( PDF ) Estudo comparativo entre a modelagem com a transformação dq0 e a modelagem por vetores espirais para o motor de indução bifásico simétrico

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EDMILSON ROGÉRIO SANAGIOTTI

Estudo Comparativo entre a Modelagem com a Transformação dq0 e a

Modelagem por Vetores Espirais para o Motor de Indução Bifásico

Simétrico

Dissertação apresentada à Escola

de Engenharia de São Carlos da

Universidade de São Paulo, para

obtenção do Título de Mestre em

Engenharia Elétrica.

Área de Concentração: Sistemas

Dinâmicos

Orientador: Dr. Azauri Albano de

Oliveira Júnior

São Carlos

2007

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AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR

QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA,

DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento

da Informação do Serviço de Biblioteca – EESC/USP

Sanagiotti, Edmilson Rogério

S197e Estudo comparativo entre a modelagem com a transformação dq0 e a

modelagem por vetores espirais para o motor de indução bifásico simétrico / Edmilson Rogério

Sanagiotti ; orientador Azauri Albano de Oliveira Júnior. –- São Carlos, 2007.

Dissertação (Mestrado-Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e

Área de Concentração em Sistemas Dinâmicos) –- Escola de Engenharia de São Carlos da

Universidade de São Paulo, 2007.

1. Motor de indução bifásico. 2. Transformação dq0.

3. Vetores espirais. I. Título.

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Dedico este trabalho aos meus pais.

Pois somente eles acreditaram, acreditam

e acreditarão em mim incondicionalmente.

Aproveito para homenagear Nikola Tesla.

Com certeza um dos maiores Engenheiros

do ramo da eletricidade de todos os tempos.

Agradecimentos

Em primeiro lugar ao Prof. Dr. Azauri Albano de Oliveira Jr, pela orientação,

paciência e amizade ao longo do desenvolvimento do trabalho.

Aos professores Dr. Manoel Luis de Aguiar, Dr. José Roberto Boffino de Almeida

Monteiro, Dr. Diógenes Pereira Gonzaga e aos colegas do Laboratório de Controle e

Eletrônica de Potência (LACEP) pelo apoio e sugestões.

Aos que contribuíram direta ou indiretamente para realização desse trabalho.

RESUMO

SANAGIOTTI, E. R.

Estudo Comparativo entre a Modelagem com a Transformação

dq0 e a Modelagem por Vetores Espirais para o Motor de Indução Bifásico Simétrico.

2007. Dissertação de Mestrado – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São

Paulo, São Carlos, 2007.

O presente trabalho é um estudo comparativo entre a modelagem de motores de

indução bifásicos simétricos com o uso da transformação dq0, que é uma modelagem

matemática clássica na análise dos motores de indução bifásicos e a modelagem através da

teoria do vetor espiral, proposta na década de 80 para os motores de indução trifásicos. A

modelagem clássica é apresentada detalhadamente, bem como a modelagem por vetores

espirais. Foram realizadas simulações para comparar os resultados entre as diferentes

abordagens.

Palavras – chave: motor de indução bifásico, transformação dq0, vetores espirais.

ABSTRACT

SANAGIOTTI, E. R.

A Comparative Study between Symmetrical Two-Phase Induction

Motor Model Using dq0 Transformation and Model Using Spiral Vector Theory. 2007.

M. Sc. Dissertation – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São

Carlos, 2007.

This work is a comparative study between the classic modeling using dq0

transformation and the spiral vector theory applied to study symmetrical two-phase induction

machine. The spiral vector theory was proposed by Dr. Sakae Yamamura to study electrical

machines in the middle of 1980s. To compare both types of modeling, simulations were

performed to solve differential equations.

Key – words: two-phase induction motor, dq0 transformation, spiral vector.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Vetor espiral no plano complexo......................................................................... 29

Figura 1.2 – Representação esquemática da alimentação desbalanceada para o MIBS através

de componentes simétrica........................................................................................................ 33

Figura 1.3 – Diagramas fasoriais das componentes simétricas bifásicas................................. 34

Figura 2.1 – Representação da máquina de indução bifásica.................................................. 39

Figura 2.2 – Representação gráfica da transformação dq0 para o referencial no estator......... 45

Figura 3.1 – Modelo do motor de indução bifásico................................................................. 56

Figura 3.2 – Circuito equivalente de regime permanente para o MIBS.................................. 61

Figura 3.3 – Circuito equivalente transiente para controle por corrente.................................. 62

Figura 3.4 – Circuito equivalente transiente para controle por tensão..................................... 71

Figura 3.5 – Representação esquemática da decomposição das tensões de v

e v

em termos de

suas componentes simétricas de seqüência positiva e negativa............................................... 73

Figura 3.6 – Decomposição de excitação desbalanceada aplicada às fases de uma máquina

bifásica simétrica...................................................................................................................... 75

Figura 3.7 – Circuito equivalente transiente de seqüência positiva da máquina de indução

bifásica simétrica...................................................................................................................... 75

Figura 3.8 – Circuito equivalente transiente de seqüência negativa da máquina de indução

bifásica simétrica...................................................................................................................... 76

Figura 4.1 – Evolução do torque eletromagnético ao longo do tempo.................................... 80

Figura 4.2 – Evolução da velocidade mecânica do motor ao longo do tempo........................ 81

Figura 4.3 – Evolução das correntes de estator do motor ao longo do tempo......................... 81

Figura 4.4 – Evolução das correntes de rotor do motor ao longo do tempo............................ 82

Figura 4.5 – Torque eletromagnético de seqüência positiva, negativa e resultante no tempo. 83

Figura 4.6 – Velocidade mecânica do motor no tempo........................................................... 83

Figura 4.7 - Curva torque x velocidade.................................................................................... 84

Figura 4.8 – Torque eletromagnético resultante da modelagem dq0 (DQ) e torque resultante

da soma dos torques de seqüência positiva e negativa obtido por vetores espirais (VE)........ 85

Figura 4.9 – Velocidades resultantes da modelagem dq0 (DQ) e por vetores espirais (VE)... 86

Figura 4.10 – Torque eletromagnético resultante e seus componentes obtidos pela modelagem

por vetores espirais................................................................................................................... 89

Figura 4.11 – Corrente de seqüência negativa do estator e rotor............................................. 90

Figura 4.12 – Corrente de seqüência negativa do estator e rotor............................................. 91

Figura 4.13 – Corrente de seqüência positiva do estator e rotor.............................................. 91

Figura 4.14 – Vetor espiral de corrente de seqüência positiva de estator................................ 92

Figura 4.15 – Vetor espiral de corrente de seqüência positiva de rotor................................... 92

Figura 4.16 – Vetor espiral de corrente de seqüência negativa de estator............................... 93

Figura 4.17 – Vetor espiral de corrente de seqüência negativa de rotor.................................. 93

Figura 4.18 – Vetor espiral de corrente da fase a de estator.................................................... 94

Figura 4.19 – Vetor espiral de corrente da fase b de estator.................................................... 95

Figura 4.20 – Vetor espiral de corrente da fase r de rotor....................................................... 95

Figura 4.21 – Vetor espiral de corrente da fase s de rotor....................................................... 96

Figura 5.1 – Conexão Scott...................................................................................................... 98

Figura 5.2 – Diagrama fasorial da ligação Scott...................................................................... 98

Figura 5.3 – Circuito equivalente de regime permanente do MIBS...................................... 100

Figura 5.4 – Representação esquemática para o ensaio de rotor travado do MIBS............... 101

Figura 5.5 – Circuito equivalente aproximado do MIBS na situação de rotor bloqueado..... 101

Figura 5.6 – Representação esquemática do ensaio em vazio do MIBS................................ 102

Figura 5.7 – Circuito equivalente aproximado do MIBS operando em vazio....................... 103

Figura 5.8 – Tensão aplicada no enrolamento a do MIBS..................................................... 107

Figura 5.9 – Tensão aplicada no enrolamento b do MIBS..................................................... 107

Figura 5.10 – Corrente teórica no enrolamento a do MIBS operando com tensão

balanceada.............................................................................................................................. 108

Figura 5.11 – Corrente experimental no enrolamento a do MIBS operando com tensão

balanceada.............................................................................................................................. 108

Figura 5.12 – Corrente teórica no enrolamento b do MIBS operando com tensão

balanceada.............................................................................................................................. 109

Figura 5.13 – Corrente experimental no enrolamento b

do MIBS operando com tensão

balanceada.............................................................................................................................. 109

Figura 5.14 – Ligação Scott com variac monofásico para controle da amplitude de tensão. 110

Figura 5.15 - Tensão desbalanceada aplicada no enrolamento a

do MIBS........................... 111

Figura 5.16 - Tensão desbalanceada aplicada no enrolamento b do MIBS........................... 111

Figura 5.17 – Corrente teórica no enrolamento a do MIBS operando com tensão

desbalanceada......................................................................................................................... 112

Figura 5.18 – Corrente experimental no enrolamento a do MIBS operando com tensão

desbalanceada......................................................................................................................... 112

Figura 5.19 – Corrente teórica no enrolamento b do MIBS operando com tensão

desbalanceada......................................................................................................................... 113

Figura 5.20 – Corrente experimental no enrolamento b

do MIBS operando com tensão

desbalanceada......................................................................................................................... 113

LISTA DE SIGLAS

FAM Field Acceleration Method

MIBS Motor de Indução bifásico simétrico

LISTA DE SÍMBOLOS

i função exponencial complexa e/ou corrente elétrica que evolui no tempo

A valor constante

expoente complexo da função exponencial

tempo

termo real do expoente

letra que designa a parte imaginária de um número ou função complexa

termo imaginário do expoente

, freqüência de alimentação da rede

c ,b ,a coeficientes constantes de uma equação diferencial de segunda ordem

tensão elétrica instantânea

V amplitude máxima da tensão v

defasagem angular

•

fasor de tensão que gira com determinada velocidade angular

i parte estacionária da solução geral da resposta da corrente

I amplitude máxima da corrente i

•

I fasor de corrente que gira com determinada velocidade angular

i parte transiente da solução geral da resposta da corrente

p operador linear

dtd

•

fasor de tensão que alimenta a fase a do motor

•

fasor de tensão que alimenta a fase b do motor

•

fasor de tensão de seqüência positiva relacionado à tensão va

•

−

fasor de tensão de seqüência negativa relacionado à tensão va

•

fasor de tensão de seqüência positiva relacionado à vb

•

−

fasor de tensão de seqüência negativa relacionado à vb

•

fasor de corrente que circula pela a fase a do motor

•

fasor de corrente de seqüência positiva relacionado à corrente Ia

•

−

fasor de corrente de seqüência negativa relacionado à corrente

•

fasor de corrente que circula pela a fase b do motor

T torque eletromagnético de seqüência positiva

−

T torque eletromagnético de seqüência negativa

R Resistência do enrolamento 1 do estator.

L Auto-indutância do enrolamento 1 do estator.

Resistência do enrolamento 2 do estator.

L Auto-indutância do enrolamento 2 do estator.

R Resistência do rotor.

Auto-indutância do rotor.

indutância mútua entre enrolamentos de estator e rotor.

max

valor máximo da indutância mútua entre enrolamentos de estator e rotor.

M valor máximo da indutância mútua entre o enrolamento 1 do estator e o rotor.

M valor máximo da indutância mútua entre o enrolamento 2 do estator e o rotor.

v tensão total do i-ésimo enrolamento associado ao K-ésimo eixo magnético da

máquina.

R resistência do i-ésimo enrolamento associado ao K-ésimo eixo magnético da

máquina.

i corrente que circula no i-ésimo enrolamento associado ao K-ésimo eixo

magnético da máquina.

Fluxo magnético total concatenado pelo i-ésimo enrolamento associado ao K-

ésimo eixo magnético da máquina.

L Auto-indutância do i-ésimo enrolamento do estator associado ao K-ésimo eixo

magnético da máquina.

Indutância mútua entre o i-ésimo e o j-ésimo enrolamento sejam eles de estator

ou rotor.

J momento de inércia do sistema

coeficiente de atrito dinâmico.

torque de carga aplicado à máquina.

torque eletromagnético produzido pela máquina.

mec

velocidade angular mecânica do eixo da máquina.

ângulo entre o eixo magnético do estator e do rotor

 fluxo magnético de eixo direto do estator

corrente de eixo direto de estator

i corrente de eixo em quadratura de estator

i corrente de eixo em quadratura do rotor

fluxo magnético de eixo em quadratura do estator

fluxo magnético de eixo direto do rotor

fluxo magnético de eixo em quadratura do rotor

auto-indutância do estator (primário)

auto-indutância do rotor (secundário)

mec

deslocamento angular mecânico do eixo da máquina

P número de pólos da máquina de indução.

número de pares de pólos da máquina de indução.

indutância de dispersão dos enrolamentos do estator

indutância de dispersão dos enrolamentos dor rotor

M valor máximo da indutância mútua entre estator e rotor

v tensão instantânea aplicada ao enrolamento da fase a

R ,R resistência dos enrolamentos do estator e rotor respectivamente

x,x

reatância indutiva do estator e rotor respectivamente

reatância de magnetização

i corrente instantânea que circula no enrolamento da fase a

fluxo concatenado total no enrolamento da fase a

fluxo concatenado do campo girante no entreferro produzido pela corrente da

fase a

, também denominado fluxo principal

i ,i corrente instantânea que circula no enrolamento da fase r e s

fluxo concatenado do campo girante no entreferro produzido pela corrente da

fase r

•

fasor de corrente de estator

freqüência de alimentação da rede

deslocamento angular da corrente de estator

•

fasor da corrente de rotor

freqüência angular do rotor referida ao estator

deslocamento angular da corrente de rotor

i corrente instantânea que circula no enrolamento da fase a

velocidade angular do rotor da máquina em radianos elétricos por segundo

v tensão instantânea aplicada ao estator

corrente instantânea que circula no enrolamento de estator

i corrente instantânea que circula no enrolamento de rotor referida as estator

e tensão contra-eletromotriz

i parte transiente da solução geral da resposta da corrente de

i parte de regime permanente da solução geral da resposta da corrente de

T constante de tempo

s escorregamento

, θθ

defasagem angular

corrente instantânea de magnetização

torque eletromagnético devido ao efeito de uma fase do motor

torque eletromagnético devido ao efeito de duas fases do motor

complexo conjugado da corrente de rotor referida ao estator

δδ

raízes características

v ,v

tensões instantâneas aplicadas ao enrolamentos a e b do motor

−+

v ,v

vetores espirais de tensão de seqüência positiva e negativa da fase a

V ,V

•

−

•

fasores de tensão de seqüência positiva e negativa da fase a

, φφ

defasagens angulares relacionadas as componentes de seqüência positiva e

negativa

−+

i ,i

vetores espirais de corrente de seqüência positiva e negativa da fase a

e ,e

tensão contra-eletromotriz de seqüência positiva e negativa

Z,Z

impedância de entrada de seqüência positiva e negativa

−+

elel

T ,T torque eletromagnético de seqüência positiva e negativa

i ,i

vetores espirais de corrente de seqüência positiva e negativa da fase r

()()

