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Estimativa de Parˆametros Cosmol´ogicos usando
Aglomerados de Gal´axias
Carlos Augusto Molina Vel´asquez
2007
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Estimativa de Parˆametros Cosmol´ogicos
usando Aglomerados de Gal´axias
Carlos Augusto Molina Vel´asquez
Orientador: Ioav Waga
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i
Estimativa de Parˆametros Cosmol´ogicos
Usando Aglomerados de Gal´axias
Carlos Augusto Molina Vel´asquez
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Astrono-
mia do Observat´orio do Valongo, Universi-
dade Federal do Rio de Janeiro, como parte
dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao
do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias (Astrono-
mia)
Orientador: Ioav Waga
ii
Molina Vel´asquez, Carlos Augusto.
Estimativa de Parˆametros Cosmol´ogicos Usando
Aglomerados de Gal´axias/ Carlos Augusto Molina
Vel´asquez.-Rio de Janeiro: UFRJ/OV, 2007.
xi, 82f.: il. ; 29,7cm.
Orientador: Ioav Waga
Disserta¸c˜ao (Mestrado) - UFRJ/ Observat´orio do
Valongo/ Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Astronomia,
2007.
Referˆencias Bibliogr´aficas: f. 79-82.
1. Modelo cosmol´ogico padr˜ao. 2. Aglomerados
de Gal´axias. 3. Efeito Sunyaev Zel’Dovich 4. Esti-
mativas de parˆametros cosmol´ogicos. 1. C´alculo de
parˆametros cosmol´ogicos Waga I. II. Universidade Fe-
deral do Rio de Janeiro, Observat´orio do Valongo, Pro-
grama de P´os-gradua¸c˜ao em Astronomia. III. Estima-
tiva de Parˆametros Cosmol´ogicos Usando Aglomerados
de Gal´axias.
iii
Resumo
Uma grande quantidade de dados sobre a estrutura em grande escala do universo
foram obtidos recentemente e espera-se que nos pr´oximos anos novos levantamentos
forne¸cam dados em quantidade ainda maior e com melhor qualidade. Os resulta-
dos obtidos at´e agora tem permitido um consider´avel avan¸co na determina¸c˜ao de
parˆametros cosmol´ogicos. No presente trabalho s˜ao usados dados sobre a distˆancia
diˆametro angular de aglomerados de gal´axias e oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions para
determinar v´ınculos sobre o parˆametro de densidade da mat´eria (Ω
m0
) e o parˆametro
da equa¸c˜ao de estado (w) da energia escura para um modelo (X-CDM) sem curvatura
espacial e em que w ´e suposto constante mas arbitr´ario. S˜ao determinados tamb´em
v´ınculos para a constante de Hubble (H
0
) e Ω
m0
para um modelo Λ-CDM. Nossos
resultados para o caso X-CDM mostraram que o teste conjunto BAO/SZ/raios-X
´e relativamente insens´ıvel `a varia¸c˜ao no parˆametro w (em 1σ, w = −1.09 ± 0.55 e
Ω
m
= 0.26 ± 0.064). Adotando o modelo Λ-CDM encontramos H
0
= 73 ± 2.3 (1σ) e
Ω
m
= 0.26 ± 0.011 (1σ).
Palavras-chave: Cosmologia. Aglomerados de Gal´axias. Efeito Sunyaev-Zel’Dovich.
