( PDF ) Avaliação e minimização numérica do desequilíbrio de tensão: estimativa por análise de sensibilidade incremental e soluções analíticas

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Avaliação e Minimização Numérica do

Desequilíbrio de Tensão: Estimativa por

Análise de Sensibilidade Incremental e

Soluções Analíticas

Diogo Caetano Garcia

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DE BRASILIA

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

AVALIAÇÃO E MINIMIZAÇÃO NUMÉRICA DO

DESEQUILÍBRIO DE TENSÃO: ESTIMATIVA POR

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE INCREMENTAL E

SOLUÇÕES ANALÍTICAS

DIOGO CAETANO GARCIA

ORIENTADOR: FRANCISO ASSIS DE OLIVEIRA NASCIMENTO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

PUBLICAÇÃO: PPGENE.DM-319/07

BRASÍLIA/DF: DEZEMBRO - 2007

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iii

FICHA CATALOGRÁFICA

GARCIA, DIOGO CAETANO

Avaliação e Minimização Numérica do Desequilíbrio de Tensão: Estimativa por Análise de

Sensibilidade Incremental e Soluções Analíticas [Distrito Federal] 2007.

xiv, 82p., 210 x 297 mm (ENE/FT/UnB, Mestre, Dissertação de Mestrado – Universidade de

Brasília. Faculdade de Tecnologia.

Departamento de Engenharia Elétrica

1. Qualidade de energia 2.Desequilíbrio de tensão

3. Análise do Desequilíbrio de Tensão 4. Correção do Desequilíbrio de Tensão

I. ENE/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

GARCIA, D. C. (2007). Avaliação e Minimização Numérica do Desequilíbrio de Tensão:

Estimativa por Análise de Sensibilidade Incremental e Soluções Analíticas. Dissertação de

Mestrado em Engenharia Elétrica, Publicação PPGENE.DM-319/07, Departamento de

Engenharia Elétrica, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 82p.

CESSÃO DE DIREITOS

AUTOR: Diogo Caetano Garcia.

TÍTULO: Avaliação e Minimização Numérica do Desequilíbrio de Tensão: Estimativa por

Análise de Sensibilidade Incremental e Soluções Analíticas.

GRAU: Mestre ANO: 2007

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação

de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa dissertação

de mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor.

____________________________

Diogo Caetano Garcia

SHIS QI 16 conjunto 01 casa 18, Lago Sul.

71640-210 Brasília – DF – Brasil.

AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha família, especialmente meus pais, por todo o apoio e fé nas minhas

capacidades.

Agradeço aos meus amigos de faculdade, de colégio, do laboratório GPDS e do trabalho

pela força, pela companhia e pela distração mais do que necessária.

Agradeço aos professores Francisco Assis de Oliveira Nascimento e Anésio de Leles

Ferreira Filho pela oportunidade oferecida, por guiarem os trabalhos sempre da melhor

forma possível, pela dedicação, pelos constantes incentivos para buscarmos melhores

soluções e pelo companheirismo.

RESUMO

AVALIAÇÃO E MINIMIZAÇÃO NUMÉRICA DO DESEQUILÍBRIO DE

TENSÃO: ESTIMATIVA POR ANÁLISE DE SENSIBILIDADE INCREMENTAL E

SOLUÇÕES ANALÍTICAS

Autor: Diogo Caetano Garcia

Orientador: Francisco Assis de Oliveira Nascimento

Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica

Brasília, dezembro de 2007

O desequilíbrio de tensão é um dos parâmetros analisados com respeito à qualidade de

energia, representando a diferença entre os módulos das tensões de um sistema elétrico

trifásico e a defasagem angular das mesmas. Procura-se sempre trabalhar com tensões

cossenoidais com módulos idênticos e defasagem angular de 120º elétricos entre elas, mas

na prática, sempre existe um desvio desta situação ideal, devido a características como a má

distribuição de cargas monofásicas e a presença de transformadores, linhas de transmissão e

bancos de capacitores com diferença de construção entre as fases. Estas diferenças causam

perdas tanto para o consumidor como para a concessionária, como a redução no rendimento

de motores de indução trifásicos, por exemplo.

A fim de determinar a influência dos parâmetros da rede (os módulos e ângulos das três

fases) sobre o desequilíbrio de tensão e os valores necessários para reduzir ou até eliminar o

mesmo, o presente trabalho desenvolve e apresenta dois métodos de análise. A influência

de cada parâmetro é determinada através de cálculos de sensibilidade incremental, e as

alterações necessárias para a redução são calculadas por soluções analíticas. O índice de

quantificação do desequilíbrio considerado é o das componentes simétricas. Os métodos

desenvolvidos foram implementados computacionalmente, e sua validade foi testada para

uma série de situações de desequilíbrio.

ABSTRACT

VOLTAGE UNBALANCE NUMERICAL EVALUATION AND MINIMIZATION:

ESTIMATION BY INCREMENTAL SENSITIVITY ANALYSIS AND

ANALYTICAL SOLUTIONS

Author: Diogo Caetano Garcia

Supervisor: Francisco Assis de Oliveira Nascimento

Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica

Brasília, december of 2007

Voltage unbalance is one of the parameters analysed in power quality studies, representing

the difference between the magnitudes of the voltages of a tri-phase electrical system, and

the phase shift between these. It is desirable to have sinusoidal voltages with identical

magnitudes and 120 electrical degrees phase shift between them, but in practice, there is

always a deviation from this ideal case, due to characteristics such as bad distribution of

single-phase loads and the presence of transformers, transmission lines e capacitor banks

with assembly differences between phases. These differences cause losses both to the

consumer and to the energy supplier, such as reduced efficiency of tri-phase induction

motors.

In order to determine the influence of the network’s parameters (magnitudes and phase

shifts of the three phases) on voltage unbalance, and the values required to reduce or even

eliminate it, the present work develops and presents two analysis methods. The influence of

each parameter is determined through incremental sensitivity calculations, and the changes

needed for reduction are calculated by analytical solutions. The quantification index

considered is the symmetrical components method. All methods developed were

implemented in software, and their validity was tested for a series of unbalance situations.

vii

SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO ..............................................................................................................1

1.1 – ASPECTOS GERAIS..............................................................................................1

1.2 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO......................................................................3

2 – DESEQUILÍBRIO DE TENSÃO: DEFINIÇÕES ......................................................5

2.1 – CONCEITOS BÁSICOS.........................................................................................5

2.2 – QUANTIFICAÇÃO DO DESEQUILÍBRIO DE TENSÃO................................6

2.2.1 – Método NEMA..................................................................................................6

2.2.2 – Método IEEE ....................................................................................................6

2.2.3 – Método das componentes simétricas...............................................................7

2.2.4 – Método CIGRÉ...............................................................................................10

2.3 – PRINCIPAIS CAUSAS E EFEITOS DO DESEQUILÍBRIO DE TENSÃO ..10

2.4 – NORMAS ...............................................................................................................11

2.4.1 – IEC...................................................................................................................12

2.4.2 – CENELEC.......................................................................................................12

2.4.3 – NRS 048...........................................................................................................13

2.4.4 – ANSI.................................................................................................................13

2.4.5 – Documentos brasileiros..................................................................................13

2.5 – CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................14

3 – METODOLOGIA PARA MINIMIZAÇÃO DO DESEQUILÍBRIO DE TENSÃO

..............................................................................................................................................15

3.1 – SENSIBILIDADE..................................................................................................15

3.1.1 – Definição de sensibilidade..............................................................................15

3.1.2 – Funções de sensibilidade absoluta e relativa................................................17

3.1.3 - Cálculo das sensibilidades do fator K e das componentes de seqüência....17

3.1.3.1 - Desenvolvimento das equações de sensibilidade relativa do fator K.........19

3.1.3.2 - Desenvolvimento das equações de sensibilidade relativa das componentes

de seqüência..............................................................................................................20

viii

3.2 – CORREÇÃO DO FATOR K: SOLUÇÕES ANALÍTICAS .............................20

3.2.1 – Correção do fator K pela variação de cada parâmetro da rede em

separado.......................................................................................................................21

3.2.1.1 - Correção do fator K pela variação de cada módulo das fases em separado

..................................................................................................................................22

3.2.1.2 - Correção do fator K pela variação de cada ângulo das fases em separado 24

3.2.2 – Correção do fator K pela variação dos três módulos das tensões da rede 27

3.2.3 – Correção do fator K pela variação de dois módulos das tensões da rede..30

3.3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................32

4 – DESCRIÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL......................................33

4.1 – ESTRUTURA GERAL .........................................................................................33

4.2 – MÓDULOS DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL ..................................35

4.2.1 – Seleção da situação de desequilíbrio.............................................................35

4.2.2 – Análises de sensibilidade e de correção do fator K .....................................38

4.3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................43

5 – RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS .................................44

5.1 – PRIMEIRO CASO: UM MÓDULO DESEQUILIBRADO..............................44

5.2 – SEGUNDO CASO: TRÊS MÓDULOS DESEQUILIBRADOS.......................49

5.3 – TERCEIRO CASO: UM ÂNGULO DESEQUILIBRADO ..............................53

5.4 – QUARTO CASO: DOIS ÂNGULOS DESEQUILIBRADOS...........................58

5.5 – QUINTO CASO: TRÊS MÓDULOS E DOIS ÂNGULOS

DESEQUILIBRADOS ...................................................................................................62

5.6 – CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................66

6 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ..................................................................68

6.1 – CONCLUSÕES GERAIS .....................................................................................68

6.2 – RECOMENDAÇÕES PARA PESQUISAS FUTURAS ....................................70

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................71

APÊNDICES.......................................................................................................................73

A – EQUAÇÕES DE SENSIBILIDADE DOS MÓDULOS DAS SEQÜÊNCIAS

POSITIVA E NEGATIVA AO QUADRADO.............................................................74

B – CORREÇÃO DO FATOR K PELA VARIAÇÃO DOS MÓDULOS DAS

FASES B E C ..................................................................................................................77

C – CORREÇÃO DO FATOR K PELA VARIAÇÃO DO ÂNGULO DA FASE C80

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio no módulo da fase A...45

Tabela 5.2 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio no módulo da fase A.....45

Tabela 5.3 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio no módulo da fase A.......................................................................................46

Tabela 5.4 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio no

módulo da fase A..................................................................................................................47

Tabela 5.5 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio no módulo da fase A................................................................47

Tabela 5.6 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio no

módulo da fase A..................................................................................................................48

Tabela 5.7 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio no

módulo da fase A..................................................................................................................48

Tabela 5.8 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio nos três módulos.........50

Tabela 5.9 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio nos três módulos ...........50

Tabela 5.10 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio nos três módulos.............................................................................................50

Tabela 5.11 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio nos três

módulos ................................................................................................................................51

Tabela 5.12 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio nos três módulos ......................................................................51

Tabela 5.13 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio nos três

módulos ................................................................................................................................52

Tabela 5.14 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio nos três

módulos ................................................................................................................................52

Tabela 5.15 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio no ângulo da fase C ..54

Tabela 5.16 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio no ângulo da fase C.....54

Tabela 5.17 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio no ângulo da fase C.........................................................................................55

Tabela 5.18 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio no

ângulo da fase C ...................................................................................................................55

Tabela 5.19 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio no ângulo da fase C..................................................................56

Tabela 5.20 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio no

ângulo da fase C ...................................................................................................................56

Tabela 5.21 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio no

ângulo da fase C ...................................................................................................................57

Tabela 5.22 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio em dois ângulos........59

Tabela 5.23 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio em dois ângulos ..........59

Tabela 5.24 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio em dois ângulos ..............................................................................................59

Tabela 5.25 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio em dois

ângulos..................................................................................................................................60

Tabela 5.26 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio em dois ângulos .......................................................................60

Tabela 5.27 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio em

dois ângulos..........................................................................................................................61

Tabela 5.28 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio em dois

ângulos..................................................................................................................................61

Tabela 5.29 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio nos três módulos e nos

dois ângulos..........................................................................................................................63

Tabela 5.30 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio nos três módulos e nos

dois ângulos..........................................................................................................................63

Tabela 5.31 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio nos três módulos e nos dois ângulos...............................................................64

Tabela 5.32 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio nos três

módulos e nos dois ângulos..................................................................................................64

Tabela 5.33 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio nos três módulos e nos dois ângulos........................................65

Tabela 5.34 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio nos três

xii

módulos e nos dois ângulos..................................................................................................65

Tabela 5.35 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio nos três

módulos e nos dois ângulos..................................................................................................66

xiii

LISTA DE FIGURAS

Fig. 4.1 – Estrutura geral da ferramenta computacional.......................................................34

Figura 4.2 – Tela inicial do primeiro módulo do software...................................................35

Figura 4.3 – Cálculo das componentes simétricas e gráficos dos fasores............................37

Figura 4.4 – Gráficos dos fasores em novas telas.................................................................37

Figura 4.5 – Armazenamento dos dados em planilha...........................................................38

Figura 4.6 – Tela inicial do segundo módulo.......................................................................39

Figura 4.7 – Resultados para a correção do fator K através de uma variável ......................40

Figura 4.8 – Gráfico das sensibilidades relativas do fator K................................................41

Figura 4.9 – Gráfico das sensibilidades relativas do fator K em uma nova tela ..................41

Figura 4.10 – Planilhas de dados com os valores de componentes simétricas, de

sensibilidades do fator K e de variações para correção do mesmo ......................................42

Figura 5.1 – Módulo da fase A desequilibrado ....................................................................45

Figura 5.2 – Módulos das três fases desequilibrados ...........................................................49

Figura 5.3 – Ângulo da fase C desequilibrado .....................................................................54

Figura 5.4 – Dois ângulos desequilibrados...........................................................................58

Figura 5.5 – Três módulos e dois ângulos desequilibrados..................................................63

xiv

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES

ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica

ANSI – American National Standards Institute

CENELEC – European Committee for Electrotechnical Standardization

CIGRÉ – International Council on Large Electric Systems

f – freqüência de oscilação da tensão

Fator K – índice de quantificação do desequilíbrio de tensão

IEC – International Electrotechnical Commission

IEEE – Institute of Electrical and Electronic Engineers

NEMA – National Electrical Manufacturers Association

NRS – National Electricity Regulator

ONS – Operador Nacional do Sistema

SIN – Sistema Interligado Nacional

– Módulo da tensão na fase A

– Módulo da tensão na fase B

– Módulo da tensão na fase C

– Ângulo da tensão na fase A

– Ângulo da tensão na fase B

– Ângulo da tensão na fase C

1 – INTRODUÇÃO

1.1 – ASPECTOS GERAIS

O setor elétrico brasileiro é um sistema com pouco mais de cem anos de existência, que

já passou por uma série de situações e adversidades nacionais e internacionais. Dentre

elas, pode-se citar a crise do petróleo na década de 70, o processo de privatização do setor

na década de 90 e o racionamento de energia elétrica em 2001. Devido às características

territoriais e geográficas brasileiras, o setor elétrico é predominantemente hidroelétrico,

contando ainda com produção termoelétrica, nuclear e eólica de energia, dentre outros.

