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Gildson Queiroz de Jesus
Algoritmos Array para Filtragem de Sistemas Lineares
Dissertação apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos
da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica
Área de Concentração: Sistemas Dinâmicos
Orientador: Prof. Dr. Marco Henrique Terra
Co-orientador: João Yoshiuki Ishihara
São Carlos
2007
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ii
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iii
Sumário
Resumo vii
Abstract ix
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiii
1 Introdução 1
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Estrutura do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Revisão Bibliográfica 3
2.1 Algoritmos Array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Exemplo de Array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Algoritmos Array Rápidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Sistemas Lineares Sujeitos a Saltos Markovianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Sistemas Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Filtro para SLSSM na Forma de Informação 11
3.1 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Filtro para SLSSM na Forma de Informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Algoritmos Array para Filtragem de SLSSM 19
4.1 Algoritmo Array do Filtro para SLSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Algoritmo Array do Filtro para SLSSM na Forma de Informação . . . . . . . . . 23
4.3 Exemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Algoritmos Array Rápidos para Filtragem de Sistemas Singulares 29
5.1 Estimativa Filtrada Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Estimativa Preditora Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iv
5.3 Estimativa Filtrada Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Estimativa Preditora Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5 Exemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Conclusão 41
Referências Bibliográficas 43
A Resultados Matriciais Importantes 45
A.1 Complemento de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.2 Lema da Inversão de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.3 Transformações Unitárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.3.1 Transformações de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.3.2 Transformações de Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.3.3 Rotações de Givens Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.4 Teoremas Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.4.1 Rotações de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.4.2 Transformações J-unitárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Dedicatória
A Idelb er to e Jocélia, meus pais, com amor, admiração e gratidão por sua compreensão,
carinho, presença e incansável apoio ao longo do período de elaboração deste trabalho.
Agradecimentos
A Deus, que me concedeu graça, força e capacidade na exec ução deste trabalho. A Ele toda
honra e glória eternamente.
A Idelberto, Jocélia, Ainá e Raquel, minha família, pelo carinho e constante apoio nesta
jornada.
A Jaíra, Darci, Lígia e Humberto, meus tios, pelo carinho durante este trabalho.
Ao Prof. Dr. Marco Henrique Terra, que, nos anos de convivência, muito me ensinou,
contribuindo para meu crescimento científico e intelectual.
Ao Prof. Dr. João Y. Ishiha ra, pela atenção e apoio durante o processo deste trabalho .
Ao pessoal do Laboratório de Sistemas Inteligentes (LASI) pela amizade e companh erísmo
cotidiano.
Ao pessoal da Comunida de Cristã de São Carlos pela amizad e e supor te espiritual.
Aos amigos que alcancei durante este tempo que muito contribuíram para o meu desenvolvi-
mento , Samuel, Aline, Roberto , Eduardo, Fabíolo, Renata, Fernanda, Nazira, Evandro, Bruno,
entr e outros.
À Escola de Enge nha ria de São Carlos, pela oportunidade de realização do curso de mestrado.
vii
Resumo
Jesus, G. Q. Algoritmos Array para Filtragem de Sistemas Lineares. 20 07. 64 f . Tese (Mestrado)
- Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, S ão Paulo, 2007.
Esta dissertação desenvolve filtro de informação, algoritmos array para estimador do erro médio
mínimo quadrático para sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos e algoritmos array rápidos
para filtragem de sistemas singulares convencionais. Exemplos numéricos serã o apresentados
para mostrarem as vantagens dos algoritmos array deduzidos. Parte dos resultados obtidos
nesta pesquisa serão publicados no seguinte artigo
Terra et al. (2007). Terra, M. H., Ishihara, J. Y. and Jesus, G. Q. (2007). Information
Filtering and Array Algorithms for Discrete-Time Markovian Jump Linear Systems. Proceedings
of the American Control Conference ACC07.
Palavras–Chave: Filtro informação, algoritmo array, tempo discreto, sistemas lineares, saltos
Markovianos, sistemas singulares.
viii
ix
Abstract
Jesus, G.Q. Array Algorithms for Filtering of Linear Systems. 2007. 64 f. Thesis (Master) -
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São P aulo, São Paulo, 2007.
This dissertation develops information filter and array algorith ms for linear minimum mean
square error estimator (LMMSE) of discrete-time Markovian jump linear systems (MJLSs) and
fast array algorithms for filtering of standard singular systems. Numerical examples to show
the advantage of the array algorithms are presented. Some results obtained in this research are
published in the following paper
Terra et al. (2007). Terra, M. H., Ishihara, J. Y. and Jesus, G. Q. (2007). Information
Filtering and Array Algorithms for Discrete-Time Markovian Jump Linear Systems. Proceedings
of the American Control Conference ACC07.
Keywords: Information filter, array algorithm, discrete-time, linear systems, Markovian jump,
singular systems.
x
xi
Lista de Figuras
4.1 Valores Singulares de
˜
Z
i|i−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Valores Singulares de
˜
Z
−1
i|i−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1 Valores Singulares da Estimativa Filtrada Robusta P
−1
i|i
. . . . . . . . . . . . . . . 40
xii
xiii
Lista de Tabelas
4.1 Erro médio quadrático para o cálculo dos valores singulares de
˜
Z
i|i−1
e
˜
Z
−1
i|i−1
. . . 26
5.1 Erro médio quadrático para o cálculo dos valores singulares de P
−1
i|i
. . . . . . . . 39
xiv
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 Motivação
A abordagem para a filtragem de sistemas desenvolvida em (Kalman (1960)), sintetizada
através dos filtros de Kalman, tem sido aplicada em vários problemas práticos em á reas como
aeronáutica, processamento de sinais e controle de processos industriais. Neste trabalho serão
abordados os problemas de filtragem de sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos (SLSSMs),
mais especificamente, o filtro pa ra o estimador linear do erro mínimo médio quadrático deduzido
em (Costa e Guerra (2002)) e de sistemas singulares formulados em (Terra et al. (2007)).
Dentre as várias limitações que têm sido apresentadas pelos filtros de Kalman, t anto para
sistemas convencionais quanto para SLSSMs, pode-se exemplificar problemas de convergência de-
vido a falta de fidelidade dos algoritmos numéricos ou modelagem não apropriada dos sistemas
a serem estimados (Jazwinski (1970)). Para contornar estes problemas, têm sido desenvolvidos
novos algoritmos para diferentes implementações do filtro. Em particular destaca-se neste tra-
balho os algoritmos a rray, introduzidos por Potte r (Potter e Stern (1963)), os algoritmos array
rápidos (Morf e Kailath (1974)) e também os filtros de informação (Anderson e Moore (1979)).
O filtro de Kalman calculado via algoritmo array apresenta algumas vantagens sobre o filtro
de Kalman calculado através da equação de Riccati pois aumenta a eficiência e a estabilidade
numé rica nas implementações dos filtros devido ao uso de transformações ortogonais nos cál-
culos. Algoritmos array reduzem a faixa dinâmica dos valores calculados em implementações
por aritmética de ponto fixo. A con sequênc ia mais importante dessa estabilidade numérica é a
garantia de soluções Hermitianas no cálculo da matriz de covariância do erro de estimativa. Tais
2
algoritmos têm sido pesquisados por vários autores nas últimas décadas, dentre eles podemos
destacar (Dyer e McReynolds (1969)), (Kamin ski e Schmidt (1971 )), (Kailath e Hassibi (2000)),
(Verhaegen e Van Dooren (1986)), (Morf e Kailath (1975)), (Morf e Kailath (1974)).
Para sistemas singulares convencionais, os algoritmos array rápidos são usados para a es-
timativa recursiva em modelos no espaço de estado invariantes no tempo ou em uma certa
classe de modelos em que a variação no tempo é estruturada. Uma das principais vanta gens
desta recursão é a redução do esforço computacional, enquanto que no filtro convencional de
Kalman e na recursão do algoritmo array ambos requerem O(n
3
) operações por iteração (onde
n é o número de estados do modelo), a estimativa recursiva do algoritmo array rápido requer
somente O(n
2
) operações por iteração (Hassibi et al. (1999)). A principal característica deste
algoritmo recursivo é propagar ao invés da matriz de covariância P
i
uma matriz auxiliar M
i
tal
que M
i
SM
T
i
= P
i+1
−P
i
, para todo i, sendo S uma matriz assinatura. Para mais detalhes sobre
algoritmos array rápidos, veja as seguintes r eferên cias (Mo rf e Kailath (1974)), (Morf e Kailath
(1975)), (Verhaegen e Van Doore n (1986)), (Sayed e Kailath (1994)), (Babak Hassibi e Sayed
(2000)).
Neste trabalho o filtro para sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos desenvolvid o em
(Costa e Guerra (2002)) é redefinido para a forma dita de informação e também formulado em
termos de algoritmos array. Em seguida, serão deduzidos algoritmos array rápid os p ara sistemas
singulares convencionais considerando os filtros desenvolvidos em (Terra et al. (2007)).
1.2 Estrutura do Texto
Este texto está organizado da seguinte maneira: No Capítulo 2, é apresentada uma revisão
bibliográfica dos principais assuntos abordados nesta pesquisa: algoritmos array para filtros de
Kalman, sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos (SLSSM) e sistemas singulares. No
Capítulo 3 é deduzida a versão informação do filtro para SLSSM. No Capítulo 4 são deduzidos
algoritmos array do filtro para SLSSM e para sua forma de informação e são apresentad os
resultados de simulação. No Capítulo 5 são deduzidos os algoritmos array rápidos para filtragem
de sistemas singulares. Por fim, são apresentadas as conclusões e um apêndice com alguns
resultados auxiliares utilizados neste trabalho.
3
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
2.1 Algoritmos Array
Potte r (Potter e Stern (1963)) foi o primeiro que introduziu o conceito de algoritmo array
para o problema de atualização da medida do filtro de Kalman no espaço de estado, em um
caso especial quando o sistema apresenta observações escalares. Em razão das características
numé ricas d o a lgor itmo e sua relativa simplicidade, ele foi implementado nos filtros de navegação
da nave espacial Apollo, em meados da década de 1960 (Kailath e Hassibi (2000)).
