motivo, cientistas est˜ao criando mosquitos transgˆeni-
cos refrat´arios `a mal´aria que devem acasalar com os mosquitos selvagens, gerando
descendˆencia transgˆenica. Para avaliar esta situa¸c˜ao, consideramos neste trabalho
um modelo matem´atico que descreve de maneira simplificada a rela¸c˜ao entre estas
duas popula¸c˜oes. A partir desse modelo, formulamos e resolvemos um problema
de controle ´otimo indicando uma forma adequada de introduzir esses mosquitos
transgˆenicos. Experimentos num´ericos mostram a efic´acia do controle adotado.
vii
Abstract of Thesis presented to LNCC/MCT as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Sciences (D.Sc.)
OPTIMAL CONTROL FOR MALARIA VECTOR FOR A
SEASONAL MATHEMATICAL MODEL
Ana Paula Pintado Wyse
April, 2007
Advisor: Luiz Bevilacqua, D.Sc.
Co-advisor: Marat Rafikov, D.Sc
In the Amazonian region occurs a variation in the malaria incidence, which
is related to the pluviometric variation annual. The mathematical model proposed
here considers this seasonality and different treatment intensities accessible to the
infected people. The numerical simulations evidence the seasonal fluctuation and
the relationship between the environment temperature and treatment efficiency,
showing that the temperature increase strongly affects the extrinsic latent period,
reducing the healthy care efficiency. Because malaria treatment already exists
it should be import. For another hand, even the investment in treatment is an
efficient form to block the epidemy, it is not always sufficient, because the protozoan
has been more resistent to the medicine; then scientists are creating transgenic
mosquito es refractory to malaria to couple with wild one, generating descending
transgenic. To avaliate this situation, we consider here a mathematical model that
describes the relationship between these two populations. Then, we formulate
and solve an optimal control problem indicating how the transgenic mosquitoes
should be introduced in the environment. The numerical simulations show the
effectiveness of the control.
viii
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 Mal´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 A Mal´aria no Mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Mal´aria no Brasil: Amazˆonia . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Controle e Preven¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Objetivo do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Epidemiologia Matem´atica 15
2.1 Modelo B´asico para Mal´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Outros Modelos Matem´aticos da Transmiss˜ao de Mal´aria . . . . . . 19
2.2.1 Modelo incorporando per´ıodo latente . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Modelo Incorporando Densidade de Mosquitos Vari´avel . . . 20
2.2.3 Modelo Incorporando Superinfec¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Modelo com Estrutura Et´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.5 Modelo com Imunidade Adquirida . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Considera¸c˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Modelo Matem´atico da Dinˆamica Populacional de Mosquitos 29
3.1 Formula¸c˜ao do Modelo Matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Estima¸c˜ao dos Parˆametros e Simula¸c˜oes Num´ericas . . . . . . . . . 32
ix
3.2.1 Novo Air˜ao/Amazonas, Brasil 1997 . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Costa Marques/Rondˆonia, Brasil 1986–1987 . . . . . . . . . 38
3.2.3 Santa Clara/Loreto, Per´u 1999–2000 . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.4 San Pedro/Madre de Dios, Per´u 2001–2002 . . . . . . . . . . 42
3.2.5 La Novia/Madre de Dios, Peru 2001–2002 . . . . . . . . . . 43
3.2.6 Mavila/Madre de Dios, Per´u 2001–2002 . . . . . . . . . . . . 45
3.2.7 Aseli Kamp, Suriname 1979–1980 . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Considera¸c˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Modelo Matem´atico da Transmiss˜ao da Mal´aria 50
4.1 Estima¸c˜ao dos Parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.1 Parˆametros do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.2 Parˆametro Indicativo do Processo de Transmiss˜ao . . . . . . 58
4.2 Simula¸c˜oes Num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Considera¸c˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Modelo Matem´atico da Intera¸c˜ao entre Mosquitos Selvagens e Genetica-
mente Modificados 73
5.1 Caracter´ısticas Gerais dos Mosquitos Geneticamente Modificados . 73
5.2 Formula¸c˜ao do Modelo Matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1 Simula¸c˜oes Num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Considera¸c˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 S´ıntese do Controle Linear Feedback 92
6.1 S´ıntese do Controle Linear Feedback para Sistemas N˜ao-Lineares . . 93
6.2 S´ıntese Linear para o Sistema da Intera¸c˜ao entre Mosquitos Selva-
gens e Geneticamente Modificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.1 Simula¸c˜oes Num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3 Considera¸c˜oes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Conclus˜oes e Perspectivas para Trabalhos Futuros 119
x
Referˆencias Bibliogr´aficas 122
xi
Lista de Figuras
Figura
1.1 Anopheles darlingi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Evolu¸c˜ao da IPA 1960–2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Classifica¸c˜ao das ´areas de risco segundo a IPA - 2005 . . . . . . . . . . 11
3.1 Dinˆamica populacional do A. darlingi ao longo de um ano. A curva em
preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva
cinza representa os dados de campo publicados em Tadei [1997] para o
munic´ıpio de Novo Air˜ao/AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Dinˆamica populacional do A. darlingi ao longo de um ano. A curva em
preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva cinza
representa os dados de campo publicados em Tadei & Thatcher [2000]
para a rodovia AM–352 Novo Air˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de um ano. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a
curva cinza representa os dados de campo publicados em Klein & Lima
[1990] para o munic´ıpio de Costa Marques/RO. . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de um ano. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a
curva cinza representa os dados de campo publicados em W. L´eon et al
[2003] para o munic´ıpio de Santa Clara. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
xii
3.5 Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de um ano. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e
a curva cinza representa os dados de campo publicados em Tineo et al
[2003] para o munic´ıpio de San Pedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de um ano. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a
curva em cinza representa os dados de campo publicados em Tineo et al
[2003] para o munic´ıpio de La Novia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de dois anos. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e
a curva cinza representa os dados de campo publicados em Tineo et al
[2003] para o munic´ıpio de Mavila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de dois anos. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a
curva cinza representa os dados de campo publicados em Hudson [1984]
para o munic´ıpio de Aseli Kamp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 75, p
2
= 0, 20, p
3
= 0, 05 e
T = 25
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 75, p
2
= 0, 20, p
3
= 0, 05 e
T = 27
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 80, p
2
= 0, 17, p
3
= 0, 03 e
T = 27
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 80, p
2
= 0, 17, p
3
= 0, 03 e
T = 29
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
xiii
4.5 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 88, p
2
= 0, 10, p
3
= 0, 02 e
T = 29
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 88, p
2
= 0, 10, p
3
= 0, 02 e
T = 31
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 95, p
2
= 0, 05, p
3
= 0, 0 e
T = 31
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 95, p
2
= 0, 05, p
3
= 0, 0 e
T = 33
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.9 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 1, 0, p
2
= 0, 0, p
3
= 0, 0 e
T = 33
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 1, 0, p
2
= 0, 0, p
3
= 0, 0 e
T = 35
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.11 Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 0, p
2
= 0, 0, p
3
= 1, 0 e
T = 25
o
C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1 Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75
e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 3, 3333). . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Popula¸c˜ao de mosquitos selvagens ao longo do tempo para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) =
10, T (0) = 3, 3333). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) =
10, T (0) = 3, 3333). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
xiv
5.4 Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75
e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 3, 3334). . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Popula¸c˜ao de mosquitos selvagens ao longo do tempo para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) =
10, T (0) = 3, 3334). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6 Popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) =
10, T (0) = 3, 3334). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.7 Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75
e diversas condi¸c˜oes iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.8 Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e
condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 10). . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.9 Popula¸c˜ao de mosquitos selvagens para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1,
b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 10). . . . . . 84
5.10 Popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) =
10, T (0) = 10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.11 Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e
diversas condi¸c˜oes iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.12 Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 1 e b
2
= 1 e
condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.13 Popula¸c˜ao de mosquitos selvagens para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1,
b
1
= 1 e b
2
= 1 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 2). . . . . . . . . 86
5.14 Popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 1 e b
2
= 1 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 2). 87
5.15 Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 1 e b
2
= 1 e
diversas condi¸c˜oes iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1 Dinˆamica do sistema em desvios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 Dinˆamica da fun¸c˜ao de controle u(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
xv
6.3 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens sem controle . . . . . . . 100
6.4 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados sem con-
trole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens com controle . . . . . . 102
6.6 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados com
controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.7 Plano de fase do sistema sem controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.8 Plano de fase do sistema com controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.9 Gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) = Y
T
QY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.10 Dinˆamica do sistema em desvios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.11 Dinˆamica da fun¸c˜ao de controle u(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.12 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens sem controle . . . . . . . 107
6.13 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados sem con-
trole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.14 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens com controle . . . . . . 108
6.15 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados com
controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.16 Plano de fase do sistema sem controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.17 Plano de fase do sistema com controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.18 Gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) = Y
T
QY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.19 Dinˆamica do sistema em desvios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.20 Dinˆamica da fun¸c˜ao de controle u(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.21 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens sem controle . . . . . . . 113
6.22 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados sem con-
trole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.23 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens com controle . . . . . . 115
6.24 Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados com
controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.25 Plano de fase do sistema sem controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
xvi
6.26 Plano de fase do sistema com controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.27 Gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) = Y
T
QY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
xvii
Lista de Tabelas
Tabela
1.1 N´umero de casos de mal´aria no Brasil, 1990–2005 . . . . . . . . . . . . 12
4.1 Parametros para o Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
xviii
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
As doen¸cas infecciosas acompanham o homem desde a antiguidade, muitas
vezes interpretadas como maldi¸c˜ao ou castigo divino, elas invadiram comunidades
e causaram muitas mortes.
O interesse que as doen¸cas infecciosas e a mortalidade a elas atribu´ıda des-
pertam nos estudiosos tem uma longa hist´oria. As listas de epidemias colecionadas
pelo fil´osofo Ssu Kuang, que viveu na Dinastia Sung (d.C. 960–1279) na China, as
”Epidemias”do fil´osofo grego Hip´ocrates (458–377 a.C.), e as estat´ısticas m´edicas
de John Grant (1620–1674) e William Rethy (1623–1687) que estudaram as ocor-
rˆencias de mortalidade em Londres no s´eculo XVI I, ilustram esse fato, Anderson
& May [1991].
Na literatura m´edica h´a ind´ıcios da id´eia de que criaturas invis´ıveis poderiam
ser respons´aveis pelas doen¸cas. S˜ao encontradas tais referˆencias, por exemplo, nas
escritas de Aristotle (384–322 a.C.) e do m´edico ´arabe Rhazes (d.C. 860–932).
Por´em, o estudo cient´ıfico da epidemiologia de doen¸cas infecciosas inicia com o
desenvolvimento da ”Teoria do G´ermen da Doen¸ca”, Anderson & May [1991].
No s´eculo XVI, a teoria do g´ermen come¸cou a emergir em forma mais de-
finida. Frascastorius (1475–1503), m´edico c´elebre de Verona, publicou um artigo
no qual ele expressou claramente que organismos invis´ıveis podem causar doen¸cas
e transmitir enfermidades de pessoa para pessoa. Com a constru¸c˜ao do primeiro
microsc´opio, o holandˆes Leeuwenhoek (1632–1723) demonstrou a existˆencia dos
1
microorganismos, Anderson & May [1991].
Em 1840, o cientista alem˜ao Jacob Henle (1809–1885), predecessor de Pasteur
e Koch, expressou a teoria do g´ermen como ´e conhecida nos dias de hoje e enunciou
um conjunto de regras necess´arias para prov´a-la. Hoje esses princ´ıpios s˜ao mais
conhecidos na forma enunciada por Robert Koch (1843–1910), que em 1884 ditou
uma s´erie de condi¸c˜oes que devem ser satisfeitas por um organismo para que ele
possa ser aceito como a causa de uma doen¸ca e enunciou-os como ”Postulados de
Koch”, Anderson & May [1991]. S˜ao eles:
O microorganismo deve ser encontrado em todos os pacientes infectados
com a doen¸ca e n˜ao em pessoas saud´aveis;
O microorganismo deve ser isolado de um paciente e criado em laborat´orio,
estando isolado de todos os outros organismos;
O microorganismo deve reproduzir a doen¸ca quando inoculado em animais
saud´aveis sucet´ıveis;
O mesmo microorganismo deve ser encontrado novamente nos animais em
que foi inoculado e cultivado em laborat´orio.
Al´em de Koch, Pasteur (1827–1875) e Lister (1827–1912) desenvolveram m´e-
todos fidedignos, utilizando os procedimentos enunciados por Henle, Anderson &
May [1991]. Seus estudos tiveram um grande impacto nas ciˆencias biom´edicas,
levando a conceitos mais rigorosos de Etiologia, estudos epidemiol´ogicos quanti-
tativos, preven¸c˜ao e terapˆeutica. Essa nova dire¸c˜ao foi seguida por muitos outros
pesquisadores em epidemiologia, especialmente Panum e Snow, cujos estudos de
padr˜oes populacionais de doen¸cas mudaram definitivamente a id´eia de miasmas e
confirmaram a id´eia de Fracastorius de cont´agio vivo, Fine [1979].
1.1 Mal´aria
O nome mal´aria ´e proveniente da express˜ao italiana ”mau aire”, que significa
mau ar ou ar insalubre, que pode trazer doen¸ca. Isto se deve ao fato de os antigos
2
acreditarem que a doen¸ca era causada pelas emana¸c˜oes e miasmas dos pˆantanos,
Portal-Sa´ude [2002].
A mal´aria, tamb´em conhecida como paludismo, ´e uma doen¸ca infecciosa cau-
sada por um protozo´ario do gˆenero Plasmodium que ´e transmitido indiretamente de
pessoa para pessoa, atrav´es da picada de fˆemeas de mosquitos do gˆenero Anophe-
les. S˜ao identificados quatro tipos de protozo´arios respons´aveis pela mal´aria em
humanos, WHO [2004], Portal-Sa´ude [2002]:
Plasmodium malariae (Laveram, 1881);
Plasmodium vivax (Grassi e Feletti, 1890);
Plasmodium falciparum (Welch, 1897);
Plasmodium ovale (Stephens, 1922);
A mal´aria por Plasmodium ovale ocorre apenas no continente africano, po-
dendo ocasionalmente ser diagnosticada no Brasil, FUNASA [2001].
O Plasmodium ´e um protozo´ario que necessita obrigatoriamente de dois hos-
pedeiros para completar seu ciclo: um invertebrado e um vertebrado. Sua intro-
du¸c˜ao no homem se d´a atrav´es da picada de um mosquito infectado, que injeta
na corrente sang
¨
u´ınea do homem os esporozo´ıtos que est˜ao na sua saliva, dando
in´ıcio ao ciclo end´ogeno, Valle [2002]. A partir de ent˜ao come¸ca o per´ıodo latente
intr´ınseco (per´ıodo em que o humano n˜ao ´e fonte de infec¸c˜ao, embora j´a tenha con-
tra´ıdo a doen¸ca), que dura 6–10 dias para o Plasmodium falciparum, 10–14 dias
para o Plasmodium ovale, 14–16 dias para o Plasmodium malariae e 8 dias para
o Plasmodium vivax, Anderson & May [1991], Portal-Sa´ude [2002]. Da corrente
sang
¨
u´ınea, seguem at´e o f´ıgado e entre 30 a 60 minutos invadem as c´elulas hep´a-
ticas, onde se reproduzem assexuadamente de forma veloz e constante. Depois de
aproximadamente uma semana (para Plasmodium falciparum e Plasmodium vivax )
ou duas semanas (para Plasmodium ovale e Plasmodium malariae), uma parte dos
esporozo´ıtos invade as hem´acias do sangue enquanto a outra continua a se repro-
duzir. Nos eritr´ocitos, os esporozo´ıtos aumentam de tamanho e se dividem v´arias
3
vezes, ainda assexuadamente, produzindo as formas conhecidas como merozo´ıtos.
A libera¸c˜ao dos merozo´ıtos na corrente sang
¨
u´ınea ocorre de forma sincrˆonica, ge-
rando a febre e os calafrios caracter´ısticos de cada esp´ecie de protozo´ario; devido
a esse sincronismo a mal´aria ´e tamb´em conhecida como febre ter¸c˜a (Plasmodium
falciparum e Plasmodium vivax) e quart˜a (Plasmodium malariae). Esses merozo´ı-
tos invadem outras hem´aceas e o ciclo de divis˜oes recome¸ca. Os per´ıodos de febre,
caracter´ısticos de cada esp´ecie de Plasmodium, correspondem ao tempo necess´ario
para que o parasita complete seu ciclo no hospedeiro vertebrado. Em aproximada-
mente duas semanas j´a existe n´umero suficiente de protozo´arios para determinar
os sintomas cl´ınicos.
Salvo no caso de mal´aria por Plasmodium falciparum, alguns esporozo´ıtos
podem penetrar novamente em outras c´elulas hep´aticas e permanecerem em es-
tado latente sob a forma de hipnozo´ıtos. Estes hipnozo´ıtos s˜ao respons´aveis pelas
reca´ıdas da doen¸ca, que ocorrem ap´os per´ıodos vari´aveis de incuba¸c˜ao, em geral
dentro de seis meses para a maioria das cepas de Plasmodium vivax, FUNASA
[2001].
Enquanto uma parte dos merozo´ıtos invade outras hem´aceas e recome¸ca o
ciclo de divis˜oes, outra parte transforma-se em gametas (masculinos e femininos),
que ficam dentro dos eritr´ocitos. O ciclo ex´ogeno inicia quando um mosquito
suscet´ıvel ingere eritr´ocitos com gametas masculinos e femininos. Esses gametas
s˜ao liberados no seu intestino, onde ocorre a fus˜ao dos gamet´ocitos (reprodu¸c˜ao
sexuada), formando um zigoto m´ovel chamado oocineto. Este zigoto atravessa a
parede intestinal do mosquito, evoluindo para oo cisto, do lado oposto ao l´umen.
Nos oocistos, ocorre multiplica¸c˜ao intensa at´e a libera¸c˜ao de formas conhecidas
como esporozo´ıtos. Em aproximadamente duas semanas, os esporozo´ıtos migram
e invadem as glˆandulas salivares. Quando o mosquito infectado pica outra pessoa
suscet´ıvel, o ciclo do protozo´ario se completa.
O per´ıodo de incuba¸c˜ao da mal´aria varia de acordo com a esp´ecie do Plasmo-
dium, sendo 8–12 dias para Plasmodium falciparum, 13–17 dias para Plasmodium
4
vivax e 28–30 dias para Plasmodium malariae, FUNASA [2001]. Em compara¸c˜ao
com os per´ıodos latentes para as respectivas esp´ecies de Plasmodium, ´e poss´ıvel
perceber que o per´ıodo latente termina freq
¨
uentemente antes do per´ıodo de in-
cuba¸c˜ao, tornando o indiv´ıduo um transmissor antes mesmo que ele apresente as
manifesta¸c˜oes cl´ınicas e venha a procurar por tratamento.
Os sintomas da mal´aria n˜ao s˜ao espec´ıficos, dificultando um diagn´ostico cl´ı-
nico, o que pode confundir a doen¸ca com outras infec¸c˜oes. Os principais sintomas
s˜ao febre alta, suores abundantes, calafrios, dores de cabe¸ca, falta de apetite, n´au-
seas e vˆomitos, anemia, colora¸c˜ao amarelada da pele e dos olhos, cansa¸co e dores
pelo corpo, Ex´ercito-Brasileiro [2007].
A infec¸c˜ao por Plasmodium falciparum, diferentemente da infec¸c˜ao por outros
protozo´arios, induz a forma grave da doen¸ca, podendo ser letal. Nesse caso, ´e pos-
s´ıvel que o paciente desenvolva mal´aria cerebral, insuficiˆencia renal aguda, edema
pulmonar agudo, hipoglicemia, disfun¸c˜ao hep´atica ou hemoglobin´uria, FUNASA
[2001].
1.2 Vetores
O mecanismo natural de transmiss˜ao da mal´aria foi descoberto pelo m´edico
escocˆes Ronald Ross, em 1897, por meio da identifica¸c˜ao do mosquito do gˆenero
Anopheles como vetor da doen¸ca, FUNASA [2002].
Os transmissores da mal´aria nos mam´ıferos s˜ao insetos da ordem dos d´ıp-
teros, da fam´ılia Culicidae e do gˆenero Anopheles. Este gˆenero compreende cerca
de 400 esp´ecies, das quais apenas um n´umero reduzido tem importˆancia para a
epidemiologia da mal´aria, Mal´aria [2003], Portal-Sa´ude [2002].
No Brasil, cinco esp´ecies s˜ao consideradas importantes transmissoras, Mal´a-
ria [2003], Portal-Sa´ude [2002]:
Anopheles albitarsis (Lynch Arribalzaga, 1878);
Anopheles cruzi (Dyar e Kanab, 1908);
5
Anopheles bellator (Dyar e Kanab, 1908);
Anopheles darlingi (Root, 1926);
Anopheles aquasalis (Curry, 1932);
Ocasionalmente, pode ocorrer transmiss˜ao da doen¸ca tendo como vetor ou-
tras esp´ecies do gˆenero, atuando lo calmente. Na regi˜ao amazˆonica por exemplo,
pode ser encontrado o Anopheles nuneztovari, al´em de outros.
Figura 1.1: Anopheles darlingi
O principal transmissor de mal´aria no Brasil ´e o mosquito Anopheles darlingi,
Deane [1986], Charlwood & Alecrim [1989], Tadei & Thatcher [2000], Kiszewski
et al [2004]. Ele tem como criadouro grandes volumes de ´agua como represas,
lagos, lagoas e remansos de rios, sendo o principal vetor da regi˜ao amazˆonica;
prefere ´aguas profundas, l´ımpidas e pobres de mat´eria orgˆanica e raramente usam
´aguas p olu´ıdas para sua reprodu¸c˜ao. A vegeta¸c˜ao flutuante dos rios contribui para
a sua dispers˜ao e transporte, Mal´aria [2003].
A existˆencia de criadouros est´a relacionada a v´arios fatores como a cria¸c˜ao
de barragens, agricultura por canais a c´eu aberto, escava¸c˜oes para a constru¸c˜ao
de estradas, invas˜ao de florestas, degrada¸c˜ao do meio ambiente pelos garimpeiros
e outros. Tamb´em est´a relacionada ao ´ındice pluviom´etrico anual elevado da re-
6
gi˜ao amazˆonica, onde ocorrem constantes cheias dos rios formando imensos lagos
artificiais que proporcionam a forma¸c˜ao e manuten¸c˜ao de criadouros de mosquitos.
O desenvolvimento do Anopheles ´e dividido em duas fases, aqu´atica e a´e-
rea, passando por quatro est´agios distintos: ovo, larva, pupa e adulto. Os ovos
s˜ao isolados e medem cerca de 0,5 mm de comprimento, suas laterais apresen-
tam flutuadores que facilitam a sua permanˆencia na superf´ıcie da ´agua; quando
adultos medem em geral menos de um cent´ımetro de envergadura, apresentam
corpo delgado e longas pernas. Geralmente, as fˆemeas s˜ao fecundadas uma ´unica
vez, assim que adquirem maturidade, podendo colocar ovos at´e o fim da sua vida,
Portal-Sa´ude [2002].
A expectativa de vida desses insetos ´e um fator muito importante para que
a esp´ecie seja um bom vetor, pois ´e preciso que haja tempo suficiente para que o
ciclo esporogˆonico se complete.
O Anopheles darlingi tem h´abitos crepusculares, que podem se estender por
toda a noite dependendo da regi˜ao.
´
E altamente antrop´ofilo e sua presen¸ca pre-
domina no peridomic´ılio, embora apresente caracter´ısticas endof´ılicas, Tadei et al
[1998].
Sua sazonalidade est´a relacionada ao n´ıvel das ´aguas dos rios e aos per´ıodos
de chuvas e secas. O aumento das chuvas resulta em uma eleva¸c˜ao no n´umero de
mosquitos vi´aveis, o que pode levar ao surgimento de ondas epidˆemicas. Por outro
lado, as chuvas pesadas podem arrastar os mosquitos para locais inadequados,
destruindo os criadouros e resultando, muitas vezes, em um decl´ınio na incidˆencia
de mal´aria. Assim, o per´ıodo de maior densidade de mosquitos coincide com a
estabiliza¸c˜ao dos seus criadouros, ap´os as fortes chuvas, Tadei [1997].
1.3 A Mal´aria no Mundo
A mal´aria ´e um dos maiores e mais graves problemas de sa´ude p´ublica no
mundo, aproximadamente 40% da popula¸c˜ao mundial vive em ´areas de risco, WHO
[2004]. A transmiss˜ao ocorre em pa´ıses da Am´erica Central, Am´erica do Sul,
7
Am´erica do Norte (M´exico),
´
Africa sub-saariana,
´
India, Sudeste da
´
Asia, Oriente
M´edio e Oceania. Entretanto, mais de 90% dos casos ocorrem em pa´ıses da
´
Africa,
Martins et al [2006]. A mal´aria afeta principalmente pessoas pobres e que vivem
em ´areas rurais onde o atendimento m´edico ´e inexistente ou prec´ario.
A mal´aria ´e identificada como uma das quatro principais causas de pobreza
no mundo, WHO [2004], pois as pessoas infectadas e o governo, tˆem boa parte da
renda comprometida com tratamento e/ou preven¸c˜ao. Al´em disso, a morbidade
que a doen¸ca provoca induz a um decr´escimo significativo da produ¸c˜ao material
e intelectual, pois o indiv´ıduo infectado se ausenta do trabalho e da escola. A
explora¸c˜ao do potencial tur´ıstico da regi˜ao tamb´em ´e afetada.
Anualmente, sobretudo no continente africano, entre 300 e 500 milh˜oes de
pessoas s˜ao infectadas, das quais cerca de um milh˜ao morrem em conseq
¨
uˆencia da
doen¸ca. Pelo menos 80% das mortes de mal´aria s˜ao registradas na
´
Africa sub-
saariana, e geralmente s˜ao crian¸cas abaixo de 5 anos.
Em algumas regi˜oes a mal´aria ´e est´avel, em outros lugares ela ocorre espo-
radicamente, devido `a varia¸c˜oes clim´aticas ou mudan¸cas paisag´ısticas provocadas
pelo desmatamento ou outras a¸c˜oes de impacto semelhante. A transmiss˜ao da ma-
l´aria est´a intimamente relacionada com as condi¸c˜oes clim´aticas, onde temperaturas
relativamente elevadas e o alto ´ındice de umidade do ar favorecem a prolifera¸c˜ao
de vetores, contribuindo para o aumento do n´umero de casos da doen¸ca.