Além de estar sujeito a intempéries naturais e ao quadro político-econômico imediato, o

setor elétrico é responsável pela sustentabilidade do progresso no país, já que o

crescimento econômico representa um aumento de demanda energética. Assim, a

preocupação primordial do setor é com a garantia de suprimento da energia elétrica, seja

pela manutenção das instalações de geração, transmissão e distribuição já existentes, seja

pelo investimento em novas instalações.

No Brasil, o processo de privatização mencionado anteriormente outorgou ao Estado o

papel de regulamentação e fiscalização da oferta de energia elétrica no país, visto que a

distribuição e a geração de energia foram autorizadas à iniciativa privada. Desta forma,

surgiu a necessidade de acompanhar não somente o suprimento, como também a

qualidade da energia.

Entende-se por qualidade de energia a quantificação de diversos parâmetros da tensão

fornecida, tendo em vista a sua adequação a valores pré-estabelecidos, baseados nos

efeitos sobre o consumidor e a continuidade de fornecimento (Baltazar, 2007). Dentre

esses parâmetros, tem-se o valor do módulo da tensão em cada fase do sistema trifásico, o

valor da freqüência e os níveis de freqüências harmônicas.

O desequilíbrio de tensão é um dos objetos de estudo da qualidade da energia, avaliando

a diferença entre os módulos das três fases do sistema e a defasagem angular das mesmas.

Idealmente, um sistema trifásico possui tensões cossenoidais com módulos idênticos e

defasagem angular de 120º elétricos entre elas. Na prática, é possível obter somente uma

aproximação desse modelo, visto que um sistema elétrico de potência apresenta uma série

de imperfeições, como a má distribuição de cargas monofásicas e a presença de

transformadores, linhas de transmissão e bancos de capacitores com diferença de

construção entre as fases. Conseqüentemente, as tensões trifásicas apresentam diversos

níveis de desequilíbrio ao longo do sistema, acarretando em perdas para o consumidor e

para a concessionária, como será visto adiante. O rendimento de motores de indução

trifásicos, por exemplo, é reduzido.

Existem normas nacionais e internacionais sobre o tema, indicando formas de

quantificação e valores considerados aceitáveis ao consumidor. Boa parte da literatura

relacionada versa sobre a adequação dos índices de medição utilizados, através de

simulações computacionais e da análise dos efeitos do desequilíbrio. Manyage e Pillay

(2001) apresentam os principais métodos criados, e indicam o método das componentes

simétricas (razão entre os módulos dos fasores das componentes de seqüência negativa e

positiva) como o mais adequado. Wang (2001) analisa o efeito da defasagem angular

entre os fasores de seqüência negativa e positiva sobre motores de indução trifásicos, e

sugere o seu uso na quantificação do desequilíbrio, em conjunto com o método

supracitado. Lee et al. (1997) e Siddique et al. (2004) aprofundam o estudo dos efeitos do

módulo do fasor da seqüência positiva sobre motores de indução trifásicos,

recomendando o acréscimo deste parâmetro na avaliação do desequilíbrio. Faiz et al.

(2004) apresentam as vantagens do método NEMA de quantificação, por caracterizar a

condição de desequilíbrio com maior fidelidade. Costa et al. (2007) e Filho et al. (2007)

realizam simulações computacionais para avaliar as características e as inconveniências

dos métodos citados anteriormente.

As linhas de pesquisa seguidas na literatura corrente procuram relacionar de forma clara

medições de desequilíbrio de tensão com seus efeitos, o que pressupõe a existência de um

índice adequado de quantificação. De qualquer maneira, não é tarefa trivial determinar

qual parâmetro é o maior responsável pelo fenômeno, visto que o sistema trifásico é

caracterizado por seis variáveis (os módulos e ângulos das três fases), assim como

determinar as modificações necessárias para atingir valores permitidos pelas normas

estabelecidos (que serão apresentadas no Capítulo 2). Estas são questões de vital

importância para o consumidor, que procura minimizar suas perdas, e para a

concessionária, que sofre penalizações dos órgãos fiscalizadores.

Com essa conjuntura em mente, este trabalho desenvolve e apresenta métodos de análise

do desequilíbrio, indicando a influência de cada parâmetro e as alterações necessárias

para redução. Para a primeira aplicação, são utilizados cálculos de sensibilidade, e para a

segunda, são propostas soluções analíticas. Em ambos os casos, o índice utilizado é das

componentes simétricas.

1.2 – ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

No Capítulo 2, são apresentados os aspectos básicos que concernem o desequilíbrio de

tensão: sua definição, seus métodos de quantificação, as principais causas e efeitos e as

normas que versam sobre o tema. Dentre os métodos de quantificação, atenção especial é

dada ao método das componentes simétricas, que é estudado com mais detalhes ao longo

dessa dissertação.

No Capítulo 3, são desenvolvidos os dois métodos de análise propostos: o cálculo de

sensibilidade do desequilíbrio e as resoluções analíticas de redução do mesmo, através de

alterações em um módulo do sistema trifásico, em um ângulo, em dois módulos

simultaneamente e em três módulos.

De forma a realizar as análises propostas no capítulo anterior, foi criada uma ferramenta

computacional, que é descrita no Capítulo 4. Primeiramente, apresenta-se um fluxograma

com a estrutura do programa, e em seguida, os módulos do mesmo são detalhados.

Em seguida, é feita a validação dos métodos propostos no Capítulo 3. O Capítulo 5

analisa uma série de situações, considerando casos de desequilíbrio em um módulo, em

três módulos, em um ângulo, em dois ângulos, e em três módulos e dois ângulos.

No Capítulo 6, são feitas as conclusões finais, bem como as sugestões para trabalhos

futuros.

2 – DESEQUILÍBRIO DE TENSÃO: DEFINIÇÕES

Neste capítulo, são abordados os aspectos mais importantes a respeito do desequilíbrio de

tensão. Na definição deste fenômeno, é apresentada a modelagem clássica do problema,

através da análise fasorial. Em seguida, as diferentes formas de quantificação do

desequilíbrio são descritas, com atenção especial ao método mais empregado, o método

das componentes simétricas. As causas e efeitos do desequilíbrio de tensão são também

explorados, e por fim, tem-se as normas internacionais referentes ao tema.

2.1 – CONCEITOS BÁSICOS

Um sistema elétrico trifásico é composto idealmente de três tensões cossenoidais com os

mesmos módulos e defasadas de 120º elétricos (2π/3 radianos). A equação (2.1) apresenta

estas tensões em função do tempo, onde V

MAX

é o valor máximo e f é a freqüência de

oscilação. A tensão v

é utilizada como referência angular para v

e v

. De forma a

facilitar a análise do sistema, pode-se representar as mesmas através de três fasores, cujos

módulos são iguais às médias quadráticas (V

RMS

) e cujos ângulos são iguais às defasagens

entre elas, tomando v

como referência angular, equação (2.2).

)3/22cos(

)2cos(

ππ

−=

ftVv

MAXC

MAXB

MAXA

(2.1)

°∠=

°−∠=

°∠=

120

RMS

(2.2)

O desequilíbrio de tensão é definido como qualquer situação em que os fasores da

equação (2.2) apresentam módulos diferentes entre si, ou defasagem angular diferente de

120º elétricos entre eles, ou ainda ambas as condições (Oliveira, 2000). A seguir, os

diferentes métodos de quantificação são apresentados.

2.2 – QUANTIFICAÇÃO DO DESEQUILÍBRIO DE TENSÃO

Existem atualmente quatro métodos amplamente empregados para a quantificação do

desequilíbrio de tensão (fator K) (Manyage e Pillay, 2001): o método NEMA, o método

IEEE, o método das componentes simétricas e o método CIGRÉ. Os dois primeiros

métodos levam em conta o fato de que muitos medidores de tensão não fornecem os

valores angulares das tensões, trabalhando unicamente com os módulos. O terceiro

método se baseia no teorema de Fortescue, que decompõe o sistema trifásico em três

sistemas equilibrados, exigindo conhecimento tanto dos módulos como dos ângulos das

tensões de fase. O método CIGRÉ fornece o mesmo resultado que o método das

componentes simétricas, porém a forma de cálculo é diferente, utilizando somente o valor

dos módulos das tensões de linha do sistema.

2.2.1 – Método NEMA

A norma NEMA – MG1 – 14.34, da “National Electrical Manufacturers Association of

USA”, define o fator K como sendo a razão entre o máximo desvio das tensões de linha

em relação ao seu valor médio, e este mesmo valor médio, equação (2.3) (Manyage e

Pillay, 2001). Ou seja, o método NEMA analisa o desvio das tensões de linha em relação

valor médio delas:

100% ×

∆

(2.3)

em que V

é o valor médio das tensões de linha, e

∆

V é o máximo desvio das tensões de

linha em relação a V

2.2.2 – Método IEEE

Existem dois métodos desenvolvidos pelo IEEE (Institute of Electrical and Electronic

Engineers). De acordo com o documento mais recente desse instituto (Bollen, 2002), o

fator K é quantificado pela razão entre a diferença entre o maior e o menor valor das

tensões de fase e a média destas, equação (2.4). Diferentemente do método NEMA, o

método IEEE leva em conta o máximo desvio entre as tensões:

100

)(3

min

−

CBA

máx

VVV

(2.4)

em que V

, V

e V

representam os módulos das tensões das fases A, B e C, e V

máx

e V

min

correspondem ao maior e menor dos módulos das tensões de fase, respectivamente.

2.2.3 – Método das componentes simétricas

O método das componentes simétricas quantifica o fator K através da decomposição das

tensões de fase em três seqüências equilibradas, as seqüências positiva, negativa e zero. A

seqüência positiva é representada por três fasores equilibrados com seqüência de fases

ABC; a seqüência negativa, por três fasores equilibrados com seqüência ACB; e a

seqüência zero, por três fasores paralelos entre si.

Em um sistema equilibrado, só existe a seqüência positiva ou negativa, dependendo da

ordem com que o sistema foi composto. Isto é, um sistema com fases

°∠= 00,1

°−∠= 1200,1

°∠= 1200,1

V possui somente a seqüência positiva, e um sistema

com fases

°∠= 00,1

°∠= 1200,1

°−∠= 1200,1

V possui somente a seqüência

negativa. A presença de desequilíbrio em uma ou mais fases de um sistema com

seqüência de fases positiva se traduz no surgimento de seqüências negativa e zero.

O motor de indução pode auxiliar na interpretação física dos efeitos das componentes

simétricas (Gosbell, 2002). A aplicação de excitação desequilibrada sobre este motor se

traduz na aplicação dos três sistemas equilibrados das componentes simétricas. A

seqüência negativa gira o rotor no sentido oposto da seqüência positiva, e a seqüência

zero não gira o rotor, visto que ela não gera campo magnético girante.

O método das componentes simétricas se baseia nessas observações para quantificar o

desequilíbrio (Gosbell, 2002). A seqüência negativa tem maior impacto sobre cargas

conectadas ao sistema trifásico desequilibrado, de forma que a seqüência zero não é

considerada na quantificação. Dessa forma, o fator K é definido pela razão entre os

módulos das seqüências negativa (V

) e positiva (V

), equação (2.5).

100%

×=

(2.5)

O método das componentes simétricas/CIGRÉ é considerado o método de análise do

desequilíbrio de tensão matematicamente mais rigoroso, por levar em conta a real

configuração do sistema, empregando os valores dos módulos e dos ângulos das três

fases. O método NEMA também considera módulos e ângulos das fases (implícitos nos

módulos das tensões de linha), mas não segue uma formulação matemática tão elaborada

quanto o método das componentes simétricas.

A seguir, é apresentada uma formulação do cálculo das componentes simétricas que será

de grande auxílio no desenvolvimento do presente texto. As componentes simétricas são

calculadas analiticamente através da matriz de Fortescue:





































111

(2.6)

em que

V ,

são as componentes de seqüência zero, positiva e negativa,

respectivamente, e a é o operador rotacional, um fasor de módulo unitário e defasagem de

120º elétricos (isto é,

∠

1200,1a

Partindo da equação (2.6), tem-se a equação da seqüência positiva:

(

)

CBA

VaVaVV

++=

. (2.7)

Definindo

, θ

e θ

como os ângulos das fases A, B e C, e multiplicando a equação

(2.7) por 3, obtém-se a seguinte expressão:

(

)

(

)

°−∠+°+∠+∠= 1201203

1 CCBBAA

VVVV

θθθ

. (2.8)

Decompondo a equação (2.8) em partes real e imaginária, calculando o módulo de 3

elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtém-se a equação (2.9).

(

)

(

)

{

}

( ) ( ){ }

120120

120cos120coscos9

°−+°++

+°−+°++=

CCBBAA

senVsenVsenV

VVVV

θθθ

(2.9)

A equação (2.9) apresenta dois termos quadráticos que podem ser desenvolvidos, gerando

uma série de simplificações. O produto final é dado por:

(

)

(

)

( )

°−+

+°−+°−+++=

120cos2

120cos2120cos29

2222

CACA

BCCBBABACBA

VVVVVVVV

θθ

(2.10)

em que

= θ

– θ

, θ

= θ

– θ

e θ

= θ

– θ

De mesma forma, obtém-se uma expressão similar para o módulo da seqüência negativa:

(

)

(

)

( )

°++

+°++°++++=

120cos2

120cos2120cos29

2222

CACA

BCCBBABACBA

VVVVVVVV

θθ

(2.11)

Dividindo a equação (2.11) pela equação (2.10), calculando a raiz quadrada desta divisão

e multiplicando por 100, obtém-se o fator K através do método das componentes

simétricas, equação (2.12). Percebe-se que este método depende de um cálculo não-

linear, composto de termos quadráticos e cossenoidais.

100

×=

(2.12)

2.2.4 – Método CIGRÉ

O método CIGRÉ fornece o mesmo resultado do método das componentes simétricas

(Gosbell, 2002), mas se utiliza de uma série de manipulações algébricas para expressar o

desequilíbrio a partir dos módulos das tensões de linha:

100

631

% ×

−+

−−

(2.13)

( )

222

444

CABCAB

VVV

(2.14)

em que V

, V

e V

são os módulos das tensões de linha.

