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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
Abordagem geométrica: possibilidades para o ensino
e aprendizagem de Introdução às Equações
Diferenciais Ordinárias
Sueli Liberatti Javaroni
Orientador: Prof.Dr. Marcelo de Carvalho Borba
Co-Orientador: Prof.Dr. João Frederico da Costa Azevedo Meyer
Tese de Doutorado elaborada junto ao
Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática, Área de Concentração em
Ensino e Aprendizagem da Matemática e
seus Fundamentos Filosófico-Científicos,
para obtenção do título de Doutor em
Educação Matemática.
Rio Claro (SP)
2007
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517.38 Javaroni, Sueli Liberatti
J41a Abordagem geométrica: possibilidades para o ensino e
aprendizagem de Introdução às Equações Diferenciais
Ordinárias / Sueli Liberatti Javaroni. – Rio Claro : [s.n.],
2007
231 f. : il., gráfs., tabs., quadros
Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista,
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Orientador: Marcelo de Carvalho Borba
Co-orientador: João Frederico da Costa Azevedo Meyer
1. Equações diferenciais ordinárias – Estudo e ensino.
2. Abordagem qualitativa. 3. Tecnologias da Informação e
Comunicação. 4. Modelagem matemática. I. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela STATI – Biblioteca da UNESP
Campus de Rio Claro/SP
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Comissão Examinadora
Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba (Orientador)
Prof. Dr. Nilson José Machado
Prof. Dr. José Antonio Salvador
Profa. Dra. Edna Maura Zuffi
Prof. Dr. Antonio Vicente Marafioti Garnica
Sueli Liberatti Javaroni (Aluna)
Rio Claro, 18 de dezembro de 2007.
Resultado: Aprovada
Aosmeusfilhos,
Rafael,AlexandreeJúlia.
Razãodeminhaexistência.
AomeumaridoCarlos,
parceirodosmeusanseiose
dasminhasconquistas.
Cúmplicedaminhavida.
AosmeuspaisLaurindoeCida,
eameusirmãosVani,JunioreRichard.
porteremsidoimprescindíveisnessaconquista.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba, orientador, pelas sessões de orientação nas
“caminhadas”, pela amizade e, principalmente pela confiança em mim depositada.
Ao Prof. Dr. João Frederico da Costa Azevedo Meyer, co-orientador, pelas reuniões de
orientação, pelo apoio e entusiasmo e, principalmente pela sua compreensão e seu carinho.
Aos professores Marcelo de Carvalho Borba, João Frederico da Costa Azevedo Meyer,
Antonio Vicente Marafioti Garnica, Nilson José Machado, José Antonio Salvador, Miriam
Penteado e Edna Maura Zuffi, pelas importantes sugestões, críticas e contribuições para
minha tese.
Aos professores Rodnei Bassanezi, Laurizete F. Passos, Miriam Penteado, Paulo Emerique,
Idania Peña Grass, Marcelo de Carvalho Borba e Antonio Vicente M. Garnica por comporem
a história da minha caminhada na Educação Matemática.
Aos professores Ivanir Liberatti A. Prado e Antonio F. B. Almeida Prado pelo competente
trabalho na elaboração do abstract.
Ao Geraldo Lima, técnico do LIEM-GPIMEM, por ter me auxiliado na coleta dos dados,
dessa pesquisa, com completa eficiência e profissionalismo.
Aos amigos do GPIMEM, Marcelo, Maltempi, Orlando, Antonio Olímpio, Norma, Rúbia,
Paula, Fernanda, Maurício, Sandra, Ricardo, Adriana, Leandro, João, Maria Helena, Simone
Gouvêa, Simone Lírio e Silvana que contribuíram cada um ao seu modo, para a minha
formação.
À Shen, Marcos, Adriano, Viviane, Ronaldo, Claudia, Kelly, Aline e Tiago, alunos da
Matemática da UNESP - RC, que vivenciaram o curso de extensão, cenário dessa pesquisa,
com responsabilidade e interesse.
Aos colegas do Departamento de Matemática da FC – UNESP, campus de Bauru pelo apoio.
Aos alunos da Matemática, grupo da IC, Cindiane, Emanuel, Vagner e Maria Helena.
Aos amigos da PGEM que conquistei durante esse tempo de convivência em Rio Claro.
Aos funcionários do Departamento de Matemática e da Pós-Graduação da UNESP, campus de
Rio Claro, pela prontidão dos esclarecimentos e eficiente trabalho.
À Simone, Márcia, Silvana, Marli, Luciele e Aira, amigas da República, companheiras de RU,
de esfirras deliciosas, de conversas de pesquisa, de conversas informais, de momentos de
tristezas e de alegrias.
À Silvana. A filha, que por vezes adotei; a mãe, que por vezes ganhei; mas com certeza, a
amiga, que para sempre conquistei. Obrigada pelas leituras críticas e cuidadosas que fez, por
diversas vezes, do meu trabalho.
E, finalmente agradeço aos meus filhos Rafael, Alexandre e Júlia e a meu marido Carlos, pela
compreensão nos momentos de ausência e pela força nos momentos de fraqueza.
RESUMO
Esta pesquisa tem por objetivo analisar as possibilidades de ensino e aprendizagem de
introdução às equações diferenciais ordinárias a partir da abordagem qualitativa de alguns
modelos matemáticos auxiliada pelas tecnologias de informação e comunicação. Três duplas e
um trio de estudantes de Matemática participaram voluntariamente do estudo. Foi realizado
um curso de extensão intitulado “Modelagem e Métodos Computacionais em Equações
Diferenciais Ordinárias”, onde esses alunos foram levados a investigar os modelos de objeto
em queda, de crescimento populacional de Malthus, de crescimento populacional de Verhulst
e da lei de resfriamento, utilizando a planilha eletrônica Excel e os softwares Winplot e
Maple. Os dados foram coletados através dos registros elaborados pelo software Camtasia, em
cada computador utilizado pelos alunos, no decorrer das aulas deste curso. Após a análise
geral dos videoclipes gerados, foram selecionados alguns episódios que oferecem possíveis
caminhos para responder a pergunta de pesquisa. Da análise desses episódios emergem os
temas: processo de visualização em atividades investigativas auxiliadas pelas mídias
informáticas, abordagens algébrica e geométrica com as mídias informáticas e o
conhecimento como rede de significados. A interação entre os alunos e as mídias utilizadas,
em particular os softwares utilizados, propiciou novas possibilidades para a abordagem
qualitativa dos modelos estudados, levando assim a sugerir a necessidade de repensar o ensino
das equações diferenciais ordinárias enfatizando o aspecto geométrico de modelos
matemáticos além do aspecto algébrico.
Palavras-chave: Ensino de Equações Diferenciais Ordinárias, Abordagem Qualitativa,
Tecnologias da Informação e Comunicação, Modelagem Matemática.
Abstract
This research has the goal of analyzing the possibilities of teaching and learning of
introduction to the ordinary differential equations from the qualitative approach of some
mathematical models assisted by communication and information technologies. Three couples
and one trio of mathematics students took part, as volunteers, of this study. An extension class
was realized with the title “Modeling and Computation methods in Ordinary Differential
Equations” where those students were leaded to investigate the models of a falling object,
populational growing of Malthus, populational growing of Verhulst and the cooling law using
the electronic sheet Excel and the softwares Winplot and Maple. The data were collected
using registers made by the software Camtasia in each computer used by the student, during
the classes. After that, a general analysis from the data, basically using the video clips
generated from some episodes were selected, that offer possible ways to answer the question
of this research. From the analysis of those episodes comes up the topics: process of
visualization in investigation activities assisted by the informatics medias, algebraic and
visual approaches with the informatics medias and knowledge as network of meanings. The
interaction between the students and the used medias, in particular the softwares used, gave us
new possibilities for the qualitative approach of methods studied, leading us to suggest the
necessity of rethinking the teaching of Ordinary Differential Equations emphasizing the
geometric aspect of mathematical models beyond the algebraic aspect.
Key-words: Teaching of Ordinary Differential Equations, Qualitative Approach, Information
and Communication Technologies, Mathematical Modeling.
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1. Processo de Modelagem Matemática ............................................................... 27
Figura 2.2. Haste circular delgada ...................................................................................... 35
Figura 2.3. Gráfico da função
(
)
xy e da reta tangente
r
................................................... 43
Figura 2.4. Diagrama de forças atuando sobre um objeto em queda livre .......................... 44
Figura 2.5. Diagrama explicativo para queda livre com resistência do ar .......................... 45
Figura 2.6. Campos de direções gerados no Winplot ......................................................... 46
Figura 3.1. Ronaldo e Viviane iniciando a atividade campo de direções ........................... 61
Figura 4.1. Marcos e Shen analisando um modelo – objeto em queda ............................... 74
Figura 4.2. Anotações do caderno de Marcos e Shen – objeto em queda ........................... 75
Figura 4.3. Tabela elaborada, no caderno, por Marcos e Shen – objeto em queda............. 76
Figura 4.4. Marcos e Shen calculando os ângulos para esboçar o campo de direções ....... 78
Figura 4.5. Campo de direções esboçado por Marcos e Shen – objeto em queda .............. 79
Figura 4.6. Marcos e Shen analisando o campo de vetores gerado no Winplot ................. 80
Figura 4.7. Ronaldo e Viviane analisando o gráfico de dispersão de p por exp(p) ............ 88
Figura 4.8. Roteiro da atividade – Modelo Populacional de Malthus................................. 89
Figura 4.9. Ronaldo e Viviane analisando o gráfico gerado pelo Maple ............................ 91
Figura 4.10. Ronaldo e Viviane calculando os ângulos para esboçar o campo de direções . 91
Figura 4.11. Campo de direções esboçado por Ronaldo e Viviane – Modelo de Malthus ... 93
Figura 4.12. Explorando com o Winplot o comportamento da função exponencial ............ 94
Figura 4.13. Interpretando com o Maple algumas curvas soluções do Modelo de Malthus . 95
Figura 4.14. Adriano e Ronaldo iniciando a atividade modelo populacional de Verhulst ... 97
Figura 4.15. Ronaldo e Adriano na busca do conceito de solução constante ....................... 99
Figura 4.16. Campo de direções de p
p
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
3
15,0 gerado no Maple .......................... 103
Figura 4.17. Adriano argumentando com Ronaldo sobre o comportamento das soluções . 106
Figura 4.18. Gráfico do campo de direções do modelo de Verhulst para k=2 ................... 106
Figura 4.19. Esboço dos campos de direções feito pelos alunos ........................................ 109
Figura 4.20. Gráfico do campo de direções do modelo de Verhulst para k=3 ................... 109
Figura 4.21. Esboço da função
(
)
pf elaborada no Maple ................................................. 111
Figura 4.22. Ronaldo e Viviane iniciando a atividade proposta ......................................... 115
Figura 4.23. Ronaldo comentando sobre o gráfico (v) com Viviane .................................. 116
Figura 4.24. Os alunos analisando o gráfico (v) relacionando-o à equação (d) .................. 118
Figura 4.25. Marcos e Shen discutindo a diferença entre as equações (a) e (b) ................. 120
Figura 4.26. Marcos e Shen analisando o gráfico (iv) relacionando-o à equação
)(tsen
dt
dx
=
........................................................................................................................ 121
Figura 4.27. Tabela elaborada por Marcos e Shen para analisar a equação
x
dt
dx
−= 2 .... 123
Figura 4.28. Esboço do campo de direções de
x
dt
dx
−= 2 elaborado por Marcos e Shen .. 124
Figura 4.29. Marcos e Shen analisando os valores da tabela por eles gerada ..................... 125
Figura 4.30. Esboço do campo de direções para
)(xsen
dt
dx
= elaborado por Marcos e Shen ...
........................................................................................................................ 125
Figura 4.31. Tabela elaborada por Marcos e Shen para a equação
()
xx
dt
dx
−= 2 .............. 126
Figura 4.32. Tabela elaborada por Marcos e Shen para a equação
2
4
1
2 x
dt
dx
−= ............. 127
Figura 4.33. Esboço de vetores diretores, para a equação
2
4
1
2 x
dt
dx
−=
, desenhado por
Shen ........................................................................................................................ 127
Figura 4.34. Tabela elaborada por Marcos e Shen para a equação
)(tsen
dt
dx
= ................ 128
Figura 4.35. Esboço de vetores diretores, para a equação
)(tsen
dt
dx
= , desenhado por Shen .
........................................................................................................................ 129
Figura 4.36. Relação entre os campos de direções e as equações, elaborada por Marcos e
Shen ........................................................................................................................ 130
Figura 4.37. Shen e Marcos analisando a curva de ajuste dos dados .................................. 135
Figura 4.38. Marcos e Shen analisando os valores da Temperatura ‘real’ e estimada ....... 137
Figura 4.39. Shen, Marcos e Adriano analisando o diagrama de dispersão de temp. real X
estimada ........................................................................................................................ 139
Figura 4.40. Adriano e Viviane analisando os dados dos dois experimentos ..................... 141
Figura 4.41. Adriano e Viviane ajustando os dados do segundo experimento ................... 141
Figura 4.42. Adriano e Viviane ajustando os dados do primeiro experimento ................... 142
Figura 4.43. Adriano e Viviane observando o gráfico das variações da temperatura......... 145
Figura 4.44. Viviane analisando o gráfico do ajuste da temperatura do experimento 2 ..... 146
Figura 4.45. Adriano e Viviane analisando o diagrama de dispersão dos dados
experimentais ........................................................................................................................ 148
Figura 5.1. Matriz 5x5 com uma abordagem para determinar a soma dos números ........ 155
Figura 6.1. Carta figurativa da campanha de Napoleão em 1822 ..................................... 166
Figura 6.2. Quatro conjuntos de dados ............................................................................. 167
Figura 6.3. Os parâmetros dos dados ................................................................................ 168
Figura 6.4. Diagrama de dispersão dos conjuntos de dados ............................................. 168
Figura 6.5. Campo de direções da equação diferencial ordinária
p
p
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
3
15,0 ...... 169
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 4.1. Roteiro da atividade objeto em queda .............................................................. 73
Quadro 4.2. Roteiro da atividade – Modelo Populacional de Malthus................................. 85
Quadro 4.3. Roteiro da atividade – Modelo Populacional de Verhulst ................................ 98
Quadro 4.4. Roteiro da atividade “campo de direções” ..................................................... 114
Quadro 4.5. Roteiro da atividade – comparação dos dados ................................................ 140
SUMÁRIO
Capítulo 1 – Trajetória .............................................................................................................. 15
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais Ordinárias e Tecnologias da Informação e
Comunicação ............................................................................................................................ 24
Capítulo 3 - Metodologia de Pesquisa ...................................................................................... 53
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial ....................................................... 70
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise ........................................... 150
Capítulo 6 – Considerações Finais ......................................................................................... 166
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 173
APÊNDICE ............................................................................................................................ 177
ÍNDICE
Capítulo 1 – Trajetória .............................................................................................................. 15
Introdução ................................................................................................................................. 15
1.1. Caminhos percorridos na pesquisa ........................................................................... 15
1.2. A estrutura da tese .................................................................................................... 22
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais Ordinárias e Tecnologias da Informação e
Comunicação ............................................................................................................................ 24
Introdução ................................................................................................................................. 24
2.1 Aspectos teóricos sobre o ensino de Equações Diferenciais Ordinárias .................. 25
2.1.1 Equações Diferenciais e Matemática Aplicada ................................................ 25
2.1.2 Equações Diferenciais e Modelos Matemáticos ............................................... 28
2.1.2.1 Exemplos de modelos matemáticos .................................................................. 31
2.1.3 Equações Diferenciais Ordinárias – elementos básicos ................................... 36
2.1.3.1 O que são as soluções de uma EDO? ............................................................... 37
2.1.3.2 Sempre existe a solução de uma EDO? ............................................................ 39
2.1.4 O ensino de Equações Diferenciais Ordinárias ................................................ 40
2.1.4.1 Abordagem qualitativa no ensino de equações diferenciais ordinárias: campos
de direções ........................................................................................................................ 41
2.1.4.1.1 Campos de direções ...................................................................................... 42
2.1.4.1.2 Queda dos corpos: um exemplo ................................................................... 44
2.2 Cálculo, Equações Diferenciais Ordinárias e Tecnologias da Informação e
Comunicação ............................................................................................................................ 48
Capítulo 3 - Metodologia de Pesquisa ...................................................................................... 53
Introdução ................................................................................................................................. 53
3.1. Procedimentos metodológicos .................................................................................. 57
3.1.1. Camtasia ........................................................................................................... 60
3.1.2. As atividades .................................................................................................... 61
3.1.3. A composição e a análise dos dados ................................................................. 63
3.2. Conhecimento: algumas considerações .................................................................... 65
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial ....................................................... 70
Introdução ................................................................................................................................. 70
4.1 Episódio - Objeto em Queda .................................................................................... 72
4.2 Episódio - Modelo Populacional de Malthus ........................................................... 84
4.3 Episódio - Modelo Populacional de Verhulst ........................................................... 97
4.4 Episódio – Campos de direções .............................................................................. 113
4.5 Episódio – Lei do resfriamento .............................................................................. 132
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise ........................................... 150
Introdução ............................................................................................................................... 150
5.1. Aprofundando a análise inicial ............................................................................... 151
5.1.1. Processo de visualização em atividades investigativas auxiliadas pelas mídias
informáticas ............................................................................................................................ 152
5.1.2. Abordagens algébrica e geométrica com as mídias informáticas ........................... 157
5.1.3. Conhecimento como rede de significados .............................................................. 161
5.2. Tecendo algumas idéias .......................................................................................... 163
Capítulo 6 – Considerações Finais ......................................................................................... 166
6.1. Contribuições para a Educação Matemática ........................................................... 170
6.2. Caminhos futuros.................................................................................................... 172
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 173
APÊNDICE ............................................................................................................................ 177
15
Capítulo 1 – Trajetória
Introdução
No decorrer de minha prática docente, por vários motivos que podem ser assim
sintetizados: interesse em atuar na área de Educação Matemática junto ao Curso de
Licenciatura em Matemática, questões pertinentes à sala de aula, envolvimento em projetos de
pesquisa na área, fui levada a buscar na Educação Matemática fundamentação teórica que me
possibilitasse participar ativamente como uma das interlocutoras dessa área, tendo em vista
minha formação anterior e minha carreira docente junto ao Departamento de Matemática da
Faculdade de Ciências da UNESP, campus de Bauru. Como objeto de pesquisa, iniciei
estudos sobre o ensino de Cálculo Diferencial Integral com Tecnologias de Informação e
Comunicação (TIC). Já no início, pude observar que existe a necessidade de pesquisas
envolvendo questões sobre o ensino de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) com TIC.
Surgiu, então, interesse de pesquisar questões relacionadas ao tema, que deram origem a este
trabalho.
1.1. Caminhos percorridos na pesquisa
Em julho de 1989 concluí o curso de Bacharelado em Matemática pelo Instituto de
Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) da Universidade de São
Capítulo 1 – Trajetória da pesquisa
16
Paulo (USP), São Carlos. Desde a graduação, tendo sido bolsista de iniciação científica
desenvolvendo pesquisa na área de Equações Diferenciais, havia escolhido seguir a carreira
docente e um dos objetivos que sempre almejava era lecionar no Ensino Superior. Sendo
assim, acreditava na necessidade de prosseguir os estudos na pós-graduação. Realizei o curso
de mestrado na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), onde desenvolvi a pesquisa
intitulada “Equações de reação-difusão: uma aplicação no controle de reatores”, obtendo o
título de Mestre em Matemática no ano de 1993. Ao final do mestrado, existia a possibilidade
de ingresso no curso de doutoramento no Programa de Engenharia Química, na área de
catálise, no qual a proposta era trabalhar com Matemática Aplicada. No entanto, naquele
momento, eu sentia a necessidade de iniciar minha trajetória profissional, pois tanto na
graduação quanto no mestrado fui aluna bolsista e, por esta razão, decidi que já era a hora de
ingressar no mercado de trabalho e investir em minha carreira profissional.
Meu primeiro trabalho, no ano de 1994, foi ministrar aulas de Matemática
Financeira no Curso de Administração de Empresas nas Faculdades Integradas de Jaú (FIJ).
Esse foi um primeiro desafio. Eu acreditava que formada no mestrado em Matemática não
teria grandes dificuldades em sala de aula, afinal eu tinha muita facilidades com este conteúdo
devido à minha formação. Porém, as questões que permeiam a prática da sala de aula não são
apenas os conteúdos a serem ministrados, mas também o como abordá-los de acordo com
cada contexto.
No mesmo ano assumi, através de concurso público, as aulas de Análise Numérica
para os cursos de Tecnologia em Navegação Fluvial da Faculdade de Tecnologia de Jahu
(FATEC – JH). Essa também foi uma experiência importante em minha trajetória acadêmica.
Pois como afirma D’Ambrósio (1996, p. 91) “todo professor, ao iniciar sua carreira, vai fazer
na sala de aula, basicamente, o que ele viu alguém, que o impressionou, fazendo”. Sendo
assim, eu lecionava os vários métodos numéricos de resolução de zeros de funções, de
sistemas lineares, de interpolação polinomial, de ajuste de funções, enfim, os conteúdos
pertinentes à disciplina. Deparava-me com olhares confusos dos alunos quando, por exemplo,
definia a função de duas variáveis para o método dos mínimos quadrados. Após realizar todas
as contas, eu os alertava que iríamos utilizar no método de ajuste, apenas o sistema gerado nos
cálculos. Então, por que toda aquela teoria para alunos de um curso de serviço, que nem era
um curso de bacharelado em Matemática, como o que eu havia cursado?
No ano de 1995, além de continuar lecionando aquelas duas disciplinas, realizei um
segundo concurso público e assumi as aulas das disciplinas Matemática I e Matemática II para
Capítulo 1 – Trajetória da pesquisa
17
o Curso de Tecnologia em Informática da FATEC – JH, cujos conteúdos correspondem à
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de funções de uma variável real. Os alunos, em
geral, olhavam com um ar assustado quando eu começava a definir limite de funções, quando
eu explicava a integral definida através da soma de Riemann, dentre outros conceitos. E,
desde então, eu me questionava, sendo esses alunos de um curso de Informática, no qual o
computador era um elemento comum a eles, se não seria possível modificar minha prática,
agregando esse novo elemento em minha sala de aula, de forma a buscar novas possibilidades.
No entanto faltava tempo para reflexão já que nessa época, além de assumir a coordenadoria
do Curso de Tecnologia em Informática, eu ministrava vinte e duas aulas, além das demais
atividades complementares às atividades docentes. Assim, minhas preocupações com relação
à minha prática e à minha formação acadêmica existiam, porém, ficavam no plano das
preocupações, sem ações efetivas. Depois de ter trabalhado por quase seis anos com as
disciplinas Matemática Financeira, Análise Numérica, Matemática I e II, acredito que, apesar
de minhas angústias e inquietações com relação à minha prática, fui levada pelas
circunstâncias a reproduzir o que eu havia vivenciado enquanto aluna. Como afirmam Moreno
e Azcárate Giménez (2003, p.267):
No caso de professores de matemática de universidade, o conhecimento que
têm sobre o processo de ensino e aprendizagem é fruto da experiência
docente e do efeito da socialização que lhes fazem repetir os esquemas
daqueles professores que lhes ensinaram em sua época de estudantes. Os
docentes universitários não têm nenhuma formação didática específica, uma
parte da ciência que lhes capacite a ensinar.
1
Em 1999, ingressei como docente no Departamento de Matemática da Faculdade de
Ciências da UNESP, campus de Bauru. No ano de 2000 comecei a lecionar a disciplina anual,
Cálculo I, para os alunos do primeiro ano do Curso de Licenciatura em Matemática. Minhas
preocupações se intensificaram, pois, além de continuar lecionando Cálculo, o público alvo
agora era outro, não mais um curso de serviço, mas sim um curso de formação de professores,
no qual as discussões acerca do conteúdo a ser trabalho, o enfoque que seria dado às
demonstrações dos resultados, enfim, questões envolvendo alunos, conteúdos, professores e
metodologia de ensino, questões que permeiam a sala de aula, eram trazidas à tona. Sendo
minha formação de Bacharel em Matemática e Mestre em Matemática, sentia-me preocupada,
já que no decorrer de minha formação acadêmica essas questões não haviam sido trabalhadas.
1
Tradução do trecho “En el caso de los professores de matemáticas de universidad, el conocimiento que tienen
sobre el processo de enseñanza y aprendizaje es fruto de la experiencia docente y del efecto de la socialización
que les hace repetir los esquemas de aquellos profesores que les enseñaron en su época de estudiantes. Los
docentes universitarios no suelen tener ninguna formación didáctica específica, a parte de la científica que les
capacite para enseñar”.
Capítulo 1 – Trajetória da pesquisa
18
Indo ao encontro de “respostas” às minhas inquietações, passei a trilhar um caminho
que possibilitasse minha inserção na área de pesquisas em Educação Matemática. Nos anos de
2001 e 2002 cursei as disciplinas: Didática Aplicada ao Ensino de Matemática, Tópicos
Especiais em Educação Matemática: Modelagem e Educação Matemática, A Utilização da
Informática na Educação Matemática, Teorias da Aprendizagem e Tendências em Educação
Matemática, no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática (PGEM), já que isto
se fazia extremamente necessário, visto a minha formação anterior. Além disso, iniciei
também a revisão bibliográfica para buscar trabalhos que envolviam a questão da
demonstração no ensino de Cálculo, mediado pelas mídias informáticas.
Outro fator importante na minha caminhada em direção à Educação Matemática foi
ingressar no Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática
(GPIMEM
2
), no ano de 2003. Esse grupo de pesquisa tem como principal preocupação
pesquisar sobre as possibilidades da inserção do computador, das calculadoras gráficas ou de
outros tipos de mídias na Educação Matemática. Mais recentemente, tem investigado questões
que envolvem o uso de vídeo, análise de softwares e de educação a distância, incluindo o uso
da Internet. Nas reuniões semanais do grupo, são lidos e discutidos livros e textos de
pesquisadores da Educação Matemática, projetos que os participantes do grupo desenvolvem,
dentre outros, e possivelmente, as questões que lá emergiram em comparação com a minha
prática docente aprofundaram as minhas angústias e inquietações.
Ainda, nos anos de 2002 e 2003, lecionei, também, a disciplina semestral optativa,
Informática Aplicada à Educação Matemática, para alunos do terceiro ano do Curso de
Licenciatura em Matemática, da FC. Um dos objetivos desta disciplina consiste na exploração
e estudo de softwares que possam ser utilizados para o ensino de Matemática. Trabalhamos
com Excel, Winplot, Wingeom, Cabri Géomètre, dentre outros. Um segundo objetivo da
disciplina é propiciar aos alunos, futuros professores, momentos de reflexão sobre o uso do
computador nas aulas de Matemática. Com esta perspectiva, propus leituras e discussões de
livros, artigos, textos de pesquisadores de Educação Matemática, e mais particularmente, de
trabalhos na linha de Novas Tecnologias e Educação Matemática.
Porém, ainda era pouco, visto que se tratava de um curso de formação de professores
que, provavelmente, atuarão nas escolas do Ensino Básico, as quais estão recebendo
computadores e como afirma Penteado (1999, p.298),
2
http://www.rc.unesp.br/igce/pgem/gpimem.html
Capítulo 1 – Trajetória da pesquisa
19
Acreditamos que, em geral, o professor enfrenta desafios impostos pela
profissão e busca criar alternativas, porém a introdução do computador na
escola altera os padrões nos quais ele usualmente desenvolve sua prática.
São alterações no âmbito das emoções, das relações e condições de
trabalho, da dinâmica da aula, da reorganização do currículo, entre outras.
Desta forma, como querer formar os professores com esta visão, se em nossa própria
sala de aula essa prática não é usual? Ou ainda, por que esperar estes alunos se formarem,
iniciarem sua prática para somente então serem propostos cursos de formação continuada em
temas que relacionem o uso de mídias informáticas?
Em vista do exposto, e dando continuidade à minha caminhada na Educação
Matemática, no ano de 2004, ingressei na PGEM para desenvolver meu curso de
doutoramento em Educação Matemática. E como afirma Goldenberg (2001, p.79)
Com relação ao tema de estudo, vale lembrar mais uma vez que a escolha
de um assunto não surge espontaneamente, mas decorre de interesse e
circunstâncias socialmente condicionadas. Essa escolha é fruto de
determinada inserção do pesquisador na sociedade.
Assim, inicialmente, comecei investigando o uso das TIC no ensino de Cálculo, com
o foco direcionado à questão da demonstração, cujo objetivo principal era entender as
relações que os alunos fazem ao estudar conteúdos de Cálculo Diferencial Integral em um
ambiente mediado pelo computador (JAVARONI, 2004).
Com a realização da revisão bibliográfica, buscando pesquisas sobre o ensino de
Cálculo, relacionado às mídias informáticas, constatei que existe um grande número de
trabalhos nesta área, tanto no cenário nacional quanto internacional. Ao procurar definir o
foco de minha pesquisa em conjunto com minha experiência e com meus interesses de
pesquisa verifiquei que, no conjunto das pesquisas desenvolvidas em Educação, mais
especificamente em Educação Matemática, existe uma lacuna de pesquisas acerca de questões
sobre o ensino de Equações Diferenciais Ordinárias com o auxílio das mídias informáticas. E,
este foi um dos motivos que me impulsionou a desenvolver esta tese.
Além disso, a disciplina de EDO nem sempre consta na grade curricular, como
matéria obrigatória, nos cursos de Licenciatura em Matemática e acredito que devemos nos
atentar ao fato que Habre (2000) coloca. Segundo esse pesquisador uma das razões de ser
desta disciplina deveria ser o elo que ela estabelece entre a Ciência e a própria Matemática. E,
em geral, quando ela compõe o quadro de disciplinas do curso, é tratada com um enfoque
quase que estritamente algébrico, levando os alunos a se preocuparem exclusivamente com os
métodos de busca de soluções, esquecendo do objetivo maior que seria entender o processo
Capítulo 1 – Trajetória da pesquisa
20
que gerou determinada equação diferencial, bem como interpretar suas soluções com relação
ao fenômeno que ela descreve. Como afirma Hubbard (apud HABRE, 2000), “mesmo quando
as soluções podem ser escritas de uma forma elementar, a procura por fórmulas
frequentemente oculta a questão central: como as soluções se comportam?”.
Kallaher (1999) afirma que nas últimas décadas têm ocorrido, muito provavelmente
por conta do desenvolvimento tecnológico, tendências de propostas de mudanças para o
ensino de EDO. Segundo ele, seu ensino poderia ser tomado de um ponto de vista qualitativo,
ou seja, analisar e investigar as equações diferenciais ordinárias com uma abordagem
geométrica, enfatizando o desenvolvimento dos processos que as geraram, além da procura
pelos métodos de resolução das soluções analíticas.
Antes do advento das TIC, mais especificamente do computador, a abordagem
geométrica seria menos atrativa devido às dificuldades de exploração e visualização, fato que
hoje se torna favorável com os recursos disponíveis nos softwares algébricos e/ou
geométricos.
Diante desses fatos, acredito que o processo de formulação dos modelos e a
interpretação das soluções ou do comportamento das soluções são tão importantes quanto às
técnicas de resolução das equações diferenciais ordinárias e que este aspecto deve ser
trabalhado para que os alunos desenvolvam capacidades de análise e interpretação. A questão
da visualização é essencial no entendimento dos aspectos dinâmicos de um curso introdutório
de equações diferenciais e o entendimento da derivada como variação de uma curva é central
na interpretação de gráficos, bem como o comportamento das soluções ao longo do tempo e a
existência de um estado de equilíbrio.
Juntamente com essas questões, e com a experiência advinda da minha prática de
professora de Cálculo Diferencial e Integral, que uma aplicação imediata e até mesmo natural
do Cálculo Integral seria a análise e resolução de equações diferenciais ordinárias. No entanto,
como já dito anteriormente, em alguns cursos de Licenciatura em Matemática, essa disciplina
nem sequer compõe o quadro curricular obrigatório. Ou ainda, nos cursos de graduação, nos
quais a disciplina é lecionada, de maneira geral, a ênfase é dada aos métodos de resolução das
equações diferenciais ordinárias, esquecendo do problema que origina tal modelo, bem como
da interpretação de suas soluções. E, em geral, as análises geométrica e numérica não são
abordadas no estudo dos modelos.
Capítulo 1 – Trajetória da pesquisa
21
Segundo Moreno e Azcárate Giménez (2003), a persistência dos métodos
tradicionais frente a alternativas mais inovadoras de ensino deve-se, possivelmente, a quatro
fatores. Os professores têm uma forte crença de que, em linhas gerais, o baixo nível de
competência e as deficiências no conhecimento matemático dos alunos, os fazem considerar
impossível trabalhar com um enfoque que coloque os alunos em situações de pensar e
raciocinar além dos aspectos básicos, os quais os alunos acabam por memorizar e mecanizar.
O segundo motivo, de acordo com estes pesquisadores, consiste na concepção formalista de
Matemática, em particular, de Equações Diferenciais, a qual maximiza a manipulação
algébrica frente ao tratamento numérico e gráfico das equações diferenciais, como um
princípio inquestionável da aprendizagem significativa. O terceiro fator, apontado pelos
pesquisadores, seria o receio da perda de conteúdos específicos, daquilo que alguns
professores consideram “as matemáticas de verdade”, em favor de conteúdos e técnicas
próprias da matemática aplicada, os quais não têm a mesma consideração que aqueles
conteúdos da matemática pura. E finalmente, o quarto fator, seria a consciência da
obrigatoriedade de dedicação de tempo para a preparação de uma matéria que atualmente
conhecem e dominam, enquanto que dedicam mais tempo para outras investigações ou outras
tarefas profissionais, institucionalmente mais valorizadas.
Outro fato importante que influenciou a definição do foco desta pesquisa de
doutoramento consiste na minha própria trajetória acadêmica, já que a minha pesquisa de
mestrado foi na área de Matemática Aplicada, com tema relacionado às equações diferenciais.
Como afirmam Araújo e Borba (2004, p.40),
Quando decidimos desenvolver uma pesquisa, partimos de uma inquietação
inicial e, com algum planejamento, não muito rígido, desencadeamos um
processo de busca. Devemos estar abertos para encontrar o inesperado; o
plano deve ser frouxo o suficiente para não “sufocarmos” a realidade, e, em
um processo gradativo e não organizado rigidamente, nossas inquietações
vão se entrelaçando com a revisão da literatura e com as primeiras
impressões da realidade que pesquisamos, para suavemente, delinearmos o
foco e o design da pesquisa.
Desta forma, como afirma Rasmussen (2001), apesar da ocorrência de novas
direções no ensino de EDO, existe a necessidade do desenvolvimento de pesquisas sobre o
entendimento e as dificuldades dos alunos na aprendizagem de equações diferenciais
ordinárias com ênfase na abordagem qualitativa.
Diante do exposto, meu objeto de pesquisa consistiu em analisar as possibilidades de
ensino e aprendizagem de EDO com ênfase na abordagem geométrica das soluções com o
Capítulo 1 – Trajetória da pesquisa
22
auxílio das TIC. Para tanto, esta tese foi conduzida perseguindo “responder” a seguinte
pergunta diretriz:
Quais as possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às equações
diferenciais ordinárias através da análise qualitativa dos modelos matemáticos, com o
auxílio de Tecnologia de Informação e Comunicação?
1.2. A estrutura da tese
Esta tese está organizada em seis capítulos, além das referências bibliográficas e os
apêndices. No Capítulo 1, onde se insere a presente seção, apresento minha trajetória
acadêmica e profissional seguida de uma breve apresentação da pesquisa, relacionada às
possibilidades da abordagem qualitativa no ensino de equações diferenciais ordinárias,
auxiliada pelas mídias informáticas, na tentativa de explicitar qual foi a gênese e qual é a
relevância dessa investigação. Em seguida apresento a pergunta de pesquisa e, finalmente, as
linhas gerais do conteúdo desta tese, isto é, a sua organização.
No Capítulo 2, amplio a discussão teórica sobre os temas que compõem a
interrogação da pesquisa. Inicio apresentando o levantamento bibliográfico sobre o ensino de
Matemática com as mídias informáticas, e na seqüência, sobre o ensino de equações
diferenciais ordinárias com tecnologias informáticas.
O trabalho de pesquisa que originou essa tese foi desenvolvido seguindo uma
metodologia de pesquisa que é apresentada no Capítulo 3. Uma descrição do âmbito no qual
foi realizado o estudo, os procedimentos de coleta e análise dos dados realizados o
completam. Finalmente, apresento elementos sobre a visão de conhecimento que sustenta essa
investigação.
O Capítulo 4 é dedicado à apresentação descritiva e analítica dos dados. Nele
apresento episódios que foram constituídos da organização dos dados desta pesquisa.
No Capítulo 5, os dados da pesquisa são analisados através do confronto com a
literatura estudada. Assim, sob a perspectiva dos teóricos a análise iniciada no Capítulo 4
torna-se mais profunda.
Finalmente, no Capítulo 6, retomo a pergunta de pesquisa com o objetivo de
sintetizar as compreensões e tecer algumas conclusões que foram elaboradas no decorrer desta
Capítulo 1 – Trajetória da pesquisa
23
investigação. Explicito as contribuições que esta pesquisa pode trazer à Educação
Matemática. Também discuto as principais limitações que identifico em meu trabalho e
direciono para novas buscas que possam ser realizadas a partir da realização desta pesquisa.
24
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais Ordinárias e Tecnologias da
Informação e Comunicação
Introdução
À pergunta diretriz desta pesquisa, soma-se ainda a necessidade de detectar lacunas
que justifiquem pesquisar sobre o tema para o enriquecimento de minha pesquisa. Neste
capítulo apresento uma seção dedicada à exposição dos conceitos básicos sobre o conteúdo de
introdução às equações diferenciais, baseada nos livros-texto Bassanezi (2002), Bassanezi e
Ferreira (1988), Batschelet (1978), Zill, D. G. e Cullen, M. R. (2001) e Boyce e
DiPrima(2002). Definidos os conceitos básicos, apresento um relato de pesquisas já
desenvolvidas no âmbito do ensino de equações diferenciais ordinárias. O estudo da literatura
relacionada ao tema evidencia a importância do ensino de EDO na área de ciências exatas e,
em particular, no curso de Matemática. A abordagem qualitativa para o estudo de equações
diferenciais ordinárias é um tópico apresentado nesta seção.
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
25
2.1 Aspectos teóricos sobre o ensino de Equações Diferenciais
Ordinárias
2.1.1 Equações Diferenciais e Matemática Aplicada
A ciência, uma atividade essencialmente desenvolvida pelo ser humano, busca
entender a natureza, por meio de teorias, com o intuito de avançar seus conhecimentos e,
portanto depende de codificação e de símbolos para realizar ações junto à realidade, na
tentativa de entendê-la e explicá-la. Esses símbolos e codificações associados às
representações orais ou visuais de comunicação dão origem à linguagem e à representação
gráfica (BASSANEZI, 2002). Na realidade estão armazenados os fatos que informam o ser
humano. Esses fatos são processados pelo indivíduo e resultam em estratégias de ação. Essas
ações geram conhecimento, que é a capacidade de explicar, lidar, manejar e entender a
realidade. Esse conhecimento gerado é incorporado à realidade, naturalmente modificando-a e
armazenando-se na coleção dos fatos que a constituem. Desta forma, também a realidade está
em constante modificação (D’AMBROSIO, 2001).
A Matemática, uma ciência formal, constrói os seus próprios objetos de estudo. No
entanto, muitas idéias matemáticas são abstrações de situações empíricas naturais ou sociais.
Segundo Bassanezi (2002), as ciências naturais como a Física, a Astrofísica e a Química
foram desenvolvidas com o respaldo de teorias auxiliadas pela Matemática. Já outras ciências
como Biologia, Psicologia, Economia, dentre outras, as quais ele denomina de factuais, via de
regra, usavam apenas a linguagem comum para exprimir as idéias e isso, geralmente,
resultava em falta de precisão e clareza em seus desenvolvimentos. A Matemática era usada
apenas como um auxílio nas análises superficiais dos resultados de pesquisas empíricas.
Bassanezi (2002, p. 18) afirma ainda que “a ciência contemporânea, entretanto, é
fruto de experiências planificadas e auxiliadas por teorias sujeitas à evolução” e que “o
objetivo fundamental do ‘uso’ de matemática é de fato extrair a parte essencial da situação-
problema e formalizá-la em um contexto abstrato”.
Esse processo de abstração e formalização das ciências factuais através da
Matemática convencionou-se denominar Matemática Aplicada, a qual teve seu início, nas
ciências não-físicas, no começo do século XX (BASSANEZI, 2002).
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
26
Nas ciências biológicas, a Matemática Aplicada toma força na modelagem, por
exemplo, nos processos de mecanismos de controle de dinâmica populacional, de
epidemiologias, de processos neurológicos, dentre outros.
Na procura por refletir sobre a realidade com o intuito de entendê-la, explicá-la ou
mesmo de atuar sobre ela, o processo usual é selecionar na situação, os argumentos, os fatos
ou parâmetros considerados importantes para o evento e formalizá-lo em um modelo.
O termo modelo é usado nas mais variadas situações. No dicionário Houaiss (2001),
encontram-se dezoito acepções para esse substantivo. Neste trabalho, no entanto será
considerada apenas aquela que se refere à representação de um sistema. Assim, interessa-nos
definir o modelo objeto. Segundo Bassanezi (2002, p.19).
Modelo Objeto é a representação de um objeto ou fato concreto; suas
características predominantes são a estabilidade e a homogeneidade das
variáveis. Tal representação pode ser pictórica (um desenho, um esquema
compartimental, um mapa, etc.), conceitual (fórmula matemática), ou
simbólica. A representação por estes modelos é sempre parcial deixando
escapar variações individuais e pormenores do fenômeno ou do objeto
modelado. Um modelo epidemiológico (sistema de equações diferenciais)
que considera o grupo de infectados como sendo homogêneo onde todos os
seus elementos têm as mesmas propriedades é um exemplo de um modelo
objeto. Um desenho para representar um alvéolo usado pelas abelhas é
também um modelo deste tipo.
Desta forma, um modelo matemático de um fenômeno ou de uma situação é um
conjunto de símbolos e relações matemáticas que o representam. Assim, Modelagem
Matemática pode ser definida como o processo dinâmico utilizado para a elaboração e
validação de modelos matemáticos e, tem como um dos seus objetivos principais a
possibilidade de previsão de tendências acerca do objeto estudado.
A importância de um modelo matemático está na possibilidade de expressar, com os
símbolos e as relações matemáticas, as características do objeto estudado, e vice-versa, isto é,
o problema em questão é descrito através do modelo, o qual é analisado com as teorias e
técnicas próprias da Matemática, gerando, assim, informações e resultados acerca do objeto e,
em seguida, utilizando-se da linguagem original do problema, apresentam-se os resultados
obtidos. Esse processo pode ser esquematizado conforme a Figura 2.1, sugerido por Bassanezi
e Ferreira (1988).
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
27
Figura 2.1. Processo de Modelagem Matemática
Uma das expectativas dos matemáticos aplicados ao estudar um problema é
construir um modelo dentro de teorias matemáticas já existentes, isto é, de teorias já
desenvolvidas e fundamentadas. No entanto, quando isso não acontece, ou seja, quando não
existe uma teoria matemática apropriada para a elaboração de determinado modelo
matemático adequado ao problema original, deve-se desenvolver um novo ramo na ciência
matemática. Como afirma Bassanezi (2002, p. 26) “obviamente isso não acontece todos os
dias”. Ele cita a Teoria dos Jogos, desenvolvida por J. Neumann, para modelar situações de
competição econômica, como um exemplo recente desta situação.
Outras vezes, um modelo matemático associado ao problema pode ser elaborado
dentro de uma teoria já estabelecida, porém pode acontecer que as técnicas e métodos
matemáticos existentes não sejam suficientes para a resolução e obtenção de resultados. E
neste caso, cabe aos cientistas desenvolverem os métodos necessários. Estas situações
constituem grandes motivações para o desenvolvimento de teorias matemáticas já
estabelecidas. O desenvolvimento de Equações Diferenciais é um típico exemplo dessa
situação, desde sua origem, que se confunde com a do Cálculo Diferencial e Integral e da
Mecânica Clássica. Segundo Kline (1972, p.468)
Os matemáticos procuraram usar o cálculo para resolver mais e mais
problemas físicos e logo se encontraram obrigados a manipular uma nova
classe de problemas. Eles fizeram muito mais do que tinham
MODELO
TEORIA MATEMÁTICA
técnicas
matemáticas
INTERPRETA
Ç
ÃO
PROBLEMA
ORIGINAL
RESULTADOS
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
28
conscientemente procurado. Os problemas mais simples conduziram às
quadraturas que poderiam ser avaliadas em termos de funções elementares.
Algumas um tanto mais difíceis conduziram às quadraturas que não
poderiam ser assim expressadas, como foi o caso para integrais elípticas.
Ambos os tipos recaem ao alcance do cálculo. Entretanto, a solução do
problema mais complicado exigiu técnicas especializadas; assim surgiu o
assunto de equações diferenciais.
3
2.1.2 Equações Diferenciais e Modelos Matemáticos
4
A essência de “ver” o mundo que nos cerca sempre foi tema de discussões
filosóficas. Relembrando o confronto de dois pré-socráticos, Parmênides e Heráclito, temos
duas visões complementares de mundo. Para Parmênides,
nada muda já que a essência
sempre permanece a mesma. Já para Heráclito, a única constante, o único conceito que nunca
muda é o de que “tudo está sempre mudando”.
Podemos utilizar as metáforas da fotografia e da janela para entender essas duas
visões. Ao se olhar o mundo através de fotografia, essa visão é estática, estou vendo aquilo
que se mostra na foto naquele instante. No entanto, se observo o mundo através da janela, a
visão é dinâmica e o que vejo na verdade são as mudanças que estão ocorrendo.
Pensando como Heráclito, o que se tem, na Natureza, a observar são as mudanças e
como elas ocorrem. Informalmente, podemos dizer, nas palavras do universo matemático, que
dado um fenômeno
)(tf , “seu jeito de mudar” pode ser observado analisando suas derivadas,
caso existam. Isto é, podemos observar
dt
tdf )(
,
2
2
)(
dt
tfd
,... ,
n
n
dt
tfd )(
, e inferir sobre
)(tf
.
Desta forma, podemos dizer que a mudança que se “vê” na Natureza pode ser
descrita por
() () ()
....,,
''''''
tftftf , e o que procuramos, ou melhor, o que queremos identificar,
em geral, é
)(tf .
3
Tradução de: The mathematicians sought to use the calculus to solve more and more physical problems and
soon found themselves obliged to handle a new class of problems. They wrought more than they had consciously
sought. The simpler problems led to quadratures that could be evaluated in terms of the elementary functions.
