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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO - FÍSICA
LUCAS STORI DE LARA
EXCITAÇÃO PARAMÉTRICA QUÂNTICA EM MODOS ACOPLADOS
PONTA GROSSA
2007
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LUCAS STORI DE LARA
EXCITAÇÃO PARAMÉTRICA QUÂNTICA EM MODOS ACOPLADOS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação, área de concentração - Física, da
Universidade Estadual de Ponta Grossa, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
grau de Mestre em Ciências.
Orientador: Prof. Dr. Antonio Sérgio M. de Cas-
tro
PONTA GROSSA
2007
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Dedico esse trabalho
a minha amada, Taiza.
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao programa de Pós-Graduação em Ciências, área de concentração: Física.
Ao meu Orientador Prof. Dr. Antonio Sérgio, pela paciência, incentivo e principal-
mente a amizade por todos estes anos de trabalho.
A minha amada noiva Taiza, que sempre esteve ao meu lado, nos momentos de alegria
e de dificuldade.
Aos meus familiares.
A todos os professores do departamento de Física.
Aos meus colegas de mestrado
Aos amigos e colegas, em especial, em ordem alfabética, ao Anderson Calistro, Ander-
son Carneiro, Denis Silva, Flavio Yotoko, Jeferson Matsuda, Roberto Herai, Sylvio Nakano,
Wyllyan Leal, pelos grandes momentos vividos
Ao suporte da agência brasileira CAPES e ao Conselho Nacional de desenvolvimento
Científico e Tecnológico (CNPq) por haver parcialmente financiado este trabalho sob con-
trato No. 474690/2004-0.
A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização do curso e conclusão
deste trabalho.
Imaginação é tudo, é a prévia
das atrações futuras.
(Albert Einstein)
Você cria seu próprio universo de
acordo que caminha nele.
(Winston Churchill)
RESUMO
O problema conhecido como "teletransporte quântico", ou transferência de estados
quânticos, tem atraído a atenção de muitos autores. O objetivo de nosso estudo é conside-
rar o efeito da excitação paramétrica quântica na troca de informação quântica entre dois
modos do campo eletromagnético modelados por osciladores quânticos acoplados, onde um
dos osciladores tem uma frequência dependente do tempo, sendo considerada o caso de
dois modos acoplados. No caso quântico, os osciladores não trocam somente energias, mas
também seus estados quânticos e tal troca pode ser interpretada como uma transferência
de informação. Vemos que a possibilidade de troca de estados quânticos ou informação
quântica pode ser verificadas de muitas maneiras pela análise direta do propagador de
Schrödinger na representação das coordenadas. Existem várias maneiras diferentes de
calcular o propagador de osciladores acoplados, mas uma maneira simples é baseada na
teoria de invariantes quânticos dependentes linearmente do tempo. Considerando que o
sistema em estudo é modelado por modos acoplados do campo eletromagnético, a interação
ocorre nos domínios das interações fracas; a intensidade das constantes de acoplamentos
são pequenas. Então, podemos considerar um sistema de equações diferenciais onde o seu
comportameto dinâmico é dado no limite do acoplamento fraco. Iniciando com este ar-
gumento, nos reduzimos as equações diferenciais de primeira ordem em um conjunto de
equações diferenciais de segunda ordem para as matrizes λ
s. Com as matrizes λ
s de-
terminadas, nos podemos calcular medidadas de emaranhamento, compressão, pureza e
outras propriedades de estados quânticos de cada modo em particular no caso de estados
Gaussianos iniciais.
Palavras-chave: Emaranhamento, compressão, correlações quânticas, excitação paramétrica,
escalas múltiplas.
Abstract
The problem of so-called "quantum teleportation", or a transfer of the state of
some quantum system to another quantum system has attracted attention of many au-
thors. The aim of our study is to consider the effect of the quantum parametric excitation
on the quantum information exchange between two modes of the electromagnetic field
modeled by coupled quantum oscillators, where one of the oscillators has a time dependent
frequency, as an extension of the case of two coupled modes considered. In the quantum
case, the oscillators exchange not only energies, but also their quantum states and such an
exchange can be interpreted as an ideal information transfer. We see that the possibility
of quantum state exchange or information transfer can be detected in the most direct way
by analyzing the Schrödinger propagator features in the coordinate representation. There
are many different schemes of calculating the propagators of coupled oscillators, but the
simplest one is that based on the theory of linear time dependent quantum invariants.
Considering that the system in study models the coupled modes of the electromagnetic
field, the interaction occurs in the domain of the weak interactions; the intensity of the
coupling constants are small. Then we can consider the systems of differential equations
for the dynamic behavior in the case of weak coupling limit. Starting with this argument,
we can reduce the differential equations of first order to the only two groups of second order
differential equations for all that λ’s matrices. With the λ’s matrices well determined, we
can calculate the measured of entanglement, squeezing, purity and other quantum state
properties of each mode in a particular case of Gaussian initial states.
keys-words: Entanglement, squeezing, quantum correlations, parametric excitation, multi-
ple scales.
Sumário
1 Introdução 5
2 Dinâmica de Sistemas Quânticos 8
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Integrais de Movimento em Mecânica Quântica . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Propagador para Hamiltonanos quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Osciladores quânticos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Acoplamento independente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1 Forma explícita do propagador e condições de troca de estados . . . 28
2.6 Acoplamento dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 O propagador ressonante e a troca de estados quânticos . . . . . . . 31
2.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Método das Escalas Mútiplas 41
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Aspectos Gerais do Método das Escalas Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Aplicação do Método das Escalas Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Efeito da excitação paramétrica quântica nos modos acoplados 54
4.1 Matriz das Covariâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Energia, Incerteza e Coeficiente de Compressão . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Propriedades dos estados e medidas de correlação quântica . . . . . . . . . 59
4.3.1 Análise qualitativa da medida da pureza e compressão dos modos do
sistema sob excitação paramétrica quântica . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Análise qualitativa da medida de emaranhamento . . . . . . . . . . 65
4.4 Alguns Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Conclusões Finais 70
1
SUMÁRIO SUMÁRIO
A Hamiltonianos Quadráticos e o Propagador 72
A.1 Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.2 Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A.3 Propagador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A.4 Equações Diferenciais de 2
a
Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B Equação de Duffing e o M.E.M. 83
B.1 Equação de Duffing Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
B.2 Equação de Duffing Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
C Covariância e Emaranhamento 90
C.1 Elementos das Matrizes das Covariâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C.2 Emaranhamento - estado puro - parametrização . . . . . . . . . . . . . . . 92
2
Lista de Figuras
2.1 Trocas do primeiro (C) e do segundo (B) tipo entre o estado de vácuo e estado
comprimido com s = 0, 36 e x
0
= 3, 86. A: densidade de probabilidade
inicial. C: densidade de probabilidade no instante t = 157, 08 ≈ 50π (τ =
π/2) para ϕ = µ = 0 e ν = 0, 02. B: densidade de probabilidade ϕ = π/4
(µ = ν = 0, 02) no instante t = (35 − 1/4)π ≈ 109, 17. . . . . . . . . . . . . 34
2.2 A evolução da distribuição inicial para ϕ = 0 e ν = 0, 02. A: o primeiro
oscilador no estado comprimido com s = 0, 36, x
0
= 3, 85 e o segundo os-
cilador no estado de Fock com n = 2. B: densidade de probabilidade para
uma escolha arbitrária de tempo t = 67, 32 ≈ 21, 43π (τ ≈ π/5). C: a troca
de estado do primeiro tipo para t = 157, 08 ≈ 50π e τ ≈ π/2. . . . . . . . . 35
4.1 A curva em azul representa o modo 1 e a curva em magenta o modo 2
para as medidas de energias E
k
(τ), respectivamente para δ = 0, 05 e δ = 0.
Utilizamos η
1
= 1, 0 (estado puro), η
2
= 1, 5 (estado misto) com intensidade
de acoplamento dos modos ρ = 0, 25 e coeficientes reais de compressão
ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 A curva em azul representa o valor da medida de incerteza D para o modo
1 e a curva em magenta o valor para o modo 2, para δ = 0, 05 e δ = 0 , 0,
respectivamente. Consideramos estados iniciais com η
1
= 1, 0 (estado puro)
e η
2
= 1, 5 (estado misto), com intensidade de acoplamento entre os modos
ρ = 0, 25, coeficientes reais de compressão ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0. . . . . . . . 63
4.3 A curva em azul e magenta, representam respectivamente, as medidas de
compressão do modo 1 e do modo 2. Consideramos as duas situações quando
δ = 0, 05 e δ = 0, 0 (ausência de excitação). Consideramos estados Gaus-
sianos iniciais com η
1
= 1, 0 (estado puro), η
2
= 1, 5 (estado misto), coefi-
cientes reais de compressão ξ
1
= 0, 7, ξ
2
= 0, 0 e intensidade de acoplamento
ρ = 0, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3
LISTA DE FIGURAS
4.4 Temos as medidas de pureza do modo 1 e 2 representadas, respectivamente,
pelas curvas em azul e em magenta. Consideramos os valores δ = 0 e
δ = 0, 05 e para os estados iniciais temos η
1
= 1, 0 (estado puro), η
2
= 1, 5
(estado misto), ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0 e acoplamento ρ = 0, 25. . . . . . . . . 65
4.5 Medidas de emaranhamento sem a excitação paramétrica quântica e com
uma intensidade de excitação paramétrica quântica pequena δ = 0, 005.
Os estados Gaussianos iniciais são caracterizados pelos valres η
1
= 1, 0,
η
2
= 1, 5, ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0 com intensidade de acoplamento entre os
modos ρ = 0, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 Medidas de emaranhamento com excitação paramétrica quântica de intensi-
dades δ = 0, 01 e δ = 0, 05. Os estados Gaussianos iniciais são caracterizados
pelos valres η
1
= 1, 0, η
2
= 1, 5, ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0 com intensidade de
acoplamento entre os modos ρ = 0, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4
Capítulo 1
Introdução
No atual contexto científico, os métodos computacionais estão sendo cada vez mais
utilizados para o desenvolvimento da pesquisa científica, especialmente em física, nas áreas
de ótica quântica e eletrodinâmica de cavidades. Em conexão com esta idéia, poderíamos
perguntar se os métodos de aproximação da física matemática podem ser aplicados para se
obter soluções analíticas em problemas de ótica quântica. Este trabalho trata basicamente
desta questão; revisamos um método específico para o tratamento analítico de um problema
particular da ótica quântica com ênfase em aspectos fundamentais da teoria quântica -
controle e manipulação da informação quântica. O aspecto mais importante a respeito dos
métodos aproximativos é que eles podem fortalecer e estimular nossa intuição, auxiliando
na compreensão física da melhor solução do problema em consideração. Em alguns casos, as
soluções obtidas através de métodos aproximativos nos dão indicativos do comportamento
do sistema físico em certos intervalos de validade, de forma a assegurar boa parte da
descrição física relevante do problema.
Neste trabalho, concentramos-nos em dois temas principais, mas não únicos: o método
dos invariantes quânticos, aplicado ao cálculo da forma exata do propagador para um sis-
tema descrito por hamiltonianos quadráticos e o método das escalas múltiplas, desenvolvido
na mecânica clássica para o tratamento de equações diferenciais não-lineares, aplicado como
um método para a descrição de efeitos perturbativos nos domínios da teoria de perturbação.
Além disto, este método não se restringe apenas aos domínios da física clássica, mas
pode ser aplicado, considerando-se modificações adequadas, no campo da mecânica quân-
tica, com o propósito de se obter soluções, tanto das equações de Heisenberg como da
equação de Schrödinger. Em especial, no desenvolvimento deste trabalho, aplicamos o
método das escalas mútilplas na solução de equações diferenciais “lineares” diretamente no
problema de evolução temporal das soluções da equação de Schröndinger [1].
É reconhecida a grande eficiência do método das escalas múltiplas. Inicialmente no
desenvolvimento do campo das equações diferenciais não-lineares e em problemas impor-
5
tantes da mecânica clássica não-linear. Os desenvolvimentos principais incluíram oscilações
não-lineares, problemas de camadas limites, dinâmica dos fluídos, aerodinâmica e a teoria
de movimento de astronave [2].
Em particular, tratamos dois modos acoplados na situação física onde um dos os-
ciladores tem a frequência variando perturbativamente no tempo e o acoplamento entre
os modos se processa no limite das interações fracas: as soluções para a descrição dos
efeitos nos primeiros instantes da dinâmica do sistema se enquadram no domínio da teo-
ria de perturbação. Isto justifica a utilização de métodos aproximativos como no caso o
método das escalas múltiplas.
Neste estudo consideramos aspectos gerais qualitativos no processo de troca de esta-
dos quânticos (propriedades de estados quânticos) ou de informação quântica para dois
modos do campo eletromagnético, analizando como um sistema de duas partes ("bipartite
system") evolue no tempo de maneira similar ao estudado em [3]. A diferença funda-
mental desse nosso modelo para o anterior está no fato da frequência de um dos modos
quantizados variar harmonicamente no tempo, efeito este que podemos denominar de exci-
tação paramétrica quântica, em analogia a excitação paramétrica clássica [2] estudada na
equação de Mathieu. Desta forma, o problema se reduz basicamente ao estudo do efeito
perturbativo da excitação paramétrica quântica nas propriedades de cada um dos modos,
em propriedades de correlação quântica e em especial na caracterização da transferência
de informação entre ambos.
No capítulo 2 expomos de maneira resumida a teoria do propagador para o caso par-
ticular dos operadores Hamiltonianos quadráticos. Revisamos os conceitos de invariantes
quânticos na sistemática operacional desenvolvida por Dodonov [4] e abordamos os pon-
tos centrais necessários à compreensão do problema. Os detalhes dos cálculos referentes
a este capítulo estão apresentados no apêndice A, uma vez que esta formulação está per-
feitamente definida na literatura e para o problema em estudo é relevante apenas a forma
final do propagador e sua aplicabilidade. Ainda no capítulo 2, como exemplo simples,
ilustramos o método dos invariantes quânticos aplicado a um problema específico da física
quântica: a troca de estados quânticos entre osciladores harmônicos quânticos unidimen-
sionais. Mostramos como a sua solução, via a técnica dos invariantes quânticos, se resume
na determinação das matrizes Λ(t) e ∆(t), elementos fundamentais da dinâmica do sistema,
obtidas a partir da solução de um sistema de equações diferenciais ordinárias para funções
escalares do tempo. Finalizamos este capítulo com os passos necessários para se determi-
nar a forma geral do propagador para operadores Hamiltonianos quadráticos a partir das
matrizes Λ(t) e ∆(t).
No capítulo 3 revisamos o método das escalas múltiplas. Consideramos como o método
pode ser aplicado e quais resultados importantes podem ser obtidos. Em síntese, mostramos
6
que o método das escalas múltiplas tem como idéia central a transformação das equações
diferenciais do problema a ser abordado, sendo ela linear ou não, em uma série de equações
diferenciais lineares solúveis de forma interativa. Consideramos o exemplo do oscilador
harmônico clássico unidimensional sob a ação de uma força central geral, do qual obtemos
a equação de “Duffing” e exemplificamos a aplicabilidade do método das escalas múlti-
plas. Em seguida desenvolvemos a primeira etapa do problema, que consiste na aplicação
do método das escalas múltiplas para o problema dinâmico de dois osciladores quânticos
acoplados. Considerando a forma quadrática do operador Hamiltoniano e condições iniciais
bem definidas, aplicamos o método das escalas múltiplas para se obter uma forma aproxi-
mada para as matrizes Λ(t), necessárias à construção do propagador e portanto definindo
a evolução dinâmica do sistema.
No capítulo 4 determinamos o efeito perturbativo da excitação paramétrica quântica
nas propriedades de cada um dos modos. Revisamos os conceitos de compressão e pureza
de cada um dos modos a partir de elementos das matrizes de covariâncias, para o caso
especial de estados Gaussianos. Estudamos as medidas de correlação quântica baseadas na
formulação das matrizes das covariâncias e comparamos seu comportamento em relação as
mesmas em sistemas de dois modos interagentes isolados, nos quais há ausência de excitação
paramétrica quântica. Consideramos valores numéricos para os parâmetros de estados dos
modos acoplados e para a excitação paramétrica quântica e analisamos qualitativamente
o comportamento dinâmico do sistema. A parte original em nosso trabalho refere-se as
medidas de compressão, pureza e correlações dos modos acoplados tendo em vista o efeito
da excitação paramétrica em nosso sistema, não se esquecendo da utilização do método das
escalas múltiplas na construção das matrizes lambdas e posterior construção das matrizes
das covariâncias.
No capítulo 5 concluímos a importância conceitual e operacional de nosso trabalho.
Algumas passagens importantes estão esclarecidas no apêndice deste trabalho, feito com o
intuíto de esclarecer os aspectos técnicos.
7
Capítulo 2
Dinâmica de Sistemas Quânticos
2.1 Introdução
Com o surgimento da mecânica analítica, pode-se afirmar que a mecânica clássica se
tornou uma ciência muito mais rica em informações e rigor matemático, e não uma mera
reformulação da mecânica newtoniana [5, 6]. O grandioso edifício da teoria quântica se
deve justamente a base da mecância analítica, inspirada, particularmente a Hamilton. Não
temos a pretensão de expor de forma detalhada a teoria da mecânca analítica e sim falar
brevemente sobre alguns aspectos importantes relacionadas a ela.
A partir de estudos referentes a transformações invariantes em mecânica clássica, verifica-
se das equações de Lagrange que as coordenadas são invariantes sob uma transformação
geral, isto é, sua forma permanece a mesma qualquer que seja a escolha das coordenadas
generalizadas. De forma análoga, na formulação hamiltoniana as coordenadas e momentos
são variáveis independentes, o que torna possível considerar mudanças de variáveis no es-
paço de fase que preservem a forma das equações de Hamilton ampliando enormemente a
gama de tranformações admissíveis.
Estas duas formulações são importantes na análise de qualquer sistema físico, pois trans-
formações canônicas invariantes nos asseguram que propriedades físicas são conservadas.
Neste intuito, conhecendo-se tais coordenadas generalizadas, a dinâmica do sistema físico
também pode ser determinada. Esta evolução dinâmica, descrita na mecância clássica,
pode ser tratada pelo Teorema de Liouville por exemplo, mostrando-nos que tal evolução
preserva as propriedades do sistema em qualquer região do espaço de fase, ou seja a evolução
temporal é uma transformação canônica.
Diferentemente do que ocorre na mecânica clássica, o estudo da dinâmica de sistemas
quânticos implica em uma abordagem diferente da dinâmica clássica. Na mecânica clássica
o estado do sistema está perfeitamente determinado a partir do conhecimento da dependên-
cia temporal das coordenadas e momenta conjugados associados ao sistema, que são obtidos
8
2.2. INTEGRAIS DE MOVIMENTO EM MECÂNICA QUÂNTICA
diretamente da integração das equações de Hamilton-Jacobi ou de uma forma alternativa
a partir das equações de Euler-Lagrange.
Nos sistemas quânticos, por exemplo, os graus de liberdade do sistema estão associados
a operadores definidos no espaço de vetores de estados, Espaço de Hilbert [1]. O conceito
determinista de estado cede lugar a uma formulação probabilística, a partir de amplitudes
associadas a estes vetores de estado, e as variáveis dinâmicas tem seus valores atribuídos
a médias tomadas neste espaço de vetores. A evolução temporal do sistema está agora
atribuída a evolução temporal dos vetores de estado, na formulação de Schrödinger, ou
aos operadores associados a formulação de Heisenberg. E neste sentido, determinar a
evolução temporal do sistema no espaço de vetores implica necessariamente no cálculo do
operador evolução temporal
ˆ
U(t; t
0
) ou propagador do sistema, considerada a representação
apropriada. Então o estudo da dinâmica quântica do sistema implica necessariamente na
busca de métodos para se determinar uma forma exata ou aproximada daquele operador
de evolução temporal.
2.2 Integrais de Movimento em Mecânica Quântica
O conceito de invariante quântico conforme descrito por Lewis e Riesenfeld [7], implica
que uma solução da equação de Schrödinger constitui-se de um auto-estado do invariante
hermitiano
ˆ
I
α
(t) multiplicado por um fator de fase dependente do tempo. No que diz
respeito ao operadore
ˆ
I
α
(t), Lewis e Riesenfeld asseguram que se este operador admite
um conjunto completo de auto-estados |m, t, os correspondentes autovalores λ
s (que con-
stituem funções reais) são independentes do tempo. Neste caso, a dependência temporal
é inteiramente associada aos auto-estados, uma vez que a ação de um operador invariante
ˆ
I
α
(t) sobre a solução da equação de Schrödinger,
ˆ
I
α
(t)|Ψ(t), gera uma nova solução da
equação de Schrödinger. No sentido de uma quantidade mensurável, um invariante quân-
tico
ˆ
I(t) é um operador atuando no espaço de estados do sistema físico |Ψ(t) cujo valor
esperado não se altera durante a evolução do sistema,
d
dt
Ψ(t)|
ˆ
I
α
(t) |Ψ(t) = 0. (2.1)
Representamos um sistema quântico através de um operador
ˆ
H, a partir do qual podemos
tirar informação da evolução temporal do estado do sistema. Um propagador está associ-
ado diretamente à dinâmica de qualquer sistema físico clássico [8] ou quântico [9]. Ele é
definido como sendo o núcleo da representação integral da equação diferencial associado ao
sistema dinâmico, contendo todas as informações necessárias e suficientes para determinar
o comportamento futuro do sistema. No caso de um sistema quântico, a dinâmica é deter-
minada pelo operador Hamiltoniano
ˆ
H, que fornece as equações de evolução temporal do
9
2.2. INTEGRAIS DE MOVIMENTO EM MECÂNICA QUÂNTICA
sistema.
Na representação de Schrödinger, a equação formal para a evolução dos estados quân-
ticos de um dado instante é
|Ψ(t) =
ˆ
U(t, t
0
)|Ψ(t
0
), (2.2)
onde |Ψ(t) é o vetor de estado em t > 0 e |Ψ(t
0
) no instante inicial. O operador de
evolução
ˆ
U(t, t
0
) está expresso em termos do hamiltoniano como
ˆ
U(t, t
0
) = exp −
i
t
t
0
ˆ
H(t)dt.
A estrutura do propagador surge quando escrevemos a equação (2.2) na representação das
coordenadas, que com o auxílio da completeza
ˆ
1 =
d
3
x
|x
x
|,
aplicada ao lado direito da equação (2.2), conduz à forma
x|Ψ(t) =
d
3
x
x|
ˆ
U(t, t
0
)|x
x
|Ψ(t
0
). (2.3)
Definida para espaço das configurações e obtida a partir da função de onda do estado
inicial x
|Ψ(t
0
), a função de onda x|Ψ(t) para um dado estado quântico do sistema
está perfeitamente determinada a partir de (2.3). Assim, identificamos o propagador na
representação das coordenadas como
G(x, x
; t) = x|
ˆ
U(t, t
0
)|x
, (2.4)
sendo nada mais que o operador evolução temporal
ˆ
U(t, t
0
) escrito na representação das
coordenadas. O operador
ˆ
U(t, t
0
) é a solução da equação de operadores na representação
de Schrödinger. A equação dinâmica para o vetor de estado da solução em (2.2) é dada na
forma
(i
∂
∂t
−
ˆ
H)|Ψ = 0, (2.5)
e aplicando a propriedade distributiva em (2.5) , considerando |Ψ(t) dado em (2.2), obte-
mos a equação para o operador
ˆ
U(t, t
0
) na forma
i
∂
∂t
ˆ
U(t, t
0
) =
ˆ
H
ˆ
U(t, t
0
), (2.6)
sujeita a condição inicial,
ˆ
U(t, t
0
)
t=t
0
=
ˆ
1. (2.7)
Das propriedades de hermiticidade temos:
1. Os operadores hermitianos possuem autovalores reais.
10
2.2. INTEGRAIS DE MOVIMENTO EM MECÂNICA QUÂNTICA
2. As autofunções de um operador hermitiano são, ou podem ser escolhidas de tal forma
que sejam ortogonais.
3. As autofunções de um operador linear hermitiano formam um conjunto completo e
ortogonal de funções.
4. Se o operador hamiltoniano é hermitiano, o operador evolução temporal
ˆ
U(t, t
0
) é
unitário, isto é,
ˆ
U
†
(t, t
0
) =
ˆ
U
−1
(t, t
0
),
que implica na existência de um certo operador evolução
ˆ
U(t, t
0
) e seu inverso.
Então, se
ˆ
U(t, t
0
) e seu inverso existem, para um dado sistema quântico com N graus
de liberdade, na representação de Schrödinger existem 2N operadores explicitamente de-
pendente do tempo na forma
ˆ
P
j
(t) =
ˆ
U(t, t
0
)ˆp
j
ˆ
U
−1
(t, t
0
), j = 1, ..., N, (2.8)
ˆ
X
j
(t) =
ˆ
U(t, t
0
)ˆx
j
ˆ
U
−1
(t, t
0
), j = 1, ..., N, (2.9)
onde ˆx
j
são os operadores coordenadas e ˆp
j
os operadores momenta dados por ˆp
j
= −i
∂
∂ˆx
j
,
na representação de coordenadas. Das equações (2.8) e (2.9), observamos que a dependên-
cia temporal de
ˆ
P
j
(t) e
ˆ
X
j
(t) (os nossos invariantes do sistema), provém da dependência
temporal em
ˆ
U(t, t
0
), pois os operadores ˆx
j
e ˆp
j
(j = 1, ..., N) são fixos no tempo, na rep-
resentação de Schrödinger. Na representação de Heisenberg são os operadores que evoluem
no tempo enquanto o vetor de estado do sistema é fixo. Assim como na mecânica clás-
sica, as equações de movimento do sistema físico, surgem naturalmente dos parenteses de
Poisson, ou seja
df
dt
=
j
∂f
∂q
j
∂H
∂p
j
−
∂f
∂p
j
∂H
∂q
j
≡ {f, H}.
Que processo de quantização canônica os parenteses de Poisson são substituídos por co-
mutadores de acordo com a transformação {f, H}− > i
ˆ
f,
ˆ
H
e as funções reais são
substituídas pelos correspondentes operadores. Portanto, considerando o lado esquerdo da
equação 2.1, podemos escrevemos que
d
dt
Ψ(t)|
ˆ
I
α
(t) |Ψ(t) =
∂
∂t
(Ψ(t)|)
ˆ
I
α
(t) |Ψ(t) + Ψ(t)|
∂
∂t
ˆ
I
α
(t)
|Ψ(t)
+ Ψ(t)|
ˆ
I
α
(t)
∂
∂t
|Ψ(t)
.
A partir da equação de Schrödinger (2.5) e seu conjugado hermitiano
−i
∂
∂t
Ψ(t)| = Ψ(t)|
ˆ
H(t),
11
2.2. INTEGRAIS DE MOVIMENTO EM MECÂNICA QUÂNTICA
temos que
d
dt
Ψ(t)|
ˆ
I
α
(t) |Ψ(t) = Ψ(t)|
∂
ˆ
I
α
(t)
∂t
−
1
i
[
ˆ
H(t),
ˆ
I
α
(t)]
|Ψ(t). (2.10)
Nós observamos que esta equação deve ser equivalente a obtida anteriormente em (2.1 )
para a derivada do valor esperado do operador invariânte
ˆ
I
α
(t). Dessa forma, no espaço
de soluções da equação de Schrödinger a integral de movimento escrita pela equação 2.10
é equivalente a forma
d
dt
Ψ(t)|
ˆ
I
α
(t) |Ψ(t) = Ψ(t)|
∂
ˆ
I
α
(t)
∂t
−
1
i
[
ˆ
H(t),
ˆ
I
α
(t)]
|Ψ(t) = 0, (2.11)
que implica em
∂
ˆ
I
α
(t)
∂t
−
1
i
[
ˆ
H(t),
ˆ
I
α
(t)] = 0 (2.12)
para qualquer vetor de estado arbitrário |Ψ(t) que satisfaz a equação de Schrödinger
i
∂|Ψ(t)
∂t
=
ˆ
H(t)|Ψ(t). (2.13)
Então se
ˆ
H(t) é hermitiano, a integral de movimento
ˆ
I
α
(t), cujo valor esperado no es-
paço de soluções da equação de Schrödinger é invariante no tempo precisa satisfazer a
equação (2.12). Tal análise, generalizada para o caso não hermitiano, implica então que os
operadores invariantes satisfazem a equação
i
∂
ˆ
I
α
(t)
∂t
−
ˆ
H
†
(t)
ˆ
I
α
(t) +
ˆ
I
α
(t)
ˆ
H(t) = 0. (2.14)
Da definição de invariante quântico (2.11) e para um estado arbitrário |Ψ(t) =
ˆ
U(t, t
0
)|Ψ(t
0
)
(t
0
= 0) temos
Ψ(t)|
ˆ
I
α
(t) |Ψ(t) = Ψ(0)|
ˆ
U
−1
(t, t
0
)
ˆ
I
α
(t)
ˆ
U(t, t
0
) |Ψ(0) = Ψ(0)|
ˆ
I
α
(0) |Ψ(0), (2.15)
que implica diretamente em
ˆ
U
−1
(t, t
0
)
ˆ
I
α
(t)
ˆ
U(t, t
0
) =
ˆ
I
α
(0),
ˆ
U
−1
(t, t
0
) =
ˆ
U
†
(t, t
0
). (2.16)
Então para o operador invariante
ˆ
I
α
(t) temos a forma
ˆ
I
α
(t) =
ˆ
U(t, t
0
)
ˆ
I
α
(0)
ˆ
U
†
(t, t
0
), α = 1, ..., 2N. (2.17)
A ação do operador
ˆ
I
α
(t) nos vetores de estado do sistema é dada por
ˆ
I
α
(t)|Ψ(t) =
ˆ
U(t, t
0
)
ˆ
I
α
(0)
ˆ
U
−1
(t, t
0
)
ˆ
U(t, t
0
)|Ψ(0) =
ˆ
U(t, t
0
)
ˆ
I
α
(0)|Ψ(0), α = 1, ..., 2N,
12
2.2. INTEGRAIS DE MOVIMENTO EM MECÂNICA QUÂNTICA
que resulta em
|Φ(t) =
ˆ
I
α
(t)|Ψ(t) =
ˆ
U(t, t
0
)
ˆ
I
α
(0)|Ψ(0)
=
ˆ
U(t, t
0
)|Φ(0), α = 1, ..., 2N, (2.18)
mostrando que a ação do operador invariante sobre o vetor de estado também produz uma
solução na equação de Schrödinger |Φ(t).