∗

−

∗

+ '

i ,i

complexo conjugado dos vetores espirais de corrente de seqüência positiva e

negativa da fase r

referida ao estator

V ,V ,V

•••

tensões trifásicas aplicadas aos transformadores da conexão Scott

V ,V

••

componentes ortogonais da tensão

•

V ,V

••

componentes ortogonais da tensão

•

V tensão aplicada no ensaio de rotor travado

Z impedância total do circuito equivalente para ensaio com rotor travado

P ,P

potência ativa medida nos enrolamentos a e b respectivamente no ensaio de

rotor travado ou do ensaio do motor em vazio

I ,I corrente medida nos enrolamentos a e b respectivamente no ensaio de rotor

travado ou no ensaio do motor em vazio

rbrb

I ,P soma das potências

P e

P e soma das correntes

I e

I respectivamente

V tensão aplicada no ensaio do motor em vazio

Z impedância total do circuito equivalente para ensaio do motor em vazio

vrb

I ,I metade da soma das correntes

I e

m massa do rotor cilíndrico do motor ensaiado

R raio do rotor cilíndrico do motor ensaiado

rot

P potência devida as perdas rotacionais

k coeficiente de atrito viscoso estimado do motor ensaido

SUMÁRIO

Capítulo 1 – Introdução............................................................................................................ 25

1.1 – Contextualização.......................................................................................................... 25

1.2 – O Vetor Espiral............................................................................................................ 28

1.3 – Componentes Simétricas Bifásicas.............................................................................. 32

Capítulo 2 – Modelagem do Motor de Indução Bifásico Utilizando a Transformação dq0.... 37

2.1 – Introdução.................................................................................................................... 37

2.2 – Equações de Tensão e Torque da Máquina de Indução Bifásica................................. 38

2.3 – Equações da Máquina de Indução Bifásica usando a Transformação dq0: fluxos,

tensões e torque..................................................................................................................... 45

2.4 – Representação da Máquina Bifásica Através de Equação de Estado........................... 52

Capítulo 3 – Modelagem do Motor de Indução Bifásico Utilizando Vetores Espirais............ 55

3.1 – Introdução.................................................................................................................... 55

3.2 – Análise do Motor de Indução Bifásico Simétrico (MIBS) Através da Teoria dos

Vetores Espirais.................................................................................................................... 55

3.3 – Análise do Transiente Eletromagnético do MIBS Através da Teoria dos Vetores

Espirais.................................................................................................................................. 62

3.3.1 – Análise do Motor de Indução Bifásico Simétrico para Controle por Corrente...... 62

3.3.2 – Análise do Motor de Indução Bifásico Simétrico para Controle por Tensão........ 70

3.4 – Análise do Torque Eletromagnético do MIBS sob Operação de Tensão Desbalanceada

utilizando Vetores Espirais e Componentes Simétricas........................................................ 72

3.5 – Representação da Máquina Bifásica Simétrica Através de Equação de Estado.......... 77

Capítulo 4 – Simulações e Discussão dos Resultados............................................................. 79

4.1 – Introdução.................................................................................................................... 79

4.2 – Operação do MIBS Sob Tensão Balanceada............................................................... 79

4.3 – Operação do MIBS Sob Tensão Desbalanceada.......................................................... 82

Capítulo 5 – Parametrização e Ensaio do Motor de Indução Bifásico Simétrico.................... 97

5.1 – Introdução.................................................................................................................... 97

5.2 – A Conexão Scott.......................................................................................................... 97

5.3 – Parametrização do MIBS........................................................................................... 100

5.3.1 – Ensaio de Rotor Travado...................................................................................... 100

5.3.2 – Ensaio do Motor em Vazio.................................................................................. 102

5.3.3 – Ensaio do MIBS................................................................................................... 103

5.3.4 – Parâmetros Mecânicos......................................................................................... 105

5.4 – Resultados Experimentais e Teóricos........................................................................ 106

5.4.1 – Operação com Tensão Balanceada...................................................................... 106

5.4.2 – Operação com Tensão Desbalanceada................................................................. 110

5.4.3 – Conclusão............................................................................................................. 114

Capítulo 6 – Conclusão e Proposta de Continuidade............................................................. 115

6.1 – Conclusão................................................................................................................... 115

6.2 – Proposta de Continuidade.......................................................................................... 116

Capítulo 7 – Referências........................................................................................................ 117

Capítulo 1

Introdução

1.1 Contextualização

A eletrônica de potência é utilizada para processar a energia elétrica para que seja

possível obter-se uma maior eficiência e uma melhor qualidade de energia. Os métodos

empregados para conseguir tais objetivos baseiam-se no emprego de dispositivos

semicondutores operando em regime de comutação para que seja possível controlar o fluxo de

energia e a conversão das formas de onda de tensão e corrente entre fonte e carga.

Com a criação do tiristor houve um grande avanço tecnológico da eletrônica de

potência, neste ínterim houve o lançamento das bases teóricas que possibilitaram a realização

de muitos trabalhos de pesquisa e desenvolvimento. Paralelamente, o avanço da

microeletrônica contribuiu e, ainda, continua contribuindo para que fosse possível a

implantação de melhores circuitos de controle, com a utilização de microcontroladores e

processadores digitais de sinais, bem como o desenvolvimento de novos tipos de chaves com

as mais variadas tensões de bloqueio, correntes de condução e freqüência de comutação. Da

interação entre a microeletrônica e a eletrônica de potência tem resultado uma crescente

popularização dos conversores estáticos, sobretudo no acionamento de máquinas elétricas.

Além disso, quanto ao acionamento e controle de velocidade o desenvolvimento da

eletrônica de potência propiciou uma redução nos custos nos conversores para acionamento

de máquinas de corrente alternada, fato este, que levou os pesquisadores a estudar e

desenvolver várias técnicas de controle escalar e vetorial juntamente com os inversores para

acionar e controlar o motor de indução trifásico, pois estes são robustos, construtivamente

simples e de menor custo em relação a um motor de corrente contínua equivalente. Por estes

motivos os mesmos são muito utilizados pela indústria tanto em aplicações de alta potência

como em aplicações que exijam potências menores que 1000 W.

Da mesma forma que para o motor de indução trifásico, uma gama muito grande de

trabalhos foi realizada para desenvolver estudos quanto ao tipo de estruturas de acionamento

para os motores de indução bifásicos, sejam eles simétricos ou assimétricos, com o objetivo

de estudar a viabilidade de funcionamento com velocidade variável e controle de torque,

como visto (1) a (9). Além disso, os estudos realizados para controle de velocidade e torque

de alto desempenho tal como em (10) a (12) utilizam os mesmos métodos desenvolvidos para

os motores trifásicos, o que é bastante natural, pois em engenharia é comum utilizar

conhecimentos adquiridos para estudar problemas correlatos, portanto, estudos com relação

ao tipo de modulação, da mesma forma que para o caso do motor de indução trifásico,

também foram realizados como visto em (13) e (14). Entretanto, todos estes estudos fazem

uso da transformação dq0 em vários sistemas de referência, que é clássica na análise de

máquinas elétricas, para modelar matematicamente o motor de indução bifásico de acordo

com (15) a (17).

Na década de 80, Yamamura apresenta uma proposta para modelar o motor de indução

trifásico baseado no conceito que este denominou de vetor espiral, que nada mais é do que

escrever as equações da máquina em termos de funções exponenciais complexas englobando

o conceito de fasor como mostrado em (18) e (19). Com esta abordagem Yamamura não

revoluciona a análise de máquinas elétricas, entretanto, lança uma outra perspectiva de

abordagem da máquina de indução dando origem ao FAM (

Field Acceleration Method

), que

também é uma técnica de controle de alto desempenho para controle de torque, que atua no

fluxo do entreferro através da corrente de magnetização (20).

Juntamente com o conceito de vetor espiral Yamamura aplica o método das

componentes simétricas (21) dando origem ao que este chamou de método da segregação de

fase, que consiste em escrever as equações do motor de indução trifásico em termos de uma

equação de tensão para o estator e uma equação de tensão para o rotor na forma complexa.

Desde a década de 80 até o presente momento foram realizados alguns estudos para

aplicar e avaliar a proposta de Yamamura como constatado em (20) e (22) a (28). É neste

contexto que este trabalho está inserido, pois, o conceito de vetor espiral juntamente com o

conceito de componente simétrica é aplicado para modelar o motor de indução bifásico

simétrico operando sob tensão balanceada e desbalanceada.

O estudo da operação balanceada do motor de indução bifásico simétrico utilizando-se

os vetores espirais é realizado para avaliar se a proposta de Yamamura é válida para este caso

também, uma vez que o autor, ou algum autor conhecido até o presente momento, não faz

menção alguma da aplicação do método para máquina de indução bifásica, neste sentido o

presente trabalho é inédito.

Já com relação ao estudo do motor bifásico simétrico, operando sob tensão

desbalanceada, este é realizado com intuito também de verificar se a proposta de Yamamura é

válida para o caso das componentes simétricas bifásicas e, além disso, para avaliar se há

algum novo aspecto resultante desta análise.

Os resultados oriundos da modelagem através de vetores espirais são comparados com

os resultados da modelagem através da transformação dq0.

Ainda neste capítulo é apresentada uma introdução da teoria do vetor espiral e também

o conceito de componentes simétricas aplicado aos sistemas bifásicos.

Os próximos capítulos deste trabalho estão assim estruturados:

•

Capítulo 2 – Apresenta toda a modelagem do motor de indução bifásico com a

transformação dq0;

•

Capítulo 3 – Apresenta a modelagem do motor bifásico de indução aplicando

os conceitos de vetor espiral e componente simétricas para operação do motor

funcionando com tensão balanceada e tensão desbalanceada;

•

Capítulo 4 – Apresenta e discute os resultados das simulações realizadas para

as duas abordagens (transformação dq0 e vetor espiral);

•

Capítulo 5 – Apresenta as conclusões do trabalho juntamente com a proposta

de continuidade do mesmo;

•

Capítulo 6 – Contém as referências bibliográficas consultadas para realização

do trabalho.

1.2 O Vetor Espiral

De maneira geral circuitos e máquinas elétricas podem ser modelados por equações

diferenciais. As soluções destas equações podem ser escritas em termos de funções

exponenciais complexas temporais, ou seja:

0 e j- com ,Aei

≥ηω+η=δ=

(1.1).

Quando

δ é complexo, como na equação (1.1), com a evolução do tempo i toma a

forma de uma espiral no plano complexo como mostra a figura 1.1. A função que está

definida pela equação (1.1) é chamada de

vetor espiral

e o valor da constante A é igual ao

valor de i(t) no instante t igual a zero. A função definida em (1.1) pode ser usada como uma

entidade que pode representar correntes e tensões (18) e (19).

Figura 1.1 – Vetor espiral no plano complexo.

Para exemplificar a utilização do vetor espiral na solução de equações diferenciais será

resolvida como exemplo uma equação diferencial de segunda ordem dada por:

vic

=⋅+⋅+⋅

(1.2).

Seja v a tensão dada por:

()

•

ωφ+ω

=== V2Ve2eV2v

tjtj

(1.3).

A equação (1.3) é um vetor espiral com

, formando assim, uma trajetória circular

no plano complexo. O vetor espiral com

será chamado

vetor circular

De (1.3) vem que

•

(vetor circular) e

φj

eVé um

fasor

Seja a solução da equação (1.2) dada pelo vetor espiral:

Aei

(1.4).

Em regime permanente

δ j

, portanto, i é um vetor circular.

Como

(

)

(

)

ijjAe

Aed

tjt

⋅ω=ω===

ωδ

()

⋅ω=

, portanto da

equação (1.2) é possível escrever que:

()

φ+ωφ+ω

=⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ω⋅+ω⋅⇒=⋅+⋅ω⋅+⋅ω⋅

eV2ic jb ja eV2icijbija

portanto a corrente de regime permanente i

é dada por:

()

•

ωφ+ω

⋅=⋅=

ω+ω−

= I2Ie2e

bjac

tjtj

(1.5).

Com

() ()

I ,e

bjac

IeI ,e

bjac

tjj

ω+ω−

•

Para encontrar o termo transiente da corrente basta inserir a equação (1.4) na equação

(1.2) e igualar a zero, portanto:

(

)

(

)

()

(

)

0cAeAeb

Aea 0Aec

Aed

=+δ+δ⇒=⋅+⋅+⋅

δδ

0cba 0cAeAebAea

2ttt2

=+δ+δ⇒=+δ+δ

δδδ

(1.6).

A equação (1.6) possui duas raízes características dadas por

ac4bb

−±−

=δδ ,

portanto o termo transiente da corrente é escrito em função de dois vetores espirais, ou seja:

eAeAi

δδ

+= (1.7).

A solução geral é dada pela soma de (1.5) e (1.7), logo:

()

eAeAe

bjac

iii

δδ

φ+ω

ω+ω−

=+= (1.8).

e A

são constantes arbitrárias que devem ser determinadas através das condições

iniciais. Na equação todos os termos, tanto os de regime permanente quanto os de transiente,

são vetores espirais. O termo de regime permanente i

é um vetor circular, ou seja, um vetor

espiral com

0=η

Quando as variáveis de estado são expressas em termos de vetores espirais, tanto a

resposta de regime permanente quanto a resposta transiente, podem ser tratadas de maneira

unificada como mostrado em (18) e (19).

Para as soluções de regime permanente

= torna-se jω e para as soluções

transientes p torna-se δ. Para a integração 1/p torna-se 1/jω e 1/δ respectivamente.

Para circuitos de parâmetros concentrados e constantes seu equacionamento pode ser

escrito de maneira genérica como:

(

)

()

i ⋅= (1.9).

Na equação (1.9) A(p) e B(p) são polinômios em p. Quando a tensão de entrada v é

um vetor circular como o da equação (1.3) a solução de regime permanente da equação (1.9) é

dada por;

()

(

)

()

•

⋅⋅

=⋅⋅

= V2

Ve2

(1.10).

Na equação (1.10) B(jω) /A(jω) é a impedância CA nos terminais de entrada. A

equação característica de (1.9) é dada por:

(

)

0pB

(1.11).

Considerando as raízes características da equação (1.11) dadas por δ

, δ

,..., δ

solução transiente da equação (1.9) é dada por:

n21

eA...eAeAi

δδδ

+++= (1.12).

Portanto, a solução geral de (1.9) é:

()

n21

eA...eAeAeV2

iii

δδδ

++++

=+= (1.13).

Quando o termo forçante v da equação (1.9) é um vetor espiral da forma

ω+η=δ=

j- ,eV2v

(1.14),

a solução geral da equação (1.9) é dada por:

()

1ts

n21

eA...eAeAv

iii

δδδ

++++

=+= (1.15).

A equação (1.15) é uma generalização da solução dada pela equação (1.13).

1.3 Componentes Simétricas Bifásicas

Um motor de indução polifásico está operando sob condição desbalanceada quando as

tensões aplicadas ao estator não constituem um conjunto polifásico simétrico, ou quando os

enrolamentos do estator ou rotor não são simétricos relativamente às fases. Neste item será

apresentado o conceito de componentes simétricas aplicado à máquina de indução bifásica

simétrica operando sob tensão desbalanceada.

Supondo um sistema bifásico de tensões,

•

, desbalanceadas que pode ser

decomposto em dois sistemas de tensões bifásicas balanceadas, um de seqüência positiva,

componente simétrica de seqüência positiva, e outro de seqüência negativa, componente

simétrica de seqüência negativa, é possível escrever que as equações (1.16) e (1.7) de acordo

com (29) e (30):

VVV

•

−

•

(1.16),

VVV

•

−

•

+= (1.17).

Sabendo-se que a seqüência de fases positiva e negativa giram em sentidos contrários

e que a fase a

está a 90 graus da fase b é possível escrever as equações (1.16) e (1.17) como:

VVV

•

−

•

+= (1.18),

jVVjV

•

−

•

+−= (1.19).