Nas regi˜oes equatoriais, existe uma transmiss˜ao permanente e uma alta ve-
locidade de propaga¸c˜ao da mal´aria devido `a invariabilidade da temperatura e da
umidade nessas localidades. Nas regi˜oes tropicais a temperatura ´e praticamente
est´avel, mas os ´ındices de umidade variam conforme a ´epoca do ano, assim o ritmo
de propaga¸c˜ao da mal´aria se d´a de acordo com as chuvas e a estiagem diminui a
popula¸c˜ao de mosquitos. Nas regi˜oes subtropicais, h´a per´ıodos do ano em que a
temperatura cai muito, impedindo a atividade de qualquer tipo de vetor e fazendo
com que a transmiss˜ao seja interrompida. Com isso, caracterizam-se fora desses
per´ıodos os eventuais surtos epidˆemicos.
8
A distribui¸c˜ao do risco de aquisi¸c˜ao de mal´aria n˜ao ´e uniforme dentro de
um mesmo pa´ıs e, freq
¨
uentemente, ´e desigual para locais situados em uma mesma
regi˜ao, al´em de sofrer varia¸c˜oes com as esta¸c˜oes do ano e ao longo do tempo.
Em geral, o risco ´e elevado na
´
Africa sub-saariana, Bacia Amazˆonica, Irian Jaia,
Madagascar, Papua-Nova Guin´e, Sudeste da
´
Asia e Vanuatu.
´
E relativamente
baixo no leste do Afeganist˜ao, Am´erica Central, Am´erica do Sul (exceto na Bacia
Amazˆonica, onde o risco ´e alto), M´exico, norte da China, Egito,
´
India, Indon´esia,
Iraque, Ir˜a, Mal´asia, Sri Lanka, Oriente M´edio, Paquist˜ao e Pen´ınsula Ar´abica,
Martins et al [2006] .
Embora a probabilidade de atingir pa´ıses de clima tropical e equatorial seja
maior, o desenvolvimento agr´ıcola, a resistˆencia dos mosquitos aos inseticidas, os
fluxos migrat´orios e, principalmente o aquecimento global tˆem colaborado com o
aparecimento da mal´aria em locais onde j´a havia sido extinta ou onde n˜ao existiam
relatos da doen¸ca.
1.3.1 Mal´aria no Brasil: Amazˆonia
No in´ıcio do s´eculo XX, a mal´aria ocorria em quase todo o territ´orio brasi-
leiro. Na d´ecada de 40 eram estimados cerca de 8 milh˜oes de casos por ano. As
medidas de controle, incluindo o uso de DDT, fizeram com que o n´umero fosse
reduzido, chegando a 50 mil em 1970. A partir de ent˜ao, em raz˜ao da descoberta
de ouro e dos projetos de coloniza¸c˜ao e expans˜ao da fronteira agr´ıcola, constru¸c˜ao
de estradas e hidrel´etricas, projetos agropecu´arios e extra¸c˜ao de madeira que le-
varam `a ocupa¸c˜ao desordenada da Amazˆonia, o problema da mal´aria agravou-se
seriamente, FUNASA [2001]. Como n˜ao foi dado enfoque suficente `a preven¸c˜ao da
doen¸ca para a popula¸c˜ao migrante, que nunca havia tido contato com a mal´aria
e que, geralmente tinha condi¸c˜oes prec´arias de moradia e trabalho, o n´umero de
casos subiu progressivamente conforme pode ser visualizado na Figura 1.2.
A introdu¸c˜ao da mal´aria humana em novas ´areas de desmatamento, princi-
palmente nas regi˜oes tropicais, tende a seguir o desenvolvimento e est´a intimamente
9
Figura 1.2: Evolu¸c˜ao da IPA 1960–2005
relacionada `a quebra do ecossistema. Com a implanta¸c˜ao de n ´ucleos de coloniza-
¸c˜ao e contru¸c˜ao de vias de acesso, como a cria¸c˜ao de novas rodovias e estradas,
trazendo, ao mesmo tempo, indiv´ıduos infectados e sadios para as ´areas virgens ou
malar´ıgenas, a mal´aria tende a aumentar na regi˜ao.
O Brasil tem o maior n´umero de casos de mal´aria das Am´ericas, relatando
cerca de 40% do total de casos do continente e ocupa o terceiro lugar em incidˆencia
da doen¸ca no mundo, Ex´ercito-Brasileiro [2007].
Aproximadamente 99% dos casos de mal´aria no Brasil ocorrem na Amazˆo-
nia Legal (divis˜ao pol´ıtica do territ´orio brasileiro que engloba os Estados do Acre,
Amap´a, Amazonas, Maranh˜ao, Mato Grosso, Par´a, Rondˆonia, Roraima e Tocan-
tins), WHO [2004], FUNASA [2002], que registra cerca de 500 mil casos ao ano,
FUNASA [2001]. A Figura 1.3 confirma os altos ´ındices de incidˆencia de mal´aria
nestes Estados.
A incidˆencia de mal´aria na Amazˆonia ainda ´e muito elevada e precisa ser
reduzida a n´ıveis aceit´aveis, pois a doen¸ca causa sofrimento e perdas sociais e
econˆomicas.
10
Figura 1.3: Classifica¸c˜ao das ´areas de risco segundo a IPA - 2005
1.4 Controle e Preven¸c˜ao
O uso do dicloro-difenil-tricloroetano (DDT) foi introduzido a partir de 1944
como principal medida de controle do vetor. A partir de 1996, este inseticida
passou a ser substitu´ıdo por outros produtos qu´ımicos menos agressivos ao meio
ambiente. A estrat´egia de erradica¸c˜ao da mal´aria baseada na b orrifa¸c˜ao das resi-
dˆencias n˜ao foi suficiente para interromper a transmiss˜ao, apenas para reduz´ı-la,
pois o padr˜ao de ocupa¸c˜ao do espa¸co, as caracter´ısticas das habita¸c˜oes e o n´ıvel
de desenvolvimento socioeconˆomico representaram obst´aculos para a efetividade
dessa estrat´egia, FUNASA [2002].
Al´em da borrifa¸c˜ao peri´odica das residˆencias, um outro m´etodo de controle
das formas aladas do mosquito ´e a termonebuliza¸c˜ao, cujo emprego reduz a inci-
dˆencia das fˆemeas. Essa estrat´egia apresenta um resultado satisfat´orio desde que o
intervalo entre uma aplica¸c˜ao e outra seja suficientemente pequeno, Tadei [1997].
Uma outra estrat´egia de controle ainda usada nos dias de hoje, juntamente
com a borrifa¸c˜ao intradomiciliar e a termonebuliza¸c˜ao, ´e o controle biol´ogico das
formas imaturas, Tadei [1997]. Por´em sua aplica¸c˜ao n˜ao ´e indicada em ´areas
alagadas de grande extens˜ao, sendo invi´avel em termos econˆomicos quando se trata
11
de uma grande ´area de cobertura.
O uso de mosquiteiros impregnados com piretr´oide ´e tamb´em uma importante
medida de prote¸c˜ao `a popula¸c˜ao para reduzir o contato homem-vetor, Thomson
et al [1994], FUNASA [2002].
Na d´ecada de 90, a partir da Conferˆencia Interministerial realizada em Ams-
terd˜a em 1992, passou a ser adotada a estrat´egia de ajuste dos planos de controle `as
caracter´ısticas particulares de cada localidade. Al´em disso, foi dado maior ˆenfase
ao diagn´ostico precoce e ao tratamento da mal´aria, FUNASA [2002].
As medidas educacionais, atrav´es da divulga¸c˜ao dos mecanismos de trans-
miss˜ao da mal´aria e da importˆancia da preserva¸c˜ao do meio ambiente s˜ao fatores
fundamentais para a erradica¸c˜ao da mal´aria.
Entre os anos de 2000 e 2002, a interven¸c˜ao do governo atrav´es do PIACM–
Plano de Intensifica¸c˜ao das A¸c˜oes de Controle da Mal´aria na Regi˜ao Amazˆonica,
FUNASA [2002], lan¸cado pelo Minist´erio da Sa´ude, reduziu consideravelmente o
n´umero de casos registrados nesse per´ıodo conforme pode ser visto na Tabela 1.1,
cujas informa¸c˜oes foram obtidas de WHO [2004] e FUNASA [2006].
Tabela 1.1: N´umero de casos de mal´aria no Brasil, 1990–2005
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
560.396 614.431 609.860 466.190 564.406 565.727 455.194 392.976
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
471.892 635.712 613.321 388.537 348.839 408.183 464.585 601.112
O n´umero de munic´ıpios com risco de transmiss˜ao da mal´aria declinou de
160 em 1999 para 76 em 2002, com uma redu¸c˜ao de 69% no n´umero de interna¸c˜oes
e 36% nos ´ındices de mortalidade causada por mal´aria, WHO [2004]. O maior
percentual de decr´escimo do n´umero de casos da doen¸ca foi registrado nos Estados
do Amazonas e do Acre, FUNASA [2002]. Com o final do PIACM, os ´ındices de
incidˆencia da mal´aria voltaram a crescer.
Como os procedimentos tradicionais de controle da mal´aria est˜ao se tornando
cada vez menos eficazes, pois o parasita est´a resistindo aos medicamentos utilizados
12
no combate a doen¸ca e o mosquito transmissor adquiriu resistˆencia aos inseticidas,
os cientistas tˆem apostado no seq
¨
uenciamento gen´etico do protozo´ario e do ve-
tor transmissor como um aux´ılio para o desenvolvimento de uma alternativa de
combate a mal´aria.
Vacinas, medicamentos mais eficazes, inseticidas mais espec´ıficos ou ainda
mosquitos modificados geneticamente podem ser obtidos a partir do seq
¨
uencia-
mento gen´etico.
Consider´aveis avan¸cos tˆem sido obtidos na elabora¸c˜ao de mosquitos refrat´a-
rios `a mal´aria. Esses insetos tˆem a carga gen´etica alterada com a finalidade de
interromper a transmiss˜ao da doen¸ca pelo protozo´ario, evitando que os esporozo´ı-
tos penetrem nas glˆandulas salivares do mosquito. Por meio de cruzamentos com
mosquitos selvagens, os novos genes devem se espalhar pela popula¸c˜ao, detendo o
protozo´ario e alterando a esp´ecie inteira.
V´arios laborat´orios trabalham no desenvolvimento desses insetos. No Bra-
sil, est˜ao sendo realizadas pesquisas no Instituto de Ciˆencias Biom´edicas da USP
considerando a mal´aria avi´aria, cujos resultados servir˜ao de base para estudos com
mal´aria humana.
1.5 Objetivo do Trabalho
Este trabalho tem por objetivo desenvolver, analisar e implementar modelos
matem´aticos que descrevam a dinˆamica populacional do vetor transmissor e a
dinˆamica de transmiss˜ao da mal´aria em regi˜oes onde a varia¸c˜ao sazonal ´e uma
caracter´ıstica principal, como ´e o caso da Amazˆonia.
A partir desses modelos ´e poss´ıvel avaliar teoricamente o impacto da inser¸c˜ao
de mosquitos modificados geneticamente na redu¸c˜ao da densidade populacional
de mosquitos selvagens, e conseq
¨
uentemente da mal´aria. Para isso ´e proposto e
resolvido um problema de controle ´otimo que indica se h´a condi¸c˜oes para que esses
insetos sejam utilizados de forma vi´avel, eficaz e econˆomica.
Os cen´arios tra¸cados buscam caracterizar a situa¸c˜ao da mal´aria em regi˜oes
13
da Amazˆonia e podem ser utilizados por ´org˜aos relacionados `a sa´ude p´ublica,
auxiliando-os na tomada de decis˜oes. Assim, ´e poss´ıvel fornecer subs´ıdios para
melhorar a qualidade de vida das pessoas que vivem na Amazˆonia e convivem com
altos ´ındices de incidˆencia da mal´aria.
1.6 Estrutura do Trabalho
Este trabalho est´a dividido em sete cap´ıtulos, dos quais esta introdu¸c˜ao ´e o
primeiro.
No cap´ıtulo dois ´e apresentado um breve hist´orico com os modelos cl´assicos
da Epidemiologia Matem´atica.
No cap´ıtulo trˆes ´e apresentado o desenvolvimento do modelo matem´atico
que descreve a dinˆamica populacional de mosquitos selvagens. Os parˆametros
utilizados nas simula¸c˜oes num´ericas do modelo s˜ao estimados segundo a ocorrˆencia
do Anopheles darlingi na regi˜ao amazˆonica e arredores.
No cap´ıtulo quatro ´e apresentado o desenvolvimento do modelo matem´atico
que descreve a dinˆamica de transmiss˜ao da mal´aria. O n´umero reprodutivo b´asico
´e calculado para esse modelo e os parˆametros utilizados nas simula¸c˜oes num´ericas
levam a simula¸c˜oes que condizem com a transmiss˜ao na Amazˆonia.
No cap´ıtulo cinco ´e introduzida a dinˆamica de mosquitos geneticamente mo-
dificados no modelo apresentado no cap´ıtulo trˆes.
No cap´ıtulo seis ´e formulado e resolvido um problema de controle ´otimo
para o sistema que representa as duas esp´ecies: mosquitos selvagens e mosquitos
geneticamente modificados. Simula¸c˜oes num´ericas s˜ao apresentadas no sentido de
ilustrar as fun¸c˜oes de controle e sua atua¸c˜ao no sistema.
Por ´ultimo, s˜ao apresentadas as conclus˜oes obtidas no decorrer do trabalho.
14
Cap´ıtulo 2
Epidemiologia Matem´atica
A aplica¸c˜ao da matem´atica ao estudo de doen¸cas infecciosoas teve in´ıcio em
1760 por Daniel Bernoulli, Anderson & May [1991], ao usar um m´etodo matem´a-
tico para avaliar a efetividade de t´ecnicas de controle da var´ıola, com o objetivo de
influenciar as pol´ıticas de sa´ude p´ublica, Bernoulli [1760]. Ap´os um longo per´ıodo,
que se estendeu at´e a metade do s´eculo XIX, William Farr aproximou uma curva
normal para dados trimestrais de morte por var´ıola na Inglaterra e Pa´ıs de Gales
no per´ıodo de 1837 a 1839, Farr [1840]. Esta aproxima¸c˜ao descritiva foi desenvol-
vida posteriormente por John Brownlee, que publicou em 1906 o artigo intitulado
“Statistical studies in immunity: the theory of an epidemic”, no qual ele aproxi-
mou uma curva de distribui¸c˜ao de freq
¨
uˆencia Pearsoniana para uma ampla s´erie
de epidemias, Bernoulli [1906]. Mas a aproxima¸c˜ao emp´ırica adotada p or Farr e
Brownlee era contr´aria ao trabalho de outros dois cientistas do mesmo per´ıodo:
Hamer e Ross.
A contribui¸c˜ao de Hamer e Ross foi aplicar a teoria p´os-g´ermen p ensando
diretamente na solu¸c˜ao de dois problemas quantitativos espec´ıficos: as epidemias
regulares de sarampo e a rela¸c˜ao entre n´umero de mosquitos e incidˆencia de ma-
l´aria, Hamer [1906], Ross [1908], Moshkovskii [1950]. Eles foram os primeiros a
formular teorias espec´ıficas sobre a transmiss˜ao de doen¸cas infecciosas em sen-
ten¸cas matem´aticas simples e precisas e investigar as propriedades dos modelos
resultantes dessas senten¸cas. Esse trabalho, juntamente com os estudos de Ross
15
e Hudson, Ross [1917], Soper [1929] e Kermack & McKendrick [1927], forneceram
uma s´olida estrutura te´orica para a investiga¸c˜ao de padr˜oes observados.
Hamer postulou que o curso de uma epidemia depende da taxa de contato
entre indiv´ıduos suscet´ıveis e infecciosos, Hamer [1906]. Esse conceito ´e um dos
mais importantes em epidemiologia matem´atica, sendo chamado “princ´ıpio de a¸c˜ao
das massas”, no qual a taxa l´ıquida de espalhamento da infec¸c˜ao ´e assumida como
sendo proporcional ao produto obtido da densidade de pessoas suscet´ıveis multipli-
cado pela densidade pessoas infecciosas. O princ´ıpio foi originalmente formulado
em um modelo em tempo discreto, mas em 1908 Ronald Ross transferiu o problema
para um modelo em tempo cont´ınuo em seu trabalho pioneiro sobre a dinˆamica da
mal´aria, Ross [1911], Ross [1915], Ross [1916], Ross [1917].
As id´eias de Hamer e Ross foram extendidas e exploradas em mais deta-
lhes por Soper, Soper [1929], que deduziu um mecanismo fundamental respons´avel
pela periodicidade de epidemias, freq
¨
uentemente observada, e por Kermack e Mc-
Kendrick, Kermack & McKendrick [1927], que estabeleceram a famosa Teoria do
Limiar. Essa teoria, que afirma que a introdu¸c˜ao de poucos indiv´ıduos infecciosos
em uma comunidade de suscet´ıveis n˜ao gera uma epidemia, a menos que a densi-
dade ou n´umero de suscet´ıveis esteja acima de um certo valor cr´ıtico, ´e, juntamente
com o princ´ıpio de a¸c˜ao das massas, um alicerce da epidemiologia te´orica moderna.
Desde ent˜ao, a literatura epidemiol´ogica cresceu bastante, contando com
contribui¸c˜oes de Dietz, Dietz [1988]; Bailey, Bailey [1975]; Becker, Becker [1978];
Dietz e Schenzle, Dietz & Schenzle [1985]; entre outras. Com o temp o, tornou-se
evidente que as probabilidades de contato s˜ao fatores importandes para o espalha-
mento e persistˆencia de uma infec¸c˜ao e isto levou ao desenvolvimento de teorias
estoc´asticas, onde podemos citar Bartlett, Bartlett [1975], e Bailey, Bailey [1975].
Alguns trabalhos vieram a enfatizar a aplica¸c˜ao da teoria de controle em
modelos epidemiol´ogicos, Wickwire [1977]; o estudo de espalhamento espacial de
doen¸cas, Mollison [1977], Cliff et al [1983], K
¨
all´en et al [1985]; a investiga¸c˜ao de
mecanismos do comportamento de epidemias recorrentes, Hetcote et al [1981], Aron
16
& Schwartz [1984]; a importˆancia da heterogeneidade na transmiss˜ao, Anderson &
May [1986]; e a extens˜ao da teoria do limiar para incluir mo delos determin´ısticos
e estoc´asticos mais complexos, Whittle [1955], Becker [1978], Anderson & May
[1978], Anderson & May [1979], May & Anderson [1979], Ball [1983].
2.1 Modelo B´asico para Mal´aria
As primeiras tentativas de obter um conhecimento quantitativo da dinˆamica
de transmiss˜ao da mal´aria foram feitas por Ross em Ross [1911], Ross [1915], Ross
[1916] e Ross [1917]. O foco do seu trabalho original era mal´aria, mas ele estendeu
o projeto para desenvolver uma teoria mais geral de transmiss˜ao de doen¸cas que ele
chamou “patometria a priori”. Essencialmente, os modelos consistem de poucas
equa¸c˜oes diferenciais para descrever varia¸c˜oes nas densidades de pessoas suscet´ıveis
e infectadas e, no caso da mal´aria, mosquitos suscet´ıveis e infectados. O trabalho de
Ross, Ross [1911], foi estendido por Lotka, Lotka [1923]. Ent˜ao, no in´ıcio da d´ecada
de 50, um epidemiologista, George Macdonald, deu um toque de realismo biol´ogico
a esses primeiros modelos ao interpretar e estimar os seus parˆametros de forma mais
realista, Macdonald [1957]. O valor dos estudos matem´aticos para representar
os programas de controle de mal´aria e interpretar as diretrizes epidemiol´ogicas
observadas foi um t´opico de consider´aveis controv´ersias mas, hoje, entretanto, n˜ao
existe nenhuma d´uvida de que o trabalho de Macdonald em particular (baseado nos
primeiros modelos de Ross) teve um impacto bastante ben´efico na coleta, an´alise
e interpreta¸c˜ao de dados epidemiol´ogicos sobre mal´aria, Molineaux & Gramiccia
[1980].
O modelo b´asico, conhecido como modelo de Ross-Macdonald, captura a
essˆencia da transmiss˜ao, sendo constitu´ıdo por um sistema de duas equa¸c˜oes dife-
renciais ordin´arias n˜ao-lineares acopladas, que descrevem varia¸c˜oes nas propor¸c˜oes
de humanos infectados, y, e de mosquitos infectados, y, e ´e dado por:
17
dy(t)
dt
= ab
N
N
y(t) (1 − y(t)) − γy(t)
dy(t)
dt
= acy(t) (1 − y(t)) − µy(t),
(2.1)
onde N ∈
+
´e o tamanho da popula¸c˜ao humana,
N ∈
+
´e o tamanho da
popula¸c˜ao de mosquitos fˆemea, o raio m =
N
N
define o n´umero de mosquitos
fˆemea p or hospedeiro humano, a ∈
+
´e a taxa de picada em humanos por cada
mosquito por unidade de tempo, b ∈
+
´e a propor¸c˜ao de picadas infecciosas em
humanos que gera a infec¸c˜ao, γ ∈
+
´e a taxa per capita de humanos recuperados
da infec¸c˜ao, (
1
γ
´e a dura¸c˜ao m´edia da infec¸c˜ao), c ∈
+
´e a propor¸c˜ao de picadas
por mosquito suscet´ıvel em pessoas infectadas que gera infec¸c˜ao, µ ∈
+
´e a taxa
per capita de mortalidade de mosquitos (
1
µ
´e a expectativa de vida do mosquito).
Neste modelo, a popula¸c˜ao total tanto de humanos quanto de mosquitos ´e
assumida constante, assim as vari´aveis dinˆamicas s˜ao propor¸c˜oes de infectados em
cada popula¸c˜ao no instante t ∈
+
(y :
+
→
+
e y :
+
→
+
).
A primeira equa¸c˜ao descreve a varia¸c˜ao populacional de humanos infectados.
Novas infec¸c˜oes s˜ao adquiridas a uma taxa que depende do n´umero de picadas de
mosquitos por pessoa por unidade de tempo, a
N
N
, da probabilidade de que o mos-
quito que est´a picando esteja infectado, y, e de que o humano picado n˜ao esteja
infectado, 1 − y, e da probabilidade b de que uma pessoa n˜ao infectada picada por
um mosquito infectado desenvolva, de fato, a infec¸c˜ao. A raz˜ao
N
N
surge como
conseq
¨
uˆencia direta do fato de que mosquitos fˆemea tˆem apenas um n´umero fixo
de refei¸c˜oes sang
¨
u´ıneas por unidade de tempo. Assim, a taxa l´ıquida de transmis-
s˜ao ´e tomada para um limite superior, independente das densidades absolutas de
mosquitos e pessoas, sendo dada pelo produto entre a taxa de picada e o n´umero
de mosquitos fˆemea por pessoa. Esse termo engloba a diferen¸ca efetiva entre a
transmiss˜ao direta e a transmiss˜ao indireta, Anderson & May [1979]. Infec¸c˜oes s˜ao
curadas nas pessoas infectadas, que retornam `a classe de n˜ao-infectadas `a uma taxa
l´ıquida de recupera¸c˜ao γy. Nesse modelo ´e assumido que indiv´ıduos recuperados
n˜ao tˆem nenhuma imunidade `a reinfec¸c˜ao e que a recupera¸c˜ao ocorre em uma taxa
18
muito mais r´apida do que a mortalidade humana, tal que a taxa de mortalidade ´e
de importˆancia insignificante na perda de pessoas infectadas.
A segunda equa¸c˜ao descreve a varia¸c˜ao na propor¸c˜ao de mosquitos infectados.
O termo de ganho depende do n´umero de picadas por mosquito por unidade de
tempo, a, da probabilidade de que o mosquito que est´a picando n˜ao esteja infectado,
1 − y, e de que o humano picado esteja infectado, y, e da probabilidade de que
um mosquito n˜ao infectado adquira a infec¸c˜ao ao picar uma pessoa infectada, c.
O termo de decr´escimo surge da mortalidade de mosquitos infectados, µy, j´a que
os mosquitos n˜ao se recuperam da infec¸c˜ao por mal´aria.
2.2 Outros Modelos Matem´aticos da Transmiss˜ao de Mal´aria
O modelo de Ross–Macdonald ´e altamente simplificado e sua representa¸c˜ao
´e apenas para ilustrar as propriedades que surgem de transmiss˜oes de doen¸cas por
vetores. As maiores omiss˜oes incluem a tendˆencia `a imunidade em humanos, a
ausˆencia de fatores de mortalidade referentes `a infec¸c˜ao e a ausˆencia de uma classe
de infectados mas ainda n˜ao infecciosos (per´ıodo latente), Anderson & May [1991].
Vejamos a seguir alguns modelos que tiveram como base o modelo cl´assico
de Ross–Macdonald.
2.2.1 Modelo incorporando per´ıodo latente
Uma modifica¸c˜ao no modelo de Ross-Macdonald ´e feita incorporando per´ıo-
dos latentes durante os quais os hospedeiros (humanos e mosquitos) s˜ao infectados
mas ainda n˜ao s˜ao infecciosos, Anderson & May [1991]. Denotamos estes per´ıodos
como τ
1
para hospedeiros humanos e τ
2
para hospedeiros mosquitos. Nesse caso o
modelo ´e dado por
19
dh(t)
dt
= abmy(t) (1 − y(t)) − µ
1
h(t) − abmy (t − τ
1
) (1 − y (t − τ
1
))
dy(t)
dt
= abmy (t − τ
1
) (1 − y(t − τ
1
)) − µ
1
y(t) − γy(t)
d
h(t)
dt
= acy(t) (1 − y(t)) − µ
2
h(t) − acy (t − τ
2
) (1 − y (t − τ
2
))
dy(t)
dt
= acy (t − τ
2
) (1 − y(t − τ
2
)) − µ
2
y(t),
(2.2)
onde h :
+
→
+
e
h :
+
→
+
s˜ao as propor¸c˜oes de humanos e mosquitos no
instante t ∈
+
que est˜ao infectados mas ainda n˜ao s˜ao infecciosos e, µ
1
e µ
2
s˜ao
as taxas de mortalidade para humanos e mosquitos, respectivamente.
Este refinamento do modelo b´asico, que o tornou mais realista, foi discutido
por Macdonald em Macdonald [1957].
2.2.2 Modelo Incorporando Densidade de Mosquitos Vari´avel
Macdonald usou o modelo mais simples como base para fazer compara¸c˜oes
geogr´aficas entre a mal´aria “est´avel” da
´
Africa e a mal´aria “inst´avel” em regi˜oes da
´
India, Macdonald [1957]. O modelo sugere que ´areas de alta transmiss˜ao ser˜ao me-
nos sens´ıveis `as flutua¸c˜oes na densidade populacional de mosquitos do que ´areas de
baixa transmiss˜ao, com respeito `a varia¸c˜oes observadas na prevalˆencia de mal´aria
em comunidades humanas. No Sri Lanka, antes do controle com DDT, existia uma
varia¸c˜ao local consider´avel na endemicidade da mal´aria, Anderson & May [1991],
que apresentava um padr˜ao sazonal anual.