Logo, para mostrar
ˆ
P
j
(t) e
ˆ
X
j
(t), são integrais de movimento do sistema quântico,
tomamos de início os seus valores esperados. Por exemplo o valor esperado de
ˆ
X
j
(t) em
|Ψ(t) é dado
ˆ
X(t) = Ψ(t)|
ˆ
X(t)|Ψ(t), (2.19)
onde a dependência temporal está em
ˆ
X(t). O operador
ˆ
X(t) conforme definido em (2.8)
e a evolução temporal dos estados segundo a equação (2.2) implicam para equação (2.19)
que
ˆ
X(t) = Ψ(t)|
ˆ
U(t, t
0
)ˆx
ˆ
U
−1
(t, t
0
)|Ψ(t) = Ψ(t
0
)|ˆx|Ψ(t
0
) = ˆx
t=0
, (2.20)
demostrando que o valor esperado da "integral de movimento"
ˆ
X(t) nos estados arbitrários
|Ψ(t), para qualquer tempo t > 0, depende somente do valor esperado da coordenada no
estado inicial do sistema. Então em conformidade com (2.1) temos
d
ˆ
X(t)
dt
= 0. (2.21)
Deste modo
ˆ
X(t) é uma integral quântica de movimento e satisfaz a equação (2.14). Da
equação
i
∂
ˆ
X(t)
∂t
=
ˆ
X(t)
ˆ
H(t) −
ˆ
H
†
(t)
ˆ
X(t), (2.22)
e considerando o hamiltoniano hermitiano, temos
d
ˆ
X(t)
dt
=
∂
ˆ
X(t)
∂t
+
i
[
ˆ
H(t),
ˆ
X(t)] = 0. (2.23)
O operador
ˆ
X(t) é a "coordenada inicial" no sentido que o seu valor esperado, num es-
tado arbitrário para t > 0 qualquer, está unicamente determinado pelo valor médio da
coordenada no instante inicial do sistema. De forma similar se aplica ao operador
ˆ
P (t),
onde
d
ˆ
P (t)
dt
=
∂
ˆ
P (t)
∂t
+
i
[
ˆ
H(t),
ˆ
P (t)] = 0. (2.24)
Portanto, é visto que
ˆ
X(t) e
ˆ
P (t), são integrais de movimento, cuja evolução temporal
é dada em termos das condições iniciais das coordenadas no estado inicial do sistema.
Vamos explorar a importância do método dos invariantes quânticos no problema do cál-
culo do propagador de um sistema governado por hamiltonianos quadráticos, procurando
demonstrar explicitamente a importância deste método.
13
2.3. PROPAGADOR PARA HAMILTONANOS QUADRÁTICOS
2.3 Propagador para Hamiltonanos quadráticos
Os invariantes quânticos auxiliam na obtenção de uma descrição geral da dinâmica de
sistemas acoplados, tornando possível o cálculo do propagador de forma aproximada ou
exata. Vamos mostrar em detalhes os procedimentos pelos quais os invariantes quânti-
cos do sistema, descritos por operadores hamiltonianos quadráticos, são aplicados para tal
propósito. Consideremos de início a equação de evolução do vetor de estado na represen-
tação de Schrödinger
i
d|Ψ(t)
dt
=
ˆ
H(t)|Ψ(t), (2.25)
porém restritos aos casos de operadores hamiltonianos quadráticos, dependentes do tempo
na forma
ˆ
H =
1
2
2N
α,β=1
ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
+
2N
α,β=1
C
α
(t)ˆq
α
. (2.26)
Os fatores B
αβ
(t) e C
α
(t) são funções complexas e arbitrárias do tempo e ˆq
α(β)
são elementos
de um vetor-operador coluna de 2N-dimensional, sendo N o número de graus de liberdade
do sistema. Para tornar mais explícito o par de variáveis canônicamente conjugadas, pode-
mos escrever o vetor operador
ˆ
q na forma
ˆ
q = (
ˆ
p,
ˆ
x) onde
ˆ
p representam os operadores
momenta e
ˆ
x os operadores coordenadas;
ˆ
p = (ˆp
1
, ˆp
2
, ..., ˆp
N
) e
ˆ
x = (ˆx
1
, ˆx
2
, ..., ˆx
N
). Nessa
formulação, escrevemos as funções B
αβ
(t) como elementos de uma matriz B(t) simétrica de
ordem 2N e C
α
(t) como elementos de uma matriz C(t) coluna de ordem N. Isto permite
escrever (2.26) na forma compacta
ˆ
H =
1
2
ˆqB ˆq + C ˆq. (2.27)
Na equação (2.27) introduzimos as matrizes blocos de B(t) na forma (apêndice A1)
B(t) =
b
1
(t) b
2
(t)
b
3
(t) b
4
(t)
, (2.28)
sujeita a condição de simetria, b
1
=
˜
b
1
, b
2
=
˜
b
3
e b
4
=
˜
b
4
, (B
αβ
(t) = B
βα
(t)), e a matriz
bloco coluna C(t) na forma
C(t) =
c
1
(t)
c
2
(t)
. (2.29)
Nesta notação, o operador hamiltoniano quadrático, pode ser escrito como
ˆ
H =
1
2
(ˆpb
1
ˆp + ˆpb
2
ˆx + ˆxb
3
ˆp + ˆxb
4
ˆx) + c
1
ˆp + c
2
ˆx. (2.30)
Interessa-nos determinar uma forma exata ou aproximada do propagador para o sistema
de hamiltonianos quadráticos. Para tal propósito precisamos determinar as formas dos
operadores invariantes
ˆ
I
α
(t) = (
ˆ
P
j
,
ˆ
X
j
), para que o operador de evolução temporal na
14
2.3. PROPAGADOR PARA HAMILTONANOS QUADRÁTICOS
representação das coordenadas possa ser determinado explicitamente a partir das equações
(2.8)-(2.9). Aplicando o princípio da completeza
ˆ
1 =
∞
−∞
dξ|ξξ|,
escrevemos uma forma equivalente das equações (2.8)-(2.9), na representação das coorde-
nadas, como
∞
−∞
x|
ˆ
P
j
(t)|ξξ|
ˆ
U(t, t
0
)|x
dξ =
∞
−∞
x|
ˆ
U(t, t
0
)|ξξ|ˆp
α
|x
dξ, (2.31)
∞
−∞
x|
ˆ
X
j
(t)|ξξ|
ˆ
U(t, t
0
)|x
dξ =
∞
−∞
x|
ˆ
U(t, t
0
)|ξξ|ˆx
α
|x
dξ. (2.32)
Considerando os operadores momenta (α = 1, ..., N) e coordenadas (α = N + 1, ..., 2N)
separadamente, e escolhida a representação das coordenadas, obtemos das equações (2.31)-
(2.32) um sistema de 2N equações diferenciais para o propagador nas coordenadas x
j
e
suas derivadas. Logo
ˆ
P
j
(x, t)G(x, x
; t, t
0
) = i
∂
∂x
j
G(x, x
; t, t
0
), (2.33)
ˆ
X
j
(x, t)G(x, x
; t, t
0
) = x
j
G(x, x
; t, t
0
). (2.34)
Estas equações são dependentes das formas funcionais
ˆ
P
j
(x, t) e
ˆ
X
j
(x, t) a serem determi-
nadas. Uma vez determinadas, o problema de encontrar o propagador se torna simples. A
partir de (2.11), estes operadores invariantes
ˆ
I
α
(t) satisfazem a equação
i
∂
ˆ
I
α
(t)
∂t
− [
ˆ
H,
ˆ
I
α
(t)] = 0, (2.35)
sujeita a condição inicial
ˆ
I
α
(t
0
) = ˆq
α
, (2.36)
com
ˆ
I
α
(t) escrito formalmente em termos de ˆq
α
segundo a equação (2.8) conforme em t = t
0
temos U(t, t
0
)
t=t
0
=
ˆ
1.
Os operadores ˆx e ˆp, satisfazem as relações de comutação
[ˆx
i
, ˆx
j
] = [ˆp
i
, ˆp
j
] = 0, [ˆp
i
, ˆx
j
] = iδ
i,j
ˆ
1, (2.37)
equivalentemente escritas na forma compacta
[ˆq
α
, ˆq
β
] = −iΣ
αβ
, Σ
αβ
= −Σ
βα
, (2.38)
com Σ definida em termos de matrizes blocos
Σ =
O
N
E
N
−E
N
O
N
,
15
2.3. PROPAGADOR PARA HAMILTONANOS QUADRÁTICOS
onde E
N
é a matriz identidade e O
N
é a matriz nula, ambas de ordem N. Além disso
temos que Σ
2
= −E
2N
. Da equação (2.38), também verificamos a relação de comutação
dos operadores
ˆ
I
α
(t) na forma
[
ˆ
I
α
(t),
ˆ
I
β
(t)] =
ˆ
I
α
(t)
ˆ
I
β
(t) −
ˆ
I
β
(t)
ˆ
I
α
(t)
=
ˆ
I
α
(t)
ˆ
U(t, t
0
)
ˆ
U
−1
(t, t
0
)
ˆ
I
β
(t) −
ˆ
I
β
(t)
ˆ
U(t, t
0
)
ˆ
U
−1
(t, t
0
)
ˆ
I
α
(t)
=
ˆ
U(t, t
0
)[ˆq
α
, ˆq
β
]
ˆ
U
−1
(t, t
0
).
Portanto, da equação (2.38) resulta que
[
ˆ
I
α
(t),
ˆ
I
β
(t)] = −i
ˆ
U(t, t
0
)Σ
αβ
ˆ
U
−1
(t, t
0
),
[
ˆ
I
α
(t),
ˆ
I
β
(t)] = −iΣ
αβ
. (2.39)
Deste modo, as quantidades
ˆ
I
α
e ˆq
α
estão relacionadas por uma transformação canônica
ponto a ponto. Então podemos definir
ˆ
I
α
em termos de ˆq
α
segundo a transformação
ˆ
I
µ
(t) = Λ
µν
(t)ˆq
ν
+ ∆
µ
(t), (2.40)
onde Λ
µν
(t) é uma matriz de ordem 2N e ∆
µ
(t) matriz coluna de ordem N. Essas matrizes
satisfazem as condições iniciais
Λ(t
0
) = E
2N
, ∆(t
0
) = O
2N
, (2.41)
de acordo com (2.36). Então a relação entre "coordenada e momento iniciais"e os oper-
adores coordenada e momento na representação de Schrödinger estão determinadas pelas
matrizes Λ
µν
(t) e ∆
µ
(t). No entanto, podemos então determinar estas matrizes encontrando
o conjunto de equações que as determine de forma única para a o operador Hamiltoniano
qudrático (2.26). Para isto partimos da equação (2.40), que substituindo em (2.35), temos
para o termo diferencial a equação
∂
ˆ
I
µ
(t)
∂t
=
dΛ
µν
(t)
dt
ˆq
ν
+
d∆
µ
(t)
dt
. (2.42)
Calculando-se o comutador do Hamiltoniano quadrático com o operador invariante (Apêndice
A2), obtemos
[
ˆ
H,
ˆ
I
µ
] =
1
2
ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
+ C
α
(t)ˆq
α
, Λ
µν
(t)ˆq
ν
+ ∆
µ
(t)
, (2.43)
resultando em
[
ˆ
H,
ˆ
I
µ
] = i (Λ
µν
(t)Σ
νβ
B
βα
(t)ˆq
α
+ Λ
µν
(t)Σ
να
C
α
) . (2.44)
Substituindo em (2.35), obtemos para os elementos Λ
µν
(t) e ∆
µ
(t) um conjunto de equações
diferenciais lineares de primeira ordem, que na forma matricial assume a foma de um
16
2.3. PROPAGADOR PARA HAMILTONANOS QUADRÁTICOS
sistema de equações diferenciais ordinárias escritas por
dΛ(t)
dt
= Λ(t)ΣB(t), (2.45)
d∆(t)
dt
= Λ(t)ΣC(t). (2.46)
Com estas equações diferenciais, juntamente com as condições iniciais dadas por (2.41), é
possível então determinar os invariantes
ˆ
I
α
(t) explicitamente. Assim escrevemos as matrizes
Λ(t) e ∆(t) na estrutura de matrizes blocos de ordem N,
Λ(t) =
λ
1
(t) λ
2
(t)
λ
3
(t) λ
4
(t)
, ∆(t) =
δ
1
(t)
δ
2
(t)
, (2.47)
onde a partir das condições iniciais (2.36) temos
Λ(t
0
) =
E
N
O
N
O
N
E
N
, ∆(t
0
) =
O
N
O
N
. (2.48)
Então as equações diferenciais dadas em (2.45) e (2.46), assumem as formas
˙
λ
1
= λ
1
b
3
− λ
2
b
1
,
˙
λ
2
= λ
1
b
4
− λ
2
b
2
, (2.49)
˙
λ
3
= λ
3
b
3
− λ
4
b
1
,
˙
λ
4
= λ
3
b
4
− λ
4
b
2
, (2.50)
˙
δ
1
= λ
1
c
2
− λ
4
c
1
,
˙
δ
2
= λ
3
c
2
− λ
4
c
1
. (2.51)
Ainda podemos obter identidades importantes, com o fim de simplificações futuras ao
cálculo explícito do propagador, bem como a análise e consistência da solução das matrizes
Λ(t), portanto
d
dt
ΛΣ
˜
Λ =
dΛ
dt
Σ
˜
Λ + ΛΣ
d
˜
Λ
dt
= ΛΣBΣ
˜
Λ − ΛΣBΣ
˜
Λ = 0,
desta forma a matriz ΛΣ
˜
Λ é constante no tempo. Então das condições iniciais (2.41)
Λ(t
0
)Σ
˜
Λ(t
0
) = E
2N
ΣE
2N
= Σ. (2.52)
Logo
ΛΣ
˜
Λ = Σ, (2.53)
identificando em ΛΣ
˜
Λ uma integral de movimento. Este resultado implica para o determi-
nante det Λ, dois possíveis valores,
det(ΛΣ
˜
Λ) = det Σ,
det Λ det Σ det
˜
Λ = det Σ,
17
2.3. PROPAGADOR PARA HAMILTONANOS QUADRÁTICOS
sendo det Σ = 1 e det
˜
Λ = det Λ. Logo
det Σ = [det Λ]
2
= 1, (2.54)
de onde concluímos que det Λ = ±1. No entanto, escolhemos det Λ = 1 para manter
a continuidade dos elementos da matriz Λ(t) no instante t = 0, quando Λ(0) = E
2N
e
det E
2N
= 1. A matriz inversa Λ
−1
(t) pode ser determinada de um modo muito simples, a
partir de (2.53)
ΛΣ
˜
Λ = Σ =⇒ Λ
−1
ΛΣ
˜
Λ = Λ
−1
Σ,
Λ
−1
ΛΣ
˜
ΛΣ = Λ
−1
Σ
2
=⇒ Λ
−1
= Σ
˜
ΛΣ, (2.55)
cuja forma explícita em termos das matrizes blocos N-dimensionais é
Λ
−1
(t) =
λ
4
−λ
2
−λ
3
λ
1
. (2.56)
Então a partir das equações (2.52), (2.53) e (2.56) obtemos explicitamente, uma série de
identidades para as matrizes λ
s, dadas por:
λ
4
˜
λ
1
− λ
3
˜
λ
2
= λ
1
˜
λ
4
− λ
2
˜
λ
3
= E
N
,
λ
1
˜
λ
2
= λ
2
˜
λ
1
, λ
3
˜
λ
4
= λ
4
˜
λ
3
, (2.57)
e de forma análoga, partindo da equação (2.56), obtemos
˜
λ
4
λ
1
−
˜
λ
2
λ
3
=
˜
λ
1
λ
4
−
˜
λ
3
λ
2
= E
N
˜
λ
4
λ
2
=
˜
λ
2
λ
4
,
˜
λ
1
λ
3
=
˜
λ
3
λ
1
. (2.58)
As equações (2.45-2.58) estabelecem os elementos necessários para se determinar as ma-
trizes Λ(t ) e ∆(t). Uma vez determinada as matrizes Λ(t) e ∆(t), a partir de sua estrutura
de matrizes blocos, encontramos a forma explícita dos invariantes quânticos em termos dos
operadores coordenadas e momentum na representação de Schrödinger:
ˆ
P
ˆ
X
=
λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
ˆp
ˆx
+
E
N
O
N
O
N
E
N
δ
1
δ
2
, (2.59)
equivalentemente,
ˆ
P = λ
1
(t)ˆp + λ
2
(t)ˆx + δ
1
(t)
ˆ
1,
ˆ
X = λ
3
(t)ˆp + λ
4
(t)ˆx + δ
2
(t)
ˆ
1.
Note que a dependência temporal explícita para
ˆ
P e
ˆ
X está nas formas funcionais dos
elementos de matrizes λ e δ.
18
2.3. PROPAGADOR PARA HAMILTONANOS QUADRÁTICOS
Assim temos para os invariantes quânticos na representação das coordenadas os seguintes
vetores N-dimensionais P (x, t) e X(x, t), dados por
P (x, t) =
i
λ
1
∂
∂x
+ λ
2
x + δ
1
, (2.60)
X(x, t) =
i
λ
3
∂
∂x
+ λ
4
x + δ
2
. (2.61)
Desta forma retornamos às equações (2.33) e (2.34) e realizamos o cálculo do propagador
dado na forma G(x, x
; t, t
0
). Então temos
i
λ
1,jk
∂
∂x
k
+ λ
2,jk
x
k
+ δ
1,j
G(x, x
; t, t
0
) = i
∂
∂x
j
G(x, x
; t, t
0
), (2.62)
i
λ
3,jk
∂
∂x
k
+ λ
4,jk
x
k
+ δ
2,j
G(x, x
; t, t
0
) = x
j
G(x, x
; t, t
0
), (2.63)
onde os índices repetidos indicam uma somatória. Admitindo o propagador na forma
G(x, x
; t, t
0
) = G
1
(x, x
)G
2
(x
; t, t
0
)G
0
(t, t
0
), as equações em (2.63) tornam-se N equações
diferenciais parciais em x com autovalores x
(Apêndice A3), dadas por
i
λ
3,jk
∂G
1
(x, x
)
∂x
k
+ λ
4,jk
x
k
G
1
(x, x
) + δ
2,j
G
1
(x, x
)
= x
j
G
1
(x, x
).
Estas equações diferenciais sugerem para a solução G
1
(x, x
) a forma exponencial G
1
(x, x
) =
exp [g
1
(x, x
)] que por substituição, g
1
(x, x
) satisfaz então o conjunto de equações (j =
1, ..., N) (índices repetidos subtende-se soma)
−i
∂g
1
(x, x
)
∂x
j
= λ
−1
3,jl
x
l
− λ
−1
3,j
δ
2,j
− λ
−1
3,s
λ
4,sl
x
l
.
Resolvendo estas equações, obtemos g
1
(x, x
), em sua forma matricial compacta,
g
1
(x, x
) = −
i
2
xλ
−1
3
λ
4
x − 2(xλ
−1
3
x
) + 2(xλ
−1
3
δ
2
)
. (2.64)
Com o argumento da exponencial em G
1
(x, x
) determinado, podemos resolver as equações
diferenciais para a função G
2
(x
; t, t
0
)
i
λ
1,jk
∂g
1
(x)
∂x
k
+ λ
2,jk
x
k
+ δ
1,j
= i
∂g
1
(x
)
∂x
j
+
∂g
2
(x
)
∂x
j
,
que, através da solução (2.64), obtemos a seguinte equação para g
2
(x
),
i
∂g
2
(x
)
∂x
j
= λ
1,jl
λ
−1
3,lk
x
k
− λ
1,jl
λ
−1
3,lk
δ
2,k
+ δ
1,j
.
Resolvendo esta equação, obtemos para g
2
(x
)
g
2
(x
; t, t
0
) = −
i
2
x
λ
1
λ
−1
3
x
+ 2x
λ
1
λ
−1
3
δ
2
− 2x
δ
1
, (2.65)
19
2.3. PROPAGADOR PARA HAMILTONANOS QUADRÁTICOS
tal que encontramos a forma espacial do propagador do hamiltoniano. A dependência
temporal está contida inteiramente em G
0
(t, t
0
), temos então a forma geral do propagador
dada por:
G (x; x
; t) = NG
0
(t, t
0
) exp
−
i
2
[xλ
−1
3
λ
4
x − 2xλ
−1
3
x
+ x
λ
1
λ
−1
3
x
+2xλ
−1
3
δ
2
+ 2x
δ
1
]
. (2.66)
A forma temporal pode ser obtida diretamente da equação de Schrödinger. Assim, na
representação das coordenadas temos
i
∂
∂t
− H(x)
G (x; x
; t) = 0, (2.67)
sujeita a condição inicial
G (x; x
; 0) = δ(x
1
− x
1
)...δ(x
N
− x
N
) = δ
N
(x − x
). (2.68)
A função H(x) é o operador Hamiltoniano escrito na representação das coordenadas [1],
como
H(x) =
1
2
−
2
∂
∂x
b
1
∂
∂x
− i
∂
∂x
b
2
x + xb
3
∂
∂x
+ xb
4
x
− ic
1
∂
∂x
+ c
2
x. (2.69)
A ação desta forma diferencial sobre a solução G (x; x
; t) pode ser determinada com auxílio
das identidades
−i
∂
∂x
(xAx) = −2iAx, (2.70)
e
−
2
∂
∂x
A
∂
∂x
(xBx) = −2
2
T r(AB), (2.71)
onde tanto A quanto B são supostos simétricos. A equação diferencial para ϕ(t), que nos
dá a forma temporal do propagador G
0
(t, t
0
) = exp[ϕ(t, t
0
)], é determinada por (2.67),
considerando o propagador em (2.66). Isso resulta em
dϕ(t)
dt
=
1
2
T r[λ
−1
3
λ
4
b
1
− b
3
] +
i
c
1
λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
˜
λ
−1
3
b
1
λ
−1
3
δ
2
, (2.72)
o lado direito da equação (2.72) pode ser simplificado se eliminarmos as matrizes b
1
e b
3
,
bem como c
1
, com a ajuda das equações (2.45-2.46) e das relações de inversão.
B(t) = −
˜
Λ(t)Σ
dΛ(t)
dt
, (2.73)
C(t) = −
˜
Λ(t)Σ
d∆(t)
dt
. (2.74)
20
2.3. PROPAGADOR PARA HAMILTONANOS QUADRÁTICOS
A partir destas equações (2.73-2.74) encontramos os elementos das matrizes B e C em
termos das matrizes λ
s,
b
1
=
˜
λ
3
˙
λ
1
−
˜
λ
1
˙
λ
3
, b
2
=
˜
λ
3
˙
λ
2
−
˜
λ
1
˙
λ
4
, (2.75)
b
3
=
˜
λ
4
˙
λ
1
−
˜
λ
2
˙
λ
3
, b
1
=
˜
λ
4
˙
λ
2
−
˜
λ
2
˙
λ
4
, (2.76)
c
1
=
˜
λ
3
˙
δ
1
−
˜
λ
1
˙
δ
2
, c
2
=
˜
λ
4
˙
δ
1
−
˜
λ
2
˙
δ
2
. (2.77)
Com estas identidades podemos reescrever a equação (2.72), com algumas simplificações
sendo necessárias. Tomemos então o primeiro termo do lado direito de (2.72),
λ
−1
3
λ
4
b
1
− b
3
= λ
−1
3
λ
4
(
˜
λ
3
˙
λ
1
−
˜
λ
1
˙
λ
3
) −
˜
λ
4
˙
λ
1
+
˜
λ
2
˙
λ
3
= λ
−1
3
λ
4
˜
λ
3
˙
λ
1
−
˜
λ
4
˙
λ
1
− λ
−1
3
λ
4
˜
λ
1
˙
λ
3
+
˜
λ
2
˙
λ
3
= −λ
−1
3
˙
λ
3
.
Do mesmo modo, o segundo termo do lado direito de (2.72), pode ser colocado também em
uma forma mais simples, tal que a equação diferencial para o fator de fase ϕ(t), assume a
forma
dϕ(t)
dt
= −
1
2
T r[λ
−1
3
˙
λ
3
] +
i
˙
δ
1
δ
2
−
1
2
d
dt
(δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
)
. (2.78)
Aplicando a identidade matricial em (2.78),
T r
λ
−1
3
˙
λ
3
=
d
dt
ln(det λ
3
),
temos
dϕ(t)
dt
= −
1
2
d
dt
ln(det λ
3
) +
i
˙
δ
1
δ
2
−
1
2
d
dt
(δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
)
, (2.79)
cuja solução é
ϕ(t) = ln(det λ
3
)
−1/2
−
i
2
δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
+
i
t
0
˙
δ
1
δ
2
dt
. (2.80)
Com o resultado em (2.80) a forma da fase temporal do propagador está definida,
G
0
(t) = N(det λ
3
)
−1/2
exp{−
i
2
δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
− 2
t
0
˙
δ
1
δ
2
dt
}, (2.81)
com o fator de normalização N = (−2iπ)
−N/2
. Reunindo os resultados obtidos para
G
1
(x, x
), G
2
(x
; t) e G
0
(t), temos uma expressão final para o propagador.
G (x; x
; t) = (−2iπ det λ
3
)
−1/2
exp
−
i
2
[xλ
−1
3
λ
4
x − 2xλ
−1
3
x
+ x
λ
1
λ
−1
3
x
+2xλ
−1
3
δ
2
+ 2x
(δ
1
− λ
1
λ
−1
3
δ
2
) + δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
− 2
t
0
˙
δ
1
δ
2
dt
]
. (2.82)
Este propagador depende unicamente do tempo através das soluções das matrizes Λ(t)
e ∆(t). Logo, notamos que para se determinar o propagador de um sistema quântico
21
2.4. OSCILADORES QUÂNTICOS ACOPLADOS
governado por um Hamiltoniano quadrático é necessário determinar as soluções de sistemas
de equações diferenciais ordinárias. Em mecânica quântica, dispomos de duas versões para
encarar o problema físico, que seriam a formulação diferencial e a integral. A grosso modo,
a versão diferencial, formulada por exemplo pela equação de Schrödinger, nos permite o
conhecimento da evolução infinitesimal de um sistema quântico, contanto que saibamos do
estado deste sistema em algum instante. A versão integral, cuja figura representativa está
dada pela função de Green, nos permite o conhecimento do estado de um sistema quântico
em qualquer instante e posição. Contrapondo-se assim uma à outra, pode parecer que as
vantagens da versão integral são indiscutíveis, porém, resolver equações diferencias são mais
fáceis comparadas às integrais, e como demonstramos a resolução do cálculo do propagador
de nosso sistema físico, se deu unicamente pela resolução de equações diferenciais.
Concluindo, a importância do propagador está no fato de que podemos tirar uma série
de informações físicas importantes, dentre uma delas que podemos citar é justamente o
problema da troca de informação quântica em modos acoplados, pois através da estrutura
deste propagador, extraímos a dinâmica da evolução de cada modo do sistema desde o
instante incial até os processos em que se observa a troca de informação propriamente dita.
Este último problema pode ser visto melhor em [3,4].
2.4 Osciladores quânticos acoplados
Nesta seção revisamos o problema da troca de estados quânticos entre dois subsis-
temas fracamente acoplados, cada um definido por um oscilador harmônico quântico e
consideraremos as modificações de interesse em nosso estudo preliminar dos efeitos do que
denominaremos excitação paramétrica quântica. Existem vários esquemas para tratar este
problema [10–14], alguns dos quais já estão bem sistematizados [15, 16]. Recentemente
o estudo das possibilidades de trocas de estados quânticos entre dois modos acoplados
do campo eletromagnético, modelados por osciladores quânticos acoplados foi considerado
em [3]. Clássicamente sabe-se bem que dois osciladores harmônicos idênticos fracamente
acoplados trocam periodicamente suas energias. Sob o ponto de vista da mecânica quân-
tica as condições sob as quais os osciladores não só trocam suas energias mas também
seus estados quânticos já foi considerada. Tal troca pode ser também interpretada como
uma troca ideal de informação quântica [3]. Neste contexto a troca ou transmissão de in-
formação entre modos do campo eletromagnético foi abordado considerando propriedades
específicas de cada um dos modos do sistema; compressão dos modos, pureza, entropia.
Medidas de correlação quântica também já foram consideradas em [17,18] para o caso de
estados Gaussianos puros e acoplamento bilinear mais geral dependente do tempo. Neste
trabalho há dois aspectos fundamentais a serem considerados. Em primeiro plano, o estudo
22
2.4. OSCILADORES QUÂNTICOS ACOPLADOS
de um particular método assintótico para a construção das soluções dinâmicas de sistemas
quânticos descrito por operadores Hamiltonianos quadráticos. Em segundo a análise de
um sistema quântico sob efeito de uma excitação externa e as consequências nos processo
de medidas de correlação quântica e propriedades de cada um dos subsistemas envolvidos.
Um sistema de dois osciladores harmônicos massivos quânticos com operador Hamilto-
niano quadrático tem a forma geral dada por
H =
1
2
p
2
1
m
1
+
p
2
2
m
2
+ m
1
ω
2
1
x
2
1
+ m
2
ω
2
2
x
2
2
+ ζ
1
(t)p
1
p
2
+ ζ
2
(t)p
1
x
2
+ ζ
3
(t)x
1
p
2
+ ζ
4
(t)x
1
x
2
,
(2.83)
em que as constantes de acoplamento ζ
k
(t) podem depender ou não explicitamente do
tempo. As massas de ambos os osciladores podem ser feitas iguais a um, mediante a trans-
formação de escala apropriada nas coordenadas, momenta e constantes de acoplamento
para as componentes de quadraturas:
p
i
→ p
i
=
p
i
√
m
i
ω
j
, x
i
→ x
i
=
√
m
i
ω
j
x
i
, ζ
1
→ γ
1
=
√
m
1
m
2
ω
j
ζ
1
,
ζ
2
→ γ
2
=
m
2
m
1
ω
j
ζ
2,
ζ
3
→ γ
3
=
m
1
m
2
ω
j
ζ
3
, ζ
4
→ γ
4
=
ζ
4,
√
m
1
m
2
ω
j
. (2.84)
As massas não tem importância para nossa análise, uma vez que as coordenadas x
1
, x
2
,
p
1
, p
2
podem ser usadas como representando as componentes de quadratura de dois modos
acoplados do campo eletromagnético no problema de transferência de informação entre
modos do campo eletromagnético. Existem diferentes técnicas para tratar sistemas do tipo
descrito pelo Hamiltoniano
H =
1
2
p
2
1
+ p
2
2
+ ω
2
1
x
2
1
+ ω
2
2
x
2
2
+ γ
1
(t)p
1
p
2
+ γ
2
(t)p
1
x
2
+ γ
3
(t)x
1
p
2
+ γ
4
(t)x
1
x
2
. (2.85)
Por exemplo, em [18] o método das funções características foi utilizado, uma vez que
funciona muito bem para estados coerentes e suas superposições. Entretanto, observamos
que para casos onde estados mais genéricos são tratados, é mais prático do ponto de
vista operacional considerar a estrutura do propagador, na representação das coordenadas
(componentes de quadraturas do campo eletromagnético).