Desta maneira o motor de indução bifásico pode ser alimentado por um conjunto de

tensões bifásicas balanceadas como mostrado na figura 1.2.

•

−

•

−

•

Rotor

•

−

Figura 1.2 – Representação esquemática da alimentação balanceada para o MIBS através de componentes

simétricas.

Então, por superposição as correntes nos enrolamentos podem também ser escritas em

termos de componentes simétricas, ou seja:

III

•

−

•

(1.20),

jIIjI

•

−

•

+−= (1.21).

Freqüentemente é necessário determinar as componentes simétricas das tensões e

correntes em termos das tensões e correntes especificadas, ou seja:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

••

•

VjV

V (1.22),

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

••

•

−

VjV

(1.23).

A figura 1.3 mostra os diagramas fasoriais das equações (1.22), (1.23), (1.18) e (1.19).

•

−

•

−

•

−

•

−

•

−

•

Figura 1.3 – Diagramas fasoriais das componentes simétricas bifásicas.

Os resultados mostrados nas equações (1.18) e (1.19) podem ser interpretados

fisicamente como se cada fase do motor, que está operando sob tensão desbalanceada fosse

alimentada por um conjunto de tensões de seqüência positiva e negativa balanceadas. O

conjunto de seqüência positiva em cada fase,

•

− , pode ser considerado o

responsável pela produção do campo magnético girante que interage com o rotor para

produzir um torque de seqüência positiva

T . Da mesma forma o conjunto de tensões de

seqüência negativa,

•

−

•

−

, é responsável pela produção de um campo magnético

girante, na direção contraria ao de seqüência positiva, que interage com o rotor para produzir

um torque de seqüência negativa

−

T . O torque resultante é a diferença entre os torques de

seqüência positiva e de seqüência negativa (29).

A teoria sobre componentes simétricas foi aqui apresentada em termos fasoriais,

entretanto, será mostrada no capítulo 3 a sua aplicação juntamente com os vetores espirais

para analisar o torque eletromagnético do motor de indução bifásico simétrico.

Capítulo 2

Modelagem do Motor de Indução Bifásico

Utilizando a Transformação dq0

2.1 Introdução

Os modelos utilizados em acionamentos elétricos utilizam os conceitos de circuitos

acoplados para a modelagem da máquina de indução bifásica, portanto, essa passa a ser

representada por equações elétricas constituídas de auto-indutâncias, indutâncias mútuas e

resistências. Entretanto, essa modelagem não é conveniente, pois as equações diferenciais

resultantes são lineares com coeficientes variantes no tempo e, portanto, de difícil

manipulação devido à dependência das mesmas do ângulo θ do rotor com relação ao estator.

Para contornar a dependência das equações de θ é utilizada a teoria dos eixos de referências

que se baseia em transformações ortogonais. Uma transformação ortogonal bastante

conhecida, também muito utilizada em modelagem de máquinas elétricas, é a transformação

dq0.

Neste capítulo será feito todo o equacionamento da máquina de indução bifásica levando

em consideração a assimetria da mesma, pois este é o caso mais geral.

2.2 Equações de Tensão e Torque da Máquina de

Indução Bifásica

Antes de iniciar a modelagem matemática da máquina é necessário conhecer um

conjunto de hipóteses simplificadoras que facilitam a análise da mesma, porém, não prejudica

de forma significativa a precisão dos resultados obtidos. As hipóteses simplificadoras (31)

são:

Os enrolamentos da máquina, que na realidade são distribuídos, são analisados

como concentrados nos seus respectivos eixos magnéticos.

Quando o rotor é do tipo gaiola de esquilo este é tratado como um enrolamento

simétrico com o mesmo número de fases do enrolamento do estator.

As auto-indutâncias de rotor e estator são consideradas de valor constante e

independente da posição relativa entre os mesmos.

Os elementos elétricos podem ser tratados como circuitos lineares.

Como o rotor gira, as indutâncias mútuas entre os elementos de estator e rotor

são dependentes da posição relativa entre os mesmos.

A espessura do entreferro é considerada constante.

Para simplificar ainda mais a análise matemática os efeitos de perda no núcleo,

saturação magnética, efeito pelicular, capacitâncias entre as espiras e a

variação da resistência devido à variação de temperatura são ignorados.

Não há indutâncias mútuas entre as fases 1 e 2 do estator, pois os eixos

magnéticos estão em quadratura. Esta mesma consideração é assumida para o

rotor.

Os enrolamentos que estão alocados no estator da máquina são dispostos (distribuídos)

de forma que a força magneto-motriz se distribua senoidalmente ao longo do estator.

A figura 2.1 representa a máquina de indução bifásica de dois pólos de maneira esquemática

simplificada, pois do ponto de vista construtivo existe um estator (estrutura fixa onde os

enrolamentos são alocados de maneira conveniente) e um rotor (estrutura girante que pode ou

não conter enrolamentos).

Figura 2.1 – Representação da máquina de indução bifásica.

≡

Resistência do enrolamento da fase 1 do estator.

≡

L Auto-indutância do enrolamento da fase 1 do estator.

≡

R Resistência do enrolamento da fase 2 do estator.

≡

Auto-indutância do enrolamento da fase 2 do estator.

≡

Resistência do rotor por fase.

≡

L Auto-indutância do rotor por fase.

De maneira geral, as máquinas de indução possuem rotor do tipo gaiola de esquilo

que, grosso modo, é constituído de barras condutoras paralelas, sobre uma superfície

cilíndrica, em cujos extremos são curto-circuitadas por dois aros, também condutores, daí

outra denominação de rotor em curto-circuito. Este dispositivo está “mergulhado” em um

núcleo ferromagnético. Não há acesso elétrico a este enrolamento de rotor, apenas acesso



•



•



eletromagnético. Na figura 2.1 os índices E

e E

dos eixos estão relacionados aos eixos

magnéticos que representam os enrolamentos contidos no estator e os índices R

e R

estão

relacionados aos eixos magnéticos que representam os enrolamentos (reais ou fictícios) no

rotor.

Devido ao movimento do rotor, há um deslocamento angular entre os eixos

magnéticos do rotor e estator, de maneira que os fluxos concatenados mútuos variam,

portanto, as indutâncias mútuas são dependentes da posição relativa entre rotor e estator. A

indutância mútua possui valor máximo positivo quando os eixos magnéticos estão alinhados e

no mesmo sentido. Possui valor máximo negativo quando os eixos magnéticos estão

alinhados e em sentidos contrários e o fluxo concatenado mútuo é nulo quando os eixos

magnéticos estão defasados de /2, ou seja:

Se  = 0 ou  = 2  indutância mútua entre estator (E) e rotor (R) é máxima com

valor positivo.

Se  = ±  indutância mútua entre estator (E) e rotor (R) é máxima com valor

negativo.

Portanto, a indutância mútua entre os enrolamentos do estator e do rotor pode ser

escrita, com boa aproximação como na equação (2.1).

()

(

)

cosMM

maxER

(2.1).

≡ indutância mútua entre enrolamentos de estator e rotor.

max

≡ valor máximo da indutância mútua entre enrolamentos de estator e rotor.

O fluxo total nos enrolamentos do estator é a soma do fluxo produzido pelo próprio

enrolamento mais o fluxo produzido pelo enrolamento do rotor, desta maneira a figura 2.1

representa as bobinas concentradas sobre os eixos magnéticos da máquina bifásica. A partir

da figura 2.1 é possível escrever as seguintes equações para as indutâncias mútuas:

(

)

cosMMM

1ERRE

1111

(2.2),

(

)

(

)

senM2cosMMM

11ERRE

1221

−

= (2.3),

(

)

(

)

senM2cosMMM

22ERRE

2112

−

= (2.4),

(

)

cosMMM

2ERRE

2222

(2.5).

≡

M Valor máximo da indutância mútua entre a fase 1 do estator e o rotor.

≡

M Valor máximo da indutância mútua entre a fase 2 do estator e o rotor.

As tensões nos terminais da máquina são dadas pelas quedas das tensões nos

elementos resistivos e pela lei de Faraday. Logo, é possível escrever de maneira geral que:

(

)

d

iRv

(2.6).

≡

v Tensão total do i-ésimo enrolamento associado ao K-ésimo eixo magnético da

máquina.

≡

R Resistência do i-ésimo enrolamento associado ao K-ésimo eixo magnético da

máquina.

≡

i Corrente que circula no i-ésimo enrolamento associado ao K-ésimo eixo magnético da

máquina.

≡λ

Fluxo magnético total concatenado pelo i-ésimo enrolamento associado ao K-ésimo

eixo magnético da máquina.

O índice i da equação (2.6) está relacionado com o número de enrolamentos, sejam

eles reais ou fictícios, associados a uma determinada diferença de potencial aplicada em seus

terminais. Além disso, o fluxo total concatenado pode ser escrito como

∑

≠

Kij

.iM.iL , ou seja, o fluxo total é a soma do fluxo concatenado que enlaça a

bobina K

devido à corrente que flui por esta

(

)

mais o somatório dos fluxos

concatenados devido às correntes que fluem nas outras bobinas adjacentes

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑

≠ij

Kij

.iM,

logo:

(

)

(

)

∑

≠

++⋅=

Kij

.iMd

.iLd

iRv (2.7).

≡

L Auto-indutância do i-ésimo enrolamento do estator associado ao K-ésimo eixo

magnético da máquina.

≡

Indutância mútua entre os as fases de estator e rotor. Se o índice i refere-se ao estator o

índice j refere-se ao rotor e vice-versa.

As tensões nos terminais E

, E

, R

e R

da máquina são dadas pela aplicação da

equação (2.6), ou seja:

(

)

d

.iRv

111

EEE

+= (2.8),

(

)

d

.iRv

222

EEE

(2.9),

(

)

d

.iRv

RRR

(2.10),

(

)

d

.iRv

RRR

(2.11).

Mas o fluxo relacionado a cada enrolamento é dado por:

1111

EEERRERREEEE

.iM.iM.iM.iL

+= (2.12),

2222

EEERRERREEEE

.iM.iM.iM.iL

+= (2.13),

111

RRREEREERRRR

.iM.iM.iM.iL

+= (2.14),

222

RRREEREERRRR

.iM.iM.iM.iL

+= (2.15).

Substituindo as equações (2.12), (2.13), (2.14) e (2.15) em (2.8), (2.9), (2.10) e (2.11),

respectivamente, e escrevendo na forma matricial obtém-se:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

222

111

RRERER

REREEE

pLR0pMpM

0pLRpMpM

pMpMpLR0

pMpM0pLR

(2.16).

Na expressão (2.16) p = d/dt. Note que os termos cujos eixos estão deslocados de θ =

tornaram-se zero, pois não há acoplamento magnético entre os mesmos. Levando em

conta (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5) pode-se escrever:

(

)

(

)

() ()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

RR21

22EE

11EE

pLR0cospMsenpM-

0pLRsenpMcospM

cospMsenpMpLR0

senpM-cospM0pLR

(2.17).

Desenvolvendo cada linha da equação matricial (2.17) com relação às derivadas vem

que:

() () () ()

[]

d

cosiseniM

senM

cosM

LiRv

211

1111

RR1

EEEE

+−−++=

(2.18),

() () () ()

[]

d

senicosiM

cosM

senM

LiRv

212

2222

RR2

EEEE

−++++=

(2.19),

() () () ()

[]

d

cosiMseniM

senM

cosM

LiRv

211

E2E1

RRRR

−−+++=

(2.20),

() () () ()

[]

d

seniMcosiM

cosM

senM

LiRv

212

E2E1

RRRR

+−+−+=

(2.21).

Os primeiros termos das equações (2.18) a (2.21) representam as quedas de tensão nas

resistências dos enrolamentos que modelam a máquina. Já os segundos, terceiros e quartos

representam as tensões geradas nos enrolamentos causadas pela variação das correntes e são

denominadas tensões

variacionais. Por fim, os quintos termos são as tensões geradas nos

enrolamentos quando há movimento relativo entre eles e são denominadas tensões

rotacionais (32).

Para completar a modelagem da máquina só resta deduzir a expressão do torque

eletromagnético e relacionar este com as grandezas mecânicas da máquina.

O torque total produzido pela máquina de indução é soma dos torques de relutância e

excitação (32), como o entreferro é praticamente constante só existe contribuição do torque de

excitação na expressão do torque eletromagnético, portanto, a equação para o torque é:

()

(

)

[]

(

)

(

)

[

]

senicosiiMosciseniiMT

212211

RRE2RRE1el

−++−=

(2.22).

A equação mecânica do sistema é dada por:

cmecdel

mec

TKT

d

J −−= (2.23).

J  momento de inércia total do sistema.

 coeficiente de atrito dinâmico.

 torque de carga aplicado à máquina.

 torque eletromagnético produzido pela máquina.

mec

 velocidade angular mecânica do eixo da máquina.

Do equacionamento exposto nota-se que a dependência da indutância mútua com

relação ao deslocamento angular do rotor provoca dificuldades em analisar a máquina. Para

contornar esta dificuldade utiliza-se a teoria de referencial de eixos, onde todas as variáveis

são transpostas para um único referencial (estator, campo girante do estator, rotor, etc.).

2.3 Equações da Máquina de Indução Bifásica usando a

Transformação dq0: fluxos, tensões e torque.

No item anterior foram obtidas as equações que descrevem o comportamento da

máquina de indução bifásica, entretanto, estas possuem a desvantagem de serem escritas em

função da posição relativa do rotor. Para contornar esta dificuldade é aplicada a transformação

dq0. A idéia da transformação dq0 é escrever as equações da máquina que se deseja analisar

em um referencial de eixos conveniente, como por exemplo, o eixo do estator, do rotor ou

mesmo o campo girante.

A figura 2.2 apresenta em termos gráficos a transformação dq0 com referencial no

estator.



transformação

dq0

a) máquina original b) máquina transformada

Figura 2.2 – Representação gráfica da transformação dq0 para o referencial no estator.

Serão aqui deduzidas as equações da máquina bifásica com o referencial no estator

como mostra a figura 2.2. Portanto, para transpor as correntes, tensões e fluxos do rotor para o

estator, basta aplicar um giro de θ graus no sentido horário da figura 2.2 a.

As equações (2.12) a (2.15) do item anterior serão transpostas para o referencial do

estator, portanto:

1111d

EEERRERREEEEE

.iM.iM.iM.iL

= (2.24).

Como a equação (2.24) depende das correntes de estator e rotor é necessário escrevê-

las em termos da transformação dq0.

(2.25),

(2.26),

(

)

(

)

senicosii

qd1

RRR

= (2.27),

(

)

(

)

cosisenii

qd2

RRR

−= (2.28).

Substituindo as equações (2.25), (2.26), (2.27) e (2.28) na equação (2.24) vem que:

()

(

)

[]

(

)()

[

]

1d1d

EEE

qRRREqRRREEEE

.iM

cosiseni-.Msenicosi.M.iL +++++=

(2.29).

Lembrando as equações (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5) e combinando estas com a equação

(2.29) e desenvolvendo é possível escrever:

dd1d

R1EEE

.iM.iL

= (2.30).

Para a equação (2.13), analogamente, vem:

qq2q

R2EEE

i.M.iL

= (2.31).

Para encontrar os fluxos

λ e

basta aplicar a transformação que “leva” os

fluxos

para o referencial do estator, ou seja:

(

)

(

)

sencos

21d

RRR

−

(2.32).