2.3 – PRINCIPAIS CAUSAS E EFEITOS DO DESEQUILÍBRIO DE TENSÃO

O desequilíbrio de tensão possui basicamente dois tipos de origem: estrutural e funcional

(Pierrat e Morrison, 1995) (Lee et al., 1997). As causas estruturais correspondem a

qualquer desequilíbrio na rede elétrica, como transformadores, linhas de transmissão e

bancos de capacitores desbalanceados. Esse tipo de causa é praticamente constante,

devido à pequena variação dos parâmetros da rede elétrica. As causas funcionais

correspondem a distribuições desiguais de carga nas três fases, seja pela presença de

cargas trifásicas desequilibradas, pela má distribuição de cargas monofásicas ou pela

variação nos ciclos de demanda de cada fase. Consumidores residenciais e industriais são

exemplos de causas funcionais.

Os efeitos do desequilíbrio de tensão foram estudados em diversas publicações, como

(Wang, 2001) (Lee et al., 1997a). Como foi exposto no item 2.2.2, o desequilíbrio de

tensão cria em motores de indução um campo magnético girante contrário ao movimento

do rotor, devido à componente de seqüência negativa. A velocidade e o conjugado efetivo

resultantes são reduzidos, e as perdas e a temperatura do motor aumentam, bem como o

ruído produzido pelo mesmo. Uma análise similar pode ser feita para máquinas síncronas.

No caso de geradores síncronos, alem dos efeitos já citados, a forma de onda gerada é

alterada, devido à perturbação no campo magnético oriunda da seqüência negativa.

O desequilíbrio de tensão possui influência também em sistemas eletrônicos e de

eletrônica de potência. No primeiro caso, existem relés microprocessados que podem

atuar indevidamente ou deixar de atuar na presença de desequilíbrio de tensão. No

segundo caso, pode-se citar conversores de freqüência para o controle de velocidade de

motores. O desequilíbrio de tensão deforma as ondas de tensão características do

funcionamento normal destes equipamentos, causando o aparecimento de harmônicas

prejudiciais e aquecendo excessivamente seus componentes, como diodos e capacitores.

2.4 – NORMAS

Os primeiros marcos regulatórios de qualidade de energia foram criados na Europa e nos

Estados Unidos, no final da década de 70. A partir de 1969, diversos documentos,

orientações e recomendações têm sido redigidos a respeito do tema; a primeira norma,

adotada em 14 países europeus, data de 1975.

No Brasil, até o ano de 1978, a qualidade de energia era considerada uma mera questão

de evitar interrupções no fornecimento de energia elétrica aos consumidores (Oliveira,

2000). A partir de então, foram lançadas portarias pelo DNAEE (Departamento Nacional

de Águas e Energia Elétrica), evidenciando a necessidade de considerar outros

parâmetros além da continuidade de suprimento, como, por exemplo, os limites

permitidos de tensão. Muitos documentos foram redigidos desde então, com a consulta a

diversas empresas de energia elétrica, grandes consumidores e grupos de trabalho das

normas internacionais.

A seguir, são detalhadas as principais recomendações e normas referentes ao

desequilíbrio de tensão (Oliveira, 2000). É importante ressaltar que nenhum desses

documentos atribui, no ponto de suprimento, a responsabilidade pelos níveis de

desequilíbrio unicamente à geração, à transmissão, à distribuição ou ao consumidor de

energia elétrica.

2.4.1 – IEC

O IEC (International Electrotechnical Commission) procura promover a cooperação

internacional no setores elétrico e eletrônico, e as suas recomendações têm sido

referência para a maioria das normas, não somente para desequilíbrio de tensão. A

recomendação IEC 1000-2-2 sugere um limite máximo de 2% para o fator K,

considerando o método das componentes simétricas. Em casos de curtos-circuitos,

desequilíbrios de tensão superiores a este podem ser alcançados durante curtos períodos

de tempo.

2.4.2 – CENELEC

A norma EM50160 do CENELEC (European Committee for Electrotechnical

Standardization), de novembro de 1994, estabelece limites com base no tempo de

medição: no período de uma semana, 95% dos valores de média quadrática da

componente de seqüência negativa devem ser menores do que 2% da seqüência positiva.

A média quadrática deve ser calculada em períodos de dez minutos. Para consumidores

monofásicos e bifásicos, o valor máximo de desequilíbrio é de 3%.

2.4.3 – NRS 048

A norma sul-africana 048 da NRS (National Electricity Regulator), de novembro de

1996, limita os valores de pico do fator K medido pelas componentes simétricas, assim

como a recomendação IEC 1000-2-2. Os intervalos de medição são de 10 minutos, e os

limites são de 2% para os sistemas elétricos trifásicos e 3% para as redes com cargas

predominantemente monofásicas e bifásicas.

2.4.4 – ANSI

A norma ANSI – C84.1 – 1995, do instituto ANSI (American National Standard

Institute), trata de valores operacionais nominais e aceitáveis para tensões a 60Hz e entre

100V e 230kV. Com respeito ao desequilíbrio de tensão, a quantificação deve ser feita

pelo método NEMA, com o limite de 3% sob condições a vazio.

2.4.5 – Documentos brasileiros

No Brasil, dois órgãos redigiram documentos que dizem respeito ao desequilíbrio de

tensão, o ONS e a ANEEL. O ONS (Operador Nacional do Sistema) é responsável por

coordenar e controlar a operação das instalações do Sistema Interligado Nacional (SIN),

que supre de energia elétrica a maioria dos estados brasileiros. A ANEEL (Agência

Nacional de Energia Elétrica) é responsável por fiscalizar e regular a geração,

transmissão, distribuição e comercialização de energia elétrica no país.

Os Procedimentos de Rede são documentos do ONS que definem os procedimentos e

requisitos técnicos para o planejamento, a implantação, o uso e a operação do SIN. De

acordo com esses documentos, o desequilíbrio de tensão deve ser avaliado pelo seguinte

critério: ao longo de uma semana, determina-se diariamente o valor que foi superado em

apenas 5% dos registros obtidos; destes sete valores finais, o maior deles não pode

ultrapassar o limite de 2%, pelo método das componentes simétricas. Caso a seqüência

negativa varie intermitente e repetitivamente, o limite de desequilíbrio é igual a 4%,

contanto que essa situação não ultrapasse 5% do período de monitoração. A definição de

variação intermitente e repetitiva não é fornecida pelos Procedimentos de Rede,

constituindo uma brecha para interpretações dos mesmos. O desequilíbrio encontrado na

rede deve ser controlado pelos agentes de geração, transmissão e distribuição em

conjunto com os usuários finais.

Os Procedimentos de Distribuição são documentos da ANEEL que buscam a

regulamentação, a normalização e a padronização da conexão elétrica dos sistemas de

distribuição com seus usuários, garantindo a qualidade dos serviços prestados. O

desequilíbrio de tensão é avaliado da mesma maneira que nos Procedimentos de Rede,

com exceção da ressalva feita a variações intermitentes e repetitivas dos valores da

seqüência negativa. Os Procedimentos de Distribuição não foram totalmente

regulamentados, até o presente momento.

2.5 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente capítulo apresentou os conceitos básicos do desequilíbrio de tensão.

Inicialmente, o fenômeno foi definido, considerando a análise fasorial. Os principais

índices de quantificação foram descritos em seguida, e o método de componentes

simétricas foi pormenorizado. As causas e efeitos correspondentes foram então

explorados, bem como as normas internacionais referentes ao tema.

No próximo capítulo, são propostos métodos de análise e minimização do fenômeno,

considerando o método de componentes simétricas. Em um capítulo posterior, os

algoritmos correspondentes são validados para uma série de casos.

3 – METODOLOGIA PARA MINIMIZAÇÃO DO DESEQUILÍBRIO

DE TENSÃO

Neste capítulo, são propostos e desenvolvidos métodos de análise e minimização do

desequilíbrio de tensão, referente ao método das componentes simétricas. Ao final do

item 2.2.3 do capítulo anterior, foi observado que este método calcula o fator K por meio

de equações não-lineares. Assim, uma análise da influência de cada um dos parâmetros

da rede sobre o desequilíbrio não é imediata; nem sempre é possível determinar à

primeira vista qual módulo ou ângulo de cada tensão é o maior responsável pelo

desequilíbrio. O problema se intensifica quando se tem um banco de dados extenso, como

é o caso da determinação da norma brasileira, que exige medições durante toda uma

semana.

Dessa maneira, são desenvolvidos neste capítulo dois métodos de análise para o

desequilíbrio de tensão. É proposta a modelagem das perturbações no fator de

desequilíbrio K por meio do cálculo de sensibilidade incremental de primeira ordem, de

uso comum nos segmentos de síntese de filtros e controle de processos. A formulação

matemática associada é detalhada, e o método é utilizado para determinar os graus de

influência de cada um dos parâmetros da rede sobre o desequilíbrio. Uma segunda

técnica, que oferece resoluções analíticas para a redução do fator K, também é

desenvolvida nos itens a seguir.

3.1 – SENSIBILIDADE

3.1.1 – Definição de sensibilidade

A análise de sensibilidade é uma ferramenta frequentemente empregada na área de

controle e automação de processos. Basicamente, a sensibilidade de um determinado

sistema é definida como uma quantificação da variação do seu modelo dada uma

mudança nos seus parâmetros. Empregando a notação matemática, a sensibilidade define

uma relação entre um vetor de parâmetros

α=[α

... α

]

e um vetor de comportamento

dinâmico do sistema

ζ=[ζ

... ζ

]

. Na linguagem da teoria de conjuntos, essa relação é

equivalente a um mapeamento

α → ζ entre os dois vetores (Frank, 1978).

O vetor de parâmetros

α pode ser decomposto como a combinação linear de outros dois,

, de valores nominais, e ∆α, de variações em torno de α

(ou seja, α = α

+ ∆α). Da

mesma maneira,

ζ pode ser decomposto como a soma de ζ

, de valores nominais, e ∆ζ, de

variações , com

ζ = ζ

+ ∆ζ. Feitas estas suposições, é possível analisar o sistema a partir

do ponto nominal de operação (

, ζ

), a partir do qual alterações ∆α nos parâmetros

acarretam variações

∆ζ no comportamento dinâmico do sistema.

Define-se a partir daí a função de sensibilidade

S, equação (3.1), que relaciona a variação

dos parâmetros do sistema à variação do seu comportamento, em torno do ponto nominal

de operação. Esta é uma aproximação de primeira ordem, de forma que ela só é válida

dentro de algumas condições de continuidade, e para pequenas variações de parâmetros,

isto é, para

||∆α|| << ||α

||.

∆ζ ≈ S(α

) ∆α (3.1)

A função de sensibilidade é utilizada para representar a influência de diversas incertezas

sobre a modelagem de sistemas. O comportamento de um circuito elétrico, por exemplo,

pode ser analisado através de uma função de transferência, via transformadas de Laplace

ou de Fourier. Aproximações para a simplificação dos cálculos e o uso de instrumentos

de medição com baixa precisão podem levar à escolha inadequada de diversos

parâmetros, gerando uma diferença entre os valores nominais e reais dos mesmos. A

função de sensibilidade se apresenta como uma alternativa para a análise da influência

destas flutuações em torno dos valores nominais. Assim, a resposta deste circuito elétrico

é representada pelo vetor ζ, e as incertezas na modelagem são representadas pelo vetor

∆α.

3.1.2 – Funções de sensibilidade absoluta e relativa

A equação (3.2) apresenta a função de sensibilidade absoluta, onde o ζ

representa cada

um dos m elementos do vetor

ζ, e α

representa cada um dos n elementos do vetor α.

Como pode ser observado, a função de sensibilidade absoluta é igual à derivada parcial

de cada elemento de

ζ em relação a cada elemento de α, no ponto nominal de operação

dos parâmetros.

)(

∂

= (3.2)

A equação (3.3) representa a função de sensibilidade relativa, também calculada com

base no ponto nominal de operação (

, ζ

αα

ζζ

αα

∂

. (3.3)

A equação (3.1) apresenta a fórmula geral da função de sensibilidade absoluta, e a

equação (3.2) apresenta a forma de cálculo de cada um dos elementos da matriz

S(α

). A

equação (3.3) representa uma aproximação da variação relativa no modelo (

∂ζ

/ ζ

) devido

a uma alteração relativa nos parâmetros de entrada (

∂α

/ α

3.1.3 - CÁLCULO DAS SENSIBILIDADES DO FATOR K E DAS

COMPONENTES DE SEQÜÊNCIA

A teoria da sensibilidade é uma ferramenta eficaz na análise de sistemas com diversos

parâmetros e sinais de entrada e saída. Como foi apresentado no final do item 2.2.3, o

fator K calculado pelo método das componentes simétricas possui seis parâmetros de

entrada e comportamento não-linear. Logo, a teoria da sensibilidade pode auxiliar na

determinação do nível de influência dos módulos e dos ângulos das tensões trifásicas

sobre o fator K, para uma dada condição de desequilíbrio. Seguindo a nomenclatura

apresentada no item 3.1.1, o fator K é representado pelo vetor

ζ, e os parâmetros da rede

elétrica trifásica (módulos e ângulos das três fases) são representados pelo vetor

α.

É necessária uma avaliação do significado dos valores nominais no cálculo da

sensibilidade do fator K. A princípio, é de se esperar que

represente os valores

nominais de módulos e de ângulos no local de análise. Por exemplo, para uma linha de

transmissão de 230 kV, os módulos teriam valores nominais de 230 kV, e os ângulos,

valores nominais de 0

, –120

e 120

nas fases A, B e C, respectivamente. Nesse caso, o

fator K teria um valor nominal de 0%.

Esta abordagem leva a um sério problema de modelagem. Se qualquer situação de

desequilíbrio tiver sempre estes valores nominais, todas elas teriam o mesmo valor

numérico de sensibilidade. Quanto maior o desequilíbrio, menor seria a precisão do

cálculo de sensibilidade, devido à distância crescente do ponto nominal. Este obstáculo

inviabiliza a metodologia.

Desta maneira, a análise de sensibilidade do fator K segue outra abordagem. Considera-se

que o vetor α

representa uma dada condição de desequilíbrio, e a sensibilidade do

sistema indica a taxa de alteração do fator K a cada um dos parâmetros nestes valores

nominais. Em outras palavras, o cálculo de sensibilidade analisa a influência dos módulos

e ângulos das tensões sobre o fator K, para uma situação de desequilíbrio.

Dentre as duas funções de sensibilidade apresentadas no item 3.1.2, recomenda-se utilizar

a função de sensibilidade relativa na análise do fator K. A função de sensibilidade

absoluta indica duas taxas de alteração do fator K: frente aos módulos, dada em volts

–1

, e

frente aos ângulos, dada em radianos

–1

. Estes valores não podem ser comparados

diretamente. A função de sensibilidade relativa é adimensional, sendo mais apropriada

para análise.