Considerando o problema da troca de estados quânticos, como aplicação do modelo dos
invariantes quânticos, assumimos que a função de onda inicial do sistema total, dois modos
acoplados, está fatorada na forma
ψ (x
1
, x
2
; 0) = ψ
1
(x
1
; 0) ψ
2
(x
2
; 0) . (2.86)
Então a função de onda total do sistema em um instante posterior t > 0 está determinada
a partir da equação
ψ (x
1
, x
2
; t) =
G (x
1
, x
2
; x
1
, x
2
; t) ψ (x
1
, x
2
; 0) dx
1
dx
2
. (2.87)
23
2.4. OSCILADORES QUÂNTICOS ACOPLADOS
Em um sentido mais restrito, a troca de estado significa que em algum instante de tempo
t
∗
a função de onda é novamente fatorada em um produto de dois termos, mas com seus
argumentos trocados . Isso significa para a função de onda em t
∗
a forma
ψ (x
1
, x
2
; t
∗
) = Nψ
1
(s
1
x
2
; 0)ψ
2
(s
2
x
1
; 0) . (2.88)
Escrevendo a condição de troca na forma (2.88) admitimos a possibilidade de que as var-
iáveis x
1
e x
2
possam ser escalonadas por fatores s
2,1
e que algum fator de fase N possa
aparecer. Para assegurar a forma (2.88), o propagador no instante t
∗
precisa assumir a
forma de um produto de duas funções delta de Dirac, dado por
G (x
1
, x
2
; x
1
, x
2
; t
∗
) = Nδ (s
1
x
2
− x
1
) δ (s
2
x
1
− x
2
) . (2.89)
Uma questão fundamental para a compreensão do significado da troca de identidade quân-
tica entre os subsistemas acoplados é compreender o que realmente significa dizer que
dois estados são os “mesmos”. Para isso, considere um autoestado de energia inicial
ψ
E
(x; 0) que evolui no tempo segundo a equação ψ
E
(x; t) = exp(−iEt/)ψ
E
(x; 0). A forma
E
(x, t) = |ψ(x, t)|
2
não se altera no tempo o que significa que a distribuição de probabili-
dade é um invariante,
d
E
(x, t)
dt
= 0. (2.90)
Assim está claro que as funções ψ
E
(x; 0) e ψ
E
(x; t) descrevem o mesmo estado quântico.
Mas se consideramos um estado coerente de um modo do campo eletromagnético ou de um
oscilador material com m = ω = = 1, a sua evolução livre é bem conhecida e dada por
ψ(x; t, α(t)) = exp(−it/2)ψ (x; 0, α
0
e
−it
) . Neste caso
α
(x, t) = |ψ(x; t, α(t))|
2
= |ψ
x; 0, α
0
e
−it
|
2
= |ψ(x; 0, α
0
)|
2
=
α
(x, 0). (2.91)
diferente do que ocorre para o caso anteriormente considerado em (2.90). Ou ainda, se
consideramos um estado inicial comprimido ψ
s
(x; t) com uma pequena dispersão na coor-
denada, após um quarto do período esta dispersão atinge seu valor máximo, maior que
aquele do estado coerente, enquanto a dispersão do momentum torna-se pequena. Agora,
o estado quântico ψ
s
(x; 0) é o mesmo estado representado por ψ
s
(x; π/2)? Certamente,
as respostas para estas questões dependem do problema físico concreto em questão; em
particular, no significado da coordenada generalizada x. Para uma partícula material, a
variável x significa uma coordenada espacial real e |ψ(x)|
2
tem um significado físico real
como sendo a densidade de probabilidade no espaço de coordenada a qual pode ser medida.
Em tal caso, os estados comprimidos com respeito a coordenada x parecem ser bastante
diferentes dos estados comprimidos com respeito a p. No caso de uma partícula livre, o
estado inicial gaussiano bem localizado parece bastante diferente do também Gaussiano,
estado com grande dispersão na coordenada e com correlação não nula entre a coordenada
24
2.4. OSCILADORES QUÂNTICOS ACOPLADOS
e momentum, que surgem no processo da evolução livre. Neste casos, a única definição
razoável de troca de estados parece ser (2.88). Nós denominamos troca de estados num
sentido restrito ou troca de estados do primeiro tipo. Uma interpretação mais flexível pode
ser usada para os modos do campo eletromagnético, quando x e p não tem um significado
físico direto, sendo usado apendas como “componentes de quadraturas” do campo, que po-
dem sempre ser rotacionadas no plano de fase (x, p). Neste caso, os estados |α
0
e |α
0
e
−it
diferem somente nas posições do centro das distribuições no plano de fase, de tal modo que
um deles não é nada mais que o outro tomado num instante de tempo deslocado. O mesmo
pode ser dito a respeito dos estados comprimidos: durante a evolução livre, a distribuição
simplesmente sofre rotações nos planos de fase de tal modo que suas variâncias e valores
médios periodicamente mudam no tempo, mas o parâmetro de compressão permanece o
mesmo [19,20]. Portanto, em certas situações, acreditamos que todos os vetores no espaço
de Hilbert do sistema de um único modo que possuam a forma
ˆ
U
f
(t)|ψ; 0,
ˆ
U
f
(t) um op-
erador unitário descrevendo evoluções livres dos modos do campo, pertençam ao mesmo
estado quântico. Esta é uma generalização evidente dos conjunto de autoestados de energia
equivalentes a exp(−iEt/)ψ
E
(x; 0). Considerando este ponto de vista, então a seguinte
condição de troca de estado quântico num sentido amplo ou troca de estado do segundo
tipo está estabelecida e representada por
ψ (x
1
, x
2
; t
∗
) = Nψ
1
(s
1
x
2
; t
1
) ψ
2
(s
2
x
1
, t
2
) . (2.92)
Os parâmetros temporais t
1
e t
2
podem ser diferentes e na linguagem do propagador, a
equação (2.92) torna-se equivalente a
G (x
1
, x
2
; x
1
, x
2
; t
∗
) = NG
(f)
1
(s
1
x
2
; x
1
; t
1
) G
(f)
2
(s
2
x
1
; x
2
; t
2
) , (2.93)
no qual G
(f)
k
(x; x
; t) é o propagador livre do k-ésimo modo do campo eletromagnético.
Uma vez que nós definimos os dois tipos de troca de estados, estamos aptos a identificá-los
no modelo proposto para dois modos fracamente acoplados, modelados pelos osciladores
quânticos. Vamos mostrar que a troca de estados entre os modos acoplados no sentido
amplo é sempre possível, para quaisquer valores dos coeficientes de acoplamento, con-
siderando estados iniciais arbitrários. Contrário a este fato, a troca de estados do primeiro
tipo pode acontecer somente para escolhas específicas dos valores das constantes de acopla-
mento. Portanto na descrição física dos modos acoplados podemos identificar alguns tipos
de acoplamentos onde a estrutura do propagador é definida e as trocas de estados são
identificadas conforme as descrições anteriores.
25
2.5. ACOPLAMENTO INDEPENDENTE DO TEMPO
2.5 Acoplamento independente do tempo
O cálculo da forma explícita do propagador na representação das coordenadas para
Hamiltonianos quadráticos como em (2.85) segue o mesmo procedimento aplicado ao pro-
blema da “força quântica”. Para o Hamiltoniano (2.85) as matrizes b
j
tem suas formas
dadas por
b
1
=
1 γ
1
γ
1
1
, b
4
=
ω
2
1
γ
4
γ
4
ω
2
2
, b
2
=
˜
b
3
=
0 γ
2
γ
3
0
,
que podem depender do tempo através das frequências ω
j
= ω
j
(t), como é o caso de
osciladores sob efeito de excitações paramétricas ou das constante de acoplamento γ(t). Do
ponto de vista técnico, o problema da dinâmica quântica do sistema fica reduzido a busca
da solução explícita das matrizes λ para as matrizes b acima. É um resultado quase evidente
que a troca de estados pode ocorrer somente sob condições de ressonância quando ω
1
= ω
2
,
assumindo para efeito de simplicidade que ω
1
= ω
2
= 1 no Hamiltoniano (2.85). Além
disso não há perda de generalidade alguma para o problema se consideramos um sistema
de unidades onde = 1. Assim, o problema de se determinar a forma do propagador para
este modelo consiste basicamente em buscar a solução do sistema de equações diferenciais
(2.49)-(2.50). A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem
fornece a solução exata para o propagador, o que permitiria uma análise mais geral do
acoplamento dos osciladores, levando em consideração valores arbitrários das constantes
de acoplamento. Estamos sempre interessados somente na situação de modos fracamente
acoplados de maneira que consideramos a solução de matriz λ na condição de acoplamento
fraco, |γ
k
| 1; isso implica que termos do tipo γ
i
γ
j
podem ser desprezados em todas as
nossas equações. A partir do sistema de equações (2.49)-(2.50) podemos construir equações
diferenciais de segunda ordem, para cada uma das matrizes λ, na forma
d
2
λ
i
dt
2
−
dλ
i
dt
J
3
+ λ
i
J
4
= 0, i = 1, 3, (2.94)
d
2
λ
i
dt
2
+
dλ
i
dt
J
1
+ λ
i
J
2
= 0, i = 2, 4, (2.95)
onde as matrizes J são expressas em termos das matrizes b de acordo com a equações
J
1
= b
2
− b
−1
4
b
3
b
4
, J
2
= b
1
b
4
− b
2
b
−1
4
b
3
b
4
, (2.96)
J
3
= b
3
− b
−1
1
b
2
b
1
, J
4
= b
4
b
1
− b
3
b
−1
1
b
2
b
1
. (2.97)
Suprimindo os termos quadráticos nas constantes de acoplamento (limite do acoplamento
fraco), as matrizes J são dadas explicitamente na forma
J
1
=
0 ν
−ν 0
+ O(γ
2
), J
2
=
1 µ
µ 1
+ O(γ
2
), (2.98)
26
2.5. ACOPLAMENTO INDEPENDENTE DO TEMPO
J
3
=
0 −ν
ν 0
+ O(γ
2
), J
4
=
1 µ
µ 1
+ O(γ
2
), (2.99)
onde definimos as constantes µ e ν em termos das constantes γ como
µ = γ
1
+ γ
4
, ν = γ
2
− γ
3
. (2.100)
A matriz λ
3
está presente no prefator da exponencial do propagador (2.82) e satisfaz a
equação
¨
λ
3
+
˙
λ
3
0 ν
−ν 0
+ λ
3
1 µ
µ 1
+ O(γ
2
) = 0, (2.101)
com as condições iniciais para a equação (2.101) são dadas de acordo com
λ
3
(0) = 0,
˙
λ
3
(0) = −b
1
. (2.102)
A equação (2.101) possui coeficientes constantes no tempo. Isto implica que ela pode
ser facilmente resolvida por métodos elementares de equações diferenciais ordinárias. O
polinômio característico associado a equação (2.101) é dado por
P (ξ) = ξ
4
+ (2 + ν
2
)ξ
2
+ (1 −µ
2
) + O(γ
2
)
cujas raízes são dadas por ξ
k
= ±i(1 ± κ) +O(γ
2
) onde
κ =
1
2
µ
2
+ ν
2
+ O(γ
2
). (2.103)
Nesta solução temos negligenciado termos de ordem igual e superior a κ, em concordância
com a aproximação estabelecida no regime de acoplamento fraco. Isso implica, obviamente,
que estamos considerando soluções válidas até tempos t da ordem de κ
−1
, sendo este um
aspecto importante a ser sempre observado em problemas nos quais se aplicam quaisquer
métodos perturbativos. No cálculo dos elementos da matriz λ
3
todos os termos de ordem µ,
ν e κ nas amplitudes dos elementos das matrizes λ são desconsiderados. A partir da solução
geral da equação (2.101) e das condições iniciais (2.102) a matriz λ
3
assume a forma
λ
3
=
−sen t cos τ sen τsen (t − ϕ)
−sen τsen (t + ϕ) −sen t cos τ
+ O(γ), (2.104)
no qual τ ≡ κt denominamos tempo lento e a fase ϕ está definida através das relações
µ
= 2
κ
sen
ϕ, ν
= 2
κ
cos
ϕ.
(2.105)
Com a mesma precisão considerada acima, temos λ
4
= −
˙
λ
3
, onde o pontilhado significa
diferenciação com respeito ao tempo rápido t, tomando o tempo lento τ como um parâmetro
fixo. Assim a matriz λ
4
é dada por
λ
4
=
cos t cos τ −sen τ cos(t − ϕ)
sen τ cos(t + ϕ) cos t cos τ
+ O(γ). (2.106)
27
2.5. ACOPLAMENTO INDEPENDENTE DO TEMPO
Observamos que não há necessidade de se calcular a matriz λ
1
de forma independente,
pois para qualquer operador Hamiltoniano quadrático cujos coeficientes são funções inde-
pendentes do tempo as identidades λ
1
(t) ≡
˜
λ
4
(−t) e
λ
1
λ
−1
3
(t) ≡ −
λ
−1
3
λ
4
(−t) são
verificadas. Neste caso, em particular, temos λ
4
(t) = λ
1
(t) devido a forma específica da
matriz (2.106). A matriz inversa λ
−1
3
pode ser facilmente determinada
λ
−1
3
= ∆
−1
−sen t cos τ −sen τsen (t − ϕ)
sen τsen (t + ϕ) −sen t cos τ
+ O(γ),
com o determinante de λ
3
escrito na forma
∆ ≡ detλ
3
= sen
2
t − sen
2
ϕsen
2
τ. (2.107)
Com as matrizes λ determinadas o propagador fica perfeitamente determinado a partir da
sua forma geral (2.82) e a evolução dinâmica do sistema para quaisquer estados iniciais
arbitrários pode ser obtida em qualquer instante de tempo t > 0.
2.5.1 Forma explícita do propagador e condições de troca de es-
tados
Portanto, a partir dos resultados anteriores é possível escrever o propagador para o
caso em que o acoplamento é independente do tempo porém não apresentamos os passos
matemáticos de modo detalhado, isto para não tornar a leitura um tanto tediosa. Atemo-
nos às idéias fundamentais e aos resultados importantes obtidos. Assim sendo, substituindo
as expressões para as matrizes λ em (2.82) que na forma ressonante dos modos temos para
o propagador
G(x
1
, x
2
, x
1
, x
2
; τ, t) =
iM
2π
√
∆
exp
i
4∆
x
2
1
+x
2
2
sen 2t − sen
2
τsen 2ϕ
+
x
2
2
+x
2
1
×
sen 2t+sen
2
τsen 2ϕ
− 2sen 2τsen ϕ (x
1
x
2
+x
1
x
2
) − 4sen t cos τ
× (x
1
x
1
+x
2
x
2
) + 4sen τ [x
2
x
1
sen (t+ϕ) −x
1
x
2
sen (t−ϕ)]
, (2.108)
onde M = ± 1 é denominado índice de Maslov, que depende dos detalhes da evolução
dinâmica. É necessário que determinemos o sinal da raiz quadrada no prefator da expo-
nencial, especialmente quando o argumento desta raiz for negativo. Entretanto, como o
valor real de M não é importante para nosso objetivo, não necessitamos obter seu valor
preciso.
Para valores de κ 1, t e τ podem ser consideradas efetivamente como variáveis inde-
pendentes, uma vez que um acréscimo em t por um fator de π/2, por exemplo, que altera
28
2.5. ACOPLAMENTO INDEPENDENTE DO TEMPO
completamente os valores das funções sen t e cos t, não produz uma alteração substan-
cial nas funções sen τ e cos τ. Dessa forma, podemos considerar τ nas expressões para as
matrizes λ e propagador como um parâmetro que varia lentamente comparado ao tempo
t.
Para valores arbitrários de t, τ e ϕ a forma quadrática no argumento do propagador
(2.108) contém todos os possíveis produtos de argumentos, de modo que a fatoração do
propagador na forma (2.93) é impossível. Entretanto, ocorre dois casos especiais. O
primeiro é quando temos sen τ = 0. Mas é o caso trivial, uma vez que a função (2.108)
fatora-se em um produto de dois propagadores independentes para cada um dos osciladores
do sistema, sem que haja qualquer interação entre eles e esta situação nada nos oferece.
No entanto, uma situação não trivial acontece se cos τ = 0, ou seja, quando os valores de τ
são dados por τ
n
= π(n + 1/2) com n = 0, 1, . . .. Então, nesta situação, todos as matrizes
λ tornam-se anti-diagonais e para tempos rápidos arbitrários, resulta em um propagador
na forma
G(x
1
, x
2
, x
1
, x
2
; τ
n
, t) =
iM
2π
sen (t − ϕ)sen (t + ϕ)
exp
i
2sen (t+ϕ)
[cos(t+ϕ)
×
x
2
1
+x
2
2
− 2υ
n
x
1
x
2
] +
i
2sen (t−ϕ)
cos(t−ϕ)
x
2
2
+x
2
1
+ 2υ
n
x
1
x
2
, (2.109)
no qual definimos υ
n
= sen τ
n
= (−1)
n
.
Podemos reconhecer imediatamente na expressão (2.109) um produto de duas funções
bem conhecidas [21,22]; os propagadores dos osciladores harmônicos quânticos livres. Con-
sequentemente, o propagador de dois modos acoplados (2.109) na verdade possui a forma
(2.93) com t
1
= t − ϕ, t
2
= t + ϕ, s
2
= −s
1
= υ
n
, significando que ocorre uma troca
de estados do segundo tipo em τ = τ
n
. Isto é um resultado verdadeiro para quaisquer
estados iniciais e valores arbitrariamente pequenos das constantes de acoplamento. Como
para uma troca de estados do primeiro tipo, ela pode ocorrer somente quando a diferença
t
2
−t
1
= 2ϕ for zero ou um múltiplo de π devido a periodicidade do movimento do oscilador
harmônico quântico.
Detalhes mais gerais podem ser vistos em [17], onde as condições de troca de estados
quânticos são verificadas de forma mais criteriosa. Uma análise mais geral do hamiltoniano
pode ser verificada, ou seja, introduzindo os operadores de aniquilação bosônicos
ˆa
1
=
ˆx
1
+ iˆp
1
√
2
, ˆa
2
=
ˆx
2
+ iˆp
2
√
2
a parte de interação do Hamiltoniano (2.85) fica escrita na forma
2H
int
= (γ
1
+ γ
4
+ iγ
2
− iγ
3
) ˆa
†
1
ˆa
2
+ (γ
1
+ γ
4
− iγ
2
+ iγ
3
) ˆa
†
2
ˆa
1
+ (γ
4
− γ
1
− iγ
2
− iγ
3
) ˆa
2
ˆa
1
+ (γ
4
− γ
1
+ iγ
2
+ iγ
3
) ˆa
†
2
ˆa
†
1
.
29
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
Os primeiros dois termos podem ser escritos na forma (µ+iν)ˆa
†
1
ˆa
2
+h.c., correspondendo
à aproximação de onda girante (AOG) (ou do termo em inglês “rotating wave approxima-
tion”). Desde que, usualmente, estes termos descrevem efeitos de espalhamento, não nos
surpreende serem eles os responsáveis pela troca de estados quânticos. São os coeficientes
dos termos da aproximação de onda girante
γ
1
+ γ
4
+ iγ
2
− iγ
3
e γ
1
+ γ
4
− iγ
2
+ iγ
3
,
assumindo valores reais ou imaginários puros, que permitem a troca do primeiro tipo para
quaisquer estados iniciais arbitrários. Além disso, as propriedades de troca de estados
são diferentes quando µ = 0 ou ν = 0. Observemos, também, que a contribuição da parte
relativa a aproximação de onda contra-girante, que diz respeito as oscilações rápidas e estão
dadas pelos fatores a
1
a
2
e a
†
1
a
†
2
, não é essencial à nossa análise no limite de acoplamento
fraco.
2.6 Acoplamento dependente do tempo
Se as frequências ω
1
e ω
2
são diferentes, o processo de ressonância pode ocorrer somente
quando as constantes de acoplamento γ
j
são funcões periódicas do tempo, com frequência
η = ω
1
−ω
2
. Para analisar o efeito desta ressonância na troca da identidade quântica entre
os modos acoplados do sistema, consideramos o Hamiltoniano dependente do tempo na
forma
H =
1
2
ˆp
2
1
+ ˆp
2
2
+ ω
2
1
ˆx
2
1
+ ω
2
2
ˆx
2
2
+ Γ(t) (γ
1
ˆp
1
ˆp
2
+ γ
2
ˆp
1
ˆx
2
+ γ
3
ˆx
1
ˆp
2
+ γ
4
ˆx
1
ˆx
2
) ,
no qual definimos Γ(t) ≡ cos(ηt), de forma que podemos construir também as matrizes b.
Com estes argumentos, nas equações diferenciais (2.94)-(2.95) as matrizes J dependentes
do tempo estão determinadas a partir das matrizes b segundo as equações
J
1
= b
2
− b
−1
4
b
3
b
4
− b
−1
4
db
4
dt
, J
2
= b
1
b
4
− b
2
b
−1
4
b
3
b
4
− b
2
b
−1
4
db
4
dt
+
db
2
dt
,
J
3
= b
3
− b
−1
1
b
2
b
1
+ b
−1
1
db
1
dt
, J
4
= b
4
b
1
− b
3
b
−1
1
b
2
b
1
+ b
3
b
−1
1
db
1
dt
−
db
3
dt
.
No limite de acoplamento fraco, as matrizes J podem ser determinadas conforme as
equações (2.98)-(2.99). Temos, por exemplo, que cada linha da matriz λ
3
(ou λ
1
) pode
ser considerada como um vetor linha v = (λ
l1
, λ
l2
) ≡ (v
1
, v
2
), com l = 1, 2. Portanto, a
equação diferencial para λ
3
é equivalente a equação vetorial
¨
v + Fv = N(t)
˙
v + Q(t)v, (2.110)
com a matriz diagonal F = diag (ω
2
1
, ω
2
2
) no lado esquerdo, e as matrizes não-diagonais
N =
0 h
1
h
3
0
, Q =
0 −h
2
−h
4
0
,
30
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
no lado direito. Temos ainda
˙
Γ(t) ≡ −ηsen (ηt) e os elementos h dados por
h
1
= (γ
2
− γ
3
) Γ(t) + γ
1
˙
Γ(t),
h
2
=
γ
4
+ ω
2
2
γ
1
Γ(t) − γ
2
˙
Γ(t),
h
3
= (γ
3
− γ
2
) Γ(t) + γ
1
˙
Γ(t),
h
4
=
γ
4
+ ω
2
1
γ
1
Γ(t) − γ
3
˙
Γ(t).
Neste caso, as equações diferenciais de segunda ordem para as matrizes λ diferem do
caso anterior pelo fato de seus coeficientes dependerem explicitamente do tempo. Temos
que considerar os métodos apropriados para obter as soluções destas equações. Uma vez
que as amplitudes dos coeficientes γ
j
são consideradas pequenas (limite de acoplamento
fraco), temos a opção de aplicar métodos assintóticos como, por exemplo, o esquema de
Bogoliubov-Mitropolsky ou o método das escalas múltiplas [2]. Portanto, em problemas
cuja frequência ou acoplamento são dependente do tempo, há uma necessidade de se utilizar
métodos assintóticos na resolução destas equações diferenciais, desde que considerados nos
limites da teoria de perturbação. Não vamos expor explicitamente os resultados, pois podem
ser visto em [17], e sim entender os tipos de métodos envolvidos para a solução futura de
nosso problema proposto.
2.6.1 O propagador ressonante e a troca de estados quânticos
Apenas por uma questão de simplificação, introduzimos as novas coordenadas y
i
se-
gundo a transformação de escala
y
i
=
√
ω
i
x
i
. (2.111)
Substituindo as soluções encontradas para a matriz λ
j
acima e considerando as transfor-
mações de escala (2.111 ), o propagador para os modos ressonantes fracamente acoplados
pode ser expresso na forma
G(y
1
, y
2
, y
1
, y
2
; τ, t) =
iM
2π
∆
η
exp
i
2∆
η
S
2
(t)C
1
(t)
y
2
1
+y
2
1
+ S
1
(t)C
2
(t)
y
2
2
+y
2
2
+ sen
2
˜τ
sen ϕ cos ϕ
η
y
2
2
−y
2
1
+ cos ϕsen ϕ
η
y
2
1
−y
2
2

+ 2sen τ[y
2
y
1
sen (ω
1
t+ϕ)
− y
1
y
2
sen (ω
2
t−ϕ)] − sen 2τ (sen ϕy
1
y
2
+ sen ϕ
η
y
1
y
2
) − 2 cos τ [S
2
(t)y
1
y
1
+ S
1
(t)y
2
y
2
]
,
no qual escrevemos o determinante ∆
η
da matriz λ
3
como
∆
η
= ω
1
ω
2
det λ
3
= S
1
S
2
− sen
2
τsen ϕsen ϕ
η
, (2.112)
com as funções trigonométricas S
j
(t), C
j
(t) e a fase ϕ
η
dados por
31
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
S
j
= sen ω
j
t, C
j
= cos ω
j
t (j = 1, 2), ϕ
η
= ϕ + ηt.
Como no caso das frequências idênticas, a troca de estados do segundo tipo pode ocorrer
para quaisquer estados iniciais arbitrários desde que cos τ = 0, ou seja, para valores τ =
τ
n
= π(n + 1/2) com n = 0, 1, . . .. Considerando as definições de M e υ
n
como na seção
anterior, para esses valores τ
n
o propagador fica escrito como
G(y
1
, y
2
; y
1
, y
2
; ˜τ
n
, t) =
M
2πi
sen (ω
2
t − ϕ)sen (ω
1
t + ϕ)
exp
−
cos(ω
1
t + ϕ) (y
2
1
+y
2
2
)
2isen (ω
1
t + ϕ)
+
2υ
n
y
1
y
2
2isen (ω
1
t + ϕ)
−
cos(ω
2
t − ϕ) (y
2
2
+ y
2
1
) + 2υ
n
y
1
y
2
2isen (ω
2
t − ϕ)
, (2.113)
o qual pode ser fatorado na forma (2.93) com os fatores de escala s
2
= −s
1
= υ
n
e tempos
efetivos
t
1
=
ω
2
ω
1
t −
ϕ
ω
1
, t
2
=
ω
1
ω
2
t +
ϕ
ω
2
.
De forma análoga ao caso da troca de estados do primeiro tipo, o mesmo pode acontecer
desde que a razão entre as frequências ω
1
e ω
1
seja convenientemente ajustada com os
valores dos coeficientes de acoplamento. Analisando a forma do propagador (2.113) é fácil
notarmos que ele será fatorado em um produto de duas funções delta de Dirac nos instantes
de tempo t
∗
se
ω
1
t
∗
= (q − χ)π e ω
2
t
∗
= (p + χ)π,
em que p, q são inteiros e χ ≡ ϕ/π com −1 ≤ χ ≤ 1. Combinando os resultados acima,
obtemos as equações definindo precisamente o instante t
∗
a partir das frequências distintas
ω
j
e dos inteiros p, q, configurando assim as condições de troca de identidade do primeiro
tipo:
t
∗
=
p + q
ω
1
+ ω
2
π,
ω
1
ω
2
=
q − χ
p + χ
. (2.114)
Em particular, quando temos χ = 0, equivalente a escolha µ
0
= 0, a razão ω
1
/ω
2
pode ser
qualquer número racional na forma q/p . Entretanto, para χ = ±1/2, equivalente a ν
0
= 0,
obtemos a relação
ω
1
ω
2
= (2q − 1)/(2p + 1). (2.115)
Embora a razão precise ser um número racional, observamos que não pode assumir um
valor arbitrário. Por exemplo, o caso em que ω
1
/ω
2
assume valores pares 2, 4, 6, ... está
naturalmente excluído.
Por outro lado, podemos obter a troca de estados quânticos do primeiro tipo quando
ambos os coeficientes µ e ν são diferentes de zero, escolhendo para tanto valores apropriados
para as frequências. Por exemplo, para µ = ν > 0, quando χ = 1/4, a frequência precisa
satisfazer a relação ω
1
/ω
2
= (4q − 1)/(4p + 1). Além disso, os números naturais p e q
32
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
precisam ter valores grandes, da ordem de [ω
1
ω
2
/ (µ
2
0
+ ν
2
0
)]
1/2
. Contudo, é fácil mostrar
que se algum par de inteiros p
0
e q
0
for encontrado, então existe um número infinito de
outros pares, desde que χ seja um número racional: χ = a/b com inteiros a e b. A fórmula
geral descrevendo tais pares é
p = n(bp
0
+ a) + p
0
, q = n(bq
0
− a) + q
0
, n = 0, 1, 2, . . .
Para valores irracionais de χ e da razão ω
1
/ω
2
, somente um par de inteiros p, q pode ser
encontrado, a menos que χ seja aproximadamente um número racional. Ainda, para χ
sendo um número racional, uma troca de estados do primeiro tipo pode ocorrer, somente
de forma aproximada, sendo exata com algumas exceções. Isto ocorre porque o tempo lento
τ não é completamente independente para o tempo t real; as condições τ = (n + 1/2)π e
t = t
∗
podem ser exatamente satisfeitas somente sob certas cisrcustâncias (descrita pelos
valores apropriados dos parâmetros do sistema).
Conforme exemplificado por Castro at al em [3] a representação gráfica da troca de
identidade quântica para os osciladores fracamente acoplados está definida pela equação
(2.87), onde para as trocas de primeiro e segundo tipo podem ser verificadas fazendo
as escolhas devidas para os parâmetros do sistema: estados iniciais do sistema, valores da
intensidade das constantes de acoplamento e fase do sistema. Assim através dos gráficos na
figura (2.1)-(2.2) observamos exemplos dos diferentes tipos de trocas de estados quânticos.
Em todos os gráficos a superfície A representa o estado inicial, enquanto a superfície C
corresponde aos instantes de tempo quando a troca de estado do primeiro tipo acontece.