Somewhat more difficult ones led to quadratures which could not be so expressed, as was the case for elliptic
integrals. Both of these types fall within the purview of the calculus. However, solution of the still more
complicated problems demanded specialized techniques; thus the subject of differential equations arose.
4
O texto de introdução desta seção é baseado na comunicação oral proferida pelo Prof. Dr. João Frederico da
Costa Azevedo Meyer, co-orientador dessa tese, em reunião de orientação ocorrida no IMECC, UNICAMP em
março de 2006.
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
29
No Cálculo Diferencial e Integral de funções de uma variável real, estudam-se
funções que são definidas nos reais ou em subconjuntos deste e cuja imagem é um
subconjunto dos reais ou o próprio. Por exemplo,
+
ℜ∈=→ℜ∈
2
)(: xxfxf ou
[]
⊂−∈=→ℜ∈ 1,1)cos()(: xxgxg .
No entanto, quando calculamos derivadas e integrais indefinidas de funções no
campo dos reais, acontece algo diferente, pois os conjuntos domínio e imagem pertencem ao
espaço das funções. Por exemplo: se
4
)( xxf = , temos
3
4
4
)(
x
dx
dx
dx
xdf
== ; se )cos()( xxg
=
,
temos
)(
))(cos()(
xsen
dx
xd
dx
xdg
−== , se )cos()( xxf
=
, temos
∫
+= CCxsendxx ,)()cos( é
uma constante, ou ainda se tivermos
x
xg
1
)( = , temos
∫
+= kkxdx
x
,ln
1
é uma constante.
Além dessa especificidade temos ainda casos que não conseguimos explicitar, através de
funções elementares, a família das primitivas de uma dada função, como por exemplo, se
consideramos a função
2
)(
x
exf
−
=
, temos que
∫
−
= dxexF
x
2
)(
existe, mas sem primitiva.
O Modelo de Gompertz
5
de Dinâmica Populacional (Boyce e DiPrima, 2002, p. 46)
),ln(
y
k
y
dt
dy
λ
= onde
λ
e k são constantes positivas, com condição inicial
(
)
0
0 yy
=
.
Independentemente de como se pode obter sua solução, através de métodos analíticos, pode-
se verificar que
t
e
k
y
kety
λ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
0
ln
)( satisfaz a equação )ln(
y
k
y
dt
dy
λ
= .
Quando determinamos a solução de uma dada equação, procuramos identificar um
ou mais valores reais que satisfaça a equação. Porém, quando queremos “resolver” uma EDO
estamos “construindo” uma função que venha a satisfazer a equação diferencial dada.
Como afirma Machado (1988, p. 153),
De maneira geral, uma equação diferencial é uma pergunta do tipo: “Qual a
função cuja derivada satisfaz a seguinte relação?” Ou seja, uma equação
diferencial é uma equação (no sentido de igualdade envolvendo uma
incógnita) onde a incógnita é uma função, sendo que as informações
disponíveis para a determinação da função desconhecida envolvem sua
derivada.
5
Gompertz obteve este modelo ajustando uma curva aos dados de laboratório do crescimento de uma população
(paramecium caudatum).
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
30
Em vista do exposto, acreditamos que devemos buscar compreender as
características do fenômeno que leva à equação diferencial, recorrer às técnicas que nos
auxiliam a resolvê-la e caso a equação diferencial em questão não possua uma solução
algébrica explícita podemos recorrer aos métodos numéricos e/ou a análise qualitativa para
obtermos informações sobre o comportamento da função solução procurada.
Muitos dos princípios, ou leis, que descrevem o comportamento do mundo físico são
proporções, ou relações, envolvendo a taxa segundo a qual determinados fenômenos
acontecem. Ao modelar esses fenômenos, freqüentemente se obtêm equações que envolvem
as variações das quantidades (variáveis), presentes e consideradas essenciais na situação
analisada. Assim, as leis que regem tal fenômeno podem ser representadas por equações de
variações. Quando essas variações são instantâneas e o fenômeno se desenvolve
continuamente, as equações são denominadas equações diferenciais. No entanto, se as
variáveis envolvidas forem discretas, isto é, funções de uma coleção de pontos, em que temos
as médias das variações, então as equações que modelam o fenômeno serão denominadas
equações de diferenças.
Quando, nessa tese, me refiro à Modelagem Matemática, estou seguindo a
concepção de “Modelagem Matemática e Aplicação”, definida como “o processo que leva de
uma situação problema a um modelo matemático é chamado modelagem matemática”. E
“uma situação do mundo real que pode ser atacada por meio da matemática é chamada uma
aplicação matemática” (APPLICATIONS, 2002, p. 5).
Ou seja, se tenho um problema do ‘mundo’ para resolver, elaboro um modelo que
aproxime, o melhor possível, a situação analisada, aplico técnicas de resolução algébrica ou
numérica, determino e interpreto sua solução com relação ao problema analisado e depuro o
modelo, caso haja necessidade, e finalmente infiro sobre o problema analisado, estou fazendo
modelagem matemática. No entanto, se eu parto de modelos que atendam situações ditas
‘reais’ e os analiso, estudo, aplico as técnicas algébricas ou numéricas de resolução e
determino sua solução, o que estou fazendo é aplicação. É nessa perspectiva que se encontra o
trabalho relatado nessa tese. As atividades desenvolvidas com os alunos participantes dessa
pesquisa envolveram aplicação do conceito “Modelagem Matemática e Aplicação”.
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
31
2.1.2.1 Exemplos de modelos matemáticos
A teoria de equações diferenciais, desde seu primórdio até os dias de hoje, tem sido
fortemente influenciada por sua ligação com a Ciência e a Tecnologia. Desta ligação tem
surgido contínua inspiração, transformando problemas físicos em problemas matemáticos e,
às vezes, em completas teorias matemáticas. Para mostrar as origens físicas do conceito de
equação diferencial vamos considerar alguns exemplos simples de modelos físicos e das
equações que os descrevem. A importância desses modelos não está tanto na técnica
empregada para obter as equações, mas sim na ação evidente que as equações efetivamente
descrevem os modelos.
Exemplo 1 - Misturas
6
Uma vasilha contém 10 litros de solução salina, diluída em água pura que entra a
uma razão de 0,1 litros por segundo (
segl ). O volume da solução na vasilha se mantém
constante mediante uma válvula de saída através da qual o líquido sai à razão de 0,1
segl . A
solução se mantém perfeitamente misturada, de modo que sua concentração (massa de sal por
unidade de volume) é uniforme em todo interior da vasilha. Denotamos por
x
a massa de sal
(em gramas) na vasilha, e o tempo (em segundos) por t. A razão (instantânea) da variação de
x
com relação à
t
,
dt
dx
, é igual a razão da variação da quantidade de sal que entra na vasilha
com relação ao tempo, que é zero, menos a razão da variação da quantidade de sal que sai.
Como a taxa de saída é de 0,1
segl , a concentração de sal na vasilha – e, portanto o fluxo
que sai – é de
10x gramas por litro
(
)
lg , o sal sai da vasilha a uma razão de
()
(
)
1,010x
segg . Assim, x
dt
dx
01,0−= . Essa equação é uma equação diferencial ordinária. Inclui uma
variável diferenciada,
x
, e uma variável de diferenciação,
t
.
Se considerarmos neste exemplo que não entra água pura na vasilha, mas sim uma
solução salina de
lg10
de concentração. A razão da variação da quantidade de sal que entra
na vasilha, com relação ao tempo, é agora de
(
)
(
)
seggseglg 11,010
=
. E como
=
d
t
dx
taxa de
6
Exemplo extraído de Plaat (1974, p. 2)
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
32
entrada – taxa de saída, temos
x
dt
dx
01,01−=
. Podemos observar que esta equação reflete
características do ponto de vista físico, que são descritos pelo modelo. Por exemplo, se
100=x
, temos que
0=
d
t
dx
. Por outro lado, a concentração na vasilha é
lg1010100 =
, que
é a concentração do fluxo de entrada e assim não existe variação de concentração de sal na
vasilha. Se
100>x
,
0<
dt
dx
e, portanto a corrente de entrada diminui a massa de sal na
vasilha e finalmente se
100<x
,
0>
d
t
dx
, a corrente de entrada aumenta a massa de sal na
vasilha.
Exemplo 2 – Misturas entre recipientes
7
Dois recipientes com volumes de 4 e 2 litros, respectivamente, estão cheios de
soluções salinas. Suponha ainda que as soluções fluem de um recipiente ao outro a razão de
0,1
segl
, através de tubos de conexão, de longitude e volumes desprezíveis e que no interior
de cada recipiente a concentração de sal é uniforme. Sejam
x
e
y
as massas de sal no
recipiente maior e no menor, respectivamente. No recipiente maior penetra tanto sal quanto
sai do menor, a saber,
()()
lgy 1,02
e, no menor penetra tanto quanto sai do maior, isto é,
(
)
()
lg
x
1,0
4
. Como a variação da massa com relação ao tempo é dada pela diferença da
quantidade de sal que entra e a que sai, com relação ao tempo, para cada um dos recipientes,
obtemos as seguintes equações:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
+−=
yx
dt
dy
yx
dt
dx
20
1
40
1
20
1
40
1
. Essas equações formam um sistema de
equações diferenciais ordinárias simultâneas. Observando esse modelo, podemos concluir que
este possui infinitos valores de
x
e y para os quais
dt
dx
e
dt
dy
se anulam, isto é, para todos os
valores de
x
e
y
que satisfazem
yx 2
=
. Esses são, de fato, os valores para os quais as
concentrações em ambos os recipientes são iguais.
7
Exemplo extraído de Plaat (1974, p. 2)
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
33
Exemplo 3 – Sistema massa-mola
8
Consideremos um objeto de massa de 10 gramas suspenso por uma mola presa a um
suporte fixo. As forças que atuam sobre esse objeto são a forças peso do objeto e a tensão da
mola sobre o objeto. Supondo que a mola obedece a lei de Hooke, temos que a tensão da mola
é dada por
kx , onde
x
é o deslocamento da mola. Assim, pela segunda lei de Newton, temos
que a resultante das forças que atuam no objeto é igual a sua massa vezes sua aceleração e
assim temos:
kxmgtensãopesomaF
−
=
−== , ou ainda, kxmg
dt
xd
m −=
2
2
. Considerando
que a aceleração da gravidade é dada por
2
981 segcmg = e supondo que a constante elástica
da mola é dada por
1000=k , temos x
dt
xd
100981
2
2
−= , que é a equação diferencial que
modela o deslocamento do objeto. Essa equação difere dos dois exemplos anteriores, pois
contém o termo de derivada de segunda ordem. Podemos transformar essa equação em um
sistema de equações diferenciais simultâneo fazendo a mudança de variável
v
dt
dx
= , obtendo
assim
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=
x
dt
dv
v
dt
dx
100981
, um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
Exemplo 4: desintegração radioativa
9
Admitindo que uma determinada substância contenha somente um tipo de átomo
radioativo, a hipótese mais simples sobre sua desintegração é a de que não existe tempo
preferido para a desintegração e a de que todos os átomos têm a mesma chance de
desintegração, independentes um do outro. Observando a desintegração (variação) desse
átomo, constata-se que o número de desintegrações por unidade de tempo é proporcional à
quantidade de átomos radioativos presentes em cada instante. Assim, se
()
tNN = representa
o número de átomos radioativos presente em cada instante
t
, uma equação matemática, que
pode representar o fenômeno, é dado por
N
dt
dN
λ
−= , onde
λ
, chamada constante de
desintegração, é uma constante positiva para cada tipo de substância radioativa e, na equação
8
Exemplo extraído de Plaat (1974, p. 4)
9
Exemplo extraído de Batschelet (1978, p. 316).
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
34
representa o coeficiente de proporcionalidade. Essa equação matemática é denominada de
equação diferencial.
Exemplo 5: Crescimento populacional – modelo de Malthus
10
Quando se analisa a variação de uma população, animal ou vegetal, num modelo
simplificado, o que se observa, é que a diferença entre duas medidas sucessivas desta
população é proporcional à quantidade de elementos existentes na primeira medida. Seja
P
o
número de indivíduos dessa população. Esse número é dependente do tempo
t
, de forma que
podemos escrever
()
tPP =
. Analisando essa função, pode-se observar que
()
tP
assume
somente valores inteiros e é uma função descontínua do tempo, chamada função degrau, já
que no instante em que ocorre nascimento ou morte,
(
)
tP salta de uma ou mais unidades. Ela
permanece constante nos intervalos de tempo onde não há ocorrência de nascimento ou morte.
Considera-se que a proporção de indivíduos reprodutores permanece constante
durante o crescimento da população. Admite-se também que as taxas de natalidade
n
e de
mortalidade
m sejam constantes. Estas hipóteses são realísticas em uma população grande
que varia em condições ideais, isto é, quando todos os fatores inibidores do crescimento estão
ausentes (os indivíduos da espécie possuem recursos ilimitados e não interagem com
competidores e predadores).
Assim,
mn −
=
α
(coeficiente de natalidade menos o de mortalidade) é a taxa de
crescimento específico da população
(
)
tP , aqui considerada constante. Desta forma, uma
equação que pode representar o fenômeno da variação populacional, sob essas condições,
pode ser escrito por
()()
()
α
=−=
−+
mn
tP
tPtP
1
, onde
(
)
tP é a população medida no tempo t
e
()
1+tP
é aquela medida uma unidade de tempo depois, isto é, o tempo varia discretamente.
Essa formulação matemática indica que a variação relativa da população é
proporcional à própria população em cada período de tempo. Essa equação, denominada uma
equação de diferenças, pode ser reescrita como
(
)
(
)
(
)
tPtPtP
α
=
−
+
1 . Esse modelo discreto é
denominado o modelo Malthusiano, em virtude de ter sido desenvolvido pelo economista
inglês T. R. Malthus (BASSANEZI, 2002). Cabe observar aqui, que
()
tP pode ser
aproximada por uma função contínua e diferenciável desde que o número de indivíduos seja
10
Exemplo extraído de Bassanezi (2002, p. 331).
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
35
suficientemente grande e assim o fenômeno pode ser descrito pela equação diferencial
P
dt
dP
α
=
.
Exemplo 6: Equação do calor
11
Considere uma haste circular delgada, de comprimento L, com área A da seção
transversal conforme Figura 2.2. Suponha que o fluxo de calor dentro da haste se verifique
apenas na direção
x
, que a superfície lateral, ou curva, da haste é isolada, que nenhum calor é
gerado dentro da haste, que a haste é homogênea e, finalmente, que o calor específico e a
condutividade térmica do material da haste são constantes.
Figura 2.2. Haste circular delgada
Seja
u
a temperatura medida na haste. A temperatura depende tanto da posição
x
quanto do tempo
t, ou seja,
(
)
txuu ,= . Segundo essas hipóteses, a variação da temperatura
com relação ao tempo é dada pela equação
,
2
2
t
u
x
u
k
∂
∂
=
∂
∂
onde
0>k
é a constante positiva
denominada difusividade térmica. Essa equação clássica da física matemática é conhecida
com equação unidimensional do calor e se refere ao fato de que
x
denota uma dimensão
espacial, enquanto
t representa o tempo.
Portanto, para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento de
fluidos, o fluxo da corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a
propagação e detecção de ondas sísmicas, o crescimento de uma célula, a dinâmica
populacional, a interação entre espécies, o controle biológico de pragas, dentre muitos outros,
são utilizadas Equações Diferenciais.
Uma equação diferencial é dita ordinária, uma EDO, se a função incógnita depender
apenas de uma variável independente (exemplos 1 e 4). Se depender de duas ou mais
variáveis independentes será denominada equação diferencial parcial (EDP) (exemplo 6:
equação unidimensional do calor).
11
Exemplo extraído de Zill, D. G. e Cullen, M. R. (2001, p. 249).
0
L
x
Seção transversal de área A
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
36
O exemplo da equação unidimensional do calor foi esboçado com o objetivo de
exemplificar uma EDP. O foco desta tese consiste em analisar as possibilidades de ensino das
EDO utilizando-se uma abordagem geométrica, auxiliada pelas TIC. Portanto, é esse o
conteúdo de equações diferenciais que será evidenciado nesse trabalho e sendo assim, na
próxima seção farei uma breve exposição dos conceitos básicos envolvidos.
2.1.3 Equações Diferenciais Ordinárias – elementos básicos
As equações e os sistemas de equações que surgiram nos exemplos de 1 a 5,
descritos na seção anterior, têm uma característica comum. As derivadas envolvidas nos
modelos são relativas a uma única variável e, portanto são chamadas de equações diferenciais
ordinárias. Uma equação que contém derivadas com respeito a duas ou mais variáveis são
denominadas equações diferenciais parciais.
Uma equação diferencial da forma
()
xtf
dt
dx
,= é chamada equação diferencial
ordinária de primeira ordem. A denominação ‘primeira ordem’ refere-se ao fato que somente
a derivada de primeira ordem aparece na equação diferencial (exemplos 1 e 4). A equação
diferencial ordinária junto com uma condição inicial,
(
)
0
0 xx
=
, é denominada um problema
de valor inicial (PVI).
Uma equação da forma
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
dt
dx
xtf
dt
xd
,,
2
2
é chamada equação diferencial ordinária
de segunda ordem (exemplo 3). Assim, a maior ordem de derivação que aparece numa
equação diferencial define sua ordem. Uma EDO de ordem
n tem como expressão geral
0,...,,,,
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
n
dt
xd
dt
xd
dt
dx
xtF
, onde F é uma função de
2
+
n
variáveis. Esta equação
representa a relação entre a variável independente
t e os valores da função incógnita
x
e suas
n primeiras derivadas
dt
dx
x
=
'
,
2
2
''
dt
xd
x
= ,...,
()
n
n
n
dt
xd
x =
. Quando for possível explicitar
()
n
x nesta equação, teremos
()
(
)
(
)
1'
,...,,,
−
=
nn
xxxtfx que é denominada forma normal da
EDO de ordem n.
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
37
Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem é um sistema de várias
equações simultâneas da forma:
()
n
xxxtf
dt
dx
,...,,,
21
1
= ,
()
n
xxxtf
dt
dx
,...,,,
21
2
= ,...,
()
n
n
xxxtf
dt
dx
,...,,,
21
= .
Os exemplos 2 e 3 da seção anterior são exemplos de sistemas de equações
diferenciais de primeira ordem.
2.1.3.1 O que são as soluções de uma EDO?
De maneira geral, como afirma Machado (1988), as variadas equações
correspondem às perguntas que em geral surgem na formulação de problemas a serem
resolvidos. Portanto, equacionar um determinado problema é traduzir as perguntas, que
devem ser respondidas, em equações. Responder às perguntas formuladas significa resolver as
equações. Quando um problema envolve grandezas variáveis e taxa de variação, as equações
resultantes costumam ser equações diferenciais. Uma equação diferencial representa uma
pergunta do tipo:
qual é a função cuja derivada satisfaz determinada relação?
Assim resolver uma equação diferencial do tipo
()
xtf
dt
dx
,= é determinar a função
()
tux = , definida em um intervalo
(
)
baI ,
=
, tal que
(
)
()()
tutf
dt
tdu
,= , para todo It
∈
. De
modo mais geral,
()
tux
=
é uma solução de
(
)
(
)
(
)
1'
,...,,,
−
=
nn
xxxtfx se
()
tu está definida em
I e se juntamente com suas derivadas
'
u
,
''
u
,...,
(
)
n
u
satisfaz a igualdade
()
( ) () () ()
()
()
(
)
tututututfxu
nn 1'''
,...,,,,
−
= , para todo It
∈
. Portanto, resolver uma EDO, ou
ainda, determinar algebricamente sua solução significa encontrar a função
()
tux =
, definida e
derivável até a ordem
n em um intervalo
I
, que satisfaça a equação dada.
Por exemplo, considere o problema de um objeto em queda livre na atmosfera, sem
a resistência do ar. Vamos modelar o movimento desse objeto durante um intervalo de tempo.
Denotamos por
v
a velocidade do objeto em queda que varia com relação ao tempo t . A lei
física que descreve o movimento desse objeto é a segunda lei de Newton, que diz que a massa
do objeto vezes sua aceleração é igual à resultante de forças que atuam nele, ou seja,
maF
=
,
onde
m é a massa do objeto, a sua aceleração e F a resultante de forças que atuam sobre o
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
38
objeto. Assim
mg
dt
dv
m −= é a equação do movimento. Uma solução desta EDO é dada por
()
kgttv +−= , onde k é uma constante. Se 0
=
t , tivermos
(
)
0
0 vv
=
, obtemos
()
0
vgttv
+
−
=
que é a solução para essa equação que satisfaz a condição inicial
(
)
0
0 vv = .
Chamamos de solução geral de uma equação diferencial o conjunto de todas as suas
soluções. Em geral, nas aplicações, não se procura por todas as soluções, mas sim por
soluções particulares que satisfaçam uma dada condição inicial, ou outros tipos de condições
complementares.
Conforme já colocamos, em geral, a representatividade de um fenômeno da
realidade é diretamente proporcional à complexidade matemática do modelo que o representa.
Quando o modelo matemático é uma equação diferencial, nem sempre podemos obter
informações ou projeções acerca do fenômeno estudado através da solução explícita desta
equação, já que, em uma grande maioria dos casos, as equações diferenciais envolvidas não
admitem soluções na forma de uma função analiticamente explícita (BASSANEZI, 2002).
Com o intuito de elucidar o que é uma solução explícita, consideremos o exemplo da
procura por resolução de uma equação algébrica
(
)
0
=
xP
, onde
()
xP
é um polinômio de
grau
n , isto é,
()
0,...
10
≠+++=
n
n
n
axaxaaxP
. Neste caso, a incógnita é um número e, as
operações que definem a equação são as operações algébricas (soma, produto e potenciação
inteira). Para resolvermos essa equação, precisamos saber “inverter” as operações algébricas.
Caso contrário, não saberíamos sequer resolver as equações
;0
=
+
ax bax = ou cx
n
= . No
entanto, isso não é suficiente para o caso geral. Uma solução explícita, nesse caso, seria a
obtenção do valor de
x
por meio de uma seqüência finita de operações algébricas. Galois nos
garante que não existe uma ‘receita’ finita e geral nesses termos para a obtenção das soluções
destas equações para grau maior que quatro, usando apenas radicais. Porém, isto não quer
dizer que não existam soluções. O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que a equação
()
0=xP tem exatamente n soluções no conjunto dos números complexos. E assim, as
soluções existem, porém para obtê-las temos que fazer uso de uma seqüência infinita de
operações algébricas para obter aproximações da solução procurada.
Retornando ao caso das equações diferenciais ordinárias, a solução desta é uma
função de uma variável e as operações envolvidas são as algébricas e a operação de derivação.
E, também neste caso, o fato de conhecermos as operações inversas (algébricas e a
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
39
integração) não nos garante a possibilidade de obtenção de soluções explícitas (resultado de
uma seqüência finita de tais operações sobre os dados do problema), por meio das funções
elementares usuais (funções polinomiais, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e
hiperbólicas). E neste caso, para obter as soluções faz-se uso de séries infinitas, método que
foi desenvolvido no século XVIII (KLINE, 1972).
2.1.3.2 Sempre existe a solução de uma EDO?
Embora tenhamos definido o que vem a ser solução de
()
(
)
(
)
1'
,...,,,
−
=
nn
xxxtfx ,
uma questão importante que surge, é a seguinte: essa equação sempre tem solução? O fato de
escrever uma equação deste tipo não significa, necessariamente, que existe uma função
(
)
tu
que a satisfaça. Então, como saber se uma determinada equação diferencial ordinária tem
solução? Essa é a questão de existência de solução e é respondida pelo Teorema da Existência
e Unicidade que garante, sob determinadas condições, a equação tem sempre solução
(BOYCE di PRIMA, 2002). Essa preocupação com a existência da solução não é puramente
uma preocupação matemática, pois se um problema não tem solução, gostaríamos de saber
deste fato desde o início de sua análise para evitar investir tempo e esforço na tentativa de
resolvê-lo. Além disso, se um problema físico, por exemplo, está sendo modelado
matematicamente por uma equação diferencial, então a equação deveria ter solução, pois caso
contrário presume-se que a formulação do problema deve ser avaliada.
Mas se supusermos que uma dada EDO tem pelo menos uma solução, uma segunda
questão surge. Quantas soluções ela tem? Que ou quais condições adicionais devemos
especificar para se obter uma única solução? Essas perguntas se referem à unicidade da
solução. Em geral, soluções de equações diferenciais ordinárias contêm uma ou mais
constantes arbitrárias, que aparecem nos processos de integração. Por exemplo,
()
kgttv
+
−
=
é a solução da equação
g
dt
dv
−= . Esta equação
(
)
kgttv
+
−
=
representa uma infinidade de
funções, correspondendo à infinidade de escolhas possíveis para a constante k. No entanto,
como vimos na seção anterior, se
(
)
0
0 vv
=
ou seja, se v for especificado em um instante t, no
caso,
0=t , essa condição determina um valor para a constante k dada por
0
vk = . Porém, isto
não garante que não possam existir outras soluções desta EDO, para as quais v tem o valor
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
40
especificado no instante t dado. Essa questão da unicidade também tem implicações práticas.
Se conseguirmos determinar uma solução de um problema dado e se soubermos que este tem
uma única solução, o problema é então resolvido. Caso contrário, sabendo da existência de
outras soluções, talvez tenhamos que continuar a busca pelas demais soluções.
Uma terceira e última questão que surge é: dada uma EDO na forma
()
(
)
(
)
1'
,...,,,
−
=
nn
xxxtfx , podemos de fato determinar uma solução? Se sim, como?
Observemos que, se encontrarmos uma solução da equação dada, respondemos,
simultaneamente, a questão da existência da solução. No entanto, desconhecendo esta teoria,
ou seja, o Teorema de Existência e Unicidade poderíamos, por exemplo, usar um computador
e, por meio de uma rotina, encontrar uma aproximação numérica para uma ‘solução’ que não
existe. Por outro lado, mesmo sabendo da existência da solução, pode não ser possível
expressá-la em termos das funções elementares, conforme já discutimos na seção anterior. E,
infelizmente, essa situação é a mais comum para a maioria das equações diferenciais
(BASSANEZI, 2002; BOYCE di PRIMA, 2002).
Porém, em geral, nos cursos de graduação este resultado não impõe nenhuma
dificuldade maior aos alunos já que este teorema é trabalhado logo no início da disciplina de
uma única vez, e a partir daí buscam-se os métodos analíticos de resolução das equações, já
que na grande maioria dos cursos, esta disciplina é basicamente operacional. E, além disso, a
maioria dos modelos matemáticos, que são estudados na disciplina, envolve funções que
atendem as condições do teorema. No entanto, esse resultado deve ter sua relevância quando o
estudo de EDO é proposto, principalmente quando os modelos são analisados por métodos
numéricos, onde se busca soluções aproximadas destes e, portanto, ter a garantia de que elas
existem é imprescindível.
2.1.4 O ensino de Equações Diferenciais Ordinárias
Em cursos como Biologia, Física, Ecologia e Engenharias, o conteúdo de EDO pode
ser ministrado como seqüência do tópico “métodos de integração”, ou ainda pode ser
ministrado em uma disciplina específica de equações diferenciais. De maneira geral, o ensino
desta disciplina, nos cursos de graduação, se dá através da apresentação dos vários métodos
de resolução de tipos de equações diferenciais integráveis, com a aplicação de listas de
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
41
exercícios, as quais podem ser resolvidas pelos métodos apresentados, tornando-o assim um
ensino instrumental (MORENO M. & AZCÁRATE GIMÉNEZ, C, 2003).
Segundo Moreno e Azcárate Gimenez (2003), pouco se tem trabalhado com o ensino
de modelagem e de aplicações. E que esse fato se deve a dois motivos principais. O primeiro
deles está na dificuldade conceitual da modelagem e necessidade de conhecimentos
matemáticos dos quais os alunos não possuem, o que leva os professores a se acomodarem
com o ensino mecânico e instrumental de métodos de resolução de equações diferenciais.
O segundo motivo, segundo os pesquisadores, consiste na concepção pessoal do
professor a respeito da Matemática Aplicada e sua posição no âmbito da Matemática. Alguns
professores estabelecem uma clara linha divisória entre a matemática pura – “matemática de
verdade”, tradicional e “de toda vida” (grifo do autor) e os conteúdos e técnicas próprias da
matemática aplicada, dando primazia à matemática pura em relação à matemática aplicada.
Assim, nessa abordagem que privilegia os aspectos algébricos, a ênfase da disciplina
consiste na determinação da solução analítica, o que, em muitas vezes, minimiza o processo
de modelagem matemática, bem como a interpretação e o comportamento da solução do
modelo analisado.
Em vista disso, pode-se agregar ao ensino de EDO a abordagem qualitativa. A
expressão “abordagem qualitativa”, aqui utilizada, consiste no processo de inferir sobre o
comportamento das soluções de uma equação diferencial ordinária, por meio das
interpretações geométricas obtidas através dos campos de direções, sem, necessariamente,
encontrá-las. Esse método é denominado de Teoria Qualitativa.
2.1.4.1 Abordagem qualitativa no ensino de equações diferenciais
ordinárias: campos de direções
Os fundamentos da teoria qualitativa de equações diferenciais foram desenvolvidos,
no final do século XIX por Henry Poincaré (1854-1912) e por Alexander Liapunov (1857-
1918). Poincaré fez o uso extensivo dos métodos geométricos, a respeito das soluções dos
sistemas de equações diferenciais como curvas em um espaço apropriado.
Uma nova abordagem para determinar soluções periódicas de equações diferenciais,
que governam o movimento planetário, a estabilidade dos planetas e as órbitas de satélites, foi
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
42
por ele iniciada. As equações para o movimento dos três corpos não podem ser resolvidas
explicitamente em termos de funções elementares conhecidas. Desta forma, o problema da
estabilidade não podia ser resolvido examinando a solução analítica, já que esta não podia ser
explicitada. Assim, ele sugeriu um método no qual o problema poderia ser respondido
examinando-se as próprias equações diferenciais. A teoria, inicialmente, foi chamada de
teoria qualitativa das equações diferenciais. Para tal, ele sugeriu as questões:
O movimento do ponto descreve uma curva fechada? Permanece sempre no
interior de certa porção do plano? Em outras palavras, perguntando na
linguagem da astronomia, nós podemos questionar se a órbita é estável ou
instável?
(KLINE, 1972, p.732)
12
.
Esta abordagem propicia analisar o modelo por meio de sua própria equação e não
através de suas soluções analiticamente explicitadas. Desta forma, criou-se uma teoria geral
do comportamento das soluções das equações diferenciais de segunda ordem e com isto foi
possível resolver um número de problemas fundamentais na dependência das soluções em
parâmetros. Liapunov fundou a teoria moderna da estabilidade do movimento, a teoria da
estabilidade. Para um estudo aprofundado do assunto pode-se recorrer a Kline (1972).
Para o entendimento do que estamos chamando de análise qualitativa de equações
diferenciais ordinárias, proposta por Poincaré, vamos definir o conceito de campos de
direções.
2.1.4.1.1 Campos de direções
Uma EDO de primeira ordem define, explicita ou implicitamente, uma função
diferenciável
ℜ→Df : , onde D é um subconjunto de
2
ℜ . Por exemplo, na equação linear
3
2 xy
dx
dy
x =+ , a função f pode ser encontrada resolvendo a equação
()
2'
2
, x
x
y
dx
dy
yyxf +−=== . A Função
f
é definida em
(
)
{
}
0;,
2
≠ℜ∈ xyx .
No entanto, nosso objetivo aqui não consiste em buscar métodos de resolução da
equação e sim definir um objeto que nos auxilia a determinar propriedades de tais soluções
sem mesmo calculá-las.
12
Tradução de: Does the moving point describe a closed curve? Does it always remain in the interior of a certain
portion of the plane? In other words, and speaking in the language of astronomy, we have inquire whether the
orbit is stable or unstable?
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
43
Para isto, inicialmente, recordemos do Cálculo que se
()
xyy = é uma função
derivável em um intervalo aberto
(
)
baI ,
=
e seja Ix
∈
0
, então
(
)
0
'
xy nos dá a inclinação da
reta tangente
t ao gráfico de
(
)
xyy = , no ponto
(
)
(
)
00
, xyx (Figura 2.3).
Figura 2.3. Gráfico da função
(
)
xy e da reta tangente
r
Portanto, se
()
xyy = é solução de
(
)
yxfy ,
'
= definida em um intervalo aberto
()
baI ,= , então essa equação diferencial fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico de
()
xy
, para todo Ix∈ . Mas se não conhecemos
(
)
xyy
=
, solução da equação diferencial?
Neste caso podemos construir um diagrama que nos auxilie a esboçar o
comportamento das soluções
(
)
xyy
=
de
(
)
yxfy ,
'
= (caso existam), levando-se em
consideração que o gráfico de
()
xy , que passa pelo ponto
(
)
000
, yxP
=
tem reta tangente neste
ponto com inclinação
() ( )
000
'
0
, yxfxy =
.
O campo de direções da equação diferencial é um gráfico da função
f
no seguinte
sentido: para cada ponto
()
yxP ,=
do domínio, f define uma direção de qualquer solução y
que passe pelo ponto
()
yxP ,= . Essa direção é representada por um pequeno segmento de
reta cujo coeficiente angular é o valor da função
f naquele ponto
()
yxP ,
=
e cuja origem do
segmento é o ponto
()
yxP ,=
. Um campo de direções, desenhado em uma malha
razoavelmente fina, ou seja, desenhado para muitos pontos do plano, fornece uma boa idéia
do comportamento global das soluções de uma equação diferencial. Dessa forma, cada
0
x
r
()
xy
x
1
x
r
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
44
segmento de reta é tangente ao gráfico de uma solução da equação diferencial ordinária
contendo aquele ponto.
Com a finalidade de ilustrar a definição de campo de direções, apresento a aplicação
deste conceito na análise do problema clássico da física, um objeto em queda. Esse modelo
matemático foi investigado pelos alunos participantes. Esta investigação compõe o episódio
“objeto em queda”, e será apresentado e analisado no capítulo de apresentação e análise dos
dados, capítulo 4 dessa tese.
2.1.4.1.2 Queda dos corpos: um exemplo
Suponha que um objeto de massa
m
esteja caindo na atmosfera, próximo ao nível
do mar. Suponha ainda, que o objeto cai em queda vertical, influenciado apenas pela ação da
gravidade.
De acordo com a Segunda Lei de Newton, tem-se que
dt
dv
mF
= , onde a função
desconhecida é a velocidade vertical
v, dependente do tempo t e
F
é a resultante das forças
que atuam no objeto. Neste caso, a única força que atua no objeto em queda é seu peso. Um
diagrama de forças, que pode ser utilizado para que os alunos possam entender este modelo
que esta sendo construído, é esboçado na Figura 2.4.
Figura 2.4. Diagrama de forças atuando sobre um objeto em queda livre
Assim, mg
dt
dv
m = , onde m , a massa do objeto e,
g
a aceleração devido à
gravidade, são denominados parâmetros. Ou ainda, a equação pode ser reescrita por
g
dt
dv
= .
Esse modelo ignora a resistência do ar. Ele representa a função
(
)
gvtf =, . Considerando que
2
/ 8,9 smg = , temos que 8,9=
dt
dv
e assim estamos procurando descobrir curvas
(
)
tv de tal
forma que em cada ponto, do sistema cartesiano
tv, a inclinação de sua reta tangente seja
igual a
8,9
, ou seja, estamos procurando determinar uma curva cuja inclinação da reta
m
m
g
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
45
tangente a cada ponto é constante e igual a 9,8. O ângulo a que esta inclinação corresponde é
de aproximadamente 84 graus. Assim, o campo de direções, para este modelo, é apresentado
na Figura 2.6 (a). E, a partir desse gráfico podemos inferir sobre as curvas procuradas. Qual
seu comportamento? Elas tendem para algum valor constante? Elas tendem para infinito
quando o tempo tende para infinito? Que tipo de curva aproxima essas inclinações tangentes?
Se resolvermos essa equação diferencial ordinária, sua solução é dada por
()
kttv += 8,9 , onde a constante k pode ser determinada pela condição inicial
()
0
0 vv
=
e,
portanto
()
0
8,9 vttv
+
= . E, podemos comparar o comportamento dessa expressão algébrica
com a análise do campo de vetores.
Por outro lado, se consideramos a influência da resistência do ar e que esta é
proporcional à velocidade do objeto em queda, podemos utilizar um tipo de diagrama para
representar as forças que atuam no objeto em queda, conforme ilustrado na Figura 2.5, para
que o aluno possa “ver” a questão proposta. A resultante das forças que atuam no objeto é
dada por
vmgF
γ
−= , onde o parâmetro 0>
γ
é chamado coeficiente da resistência do ar. As
constantes
m e
γ
dependem fortemente do objeto particular que está caindo e, em geral, será
diferente para objetos diferentes.
Figura 2.5. Diagrama explicativo para queda livre com resistência do ar
E assim, o modelo matemático, para esta situação, é representado por
vmg
dt
dv
m
γ
−=
, ou ainda,
v
m
g
dt
dv
γ
−=
. Considerando que
Kgm 10
=
, sKg / 2=
γ
e
2
/ 8,9 smg = , temos que
5
8,9
v
dt
dv
−= e o campo de direções para esse modelo é apresentado
na Figura 2.6(b).
m
m
g
v
γ
−
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
46
(a) Campo de direções de 8,9=
dt
dv
(b) Campo de direções de
5
8,9
v
dt
dv
−=
Figura 2.6. Campos de direções gerados no Winplot
Este campo de direções representa a função
()
5
8,9,
v
vtf
−= . Isto é, representa um
conjunto de curvas que a cada ponto
(
)
vt, tem como vetores tangentes esses vetores
representados no plano cartesiano. Neste caso, estamos procurando por curvas no plano
tv
que possuam vetores tangentes, a cada ponto, dado por
5
8,9
v
− . Por exemplo, para 0
=
v ,
8,9=
dt
dv
para todo ℜ∈t . Isto significa que qualquer curva solução que passa pelos pontos
da forma
()
0,t , tem inclinação 9,8 e, portanto são curvas cujos coeficientes angulares das
tangentes nesses pontos são dados por 9,8. Por outro lado, podemos então calcular qual o
ângulo cujos coeficientes angulares destas retas tangentes às estas curvas soluções valem 9,8
que é aproximadamente 84,2 graus. Esses vetores tangentes estão representados no gráfico
esboçado na Figura 2.6(b). Para
30
=
v , teremos um ângulo de 75,3 graus aproximadamente.
Podemos utilizar uma planilha de cálculo para realizar estes cálculos, obtendo a Tabela 1, a
seguir.
v dv/dt arctg(dv/dt) graus
0 9,8 1,469107 84,2
5 8,8 1,457645 83,6
10 7,8 1,443287 82,7
15 6,8 1,424784 81,7
20 5,8 1,400061 80,3
25 4,8 1,365401 78,3
30 3,8 1,313473 75,3
35 2,8 1,227772 70,4
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
47
40 1,8 1,063698 61,0
45 0,8 0,674741 38,7
50 -0,2 -0,1974 -11,3
55 -1,2 -0,87606 -50,2
60 -2,2 -1,14417 -65,6
65 -3,2 -1,26791 -72,7
70 -4,2 -1,33705 -76,6
75 -5,2 -1,38081 -79,2
80 -6,2 -1,41088 -80,9
85 -7,2 -1,43279 -82,1
90 -8,2 -1,44944 -83,1
95 -9,2 -1,46253 -83,8
100 -10,2 -1,47307 -84,4
Tabela 1 – ângulos dos vetores diretores
A importância dos campos de direções encontra-se, justamente, na compreensão de
que cada segmento de reta representado é tangente ao gráfico de uma solução do modelo
analisado. Assim, mesmo não tendo resolvido analiticamente o modelo, ou seja, mesmo não
tendo determinado qualquer solução e não aparecendo o gráfico de nenhuma solução na
figura, podemos fazer deduções qualitativas acerca do modelo.
Observando as Figuras 2.6(a) e 2.6(b), podemos verificar como os dois modelos
diferem. Analisando a Figura 2.6(a) podemos concluir que a função velocidade v é crescente
para todo
t. Porém, observando a Figura 2.6(b), podemos predizer que a função velocidade
v
tem um valor limitante. Se
v for menor que um determinado valor crítico, então todos os
segmentos de reta têm coeficientes angulares positivos e a velocidade do objeto aumenta
enquanto ele cai. Por outro lado, se
v for maior que este valor crítico, os segmentos de reta
têm coeficientes angulares negativos e o objeto em queda vai diminuindo a velocidade à
medida que cai. Então, qual é esse valor crítico da velocidade? Voltando para a equação
v
m
g
dt
dv
γ
−= , pergunta-se quais os valores de
v
que farão com que
dt
dv
seja nulo? E, assim
podemos formular perguntas como:
•
Se uma bola for jogada com velocidade inicial de 100 unidades, qual o gráfico que
representará a função velocidade?
•
Se um pára-quedista saltar de um avião, como será o gráfico de sua velocidade?
•
Como os valores de
m
e
γ
afetam o campo de direções?
Portanto, o campo de direções pode responder muitas questões sobre uma equação
diferencial, sem necessariamente termos determinado sua solução analítica. E, este pode ser
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
48
facilmente esboçado pelo computador e, em muitas situações, é um primeiro passo bastante
útil na investigação sobre uma equação diferencial.
Esta análise qualitativa pode tornar-se mais interessante quando auxiliada pelas
mídias informáticas, visto que podemos, através de uma planilha de cálculo, realizar os
cálculos dos coeficientes angulares, por exemplo, para esboçar os campos de direções, ou
ainda, podemos, com um
software gráfico, esboçar esse campo de direções, ou ainda, com um
software algébrico, além de esboçar o campo de direções, pode-se calcular a solução da EDO
e compará-la com a análise elaborada por meio dos campos de direções.
2.2 Cálculo, Equações Diferenciais Ordinárias e Tecnologias da
Informação e Comunicação
Nas últimas décadas vêm acontecendo movimentos para revitalizar o currículo e o
ensino de Cálculo. Tanto em âmbito nacional como internacional existem várias pesquisas
sobre os processos de ensino e de aprendizagem de Cálculo com o uso de TIC.
O GPIMEM tem se dedicado a estudar o papel das diferentes TIC na produção de
conhecimento matemático. Dentre as pesquisas realizadas por membros deste grupo algumas
têm como objetivo investigar diversos aspectos relacionados ao ensino e aprendizagem do
Cálculo. Villarreal (1999), por exemplo, apresenta um estudo que tem como objetivo
caracterizar os processos de pensamento de estudantes que trabalham com questões
matemáticas de Cálculo em um ambiente computacional.
Araújo (2002) traz um extenso levantamento bibliográfico de pesquisas sobre
questões relacionadas ao ensino e aprendizagem de Cálculo. A pesquisadora afirma que, em
geral, as formas de se abordar os problemas são variados, porém, existe um grande número de
trabalhos apresentando o uso de computadores e/ou calculadoras gráficas como uma
alternativa para os problemas encontrados ou ainda para analisar os recursos na disciplina de
Cálculo.
Já Scucuglia (2006) faz um estudo exploratório sobre o Teorema Fundamental do
Cálculo, a partir de experimento de ensino realizado por duplas de estudantes, auxiliados por
calculadoras gráficas. Ele pesquisou como os alunos exploram esse conceito e como eles
elaboram possíveis conjecturas para provas ou demonstrações em casos particulares. Ainda,
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
49
Olímpio (2005) apresenta em sua pesquisa como a produção escrita e as TI trazem novas
possibilidades no ensino de Cálculo.
Além desse “mosaico” de pesquisas desenvolvidas pelo GPIMEM, trabalhos como o
de Rezende (2003), cita pesquisadores como David Tall, que tem se preocupado com questões
que giram em torno das dificuldades encontradas na aprendizagem de conceitos básicos de
Cálculo, tendo a psicologia cognitiva como pano de fundo para suas análises epistemológicas.
Relata ainda, que na década de 80, do século passado, o matemático Peter Lax mobilizou um
movimento em prol da reforma do ensino de Cálculo, que ficou conhecido como
Calculus
Reform
, o qual teve como características básicas o uso de tecnologias, isto é, o uso de
softwares computacionais e de calculadoras gráficas.
Em decorrência desse movimento, tem-se observado que o ensino de Equações
Diferenciais pode vir a apresentar mudanças. E, esta possível mudança está baseada em dois
fatores. Primeiro, com a introdução e uso de computadores e experimentos computacionais no
curso básico de Cálculo, os estudantes iniciam o curso de Equações Diferenciais com
experiência no uso de computadores e programas computacionais gráficos e algébricos para
explorar e resolver problemas matemáticos. Um segundo fator se dá por conta do próprio
avanço da ciência dos computadores, o qual propicia uma investigação das Equações
Diferenciais voltada mais para o aspecto qualitativo (KALLAHER, 1999).
O estudo qualitativo de equações diferenciais, proposto por Poincaré, em geral, é
utilizado na área da pesquisa. Por diversos motivos, já apresentados na seção anterior, a
análise qualitativa não é enfatizada nos cursos de Equações Diferenciais. Pelo contrário, a
solução algébrica das equações sempre é a mais enfatizada, levando os alunos à memorização
de fórmulas com pouco ou nenhum entendimento dos processos que são modelados e da
matemática envolvida na resolução desses modelos (KALLAHER, 1999).
E ainda, segundo esse pesquisador, mudanças têm ocorrido, nos últimos quinze
anos, impulsionadas pelo avanço dos equipamentos computacionais e softwares matemáticos,
tais como o Maple, Mathematica, dentre outros. Essas mudanças nos levam a crer que o
ensino de Equações Diferenciais pode ser tomado de um ponto de vista qualitativo,
enfatizando o desenvolvimento matemático e os processos envolvidos no modelo. E segundo
ele, um ponto positivo da utilização dos computadores e de softwares está na possibilidade
que estes propiciam para exploração de equações e de sistemas dinâmicos. Um outro ponto,
ainda levantado por Kallaher (1999), consiste em, com a inserção das tecnologias
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
50
informáticas no estudo de EDO têm-se mais possibilidades de exploração de modelos mais
realistas.
Habre (2000) afirma que a disciplina EDO tem passado por importantes mudanças
em favor de aspectos visuais e numéricos, mas que existem poucas pesquisas acerca dos
efeitos dessas reformas com relação ao entendimento dos alunos quando essa abordagem é
utilizada. Segundo ainda este autor, um curso introdutório de equações diferenciais, em geral,
consiste basicamente da apresentação de estratégias para determinar fórmulas para soluções,
juntamente com a aplicação de inúmeros exercícios elaborados de tal forma que suas soluções
possam ser determinadas, como funções elementares, por tais métodos.