Substituindo (2.27) e (2.28) em (2.32) e desenvolvendo os termos vem que:

() ()

(

)

(

)

(

)()

() () () () () ()

cossenMisenMicossenLisenLi

cossenMicosMicossenLicosLi

1ERR

RRR

qdqd

qdqdd

−+−

++++=

(2.33),

ddd

E1RRR

i.Mi.L

(2.34).

Para o fluxo

o desenvolvimento é o mesmo que foi feito para obtenção da

equação (2.34), ou seja, é necessário substituir as equações (2.27) e (2.28) na equação (2.35),

desta forma é possível escrever que:

(

)

(

)

cossen

21q

RRR

(2.35),

(

)

(

)

(

)

()

cos.iM

.iM.iLsen.iM.iM.iL

11q

EERRR

EREERRRR

⋅

+++⋅++=

(2.36),

qqq

E2RRR

i.Mi.L

(2.37).

Reescrevendo as equações (2.30), (2.31), (2.34) e (2.37) na forma matricial:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

L0M0

0L0M

M0L0

0M0L

(2.38).

Com a equação matricial (2.38) ficam determinados os fluxos no referencial do

estator.

Serão obtidas, agora, as equações das tensões no referencial do estator através da

transformação dq0.

Foi demonstrado anteriormente (equação (2.18)) que:

() () () ()

[]

d

cosiseniM

senM

cosM

LiRv

211

1111

RR1

EEEE

+−−++=

(2.39).

Lembrando as equações (2.25), (2.26), (2.27), (2.28) e que

é possível

escrever a equação (2.39) como:

() () ()

[

]

() () ()

[]

() () ()

[]

() () ()

[]

d

cosisenicosM

d

senicosisenMcosiseni

senM

senicosi

cosM

LiRv

qdqd

1d1d

RR1

RR1RR1

RR1

EEEE

+−

−+−+−

−+++=

(2.40).

Desenvolvendo-se todos os termos de (2.40) é possível escrever esta como:

LiRv

1d1d

EEEE

++= (2.41).

Para

v o equacionamento é análogo ao anterior, portanto:

LiRv

2q2q

EEEE

++= (2.42).

Falta ainda encontrar

v e

v . Da mesma forma que para o fluxo

λ a tensão

v pode ser escrita como:

(

)

(

)

senvcosvv

21d

RRR

−

(2.43).

Substituindo

(equações (2.20) e (2.21)) em (2.43) e substituindo nestas as

equações (2.25), (2.26), (2.27) e (2.28) e desenvolvendo os termos encontra-se:

() () ()

[]

() () ()

[

]

() () () () ()

() () () ()

[]

() () ()

[]

() ()

() () () () ()

seniM

cosseniM

cossenM

senM

senMcosiseni-

senL

sencosiseni-R

cosiM

cosseniM

cossenM

cosM

senicosi

cosLcossenicos

iRv

E2E1

1RRR

RRRR

RRR

qdq

qdqdd

−+++

−+−

−+

++++=

(2.44).

Desenvolvendo-se e simplificando os termos de (2.44) encontra-se:

RRRE2

LiRi

+++

+= (2.45).

Analogamente ao fluxo

λ é possível escrever

v como:

(

)

(

)

cosvsenvv

21q

RRR

= (2.46).

Realizando o mesmo procedimento que foi desenvolvido para encontrar (2.45) é

possível escrever

v como:

LiRi

RRRRR

2E1R

−+

−=

(2.47).

Escrevendo as equações (2.41), (2.42), (2.45) e (2.47) na forma matricial obtém-se:

[][][]

ERER

RRR21

2EE

1EE

iZv

pLRL-pMM-

LpLRMpM

pM0pLR0

0pM0pLR

⋅=⇒

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

••

(2.48).

Para completar a modelagem em termos da transformação dq0 é necessário deduzir a

equação do torque eletromagnético em função das correntes

i . Foi deduzido

anteriormente que:

()

(

)

(

)()

−

−θ−= senMiicosMiicosMiisenMiiT

2RE2RE1RE1REel

22122211

(2.49).

Substituindo as equações [21], [22], [23] e [24] na equação [37] é possível escrever

que:

() () ()

[]

() () ()

[

]

() () ()

[]

() () ()

[]

θ+θ−θ−θ+θθ

+θ+θ−θ−θ+θθ−=

cosisenisenMisenicosicosMi

cosisenicosMisenicosisenMiT

qdqqdq

qddqdd

RR2ERR2E

RR1ERR1Eel

dqqd

RE2RE1el

iiMiiMT

−

= (2.50).

Até aqui nenhuma variável foi referida do rotor para o estator. Entretanto, quando são

desenvolvidos circuitos equivalentes de máquinas elétricas é comum referir as variáveis de

rotor para o estator (15), (16) e (32).

Se for considerado que uma máquina de indução bifásica possui número diferente de

espiras para cada enrolamento do estator é conveniente referir as variáveis do eixo q do rotor

à fase 2 do estator com N

espiras e as variáveis do eixo d do rotor à fase 1 do estator com N

espiras.

Para referir as variáveis do rotor ao estator define-se:

[]

[][ ]

ERER

vBv

000

0010

0001

⋅=⇒

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∗

(2.51),

[]

[] [ ]

iBi

000

0010

0001

⋅=⇒

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

∗

(2.52).

Como

[][][]

ERER

iZv

⋅

[]

[][ ]

ERER

vBv ⋅=

∗

[

]

[

]

[

]

iBi ⋅=

−

∗

é possível escrever

que

[]

[][]

[

]

∗∗

−

⋅⋅=⋅

ERER

iBZvB , sendo esta pré-multiplicada por [B] vem que:

[

][ ]

[]

[

]

[

]

[

]

[

]

∗∗

−

⋅⋅⋅=⋅⋅

ERER

iBZBvBB (2.53),

[]

[][][]

[

]

∗∗

⋅⋅⋅=

ERER

iBZBv (2.54).

Desenvolvendo

[][][]

BZB ⋅⋅ de (2.54) encontra-se a matriz mostrada em (2.55).

[][][]

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

••

pLR

L

-pM

M

L

pLR

M

0pLR0

0pM

0pLR

BZB

(2.55).

Definindo-se:

m = ;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= e substituindo estas nos elementos em (2.55) vem que:

[][][]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

••

221

211

RRR

RR2

2EE

1EE

pLRL

-pmm

L

pLRm

pm0pLR0

0pm0pLR

BZB (2.56).

Até este ponto a modelagem da máquina foi feita considerando esta com dois pólos

(um par de pólos). De agora em diante a modelagem será generalizada para z

pares de pólos.

Para isto basta lembrar que:

mecânicospelétricos

.z = , portanto,

mecp

.z ω=θ

•

. ω

mec

é a velocidade mecânica do rotor e

•

é dado em rad.el/s.

Será definido também que

NNN

e considerando o rotor como gaiola de esquilo

é possível escrever a equação (2.54) como:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ωω

ω+ω

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∗

221

211

RRmecpR2mecp1

mecpRRRmecp21

2EE

1EE

pLR.z.L

-pm.z.m

.z.N.LpLR.z.N.mpm

pm0pLR0

0pm0pLR

(2.57).

Basta agora escrever a equação do torque eletromagnético. Já foi demonstrado que

dqqd

RE2RE1el

iiMiiMT +−= , generalizando para z

pares de pólos:

(

)

dqqd

RE2RE1pel

iiMiiMzT +−= (2.58).

Mas

∗

, portanto,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=

∗∗

dqqd

E2R

E1pel

iMi

iMzT

, mas

m =

m = , ou seja:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=

∗∗

dqqd

2RE

1pel

mii

mzT

(2.59).

As indutâncias mútuas serão as mesmas quando ambas estiverem sob o mesmo

referencial desde que o sistema não sature (15), portanto e válida a seguinte relação:

=⇒= , que substituída na equação (2.59) leva ao resultado

mostrado a seguir.

(

)

∗∗

−⋅⋅⋅=

qddq

RERE2pel

iiiimNzT (2.60).

2.4 Representação da Máquina Bifásica Através de Equação de

Estado

Para que seja possível simular a dinâmica da máquina de indução bifásica é necessário

escrever as equações de tensão, torque eletromagnético e equação mecânica do sistema na

forma de variáveis de estado. Reescrevendo a equação (2.57) na forma de variáveis de estado

vem que:

()

()()()

).61.2(

mLL

mLLN

zLL

mLL

mLLN

zLm

mLL

zLL.N

mLL

zLm.N

mLL

mLLN

zLm

mLL

zmm

mLL

zLm.N

mLL

zmm.N

mLL

2RE

1RE

2RE

1RE

2RE

mecpRE

2RE

mecpE1

1RE

mecpRE

1RE

mecpE2

1RE

2RE

mecpR2

2RE

mecp21

1RE

mecpR1

1RE

mecp21

1RE

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−−

−

ω−

−

ω−

−

ω−

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∗

A equação mecânica do sistema na forma de variável de estado é escrita como:

cmecdelmec

−

−=

(2.62).

Se for necessário é possível ainda utilizar

mecp

ω=

para calcular a posição angular

do rotor.

A equação do torque eletromagnético é dada por:

(

)

∗∗

−⋅⋅⋅=

qddq

RERE2pel

iiiimNzT (2.63).

Com as equações (2.61) a (2.63) é possível simular a dinâmica do motor bifásico.

Capítulo 3

Modelagem do Motor de Indução Bifásico

Utilizando Vetores Espirais

3.1 Introdução

Para a modelagem do motor de indução bifásico utilizando vetores espirais as

hipóteses simplificadoras utilizadas para facilitar a análise da máquina são as mesmas usadas

para a modelagem com a transformação dq0 descrita no capítulo 2, entretanto, o

desenvolvimento que será realizado neste capítulo leva em consideração que a máquina

bifásica é simétrica, ou seja, as duas fases do motor possuem o mesmo número de espiras e

estão espacialmente defasadas de 90 graus elétricos entre si. Será analisada também neste

capítulo a operação do motor bifásico simétrico com tensão desbalanceada, obrigando assim,

a ser desenvolvido o conceito de componentes simétricas bifásicas para que seja possível uma

análise mais detalhada das componentes de seqüência positiva e negativa do torque

eletromagnético.

3.2 Análise do Motor de Indução Bifásico Simétrico

(MIBS) Através da Teoria dos Vetores Espirais

A figura 3.1 mostra uma representação esquemática do MIBS que será analisado.



Figura 3.1 – Modelo do motor de indução bifásico.

Neste caso será considerado que o número de espiras da fase a do estator é igual ao

número de espiras da fase b. Além disso, os enrolamentos das bobinas do estator estão

defasados de 90

elétricos entre si.

Sendo a indutância própria (ou auto-indutância) do estator (ou primário) e do rotor (ou

secundário) denotadas por L

e L

respectivamente, estas podem ser divididas em duas partes:

MlL

(3.1),

MlL

(3.2).

Nas equações (3.1) e (3.2) l

e l

são as indutâncias de dispersão e M é o máximo valor

da indutância mútua entre os enrolamentos do estator e rotor.

Como mostra a figura 3.1, se a diferença espacial entre a fase a

e a fase r é

, então a

indutância mútua entre estas duas fases é dada, com boa aproximação, por:

θ⋅=θ cosM)(M

(3.3).

A equação (3.3) é válida quando é assumida uma distribuição senoidal do campo

magnético no entreferro da máquina. Aqui

é expresso em radianos elétricos e está

relacionado com o deslocamento mecânico (

mec

) do rotor da máquina através de:

mecpmec

z

 ⋅==

(3.4).

P  Número de pólos da máquina de indução.

≡

Número de pares de pólos da máquina de indução.

Escrevendo a equação de tensão para a fase a

vem que:

aa1a

piRv

⋅

(3.5).

≡

v Tensão aplicada ao enrolamento da fase a.

≡

R Resistência dos enrolamentos da fase a, como a máquina possui enrolamentos iguais

este valor é mesmo para a fase b

≡

i Corrente que circula no enrolamento da fase a.

≡p

Operador linear d/dt.

≡λ

Fluxo concatenado total no enrolamento da fase a.

O fluxo concatenado

(ou de acoplamento) pode ser dividido em duas partes:

gaa1a

⋅

(3.6).

O primeiro termo da equação (3.6) é o fluxo de dispersão primário do fluxo

concatenado (

) e

é o fluxo concatenado do campo girante no entreferro produzido pela

corrente da fase a

, que é chamado de fluxo principal. Substituindo a equação (3.6) na equação

(3.5) vem que:

gaa1a1a

ppiliRv

⋅

(3.7).

Para a fase r

os terminais são curto-circuitados devido ao fato de estar sendo aqui

considerado um motor de indução com rotor do tipo gaiola de esquilo, portanto, a equação de

tensão para a fase r

é:

grr2r2

ppiliR0

⋅

⋅=

(3.8).

Os fluxos principais

são produzidos pelas correntes do estator e do rotor e são

dados por:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−θ⋅+θ⋅+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π−

⋅+⋅=λ

cosiMcosiM

cosiMiM

srbaga

(3.9),

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−θ−⋅+θ−⋅+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π−

⋅+⋅=λ

cosiMcosiM

cosiMiM

basrgr

(3.10).

A trigonometria mostra que

θ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−θ sen

cos

θ−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−θ− sen

cos

, substituindo

estes resultados em (3.9) e (3.10) vem que:

()

+=λ senicosiiM

sraga

(3.11),

()

−

+=λ senicosiiM

bargr

(3.12).

Considerando que na máquina de indução bifásica simétrica as correntes são defasadas

de 90 graus e que possuem a mesma amplitude em regime permanente, estas podem ser

representadas por vetores espirais, que neste caso são vetores circulares, e são dados por:

()

eI2i

φ+ω

•

()

2/tj

eI2i

π+φ+ω

•

(3.13),

()

eI2i

φ+ω

•

()

2/tj

eI2i

π+φ+ω

•

(3.14).

Nas equações (3.13) e (3.14)

são as freqüências angulares do estator e rotor

respectivamente.

Das equações (3.13) e (3.14) é possível escrever que:

()

eieeI2i

ππ

φ+ω

•

4434421

, mas

, portanto:

iji

⋅

(3.15).

Analogamente à i

é possível escrever para i

que:

iji

⋅

(3.16).

Substituindo (3.16) em (3.11) e (3.15) em (3.12) vem que:

⋅⋅+⋅=λ

raga

eiMiM (3.17),

θ−

⋅⋅+⋅=λ

argr

eiMiM (3.18).

Substituindo (3.17) em (3.7) e (3.18) em (3.8) é possível escrever:

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

++⋅+⋅=

θj

raa1a1a

eippiMpiliRv (3.19),

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅+⋅++⋅+⋅=

θ−θ− j

rr2r2

epipiepiMpiliR0 (3.20).

Mas

(

)

()

θ⋅−⋅=

θ−θ−

pjeep

, em que

é a velocidade angular do rotor em

radianos elétricos por segundo, portanto, (3.20) torna-se:

[

]

rr2r2

iejpiepiMpiliR0 ⋅⋅ω⋅−⋅++⋅+⋅=

θ−θ−

(3.21).

Multiplicando (3.21) por e

jθ

vem que:

(

)

(

)

arr

ijpMpieMleiR0 ⋅ω⋅−+⋅⋅++⋅⋅=

θθ

(3.22).

