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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E
MATEMÁTICA
A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ALTERNATIVA DE ENSINO E
APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
ROSALBA LOPES DE OLIVEIRA
NATAL/RN
2004
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ROSALBA LOPES DE OLIVEIRA
A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ALTERNATIVA DE ENSINO E
APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
Dissertação apresentada, como exigência parcial para obtenção do
grau de Mestre em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, à
banca examinadora da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte.
Orientadora: Profª. Drª. Cláudia Helena Dezotti
NATAL/RN
2004
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ROSALBA LOPES DE OLIVEIRA
A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ALTERNATIVA DE ENSINO E
APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
Dissertação apresentada, como exigência parcial para obtenção do grau de Mestre em Ensino de
Ciências Naturais e Matemática, à banca examinadora da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte.
BANCA EXAMINADORA
Profª. Drª. Cláudia Helena Dezotti
Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi
Prof. Dr. Iran Abreu Mendes
Natal, de .................................de 2004
Aos meus pais, Ponciano e Maria, que me deram a grandeza da vida
e que sempre me ensinaram o valor do estudo e do trabalho;
Ao meu marido, Ronaldo, amigo e companheiro, que me incentivou
e me apoiou na realização deste sonho.
Agradecimentos
Este percurso de formação não teria sido possível, se eu não tivesse encontrado ajuda e
apoio para concretização deste sonho. Por isso agradeço:
Ao Criador, pela vida, pela chama de esperança que me fez expandir o espírito e ampliar os
conhecimentos;
A minha orientadora, Professora Cláudia Helena Dezotti, que me incentivou e orientou todo o
processo de construção deste trabalho;
A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática – PPGECM -, que me conduziram a aprender a aprender;
Ao Instituto de Educação Superior Presidente Kennedy - IFESP -, que contribuiu de maneira
significativa para que eu atingisse este objetivo;
Aos colegas da equipe de Matemática do IFESP - Regina, Maria José, Fracinete e Paulino -, pela
compreensão nos momentos de ausência e pelo apoio e contribuição recebida na escrita desta
dissertação;
Aos meus alunos da Escola Municipal Celestino Pimentel - EMCP, que, cotidianamente, me
ensinam a ser professora, pela incansável colaboração que me deram na construção deste
trabalho;
A Stevenson, pelo apoio que dele recebi;
Àqueles que estiveram ao meu lado tanto no desenvolvimento deste estudo como em outras
experiências significativas;
E a todos os que sonham com uma escola de qualidade para todas as crianças, jovens e
adultos.
RESUMO
Este trabalho se insere no campo da Educação Matemática da Educação de Jovens e Adultos e
visa contribuir para a ação educativa dos profissionais da área de Matemática, que atuam com
essa modalidade de ensino, tomando como parâmetro o enfoque da Modelagem Matemática.
Constituiu objetivo da pesquisa a elaboração de uma proposta de utilização da Modelagem
Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem da Geometria na EJA. A pesquisa foi
desenvolvida em três turmas do nível III (5ª e 6ª séries), da EJA, em uma escola municipal da
periferia da cidade do Natal/RN. Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa, com enfoque
na observação participante, tendo em vista a nossa atuação direta no ambiente da pesquisa, como
professora de Matemática dessas turmas. Utilizamos como instrumentos de coleta de dados
questionários, notas de aula e análise de documentos oficiais. Os resultados apontam que as
atividades em que se utiliza a Modelagem Matemática valorizam o saber fazer do aluno no
processo de construção do conhecimento, na medida em que procuram desenvolver métodos de
aprendizagem significativa, auxiliando o aluno a construir relações da Matemática com outras
áreas do conhecimento e dentro da própria Matemática. Amplia também a visão de mundo do
aluno, ajudando sua participação em outros espaços sociais, além de propiciar mudanças na
postura do aluno e do professor, em relação à dinâmica da sala de aula de Matemática.
PALAVRAS-CHAVE: educação de jovens e adultos; modelagem matemática; geometria.
ABSTRACT
This is work itself insert in the mathematics education field of the youth and adult education to
aim to practitioners of the educational action into the mathematics area performing to with this is
teaching kind, adopting to as parameter the Mathematics Molding approach. The motive of the
research is to draw up a application proposal of the molding mathematics as teaching and
learning geometry alternative in the youth and adult education. The research it develops in three
class of the third level (series 5
th
and 6
th
) of he youth and adults education in the one school
municipal from the Natal outskirts. Its have qualitative nature with participating observation
approach, once performing to directly in to research environment as a mathematics teacher of
those same classes. We are used questionnaires, lesson notes and analyses of the officials
documents as an basis of claim instruments. The results indicates that activity used the
mathematic moldings were appreciated the savoir-faire of the student in to knowledge
construction process, when search develop to significant learning methods, helping to student
build has mathematics connections with other knowledge areas and inside mathematics himself,
so much that enlarges your understanding and assist has in your participation in the other socials
place, over there propitiate to change in student and teacher posture with relation to mathematic
classroom dynamics.
Key words: Youths and adults Education; Mathematics Molding; geometry.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO....................................................................................................................... 10
1 EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS: propostas e projetos........................................
1.1 A Educação de Jovens e Adultos: instrumento de conquista da cidadania.......................
1.2 A Educação de Jovens e Adultos: reflexões sobre as políticas públicas...........................
18
18
24
2 MODELAGEM: um aporte para o ensino e aprendizagem da Matemática..........................
2.1 Modelagem Matemática: conceito....................................................................................
2.2 Modelagem Matemática como alternativa metodológica.................................................
2.3 A EJA e a modelagem matemática: tecendo relações ......................................................
34
34
41
45
3 METODOLOGIA DA PESQUISA.....................................................................................
3.1 Caracterizando a pesquisa.................................................................................................
3.2 Descrevendo as etapas da pesquisa...................................................................................
3.3 Desvendando o ambiente da pesquisa...............................................................................
55
55
56
58
4 IDENTIFICANDO O ALUNO DA EJA............................................................................
4.1 O perfil do aluno pesquisado............................................................................................
4.2 Os conhecimentos da geometria do aluno da EJA............................................................
62
62
67
5.PROPOSTA DE ATIVIDADES PARA O ENSINO DE GEOMETRIA
UTILIZANDO MODELAGEM MATEMÁTICA.............................................................
5.1 O papel da geometria na formação do cidadão.................................................................
5.2 Definição dos temas e estrutura das atividades.................................................................
5.3 TEMA 1 Ângulos e Posições Relativas de Retas.............................................................
5.3.1 Ângulos....................................................................................................................
5.3.2 Posições relativas de retas.....................................................................................
5.4 TEMA 2 Sistemas Referenciais.......................................................................................
5.5 TEMA 3 Figuras Geométricas.........................................................................................
5.5.1 Figuras Geométricas Planas..................................................................................
5.5.2 Figuras Geométricas Espaciais ............................................................................
77
78
84
85
86
95
103
118
119
129
6 ANÁLISE DAS ATIVIDADES APLICADAS ..................................................................
6.1 Atividade 1 – Desenhando portões ..................................................................................
6.2 Atividade 2 – Construindo casas.......................................................................................
6.3 Atividade 3 – Dobrando e construindo retas ....................................................................
6.4 Atividade 4 – A caminho da escola .................................................................................
140
141
148
155
160
7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES ........................................................................................
170
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................... 174
ANEXOS................................................................................................................................... 180
“[...] É possível sonhar e fazer planos e ter energia bastante para
realizá-los, a despeito de todas as dificuldades e obstáculos” (Mário
Quintana).
INTRODUÇÃO
Vivemos um momento histórico em que ocorrem grandes transformações, marcadas por
progressos e avanços nas ciências, na área das tecnologias, da informação, no processo produtivo,
nos objetivos da educação e no conceito de profissionalização. No entanto esses avanços parecem
contraditórios quando não se consegue resolver problemas como as injustiças sociais, a violência,
o desemprego, a fome, os desequilíbrios ambientais, a evasão e a repetência nas escolas, entre
outros, que tornam menos digna a qualidade de vida do homem no planeta. Desse modo, é
imprescindível que se discuta, com profundidade, o papel da educação nessa sociedade
globalizada, no sentido de centrar esforços na melhoria das condições humanas.
No cerne das discussões sobre as funções da educação na atual sociedade, a concepção
que mais se aproxima das transformações é aquela associada à Educação para a Cidadania, que
tem como perspectiva a elevação do nível educacional e cultural de todos os indivíduos,
independentemente de classes ou grupos sociais, na perspectiva da formação do cidadão, ou seja,
uma educação que seja capaz de dotar os homens e mulheres de instrumentos que lhes possibilite
perceberem-se inseridos dentro de um contexto mais amplo, compreendendo melhor a si mesmos
e ao mundo em que vivem.
Há muito tempo, no Brasil, discute-se o problema da educação de jovens e adultos, mas,
no momento atual, é preciso investir com mais afinco na educação básica e permanente dessas
pessoas que não tiveram oportunidade de completar a sua escolarização no tempo regular, tento
em vista que somente com acesso à educação é que elas podem enfrentar o mundo do trabalho,
cada vez mais exigente e competitivo. Sem educação, os jovens e adultos não terão chance de
sobreviver na sociedade da informação e da tecnologia, que exige cidadãos preparados para
acompanhar a rápida evolução do conhecimento e as mudanças advindas em seu contexto de
vida.
Hoje, o conhecimento é considerado peça fundamental para inserção de homens e
mulheres no mercado de trabalho, que exige destes uma qualificação permanente para responder
às constantes transformações nesse setor. Isso mostra a estreita relação existente entre educação e
desenvolvimento econômico, político e social de um país. Dessa forma, como deixar o jovem e o
adulto fora do acesso ao conhecimento sistematizado?
Considerando, pois, que mais de um terço dos adultos do mundo não tem acesso ao
conhecimento impresso, às novas tecnologias, o que poderia melhorar-lhes a qualidade de vida e
ajudá-los a perceber e a adaptar-se às mudanças sociais e culturais, é urgente que se encontrem
caminhos para garantir a educação básica a todos, e que esta possa estar aliada a um processo de
desenvolvimento do setor produtivo.
No Brasil, nos últimos anos, houve um significativo aumento no número de matrículas na
Educação Básica e, em especial, na Educação de Jovens e Adultos (EJA), mas, mesmo assim, não
foi possível eliminar o analfabetismo no nosso país, visto que o aumento do número de
matrículas não significa a permanência na escola, que é o grande desafio para o sistema
educativo. Na medida em que o sistema se preocupa apenas em aumentar o número de vagas nas
escolas e não com a qualidade do ensino, o número de repetências e evasões se acelera. O
afastamento da escola provoca baixa-estima e desestímulo dos alunos, que acabam abandonando
o ambiente escolar, sentindo-se incompetentes para aprender.
É preciso enfrentar esse desafio edificando um ambiente escolar que promova educação
de qualidade e que não seja mais um espaço de jovens e adultos desestimulados, mas de pessoas
que tenham condições de enfrentar os obstáculos da vida moderna.
Mas em que a Matemática tem contribuído para essa exclusão e os baixos índices de
permanência e progressão no sistema de ensino?
Provavelmente, essa disciplina tem contribuído para o fracasso escolar na medida em que
seu ensino, de maneira geral, está descolado das questões do cotidiano dos alunos, o que provoca
um sentimento de aversão em relação a ela e o pensamento de que só alguns indivíduos têm
condições de aprender Matemática, ou seja, aqueles que não conseguem aprender são tachados de
incompetentes e incapazes. A Matemática funciona como um filtro social do sistema educacional,
por contribuir para a evasão e a repetência de uma parcela considerável de alunos que são
matriculados todos os anos nas escolas.
Comumente, observamos que a prática dos professores nas aulas de Matemática está
centrada na supervalorização do rigor, no exercício da autoridade, por se sentirem detentores do
saber, na relevância dada aos conteúdos veiculados nos livros didáticos, sem nenhuma discussão
sobre a importância desses conteúdos para o desempenho pessoal dos alunos, e numa concepção
de avaliação focada no produto final, em detrimento do processo elaborado para compreensão
desse produto.
O grande desafio para a escola, nos dias de hoje, é tornar o ensino mais interessante,
relevante e integrado às questões da atualidade. O papel do professor de Matemática é fazer com
que o ensino dessa disciplina seja interessante e interligado com as situações do contexto de vida
dos alunos, não esquecendo, porém, do papel formativo que tem a Matemática.
Se a sociedade está mudando, o conhecimento está mudando, o currículo está mudando,
por que não mudar a forma de abordar os conhecimentos matemáticos? Por que os alunos têm
tantas dificuldades em aprender os conteúdos matemáticos? Será que os professores estão
contribuindo para que os alunos não gostem de Matemática?
É tentando refletir sobre essas e outras questões relativas ao ensino e à aprendizagem de
Matemática que estamos apresentando esta dissertação, na qual emerge como foco norteador a
questão: Como a modelagem matemática pode contribuir para a construção do conhecimento
geométrico dos alunos do Nível III da EJA? Este estudo tem sua relevância devido ao descaso
que vem ocorrendo nas salas de aulas de EJA, com relação à Geometria, que, em geral, não é
abordada nessa modalidade de ensino, acarretando enorme prejuízo à clientela, que necessita
desse conhecimento para entender o espaço em que vive e outros ambientes compreendidos no
mundo.
Consideramos também importante este estudo porque é uma forma de contribuir para que
os alunos de EJA resgatem o já sabido ou conhecido acerca da geometria, ampliando e
aprofundando seus conhecimentos e, ao mesmo tempo, auxiliando-os a perceber a presença da
geometria em seu contexto de vida.
Para tanto, definimos como objetivo geral deste estudo a elaboração de uma proposta de
atividades utilizando a Modelagem Matemática como metodologia de ensino e aprendizagem de
Geometria na Educação de Jovens e Adultos (EJA), em turmas do Nível III, do Projeto Acreditar,
desenvolvido pela Secretaria Municipal de Educação de Natal/RN.
Como forma de atingirmos esse objetivo, elencamos como objetivos específicos elaborar
atividades que possibilitem a construção do conhecimento geométrico dos alunos do Nível III da
EJA; aplicar e avaliar o uso de algumas das atividades desenvolvidas em três turmas da EJA, do
Nível III, do Projeto Acreditar, numa escola municipal da cidade do Natal.
O Projeto Acreditar foi criado em 1999, para oportunizar o acesso e a continuidade dos
estudos à clientela de jovens e adultos que foi excluída da escola no período regular,
possibilitando a conclusão do Ensino Fundamental a todos os jovens e adultos a partir de 14 anos.
Esse projeto foi estruturado em níveis de ensino: o Nível I compreende a alfabetização, o Nível II
é de sistematização (3ª e 4ª séries), o Nível III compreende a 5ª e a 6ª séries, e o Nível IV
corresponde a 7ª e a 8ª séries.
O nosso trabalho de pesquisa está direcionado ao Nível III (5ª e 6ª séries), por ser o nível
em que atuamos como professora de Matemática na EJA, numa escola da periferia de Natal/RN.
Elegemos a Modelagem Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem de
Geometria na EJA, neste estudo, por considerarmos que essa metodologia possibilita a
transformação de problemas do cotidiano do aluno em problemas matemáticos, que são
resolvidos de forma dinâmica, em que o aluno participa ativamente do processo de resolução dos
problemas propostos.
Acreditamos que, quando o aluno percebe a aplicação da Matemática em situações do seu
cotidiano, ele é capaz de compreender melhor os assuntos desenvolvidos em sala e aula e,
conseqüentemente, incorporar conceitos e resultados, de forma mais significativa, criando
interesse para aprender Matemática.
Barbosa (1999, p.71) aponta algumas características do trabalho com Modelagem:
[...] a apresentação de estruturas matemáticas não mais se constituem em foco
central do estudo, mas num recurso de organização de idéias exploradas e/ou
investigadas. As noções de certezas e precisão são abaladas, e passa-se a lidar
com respostas aproximadas, podendo-se, inclusive, obter várias ‘soluções’.
Vista assim, a dinâmica da sala de aula se modifica, uma vez que o professor deixa de ser
o “transmissor do saber para ser entendido como aquele que está na condução das atividades,
numa posição de partícipe” (BARBOSA, 1999, p.71). Tal postura traduz a responsabilidade do
professor nessa abordagem de ensino, pois este passa a ser de problematizador e articulador das
idéias exploradas no processo de modelagem com o saber sistematizado.
Outra característica do trabalho com modelagem destacada por Barbosa (1999), é a
possibilidade da integração entre vários conteúdos, que propicia a retomada de conteúdos já
trabalhados, infundindo, assim, um caráter espiral ao currículo.
O ponto de destaque no trabalho com modelagem é instituir condições para que os
educandos aprimorem seus conhecimentos aprendendo a fazer modelos matemáticos, pois se
almeja que através da modelagem eles sejam incentivados a buscarem solução para os problemas
e aprendam a fazer pesquisa, adquiram o hábito de formular e resolver problemas, aprendam a
lidar com temas do seu interesse, utilizem os conteúdos matemáticos em situações reais do seu
dia-a-dia e possam desenvolver sua criatividade.
Nosso trabalho está estruturado em sete capítulos. No primeiro tratamos da necessidade
de reformulação dos programas e projetos direcionados à EJA, como forma de se contemplarem
as transformações da sociedade contemporânea e a formação do cidadão para atuar nessa
sociedade em mudança.
Enfatizamos, no segundo capítulo, algumas considerações acerca das diferentes
compreensões que se tem atualmente sobre o que é Modelagem Matemática, com base nos
conceitos apresentados por vários autores, além de destacarmos as contribuições que essa
metodologia pode oferecer como alternativa de ensino e aprendizagem da Matemática, tendo
como ponto de referência as idéias postas por diversos autores que se detiveram no estudo dessa
metodologia de ensino.
No terceiro capítulo, fazemos uma descrição da metodologia utilizada na pesquisa,
considerando a caracterização do trabalho, a descrição das etapas desenvolvidas e o ambiente em
que foi realizado.
No quarto capítulo procuramos destacar o perfil do aluno da Educação de Jovens e
Adultos que participou da pesquisa, além de enfocarmos os conhecimentos prévios que esses
alunos têm em relação à Geometria, tomando como parâmetro os questionários aplicados.
No quinto capítulo, descrevemos nossa proposta de atividades utilizando a Modelagem
Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem da Geometria no Nível III da EJA.
Ressaltamos inicialmente, o papel da Geometria no processo de formação do cidadão, com base
nas idéias de alguns autores que se debruçaram sobre essa questão. Além disso, definimos os
temas com os quais trabalhamos, selecionados a partir dos conteúdos de Geometria incluídos na
Proposta Curricular da EJA – 2º segmento (5ª a 8ª série), bem como as atividades que elaboramos
para explorá-los.
No sexto capítulo, o enfoque foi dado à descrição das atividades aplicadas e à análise dos
resultados encontrados no desenvolvimento dessas atividades, enfatizando também a avaliação
feita pelos alunos, ao final da aplicação das atividades.
Finalizando, no sétimo capítulo, apresentamos as conclusões e sugestões extraídas dos
resultados encontrados nos estudos realizados durante esse trabalho e na aplicação das atividades
selecionadas.
Esperamos, com este trabalho, contribuir para as reflexões sobre o ensino de Geometria na
Educação de Jovens e Adultos e na construção de uma prática educativa que leva em
consideração a participação do aluno e seus problemas vivenciados no seu cotidiano. Além do
mais, colaborar com o avanço nas pesquisas relacionadas ao ensino da Matemática na EJA.
“A compreensão da EJA como um direito do cidadão, uma necessidade
da sociedade e uma possibilidade de realização da pessoa como sujeito
de conhecimento tem uma significativa repercussão na prática
pedagógica do educador” (Maria da Conceição F. R. Fonseca).
1 EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS: propostas e projetos
Neste capítulo, faremos algumas considerações acerca da necessidade de reformulação
dos programas e projetos que atendem aos jovens e adultos, tendo em vista as novas exigências
do mundo do trabalho e a atual Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional - LDB nº.
9.394/96 -, que enfoca a obrigatoriedade, por parte do Estado, de oferecer o acesso aos estudos e
a permanência na escola àqueles que não tiveram acesso ou não deram continuidade aos estudos
no período regular. Enfatizamos também propostas e projetos implementados na EJA desde a
década de 40 até os dias atuais -, em especial, o Projeto Acreditar, desenvolvido pela Secretaria
Municipal de Educação de Natal/RN.
1.1 A Educação de Jovens e Adultos: instrumento de conquista da cidadania
O pensamento sobre educação que entra em cena neste novo milênio está traduzido na
expressão educação ao longo de toda a vida. Busca-se fazer com que as pessoas saibam
direcionar suas ações dentro desta sociedade em constantes transformações. Delors (1999, p. 105)
diz, a respeito disso: “[...] A educação ao longo de toda a vida torna-se assim, para nós, o meio de
chegar a um equilíbrio mais perfeito entre trabalho e aprendizagem, bem como de uma cidadania
ativa”. Dessa forma, é através da educação que se concretizam as ações para a conquista da
dignidade humana.
Há, portanto, necessidade de se reverter o quadro de analfabetismo que atinge o nosso
país, demonstrado nos dados estatísticos apresentados no censo escolar realizado pelo Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais – INEP -, em 2001, apontando que 13,6% da
população de 15 anos ou mais são analfabetos e, entre os indivíduos na faixa etária de 15 a 19
anos, dois terços não concluíram o Ensino Fundamental, tendo apenas até quatro anos de estudos.
Como se sabe, ser alfabetizado significa também ter adquirido a capacidade de participar
de todos os bens construídos pela humanidade. Reforçando os dados estatísticos acima, Pinto et
al. (2003, p. 1), no seu artigo O Mapa da Alfabetização e do Letramento, complementam que “o
País ainda possui, em 2000, cerca de 16 milhões de analfabetos absolutos (entendidos como todos
aqueles que se declaram incapazes de ler e escrever um bilhete simples) e 30 milhões de
analfabetos funcionais (pessoas de 15 anos ou mais, com menos de quatro séries concluídas)”.
Esses dados evidenciam que o problema do analfabetismo no Brasil não é coisa do
passado, e sim uma discussão mais complexa do momento atual, o qual necessita de ações
urgentes para que o fator exclusão social não se expanda de maneira tão crescente. Essas ações
devem estar vinculadas a políticas públicas consistentes, contínuas e interligadas com outros
setores de desenvolvimento econômico, social e cultural. Não devemos esquecer que, nas seis
últimas décadas, o Brasil já realizou cerca de dez programas de alcance nacional para erradicação
do analfabetismo, mas não conseguiu garantir a alfabetização para todos os jovens e adultos que
foram excluídos dos bancos escolares no seu período regular.
Se os órgãos oficiais continuarem desenvolvendo projetos e programas pontuais e
esporádicos, nos quais impera o improviso, a falta de qualificação e de preparação para os
professores que vão atuar na educação de jovens e adultos, estarão ajudando a desqualificar essa
clientela e aumentando o déficit educacional, tendo em vista que esses projetos têm como base a
concepção de educação compensatória, que objetiva recuperar o tempo perdido através de
campanhas desenvolvidas em curto período de tempo, em qualquer lugar, sob a orientação de
qualquer pessoa, recebendo esta, salários baixos e sem nenhum material didático nem
qualificação para atender a essa clientela. Nessa perspectiva, os projetos podem ser interrompidos
a qualquer tempo, acarretando desperdício de dinheiro e mais uma frustração para aqueles que
neles acreditaram. É preciso, portanto, aprofundar a compreensão e o sentido da EJA no atual
contexto social.
O aprender, na sociedade atual, não pode ter entre suas características a terminalidade,
mas deve ser uma atividade permanente por toda a vida. Assim, a EJA deve ser compreendida
sob duas perspectivas, como assinala Sauer (2001, p.2):
[...] a de ‘escolarização’, que aponta para a garantia do direito do cidadão à
educação básica (nos níveis fundamental e médio) e o dever do Estado em
provê-la; e a de ‘educação continuada’, que aponta para projetos que
contemplem o direito à melhoria da qualidade de vida, à saúde, ao emprego, ao
trabalho, às questões de gênero, etnia, etc., em experiências não
necessariamente escolares, nem formais.
Nessa configuração, presumimos que os programas e projetos de EJA devem estar
preocupados em oportunizar a seus atores o desenvolvimento de competências e habilidades que
permitam um conhecimento sobre o aprender a conhecer, aprender a fazer, aprender a conviver
e a aprender a ser, elementos essenciais para a inserção dos homens e mulheres na sociedade
contemporânea. O Parecer CEB/CNE n. 11/2000 (p.117) infere que a educação, “[...] possibilita
ao indivíduo jovem e adulto retomar seu potencial, desenvolver suas habilidades, confirmar
competências adquiridas na educação extra-escolar e na própria vida, possibilitar um nível
técnico e profissional mais qualificado”, tornando-se um elemento essencial para o
desenvolvimento social e econômico de um país.
Tem-se observado, porém, que os acordos firmados pelo Brasil nos encontros
internacionais, como o firmado em Jomtien, na Tailândia, em 1990, o qual determinou metas e
diretrizes educativas para os vários países que participavam da Conferência Mundial de Educação
para Todos, não conseguiram ainda atingir as metas assumidas. Nessa Conferência, foram
elaborados documentos, tomando como base a idéia posta 40 anos antes, na Declaração Universal
de Direitos Humanos, de que todas as pessoas têm direito à educação. No Brasil, os referenciais
construídos em Jomtiem foram considerados na elaboração de marcos legais, como a Lei de
Diretrizes e Bases – LDB 9.394/96 – e o Plano Nacional de Educação, além de influenciarem na
preparação de programas de governo, projetos de avaliação dos programas e nas reformas de
ensino.
Outro evento considerado importante para a EJA foi a V Conferência Internacional de
Educação de Adultos – V CONFITEA -, que ocorreu em 1997, em Hamburgo, na Alemanha.
Nela, o governo e a sociedade civil dos países participantes puderam refletir sobre as demandas
atuais e as orientações futuras para a educação de jovens e adultos, assumindo compromissos
peculiares para a atuação em seus países. Vóvio; Moura; Ribeiro (2000, p. 106) ressaltam que:
Entre os vários conceitos propostos pela Conferência que impactam as ações
educativas dirigidas a jovens e adultos destaca-se a superação da idéia de que a
educação de jovens e adultos deva ter, exclusivamente, uma função
compensatória ou supletiva, introduzindo a noção de educação permanente que
deve estar associada ao desenvolvimento de quatro habilidades: aprender a
aprender, aprender a ser, aprender a fazer e aprender a conviver durante toda a
vida. Deve-se ressaltar a assunção de um conceito amplo de educação, que
transcende os marcos escolares, vinculada ao desenvolvimento em todas as
esferas da vida e âmbito sociais. Por fim, enfatizou-se ainda a idéia de que a
educação é um direito de todos e depende do compromisso de todas as pessoas,
sendo uma chave de entrada para o século XXI.
Nessa visão de educação, fica evidenciada a supressão dos aspectos relacionados à
exclusão e às diferenças de gênero e raça, considerando-se que a educação é um direito de todos.
Partindo dos compromissos assumidos pelo Brasil nesses encontros, observamos que o
número de matrículas, por Estado, no período 1995/2000, aumentou significativamente, ou seja, o
acesso à escolarização foi expandido, mas, a permanência do aluno na escola ainda continua um
problema a ser resolvido.
Essa expansão também não se deu uniformemente nas diversas regiões brasileiras. De
acordo com dados do Censo Escolar de 2001, realizado pelo INEP, houve um crescimento, na
matrícula de EJA, de 37,4% em todo o país, no entanto foi nas regiões Norte e Nordeste que se
verificou o crescimento maior: de 41,8% e 54%, respectivamente. Em março de 2000,
aproximadamente 1,5 milhão de alunos da EJA estavam matriculados em cursos presenciais de 5ª
a 8ª série do Ensino Fundamental.
Isso nos leva a pensar que a expansão do acesso ao sistema de ensino não está vinculada a
melhoria significativa do processo de ensino e aprendizagem, como também aponta para a
necessidade de uma melhoria na infra-estrutura do ambiente escolar para que possa atender a essa
clientela, que necessita urgentemente de uma formação. Dessa forma, não se pode assegurar a
permanência do aluno na escola se não forem redefinidos os programas de educação para os
jovens e adultos, no sentido de se garantir uma escola que atenda aos anseios e às necessidades
destes, através de uma educação que possibilite a formação do indivíduo como um todo.
Com essa compreensão, o sistema educativo deve apontar para mudanças na forma de
organização de seu currículo escolar, pondo a valorização do homem como foco central desse
novo currículo. Para tanto, necessita assegurar a todos,
Uma educação de qualidade, que garanta as aprendizagens essenciais para a
formação de cidadãos autônomos, críticos e participativos, capazes de atuar
com competência, dignidade e responsabilidade na sociedade em que vivem e
na qual esperam ver atendidas suas necessidades individuais, sociais, políticas e
econômicas (BRASIL, PCN, 1998, p. 21).
Nessa perspectiva, a escola deve construir um currículo vivo, em que possam ser
incluídas, no ambiente escolar, situações de aprendizagem que retratem experiências concretas e
variadas do cotidiano social e cultural dos alunos, no sentido de ajudá-los a compreender o seu
contexto de vida e habilitá-los a buscar a transformação desse ambiente. Dessa forma, o currículo
escolar voltar-se para além da sala de aula, considerando que os conhecimentos adquiridos na
escola não se podem ater apenas a uma determinada situação, mas devem ser generalizados e
transferidos a outros contextos. Só assim, estaremos preparando o aluno para exercer a sua
cidadania e atuar na sociedade em constante mudança.
1.2 A Educação de Jovens e Adultos: reflexões sobre as políticas públicas
No final do século XX, precisamente em abril de 2000, foi realizado, em Dakar, no
Senegal, o Fórum Mundial da Educação, cuja finalidade era avaliar os avanços atingidos frente
aos compromissos assumidos pelos países signatários da Declaração Mundial de Educação para
Todos e do Plano de Ação para Satisfazer as Necessidades Básicas de Aprendizagem. Nessa
avaliação, foi constatado que nenhum dos compromissos foi totalmente cumprido, sendo, por
isso, expandido o prazo para 2015, o que só reforça a idéia de que as ações em educação e, em
especial, na EJA ainda estão distantes de ser prioridade para alguns países.
Se situarmos a EJA no quadro geral das políticas de educação do Brasil, vamos
compreender que, por ser considerada como uma educação de caráter compensatório, ela nunca
esteve totalmente integrada a um projeto de educação para o país.
No período de 1940 a 1980, o empenho do governo e das organizações sociais estava
centrado, essencialmente, no combate ao analfabetismo. No entanto foi constatado em pesquisas
que os resultados da alfabetização, nesse período, ficaram aquém das expectativas e do esforço
despendido, principalmente pela descontinuidade do processo inicial de alfabetização. Observou-
se, que a redução do número de analfabetos diminuiu, não por causa das campanhas de
alfabetização, mas pela progressiva universalização do acesso das pessoas à escola.
Nos últimos anos da década de 80 e início dos anos 90, diversos estudos foram realizados
sobre a educação de jovens e adultos, os quais desencadearam a necessidade de mudanças na
forma de organização da educação básica, para contemplar uma política específica que atendesse
aos anseios e às necessidades dos jovens e adultos. Assim, os programas destinados à EJA não
poderiam ser apenas centrados na alfabetização, e sim, numa política de Estado que propusesse a
continuidade dos estudos para essa clientela, respaldada pela Constituição Federal de 1988 e pela
Lei de Diretrizes e Bases Nacional - LDB nº. 9.394/96 -, que reconhecem a obrigatoriedade e a
gratuidade do ensino fundamental “inclusive para os que a ela não tiveram acesso na idade
própria”, assegurando como direito e dever da União e dos Estados e Municípios organizarem os
sistemas de ensino.
A LDB no seu Artigo 4º, Inciso IV, referendando a Constituição Federal de 1988, define:
O dever do Estado com a educação escolar pública será efetivado mediante a
garantia de oferta de educação escolar regular para jovens e adultos, com
características e modalidades adequadas às suas necessidades e
disponibilidades, garantindo-se aos que forem trabalhadores as condições de
acesso e permanência na escola.