Porém, ressalta que esta disciplina também faz parte das grades curriculares de
cursos como a Física, a Biologia e as Engenharias, dentre outros, e ao se modelar um
problema aplicado por uma equação diferencial, na maioria dos casos, suas soluções não são
expressas como funções elementares, isto é, não possuem soluções analíticas. Segundo
Hubbard (
apud HABRE 2000, p. 455), “existe uma alarmante discrepância entre a visão de
equações diferenciais como a ligação entre a matemática e a ciência e o curso padrão de
equações diferenciais.” Afirma ainda, “mesmo quando as soluções podem ser escritas
analiticamente, a procura destas, através dos métodos de resolução, freqüentemente oculta a
questão central: Como as soluções se comportam?”.
Kallaher (1999) acredita que alunos oriundos desta disciplina, onde a abordagem
prioriza apenas o aspecto algébrico de resolução das equações, têm pouco entendimento do
que representam as soluções em uma situação de aplicação. E, então, sugere que a abordagem
qualitativa deve ser adotada para se introduzir um curso de equações diferenciais, ou seja,
além das técnicas de resolução analíticas também devem ser utilizados métodos numéricos e
idéias geométricas para esboçar soluções aproximadas, onde os alunos possam interpretar e
justificar o que vêem.
No entanto, Rasmussen (2001) afirma que existe uma tendência de se introduzir o
ensino de EDO com as abordagens geométrica e numérica para analisar o comportamento das
equações diferenciais. Ele cita como exemplos dos primeiros livros-texto para estudantes
universitários que refletem essas novas direções, os livros desenvolvidos por Artigue and
Gautheron em 1983, por David Tall em 1986 e por Tall e West em 1986. Recentemente,
segundo ele, exemplos de como métodos numéricos e gráficos podem ser usados para analisar
equações diferenciais em um curso introdutório são ilustrados em Revolutions in differential
equations de Kallaher (1999) e Special issue on differential equations de West, 1994. Afirma
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
51
ainda que, essa nova abordagem é também encontrada em vários livros-texto, como por
exemplo, em: Differential Equations de Blanchard, Devaney & Hall, 1998; Differential
Equations: a modeling perspectives de Borrelli & Coleman, 1998; Differential Equations: a
dynamical systems approach, de Hubbard & West, 1991 e An Introduction to Differential
Equations: order and chaos de Diacu, 2000.
Apesar de não ser citado por Rasmussen (2001), o livro Equações Diferenciais
Elementares e Problemas de Valores de Contorno de Boyce e DiPrima (2002), em duas
diferentes versões, terceira e sétima edição, também apresenta essa tendência de evidenciar os
aspectos geométricos. A apresentação do conteúdo nessas duas versões sofreu alterações e a
abordagem qualitativa começa ser evidenciada na sétima edição.
No levantamento bibliográfico, não encontrei, no cenário nacional, pesquisas
exploratórias sobre questões envolvendo o ensino de EDO com a abordagem qualitativa.
Bonafini (2004) desenvolveu uma pesquisa que teve por objetivo analisar como os alunos
integram conceitos matemáticos e físicos, com o uso de tecnologias informáticas, mais
precisamente com o uso de CBL
13
(Calculator Basead Laboraty) e a calculadora gráfica. Sua
pesquisa não tem como objetivo analisar o ensino de equações diferenciais, porém, em uma
de suas atividades propostas, os alunos foram levados a analisarem uma equação diferencial
ordinária em particular.
Rasmussen (2001), afirma que apesar de alguns livros-texto apresentarem essa nova
abordagem, pouco se tem pesquisado e publicado acerca das mudanças ocorridas no contexto
do ensino e da aprendizagem desta disciplina. Ele acredita que existe a necessidade de se
realizar estudos sobre o entendimento e as dificuldades dos alunos quando os conceitos de
equações diferenciais são estudados, com essa abordagem qualitativa. Acredita que essas
pesquisas possam dar indícios para uma possível reestruturação curricular desta disciplina. E,
esse é o objetivo deste trabalho, buscar entender como os alunos investigam alguns modelos
matemáticos, abordando-os qualitativamente auxiliados pelas mídias informáticas.
Até décadas passadas, antes do advento das TIC, essa abordagem geométrica seria
menos atrativa por conta das dificuldades de visualização, porém o avanço dos softwares
gráficos e algébricos tem propiciado tanto ao docente quanto ao aluno, maiores possibilidades
visuais que auxiliam na interpretação e análise. Diante disso, acredito que a formulação dos
13
O CBL também é um aparelho utilizado para coleta de dados. É um aparelho portátil que funciona com pilhas
e, por possuir memória e um microprocessador próprio, é possível utilizá-lo como um dispositivo autônomo na
medição de grandezas (BONAFINI 2004).
Capítulo 2 – Ensino de Equações Diferenciais e TIC
52
modelos e a interpretação das soluções ou do comportamento das soluções, através dos
campos de direções, são tão importantes quanto às técnicas de resolução das EDO e que este
aspecto deve ser trabalhado para que os alunos desenvolvam essa capacidade de análise e
interpretação.
No próximo capítulo, apresento os procedimentos metodológicos que sustentaram a
investigação aqui apresentada.
53
Capítulo 3 - Metodologia de Pesquisa
Introdução
Nas diversas áreas do conhecimento, pesquisas são realizadas no paradigma
quantitativo ou no qualitativo. No entanto, antes de explicitar qual abordagem utilizada nesta
tese, necessito explicitar o que entendo por abordagem qualitativa e abordagem quantitativa
como paradigmas de pesquisa. No senso comum quantitativo e qualitativo são tidos como
opostos, isto é, enquanto que o quantitativo se preocupa em medir, quantificar um
determinado aspecto objetivo acerca das coisas do mundo, o qualitativo se preocupa em
qualificar, em atribuir qualidades, tratando de questões subjetivas dessas mesmas coisas.
(BICUDO, 2004).
No dicionário Houaiss (2001), o significado do termo qualitativo é dado por
“qualitativo é um adjetivo que é relativo à qualidade, que qualifica. Sua etimologia é ligada a
qual cujo sentido é de qualidade, natureza das coisas”. E assim, já que qualitativo é um
adjetivo ligado à qualidade, vamos à procura do sentido deste termo no dicionário de filosofia.
O termo qualidade em Abbagnano (2000, p.816) é dado por:
Qualquer determinação de um objeto. Como determinação qualquer, a
qualidade distingue-se da propriedade [qualquer qualidade, atributo,
determinação que sirva para caracterizar um objeto ou para distingui-lo dos
outros], que, em seu significado específico, indica a qualidade, que
caracteriza ou individualiza o próprio objeto, sendo portanto própria dele.
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
54
A noção de qualidade é bastante extensa e de difícil redução a um único conceito.
Pode-se dizer que a tarefa de definir o que é qualidade nos remete à caracterização de uma
família de conceitos, a qual tem em comum a função de responder à pergunta ‘qual?’
(ABBAGNANO, 2000). Segundo Abbagnano (2000), a caracterização em quatro grupos da
noção de qualidade, feita por Aristóteles, é considerada a melhor exposição sobre o conceito e
é dada por:
1.
Qualidade como os hábitos e as disposições, sendo o hábito mais estável e duradouro que
a disposição. Os hábitos seriam a temperatura, a ciência e, em geral, as virtudes. Já a
doença, o calor, a saúde, o frio seriam as disposições.
2.
Qualidade como capacidade ou incapacidade natural como, por exemplo, lutadores,
corredores, sãos e doentes. Esta qualidade foi chamada de ativa pelos escolásticos.
3.
Qualidade constituída pelas afeições
14
, qualidades sensíveis, como por exemplo, as cores,
os sabores, os sons e os cheiros. Foram denominadas, pelos escolásticos, de qualidades
passivas.
4.
Qualidade como forma ou determinações geométricas, como, por exemplo, pela figura
(quadrado, círculo, etc.) ou pela forma (retilínea ou curvilínea).
Segundo Abbagnano(2000), essas quatro caracterizações elaboradas por Aristóteles
são consideradas as melhores já estabelecidas na literatura e se as distanciarmos da metafísica
aristotélica, estas podem ser reduzidas em três grupos:
Determinações disposicionais, que compreendem disposições, hábitos,
costumes, capacidades, faculdades, virtudes, tendências, ou qualquer outro
nome que se queira dar às determinações constituídas por possibilidades do
objeto;
Determinações sensíveis, simples ou complexas que são fornecidas por
instrumentos orgânicos: cores, sons, sabores, etc.;
Determinações mensuráveis, que se submetem a métodos objetivos de
medida: número, extensão, figura, movimento, etc. (ABBAGNANO, 2000,
p. 816).
Abbagnano (2000) afirma que essa modificação, acerca da caracterização de
qualidade, tornou-a correspondentes à classificação feita por Locke. Isto é:
(a) são as que Locke incluiu na terceira espécie de qualidade: ‘aquelas que
todos concordam em considerar apenas como meras capacidades que os
corpos têm de produzir certos efeitos, embora se trate de qualidade tão reais
no objeto quanto as que, para adequar-se ao modo comum de falar, chamei
14
Segundo Bicudo (2004), “o termo afeição aqui está empregado como afecção, isto é, no sentido de ser afetado
por”.
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
55
de qualidade, mesmo distinguindo-as das outras pelo nome de qualidades
secundárias.
(b) e (c) correspondem às que Locke chamava, respectivamente, de
qualidades primárias e secundárias. Assim retificada, a distinção entre as
várias espécies de qualidade abrange todo o campo das discussões e dos
problemas a que deu origem na tradição filosófica (ABBAGNANO, 2000,
p. 816).
Segundo, ainda Abbagnano, (2000), as qualidades caracterizadas em (b) e (c) são
tradicionalmente distinguidas como primárias e secundárias, respectivamente. Os termos
‘primário’ e ‘secundário’ foram colocados por Boyle, mas essa distinção antiga é atribuída a
Demócrito e retomada por filósofos como Galileu, Hobbes, Descartes e por Locke, que a
difundiu na filosofia européia.
A base da distinção é a possibilidade de quantificação que as qualidades no
sentido (c) têm em relação às do sentido (b): por essa possibilidade, fogem
às valorações individuais, mostrando-se independentes do sujeito e
plenamente ‘objetivas’ ou ‘reais’ (ABBAGNANO, 2000, p. 817).
Essa distinção foi combatida por pensadores como Berkeley que afirmava que nem
mesmo as qualidades primárias são objetivas, e que tanto as qualidades primárias quanto as
secundárias são subjetivas (ABBAGNANO, 2000).
O conceito de quantitativo, como a possibilidade da medida, foi definido por Platão
e Aristóteles que acreditavam que somente o quantitativo era o objeto do saber, como por
exemplo, Platão afirmou: “conhece realmente os sons quem não admite que eles sejam
infinitos nem procura reduzí-los a um único som, mas conhece a quantidade deles, ou seja,
seu número.” (Fil., 17ª, 18b apud ABBAGNANO, 2000, p. 818). Então, é nesse sentido que
surgem as concepções de pesquisa nas abordagens qualitativa e quantitativa.
Como afirma Bicudo (2004):
O quantitativo tem a ver com o objetivo passível de ser mensurável. Ele
carrega consigo as noções próprias ao paradigma positivista, que destaca
como pontos importantes para a produção da ciência a razão, a objetividade,
o método, a definição de conceitos, a construção de instrumentos para
garantir a objetividade da pesquisa (BICUDO, 2004, p. 103).
O qualitativo engloba a idéia do subjetivo, passível de expor sensações e
opiniões. O significado atribuído a essa concepção de pesquisa também
engloba noções de respeito de percepções de diferenças e semelhanças de
aspectos comparáveis de experiências (BICUDO, 2004, p. 104).
Sendo assim, pesquisas no paradigma qualitativo surgem como uma possibilidade
para investigação. Nesta abordagem, a pesquisa pode ser concebida como uma trajetória
circular em torno do que se deseja compreender, não se preocupando única e exclusivamente
com seus princípios, leis e generalizações, mas sim focando nos elementos que se constituem
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
56
significativos para o pesquisador. Essa forma de compreender a pesquisa leva a não
neutralidade do pesquisador em relação à pesquisa, pois ele atribui significado, seleciona o
que do mundo quer investigar e conhecer e assim interage com esse mundo e dispõe a
comunicá-lo (BICUDO, 2005).
Portanto, podemos definir pesquisa qualitativa como um modelo, uma forma de se
fazer pesquisa, onde o foco, o olhar da pesquisa encontra-se nas relações que tem significado
para o pesquisador. Então, de forma geral, quando estamos elaborando ou executando uma
pesquisa em Educação Matemática, estamos buscando entender as relações que acontecem
com os “objetos” de nosso estudo, ancorados em uma perspectiva teórica que sustenta nossa
forma de conceber o mundo em que vivemos.
É claro que esta opção pela pesquisa qualitativa traz uma nova tensão nesta
pesquisa: o qualitativo que falamos aqui para adjetivar a metodologia de pesquisa é o mesmo
que o discutido no capítulo anterior?
Como vimos, os filósofos definiram quatro tipos de qualidade. Filósofos da
educação usam uma acepção própria para caracterizar a pesquisa qualitativa e aqui deve ser
dito que análise qualitativa do modelo matemático significa buscar propriedades do modelo
em análise sem necessariamente procurar sua solução analítica, buscar inferir sobre suas
características através da análise geométrica das equações através dos campos de vetores, isto
é, interpretar um determinado fenômeno, elaborando assim um modelo matemático que o
represente, investigá-lo e compreendê-lo. Assim como na abordagem qualitativa para o ensino
de EDO, também no âmbito da pesquisa científica o termo
qualitativo quer dizer interpretar,
compreender, investigar.
Para desenvolver a pesquisa aqui apresentada, que tem como questão central: “Quais
as possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às equações diferenciais ordinárias
através da análise qualitativa dos modelos matemáticos, com o auxilio de Tecnologia de
Informação e Comunicação?” foi necessário escolher a abordagem metodológica de pesquisa.
Essa escolha deve ser coerente com meus objetivos de pesquisa, com a minha postura de
pesquisadora, de professora, enfim, deve haver uma coerência entre os procedimentos
utilizados e a minha visão de conhecimento. Alves-Mazzotti (2004, p.160) afirma que “não há
metodologias ‘boas’ ou ‘más’ em si, e sim metodologias adequadas ou inadequadas para tratar
um determinado problema”. Desta forma, procuro características desta pesquisa que
fundamentam minha escolha metodológica.
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
57
Uma dessas características refere-se à origem desta pesquisa; deu-se da preocupação
com minha própria prática docente, e mesmo ainda de forma incipiente, me instigou a
pesquisar. De acordo com Goldenberg (2001, p. 79):
Com relação ao tema de estudo, vale lembrar mais uma vez que a escolha
de um assunto não surge espontaneamente, mas decorre de interesses e
circunstâncias socialmente condicionadas. Essa escolha é fruto de
determinada inserção do pesquisador na sociedade. O olhar sobre o objeto
esta condicionado historicamente pela posição social do cientista e pelas
correntes de pensamento existentes.
E, o fato da pesquisa não estar totalmente determinada a priori, ou seja, questões em
aberto foram colocadas e seguiram de guia para o desenvolvimento dos passos seguidos no
decorrer do tempo, revelou outra característica marcante do que Lincoln & Guba (1985),
chamam de design emergente; tanto o foco da pesquisa quanto os procedimentos
metodológicos foram sendo desenvolvidos à medida que fui desenvolvendo a pesquisa. O
termo design é entendido como o planejamento da pesquisa, como definido por Alves-
Mazzotti (2004, p. 147):
O design corresponde ao plano e às estratégias utilizadas pelo pesquisador
para responder às questões propostas pelo estudo, incluindo os
procedimentos e instrumentos de coleta, análise e interpretação dos dados,
bem como a lógica que liga entre si diversos aspectos da pesquisa.
Para dar conta da investigação proposta, o design foi sendo construído no
desenvolvimento da mesma, com certa flexibilidade, com observação e interação com os
participantes da pesquisa. Os instrumentos foram sendo corrigidos e adaptados durante todo o
processo de trabalho, visando atingir os objetivos propostos da pesquisa. E, com passos
iniciais não muito rígidos iniciamos os procedimentos metodológicos.
3.1. Procedimentos metodológicos
Desde o início da pesquisa, como um dos meus pressupostos, eu acreditava na
importância de propiciar um ambiente de investigação o mais próximo possível a uma sala de
aula, com todos os elementos peculiares a ela, ou seja, com alunos trabalhando, em duplas,
sobre determinados conteúdos, com uma proposta pedagógica, objetivando atingir o estudo
desses conteúdos predeterminados.
No segundo semestre do ano de 2005, apliquei atividades envolvendo os modelos de
crescimento populacional de Malthus e Verhulst aos alunos do curso de Ecologia, na
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
58
disciplina Cálculo II, disciplina na qual eles estudam, dentre outros conteúdos, introdução às
equações diferenciais ordinárias. Denotamos esse tipo de atividade como “atividade piloto”,
na qual o objetivo maior foi verificar se as atividades propostas estavam encaminhadas de tal
forma a suscitar discussões nos grupos de alunos. Elas aconteceram em duas aulas de duas
horas cada no LIEM – Laboratório de Informática e Educação Matemática. Após esse piloto,
essas atividades foram reelaboradas para fazerem parte das atividades que foram
desenvolvidas pelos alunos participantes dessa pesquisa.
O cenário da coleta dos dados foi o LIEM, em um Curso de Extensão Universitária
oferecido aos alunos do Curso de Matemática do Instituto de Geociências e Ciências Exatas
(IGCE) da UNESP, campus de Rio Claro, sob a responsabilidade do Prof. Dr. Marcelo de
Carvalho Borba. No entanto assumi a posição de docente do curso. Sendo assim, minha
atuação na pesquisa é como membro participativo e, como afirma Alves-Mazzotti (2004, p.
166) “na observação participante, o pesquisador se torna parte da situação observada,
interagindo por longos períodos com os sujeitos, buscando partilhar o seu cotidiano para
sentir o que significa estar naquela situação”.
Este curso teve a duração de 36 horas, dividido em 18 aulas de 2 horas cada, às
terças e quintas-feiras das 19h30min às 21h30min, no período de 04/04/2006 a 08/06/2006.
Ele foi planejado em cinco grandes temas, que denominamos por blocos. O primeiro bloco
tem por objetivo identificar uma equação diferencial ordinária, saber o significado de uma
solução, de um problema de valor inicial, da existência e unicidade das soluções. O objetivo
do segundo bloco consiste em analisar alguns modelos tais como: modelos de crescimento
populacional de Malthus, de Verhulst, de aquecimento/resfriamento, dados discretos de um
experimento (o resfriamento da cerveja). Já o terceiro bloco tem por objetivo introduzir a
abordagem qualitativa de equações diferenciais através dos campos de vetores. O objetivo do
quarto bloco consiste em estudar o método de separação de variáveis, bem como comandos do
Maple para o estudo de equações diferenciais ordinárias. E finalmente, o bloco cinco consiste
em analisar modelos que não possuem soluções analíticas.
Porém, a análise de modelos que não possuem soluções analíticas, bloco cinco, não
foi desenvolvida em função do tempo utilizado nas atividades anteriores e também pelo fato
que optamos pela realização de seminários dos alunos, acerca de alguns dos métodos de
resolução de EDO, que não estava previsto no planejamento do curso.
Para a exploração das atividades foram utilizados os softwares Winplot, Maple, um
applet e a planilha de cálculo Excel, além de lápis e papel, mais especificamente, de um
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
59
caderno, o qual disponibilizei a cada sub-grupo de alunos para que pudessem fazer os
cálculos, esboçar os gráficos ou ainda fazer as anotações que julgassem pertinentes durante as
aulas. Muitas vezes, em uma mesma atividade, os alunos foram levados a utilizar as várias
mídias, coordená-las no sentido de analisar o que encontraram em cada uma das situações e
confrontá-las.
Dos nove alunos participantes, oito deles são alunos do curso de Licenciatura em
Matemática e um aluno faz o curso de Bacharelado em Matemática. Eles trabalharam, durante
todo o curso, em pequenos grupos. Devido ao número impar de participantes, a divisão se deu
em três duplas e um trio de alunos.
Esses alunos já haviam cursado, pelo menos uma vez, a disciplina Cálculo
Diferencial e Integral de funções de uma variável real. Esta foi a restrição que fizemos para a
aceitação do aluno no curso, já que era necessário que os participantes tivessem noções
básicas de derivação e integração.
No início do curso apliquei dois questionários aos alunos. O primeiro deles teve por
intuito delinear o perfil dos participantes. Já o segundo questionário foi elaborado com
perguntas teóricas do conteúdo específico de equações diferenciais e este mesmo questionário
foi aplicado novamente no final do curso, com o objetivo de buscar evidências ou indícios da
atuação dos resultados do curso na formação desses alunos.
Com relação aos procedimentos de registros dos dados, foi utilizado, durante as
aulas do curso, o software Camtasia
15
, o qual captura as imagens da tela do computador, as
imagens dos alunos trabalhando no computador, via webcam, bem como suas vozes nas
discussões das atividades. Houve, ainda, a filmagem dos alunos trabalhando nos
computadores, feita pelo técnico do LIEM
16
, que teve por objetivo registrar alguns momentos
de discussões dos alunos no decorrer das aulas.
No decorrer do curso, a cada aula realizada, eu anotava em um arquivo os pontos
que considerava mais importantes que haviam acontecido naquela ocasião, constituindo,
assim, “notas de campo”. Segundo Bogdan e Biklen (1994, p.150) “as notas de campo são
fundamentais para a observação participante”. Por isso, optei por realizar essas anotações a
cada aula, pois elas complementam o material que foi obtido pelo Camtasia e pelas filmagens
15
Desenvolvido e comercializado pela empresa TechSmith.
16
Agradeço ao técnico Geraldo Lima pelo apoio na coleta de dados.
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
60
da sala. Esses vários procedimentos de coleta de dados visam possibilitar a realização uma
visão mais abrangente e maior confiabilidade dos resultados.
3.1.1. Camtasia
As pesquisas desenvolvidas por membros do GPIMEM são de cunho qualitativo.
Essas pesquisas têm, em geral, preocupações acerca da compreensão de fenômenos, de como
se desenvolve o pensamento, enfim, do entendimento do objeto investigado. Sendo assim,
uma prática bastante comum de coleta de dados, nesse grupo, é a utilização da filmagem do
desenvolvimento das atividades. Em geral, elas acontecem com filmadoras com as quais o
pesquisador filma duplas de alunos desenvolvendo determinada atividade. A descrição desses
procedimentos podem ser encontrados em Benedetti (2003), Scucuglia (2006), Olímpio
(2005), Villarreal (1999), dentre outros.
Por outro lado, esses procedimentos de coleta, por meio de filmagens, nem sempre
dão conta da total abrangência das situações que ocorrem no cenário de pesquisa. Por
exemplo, em um experimento de ensino como os realizado por Scucuglia (2006), no qual as
discussões sobre atividades com calculadoras gráficas, de cada dupla, eram o foco da
observação, a filmagem, se realizada com uma única câmera, ora registra as ações
desenvolvidas na calculdora, ora as expressões faciais dos estudantes e seus gestos. Já
Benedetti (2003), que também utilizou experimentos de ensino com duplas de alunos,
dispunha de uma infra-estrutura mais adequada. Porém, quando o cenário da pesquisa se
aproxima ao da sala de aula usual, como nesta pesquisa, outras questões metodológicas
relacionadas à coleta, emergem.
Neste caso, a forma de coletar os dados, e mesmo de analisá-los, ocorreu de maneira
diferenciada. O software Camtasia possibilitou o registro de todo o processo de investigação
de todos os subgrupos de alunos. Ou seja, capturou as ações realizadas no computador, as
imagens dos alunos trabalhando e as falas dos estudantes, simultaneamente, de cada subgrupo
de alunos. Assim, nenhum detalhe ocorrido passou despercebido. A Figura 3.1 representa a
imagem instantânea da dupla Ronaldo e Viviane no início da atividade campos de direções.
Eles estavam com um arquivo de texto aberto na tela, que era composto por 5 equações
diferenciais ordinárias e 5 gráficos de campos de direções e era solicitado que eles
relacionassem as tais equações com seus respectivos gráficos.
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
61
Figura 3.1. Ronaldo e Viviane iniciando a atividade campo de direções
Já a transcrição, dada logo a seguir, é a transcrição literal do diálogo dos alunos na
discussão desta atividade. Este trecho de diálogo consiste em uma tentativa de ilustrar como é
a natureza dos dados dessa tese.
Viviane: dxdt é seno de x, então seno....É assim o seno né? E tem que ver que esse
aqui vai ser constante no 2 .
(mostrando um desenho no caderno).
Ronaldo: Essa aqui no três
(mostrando, com o mouse na tela do computador, o
segundo gráfico).
Viviane: Acho melhor a gente ir vendo onde é constante não é? Nessa primeira ela
depende de x.
Desta forma, pretendo ilustrar as várias interfaces que foram geradas na coleta dos
dados utilizando esse software.
3.1.2. As atividades
17
Com o objetivo de analisar as possibilidades de ensino e aprendizagem ao se
introduzir EDO através da análise qualitativa dos modelos matemáticos, auxiliada pelas TIC,
17
As atividades estão anexadas no Apêndice desta tese.
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
62
elaborei atividades que tiveram por meta propiciar aos alunos a utilização de softwares
gráficos e/ou algébricos e um applet
18
como ferramentas para a exploração e investigação de
alguns modelos matemáticos e de equações diferenciais ordinárias em geral, buscando
interpretar os resultados.
Passo agora a apresentá-las com o intuito de explicitar como essas foram trabalhadas
pelos alunos e, portanto como caracterizam-se os dados dessa pesquisa. Estou denominando
as atividades de aula, como na ocasião do curso, porém cada uma dessas atividades foi
desenvolvida, pelos alunos, em mais de uma aula do curso.
A primeira das atividades proposta a “aula derivada” era encaminhada por uma ficha
de trabalho, a qual continha vários gráficos de funções. Era solicitado a análise destes gráficos
com relação a intervalos de crescimento, decrescimento, e o esboço do gráfico das funções
derivadas dessas funções. Um segundo exercício, ainda desta atividade, consistia de uma
questão, na qual era dado o gráfico de uma função derivada e era solicitado que eles
esboçassem o gráfico de uma função, cuja função derivada era a dada inicialmente. Essa
atividade foi realizada com a mídia “lápis e papel”.
A “aula de familiarização” era composta por quatro exercícios, nas quais eram dadas
equações diferenciais e funções soluções particulares e era solicitado que eles, usando os
comandos do Maple, verificassem se as funções eram soluções das tais equações dadas. Além
dessas, existiam ainda, quatro outras questões abertas sobre o conceito do que consistia uma
equação diferencial, o que seria resolvê-la, questões do tipo: “Discuta com seu par e escreva o
que vocês entendem por uma equação diferencial”; “O que é resolver uma equação
diferencial?”; “Como se caracteriza uma equação diferencial ordinária?”; “Que função, você
conhece do Cálculo, que é igual à sua derivada? Que sua derivada seja k vezes ela mesma?
Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de primeira ordem com uma
solução.” e finalmente, “Que função ou funções, você conhece do Cálculo, cuja derivada
segunda seja igual a ela mesma? Que sua derivada segunda seja o negativo dela mesma?
Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de segunda ordem com uma
solução”.
A aula “modelo do objeto em queda” tinha por objetivo explorar a situação de um
objeto em queda, analisando-o para chegar ao modelo e a partir deste, usando planilha de
cálculo Excel, calcular os ângulos dos vetores dos campos de direções para em seguida
18
Disponível em: http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/mordifeqs/dirfield.html
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
63
esboçar no caderno e, na seqüência, utilizando o Winplot, desenhar o campo de direções,
comparando com o elaborado “a mão”, e ir à busca da interpretação dos resultados, bem como
da busca da resolução algébrica da equação. Também era dado aos alunos um esboço do
campo de direções, elaborado no Maple, com algumas curvas soluções para que eles
analisassem.
A atividade “o modelo de crescimento populacional de Malthus” teve por objetivo
explorar o modelo de Malthus para a dinâmica populacional. Foi trabalhado utilizando o
Excel, o Winplot e também um applet. Questões buscando a análise qualitativa do modelo
eram propostas. Já na aula “modelo de crescimento populacional de Verhulst” o objetivo era
analisar o modelo de crescimento populacional de Verhulst através do campo de direções
esboçado pelo Winplot e pelo Maple e, assim, compará-lo com o modelo de Malthus.
O objetivo da aula “campos de direções” foi investigar se os alunos estabeleciam
uma relação entre o comportamento das equações e os campos de direções. Essa atividade foi
desenvolvida, inicialmente, com “lápis e papel” e em seguida foi sugerido que utilizassem um
software para comparar as suas análises.
E, finalmente, para a aula “modelo do resfriamento” realizei um experimento, no
qual tomei a temperatura da cerveja, contida em uma lata de 350 ml, por determinado tempo
gerando assim um conjunto de dados discretos. Solicitei a eles que explorassem esses dados
utilizando o Excel para elaborar um modelo que representasse esses dados. Realizei um
segundo experimento com condições diferentes de clima, gerando outro conjunto de dados e
solicitei aos alunos que analisassem esses novos dados e comparassem com o anterior.
Sendo assim, neste item desta seção, realizei uma breve descrição de como foram
encaminhadas às atividades de investigação propostas no curso de extensão, o qual foi o
cenário para a coleta dos dados desta pesquisa.
3.1.3. A composição e a análise dos dados
Na primeira aula do curso de extensão, no qual ocorreu a coleta dos dados desta
pesquisa, foram aplicados dois questionários aos alunos. Como já comentado anteriormente, o
primeiro deles teve por intuito delinear o perfil dos participantes. Já o segundo questionário
foi elaborado com perguntas teóricas do conteúdo específico de equações diferenciais e este
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
64
mesmo questionário foi aplicado novamente no final do curso, com o objetivo de buscar
possíveis evidências da atuação do curso na formação desses alunos. Esses questionários estão
anexados no Apêndice dessa tese.
Além desses questionários, ao término de cada aula, eu elaborava um resumo dos
fatos ocorridos no desenvolvimento das atividades dos alunos. Esses resumos serviram de
guia no próprio decorrer do curso para ajustes que se fizeram necessários com relação às
especificidades dos alunos e das atividades propostas. Esse resumo, também, está anexado no
Apêndice dessa tese.
Os alunos utilizavam, além dos softwares Excel, Winplot e Maple, um caderno no
qual eles faziam anotações, realizavam cálculos e esboçavam as representações geométricas
solicitadas nas atividades.
No decorrer de todo o curso, os alunos trabalharam, em duplas ou trios,
desenvolvendo as atividades propostas, em um computador. Neste equipamento, além dos
softwares já discriminados, foi também utilizado o Camtasia. Como já apresentado na seção
3.1.1, este software captura todas as ações realizadas no computador, além das imagens e dos
sons dos alunos. Ainda ocorreu a gravação da sala em geral e de alguns momentos de duplas
feitas pelo técnico Geraldo Lima, do LIEM-GPIMEM.
Desta forma, os dados brutos desta pesquisa são constituídos pelos questionários,
pelos resumos, pelos cadernos de anotações, pelas gravações efetuadas pelo técnico e pelas
gravações geradas pelo Camtasia, em cada computador, em cada aula do curso de extensão.
Sendo assim, foi necessário organizar esses dados e, de certa forma, “útil” para esta
pesquisa. Entenda-se esse “útil” como um adjetivo que exprima a necessidade de gerar ou
explicitar os dados que mais se aproximam da pergunta norteadora da pesquisa “
Quais as
possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às equações diferenciais ordinárias
através da análise qualitativa dos modelos matemáticos, com o auxílio de Tecnologia de
Informação e Comunicação?”.
A partir dos resumos, elaborados no decorrer das aulas, os quais eram compostos
pelos fatos que mais me chamaram a atenção, e conjuntamente com a análise inicial dos
videoclipes gravados elaborei o que chamo de ‘episódios’. Portanto estes episódios
configuram os dados desta pesquisa e compõem o próximo Capítulo. Sendo assim, os
episódios são ‘histórias’ que conto a partir dos fatos que aconteceram no ambiente da sala de
aula do curso de extensão. Os personagens dessas histórias são os alunos participantes do
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
65
curso, os softwares geométricos e algébricos que foram utilizados, a pesquisadora-professora,
que, por mais que tentou ficar como uma pesquisadora observadora, foi também atuante dos
capítulos dessas histórias. Ainda temos mais um personagem nessas histórias; a saber, o
software Camtasia, pois, as imagens e as falas por ele capturadas são componentes
importantes na análise desses dados, já que possibilitam o resgate, a todo o momento que se
julgar necessário, para confrontar os diálogos com gestos, expressões faciais, comentários,
etc. Os videoclipes, gerados por esse
software, trazem uma maneira diferenciada de coleta dos
dados e, possivelmente, uma forma diferenciada de análise dos dados, pois temos a
possibilidade de ver o caminho que os alunos desenvolveram determinada tarefa no
computador, juntamente com suas falas na discussão deste caminho e temos ainda suas
expressões faciais. Podemos assim dizer que conseguimos realizar uma triangulação dos
dados.
Enfim, esses episódios foram analisados buscando responder à pergunta de pesquisa
e essa análise foi confrontada com as anotações das minhas interpretações dos fatos e com as
anotações dos cadernos dos alunos, buscando assim realizar a triangulação, o que Araújo e
Borba (2004, p. 35) definem como “utilização de vários e distintos procedimentos para a
obtenção dos dados”.
Desta forma, nesta seção apresentei o que vem a ser abordagem qualitativa no
desenvolvimento de pesquisa fazendo uma analogia com abordagem qualitativa no estudo de
equações diferenciais. Apresentei também o contexto, os softwares utilizados, como
aconteceu a coleta e análise dos dados, enfim os procedimentos metodológicos utilizados
nessa pesquisa. No entanto, conforme afirmam Araújo e Borba (2004, p. 41) existe a “[...]
necessidade de que haja coerência entre os procedimentos utilizados e a visão de
conhecimento.” Assim na próxima seção apresento algumas considerações sobre a concepção
de conhecimento que sustenta essa pesquisa e que acredito ser coerente com os procedimentos
metodológicos adotados em seu desenvolvimento.
3.2. Conhecimento: algumas considerações
Vivemos em um profundo e acelerado processo de mudanças e transformações que
têm desafiado as formas de pensar e agir em todas as áreas da atividade humana.
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
66
Novas maneiras de pensar e de conviver estão sendo elaboradas no mundo
das telecomunicações e da informática. As relações entre os homens, o
trabalho, a própria inteligência dependem, na verdade, da metamorfose
incessante de dispositivos informacionais de todos os tipos. Escrita, leitura,
visão audição, criação, aprendizagem são capturados por uma informática
cada vez mais avançada. Não se pode mais conceber a pesquisa científica
sem uma aparelhagem complexa que redistribui as antigas divisões entre
experiência e teoria. Emerge, neste final de século XX, um conhecimento
por simulação que os epistemologistas ainda não inventariaram (LÉVY,
1993, p. 7).
Uma tecnologia da inteligência é tudo aquilo de que lançamos mão (consciente ou
inconscientemente) na nossa comunicação, na elaboração do pensamento, na criação de
conhecimentos e que, além de nossos sentimentos e afetos, suportam a nossa inteligência: são
as linguagens, os sistemas de signos, os recursos lógicos, os instrumentos dos quais nos
servimos.
Pensamos e vivemos sempre com e nas tecnologias intelectuais. Elas fazem parte de
nossas vidas, de nossa história e de nossa constituição. Borba e Villarreal (2005) afirmam que
nós, seres humanos, nunca pensamos sozinhos, pois nosso desenvolvimento cognitivo é
condicionado às mídias ou tecnologias da inteligência (oralidade, escrita e informática).
Assim, a inteligência ou cognição são frutos dessa coletividade, não apenas como uma
justaposição ou um agrupamento entre humanos e técnicas, mas sim como uma interação
entre humanos e as tecnologias da inteligência. O nosso funcionamento intelectual é induzido
pelas diferentes línguas e linguagens, sistemas lógicos e de signos que vieram se
desenvolvendo com as comunidades que nos precederam. Estas comunidades são, de certo
modo, partícipes de nosso pensamento. Elas “pensam em nós” e nós fazemos parte deste
universo complexo produzido por elas e, ao mesmo tempo, contribuímos para a continuidade
de seu desenvolvimento. A transformação não se dá apenas na transmissão da mensagem, mas
também na recepção e interpretação que cada um dará através da mobilidade das relações de
sentido.
Segundo Lévy (1993, p.152):
Diversos trabalhos desenvolvidos em psicologia cognitiva a partir dos anos
sessenta mostraram que a dedução ou indução formais estão longe de serem
praticadas espontaneamente e corretamente por sujeitos reduzidos apenas
aos recursos de seus sistemas nervosos (sem papel, nem lápis, nem
possibilidade de discussão coletiva). É possível que não exista nenhuma
faculdade particular do espírito humano que possamos identificar como
sendo a “razão”. Como alguns humanos conseguiriam, apesar de tudo,
desenvolver alguns raciocínios abstratos, podemos sem dúvida explicar este
sucesso fazendo apelo a recursos cognitivos exteriores ao sistema nervoso.
Levar em conta as tecnologias intelectuais permite compreender como os
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
67
poderes de abstração e raciocínio formal desenvolveram-se em nossa
espécie. A razão não seria um atributo essencial e imutável da alma
humana, mas sim um efeito ecológico, que repousa sobre o uso de
tecnologias intelectuais variáveis no espaço e historicamente datadas.
As técnicas de comunicação ilustraram a divisão das culturas em cada tempo,
classificadas como: oralidade primária (sociedade antes do uso da escrita) e a escrita. Uma das
principais diferenças entre os indivíduos da cultura oral e da cultura escrita é que os primeiros
caracterizam-se pela memória viva através de relatos, da narrativa, de mitos; enquanto que o
outro grupo objetiva a memória através dos escritos. Na oralidade primária, a memória social
era transmitida pelas histórias dos mais velhos aos mais novos e pelos mitos. Com o advento
da imprensa foi aberto um espaço para uma série de descobertas, instaurando um novo
modelo cognitivo. Textos e números puderam ser comparados e compilados levando à
chamada explosão do saber da época da Renascença.
A técnica aparece novamente como agente de transformação através da informática,
presente em diversos setores da atividade humana e causando impactos na organização social.
O computador permite a velocidade na comunicação, a simulação (através da mostração
visual) e a não linearidade do texto (hipertexto). De acordo com Borba e Penteado (2001,
p.46).
Ela [informática] é uma nova extensão de memória, com diferenças
qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a
linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na
simulação, na experimentação, e em uma “nova linguagem” que envolve
escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea. Neste contexto a
metáfora da linearidade vem sendo substituída pela da descontinuidade e
pelos dos links que são feitos por cada um que acessa uma dada homepage,
ou um dado menu de um software mais tradicional, tal qual aqueles ligados
a um conteúdo como geometria ou funções.
Ainda, segundo Lévy (1993), o saber informático não busca manter em um mesmo
estado uma sociedade que viva sem mudanças e se deseje assim, como ocorre na oralidade
primária, nem visa a verdade, como ocorre nos gêneros canônicos nascidos da escrita. Ele
procura a velocidade e a pertinência das modificações operacionais. Na oralidade primária, o
coletivo humano era sozinho com sua memória, na sociedade fundada na escrita, existia uma
semi-objetivação da lembrança e o conhecimento podia ser em parte separado da identidade
das pessoas, o que tornou possível a preocupação com a verdade subjacente, por exemplo, à
ciência moderna. Já o saber informatizado afasta-se deste saber “de cabeça” ou ainda, a
memória, ao informatizar-se, é direcionada a tal ponto que a verdade deixa de ser uma questão
fundamental, em proveito da operacionalidade e velocidade, ou seja, podemos dizer que mais
interessa o processo do que o resultado em si.
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
68
Esse fim da preocupação com a “verdade”, certamente não significa que a partir de
agora é permitido mentir, ou que a exatidão dos fatos não mais importa. A questão é apenas
uma mudança de foco em algumas atividades cognitivas desempenhadas pelo coletivo social.
Na era da escrita, o livro e a teoria permaneciam no horizonte do conhecimento. Por
trás da prática crítica, havia ainda uma estabilidade e unicidade entre a teoria e a explicação
correta. Hoje, as teorias, com suas verdades e com a atividade crítica, cedem lugar aos
modelos, com suas normas de eficiência e o julgamento de pertinência que preside sua
avaliação. Estes modelos não se encontram escritos no papel, mas sim rodando em um
computador, continuamente corrigidos e aperfeiçoados ao longo das simulações. Este modelo,
denominado por Lévy (1993), de modelo digital, em geral, não é lido ou interpretado como
um texto, mas sim explorado de forma interativa. Este autor diz que este modelo é
essencialmente plástico, dinâmico, dotado de certa autonomia de ação e reação.
Podemos pensar nas planilhas eletrônicas, como instrumentos de simulação contábil
e orçamentária nos escritórios, programas de projeto auxiliado por computador (CAD) como
instrumentos de simulação na engenharia e programas de auxílio à tomada de decisão, de um
empresário, na simulação de efeitos de escolhas no meio financeiro. No caso específico da
Educação Matemática, podemos citar softwares de construções gráficas, destacados por
Lourenço (2002), tais como Slogow, Geometricks, Geometer Sketchpad e o Cabri Géomètre,
como simuladores para o ensino de Geometria. Enfim, programas que podem ser
considerados como simuladores de capacidades cognitivas humanas: visão, audição,
raciocínio, etc.
Podemos dizer que a escrita estende as capacidades da memória, por esta razão ela
pode ser considerada por Lévy (1993), como uma tecnologia intelectual. Já a simulação e
visualização, propiciada pela informática, além de estender a memória de trabalho, funcionam
também como um módulo externo e suplementar para a faculdade de imaginar.
A nossa capacidade de simular mentalmente os acontecimentos (o que aconteceria se
fizéssemos isto ou aquilo?) nos torna capazes de antecipar as conseqüências de nossos atos.
Tiramos proveito de nossas experiências passadas, para modificarmos o mundo que nos cerca.
Essa capacidade de simular o ambiente e suas reações, certamente, tem um papel importante
em organismos capazes de aprender. Podemos dizer que as tecnologias informáticas
reorganizam nosso pensamento (BORBA e VILLARREAL, 2005).
Capítulo 3 – Metodologia de Pesquisa
69
Desta forma, concordo com Borba e Villarreal (2005) que o conhecimento é
produzido com uma dada mídia, com uma tecnologia, e é nessa perspectiva teórica que se
apóia a noção denominada por esses autores de seres-humanos-com-mídias, na qual se
sustenta esta pesquisa que ora empreendo.
Sendo assim, neste capítulo, procurei apresentar os procedimentos metodológicos
adotados nessa pesquisa e a visão de conhecimento que a sustenta. Acredito que esses
procedimentos utilizados propiciaram a geração de dados dessa pesquisa que tem por objetivo
investigar as possibilidades de ensino e aprendizagem de conteúdos de equações diferenciais
ordinárias através da abordagem qualitativa de alguns modelos matemáticos, quando
desenvolvidos por grupos de alunos interagindo com as tecnologias da inteligência, formando
assim o coletivo seres-humanos-com-mídias. E esses dados são apresentados no próximo
capítulo.
70
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
Introdução
Os dados desta pesquisa são constituídos pelos questionários aplicados aos alunos,
pelas anotações das observações no decorrer do curso de extensão, pelos cadernos de
anotações que os alunos fizeram no desenvolvimento das atividades e, principalmente, das
gravações do desenvolvimento das ações efetuadas pelas duplas e trios de alunos no decorrer
do curso, feitas pelo
software Camtasia, conforme já apresentado no capítulo de metodologia.
As atividades propostas no decorrer do curso de extensão, ambiente de coleta de
dados desta pesquisa, estão anexadas no Apêndice dessa tese. Encontra-se também, no
Apêndice, um resumo das aulas do curso de extensão, pois ele apresenta uma visão geral do
encaminhamento do curso, das atividades e como se deu o processo de organização dos
dados, aqui apresentados.
Atividades de familiarização com os softwares estavam previstas para acontecerem
no início do curso. No entanto, devido à constatação de que os alunos não tinham essa prática
em suas rotinas acadêmicas, ou seja, não era comum a utilização de softwares para exploração
de conteúdos matemáticos e, em particular, nunca haviam trabalhado com a planilha
eletrônica Excel, o Winplot e o Maple, essas atividades foram estendidas por mais tempo e
ocorreram paralelamente às atividades direcionadas aos conteúdos em si. Ou seja, não
tivemos aulas somente para aprender os comandos; estes foram sendo explorados conforme
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
71
iam sendo requisitados nas atividades. Além de atividades direcionadas à familiarização,
foram propostos também, investigações do comportamento de funções e de suas funções
derivadas e de alguns modelos que tratam dos fenômenos do objeto em queda, de crescimento
populacional e da lei do resfriamento.
A partir dos resumos, elaborados no decorrer das aulas, os quais eram compostos
pelos fatos que mais me chamaram a atenção, e conjuntamente com a análise inicial dos
videoclipes gravados elaborei o que chamo de ‘episódios’. Estes episódios configuram os
dados desta pesquisa e compõem este Capítulo.
Desta forma, os episódios são ‘histórias’ que elaborei a partir dos fatos que
aconteceram no ambiente da sala de aula no decorrer do curso de extensão. Os personagens
que compõem essas histórias são os alunos participantes do curso, os softwares geométricos e
algébricos que foram utilizados e a pesquisadora-professora. Ainda temos mais um
personagem nessas histórias; a saber, o
software Camtasia, pois, as imagens e as falas por ele
capturadas são componentes importantes na análise desses dados, já que possibilitam o
acesso, a todo o momento que se julgasse necessário, aos diálogos com gestos, expressões
faciais e comentários dos alunos no desenvolvimento das atividades. Os videoclipes, gerados
por esse
software, trazem uma maneira diferenciada de coleta dos dados e, possivelmente,
uma forma diferenciada de análise dos dados, pois temos a possibilidade de ver o caminho
que os alunos desenvolveram determinada tarefa no computador, juntamente com suas falas
na discussão deste caminho e temos ainda suas expressões faciais.
Os episódios foram elaborados, segundo a minha visão da pesquisa, buscando
“responder” a questão central:
Quais as possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às equações
diferenciais ordinárias através da análise qualitativa dos modelos matemáticos, com o
auxílio de Tecnologia de Informação e Comunicação?