Realizando a mudança de variável tal que:

eieii

⋅ω⋅

⋅=⋅=

(3.23).

Aplicando o operador linear p em (3.23) vem que:

()

(

)

(

)

321

iejepiipeepipi ⋅⋅ω⋅+⋅=⋅+⋅=

θθθθ

(

)

ijepipi ⋅ω+⋅=

(3.24).

Substituindo as equações (3.23) e (3.24) em (3.19) e (3.22) e desenvolvendo os termos

encontra-se:

()

ra1a1a

piMpiMliRv ⋅+⋅++⋅= (3.25).

()( )

(

)

rr2

ijpMijpMliR0 ⋅ω⋅−+⋅ω⋅−⋅++⋅= (3.26).

Neste ponto é interessante notar que as equações (3.25) e (3.26) são escritas apenas em

função das variáveis da fase a

de estator e da fase r de rotor da mesma forma que para o caso

trifásico (18) e (19), ou seja, foi obtida para o MIBS a chamada segregação de fase.

Apesar das equações (3.13) e (3.14) terem sido escritas para o regime permanente é

objeto de estudo do deste trabalho avaliar se as equações (3.25) e (3.26) são válidas para o

regime transiente e para o regime permanente da mesma maneira que para o caso do motor

trifásico.

Lembrando que a fase a

representa o estator (ou primário) e a fase r o rotor (ou

secundário) os subscritos a

e r serão mudados para 1 e 2 respectivamente, portanto, as

equações (3.25) e (3.26) tornam-se:

()

()( ) ( )

(3.28). ijpMijpMliR0

(3.27), piMpiMliRv

1r2r222

211111

⋅−+⋅−⋅++⋅=

⋅

⋅++⋅=

Nas equações (3.27) e (3.28)

ii =

. A freqüência de i

é dada por

ω=ω em que ω

(ou ω, que também é usada neste texto) é a freqüência da fonte de alimentação.

Neste ponto surge a questão: com as equações (3.27) e (3.28) é possível obter o

mesmo circuito equivalente de regime permanente como na modelagem clássica (33)? A

resposta é sim, como mostrada a seguir.

As derivadas temporais que estão relacionadas com as correntes tornam-se jω no

regime permanente, portanto, as equações (3.27) e (3.28) podem ser escritas como:

(

)

211111

ijMiMljiRv

⋅

⋅ω⋅+⋅= (3.29),

()

222

iMlji

ijM0 ⋅+⋅ω⋅+⋅+⋅ω⋅⋅= (3.30).

Na equação (3.30) s é o escorregamento dado por:

−

(3.31).

Trocando a notação de vetores espirais para vetores circulares as equações (3.29) e

(3.30) tornam-se:

()

1m1

IxjIxxjIRV

••••

⋅⋅+⋅+⋅+⋅= (3.32),

()

2m2

IxxjI

Ixj0

•••

⋅+⋅+⋅+⋅⋅= (3.33).

As reatâncias de (3.32) e (3.33) são ω⋅=

⋅

Mx lx lx

m2211

,, onde x

é a

reatância de dispersão do primário, x

é a reatância de dispersão do secundário e x

é a

reatância de magnetização.

Das equações (3.32) e (3.33) é possível obter o circuito equivalente para nas condições

de regime permanente para o MIBS como mostra a figura 3.2.

•

Figura 3.2 – Circuito equivalente de regime permanente para o MIBS.

3.3 Análise do Transiente Eletromagnético do MIBS

Através da Teoria dos Vetores Espirais

Até este ponto foi mostrado que é possível encontrar um modelo de regime

permanente para o motor de indução bifásico simétrico (MIBS) utilizando a teoria dos vetores

espirais. Entretanto, a teoria dos vetores espirais permite que seja utilizado o mesmo circuito

para representar o regime transiente do MIBS, porém, o processo de dedução analítica é o

mesmo utilizado para o regime permanente (18) e (19), desta forma o mesmo modelo usado

na figura 3.1 pode ser utilizado para análise do transiente eletromagnético do MIBS.

3.3.1 Análise do Motor de Indução Bifásico Simétrico para

Controle por Corrente

A equação (3.33) pode ser usada para analisar a resposta transiente do MIBS para o

controle por corrente, portanto, esta é aqui reescrita:

()( )

(

)

1r2r222

ijpMijpMliR0

⋅

−

⋅

−

⋅++⋅=

(3.34).

A equação (3.34) pode ser representada por um circuito elétrico equivalente como

mostra a figura 3.3.

Figura 3.3 – Circuito equivalente transiente para controle por corrente.

Na figura 3.3 a tensão e

é dada por:

(

)

22r1rs

iMljiMje

⋅

−

⋅

−=

(3.35).

A solução geral de (3.34) em termos de i

é:

2s2t2

iii

(3.36).

Em que i

corresponde à parte transiente da solução e i

corresponde à solução de

regime permanente. Como a corrente de primário (i

) é a variável de entrada no controle por

corrente, então o transiente ocorre somente em i

. Desta forma, a solução transiente da

corrente de secundário (i

) é encontrada resolvendo-se a equação homogênea a seguir:

(

)

(

)

0piMlMljiR

222r22

⋅

−⋅

(3.37).

A solução genérica (19)

de (3.37) é:

tjMl

tR-

tj

t-R

eeAeAi

⋅⋅=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(3.38).

então (3.38) pode ser escrita como:

tj

-t

eeAi

⋅⋅=

(3.39).

Quando a corrente i

é dada por:

()

tj

eI2i

•

a correspondente corrente de

secundário de regime permanente (i

) é:

()

tj

eeI2eI2i

•

φ+

•

(3.40).

Como a equação (3.34) também é válida para o regime permanente, basta que p=j

para que seja possível encontrar que:

()

[]

eIMjseIjsMlR

•

ω=⋅ω++

()

Mlj

•

⋅

+ω+

ω−

(3.41).

Substituindo (3.41) em (3.40) é possível escrever que:

()

Mlj

eIM2eeI

Mlj

M2j

+ω+

−

⋅ω=⋅

+ω+

ω−

φ+ω

•

(3.42).

Mas

−

=−

, além disso,

()

Mlj

θθ

+ω+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=⋅=

+ω+

()

() ( )

()

tg arc

MlsR

tg arc

+ω−

=θ⇒

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ω−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ω+

+ω−

=θ

, como

() ()

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ω

=θ−⇒θ−=θ−

tgarctgtg

222

'''

, ou seja, (3.42) pode ser escrita como:

()

[]

2 tj

IM2

θ−π−φ+ω

•

⋅

+ω+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(3.43).

Mas de (3.41) é possível concluir que

()

••

⋅

+ω+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= , portanto,

(3.43) pode ser escrita como:

()

t j

eI2i

θ−φ+ω

•

⋅= com

(

)

π+θ=θ

(3.44).

De posse de (3.44) e (3.39) é possível escrever a solução geral de i

, ou seja:

()

21m

t j

tj

-t

eI2eeAi

θ−φ+ω

•

⋅+⋅⋅=

(3.45).

No circuito equivalente da figura 3.3 a corrente de estator (ou primário) i

, que é a

corrente de controle, é dividida em duas parcelas (i

e i

) no instante

= 0t , que são

inversamente proporcionais às indutâncias de cada ramo (18) e (19), ou seja:

−

= 0 tem i

i i

, (3.46).

Substituindo i

de (3.46) em (3.45) vem que:

•

=θ−φ=φ+=

−

0 tem eI2AeI2

212

(3.47).

Da equação (3.47) é possível encontrar a constante A, ou seja:

()

MljsR

I2A

+ω+

⋅⋅

⋅⋅−=

•

(3.48).

Das equações (3.48) e (3.45) vem que i

é:

()

21r21

tj

t

tj

I2eI2i

−φ+

−

•

−φ+

•

⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅= (3.49).

Na equação (3.49)

(

)

MljsRZ

222

+ω+= .

De posse da resposta analítica de i

juntamente com e

é possível calcular o torque por

fase através da expressão abaixo (18) e (19):

{} {}

eReiRe

t ⋅⋅

ω⋅

(3.50).

Como

(

)

22r1rs

iMljiMje

⋅

ω−⋅ω

−

= , então e

também pode ser escrita como:

()

⎥

⎦

⎤

⋅

⎢

⎣

⎡

−+ω−ω−=

θ−φ+ω

λ−

•

θ−φ+ω

•

φ+ω

•

21r

211

eI2MljeI2Mje

(3.51).

Tomando a parte real de (3.51) vem que:

{} ()() ()

()

21r

2r1

tseneI2M

tsenI2MltsenI2MeRe

θ−φ+ωω

−θ−φ+ω+ω+φ+ωω=

λ−

•

••

(3.52).

Tomando a parte real de i

(equação 3.49) é possível escrever:

{} ()

(

)

21r

tcose

I2-tcosI2iRe θ−φ+ω

⋅θ−φ+ω=

λ−

••

(3.53).

Portanto, substituindo (3.52) e (3.53) em (3.50) vem que:

()()()( )

() ()

()

()()

⎥

⎦

⎤

θ−φ+ωθ−φ+ω

⋅θ−φ+ω+θ−φ+ωθ−φ+ω

⋅−φ+ωθ−φ+ω

−θ−φ+ωθ−φ+ω−θ−φ+ω

⎢

⎣

⎡

⋅θ−φ+ω++φ+ωθ−φ+ω=

λ−

•

λ−

••

λ−

•

λ−

••

•••

21r

t22

21r

21r21

212

121

tsentcos

tcoseMI

2tsentcos

MeII

2tsentcoseI

tsentcoseII

2Mtsen

tcosMlI2tsentcosM2II

(3.54)

Lembrando algumas relações trigonométricas básicas e manipulando (3.54) é possível

escrever que:

()

[]

()()

[]

()( )

[]

()

[]

()( )

[]

()

[]

.22t2sen

eMI

2ttsenttsen

MeII

2ttsenttsen

eII

22tsen

MlIsen2t2sen

MIIPt

21r

t22

21r

22r

21r

21r2

212

221

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

θ−φ+ω

+θ−θ−φ+ω+ω+θ+θ−ω−ω

−θ−φ+ω+ω+θ+ω−ω

−θ−θ−φ+ω+ω+θ+θ−ω−ω

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−θ−φ+ω++θ+θ−φ+ω=

λ−

•

λ−

••

λ−

•

λ−

••

•••

(3.55).

O torque devido às duas fases do motor é soma do torque devido à fase a

mais o

torque devido à fase b

()

b1a12

ttt += . Além disso, o ângulo φ

, que está relacionado com a

fase a

do motor, possui uma diferença de π/2 em relação à fase b, desta maneira o torque

devido às duas fases pode ser escrito como:

()()( )( )

[]

()()()( )

[

()

]

()

[

()

]

()

[]

()

[

()

]

()()

[

()()

]

}

21r

t22

21r21

21r

21r1

21r

21r21

2121212

121121

2/tsen2/tcos

tsentcoseMI

2/tsen

2/tcostsentcoseII

M2/tsen2/tcostsentcos

2/tsen2/tcos

tsentcoseII

M2/tsen

2/tcostsentcosMlI

2/tsen2/t

costsentcosMIIPt

θ−π+φ+ωθ−π+φ+ω

+θ−φ+ωθ−φ+ω+θ−π+φ+ω

⋅θ−π+φ+ω+θ−φ+ωθ−φ+ω

⋅−π+φ+ωθ−π+φ+ω+φ+ωθ−φ+ω

⋅

−θ−π+φ+ωθ−π+φ+

+θ−φ+ωθ−φ+ω−π+θ−φ+ω

⋅θ−π+φ+ω+θ−φ+ωθ−φ+ω+

⎩

⎨

⎧

π+φ+ωθ−π+φ+ω+φ+ωθ−φ+ω=

λ−

•

λ−

••

λ−

•

λ−

••

•

••

(3.56).

Da trigonometria

(

)

(

)()

[

]

BAsenBAsen21BcossenA −+

⋅

()

senAAcos2A2sen ⋅= , portanto, t

pode ser escrito como:

() ( )

[]

()()( )

[]

()()

[

()()

]

()()( )

[

()

]

()

[

()( )()

]

()( )

[]

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−+φ++−φ+

++−−+−−+φ+++−−

+−−φ++−+−

+−+φ++++−+−φ++

⋅

−−+−+−−+φ++

+−+−+−−φ++

−−+φ++−φ++

⎩

⎨

⎧

+−+φ+++−φ+=

λ−

•

−

••

−

•

−

••

•

••

21r

t22

22r2

21r

22r

21r

t

21r

t

22r

221r

22r

221r

t

21212

221221

22t2sen22t2sen

eMI

ttsen2ttsen-ttsen

2ttsen

eII

Mttsen

2ttsenttsen2ttsen

ttsen2ttsen

ttsen2ttsen

eII

22tsen22tsen

MlI

sen2t2sensent2sen

MIIPt

(3.57).

Como da trigonometria

(

)

0AsensenA

+ a equação (3.57) pode ser escrita como:

()

() ()

⎥

⎦

⎤

+−−+−

⋅

+−−

⎢

⎣

⎡

+θ=

−

••

−

•

−

••••

22r

t

22r

t

ttseneII

M- ttsen

-ttseneII

MMsenIIPt

(3.58)

Relembrando que /2

+= e

(

)

(

)

cos/2sen =+

(3.58) pode ser reescrita

como:

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+−

−

•••

t

ttseneI

-cosMIIt P

(3.59).

Mas de acordo com equação (3.41) é possível escrever que:

()

222

MlsR

•••

⋅

=⋅

= (3.60), portanto, a equação

(3.59) pode ser escrita na sua forma final como:

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ω

−

••••

t

tssenMe

Mls

II-cosMIIPt

(3.61).

A equação (3.61) é a mesma obtida por Yamamura (19) para o caso do motor trifásico,

portanto, resta provar as outras relações de torque (em termos de vetores espirais) em função

de i

e i

, que são elas:

{

}

{

}

212

iiImM

t e iijReM

t ⋅⋅=⋅⋅−⋅=

{}

212

iijReM

tde Prova ⋅⋅−⋅=

Já foi mostrado que as equações de i

e i

podem ser escritas como:

() ()

()

21r211

tj

t

tj

tj

I2eI2i e eI2i

−φ+

−

•

−φ+

•

φ+

•

⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅= .

Escrevendo o complexo conjugado de i

vem que:

()

21r21

tj

t

tj

I2eI2i

−φ+−

−

•

−φ+−

•

⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅= , que multiplicada por i

leva à

expressão abaixo:

()

2r2

ttj

t

j

I2eII2ii

+−

−

•••

⋅⋅

⋅−⋅=⋅ (3.62).

Multiplicando (3.62) por - jM e desenvolvendo as exponenciais em termos de seno e

co-seno vem que:

()

[

()

]

t

ttjsen

ttcose

Ij2jsencosMIIj2ijMi

+−

++−

++−=−

−

•••

(3.63).

Tomando a parte real da expressão de (3.63) é possível escrever:

{} ()

t

ttsene

I2senII2MijMiRe +−

−=−

−

•••

(3.64)

Portanto t

pode ser escrito como:

() ()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+−

−=

−

•••

t

ttsene

IMcosIIPt

que é idêntica a equação (3.59),

logo, fica provado que

{}

212

iijReM

t ⋅⋅−⋅=

é válida.