Em todos os casos considerados, fizemos escolhas adequadas para os valores dos parâmetros
do sistema em unidades adimensionais, fixando m = ω = = 1. Os valores não nulos de µ
e ν são escolhidos iguais a 0, 02 de tal modo que κ = 0 , 010 e τ = 0, 010t no caso de ϕ = 0,
enquanto κ = 0, 014 no caso de ϕ = π/4. Nos procedimento de simulação, ao contrário das
considerações anteriores, não podemos assumir que t e τ sejam variáveis independentes.
Com relação aos estados iniciais, para o primeiro oscilador indexado com a coordenada x
1
,
escolhemos o estado comprimido deslocado
ψ
s
x
10
(x
1
; 0) = (π s)
−1/4
exp
−(x
1
− x
10
)
2
/(2s)
, (2.116)
com s = 0, 36 e x
10
= 3, 86. O gráfico 2.1 descreve o caso quando o segundo oscilador,
indexado pela coordenada x
2
, encontra-se inicialmente no estado de vácuo
ψ
0
(x
2
; 0) = π
−1/4
exp
−x
2
2
/2
. (2.117)
Para ϕ = µ = 0, uma troca de estados quânticos do primeiro tipo ocorre no instante
t = 157, 08 ≈ 50π quando τ = π/2. A densidade de probabilidade neste instante está dada
pela superfície C, que é obviamente a superfície A rodada de 90 graus. A superfície B
33
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
mostra uma troca de estados do segundo tipo, para o valor de ϕ = π/4 com µ = ν > 0: no
instante t = (35−1/4)π ≈ 109, 17 e τ ≈ 1, 54, o primeiro oscilador encontra-se no estado de
vácuo, enquanto o segundo oscilador assume a identidade do estado comprimido, com um
valor alterado de coeficiente de compressão s
= 1/s e o centro do pacote deslocado para a
origem do sistema de coordenadas. Esta troca corresponde perfeitamente ao estado inicial
comprimido deslocado no tempo por um quarto do período. Todas estas simulações foram
efetuadas para os estados gaussianos do oscilador harmônico. Para melhor caracterizar
a arbitrariedade dos estados, podemos escolher como um estado inicial um estado não
gaussiano. Deste modo, na figura 2.2 observamos a situação em que o segundo oscilador
está em um estado de Fock
Ψ
n
(x
2
; 0) = (2
n
n!)
−1/2
ψ
0
(x
2
)H
n
(x
2
), (2.118)
com n = 2, H
n
(x) um polinômio de Hermite e ψ
0
(x
2
) a função de onda do vácuo do
oscilador. Diminuindo os valores das constantes de acoplamento do sistema, podemos
B
C
A
–5
0
5
x1
–5
0
5
x2
0
0.5
P
Figura 2.1: Trocas do primeiro (C) e do segundo (B) tipo entre o estado de vácuo e estado
comprimido com s = 0, 36 e x
0
= 3, 86. A: densidade de probabilidade inicial. C: densidade
de probabilidade no instante t = 157, 08 ≈ 50π (τ = π/2) para ϕ = µ = 0 e ν = 0, 02. B:
densidade de probabilidade ϕ = π/4 (µ = ν = 0, 02) no instante t = (35 −1/4)π ≈ 109, 17.
obter melhores condições para a troca dos estados quânticos. Porém, o tempo de troca
aumenta inversamente proporcional aos valores da constante de acoplamento.
Assim, para osciladores de frequências distintas e fracamente acoplados, estudamos
os diferentes tipos de trocas de estados quânticos para condições arbitrárias, além das
34
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
B
C
A
–5
0
5
x1
–5
0
5
x2
0
0.5
P
Figura 2.2: A evolução da distribuição inicial para ϕ = 0 e ν = 0, 02. A: o primeiro
oscilador no estado comprimido com s = 0, 36, x
0
= 3, 85 e o segundo oscilador no estado
de Fock com n = 2. B: densidade de probabilidade para uma escolha arbitrária de tempo
t = 67, 32 ≈ 21, 43π (τ ≈ π/5). C: a troca de estado do primeiro tipo para t = 157, 08 ≈
50π e τ ≈ π/2.
condições sob as quais elas podem ocorrer. A condição de ressonância, quando ω
1
= ω
2
,
é necessária para haver troca de identidade quântica entre os diferentes subsistemas, na
condição em que o acoplamento é independente do tempo. A partir destas argumentações
nos inspiramos em um modelo de dois osciladores acoplados cuja estrutura de acopla-
mento não é depedente do tempo, mas no qual um dos osciladores está sob o efeito de
uma excitação paramétrica quântica: sua frequência ω
1
depende explicitamente do tempo
através de uma função periódica. Neste caso é importante ter em mente que a condição
de ressonância ω
1
(t) = ω
2
ocorrerá somente em alguns instantes de tempo bem definidos
ao longo da evolução dinâmica do sistema. Nestas condições, para caso de acoplamento
fraco independente do tempo, surge a questão: é possível haver troca de propriedades dos
estados quânticos iniciais entre os diferentes osciladores acoplados? Isto é essencialmente
um dos pontos centrais a ser abordado neste trabalho.
A modificação na estrututa geral do hamiltoniano se dá apenas por uma transformação
nas componentes de quadraturas, através das equações (2.84), de forma que introduzimos
o fato de frequência paramétrica como,
ω
j
=
1 + εr
j
(t) = 1 +
1
2
εr
j
(t) + O(ε
2
),
quando ε = 0 retornamos ao caso de frequência constates, assim verificamos que na ex-
35
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
citação paramétrica o efeito da correção de ordem zero para o parâmetro ε é o mesmo
nas componentes de coordenadas e componentes de quadraturas. O problema de dois os-
ciladores acoplados, considerando apenas um dos modos com frequência variante no tempo,
tem como operador Hamiltoniano na forma
ˆ
H =
1
2
[ˆp
2
1
+ ˆp
2
2
+ ω
2
1
(t)ˆx
2
1
+ ˆx
2
2
] + εζ
0
(ˆx
1
ˆx
2
+ ˆp
1
ˆp
2
) + εζ
1
(ˆx
1
ˆp
2
− ˆp
1
ˆx
2
), (2.119)
onde ω
2
1
(t) = 1 + 8ξεr(t), r
1
(t) = 8ξr(t), r(t) = cos ηt e o acoplamento entre os dois é do
tipo aproximação de onda girante [3] também já discutido anteriormente. Da mesma forma
que encontramos os elementos das matrizes λ
s para o operador hamiltoniano mais geral,
vamos aqui encontrar tais elementos destas matrizes para o hamiltoniano em (2.119).
Podemos supor uma condição inicial para a função de onda na sua forma fatorada dada
por,
ψ (x
1
, x
2
; 0) = ψ
1
(x
1
) ψ
2
(x
2
) , (2.120)
isto é, os modos estão desacoplados no instante inicial. A função de onda para tempos
futuros t > 0 pode ser escrita por
ψ (x
1
, x
2
; t) =
G (x
1
, x
2
; x
1
, x
2
; t) ψ (x
1
, x
2
; 0) dx
,
1
dx
,
2
, (2.121)
onde G (x
1
, x
2
; x
1
, x
2
; t) é o propagador da equação de Schrödinger com Hamiltoniano
(2.119). Neste caso, a forma explícita do propagador está dada por [4]
G (x
2
; x
1
; t) = [det (−2πiλ
3
)]
−1/2
exp
−
i
2
x
2
λ
−1
3
λ
4
x
2
− 2x
2
λ
−1
3
x
1
+ x
1
λ
1
λ
−1
3
x
1
,
(2.122)
uma vez que C = 0 e consequentemente δ
k
= 0. As matrizes λ
j
(t) de ordem 2 satisfazem
o sistema de equações diferenciais lineares dada pelas equações (2.49)-(2.51), sujeito as
condições (2.41) (E
2
é uma matriz identidade de ordem 2)
E
2
=
1 0
0 1
.
Para o Hamiltoniano (2.119) temos as matrizes blocos b
j
, j = 1, 2, 3, 4, e c
j
, j = 1, 2
dadas por
b
1
=
1 εζ
0
εζ
0
1
, b
2
=
0 −εζ
1
εζ
1
0
, b
3
=
0 εζ
1
−εζ
1
0
, (2.123)
b
4
=
ω
2
1
(t) εζ
0
εζ
0
1
, c
1
= c
2
=
0
0
. (2.124)
36
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
Com os elementos das matrizes blocos (2.123)-(2.124), determinamos o conjunto de equações
diferenciais para as matrizes Λ(t) conforme (2.45) e os seus resultados em (2.49-2.51). Es-
crevendo as matrizes λ
s mais explicitamente obtemos a forma
λ
1
=
u
1
u
2
u
3
u
4
, λ
2
=
v
1
v
2
v
3
v
4
, (2.125)
λ
3
=
˜u
1
˜u
2
˜u
3
˜u
4
, λ
4
=
˜v
1
˜v
2
˜v
3
˜v
4
, (2.126)
que substituídos nas equações (2.49-2.51), obtemos a forma geral do sistema de equações
diferenciais que determina as matrizes λ
s. Para a matrizes λ
1
e λ
2
as equações estão dadas
na forma compacta por
du
i
dt
= −εu
j
ζ
1
− v
i
− εv
j
ζ
0
,
dv
i
dt
= ω
2
1
(t)u
i
+ εu
j
ζ
0
− εv
j
ζ
1
, (2.127)
du
j
dt
= −εu
i
ζ
1
− εv
i
ζ
0
− v
j
,
dv
j
dt
= εu
i
ζ
0
+ u
j
+ εv
i
ζ
1
, (2.128)
onde i = 1, j = 2 e i = 3, j = 4, enquanto que para as matrizes λ
3
e λ
4
temos a mesma
configuração de soluções mediante troca de simbolos de u
i
, v
i
para ˜u
i
, ˜v
i
. Estas equações
diferenciais estão sujeitas as condições iniciais
u
1
(0) u
2
(0)
u
3
(0) u
4
(0)
=
1 0
0 1
,
v
1
(0) v
2
(0)
v
3
(0) v
4
(0)
=
0 0
0 0
, (2.129)
˜u
1
(0) ˜u
2
(0)
˜u
3
(0) ˜u
4
(0)
=
0 0
0 0
,
˜v
1
(0) ˜v
2
(0)
˜v
3
(0) ˜v
4
(0)
=
1 0
0 1
, (2.130)
conforme as equações (2.48).
Determinadas as equações diferenciais (2.127)-(2.128) com as suas respectivas condições
iniciais (2.129)-(2.130), as soluções de matrizes λ
s e o correspondente propagador pode ser
determinado. No entanto, dado o grau de acoplamento das equações nos sistemas, isto é,
oito equações acopladas, somos induzidos a considerar o sistema em alguma condição que
introduza uma simplificação razoável do ponto de vista operacional e aceitável do ponto
de vista físico. Considerando que o sistema em estudo está modelando modos acoplados
do campo eletromagnético, as interações se processam nos domínios das interações fracas;
a intensidade do acoplamento é tomada. Isto implica para as constantes de acoplamento
no Hamiltoniano de interação,
ˆ
H
I
= εζ
0
(ˆx
1
ˆx
2
+ ˆp
1
ˆp
2
) + εζ
1
(ˆx
1
ˆp
2
− ˆp
1
ˆx
2
), (2.131)
um valor pequeno. Dessa maneira podemos considerar os sistemas de equações diferencias
no limite de acoplamento fraco, sujeita a condição ε
2
ζ
i
ζ
k
1.
37
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
Nos domínios de uma teoria de pertubação consideramos as equações até correções de
primeira ordem no parâmetro ε. Conforme discutido em [3] as correções de ordem zero
são suficientes para considerar de forma aproximada os efeitos do acoplamento no sistema,
pelo menos nos primeiros instantes da evolução dinâmica. A partir desta argumentação,
reduzimos as equações diferenciais de primeira ordem para as matrizes λ
s, um conjunto
de equações diferenciais de segunda ordem, isto pode ser visto em maiores detalhes no
apêndice A4.
Então, determinamos primeiramente as matrizes inversas das matrizes blocos b
j
, dadas
por
b
−1
1
=
−
1
−1+ε
2
ζ
2
0
εζ
0
−1+ε
2
ζ
2
0
εζ
0
−1+ε
2
ζ
2
0
−
1
−1+ε
2
ζ
2
0
, b
−1
2
=
0
1
εζ
1
−
1
εζ
1
0
, (2.132)
b
−1
3
=
0 −
1
εζ
1
1
εζ
1
0
, b
−1
4
=
−
1
−ω
2
1
(t)+ε
2
ζ
2
0
εζ
0
−ω
2
1
(t)+ε
2
ζ
2
0
εζ
0
−ω
2
1
(t)+ε
2
ζ
2
0
−
ω
2
1
(t)
−ω
2
1
(t)+ε
2
ζ
2
0
, (2.133)
e definimos as matrizes E
j
,em termos das matrizes b
j
, segundo as equações:
E
1
= b
2
− b
−1
4
b
3
b
4
− b
−1
4
db
4
dt
, E
2
= b
1
b
4
− b
2
b
−1
4
b
3
b
4
− b
2
b
−1
4
db
4
dt
+
db
2
dt
, (2.134)
E
3
= b
3
− b
−1
1
b
2
b
1
− b
−1
1
db
1
dt
, E
4
= b
4
b
1
− b
3
b
−1
1
b
2
b
1
− b
3
b
−1
1
db
1
dt
−
db
3
dt
. (2.135)
Tais matrizes podem ser identificadas com a forma geral do sistema de equações de primeira
ordem (2.127)-(2.128) (de acordo com o desenvolvimento no apêndice A4). Assim, no
limite do acoplamento fraco, simplificamos consideravelmente os cálculos para a solução do
problema dinâmico correspondente ao operador. As equações diferenciais suficientes para
a descrição física do sistema assumem a forma
d
2
λ
j
dt
2
−
dλ
j
dt
E
3
+ λ
j
E
4
= 0, j = 1, 3, (2.136)
d
2
λ
j
dt
2
−
dλ
j
dt
E
1
+ λ
j
E
2
= 0, j = 2, 4, (2.137)
onde negligenciamos os termos da ordem de ε
2
. Deste modo obtivemos equações diferenciais
de segunda ordem acopladas para os elementos da linha das matrizes λ’s, que podem ser
divididas em dois grupos distintos. Temos o primeiro grupo para as matrizes λ
1
(t) e λ
3
(t)
na forma
S
1
:
¨u
1
+ ω
2
1
(t)u
1
+ 2ε(ζ
1
˙u
2
+ ζ
0
u
2
) = 0,
¨u
2
+ u
2
− 2ε(ζ
1
˙u
1
− ζ
0
u
1
) = 0.
(2.138)
De modo similar, para o segundo grupo para as matrizes λ
(2)
(t) e λ
(4)
(t) temos
S
2
:
¨v
1
+ ω
2
1
(t)v
1
− ξε ˙v
1
˙r + 2ε(ζ
1
˙v
2
+ ζ
0
v
2
) = 0,
¨v
2
+ v
2
− 2ε(ζ
1
˙v
1
− ζ
0
v
1
) = 0.
(2.139)
38
2.6. ACOPLAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO
Observe que os termos de acoplamento das equações em S
1
e S
2
ocorrem em correções de
primeira ordem no parâmetro ε, isto porque, já na própria estrutura do hamiltoniano dada
pela equação (2.119), o acoplamento do sistema é considerado fraco.
Além das correções dadas pelo parâmetro ε, o sistema de equações (2.138-2.139), nos
mostra equações diferenciais do tipo
¨u + ω
2
(t)u = 0, (2.140)
conhecidas na literatura como equação de Mathieu. Tal equação é utilizada em mecânica
clássica nos problemas de vibrações não lineares, analizando a estabilidade das soluções
da sua dinâmica classificando-as em soluções estáveis e instáveis (teoria de pertubação).
Outra utilização é em sistemas onde uma força periódica é aplicada, similiar ao problema
de uma excitação paramétrica atuando no sistema. Uma forma de tratar a equação de
Mathieu é aplicação da teoria de Floquet, onde sua equação diferencial é dita linear com
coeficientes periódicos.
Em contraste aos sistemas sob ação de uma exitação externa, em geral descrito por
equações diferenciais com coeficientes constantes ou que variam lentamente no tempo,
as excitações paramétricas conduzem-nos a equações diferenciais com coeficientes variando
rapidamente no tempo, usualmente de forma periódica. Além disso, uma pequena excitação
paramétrica pode produzir uma resposta eficaz mesmo quando a frequência da excitação
for distante da frequência natural do sistema. Neste aspecto, é visto uma grande aplicação
da equação de Mathieu também em mecânica quântica [23], juntamente com os métodos
de solução da sua equação diferencial.
Após esta análise das equações em (2.138-2.139), observando o aspecto dos acoplamen-
tos e também o papel central da equação de Mathieu, podemos tratar em uma primeira
aproximação, o acoplamento como um fator perturbativo nas equações diferenciais, sug-
erindo dessa forma a aplicação de algum método assintótico para a solução geral destas
equações. Vários são os métodos utilizados em problemas assintóticos, dentre eles temos o
método das escalas múltiplas, o método por via direta, o método de Lindsted’s [2] etc. Aqui
vamos utilizar o método das escalas múltiplas, cujo detalhes deixaremos para o proximo
capítulo.
Assim, os sistemas de equações diferenciais de segunda ordem acopladas podem ser
resolvidos para um caso especial do limite do acoplamento fraco (ε
2
ζ
j
ζ
k
1), onde a
frequência do oscilador paramétrico varia de uma quantidade pequena em torno de uma
unidade de frequência (a frequência do segundo oscilador); ω
2
1
(t) = 1 + 8ξεr(t) e ξε 1
ainda r(t) = cos ηt. O primeiro passo para a análise da dinâmica do sistema está dado com
a determinação das equações (2.138)-(2.139). Vamos agora apresentar uma breve revisão
do método das escalas múltiplas nos contextos da física clássica e quântica.
39
2.7. CONCLUSÃO
2.7 Conclusão
Neste capítulo expomos de maneira resumida a teoria do propagador para o caso par-
ticular dos operadores Hamiltonianos quadráticos. Revisamos os conceitos de invariantes
quânticos na sistemática operacional desenvolvido por Dodonov [4] e abordamos os pon-
tos centrais necessários à compreensão do problema. Uma vez que esta formulação está
perfeitamente definida na literatura e para o problema em estudo são relevantes apenas
a forma final do propagador e sua aplicabilidade, neste este capítulo ilustrando como se
determinar a forma do propagador para operadores Hamiltonianos quadráticos a partir das
matrizes Λ(t) e ∆(t). Além disso, consideramos a sua aplicabilidade no estudo de troca de
estados quânticos em osciladores acoplados, mostrando como a partir do propagador ou das
matrizes λ’s podemos caracterizar as condições de troca de estados quânticos. Mostramos
também que nosso modelo de trabalho, surge das transformações de coordenadas de um
hamiltoniano mais geral, onde o efeito paramétrico em uma das frequências dos modos
acoplados nos sugerem buscar soluções pertubativas. Isto nos motivou a aplicação do
método das escalas múltiplas para se determinar a solução de matrizes λ
s, observando
neste trabalho a importância do estudo da equação de Mathieu tanto nos domínios da
física clássica quanto da física quântica a que veremos à seguir.
40
Capítulo 3
Método das Escalas Mútiplas
3.1 Introdução
Convencionalmente o acoplamento-fraco de Rayleigh-Schrödinger [24, 25] é um dos
problemas tratados em teorias de pertubação onde os acoplamentos podem ser vistos como
ordens sucessivas dentro de uma série de acoplamentos ressonantes. O método das es-
calas múltiplas(MEM) é um poderoso método perturbativo pois analisa quantitativamente
os comportamentos físicos característicos em diferentes escalas de tempo associadas a um
dado sistema dinâmico. A idéia principal do MEM consiste no fato de sistemas dinâmi-
cos poderem exibir comportamentos físicos distintos em diferentes escalas de comprimento
ou de tempo. Se uma série perturbativa em um parâmetro convenientemente estabele-
cido for usada para resolver um dado problema então há frequentemente um acoplamento
ressonante entre as distintas ordens sucessivas do parâmetro da série perturbativa. Estes
acoplamentos gerais, os chamados termos seculares da série (os termos que crescem rap-
idamente como funções nas diferentes escalas definidas). Termos seculares impõem um
crescimento rápido para os valores das soluções para pequenas variações de suas variáveis
e a exigência física de soluções regulares ou finitas para sistemas dinâmicos nos domínios
da teoria de perturbação implica em certas restrições sobre os termos seculares. O MEM
reorganiza os termos da série de forma a eliminar o crescimento rápido, permitindo uma de-
scrição quantitativa dos comportamentos característicos que ocorrem nas diferentes escalas,
definindo soluções regulares para o sistema em estudo.
Este método é aplicado em vários problemas relacionados a efeitos não lineares de
equações diferenciais tanto em mecânica clássica (i.e equação de duffing) quanto em mecânica
quântica (i.e equação de movimento de Heisenberg, equação de Schrödinger) [23, 26–29].
Em problemas relacionados à ótica quântica, por exemplo, o método das escalas múlti-
plas permite estudar de forma analítica o efeito da modulação da amplitude em um feixe
monocromático, produzido pela excitação de um modelo de átomos acoplados através de
41
3.2. ASPECTOS GERAIS DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
dois lasers com frequências diferentes [30]. Também em problemas relacinados com a in-
teração e quantização em cavidades quânticas com paredes oscilantes [23]. Este último
motivou a nossa proposta de estudo etc. Portanto, neste capítulo vamos considerar uma
breve revisão dos aspectos gerais do método das escalas múltiplas em problemas de física
clássica e quântica.
3.2 Aspectos Gerais do Método das Escalas Múltiplas
Estamos interessados em como obtemos soluções assintóticas de equações diferenci-
ais, que nem sempre podem ser resolvidas de forma exata. Em geral, para as equações
diferenciais de sistemas não lineares, utilizam-se métodos assintóticos para se obter suas
soluções aproximadas [2,24,25,31]. Um exemplo interessante é o do movimento oscilatório
unidimensional sob ação de uma força central. Para este sistema consideramos equação
para a posição u do oscilador, dada na forma geral:
¨u + f(u) = 0, (3.1)
onde f(u) é uma função não-linear, onde a partir dela podemos assumir equações do tipo
oscilador harmônico, equação de duffing etc. Portanto f (u) é um caso geral onde podemos
identificar o tipo de linearidade que a equação diferencial pode assumir em um determinado
sistema físico. Assim várias técnicas para obter soluções aproximadas podem ser utilizadas.
Prosseguindo, reescrevemos (3.1) em um sistema de coordenadas conveniente, tal que
x = u −u
0
, com u
0
a posição de equilíbrio do oscilador. Assim temos a equação diferencial
reescrita na forma
¨u + f(x + u
0
) = 0. (3.2)
Verifica-se que f pode ser expandindo em série de Taylor em torno do ponto u
0
. Com este
procedimento, estamos em busca de soluções aproximadas para nossa equação. Logo
f(x + u
0
) =
N
n=1
α
n
x
n
, (3.3)
com
α
n
=
1
n!
f
(n)
(u
0
), (3.4)
e f
(n)
denotando as n-ésimas derivadas no ponto u
0
. As condições iniciais são dadas
pela posição inicial u(0) e a sua velocidade inicial ˙u(0). A partir das condições iniciais
determina-se as soluções de maneira única.
No método das escalas múltiplas, a idéia principal é aplicar uma transformação na
equação diferencial em estudo, sendo ela linear ou não, gerando uma série de equações
42
3.2. ASPECTOS GERAIS DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
diferenciais lineares acopladas. Para tornar mais explícito esta definição o método define
n variáveis T
n
de tempo, dadas por
T
n
= ε
n
t, (3.5)
onde estas variáveis são interpretadas como diferentes escalas de tempo (múltiplas escalas)
e tomadas como independentes, desde que o parâmetro ε assuma um valor pequeno, ε 1.
Para estas diferentes escalas de tempo, observamos que as derivadas na variável t tam-
bém devem ser reescritas em termos das derivadas de T
n
na forma
d
dt
=
∂
∂T
0
+ ε
∂
∂T
1
+ ε
2
∂
∂T
2
+ ... = D
0
+ εD
1
+ ε
2
D
2
+ ... (3.6)
d
2
dt
2
= D
2
0
+ 2εD
0
D
1
+ ε
2
(D
2
1
+ 2εD
0
D
2
) + ..., (3.7)
D
n
=
d
n
dT
n
. (3.8)
As derivadas são separáveis, pela expansão dos termos, de acordo com diferentes ordens
de potências de ε. Deste modo, pode-se assumir então, uma solução para a equação (3.2),
levando-se em conta a expansão dada pela equação (3.3), na forma
x(t; ε) = x
0
(T
0
, T
1
, T
2
, ...) + εx
1
(T
0
, T
1
, T
2
, ...) + ε
2
x
2
(T
0
, T
1
, T
2
+ ...) + O(ε
3
) (3.9)
substituindo primeiramente (3.3)e em seguida, (3.6), (3.9) e (3.10) na equação (3.2), obte-
mos, para cada ordem n em ε uma equação diferencial linear para a componente x
n
na
série (3.9):
ε
0
D
2
0
x
0
+ ω
2
0
x
0
= 0,
ε
1
D
2
0
x
1
+ ω
2
0
x
1
= −2D
0
D
1
x
0
− α
2
x
2
0
,
ε
2
D
2
0
x
2
+ ω
2
0
x
2
= −2D
0
D
1
x
0
− (D
2
1
+ 2εD
0
D
2
)x
0
− 2α
2
x
0
x
1
− α
3
x
3
0
,
.
.
.
ε
n
D
2
0
x
n
+ ω
2
0
x
n
= F
n
(x
1
, ..., x
n−1
), ...
.
.
.
Note que as soluções das equações de ordens menores aparecem como os termos não ho-
mogêneos, F
n
(x
1
, ..., x
n−1
), nas equações das ordens maiores. Portanto, este é um método
interativo; por exemplo, a solução da ordem zero influi na solução da primeira ordem, en-
quanto a solução da segunda ordem está definida pelos efeitos das soluções das ordens zero
e um, e a assim por diante. A solução para ε
0
é bastante simples, basta-nos lembrar do
problema do oscilador harmônico onde assumiamos uma solução do tipo exponencial com
constantes a serem definidas, então na correção de ordem zero temos
x
0
(T
0
, T
1
, T
2
, ...) = A(T
1
, T
2
, ...) exp(iω
0
T
0
) +
¯
A(T
1
, T
2
, ...) exp(−iω
0
T
0
), (3.10)
43
3.2. ASPECTOS GERAIS DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
onde
¯
A é o complexo conjugado de A. Observa-se que as constantes estão em função das
outras variáveis de tempo T
1
, T
2
, ..., pois a dependência da diferencial na correção de ordem
zero se dá apenas no parâmetro T
0
. Fazendo a substituição de (3.10) na equação de ordem
ε resulta em
D
2
0
x
1
+ ω
2
0
x
1
= −2iω
0
D
1
A exp(iω
0
T
0
) − α
2
[A
2
exp(2iω
0
T
0
) + A
¯
A] + cc (3.11)
onde cc significa complexo conjugado dos três primeiros termos do lado direito da equação
(3.11). Um aspecto importante do método está na identificação dos termos seculares que
aparecem nas equações diferenciais. No entanto, queremos saber o que são estes termos
seculares?
Uma resposta plausível é verificada quando primeiramente estamos buscando soluções
que não divirjam para tempos t > 0, pois interessa-nos soluções regulares para o nosso
problema o que é importante no estudo da equação de Mathieu descrito anteriormente.
Estes termos podem ser identificados e entendidos fazendo-se uma analogia ao problema
da ressonância em um oscilador harmônico de frequência ω sujeito a ação de uma força
externa g cos ϕt, cuja frequência da força aplicada ϕ iguala-se à frequência natural do
oscilador. Para este sistema temos a equação do movimento para a posição y dada por
¨y + ω
2
y = g cos ϕt. (3.12)
A solução da equação homogênea é igual a
y
h
(t) = a
1
sen ωt + a
2
cos ωt,
onde a
1
e a
2
são constantes arbitrárias. A solução particular y
p
é uma função do tipo
atsen ϕt e t, onde a independência linear é respeitada. Então a solução particular da
equação diferencial (3.12) tem a forma
y
p
=
g
2ϕ
tsen ϕt. (3.13)
Da solução (3.13), observamos no decorrer do tempo que a amplitude do oscilador
aumenta no tempo, até chegar a uma amplitude limite na qual o sistema colapsa antes da
oscilação se tornar infinita [32]. É justamente este tipo de comportamento que deveremos
eliminar na aplicação do método das escalas múltiplas, pois são os termos seculares que
levam a uma solução não regulares. Por exemplo na equação (3.11) o termo secular é
dado por −2iω
0
D
1
A exp(iω
0
T
0
), (onde a frequência de oscilação é a mesma daquela na
correspondente equação homogênea para x
1
). Assim, no sentido de eliminarmos soluções
divergentes impoem-se a condição
D
1
A(T
1
, T
2
) = 0, (3.14)
44
3.2. ASPECTOS GERAIS DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
eliminando o termo secular, ao mesmo tempo identificando equação para a amplitude
A(T
1
, T
2
).
A equação (3.14) implica para A(T
1
, T
2
) ser independente de T
1
, ao mesmo tempo em
que implica para (3.11), a equação
D
2
0
x
1
+ ω
2
0
x
1
= −α
2
[A(T
2
)
2
exp(2iω
0
T
0
) + A(T
2
)
¯
A(T
2
)] + cc, (3.15)
cuja solução obtida por métodos usuais de equações diferenciais é dada na forma
x
1
(T
0
, T
2
) =
α
2
A(T
2
)
2
3ω
2
0
exp(2iω
0
T
0
) −
α
2
ω
2
0
A(T
2
)
¯
A(T
2
) + cc. (3.16)
Determinadas os soluções x
0
e x
1
, substituimos na equação diferencial de correção no
prâmetro ε
2
, e considerando a condição (3.14), obtemos a seguinte equação diferencial
D
2
0
x
2
+ ω
2
0
x
2
= −[2iω
0
D
2
A −
10α
2
2
− 9α
3
ω
2
0
3ω
2
0
A
2
¯
A] exp(iω
0
T
0
)
−
2α
2
2
+ 3α
3
ω
2
0
3ω
2
0
A
3
exp(3iω
0
T
0
) + cc. (3.17)
Novamente, identificando o termo secular em (3.17), como sendo o primeiro termo do lado
direito da equação, impomos a condição
2iω
0
D
2
A(T
2
) −
10α
2
2
− 9α
3
ω
2
0
3ω
2
0
A
2
(T
2
)
¯
A(T
2
) = 0. (3.18)
Temos agora uma equação para determinar a amplitude A(T
2
) do sistema conforme
as relações (3.11)-(3.18). Para isto podemos supor uma solução complexa na forma polar
como
A(T
2
) =
1
2
a exp(ib), (3.19)
com a e b funções de T
2
. Substituindo a equação (3.19) em (3.18), separando o resultado
em parte real e imaginária, obtemos uma solução do tipo
A =
1
2
a
0
exp(i
9α
3
ω
2
0
− 10α
2
2
24ω
2
0
a
2
T
2
+ ib
0
). (3.20)
Usando o fato que T
2
= ε
2
t, e das relações (3.10) e (3.16), a solução aproximada para (3.2)
é da forma
x = a
0
cos(ωt + b
0
) −
εa
2
α
2
2α
1
[1 −
1
3
cos(2ωt + 2b
0
)] + O(ε
2
), (3.21)
com
ω = ω
0
[1 +
9α
3
ω
2
0
− 10α
2
2
24ω
2
0
ε
2
a
2
0
] + O(ε
2
), (3.22)
para a e b determinados a partir de um problema de valor inicial. Nesta seção fizemos um
estudo abordando o método das escalas múltiplas como um procedimento para a solução
de um modelo não linear genérico definido pela função f(u).