Nas próximas seções apresento os episódios. As transcrições apresentadas são
trechos da discussão de duplas ou de trios de alunos. Alguns comentários meus,
complementares, serão inseridos entre parêntesis, sempre que se fizerem necessários, para o
entendimento da transcrição dos diálogos.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
72
4.1 Episódio - Objeto em Queda
Esse episódio é composto pela discussão da dupla, Marcos e Shen, no
desenvolvimento da primeira atividade da “aula modelos”. Trata-se do problema de investigar
o comportamento de um objeto em queda, na atmosfera da terra, próximo ao nível do mar,
considerando a hipótese de que a força do ar sobre esse objeto é proporcional à sua velocidade
de queda. Um modelo matemático que representa essa situação é dado por
vmg
dt
dv
m
γ
−= ,
onde
()
tv é a função velocidade que varia com relação ao tempo t ,
m
é a massa do objeto,
g
é a aceleração da gravidade e o parâmetro 0>
γ
é chamado coeficiente da resistência do ar.
Após o texto de introdução do problema, era dado um roteiro para a investigação
desse modelo matemático, ilustrado no Quadro 4.1:
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
73
Quadro 4.1. Roteiro da atividade objeto em queda
1. Construa uma tabela, em uma planilha de cálculo, atribuindo valores para v, entre 0 e 100,
de 10 em 10, e calcule
dt
dv
e o ângulo correspondente a esse coeficiente angular, usando a
função ATAN no Excel e não se esqueça de converter em graus para facilitar o esboço do
desenho. Faça um esboço desses segmentos unitários com esses coeficientes angulares, no
plano
tv, no caderno.
2. Agora, no winplot 2D, entre em Equação, diferencial, dy/dt e entre com a equação 9.8 -
(y/5), e clique OK. Em Ver, clique em escala em x e y. Em seguida clique em Pg dn no
teclado. O que você observa no gráfico gerado? É semelhante ao que você esboçou no
caderno?
3. Em seguida, observe o próximo gráfico, que foi gerado no Maple,
4. O que você observa neste gráfico? Qual a relação deste gráfico com os valores que você
obteve na planilha?
5. Qual o comportamento das soluções desta equação? Tende para infinito? Tende para algum
valor constante?
6. Utilizando o comando
phaseportrait(D(v)(t)=9.8-(v(t)/5),v(t),t=0..20,[[v(0)=0],[v(0)=20],[v(0)=70]],
colour=orange,linecolor=[blue,yellow,coral]);
no Maple, obtemos o gráfico abaixo. Interprete-o. O que significam as curvas de linhas contínuas?
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
74
A dupla iniciou a atividade lendo o texto para entender a formulação do problema e
como a equação diferencial foi gerada, conforme ilustra a Figura 4.1.
Figura 4.1. Marcos e Shen analisando um modelo – objeto em queda
Os alunos procuram entender a formulação do problema, porém parece que Marcos
não estava concordando com a equação diferencial do texto.
Marcos: Essa mdv/dt não é igual a mg em queda livre? (apontando para a igualdade
vmg
dt
dv
m
γ
−= )
Shen: Isso aqui é a aceleração né?
Marcos: Por que ela não vai ser g? Por causa da resistência?
Shen: Humm!
Marcos: Ah vamos lá...
(continuando a ler o texto)
Para a investigação do modelo matemático, sugeri os valores
Kgm 10
=
,
sKg / 2=
γ
e
2
/ 8,9 smg = e os alunos atribuiram esses valores na equação diferencial. Shen
lançou mão do caderno e lápis, anotou a equação e atribuiu os valores sugeridos. Marcos
comenta que os dois membros da igualdade foram divididos por dez e assim Shen observa as
contas e concorda que a equação que representa o fenômeno do objeto em queda, segundo as
hipóteses assumidas, é a expressão
5
8,9
v
dt
dv
−= , conforme se pode observar na Figura 4.2.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
75
Figura 4.2. Anotações do caderno de Marcos e Shen – objeto em queda
E Marcos continua sua fala afirmando que deve atribuir valores para v.
Marcos: Quando a velocidade for 40, a derivada vai ser 1,8.
Shen: Então aqui quando v for igual a 40 é só substituir e calcular.
No entanto, os alunos ficaram por mais de dois minutos parados observando a frase:
“Podemos representar essas informações graficamente no plano tv desenhando segmentos
unitários de reta com coeficiente angular 1,8 em diversos pontos ao longo da reta
40
=
v e
segmentos unitários de reta com coeficiente angular
2,0
−
em diversos pontos ao longo da
reta
50=v ”.
Passado esse tempo, voltam a discutir e comentam:
Shen: Você entendeu isso aqui? (apontando para essa frase) Eu não!
Marcos: Podemos representar essas informações graficamente no planotv. Qual é
o plano tv? Tempo por velocidade
(ele mesmo responde).
Shen desliza a barra de rolagem da tela do computador até surgir o gráfico do campo
de vetores, dado no texto, na tentativa de entender o que estava interpretando. E Marcos
comenta:
Marcos: O que é coeficiente 1,8?
Shen: É positivo e é assim (fazendo um gesto com a mão indicando crescimento).
Marcos: E como é que você transforma em graus? Olha lá em cima para você ver.
Shen: Não sei!
Marcos: Que ângulo corresponde a esse coeficiente angular?
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
76
Shen: Ah? 1,8?
Marcos: O que é o coeficiente angular da v? É a tangente. Se a tangente é 1,8, ele
quer que a gente faça essa correspondência então, né? Olha lá função atan.
Vamos fazer o gráfico ali, põe v, a gente põe dv/dt, de dez em dez. Assim óh!
(tomando o lápis e caderno e montou uma tabela com as colunas de v,
variando de 10 em 10, dv/dt, coeficiente angular e graus, ilustrado na Figura
4.3).
Shen: Construir uma tabela. Isso!
Figura 4.3. Tabela elaborada, no caderno, por Marcos e Shen – objeto em queda
Marcos: Quer fazer no Excel?
Shen: Vamos fazer.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
77
Na planilha de cálculo, na coluna A, entram com valores de v, de 0 a 100 variando
de 10 unidades. Na segunda coluna, B, entram com a expressão
5
8,9
v
−
e denotaram por dv/dt.
Ao arrastar a fórmula da célula B2 até B12, obtendo os respectivos valores de dv/dt variando
v, Marcos questiona Shen se os valores estão corretos e ela em seguida atribui valores de v
igual a zero, dez e vinte, calcula os respectivos valores de dv/dt e os compara com os valores
da planilha já efetuados. Em seguida, na terceira coluna eles entram com a função atan(arco
tangente) para determinar os coeficientes angulares. Nesse momento eles sentem dificuldade
com a sintaxe da função, pois eles utilizando o comando atanB2, esquecendo-se do parêntesis,
isto é, deveriam digitar atan(B2). As dificuldades de utilização dos softwares foram, por
diversas vezes, um complicador no decorrer das atividades. Os alunos solicitaram minha
intervenção sobre a utilização do comando atan. Informei-os da sintaxe do comando e os
indaguei sobre a formulação do modelo, perguntei a eles se concordavam que aquela equação
diferencial ordinária representava o fenômeno que eles estavam investigando. Marcos,
novamente, questiona se o modelo matemático não deveria ser somente
mg
dt
dv
m =
. E, ele
mesmo comenta que se não tivesse resistência do ar, seria somente a força da gravidade que
estaria atuando no objeto.
Continuando a elaboração da planilha, utilizaram a regra de três para a conversão, de
radianos para graus, dos coeficientes angulares obtidos na terceira coluna da planilha. Ao
introduzir a fórmula (180*C2)/3,14, na quarta coluna da planilha, obtiveram o valor
aproximado de 84 graus e Marcos questiona Shen se este valor está correto. E faz o seguinte
comentário para justificar esse valor:
Marcos: 1 radiano e meio, é! Não! Quantos radianos têm? Dois pi radianos têm a...
É têm seis radianos né?Concorda? Tem seis radianos, né a bola,..,a
esfera,...
(fazendo um gesto circular com mouse, representando o círculo), a
circunferência, então 1 e meio radiano dá quase 90 graus, tá certo, né!.
Shen: Mas e aquele 1,8?
Marcos: 1,8 é sessenta graus. 1,8 é o valor da tangente, quer dizer, um ângulo de
um radiano tem uma tangente de 1,8, um ângulo de 60 graus, na verdade isso aqui é
o arcotangente
(apontando com o mouse o valor de 1,063698 que esta na célula C6,
ilustrado na Figura 4.4).
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
78
Figura 4.4. Marcos e Shen calculando os ângulos para esboçar o campo de direções
Pode-se observar desse trecho da transcrição do diálogo de Marcos e Shen, a
preocupação dos alunos em verificar se os resultados oferecidos pelo
software estão corretos,
questionando o que o
software dá como retorno das tarefas que eles estão solicitando.
Depreende-se desse pequeno exemplo que a utilização do
software, neste caso, não está
substituindo o raciocínio lógico dos alunos, nem seus cálculos efetuados com lápis e papel e
muito menos a presença do professor, pelo contrário, a investigação na planilha de cálculo os
leva a realizar os cálculos mentais, os cálculos com lápis e papel e a Figura do professor surge
como um mediador na atividade. Outro ponto a destacar são as relações que Marcos faz com
conteúdos anteriores já estabelecidos na busca desse novo conceito, como por exemplo, em
sua justificativa do ângulo de 84 graus. A interatividade entre os alunos com o
software é
outro ponto importante em investigações como esta.
Com os valores dos ângulos calculados, eles esboçam, no caderno, alguns vetores no
plano tv. A Figura 4.5. ilustra esse esboço.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
79
Figura 4.5. Campo de direções esboçado por Marcos e Shen – objeto em queda
Neste momento a dupla solicita a minha atenção para participar da discussão da
conjectura que eles estavam elaborando. Ao analisarem o esboço feito no caderno (Figura
4.5), eles concluíram que a solução procurada deveria ter o comportamento próximo a uma
parábola, como é possível observar em um trecho do diálogo, transcrito abaixo:
Sueli: Esse campo de vetores que a gente está montando, ele vai estar dando o
comportamento de um curva,[....] Tem um comportamento que esta dando
ai por trás.
Shen: A gente estava imaginando que ia ser uma parábola.
Sueli: Vai ser uma parábola?
Marcos: Uma não, uns...
(queria dizer que dariam várias parábolas)
Sueli: Será que são parábolas... que vai dar?
Marcos: Capaz que sim.
Sueli: Talvez se a gente tivesse desenhado mais, mais vetorzinhos ai, vocês, se você
completar, para cada linha que você desenhou aqui um único vetorzinho,
(mostro no esboço do caderno a necessidade de desenhar mais vetores para
definir o comportamento),
será que vai dar uma parábola mesmo o
comportamento?
Marcos: Ela vai ter um ponto de máximo aqui.
Sugeri que analisassem a variação dos valores dos graus obtida na planilha com
relação à velocidade dada, independente do tempo. Porém, a discussão não avançava, pois
acredito que o esboço dos vetores era insuficiente e, sendo assim, sugeri que seguissem o
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
80
roteiro da atividade e utilizassem o Winplot para desenhar o campo de direções, já que o
conceito do campo de direções já estava, aparentemente, claro para a dupla e somente sua
representação geométrica é que estava incompleta.
Marcos e Shen geraram um gráfico do campo de vetores que ainda não estava
representando o que eles queriam analisar. A janela gráfica esboçada pelo
software era no
domínio de -4 a 4, nos dois eixos cartesianos, e a velocidade atribuída na planilha variou de
10 unidades no intervalo de 0 a 100. Sendo assim discutimos a situação e, utilizando-se do
zoon, pelo comando pg dn e redefinindo a escala dos eixos cartesianos, eles ajustaram a janela
para o domínio que os interessava, gerando o gráfico ilustrado na Figura 4.6.
Figura 4.6. Marcos e Shen analisando o campo de vetores gerado no Winplot
Após esta investigação, retomamos a conjectura que a dupla tinha no início da
discussão, como mostra o trecho do diálogo, transcrito abaixo:
Sueli: O que está acontecendo com este gráfico? Está parecido com o que vocês
fizeram?
Shen: Mais ou menos.
Sueli: Mais ou menos? Será que vai ter cara de parábola como vocês estavam...,
como vocês imaginaram que teria?
(ficam um tempo em silêncio.) O que
está acontecendo com esse e com o que vocês tinham? Bom, os dados estão
próximos com o que vocês acharam no Excel?
Marcos: Estão, 80.
(se referindo aos ângulos encontrados dos vetores).
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
81
Continuei argumentando com eles sobre os resultados encontrados na tabela do
Excel e o esboço dos vetores no Winplot. A discussão prossegue relacionando os valores
encontrados na tabela e o campo de direções, até o momento onde eles conseguem refutar a
idéia inicial de que a curva solução teria o comportamento de uma parábola e, principalmente
Marcos, começa a questionar qual seria então a curva procurada, até chegar a suspeitar que o
comportamento poderia ser de uma função exponencial assintótica, resultado esse que foi
confirmado na aula subseqüente, na continuidade desta atividade, quando resolvemos
analiticamente a equação diferencial. O trecho abaixo ilustra essa passagem:
Sueli: Esse comportamento está parecido com o que vocês estavam fazendo aqui?
Se você fosse desenhar com o mouse uma curva que sai do ponto (0,0), ou
seja, se eu soltar um objeto com velocidade inicial zero, o que acontece
com a velocidade dele?
Marcos: Aumenta.
Sueli: Aumenta sempre? Segundo as condições
(que assumimos) ai. Ela vai
aumentar sempre?
Shen: Não.
Marcos: Até aquela força que a resistência do ar conseguir anular, não é? É aquela
força que a resistência do ar conseguisse anular, né?Porque ela é em
função da velocidade e a velocidade está aumentando.
Sueli: E se o peso dele fosse igual à resistência do ar?O que aconteceria com essa
velocidade então?
Shen: Zero
Marcos: Ficaria constante.
Sueli: Será que seria zero?
Marcos: Uma constante.
Em seguida, Marcos questiona o comportamento dos vetores com inclinações
negativas, na região do gráfico, esboçado na Figura 4.6, para valores de velocidade maiores
que 50m/s. Se naquela região a curva seria constante. Então lhe perguntei como seria o
comportamento de uma curva solução com condição inicial de 100m/s.
Sueli: Ai então, digamos que você saísse com uma velocidade inicial de 100m/s? Se
você saísse com uma velocidade inicial de 100m/s?Como seria uma curva
que teria esse comportamento dos vetores? Será que a parábola?
Shen: Aqui assim.
(Shen mostra com o mouse uma curva parecida com o gráfico de
uma função exponencial assintótica).
Marcos: Vai dar ln esse treco aqui, logaritmo?
Marcos: Exponencial não pode ser.
Sueli: Por que não pode ser exponencial?
Marcos: E aqui? Isso é exponencial também?
Marcos: Quer dizer que isso ai vai dar uma coisa e elevado a ou a elevado a?É que
nos estamos viciados, o modelo que a gente está pensando é sem a
resistência do ar, a gente está viciado lá na física, lá trás, por isso que nós
estamos.
Sueli: Se eu não tiver lá o menos gama v, ai eu vou ter outra solução, exatamente.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
82
Marcos: Eu já estava querendo ir com o gabarito na mão, por isso... (risos)
Continuando a investigação, eles deveriam analisar o gráfico dado no item 6 do
roteiro esboçado no Quadro 4.1. A transcrição do trecho do diálogo dos alunos consiste na
discussão do que vinham a ser as linhas contínuas são apresentados a seguir:
Sueli: Quem são essas curvas que estão desenhadas em azul, amarelo e vermelho?
Marcos: São as equações que satisfazem lá.
Sueli: São equações?
Marcos: As equações não, é o gráfico das funções que satisfazem aquela equação
diferencial lá.
Sueli: Então essa azul seria o que?
Shen: Do v de zero igual a zero, aquela condição lá.
Sueli: E a amarelinha?
Shen: v de zero igual a 20.
Sueli: E essa abóbora?
Shen: v de zero igual a 70
Sueli: Então o que são essas três linhas contínuas aí? Só repetindo o que vocês
estão falando.
Marcos: São soluções da equação diferencial.
Shen: É.
Sueli: E as soluções representam o que? Para esse modelo que vocês estão
analisando, de novo?
Shen: A função de velocidade.
Sueli: A função velocidade desse objeto caindo em relação ao tempo.
Marcos: Quer dizer que se eu jogar ela com essa velocidade aqui
(mostra, no
gráfico a velocidade de 49m/s)
ele não vai mudar a velocidade, vai ser
constante?
Sueli: Se você jogar exatamente com essa velocidade inicial, ela vai ficar o que?
Marcos: Uniforme
Shen: Ela vai cair com velocidade constante.
Marcos e Shen finalizam a atividade respondendo as questões do roteiro, conforme a
análise que eles fizeram a partir do campo de direções. Eles não resolveram a equação
diferencial solicitada no item 4 do roteiro. Na continuidade da atividade, elaborei juntamente
com os alunos do curso, a resolução da equação diferencial envolvida na atividade.
Esse episódio tratou da descrição do desenvolvimento da investigação de um modelo
para o fenômeno de um objeto em queda, realizada pelos alunos Marcos e Shen. Buscando
elementos que possam dar indícios a questão desta pesquisa, evidenciei os trechos que mais se
aproximam da problemática das possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às
equações diferenciais ordinárias através do estudo de alguns modelos matemáticos abordados
qualitativamente com o auxilio das tecnologias da informação e comunicação. Os temas que
emergem da análise deste episódio podem assim ser resumidos: a importância do
desenvolvimento do processo de modelagem matemática, pois ficou evidente na discussão da
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
83
dupla a necessidade de retornar às hipóteses assumidas inicialmente para entender a equação
diferencial ordinária elaborada; a coordenação das várias mídias utilizadas, já que os alunos
esboçavam seus rascunhos, cálculos, gráficos no caderno, no
software e os comparava; a
elaboração e verificação de conjecturas, já que a dupla inicialmente acreditava que a curva
solução procurada era aproximada por uma parábola e concluiu, após a análise do campo de
vetores juntamente com os valores dos ângulos obtidos na planilha, que se tratava do
comportamento de uma função exponencial assintótica. E, finalmente, a interação entre os
alunos e as mídias, possivelmente, propiciou discussões e reorganizações de conceitos, e
podemos até arriscar que propiciou a elaboração de novos conceitos com relação às equações
diferenciais ordinárias, já que muitos dos alunos nunca haviam estudado essa disciplina, até
então.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
84
4.2 Episódio - Modelo Populacional de Malthus
Atualmente, em dinâmica populacional, o que se convencionou chamar de modelo
de Malthus assume que o crescimento de uma população é proporcional à população em cada
instante (progressão geométrica ou crescimento exponencial), e desta forma, a população
humana deveria crescer sem nenhuma inibição. Assim, o modelo de Malthus propõe um
crescimento de vida “otimizada”, sem fome, guerra, epidemia ou qualquer catástrofe, em que
todos os indivíduos são idênticos, com o mesmo comportamento. Portanto, o modelo
malthusiano pode ser escrito como
(
)
()
trp
dt
tdp
= , onde a constante
r
é chamada taxa de
crescimento ou declínio, dependendo se é positiva ou negativa. A equação de crescimento
exponencial modela uma população cuja taxa de crescimento é proporcional ao seu tamanho
presente (BASSANEZI, 2002).
A atividade de investigação sobre esse modelo matemático foi desenvolvida por
todos os participantes do curso, porém o processo de desenvolvimento da atividade feita pela
dupla, Ronaldo e Viviane, é que será objeto de análise e, portanto, compõe o episódio –
Modelo Populacional de Malthus, tratado nessa seção.
Essa atividade tem por objetivo investigar a elaboração de um modelo matemático
para o fenômeno de crescimento populacional e explorá-lo com as várias mídias. Para essa
investigação, sugeri que os alunos considerassem
1
=
r
na equação diferencial
()
()
trp
dt
tdp
=
.
E, portanto eles investigaram esta equação diferencial seguindo um roteiro, o qual pode ser
ilustrado no Quadro 4.2.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
85
Quadro 4.2. Roteiro da atividade – Modelo Populacional de Malthus
Ronaldo e Viviane discutem sobre a equação, dada no texto, que modela o fenômeno
em questão. Eles iniciam os passos sugeridos pelo roteiro, porém, como se pode observar na
transcrição de um trecho de diálogo, os alunos não concordavam com o modelo proposto.
Ficaram um tempo bastante extenso na discussão de como seria a equação que deveriam
utilizar.
Viviane: Acho que tem que fazer no Excel né?
Ronaldo: É p?
(inserindo esse símbolo na primeira coluna da planilha).
Viviane: É! E dp/dt (inserindo esse símbolo na segunda coluna da planilha). p é o
que mesmo?
(ela indaga).
Ronaldo: p é o crescimento.
Viviane: É a população, não é?
Ronaldo: Nem fala aqui.
(referindo-se ao texto do roteiro)
Viviane: Olha aqui (retornando ao texto) o crescimento de uma população é
proporcional à população em cada instante. Então é a população. Mas por
que?
(referindo-se aos valores que deveriam atribuir para p na tabela que
estavam elaborando).
Ronaldo: Ah volta lá (no texto do roteiro).
Viviane: Será que não tem nenhum dado ai?
Ronaldo: Ah vamos inventar uns valores ai. Aqui é t, né? É?
(referindo-se a segunda
coluna da planilha, onde tinham colocado dp/dt).
Viviane: Que t?
Ronaldo: Ah tempo!
Viviane: Mas a gente não tem esse tempo.
Ronaldo: Ah inventa, de 1950, a população era...
1. Construa uma tabela para valores de
p
e
dt
dp
.
2.
Esboce, em uma folha de papel, o gráfico de campo de direções, no sistema cartesiano tp.
3.
Agora no Maple, utilize os comandos:
with(DEtools):dfieldplot(diff(p(t),t)=p(t),p(t),t=0..10,p=0..10,title=`campo de direções com
r=1>0`,color=p,arrows=large); para desenhar o campo de direções e compare com seu esboço.
4.
Observe esse campo de direções e responda:
a.
O que podemos afirmar das soluções desta equação?
b.
Qual o comportamento para essas soluções quando t tende ao infinito?
c.
Esse modelo é um "bom" modelo para o crescimento populacional?
d.
Agora resolva analiticamente essa equação e compare sua solução com o campo
de direções que você esboçou. O comportamento que você analisou através do
campo de direções é coerente com essa solução que determinou?
5.
Entre no site:
http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/mordifeqs/dirfield.html
e, analise o que está acontecendo, qual a relação com o gráfico gerado no item 3?
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
86
Viviane: Mas oh, considere a equação diferencial acima com r=1, p
dt
dp
= .
(referindo-se novamente ao texto) Então as duas tabelas vão ser iguais,
acho. Aqui dp/dt é igual p não é? Não é?
(referindo-se agora às colunas da
planilha para a variação de p e dp/dt)
Ronaldo: Não sei. Não tem sentido.
Viviane: Quer ver oh.
(voltando para o texto)
Ronaldo: Proporcional ao seu tamanho presente.
Viviane: Vamos considerar a equação acima com r=1, a taxa de crescimento. Então
acho que nós vamos considerar... Essa equação que a gente vai ter que
trabalhar
(referindo-se a equação p
dt
dp
= ).
Ronaldo: É p de t né, p em relação ao tempo, então tem que ter t ai também?
Viviane: Mas não pode usar na tabela o tempo, acho! Você lembra da outra hora a
gente só usou o v
(referindo-se ao modelo matemático investigado na
atividade do objeto em queda).
Ronaldo: É! Por quanto aqui? 100?
(referindo-se a variação de p na planilha, no
entanto ele apaga e coloca de 10 a 60, variando de 10 unidades).
E agora?
(referindo-se a segunda coluna que representa dp/dt)
Viviane: Agora mesma coisa não é? dp dt é igual a p! Não é? É sim Nardo!
Ronaldo: Estranho!
Viviane: Ta aqui oh!
(voltando ao texto do roteiro da atividade) Ih! Eu nem lembro
como faz isso mais, acho que não é isso não!
(e apaga a segunda coluna da
planilha e continua a falar).
Só que lá a gente tinha uma expressão para dv
dt que era 9,8 menos v sobre 5, por isso tinha que calcular!
Ronaldo: É que lá tinha outras variáveis, tinha a gravidade, tinha não sei o que,
não sei o que. Agora você só tem a população mesmo.
Vivane: Então vai ser o p mesmo?
Ronaldo: Ele fala olha só, r p t, onde r é a taxa de crescimento ou declínio. A
equação de crescimento exponencial, hum!
Viviane: Modela uma população cuja taxa de crescimento é proporcional ao seu
tamanho presente.
Ronaldo: Então é ele que... ou não?
Neste instante, Viviane retorna a leitura do trecho onde diz: “cuja taxa de
crescimento é proporcional ao seu tamanho presente
” e com o cursor do mouse ela aponta a
equação diferencial
()
()
trp
dt
tdp
= comentando, “então a taxa de crescimento é isso aqui”,
apontando para o lado esquerdo dessa equação, ou seja, para
(
)
dt
tdp
e continuou: “a variação
é proporcional do tamanho presente”
apontando o cursor do mouse para a igualdade e para o
lado direito desta equação.
Já Ronaldo comenta que a função exponencial modela o fenômeno e diz que esta
equação que estão analisando não tem nada de exponencial. Viviane pondera se não seria o
nome do modelo e ele diz que não, que função exponencial é usada para trabalhar com
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
87
problemas de população e ainda, para confirmar sua conjectura faz um gesto com a mão para
convencer Viviane que a função exponencial tem uma variação grande para pequenos espaços
de tempo, característica própria desta função.
Parece que os alunos estavam fazendo certa confusão entre um modelo que
representa o fenômeno, através de uma equação diferencial ordinária, com sua solução, uma
função exponencial, o qual também é um modelo representante do fenômeno. Ao resolvermos
analiticamente a equação
p
dt
dp
=
, obtém-se
(
)
t
eptp
0
=
, onde
()
0
0 pp = é a população
inicial.
Porém, ele não estava se referindo à solução desta equação diferencial como uma
representação matemática para o fenômeno do crescimento populacional e sim à equação
diferencial como um modelo, no qual a variação da população é proporcional à função
exponencial da população presente. Justifico essa afirmação apoiada no fato de que ele
elaborou uma tabela de variação de
p por exp(p) (comando da função exponencial na planilha)
e, na seqüência esboçou um gráfico de dispersão, através da opção “pontos conectados por
linhas suaves”, desta tabela na própria planilha.
No entanto, a interpretação realizada pelos alunos acerca das informações contidas
no gráfico não faziam sentido com aquilo que eles esperavam obter. Entendo que isso ocorreu
devido a dois motivos: o primeiro deles é que, desde o início da atividade, Ronaldo esperava
trabalhar com um modelo que envolvesse dados da população no decorrer do tempo e por isso
ele insistia em modelar a variação da população por uma função exponencial; o segundo
motivo é devido à representação do gráfico, por eles gerado que é ilustrado na Figura 4.7.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
88
Figura 4.7. Ronaldo e Viviane analisando o gráfico de dispersão de p por exp(p)
Na tabela a população variou de 10 unidades no intervalo de 10 a 60, e ele esboçou,
através do comando do Excel - dispersão (conectando pontos por linhas suaves), os pontos da
forma
p
e , os valores obtidos que variavam da ordem de
3
10 à
26
10 . Essa variação era muito
acentuada para um intervalo tão pequeno, de 10 a 60 e, portanto, o software esboçou em uma
escala que eles não interpretaram. Além disso, o gráfico gerado, por conta das especificidades
do software para esse comando, forneceu como resposta um gráfico “errado”, visto que é o
gráfico de uma função exponencial e, portanto sempre positiva. Porém, os alunos não
comentaram nada sobre esse fato, somente Ronaldo comenta que a população cresceu de
forma descontrolada, quando usou a expressão “a população bombou”. O gráfico obtido não
possibilitou avanço em suas expectativas com relação ao modelo. Abandonaram esse gráfico,
voltaram para o texto do roteiro e permaneceram por mais de cinco minutos nesse trecho do
texto, e parece que não ficaram convencidos da equação diferencial utilizada, porém, mesmo
assim, retornaram às tarefas solicitadas. Elaboraram uma tabela para
p
dt
dp
= e utilizaram a
função grau(atan(dp/dt)) (comandos da planilha eletrônica) para determinar os graus dos
campos de direções.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
89
Ao interagirem com a planilha por eles elaborada, Viviane comenta que iria atribuir
o valor zero para a população e Ronaldo a questiona sobre o fato de atribuir o valor nulo para
uma população; porém não discutem sobre o fato e ela desiste, parece que ficou constrangida
por acreditar que estava propondo algo que talvez estivesse errado. Ela atribui valores altos
para a população tais como 1000, 15000, 100000, (Figura 4.8). Ronaldo comenta que
“estacionou” querendo dizer que os valores dos ângulos estavam muito próximos e Viviane
observa que os ângulos tendem para 90 graus.
Figura 4.8. Roteiro da atividade – Modelo Populacional de Malthus
Como não conseguiam avançar solicitaram minha presença. Viviane questiona se a
equação diferencial, que era dada no texto, deveria ser utilizada. Ronaldo pergunta se o que
deveriam fazer era aquela tabela (Figura 4.8) por eles elaborada. Sua pergunta reforça o fato
já mencionado anteriormente, de que ele não estava convencido com o modelo de Malthus. A
transcrição de um trecho do diálogo dos alunos juntamente com a pesquisadora, ilustra esse
fato:
Viviane: Oh Sueli, aqui óh! É para gente usar essa equação aqui? (referindo-se à
p
dt
dp
=
).
Sueli: Sim.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
90
Viviane: Ah ta! Tá vendo Nardo, nada haver com função exponencial.
Ronaldo: Não! A tabela é assim?
Viviane: p, dp/dt é p não é?E aqui é atan, em graus?(Mostrando com o cursor do
mouse as colunas da tabela na planilha).
Ronaldo: É isso?
Sueli: Por que você acha que está com cara de exponencial? Você acha que está
com cara de exponencial?
Ronaldo: É!
Viviane: E tende para 90.
Sueli: Qual que é no Cálculo a função que a derivada é ela própria?
Ronaldo: e!
Sueli: Então a solução desta equação diferencial tem que ser o que?
Viviane: Exponencial.
Ronaldo: Ah! Eu sabia que tinha a exponencial.
Analisando somente esta última transcrição, que consiste de um trecho do diálogo
dos alunos com a pesquisadora, têm-se a impressão que Ronaldo estava analisando a solução
através dos ângulos calculados, no entanto, analisando-a juntamente com a transcrição
anterior, antes da intervenção da pesquisadora, pode-se perceber a confusão que Ronaldo fez
com a equação diferencial ordinária
p
dt
dp
=
como um possível modelo para o fenômeno
analisado e com a solução desta equação diferencial, uma função exponencial. Na minha
interpretação essa confusão, está ligada com um conceito anterior que o aluno tinha, ou seja,
um pré-conceito por ele já concebido. Ele entendia que a função exponencial modelaria o
comportamento de uma população, segundo as condições assumidas inicialmente. Isso não
deixa de estar correto. Porém, seu equívoco foi assumir que a variação da população era
proporcional à função exponencial da população, como já observado nessa seção. Ou seja,
confundiu a equação diferencial que modela o fenômeno com sua solução.
Ao retornar para o roteiro da atividade, Viviane propõe inverterem a ordem das
tarefas, passando para a elaboração do esboço do campo de direções, através dos comandos
do Maple, e depois retornariam ao esboço do campo de direções no caderno. Ao esboçar o
gráfico utilizando os comandos do Maple (Figura 4.9) Ronaldo observa que este gráfico é
diferente daquele que eles haviam esboçado no Excel e que este estaria ao contrário do outro.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
91
Figura 4.9. Ronaldo e Viviane analisando o gráfico gerado pelo Maple
Na planilha de cálculo, eles inseriram um gráfico de dispersão através do comando
dispersão (pontos conectados por linhas suaves), obtendo o gráfico de graus(atan(p)) por p, ou
seja, eles não esboçaram o campo de direções, eles esboçaram o comportamento dos ângulos
determinados, conforme pode-se ver na Figura 4.10.
Figura 4.10. Ronaldo e Viviane calculando os ângulos para esboçar o campo de direções
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
92
Até esse momento do desenvolvimento desta atividade, analisando os diálogos dos
alunos, fica evidente que eles ainda não haviam consolidado o conceito de campos de direções
e o que se pode obter de informações sobre a equação diferencial ordinária através deste. Isto
é ilustrado pela transcrição abaixo de um trecho do diálogo dos alunos acerca do
comportamento do modelo que estavam investigando, a partir da análise do gráfico esboçado
na Figura 4.10.
Viviane: E agora o que tem que fazer?
Ronaldo: Volta lá. É constante. (ele comenta apontando com o cursor do mouse a
solução trivial p=0)
Viviane: Óh mais vai dar sim Nardo! Ta vendo?Vai ficar assim. (com o cursor do
mouse ela esboça o desenho de uma curva parecida com a exponencial
definida pelos vetores tangentes com condição inicial
()
4,00 =p unidades).
No entanto, ao responder a questão “Observe esse campo de direções e responda: O
que podemos afirmar das soluções desta equação?” ela afirma: “Não sei, a gente não achou a
solução ainda”. E assim retomam a planilha do Excel para esboçar o campo de direções no
caderno.
Viviane: Então tem que ver agora aqui. Isso aqui está em que? Em graus né?Então
tem que ser essas inclinações aqui. (referindo-se à terceira coluna da
planilha ilustrada na Figura 4.10).
Viviane comenta, novamente, que os ângulos tendem a 90 graus e que o gráfico vai
ser esboçado no sistema cartesiano t por p. Ronaldo relembra que p é a população que varia
segundo a tabela ilustrada na Figura 4.10. Ela pergunta o que acontece quando a população
for zero. Ronaldo atribui o valor zero para a população na planilha e verifica que o ângulo
formado também é zero. Ela volta ao gráfico ilustrado na Figura 4.9 e comenta que lá foi
aplicado no zero, que poderia considerar uma população com zero unidade de indivíduos e
Ronaldo comenta que esta seria constante. Ele ainda questiona o que seria o t, se era tempo,
qual a unidade de tempo? Percebi que eles discutiam a formulação do problema durante todo
o desenvolvimento das tarefas dessa atividade. E, juntos vão considerando os ângulos
calculados para as várias populações. Finalmente, esboçam o campo de vetores no caderno
(Figura 4.11) e passam a discutir como seria o comportamento das soluções procuradas para
este modelo.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
93
Figura 4.11. Campo de direções esboçado por Ronaldo e Viviane – Modelo de Malthus
A transcrição de um trecho desse diálogo mostra a análise dos alunos:
Ronaldo: Vamos analisar o gráfico?... Então, vai chegar uma hora que ela vai
estabilizar?
Viviane: Vai ser assim né? Assim oh! (neste momento, ela faz um gesto com a mão
desenhando no ar). Tipo uma exponencial.
Ronaldo: Tá, mas ela vai ser sempre crescer?
Viviane: Ah vai! Vai sempre tender a 90, a inclinação. (comparando com os dados
da tabela). Mas cada vez mais ela vai se aproximar da constante, ta
vendo?Ela vai se aproximar mais de 90.
E voltando à pergunta “O que podemos afirmar das soluções desta equação?” com
um tom de dúvida em sua voz ela responde “que cresce exponencialmente!? Que são
exponenciais!? É ou não?” E com certo ar de dúvida a dupla responde no texto do roteiro:
“As soluções se comportam como uma função exponencial”. A segunda pergunta “qual o
comportamento para essas soluções quando t tende para infinito?” leva os dois alunos a
ficarem em silêncio por alguns momentos analisando o gráfico do campo de direções ilustrado
na Figura 4.9. Viviane comenta que acha que vai para infinito. Ronaldo sugere que ela analise
para
2=t e 10=t . Ela argumenta que nos dois pontos, as curvas vão para infinito do mesmo
jeito. Ela compara o gráfico desse campo de direções com o da atividade do objeto em queda.
“Lá as curvas soluções tendem para v=49 quando t tende a infinito, e neste caso, as curvas
vão para o infinito, quando t tende ao infinito.”, observa Viviane. Na seqüência, eles
comentam que uma população não pode crescer indefinidamente e, portanto, que esse modelo
não é uma boa representação para o crescimento populacional já que acreditam que toda
população tende para um equilíbrio.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
94
Os alunos voltam para o texto na busca do entendimento das justificativas dos
porquês que esse comportamento não seria um “bom” modelo para o crescimento
populacional. Concluem que uma população não pode crescer indefinidamente por conta da
disponibilidade de alimento, de espaço, dentre outros fatores e que esse modelo estudado
atende às hipóteses assumidas no início de seu desenvolvimento, mas que eles não concordam
com essas hipóteses assumidas, e por isso esse não é um “bom” modelo para descrever o
crescimento populacional.
Na continuidade da atividade, foram buscar determinar a expressão analítica das
soluções da equação utilizando comandos do Maple, obtendo a família de funções
exponenciais. Eles esboçaram algumas curvas soluções particulares, utilizando ainda
comandos do Maple. No entanto, esse gráfico gerado parecia conter somente uma única curva
esboçada e, no entanto eles estavam desenhando várias funções neste mesmo gráfico. Não
sabendo como interpretar esse fato, novamente solicitam minha participação na discussão.
Sugeri, então que explorassem com o software Winplot a função exponencial
x
aey = ,
variando a constante
a , conforme ilustrado na Figura 4.12.
Figura 4.12. Explorando com o Winplot o comportamento da função exponencial
Fomos explorando os gráficos esboçados pelos softwares Maple e Winplot,
alterando a janela gráfica destes e as condições iniciais da equação diferencial, até chegarmos
à conclusão de que a dificuldade inicial da análise das informações contidas no gráfico,
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
95
elaborado pelo Maple, era devida às representações das funções soluções do modelo
matemático, neste caso funções exponenciais, com a escala do gráfico gerado, ilustrado na
Figura 4.13.
Figura 4.13. Interpretando com o Maple algumas curvas soluções do Modelo de Malthus
Após toda essa análise dos gráficos destas curvas soluções e comparando ao campo
de vetores que eles haviam esboçado, concluíram que a análise que haviam elaborado estava
coerente com a representação geométrica do campo de direções e com a expressão algébrica
da solução por eles determinada e finalizaram o desenvolvimento da atividade.
Esse episódio tratou da descrição e análise do desenvolvimento da investigação de
um modelo matemático para o fenômeno de crescimento populacional. O modelo analisado
foi o Modelo de Malthus e o desenvolvimento da investigação foi elaborado pela dupla
‘Ronaldo e Viviane’. Esse conjunto define este episódio que procura por elementos que
possam dar indícios às inquietações desta pesquisa. Procurei evidenciar os trechos que mais se
aproximam da problemática das possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução aos
conceitos de equações diferenciais ordinárias abordados qualitativamente com o auxilio das
tecnologias informáticas.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
96
A importância do desenvolvimento do processo de modelagem matemática foi algo
recorrente nesse episódio, pois ficou evidente na discussão da dupla a preocupação e a
necessidade de retornar as hipóteses assumidas inicialmente para entender a equação
diferencial ordinária elaborada e, ainda propor tentativas de outros modelos que, segundo eles,
melhor descreviam o fenômeno. A coordenação das várias mídias utilizadas também surge
como algo importante, já que os alunos esboçavam seus rascunhos, cálculos, gráficos no
caderno, no software e os comparavam na tentativa de verificar ou refutar suas conjecturas. A
utilização de comandos do Winplot, juntamente com os do Maple foi relevante nesta análise.
Os alunos, inicialmente acreditavam que a curva procurada era aproximada por uma
exponencial, porém não tinham claro como justificar tal solução. E, novamente aqui nesse
episódio, como no anterior, a interação entre os alunos e as mídias, instiga ao surgimento de
diferentes discussões entre os alunos e, possivelmente propicia aos alunos a oportunidade de
reorganização dos conceitos matemáticos estudados e, talvez até, propicia o surgimento da
elaboração de novos conceitos com relação aos conteúdos estudados, em particular, com
relação às equações diferenciais ordinárias.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
97
4.3 Episódio - Modelo Populacional de Verhulst
Um episódio de destaque das aulas foi protagonizado por Aline, Adriano e Ronaldo.
Esses alunos analisaram um modelo que descreve a dinâmica populacional, denominado o
modelo de crescimento populacional de Verhulst ou curva logística. O modelo de Verhulst
supõe que uma população, vivendo num determinado meio, crescerá ate um limite máximo
sustentável, isto é, a população tende a se estabilizar. A equação incorpora a queda do
crescimento da população que deve estar sujeita a um fator inibidor de proporcionalidade. O
modelo de Verhulst é basicamente o modelo de Malthus modificado.
O episódio é inicialmente composto pelos alunos Adriano e Ronaldo, pois a
atividade que investigou esse modelo foi iniciada por esta dupla. No entanto, a atividade foi
retomada em uma próxima aula, na qual Ronaldo faltou e, Adriano trabalhou com a aluna
Aline. No decorrer do texto ficará evidenciada a participação dos alunos no desenvolvimento
da atividade.
A atividade tinha por objetivo a exploração desse modelo matemático utilizando as
várias mídias. A Figura 4.14 ilustra o momento no qual Adriano e Ronaldo estavam
começando o desenvolvimento da atividade proposta.
Figura 4.14. Adriano e Ronaldo iniciando a atividade modelo populacional de Verhulst
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
98
Para a exploração deste modelo foi elaborado um texto, que está anexado a essa tese,
contendo notas de aulas extraídas de Bassanezi (2002) seguida de um roteiro de tarefas
(Quadro 4.3.).
A equação para o crescimento populacional é dada por
()
papr
dt
dp
−= , chamada
equação de Verhulst ou equação logística. Muitas vezes é reescrita na forma
equivalente
p
k
p
r
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 1
, onde
a
r
k = . A constante
r
é chamada de taxa de
crescimento intrínseco, isto é, o crescimento na ausência de qualquer fator limitador.
Vamos inicialmente procurar as soluções mais simples desta equação, isto é, as
soluções constantes. Para tal solução,
0=
dt
dp
para todo t, chamada de solução de
equilíbrio da equação.
- Determine as soluções constantes desta equação.
- Analise o sinal de
dt
dp
.
- Para visualizar outras soluções vamos considerar
2
1
=r
e 3=k , ou seja, vamos
analisar a equação )(
3
15,0 pfp
p
dt
dp
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− .
- Atribua valores para
p
e calcule
dt
dp
e esboce no papel o campo de direções.
- Agora utilize o comando plot(0.5*(1-(p/3))*p,p=0..3.5,title=`gráfico de f(p) em
função de p`); para analisar o comportamento de )(pf .
- Agora utilize o comando:
dfieldplot(diff(p(t),t)=(0.5*(1-(p(t))/3))*p(t),p(t),t=0..10,p=-1..6,arrows=medium,
title=`campo de direções com r=0,2 e K=3`, colour=0.5*(1-p(t)/3)*p(t));
- Qual o comportamento das soluções que pode ser observado através do campo
de direções? Ou seja:
- A solução tende ao infinito, para zero, ou para algum valor constante quando o
tempo vai para infinito?
- A solução é periódica? Se sim qual o período?
- A solução atinge 0 somente quando t tende ao infinito, ou existe algum valor
específico, tal como 100=t , para o qual a solução é igual a 0?
- A solução eventualmente se aproxima a uma função mais familiar? Por exemplo,
a solução "converge" para uma linha reta cuja inclinação pode ser estimada?
- Utilize o comando:
phaseportrait(D(p)(t)=0.5*(1- (p(t))/3)*p(t),p(t),t=0..10,[[p(0)=0],
[p(0)=0.5],[p(0)=3],[p(0)=5]], arrows=medium,title=`campo de direções com r=0,2
e K=3`, colour=0.5*(1-(p(t))/3)*p(t),linecolor=[blue,yellow,green,coral]);
e explique o gráfico obtido.
Quadro 4.3. Roteiro da atividade – Modelo Populacional de Verhulst
Eles começaram por discutir os parâmetros do modelo, pois era solicitada a eles,
neste momento, a análise das soluções constantes e a análise do sinal da equação
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
99
p
k
p
r
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 1
, como podemos acompanhar na transcrição a seguir de um trecho da
discussão dos alunos.
Adriano: Ele quer que a gente atribua valores para p, calcule a derivada em
relação a t e esboce no caderno o campo de direções?
Ronaldo: Determine as soluções constantes. Como a gente determina as soluções
constantes? Se igualar a zero...
Parece que o conceito de solução constante da equação
p
k
p
r
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 1 não estava
claro para os alunos. Procuravam a tal solução constante, que anularia a derivada, sem
relacionar essa derivada com a expressão da equação, e isso pode ser verificado com a fala do
aluno onde comenta que a derivada de qualquer função constante é zero e, portanto qualquer
constante seria solução do modelo. E assim eles ficam por vários instantes nesse trecho do
texto, ilustrado na Figura 4.15.
Figura 4.15. Ronaldo e Adriano na busca do conceito de solução constante
A aparente dúvida dos alunos pode ser confirmada na transcrição de um trecho do
diálogo deles.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
100
Adriano: A solução constante poderia ser um valor qualquer de p porque a derivada
de uma constante vai dar zero. Se eu assumir que p é igual a uma
constante, então dp/dt é igual a zero, vão ter infinitas soluções. Agora para
analisar o sinal de dp/dt se lá é uma constante, não tem como avaliar, ela
vai ser ou positiva ou negativa, ela não vai trocar de sinal.
Eles ficam parados frente ao texto por alguns instantes. E na seqüência, Adriano
continua sua fala.
Adriano: Nossa tem uma coisa, hein! Será que teria que igualar nessa equação aqui
óh? Igualar essa equação aqui a zero? Que a derivada de uma constante
vai dar zero e sair daqui de dentro com os valores constantes?
Neste trecho da discussão, Adriano se referiu ao segundo membro da equação
p
k
p
r
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 1 . Até parecia que havia entendido o conceito de solução constante, porém
continua analisando essa equação e retoma o comentário que qualquer constante seria solução,
conforme se pode constatar no trecho do diálogo transcrito a seguir.
Ronaldo: Deixa eu ver um negócio...r é a...
Adriano: A taxa de crescimento.
Ronaldo: Mas é sem...
Adriano: Constante.
Ronaldo: Mas tipo se não houvesse nada né? Nenhum limitador, né!
Adriano: Para mim é isso mesmo, p é uma constante e para qualquer p que eu
pegar, a derivada de uma constante é zero, então eu acho que a primeira
solução daí dessa equação... Será que ela vai querer cálculo como a gente
fazendo? Não né, é só escrever.
Ronaldo: Só escrever.
Pode-se verificar com esse trecho da transcrição do diálogo que os alunos não
tinham claro o conceito de solução constante de uma equação diferencial ordinária, ou ainda,
não estava claro o próprio conceito da equação diferencial, pois não faziam a ligação entre o
comportamento da derivada dada e a procura de sua solução, pois mesmo com a definição
desta sendo dada explicitamente no texto, os alunos responderam à pergunta “Determine as
soluções constantes desta equação” com a seguinte frase: “As soluções são valores para qual
a derivada é igual a zero, ou seja, qualquer constante”. No entanto parece que, pela
expressão facial, Ronaldo não estava muito satisfeito com essa resposta que eles haviam
elaborado. E assim, o diálogo dos dois alunos continua em torno dessa questão.