{}

212

ii ImM

tde Prova ⋅⋅=

Tomando a parte imaginária de (3.63) vem que:

{} ()

ttsen

I2senII2iiIm θ+ω−ω⋅⋅

−θ⋅=⋅

•••

, multiplicando ambos os

membros por M(P/2) têm-se:

{} ()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

θ+ω−ω⋅⋅

⋅−θ⋅=⋅=

•••

212

ttsen

IcosMIIPiiImM

t que também é

igual a equação (3.59), desta forma fica provado também que

{

}

212

ii ImM

t ⋅⋅=

é válida.

A expressão

{}

212

iijReM

t ⋅⋅−⋅=

obtida neste item é a mesma obtida por Krause

(15) para o regime permanente, entretanto, a expressão aqui obtida pode ser usada tanto para a

análise de regime permanente quanto para o regime transiente, desta forma, este resultado

pode ser considerado como uma contribuição deste trabalho.

3.3.2 Análise do Motor de Indução Bifásico Simétrico para

Controle por Tensão

As equações (3.27) e (3.28) podem ser escritas matricialmente para que seja possível

representar estas através de um circuito equivalente transiente (18) e (19), ou seja:

()

() ()()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

ω−++ω−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

r22r

jpMlRjpM

MppMlR

(3.65).

A equação (3.65) é muito importante e é válida para o regime permanente e transiente

e suas variáveis são as variáveis originais do motor sendo expressas como vetores espirais. A

figura 3.4 mostra o circuito equivalente correspondente à equação (3.65).

Figura 3.4 – Circuito equivalente transiente para controle por tensão.

Na figura 3.4

(

)

[]

221rs

iMliMje

⋅

ω−=

Das expressões (3.62) e (3.64) é evidente que é necessário encontrar i

e i

. Isto é

possível calculando as raízes características de (3.65) com relação à p, ou seja:

()

() ()()

jpMlRjpM

MppMlR

r22r

ω−++ω−

(3.66).

Como a equação (3.66) é de segunda ordem com relação à p é possível obter duas

raízes características

e δδ

, portanto, a solução geral de (3.65):

()

121

eI2eAeAi

φ+ω

•

δδ

++=

(3.67),

de forma que a corrente i

é encontrada substituindo-se (3.67) na segunda linha de (3.65), ou

seja:

()

()( )

(

)

()( )

()

121

r222

r122

MljsR

Mjs

eI2eA

jMlR

φ+ω

•

δδ

+ω+

ω−δ++

ω−δ

−

ω−δ++

ω−δ−

(3.68).

Assumindo que em

0ii 0t

, então é possível escrever que:

()()()

[]

()

()( )

[]

()( )

[]

()

212

r122r122

r122r1

jMlRjMlReI2

jMlRjMeI2

δ−δ⋅

ω−δ++ω−δ++

δ−δ

ω−δ++ω−δ

•

(3.69),

()()()

[]

()

()( )

[]

()( )

[]

()

r222r122

r222r1

jMlRjMlReI2

jMlRjMeI2

δ−δ

ω−δ++ω−δ++

−

δ−δ

ω−δ++ω−δ

•

(3.70).

Uma vez obtido os valores instantâneos de i

e i

o torque pode ser calculado

utilizando-se

{}

212

iijReM

t ⋅⋅−⋅=

{

}

212

ii ImM

t ⋅⋅=

3.4 Análise do Torque Eletromagnético do MIBS sob

Operação de Tensão Desbalanceada utilizando Vetores

Espirais e Componentes Simétricas

Será considerada aqui uma máquina de indução bifásica simétrica na qual serão

aplicadas tensões v

e v

desbalanceadas nas fases a e b do motor. As tensões v

e v

podem

ser consideradas como superposição das componentes

v (componente simétrica de seqüência

positiva da tensão v

) e

−

(componente simétrica de seqüência negativa da tensão v

) tal que

aos enrolamentos da máquina bifásica sejam aplicadas (33):

Uma componente simétrica de seqüência positiva ou direta;

v aplicada à fase a,

jv- aplicada à fase b,

2) Uma componente simétrica de seqüência negativa ou inversa;

−

v aplicada à fase a,

−

aplicada à fase b

Esquematicamente representa-se a excitação da máquina como mostra a figura 3.5 a

seguir.

mec



−

≡

−

jv-

−

mec



−

Figura 3.5 – Representação esquemática da decomposição das tensões de v

e v

em termos de suas componentes

simétricas de seqüência positiva e negativa.

Como há equivalência, as somas

(

)

−+

vv e

(

)

−+

jvjv- devem representar as

tensões v

e v

tais que:

() ()

()()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+φ+++φ+−=+−=

φ++φ+=+=

−

•

−+

•

+−+

−

•

−+

•

+−+

2tcosV22tcosV2jvjvv

tcosV2tcosV2vvv

aaab

aaaa

(3.71).

Escrevendo (3.71) como vetores espirais:

() ()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−=

+φ+

•

−+φ+

•

φ+

•

−φ+

•

−+

2tj

tj

eV2eV2v

, ou seja,

−

são também vetores

espirais (vetores circulares) escritos como:

() ()

−+

φ+

•

−−φ+

•

tj

eV2 veV2v

(3.72).

Reescrevendo (3.71) matricialmente e considerando

−

vetores espirais vem

que:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(3.73).

Para que o método seja aplicável é necessário que a decomposição de v

e v

seja

possível em qualquer caso, de forma que estas possam ser reconstruídas a partir de suas

componentes de seqüência positiva e negativa através da transformação inversa da matriz de

(3.73). Isto é garantido pelo fato que o determinante da matriz 2x2 em (3.73) ser 2j tornando,

assim, possível de se obter a relação inversa de (3.73) através de:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

j-1

(3.74),

mostrando que dados quaisquer valores de v

é sempre possível determinar

v e

−

Uma vez determinados

−

determinam-se as correntes e torques produzidos

pelas componentes agindo separadamente e obtém-se a seguir as correntes e torque total

produzidos por v

e v

como superposição daqueles.

A figura 3.6 mostra de maneira esquemática a independência dos efeitos de seqüência

positiva e negativa conseguida através da decomposição por componentes simétricas.

≡

mec



−

jv-

−

mec



−

mec



−



Seqüência Positiva Seqüência Ne

ativa

jv-

Figura 3.6 – Decomposição de excitação desbalanceada aplicada às fases de uma máquina bifásica simétrica.

A seqüência positiva

(

)

jv- ,v age sobre o circuito equivalente usual, pois gera uma

velocidade síncrona

gerando, assim, um torque eletromagnético de seqüência positiva

T e

a corrente de seqüência positiva

+++

Zvi

em que Z

é a impedância de entrada do circuito

equivalente de seqüência positiva como mostra a figura 3.7.

()

[

]

r2amecps

iMliMjze

+++

⋅++⋅−=

Figura 3.7 – Circuito equivalente transiente de seqüência positiva da máquina de indução bifásica simétrica.

Como as componentes de seqüência positiva e negativa são independentes então é

possível escrever a equação matricial elétrica do circuito equivalente da figura 3.7 bem como

seu torque eletromagnético correspondente, ou seja:

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−++−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

mecp22mecp

jzpMlRjzpM

MppMlR

(3.75),

(

)

{

}

∗

+++

⋅⋅⋅=

rapel

ii ImMzT (3.76).

 número de pares de pólos da máquina de indução.

Da mesma forma a seqüência negativa

(

)

−−

jv ,v age sobre o circuito equivalente

usual, pois gera uma velocidade síncrona -

gerando, assim, um torque eletromagnético de

seqüência negativa

−

T e a corrente de seqüência negativa

−−−

Zvi

em que

−

é a

impedância de entrada do circuito equivalente de seqüência negativa como mostra a figura

3.8.

()

[

]

r2amecp

iMliMjze

−−

⋅++⋅=

−

Figura 3.8 – Circuito equivalente transiente de seqüência negativa da máquina de indução bifásica simétrica.

Da mesma forma que para o circuito de seqüência positiva é possível escrever a

equação matricial elétrica do circuito equivalente da figura 3.8 bem como seu torque

eletromagnético correspondente, ou seja:

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

++++

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

mecp22mecp

jzpMlRjzpM

MppMlR

(3.77),

(

)

{

}

∗

−−−

⋅⋅⋅−=

rapel

ii ImMzT (3.78).

Note que o sinal da equação (3.78) é negativo, indicando assim, que

−

T age em

sentido contrário à rotação do motor por ser produzido pela seqüência negativa que gera uma

velocidade síncrona –

ω. Como o torque eletromagnético resultante é a soma dos torques de

seqüência positiva e negativa este pode ser escrito como:

()

{

}

(

)

{

}

∗

−−

∗

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

rap

rapel

ii ImMzii ImMzT (3.80).

3.5 Representação da Máquina Bifásica Simétrica Através de

Equação de Estado

Para estudar o MIBS sob operação desbalanceada é necessário escrever as equações

(3.75), (3.76), (3.77), (3.78) juntamente com a equação mecânica do sistema na forma de

varáveis de estado para que seja possível simulá-las através de algum software dedicado

(como o Matlab) ou mesmo em linguagem de programação convencional (C ou Fortran, por

exemplo), ou seja;

()

(

)

()

() ( )

()

J/TT

0zjLRL

0zjLRM

000

0zjLRM0

zjLRL0zjLRM

0zjMRL0

zjLRM0zjMRL

cel

mec

mecp221

mecp22

mecp11

mecp221mecp11

mecp

mecp22mecp

mec

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−∆

−

∆

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

∆−

ω+−

ω+

⎢

⎣

⎡

ω−

ω−−ω+

ω−−

ω−ω+−

∆

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(3.79).

Na equação (3.79) L

= l

+ M, L

= l

+ M e ∆= M l

+ M l

+ l

Capítulo 4

Simulações e Discussão dos Resultados

4.1 Introdução

Neste capítulo serão mostrados vários resultados de simulação e estes resultados serão

discutidos ao longo do texto.

O primeiro item deste capítulo mostra e discute os resultados para simulação do MIBS

com a modelagem usando a transformação dq0 e com a modelagem utilizando vetores espirais

para o caso da máquina operar em condição de tensão balanceada (as tensões aplicadas aos

enrolamentos da máquina são de mesma amplitude e defasadas de 90 graus).

Já no segundo item a tensão aplicada à máquina é desbalanceada, pois é necessário

constatar a validade das componentes simétricas para o regime permanente e transiente como

proposto por Yamamura (19) bem como discutir sobre os torques de seqüência positiva e

negativa quando o MIBS esta operando em condição de tensão desbalanceada.

4.2 Operação do MIBS Sob Tensão Balanceada

Para simular o MIBS com tensão balanceada foram utilizados os parâmetros de um

MIBS real (8) cujos parâmetros estão listados a seguir.

Notação usada para os parâmetros da modelagem dq0

[N] 0T s/rad]m[Kg 0,0035K ]m[Kg 0,006J

1N [rad/s] 602 [V] 154V 2z [H] 0,327mm

]H[ 366,0LLLL ][ 38,7RR ][ 92,9RR

p21

RREERREE

21212121

=⋅⋅=⋅=

=⋅π⋅=ω====

Ω

Notação usada para os parâmetros da modelagem com vetores espirais

[N] 0T

s/rad]m[Kg 0,0035K ]m[Kg 0,006J [rad/s] 602 [V] 154V

2z [H] 0,327M ]H[ 039,0l ]H[ 039,0l ][ 38,7R ][ 92,9R

p2121

⋅⋅=⋅=⋅π⋅=ω=

=Ω=Ω=

A primeira questão que surge quando são estudados dois tipos de modelagem é: a

modelagem proposta (modelagem por vetores espirais) produz os mesmos resultados

(dinâmica elétrica e mecânica) que a modelagem já consagrada (modelagem dq0)? E a

resposta para esta pergunta é sim como mostram as figuras 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4.

0 0.5 1 1.5

-1

Torque Eletromagnético x Tempo

Torque [N.m]

dq0

0 0.5 1 1.5

-1

Torque [N.m]

Tempo [s]

Vetor Espiral

Figura 4.1 – Evolução do torque eletromagnético ao longo do tempo.

0 0.5 1 1.5

100

150

200

Velocidade Mecânica x Tempo

Velocidade [rad/s]

dq0

0 0.5 1 1.5

100

150

200

Velocidade [rad/s]

Tempo [s]

Vetor Espiral

Figura 4.2 – Evolução da velocidade mecânica do motor ao longo do tempo.

0 0.5 1 1.5

-10

-5

Correntes de Estator x Tempo

Corrente [A]

dq0

0 0.5 1 1.5

-10

-5

Corrente [A]

Tempo [s]

Vetor Espiral

Figura 4.3 – Evolução das correntes de estator do motor ao longo do tempo.

0 0.5 1 1.5

-10

-5

Correntes de Rotor x Tempo

Corrente [A]

dq0

0 0.5 1 1.5

-10

-5

Corrente [A]

Tempo [s]

Vetor Espiral

Figura 4.4 – Evolução das correntes de rotor do motor ao longo do tempo.

4.3 Operação do MIBS Sob Tensão Desbalanceada

Como o objetivo é estudar uma assimetria nas tensões aplicadas aos enrolamentos da

máquina simétrica, foi aplicada uma tensão

(

)

tcos1542v

ω⋅= no enrolamento da fase a e

uma tensão

()

2tcos15425,0v

π−ω⋅⋅= na fase b do motor, ou seja, as tensões são

ortogonais, mas a amplitude da tensão aplicada à fase b

é metade da tensão aplicada à fase a.

As figuras a seguir mostram os resultados obtidos para o torque eletromagnético, velocidade e

torque versus velocidade.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

Torque eletromagnético.

Tempo [s]

Torque Eletromagnético [N.m]

Torque seq. +

Torque seq. -

Torque resultante

Figura 4.5 – Torque eletromagnético de seqüência positiva, negativa e resultante no tempo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

100

120

140

160

180

Velocidade mecânica do motor.

Tempo [s]

Velocidade Mecânica [rad/s]

Figura 4.6 – Velocidade mecânica do motor no tempo.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-0.5

0.5

1.5

2.5

Característica torque eletromagnético x velocidade mecânica.

Velocidade mecânica [rad/s]

Torque eletromagnético [N.m]

Torque seq. +

Torque seq. -

Torque resultante

Figura 4.7 - Curva torque x velocidade.

As figuras 4.5 e 4.7 mostram que o torque de seqüência negativa tem uma influência

muito menor do que o torque de seqüência positiva no torque resultante. Este

desenvolvimento do torque eletromagnético em termos de suas componentes de seqüência

positiva e negativa pode ser considerado como uma contribuição deste trabalho ao estudo da

máquina bifásica simétrica de indução visto que não há descrição completa do fenômeno

(existe a descrição apenas para o regime permanente) na presente literatura.

Outro fato que merece ser mostrado aqui é que o torque resultante da soma dos torques

de seqüência positiva e negativa, resultante da modelagem por vetores espirais, conduz ao

valor médio do torque resultante da modelagem dq0 como mostra a figura 4.8. Uma vez

obtidas as componentes de seqüência positiva e negativa do torque outra pergunta que surge

é: quanto que a velocidade resultante das componentes de seqüência positiva e negativa difere

da velocidade da modelagem dq0? A resposta para esta pergunta é o gráfico mostrado na

figura 4.9, ou seja, a dinâmica da velocidade resulta das componentes de seqüência positiva e

negativa.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

Torque eletromagnético - DQ e VE.

Tempo [s]

Torque Eletromagnético [N.m]

Figura 4.8 – Torque eletromagnético resultante da modelagem dq0 (DQ) e torque resultante da soma dos torques

de seqüência positiva e negativa obtido por vetores espirais (VE).