O modelo b´asico de Ross-Macdonald mostra esse padr˜ao sazonal se a popu-
la¸c˜ao total de mosquitos,
N, variar sazonalmente com uma amplitude que flutua
aleatoriamente ano a ano, Aron & May [1982].
Varia¸c˜oes regulares na abundˆancia populacional de mosquitos causada p or
sazonalidade ajudam a explicar outros padr˜oes na dinˆamica global da mal´aria.
´
E
´obvio que um aumento na popula¸c˜ao de mosquitos pode levar `a uma epidemia de
mal´aria na popula¸c˜ao humana. Estudos mais detalhados mostram que o pico na
20
densidade de mosquitos ocorre ou antes ou durante o pico na incidˆencia de mal´aria
humana, mas que a prevalˆencia m´axima de mal´aria entre mosquitos segue o pico
na prevalˆencia de humanos e o pico na abundˆancia de mosquitos.
Segundo Anderson & May [1991], isto ocorre porque, primeiramente, a densi-
dade de mosquitos cresce devido ao aumento sazonal do n´umero de adultos emer-
gentes. Como a densidade total aumenta, a densidade de mosquitos infectados
tamb´em aumenta, seguida pelo pico na incidˆencia de mal´aria em humanos n˜ao
apenas devido aos atrasos provocados pelo per´ıodo latente, mas porque menos
mosquitos est˜ao emergindo na popula¸c˜ao para elevar a propor¸c˜ao de mosquitos
n˜ao infectados, causando assim um aumento na propor¸c˜ao de infectados.
Esses padr˜oes s˜ao obtidos fazendo a dinˆamica da popula¸c˜ao de mosquitos,
N
variar de acordo com a equa¸c˜ao
d
N
dt
= E(t) − µ
2
N, (2.3)
onde µ
2
foi definido anteriormente, E :
+
→
+
´e a taxa de emergˆencia de
mosquitos no instante t ∈
+
. Assumindo que E(t) varia de forma sinusoidal ao
longo do ano, a densidade de mosquitos ser´a tamb´em sinusoidal, com um atraso de
aproximadamente a expectativa m´edia de vida de um mosquito, Aron & Schwartz
[1984]. Observe que ´e assumido que a varia¸c˜ao na densidade de mosquitos varia
apenas de acordo com a periodicidade na taxa de emergˆencia de adultos, embora
a taxa de mortalidade possa tamb´em variar, mas acredita-se que a sazonalidade
na emergˆencia ´e de maior importˆancia, Anderson & May [1991]. A equa¸c˜ao para
a propor¸c˜ao de mosquitos infectados, foi originalmente derivada sob a condi¸c˜ao
de que o n´umero total de mosquitos era constante. Sob as novas hip´oteses, ela ´e
escrita como
dy
dt
= acy (1 − y) −
µ
2
+
d
N
dt
N
y. (2.4)
Esse modelo n˜ao incorpora per´ıodos latentes, cuja inclus˜ao deve acentuar os
21
atrasos. A latˆencia ´e claramente importante na determina¸c˜ao do tempo exato dos
picos, Dietz et al [1974], mas o tempo relativo durante a se¸c˜ao de transmiss˜ao ´e
simplesmente uma conseq
¨
uˆencia da dinˆamica de crescimento sazonal na popula¸c˜ao
de mosquitos.
Resumindo, o modelo b´asico pode, com alguns refinamentos, levar em conta
os principais padr˜oes exibidos na popula¸c˜ao de mosquitos.
2.2.3 Modelo Incorporando Superinfec¸c˜ao
Existem evidˆencias que sugerem que um indiv´ıduo pode abrigar mais do que
uma inocula¸c˜ao infectiva de parasitas, isto ´e, pode ser reinfectado v´arias vezes antes
mesmo de se recuperar da infec¸c˜ao inicial, Molineaux & Gramiccia [1980]. Esse
problema ´e muitas vezes considerado como superinfec¸c˜ao e tem sido tratado em
algumas pesquisas, Macdonald [1957], Aron & May [1982]. A superinfec¸c˜ao pode
surgir como uma conseq
¨
uˆencia de infec¸c˜oes concorrentes com diferentes esp´ecies
de protozo´ario, diferentes linhagens gen´eticas ou diferentes inocula¸c˜oes da mesma
linhagem.
Existem v´arios modelos de superinfec¸c˜ao, um deles ´e o modelo de Macdonald,
Macdonald [1950], Macdonald [1957]; no qual sucessivas infec¸c˜oes s˜ao efetivamente
acumuladas, esperando para se expressar quando a infec¸c˜ao pr´evia ´e curada. Uma
outra vers˜ao ´e o modelo introduzido por Dietz em Bailey [1975], onde infec¸c˜oes
surgem e adquirem seu curso totalmente independentes das demais.
Essas hip´oteses podem ser escritas substituindo a equa¸c˜ao referente aos hu-
manos infectados no modelo b´asico de Ross-Macdonald, (2.1), pela forma mais
geral
dy(t)
dt
= λ(1 − y) − py, (2.5)
onde λ ∈
+
´e a for¸ca de infec¸c˜ao, definida, na nota¸c˜ao do modelo (2.1) como:
λ = ab
N
N
y, (2.6)
22
e p ∈
+
´e a taxa de recupera¸c˜ao dos indiv´ıduos infectados, sendo definida por
Ross como:
p = γ, (2.7)
por Dietz como:
p =
γ
e
λ
γ
− 1
, (2.8)
e por Macdonald como:
p =
γ − λ, se γ > λ
0, se γ > λ,
(2.9)
onde γ ∈
+
´e a taxa de recupera¸c˜ao de uma ´unica infec¸c˜ao.
Essas diferen¸cas sobre a natureza da superinfec¸c˜ao fazem diferen¸cas mais
quantitativas do que qualitativas na dinˆamica do comportamento global. Em bai-
xos n´ıveis de prevalˆencia de mal´aria, onde a sup erinfec¸c˜ao ´e rara, quando as trˆes
formas de p s˜ao substitu´ıdas no modelo de Ross-Macdonald (2.1), os trˆes modelos
s˜ao essencialmente o mesmo, e a dinˆamica qualitativa ´e similar, apenas a posi¸c˜ao
precisa dos pontos de equil´ıbrio s˜ao diferentes nos trˆes modelos, Anderson & May
[1991].
2.2.4 Modelo com Estrutura Et´aria
O modelo b´asico de Ross-Macdonald pode ser estendido para englobar a es-
trutura et´aria da popula¸c˜ao humana. Para isto, ´e necess´ario considerar a densidade
populacional, como sendo oposta `a propor¸c˜oes, e definir Y (a, t) como o n´umero de
pessoas infectadas de idade a no tempo t. Assim, o modelo toma a forma
23
∂Y (a, t)
∂t
+
∂Y (a, t)
∂a
= ab
Y (t)
N
(N(a) − Y (a, t)) − (γ + µ
1
) Y (a, t)
d
Y (t)
dt
= ac
Y (t)
N
N −
Y (t)
− µ
2
Y (t),
(2.10)
onde
Y :
+
→
+
define a densidade de mosquitos infectados no instante t ∈
+
,
N(a ) define a densidade de humanos de idade a, e N e
N definem as densida-
des totais de humanos e mosquitos, respectivamente, onde ambos s˜ao assumidos
constantes.
A densidade total de pessoas infectadas medidas pela representa¸c˜ao propor-
cional de cada classe et´aria na comunidade ´e dada por
Y (t) =
∞
0
Y (a, t)e
−µ
1
a
da
∞
0
e
−µ
1
a
da
−1
(2.11)
Nesse caso, a mortalidade humana ´e assumida constante e independente da
idade. Assim, a densidade total de humanos N ´e dada por N(0)L onde N(0) ´e
o tamanho do coorte no nascimento (assumido constante) e L ´e a expectativa de
vida dos humanos (L = 1/µ
1
)
−1
.
Uma variedade de estudos epidemiol´ogicos focalizou a taxa de incremento da
prevalˆencia de mal´aria nos primeiros anos de vida de crian¸cas nascidas em ´areas
endˆemicas, Macdonald [1950], Molineaux & Gramiccia [1980]. Em muitas circuns-
tˆancias o modelo fornece uma boa descri¸c˜ao de padr˜oes observados em crian¸cas
com idade entre 0 e 2 anos, Anderson & May [1991].
2.2.5 Modelo com Imunidade Adquirida
Modelos para dinˆamica de transmiss˜ao de mal´aria come¸caram a levar em
conta fenˆomenos de imunidade adquirida devido `a sua relevˆancia em varia¸c˜oes
relacionadas `a idade na prevalˆencia de mal´aria.
Em ´areas endˆemicas, a prevalˆencia ´e acentuada em humanos nas primeiras
idades de vida e ent˜ao declina suavemente. Ao mesmo tempo, o n´umero de c´e-
24
lulas infectadas e gamet´ocitos encontrados nas lˆaminas positivas de exames para
o protozo´ario decrescem relativamente r´apido com a idade. Isto significa que a
taxa de replica¸c˜ao do parasita no hospedeiro humano ´e inversamente relacionada
ao ac´umulo de experiˆencias anteriores do hospedeiro com a mal´aria.
Em Dietz et al [1974] foram incorporadas id´eias sobre imunidade a um mo-
delo epidemiol´ogico de mal´aria. Nesse modelo haviam duas classes de indiv´ıduos:
uma tinha uma taxa de recupera¸c˜ao lenta e a outra tinha uma taxa de recupera¸c˜ao
r´apida, e as infec¸c˜oes de mal´aria tinham apenas 70% de chance de serem detec-
tadas devido as baixas densidades de parasitas na classe de recupera¸c˜ao r´apida.
Ambas as classes s˜ao repetidamente expostas, se tornam infectadas e se recupe-
ram, permanecendo em sua pr´opria classe exceto para uma taxa fixa de transi¸c˜ao
da classe relativamente suscet´ıvel (lenta recupera¸c˜ao) para a classe relativamente
imune (r´apida recupera¸c˜ao). Esse modelo mostra uma boa aproxima¸c˜ao aos dados
coletados em um extenso estudo de mal´aria no norte da Nig´eria, Molineaux &
Gramiccia [1980], e ´e descrito pelo seguinte sistema:
∆x
1
= δ + R
1
(h)y
2
− (h + δ)x
1
∆x
2
= hx
1
− (10δ)
N
h(t − N)x
1
(t − N) − δx
2
∆x
3
= R
2
(h)y
3
− (h + δ)x
3
∆x
4
= hx
3
− (1 − δ)
N
h(t − N)x
3
(t − N) − δx
4
∆y
1
= (1 − δ)
N
h(t − N)x
1
(t − N) − (α
1
+ δ)y
1
∆y
2
= α
1
y
1
− α
2
+ R
1
(h) + δy
2
∆y
3
= α
2
y
2
+ (1 − δ)
N
h(t − N)x
3
(t − N) − R
2
(h) + δy
3
,
(2.12)
onde δ ´e a taxa de mortalidade de cada classe e ∆ denota o operador diferen¸ca
∆x
i
= x
i
(t+∆t)−x
i
(t) e ∆y
i
= y
i
(t+∆t)−y
i
(t). Aqui
4
i=1
x
i
= 1 e
3
i=1
y
i
= 1.
Esse modelo considera que os humanos nascem na categoria de n˜ao-imune
negativa, x
1
; isto ´e, sem imunidade passiva. Esses n˜ao-imunes negativos s˜ao inocu-
lados a uma taxa h e s˜ao transferidos para a classe de incuba¸c˜ao x
2
, permanecendo
25
nesta categoria por N dias. Ap´os esse per´ıodo eles se tornam positivos e infecciosos
na classe y
1
. A infec¸c˜ao ´e perdida a uma taxa α
1
, enquanto as pessoas se movem
para a categoria positiva mas n˜ao-infecciosa y
2
. Desta classe as pessoas podem
se recuperar da infec¸c˜ao e retornar ao estado n˜ao-imune negativo, x
1
, a uma taxa
R
1
(h) ou se tornar imune-positiva a uma taxa constante α
2
. A taxa de recupera¸c˜ao
efetiva R
1
(h) ´e fun¸c˜ao de uma constante r
1
, que ´e a taxa b´asica de recup era¸c˜ao
de n˜ao-imunes, e de h, a taxa efetiva de inocula¸c˜ao: quando a taxa de inocula¸c˜ao
aumenta a taxa de recupera¸c˜ao diminui, isto ´e, a superinfec¸c˜ao previne a recupe-
ra¸c˜ao e uma propor¸c˜ao crescente de y
2
se move para y
3
. Os imunes positivos em
y
3
se recuperam da infec¸c˜ao a uma taxa R
2
(h), que ´e uma fun¸c˜ao de r
2
, a taxa
b´asica de recupera¸c˜ao de imunes, e de h; r
2
´e maior do que r
1
: imunes tendem a se
recuperar mais r´apido do que n˜ao-imunes, mas a superinfecf¸c˜ao novamente reduz
a taxa de recupera¸c˜ao. Se um imune positivo (y
3
) se recupera de uma infec¸c˜ao ele
se torna um imune negativo (x
3
). Imunes negativos s˜ao inoculados na mesma taxa
h que os n˜ao-imunes negativos, e tˆem mesmo per´ıodo de incuba¸c˜ao de N dias (x
4
),
ap´os o qual eles se tornam imunes positivos (y
3
), Molineaux & Gramiccia [1980].
A maior deficiˆencia nesse modelo ´e o fato de n˜ao considerar a perda de
imunidade que o corre quando a transmiss˜ao ´e reduzida significativamente. Isto
porque exposi¸c˜ao cont´ınua `a infec¸c˜ao ajuda a manter a imunidade.
Posteriormente, Aron e May em Aron & May [1982] e Aron em Aron [1983]
descreveram uma forma mais simples de incorporar este mecanismo. Suponha que
existam trˆes classes de indiv´ıduos: suscet´ıveis, infectados e imunes. Assuma que a
imunidade dura um per´ıodo fixo de tempo, τ , na ausˆencia de re-exposi¸c˜ao, mas que
se uma pessoa ´e exposta anteriormente h´a um tempo transcorrido τ , a imunidade
´e mantida e outro intervalo de dura¸c˜ao τ sem infec¸c˜ao ´e necess´ario antes que a
imunidade seja perdida. Se a infec¸c˜ao ocorre a uma taxa per capita λ (como um
processo de Poisson), o tempo m´edio gasto no estado imune, T (λ, τ ), pode ser
calculado como uma fun¸c˜ao de λ, Aron [1983]:
26
T (λ, τ) =
e
λτ
− 1
λ
. (2.13)
Nesse caso, a taxa m´edia per capita de perda de imunidade, ν(λ, τ ), ´e dada
por
ν(λ, τ) =
1
T (λ, τ)
. (2.14)
A descri¸c˜ao da imunidade como uma fun¸c˜ao da exposi¸c˜ao pode agora ser
incorporada a um modelo de prevalˆencia et´aria em equil´ıbrio, dado por
dx
da
= ν(λ, τ )z − (λ + µ
1
)x
dy
da
= λx − (γ + µ
1
)y
dz
da
= γy − (ν(λ, τ) + µ
1
) z.
(2.15)
Esse sistema pode ser integrado para obter as curvas de prevalˆencia de ma-
l´aria adotando a condi¸c˜ao inicial
x
(0) = 1
, caracterizando que todos os rec´em-
nascidos s˜ao suscet´ıveis.
Apesar deste modelo representar um avan¸co em rela¸c˜ao aos modelos mais
simples apresentados anteriormente, ele ainda ´e uma descri¸c˜ao grosseira da com-
plexa realidade da imunidade `a mal´aria. Em particular, a classifica¸c˜ao em trˆes
categorias discretas (suscet´ıveis, infectados e imunes) ´e um reflexo pobre da ob-
serva¸c˜ao de que o desenvolvimento do protozo´ario no hospedeiro se d´a em v´arios
n´ıveis e pode ocorrer em v´arias densidades.
2.3 Considera¸c˜oes Finais
Todas as descri¸c˜oes da aquisi¸c˜ao e p erda de imunidade indicam que o fenˆo-
meno ´e gradual. Estas observa¸c˜oes sugerem que uma descri¸c˜ao matem´atica mais
precisa ´e necess´aria para abandonar a estrutura compartimental de modelos de
microparasitas e abordar mais detalhadamente a descri¸c˜ao de crescimento e decai-
mento da abundˆancia de parasitas entre os indiv´ıduos, Anderson & May [1991].
27
Obter um modelo que descreva com precis˜ao o fenˆomeno da imunidade `a mal´aria
torna-se dif´ıcil devido ao fato de que os mecanismos que induzem a resposta imune
n˜ao s˜ao ainda totalmente compreendidos.
A partir destes, outros modelos surgiram, contemplando caracter´ısticas an-
teriormente ignoradas ou outras formas de representa¸c˜ao (modelos representados
por dinˆamica fuzzy ou autˆomatos celulares, por exemplo). A sofistica¸c˜ao da mode-
lagem epidemiol´ogica tem aumentado constantemente. Um modelo de transmiss˜ao
de dengue contendo a dinˆamica do mosquito Aedes aegypti foi elaborado por New-
ton e Reiter em Newton & Reiter [1992]. Em estudos mais recentes, Yang propˆos e
analisou modelos considerando varia¸c˜oes na prevalˆencia e espalhamento de mal´aria
em fun¸c˜ao de varia¸c˜oes clim´aticas globais e condi¸c˜oes s´ocio-econˆomicas locais, con-
siderando diferentes n´ıveis de imunidade passiva em Yang & Ferreira [2000], Yang
[2000] e Yang [2001]. Em 2004, Ngwa propˆos um modelo para dinˆamica de mal´aria
considerando efeitos de crescimento nas popula¸c˜oes de humanos e mosquitos, Ngwa
[2004].
28
Cap´ıtulo 3
Modelo Matem´atico da Dinˆamica
Populacional de Mosquitos
Em dinˆamica populacional, ´e conveniente efetuar uma distin¸c˜ao entre as es-
p´ecies que s˜ao afetadas por fatores caracter´ısticos de cada esta¸c˜ao do ano e aquelas
que n˜ao s˜ao. Algumas esp´ecies de peixes e insetos s˜ao exemplos de popula¸c˜oes
sazonais, enquanto que os mam´ıferos dificilmente tˆem sua popula¸c˜ao afetada por
tais fatores.
Fatores ambientais como temperatura do ambiente, pluviosidade, umidade
do ar e outros induzem uma varia¸c˜ao sazonal na densidade populacional de algu-
mas esp´ecies, provocando oscila¸c˜oes populacionais que s˜ao, na maioria dos casos,
peri´odicas e bem definidas. No caso dos mosquitos da regi˜ao amazˆonica, a interfe-
rˆencia desses fatores pode ocorrer tanto na fase imatura, seja no desenvolvimento
de ovos e larvas ou na eclos˜ao das pupas, como na fase alada, dificultando o vˆoo
das fˆemeas para o acasalamento, para o repasto sang
¨
u´ıneo e para a postura dos
ovos.
Quando a popula¸c˜ao de mosquitos sofre uma influˆencia atribu´ıda a varia¸c˜oes
clim´aticas, conseq
¨
uentemente existe uma limita¸c˜ao no aumento da densidade de
mosquitos adultos, seja ela devido `a desestabiliza¸c˜ao dos criadouros em fun¸c˜ao das
fortes chuvas, desseca¸c˜ao dos ovos por falta de ´agua ou condi¸c˜oes impr´oprias `a
movimenta¸c˜ao da fˆemea para as suas necessidades de procria¸c˜ao.
Neste cap´ıtulo ´e abordado um modelo matem´atico que descreve a dinˆamica
29
populacional de mosquitos ao longo do tempo em regi˜oes onde a varia¸c˜ao sazonal
interfere no desenvolvimento desses insetos. Esse modelo ´e uma generaliza¸c˜ao da
equa¸c˜ao log´ıstica de Verhulst, Gurney & Nisbet [1998], para coeficientes vari´aveis
no tempo considerando a taxa de emergˆencia de fˆemeas para a fase adulta um coe-
ficiente dependente da densidade e a taxa de mortalidade parcialmente dependente
da densidade. A seguir, s˜ao estimados os coeficientes do modelo com base em in-
forma¸c˜oes encontradas na literatura a respeito do Anopheles darlingi e considerada
a varia¸c˜ao sazonal de algumas localidades onde esse mosquito atua como principal
vetor. Uma vez conhecidos os coeficientes, s˜ao realizadas simula¸c˜oes num´ericas do
modelo proposto para as diferentes localidades analizadas.
3.1 Formula¸c˜ao do Modelo Matem´atico
O modelo matem´atico que utilizamos para descrever a dinˆamica populacional
de mosquitos ´e baseado na equa¸c˜ao log´ıstica de Verhulst:
dV (t)
dt
= rV (t)
1 −
V (t)
k
, (3.1)
onde V :
+
→
+
´e a densidade populacional da esp´ecie no tempo t ∈
+
;
r = ε − δ ∈
+
´e a taxa intr´ınseca de crescimento e k ∈
+
´e a capacidade suporte
do ambiente. Nesse caso temos os coeficientes ε e δ dependentes da densidade.
Antes de descrever o modelo com varia¸c˜ao sazonal em termos matem´aticos,
algumas considera¸c˜oes devem ser feitas:
(1) O modelo que vamos utilizar para simular a dinˆamica sazonal de mosquitos
deve descrever apenas o comportamento das fˆemeas adultas, pois somente
elas picam o homem a fim de obterem prote´ına necess´aria para a matura¸c˜ao
dos seus ovos;
(2) As regi˜oes onde o mo delo po der´a ser utilizado devem ser suficientemente
pequenas de forma que as suas caracter´ısticas sejam invariantes e a popu-
la¸c˜ao de mosquitos possa ser considerada homogeneamente distribu´ıda no
30
espa¸co;
(3) A taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta ´e considerada um
fator dependente da densidade e a taxa de mortalidade ´e parcialmente
dependente da densidade. Essas considera¸c˜oes s˜ao feitas baseadas na su-
posi¸c˜ao de que existe uma capacidade suporte que limita o crescimento
populacional caracterizando um efeito de dependˆencia da densidade mas,
por outro lado, supomos que at´e hoje a popula¸c˜ao de mosquitos n˜ao atingiu
esse limite e portanto existe um fator que independe da densidade atuando
na taxa de mortalidade da popula¸c˜ao.
(4) A sazonalidade afeta tanto as fases imaturas quanto a fase adulta do mos-
quito, nesse caso a influˆencia da varia¸c˜ao clim´atica ´e distribu´ıda entre todos
os est´agios de vida do mosquito com uma ponderabilidade particular de
cada regi˜ao. Logo, a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta
e a capacidade suporte s˜ao parˆametros dependentes do tempo variando
segundo uma fun¸c˜ao peri´odica adequada.
Considerando as hip´oteses acima e a equa¸c˜ao (3.1), podemos descrever o
modelo matem´atico da dinˆamica populacional de mosquitos da seguinte forma:
dV (t)
dt
= r(t)V (t)
1 −
V (t)
k(t)
− δ
1
V (t), (3.2)
onde V :
+
→
+
´e a densidade populacional de fˆemeas adultas do mosquito no
tempo t ∈
+
; r(t) = ε(t) − δ, onde ε :
+
→
+
´e a taxa de emergˆencia dos
mosquitos para a fase adulta no tempo t ∈
+
e δ ∈
+
´e a taxa de mortalidade
dependente da densidade; k :
+
→
+
´e a capacidade suporte do ambiente no
tempo t ∈
+
e δ
1
∈
+
´e a taxa de mortalidade independente da densidade. As
fun¸c˜oes ε e k s˜ao continuamente diferenci´aveis e variam nos intervalos [ε
min
, ε
max
]
e [k
min
, k
max
], respectivamente.
A equa¸c˜ao (3.2) ´e uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de primeira ordem n˜ao-
linear e n˜ao-autˆonoma que foi obtida a partir da equa¸c˜ao de Verhulst (3.1) consi-
31
derando coeficientes variantes no tempo e uma taxa de mortalidade independente
da densidade, que significa que enquanto um fator de redu¸c˜ao de mosquitos estiver
sendo empregado, a capacidade suporte nunca ser´a atingida.
A equa¸c˜ao (3.2) possui dois estados de equil´ıbrio: o equil´ıbrio trivial V
∗
= 0
e a solu¸c˜ao peri´odica V
∗
= V (t).
Quando δ
1
= 0, a solu¸c˜ao de equil´ıbrio n˜ao trivial ´e dada por V
∗
= k. Nesse
caso, a solu¸c˜ao de equil´ıbrio do sistema ´e a pr´opria capacidade suporte, j´a que
n˜ao existe nenhum fator externo que impe¸ca a popula¸c˜ao de atingir o seu n´ıvel de
satura¸c˜ao.
3.2 Estima¸c˜ao dos Parˆametros e Simula¸c˜oes Num´ericas
A estima¸c˜ao dos parˆametros do modelo matem´atico da dinˆamica populacio-
nal de mosquitos (3.2) utiliza mˆes como unidade de tempo.
O valor de (δ + δ
1
) ´e estimado considerando o fato de que a popula¸c˜ao de
mosquitos decresce exponencialmente na ausˆencia de qualquer fator de crescimento,
sendo sua varia¸c˜ao descrita por
dV (t)
dt
= − (δ + δ
1
) V (t), (3.3)
cuja solu¸c˜ao ´e dada por
V (t) = V (0)e
−(δ+δ
1
)t
, (3.4)
de onde se conclui que
δ + δ
1
=
1
t
ln
V (t)
V (0)
. (3.5)
Charlwood e Alecrim, em Charlwood & Alecrim [1989], estimaram em 80,4%
a taxa di´aria de sobrevivˆencia dos mosquitos adultos na natureza. Ent˜ao:
δ + δ
1
=
1
1
ln
0, 804
30
1
= 6, 545/mˆes. (3.6)
32
Isto significa que a expectativa m´edia de vida de um mosquito em seu habitat
natural ´e dada por:
E =
1
6, 545
= 0, 1528 meses ou 4, 584 dias. (3.7)
Em nossas simula¸c˜oes num´ericas adotaremos δ = 4 e δ
1
= 2, 545.
O valor m´edio da taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta, ε, ´e
estimado considerando o fato de que a popula¸c˜ao de mosquitos cresce exponenci-
almente na ausˆencia de qualquer fator limitante, sendo seu crescimento descrito
por
dV (t)
dt
= εV (t), (3.8)
cuja solu¸c˜ao anal´ıtica ´e dada por
V (t) = V (0)e
εt
, (3.9)
de onde se conclui que
ε =
1
t
ln
V (t)
V (0)
. (3.10)
Estudos de laborat´orio a respeito da biologia de Anopheles darlingi, publica-
dos em Santos et al [1981], mostraram que o ciclo biol´ogico de ovo a adulto leva, em
m´edia, 15,6 dias (0,51 meses) para se completar, com uma taxa de sobrevivˆencia
de 57% e o n´umero m´edio de ovos a cada postura ´e de 110 ovos.