Adriano: Certo, mais alguma coisa dá pra por?
Ronaldo: Mas isso ela já falou aqui. (Comentando a resposta que haviam escrito)
Adriano: Ela afirmou no enunciado. Só to interpretando o que ela tá fazendo. (E
Adriano retoma a leitura do trecho: determine as soluções constantes desta
equação e complementa sua fala). Ou seja, é qualquer... qualquer... a
derivada de uma constante é zero, é qualquer constante. Só estou
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
101
interpretando isso! Agora analisar o sinal dessa derivada... Ela vai ser
meio complicada porque se ela é uma constante provavelmente vai tender
para uma reta, não? (Nesse momento ele faz um sinal com a mão como se
estivesse desenhando uma reta horizontal).
Ronaldo: Mas não é pra acontecer isso né? Vamos substituir r por uma função
h(p)... p é o que mesmo?
A impressão que tenho, ao analisar esse trecho do diálogo dos alunos, é que a
dificuldade deles se encontrava no fato da imprecisão do conceito de campo de direções, isto
é, parece que os alunos, até o momento, ainda não tinham assimilado o significado do campo
de direções e, talvez até o conceito e o significado geométrico de derivada de uma função real
não estivesse claro para eles.
Parece que Ronaldo não estava concordando com os comentários de Adriano, no
entanto, também não conseguia avançar.
Adriano: p? Ele abriu a fórmula, h(p) é uma função.
Ronaldo: Então h(p) é uma função próxima a r, que é a taxa de crescimento e o p?
Adriano: O p é uma variável como seria um x qualquer. Quando ele for uma
constante a derivada dá zero. Acho que a pergunta não foi muito feliz,
como ela foi construída. O que tem mais para baixo?
Adriano resolve continuar a leitura do roteiro e comenta que a atividade proposta era
parecida com as atividades anteriores e que deveriam ir fazendo item por item do roteiro.
Adriano: E agora como a gente vai analisar aquela derivada? (Referindo-se à
equação diferencial dada.).
Ronaldo: Veja o sinal dessa aqui.
Neste instante Ronaldo referia-se à equação
)(
3
15,0 pfp
p
dt
dp
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− , que era dada
no roteiro.
Ronaldo: É a taxa de crescimento, então vamos supor...neste caso aqui, a população
está crescendo em meio.
Adriano: Que seria a r.
Ronaldo: E quem é esse r/a? Meio, k é igual a 3 e
a
r
k = . (Ronaldo tentava
relacionar essa equação
)(
3
15,0 pfp
p
dt
dp
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− com a equação geral
p
k
p
r
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 1 , onde
a
r
k = )
Adriano: Aí no caso tem que resolver essa equação analiticamente.
Ronaldo: E quando que essa equação pode ser constante? Eu posso ter sempre a
mesma taxa de crescimento, né? Mas p pode variar. p varia de acordo com
a taxa de crescimento porque tenho aqui que r é função de p. Então r é em
função de p. Mas o que significa isso: “a taxa de crescimento depender da
população?”. Ah é verdade porque óh, se a população for muito grande, a
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
102
taxa de crescimento pode diminuir porque vai ter mais fumaça, né, vai ter
menos alimento. Vamos por aqui. Mais ou menos o que ela colocou lá.
Mas vamos pensar..., se p for grande, r é pequeno né?
Adriano: Certo.
Ronaldo: Então vai ter que crescer menos a população. Agora se p, se a população
for pequena, então a taxa de crescimento... O que vai acontecer com ela?
Adriano: Vai ser pequena.
Ronaldo: Foi isso que ela concluiu?
Adriano: Se levar em conta a taxa de crescimento...
Ronaldo: Quando p for pequeno, ela vai aumentar né?
Ronaldo: E daí se acontecesse...? E se a população for constante?
Adriano: Se a população for constante não tenho necessidade do r.
Ronaldo: Ou eu teria que analisar não a população, só se analisasse se r for
constante.
Adriano: r é uma constante que regula essa população.
Ronaldo: Então acho que nada haver.
Adriano: Mas se a população é constante não dependeria do r, porque ela não vai
sair fora de padrão.
Ronaldo: Então se p for constante, r é constante, né? Então analisando isso aí,
como a gente pode chegar às soluções constantes? Ah! Então a solução é
constante quando h(p)...
Adriano: Quando h(p) for igual a zero?
Ronaldo: É que aí não tem taxa de crescimento né?
Adriano: Quando não tem taxa de crescimento, vamos ter soluções constantes. Ou
pra não alterar você teria h(p) =1, porque aí ela não é nem crescente, nem
decrescente.
Este trecho de transcrição do diálogo dos alunos parece evidenciar a falta de
entendimento do significado do conceito de derivada como variação da função, pois eles
comentavam o tempo todo que as soluções seriam constantes se a população não variasse,
porém não relacionavam esse fato com a derivada ser igual a zero.
E voltam a ler o trecho do texto que tratava da introdução de aprph −=)(, para
aproximar a constante r.
Ronaldo: O que ap
r
− me retorna?
Adriano: Ele dá essa equação aqui kp/1
−
. (referindo a equação p
k
p
r
dt
dp
)1( −= ).
Adriano: É que essa equação ela ta considerando o que? Que a população ou
cresce ou decresce. Ela não considera que a equação tá em equilíbrio. O
que aconteceria quando a população tá constante, tá em equilíbrio? Acho
que não teria necessidade de ter esse r, porque r é um limitador.
Ronaldo: Vamos pensar, vamos calcular isso aqui no Excel pra ver o que dá?
E assim a dupla inicializa o Excel para realizar os cálculos que eles acreditavam que
iriam ajudá-los na compreensão do fenômeno estudado. No entanto, não obtêm êxito e
resolvem voltar para a tela do Maple na tentativa de resolver a equação
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
103
)(
3
15,0 pfp
p
dt
dp
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
, algebricamente. Como eles utilizaram o comando de forma
equivocada, também não obtiveram avanços no Maple e retornaram ao Excel. Na seqüência
Marcos, aluno da dupla que estava no computador ao lado, pergunta à dupla sobre o que
entenderam de solução constante e Adriano responde a ele que esta era a grande dúvida, que
eles não haviam tido progressos, nesta atividade, até o momento, exatamente por não entender
o que seria a solução constante. E assim, após mais ou menos 50 minutos de discussão, eles
chegam à conclusão que deveriam pedir auxilio à pesquisadora, isto é, que deveriam solicitar
meu auxílio para conseguir dar andamento às atividades propostas. No entanto, como é
comum nas práticas de sala de aula, não fui prontamente atendê-los, já que estava discutindo
uma determinada atividade com outra dupla da sala. E os alunos continuaram a seguir os
passos sugeridos na atividade, elaborando assim o campo de direções, através do Maple,
gerando o gráfico, esboçado na Figura 4.16.
Figura 4.16. Campo de direções de p
p
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
3
15,0 gerado no Maple
Após a elaboração desse gráfico, retomam a discussão sobre as soluções constantes
da equação, como se pode observar na transcrição a seguir.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
104
Ronaldo: Ah, ah!!! Tá ai. Olha lá onde é constante.
Adriano: Ele vai ser constante em três.
Ronaldo: Como nós não achamos isso cara? Aqui também óh... (Apontando para o
eixo das abscissas).
Adriano: Aliás, ele vai ter vários constantes, em zero...
Ronaldo: Não é em zero, é próximo de zero.
Adriano: Próximo de zero, próximo de três. Se ele conseguiu chegar, a gente tinha
que chegar na mão também né?
Analisando o gráfico gerado pelo software os alunos interpretam as soluções
constantes como sendo aquelas curvas para os quais os vetores tangentes têm inclinação nula.
Sendo assim, a deficiência na parte algébrica parece encontrar-se na relação da informação
que a equação dá, isto é, eles sabiam que deveriam procurar por soluções com tangentes nulas
em todo ponto, porém não associavam que estas soluções deveriam satisfazer a equação
diferencial dada.
E a partir desse gráfico, esboçado pelo software, os alunos começam a discutir os
parâmetros do comando, talvez na tentativa de elucidar o raciocínio algébrico que os levariam
a determinar as tais soluções constantes solicitadas.
Ronaldo: Vamos ver o que ele fez. De zero a dez. (referindo-se ao comando
dfieldplot utilizado para esboçar o campo de direções).
Adriano: Ele segurou a constante como k=3, por isso que ele chegou...Chegou em
zero... Se eu trocar essa constante k sei lá, e colocar 5, provavelmente
neste ponto ele vai ser constante. A gente vai vai e não chega em lugar
nenhum.
Ronaldo: Tá! A taxa de crescimento constante. E k, que eu não sei o que significa o
que é, é três.
Adriano: É uma constante também.
No entanto, os alunos ainda continuam sem atingir grandes avanços na atividade,
Adriano chega a comentar “a gente vai, vai, mas não vai pra lugar nenhum”. Porém, não
desistem e atribuem vários valores para k para ver o que acontece. Atribuem o valor de 10, em
seguida 5 e observam que o comportamento do gráfico mudava conforme mudavam o valor
de k e concluem que a constante k é importante, porém não atribuem significado para essa
constante.
Pode-se observar, até esse momento do episódio, que os alunos no processo de
realização das tarefas solicitadas buscavam várias maneiras um caminho para a resolução do
problema dado. E essa investigação é potencializada pelo software que possibilita várias
tentativas de entender o que está acontecendo. Possivelmente se eles estivessem trabalhando
somente com lápis e papel, fariam a análise da equação para um, no máximo para dois valores
de k que aparece na equação. Essa possibilidade de variação do parâmetro k e analisar os
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
105
vários gráficos gerados condicionam a maneira que os alunos investigam o campo de direções
e o modelo em si. Na verdade podemos dizer que o uso do Maple, neste momento,
potencializou a discussão dos alunos sobre o modelo analisado.
Ronaldo comenta que mesmo tendo observado a mudança do gráfico conforme a
variação dos valores da constante k, ele ainda não sabia determinar as soluções constantes do
modelo estudado, e continua argumentando sobre o modelo na tentativa de entender seu
comportamento, como podemos observar no trecho de transcrição do diálogo da dupla, dado a
seguir.
Ronaldo: Então é k que tá rolando ai.
Adriano: k que dá o grande diferencial.
Adriano: Pra mim por ser uma solução constante... Ah tá!!! Pode ser que tenha uma
solução constante, mas o problema que é um campo de direções, né! Então
são diversas soluções.
Ronaldo: Não, mas você pega uma equação... (Parece que Ronaldo argumenta sem
convicção no que fala).
É evidenciado que os alunos não conseguiram, até o momento, assimilar o conceito
do campo de direções e o significado das soluções da equação. Adriano volta ao roteiro e
comenta que das tarefas solicitadas, eles haviam feito o campo de direções com o software, e
observa ainda que não haviam feito o esboço do campo de direções no caderno, pois ficaram
“presos” em k, e buscam entender o comportamento das soluções observando o campo de
direções e continuam tentando esclarecer as dúvidas, conforme é apresentado no trecho a
seguir.
Adriano: Ela trabalha em bloquinhos, ela vai tender sempre para uma constante.
(Neste instante, ele faz um gesto com a mão, parece que ele estava dizendo
que o comportamento se repete em faixas, conforme observamos na Figura
4.17).
Ronaldo: Trabalha em bloquinhos?(risos)
Adriano: Trabalha em retângulos. Então ela é uma função periódica, de tempo em
tempo ela repete. Provavelmente o ponto 7 vai ser um ponto constante. Ele
tá variando de três em três. O que dá pra construir disso? (Ele referia-se à
()
7=tp )
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
106
Figura 4.17. Adriano argumentando com Ronaldo sobre o comportamento das soluções
Parece que Ronaldo não concorda com a afirmação de Adriano e simula vários
gráficos do campo de direções atribuindo vários valores para o intervalo de variação de p e
para valores de k. Um dos gráficos que foi gerado pelos alunos pode ser observado na Figura
4.18.
Figura 4.18. Gráfico do campo de direções do modelo de Verhulst para k=2
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
107
Ao observar os vários gráficos gerados, Ronaldo faz o seguinte comentário:
Ronaldo: Não é o que você pensou não hein!
Adriano: Agora ela tá variando de quatro em quatro.
Ronaldo: Só aqui que tá variando, o resto não. (Apontando o gráfico próximo a
()
2=tp ).
Adriano: Só variou o centro?
Ronaldo: No seis tá bem grande lá. Vamos analisar esse k. (Ele referia-se a
inclinação dos vetores diretores para p(t) = 6).
Parece que o termo “variando” que eles estavam utilizando se referia ao local onde
as inclinações dos vetores mudavam, ou seja, de positivo para negativo ou vice-versa, isto é,
onde a inclinação era nula.
Adriano: Quando eu mexo com o k eu to mexendo com o r e o a ao mesmo tempo, as
duas constantes. (Já que estavam analisando a equação
p
k
p
r
dt
dp
)1( −= ,
onde
a
r
k = ).
Ronaldo: Então depende da taxa de crescimento. A taxa de crescimento é sempre a
mesma né, independente da população aqui?! Mas caramba por que ela
tende a uma constante?Ah! Quer ver só! k é sempre o mesmo, então coloca
aqui um k três, por exemplo, a população começa a aumentar, por
exemplo, se ela for muito grande, ela vai chegar uma hora que a
proporção entre a população e o crescimento é pequena, entendeu? Daí
ela começa a ter efeito contrário.
Adriano: Ela passa a ser uma taxa negativa? Que é o que o texto está propondo.
Ronaldo: Não negativa...Acho que é isso a relação. É sempre o mesmo, entendeu?
Mas daí eu vou aplicando aqui no p, vamos supor que o p vai aumentando,
vai chegar uma hora que a proporção...
Adriano: A gente pode testar isso no gráfico, jogar um p bem grande. Pode jogar na
equação, joga um p bem grande.
Ronaldo: Porque pense óh! Você tem uma população grande, pezão, e tem uma
população pequena aqui, joga um k. Então, pra essa população qual que
vai ser o efeito e pra essa qual vai ser o efeito? Se a população é pequena,
jogo uma taxa de crescimento nela ela vai aumentando, e se a população
já é grande, se a taxa de crescimento for pequena, o que tá significando?
Que não tá crescendo, que o pessoal já ta morrendo.
Adriano: Já tá no limite. Tende ao equilíbrio.
Ronaldo: Era pra gente ter sacado isso aquela hora.
Adriano: Ainda tá meio...(risos) Só depois de ver o gráfico, mas mesmo assim na
dúvida, o gráfico pode estar errado.
Ronaldo: Então essa parte que é chave. É isso mesmo. Esse h de p é isso, é ap
r
−
.
Adriano e Ronaldo solicitam a minha participação na discussão do que seriam as
soluções constantes para o modelo de Verhulst. Nesse momento, retomo com os alunos o que
seria tal solução, ou ainda, o que seria uma EDO e o que significa resolvê-la. Fica evidente a
intervenção, ou ainda, a mediação do professor em uma atividade como esta. No momento
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
108
que eu questiono o que é uma equação diferencial e o que seria resolvê-la e sabendo que as
soluções constantes são aquelas cuja derivada se anulam, os alunos parecem entender o que
estava sendo pedido na atividade. E, juntamente com todo o processo de investigação que eles
tinham desenvolvido ate o momento, parece que chegaram à conclusão do que estavam
buscando descobrir. Porém, já havia chegado o término desta aula e então eles continuariam
no próximo encontro.
Porém, neste dia, Ronaldo não compareceu e Adriano trabalhou com Aline. Sendo
assim, a partir de agora os alunos Adriano e Aline compõe a continuidade desse episódio.
Como Adriano ainda tinha dúvidas da aula anterior quando trabalhou com Ronaldo e
Aline não tinha iniciado essa atividade, decidiram começar a discussão da atividade desde o
início. Talvez pelo fato de Adriano já ter desenvolvido uma primeira experimentação, na aula
anterior, ele foi conduzindo a discussão dos dois. Após a leitura introdutória da atividade, eles
relacionam a solução constante como àquela em que a derivada se anula e, portanto tomam a
equação dada e igualam a zero chegando à conclusão que as soluções constantes para a
equação
p
k
p
r
dt
dp
)1( −=
, onde
a
r
k = são dadas por p=k ou p=0.
Seguindo o roteiro, eles discutem sobre o campo de direções. O trecho abaixo ilustra
a discussão dos alunos. Aline comenta com Adriano que ela não tinha muito claro o que seria
o campo de direções e Adriano a ajuda mostrando alguns valores particulares dos vetores
diretores para esse modelo. O trecho transcrito a seguir mostra a interação dos dois alunos na
busca pelo entendimento do conteúdo estudado neste modelo.
Adriano: Esboce no caderno o campo de direções.
Aline: Isso foi feito no Excel.
Adriano: Isso aí a gente teria que transferir para o caderno. São aqueles
anguluzinhos [..] Vai chegar um momento que aquela curva tem que virar.
Ela tem que chegar no ponto de equilíbrio. É isso que o exercício 2 queria
na análise de sinal. A gente saber onde essa curva troca de sinal.
Aline: Porque pra mim o que não ficou muito claro é o campo de direções. Eu sei
que é um campo pra onde ela...
Adriano: Um campo de direções é uma coisa assim, eu fixo um vetor pequenininho
aqui, lá ta dando 89, meu vetor vai vir assim oh. Só o que acontece, ele vai
ver de uma maneira tal que vai chegar num ponto que ele vai ter um
equilíbrio. (Adriano esboça no caderno o vetor com inclinação de 89 graus,
aproximadamente, Figura 4.19).
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
109
Figura 4.19. Esboço dos campos de direções feito pelos alunos
Aline: É como se fosse isso daqui óh. (esboçando uma curva no caderno) É como se
tivesse um limite assim.
Adriano: Isso. Aí a gente teria que saber onde é esse limite[..] pra onde ele tá
caminhando. Eu vou só deixar rascunhado aqui porque eu também não
tenho idéia de como eu vou chegar nele.
Na seqüência eles continuam analisando o modelo utilizando os comandos do
Maple, esboçam o campo de direções, que é ilustrado na Figura 4.20, a seguir.
Figura 4.20. Gráfico do campo de direções do modelo de Verhulst para k=3
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
110
O trecho de transcrição a seguir ilustra a discussão dos alunos acerca deste gráfico.
Adriano: Olha lá é o que você estava fazendo.
Aline: Na verdade é uma linha.
Adriano: No 3 é onde é o ponto de equilíbrio que a gente teria que ter achado na
mão.
Aline: Pra o menos um tá indo pra baixo, ou seja, a partir do zero, acaba.
Adriano: Estranho. Não dá pra pensar em população negativa, mas ele continua
fazendo.
Ao usarmos o comando de desenho do software para esboçar determinado gráfico,
como no caso, o campo de direções da equação
p
p
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
3
15,0 , com variação de 0 a 10 no
eixo da abscissa e de -1 a 6 no eixo da ordenada, o gráfico gerado é representado nessa janela
gráfica e no entanto, essa equação representa aquele modelo para o crescimento populacional,
e esta não tem sentido para valores menores que zero, já que a variável p representa a
população. A coordenação da representação gráfica de uma função com o que ela representa
deve ser observada com cuidado. E parece que isso não estava claro para os alunos, pois eles
ficaram tentando justificar o comportamento do campo de direções para esses valores, como
se pode observar no trecho de transcrito do diálogo dos alunos apresentado a seguir.
Aline: Mas às vezes é uma população que tá decrescendo.
Adriano: Acho que isso depende muito de onde você vai avaliar né. Por exemplo, se
você vai avaliar pra intervalos acima de 3, você vai ver que ela é
decrescente, porque tá todos os gráficos descendo. (Ele faz um gesto com
a mão de várias curvas decrescentes).
Aline: Então ela vai tá sempre tendendo a 3.
Adriano: Acima de zero ela vai pra 3. Vai tender a 3. Abaixo de zero ela é
decrescente, não tende mais pra zero. Ela parte de zero, mas não tende pra
zero. Acho que basicamente é o que você construiu no caderno. (Aponta
para o caderno).
Aline: Não era isso.
Adriano: Se você pensar, se você pegar um caminho aqui e tenta levar, ele vai dar
uma curva parecida com a sua. (Adriano faz um gesto com a mão
mostrando na tela o comportamento da curva).
Aline: É que na verdade o que eu tinha feito sobre a faixa tá certo, mas ao mesmo
tempo, tá vendo que perto da faixa é como se não tivesse nenhum, é como
se tivesse um espaço.
Adriano: É onde a derivada troca de sinal.
Aline: É onde ela troca de sinal né!
Adriano: Esse ponto que a gente olhou lá é praticamente 3 e alguma coisa no outro
gráfico.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
111
Neste momento eles voltam para análise do gráfico do comportamento da função
()
p
p
dt
dp
pf
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
3
15,0 e verificam que esta possui um ponto de máximo que é exatamente o
ponto de inflexão da função solução procurada, ilustrado na Figura 4.21, a seguir.
Figura 4.21. Esboço da função
(
)
pf elaborada no Maple
Os alunos estavam fazendo referência ao ponto p=1,5. Eles apontaram com o mouse
no ponto correto, porém estavam equivocados com a ordenada do ponto, por isso disseram em
3 e pouco.
Assim os alunos Aline, Adriano e Ronaldo protagonizaram o episódio Modelo de
Verhulst, que tem por objetivo apresentar o processo de discussão matemática dos alunos na
investigação de um modelo para o crescimento populacional, tendo no horizonte da pesquisa a
pergunta diretriz “Quais as possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às
equações diferenciais ordinárias através da análise qualitativa dos modelos matemáticos, com
o auxílio de Tecnologia de Informação e Comunicação?”.
Um ponto importante que surge na análise deste episódio consiste na aparente
dificuldade dos alunos em assimilar o conceito de derivada de uma função no ponto com a
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
112
variação da função. E, essa dificuldade leva o aluno a não conseguir analisar o
comportamento da função por meio do campo de direções. A interpretação do gráfico
esboçado pelo software e o seu significado para o modelo também é um fato importante.
Interpretar as representações das funções (gráfica, numérica e algébrica), no caso, dadas pelo
software, mas que também poderiam ter sido encontradas utilizando-se lápis e papel,
raciocínio mental, enfim, com as tecnologias da inteligência disponíveis, com o seu
significado no modelo, que representa um fenômeno em particular, é algo bastante importante
na análise de equações diferenciais.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
113
4.4 Episódio – Campos de direções
Esse episódio é composto pela junção da discussão do trio de alunos, Adriano,
Ronaldo e Viviane, e da discussão da dupla, Marcos e Shen, no desenvolvimento da atividade
“campo de direções”. Inicialmente apresento o desenvolvimento de toda a atividade discutida
pelo trio e, na seqüência, apresento a discussão da dupla com o intuito de confrontar a
estratégias utilizadas pelos grupos de alunos.
Esta atividade teve por objetivo investigar como os alunos estabeleciam uma relação
entre o comportamento das equações e os campos de direções. Foram dadas cinco equações
diferenciais ordinárias e cinco gráficos de campos de direções e era solicitado que os alunos
os relacionassem através da análise qualitativa das equações, sem necessariamente determinar
a resolução algébrica. Sendo assim, foi sugerido que inicialmente utilizassem “lápis e papel” e
a planilha de cálculo no auxílio dos cálculos. Em seguida, foi sugerido que utilizassem um
software gráfico para comparar as suas análises. O Quadro 4.4 ilustra como a atividade foi
proposta.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
114
Quadro 4.4. Roteiro da atividade “campo de direções”
Discuta com seu colega o comportamento das equações diferenciais dadas abaixo e as
relacione com o seu respectivo campo de direções. Justifique sua resposta:
a)
)(xsen
dt
dx
= b) )(tsen
dt
dx
= c) x
dt
dx
−= 2 d)
()
xx
dt
dx
−= 2 e)
2
4
1
2 x
dt
dx
−=
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
115
Ronaldo e Viviane iniciaram a atividade observando as figuras e as equações dadas.
A Figura 4.22 ilustra os alunos no início da atividade.
Figura 4.22. Ronaldo e Viviane iniciando a atividade proposta
A transcrição de trechos dos diálogos dos alunos ilustra os passos que eles foram
trilhando.
Viviane: Hum, vamos ver, dx, dt, seno de x, então a seno... É assim seno né?
(Viviane volta para o caderno e faz um esboço do gráfico da função seno e
mostra para Ronaldo).
Ronaldo: É! Esse aqui é como lá. (apontando para o gráfico (v) da atividade,
conforme ilustrado na Figura 4.23).
Talvez ele estivesse comparando o comportamento desse campo de direções com o
do modelo de Verhulst que haviam analisado na atividade anterior.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
116
Figura 4.23. Ronaldo comentando sobre o gráfico (v) com Viviane
Viviane: É tem que ver porque aqui vai ser constante no dois.
Ronaldo: É todas elas quase vão...
Viviane: Não essa aqui não. (apontando para o gráfico (iv), ilustrado Quadro 4.4).
Ronaldo: No três, essa aqui não tem. (referindo-se, respectivamente aos gráficos (iv)
e (iii) do Quadro 4.4).
Viviane: Acho que melhor a gente ir vendo onde é constante não é? Porque nessa
primeira ela depende de x.
A partir desse momento da discussão, Adriano inicia sua participação nessa
atividade.
Viviane: Bom e agora?
Adriano: Eu acho que a gente devia dar valores para x e acompanhar.
Ronaldo: Mas é para analisar, não é?
Adriano: É porque é assim, se eu tiver a derivada, a derivada é o ângulo que... Qual
que é a medida do ângulo que ele tá evoluindo. Dependendo de como este
ângulo se comportar a gente sabe mais ou menos o que está acontecendo.
Viviane: Então vamos atribuir valores. dx, dt igual a seno de x. Porque aqui ela
depende de x, nessa primeira. (Viviane retoma a primeira equação
diferencial dada na atividade, (Quadro 4.4)).
Ronaldo: Qual a diferença entre seno de x e seno de t?(Itens (a) e (b) do Quadro
4.4).
Adriano: É isso que eu to querendo enxergar.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
117
Viviane: Boa idéia. Acho que vai dar diferente na hora de resolver. Se eu resolver
essa equação vai ficar um sobre seno de x, dx igual a dt. E a outra vai
ficar, dx igual seno de t, dt, vão ser diferentes, e ai se integrar os dois
lados vai dar.... x é isso? x de t é igual..., qual a integral de seno mesmo, é
cosseno?É menos. Entendeu? Agora essa daqui eu não sei integrar.
(referindo-se à equação do item (a) da atividade, ilustrada no Quadro 4.4).
Viviane: Então essa daqui que dá menos cosseno, então acho que é essa daqui oh!
Porque as soluções vão ser menos cosseno.
Adriano: É a curva da menos cosseno.
Viviane: É acho que vai ser essa daqui a (b). (Fazendo referência ao gráfico (iii)
esboçado na atividade, (Quadro 4.4)).
Deste trecho de transcrição pode-se observar que, até esse momento da atividade,
nem todos os alunos estavam utilizando o conceito de campo de direções como uma
ferramenta de auxílio na análise de equações diferenciais ordinárias. Viviane argumentou sua
escolha em função da solução que ela obteve ao resolver a equação diferencial
)(tsen
dt
dx
=
,
mesmo tendo no início concordado com Adriano em atribuir valores para esboçar o campo de
direções. Já, com relação à equação
)(xsen
dt
dx
= , eles equivocadamente esboçam uma
solução algébrica, porém essa solução encontrada não os auxiliou na análise e nem na escolha
do respectivo campo. Parece que para Viviane, o raciocínio algébrico prevalece ao
geométrico. Eles comentam que estava difícil efetuar a relação pedida e resolvem continuar
analisando as demais equações dadas na atividade. O trecho da transcrição do diálogo ilustra a
discussão.
Adriano: Olha, eu acho que a (e) é a (ii). Porque ela lembra a equação de Verhulst.
Ela sobe e depois ela tende para o equilíbrio né! Só de “olhômetro”
mesmo. (Referindo-se à equação (e)
2
4
1
2 x
dt
dx
−= e o gráfico (ii) que
podem ser observados no Quadro 4.4).
Viviane continua buscando as soluções algébricas para as equações diferenciais
ordinárias dadas. Já Adriano continua querendo analisar a variação dos ângulos. Ele atribui
valores 1, 2 e 3 para x no segundo membro da equação
2
4
1
2 x
dt
dx
−=
e comenta:
Adriano: É estranho essa (e), ela começa a crescer e depois ela decresce muito
rápido. Você calcula no ponto 1 ela te dá 2,25, calcula no ponto 2 ela te dá
1 , você calcula no ponto 3 ela te dá -1,25. Começou crescer...
Viviane: Então pode ser essa aqui oh! (referindo-se ao gráfico (ii), Quadro 4.4).
Adriano: É ela cresce, quando chega no ponto 2 ela dá uma estabilizada e no ponto
3 ela começa decrescer.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
118
Viviane: Tanto no positivo quanto no negativo. Qual que é essa a (e)? É, eu acho
que essa (e) é essa mesmo. (referindo-se a simetria, com relação ao eixo x,
do comportamento do campo de direções).
Eles continuam analisando os gráficos esboçados na folha de atividades e levam
alguns minutos tentando resolver algebricamente, atribuindo valores, explorando os vários
gráficos. Depois dessa pausa eles retomam a discussão, como apresentado na transcrição de
um trecho do diálogo.
Viviane: Agora essa (d) aqui... Acho que eu achei qual que é a (d) (referindo-se à
equação
()
xx
dt
dx
−= 2). Acho que é essa aqui óh, porque quando x é zero
dá zero, então é no zero aqui, pra cá ele muda, e no x igual a dois é zero
também. Deixa eu ver pra x igual a menos um, é isso mesmo. Nardo, acho
que a (5) é a (d).(Figura 4.24).
Acredito que, a partir desse momento, Viviane foi influenciada por Adriano a buscar
analisar a equação através do conceito de campo de direções, além da tentativa de resolução
das equações. E ela continua em sua análise.
Figura 4.24. Os alunos analisando o gráfico (v) relacionando-o à equação (d)
Viviane: Eu acho que a (c) é a (i). Porque quando x é zero dá dois. Aí quando x é
dois, dá zero. E como é ln ela vai crescer exponencialmente.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
119
Suponho que esse último comentário de Viviane se deve ao fato dela ter explicitado
algebricamente t em função de x, utilizando-se de separação de variável para a equação
x
dt
dx
−= 2
, obtendo a expressão
(
)
xxt −−= 2ln . Sendo assim, parece ser evidente que a
aluna coordena a análise da expressão algébrica da solução com a análise da equação através
do comportamento do campo de direções.
Adriano: Ela vai e tende para uma constante.
Viviane: É eu acho, agora não sei. Por exemplo, se eu pegar para x igual a três vai
dar negativo, que já é para cima do dois. Agora pode ser essa aqui
também né! Não, não pode, pois se x for menos dois vai dar quatro não vai
dar zero de novo. (possivelmente referindo-se ao gráfico (iv) do Quadro
4.4).
Na seqüência Viviane retira-se da discussão da atividade. Ronaldo e Adriano vão à
busca das soluções das equações utilizando software algébrico Maple. No entanto, eles não
obtêm êxito com os comandos e solicitam minha intervenção.
Já Marcos e Shen encaminham a atividade da seguinte forma. Os alunos analisaram
os gráficos dados, utilizaram a planilha de cálculo para calcular os vetores tangentes para o
esboço do campo de direções. O trecho abaixo ilustra o início da discussão da dupla Shen e
Marcos que foi propiciada por esta atividade.
Marcos: Pra ver quem é quem aqui?
Shen: Isso.
Marcos: dx/dt=sen(x), dx/dt=sen(t), qual a diferença disso?
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
120
Figura 4.25. Marcos e Shen discutindo a diferença entre as equações (a) e (b)
Shen: Aquela depende de x e o outro de t (apontando para as duas primeiras
equações, Figura 4.25).
Marcos: É isso o que to querendo enxergar... Integrar esse treco ai, né?! Bem que
isso daí sem integrar já dá pra fazer, oh?! Já dá pra relacionar facinho,
porque óh!!! Aqui vai ser o sen(x), né?! (referindo-se ao segundo membro
da primeira equação).
Shen: A hora que integrar vai ser cos(x).
Marcos: Aqui tá x né? E o que tá aqui? (referindo-se aos eixos da ordenada e da
abscissa, respectivamente, no gráfico (i), Figura 4.25).
Shen: Para mim aqui é x e aqui é y.
Marcos: Aqui tá t né? (apontando para o eixo das abscissas) Está fácil de tirar não
tá? Quando t for zero, dx/dt vai ser seno de zero, quanto dá seno de
zero?To fazendo a (b) tá?!
Shen: A b?
Marcos: A b, t dx/dt. t igual a zero, seno de zero é?
Shen: Zero.
Marcos: Zero. Quando ele for... Quando o t for pi sobre dois, quanto que dá?
Shen: Ah quando x for pi sobre dois...
Marcos: Dá um.
Shen: Isso.
Marcos: Menos pi sobre dois, menos um, menos pi?!
Shen: Zero.
Marcos: Zero. Daqui pra cá ele cresce?
Shen: hah, hah....de zero a pi sobre dois.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
121
Marcos: Aqui vai dar mais ou menos um e meio.
Shen: Ah como?
Marcos: Mais o menos né, pi sobre dois, três vírgula quatorze por dois,
aproximadamente, um e meio. Então no um e meio, dx/dt vai ser um. Como
que é a inclinação um? Assim?
Shen: Inclinação um, perai..noventa graus?!
Marcos: Então no um e meio tem que ser noventa graus mais ou menos não é?
Shen toma a folha que contém os gráficos dos campos de direções e observa que não
tem nenhum comportamento assim.
Shen: Nenhum.
Marcos: Nenhum?Aqui oh! (referindo-se ao gráfico (i), Figura 4.25). Não! Quando x
é zero, dx/dt é zero. Acho que é essa aqui oh! (Marcos aponta com o mouse
o gráfico (iv), do Quadro 4.4).
Figura 4.26. Marcos e Shen analisando o gráfico (iv) relacionando-o à equação )(tsen
dt
dx
=
Shen: O b, letra b?
Marcos: É.
Marcos: Que quando é pi sobre dois vai ser um. Não vai ser um?
Shen: ahã! (concordando)
Marcos: Ou não?! O gráfico aqui no eixo aqui é t? (apontando para o eixo da
abscissa dos gráficos esboçados na atividade, Quadro 4.4).
Shen: Isso.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
122
Marcos: E aqui é x? (apontando com o mouse a expressão do seno de x, na equação
)(xsen
dt
dx
= ).
Neste instante, parece que Marcos suspeitava que sua análise não estava relacionada
com a equação
)(tsen
dt
dx
= mas sim com a equação )(xsen
dt
dx
= .
Marcos: Seno de x é zero, seno de zero é quanto? (ainda apontando com o mouse a
primeira equação
)(xsen
dt
dx
= ).
Shen: Seno de zero é zero.
Marcos: Seno de zero é zero, então ela tá aqui oh! (apontando com o mouse o eixo
da abscissa do gráfico (iv) da atividade, Quadro 4.4).
Marcos: Ai seno de pi sobre dois é?
Shen: É um.
Marcos: Dois e meio, um vírgula três... (pareceria que estava analisando o
comportamento apresentado no gráfico (iv), Figura 4.26).
Marcos: Vamos ver essa. Quando x é zero, dx/dt é dois. (apontando com o mouse a
equação (c)
x
dt
dx
−= 2). E x ta aqui né? (apontando com o mouse o eixo
da ordenada dos gráficos da atividade). Quando a derivada é dois, quanto
é?Tem que fazer atan, não tem?Ver qual é o ângulo. Se a derivada é dois,
qual é o ângulo?
Shen: Tem que fazer.
Marcos: Arco tangente. Pode usar Excel aqui?
Shen: Pode.
Sendo assim, decidem começar pela equação
x
dt
dx
−= 2 , atribuindo os valores de x
que variaram de menos três a três, talvez influenciados pelo gráfico (i) dado na atividade
(Quadro 4.4), gerando uma tabela de valores (Figura 4.24). Apesar de escrever tangente na
coluna C da planilha, eles tinham consciência que a função utilizada era arcotangente.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
123
Figura 4.27. Tabela elaborada por Marcos e Shen para analisar a equação
x
dt
dx
−= 2
A partir destes valores, a dupla discute sobre o possível comportamento procurado.
O trecho da transcrição, a seguir, mostra essa discussão.
Marcos: Quando x é menos três, dá 78, e esse, esse e esse não pode ser, porque
varia quando é menos três. Então tem que ser esse ou esse, mas esse
também varia. Aqui é menos quatro, então não vai ser esse também.
Após essa análise eles chegam à conclusão que nenhum gráfico dado atenderia ao
comportamento dos valores da tabela. No entanto, Marcos observa que eles estão olhando no
eixo da abscissa e teriam que olhar para o eixo da ordenada.
Marcos: Peraí, mas aqui é x, oh Shen, não é t, e nós estamos olhando para t e nós
temos que olhar para x, temos que olhar para a ordenada, quando é menos
três, vai ser 78. Menos dois vai dar 76, menos um..., óh é esse aqui.
Parece que a confusão inicial dos alunos encontrava-se no reconhecimento da
variável independente e variável dependente da equação, pois geralmente, associamos a
variável independente no eixo da abscissa, denotado por x, e o da variável dependente no eixo
da ordenada, denotado por y. No entanto, a EDO era dada por uma função x dependente de t.
Identificaram o engano e esboçaram no caderno alguns vetores diretores (Figura 4.28).
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
124
Figura 4.28. Esboço do campo de direções de x
dt
dx
−= 2 elaborado por Marcos e Shen
Ao comparar o gráfico, por eles elaborado, com os gráficos dados na atividade,
concluem que o gráfico (i) da atividade (Quadro 4.4) era o campo de direções para a equação
em análise.
Eles continuam, a atividade proposta, elaborando uma tabela para a variação dos
vetores diretores para a equação
)(xsen
dt
dx
= , (Figura 4.29).
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
125
Figura 4.29. Marcos e Shen analisando os valores da tabela por eles gerada
A partir dos valores obtidos nessa tabela, os alunos esboçam no caderno alguns
vetores diretores (Figura 4.30).
Figura 4.30. Esboço do campo de direções para )(xsen
dt
dx
= elaborado por Marcos e Shen
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
126
O trecho do diálogo dos alunos evidencia como eles estavam raciocinando sobre o
comportamento da equação
)(xsen
dt
dx
=
.
Marcos: Quando é zero é zero. No 4 é -37. -4 vai ficar positivo.
Shen: É! No -4 é positivo. Então esse aqui não é. (apontando para o gráfico (v) do
Quadro 4.4). Então é esse aqui. (apontando para o gráfico (iv) do Quadro
4.4).
Marcos: E no +4? No +4 é negativo também. Ah é isso aí mesmo. (concordando
com Shen que o gráfico correspondente a essa equação era o (iv) do
Quadro 4.4).
Na análise da equação
()
xx
dt
dx
−= 2 , utilizando a planilha de cálculo, obtiveram a
tabela (Figura 4.31).
Figura 4.31. Tabela elaborada por Marcos e Shen para a equação
()
xx
dt
dx
−= 2
Eles concluíram, rapidamente, que o gráfico correspondente a essa tabela era o
gráfico (v) dado na atividade. Para equação
2
4
1
2 x
dt
dx
−= , geraram uma tabela (Figura 4.32).
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
127
Figura 4.32. Tabela elaborada por Marcos e Shen para a equação
2
4
1
2 x
dt
dx
−=
Shen esboçou alguns vetores diretores, a partir desses valores, no caderno (Figura
4.33).
Figura 4.33. Esboço de vetores diretores, para a equação
2
4
1
2 x
dt
dx
−=
, desenhado por Shen
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
128
Ao comparar os valores da tabela e o esboço dos vetores com os gráficos dados na
atividade, concluíram que o gráfico (ii), da atividade proposta, correspondia a essa equação.
E, finalmente começam a analisar a última equação,
()
tsen
dt
dx
=
.
Shen: Então só faltou essa (referindo-se à equação
()
tsen
dt
dx
= ).
Marcos: Bom, nessa aqui você, nós vamos atribuir valor para t.
Shen: Será que é?
Marcos: Aí você vai olhar para esse eixo ao invés de olhar para aquele, concorda?
Ao invés de olhar para esse eixo (eixo da ordenada) você olha pra
abscissa. (Neste momento ele aponta com a mão o eixo da abscissa t e para
o eixo da ordenada x).
Shen: Hã. hã... (concordando).
Marcos: Põe t aqui, dt/dt,... (montando a tabela na planilha, Figura 4.34).
Figura 4.34. Tabela elaborada por Marcos e Shen para a equação )(tsen
dt
dx
=
Shen: Peraí, você disse que ao invés de olhar o eixo x...(mostra no papel o eixo da
ordenada x).
Marcos: Você vai olhar aqui, esse eixo aqui (Marcos faz um gesto com a mão
indicando o eixo da abscissa t). O -4 vai ser 37, óh! O -3 vai já é negativo,
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
129
-2, negativo, tá vendo? Tem que olhar assim! (apontando novamente o
eixo da abscissa).
O gráfico do campo de direções para essa equação, esboçado por Shen no caderno, é
ilustrado na figura 4.35.
Figura 4.35. Esboço de vetores diretores, para a equação )(tsen
dt
dx
= , desenhado por Shen
Desta forma, eles relacionaram as várias equações e os vários campos de direções na
folha da atividade proposta, figura 4.36.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
130
Figura 4.36. Relação entre os campos de direções e as equações, elaborada por Marcos e Shen
Esse episódio é composto pela discussão de dois grupos de alunos na atividade
denominada “campo de direções”. Essa atividade teve por objetivo buscar evidências sobre o
entendimento dos alunos acerca do significado do campo de direções para a exploração de
equações diferenciais ordinárias. Pode-se depreender dessa análise que era ainda muito
presente para alguns alunos a necessidade de determinar a expressão algébrica das soluções
das equações diferenciais dadas. Viviane, no decorrer da atividade, buscou determinar tais
soluções algebricamente e, somente a partir destas soluções é que a aluna buscava analisar e
determinar qual deveria ser o respectivo campo de direções. Talvez possamos arriscar
concluir que a primazia do aspecto algébrico prevalece ao aspecto geométrico, no caso da
aluna. Já Adriano, por outro lado, buscava analisar a variação da derivada.
No entanto, a dupla formada por Marcos e Shen buscou analisar as equações
diferenciais ordinárias, dadas na atividade, através dos campos de direções. E, para determinar
os ângulos desses vetores, eles utilizaram a planilha eletrônica e esboçaram alguns vetores
diretores no caderno na busca do respectivo campo de direções, dado no roteiro da atividade.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
131
Na análise do desenvolvimento desta dupla fica aparente a contribuição da interação das
várias mídias na discussão dos alunos, criando, assim, diferentes possibilidades na
investigação destes conteúdos matemáticos.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
132
4.5 Episódio – Lei do resfriamento
Neste episódio trataremos da discussão da atividade denominada lei do resfriamento
que foi desenvolvida pelos alunos Shen, Marcos, Adriano e Viviane. Esta atividade teve por
objetivo avaliar dados discretos obtidos experimentalmente, bem como propiciar aos alunos a
discussão do problema clássico de resfriamento de um corpo.
Os dados foram coletados por meio de um experimento. A temperatura do líquido
contido em uma lata de cerveja foi anotada, em diversos momentos, por determinado tempo,
gerando assim um conjunto de dados discretos.
Na seqüência foi solicitado aos alunos que explorassem esses dados utilizando a
planilha de cálculo Excel, para elaborar um modelo que os representasse. Uma segunda
rodada de valores da temperatura foi tomada, em um segundo experimento, com condições
diferentes do primeiro gerando, assim, outro conjunto de dados. Foi solicitado aos alunos que
analisassem esses novos dados e comparassem com os anteriores. Portanto, nessa atividade,
diferente das demais, os alunos não analisaram modelos “prontos”, mas sim elaboraram um
modelo matemático para representar o fenômeno em questão. A seguir apresento como a
atividade foi proposta aos alunos.
Atividade: Modelo de resfriamento de um corpo – difusão de calor
Um corpo que não possui internamente nenhuma fonte de calor, quando deixado em
um meio ambiente na temperatura
T
, tende àquela do meio que o cerca
a
T . Assim, se a temperatura
a
TT < , este corpo se aquecerá e, caso contrário, se resfriará. A temperatura do corpo, considerada
uniforme, será, pois uma função do tempo
(
)
tT
.
Com um termômetro de precisão decimal, e considerando que às 14 horas a
temperatura ambiente era de
C°8,20 , as medidas da temperatura de cerveja de uma lata de ml 350
foram tomadas. Os valores da temperatura
T
em relação ao tempo são dados na Tabela1, a seguir.
Horas t Temperatura
T
14h2min 8,5
14h12min 9,9
14h22min 11,6
14h32min 12,5
14h42min 13,4
14h52min 14
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
133
Horas t
Temperatura
T
15h2min 14,6
15h12min 15,1
15h22min 15,5
15h32min 16
15h42min 16,4
15h52min 16,8
16h2min 17,1
16h12min 17,5
16h22min 17,9
16h32min 18,3
16h42min 18,6
16h52min 18,8
17h2min 19
17h12min 19,3
17h22min 19,5
17h32min 19,6
17h42min 19,7
17h52min 19,8
187h2min 19,9
18h12min 20
18h22min 20,2
18h32min 20,3
18h42min 20,4
18h52min 20,49
19h2min 20,5
Tabela1 - Valores da temperatura do líquido com relação ao tempo
Observe que quanto maior for valor de
a
TT − mais rápida será a variação de )(tT . Isto é
evidenciado de forma mais precisa pela chamada Lei de resfriamento de Newton: “a taxa de variação
da temperatura de um corpo (sem fonte interna) é proporcional à diferença entre sua temperatura
)(tT
e a do meio ambiente
a
T
, em cada instante t ”. Ou seja,
()
)( TTTT
dt
dT
aa
−=−−=
λλ
(*)
onde
0>
λ
, pois se
a
TT > então 0<
dt
dT
(esfria) e se
a
TT
<
, 0>
dt
dT
(esquenta)
(VERIFIQUE COM OS DADOS).
Questões:
1.
Qual é a solução trivial da equação (*)? E qual o seu significado físico?
2.
Resolva, usando o comando dsolve do Maple, a equação (*), considerando que
0
)0( TT = . Qual
a solução algébrica encontrada?
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
134
3. Faça um esboço da temperatura
T
em relação ao tempo t . Qual o comportamento desses
pontos? Qual curva se ajusta a esses pontos? É compatível com a equação algébrica determinada
em (2)?
4.