0 0.5 1 1.5 2 2.5

100

120

140

160

180

Velocidade mecânica do motor - DQ e VE.

Tempo [s]

Velocidade Mecânica [rad/s]

Figura 4.9 – Velocidades resultantes da modelagem dq0 (DQ) e por vetores espirais (VE).

Visto que o torque resultante da soma dos torques de seqüência positiva e negativa

leva ao valor médio do torque da modelagem dq0 outra questão a ser respondida é: quais as

composições das correntes de seqüência positiva e negativa de estator e rotor são responsáveis

pelas oscilações de torque quando a tensão aplicada é desbalanceada? Evidentemente há dois

caminhos a seguir para responder esta questão. O primeiro é buscar uma dedução analítica

para o desenvolvimento da expressão do torque eletromagnético como foi feito para o caso da

tensão aplicada ser balanceada, entretanto, esta tarefa não é de rápida execução e um tanto

quanto trabalhosa. O segundo caminho é buscar uma comparação entre os resultados obtidos

da modelagem dq0 e os resultados obtidos através da aplicação da teoria do vetor espiral, e é

este que será executado neste texto.

Para iniciar a investigação é necessário lembrar que o torque eletromagnético

deduzido pela modelagem dq0 para um MIBS tem a seguinte relação de proporcionalidade

com as correntes de eixo direto e em quadratura (de estator e rotor):

(

)

qddq

REREel

iiiiKT

⋅

−

⋅

⋅∝ (4.1).

Isto posto, é necessário encontrar quais as relações das componentes de seqüência

positiva e negativa das correntes de estator e rotor da modelagem por vetores espirais são

equivalentes às correntes

i e

i na modelagem dq0. Tais relações são dadas por:

{

}

{

}

{}{}

{} {}

{}{}

aaE

ijReijRei

iReiRei

ijReijRei

iReiRei

−+

⋅+⋅−=

(4.2).

Realizando o produto

⋅

em termos das relações dadas em (4.2) vem que:

{

}

{

}

(

)

{

}

{

}

(

)

raaRE

iReiReijReijReii

−+−+

+⋅⋅+⋅−=⋅ ,

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

raRE

iReijReiReijReiReijReiReijReii

−−+−−+++

⋅+⋅+⋅−+⋅−=⋅ (4.3).

Realizando o produto

⋅

em termos das relações dadas em (4.2) vem que:

{

}

{

}

(

)

{

}

{

}

(

)

raaRE

ijReijReiReiReii

−+−+

⋅+⋅−⋅+=⋅ ,

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

raRE

ijReiReijReiReijReiReijReiReii

−−+−−+++

⋅+⋅−+⋅+⋅−=⋅ (4.4).

Subtraindo

ii ⋅ de

⋅

é possível escrever:

{

}

{

}

{

}

{

}

(

)

{

}

{

}

(

{}{ }) { }{} {}{ }()

{}{} {}{}()

raRERE

ijReiReiReijRe

ijReiReiReijReijReiRe

iReijReijReiReiReijReiiii

qddq

−−−−

+−+−−+

−+++++

⋅−⋅

+⋅−−⋅+⋅

−⋅−+⋅−−⋅−=⋅−⋅

(4.5)

É necessário agora desenvolver cada termo entre parênteses da equação (4.5),

entretanto, é necessário lembrar três propriedades dos números complexos que serão de

grande valia neste momento, são elas:

{}

{

}

{

}

{

}

{

}

212121

ZImZImZReZReZZRe

−

= (4.6),

{}

(

)

()

∗

−

ZIm (4.7),

{}

(

)

ZRe

∗

(4.8).

Em (4.6), (4.7) e (4.8) Z

e Z

são dois números complexos quaisquer e o asterisco

significa o conjugado do número complexo Z

Aplicando (4.6) e (4.7) no primeiro parênteses de (4.5) e desenvolvendo vem que:

{}{}{}

{

}()

(

)

{

}

∗

++++++

⋅⋅⋅=⋅−−⋅−⋅⋅

rap

ii ImMzijReiReiReijReMz (4.9).

Portanto, a equação (4.9) representa o torque de seqüência positiva.

Desenvolvendo o quarto termo entre parênteses de (4.5) de maneira análoga ao que foi

feito para o primeiro termo concluí-se que:

{}{} {}

{

}()

(

)

{

}

∗

−−−−−−

⋅⋅⋅−=⋅−⋅⋅⋅

rap

ii ImMzijReiReiReijReMz (4.10).

Ou seja, a equação (4.10) representa o torque de seqüência negativa. Portanto, os dois

termos restantes (segundo e terceiro) de (4.5) são responsáveis pelas oscilações do torque

eletromagnético. Entretanto, resta conhecer como os componentes de seqüência positiva e

negativa, de estator

(

)

i e i

e rotor

(

)

i e i

, estão relacionados para formar as oscilações de

torque eletromagnético.

Desenvolvendo o segundo termo de (4.5) utilizando (4.6), (4.7) e (4.8) vem que:

{}{}

{

}

{

}()

{

}

rap

iiImMzijReiReiReijReMz

−+−+−+

⋅⋅⋅=⋅−⋅−⋅⋅ (4.11).

De maneira análoga ao que foi feito para o segundo termo de (85) desenvolvendo o

terceiro concluí-se que:

{}{} {}

{

}()

{

}

rap

iiImMzijReiReiReijReMz

+−+++−

⋅⋅⋅−=⋅−−⋅⋅⋅ (4.12).

A figura 4.10 mostra o resultado do torque eletromagnético resultante, as componentes

oscilantes e os torques de seqüência positiva e negativa.

Figura 4.10 – Torque eletromagnético resultante e seus componentes obtidos pela modelagem por vetores

espirais.

Portanto, o torque eletromagnético pode ser escrito em termos de vetores espirais

como:

()

{}

(

)

{

}

{

}

{

}

{

}

rapel

ii Imii Imii Imii Im MzT

+−−+

∗

−−

∗

⋅−⋅+⋅−⋅⋅=

(4.13).

Além dos resultados obtidos com a decomposição do torque é importante conhecer as

formas das curvas das correntes de seqüência positiva e negativa para o estator e o rotor.

Surge aqui mais um resultado interessante devido aplicação da teoria do vetor espiral e o

torque de seqüência negativa mostrado na figura 4.10 dá uma pista a respeito da forma de

onda das correntes de seqüência negativa. Uma vez que o torque de seqüência negativa oscila

muito pouco no momento da partida (atentar para o intervalo de zero a 0,25 s na figura 4.10) é

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

Torque eletromagnético.

Resultante

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-10

-5

zp.M.Im(ia+.ir-)

-zp.M.Im(ia-.ir+)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

Tempo [s]

Seq.+

Seq.-

razoável supor que as correntes de seqüência negativa de estator e rotor assim também o

façam. É exatamente isto que mostra a figura 4.11.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

Correntes de seqüência negativa do estator e rotor (ia- e ir-).

Tempo [s]

Corrente [A]

Re(ia-)

Re(ir-)

Figura 4.11 – Corrente de seqüência negativa do estator e rotor.

A figura 4.11 mostra que as correntes de seqüência negativa oscilam pouco ao longo

do tempo. A figura 4.12 mostra um “

zoom

” da envoltória das correntes de seqüência negativa.

0.5 1 1.5 2 2.5

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

Correntes de seqüência negativa do estator e rotor (ia- e ir-).

Tempo [s]

Corrente [A]

Re(ia-)

Re(ir-)

Figura 4.12 – Corrente de seqüência negativa do estator e rotor.

Diferentemente das correntes de seqüência negativa as correntes de seqüência positiva

oscilam de maneira bastante acentuada como mostra a figura 4.13.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-6

-4

-2

Correntes de seqüência positiva do estator e rotor (ia+ e ir+).

Tempo [s]

Corrente [A]

Re(ia+)

Re(ir+)

Figura 4.13 – Corrente de seqüência positiva do estator e rotor.

As figuras 4.14, 4.15, 4,16 e 4.17 mostram os vetores espirais das correntes de

seqüência positiva e negativa tanto de estator como de rotor.

0.5

1.5

2.5

-10

-5

Tempo [s]

Vetor espiral da corrente ia+.

Re(ia+) [A]

Im(ia+) [A]

Figura 4.14 – Vetor espiral de corrente de seqüência positiva de estator.

0.5

1.5

2.5

-5

-6

-4

-2

Tempo [s]

Vetor espiral da corrente ir+.

Re(ir+) [A]

Im(ir+) [A]

Figura 4.15 – Vetor espiral de corrente de seqüência positiva de rotor.

0.5

1.5

2.5

-2

-1

-2

-1

Tempo [s]

Vetor espiral da corrente ia-.

Re(ia-) [A]

Im(ia-) [A]

Figura 4.16 – Vetor espiral de corrente de seqüência negativa de estator.

0.5

1.5

2.5

-2

-1

-2

-1

Tempo [s]

Vetor espiral da corrente ir-.

Re(ir-) [A]

Im(ir-) [A]

Figura 4.17 – Vetor espiral de corrente de seqüência negativa de rotor.

É possível escrever as correntes da fase a

(

)

i e da fase b

(

)

i do estator como soma

das componentes simétricas de seqüência positiva e negativa, ou seja:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅+⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+

−

ijij-

(4.14).

As figuras 4.18 e 4.19 mostram os vetores espirais das correntes i

e i

0.5

1.5

2.5

-10

-5

-10

-5

Tempo [s]

Vetor espiral da corrente ia.

Re(ia) [A]

Im(ia) [A]

Figura 4.18 – Vetor espiral de corrente da fase a de estator.

0.5

1.5

2.5

-5

-4

-2

Tempo [s]

Vetor espiral da corrente ib.

Re(ib) [A]

Im(ib) [A]

Figura 4.19 – Vetor espiral de corrente da fase b de estator.

Já as figuras 4.20 e 4.21 mostram os vetores espirais das correntes i

e i

0.5

1.5

2.5

-10

-5

-10

-5

Tempo [s]

Vetor espiral da corrente ir.

Re(ir) [A]

Im(ir) [A]

Figura 4.20 – Vetor espiral de corrente da fase r de rotor.

0.5

1.5

2.5

-4

-2

-4

-2

Tempo [s]

Vetor espiral da corrente is.

Re(ir) [A]

Im(ir) [A]

Figura 4.21 – Vetor espiral de corrente da fase s de rotor.

Capítulo 5

Parametrização e Ensaio do Motor de Indução

Bifásico Simétrico

5.1 Introdução

Nesta seção é apresentada a medição dos parâmetros de um motor de indução bifásico

simétrico juntamente com os ensaios do motor operando com tensão balanceada e

desbalanceada.

O método utilizado para medir os parâmetros do motor bifásico é mesmo método

utilizado para o motor trifásico, ou seja, foram realizados ensaios do motor em vazio e com o

rotor travado.

Para que o motor operasse com tensão balanceada foi montado um arranjo com dois

transformadores (conexão Scott) para produzir tensões com mesma amplitude e defasadas de

noventa graus.

Este capítulo tem como objetivo avaliar o desempenho do modelo matemático

desenvolvido com o resultado experimental.

5.2 A Conexão Scott

É possível obter um sistema bifásico balanceado a partir de um sistema trifásico

balanceado com um arranjo conveniente de dois transformadores. Este arranjo é conhecido

como conexão Scott (34) e (35).

A figura 5.1 mostra a conexão Scott para a transformação da tensão trifásica em tensão

bifásica e a figura 5.2 mostra o diagrama fasorial para a conexão Scott.

Fonte

de Tensão

Trifásica

Transformador

Figura 5.1 – Conexão Scott.

•

Figura 5.2 – Diagrama fasorial da ligação Scott.

O transformador A da figura 5.1 deve ser enrolado de forma que a tensão de fase

bifásica

•

seja igual à tensão

•

, portanto, o número de espiras do primário do

transformador A deve ser igual o número de espiras do secundário. Além disso, o

enrolamento primário do transformador A deve possuir uma derivação central, pois esta é

conectada ao transformador B para que seja possível a obtenção da tensão

•

com

defasagem de 90 graus em relação à tensão

•

e com mesma amplitude para que o sistema

seja balanceado.

Para que a tensão

•

esteja a 90 graus da tensão

•

, portanto, também a 90 graus

•

é necessário que:

(

)

ecec

V30senV

•••

=⋅=

(5.1)

()

ecec

V30cosV

•••

=⋅=

(5.2)

Da equação (5.2) e da figura 5.1 concluí-se que se o transformador B for enrolado com

o mesmo número de espiras no secundário e no primário o módulo da tensão

•

será

vezes maior que o módulo da tensão

•

, pois

eob

••

. Por conseguinte, o número de

espiras do secundário do transformador B dever ser

o número de espiras do primário.

Logo, para que as tensões

•

tenham a mesma amplitude e estejam defasadas

de 90 graus, o número de espiras do primário do transformador A deve ser igual ao número de

espiras do secundário, além disso, o número de espiras do primário do transformador B deve

ser

2/3 vezes o número de espiras do secundário (34). O ponto o, como mostrado na figura

5.1, é a derivação central do primário do transformador A.

Quando for necessário variar o módulo da tensão bifásica basta colocar um

transformador regulador de tensão na entrada do sistema trifásico, desta forma, tem-se uma

variação da tensão bifásica proporcional à tensão trifásica.

100

5.3 Parametrização do MIBS

Esta seção é dividida em dois tópicos. O primeiro trata do teste de rotor travado que é

feito para encontrar, de maneira aproximada, os valores das reatâncias de dispersão do estator

e rotor e também a resistência do rotor. Já o teste do motor em vazio possibilita encontrar, de

maneira aproximada, o valor da reatância de magnetização. Os dois testes são realizados com

base no circuito de regime permanente do MIBS. A figura 5.3 mostra o circuito equivalente

de regime permanente para o MIBS. Todos os parâmetros são referenciados ao estator.

•

Figura 5.3 – Circuito equivalente de regime permanente do MIBS.

5.3.1 Ensaio de Rotor Travado

Este ensaio é análogo ao teste de curto-circuito realizado em um transformador. Neste

teste o eixo da máquina é preso de forma a não girar quando a tensão é aplicada, assim, a

velocidade do rotor é nula, consequentemente, o escorregamento tem valor unitário (35). As

grandezas a serem medidas neste ensaio são as potências ativas e as correntes de cada fase do

motor bem como a tensão aplicada nos enrolamentos da máquina. A figura 5.4 mostra de

maneira esquemática a montagem realizada para o ensaio de rotor travado do MIBS.

101

Fonte

de Tensão

Trifásica

Transformador

5.4 – Representação esquemática para o ensaio de rotor travado do MIBS.

Nas condições de rotor bloqueado o valor de x

é tipicamente 25 vezes maior que

jxR

, portanto, x

poder ser desconsiderado, resultando em um circuito equivalente como

mostrado na figura 5.5.

Figura 5.5 – Circuito equivalente aproximado do MIBS na situação de rotor bloqueado.

Equacionando o circuito da figura 5.4 é possível escrever que:

(

)

2121rb

xxjRRZ

(5.1).

O valor da resistência do estator (R

) poder ser medida diretamente com um

ohmímetro. Com os valores medidos da potência ativa e conhecendo-se R

é possível

encontrar a resistência do rotor através das equações 5.2, 5.3 e 5.4.

