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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA
ANDREIA JULIO DE OLIVEIRA
O ENSINO DOS LOGARITMOS A PARTIR DE UMA
PERSPECTIVA HISTÓRICA
Natal – RN
2005
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ANDREIA JULIO DE OLIVEIRA
O ENSINO DOS LOGARITMOS A PARTIR DE UMA
PERSPECTIVA HISTÓRICA
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática, da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, como
exigência para obtenção do grau de Mestre
em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática.
Orientadora: Profª Drª Arlete de Jesus Brito
Natal RN
2005
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Catalogação da publicação. UFRN/Biblioteca Setorial do Centro de
Ciências Exatas e da Terra
Oliveira, Andréia Julio de
O Ensino dos logaritmos a partir de uma perspectiva histórica/Andréia
Julio de Oliveira.- Natal, RN, 2005.
123 p.
Orientador: Arlete de Jesus Brito.
Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-graduação em
Ensino de Ciências Naturais e Matemática.
1. Matemática História Tese. 2. Logaritmo Tese. 3. Matemática
Música Tese. 4. História da Matemática Tese. I. Brito, Arlete de Jesus.
II. Título.
RN/UF/BCEET CDU 51(091)
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ANDREIA JULIO DE OLIVEIRA
O ENSINO DOS LOGARITMOS A PARTIR DE UMA
PERSPECTIVA HISTÓRICA
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática, da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, como
exigência para obtenção do grau de Mestre
em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática.
Natal, 10 de junho de 2005
BANCA EXAMINADORA
Profª Drª Arlete de Jesus Brito
Presidente
Prof. Dr. Antonio Miguel
1º Examinador
___________________________________________________________________
Prof. Dr. Iran Abreu Mendes
2º Examinador
5
Dedico este trabalho a meu filho, Mateus
Rocha, meu esposo, Carlos Rocha e a minha
família.
6
AGRADECIMENTOS
A Deus que iluminou o meu caminho em toda essa trajetória;
A professora Drª. Arlete de Jesus Brito, pela sua contribuição como amiga e
orientadora, pelas sugestões e pleno apoio em todo o processo;
Aos meus pais Miguel e Nasaré a quem agradeço pelo apoio e confiança;
A minhas irmãs: Zélia, Adriana, Fabiana e meus irmãos pelo apoio
incondicional durante a realização deste processo.
A minha irmã Lenise pelo apoio total, respeito e confiança no meu crescimento
intelectual e profissional;
Aos amigos que me incentivaram nessa jornada, em especial a Anilda, Maria
Marques, Regina, Rejane, Carmem, Fátima Cascudo e Ana Maria;
A Maria da Guia, Amanda, Priscila, pelo apoio durante a realização do trabalho;
Ao Professor Gilson pela amizade e contribuição na revisão do texto;
Aos alunos que participaram da pesquisa pela oportunidade que nos deram
para a realização da mesma.
7
Há pelo menos dois modos de se fazer frente à ordem
estabelecida (ou à desordem) estabelecida. Pode-se ratificá-la
como precedente de uma legitimidade, interiorizá-la como
procedente de uma racionalidade; ou, então, ao contrário,
questionar-se aqui e agora sobre esses dois atributos que,
singularmente em matéria de educação, são sempre
pressupostos consubstanciais às maneiras de fazer ou de ser.
Michelle Baquet
8
RESUMO
O presente estudo tem como objetivo apresentar uma seqüência de atividades para
o trabalho pedagógico, tendo como fio condutor a historia da matemática, buscando
a origem do conceito de logaritmos, e a relação da matemática com a música, com
o objetivo de entender qual o potencial que uma atividade sob uma perspectiva
histórica, teria no que diz respeito ao processo de ensino aprendizagem.
Para atingir esse objetivo, realizamos uma pesquisa sobre as potencialidades
pedagógicas do uso da historia da matemática. Em seguida realizamos uma
pesquisa histórica sobre os logaritmos, numa tentativa de mostrar sua relevância
histórica e a relação da matemática com a música, buscando relatar a descoberta
dessa relação, assim como abrir caminhos para o surgimento de novas pesquisas.
Realizadas as pesquisas apresentamos nossa metodologia para a análise das
atividades. Em seguida realizamos a aplicação da atividade em sala de aula.
Finalmente tendo por base as atividades realizadas e nossas pesquisas, analisamos
os resultados assim como elaboramos nossa conclusão.
Palavras-chave: História da matemática; Logaritmos; Pedagógico.
9
ABSTRACT
The present study present a sequence of activities for the pedagogical work, having
as the starting point the history of the mathematics, to seek the origin of the concept
of logarithms, and the relation of the mathematics with music, to try to understand
which is the potential that an activity, under a historical perspective, would have
concerning the teaching and learning process. To reach this objective, qe carried out
a historical research on the pedagogical potentialities of the historical use of the
mathematics, then we carried out another historical research, this time about the
logatithms, in an attempt to show its historical importance and the relation of the
mathematics with music, tryng to relate the discovery of that relation, as wel as open
new ways to other researches. Such bibliographical researches, we presented our
methodology used for the work analysis, and then we applied this work to some
students. Finally, taking into account the works that were applied to the students and
our researches,we both analyzed theresults and formulated our conclusion.
Key words: Históry of the mathematics; Logarithms; Pedagogical.
10
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 11
2 ESTUDO HISTÓRICO DOS LOGARITMOS 26
2.1 Um Breve Estudo Sobre as Regras de Prostáferese
27
2.2 A Descoberta dos Logaritmos
29
2.3 Uma Demonstração do número
e
34
2.4 Das Relações entre Matemática e Música
47
2.5 No que diz respeito à Música
50
3 METODOLOGIA 61
3.1 Dificuldades apresentadas a priori
62
3.2 Os Sujeitos
63
3.3 O Material
64
3.4 As atividades
64
3.5 Descrição das aulas
65
4 ANÁLISE 70
4.1 Quanto à Utilização da História
71
4.2 Análise das atividades
72
4.2.1 Atividades relacionando Matemática e Música
98
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 102
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 106
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 108
ANEXOS 111
11
1 - INTRODUÇÂO
Pitágoras de Samos (séc. V)
12
A realização desta pesquisa justifica-se pela inquietação de uma professora
de matemática do ensino Fundamental e Médio, há 8 anos, que percebeu algumas
dificuldades que direta ou indiretamente influenciavam o processo de aprendizagem
do conceito de logaritmos. Quais sejam:
• Que a matemática seria uma ciência estática.
Em nosso entendimento, estático seria algo que não sofre mudanças, a
matemática seria a mesma desde seus primórdios; essa concepção de matemática
apresenta-se constantemente em sala de aula, nos comentários dos alunos;
Acreditamos que isso se deve ao fato de a matemática, ser trabalhada de forma
tradicional, sem a apresentação de sua história, sua origem e os motivos que
motivaram sua criação.
• A matemática não seria feita por homens comuns e sim pessoas com
inteligência acima do normal;
O matemático, ainda que em menor grau, é visto como uma pessoa
extremamente inteligente, o que a nosso ver não se constitui uma verdade, pois
acreditamos ser essa concepção uma herança do ensino tradicional.
• A forma como o conteúdo de logaritmos é transmitido não tem nenhum
sentido a não ser trazer complicações em termos matemáticos;
Em nossa prática, os alunos apresentavam uma grande dificuldade em
compreender as operações envolvidas na aprendizagem do conceito de logaritmos,
para os mesmos era apenas um conteúdo de difícil entendimento, não conseguiam
fazer relações práticas com esse conteúdo, acreditavam ser o exponencial um pré-
requisito em sua aprendizagem.
• Quais as razões de natureza histórica para o estudo do logaritmo?
13
Quando questionado, pelos alunos, quase sempre tínhamos dificuldade em
responder tais questões para eles.
Frente a essas inquietações, verificamos que se faz necessária uma mudança
na prática pedagógica, no que diz respeito ao ensino de logaritmos, que atualmente
limita-se aos livros didáticos, e técnicas de memorização, restringindo-se à uma
análise superficial; essa constatação justificaria nossa busca por uma alternativa
para o ensino de logaritmos, o que nos coloca a seguinte questão de pesquisa: qual
o potencial de uma seqüência didática que utilize a história do logaritmo no processo
de ensino aprendizagem neste conteúdo?
Acreditamos que um estudo histórico do surgimento de um conceito é um
fator de suma importância para todos os participantes do processo de ensino
aprendizagem, por considerarmos como um enriquecimento para as aulas, assim
como acreditando ser esta uma maneira de fornecer a todos (alunos e professores)
uma visão das dificuldades encontradas na época para a construção epistemológica
de um conceito, em nosso caso o de logaritmo. Com o estudo dos obstáculos vividos
pelos matemáticos do passado, poderemos ter a possibilidade de obter algumas
explicações a respeito das dificuldades que se apresentam em tempos atuais.
Acreditamos que, alunos e professores devam ter uma formação profunda da
matemática e isso não significa apenas saber demonstrar teoremas ou trabalhar com
a linguagem matemática de modo mecânico e, sim, que além de conhecer os
teoremas, consigam fazer relações entre diferentes campos de conhecimento,
refletindo sobre os fundamentos da matemática, percebendo seu dinamismo,
utilizando diferentes sistemas de registro, entendendo que o conhecimento
matemático coloca problemas e não apenas soluções.
14
Sabemos que devido à multiplicidade de fatores que interferem no processo
de ensino-aprendizagem, não há receitas infalíveis para determinar situações que
ocorrem no cotidiano de uma sala de aula. Acreditamos que deva haver uma
interação entre a História e as ações a serem realizadas, favorecendo o surgimento
de novos rumos a um saber cada vez mais científico.
Nossa preocupação é essencialmente pedagógica, por isso recorremos a
História com uma finalidade que está diretamente direcionada para a prática
pedagógica. Uma preocupação foi a de criar situações que possibilitassem emergir
discussões para a aprendizagem do conceito de Logaritmos. Convém informar que
os problemas apresentados durante as atividades não são obrigatoriamente os
mesmos encontrados na História da Matemática, e sim uma recriação dos mesmos
ou a criação de problemas baseados na historia e na construção do conceito.
Outra preocupação foi buscar procedimentos diferentes daqueles que
atualmente possuem uma certa hegemonia no ensino de Matemática, utilizando a
História para a promoção de uma aprendizagem significativa, que segundo Morreto
(2004, p.17) é definida, Quando o ensino proporciona desenvolvimento de
habilidades e a aquisição de conhecimento, que conduzem às competências
almejadas não nos esquecendo de que há uma rede de significados, que envolve
as idéias matemáticas.
O ensino das ciências, aparentemente inquestionável, está sendo analisado
nas suas metodologias e essência, o ensino da matemática, em particular o
conteúdo de Logaritmo, não poderia ficar alheio a esse processo, que busca romper
com uma visão autoritária, meramente transmissora de informações, para uma
relação democrática e construtora de representações. Acreditamos que a História
seria um dos caminhos que nos auxiliaria nessa democratização.
15
A História como Ferramenta de Ensino
É nossa intenção utilizar a História segundo a utilização dada por Jones
(1969, p. 1-17) em seu artigo A história da matemática como ferramenta de ensino.
Segundo esse autor, o uso da história estaria como uma associação entre o
conhecimento atualizado de matemática e suas aplicações, o que levaria o estudante
a perceber a matemática como sendo uma criação humana, buscando razões pelas
quais é feita a matemática, assim como as conexões que existem entre a matemática
e as outras ciências ou conhecimentos.
Enfatizamos em nosso estudo histórico sobre os logaritmos, as necessidades
práticas, sociais, que freqüentemente servem de estímulo ao desenvolvimento de
idéias matemáticas, assim como a percepção por parte do aluno da natureza e do
papel desempenhado pela abstração e generalização na história do pensamento
matemático. Jones em seu artigo (apud MIGUEL, 1993, p.76), acredita que a
utilização adequada da história, desde que associada a um conhecimento atualizado
de matemática, poderia trazer ao estudante a percepção de que:
a) A matemática é uma ciência feita por homens;
b) De que podemos entender as razões pelas quais é feita a matemática;
c) Das conexões entre a matemática e as outras ciências;
d) De que os estímulos para as idéias matemáticas provêm de necessidades
práticas, sociais, econômicas;
e) De que a curiosidade pode levar a generalização e a extensão de idéias e
teorias;
16
f) De que as percepções com relação aos objetos matemáticos mudam e se
desenvolvem ao longo do tempo;
Miguel (1993, p. 77), em sua análise sobre o artigo de Jones (1969) assim
se expressa é na possibilidade de desenvolvimento de um ensino de matemática
baseado na compreensão e na simplificação que ele acredita realizar-se a função
pedagógica fundamental da história.
Jones (1969) acredita na existência de três categorias de porquês que devem
ser levadas em consideração por todos que se propõem a ensinar matemática:
1) Os porquês cronológicos que são as razões de natureza histórica, cultural,
casual ou outro tipo de base aceitável.
2) Os porquês lógicos que são aplicações baseadas no desejo de
compatibilizar entre si duas ou mais afirmações, não necessariamente
compatíveis.
3) os porquês pedagógicos que conforme Miguel (1993, p. 78), são aqueles
que não se incluem em quaisquer das categorias citadas anteriormente.
Seriam os procedimentos operacionais que geralmente são utilizados pelo
professor em sala de aula e que se justificariam mais por razões de ordem
pedagógica do que históricos. Seriam questionamentos feitos pelo professor
do tipo: por que você ensina o logaritmo, utilizando os exponenciais e não as
progressões aritméticas ou geométricas? As respostas poderiam ter algumas
justificativas do tipo: é mais fácil! ou é dessa forma que se encontra nos livros
didáticos! A questão tempo entre outros é fundamental.
Para Jones (1969, p. 1-17), a história não só pode como deve ser o fio
condutor que amarraria as explicações que poderiam ser dadas aos porquês.
Segundo Miguel (1993, p. 86), Jones acredita ser na defesa dessa possibilidade que
17
se revelaria o poder da história para o ensino aprendizagem da matemática baseado
na compreensão e na significação. Por exemplo, quando surgiu a primeira descrição
dos logaritmos, era pura e simplesmente uma tabela útil para simplificar grandes e
trabalhosos cálculos, como veremos no capítulo 2, sobre a história dos logaritmos.
Foram necessários muitos anos para que os matemáticos transformassem esta
tabela numa idéia muito mais complexa e usada atualmente em vários ramos das
ciências, e foi apenas com o estudo histórico, que tivemos a oportunidade de
observar que esse conteúdo era trabalhado por Napier de maneira totalmente
diferente dos dias atuais, pois privilegiou o estudo dos logaritmos sob uma ótica
geométrica, que será apresentada no segundo capítulo de nosso trabalho sobre a
história dos logaritmos.
Essa idéia não é passada aos nossos alunos, encoberta, desfigurada por
infindáveis equações e inequações, dos mais diversos tipos e que servem apenas
para ocultar, a nosso ver, as idéias fundamentais do conceito de logaritmo que são a
transformação da multiplicação em adição e a divisão em subtração. Sabemos ser
útil que o aluno aprenda a resolver equações, sistemas e inequações envolvendo
logaritmos, pois auxiliam na compreensão atual das propriedades. Mas por que não
usarmos a história para facilitar a construção deste conceito e destas propriedades?
Embora nosso trabalho tenha como objetivo usar a história como essência,
ele também é pedagógico, uma vez que sua finalidade é investigar como podemos
utilizar pedagogicamente as idéias que deram origem aos logaritmos no contexto
pedagógico, o que será exposto no capítulo 4 que discorrerá sobre as atividades
realizadas durante nossa pesquisa. Acreditamos ser dessa forma que a história da
matemática participa como ferramenta que auxiliará o professor no ensino com
18
significado e compreensão, auxiliando na construção do conhecimento matemático,
o que pode levar à compreensão da matemática como uma ciência dinâmica.
Dissensos sobre a utilização da História
Sabemos que a utilização pedagógica da história não é consensual entre os
matemáticos e educadores matemáticos. Miguel (1993), faz algumas considerações
e reflexões sobre essa não consensualidade, analisando o posicionamento dentre
outros de: André Lichnerowicz , Edwin E. Moise; Grattan-Guinnes.
Linchnerowicz (apud MIGUEL, 1993) acredita que um dos objetivos ou
necessidades é a iniciação científica contemporânea, pois observa uma defasagem
entre a matemática ensinada na escola ( 1º ciclo, 2º ciclo, 3º ciclo, 4º ciclo e Ensino
Médio) e aquela ensinada nas universidades.
[...] segundo Linchnerowicz, de um choque de concepções uma vez que o
ensino pré-universitário da matemática é tributário da concepção de
matemática precedente dos gregos, enquanto que na Universidade, a
matemática é ensinada por intermédio de uma concepção não clássica
desenvolvida nos últimos 100 anos através de trabalhos revolucionários
(apud MIGUEL, 1993, p. 86).
O problema só poderia ser resolvido com o rompimento de um ensino
tradicional, atrelado à história, para com isso chegarmos à transmissão de uma
concepção contemporânea dos conhecimentos que se pretendem ensinar (cf.
MIGUEL, 1993, p.86).