O significado físico da matriz P
i
na recursão de Riccati é a variância da predição do erro de
estado, consequentemente esta matriz é (semi)definida positiva. Os erros de arredondamento que
podem ocorrer no cálculo da variância através da equação de Riccati, podem causar uma perda
desta propriedade. Por este e outros motivos já citados, os algoritmos array para filtragem de
sistemas têm recebido atenção na literatura. Com o algoritmo array, ao invés de P
i
, é propagado o
seu fator raiz quadrada P
1/2
i
, ou seja, uma matriz A
i
, tal que P
i
= A
i
A
T
i
. Apesar da possibilidade
de haver erros de arredondamento em A
i
, o produto dos fatores multiplicados P
i
= A
i
A
T
i
é sempre
uma matriz (semi)definida positiva, evitando assim erros de arredondamento que geram vários
problemas computacion ais. Essas raízes quadradas não são únicas. Sendo θ uma matriz unitária,
ou seja, θθ
T
= θ
T
θ = I, então pode-se deduzir que Aθ também é um fator raiz quadrada de P
i
.
Este fat or pode ser único se forem impostas restrições adicion ais como P sendo triangular ou
Hermitiana. Por conveniência, consideram-se as seguintes igualdades
P
i
= P
1/2
i
(P
1/2
i
)
T
= P
1/2
i
P
T/2
i
. (2.1)
4
Em geral, os fatores raiz quadrada de uma equação recursiva podem ser propagados p or algoritmo
array da seguinte maneira
1. Forma-se um determinado pré-array de números baseados nos dados do tempo i.
2. Este pré-array é reduzido para uma forma específica (geralmente triangular) por uma
sequência de operações unitárias elementares (rotações e reflexões).
3. Os valores desejados do tempo i + 1 podem ser imediatamente lidos a partir dos chamados
pós-array.
2.1.1 Exemplo de Array
Antes de apresentar algoritmos array para filtragem de SLSSM, nesta seção será apresentado
um exemplo do uso de array para o filtro de Kalman no espaço de estado baseado em (Hassibi
et al. (1 999 )). Seja a equação de Riccati para o filtro de Kalman no espaço de estado dada pela
seguinte equação recursiva
P
i+1
= F
i
P
i
F
T
i
+ G
i
Q
i
G
T
i
− K
p,i
R
−1
e,i
K
T
p,i
, (2.2)
P
0
= π
0
, R
e,i
= R
i
+ H
i
P
i
H
T
i
, K
p,i
= F
i
P
i
H
T
i
R
−1
e,i
e F
i
, G
i
, H
i
, Q
i
, R
i
são matrizes de parâmetros conhecidas. O complemento de Schur da equação
(2.2) é dado por
R
i
+ H
i
P
i
H
T
i
H
i
P
i
F
T
i
F
i
P
i
H
T
i
F
i
P
i
F
T
i
+ G
i
Q
i
G
T
i
(2.3)
fatorando (2.3), obtém-se
R
1/2
i
H
i
P
1/2
i
0
0 F
i
P
1/2
i
G
i
Q
1/2
i
R
T/2
i
0
P
T/2
i
H
T
i
P
T/2
i
F
T
i
0 Q
T/2
i
G
T
i
. (2.4)
A estimativa é realizada através de uma transformação unitária θ
i
, que triangulariza o pré-array
como mostrado a seguir
R
1/2
i
H
i
P
1/2
i
0
0 F
i
P
1/2
i
G
i
Q
1/2
i
θ
i
=
X 0 0
Y Z 0
. (2.5)
5
Considerando o quadrado desta expressão e utilizando o fato de que θ
i
é unitária, obtém-se
R
i
+ H
i
P
i
H
T
i
H
i
P
i
F
T
i
F
i
P
i
H
T
i
F
i
P
i
F
T
i
+ G
i
Q
i
G
T
i
=
XX
T
XY
T
Y X
T
Y Y
T
+ ZZ
T
. (2.6)
Igualando os respectivos termos desta igualdade obtém-se
XX
T
= R
i
+ H
i
P
i
H
T
i
= R
e,i
X = R
1/2
e,i
Y X
T
= F
i
P
i
H
T
i
Y = F
i
P
i
H
T
i
R
−T/2
e,i
Y = K
p,i
R
1/2
e,i
ZZ
T
= F
i
P
i
F
T
i
+ G
i
Q
i
G
T
i
− Y Y
T
ZZ
T
= F
i
P
i
F
T
i
+ G
i
Q
i
G
T
i
− Y X
T
(XX
T
)
−1
XY
T
ZZ
T
= F
i
P
i
F
T
i
+ G
i
Q
i
G
T
i
− F
i
P
i
H
T
i
R
−1
e,i
H
i
P
i
F
T
i
ZZ
T
= P
i+1
Z = P
1/2
i+1
. (2.7)
Tem-se então a seguinte estimativa calculada através do algoritmo array
R
1/2
i
H
i
P
1/2
i
0
0 F
i
P
1/2
i
G
i
Q
1/2
i
θ
i
=
R
1/2
e,i
0 0
K
p,i
R
1/2
e,i
P
1/2
i+1
0
. (2.8)
2.2 Algoritmos Array Rápidos
Nesta seção será apresentad o o algoritmo array rápido para o filtro de Kalman no espaço de
estado baseado em (Sayed e Kailath (1994)). Seja δP
i+1
= P
i+2
−P
i+1
, para sistemas invariantes
no tempo. δP
i
é uma matriz Hermitiana. Pode-se fatorá-la da seguinte forma
δP
i+1
= P
i+2
− P
i+1
= M
i+1
S
i+1
M
T
i+1
(2.9)
sendo S
i+1
uma matriz assinatura (uma matriz diagonal com ±1 sobre as diagonais onde δP
i+1
tem autovalores p ositivos e negativos). Considera-se S
i+1
= S. Pode-se reescrever a equação
6
(2.9) como
P
i+2
− P
i+1
= −P
i+1
+ F P
i+1
F
T
−
K
p,i+1
K
T
p,i+1
+ GQG
T
(2.10)
P
0
= Π
0
= 0, P
1
= GQG
T
K
p,i+1
= F P
i+1
H
T
R
−1/2
e,i+1
, R
e,i+1
= R + HP
i+1
H
T
e F, G, H, Q e R são matrizes conhecidas. Considere agora o complemento de Schur da equação
(2.10)
R + HP
i+1
H
T
HP
i+1
F
T
F P
i+1
H
T
−P
i+1
+ F P
i+1
F
T
+ GQG
T
(2.11)
pode-se fatorar (2.11) da seguinte maneira
R
1/2
e,i
HM
i
K
p,i
F M
i
R
1/2
e,i
K
T
p,i
M
T
i
H
T
M
T
i
F
T
. (2.12)
O pré-array p ort anto é dado por
A
i
=
R
1/2
e,i
HM
i
K
p,i
F M
i
. (2.13)
Seja θ
i
matriz J-unitária que triangulariza A
i
. Então
A
i
θ
i
=
X 0
Y Z
. (2.14)
Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade (2.14) e comparando os elementos obtém-
se
XX
T
= R
e,i
+ HM
i
SM
T
i
H
T
= R
e,i
+ H(P
i+1
− P
i
)H
T
= R + HP
i
H
T
+ HP
i+1
H
T
− HP
i
H
T
X = R
1/2
e,i+1
7
Y X
T
= F P
i
H
T
+ F M
i
SM
T
i
H
T
(2.15)
= F P
i
H
T
+ F (P
i+1
− P i)H
T
Y =
K
p,i+1
Y Y
T
+ ZZ
T
= F P
i
H
T
R
−1
e,i
HP
i
F
T
+ F M
i
SM
T
i
F
T
= F P
i
H
T
R
−1
e,i
HP
i
F
T
+ F (P
i+1
− P
i
)F
T
ZZ
T
= P
i+2
+ P
i+1
Z = L
i+1
(2.16)
Que resulta na seguinte recursão dita de Chandrasekhar
R
1/2
e,i
HM
i
K
p,i
F M
i
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
(2.17)
2.3 Sistemas Lineares Sujeitos a Saltos Markovianos
Sistemas sujeitos a saltos Markovianos caracterizam sistemas sujeitos a mudanças que podem
ser devidas, p o r exemplo, a distúbios abruptos no ambiente, repar os ou falhas nos componentes,
muda nça s em subsistemas interconectados, etc. Exemplos de tais comportamentos podem ser
encontrados em sistemas econômicos, em sistemas de controle de avião, sistemas manipuladores
robóticos entre outros. Em alguns casos estes sistemas podem ser modelados por um conjunto
de sistemas lineares discretos no tempo cuja transição pode ser dada por uma cadeia de Markov,
ou seja, um modelo probabilístico que fornece uma indicação quantitativa das probabilidades de
ocorrência dos vários cenários. Uma categoria de modelos para descrever tais comportamentos
dinâmicos é a descrita por sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos (SLSSM). O algoritmo
array que será apresenta do a seguir está baseado no seguinte SLSS M discreto no tempo
x
i+1
= F
Θ(i)
x
i
+ G
Θ(i)
u
i
, (2.18)
y
i
= H
Θ(i)
x
i
+ D
Θ(i)
v
i
, i = 0, 1...
sendo x
i
o estado que pertence ao R
n
, u
i
o distúrbio aleatório do estad o que pertence ao R
p
, y
i
a sequência de saída que pertence ao R
m
e v
i
o distúrbio aleatório de saída que pertence ao R
p
;
Θ
i
a cadeia de Markov discreta no tempo com espaço de estado finito {i = 1, .. ., N} e P = [p
ij
] a
matriz de probabilidade de transição; F
k
, G
k
, H
k
, e D
k
, k = 1, ..., N, são matrizes de dimensões
8
apropriadas. Considera-se que D
k
D
T
k
> 0 para todo k = 1, ..., N; as seqüências dos distúrbios
aleatórios {u
i
} e {v
i
} possuem média nula, são estacionárias e mutuamente independentes com
matrizes de covariância iguais a identidade; x
0
1
{Θ
0
=k}
, k = 1, ..., N, são vetores aleatórios de
segunda ordem com E
x
0
1
{Θ
0
=k}
= µ
k
e E
x
0
x
T
0
1
{Θ
0
=k}
= V
k
, k = 1, ..., N; x(0) e Θ(i) são
independentes de {u
i
} e {v
i
}. Aqui, 1
{·}
denota a medida de Dirac (considerando o espaço de
probabilidade (Ω, F, P), para qualquer U ∈ F e ω ∈ Ω, 1
U
(ω) = 1 se ω ∈ U e 1
U
(ω) = 0 em caso
contrário)(Costa et al. (2005)).