21rb

PPP

(5.2)

= (5.3)

102

R −=

(5.4)

A soma da reatância de dispersão do estator e do rotor é obtida através da equação 5.5.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=+ (5.5)

A parcela a ser considerada separadamente da indutância de dispersão entre rotor e

estator depende do projeto da máquina, entretanto, na maioria dos casos este dado não é

conhecido. Como regra geral as parcelas são divididas igualmente, ou seja:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(5.6)

5.3.2 Ensaio do Motor em Vazio

O ensaio do motor em vazio é análogo ao ensaio de circuito aberto do transformador

(35). Neste ensaio é aplicada tensão nominal do motor sem nenhuma carga no eixo. As

potências, correntes e tensão aplicada são medidas da mesma forma que no ensaio de rotor

travado.

Fonte

de Tensão

Trifásica

Transformador

Figura 5.6 – Representação esquemática do ensaio em vazio do MIBS.

103

Quando o motor trabalha sem carga o fator de potência é muito baixo, portanto, a

corrente é predominantemente reativa. Além disso, com o motor em vazio R

é muito menor

()

ss1R

− , desta forma a perda do cobre no rotor pode ser negligenciada. Com estas

considerações o circuito equivalente para o ensaio em vazio é mostrado na figura 5.7.

Figura 5.7 – Circuito equivalente aproximado do MIBS operando em vazio.

Como R

é muito menor que

é possível escrever que:

= (5.7)

+≅=

(5.8)

−=

(5.9).

5.3.3 Ensaio do MIBS

Foi utilizado um motor bifásico simétrico com um par de pólos para montagem de

rotor travado e em vazio. Os valores do ensaio de rotor travado e em vazio são mostrados a

seguir.

Ensaio de rotor travado: V

= 90 V, P

= 80 W, P

= 125 W, I

= 2,13 A, I

= 2,0 A.

104

Ensaio em vazio: V

= 127 V, P

’

= 24 W, P

’

= 30 W, I

’

= 0,50 A, I

’

= 0,462 A,

rad/s 372,8rpm 3560

mec

==ω .

Com os valores do ensaio de rotor travado e com as equações 5.2 a 5.6 é possível

calcular os valores da resistência do rotor e da indutância de dispersão do estator e rotor.

W 20512580PPP

21rb

+= (5.10)

A 065,2

0,213,2

(5.11)

Para calcular a resistência de rotor é necessário conhecer a resistência do estator como

mostra a equação (5.4). Com o ohmímetro foi encontrada uma resistência de estator igual a

aproximadamente 9,17 , portanto, a resistência de rotor é calculada a seguir.

Ω=−=−= 41,1417.9

)065,2(2

205

(5.12)

Como regra geral as parcelas das reatâncias de dispersão, do estator e rotor, são

divididas igualmente, ou seja:

()

Ω=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

== 18,18

065,22

205

065,2

(5.13).

Dividindo-se o valor da equação (5.13) por 2.60 são encontrados os valores da

indutância de dispersão do estator e rotor l

= l

= 0,0482 H.

Com os valores do ensaio do motor em vazio e com as equações 5.7 a 5.9 é possível

calcular a reatância de magnetização.

A 48,0

462,0503,0

(5.14)

Ω==+≅=

5,187

48,0

(5.15)

Ω=−=−=

32,16918,185,187x

(5.16)

105

Dividindo-se o valor de x

por 2.60 encontra-se o valor da indutância mútua de 0,45

A seguir é apresentado um sumário dos parâmetros elétricos do motor.

= 9,17  R

= 14,14 

= l

= 0,0482 H M = 0,45 H

5.3.4 Parâmetros Mecânicos

Além dos parâmetros elétricos, foram estimados o momento de inércia e o coeficiente

de atrito viscoso da máquina, que são os parâmetros mecânicos utilizados no modelo. Para o

cálculo do momento de inércia o rotor foi considerado como um cilindro de raio R

e massa

. Tendo sido o raio do cilindro medido bem como sua massa o momento de inércia do rotor

(J) é dado por:

()

mkg 106726,003475,0114,1

⋅⋅=⋅==

−

(5.17).

Com os dados do motor operando em vazio é possível estimar o atrito viscoso.

Quando o motor esta operando em vazio a potência ativa de entrada é usada para suprir três

perdas: a perda no cobre do estator, a perda no núcleo do estator e as perdas rotacionais.

Normalmente não há dados sobre as perdas no núcleo e as perdas rotacionais, desta forma, as

mesmas são consideradas iguais.

(

)

rot1

vrotn1

v21v

PRI2PPRI2PPP +⋅=++⋅=+= (5.18)

mecdrot

kP ω= (5.19)

Substituindo a equação (5.19) na equação (5.18) é possível obter-se uma estimativa do

coeficiente de atrito viscoso.

106

()

s/radmN 10179,0

8,372

17,948,0

3024

mec

⋅⋅⋅=

⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

(5.20)

5.4 Resultados Experimentais e Teóricos

Nesta seção serão apresentados os resultados oriundos do acionamento do MIBS

operando sob tensão balanceada e desbalanceada. Os resultados experimentais obtidos são

comparados com os resultados teóricos. Na simulação optou-se por utilizar os valores das

tensões reais aplicadas nos enrolamentos da máquina ao invés de senóides perfeitas, uma vez

que os valores das tensões aplicadas foram armazenados com o auxílio de um osciloscópio

digital e transferidos para o computador.

5.4.1 Operação com Tensão balanceada

Para obtenção da tensão bifásica balanceada foi montado um arranjo com dois

transformadores conhecido como ligação Scott como mostrado na figura 5.1. Para controlar a

amplitude da tensão foi utilizado um variac trifásico conectado com o arranjo dos

transformadores. A seguir nas figuras 5.8 e 5.9 são apresentados os gráficos das tensões

aplicadas aos enrolamentos do MIBS. As tensões aplicadas foram coletadas com um

osciloscópio digital da marca Tektronix modelo TDS 3034B com quatro canais. Os pontos

coletados foram transferidos para o computador e desenhados com o software Matlab. As

figuras 5.8 e 5.9 mostram as tensões balanceadas aplicadas no MIBS.

As figuras 5.10 a 5.13 mostram as correntes experimentais e simuladas nos

enrolamentos do MIBS.

107

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-200

-150

-100

-50

100

150

200

Tensão aplicada no enrolamento a do MIBS

Tempo [s]

Tensão [V]

Figura 5.8 – Tensão aplicada no enrolamento a do MIBS.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-200

-150

-100

-50

100

150

200

Tensão aplicada no enrolamento b do MIBS

Tempo [s]

Tensão [V]

Figura 5.9 – Tensão aplicada no enrolamento b do MIBS.

108

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-4

-3

-2

-1

Corrente teórica no enrolamento a do MIBS

Tempo [s]

Corrente [A]

Figura 5.10 – Corrente teórica no enrolamento a do MIBS operando com tensão balanceada.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-5

-4

-3

-2

-1

Corrente experimental no enrolamento a do MIBS

Tempo [s]

Corrente [A]

Figura 5.11 – Corrente experimental no enrolamento a do MIBS operando com tensão balanceada.

109

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-5

-4

-3

-2

-1

Corrente teórica no enrolamento b do MIBS

Tempo [s]

Corrente [A]

Figura 5.12 – Corrente teórica no enrolamento b do MIBS operando com tensão balanceada.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-5

-4

-3

-2

-1

Corrente experimental no enrolamento b do MIBS

Tempo [s]

Corrente [A]

Figura 5.13 – Corrente experimental no enrolamento b do MIBS operando com tensão balanceada.

110

5.4.2 Operação com Tensão Desbalanceada

Para obtenção da tensão bifásica desbalanceada foi montado um arranjo com dois

transformadores da mesma maneira como mostrado na figura 5.1. Entretanto, para controlar a

amplitude de uma das tensões defasadas de 90 graus foi necessário conectar um variac

monofásico como mostra a figura 5.14.

Transformador

Variac

Trifásico

Variac

Monofásico

Figura 5.14 – Ligação Scott com variac monofásico para controle da amplitude de tensão.

Foi aplicada no enrolamento a

do MIBS uma tensão de 127 V enquanto que no

enrolamento b

foi aplicada metade da tensão do enrolamento a. As figuras 5.15 e 5.16

mostram as tensões desbalanceadas aplicadas em cada enrolamento do MIBS.

Da mesma forma que no caso balanceado as tensões aplicadas foram coletadas com

um osciloscópio digital da marca Tektronix modelo TDS 3034B com quatro canais. Os pontos

coletados foram transferidos para o computador e desenhados com o software Matlab. As

figuras 5.17 a 5.20 mostram os resultados teóricos e experimentais para as correntes nos

enrolamentos a

e b do MIBS.

111

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-200

-150

-100

-50

100

150

200

Tensão aplicada no enrolamento a do MIBS

Tempo [s]

Tensão [V]

Figura 5.15 - Tensão desbalanceada aplicada no enrolamento a do MIBS.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-100

-80

-60

-40

-20

100

Tensão aplicada no enrolamento b do MIBS

Tempo [s]

Tensão [V]

Figura 5.16 - Tensão desbalanceada aplicada no enrolamento b do MIBS.

112

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-4

-3

-2

-1

Corrente teórica no enrolamento a do MIBS

Tempo [s]

Corrente [A]

Figura 5.17 – Corrente teórica no enrolamento a do MIBS operando com tensão desbalanceada.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-5

-4

-3

-2

-1

Corrente experimental no enrolamento a do MIBS

Tempo [s]

Corrente [A]

Figura 5.18 – Corrente experimental no enrolamento a do MIBS operando com tensão desbalanceada.

113

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

Corrente teórica no enrolamento b do MIBS

Tempo [s]

Corrente [A]

Figura 5.19 – Corrente teórica no enrolamento b do MIBS operando com tensão desbalanceada.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

Corrente experimental no enrolamento b do MIBS

Tempo [s]

Corrente [A]

Figura 5.20 – Corrente teórica no enrolamento a do MIBS operando com tensão desbalanceada.

114

5.4.3 Conclusão

Quando o MIBS alcança o estado de regime permanente o modelo produz uma

resposta com amplitude maior do que realmente ocorre na realidade, seja no caso em que o

motor opera com tensão desbalanceada ou balanceada. Entretanto, quando o motor está em

regime transiente a constatação anterior não é válida. De fato, observa-se o oposto do regime

permanente, ou seja, a resposta produzida pelo modelo teórico é menor que o resultado

observado na prática. Porém, as conclusões anteriores não podem ser generalizadas para as

máquinas de indução bifásicas em geral uma vez que foram realizados ensaios somente com

um motor.

É importante ressaltar que o método utilizado na parametrização do motor de indução

bifásico é o mesmo utilizado na modelagem de motores de indução trifásicos que foi adaptado

do ensaio para parametrização do transformador. Este método é usado de maneira corriqueira

sem maiores questionamentos. Existem estudos que foram realizados visando melhorar a

predição do modelo do motor de indução monofásico (36) e (37), que é um motor de indução

bifásico assimétrico, entretanto, nenhuma discussão é realizada a respeito de quais são as

conseqüências no regime transiente mediante as modificações introduzidas nos métodos

propostos. Por outro lado, foram realizados estudos para melhorar a predição dos resultados

dos modelos do motor de indução trifásico no regime permanente e transiente (38) e (39),

entretanto, estes estudos introduzem modificações nos ensaios do motor e maior

complexidade na modelagem e nos cálculos. Portanto, investigar quais os métodos de ensaio

para parametrização do motor de indução bifásico, sejam eles simétricos ou assimétricos, são

mais adequados ou que produzam melhor predição em regime transiente e/ou permanente

consiste em mais uma frente de pesquisa que pode ser desenvolvida em trabalhos futuros.

115

Capítulo 6

Conclusão Final e Proposta de Continuidade

6.1 Conclusão Final

Modelar o MIBS com vetores espirais ou com a transformação dq0 levou aos mesmos

resultados de velocidade, torque e corrente como esperado. Entretanto, quando é utilizada a

modelagem com vetor espiral é possível representar o MIBS através de um circuito elétrico

equivalente que é válido tanto para o regime permanente quanto para o regime transiente.

Notadamente este circuito elétrico equivalente é o mesmo circuito usado nas abordagens

clássicas de regime permanente.

Com a utilização da modelagem por vetores espirais é possível decompor o torque

eletromagnético em suas componentes de seqüência positiva e negativa quando o MIBS está

operando com tensão desbalanceada, uma vez que os vetores espirais permitem que o

conceito de componentes simétricas seja aplicado não somente para o regime permanente,

mas também para o regime transiente. Como resultado desta decomposição conclui-se que a

soma dos torques de seqüência positiva e negativa leva ao valor médio do torque resultante,

fato este que não pode ser observado com a modelagem através da transformação dq0, pois

esta não provê a separação das correntes em termos de suas componentes de seqüência

positiva e negativa, a não ser em regime permanente. Além disso, outra conclusão é que a

dinâmica da velocidade depende somente das componentes de seqüência positiva e negativa,

pois as oscilações de torque não produzem trabalho efetivo.

116

Outro fato que merece destaque é que as componentes de seqüência negativa das

correntes, sejam elas de rotor ou estator, possuem os valores de regime transiente muito

próximo dos valores de regime permanente, ou seja, a dependência exponencial do transiente

não é tão acentuada como nos casos das correntes de seqüência positiva.

Com relação à montagem prática, os valores de regime permanente obtidos

mostraram-se menores que os valores preditos pelo modelo teórico, entretanto, no regime

transiente a constatação foi oposta a do regime permanente, para o motor ensaiado.

6.2 Proposta de Continuidade

Como propostas de continuidade do trabalho podem ser consideradas as seguintes

etapas:

•

Aplicação da teoria dos vetores espirais na modelagem do motor de indução

monofásico operando como bifásico assimétrico;

•

Propor um circuito elétrico equivalente que seja válido para o regime

permanente e transiente para o motor monofásico;

•

Implantação de estratégias de controle baseada na modelagem com vetores

espirais aplicadas ao motor monofásico;

•

Determinação dos parâmetros da máquina de indução bifásica simétrica e

assimétrica através de outros métodos.

117

Capítulo 7

Referências

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Drive for a Single-Phase Induction Motor.

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February 1995, vol. 42, p. 17

– 24.

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Speed Single-Phase Induction Motor Drives.

IEEE ISIE,

20-23 June 2005, vol. 1, p. 43 – 48.

(4) CORRÊA, M. B. R.; JACOBINA, C. B.; LIMA, A. M. N.; SILVA, E. R. C. A Novel DC

Chopper Drive for a Single-Phase Induction Motor.

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July 2002, vol. 17, p. 517 – 523.

(5) BLAABJERG , F.; LUNGANU, F.; SKAUG, K.; TONNES, M. Two-Phase Induction

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Industrial Applications Magazine,

July/August 2004, vol. 10, p. 24 – 32.

(6) CHOMAT, M.; LIPO, T. Adjustable-Speed Single-Phase IM Drive With Reduced

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May/June 2003, vol. 39,

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(7) COLLINS, E. R. Torque and Slip Behavior of Single-Phase Induction Motors Driven from

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IEEE Transactions on Industry Applications,

May/June 1992,

vol. 28, p. 710 – 715.

(8) TOMASELLI, L. C.; LAZZARIN, T. B.; MARTINS, D. C.; BARBI, I. Drive for

Symmetrical Two-Phase Induction Machine using Vector Modulation.

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IEEE ISIE,

20-23 June 2005, vol. 3, p. 923 – 928.

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