Para pôr em prática o que está proposto nesses dois documentos oficiais (Constituição e
LDB), foram elaboradas as Diretrizes Curriculares Nacionais para EJA (Parecer CNE/CEB n.
11/2000) e a respectiva resolução do Conselho Nacional de Educação (Resolução CNE/CEB n.
1/2000), que definem a EJA como modalidade da Educação Básica, e destacam a exigibilidade
do direito à educação escolar para jovens e adultos, afastando a idéia de compensação e
suprimento e adotando as de reparação, eqüidade e qualificação, o que representa um avanço e
uma conquista para todos os que estavam fora da escola.
Esses documentos contribuíram para a estruturação dos componentes curriculares e a
formação dos professores para atuarem nessa modalidade de ensino, tanto em nível da formação
inicial como da continuada. Eles enfatizam a necessidade de formulação e execução de propostas
pedagógicas que levem em consideração a identidade e os anseios da clientela que se pretende
atender, garantindo, assim, o direito à escolarização para todos, sem distinção de sexo, cor, raça e
idade. Todas essas orientações têm contribuído para a construção de Propostas Curriculares para
EJA que possibilitem o acesso e a permanência do aluno num ambiente escolar que valorize suas
experiências e seus conhecimentos prévios, além de estabelecer o vinculo entre educação,
trabalho e práticas sociais e culturais.
No âmbito do município de Natal/RN, em 1999, a Secretaria de Educação apresentou a
todos os educadores de sua jurisprudência a Proposta Curricular, com as diretrizes gerais para
atender às especificidades do ensino de jovens e adultos. Essa proposta fez parte da
implementação do Projeto Acreditar, o qual tem como objetivo:
Garantir o acesso e permanência do jovem e adulto na escola, propondo
alternativas pedagógicas que viabilizem o processo de ensino-aprendizagem,
elevando a auto-estima do aluno e valorizando o professor, de forma que ambos
passem a acreditar em suas potencialidades (PROPOSTA CURRICULAR
PARA EJA – PROJETO ACREDITAR - SME, 1999, p.09-10).
Inicialmente, o Projeto Acreditar foi concebido para atender as quatro primeiras séries do
Ensino Fundamental (Projeto Acreditar I), mas, ao final do ano 2000, foi reestruturado, para
contemplar as demais séries desse nível de ensino, ficando, assim, organizado: Nível I –
alfabetização; Nível II – sistematização; Nível III e Nível IV – sistematização e aprofundamento.
Vale salientar que, com essa organização, foi abolida a seriação, pois o período do curso é de
quatro anos, um para cada nível, podendo, excepcionalmente, o Nível I ser realizado em dois
anos, dependendo do ritmo de desenvolvimento cognitivo do aluno. Foi proposto ainda que os
alunos de 5ª e 6ª séries formariam turmas do Nível III e os de 7ª e 8ª séries formariam turmas do
Nível IV.
Dessa forma, os conteúdos a serem desenvolvidos nesses níveis de ensino foram
organizados levando-se em consideração o que está posto nos Parâmetros Curriculares Nacionais,
haja vista que a Proposta Curricular para EJA (em nível do MEC) ainda não tinha sido elaborada.
Quanto aos pressupostos metodológicos do Projeto Acreditar, ele está direcionado para uma ação
educativa baseada na metodologia de projetos, a qual considera que: “[...] todo conhecimento é
construído em estreita relação com os contextos em que são utilizados, não sendo possível
separar os aspectos cognitivos, emocionais e sociais presentes neste processo” (PROPOSTA
CURRICULAR PARA EJA – PROJETO ACREDITAR - SME, 1999, p.21)
Nessa perspectiva, o trabalho com projeto possibilita a interdisciplinaridade, tendo em
vista a sua natureza pluridisciplinar, em que os conteúdos das disciplinas deixam “de ser um fim
em si mesmo e passam a ser meios para ampliar a formação dos alunos e sua interação na
realidade de forma crítica e dinâmica” (ibdem, p.22).
Essa forma de trabalhar foi direcionada para as escolas municipais da cidade do Natal/RN,
pela Secretaria de Educação do Município – SME -, sem um acompanhamento técnico e
sistemático que subsidiasse o trabalho do professor. Também não foram oferecidos materiais
didáticos e recursos necessários para o desenvolvimento dos projetos, por isso a metodologia de
projetos ainda não está sendo bem implementada pelas escolas municipais. A maioria delas
continua trabalhando nos mesmos moldes do ensino regular, sem se preocupar com as
especificidades dos alunos da EJA, que chegam à escola com uma grande bagagem de
experiência de vida pessoal e profissional.
A função principal da Proposta Curricular para EJA – Projeto Acreditar - SME (1999,
p.14) - é “[...] redimensionar, subsidiar e instrumentalizar o trabalho de todos os elementos
envolvidos na prática educativa, através de uma reflexão crítica sobre o trabalho que deverá ser
desenvolvida”. No entanto observamos a necessidade de formação continuada dos professores
que atuam na EJA, no sentido de contribuir para o redirecionamento de suas ações docentes.
No final de 2002, o Ministério de Educação (MEC) –, através da Secretaria do Ensino
Fundamental, lançou a Proposta Curricular para o segundo segmento da Educação de Jovens e
Adultos (5ª a 8ª séries), que veio para nortear o trabalho educativo daqueles que atuam nessa
modalidade de ensino. Nela, a escola é vista como um espaço vivo em que:
[...] os alunos possam manifestar preocupações, problemas, interesses,
conhecimentos prévios, (...) em que a cidadania possa ser exercida a cada
momento e, desse modo, seja aprendida, fazendo com que os alunos se
apropriem do espaço escolar e reforcem os laços de identificação com a escola
(BRASIL, 2002, p.88).
Em relação ao processo de ensino e aprendizagem, a ênfase é dada à conscientização e à
participação, com o diálogo norteando todo o trabalho escolar. Essas idéias estão referendadas no
aporte teórico das teorias socioconstrutivistas e de Paulo Freire. Sobre as contribuições freirianas,
a ação educativa é caracterizada pela não-aceitação,
[...] por parte dos alunos, de conhecimentos prontos e acabados, mas pela
reflexão sobre os conhecimentos que circulam e que estão em constante
transformação; professores e alunos são portadores de cultura; todos aprendem
e todos ensinam, são sujeitos da educação e estão permanentemente em
processo de aprendizagem (Ibdem, p. 97-98).
Quando o aluno de EJA chega ao ambiente escolar, traz consigo saberes informais,
adquiridos a partir de suas experiências de vida, que servirão como ponto de partida para
aquisição dos saberes formais, oferecidos pela escola. Assim, o aluno poderá estabelecer a
relação entre os conhecimentos adquiridos na escola e os já construídos no seu dia-a-dia.
A problematização é a estratégia metodológica que deve ser utilizada para desenvolver os
conteúdos que circulam na EJA, tendo em vista que provoca reflexão sobre as ações realizadas,
além de proporcionar tomada de decisões na realização das atividades escolares e nas situações-
problema do contexto de vida do aluno.
A Proposta Curricular da EJA – 2º segmento - destaca ainda que as teorias
socioconstrutivistas consideram que:
[...] o conhecimento não é algo situado fora do indivíduo, a ser adquirido por
meio da cópia real, tampouco algo que o indivíduo constrói independente da
realidade exterior, dos demais indivíduos e de suas próprias capacidades
pessoais. É, antes de tudo, uma construção histórica e social, na qual interferem
fatores de ordem antropológica, cultural e psicológica, entre outros. A
aprendizagem, na concepção construtivista, caracteriza-se como atividade
mental construtiva, que parte de conhecimentos prévios dos alunos (BRASIL,
2002, p.99).
Com as experiências individuais, coletivas e profissionais, os alunos da EJA adquirem
conhecimentos diversificados e distintos, os quais levarão para a escola e, na relação com novos
conhecimentos, atribuem significado e sentido, que são, segundo a Proposta Curricular, os
fundamentos para a construção de novos significados.
A idéia de “que aprender o significado de um objeto ou de um acontecimento é vê-lo em
suas relações com outros objetos ou acontecimentos” (BRASIL, 2002, p.104), ou seja, de que o
conhecimento se constrói na relação com os objetos e que essas relações se entrelaçam em redes,
recomenda a organização de um currículo que se contraponha à fragmentação dos saberes
disciplinares. Nessa visão, o enfoque interdisciplinar ganha vantagem no processo educativo,
uma vez que propicia condições de se desenvolver um trabalho pedagógico em que a superação
das barreiras existentes entre as disciplinas torna-se evidente através de atividades que perpassam
a relação entre o vivido e o estudado.
Destacamos, no entanto, que o enfoque interdisciplinar não nega a especificidade de cada
disciplina, e sim visa à compreensão de ciência que ultrapassa as barreiras do esfacelamento do
saber, como está referendado na afirmação de Fazenda (1993, p.97), ao diz que a
“interdisciplinaridade [...] depende de uma mudança de atitude frente ao problema do
conhecimento, da substituição de uma concepção fragmentária pela concepção unitária do ser
humano.” É preciso refletir sobre como desenvolver um projeto educativo em que a idéia de
contextualização dos saberes se torne efetiva e que o enfoque interdisciplinar esteja presente, no
sentido de garantir uma educação em que o ser humano possa viver melhor.
Nessa perspectiva, contextualizar significa desenvolver os conteúdos das diversas áreas
do conhecimento em forma de situações que façam sentido para os alunos, através de conexões
com questões do seu cotidiano ou ligadas a outras áreas do saber, ou ainda por inter-relações
entre os próprios conteúdos das disciplinas.
Voltando a destacar as políticas públicas da União que pretendem institucionalizar a EJA
nos sistemas de ensino, foi criado em 2001 o Programa Recomeço – Supletivo de Qualidade -,
que está inserido no Projeto Alvorada, com o objetivo de transferir recursos financeiros da União,
em caráter suplementar, para os estados e municípios e expandir a oferta de vagas no Ensino
Fundamental para jovens e adultos de 15 anos ou mais.
Esse programa visa contribuir para o enfrentamento do analfabetismo e da baixa
escolaridade, principalmente nos estados onde o Índice de Desenvolvimento Humano – IDH - é
muito baixo e que estão inseridos no Projeto Alvorada (o qual busca criar condições necessárias
para reduzir a pobreza e as desigualdades regionais do país).
Além da base financeira, o Programa Recomeço proporciona apoio técnico, através de
ações de formação continuada dos professores, articulado a outros programas da Secretaria do
Ensino Fundamental, como os Parâmetros Curriculares em Ação. Aponta não apenas para a
expansão do atendimento ao aluno da EJA como também para a qualidade dos cursos oferecidos.
Assim, as parcerias realizadas entre o Ministério da Educação, os Governos Estaduais e
Prefeituras Municipais e esse Programa têm como meta oferecer oportunidade educacional a
todos os escolarizados, ou não. Além disso, assegura também a continuidade dos estudos aos
egressos do Programa Alfabetização Solidária, resgatando a dívida social para com uma parcela
significativa da população com idade a partir de 15 anos.
Com a mudança de governo, em 2003, não sabemos os rumos do Programa Recomeço.
Sabemos, sim, que foi criado outro programa de alfabetização de adultos, intitulado Brasil
Alfabetizado, cujo objetivo é abolir o analfabetismo no Brasil com o apoio de toda a sociedade. O
MEC tem a responsabilidade de repassar os recursos necessários para que as instituições
conveniadas possam desenvolver o processo de alfabetização. A tarefa desse programa é ensinar
a ler e escrever a todos aqueles que não passaram pela escola. É também tarefa do MEC avaliar e
acompanhar o trabalho de todas as instituições conveniadas, as quais, por sua vez, têm o papel de
organizar todo o processo de alfabetização, definindo a metodologia e o material didático
necessário.
Observamos que esse programa apresenta um tempo médio definido para que o aluno seja
alfabetizado, de seis e oito meses, não tendo, portanto, um caráter de continuidade, o que vem de
encontro à idéia de educação permanente presente nos documentos oficiais. Outro ponto de
destaque nesse programa é que qualquer pessoa pode ser alfabetizador, desde que participe de
cursos de capacitação, o que demonstra mais uma vez que a preocupação maior não é com a
qualidade dos cursos, e sim com a quantidade de pessoas que serão matriculadas, esquecendo-se
que essas pessoas têm grande experiência de vida, precisando de professores preparados para
desenvolver uma ação educativa que faça com que elas avancem no seu processo de
escolarização. Mais uma vez, estamos diante de um novo programa de alfabetização de adultos
que, como tantos outros, não condiz com os anseios de uma sociedade em constante
transformação. Não é suficiente lançar programas de alfabetização sem se preocupar com aqueles
que estão voltando à escola e com aqueles que vão orientar o trabalho docente. Se assim for,
continuaremos alimentando o número de pessoas desescolarizada e gastando verbas que deveriam
ser utilizadas com projetos criados para atender as necessidades daqueles que buscam a escola.
Entendemos que esses projetos devem considerar que o sujeito dessa educação é um ser
que tem uma vasta experiência pessoal e profissional e que pensa sobre si e sua realidade. Dessa
forma, as ações educativas devem estar voltadas para discussões de problemas do contexto de
vida do aluno, relacionado os conteúdos estudados na escola com questões do seu dia-a-dia,
propiciando condições a este, de deixar de ser apenas participante passivo do ambiente em que
vive. Para isso, é necessário mudanças na prática educativa daqueles que atuam na EJA, de modo
que o aluno possa participar ativamente das atividades propostas. Uma das estratégias de ensino
que promove mudanças nas ações de sala de aula, tanto no que diz respeito à atuação do aluno
como do professor é a Modelagem Matemática aplicada ao ensino.
Apresentamos no próximo capítulo a idéia de Modelagem Matemática ressaltando o seu
conceito e a sua utilização como alternativa de ensino e aprendizagem da Matemática, em
especial na EJA, tendo em vista que essa estratégia procura desenvolver competências e
habilidades necessárias à construção do conhecimento por parte do aluno, buscando sempre
explorar situações-problema próximas da sua realidade.
“O objetivo desta metodologia de ensino é o de contribuir para que
a matemática se torne, para o educando adulto, um instrumento de
busca de superação da atual realidade social. Isso implica que o
ensino de matemática não pode basear-se numa concepção que
considere o conhecimento matemático desvinculado das
necessidades sociais” (Newton Duarte).
2 MODELAGEM: um aporte para o ensino e aprendizagem da Matemática
Neste capítulo, com base nas idéias de diversos autores que se detiveram no estudo da
Modelagem Matemática, faremos uma investida para explicar as contribuições que esta estratégia
pode dar como alternativa de ensino e aprendizagem da Matemática. Inicialmente, faremos
algumas considerações sobre os diferentes entendimentos que se tem atualmente sobre o que é
Modelagem Matemática, tendo como ponto de partida os conceitos apresentados por vários
autores. Destacamos a necessidade de se trabalhar na escola com a Matemática de forma mais
significativa, ressaltando também os argumentos que nos levaram, neste trabalho, a definir a
Modelagem Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem da Geometria, além de
tecermos considerações acerca da relação entre a EJA e a Modelagem Matemática.
2.1 Modelagem Matemática: conceito
A Matemática exerce um papel de destaque na construção das futuras gerações, uma vez
que essa disciplina, segundo Biembengut e Hein (2000, p. 9), é compreendida como:
[...] alicerce de quase todas as áreas do conhecimento e dotada de uma
arquitetura que permite desenvolver os níveis cognitivo e criativo, tem sua
utilização defendida, nos mais diversos graus de escolaridade, como meio para
fazer emergir essa habilidade em criar, resolver problemas e modelar.
O grande desafio da escola de hoje é desenvolver a Matemática de forma dinâmica,
relacionada com os problemas do dia-a-dia e procurando estabelecer a ponte entre o
conhecimento do cotidiano e o conhecimento escolar. Essa busca de sentido para a Matemática
ensinada e aprendida nas escolas está baseada nas idéias de Fonseca (2002, p. 75), quando
afirma:
A busca de sentido do ensinar-e-aprender Matemática será, pois, uma busca de
acessar, reconstruir, tornar robustos, mas também flexíveis, os significados da
Matemática que é ensinada-e-aprendida. [...] o sentido se constrói à medida que
a rede de significado ganha corpo, substância, profundidade.
Nesse sentido, a Matemática é vista como um corpo de conhecimentos que procura
estabelecer um elo com o real, na medida em que se torna modelo para compreender e auxiliar a
transformação e os avanços da realidade. Depreende-se, portanto, a necessidade de se lançar mão
de um modelo de ensino voltado para a formação do cidadão, o qual precisa saber utilizar-se dos
conhecimentos matemáticos apreendidos na escola em outras situações do cotidiano e no campo
da própria Matemática.
Um dos caminhos de tornar essa disciplina mais significativa é evidenciar o seu aspecto
de área do conhecimento aplicada (Matemática Aplicada). Esse caminho não elimina a natureza
do conhecimento matemático como um jogo intelectual, mas contribui para que o ensino da
Matemática seja útil e interessante e para que ela seja vista como uma ferramenta para a
compreensão de outras áreas do saber.
Essa forma de encarar a Matemática tem apontado para a utilização de estratégias de
ensino e aprendizagem que considerem o professor como mediador do processo e o aluno como
agente ativo na construção do conhecimento. Uma das estratégias de se trabalhar a Matemática
Aplicada é a Modelagem Matemática, que consiste, segundo Bassanezi (2002, p.16), “[...] na arte
de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando
suas soluções na linguagem do mundo real.” A modelagem, segundo o mesmo autor, procura
reunir teoria e prática, fazendo com que o aluno compreenda a realidade que o circunda e busque
formas de agir sobre ela para modificá-la. Ela é também considerada um método científico, na
medida em que apóia e prepara o indivíduo para assumir sua função na sociedade. Nessa
perspectiva, a Modelagem Matemática acentua no aluno o desejo de pesquisar temas relacionados
ao seu contexto de vida e estudar tópicos matemáticos desconhecidos por ele.
A essência da Modelagem Matemática, conforme Bean (2001, p. 53), consiste em:
[...] um processo no qual as características, pertinentes de um objeto ou sistema,
são extraídas com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e
representadas em termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e as
aproximações significam que o modelo criado por esse processo é sempre
aberto à crítica e ao aperfeiçoamento.
Portanto, os modelos criados por um indivíduo ou por uma equipe não são
necessariamente iguais aos modelos criados por outras pessoas.
Modelo matemático de acordo com Bassanezi (2002, p. 20), é “um conjunto de símbolos e
relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado.” Os modelos são
importantes por terem uma linguagem precisa e descrevem de forma clara e sem ambigüidade as
idéias de cada indivíduo ou equipe, “[...] além de proporcionar um arsenal enorme de resultados
(teoremas) que proporcionam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções
numéricas” (Ibidem, p. 20).
Ressaltam, ainda, Biembengut; Hein (2000, p. 13) que a Modelagem Matemática “é,
assim, uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que valham não apenas para uma
solução particular, mas que também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações
e teorias”.
Para Mendonça, citado por Scheffer; Campagnollo (1998, p.36), a Modelagem
Matemática é considerada:
[...] como um processo de sentido global que tem início numa situação real
problematizada, onde se procura a solução através de um modelo matemático
que traduzirá, em linguagem matemática, as relações naturais do problema de
origem, buscando a verificação e validação ou não do modelo com os dados
reais.
Bassanezi (2002) enfatiza que a dinamização da Modelagem Matemática busca o
aperfeiçoamento dos modelos e, no marco da educação, esse processo possibilita a aprendizagem
de conteúdos matemáticos conectados aos de outras ciências.
A Modelagem Matemática não apresenta destaque somente a partir das atuais reformas do
ensino da Matemática. Biembengut (1990, p.14), afirma: “A idéia de Modelagem sempre esteve
presente na criação das teorias cientificas e, em especial, na criação das teorias matemáticas”. Se
formos pesquisar nas referências bibliográficas da História das Ciências, podemos pontuar as
diversas contribuições da Modelagem Matemática no processo de sistematização do
conhecimento científico.
Na medida em que situações-problema foram surgindo na organização das sociedades,
com a evolução do conhecimento, foram suscitando a necessidade de criação dos primeiros
modelos matemáticos, que tentaram resolver tais problemas. A forma como alguns matemáticos,
através dos tempos, se utilizaram da Modelagem Matemática para a construção de soluções dos
seus problemas de estudo pode ser conhecida através da leitura de Biembengut (1990), a qual
trata sucintamente esse tema.
Atualmente, podemos constatar que a Modelagem Matemática ainda é muito utilizada
para solucionar problemas surgidos na indústria, na área da saúde, no meio ambiente, no
comércio, na agricultura e em tantos outros setores da sociedade, com a criação ou modificação
de modelos matemáticos feitos por profissionais especializados, que tentam compreender,
descrever e solucionar os problemas apresentados. Dessa forma, a Modelagem Matemática é
entendida como esclarece Bassanezi (2002, p.24), como: “um processo dinâmico utilizado para a
obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a
finalidade de previsão de tendências.” Nesse enfoque, a construção de um modelo matemático
procura delinear e representar uma situação real através de um objeto matemático tal como as
equações, os gráficos, os diagramas, as tabelas, entre outros, que exprimem e ilustram as
situações propostas.
A finalidade da Modelagem Matemática, nesse ponto de vista, é, como nos afirma
Barbosa (2000, p.56), “resolver um problema não-matemático posto, o que envolve o
desenvolvimento de habilidades próprias da Modelagem, como a identificação das variáveis
importantes, de como relacioná-las, etc. Parte-se do problema, não é o modelador que formula.”
Nessa visão, a modelagem é compreendida, como nos diz Monteiro (1991, p.106), “como um
método de trabalho para o matemático [...]”. Por isso, a Modelagem Matemática pode ser também
utilizada para resolver problemas relacionados ao conteúdo matemático.
A atividade de Modelagem Matemática se desenvolve em três etapas: interação, que é o
momento de reconhecimento da situação-problema e familiarização com o objeto a ser modelado;
matematização, que representa a etapa de formulação do problema, da hipótese e da definição do
modelo mais adequado para a resolução do problema; modelo matemático, que está associado
com a interpretação da solução e a validação do modelo que conduz a uma avaliação sobre o
processo realizado.
Pode-se ver, assim, que a Modelagem Matemática pode ser empregada em várias
situações do nosso dia-a-dia, inclusive como alternativa de ensino e aprendizagem da
Matemática. Sobre esse outro ponto de vista, Barbosa (2000, p.55) ilustra:
A Modelagem Matemática se firma na Educação Matemática no início dos anos
80 a partir das experiências conduzidas por um grupo de professores do
IMECC/UNICAMP. Recebeu influência de estudos sócio-culturais [...]
nomeados no quadro da etnomatemática. Genericamente, a idéia esboçada era
abordar a matemática a partir de temas do contexto sócio-cultural das pessoas.
[...] Já em ambiente escolar formal, a idéia foi materializada pela primeira vez
em 1983 num curso para professores em Guarapuava (PR).
Reforçando essa idéia, Bean (2001) enfatiza que a Modelagem Matemática está sendo
transferida para a escola, como forma de se estudarem os problemas de interesse dos alunos - seja
na vida pessoal, profissional ou de ordem sociocultural - a partir da aplicação dos conteúdos
matemáticos. Só assim, haverá mais motivação, por parte dos alunos, para compreenderem e
perceberem a relevância dos conteúdos matemáticos estudados no ambiente escolar. Nessa forma
de abordagem da modelagem, o destaque é dado ao estímulo oferecido ao aluno para que possa
criar seus próprios modelos para solução dos problemas apresentados.
De modo geral, as atividades de resolução de problemas não-matemáticos, que utilizam a
Modelagem estendem-se necessariamente para a construção de modelos matemáticos que
exprimem o fenômeno estudado. Em outras atividades, os educandos se utilizam de modelos
prontos, como foi demonstrado no trabalho de Biembengut (1990), quando solicitou aos alunos a
construção da maquete de uma casa. Nesse trabalho, os alunos se utilizaram de conteúdos
matemáticos para resolver um problema não-matemático, ou seja, não foi necessário constituir
um modelo na acepção da Matemática Aplicada para resolução de tal problema. Nessa
perspectiva, Barbosa (2000, p.57-58) esclarece:
Modelagem na Educação Matemática, por vezes, e principalmente no ensino
fundamental, não conduz a construção de modelos propriamente ditos. (...) a
discussão aqui desenvolvida possibilita sustentar que Modelagem na Educação
Matemática é praticada de maneira diferente que na Matemática Aplicada.
O autor reforça ainda que a finalidade essencial da Modelagem na Educação Matemática é
estimular, incentivar e convidar o aluno a explorar matematicamente problemas não–matemáticos
como forma de contribuir para a sua formação matemática.
Portanto as etapas previstas no processo de modelagem na proposta de Matemática
Aplicada tornam-se desnecessárias para ilustrar o processo da Modelagem na Educação
Matemática, especialmente se o destaque for ensinar matemática por meio de. “Estes esquemas
podem ser usados para alguns casos, mas não para todas as práticas correntes sobre o nome de
Modelagem” (Ibidem, p. 58).
O essencial, na Modelagem empregada na educação, é o processo realizado pelo aluno
para chegar à solução de um problema, além da análise crítica dos resultados alcançados. Dessa
forma, ele se prepara para participar, como elemento ativo, na sociedade em que vive.
Após essas considerações, faremos, no item seguinte, uma exposição das idéias de
diversos autores sobre a importância de se utilizar a Modelagem Matemática como alternativa de
ensino e aprendizagem da Matemática.
2.2 Modelagem Matemática como alternativa metodológica
Para a utilização da Modelagem Matemática no ambiente educacional, a organização das
atividades propostas pode ser feita de formas variadas. Comumente, as atividades são
organizadas em forma de projetos que contemplam temas de interesse dos alunos ou selecionadas
pelo próprio professor. Nessa forma de abordagem, a escolha de um tema e a formulação do
problema não-matemático a ser modelado pode ficar sob o encargo do professor ou dos alunos,
que discutem e procuram encontrar assuntos de relevância para sua atuação em sociedade. A
modelagem no ensino pode servir também como motivação para inserir novos conceitos e/ou
aplicar conhecimentos adquiridos anteriormente e está associada a um programa de curso pré-
definido ou se constituir numa atividade extra, em diferentes etapas do curso programado.
Scheffer; Campagnollo (1998, p.36), esclarecem que o uso da modelagem no ensino
possibilita que a:
[...] Matemática trabalhada com os alunos parte de seus próprios interesses, e o
conteúdo desenvolvido tem origem no tema a ser problematizado, nas
dificuldades do dia-a-dia, nas situações de vida. Valoriza o aluno no contexto
social em que o mesmo está inserido, proporcionando-lhe condições para ser
uma pessoa crítica, criativa e capaz de superar suas dificuldades.
Por isso, segundo Bassanezi (2002, p.36), existem diversos argumentos para se utilizar a
modelagem e a resolução de problemas como estratégias de ensino da Matemática:
argumento formativo – enfatiza aplicações matemáticas e a performance da modelagem e
resolução de problemas como processo para se desenvolver a capacidade em geral e as atitudes
dos estudantes, tornando-os explorativos, criativos e habilidosos na resolução de problemas;
argumento de competência crítica – focaliza a preparação dos estudantes para a vida real
como cidadãos atuantes na sociedade, competentes para ver, formar juízos próprios, reconhecer e
entender exemplos representativos de aplicações de conceitos matemáticos;
argumento de utilidade – enfatiza que a instrução matemática pode preparar o estudante
para utilizar o conhecimento matemático como ferramenta para resolver problemas em diferentes
situações e áreas;
argumento intrínseco – considera que a inclusão de modelagem, resolução de problemas e
suas aplicações, fornece ao estudante um rico arsenal para entender e interpretar a própria
matemática em todas as suas facetas.
argumento de aprendizagem – garante que os processos aplicativos facilitam ao estudante
compreender melhor os argumentos matemáticos, guardar os conceitos e os resultados e valorizar
a própria matemática.
argumento de alternativa epistemológica – a modelagem também se encaixa no Programa
Etnomatemática, indicado por D’Ambrosio e que propõe “um enfoque epistemológico alternativo
associado a uma historiografia mais ampla. Parte da realidade e chega, de maneira natural e
através de um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural, à ação pedagógica”, atuando,
dessa forma, como uma metodologia alternativa mais adequada às diversas realidades
socioculturais.
Esse mesmo autor enfatiza que o fundamental, na utilização de modelagem no ensino, não
é chegar prontamente a um modelo bem sucedido, mas caminhar seguindo passos em que o
conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado. Ele destaca também que, quando a
Modelagem Matemática é usada para o ensino e aprendizagem de Matemática, em cursos
regulares ou não, recebe o nome de Modelação Matemática (modelagem em educação).
Na modelação, explica Bassanezi (2002, p.38):
A validação de um modelo pode não ser uma etapa prioritária. Mais importante
do que os modelos obtidos é o processo utilizado, a análise crítica e sua
inserção no contexto sócio-cultural. O fenômeno modelado deve servir de pano
de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da própria
matemática.
Biembengut; Hein (2000, p.18) dizem:
A modelação matemática norteia-se por desenvolver o conteúdo programático a
partir de um tema ou modelo matemático e orientar o aluno na realização de seu
próprio modelo-modelagem. Pode valer como método de ensino-aprendizagem
da Matemática ou qualquer nível escolar, das séries iniciais a um curso de pós-
graduação.
Bean (2001, p.55) complementa: “As propostas ‘Modelagem’ e ‘Modelação’ enfatizam
conexões da matemática escolar [...] com a vida do aluno. Esta ligação da matemática à vida do
aluno faz um importante papel no ensino”.
E Fonseca (2002, p.77) reforça:
[...] num esforço de se resgatar o significado da Matemática que se vai ensinar,
busca-se (re-)estabelecer a relação entre conceitos e procedimentos
matemáticos e o mundo das coisas e dos fenômenos. Não que outras tendências
do ensino da Matemática deixem de considerar o real vivido, o mundo; mas no
caso da Modelagem, a Matemática é tomada justamente como um ‘modelo de
realidade’[...].
No ensino de Matemática através da modelagem, esclarece Burak (1987, p.32),
As atividades se constituem na ação de refletir, de fazer, de construir, de
concluir e de generalizar. Esta é a liberdade que essa prática educativa parece
permitir a cada participante do processo, ao favorecer o uso de suas próprias
estratégias, na sua maneira natural de pensar, sentir e agir.
Apesar de todos esses esclarecimentos em prol da utilização da Modelagem Matemática
como metodologia de ensino, Bassanezi (2002) aponta alguns obstáculos para a utilização em
cursos regulares, destacando o obstáculo institucional, que está relacionado à obrigatoriedade do
cumprimento de um programa pré-estabelecido para o curso, como também à falta de
sensibilidade, por parte de alguns professores, para perceber que o ensino da Matemática pode ser
realizado em conexão com outras áreas do conhecimento. Existe também obstáculo para o aluno:
a rotina de trabalho na sala de aula de Matemática muda, uma vez que o aluno passa a ser o
elemento essencial nas ações do processo educativo, o que poderá dar ao desenvolvimento destas
um ritmo mais lento, ou talvez apático, em sala de aula. Isso pode ocorrer quando o tema
escolhido para o estudo não é tão interessante para alguns alunos, provocando desinteresse em
participar das atividades. Há ainda obstáculo para o professor, que, muitas vezes, se sente
incapaz de desenvolver a modelagem em seus cursos, devido ao desconhecimento do processo,
ou mesmo por receio de se confrontar com situações embaraçosas quanto à aplicação da
Matemática em outras áreas que não conhece. Além disso, o uso da modelagem pode ocasionar o
não-cumprimento do programa do curso, como também exigir um tempo maior para o
planejamento das ações.
De fato, como esclarece Barbosa (1999, p.79):
[...] a adoção da Modelagem demanda maiores qualificações do professor,
como por exemplo, a disposição para adquirir conhecimentos interdisciplinares.
Mas ele necessita, sobretudo, do espírito inovador, aumentando sua iniciativa
para a pesquisa e de flexibilidade perante os obstáculos.