2.4 Sistemas Singulares
Filtragem e controle de sistemas singulares têm recebido grande atenção na literatura. Este
inter esse é motivado pelo fato de que muitos sistemas podem ser modelados naturalmente como
um sistema singular. Aplicações para este tipo de modelo podem ser encontradas, por exemplo,
em sistemas econômicos, circuitos elétricos e robótica. Os sistemas singulares foram men cion ado s
pela primeira vez na literatura em 1973 (Singh e Liu (1973)). Em muitas publicaçõe s os sistemas
singulares são chamados também de semi-estado, sistemas degen erados e sistemas algébricos-
diferenciais, por envolverem equações algébricas e equações diferenciais.
Os algoritmos array rápidos que serão apresentados neste trabalho estão baseados no seguinte
sistema singular linear discreto no tempo
(E
i+1
+ δE
i+1
)x
i
= (F
i
+ δF
i
)x
i
+ w
i
, i = 1, ..., N
y
i
= (H
i
+ δH
i
)x
i
+ v
i
(2.19)
sendo x
i
∈ R
n
a variável singular, y
i
∈ R
p
a medida de saída, w
i
∈ R
m
e v
i
∈ R
p
são os ruídos de
processo e de medida, E
i+1
∈ R
m×n
matriz singular, F
i
∈ R
m×n
e H
p×n
i
, matrizes do sistemas
nominal conhecidas. Quando E
i
é não singular, o sistema recai no espaço de estado. δE
i+1
, δF
i
e δH
i
são pe rturb ações variantes no tempo para as matrize s do sistema nominal definidas como
δF
i
= M
f,i
∆
i
N
f,i
, δE
i+1
= M
f,i
∆
i
N
e,i+1
δH
i
= M
h,i
∆
i
N
h,i
, ∆
i
≤ 1
sendo M
f,i
, M
h,i
, N
e,i+1
, N
f,i
, N
h,i
matrizes conhecidas e ∆
i
uma contração. A condição inicial,
os ruídos de processo e de medida, {x
0
, w
i
, v
i
}, são assumidas variáveis aleatórias com média
9
zero e estatísticas de segunda ordem
E
x
0
w
i
v
i
x
0
w
j
v
j
T
=
P
0
0 0
0 Q
i
δ
ij
0
0 0 R
i
δ
ij
> 0 (2.20)
sendo {R
i
, Q
i
} matrizes conhecidas, δ
ij
= 1 se i = j e δ
ij
= 0 caso contrário.
10
11
Capítulo 3
Filtro para SLSSM na Forma de
Informação
Neste capítulo será deduzida a versão na forma de informação de um filtro para SLSSM.
Filtros expre ssos na forma de informação propagam o valor do inverso da variância do erro de
estimativa
˜
Z
−1
i|i−1
ao invés da própria variância
˜
Z
i|i−1
. A vantagem do filtro de informação é que
se pode ter algoritmos numericamente mais robustos quando há pouca ou nenhuma informação
da condição inicial, por exemplo, para
˜
Z
0|−1
muito grande ou infinita,
˜
Z
−1
0|−1
é pequena ou nula.
Os resultados apresentados neste capítulo fazem parte das contribuições originais deste trabalho.
3.1 Resultados Preliminares
Serão apresentados nesta seção resultados auxiliares que serão utilizados na dedução do filtro
para SLSSM na forma de informação para o sistema definido na Seção 2.3. Considere as seguintes
definições para i ≥ 0 e k ∈ {1, ..., N},
z
i
:=
z
T
i,1
. . . z
T
i,N
T
∈ ℜ
Nn
,
z
i,k
:= x
i
1
{Θ
i
=k}
∈ ℜ
n
e ˆz
i|i−1
a projeção de z
i
em L(y
i−1
) (subespaço linear medido por y
i−1
:= (y
T
i−1
...y
T
0
)
T
) com
˜z
i|i−1
:= z
i
− ˆz
i|i−1
.
12
Estas variáveis são associadas com as seguintes matrizes de segundo momento
Z
i
:= E
z
i
z
T
i
= diag(Z
i,k
) ∈ ℜ
NnxNn
,
Z
i,k
:= E
z
i,k
z
T
i,k
∈ ℜ
nxn
, k = 1, ..., N
ˆ
Z
i|l
:= E
ˆz
i|l
ˆz
T
i|l
∈ ℜ
NnxNn
, l ≤ i
˜
Z
i|l
:= E
˜z
i|l
˜z
T
i|l
∈ ℜ
NnxNn
, l ≤ i
e inte rage m com as seguintes matrizes a umentadas
F :=
p
11
F
1
. . . p
N1
F
N
.
.
. . . .
.
.
.
p
1N
F
1
. . . p
NN
F
N
∈ ℜ
NnxNn
, (3.1)
H :=
H
1
. . . H
N
∈ ℜ
mxNn
, (3.2)
D
i
:=
D
1
π
1/2
i,1
. . . D
N
π
1/2
i,N
∈ ℜ
mxNq
, (3.3)
π
i,k
:= P (Θ (i) = k) , (3.4)
sendo que diag[Z
i,k
] denota uma matriz formada por Z
i,k
, k = 1, . . . , N na diagonal e zero nas
outras posições. Considere o estado estimado ˆx
i|i
como
ˆx
i|i
=
N
j=1
ˆz
i,j|i
(3.5)
sendo que ˆz
i|i
é obtido do seguinte algoritmo recursivo
ˆz
i|i
= ˆz
i|i−1
+
˜
Z
i|i−1
H
T
(H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
)
−1
(y
i
− Hˆz
i|i−1
), (3.6)
ˆz
i|i−1
= Fˆz
i−1|i−1
, (3.7)
ˆz
0|−1
= E(z(0)) =
µ
T
1
. . . µ
T
N
T
, (3.8)
e
˜
Z
i|i−1
∈ ℜ
NnxNn
são matrizes semidefinidas positivas dadas p or
˜
Z
i|i−1
= Z
i
−
ˆ
Z
i|i−1
, (3.9)
˜
Z
i|i
= Z
i
−
ˆ
Z
i|i
, (3.10)
Z
i
= diag[Z
i,k
] (3.11)
13
Z
i+1,k
=
N
j=1
p
jk
F
j
Z
i,j
F
T
j
+
N
j=1
p
jk
π
i,j
G
j
G
T
j
, (3.12)
Z
0,k
= V
k
, k ∈ {1, . . . , N }. (3.13)
A vantagem do filtro para SLSSM deduzido em (Costa e Guerra (2002)), e apresentado a
seguir, é que
˜
Z
i|i−1
pode ser calculada diretamente como uma equação recursiva de Riccati, com
um termo adicional que depende das matrizes de segundo moment o Z
i,k
ˆz
i|i
= ˆz
i|i−1
+
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
y
i
− Hˆz
i|i−1
, (3.14)
ˆz
i|i−1
= Fˆz
i−1|i−1
,
˜
Z
i+1|i
= F
˜
Z
i|i−1
F
T
+ B (Q(i)) + diag
N
j=1
p
jk
π
i,j
G
j
G
T
j
− F
˜
Z
i|i−1
H
T
×
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
˜
Z
i|i−1
F
T
. (3.15)
Denotando
Q
i
:= B(Q(i)) + diag
N
j=1
π
i,j
p
jk
G
j
G
T
j
(3.16)
sendo
B(Q(i)) = diag
N
j=1
p
jk
F
j
Z
i,j
F
T
j
− F(diag[Z
i,k
])F
T
(3.17)
pode-se reescrever a equação algébrica de Riccati (3.15) como
˜
Z
i+1|i
= F
˜
Z
i|i−1
F
T
+ Q
i
− F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
˜
Z
i|i−1
F
T
. (3.18)
A seguir serão apresentados alguns lemas auxiliares que serão utilizados na dedução do filtro
na forma de informação para SLSSM.
Lema 3.1.1 Considere matrizes A, B, C e D de dimensões apropriadas com A e D invertíveis.