Lichnerowicz (apud MIGUEL, 1993, p. 87), concebe o histórico como não
contemporâneo epistemológico supérfluo, como podemos observar na citação
abaixo:
19
A dificuldade essencial, o obstáculo fundamental para um ensino de tipo
histórico reside no fato de que é uma característica da matemática repensar
integralmente seus próprios conteúdos, e nisso reside inclusive uma
condição essencial de seu progresso. Não pode dar-se, segundo creio, de
uma vez para sempre, uma concepção suficiente da aritmética elementar ou
da geometria elementar, uma concepção que bastaria afinar-se com as
experiências da psicologia humana. Ao contrário, devido à unidade da
matemática, o esclarecimento das noções primeiras e dos teoremas
experimenta notáveis modificações. O que antes era quase o ponto de
partida de um caminho de investigação, converte-se agora, à luz de uma
óptica nova, em um simples exercício, e vice-versa.
Para Lichnerowicz, a crença na unidade da matemática associada a uma
crença de ser a matemática uma ciência de superioridade epistemológica destroem
qualquer pretensão pedagógica de recorrer à história. Esse pensamento é apoiado
por Edwin E. Moise, na década de 60. O mesmo justifica sua opção, na crença de
que algumas partes matemáticas, que foram desenvolvidas no passado, já não
existem, pelo menos no que diz respeito ao estilo, se compararmos a forma com que
foram desenvolvidas em seus primórdios e a forma com que são apresentadas no
presente.
Frazon (2004, p.17), analisando a afirmação anterior conclui que o ensino da
Matemática nos níveis Fundamental e Médio de concepções contemporâneas com a
forma atual e acabada priva o aluno de um estudo quanto à origem e modificações
que tais conteúdos possam ter passado. Sobre esse fato Caraça (1978, p.13) afirma
que:
A ciência pode ser encarada sob dois aspectos diferentes. Ou se olha para
ela tal como exposta nos livros de ensino, como coisa criada, e o aspecto é
o de um todo harmonioso, onde os capítulos se encadeiam em ordem, sem
contradições. Ou se procura acompanhá-la no seu desenvolvimento
progressivo, assistir à maneira como foi sendo elaborada, e o aspecto é
totalmente diferente - descobrem-se hesitações, dúvidas, contradições, que
só um longo trabalho de reflexão e apuramento consegue eliminar, para que
logo surjam hesitações, outras dúvidas, outras condições.
Concordamos com Miguel (1993), quando afirma que os argumentos
apresentados por Lichnerowicz, parecem se fundamentar nas idéias de Hermam
20
Hankel, matemático alemão do século XIV, segundo o qual, ao contrário das outras
ciências, na matemática as teorias são reelaboradas não derrubadas, construindo-se
assim um novo discurso para antigas estruturas.
Esta concepção pode ser aceita, pois os núcleos temáticos sofrem sucessivas
transformações, tornando-se cada vez mais genéricos, mais abstratos e por que não
dizer, mais rigorosos.
Entretanto podemos adotar uma atitude pedagógica oposta a essa,
levantando as possibilidades de trabalhar de forma compreensiva e significativa
nessas abordagens didáticas contemporâneas; a história dará então oportunidades
para que não só professores e pesquisadores em educação matemática, mas
também aos alunos que terão a oportunidade de reinterpretar algo que ainda não
interpretaram em primeira instância.
...como podem os aprendizes da atualidade legitimar significativamente o
estilo contemporâneo se o confrontaram com os diferentes estilos que o
precederam e nem apreenderam o núcleo fundamental daquilo que
permanece e ao qual esses diferentes estilos se aplicam em última instância
(MIGUEL, 1993, p. 92).
Grattan-Guiness (apud Miguel, 1993, p. 94) argumenta sobre as dificuldades
em encontrar literatura disponível e adequada para o uso pedagógico da história da
matemática pelo menos a anterior aos dois últimos séculos. Pensamento este que é
reforçado pela constatação de ser a literatura disponível imprópria ao uso didático,
pois destacam os resultados, sem darem importância à forma de sua produção.
Em seus estudos, Miguel (1993, p. 95) acredita ser possível encarar essas
dificuldades como um estímulo para continuar as investigações nesse sentido, isso
tendo em vista não ser este um problema somente de historiadores matemáticos.
21
Outra dificuldade apresentada por Guinness, refere-se ao uso do elemento
histórico que pode ter um efeito contrário, qual seja, em vez de tornar o ensino mais
fácil , o torna-lo-ia mais dispendioso.
O terceiro obstáculo levantado por Grattan-Guinnes é de que a história da
matemática deve ser somente abordada na Universidade, nos outros níveis se
utilizaria de História satírica definida por Guinnes como sendo a história
cronológica descontextualizada de um tema, pois, para ele, justificando esse fato de
as crianças não percebem nenhum sentido no progresso histórico.
Para Miguel, (1993, p.97) se fizermos uso de História satírica desligaríamos a
matemática do seu contexto produtivo, dando ênfase pedagógica às idéias, aos
processos e métodos matemáticos; pois para o mesmo, no campo da educação
histórica, faz-se necessário entender a História como uma representação da
compreensão do passado histórico e não construída de fatos isolados.
A Utilização da História e os PCN
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, para o Ensino Médio
proposto pelo Ministério da Educação de 1999, a matemática deve ser ensinada
abrangendo aspectos formativos (desenvolvimento de pensamentos e aquisição de
atitudes), instrumental (conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a
outras áreas do conhecimento), científico (deve ser vista como um sistema
axiomático que possibilita validar intuições e da sentido a técnicas aplicadas).
Contudo, segundo esse documento, a matemática no Ensino Médio não
possui apenas caráter formativo ou instrumental mas também deve ser vista como
uma ciência, com suas características estruturais específicas. É importante que o
22
aluno perceba que definições, demonstrações encadeamentos conceituais e lógicos
têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros, servindo
para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas.
No Ensino Fundamental, os alunos devem ter tido uma aproximação de vários
campos de conhecimento matemático e que agora esses alunos estariam em
condições de utilizá-los e ampliá-los, desenvolvendo sua capacidade de abstrair,
raciocinar resolvendo problemas, investigando e analisando fatos matemáticos, por
fim, interpretando a própria realidade.
A História pode ser um recurso para conseguir o objetivo de formação acima
citado, pois seria uma saída para retirar o aluno da condição passiva. Mesmo com
algumas dificuldades, sua utilização pode tornar a aprendizagem significativa,
mobilizando o aluno e estabelecendo entre ele e o objeto de conhecimento uma
relação de reciprocidade (Cf. BRASIL, 1999, p.252 270).
A nosso ver, uma das formas significativas de se dominar a Matemática
seria retomando a sua criação, seus problemas e as suas soluções e isso somente
seria possível através da História.
23
Nossa opção: atividades que utilizam, em sua elaboração, a história da
matemática
Concordamos com Mendes (2001, p. 69) quando afirma que para o ensino da
matemática ocorrer, é necessária uma interação entre o aluno, o objeto de
conhecimento e o professor, pois dessa forma teríamos a socialização do
conhecimento, o que acreditamos ser o caminho para a internalização do
conhecimento pelo individuo. O autor afirma que a escola que orientada dessa
forma, pode tomar como base cognitiva todas as experiências prévias dos alunos;
assim como os saberes da tradição da sociedade, pois seria na escola que esses
saberes se tornariam universais, estabelecendo uma reorganização cognitiva o que
caracterizaria o processo de interação do conhecimento numa perspectiva
construtivista.
Mendes (2001, p. 70) mostra, através do esquema abaixo, que o caminho da
construção do conhecimento dá oportunidade ao aluno para o estabelecimento de
diálogo tanto com o professor, quanto com seu objeto de conhecimento,
estabelecendo uma reflexão contínua sobre o ensino dado pelo professor e as suas
experiências.
Conhecimento Aluno
Professor
Para que o ensino da matemática possa alcançar esse objetivo, a orientação do
professor é fundamental para o desenvolvimento da investigação como princípio da
aprendizagem matemática, o mesmo deve perceber a necessidade da inserção em
suas aulas de uma dinâmica de investigação, a qual deve ser vista como princípio
24
que norteará o processo educativo, ou seja, como o fator formativo dos alunos.
(cf. MENDES, 2001, p. 71).
Esse processo educativo deve basear-se no uso de atividades construtivistas
que definimos conforme Mendes (2001, p. 72), como os encaminhamentos didáticos
dado ao processo construtivista de ensino-aprendizagem, provocando a criatividade
e o espírito desafiador do aluno para construir suas idéias sobre o que pretende
aprender. O conhecimento histórico, acreditamos, pode contribuir para que os
alunos reflitam, formalizem leis matemáticas a partir de certas propriedades e
artifícios usados hoje, mas que foram construídos no passado, o que poderá dar ao
aluno a oportunidade de compreender mais amplamente essas propriedades.
A história da matemática atuaria como um elemento de motivação e geração
de habilidades matemáticas, cuja apresentação traria o esclarecimento de porquês,
matemáticos que comumente são questionados pelos alunos em quase todos os
níveis de ensino. Buscam-se com a história da matemática, os fatos e problemas
que de uma forma ou outra provocaram, discussões ou estudos; assim como o
empenho de indivíduos para que ocorresse uma organização sistemática desses
estudos.
As atividades propostas, em nossa pesquisa, procuram apresentar uma
seqüência de atividades que possam desencadear questionamentos e descobertas
por parte dos alunos. Procuramos resgatar o processo histórico de construção do
conceito de logaritmos, com o objetivo de que o aluno tivesse a oportunidade de
compreender o significado matemático dessas idéias.
Assim sendo, elaboramos uma seqüência didática objetivando:
• a ampliação do conceito de logaritmos através da historia da matemática;
25
• o estabelecimento da relação entre o logaritmo e as progressões aritméticas e
geométricas;
• a realização de comparações entre as características dos logaritmos de
bases diferentes; assim como o entendimento das condições de existência.
• o estabelecimento de correspondências entre as progressões;
• o trabalho com a linguagem matemática.
No capítulo 2, realizamos um estudo histórico sobre os logaritmos e sua
descoberta, assim como um estudo histórico sobre a ligação entre matemática e
música.
No Capítulo 3, discorremos sobre nossa proposta para introduzir o conceito
de logaritmo (metodologia), fazendo uma descrição de nossos sujeitos; do material;
das aulas, a seqüência de atividades realizadas. bem como, sugerimos atividades,
ligando logaritmo à música.
No Capítulo 4, realizamos a análise de nossas atividades através das falas
dos alunos. Por fim, no capítulo 5, apresentamos as considerações finais de nossa
pesquisa.
26
2 ESTUDO HISTÓRICO DOS LOGARITMOS
27
2.1 Um Breve estudo sobre as Regras de Prostaférese
No fim do século XVI, o desenvolvimento da Astronomia, da navegação e das
tábuas de juros, exigia longos e laboriosos cálculos aritméticos. Um auxílio a esses
cálculos, obtido ainda nessa época, foi a invenção das frações decimais, embora
ainda não fossem suficientemente difundidas. Mesmo assim, achar um método que
permitisse efetuar com presteza multiplicações, divisões, potenciação e extração de
raízes era um problema fundamental.
Segundo Hogbem (1970, p.484), as tarefas, provocadas pela expansão
comercial e pelos melhoramentos técnicos da arte de navegar (séc. XV), obrigaram
a criação de algorismos mais compactos. Desse modo se economizaria muito
trabalho, se pudessem reduzir, por exemplo, uma multiplicação a uma simples
adição, pois o algoritmo da adição é muito mais simples que o da multiplicação.
O final do século XVI, segundo Boyer (1974, p.222-227), foi um período onde
muitos estudos, sobre a trigonometria estavam sendo realizados em todas as partes
da Europa. Entre esses estudos, havia um grupo de fórmulas conhecidas como
regras de prostaférese, eram fórmulas que transformavam um produto de funções
numa soma ou diferença (daí o nome prosthaphaeresis, palavra grega que significa
adição e subtração). Eram também conhecidas como fórmulas de Werner. As
fórmulas são:
)cos()cos(2
)()(cos2
)()(cos2
)cos()cos(coscos2
BABAsenAsenB
BAsenBAsenAsenB
BAsenBAsenBsenA
BABABA
+−−=
−−+=
−++=
−
+
+
=
Na segunda metade do século XVI, a Dinamarca tornou-se um centro
cultural, que se preocupava com os problemas relacionados com a navegação.
28
Dois matemáticos dinamarqueses Wittich (1584) e Clavius (1593), este
ùltimo com a obra, O Astrolábio (1593), sugeriram o uso desse método para
abreviar os cálculos. Como pode-se observar abaixo:
( I ) sen ( A + B ) = sen A . cos B + sen B . cos
( II ) sen ( A B ) = sen A . cos B sen B . cos A
Somando-se as duas expressões:
sen ( A + B ) + sen ( A B ) = 2 sen A . cos B
ou
sen A . cos B = 1/2 sen ( A + B) + 1/2 sen ( A B ) =
1/2 [ sen ( A + B ) + sen ( A B) ]
Por exemplo, utilizando o método acima para efetuar o produto entre 0,17365
x 0,9927 temos:
Consultando a tabela Trigonométrica:
sen 10
o
= 0,17365
cos 8
o
= 0,99027
A fórmula afirma que:
sen 10
o
. cos 8
o
= 1/2 ( sen 18
o
+ sen 2
o
)
As tábuas informam que:
sen 18
o
= 0,30902
sen 2
o
= 0,03490
sen 18
o
+ sen 2
o
= 0, 34392
1/2 . ( sen 18
o
+ sen 2
o
) = 0,17196
Assim, sem cometer erro superior a um décimo de milésimo, podemos
escrever:
0,17365 x 0,99027 = 0,17196.
29
Uma das desvantagens desse método trigonométrico é a dificuldade em aplicá-
lo para produtos de mais de três fatores, sem falar na sua inutilidade para cálculo de
potências e raízes.
2.2 A Descoberta dos Logaritmos
Jost Bürgi (15521632), suíço, fabricante de instrumentos para astronomia,
matemático e inventor, e John Napier (1550 1617), um nobre escocês, teólogo
matemático e inventor, publicaram as primeiras tábuas de logaritmos. A palavra
Logarithmos é composta de duas palavras gregas, Lógos (ou razão) e Arithmós (ou
número).
Segundo Lima (1999, p.1), A influência de Napier no desenvolvimento dos
Logaritmos foi muito maior que a de Bürgi, devido a suas publicações e seu
relacionamento com professores universitários.
Existem evidências de que os trabalhos de Bürgi acerca dos Logaritmos já
estivessem em andamento desde 1588, mas a publicação dos mesmos somente
ocorreu em 1620, num livro editado em Praga, sob o título: Tábuas de
Progressões Aritméticas e Geométricas” O título da obra de Bürgi aponta para a
conexão que ele teria estabelecido entre as progressões e os logaritmos e foi
provavelmente inspirado no método de Prostaférese na simplificação de cálculos.
Essa conexão também está presente nos trabalhos de Napier (cf. MIORIM; MIGUEL,
2002, p. 47), mas Boécio (séc. IV) em seus tratados sobre a música já utilizava as
relações entre PA e PG e sob a ótica atual, podemos afirmar que ali já estavam os
primeiros rudimentos dos logaritmos. Outro matemático que esteve envolvido na
30
invenção dos logaritmos foi Briggs. Lê-se, na edição de 1631 da Aritmética
Logarítmica de Briggs (apud HOGBEN, 1970, p. 485):
Logaritmo São Números Inventados Para Possibilitar A Solução Mais
Rápida Dos Problemas Aritméticos E Geométricos [...] Por Seu Intermédio
Evitam-Se Multiplicações E Divisões Trabalhosas, E Efetuam-Se Todos Os
Cálculos Por Adição, Ao Invés De Multiplicação E Subtração Ao Invés De
Divisão. Também A Curiosa E Trabalhosa Extração De Raízes É Efetuada
Com Grande Facilidade [...] Em Suma, Todos Os Problemas, Não Só De
Aritmética E Geometria, Mas Também De Astronomia, São Resolvidos Com
Mais Simplicidade E Facilidade ...
Napier estava particularmente interessado em estudos relacionados à
simplificação de cálculos. Durante vinte anos ele teria se dedicado a trabalhos sobre
este assunto, antes da publicação de suas obras dedicadas aos Logaritmos. Nesse
período (séc. XVI), Napier pensava em seqüências de potências, que vez por outra
eram publicadas, como na Arithmetica integra de Stifel. Em tais seqüências, as
diferenças dos índices correspondiam a produtos e quocientes das próprias
potências; mas Napier observou que seqüências de potências inteiras de uma base,
como o 2, não podiam ser usadas para as computações, pois se tornariam
imprecisas.
Enquanto Napier refletia sobre este assunto, um médico, Dr. John Craig, que
numa de suas viagens havia conversado com Tycho Brahe, trouxe-lhe a informação
sobre o método de prostaférese, que era muito utilizado na Astronomia. Essa
informação encorajou Napier a publicar seu primeiro livro em 1614, intitulado Uma
Descrição da Maravilhosa regra dos Logaritmos
Em sua capa, segundo Miorim e Miguel (2002, p.48-49), aparece a
explicitação do contexto de uso dos Logaritmos, e de seu uso em uma ou outra
trigonometria, bem como em todo cálculo matemático, com uma explicação mais
ampla, mais fácil e mais livre de complicações . Essa explicitação se justifica, uma
31
vez que essa obra continha uma parte sobre trigonometria esférica, o que nos revela
o fato de que um dos propósitos de Napier estava associado às preocupações
presentes, naquele momento histórico, no que diz respeito à simplificação de
cálculos necessários à astronomia.
Conforme já foi dito anteriormente, Napier se propôs a inventar algum artifício
que facilitasse os cálculos imensos que eram feitos para construir as tábuas
trigonométricas para a Navegação e Astronomia, conseguiu atingir seu objetivo
abreviando as operações de multiplicação e divisão com a utilização dos Logaritmos.