Dessa forma, acreditamos que os argumentos para o uso da modelagem como
metodologia de ensino e aprendizagem da Matemática superam os obstáculos, tendo em vista que
essa alternativa de ensino e aprendizagem promove a articulação entre o conhecimento
matemático e a realidade vivida pelos que fazem o processo educativo, através de um trabalho
interdisciplinar, que exige questionamentos, diálogo constante entre as áreas do saber,
promovendo mudanças nas atitudes do professor e do aluno e permitindo um novo olhar sobre o
ensinar e o aprender. Por isso estamos confiantes de que a modelagem pode ser usada como
estratégia de ensino e aprendizagem da Matemática na Educação de Jovens e Adultos, tendo em
vista a especificidade da clientela e as transformações que poderão ocorrer no ambiente escolar
para facilitar a aprendizagem. Teceremos a seguir algumas considerações sobre a possibilidade de
se desenvolver esse trabalho na EJA.
2.3 A EJA e a Modelagem Matemática: tecendo relações
Freqüentemente, as propostas de ensino da EJA trazem no seu bojo um modelo de
currículo que reforça a divisão do tempo escolar em anos ou semestres, a organização dos saberes
em disciplinas isoladas, fragmentando esses saberes e enfatizando conteúdos considerados
prontos e acabados, independente dos avanços ocorridos no conhecimento, ao longo do tempo.
Nessa visão, os saberes foram organizados de forma linear, com base na idéia de pré-requisito,
distantes das questões sociais, políticas, culturais e econômicas de uma sociedade em constante
transformação, além de não serem considerados as inter-relações existentes entre eles.
As experiências adquiridas pelos alunos ao longo de suas vidas não podiam estar
incorporadas a esse modelo de currículo, como nos afirmam Paiva; Oliveira (2001, p. 65):
Esse tipo de abordagem formalista e idealizada dos currículos situa-se numa
tendência geral do pensamento dominante nas sociedades ditas ocidentais que
supõem a superioridade do saber teórico sobre o prático, dos saberes dos
experts sobre os saberes daqueles que vivenciam as situações, do trabalho
intelectual sobre o trabalho manual. Esta tendência, desenvolvida a partir do
renascimento e do pensamento cartesiano e tornada definitivamente
hegemônica com o advento do positivismo a partir do século XIX, tem servido
aos propósitos de legitimação dos mecanismos de dominação social e política
das populações subalternizadas pelas elites sociais.
Por meio da passagem acima citada, podemos observar que, nesse modelo de currículo,
está alicerçada a concepção de sociedade, de ensino, de aluno e de conhecimento que a escola
está desenvolvendo ao longo do tempo, e que hoje é preciso pensar que cidadão queremos formar
para enfrentar os desafios da vida moderna.
Nesse modelo, a atividade pedagógica está centrada, exclusivamente, na figura do
professor, que transmite o conteúdo sistematizado nos livros didáticos construído ao longo da
história da humanidade, negligenciando o aspecto da evolução do conhecimento e das mudanças
ocorridas no mundo. O aluno, por sua vez, é visto como um ser passivo, que absorve todo o
conteúdo transmitido e o reproduz na medida em que isso lhe é solicitado. A compreensão do
processo de aprendizagem é que este se dá do mais simples para o mais complexo, de forma
linear, e que é preciso pré-requisito para a aquisição de um novo conhecimento.
O currículo, definido desse modo, tende a selecionar aquele que melhor se adaptar a esse
modelo, elevando esse indivíduo a um patamar de destaque no sistema educacional e conduzindo
os outros à classe dos excluídos desse sistema, uma vez que não há preocupação com o processo
de aprendizagem do aluno, e sim com o produto final dessa proposta de ensino.
Atualmente, tem-se adotado outra visão de currículo como a das Propostas Curriculares,
em especial a da EJA. Neste, foi contemplada a idéia de formação permanente em diferentes
espaços e em tempos distintos, considerando-se também que os saberes das diversas áreas do
conhecimento devem ser vistos com a mesma importância.
Nesse modelo, alguns segmentos da sociedade, como sindicatos, empresas, organizações
não-governamentais, entre outros, se articulam com a escola para desenvolver um projeto de
educação que favoreça a relação entre os conhecimentos adquiridos na escola e as experiências
profissionais, sociais e culturais vividas fora do espaço escolar.
Na organização curricular da EJA, conforme o que se vê na Proposta Curricular, está
enfatizada a busca por se “inverter a lógica que parte de uma grade disciplinar inflexível, para
propor como ponto de partida a definição de capacidades que se pretende que o aluno construa ao
longo do curso” (BRASIL, 2002, p.80).
Tal proposta ressalta ainda que o aluno é o elemento essencial no projeto educativo, tendo
em vista a sua participação ativa no processo de ensino e aprendizagem, o que fará desenvolver
capacidades de refletir sobre questões reais do seu cotidiano, modificar projetos de vida,
desenvolver a autoconfiança. O aluno passa a gerenciar a sua própria formação, buscando em
diferentes espaços, oportunidade para iniciar seus estudos, ou dar-lhes continuidade, o que poderá
ser feito de forma presencial ou à distância, conforme a modalidade que lhe é ofertada pelo poder
público. O professor nessa perspectiva, deve ser o organizador e mediador, do processo de
construção do conhecimento pelo aluno. Para isso,
[...] todo o processo de ensino e aprendizagem precisa estar relacionado à
conscientização e à participação, visto que alunos e professores fazem parte de
um processo dialógico para a superação da ordem sociocultural e
socioeconômico deficiente. O acesso à educação deve permitir a reflexão e a
ação do indivíduo sobre o mundo para atuar e transformar a realidade
(BRASIL, 2002, p. 89).
As ações educativas, nessa concepção de currículo, devem permitir que o aluno reflita
sobre suas ações e contribuir para a sua formação intelectual, para que ele possa transferir
conhecimentos para outras situações de sua vida. Só assim, a escola estará promovendo de fato
uma aprendizagem significativa.
O conhecimento, nessa linha de pensamento, se contrapõe ao conhecimento cartesiano e
linear: é visto como uma rede em que tudo está interligado:
[...] o que se pretende evidenciar é que aprender o significado de um objeto ou
de um acontecimento é vê-lo em suas relações com outros objetos ou
acontecimentos. [...] Essas relações articulam-se em teias, em redes, construídas
social e individualmente, e estão em permanente estado de atualização
(BRASIL, 2002, p. 104).
Nessa perspectiva, a organização dos conteúdos se dá de forma que estes sejam
significativos para o aluno, não obedecendo a uma linearidade e ampliando a possibilidade de
uma abordagem interdisciplinar, que procure relações entre os temas selecionados para serem
desenvolvidos na sala de aula. Com isso, será dada ênfase também aos conteúdos procedimentais
e atitudinais nas mesmas proporções que aos conteúdos conceituais. Se quisermos que os alunos
da EJA adquiram instrumentos para analisar, criticar, tomar decisões, compreender atitudes,
regras, valores que a sociedade nos impõe, então é preciso que a escola se conscientize da
importância desses conhecimentos para a formação do educando e deixe de se preocupar apenas
com os conhecimentos conceituais.
Nessa proposta de currículo, Freire (2000, p.67) diz que a educação “[...] não pode ser a
do depósito de conteúdos, mas a da problematização dos homens em suas relações com o
mundo.” Na medida em que a escola busca desenvolver uma prática problematizadora, deixa de
ser aquele espaço em que existe apenas transmissão de conhecimento e memorização dos
conteúdos por parte dos alunos, para dar lugar ao diálogo, à criatividade e à iniciativa,
transformando o aluno em sujeito ativo e reflexivo de suas próprias ações. Esse modelo de prática
educativa está respaldado nas idéias desse mesmo autor, quando destaca que,
[...] enquanto a prática bancária [...] implica numa espécie de anestesia, inibindo
o poder criador dos educandos, a educação problematizadora, de caráter
autenticamente reflexivo, implica um constante ato de desvelamento da
realidade. [...] quanto mais se problematizam os educandos, como seres no
mundo e com o mundo, tanto mais se sentirão desafiados. Tão mais desafiados,
quanto mais obrigados a responder ao desafio. Desafiados, compreendem o
desafio na própria ação de captá-lo (p.70).
A função do professor, nesse modelo, é instituir condições para que o aluno supere os
conhecimentos adquiridos anteriormente, passando a entender o mundo que o cerca e as relações
que estabelece com os objetos, as quais se modificam de forma dinâmica. Por isso consideramos
que esse modelo de prática é indicado para a EJA, tendo em vista que os jovens e os adultos
apresentam um vasto conhecimento de mundo, que precisa ser ampliado e transformado.
Portanto, ao nos referirmos à Matemática, nessa visão de currículo, estamos realçando o
aspecto utilitário dessa disciplina na resolução de questões imediatas, mas também a promoção
de um ensino direcionado para o desenvolvimento intelectual do aluno, a partir da aplicação de
atividades que respeitem as suas possibilidades de raciocínio, o qual será aperfeiçoado com o
estabelecimento de relações entre o conteúdo estudado, o método de ensino aplicado e os
processos cognitivos expressos pelo aluno, no andamento das atividades. Assim se expressa
Micotti (1999, p.165) sobre essa questão:
Nas situações voltadas para a construção do saber matemático, o aluno é
solicitado a pensar - fazer inferências sobre o que observa, a formular hipóteses
-, não necessariamente, a encontrar uma resposta correta. A efetiva participação
dos alunos neste processo depende dos significados das situações propostas, dos
vínculos entre elas e os conceitos que já dominam.
Cabe ao professor elaborar situações desafiadoras, significativas para o aluno -
considerando seu ritmo de aprendizagem - e que focalizem também o acesso ao saber
sistematizado, a partir de conflitos cognitivos gerados na interação com o objeto de estudo.
O ensino de Matemática na EJA, nessa perspectiva de currículo, nos remete às seguintes
questões: Que metodologias de ensino se mostram mais adequadas para promover a
aprendizagem dos alunos da EJA? Que atividades são mais significativas para os alunos da EJA?
Que dificuldades os professores e alunos encontram na implementação de mudanças de
procedimentos metodológicos? Todas essas questões são essenciais num contexto de EJA, tendo
em vista que são grandes as dificuldades apresentadas pelos alunos na compreensão dos
conteúdos matemáticos.
Partindo, pois, das reflexões sobre a atual concepção de ensino e aprendizagem da
Matemática, é que elegemos a Modelagem Matemática como metodologia de ensino e
aprendizagem da Matemática na EJA, considerando que nela há um descentramento da
linearidade dos conteúdos e uma reorientação do trabalho pedagógico, com ênfase nas atividades
ligadas aos problemas do cotidiano do aluno, o que, de certa forma, nos conduz a um trabalho
interdisciplinar, na busca de estabelecer a relação entre o que se aprende na escola e os problemas
reais do dia-a-dia. Reforçamos ainda que a utilização da Modelagem Matemática como
alternativa metodológica “favorece uma atitude um pouco autônoma na definição da
programação a ser cumprida [...]” (FONSECA, 2002, p.78).
Dessa forma, o ensino de Matemática na EJA passa a ser um aliado do aluno, no sentido
de ajudá-lo a resolver e entender melhor os fenômenos que ocorrem na sociedade. Quando a
escola privilegia o ensino de Matemática através de modelagem, esclarece Monteiro (1991, p.
110), torna-o “[...] mais significativo para quem aprende, na medida em que parte do real-vivido
dos educandos para níveis mais formais e abstratos.” Isso é relevante no contexto de EJA, como
sublinha Fonseca (2002, p.78):
Não é, pois, por acaso que muitos dos exemplos de trabalhos pedagógicos com
a ‘modelagem matemática’ se realizam no âmbito da EJA. Na EJA, aliam-se a
necessidade dos alunos em adquirirem instrumental para resolver seus
problemas e a própria disponibilização e diversidade de informações e recursos
que o próprio aluno adulto traz para a sala de aula, adquiridos em sua vivência
social, familiar, profissional, esportiva, religiosa, sindical etc.
É a partir desses saberes que a escola deve organizar as situações de ensino e
aprendizagem da Matemática, uma vez que o envolvimento do aluno se dá mediante seu interesse
em resolver tais situações. Para Barbosa (2001, p.6), a modelagem propicia “[...] um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da
Matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade.” Sobre ambiente de aprendizagem,
Monteiro (1991) esclarece que é o espaço em que é dado condições para que o aluno seja
motivado a desenvolver as atividades propostas. Na medida em que aprende no processo de
reflexão e ação, o aluno está mais propenso a desenvolver sua criatividade e tomar iniciativa para
resolver problemas reais da escola e do seu dia-a-dia, criando soluções abertas, que podem ser
modificadas de acordo com as interpretações apresentadas e deixando de considerar apenas uma
solução correta.
O desafio do educador matemático, quando define como metodologia de ensino a
modelagem, é, segundo Bassanezi (2002, p.175), “ajudar o aluno a compreender, construindo
relações matemáticas significativas, em cada etapa do processo”. Mediante os questionamentos
elaborados pelos professores em cada etapa do processo de modelação, o aluno terá condições de
entender o que está sendo feito e utilizar os conhecimentos matemáticos necessários à resolução
do problema proposto.
O uso da Modelagem Matemática na EJA é, portanto, viável, porque permite estabelecer o
elo entre os diversos conteúdos matemáticos e os conteúdos das outras áreas do conhecimento
como também retomar conceitos já adquiridos, religando saberes e dando origem a novos
modelos, de acordo com as novas idéias que surgem. Reforça ainda Bean (2001, p.52) que a
Modelagem Matemática, como proposta de ensino e aprendizagem, “oferece uma maneira de
colocar a aplicabilidade da matemática no currículo escolar em conjunto com o tratamento
‘formal’ que é predominante no ensino”.
Portanto, pretendemos utilizar a Modelagem Matemática como alternativa metodológica
para o ensino da Geometria no Nível III da EJA, por considerar essa metodologia relevante para a
compreensão dos conceitos geométricos, visto que é preciso que o aluno da EJA se sinta capaz de
criar modelos, seja criativo, perceba as coisas tente buscar suas próprias soluções e não fique
esperando que o professor lhe forneça o modelo e a solução para as situações propostas.
No próximo capítulo, faremos uma descrição da metodologia do estudo, considerando a
caracterização da pesquisa, as etapas desenvolvidas e o ambiente em que foi realizada.
“[...] ninguém chega lá, partindo de lá, mas de um certo aqui. Isto
significa, em última análise, que não é possível ao(a) educador(a)
desconhecer, subestimar ou negar os ‘saberes de experiência feitos’ com
que os educandos chegam à escola.” (Paulo Freire)
3 METODOLOGIA DA PESQUISA
O foco central deste capítulo é descrever os procedimentos metodológicos utilizados no
desenvolvimento do nosso projeto. Para tanto, destacamos a caracterização da pesquisa, os
instrumentos utilizados para coleta dos dados, as etapas desenvolvidas, o ambiente onde ocorreu
a pesquisa.
3.1 Caracterizando a pesquisa
Em consonância com os objetivos do trabalho, direcionamos este estudo numa abordagem
da pesquisa qualitativa. Nessa abordagem, procuramos descrever, de forma cuidadosa, a
participação dos atores em seus espaços e tempos reais, a fim de atingirmos a compreensão
global do fenômeno investigado, criando-se uma relação dinâmica entre o pesquisador e o
pesquisado. A pesquisa qualitativa, segundo Bogdan e Biklen citados por Ludke; André (1986,
p.13), “envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a
situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a
perspectiva dos participantes.” Esse tipo de pesquisa é muito indicado para as investigações em
educação, pois, com ela, se torna mais significativa à construção do conhecimento sobre o
ambiente escolar, seus atores sociais e a relação entre eles, na medida em que procura interpretar
os discursos e as observações das pessoas envolvidas na questão que se quer estudar.
O projeto segue a metodologia da observação participante: a descrição do fenômeno é
feita a partir da observação direta das ações dos sujeitos pesquisados, em seu contexto natural.
Esse procedimento metodológico atenta para a necessidade de um registro cuidadoso, que garanta
a confiabilidade e a pertinência dos dados, suprimindo interpretações subjetivas e emotivas.
Utilizamos como instrumentos de coleta de dados questionários, notas de aula e
documentos referentes à legislação sobre a EJA.
3.2 Descrevendo as etapas da pesquisa
Como etapa inicial deste projeto, realizamos uma pesquisa exploratória dos documentos
oficiais que orientam o trabalho pedagógico na EJA. Entre eles, as Propostas Curriculares para
Educação de Jovens e Adultos – 1º e 2º segmentos -, elaboradas pela Secretaria do Ensino
Fundamental, do MEC; a Proposta Curricular da EJA construída pela Secretaria de Educação do
Município de Natal/RN; o Parecer nº. 11/2000 sobre as Diretrizes Curriculares para EJA,
elaborado pelo Conselho Nacional de Educação; e outros textos sobre a problemática da EJA.
Nosso objetivo era compreender melhor quem são os atores dessa modalidade de ensino, que
currículos estão direcionados para ela, que concepção de ensino e aprendizagem está orientando a
ação educativa na EJA, quais são as bases legais e as diretrizes curriculares direcionadas para ela,
entre outros aspectos.
Partimos em busca de livros, artigos, revistas e outros documentos que nos oferecessem
uma fundamentação teórica sobre Modelagem Matemática e a aplicação dessa metodologia no
processo de ensino e aprendizagem da Matemática, uma vez que pretendíamos elaborar uma
proposta de atividade para o ensino de Geometria baseada nessa alternativa metodológica.
Para identificação do perfil dos alunos das turmas que participaram da pesquisa e o
levantamento dos conhecimentos prévios desses alunos sobre Geometria, elaboramos e aplicamos
dois questionários. No Questionário I (Anexo 1), os alunos falaram sobre si mesmos e sobre a
importância da escolarização para as suas vidas. No Questionário II (Anexo 2), eles responderam
sobre os seus conhecimentos acerca de alguns conteúdos de Geometria.
O Questionário I era composto de oito questões, distribuídas em perguntas fechadas,
abertas e de múltipla escolha. O Questionário II era composto de cinco questões, apresentando
também perguntas fechadas, abertas e de múltipla escolha. Houve uma combinação de perguntas
de múltipla escolha e perguntas abertas, para propiciar maiores informações sobre o tema
pesquisado sem prejudicar a organização e tabulação dos dados.
A opção pelos questionários, como instrumentos de coleta de dados, se deu em função de
ser esta a maneira mais rápida e simples de atingirmos um maior número de alunos, e, ao mesmo
tempo, de obtermos as informações necessárias à compreensão do objeto de estudo.
Baseada nos conteúdos de Geometria indicados na Proposta Curricular de EJA, partimos
para a seleção dos temas que seriam trabalhados no Nível III da EJA. Escolhidos os três temas
Ângulo e Posições Relativas de Retas, Sistemas Referenciais e Figuras Geométricas, demos
início à elaboração das atividades, que teve como fio norteador a Modelagem Matemática e os
modelos apresentados em algumas dissertações de mestrado, nos livros didáticos e em nossa
própria experiência como educadora de jovens e adultos.
Após a elaboração das vinte e duas atividades para compor a proposta de ensino de
Geometria na EJA, selecionamos quatro delas para serem aplicadas nas turmas envolvidas na
pesquisa. A escolha dessas atividades deu-se devido a elas serem caracterizadas como atividades
de modelagem, tendo em vista que partíamos de uma situação real para a construção de um
modelo que servia de suporte para trabalharmos os conteúdos matemáticos, ou utilizávamos os
conhecimentos adquiridos anteriormente para a construção de modelos.
Após a aplicação das atividades, avaliamos o uso de algumas atividades aplicadas
apresentando alguns pontos resultantes da análise no capítulo das Conclusões e Sugestões.
3.3 Desvendando o ambiente da pesquisa
O espaço escolar em que foi desenvolvida a pesquisa apresenta elementos comuns às
escolas públicas: faltam carteiras para todos os alunos; há um percentual elevado de evasão no
final do ano, não há ventilação, o espaço das salas de aula é pequeno (o que dificulta mudanças
na organização do ambiente), há interferências externas (por exemplo, alunos conversando nos
corredores e nas portas das salas de aula, atrapalhando o andamento destas).
Apesar de tudo isso, essa escola é reconhecida como referência, em relação às demais
existentes no bairro, devido ao trabalho pedagógico que vem desenvolvendo, ao longo de toda a
sua trajetória. O funcionamento da Escola Municipal Celestino Pimentel - EMCP - como
estabelecimento de ensino em nível ginasial foi autorizado em agosto de 1971 e, desde então, a
escola vem prestando relevantes serviços na área da educação para a comunidade do bairro
Cidade da Esperança e dos bairros adjacentes.
No período de 2002/2003 a escola passou por uma grande reforma em suas instalações,
que culminou com a sua re-inauguração, em agosto de 2003. Suas dependências compreendem 16
salas de aula, uma biblioteca (que necessita melhorar seu acervo bibliográfico), uma sala de
vídeo, uma quadra coberta (que é também utilizada pela comunidade), sala de professores e
outras salas para apoio administrativo e pedagógico, além da cozinha e dos banheiros (que, por
sinal, já estão deteriorados). O espírito de destruição é muito presente nas dependências da
escola, e ainda não conseguimos desenvolver um trabalho mais eficiente para reverter esse
quadro.
A escola atende, nos turnos matutino e vespertino, a alunos do Ensino Fundamental e, no
turno noturno, à clientela da Educação de Jovens e Adultos – Níveis de I a IV. Em Relação à
EJA, passou a trabalhar com essa modalidade de ensino em 1999. Antes, o trabalho com jovens e
adultos era considerado Ensino Fundamental, como nos demais turnos. Atualmente (2004),
atendemos a duas turmas do Nível I (Alfabetização), duas turmas do Nível II (3ª e 4ª séries), seis
turmas do Nível III (5ª e 6ª séries) e seis turmas do Nível IV (7ª e 8ª série), abrangendo, em
média, 720 (setecentos e vinte) alunos compreendidos na faixa etária de 15 a 65 anos.
Nessa escola, nos turnos vespertino e noturno, cada componente curricular (disciplina)
tem uma sala definida. O professor permanece na sala de aula e é o aluno quem se desloca, após o
término de cada horário. Os horários, no turno noturno, são organizados em blocos de duas
disciplinas por dia.
No turno noturno, todos os professores têm habilitação em níveo superior, ampla
experiência docente, no entanto apenas dois professores têm especialização em Educação de
Jovens e Adultos. Isso mostra a necessidade da formação continuada dos professores que atuam
nessa modalidade de ensino, como meio de contribuir para um ensino de qualidade para essa
clientela, que apresenta traços de exclusão sociocultural.
No capítulo que se segue, será dada ênfase ao perfil do aluno pesquisado e aos
conhecimentos que os alunos da EJA têm acerca da Geometria.
Quando eu resolvi voltar a estudar foi porque no decorrer do tempo eu vi
o quanto é importante estudar. Quando eu era jovem só queria pensar em
está com as amigas e namorar, mas depois que a gente percebe que a
idade vai chegando, é que a gente percebe o quanto a gente perdeu e que
agora é hora de correr atrás do tempo perdido. (Aluna da 3º F)
4 IDENTIFICANDO O ALUNO DA EJA
Nesse capítulo, procuramos destacar o perfil do aluno da Educação de Jovens e Adultos
que participou da pesquisa, além de enfocarmos os conhecimentos prévios que esses alunos têm
em relação à Geometria, tomando como parâmetro os questionários aplicados.
4.1 O perfil do aluno pesquisado
Para a realização da pesquisa utilizamos, como campo de investigação, as três turmas do
Nível III (5ª e 6ª série) do Projeto Acreditar III da Rede Municipal de Educação da cidade do
Natal/RN nas quais atuamos como professora de Matemática. A escolha dessas turmas deveu-se
ao fato de estarem diretamente ligadas ao nosso trabalho como professora de Matemática bem
como por serem as turmas que apresentam uma faixa etária mais elevada, neste nível de ensino
(Nível III), variando de 19 a 55 anos, conforme os dados contidos no Quadro 1.
Os dados apresentados nos quadros que se seguem foram extraídos do Questionário I, que
se destinava à construção do perfil do aluno pesquisado. Esse questionário foi aplicado em duas
turmas num mesmo dia, utilizando-se uma hora e meia para cada turma, de acordo com o horário
escolar. Na terceira turma, aplicamos o questionário no dia seguinte, utilizando o mesmo tempo
(1h30). Explicamos, inicialmente, o motivo por que aplicaríamos esse questionário e, em seguida,
fizemos a leitura oral das questões e solicitamos aos alunos que preenchessem os espaços com as
respostas que estávamos pedindo. Alguns responderam rapidamente, outros demoraram a
responder, devido à dificuldade que apresentavam na leitura das questões e na escrita de suas
respostas, pois não sabiam expor suas idéias no papel. Procuramos incentivá-los dizendo que
podiam escrever ao seu modo. Os dados obtidos com esse questionário foram os seguintes:
Faixa Etária Número de alunos
16 a 20 anos 13
21 a 25 anos 22
26 a 30 anos 17
31 a 35 anos 14
36 a 40 anos 06
41 a 45 anos 04
46 a 50 anos 03
51 a 55 anos 02
Quadro 1: Quantidade de alunos das três turmas do nível III, de acordo com a faixa etária
Como se pode ver, a faixa etária que predomina nessas três turmas está entre 21 a 35 anos,
com 53 alunos dos 81 que responderam ao questionário de identificação. Em geral, esses alunos
são do sexo masculino, solteiros e trabalhadores das mais variadas ocupações profissionais, como
mostram os Quadros 2 e 3.
Sexo Estado Civil
Masc. Fem. Solteiro Casado Separado Outros
47 34 56 22 02 01
Quadro 2: Número de alunos de acordo com o sexo e o estado civil
Trabalha? Número de Alunos
Sim 48
Não 33
Em que trabalha?
Doméstica 08
Construção Civil 07
Auxiliar de Serviços Gerais 04
Vendedor Autônomo 03
Garçonete/Garçom 03
Comerciante 02
Motorista 02
Porteiro de Condomínio 02
Comerciário 12
Outros 05
Quadro 3: Número de alunos que trabalham, ou não
Quanto tempo sem estudar?
01 a 05 anos 32
06 a 10 anos 18
11 a 15 anos 11
16 a 20 anos 09
21 a 25 anos 06
26 a 30 anos 02
Não Responderam 03
Estudaram até que série?
1ª a 4ª série 30
5ª série 41
6ª série 10
Quadro 4: Número de alunos, segundo o tempo que passaram sem estudar
Motivos que os levaram a deixaram de estudar
Trabalho 39
Casamento 12
Motivo pessoal 11
Mudança de endereço 04
Problema de Saúde 03
Não tinham com quem deixar os filhos 05
Outros 07
Quadro 5: Por que deixaram de estudar?
Motivos que os fizeram voltar a estudar
Conseguir um emprego melhor 23
Aprender mais 15
Terminar os estudos 15
Ser alguém na vida 06
Aprender mais a ler e escrever 10
Fazer outros cursos 03
Reaproveitar o tempo perdido 03
Os filhos cresceram 03
Outros 04
Quadro 6: Por que voltaram à escola?
Observando os quadros 4, 5 e 6, constatamos que esses alunos e alunas, em sua maioria,
estudaram até a 5ª série e passaram de 02 a 30 anos sem participar do ambiente escolar. O motivo
que os levou a deixarem de estudar foi essencialmente o trabalho, devido aos horários, que, às
vezes, não conseguiam compatibilizar. Outros motivos foram: o casamento, principalmente para
as mulheres, e a mudança de endereço. A rotatividade dos alunos de EJA é muito grande: às
vezes passam uma semana, um mês ou mais sem comparecer à escola e, quando voltam, dizem
que estavam trabalhando, viajando ou que se mudaram para outras localidades.
Muitas mulheres casadas trazem os filhos para a escola porque não têm com quem deixá-
los, o que acarreta, muitas vezes, desatenção às aulas e interferência dos filhos na sala de aula.
São alunos e alunas pertencentes à classe social de baixa renda, com estrutura familiar
desorganizada, baixa auto-estima, sem tempo para estudar fora da escola e com dificuldades para
ler, escrever e resolver situações-problema.
O motivo que eles nos alegaram para terem voltado a estudar foi prioritariamente tentar
conseguir um emprego melhor e aprender mais a ler, escrever e fazer contas.
Realmente as expectativas que os jovens e adultos apresentam ao voltarem à escola só nos
fizeram referendar os dados de pesquisas realizadas sobre esse tema. Estas acrescentam ainda as
questões referentes ao aspecto da auto-estima, havendo declarações de que voltam ao banco
escolar para entender melhor as coisas, se expressar melhor, deixar de ser sombra do outro, dar
um bom exemplo para os filhos, entre outros. Isso comprova que a escola ainda é um dos espaços
em que as pessoas têm oportunidade de adquirir conhecimento e de compartilhar práticas
culturais e socialmente valorizadas, que leva em consideração o convívio com as diferenças. Não
se pode negar que a escola gera desenvolvimento cognitivo naqueles sujeitos que por ela passam,
uma vez que é função dessa instituição socializar o conhecimento sistematizado, porém existem
outros espaços na sociedade que promovem o desenvolvimento de habilidades cognitivas, tais
como o ambiente de trabalho, as atividades políticas, a participação em grupos sociais, entre
outros, que trabalham no sentido de ampliar a mente humana.
É, pois, considerando esses sujeitos, que têm como características principais pertencerem
a classes dos excluídos, não serem crianças, terem uma vasta experiência de vida pessoal e
profissional, e todas as dificuldades inerentes a sua escolarização, que tentamos elaborar esta
proposta de ensino da Geometria utilizando a Modelagem Matemática como alternativa
metodológica.
4.2 Os conhecimentos de geometria dos alunos da EJA
Tomando como instrumento de análise os dados coletados por meio do Questionário II,
identificamos a visão destes em relação à Geometria bem como levantamos os conhecimentos
prévios que eles tinham acerca de alguns conteúdos do referido tema. Setenta e quatro alunos das
três turmas responderam a esse questionário, tendo em vista que, nos dias, em que foi aplicado o
questionário, a presença na sala de aula estava reduzida. Esse questionário foi aplicado na semana
seguinte à aplicação do primeiro e a sua aplicação teve a mesma duração (1h30) em cada turma.
Para responder a esse questionário as dificuldades foram maiores: os alunos diziam que não iam
saber responder às questões, pois não sabiam de nada sobre a Geometria. Mas fomos lendo as
questões e eles responderam como sabiam.
Perguntamos inicialmente se eles já tinham ouvido falar em Geometria e, dos 74 alunos,
quarenta e cinco (60,8%) responderam que não e vinte e nove (39,2%) responderam que sim,
como podemos constatar através dos depoimentos:
Já ouvi falar, mas não me lembro o que é. (Aluno do 3º D)
Nunca ouvi falar. (Aluno do 3º F)
Não sei nem o que é. (Aluno do 3º E)
Estou leigo nesse assunto. (Aluno do 3º F)
Isso vem confirmar a lamentável realidade de que o ensino de Geometria está distante das
salas de aula. Na EJA, essa realidade é mais evidente, tendo em vista que a maioria dos
professores que atuam nos dois primeiros níveis de ensino (da Alfabetização à 4ª série) “[...] não
detém os conhecimentos geométricos necessários para realização de suas práticas pedagógicas. E
desconhecendo a Geometria também não conhece o poder, a beleza e a importância que ela
possui para a formação do futuro cidadão” (LORENZATO, 1995, p.3). Isso, provavelmente,
decorre da formação acadêmica que esses professores tiveram, como bem reforça o mesmo autor:
“nos cursos de formação de professores a Geometria possui uma fragilíssima posição, quando
consta. Ora, como ninguém pode ensinar bem aquilo que não conhece, está aí mais uma razão
para o atual esquecimento geométrico” (Ibdem, p. 4). Por isso há necessidade urgente de
reformulação dos programas dos cursos de formação de professores, no sentido de contribuir para
a tarefa de incorporar o conteúdo da Geometria no fazer pedagógico.