3.1.3.1 - Desenvolvimento das equações de sensibilidade relativa do fator K

O cálculo da sensibilidade relativa do fator K envolve a diferenciação de equações

relativamente complexas, sendo mais adequado utilizar algumas simplificações para

facilitar os desenvolvimentos. Inicialmente, parte-se da equação (2.12) dividida por 100:

K =

. (3.4)

Considerando

ζ igual ao fator K, e α

representando qualquer um dos parâmetros da rede,

pode-se substituir a equação (3.4) na equação (3.3), obtendo-se a expressão:













∂

. (3.5)

Substituindo a derivada da equação (3.5) e simplificando, obtém-se:













∂

. (3.6)

Aplicando a regra da cadeia para a derivada na equação (3.6) e simplificando, obtém-se:













∂

−

∂

)9(

. (3.7)

Comparando as equações (3.7) e (3.3), observa-se que dentro dos parênteses da equação

(3.7) estão presentes as sensibilidades relativas das equações (2.10) e (2.11). Dessa

maneira, tem-se a expressão simplificada:













−=

VVK

jjj

SSS

ααα

(3.8)

Para maior comodidade, as expressões resultantes das sensibilidades absolutas e relativas

de 9V

e 9V

são apresentadas no Apêndice A.

3.1.3.2 - Desenvolvimento das equações de sensibilidade relativa das componentes de

seqüência

Seguindo raciocínios análogos aos do item 3.1.3.1, é possível determinar as equações de

sensibilidades relativas das componentes de seqüência positiva e negativa:

∂

)9(

(3.9)

∂

)9(

. (3.10)

Novamente, as expressões resultantes das sensibilidades absolutas de 9V

e 9V

são

apresentadas no Apêndice A.

3.2 – CORREÇÃO DO FATOR K: SOLUÇÕES ANALÍTICAS

A análise de sensibilidade se presta para indicar a influência de cada parâmetro das

tensões da rede elétrica sobre o desequilíbrio. Todavia, esta análise não oferece o cálculo

dos valores necessários para a correção do fator K, isto é, para a determinação das

variações nos parâmetros da rede necessárias para se reduzir o desequilíbrio. Por ser uma

aproximação de primeira ordem, o cálculo da sensibilidade pode simplesmente oferecer

uma estimativa dessas variações.

No item a seguir, são apresentadas metodologias desenvolvidas para a correção do fator

K, baseadas em resoluções analíticas: a correção através da alteração de cada um dos

parâmetros da rede em separado, a variação simultânea dos três módulos das tensões, e a

variação simultânea de dois módulos das tensões.

3.2.1 – Correção do fator K pela variação de cada parâmetro da rede em separado

Neste método, parte-se da condição inicial de desequilíbrio, e mantêm-se todos os

parâmetros constantes, exceto um. Através da equação do fator K, isola-se o parâmetro

considerado variável, de forma a calcular o valor necessário para a correção do

desequilíbrio. O desenvolvimento deste método parte da equação (3.4) elevada ao

quadrado:

K = . (3.11)

Passando o denominador para o lado esquerdo da equação (3.11), tem-se a expressão:

99 VKV =

. (3.12)

Substituindo as expressões para 9V

e 9V

, equações (2.10) e (2.11), na equação (3.12),

obtém-se a equação:

)120cos(2)120cos(2

)120cos(2

)}120cos(2)120cos(2

)120cos(2{

222

2222

°++°++

+°++++=

°−+°−+

+°−+++

CACABCCB

ABBACBA

CACABCCB

ABBACBA

VVVV

VVVVV

VVVV

VVVVVK

θθ

. (3.13)

Substituindo os valores da condição inicial de desequilíbrio na equação (3.13), o fator K

inicial satisfaz esta igualdade. A modificação de um dos parâmetros (o módulo da fase A,

por exemplo) leva a um novo valor de fator K para satisfazer a mesma equação. Desta

maneira, é possível isolar esta variável, de forma a obter uma solução analítica para a

mesma que satisfaça um novo valor de fator K desejado. O desenvolvimento matemático

deste método é diferente para o caso dos módulos e para o caso dos ângulos, de forma

que ambos os casos serão descritos separadamente nas seções a seguir.

3.2.1.1 - Correção do fator K pela variação de cada módulo das fases em separado

A partir da equação (3.13), é possível isolar cada um dos três módulos das fases

separadamente. O processo para cada um deles é idêntico, de forma que o módulo da fase

A será usado para ilustrar a metodologia. Isolando o módulo desta fase na equação (3.13),

tem-se a expressão:

=++

VAANovoVAANovoVA

CVBVA

(3.14)

em que:

DESVA

KA −= (3.15)

)]120cos()120[cos(2

°−−°++

+°−−°+=

CADESCAC

ABDESABBVA

KVB

θθ

(3.16)

))(1()]120cos()120[cos(2

2222

CBDESBCDESBCCBVA

VVKKVVC +−+°−−°+=

θθ

(3.19)

em que K

DES

é o valor de fator K desejado e V

ANovo

é o valor do módulo da fase A que

fornece o K

DES

. Além disso, V

e V

são os valores iniciais dos módulos das fases B e C,

respectivamente, e

são os valores iniciais das diferenças entre os ângulos

das fases A e B, B e C e C e A, respectivamente.

De acordo com a equação (3.14), existem sempre dois valores para o módulo da fase A

ANovo

) que corrigem o fator K para o valor desejado (K

DES

). São as raízes de um

polinômio de segunda ordem, e só possuem significado físico se forem valores reais, o

que é válido quando B

– 4A

≥

De forma a aprofundar o entendimento da equação (3.14), a condição de existência de

raízes reais (B

– 4A

≥

0) será analisada. Esta condição depende da situação

inicial de desequilíbrio e do valor de fator K desejado, de forma que este último pode ser

um valor inviável de correção, através de uma variação somente no módulo de V

Substituindo as expressões (3.15), (3.16) e (3.17) na condição, e isolando K

DES

, obtém-se

a seguinte desigualdade:

≥++

VAKDESVAKDESVAK

CKBKA (3.18)

em que:

VAKVAKVAK

γα

+= (3.19)

)(42

VAKVAKVAKVAKVAK

γδβα

−+= (3.20)

VAKVAKVAK

δβ

−= (3.21)

)120cos(2)120cos(2 °−−°−−=

CACABBVAK

θθα

(3.22)

)120cos(2)120cos(2 °++°+=

CACABBVAK

θθβ

(3.23)

)120cos(2

CBBCCBVAK

VVVV −−°−−=

θγ

(3.24)

)120cos(2

CBBCCBVAK

VVVV ++°+=

θδ

. (3.25)

A equação (3.18) indica que, em torno do valor de fator K da situação de desequilíbrio

inicial, existirá uma faixa de valores K

DES

que poderão ser atingidos pela alteração no

módulo da tensão da fase A, conquanto que a desigualdade seja respeitada.

Partindo da equação (3.13), pode-se realizar a mesma análise para os módulos das fases B

e C, obtendo equações análogas às equações (3.14) e (3.18). Para comodidade do leitor,

estas equações são apresentadas no Apêndice B.

3.2.1.2 - Correção do fator K pela variação de cada ângulo das fases em separado

Como foi indicado no início desta seção, a correção do fator K também é possível através

dos ângulos das tensões da rede. O desenvolvimento das equações, contudo, é diferente

ao apresentado para os módulos. Para tornar mais claro o procedimento, em termos da

nomenclatura utilizada até então, os ângulos

serão substituídos por suas

definições,

–

, respectivamente. O ângulo da fase B será utilizado

como exemplo da metodologia.

Separando os termos cossenoidais da equação (3.13) de acordo com cada ângulo, obtém-

se a expressão:

)120cos(2)]120()(

)120cos()[cos(2)]120(

)()120cos()[cos(2

)}120cos(2

)]120()()120cos(

)[cos(2)]120()()120

cos()[cos(2{

222

2222

°+−+°−+

+°−+°+⋅

⋅+°++

+++=°−−+

+°++°+⋅

⋅+°−+°−

−+++

ACCACB

CBCBA

BABBA

CBAACCA

CBC

BCBAB

ABBACBADES

VVsensen

VVsen

senVV

VVVVV

sensen

VVsensen

VVVVVK

θθθθ

θθθ

θθ

θθθ

θθ

. (3.26)

Isolando-se os termos cos(

) e sen(θ

), tem-se a equação:

0 = +)+

ΒΒ

BBB

CenBA

NovoNovo

θθθ

θθ

(s)cos(

(3.27)

em que:

)]120cos()120[cos(2

°+−°−+

+°−−°+=

CDESCCB

ADESABA

KVV

KVVA

θθ

(3.28)

)]120()120([2

°+−°−+

+°−−°+=

CDESCCB

ADESABA

senKsenVV

senKsenVVB

θθ

(3.29)

)]120cos()120

[cos(2))(1(

2222

°−−−°+

+−+++−=

ACDES

ACCACBADES

VVVVVKC

θθ

. (3.30)

De maneira a isolar

, deve-se transformar na equação (3.27) a soma dos termos

cossenoidal e senoidal em um só cosseno, e obter o ângulo

através de um cálculo de

arco-cosseno:

222222

(s)cos(

NovoNovo

θθ

−

ΒΒ

(3.31)

cos

arctg

BNovo

θθ

−

























−

(3.32)













−













arccos

arctg

BNovo

θθ

(3.33)

A equação (3.33) representa a solução analítica para a correção do fator K através do

ângulo da fase B. Da mesma forma que na metodologia para um módulo, são oferecidas

duas soluções, e existe uma condição para a existência desta solução: a razão

BBB

BAC

θθθ

+−

deve estar entre –1 e 1. Caso contrário, teremos dois ângulos com

partes real e imaginária, que não possuem significado físico.

A partir da condição de existência de solução, é possível novamente isolar K

DES

, e avaliar

até qual valor de fator K a alteração no ângulo da fase B pode levar. A equação (3.34)

enuncia a condição de uma outra forma.

≤+−

BBB

BAC

θθθ

(3.34)

Elevando a desigualdade ao quadrado, pode-se eliminar o módulo:

1)(

222

≤+

BBB

BAC

θθθ

. (3.35)

Multiplicando a desigualdade pelo denominador

θθ

, obtém-se a equação:

222

BBB

BAC

θθθ

+≤

. (3.36)

Substituindo as equações (3.28), (3.29) e (3.30) na equação (3.36), obtém-se a equação:

≤++

BKDESBKDESBK

CKBKA

θθθ

(3.37)

em que:

222

BKBKBKBK

θθθθ

εγα

−−= (3.38)

BKBKBKBKBKBKBK

θθθθθθθ

φεδγβα

222 −−= (3.39)

222

BKBKBKBK

θθθθ

φδβ

−−=

(3.40)

)120cos(2)(

222

°−−−++−=

ACCACBABK

VVVVV

θθα

(3.41)

)120cos(2

222

°+−+++=

ACCACBABK

VVVVV

θθβ

(3.42)

)120cos(2)120cos(2 °−−°−−=

CCBABABK

VVVV

θθγ

(3.43)

)120cos(2)120cos(2 °++°+=

CCBABABK

VVVV

θθδ

(3.44)

)120(2)120(2 °−−°−−=

CCBABABK

senVVsenVV

θθε

(3.45)

)120(2)120(2 °++°+=

CCBABABK

senVVsenVV

θθφ

. (3.46)

Seguindo a mesma linha de raciocínio, é possível chegar aos mesmos resultados através

dos ângulos das fases A e C, sendo apresentados no Apêndice C. O ângulo da fase A não

foi considerado porque ele é geralmente utilizado como referência para os outros dois

ângulos. Logo, uma alteração nele representaria uma perda de referência para o sistema

de medição.

3.2.2 – Correção do fator K pela variação dos três módulos das tensões da rede

O método de correção do fator K através de alterações em uma única variável é obtido

diretamente por meio de manipulações algébricas da equação (3.13). Quando se deseja a

correção por mais de um parâmetro, faz-se necessária uma abordagem diferente, visto

que são possíveis infinitas variações em mais de uma variável que levem ao fator K

desejado.

A fim de contornar este problema, a metodologia de correção do fator K por três módulos

das tensões parte do pressuposto que a solução gerada deverá ser aquela que apresenta a

menor variação nos três módulos. Outras premissas são possíveis, como, por exemplo,

obter a variação que apresenta o menor custo. Neste trabalho, a metodologia busca a

minimizar a variação em distância euclidiana para os três módulos, com a equação (3.13)

como restrição para a solução. A formalização do problema é exposta a seguir:

(

)

)()()(min

CCBBAA

VVVVVV −+−+−

sujeito a

0)]120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1)((

2222

=°+−

+°−+°+−

+°−+−++

CADES

CACABCDES

BCCBABDES

ABBADESCBA

VVK

VVKVVV

θθ

(3.47)

em que V

, V

e V

são os valores iniciais dos módulos das fases A, B e C.

Utilizando o método de Lagrange, insere-se uma nova variável (

) de forma a incluir a

equação de restrição na equação a ser minimizada, e obtém-se a seguinte expressão:

)]}}120cos()120

[cos(2)]120cos()120

[cos(2)1)({(

)()()min{(

2222

°+−°−

++°+−°−

++−+++

+−+−+−

CADES

CACABCDES

BCCBABDES

ABBADESCBA

CCBBAA

VVK

VVKVVV

VVVVVV

θθ

θλ

. (3.48)

A minimização desta função resume-se a encontrar os pontos em que as derivadas em

relação a V

, V

são iguais a zero, gerando as equações a seguir:

0)]}120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1(2{)(2

=°+−

−°−+°+−

−°−+−+−

CADES

CACABDES

ABBDESAAA

VKVVV

θθ

θλ

(3.49)

0)]}120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1(2{)(2

=°+−

−°−+°+−

−°−+−+−

BCDES

BCCABDES

ABADESBBB

VKVVV

θθ

θλ

(3.50)

0)]}120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1(2{)(2

=°+−

−°−+°+−

−°−+−+−

CADES

CAABCDES

BCBDESCCC

VKVVV

θθ

θλ

(3.51)

0)]120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1)((

2222

=°+−

−°−+°+−

−°−+−++

CADES

CACABCDES

BCCBABDES

ABBADESCBA

VVK

VVKVVV

θθ

. (3.52)

As equações (3.49), (3.50), (3.51) e (3.52) representam um sistema não-linear de quatro

equações, com variáveis V

, V

. Ele possui solução analítica, mas a mesma não é

apresentada no presente texto, por se apresentar demasiado extensa, sendo incluída no

arquivo “Analit3.m” do CD em anexo. A solução pode ser obtida por meio de programas

computacionais que realizem operações com matemática simbólica, como o Maple®, o

MatLab® e o Scilab®, de acordo com o seguinte procedimento:

1. Rearranjando (3.49), (3.50) e (3.51) com relação a V

, V

e V

, percebe-se que

estas três equações compõem um sistema linear para essas três variáveis,

equações (3.53), (3.54) e (3.55). É possível resolver diretamente este sistema,

obtendo expressões para V

, V

e V

em função de

, V

e V

2)]}120cos(

)120[cos(2{)]}120cos(

)120[cos(2{)]1(22[

ACADES

CACABDES

ABBDESA

VKV

=°+−

−°−+°+−

−°−+−+

θλθ

θλλ

(3.53)

2)]}120cos(

)120[cos(2{)]1(2

2[)]}120cos()120[cos(2{

BBCDES

BCCDES

BABDESABA

VKV

=°+−

−°−+−+

++°+−°−

θλλ

θθλ

(3.54)

2)]1(22[

)]}120cos()120[cos(2{

CDESC

CADESCAA

BCDESBCB

VKV

=−++

+°+−°−+

+°+−°−

θθλ

(3.55)

2. Substituindo na equação (3.52) as expressões encontradas no item acima para V

e V

, obtém-se um numerador e um denominador como funções de

, V

e V

. É possível isolar

no numerador, encontrando-se um polinômio de quarta

ordem. Determinando-se as raízes deste polinômio, tem-se o valor de

a ser

substituído nas expressões obtidas para V

, V

e V

, gerando quatro soluções para

o problema.