Segundo Charlwood e Alecrim, em Charlwood & Alecrim [1989], o ciclo go-
notr´ofico do Anopheles darlingi na natureza tem dura¸c˜ao de 2, 3 dias. Isto significa
que a cada 2, 3 dias a fˆemea tem uma oviposi¸c˜ao. De (3.7) temos que a sua expec-
tativa m´edia de vida ´e de 4, 584 dias, o que nos leva a concluir que cada fˆemea p˜oe
ovos em m´edia duas vezes em sua vida.
Considerando que um ovo tenha igual probabilidade de resultar em macho
ou fˆemea, podemos admitir que 50% dos ovos resultar˜ao em fˆemeas.
33
Com base nessas informa¸c˜oes e em (3.10), podemos agora estimar a taxa de
emergˆencia de mosquitos para a fase adulta como:
ε =
1
0, 51
ln
2 × 110 × 0, 5 × 0, 57
1
= 8, 114/mˆes. (3.11)
A sazonalidade na taxa de recrutamento de mosquitos para a fase adulta e na
capacidade suporte s˜ao parˆametros que devem ser estimados a partir de observa¸c˜oes
em campo, pois dependem dos fatores ambientais referentes a cada regi˜ao e n˜ao
apenas do ciclo biol´ogico dos mosquitos.
De acordo com a distribui¸c˜ao anual de mosquitos, ´e poss´ıvel descrever mate-
maticamente a sua taxa de emergˆencia para a fase adulta ε(t) e a sua capacidade
suporte k(t), dependendo da regi˜ao considerada e de como a influˆencia da sazona-
lidade ambiental atua na esp´ecie em quest˜ao.
A seguir, analisaremos a distribui¸c˜ao anual de mosquitos em alguns munic´ı-
pios, com o objetivo de exemplificar suas respectivas fun¸c˜oes sazonais e comparar a
simula¸c˜ao num´erica do modelo matem´atico descrito por (3.2) com os dados de co-
leta. A equa¸c˜ao (3.2) foi resolvida numericamente usando o m´etodo Runge-Kutta
de quarta ordem, descrito em Grove [1966].
3.2.1 Novo Air˜ao/Amazonas, Brasil 1997
As coletas realizadas no munic´ıpio de Novo Air˜ao/AM, Tadei [1997], Tadei
& Thatcher [2000], durante o ano de 1997 constataram que durante as chuvas, no
in´ıcio do ano, a densidade de Anopheles darlingi ´e baixa, aumentando a partir de
Abril/Maio, com o pico mais elevado no mˆes de Junho. Nos meses subseq
¨
uentes
ocorre uma redu¸c˜ao at´e que, no mˆes de outubro, uma pequena eleva¸c˜ao ´e verificada
e novamente h´a um decl´ınio na densidade de mosquitos.
De acordo com Tadei [1997], estas flutua¸c˜oes est˜ao relacionadas com a estabi-
liza¸c˜ao dos criadouros, que ocorre em fun¸c˜ao do n´ıvel do Rio Negro e um mˆes depois
de terminadas as fortes chuvas. Com o inicio do per´ıodo chuvoso, no final do ano,
novamente a densidade de mosquitos diminui, em decorrˆencia da desestabiliza¸c˜ao
34
de seus criadouros por causa do aumento no volume das ´aguas.
Neste caso, as fun¸c˜oes peri´odicas apropriadas para representar a taxa de
emergˆencia de mosquitos para a fase adulta e a capacidade suporte s˜ao aproxima-
das, respectivamente, por:
ε(t) =
1
ε
−1
+ ε
0
cos
π
6
t
; k(t) =
1
k
−1
+ k
0
cos
π
6
t
(3.12)
para a zona urbana do munic´ıpio de Novo Air˜ao, conforme Tadei [1997], e
ε(t) =
1
ε
−1
+ ε
0
cos
π
6
t − 0, 05π
; k(t) =
1
k
−1
+ k
0
cos
π
6
t − 0, 05π
(3.13)
para a rodovia AM–352 Novo Air˜ao, conforme Tadei & Thatcher [2000].
As fun¸c˜oes de sazonalidade escolhidas para a ´area urbana do munic´ıpio de
Novo Air˜ao/AM apresentam o seguinte comportamento:
Para t = 0 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´ınimos:
1
ε
−1
+ ε
0
e
1
k
−1
+ k
0
, respectivamente;
Para t = 3 + 6n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´edios: ε e k, respectivamente;
Para t = 6 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´aximos:
1
ε
−1
− ε
0
e
1
k
−1
− k
0
, respectivamente.
As fun¸c˜oes de sazonalidade escolhidas para a rodovia AM-352 Novo Air˜ao
apresentam o seguinte comportamento:
Para t = 0, 3+12n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´ınimos:
1
ε
−1
+ ε
0
e
1
k
−1
+ k
0
, respectivamente;
Para t = 3, 3 + 6n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´edios: ε e k, respectivamente;
35
Para t = 6, 3+12n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´aximos:
1
ε
−1
− ε
0
e
1
k
−1
− k
0
, respectivamente.
Os parˆametros ε
0
, k e k
0
s˜ao ajustados conforme os dados de campo, ε
0
e k
0
representam as amplitudes da varia¸c˜ao sazonal da taxa de emergˆencia de mosquitos
para a fase adulta e da capacidade sup orte, respectivamente. Obviamente, 0 ≤
ε
0
< ε
−1
e 0 ≤ k
0
< k
−1
s˜ao condi¸c˜oes que devem ser respeitadas a fim de garantir
que ε(t) e k(t ) sejam fun¸c˜oes positivas e cont´ınuas de classe C
∞
. De acordo com
(3.11) temos que 0 ≤ ε
0
< 0, 123.
0
50
100
150
200
250
300
V(t)
2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 3.1: Dinˆamica populacional do A. darlingi ao longo de um ano. A curva em
preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva cinza representa os
dados de campo publicados em Tadei [1997] para o munic´ıpio de Novo Air˜ao/AM.
Com base nos dados apresentados em Tadei [1997], foram escolhidos ε
0
=
0, 029, k = 85 e k
0
= 0, 00975 para o munic´ıpio de Novo Air˜ao. De fato, 0 ≤ k
0
<
0, 012.
A Figura 3.1 mostra a evolu¸c˜ao temporal do Anopheles darlingi ao longo
de doze meses para o munic´ıpio de Novo Air˜ao/AM. Os parˆametros utilizados
36
nessa simula¸c˜ao num´erica s˜ao dados por ε(t) =
1
8, 114
−1
+ 0, 029 cos
π
6
t
, k(t) =
1
85
−1
+ 0, 00975 cos
π
6
t
, δ = 4 e δ
1
= 2, 545. A curva em preto representa a
simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito pela equa¸c˜ao (3.2) e a curva em cinza
representa os dados obtidos por coleta em 1997 na ´area urbana do munic´ıpio de
Novo Air˜ao/AM, Brasil, Tadei [1997].
50
100
150
200
250
300
V(t)
2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 3.2: Dinˆamica populacional do A. darlingi ao longo de um ano. A curva em
preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva cinza representa os
dados de campo publicados em Tadei & Thatcher [2000] para a rodovia AM–352 Novo
Air˜ao.
A dinˆamica populacional de mosquitos para a ´area urbana e para a rodovia
AM–352 se assemelham bastante, mantendo a maior densidade de mosquitos no
per´ıodo de transi¸c˜ao da esta¸c˜ao chuvosa para a esta¸c˜ao seca.
A Figura 3.2 mostra a evolu¸c˜ao temporal do Anopheles darlingi ao longo
de doze meses para a rodovia AM–352. Para esta localidade foram escolhidos
ε
0
= 0, 029, k = 85 e k
0
= 0, 01, conforme a distribui¸c˜ao anual de mosqui-
tos publicada em Tadei & Thatcher [2000]. Considerando os demais parˆame-
37
tros previamente estimados, temos ent˜ao que ε(t) =
1
8, 114
−1
+ 0, 029 cos
π
6
t
,
k(t) =
1
85
−1
+ 0, 01 cos
π
6
t
, δ = 4 e δ
1
= 2, 545. A curva em preto representa a
simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito pela equa¸c˜ao (3.2) e a curva em cinza repre-
senta os dados obtidos por coleta em 1997 na rodovia AM–352, Tadei & Thatcher
[2000].
3.2.2 Costa Marques/Rondˆonia, Brasil 1986–1987
No munic´ıpio de Costa Marques as chuvas s˜ao sazonais, com a esta¸c˜ao seca
de Maio a Setembro e a esta¸c˜ao chuvosa de Outubro a Abril. Nesta regi˜ao h´a
predominˆancia do Anopheles darlingi, que representou 92% das esp´ecies coletadas
no per´ıodo de Julho de 1986 a Dezembro de 1987, Klein & Lima [1990].
A abundˆancia de formas adultas de Anopheles darlingi foi positivamente
correlacionada com o n´ıvel do Rio Guapor´e por regress˜ao linear, com r = 0, 84,
Klein & Lima [1990]. A sua densidade populacional ´e mais alta no per´ıodo de
transi¸c˜ao da esta¸c˜ao chuvosa para a esta¸c˜ao seca, com o pico no mˆes de Abril.
Com base nestas informa¸c˜oes, as fun¸c˜oes peri´odicas apropriadas para repre-
sentar a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta e a capacidade suporte
s˜ao dadas, respectivamente por
ε(t) =
1
ε
−1
+ ε
0
cos
π
6
t +
π
3
; k(t) =
1
k
−1
+ k
0
cos
π
6
t +
π
3
. (3.14)
As fun¸c˜oes escolhidas apresentam o seguinte comportamento:
Para t = 10 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´ınimos:
1
ε
−1
+ ε
0
e
1
k
−1
+ k
0
, respectivamente;
Para t = 1 + 6n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´edios: ε e k, respectivamente;
38
Para t = 4 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de recrutamento e a capacidade suporte
atingem seus valores m´aximos:
1
ε
−1
− ε
0
e
1
k
−1
− k
0
, respectivamente.
Os parˆametros ε
0
, k e k
0
s˜ao ajustados conforme os dados de campo, ε
0
e k
0
representam as amplitudes da varia¸c˜ao sazonal da taxa de emergˆencia de mosquitos
para a fase adulta e da capacidade sup orte, respectivamente. Obviamente, 0 ≤
ε
0
< ε e 0 ≤ k
0
< k s˜ao condi¸c˜oes que devem ser respeitadas a fim de garantir que
ε(t) e k(t) sejam fun¸c˜oes positivas e cont´ınuas de classe C
∞
. De acordo com (3.11)
temos que 0 ≤ ε
0
< 0, 123.
0
50
100
150
200
250
300
350
V(t)
2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 3.3: Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de um ano. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva cinza
representa os dados de campo publicados em Klein & Lima [1990] para o munic´ıpio de
Costa Marques/RO.
Com base nos dados publicados em Klein & Lima [1990], foram escolhidos
ε
0
= 0, 029, k = 90 e k
0
= 0, 0094 para o munic´ıpio de Costa Marques. De fato,
0 ≤ k
0
< 0, 011.
A Figura 3.3 mostra a simula¸c˜ao num´erica do modelo (3.2) ao longo de doze
meses, dada pela curva em preto, e os dados de coleta de campo de Klein & Lima
39
[1990], dados pela curva em cinza, ambas apresentando um pico no mˆes de Abril
conforme previsto. Os parˆametros utilizados na simula¸c˜ao num´erica s˜ao dados por
ε(t) =
1
8, 114
−1
+ 0, 029 cos
π
6
t +
π
3
, k(t) =
1
90
−1
+ 0, 0094 cos
π
6
t +
π
3
, δ = 4
e δ
1
= 2, 545.
3.2.3 Santa Clara/Loreto, Per´u 1999–2000
Em Santa Clara, o trabalho de campo foi realizado de Agosto de 1999 a
Junho de 2000, W. L´eon et al [2003], sendo verificado que o ´ındice de picada por
homem/noite, IPHN, come¸cou a aumentar nos meses de Fevereiro e Mar¸co, per´ıodo
de esta¸c˜ao chuvosa, alcan¸cando seu valor m´aximo no mˆes de Maio e come¸cando a
diminuir logo em seguida, nos meses de esta¸c˜ao seca.
Com base nas informa¸c˜oes de W. L´eon et al [2003], resumidas acima, as
fun¸c˜oes peri´odicas apropriadas para representar a taxa de emergˆencia de mosquitos
para a fase adulta e a capacidade suporte s˜ao dadas, respectivamente, por
ε(t) =
1
ε
−1
+ ε
0
cos
π
6
t + 0, 7
π
6
; k(t) =
1
k
−1
+ k
0
cos
π
6
t + 0, 7
π
6
. (3.15)
As fun¸c˜oes escolhidas apresentam o seguinte comportamento:
Para t = 11, 3+12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assumem seus valorers m´ınimos
1
ε
−1
+ ε
0
e
1
k
−1
+ k
0
, respectivamente;
Para t = 2, 3 + 6n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a
fase adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´edios ε e k,
respectivamente;
Para t = 5, 3 +12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´aximos:
1
ε
−1
− ε
0
e
1
k
−1
− k
0
, respectivamente.
40
Os parˆametros ε
0
, k e k
0
s˜ao ajustados conforme os dados de campo, ε
0
e k
0
representam as amplitudes da varia¸c˜ao sazonal da taxa de emergˆencia de mosquitos
para a fase adulta e da capacidade sup orte, respectivamente. Obviamente, 0 ≤
ε
0
< ε e 0 ≤ k
0
< k s˜ao condi¸c˜oes que devem ser respeitadas a fim de garantir que
ε(t) e k(t) sejam fun¸c˜oes positivas e cont´ınuas de classe C
∞
. De acordo com (3.11)
temos que 0 ≤ ε
0
< 0, 123.
Com base nos dados publicados em W. L´eon et al [2003], foram escolhidos
ε
0
= 0, 029, k = 140 e k
0
= 0, 0047 para o munic´ıpio de Santa Clara. De fato,
0 ≤ k
0
< 0, 007.
0
50
100
150
200
250
V(t)
2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 3.4: Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de um ano. A curva
em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva cinza representa
os dados de campo publicados em W. L´eon et al [2003] para o munic´ıpio de Santa Clara.
O gr´afico mostrado na Figura 3.4 compara os dados de camp o de W. L´eon
et al [2003] com a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2), cujos parˆame-
tros s˜ao dados por ε(t) =
1
8, 114
−1
+ 0, 029 cos
π
6
t + 0, 7
π
6
,δ = 4, δ
1
= 2, 545 e
k(t) =
1
140
−1
+ 0, 0047 cos
π
6
t + 0, 7
π
6
, para o munic´ıpio de Santa Clara/Loreto,
41
Per´u.
3.2.4 San Pedro/Madre de Dios, Per´u 2001–2002
As coletas no munic´ıpio de San Pedro foram realizadas no per´ıodo de Junho
de 2001 a Abril de 2002, Tineo et al [2003]. O ´ındice de picada por homem/noite
come¸ca a aumentar a partir do mˆes de Dezembro, com o in´ıcio da esta¸c˜ao chuvosa,
atingindo seu valor m´aximo no mˆes de Janeiro e declinando logo em seguida.
Segundo as informa¸c˜oes publicadas em Tineo et al [2003], podemos esco-
lher as fun¸c˜oes peri´odicas apropriadas para representar a taxa de emergˆencia de
mosquitos para a fase adulta e a capacidade suporte dadas respectivamente por:
ε(t) = ε + ε
0
sen
π
6
t +
π
3
; k(t) = k + k
0
sen
π
6
t +
π
3
. (3.16)
As fun¸c˜oes escolhidas apresentam o seguinte comportamento:
Para t = 7 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assume seus valores m´ınimos: ε− ε
0
e k −k
0
,
respectivamente;
Para t = 4 + 6n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a
fase adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´edios: ε e k,
respectivamente;
Para t = 1 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´aximos: ε + ε
0
e
k + k
0
, respectivamente.
Os parˆametros ε
0
, k e k
0
s˜ao ajustados conforme os dados de campo publi-
cados em Tineo et al [2003], ε
0
e k
0
representam as amplitudes da varia¸c˜ao sazonal
da taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta e da capacidade sup orte,
respectivamente. Obviamente, 0 ≤ ε
0
≤ ε e 0 ≤ k
0
≤ k s˜ao condi¸c˜oes que devem
ser respeitadas a fim de garantir que ε(t) e k(t) sejam fun¸c˜oes positivas. De acordo
com (3.11) temos que 0 ≤ ε
0
≤ 8, 114.
42
Com base nos dados publicados em Tineo et al [2003], foram escolhidos ε
0
=
1, k = 180 e k
0
= 25 para o munic´ıpio de San Pedro. De fato, 0 ≤ k
0
< 180.
40
50
60
70
80
90
100
V(t)
0 2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 3.5: Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de um ano. A curva
em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva cinza representa
os dados de campo publicados em Tineo et al [2003] para o munic´ıpio de San Pedro.
O gr´afico da Figura 3.5 representa a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito
por (3.2) comparado aos dados de coleta do munic´ıpio de San Pedro/Madre de
Dios, Per´u. Os parˆametros utilizados foram ε(t) = 8, 114 + 1 , 0 sen
π
6
t +
π
3
;
k(t) = 180 + 25 sen
π
6
t +
π
3
, δ = 4 e δ
1
= 2, 545.
3.2.5 La Novia/Madre de Dios, Peru 2001–2002
No per´ıodo entre Junho de 2001 e Abril de 2002 foram realizadas as coletas
no munic´ıpio La Novia, Tineo et al [2003], mostrando que a varia¸c˜ao na densidade
populacional de Anopheles darlingi segue um padr˜ao semelhante `aquele obtido em
San Pedro, com maiores densidades na esta¸c˜ao chuvosa e menores na esta¸c˜ao seca.
Os valores m´aximos do IPHN foram obtidos nos meses de Janeiro e Fevereiro.
Com base nestas informa¸c˜oes, as fun¸c˜oes peri´odicas apropriadas para repre-
43
sentar a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta e a capacidade suporte
s˜ao dadas respectivamente por
ε(t) = ε + ε
0
sen
π
6
t +
π
4
; k(t) = k + k
0
sen
π
6
t +
π
4
. (3.17)
As fun¸c˜oes escolhidas apresentam o seguinte comportamento:
Para t = 7, 5 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a
fase adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´ınimos:
1
ε + ε
0
e
1
k + k
0
, respectivamente;
Para t = 4, 5 + 6n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a
fase adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´edios: ε e k,
respectivamente;
Para t = 1, 5 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a
fase adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´aximos:
1
ε − ε
0
e
1
k − k
0
, respectivamente.
Os parˆametros ε
0
, k e k
0
s˜ao ajustados conforme os dados de campo publi-
cados em Tineo et al [2003], ε
0
e k
0
representam as amplitudes da varia¸c˜ao sazonal
da taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta e da capacidade sup orte,
respectivamente. Obviamente, 0 ≤ ε
0
≤ ε e 0 ≤ k
0
≤ k s˜ao condi¸c˜oes que devem
ser respeitadas a fim de garantir que ε(t) e k(t) sejam fun¸c˜oes positivas. De acordo
com (3.11) temos que 0 ≤ ε
0
≤ 8, 114.
Com base nos dados publicados em Tineo et al [2003], foram escolhidos ε
0
=
1, k = 100 e k
0
= 50 para o munic´ıpio de San Pedro. De fato, 0 ≤ k
0
< 100.
A Figura 3.6 ilustra o gr´afico obtido da simula¸c˜ao num´erica do modelo ma-
tem´atico descrito por (3.2) e os dados de coleta do munic´ıpio de La Novia/Madre
de Dios, Per´u Tineo et al [2003]. Os parˆametros utilizados foram ε(t) = 8, 114 +
1sen
π
6
t +
π
4
; k(t) = 100 + 50sen
π
6
t +
π
4
, δ = 4 e δ
1
= 2, 545.
44
10
20
30
40
50
60
70
V(t)
0 2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 3.6: Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de um ano. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva em cinza
representa os dados de campo publicados em Tineo et al [2003] para o munic´ıpio de La
Novia.
3.2.6 Mavila/Madre de Dios, Per´u 2001–2002
As coletas em Mavila, Tineo et al [2003], foram realizadas no mesmo per´ıodo
que em San Pedro, Tineo et al [2003], e La Novia, Tineo et al [2003], por´em foram
encontradas densidades mais baixas de Anopheles darlingi nesta localidade. A
maior incidˆencia de mosquitos ocorreu no mˆes de Dezembro, mantendo-se alto
tamb´em em Janeiro. A amplitude na varia¸c˜ao sazonal da densidade de mosquitos
foi bem menor do que aquela obtida em San Pedro e La Novia.
Com base nestas informa¸c˜oes, as fun¸c˜oes peri´odicas apropriadas para repre-
sentar a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta e a capacidade suporte
s˜ao dadas respectivamente por
ε(t) =
1
ε
−1
− ε
0
sen
π
6
t +
π
3
; k(t) =
1
k
−1
− k
0
sen
π
6
t +
π
3
. (3.18)
45
As fun¸c˜oes escolhidas apresentam o seguinte comportamento:
Para t = 7 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´ınimos:
1
ε
−1
+ ε
0
e
1
k
−1
+ k
0
, respectivamente;
Para t = 4 + 6n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a
fase adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´edios: ε e k,
respectivamente;
Para t = 1 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´aximos:
1
ε
−1
− ε
0
e
1
k
−1
− k
0
, respectivamente.
Os parˆametros ε
0
, k e k
0
s˜ao ajustados conforme os dados de campo, ε
0
e k
0
representam as amplitudes da varia¸c˜ao sazonal da taxa de emergˆencia de mosquitos
para a fase adulta e da capacidade sup orte, respectivamente. Obviamente, 0 ≤
ε
0
< ε e 0 ≤ k
0
< k s˜ao condi¸c˜oes que devem ser respeitadas a fim de garantir que
ε(t) e k(t) sejam fun¸c˜oes positivas e cont´ınuas de classe C
∞
. De acordo com (3.11)
temos que 0 ≤ ε
0
< 0, 123.
Com base nos dados publicados em W. L´eon et al [2003], foram escolhidos
ε
0
= 0, 029, k = 10 e k
0
= 0, 075 para o munic´ıpio de Santa Clara. De fato,
0 ≤ k
0
< 0, 1.
A Figura 3.7 considera um per´ıodo de simula¸c˜ao num´erica de dois anos para
uma melhor visualiza¸c˜ao da compara¸c˜ao do modelo com os dados de coleta publi-
cados em Tineo et al [2003], por´em os dados utilizados no segundo ano s˜ao apenas
uma repeti¸c˜ao do primeiro j´a que a coleta de dados foi realizada somente em um
ano.
O modelo representado pela equa¸c˜ao (3.2) foi simulado numericamente usando
ε(t) =
1
8, 114
−1
− 0, 029sen
π
6
t +
π
3
, k(t) =
1
10
−1
− 0, 075sen
π
6
t +
π
3
, δ = 4 e
δ
1
= 2, 545 como parˆametros.
46
0
5
10
15
20
25
V(t)
5 10 15 20
t (meses)
Figura 3.7: Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de dois anos. A curva
em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva cinza representa
os dados de campo publicados em Tineo et al [2003] para o munic´ıpio de Mavila.
3.2.7 Aseli Kamp, Suriname 1979–1980
Em Aseli Kamp, a densidade de Anopheles darlingi ´e mais abundante de
Abril a Junho, durante a esta¸c˜ao chuvosa e rara de Setembro a Mar¸co, durante a
esta¸c˜ao seca. A m´axima densidade de Anopheles darlingi ocorre quando a altura
do rio Lawa sobe devido as chuvas, Hudson [1984].
O pico na abundˆancia do mosquito durante o per´ıodo chuvoso ocorre, prova-
velmente, devido ao aumento de oportunidades para o desenvolvimento larval na
floresta alagada.
Com base nestas informa¸c˜oes, as fun¸c˜oes peri´odicas apropriadas para repre-
sentar a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase adulta e a capacidade s˜ao,
respectivamente, dadas por:
ε(t) =
1
ε
−1
+ ε
0
cos
π
6
t
; k(t) =
1
k
−1
+ k
0
cos
π
6
t
. (3.19)
47
As fun¸c˜oes escolhidas apresentam o seguinte comportamento:
Para t = 0 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´ınimos:
1
ε
−1
+ ε
0
e
1
k
−1
+ k
0
, respectivamente;
Parat = 3 + 6n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´edios: ε e k, respec-
tivamente;
Para t = 6 + 12n (n ∈ ℵ), a taxa de emergˆencia de mosquitos para a fase
adulta e a capacidade suporte assumem seus valores m´aximos:
1
ε
−1
− ε
0
e
1
k
−1
− k
0
, respectivamente.
Os parˆametros ε
0
, k e k
0
s˜ao ajustados conforme os dados de campo, ε
0
e k
0
representam as amplitudes da varia¸c˜ao sazonal da taxa de emergˆencia de mosquitos
para a fase adulta e da capacidade sup orte, respectivamente. Obviamente, 0 ≤
ε
0
< ε e 0 ≤ k
0
< k s˜ao condi¸c˜oes que devem ser respeitadas a fim de garantir que
ε(t) e k(t) sejam fun¸c˜oes positivas e cont´ınuas de classe C
∞
. De acordo com (3.11)
temos que 0 ≤ ε
0
< 0, 123.
Para o munic´ıpio de Aseli Kamp, existem dados de coleta de dois anos conse-
cutivos, Hudson [1984], que s˜ao comparados com a simula¸c˜ao num´erica do modelo
descrito por (3.2) na Figura 3.8. Neste caso foram considerados os parˆametros
δ = 4, δ
1
= 2, 545 e as fun¸c˜oes peri´odicas dadas por:
ε(t) =
1
8, 114
−1
+ 0, 027 cos
π
6
t
, se 0 ≤ t < 12
1
8, 114
−1
+ 0, 029 cos
π
6
t
, se t ≥ 12
(3.20)
e
k(t) =
1
40
−1
+ 0, 0232 cos
π
6
t
, se 0 ≤ t < 12
1
40
−1
+ 0, 02355 cos
π
6
t
, se t ≥ 12,
(3.21)
48
0
100
200
300
V(t)
5 10 15 20 25
t (meses)
Figura 3.8: Dinˆamica populacional do Anopheles darlingi ao longo de dois anos. A
curva em preto ´e a simula¸c˜ao num´erica do modelo descrito por (3.2) e a curva cinza
representa os dados de camp o publicados em Hudson [1984] para o munic´ıpio de Aseli
Kamp.