Oscila¸c˜oes Ac´usticas de B´arions. Parˆametros Cosmol´ogicos
Rio de Janeiro
Dezembro de 2007
CONTE
´
UDO
1 O Modelo Cosmol´ogico Padr˜ao 1
1.1 O Princ´ıpio Cosmol´ogico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 A M´etrica de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Equa¸c˜oes de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Deslocamento para o Vermelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 O Parˆametro de Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Algumas Solu¸c˜oes das Equa¸c˜oes de Friedmann . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 O Modelo de Milne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 O Modelo de Einstein-de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.3 Universo com Radia¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.4 Universo de de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
i
ii
1.6.5 Λ-CDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Distˆancias Cosmol´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.1 Distˆancia Pr´opria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.2 Distˆancia Co-m´ovel. (linha de visada) . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.3 Distˆancia Diˆametro Angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Aglomerados de Gal´axias 24
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Classifica¸c˜ao de Aglomerados de Gal´axias . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Classifica¸c˜ao de Abell para Aglomerados de Gal´axias . . . . . 27
2.2.2 A Classifica¸c˜ao de Zwicky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Classifica¸c˜ao de Rood & Strastry . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Dimens˜oes Carater´ısticas dos Aglomerados . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Aglomerados e o Teorema do Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 A Estrutura dos Aglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1 O Meio Intra-Aglomerado (MIA) . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.2 As Gal´axias nos Aglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.3 Mat´eria Escura em Aglomerados de Gal´axias . . . . . . . . . . 44
3 Efeito Sunyaev-Zel’Dovich (SZ) 47
3.1 Efeito Sunyaev-Zel’Dovich T´ermico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
iii
3.2 Efeito Sunyaev-Zel’Dovich Cinem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Estimativas de Parˆametros Cosmol´ogicos usando Aglomerados de
Gal´axias 57
4.1 C´alculo da Distˆancia Diˆametro Angular. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 O Teste χ
2
e o C´alculo de Parˆametros Cosmol´ogicos . . . . . . . . . . 62
4.3 Fontes de Erro na determina¸c˜ao de parˆametros cosmol´ogicos . . . . . 63
5 C´alculo de Parˆametros Cosmol´ogicos. 66
5.1 Descri¸c˜ao da Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Resultados e Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
LISTA DE FIGURAS
2.1 Diagrama de Classifica¸c˜ao de Rood & Strastry [41] . . . . . . . . . . 31
3.1 Esquema de colis˜ao entre um el´etron e um f´oton no efeito Compton . 49
3.2 Espectro da radia¸c˜ao c´osmica de fundo modificado pelo efeito SZ, a
linha tracejada representa o espectro original (adaptado de [7]) . . . . 53
3.3 Compara¸c˜ao da varia¸c˜ao na intensidade entre os efeitos SZ t´ermico, SZ
cin´etico e t´ermico relativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1 Sistema de coordenadas para os fatores de forma dos aglomerados, (a)
vista frontal, (b) vista transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Dados originais sem agrupar e a curva de melhor ajuste com w = −1.09
e Ω
m
= 0.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Dados binados e a curva de melhor ajuste. . . . . . . . . . . . . . . . 75
iv
v
5.3 N´ıveis de confian¸ca de 68, 3% e 95, 4% para os parˆametros w e Ω
m
nas
duas t´ecnicas separadas, BAO e SZ/raios-X . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 Contornos de confian¸ca de 68, 3% e 95, 4% para os parˆametros w e Ω
m
combinando BAO e SZ/raios-X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5 Contornos de confian¸ca de 68, 3% e 95, 4% no espa¸co de parˆametros de
h e Ω
m
combinando BAO e SZ/raios-X. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Introdu¸c˜ao
Os aglomerados de gal´axias s˜ao considerados as maiores estruturas virializadas no
universo. A maior parte da mat´eria luminosa presente em forma de estrelas e gal´axias
est´a contida neles. Por´em, o conhecimento que temos acerca da sua evolu¸c˜ao, suas
propriedades f´ısicas e sua distribui¸c˜ao no espa¸co ´e ainda muito recente e incompleta.
Os maiores progressos foram produzidos nas ´ultimas trˆes d´ecadas e, particularmente,
nos ´ultimos anos gra¸cas `a apari¸c˜ao de novas tecnologias para escrutar o c´eu.
Na d´ecada de 1920, com o chamado “Grande debate”, a nossa vis˜ao do universo
mudou drasticamente. At´e ent˜ao acreditava-se que a gal´axia era o pr´oprio universo,
mas com as observa¸c˜oes feitas por Edwin Hubble foi poss´ıvel estabelecer que as nebu-
losas, que j´a tinham sido observadas no s´eculo XVIII, eram, de fato, sistemas externos
`a nossa gal´axia. Nas d´ecadas posteriores foram formuladas diversas teorias sobre a
evolu¸c˜ao e estrutura do universo. Alguns cientistas como Fred Hoyle e Hermann
Bondi defendiam a id´eia de um estado estacion´ario. Por outro lado, baseando-se na
vi
vii
teoria da relatividade geral e nas evidˆencias observacionais, surgiu o modelo que hoje
conhecemos como “Hot Big Bang” [40].
Uma das previs˜oes mais interessantes do modelo do “Big Bang”, ´e a existˆencia
da radia¸c˜ao c´osmica de fundo, detectada pela primeira vez por Arno Penzias e Ro-
bert Wilson em 1964 e cujo espectro foi determinado, com grande precis˜ao, pelo
sat´elite COBE na d´ecada de 1990 revelando um espectro de radia¸c˜ao de corpo negro
com pequenas anisotropias. Algumas destas flutua¸c˜oes na distribui¸c˜ao de tempera-
tura seriam provocadas pelo chamado efeito Sunyaev-Zel’Dovich, fenˆomeno produzido
quando os f´otons da radia¸c˜ao de fundo atravessam regi˜oes onde existe g´as ionizado
em altas temperaturas, condi¸c˜oes estas, que s˜ao encontradas freq¨uentemente no g´as
intra-aglomerado. Combinando dados do efeito Sunyaev-Zel’Dovich e observa¸c˜oes
em raios-X , ´e proposto um teste que p ermite estimar, entre outras informa¸c˜oes, a
constante de Hubble H
0
[5].