Agora, calcule TT
a
− . Esboce no plano cartesiano TT
a
−
pelo tempo t. Qual a função y que
melhor ajusta esses pontos? Usando o Excel, ajuste esses pontos determinando a expressão de
ajuste no comando opções, clique em exibir equação no gráfico.
5.
Agora calcule a temperatura usando o modelo y-T)(
a
=
tT , onde y é a função encontrada em
(4).
6.
Esboce em um mesmo gráfico os dados da T real e da estimada pelo modelo encontrado em (5). O
que você observa?
7.
O que acontece quando o tempo
∞
→
t
no modelo encontrado em (5)? O que isto significa?
Observação: O fato de
T
tender a
a
T somente quando
∞
→t
pode dar a impressão que a equação
(*) não se presta para modelar situações reais de estabilidade. Entretanto, em termos de modelagem
matemática,
∞
→
t
deve ser interpretado por: “
t
assume valores grandes, relativamente à
evolução das variáveis analisadas”. Por exemplo, neste modelo de resfriamento, na equação (*),
podemos considerar que a temperatura de um corpo “atinge” a temperatura ambiente quando estiver
“bem próxima” desta temperatura, digamos
a
TtT 99,0)(
* +
−
= e isto ocorre em um tempo
*
t finito.
Considerando
a
TtT 99,0)(
* +
−
= , calcule o tempo
*
t necessário de equilíbrio para esse
modelo e também para esses dados.
Desafio: Às 7 horas, um indivíduo é encontrado morto pela sua secretária, que liga imediatamente
para a polícia. Às 10h30mim quando os peritos chegam ao local, verificam que a temperatura
ambiente é de
C
o
22
e a temperatura do corpo é de C
o
4,29 . Meia hora após, o perito, novamente
mede a temperatura do corpo e verifica que estava em
C
o
8,25 . Passado mais 30 minutos,
novamente, a temperatura é medida e é de
C
o
9,23 . Após uma breve discussão entre os peritos, a
secretária é presa. Por quê? (Obs. Considere que a temperatura normal de uma pessoa viva seja
constante e igual a
C
o
5,36 ).
A partir da leitura desse texto, os alunos começam a realizar as tarefas solicitadas
discutindo as questões propostas. Marcos e Shen tomam os dados discretos da temperatura
com relação ao tempo e utilizando ajuste de curvas da planilha constroem o diagrama de
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
135
dispersão e concluem que os tais dados tinham o comportamento da função logarítmica,
conforme ilustra a Figura 4.37.
Figura 4.37. Shen e Marcos analisando a curva de ajuste dos dados
O trecho a seguir ilustra a minha intervenção na discussão dos alunos acerca do
modelo que eles estavam elaborando.
Sueli: Esse comportamento que vocês estão vendo na tela aqui....(Estava me
referindo ao diagrama de dispersão para os dados discretos do
resfriamento que os alunos haviam feito usando a planilha eletrônica,
Figura 4.37).
Marcos: Tá certo isso? É ln mesmo?
Sueli: Então, esse comportamento será que é ln(x)? Nós não fizemos nenhum estudo,
ate agora, de modelos que parece com isso aí. Ou, por outro lado, se você
analisar como esta temperatura está caindo, dá para tirar alguma
conclusão acerca dela? Os modelos que nós estudamos até hoje, quais
foram?
Marcos: Exponencial...
Sueli: Então, mas qual era a da exponencial? Do objeto em queda, era isso?
Marcos: Crescimento populacional de Malthus e Verhulst.
Sueli: Objeto em queda, como era o comportamento dos pontos?
Marcos: Era mais ou menos parecido com isso aí.
Sueli: A gente chamou de exponencial assintótica, não é? E como era a equação que
gerou aquele comportamento?
Marcos: Era uma exponencial negativa?
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
136
Neste momento eu questiono os alunos sobre o comportamento da função ln(x)
quando a variável x tende ao infinito e como era o comportamento da temperatura, dada na
forma tabelar, que eles estavam analisando. Após essa discussão, analisando o
comportamento da função logarítmica e o comportamento dos valores da temperatura, eles
percebem que a função logarítmica não era um “bom” modelo para o fenômeno do
resfriamento. E assim, sugeri que eles seguissem o roteiro da atividade proposta. Na
seqüência, utilizam o Maple para determinar a solução analítica da equação
)( TT
dt
dT
a
−=
λ
,
obtendo a solução
t
a
CeTtT
λ
−
+=)( . Ao considerar o problema de valor inicial (PVI)
5,8)0(),( =−= TTT
dt
dT
a
λ
, obtiveram
t
aa
eTTtT
λ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
2
17
)( como solução. Parecia que
Marcos não estava entendendo essa resposta, pois ele questiona Shen sobre essa igualdade,
conforme podemos observar no trecho do diálogo a seguir.
Marcos: E por que deu esse
a
T aí?
Shen: Você teria que colocar
a
T igual a 20,8.
Marcos: Por que?
Shen: Porque é o valor da temperatura ambiente.
Marcos: Mas não vai zerar porque é multiplicado por e ali. (ele se referia à solução
encontrada).
Shen atribui, no comando dsolve do Maple, o valor de 20,8 para
a
T e obtém a
solução
t
etT
λ
−
−=
10
123
5
104
)(
. Marcos comenta que essa solução T(t) tende a 20,8 quando o
tempo aumenta.
Em seguida, minimizam a tela do Maple e voltam para a planilha de cálculo e
montam o diagrama de dispersão para a variação de
a
TtT
−
)( com relação ao tempo, obtendo
a expressão
x
ey
1182,0
083,15
−
= . No entanto, as variáveis da planilha são x e y e eles
estavam trabalhando com as variáveis t e T, para o eixo das abscissas e para o eixo das
ordenadas, respectivamente. Assim, eles analisam e reconhecem a relação entre as variáveis,
identificando-as. Na seqüência montam uma tabela para os valores da temperatura estimada
pelo modelo encontrado,
t
etT
1182,0
083,158,20)(
−
−= , onde t não representava o tempo, mas
sim as tomadas de medida da temperatura. E Marcos questiona que se fizesse o gráfico da
temperatura ‘real’ pela temperatura estimada, os pontos deveriam se comportar como a função
identidade, ou seja, sua hipótese era que os valores estimados deveriam se comportar como os
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
137
valores reais. Assim esperava que o gráfico gerado deveria ser o da identidade. Em seguida
ele esboça o diagrama de dispersão para esses pontos (Figura 4.38), porém não avança na sua
análise.
Figura 4.38. Marcos e Shen analisando os valores da Temperatura ‘real’ e estimada
Os alunos retomam as questões do roteiro. A partir desse momento, Adriano passa a
discutir com Shen e Marcos. Retomam a planilha de cálculo e recalculam agora com o tempo
t variando de 10 em 10 minutos de 0 a 300 minutos. Novamente analisam a solução
encontrada pelo comando dsolve do Maple e concluem que o comportamento dos dados da
temperatura é compatível com a solução encontrada, conforme nos mostra a transcrição do
trecho da discussão dos alunos, apresentada a seguir.
Adriano: Ele quer saber qual o comportamento dos pontos e qual curva se ajusta
aos pontos. E se é compatível com a equação algébrica determinada em
(2).
Shen: Ele cresce...
Adriano: Tende a estabilizar, mas não se estabiliza...
Marcos: Conforme gráfico plotado no Excel. E qual o comportamento desses
pontos? A temperatura cresce à medida que o tempo passa o tempo
tendendo a se estabilizar em
a
T né?
Shen: Isso, tendendo a temperatura ambiente.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
138
Marcos: A temperatura é compatível com equação gerada em (2)? O que é o meu
0
T?
Adriano: Temperatura inicial.
Marcos: Então o que acontece aqui? (apontando com o mouse a equação
)()(
0 a
t
a
TTeTtT −+=
−
λ
) Isso aqui, esta exponencial vai estar aqui em
baixo na verdade, você concorda? Porque é menos né! Esse lambda é fixo,
à medida que aumento o t... Isso aqui está aumentando e essa exponencial
está dividindo isso aqui que também é fixo, então vai para zero, então T
vai para Ta, concorda? Explico tudo isso ou só concordo?
Adriano: Só concorda... (risos)
Nesse momento de análise o software de captura fez diferença, pois ele me permitiu
seguir os passos que eles trilharam juntamente com o diálogo, os gestos e as expressões. Caso
eu estivesse analisando as respostas por eles elaboradas somente lendo o papel, talvez eu não
tivesse elementos para acompanhar o raciocínio que utilizaram para dar a resposta “sim” à
pergunta: Qual curva se ajusta a esses pontos? É compatível com a equação algébrica
determinada em (2)?
Ao refazer a planilha, considerando o tempo variando de 10 unidades, obtiveram o
modelo
t
etT
01182,0
402,138,20)(
−
−= para os dados analisados. Com esse modelo estimaram
os valores para a temperatura e esboçaram o gráfico da temperatura estimada e da temperatura
‘real’ com relação ao tempo. E, Marcos retoma sua hipótese sobre esboçar um gráfico dos
pontos da temperatura estimada versus a temperatura ‘real’, acreditando que assim, este
deveria ter o comportamento da identidade. Shen comenta que dá quase o gráfico da
identidade (Figura 4.39).
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
139
Figura 4.39. Shen, Marcos e Adriano analisando o diagrama de dispersão de temp. real X estimada
No entanto, parece que eles não sabiam explicar o porquê do gráfico obtido não ser
exatamente o gráfico da função identidade. Esse fato pode ser elucidado já que o modelo
estimado é obtido pelo ajuste de curvas da planilha eletrônica e, portanto é uma aproximação
dos dados obtidos experimentalmente.
Dando prosseguimento ao roteiro da atividade eles passam a resolver o desafio
proposto na atividade. Os alunos tomam os valores da temperatura do corpo com o passar do
tempo, determinam uma curva que ajusta esses valores e obtêm o modelo
t
etT
027,0
4333,72,20)(
−
−= . Considerando o tempo de estabilidade, os alunos concluem que
a secretária estava mentindo. Adriano questiona as condições que geraram o modelo, supondo
que a temperatura do indivíduo poderia ser de C
o
38 , porém Marcos argumenta que a
temperatura de uma pessoa é menor, que se a temperatura de uma pessoa estiver a essa
temperatura, ela está em estado febril. Contudo Adriano insiste que uma pessoa poderia ter
temperatura menor que
C
o
35
. E comenta que se caso a secretária tivesse dito à polícia que
chegou às 7 horas, já que é seu horário de entrada, e, no entanto ela tivesse chegado às 8
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
140
horas, essa mentira iria lhe custar muito caro. Ao buscar resolver o desafio proposto os alunos
questionaram o modelo encontrado, bem como sua análise.
No terceiro momento desse episódio, Adriano e Viviane tomam os dados do segundo
experimento, do resfriamento do líquido, tomados em condições diferentes. O roteiro para
essa atividade pode ser observado no Quadro 4.5, a seguir.
Quadro 4.5. Roteiro da atividade – comparação dos dados
Adriano e Viviane iniciam analisando os dados dos dois experimentos, conforme
ilustra a Figura 4.40.
Comparação dos dados experimentais
O mesmo experimento foi realizado duas vezes. Ou seja, foi tomada a temperatura da
cerveja por duas vezes. No primeiro dia, foi utilizado 175 ml de cerveja, colocado em um copo e o
termômetro foi colocado no copo e foi tomada as medidas dadas na tabela 1, à temperatura inicial
de
C
o
3,12 e a temperatura ambiente era de C
o
7,26 .
No segundo dia, foi utilizado 350 ml de cerveja, com temperatura inicial de
C
o
5,8
e a
temperatura ambiente de
C
o
8,20
. O termômetro foi colocado diretamente dentro da lata da
cerveja e os dados estão listados na tabela 2.
Determine um modelo para os dados da tabela 1, utilizando o Excel, como fizemos na aula
passada. E em seguida, esboce no mesmo gráfico em uma mesma planilha, os dados reais e os
valores estimados nos dois modelos e responda:
1. Quais os valores de
λ
para os dois experimentos?
2. Quais as expressões algébricas das soluções dos dois modelos? É compatível? O que
você observa?
3. Qual, em sua opinião, é mais preciso? Qual dos dois modelos? E por quê?
4. O que você observa no gráfico onde desenhou os dados experimentais e os dados
estimados juntos?
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
141
Figura 4.40. Adriano e Viviane analisando os dados dos dois experimentos
Através do ajuste para estes novos dados, obtiveram um modelo dado por
t
etT
0118,0
402,138,20)(
−
−= , como ilustra a Figura 4.41.
Figura 4.41. Adriano e Viviane ajustando os dados do segundo experimento
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
142
Enquanto que, com os dados do primeiro experimento, a solução era dada por
t
etT
0183,0
207,147,26)(
−
−= , conforme esboçado na Figura 4.42.
Figura 4.42. Adriano e Viviane ajustando os dados do primeiro experimento
Viviane: Acho que achamos o modelo né?
Adriano: É a primeira pergunta a gente consegue responder. (Referindo-se aos
valores de
λ
para os dois modelos.).
Adriano comenta que as constantes estão variando. Ele estava se referindo as
constantes que multiplicam a função exponencial do modelo encontrado.
Adriano: Deixa eu só confirmar uma coisa se mudou, 13,402.
Viviane: 14,207deu o outro.
Adriano: A constante também está variando, por que será? Eu só copiar esses
valores aqui pra ver se a gente consegue pensar alguma coisa aqui.
Continuando, os alunos partem para responder à segunda questão “Quais as
expressões algébricas das soluções dos dois modelos? É compatível? O que você observa?”
Essas questões procuravam elencar indícios sobre o entendimento dos alunos acerca do
modelo que eles estavam elaborando. Podemos observar a discussão dos alunos no trecho
transcrito a seguir.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
143
Viviane: Como assim compatível? Compatível com o que? Uma é compatível com a
outra?
Adriano: Acho que deve ser isso. Será que elas descrevem o mesmo fenômeno? Será
que é isso que ela quer perguntar? Olha teoricamente eles não são
compatíveis porque a minha constante que está multiplicando a
exponencial é diferente, o lambda tudo bem porque tá numa aproximação.
Viviane: É, mais a gente tem que considerar também que no primeiro experimento a
variação foi bem pequena do tempo né?!
Adriano: Foi mínima, então o que ela esta querendo tentar... Não sei, o que eu
consigo entender da pergunta é o seguinte, será que existe uma equação
que descreva esses experimentos independente da variação?
Viviane: Bom, vamos por as expressões aqui enquanto a gente pensa.
Adriano: O lambda também caiu, o r quadrado também caiu, a aproximação da
primeira foi bem melhor. (Referia-se ao índice r quadrado do método de
ajuste por mínimos quadrados).
Viviane: Bom, agora temos que ver se é compatível. E o que a gente observa.
Adriano: Olha eu penso o seguinte, se x for zero, se você aplicar x no y da função,
nas duas, você teria que chegar no mesmo valor para elas serem
compatíveis e eu vou chegar que 14,207 é diferente de 13,402.
Viviane: É! Verdade!
Adriano: Então elas não são compatíveis, pelo menos é isso que eu to enxergando.
Porque elas não são compatíveis? O que tá fazendo isso é a variação, o
tamanho da minha variação.
Viviane: Mas a gente tem que pensar que zero é o tempo zero, certo? Só que nunca
vão ser, porque aqui a temperatura zero é 12,3 e aqui é 8,5. Então na
verdade, acho que a gente não pode fazer essa comparação com o zero.
Porque elas partem de lugares diferentes. (Nesse momento ela se referia
ao raciocínio de Adriano que atribuiu o valor zero para a variável x para
justificar a não compatibilidade dos modelos).
Adriano: Teoricamente a inicial de uma seria no tempo zero e da outra seria no
instante já quando a temperatura é 8,5?
Viviane: Acho que sim né!
Adriano: Como ela montou essa tabela? Ela partiu os dois do zero? Eu não reparei.
Viviane: Partiu.
Adriano: Então ela está assumindo os dois tempos zero!
Viviane: Então, só que eles têm temperaturas diferentes.
Adriano: Então estão no mesmo tempo inicial zero, mas com temperaturas
diferentes, então eu posso aplicar no tempo zero...
Viviane: Então, mas só que se eles partem de locais diferentes, não estou vendo o
porquê as duas são iguais.
Adriano: Elas podiam ser compatíveis se de repente uma fosse linear que nem tá a
primeira e a segunda, sei lá, dá 8,5, próximo desta, 7,6.
Viviane: Ou a gente podia ver se elas são compatíveis se a gente pegar tipo
determinados tempos que estão a mesma temperatura, pode ser, mas não
sei se existe esse tempo. Aqui óh, 16, 14 minutos e aqui 90 minutos? (Ela
referia-se aos valores tabelados. Na primeira tabela para a temperatura de
C
o
16
, o tempo correspondente era de 14 minutos e na segunda era de 90
minutos).
Adriano: Sem fazer as contas, eles não vão ser iguais nunca... Eles não têm o
mesmo conjunto solução.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
144
Após toda essa discussão, parece que Adriano convence Viviane que as duas equações
encontradas não são compatíveis porque elas não possuem a mesma solução. Talvez tenham
pensado dessa maneira, até o momento, pelo fato de não terem claro o significado do método
numérico de ajuste de curvas para conjuntos discretos. E, esse método era algo totalmente
novo para os alunos. No entanto, a discussão ainda não estava finalizada, parecia que Viviane
não estava satisfeita com a conclusão que haviam chegado, pois ela retoma a discussão,
conforme nos mostra, a seguir, o trecho de transcrição do diálogo dos alunos.
Viviane: Mas não é meio lógico elas não terem as mesmas soluções, porque são
duas experiências diferentes?
Adriano: Teoricamente elas teriam que ter assim, eu observo que teriam que ter
soluções iguais, mas com uma equação que rege aquele tipo de
experimento. Eu vou pegar vários tipos de temperaturas, eu vou pegar esse
modelo e ele vai me dar uma resposta.
Viviane: Será que se a gente fizer um gráfico em cima do outro a gente não enxerga
mais alguma coisa?
E, assim, utilizando o comando de inserir gráfico de dispersão da planilha eletrônica
eles esboçam um gráfico usando os valores do tempo e da temperatura dos dois experimentos,
em um mesmo sistema cartesiano, chegando a um desenho que não souberam interpretar.
Percebem que o gráfico que gostariam de esboçar seria composto pelas temperaturas dos dois
experimentos versus o tempo. No entanto, as tomadas de tempo foram distintas nos
experimentos, ou seja, o domínio das funções, que eles buscavam determinar, não era idêntico
e, portanto deveriam perceber a inclusão de conjuntos discretos. Podemos acompanhar esse
momento de discussão, observando o trecho a seguir da transcrição do diálogo da dupla.
Adriano: Será então que é só o gráfico das variações?
Viviane: Mas com que tempo?
Adriano: Os tempos são diferentes né? Fazer com o primeiro tempo e as duas
variações?
Viviane: Será que ele faz?
Adriano: Fazer ele vai fazer, mas...
Viviane: Vamos ver o que dá!
O gráfico gerado pelos alunos, considerando a variação do tempo do primeiro
experimento versus as temperaturas medidas nos dois experimentos, é ilustrado pela Figura
4.43.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
145
Figura 4.43. Adriano e Viviane observando o gráfico das variações da temperatura
Os alunos ficam surpresos com seu esboço, conforme podemos acompanhar no trecho
da transcrição a seguir.
Viviane: Nossa!
Adriano: Não tô entendendo mais nada do que ele tá fazendo...
A dupla pergunta a Marcos e Shen, dupla que estava trabalhando no computador ao
lado, se eles haviam conseguido fazer o gráfico. Marcos responde que o gráfico que eles
estavam esboçando era o comportamento dos valores da temperatura medida e os valores da
temperatura estimados pelo modelo e que, portanto seria interessante calcular os valores da
temperatura estimada pelos dois modelos. Assim, Viviane e Adriano inserem as fórmulas dos
modelos na planilha, obtendo os valores estimados. Observam que os valores estimados
obtidos pelo modelo do primeiro experimento, ou seja, pela equação
t
etT
0183,0
207,14)(7,26
−
=− estão mais próximos dos valores “reais” da temperatura que
foram medidos experimentalmente, comparando-os com os valores estimados pelo segundo
modelo, a equação
t
etT
0118,0
402,13)(8,20
−
=− . Nesse momento comentam com Marcos,
o qual afirma ter obtido o mesmo comportamento em sua análise.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
146
Eles observam que o valor de
2
R
do ajuste dos dados do primeiro experimento é mais
próximo de 1 do que o do segundo. Marcos comenta que essa análise que eles estavam
fazendo era estatística, por isso buscava analisar o
2
R
do ajuste. Viviane, observando o
gráfico do ajuste dos pontos do segundo experimento, arrisca afirmar que essa diferença nos
parâmetros dos modelos era devida aos primeiros pontos do conjunto dos valores da diferença
de temperatura ambiente por temperatura medida do experimento 2. Ela aponta com o mouse
os primeiros pontos da variação da temperatura que estão ‘longe’ da curva ajustada no
gráfico, conforme ilustra a Figura 4.44. No entanto, Adriano parece não ter ouvido seu
comentário e ela também não insistiu em sua análise.
Figura 4.44. Viviane analisando o gráfico do ajuste da temperatura do experimento 2
Discutindo com dupla, Marcos e Shen, eles observaram que, para completar a planilha,
faltava-lhes somente calcular a variação da temperatura ambiente pela temperatura estimada
pelos modelos obtidos através do ajuste de curvas, completando assim os cálculos. Observam
que, no primeiro experimento, a última temperatura tomada foi de C
o
6,26 e o valor estimado
pelo modelo foi de C
o
576,26 e no segundo experimento a última temperatura medida foi de
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
147
C
o
5,20 e o valor estimado foi de C
o
41,20 , concluindo então, que os dois modelos
‘serviriam’.
Viviane ainda estava preocupada com o ser compatível, pois ela questiona ‘ – E agora
o compatível?’ Adriano continua afirmando que ‘ – matematicamente não são compatíveis,
pois não possuem a mesma solução’ e Viviane complementa ‘ – observamos que ambos são
próximos do real’.
Nessa discussão, Marcos comenta que os dois experimentos são compatíveis. E
Adriano pergunta a Marcos se os modelos possuem a mesma solução. Marcos responde ‘ –
não, são compatíveis com a realidade’. Porém, Adriano retruca, ‘ – matematicamente, um
sistema ser compatível é se tem a mesma solução’.
Marcos insiste que é compatível com a realidade. Viviane comenta que concorda com
Marcos, ou seja, que os modelos são compatíveis já que representam os dados reais das
temperaturas dos dois experimentos.
Analisando esse trecho da discussão dos alunos, a impressão que tenho é que os alunos
entenderam o significado do processo de elaboração de um modelo que ajustava os pontos
dados. No entanto, a resposta dada com relação à compatibilidade das equações elaboradas
pode ser talvez pelo fato de não conseguirem considerar as variações das condições em que os
dois experimentos foram realizados e também pelo fato de não terem assimilado que quando
ajustamos um conjunto de pontos discretos por uma função contínua estamos fazendo uma
aproximação do fenômeno em questão. Outro motivo, que talvez também tenha ajudado na
confusão, seja pelo fato de os alunos, principalmente Adriano, ter se prendido à expressão
algébrica do modelo, não conseguindo entender a variação do parâmetro lambda.
Como os alunos não conseguiam chegar a um consenso solicitaram minha participação
na discussão. Sugeri a eles que elaborassem um diagrama de dispersão contendo os valores
‘reais’ da temperatura dos dois experimentos e os dados estimados da temperatura.
A dúvida dos alunos, enquanto estavam discutindo como elaborar um gráfico único
contendo os valores ‘reais’ e os estimados dos dois experimentos, consistia na variação do
tempo, já que em um experimento os dados foram tomados de 10 em 10 minutos e no
segundo a tomada de medida foi feita em períodos menores de tempo. Podemos observar esse
momento através da transcrição da fala de Viviane, apresentado a seguir.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
148
Viviane: Será que se a gente fizer um gráfico em cima do outro, a gente no enxerga
mais alguma coisa? Será que é só o gráfico das variações? Mas com que
tempo? São diferentes!
Viviane e Adriano elaboraram o gráfico do diagrama de dispersão dos modelos
(Figura 4.45). Nesta Figura, temos quatro diagramas de dispersão. Os pontos em verde e
amarelo representam os dados ‘reais’ e os estimados do segundo experimento, enquanto que
pontos em lilás e azul representam os dados do primeiro experimento.
Figura 4.45. Adriano e Viviane analisando o diagrama de dispersão dos dados experimentais
A partir desse gráfico, a discussão dos alunos girou em torno das condições dos dois
experimentos, já que em um deles a temperatura foi tomada com o líquido em um copo e o
outro foi tomado direto da lata de alumínio. Observaram também que a temperatura ambiente
foi diferente já que os experimentos foram realizados em dias diferentes. Foi observada
também a variação do tempo em cada um dos experimentos, conforme podemos observar
pelas tabelas 1 e 2 dadas no roteiro.
O desenvolvimento desta atividade, que propiciou aos alunos a elaboração e análise de
um modelo para um conjunto de pontos discretos, levou os alunos a questionarem aspectos
físicos do experimento, bem como aspectos teóricos da matemática.
Capítulo 4 – Os Episódios: apresentação e análise inicial
149
O estudo do comportamento de conjuntos de pontos discretos, por meio de ajuste de
curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados, como o que foi realizado neste episódio,
fazendo uso da planilha eletrônica ou de qualquer outro software apropriado, constitui uma
ferramenta interessante ao se trabalhar com projetos de Modelagem Matemática, quando esta
é considerada uma estratégia pedagógica. Isto ocorre devido ao fato de que, em geral, na
maioria dos trabalhos que os alunos desenvolvem nestes projetos, os dados envolvidos nos
estudos são dados discretos e, portanto, necessitam de um tratamento numérico.
Desta forma, encerro o Capítulo 4, que tem por objetivo a apresentação e a análise
inicial dos dados por meio da elaboração dos episódios que foram constituídos da organização
dos dados brutos da pesquisa coletados no curso de extensão. Estes episódios foram
protagonizados pelos alunos da Matemática, trabalhando em duplas ou trios, nas várias
atividades. Durante toda a elaboração e desenvolvimento do curso, e também durante a
elaboração dos episódios, a pergunta “Quais as possibilidades de ensino e aprendizagem de
introdução às equações diferenciais ordinárias através da análise qualitativa dos modelos
matemáticos, com o auxílio de Tecnologia de Informação e Comunicação?” esteve presente
guiando as ações.
Fatos relevantes que emergem da análise dos dados podem assim serem resumidos:
a importância do desenvolvimento do processo de modelagem matemática, pois ficou
evidente na discussão da dupla, a preocupação e necessidade de retornar às hipóteses
assumidas inicialmente para entender a equação diferencial ordinária elaborada e mesmo
propor tentativas de outros modelos que, segundo eles, melhor descreviam o fenômeno; a
coordenação das várias mídias utilizadas, já que os alunos esboçavam seus rascunhos,
cálculos e gráficos no caderno e no software e os comparava, a utilização de comandos do
Winplot juntamente com os do Maple foi importante para o entendimento das curvas soluções
dos modelos estudados; a elaboração e verificação de conjecturas, já que a dupla, inicialmente
acreditava que a curva procurada era aproximada por uma exponencial, porém não tinham
claro como justificar tal solução. A interação entre os alunos e as mídias é mais um fato
relevante que também surge desta análise. Essa interação propiciou discussões e
reorganizações de conceitos e, possivelmente também, a elaboração de novos conceitos com
relação às equações diferenciais ordinárias.
150
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
Introdução
Neste capítulo, os dados da pesquisa são analisados à luz da literatura estudada.
Desta forma, a análise traz compreensões complementares àquelas elaboradas inicialmente no
Capítulo 4.
Retomo alguns trabalhos de pesquisadores já apresentados nos Capítulos 2 e 3 e
apresento outros, que foram incorporados à literatura da tese no decorrer da coleta e análise
dos dados, para enfocar seus principais resultados confrontando-os com as características que
emergiram dos dados.
Autores como Lévy, Borba, Rasmussen, Habre e Kallaher foram fontes de
inspiração na elaboração do projeto e na execução da coleta dos dados. Outros, como
Machado, Arcavi foram estudados após conclusão da coleta de dados junto aos alunos.
O trabalho de análise dos dados teve início logo após o processo de coleta, quando
realizei a organização dos dados brutos em episódios. Nestes episódios são descritos os
caminhos seguidos e as interpretações dos alunos em cada atividade realizada. Pois, como
afirma Alves-Mazzotti (2004, p.170), esses dados
precisam ser organizados e compreendidos. Isto se faz através de um
processo continuado em que se procura identificar dimensões,
categorias, tendências, padrões, relações, desvendando-lhes o
significado. Este é um processo complexo, não-linear, que implica
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
151
um trabalho de redução, organização e interpretação dos dados que se
inicia já na fase exploratória e acompanha toda a investigação.
Sendo assim, neste Capítulo, aprofundo a análise para caracterizar as dificuldades e
os entendimentos dos alunos ao estudarem os conceitos introdutórios de equações diferenciais
ordinárias com o auxílio das TIC.
5.1. Aprofundando a análise inicial
Após a apresentação detalhada e a análise inicial dos dados apresentados no Capítulo
4, alguns temas emergentes podem ser evidenciados, retomando a pergunta diretriz desta
pesquisa:
Quais as possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às equações
diferenciais ordinárias através da análise qualitativa dos modelos matemáticos, com o
auxílio de Tecnologia de Informação e Comunicação?
Esses temas emergentes, que estão relacionados com o desenvolvimento e produção
matemática dos estudantes auxiliados pelas tecnologias da informação e comunicação,
aparecem repetidamente nos episódios.
No decorrer das aulas do curso de extensão, os vários softwares foram integrados no
desenvolvimento das atividades efetuadas pelos alunos participantes. O processo de
visualização foi um dos aspectos importantes na análise qualitativa dos modelos matemáticos
clássicos e das equações diferenciais ordinárias, em geral, analisadas. E, esse processo é
bastante privilegiado no ambiente de investigação propiciado pela inserção das mídias
informáticas.
Um dos temas que surge, na análise dos dados, é o que se refere à supremacia do
aspecto algébrico ao geométrico observado nas discussões de algumas das duplas de alunos
em determinado episódio. Acredito que esse fato tem origem em experiências relacionadas
com a mídia “lápis e papel” e com o formalismo do tratamento matemático, frequentemente
empregados nos processos de ensino e aprendizagem da Matemática, de forma geral, em toda
a graduação. Outra característica presente em alguns dos episódios analisados é a elaboração
de conjecturas realizadas pelos alunos nas discussões das atividades. No decorrer da
discussão, por vezes suas conjecturas são refutadas, outras vezes são confirmadas. E, em
muitas situações das discussões das atividades os alunos foram levados a utilizar, em uma
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
152
mesma atividade, “lápis e papel”, a planilha eletrônica, os softwares Winplot e Maple para
explicar o que estavam observando ou para confrontar suas expectativas.
Uma característica presente em vários momentos dos episódios analisados é a não
linearidade de raciocínio dos alunos na resolução das atividades propostas. Por vezes, uma
determinada questão da atividade faz com que os alunos estabeleçam conexões com outros
conceitos relacionados que não fazem, necessariamente, parte do assunto ali colocado. A
noção de rede de significados se apresenta apropriada para analisar esse fato.
Sendo assim, os temas a serem discutidos se referem a: processo de visualização em
atividades investigativas auxiliadas pelas mídias informáticas, abordagens geométrica e
algébrica com as mídias informáticas, conhecimento como rede de significados.
A explanação desses tópicos propiciará um aprofundamento da análise detalhada em
cada episódio apresentado, porém sem a pretensão de ser absoluta, já que cada leitor, a partir
da leitura da descrição analítica dos dados apresentada no capítulo anterior, poderá observar
outros temas que julgar relevantes em sua visão.
5.1.1. Processo de visualização em atividades investigativas
auxiliadas pelas mídias informáticas
Arcavi (2003) afirma que a visão é um sentido central em nosso ser biológico e
sociocultural. O autor busca em Adams e Victor (1993) a seguinte descrição para a esse
sentido:
A faculdade da visão é nossa mais importante fonte de informação
sobre o mundo. (...) O estudo do sistema visual avançou
extremamente o conhecimento do sistema nervoso. Certamente,
sabemos mais sobre a visão do que qualquer outro sentido do sistema
sensório (ARCAVI, 2003, p. 215).
Vivemos em um mundo onde a informação é, principalmente, transmitida através de
invólucros visuais e, as tecnologias incentivam essa comunicação que é essencialmente visual.
Consequentemente, como um ser biológico e sociocultural somos incentivados e instigados a
observar não somente o que está em nosso campo de visão, mas também somos capazes de
inferir sobre o que não somos capazes de “ver”. Segundo McCormick et al (1987) citado por
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
153
Arcavi (2003), “visualização oferece um método de ver o despercebido” (p. 216, tradução
minha
19
).
Desta forma, a visualização pode ser caracterizada como um objeto, uma imagem, e
também como um processo, uma atividade (Bishop, 1989, p.7). A visualização no ensino da
matemática tem sido considerada como uma componente chave do raciocínio na resolução de
problemas e não somente relacionada às finalidades ilustrativas.
O despercebido tomado no sentido literal, refere-se ao que somos incapazes de ver
por causa das limitações de nosso sistema visual. Por exemplo, quando não conseguimos ver
um objeto porque ele é pequeno ou porque estamos distante dele. E, nesse sentido
desenvolvemos tecnologias que nos auxiliam a superar essas limitações, tornando o
despercebido em perceptível. Por exemplo, a ampliação, obtida pelo microscópio, para
visualizar as células vermelhas do sangue. Poderíamos já ter ouvido falar sobre as
características da célula e elaborado determinada imagem através desses relatos. No entanto,
ver a célula em si, com a ajuda da tecnologia, que supera a limitação de nosso sistema visual,
não somente atende ao desejo de vê-la, bem como a apreciação desta pode aguçar nossa
compreensão ou ainda nos instigar a investigar sobre novos aspectos dela.
Considerando agora, no sentido figurado, ver o despercebido refere-se ao mundo
abstrato, do qual nenhuma tecnologia eletrônica ou óptica pode auxiliar. Neste caso, talvez
precisemos de uma tecnologia cognitiva que nos ajude a transcender as limitações da mente
no pensar, no aprender e no desenvolvimento de atividades de resolução de problemas. A
Matemática, tratada como uma criação humana e cultural com seus objetos e entidades,
diferente de fenômenos físicos, tais como os planetas ou as células do corpo humano, conta
intensamente com a visualização e suas diferentes formas e níveis, (ARCAVI, 2003).
Assim, de acordo com Arcavi (2003)
Visualização é a habilidade, o processo e o produto de criação,
interpretação e o uso da reflexão sobre retratos, imagens, diagramas,
em nossa mentes ou no papel ou com ferramentas tecnológicas, com
a finalidade de descrever e comunicar a informação, de pensar sobre e
de desenvolver idéias previamente desconhecidas e avançar no
entendimento.
Um tipo de despercebido que se encontra na Matemática, ou em disciplina que
trabalham com manipulação de dados ou de estatísticas consiste na representação de dados,
que pode ser dada de diversas maneiras, como por exemplo, na forma tabelar ou gráfica.
19
Visualization offers a method of seeing the unseen” (McCormick et al (1987) apud Arcavi (2003)).
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
154
A elaboração de gráficos no tratamento de dados torna-se interessante no sentido
que ao analisá-los podemos observar características gerais e particulares desses dados.
Podemos afirmar, então, que a elaboração de gráficos, para investigar os dados, tem a
finalidade de instigar a “revelação” de características importantes destes dados.
A importância da visualização pode ser também analisada com relação aos aspectos
simbólicos. Pesquisadores da área de Matemática afirmam que “vêem” através das formas
simbólicas, independentemente da sua complexidade. Para outros e, certamente para os
estudantes de matemática, a visualização pode ter um papel poderoso, complementar em três
aspectos: visualização como (a) suporte e ilustração de resultados essencialmente simbólicos,
(b) um caminho possível de resolver conflitos entre soluções simbólicas e intuições e (c)
como uma maneira de nos ajudar a conectar com e recuperar os conceitos básicos, os quais
podem ser facilmente encaminhados por soluções formais, (ARCAVI, 2003).
Ainda podemos caracterizar a importância da visualização no processo de resolução
de problemas. Davis (1984), citado em Arcavi (2003), descreve um fenômeno que ele
denomina de seqüências visualmente moderadas (VMS). Segundo esse autor, VMS ocorre
frequentemente em nosso dia a dia. Por exemplo, imagine a situação na qual você tenha que
se dirigir a algum local que tenha ido uma ou duas vezes, há tempos atrás. Normalmente não
se espera que você descreva minuciosamente o caminho até o local, mas espera-se que vá
encontrando detalhes ou lugares do trajeto, como um estabelecimento, por exemplo, que
sirvam como uma pista, e indo em direção a ela, recorde-se de outra dica e assim
sucessivamente, até encontrar o local desejado. Você certamente não sabe o trajeto todo, mas
tem recordações de partes e locais dele. Neste caso, a visualização pode funcionar como uma
ferramenta para “sair” de situações em que o procedimento pode ser incerto. A visualização,
aqui, não está relacionada diretamente aos conceitos ou às idéias, mas sim às percepções que
conduzem as decisões processuais.
No entanto, Arcavi (2003) afirma que a visualização pode também ocupar um
importante papel na busca da solução de problemas, não apenas em aspectos processuais. Para
justificar sua afirmação, apresenta o exemplo
20
dado a seguir.
Seja n um número inteiro positivo e considere uma matriz quadrada, nxn, de
números tais que o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna
(
)
nji ≤
≤
,1 é o menor entre i e
j. Mostre que a soma de todos os números da matriz é dada por
2222
...321 n++++ .
20
Este exemplo é apresentado em Arcavi (2003) e tem como referência o trabalho de Barbeau (1997, p.18).
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
155
Para
5=n , a matriz pode ser vista na Figura 5.1(a). Uma abordagem para visualizar
a solução é apresentada na Figura5.1(b).
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
54321
44321
33321
22221
11111
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
54321
44321
33321
22221
11111
(a) (b)
Figura 5.1. Matriz 5x5 com uma abordagem para determinar a soma dos números
Algebricamente, podemos observar que a soma dos números do k-ésimo gnômon –
os números não excedendo k na k-ésima linha e k-ésima coluna – é dada por
()()
2
1...3212 kkk =+−++++ , pois
(
)
2
1
1
+
=
∑
=
nn
i
n
i
. Assim,
()
2
2
111
2 kk
kk
=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−
. E,
portanto, a soma de todos os números da matriz pode ser calculado somando todos os k-
ésimos gnômons para k variando de 1 a n.
Esta solução possui elementos da visualização, pois a identificação dos gnômons
como ‘subestruturas’ do todo, auxilia o estabelecimento de um padrão. E, portanto, como
afirma Arcavi (2003), a visualização, neste exemplo, teve fundamental importância na
resolução deste problema. Seu status não foi somente o de tradutor das indicações dadas no
enunciado do problema, até porque o enunciado não oferece esses elementos utilizados. A
estratégia utilizada foi “desenhada” pelo autor da demonstração. Ele se utilizou fortemente da
visualização para “ver” essa demonstração. Provavelmente a inspiração para a estratégia
usada fazia parte do conhecimento e da experiência precedente do autor que lhe ajudou a
prever os valores numéricos das somas dos gnômons para em seguida somá-los no todo.
Deste modo, possuir um repertório visual pode ser útil para inspirar soluções criativas na
resolução de problemas.
3° gnômon 5° gnômon
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
156
Portanto, a visualização pode ser caracterizada de várias maneiras nas diversas
situações. Em determinados momentos pode ser apenas ilustrativa, em outras, instigadora de
percepções, de caminhos para realizar determinados procedimentos. Mas pode também ainda
ser um fator importante para elucidar uma estratégia de resolução de um dado problema.
No decorrer da análise, surgem evidências das várias caracterizações da
visualização. Por exemplo, na atividade da lei do resfriamento, quando os alunos utilizam a
planilha de cálculo e esboçam o diagrama de dispersão, ao analisar o gráfico obtido eles
buscam descobrir o comportamento da temperatura. Quando analisam os gráficos dos campos
diretores dos vários modelos, eles buscam “ver” a solução procurada.
A questão da visualização é essencial no entendimento dos aspectos dinâmicos de
um curso introdutório de equações diferenciais e o entendimento da derivada como variação
de uma curva é central na interpretação de gráficos, bem como o comportamento das soluções
ao longo do tempo e a existência de um estado de equilíbrio.
Quando a dupla Adriano e Ronaldo, no episódio “Modelo populacional de Verhurst”
esboçou o gráfico do campo de direções para a equação
p
k
p
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 15,0
atribuindo vários
valores para k, analisando o comportamento dos vetores diretores, puderam concluir sobre as
soluções constantes do modelo, como podemos observar pelas falas de Ronaldo e Adriano.
Ronaldo: Ah, ah!!! Tá aí. Olha lá onde é constante.
Adriano: Ele vai ser constante em três.
Com a análise do esboço gerado pelo software eles viram o que era despercebido,
conforme afirma Arcavi (2003). Essa análise os ajudou a reorganizar o conceito de solução
constante do modelo estudado, (BORBA e VILLARREAL, 2005), conforme observamos na
fala dos alunos:
Ronaldo: Como nós não achamos isso, cara? Aqui também óh... (Apontando para o
eixo das abscissas).
Adriano: Aliás, ele vai ter vários constantes, em zero...
Finalizando, acredito que a visualização consiste em processos de várias naturezas.
Entretanto, concordo com Arcavi (2003) que o processo de visualização não somente organiza
os dados em estruturas significativas. Ele constitui um importante fator que guia o
desenvolvimento analítico de uma solução.
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
157
No entanto, temos também que considerar as dificuldades por ela impostas. Afinal
todos nós vemos igual? É atribuída à Goethe a frase “nós não sabemos o que vemos, nós
vemos o que sabemos”. A segunda parte da frase “nós vemos o que sabemos” aplica-se para
muitas situações nas quais os alunos não necessariamente vêem o que nós, professores ou
pesquisadores, estamos vendo.
Esse fato aconteceu em diversos momentos durante o curso de extensão. Por
exemplo, quando eu solicitava aos alunos, no episódio da lei do resfriamento, que eles
avaliassem se os modelos obtidos eram compatíveis, parece evidente analisando as falas de
Adriano e Viviane, que o que eu via por compatibilidade dos modelos não fazia parte do
horizonte dos alunos.
Outra dificuldade acerca do processo de visualização surge da necessidade de
transitar pelas representações visuais e analíticas de uma mesma situação. Esse é um dos
processos centrais na compreensão da Matemática. E, aprender a compreender e ter
habilidade na manipulação de múltiplas representações pode ser um processo demorado,
tortuoso e não linear para os estudantes.
Esse foi um fato recorrente nos vários episódios. Podemos observar a importância do
entendimento da equivalência entre as representações visuais e analíticas nos vários episódios
analisados. Marcos e Shen na atividade do objeto em queda, Viviane e Ronaldo na atividade
do modelo de Malthus, Viviane, Ronaldo e Adriano na atividade da lei do resfriamento.
A abordagem geométrica para analisar equações diferenciais pode encontrar neste
fato uma das dificuldades para seu sucesso. Entender o campo de direções, entender o que é
resolver uma EDO e relacionar esse entendimento com a busca da solução analítica é o maior
desafio dessa abordagem.
5.1.2. Abordagens algébrica e geométrica com as mídias
informáticas
Borba e Villarreal (2005) afirmam que existe uma tendência de reconhecimento da
relevância da visualização no processo de aprendizagem matemática na comunidade dos
educadores matemáticos. Porém, a abordagem visual não alcança o grau de importância que
assume a abordagem algébrica nos processos de aprendizagem matemática. Ainda, segundo
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
158
Eisenberg e Dreyfus (1989) citados em Villarreal (1999), apesar da importância da
visualização ser enfatizada, esta é pouco praticada no currículo de Matemática. Segundo esses
autores, alunos talentosos e pesquisadores matemáticos rejeitam “ver” os conceitos, aborda-
los visualmente.
Este fato estaria relacionado com o modo que a Matemática é difundida pelos
professores e pesquisadores, geralmente, na forma oral e escrita. Esse processo de difusão da
matemática leva ao condicionamento do pensamento matemático que é desenvolvido.
Nós somos ensinados a desconfiar de provas que fazem uso crucial dos diagramas,
dos gráficos e de outras formas de representação não lingüísticas e, passamos esse desprezo
para os estudantes. Entretanto, formas visuais de representação podem ser elementos
legítimos de provas matemáticas, (ARCAVI, 2003).
Os matemáticos são cientes do valor de diagramas e outros recursos visuais tanto
para o ensino quanto para pesquisa de descobertas matemáticas. Mas apesar da importância
óbvia das imagens visuais em atividades cognitivas humanas, a representação visual
permanece como um “cidadão de segunda classe” na teoria e na prática de matemática,
(BORBA e VILLARREAL, 2005; ARCAVI, 2003).
No entanto, o condicionamento do pensamento matemático não é determinado pela
mídia utilizada. Ao analisarmos os vários episódios nesta tese, observamos que existem
estilos de abordagens diferentes para desenvolver as atividades matemáticas propostas,
mesmo estando presentes, no desenvolvimento das atividades, os softwares, o lápis e papel, e
a discussão entre os alunos e a professora/pesquisadora. Ou seja, as tecnologias da
inteligência (oralidade, escrita e informática) estavam presentes, formando assim um coletivo
pensante, e, no entanto esse ambiente não determinava a produção matemática desenvolvida,
(LÉVY, 1993).
Observamos que dois tipos de abordagens surgiram no decorrer do desenvolvimento
das atividades. Por vezes os alunos, em determinadas situações, buscavam resolver a atividade
proposta explorando as representações gráficas. Em outras situações, os alunos buscavam
explorar as expressões analíticas para resolver o que estava proposto. São estilos de
abordagem com características próprias que coexistem.
Segundo Borba e Villarreal (2005) as abordagens algébrica e a visual poderiam ser
caracterizadas, respectivamente, por:
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
159
Preferência de resoluções algébricas quando resoluções gráficas
também são possíveis; dificuldade para estabelecer interpretações
gráficas das resoluções analíticas; quando uma resolução geométrica
é pedida, há necessidade de uma passagem prévia pelo algébrico e
facilidade para formular conjecturas e refutações ou gerar explicações
a partir de fórmulas ou equações.
Uso de informações gráficas para resolver questões matemáticas que
também poderiam ser abordadas algebricamente; dificuldade para
estabelecer interpretações algébricas das resoluções gráficas; não há
necessidade de uma passagem prévia pelo algébrico, quando
resoluções gráficas são solicitadas e facilidade para formular
conjecturas e refutações ou dar explicações usando informações
gráficas. (BORBA E VILLARREAL, 2005, pg. 93).