3. Para decidir qual solução deve ser escolhida, verificam-se quais delas são não-

complexas, e em seguida, qual delas fornece a menor distância euclidiana ao

ponto inicial de desequilíbrio.

3.2.3 – Correção do fator K pela variação de dois módulos das tensões da rede

O procedimento para a correção do fator K pela alteração de dois módulos é análogo ao

procedimento pela alteração de três módulos. A diferença reside na eliminação de uma

das variáveis, o que acarreta em um sistema não-linear com uma equação a menos.

De forma a ilustrar a metodologia, considere-se a correção do fator K pela alteração dos

módulos das fases A e B. A formalização do problema é dada por:

(

)

)()(min

BBAA

VVVV −+−

sujeito a

0)]120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1)((

2222

=°+−

+°−+°+−

+°−+−++

CADES

CACABCDES

BCCBABDES

ABBADESCBA

VVK

VVKVVV

θθ

. (3.56)

De acordo com o método de Lagrange, insere-se uma nova variável (

), incluindo assim

a equação de restrição na equação a ser minimizada, equação (3.57). Em seguida, as

derivadas desta equação são igualadas a zero:

)]}}120cos()120[cos(2

)]120cos()120[cos(2

)1)({()()min{(

22222

°+−°−+

+°+−°−+

+−+++−+−

CADESCACA

BCDESBCCB

ABDESABBA

DESCBABBAA

KVV

KVVVVVVV

θθ

(3.57)

0)]}120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1(2{)(2

=°+−

−°−+°+−

−°−+−+−

CADES

CACABDES

ABBDESAAA

VKVVV

θθ

θλ

(3.58)

0)]}120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1(2{)(2

=°+−

−°−+°+−

−°−+−+−

BCDES

BCCABDES

ABADESBBB

VKVVV

θθ

θλ

(3.59)

0)]120cos(

)120[cos(2)]120cos(

)120[cos(2)1)((

2222

=°+−

−°−+°+−

−°−+−++

CADES

CACABCDES

BCCBABDES

ABBADESCBA

VVK

VVKVVV

θθ

. (3.60)

O procedimento para resolução do sistema para as equações (3.58), (3.59) e (3.60)

também é análogo ao descrito no item 3.2.2: resolve-se o sistema das equações (3.58) e

(3.59) em função de V

e V

; substitui-se as expressões obtidas para essas duas variáveis

na equação (3.60); isola-se

no numerador que surge nesta substituição de expressões;

calcula-se as raízes do polinômio surgido para esta variável; obtém-se as soluções através

das expressões de V

e V

em função de

, V

e V

; escolhe-se a solução real

com menor distância euclidiana para a situação inicial de desequilíbrio. O arquivo

“Analit2.m”, do CD em anexo, apresenta as expressões resultantes.

O método de correção do fator K pela alteração de dois módulos apresenta três soluções

diferentes, através das variações simultâneas nas fases A e B, B e C ou A e C. Sugere-se

escolher aquela que mantém constante a fase mais próxima da tensão nominal. Desta

forma, a redução do fator K é acompanhada de uma aproximação geral dos módulos aos

seus valores nominais.

3.3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste capítulo, métodos de análise detalhada do fator K e de correção numérica do

mesmo foram propostos e desenvolvidos. A primeira técnica partiu de uma análise

clássica de sensibilidade para indicar os graus de influência dos parâmetros da rede sobre

o desequilíbrio, e a formulação matemática correspondente foi elaborada. A segunda

técnica utilizou-se de manipulações algébricas do fator K para determinar sua diminuição

analiticamente, através da mudança de valores dos parâmetros da rede.

No próximo capítulo, é descrita a ferramenta computacional que realiza os cálculos

correspondentes das técnicas supracitadas, considerando sua estrutura geral e detalhes de

seus diferentes módulos.

4 – DESCRIÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL

Neste capítulo, é apresentada a ferramenta computacional que realiza os cálculos e

análises descritos no capítulo 3. Inicialmente, a estrutura geral é apresentada em forma de

fluxograma. Em seguida, os módulos do programa são descritos, ressaltando detalhes do

funcionamento de cada um.

4.1 – ESTRUTURA GERAL

Existem no mercado inúmeros equipamentos para a medição de parâmetros de qualidade

de energia, tais como harmônicos, flicker e afundamentos. Com relação ao desequilíbrio

de tensão, estes medidores fornecem valores de módulos e ângulos das tensões de fase e

de linha, bem como das componentes simétricas, em intervalos pré-determinados (de dez

em dez minutos, por exemplo).

A ferramenta computacional desenvolvida simula uma situação de desequilíbrio na

mesma forma que estes equipamentos indicam, através de valores iniciais dos fasores de

tensões de fase. A partir destes, é possível dimensionar as componentes simétricas, a

sensibilidade e a correção do fator K pelos três métodos apresentados anteriormente. O

programa também conta com análises gráficas, que auxiliam na interpretação dos valores

obtidos.

A ferramenta de desenvolvimento escolhida foi o MatLab®, versão 6.5, que conta com

uma série de funções pré-definidas e com ambiente de programação simplificado,

facilitando todo o processo de criação do software.

A Figura 4.1 mostra a estrutura básica da ferramenta, desde a escolha da situação de

desequilíbrio até a determinação dos valores necessários para a correção do fator K.

Fig. 4.1 – Estrutura geral da ferramenta computacional

Seguindo o fluxograma da Figura 4.1, deve-se inicialmente inserir uma situação de

desequilíbrio, representada pelos fasores das três fases. A partir destes valores, o software

determina numérica e graficamente as componentes simétricas, o fator K e a

sensibilidade deste. Em seguida, o usuário deve escolher o método de correção do

desequilíbrio: através de uma variável, através de dois módulos e através de três módulos.

O valor final desejado de fator K também é informado, para que se efetuem os cálculos.

A partir daí, são determinados os valores finais dos parâmetros, e suas correspondentes

variações absolutas.

A seguir, são apresentados detalhadamente os dois módulos do programa.

4.2 – MÓDULOS DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL

4.2.1 – Seleção da situação de desequilíbrio

A Figura 4.2 apresenta a primeira tela do software, onde se insere a situação de

desequilíbrio. À esquerda da tela, existe um campo chamado “Parâmetros da rede”, que

recebe os módulos e ângulos das três fases. Tendo o fluxograma da Figura 4.1 como base,

este campo define a situação inicial de desequilíbrio. Considera-se que a fase A é a

referência angular, tendo, portanto, sempre ângulo de zero graus.

Figura 4.2 – Tela inicial do primeiro módulo do software

Dentro do campo “Parâmetros da rede”, existem alguns campos de inserção que limitam

os módulos e ângulos a serem inseridos. A partir de um valor de tensão nominal (presente

no primeiro campo de inserção), limita-se os módulos por duas maneiras: ou pelos

valores estabelecidos pela ANEEL (2001) (marcando a caixa de verificação “Valores

ANEEL”) ou por uma variação modular em torno do valor nominal (inserindo um valor

no segundo campo de inserção). Inicialmente, o programa indica uma tensão nominal de

220 V, e uma variação máxima de +/- 20 V (ou seja, de 200 a 240 V). Selecionando a

caixa de verificação “Valores ANEEL”, os módulos atingem valores entre 201 V e 231

De maneira semelhante, os ângulos são limitados pelo valor no terceiro campo de

inserção. Inicialmente, o programa indica uma variação máxima de um grau em torno do

valor nominal, que é de -120 graus para a fase B, e 120 graus para a fase C.

Após a seleção da situação de desequilíbrio, deve-se apertar o botão “Índices”, de forma a

calcular os valores dos fasores de componentes simétricas e de fator K, como foi indicado

no fluxograma da Figura 4.1. O módulo do fator K é calculado através da equação (2.5), e

o ângulo, através da diferença entre os ângulos das componentes de seqüência negativa e

positiva. As caixas de opção na parte superior do campo permitem visualizar os valores

dos módulos destes fasores em Volts (primeira caixa) ou em p.u e/ou porcentagem

(segunda caixa).

É possível visualizar os fasores de tensões da rede e de componentes simétricas,

apertando o botão “Gráficos dos fasores”. Através das caixas de verificação que surgem,

é possível escolher quais fasores serão apresentados. A Figura 4.3 apresenta a tela do

primeiro módulo do programa depois que todos estes passos foram seguidos.

O menu “Editar”, no canto superior esquerdo da tela, apresenta opções para exportação

dos dados. A opção “Gráficos dos fasores” recria os gráficos dos fasores em outra tela, de

forma a permitir salvá-los em formatos como JPEG e Bitmap do Windows, entre outros.

A opção “Exportar gráficos” cria uma planilha com todos os dados dos parâmetros da

rede, suas correspondentes componentes simétricas e o fator K. As Figuras 4.4 e 4.5

mostram, respectivamente, os gráficos e a planilha resultantes destas seleções.

Figura 4.3 – Cálculo das componentes simétricas e gráficos dos fasores

Figura 4.4 – Gráficos dos fasores em novas telas

Figura 4.5 – Armazenamento dos dados em planilha

O botão “Correção do fator K” abre o segundo módulo de programa, que apresenta as

sensibilidades relativas do fator K e os valores necessários para a correção do mesmo.

4.2.2 – Análises de sensibilidade e de correção do fator K

A Figura 4.6 apresenta a tela inicial do segundo módulo do programa. Ele reapresenta os

parâmetros da rede e as componentes simétricas, para maior comodidade do usuário, bem

como os valores de sensibilidade relativa do fator K, que dependem somente da situação

inicial de desequilíbrio.

Figura 4.6 – Tela inicial do segundo módulo

Através das caixas de opção no canto esquerdo da tela, escolhe-se o modo de correção do

fator K (por uma variável, por dois módulos ou por três módulos), como foi indicado no

fluxograma da Figura 4.1. Inserindo o valor desejado de fator K no campo de inserção

abaixo e apertando o botão “Calcular”, o programa apresenta os valores e variações

correspondentes para os módulos e ângulos das fases A, B e C. É importante ressaltar

que, para o método de correção por dois módulos, a tensão nominal é utilizada como

referência para decidir qual módulo manter constante.

A Figura 4.7 ilustra os resultados pelo método de uma variável. É possível perceber que

novos campos surgem à direita da tela. Eles correspondem aos valores mínimos de fator

K atingidos pela alteração de uma variável, e só surgem para este método.

Figura 4.7 – Resultados para a correção do fator K através de uma variável

Ao apertar o botão “Sensibilidades relativas do fator K”, estes valores são apresentados

graficamente, como mostra a Figura 4.8. Desta forma, é possível visualizar o quanto o

fator K é sensível a cada parâmetro da rede.

Assim como no primeiro módulo do programa, existe um menu “Editar”, com opções

para recriar o gráfico das sensibilidades em outra tela e para exportar dos dados em uma

planilha, incluindo os fasores de componentes simétricas, as sensibilidades do fator K e

as variações para correção pelos três métodos. As Figuras 4.9 e 4.10 apresentam o gráfico

e a planilha resultantes destas seleções.

Figura 4.8 – Gráfico das sensibilidades relativas do fator K

Figura 4.9 – Gráfico das sensibilidades relativas do fator K em uma nova tela

Figura 4.10 – Planilhas de dados com os valores de componentes simétricas, de

sensibilidades do fator K e de variações para correção do mesmo

4.3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste capítulo, foi feita uma sucinta descrição da ferramenta computacional que realiza

os cálculos dos algoritmos propostos e desenvolvidos no capítulo 3. A estrutura geral do

programa foi apresentada em forma de fluxograma, e os módulos individuais foram

detalhados em seguida.

No capítulo seguinte, uma série de situações de desequilíbrio é analisada, tendo em vista

a validação dos métodos apresentados neste trabalho.

5 – RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS

Neste capítulo, os cálculos e análises de sensibilidade e de correção do fator K são feitos

para uma série de situações de desequilíbrio, de forma a validar os algoritmos

desenvolvidos no capítulo 3. São apresentados cinco casos de desequilíbrio: em um

módulo, em três módulos, em um ângulo, em dois ângulos e em três módulos e dois

ângulos. Para cada um destes, são utilizados diversos valores de fator K para a correção

do mesmo, levando em consideração os limites atingidos pelo método de uma variável.

A tensão nominal utilizada para as situações acima é de 220 V. Não existe nenhuma

restrição em escolher um valor ou outro, visto que o desequilíbrio de tensão não é mais

sensível a determinada tensão nominal do que a outra. A partir da equação (2.5), é

possível perceber que a multiplicação dos módulos das seqüências negativa e positiva

pelo mesmo fator não altera o valor do fator K.

5.1 – PRIMEIRO CASO: UM MÓDULO DESEQUILIBRADO

Inicialmente, será considerado um sistema equilibrado em todos os parâmetros, exceto

por um dos módulos. Por questão de concisão, somente o desequilíbrio na fase A será

analisado. Os fasores escolhidos são apresentados na equação (5.1) e na Figura 5.1.

Como se pode perceber, as fases B e C possuem valores nominais de módulo e de ângulo.

°∠=

°−∠=

°∠=

120220

0201

(5.1)

Figura 5.1 – Módulo da fase A desequilibrado

A Tabela 5.1 apresenta os valores das componentes simétricas e do fator K. A Tabela 5.2

apresenta a sensibilidade relativa deste, para esta situação.

Tabela 5.1 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio no módulo da fase A

Fasor Módulo Ângulo

2,96 % 180º

6,33 V 180

213,67 V 0

6,33 V 180

Tabela 5.2 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio no módulo da fase A

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Sensibilidade

relativa do

fator K

-10,89 5,45 5,45 -21,00 21,00

A Tabela 5.2 apresenta valores positivos e negativos para a sensibilidade relativa. O sinal

somente indica a direção de crescimento da derivada do fator K, em comparação com

cada variável. Por exemplo, um crescimento no módulo da fase A acarreta em uma

alteração percentual positiva nesta variável, e de acordo com o valor de sensibilidade

relativa, em uma alteração percentual negativa no fator K. Ou seja, o crescimento desta

variável leva a uma redução do fator K. A mesma análise pode ser feita para os outros

parâmetros.