45
3.2. ASPECTOS GERAIS DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
Um outro exemplo importante para nosso estudo, que a partir da expansão em Taylor
da função f(u), é a equação de Duffing. Esta equação diferencial apresentou-se como
a primeira opção de um modelo físico concreto para a aplicação do método das escalas
múltiplas. É uma equação importante no problema de oscilações não lineares [33], como por
exemplo no estudo do oscilador anarmônico de massa unitária (p = ˙x), cuja hamiltoniana
está dada por
H(x, p) =
˙x
2
2
+
x
2
2
+ ε
x
4
4
, (3.23)
sujeito a condição ε 1. Vamos aplicar o método das escalas múltiplas para um deter-
minado problema de valor inicial. As equações do movimento deste sistema estão dadas
por
dx
dt
= {x, H(x, p)} = p, (3.24)
dp
dt
= {p, H(x, p)} = −x −4εx
3
, (3.25)
{K, H} =
∂K
∂x
∂H
∂p
−
∂K
∂p
∂K
∂x
.
O sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem (3.24)-(3.25) pode ser re-
duzido a uma equação diferencial de segunda ordem, conhecida por equação de Duffing.
Temos, então, para o sistema (3.23) a equação
d
2
x
dt
2
+ x + 4εx
3
= 0, (3.26)
onde x(t) é a variável clássica para a posição. Para nosso problema vamos considerar, por
exemplo, as condições iniciais
x(0) = 1, ˙x(0) = 0. (3.27)
Tentamos então uma solução do tipo:
x(t) =
∞
n=0
ε
n
x
n
(t). (3.28)
Substituindo a série dada por (3.28) em (3.26) obtemos as equações de ordem zero e um
para o parâmetro ε:
d
2
x
0
dt
2
+ x
0
= 0, (3.29)
d
2
x
1
dt
2
+ x
1
= −4x
3
0
. (3.30)
Observe que a solução de correção de ordem zero será útil na solução da correção de
primeira ordem (3.30) de forma que para simplificar o termo não homogêneo da equação
diferencial resultante na correção de primeira ordem é verificado facilmente que a solução
46
3.3. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
de (3.30) possui um termo secular dado por tsen t, que no limite t → ∞ a solução particular
é divergente, contrariando a condição física de que o sistema (3.26) tem uma energia finita:
o sistema não está acoplado com nenhum potencial externo e portanto, pode ser tratado
como um sistema isolado com energia constante E
0
,
H(x, p) =
˙x
2
2
+
x
2
2
+ ε
x
4
4
= E
0
.
Justificada a condição física para eliminarmos termos seculares, nós podemos considerar a
expansão (3.28) sob o ponto de vista das escalas múltiplas. A partir dai, podemos utilizar
os mesmos procedimentos já utilizados para resolver o problema do movimento oscilatório
undimensional sob ação de uma força central, expressa pela equação (3.2). Os detalhes
matemáticos para a solução da equação de Duffing podem ser visto no apêndice B, tanto
a solução clássica, quanto o seu análogo quântico.
De forma resumida, temos que o objetivo principal do método das escalas múltiplas
é realizar a transformação de equações diferenciais lineares ou não em um conjunto de
equações diferenciais lineares acopladas verificando um modelo físico adequado para o tipo
de correção de ordem nos parâmetros ε. Agora podemos aplicar o método em nosso modelo,
resolvendo o conjunto de equações diferenciais (2.138)-(2.139), determinando os elementos
das matrizes λ
s.
3.3 Aplicação do Método das Escalas Múltiplas
Utilizamos agora o método das escalas múltiplas para a construção de soluções aproxi-
madas do sistema descrito pelo Hamiltoniano em (2.119). A presença do parâmetro ε 1,
motivando-nos a buscar soluções em série de potências em ε, conforme explicações dadas
na seção anterior. Seja então considerado o método das escalas multiplas de modo que as
matrizes λ’s possam ser escrito na forma
λ
k
(t) = λ
(0)
k
(T
0
, T
1
, T
2
) + ελ
(1)
k
(T
0
, T
1
, T
2
) + ε
2
λ
(2)
k
(T
0
, T
1
, T
2
) + O(ε
3
), (3.31)
onde temos T
n
= ε
n
t. Definimos as derivadas em relação a t em termos das novas variáveis
temporais D
n
de acordo com a equações
d
dt
=
∂
∂T
0
+ ε
∂
∂T
1
+ ε
2
∂
∂T
2
+ O(ε
3
), (3.32)
e
d
2
dt
2
=
∂
2
∂T
2
0
+ 2ε
∂
2
∂T
1
∂T
0
+ ε
2
∂
2
∂T
2
1
+
∂
2
∂T
0
∂T
2
+ O(ε
3
). (3.33)
Este procedimento é similar ao já realizado para a equação de Duffing e para o modelo
geral do oscilador unidimensional sob ação de uma força central, onde estabelecemos para
47
3.3. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
cada ordem de ε uma equação diferencial. Nós agora concentramos nossa atenção para o
sistema de equações diferenciais (2.138)-(2.139). Para a aplicação do método das escalas
múltiplas escrevemos explicitamente os elementos das matrizes λ
k
na forma
λ
1
=
u
10
(T
0
, T
1
) + εu
11
(T
0
, T
1
) u
20
(T
0
, T
1
) + εu
21
(T
0
, T
1
)
u
30
(T
0
, T
1
) + εu
31
(T
0
, T
1
) u
40
(T
0
, T
1
) + εu
41
(T
0
, T
1
)
+ O(ε
2
), (3.34)
λ
2
=
v
10
(T
0
, T
1
) + εv
11
(T
0
, T
1
) v
20
(T
0
, T
1
) + εv
21
(T
0
, T
1
)
v
30
(T
0
, T
1
) + εv
31
(T
0
, T
1
) v
40
(T
0
, T
1
) + εv
41
(T
0
, T
1
)
+ O(ε
2
), (3.35)
até correções de primeira ordem, isto porque estamos considerando a condição de acopla-
mento fraco entre as cavidades acopladas, ou seja, ε
2
ζ
i
ζ
k
1.
Tanto para o primeiro quanto para o segundo grupo de equações diferenciais, o pro-
cedimento de resolução é o mesmo. Assim, por exemplo, podemos tomar para as soluções
u
1
(t) e u
2
(t) as expansões
u
1
(T
0
, T
1
, T
2
) = u
10
(T
0
, T
1
, T
2
) + εu
11
(T
0
, T
1
, T
2
) + O(ε
2
), (3.36)
u
2
(T
0
, T
1
, T
2
) = u
20
(T
0
, T
1
, T
2
) + εu
21
(T
0
, T
1
, T
2
) + O(ε
2
). (3.37)
Substituindo as soluções em série nas equações diferenciais do primeiro grupo, obtemos,
para cada ordem em ε, um conjuto de equações diferenciais. Para a solução u
1
(T
0
, T
1
, T
2
)
temos, até primeira ordem em ε, as equações
ε
0
D
2
0
u
10
+ u
10
= 0, (3.38)
ε
1
D
2
0
u
11
+ u
11
= −[ξr(T
0
) + 2D
0
D
1
]u
10
− 2[ζ
1
D
0
+ ζ
0
]u
20
, (3.39)
enquanto para a solução u
2
(T
0
, T
1
, T
2
) segue as equações diferenciais
ε
0
D
2
0
u
20
+ u
20
= 0, (3.40)
ε
1
D
2
0
u
21
+ u
21
= −2D
0
D
1
u
20
+ 2[ζ
1
D
0
+ ζ
0
]u
10
. (3.41)
observando que o mesmo é verdade para cada par de elementos de linha das matrizes λ
1
e
λ
3
. O mesmo podemos fazer para as equações diferenciais do segundo grupo (2.139), isto
é, dado
v
1
(T
0
, T
1
, T
2
) = v
10
(T
0
, T
1
, T
2
) + εv
11
(T
0
, T
1
, T
2
) + O(ε
2
), (3.42)
v
2
(T
0
, T
1
, T
2
) = v
20
(T
0
, T
1
, T
2
) + εv
21
(T
0
, T
1
, T
2
) + O(ε
2
), (3.43)
temos as equações, para cada uma das ordens de ε, escritas na forma
ε
0
D
2
0
v
10
+ v
10
= 0, (3.44)
ε
1
D
2
0
v
11
+ v
11
= −[ξr(T
0
) − ξD
0
r(T
0
)D
0
+ 2D
0
D
1
]v
10
− 2[ζ
1
D
0
+ ζ
0
]v
20
, (3.45)
48
3.3. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
para v
1
(T
0
, T
1
, T
2
) e
ε
0
D
2
0
v
20
+ v
20
= 0, (3.46)
ε
1
D
2
0
v
21
+ v
21
= −2D
0
D
1
v
20
+ 2[ζ
1
D
0
+ ζ
0
]v
10
, (3.47)
para v
2
(T
0
, T
1
, T
2
). O mesmo procedimento se aplica para cada par de elementos de linha
das matrizes λ
2
e λ
4
. Observemos que as modificações relevantes para os grupos de equações
ocorrem na primeira ordem do parâmetro ε, de modo que as soluções gerais, para cada um
dos grupos acima, possuem formas funcionais diferentes para as amplitudes dependentes
no parâmetro T
1
, já que possuem termos seculares distintos.
Tendo estabelecido as equações diferenciais acima, podemos determinar as soluções
da dinâmica quântica para o nosso sistema de osciladores acoplados. Identificamos três
situações de interesse físico a serem consideradas, definidas para os valores de η = 1/2, 1, 2
em (2.119). Para os valores de η = 1/2, 1 obtemos a solução trivial do problema, recaíndo
na solução exata, sem os efeitos da correção de ordem ε o que nos mostrou que os termos
seculares são todos nulos, por este motivo omitimos estes valores. Somente no caso em
que η = 2, observamos os efeitos da ressonância paramétrica em correções de primeira
ordem no parâmetro ε. As condições iniciais para as matrizes λ’s estão estabelecidas pelas
equações (2.129) e (2.130). Dessa forma, considerando já as diferentes escalas de tempo
T
n
, as condições iniciais estão dadas por
λ
1
(0, 0, 0) = λ
4
(0, 0, 0) =
1 0
0 1
, λ
2
(0, 0, 0) = λ
3
(0, 0, 0) =
0 0
0 0
,
de modo que para as diferentes ordens no parâmetro ε, as mesmas manifestam-se como
λ
(0)
1
(0, 0, 0) = λ
(0)
4
(0, 0, 0) =
1 0
0 1
, λ
(k)
1
(0, 0, 0) = λ
(k)
4
(0, 0, 0) =
0 0
0 0
, k 1,
λ
(k)
2
(0, 0, 0) = λ
(k)
3
(0, 0, 0) =
0 0
0 0
, k 0.
A partir das equações (2.127)-(2.128) podemos fixar os valores dos
˙
λ’s no instante t = 0:
˙
λ
1
(0, 0, 0) = ε
0 ζ
1
−ζ
1
0
,
˙
λ
2
(0, 0, 0) =
ω
2
1
(0) 0
0 1
+ ε
0 ζ
0
ζ
0
0
,
˙
λ
3
(0, 0, 0) = −
1 0
0 1
− ε
0 ζ
0
ζ
0
0
,
˙
λ
4
(0, 0, 0) = ε
0 ζ
1
−ζ
1
0
,
onde está explícito os elementos
˙
λ
(l)
k
(0, 0, 0), diferentes da matriz nula, para as correspon-
dentes ordens l do parâmetro ε. Não temos o interesse de explicitar todos os detalhes
49
3.3. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
operacionais efetuados para obtermos as soluções desejadas. Vamos apenas indicar os pas-
sos fundamentais realizados para obter as soluções das matrizes (3.34)-(3.35). Seguindo
o mesmo esquema da equação de Duffing, temos para a correção de ordem zero λ
(0)
k
as
formas:
λ
(0)
i
= A
ij
exp(iT
0
) + B
ij
exp(−iT
0
),
onde os coeficientes A
ij
e B
ij
são funções da variável T
1
apenas. Para as derivadas primeiras
˙
λ
(0)
k
temos
˙
λ
(0)
i
= iA
ij
exp(iT
0
) − iB
ij
exp(−iT
0
),
As condições iniciais para a correção de ordem zero de cadas uma das matrizes λ’s implicam
para os coeficientes A
ik
e B
ik
um conjunto de condições apropriadas. Para o sistema λ
1
e
λ
3
:
A
i1
(0) =
1
2
, A
i2
(0) = 0, B
i1
(0) =
1
2
, B
i2
(0) = 0,
A
i4
(0) =
1
2
, A
i3
(0) = 0, B
i4
(0) =
1
2
, B
i3
(0) = 0.
Para o sistema λ
2
e λ
4
:
A
i1
(0) = −
1
2
i, A
i2
(0) = 0, B
i1
(0) = −
1
2
i, B
i2
(0) = 0,
A
i4
(0) = −
1
2
i, A
i3
(0) = 0, B
i4
(0) = −
1
2
i, B
i3
(0) = 0.
Agora, para o caso de interesse η = 2 com r(t) = cos 2t precisamos determinar as
equações diferenciais para os coeficientes A
ik
e B
ik
. De modo análoga ao procedimento de-
senvolvido para a equação de Duffing [23,24], estas equações aparecem quando eliminamos
os termos seculares presentes no lado direito das equações (3.39) e (3.45).
Para as matrizes λ
1
(t) e λ
3
(t), do primeiro grupo de equações, os termos seculares
implicam em equações diferenciais lineares para os coeficientes A
ik
e B
ik
. Para os elementos
de matrizes de λ
1
(t) temos
1
2
ξB
11
+ 2iζ
1
A
12
+ 2i
dA
11
dT
1
+ 2ζ
0
A
12
= 0,
1
2
ξA
11
− 2iζ
1
B
12
+ 2i
dB
11
dT
1
+ 2ζ
0
B
12
= 0,
−2iζ
1
A
11
+ 2i
dA
12
dT
1
+ 2ζ
0
A
11
= 0, (3.48)
−2iζ
1
B
11
− 2i
dB
12
dT
1
+ 2ζ
0
B
11
= 0,
enquanto para os elementos de matrizes de λ
3
(t) verificamos um conjunto de equações
50
3.3. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
similares
1
2
ξB
31
+ 2iζ
1
A
32
+ 2i
dA
31
dT
1
+ 2ζ
0
A
32
= 0,
1
2
ξA
31
− 2iζ
1
B
32
+ 2i
dB
31
dT
1
+ 2ζ
0
B
32
= 0,
−2iζ
1
A
31
+ 2i
dA
32
dT
1
+ 2ζ
0
A
31
= 0, (3.49)
−2iζ
1
B
31
− 2i
dB
32
dT
1
+ 2ζ
0
B
31
= 0,
Um procedimento similar se aplica para o segundo grupo, definindo um conjunto de
equações diferenciais para os coeficientes A
ik
e B
ik
das matrizes λ
2
(t) e λ
4
(t). O im-
portante é notar que para cada elemento de matriz λ as diferenças nos coeficientes A
ik
e
B
ik
devem-se as diferentes condições iniciais.
Resolvendo estas equações dos termos seculares acopladas, juntamente com as condições
iniciais para os elementos A
ik
e B
ik
encontramos o efeito de frequência paramétrica nos
argumentos da solução exponencial destas equações. Assim a frequência paramétrica para
o caso em que η = 2 é dada por
ω
2
1
(t) = 1 + 8δε cos ηt, (3.50)
com a fase de acoplamento φ e intensidade de acoplamento ρ definidas por
ζ
0
= α sen φ, ζ
1
= −α cos φ, ρ
2
= ζ
2
0
+ ζ
2
1
(3.51)
onde α =
ρ
2
− δ
2
. Introduzimos os coeficientes β e σ através dos quocientes
β =
δ
α
, σ =
ρ
α
e as definimos as diferentes escalas de tempos τ e τ
β
segundo
τ = εαt, τ
β
= βτ.
Neste trabalho consideramos o caso em que a intensidade da excitação paramétrica δ as-
sume um valor pequeno comparado com a intensidade do acoplamento entre os modos.
Neste caso temos, então, δ
2
< ρ
2
1, implicando em uma condição de solução periódica
(trigonométrica) na escala de tempo lento τ, onde se processa a transferência de infor-
mação entre os modos. Na escala de tempo τ
β
podemos identificar o efeito da excitação
paramétrica quântica em nosso sistema através do coeficiente β (β = 0, implica em τ
β
= 0,
que significa δ = 0). Desta forma as matrizes λ’s com η = 2 tem as soluções aproximadas
dadas por:
51
3.3. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS ESCALAS MÚLTIPLAS
Para λ
1
,
u
1
= cos τ[cos t cosh τ
β
− sen t senh τ
β
] + β sen τ[cos t senh τ
β
− sen t cosh τ
β
],
u
2
= −σ sen τ[cos(t − φ) cosh τ
β
− sen (t −φ) senh τ
β
],
u
3
= σ sen τ[cos(t + φ) cosh τ
β
− sen (t −φ) senh τ
β
],
u
4
= cos τ[cos t cosh τ
β
− sen (t −2φ) senh τ
β
] + β sen τ[cos t senh τ
β
− sen (t −2φ) cosh τ
β
].
Para λ
2
,
v
1
= cos τ[cos t senh τ
β
+ sen t cosh τ
β
] + β sen τ[cos t cosh τ
β
+ sen t senh τ
β
],
v
2
= −σ sen τ[cos(t − φ) senh τ
β
+ sen (t −φ) cosh τ
β
],
v
3
= σ sen τ[cos(t − φ) senh τ
β
+ sen (t + φ) cosh τ
β
],
v
4
= cos τ[ sen t cosh τ
β
+ cos(t −2φ) senh τ
β
] − β sen τ[ sen t senh τ
β
+ cos(t −2φ) cosh τ
β
].
Para λ
3
,
˜u
1
= cos τ[cos t senh τ
β
− sen t cosh τ
β
] + β sen τ[cos t cosh τ
β
− sen t senh τ
β
],
˜u
2
= −σ sen τ[cos(t − φ) senh τ
β
− sen (t −φ) cosh τ
β
],
˜u
3
= σ sen τ[cos(t + φ) senh τ
β
− sen (t −φ) cosh τ
β
],
˜u
4
= cos τ[cos(t − 2φ) senh τ
β
− sen t cosh τ
β
] + β sen τ[cos(t − 2φ) cosh τ
β
− sen t senh τ
β
].
Para λ
4
,
˜v
1
= cos τ[cos t cosh τ
β
+ sen t senh τ
β
] + β sen τ[cos t senh τ
β
+ sen t cosh τ
β
],
˜v
2
= −σ sen τ[cos(t − φ) senh τ
β
− sen (t −φ) cosh τ
β
],
˜v
3
= σ sen τ[cos(t − φ) senh τ
β
− sen (t + φ) cosh τ
β
],
˜v
4
= cos τ[cot t cosh τ
β
+ sen (t −2φ) senh τ
β
] − β sen τ[cot t senh τ
β
+ sen (t −2φ) cosh τ
β
].
Com a solução dos elementos de matrizes λ’s obtemos todas as propriedades referentes
a dinâmica de dois modos acoplados sob efeito da excitação paramétrica. Os elementos de
matrizes acima permitem determinar explicitamente os invariantes quânticos P
j
e X
j
, cuja
forma explicita está dada por
ˆ
P
1
= [r
11
cos(τ) + r
12
sen (τ)] cosh(τ
β
) + [s
11
cos(τ) + s
12
sen (τ)] senh (τ
β
) (3.52)
ˆ
P
2
= [r
21
cos(τ) + r
22
sen (τ)] cosh(τ
β
) + [s
21
cos(τ) + s
22
sen (τ)] senh (τ
β
) (3.53)
ˆ
X
1
= [l
11
cos(τ) + l
12
sen (τ)] cosh(τ
β
) + [k
11
cos(τ) + k
12
sen (τ)] senh (τ
β
) (3.54)
ˆ
X
2
= [l
21
cos(τ) + l
22
sen (τ)] cosh(τ
β
) + [k
21
cos(τ) + k
22
sen (τ)] senh (τ
β
) (3.55)
52
3.4. CONCLUSÃO
onde
r
11
= k
11
= ˆx
1
sen t + ˆp
1
cos t, s
11
= l
11
= ˆx
1
cos t − ˆp
1
sen t
r
12
= k
12
= −[ˆx
2
sen (t − φ) + ˆp
2
cos(t − φ)]σ + (ˆx
1
cos t − ˆp
1
sen t)β
s
12
= l
12
= [ˆp
2
sen (t − φ) − ˆx
2
cos(t − φ)]σ + (ˆx
1
sen t + ˆp
1
cos t)β
r
21
= ˆx
2
sen t + ˆp
2
cos t
r
22
= [ˆp
1
cos(t + φ) + ˆx
1
sen (t + φ)]σ + [ˆp
2
sen (t − 2φ) − ˆx
2
cos(t − 2φ)]β
s
21
= ˆx
2
cos(t − 2φ) − ˆp
2
sen (t − 2φ)
s
22
= [ˆx
1
cos(t − φ) − ˆp
1
sen (t − φ)]σ − (ˆp
2
cos t + ˆx
2
sen t)β
l
21
= ˆx
2
cos t − ˆp
2
sen t
l
22
= [(ˆx
1
cos(t + φ) − ˆp
1
sen (t + φ)]σ + [ˆp
2
cos(t − 2φ) + ˆx
2
sen (t − 2φ)]β
k
21
= ˆp
2
cos(t − 2φ) + ˆx
2
sen (t − 2φ)
k
22
= [(ˆp
1
cos(t − φ) + ˆx
1
sen (t − φ)]σ + (ˆp
2
sen t − ˆx
2
cos t)β
Desta forma, obtidas as soluções para as matrizes λ’s concentramos nossa a atenção na
questão relativa as informações físicas relevantes deste sistema: qual o efeito da excitação
paramétrica nas medidas de emaranhamento, nas propriedades referentes a cada um dos
modos e quais as modificações observadas nos padrões de troca de propriedades quânticas
ou estados quanticos entre os modos acoplados?
3.4 Conclusão
Neste capítulo utilizamos o método das escalas múltiplas no que se refere ao problema
envolvendo a troca de estados quânticos de dois modos do campo eletromagnético, mod-
elados por osciladores quânticos acoplados, onde em especial, um dos osciladores possui
uma frequência que varia perturbativamente no tempo, e o acoplamento destes osciladores
se processa no limite de interações fracas. Tal método nos levou a uma simplificação
das equações diferenciais para as matrizes λ’s, que são fundamentais para o cálculo do
propagador e portanto para a análise do problema da troca de informação quântica em
modos acoplados. Dada a complexidade do problema proposto, uma compreensão básica
do método das escalas múltiplas foi necessária de forma que exemplificamos sua utiliza-
ção tanto no contexto clássico como no contexto quântico. Em síntese, mostramos que o
método das escalas múltiplas tem como idéia central a transformação das equações difer-
enciais do problema a ser abordado, sendo ela linear ou não, em uma série de equações
diferenciais lineares solúveis de forma interativa. Com a solução das equaçoes diferenciais
para as matrizes λ’s obtidas, as medidas de correlação, pureza e compressão dos modos
considerando estados iniciais Gaussianos também podem ser determinadas.
53
Capítulo 4
Efeito da excitação paramétrica
quântica nos modos acoplados
Após o final da década de 1920 a maioria dos princípios fundamentais, ou postulados,
que colocavam a prova a mecância quântica já estavam bem conhecidos. Dentre todos estes
princípios existe um que chamou a atenção de alguns dos maiores pensadores da época, o
postulado do espaço de Hilbert. Um espaço de Hilbert é definido matematicamente como
um espaço vetorial complexo, completo e provido de uma métrica (distância entre vetores),
a qual é obtida por meio de um produto escalar [1]. Devido a sua extrema importância na
física, essa propriedade recebeu o status de princípio. Ela é conhecida como princípio da
superposição ou da linearidade da Mecânica Quântica. As consequências experimentais e
até mesmo filosóficas oriundas deste princípio são impressionantes. Ainda hoje especialistas
se espantam com estes resultados e "disputas"sobre sua interpretação física não são difíceis
de ocorrerem de tempos em tempos.
A situação se torna mais fantástica quando aplicamos o princípio da superposição a um
sistema físico composto por mais de uma parte. Em 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky
e Nathan Rosen apresentaram num belíssimo artigo [34] as implicações lógicas do princípio
da superposição quando aplicado na descrição de um sistema composto. Fazendo uso
desse princípio, de uma definição muito razoável de realidade física e da impossibilidade
de transmissão de sinais superluminais (hípotese de localidade [35]), Einstein, Podolsky
e Rosen (EPR) demonstraram, de acordo com seus ideiais, uma certa incomplitude da
Mecânica Quântica. Apesar da clareza da análise de EPR, Niels Bohr, num artigo muito
hermético [36], tentou refutar os argumentos expostos por EPR.
Também em 1935, e motivado pelas idéias de EPR, Erwin Schrödinger apresentou de
maneira eloqüente as conseqüências do princípio da superposição quando aplicado a um
sistema de duas partes. Fazendo-se uso de um experimento imaginário, Schrödinger realçou
que poderíamos ter situações bizarras num mundo macroscópico descrito pela Mecânica
54
Quântica. Tal experimento é conhecido como gato de Schrödinger no qual, a partir do
princípio da superposição, temos uma superposição de dois estados macroscópicos distintos
do gato: gato vivo e gato morto.
Para realçar a ligação íntima entre os dois subsistemas que compõem um certo estado
|ψ, Schrödinger usou o termo Verschränkung. Este termo foi traduzido do alemão para
o inglês como entanglement e para o português como emaranhamento. Porém o que seria
este emaranhamento? Conforme exposto nesta resumida visão histórica, o emaranhamento
surge naturalmente ao aplicarmos o princípio da superposição a sistemas físicos compos-
tos. Assim como um sistema composto pode ter dois ou mais constituintes, costuma-se
também classificar o emaranhamento de um sistema pelo número de subsistemas que estão
emaranhados.
Atualmente, apesar da existência de algumas discussões [37] sobre a real importância
do emaranhamento na implementção de algoritmos quânticos, como o da fatoração de
números primos (algoritmo de Shor [38]) ou o de busca (algoritmo de Grover [39]), é cada
vez mais consensual que o emaranhamento é um ingrediente indispensável na construção
de um computador quântico.
Em muitos problemas relacionados a estados quânticos, o emaranhamento foi objeto de
numerosos estudos na última década [40–43]. Uma forma bastante utilizada no estudo do
emaranhamento é a condição de separabilidade de estados quânticos mistos de dois subsis-
temas por exemplo. Dessa forma, torna-se natural perguntar quais estados quânticos estão
emaranhados. Isto é, dada um operador densidade ˆρ queremos saber se ela representa um
estado quântico emaranhado. Numa forma geral representamos este operador-densidade ˆρ,
de cada subsitemas, através da soma de produtos diretos de operadores estatísticos agindo
sobre cada componete separadamente:
ˆρ =
i
p
i
ˆρ
i1
⊗ ˆρ
i2
, p
i
≥ 0
i
p
i
= 1. (4.1)
Em últimos trabalhos publicados esse problema foi resolvido para estados Gaussianos de
sistemas de duas partes em variáveis contínuas [43–50]. Na forma mais explícita, o critério
de separabilidade foi proposto por Simon [45].
É importante ressaltar que o critério de Simon esta relacionado de perto ao conceito de
invariantes quânticos introduzidos em [51, 52] (e também verificada no capítulo 2). Com
isto ao invés de calcularmos determinantes e traços de várias matrizes e seus produtos de
acordo com a formulaçao inicial [45], é suficiente calcular o determinante de uma única
matriz composta pelas covarâncias cruzadas entre as componentes de quadraturas dos dois
modos. Embora não consideremos o critério de separabilidade propriamente, vemos a im-
portância da determinação das covariâncias no que se refere as medidas de emaranhamento,
compressão e pureza dos modos acoplados para o caso de estados iniciais Gaussianos.
55
4.1. MATRIZ DAS COVARIÂNCIAS
4.1 Matriz das Covariâncias
Através do sistema hamiltoniano de dois osciladores harmônicos quânticos de frequên-
cias ω
1
(t) e ω
2
verificamos como através da formulação dos invariantes quânticos é possível
determinar a evolução dinâmica do sistema considerado, em se tratando de um sistema
descrito por um operador Hamiltoniano quadrático, cuja forma geral do propagador está a
princípio determinada de maneira única. Este Hamiltoniano de dois osciladores harmôni-
cos quânticos modelando dois modos do campo eletromagnético de frequências ω
1
(t) e ω
2
e interagindo via um acoplamento bilinear é dado por
H =
1
2
[ˆp
2
1
+ ˆp
2
2
+ ω
2
1
(t)ˆx
2
1
+ ˆx
2
2
] + εζ
0
(ˆx
1
ˆx
2
+ ˆp
1
ˆp
2
) + εζ
1
(ˆx
1
ˆp
2
− ˆp
1
ˆx
2
), (4.2)
no qual os operadores ˆp
i
e ˆx
i
são “variáveis” adimensionais das componentes de quadraturas,
que obedecem as relações de comutação usuais para o par conjugado [ˆx
j
, ˆp
k
] = iδ
jk
ˆ
1. As
constantes de acoplamento adimensionais ζ
k
são independentes do tempo. Este nosso
modelo é um caso particular do sistema de duas partes mais geral, descrito pelo operador
Hamiltoniano
H =
1
2
[p
2
1
+p
2
2
+ω
2
1
(t)x
2
1
+ω
2
2
(t)x
2
2
]+[γ
1
(t)p
1
p
2
+ γ
2
(t)p
1
x
2
+ γ
3
(t)x
1
p
2
+ γ
4
(t)x
1
x
2
] , (4.3)
em que as constantes de acoplamento adimensionais ζ
i
(t) = ζ
i
cos(t−φ
i
) variam periodica-
mente no tempo com a mesma frequência , mas com fases arbitrárias. Este é um caso
mais geral, visto como o sistema no qual podemos analisar diferentes efeitos na dinâmica de
modos acoplados, devido a excitações paramétricas distintas e acoplamentos dependentes
do tempo. Deixaremos isto em aberto a ser considerado em trabalhos futuros. De agora
em diante consideramos um sistema de unidades onde = 1.