Sua concepção de Logarithmos era baseada em uma comparação entre dois
pontos em movimento, um dos quais gera uma progressão aritmética e o outro, uma
geométrica.
Vamos utilizar um exemplo desta relação antes de analisarmos como Napier
a elaborou. Sejam as duas progressões:
Aritmética: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Geométrica: 1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...
Entre essas duas progressões, há uma relação, se consideramos os termos
da progressão aritmética como expoentes (potências) de 2, os termos
correspondentes na progressão geométrica representam a quantidade resultante da
operação indicada. Assim, 2
0
= 1, 2
1
= 2, 2
2
= 4, 2
3
= 8, 2
4
= 16, 2
5
= 32 e assim
sucessivamente, além disso, para determinar o valor do produto 2
2
X 2
3
, basta
somar os expoentes, obtendo 2
2+3
= 2
5
, que é o produto procurado. Utilizando
32
nossa notação atual, podemos escrever que rnaqb
n
c
).1(log
1
1
1
−+=
−
, como
1
1
=b
e
0
1
=a , temos que
rnqb
n
c
).1(log
1
1
−=
−
. Denominando kn
=
−
1 , teremos
rkq
k
c
.log =
.
Chamando-se 2 de base, cada termo da progressão aritmética é o logaritmo
do termo correspondente na progressão geométrica.
Napier explicou esta noção geometricamente da seguinte maneira: um ponto
S move-se ao longo de uma linha reta, AB, com uma velocidade, em cada ponto
S
1
B. Outro ponto R move-se ao longo de uma linha sem fim, CD, com uma
velocidade uniforme, igual à velocidade inicial de S. Se os dois pontos partem de A e
C ao mesmo tempo, o logaritmo do número medido pela distância S
1
B é medido
pela distância CR
1.
(Interpretação Dinâmica dos Logaritmos)
Por este método, à proporção que S
1
B diminui, seu logaritmo CR
1.
aumenta.
(cf. KASNER; NEWMAN, 1968 apud MIORIM; MIGUEL, 2002 p.50)
Em sua definição, imaginou uma situação na qual dois pontos móveis P e P,
a partir dos pontos A e A, iniciaram simultaneamente seus movimentos ao longo de
duas trajetórias retilíneas AB e A, respectivamente, como um segmento de reta
fixo igual a 10
7
(medida do raio de uma circunferência e ao longo do qual eram
determinados outros segmentos menores representativos dos senos de certos
ângulos que seriam multiplicados por 10
7
) e uma semi reta (ao longo da qual eram
S
1
B
R
1
D
33
fornecidos os logaritmos dos senos desses ângulos). (cf. MIORIM; MIGUEL, 2002, p.
50).
Napier estabeleceu que esses pontos móveis não se deslocavam com
velocidade iguais; a velocidade P, varia, em cada momento, numericamente igual à
sua distância ao ponto B. A variação da velocidade de P se dava por um coeficiente
constante igual a (1-10
7
) em cada intervalo de tempo t
∆
, escolhido
convenientemente. P’ se deslocava com velocidade constante e numericamente
igual à distância AB, isto é, a 10
7
. Com essas condições, Napier definia para cada
instante desse movimento coordenado, o logaritmo de cada um dos segmentos P
i
B
como sendo, respectivamente, cada uma das distâncias AP
i.
(MIORIM; MIGUEL,
2002, p.51).
Representando essa situação num quadro elaborada por Miorim e Miguel
teríamos:
Tempo
i
PiB
T
0
= 0 0 10
7
T
1
=10
-7
1 10
7
.(1-10
-7
)
2
T
2
= 2.10
-7
2 10
7
.(1-10
-7
)
3
Napier não tinha o conceito de base de um sistema de logaritmos, pois sua
definição era diferente da nossa, já que no caso da PG não se iniciava com 1. Para
demonstrar isso os autores supõem (p.61), por absurdo que b é essa tal base:
)10/11.(10)10/11(102)10/11(10log
)10/11(10110/11(10log
10010log
7272772277
77177
707
−==−=→=−
−==→=−
=→=
bbN
bbN
bN
b
b
b
34
Mas se modificarmos o sistema original de Napier, esse problema pode ser
contornado. Essa modificação seria dividir os termos da PA e da PG desse sistema
por 10
7
.
PG =
7
10 )10/11(10
77
−
277
)10/11(10 −
377
)10/1/1(10 ...
PA = 0
7
10/1
7
10/2
7
10/3 ...
Nesse novo sistema teríamos:
000.000.1070000002,0/27
0000001,0/1770000001,077
0
)10/11()10/11(
)10/11()10/11(10/1)10/11(log
101log
−=→−=→
−=→−=→=−
=→=
bb
bb
b
b
b
O novo sistema de logaritmos, obtido a partir de uma modificação, passa a ter
uma base única e definida
000.000.107
)10/11( − . Esse número é o inverso do número
...7182818,2
=
e tido como a base dos logaritmos naturais ou limite fundamental (Cf.
MIORIM e MIGUEL 2002).
2.3 Uma Demonstração do Número
e
O número
e
só pode ser expresso , com precisão, como o limite de uma série
infinita e convergente ou de uma fração contínua, conforme a demonstração abaixo:
Chama-se assim o
x
xx
1
1
lim
+
∞→
1) )(xf =
〈
x
1
1+
〉
x
é definida C = ]0,1[R
=
〈
x
x 1
+
X
〉
2) +
∞
é ponto de acumulação: significa que C não é limitado superiormente, pois
por definição: +
∞
é ponto de acumulação de conjunto limitado superiormente.
35
3) Se fizermos uma restrição C para N. provaremos que:
)(ng
=
n
n
〉+〈
1
1
( é a restrição de
)(xf
a N).
Aplicando o Binômio de Newton na função temos:
1) Termo
1
1
.)1.(1
00
=〉〈=
on
n
ta
2) Termo
1
1
.)1.(
!
1
11
11
=〉〈=
−
n
n
ta
n
Termo
n
nn
n
nn
ta
n
1
!2
)1.(
1
.1.
!2
)1.(
22
22
−
=〉〈
−
=
−
〉−〈=
−
=
n
n
n 1
1.
!
2
11
.
!
2
1
Último:
n
n
n
n
n
t
11
.)1.(1
0
1
=〉〈=
−
Então:
〈
n
n
n
i
n
n
n
n
1
...
1
1...
2
1.
1
1
!
3
11
1
!
2
1
11
1
1 +〉
−
−〈+〉−〈〉−〈+〉−〈++=〉+
Podemos escrever que:
)(ng =
n
1
1+〈
〉
=
∑
=
n
i
ai
0
onde:
i
a
= 1 quando i = 0
i
a =
〉
−
−〈〉−〈
n
i
n
i
1
1...
1
1
!
1
3) Cada →Nia :
R
!
1
i
ain =→
n
1
1−〈
n
2
1. −〈〉
n
i 1
1...
−
−〈〉 )(nai
=
〉
1)( =→ nan
i
〉
−
〈=〉−〈=→
n
n
n
nan
1
2
11
1.
2
1
).(
2
Então:
36
Como
)(ng
=
∑
=
n
oi
ai
e
ai
são crescentes (soma de funções crescentes)
Quando n cresce o número de termos )(ng e também cada termo de
ai
também aumentam.
4)
→
Supremo:
!
1
i
a
i
= pois
〉
−
−〈〉−〈〉−〈=
n
i
n
n
ai
1
1...
2
1.
1
1.
!
2
1
〉
−
−〈〉−〈〉−〈≥
n
i
n
n
i
i
1
1...
2
1.
1
1
!
1
!
1
Ex:
1
2
1
!
2
1
−
≤
i
P/
210
≤
→
=
i
P/
...
2
1
2
1
2
1
!
2
1
2
1
≤≤→= poisi
P/
2
2
1
!
3
1
3 ≤→=i
5) Por indução:
P/ 0
=
i é válido.
P/
1
2
1
!
1
−
≤⇒=
k
k
ki
Para
1
+
=
ki
temos:
k
k
2
1
1
1
≤
+
Então:
=
)(ng
ni
aaaaaa ......
3210
+
+
+
+
+
+
)(ng
n
n
n
i
nnn
1
...
1
1...
2
1.
1
1
!3
11
1
!2
1
11 +〉
−
−〈+〉−〈〉−〈+〉−〈++=
Obs.: Todo elemento da função é menor ou igual ao seu supremo.
)(ng
!
1
...
!
1
...
!
3
1
!
2
1
11
n
i
+++++≤
37
)(ng
112
2
1
...
2
1
...
2
1
11
−−
+++++≤
ni
6) Soma dos termos de uma PG de
2
1
1
1
=⇒= qa
n
S =
(1
1
)1(
=
−
−
q
q
ai
n
)
2
1
1.(2
1
2
1
)1
2
1
(
1
2
1
)1
2
1
(
n
n
n
−=
−
−
=
−
−
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
21
2
2
21
2
1
121
111
<−=−=−+=−+=〉−〈+−
−−− nnnnn
Mas:
g
é crescente e )1(g = 3)(22
<
≤
⇒
ng
Então: )(ng é limitado em N
∞
+
é o único ponto de acumulação.
)(ng é convergente para n tendendo a
∞
+
Então:
n
nx
〉+〈
∞→
∃
1
1
lim
e este limite está entre 2 e 3. Este limite indicamos
pela
e
e é chamado de base dos logaritmos neperianos ou naturais; seu valor
aproximado é
...71828,2
=
e
7) Calcularemos que
e
n
n
=〉+〈
1
1lim
Função maior inteiro:
)(xf kx
=
=
][ )1[
+
+
∈
kkx
Ex: 0)()1,0[
=
⇒
∈
xfx
1)()0,1[
=
⇒
∈
xfx
Obs.: Se f(x) é monotônica nas vizinhanças de
∞
+
e for não limitada
superiormente então têm-se
∞
=
)(lim xf
38
Tomando
][xt
pela observação acima:
∞
=
tlim
Ntx
∈
⇒
+∞
∈
[,1[
ntnnx
=
⇒
+
∈
[1,[
1
111
1,
+
>≥⇒+<≤∀
n
x
n
nxnx
1
1
1
1
1
1
1
+
+
>+≥+
n
x
n
1
1
1
1
1
1
1
+<+≤+
+
⇒
n
x
n
1
1
1
1
1
1
1
1
+
〉+〈<〉+〈<〉
+
+〈⇒
nxn
n
x
n
Pelo teorema do confronto
e
x
x
x
=〉+〈
∞→
1
1
lim
teremos uma idéia sobre o
valor de
e
, atribuindo valores naturais não-nulos à variável n da série:
n
n
〉+〈
1
1
2
1
1
11
1
=〉+〈⇒=n
25,2
2
1
12
2
=〉+〈⇒=n
370370369,2
4
1
13
3
=〉+〈⇒=n
44140625,2
4
1
1(4
4
=〉+⇒=n
.
.
.
59374246,2
10
1
110
10
=〉+〈⇒=n
704813829,2
100
1
1100
100
=〉+〈⇒=n
39
716923932,2
1000
1
11000
1000
=〉+〈⇒=n
718280469,2
000
.
1000
1
1000.1000
000.1000
=〉+〈⇒=n
Se continuarmos, teremos infinitos valores que se aproximam de
e
.
Atualmente, o ensino de Logaritmo não está utilizando a relação deste com
progressões, mas considera-se
,
a
,b
c
sendo três números ligados pela equação
b
a =
c
, então
,b
expoente de
,
a
é o Logaritmo na base
a
de
c
. Então, o Logaritmo
base
n
〉 de um número é a potência a que
a
deve ser elevado para obter esse
número. Abaixo tem-se as propriedades essenciais dos logaritmos:
(1)
a
log ( b x
c
) =
a
log b +
a
log
c
(2)
a
log
c
b
=
a
log b -
a
log
c
(3)
a
log b
c
=
c
x
a
log b
(4)
a
log
b =
c
1
a
log b
Vamos compará-las com as que surgem da relação de uma PA e PG,
conforme já expusemos.
Sejam as seqüências aritméticas e geométricas (no que diz respeito às
propriedades dos logaritmos) que serão descritas abaixo: (cf. MIORIM e MIGUEL,
2002, p.55 - 55).
PA : 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
PG : 1 3 9 27 81 243 729 2187 ...
• A soma de uma PA corresponde a produtos numa PG. Pois a adição de dois
termos quaisquer da PA (exemplo: 2 e 5), produz um número (no caso 7) que ocupa
uma determinada posição na PA (a 8ª posição); esta mesma posição na PG é
40
ocupada por um número (2187) que é o produto dos dois termos da PG. (9 e 243)
correspondentes aos números da PA que foram adicionados.
• A diferença na PA corresponde a quocientes na PG, pois se efetuarmos a
subtração entre dois termos de uma PA (exemplo 7 e 4), produz um número(no
caso), que ocupa uma determinada posição (a 4 posição), esta mesma posição na
PG é ocupada por um número (27) que é o quociente dos dois termos da PG (2187
e 81) correspondentes aos números da PA que foram subtraídos.
• O resultado das potencias de uma base (um termo qualquer da PG) elevada ao
expoente igual à razão da PG. (por exemplo: 9) é encontrado da seguinte forma:
multiplicar o termo da PA a ela correspondente (no caso o 2) pelo expoente (no caso
o 3); o termo da PA igual ao produto obtido (no caso o 7 termo, o número 6)
corresponde a um termo da PG (no caso 729) que é a potência procurada. Em
resumo as potências de termos da PG são obtidas mediante multiplicações dos
termos a eles correspondentes na PA pela razão da PG.
• As raízes de termos da PG são obtidas mediante divisões dos termos a eles
correspondentes na PA pela razão da PG. Podemos entender essa propriedade da
seguinte forma: Por exemplo, o termo da PG (729) é encontrado da seguinte forma:
dividir o termo da PA a ele correspondente (no caso o 6) pelo índice da raiz (no caso
3), o termo da PA igual ao quociente obtido (no caso o 3 termo, o número 2)
corresponde a um termo da PG (no caso o 9), que é a raiz procurada.
Essa análise das propriedades mostra que a intenção de Napier era construir
uma PA e uma PG particulares, cujas propriedades correlativas pudessem funcionar
como uma máquina de cálculos que viesse realizar multiplicações, divisões,
potenciações e radiciações e as adições e subtrações.
41
Logo após a publicacão dos trabalhos de Napier, grandes tábuas de
logaritmos foram logo construídas na base 10 e na base natural
e
ou neperiana.
Estas tábuas foram amplamente divulgadas o que fez com que matemáticos de toda
a Europa pudessem usar os Logaritmos pouco tempo após sua invenção.
Kepler (séc. XVI ), tomando conhecimento das tábuas de Napier, auxiliou
seu desenvolvimento; foi assim um dos primeiros da legião de cientistas que veio a
se utilizar dessa descoberta.
A segunda obra de Napier, foi publicada após sua morte em 1619, foi Uma
construção da Maravilhosa regra dos logaritmos”.
Nessas obras, os logaritmos foram concebidos dentro de um quadro
simultaneamente geométrico, cinemático aritmético, funcional e
trigonométrico. Geométrico, porque o logaritmo não aparecia como um
número puro, mas como a medida de um segmento de reta, cinemático,
porque a situação utilizada para descrever tal conceito envolvia a
coordenação de dois movimentos aritméticos, porque o mesmo conceito era
expresso por meio do relacionamento entre duas seqüências de números,
uma geométrica e outra aritmética; funcional, porque a situação cinemática
envolvia uma grandeza variando em função da outra; e trigonométrico,
porque Napier se propôs a determinar, não os logaritmos de segmentos de
retas genéricos, mas os logaritmos de segmentos de retas representativos
dos senos de certos ângulos. (cf. MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 50)
Tal relação entre Logaritmo, Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
podia ser encontrada ainda no começo do século XX, como podemos observar pela
definição de Logaritmo de um livro da época: Logaritmos são os termos de uma
Progressão arithmétrica começando por zero, correspondentes aos termos de uma
Progressão Geométrica começando pela unidade (SERRASQUEIRO, 1900, p. 320
apud MIORIM; MIGUEL, 2002).
O princípio fundamental da tábua de Logaritmos de Napier já havia sido
compreendido por Arquimedes, ou seja :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 PA
42
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
Série geradora
2 4 8 16 32 64 128 256 512 PG
Segundo o princípio de Arquimedes, se quisermos multiplicar dois números
quaisquer da série inferior, adicionamos os números correspondentes da série
superior e procuramos o número correspondente a essa soma na série inferior.
Para efetuar: 256 x 2, basta observar que:
• 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;
• 2 na segunda linha corresponde a 1 na primeira;
• como 8 + 1 = 9,
•
9 na primeira linha corresponde a 512 na segunda linha.
Assim, 256 x 2 = 512 resultado este que foi encontrado através de uma
simples operação de adição.
Segundo Hogben (1970, p. 489) - O sinal Log, posto à frente de um número
significa: Procure-se na Tábua a potência a que se tem que elevar a para obter este
número. Antilog, posto à frente de um número significa : procure-se na tábua o
valor da base quando elevada a potência representada por este número.
P = a
m
m = log
a
P
P = antilog
a
m
As regras de potenciação, foram enunciadas na Idade Média, por Oresmus,
num livro chamado Algorismus Proportionum”, publicado em 1350. Segundo
Hogben (1970, p.492), foram precisos, mais de mil anos, para que a humanidade
transpusesse o abismo existente entre a regra de Arquimedes e o segundo passo da
evolução das tábuas Logarítmicas.