3.3 Considera¸c˜oes Finais
Neste cap´ıtulo foi abordado um modelo matem´atico baseado na equa¸c˜ao lo-
g´ıstica de Verhulst que considera a varia¸c˜ao sazonal atuando em alguns dos seus
parˆametros. Esse modelo foi proposto para simular a dinˆamica de mosquitos em
regi˜oes onde s˜ao confirmadas as oscila¸c˜oes populacionais dos mosquitos. Para esti-
ma¸c˜ao dos parˆametros foi considerada a esp´ecie Anopheles darlingi, que ´e o princi-
pal vetor atuando na Am´erica Latina, Kiszewski et al [2004]. Foram encontradas
na literatura informa¸c˜oes que indicam um padr˜ao oscilat´orio para o Anopheles dar-
lingi em algumas regi˜oes, relacionando seu crescimento `as esta¸c˜oes chuvosa e seca.
Conhecidas as informa¸c˜oes sobre a esp´ecie e sua sazonalidade, foi poss´ıvel simular
numericamente o modelo descrito pela equa¸c˜ao (3.2) e comparar esta simula¸c˜ao
com os dados de coleta das regi˜oes em quest˜ao. Conclu´ımos ent˜ao que, para uma
escolha adequada da fun¸c˜ao peri´odica que descreve a sazonalidade, ´e poss´ıvel obter
resultados bastante pr´oximos `a realidade a partir do modelo descrito por (3.2).
49
Cap´ıtulo 4
Modelo Matem´atico da Transmiss˜ao da
Mal´aria
No cap´ıtulo anterior foi apresentado um modelo matem´atico que descreve a
dinˆamica sazonal de mosquitos. O pr´oximo passo ´e ent˜ao inserir naquele modelo
a popula¸c˜ao de humanos, que deve interagir com a popula¸c˜ao de mosquitos e
proceder a transmiss˜ao da mal´aria, tendo em vista que algum dos envolvidos no
processo (humano ou mosquito) esteja infectado.
O modelo que descreve a dinˆamica de transmiss˜ao da mal´aria ´e representado
por um sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias n˜ao-autˆonomas e n˜ao-lineares
acopladas. Esse sistema considera diferentes n´ıveis de efic´acia do tratamento em-
pregado nos casos de mal´aria, bem como os fatores sazonais que afetam o desenvol-
vimento do vetor. As pessoas infectadas procuram por tratamento r´apido e eficaz
ou apenas deixam a doen¸ca evoluir dependendo das suas condi¸c˜oes socioeconˆomicas
e das informa¸c˜oes de que disp˜oe sobre as conseq
¨
uˆencias da doen¸ca. Al´em disso, `a
medida que a temperatura ambiental aumenta, o per´ıodo latente do vetor diminui,
de acordo com Anderson & May [1991], favorecendo a prolifera¸c˜ao da mal´aria e
exigindo melhorias no tratamento da doen¸ca.
Antes de apresentar o modelo, algumas considera¸c˜oes ter˜ao de ser feitas:
(1) S˜ao consideradas duas popula¸c˜oes: H – Humanos, com tamanho constante
e V – Mosquitos, com tamanho vari´avel. A hip´otese de que o tamanho
50
da popula¸c˜ao de humanos ´e constante enquanto o tamanho da popula¸c˜ao
de mosquitos ´e vari´avel se deve ao fato de que uma gera¸c˜ao de humanos
corresponde a muitas gera¸c˜oes de mosquitos. Isso se deve `a diferen¸ca entre
suas expectativas de vida;
(2) Na popula¸c˜ao de humanos s˜ao consideradas pessoas de todas as idades e
ambos os sexos, na popula¸c˜ao de mosquitos continuar˜ao sendo consideradas
apenas as fˆemeas adultas;
(3) Os fenˆomenos migrat´orios s˜ao omitidos;
(4) Cada uma das popula¸c˜oes ´e dividida em trˆes categorias que representam as
vari´aveis de estado: Suscet´ıveis (H
s
e V
s
), Expostos (H
e
e V
e
) e Infecciosos
(H
i
e V
i
), onde H = H
s
+ H
e
+ H
i
e V = V
s
+ V
e
+ V
i
;
(5) A doen¸ca n˜ao confere nenhuma imunidade, isto significa que o humano
curado retorna imediatamente `a classe dos suscet´ıveis, podendo adquirir
novamente a doen¸ca assim que for picado por um mosquito infeccioso;
(6) A doen¸ca n˜ao reduz a fecundidade em humanos ou mosquitos;
(7) A mortalidade atribu´ıda `a doen¸ca ´e desprez´ıvel;
(8) Todos os seres envolvidos na dinˆamica do processo (humanos e mosquitos)
nascem suscet´ıveis.
(9) Os mosquitos suscet´ıveis, exp ostos e infecciosos picam com a mesma freq
¨
uˆen-
cia;
(10) O tempo de recupera¸c˜ao dos humanos depende da efic´acia do tratamento.
Podem ser consideradas n situa¸c˜oes: pessoas tratadas eficazmente, pessoas
cujo tratamento foi incompleto ou inadequado ao tipo de Plasmodium que
elas adquiriram e tantas outras situa¸c˜oes quantas se queira especificar.
Para os mosquitos, bem como para os humanos que nunca foram tratados,
o per´ıodo infeccioso cessa com o fim da sua vida;
51
(11) A dura¸c˜ao do per´ıodo latente do protozo´ario da mal´aria no mosquito de-
pende da temperatura ambiental;
(12) As limita¸c˜oes de crescimento relacionadas `a sazonalidade controlam a taxa
de recrutamento das fˆemeas para a fase adulta e a capacidade suporte.
De acordo com as considera¸c˜oes acima, a forma geral do modelo matem´atico
da transmiss˜ao da mal´aria ´e dada por
dH
s
(t)
dt
= µH(t) − abV
i
(t)
H
s
(t)
H(t)
− µH
s
(t) +
n
j=1
(φ
j
p
j
)H
i
(t)
dH
e
(t)
dt
= abV
i
(t)
H
s
(t)
H(t)
− µH
e
(t) − ηH
e
(t)
dH
i
(t)
dt
= ηH
e
(t) − µH
i
(t) −
n
j=1
(φ
j
p
j
)H
i
(t)
dV
s
(t)
dt
= ε(t)V (t) − f(V (t))V
s
(t) − acV
s
(t)
H
i
(t)
H(t)
dV
e
(t)
dt
= acV
s
(t)
H
i
(t)
H(t)
− f(V (t))V
e
(t) − α(T )V
e
(t)
dV
i
(t)
dt
= α(T )V
e
(t) − f(V (t))V
i
(t),
(4.1)
onde µ ∈
+
´e a taxa de natalidade e mortalidade de humanos por unidade de
tempo, que s˜ao consideradas idˆenticas devido `a hip´otese de que a popula¸c˜ao de
humanos ´e constante e as taxas de migra¸c˜ao foram consideradas irrelevantes; a ∈
+
´e o n´umero de picadas em humanos por mosquito por unidade de tempo; b ∈
+
´e a probabilidade de que um humano suscet´ıvel picado por um mosquito infeccioso
venha a desenvolver a infec¸c˜ao; c ∈
+
´e a probabilidade de que um mosquito
suscet´ıvel venha a desenvolver a infe¸c˜ao ao picar um humano infeccioso; η ∈
+
e α(T ) : →
+
s˜ao as taxas de transi¸c˜ao da classe dos expostos para a classe
dos infecciosos para humanos e mosquitos por unidade de tempo, respectivamente,
onde T ´e a temperatura ambiental medida em
0
C; p
j
∈ [0, 1] ´e a propor¸c˜ao de
humanos infecciosos que recebe tratamento do tipo j, onde
n
j=1
p
j
= 1; φ
j
∈
+
´e
52
a taxa de recupera¸c˜ao para p
j
por unidade de tempo; ε :
+
→
+
´e uma fun¸c˜ao
continuamente diferenci´avel variando no intervalo [ε
min
, ε
max
] que representa a taxa
de recrutamento de mosquitos fˆemeas para a classe adulta no instante t ∈
+
e
f(V (t)) :
+
→
+
´e uma fun¸c˜ao de classe C
∞
que representa a elimina¸c˜ao de
mosquitos do sistema atrav´es de competi¸c˜ao intraespec´ıfica e morte.
As seguintes equa¸c˜oes descrevem ent˜ao o comportamento das popula¸c˜oes
totais de humanos e mosquitos:
dH(t)
dt
= 0
dV (t)
dt
= ε(t)V (t) − f(V (t))V (t),
(4.2)
onde a popula¸c˜ao total de humanos ´e constante conforme a hip´otese do modelo e
a popula¸c˜ao total de mosquitos ´e descrita por um modelo de competi¸c˜ao intraes-
pec´ıfica, Ngwa [2004]. Assim, podemos escrever:
f(V (t)) = (δ + δ
1
+ δ
2
V (t)) , (4.3)
onde δ ∈
+
´e a taxa de mortalidade natural de mosquitos por unidade de tempo,
dependente da densidade; δ
1
∈
+
´e a taxa de mortalidade de mosquitos por
unidade de tempo, independente da densidade; e δ
2
∈
+
´e a taxa de competi¸c˜ao
intraespec´ıfica por unidade de tempo.
Aqui, vamos considerar a popula¸c˜ao de mosquitos descrita pelo modelo de
crescimento log´ıstico de Verhulst, Gurney & Nisbet [1998];
δ
2
=
ε(t) − δ
k(t)
, (4.4)
onde k :
+
→
+
´e uma fun¸c˜ao de classe C
∞
variando no intervalo [k
min
, k
max
]
que representa a capacidade suporte no tempo t ∈
+
.
As considera¸c˜oes acima foram feitas de tal forma que a popula¸c˜ao total de
mosquitos seja descrita pela equa¸c˜ao (3.2), dada por:
53
dV (t)
dt
= (ε(t) − δ) V (t)
1 −
V (t)
k(t)
− δ
1
V (t). (4.5)
4.1 Estima¸c˜ao dos Parˆametros
Nesta se¸c˜ao vamos analisar os parˆametros representados pelos coeficientes do
modelo matem´atico e os parˆametros envolvidos no processo de transmiss˜ao da ma-
l´aria, que indicam as condi¸c˜oes que favorecem a dissemina¸c˜ao da doen¸ca. Os dados
experimentais para a estima¸c˜ao de parˆametros servem apenas para uma primeira
aproxima¸c˜ao de uma realidade bastante complexa. Apesar disso, as aproxima¸c˜aoes
obtidas ajudam a tra¸car cen´arios razoavelmente real´ısticos. A falta de dados atu-
alizados, sem interrup¸c˜oes e coletados por per´ıodos suficientes para que se possa
correlacionar as evidˆencias dificultam muito esse tipo de trabalho, podendo at´e
mesmo comprometer os resultados obtidos nas simula¸c˜oes num´ericas.
4.1.1 Parˆametros do Modelo
Os parˆametros estimados no Cap´ıtulo 3 para o modelo matem´atico da den-
sidade populacional de mosquitos valem para o modelo de transmiss˜ao de mal´aria
aqui proposto. Trataremos ent˜ao de estimar os parˆametros relativos `a transmiss˜ao
da mal´aria em humanos e mosquitos.
Assumindo que a expectativa m´edia de vida da popula¸c˜ao humana seja de
60 anos, temos que
µ =
1
720
= 0, 00139/mˆes. (4.6)
A taxa de picada do Anopheles darlingi ´e estimada a partir da rela¸c˜ao
a =
hbi
gc
, onde hbi ´e o ´ındice de sangue humano e gc ´e o tamanho do ciclo gono-
tr´ofico, que corresponde ao intervalo entre as picadas, Lee et al [2001], Molineaux
& Gramiccia [1980]. Segundo Charlwood e Alecrim, Charlwood & Alecrim [1989],
45,8% do sangue ingerido por Anopheles darlingi ´e proveniente de humanos, e o
intervalo entre as picadas do mosquito ´e de 2, 3 dias. Ent˜ao,
54
a =
0, 458
2, 3
× 30 = 5, 974/mˆes. (4.7)
Os coeficientes b e c variam no intervalo [0, 1] de acordo com a efic´acia da
picada em transmitir formas adequadas do protozoario, sendo importante lembrar
que o plasmodium se desenvolve no organismo do mosquito se gamet´ocitos de am-
bos os sexos forem ingeridos durante a picada, Anderson & May [1991], Molineaux
& Gramiccia [1980]. Na ausˆencia de informa¸c˜oes precisas sobre esses coeficientes,
vamos considerar b = c = 0, 3.
O per´ıodo latente da mal´aria ´e definido como o intervalo de tempo desde
a infecc˜ao inicial at´e o surgimento de gamet´ocitos no sangue (per´ıodo latente in-
tr´ınseco – para humanos) ou o surgimento de esporozo´ıtos nas glˆandulas salivares
(per´ıodo latente extr´ınseco – para mosquitos), Anderson & May [1991]. Os parˆa-
metros η e α(T ) s˜ao estimados considerando
1
η
and
1
α(T )
as dura¸c˜oes dos per´ıodos
latentes intr´ınseco e extr´ınseco, respectivamente.
Para humanos a dura¸c˜ao do per´ıodo latente da mal´aria transmitida por Plas-
modium falciparum ´e aproximadamente 10 dias (0, 33 meses), Anderson & May
[1991], Molineaux & Gramiccia [1980], e n´os vamos considerar o mesmo per´ıodo
para o Plasmodium vivax. Assim:
η =
1
0, 33
= 3/mˆes. (4.8)
A dura¸c˜ao do per´ıodo latente do vetor varia de acordo com a temperatura
ambiental de acordo com a seguinte rela¸c˜ao:
1
α
=
2
T − 15
, (4.9)
a qual foi obtida a partir dos dados experimentais de Macdonald apresentados em
Anderson & May [1991]. Ent˜ao:
α =
T − 15
2
/mˆes. (4.10)
55
Para obter a taxa de recupera¸c˜ao ´e necess´ario considerar que
1
φ
j
´e a dura¸c˜ao
do per´ıodo infeccioso correspondente `a j-´esima classe de tratamento empregada.
Nestas estimativas, trˆes classes de tratamento ser˜ao consideradas:
(1) Tratamento completo e eficaz: Neste caso, o humano permanece infeccioso
e uma fonte potencial de dissemina¸c˜ao da do en¸ca desde o fim do per´ıodo
latente at´e o fim do tratamento, quando a recupera¸c˜ao ´e completa. O
tratamento inicia quando o paciente detecta os sintomas da doen¸ca e dura
aproximadamente 15 dias, FUNASA [2001].
`
A este intervalo de tempo,
´e necess´ario adicionar o per´ıodo de incuba¸c˜ao (per´ıo do em que a doen¸ca
´e assintom´atica, por´em transmiss´ıvel), que ´e a diferen¸ca entre o per´ıodo
total de incuba¸c˜ao e o per´ıodo latente (n˜ao transmiss´ıvel). Isto porque o
indiv´ıduo s´o procura por tratamento ap´os a manifesta¸c˜ao dos sintomas.
Com essas considera¸c˜oes, podemos escrever:
φ
1
=
1
15 + 5
× 30 = 1, 5/mˆes. (4.11)
(2) Tratamento incompleto: Nesse caso, o humano infectado permanece infec-
cioso por um longo per´ıodo, podendo chegar a 3 anos, FUNASA [2001],
devido ao fato de que o per´ıodo de recupera¸c˜ao ´e muito mais longo em
fun¸c˜ao do atraso no tratamento. O per´ıodo infeccioso ser´a considerado
nestas estimativas como 1 ano. Ent˜ao:
φ
2
=
1
12
= 0, 0832/mˆes. (4.12)
(3) Tratamento ausente: Quando o tratamento ´e negligenciado, o indiv´ıduo
permanece infeccioso at´e o fim da sua vida. Isso ´e comum ocorrer em
indiv´ıduos infectados assintom´aticos. Nesse caso,
φ
3
= 0. (4.13)
56
A taxa de picadas em humanos (hbr) ´e definida como o produto entre o
n´umero de mosquitos fˆemea por humano (m) e a taxa de picada do mosquito
(a), Lee et al [2001], Molineaux & Gramiccia [1980]. Para o munic´ıpio de Novo
Air˜ao/AM foi obtido hbr = 0, 096 picadas/humano/hora, Tadei [1997]. Ent˜ao:
m =
hbr
gc
=
0, 096 × 24 × 30
5, 974
= 11, 57 mosquitosf ˆemea/humano. (4.14)
Com as informa¸c˜oes publicados em Tadei [1997] para o munic´ıpio de Novo
Air˜ao/AM, temos que o n´umero total de intera¸c˜oes efetivas entre mosquitos e
humanos ao longo de 12 meses foi estimado em 804. Ent˜ao:
Dezembro
mˆes=Janeiro
V (mˆes)
12 × H(t)
= 11, 57, (4.15)
ou
H(t) =
804
12 × 11, 57
= 5, 8 humanos. (4.16)
Como a popula¸c˜ao humana foi assumida constante ao longo do tempo, po-
demos assumir a condi¸c˜ao inicial H(0) = 5, 8. A evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao humana
dividida em trˆes classes, suscet´ıveis, expostos e infecciosos, n˜ao ´e sens´ıvel a distri-
bui¸c˜ao inicial entre essas categorias.
De acordo com as observa¸c˜oes experimentais, Tadei [1997], a condi¸c˜ao inicial
para a popula¸c˜ao de mosquitos, de acordo com a popula¸c˜ao humana definida acima,
´e assumida V (0) = 6 mosquitos fˆemea.
Os coeficientes obtidos est˜ao dispostos na Tab ela 4.1, juntamente com os pa-
rˆametros referentes ao munic´ıpio de Novo Air˜ao/AM, cujas fun¸c˜oes de sazonalidade
s˜ao dadas por (3.12).
57
Parametros Valores
ε 8, 114
ε
0
0, 029
δ 4
δ
1
2, 545
κ 85
κ
0
0, 00975
µ 0, 00139
a 5, 974
b,c 0, 3
η 3
φ
1
1, 5
φ
2
0, 0832
φ
3
0
Tabela 4.1: Parametros para o Modelo
4.1.2 Parˆametro Indicativo do Processo de Transmiss˜ao
Para analisar a tendˆencia evolutiva da doen¸ca ´e conveniente calcular a ex-
press˜ao para o n´umero reprodutivo b´asico, R
0
, que indica como a doen¸ca progride
no tempo podendo estabilizar-se em um n´ıvel endˆemico, tender `a erradica¸c˜ao ou
contaminar toda a popula¸c˜ao.
De acordo com Anderson e May, Anderson & May [1991], em se tratando de
uma doen¸ca transmitida por protozo´arios (como ´e o caso da mal´aria), R
0
´e mais
precisamente definido como o n´umero m´edio de infecc˜oes secund´arias resultantes da
introdu¸c˜ao de um indiv´ıduo infectado em uma popula¸c˜ao hospedeira onde todos
os elementos da popula¸c˜ao s˜ao suscet´ıveis. Assim, se R
0
< 1 a doen¸ca tende a
desaparecer, se R
0
= 1 um estado de equil´ıbrio ser´a atingido e se R
0
> 1 a doen¸ca
se espalha contaminando toda a popula¸c˜ao.
A express˜ao do n´umero repro dutivo b´asico po de ser obtida algebricamente
pela an´alise das propriedades de estabilidade do sistema, sendo matematicamente
definida como o autovalor dominante de um operador linear positivo, Diekmann
et al [1990]. Segundo Anderson e May, em Anderson & May [1991], um c´alculo
mais direto pode, entretanto, ser obtido pela an´alise geom´etrica de um plano de
fase do comportamento dinˆamico do modelo. Nesse caso devem ser analisadas as
58
is´oclinas de humanos e mosquitos infecciosos.
Vamos obter a express˜ao para R
0
utilizando a forma mais geral do modelo
de transmiss˜ao de mal´aria, dada por (4.1). Para isso, ´e conveniente obter um sis-
tema normalizado para as equa¸c˜oes que representam as popula¸c˜oes de humanos
e mosquitos, isto ´e, todas as vari´aveis referentes `a popula¸c˜ao de humanos ser´a
dividida pelo tamanho da p opula¸c˜ao total de humanos e todas as vari´aveis refe-
rentes `a popula¸c˜ao de mosquitos ser´a dividida pelo tamanho da popula¸c˜ao total
de mosquitos.
Assim, as novas vari´aveis representam as propor¸c˜oes dos diferentes compar-
timentos de humanos e mosquitos (suscet´ıveis, expostos e infecciosos) referentes `as
respectivas popula¸c˜oes totais, ou seja:
h
s
=
H
s
H
, h
e
=
H
e
H
, h
i
=
H
i
H
, v
s
=
V
s
V
, v
e
=
V
e
V
, v
i
=
V
i
V
, (4.17)
tais que h
s
+ h
e
+ h
i
= 1 e v
s
+ v
e
+ v
i
= 1.
Substituindo as novas vari´aveis 4.17 no sistema 4.1, temos:
dh
s
dt
= µ − abv
i
h
s
V
H
− µh
s
+
n
j=1
(φ
j
p
j
)h
i
dh
e
dt
= abv
i
h
s
V
H
− µh
e
− ηh
e
dh
i
dt
= ηh
e
− µh
i
−
n
j=1
(φ
j
p
j
)h
i
dv
s
dt
= ε(t) − acv
s
h
i
− ε(t)v
s
dv
e
dt
= acv
s
h
i
− αv
e
− ε(t)v
e
dv
i
dt
= αv
e
− ε(t)v
i
,
(4.18)
onde h
s
(t) ´e a propor¸c˜ao de humanos suscet´ıveis em rela¸c˜ao `a p opula¸c˜ao total de
humanos; h
e
(t) ´e a propor¸c˜ao de humanos expostos em rela¸c˜ao `a popula¸c˜ao total
de humanos; h
i
(t) ´e a propor¸c˜ao de humanos infecciosos em rela¸c˜ao ´a popula¸c˜ao
59
total de humanos; v
s
(t) ´e a prop or¸c˜ao de mosquitos suscet´ıveis em rela¸c˜ao `a po-
pula¸c˜ao total de mosquitos; v
e
(t) ´e a propor¸c˜ao de mosquitos expostos em rela¸c˜ao
`a popula¸c˜ao total de mosquitos; v
i
(t) ´e a propor¸c˜ao de mosquitos infecciosos em
rela¸c˜ao `a popula¸c˜ao total de mosquitos.
Fazendo
dh
s
dt
= 0,
dh
e
dt
= 0,
dh
i
dt
= 0 e resolvendo o sistema para h
s
, h
e
, v
i
, a
is´oclina h
i
´e dada por
v
∗
i
(t) =
−h
∗
i
µ
2
+ (µ + η)
n
j=1
(φ
j
p
j
) + µη
H
ab
−η +
µ + η +
n
j=1
(φ
j
p
j
)
h
∗
i
V
. (4.19)
Fazendo
dv
s
dt
= 0,
dv
e
dt
= 0,
dv
i
dt
= 0 e resolvendo o sistema para v
s
, v
e
, v
i
, a
is´oclina v
i
´e dada por
v
∗
i
(t) =
αach
∗
i
αach
∗
i
+ ach
∗
i
ε(t) + αε(t) + ε
2
(t)
. (4.20)
Assim, dois pontos de equil´ıbrio s˜ao identificados: o equil´ıbrio livre da doen¸ca
P
0
= (h
∗
s
, 0, 0, v
∗
s
, 0, 0) e o equil´ıbrio endˆemico P
1
= (h
∗
s
, h
∗
e
, h
∗
i
, v
∗
s
, v
∗
e
, v
∗
i
).
Se a interse¸c˜ao das duas is´oclinas h
i
e v
i
existe, ela representa o estado de
equil´ıbrio do sistema.
Para que essa interse¸c˜ao ocorra em valores positivos de h
i
e v
i
, ´e necess´ario
que a derivada da is´oclina v
i
seja maior do que a derivada da is´oclina h
i
, ambas
calculadas na origem das coordenadas. Isso se deve ao fato de que a is´oclina h
i
tem
sua concavidade voltada para cima, enquanto que a is´oclina v
i
tem sua concavidade
voltada para baixo.
A derivada da is´oclina h
i
calculada em h
i
= 0 e designada por s
h
´e dada por:
s
h
=
H
µ
2
+ (µ + η)
n
j=1
(φ
j
p
j
) + ηµ
abηV
. (4.21)
A derivada da is´oclina v
i
calculada em h
i
= 0 e designada por s
v
´e dada por
60
s
v
=
αac
αε(t) + ε
2
(t)
. (4.22)
Se a derivada da is´oclina v
i
´e menor do que a derivada da is´oclina h
i
(s
v
< s
h
),
temos necessariamente R
0
< 1 e a infec¸c˜ao n˜ao pode persistir, pois R
0
est´a abaixo
do limiar R
0
= 1. Por outro lado, se a derivada da is´oclina v
i
´e maior do que
a derivada da isoclina h
i
(s
v
> s
h
) temos necessariamente R
0
> 1 e a infec¸c˜ao
persiste.
Assim, se s
v
> s
h
, a desigualdade
αac
αε(t) + ε
2
(t)
H
V
µ
2
+ (µ + η)
n
j=1
(φ
j
p
j
) + ηµ
abη
> 1 (4.23)
´e satisfeita, e seu lado esquerdo ´e o n´umero reprodutivo b´asico
R
0
=
αa
2
cbηV
(αε(t) + ε
2
(t))
µ
2
+ (µ + η)
n
j=1
(φ
j
p
j
) + ηµ
H
. (4.24)
Obviamente, R
0
:
+
→
+
´e uma fun¸c˜ao de t. Estima¸c˜oes que expressam o
n´umero reprodutivo b´asico como um parˆametro dependente do tempo, s˜ao encon-
tradas em Quinnell et al [1997] e Williams & Dye [1997], onde a nota¸c˜ao usada ´e
R
0
(t) e em Coutinho et al [2006] sob a nota¸c˜ao R(t).
Nos intervalos de tempo para os quais R
0
(t) ´e maior do que a unidade, a
infec¸c˜ao ´e mais intensa e nos intervalos de tempo para os quais R
0
(t) ´e menor do
que a unidade, a infec¸c˜ao tende `a desaparecer, Coutinho et al [2006].
No nosso caso, a fun¸c˜ao R
0
(t) acompanha a varia¸c˜ao sazonal da popula¸c˜ao de
mosquitos, onde o seus per´ıodos de m´aximos e m´ınimos coincidem com os per´ıodos
de m´aximos e m´ınimos das fun¸c˜oes ε(t) e k(t).
Entretanto, nos interessa obter um parˆametro que possa ser comparado `a
61
unidade, indicando `a tendˆencia da transmiss˜ao. Para isso, devemos considerar a
m´edia aritm´etica da fun¸c˜ao R
0
(t) durante o ciclo de per´ıodo T , isto ´e:
R
0
=
t+T
t
R
0
(s)ds
T
. (4.25)
Assim, se R
0
< 1 a doen¸ca tende `a desaparecer, se R
0
= 1 a doen¸ca per-
manece em um n´ıvel endˆemico e se R
0
> 1 a doen¸ca tende a se espalhar entre a
popula¸c˜ao. No nosso caso t = 0 e T = 12.