A seguinte igualdade é válida
(A + BDC)
−1
BD = A
−1
B
D
−1
+ CA
−1
B
−1
. (3.19)
14
Prova: Utilizando o Lema (A.2) da inversão de matrizes, as seguintes igualdades são válidas
(A + BDC)
−1
BD = A
−1
BD − A
−1
B
D
−1
+ CA
−1
B
−1
CA
−1
BD
= A
−1
BD − A
−1
BD
I + CA
−1
BD
−1
CA
−1
BD
= A
−1
BD
I −
I + CA
−1
BD
−1
CA
−1
BD
= A
−1
BD
I + CA
−1
BD
−1
= A
−1
B
D
−1
+ CA
−1
B
−1
. ⋄
Lema 3.1.2 A equação algébrica de Riccati do filtro para SLSSM
˜
Z
i+1|i
= F
˜
Z
i|i−1
F
T
+ Q
i
− F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
˜
Z
i|i−1
F
T
(3.20)
pode ser reescrita na forma de informação como
˜
Z
−1
i+1|i
= Q
−1
i
− Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
−1
F
T
Q
−1
i
. (3.21)
Prova: Pode-se reescrever a equação (3.20) da seguinte forma
˜
Z
i+1|i
= Q
i
+ F
˜
Z
i|i−1
−
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
˜
Z
i|i−1
F
T
, (3.22)
usando o Lema (A.2) da inversão de matrizes tem-se
˜
Z
i+1|i
= Q
i
+ F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
F
T
(3.23)
e aplicando novamente o Lema da inversão (A.2) obtém-se
˜
Z
−1
i+1|i
= Q
−1
i
− Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
−1
F
T
Q
−1
i
. ⋄ (3.24)
Lema 3.1.3 O filtro para SLSSM na forma preditora-corretora
ˆz
i|i
= ˆz
i|i−1
+
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
(y
i
− Hˆz
i|i−1
) (3.25)
15
ˆz
i+1|i
= Fˆz
i|i
(3.26)
pode ser escrito na forma preditora como
ˆz
i+1|i
= F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
+ F(
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
×
D
i
D
T
i
−1
H)
−1
H
T
D
i
D
T
i
−1
y
i
. (3.27)
Prova: Seja o filtro para SLSSM na sua forma preditora
ˆz
i+1|i
= F
I −
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
ˆz
i|i−1
+ F
˜
Z
i|i−1
H
T
×
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
y
i
(3.28)
o termo de (3.28),
F
I −
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
ˆz
i|i−1
(3.29)
pode ser reescrito como
F
˜
Z
i|i−1
−
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
˜
Z
i|i−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
. (3.30)
Usando o Lema (A.2) da inversão de matrizes obtém-se
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
(3.31)
substituindo o termo (3.29) pelo (3.31) em (3.28) tem-se
ˆz
i+1|i
= F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
+ F
˜
Z
i|i−1
H
T
×
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
y
i
(3.32)
e considere também o outro termo de (3.28),
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
y
i
(3.33)
16
que pode ser reescrito como
˜
Z
i|i−1
H
T
I +
D
i
D
T
i
−1
H
˜
Z
i|i−1
H
T
−1
D
i
D
T
i
−1
y
i
(3.34)
ou,
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
H
T
D
i
D
T
i
−1
y
i
. (3.35)
Substituindo (3.33) pelo (3.35) em (3.32) tem-se portanto
ˆz
i+1|i
= F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
+ F(
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
×
D
i
D
T
i
)
−1
H
−1
H
T
D
i
D
T
i
−1
y
i
. ⋄ (3.36)
3.2 Filtro para SLSSM na Forma de Informação
Com os resultados apresentados na seção anterior, o filtro para SLSSM na forma de infor-
mação pode então ser deduzido.
Teorema 3.2.1 O filtro para SLSSM é dado por
ˆz
i+1|i
= F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
+ F
˜
Z
i|i−1
H
T
×
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
y
i
(3.37)
e pode ser reecrito na forma de informação como
˜
Z
−1
i+1|i
ˆz
i+1|i
= Q
−1
i
F
F
T
Q
−1
i
F +
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
+ Q
−1
i
F
×
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
−1
H
T
D
i
D
T
i
−1
y
i
. (3.38)
Prova: Lembrando que,
˜
Z
i+1|i
= Q
i
+ F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
F
T
e multiplicando a
esquerda de (3.37) por
˜
Z
−1
i+1|i
tem-se
˜
Z
−1
i+1|i
ˆz
i+1|i
= (Q
i
+ F(
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
(D
i
D
T
i
)
−1
H)
−1
F
T
)
−1
F(
˜
Z
−1
i−1|i
+ H
T
(D
i
D
T
i
)
−1
H)
−1
×
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
+ (Q
i
+ F(
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
(D
i
D
T
i
)
−1
H)
−1
F
T
)
−1
× F
˜
Z
i|i−1
H
T
(H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
)
−1
y
i
. (3.39)
17
Considerando o termo de (3.39),
Q
i
+ F(
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H)
−1
F
T
−1
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
×
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
(3.40)
e usando o Lema (3.1.1), pode-se reescrever o termo (3.40) como
Q
−1
i
F
F
T
Q
−1
i
F +
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
. (3.41)
Substituindo o termo (3.40) pelo (3.41) em (3.39) tem-se
˜
Z
−1
i+1|i
ˆz
i+1|i
= Q
−1
i
F
F
T
Q
−1
i
F +
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
+
Q
i
+ F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
F
T
−1
F
˜
Z
i|i−1
H
T
×
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
y
i
. (3.42)
Considerando o termo de (3.39),
Q
i
+ F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
F
T
−1
F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
× y
i
(3.43)
e usando novamente o Lema (3.1.1) obtém-se
Q
i
+ F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
F
T
−1
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
H
T
×
D
i
D
T
i
−1
y
i
(3.44)
que pode ser reescrito como
= Q
−1
i
I + F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
F
T
Q
−1
i
−1
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
× H
T
D
i
D
T
i
−1
y
i
= Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
I + F
T
Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
−1
× H
T
D
i
D
T
i
−1
y
i
= Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
−1
H
T
D
i
D
T
i
−1
y
i
(3.45)
18
e substituindo novamente em (3.42), obtém-se
˜
Z
−1
i+1|i
ˆz
i+1|i
= Q
−1
i
F
F
T
Q
−1
i
F +
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H
−1
˜
Z
−1
i|i−1
ˆz
i|i−1
+ Q
−1
i
F
×
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
−1
H
T
D
i
D
T
i
−1
y
i
. ⋄ (3.46)
19
Capítulo 4
Algoritmos Array para Filtragem de
SLSSM
Neste capítulo serão apresentados os algoritmos array do filtro para SLSSM e para sua forma
de informação, bem como exemplos numéricos ilustrativos. O objetivo como já foi dito é apresen-
tar a ltern ativas mais robustas para o cálculo desses filtros de SLSSMs. Os resultados apresentados
neste capítulo fazem parte das contribuições originais deste trabalho.
4.1 Algoritmo Array do Filtro para SLSSM
Segue abaixo a dedução do algoritmo array do filtro para SLSSM.
Algoritmo 4.1.1 A equação de Riccati (3.15), utilizada para o cálculo do erro de estimativa do
filtro para SLSSM, pode ser calculada de maneira alternativa através do algoritmo array definido
de acordo com o seguinte procedimento
P asso 1: Calcular as condições iniciais Z
1/2
0,j
= V
1/2
j
com j = 1, .., N; Z
1/2
0
= diag [Z
0,j
]
1/2
e
˜
Z
1/2
0,j
=
ξ(0)ξ(0)
T
1/2
.
P asso 2: Calcular
˜
Z
1/2
i+1|i
utilizando uma matriz J-unitária Λ
J
1
(matriz que satisfaz a seguinte
condição: Λ
J
1
JΛ
T
J
1
= J sendo J uma matriz diagonal cujos elementos são +1 e -1) de dimensões
20
apropriadas
H
˜
Z
1/2
i|i−1
D
i
D
T
i
1/2
0 0
F
˜
Z
1/2
i|i−1
0 Z
i+1
FZ
i
Λ
J
1
(4.1)
=
H
T
˜
Z
i|i−1
H + D
i
D
T
i
1/2
0 0 0
F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1/2
˜
Z
1/2
i+1|i
0 0
sendo que Z
i
= Z
i
Z
T
i
= diag[Z
i,k
] e Z
i
é d ada por
L
1
M
1
0 0 ··· 0 0
0 0 L
2
M
2
··· 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 . . . L
N
M
N
(4.2)
e
L
k
=
L
1k
L
2k
··· L
Nk
, M
k
=
M
1k
M
2k
··· M
Nk
L
jk
= p
1/2
jk
F
j
Z
1/2
i,j
, M
jk
= p
1/2
jk
π
1/2
i,j
G
j
.
Z
1/2
i,j
pode ser calculada usando uma matriz unitária Λ
z
tal que
L
1
M
1
0 0 ··· 0 0
0 0 L
2
M
2
··· 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 . . . L
N
M
N
Λ
z
=
Z
1/2
i+1,1
0 0 ··· 0 0
0 Z
1/2
i+1,2
0 ··· 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . Z
1/2
i+1,N
0
. (4.3)
Prova: Para calcular
˜
Z
i+1|i
é necessário calcular Z
i
= Z
i
Z
T
i
= diag[Z
i,k
] com,
Z
i+1,k
=
N
j=1
p
jk
F
j
Z
i,j
F
T
j
+
N
j=1
π
i,j
p
jk
G
j
G
T
j
. (4.4)
21
Considere Z
i
calculada em (4.2), assim usando o Lema (A.4.1), Z
1/2
i,j
pode ser calculada através
de uma matriz unitária Λ
z
tal que
L
1
M
1
0 0 ··· 0 0
0 0 L
2
M
2
··· 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 . . . L
N
M
N
Λ
z
=
Z
1/2
i+1,1
0 0 ··· 0 0
0 Z
1/2
i+1,2
0 ··· 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . Z
1/2
i+1,N
0
(4.5)
pois se cada matriz acima for multiplicada pela sua transposta, chega-se ao conjunto de equações
dado em (4.4) que caracteriza Z
i
, ou seja, uma relação do tipo AA
T
= BB
T
. O algoritmo array
para o cálculo de
˜
Z
i+1|i
é definido da seguinte maneira. Considere a equação de Riccati do filtro
para SLSSM
˜
Z
i+1|i
= F
˜
Z
i|i−1
F
T
+ diag
N
j=1
p
jk
F
j
Z
i,j
F
T
j
+
N
j=1
π
i,j
p
jk
G
j
G
T
j
− F (diag (Z
i,k
)) F
T
− F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
˜
Z
i|i−1
F
T
(4.6)
ou,
˜
Z
i+1|i
= F
˜
Z
i|i−1
F
T
+ Z
i+1
− FZ
i
F
T
− F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1
H
˜
Z
i|i−1
F
T
. (4.7)
O complemento de Schur de (4.7) é dado por
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
H
˜
Z
i|i−1
F
T
F
˜
Z
i|i−1
H
T
F
˜
Z
i|i−1
F
T
+ Z
i+1
− FZ
i
F
T
. (4.8)
Pode-se fatorar (4.8) utilizando uma matriz assinatura J como
H
˜
Z
1/2
i|i−1
D
i
D
T
i
1/2
0 0
F
˜
Z
1/2
i|i−1
0 Z
i+1
FZ
i
J
˜
Z
1/2
i|i−1
H
T
˜
Z
1/2
i|i−1
F
T
D
i
D
T
i
T/2
0
0 Z
T
i+1
0 Z
T
i
F
T
(4.9)
22
sendo,
J =
I 0 0 0
0 I 0 0
0 0 I 0
0 0 0 −I
. (4.10)
Vamos usar a propriedade do comple mento de Schur mostrada no Apêndice A.1 para encontrar
uma outra fatoração para (4.8)
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
1/2
0
F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1/2
˜
Z
1/2
i+1|i
(4.11)
×
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
T/2
0
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−T/2
H
˜
Z
i|i−1
F
T
˜
Z
T/2
i+1|i
T
.