43
A possibilidade de se construir tábuas de logaritmos utilizando as
propriedades de potências e PA e PG podem ser encontradas em várias obras do
século XVI, de Aritmética Comercial, segundo Hogben (1970, p. 485), Simon Jacob
teria sugerido a organização de várias destas tábuas, e pouco depois da publicação
dos Logaritmos de Napier, Jobst Bürgi, apresentava as suas tábuas de Progressões
Aritméticas e Geométricas. Estas eram em geral idênticas às demonstradas
anteriormente, a diferença era apenas a sua base, qual seja, (b = 1,0001) e
limitavam-se a aperfeiçoar as tábuas de juros compostos de Stevinus. Os dois
números básicos das tábuas modernas não foram utilizados nem por Napier nem por
Bürgi. Isto é os logaritmos de base 10 e
e
.
A publicação, em 1614 do sistema de logaritmos, teve um grande impacto.
Entre seus muitos admiradores estava Henry Briggs, o primeiro professor de
geometria de Oxford. Ele visitou em 1615, Napier em sua casa na Escócia, e discutiu
modificações no método dos logaritmos. Briggs propôs o uso de potências de dez, e
Napier concordou pois já havia pensado em usar log 1 = 0 e log 10 = 10
10
, com a
intenção de evitar frações.
Com a morte de Napier, Briggs se incumbiu de construir a primeira tabela de
logaritmos comuns (Briggsianos). Briggs, iniciou exatamente com log 10 = 1. Isso
significa, atualmente, dizer que o logaritmo decimal de uma potência qualquer de 10
era igual ao expoente, ao qual a base estaria elevada, mas como poderíamos
calcular os logaritmos entre 1 e 10?
Para construir a sua tábua com a maior precisão possível, Briggs pensou
esse número como potências de 10, cujos expoentes seriam frações próprias,
(aquelas maiores do que zero e menores do que a unidade) da forma
q
p
, como
pode ser observado abaixo:
44
Nn
10
log= nantiN
10
log=
000,1 )0,10(0000,10
8
7
875,0 →
8
7
104989,7 →
4
3
750,0 →
46
106234,5 →
8
5
625,0 →
8
4
102170,4 →
. .
. .
. .
Foi William Gardiner, no seu livro Tables of Logarithmos, quem forneceu a
primeira exposição sistemática dos Logaritmos concebidos como expoentes. Nessa
obra, o Logaritmo é definido como o índice ou expoente da potência de 10, que é
igual a esse número. Isso ocorreu entre o final do séc. XVII e início do séc. XVIII.
As primeiras tábuas de logaritmos continham imprecisões, periodicamente
denunciadas e corrigidas. Mas esse processo de cálculo era muito dispendioso, o
que incentivou pesquisas para se descobrir maneiras mais simples de se calcular
esses logaritmos. Isso deu um grande impulso ao estudo das séries infinitas.
Os primeiros logaritmos para a base e foram publicados por Speidell (1619),
ou seja, cinco anos após a publicação da primeira obra de Napier sobre logaritmos.
O valor e presta-nos, ainda, inestimável serviço, permitindo-nos obter uma série
ilimitada para representar o seno e o co-seno dos ângulos, simplificando assim a
construção de tábuas trigonométricas precisas e aplicáveis à astronomia, à geodésia
e à navegação.
45
Os dois sistemas de logaritmos nas duas bases, 10 e
e
(as bases de Briggs e
natural respectivamente), são os principais ainda em uso. no caso da base
e
,
convém lembrar que possui certas propriedades singulares de valor nos ramos da
Matemática, particularmente o cálculo, por causa da relação entre funções
logarítmicas e exponencial, é a base natural dos sistemas logarítmicos. Como
π
, o
número
e
é transcendental (
π
é transcendental, porque não é raiz de nenhuma
equação algébrica com coeficientes inteiros. O trabalho de George Cantor com os
infinitos provou que, de todos os números em Matemática, os transcendentes são os
mais comuns). A primeira demonstração de que
e
é transcendental foi feita pelo
matemático francês Hermite, em 1873, nove anos antes de aparecer a
demonstração de Lindemann do caráter transcendental de
π
Nenhuma outra constante matemática é tão utilizada nem mesmo o
π
, para
a resolução de problemas nas mais diversas áreas de estudo. O valor de
e
é usado
em Economia, Estatística, na Teoria das Probabilidades, além da função
exponencial.
A ligação entre logaritmos e equação ou função exponencial exigiu, no plano
histórico, muito tempo e esforço para ser estabelecida. No início do séc. XVIII, o
conceito de função estava apenas no início de seu processo de desenvolvimento.
Somente após se perceber que os logaritmos, além de instrumento facilitador de
cálculos aritméticos, podiam expressar analiticamente e quantitativamente
fenômenos naturais envolvendo a variação de duas grandezas interdependentes, é
que essa noção começou a ser vista como uma equação, como uma função e como
uma expressão analítica.
John Wallis (séc. XVII), e Johan Bernoulli (séc. XVII), ressaltaram a
possibilidade de definir o Logaritmo por via estritamente algébrica. Mas essa
46
concepção algébrica de logaritmo não chegou a ser formulada antes do
desenvolvimento de trabalhos sobre aplicações das propriedades dos logaritmos em
várias áreas como Ciências Náuticas, Teoria Atmosférica e Teoria da Música.
Pierre Mongoli ( 1626 1685), um padre, que ocupou a catédra de ensino em
Matemática superior, na Universidade de Bolonha, (vaga esta deixada por Cavalière
após a sua morte), realizava estudos nos mais diferentes campos de conhecimento ,
dentre os quais podemos citar as áreas de : Matemática, Medicina, Filosofia, e
Fisiologia. O interesse pela Fisiologia fez com que elaborasse um projeto, que fazia
uma associação entre Logaritmos e os sons.
Essa associação assim se resumia, segundo Naux ( l971, tomo II, p. 53 apud
MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 88) As vibrações sonoras agem sobre o tímpano
externo; os pequenos ossos as transmitem ao tímpano interno; e é desse modo que
ocorre a misteriosa transformação de um material em impressão sonora, a qual
Mongoli resume nessa frase lapidar anima ne astrae il logarithmo, isto é, a alma
absorve os logaritmos. O que mostra Segundo Miorim e Miguel (2002, p. 88), isso
mostra que se falarmos em linguagem atual, os logaritmos estariam conectados com
o número de vibrações por segundo e uma onda sonora. Mas, a relação entre a
matemática e sons é muito mais antiga, tendo se iniciado com estudos pitágoricos.
Como veremos nos próximo tópico.
47
2.4 Das Relações entre Matemática e Música
Desde a Antiguidade, a música fazia parte do programa de artes liberais,
porém, ora a tradição relacionava-a à gramática, ora às matemáticas. Cicero (De
oratore, I, 187 e III, 127 apud BRITO, 1999, p. 107) inseria a música na matemática.
Agostinho (séc. IV) em seu De Ordine (l. 2, XIV E XV, apud BRITO, 1999, p 107),
relacionava explicitamente a gramática e a música.
Segundo Lintz, (2002, p. 93), Arquitas de Tarento, viveu na primeira metade
do século IV a.C. e, portanto foi contemporâneo de Platão. Seus interesses eram
muito amplos e incluíam não só a matemática, como a física, a música, entre outros
saberes. Foi o primeiro a sistematizar o estudo da proporção aritmética, geométrica
e harmônica. Para Arquitas, a fusão entre a música e a matemática é perfeita, como
pode ser observado abaixo:
Há três proporções em música: a aritmética, a geométrica e em terceiro lugar,
a contraposta, assim chamada harmônica. A aritmética, quando três termos
se manifestam de modo análogo à seguinte diferença: o segundo supera
tanto o primeiro quanto o terceiro supera o segundo. E, nesta analogia,
percebe-se que a relação dos termos maiores é menor e a dos menores é
maior. A geométrica, quando o primeiro termo está para o segundo como o
segundo para o terceiro. As maiores guardam as mesmas relações que as
menores. A contraposta assim chamada proporção harmônica, quando (os
termos) se comportam da seguinte maneira: quanto da própria grandeza, o
primeiro termo supera o segundo, tanto o médio supera o terceiro. Nesta
analogia, a relação dos termos maiores á maior, a dos menores, menor.
(LINTZ, 2002, p. 93).
Assim, como vemos, para Arquitas, a teoria das proporções era parte da
música bem como da geometria, isto é, as relações entre as grandezas geométricas
deveriam estar associadas às relações entre sons (LINTZ, 2002, p. 93).
Para entender melhor essa inter-relação, é preciso analisar uma experiência
que foi fundamental para a consolidação ou, por que não dizer, para a descoberta
48
inicial, que explicitou o relacionamento entre Matemática e Música, experiência esta
atribuída à Pitágoras (séc.v), que teria se utilizado de um monocórdio, um
instrumento composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos
sobre uma prancha ou mesa possuindo, ainda, um cavalete móvel colocado sob a
corda para dividi-la em duas seções. Pitágoras teria observado que, pressionando
um ponto situado a ¾ do comprimento em relação à sua extremidade (reduzi-la a ¾
do tamanho original) e tocando a seguir, ouvia-se uma quarta acima do emitido pela
corda inteira. Do mesmo modo se exercida a pressão a
3
2
do tamanho original da
corda, ouvia-se uma quinta acima e se exercida pressão a ½ obtinha-se a oitava do
som original, ou seja, se considerarmos, por exemplo, uma corda de violão de 60cm
de comprimento, distendida ao máximo e deslocarmos sua posição inicial, a corda
emitirá um som, num determinado tom.
Supondo, que só a metade da corda (30cm) vibre, um novo tom será ouvido,
ou seja, uma oitava harmônica acima da primeira; quando só
3
2
da corda vibrarem
(40cm), o tom será uma quinta harmônica (quinta nota ascendente) acima do
primeiro tom considerado. A importância desse fato para Pitágoras era que os novos
tons eram relacionados com o original por meio de frações.
Pitágoras notou que os intervalos mais harmoniosos correspondiam aos de
fração simples. Por exemplo,
3
2
(quinta harmônica) era mais harmônica que
9
8
(segunda harmônica) pois segundo os pitagóricos (OLIVEIRA, [s.d.], p.163) A
harmonia de um tom é expressa pela simplicidade de sua razão. E por esse motivo
razão, os pitágoricos destacavam entre todos os tons a oitava, a quinta e a quarta
(
2
1
,
3
2
,
4
3
) e consideravam-as harmônicas perfeitas.
Embora certamente não tenham sido os pitágoricos, os primeiros a
observarem que a vibração de uma corda tencionada é capaz de produzir sons
49
variados, pode-se observar aspectos puramente numéricos, nesta experiência, com
o monocórdio como foi descrita anteriormente.
Esse pensamento influenciou Pitágoras na sua teoria sobre o Universo. Para
ele o Universo se achava dividido em três esferas, cujos raios se encontravam em
proporções:
2
1
,
3
2
,
4
3
. Era a Harmonia das Esferas. A primeira era constituída pela
Terra e pela Lua; a segunda, pelos céus móveis limitados pelas estrelas fixas, e a
última correspondia à morada dos Deuses O Olimpo. Essas esferas quando em
movimento emitiriam sons inaudíveis pelos humanos.
Esse pensamento se relacionava tão bem com a teoria musical dos intervalos
musicais que, para os Pitagóricos, não havia dúvida: a música era parte da
matemática. Platão, influenciado pelos pitagóricos repete no livro VII, 531c de sua
obra A República, a teoria da harmonia das esferas.
Nicômâco (séc. IV -1,3,1, apud BRITO, 1999), define a música como O
estudo dos números relativos e Boécio (Séc. VI - De Arithm I, 1, ML, 1081b. apud
BRITO, 1999), utilizou-se da mesma definição e dedicou os cinco livros de seu
tratado De Musica ao estudo das relações numéricas existentes na harmonia
musical. No século VI, Boécio (OLIVEIRA , ([s.d.], p.161) realizou estudos acerca
das teorias pitágoricas. Alguns autores afirmam que os trabalhos de Boécio
constituíam uma importante fonte a partir da qual os europeus na Idade Média
puderam obter informações sobre a ciência Grega. Outros autores, porém,
acreditam que os trabalhos de Boécio sobre a música não foram conhecidos.
Numa de suas traduções, Boécio, nos seus comentários, introduziu uma nova
terminologia.
proportia dupla para
2
1
proportia sesquialtera para
3
2
50
proportia sesquitertia para
4
3
Dividia a Música ainda em música mundana (música do mundo) , Música
Humana e Música instrumentalis (quando a música estivesse subordinada ao
canto, de modo que o instrumento seguia a mesma linha melódica que a voz).
A concepção pitágorica permaneceu na música por mais de 2000 anos,
sofrendo modificação no século XVII com a necessidade de um sistema que
concedesse aos músicos a liberdade para tocar despreocupados com possíveis
distorções. Nessa época, o logaritmo passou a ser usado na escala musical.
Segundo Miorim e Miguel, (2002, p.134), Os logaritmos estão envolvidos na
definição e na expressão ou quantificação do que em Acústica se denomina nível de
intensidade sonora (b). Para analisar as relações entre a matemática e a música,
precisaremos de alguns conceitos utilizados nesta última. Assim, a seguir
discorreremos sobre tais conceitos.
2.5 No que diz respeito à Música
Na música, são usados sons regulares, alcançados em instrumentos com
notas definidas, por exemplo: o piano, mas também instrumentos de sons irregulares
alcançados em instrumentos de percussão, como: o tambor.
As principais características do som são: Altura (determinada pela freqüência
das vibrações); Duração (determinada pelo tempo de emissão do som); Intensidade
grau do volume sonoro e Timbre (considerado a cor do som de cada instrumento
ou voz, é derivado da intensidade dos sons harmônicos que acompanham os sons
principais) (MED, 1996, p. 12).
51
É preciso fazer uma distinção entre os conceitos de intensidade de som e
altura de som. Intensidade é o maior ou menor volume com que o som se
manifesta. Como exemplo: quando ligamos uma televisão e aumentamos seu
volume apertando um botão. Já a altura não está relacionada com a intensidade
propriamente dita, como se poderia pensar à primeira vista. O som é mais alto ou
mais agudo, quanto mais alta for a sua freqüência.
Os sons com os quais podemos criar nossas músicas constituem o que
chamamos de escala musical. Podem ser definidos a partir de relações
matemáticas muito precisas e, quando combinados de determinadas maneiras,
podem produzir resultados agradáveis aos nossos ouvidos. Estas relações
matemáticas, junto com as características das vibrações sonoras, são a base da
harmonia.
As oscilações produzidas pelas vibrações de um corpo (ex: corda de violão),
propaga-se pelo ar, sob a forma de ondas, e atingem nosso ouvido. O ouvido
humano só pode perceber como sons as ondas que tenham de 20 oscilações por
segundo até 20.000 oscilações por segundo. Dentro da faixa dos sons audíveis,
aqueles que têm oscilações mais baixas (20 a 200 oscilações por segundo) são
chamados graves, enquanto os que têm oscilações mais altas (5.000 a 20.000) são
chamados de agudos; os sons na faixa intermediária são chamados médioscomo
afirma RATTON (2002 p. 34).
Segundo Miorim e Miguel (2002, p. 134), a intensidade I de uma onda sonora
é definida, em acústica, como a energia E que atravessa uma área S num intervalo
de tempo t, isto é:
t
S
E
I
∆
=
52
No terreno da acústica, estabelece-se que a freqüência f do som emitido por
uma nota musical qualquer da escala cromática de um piano por exemplo,
o dó, quando tomamos a freqüência n do dó mais grave como referência,
varia do seguinte modo em relação às altura ou tonalidades dos vários sons
emitidos por essa mesma nota musical, quando tomada as oitavas
sucessivas. (MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 140).
Altura (a) de uma nota musical Freqüência ( f ) do som emitido
(número de vibrações emitidos por unidade de tempo)
Dó mais grave tomado como referência ......................n. 2
o
= n
Dó uma oitava acima (1ª oitava) ..................................n. 2
1
= 2n
Dó duas oitavas acima (2ª oitava). ..............................n. 2
2
= 4n
Dó três oitavas acima (3ª oitava)..................................n. 2
3
= 8n
.......................................................................................................
Dó m oitavas acima (m - ésima oitava) .......................n.2
m
= 2
m
. n
( MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 140)
Percebe-se que enquanto a altura vária de acordo com uma PA de razão 1, a
freqüência desse mesmo som vária de acordo com uma PG de razão 2. Em
linguagem logarítmica, a altura do som emitido por uma nota, medindo-se intervalos
musicais de oitava acima da nota tomada como referência, no caso o Dó, é igual ao
logaritmo de base 2 de sua freqüência, ou seja: a = log
2
f, onde a é a altura e f a
freqüência.
Segundo Gaspar (2002, p. 66), o gráfico abaixo mostra as regiões em que o
ouvido humano é capaz de ouvir sons. Ele apresenta o nível de intensidade em
decibéis no eixo das ordenadas e a freqüência do som emitido (e percebido) nas
abcissas a partir de avaliações estatísticas.
53
Considerando que a nossa sensação auditiva, é muito subjetiva (não há
como medi-la), define-se outra grandeza relacionada à intensidade sonora, voltada
especificamente ao ser humano. Chamaremos como Gaspar, de nível de
intensidade
B
, istó é intensidade sonora média percebida pelo ouvido humano. A
definição dessa grandeza e da unidade correspondente é baseada em padrões
fisiológicos médios. Admite-se que a intensidade sonora mínima percebida pelo ser
humano seja, em média,
212
0
/10 mwI
−
=
para a freqüência de Hz1000 . A intensidade
B
varia em escala logarítmica de base 10.