É imprescindível o trabalho com a Geometria na escola, tendo em vista a importância
desse tema para a resolução de situações de vida que precisam do raciocínio geométrico, da
percepção visual, da leitura e interpretação de obras de arte, de imagens e da própria natureza:
“[...] Sem conhecer Geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a
comunicação das idéias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida”
(LORENZATO, 1995, p.5).
Esse mesmo pensamento está evidenciado na Proposta Curricular de EJA, a qual, na
seleção dos conteúdos de Matemática, enfatiza a importância do desenvolvimento dos conteúdos
geométricos nas salas de aula de EJA, considerando-os que estes são essenciais,
[...] para o desenvolvimento de capacidades intelectuais como a percepção
espacial, a criatividade, o raciocínio hipotético-dedutivo, além de permitirem
várias relações entre a Matemática e a arte, a Matemática e a natureza, etc. É
preciso, portanto, incorporar a geometria aos cursos de jovens e adultos, não
como um estudo estático de figuras e suas respectivas nomenclaturas, mas
como um estudo dinâmico do espaço em que se vive (BRASIL, 2002, p.23).
Sendo assim, é possível compreender que o ensino de Geometria auxilia o aluno na
interpretação de mapas, na leitura dos diversos tipos de gráficos, na compreensão das relações
espaciais e que, portanto, o estudo dessa possibilita ao aluno desenvolver suas pesquisas na
natureza, no ambiente em que vive e na escola, de modo mais sistemático.
Voltando ao questionário, perguntamos, na segunda questão: O que você acha que se
estuda em Geometria? Das respostas apresentadas, sessenta e três alunos (85,1%) disseram que
não sabiam, porque nunca tinham estudado, como está evidenciado nas falas:
Não faço a menor idéia. (Aluno do 3º F)
Não sei nem responder. (Aluno do 3º E)
Acho que são os números. (Aluno do 3º F)
Não vou responder porque não sei. (Aluno do 3º D)
Apenas onze alunos (14,9%) conseguiram estabelecer alguma relação com o que já
tinham estudado, respondendo que a Geometria estuda as formas. Vale salientar que esses alunos
apresentavam um grau maior de escolaridade, ou seja, já tinham estudado até a 5ª série há algum
tempo. Mais uma vez está evidenciada a idéia de que o conteúdo de Geometria fica à margem no
ambiente escolar, o que traz conseqüências para o desenvolvimento de habilidades inerentes à
atuação do indivíduo na sociedade.
O grande desafio do professor é desenvolver no aluno as habilidades inerentes aos
aspectos aritméticos, algébricos e geométricos presentes no conteúdo matemático. O que se
observa nas salas de aula de EJA é que:
[...] Para a maioria dos alunos, a matemática é fazer contas, contas e mais
contas deixando de lado momentos mais criativos como o desenvolvimento de
estratégias para a resolução de problemas, o cálculo mental, a representação
gráfica do pensamento e outras coisas que o modelo escolar não trabalha com o
aluno adulto (SOUZA JUNIOR, 2003, p.37).
O conhecimento aritmético é utilizado pelo aluno em situações práticas do dia-a-dia; o
conhecimento algébrico permite-lhe sintetizar e expressar as generalizações pertinentes às
operações com os números; e o conhecimento geométrico favorece, além do desenvolvimento do
raciocínio lógico-dedutivo, a integração com outras áreas do conhecimento. A escola não pode,
portanto, escamotear um dos conhecimentos necessários à formação do aluno, tendo em vista as
conseqüências que esse desfalque pode acarretar para a participação deste na sociedade.
Com a terceira questão, procurávamos saber dos alunos quais conteúdos geométricos eles
tinham estudado no seu percurso de formação. Apenas onze deles responderam que tinham
estudado as formas triângulo, quadrado, retângulo e redondo. Observamos, então, que o
conhecimento que alguns alunos têm sobre a Geometria se reduz ao nome de algumas figuras
geométricas planas; mesmo assim, nomes diferentes dos convencionais, como, por exemplo,
redondo para o círculo. Isso também ficou demonstrado na quarta questão, quando solicitamos
que os alunos escrevessem os nomes das figuras geométricas selecionadas.
O Quadro 7 apresenta os erros e acertos que os alunos de EJA tiveram na identificação
das figuras.
FIGURAS
ACERTOS
VA VR (%)
ERROS
VA VR (%)
NÃO RESPONDEU
VA VR (%)
Retângulo
11
14,9
57
77,0
06
8,1
Triângulo
68
91,8
03
4,1
03
4,1
Paralelogramo
-
-
36
48.6
38
51,4
Losango
05
6,7
09
12,2
60
81,1
Triângulo
retângulo
02
2,7
08
10,8
64
86,5
Trapézio
-
-
07
9,5
67
90,5
Cilindro
03
4,1
22
29,7
49
66,2
Cubo
06
8,1
31
41,9
37
50,0
Quadrado
07
9,5
05
6,7
62
83,8
Pentágono
-
-
03
4,1
71
95,9
Hexágono
-
-
08
10,8
66
89,2
Círculo
28
37,8
05
6,7
41
55,5
Quadro 7: Erros e acertos na identificação das figuras geométricas
VA = Valor Absoluto VR = Valor Relativo
Entre as doze figuras desenhadas, havia figuras geométricas planas (triângulo, quadrado,
retângulo, losango, trapézio, paralelogramo, pentágono, hexágono, círculo) e figuras espaciais
(cilindro, cubo). Foi surpresa para nós a não-identificação do nome das figuras pela maioria dos
alunos. Quando eles respondiam, às vezes usavam a denominação adquirida no seu contexto de
vida, como, por exemplo: bozó, dado, quadrado, caixa (para identificar o cubo); redondo, oval,
roda, bola (para o círculo); copo, tubo, lata, comprido (para o cilindro); pipa, balão (para o
losango) e tigela, vaso, xícara (para identificar o trapézio).
Dessa forma, percebemos que os alunos fazem uma associação das figuras geométricas
com os objetos do seu contexto de vida. No entanto desconhecem a nomenclatura convencional
dessas figuras, sendo, pois, necessário, que a escola promova o elo entre o conhecimento
informal e o conhecimento escolar, tendo em vista a sistematização desse conteúdo de Geometria.
Ficou evidenciado também que os alunos não conseguem abstrair propriedades inerentes a
uma determinada figura geométrica, para identificação de outras figuras, visto que apresentamos
o triângulo e o quadrado desenhados numa disposição não-convencional, ou seja, em outras
posições geradas a partir de um movimento e, eles não conseguiram identificá-los.
Provavelmente, porque a escola trabalha na perspectiva do conhecimento matemático estático,
pronto e acabado, sem atentar para o fato de que tudo está em constante evolução e a Geometria,
hoje procura estudar as coisas, os objetos, as figuras em movimento.
No Quadro 7, ficou evidente, nos alunos que participaram deste estudo, a falta do
conhecimento geométrico sistematizado em relação ao conteúdo exigido pelos documentos
oficiais (Propostas Curriculares, currículo da escola), uma vez que 63,6% desses alunos deixaram
de identificar as referidas figuras, 21,8% responderam de modo incorreto o nome das figuras e
apenas 14,6% acertaram na identificação das figuras. No entanto esses alunos têm um
conhecimento não-sistematizado da nomenclatura dessas figuras, adquirido através de suas
experiências de vida, do seu trabalho, necessitando, portanto, que a escola crie espaço para que
eles possam (re) significar e ampliar esse conhecimento.
Isto nos remete a Fonseca (2002, p.59), quando afirma que
[...] a contribuição do conhecimento da Matemática dar-se-á não apenas pelo acesso a
um vocabulário especifico, cada vez mais freqüente nas diversas instâncias da vida
social, mas também pelo provimento de modos de tratamento, organização e registro da
informação, que orientam a compreensão, viabilizam a comunicação e sugerem critérios
para o julgamento e o enfrentamento de questões diversas da vida moderna, em seus
apelos funcionais, e da vida humana, em suas indagações arquetípicas.
Por isso, o ensino da Matemática, e em especial o da Geometria, deve ser orientado para
que o aluno possa mobilizar o conhecimento já construído e redimensioná-lo, enriquecendo e
ampliando o seu vocabulário e a sua capacidade de relacionar informações, o que lhe garantirá a
compreensão dos conteúdos ensinados e aprendidos na escola.
Dando prosseguimento à análise das questões apresentadas aos alunos, solicitamos, na
quinta questão, que eles classificassem pares de retas desenhados em paralelas, perpendiculares
ou oblíquas (inclinadas). Os resultados estão expostos no Quadro 8 abaixo.
RETAS
ACERTOS
VA VR (%)
ERROS
VA VR (%)
NÃO RESPONDEU
VA VR (%)
Paralelas 37 50,0 29 39,2 08 10,8
Perpendiculares 28 37,8 37 50,0 09 12,2
Obliquas 36 48,7 30 40,5 08 10,8
Quadro 8: Posição relativa de retas - erros e acertos
Observamos que, em sua maioria, os alunos responderam a essa questão aleatoriamente,
ou seja, não tinham consciência de que a resposta dada estava correta; apenas respondiam para
não deixar em branco. Isso evidencia que, mesmo os alunos de EJA que têm uma vasta
experiência profissional nas atividades de construção civil, marcenaria, comércio, desenhos,
pinturas, etc., nas quais utilizam os conhecimentos geométricos, não estabelecem relação entre
esses saberes e o conhecimento desenvolvido na escola, visto que o processo de ensino e
aprendizagem continua distante da vida pessoal e profissional dos estudantes.
Por isso os conteúdos desenvolvidos na EJA devem levar em consideração a necessidade
de se “trabalhar a partir dos conhecimentos dos alunos, dos saberes construídos em sua vivência
e, ao mesmo tempo, dando-lhes acesso a conhecimentos identificados como parte do ‘patrimônio
universal’, numa perspectiva inclusiva e não-discriminatória” (BRASIL, 2002, p.118).
Nessa perspectiva, há de se considerar que os alunos da EJA precisam sistematizar e
aprofundar conceitos e relações dos conteúdos específicos das diversas áreas do conhecimento,
no sentido de adquirirem, além do acesso ao saber científico, o desenvolvimento de competências
mais amplas, que permitam a sua participação consciente e crítica na sociedade.
Analisando os resultados das questões postas, podemos concluir que a visão que os alunos
da EJA têm sobre a Geometria, é a de um conteúdo parcialmente desconhecido, tendo em vista
que não tiveram acesso a ele no período regular de sua escolarização. Assim, percebemos a
necessidade de se implementarem, com urgência, as idéias expostas nas Propostas Curriculares
do 1º e 2º Segmentos do Ensino Fundamental para essa modalidade de ensino, as quais enfatizam
a importância da Geometria na formação do cidadão.
Quanto aos conhecimentos prévios sobre os conteúdos de Geometria, foram ressaltados
pelos alunos apenas os nomes de algumas das figuras geométricas, tais como triângulo, quadrado
e retângulo, além da tentativa de relacionarem algumas figuras a objetos de seu contexto de vida.
Dessa forma, há necessidade de sistematização desse conhecimento, no sentido de que o aluno
possa transferir o conhecimento adquirido na escola para situações da vida real.
Observamos também que os alunos utilizam conhecimentos geométricos em suas
atividades profissionais, mas não relacionam esses conhecimentos com o que já sabem do
conhecimento formal da Geometria, tendo em vista que esse conteúdo foi cerceado em sua vida
escolar.
Com isso, ao confrontarmos o que os alunos da EJA já sabem sobre a Geometria com os
conteúdos previstos nas Propostas Curriculares do 1º e 2º segmentos (EJA), vimos que existe
uma grande lacuna entre o que está proposto e a realidade, tendo como conseqüência o não-
desenvolvimento de habilidades de representação, interpretação, descrição, percepção,
demonstração e generalização, o que acarreta um prejuízo significativo na formação desses
alunos.
Esses resultados apontam também para a necessidade de se investir na formação dos
profissionais que atuam em EJA, como forma de fazê-los entender que o conhecimento
geométrico é tão importante quanto o conhecimento aritmético e o algébrico no desenvolvimento
de competências e habilidades essenciais para lidar com as mudanças ocorridas nesta sociedade
do conhecimento.
No próximo capítulo, apresentamos nossa proposta de atividades para o ensino de
Geometria utilizando Modelagem Matemática, destacando inicialmente o papel da geometria na
formação do cidadão, bem como a forma como foram definidos os temas e a estrutura das
atividades.
“A alternativa que propomos é reconhecer que o indivíduo é um
todo integral e integrado e que suas práticas cognitivas e
organizativas não são desvinculadas do contexto histórico no qual o
processo se dá, contexto esse em permanente evolução. Isso é
evidente na dinâmica que caracteriza a educação para todos ou
educação de massa.” (Ubiratan D’Ambrosio)
5 PROPOSTA DE ATIVIDADES PARA O ENSINO DE GEOMETRIA UTILIZANDO
MODELAGEM MATEMÁTICA
Neste capítulo, descrevemos nossa proposta de atividades utilizando a Modelagem
Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem da Geometria no Nível III da EJA.
Ressaltamos inicialmente, o papel da Geometria no processo de formação do cidadão, com base
nas idéias de alguns autores que se debruçaram sobre essa questão. Além disso, definimos os
temas com os quais trabalhamos, selecionados a partir dos conteúdos de Geometria incluídos na
Proposta Curricular da EJA – 2º segmento (5ª a 8ª série), bem como as atividades que elaboramos
para explorá-los.
A idéia de elaborar esta proposta surgiu das reflexões realizadas por nós, como professora
de Matemática da EJA da rede pública de ensino, e dos estudos realizados no Curso de
Especialização em Formação de Formadores em Educação de Jovens e Adultos, oferecido pelo
SESI/UnB/UNESCO, no período 2001/2002.
As leituras, as discussões, a participação em encontros, seminários e congressos
reforçaram nossa necessidade de mudanças na forma de abordar os conteúdos de Matemática na
EJA. Sentimos que era preciso pensar numa forma de ensinar Matemática de maneira que o aluno
participasse, tivesse interesse em aprender, uma forma que oportunizasse o trabalho em grupo,
desenvolvesse a criatividade e proporcionasse momentos de reflexões sobre situações-problema
do seu contexto de vida. Encontramos na Modelagem Matemática subsídios para desenvolver tal
proposta, uma vez que essa alternativa metodológica possibilita ao aluno visualizar o sentido
daquilo que está estudando, por estar baseada, essencialmente, em problemas reais do seu
cotidiano.
5.1 O papel da geometria na formação do cidadão
O ensino de Geometria tem sido tema de discussões e pesquisas nas diversas instituições
acadêmicas, devido à importância desse conteúdo no desenvolvimento de habilidades essenciais à
formação do indivíduo. No entanto o que se tem observado nas salas de aula do Ensino
Fundamental é que esse conteúdo não é explorado.
A partir da nossa experiência com formação de professores e do convívio com educadores
que atuam em EJA, constatamos que o conhecimento geométrico está em crescente abandono nas
escolas, tendo em vista que os professores apresentam visões diferentes em relação ao conteúdo
matemático que deve ser enfocado nessa modalidade de ensino. Para a maioria deles, o foco
principal do ensino de Matemática deve ser dado no aspecto aritmético, esquecendo-se, dessa
forma, a importância, na formação do cidadão, do desenvolvimento do pensamento geométrico,
que contribui para que o aluno possa compreender o espaço em que vive e sua relação com os
diferentes espaços em que atua.
É interessante tecer aqui alguns comentários a respeito da Geometria no Ensino
Fundamental. Esse conteúdo, em comparação com os demais temas da Matemática, tem sido o
mais esquecido, por parte dos educadores, principalmente daqueles que trabalham com Educação
de Jovens e Adultos:
Parece evidente que esses professores julgam essencial para os alunos de
educação de jovens e adultos aprender procedimentos de cálculos, geralmente
utilizados nos livros didáticos. [...] é importante oferecer aos alunos da EJA
oportunidades para interpretar problemas, compreender enunciados, utilizar
informações dadas, estabelecer relações, interpretar resultados à luz do
problema colocado e enfrentar, com isso, situações novas e variadas (BRASIL,
2002, p.74).
Tanto o conteúdo de Geometria como os de Medidas e do Tratamento da Informação são
considerados importantes para o desenvolvimento dessas habilidades, e não apenas o conteúdo
relacionado à aritmética.
Lorenzato (1993) constatou, em pesquisas com professores que atuam nas primeiras séries
do Ensino Fundamental, que apenas uma minoria dos professores entrevistados arriscavam
ensinar Geometria; os demais assumiram que não ensinavam, porque não conheciam e nunca
tinham estudado. Isso nos remete a uma reflexão acerca dos cursos de formação de professores,
que, em sua maioria, não consideram o conhecimento geométrico como essencial para essa
formação e, quando abordam esse conteúdo, ele aparece isolado da aritmética e da álgebra, dando
destaque maior ao seu aspecto estrutural, esquecendo do aspecto de ciência do espaço.
O ensino de Geometria é realizado, na sua maioria, descontextualizado do cotidiano do
aluno, ou seja, é apresentado de maneira árida, em que as definições, propriedades, fórmulas e
nomenclaturas são desprovidas de qualquer relação com aplicações práticas do dia-a-dia e
também dos aspectos histórico e lógico próprios do conhecimento geométrico.
Ao ressaltar o papel da Geometria na escola, Lorenzato (1995, p.5) afirma que:
[...] sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou
o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão
resolver as situações de vida que forem geometrizadas; também não poderão se
utilizar da Geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e
resolução de questões de outras áreas do conhecimento humano. Sem conhecer
a Geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a
comunicação das idéias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se
distorcida.
Os alunos que chegam ao 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental pertencem a uma geração
que não estudou Geometria, uma vez que a ênfase é dada ao treino dos algoritmos das quatro
operações fundamentais. Tal postura deve-se principalmente às dificuldades apresentadas pelos
alunos na resolução das situações-problema, que envolve essas operações, à falta de
embasamento para acompanhar os tópicos propostos pelos documentos oficiais, como também ao
desconhecimento, por parte dos educadores, do conhecimento geométrico. Daí a importância de
se trabalhar com a Geometria na Educação de Jovens e Adultos (EJA) nesses ciclos.
O estudo da Geometria, afirma Fainguelernt (1999, p. 53),
[...] é de fundamental importância para se desenvolver o pensamento espacial e
o raciocínio ativado pela visualização, necessitando recorrer à intuição, à
percepção e à representação, que são habilidades essenciais para leitura do
mundo e para que a visão da Matemática não fique distorcida.
Dessa forma, o ensino deve ser baseado em atividades que oportunizem aos alunos
explorar, criar, argumentar e conjecturar, conduzindo-os a participarem do processo de
construção dos conceitos geométricos, em detrimento do ensino desenvolvido através de
automatismo, memorização e técnicas operatórias, que resulta num processo de formalização
com crescente nível de rigor, abstração e generalização. Quando o educador trabalha na
perspectiva de desenvolver o pensamento geométrico do aluno, está contribuindo para ampliar
sua percepção geométrica, o raciocínio geométrico e a linguagem geométrica, aspectos
necessários para se estabelecer a relação entre o real e o formal.
Com esse pensamento, Fainguelernt (1999) ressalta que, nos processos de ensino e
aprendizagem da Geometria, devem ser contempladas as visões da Geometria como uma ciência
do espaço e como uma estrutura lógica, destacando que essas duas visões não estão separadas,
visto que, para entender a Geometria como estrutura lógica, é preciso ter adquirido alguns níveis
da Geometria como ciência do espaço.
Hershkowitz, citado por Fainguelernt (1999, p.52) diz:
O ensino de Geometria parte da visão da mesma como exploração e descrição
do espaço, trabalhando concretamente no espaço real e realizando diferentes
atividades que desenvolvem a visualização, a intuição, a percepção e a
representação, além de permitir que o aprendiz realize a passagem do espaço
real para o espaço teórico, chegando à visão da Geometria como uma estrutura
lógica.
Do ponto de vista da Geometria como ciência do espaço, destaca-se a necessidade de se
compreender que espécies de habilidades visuais são essenciais na aprendizagem da Geometria,
entre elas podendo-se enfatizar a representação, a interpretação, descrição e a percepção,
enquanto que na visão da Geometria como estrutura lógica, é preciso suscitar questões sobre os
processos de demonstração e generalização.
Assim sendo, a exploração do espaço é necessária e adequada para que os alunos possam
desenvolver a percepção intuitiva acerca do espaço em que estão inseridos e dos objetos nele
contidos, a partir das “idéias e intuições sobre orientação, direção, forma e tamanho das figuras e
objetos, suas características e suas relações no espaço” (PROPOSTA CURRICULAR DE EJA –
Ensino Fundamental – 1º segmento, 1999, p.146).
Através da percepção do espaço, pode-se ampliar a capacidade de reconhecer formas,
representá-las, identificar suas propriedades e abstraí-las: “Essas habilidades são a base para a
construção das relações espaciais que caracterizam o pensamento geométrico” (Ibdem, p.146).
A percepção espacial, conforme Del Grande (1994, p.156),
[...] é a faculdade de reconhecer e discriminar estímulos no espaço, e a partir do
espaço, e interpretar esses estímulos associando-os a experiências anteriores.
Oitenta e cinco por cento das informações que chegam ao corpo vindas do meio
ambiente penetram em nós através de sistema visual, e a visão se desenvolve
como resultado de muitas experiências acumuladas. O estudo da percepção tem
raízes na psicologia, na filosofia e na física; isto pode explicar, portanto, o fato
de não haver uma definição universal aceita, podendo haver alterações
conforme a tarefa que se tenha em mãos.
Essa habilidade (percepção espacial) é adquirida pelas crianças a partir das experiências
realizadas no meio que em vivem, as quais são conduzidas ao ambiente escolar, contribuindo
para o desenvolvimento dos conceitos geométricos. Por isso o conhecimento geométrico pode ser
desenvolvido progressivamente, através das experiências intuitivas dos alunos, a partir de
situações de aprendizagem relativas ao espaço, que podem ser resolvidas com base nos seus
conhecimentos prévios.
Quando damos ao aluno a oportunidade de descrever e representar os objetos no espaço e
a forma como estes se relacionam, estamos favorecendo a construção das idéias geométricas de
espaço, figuras geométricas, suas propriedades, e o vocabulário correspondente, de forma mais
simples.
Conforme Tenório (1995, p.26), o ensino de Geometria, em qualquer idade, não pode
[...] prescindir de ações de perceber (por exemplo, uma forma), conceber (por
exemplo, um instrumento ou um projeto), representar (desenhar, talvez, o
projeto de uma casa) e construir (um cubo...). Essas ações não são etapas
seqüenciais, mas partes de um todo inseparável, onde cada parte antecede todas
as demais e vice-versa. Imaginar, cortar, construir, intuir, pegar, perceber,
representar, construir, ligar, esticar, e de novo cortar, imaginar, intuir, costurar
[...] isto não é brincadeira (só) de crianças.
O trabalho com a Geometria em EJA deve, portanto, oportunizar ao aluno condições para
construir, visualizar, desenhar, medir, comparar, transformar e classificar figuras geométricas, de
modo que ele possa perceber a Geometria como forma de descrever o mundo que o cerca e
entender melhor o mundo em que vive.
Araújo (1994, p.14), ao se referir à Geometria, destaca que esta: “[...] enriquece o
referencial de observação, através do qual apreciamos o mundo sendo de grande importância na
construção do conhecimento lógico-matemático do educando visto que lhe permite passar dos
dados concreto-experimentais aos processos de abstração.” Smole et. al. (1990, p.2), entendem
que o ensino de Geometria é importante, pois desenvolve “as habilidades de observação,
percepção, argumentação, representação gráfica, habilidades lógicas e inter-relaciona o estudo de
Geometria com outros campos do conhecimento”.
Vê-se, portanto, que é urgente uma mudança na forma de abordar a Geometria em sala de
aula, tornando-a menos abstrata e de fácil compreensão. Para tanto, é preciso desenvolver
atividades que privilegiem a participação ativa do aluno, possibilitem seu despertar para perceber
o espaço em sua volta, desenvolvam habilidades de visualizar, desenhar, interpretar e construir,
contribuindo, assim, para a formação do pensamento geométrico.
5.2 Definição dos temas e estrutura das atividades
Na definição dos temas a serem abordados nas atividades, tomamos como parâmetros os
conteúdos sugeridos na Proposta Curricular para EJA – 2º segmento -, entre os quais
selecionamos três temas: Ângulos e Posição Relativa de Retas, Sistemas Referenciais e Figuras
Geométricas, por considerá-los tópicos essenciais no desenvolvimento do pensamento
geométrico. Além do mais, levamos em consideração os resultados obtidos a partir da aplicação
do Questionário II, que procurou identificar os conhecimentos prévios que os alunos da EJA
tinham em relação à Geometria.
Na elaboração das atividades, procuramos atentar para questões que conduzissem o aluno
da EJA a pensar, criar, comparar, observar, perceber, descrever, representar e argumentar, de
modo a contribuir para o desenvolvimento do pensamento geométrico, não deixando, porém, de
considerar as dificuldades que eles apresentam na escrita e na leitura.
As atividades estão direcionadas para contribuir para o trabalho do professor, na medida
em que forem abordados, em sala de aula, os temas selecionados nesta proposta. Foram
estruturadas considerando os seguintes pontos: problematização, objetivos, material necessário,
orientações para o professor, procedimentos que os alunos deverão realizar e ao final das
atividades propostas para cada tema, sugestão de bibliografia complementar, para que o professor
possa se aprofundar. Sugerimos também leituras iniciais, que servirão de suporte teórico para o
professor, e alguns textos para o aluno, que poderão ser lidos antes da atividade ou depois delas.
Cada atividade tem como ponto de partida uma questão (problematização), que deverá ser
retomada e discutida ao final, de forma a contribuir para a sistematização do conteúdo
desenvolvido na atividade.
Para a execução das atividades, em sala de aula, o professor deverá providenciar cópia do
roteiro dos procedimentos o qual orientará as ações que serão realizadas pelos alunos, os
materiais necessários para a realização destas e a leitura antecipada do texto referente ao tema
proposto, bem como outras leituras auxiliares.
Nas atividades propostas, procuramos contemplar os conteúdos conceituais,
procedimentais e atitudinais enfatizados nos Parâmetros Curriculares Nacionais, na medida em
que trabalhamos o saber (conceitos), o saber-fazer (procedimentos) e o saber-ser (atitudes,
regras), tudo com o objetivo de formar o cidadão como um todo.
Apresentamos, a seguir, sugestões de atividades para o desenvolvimento do primeiro
tema: Ângulos e Posições Relativas de Retas.
5.3 TEMA 1: Ângulos e Posições Relativas de Retas
Na abordagem a esse tema, iremos explorar, inicialmente, as atividades referentes ao
conceito de ângulo, medida de ângulos com transferidor, tipos de ângulos e como os ângulos são
utilizados em situações do nosso dia-a-dia. Em seguida, trataremos das atividades referentes a
posições relativas de retas, explorando as retas paralelas, as perpendiculares e as inclinadas, e a
utilização de todas elas no contexto social.
5.3.1 Ângulos
Leitura inicial - Considerações acerca do conceito de ângulos
Ângulo é um dos conteúdos de Geometria destacado nos Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Fundamental. Mas, afinal, para que servem os ângulos? Qual é a utilidade
dos ângulos? Em que situações práticas do nosso cotidiano os ângulos estão presentes? Foi
tentando explicar e exemplificar a presença de ângulos no nosso dia-a-dia bem como subsidiar os
alunos da Educação de Jovens de Adultos para a construção do conceito de ângulo, que
escrevemos este texto e elaboramos as diversas atividades.
O ângulo, além de estar relacionado ao ensino de Matemática, é também utilizado em
outras atividades do nosso cotidiano. Ele está presente na construção de brinquedos para parques
de diversão; nas brincadeiras como skate, amarelinha, pula corda; nos esportes como o surf, a
natação, a ginástica; na construção de casas, apartamentos; na pavimentação de ruas, estradas, e
em tantas e tantas outras atividades realizadas pelo homem.
O ângulo, segundo alguns autores, pode ser compreendido como sendo a figura formada
por duas semi-retas que têm a mesma origem. Outros, além de considerar as duas semi-retas de
mesma origem, consideram também a região compreendida entre elas. A medida da abertura
entre as duas semi-retas é calculada em graus. Mas, para se entender melhor o significado de
ângulo, pode-se enfatizar que o seu conceito está ligado a movimento (giro), como os
movimentos presentes nos ponteiros de um relógio, na abertura de um livro, de uma tesoura, por
exemplo, e que, dessa forma, a medida do ângulo pode ser explicada como a amplitude do
movimento realizado.
De acordo com Toledo; Toledo (1997, p.246), podemos destacar algumas atividades que
contribuem para a construção do conceito de ângulos:
Visualização e reprodução das posições relativas dos ponteiros do relógio, em
vários momentos da aula; observação das várias posições da porta da classe,
desde fechada até totalmente aberta (os alunos podem marcar essas posições
com giz no chão, relacionando-as com a posição inicial, fechada); Manuseio
dos sólidos geométricos - acompanhando com o dedo as várias arestas de um
poliedro, a criança percebe que a mudança de direção, ao passar de uma para a
outra; saindo de um ponto de base de um cone ou cilindro e percorrendo seu
contorno até voltar ao ponto inicial, dá-se uma 'volta completa'; Seguir com o
dedo o contorno de uma figura plana qualquer - acompanhando o contorno de
um disco de cartolina dobrado ao meio, dá-se 'meia volta'.
Dessa forma, o trabalho com ângulo não deve ser, inicialmente, carregado de
nomenclatura, e sim, deve partir da observação do aspecto dinâmico dessa figura.
Os elementos de um ângulo são: vértices (ponto que dá origem às duas semi-retas) e
lados, formados pelas semi-retas. Os lados e o vértice são representados por letras maiúsculas do
nosso alfabeto. Assim, podemos nomear os ângulos com três letras - AOB, por exemplo, ou AÔB
- ou apenas com uma: Â.
O instrumento utilizado para medir ângulos é o transferidor, do qual existem dois
modelos: um medindo ângulo até 180º e outro medindo até 360º. Destacamos ainda que esse
instrumento apresenta, às vezes, duas numerações. Essas numerações são chamadas de escalas, e
cada uma delas começa em 0º e termina em 180º ou 360º.
Para realizar a leitura das numerações, lemos uma no sentido horário (movimento dos
ponteiros dos relógios), e a outra no sentido anti-horário (contrário aos ponteiros dos relógios),
sempre com a preocupação de não mudarmos de escala ao realizarmos a medição.
Medir um ângulo é procurar saber quantas vezes um ângulo de 1º cabe dentro do ângulo
que se quer medir. A medida dos ângulos em graus é originária, segundo Smoothey (1997, p.21),
“dos babilônios, cerca de seis mil anos atrás. Eles pensavam que o sol girava em volta da terra em
360 dias.” Como se sabe que é a Terra que gira em torno do Sol, gastando 365 dias, e não 360
dias, procurou-se uma forma de facilitar a medição de ângulos correspondente a esse movimento
durante um dia. Dessa forma, para que os resultados dessa medição fossem expressos em termos
de fração, a volta completa dada pela Terra ao redor do Sol foi subdividida em 360 partes
idênticas, e cada parte foi denominada de grau, representada pelo símbolo °.
Assim, para uma volta completa, temos um ângulo de 360°; para meia volta, 180°; um
quarto de volta corresponde ao ângulo de 90°, e assim sucessivamente.
Para desenvolvermos o estudo sobre ângulos, propomos a seguir algumas atividades que
propiciam a ampliação do conceito de ângulo e a construção, medição e classificação dos
ângulos.
Atividade 1 - Construindo a idéia de ângulo
Problematização: O que sugere a figura geométrica formada pela mudança de direção em um
percurso?
Objetivos
• Construir a noção de ângulo a partir da idéia de movimento e mudança de direção.
• Identificar no ambiente escolar, ou em outro local, objetos que representam a idéia de ângulo.