Pode-se reescrever a fatoração (4.11) utilizando a matriz assinatura (4.10) da seguinte forma
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
1/2
0 0
F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1/2
˜
Z
1/2
i+1|i
0
J
(4.12)
×
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
T/2
0 0
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−T/2
H
˜
Z
i|i−1
F
T
˜
Z
T/2
i+1|i
0
T
.
Sendo assim pode-se dizer que existe uma transformação J-unitária Λ
J
1
tal que
H
˜
Z
1/2
i|i−1
D
i
D
T
i
1/2
0 0
F
˜
Z
1/2
i|i−1
0 Z
i+1
FZ
i
Λ
J
1
(4.13)
=
H
T
˜
Z
i|i−1
H + D
i
D
T
i
1/2
0 0 0
F
˜
Z
i|i−1
H
T
H
˜
Z
i|i−1
H
T
+ D
i
D
T
i
−1/2
˜
Z
1/2
i+1|i
0 0
. ⋄
23
4.2 Algoritmo Array do Filtro para SLSSM na Forma de Infor-
mação
A seguir será apresentada a dedução do algoritmo array do filtro para SLSSM na forma de
informação.
Algoritmo 4.2.1 A equação de Riccati (3.21), utilizada para o cálculo do erro de estimativa do
filtro para SLSSM na forma de informação, pode ser calculada de maneira alternativa através do
algoritmo array definido de acordo com o seguinte procedimento:
P asso 1:Calcular as condições iniciais Z
−1/2
0,j
= V
−1/2
j
com j = 1, ..., N ; Z
−1/2
0
= diag [Z
0,j
]
−1/2
e
˜
Z
−1/2
0|−1
=
ς(0)ς(0)
T
−1/2
.
P asso 2:Calcular
˜
Z
−1/2
i+1|i
utilizando uma matriz unitária Λ tal que:
˜
Z
−1/2
i|i−1
H
T
D
i
D
T
i
−1/2
F
T
Q
−1/2
i
0 0 Q
−1/2
i
Λ
(4.14)
=
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
1/2
0 0
Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
−1/2
˜
Z
−1/2
i+1|i
0
sendo, Q
i
= Z
i+1
− F
T
Z
i
F, pode ser calculado através de Z
i
que é dado como no Passo 2 do
algoritmo (4.1.1).
Prova: Para calcular
˜
Z
−1
i+1|i
é necessário calcular Q
i
. Se ja,
Q
i
= B(Q(i)) + diag
N
j=1
π
i,j
p
jk
G
j
G
T
j
(4.15)
que pode ser reescrito como
Q
i
= diag
N
j=1
p
ij
F
j
Z
i,k
F
T
j
+
N
j=1
π
i,j
p
jk
G
j
G
T
j
− F (diag (Z
i,k
)) F
T
, (4.16)
Q
i
= diag (Z
i,k+1
) − F (diag (Z
i,k
)) F
T
, (4.17)
24
Q
i
= Z
i+1
− FZ
i
F
T
. (4.18)
sendo Z
i
= diag (Z
i,k
) = Z
i
Z
T
i
.
Considere Z
i
como em (4.2), assim usando o Lema (A.4.1) Z
1/2
i,j
pode ser calculada usando
uma matriz unitária Λz tal que
L
1
M
1
0 0 ··· 0 0
0 0 L
2
M
2
··· 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 . . . L
N
M
N
Λ
z
=
Z
1/2
i+1,1
0 0 ··· 0 0
0 Z
1/2
i+1,2
0 ··· 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . Z
1/2
i+1,N
0
(4.19)
pois se cada matriz acima for multiplicada pela sua transposta, chega-se ao conjunto de equações
dado em (4.4) que caracteriza Z
i
, ou seja, uma relação do tipo AA
∗
= BB
∗
. Agora será con-
struido o algoritmo array para o cálculo de
˜
Z
−1
i+1|i
. Considere a equação de Riccati do filtro para
SLSSM abaixo:
˜
Z
−1
i+1|i
= Q
−1
i
− Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
−1
F
T
Q
−1
i
. (4.20)
O complemento de Schur da equação de Riccat i do filtro para SLSSM na for ma de informação
(4.20) é dado por
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F F
T
Q
−1
i
Q
−1
i
F Q
−1
i
(4.21)
fatorando o complemento de Schur (4.21) tem-se
˜
Z
−1/2
i|i−1
H
T
D
i
D
T
i
−1/2
F
T
Q
−1/2
i
0 0 Q
−1/2
i
˜
Z
−T/2
i|i−1
0
D
i
D
T
i
−T/2
H 0
Q
−T/2
i
F Q
−T/2
i
. (4.22)
25
Usando a propriedade do complemento de Schur mostrada no Apêndice A.1 será realizada a
seguinte fatoração alternativa:
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
1/2
0 0
Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
i
F
−1/2
˜
Z
−1/2
i+1|i
0
(4.23)
×
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
T/2
0 0
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
i
F
−T/2
F
T
Q
−T
i
˜
Z
−T/2
i+1|i
0
T
.
Sendo assim pode-se dizer que existe uma transformação unitária Λ tal que
˜
Z
−1/2
i|i−1
H
T
D
i
D
T
i
−1/2
F
T
Q
−1/2
i
0 0 Q
−1/2
i
Λ
(4.24)
=
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
−1
i
F
1/2
0 0
Q
−1
i
F
˜
Z
−1
i|i−1
+ H
T
D
i
D
T
i
−1
H + F
T
Q
i
F
−1/2
˜
Z
−1/2
i+1|i
0
. ⋄
4.3 Exemplos Numéricos
Para o cálcu lo dos algorit mos array desenvolvidos neste capítulo, utiliza-se como exemplo o
SLSSM de dois estados:
Estado 1:
F
1
=
0.7 0
0.1 0.1
, H
1
=
10
−5
0
, G
1
=
1.95 × 10
−4
0
0 2.7 × 10
−4
, D
1
= 1.6
Estado 2:
F
2
=
0.6 0
0.1 0.2
, H
2
=
10
−5
0
, G
2
=
1.95 × 10
−4
0
0 2.7 × 10
−4
, D
2
= 1.6
Matriz de Probabilidade de Transição:
P =
0.9 0.1
0.1 0.9
26
e π
i,1
= 0.9, π
i,2
= 0.1 para i = 1, ..., 16 e π
i,1
= 0.1, π
i,2
= 0.9 para i = 17, ..., 30. π
i,k
foram
redefinidos em i = 17 de maneira a testar a robustez do algoritmo array , veja Figura 4.1. Foram
calculados os valores singulares de
˜
Z
i|i−1
e
˜
Z
−1
i|i−1
para três diferentes implementações: ponto
flutuante, ponto fixo para equa ções de Riccati explícitas e para algoritmos a rray. O cálculo com
ponto flutuante foi utilizado como referência e a precisão dos outros dois cálculos foi definida
através do cálculo do erro médio quadrático definido da seguinte forma
E
γ
=
N
i=1
(V Sf
i,γ
− V S
i,γ
)
2
/N (4.25)
sendo que γ defin e um dos quatro valores singulares calculados para cada simulação, V Sf é o
valor singular calculado usando ponto flutuante, V S é o valor singular calculado usando ponto
fixo, tanto para as equações de Ricca ti quanto para os algoritmos array, e i é o instante de
tempo. Foi usada uma a rquite tura de ponto fixo e m 16-bits que pode representar um número de
−65.543 a 65.543. Estas implementações fora m feitas via MatLab através do fix-point Simulink
toolbox. Pode-se notar na figura (4.1), a vantagem do algoritmo array perante a implementação
por equações de Riccati explícitas. Na implementação em ponto fixo das equações de Riccati
ocorreram erros numéricos. Com o algoritmo array, o resultado do cálculo em ponto fixo foi
equivalente ao resultado obtido para ponto flutuante. A Figur a (4.2) mostra os resultados obti-
dos para o filtro de informação. São calculadas as matrizes inversas da covariância do erro de
estimativa para as três implementações definidas acima. Veja que em virtude da redução dos
valores ca lcula dos, estão na faixa de −65.543 a 65.543, os resultados para as três implementações
são equivalentes. As equações utilizadas neste exercício são (3.20), (3.21), (4.1), (4.3) e (4.14).
Tipo Implementação E
1
E
2
E
3
E
4
SLSSM Equações 0.8827 0.9530 0.3415 0.1419
Array 0.0307 0.0197 0.0123 0.0075
SLSSM Equações 5.2866 × 10
−4
6.6319 × 10
−4
1.5901 × 10
−4
1.0968 × 10
−4
Informação Array 7.7242 × 10
−4
0.0013 1.8468 × 10
−4
3.1219 × 10
−4
Tabela 4.1: Erro médio quadrático para o cálculo dos valores singulares de
˜
Z
i|i−1
e
˜
Z
−1
i|i−1
.
27
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
i
Primeiro Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
i
Segundo Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
0 5 10 15 20 25 30
0
2
4
6
8
10
12
14
i
Terceiro Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
4
5
6
i
Quarto Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
Figura 4.1: Valores Singulares de
˜
Z
i|i−1
.
0 5 10 15 20 25 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
i
Primeiro Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
i
Segundo Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
i
Terceiro Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
i
Quarto Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
Figura 4.2: Valores Singulares de
˜
Z
−1
i|i−1
.