Em matemática, essas condições traduzem-se na definição do nível de
intensidade sonora
B
:
=
I
Intensidade sonora do fenômeno
0
log.10
I
I
B = =
0
I Intensidade sonora padrão =
212
/10 mW
−
54
Tendo em vista o caráter pouco prático das pequenas quantidades envolvidas
na definição do nível de intensidade sonora, assim como a dificuldade de se operar
matematicamente com as mesmas, resolveu-se utilizar o logaritmo de base 10, pois
com sua utilização, os níveis de intensidade puderam ser expressos em diferentes
situações de maneira mais usual e intuitiva.
Se substituirmos na fórmula anterior os valores de I respectivamente, pelos
limites inferior e superior de intensidades sonoras audíveis pelo ouvido humano
compreendidos entre 10
-12
W/m
2
até 1 W/ m
2
e considerando os valores de
B
como
unidade o decibel teremos:
B
= 10 log (10
-12
/ 10
12
) = 10 log 1 = 0 dB
B
= 10
log
(1 / 10
12
) = 10 log 10
12
= 120 dB
Dessa forma, segundo Miorim e Miguel, (2002, p. 136) os níveis de
intensidade sonora associados aos diferentes fenômenos sonoros audíveis pelo ser
humano variam de 0 db a 120 db, o que não significa que não existam situações que
produzam níveis de intensidade sonora superiores ou inferiores a esses limites.
Como explicado anteriormente, a função que o logaritmo desempenha na
fórmula que expressa o nível de intensidade sonora de um fenômeno é expressar a
razão entre quantidades diferentes relativas a uma mesma grandeza Ele constitui
uma entidade representativa da ordem de grandeza que subsiste entre essas
quantidades. O coeficiente 10, no entanto, foi introduzido com o propósito de se
evitar o surgimento de números decimais na expressão dessa grandeza, uma vez
que, na prática, é suficiente que ela seja expressa somente até a primeira casa
decimal (cf. MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 136 - 137).
Na música, existem escalas diferentes, utilizadas em obras musicais que se
utilizam de pequenas frações matemáticas A escala segundo Oliveira ([s.d.], p.162),
55
chamada de Zarlim, ou escala natural, representa os intervalos, em números
fracionários:
Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Do
1
8
9
4
5
3
4
2
3
3
5
8
15
2
Os números, nessa escala, exprimem a razão das freqüências, que todas as
outras notas formam com Dó. Supondo que a primeira nota, Dó, tenha freqüência 1,
obteremos para as outras notas as seguintes freqüências:
Frequência
Frequência
=
1
8
9
1
4
5
=
Frequência
Frequência
Na França, pelo Decreto de 1859, convencionou-se, para Lá, uma freqüência
de 435Hz, o que indica para dó a freqüência de 261 Hertz:
Frequência
de
5
3
1
=Do
HzHz 261435.
5
3
=
Frequência de
5
3
=Lá
Conseqüentemente:
56
261.
4
5
326 == HertzMi
261.
3
4
348 == HertzFá
261.
2
3
392 == HertzSol
261.
3
5
435 == HertzLá
261.
3
5
389 == HertzSi
Se, na escala de Zarlim, calcularmos os intervalos entre duas notas
consecutivas, encontraremos os seguintes valores:
8
9
1
8
9
==
Do
Ré
8
9
3
4
2
3
==
Fá
Sol
15
16
8
15
2
==
Si
Dó
9
10
8
9
4
5
==
Ré
Mi
9
10
2
3
3
5
==
Sol
Lá
15
16
4
5
3
4
==
Mi
Fá
8
9
3
5
8
15
==
Lá
Si
Obtêm-se assim, apenas três espécies de intervalos quais sejam,
,
8
9
,
9
10
,
15
16
que têm os nomes:
→
8
9
Tom maior
→
9
10
Tom menor
→
15
16
Semitom
57
A interação entre matemática e música está embasada também na
necessidade de solucionar o problema de Consonância, buscando fundamentos
científicos capazes de justificar esse conceito. Neste contexto, surgem distintas
explicações para Consonância e Dissonância. Entre essas explicações estão
incluídas as concepções físicas e matemáticas. A consonância proporciona uma
sensação de repouso e estabilidade, já a dissonância proporciona uma sensação de
movimento e tensão.
A Revolução Científica nos séculos XVI e XVII, possibilitou o surgimento de
interpretações e argumentações inovadoras, contrapondo-se às doutrinas
Aristotélicas à luz das quais os estudos tinham caráter fundamentalmente qualitativo.
A ciência exigia uma interpretação por fórmulas e teorias matemáticas o que levou a
música a buscar explicações mais racionais para os seus fenômenos.
A busca de um sistema que concedesse aos músicos a liberdade para tocar
despreocupados com possíveis distorções, culminou com o conceito de
Temperamento e as séries de Fourier. Mas como explicar o temperamento igual?
A escala com intervalos denominados de naturais definida por Pitágoras foi
usada durante muito tempo até a idade Média, ou seja a música dessa época ainda
era restrita a regras rígidas de composição e também de execução. Os experimentos
realizados anteriormente por chineses, indianos e helênicos já revelaram distintas
tentativas de encontrar uma distância comum nas escalas, dividindo a oitava de
modo a respeitar a afinidade harmônica, não foram suficientes. (WEBER, p.129-130
apud ABDOUNUR,1995, p. 83).
Com o Renascimento, uma série de novas idéias surgiram nas Artes em
geral. Na Música, os compositores tentavam ultrapassar essa rigidez imposta pela
forma com que se tocava na época. Surge então a necessidade de se transpor as
58
melodias para outras tonalidades, pois até então, uma melodia feita para a
tonalidade de dó não podia ser executada na tonalidade de fá (por exemplo), pois os
intervalos entre as notas soariam desafinados. Então, para resolver esse problema,
surge a Escala de Temperamento Igual, proposta em 1691, por Andréas
Werkmeister, que se utilizou de conhecimentos matemáticos em sua descoberta.
Essa escala atualmente chamada de escala temperada, possui doze notas ( sete
naturais e cinco acidentes), mais em vez de preservar os intervalos perfeitos (
aqueles cujas frações eram
3
2
,
4
3
... especificadas anteriormente na experiência de
Pitágoras ), essas notas foram ajustadas levemente. Werkmeister tomou o
comprimento inteiro dividiu-o exponencialmente em doze partes, baseando-se na
raiz duodécima de 2. Dessa forma a razão entre a freqüência de qualquer nota e da
sua vizinha anterior sempre será igual à raiz duodécima de 2 (aproximadamente
1,0594), o que permitiu a execução de qualquer música em qualquer tonalidade,
pois a relação entre os intervalos iguais são sempre as mesmas, não importa qual a
referência (tonalidade) que se use como pode ser observado abaixo:
QUADRO DE TEMPERAMENTO
NOTA
INTERVALO
Temperado
INTERVALO
NATURAL
DÓ 1.0000 1.0000
DO# 1,0595
RÉ 1,1225 1,1250 = 9/8
RÉ# 1,1892
MI 1,2600 1,250 = 5/4
59
FÁ 1,3348 1,3333 = 4/3
FÁ# 1,4142
SOL 1,4983 1,5000 = 3/2
SOL# 1,5874
LÁ 1,6818 1,6666 = 5/3
LÁ# 1,7818
SI 1,8877 1,8750 = 15/8
( RATTON, 2002, p. 34-35 ).
Essa nova escala foi divulgada rapidamente quando o compositor John
Sebastian Bach (séc. XVIII), escreveu o Cravo Bem - Temperado, provando com
isso que a proposta de Werkmeister não era só viável, como não comprometia de
forma alguma a qualidade e a beleza da Música , conforme aponta RATTON, (2002,
p. 34-35).
No Renascimento e início do Barroco, prosperaram temperamentos
desiguais. Mas o temperamento igual já havia sido recomendado por teóricos do
século XVII, tornando-se mais presente e recomendado por Rameau (1737) e por
Bach (1762).Os distintos temperamentos assumidos em Música ao longo dos
tempos, convergiram culturalmente para o temperamento igual assim como na
matemática, as bases numéricas convergiram para a atual base dez.
No fim da Idade Média e no início do Renascimento, a música buscava o
desprendimento de concepções melódicas (como citado acima), numa tentativa de
conquistar um caráter mais harmônico. Esse período foi dinamizado pela
emergência da chamada era polifônica, que por sua vez contribuiria fortemente
para expansão do universo musical desenvolvido por Bach. O Temperamento igual
60
era então o estabelecimento de um suporte libertador para Música e para isso a
matemática teve um papel fundamental.
Historicamente, observamos a relação entre PA, PG, logaritmos e música
assim percebemos a possibilidade de desenvolvermos o ensino de logaritmo,
relacionando-o à música. Em nosso próximo capítulo, analisaremos possíveis
atividades que utilizem a história dos logaritmos e sua relação com a história da
música.
61
3 - METODOLOGIA
62
Neste capítulo, discorreremos sobre a nossa proposta para introduzir o
conceito de logaritmo. Descreveremos a nossa população (os sujeitos), o material
utilizado assim como a sua elaboração.
Embora tenha sido realizada uma pesquisa histórica, nosso objetivo era
pedagógico, uma vez que utilizamos uma seqüência de atividades nas quais a
intenção era verificar qual o potencial de uma seqüência didática que utilize a
história do logaritmo no processo de ensino aprendizagem neste conteúdo.
Utilizamos, como instrumento para a análise, registros escritos feitos por nós
durante os encontros, a transcrição de fitas de áudio gravadas durante as aulas e os
cadernos dos alunos.
3.1 Dificuldades apresentadas à priori
Durante nossa pesquisa, acreditávamos que os alunos teriam algumas
dificuldades durante a resolução das questões. Tais dificuldades foram levantadas
a partir de nossa prática docente e a partir das dificuldades que as elaboradoras
das atividades tiveram ao estudar a história do logaritmos. Quais sejam:
• relacionar a definição histórica ao que lhe foi apresentado pelo
ensino atual;
• dar uma definição de logaritmo, associada a progressões
aritméticas e progressões geométricas;
• transpor o conceito apreendido a outras situações;
• reconhecer as propriedades quando exploradas em diferentes
contextos;
63
• compreender as condições de existência dos logaritmos;
• perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de
menor nível. Por exemplo a multiplicação em adição.
• perceber que, em sua origem histórica, o logaritmo prescindiu de
uma base e do exponencial;
• desconhecer que a base do sistema de logaritmos de Napier
aproxima-se do inverso multiplicativo de e.
• desconhecer a construção de uma tábua de logaritmos;
• trabalhar com expoente racional na representação decimal;
• relacionar os expoentes com a tábua de logaritmos construída por
eles;
• desconhecer a relação entre logaritmo e música.
3.2 Os Sujeitos
O nosso estudo foi realizado com um grupo experimental durante 7 aulas
duplas (cerca de 14h/aulas). Trabalhamos inicialmente com 5 alunos, todos
pertencentes a uma mesma turma com 22 alunos, do curso de Licenciatura em
Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), no ano de
2004. Eram estudantes do 6º semestre com idades de 41, 28, 22, 40, e 32 anos.
Esses estudantes já tinham o hábito de realizar trabalhos em grupo como
apresentação de seminários e pesquisas entre outras atividades.
O grupo demonstrava uma integração conosco, e uma familiarização com
métodos diferenciados que utilizávamos, para ensinar os diversos conteúdos, Isso
64
explica o fato de as nossas intervenções serem sempre aguardadas com grande
expectativa por parte do grupo.
Consideramos, em nossa pesquisa, somente aqueles alunos que
participaram do estudo completo (avaliação diagnóstica, atividades). Desse modo,
nossa amostra resumiu-se em 4 alunos, justificando essa escolha pelo fato de
termos aplicado uma avaliação diagnóstica e na mesma pudemos observar que
esses alunos, apresentaram um conhecimento prévio sobre diferentes utilizações
dos logaritmos; utilizamos um gravador para o grupo, com a finalidade de
possibilitar uma análise do desempenho e de possíveis observações feitas pelos
alunos.
3.3 O Material
Para a realização desta seqüência didática, fez-se necessário o uso dos
seguintes materiais: papel, lápis, borracha, calculadora científica, o texto de Boyer,
(p.228 a 231-1974), um gravador, avaliação diagnóstica (anexo) e as atividades.
Convém ressaltar que tivemos acesso aos cadernos dos alunos.
3.4 As Atividades
A partir das dificuldades a priori, elaboramos as atividades. As mesmas
foram elaboradas pela professora da turma conjuntamente com a pesquisadora.
(seqüência elaborada a partir de informações contidas no livro: O Logaritmo na
Cultura Escolar Brasileira de Miorim, M. A. e Miguel A. - 2002 - assim como das
pesquisas realizadas sobre a relação matemática e música). Após resolução de
65
tais atividades, analisamos os resultados, realizando um contraponto entre as
dificuldades dos alunos e as levantadas à priori.
3.5 Descrição das Aulas
1ª e 2ª aulas:
Durante a aula, procuramos nos familiarizar com os alunos, informamos que
estávamos fazendo uma pesquisa, e que a mesma serviria como base para um
trabalho de mestrado, e agradeceríamos a participação de todos.
3ª e 4ª aulas:
Foi realizada uma avaliação diagnóstica, (anexo A) com a finalidade de
fazermos uma sondagem sobre os conhecimentos prévios dos alunos. Vale
salientar que essa avaliação foi aplicada para toda a turma.
Temos consciência de que uma avaliação desse tipo não necessariamente
pode retratar o conhecimento real do aluno, já que existem fatores que podem
interferir em seu desempenho tais como problemas de ordem emocional, cognitiva,
entre outros.
Das avaliações realizadas, selecionamos 5, pois, a mesma revelou ter
esses alunos um conhecimento prévio sobre diferentes utilizações do logaritmo;
desta seleção montamos o grupo de análise.
66
5ª e 6ª aulas:
Foi realizada uma exposição oral pela professora da turma, em que buscou
dar a idéia das condições históricas que levaram ao surgimento do logaritmo.
Comentou sobre a importância da descoberta para a Astronomia,
lembrando que as navegações (caravelas) se guiavam pelas distâncias entre as
constelações, pois, naquela época, não existiam GPS e relógios digitais.
Falou aos alunos sobre o porquê do surgimento dos logaritmos, e que o
mesmo foi o responsável por facilitar laboriosos cálculos, assim como comentou
que, em sua primeira definição, o logaritmo não tinha nada a ver com exponencial ;
relembrou também os conceitos de velocidade, espaço, aceleração, movimento
Retilíneo Uniforme, entre outros.
Os alunos selecionados foram então separados em um grupo na sala de
aula, onde receberam a atividade. Iniciamos a gravação das discussões no grupo.
Foram realizadas as discussões sobre os itens de a até o e, assim como
suas resoluções.
7ª e 8ª aulas:
Foram realizadas discussões sobre os itens f até o j, assim como suas
resoluções.
9º e 10º aulas:
Foram realizadas discussões sobre as questões 2, 3 e 4, assim como suas
resoluções.
67
11º e 12º aulas:
Foram realizadas discussões sobre o item 5, mas os alunos não
elaboraram sua resolução.
A professora realizou uma correção das atividades, em que os alunos
expuseram suas opiniões e dificuldades. Quais sejam:
• nunca tinham trabalhado logaritmos da forma apresentada;
• as atividades eram muito interessantes porém de difícil entendimento, mas que
depois de entendidas mostravam realmente a definição de logaritmo.
• tiveram dificuldades em reconhecer o conceito nas diferentes situações.
• esse trabalho deveria ser feito no ensino médio.
• deveria este trabalho ser realizado com os professores.
• não tinha pensado que logaritmo estava ligado a música.
• tiveram dificuldades para elaborar as condições de existências para C e para
IR.
13ª e 14ª aulas:
Foi realizada uma exposição oral por parte da pesquisadora, sobre a
relação entre a matemática e a música.
Durante sua exposição, a pesquisadora comentou sobre a experiência
atribuída a Pitágoras, na qual, o mesmo buscava estudar os sons. Pitágoras teria
observado, como já o dissemos no capitulo I, que no monocórdio (instrumento de
uma corda só) se pressionássemos sua corda num ponto situado a
4
3
, do
comprimento em relação à extremidade (reduzi-la a
4
3
do tamanho original) e
68
tocando-a a seguir, ouvia-se uma quarta acima do som emitido pela corda inteira;
do mesmo modo se exercida a pressão a
3
2
do tamanho original da corda, ouvia-
se uma quinta acima, e se exercida a
2
1
do tamanho original da corda, obtinha-se
a oitava do som original. Ressaltou ainda a pesquisadora que, a partir dessa
experiência atribuída a Pitágoras, foram estabelecidas as 7 notas fundamentais,
pois se determinou uma maneira de produzi-las, por meio de frações de cordas.
Sobre as notas, comentou-se que uma oitava iria de um dó a outro, assim
como que na música ocidental temos as 7 notas fundamentais e 5 acidentes
(sustenidos) quais sejam:
DO do# RÉ ré# MI FÁ fá# SOL sol# LÁ lá# SI DÓ
A pesquisadora, ainda em sua exposição, falou sobre o temperamento
igual que se originou na busca de um sistema que concedesse aos músicos a
liberdade para tocar despreocupados com possíveis distorções. Mas o que seria
então esse temperamento igual?