Material: papel ofício, régua, lápis grafite, borracha, cópia do roteiro da atividade, compasso.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em grupo, para favorecer a discussão entre alunos;
• Dizer aos alunos que o desenho do relógio poderá ser feito utilizando o compasso - no caso de
ser feito redondo - ou a régua - se tiver a forma retangular ou quadrada;
• A leitura do texto sobre o conceito de ângulo poderá ser feita para orientação da atividade ou,
ao final da atividade para sistematização do tema;
• Pedir aos grupos para apresentarem os desenhos construídos, para fomentar as discussões;
• Incentivar os alunos a lerem o texto final da atividade, explorando-o com outros
questionamentos;
• Anotar as possíveis dificuldades apresentadas pelos alunos na execução da atividade;
• Modificar a atividade quando necessário, de acordo com o nível da turma;
• Retomar a questão inicial, para sistematizar o conteúdo trabalhado na atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Desenhar, com o compasso ou com a régua, o modelo de um relógio ou de quatro relógios;
• Representar, no relógio desenhado, a posição dos ponteiros quando estiverem marcando 15
horas, 18 horas, 21 horas e 8 horas;
• Responder aos seguintes questionamentos:
o O que o grupo observou em relação à direção dos ponteiros do relógio em cada hora
marcada?
o A abertura entre os dois ponteiros permaneceu igual ou variou? De quanto foi essa
variação?
o Como é denominada a figura geométrica formada pelos dois ponteiros do relógio?
• Imaginar o movimento que a porta da sala de aula realiza ao se abrir pela metade ou quando
está totalmente aberta. Representar com um desenho esse movimento numa folha de papel e,
em seguida, perguntar que figura foi formada com o movimento da porta;
• Identificar, m na sala de aula ou em outro local, objetos que, ao se movimentar, girar ou se
abrir, dão idéia de ângulo;
• Realizar a leitura do texto abaixo (texto complementar), para melhorar a compreensão sobre a
idéia de ângulo e a utilização desse conhecimento no cotidiano;
• Apresentar os desenhos produzidos, explicando todos os procedimentos realizados.
Texto complementar - Ângulo associado à idéia de rotação, inclinação e orientação
Observando-se as coisas que acontecem em nosso dia-a-dia, nos deparamos com situações
que apresentam a idéia de ângulos relacionada a giro (rotação em torno de um ponto), a
inclinação e a orientação. Um exemplo que nos aproxima da idéia de ângulo associada a giro está
no movimento de abrir e fechar uma tesoura, um leque, os ponteiros de um relógio, os botões de
um fogão, máquina de lavar roupa, etc. Esses objetos se movimentam em torno de ponto,
formando ângulos agudos, obtusos e retos, dependendo da medida da abertura formada, no
movimento deles.
Podemos perceber a idéia de ângulos associada a inclinação na construção de rampas,
ruas, estradas, telhados de casas e edifícios. Nesses casos, o ângulo é usado para que haja um
bom aproveitamento dos serviços executados.
Os ângulos estão relacionados à idéia de orientação nas atividades realizadas pelos pilotos
de avião, carros, pelos astrônomos, geógrafos e pelos comandantes de navio, barcos, lanchas,
tendo em vista a orientação desses profissionais na realização de percursos, partindo sempre de
um referencial pré-estabelecido.
De tudo isso, podemos concluir que o estudo de ângulos é muito significativo para a
compreensão de diversas atividades do nosso cotidiano, e poder ser realizado integrado com
outras áreas do conhecimento, como a Geografia, a Astronomia, a Engenharia etc.
Atividade 2 - Medindo ângulos
Problematização: Como utilizar o transferidor para medir e construir ângulos?
Objetivos
• Aprender a utilizar o transferidor como instrumento para calcular a medida de ângulos;
• Identificar objetos em que possam estar representados ângulos maiores, menores ou iguais a
90°.
Material: Cópia do roteiro da atividade, papel ofício, lápis grafite, borracha, transferidor.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade individualmente ou dupla;
• Explorar o transferidor antes de o aluno iniciar a atividade;
• Anotar as dificuldades que os alunos apresentaram no desenvolvimento da atividade;
• Retomar a problematização para sistematizar a forma de medir ângulo com transferidor.
Procedimentos a serem realizados pelo(s) aluno(s)
• Observar os ângulos representados abaixo e atribuir letras a cada um, identificando-os;
• Colocar o centro do transferidor sobre o vértice de cada ângulo que se quer medir;
• Fazer coincidir a linha que passa por 0º e 180º com um dos lados do ângulo;
• Observar o valor indicado no transferidor, definido pelo outro lado do ângulo que corta a
escala;
• Registrar os valores das medidas de cada ângulo;
• Medir, usando o transferidor, o ângulo do canto da carteira, do caderno, do quadro de giz e do
livro e, em seguida, dizer o que observou;
• Medir os ângulos dos quatro cantos da carteira e dos quatro cantos da capa do caderno,
adicionar os valores encontrados para a carteira e para o caderno, separadamente e, em
seguida, dizer que resultados encontrou;
• Observar a sala de aula e descobrir em que lugares se podem encontrar ângulos de 90º;
• Exemplificar, com objetos do dia-a-dia, aqueles que apresentam ângulos menores que 90º e
maiores que 90º.
Atividade 3 - Quanto mede o giro?
Problematização: O que se observa no plano quando um objeto gira ou muda de direção?
Objetivos
• Construir a noção de ângulo associada às idéias de giro e mudança de direção;
• Identificar ângulo: reto, raso, agudo, obtuso e um volta completa.
Material: Cópia do roteiro da atividade, papel ofício, palito de picolé (2 para cada grupo), lápis
hidracor, lápis grafite, transferidor, livros didáticos que tratem de ângulos.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em dupla ou individual;
• Providenciar o material para cada aluno (ou cada dupla);
• Explorar oralmente as idéias de reta, semi-reta e segmento de reta;
• Incentivar os alunos a pesquisarem nos livros didáticos o significado de ângulo reto, raso,
agudo, obtuso;
• Registrar as dificuldades e avanços obtidos pelos alunos no desenvolvimento da atividade;
• Retomar a problematização para sistematizar a idéia de ângulo;
• Observar se os objetivos propostos para os alunos foram alcançados.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Desenhar duas semi-retas na folha de papel ofício: uma na vertical e outra na horizontal, de
modo que se cruzem ao meio;
• Definir letras para os lados e os vértices dos ângulos que foram formados;
• Colocar um palito de picolé em cima de um dos lados dos ângulos e fazer o palito girar, no
sentido anti-horário, até encontrar o outro lado do ângulo, em seguida, explicar que esse giro
corresponde a um quarto de uma volta completa;
• Calcular com o transferidor a medida desse ângulo e dizer de que tipo de ângulo se trata;
• Girar novamente o palito até encontrar o outro eixo, achar a medida desse novo ângulo,
usando o transferidor e dizer como ele é chamado;
• Observar quantos ângulos de um quarto de volta cabem em um ângulo de meia volta;
• Fazer o palito girar novamente até encontrar o próximo eixo e medir esse ângulo com o
transferidor;
• Girar o palito até voltar ao eixo inicial, fazer a medida desse ângulo e dizer como é chamado
e quantas meias voltas cabem dentro de uma volta?
Atividade 4 - Dando sentido à direção
Problematização: O que é necessário para construir figuras geométricas no papel quadriculado?
Objetivos
• Seguir instruções para trabalhar com mudanças de direção e sentido;
• Calcular a medida dos ângulos construídos no desenho;
• Identificar figuras geométricas planas construídas a partir das instruções dadas.
Material: Cópia do roteiro da atividade, papel quadriculado, lápis grafite, borracha, transferidor,
régua.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade individualmente ou em dupla;
• Providenciar o material necessário;
• Mostrar o papel quadriculado e explicar a medida dos quadradinhos;
• Fazer a leitura da atividade oralmente para contribuir para a compreensão da desta;
• Incentivar os alunos a escrever instruções;
• Retomar a questão inicial para sistematizar o conteúdo trabalhado na atividade;
• Registrar as dificuldades e avanços dos alunos na realização da atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Ler as instruções e desenhar no papel quadriculado o caminho proposto:
o Avançar 4 quadradinhos para cima, dobrar à esquerda num giro de um quarto de volta;
o Avançar 4 quadradinhos, dobrar à esquerda com um giro de um quarto de volta;
o Avançar 4 quadradinhos, dobrar à esquerda com um giro de 90º;
o Avançar 4 quadradinhos, dobrar à esquerda com um giro de 90º.
• Dizer que figura foi formada e qual é a soma das medidas dos ângulos internos dessa figura;
• Criar novas instruções que dêem origem a outras figuras geométricas;
• Desenhar o caminho percorrido por esses novos comandos, identificando a figura geométrica
formada.
5.3.2 Posições relativas de retas
Leitura inicial – Considerações acerca dos conhecimentos geométricos
Se observarmos o mundo em que vivemos, podemos perceber, a partir dos conhecimentos
adquiridos na escola, que a Geometria está presente em cada lugar, em cada objeto, em cada
espaço. Esses objetos e esses espaços apresentam formas e tamanhos variados, que ocupam as
mais diversas posições no universo e, para conhecê-los, é preciso medir, comparar, analisar
posições, observar formas, abstrair regularidades – ações pertinentes ao estudo da Geometria.
A busca da compreensão do aspecto geométrico do espaço circundante esteve sempre
presente no pensamento humano: o homem neolítico representou elementos do seu dia-a-dia por
meio de desenhos e demonstrou preocupação com as relações espaciais, os egípcios deixaram
suas experiências em medir as terras e na construção de edificações magníficas, como as
pirâmides, os gregos conseguiram sistematizar todo o conhecimento matemático edificado até
então, no livro Os Elementos, escrito pelo matemático Euclides. E, nos dias de hoje essa busca
continua presente nas diferentes atividades do ser humano.
A Geometria Euclidiana, na qual vamos nos deter neste estudo, era considerada por
Euclides uma ciência dedutiva que opera a partir de determinadas hipóteses básicas, denominadas
de axiomas ou postulados, partindo de elementos primitivos, como pontos, retas e planos,
adotados sem definição. Um ponto é idealizado como algo sem dimensão, sem massa, sem
volume, ou seja, é alguma coisa que só existe no nosso pensamento, pois uma partícula, por
menor que seja, tem dimensão, tem massa e tem volume. A reta é concebida sem espessura, sem
começo e sem fim, e o plano é imaginado como uma figura que não tem espessura nem
fronteiras. A rigor, esclarece Castilho (2002, p.35)
Os entes geométricos são construtos mentais, são abstrações. Quando o ser
humano pensa, ele é capaz de construir mentalmente um ser geométrico
perfeito. [...] essas abstrações, na sua perfeição conceptual, não têm existência
fora da nossa mente. Podemos representá-las, mas as representações são
susceptíveis de falhas e limitações, já que são obtidas com materiais e objetos
físicos, mais ou menos imperfeitos e grosseiros. Assim é que, embora o ponto
geométrico não tenha dimensão, o ponto físico representado por um lápis sobre
uma folha de papel, por mais fino que seja o grafite utilizado, sempre poderá ser
medido.
Por isso é difícil compreender que o ponto - que não tem dimensão -, a reta - que não tem
espessura - e o plano – que não tem fronteira – possam ser representados. Isso só é possível
quando conseguimos estabelecer a diferença entre o conceito (abstrato) e sua representação
(concreto), ou seja, quando tivermos a “facilidade de abstrair do objeto observado aquelas
características próprias que o tornam um ser geométrico único e conceptual.” (Ibidem, p.35). É
importante lembrar que conceitos não se ensinam, portanto cabe ao professor apenas criar
oportunidades e situações que permitam que o aluno construa.
No Ensino Fundamental, a natureza do trabalho com a Geometria deve ser inicialmente,
de caráter informal, e não-axioamático (intuitivo). Esse trabalho deve ser desenvolvido através da
exploração de modelos e construções, para, em seguida, abordar-se o aspecto formal
(axiomático), que vai complementar a abordagem intuitiva.
Voltando aos elementos primitivos da Geometria, enfatizamos que o ponto é representado
com letras maiúsculas do nosso alfabeto; as retas, com letras minúsculas do nosso alfabeto; e os
planos, com letras minúsculas do alfabeto grego. Destacamos a seguir o estudo das posições
relativas de retas num mesmo plano, que é o tema deste item.
Dadas duas retas no plano, elas podem ser distintas ou coincidentes. Se forem distintas,
podem ser paralelas ou concorrentes. Caso sejam coincidentes, então serão paralelas e iguais,
enquanto que, se forem concorrentes, podem ser oblíquas ou perpendiculares.
Duas retas são paralelas quando pertencem ao mesmo plano e não possuem ponto em
comum. Retas concorrentes são aquelas que têm um único ponto em comum. Duas retas são
perpendiculares entre si se, e somente se, forem concorrentes entre si e formarem ângulos
congruentes (de mesma medida) entre si. Quando as duas retas são perpendiculares, a medida do
ângulo formado por elas é 90º. Se as retas forem concorrentes, mas não forem perpendiculares,
dizemos que elas são oblíquas.
Para estudar as posições relativas de retas no plano, elaboramos atividades que serão
descritas a seguir, tentando relacionar esse conteúdo com situações vivenciadas pelos alunos no
seu contexto de vida.
Atividade 5 - Desenhando portões
Problematização: Que características das retas são utilizadas para se classificarem os tipos de
retas que aparecem no desenho de um portão?
Objetivos
• Criar o modelo de um portão utilizando linhas retas;
• Identificar e caracterizar os tipos de retas que surgirem no desenho do portão.
Material: papel ofício, lápis grafite, borracha, régua, lápis cera, cópia do roteiro da atividade.
Orientações para o professor
• Instigar os alunos a participar da atividade, que poderá ser feita individualmente ou em dupla;
• Fazer uma exposição oral sobre os tipos de retas, após a elaboração dos desenhos pelos
alunos. Questionar os alunos sobre onde se pode encontrar no ambiente escolar, retas
paralelas, perpendiculares e inclinadas;
• Colar os desenhos no quadro de giz e questionar os alunos sobre os tipos de retas que
surgirem em cada um, identificando as regularidades destas;
• Após a apresentação dos desenhos criados pelos alunos, mostrar outros modelos de portões
reproduzidos em revistas ou em encartes de propagadas;
• Retomar a questão inicial, para sistematizar o conteúdo explorado na atividade;
• Registrar as dificuldades e avanços dos alunos na realização da atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Imaginar o modelo de um portão que possa ser colocado na entrada da casa em que mora e
representá-lo na folha de papel ofício;
• Pintar os detalhes do portão com criatividade;
• Identificar os tipos de retas que aparecem no desenho;
• Descrever as características dos tipos de retas que surgirem do desenho;
• Apresentar à turma o desenho construído, descrevendo os detalhes.
Atividade 6 - Construindo painéis
Problematização: Que regularidades podem ser observadas nas retas paralelas e nas
perpendiculares?
Objetivos
• Construir um painel com retas paralelas e perpendiculares, usando esquadros;
• Identificar as figuras geométricas que surgirem na construção do painel;
• Medir os ângulos das figuras geométricas.
Material: Cópia do roteiro da atividade, par de esquadros, transferidor, papel oficio, lápis grafite,
borracha, lápis de cera, dicionário.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade individualmente.
• Apresentar os esquadros aos alunos e perguntar qual é sua forma, para que ele serve, como é
chamado esse material, pedir para indicarem objetos semelhantes, etc.;
• Providenciar o material necessário ao desenvolvimento da atividade;
• Ler oralmente o roteiro da atividade para orientar a realização desta;
• Incentivar o aluno a desenvolver as etapas da atividade;
• Retomar a questão inicial, para sistematizar o conteúdo trabalhado.
• Registrar as dificuldades e avanços dos alunos na realização da atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Procurar no dicionário o significado da palavra esquadro. Em seguida, observar o par de
esquadros e medir com o transferidor os seus ângulos;
• Traçar, no papel ofício, retas que se cruzem formando ângulos de 90º, utilizando os
esquadros, e colocar um dos esquadros na reta horizontal e o outro na reta vertical;
• Segurar o esquadro que está na reta horizontal e fazê-lo deslizar na vertical, marcando outras
retas;
• Repetir a mesma ação, para desenhar retas na horizontal;
• Observar as figuras formadas por essas retas, identificando tais figuras;
• Pintar figuras iguais com a mesma cor e figuras diferentes com cores diferentes;
• Medir os ângulos internos de cada figura e dizer o que observou.
• Apresentar os painéis construídos, para discussão no grande grupo.
Atividade 7 - Dobrando e construindo retas
Problematização: Que regularidades podem ser observadas nas retas paralelas, perpendiculares e
inclinadas?
Objetivos
• Construir retas paralelas, perpendiculares e inclinadas utilizando dobradura e régua;
• Descobrir as regularidades das retas paralelas, perpendiculares e inclinadas;
• Identificar as figuras geométricas que se formaram a partir das dobraduras.
Material: cópia do roteiro da atividade, régua, transferidor, papel ofício, lápis grafite, giz de cera,
lápis de madeira colorido e borracha.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade individualmente;
• Providenciar o material necessário ao desenvolvimento da atividade;
• Ler oralmente o roteiro da atividade para orientar sua realização;
• Incentivar o aluno a desenvolver as etapas da atividade;
• Retomar a questão inicial, para sistematizar o conteúdo trabalhado na atividade;
• Registrar as dificuldades e avanços dos alunos na realização da atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Tomar uma folha de papel ofício e dobrá-la ao meio, na horizontal;
• Dobrar a folha mais duas vezes no mesmo sentido, fazendo coincidir suas extremidades;
• Abrir a folha e, utilizando a régua e o lápis grafite, traçar todas as retas formadas pelas
dobras;
• Medir a distância entre uma reta e outra e dizer o que observou e como essas retas podem ser
chamadas;
• Dobrar a folha novamente no sentido vertical;
• Fazer novamente outra dobradura na vertical igualando as extremidades;
• Traçar as retas que apareceram nas dobras, utilizando lápis hidracor;
• Medir os ângulos formados por retas horizontais e verticais e dizer o que observou e como se
chamam essas retas;
• Traçar retas ligando os vértices opostos das figuras, utilizando outra cor (fazer isso apenas em
uma das faixas da folha), e dizer como se chamam essas retas traçadas em relação às retas já
existentes;
• Identificar as figuras geométricas que foram formadas pelas retas, pintando da mesma cor as
figuras iguais;
• Apresentar os desenhos produzidos, para discussão no grande grupo.
Atividade 8 - Descobrindo ruas paralelas e perpendiculares
Problematização: Como descobrir ruas paralelas e perpendiculares num mapa?
Objetivo
• Utilizar o conceito de retas paralelas e perpendiculares na leitura de mapas.
Material: cópia do roteiro da atividade, cópia do mapa do bairro indicado na atividade, papel
ofício, lápis grafite e borracha.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade individualmente ou em dupla;
• Providenciar o material necessário ao desenvolvimento da atividade;
• Ler oralmente o roteiro da atividade para orientar a realização desta;
• Incentivar o aluno a desenvolver as etapas da atividade;
• Retomar a questão inicial, para sistematizar o conteúdo trabalhado;
• Registrar as dificuldades e avanços dos alunos na realização da atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Observar, no mapa, o bairro da Cidade Alta e identificar cinco ruas perpendiculares à
Avenida Rio Branco;
• Citar o nome de três ruas que são paralelas à Avenida Rio Branco;
• Observar o mapa e escrever instruções para se chegar à Rua Princesa Izabel, saindo da
Catedral Nova, na Avenida Deodoro da Fonseca, utilizando ruas paralelas e perpendiculares;
• Descobrir, no mapa, quatro ruas paralelas à Avenida Deodoro da Fonseca até a Avenida
Hermes da Fonseca;
• Apresentar os resultados das pesquisas feitas nos mapas, para discussão no grande grupo.
Bibliografia Complementar
BORDEAUX, Ana Lúcia, et al. Matemática: na vida e na escola. São Paulo: Editora do Brasil,
1999.
LELLIS, Marcelo et al. Ângulos. São Paulo: Atual, 1992. (Pra que serve matemática?).
SMOOTHEY, Marion. Ângulos. Tradução. Sérgio Quadros. São Paulo: Scipione, 1997. 63p.
(Coleção Investigação Matemática).
CASTILHO, Sônia Fiúza da Rocha. Geometria: traçando planos de exploração. AMAE
Educando. Belo Horizonte, n.306, p. 33-35, abr./2002.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois – construção
da matemática. São Paulo: FTD, 1997, 335p.
VIANNA, Carlos Roberto; CURY, Helena Noronha. ÂNGULOS: uma “História” escolar.
Revista História & Educação Matemática. Sociedade Brasileira de História da Matemática,
Rio Claro, SP, v.1, n.1, p. 23-37, jan./jun. 2001.
5.4 TEMA 2: Sistemas Referenciais
Esse tema está inserido na Proposta Curricular de Educação de Jovens e Adultos (EJA) –
2º segmento do Ensino Fundamental -, elaborada pela Secretaria do Ensino Fundamental do
Ministério da Educação e Cultura (MEC).
É nossa intenção, ao abordá-lo, que o aluno da EJA construa sistemas de referência tendo
em vista a sua utilização em situações do cotidiano. Para tanto, elaboramos atividades
direcionadas para que o aluno construa um esquema mental sobre sistemas referenciais que lhe
permitam localizar-se, movimentar-se e orientar-se num espaço conhecido e em outros espaços
mais amplos.
Leitura inicial 1 - A importância de sistemas de referência para compreensão do espaço
O homem está inserido no espaço, e conhecer esse espaço é perceber as redes de relações
a que se está sujeito e da qual se é sujeito. Por isso um dos objetivos do Ensino Fundamental é
fazer com que o aluno saiba orientar-se e deslocar-se no espaço em que vive. Para tanto, é
necessário que o ambiente escolar contribua para que ele consiga perceber as relações entre os
espaços em que está inserido, tendo em vista que, ao se deparar com situações em que seja
preciso explicar aos outros onde mora, em que lugar fica determinado objeto, não encontre
maiores dificuldades de expressar o seu pensamento ou até mesmo de representar um percurso da
forma mais simples possível.
Coll ; Teberosky (2000, p.165), ao se referirem ao espaço afirmam:
A todo momento, estamos ocupando um lugar no espaço e é com o nosso corpo
que entramos em contato com este lugar. Usamos o corpo para nos situar no
espaço e, a partir da nossa posição, podemos localizar as pessoas e as coisas que
nos rodeiam. O sucesso para solucionar grande parte dos problemas cotidianos
depende da nossa capacidade de nos orientar e da facilidade com que
estabelecemos relações entre os objetos.
Saber deslocar-se no espaço é ser capaz de praticar um conjunto de ações ordenadas em
que estão presentes as noções de distância, direção, sentido, e pontos de referência que permitam
instituir relações entre os sujeitos, entre objetos, e entre sujeitos e objetos.
As relações espaciais que o aluno adquire ao longo de sua vida são classificadas como:
topológicas, projetivas e euclidianas. As primeiras noções espaciais obtidas pela criança, são as
topológicas, caracterizadas pela percepção das propriedades que diferenciam os espaços
interiores e exteriores que compõem o ambiente em que está inserida. Essas relações dizem
respeito às noções de dentro/fora, interior/exterior, fronteira/limite, vizinhança, perto/longe,
região e posição, e não incluem noções rígidas, como distância, retas e ângulos. Desse modo,
esclarece Tenório (1995, p.59-60):
[...] uma transformação topológica não admite fusões nem reagrupamentos, que
destruam propriedades tais como vizinhança, estar entre,
interioridade/exterioridade. [...] As noções que se mantém invariantes por uma
transformação topológica são chamadas propriedades topológicas. Estas
propriedades constituem no objeto de estudo da Topologia.
As relações topológicas, progressivamente, dão origem às relações projetivas,
compreendidas como aquelas em que as propriedades espaciais permanecem as mesmas,
independentemente de outras transformações. São as seguintes as noções que identificam essas
relações: direita/esquerda, frente/atrás, antes/depois, em cima/embaixo, entre outras. Toledo;
Toledo (1997, p.224) afirmam que a relação projetiva “estuda o que aconteceu com uma figura
projetada a partir de um ponto, ocupando-se das propriedades dessa figura que permanecem
constantes, apesar da projeção. É a geometria que estuda a perspectiva.” As relações projetivas se
modificam de acordo com o ponto de vista do sujeito ou das referências adotadas.
Quanto às relações euclidianas, são as relações métricas, nas quais estão compreendidas
as de comprimento, tamanho, medidas de ângulos, áreas e volumes. Schmitz et al. (1994, p.14)
afirmam, a respeito desse tipo de relação:
As relações euclidianas ou métricas têm como referência a noção de distância e
permitem situar os objetos uns em relação aos outros, considerando um sistema
de referência fixa. O sistema de coordenadas corresponde ao ponto de chegada
de toda a construção do espaço euclidiano.
Nas relações euclidianas, o que muda é a posição do objeto, mantendo-se, no entanto, sua
forma ou suas dimensões, ou seja, conservam-se os aspectos relacionados com a medida.
Neste estudo, que abrange diversos espaços e suas relações, o aluno terá condições de
construir as noções de inclusão, continuidade e vizinhança, bem como de pontos de referência,
que contribuirão para ele perceber as relações que estabelecemos em nossas vidas e em outros
espaços do mundo real.
Se o aluno perceber que o espaço em que estuda, mora ou trabalha está inserido num
espaço maior com o qual está interligado e que esses espaços se inter-relacionam com fatores
sociais, econômicos, políticos e culturais, é possível que possa reformular suas idéias acerca de
como está inserido no ambiente em que vive e que estabeleça uma integração entre o seu mundo
físico e o social.
Outro aspecto relevante deste estudo é o aluno ter acesso a mapas, que serão lidos e
interpretados, de modo a contribuir para que ele adquira a capacidade de se orientar no seu
contexto de vida.
Os mapas propiciam ao aluno a capacidade de abstração, tendo em vista que representam
o objeto real através de símbolos e, dessa forma, contribuem para que ele classifique, compare,
represente e compreenda melhor a informação neles contida. Por isso é importante que o aluno
construa, no primeiro momento, o seu próprio mapa, utilizando elementos do seu espaço
conhecido, para, posteriormente, ler os mapas produzidos por outras pessoas.
Nessa perspectiva, o trabalho com mapas e com sistemas de referência permite que o
aluno estabeleça integração da Matemática com outras áreas do conhecimento, como, por
exemplo, Geografia, Artes, História, Língua Portuguesa, uma vez que, à medida que trabalhamos
com pontos de referência, representação de percursos, leitura e interpretação de mapas, estamos
proporcionando ao aluno oportunidade de: desenvolver comparações entre distâncias percorridas;
o reconhecimento e a representação de espaços, destacando os principais atributos destes; utilizar
instrumentos de medida; fazer leitura e interpretação de outras representações; estabelecer
relações lógicas bem como identificar elementos geométricos presentes nessas representações.
Acreditamos, pois, que um trabalho como esse vai contribuir para que o aluno da
Educação de Jovens e Adultos (EJA) possa ampliar seus conhecimentos sobre as questões de
orientação no espaço e desenvolver, de forma mais sistematizada, seus sistemas de referência.
As atividades propostas a seguir têm como objetivo propiciar ao aluno condições de
construir sistemas de referência que lhe permitam localizar-se, movimentar-se e orientar-se num
espaço conhecido e em outros espaços mais amplos.
Devemos ressaltar ainda, que, nas atividades 1 e 2, está inserida a Modelagem Matemática
e que sua contribuição consiste no fato de o aluno criar seu próprio esquema mental, antecedendo
ao modelo teórico do sistema cartesiano. No caso das atividades 3 e 4, o aluno passa a fazer uso
de modelos já estabelecidos e tenta re-elaborá-los, visando melhorá-los, tendo em vista que já foi
capaz de estabelecer sistemas semelhantes, ao tentar resolver os problemas de localização
(atividades 1 e 2), ou mesmo utiliza-se do modelo pronto para resolver as situações-problema
propostas. A atividades 5 refere-se ao modelo abstrato do sistema de coordenadas. Enfim, todas
as atividades propostas estão direcionadas para que o aluno construa um esquema mental sobre
sistemas referenciais.
Atividade 1 - Onde estou?
Problematização: Como você representaria sua posição na sala de aula?
Objetivos
• Produzir um texto explicando a posição em que se está situado na sala de aula;
• Representar, através de desenho, a posição que se ocupa no espaço da sala de aula.
Material: cópia do roteiro da atividade, papel ofício, lápis grafite, régua, borracha.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade individualmente;
• O texto que antecede a atividade servirá como subsídio para a sistematização do conteúdo
desenvolvido ou como fonte de leitura coletiva;
• Não é necessário organizar, inicialmente, o espaço físico da sala de aula, para que o aluno
possa perceber que a desorganização da sala dificulta a resolução do problema;
• Ao final da atividade, deverá ser feita a escolha de algumas representações dos alunos, que
servirão como ponto de partida para a sistematização do conteúdo estudado na atividade;
• Deve-se incentivar o aluno para a realização da atividade, observando quais foram as maiores
dificuldades;
• As dificuldades e avanços dos alunos na realização da atividade devem ser registradas.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Descrever por extenso a posição em que está situado (o aluno) na sala de aula;
• Representar o espaço da sala de aula, identificando a posição que ocupa nesse espaço;
• Identificar, no desenho, os colegas que sentam à direita, à esquerda, à frente e atrás;
• Representar, no desenho, onde fica a mesa da professora, a porta, as janelas e o quadro de giz;
• Responder às seguintes questões: que formas foram utilizadas para representar as janelas, a
porta, o quadro de giz ou outros objetos presentes na sala de aula? Que sugestão você daria
para a arrumação da sala de aula de maneira que facilitasse a descrição de sua posição?
• Descrever as dificuldades encontradas na realização desta atividade.
Atividade 2 - A caminho da escola
Problematização: Como você ensinaria a um(a) colega o trajeto que você faz para chegar à
escola, partindo da rodoviária?
Objetivos
• Perceber elementos referenciais presentes no trajeto da rodoviária para a escola;
• Representar percursos significativos, identificando pontos de referência.
Material: cópia do roteiro da atividade, papel ofício, lápis grafite, régua, borracha.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade individualmente ou em dupla, possibilitando, no segundo caso, a
discussão, na construção do trajeto;
• O local escolhido como ponto de referência para início do trajeto (rodoviária) poderá ser
modificado, de acordo com a localização da escola;
• Registrar as dificuldades apresentadas pelos alunos na realização da atividade;
• Retomar a questão inicial, para discussão do conteúdo estudado na atividade;
• Incentivar a participação do aluno na realização da atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelo(s) aluno(s)
• Escrever um texto explicando o trajeto da rodoviária à escola, destacando pontos de
referência percebidos ao realizar esse trajeto;
• Trocar os escritos entre os alunos (ou duplas), para observar se houve variações na construção
do trajeto;
• Representar, com desenho, o trajeto apresentado ao grupo, identificando os pontos de
referência;
• Identificar nesse desenho as ruas mais próximas da escola (ruas que ficam em frente, atrás, do
lado direito, do lado esquerdo);
• Relacionar as dificuldades surgidas na realização desta atividade;
• Apresentar para a turma o desenho produzido, explicando como foi feito e destacando os
principais pontos de referência e as dificuldades para realizá-lo.
Leitura inicial 2 - Mapas como recurso didático nas aulas de Matemática
Ao tentarmos representar no papel as informações e técnicas desenvolvidas por uma
sociedade, fazemos uso de recursos que permitem representar esses elementos através de
símbolos e desenhos. Um desses recursos é o mapa, que pode ser compreendido como um
modelo de comunicação visual do espaço e é constituído de três elementos básicos: escala,
projeção e símbolos.
Esse material é utilizado desde o período pré-histórico, quando o homem usava símbolos
iconográficos (representação através de imagens), com o objetivo de expressar seus
deslocamentos e registrar as informações que pudessem auxiliá-lo na sua sobrevivência. Nesses
primeiros mapas, não havia preocupação com sistemas de signos ordenados nem com a projeção,
pois os próprios símbolos utilizados representavam a linguagem real.