A express˜ao (4.24) ´e usada somente quando as propor¸c˜oes de humanos e
mosquitos suscet´ıveis s˜ao suficientemente grandes (aproximadamente iguais `as res-
pectivas popula¸c˜oes totais). Se uma consider´avel prop or¸c˜ao da popula¸c˜ao n˜ao ´e
suscet´ıvel, o n´umero reprodutivo b´asico ´e
R
1
(t) =
H
s
H
V
s
V
R
0
(t), (4.26)
onde R
0
(t) ´e dado por (4.24). Nesse caso, para estabelecer uma rela¸c˜ao entre
o n´umero reprodutivo b´asico e a unidade, tamb´em ´e necess´ario obter a m´edia
aritm´etica R
1
.
A informa¸c˜ao de que R
0
ultrapasse ou n˜ao o limiar R
0
= 1 ´e importante
para antecipar aos ´org˜aos relacionados `a sa´ude p´ublica o momento a partir do qual
esse limiar ser´a ultrapassado, para que as devidas providˆencias sejam tomadas a
tempo de conter ou, pelo menos, amenizar o espalhamento da doen¸ca na popula¸c˜ao.
Al´em disso, a magnitude de R
0
´e tamb´em importante para preparar estrat´egias
de controle, pois sua express˜ao cont´em os parˆametros envolvidos no pro cesso de
transmiss˜ao da doen¸ca, fornecendo informa¸c˜oes importantes para selecionar quais
os parˆametros que devem ser controlados buscando efic´acia, baixo custo e facilidade
de controle.
Como a mal´aria ´e uma doen¸ca trat´avel cuja forma de tratamento ´e bem
conhecida, podemos utilizar a express˜ao do n´umero reprodutivo b´asico para avaliar
qual a propor¸c˜ao m´ınima da popula¸c˜ao infectada deve ser tratada (tratamento
62
completo e eficaz) em fun¸c˜ao da varia¸c˜ao de temperatura para que a doen¸ca n˜ao
persista.
Simula¸c˜oes num´ericas mostrando a varia¸c˜ao da propor¸c˜ao de pessoas tratadas
em fun¸c˜ao da temperatura ambiental s˜ao mostradas a seguir.
4.2 Simula¸c˜oes Num´ericas
As simula¸c˜oes num´ericas apresentadas foram obtidas da integra¸c˜ao do sis-
tema (4.1) com fun¸c˜oes de sazonalidade dadas por (3.12). Para isso, foi usado o
m´etodo de diferen¸cas finitas Runge-Kutta de quarta ordem, Grove [1966].
As solu¸c˜oes obtidas mostram a dinˆamica sazonal do modelo matem´atico, le-
vando em conta a rela¸c˜ao entre a temperatura ambiental e a efic´acia do tratamento.
Os coeficientes utilizados nas simula¸c˜oes num´ericas s˜ao mostrados na Tabela 4.1.
Em todas as simula¸c˜oes num´ericas s˜ao observadas ondas epidˆemicas. Esta
flutua¸c˜ao na dinˆamica de transmiss˜ao da mal´aria ´e decorrente da varia¸c˜ao sazonal
observada e descrita pela equa¸c˜ao referente `a dinˆamica populacional dos mosqui-
tos. Os cen´arios foram tra¸cados de forma a corresponder diferentes temperaturas
ambientais `a propor¸c˜oes de tratamento suficientes para atingir n´ıveis endˆemicos
relativamente baixos.
A rela¸c˜ao entre a densidade de mosquitos infecciosos e humanos infecciosos
tamb´em pode ser observada, sendo vis´ıvel o o atraso entre o aumento no n´umero
de mosquitos infecciosos e o aumento no n´umero de humanos infecciosos. A raz˜ao
deste atraso se deve `a introdu¸c˜ao de per´ıodos latentes no modelo. Este comporta-
mento ´e confirmado por observa¸c˜oes de campo, Tadei et al [1998], Tadei & Thatcher
[2000].
A simula¸c˜ao apresentada na Figura 4.1 foi obtida para uma temperatura
ambiental de 25
o
C e considerando que 75% dos humanos infecciosos recebem tra-
tamento eficiente, 20% recebem tratamento incompleto e 5% n˜ao recebem nenhum
tipo de tratamento. De acordo com o modelo matem´atico proposto e os parˆametros
previamente estimados, podemos notar que com essa temperatura, as propor¸c˜oes
63
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.1: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 75, p
2
= 0, 20, p
3
= 0, 05 e T = 25
o
C.
de tratamento empregadas foram suficientes para eliminar a doen¸ca, onde a popu-
la¸c˜ao infecciosa tende ao estado estacion´ario (H
∗
i
, V
∗
i
) = (0, 0). De fato, R
0
≈ 0, 91
´e menor do que a unidade.
Para uma temperatura ambiental de 27
o
C, o tratamento empregado na si-
mula¸c˜ao anterior j´a n˜ao ´e mais suficiente para exting
¨
uir a doen¸ca.
Como pode ser visto na Figura 4.2 a doen¸ca foi mantida em n´ıveis endˆemicos,
R
0
≈ 1, com MAX(H
∗
i
, V
∗
i
) = (0, 8, 0, 7). Neste caso, ´e necess´ario aumentar a
propor¸c˜ao de pessoas que recebem tratamento eficiente de 75% para 80% e dimi-
nuindo a propor¸c˜ao de pessoas que recebem tratamento incompleto de 20% para
17%, deixando 3% de pessoas infectadas sem tratamento. Com estas propor¸c˜oes a
doen¸ca tende a desaparecer, conforme pode ser visto na Figura 4.3 e confirmado
pelo n´umero reprodutivo b´asico R
0
≈ 0, 96.
O tratamento conforme definido anteriormente ´e bom o suficiente para eli-
minar a doen¸ca em uma temperatura ambiental de 27
o
C, mas estas propor¸c˜oes
falham quando a temperatura atinge 29
o
C.
64
0
0.5
1
1.5
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.2: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 75, p
2
= 0, 20, p
3
= 0, 05 e T = 27
o
C.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.3: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 80, p
2
= 0, 17, p
3
= 0, 03 e T = 27
o
C.
65
0
0.5
1
1.5
2
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.4: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 80, p
2
= 0, 17, p
3
= 0, 03 e T = 29
o
C.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.5: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 88, p
2
= 0, 10, p
3
= 0, 02 e T = 29
o
C.
66
Como pode ser visto na Figura 4.4, para uma propor¸c˜ao de 80% de pessoas
infectadas recebendo tratamento eficiente, a doen¸ca se mant´em em um n´ıvel en-
dˆemico, R
0
≈ 1, com as popula¸c˜oes de humanos e mosquitos infecciosos nos picos
estabilizadas em MAX(H
∗
i
, V
∗
i
) = (1, 1). Quando a propor¸c˜ao de pessoas que
recebe tratamento eficiente ´e aumentada para 88% e a propor¸c˜ao de pessoas que
recebem tratamento incompleto e nenhum tratamento decrescem para 10% e 2%,
respectivamente, a doen¸ca tende a desaparecer, R
0
≈ 0, 965, como mostrado na
Figura 4.5.
0
0.5
1
1.5
2
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.6: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 88, p
2
= 0, 10, p
3
= 0, 02 e T = 31
o
C.
A Figura 4.6 mostra a simula¸c˜ao num´erica para uma temperatura ambiental
de 31
o
C com a mesma distribui¸c˜ao de tratamento empregada anteriormente na
elimina¸c˜ao da doen¸ca, quando a temperatura era 29
o
C.
Como era de se esperar a doen¸ca n˜ao desapareceu, estabilizando em um
padr˜ao oscilat´orio cujo pico assume valores MAX(H
∗
i
, V
∗
i
) = (0, 7, 0, 8); de fato
R
0
≈ 1. Nesse caso, a elimina¸c˜ao da mal´aria requer um tratamento mais intensivo.
Com 95% de humanos infecciosos recebendo tratamento eficiente e 5% recebendo
67
tratamento incompleto a doen¸ca desaparece da popula¸c˜ao, R
0
≈ 0, 966, como
mostrado na Figura 4.7.
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.7: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 95, p
2
= 0, 05, p
3
= 0, 0 e T = 31
o
C.
Mesmo admitindo um n´ıvel de tratamento de 95% para os humanos infec-
ciosos, a doen¸ca n˜ao pode ser controlada se a temperatura ambiental aumentar
para 33
o
C, como pode ser visto na Figura 4.8. Os valores dos picos se mant´em
em um estado estacion´ario MAX(H
∗
i
, V
∗
i
) = (0, 6, 0, 65), onde R
0
≈ 1. Para esta
temperatura ´e necess´ario aplicar um tratamento eficiente em 100% dos casos de
mal´aria para eliminar completamente a doen¸ca da popula¸c˜ao, conforme visto na
Figura 4.9, onde R
0
= 0, 98.
Quando a temp eratura ambiental atinge 35
o
C, mesmo tratando 100% da po-
pula¸c˜ao infecciosa, a elimina¸c˜ao da doen¸ca torna-se invi´avel, como pode ser visto
na simula¸c˜ao num´erica mostrada na Figura 4.10, onde R
0
≈ 1. Nesse caso, o equi-
l´ıbrio ´e atingido com um valor nos picos de MAX(H
∗
i
, V
∗
i
) = (0, 6, 0, 7). Assim, a
completa elimina¸c˜ao da doen¸ca requer outras a¸c˜oes associadas ao tratamento.
Ao contr´ario, se considerarmos uma temperatura ambiental de 25
o
C sem
68
0
0.5
1
1.5
2
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.8: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 95, p
2
= 0, 05, p
3
= 0, 0 e T = 33
o
C.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.9: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 1, 0, p
2
= 0, 0, p
3
= 0, 0 e T = 33
o
C.
69
0.5
1
1.5
2
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (month)
Figura 4.10: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 1, 0, p
2
= 0, 0, p
3
= 0, 0 e T = 35
o
C.
0
2
4
6
8
10
12
14
Vi,Hi
10 20 30 40 50
t (meses)
Figura 4.11: Popula¸c˜ao de humanos infecciosos (linha escura) e mosquitos infecciosos
(linha clara) usando os parˆametros p
1
= 0, 0, p
2
= 0, 0, p
3
= 1, 0 e T = 25
o
C.
70
oferecer nenhum tratamento `as pessoas doentes, a mal´aria se espalha at´e atingir
toda a popula¸c˜ao j´a no 8
o
mˆes, como pode ser visto na Figura 4.11 e confirmado
por R
0
≈ 751, 78. Isto significa que mesmo em regi˜oes com temperaturas um pouco
mais baixas, se as pessoas que chegam `a regi˜ao j´a infectadas n˜ao forem tratadas,
a doen¸ca deve se espalhar rapidamente na popula¸c˜ao.
Obviamente, o aumento da temperatura m´edia ambiental reduz drastica-
mente as chances de eliminar a mal´aria da popula¸c˜ao com um tratamento apropri-
ado aplicado aos infecciosos.
4.3 Considera¸c˜oes Finais
Neste cap´ıtulo foi explorada a resposta de um modelo de mal´aria na presen¸ca
de tratamento com diferentes n´ıveis de eficiˆencia, para uma temperatura ambiental
em eleva¸c˜ao, e em condi¸c˜oes sazonais para o desenvolvimento do vetor. A principal
id´eia foi avaliar a propor¸c˜ao da popula¸c˜ao que necessita de intenso cuidado para
levar a doen¸ca `a extin¸c˜ao. Uma vez que a taxa de infec¸c˜ao ´e sens´ıvel a varia¸c˜ao da
temperatura, esta vari´avel foi levada em conta. Al´em disso, para melhor simular
as condi¸c˜oes na Regi˜ao Amazˆonica, a influˆencia sazonal foi introduzida no modelo
de acordo com os dados publicados em Tadei [1997] para o munic´ıpio de Novo
Air˜ao/AM.
Ficou claro no modelo que altas temperaturas aumentam a necessidade de
proporcionar tratamento eficiente `a uma prop or¸c˜ao maior de pessoas doentes. A
raz˜ao para isso ´e que sob altas temperaturas, o per´ıodo de latˆencia do mosquito
´e muito curto, levando a um r´apido espalhamento da doen¸ca. Como a mal´aria ´e
uma doen¸ca que admite per´ıodo de incuba¸c˜ao (intervalo de tempo entre a infec¸c˜ao
inicial e a manifesta¸c˜ao dos sintomas) que pode ser maior do que o per´ıodo latente
do protozo´ario nos humanos, ainda que se tratasse toda a popula¸c˜ao infectada,
essas pessoas continuariam sendo fonte de infec¸c˜ao no intervalo desde o final do
per´ıodo latente at´e o final do per´ıodo de incuba¸c˜ao.
Entretanto, em situa¸c˜oes comuns, ´e sempre poss´ıvel controlar a doen¸ca ofe-
71
recendo um tratamento eficiente `a uma determinada propor¸c˜ao de pessoas infecci-
osas.
72
Cap´ıtulo 5
Modelo Matem´atico da Intera¸c˜ao entre
Mosquitos Selvagens e Geneticamente
Modificados
Neste cap´ıtulo propomos um modelo matem´atico que descreve a intera¸c˜ao
entre mosquitos selvagens e geneticamente modificados, onde os mosquitos geneti-
camente modificados s˜ao agrupados em uma ´unica popula¸c˜ao indep endentemente
da sua zigosidade. Assim como ocorre na popula¸c˜ao de mosquitos selvagens, cujo
modelo foi apresentado no Cap´ıtulo 3, a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente
modificados tamb´em tem sua taxa de recrutamento para a fase adulta dependente
da densidade e taxa de mortalidade parcialmente dependente da densidade. Por
se tratar da mesma esp´ecie, foi admitido que ambas as popula¸c˜oes apresentam o
mesmo comportamento em rela¸c˜ao `a sazonalidade ambiental, capacidade suporte
e taxa de mortalidade.
Um modelo discreto para a intera¸c˜ao entre mosquitos selvagens e genetica-
mente modificados ´e apresentado em Li [2004].
5.1 Caracter´ısticas Gerais dos Mosquitos Geneticamente Modifica-
dos
A elabora¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados, que s˜ao resistentes `a
mal´aria, pode fornecer uma nova e eficaz medida de controle da doen¸ca. O obje-
73
tivo ´e aumentar a freq
¨
uˆencia, em uma popula¸c˜ao de mosquitos, de um gene que
interfira no desenvolvimento do protozo´ario, resultando no bloqueio de sua trans-
miss˜ao ao homem. Para isso, pesquisadores de v´arios laborat´orios tˆem trabalhado
no sentido de obter t´ecnicas para manipula¸c˜ao gen´etica; identificando elementos
de transposi¸c˜ao, que s˜ao seq
¨
uˆencias de DNA cujas extremidades s˜ao constitu´ıdas
por repeti¸c˜oes invertidas de seq
¨
uˆencias e no meio existe uma seq
¨
uˆencia que codifica
uma enzima, chamada de transposase, capaz de transportar este elemento de um
lugar para outro do cromossomo mas deixando c´opias de si no lugar original, Valle
[2002]; identificando elementos promotores, que devem regular em qual tecido e
em que momento o transgene deve ser expresso, Valle [2002], Moreira et al [2002a];
identificando o transgene, que deve ser capaz de interferir no desenvolvimento do
protozo´ario no mosquito sem interferir nas suas aptid˜oes, Moreira et al [2002a];
e identificando um marcador eficiente para que os mosquitos geneticamente mo-
dificado possam ser identificados em estudos de laborat´orio e caso seja necess´ario
retir´a-los de ´areas de teste.
Segundo Moreira et al [2002a], a manipula¸c˜ao gen´etica de um organismo
metazo´ario foi considerada pela primeira vez por Rubin e Spradling em 1982, Rubin
& Spradling [1982], mostrando que o elemento de transposi¸c˜ao P poderia ser usado
para introduzir genes externos em uma linhagem de Drosophila. Esta descoberta
foi utilizada em muitos laborat´orios para manipular uma varidade de organismos,
desde insetos at´e mam´ıferos, mas os resultados de muitos anos de pesquisa levaram
`a conclus˜ao de que o elemento P poderia ser usado apenas para manipula¸c˜ao de
organismos do gˆenero Drosophila.
Nos ´ultimos anos, m´etodos para modifica¸c˜ao gen´etica de mosquitos foram
desenvolvidos e os genes que interferem no desenvolvimento do Plasmodium est˜ao
sendo identificados. Uma linha cronol´ogica de alguns dos principais estudos ´e
apresentada em Moreira et al [2002a].
O primeiro mosquito transmissor da mal´aria modificado geneticamente de
maneira confi´avel foi o Anopheles stephensi em 2000, Catteruccia et al [2000],
74
que expressava um gene da ´agua-viva Aequorea victoria como marcador e emitia
fluorescˆencia. Este gene, chamado EGFP, foi usado pela primeira vez em mosquitos
nos experimentos com Aedes aegypti em 2000, Pinkerton et al [2000], e ´e atualmente
o marcador mais utilizado, Moreira et al [2002a].
A aptid˜ao do mosquito Anopheles stephensi geneticamente modificado ex-
pressando marcador de fen´otipo de prote´ına fluorescente verde, EGFP, ou vermelha
(do coral Discosoma), DsRED, foi analizada em Catteruccia et al [2003]. Neste
estudo, os mosquitos n˜ao carregavam gene de refratoriedade `a mal´aria, apenas
um marcador. Foram misturadas quantidades iguais de mosquitos selvagens com
cada uma das quatro linhagens de mosquitos homozigotos geneticamente modifica-
dos obtidos e, em quatro experimentos independentes, foi verificada uma redu¸c˜ao
na aptid˜ao dos mosquitos geneticamente modificados em rela¸c˜ao ao selvagens e o
transgene desapareceu da popula¸c˜ao ap´os 5–15 gera¸c˜oes.
Em 2001, pesquisadores transferiram o EGFP para mosquitos Anopheles
gambiae, comumente encontrados na
´
Africa, Grossam et al [2001].
Um importante avan¸co nos estudos sobre a seq
¨
uˆencia gen´etica do Anopheles
gambiae, um dos principais transmissores da mal´aria, ocorreu em 2002. A desco-
berta do seu c´odigo gen´etico possibilitou a identifica¸c˜ao de genes usados para o
controle da mal´aria e permitiu a identifica¸c˜ao de elementos gen´eticos que podem
ser usados para a tranforma¸c˜ao do mosquito, Holt & et al [2002].
Os primeiros mosquitos do gˆenero Anopheles incapazes de transmitir o pro-
tozo´ario da mal´aria foram tamb´em desenvolvidos em 2002, a partir da t´ecnica
desenvolvida em Catteruccia et al [2000]. Os pesquisadores criaram dois tipos di-
ferentes de Anopheles stephensi geneticamente modificados utilizando o promotor
CP (carb oxypeptidase): um deles expressava o pept´ıdeo sint´etico SM1 (salivary
gland and midgut binding peptide 1), Ghosh et al [2001], Ito et al [2002]; enquanto
o outro expressava a enzima presente em veneno de abelhas PLA2 (fosfolipase A2),
Moreira et al [2002b], ambos os mosquitos foram identificados com o marcador
EGFP.
75
Quando os mosquitos selvagens (grupo de controle) e os geneticamente mo-
dificados com SM1 foram alimentados com rato infectado por Plasmodium berguei,
houve uma redu¸c˜ao de 81,6%, em m´edia, da forma¸c˜ao de oocistos nos mosqui-
tos geneticamente modificados quando comparados aos mosquitos selvagens, o que
comprova que esses insetos s˜ao menos suscet´ıveis `a infec¸c˜ao. Em dois dos trˆes
experimentos realizados, os mosquitos geneticamente modificados apresentaram
capacidade vetorial nula e no terceiro a transmiss˜ao foi reduzida de 70% para
30% quando comparados aos mosquitos selvagens, Ito et al [2002]. Experimentos
semelhantes realizados com os mosquitos geneticamente modificados com PLA2
mostraram que a redu¸c˜ao de oocistos foi de 87% em m´edia e a capacidade veto-
rial foi significativamente reduzida. Em trˆes dos quatro experimentos realizados
a transmiss˜ao de Plasmodium berguei do mosquito geneticamente modificado com
PLA2 para o rato suscet´ıvel foi nula e no quarto exp erimento a transmiss˜ao foi
reduzida de 83% para 20%, Moreira et al [2002b].
Segundo Moreira et al [2004], estudos sobre sobrevivˆencia, fecundidade e fer-
tilidade mostraram que mosquitos geneticamente mo dificados com SM1 n˜ao tive-
ram nenhuma redu¸c˜ao significativa para esses parˆametros em rela¸c˜ao aos mosquitos
selvagens; j´a aqueles geneticamente modificados com PLA2 tiveram uma aptid˜ao
reduzida, sendo observada uma redu¸c˜ao da fecundidade devido `a uma menor inges-
t˜ao de sangue. Nos experimentos foram cruzados 250 heterozigotos geneticamente
modificados com um n´umero igual de selvagens do sexo oposto. A freq
¨
uˆencia do
gene na popula¸c˜ao parental foi 0,25. Se o transgene n˜ao traz preju´ızos `a aptid˜ao
do mosquito, como foi o caso do SM1, a freq
¨
uˆencia esperada de EGFP p ositivos
na primeira gera¸c˜ao ´e 50% (verde fluorescente devido ao transgene dominante) e
44% EGFP positivos contra 56% EGFP negativos para as gera¸c˜oes subsequentes
(equil´ıbrio de Hardy–Weinberg), Falconer & Mackay [1996]; para o caso de mos-
quitos geneticamente modificados com PLA2, a freq
¨
uˆencia de EGFP positivos na
primeira gera¸c˜ao foi de 50% (assim como para o SM1), mas na segunda gera¸c˜ao a
freq
¨
uˆencia decresceu rapidamente e na quinta gera¸c˜ao quase n˜ao haviam mosquitos
76
geneticamente modificados.
Enfim, estudos sobre a habilidade dos mosquitos geneticamente modificados
em sobreviver e reproduzir fornecem diretrizes para a elabora¸c˜ao de um modelo
matem´atico que represente sua intera¸c˜ao com os mosquitos selvagens e para a
escolha de parˆametros pr´oximos `aqueles obtidos em laborat´orio.
5.2 Formula¸c˜ao do Modelo Matem´atico
Para elaborar o modelo matem´atico que descreve a intera¸c˜ao entre mos-
quitos selvagens e geneticamente modificados, ´e necess´ario acoplar uma equa¸c˜ao
referente `a dinˆamica populacional de mosquitos geneticamente modificados ao mo-
delo matem´atico descrito no Cap´ıtulo 3. Com isso obtemos um sistema n˜ao-linear
n˜ao-autˆonomo composto por duas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias acopladas dado
por:
dV (t)
dt
=
((a
1
ε(t) − δ) V (t) + (b
1
ε(t) − δ) T (t))
V (t) + T (t)
V (t)
1 −
V (t) + T (t)
k(t)
− δ
1
V (t)
dT (t)
dt
=
((a
2
ε(t) − δ) T (t) + (b
2
ε(t) − δ) V (t))
V (t) + T (t)
T (t)
1 −
V (t) + T (t)
k(t)
− δ
1
T (t),
(5.1)
onde V :
+
→
+
´e a p opula¸c˜ao de mosquitos selvagens no instante t ∈
+
,
T :
+
→
+
´e a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados no instante
t ∈
+
, a
1
ε(t) ´e a taxa de recrutamento de fˆemeas selvagens para a fase adulta
que foram geradas do cruzamento entre mosquitos selvagens, b
1
ε(t) ´e a taxa de
recrutamento de fˆemeas selvagens para a fase adulta que foram geradas do cruza-
mento entre mosquitos selvagens e geneticamente modificados, a
2
ε(t) ´e a taxa de
recrutamento de fˆemeas geneticamente modificadas para a fase adulta que foram
geradas do cruzamento entre mosquitos geneticamente modificados, b
2
ε(t) ´e a taxa
de recrutamento de fˆemeas geneticamente mo dificadas para a fase adulta que foram
geradas do cruzamento entre mosquitos selvagens e geneticamente modificados, δ
´e a taxa de mortalidade dependente da densidade, δ
1
´e a taxa de mortalidade inde-
77
pendente da densidade, k :
+
→
+
´e a capacidade suporte no instante t ∈
+
.
Observe que, na ausˆencia de mosquitos selvagens (V (t) = 0) ou genetica-
mente mo dificados (T (t) = 0), a popula¸c˜ao sobrevivente ´e descrita pelo mo delo
proposto no cap´ıtulo 3. Com isso j´a podemos identificar dois estados de equil´ıbrio
n˜ao-triviais do sistema (5.1): (V
∗
, 0), (0, T
∗
). Outros estados de equil´ıbrio s˜ao
(0, 0) e (V
∗
, T
∗
). As simula¸c˜oes num´ericas comprovam a existˆencia de tais pontos.
5.2.1 Simula¸c˜oes Num´ericas
O sistema (5.1) foi resolvido numericamente usando o m´etodo Runge-Kutta
de quarta ordem, Grove [1966]. Os parˆametros utilizados nas simula¸c˜oes num´ericas
s˜ao aqueles estimados no Cap´ıtulo 3 para o munic´ıpio de Novo Air˜ao/AM dados
por ε(t) =
1
8, 114
−1
+ 0, 029 cos
π
6
t
, k(t) =
1
85
−1
+ 0, 00975 cos
π
6
t
, δ = 4 e
δ
1
= 2, 545.
Vamos considerar que a presen¸ca dos mosquitos geneticamente modificados
n˜ao altera a taxa de recrutamento de fˆemeas para a fase adulta geradas do cru-
zamento entre mosquitos selvagens, nesse caso adotaremos a
1
= 1 em todos os
experimentos num´ericos realizados.
Nas Figuras 5.1–5.8 foram admitidos
a
2
= 1
,
b
1
= 0
,
25
e
b
2
= 0
,
75
. Isto
significa que os mosquitos selvagens e geneticamente modificados tˆem a mesma
capacidade reprodutiva, independente do acasalamente ser misto ou ocorrer entre
indiv´ıduos da mesma popula¸c˜ao. Como resultado do acasalamento misto, obtemos
25% de mosquitos selvagens e 75% de mosquitos geneticamente modificados. Do
acasalamento entre esp´ecies de mesma popula¸c˜ao, toda a descendˆencia deve ser
selvagem ou geneticamente modificada, conforme a popula¸c˜ao progenitora.
A Figura 5.1 mostra o plano de fase, onde podemos perceber a trajet´oria
partindo da condi¸c˜ao inicial (V (0) = 10, T (0) = 3, 3333) e chegando ao estado
estacion´ario (V
∗
, 0).
A evolu¸c˜ao temporal das popula¸c˜oes de mosquitos selvagens e geneticamente
modificados est˜ao presentes nas Figuras 5.2 e 5.3, respectivamente. Podemos obser-
78
0
5
10
15
20
T(t)
50 100 150 200 250 300
V(t)
Figura 5.1: Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e
condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 3, 3333).