A escala com intervalos acusticamente perfeitos, definida pela experiência
de Pitágoras, foi usada durante muito tempo até a Idade Média. A música dessa
época ainda era restrita a regras rígidas de composição e também de execução.
No Renascimento, uma série de novas idéias surgiram nas artes em geral.
Na música, os compositores tentavam ultrapassar essa rigidez imposta pela forma
com que se tocava na época. os experimentos realizados por chineses, indianos e
helênicos revelaram distintas tentativas de encontrar uma distância comum nas
escalas. Com isso, surgiu a necessidade de se transpor as melodias para outras
tonalidades, pois até então uma melodia feita para uma tonalidade de dó, não
podia ser executada na tonalidade de fá (por exemplo), isso porque os intervalos
entre as notas soariam desafinados. Surge com isso a Escala de Temperamento
69
Igual , proposta em 1691, por Andréas de Werkmeister, que se utilizou de
conhecimentos matemáticos em sua descoberta, pois em vez de preservar os
intervalos perfeitos, (aqueles cujas frações eram
4
3
3
2
, ... especificados
anteriormente na experiência de Pitágoras), ajustou essas notas levemente;
Werkmeister, tomou o comprimento inteiro e dividiu-o exponencialmente em doze
partes; permitindo a execução de qualquer música em qualquer tonalidade, pois a
relação entre os intervalos iguais são sempre as mesmas.
Antes de iniciarem a atividade, os alunos receberam um monocórdio
construído e adaptado para o trabalho em sala de aula (um cavaquinho com uma
corda só) onde seria possível fazer as operações necessárias para a realização
das atividades.
Foram discutidas as questões sobre matemática e música , assim como
suas resoluções
70
4 - ANÁLISE
71
Neste capítulo, discorremos sobre a análise realizada das questões
apresentadas, cuja a idéia era saber se os objetivos, para cada uma das questões,
foram alcançados, utilizamos as falas dos alunos para a nossa análise, assim como
os objetivos traçados no início de cada item.
4.1 Quanto à utilização da história
Uma preocupação, ao elaborarmos nossa seqüência didática, foi a de buscar
procedimentos diferentes daqueles que possuem atualmente uma hegemonia para o
ensino de logaritmos.Utilizamos a História para a promoção de uma aprendizagem
significativa. Consideramos como definição de aprendizagem significativa a mesma
dada por Morreto (2004, p.17) Quando o ensino proporciona desenvolvimento de
habilidades e a aquisição de conhecimentos, que conduzem às competências
almejadas.
Concordamos com Mendes (2001, p.123), quando afirma que os estudantes
devem participar da construção do seu próprio conhecimento de forma ativa,
reflexiva e crítica, relacionando cada saber construído com as necessidades
históricas, sociais e culturais existentes nele.
72
4.2 Análise das atividades
Atividade:1
Item A:
Logaritmos II
Definição de logaritmo:
Logaritmos são os termos de uma progressão aritmética começando por zero,
correspondentes aos termos de uma progressão geométrica começando pela unidade
(SERRASQUEIRO, 1900, P. 320).
1- Observe a definição anterior. Dadas as seqüências:
I) PA: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
PG: 1, 2, 3, 4 , 8, 16, 32, ...
II) PA: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
PG: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
A) Qual seria, na seqüência I, o logaritmo de 8? E na II?
No item A, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões
geométricas as propriedades dos logaritmos;
• Reconhecer, uma correspondência entre as progressões aritméticas e
geométricas;
• Compreender que, na progressão aritmética, os elementos são os logaritmos
e, na progressão geométrica, os elementos são os logarítmandos.
73
Resolução dos alunos:
32282log
38
2
=⇒=⇒=⇒= uu
uu
63
2
228)2(log
2
1
8
2
=⇒=⇒=⇒=⇒= u
u
u
u
u
Na P.A. os elementos são os logaritmos.
Na P.G. os elementos são os logaritmandos.
Fala dos alunos:
- Nossa! Logaritmos e progressões têm mesmo ligação! Só estudando a história.
- Logaritmos é a P.A logaritmando é a PG.
Durante a resolução deste item, um dos alunos apresentou dificuldades em
relacionar logaritmos com progressões aritméticas e geométricas. Conseguia
definir logaritmo da forma encontrada nos livros de matemática atuais, como a
encontrada no livro de Paiva, (1995, v1, p. 294), qual seja: Sejam a e b números
reais positivos e b
≠
1 chama-se de logaritmos de a na base b e expoente x tal que
ab
x
= .
Em símbolos: abx
xa
b
=⇔=log
Onde a é chamado de logaritmando
B é chamado de base do logaritmo
X é chamado de logaritmo de a na base b
Este mesmo aluno questionou o porque de ser
.2
74
Segundo Vygotsky (1977), a Zona de desenvolvimento proximal é definida
como aquela que define funções ainda não amadurecidas, (no que diz respeito ao
processo de ensino-aprendizagem, significa que o aluno ainda não conseguiu
alcançar o entendimento do conceito apresentado) mas que estão em processo de
amadurecimento, podendo ser alcançado com o auxilio do professor e dos
colegas.
A nosso ver, o aluno acima demonstrou estar nessa zona de desenvolvimento,
pois não conseguia transpor da definição atual para a definição apresentada,
somente conseguindo com o auxilio do grupo. Essa dificuldade apresentada vai de
encontro com a mesma levantada (à priori) em nossa metodologia, pois
acreditávamos que os alunos se prenderiam ao conceito atual de logaritmos para a
compreensão da questão.
Os objetivos de nossa atividade embora o aluno supracitado tenha tido
algumas dificuldades foram alcançados.
Atividade 1
Item B
B) O que está fazendo com que as duas correspondências de seqüências sejam
diferentes?
No item B da primeira questão, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões
geométricas as propriedades dos logaritmos;
75
• Calcular as razões das progressões aritméticas e geométricas;
• Perceber as diferentes bases nas duas seqüências apresentadas.
Resolução dos alunos:
As razões das progressões aritméticas são diferentes pois na seqüência I, a razão
é 1 e na seqüência II a razão é 2.
Fala dos alunos:
- Agora ficou mais claro! Depois que eu achei a razão !
- PROFESSORA: O que está fazendo corresponder a razão?
- O fato das seqüências serem diferentes?
- As operações?
- Cuidado! As razões das progressões aritméticas são diferentes.
Durante a resolução, a intervenção da professora fez com que os alunos
direcionassem a resposta, ou seja, tiveram dificuldades em responder a questão por
uma interpretação equivocada, pois, em primeira instância, acreditavam ser a
resposta o fato de os números serem diferentes; isso demonstra uma certa
displicência quanto ao enunciado da questão, assim como em entender a definição
dada inicialmente. Isso nos leva a crer que a concepção de logaritmos com
exponencial continua presente, o que vai ao encontro com a hipótese levantada (à
priori) em nossa metodologia, que era de que os alunos teriam dificuldade em
reconhecer a definição apresentada.
76
Pela resolução dos alunos, assim como por suas falas e objetivos traçados para
a questão, concluímos que os objetivos não foram totalmente alcançados, pois não
perceberam que as bases eram diferentes nas seqüências apresentadas.
Atividade 1:
Item C
C) Qual a base está sendo utilizada na seqüência I? e na II?
No item C, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões
geométricas, as propriedades dos logaritmos;
• Determinar a base de cada um dos sistemas;
• Compreender que a base deve permanecer a mesma para todos os pares
correspondentes das progressões aritméticas e geométricas;
• Verificar a relação existente entre a base de um sistema qualquer de
logaritmos e a razão das progressões aritméticas e geométricas.
Resolução dos alunos:
Se calcularmos por exemplo:
42)2(log
244
2
2
1
2
1
==⇒= x
então podemos concluir que:
Na seqüência I, a base é 2.
77
Na seqüência II a base é 2 .
Fala dos alunos:
_ Bem, a base da primeira é 2.
_ A da segunda é
2 .
_ Razão
2 ? Porquê?
_Por que a é
2
1
2
ou seja, 2 .
Durante a resolução da questão, não houve a intervenção do professor,
convém ressaltar que a questão basicamente foi respondida por um aluno, enquanto
os outros escutaram, levantaram questionamentos sobre o porquê de ser raiz de 2, o
que demonstrou uma dificuldade em estabelecer a diferença entre razão e base,
mas concluíram ser esta a resposta.
Tendo em vista os objetivos traçados para a questão, assim como pelas
falas dos alunos, concluímos que, apesar das respostas estarem corretas, nem
todos os objetivos traçados foram alcançados, pois, em nenhum momento, o grupo
levantou a relação existente entre a base de um sistema de logaritmos e a razão das
progressões. Neste item, o grupo não apresentou nenhuma das dificuldades (à
priori) levantadas em nossa metodologia.
78
Atividade 1
Item D
D) Descreva, em linguagem matemática, a definição acima, determinando as
condições de existência dos logaritmos para IR e para C.
No item D, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões
geométricas, as propriedades dos logaritmos;
• Determinar as condições de existência, através da linguagem matemática;
• Perceber que, somente quando a razão da progressão aritmética for igual a 1,
a base dos logaritmos coincide com a razão da progressão geométrica;
• Compreender as condições de existência nos conjuntos dos IR e nos C, para
que o logaritmo das progressões exista;
• Utilizar a definição e aplicar a propriedade de potências dos logaritmos;
Resolução dos alunos:
Seja:
,log c
b
a
=
sendo que ,aub
=
onde ..GPau
∈
então
1−
=
n
qb
e
au
c
=
onde
,PAau
∈
então ,).1(
1
ruaa −+= e zn
=
−
1
ruaC
qbb
n
u
n
).1(
.
1
1
1
−+=
=
−
Seja
,).1(log
1
1
.1
ruc
u
q
b
u
−+=
−
sendo 1
1
=b e 0
1
=c
ru
n
q
u
).1(0log
1
.1
−+=
−
79
ru
n
q
u
).1(log
1
.1
−=
−
, como ,1 zn
=
−
então:
,.log rz
z
q
u
= aqui ocorreu a aplicação da propriedade de potência dos
logaritmos.
As condições de existência dos logaritmos nos números reais é que:
1
>
q
e 10
≠
<
u
Estas condições têm que existir, pois não existem nenhum número diferente de
0, que elevado a uma potência qualquer,seja zero.
Exemplo:
00log
0
=∃⇒=⇒=
uu
n
nnu
No caso da base sendo 1, a seqüência seria constante.
A base sempre precisa ser positiva.
Com relação aos números complexos, base tem que ser diferente de zero, e
de 1.
Fala dos alunos:
_ 1
>
q e ,10
≠
<
u essas são as condições nos Reais.
_ Não entendi!!!
_Isso porque nenhum número diferente de zero, elevado a uma potência zero, dá
zero.
_PROFESSORA: Espera aí, então se q for negativo, a base do sistema, pode
assumir valores fora desse domínio nos Reais?
_ Acho que sim.
_ Para C, a base tem que ser diferente de zero e diferente de 1.
80
Vygotsky (apud MATUI, 1998, p. 121), afirma que uma organização da
aprendizagem conduz a um desenvolvimento mental, o que ativaria todo um
processo de desenvolvimento.
Durante a resolução da atividade, houve a intervenção da professora no
sentido de encaminhar a atividade; as discussões no grupo levaram a uma
organização dos objetivos a serem alcançados; Essa organização nos mostra um
desenvolvimento do potencial de cada aluno e do grupo. Nesta questão, o grupo
não apresentou nenhuma das dificuldades (à priori) por nós levantadas na
metodologia.
Tendo em vista as falas dos alunos, a resolução das atividades e os objetivos
traçados no início da atividade, constatamos que o objetivo da questão foi
alcançado.
Atividade 1
Item E
E) Determine, na primeira seqüência, a média aritmética entre o segundo e o sexto
termo da PA. Determine a média geométrica entre os termos correspondentes
segundo e sexto na PG. O que você observa? Este fato é generalizável para os
demais termos da seqüência I? E para a seqüência II?
No item E, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões
geométricas, as propriedades dos logaritmos;
81
• Determinar a média geométrica e a média aritmética;
• Verificar a correspondências entre as progressões aritméticas e geométricas,
através da média geométrica e média aritmética.
• Reconhecer as propriedades, quando exploradas em diferentes conceitos.
• Perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível.
Por exemplo, multiplicação em adição, potenciação em multiplicação.
Resolução dos alunos:
3
2
6
2
51
2
62
==
+
=⇒
+
= Ma
aa
Ma
86432.2 =⇒== MgMg
Observamos que a correspondência entre as progressões aritméticas e
geométricas ainda permanece.
n
aa
S
u
PA
).
2
(
1
+
=
e
n
uPG
aaP ).(
1
=
Existe uma correspondência entre a média aritmética das progressões
aritméticas e a média geométrica das progressões geométricas, onde a soma na
progressão aritmética corresponde ao produto da progressão geométrica.
Isso seria generalizável para a seqüência II.
82
2816,8
248,4
224,4
22,1
==
==
==
==
Mg
Mg
Mg
Mg
Fala dos alunos:
_ Tem uma relação entre as médias!
_É, existe uma correspondência entre a média geométrica e a média aritmética.
_Gente, eu não estou conseguindo entender essa relação, não!!
_É assim, a soma na PA é multiplicação na PG, e divisão corresponde a raiz da PG.
_ Certo.
Durante a resolução da questão, não houve a intervenção da professora, no
entanto foram colocadas algumas discussões no intuito de facilitar a compreensão .
Um dos alunos demonstrou dificuldades em entender a correspondência entre as
médias, no que foi orientado pelos colegas. Convém ressaltar que era o mesmo
aluno com dificuldades em transpor o conceito em diferentes situações, como
dissemos anteriormente. O grupo apresentou ainda dificuldade em reconhecer que
o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível, confirmando a
hipótese levantada à priori.
Pelas resoluções dos alunos, suas falas e pelos objetivos traçados para a
atividade, acreditamos que os objetivos da atividade tenham sido alcançados.
78,6
56,4
34,2
11,0
==
==
==
=
=
Ma
Ma
Ma
Ma
83
Atividade 1
Item F
F) Na seqüência II, some os terceiros e quarto termos da PA. Qual o termo
correspondente, na PG, a esta soma? Como conseguiríamos este termo da PG,
utilizando apenas os termos da progressão geométrica?
No item F, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e de progressões
geométricas, as propriedades dos logaritmos.
• Compreender que a soma nas progressões aritméticas corresponde à
multiplicação na progressão geométrica.
• Perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível.
Resolução dos alunos:
O produto dos logaritmandos corresponde a soma dos logaritmos.
3284
1064
=•
=
+
Ex:
5log32loglogloglog
8.4
2
8.4
.2
8
2
4
2
8.4
2
=⇒+=⇒+=
A soma dos logaritmos corresponde ao produto dos logaritmos.
84
Fala dos alunos:
-Nossa ! legal! Deixa ver se eu entendi, a soma dos logaritmos corresponde a
multiplicação dos logaritmandos.
_ E fácil depois que a gente entende, é muito diferente!!
Pela resolução dos exercícios e pelas falas dos alunos, e considerando os
objetivos traçados no início de nossa atividade, concluímos que o objetivo foi
alcançado, mesmo utilizando-se de termos usados atualmente como logaritmos e
logaritmando e não progressões aritméticas e progressões geométricas,
confirmando a dificuldade por nós levantada (à priori) em nossa metodologia, qual
seja, de que os alunos reportariam ao conceito de logaritmos com exponencial para
a resolução das questões. Somente assim conseguiriam compreender a resolução
através da definição apresentada. Os alunos ainda perceberam que o logaritmo
transforma uma operação em outra de menor nível.
Atividade 1
Item G
G) Sabemos que
864 = . O que teríamos que fazer, na seqüência I, com o termo
da PA correspondente ao termo da PG, 64, para determinarmos, na PA, o termo
correspondente ao termo da PG, 8? E na seqüência II?
85
No item G, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e de progressões
geométricas, as propriedades dos logaritmos.
• Estabelecer as correspondências entre as progressões aritméticas e
progressões geométricas.
• Perceber que raízes de termos da progressão geométrica são obtidas mediante
divisões de termos a eles correspondentes na progressão aritmética pela razão
da progressão geométrica.
• Reconhecer as propriedades, quando exploradas em diferentes contextos;
Resolução dos alunos:
864 = na seqüência I
632.2log51
logloglog
3
2
2
2
32.2
2
=⇒+⇒
+=
Na seqüência II
10log82
logloglog
3.2
2
3
2
2
2
3.2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=⇒+⇒
+=
64, na progressão geométrica, corresponde a 6, na progressão aritmética.
E como na progressão geométrica corresponde à divisão por 2 na progressão
aritmética temos:
,864 = corresponde a 3
2
6
=
Durante a resolução da questão, o grupo demonstrou uma certa facilidade em
usar a definição, mesmo recorrendo ao conceito de logaritmos com exponencial em
86
alguns momentos, confirmando nossa hipótese de que os mesmos recorreriam a
essa definição para depois compreender a definição apresentada.
De acordo com a resolução dos alunos e os objetivos traçados no inicio da
questão, acreditamos que os objetivos foram alcançados.
Atividade 1
Ítem H
H) A partir das observações anteriores, como determinaríamos, utilizando a PA,
seqüência I, o logaritmo de
8 ? E na seqüência II?
No item H, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões
geométricas as propriedades dos logaritmos.
• Utilizar as conclusões anteriores e calcular o logaritmo de raiz quadrada de 8.
Resolução dos alunos:
2
3
22.
2
1
log
2
1
loglog
38
2
8
2
8
2
2
1
=⇒=⇒=⇒== uuu
u
Na seqüência II, o procedimento é idêntico.