Quando as informações passaram a ser organizadas de forma sistemática, foram surgindo
os mapas atuais, que permitem a compreensão espacial do fenômeno estudado.
Dessa forma, os mapas contribuem para que se tenha uma visão do todo, compreendendo-
se a sua organização e a distribuição dos espaços nele contidos, o que nos leva a inferir que a
função principal dos mapas é prestar informações acerca do fenômeno em apreço.
Portanto o trabalho com mapas na escola é significativo, na medida em que o aluno, ao
construir as relações espaciais, terá mais facilidade de entender as transformações ocorridas em
seu ambiente de vida e poderá representar esses espaços através de símbolos criados pelos
próprios alunos ou elaborados por outras pessoas.
Atividade 3 - Lendo e interpretando mapas
Problematização: Como localizar a rua de sua escola no mapa de sua cidade?
Objetivos
• Ler e interpretar mapas, descobrindo elementos facilitadores dessa ação;
• Perceber a importância da compreensão dos mapas nas atividades do cotidiano.
Material: cópia do roteiro da atividade, papel ofício, lápis grafite, régua, borracha, xerox de
mapas.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em grupo ou individualmente, dependendo do número de alunos na
sala de aula;
• Fazer, inicialmente, a leitura do texto que antecede a atividade (leitura inicial 2) com o aluno,
estabelecendo-se, em seguida, uma exposição dialogada sobre como se constroem, se lêem e
se interpretam os mapas;
• Selecionar o mapa para a realização desta atividade das listas telefônicas da cidade de
Natal/RN;
• Utilizar a xerox do mapa do bairro em que está localizada a escola;
• Pesquisar outras leituras sobre construção, leitura e interpretação de mapas nos livros
didáticos de Geografia ou paradidáticos de Matemática;
• Registrar as dificuldades e/ou facilidades que os grupos tiveram ao resolver a atividade;
• Retomar a questão inicial para sistematizar o conteúdo trabalhado na atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Observar o mapa do bairro onde está localizada a escola, descrevendo os pontos de
destacados;
• Identificar a letra e o número (coordenadas) que permitem localizar a escola no mapa;
• Indicar outros pontos de referência próximos à escola;
• Responder se é possível identificar, no mapa, as coordenadas que localizam a casa de algum
dos componentes do grupo;
• Desenhar outro mapa, mais simplificado, de modo a permitir localizar a escola de forma mais
rápida e precisa;
• Descrever as dificuldades que o grupo encontrou para a realização da atividade.
Atividade 4 - Descobrindo mensagens
Problematização: Para que servem as letras e os números que aparecem nos mapas?
Objetivo
• Associar coordenadas a pontos e localizar pontos a partir de coordenadas previamente
definidas.
Material: Cópia do roteiro da atividade, papel ofício, lápis grafite, borracha, xerox do mapa do
tesouro (Quadro 9) e da tabela (Quadro 10).
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em grupo;
• Distribuir o modelo da tabela para os grupos e explicar como preenchê-la;
• Registrar as dificuldades que os grupos apresentarem ao desenvolver a atividade;
• Incentivar os alunos para realizarem a atividade;
• Retomar a problematização para sistematizar o assunto.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Observar o (Quadro 9), identificando as coordenadas da aldeia dos canibais, da caverna, do
córrego dos abutres e da cachoeira das borboletas, preenchendo a tabela abaixo (Quadro 10);
• Localizar o local dos pares I6, C4, G5, F6, J5, D2, L5, D7, G2, D6, A5 e, em seguida,
escrever a letra inicial das localidades correspondentes a cada uma das coordenadas acima,
para descobrir onde está escondido o tesouro;
• Criar um novo código que represente o cemitério como o lugar do esconderijo do tesouro;
• Apresentar ao grande grupo os novos códigos criados.
(Adaptada do livro Investigação Matemática: atividades e jogos com escalas – Marion Smoothey
– Editora Scipione, 1997, p.16).
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
1
2
Naufrá
gio
Montan
ha
3
Caverna Cachoe
ira das
borbole
tas
4
Aldeia
dos
canibais
Toca
do
polvo
5
Três
grandes
lagoas
Vale
deserto
Rio
Vermel
ho
Atol
das
rocas
6
Cemité
rio
Estrada
velha
da
mina
Córreg
o dos
abutres
7
Ensead
a do
sul
Ilha
pequen
a
8
Ilha
das
cobras
Oca do
índio
Quadro 9: Mapa do tesouro
Local Coordenadas
Aldeia dos canibais
Caverna
I6
Cachoeira das borboletas
G5
D6
Montanhas
J5
L5
D2
Três grandes lagos
Enseada do sul
F6
Ilha das cobras
Toca do polvo
Ilha pequena
Oca do índio
Novo esconderijo – cemitério Coordenadas
Quadro 10: Identificando lugares e coordenadas
Leitura inicial 3 - Sistemas de coordenadas: da Geografia à Matemática
Você já ouviu falar em latitude e longitude? Trata-se das coordenadas geográficas ou
terrestres, utilizadas, por exemplo, quando se quer localizar um ponto sobre a superfície da Terra.
Na definição dessas coordenadas, foi convencionado que, para se medir a longitude,
tomam-se como referenciais o Meridiano de Greenwich (linha imaginária que divide a Terra em
Ocidente e Oriente) e os demais meridianos. Quanto à latitude, as referências são as linhas do
Equador (linha imaginária que divide a Terra em dois hemisférios – norte e sul) e os paralelos.
Dessa forma, a longitude pode ser compreendida como a distância para leste ou oeste do
Meridiano de Greenwich e está marcada sobre a linha do Equador. E a latitude, corresponde à
distância para o norte ou sul da linha do Equador, indicada sobre o Meridiano de Greenwich (a
orientação é dada pelos pontos cardinais). Por isso, para se definir um ponto na superfície da
Terra, são necessários dois valores, que estão associados à longitude e à latitude.
Análogo a esse modelo, pode-se localizar um ponto num plano, como, por exemplo, numa
folha de caderno. Para tanto, é preciso tomar como referência dois eixos orientados (a orientação
dos eixos é dado pela alocação dos números positivos e negativos) e retas paralelas a esses eixos.
Foi convencionado que esses eixos são perpendiculares e o eixo horizontal foi denominado de
eixo das abscissas, e o vertical eixo das ordenadas. A abscissa é a distância do ponto ao eixo
vertical, e está marcada no eixo horizontal. Do mesmo modo, a distância do ponto ao eixo
horizontal é chamada de ordenada, e está indicada no eixo vertical. Esses dois valores formam as
coordenadas de um ponto num plano, às quais se convencionou denominar de coordenadas
cartesianas.
Nos livros didáticos de Matemática, também se pode ver que o eixo das abscissas é
chamado de eixo dos x, e o das ordenadas de eixo dos y. Dessa forma, qualquer ponto no plano
pode ser definido por um par de coordenadas, que se apresentam entre parênteses, em que o x
(abscissa) vem na lª ordem, e o y (ordenada) na 2ª ordem. Esses números são separados por
vírgula: o primeiro deles indica o deslocamento, a partir da origem, para a direita (deslocamento
positivo) ou para a esquerda (deslocamento negativo), e o segundo indica o deslocamento, a
partir da origem, para cima (positivo) ou para baixo (negativo). O número zero indica que não
houve deslocamento. Ex: A = (3, 2); B = (2, 3); C = (4, 6); D = (0, 1).
Deve-se observar que a ordem dos termos de um par ordenado tem significado, uma vez
que, se houver mudança nas posições dos valores numéricos, a localização do ponto não será a
mesma, ou seja, estar-se-á definindo outro ponto.
Vale salientar que um par de números é chamado de par ordenado e a cada ponto do plano
corresponde um e apenas um par ordenado, e vice-versa, do que se pode deduzir que dois pontos
diferentes são representados por pares ordenados diferentes, como se pode exemplificar: A=(5, 3)
≠ B = (3, 5).
A partir da leitura desse texto, partimos para a atividade relacionada às coordenadas
cartesianas.
Atividade 5 - Utilizando coordenadas cartesianas
Problematização: Como descobrir os nomes de times de futebol no plano cartesiano?
Objetivos
• Identificar pares ordenados que permitam a construção de nomes de times de futebol;
• Associar os pares ordenados apresentados no gráfico às letras a eles correspondentes.
Material: cópia da atividade, papel ofício, lápis grafite, borracha.
Orientação para o professor
• Realizar essa atividade individualmente ou em grupo, dependendo do número de aluno na
sala de aula;
• Ler o texto que antecede a atividade (leitura inicial 3) com os alunos, procurando usar mapas
para mostrar como encontrar a latitude e a longitude de alguns lugares;
• Apresentar exemplos de gráficos mostrando os eixos cartesianos e pontos marcados sobre
eles;
• Procurar outros textos, ou livros didáticos, que falem sobre sistemas de coordenadas para
serem apresentados à turma;
• Retomar a questão inicial, para sistematizar o conteúdo desenvolvido na atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Observar a xerox do gráfico (Quadro 11) e associar cada letra ao seu par ordenado;
• Descobrir que palavra está formada pelos seguintes pares ordenados: (1,7) (3,8) (3,4) (0,6)
(2,3) (7,6) (5,5) (6,4);
• Descobrir, no gráfico, o nome de outros times de futebol, associando a cada um os
respectivos pares ordenados;
• Decifrar a frase que está associada aos seguintes pares ordenados: (3,4) (0,6) (2,6) (5,5) (6,4),
(2,3) (4,1) (8,8) (6,4) (2,2) (2,3) (0,6) (8,2) (2,3) (5,2) (2,6) (5,5) (6,4).
(Adaptada do Livro: Matemática na vida e na escola – Ana Lúcia Bordeaux eti. al. – 5ª série –
Editora do Brasil – 1999, p. 18)
10
9 V
8 L T
7 F H
6 M I R N
5 G
4 A O
3 E C
2 U R P
1 S
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Quadro 11: Descobrindo nomes de time de futebol
Bibliografia Complementar
ANDREIS, Adriana Maria. A representação espacial nas séries iniciais do ensino
fundamental. Ijuí: Ed. UNIJUÍ, 1999. 64p.
BORDEAUX, Ana Lúcia eti. al. Matemática na vida e na escola São Paulo: Editora do Brasil,
1999.
COLL, César; TEBEROSKY, Ana. Aprendendo Matemática: conteúdos essenciais para o
ensino fundamental de 1ª a 4ª série. São Paulo: Ática, 2000. 264p.
FREITAS, José Orlando Gomes. A Geometria torna-se Álgebra. Revista do Professor de
Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro, p. 22-24, jan.-abr./1995.
MELO, Maria José Medeiros Dantas de. A Geometria e a construção das relações espaciais.
Natal, 2000. 7p. Mimeografado.
SCHMITZ, Carmen Cecília; LEDUR, Elsa Alice; MILANI, Miriam De Nadal. Geometria de 1ª
a 4ª série: uma brincadeira séria. São Leopoldo, Ed. UNISINOS, 1994. 78p.
SIMIELLI, Maria Elena Ramos. Cartografia no ensino fundamental e médio. In: ALESSANDI
CARLOS, Ana Fani (org.). A Geografia na sala de aula. São Paulo: Contexto, 1999. p.92-108.
SMOOTHEY, Marion. Atividades e jogos com escalas. Tradução: Sérgio Quadros. São Paulo:
Scipione, 1997. 63p. (Coleção Investigação Matemática).
TENÓRIO, Robinson Moreira (org.). Aprendendo pelas raízes: alguns caminhos da matemática
na história. Salvador: Centro Editorial e Didático da UFBA, 1995. 93p.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois – construção
da matemática. São Paulo: FTD, 1997, 335p.
5.5 TEMA 3: Figuras Geométricas
Destacamos, neste tema, o estudo das figuras geométricas planas e das espaciais através
de atividades que possibilitam a participação do aluno e a reflexão sobre a ação desenvolvida.
Inicialmente, tratamos das figuras geométricas planas; em seguida, desenvolvemos atividades
relacionadas às figuras espaciais. Para cada item, apresentamos uma leitura inicial, que servirá de
subsídio para o trabalho do professor no momento da sistematização do conteúdo desenvolvido
nas atividades.
5.5.1 Figuras Geométricas Planas
Leitura inicial 1 - As formas geométricas planas
Se observarmos a maioria dos objetos e das ações do ambiente em que vivemos, podemos
perceber que envolvem conceitos e relações geométricas. Essa percepção só é possível quando já
temos adquirido conhecimentos sobre os conceitos e propriedades dos elementos da Geometria.
Quando dizemos que as representações das formas geométricas estão presentes na natureza e nos
objetos constituídos pelo homem, estamos nos baseando no alicerce dos conhecimentos já
construídos sobre essa temática.
É interessante que o trabalho com a Geometria, nas séries iniciais, parta da
experimentação, de modo que as definições e generalizações surjam das observações que os
alunos fazerem dos objetos, podendo, inclusive, reformular os conceitos já aprendidos.
Ao estudar, por exemplo, as formas geométricas, o aluno necessita estabelecer relações
entre elas - destacando suas diferenças e semelhanças -, classificá-las, nomeá-las, transformá-las -
a partir da composição e decomposição - e procurar identificá-las nos objetos do mundo real.
Sugerimos que esse estudo parta, inicialmente, dos sólidos geométricos e que depois se vá
tentando trabalhar em paralelo com as figuras planas, visto que os sólidos geométricos são mais
fáceis de identificar no espaço em que os alunos vivem, conforme as idéias de Coll; Teberosky
(2000, p.196), que destacam:
Os objetos que nos rodeiam apresentam três dimensões: comprimento, largura e
altura. Alguns são tão finos que poderiam ser considerados figuras planas. As
figuras com apenas duas dimensões, comprimento e largura, são planas. [...] Em
nosso cotidiano, é comum vermos objetos com forma de triângulo, quadrado ou
outros polígonos.
Mas, afinal o que são polígonos? Poli é um radical de origem grega, que significa
muitos ou muitas e Gono significa ângulos. Então, a palavra polígono significa muitos ângulos.
Podemos definir o polígono, segundo Toledo; Toledo (1997, p.244) como sendo “uma
curva plana, fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não-colineares”. Ao
tratarmos da área de um polígono, estamos considerando a região do plano limitado por essa
linha poligonal (região poligonal).
Para a classificação dos polígonos, devemos considerar o número de lados, a saber:
triângulo (3 lados), quadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), heptágono (7
lados), octógono (8 lados), eneágono (9 lados), decágono (10 lados), undecágono (11 lados),
dodecágono (12 lados), pentadecágono (15 lados), icoságono (20 lados). Os demais polígonos são
denominados pelo número de seus lados (polígono de 14 lados), não tendo, portanto, um nome
específico. Vale salientar que o número de lados de um polígono é igual ao número de vértices e
de ângulos internos. Os polígonos que têm a mesma medida dos lados e dos ângulos, são
regulares, os que têm mesma medida dos lados, mas, ângulos diferentes são irregulares. Podemos
também, ao classificar os polígonos, analisar, além das medidas dos lados, os eixos de simetria.
Os triângulos são polígonos formados por três lados e três ângulos, podendo ser
classificados quanto aos seus lados e quantos aos seus ângulos. Quanto aos lados, é chamado de
triângulo eqüilátero àquele que possui três lados congruentes (ou seja, que possuem a mesma
medida), isósceles o que tem dois lados congruentes e escaleno o que tem os três lados com
medidas diferentes. Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser: retângulo, quando tem um ângulo
reto; acutângulo, quando os três ângulos são agudos; e obtusângulo, quando tem um ângulo
obtuso e os outros dois agudos.
Quanto aos quadriláteros, podemos classificá-los em paralelogramos e trapézios: os
paralelogramos são os que possuem dois pares de lados opostos respectivamente paralelos.
Dentre os paralelogramos, destacam-se os retângulos, os quadrados e os losangos.
Os retângulos têm os quatro ângulos retos, os lados são congruentes dois a dois e as
diagonais também são congruentes. Quanto ao quadrado, tem os quatro lados congruentes e os
quatro ângulos congruentes (retos), suas diagonais são congruentes, perpendiculares e estão
contidas nas bissetrizes de seus ângulos. Podemos também dizer que o quadrado é, ao mesmo
tempo, um retângulo e um losango. O losango tem os quatro lados congruentes, seus ângulos
opostos e os lados opostos são congruentes, as diagonais são perpendiculares e estão contidas nas
bissetrizes dos ângulos.
Quanto ao trapézio, podemos descrevê-lo como um quadrilátero que tem apenas dois
lados paralelos.
Outras figuras geométricas que queremos ressaltar são o círculo e a circunferência, figuras
que têm curvas, mas não são polígonos. Podemos definir o círculo como sendo o conjunto dos
pontos da circunferência reunido com o conjunto dos seus pontos interiores. Quanto à
circunferência, é a linha que contorna todo o círculo e todos os seus pontos estão à mesma
distância do centro. Essa distância é chamada de raio da circunferência. Quando tomamos duas
vezes essa medida (o raio), temos o diâmetro da circunferência. Lembramos que da
circunferência calculamos o cumprimento e do círculo calculamos a área.
O fato de estarmos descrevendo as figuras geométricas planas até agora não significa que
o estudo da Geometria se restrinja apenas a essas figuras. É preciso fazer com que o aluno analise
seus objetos escolares, o espaço de sua casa, da escola e outros espaços que fazem parte de sua
vida, no sentido de perceber que a maioria das coisas existentes na natureza se apresenta na forma
tridimensional.
Nessa perspectiva, estamos fazendo com que os alunos participem do processo de
aprendizagem, pois, à medida que observam, imaginam e comparam as formas existentes na
natureza, reconstroem seus conceitos e entram no mundo maravilhoso da aprendizagem das
figuras geométricas.
Apresentaremos a seguir algumas atividades que oportunizarão a aprendizagem desse
tema de forma participativa. Inicialmente, proporemos atividades relacionadas às figuras planas,
para, em seguida, trabalharmos com as figuras espaciais. Não é necessário seguir essa ordem: ela
pode ser alterada, de acordo com os critérios utilizados pelos professores.
Atividade 1 - Construindo casas
Problematização: Que elementos geométricos estão presentes no desenho da fachada de uma
casa?
Objetivos
• Criar um modelo da fachada de uma casa;
• Identificar os elementos geométricos presentes no desenho da fachada de uma casa;
• Classificar os tipos de retas, de ângulos e de figuras geométricas que surgiram no desenho da
fachada de uma casa.
Material: papel ofício, lápis grafite, lápis cera, régua, esquadros, borracha, cópia do roteiro da
atividade.
Orientação para o professor
• Realizar essa atividade individualmente ou em dupla;
• Usar a leitura que antecede a atividade (leitura inicial 1) como subsídio para a sistematização
dos conteúdos trabalhados nas atividades;.
• Providenciar o material necessário para o desenvolvimento da atividade;
• Realizar uma exposição oral sobre os tipos de figuras planas, revisando os tipos de retas e os
de ângulos;
• Incentivar a participação do aluno na atividade;
• Retomar a questão inicial, para sistematizar o conteúdo explorado na atividade;
• Explorar os desenhos realizados pelos alunos;
• Registrar as dificuldades e avanços dos alunos na realização da atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Desenhar o modelo da fachada de uma casa, contendo portas, janelas, portões, telhado, muro
entre outros elementos;
• Usando a criatividade pintar a fachada da casa;
• Observar o desenho construído e identificar os elementos geométricos que o compõem;
• Identificar os tipos de retas, classificando-as como paralelas, perpendiculares ou oblíquas;
• Descobrir onde aparecem ângulos agudos, retos e obtusos;
• Nomear as figuras geométricas planas que surgirem no desenho classificando-as como
quadriláteros ou não;
• Apresentar o desenho construído, descrevendo os elementos geométricos nele presentes.
Atividade 2 - Construindo quebra-cabeça
Problematização: Que figuras geométricas planas podem ser utilizadas na construção de quebra-
cabeça?
Objetivos
• Confeccionar um quebra-cabeça com figuras geométricas planas, a partir de recortes de
revistas;
• Identificar e caracterizar as figuras geométricas que formam o quebra-cabeça.
Material: papel ofício, régua, revistas, lápis grafite, cartolina, cola, tesoura, cópia do roteiro da
atividade.
Orientação para o professor
• Realizar essa atividade em dupla;
• Providenciar o material necessário para realização da atividade;
• Incentivar a participação do aluno na atividade;
• Explorar os quebra-cabeças produzidos pelos alunos;
• Registrar as dificuldades e avanços dos alunos na realização da atividade;
• Retomar a questão inicial para sistematizar o conteúdo abordado na atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Inicialmente, procurar, nas revistas, figuras para comporem o quebra-cabeça e, em seguida,
colá-las na cartolina ou no papel oficio;
• Desenhar figuras geométricas planas (triângulos, quadrados, retângulos, trapézios etc.) no
lado da cartolina oposto àquele em que foi colado o recorte;
• Recortar essas figuras e colocá-las num envelope, identificando-o com nome da dupla;
• Trocar os envelopes entre duplas, para que possam formar o quebra-cabeça e, em seguida,
identificar e caracterizar as figuras geométricas que o compõem;
• Apresentar, no final da atividade, a figura que gerou o quebra-cabeça, nomeando também as
figuras geométricas que o formam.
Atividade 3 - Criando mosaico
Problematização: Quais são as figuras geométricas planas que podemos utilizar na construção
de mosaicos?
Objetivos
• Identificar as figuras planas que se encaixam sem deixar espaços vazios;
• Criar o modelo de um mosaico utilizando as figuras geométricas planas.
Material: Papel ofício, lápis grafite, réguas, compasso, lápis cera, borracha, cópia de uma malha
triangular, cópia do roteiro da atividade.
Orientação para o professor
• Realizar essa atividade em dupla;
• Questionar os alunos sobre o que entendem por pavimentação, mosaico, ladrilhos, malhas e
apresentar-lhes a eles alguns modelos de pavimentação e de mosaicos encontrados em
revistas e livros;
• Explorar as figuras geométricas que aparecem nos pisos, azulejos, quadros de arte, peças de
artesanato entre outras;
• Após a realização da atividade, voltar à questão inicial e sistematizar os conteúdos
apresentados na atividade;
• Organizar um mural com os trabalhos produzidos;
• Registrar as dificuldades dos alunos na realização desta atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidas pelos alunos
• Em dupla, construir alguns polígonos regulares (quadrados, triângulos, retângulos,
hexágonos, losangos) utilizando régua e compasso e, em seguida, recortá-los;
• Combinar alguns dos polígonos construídos para criar um modelo-padrão, que será repetido
na malha triangular, lembrando-se de que não pode haver buracos entre os polígonos;
• Usando a criatividade, pintar o modelo criado;
• Desenhar, em toda a extensão da malha triangular, o padrão que foi criado, formando um
mosaico com ele na malha;
• Pintar toda a malha, a partir do modelo criado.
• Apresentar para a turma o mosaico construído, destacando o padrão que originou o referido
mosaico.
Atividade 4 - Descobrindo semelhanças e diferenças
Problematização: Qual é a importância de descobrir as semelhanças e diferenças entre figuras
geométricas?
Objetivos
• Identificar as semelhanças e diferenças entre as figuras geométricas, organizando esses dados
em uma tabela;
• Formalizar a definição de algumas figuras geométricas, a partir de suas propriedades.
Material: Papel ofício, lápis grafite, réguas, cartões com desenho de figuras geométricas, cópia
do roteiro da atividade.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em grupo ou dupla, conforme o número de alunos na classe;
• Desenhar ou colar figuras geométricas nos cartões para serem distribuídos aos grupos;
• Organizar em envelopes os cartões desenhados (ou colados) com as figuras geométricas;
• Instigar os alunos para que organizem, no final da atividade, um quadro para cada figura
estudada, o que facilitará a compreensão da questão inicial da atividade;
• Registrar os avanços e dificuldades apresentados pelos alunos na realização da atividade;
• Sistematizar o conteúdo trabalhado nesta atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Observar cada figura proposta nos envelopes e listar os respectivos atributos (características);
• Organizar esses dados em um quadro, conforme o modelo abaixo:
Atributos Triângulo Quadrado Retângulo Losango
tem 3 lados X
tem ângulos retos X X
tem 4 lados iguais X X
• Observar os atributos que são comuns a cada figura, descrevendo cada uma de acordo com
esses atributos;
• Listar os nomes de até quatro objetos do cotidiano que sejam parecidos com as figuras
estudadas.
Atividade 5 - Descobrindo figuras
Problematização: O que é necessário para encontrar figuras geométricas no papel quadriculado?
Objetivos
• Marcar vários pontos num sistema de eixos cartesianos;
• Definir outros pares de pontos que formem figuras geométricas diferentes.
Materiais: Cópia do roteiro da atividade, papel quadriculado, lápis grafite, lápis cera, borracha.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em dupla ou individualmente;
• Orientar a construção dos eixos cartesianos e a marcação dos números negativos e positivos
nos eixos;
• Fazer o levantamento dos nomes das figuras geométricas planas que os alunos conhecem;
• Registrar as dificuldades e/ou facilidades que os alunos apresentaram para resolverem a
atividade;
• Retomar a questão inicial, para sistematizar o conteúdo abordado na atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Construir dois eixos perpendiculares no papel quadriculado e marcar o ponto de origem (0,0);
• Marcar os pontos A(-3,0), B(0,3), C(3,0) e D(0,-3) e, em seguida, ligar os pontos em ordem
alfabética, identificando a figura geométrica formada;
• Assinalar também os pontos abaixo, identificando o nome de cada figura geométrica que se
forma ao se ligarem os pontos em cada item e depois pintar cada figura formada:
A(0;0), B(3;2), C(3;2)
A(-4;-2), B(-1;2), C(1;2), D(3;-2)
A(0;0), B(4;-3); C(0;-5), D(-4;-3)
A(1;4), B(4;0), C(-1;-3), D(-4;0), E(-3;4);
Definir outros pontos que formem figuras geométricas diferentes das propostas acima.
(Adaptada do Livro: Matemática na vida e na escola – Ana Lúcia Bordeaux et al. – 6ª série –
Editora do Brasil – 1999, p.176).
5.5.2 Figuras Geométricas Espaciais
Leitura inicial 2 - As formas poliédricas
Ao trabalhar com figuras geométricas planas e espaciais, segundo Toledo; Toledo (1997,
p.233):
[...] estamos trabalhando com modelos de figuras geométricas, e não com as
próprias, que são abstrações matemáticas, isto é, idealizações do que existe na
natureza. [...] assim, o sólido geométrico é uma construção abstrata em que se
considera a figura formada pela fronteira e seu interior.
Entendemos por sólido geométrico o conjunto de corpos geométricos que possuem três
dimensões e são limitados por superfícies fechadas. Dessa forma, ao trabalharmos com
embalagens, estamos utilizando a representação dos sólidos geométricos, tendo em vista que
consideramos apenas as fronteiras.
Os objetos que continuam em equilíbrio quando colocados sobre uma superfície plana e
cujas faces são figuras planas são chamados de poliedros.
Poliedros são figuras espaciais dotadas de várias faces. A palavra poliedro, de origem
grega, é composta de Poli, que quer dizer muito, e da terminação edro, proveniente da palavra
grega hedra, que em grego quer dizer face. As faces dos poliedros são figuras planas como
triângulos, quadrados, retângulos, círculos, pentágonos, hexágonos, entre outras.
Por meio da percepção e do conhecimento acerca da geometria, podemos perceber, na
natureza, a representação de algumas formas poliédricas a saber: os alvéolos que compõem o
favo de mel das abelhas, os troncos de árvores, os cristais, as formas de esqueleto dos animais
marinhos microscópicos.
Entre as infinitas formas poliédricas, existem algumas, cujo equilíbrio e perfeição
simétrica têm despertado deslumbramento nas pessoas de todas as gerações. Estas são chamadas
de poliedros regulares, pois satisfazem, ao mesmo tempo, duas condições: todas as faces do
poliedro são polígonos regulares congruentes entre si e de cada vértice do poliedro parte o
mesmo número de arestas.
Os cinco poliedros regulares são: o hexaedro regular ou cubo, que tem as seis faces
quadradas e em que de todos os vértices partem três arestas; o tetraedro regular, que tem quatro
faces triangulares; o octaedro regular, que tem oito faces triangulares; o dodecaedro regular, com
doze faces pentagonais; e o icosaedro regular, com vinte faces triangulares. Conta-nos a história
que os antigos egípcios já conheciam os poliedros regulares e os utilizaram em suas obras
arquitetônicas.
Os gregos, no entanto, acreditavam que os cinco elementos (fogo, ar, água, terra e cosmo),
que formam todos os corpos da natureza, estariam relacionados aos cincos poliedros regulares: o
tetraedro estaria ligado ao fogo; o hexaedro à terra; o octaedro ao ar; o icosaedro à água; e o
dodecaedro ao cosmo.
Esses cinco poliedros foram bastante estudados por Platão e seus seguidores, e se
tornaram conhecidos como os Poliedros de Platão.
Para facilitar o estudo dos poliedros, eles são classificados em três grupos: o grupo dos
prismas, o das pirâmides e o de outros poliedros.
Fazem parte do grupo dos prismas todos os poliedros que, na sua maioria, apresentam, em
comum, as faces formadas por polígonos de quatro lados e as faces opostas (bases) iguais. Temos
por exemplos desse prisma: o cubo e os blocos retangulares (paralelepípedos), os quais aparecem
representados nas formas de vários tipos de caixas (embalagens).
O grupo das pirâmides compreende todos os poliedros cujas faces laterais são
triangulares. Nesse grupo, todas as faces laterais convergem e se encontram em um único ponto.
Uma das características desses poliedros é que seus vértices - com exceção de apenas um –
situam-se num mesmo plano, denominado de base da pirâmide.
Outros aspectos que devemos ressaltar nos poliedros são os seus elementos: arestas, faces
e vértices. Segundo Imenes; Lelis (1997, p.329-380), “Aresta são as linhas retas comuns a duas
faces de um poliedro. Faces são os polígonos que formam as figuras espaciais e vértices são os
pontos comuns a três ou mais arestas de uma figura espacial.” Existe uma relação entre esses
elementos, que pode ser definida assim: o número de faces (F) somado ao número de vértices (V)
é igual ao número de arestas (A) mais 2, ou seja, F + V = A + 2. Essa relação se chama de
Relação de Euler em homenagem ao matemático que a descobriu.
Uma atividade interessante para desenvolver com os alunos é fazer com que eles contem o
número de vértices, arestas e faces de vários poliedros, organizando esses dados numa tabela,
para que possam descobrir a relação entre esses elementos dos poliedros.
Dentro do grupo dos poliedros que não se caracterizam como prismas nem como
pirâmides, encontramos o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro, que são definidos simplesmente
pelo número de faces que possuem.
O trabalho com os poliedros pode ser iniciado, colocando-se uma coleção de embalagens
ou outros objetos tridimensionais, como já foi dito anteriormente, para que os alunos observem,
classifiquem e contem seus elementos. Em seguida, inicia-se o trabalho de desmontar as caixas,
planificá-las numa cartolina, para montá-las novamente. Durante esse monta-e-desmonta, o
professor deve fazer vários questionamentos, para que os alunos abstraiam as propriedades das
figuras espaciais.
Apresentamos, a seguir, algumas atividades em que são utilizadas as figuras geométricas
espaciais.
Atividade 6 - Explorando embalagens
Problematização: O que caracterizam as formas geométricas que compõem os diversos tipos de
embalagens?
Objetivos
• Explorar as formas geométricas que compõem as embalagens;
• Distinguir figuras planas e figuras espaciais;
• Classificar as embalagens de acordo com um critério estabelecido pelo grupo.
Material: Papel ofício, lápis grafite, régua, conjunto de embalagens de diversas formas, cópia do
roteiro da atividade, transferidor.