No caso de tendência à abordagem algébrica, o computador é pouco utilizado e as
contas, em geral, são efetuadas “à mão” ou mentalmente. Já no caso da visual, o computador é
utilizado, em geral, para realizar os cálculos e para validar ou refutar conjecturas.
Esses autores nos alertam que apesar das características serem dadas separadas, não
implica que as abordagens sejam disjuntas ou exclusivas nas atividades matemáticas. Uma
mesma pessoa pode utilizar a abordagem algébrica ou a visual dependendo do problema e da
mídia com a qual está interagindo. Representações visuais e algébricas são complementares
nos processos de aprendizagem matemática.
Por exemplo, no episódio campos de direções, Viviane insistia no início em resolver
algebricamente as equações, ao invés de analisá-las por meio dos campos de direções. Já
Adriano buscava analisar o campo de direções não se preocupando com a busca pela solução
algébrica.
Borba (1995) argumenta que a mídia “lápis e papel”, que é a mais tradicional no
meio matemático, favorece a abordagem algébrica de questões matemáticas. No entanto, a
mídia informática por sua vez, privilegia abordagens em que a visualização tem um papel
fundamental.
Segundo Moreno e Azcárate Gimenez (2003), a concepção dos professores acerca
da Matemática e, em particular de equações diferenciais, é bastante formalista o que leva a
acreditar que existe uma supremacia da manipulação algébrica em relação aos tratamentos
gráfico e numérico, considerando como um princípio inquestionável da aprendizagem
significativa. E essa crença, por vezes, é passada para os alunos que também acreditam que a
abordagem algébrica é mais confiável. Adriano no episódio da atividade do modelo de
Verhulst comenta, em determinado momento, que tinha esboçado um gráfico, mas que não
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
160
tinha certeza se ele estava correto, pois ainda não tinha determinado a solução da equação
envolvida na atividade.
Um motivo que talvez também contribua para a relevância do algébrico é que,
tradicionalmente, resolver tem sempre o significado de encontrar um valor par o desconhecido
e, em equações diferenciais, o desconhecido são funções. Portanto, resolver uma EDO requer
encontrar uma expressão para uma função desconhecida. Porém, na proposta adotada no curso
de extensão, encontrar soluções de uma EDO significava em muitos casos, esboçar gráficos
das soluções e analisá-los escrevendo sobre seu crescimento, decrescimento, razão da
variação, e seu comportamento ao longo do tempo.
Habre (2000) pesquisou junto a alunos de um curso de EDO a abordagem
geométrica para determinar o comportamento da equação. A maioria dos alunos não obteve
sucesso nas atividades, pois não lembravam dos métodos de resolução e, muitos deles
rejeitaram a abordagem geométrica por acreditarem no poder da representação simbólica da
função solução.
Existem alunos que pensam que ao resolver algebricamente uma EDO conseguem
obter todas as informações sobre ela. Isto reflete um erro conceitual comum sobre funções.
Para esses alunos, a definição analítica de uma função é suficiente para conhecer tudo sobre
ela e, acreditam que uma função é uma fórmula ou uma equação, sem qualquer referência à
sua representação geométrica. Habre (2003) afirma que “um grande volume da matemática
(ensino básico e universidade) é ensinado simbolicamente, criando uma crença entre os alunos
que uma abordagem gráfica não é tão exata quanto uma simbólica”.
Devido ao maior acesso às calculadoras gráficas e computadores, o uso de
representações múltiplas tem sido extensivamente discutido, na comunidade de educadores
matemáticos. Pesquisadores (Borba e Villarreal, 2005, Borba e Confrey, 1996) têm enfatizado
a importância de uma abordagem desse tipo, uma vez que facilita a coordenação dos
estudantes das representações matemáticas estabelecidas, como tabelas, gráficos cartesianos e
expressões algébricas.
Durante o desenvolvimento das atividades propostas no curso, um aspecto
reincidente foi a utilização, pelos alunos, de várias mídias ao mesmo tempo, aspecto que, por
diversas vezes, os auxiliou na busca de validar ou refutar suas conjecturas.
Os alunos Marcos e Shen, na investigação do modelo do objeto em queda,
utilizaram a planilha eletrônica para calcular os ângulos de alguns vetores diretores, utilizaram
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
161
lápis e papel para esboçar “à mão”, no caderno, o comportamento desses vetores e, na
seqüência, esboçaram, no Winplot, o campo de direções com o intuito de confrontar com o
esboço desenhado no caderno.
Ao esboçar os vetores diretores no caderno (Figura 4.5), suspeitaram que o
comportamento das soluções, que têm esses vetores diretores como vetores tangentes às
curvas soluções, seria próximo a uma parábola. Esse fato se deu, muito provavelmente, por
conta de que eles tinham a conjectura de que a equação que regia a velocidade de um objeto
em queda era dada por uma função quadrática e também pelo fato de terem desenhado poucos
vetores diretores no esboço do caderno. Quando elaboraram o campo de direções utilizando o
Winplot, o gráfico esboçado era apresentado no intervalo
[
]
4,4
+
−
, nos dois eixos cartesianos,
e, portanto, diferente do comportamento que haviam desenhado no caderno. O default que o
software apresenta é o gráfico dos vetores diretores na janela gráfica no intervalo
[]
4,4
+
− e,
no entanto a variação da velocidade calculada na planilha era de 10 unidades no intervalo
[]
100,0
. Esse fato levou-os a questionar o esboço do caderno, o do software e a procurar
também pela expressão algébrica da solução da equação diferencial ordinária, interpretando,
assim, qual era a relação do que estavam analisando em cada uma das mídias utilizadas.
Quando Viviane e Ronaldo analisaram o modelo de Malthus, por meio da planilha
de cálculo, é aparente a confusão dos alunos com o modelo representado pela EDO e a
solução desta, que era uma função exponencial, que, de certa forma, também é um modelo
que representa o fenômeno do crescimento populacional.
5.1.3. Conhecimento como rede de significados
A imagem do conhecimento como rede tem sido reforçada pela presença crescente
das TIC no cotidiano. Segundo Machado (1995), o conhecimento era concebido como algo
passível de acumulação, ou ainda como algo que vai sendo preenchido como um reservatório,
preexistente no ser humano, talvez inicialmente vazio. Hoje em dia, apesar desta concepção
não ser a mais aceita e defendida pela comunidade dos educadores, expressões como
apropriação ou aquisição do conhecimento ainda são utilizadas. Tais expressões indicam a
idéia do conhecimento como algo que se adquire ou que se toma posse.
Outra maneira de se conceber o conhecimento é por meio da idéia de cadeia
cartesiana. Os elos dessa cadeia deveriam ser construídos linearmente na direção dos
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
162
conceitos mais simples para os mais elaborados. Machado (1995) afirma que essa situação
ainda se reflete nos argumentos que sustentam as retenções nos anos escolares, bem como a
idéia de pré-requisito nos cursos de graduação.
Ramal (2002) afirma que, ao invés da concepção de uma visão estruturada para se
representar o conhecimento, o saber, ou a própria sociedade, tem-se a concepção de
descentramento, que ela define como sendo uma infinidade de pontos assincrônicos que não
estão acabados, mas sim em contínua produção e/ou reprodução e negociação de sentidos e
informações, gerando assim novos discursos, em uma troca sem regras pré-fixadas e em
constante construção.
A idéia de construção vem sendo uma palavra-chave na discussão de como se gera o
conhecimento. E, em particular, quando analisamos como se dá o ensino de equações
diferenciais, o que encontramos, de maneira geral, são receituários para a busca de soluções
algébricas com a aplicação de listas de exercícios, os quais podem ser resolvidos pelos
métodos estudados. As aplicações são deixadas no segundo plano, o que leva os alunos a
acreditarem somente na importância da busca da solução propriamente dita, sem a
preocupação com o significado desta com relação ao modelo analisado.
Essa noção de, a partir de um determinado problema, buscar relações com conteúdos
já estudados é o que Machado (1995) apresenta como o conhecimento em rede. Na concepção
de rede de conhecimento, o autor afirma que a compreensão não pode ser simplesmente fruto
da transmissão de informações, mas deve, sim, ser fruto da apreensão do significado do objeto
do conhecimento. Essa rede é constituída por nós, que representam conceitos. As linhas que
partem deles, ligando-os a outros nós, são as múltiplas relações que se estabelecem
proporcionando a compreensão dos mesmos.
A aprendizagem deve ocorrer de forma dinâmica, significativa favorecendo o
aparecimento de um número cada vez maior de conexões (relações). Respeitar as diferenças
individuais, levar em consideração os aspectos afetivos, cognitivos e os valores de cada um,
devem ser atitudes do professor. O papel que este assume é o de timoneiro, navegando com o
aluno pela rede, estabelecendo mapas de relevância e tecendo significados.
É importante salientar a função das metáforas na rede, elas ajudam a ir de um nó a
outro, ou seja: para aprender um conceito novo, precisamos do velho. Aquilo que dentro de
nós já está perfeitamente compreendido nos leva à apreensão daquilo que é visto pela primeira
vez.
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
163
Esse fato pode ser evidenciado no episódio “Objeto em queda”. Por diversas vezes,
Marcos questionou o modelo
vmg
dt
dv
m
γ
−=
. Ele comentava que se não tivesse a resistência
do ar, o modelo deveria ser
mg
dt
dv
m = e que a solução procurada deveria ter o
comportamento de uma parábola. E ainda comenta:
Marcos: Quer dizer que isso aí vai dar uma coisa e elevado a ou a elevado a? É que
nós estamos viciados, o modelo que a gente está pensando é sem a
resistência do ar, a gente está viciado lá na física, lá trás, por isso que nós
estamos...
Percebe-se que os alunos buscavam entender o modelo em questão relacionando-o
com algum outro que já haviam analisado anteriormente em sua vida acadêmica.
5.2. Tecendo algumas idéias
Neste capítulo foram apresentados e discutidos tópicos que emergiram a partir da
pesquisa realizada. Com o intuito de enriquecer perspectivas pessoais, foram estabelecidas
semelhanças e diferenças da análise apresentada no Capítulo 4 com relação à literatura
estudada. A busca pelo confronto dos indícios encontrados nos dados com o referencial
teórico é uma tentativa de dar “resposta” à pergunta diretriz desta pesquisa:
Quais as possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às
equações diferenciais ordinárias através da análise qualitativa dos modelos
matemáticos, com o auxílio de Tecnologia de Informação e Comunicação?
Na pesquisa realizada, analisou-se um coletivo integrado pelos estudantes, a
entrevistadora, os softwares Excel, Maple e Winplot, o software Camtasia, “lápis e papel”, as
atividades para o estudo dos modelos matemáticos e EDO em geral, que constituiu uma
situação particular.
Então, considerando essa situação em particular, observa-se como a produção
matemática dos alunos se constitui em uma rede de significados que vai sendo tecida por meio
de um processo de pensamento caracterizado por conjecturas e expectativas que vão sendo
elaboradas, contestadas ou comprovadas em função dos dispositivos materiais e tecnológicos
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
164
disponíveis. As questões matemáticas, relacionadas ao estudo de EDO, foram abordadas por
meio das atividades propostas. Como a proposta desta pesquisa consiste em analisar
possibilidades de ensino e aprendizagem de EDO por meio da análise qualitativa dos
modelos, por meio dos campos diretores, a abordagem geométrica surge como uma
abordagem privilegiada nas atividades propostas. No entanto, é observado que a abordagem
algébrica está bastante presente no fazer dos alunos. Por diversas vezes, as abordagens foram
utilizadas pelos alunos de modo combinado.
Embora o foco da pesquisa não tenha sido direcionado para o estudo das concepções
dos alunos relacionadas com o conceito de derivada, elas fazem parte dos tópicos analisados,
pois foi a partir dessas concepções que muitas atividades foram desenvolvidas, já que o
conceito de campos de direções envolve o significado de derivada. Uma das dificuldades que
o estudo mostra com relação à proposta de ensino de EDO, por meio da abordagem
qualitativa dos modelos, encontra-se nas concepções dos alunos sobre o conceito de derivada.
Outro ponto importante que deve ser observado é o papel que o computador assumiu
no desenvolvimento das atividades. Em determinadas situações, ele pode desempenhar um
papel de facilitador das contas, em outras, ele surge como um ampliador da memória dos
alunos e, em outras situações, ainda, ele possibilita a reorganização do pensamento dos
alunos. (TIKHOMIROV , 1981; BORBA e VILLARREAL, 2005).
Em particular, a partir do estudo desenvolvido, pode-se afirmar que o computador
assume tanto o papel de reorganizador quanto o papel de um suplemento nas atividades dos
estudantes ao aprender conteúdos matemáticos, dependendo da abordagem que eles
desenvolvam nesse ambiente mediado pelas mídias informáticas, do tipo de atividades
propostas, da freqüência no uso e da familiaridade que se tenha com ele.
Além da influência advinda da proposta de trabalho de investigação dos modelos
mediados pelos softwares, faz-se necessário observar que as características dos processos de
produção matemática dos alunos descritos nesta tese são também produtos da metodologia
adotada no curso de extensão. Embora existisse um roteiro a seguir a cada aula, ele era
maleável no sentido que questões advindas do interesse particular dos alunos pudessem ser
abordadas, gerando assim, caminhos a serem seguidos e tópicos a serem tratados. No entanto,
além da coleta de dados, que foi realizada neste curso, existia a preocupação em dar
andamento nas atividades, realizando o que havia sido proposto, já que ele configurava um
curso de extensão para os alunos. Este fato, por vezes, me deixava angustiada no sentido que,
além da pesquisadora, estava também ali a professora.
Capítulo 5 – Investigando os episódios: aprofundando a análise
165
Finalizando, no decorrer desta pesquisa novas compreensões e indagações foram
tecidas acerca dos processos de produção matemática de alunos, na situação particular de
introdução às equações diferenciais ordinárias, que se desenvolvem mediados pelas mídias
informáticas. A partir dessas compreensões e indagações, algumas considerações serão
apresentadas no próximo capítulo, procurando estabelecer as limitações e a amplitude deste
trabalho dentro da Educação Matemática, além das perspectivas docentes e de pesquisa que
surgem.
166
Capítulo 6 – Considerações Finais
Abraham Arcavi em seu artigo “The role of visual representations in the learning of
mathematics”, publicado em Education Studies in Mathematics, 2003, apresenta em uma
figura, uma carta, considerada um clássico de representação gráfica dos dados, (Figura 6.1).
Figura 6.1. Carta figurativa da campanha de Napoleão em 1822
Capítulo 6 – Considerações finais
167
Tufte (1983), citado por Arcavi (2003), considera este gráfico como um “gráfico
narrativo do espaço e do tempo”, o qual reporta as perdas devastadoras sofridas na campanha
de Napoleão em 1812. Ao observarmos o gráfico, no canto à esquerda, e a então Rússia
Polonesa, vemos o começo da campanha de Napoleão, com um exército de 422,000 de
homens, representados pela largura do ramo, a campanha em si e o recuo (ramo preto), o qual
é conectado a uma carta secundária que mostra datas e temperaturas. O gráfico bidimensional
diz a história inteira pela indicação das seis variáveis, a saber: o tamanho do exército, sua
exata posição (bidimensional), direção, temperatura e datas em uma condensação global e
compacta da informação. Segundo o autor, “a exposição verbal da informação nos permite
‘ver’ a história, vislumbrar alguns relacionamentos de causa-efeito, e possivelmente recordar
nitidamente”. Ele afirma que essa carta é uma ilustração da frase “vale mais um diagrama do
que mil ou dez mil palavras”, e que este fato se deve à sua organização bidimensional e não
linear em oposição à escrita, a qual é caracterizada por sua exposição lógica e seqüencial
(LEVY, 1993) e ao seu agrupamento dos conjuntos de informações, o qual pode ser
apreendido, já que torna os dados perceptivelmente mais fáceis.
Ainda, citado em Arcavi (2003), Ancombe (1973) afirma que os gráficos podem ter
várias finalidades, tais como: nos permitem perceber e apreciar algumas características
amplas dos dados, nos permitem, também, olhar por trás delas para observar o que mais elas
possuem de informação. Para exemplificar essa idéia ela apresenta os seguintes dados:
Figura 6.2. Quatro conjuntos de dados
Esses dados podem ser caracterizados por um conjunto de parâmetros idênticos,
Figura 6.3, a seguir.
Capítulo 6 – Considerações finais
168
Figura 6.3. Os parâmetros dos dados
No entanto esses conjuntos de dados podem ser vistos completamente diferentes se
os dados forem representados por diagramas de dispersão, como ilustrado na Figura 6.4.
Figura 6.4. Diagrama de dispersão dos conjuntos de dados
Neste caso, os diagramas de dispersão apresentados na Figura 6.4 revelam
características dominantes dos conjuntos dos dados, que não eram evidentes analisando os
parâmetros que, neste caso, são idênticos.
Capítulo 6 – Considerações finais
169
De maneira análoga ao que Arcavi expõe nesses dois exemplos, é que apresento o
gráfico dos campos de direções, como uma possibilidade de procurar elucidar o despercebido
ao estudar uma EDO. Pois, ao estudar o modelo do populacional de Verhulst, em particular
para a equação
p
p
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
3
15,0 , onde p representa a população de determinada espécie e t o
tempo, podemos esboçar o gráfico dado na Figura 6.5, a seguir.
Figura 6.5. Campo de direções da equação diferencial ordinária
p
p
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
3
15,0
Esse gráfico é bidimensional, porém ele apresenta relações entre curvas p(t), suas
derivadas, por meio dos vetores tangentes, a cada ponto do plano, definido pelo tempo t e a
população p(t). Ou seja, temos pelo menos três variáveis envolvidas nesse gráfico.
Ao analisá-lo podemos elencar várias perguntas, tais como: quais características
podem ser observadas das curvas soluções? Quais informações ele nos dá? Quando temos
uma população inicial de 1 unidade, o que podemos concluir da curva solução quando o
tempo tende ao infinito? Ou antes, disso, o que significa resolver essa equação? O que
representam esses vetores esboçados no gráfico?
Como no gráfico da carta da Campanha de Napoleão, observar um gráfico dos
campos de direções de uma equação diferencial ordinária nos leva a obter informações
Capítulo 6 – Considerações finais
170
despercebidas sobre as curvas soluções da equação, mesmo sem necessariamente explicitar
sua solução algébrica.
Como já explicitado durante os capítulos anteriores, analisar as possibilidades de se
introduzir equações diferenciais ordinárias por meio do estudo de modelos clássicos da
literatura através dos campos de direções, auxiliado pelas tecnologias informáticas, em
pequena escala, ou seja, em um curso de extensão de 36 horas, desenvolvido por nove alunos
do curso de Matemática de uma universidade pública do estado de São Paulo, foi o objetivo
da tese de doutorado relatada aqui.
Agora, para finalizar esse trabalho, gostaria de elaborar algumas reflexões em torno
das questões: quais as contribuições desse trabalho para a Educação Matemática? Quais frutos
germinaram desse trabalho?
Ao responder essas questões apresento minha visão da pesquisa e certamente o leitor
poderá discordar ou não com o que será colocado.
6.1. Contribuições para a Educação Matemática
Ao propor essa pesquisa, a intenção foi observar como os alunos, em uma situação
próxima à da sala de aula, investigavam modelos matemáticos usando as ferramentas
informáticas. Não tive a pretensão de elaborar uma classificação de como os alunos
raciocinam determinado conteúdo e generalizar para uma classe toda, afinal cada aluno tem
sua maneira de pensar.
Talvez também se espera desse trabalho conclusões do tipo se o ensino tornou-se
melhor ou pior usando tais procedimentos. No entanto, levando em consideração a idéia de
conhecimento enquanto rede (Machado, 1995; Levy, 1993), da concepção de seres humanos
com mídias (Borba e Villarreal, 2005) têm-se mais sentido falar das transformações, de novas
perspectivas e de obstáculos no ensino de equações diferenciais ordinárias. A forma de
trabalho é diferente nessa proposta. Ao longo do Capítulo 4, encontram-se exemplos das
possibilidades de exploração e também de dificuldades advindas do uso da mídia informática.
Novas demandas surgem, como por exemplo, a coordenação da representação dos campos de
direções elaborada pelos alunos no caderno, com o gráfico gerado pelo software e sua relação
com a expressão algébrica da solução.
Capítulo 6 – Considerações finais
171
Neste trabalho pude evidenciar o que Villarreal (1999) coloca como coordenação
intermídias, isto é, no desenvolvimento das atividades os alunos foram colocados em
situações onde tiveram que relacionar as respostas das várias mídias com que estavam
investigando dos modelos matemáticos. Como afirma a autora, existiu “a necessidade de uma
coordenação entre as representações realizadas nas diferentes mídias, isto é, uma coordenação
intermídias”.
Indicar novos caminhos para o ensino de equações diferenciais ordinárias pode ser a
expectativa de algum leitor. Talvez esse trabalho traga elementos que possam auxiliar pessoas
interessadas no ensino dessa disciplina a elaborarem suas próprias propostas de ensino.
Acredito que iniciar o curso de EDO com a idéia de Aplicação do par Modelagem
Matemática/Aplicação, trazida em APPLICATIONS (2002), ou seja, iniciar com o estudo de
modelos matemáticos clássicos da literatura, explorando-os com o auxílio das TIC, pode
trazer mais possibilidades para o processo de aprendizagem dos alunos e, talvez assim,
conseguir atribuir algum significado para essa disciplina, pois como afirma Hubbard (1994)
citado em Habre (2000), a disciplina de equações diferenciais deveria ser o elo entre a
Matemática e a Ciência.
O termo Modelagem Matemática aparece na Educação Matemática sob várias
concepções diferenciadas em aspectos de sua definição. Existem pesquisadores que a utilizam
como uma como uma abordagem de ensino. Para outros, a Modelagem Matemática é uma
linha da Matemática Aplicada que a utiliza para resolver problemas da realidade.
Neste trabalho a Modelagem Matemática não surgiu nem como a concepção da
Educação Matemática nem como a da Matemática Aplicada, mas sim como Aplicação
Matemática, ou seja, a estratégia de estudar modelos matemáticos clássicos da literatura,
como nesta tese, objeto em queda, modelo de Malthus, modelo de Verhulst e a lei do
resfriamento, utilizando a abordagem qualitativa desses modelos, através das tecnologias de
informação e comunicação.
Ainda cabe observar que apesar de Rasmussen (2001), Kallaher (1999) e Habre
(2000) afirmarem, em suas pesquisas, que a inserção das TIC no ensino de Cálculo
proporcionaria ao aluno na disciplina de EDO maiores facilidades por conta da já
familiarização, nesta pesquisa esse fato não ocorreu. Como relatado em capítulos anteriores,
os alunos participantes não tinham cursado disciplinas em seu curso, até então, com a
utilização de softwares como uma abordagem pedagógica.
Capítulo 6 – Considerações finais
172
6.2. Caminhos futuros
Um dos aspectos importantes dessa pesquisa foi o fato desta ter sido desenvolvida
dentro do GPIMEM. Mesmo tendo sido eu a responsável pelo projeto, elaboração,
desenvolvimento e redação final da tese, as idéias desenvolvidas durante todo o processo
foram, por diversas vezes, discutidas com os colegas do grupo. E, como coloca Levy (1993),
um coletivo pensante se constitui onde cada um expõe suas idéias, suas crenças, seus
objetivos e as interações entre os pares fazem com que, muitas vezes, essas idéias se
modifiquem, ou mesmo se ampliem, constituindo uma rede de significados em torno dos
objetivos comuns que norteiam o grupo. Acredito que essa vivência propiciada pelo grupo é
fundamental para a formação do pesquisador e para o desenvolvimento de pesquisas futuras.
Outro fato que destaco como importante, para a minha formação como docente e
pesquisadora, é o de ter exercitado o papel de ouvinte da fala dos estudantes. Por vezes, agora
analisando os vídeos gerados nas aulas do curso de extensão, vejo o quanto, em determinadas
situações, não ouvia os alunos, o quanto deveria ter ficado mais calada e os deixado falar. No
entanto, com a ânsia de professora, que também assumi no curso e não somente a
pesquisadora, queria que os alunos avançassem nas atividades e acabava por interferir demais
em seus caminhos.
Essa tese encerra uma fase de minha vida acadêmica que teve origem na minha
própria prática docente, da revisão da literatura e dos meus anseios como professora. Acredito
que muitas das perguntas que persegui durante essa pesquisa foram encaminhadas. No
entanto, muitas outras surgem quando penso na sala de aula de matemática. Afinal neste curso
de extensão, o qual eu propus para ser o mais próximo a uma situação de sala de aula, foi
constituído por mim professora/pesquisadora com nove alunos. E, ainda com uma proposta
que era de um curso introdutório de EDO. Agora como levar essa proposta para uma
disciplina regular de EDO? Será possível elaborar uma proposta para o ensino dessa disciplina
a partir das compreensões aqui elaboradas?
Certamente, minha prática docente talvez ainda não esteja totalmente alterada,
porém minha visão sobre ela, sim. E, a efetiva prática da sala de aula me fará buscar respostas
para essas novas inquietações. Logicamente, as atividades desenvolvidas deverão ser
reelaboradas e novamente aplicadas em situações de sala de aula, muito provavelmente, de
forma paulatina com o passar do tempo.
173
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PENTEADO, M.G. Novos atores, novos cenários: discutindo a inserção dos computadores na
profissão docente. In.: BICUDO, M. A. V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática:
Concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da UNESP, 1999. (Seminários & Debates).
PLAAT, O. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Barcelona: Reverté, 1974.
RAMAL, A. C. Educação na cibercultura: hipertextualidade, leitura, escrita e aprendizagem.
Porto Alegre: Artmed, 2002.
RASMUSSEN, C. New Directions in Differential Equations: a framework for interpreting
studentes’understandings and difficulties. Journal of Mathematical Behavior, Cidade, v. 20,
p. 55-87, 2001.
Referências
176
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f. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São
Paulo, 2003.
SCUCUGLIA, R. A Investigação do Teorema Fundamental do Cálculo com Calculadoras
Gráficas. 2006. 145 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2006.
TIKHOMIROV, O. K. The Psychological consequences of computerization. In:
WERRRTSCH, J.V. The concept of activity in Soviet Psychology, New York, p. 256-278,
1981.
VILLARREAL, M. E. O pensamento matemático de estudantes universitários de Cálculo e
Tecnologias Informáticas. 1999. 402 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto
de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 1999.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações Diferenciais. 3 ed. São Paulo: Markron Books, 2001.
v. 2.
177
APÊNDICE
178
ANEXO 1 – As atividades
Introdução
Neste Anexo, apresento as atividades que foram desenvolvidas, por duplas e trios de
alunos, no decorrer do curso de extensão “Modelagem e Métodos Computacionais em
Equações Diferenciais Ordinárias”, com carga horária de 36 horas, oferecido aos alunos do
Curso de Matemática. Esse curso de extensão foi o ambiente de investigação da coleta dos
dados desta pesquisa.
Estão anexadas, no formato que elas foram aplicadas, as seguintes atividades: “aula
derivada”, “aula familiarização”, “aula modelo do objeto em queda”, “aula modelo de
Malthus”, “aula modelo de Verhulst”, “aula campo de direções”, “aula modelo de
resfriamento”. Além dessas aulas, também foram desenvolvidas outras atividades, a saber: de
apresentação do curso, de apresentação dos participantes, atividades de familiarização com os
softwares utilizados e apresentação de seminários feitos pelos alunos no encerramento do
curso.
179
1.1 - Aula derivada
Esta atividade tem por objetivo explorar o conceito geométrico de derivação. Essa
atividade foi inspirada em atividades que o Prof. Marcelo de Carvalho Borba vem
desenvolvendo ao longo dos anos em sala de aula e em pesquisas no GPIMEM. Seu enfoque é
mediado pelas calculadoras gráficas.
1. Dado o gráfico de )x(f , e considerando o intervalo de domínio da função que aparece
esboçado no gráfico, faça:
(A)
i)
Descreva quais intervalos onde a função é crescente e decrescente.
ii)
Identifique os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-
versa.
iii)
Divida o domínio da função em subintervalos de 1 cm e marque esses pontos no
gráfico.
iv)
Aproxime a curva dada por segmentos de retas unindo os pontos marcados.
v)
Calcule o coeficiente angular de cada segmento de retas que você acabou de desenhar.
vi)
Faça, agora, um gráfico representando os coeficientes angulares desses segmentos de
retas em função de x, onde x pertence ao intervalo do domínio da função dada
originalmente e observe o sinal deste gráfico.
vii)
Desenhe no Winplot o gráfico de 2
2
−−= xxy e utilize o comando inventário e
derivar. Há semelhanças desse gráfico com o que você esboçou no papel? Sugestão:
pense em unidades de comprimentos menores no item (iii).
(B)
180
i) Descreva quais intervalos onde a função é crescente e decrescente.
ii)
Identifique os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-
versa.
iii)
Divida o domínio da função em subintervalos de 1 cm e marque esses pontos no
gráfico.
iv)
Aproxime a curva dada por segmentos de retas unindo os pontos marcados.
v)
Calcule o coeficiente angular de cada segmento de retas que você acabou de desenhar.
vi)
Faça, agora, um gráfico representando os coeficientes angulares desses segmentos de
retas em função de x, onde x pertence ao intervalo do domínio da função dada
originalmente e observe o sinal deste gráfico.
vii)
Desenhe no Winplot o gráfico de xxxy 2
23
−−= e utilize o comando inventário e
derivar. Há semelhanças desse gráfico com o que você esboçou no papel? Sugestão:
pense em unidades de comprimentos menores no item (iii).
181
(C)
i) Descreva quais intervalos onde a função é crescente e decrescente.
ii)
Identifique os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-
versa.
iii)
Divida o domínio da função em subintervalos de 1 cm e marque esses pontos no
gráfico.
iv)
Aproxime a curva dada por segmentos de retas unindo os pontos marcados.
v)
Calcule o coeficiente angular de cada segmento de retas que você acabou de desenhar.
vi)
Faça, agora, um gráfico representando os coeficientes angulares desses segmentos de
retas em função de x, onde x pertence ao intervalo do domínio da função dada
originalmente e observe o sinal deste gráfico.
vii)
Desenhe no winplot o gráfico de xy = e utilize o comando inventário e derivar. Há
semelhanças desse gráfico com o que você esboçou no papel?
182
(D)
i)
Descreva quais intervalos onde a função é crescente e decrescente.
ii)
Identifique os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-
versa.
iii)
Divida o domínio da função em subintervalos de 1 cm e marque esses pontos no
gráfico.
iv)
Aproxime a curva dada por segmentos de retas unindo os pontos marcados.
v)
Calcule o coeficiente angular de cada segmento de retas que você acabou de desenhar.
vi)
Faça, agora, um gráfico representando os coeficientes angulares desses segmentos de
retas em função de x, onde x pertence ao intervalo do domínio da função dada
originalmente e observe o sinal deste gráfico.
vii)
Desenhe no winplot o gráfico de
x
y
1
= e utilize o comando inventário e derivar. Há
semelhanças desse gráfico com o que você esboçou no papel? Sugestão: pense em
unidades de comprimentos menores no item iii.
183
2. Dado o gráfico de )(
´
xf
(A)
i)
Esboce o gráfico de )(xf , com 1)0(
=
f ;
ii)
Esboce o gráfico de )(xf , com 2)0(
−
=
f
184
(B)
i)
Esboce o gráfico de )(xf , com 0)0(
=
f ;
ii) Esboce o gráfico de )(xf , com 1)0(
=
f .
185
1.2 - Aula familiarização
Esta atividade tem por objetivo explorar os conceitos iniciais de equações
diferenciais ordinárias e propiciar a familiarização com alguns comandos do software Maple.
1.
Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, a velocidade é o dobro
da posição. Ou seja, se chamarmos x = x(t) a posição da partícula,
temos x
dt
tdx
2
)(
= . Verifique
que
()
t
ketx
2
= satisfaz essa última igualdade.
2. Nos exercícios abaixo, verifique que a função y(x) indicada satisfaz a igualdade.
a)
()
()
02 =+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
xy
dx
xdy
;
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
2
x
exy b)
(
)
()
2420 =+ xy
dx
xdy
;
()
5
6
5
6
20x
e
xy
−
−=
c)
() ()
()
0136
2
2
=+− xy
dx
xdy
dx
xyd
;
(
)
(
)
xexy
x
2cos
3
=
3. Nos exercícios abaixo, verifique que a função indicada é solução implícita da equação diferencial
dada. Encontre pelo menos uma solução explícita em cada caso. Faça o gráfico, usando o
comando plot(f,t=a..b,x=c..d), das soluções explícitas determinadas. Encontre o intervalo de
definição apropriado I para cada solução.
a)
()( )
xx
dt
tdx
211
)(
−−= ;
t
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
1
12
ln
b)
(
)
02
2
=−+ dyyxxydx ; 12
22
=+− yyx
4. Nos problemas abaixo, usando os cálculos no software, verifique que a função dada satisfaz a
igualdade:
a)
()
(
)
(
)
(
)
()
084158015820
2
2
3
3
4
4
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− xy
dx
xdy
dx
xyd
dx
xyd
dx
xyd
;
() ( )
xxexy
x
2cos
5
=
b)
() ()
(
)
()
078202
2
2
2
3
3
3
=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
xy
dx
xdy
x
dx
xyd
x
dx
xyd
x
;
()
()
()
x
xsen
x
x
xy
ln5
3
ln5cos
20 −=
5. Discuta com seu par e escreva o que vocês entendem por uma equação diferencial.
6.
O que é resolver uma equação diferencial?
7.
Como se caracteriza uma equação diferencial ordinária?
8.
Que função você conhece do Cálculo que é igual à sua derivada? Que sua derivada seja k vezes ela
mesma? Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de primeira ordem com uma
solução.
9.
Que função ou funções você conhece do Cálculo cuja derivada segunda seja igual a ela mesma?
Que sua derivada segunda seja o negativo dela mesma? Escreva cada resposta na forma de uma
equação diferencial de segunda ordem com uma solução.
186
1.3 - Aula modelo de um objeto em queda
Esta atividade tem por objetivo investigar o comportamento de um objeto em queda,
na atmosfera da terra, próximo ao nível do mar, considerando a hipótese de que a resistência
que o ar atua nesse objeto é proporcional à sua velocidade de queda. Este é um exemplo
clássico encontrado nos livros-texto de equações diferenciais. Os livros Boyce e
DiPrima(2002) e Kallaher (1999) foram fontes consultadas para a elaboração desta atividade.
Modelo - um objeto em queda
Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Vamos
formular um modelo que representa essa situação, isto é, vamos determinar uma equação
diferencial que descreve esse movimento e, posteriormente analisar qualitativamente sua
solução e finalmente resolvê-la analiticamente.
O movimento ocorre durante um determinado intervalo de tempo, logo vamos usar t
para representar o tempo. Além disso, vamos usar
v para representar a velocidade do objeto
em queda. A velocidade varia com o tempo, assim vamos considerar
v
como uma função de
t; em outras palavras, t é a variável independente e
v é a variável dependente. Vamos medir
o tempo em segundos (
s ) e a velocidade em metros por segundos (m/s). Além disso, vamos
supor que a velocidade
v
é positiva quando o sentido do movimento é para baixo, isto é,
quando o objeto está caindo.
A lei física que governa o movimento de objetos é a segunda lei de Newton, que diz
que a massa do objeto vezes sua aceleração é igual à força total atuando sobre o objeto. Em
linguagem matemática, essa lei é expressa pela equação
maF
=
, onde m é a massa do
objeto,
a sua aceleração e F a força total que age sobre o objeto. E como
dt
dv
a = , temos
dt
dv
mF = . Mas ainda temos que considerar as forças que agem no objeto em queda livre. A
gravidade exerce uma força igual ao peso do objeto, ou m
g
, onde
g
é a aceleração devida à
gravidade. Nas unidades de medida que escolhemos,
g
é determinada experimentalmente
como sendo, aproximadamente igual a
2
8,9
s
m
g =
próximo à superfície da Terra. Existe,
187
também, uma força devido à resistência do ar, que para essa atividade será considerada
proporcional à velocidade, ou seja, v
γ
, onde v
γ
é uma constante e, é chamada de coeficiente
da resistência do ar.
Assim, vmgF
γ
−= e, portanto temos:
vmg
dt
dv
m
γ
−= (1)
Essa última equação é um modelo matemático do objeto de massa
m caindo na
atmosfera, próximo ao nível do mar. Note que este modelo contém três constantes
m ,
g
e
γ
.
As constantes
m e
γ
dependem do objeto em particular que esta caindo e será diferente, em
geral, para objetos diferentes. É comum referir-se a essas constantes como parâmetros, já que
podem tomar um conjunto de valores durante um experimento. Por outro lado o valor de
g
é
o mesmo para todos os objetos.
Resolver a equação (1) consiste em determinar uma função
()
tv que satisfaça esta
equação. Sem perda de generalidade, vamos atribuir valores numéricos para
m e
γ
. Vamos
supor que
10=m
Kg
e
2=
γ
sKg/
portanto temos que resolver a equação
5
8,9
v
dt
dv
−= (2)
Ao invés de resolver analiticamente a equação (2), podemos analisá-la
qualitativamente, ou seja, investigar o comportamento das soluções sem de fato encontrar as
soluções analiticamente. Vamos analisar a equação (2) de um ponto de vista geométrico.
Considere a equação diferencial
5
8,9
v
dt
dv
−= . Atribuindo valores para
(
)
tv ,
calculamos a expressão à direita do sinal de igualdade na equação e assim encontramos o
valor correspondente de
dt
tdv )(
.
Por exemplo, se
40=v , então 8,1=
dt
dv
. Isto significa que a inclinação, isto é, o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma solução desta equação tem valor 1,8
em qualquer ponto onde
40=v
. Analogamente, se
50
=
v
, então 2,0−=
dt
dv
.
188
Podemos representar essas informações graficamente no plano tv desenhando
segmentos unitários de reta com coeficiente angular 1,8 em diversos pontos ao longo da reta
40=v e segmentos unitários de reta com coeficiente angular -0,2 em diversos pontos ao longo
da reta
50=v
.
1) Construa uma tabela, em uma planilha de cálculo, atribuindo valores para v, entre 0 e 100,
de 5 em 5, e calcule
dt
dv
e o angulo correspondente a esse coeficiente angular, usando a
função ATAN no Excel e não se esqueça de converter em graus para facilitar o esboço do
desenho. Faça um esboço dos segmentos unitários com esses coeficientes angulares, no plano
tv, no papel.
2) Agora, no Winplot 2D, entre em Equação, diferencial, dy/dx e entre com a equação 9.8 -
(y/5), e clique OK. Em Ver, clique em escala em x e y. Em seguida clique em PgDn no
teclado. O que você observa no gráfico gerado? É semelhante ao que você esboçou no papel?
3) Em seguida, observe o próximo gráfico, que foi gerado no Maple:
4) O que você observa neste gráfico? Qual a relação deste gráfico com os valores que você
obteve na planilha?
5) Qual o comportamento das soluções desta equação? Tende para infinito? Tende para algum
valor constante?
189
6) Utilizando o Maple, obtemos o gráfico abaixo. Interprete-o. O que significam as curvas de
linhas contínuas?
7) Qual é o valor crítico de
v
que separa os objetos cuja velocidade está aumentando daqueles
cuja velocidade está diminuindo? Referindo-nos, novamente à equação, podemos perguntar:
quais os valores de
v que farão com que
dt
dv
seja igual a zero?
8) Resolva a equação diferencial e compare seu comportamento ao que foi analisado através
do campo de direções.
190
1.4 - Aula modelo de Malthus
Esta atividade tem por objetivo investigar um modelo matemático para o fenômeno
de variação populacional. A elaboração desta atividade foi inspirada em Bassanezi (2002) e
Kallaher (1999).
Modelos determinísticos de populações isoladas - Modelo de Malthus
Os biossistemas são quase sempre constituídos de um grande número de populações
interrelacionadas. Assim uma população raramente pode ser considerada isolada, a não ser em
condições ideais de laboratório ou quando não é possível individualizar no biossistema outra
população interagindo com a primeira. Mesmo na análise de populações isoladas, muitos
fatores podem contribuir com sua dinâmica - fatores abióticos (temperatura, vento, umidade,
etc) e fatores de auto-regulação (espaço, alimento, idade, guerra, etc.)
A aprendizagem com modelagem, tanto do fenômeno quanto da própria matemática,
consiste em utilizar gradativamente cada fator que interfere no fenômeno, dependendo de seu
grau de importância.
Um primeiro modelo para o entendimento da dinâmica populacional é considerar que
as populações interagem para persistirem, e para tal necessitam aumentar. A proposta de
utilização da matemática para estabelecer um modelo de crescimento populacional humano
começou com o economista inglês Tomas R. Malthus (1766-1834). Seu modelo é baseado em
dois pressupostos:
1.O alimento é necessário à subsistência do homem;
2.A paixão entre os sexos é necessária e deverá permanecer aproximadamente em seu
estado permanente.
Supondo então, que tais pressupostos estejam garantidos, Malthus afirma que "a
capacidade de reprodução do homem é superior à capacidade da terra de produzir meios para
sua subsistência e, a inibição do crescimento populacional é devida à disponibilidade de
alimentos. A população quando não obstaculizada, aumenta a uma razão geométrica. Os
meios de subsistência aumentam apenas a uma razão aritmética. Pela lei de nossa natureza,
que torna o alimento necessário à vida do homem, os efeitos dessas duas diferentes
capacidades devem ser mantidos iguais". (Malthus: Economia, Textos de Malthus organizado
191
pot T/ Szmrecsányi, Ed. Ática, 56-57, apud Rodney C. Bassanezi, Ensino-aprendizagem com
modelagem matemática: uma nova estratégia. SP: Contexto, 2002, p 327).
Atualmente, em dinâmica populacional, o que se convencionou chamar de modelo de
Malthus assume que o crescimento de uma população é proporcional à população em cada
instante (progressão geométrica ou crescimento exponencial), e desta forma, a população
humana deveria crescer sem nenhuma inibição. Assim o modelo de Malthus propõe um
crescimento de vida “otimizada”, sem fome, guerra, epidemia ou qualquer catástrofe, onde
todos os indivíduos são idênticos, com o mesmo comportamento. Portanto o modelo
malthusiano pode ser escrito como
(
)
rp
dt
tdp
=
, onde a constante
r
é chamada taxa de
crescimento ou declínio, dependendo se é positiva ou negativa.
A equação de crescimento exponencial modela uma população cuja taxa de
crescimento é proporcional ao seu tamanho presente. Vamos considerar a equação acima com
1=
r
, ou seja p
dt
dp
= .
1) Construa uma tabela para valores de
p
e p
dt
dp
= .
2) Esboce, em uma folha de papel, o gráfico de campo de direções, no sistema cartesiano
tp
.
3) Agora, no Winplot 2D, entre em Equação, diferencial, dy/dx e entre com a equação y, e
clique OK. Em Ver, clique em escala em x e y. Em seguida clique em Pg Dn no teclado. O
que voce observa no gráfico gerado? É semelhante ao que você esboçou?
4) Observe esse campo de direções e responda:
a) O que podemos afirmar das soluções desta equação?
b) Qual o comportamento para essas soluções quando t tende ao infinito?
c) Esse modelo é um "bom" modelo para o crescimento populacional?
d) Agora resolva analiticamente essa equação e compare sua solução com o campo de
direções que você esboçou. O comportamento que você analisou através do campo de
direções é coerente com essa solução que determinou?
5) Entre no site:
http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/mordifeqs/dirfield.html e analise o
que está acontecendo, qual a relação com o gráfico gerado acima?
192
1.5 - Aula modelo de Verhulst
Nesta atividade os alunos foram levados a investigar um modelo de crescimento
populacional, o modelo de Verhulst. Para sua elaboração, as atividades tiveram como fonte os
livros Bassanezi (2002) e Kallaher (1999).
Modelos determinísticos de populações isoladas - Crescimento logístico
A previsão mundial segundo o modelo malthusiano, atingiria números astronômicos
em pouco tempo o que tornaria a Terra um planeta superlotado e inabitável, o que não
ocorreu. Não é possível uma população crescer infinitamente, pois existem os chamados
fenômenos sociais que alteram a taxa de crescimento
r
. Fatores como falta de alimento,
limitações de espaço, fumaça causada por queimadas reduzem esta taxa r, fazendo com que
r
seja negativo e dão fim a este crescimento ilimitado.
Para levar em conta o fato de que a taxa de crescimento depende, realmente, da
população vamos substituir a constante
r
por uma função
(
)
ph . Essa função deve ter as
seguintes características:
()
ph ~
r
> 0 quando
p
for pequeno;
(
)
ph decrescente quando
p
crescer e
()
ph
< 0 quando
p
for suficientemente grande.
A função mais simples com essas propriedades é
(
)
aprph
−
=
, onde
a
é também
uma constante positiva. Assim a equação para o crescimento populacional é dada por
()
papr
dt
dp
−= , chamada equação de Verhulst ou equação logística. Muitas vezes é reescrita
na forma equivalente
p
k
p
r
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 1 , onde
a
r
k = . A constante
r
é chamada de taxa de
crescimento intrínseco, isto é, o crescimento na ausência de qualquer fator limitador.
Vamos inicialmente procurar as soluções mais simples desta equação, isto é, as
soluções constantes. Para tal solução,
0=
dt
dp
para todo t, chamadas de solução de equilíbrio
da equação.
1) Determine as soluções constantes desta equação.
2) Analise o sinal de
dt
dp
.
193
3) Para visualizar outras soluções vamos considerar
2
1
=r e
3
=
k , ou seja, vamos analisar a
equação
p
p
dt
dp
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
3
15,0.
4) Atribua valores para
p
e calcule
dt
dp
e esboce no papel o campo de direções.
5) Agora, no Winplot2D, utilize o comando Equação, diferencial, dy/dx e entre com a
equação
y
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
15,0 , e clique OK. Em Ver, clique em escala em x e y. Em seguida clique em
Pg Dn no teclado para "melhor" visualizar o campo de direções desta equação. O que você
observa no gráfico gerado? É semelhante ao que você esboçou no papel?
6) Qual o comportamento das soluções que pode ser observado através do campo de direções?
Ou seja:
a) As curvas soluções tendem ao infinito, para zero, ou para algum valor constante quando o
tempo vai para infinito?
b) A solução é periódica?
c) A solução atinge 0 somente quando t tende ao infinito, ou existe algum valor específico,
tal como
100=t
, para o qual a solução é igual a 0?
d) A solução eventualmente se aproxima a uma função mais familiar? Por exemplo, a solução
"converge" para uma linha reta cuja inclinação pode ser estimada?
7) Utilizando o Maple, obtemos o gráfico abaixo. Como podemos interpretar as curvas deste
gráfico? É semelhante a análise feita deste modelo?