87
Fala dos alunos:
_ Se já sabemos que a base é 2, então é só calcular o
.log
8
2
_Na seqüência II, só precisamos fazer o mesmo.
As discussões no grupo, durante a resolução da atividade demonstraram um
retorno à definição tradicional de logaritmos. Mesmo assim acreditamos ter sido
alcançado o objetivo da questão, pois se utilizaram de conclusões de questões
anteriores.
Atividade 1
Ítem I
I) Em qualquer uma das seqüências, a subtração de dois termos da PA corresponde
a que operação com os termos correspondentes da PG?
No item I, tínhamos os seguintes objetivos:
• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e de progressões
geométricas, as propriedades dos logaritmos;
• Reconhecer que subtrações, na progressão aritmética, correspondem a
quociente na progressão geométricas.
• Reconhecer as propriedades, quando exploradas em diferentes contextos.
Resolução dos alunos:
88
Como a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação
inversa da multiplicação, então temos que a subtração , na PA, corresponde à
divisão, na PG.
c
b
a
b
c
a
b
logloglog −=
Fala dos alunos:
_ Olha! ... A subtração é operação inversa da soma, então a divisão é a operação
inversa da multiplicação, então a subtração é a operação inversa da PA, que vai ser
a divisão na PG.
Durante a resolução deste item, houve uma espécie de euforia do grupo. A
interação comentada em nossa metodologia ficou evidente durante as discussões
e a resolução da questão. Não houve necessidade da intervenção da professora,
pois os alunos se reportaram às conclusões anteriores sem a sua interferência.
Pela fala do aluno e pela resolução, assim como os objetivos traçados para
a atividade, concluímos que o grupo alcançou o objetivo traçado para a questão.
Atividade 1
Ítem J
J) Em qualquer uma das seqüências, a duplicação de um termo da PA corresponde
a que operação ao termo correspondente da PG?
No item J, tínhamos os seguintes objetivos:
89
• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e de progressões
geométricas, as propriedades dos logaritmos;
• Compreender que as potências de termos da PG são obtidas mediante
multiplicações dos termos a eles correspondentes na PA pela razão da PG.
• Perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível.
Resolução dos alunos:
A divisão por 2 na progressão aritmética é o mesmo que raiz, na progressão
geométrica, ou seja o que é produto na progressão aritmética é potência na
progressão geométrica .
Falas dos alunos:
- Se divisão por 2 na PA é a raiz na PG ... divisão por
2
1
, o produto na PA ...
corresponde a potência na PG.
- Espera! vamos entender, dividir por 2 na PA, corresponde à raiz na PG, o
que é multiplicação na PA é potência na PG.
A atividade foi realizada com muita segurança por parte do grupo, com
colocações que foram reunidas para a conclusão encontrada. Isso demonstra que
houve um amadurecimento com relação ao conceito apresentado no início da
atividade; o que levou os alunos a alcançarem os objetivos traçados para a
90
atividade. Nesta questão, os alunos não demonstraram as dificuldades levantadas
(à priori).
Atividade 2
Na segunda questão, tínhamos os seguintes objetivos:
• Construir uma progressão aritmética e uma progressão geométrica particular,
partindo da situação histórica apresentada.
• Reconhecer o conceito apresentado na construção da tabela.
Resolução dos alunos:
Napier, em sua obra publicada em 1619, concebeu os logaritmos a partir de
aspectos, simultaneamente geométrico, cinemático, aritmético, funcional e
trigonométrico. Para tal, imaginou uma situação cinemática, na qual, dois pontos
móveis P e P, a partir dos pontos A e A, iniciavam simultaneamente seus
movimentos ao longo de duas trajetórias retilíneas AB e A , respectivamente.
Considerou que AB possuía comprimento fixo de 10
7
. A era considerada uma
semi-reta ao longo da qual eram fornecidos os logaritmos.
A
P
B
B’
P’ B’
91
Os pontos P e P, porém, não se deslocavam com velocidades iguais: P se
deslocava com velocidade variável e, em cada momento, numericamente igual à
sua distância ao ponto B. A variação de velocidade de P se dava por um coeficiente
constante igual a (1-10
-7
) em cada intervalo de tempo t
∆
, escolhido
convenientemente. P se deslocava com velocidade constante e numericamente
igual à distancia AB, isto é, a 10
7
.
Napier definia, para cada instante desse movimento coordenado, o logaritmo de
cada um dos segmentos P
I
B como sendo, respectivamente cada uma das
distâncias A P
i
.
a) A partir destas informações, complete a tabela abaixo, fazendo corresponder a
cada instante, distâncias P
i
B e A
i
dos pontos P E P.
Tempo A
i
PiB
T
0
= 0 1
10
7
= 000000.10
T
1
=10
-7
2
999999.9
T
2
= 2.10
-7
3
997.999.9
A
i
= espaço e P
i
B = velocidade (1-10
-7
)
A
i
= S
∆
997.999.9)101.(.
998.999.9)1010.(.
999.999.9)101.(10.
7
2323
7
1212
77
101
=−=⇒=
=−=⇒=
=−=⇒=
−
−
−
VVKVV
VVKVV
VKVV
92
3
10
.
10
.
3
210.10.2
110.10
77
7.7
77
==∆
==∆
==∆
∆
−
=
∆
−
−
−
S
S
S
tvS
b) Que tipo de progressões formam as seqüências A
i
e P
i
B?
i
é a progressão aritmética e P
i
B é a progressão geométrica.
c) Qual a razão de cada uma delas?
A razão da
i
=1
A razão da P
i
B = )101(
7−
−
d) Qual a base deste sistema de logaritmos criado por Napier?
Não responderam.
Fala dos alunos:
_ Não entendi não!
_ P é o deslocamento ou a aceleração?
_ Eu considerei smV /10
7
0
= então:
K
V
V
=
0
1
daí,
9999999)101.(10.
77
101
=−===
−
VkVV agora é só calcular o resto.
_ PROFESSORA: como você chegou a essa conclusão?
93
_ Considerando A
i
= como espaço e P
I
B = como velocidade de
7
101(
−
− ) e
também
.
T
V
V
∆
∆
=
_ Isso mesmo! daí se continuarmos para 2, 3 vamos ter uma PA.
_ É só olhar para o quadro, pois A
i
é a PA e P
i
B é uma PG
_ Mas os números não teriam que diminuir?
Durante a resolução, os alunos demonstraram dificuldades para entender o
que se pretendia na questão. Um dos alunos conseguiu completar a atividade,
porém acreditava que os números na verdade, teriam que diminuir, isso antes de ter
feito os cálculos necessários nelas, não soube explicar o porquê. O grupo demonstra
ainda ter dificuldade em reconhecer a base de um sistema. Pelas dificuldades
apresentadas concluímos que o grupo não alcançou, em sua totalidade, os objetivos
traçados para a questão.
Atividade 3
Na terceira questão, tínhamos os seguintes objetivos:
• Analisar o sistema de logaritmos de Napier.
• Reconhecer que a base de um sistema de logaritmos prescindiu de uma base e
de um exponencial.
• Reconhecer que a base do sistema de logaritmos de Napier aproxima-se do
inverso multiplicativo de e.
1) Vamos realizar uma alteração no sistema de logaritmos de Napier.
a) Complete a tabela abaixo:
94
TEMPO
7
10
I
AP
7
10
Bp
I
Arc sen
7
10
Bp
I
0
0
=T
7
10.0
−
1
o
90
7
1
10
−
=T
7
10.1
−
9999999,0 974376297,89
7
2
10.2
−
=T
7
10.2
−
9999998,0 96376297,89
7
3
10.3
−
=T
7
10.3
−
9999997,0 95561888,89
b) As seqüências da segunda e da terceira coluna ainda são progressões? Em
caso positivo, quais as razões destas progressões?
Sim, na primeira coluna é 1 e na segunda coluna é )101(
7
−
c) Qual a base deste novo sistema de logaritmo?
7107101710
10:10101log
777
−−−
=⇒=⇒−=
−
ccc
c
Logo,
79999999,0
1
10log
0log
−
=
=
b
b
Mas,
9999999,0log9999999,0log
9999999,0log)9999998,0(log
9999997,0log9999998,0log.
2
1
109999998,0log.
2
1
2
1
10.29999998,0log
2
1
77
bc
bc
bc
bc
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=
−−
logo: bC
=
95
d) Calcule o inverso multiplicativo do valor desta base. O que você observa?
e
b
b
b
1
3678794,0
9999999,0
109999999,0log
7
10
7
==
=
=
−
−
Quando achamos o inverso multiplicativo, achamos
e
.
Fala dos alunos:
_ É só calcular
01log =
b
, não é ?
_ mas, 0,9999999 vai ter que ser arredondado não?
_ PROFESSORA :SIM, se não seriam maiores ainda.
_ Ainda bem que existe calculadora cientifica, pois os números são enormes!
Durante a realização da atividade, os alunos tiveram algumas dificuldades.
Houve a intervenção da professora no que diz respeito aos arredondamentos e
também para comentar que foi a partir do momento da descoberta da base, que teria
nascido, a relação entre logaritmo e exponencial. Ainda durante a resolução, os
alunos concluíram que a base do sistema de logaritmos de Napier, aproxima-se do
inverso multiplicativa de e, conforme afirmou MIORIM e MIGUEL 2002.
Concluímos pela resolução da atividade e pelas falas dos alunos que os objetivos
traçados para atividade foram alcançados. Nesta questão, não foi apresentada as
dificuldades levantadas. (à priori).
96
Atividade 4
Na quarta questão, tínhamos os seguintes objetivos:
• Construir uma tabela de valores aproximados dos logaritmos na base 10.
• Calcular o logaritmo dos números inteiros de 1 a 9.
• Trabalhar com expoente racional na representação decimal;
Resolução dos alunos:
4) Vamos construir uma tábua de valores aproximados dos logaritmos, na base 10,
dos primeiros nove números inteiros positivos.
Consideremos 2
10
= 1024
1024, difere de 1000 por um erro de 2,4%. Este será o erro de nossos cálculos do
log 2.
2
10
= 1000 aproximadamente
2
10
= 10
3
aproximadamente
2 = 10
0,3
aproximadamente
Portanto, log 2 é 0,3 aproximadamente.
Analogamente, 3
9
= 19683
19683 difere de 20000 por um erro de 1,6%.
3
9
= 20000 aproximadamente
3
9
= 10
0,3
. 10
4
aproximadamente
3
9
= 2 . 10000 aproximadamente
97
3
9
=
9
3,4
10 aproximadamente
log3 = 0,48 aproximadamente
Agora, utilizando as propriedades estudadas no 1º exercício desta seqüência,
calcule os logaritmos dos demais números inteiros positivos de 1 a 9. (Dica: para
sete, considere que sete ao quadrado é aproximadamente 50).
21024log10242
10
10
=⇒=
Pela resolução dos alunos e pelos registros realizados pela pesquisadora,
percebemos que os alunos tiveram dificuldades em trabalhar com expoente racional,
na representação decimal o que confirma a hipótese levantada à priori em nossa
metodologia. Concluímos que os objetivos para a questão foram parcialmente
alcançados, pois os mesmos não concluíram a atividade.
85,07log
2
7,1
7log7,17log.2
17,07log10log5log7log)10.5(7log
50log7log
78,048,030,03log2log)3.2log(6log
7,03,012log10log)
2
10
log(5log
6,03,03,02log2log)2.2log(4log
48,03log
30,02log
01log
222
2
≅⇒=⇒=
+=⇒+=⇒=
=
=+⇒+==
=−⇒−==
=+⇒+==
=
=
=
98
Atividade 5
5) Com sua tabela de logaritmos na base 10, sem usar a calculadora, como faríamos
para calcular 48. 125?
_ Esta questão não foi resolvida pelo grupo.
4.2.1 Atividades relacionando Matemática e Música :
O objetivo para a primeira questão era de:
• Compreender a experiência de Pitágoras;
• Reconhecer a relação entre logaritmos e música;
• Trabalhar, partindo de uma situação real;
• Familiarização com as notas musicais;
Resolução dos alunos:
1) marque no instrumento as notas pela escala pitagórica.
ré
9
8
mi
5
4
fa
4
3
sol
3
2
la
5
3
si
5
8
dó
2
1
dó
1
99
Fala dos alunos:
_ Nossa é complicado, temos que dividir a corda toda? Ou só o braço?
_ PROFESSORA: Somente o braço, a parte que está coberta. Lembre-se que de
Dó para Dó vocês tem uma oitava.
_ É um círculo?
_ basta fazer as divisões;
Durante a resolução da questão, ficou evidente, uma não familiarização com
o instrumento musical por parte de alguns componentes do grupo, assim como
estranharam a ligação da música com a matemática com as progressões.
Mesmo com uma certa dificuldade, os alunos conseguiram alcançar os objetivos
traçados para a questão.
2ª QUESTÃO:
O objetivo para a segunda questão era:
• Reconhecer uma progressão aritmética;
• Compreender a idéia matemática trabalhada no temperamento igual;
• Calcular a razão entre as notas;
• Calcular a freqüência das notas, partindo de uma particularidade;
2) a) Sabendo que a freqüência de um Dó é o dobro do outro, calcule as razão
entre cada nota.
DO do# RÉ ré# MI FÁ fá# SOL sol# LÁ lá# SI DÓ
100
12
113
1
1
1
2.12
1
2
.
=⇒=
=
==
=
−
−
qq
a
aPA
qaa
n
n
n
Freqüência é
12
2 .
Fala dos alunos:
_ Sinceramente não sei por onde começo.
- PROFESSORA: Que tal, analisando pela definição das progressões aritméticas e
das geométricas
_ Vamos usar a fórmula da razão para a PA;
_ Se são 12 notas porque 13? Já entendi!
Pelas falas dos alunos, assim como pela resolução da questão, pudemos
observar que houve muita dificuldade durante a atividade pois, acreditavam que por
não terem nenhum conhecimento de música não teriam condições de responder à
questão. Somente conseguiram entender o que se pedia com a intervenção da
professora, mas, apesar das dificuldades, o objetivo da questão foi alcançado.
b) Se a freqüência do primeiro Dó for 1, calcule a freqüência das demais notas e
marque no instrumento uma escala de DÓ a DÓ, medindo com a régua.
Resolução da questão:
Freqüência é
12
2 .
101
Fala dos alunos:
_ È só olhar para a questão 2
Durante a resolução da questão, os alunos não discutiram este item, pois já
chegaram à conclusão que a resposta seria a dada. Pela resposta ao exercício,
assim como pela fala do aluno e, considerando o objetivo da questão, concluímos
que o mesmo não foi alcançado, pois o grupo não fez as medições pedidas no
exercício, nem explicar de onde veio a resposta matematicamente.
Atividade 3
O objetivo para a terceira questão era de:
• Reconhecer o conceito de Logaritmos.
• Transpor o conceito apreendido a outras situações.
Resolução dos alunos:
3) Qual o conceito implícito na atividade anterior?
O de logaritmos
Fala dos alunos:
_ O de logaritmos;
De acordo com a resposta dada, acreditamos que os objetivos da questão
tenham sido alcançados.
102
5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS
103
Apresentamos, no início de nosso trabalho, um breve apanhado sobre a
utilização da história para o ensino da matemática, com o intuito de passar a idéia de
que a utilização da história da matemática seria uma alternativa à rigidez didática
vigente, no que diz respeito ao ensino de logaritmos. Assim seria um instrumento
através do qual conseguiríamos ao menos abrandar algumas inquietações, como
quais seriam as razões históricas para o estudo do logaritmo?
Tínhamos como pressuposto que a história da matemática pode colaborar para
que professores e alunos tenham uma formação profunda da matemática e isso não
significa saber demonstrar teoremas ou trabalhar com a linguagem matemática de
modo mecânico e sim, além de conhecerem os teoremas, consigam fazer relações
entre diferentes campos de conhecimento, refletindo sobre os fundamentos da
matemática.
Tal pressuposto, foi confirmado em alguns momentos durante nossa
pesquisa, pelos alunos em seus comentários, como o apresentado nas seguintes
falas: - Nossa! Logaritmos e progressões têm mesmo ligação! Só estudando a
história.
Os alunos demonstraram surpresa quando descobriram a relação entre os
logaritmos e as progressões geométricas, afirmando em seguida que isso somente
foi possível com o estudo da história, o que nos leva a acreditar que são grandes as
potencialidades de um trabalho pedagógico norteado pela história da matemática.
Durante uma correção (realizada após nossa pesquisa) sobre a atividade para
discutir os conhecimentos construídos, mais uma vez, foi explicitado por um aluno a
importância do estudo da história da matemática: _ para mim o curso de
matemática deveria ser sempre assim, por que estudaríamos o que está por trás do
que nós já sabemos
104
Em nossas atividades, apesar das dificuldades apresentadas, foi notória a
interação com o conteúdo, pois buscamos em nossa pesquisa, uma alternativa
pedagógica e decidimos, portanto, pela integração com a história.
Retomando a questão colocada no inicio da presente dissertação, qual seja,
investigar qual o potencial pedagógico de uma seqüência didática que utilizasse a
historia do logaritmo no processo de ensino-aprendizagem, concluímos que este
potencial existe, mas entendemos, no decorrer de nossa pesquisa, que a construção
de um conceito é um processo lento que exige a exploração continua por meio da
apresentação de situações-problema que explorem os diferentes aspectos desse
conceito.