Orientações para o professor
• Usar a leitura do texto que antecede a atividade (leitura inicial 2) para subsidiar o trabalho
que será desenvolvido nesta atividade e nas próximas;
• Realizar uma exposição dialogada sobre as formas que aparecem nas embalagens;
• Questionar sobre como são feitas as embalagens, o que de Matemática pode ser utilizado na
construção das embalagens, de que material são constituídas as embalagens etc.;
• Apresentar alguns tipos de embalagens, perguntando se os alunos conhecem os nomes das
formas geométricas presentes nessas embalagens;
• Dividir a turma em grupos e distribuir para da cada um algumas embalagens;
• Direcionar o trabalho para que os alunos possam distinguir figuras planas e figuras espaciais;
• Sistematizar os conteúdos explorados na atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Observar as embalagens propostas ao grupo e listar alguns objetos do cotidiano que
apresentem a mesma forma;
• Explorar cada embalagem destacando quantas pontas (vértice), quinas (arestas) e faces
apresenta e se rola ou não;
• Organizar uma tabela com os dados coletados;
• Contornar as faces de cada embalagem no papel ofício, identificando as figuras geométricas
planas que surgirem;
• Medir, com o transferidor, o ângulo que forma os cantos das embalagens, classificando-o
(reto, agudo, obtuso);
• Identificar o sólido geométrico parecido com cada uma das embalagens exploradas pelo
grupo;
• Observar as embalagens e as figuras planas originadas a partir do contorno das faces de cada
embalagem, distinguindo quais são as diferenças existentes entre as figuras;
• Separar as embalagens de acordo com o critério selecionado pelo grupo;
• Apresentar para a turma as embalagens exploradas, nomeando a figura geométrica que cada
uma representa e suas características.
Atividade 7 - Planificando embalagens
Problematização: O que podemos observar na planificação das embalagens?
Objetivos
• Explorar superfícies, a partir da planificação de embalagens;
• Criar outras planificações tomando como base a embalagem fechada.
Material: papel ofício, lápis grafite, régua, tesoura, cola, diversas embalagens, cópia do roteiro
da atividade.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em dupla ou individualmente, conforme o número de alunos na turma;
• Entregar a cada dupla duas embalagens: uma para ser planificada e outra para ser observada,
com vistas à planificação;
• Após a planificação das embalagens, reforçar a diferença entre figuras geométricas planas e
figuras geométricas espaciais;
• Retomar a problematização, para desencadear a discussão sobre figuras planas e figuras
espaciais;
• Registrar as dificuldades e avanços que os alunos apresentaram ao realizar a atividade.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Observar a embalagem que foi proposta e identificar o número de vértices, arestas e faces que
ela contém;
• Abrir a embalagem e contorná-la em cima do papel ofício (planificando-a) e, em seguida,
identificar as figuras planas que compõem a planificação;
• Recortar a planificação e depois montá-la novamente, colando as partes;
• Observar outra embalagem e, sem abri-la, construir a sua planificação;
• Recortar essa nova planificação tentar montá-la, para verificar se chega ao mesmo modelo
(caso não chegue, descobrir quais foram as diferenças);
• Descrever quais foram as dificuldades encontradas na realização da atividade.
Atividade 8 - Explorando sólidos geométricos
Problematização: Que objetos do cotidiano têm formas semelhantes aos poliedros?
Objetivos
• Pesquisar no dicionário o nome de alguns poliedros;
• Identificar objetos do dia-a-dia que sejam parecidos com alguns dos poliedros;
• Identificar elementos geométricos presentes nos poliedros.
Material: Papel ofício, lápis grafite, conjunto de sólidos geométricos, dicionários, revistas,
jornais, régua, borracha, cópia do roteiro da atividade.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em grupo;
• Apresentar o conjunto de sólidos geométricos e indagar aos alunos a nomenclatura
correspondente;
• Indagar aos alunos o significado de algumas palavras como poliedro, polígono, hexágono,
hexaedro, entre outras;
• Entregar aos grupos alguns sólidos geométricos, para que possam manuseá-los;
• Organizar um mural com os trabalhos produzidos pelos grupos;
• Incentivar a participação dos alunos para realizarem a atividade;
• Registrar as dificuldades e os avanços apresentados pelos alunos na realização da atividade;
• Voltar à problematização, para sistematização do conteúdo estudado.
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Pesquisar no dicionário o significado das palavras: poliedro, tetraedro, hexaedro, octaedro,
dodecaedro, icosaedro;
• Observar os sólidos geométricos propostos para o grupo e completar o quadro de acordo com
o modelo:
Nome do sólido Nº de arestas Nº de faces Nº de vértices
• Observar os dados no quadro e tentar escrever a relação que existe entre o número de faces, o
de arestas e o de vértices;
• Procurar em revistas ou jornais, figuras parecidas com os sólidos apresentados ao grupo,
recortá-las e colá-las no papel ofício, identificando-as;
• Tomar um dos sólidos apresentados e identificar com letras do nosso alfabeto os seus
vértices. Em seguida, identificar: 2 faces paralelas; 3 arestas paralelas; 2 arestas
perpendiculares; 2 faces perpendiculares;
• Apresentar ao grande grupo os sólidos geométricos estudados, identificando seus elementos.
Atividade 9 - Construindo embalagens
Problematização: O que define uma embalagem como ideal para determinado objeto?
Objetivos
• Construir a embalagem ideal para o objeto apresentado ao grupo;
• Identificar o que é necessário para a construção de embalagens ideais para determinados
objetos.
Material: Papel ofício, cartolina, régua, borracha, cola, tesoura, lápis grafite, lápis cera, objetos
de diversas formas, cópia do roteiro da atividade.
Orientações para o professor
• Realizar essa atividade em grupo (4 alunos) ou em dupla;
• Trazer para a sala de aula objetos com formas diversas;
• Entregar a cada grupo um objeto, para que possa analisá-lo e criar sua embalagem;
• Após a criação das embalagens, questionar cada grupo, sobre como decidiu por aquele
modelo de embalagem, como começou a construção, o que foi necessário para fazer a
embalagens, etc.;
• Observar as dificuldades encontradas pelos grupos, na realização da atividade;
• Retomar a questão inicial para sistematização do conteúdo abordado na atividade;
Procedimentos a serem desenvolvidos pelos alunos
• Observar o objeto apresentado, para definir qual será o tipo de embalagem adequada para esse
objeto;
• Representar o desenho da embalagem no papel ofício, identificando as dimensões da
embalagem;.
• Recortar o modelo criado e montá-lo e, em seguida, usando da criatividade, pintar a
embalagem e escrever nela algumas informações para identificações do objeto;
• Apresentar a embalagem criada para o grande grupo.
Bibliografia Complementar
BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Atual. São Paulo: Atual, 1994.
BRITO, Arlete de Jesus; CARVALHO, Dione Lucchesi de. Geometria e outras metrias. Editor
geral John A Fossa. Natal: Editora da SBHMat, 2001. 122p. (Série Textos de História da
Matemática; v. 2)
COLL, César, TEBEROSKY, Ana. Aprendendo Matemática: Conteúdos essenciais para o
ensino fundamental de 1ª a 4ª série. São Paulo: Ática, 2000.
IMENES, Luiz Márcio. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 1987. 40p.
______. Geometría das dobraduras. 2ª ed. São Paulo: Scipione, 1991. 64p.
IMENES, Luiz Márcio; LELIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, 1997 – v. 1.
MACHADO, Nilson José. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. 3ª ed. São Paulo:
Scipione, 1992. 47p.
______. Polígonos, centopéias e outros bichos. São Paulo: Scipione, 1988.
SMOOTHEY, Marion. Atividade e jogos com quadriláteros. Trad. Antonio Carlos Brolezzi.
São Paulo: Scipione, 1998. p.64. (Coleção investigação matemática).
______ . Atividade e jogos com triângulos. Trad. Sérgio Quadros. São Paulo: Scipione, 1998.
p.64. (Coleção investigação matemática).
TOLEDO, Marília, TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: Como dois e dois - a
construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
No próximo capítulo, analisaremos as atividades que foram aplicadas com as turmas com
as quais trabalhamos. Faremos a descrição de cada atividade aplicada, evidenciando as falas dos
alunos durante o desenvolvimento o trabalho.
“[...] a geometria do povo, dos balões e das pipas, é colorida. A geometria
teórica, desde sua origem grega, elimina a cor. Muitos leitores a essa altura
estarão confusos. Estarão dizendo: mas o que tem a ver? Pipas e balões?
Cores? Tem tudo a ver, pois são justamente essas as primeiras e mais
notáveis experiências geométricas. E a reaproximação da Arte e Geometria
não pode ser alcançada sem a mediação da cor”. (Ubiratan D’Ambrosio)
6 ANÁLISE DAS ATIVIDADES APLICADAS
Neste capítulo, analisaremos as atividades que foram aplicadas com as três turmas do
Nível III da EJA. Faremos a descrição das etapas desenvolvidas em cada atividade, comentando
os resultados obtidos, a partir do referencial teórico sobre a especificidade da EJA, o ensino de
Geometria e a Modelagem Matemática.
Das vinte e duas atividades elaboradas, selecionamos quatro atividades para serem
aplicadas: Desenhando portões (atividade 5, p.97), Construindo casas (atividade 1, p.122),
Dobrando e construindo retas (atividade 7, p.100) e A caminho da escola (atividade 2, p.108),
nessa ordem de aplicação. As duas primeiras foram aplicadas com todas as três turmas; a terceira
e a quarta foram aplicadas apenas com duas turmas devido, ao tempo disponível na escola. Vale
salientar que, na primeira, na segunda e na terceira atividades, utilizamos os modelos produzidos
pelos alunos para estudar os conceitos geométricos e, na quarta atividade, aplicamos os conceitos
geométricos na construção do modelo que eles elaboraram.
A primeira e terceira atividade aplicadas se referem ao Tema 1 – Ângulos e posições
relativas de retas, a segunda atividade se refere ao Tema 3 – Figuras geométricas e a quarta
atividade se refere ao Tema 2 – Sistemas referenciais. Essas atividades foram selecionadas por se
caracterizarem como atividades de modelagem, tendo em vista que possibilitavam explorar os
conteúdos geométricos a partir do modelo (representação geométrica) bem como criar um novo
modelo utilizando dos conhecimentos apreendidos anteriormente.
Faremos a seguir a descrição de cada uma das atividades aplicadas.
6.1 Atividade 1 – Desenhando portões
Tudo começou com uma conversa informal sobre o que iríamos desenvolver naquela
noite. Inicialmente, retomamos a conversa sobre o nosso projeto de pesquisa, que tinha como
ambiente de investigação as três turmas sobre nossa responsabilidade. Dissemos que tinha
chegado o momento de aplicarmos algumas das atividades que tínhamos planejado e que, por
isso, iríamos parar, por alguns dias, o estudo com inteiros e nos debruçar sobre o estudo de alguns
conteúdos geométricos.
Perguntamos aos alunos se eles lembravam do questionário que tínhamos aplicado no
início do ano letivo sobre a Geometria, com as seguintes perguntas: O que significa a palavra
Geometria? O que se estuda em Geometria? Alguns alunos se lembraram de que tinham
respondido ao questionário e citaram alguns termos ligados aos conteúdos geométricos, como,
por exemplo, o nome de algumas das figuras planas - quadrado, triângulo -, mas não se
lembravam do significado da palavra Geometria.
Então realizamos uma exposição oral sobre os aspectos históricos do conhecimento
geométrico, destacando alguns pontos relacionados à medição de terras às margens do rio Nilo,
no Egito; à construção das pirâmides do Egito que envolveu muitos conhecimentos da Geometria;
à contribuição de Euclides (matemático grego) para a sistematização do conhecimento
geométrico produzido até então - através da escrita do livro Os Elementos, considerado o texto
básico no campo da Geometria Euclidiana. Percebemos, então, quanto à História da Matemática é
um elemento motivador para introdução dos conteúdos matemáticos, pois a atenção e a
participação dos alunos, nessa fase, foi muito significativa.
Partimos, em seguida, para desenvolver a atividade, em cuja aplicação usamos dois dias
de aula, totalizando 3 horas. A nossa pretensão era que os alunos criassem o modelo do portão
que gostariam de colocar na frente de suas respectivas casas. Fomos, então, explorar a
identificação dos tipos de retas e de outros elementos geométricos que s\urgiram no desenho do
portão. O foco principal dessa atividade era estudar os tipos de retas (paralelas, perpendiculares e
oblíquas), por isso lançamos mão da seguinte questão: Que características podemos observar para
classificar os tipos de retas que aparecem no desenho do portão?
Pedimos, inicialmente, que cada aluno imaginasse o modelo do portão que gostaria que
fosse colocado na frente de sua casa e depois representasse esse modelo por meio de um desenho.
Nesse momento, percebemos que houve certo desconforto, por parte dos alunos, conforme os
depoimentos a seguir:
Professora, eu não sei desenhar.
Eu nunca desenhei na minha vida.
Professora, eu não vou conseguir desenhar nada, pois nunca desenhei.
Professora, diga mais ou menos como a gente faz.
Professora, eu não sei desenhar com régua.
Luiz vai tirar de letra, pois é pedreiro.
Francisca é grafiteira, então não vai ter problema algum para desenhar.
Falas como essas foram constantes em todas as turmas provavelmente porque esses alunos
nunca tiveram oportunidade de passar por essa fase (desenhar), na sua escolarização e também
porque tinham vergonha de fazer o desenho, pois achavam que não desenhavam bem, por isso os
outros iriam ridicularizar seu desenho. Começamos a incentivá-los para desenvolver a tarefa
proposta, dizendo que todos eram capazes de fazê-la e que não iríamos julgar os desenhos certos
ou errados. Entregamos, então, a cada aluno uma folha de papel ofício, um lápis grafite, uma
borracha e uma régua, e a partir daí, começaram as produções. Uns construíram o desenho
baseados em algum modelo de portão que já tinham visto, outros ficaram muito tempo pensando
como iriam colocar no papel a sua idéia. Esse momento de interação com o problema proposto e
a análise das ações que poderão ser executadas são características da Modelagem, conforme nos
afirma D’Ambrosio (1986, p.65): “Isso é baseado essencialmente no processo de modelagem, que
é o processo mediante o qual se definem estratégias de ação. [...] O início do processo é traduzir a
situação real num problema formulado em linguagem convencional – no caso, linguagem
matemática”.
A linguagem matemática traduzida por intermédio de um modelo pode ser representada,
segundo Biembengut; Hein (2000, p.12), por “expressões numéricas ou fórmulas, diagramas,
gráficos ou representações geométricas, equações algébricas, tabelas, programas computacionais
etc.” Na atividade em estudo o modelo criado teria, provavelmente, uma representação
geométrica, já que o conteúdo selecionado foi tipos de retas e figuras geométricas planas. Vale
salientar que, na representação do modelo formulado, está implícita a abstração do fenômeno
estudado a partir do conhecimento que se tem desse fenômeno. Por isso, em alguns casos,
aparecem mais detalhes que em outros, no entanto o foco do problema está sempre mantido.
D’Ambrosio (1996, p.25) enfatiza que: “Nenhum é igual ao outro na sua capacidade de captar e
processar informações de uma mesma realidade”.
Foram surgindo, assim, desenhos bem interessantes. Uns imaginaram um elemento
gerador, que foi sendo repetido ao longo de todo o desenho; outros desenharam segmentos de
retas, na vertical, colocando setas na ponta de cada um. Desenharam malhas retangulares,
quadradas, outras em forma de losango, paralelogramo e com outras formas não identificadas
(Anexo 3). Quando o desenho não estava bem compreensível, pedíamos para o aluno explicar o
significado dos traços e, assim, fazíamos com que eles expressassem oralmente o seu
pensamento, o que, de certa forma, contribui para o desenvolvimento de sua oralidade.
É interessante registrar que, nessa atividade, houve a participação de todos os alunos
presentes na sala de aula, até mesmo daqueles que, por algum motivo, deixam de realizar outras
atividades. Todos estavam dispostos a fazer o seu desenho, pedindo, inclusive, para pintar alguns
dos detalhes do portão. Terminada essa etapa, avisamos que, na aula seguinte, iríamos explorar os
desenhos produzidos, pois o horário não nos permitia dar continuidade à atividade. Porém, antes
de terminar pedimos que os alunos avaliassem a aula e registramos alguns depoimentos deles:
Eu gostei muito. Gostaria que uma vez por semana a senhora repetisse, porque
eu relaxei muito. (Aluna do 3ºF)
No início eu senti dificuldades, mas depois fui superando e consegui fazer o
meu portão. (Aluno do 3ºE)
A aula hoje para mim foi uma terapia. (Aluna do 3ºF)
Eu gostei muito da aula de hoje, pois me senti uma criança. Foi legal e divertida
demais. Não sei desenhar, mas fiz uns garranchos. (Aluno do 3ºD)
A aula foi um divertimento para abrir a mente dos alunos da sala. O desenho é
muito bom para tirar as tristezas dos alunos, deixando a gente ficar mais alegre.
(Aluno do 3ºE)
Gostei muito desta aula porque tive a liberdade de demonstrar o meu gosto em
duas coisas: criar e pintar. (Aluna do 3ºD)
Eu me senti muito bem. Achei que não ia conseguir, mas quando comecei a
desenhar foi se tornando mais fácil. Aprendi que não existe nada difícil. Gostei
muito dessa aula de Matemática. (Aluno do 3ºF)
Isso reforça a idéia de que podemos fazer algo diferente nas aulas de Matemática,
oportunizando ao aluno desenvolver seu potencial criativo e, ao mesmo tempo desenvolver os
conteúdos matemáticos a partir de situações motivadoras. Biembengut; Hein (2000, p.17)
reforçam essa idéia dizendo:
No dia-a-dia, em muitas das atividades é evocado o processo de modelagem.
Basta para isso ter um problema que exija criatividade, intuição e instrumental
matemático. Nesse sentido, a modelagem matemática não pode deixar de ser
considerada no contexto escolar.
O aluno da EJA, principalmente, necessita desse espaço para desenvolver suas habilidades
e também para tentar mudar o seu conceito sobre Matemática, que é tida, pela maioria, como uma
disciplina chata, difícil, complicada. Ele acha que por estar com a idade um pouco avançada, não
vai aprender essa disciplina.
Um fato interessante que ocorreu o decorrer da atividade, é que alguns alunos disseram
que, queriam aperfeiçoar o seu desenho e que, para isso, gostariam de melhorá-lo em casa e trazê-
lo no dia seguinte. O pedido foi atendido e eles trouxeram os desenhos bem mais elaborados.
Esse foi um dado importante porque, mesmo eles alegando que não têm tempo para estudar em
casa, gostaram da atividade e arranjaram tempo para refazê-la.
Na aula seguinte expusemos no quadro de giz os desenhos produzidos (o modelo do
portão) e começamos a questionar sobre os tipos de linhas que apareciam neles. Até então, os
conteúdos tipos de retas e de figuras planas não tinham sido estudado em sala de aula.
Começamos a questionar se as retas se encontravam; se cruzavam formando cantos iguais ou se
alguns cantos eram maiores que outros; se eles tinham idéia de como se chamavam os cantos
formados pelas retas, em Matemática; se eles sabiam identificar as figuras geométricas que
apareceram no desenho; e assim por diante.
Nessa etapa, ficou evidenciado que os alunos desconheciam os tipos de retas e o nome de
algumas das figuras que surgiram nos desenhos. Isso só veio reforçar o que constatamos no
questionário de identificação dos conhecimentos prévios dos alunos sobre a Geometria. A partir
daí, fomos construindo com eles a idéia de retas paralelas, perpendiculares e oblíquas, destacando
as características de cada uma, com perguntas: como se chamam estas linhas em geometria? As
retas se encontram, ao serem prolongadas? A distância entre elas permanece igual? As retas se
cruzam em um ponto? Como se chamam os cantos formados pelo encontro de duas retas? A
abertura dos cantos é maior ou menor que 90º?
Fomos, então, apresentando os nomes convencionais de cada reta, dos cantos - suas
medidas -, organizando um quadro com as características de cada reta e das figuras geométricas
planas que surgiram no desenho. Exploramos os desenhos tanto no aspecto matemático como no
artístico, uma vez que os alunos externavam suas impressões sobre os desenhos dos colegas
focalizando aspectos tais como: quais desenhos tinham ficado mais bonitos, quem tinha
facilidade para desenhar, que detalhes tinham sido criados por alguns colegas, que cores tinham
sido utilizadas, entre outros.
Em seguida, solicitamos que os alunos observassem o ambiente da sala de aula e
identificassem, nesse espaço, onde podíamos encontrar retas paralelas, perpendiculares e
oblíquas. De imediato, eles destacaram:
Tem retas paralelas nas linhas verticais e horizontais do quadro de giz.
Olha, professora, o azulejo da parede tanto apresenta retas paralelas como
perpendiculares.
Aqui também na tampa da carteira, podemos encontrar retas paralelas e
perpendiculares.
Ah! professora, não encontramos retas oblíquas nessa sala.
Continuamos relacionando retas paralelas, perpendiculares e oblíquas com as ruas
vizinhas à escola, fazendo os alunos aplicarem o conhecimento adquirido na escola em outras
situações do seu contexto de vida. Assim, como afirma Fonseca (2002, p.77), “num esforço de se
resgatar o significado da Matemática que se vai ensinar, busca-se (re-)estabelecer a relação entre
conceitos e procedimentos matemáticos e o mundo das coisas e dos fenômenos”.
Na exploração das figuras geométricas presentes nos desenhos, os alunos destacaram
retângulos, quadrados e triângulos. Observamos melhor os desenhos e encontramos outras figuras
desconhecidas pelos alunos, como paralelogramo, trapézio etc., das quais procuramos apresentar
algumas características. Esse conteúdo foi mais explorado na atividade seguinte.
A Modelagem Matemática, como estratégia de ensino na sala de aula da EJA, proporciona
ao aluno oportunidade para que possa ter acesso ao conhecimento sistematizado, instrumentando
para a utilização desse conhecimento em outras situações. Além disso, auxiliando-o no
entendimento de que o conhecimento adquirido na escola é necessário para a compreensão dos
fenômenos que ocorrem na realidade. Quando o aluno consegue transpor o saber apreendido na
escola ou em outro ambiente de aprendizagem, para outras situações reais de sua vida, podemos
dizer que houve aprendizagem, pois, como diz D’Ambrosio (1986, p.49), “[...] a aprendizagem é
uma relação dialética reflexão-ação, cujo resultado é um permanente modificar da realidade.” O
autor acrescenta ainda que
[...] na aprendizagem é essencial que seja preservada a dinâmica da modelagem,
mais que o modelo em si. O estado puro e simples de modelos é condicionante
e elimina a dialética reflexão-ação, que caracteriza a aprendizagem. O modelo
em si, estático, não necessita ser aprendido. Ele é utilizável e nessa ação de
utilizá-lo, ele é recriado. [...] Essa recriação de modelos pelo sujeito, que pode
utilizar outros modelos que já foram incorporados à sua realidade, e que é a
essência do processo criativo, deveria constituir o ponto focal dos sistemas
educativos. (p.51)
O ensino de Matemática, na perspectiva da Modelagem, busca fornecer caminhos para
que o aluno sintetize as idéias que estão implícitas nas situações do mundo e nas informações por
elas fornecidas. Essa síntese se dá através da criação de um modelo que expresse a situação ou da
recriação de outros modelos, a partir de um modelo já existente.
Dando continuidade à análise das atividades, faremos a seguir a descrição da segunda
atividade, que foi aplicada com as três turmas selecionadas.
6.2 Atividade 2 – Construindo casas
Iniciamos a atividade propondo que cada aluno desenhasse a fachada (à frente) da casa
que eles gostariam de possuir ou da sua própria casa. Nesse desenho, não poderiam esquecer de
colocar as portas, as janelas, o portão, o muro, o telhado, e outros elementos. Nossa pretensão era
trabalhar os elementos geométricos contidos no desenho, classificando os tipos de retas estudados
na atividade anterior, os tipos de ângulos e as figuras planas que aparecessem no desenho. Para a
aplicação dessa atividade, utilizamos dois dias de aula, com a carga horária de três horas.
Lançamos como questão inicial a pergunta: Que elementos geométricos podemos
encontrar no desenho da fachada de uma casa? Entregamos, a cada aluno, uma folha de papel
ofício, régua, lápis grafite, borracha e coleção de giz de cera e lápis de madeira. Pedimos, então,
que imaginassem a casa de seus sonhos e tentassem colocar no papel a sua fachada. Foi um
momento de grande euforia. Entre outras coisas, eles disseram:
O! Professora! Se o portão foi difícil de desenhar, imagine a casa.
A casa ficou mais fácil, pois é só pensar numa casa bem bonita que tem no
bairro.
Será que eu posso olhar em uma revista, professora?
A minha casa vai ficar bem bonita! Vou colocar até as flores no jardim.
Posso colocar o portão que eu desenhei na casa, professora?
Após esses e outros questionamentos, os alunos foram se acomodando e dando início à
construção do modelo da casa (Anexo 4). Em cada turma, os desenhos se diferenciavam mais:
uns apresentavam os traços bem delineados, outros tinham traços distorcidos, mesmo eles tendo
recebido réguas para desenharem. O que chamou mais nossa atenção foi que, numa das turmas,
três alunas desenharam a fachada da casa, mas colocaram dentro do desenho as divisões dos
cômodos, como se fosse a planta baixa da casa, inclusive com os objetos próprios de cada
cômodo, como televisão, cama, sofá, tapetes, entre outros. Assim, percebemos que essas alunas
ou não tinham entendido a questão solicitada ou não estavam sabendo distinguir como é feito o
desenho de uma casa vista apenas de frente. Provavelmente, processaram mentalmente a
informação de que o desenho teria que representar a casa como um todo, não apenas uma parte da
casa (a fachada), por isso, os seus desenhos ficaram diferentes dos demais.
Uma das habilidades que a Geometria desenvolve no aluno é a da visualização, que
segundo, Fainguelernt (1999, p.53), “se refere à habilidade de perceber, representar, transformar,
descobrir, gerar, comunicar, documentar e refletir sobre as informações visuais.” È necessário
trabalharmos mais nesse sentido com os alunos da EJA, para que possam ter condições de refletir
sobre as ações que realizam.
Outro aluno desenhou apenas duas janelas retangulares, com grades de ferro, acima do
portão, também com grade de ferro, e colocou tudo isso dentro de um retângulo maior.
Questionado sobre esse modelo, ele nos disse que a casa que ele tinha pensado era de primeiro
andar e que, dessa forma, olhando de frente, não dava para aparecerem as telhas; só as janelas e o
portão. Esse aluno já tinha uma outra forma de visualizar as coisas, pois percebeu que não era
necessário colocar outros detalhes no desenho, tendo em vista que era apenas para desenhar a
fachada da casa.
Colocamos os desenhos produzidos no quadro de giz e fomos perguntando aos alunos que
elementos geométricos eles identificavam no desenho. Algumas respostas foram as seguintes:
Veja, professora, no desenho de Luiz aparecem retas paralelas e oblíquas no
portão e formam também triângulos.
Todas as portas e janelas são retângulos.
Não, existem algumas que têm a forma de quadrados.
Olhem o número das casas: estão sempre dentro de um triângulo.
Aparecem retas paralelas e perpendiculares nos desenhos das portas e das
janelas.
Observou-se, ainda, entre as respostas o diálogo abaixo:
- Vejam a porta de Meliza: tem uns quadradinhos dentro de outros quadrados. O que é
isso?
- Isto são as almofadas da porta, que eu não posso colocar altas no papel, mas elas são
quadradas.
Fomos explorando mais os desenhos e descobrimos outras formas, como o trapézio, no
formato do telhado; uma forma parecida com um losango, dentro do desenho da janela, que tinha
o formato de retângulos; e vários triângulos, nos desenhos das portas e dos portões. Outro fato
interessante é que algumas das alunas desenharam na janela um jarro de flores, ou uma paisagem
que se via através da janela: o sol, as nuvens e crianças brincando e, ao lado da casa, desenharam
algumas árvores e flores. Perguntamos-lhes o porquê desses detalhes do desenho, e elas
responderam:
Ah! professora, a minha casa tem que ter jardim.
Eu acho muito bonita uma casa que tem plantas na janela.
Professora, não parece desenho de crianças? É como eu estava me sentindo
quando estava desenhando; e foi muito bom.
Professora, da minha janela dá para ver o sol e as nuvens e eu gosto de olhar da
janela.
Essas falas nos levam a refletir quanto esses alunos deixaram de usufruir das atividades de
desenhar na escolarização infantil ou nas séries iniciais do Ensino Fundamental, tendo-lhes sido
cerceada, a possibilidade de terem acesso ao desenho livre, à pintura, a atividades de colagens e
de criação individual, o que contribui muito para o processo criativo, para o desenvolvimento da
percepção e da representação, essenciais na aprendizagem de conteúdos geométricos.
Observamos que os alunos apresentam grandes dificuldades para desenhar, criar e até
mesmo para pintar o seu próprio desenho e sentem-se envergonhados. Alguns conseguiram pintar
o desenho de forma harmoniosa, cuidadosa, mas outros parecia que nunca tinham pegado num
giz de cera ou num lápis de cor, pois sua pintura eram muito desordenada e com cores bastante
destoantes.
Conforme Tenório (1995, p.26), o ensino de geometria em qualquer idade não pode
[...] prescindir de ações de perceber (por exemplo, uma forma), conceber (por
exemplo, um instrumento ou um projeto), representar (desenhar, talvez, o
projeto de uma casa) e construir (um cubo...). Essas ações não são etapas
seqüenciais, mas partes de um todo inseparável, onde cada parte antecede todas
as demais e vice-versa. Imaginar, cortar, construir, intuir, pegar, perceber,
representar, construir, ligar, esticar, e de novo cortar, imaginar, intuir, costurar
[...] isto não é brincadeira (só) de crianças.
Após a análise dos desenhos, partimos para a sistematização da questão inicial. Voltamos
a distinguir os tipos de retas, de acordo com suas características, e a identificar as figuras
geométricas planas, caracterizando-as. Essa retomada do conteúdo estudado na primeira atividade
é parte integrante do trabalho com Modelagem Matemática como nos afirma Burak (1987, p.44):
Os conteúdos poderão repetir-se várias vezes no transcorrer das múltiplas
atividades e em diferentes ocasiões. [...] fixando as idéias fundamentais e
podendo contribuir de maneira significativa para a percepção e compreensão da
importância da matemática no cotidiano da vida de cada indivíduo, seja ou não
ele matemático.
Procuramos também visualizar, nos desenhos, ângulos retos, agudos e obtusos e, assim,
fomos sistematizando os conteúdos desenvolvidos na atividade. Avaliamos essa atividade como
muito significativa para o aluno, uma vez que, com ela, eles tiveram oportunidade de ampliar os
conhecimentos sobre figuras planas, desenvolver a criatividade e participar ativamente das
discussões, conforme os depoimentos a seguir:
A aula foi boa, porque a gente criou e pintou um desenho. (Aluno do 3ºE)
Aprendi mais sobre triângulo, quadrado, retângulo. (Aluno do 3ºD)
Aprendi mais sobre ângulos e retas. (Aluno do 3ºD)
Foi descontraída, pois medimos, pintamos, desenhamos, e isto faz a gente
esquecer as coisas ruins. (Aluno do 3ºF)
Sentimos, no entanto, que era necessário retomar esses conteúdos em outras aulas. Assim,
surgiu a idéia de trabalharmos com dobraduras, para ampliar os conhecimentos sobre triângulos,
quadriláteros e ângulos e retas. Nessa atividade, entregamos a cada aluno uma folha de papel
ofício e fomos explorando a folha, a partir de questionamentos: Que figura geométrica está
representada na folha de papel? Como se chamam os cantos da folha? Qual é a medida do ângulo
dos cantos da folha? Os lados são paralelos? Por quê? Quais são os lados perpendiculares? Por
quê? Quanto mede cada lado da figura?
Dando prosseguimento à atividade, fomos construindo, através de dobraduras, um
quadrado e um retângulo menor e, a partir daí, começamos a explorá-los, medindo seus lados e
seus ângulos, e procuramos identificar as semelhanças e diferenças entre as duas figuras.
Tomamos em seguida o quadrado e fomos dobrando-o nas suas diagonais e questionando: Que
nome você daria a essas dobras? Essas retas são perpendiculares? Quais as figuras formadas a
partir dessas dobraduras? E, assim, fomos apresentando as diagonais, medimos seus ângulos e
classificamos os tipos de triângulos formados pelas diagonais, a partir da medida dos lados
destas.