28
29
Capítulo 5
Algoritmos Array Rápidos para
Filtragem de Sistemas Singulares
Neste capítulo serão deduzidos os algoritmo s array rápidos para filtros nominais e robustos
de sistemas singulares discretos no tempo. Para o problema de filtragem, o objetivo é deduzir
a expr essão de estimativa ótima ˆx
i|i
em con junto com a solução de uma equação recursiva de
Riccati P
i|i
, sendo que a estimativa linear ótima ˆx
i|i
é calculada levando-se em consideração as
medidas de y
0
até y
i
. Para o problema de predição, o objetivo é deduzir ˆx
i+1|i
em conjunto com
P
i+1|i
, sendo que ˆx
i+1|i
é calculada levando-se em consideração as medidas de y
0
até y
i
. Portanto,
neste capítulo serão deduzidos os respectivos algorit mos array rápidos para as versões nominais
filtrada e preditora bem como as versões robustas filtrada e preditora de sistemas singulares na
forma de informação. Os resultados apresentados neste capítulo fazem parte das contribuições
originais deste trabalho.
5.1 Estimativa Filtrada Nominal
Nesta seção será deduzido o algoritmo array rápido para estimativa filtrada nominal na forma
de informação.
Algoritmo 5.1.1 Seja a equação de Riccati
P
−1
i|i
= E
T
Q
−1
E + H
T
R
−1
H − E
T
Q
−1
F (P
−1
i−1|i−1
+ F
T
Q
−1
F )
−1
F
T
Q
−1
E (5.1)
30
utilizada para o cálculo do erro de estimativa do filtro singular na forma de informação
P
−1
i|i
ˆx
i|i
= E
T
Q
−1
F (P
−1
i−1|i−1
+ F
T
Q
−1
F )
−1
P
−1
i−1|i−1
ˆx
i−1|i−1
+ H
T
R
−1
y
i
(5.2)
sendo E, Q, F , H e R matrizes conhecidas de dimensões apropriadas do sistema singular nom-
inal definido na Seção 2.4. Esta equação pode ser calculada de maneira alternativa através d o
algoritmo array rápido definido pelo seguinte procedimento
Passo 1: Calcular as condições iniciais
P
−1
0|0
= Π
0
P
−1
1|1
= E
T
Q
−1
E + H
T
R
−1
H − E
T
Q
−1
F (Π
0
+ F
T
Q
−1
F )
−1
F
T
Q
−1
E. (5.3)
Passo 2: Calcular M
i
utilizando uma matriz unitária θ
i
de dimensões apropriada s
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
(5.4)
sendo
M
i
SM
T
i
= P
−1
i+1|i+1
− P
−1
i|i
(S = I)
R
e,i
= P
−1
i|i
+ F
T
Q
−1
F
K
p,i
= E
T
Q
−1
F R
−1/2
e,i
. (5.5)
Prova: A prova do filtro (5.2) pode ser vista em detalhes na referência (Terra et al. (2007)). O
objetivo desta prova é mostrar a dedução do algoritmo array rápido (5.4). Considere a seguinte
equação
P
−1
i+2|i+2
− P
−1
i+1|i+1
= M
i+1
SM
T
i+1
(5.6)
sendo S uma matriz identidade, é denominada matriz assinatura. Reescrevendo (5.6), tem-se
P
−1
i+2|i+2
− P
−1
i+1|i+1
= −P
−1
i+1|i+1
+ E
T
Q
−1
E + H
T
R
−1
H − E
T
Q
−1
F (P
−1
i+1|i+1
+ F
T
Q
−1
F )
−1
× F
T
Q
−1
E. (5.7)
31
O complemento de Schur de P
−1
i+2|i+2
− P
−1
i+1|i+1
é dado por
P
−1
i+1|i+1
+ F
T
Q
−1
F F
T
Q
−1
E
E
T
Q
−1
F −P
−1
i+1|i+1
+ E
T
Q
−1
E + H
T
R
−1
H
(5.8)
fatorando a matriz (5.8) tem-se
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
R
T/2
e,i
K
T
p,i
M
T
i
0
. (5.9)
Pode-se de maneira alternativa fatorar (5.8) (veja o Apêndice A.1) da seguinte forma
R
1/2
e,i+1
0
E
T
Q
−1
F R
−1/2
e,i+1
M
i+1
R
T/2
e,i+1
F
T
Q
−1
ER
−T/2
e,i+1
0 M
T
i+1
. (5.10)
Assim pode-se afirmar que existe uma matriz unitária θ
i
tal que
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
. ⋄ (5.11)
5.2 Estimativa Preditora Nominal
Nesta seção será deduzido o algoritmo array rápido para estimativa preditora nominal na
forma de informação.
Algoritmo 5.2.1 Seja a equação de Riccati
P
−1
i+1|i
= E
T
Q
−1
E − E
T
Q
−1
F (P
−1
i|i−1
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F )
−1
F
T
Q
−1
E (5.12)
utilizada para o cálculo do erro de estimativa do filtro singular na forma de informação
P
−1
i+1|i
ˆx
i+1|i
= E
T
(Q
−1
+ F (P
−1
i|i−1
+ H
T
R
−1
H)F
T
)
−1
F (P
−1
i|i−1
+ H
T
R
−1
H)
−1
× (P
−1
i|i−1
ˆx
i|i−1
+ HR
−1
y
i
) (5.13)
sendo E, Q, F , H e R matrizes conhecidas de dimensões apropriadas do sistema singular nom-
inal definido na Seção 2.4. Esta equação pode ser calculada de maneira alternativa através do
algoritmo array rápido definido pelo seguinte procedimento
32
Passo 1: Calcular as condições iniciais
P
−1
0|−1
= Π
0
P
−1
1|0
= E
T
Q
−1
E − E
T
Q
−1
F (Π
0
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F )
−1
F
T
Q
−1
E. (5.14)
Passo 2: Calcular M
i
utilizando uma matriz unitária θ
i
de dimensões apropriada s
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
(5.15)
sendo
M
i
SM
T
i
= P
−1
i+1|i
− P
−1
i|i−1
(S = I)
R
e,i
= P
−1
i|i−1
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F
K
p,i
= E
T
Q
−1
F R
−1/2
e,i
. (5.16)
Prova: A prova do filtro (5.13) pode ser vista em detalhes na referência (Terra et al. (2007)). O
objetivo desta prova é mostrar a dedução do algo ritmo array rápido (5.15). Considere a seginte
equação
P
−1
i+2|i+1
− P
−1
i+1|i
= M
i+1
SM
T
i+1
(5.17)
sendo S uma matriz identidade, é denominada matriz assinatura. Reescrevendo (5.17), tem-se
P
−1
i+2|i+1
− P
−1
i+1|i
= −P
−1
i+1|i
+ E
T
Q
−1
E − E
T
Q
−1
F (P
−1
i+1|i
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F )
−1
× F
T
Q
−1
E. (5.18)
O complemento de Schur de P
−1
i+2|i+1
− P
−1
i+1|i
é dado por
P
−1
i+1|i
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F F
T
Q
−1
E
E
T
Q
−1
F −P
−1
i+1|i
+ E
T
Q
−1
E
(5.19)
33
fatorando a matriz (5.19) tem-se
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
R
T/2
e,i
K
T
p,i
M
T
i
0
. (5.20)
De maneira alternativa pode-se fatorar (5.19) da seguinte maneira (veja o Apêndice A.1)
R
1/2
e,i+1
0
E
T
Q
−1
F R
−1/2
e,i+1
M
i+1
R
T/2
e,i+1
F Q
−1
F
T
R
T/2
e,i+1
0 M
T
i+1
. (5.21)
Assim pode-se afirmar que existe uma matriz unitária θ
i
tal que
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
. ⋄ (5.22)
5.3 Estimativa Filtrada Robusta
Nesta seção vamos deduzir um algoritmo array rápido para a estimativa filtrada rob usta na
forma de informação de sistemas singulares sujeitos a incertezas paramétricas na forma
(E + δE)x
i+1
= (F + δF )x
i
+ w
i
, i = 0, 1, ... (5.23)
y
i
= (E + δE)x
i
+ v
i
(5.24)
sendo δE, δF e δH pertubações nas matrizes nominais do sistema. Veja detalhes deste sistema
na Seção 2.4.