194
8) Agora resolva analiticamente essa equação e compare sua solução com o campo de
direções que você esboçou. O comportamento que você analisou através do campo de
direções é coerente com essa solução que determinou?
195
1.6 - Aula campo de direções
Figura 3.2 - Roteiro da atividade “campo de direções”
Discuta com seu colega o comportamento das equações diferenciais dadas abaixo e as
relacione com o seu respectivo campo de direções. Justifique sua resposta:
a)
)(xsen
dt
dx
= b) )(tsen
dt
dx
= c) x
dt
dx
−= 2 d)
()
xx
dt
dx
−= 2 e)
2
4
1
2 x
dt
dx
−=
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
196
1.7 - Modelo de resfriamento
Modelo de resfriamento de um corpo – difusão de calor
Um corpo que não possui internamente nenhuma fonte de calor, quando deixado em
um meio ambiente na temperatura
T
, tende àquela do meio que o cerca
a
T . Assim, se a
temperatura
a
TT < , este corpo se aquecerá e, caso contrário, se resfriará. A temperatura do
corpo, considerada uniforme, será, pois uma função do tempo
(
)
tT .
Com um termômetro de precisão decimal, e considerando que às 14 horas a
temperatura ambiente era de C°8,20 , as medidas da temperatura de cerveja de uma lata de
ml 350
foram tomadas. Os valores da temperatura
T
em relação ao tempo são dados na
tabela abaixo:
Horas temp.
T
14h2min 8,5
14h12min 9,9
14h22min 11,6
14h32min 12,5
14h42min 13,4
14h52min 14
15h2min 14,6
15h12min 15,1
15h22min 15,5
15h32min 16
15h42min 16,4
15h52min 16,8
16h2min 17,1
16h12min 17,5
16h22min 17,9
16h32min 18,3
16h42min 18,6
16h52min 18,8
17h2min 19
17h12min 19,3
17h22min 19,5
17h32min 19,6
17h42min 19,7
17h52min 19,8
187h2min 19,9
18h12min 20
18h22min 20,2
18h32min 20,3
18h42min 20,4
18h52min 20,49
19h2min 20,5
197
Observe que quanto maior for valor de
a
TT −
mais rápida será a variação de )(tT . Isto é
evidenciado de forma mais precisa pela chamada Lei de resfriamento de Newton: “a taxa de
variação da temperatura de um corpo (sem fonte interna) é proporcional à diferença entre sua
temperatura
)(tT
e a do meio ambiente
a
T
, em cada instante t ”. Ou seja,
()
)( TTTT
dt
dT
aa
−=−−=
λλ
(*)
onde
0>
λ
, pois se
a
TT > então 0<
dt
dT
(esfria) e se
a
TT
<
, 0>
dt
dT
(esquenta)
(VERIFIQUE COM OS DADOS).
Questões:
1.
Qual é a solução trivial da equação (*)? E qual o seu significado físico?
2.
Resolva, usando o comando dsolve do Maple, a equação (*), considerando que
0
)0( TT
=
.
Qual a solução algébrica encontrada?
3.
Faça um esboço da temperatura
T
em relação ao tempo t . Qual o comportamento desses
pontos? Qual curva se ajusta a esses pontos? É compatível com a equação algébrica
determinada em (2)?
4.
Agora, calcule TT
a
− . Esboce no plano cartesiano TT
a
−
pelo tempo t. Qual a função y
que melhor ajusta esses pontos? Usando o Excel, ajuste esses pontos determinando a
expressão de ajuste no comando opções, clique em exibir equação no gráfico.
5.
Agora calcule a temperatura usando o modelo y-T)(
a
=
tT , onde y é a função
encontrada em (4).
6.
Esboce em um mesmo gráfico os dados da T real e da estimada pelo modelo encontrado
em (5). O que você observa?
7.
O que acontece quando o tempo
∞
→
t
no modelo encontrado em (5)? O que isto
significa?
Observação: O fato de
T
tender a
a
T somente quando
∞
→t
pode dar a impressão que a
equação (*) não se presta para modelar situações reais de estabilidade. Entretanto em termos
de modelagem matemática,
∞
→
t
deve ser interpretado por: “
t
assume valores grandes,
relativamente à evolução das variáveis analisadas”. Por exemplo, neste modelo de
198
resfriamento, equação (*), podemos considerar que a temperatura de um corpo “atinge” a
temperatura ambiente quando estiver “bem próxima” desta temperatura, digamos
a
TtT 99,0)(
* +
−
=
e isto ocorre em um tempo
*
t
finito.
8.
Considerando
a
TtT 99,0)(
* +
−
= , calcule o tempo
*
t necessário de equilíbrio para os esse
modelo e também para esses dados.
Desafio: Às 7 horas, um indivíduo é encontrado morto pela sua secretaria que liga
imediatamente para a polícia. As 10h30mim quando os peritos chegam ao local, verificam que
a temperatura ambiente é de 22
*
C e a temperatura do corpo é de 29,4
*
C. Meia hora após, o
perito, novamente mede a temperatura do corpo e verifica que estava em 25,8
*
C. Passado
mais 30 minutos, novamente, a temperatura é medida e é de 23,9
*
C. Após uma breve
discussão entre os peritos, a secretária é presa. Por quê? (Obs. Considere que a temperatura
normal de uma pessoa viva seja constante e igual a 36,5
*
C).
199
1.8 - Comparação dos dados dos experimentos
O mesmo experimento foi realizado duas vezes. Ou seja, foi tomada a temperatura da
cerveja por duas vezes. No primeiro dia, foi utilizado 175 ml de cerveja, colocado em um
copo e o termômetro foi colocado no copo e foi tomada as medidas dadas na tabela 1, à
temperatura inicial de 12,3 C e a temperatura ambiente era de 26,7C.
No segundo dia, foi utilizado 350 ml de cerveja, com temperatura inicial de 8,5C e
temperatura ambiente de 20,8C. O termômetro foi utilizado diretamente na lata da cerveja e
os dados estão listados na tabela 2.
Determine um modelo para os dados da tabela 1, utilizando o Excel, como fizemos na aula
passada. E em seguida, esboce no mesmo gráfico em uma mesma planilha, os dados reais e os
valores estimados nos dois modelos e responda:
1.
Quais os valores de
λ
para os dois experimentos?
2.
Quais as expressões algébricas das soluções dos dois modelos? É compatível? O que você
observa?
3.
Qual, em sua opinião, é mais preciso? Qual dos dois modelos? E por quê?
4.
O que você observa no gráfico onde desenhou os dados experimentais e os dados
estimados juntos?
Tempo(min)
Temp.
T
0 12,3
1 12,4
1,5 12,5
2 12,6
2,5 12,7
3 12,8
3,5 13,1
4 13,2
4,5 13,4
5 13,6
5,5 13,7
6 13,8
7 14,1
8 14,4
9 14,7
10 15
11 15,2
12 15,5
13 15,8
14 16
15 16,2
16 16,5
17 16,7
18 17
19 17,1
20 17,2
22,5 17,7
25 18,1
27,5 18,5
30 18,8
32,5 19,2
35 19,5
40 20,1
45 20,6
50 21
60 21,8
75 22,8
90 23,6
120 24,9
150 25,6
260 26,6
Tabela 1
200
Tempo(min)
Temp.
T
0 8,5
10 9,9
20 11,6
30 12,5
40 13,4
50 14
60 14,6
70 15,1
80 15,5
90 16
100 16,4
110 16,8
120 17,1
130 17,5
140 17,9
150 18,3
160 18,6
170 18,8
180 19
190 19,3
200 19,5
210 19,6
220 19,7
230 19,8
240 19,9
250 20
260 20,2
270 20,3
280 20,4
290 20,49
300 20,5
Tabela 2
Desta forma, o texto descrito neste anexo tem como objetivo apresentar as atividades
que foram desenvolvidas no curso de extensão pelos alunos do curso de Matemática. Além
dessas atividades aconteceram outras como, por exemplo, a exploração livre efetuada pelos
alunos no início das aulas, ou o estudo dirigido que eles executaram sobre alguns métodos de
resolução de equações diferenciais ordinárias para a elaboração dos seminários, por eles
apresentados, no final do curso. Porém, o desenvolvimento dessas atividades, aqui descritas,
pelos alunos no LIEM – GPIMEM constituiu o cenário de coleta dos dados, conforme
apresentado no capítulo de metodologia desta tese.
201
ANEXO 2 – Resumo geral do curso de extensão: cenário da coleta dos dados
Introdução
O curso iniciou-se com doze alunos, dos quais nove cumpriram todo o cronograma
proposto. Sendo assim, foram considerados participantes dessa pesquisa, como já descrito no
capítulo de metodologia, esses nove alunos que compareceram e participaram efetivamente de
todas as aulas.
A dinâmica programada para o desenvolvimento do curso consistia na divisão dos
alunos em dupla. Cada dupla trabalharia em um computador para desenvolver as atividades
propostas. Esse formato de distribuição dos alunos foi sugerido levando em consideração
questões metodológicas de pesquisa e de ensino, tais como a observação das discussões dos
alunos no desenvolvimento das atividades, a necessidade, por vezes, de retomar atividades já
iniciadas em outros momentos, o espaço físico para dois alunos por computador, a
possibilidades dos dois alunos manipularem os vários softwares, dentre outras. No entanto,
como já explicitado, os alunos se organizaram ora em dupla, ora em trios e, não
necessariamente, compostos pelos mesmos alunos. No decorrer deste texto explicitarei a
composição da dupla ou trio de alunos envolvidos nas situações descritas.
Cabe ressaltar, que o objetivo deste anexo, neste momento, consiste na
elaboração de um sumário dos dados coletados, uma vez que em pesquisas dessa natureza, o
volume de dados é grande e praticamente impossível de ser totalmente descrito. Em particular
nesta pesquisa, os dados gerados não são somente de grande volume, são também de natureza
diferenciada, pois além dos questionários, das filmagens da sala, do caderno de anotações dos
alunos, a parte mais relevante dos dados consiste de vídeos, gerados pelo Camtasia, que
contém em uma mesma imagem as ações executadas pelos alunos nas telas dos computadores,
a imagem e as falas dos alunos. Ainda, o formato da apresentação das aulas, descritos aqui,
tem por objetivo propiciar uma visão geral dos mesmos para posterior elaboração de temas
que contemplem a questão norteadora:
Quais as possibilidades de ensino e aprendizagem de introdução às equações
diferenciais ordinárias através da análise qualitativa dos modelos matemáticos, com o
auxílio de Tecnologia de Informação e Comunicação?
Portanto, nas próximas seções apresentarei cada aula com transcrição de trechos de
discussões dos alunos, atividades que foram desenvolvidas e figuras que se configuram
202
representantes, sob minha visão de pesquisadora, dos dados dessa pesquisa. Alguns
comentários meus, complementares, serão inseridos na própria transcrição, entre parêntesis,
sempre que se fizerem necessários, para o entendimento da transcrição dos diálogos. Estou
denotando por CA, o computador A que foi utilizado por um aluno ou uma dupla ou por um
trio de alunos com o intuito de deixar claro o grupo de alunos que se formou no decorrer das
aulas, já que o número de participantes era ímpar e também pelo fato de que, como acontece
naturalmente em qualquer disciplina, os alunos faltaram no decorrer do curso.
Primeira aula – “apresentação”
Na primeira aula, dia 04//04/06 (terça-feira), estavam presentes onze alunos.
Iniciamos aplicando um questionário (anexado a essa tese) contendo onze questões, sendo que
as sete primeiras tinham o intuito de obter informações gerais acadêmicas dos alunos. Já as
quatro últimas questões eram sobre EDO, cujo objetivo era de obter indícios do entendimento
dos alunos sobre esse conteúdo. Em seguida, solicitei que se agrupassem em dupla ou no
máximo em trios, conforme suas preferências. Informei-os que essa divisão dos grupos de
alunos, se possível, deveria ser mantida em todas as aulas. Desta forma, nesta primeira aula os
alunos se distribuíram da seguinte forma:
C A (computador A): Ivan;
C B (computador B): Shen e Marcos;
C C (computador C): Claudia e Kelly;
C D (computador D): Adriano;
C E (computador E): Luiz Alberto e Ronaldo;
C F (computador F): Marcela;
C G (computador G): Aline e Viviane.
Na seqüência, o professor Borba iniciou a aula apresentando a relevância do curso
nesta pesquisa. Sendo assim apresentou os objetivos do curso, o horário e as normas de curso
extracurricular. Em seguida, iniciei apresentando os objetivos de minha pesquisa, o
planejamento do curso, a importância da participação deles no curso e, particularmente, a
importância da participação deles na pesquisa.
Apresentei o software Camtasia que seria usado no decorrer do curso, para a geração
dos vídeos. Adriano, um dos alunos declarou que, por razões particulares, não gostaria de ser
filmado e este foi um dos motivos pelo qual, nesta aula, ele ficou sozinho no computador.
203
Dando continuidade à aula, cada aluno se apresentou. Contaram sobre suas
pretensões em cursar Licenciatura ou Bacharelado em Matemática, sobre o período letivo que
estavam cursando, sobre suas experiências na disciplina de Cálculo e sobre suas experiências
com a utilização de softwares no ensino de matemática. A maioria dos alunos tinha
experiência anterior com softwares de geometria, cabri, geometricks e alguns com Maple.
Porém, comentaram que, em geral, somente com conteúdos específicos de geometria eles
haviam trabalhado com software. O perfil dos alunos é apresentado no capítulo anterior.
Na seqüência fiz uma breve apresentação dos softwares Winplot, Maple e da
planilha eletrônica Excel. Alertei-os que iríamos ao mesmo tempo, desenvolvendo as
atividades propostas e aprendendo a manipular tais softwares.
E finalmente, neste encontro, Geraldo Lima (técnico do laboratório LIEM –
GPIMEM) fez um teste com o Camtasia e apresentou o vídeo gerado aos alunos, de tal forma
que eles pudessem ter consciência de como estavam sendo gravados.
Segunda aula – “aula derivada”
Na segunda aula, dia 06//04/06 (quinta-feira), compareceram sete alunos, que assim
se agruparam:
C A: Adriano (discutiu com Shen e Marcos);
C B: Shen e Marcos;
C C: Claudia e Kelly e
C E: Ronaldo e Viviane.
204
As atividades desta aula tinham por objetivo analisar o comportamento da derivada
de uma função dada geometricamente, sem conhecer, inicialmente, sua expressão algébrica.
Uma atividade desta aula é esboçada na Quadro A2.1.
Quadro A2.1 - Atividade “aula derivada”
O trio Marcos, Shen e Adriano, comentou que o gráfico da derivada iria “espichar”,
conforme ia refinando o intervalo, e os questionei se mudavam o intervalo. Já a dupla
Viviane e Ronaldo, observaram que o primeiro coeficiente havia dado 4 e o outro 4,5 e que o
limite da razão incremental no ponto -2 iria para 5. E assim pude entender o que estavam
1. Dado o gráfico de
)x(f
, e considerando o intervalo de domínio da função que aparece
esboçado no gráfico, faça:
i)
Descreva quais intervalos onde a função é crescente e decrescente.
ii)
Identifique os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou
vice-versa.
iii)
Divida o domínio da função em subintervalos de 1 cm e marque esses pontos no
gráfico.
iv)
Aproxime a curva dada por segmentos de retas unindo os pontos marcados.
v)
Calcule o coeficiente angular de cada segmento de retas que você acabou de
desenhar.
vi)
Faça, agora, um gráfico representando os coeficientes angulares desses
segmentos de retas em função de x, onde x pertence ao intervalo do domínio da
função dada originalmente e observe o sinal deste gráfico.
vii)
Desenhe no winplot o gráfico de 2
2
−−= xxy e utilize o comando inventário
e derivar. Há semelhanças desse gráfico com o que você esboçou no papel?
Sugestão: pense em unidades de comprimentos menores no item (iii).
205
dizendo do “espichar” da derivada. Claudia integrante da dupla Claudia e Kelly observa que a
função iria mudar, iria passar a ter uma só raiz e depois não mais. Imagino que ela estava
conjecturando sobre o comportamento da função derivada comparando-a a função dada
inicialmente.
Terceira aula – “aula familiarização”
Na terceira aula, dia 11/04/06 (terça-feira), compareceram 10 alunos:
C A: Adriano e Aline;
C B: Shen e Marcos;
C C: Claudia e Kelly;
C E: Ronaldo e Viviane e
C F: Marcela e Tiago.
A atividade tinha por objetivo introduzir o conceito de solução de uma edo e
também propiciar a familiarização com os alguns comandos do Maple, conforme ilustrado,
com a dupla Viviane e Ronaldo, na Figura A2.1.
Figura A2.1 - Ronaldo e Viviane
Quarta aula
Nesta aula, dia 18/04/06 (terça-feira), compareceram 11 alunos:
C A: Adriano, Aline e Luiz Alberto;
C B: Shen e Marcos;
206
C C: Claudia e Kelly;
C E: Ronaldo; e Viviane e
C F: Marcela e Tiago.
Os alunos continuaram trabalhando nos exercícios da “aula familiarização”.
A dupla Ronaldo e Viviane questionou a sintaxe. Kelly e Claudia, questionam o que
é uma solução implícita, que surge no exercício 3 desta atividade. Elas explicitaram a função
algebricamente “na mão” e em seguida derivaram para verificar se iria satisfazer a equação
dada. Outros alunos usaram o comando solve(f=a,x) do Maple.
Quinta aula
Na quinta aula, dia 25/04/06 (terça-feira), compareceram 7 alunos:
C A: Adriano, Aline e Luiz Alberto;
C B: Shen e Marcos;
C E: Ronaldo e Tiago.
Os alunos retomaram “aula derivada”. Adriano, no inicio falou de não saber a
sintaxe do software e que isto estava atrasando. Já Marcos sugeriu a elaboração de uma
biblioteca (apostila) com os principais comandos.
Discuti com cada dupla ou trio de alunos o comportamento da derivada. Marcos
observou que sempre o ponto de inflexão da função seria um ponto de mínimo da derivada.
Com Ronaldo e Thiago, chegamos ao exercício de dada a derivada, buscar esboçar o
gráfico da família de funções. Deveria ter elaborado algo no Excel, fazendo as somas para
aproximar a função. Percebi que não ficou claro para os dois alunos essa análise.
Sexta aula – “aula modelos”
Na aula do dia 27/04/06 (quinta-feira), compareceram 5 alunos:
C A: Adriano;
C B: Shen e Marcos e
C C: Claudia e Kelly.
Os alunos trabalharam com as atividades da “aula1modelos”. Essa atividade tem por
objetivo introduzir alguns modelos matemáticos e o conceito de campo de direções. Eles
começam analisando o problema clássico da física de um objeto em queda. A Figura A2.2
ilustra a atividade que estava sendo iniciada pela dupla Claudia e Kelly.
207
Figura A2.2 - Claudia e Kelly iniciando a atividade
As alunas solicitam minha intervenção na discussão do modelo em questão. Elas não
estavam entendendo do que se tratava o termo v
γ
da equação vmg
dt
dv
m
γ
−= , modelo este
dado no texto da atividade, esboçada na Figura A2.3.
Figura A2.3 - Claudia e Kelly analisando o modelo
208
O texto abaixo é um trecho do diálogo que ilustra esta situação:
Kelly: E aqui oh (mostrando com o mouse a equação no texto). Aqui você mostrou que
a força ne!
Sueli: Lá da física, o que a gente sabe?
Kelly: Certo, que a força é massa vezes aceleração.
Sueli: E o que é aceleração? É a variação da velocidade com relação ao tempo. E o
lado de cá (mostrei com o mouse o lado direito da equação) quais são as forças que
atuam no objeto em queda?
Claudia: O peso.
Sueli: Só o peso?
Neste momento, para exemplificar, eu amasso uma folha de papel, fazendo uma
“bolinha” de papel e solto de uma determinada altura e peço que elas observem o que
acontece com essa folha amassada, e em seguida, tomo outra folha, esta sem amassar, e
novamente solto, como ilustra a Figura A2.4.
Figura A2.4 - Claudia e Kelly observando a queda da folha
E prosseguimos na discussão do modelo. Esta discussão é transcrita pelo trecho:
Sueli: Se eu pegar esse papel aqui e jogar e se eu pegar um amassado e jogar, eles
caem do mesmo jeito?
Kelly: Tem a resistência do ar ai.
209
E assim discutimos sobre a área de superfície de contato do objeto em queda,
chegando ao modelo matemático dado no texto. Após o término da leitura deste texto elas
iniciam a realização das tarefas solicitadas, conforme ilustrado na Figura A2.5.
Figura A2.5 - Claudia e Kelly iniciando as questões
E assim elas iniciam a discussão entre elas. A discussão iniciada é transcrita pelo
trecho:
Kelly: Então Claudia, o que vai acontecer [...] quando nós colocarmos, por exemplo,
v=0, dv/dt vai ficar 9.8, certo?(anotando esses valores no caderno)
Claudia: ahah (concordando)
Kelly: O que vai ser 9.8?
Seguindo as sugestões de roteiro dadas na atividade, elas iniciam a confecção de
uma tabela no Excel para determinar as várias direções para a composição do campo de
direções solicitado. No entanto, as alunas estavam com dificuldade de manipular a planilha
eletrônica e sendo assim, elas solicitaram minha atenção novamente.
Sueli: E ai meninas onde vocês pararam, onde vocês enroscaram?
Kelly: Não conseguimos definir as funções.
Sueli: Ai meu Deus, deviam ter me chamado antes.
Claudia: Ah, mas eu falei e ai você não...(reclamando da minha demora)
210
E assim, as auxiliei na elaboração da tabela, construindo passo a passo e obtivemos a
planilha ilustrada na figura A2.6.
Figura A2.6 - Claudia, Kelly e a pesquisadora discutindo sobre a tabela
A partir desses valores fomos construindo o campo de direções no caderno.
Sétima aula
Na sétima aula: dia 02/05/06 (terça-feira), compareceram 8 alunos:
C A: Aline e Tiago;
C B: Shene Marcos;
C C: Claudia e Kelly e
C E: Ronaldo e Viviane
Os alunos continuaram a trabalhar com a atividade aula1modelos, que haviam
começado na aula passada.
211
Retomei a discussão iniciada, na aula passada, com a dupla Claudia e Kelly sobre a
composição do campo de direções. Continuamos a discussão explorando o Winplot com a
opção “2D/equação/diferencial/dy/dx”, como ilustrado na figura A2.7.
Figura A2.7 - Claudia e Kelly observando o gráfico gerado no Winplot
A análise deste gráfico, esboçado na Figura A2.7, gerou a discussão que é
apresentada neste trecho:
Sueli: Olha ai! Nós entramos com essa equação e ele gerou isso aqui ta? (mostrei,
com o mouse, o gráfico gerado pelo Winplot) Só que está bom?O desenho que está ai
está bom para representar esse gráfico?Qual a variação do Excel que a gente
calculou?
Kelly: De cinco em cinco né?
Sueli: De quanto a quanto?
Kelly: De o a 100.
Sueli: Essa representação ai (apontando para a tela do computador) está parecida com
essa que vocês fizeram no caderno?
Kelly: Não!
Sueli: Por que não está? Ou por outro lado, onde que essa representação está; se
você fosse identificar no teu desenho, onde que a sua representação estava mostrada
aqui?(apontando o gráfico esboçado no caderno)
212
Claudia: Eles estão.... um número muito baixinho. [...] Seria lá longe que vai dar esse
desenho.
Kelly: Ele está aqui embaixo essa representação (apontando a região [0,2]X[0,2] do
sistema cartesiano esboçado, por elas, no caderno). Ele está fazendo a mudança de
ângulo muito pequena.
E assim, usando o comando ‘pg dn’ fomos ajustando a tela em exibição e o gráfico
foi se delineando, próximo ao esperado pelas alunas, conforme ilustrado na FiguraA2.8.
Figura A2. 8 - Claudia e Kelly com a pesquisadora analisando a janela representada
Podemos observar nesse trecho a importância da representação gráfica de uma
função, a questão da escala, das possibilidades ou dificuldades, num certo sentido, que o
software esta demandando. Os alunos têm que saber “ler” os dados que o software está
fornecendo através do gráfico gerado pelo software.
A partir do gráfico ilustrado na Figura A2.8 questiono sobre o comportamento das
curvas soluções do modelo, observando o gráfico do campo de direções, conforme ilustra o
trecho selecionado:
Sueli:O que estas retinhas (segmentos de reta) está dizendo pra gente?
Kelly: Que a curva vai começar aqui próximo do zero e ela vai inclinando, vai
tendendo a... a 45. (ela esboça com o mouse, na tela do computador, o traço contínuo
de uma curva saindo de (0,0) tendendo para v=49, que ela estima em 45, sujeito ao
comportamento dos vetores do gráfico).
Sueli: Pega outra curva qualquer, sei lá, só tem essa curva ai?
213
Kelly: Vai ser a mesma coisa aqui em cima (esboçando, com o mouse na tela do
computador, o traço contínuo de uma curva saindo de (0,100) e tendendo para v=49,
que ela estima em 45, sujeito ao comportamento dos vetores do gráfico).
Sueli: E o que será que isso vai representar no próprio modelo que estávamos
fazendo, considerando que eu tenha resistência do ar, considerando que eu tenha uma
massa de 10 Kg, que é a massa do objeto...Considerando algumas coisas né!
Em seguida sugiro que elas voltem ao texto do modelo para responder as questões lá
colocadas. E questiono se o gráfico gerado no Winplot é parecido com aquele do texto que foi
gerado no Maple. Questiono ainda se as curvas tendem para v=45, sugiro que elas verifiquem
a escala do gráfico e Kelly comenta que é próximo a 50. Retomo a equação do modelo
5
8,9
v
dt
dv
−=
e a discussão continua, como mostra o trecho:
Sueli: Como será que nós poderíamos pensar nessa equação?
Claudia: Deixa eu, fazer uma coisa aqui!
Neste momento, Claudia minimiza a janela do texto e abre a janela da planilha para
examinar a mudança de sinal da inclinação e comenta:
Claudia: É no 50 que ele muda de positivo para negativo.
Sueli: Será no 50 mesmo?
Kelly: Entre 45 e 50! Teria que pegar pontos menores ai nesse intervalo.
Neste momento sugiro que, ao invés de variar de 5 em 5 na tabela, que o façam de 2
em 2, obtendo uma nova tabela. Analisando essa tabela de valores para o campo de direções
elas observam que a variação do sinal do ângulo, acontece entre 48 e 50. E a discussão
continua como podemos observar no trecho:
Claudia: Será que é 49?
Sueli: Será que é 49? A gente podia ter pensado em colocar de um em um. [...] Está
entre quanto e quanto?
Claudia: 48 e 50
Sueli: Então a gente podia pensar em sair do 30. (elas alteram a tabela) E ai o que
aconteceu?
Claudia: É 49!
Sueli: Quer dizer que se eu soltar a 49m/s o que acontece? Ou a hora que chegar a 49
m/s o que acontece? O que será que esse 49 representa nesse desenhinho que vocês
fizeram aqui? (mostrando o esboço do caderno)
Claudia: É onde vai ficar constante. É onde o gráfico fica constante.
Sueli: Que mais podemos falar? Se eu estiver analisando aqui (abro a janela do
gráfico do campo de vetores no Maple) o 49 vai estar mais ou menos aqui. Qual a
inclinação ai?
214
Kelly: É zero.
Sueli: E as curvas parecem que estão indo pra ai. E o que isso representa no modelo?
Se eu olhar aqui nesse modelo, o que será que significa no modelo esse 49?
Claudia: Nesse modelo? dv/dt é...
Sueli: Quanto é dv/dt pelo gráfico, pela tabela?
Claudia: De qual você quer saber?
Sueli: Desse ponto que você está olhando!
Claudia: zero!
Sueli: Se você tivesse zerado aqui a própria equação
0
5
8,9 =−=
v
dt
dv
, o que iria dar?
Kelly: v=49.
Sueli: Então a gente diz que v=49 é uma constante. Se eu colocar v=49. Lembra da
primeira aula que trabalhamos com os conceitos de equação (edo). Achar a solução
de uma equação diferencial é achar o que?
Kelly: As várias soluções!
Sueli:As várias soluções, mas o que que é solução de uma equação diferencial?O que
é achar uma solução dessa equação diferencial?
Elas continuam respondendo as questões solicitadas na atividade.
Nesta aula, com a dupla Claudia e Kelly ficou evidente a intervenção do professor.
Parece que somente com os softwares e com o texto da atividade as alunas não conseguiriam
avançar. A presença do professor parece ter sido fundamental na discussão das alunas.
Oitava aula
Nesta aula, dia 04/05/06 (quinta-feira), compareceram 8 alunos:
C A: Adriano e Luiz;
C B: Shene Marcos;
C C: Claudia e Kelly e
C E: Ronaldo e Viviane
Iniciei a aula com todos os alunos em volta da mesa, discutindo o modelo, ou
melhor, a formulação do modelo. Eles foram recordando das condições do fenômeno que
gerou o modelo, da analise do campo de direções, Shen esboçou, na lousa, duas soluções
particulares para algumas condições iniciais. Kelly sugeriu que a velocidade ia de positiva
para negativa, mas ai alguém ponderou que então a curva solução deveria ser uma parábola.
Perguntei que função se assemelhava as curvas desenhadas, e Viviane (talvez) sugeriu ser a
exponencial. Na seqüência, perguntei a eles do que vinha a ser uma edo agora, o que era
resolver, se quando começaram o curso eles tinham esses conceitos. Kelly respondeu que
215
antes de iniciar o curso, ela não sabia do que se tratava e agora ela se arrisca em definir.
Passei então para resolver analiticamente na lousa.
Após o término da resolução analítica, os alunos foram para os computadores para
trabalhar na atividade aula1modelos com os comandos dsolve do Maple com a finalidade de
determinar as soluções analíticas da edo. A figura A2.9 ilustra a dupla Shen e Marcos nesta
atividade.
Figura A2.9 - Shen e Marcos buscando a solução analítica
Marcos explicita que não está entendendo os comandos utilizados, que esta apenas
reproduzindo o que era solicitado na atividade. Assim, retomo com a dupla a sintaxe dos
comandos com os seus significados.
Na seqüência, eles esboçam várias soluções do modelo através do comando plot e
buscam analisar os vários gráficos obtidos, conforme pode ser ilustrado na figura A2.10.
216
Figura A2.10 - Shen e Marcos analisando o gráfico das soluções do modelo
Com a dupla Claudia e Kelly discuti sobre as várias curvas desenhadas e Claudia
explicitou que queria desenhar uma curva passando pelo ponto (10,v(10)) na curva v tal que
v(0)=0 e então exploramos os comandos para determinar a tal curva.
Nona aula
Nesta aula, dia 09/05/06 (terça-feira), compareceram 6 alunos,
C A: Adriano e Tiago;
C B: Shene Marcos e
C E: Ronaldo e Viviane
A atividade proposta era analisar o modelo de crescimento populacional de Malthus.
Era dado um texto, que contém uma breve introdução deste modelo.
A Figura A2.11 ilustra o momento em que a dupla Ronaldo e Viviane estavam lendo
o texto e como a atividade era dada.
217
Figura A2.11 - Ronaldo e Viviane lendo o texto dado
Viviane e Ronaldo, seguindo os passos sugeridos, constroem na planilha de cálculo
uma tabela de valores da população p por dp/dt relacionadas pela equação diferencial
p
dt
dp
=
, e também calculam os ângulos dos vetores do campo de direções para esboçar no
papel, como ilustrado na Figura A2.12.
Figura A2.12 - Elaborando a tabela na planilha
Viviane observa que a variação das inclinações é pequena conforme o p varia e que
o ângulo tende para 90 graus.
Viviane: Olha lá Nardo, tende a parar em 90!
218
E assim os alunos continuam na discussão do roteiro proposto.
Décima aula
Na décima aula, dia 11/05/06 (quinta-feira), compareceram 6 alunos,
C A: Adriano e Ronaldo;
C B: Shene Marcos e
C C: Claudia e Kelly
Nesta aula, os alunos continuaram a explorar o modelo populacional de Malthus.
Décima primeira aula
Nesta aula, dia 16/05/06 (terça-feira), compareceram os alunos:
C A: Adriano e Aline;
C B: Shen e Marcos;
C C: Claudia e Kelly;
C E: Ronaldo e Tiago
Os grupos de alunos exploraram o modelo de crescimento populacional de Verhurst.
Solicitei que também resolvessem analiticamente os modelos.
A dupla Adriano e Aline, seguindo o roteiro, discutem sobre o campo de direções. O
trecho transcrito abaixo refere-se a uma parte do diálogo dos alunos.
Adriano: Esboce no caderno o campo de direções.
Aline: Isso foi feito no Excel.
Adriano: Isso ai a gente teria que transferir para o caderno. São aqueles
anguluzinhos [..] Vai chegar um momento que aquela curva tem que virar. Ela tem
que chegar no ponto de equilíbrio. É isso que o exercício 2 queria na análise de sinal.
A gente saber onde essa curva troca de sinal.
Aline: Porque pra mim o que não ficou muito claro é o campo de direções. Eu sei que
é um campo pra onde ela...
Adriano: Um campo de direções é uma coisa assim, eu fixo um vetor pequenininho
aqui, lá ta dando 89, meu vetor vai vir assim oh (esboçando no caderno) Só o que
acontece, ele vai ver de uma maneira tal que vai chegar num ponto que ele vai ter um
equilíbrio.
Aline: É como se fosse isso daqui óh. (esboçando uma curva no caderno) É como se
tivesse um limite assim.
Adriano: Isso. Ai a gente teria que saber onde é esse limite[..] pra onde ele ta
caminhando. Eu vou só deixar rascunhado aqui porque eu também não tenho idéia de
como eu vou chegar nele.
219
Na seqüência eles continuam analisando o modelo utilizando os comandos do
Maple, e esboçam o campo de direções, que é ilustrado na figura A2.13.
Figura A2.13 - Adriano e Aline analisando o campo de direções
O trecho transcrito abaixo ilustra a discussão dos alunos acerca deste gráfico.
Adriano: Olha lá é o que você estava fazendo.
Aline: Na verdade é uma linha
Adriano: No 3 é onde é o ponto de equilíbrio que a gente teria que ter achado na mão.
Aline: Pra o menos um ta indo pra baixo, ou seja, a partir do zero acaba.
Adriano: Estranho. Não dá pra pensar em população negativa, mas ele continua
fazendo.
Aline: Mas as vezes é uma população que ta decrescendo.
Adriano: Acho que isso depende muito de onde você vai avaliar ne. Por exemplo, se
você vai avaliar pra intervalos acima de 3, você vai ver que ela é decrescente, porque
ta todos os gráficos descendo (ele faz um gesto com a mão de varias curvas
decrescentes).
Aline: Então ela vai ta sempre tendendo a 3.
Adriano: Acima de zero ela vai pra 3
Adriano: Vai tender a 3. Abaixo de zero ela é decrescente, não tende mais pra zero.
Ela parte de zero, mas não tende pra zero. Acho que basicamente é o que você
construiu no caderno (aponta para o caderno, ilustrado na Figura A2.14).
220
Figura A2.14 - Esboço do campo de direções e curva solução elaborado por Aline
Aline: Não era isso.
Adriano: Se você pensar, se você pegar um caminho aqui e tenta levar leva, ele vai
dar uma curva parecida com a sua. (Adriano faz um gesto com a mão mostrando na
tela o comportamento da curva)
Aline: É que na verdade o que eu tinha feito sobre a faixa ta certo, mas ao mesmo
tempo, ta vendo que perto da faixa é como se não tivesse nenhum, é como se tivesse
um espaço.
Adriano: É onde a derivada troca de sinal.
221
Aline: É onde ela troca de sinal né!
Adriano: Esse ponto que a gente olhou lá é praticamente 3 e alguma coisa no outro
gráfico.
Neste momento eles voltam para o gráfico do comportamento da função f(p) e
verificam que esta possui um ponto de máximo que é exatamente o ponto de inflexão da
função solução procurada, ilustrado na figura A2.15.
Figura A2.15 - Adriano e Aline observando o gráfico da função f(p)
Os alunos estavam fazendo referência ao ponto p=1,5. Eles apontaram com o mouse
no ponto correto, porém estavam equivocados com a ordenada do ponto, por isso disseram em
3 e pouco.
Décima segunda aula – “campos de direções”
Nesta aula, dia 18/05/06 (quinta-feira), compareceram 7 alunos:
C A: Adriano, Viviane e Ronaldo;
C B: Shene Marcos e
C C: Claudia e Kelly
222
Os alunos exploraram as atividades da aula “campos de direções”, na qual era
solicitado que os alunos discutissem em seus pares sobre o comportamento das equações
diferenciais dadas e as relacionassem com o seu respectivo campo de direções. Era solicitado
que eles justificassem suas repostas.
Os alunos analisaram os gráficos dados, utilizaram a planilha de cálculo para
calcular os vetores tangentes para o esboço do campo de direções. O trecho abaixo ilustra o
início da discussão da dupla Shen e Marcos que foi propiciada por esta atividade.
Marcos: dx/dt=sen(x), dx/dt=sen(t), qual a diferença disso?
Shen:variando o x o outro o t...
Marcos:É isso o que to querendo enxergar... Integrar esse treco ai né?!Bem que isso
daí sem integrar já dá pra fazer,oh?! Já dá pra relacionar facinho,porque oh!!!Aqui
vai ser o sen(x)
Shen: A hora que integrar vai ser cos(x)
Marcos: Aqui ta x oh, o que que ta aqui?
Shen: Pra mim aqui é x e aqui é y.
Marcos: Aqui ta t né?Quando ooo.. ta fácil de tirar não ta? Quando t for zero, dx/dt
vai ser seno de zero, quanto dá seno de zero?To fazendo a (b) tá?!
Shen; A b?
Marcos: A b.t dx/dt. t igual a zero, seno de zero é?
Shen: Zero.
Marcos: Zero. Quando ele for... quando t for pi sobre dois, quanto que dá?
Shen: Ah quando x for pi sobre dois...
Marcos: Dá um.
Shen: Isso.
Marcos: menos pi sobre dois, menos um, menos pi?!
Shen: Zero.
Marcos: Zero. Daqui pra cá ele cresce?
Shen: hah hah....de zero a pi sobre dois.
Marcos: Aqui vai dar mais ou menos um e meio.
Shen: Ah como?
Marcos: Mais o menos né, pi sobre dois, três vírgula quatorze por dois,
aproximadamente, um e meio. Então no um e meio, dx dt vai ser um. Como que é a
inclinação um? Assim?
Shen: Inclinação um, perai..noventa graus?!
Marcos: Então no um e meio tem que ser noventa graus mais ou menos não é?
223
Shen toma a folha que contem os gráficos dos campos de direções e observa que não
tem nenhum comportamento assim.
Shen: Nenhum.
Marcos: Nenhum?Aqui oh!Não. Quando x é zero, dx/dt é zero. Acho que é essa aqui
oh!(indica o gráfico iv).
Shen: O b, letra b?
Marcos: Que quando é pi sobre dois vai ser um. Ou não?!O gráfico aqui no eixo
(mostra o eixo da abscissa) é t?
Shen: Isso.
Marcos: E aqui é x (mostrando a primeira equação). Seno de zero é quanto?
E a dupla continua a discussão buscando responder o solicitado.
Décima terceira – “modelo de resfriamento”
Nesta aula, dia 23/05/06 (terça-feira), compareceram 7 alunos:
C B: Shen e Marcos e Aline;
C C: Claudia e Kelly;
C E: Ronaldo e Viviane.
Os alunos iniciaram as atividades da aula “modelo do resfriamento”. Na elaboração
desta atividade eu realizei um experimento. Com um termômetro de precisão decimal, a
temperatura ambiente de
o8,20 C, as medidas da temperatura da cerveja de uma lata de
ml350 foram tomadas. Os valores da temperatura
T
em relação ao tempo são dados em uma
tabela. Para o desenvolvimento desta atividade as mídias utilizadas foram: textos, Excel e
Maple.
Inicialmente, Adriano e Ronaldo conjecturaram, através dos cálculos que fizeram
utilizando a planilha eletrônica, que o comportamento da temperatura analisada seria
aproximada por uma função logarítmica, fato ilustrado na figura A2.16.
224
Figura A2.16 - Adriano e Ronaldo elaborando o modelo de resfriamento
No entanto, ao procurar a solução algébrica do modelo analisado, usando comando
do Maple, eles verificaram que a função exponencial assintótica era a solução procurada,
conforme podemos ilustrar na figura A2.17.
Figura A2.17 - Adriano e Ronaldo determinando a solução analítica da edo
225
Em seguida eles retomam a planilha e reelaboram o modelo, obtendo assim a
aproximação exponencial, ilustrado na figura A2.18.
Figura A2.18 - Adriano e Ronaldo reformulando o modelo
Este exemplo mostra a coordenação das várias representações de uma função
auxiliando na compreensão do modelo analisado.
Décima quarta aula
Na aula do dia 25/05/06 (quinta-feira), compareceram 4 alunos:
C A: Adriano e Ronaldo e
C B: Shen e Marcos;
Nesta aula, as duas duplas presentes retomaram a exploração da atividade “modelo
do resfriamento”.
Décima quinta aula
Nesta aula, dia 30/05/06 (terça-feira), compareceram 8 alunos:
C B: Adriano, Shen e Marcos;
C C: Claudia e Kelly e
C E: Aline, Viviane e Tiago;
Os alunos retomaram a exploração do modelo da lei do resfriamento. A discussão da
resolução do modelo, realizada utilizando comandos do Maple e o esboço do gráfico do
226
campo de direções modelo matemático feito no Winplot, possivelmente, possibilitou o
entendimento do comportamento do modelo exponencial assintótico da temperatura versus
tempo.
Décima sexta aula
Nesta aula, dia 01/06/06 (quinta-feira), compareceram 8 alunos:
C A: Adriano e Viviane;
C B: Shen e Marcos;
C C: Claudia e Kelly
As duplas trabalharam com a comparação entre os dados da temperatura da lata de
cerveja e dos dados da temperatura do copo de cerveja.
As discussões que surgiram nas análises desses modelos nos remetem ao estudo de
funções, variáveis dependentes e independentes, comportamento de funções, conteúdos
explorados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. No caso particular dos dados
discretos somos levados a estudar ajuste de funções. E ainda cabe salientar que no caso
discreto não tivemos a oportunidade de desenvolver os métodos numéricos para resolução de
edo.
Décima sétima aula
Nesta aula, dia 06/06/06 (terça-feira), compareceram 6 alunos:
C A: Adriano e Shen;
C E: Viviane e Ronaldo;
C C: Claudia e
C : Thiago(sozinho e não trabalhou na maquina).
Os alunos trabalharam na preparação do seminário.
Décima oitava aula
Na décima oitava aula, dia 19/06/06 (segunda-feira), compareceram 7 alunos,
C B: Adriano, Marcos e Shen;
C C: Claudia e Kelly, Maq Mat 08;
CG: Thiago e Aline.
Os alunos continuaram trabalhando na preparação da apresentação do seminário.
227
Décima nona aula
Nesta aula, dia 12/06/06 (segunda-feira) compareceram os alunos Aline, Adriano,
Shen, Marcos, Viviane, Tiago, Ronaldo, Claudia e Kelly.
Começamos com a apresentação do trio formado por Shen, Marcos e Adriano. Eles
apresentaram o modelo da membrana, discutiram o modelo e apresentaram a solução analítica
deste. Em seguida Claudia e Kelly apresentaram o que é uma equação diferencial separável,
como se caracteriza e como se resolve. Fizeram um exemplo e solicitaram para que a turma
fizesse outro. E em seguida fizeram a resolução da lousa deste exemplo. Na seqüência Thiago
e Aline apresentaram o que são as equações diferenciais homogêneas e a mudança de variável
utilizada para resolvê-la e apresentaram dois exemplos. Para terminar, Viviane e Ronaldo
apresentaram o método de fator integrante para resolver equações diferenciais lineares de
primeira ordem e apresentaram o modelo de despoluição de lagoas.
Vigésima aula – avaliação e encerramento
Nesta aula, dia 19/06/06 (segunda-feira) compareceram os alunos Aline, Adriano,
Shen, Marcos, Viviane, Tiago, Ronaldo, Claudia e Kelly. Inicialmente aplicamos o segundo
questionário, que será anexado na redação final da tese. As questões deste questionário
consistem nas quatro últimas questões do primeiro questionário aplicado. O intuito de aplicar
as mesmas questões, específicas de edo, no início e no final do curso teve como objetivo
buscar indícios da atuação do curso na formação matemática desses alunos participantes. Esse
material ainda será analisado.
Desta forma, como já colocado no início deste anexo, o objetivo maior deste texto
foi elaborar um resumo geral das aulas, apresentando como elas aconteceram, qual foi o fio
condutor proposto no curso, visto que este foi o cenário de coleta dos dados desta pesquisa.
228
ANEXO 3 – Questionário inicial aplicado aos alunos do curso de extensão
CURSO DE EXTENSÃO: MODELAGEM E MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Professor Responsável: Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba
Monitora: Profa. Ms. Sueli Liberatti Javaroni (aluna de doutorado – PGEM – UNESP/Rio
Claro)
Nome: _____________________________________________________________________
1.
Em quais anos você cursou (ou cursa) a disciplina Cálculo Diferencial e Integral I?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2.
Faça uma avaliação do seu desempenho/compromisso ao cursar Cálculo Diferencial e
Integral I.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3.
Considera que a sua média final nesta disciplina foi coerente comparado ao seu empenho?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4.
Quando cursou esta disciplina, foi utilizado algum software? Qual?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5.
Na disciplina de Cálculo I, o conteúdo de equações diferenciais ordinárias foi abordado?
Foi usado algum software para explorar esse conteúdo?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
229
6.
Por quais motivos se inscreveu neste curso de extensão?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
7.
O que você espera deste curso de extensão? Quais as suas expectativas?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
8.
O que é uma equação diferencial ordinária?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
9.
O que é resolvê-la?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
10.
Você já usou? Precisou?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
11.
Acha que vai usar ou precisar? Por quê?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
12.
O que é uma equação diferencial ordinária?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
230
13.
O que é resolvê-la?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
14.
Você já usou? Precisou?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
15.
Saberia citar exemplos de problemas onde teremos uma equação diferencial ordinária?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
231
ANEXO 4 – Questionário final aplicado aos alunos do curso de extensão
CURSO DE EXTENSÃO: MODELAGEM E MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Professor Responsável: Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba
Monitora: Profa. Ms. Sueli Liberatti Javaroni (aluna de doutorado – PGEM – UNESP/Rio
Claro)
Nome: _____________________________________________________________________
1.
O que é uma equação diferencial ordinária?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2.
O que é resolvê-la?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3.
Você já usou? Precisou?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4.
Saberia citar exemplos de problemas onde teremos uma equação diferencial ordinária?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
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