50
100
150
200
250
300
V
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 5.2: Popula¸c˜ao de mosquitos selvagens ao longo do tempo para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 3, 3333).
79
0
5
10
15
20
T
5 10 15 20 25
t (meses)
Figura 5.3: Popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 3, 3333).
0
50
100
150
200
250
300
T(t)
10 20 30 40
V(t)
Figura 5.4: Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e
condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 3, 3334).
80
var que, com o decorrer do tempo, a popula¸c˜ao de mosquitos selvagens se estabiliza
em uma ´orbita peri´odica, enquanto que a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente
modificados desaparece logo no final do primeiro ano de sua libera¸c˜ao no ambiente.
Isso verifica a existˆencia do estado estacion´ario (V
∗
, 0) localmente est´avel.
Quando a condi¸c˜ao inicial para a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente
modificados ´e aumentada para T (0) = 3, 3334, a trajet´oria chega ao estado estaci-
on´ario (0, T
∗
), conforme Figuras 5.4 – 5.6.
0
10
20
30
40
V
5 10 15 20 25
t (meses)
Figura 5.5: Popula¸c˜ao de mosquitos selvagens ao longo do tempo para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 3, 3334).
As Figuras 5.5 e 5.6 mostram a dinˆamica das popula¸c˜oes de mosquitos sel-
vagens e geneticamente modificados, respectivamente, onde a primeira ´e levada `a
extin¸c˜ao enquanto que a segunda ´e levada `a uma situa¸c˜ao de equil´ıbrio.
Com isso verificamos a existˆencia de dois estados estacion´arios localmente
est´aveis (V
∗
, 0) e (0, T
∗
). A natureza dos outros dois estado (0, 0) e (V
∗
, T
∗
) n˜ao
foi poss´ıvel de ser verificada por meio das simula¸c˜oes num´ericas para os coeficientes
utilizados, mas certamente n˜ao s˜ao est´aveis. Conforme podemos ver na Figura 5.7,
dependendo da condi¸c˜ao inicial a trajet´oria segue para um dos dois estados est´aveis:
81
(V
∗
, 0) ou (0, T
∗
).
0
50
100
150
200
250
300
T
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 5.6: Popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 3, 3334).
As simula¸c˜oes num´ericas mostradas nas Figuras 5.8 – 5.10 foram obtidas para
os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) =
10, T (0) = 10). Isso significa que al´em dos mosquitos selvagens e geneticamente
modificados terem a mesma capacidade reprodutiva, independente do acasalamente
ser misto ou entre indiv´ıduos da mesma popula¸c˜ao, a fixa¸c˜ao do transgene se d´a em
metade da descendˆencia resultante de acasalamento misto e em toda a descendˆencia
resultante de acasalamento entre geneticamente modificados.
O plano de fase mostrado na Figura 5.8 indica a trajet´oria partindo da con-
di¸c˜ao inicial (V (0) = 10, T (0) = 10) e atingindo o estado estacion´ario (0, 0).
As Figuras 5.9 e 5.10 mostram a dinˆamica de mosquitos selvagens e gene-
ticamente modificados, respectivamente. Podemos observar que ambas tendem `a
extin¸c˜ao, sendo o estado (0, 0) um equil´ıbrio localmente est´avel. Isto acontece
porque consideramos os mesmos coeficientes e condi¸c˜oes iniciais para ambas as po-
pula¸c˜oes, a partir do momento em que alguma delas ´e favorecida de alguma forma
82
0
50
100
150
200
250
300
T(t)
50 100 150 200 250 300
V(t)
Figura 5.7: Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 25 e b
2
= 0, 75 e
diversas condi¸c˜oes iniciais.
0
2
4
6
8
10
T(t)
2 4 6 8 10
V(t)
Figura 5.8: Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e
condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 10).
83
0
2
4
6
8
10
V
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 5.9: Popula¸c˜ao de mosquitos selvagens para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1,
b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 10).
0
2
4
6
8
10
T
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 5.10: Popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 10).
84
(seja pela condi¸c˜ao inicial ou pelos coeficientes), a trajet´oria tende `a (V
∗
, 0) ou
(0, T
∗
), conforme pode ser visto na Figura 5.11.
0
50
100
150
200
250
300
T(t)
50 100 150 200 250 300
V(t)
Figura 5.11: Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 5 e b
2
= 0, 5 e
diversas condi¸c˜oes iniciais.
As Figuras 5.12 – 5.14 foram obtidas fazendo a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 1 e b
2
= 1
e considerando as condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 2). Podemos observar
que nesse caso a trajet´oria parte da condi¸c˜ao inicial para um estado estacion´ario
(V
∗
, T
∗
) que ´e globalmente est´avel, j´a que independente da condi¸c˜ao inicial, todas
as trajet´orias tendem `a esse equil´ıbrio, conforme pode ser visto na Figura 5.15.
Essa escolha dos coeficientes a
1
= 1 , a
2
= 1 , b
1
= 1 e b
2
= 1 implica que a
taxa de recrutamento de mosquitos para a fase adulta descendentes do cruzamento
entre selvagens e geneticamente modificados sofre altera¸c˜oes no que diz respeito `a
sua aceita¸c˜ao para o acasalamento e/ou fecundidade, gerando uma taxa de recru-
tamento duas vezes maior quando o acasalamento ´e misto.
85
0
10
20
30
40
50
T(t)
50 100 150 200 250
V(t)
Figura 5.12: Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 1 e b
2
= 1 e
condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 2).
0
50
100
150
200
250
V
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 5.13: Popula¸c˜ao de mosquitos selvagens para os co eficientes a
1
= 1, a
2
= 1,
b
1
= 1 e b
2
= 1 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 2).
86
10
20
30
40
50
T
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 5.14: Popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados para os coeficientes
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 1 e b
2
= 1 e condi¸c˜oes iniciais (V (0) = 10, T (0) = 2).
0
50
100
150
200
250
T(t)
50 100 150 200 250
V(t)
Figura 5.15: Plano de fase para os coeficientes a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 1 e b
2
= 1 e diversas
condi¸c˜oes iniciais.
87
5.3 Considera¸c˜oes Finais
O modelo considerado neste cap´ıtulo ´e um estudo preliminar da dinˆamica
de intera¸c˜ao entre mosquitos selvagens e geneticamente modificados, visto que se
trata de uma dinˆamica complexa e que exige um tratamento mais minuscioso no
que diz respeito `a gen´etica.
Uma dificuldade na aplica¸c˜ao pr´atica deste modelo ´e a falta de condi¸c˜oes
para encontrar os coeficientes a
1
, a
2
, b
1
e b
2
. Essa limita¸c˜ao imposta ao modelo ´e
decorrente do fato de se desconsiderar que do cruzamento entre mosquitos gene-
ticamente modificados ´e poss´ıvel obter parte da descendˆencia selvagem, como ´e o
caso quando os mosquitos s˜ao linhagens transgˆenicas heterozigotas.
Uma id´eia que vem sendo estudada com o objetivo de ap erfei¸coar o modelo
(5.1) ´e acoplar ao modelo matem´atico descrito no Cap´ıtulo 3 duas equa¸c˜oes dife-
renciais ordin´arias referentes `a dinˆamica populacional de mosquitos geneticamente
modificados heterozigotos e homozigotos. Com isso obtemos um sistema n˜ao-linear
n˜ao-autˆonomo composto por trˆes equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias acopladas dado
por:
dV (t)
dt
=
((a
1
ε(t) − δ) V (t) + (a
2
ε(t) − δ) T
1
(t)) V (t) + (a
3
ε(t) − δ) T
2
1
(t)
V (t) + T
1
(t) + T
2
(t)
1 −
V (t) + T
1
(t) + T
2
(t)
k(t)
− δ
1
V (t)
dT
1
(t)
dt
=
((b
2
ε(t) − δ) V (t) + (b
3
ε(t) − δ) T
1
(t) + (b
4
ε(t) − δ) T
2
(t)) T
1
(t)
V (t) + T
1
(t) + T
2
(t)
+
(b
5
ε(t) − δ) V (t)T
2
(t)
V (t) + T
1
(t) + T
2
(t)
1 −
V (t) + T
1
(t) + T
2
(t)
k(t)
− δ
1
T
1
(t)
dT
2
(t)
dt
=
(c
3
ε(t) − δ) T
2
1
(t) + ((c
4
ε(t) − δ) T
1
(t) + (c
5
ε(t) − δ) T
2
(t)) T
2
(t)
V (t) + T
1
(t) + T
2
(t)
1 −
V (t) + T
1
(t) + T
2
(t)
k(t)
− δ
1
T
2
(t),
(5.2)
onde V :
+
→
+
´e a p opula¸c˜ao de mosquitos selvagens no instante t ∈
+
,
T
1
:
+
→
+
´e a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados heterozigo-
88
tos no instante t ∈
+
, T
2
:
+
→
+
´e a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente
modificados homozigotos no instante t ∈
+
, ε(t) ´e a taxa de recrutamento de
fˆemeas para a fase adulta, a
1
´e a propor¸c˜ao de descendentes selvagens gerados do
cruzamento entre mosquitos selvagens, a
2
´e a propor¸c˜ao de descendentes selvagens
gerados do cruzamento entre mosquitos selvagens e geneticamente modificados he-
terozigotos, a
3
´e a propor¸c˜ao de descendentes selvagens gerados do cruzamento
entre mosquitos geneticamente modificados heterozigotos, b
2
´e a propor¸c˜ao de des-
cendentes geneticamente modificados heterozigotos gerados do cruzamento entre
mosquitos selvagens e geneticamente modificados heterozigotos, b
3
´e a propor¸c˜ao
de descendentes geneticamente modificados gerados do cruzamento entre mosqui-
tos geneticamente modificados heterozigotos, b
4
´e a propor¸c˜ao de descendentes
geneticamente modificados gerados do cruzamento entre mosquitos geneticamente
modificados heterozigotos e homozigotos, b
5
´e a propor¸c˜ao de descendentes geneti-
camente modificados gerados do cruzamento entre mosquitos selvagens e genetica-
mente modificados homozigotos, c
3
´e a propor¸c˜ao de descendentes geneticamente
modificados homozigotos gerados do cruzamento entre mosquitos geneticamente
modificados heterozigotos, c
4
´e a propor¸c˜ao de descendentes homozigotos gerados
do cruzamento entre mosquitos geneticamente modificados heterozigotos e homo-
zigotos, c
5
´e a propor¸c˜ao de descendentes geneticamente modificados homozigotos
gerados do cruzamento entre mosquitos geneticamente modificados homozigotos,
δ ´e a taxa de mortalidade dependente da densidade, δ
1
´e a taxa de mortalidade
independente da densidade, k :
+
→
+
´e a capacidade suporte no instante
t ∈
+
.
O modelo descrito por (5.2) considera o fato de que mosquitos selvagens
s˜ao gerados do cruzamento entre mosquitos selvagens, entre mosquitos selvagens e
geneticamente modificados heterozigotos e entre mosquitos geneticamente modifi-
cados heterozigotos. J´a os mosquitos geneticamente modificados heterozigotos s˜ao
obtidos do cruzamento entre mosquitos selvagens e geneticamente modificados he-
terozigotos, entre mosquitos geneticamente modificados heterozigotos, entre mos-
89
quitos geneticamente modificados heterozigotos e homozigotos e entre mosquitos
selvagens e geneticamente modificados homozigotos. Mosquitos geneticamente mo-
dificados homozigotos s˜ao obtidos do cruzamento entre mosquitos geneticamente
modificados heterozigotos, entre mosquitos geneticamente modificados heterozigo-
tos e homozigotos e entre mosquitos geneticamente modificados homozigotos.
Observe que, na ausˆencia de mosquitos geneticamente modificados (T
1
(t) =
0, T
2
(t) = 0), a popula¸c˜ao de mosquitos selvagens ´e descrita pelo modelo apre-
sentado no Cap´ıtulo 3 e o estado de equil´ıbrio (V
∗
, 0, 0) ´e identificado. O sistema
(5.2) apresenta ainda os estados de equil´ıbrio (0, 0, T
∗
2
) e (V
∗
, T
∗
1
, T
∗
2
) onde V
∗
, T
∗
1
e T
∗
2
s˜ao ´orbitas peri´odicas obtidas da solu¸c˜ao do sistema (5.2).
Os parˆametros ε e δ e δ
1
devem ser aqueles estimados no Cap´ıtulo 3, preci-
sando ent˜ao estimar apenas os parˆametros referentes `as propor¸c˜oes de descendentes
selvagens e geneticamente modificados heterozigotos e homozigotos provenientes
das combina¸c˜oes de cruzamentos.
Na maior parte das plantas e animais, assim como nos humanos, cada c´elula
cont´em duas c´opias de cada tipo de cromossomo, uma c´opia herdada da m˜ae e
outra herdada do pai. Esses organismos, nos quais os cromossomos est˜ao presentes
em pares, s˜ao chamados dipl´oides.
Os mosquitos geneticamente modificados heterozigotos possuem alelos que
expressam fen´otipos distintos (dominante e recessivo), enquanto que os homo-
zigotos, selvagens ou geneticamente modificados, possuem alelos que expressam
fen´otipos iguais (dominante ou recessivo).
Os mosquitos geneticamente modificados heterozigotos possuem em cada
alelo somente uma c´opia do gene que bloqueia o ciclo do protozo´ario, sendo seu
gen´otipo Tt (um gene dominante e outro recessivo). Os mosquitos selvagens pos-
suem apenas o gene recessivo, sendo seu gen´otipo tt. Os mosquitos geneticamente
modificados homozigotos possuem duas c´opias do gene que bloqueia o ciclo do
protozo´ario em cada alelo, assim seu gen´otipo ´e TT (dois genes dominantes).
Considerando o cruzamento entre mosquitos selvagens, tt × tt, temos que
90
toda a descendˆencia gerada desse cruzamento tem gen´otipo tt, isto ´e, toda a prole
´e selvagem. Logo a
1
= 1.
Quando mosquitos selvagens s˜ao cruzados com mosquitos geneticamente mo-
dificados heterozigotos, tt × T t, temos uma propor¸c˜ao de 50% geneticamente mo-
dificados heterozigotos T t e 50% de selvagens tt. Logo a
2
= 0, 5 e b
2
= 0, 5.
Quando o cruzamento ocorre entre mosquitos selvagens e geneticamente mo-
dificados homozigotos, tt × T T , toda a descendˆencia gerada a partir desse cruza-
mento ´e geneticamente modificada heterozigota T t e conseq
¨
uentemente b
5
= 1.
Se o cruzamento ocorrer entre mosquitos geneticamente modificados hetero-
zigotos, T t × T t, temos uma propor¸c˜ao de 25% de descendentes selvagens tt, 50%
de descendentes geneticamente modificados heterozigotos T t e 25% de descenden-
tes geneticamente modificados homozigotos T T. Assim, a
3
= 0, 25, b
3
= 0, 5 e
c
3
= 0, 25.
Para o cruzamento entre mosquitos geneticamente modificados heterozigotos
e homozigotos, T t × T T , temos uma propor¸c˜ao de 50% da prole geneticamente
modificada heterozigota e 50% da prole geneticamente modificada homozigota.
Nesse caso, b
4
= 0, 5 e c
4
= 0, 5.
Quando o cruzamento se d´a entre mosquitos geneticamente modificados ho-
mozigotos, T T × T T , todos os mosquitos descendentes deste cruzamento ser˜ao
geneticamente modificados homozigotos T T , isto ´e c
5
= 1.
Com esse novo modelo, ´e poss´ıvel estimar os coeficientes referentes a todos
os cruzamentos poss´ıveis, entretanto, assim como no mo delo discreto apresentado
em Li [2005], esse modelo apresenta restri¸c˜oes quanto `a positividade da solu¸c˜ao,
que devem futuramente ser corrigidas.
91
Cap´ıtulo 6
S´ıntese do Controle Linear Feedback
Desde as primeiras publica¸c˜oes no come¸co da d´ecada de 60: Krasovskii [1959],
Kalman & Bertram [1960], Letov [1961]; as t´ecnicas de fun¸c˜oes de Lyapunov tˆem
sido usadas no estudo de problemas de controle ´otimo.
´
E fato conhecido que um
problema de controle ´otimo n˜ao-linear pode ser reduzido `a equa¸c˜ao diferencial par-
cial de Hamilton-Jacobi-Bellman. Existem muitas dificuldades na sua solu¸c˜ao no
caso geral. No caso particular, a fun¸c˜ao quadr´atica de Lyapunov ´e uma solu¸c˜ao da
equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi-Bellman para sistemas lineares com funcional quadr´a-
tico. Nos ´ultimos anos, a id´eia de que uma fun¸c˜ao de Lyapunov para um sistema
n˜ao-linear pode ser uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi-Bellman tem se
tornado popular. Em Bernstein [1993], uma proposta para problemas n˜ao-lineares
n˜ao-quadr´aticos em tempo cont´ınuo foi apresentada de forma construtiva. Os re-
sultados de Bernstein [1993], s˜ao baseados no fato de que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de
Hamilton-Jacobi-Bellman ´e uma fun¸c˜ao de Lyapunov para sistemas n˜ao-lineares,
garantindo assim estabilidade e otimalidade. Em Haddad et al [1998], a proposta
desenvolvida em Bernstein [1993], foi extendida ao problema de controle ´otimo
robusto n˜ao-linear. N˜ao existem t´ecnicas sistem´aticas para obter fun¸c˜oes de Lya-
punov para sistemas n˜ao-lineares em geral, mas este enfoque pode ser aplicado a
sistemas para os quais as fun¸c˜oes de Lyapunov podem ser encontradas. Em Ra-
fikov & Balthazar [2004], uma fun¸c˜ao de Lyapunov n˜ao-linear n˜ao-quadr´atica foi
proposta para resolver o problema de s´ıntese de controle ´otimo n˜ao-linear para o
92
sistema de R
¨
ossler.
Neste cap´ıtulo vamos aplicar este enfoque ao problema de controle ´otimo li-
near feedback de um sistema n˜ao-linear, que representa a intera¸c˜ao entre mosquitos
selvagens e geneticamente modificados, minimizando o funcional quadr´atico.
6.1 S´ıntese do Controle Linear Feedback para Sistemas N˜ao-Lineares
Consideremos o sistema n˜ao-linear controlado
dy
dt
= A(t)y + g(y) + Bu
y(0) = y
0
,
(6.1)
onde y ∈
n
´e o vetor de estado, A(t) ∈
n×n
´e uma matriz limitada cujos
elementos s˜ao dependentes do tempo, B ∈
n×m
´e uma matriz constante, u ∈
m
´e o vetor de controle e g(y) ∈
n
´e um vetor cujos elementos s˜ao func˜oes cont´ınuas
n˜ao-lineares tais que g(0) = 0.
A escolha de A(t) n˜ao ´e ´unica, o que influencia a capacidade do controlador
resultante.
Vamos assumir
g(y) = G(y)y, (6.2)
onde G(y) ∈
n×n
´e uma matriz limitada cujos elementos dependem de y. Assu-
mindo (6.2), o sistema dinˆamico (6.1) apresenta a forma
dy
dt
= A(t)y + G(y)y + Bu. (6.3)
O teorema seguinte ´e um importante resultado relativo `a lei de controle que
garante estabilidade para um sistema n˜ao-linear e minimiza um funcional n˜ao-
quadr´atico.
Teorema 1 (Rafikov & Balthazar [2004]) Se existem as matrizes Q(t) e R (t ),
definidas positivas, sendo Q(t) sim´etrica, tais que a matriz
93
Q(y, t) = Q(t) − G
T
(y)P (y) − P (t)G(y) (6.4)
´e definida positiva para a matriz limitada G, ent˜ao o controle linear feedback
u = −R − 1B
T
P (t)y (6.5)
´e ´otimo, no sentido de transferir o sistema n˜ao-linear (6.3) de um estado inicial ao
estado final
y(t
f
) = 0, (6.6)
minimizando o funcional
J =
t
f
0
y
T
Qy + u
T
Ru
dt, (6.7)
onde a matriz sim´etrica P (t) ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial de Ricatti
dP (t)
dt
+ P A + A
T
P − P BR
−1
B
T
P + Q = 0, (6.8)
satisfazendo a condi¸c˜ao final
P (t
f
) = 0. (6.9)
Al´em disso, com o controle feedback (6.5) existe uma vizinhan¸ca Γ
0
⊂ Γ,
Γ ⊂
n
, em torno da origem, tal que se y
0
∈ Γ
0
, a solu¸c˜ao y(t) = 0, t ≥ 0, do
sistema controlado (6.3) ´e assintoticamente est´avel, e J
min
= y
T
0
P (0)y
0
.
Finalmente, se Γ =
n
ent˜ao a solu¸c˜ao y(t) = 0, t ≥ 0, do sistema controlado
(6.3) ´e globalmente assintoticamente est´avel.
Se o intervalo de tempo ´e infinito e A, B, Q e R s˜ao matrizes com elementos
constantes, a matriz definida positiva P ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao matricial alg´ebrica
n˜ao-linear de Riccati
94
P A + A
T
P − P BR
−1
B
T
P + Q = 0. (6.10)
6.2 S´ıntese Linear para o Sistema da Intera¸c˜ao entre Mosquitos
Selvagens e Geneticamente Modificados
A dinˆamica da intera¸c˜ao entre mosquitos selvagens e geneticamente modi-
ficados foi analisada no cap´ıtulo anterior, onde foi considerado um sistema n˜ao-
autˆonomo n˜ao-linear da forma
dV (t)
dt
=
((a
1
ε(t) − δ) V (t) + (b
1
ε(t) − δ) T (t))
V (t) + T (t)
V (t)
1 −
V (t) + T (t)
k(t)
− δ
1
V (t)
dT (t)
dt
=
((a
2
ε(t) − δ) T (t) + (b
2
ε(t) − δ) V (t))
V (t) + T (t)
T (t)
1 −
V (t) + T (t)
k(t)
− δ
1
T (t).
(6.11)
O objetivo do controle ´e maximizar a densidade populacional de mosqui-
tos geneticamente modificados em rela¸c˜ao `a densidade populacional de mosquitos
selvagens. Como o modelo matem´atico proposto ´e uma aproxima¸c˜ao bastante ra-
zo´avel da realidade, ele pode fornecer diretrizes que indiquem uma forma o mais
vi´avel, eficaz e economicamente poss´ıvel de introduzir os insetos geneticamente
modificados no ambiente. Assim o sistema controlado ´e escrito na seguinte forma
dV (t)
dt
=
((a
1
ε(t) − δ) V (t) + (b
1
ε(t) − δ) T (t))
V (t) + T (t)
V (t)
1 −
V (t) + T (t)
k(t)
− δ
1
V (t)
dT (t)
dt
=
((a
2
ε(t) − δ) T (t) + (b
2
ε(t) − δ) V (t))
V (t) + T (t)
T (t)
1 −
V (t) + T (t)
k(t)
− δ
1
T (t)
+u(t),
(6.12)
onde u(t) ∈ ´e uma entrada de mosquitos geneticamente modificados por unidade
de tempo. A lei de controle u(t) transfere o sistema para o estado desejado, que
pode ser um ponto de equil´ıbrio ou uma ´orbita, peri´odica ou n˜ao.
O estado desejado do sistema (6.12) ´e
95
V (t) = 0
d
T (t)
dt
= (a
2
ε(t) − δ)
T (t)
1 −
T (t)
k(t)
− δ
1
T (t).
(6.13)
Subtraindo (6.13) de (6.12) e definindo
y
1
= V −
V = V
y
2
= T −
T ,
(6.14)
obtemos o sistema em desvios
dy
1
dt
= − (δ + δ
1
) y
1
+
ε(t)
a
1
y
1
+ b
1
y
2
+ b
1
T
1
y
1
+ y
2
+
T
−
1
k(t)
+
δ
k(t)
y
1
+ y
2
+
T
y
1
dy
2
dt
= − (δ + δ
1
) y
2
+
ε(t)
b
2
y
1
+ a
2
y
2
+ a
2
T
1
y
1
+ y
2
+
T
−
1
k(t)
+
δ
k(t)
y
1
+ y
2
+
T
y
2
+
T
−
T
a
2
ε(t) −
a
2
ε
k(t)
T +
δ
k(t)
T
+ u(t),
(6.15)
onde u ´e o controle feedback.
O sistema em desvios pode ser escrito na forma matricial
dY
dt
= AY + Bu+
ε(t)
a
1
y
1
+ b
1
y
2
+ b
1
T
1
y
1
+ y
2
+
T
−
1
k(t)
+
δ
k(t)
y
1
+ y
2
+
T
y
1
ε(t)
b
2
y
1
+ a
2
y
2
+ a
2
T
1
y
1
+ y
2
+
T
−
1
k(t)
+
δ
k(t)
y
1
+ y
2
+
T
y
2
+
T
−
T
a
2
ε(t) −
a
2
ε
k(t)
T +
δ
k(t)
T

G
(
Y,
e
T
)
Y
(6.16)
96
onde Y =
y
1
y
2
, A =
−δ − δ
1
0
0 −δ − δ
1
, B =
0
1
e G
Y,
T
=
G
11
G
12
G
21
G
22
,
tal que
G
11
= ε(t)
a
1
y
1
+ b
1
y
2
+ b
1
T
1
y
1
+ y
2
+
T
−
1
k(t)
+
δ
k(t)
y
1
+ y
2
+
T
G
12
= 0
G
21
= −
T
y
1
a
2
ε(t) −
a
2
ε(t)
k(t)
T +
δ
k(t)
T
G
22
=
ε(t)
b
2
y
1
+ a
2
y
2
+ a
2
T
1
y
1
+ y
2
+
T
−
1
k(t)
+
δ
k(t)
y
1
+ y
2
+
T
×
×
1 +
T
y
2
(6.17)
De (6.4) obtemos a matriz
Q =
Q
11
Q
12
Q
21
Q
22
, onde
Q
11
= q
11
−
2p
11
a
1
ε(t)y
1
+ b
1
ε(t)y
2
+ b
1
ε(t)
T
1
y
1
+ y
2
+
T
−
1
k(t)
+
δ
k(t)
y
1
+ y
2
+
T
Q
12
= p
22
T
y
1
a
2
ε(t) −
a
2
ε(t)
k(t)
T +
δ
k(t)
T
Q
21
= p
22
T
y
1
a
2
ε(t) −
a
2
ε(t)
k(t)
T +
δ
k(t)
T
Q
22
= q
11
− 2p
22
1 +
T
y
2
×
×
b
2
ε(t)y
1
+ a
2
ε(t)y
2
+ a
2
ε(t)
T
1
y
1
+ y
2
+
T
−
1
k(t)
+
δ
k(t)
y
1
+ y
2
+
T
(6.18)
Conforme o Teorema 1, a otimalidade do controlador ´e garantida se a matriz
Q ´e definida positiva.