Desconsiderando os sinais dos valores, percebe-se que o fator K é muito mais sensível

aos ângulos do que aos módulos das fases A, B e C. Ou seja, uma alteração percentual em

um dos ângulos gera maior alteração percentual no fator K do que uma alteração

percentual em um dos módulos. Dentre estes, o fator K é mais sensível à fase A do que às

fases B e C, o que é de se esperar, visto que este é o único parâmetro desequilibrado da

rede.

A Tabela 5.3 apresenta os mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma

variável.

Tabela 5.3 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio no módulo da fase A

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Fator K

mínimo (%)

0 2,605 2,605 1,383 1,383

A Tabela 5.3 indica que o desequilíbrio pode ser eliminado pela alteração no módulo da

fase A. Além disso, o fator K só é mais sensível aos ângulos até certo ponto (1,383%),

que é o limite de alteração para estas variáveis.

A partir da Tabela 5.3, foram escolhidos valores de fator K para correção por este

método, de forma a validar os cálculos. A Tabela 5.4 apresenta as soluções obtidas, e a

Tabela 5.5, as alterações percentuais correspondentes.

Tabela 5.4 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio no

módulo da fase A

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (V)

Módulo da

fase B (V)

Módulo da

fase C (V)

Ângulo da

fase B (

)

Ângulo da

fase C (

)

0 220 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1 213,465 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1,38 211,016 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1,383 210,997 Sem solução Sem solução -124,431 124,431

1,39 210,952 Sem solução Sem solução -124,228 124,228

2 207,059 Sem solução Sem solução -122,006 122,006

2,60 203,275 Sem solução Sem solução -120,716 120,716

2,605 203,244 211,164 211,164 -120,706 120,706

2,61 203,212 211,978 211,978 -120,696 120,696

Tabela 5.5 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio no módulo da fase A

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (%)

Módulo da

fase B (%)

Módulo da

fase C (%)

Ângulo da

fase B (%)

Ângulo da

fase C (%)

0 9,45 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1 6,20 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1,38 4,98 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1,383 4,97 Sem solução Sem solução 3,69 3,69

1,39 4,95 Sem solução Sem solução 3,52 3,52

2 3,01 Sem solução Sem solução 1,67 1,67

2,60 1,13 Sem solução Sem solução 0,60 0,60

2,605 1,12 -4,02 -4,02 0,59 0,59

2,61 1,10 -3,65 -3,65 0,58 0,58

A correção do fator K pelo método de uma variável seguiu os limites determinados na

Tabela 5.3. Além disso, o método foi capaz de eliminar o desequilíbrio completamente

(K = 0%), através da alteração do módulo da fase A, que era o único parâmetro

desequilibrado. A Tabela 5.5 mostra que enquanto havia solução através dos ângulos,

estes apresentavam menor alteração percentual na correção para um dado fator K. Isto

confirma os cálculos de sensibilidade da Tabela 5.2, mas também indica que eles não

passam informação sobre os limites de correção para cada variável.

As Tabelas 5.4 e 5.5 apresentam vários casos sem solução, o que pode parecer uma

grande limitação do método de correção de desequilíbrio. Na verdade, esta é uma

característica do próprio fator K, que indica que não se pode alterar qualquer parâmetro

indefinidamente a fim de se reduzir o desequilíbrio.

As Tabelas 5.6 e 5.7 apresentam os resultados da correção pela alteração em dois e em

três módulos, para os mesmos valores de fator K.

Tabela 5.6 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio no

módulo da fase A

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 220 220 220

1 212,648 220 217,649

1,38 210,092 220 217,546

1,383 210,072 220 217,547

1,39 210,027 220 217,548

2 206,268 220 218,099

2,60 202,913 220 219,185

2,605 202,886 220 219,195

2,61 202,859 220 219,206

Tabela 5.7 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio no

módulo da fase A

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 213,667 213,667 213,667

1 209,476 215,888 215,888

1,38 207,860 216,710 216,710

1,383 207,847 216,716 216,716

1,39 207,818 216,731 216,731

2 205,199 218,024 218,024

2,60 202,594 219,263 219,263

2,605 202,572 219,274 219,274

2,61 202,551 219,284 219,284

Os métodos de correção por dois e por três módulos foram capazes de atingir os fatores K

desejados em todos os casos, inclusive para a eliminação de desequilíbrio (K = 0%). É

importante ressaltar que nesta última situação, para o método de dois módulos, estes

foram levados para o valor nominal, pois o segundo foi mantido em 220 V. Já no método

de três módulos, não existe nenhuma restrição que os leve para valores mais próximos do

nominal, de modo que as três fases foram alteradas para 213,667 V (o valor inicial do

módulo da componente de seqüência positiva).

5.2 – SEGUNDO CASO: TRÊS MÓDULOS DESEQUILIBRADOS

A próxima situação estudada é o desequilíbrio em três módulos. O desequilíbrio em dois

módulos não é considerado porque ele não faz sentido, visto que o fator K não depende

da tensão nominal. Isto é, partindo de uma situação com um módulo desequilibrado, a

alteração em um segundo módulo leva a três módulos desequilibrados entre si. A equação

(5.2) e a Figura 5.2 apresentam os fasores escolhidos para análise.

°∠=

°−∠=

°∠=

120231

120220

0201

(5.2)

Figura 5.2 – Módulos das três fases desequilibrados

As Tabelas 5.8 e 5.9 apresentam as componentes simétricas correspondentes e a

sensibilidade relativa do fator K, respectivamente.

Tabela 5.8 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio nos três módulos

Fasor Módulo Ângulo

4,03 % -158,75º

8,76 V -158,75

217,33 V 0

8,76 V 158,75

Tabela 5.9 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio nos três módulos

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Sensibilidade

relativa do

fator K

-7,43 0,94 6,50 -17,32 11,52

Novamente, o fator K se apresenta mais sensível aos ângulos do que aos módulos das

fases A, B e C. Dentre os módulos, a sensibilidade é maior para a fase A, e quase nula

para a fase B.

A Tabela 5.10 apresenta os mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma

variável.

Tabela 5.10 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio nos três módulos

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Fator K

mínimo (%)

1,408 4,006 2,605 0,375 3,048

Pela Tabela 5.10, percebe-se que o módulo da fase B não é capaz de corrigir o

desequilíbrio significativamente, sendo o seu limite muito próximo do valor inicial de

fator K, 4,03%. Já o ângulo da fase B pode praticamente eliminar o desequilíbrio, apesar

de possuir valor nominal inicialmente.

A Tabela 5.11 apresenta os valores para a correção pelo método de uma variável, e a

Tabela 5.12, as alterações percentuais correspondentes.

Tabela 5.11 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio nos

três módulos

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (V)

Módulo da

fase B (V)

Módulo da

fase C (V)

Ângulo da

fase B (

)

Ângulo da

fase C (

)

0 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,3 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,375 Sem solução Sem solução Sem solução -126,845 Sem solução

0,4 Sem solução Sem solução Sem solução -126,623 Sem solução

1,4 Sem solução Sem solução Sem solução -124,557 Sem solução

1,408 225,540 Sem solução Sem solução -124,543 Sem solução

1,5 222,153 Sem solução Sem solução -124,380 Sem solução

2,6 211,160 Sem solução Sem solução -122,465 Sem solução

2,605 211,121 Sem solução 211,164 -122,457 Sem solução

2,7 210,395 Sem solução 215,455 -122,293 Sem solução

3 208,171 Sem solução 220,480 -121,775 Sem solução

3,048 207,823 Sem solução 221,096 -121,692 124,403

3,1 207,447 Sem solução 221,736 -121,603 123,504

4 201,213 Sem solução 230,720 -120,055 120,082

4,006 201,172 217,066 230,774 -120,044 120,066

4,01 201,146 218,184 230,808 -120,037 120,056

Tabela 5.12 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio nos três módulos

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (%)

Módulo da

fase B (%)

Módulo da

fase C (%)

Ângulo da

fase B (%)

Ângulo da

fase C (%)

0 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,3 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,375 Sem solução Sem solução Sem solução 5,70 Sem solução

0,4 Sem solução Sem solução Sem solução 5,52 Sem solução

1,4 Sem solução Sem solução Sem solução 3,80 Sem solução

1,408 12,21 Sem solução Sem solução 3,79 Sem solução

1,5 10,52 Sem solução Sem solução 3,65 Sem solução

2,6 5,05 Sem solução Sem solução 2,05 Sem solução

2,605 5,04 Sem solução -8,59 2,05 Sem solução

2,7 4,67 Sem solução -6,73 1,91 Sem solução

3 3,57 Sem solução -4,55 1,48 Sem solução

3,048 3,39 Sem solução -4,29 1,41 3,67

3,1 3,21 Sem solução -4,01 1,34 2,92

4 0,11 Sem solução -0,12 0,05 0,07

4,006 0,08 -1,33 -0,10 0,04 0,06

4,01 0,07 -0,83 -0,08 0,03 0,05

Os limites apresentados na Tabela 5.10 foram confirmados na Tabela 5.11. O método não

foi capaz de eliminar completamente o desequilíbrio, visto que não havia apenas uma

variável desequilibrada, mas diminuiu o fator K para um valor próximo de zero pelo

ângulo da fase B. Os cálculos de sensibilidade foram confirmados na Tabela 5.12,

indicando que o fator K é mais sensível a este ângulo.

As Tabelas 5.13 e 5.14 apresentam os resultados da correção pela alteração em dois e em

três módulos, para os mesmos valores de fator K.

Tabela 5.13 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio nos

três módulos

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 220 220 220

0,3 218,208 220 220,326

0,375 217,779 220 220,441

0,4 217,641 220 220,481

1,4 212,543 220 222,788

1,408 212,505 220 222,811

1,5 212,072 220 223,067

2,6 207,135 220 226,396

2,605 207,113 220 226,412

2,7 206,700 220 226,713

3 205,404 220 227,670

3,048 205,197 220 227,824

3,1 204,974 220 227,991

4 201,135 220 230,897

4,006 201,109 220 230,918

4,01 201,092 220 230,930

Tabela 5.14 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio nos

três módulos

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 217,333 217,333 217,333

0,3 216,166 217,580 218,399

0,375 215,871 217,641 218,666

0,4 215,776 217,661 218,753

1,4 211,818 218,420 222,243

1,408 211,785 218,426 222,271

1,5 211,417 218,491 222,587

2,6 206,954 219,216 226,315

2,605 206,933 219,219 226,332

2,7 206,543 219,277 226,648

3 205,307 219,453 227,643

3,048 205,108 219,481 227,802

3,1 204,893 219,510 227,973

4 201,134 219,985 230,898

4,006 201,108 219,988 230,918

4,01 201,092 219,989 230,930

Da mesma forma que no caso de um módulo desequilibrado, os métodos de correção por

dois e por três módulos foram capazes de corrigir o desequilíbrio. Para o caso em que K =

0%, novamente o método de dois módulos os levou para o valor nominal. Já o método de

três módulos alterou as três fases para 217,333 V, que é igual ao valor inicial do módulo

da componente de seqüência positiva.

5.3 – TERCEIRO CASO: UM ÂNGULO DESEQUILIBRADO

A seguir, apresenta-se o desequilíbrio em um ângulo. Este caso é especialmente

interessante para avaliar a eficácia dos métodos que alteram dois e três módulos,

quantificando até que ponto o fator K é reduzido sem alterar os ângulos. Os fasores

escolhidos para análise são representados na equação (5.3) e na Figura 5.3.

°∠=

°−∠=

°∠=

116220

120220

0220

(5.3)

Figura 5.3 – Ângulo da fase C desequilibrado

As componentes simétricas e a sensibilidade relativa do fator K são apresentadas nas

Tabelas 5.15 e 5.16, respectivamente.

Tabela 5.15 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio no ângulo da fase C

Fasor Módulo Ângulo

2,328 % 149,33º

5,12 V 148,00

219,88 V -1,33

5,12 V 28,00

Tabela 5.16 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio no ângulo da fase C

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Sensibilidade

relativa do

fator K

-12,48 12,31 0,17 -14,10 29,02

Esta é mais uma situação de desequilíbrio em que o fator K é mais sensível aos ângulos

do que aos módulos das fases A, B e C. Ele é altamente sensível ao único parâmetro

desequilibrado, em comparação aos outros. Dentre os módulos, a sensibilidade é maior

para as fases A e B, e quase nula para a fase C.

Na Tabela 5.17, são dispostos os valores mínimos de fator K atingidos pelo método de

uma variável.

Tabela 5.17 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio no ângulo da fase C

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Fator K

mínimo (%)

1,210 1,116 2,328 2,036 0

A Tabela 5.17 indica que não existe alteração no módulo da fase C que possa diminuir o

desequilíbrio. Além disso, este pode ser anulado pela alteração do ângulo da fase C, o que

é um resultado esperado, visto que este é o único parâmetro desequilibrado.

As Tabelas 5.18 e 5.19 apresentam, respectivamente, os valores para a correção pelo

método de uma variável e as alterações percentuais correspondentes.

Tabela 5.18 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio no

ângulo da fase C

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (V)

Módulo da

fase B (V)

Módulo da

fase C (V)

Ângulo da

fase B (

)

Ângulo da

fase C (

)

0 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução 120

1,1 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução 118,109

1,116 Sem solução 206,678 Sem solução Sem solução 118,082

1,2 Sem solução 209,389 Sem solução Sem solução 117,938

1,21 232,920 209,562 Sem solução Sem solução 117,920

1,3 229,932 210,862 Sem solução Sem solução 117,766

2 222,572 217,429 Sem solução Sem solução 116,563

2,036 222,279 217,719 Sem solução -121,976 116,501

2,1 221,766 218,227 Sem solução -121,089 116,391

Tabela 5.19 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio no ângulo da fase C

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (%)

Módulo da

fase B (%)

Módulo da

fase C (%)

Ângulo da

fase B (%)

Ângulo da

fase C (%)

0 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução 3,45

1,1 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução 1,82

1,116 Sem solução -6,06 Sem solução Sem solução 1,79

1,2 Sem solução -4,82 Sem solução Sem solução 1,67

1,21 5,87 -4,74 Sem solução Sem solução 1,66

1,3 4,51 -4,15 Sem solução Sem solução 1,52

2 1,17 -1,17 Sem solução Sem solução 0,49

2,036 1,04 -1,04 Sem solução 1,65 0,43

2,1 0,80 -0,81 Sem solução 0,91 0,34

Os limites mínimos de fator K e os cálculos de sensibilidade foram confirmados na

Tabela 5.18, exceto para K = 2,1%, onde o ângulo da fase B teve maior alteração

percentual que os módulos das fases A e B, contrário ao cálculo de sensibilidade. O

método eliminou corretamente o desequilíbrio, através da alteração do ângulo da fase C.