Algoritmo 5.3.1 Seja a equação de Riccati
P
−1
i+1|i+1
= E
T
ˆ
Q
−1
E − E
T
ˆ
Q
−1
F (P
−1
i|i
+
ˆ
λ
T/2
N
T
f
N
f
ˆ
λ
1/2
+ F
T
ˆ
Q
−1
F )
−1
F
T
ˆ
Q
−1
E
+ H
T
ˆ
R
−1
H +
ˆ
λ[N
T
h
N
h
+ N
T
e
N
e
] (5.25)
utilizada para o cálculo do erro de estimativa do filtro robusto para sistemas singulares na forma
de informação
P
−1
i+1|i+1
ˆx
i+1|i+1
= E
T
(
ˆ
Q
−1
− F (P
−1
i|i
+
ˆ
λN
T
f
N
f
)
−1
F
T
)
−1
F (P
−1
i|i
+
ˆ
λN
T
f
N
f
)
−1
P
−1
i|i
ˆx
i|i
+ H
T
ˆ
R
−1
y
i+1
(5.26)
34
sendo o parâmetro
ˆ
λ escolhido no intervalo
ˆ
λ > λ
l
:=
M
T
f
0
o M
T
h
Q
−1
0
0 R
−1
M
f
0
0 M
h
(5.27)
ˆ
Q
−1
:= Q
−1
+ Q
−1
M
f
(
ˆ
λI − M
T
f
Q
−1
M
f
)
−1
M
T
f
Q
−1
(5.28)
ˆ
R
−1
:= R
−1
+ R
−1
M
h
(
ˆ
λI − M
T
h
R
−1
M
h
)
−1
M
T
h
R
−1
(5.29)
e M
f
, M
h
, N
f
, N
h
, N
e
, E, F , H são matrizes de dimensões apropriadas. Esta equação pode
ser calculada de maneira alternativa através do algoritmo array rápido definido pelo seguinte
procedimento
Passo 1: Calcular as condições iniciais
P
−1
0|0
= Π
0
P
−1
1|1
= E
T
ˆ
QE − E
T
ˆ
Q
−1
F (Π
0
+
ˆ
λ
T/2
N
T
f
N
f
ˆ
λ
1/2
+ F
T
ˆ
Q
−1
F )
−1
F
T
ˆ
Q
−1
E
+ H
T
ˆ
R
−1
H +
ˆ
λ[N
T
h
N
h
+ N
T
e
N
e
]. (5.30)
Passo 2: Calcular M
i
utilizando uma matriz unitária θ
i
de dimensões apropriada s
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
(5.31)
sendo
M
i
SM
T
i
= P
−1
i+1|i+1
− P
−1
i|i
(S = I)
R
e,i
= P
−1
i|i
+
ˆ
λ
T/2
N
T
f
N
f
ˆ
λ
1/2
+ F
T
ˆ
Q
−1
F
K
p,i
= E
T
ˆ
Q
−1
F (P
−1
i|i
+
ˆ
λ
1/2
N
T
f
N
f
ˆ
λ
T/2
+ F
T
ˆ
Q
−1
F )
−1/2
. (5.32)
Prova: A prova do filtro (5.26) pode ser vista em detalhes na referência (Terra et al. (2007)). O
objetivo desta prova é mostrar a dedução do algoritmo array rápido (5.31). Considere a seguinte
35
equação
P
−1
i+2|i+2
− P
−1
i+1|i+1
= M
i+1
SM
T
i+1
(5.33)
sendo S uma matriz identidade, é denominada matriz assinatura. Reescrevendo (5.33), tem-se
P
−1
i+2|i+2
− P
−1
i+1|i+1
= −P
−1
i+1|i+1
+ E
T
ˆ
QE − E
T
ˆ
Q
−1
F (P
−1
i+1|i+1
+
ˆ
λ
1/2
N
T
f
N
f
ˆ
λ
T/2
+ F
T
ˆ
Q
−1
F )
−1
× F
T
ˆ
Q
−1
E + H
T
ˆ
R
−1
H +
ˆ
λ[N
T
h
N
h
+ N
T
e
N
e
]. (5.34)
O complemento de Schur de P
−1
i+2|i+2
− P
−1
i+1|i+1
é dado por
P
−1
i+1|i+1
+
ˆ
λ
T/2
N
T
f
N
f
ˆ
λ
1/2
+ F
T
ˆ
Q
−1
F F
T
ˆ
Q
−1
E
E
T
ˆ
Q
−1
F −P
i+1|i+1
+ X
(5.35)
sendo
X = E
T
ˆ
Q
−1
E + H
T
ˆ
R
−1
H +
ˆ
λ[N
T
h
N
h
+ N
T
e
N
e
] (5.36)
fatorando a matriz (5.35) tem-se
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
R
T/2
e,i
K
T
p,i
M
T
i
0
. (5.37)
Fatorando (5.35) de maneira alternativa (veja o Apênd ice A.1), obtém-se
R
1/2
e,i+1
0
E
T
ˆ
Q
−1
F R
−1/2
e,i+1
M
i+1
R
T/2
e,i+1
R
−T/2
e,i+1
F
T
ˆ
Q
−1
E
0 M
T
i+1
. (5.38)
Assim pode-se afirmar que existe uma matriz unitária θ
i
tal que
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
. ⋄ (5.39)
36
5.4 Estimativa Preditora Robusta
Nesta seção será deduzido o algoritmo array rápido para estimativa preditora robusta na
forma de informação.
Algoritmo 5.4.1 Seja a equação de Riccati
P
−1
i+1|i
= E
T
Q
−1
E − E
T
Q
−1
F(P
−1
i|i−1
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F)
−1
F
T
Q
−1
E (5.40)
utilizada para o cálculo do erro de estimativa d o filtro para sistemas singulares na forma de
informação
P
−1
i+1|i
ˆx
i+1|i
= E
T
(Q
−1
+ F(P
−1
i|i−1
+ H
T
R
−1
H)F
T
)
−1
F(P
−1
i|i−1
+ H
T
R
−1
H)
−1
× (P
−1
i|i−1
ˆx
i|i−1
+ HR
−1
y
i
) (5.41)
sendo o parâmetro
ˆ
λ escolhido no intervalo
ˆ
λ > λ
l
:=
M
T
f
0
0 M
T
h
Q
−1
0
0 R
−1
M
f
0
0 M
h
Q
−1
:=
ˆ
Q
−1
0
0 I
, R
−1
:=
ˆ
R
−1
0
0 I
,
E :=
E
ˆ
λN
e
, F :=
F
ˆ
λN
f
,
H :=
H
ˆ
λN
h
(5.42)
ˆ
Q
−1
e
ˆ
R
−1
são descritos pelas equações (5.28) e (5.29) respectivamente, da Seção 5.3 e M
f
, M
h
,
N
f
, N
h
, N
e
, E, F , H são matrizes de dimensões apropriadas. Esta equação pode ser calculada
de maneira alternativa at ravés do algoritmo array rápido de finido pelo seguinte procedimento
37
Passo 1: Calcular as condições iniciais
P
−1
0|−1
= Π
0
P
−1
1|0
= E
T
Q
−1
E − E
T
Q
−1
F(Π
0
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F)
−1
F
T
Q
−1
E. (5.43)
Passo 2: Calcular M
i
utilizando uma matriz unitária θ
i
de dimensões apropriadas
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
(5.44)
sendo
M
i
SM
T
i
= P
−1
i+1|i
− P
−1
i|i−1
(S = I)
R
e,i
= P
−1
i|i−1
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F
K
p,i
= E
T
Q
−1
FR
−1/2
e,i
. (5.45)
Prova: A prova do filtro (5.41) pode ser vista em detalhes na referência (Terra et al. (2007)). O
objetivo desta prova é mostrar a dedução do algoritmo array rápido (5.44). Considere a seguinte
equação
P
−1
i+2|i+1
− P
−1
i+1|i
= M
i+1
SM
T
i+1
(5.46)
sendo S uma matriz identidade, é denominada matriz assinatura. Reescrevendo (5.46), tem-se
P
−1
i+2|i+1
− P
i+1|i
= −P
i+1|i
+ E
T
Q
−1
E − E
T
Q
−1
F(P
−1
i+1|i
+ H
T
R
−1
H + F
T
Q
−1
F)
−1
× F
T
Q
−1
E. (5.47)
O complemento de Schur de P
−1
i+2|i+1
− P
−1
i+1|i
é dado por
R
e,i+1
F
T
Q
−1
E
E
T
Q
−1
F −P
−1
i+1|i
+ E
T
Q
−1
E
(5.48)
38
fatorando a matriz (5.48) tem-se que
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
R
T/2
e,i
K
T
p,i
M
T
i
0
. (5.49)
De maneira alternativa pode-se fatorar (5.48) (veja o Apêndice A.1) da seguinte forma
R
1/2
e,i+1
0
E
T
Q
−1
FR
−1/2
e,i+1
M
i+1
R
T/2
e,i+1
R
−T/2
e,i+1
F
T
Q
−1
E
0 M
T
i+1
. (5.50)
Assim pode-se afirmar que existe uma matriz unitária θ
i
tal que
R
1/2
e,i
M
i
K
p,i
0
θ
i
=
R
1/2
e,i+1
0
K
p,i+1
M
i+1
. ⋄ (5.51)
5.5 Exemplos Numéricos
Para o cálculo dos algoritmos array rápidos desenvolvidos neste capítulo, utiliza-se como
exemplo o sistema singular dado pelas seguintes matrizes
E =
1.14 0 0
0 1.17 0
0 0 0
, F =
0.97 0 0
0.27 −0.78 0
0.12 0.12 0.68
, H =
0.11 0 0
0 0.56 0
0 0 0.32
,
Q =
0.04 0 0
0 0.06 0
0 0 0.05
, R =
0.09 0 0
0 0.04 0
0 0 0.03
, N
e
=
0.1 0 0
0 0 0
0 0 0
,
N
f
=
0 0 0
0 0.05 0
0 0 0.3
, N
h
=
0.01 0 0
0 0.03 0
0 0 0.01
, M
f
=
0.5 0 0
0 0.5 0
0 0 1.3
,
39
M
h
=
0.8 0 0
0 0.8 0
0 0 0.8
,
ˆ
λ = 40.
Foram calculados os valores singulares de P
−1
i|i
para três diferentes implementações: ponto
flutuante, ponto fixo para equações de Riccati explícitas e para algoritmos array rápidos. O filtro
robusto utilizado neste exemplo é calculado através da equação de Riccati (5.25) e pelo algoritmo
array (5.31). O cálculo com ponto flutuante foi utilizado como referência e a precisão dos outros
dois cálculos foi definida através do cálculo do erro médio quadrático definido da seguinte forma
E
γ
=
N
i=1
(V Sf
i,γ
− V S
i,γ
)
2
/N (5.52)
sendo que γ define um dos três valores singulares calculados para ca da simulação, V Sf é o valor
singular calculado usando ponto flutuante, V S é o valor singular calculado usando ponto fixo,
tant o para as equações de Riccati quanto para os algoritmos array rápidos, e i é o instante de
tempo. Foi usada uma arquit etur a de ponto fixo em 16-bits que pode representar um número de
−65.543 a 65.543. Essas implementações foram feitas via MatLab através do fix-point Simulink
toolbox. Pode-se n otar na Figura (5.1) a vantagem do algoritmo array rápido em comparação
com a equação de Riccati explícita. Na implementação em ponto fixo utilizando equação de
Riccati ocorreram erros numéricos. Com o algoritmo array rápido, o resultado do cálculo em
ponto fixo foi equivalente ao resultado obtido para ponto flutuante.
Tipo Implementação E
1
E
2
E
3
Robusta Equações 0.4770 0.3262 0.1371
Array 0.4765 0.1778 0.0650
Tabela 5.1: Erro médio quadrático para o cálculo dos valores singulares de P
−1
i|i
.