97
6.2.1 Simula¸c˜oes Num´ericas
As simula¸c˜oes num´ericas mostram a efic´acia do controle no processo de subs-
titui¸c˜ao de mosquitos selvagens por mosquitos geneticamente modificados.
Escolhendo as matrizes definidas positivas
Q =
10 0
0 10
, R = [1] (6.19)
onde Q ´e uma matriz sim´etrica e a matriz A ´e dada por:
A =
−6, 545 0
0 −6, 545
, (6.20)
obtemos de (6.10)
P =
0, 7639 0
0 0, 7239
. (6.21)
Ent˜ao, de (6.5) temos que
u = −0, 7239y
2
. (6.22)
Substituindo (6.22) em (6.15) e resolvendo o sistema encontramos as traje-
t´orias dos desvios e conseq
¨
uentemente V (t) e T (t) de (6.14).
As Figuras a seguir foram obtidas usando os parˆametros δ = 4, δ
1
= 2, 545,
ε(t) =
1
8, 114 + 0, 029 cos
π
6
t
, k(t) =
1
85 + 0, 00975 cos
π
6
t
, a
1
= 1, a
2
= 1,
b
1
= 0, 49 e b
2
= 0, 51. Foram escolhidas as condi¸c˜oes iniciais y
1
(0) = 10, y
2
(0) =
−10. Como conseq
¨
uˆencia de (6.14) temos que V (0) = 10 e de (6.21) temos que
u(0) = 7, 239.
A Figura 6.1 mostra a dinˆamica do sistema controlado em desvios, cuja am-
plitude tende a atingir o valor zero em pouco tempo, o que significa que o sistema
atinge a trajet´oria desejada. A vari´avel y
1
, que representa a diferen¸ca entre a
98
–10
–5
5
10
Y1,Y2
1 2 3 4 5 6
t (meses)
Figura 6.1: Dinˆamica do sistema em desvios
trajet´oria real e a trajet´oria desejada dos mosquitos selvagens, atinge o valor zero
ap´os o terceiro mˆes com aplica¸c˜ao de controle. Isto significa que, a partir do ter-
ceiro mˆes da aplica¸c˜ao de controle, a trajet´oria desejada em rela¸c˜ao aos mosquitos
selvagens j´a foi alcan¸cada, ou seja, n˜ao existem mais mosquitos selvagens no ambi-
ente. A vari´avel y
2
, que representa a diferen¸ca entre a trajet´oria real e a trajet´oria
desejada dos mosquitos geneticamente modificados, atinge o valor zero em pouco
mais de seis meses. Isto significa que, a partir do sexto mˆes da aplica¸c˜ao de con-
trole, a trajet´oria desejada em rela¸c˜ao aos mosquitos geneticamente modificados j´a
´e alcan¸cada, ou seja, a dinˆamica de mosquitos geneticamente modificados segue o
padr˜ao oscilat´orio que anteriormente descrevia a dinˆamica de mosquitos selvagens.
Como o controle garante a estabilidade quando a trajet´oria ´e atingida, a aplica¸c˜ao
de controle n˜ao ´e mais necess´aria.
A Figura 6.2 mostra a evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao de controle u(t), que segue um
padr˜ao sazonal indicando que deve haver uma maior libera¸c˜ao de mosquitos gene-
ticamente modificados no per´ıodo que antecede a maior prolifera¸c˜ao de mosquitos,
99
0
1
2
3
4
5
6
7
U
1 2 3 4 5 6
t (meses)
Figura 6.2: Dinˆamica da fun¸c˜ao de controle u(t).
50
100
150
200
250
300
V
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 6.3: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens sem controle
que neste caso ´e o mˆes de Junho. Isto porque a libera¸c˜ao de mosquitos genetica-
mente modificados deve ocorrer de forma que haja tempo para a procria¸c˜ao antes
100
que os mosquitos selvagens atinjam o seu pico em densidade populacional. A Fi-
gura 6.2 confirma o que foi analisado na Figura 6.1 no que diz respeito ao tempo
necess´ario para aplica¸c˜ao de controle, ou seja, apenas at´e o s´etimo mˆes.
As Figuras 6.3 e 6.4 mostram a dinˆamica da intera¸c˜ao entre mosquitos selva-
gens e mosquitos geneticamente modificados sem aplica¸c˜ao de controle. Nesse caso,
vimos que a popula¸c˜ao de mosquitos selvagens permanece no ambiente, conforme
Figura 6.3 enq
¨
uanto que a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados ´e
rapidamente extinta, conforme Figura 6.4.
0
1
2
3
4
5
6
7
T
1 2 3 4
t (meses)
Figura 6.4: Evolu¸c˜ao da p opula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados sem con-
trole
As Figuras 6.5 e 6.6 ilustram o processo de substitui¸c˜ao de mosquitos selva-
gens por mosquitos geneticamente modificados atrav´es da aplica¸c˜ao do controle.
Essas duas Figuras vˆem confirmar as conclus˜oes obtidas da Figura 6.1, indicando
uma elimina¸c˜ao total de mosquitos selvagens (Figura 6.5), e uma dinˆamica oscila-
t´oria para os mosquitos geneticamente modificados (Figura 6.6).
´
E interessante comparar a evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao para ambos os casos, com
e sem controle para equivalentes condi¸c˜oes iniciais. Como para o sistema contro-
101
0
2
4
6
8
10
V
1 2 3 4 5 6
t (meses)
Figura 6.5: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens com controle
0
50
100
150
200
250
300
T
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 6.6: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados com con-
trole
lado a fun¸c˜ao de controle assumiu o valor inicial u(0) = 7, 239, a condi¸c˜ao inicial
102
equivalente para o sistema sem controle deve ser T (0) = 7, 239.
0
1
2
3
4
5
6
7
T(t)
50 100 150 200 250 300
V(t)
Figura 6.7: Plano de fase do sistema sem controle
50
100
150
200
250
300
T(t)
2 4 6 8 10
V(t)
Figura 6.8: Plano de fase do sistema com controle
103
Os planos de fase para os sistemas sem e com controle s˜ao mostrados nas
Figuras 6.7 e 6.8, respectivamente, e mostram claramente o comportamento ob-
servado na evolu¸c˜ao das popula¸c˜oes ao longo do tempo. A Figura 6.7 mostra a
dinˆamica do sistema partindo da condi¸c˜ao inicial (V (0), T (0)) = (10, 7, 239) e
atingindo seu equil´ıbrio em (V
∗
, T
∗
) = (V (t), 0). J´a a Figura 6.8 mostra a dinˆa-
mica do sistema partindo da condi¸c˜ao inicial (V (0), T (0)) = (10, 0) e atingindo seu
equil´ıbrio em (V
∗
, T
∗
) = (0, T (t)).
0 5 10 15 20 25
−50
0
50
100
150
200
250
t
L(y)
Figura 6.9: Gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) = Y
T
QY
Analisar a matriz
Q analiticamente ´e algo bastante dif´ıcil, como po de ser visto
em (6.18). Por isso, fizemos sua an´alise graficamente, estudando o comportamento
da fun¸c˜ao L(Y ) = Y
T
QY . Na Figura 6.9 vimos o gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) e
podemos perceber que a matriz
Q n˜ao ´e uma matriz definida positiva, pois existe
um intervalo onde L(Y ) assume valores negativos. Por´em, como a condi¸c˜ao imposta
`a matriz
Q no Teorema 1 ´e uma condi¸c˜ao suficiente mas n˜ao necess´aria, a trajet´oria
desejada para o sistema foi alcan¸cada.
104
Vamos agora analisar as simula¸c˜oes num´ericas obtidas com os parˆametros
a
1
= 1, a
2
= 1, b
1
= 0, 7 e b
2
= 0, 3. Os demais parˆametros e condi¸c˜oes iniciais
s˜ao mantidos. As simula¸c˜oes referentes `a essas novas condi¸c˜oes s˜ao mostradas nas
Figuras 6.10–6.18.
–100
–80
–60
–40
–20
20
Y1,Y2
2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 6.10: Dinˆamica do sistema em desvios
A Figura 6.10 mostra a dinˆamica do sistema controlado em desvios, cuja am-
plitude atinge o valor zero com menos de um ano de aplica¸c˜ao de controle, o que
signica que o sistema atinge a trajet´oria desejada. A vari´avel y
1
, que representa
a diferen¸ca entre a trajet´oria real e a trajet´oria desejada dos mosquitos selvagens,
atinge o valor zero aproximadamente no nono mˆes com aplica¸c˜ao de controle. Isto
significa que, a partir do nono mˆes da aplica¸c˜ao de controle, a trajet´oria desejada
para aos mosquitos selvagens j´a ´e alcan¸cada, ou seja, n˜ao existem mais mosquitos
selvagens no ambiente. A vari´avel y
2
, que representa a diferen¸ca entre a trajet´oria
real e a trajet´oria desejada dos mosquitos geneticamente modificados, atinge o va-
lor zero um pouco mais tarde, por volta do d´ecimo mˆes. Isto significa que, a partir
do d´ecimo mˆes da aplica¸c˜ao de controle, a trajet´oria desejada para os mosquitos
105
0
20
40
60
U
2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 6.11: Dinˆamica da fun¸c˜ao de controle u(t).
geneticamente modificados j´a ´e alcan¸cada, ou seja, a dinˆamica de mosquitos ge-
neticamente modificados segue o padr˜ao oscilat´orio que anteriormente descrevia a
dinˆamica de mosquitos selvagens. Como o controle garante a estabilidade quando
a trajet´oria ´e atingida, a aplica¸c˜ao de controle n˜ao ´e mais necess´aria.
A Figura 6.11 mostra a evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao de controle u(t), que segue um
padr˜ao sazonal indicando que deve haver uma maior libera¸c˜ao de mosquitos gene-
ticamente modificados no per´ıodo que antecede a maior prolifera¸c˜ao de mosquitos,
em Junho. A raz˜ao para isso ´e o tempo necess´ario para a procria¸c˜ao dos mosquitos
geneticamente mo dificados antes que os mosquitos selvagens atinjam o seu pico
em densidade populacional. A Figura 6.11 confirma o que foi analisado na Figura
6.10 no que diz respeito ao tempo necess´ario para aplica¸c˜ao de controle, ou seja,
apenas at´e o d´ecimo mˆes.
As Figuras 6.12 e 6.13 mostram as dinˆamicas da intera¸c˜ao entre mosqui-
tos selvagens e mosquitos geneticamente modificados sem aplica¸c˜ao de controle.
Nesse caso, vimos que a popula¸c˜ao de mosquitos selvagens permanece no ambi-
106
0
50
100
150
200
250
300
V
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 6.12: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens sem controle
ente, conforme Figura 6.12 enq
¨
uanto que a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente
modificados ´e extinta em menos de dois meses, conforme Figura 6.13.
As Figuras 6.14 e 6.15 ilustram o processo de substitui¸c˜ao de mosquitos sel-
vagens por mosquitos geneticamente modificados atrav´es da aplica¸c˜ao do controle.
Essas duas Figuras vˆem confirmar as conclus˜oes obtidas da Figura 6.10, indicando
uma elimina¸c˜ao total de mosquitos selvagens em dez meses (Figura 6.14), e uma
dinˆamica oscilat´oria para os mosquitos geneticamente modificados (Figura 6.15).
Os planos de fase para os sistemas sem e com controle s˜ao mostrados nas
Figuras 6.7 e 6.17, respectivamente, e mostram claramente o comportamento ob-
servado na evolu¸c˜ao das popula¸c˜oes ao longo do tempo. A Figura 6.16 mostra
a dinˆamica do sistema partindo da condi¸c˜ao inicial (V (0), T (0)) = (10, 7, 239) e
atingindo seu equil´ıbrio em (V
∗
, T
∗
) = (V (t), 0). J´a a Figura 6.17 mostra a dinˆa-
mica do sistema partindo da condi¸c˜ao inicial (V (0), T (0)) = (10, 0) e atingindo seu
equil´ıbrio em (V
∗
, T
∗
) = (0, T (t)).
Na Figura 6.18 ´e apresentado o gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) e podemos perce-
107
0
1
2
3
4
5
6
7
T
0.5 1 1.5 2 2.5 3
t (meses)
Figura 6.13: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados sem con-
trole
0
5
10
15
20
25
30
V
2 4 6 8 10 12
t (meses)
Figura 6.14: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens com controle
ber que para os coeficientes usados a matriz
Q ´e uma matriz definida positiva,
108
50
100
150
200
250
300
T
5 10 15 20 25 30 35
t (meses)
Figura 6.15: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados com con-
trole
0
1
2
3
4
5
6
7
T(t)
50 100 150 200 250 300
V(t)
Figura 6.16: Plano de fase do sistema sem controle
garantindo a otimalidade do controlador.
109
50
100
150
200
250
300
T(t)
5 10 15 20 25 30
V(t)
Figura 6.17: Plano de fase do sistema com controle
0 5 10 15 20 25
−50
0
50
100
150
200
250
t
L(y)
Figura 6.18: Gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) = Y
T
QY
110
Vamos agora analisar as simula¸c˜oes num´ericas obtidas com os parˆametros
a
1
= 1, a
2
= 0, 9, b
1
= 1, 1 e b
2
= 1. Isso implica que os mosquitos geneticamente
modificados tenham taxas de fecundidade ou oportunidades de acasalamento di-
ferenciadas, sendo que os acasalamentos entre geneticamente modificados geram
menos descendentes do que os acasalamentos entre selvagens e os acasalamen-
tos mixtos geram mais descendentes do que os acasalamentos entre indiv´ıduos de
mesma esp´ecie.
Vamos ainda favorecer um pouco mais os mosquitos geneticamente modifi-
cados escolhendo os coeficientes da matriz Q de forma que o controle seja mais
intenso, assim:
Q =
100 0
0 100
, R = [1] , (6.23)
onde Q ´e uma matriz sim´etrica e a matriz A ´e dada por:
A =
−6, 545 0
0 −6, 545
, (6.24)
obtemos de (6.10)
P =
0, 7639 0
0 5, 4
. (6.25)
Ent˜ao, de (6.5) temos que
u = −5, 4y
2
. (6.26)
Substituindo (6.26) em (6.15) e resolvendo o sistema encontramos as traje-
t´orias dos desvios e conseq
¨
uentemente V (t) e T (t) de (6.14).
Os demais parˆametros e condi¸c˜oes iniciais foram mantidos.
A Figura 6.19 mostra a dinˆamica do sistema controlado em desvios, cuja
amplitude se mantem constante ao longo do tempo, o que significa que o sistema
111
0
50
100
150
200
Y1,Y2
10 20 30 40 50
t (meses)
Figura 6.19: Dinˆamica do sistema em desvios
0
50
100
150
200
250
U
10 20 30 40 50
t (meses)
Figura 6.20: Dinˆamica da fun¸c˜ao de controle u(t).
n˜ao atingir´a a trajet´oria desejada. A vari´avel y
1
, que representa a diferen¸ca entre
a trajet´oria real e a trajet´oria desejada dos mosquitos selvagens aumenta sua am-
112
plitude do primeiro para o segundo ano da aplica¸c˜ao de controle e estabiliza sua
amplitude nos anos subseq
¨
uentes. Da mesma forma, vari´avel y
2
, que representa
a diferen¸ca entre a trajet´oria real e a trajet´oria desejada dos mosquitos genetica-
mente modificados, tem sua amplitude aumentada do primeiro para o segundo ano,
permanecendo em oscila¸c˜oes de mesma amplitude nos demais anos. Os comporta-
mentos de y
1
e y
2
deixam claro que a trajet´oria desejada nunca ser´a alcan¸cada.
A Figura 6.20 mostra a evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao de controle u(t), que segue um
padr˜ao oscilat´orio, indicando que a aplica¸c˜ao deve ser feita eternamente, j´a que a
trajet´oria desejada n˜ao ser´a atingida para que o controle possa ser interrompido.
0
50
100
150
200
250
V
10 20 30 40 50
t (meses)
Figura 6.21: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens sem controle
As Figuras 6.21 e 6.22 mostram a dinˆamica da intera¸c˜ao entre mosquitos
selvagens e mosquitos geneticamente modificados sem aplica¸c˜ao de controle. Nesse
caso, vimos que a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados ´e gradati-
vamente eliminada do ambiente, tendendo `a extin¸c˜ao, conforme Figura 6.21. J´a a
popula¸c˜ao de mosquitos selvagens se mantem no ambiente, com dinˆamica sazonal,
conforme pode ser visto na Figura 6.22
113
As Figuras 6.23 e 6.24 ilustram a dinˆamica de mosquitos selvagens e gene-
ticamente modificados com aplica¸c˜ao do controle. Podemos observar que quando
o controle ´e aplicado, a popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados n˜ao
tende mais `a extin¸c˜ao, se estabilizando em uma coexistˆencia das duas popula¸c˜oes
com uma pequena predominˆancia de mosquitos geneticamente modificados, ambas
oscilando em ´orbita fechada e seguindo a mesma dinˆamica sazonal.
0
10
20
30
40
50
60
T
10 20 30 40 50
t (meses)
Figura 6.22: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados sem con-
trole
Os planos de fase para os sistemas sem e com controle s˜ao mostrados nas
Figuras 6.25 e 6.26, respectivamente, e mostram claramente o comportamento
observado na evolu¸c˜ao das popula¸c˜oes ao longo do tempo.
A Figura 6.20 mostra a dinˆamica do sistema partindo da condi¸c˜ao inicial
(V (0), T (0)) = (10, 7, 239) e atingindo seu equil´ıbrio em (V
∗
, T
∗
) = (V (t), 0).
J´a a Figura 6.26 mostra a dinˆamica do sistema partindo da condi¸c˜ao inicial
(V (0), T (0)) = (10, 0) e atingindo seu equil´ıbrio com ambas as popula¸c˜oes oscilando
em um ´orbita peri´odica fechada, (V
∗
, T
∗
) = (V (t), T (t)).
Na Figura 6.27 vimos o gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) e podemos perceber que a
114
0
50
100
150
200
V
10 20 30 40 50
t (meses)
Figura 6.23: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos selvagens com controle
20
40
60
80
100
120
140
160
T
10 20 30 40 50
t (meses)
Figura 6.24: Evolu¸c˜ao da popula¸c˜ao de mosquitos geneticamente modificados com con-
trole
matriz
Q n˜ao ´e uma matriz definida positiva, pois repetidamente surgem intervalos
115
0
10
20
30
40
50
60
T(t)
50 100 150 200 250 300
V(t)
Figura 6.25: Plano de fase do sistema sem controle
0
20
40
60
80
100
120
140
160
T(t)
50 100 150 200
V(t)
Figura 6.26: Plano de fase do sistema com controle
onde L(Y ) assume valores negativos. Como a condi¸c˜ao imposta `a matriz
Q no
Teorema 1 n˜ao foi satisfeita, n˜ao h´a como garantir que a trajet´oria desejada seja
116
0 5 10 15 20 25
−8
−6
−4
−2
0
2
4
x 10
4
t
L(y)
Figura 6.27: Gr´afico da fun¸c˜ao L(Y ) = Y
T
QY
alcan¸cada.
117
6.3 Considera¸c˜oes Finais
Neste cap´ıtulo foi formulado e resolvido um problema de controle ´otimo que
fornece diretrizes para o processo de substitui¸c˜ao de mosquitos selvagens por mos-
quitos geneticamente mo dificados. Com base no modelo matem´atico utilizado,
podemos afirmar que o sucesso da substitui¸c˜ao depender´a dos parˆametros estima-
dos para o modelo. Assim, dependendo da habilidade do mosquito transgˆenico
em sobreviver, acasalar e gerar descendentes, ele poder´a ou n˜ao prevalecer sobre a
popula¸c˜ao de mosquitos selvagens, eliminando-a totalmente.
Em rela¸c˜ao ao controle utilizado, devemos salientar que a metodologia usada,
proposta por Rafikov e Balthazar atrav´es do Teorema 1, permitiu que o problema
fosse resolvido de forma que a fun¸c˜ao de controle n˜ao apresentasse coeficientes que
dependessem do tempo. Essa metodologia torna o processo mais simples e garante
a otimalidade do controlador e estabilidade do sistema, podendo ser aplicada a
uma ampla classe de sistemas n˜ao-lineares e tamb´em ca´oticos.
118
Cap´ıtulo 7
Conclus˜oes e Perspectivas para
Trabalhos Futuros
Neste trabalho foi apresentado um modelo matem´atico, baseado na equa¸c˜ao
log´ıstica de Verhulst, que considera a varia¸c˜ao sazonal atuando nos parˆametros
que caracterizam a emergˆencia de mosquitos para a fase adulta e a capacidade
suporte. Esse modelo foi proposto para simular a dinˆamica de mosquitos em regi˜oes
onde ocorrem oscila¸c˜oes na densidade de mosquitos. Os parˆametros do modelo
foram obtidos a partir de informa¸c˜oes encontradas na literatura sobre o Anopheles
darlingi. Os cen´arios oscilat´orios provenientes da simula¸c˜ao num´erica do modelo
confirmam sua aplicabilidade `a v´arias regi˜oes que tenham como caracter´ıstica a
sazonalidade ambiental influenciando a densidade de mosquitos. Dessa forma, para
uma escolha adequada da fun¸c˜ao sazonal, ´e poss´ıvel utilizar o modelo matem´atico
apresentado no Cap´ıtulo 3 para qualquer localidade.
A seguir, foi acoplada a este mo delo a dinˆamica de humanos sujeitos `a infec-
¸c˜ao. Nesse novo modelo foi ent˜ao explorada a resposta da mal´aria na presen¸ca de
tratamento com diferentes n´ıveis de eficiˆencia, para uma temperatura ambiental
em eleva¸c˜ao, e em condi¸c˜oes sazonais para o desenvolvimento do vetor. O objetivo
desse estudo, apresentado no Cap´ıtulo 4, ´e avaliar a propor¸c˜ao da popula¸c˜ao que
necessita de intenso cuidado para levar a doen¸ca `a extin¸c˜ao. Os parˆametros fo-
ram estimados com base em informa¸c˜oes da literatura, com alguma subjetividade.
Ficou claro no modelo que altas temperaturas aumentam a necessidade de pro-
119
porcionar tratamento eficiente `a uma propor¸c˜ao maior de pessoas doentes. Al´em
disso, as simula¸c˜oes num´ericas confirmam que uma situa¸c˜ao de aquecimento global
pode impedir que a mal´aria seja erradicada da popula¸c˜ao apenas com o tratamento
dos infectados.
O modelo apresentado no Cap´ıtulo 4 indica um comportamento satisfat´orio,
com base em observa¸c˜oes feitas na Regi˜ao Amazˆonica e depoimento de pessoas
que l´a vivem. A imunidade passiva n˜ao foi considerada no modelo, mas ´e fato co-
nhecido que ela existe, principalmente na transmiss˜ao por Plasmodium falciparum.
Certamente se tiv´essemos admitido a imunidade no modelo ter´ıamos cen´arios um
pouco mais otimistas. Por´em, na Regi˜ao Amazˆonica, a mal´aria n˜ao ´e est´avel, apre-
sentando ondas epidˆemicas em um ciclo anual. Dessa forma, dificilmente chega a
conferir imunidade `as pessoas, que mesmo depois de adultos e vivendo nesta regi˜ao
desde que nasceram, ainda s˜ao v´ıtimas da mal´aria.
Muitas das informa¸c˜oes encontradas na literatura, al´em de antigas, foram
obtidas por diferentes grupos de p esquisa, em diferentes per´ıodos e localidades.
Assim, os cen´arios tra¸cados a partir do modelo matem´atico n˜ao podem garantir
confiabilidade em termos quantitativos, mas qualitativamente os resultados s˜ao
condizentes com a realidade.
Para tornar o modelo mais abrangente, um pr´oximo passo seria abordar a
o fenˆomeno da imunidade. Uma sugest˜ao seria abandonar a estrutura comparti-
mental, partindo agora de um fluxo cont´ınuo, j´a que a imunidade ´e gradativa e
depende da quantidade de infec¸c˜oes que o indiv´ıduo adquiriu, do intervalo entre
elas e provavelmente de outros fenˆomenos ainda desconhecidos.
Os fenˆomenos migrat´orios foram omitidos nesta formula¸c˜ao para n˜ao com-
prometer a aplicabilidade do modelo, j´a que os fluxos s˜ao completamente desco-
nhecidos e os mapas que caracterizam as regi˜oes segundo a IPA, fornecidos pela
FUNASA, mostram diferen¸cas significativas de IPA em regi˜oes vizinhas por anos
consecutivos. Caso a migra¸c˜ao fosse uma vari´avel relevante na regi˜ao amazˆonica, os
mapas j´a teriam mostrado uma homogeneiza¸c˜ao da mal´aria nos munic´ıpios amazˆo-
120
nicos. Isso se deve, possivelmente, `a dificuldade de locomo¸c˜ao encontrada na regi˜ao
em fun¸c˜ao da Bacia Amazˆonica e da floresta.
Posteriormente, desde que sejam conhecidos os coeficientes que descrevem
os fenˆomenos migrat´orios que porventura ocorrem na regi˜ao, ´e poss´ıvel adaptar o
modelo matem´atico descrito no Cap´ıtulo 4 para contemplar a migra¸c˜ao inserindo
um termo difusivo referente apenas `a locomo¸c˜ao de humanos, j´a que o raio de vˆoo
dos mosquitos ´e curto.
No Cap´ıtulo 5 foi apresentado um modelo que descreve a intera¸c˜ao entre
mosquitos selvagens e geneticamente modificados. Esse modelo ´e um estudo preli-
minar, visto que a dinˆamica que relaciona estas duas popula¸c˜oes ´e geneticamente
mais complexa. Uma limita¸c˜ao imposta a esse modelo ´e a falta de condi¸c˜oes para
encontrar os coeficientes referentes aos cruzamentos intrapopulacionais e interpo-
pulacionais.
No sentido de eliminar essa limita¸c˜ao est´a sendo estudado um novo sistema,
introduzido no final do Cap´ıtulo 5, que leva em conta a zigozidade do mosquito
geneticamente modificado. Esse modelo, em sua forma atual, apresenta restri¸c˜oes
de alguns parˆametros em rela¸c˜ao `a positividade da solu¸c˜ao.
Finalmente, foi proposto um problema de controle ´otimo visando a subs-
titui¸c˜ao de mosquitos selvagens por mosquitos geneticamente modificados. Esse
problema foi resolvido utilizando a metodologia proposta por Rafikov e Balthazar,
e pode ser aplicada a uma ampla classe de sistemas n˜ao-lineares e tamb´em ca´oticos.
Essa metodologia permite que se trabalhe com co eficientes constantes, apesar do
modelo ser sazonal, o que torna o processo muito mais simples.
Diretrizes confi´aveis para o processo de substitui¸c˜ao de mosquitos s´o poder˜ao
ser obtidas quando for poss´ıvel obter os coeficientes reais referentes `a descendˆencia
gerada dos acasalamentos.
————————————————————————–
121
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