Seguindo o desenvolvimento dos capítulos anteriores, aplicamos a formulação dos invari-
antes quânticos para determinar a evolução dinâmica do sistema em consideração. Con-
forme considerado anteriormente, o Hamiltoniano (4.2) é um caso especial do Hamiltoniano
quadrático genérico, escrito em termos das matrizes B na forma
H =
1
2
ˆ
qB
ˆ
q, q ≡ (p, x). (4.4)
A matriz B(t) é a matriz de ordem 2N simétrica dada na forma geral
B(t) =
b
1
(t) b
2
(t)
b
3
(t) b
4
(t)
, (4.5)
sujeitas as condições b
1
(t) =
˜
b
1
(t), b
4
(t) =
˜
b
4
(t), b
2
(t) =
˜
b
3
(t). Para os Hamiltonianos
quadráticos (4.4) temos uma dependência linear entre os operadores de Heisenberg nos
instantes inicial e posterior, expressa por
ˆq
µ
(t) = L
µα
(t)ˆq
α
(0), (4.6)
56
4.1. MATRIZ DAS COVARIÂNCIAS
sendo os coeficientes L
µα
os elementos da matriz simplética. Introduzindo a matriz inversa
Λ = L
−1
escrevemos a equação (4.6) na forma
ˆq
0
(t) = Λ(t)ˆq. (4.7)
Então, conforme já sabemos, ˆq
0
(t) é o operador integral de movimento na representação
de Schrödinger [4, 53]. A equação (4.6) implica diretamente sobre os valores médios das
componentes de quadraturas em uma relação linear similar àquela sobre os operadores ˆq.
ˆq
µ
(t) = L
µα
(t)ˆq
α
(0). (4.8)
Esta relação sobre os primeiros momentos do sistema é independente da representação. De
modo análogo, os segundos momentos evoluem no tempo segundo a equação
ˆq
µ
ˆq
ν
(t) = L
µα
(t)ˆq
α
ˆq
β
(0)
˜
L
βν
(t). (4.9)
Para sistemas com Hamiltonianos quadráticos (4.4) a matriz das covariâncias M = M
µν
tem seus elementos, definidos segundo a notação para os momentos estatísticos centrados
de segunda ordem, na forma
M
µν
=
1
2
ˆq
µ
ˆq
ν
+ ˆq
ν
ˆq
µ
− ˆq
µ
ˆq
ν
, σ
a
= ˆa
2
− ˆa
2
, σ
ab
=
1
2
ˆa
ˆ
b +
ˆ
bˆa − ˆa
ˆ
b. (4.10)
A evolução temporal de seus elementos segue, então, diretamente de (4.9) como
M(t) = L(t)M(0)
˜
L(t). (4.11)
A matriz L(t) pode ser obtida, diretamente da relação de inversão da matriz Λ(t), com
auxílio da identidade simplética ΛΣ
˜
Λ ≡ Σ, ou seja,
Λ
−1
= Σ
˜
ΛΣ
−1
= −Σ
˜
ΛΣ = L, (4.12)
sendo uma consequência imediata da equação (2.45) e das propriedades B =
˜
B e Σ = −
˜
Σ.
Temos para L(t) a forma matricial
L(t) =
˜
λ
4
−
˜
λ
2
−
˜
λ
3
˜
λ
1
. (4.13)
O passo seguinte a ser seguido consiste em determinar a forma da matriz das covariâncias
(4.11). Antes, porém, vamos dar um significado preciso às medidas de compressão dos
estados para os modos do campo eletromagnético e introduzir medidas de emaranhamento
em termos do elementos da matriz M(t).
57
4.2. ENERGIA, INCERTEZA E COEFICIENTE DE COMPRESSÃO
4.2 Energia, Incerteza e Coeficiente de Compressão
Os valores instantâneos das variâncias σ
x
(t) e σ
p
(t) não servem como verdadeiras medidas
de compressão em todos os casos, como tratado em diversos trabalhos. Conforme [54] uma
caraterística de compressão mais geral, escrita em termos da energia de flutuação do vácuo
e da incerteza de Schrödinger-Robertson [4, 55–57]. Temos então um valor de máximo ou
mínimo das variâncias escrita na forma,
σ
±
= E ±
√
E
2
− D =
D
E ∓
√
E
2
− D
, (4.14)
sendo os valores da energia das flutuações do vácuo E e do invariante de incerteza dados
em termos σ
x
e σ
p
pelas equações
E =
1
2
(σ
x
+ σ
p
) , D = σ
x
σ
p
− σ
2
xp
. (4.15)
Portanto, o coeficiente invariante de compressão S é definido como a razão entre o valor
mínimo σ
−
e o valor da variância adimensional do vácuo 1/2. Em termos dos elementos
da matriz das covariâncias M, cuja evolução dinâmica está perfeitamente determinada
através da matriz Λ(t), o coeficiente de compressão assume a forma
S
k
= 2
E
k
−
E
2
k
− D
k
= 2D
k
E
k
+
E
2
k
− D
k
, (4.16)
no qual
E
k
=
1
2
M
k
pp
+ M
k
xx
, D
k
= M
k
xx
M
k
pp
−
M
k
xp
2
, (4.17)
onde este último é conhecido como produto invariante de incerteza, e precisa satisfazer a
incerteza de Schrödinger-Robertson
D
k
= M
k
xx
M
k
pp
−
M
k
xp
2
≥
1
4
. (4.18)
Particularmente, os estados com grande energia de flutuações estão sempre fortemente
comprimidos se o produto invariante de incerteza for bem menor que esta energia. Ou
seja, temos sempre S ≈ D/E 1 se E D, o que acontece para estados gaussianos puros
para os quais D ≡ 1/4 [55]. No instante inicial t = 0, a matriz das covariâncias pode ser
escrita na forma
M =
P
1
0 R
1
0
0 P
2
0 R
2
R
1
0 X
1
0
0 R
2
0 X
2
, (4.19)
com os seus elementos satisfazendo as relações de incerteza de Schrödinger-Robertson
P
k
X
k
− R
2
k
≡ 4D
(0)
k
≥ 1, (4.20)
58
4.3. PROPRIEDADES DOS ESTADOS E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO QUÂNTICA
para cada um dos modos k = 1, 2. Sem perdas de generalidade podemos introduzir a
parametrização para os elementos da matrix M na forma
P
k
= 2ϑ
k
[cosh(2ξ
k
) + senh (2ξ
k
) cos(υ
k
)] , (4.21)
X
k
= 2ϑ
k
[cosh(2ξ
k
) − senh (2ξ
k
) cos(υ
k
)] , (4.22)
R
k
= −2ϑ
k
senh (2ξ
k
) sen (υ
k
), U
k
= P
k
− X
k
, (4.23)
com ϑ
k
=
D
(0)
k
= η/2 1/2, υ
k
≤ 2π e ξ
k
0. Considerando esta parametrização, o
coeficiente invariante de compressão para o
k
-ésimo modo no instante inicial é dado por
S
(0)
k
= 2ϑ
k
exp(−2|ξ
k
|) ≡ η
k
exp(−2|ξ
k
|), (4.24)
e a energia de flutuação do vácuo no instante inicial expressa como
E
(0)
k
=
1
4
(P
k
+ X
k
) = ϑ
k
cosh(2ξ
k
). (4.25)
Notemos que tanto S
(0)
k
quanto E
0
k
estão parametrizados em termos da incerteza inicial
de Schrödinger-Robertson D
(0)
k
por meio do parâmetro ϑ
k
(ou η
k
) e quando consideramos
estados iniciais puros temos D
(0)
k
= 1/4, equivalente a ϑ
k
= 1/2. Além disso, ambos os
valores destas quantidades iniciais independem da fase υ
k
. Na nossa parametrização dos
estados iniciais estamos assumindo os ξ
k
reais não negativos, de maneira que a fase υ
k
é a
única responsável por mudanças de sinais nas equações (4.21, 4.22 e 4.23). Em particular
podemos supor que não haja qualquer correlação, não só entre os modos, como também
entre as componentes de quadraturas de cada modo. Isto pode ser conseguido facilmente
aplicando rotações no espaço de fase de cada um dos modos de maneira que a matriz das
covariâncias (4.19) assume a forma diagonal com R
k
= 0 . A seguir fazemos uma análise
preliminar das propriedades referentes a cada um dos modos e a respeito de suas medidas
de correlação, nas condições onde o efeito da excitação parametrica está presente e ausente.
4.3 Propriedades dos estados e medidas de correlação
quântica
O emaranhamento quântico é um fenômeno da mecânica quântica no qual o estado
quântico de dois ou mais objetos tem que ser descrito com referência, um ao outro, embora
os objetos, individualmente, possam estar espacialmente separados. Isso leva a correlações
entre as propriedades físicas observáveis dos sistemas e são elas que queremos definir. Con-
forme em muitos trabalhos em que utilizou-se o método dos invariantes quânticos, definiu-se
uma forma de determinar medida de emaranhamento [58]. Aqui iremos expor mais dire-
tamente a medida de correlação quântica omitindo alguns cálculos que são estremamente
59
4.3. PROPRIEDADES DOS ESTADOS E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO QUÂNTICA
tediosos e suas demonstrações explícitas estão, em um primeiro momento, fora dos objetivos
desta dissertação.
É bastante conhecido que os estados Gaussianos são caracterizados completamente
tanto pelos valores médios quanto pelos valores das variâncias dos operadores bosônicos de
"aniquilação e criação" [4,43, 59,60].
ˆa
k
= (ˆx
k
+ iˆp
k
)/
√
2, k = 1, 2. (4.26)
ou dos operadores das componentes de quadraturas (ˆp
1
, ˆp
2
, ˆx
1
, ˆx
2
). Temos as covariâncias
simétricas reais na forma
M
µν
=
1
2
ˆq
µ
ˆq
ν
+ ˆq
ν
ˆq
µ
− ˆq
µ
ˆq
ν
(4.27)
onde ˆq
α
são componetes do vetor ˆq = (ˆp
1
, ˆp
2
, ˆx
1
, ˆx
2
). Assim, é possível escrever as covar-
iâncias cruzadas na matriz simétrica em termos de matrizes blocos. Porém podemos ainda
expressar a forma geral da matriz das covariância numa forma matricial elegante em uma
forma conveniente rearranjando as componentes do vetor
ˆ
q definido na equação (4.4), in-
troduzindo o vetor q = (ˆx
1
, ˆp
1
, ˆx
2
, ˆp
2
). Este rearranjo não implica em problemas adicionais
do ponto de vista operacional porque se trata simplesmente de uma transformação de sim-
ilaridade aplicada a representação de Schrödinger e utilizada para escrever os operadores
na forma matricial de forma conveniente. Assim sendo, a matriz das covariâncias
Q
αβ
=
1
2
ˆq
α
ˆq
β
+ ˆq
β
ˆq
α
− ˆq
α
ˆq
β
= ˆq
α
ˆq
β
,
rearranjadas assume a seguinte estrutura de blocos de matrizes
Q =
Q
11
Q
12
Q
21
Q
22
. (4.28)
Estes blocos possuem a propriedade Q
jk
=
˜
Q
kj
, onde til significa transposição da matriz.
Os valores ˆx
1
ˆx
2
, ˆp
1
ˆp
2
, ˆx
1
ˆp
2
e ˆx
2
ˆp
1
são as covariâncias cruzadas que sob evolução temporal
assumem valores diferentes de zero, significando que há uma correlação quântica entre os
modos. Considerando nosso modelo de osciladores acoplados sob efeito de uma excitação
paramétrica quântica com as soluções de matrizes λ’s bem definidas, pudemos observar,
por exemplo, o efeito da excitação paramétrica no primeiro oscilador ω
1
(t) nas energias de
flutuação do vácuo de cada um dos modos, E
k
=
1
2
M
k
pp
+ M
k
xx
. Será verificado que a
excitação paramétrica quântica descrita por soluções regulares dos elementos das matrizes
λ
s, como uma perturbação de natureza externa, altera significativamente o valor das
energias de flutuação para cada um dos modos do nosso sistema. Este resultado preliminar
também está claramente observado e discutido em [61,62]. Porém, o mérito de nosso estudo
está na aplicação do método das escalas múltiplas na construção das soluções regulares das
60
4.3. PROPRIEDADES DOS ESTADOS E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO QUÂNTICA
matrizes λ
s, utilizadas na construção das matrizes das covariâncias, cuja forma explícita
pode ser vista no apêndice C.1. Para as nossas soluções de matrizes λ
s, as energias de
flutuação do vácuo de cada um dos modo são dadas por
E
1
(τ) =
1
2
η
1
C
1
(τ
β
)δ
2
+ ρ
2
η
2
C
2
(τ
β
)
sen
2
(τ)
α
2
+ δη
1
C
3
(τ
β
)
sen (2τ)
α
+ η
1
C
1
(τ
β
) cos
2
(τ)
,
E
2
(τ) =
1
2
η
1
C
2
(τ
β
)δ
2
+ ρ
2
η
2
C
1
(τ
β
)
sen
2
(τ)
α
2
− δη
2
C
4
(τ
β
)
sen (2τ)
α
+ η
2
C
2
(τ
β
) cos
2
(τ)
,
onde
C
i
(τ
β
) = sen υ
i
senh (2ξ
i
) senh (2τ
β
) + cosh(2ξ
i
) cosh(2τ
β
),
C
j
(τ
β
) = sen υ
j
senh (2ξ
j
) cosh(2τ
β
) + cosh(2ξ
j
) senh (2τ
β
).
onde i = 1 , 2, j = 3, 4, τ
β
= βτ e β = δ/α, dado em termos dos valores de acoplamento.
É importante esclarecer que consideramos apenas o valor de φ = 0 simplesmente para
facilitar as expressões dos cálculos para as medidas de compressão, pureza e medidas de
emaranhamento. Os resutados para o caso onde φ assume um valor arbitrário podem
ser obtidos diretamente das soluções dos elementos das matrizes λ
s, a partir de cálculos
um pouco mais elaborados. Da mesma forma, fizemos para as produtos invariantes de
incertezas de Schrödinger, referentes a cada um dos modos. As incertezas são dadas então
por
D
1
(τ) =
sen
2
(τ)
4α
2
(δ
4
η
2
1
+ ρ
4
η
2
2
+ 2δ
2
ρ
2
B
1+
η
2
η
1
)
sen
2
(τ)
α
2
+ 2δρ
2
B
2
η
1
η
2
sen (2τ)
α
−cos
2
(τ) ((2δ
2
+ α
2
)η
2
1
+ 2η
1
η
2
ρ
2
B
1−
)
+
1
4
η
2
1
cos
2
(τ) ,
D
2
(τ) =
sen
2
(τ)
4α
2
(δ
4
η
2
2
+ ρ
4
η
2
1
+ 2δ
2
ρ
2
B
1+
η
2
η
1
)
sen
2
τ
α
2
+ 2δρ
2
B
2
η
1
η
2
sen (2τ)
α
−cos
2
(τ) ((2δ
2
+ α
2
)η
2
2
+ 2η
1
η
2
ρ
2
B
1−
)
+
1
4
η
2
2
cos
2
(τ) ,
onde
B
1±
= cos(υ
1
± υ
2
) senh (2ξ
1
) senh (2ξ
2
) ± cosh(2ξ
2
) cosh(2ξ
1
),
B
2
= sen υ
1
cosh(2ξ
2
) senh (2ξ
1
) − sen υ
2
cosh(2ξ
1
) senh (2ξ
2
).
A partir das formas analíticas dos coeficientes E
k
(τ) e D
k
(τ) para cadas um dos modos (k =
1, 2), pudemos fazer uma análise preliminar de alguns aspectos qualitativos do efeito da
excitação paramétrica quântica no comportamento dinâmico do sistema. Qualitativamente,
temos para as energias de flutuação do vácuo E
k
os gráficos na figura (4.1) comparando
as situações com a presença e ausência da excitação paramétrica quântica. Pela figura
(4.1) observamos claramente que o efeito excitação paramétrica para δ = 0, 05. Há um
aumento quase exponencial do valor da energia de flutuação do vácuo para cada um dos
61
4.3. PROPRIEDADES DOS ESTADOS E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO QUÂNTICA
Energias E
δ=0,05
5
E
0 2 4
6
tempo lento
Energias E
δ=0
0.8
1
E
0 2 4
6
tempo lento
Figura 4.1: A curva em azul representa o modo 1 e a curva em magenta o modo 2 para as
medidas de energias E
k
(τ), respectivamente para δ = 0, 05 e δ = 0. Utilizamos η
1
= 1, 0
(estado puro), η
2
= 1, 5 (estado misto) com intensidade de acoplamento dos modos ρ = 0, 25
e coeficientes reais de compressão ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0.
modos acoplados. Por outro lado, na ausência da excitação paramétrica, quando δ = 0,
observamos um padrão bem definido de troca de valores de E
k
entre os modos acoplados,
ao longo do tempo lento τ . Nesta situação o sistema está na condição de ressonância,
ω
1
= ω
2
= 1; a energia de cada um dos modos varia de forma periódica no tempo, limitadas
aos valores dos estados iniciais. Isto sugere que sob efeito da excitação paramétrica a
informação pertinente a energia de cada um dos modos sofre considerável modificação em
relação ao valor inicialmente presente nos estados Gaussianos em t = 0. Consideramos
também o efeito da excitação paramétrica quântica nos produtos invariantes de incertezas
D
k
. A excitação paramétrica quântica destrói o padrão de troca dos valores iniciais de
incertezas, porém permite a recorrência de valores em instante bem definidos do tempo,
conforme ilustrado na figura (4.2). No entanto, diferentemente das energias de flutuação
do vácuo, os produtos invariantes de incerteza permanecem com seus valores limitados no
decorrer da evolução dinâmica do sistema.
4.3.1 Análise qualitativa da medida da pureza e compressão dos
modos do sistema sob excitação paramétrica quântica
Para uma análise qualitativa dos resultados envolvendo as medidas de pureza e com-
pressão, definimos primeiro os procedimentos necessários para determiná-las. A medida de
compressão S
k
está precisamente determinadas pela equação (4.16), onde as energias de
flutuação do vácuo e as produtos de invariantes de incerteza também estão bem definidos
62
4.3. PROPRIEDADES DOS ESTADOS E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO QUÂNTICA
Incertezas D
δ=0,05
0.5
1
D
0 2 4
6
tempo lento
Incertezas D
δ=0
0.5
1
D
0 2 4
6
tempo lento
Figura 4.2: A curva em azul representa o valor da medida de incerteza D para o modo 1
e a curva em magenta o valor para o modo 2, para δ = 0, 05 e δ = 0, 0, respectivamente.
Consideramos estados iniciais com η
1
= 1, 0 (estado puro) e η
2
= 1, 5 (estado misto), com
intensidade de acoplamento entre os modos ρ = 0, 25, coeficientes reais de compressão
ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0.
conforme a equação (4.17). De acordo com a ilustração da figura 4.3 temos duas situações
bem distintas: uma quando há a influência da excitação paramétrica quântica e outra
quando as frequências dos modos são constantes na condição de ressonância. O efeito da
excitação paramétrica quântica é diminuir o valor do coeficiente de compressão para cada
um dos modos. Isto está associado ao fato das energias de flutuações do vácuo de ambos
os modos terem seus valores acrescido no tempo τ enquanto os valores dos produtos de
incertezas apresentarem seus valores limitados no decorrer da evolução dinâmica do sis-
tema. Isto difere de forma drástica do que ocorre na ausência da excitação paramétrica
quântica. Quando temos δ = 0 e a condição de ressonância ω
1
= ω
2
= 1 se verificando, ob-
servamos claramente um padrão de troca de valores de compressão dos estados Gaussianos
iniciais. Isto obviamente se deve ao fato do sistema estar isolado. Porém, uma análise de
caráter analítico (quantitativa) mais detalhada se faz necessária, para a compreensão exata
dos processos envolvidos na dinâmica da compressão em cada um dos modos, levando em
conta diferentes valores de parâmetros de estados iniciais, diferentes valores de constantes
de acoplamento entre os modos e valores distintos de intensidade de excitação paramétrica
quântica. Este balanço mais detalhado está sendo considerado no momento e os resultados
obtidos estarão sendo apresentados em breve. A evolução temporal do valor dos coeficientes
de pureza para cada um dos modos é determinada a partir da evolução temporal dos seus
63
4.3. PROPRIEDADES DOS ESTADOS E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO QUÂNTICA
Compressao S
δ=0,05
1
S
0 2 4
6
tempo lento
Compressao S
δ=0
1
S
0 2 4
6
tempo lento
Figura 4.3: A curva em azul e magenta, representam respectivamente, as medidas de
compressão do modo 1 e do modo 2. Consideramos as duas situações quando δ = 0, 05 e
δ = 0, 0 (ausência de excitação). Consideramos estados Gaussianos iniciais com η
1
= 1, 0
(estado puro), η
2
= 1, 5 (estado misto), coeficientes reais de compressão ξ
1
= 0, 7, ξ
2
= 0, 0
e intensidade de acoplamento ρ = 0, 25.
respectivos produtos invariantes de incerteza conforme a equação
P
k
(τ, τ
β
) =
1
4D
k
(τ, τ
β
)
.
De acordo com a figura (4.4), primeiramente observamos que a pureza tem seu valor limi-
tado no decorrer do tempo, em perfeito acordo com condição
0 < Trρ
2
k
≤ 1, (4.29)
para os operadores densidades reduzidos de cada um dos modos. Na ausência de excitação
paramétrica quântica observamos claramente um padrão de troca de valores de pureza dos
estados iniciais Gaussianos em instantes bem definidos
τ = (2n + 1)
π
2
, n = 0, 1, 2... (4.30)
e recorrência de valores iniciais nos instantes τ dados por
τ = nπ (4.31)
No entanto quando temos δ = 0 observamos a ausência da troca de valores de pureza dos
estados Gaussianos iniciais embora os valores sejam recorrentes. Isto é, cada um dos modos
retorna ao seu valor inicial de pureza em instantes bem definidos. A excitação paramétrica
64
4.3. PROPRIEDADES DOS ESTADOS E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO QUÂNTICA
quântica parece inibir a troca de valores de pureza dos estados Gaussianos iniciais. No
entanto nesta análise numérica preliminar não consideramos de forma detalhada os aspectos
analíticos para valores arbitrários de parâmetros de estados iniciais, diferentes valores de
acoplamento e intensidade de excitação paramétrica quântica. Isto está sendo considerado
neste momento para obtermos resultados gerais e conclusivos para nosso modelo.
Pureza
δ=0,05
0.6
0.8
1
P
0 2 4
6
tempo lento
Pureza
δ=0
0.8
1
P
0 2 4
6
tempo lento
Figura 4.4: Temos as medidas de pureza do modo 1 e 2 representadas, respectivamente,
pelas curvas em azul e em magenta. Consideramos os valores δ = 0 e δ = 0, 05 e para os
estados iniciais temos η
1
= 1, 0 (estado puro), η
2
= 1, 5 (estado misto), ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0
e acoplamento ρ = 0, 25.
4.3.2 Análise qualitativa da medida de emaranhamento
Notemos, obviamente, que a informação referente ao emaranhamento dos modos do
sistema está contida nos blocos das covariâncias cruzadas Q
12
e Q
21
, que são os elementos
que expressam a natureza e intensidade da correlação entre os modos. Em estudos recentes
foi demonstrado que o determinante destes blocos assume um papel fundamental no pro-
blema da separabilidade em mecânica quântica [61, 63–67]. Conforme definido por Castro
e Dodonov ( [54]) a medida de emaranhamento Y dos modos a ser considerada em nossa
análise é definida em termos dos blocos das covariâncias cruzadas Q
12
de acordo com a
equação
Y =
T r(Q
12
Q
21
)
T r(Q
11
)T r(Q
22
)
1/2
, (4.32)
onde temos para a energia de flutuação do vácuo a forma E
k
=
1
2
T r(Q
kk
). É importante
ter em mente a existência de muitas outras definições de medidas de emaranhamento,
todas baseadas em diferentes tipos de entropias, mas principalmente na definição de von
65
4.3. PROPRIEDADES DOS ESTADOS E MEDIDAS DE CORRELAÇÃO QUÂNTICA
Neumann e suas variantes [68–73]. Portanto, uma vez conhecida uma proposta de medida
de emaranhamento dos modos do sistema, focalizada na medida entrópica e estabelecida na
relação com a matriz das covariâncias, cuja evolução temporal está determinada a partir da
matriz Λ(t), resta-nos para a completa análise da dinâmica quântica dos modos acoplados
considerar o efeito da excitação paramétrica quântica no emaranhamento. Utilizando então
os resultados obtidos na seção 4.1 e 4.2 conjuntamente com as soluções das matrizes λ
s,
construímos os elementos das matrizes das covariâncias M(t), e a partir destes elementos
de matriz, analisamos a evolução na escala de tempo τ da medida de emaranhamento (4.32)
dos modos acoplados. Desta forma, considerando apenas aspectos qualitativos de nossa
medida, temos para o caso sem excitação paramétrica δ = 0 e com excitação paramétrica
δ = 0 os gráficos descritos nas figuras (4.5)-(4.6). Na figura (4.5) comparamos o caso de
excitação paramétrica muito fraca com o caso δ = 0. O sistema deveria se desemaranhar
nos instante τ
n
= (n + 1/2)π, mas isso não está ocorrendo devido a pequena perturbação
δ = 0 , 005. Isto verifica-se somente com δ = 0 quando Y(τ
n
) = 0. Desta forma podemos
dizer que a excitação paramétrica tende a manter o sistema correlacionado de forma a inibir
a troca de compressão e pureza entre os modos. Além disso, a medida que a intensidade
Emaranhamento Y
δ = 0
0
1
Y
2 4
6
tempo lento
Emaranhamento Y
δ = 0,005
0
1
Y
2 4
6
tempo lento
Figura 4.5: Medidas de emaranhamento sem a excitação paramétrica quântica e com uma
intensidade de excitação paramétrica quântica pequena δ = 0, 005. Os estados Gaussianos
iniciais são caracterizados pelos valres η
1
= 1, 0, η
2
= 1, 5, ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0 com
intensidade de acoplamento entre os modos ρ = 0, 25.
da excitação paramétrica quântica aumenta, tomando-se os valores δ = 0, 01 e δ = 0, 05, a
intensidade da medida de correlação (4.32) tende a manter um valor mais elevado entres os
instantes inicial e de recorrenência, quando a configuração inicial do sistema é recuperada.
Isto está ilustrado na figura (4.6). Este resultados são preliminares e apenas descrevem
de forma qualitativa os efeitos da excitação paramétrica quântica no problema da troca
66
4.4. ALGUNS EXPERIMENTOS
Emaranhamento Y
δ = 0,01
0
1
Y
2 4
6
tempo lento
Emaranhamento Y
δ = 0,05
0
1
Y
2 4
6
tempo lento
Figura 4.6: Medidas de emaranhamento com excitação paramétrica quântica de intensi-
dades δ = 0, 01 e δ = 0, 05. Os estados Gaussianos iniciais são caracterizados pelos valres
η
1
= 1, 0, η
2
= 1, 5, ξ
1
= 0, 7 e ξ
2
= 0, 0 com intensidade de acoplamento entre os modos
ρ = 0, 25.
de informação entre os modos acoplados. Uma análise mais criteriosa é necessária para
a comprensão exata do emaranhamento (sob efeito de excitação paramétrica) buscando
uma descrição não só qualitativa mas como quantitativa do mesmo. Neste sentido, o
estudo do comportamento dinâmico do critério de separabilidade de Simon, bem como da
negatividade logarítmica (medida apropriada para o nosso sistema de variáveis contínuas)
são essenciais para se chegar a conclusões definitivas, relacionadas aos efeitos da excitação
paramétrica quântica no emaranhamento do sistema. Esta é uma tarefa que estamos
considerando no momento, cujos resultados serão apresentados em breve, porém fora desta
dissertação.
4.4 Alguns Experimentos
O principal instrumento na descrição quântica da radiação eletromagnética é a sua
distribuição de probabilidades de fótons, ou mais, o seu operador-densidade. Medições de
graus de coerência quânticos por experimentos de interferometria [74] fornecem uma parte
de informação a respeito dos elementos da matriz do operador estatístico ou densidade.
Informações adicionais são obtidas através de experimentos de contagem de fótons, ou
fotocontagem. Experimentos de fotocontagem fornecem uma medida bastante direta da
distribuição de probabilidades de fótons para todos os tipos de luz descritos pela teoria
quântica. Tais experimentos formam a base observacional de ótica quântica e têm um papel
fundamental no estudo de fenômenos quânticos nos feixes de luz. O arranjo experimental
67
4.4. ALGUNS EXPERIMENTOS
básico que poderemos expor sem muito rigor, é o seguinte. Um feixe de luz sob investigação
é manipulado de modo a incidir sobre um detector, um fototubo conectado por um meio
eletrônico a um instrumento contador, que registra o número de fótons ao produzir emissões
fotoelétricas no fototubo [75–77]. Desde que o experimentador seja capaz de reproduzir
repetidamente um campo nas mesmas condições, este experimento é repetido um grande
número de vezes e o resultado pode ser expresso como distribuição de probabilidades P
n
(T )
para n contagens durante o tempo de observação T . A distribuição medida P
n
(T ) contém
a informação sobre propriedades estatísticas de radiação.