40
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
i
Primeiro Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
0 5 10 15 20 25 30
0
2
4
6
8
10
12
14
i
Segundo Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
4
5
i
Terceiro Valor Singular
Ponto Flutuante
Ponto Fixo(Riccati)
Ponto Fixo(Array)
Figura 5.1: Valores Singulares da Estimativa Filtrada Robusta P
−1
i|i
.
41
Capítulo 6
Conclusão
Neste trabalho foi apresentado o estudo feito sobre implementações computacionais alternati-
vas para o problema de estimativa utilizando algoritmos array, algoritmos array rápidos e filtros
na forma de informação. Tais alternativas foram usadas para o cálculo do filtro para SLSSM
deduzido em (Costa e Guerra (2002)) e para o filtros para sistemas singulares convencionais for-
mulad os em (Terra et al. (2007)). O objetivo foi usar a s estimativas array e array rápido, bem
como filtros de informação, como uma maneira de aliviar alguns problemas computacionais asso-
ciados à equação recursiva de Riccati. Os algoritmos array minimizam problemas causados por
erros de arredondamento que podem tornar a matriz de covariância P
i
não-Hermitiana. Tanto
os algoritmos array quanto os filtros de informação reduzem a faixa dinâmica dos cálculos feitos
em implementações por aritmética de ponto fixo.
As implementações dos algoritmos mostraram através de gráficos a robustez numérica destas
alternativas de implementação.
42
43
Referências Bibliográficas
Anderson, N. e J. Moore (1979). Optimal Filtering. Prentice-Hall, New Jersey.
Babak Hassibi, T. K. e A. H. Sayed (2000). Array algorithms for h
∞
estimation. IEEE Trans-
actions on Automatic Control 45 (4), 702–706.
Costa, O., M. Fragoso, e R. Marques (2005). Discrete-Time Markov Jump Linea r Systems.
Springer.
Costa, O. e S. Guerra (2002). Stacionary filter for linear minimum mean square error estimatior
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1351–1356.
Dyer, P. e S. McReynolds (1969). Extension of square-root filtering to include process noise. J.
of Optimization Theory and Appliccations 3, 444–459.
Hassibi, B., A. Sayed, e T. Kailath (1999). Indefinite-Quadratic Estimation and Control: A
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2
and H
∞
Theories, Volume I. SIAM Studies in Applied and Numerical
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Jazwinski, A. (1970). St hochastic processes and Filtering Theory. New York: Academic.
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Kalman, R. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Trans. of the
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Kaminski, P.G., B. A. e S. Schmidt (1971). Discrete square-roo t filtering: A survey of current
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Morf, M. e T. Ka ilath (1975). Square-root algorithms for least-squares estimation. IEEE Trans-
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44
Morf, M., S. G. e T. Kailath (1974). Some new algorithms for recursive estimation in constant,
linear, discrete-time systens. IEEE Transactions on Automatic Control 19 (4), 315–323.
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Sayed, A. H. e T. K ailath (1994). Extend chandrasekhar recursions. IEEE Transactions on
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dynamic systems. IEEE Transactions on Circuit Theory 20 (3), 239–246.
Terra, M. H., J. Y. Ishihara, e A. Padoan (2007). Information filtering and array algorithms for
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tions. IEE E Transactions on Automatic Control 31 (10), 907–917.
45
Apêndice A
Resultados Matriciais Importantes
A.1 Complemento de Schur
Considere o bloco de matrizes M:
A B
C D
(A.1)
e a seguinte matriz multiplicada à esquerda de M
I 0
X I
A B
C D
=
A B
XA + C XB + D
. (A.2)
Para X = −CA
−1
tem-se
I 0
−CA
−1
I
A B
C D
=
A B
0 ∆A
(A.3)
sendo ∆A = D −CA
−1
B denominado complemento de Schur de A em M. Similarmente pode-se
obter:
A B
C D
I −A
−1
B
0 I
=
A 0
C ∆A
. (A.4)
Estes resultados podem ser combinados para diagonalizar M em blocos
I 0
−CA
−1
I
A B
C D
I −A
−1
B
0 I
=
A 0
0 ∆A
(A.5)
46
e utilizando a seguinte propriedad e de invertibilidade,
I 0
P I
−1
=
I 0
−P I
(A.6)
pode-se achar a fatoração,
A B
C D
=
I 0
CA
−1
I
A 0
0 ∆A
I A
−1
B
0 I
. (A.7)
A.2 Lema da Inversão de Matrizes
O lema da inversão de matrizes é dado pelas seguintes relações:
(A + BCD)
−1
= A
−1
− A
−1
B
C
−1
+ DA
−1
B
−1
DA
−1
(A.8)
ou, para C não invertível,
(A + BCD)
−1
= A
−1
− A
−1
B
I + CDA
−1
B
−1
CDA
−1
. (A.9)
A.3 Transformações Unitárias
A.3.1 Transformações de Householder
As transformações de Householder zeram várias entradas de uma linha de uma só vez.
Considera-se neste texto apenas matrizes com entradas de nú meros reais. Para um vetor linha
n-dimensional x, supõe-se que se queira zerar várias entradas utilizando uma matriz simétrica e
ortogonal θ, ou seja, transformar x na forma:
x
1
x
2
··· x
n−1
θ = αe
0
(A.10)
sendo α um escalar real a ser determinado e e
0
o primeiro vetor base e
0
=
1 0 ··· 0
.
O escalar α não pode ser arbitrário e de fato ele deve ser escolhido a priori e antes de
determinar θ. Por causa da ortogonalidade e de (A.10) segue que xθ θ
T
x
T
= xx
T
= x
2
. Então
deve- se ter α = ±x. Ambos os valores de α são possíveis. Uma maneira de calcular θ é através
47
da reflexão de Householder.
A.3.2 Transformações de Givens
Se a matriz a ser triangularizada já possui muitos zeros, o método de Householder pode ser
muito custoso. As rotações de Givens podem ser uma boa alternativa quando existem muitos
zeros. Uma rotaç ão elementar de Givens θ, ortogonal de tamanho 2 × 2 transforma um vetor
linha 1 × 2, x =
a b
, e rotaciona para levá-la ao vetor de base e
0
=
1 0
, ou seja, a
rotação faz a seguinte transformação:
a b
θ =
α 0
(A.11)
sendo que α é um nú mero real a ser determinado. O valor de θ que transforma (A.11) é dado
por
θ = 1/
1 + ρ
2
1 −ρ
ρ 1
(A.12)
sendo ρ = b/a, a = 0. Pode-se verificar que θ faz realmente a seguinte transformação:
a b
θ =
±
√
a
2
+ b
2
0
(A.13)
sendo que os sinais de mais ou de menos dependem do sinal considerado em (A.12). As tringu-
larizações de matrize s podem ser feitas através de um produto de transformações de Givens. Por
exemplo, suponho que se queira zerar x
j
usando x
i
em
× × x
i
× × x
j
× ×
. Seja
entã o ρ = x
j
/x
i
e definindo-se:
θ =
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1/
1 + ρ
2
0 −ρ/
1 + ρ
2
0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 ρ/
1 + ρ
2
0 1/
1 + ρ
2
0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
(A.14)
48
tem-se então que xθ =
× × α × × 0 × ×
. Para tringularizar uma matriz A qual-
quer, deve-se realizar uma série de transformações como em (A.14) para zerar os elementos de
inter esse da matriz A linha a linha.
A.3.3 Rotações de Givens Hiperbólicas
Rotações de Givens Hiperbólicas são matrizes de rotação 2 ×2 que preservam a "norma-J",
sendo portanto uma transformação J-ortogonal. Uma transformação J-ortogonal θ é uma matriz
que satisfaz:
θJθ
T
= θ
T
Jθ = J (A.15)
sendo J uma matriz assinatura, ou seja, uma matriz diagonal com entradas ±1
J = (I
p
⊕ −I
q
) , p ≥ 1, q ≥ 1. (A.16)
Transformações J-unitárias preservam a "norma quadrática J"de um vetor, ou seja, se y = xθ,
entã o
y
2
J
= yJy
T
= xθJθ
T
x
T
= xJx
T
= x
2
J
. (A.17)
No caso de uma matriz de rotação hiperbólica θ
2×2
, J é dado po r J = (1 ⊕ −1). Dado um
vetor real 1 × 2 x =
a b
, deseja-se encontrar tal rotação h iperbólica que faça a seguinte
transformação
x =
a b
θ =
α 0
, (A.18)
sendo α um número real a ser determinado. Neste caso nem sempre é p o ssível fazer tal transfor-
mação, pois pode ocorrer de x
2
J
= a
2
−b
2
ser n ega tivo. Assim quando a norma-J for negativa
será possível fazer a seguinte transformação
xθ =
a b
θ =
0 α
. (A.19)
Assim, pode-se distinguir dois casos:
1. |a| > |b|: A expressão para calcular a matriz de rotação hiperbólica θ que satisfaz (A.18)
49
é dada por:
θ =
1 − ρ
2
1 −ρ
−ρ 1
(A.20)
sendo ρ = b/a, a = 0 o que gera
a b
θ =
±
√
a
2
− b
2
0
. (A.21)
2. |b| > |a|: a expressão para calcular a matriz de rotação hiperbólica θ que satisfaz (A.19) é
dado por:
θ = 1/
1 − ρ
2
1 −ρ
−ρ 1
(A.22)
sendo ρ = a/b, b = 0 o que gera
a b
θ =
0 ±
√
b
2
− a
2
. (A.23)
A.4 Teoremas Auxiliares
A.4.1 Rotações de Bases
Lema A.4.1 Kailath e Hassibi (2000) Dadas duas matrizes n×m com n ≤ m A e B, a igualdade
AA
T
= BB
T
é válida se e apenas se existir uma matriz unitária m × m θ
θθ
T
= I = θ
T
θ
tal
que A = Bθ.
A.4.2 Transformações J-unitárias
Lema A.4.2 Kailath e Hassibi (2000) Sejam duas matrizes n × m com n ≤ m A e B de posto
pleno, e seja J = (I
p
⊕ −I
q
) uma matriz onde p + q = m. A relação AJA
T
= BJB
T
permanece
se e apenas se existir uma única matriz J-unitária m × m θ tal que A = Bθ.
50
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