Sabemos que um trabalho pedagógico que venha a ser feito com esse ou
outro tipo de atividade, em que os logaritmos se mostrem úteis não deve, a nosso
ver, limitar-se à exploração mecânica, mas sobretudo envolver-se com situações ou
aplicações que possam interferir de maneira a auxiliar a construção do
conhecimento.
A atividade realizada demonstra que o conteúdo de logaritmos nos traz
inúmeras possibilidades de trabalho pedagógico, como por exemplo, se
aprofundarmos o estudo da relação música e logaritmos; ou até mesmo criar novas
situações que o relacionem com as progressões geométricas e aritméticas que
poderiam levar a situações de um reconhecimento mais profundo sobre as
propriedades dos logaritmos.
Concluímos que uma seqüência didática que utiliza a história do logaritmo
como um direcionador, trás à tona discussões sobre conceitos, propriedades, e
aplicações, que serão de grande utilidade para a compreensão desse conteúdo. No
entanto, é necessário que se considerem os conhecimentos prévios dos alunos, pois
105
como vimos na atividade com o instrumento musical, os alunos chegaram aos
conceitos matemáticos envolvidos sem, no entanto, atingirem uma compreensão
significativa da relação entre os números obtidos e o significado musical dos
mesmos, pois desconheciam a teoria musical envolvida.
106
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construção de significados. São Paulo: Escrituras, 1995.
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IEZZI, G et al. Matemática ciência e aplicação. São Paulo: Atual, 2001. v. 1-3.
ILHA, C. Música uma formação para a vida. Belo Horizonte: Nova Acrópole, 1999.
KIEFER, B. História da música brasileira, dos primórdios ao início do séc. XX.
Porto Alegre: Movimento, 1977.
LAWLOR, R. Geometria sagrada. Tradução GVS. Madrid: Edições Del Prado, 1996.
MENUHIN, Y ; DAVIS, C. W. A música do homem. São Paulo: Martins Fontes,
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MIGUEL, A.; MIORIM, A. M. Ensino de Matemática. São Paulo: Atual, 1986. Projeto
Magistério.
110
MORI, I.; ONAGA, D. S.- Matemática idéias e desafios: ensino fundamental 1. São
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NAUX, C. Histoire des logarithimes de Neper a Euler. Paris: Librairie
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______. ______. Paris: Librairie Scientifique et Technique A. Blanchard, 1971. T. 2.
NEGREIROS, F. Abrindo caminhos: iniciação a história da música e sua relação
com outras artes. Rio de Janeiro: Gryphos, 2000.
PAIVA, M. R. Matemática: ensino 2 grau. São Paulo: Moderna, 1995. v. 1-3.
PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto
Alegre: Artes Médicas, 1996.
PLATÃO. A República: texto integral. São Paulo: Martim Claret , 2000. (Coleção a
obra prima de cada autor).
RIBEIRO, W. Folclore musical: elementos de teoria da música. São Paulo:
FTD,1965. v. 1.
SALAZAR, A. Conceptos fundamentales em la história de la Música.. Madrid:
Alianza Musica, 1997.
SHAFFER, R.M. O ouvido pensante. Tradução: Marisa T. de O. Fonterraba,
Magda R. G. da Silva, Maria L. Pascoal.- São Paulo: Fundação Ed. Unesp, 1991.
Título original: The Thinking Ear.
SPENCE, K. O livro da musica. Tradução: José Castro. São Paulo: Círculo do
Livro, 1979. Título original Living music.
STEFANI, G. Para entender a música. Tradução: Maria Bethânia Amoroso. Rio de
Janeiro: Globo, 1989.
VYGOTSKY, L. Desenvolvimento da capacidade criadora. São Paulo: Ed. Mestre,
1977.
111
ANEXOS
112
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA
O objetivo desta avaliação é analisar o conhecimento inicial no que diz respeito ao
ensino de Logaritmo.
Partindo desta avaliação, desenvolveremos um trabalho de fundamentação teórica
quanto à aprendizagem do mesmo.
Leia atentamente as questões abaixo e responda:
1. Nome: _________________________________________________________
2. Sexo: ( ) masculino ( ) feminino
3. Idade:
4. Semestre em curso:
5. Cursou o ensino médio em instituição: ( ) Pública ( ) Particular
6. Cursou o ensino médio em:
( ) Natal ( ) outras cidades Quais: ___________________________
7. Você já leciona? ( ) sim ( ) não
8. Você já ensinou o conteúdo Logaritmo? _____________________________
9. Saberia explicar como e porque surgiram os Logaritmos?
10. Quais as utilizações dos Logaritmos hoje?
11. Dentre os itens seguintes, assinale aqueles que você acredita ter alguma relação com
Logaritmos:
a) ( ) Cálculo do índice pluviométrico anual médio de uma região
b) ( ) determinação do volume de um cone
c) ( ) crescimento de bactérias
d) ( ) representação gráfica de funções
e) ( ) eletrocardiograma
f) ( ) potenciação
g) ( ) intensidade sonora
h) ( ) resfriamento de um corpo aquecido
i) ( ) função exponencial
j) ( ) movimento retilíneo uniformemente variado
k) ( ) simplificação de cálculos aritméticos trabalhosos
l) ( ) juros compostos
m) ( ) comprimento de um arco de parábola
n) ( ) área de uma faixa sob uma hipérbole
o) ( ) cartografia
p) ( ) tábuas trigonométricas
q) ( ) jogos de azar
r) ( ) sons emitidos pelas teclas de um piano
s) ( ) progressões aritméticas e geométricas
t) ( ) movimento circular uniforme
u) ( ) luminosidade das estrelas
v) ( ) energia cinética de um corpo
w) ( ) pH de uma solução química
x) ( ) luminosidade de uma lâmpada elétrica
y) ( ) desintegração radioativa
z) ( ) linearização de curvas
113
12. Considere os itens marcados na questão anterior e tente justificar cada uma de suas
escolhas.
13. Narre em que situações de aprendizagem você aprendeu Logaritmos (abordagem do
professor; usou ou não do livro didático; quais disciplinas; outros.)
14. Quais as dificuldades que você tem com relação ao Logaritmo? A que você atribui
essas dificuldades?
15. Para você quais seriam os métodos de ensino do Logaritmo?
Bibliografia: Miorim, Maria Ângela Miguel, Antonio Os Logaritmos na Cultura Escolar Brasileira. Editora SBHMAT 2002 São Paulo. (Item 11 texto
integral páginas 8 e 9)
114
Seqüência de atividades
Logaritmos II
Definição de logaritmo:
Logaritmos são os termos de uma progressão aritmética começando por zero,
correspondentes aos termos de uma progressão geométrica começando pela unidade
(SERRASQUEIRO, 1900, P. 320).
1 - Observe a definição anterior. Dadas as seqüências:
I) PA: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
PG: 1, 2, 3, 4 , 8, 16, 32, ...
II) PA: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
PG: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
A) Qual seria, na seqüência I, o logaritmo de 8? E na II?
B) O que está fazendo com que as duas correspondências de seqüências sejam
diferentes?
C) Qual a base está sendo utilizada na seqüência I? e na II?
D) Descreva, em linguagem matemática, a definição acima, determinando as
condições de existência dos logaritmos para R e para C.
E) Determine, na primeira seqüência, a média aritmética entre o segundo e o sexto
termo da PA. Determine a média geométrica entre os termos correspondentes
segundo e sexto na PG. O que você observa? Este fato é generalizável para os
demais termos da seqüência I? E para a seqüência II?
*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,
A. Natal, SBHMat. 2002
115
F) Na seqüência II, some os terceiros e quarto termos da PA. Qual o termo
correspondente, na PG, a esta soma? Como conseguiríamos este termo da PG
utilizando apenas os termos da progressão geométrica?
G) Sabemos que 864 = . O que teríamos que fazer, na seqüência I, com o termo
da PA correspondente ao termo da PG, 64, para determinarmos, na PA, o termo
correspondente ao termo da PG, 8? E na seqüência II?
H) A partir das observações anteriores, como determinaríamos, utilizando a PA,
seqüência I, o logaritmo de
8 ? E na seqüência II?
I) Em qualquer uma das seqüências, a subtração de dois termos da PA corresponde
a que operação com os termos correspondentes da PG?
J) Em qualquer uma das seqüências, a duplicação de um termo da PA corresponde
a que operação ao termo correspondente da PG?
2
Napier em sua obra, publicada em 1619, concebeu os logaritmos a partir de
aspectos, simultaneamente, geométrico, cinemático, aritmético, funcional e
trigonométrico. Para tal, imaginou uma situação cinemática na qual dois pontos
móveis P e P, a partir dos pontos A e A, iniciavam simultaneamente seus
movimentos ao longo de duas trajetórias retilíneas AB e A , respectivamente.
Considerou que AB possuía comprimento fixo de 10
7
. A era considerada uma
semi-reta ao longo da qual eram fornecidos os logaritmos.
*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,
A. Natal, SBHMat. 2002
116
Os pontos P e P, porém, não se deslocavam com velocidades iguais: P se
deslocava com velocidade variável e, em cada momento, numericamente igual à
sua distância ao ponto B. A variação de velocidade de P se dava por um coeficiente
constante igual a (1-10
-7
) em cada intervalo de tempo t
∆
, escolhido
convenientemente. P se deslocava com velocidade constante e numericamente
igual à distancia AB, isto é, a 10
7
.
Napier definia, para cada instante desse movimento coordenado, o logaritmo de
cada um dos segmentos P
I
B como sendo, respectivamente cada uma das
distâncias A P
i
.
a) A partir destas informações, complete a tabela abaixo, fazendo corresponder a
cada instante, distâncias P
i
B e A
i
dos pontos P E P.
Tempo
i
PiB
T
0
= 0 10
7
T
1
=10
-7
T
2
= 2.10
-7
b) Que tipo de progressões formam as seqüências A
i
e P
i
B?
c)Qual a razão de cada uma delas?
*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,
A. Natal, SBHMat. 2002
A
P
B
B’
P’ B’
117
d) Qual a base deste sistema de logaritmos criado por Napier?
3) Vamos realizar uma alteração no sistema de logaritmos de Napier.
a) Complete a tabela abaixo:
TEMPO
7
10
I
AP
7
10
Bp
I
Arc sen
7
10
Bp
I
0
0
=T
7
1
10
−
=T
7
2
10.2
−
=T
7
3
10.3
−
=T
b) As seqüências da segunda e da terceira coluna ainda são progressões? Em
caso positivo, quais as razões destas progressões?
c) Qual a base deste novo sistema de logaritmo?
d) Calcule o inverso multiplicativo do valor desta base. O que você observa?
4) Vamos construir uma tábua de valores aproximados dos logaritmos, na base 10,
dos primeiros nove números inteiros positivos.
Consideremos 2
10
= 1024
*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,
A. Natal, SBHMat. 2002
118
1024, difere de 1000 por um erro de 2,4%. Este será o erro de nossos cálculos do
log 2.
2
10
= 1000 aproximadamente
2
10
= 10
3
aproximadamente
2 = 10
0,3
aproximadamente
Portanto, log 2 é 0,3 aproximadamente.
Analogamente, 3
9
= 19683
19683 difere de 20000 por um erro de 1,6%.
3
9
= 20000 aproximadamente
3
9
= 10
0,3
. 10
4
aproximadamente
3
9
= 2 . 10000 aproximadamente
3
9
=
9
3,4
10 aproximadamente
log3 = 0,48 aproximadamente
Agora, utilizando as propriedades estudadas no 1º exercício desta seqüência,
calcule os logaritmos dos demais números inteiros positivos de 1 a 9. (Dica: para
sete, considere que sete ao quadrado é aproximadamente 50).
5) Com sua tabela de logaritmos na base 10, sem usar a calculadora, como faríamos
para calcular 48. 125?
2. 5- Atividades Relacionando matemática e música :
• Responda as questões abaixo considerando a pesquisa sobre a relação
matemática e música.
*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,
A. Natal, SBHMat. 2002
119
1)Marque no instrumento as notas pela escala pitagórica.
2) a) Sabendo que a freqüência de um Dó é o dobro do outro, calcule as razão
entre cada nota.
DO do# RÉ ré# MI FÁ fá# SOL sol# LÁ lá# SI DÓ
b) Se a freqüência do primeiro DÓ for 1 calcule a freqüência das demais notas
e marque no instrumento uma escala de DÓ a DÓ, medindo com a régua.
2) Qual o conceito implícito na atividade anterior
*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,
A. Natal, SBHMat. 2002
120
RESUMO DO TRABALHO
QUESTÃO NORTEADORA DA PESQUISA:
Qual o potencial de uma seqüência de atividades pedagógicas sobre logaritmos elaboradas
tendo como fio condutor a história da matemática?
OBJETIVO:
Apresentar uma seqüência de atividades para o trabalho pedagógico, tendo como fio
condutor a História da Matemática, buscando a origem do conceito de logaritmos, e a relação
da matemática com a música. Objetivando, analisar qual o potencial que uma atividade sob
uma perspectiva histórica, teria no que diz respeito ao processo de ensino aprendizagem.
ESTUDO HISTÓRICO DOS LOGARITMOS
§ ORIGEM: Necessidade prática de um método que simplificasse os cálculos
utilizados para a navegação e astronomia.
§ REGRA DE PROSTAFÉRESE: Regras que transformavam produto em soma ou
diferença.
§ NAPIER: Apresenta os logaritmos numa concepção geométrica estabelecendo a
relação entre o mesmo e as progressões aritméticas e geométricas. Apresenta uma
maneira mais simples para a realização de cálculos - transformando a multiplicação
em adição e a divisão em subtração.
RELAÇÕES ENTRE A MATEMÁTICA E A MÚSICA:
§ Pitágoras de Samos
- Os intervalos perfeitos 3/4 - 2/3 –1/2
§ Andréa de Werkmeister
- Temperamento Igual
PRESSUPOSTOS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
DIFICULDADES APRESENTADAS À PRIORI:
§ Relacionar a definição histórica ao que lhe foi apresentado pelo ensino atual;
§ Dar uma definição de logaritmo, associada a progressões aritméticas e progressões
geométricas;
§ Transpor o conceito apreendido a outras situações;
§ Reconhecer as propriedades quando exploradas em diferentes contextos;
§ Compreender as condições de existência dos logaritmos;
§ Perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível. Por
exemplo a multiplicação em adição;
121
§ Perceber que em sua origem histórica o logaritmo prescindiu de uma base e do
exponencial;
§ Desconhecer que a base do sistema de logaritmos de Napier aproxima-se do inverso
multiplicativo de e.
§ Desconhecer a construção de uma tábua de logaritmos;
§ Trabalhar com expoente racional na representação decimal;
§ Relacionar os expoentes do item anterior com a tábua de logaritmos construída por
eles;
§ Desconhecer a relação entre logaritmo e música.
SUJEITOS DA PESQUISA:
§ Alunos do 6º período do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte.
§
FASES DA PESQUISA:
§ Aplicação de uma avaliação diagnóstica;
§ Seleção de cinco alunos;
§ Aplicação das atividades.
CRITÉRIOS DE ANÁLISE:
§ Analisar através das falas e das resoluções dos alunos se em cada atividade
desenvolvida as hipóteses levantadas à priori foram confirmadas.
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS:
Foram desenvolvidas uma série de atividades cujo os objetivos contemplassem as hipótese
levantadas à priori.
Em termos Gerais as atividades tinham o seguintes objetivos:
§ Revisar a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões geométricas o
conceito de logaritmos e suas propriedades.
Reconhecer:
§ A correspondência entre as progressões aritméticas e geométricas;
§ As propriedades, quando exploradas em diferentes contextos;
§ Que as subtrações, na progressão aritmética, correspondem a quociente na
progressão geométrica;
§ O conceito apresentado na construção da tabela;
§ Que a base do sistema de logaritmos de Napier aproxima-se do inverso
multiplicativo de e;
§ A relação entre logaritmos e música.
122
Perceber:
§ As diferentes bases;
§ Que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível;
§ Que as raízes de termos da progressão geométrica são obtidas mediante
divisões de termos a eles correspondentes na progressão aritméticas pela razão
da progressão geométrica.
Determinar:
§ As condições de existência, através da linguagem matemática;
§ A média geométrica e a média aritmética.
Construir:
§ Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica particular partindo
de uma situação histórica;
§ Uma tabela de valores aproximados dos logaritmos na base 10;
§ Analisar o sistema de logaritmos de Napier.
ANÁLISE GERAL:
Pontos negativos:
§ No inicio os alunos tiveram dificuldades em relacionar o conceito de
logaritmos com as progressões aritméticas e geométricas;
§ Não reconheceram a relação existente entre as bases do sistema de logaritmo
e as razões das progressões;
§ Apresentaram dificuldades em reconhecer a base do sistema de Napier;
§ Os alunos tiveram dificuldades em trabalhar com expoente racional;
§ Ficou evidente a não familiarização com o instrumento musical.
Pontos positivos:
§ As intervenções da professora durante a atividade;
§ Os alunos se reportaram as conclusões anteriores para responder as questões;
§ Houve uma reeleboração do conceito apresentado durante a realização das
atividades;
§ Apesar das dificuldades apresentadas em sua maioria as atividades foram
realizadas.
123
CONSIDERAÇÕES FINAIS:
A atividade realizada demonstra que o conteúdo de logaritmos nos traz inúmeras
possibilidades de trabalho pedagógico, como por exemplo, se aprofundarmos o estudo da
relação música e logaritmos; ou até mesmo criar novas situações que o relacionem com as
progressões geométricas e aritméticas que poderiam levar a situações de um reconhecimento
mais profundo sobre o conceito e as propriedades dos logaritmos.
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