As Tabelas 5.20 e 5.21 apresentam os resultados dos métodos de correção pela alteração

em dois e em três módulos.

Tabela 5.20 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio no

ângulo da fase C

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 220 202,926 211,979

1,1 220 210,608 217,088

1,116 220 210,725 217,152

1,2 220 211,345 217,483

1,21 220 211,419 217,526

1,3 220 212,090 217,859

2 220 217,460 219,737

2,036 220 217,741 219,788

2,1 220 218,238 219,865

Tabela 5.21 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio no

ângulo da fase C

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 228,447 210,718 220,119

1,1 224,578 215,219 220,003

1,116 224,521 215,283 220,003

1,2 224,216 215,618 219,998

1,21 224,179 215,658 219,998

1,3 223,851 216,016 219,994

2 221,249 218,749 219,988

2,036 221,112 218,888 219,989

2,1 220,870 219,133 219,991

As Tabelas 5.20 e 5.21 indicam que os algoritmos de correção por dois e três módulos

levam o fator K para os valores desejados. Em especial, é possível eliminar o

desequilíbrio alterando os módulos, mesmo possuindo um ângulo desequilibrado.

Merecem destaque os fasores resultantes, com os módulos das fases A, B e C levados a

220V, 202,926V e 211,979V (alteração em dois módulos) e a 228,447V, 210,718V e

220,119V (alteração em três módulos).

De acordo com a definição do item 2.1 deste trabalho, ambos os casos citados qualificam-

se como desequilíbrio de tensão, pois os módulos são diferentes entre si e os ângulos não

possuem valores nominais. Porém, calculando as componentes simétricas em cada caso,

percebe-se que é a seqüência zero que gera o desequilíbrio: no primeiro caso, obtém-se K

= 0%, V

= 0V, V

= 211,5202V e V

= 9,8579V, e no segundo caso, K = 0%, V

= 0V,

= 219,6422V e V

= 10,2365V. Além disso, calculando-se as tensões de linha

resultantes, obtém-se

°∠= 6647,283638,366

°−∠= 3353,913638,366

°∠= 6647,1483638,366

no primeiro caso, e

°∠= 6647,284315,380

°−∠= 3353,914315,380

°∠= 6647,1484315,380

no segundo caso. Estas

tensões de linha representam sistemas perfeitamente equilibrados, com módulos idênticos

e defasagem angular de 120

entre as fases. Ou seja, o desequilíbrio aparece apenas na

conexão com o neutro, tomado como referência para as três linhas.

Estes exemplos levam a crer que quando se tem um ângulo desequilibrado inicialmente, o

método de correção por dois ou três módulos leva a soluções com desequilíbrio de

seqüência zero nas tensões de fase, mas sem desequilíbrio nas tensões de linha. A

alteração de dois ou mais módulos elimina a seqüência negativa, mas não a seqüência

zero das tensões de fase.

5.4 – QUARTO CASO: DOIS ÂNGULOS DESEQUILIBRADOS

A próxima situação estudada é o desequilíbrio em dois ângulos, já que a fase A foi

tomada como referência. A equação (5.4) e a Figura 5.4 apresentam os fasores escolhidos

para análise.

°∠=

°−∠=

°∠=

122220

123220

0220

(5.4)

Figura 5.4 – Dois ângulos desequilibrados

As componentes simétricas e a sensibilidade relativa do fator K são indicadas nas Tabelas

5.22 e 5.23, respectivamente.

Tabela 5.22 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio em dois ângulos

Fasor Módulo Ângulo

2,57 % 6,34º

5,64 V 6,01º

219,86 V -0,33º

5,51 V 172º

Tabela 5.23 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio em dois ângulos

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Sensibilidade

relativa do

fator K

12,59 -4,99 -7,61 26,08 -22,96

O fator K apresentou novamente alta sensibilidade aos ângulos, em comparação com os

módulos. Dentre os ângulos, a sensibilidade é maior para a fase B, e dentre os módulos,

ela é maior para a fase A.

Na Tabela 5.24, são indicados os valores mínimos de fator K atingidos pelo método de

uma variável.

Tabela 5.24 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio em dois ângulos

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Fator K

mínimo (%)

0,276 2,374 2,097 1,003 1,5003

Nas Tabelas 5.25 e 5.26, são indicados os valores para a correção pelo método de uma

variável e as alterações percentuais correspondentes.

Tabela 5.25 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio em

dois ângulos

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (V)

Módulo da

fase B (V)

Módulo da

fase C (V)

Ângulo da

fase B (

)

Ângulo da

fase C (

)

0 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,2 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,276 203,226 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,3 203,925 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1 209,405 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1,003 209,425 Sem solução Sem solução -119,045 Sem solução

1,1 210,084 Sem solução Sem solução -119,766 Sem solução

1,5 212,785 Sem solução Sem solução -120,889 Sem solução

1,5003 212,787 Sem solução Sem solução -120,890 118,521

1,6 213,459 Sem solução Sem solução -121,111 119,435

2 216,156 Sem solução Sem solução -121,930 120,723

2,097 216,814 Sem solução 229,649 -122,119 120,963

2,1 216,832 Sem solução 229,057 -122,124 120,969

2,3 218,186 Sem solução 223,504 -122,504 121,430

2,374 218,690 226,301 222,396 -122,643 121,592

2,4 218,864 224,110 222,044 -122,691 121,648

Tabela 5.26 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio em dois ângulos

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (%)

Módulo da

fase B (%)

Módulo da

fase C (%)

Ângulo da

fase B (%)

Ângulo da

fase C (%)

0 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,2 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,276 -7,62 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,3 -7,31 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1 -4,82 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

1,003 -4,81 Sem solução Sem solução -3,22 Sem solução

1,1 -4,51 Sem solução Sem solução -2,63 Sem solução

1,5 -3,28 Sem solução Sem solução -1,72 Sem solução

1,5003 -3,27 Sem solução Sem solução -1,72 -2,85

1,6 -2,97 Sem solução Sem solução -1,54 -2,10

2 -1,75 Sem solução Sem solução -0,87 -1,05

2,097 -1,45 Sem solução 4,39 -0,72 -0,85

2,1 -1,44 Sem solução 4,12 -0,712 -0,84

2,3 -0,82 Sem solução 1,59 -0,40 -0,47

2,374 -0,60 2,86 1,09 -0,29 -0,33

2,4 -0,52 1,87 0,93 -0,25 -0,29

A Tabela 5.25 confirma os limites apresentados na Tabela 5.24, e indica que a alteração

em uma única variável não é capaz de eliminar completamente o desequilíbrio, o que é de

se esperar. A Tabela 5.26 confirma os cálculos de sensibilidade da Tabela 5.23.

Nas Tabelas 5.27 e 5.28, são apresentados os resultados da correção pela alteração em

dois e em três módulos.

Tabela 5.27 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio em

dois ângulos

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 220 237,134 239,298

0,2 220 235,659 237,772

0,276 220 235,104 237,195

0,3 220 234,929 237,013

1 220 229,935 231,757

1,003 220 229,915 231,735

1,1 220 229,241 231,013

1,5 220 226,521 228,046

1,5003 220 226,519 228,043

1,6 220 225,857 227,304

2 220 223,284 224,330

2,097 220 222,682 223,599

2,1 220 222,666 223,580

2,3 220 221,473 222,067

2,374 220 221,047 221,498

2,4 220 220,902 221,301

Tabela 5.28 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio em

dois ângulos

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 208,204 224,418 226,467

0,2 209,144 224,085 225,996

0,276 209,500 223,958 225,816

0,3 209,612 223,918 225,759

1 212,870 222,732 224,058

1,003 212,884 222,727 224,051

1,1 213,332 222,561 223,810

1,5 215,170 221,871 222,801

1,5003 215,171 221,871 222,801

1,6 215,627 221,698 222,546

2 217,447 221,000 221,509

2,097 217,888 220,829 221,253

2,1 217,900 220,824 221,246

2,3 218,802 220,472 220,716

2,374 219,136 220,341 220,518

2,4 219,251 220,296 220,449

Assim como no caso de um ângulo desequilibrado, os algoritmos de correção pela

mudança em dois e em três módulos corrigem o fator K para os valores desejados, e

indicam variações para levar o fator K para zero. Realizando a mesma análise feita ao

final do item 5.3, percebe-se que as soluções apresentadas são sistemas com desequilíbrio

somente na seqüência zero, e cujas tensões de linha constituem sistemas trifásicos

perfeitamente equilibrados.

5.5 – QUINTO CASO: TRÊS MÓDULOS E DOIS ÂNGULOS

DESEQUILIBRADOS

A última situação estudada é o desequilíbrio em todos os parâmetros: os três módulos e

os dois ângulos. A equação (5.5) e a Figura 5.3 indicam os fasores escolhidos para

análise.

°∠=

°−∠=

°∠=

121231

122220

0201

(5.5)

Figura 5.5 – Três módulos e dois ângulos desequilibrados

As componentes simétricas e a sensibilidade relativa do fator K são apresentadas nas

Tabelas 5.29 e 5.30, respectivamente.

Tabela 5.29 – Componentes simétricas e fator K para desequilíbrio nos três módulos e

nos dois ângulos

Fasor Módulo Ângulo

2,49 % -151,06º

5,42 V -151,38

217,28 V -0,32

12,13 V 161,69

Tabela 5.30 – Sensibilidade relativa do fator K para desequilíbrio nos três módulos e nos

dois ângulos

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Sensibilidade

relativa do

fator K

-11,16 -0,48 11,64 -28,78 16,05

Para esta situação de desequilíbrio, o fator K apresenta maior sensibilidade ao ângulo da

fase B. Diferente dos outros casos, a sensibilidade a um dos módulos foi maior do que a

um dos ângulos, como se pode ver nas sensibilidades da fase C.

Os mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável são indicados na

Tabela 5.31.

Tabela 5.31 – Mínimos valores de fator K atingidos pelo método de uma variável, para

desequilíbrio nos três módulos e nos dois ângulos

Módulo da

fase A

Módulo da

fase B

Módulo da

fase C

Ângulo da

fase B

Ângulo da

fase C

Fator K

mínimo (%)

1,169 2,493 1,365 0,119 2,081

Os valores para a correção pelo método de uma variável e as alterações percentuais

correspondentes são apresentados nas Tabelas 5.32 e 5.33.

Tabela 5.32 – Correção do fator K pelo método de uma variável, para desequilíbrio nos

três módulos e nos dois ângulos

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (V)

Módulo da

fase B (V)

Módulo da

fase C (V)

Ângulo da

fase B (

)

Ângulo da

fase C (

)

0 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,1 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,119 Sem solução Sem solução Sem solução -126,218 Sem solução

0,2 Sem solução Sem solução Sem solução -125,952 Sem solução

1,1 Sem solução Sem solução Sem solução -124,372 Sem solução

1,169 215,332 Sem solução Sem solução -124,254 Sem solução

1,2 213,571 Sem solução Sem solução -124,201 Sem solução

1,3 211,601 Sem solução Sem solução -124,031 Sem solução

1,365 210,705 Sem solução 217,576 -123,920 Sem solução

1,4 210,274 Sem solução 219,387 -123,861 Sem solução

2 204,728 Sem solução 226,857 -122,841 Sem solução

2,081 204,090 Sem solução 227,575 -122,703 123,267

2,1 203,943 Sem solução 227,739 -122,671 122,823

Tabela 5.33 – Alterações percentuais para a correção do fator K pelo método de uma

variável, para desequilíbrio nos três módulos e nos dois ângulos

Fator K

(%)

Módulo da

fase A (%)

Módulo da

fase B (%)

Módulo da

fase C (%)

Ângulo da

fase B (%)

Ângulo da

fase C (%)

0 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,1 Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução Sem solução

0,119 Sem solução Sem solução Sem solução 3,46 Sem solução

0,2 Sem solução Sem solução Sem solução 3,24 Sem solução

1,1 Sem solução Sem solução Sem solução 1,94 Sem solução

1,169 7,13 Sem solução Sem solução 1,85 Sem solução

1,2 6,25 Sem solução Sem solução 1,80 Sem solução

1,3 5,27 Sem solução Sem solução 1,66 Sem solução

1,365 4,83 Sem solução -5,81 1,57 Sem solução

1,4 4,61 Sem solução -5,03 1,53 Sem solução

2 1,85 Sem solução -1,79 0,69 Sem solução

2,081 1,54 Sem solução -1,48 0,58 1,87

2,1 1,46 Sem solução -1,41 0,55 1,51

Assim como nos demais casos, os cálculos de sensibilidade e os limites do fator K das

Tabelas 5.30 e 5.31 foram confirmados nas Tabelas 5.32 e 5.33, com exceção do cálculo

de sensibilidade para o ângulo da fase C para K = 2,1%, que possui variação percentual

maior do que os módulos das fases A e C. Além disso, não é possível eliminar

completamente o desequilíbrio pelo método de uma variável, já que o caso apresenta

mais de uma variável desequilibrada.

Os resultados da correção pela alteração em dois e em três módulos são indicados nas

Tabelas 5.34 e 5.35.

Tabela 5.34 – Correção do fator K pelo método de dois módulos, para desequilíbrio nos

três módulos e nos dois ângulos

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 210,957 220 222,095

0,1 210,525 220 222,417

0,119 210,443 220 222,480

0,2 210,101 220 222,748

1,1 206,480 220 225,935

1,169 206,208 220 226,187

1,2 206,087 220 226,299

1,3 205,694 220 226,663

1,365 205,440 220 226,900

1,4 205,302 220 227,028

2 202,950 220 229,213

2,081 202,631 220 229,507

2,1 202,557 220 229,575

Tabela 5.35 – Correção do fator K pelo método de três módulos, para desequilíbrio nos

três módulos e nos dois ângulos

Fator K (%) Módulo da fase A

(V)

Módulo da fase B

(V)

Módulo da fase C

(V)

0 210,775 219,810 221,903

0,1 210,388 219,840 222,273

0,119 210,314 219,845 222,343

0,2 210,000 219,866 222,642

1,1 206,490 220,037 225,947

1,169 206,219 220,043 226,200

1,2 206,098 220,046 226,312

1,3 205,706 220,054 226,677

1,365 205,451 220,058 226,914

1,4 205,314 220,059 227,041

2 202,953 220,055 229,218

2,081 202,634 220,049 229,511

2,1 202,559 220,047 229,579

Novamente, os métodos de dois e três módulos corrigem o fator K, e apresentam

variações para eliminar o desequilíbrio, gerando sistemas com tensões de fase com

desequilíbrio de seqüência zero, e tensões de linha perfeitamente equilibradas.