Existem duas abordagens diferentes para a teoria de fotodetecção verificadas na liter-
atura. A primeira delas foi iniciada por Mandel [78] e seguida por Kelley e Kleiner [79],
Glauber [80] e outros. Ela descreve experimentos em que um feixe propaga-se em espaço
aberto, incide sobre o detector, e cada fóton não absorvido é perdido. Tal descrição foi
classificada por Mandel [81] como modelo de sistema aberto. A segunda abordagem foi
iniciada por Mollow [82] e seguida por Scully e Lamb [83], Shepherd [84], Selloni et al. [85],
Srinivas e Davies [86] e outros. Nesta abordagem, considera-se que a radiação e o fotode-
tector encontram-se em uma cavidade fechada, e cada fóton não absorvido pelo detector
em um dado tempo está disponível para detecção em um tempo posterior. Por motivos
óbvios Mandel chamou este modelo de modelo de sistema fechado [81]. A diferença entre
as duas abordagens acima é bastante clara quando consideramos os resultados de fotode-
tecção para tempos de detecção grandes: no caso de sistema fechado, o número de fótons
detectados tende a um limite, dado pelo número de fótons presentes inicialmente na cavi-
dade. Já no caso do modelo de sistema aberto, o número de fótons detectados cresce
ilimitadamente, pois a radiação atinge continuamente a superfície do detector. Na prática,
o arranjo experimental correspondente ao modelo de sistema aberto tem sido predomi-
nante nos experimentos de contagem de fótons até agora, devido a sua simplicidade, pois
ele exige apenas a presença de um detector e de uma fonte de radiação. No entanto, com
o desenvolvimento científico e tecnológico, o modelo de sistema fechado vem se tornando
fundamental no estudo de processos em que são contados poucos fótons, como ocorre em
várias áreas atuais de ótica quântica [87–89]. No entanto, tais experimentos esbarram em
dificuldades técnicas, já que nesses experimentos são necessárias cavidades óticas com alto
fator de qualidade [90], que sejam capazes de armazenar os fótons por um tempo sufi-
cientemente grande a ponto de serem detectados. Por intermédio da fotocontagem um
grande número de experimentos pode ser realizado, determinando características como a
energia de um campo de luz, suas propriedades estatísticas, tais como estados de campo e
a determinação de quadraturas através de mecanismos de detecção homódina [75]- [91,92].
Efeitos Paramétricos em tais experimentos podem ser descritos resumidamente em con-
siderar um material pisoelétrico que constitue a cavidade de modo que um feixe de luz é
68
4.5. CONCLUSÃO
incidente. Desta forma com a passagem de uma certa corrente elétrica sobre o material
cria oscilações nas paredes desta cavidade consequentemente o campo eletromagnético no
interior da cavidade sofre pequenas pertubações que podem ser tanto nas frequências dos
modos como na intensidade de acoplamento.
4.5 Conclusão
Neste capítulo analisamos qualitativamente o comportamento de medidas de corre-
lação, energia, incerteza, compressão e pureza de sistemas quânticos abertos bipartites,
cuja evolução é governada por Hamiltonianos quadráticos arbitrários (mesmo dependentes
do tempo), mostrando que a dinâmica física de tais sistemas é completamente determi-
nada pela dependência temporal do determinante da matriz de covariâncias cruzadas. Nós
analizamos a evolução temporal para Hamiltonianos dependentes de tempo, descrevendo
a conversão e a amplificação paramétricas e o processo misto de amplificação-conversão,
que corresponde ao caso de uma cavidade específica (por exemplo cúbica), já vista na liter-
atura, com uma extremidade oscilando ressonantemente. Por outro lado, é bem conhecido
que os problemas dependentes do tempo são isomórficos aos problemas de transformações
de estados quânticos por algum mecanismo de multiportas óptico, tais como divisor de
feixes, interferômetro ou misturador multi-ondas. Recentemente, tais equipamentos foram
estudados de ponto de vista de geração de estados emaranhados. Portanto a análise do
problema dependente de tempo pode ser facilmente reformulada em termos de mecanismos
ópticos multiportas após pequenas modificações na terminologia e redefinição do signifi-
cado de alguns parâmetros. Em particular, um resultado bem conhecido é que dois modos
podem ser emaranhados com a adição de um divisor de feixes (que é equivalente a al-
gum conversor paramétrico), se pelo menos um deles estiver em um estado não clássico
(comprimido), com coeficiente de compressão bastante grande.
69
Capítulo 5
Conclusões Finais
Neste trabalho abordamos de maneira resumida a teoria do propagador para o caso
particular dos operadores Hamiltonianos quadráticos. Revisamos os conceitos de invari-
antes quânticos e abordamos os pontos centrais necessários à compreensão do problema,
uma vez que esta formulação está perfeitamente definida na literatura e para o problema
em estudo é relevante apenas a forma final do propagador e sua aplicabilidade. Como ex-
emplo simples, ilustramos o método dos invariantes quânticos aplicado a um dos problemas
fundamentais da física quântica teórica: o oscilador harmônico quântico unidimensional.
Mostramos como a sua solução se resume na determinação das matrizes Λ(t) e ∆(t),
elementos fundamentais da dinâmica do sistema, obtidas a partir da solução de um sistema
de equações diferenciais ordinárias para funções escalares do tempo.
Mostramos também que nosso modelo de trabalho, surge das transformações de coorde-
nadas de um hamiltoniano mais geral. Onde o efeito paramétrico em uma das frequências
dos modos acoplados, nos sugerem buscar soluções pertubativas, como o método das es-
calas múltiplas, para a solução de matrizes λ
s, onde o papel da equação de Mathieu é
fundamental, tanto na versão clássica como quântica.
Utilizamos o método das escalas múltiplas no que se refere ao problema envolvendo a
troca de estados quânticos de dois modos do campo eletromagnético, modelados por os-
ciladores quânticos acoplados, onde em especial, um dos osciladores possui uma frequência
que varia perturbativamente no tempo, e o acoplamento destes osciladores se processa no
limite de interações fracas.
Tal método nos levou a uma simplificação das equações diferenciais para as matrizes λ’s,
que são fundamentais para o cálculo do propagador e portanto para a análise do problema
da troca de informação quântica em modos acoplados. Dada a complexidade do problema
proposto, uma compreensão básica do método das escalas múltiplas foi necessária de forma
que exemplificamos sua utilização tanto no contexto clássico como no contexto quântico.
Em síntese, mostramos que o método das escalas múltiplas tem como idéia central a
70
transformação das equações diferenciais do problema a ser abordado, sendo ela linear ou
não, em uma série de equações diferenciais lineares solúveis de forma interativa.
Com a solução das equaçoes diferenciais para as matrizes λ’s obtidas, as medidas de
correlação, pureza e compressão dos modos também podem ser determinadas. Comparamos
as situações na condição de resonância dos modos sob excitação paramétrica e sem excitação
para as medidas de compressão, pureza e emaranhamento observando que o fato de termos
uma das frequência variando no tempo, a troca de informção quântica é “destruída”.
A análise teve um caráter mais qualitativo do que quantitativo, pois nosso inter-
esse principal era verificar qualitativamente as implicações físicas dos efeitos da excitação
paramétrica quântica no problema da troda de informação quântica. Um caso quantitativo
poderá ser tratado em trabalhos futuros bem como outras medidas de troca de informação,
especificamente no que se refere as medidas de emaranhamento através dos cálculos da neg-
atividade logarítmica. Cálculos que estão em fase final de elaboração.
71
Apêndice A
Hamiltonianos Quadráticos e o
Propagador
Nesta seção dos apêndices descrevemos com um pouco mais de detalhes o formalismo
aplicado para se determinar a forma geral do propagador para sistemas quânticos de N
graus de liberdade descritos por hamiltonianos quadráticos. Esta descrição detalhada per-
mite o leitor a compreensão exata dos procedimentos necessários para o entendimento dos
resultados apresentados no capítulo 2 desta dissertação.
A.1 Hamiltoniano
Um operador hamiltoniano na forma quadrática para um sistema de dois graus de
liberdade pode ser escrito na forma
H =
ˆp
1
ˆp
2
ˆx
1
ˆx
2
[B
ij
(t)]
4×4
ˆp
1
ˆp
2
ˆx
1
ˆx
2
+ [C
ij
(t)]
1×4
ˆp
1
ˆp
2
ˆx
1
ˆx
2
, (A.1)
onde os elementos da matriz B
ij
(t) são os elementos das matrizes blocos b
i
(t), portanto,
tomando-se os produtos matriciais, as matrizes blocos ficam definidas por:
B
ij
(
t
) =
B
11
B
12
B
13
B
14
B
21
B
22
B
23
B
24
B
31
B
32
B
33
B
34
B
41
B
42
B
43
B
44
, C
ij
(
t
) =
C
11
C
21
C
31
C
41
,
(A.2)
logo identificamos as matrizes blocos num espaço N-dimensional
b
1
=
B
11
B
12
B
21
B
22
, b
2
=
B
13
B
14
B
23
B
24
, b
3
=
B
31
B
32
B
41
B
42
, b
4
=
B
33
B
34
B
43
B
44
, (A.3)
72
A.2. COMUTADOR
então tomando-se o produto em (A.1), temos
H =
1
2
[ ˆp
1
B
11
ˆp
1
+ ˆp
1
B
21
ˆp
2
+ ˆp
1
B
31
ˆx
1
+ ˆp
1
B
41
ˆx
2
+ ˆp
2
B
12
ˆp
1
+ ˆp
2
B
22
ˆp
2
+ ˆp
2
B
32
ˆx
1
+ ˆp
2
B
42
ˆx
2
+ ˆx
1
B
13
ˆp
1
+ ˆx
1
B
23
ˆp
2
+ ˆx
1
B
33
ˆx
1
+ ˆx
1
B
34
ˆx
2
+ ˆx
2
B
14
ˆp
1
+ ˆx
2
B
24
ˆp
2
+ ˆx
2
B
34
ˆx
1
+ ˆx
2
B
44
ˆx
2
] , (A.4)
logo a forma geral compacta é obtida diretamente de (A.4)
ˆ
H =
1
2
(ˆpb
1
ˆp + ˆpb
2
ˆx + ˆxb
3
ˆp + ˆxb
4
ˆx) + c
1
ˆp + c
2
ˆx. (A.5)
com a condição b
1
=
˜
b
1
, b
2
=
˜
b
3
e b
4
=
˜
b
4
, onde B
ij
(t) = B
ji
(t)
A.2 Comutador
Calculando-se o comutador do Hamiltoniano quadrático com o operador invariante,
temos que
[
ˆ
H,
ˆ
I
µ
] =
1
2
ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
+ C
α
(t)ˆq
α
, Λ
µν
(t)ˆq
ν
+ ∆
µ
(t)
, (A.6)
[
ˆ
H,
ˆ
I
µ
] =
1
2
ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
+ C
α
(t)ˆq
α
, Λ
µν
(t)ˆq
ν
+
1
2
ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
+ C
α
(t)ˆq
α
, ∆
µ
(t)
=
1
2
ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
+ C
α
(t)ˆq
α
, Λ
µν
(t)ˆq
ν
=
1
2
ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
, Λ
µν
(t)ˆq
ν
+ [C
α
(t)ˆq
α
, Λ
µν
(t)ˆq
ν
] , (A.7)
resolvendo primeiramente em (A.7)
1
2
ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
, Λ
µν
(t)ˆq
ν
=
1
2
Λ
µν
(t) [ˆq
α
B
αβ
(t)ˆq
β
, ˆq
ν
]
=
1
2
Λ
µν
(t) (B
αβ
(t)ˆq
β
[ˆq
α
, ˆq
ν
] + [B
αβ
(t)ˆq
β
, ˆq
ν
] ˆq
α
)
=
1
2
Λ
µν
(t) (−iB
αβ
(t)ˆq
β
Σ
αν
− iB
αβ
(t)Σ
βν
ˆq
α
)
= i
1
2
(Λ
µν
(t)Σ
να
B
αβ
(t)ˆq
β
+ Λ
µν
(t)Σ
νβ
B
βα
(t)ˆq
α
)
= i (Λ
µν
(t)Σ
νβ
B
βα
(t)ˆq
α
)
e
[C
α
(t)ˆq
α
, Λ
µν
(t)ˆq
ν
] = Λ
µν
(t) [C
α
(t)ˆq
α
, ˆq
ν
]
= Λ
µν
(t) ([ˆq
α
, ˆq
ν
]C
α
+ ˆq
α
[C
α
, ˆq
ν
])
= iΛ
µν
(t)Σ
να
C
α
.
73
A.3. PROPAGADOR
retornado à (A.7) temos que
[
ˆ
H,
ˆ
I
µ
] = i (Λ
µν
(t)Σ
νβ
B
βα
(t)ˆq
α
+ Λ
µν
(t)Σ
να
C
α
) , (A.8)
A.3 Propagador
O cálculo do propagador dado na forma G(x, x
; t, t
0
) pode ser verificado aqui mais
explicitamente. As equações difenciais escritas nas formas dos operadores invariantes são
colocadas desta maneira,
i
λ
1,jk
∂
∂x
k
+ λ
2,jk
x
k
+ δ
1,j
G(x, x
; t, t
0
) = i
∂
∂x
j
G(x, x
; t, t
0
), (A.9)
i
λ
3,jk
∂
∂x
k
+ λ
4,jk
x
k
+ δ
2,j
G(x, x
; t, t
0
) = x
j
G(x, x
; t, t
0
). (A.10)
Admitindo o propagador na forma G(x, x
; t, t
0
) = G
1
(x, x
)G
2
(x
; t, t
0
)G
0
(t, t
0
) as equações
em (A.10) tornam-se N equações diferenciais parciais em x com autovalores x
dadas por
G
2
(x
; t, t
0
)G
0
(t, t
0
)
i
λ
3,jk
∂G
1
(x, x
)
∂x
k
+ λ
4,jk
x
k
G
1
(x, x
) + δ
2,j
G
1
(x, x
)
= x
j
G
1
(x, x
)G
2
(x
; t, t
0
)G
0
(t, t
0
)
i
λ
3,jk
∂G
1
(x, x
)
∂x
k
+ λ
4,jk
x
k
G
1
(x, x
) + δ
2,j
G
1
(x, x
)
= x
j
G
1
(x, x
). (A.11)
Estas equações diferenciais sugerem para a solução G
1
(x, x
) a forma exponencial G
1
(x, x
) =
exp [g
1
(x, x
)].
−iλ
3,jk
∂g
1
(x, x
)
∂x
k
+ λ
4,jk
x
k
+ δ
2,j
= x
j
−i
∂g
1
(x, x
)
∂x
j
=
1
λ
3,j
(x
l
− δ
2,j
− λ
4,sl
x
l
)
−i
∂g
1
(x, x
)
∂x
j
= λ
−1
3,jl
x
l
− λ
−1
3,j
δ
2,j
− λ
−1
3,s
λ
4,sl
x
l
. (A.12)
Tomemos primeiramente a seguinte simplificação,
λ
−1
3,s
λ
4,sl
x
l
=
1
2
λ
−1
3,s
λ
4,sl
x
l
+
1
2
λ
−1
3,s
λ
4,sl
x
l
utilizando-se algumas identidades já demonstradas em (2.57) e (2.58),
λ
3
˜
λ
4
= λ
4
˜
λ
3
λ
3
˜
λ
4
˜
λ
3
−1
= λ
4
˜
λ
3
˜
λ
3
−1
˜
λ
3
−1
λ
3
˜
λ
4
˜
λ
3
−1
=
˜
λ
3
−1
λ
4
˜
λ
4
˜
λ
3
−1
=
˜
λ
3
−1
λ
4
74
A.3. PROPAGADOR
temos,
λ
−1
3,s
λ
4,sl
x
l
=
1
2
x
l
˜
λ
4,ls
˜
λ
3,s
−1
+
1
2
λ
−1
3,s
λ
4,sl
x
l
e derivando em relação a x
j
,
∂
∂x
j
λ
−1
3,s
λ
4,sl
x
l
=
1
2
∂
∂x
j
x
k
˜
λ
3,ks
−1
λ
4,sl
x
l
.
Finalmente, em (A.12), optamos em simplificar a equação ao processo de diferenciação ao
invés do integração, desta forma temos a solução para g
1
(x, x
) escrita como
g
1
(x, x
) = −
i
2
xλ
−1
3
λ
4
x − 2(xλ
−1
3
x
) + 2(xλ
−1
3
δ
2
)
. (A.13)
Desta forma, com o argumento da exponencial em G
1
(x, x
) determinado, podemos resolver
as equações diferenciais para a função G
2
(x
; t, t
0
), tal que
i
λ
1,jk
∂
∂x
k
+ λ
2,jk
x
k
+ δ
1,j
G
1
(x, x
)G
2
(x
; t, t
0
) = i
∂
∂x
j
G
1
(x, x
)G
2
(x
; t, t
0
)
i
λ
1,jk
∂G
1
∂x
k
G
2
+ λ
2,jk
x
k
G
1
G
2
+ δ
1,j
G
1
G
2
= i
∂G
1
∂x
j
G
2
+ G
1
∂G
2
∂x
j
,
considerando, G
1
(x, x
) = exp [g
1
(x, x
)] e G
2
(x
; t, t
0
) = exp [g
2
(x
; t, t
0
)]
i
G
1
G
2
λ
1,jk
∂g
1
∂x
k
+ λ
2,jk
x
k
G
1
G
2
+ δ
1,j
G
1
G
2
= i
G
1
G
2
∂g
1
∂x
j
+ G
1
G
2
∂g
2
∂x
j
,
i
λ
1,jk
∂g
1
(x)
∂x
k
+ λ
2,jk
x
k
+ δ
1,j
= i
∂g
1
(x
)
∂x
j
+
∂g
2
(x
)
∂x
j
, (A.14)
então, através da solução para g
1
(x, x
), verificamos a seguinte simplificação,
λ
1
−λ
−1
3
λ
4
x + λ
−1
3
x
− λ
−1
3
δ
2
+ λ
2
x + δ
1
= i
∂g
2
(x
)
∂x
j
+ xλ
−1
3
i
∂g
2
(x
)
∂x
j
= λ
1
−λ
−1
3
λ
4
x + λ
−1
3
x
− λ
−1
3
δ
2
+ λ
2
x + δ
1
− xλ
−1
3
i
∂g
2
(x
)
∂x
j
= λ
1
λ
−1
3
x
− λ
1
λ
−1
3
δ
2
+ δ
1
−
λ
1
λ
−1
3
λ
4
x − λ
2
x + xλ
−1
3
logo temos
i
∂g
2
(x
)
∂x
j
= λ
1,jl
λ
−1
3,lk
x
k
− λ
1,jl
λ
−1
3,lk
δ
2,k
+ δ
1,j
. (A.15)
Conforme o resolvido em (A.12), faremos a seguinte simplificação
λ
1
λ
−1
3
x
=
1
2
(λ
1
λ
−1
3
x
) +
1
2
(λ
1
λ
−1
3
x
)
75
A.3. PROPAGADOR
onde
˜
λ
1
λ
3
=
˜
λ
3
λ
1
˜
λ
−1
3
˜
λ
1
= λ
1
λ
−1
3
e derivando em relação a x
j
,
∂
∂x
j
λ
1
λ
−1
3
x
=
1
2
∂
∂x
j
x
λ
1
λ
−1
3
x
.
substituindo em (A.15), verificamos que a solução para g
2
(x
; t, t
0
) possui a forma
g
2
(x
; t, t
0
) = −
i
2
x
λ
1
λ
−1
3
x
+ 2x
λ
1
λ
−1
3
δ
2
− 2x
δ
1
, (A.16)
assim obtemos a forma espacial do propagador para o hamiltoniano. Sendo a dependência
temporal contida inteiramente em G
0
(t, t
0
), temos então a forma geral do propagador dada
por:
G (x; x
; t) = NG
0
(t, t
0
) exp
−
i
2
[xλ
−1
3
λ
4
x − 2xλ
−1
3
x
+ x
λ
1
λ
−1
3
x
+2xλ
−1
3
δ
2
+ 2x
δ
1
]
. (A.17)
A forma temporal pode ser obtida diretamente da equação de Schrödinger, tal que
i
∂
∂t
− H(x)
G (x; x
; t) = 0, (A.18)
sujeita a condição inicial
G (x; x
; 0) = δ(x
1
− x
1
)...δ(x
N
− x
N
) = δ
N
(x − x
). (A.19)
A função H(x) é o operador Hamiltoniano que pode ser escrito na representação de
Schrödinger nas coordenadas [1], como
ˆ
H =
1
2
(ˆpb
1
ˆp + ˆpb
2
ˆx + ˆxb
3
ˆp + ˆxb
4
ˆx) + c
1
ˆp + c
2
ˆx.
H(x) =
1
2
−
2
∂
∂x
b
1
∂
∂x
− i
∂
∂x
b
2
x + xb
3
∂
∂x
+ xb
4
x
− ic
1
∂
∂x
+ c
2
x. (A.20)
A ação desta forma diferencial sobre a solução G (x; x
; t) pode ser facilmente determi-
nada a partir das identidades
−i
∂
∂x
(xAx) = −i
∂x
j
∂x
k
Ax
j
+ x
j
A
∂x
j
∂x
k
= −i (δ
jk
Ax
j
+ x
j
Aδ
kj
)
76
A.3. PROPAGADOR
se A é simétrica ou seja A =
˜
A,
−i
∂
∂x
(xAx) = −i
δ
jk
Ax
j
+ δ
jk
˜
Ax
j
= −iδ
jk
(Ax
j
+ Ax
j
)
= −2iδ
jk
(Ax)
kj
= −2iAx (k = j), (A.21)
e a segunda identidade,pode ser demonstradacom o auxílio de (A.21)
−
2
∂
∂x
A
∂
∂x
(xBx) = −
2
∂
∂x
A(2Bx)
= −2
2
∂
∂x
(ABx)
= −2
2
T r(AB), (A.22)
de forma que B também é simétrico. A equação diferencial para ϕ(t), é determinada por
(A.18), considerando o propagador em (A.17)
−i
∂
∂t
− H(x)
NG
0
(t)G(x, x
) = 0, (A.23)
onde
G(x, x
) = exp
−
i
2
[xλ
−1
3
λ
4
x − 2xλ
−1
3
x
+ x
λ
1
λ
−1
3
x
+ 2xλ
−1
3
δ
2
+ 2x
δ
1
]
logo
−i
∂
∂t
(NG
0
(t)G(x, x
)) − H(x)NG
0
(t)G(x, x
) = 0
−iNG(x, x
)
∂
∂t
(G
0
(t)) − NG
0
(t)H(x)G(x, x
) = 0
supondo uma solução do tipo G
0
(t) = exp(ϕ(t)), temos
−iNG(x, x
)G
0
(t)
dϕ(t)
dt
− NG
0
(t)H(x)G(x, x
) = 0, (A.24)
aqui resolvemos separadamente H(x)G(x, x
),
H(x)G(x, x
) =
1
2
−
2
∂
∂x
b
1
∂
∂x
− i
∂
∂x
b
2
x + xb
3
∂
∂x
+ xb
4
x
−ic
1
∂
∂x
+ c
2
x
G(x, x
)
=
1
2
−
2
∂
∂x
b
1
∂
∂x
G(x, x
) − i
∂
∂x
b
2
x + xb
3
∂
∂x
G(x, x
)
+xb
4
xG(x, x
)] − ic
1
∂
∂x
G(x, x
) + c
2
xG(x, x
)
77
A.3. PROPAGADOR
tomando-se G(x, x
) = exp(−
i
2
g(x, x
)) e as identidades obtidas em (A.21) e (A.22), temos
NG(x, x
)G
0
(t)
dϕ(t)
dt
= −
i
NG
0
(t)H(x)G(x, x
)
= NG(x, x
)G
0
(t)
1
2
T r[λ
−1
3
λ
4
b
1
− b
3
]
+
i
c
1
λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
˜
λ
−1
3
b
1
λ
−1
3
δ
2

dϕ(t)
dt
=
1
2
T r[λ
−1
3
λ
4
b
1
− b
3
] +
i
c
1
λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
˜
λ
−1
3
b
1
λ
−1
3
δ
2
, (A.25)
o lado direito da equação (A.25) pode ser simplificado se eliminarmos as matrizes b
1
e b
3
,
bem como c
1
, com a ajuda das equações (2.45-2.46) e das relações de inversão.
dΛ(t)
dt
= Λ(t)ΣB(t), (A.26)
d∆(t)
dt
= Λ(t)ΣC(t). (A.27)
e
Λ
−1
= Σ
˜
ΛΣ,
multiplicando ambos os lados por
˜
Λ(t)Σ as equações (A.26 e A.27)
˜
Λ(t)Σ
dΛ(t)
dt
=
˜
Λ(t)ΣΛ(t)ΣB(t),
˜
Λ(t)Σ
d∆(t)
dt
=
˜
Λ(t)ΣΛ(t)ΣC(t)
que é o mesmo que
−
˜
Λ(t)Σ
dΛ(t)
dt
= B(t)Σ
˜
Λ(t)ΣΛ(t),
−
˜
Λ(t)Σ
d∆(t)
dt
= C(t)Σ
˜
Λ(t)ΣΛ(t)
e
B(t) = −
˜
Λ(t)Σ
dΛ(t)
dt
, (A.28)
C(t) = −
˜
Λ(t)Σ
d∆(t)
dt
, (A.29)
que a partir destas equações encontramos elementos das matrizes B e C em termos das
matrizes λ
s,
b
1
=
˜
λ
3
˙
λ
1
−
˜
λ
1
˙
λ
3
, b
2
=
˜
λ
3
˙
λ
2
−
˜
λ
1
˙
λ
4
, (A.30)
b
3
=
˜
λ
4
˙
λ
1
−
˜
λ
2
˙
λ
3
, b
1
=
˜
λ
4
˙
λ
2
−
˜
λ
2
˙
λ
4
, (A.31)
c
1
=
˜
λ
3
˙
δ
1
−
˜
λ
1
˙
δ
2
, c
2
=
˜
λ
4
˙
δ
1
−
˜
λ
2
˙
δ
2
, (A.32)
78
A.3. PROPAGADOR
então, com estas identidades podemos reescrever a equação (A.25), porém mais algumas
simplificações são necessárias e assim obtermos a dependência temporal do propagador.
Tomemos uma delas então,
λ
−1
3
λ
4
b
1
− b
3
= λ
−1
3
λ
4
(
˜
λ
3
˙
λ
1
−
˜
λ
1
˙
λ
3
) −
˜
λ
4
˙
λ
1
+
˜
λ
2
˙
λ
3
= λ
−1
3
λ
4
˜
λ
3
˙
λ
1
− λ
−1
3
λ
4
˜
λ
1
˙
λ
3
−
˜
λ
4
˙
λ
1
+
˜
λ
2
˙
λ
3
= λ
−1
3
λ
4
˜
λ
3
˙
λ
1
−
˜
λ
4
˙
λ
1
− λ
−1
3
λ
4
˜
λ
1
˙
λ
3
+
˜
λ
2
˙
λ
3
= λ
−1
3
λ
4
˜
λ
3
˙
λ
1
− (λ
−1
3
λ
3
)
˜
λ
4
˙
λ
1
− λ
−1
3
λ
4
˜
λ
1
˙
λ
3
+ (λ
−1
3
λ
3
)
˜
λ
2
˙
λ
3
= λ
−1
3
(λ
4
˜
λ
3
− λ
3
˜
λ
4
)
˙
λ
1
− λ
−1
3
(λ
4
˜
λ
1
+ λ
3
˜
λ
2
)
˙
λ
3
= −λ
−1
3
˙
λ
3
e a outra simplificação,
c
1
λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
˜
λ
−1
3
b
1
λ
−1
3
δ
2
= (
˜
λ
3
˙
δ
1
−
˜
λ
1
˙
δ
2
)λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
˜
λ
−1
3
(
˜
λ
3
˙
λ
1
−
˜
λ
1
˙
λ
3
)λ
−1
3
δ
2
= (
˜
λ
3
˙
δ
1
−
˜
λ
1
˙
δ
2
)λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
(
˙
λ
1
−
˜
λ
−1
3
˜
λ
1
˙
λ
3
)λ
−1
3
δ
2
=
˜
λ
3
˙
δ
1
λ
−1
3
δ
2
−
˜
λ
1
˙
δ
2
λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
(
˙
λ
1
−
˜
λ
−1
3
˜
λ
1
˙
λ
3
)λ
−1
3
δ
2
=
˙
δ
1
δ
2
−
˙
δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
(
˙
λ
1
−
˜
λ
−1
3
˜
λ
1
˙
λ
3
)λ
−1
3
δ
2
=
˙
δ
1
δ
2
−
˙
δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
−
1
2
δ
2
(
˙
λ
1
−
˜
λ
−1
3
˜
λ
1
˙
λ
3
)λ
−1
3
δ
2
=
˙
δ
1
δ
2
−
1
2
d
dt
(δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
).
E com estas simplificações retornamos a equação (A.25) e às utilizamos
dϕ(t)
dt
= −
1
2
T r[λ
−1
3
˙
λ
3
] +
i
˙
δ
1
δ
2
−
1
2
d
dt
(δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
)
, (A.33)
cuja identidade matricial pode ser também utilizada,
T r
λ
−1
3
dλ
3
dt
=
d
dt
ln(det λ
3
),
finalmente,
dϕ(t)
dt
= −
1
2
d
dt
ln(det λ
3
) +
i
˙
δ
1
δ
2
−
1
2
d
dt
(δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
)
, (A.34)
cuja solução,
ϕ(t) = ln(det λ
3
)
−1/2
−
i
2
δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
+
i
t
0
˙
δ
1
δ
2
dt
. (A.35)
Com o resultado em (A.35) a forma da fase temporal do propagador está definida,
G
0
(t) = N(det λ
3
)
−1/2
exp{−
i
2
δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
− 2
t
0
˙
δ
1
δ
2
dt
}, (A.36)
79
A.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2
A
ORDEM
com o fator de normalização N = (−2iπ)
−N/2
. Reunindo so resultados obtidos para
G
1
(x, x
), G
2
(x
; t) e G
0
(t), temos uma expressão final para o propagador.