Aproveitamos a atividade para trabalhar a classificação dos triângulos quanto aos lados e
quanto aos ângulos e a classificação dos quadriláteros, procurando sempre relacionar as formas
com objetos do dia-a-dia, conforme as falas dos alunos:
Professora, os triângulos parecem com aquelas placas de trânsito.
Parece também com os triângulos dos carros.
O quadrado parece com a tela da televisão.
A reta perpendicular parece com o fio de prumo.
Esses nomes são muito complicados para eu dizer (estava se referindo as
palavras isósceles, eqüilátero, obtusângulo, acutângulo, etc.).
O retângulo parece com a capa do meu caderno.
Não consigo ver nenhum objeto com a forma de trapézio.
O losango tem a forma parecida com uma pipa.
O conteúdo geométrico trabalhado dessa forma faz com que o aluno mude sua postura em
relação ao processo de ensino e aprendizagem, pois deixa de ser um ser receptor e passivo e passa
a ser um sujeito atuante, que cria, descobre, explora e aprende com suas ações e se integrando
com os outros. Freire (2002, p.47) diz que “o educando se torna realmente educando quando e na
medida em que conhece, ou vai conhecendo os conteúdos, os objetos cognoscíveis, e não na
medida em que o educador vai depositando nele a descrição dos objetos, ou dos conteúdos.” Por
isso o educador de jovens e adultos deve propiciar oportunidades para que o aluno conheça o
objeto de seu estudo, através de situações que o conduzam a agir e refletir sobre suas ações, na
busca de compreender o que está sendo proposto para ele. Passaremos a seguir a descrever a
terceira atividade, que foi aplicada com apenas duas turmas das três selecionadas.
6.3 Atividade 3 – Dobrando e construindo retas
Esta atividade abrange tanto o primeiro tema (ângulos e posições relativas de retas) como
o terceiro tema em um dos seus aspectos, figuras geométricas planas. Nosso propósito era utilizar
a dobradura para construir retas paralelas e perpendiculares e, em seguida, explorar as figuras que
surgissem, com o traçado das retas. A atividade foi aplicada apenas com duas turmas, devido à
questão do tempo, pois estávamos no final do ano letivo (2003) e tínhamos que dividir o tempo
entre as atividades próprias desse período e a aplicação das atividades, da pesquisa. Utilizamos
dois dias de aulas na aplicação da atividade perfazendo um total de três horas.
Iniciamos entregando o material necessário para cada aluno desenvolver a atividade.
Perguntamos aos alunos para que serviam o transferidor, a régua e os esquadros que levamos para
a sala de aula,e suas respostas foram interessantes:
A régua não é para medir os lados das figuras?
O transferidor, professora, é para medir ângulos; nós já usamos esse bicho aí.
Essas réguas grandes nunca tínhamos visto.
Isso são dois triângulos grandes, professora (referindo-se aos esquadros).
Acho que isso (os esquadros) também serve para medir as retas, pois tem
tracinhos com números.
Aproveitamos também para mostrar o compasso, então houve um grande alvoroço: todos
queriam pegar, riscar e fazer desenhos com o compasso e os esquadros, pois nunca tinham visto
de perto esse material. Apenas alguns alunos que trabalhavam em marcenaria e construção civil
tinham escutado falar em esquadros. Isso demonstra quanto os alunos das escolas públicas e, em
especial, da EJA são privados do acesso aos mais simples instrumentos escolares, até mesmo de
conhecer esse material, o que os deixa distantes do mercado de trabalho, que exige do sujeito não
apenas conhecimento desse material, de como e onde utilizá-lo, mas também o conhecimento da
leitura, da escrita, do cálculo e, mais, da tecnologia. A carência é tão grande que eles pediam para
levar o material para casa, que eu lhes desse de presente, pois gostariam de mostrar às outras
pessoas.
Voltemos à atividade. Entregamos a cada aluno uma folha de papel ofício e fomos
sugerindo que dobrasse a folha ao meio, na horizontal. Nesse momento, alguém perguntar: A
horizontal é em pé ou deitado? Voltamos a questão para a turma, que esclareceu como era dobrar
na horizontal. Poderíamos também ter associado as retas horizontais com as linhas contidas nas
folhas dos cadernos. Estas são situações bem simples que surgem na sala de aula da EJA e que
precisam ser bem esclarecidas, para o desenvolvimento das etapas seguintes da atividade.
Pedimos que os alunos dobrassem a folha mais duas vezes, no mesmo sentido, depois a
abrissem, traçassem as retas formadas pelas dobras, e, em seguida, utilizando a régua, medissem
a distância entre as retas. Questionamos, então: O que foi observado? Eles responderam: As
distâncias têm o mesmo valor; [...] medem a mesma coisa; [...] são iguais. Perguntamos
novamente: Estas retas vão se encontrar? A resposta foi: Não. Então, como se chamam essas
retas? Responderam que se chamavam Paralelas.
Solicitamos que dobrassem, então, a folha no sentido vertical, fizessem mais uma dobra e
procedessem da mesma forma que na etapa anterior. Em seguida, pedimos que medissem os
ângulos formados pelas retas horizontais e verticais e nos dissessem o que tinham observado.
Nesse momento, foi necessário, voltar a explicar a alguns alunos, como se mede um ângulo com
o transferidor. Aqueles que tinham traçados corretamente chegaram à conclusão de que os
ângulos mediam 90º. Os outros informaram medidas diferentes. Pedimo-lhes, então, que, em
outra oportunidade, tomassem mais cuidados na representação das retas. Perguntamos-lhes, em
seguida, como se chamavam as retas formadas por linhas horizontais e verticais se todos os
ângulos medidos fossem de 90°. Os alunos, na sua maioria, responderam que elas seriam
perpendiculares. A respeito disso, Fainguelernt (1995, p.48) esclarece:
As noções de perpendicularidade e paralelismo podem começar por dobraduras
de papel. As noções de perpendicularidade e ângulo reto podem ser
introduzidas simultaneamente, procurando na própria sala linhas que formam
ângulo reto utilizando os esquadros. A noção de paralelismo deve-se apoiar na
noção intuitiva de conservação de uma direção.
Partimos, então, para traçar retas oblíquas apenas na metade da folha, ligando os vértices
opostos das figuras formadas no desenho. Depois sugerimos que observassem o desenho feito e
pintassem da mesma cor as figuras iguais. Esse foi um momento de grande confusão: os alunos
observavam os desenhos e diziam:
Professora, eu estou vendo quadrados, retângulos e triângulos dentro dos
retângulos. Como posso pintar?
Professora, eu posso juntar duas figuras para formar outras?
Eu estou vendo só retângulos. Agora, se eu juntar dois retângulos dá um
quadrado.
Se eu juntar dois triângulos, vai dar um paralelogramo.
Professora, posso olhar só para os riscos de fora?
Professora, dá para ver trapézios e triângulos.
Eu vou pintar do jeito que estou vendo.
Por questionamentos desse tipo, percebemos que os alunos apresentavam um
conhecimento mais ampliado sobre as figuras planas, uma vez que conseguiram compor e
decompor as figuras presentes no desenho, abstraíram alguns elementos, formando outras figuras,
e, assim, definiram suas figuras e pintaram da mesma cor as figuras iguais. Nessa etapa,
observamos a atenção que eles tiveram ao pintar suas figuras, obedecendo à regra estipulada.
Alguns conseguiram pintar com muita criatividade, indicando também as características das
figuras; outros ainda não conseguiram alcançar os objetivos propostos, necessitando da ajuda dos
colegas e da nossa, para completar a atividade (Anexo 4). Os alunos avaliaram a atividade com
declarações como as seguintes:
Muito boa, pois deu oportunidade de criar o nosso desenho. (Aluno do 3ºD)
Gostei muito, pois foi muito descontraída e aprendemos mais sobre as figuras.
(Aluna do 3ºF)
Foi boa, mas não consegui pintar direito. Gostaria de fazer outra vez. (Aluna do
3ºF)
Tive dificuldade para dobrar direito o papel, mas depois foi muito bom, pois
pintei. (Aluna do 3ºD)
Aprendi mais sobre a junção de duas figuras, que forma outras figuras. (Aluno
do3ºD)
Aprendi o nome de outras figuras geométricas. (Aluno do 3ºF)
Essa atividade e as demais que a antecederam buscaram sempre fazer com que os alunos
da EJA enxergassem que são capazes de criar suas próprias soluções para as questões propostas e
que, a partir dessas soluções, poderiam estudar os conteúdos matemáticos, apesar de todas as
dificuldades que apresentaram no desenvolvimento do trabalho. Burak (1987, p.43-44) nos
esclarece que o trabalho com a Modelagem Matemática poderá apresentar algumas dificuldades,
que, segundo ele,
[...] podem ser superadas, dependendo de pelo menos três fatores. Primeiro,
disponibilidade do próprio professor frente a um trabalho novo, mais criativo,
menos rotineiro, mais livre, porém, sujeito a riscos. Segundo, da relação
afetuosa e franca entre professor e aluno. Terceiro, do interesse dos próprios
alunos com os temas ou problemas a serem trabalhados.
Nossa intenção, ao propor essas atividades, é dar condições para que o aluno da EJA
supere as dificuldades e desenvolva algumas habilidades essenciais para a construção de
conceitos geométricos. Apresentaremos, a seguir, a quarta atividade, que foi desenvolvida com
duas turmas das três selecionadas.
6.4 Atividade 4 – A caminho da escola
Nessa atividade, a nossa pretensão era que os alunos produzissem um texto explicando o
trajeto da rodoviária à escola, identificando pontos de referência, e representassem, através de
desenho, esse trajeto, ressaltando os pontos de referência. Tomamos a rodoviária como ponto
inicial, porque ela fica próxima à escola em que estávamos desenvolvendo a pesquisa.
Nessa atividade, trabalhamos com conteúdos conceituais (saber), quando procuramos
desenvolver a idéia de sistemas de referência, retas paralelas e perpendiculares etc.; com
conteúdos procedimentais (saber-fazer), quando foram desenvolvidas as habilidades de produção
de textos, de representação do trajeto e de verbalização das produções; e conteúdos atitudinais
(saber-ser), quando instigamos a participação do aluno para desenvolver a atividade,
estimulando-o a tomar decisões na representação do trajeto e na produção de texto. Utilizamos
dois dias de aula na aplicação dessa atividade, perfazendo um total de três horas.
Iniciamos a atividade procurando mobilizar a turma com o seguinte questionamento: Como
vocês ensinariam a um colega o caminho que ele deveria fazer para chegar à escola partindo da
rodoviária? Os alunos foram se expressando oralmente:
É muito fácil, professora. Eu digo: Vá em frente, em frente até chegar na
escola;
Seguir sempre reto que ele chega lá;
Entre em umas duas ou três ruas que você chega na escola.
Seguindo a discussão, perguntamos: Se você disser que ele siga reto ou que vá em frente
que chega à escola, só dará certo se o colega for pulando os muros das casas ou dos prédios que
existem no caminho. Então entre outras coisas, eles disseram:
Não, professora ele tem que seguir reto nas ruas, dobrar algumas esquinas.
Ora, professora, ele tem que passar por várias ruas até chegar à escola.
Seguir em frente, mas passando pelas ruas e por alguns prédios, é claro.
Dessa forma, solicitamos que indicassem, no percurso, alguns pontos de referência nos
quais o colega passaria para chegar à escola. Assim, foram listadas as ruas, as escolas, as
lanchonetes, pizzarias, igreja, posto de saúde, entre outros, como elementos essenciais na
definição do caminho.
É interessante registrar que a maioria dos alunos não sabia o nome da rua em que estava
inserida a escola e a rodoviária e, às vezes, o nome da própria rua em que residia. Isso demonstra
a necessidade de se trabalhar, em sala de aula, com o conteúdo das relações espaciais, como
forma de contribuir para o desenvolvimento, nesses alunos, das habilidades de percepção,
localização, leitura e utilização de mapas, construção de trajetos e maquetes, subsídios essenciais
na compreensão do mundo e de situações do cotidiano.
Partindo dessa constatação, procuramos identificar, junto com os alunos, o nome da rua
da escola, da rodoviária e o de algumas ruas paralelas e perpendiculares à escola e, em seguida,
solicitamos que cada um deles produzisse um texto explicando o percurso que o colega deveria
fazer para chegar à escola partindo da rodoviária. Essa etapa foi considerada pelos alunos como
muito difícil, visto que é grande a dificuldade que eles têm na leitura e escrita, o que ficou
constatado nas falas de alguns:
Professora, falando eu sei dizer, mas para botar no papel é difícil.
A minha letra é muito ruim, eu não sei escrever.
Professora, eu tenho dificuldade de ler e escrever; eu não sei onde colocar nem
vírgulas nem pontos.
Professora, eu posso falar mas escrever eu não sei direito não.
Agora é aula de Português, professora?
Escrever é muito difícil; falar é melhor.
Diante desses depoimentos, percebe-se quanto é importante o papel da língua materna
para o desenvolvimento do indivíduo como um todo, tendo em vista que a falta do domínio da
língua produz lacunas no processo de participação na sociedade, deixando as pessoas à margem
do desenvolvimento tecnológico, da informação e da comunicação. A Proposta Curricular da EJA
– 2º segmento diz:
Na Educação de Jovens e Adultos, é comum os alunos afirmarem que são ruins
para escrever, que não conseguem entender como usar corretamente os sinais
gráficos e a pontuação. Muitas vezes, esse tipo de dificuldade com relação aos
processos de aprendizagem da escrita é conseqüência de malsucedidas
experiências anteriores. Por isso, investir na mudança de postura do aluno
diante de suas dificuldades, fazendo-o incorporar uma visão diferente da
palavra ao associar o trabalho de escrita com suas necessidades mais urgentes,
seria uma primeira meta (BRASIL, 2002, p.16).
Entendemos que o trabalho com produção de texto, em Matemática, contribui também,
para que o aluno possa compartilhar com os outros sua forma de pensar e ainda comunicar as dos
outros e que essa atividade promove o desenvolvimento da concentração, da observação e da
abstração. A linguagem é necessária porque “qualquer aprendizagem só é possível por meio dela,
já que é com a linguagem que se formaliza todo o conhecimento produzido nas diferentes áreas e
que se explica a maneira como o universo se organiza” (BRASIL, 2002, p.11).
Os textos produzidos pelos alunos (Anexo 5), após tentarmos insistentemente convencê-
los que eram capazes de escrever, demonstraram lacunas deixadas por um ensino que não
privilegia a leitura e a escrita com compreensão, e sim a decodificação de letras e palavras soltas,
que não conduz a uma produção de escritos com significado. O papel da leitura e da escrita, na
EJA, é de fundamental importância para que o aluno possa avançar nas outras áreas do
conhecimento.
Observamos também que alguns alunos, apesar de nossa conversa inicial, descreveram
percursos diferentes para o mesmo trajeto, devido às suas vivências como profissionais que se
deslocam mais do que daqueles que não trabalham nem saem do espaço onde moram. Isso
também nos mostra que não existe um modelo único do trajeto proposto, por se tratar de uma
atividade de Modelagem, que conseqüentemente, não admite uma única solução, e sim, soluções
que mais se aproximem do problema proposto.
A atividade desenvolvida contribuiu para que o aluno da EJA ampliasse seu
conhecimento sobre o espaço em que vive, organizando seu pensamento sobre as observações e
percepções feitas nesse percurso tão fácil para eles.
Chamou nossa atenção ainda o fato de um aluno ter dito, nos seus escritos, quantos metros
o colega poderia percorrer para chegar à escola, pois isso não tinha sido discutido em sala de
aula. Observamos, desse modo a aplicação do conhecimento adquirido anteriormente para outra
situação de aprendizagem. Outro aluno enfatizou o ângulo (90º) na esquina de uma rua, pois já
tínhamos estudado sobre ângulo reto. A maioria dos alunos ressaltou a necessidade de dobrar à
esquerda ou à direita durante o percurso, o que nos mostra que a idéia de direita, esquerda, seguir
em frente etc. já está bem compreendida por eles.
Na etapa seguinte da atividade, solicitamos que os alunos representassem, por meio de um
desenho, o percurso produzido na etapa anterior, evidenciando os pontos de referência
encontrados (Anexo 6). Percebemos que a maioria colocou, no desenho, pontos de referência que
não tinham destacado no texto, enquanto que outros realçaram os pontos descritos no texto. Um
aluno fez o desenho totalmente diferente do que estava indicado no texto produzido,
provavelmente porque o desenho foi feito no dia seguinte ao da construção do texto. Outro
procurou saber todas as ruas que formam o quarteirão da rodoviária à escola, representando todas
elas no desenho. Como isso, foi possível descobrir quais são as ruas paralelas e perpendiculares
àquela em que está inserida a escola e socializar com os outros esse conhecimento.
Observamos também, que alguns alunos não usaram réguas na realização do desenho,
pois achavam mais difícil desenhar com o auxílio desse instrumento. Interferimos nessa situação
argumentando sobre a necessidade da utilização da régua para representar o percurso no papel,
uma vez que as ruas deveriam ser representadas por segmentos de retas e as esquinas por retas
perpendiculares (formando ângulos de 90°). Observamos ainda que alguns alunos não estavam
sabendo utilizar a régua: começavam a marcar as distâncias a partir do número um, e não do zero.
Foi então que procuramos trabalhar com a régua, mostrando o significado dos traços maiores e
dos menores e onde se inicia a medição na régua, na trena, na fita métrica, entre outros
instrumentos de medida de comprimento.
Constatamos ainda que aqueles que apresentaram mais dificuldade de escrever o texto
também tiveram dificuldades em fazer a representação do trajeto através do desenho. Eis algumas
falas desses alunos.
Esse desenho é mais difícil que os outros, para fazer no papel.
Não estou conseguindo colocar no papel o que estou pensando, pois tem muita
coisa para colocar.
Deviam ser feitas outras atividades como essa; teríamos mais facilidade em
representar outros desenhos e aprender mais sobre retas paralelas,
perpendiculares, ângulos, e outras figuras geométricas.
Era nossa intenção, ao utilizarmos esse tipo de atividade, fazer com que o aluno
começassem a enxergar os conteúdos matemáticos aplicados em situações do cotidiano. A idéia
de utilizar atividades como as que realizamos para desenvolver o conteúdo matemático está
inserida na proposta de trabalho que faz uso da Modelagem Matemática como alternativa de
ensino e aprendizagem da Matemática, uma vez que a Modelagem Matemática procura, segundo
Monteiro, citado por Fonseca (2002, p.77) “tornar o ensino da Matemática mais significativo para
quem aprende, na medida em que parte do real-vivido dos educandos para níveis mais formais e
abstratos.” Além disso, há liberdade para que o aluno possa desenvolver sua criatividade,
participar ativamente da construção do conhecimento e desenvolver sua autonomia.
Dessa forma, ao se resgatar o sentido do conteúdo matemático que se pretende ensinar,
“busca-se (re-)estabelecer a relação entre conceitos e procedimentos matemáticos e o mundo das
coisas e dos fenômenos” (Ibidem, p.77). Assim, estamos alocando os problemas do dia-a-dia
como ponto de partida para o ensino e aprendizagem da Matemática.
O registro dessa atividade permitiu analisar melhor as dificuldades e avanços surgidos no
seu desenvolvimento. Percebemos a grande dificuldade que os alunos da EJA têm em relação à
leitura, à escrita e à representação de trajetos no papel. Mas constatamos avanços no que se refere
ao reconhecimento de ruas paralelas e perpendiculares à escola; à necessidade de se definirem
pontos de referência para se descrever um percurso sugerido; à criatividade na construção do
trajeto proposto; à iniciativa de alguns alunos de pesquisar os nomes das ruas próximas à escola e
à rodoviária; e à exposição oral dos trabalhos produzidos.
Nos desenhos dos alunos, podemos notar alguns elementos importantes, como as flechas
indicando a partir de onde o colega deveria sair (a rodoviária) e aonde deveria chegar (a escola),
o desenho de alguns pontos de referência, como igreja, posto de saúde, pousada, carros, a
rodoviária e a escola. Necessitam, porém de um refinamento nas proporções, aproximando-se
mais dos modelos de mapas e croquis convencionais. É preciso oferecer aos alunos da EJA
oportunidade de vivenciar situações nas quais seriam incentivados a se localizar num espaço,
como, por exemplo, o da sala de aula, o da escola ou outros, para que possam perceber a
necessidade de coordenadas para essa localização. Coll; Teberosky (2000, p.165), ao se referirem
ao espaço comentam:
A todo momento, estamos ocupando um lugar no espaço e é com o nosso corpo
que entramos em contato com este lugar. Usamos o corpo para nos situar no
espaço e, a partir da nossa posição, podemos localizar as pessoas e as coisas que
nos rodeiam. O sucesso para solucionar grande parte dos problemas cotidianos
depende da nossa capacidade de nos orientar e da facilidade com que
estabelecemos relações entre os objetos.
Com essa atividade, demos o primeiro passo para o estudo do plano cartesiano, que será
explorado em outras atividades.
Verificamos também que os textos produzidos necessitam de aperfeiçoamento para que se
torne mais fácil a compreensão do trajeto proposto.
As competências desenvolvidas e as habilidades adquiridas pelos alunos nessa atividade
servirão como suporte para a leitura e a interpretação de outros trajetos ou mapas que surgirão no
seu cotidiano bem como para a ampliação de sua auto-estima e de sua confiança, mostrando-lhes
que são capazes de solucionar um problema proposto.
Consideramos ainda que a atividade proposta foi apenas um passo no caminho a ser
percorrido para a compreensão dos sistemas de referência, que são um fator importante na
participação do indivíduo na sociedade e que a Modelagem Matemática, utilizada como
alternativa metodológica para o ensino e aprendizagem da Matemática, possibilita uma
aprendizagem significativa, participativa e motivadora, uma vez que procura dar sentido aos
conteúdos matemáticos a partir de questões e/ou problemas do cotidiano.
O trabalho com as relações espaciais contribui para que o aluno da EJA amplie seus
conhecimentos sobre a orientação no espaço e desenvolva, de forma mais sistematizada, seu
sistema de referência, de modo que possa localizar-se, movimentar-se e orientar-se num espaço
conhecido e em outros espaços mais amplos.
Ao finalizar a aplicação das atividades, sugerimos que os alunos escrevessem um texto
detalhando o que tinham aprendido com elas. Conseguimos depoimentos como estes:
Com essas atividades eu aprendi a desenhar, pintar, usar a régua, o transferidor
que eu nem imaginava pra que servia, a medir ângulos e a identificar pontos de
referência. Sim aprendi o que é trapézio, triângulo isósceles, retângulo, losango
e ângulos retos e a fazer paralelas. (Aluno do 3ºD)
Aprendi a medir ângulos, o que é retas paralelas, retas perpendiculares,
triângulos, retângulos, losango, quadrado, as diagonais, as ruas paralelas, as
ruas perpendiculares, pintar, desenhar, usar uma régua, um transferidor, um
compasso, identificar ruas com pontos de referência. (Aluno do 3ºE)
Eu vou falar o que eu aprendi com as atividades geométricas. Aprendi o que é
paralelas: são duas retas..., aprendi a fazer triângulo, retângulo que eu não sabia
que os lados eram diferentes. Conheci um transferidor, aprendi os dois tipos de
triângulos, aprendi que quadrado tem 4 lados iguais, aprendi como fazer
medições com a régua, que devemos começar a medição do zero, eu só fazia
medição da pontinha da régua, agora já aprendi; e aprendi a identificar pontos
de referência. (Aluno do 3ºF)
A Geometria é um estudo muito importante. Aprendi a usar vários objetos: a
régua para medir quadrados iguais, retas paralelas, retas perpendiculares.
Usamos o compasso para fazer circunferência. Desenhamos bastante, pintamos,
usamos a cor para determinar figuras da Geometria. Foi muito importante:
estudamos, nos divertimos e chegamos a esquecer do tempo. Ao analisar a
Geometria, cheguei à conclusão que foi proveitoso. (Aluno do 3ºF)
Durante todo o trabalho de aplicação das atividades, estávamos sempre incentivando,
motivando, questionando, intervindo para que os alunos ampliassem os seus conhecimentos
acerca da Geometria, Com as avaliações, percebemos que, em geral, houve uma boa
compreensão dos conteúdos geométricos desenvolvidos nas atividades.
No capítulo seguinte, teceremos as considerações finais sobre os resultados apresentados
no desenvolvimento deste projeto, sugerindo alguns eixos norteadores para a realização deste e
de outros trabalhos na EJA.
“A Geometria é um estudo muito importante. Aprendi a usar vários
objetos: a régua para medir quadrados iguais, retas paralelas, retas
perpendiculares. Usamos o compasso para fazer circunferência.
Desenhamos bastante, pintamos, usamos a cor para determinar figuras da
Geometria. Foi muito importante: estudamos, nos divertimos e chegamos
a esquecer do tempo. Ao analisar a Geometria, cheguei à conclusão que
foi proveitoso.” (Fala do aluno do 3ºF)
7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES
Tomando como parâmetro a questão norteadora do nosso trabalho e os objetivos deste,
faremos a seguir as considerações finais sobre os resultados encontrados com os estudos
realizados e a aplicação das atividades selecionadas.
Como a Modelagem Matemática pode contribuir para a construção do conhecimento
geométrico dos alunos do Nível III da EJA? Tentando responder a essa questão, destacamos
como objetivo geral elaborar de uma proposta de utilização da modelagem matemática como
metodologia de ensino e aprendizagem da Geometria na Educação de Jovens e Adultos (EJA), do
Nível III do Projeto Acreditar, desenvolvido pela Secretaria Municipal de Educação da cidade do
Natal/RN. Os objetivos específicos do nosso trabalho eram: elaborar atividades que
possibilitassem a construção do conhecimento geométrico pelos alunos do Nível III da EJA,
aplicar algumas dessas atividades elaboradas, em três turmas da EJA, do Nível III, do Projeto
Acreditar, de uma escola municipal da cidade do Natal e analisar o desenvolvimento dessas
atividades.
Sobre o primeiro objetivo, elaboramos 08 (oito) atividades para o primeiro tema -
Ângulos e Posições Relativas de Retas -, 05 (cinco) para o segundo tema - Sistemas Referenciais
- e 09 (nove) para o terceiro tema, Figuras Geométricas. Essas atividades trouxeram, para a sala
de aula, situações concretas do dia-a-dia do aluno, que favoreciam o enfoque da contextualização
do conhecimento matemático bem como o trabalho interdisciplinar, tornando evidente o aspecto
utilitário da Matemática. Buscavam também desenvolver competências e habilidades ligadas à
representação, à construção, à percepção, à dedução, à produção de textos, à comunicação de
informações, à argumentação e à tomada de decisão na resolução da situação proposta,
trabalhando, dessa forma, o aspecto formativo da Matemática, e em especial da Geometria.
Quando adotamos a visão de matemática como algo presente nas ações do dia-a-dia,
sendo uma forma de compreender e transformar a realidade em que vivemos podemos utilizar a
Modelagem Matemática como alternativa de ensino e aprendizagem, tendo em vista que funciona
como instrumento de interpretação e modificação dessa realidade, além de auxiliar na forma de
pensar e agir dos alunos. Desse modo, ensinar os conteúdos geométricos a partir de situações
contextualizadas leva o aluno a conhecer mais sobre a sua realidade, despertando o seu interesse
para aprender a fazer e aprender a pensar.
Em relação ao segundo objetivo especifico, após a aplicação das quatro atividades,
encontramos como resultado da avaliação e análise os seguintes pontos:
• As atividades aplicadas proporcionaram aos alunos o desenvolvimento de habilidades
como a criatividade, a representação e a percepção;
• Houve grande interesse, por parte dos alunos, por participar das atividades propostas,
apesar das dificuldades relacionadas à leitura, à escrita e à representação;
• A partir das atividades, pudemos desenvolver novos conteúdos geométricos e
reelaborar os conhecimentos adquiridos anteriormente;
• Partindo de problemas do cotidiano dos alunos, procuramos dar sentido aos conteúdos
matemáticos estudados na escola;
• As atividades oportunizaram aos alunos acesso a materiais didáticos necessários à
compreensão dos conteúdos abordados;
• Foram desenvolvidos, nessas atividades, conteúdos relacionados a conceitos,
procedimentos e atitudes;
• Apresenta outra forma de abordar os conteúdos de Geometria em salas de aula da
EJA.
Enfim, as atividades que utilizam a Modelagem Matemática valorizaram o saber fazer do
aluno, o processo de construção do conhecimento, fazendo com que ele percebesse para que
servem os conteúdos estudados na escola, além de propiciar mudanças na sua postura e na do
professor na dinâmica da sala de aula de Matemática.
Concluindo, podemos dizer que a Modelagem contribui para a construção do
conhecimento geométrico, na EJA, na medida em que procura desenvolver aprendizagem
significativa, auxiliando o aluno a construir relações da Matemática com outras áreas do
conhecimento e dentro da própria Matemática, ampliando sua visão de mundo e auxiliando a sua
participação em outros espaços sociais.
A partir dos resultados desta pesquisa, que propõe a utilização da Modelagem Matemática
como caminho para se desenvolver o conteúdo matemático, sugerimos que:
• Haja investimento na formação dos educadores da EJA para que eles possam ter
condições de usar a Modelagem Matemática como alternativa de ensino e
aprendizagem da Matemática;
• Que as escolas que atendem a EJA adquiram acervo bibliográfico relacionado à
Modelagem Matemática, de forma a contribuir com as atividades docentes;
• Haja mudança na forma de pensar a avaliação no ensino da Matemática, observando-
se não apenas o produto final, e sim todo o processo que o aluno realiza na execução
das tarefas propostas;
A proposta de ensinar os conteúdos de Geometria, utilizando a Modelagem Matemática é
desafiadora e requer, de nós educadores da EJA, garra para vencermos todos os obstáculos, na
busca de uma formação diferenciada para todos aqueles que procuram à escolarização.
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Educação de Jovens e Adultos: módulo integrado I. Brasília: SESI – DN, 2000.
ANEXOS
ANEXO 1 – Questionário I
Perfil do aluno pesquisado
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATAUARAIS E
MATEMATICA – PPGECNM
QUESTIONÁRIO I
IDENTIFICAÇÃO
Idade: ________
Estado Civil________________
Trabalha? Sim ( ) Não ( )
Em que trabalha? ____________________________________________________________
Quanto tempo você deixou de estudar? ___________________________________________
Até que série você estudou? ____________________________________________________
Pôr que você deixou de estudar? ________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Pôr que voltou a estudar? ______________________________________________________
ANEXO 2 – QUESTIONÁRIO II
Conhecimentos de Geometria dos alunos da EJA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATAUARAIS E
MATEMATICA – PPGECNM
QUESTIONÁRIO II
1. Você já ouviu falar em Geometria? Sim ( ) Não ( )
2. O que você acha que se estuda em Geometria? ______________________________________
3. Você já estudou algum conteúdo de Geometria? Sim ( ) Não ( )
Quais? ________________________________________________________
4. Escreva o nome das figuras geométricas representadas abaixo:
__________________ ____________ ________________ ____________
__________________ _______________ ___________ _________
__________________ ______________ ___________ ___________
5. Identifiquem quais são os pares de retas que são paralelas, ou perpendiculares, ou obliquas
(inclinadas).
------------------------- ----------------------------- ---------------------------------
ANEXO 3 – Desenhando portões
Desenho dos portões
ANEXO 4 – Atividade 2 – Desenhando casas
Desenho da fachada da casa
ANEXO 5 – Atividade 3 – Dobrando e construindo retas
Desenho das retas
ANEXO 6 – Atividade 4 – A caminho da escola
Texto construindo pelos alunos
ANEXO 7 – Atividade 4 – A caminho da escola
Desenho do trajeto
ANEXO 8 – Avaliação dos alunos sobre as atividades
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
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Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
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Baixar livros de Ciência da Computação
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Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
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Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
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Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
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Baixar livros de Geografia
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Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
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Baixar Monografias e TCC
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Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