5.6 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

O Capítulo 5 apresentou cinco situações de desequilíbrio, a fim de validar os algoritmos

desenvolvidos neste trabalho. Foram considerados casos de desequilíbrio em um módulo,

em três módulos, em um ângulo, em dois ângulos e em três módulos e dois ângulos. Em

todos eles, calculou-se as componentes simétricas, o fator K, sua sensibilidade relativa,

seus limites de correção e sua redução por alterações nos parâmetros, através dos três

métodos apresentados no Capítulo 3. Verificou-se a eficácia dos cálculos de sensibilidade

e de correção do fator K em todos os casos.

No capítulo a seguir, são feitas as conclusões finais e as recomendações para trabalhos

futuros.

6 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

6.1 – CONCLUSÕES GERAIS

Neste trabalho, foram propostos e desenvolvidos modelamentos matemáticos e

algoritmos computacionais para analisar e corrigir o desequilíbrio de tensão, tendo por

base o método das componentes simétricas. Em primeiro lugar, foram deduzidas as

equações de sensibilidade relativa do índice de medição do desequilíbrio, o fator K, de

forma a quantificar a influência de cada um dos parâmetros da rede desequilibrada sobre

este. Em segundo lugar, métodos analíticos de correção do supracitado índice foram

descritos, baseados na alteração dos mesmos parâmetros. De forma a automatizar os

cálculos correspondentes, foi desenvolvida uma ferramenta computacional, que apresenta

numérica e graficamente os resultados obtidos.

Em seguida, os métodos foram validados para cinco situações de desequilíbrio: um

módulo, três módulos, um ângulo, dois ângulos e simultaneamente três módulos e dois

ângulos desequilibrados. Foi possível perceber que, para a maioria dos casos, o cálculo de

sensibilidade relativa é válido, indicando o grau de influência de cada parâmetro. Em

compensação, isto só acontece em valores de fator K para os quais existem soluções de

correção. Por exemplo, no caso de um módulo desequilibrado, os ângulos das fases B e C

apresentavam menor alteração percentual para corrigirem o fator K, mas somente

enquanto existia solução analítica real através destas variáveis. Desta forma, a

sensibilidade relativa não traz informações dos limites de correção do fator K, não sendo,

portanto, um método auto-suficiente de análise do desequilíbrio.

Dentre os casos de desequilíbrio analisados, verificou-se que o fator K é, na maioria das

vezes, mais sensível aos ângulos do que aos módulos da rede. Isso aconteceu mesmo em

casos em que os ângulos estavam equilibrados. Por exemplo, quando se tem um módulo

desequilibrado, as sensibilidades relativas indicam que, para reduzir o fator K, alterações

percentuais nos ângulos são menores do que alterações no módulo desequilibrado (até

onde os limites de correção são válidos). Contrário do que se poderia imaginar à primeira

vista, o índice mostra-se mais sensível a parâmetros equilibrados, de forma que se atinge

uma redução do mesmo aumentando o desequilíbrio, se levarmos em conta a definição do

item 2.1.

Os métodos de correção do fator K foram validados para todos os casos, inclusive através

de alterações em dois ou três módulos, quando havia pelo menos um ângulo

desequilibrado. Este é um resultado inesperado, visto que ambos os métodos não atacam

todas as variáveis responsáveis pelo desequilíbrio. Ele também revela um aspecto

importante do fator K, e, de certa forma, indesejado: ele indica desequilíbrio praticamente

nulo para uma situação totalmente desequilibrada, de acordo com a definição do item 2.1.

Em compensação, foi visto que o desequilíbrio surgia somente na conexão com o neutro,

pois as tensões de linha eram perfeitamente equilibradas. Isto é, o fator K indica

indiretamente o equilíbrio da rede, mas o desequilíbrio das tensões de fase (decorrente da

conexão com o neutro) não é detectado por este índice.

É interessante ressaltar que para o caso em que não havia ângulos desequilibrados, os

métodos de correção por dois e três módulos levaram estes parâmetros a valores

próximos uns dos outros. Já quando havia ângulos desequilibrados, estes métodos

levaram a valores distantes uns dos outros. Ou seja, como estes métodos não alteram

todos os parâmetros da rede, eles podem ser empregados de forma indesejada,

dependendo da aplicação.

Desta forma, os métodos desenvolvidos constituem uma ferramenta adequada para a

análise do fator K. Através dos cálculos de sensibilidade relativa e dos limites de

correção, é possível avaliar o grau de influência de cada parâmetro sobre o índice

considerado, e através dos cálculos de correção, obtêm-se soluções analíticas para reduzi-

lo ou anulá-lo. Já a adequação deste índice à análise do desequilíbrio de tensão em si foge

ao escopo deste trabalho, dadas as particularidades do fator K descritas acima.

6.2 – RECOMENDAÇÕES PARA PESQUISAS FUTURAS

Os métodos de correção desenvolvidos e apresentados sugerem soluções teóricas para a

alteração do fator K; eles nada dizem a respeito da forma prática com que isso pode ser

atingido. Desta forma, a primeira sugestão para pesquisas futuras é a análise da forma

com que módulos e ângulos da rede podem ser alterados, seja na geração, na transmissão,

na distribuição ou no consumo de energia elétrica.

Com relação às limitações dos métodos apresentados, seria interessante desenvolver

alguma forma de encontrar os possíveis limites de correção para a alteração em dois ou

três módulos, bem como criar um método de correção através da alteração simultânea em

módulos e ângulos. A ferramenta matemática que parece mais adequada a este último

parece ser a programação não-linear.

As causas e implicações da sensibilidade maior do fator K a ângulos da rede também

podem ser investigadas. Tendo conhecimento da forma prática com que estes podem ser

alterados, pode-se aprofundar o entendimento do desequilíbrio de tensão e da influência

dos ângulos das tensões sobre o mesmo.

Todos os algoritmos apresentados neste trabalho trabalham com os fasores das tensões,

que são uma representação matemática destas. Eles não fazem distinção do tipo de

grandeza que está sendo analisada. Desta forma, os mesmos métodos podem ser

aplicados a fasores de corrente e de impedância, por exemplo. Na verdade, quaisquer

trios de fasores podem passar pela análise apresentada.

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APÊNDICES

A – EQUAÇÕES DE SENSIBILIDADE DOS MÓDULOS DAS SEQÜÊNCIAS

POSITIVA E NEGATIVA AO QUADRADO

Partindo das equações (2.12) e (2.13), deriva-se cada uma delas por cada um dos

parâmetros, obtendo as equações (A.1) até (A.12).

)120cos(2)120cos(22

)9(

ACC

ABBA

VVV

++−+=

∂

θθ

(A.1)

)120cos(2)120cos(22

)9(

BCC

ABAB

VVV

−+−+=

∂

θθ

(A.2)

)120cos(2)120cos(22

)9(

BCB

ACAC

VVV

−+++=

∂

θθ

(A.3)

)120(2)120(2

)9(

ACCA

ABBA

senVVsenVV

+−−−=

∂

θθ

(A.4)

)120(2)120(2

)9(

BCCB

ABBA

senVVsenVV

−−−=

∂

θθ

(A.5)

)120(2)120(2

)9(

BCCB

ACCA

senVVsenVV

−++=

∂

θθ

(A.6)

)120cos(2)120cos(22

)9(

ACC

ABBA

VVV

−+++=

∂

θθ

(A.7)

)120cos(2)120cos(22

)9(

BCC

ABAB

VVV

++++=

∂

θθ

(A.8)

)120cos(2)120cos(22

)9(

BCB

ACAC

VVV

++−+=

∂

θθ

(A.9)

)120(2)120(2

)9(

ACCA

ABBA

senVVsenVV

−−+−=

∂

θθ

(A.10)

)120(2)120(2

)9(

BCCB

ABBA

senVVsenVV

+−+=

∂

θθ

(A.11)

)120(2)120(2

)9(

BCCB

ACCA

senVVsenVV

++−=

∂

θθ

(A.12)

As equações (A.13) até (A.24) apresentam as equações das sensibilidades relativas de

e 9V

, cujas expressões finais são obtidas substituindo diretamente as equações

(2.12), (2.13) e (A.1) até (A.12).

)9(

∂

= (A.13)

)9(

∂

= (A.14)

)9(

∂

= (A.15)

)9(

∂

= (A.16)

)9(

∂

(A.17)

)9(

∂

(A.18)

)9(

∂

= (A.19)

)9(

∂

= (A.20)

)9(

∂

= (A.21)

)9(

∂

= (A.22)

)9(

∂

= (A.23)

)9(

∂

= (A.24)

B – CORREÇÃO DO FATOR K PELA VARIAÇÃO DOS MÓDULOS DAS

FASES B E C

Repetindo o procedimento descrito no item 3.2.1.1 para o módulo da fase B (V

), obtém-

se:

=++

VBBNovoVBBNovoVB

CVBVA (B.1)

em que:

DESVB

KA −= (B.2)

)]120cos()120[cos(2

°−−°++

+°−−°+=

BCDESBCC

ABDESABAVB

KVB

θθ

(B.3)

))(1()]120cos()120[cos(2

2222

CADESCADESCACAVB

VVKKVVC +−+°−−°+=

θθ

(B.4)

em que K

DES

é o valor de fator K desejado e V

BNovo

é o valor do módulo da fase B que

fornece o K

DES

. Além disso, V

e V

são os valores iniciais dos módulos das fases A e C,

respectivamente, e

são os valores iniciais das diferenças entre os ângulos

das fases A e B, B e C e C e A, respectivamente.

A fim de se obter a existência de raízes reais para o polinômio da equação (B.1), deve-se

desenvolver a inequação B

– 4A

≥

0, substituir A

, B

e C

e isolar K

DES

. A

expressão resultante é:

≥++

VBKDESVBKDESVBK

CKBKA

(B.5)

em que:

VBKVBKVBK

γα

(B.6)

)(42

VBKVBKVBKVBKVBK

γδβα

−+= (B.7)

VBKVBKVBK

δβ

−= (B.8)

)120cos(2)120cos(2 °−−°−−=

BCCABAVBK

θθα

(B.9)

)120cos(2)120cos(2 °++°+=

BCCABAVBK

θθβ

(B.10)

)120cos(2

CACACAVBK

VVVV −−°−−=

θγ

(B.11)

)120cos(2

CACACAVBK

VVVV ++°+=

θδ

. (B.12)

Seguindo os mesmos passos para o módulo da fase B, obtém-se as equações (B.13) até

(B.24).

=++

VCCNovoVCCNovoVC

CVBVA (B.13)

em que:

DESVC

KA −=

(B.14)

)]120cos()120[cos(2

°−−°++

+°−−°+=

BCDESBCB

CADESCAAVC

KVB

θθ

(B.15)

))(1()]120cos()120[cos(2

2222

BADESABDESABBAVC

VVKKVVC +−+°−−°+=

θθ

(B.16)

em que V

BNovo

é o valor do módulo da fase C que fornece o fator K desejado, K

DES

≥++

VCKDESVCKDESVCK

CKBKA (B.17)

em que:

VCKVCKVCK

γα

+= (B.18)

)(42

VCKVCKVCKVCKVCK

γδβα

−+= (B.19)

VCKVCKVCK

δβ

−= (B.20)

)120cos(2)120cos(2 °−−°−−=

BCBCAAVCK

θθα

(B.21)

)120cos(2)120cos(2 °++°+=

BCBCAAVCK

θθβ

(B.22)

)120cos(2

BAABBAVCK

VVVV −−°−−=

θγ

(B.23)

)120cos(2

BAABBAVCK

VVVV ++°+=

θδ

(B.24)

C – CORREÇÃO DO FATOR K PELA VARIAÇÃO DO ÂNGULO DA FASE C

Seguindo o procedimento do item 3.2.1.2 para o ângulo da fase C (V

), separa-se a

equação (3.13) de acordo com cada ângulo:

)]120()()120cos()[cos(2

)120cos(2

)]}120()()120cos()[cos(2

)]120()()120cos()[cos(2

)120cos(2{

222

2222

°−+°−+

+°++°++

+°+−+++=

°++°++

+°−+°−+

+°−−+++

ACACCA

BCBCCB

BABACBA

ACACCA

BCBCCB

BABACBA

sensenVV

VVVVV

sensenVV

VVVVVK

θθθθ

θθ

θθθθ

θθ

. (C.1)

Isolando-se os termos cos(θ

) e sen(θ

), tem-se:

0 = +)+

CCC

CenBA

CNovoCNovo

θθθ

θθ

(s)cos( (C.2)

em que:

)]120cos()120[cos(2

°−−°++

+°+−°−=

BDESBCB

ADESACA

KVV

KVVA

θθ

(C.3)

)]120()120([2

°−−°++

+°+−°−=

BDESBCB

ADESACA

senKsenVV

senKsenVVB

θθ

(C.4)

)]120cos()120

[cos(2))(1(

2222

°−−−°+

+−+++−=

BADES

BABACBADES

VVVVVKC

θθ

(C.5)

Transformando a equação (C.2) em um só termo cossenoidal, obtém-se o ângulo

através de um cálculo de arco-cosseno, equações (C.6), (C.7) e (C.8).

222222

(s)cos(

CNovoCNovo

θθ

−

(C.6)

cos

arctg

CNovo

θθ

−

























−

(C.7)













−













arccos

arctg

CNovo

θθ

(C.8)

A equação (C.8) apresenta duas soluções analíticas para a correção do fator K através do

ângulo da fase C. Será avaliada agora a condição de existência de soluções reais para a

equação (C.8), onde a razão

CCC

BAC

θθθ

+−

deve estar entre –1 e 1:

≤+−

CCC

BAC

θθθ

. (C.9)

Repetindo os procedimentos do item 3.2.1.2, tem-se as equações (C.10) a (C.21).

1)(

222

≤+

CCC

BAC

θθθ

(C.10)

222

CCC

BAC

θθθ

+≤

(C.11)

≤++

CKDESCKDESCK

CKBKA

θθθ

(C.12)

222

CKCKCKCK

θθθθ

εγα

−−= (C.13)

CKCKCKCKCKCKCK

θθθθθθθ

φεδγβα

222 −−=

(C.14)

222

CKCKCKCK

θθθθ

φδβ

−−=

(C.15)

)120cos(2)(

222

°−−−++−=

BABACBACK

VVVVV

θθα

(C.16)

)120cos(2

222

°+−+++=

BABACBACK

VVVVV

θθβ

(C.17)

)120cos(2)120cos(2 °−−°+−=

BCBACACK

VVVV

θθγ

(C.18)

)120cos(2)120cos(2 °++°−=

BCBACACK

VVVV

θθδ

(C.19)

)120(2)120(2 °−−°+−=

BCBACACK

senVVsenVV

θθε

(C.20)

)120(2)120(2 °++°−=

BCBACACK

senVVsenVV

θθφ

(C.21)

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