G (x; x
; t) = (−2iπ det λ
3
)
−1/2
exp
−
i
2
[xλ
−1
3
λ
4
x − 2xλ
−1
3
x
+ x
λ
1
λ
−1
3
x
+2xλ
−1
3
δ
2
+ 2x
(δ
1
− λ
1
λ
−1
3
δ
2
) + δ
2
λ
1
λ
−1
3
δ
2
− 2
t
0
˙
δ
1
δ
2
dt
]
. (A.37)
A.4 Equações Diferenciais de 2
a
Ordem
De acordo com os cálculos expostas na equação (2.136), encontramos a dedução para
as matrizes E conforme os cálculos abaixo:
Tem-se das equações para as matrizes λ’s, expostas em (2.48) e (2.49) as seguintes
relações,
˙
λ
1
= λ
1
b
3
− λ
2
b
1
,
˙
λ
2
= λ
1
b
4
− λ
2
b
2
, (A.38)
˙
λ
3
= λ
3
b
3
− λ
4
b
1
,
˙
λ
4
= λ
3
b
4
− λ
4
b
2
, (A.39)
onde podemos tomar o caso para
˙
λ
1
. Derivamos novamente, obtemos
¨
λ
1
=
˙
λ
1
b
3
+ λ
1
˙
b
3
−
˙
λ
2
b
1
− λ
2
˙
b
1
. (A.40)
Como temos
˙
λ
1
e
˙
λ
2
, substituímos na equação (A.40):
¨
λ
1
= (λ
1
b
3
− λ
2
b
1
)b
3
+ λ
1
˙
b
3
− (λ
1
b
4
− λ
2
b
2
)b
1
− λ
2
˙
b
1
, (A.41)
onde podemos eliminar os termos em λ
2
através de
λ
2
b
1
= λ
1
b
3
−
˙
λ
1
. (A.42)
Multiplicando ambos os lados da equação acima pela matriz inversa b
−1
1
,
λ
2
b
1
b
−1
1
= (λ
1
b
3
−
˙
λ
1
)b
−1
1
, (A.43)
e observando que o produto de matrizes b
1
b
−1
1
é a matriz identidade, temos para λ
2
λ
2
= λ
1
b
3
b
−1
1
−
˙
λ
1
b
−1
1
. (A.44)
Substituindo (A.44) em (A.41),
¨
λ
1
= [λ
1
b
3
− (λ
1
b
3
b
−1
1
−
˙
λ
1
b
−1
1
)b
1
]b
3
+ λ
1
˙
b
3
− [λ
1
b
4
− (λ
1
b
3
b
−1
1
−
˙
λ
1
b
−1
1
)b
2
]b
1
− (λ
1
b
3
b
−1
1
−
˙
λ
1
b
−1
1
)
˙
b
1
, (A.45)
¨
λ
1
= λ
1
b
3
b
3
− λ
1
b
3
b
−1
1
b
1
b
3
+
˙
λ
1
b
−1
1
b
1
b
3
+ λ
1
˙
b
3
− λ
1
b
4
b
1
+ λ
1
b
3
b
−1
1
b
2
b
1
−
˙
λ
1
b
−1
1
b
2
b
1
− λ
1
b
3
b
−1
1
˙
b
1
+
˙
λ
1
b
−1
1
˙
b
1
, (A.46)
¨
λ
1
=
˙
λ
1
(b
3
− b
−1
1
b
2
b
1
+ b
−1
1
˙
b
1
) − λ
1
(b
4
b
1
− b
3
b
−1
1
b
2
b
1
− b
3
b
−1
1
˙
b
1
−
˙
b
3
). (A.47)
80
A.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2
A
ORDEM
Portanto verificamos que a equação diferencial para λ
1
possui a seguinte forma
d
2
λ
1
dt
2
−
dλ
1
dt
E
3
+ λ
j
E
4
= 0 (A.48)
com E
3
e E
4
dadas pela equações (2.136). Da mesma forma fazemos para λ
2
. Utilizando a
relação (2.48) temos
˙
λ
2
= λ
1
b
4
− λ
2
b
2
,
e derivando novamente em relação a t, temos
¨
λ
2
=
˙
λ
1
b
4
+ λ
1
˙
b
4
−
˙
λ
2
b
2
− λ
2
˙
b
2
. (A.49)
Deixando a equação em função apenas de parâmetros matriciais λ
2
, encontramos
λ
1
= λ
2
b
2
b
−1
4
−
˙
λ
2
b
−4
1
, (A.50)
e após uma manipulação elementar,
¨
λ
2
= −
˙
λ
2
(b
2
− b
−1
4
b
3
b
4
+ b
−1
4
˙
b
4
) − λ
2
(b
1
b
4
− b
2
b
−1
4
b
3
b
4
− b
2
b
−1
4
˙
b
4
+
˙
b
2
), (A.51)
obtemos a equação diferencial
d
2
λ
2
dt
2
+
dλ
2
dt
E
1
+ λ
2
E
2
= 0, (A.52)
com E
1
e E
2
dadas pelas equações (2.135).
Os cálculos referentes as matrizes λ
3
e λ
4
seguem o mesmo procedimento, obtendo
com isto a relação geral para as equações diferenciais de segunda ordem para as matrizes
λ’s conforme (2.136) e (2.137). A forma completa das matrizes E
j
estão dadas a seguir.
Assumindo que ω
1
= ω
2
1
(t), temos
E
1
=
ε
2
ζ
0
ζ
1
ω
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
+
ε
2
ζ
0
ζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
+
dω
1
dt
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
−εζ
1
+
ε
2
ζ
2
0
ζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
+
εζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
−εζ
1
−
[ω
1
]
2
εζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
−
ε
2
ζ
2
0
ζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
−
εζ
1
dω
1
dt
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
ε
2
ζ
0
ζ
1
ω
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
−
ε
2
ζ
0
ζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
,
E
2
=
ω
1
+ ε
2
ζ
2
0
+
[ω
1
]
2
ε
2
ζ
2
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
+
ε
4
ζ
2
0
ζ
1
ζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
+
ε
2
ζ
0
ζ
1
dω
1
dt
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
2εζ
0
+
ω
1
ε
3
ζ
2
1
ζ
0
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
−
ε
3
ζ
2
0
ζ
1
ζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
εζ
0
ω
1
+ εζ
0
−
ε
3
ζ
2
0
ζ
1
ζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
+
ε
3
ζ
0
ζ
2
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
−
εζ
0
dω
1
dt
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
ε
2
ζ
2
0
+ 1 −
ε
4
ζ
2
0
ζ
1
ζ
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
+
ε
3
ζ
2
1
−ω
1
+ε
2
ζ
2
0
,
E
3
=
ε
2
ζ
0
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−
ε
2
ζ
0
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−εζ
1
+
ε
3
ζ
2
0
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−
εζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−εζ
1
−
εζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−
ε
3
ζ
2
0
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−
ε
2
ζ
0
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
+
ε
2
ζ
0
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
,
E
4
=
ω
1
+ ε
2
ζ
2
0
+
ε
2
ζ
2
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−
ε
4
ζ
2
0
ζ
1
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−εζ
1
ω
1
+ εζ
0
+
ε
3
ζ
0
ζ
2
1
−1+ε
2
ζ
2
0
−
ε
3
ζ
2
0
ζ
1
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
2εζ
0
−
ε
3
ζ
2
0
ζ
1
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
+
ε
3
ζ
0
ζ
2
1
−1+ε
2
ζ
2
0
ε
2
ζ
2
0
+ 1 −
ε
4
ζ
2
0
ζ
1
ζ
1
−1+ε
2
ζ
2
0
+
ε
2
ζ
2
1
−1+ε
2
ζ
2
0
.
Para o nosso problema em questão estamos interessados na solução com correção até a
primeira ordem para ε tendo em vista que ε
2
ζ
i
ζ
k
1, por isto podemos desprezar os
81
A.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2
A
ORDEM
termos de ordens superiores a ε
2
. Isso implica em uma enorme simplificação para as
matrizes E
j
, que ficam reescritas na forma:
E
1
=
−
1
ω
2
1
(t)
dω
2
1
(t)
dt
−εζ
1
−
εζ
1
ω
2
1
(t)
−εζ
1
− ω
2
1
(t)εζ
1
−
εζ
0
ω
2
1
(t)
dω
2
1
(t)
dt
0
(A.53)
E
2
=
ω
2
1
(t) 2εζ
0
εζ
0
ω
2
1
(t) + εζ
0
−
εζ
1
ω
2
1
(t)
dω
2
1
(t)
dt
1
(A.54)
E
3
=
0 2εζ
1
−2εζ
1
0
(A.55)
E
4
=
ω
2
1
(t) εζ
0
ω
2
1
(t) + εζ
0
2εζ
0
1
. (A.56)
Com tais resultados substituímos nas relações (2.136) e (2.137) encontramos os dois
grupos de equações diferenciais para as matrizes λ
j
relevantes para a análise do nosso
sistema.
82
Apêndice B
Equação de Duffing e o M.E.M.
B.1 Equação de Duffing Clássica
Como exemplo importante e de um modo mais detalhado para nosso estudo, a equação
de Duffing apresentou-se como a primeira opção de um modelo físico concreto para a
aplicação do método das escalas múltiplas. É uma equação importante no problema de
oscilações não lineares [33], como por exemplo no estudo do oscilador anarmônico de massa
unitária (p = ˙x), cuja hamiltoniana está dada por
H(x, p) =
˙x
2
2
+
x
2
2
+ ε
x
4
4
(B.1)
sujeito a condição ε 1. Vamos aplicar o método das escalas múltiplas para um deter-
minado problema de valor inicial. As equações do movimento deste sistema estão dadas
por
dx
dt
= {x, H(x, p)} = p, (B.2)
dp
dt
= {p, H(x, p)} = −x −4εx
3
, (B.3)
{K, H} =
∂K
∂x
∂H
∂p
−
∂K
∂p
∂K
∂x
.
O sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem (B.2)-(B.3) pode ser reduzido
a uma equação diferencial de segunda ordem, conhecida por equação de Duffing. Temos,
então, para o sistema (B.1) a equação
d
2
x
dt
2
+ x + 4εx
3
= 0, (B.4)
onde x(t) é a variável clássica para a posição. Para nosso problema vamos considerar, por
exemplo, as condições iniciais
x(0) = 1, ˙x(0) = 0. (B.5)
83
B.1. EQUAÇÃO DE DUFFING CLÁSSICA
Tentamos então uma solução do tipo:
x(t) =
∞
n=0
ε
n
x
n
(t). (B.6)
Substituindo a série dada por (B.6) em (B.4) obtemos as equações de ordem zero e um
para o parâmetro ε:
d
2
x
0
dt
2
+ x
0
= 0, (B.7)
d
2
x
1
dt
2
+ x
1
= −4x
3
0
, (B.8)
A solução geral para (B.7) é da forma:
x
0
= A cos t + B sen t, (B.9)
e com as condições iniciais obtemos a solução
x
0
(t) = cos t. (B.10)
Logo substituindo (B.10) em (B.8) obtemos a equação
¨x
1
+ x
1
= −4 cos
3
t, (B.11)
onde em (B.11) podemos utilizar propriedades das identidades trigonométricas
cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b
sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
para simplificar o termo não homogêneo da equação diferencial. Dessa forma temos
−4 cos
3
t = −cos 3t − 3 cos t,
que substituido em (B.11) resulta na equação diferencial não homogênea na forma
¨x
1
+ x
1
= −cos 3t − 3 cos t. (B.12)
Mediante as condições iniciais (B.5) obtemos uma solução particular de (B.12):
x
1p
= −
1
8
cos t +
1
2
cos
3
t −
3
2
t sen t, (B.13)
Facilmente verificamos que a solução (B.13) possui um termo secular dado por t sen t.
Observamos que no limite t → ∞ a solução particular é divergente, contrariando a condição
física de que o sistema (B.4) tem uma energia finita: o sistema não está acoplado com
nenhum potencial externo e portanto pode ser tratado como um sistema isolado com energia
constante E
0
:
H(x, p) =
˙x
2
2
+
x
2
2
+ ε
x
4
4
= E
0
.
84
B.1. EQUAÇÃO DE DUFFING CLÁSSICA
Justificada a condição física para eliminarmos termos seculares, nós podemos considerar
a expansão (B.6) sob o ponto de vista das escalas múltiplas. Procurando uma solução
aproximada para o problema até correções de primeira odem no parâmetro ε, tomemos
x(t, ε) como uma função das variáveis independentes T
0
e T
1
, onde T
1
= εt, na forma:
x(t, ε) = X
0
(T
0
, T
1
) + εX
1
(T
0
, T
1
) + O(ε
2
), (B.14)
Substituindo a solução (B.14) na equação (B.4), tomamos para cada uma das ordens em ε
as correspondentes equações diferenciais
∂
2
X
0
∂T
2
0
+ X
0
= 0, (B.15)
∂
2
X
1
∂T
2
0
+ X
1
= −4X
3
0
− 2
∂
2
X
0
∂T
0
∂T
1
. (B.16)
A resolução de (B.15) é bastante simples e sua solução é dada na forma:
X
0
(T
0
, T
1
) = A(T
1
) cos T
0
+ B(T
1
) sen T
0
, (B.17)
substituímos (B.17) na equação (B.16), considerando as amplitudes A(T
1
) e B(T
1
) como
termos dependentes apenas de T
1
(as soluções estão sendo consideradas até primeira or-
dem). Resolvendo de forma explícita a equação (B.16) temos que
∂
2
X
1
∂T
2
0
+ X
1
= −4[A(T
1
) cos T
0
+ B(T
1
) sen T
0
]
3
− 2
∂
2
∂T
0
∂T
1
[A(T
1
) cos T
0
+ B(T
1
) sen T
0
],
que pode ser reescrita na forma
∂
2
X
1
∂T
2
0
+ X
1
− A
3
(T
1
) cos 3T
0
− 3A
3
(T
1
) cos T
0
− 3A
2
(T
1
)B(T
1
) sen 3T
0
− 3A
2
(T
1
)B(T
1
) sen T
0
+ 3A(T
1
)B
2
(T
1
) cos 3T
0
− 3A(T
1
)B
2
(T
1
) cot T
0
+ B
3
(T
1
) sen 3T
0
− 3B
3
(T
1
) sen T
0
+ 2
∂A(T
1
)
∂T
1
sen T
0
− 2
∂B(T
1
)
∂T
1
cos T
0
.
Para determinarmos então as amplitudes A(T
1
) e B(T
1
), é necessário agora identificar os
termos seculares. O que não é muito difícil pois são os termos que envolvem sen T
0
e
cos T
0
, que são parte da solução da equação homogênea associada. Com isto chegamos as
seguintes equações para A(T
1
) e B(T
1
):
dB(T
1
)
dT
1
= −
3
2
A
3
(T
1
) −
3
2
A(T
1
)B
2
(T
1
), (B.18)
dA(T
1
)
dT
1
=
3
2
B
3
(T
1
) +
3
2
B(T
1
)A
2
(T
1
). (B.19)
Multiplicando (B.18) por B(T
1
) e (B.19) por A(T
1
) estas equações podem ser reescritas na
forma
1
2
dB
2
(T
1
)
dT
1
= −
3
2
[A
3
(T
1
)B(T
1
) + A(T
1
)B
3
(T
1
)],
85
B.2. EQUAÇÃO DE DUFFING QUÂNTICA
1
2
dA
2
(T
1
)
dT
1
=
3
2
[B
3
(T
1
)A(T
1
) + B(T
1
)A
3
(T
1
)],
e somando-se estas duas equações, encontramos que
1
2
dB
2
(T
1
)
dT
1
+
1
2
dA
2
(T
1
)
dT
1
= 0,
ou
dC(T
1
)
dT
1
= 0, (B.20)
onde C(T
1
) está definido como
C(T
1
) =
1
2
[A
2
(T
1
) + B
2
(T
1
)],
Verificamos um tipo de lei de conservação na equações (B.20), de forma que atua como um
invariante do sistema em relação a escala de tempo T
1
. Podemos desta forma, reescrever
(B.18) e ( B.19) em termos de C(T
1
) de tal modo que:
dB(T
1
)
dT
1
= −3C(0)A(T
1
) (B.21)
dA(T
1
)
dT
1
= 3C(0)B(T
1
). (B.22)
Determinando C(0) a partir das condições (B.5) e resolvendo as equações diferenciais
lineares acopladas (B.21)-(B.22) obtemos as soluções para as amplitudes A(T
1
) e B(T
1
)
que conduz a solução em primeira ordem:
X
0
(T
0
, T
1
) = cos[(T
0
+
3
2
T
1
)] + O(ε
2
), (B.23)
Podemos verificar que a solução (B.23) é coerente com a solução direta em (B.13) a menos
do um fator secular. Podemos prossegur então a nossa análise para a equação de Duffing,
agora para o caso quântico onde as coordenadas escalares dão lugar aos operadores posição
ˆx e momenta ˆp, conforme os princípios da quantização canônica.
B.2 Equação de Duffing Quântica
O sistema quântico correspondente ao sistema clássico abordado na seção anterior está
definida pela equação de Duffing quântica na forma
d
2
ˆq
dt
+ ˆx + 4 εˆx
3
= 0, (B.24)
e da mesma forma que no caso clássico é necessário estabelecer as condições iniciais para
o problema. A equação (B.24) pode ser deduzida a partir do operador Hamiltoniano
H =
1
2
ˆp
2
+
1
2
ˆx
2
+ εˆx
4
, (B.25)
86
B.2. EQUAÇÃO DE DUFFING QUÂNTICA
na representação de Heisenberg e eliminando o operador momento ˆp de modo similar ao
procedimento realizado no caso clássico. Além disso, temos que ˆx(0) = ˆx
0
e ˆp(0) = ˆp
0
com
a relação de comutação canônica:
[ˆx
0
, ˆp
0
] = i. (B.26)
Apliquemos então o método das escalas múltiplas para a solução de operador ˆx(T
0
, T
1
), ou
seja,
ˆx(T
0
, T
1
) =
ˆ
X
0
(T
0
, T
1
) + ε
ˆ
X
1
(T
0
, T
1
) + O(ε
2
), (B.27)
de forma que o operador posição do oscilador agora depende explicitamente de duas es-
calas de tempo independentes. Substituindo (B.27) em (B.24) e separando os termos das
diferentes ordens de ε, resulta
∂
2
ˆ
X
0
∂T
2
0
+
ˆ
X
0
= 0, (B.28)
e
∂
2
ˆ
X
1
∂T
2
0
+
ˆ
X
1
= −4
ˆ
X
3
0
− 2
∂
2
ˆ
X
0
∂T
0
∂T
1
. (B.29)
A solução de (B.28) é bastante simples e de modo similar ao caso clássico está dada na
forma
ˆ
X
0
(T
0
, T
1
) =
ˆ
A(T
1
) cos T
0
+
ˆ
B(T
1
) sen T
0
, (B.30)
e de acordo com (B.30) escrevemos também o operador momento em função de T
0
e T
1
como
ˆ
P
0
(T
0
, T
1
) =
ˆ
B(T
1
) cos T
0
−
ˆ
A(T
1
) sen T
0
. (B.31)
A diferença fundamental entre o sistema clássico e quântico é que os termos independentes
de T
0
são agora operadores e satisfazem a relação de comutação canônica.
ˆ
A(T
1
),
ˆ
B(T
1
)
= i. (B.32)
De acordo com as equações (B.30) e (B.31) devemos ter para os operadores
ˆ
A(T
1
) e
ˆ
B(T
1
)
as condições iniciais
ˆ
A(0) = ˆx
0
,
ˆ
B(0) = ˆp
0
.
Substituindo a solução (B.30), na equação (B.29) temos para o operador
ˆ
X
1
, a equação
∂
2
ˆ
X
1
∂T
2
0
+
ˆ
X
1
= −4[
ˆ
A(T
1
) cos T
0
+
ˆ
B(T
1
) sen T
0
]
3
− 2
∂
2
∂T
0
∂T
1
[
ˆ
A(T
1
) cos T
0
+
ˆ
B(T
1
) sen T
0
],
87
B.2. EQUAÇÃO DE DUFFING QUÂNTICA
que com a ajuda da relação de comutação (B.32) pode ser reescrita na forma
∂
2
ˆ
X
1
∂T
2
0
+
ˆ
X
1
−
ˆ
A
3
(T
1
) cos 3T
0
− 3
ˆ
A
3
(T
1
) cos T
0
− [
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
) +
ˆ
A(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
) +
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
A(T
1
)] sen 3T
0
− [
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
) +
ˆ
A(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
) +
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
A(T
1
)] sen T
0
+ [
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
) +
ˆ
B(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
) +
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
B(T
1
)] cos 3T
0
− [
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
) +
ˆ
B(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
) +
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
B(T
1
)] cot T
0
+
ˆ
B
3
(T
1
) sen 3T
0
− 3
ˆ
B
3
(T
1
) sen T
0
+ 2
∂
∂T
1
ˆ
A(T
1
) sen T
0
− 2
∂
∂T
1
ˆ
B(T
1
) cos T
0
.
Para determinarmos então os operadores amplitudes
ˆ
A(T
1
) e
ˆ
B(T
1
), é necessário identificar
os termos seculares. O que não é muito difícil pois como no caso clássico também recaímos
nos termos que envolvem sen T
0
e cos T
0
. Com isto chegamos a uma relação do tipo:
d
ˆ
B(T
1
)
dT
1
=
1
2
[−3
ˆ
A
3
(T
1
) −
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
) −
ˆ
B(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
) −
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
B(T
1
)],
(B.33)
d
ˆ
A(T
1
)
dT
1
=
1
2
[3
ˆ
B
3
(T
1
)+
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
)+
ˆ
A(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
B(T
1
)+
ˆ
B(T
1
)
ˆ
A(T
1
)
ˆ
A(T
1
)]. (B.34)
As equações acima, como no caso clássico, implicam em uma lei de conservação para o
operador
ˆ
C(T
1
) =
1
2
[
ˆ
A
2
(T
1
) +
ˆ
B
2
(T
1
)], (B.35)
pois se aplicarmos
ˆ
B(T
1
) em (B.33) e
ˆ
A(T
1
) em (B.34), somando-as multuamente obtemos
uma equação para o operador
ˆ
C(T
1
) na forma
d
ˆ
C(T
1
)
dT
1
= 0. (B.36)
Assim utilizando as relações de comutação canônica expostas pelas condições iniciais e
pela equação de comutação em (B.32), podemos reescrever as equações (B.33) e (B.34)
de um modo mais simplificado, utilizando a forma (B.35) para o operador
ˆ
C(T
1
). Ainda
observamos que ele é uma constante tal qual
ˆ
C(T
1
) =
ˆ
C. Logo
d
ˆ
B(T
1
)
dT
1
= −
3
2
[
ˆ
C,
ˆ
A(T
1
)]
+
(B.37)
e
d
ˆ
A(T
1
)
dT
1
= −
3
2
[
ˆ
C,
ˆ
B(T
1
)]
+
(B.38)
onde [
ˆ
C(T
1
),
ˆ
A(T
1
)]
+
e [
ˆ
C(T
1
),
ˆ
B(T
1
)]
+
são conhecidos como anticomutadores e a partir
das suas propriedades gerais temos que são hermitianos, possuindo apenas solução real e,
não imaginária como em (B.32). Resolvendo então as equações diferenciais obtemos,
ˆ
A(T
1
) =
ˆ
A(0) cos 3
ˆ
CT
1
+
ˆ
B(0) sen 3
ˆ
CT
1
, (B.39)
88
B.2. EQUAÇÃO DE DUFFING QUÂNTICA
ˆ
B(T
1
) =
ˆ
B(0) cos 3
ˆ
CT
1
−
ˆ
A(0) sen 3
ˆ
CT
1
, (B.40)
e de acordo com as condições iniciais temos para termos até a ordem O(ε) a solução (sem
os termos seculares) na forma,
ˆ
X
0
(T
1
, T
0
) = [
ˆ
A(0) cos 3
ˆ
CT
1
+
ˆ
B(0) sen 3
ˆ
CT
1
] cos T
0
+ [
ˆ
B(0) cos 3
ˆ
CT
1
−
ˆ
A(0) sen 3
ˆ
CT
1
] sen T
0
,
Uma vez que T
1
= εT
0
, podemos reescrever a solução na forma
ˆ
X
0
(T
1
, T
0
) =
ˆx
0
cos(T
0
+ 3ε
ˆ
CT
0
) + cos(T
0
+ 3ε
ˆ
CT
0
)ˆx
0
2 cos(3εT
0
2
)
+
ˆp
0
sen (T
0
+ 3ε
ˆ
CT
0
) + sen (T
0
+ 3ε
ˆ
CT
0
)ˆp
0
2 cos(3εT
0
2
)
+ O(ε). (B.41)
O método pode então ser aplicado a qualque sistema dinâmico e fornece-nos uma solução
aproximada para descrever o comportamento dinâmico dos mesmos pelo menos nos primeiros
instantes do movimento.
89
Apêndice C
Covariância e Emaranhamento
C.1 Elementos das Matrizes das Covariâncias
Seja a matriz das covariâncias dada pelas matrizes blocos Q
ij
como,
Q =
Q
11
Q
12
Q
21
Q
22
, (C.1)
onde explicitamente os elementos deste blocos são dados por:
Q
11
=
M
11
M
12
M
21
M
22
, Q
12
=
M
13
M
14
M
23
M
24
Q
21
=
M
31
M
32
M
41
M
42
, Q
22
=
M
33
M
34
M
43
M
44
.
Em termos da parametrização:
• Para Q
11
:
M
11
=
1
2
(η
1
Y
2−
δ
2
− η
2
ρ
2
Y
1+
)
sen
2
τ
α
2
− η
1
Y
1−
cos
2
τ − δη
1
Y
3−
cosh(2ξ
1
)
sen (2τ)
α
M
12
= −
1
2
(η
2
Z
1
ρ
2
+ η
1
Y
4+
δ
2
)
sen
2
τ
α
2
+ η
1
Y
4−
cos
2
τ − δη
1
Z
2
sen (2τ)
α
M
21
= −
1
2
(η
2
Z
1
ρ
2
+ η
1
Y
4+
δ
2
)
sen
2
τ
α
2
+ η
1
Y
4−
cos
2
τ − δη
1
Z
2
sen (2τ)
α
M
22
=
1
2
(η
1
Y
5−
δ
2
+ η
2
ρ
2
Y
2+
)
sen
2
τ
α
2
+ η
1
Y
5+
cos
2
τ + δη
1
Y
3+
cosh(2ξ
1
)
sen (2τ)
α
90
C.1. ELEMENTOS DAS MATRIZES DAS COVARIÂNCIAS
• Para Q
12
:
M
13
=
1
4
(Y
1−
η
1
− η
2
Y
2−
)
ρ sen (2τ)
α
+ 2 [(cosh(2ξ
1
)η
1
+ cosh(2ξ
2
)η
2
)Y
3−
]
ρδ sen
2
τ
α
2
M
14
=
1
4
(Y
4−
η
1
− η
2
Z
1
)
ρ sen (2τ)
α
+ 2(η
1
Y
6+
− η
2
Y
7−
)
ρδ sen
2
τ
α
2
M
23
=
1
4
(Y
4−
η
1
− η
2
Z
1
)
ρ sen (2τ)
α
+ 2(η
1
Y
6−
− η
2
Y
7+
)
ρδ sen
2
τ
α
2
M
24
=
1
4
(Y
5+
η
1
− η
2
Y
2+
)
ρ sen (2τ)
α
+ 2 [(cosh(2ξ
1
)η
1
+ cosh(2ξ
2
)η
2
)Y
3+
]
ρδ sen
2
τ
α
2
• Para Q
21
temos a igualdade, Q
21
=
˜
Q
12
• Para Q
22
M
33
=
1
2
(η
1
T
3
δ
2
− η
2
ρ
2
T
4
)
sen
2
τ
α
2
− η
1
T
1
cos
2
τ − δη
1
T
2
cosh(2ξ
1
)
sen (2τ)
α
M
34
= −
1
2
(η
2
T
7
ρ
2
+ η
1
T
6
δ
2
)
sen
2
τ
α
2
+ η
1
T
5
cos
2
τ − δη
1
T
12
sen (2τ)
α
M
43
= −
1
2
(η
2
T
7
ρ
2
+ η
1
T
6
δ
2
)
sen
2
τ
α
2
+ η
1
T
5
cos
2
τ − δη
1
T
12
sen (2τ)
α
M
44
=
1
2
(η
1
T
8
δ
2
+ η
2
ρ
2
T
9
)
sen
2
τ
α
2
+ η
1
T
11
cos
2
τ + δη
1
T
10
cosh(2ξ
1
)
sen (2τ)
α
de forma que,
Z
1
= cos(2t) senh (2µ) cosh(2ξ
2
) − senh (2ξ
2
) sen (2t),
Z
2
= cos(2t) cosh(2ξ
1
) cosh(2µ),
Y
1∓
= senh (2ξ
1
) cos(2t) ∓ cosh(2ξ
1
) [cosh(2µ) − sen (2t) senh (2µ)] ,
Y
2∓
= senh (2ξ
2
) cos(2t) + cosh(2 ξ
2
) [ sen (2t) senh (2µ) ∓ cosh(2µ)] ,
Y
3∓
= sen (2t) cosh(2µ) ∓ senh (2µ),
Y
4∓
= cos(2t) senh (2µ) cosh(2ξ
1
) ∓ senh (2ξ
1
) sen (2t),
Y
5±
= senh (2ξ
1
) cos(2t) ± ( sen (2t) senh (2µ) + cosh(2µ)) cosh(2ξ
1
),
Y
6±
= senh (2ξ
1
) ± cosh(2µ) cosh(2ξ
1
) cos(2t),
Y
7±
= senh (2ξ
2
) ± cosh(2µ) cosh(2ξ
2
) cos(2t)
91
C.2. EMARANHAMENTO - ESTADO PURO - PARAMETRIZAÇÃO
C.2 Emaranhamento - estado puro - parametrização
No processo de simplificação das equações utilizando os elementos das covariâncias, e
ainda para uma fase φ = 0, temos auma medida de correlação quântica dada na forma
Y
p
(τ) =
ρ|sen τ|
2
Υ
1+
δ
2
sen
2
τ − Υ
2
αδ sen (2τ) + Υ
1−
α
2
cos
2
τ
F(τ)
onde
F(τ) = (Υ
5
sen
2
τ + Υ
3,1
sen (2τ) + Υ
4,1
cos
2
τ)(Υ
6
sen
2
τ − Υ
3,2
sen (2τ) + Υ
4,2
cos
2
τ)
Υ
1±
= 2 cosh
2
(2τ
β
)(cosh(4ξ
2
) + cosh(4ξ
1
) ± 2 cosh(2ξ
2
∓ 2ξ
1
))
+ 4 senh
2
(2τ
β
)(1 ± cosh(2ξ
2
± 2ξ
1
))
Υ
2
= senh (4τ
β
)(cosh(4ξ
2
) − cosh(4ξ
1
)), Υ
3,i
= αδ senh (2τ
β
) cosh(2ξ
i
),
Υ
4,i
= α
2
cosh(2τ
β
) cosh(2ξ
i
), Υ
5
=
δ
2
Υ
4,1
+ ρ
2
Υ
4,2
α
2
Υ
6
=
δ
2
Υ
4,2
+ ρ
2
Υ
4,1
α
2
92
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