A constru¸c˜ao de modelos cosmol´ogicos, capazes de descrever fielmente `as ob-
serva¸c˜oes realizadas com essas novas ferramentas experimentais, representa um dos
mais atraentes campos do conhecimento cient´ıfico moderno. A valida¸c˜ao dos mo-
delos propostos ´e feita atrav´es da sua capacidade de estima¸c˜ao de valores precisos
de certas quantidades conhecidas como parˆametros cosmol´ogicos. Exemplos destas
quantidades s˜ao a constante de Hubble H
0
, a densidade de mat´eria Ω
m0
, entre ou-
tros. Existem diversos testes usados para obter informa¸c˜ao sobre esses parˆametros,
entre eles podemos citar as medidas de fra¸c˜ao de b´arions nos aglomerados de gal´axias,
distˆancia luminosidade para supernovas do tipo Ia, oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions,
estudo de processos de emiss˜ao (raios-X) e absor¸c˜ao (efeito Sunyaev-Zel’Dovich) no
g´as intra-aglomerado, por falar em alguns.
viii
No presente trabalho, obtemos v´ınculos sobre a densidade de mat´eria Ω
m0
, a
constante de Hubble e o parˆametro w da equa¸c˜ao de estado, usando um teste combi-
nado de BAO/SZ/raios-X. A ordem a seguir na disserta¸c˜ao ´e a seguinte: no primeiro
cap´ıtulo fazemos uma revis˜ao hist´orica do modelo cosmol´ogico padr˜ao e apresentamos
algumas solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de Friedmann. Algumas defini¸c˜oes ´uteis de distˆancias
cosmol´ogicas tamb´em s˜ao apresentadas. No segundo cap´ıtulo descrevemos diversos
sistemas de classifica¸c˜ao de aglomerados de gal´axias, sua estrutura e os processos
f´ısicos neles encontrados. O cap´ıtulo trˆes ´e uma breve revis˜ao do efeito Sunyaev-
Zel’Dovich, tanto t´ermico quanto cinem´atico. Os cap´ıtulos 4 e 5 s˜ao dedicados `a des-
cri¸c˜ao da t´ecnica para calcular parˆametros cosmol´ogicos usando a distˆancia diˆametro
angular. No cap´ıtulo 5 os principais resultados do trabalho s˜ao apresentados.
CAP
´
ITULO 1
O Modelo Cosmol´ogico Padr˜ao
1.1 O Princ´ıpio Cosmol´ogico.
A imagem de um universo dinˆamico ´e t˜ao antiga quanto as primeiras interpreta¸c˜oes
do mundo. Na cosmologia indiana aparecem referˆencias aos sonhos de Brahma, como
ciclos de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao em que ap´os cada colapso de um universo e a cria¸c˜ao
de outro toda conex˜ao entre eles era perdida. Curiosamente, este cen´ario ´e parecido
com alguns modelos cosmol´ogicos contemporˆaneos como o “Big Bounce”[49]. Assim
mesmo, universos que nascem do nada ou de ovos primitivos pululam em relatos
criacionistas gregos, mesopotˆamios e chineses, por falar s´o em alguns.
A cosmologia atual ´e um produto de id´eias e observa¸c˜oes concebidas e levadas a
cabo desde que foi poss´ıvel sistematizar as ciˆencias. O telesc´opio, implementado para
1
2
uso astronˆomico por Galileo, permitiu, por exemplo, a Edwin Hubble estabelecer uma
rela¸c˜ao de proporcionalidade entre a distˆancia `a qual encontra-se uma gal´axia de n´os
e a velocidade com a qual ela se afasta ou se aproxima da nossa posi¸c˜ao no espa¸co.
A rela¸c˜ao encontrada por Hubble ´e,
v = H
0
D, (1.1)
onde H
0
´e a chamada constante de Hubble. Esta constante costuma ser expressa como
H
0
= 100h Kms
−1
Mpc
−1
. O “Key Project”do telesc´opio espacial Hubble, atrav´es do
estudo do per´ıodo de varia¸c˜ao da luminosidade de estrelas vari´aveis cefeidas, deter-
minou h = 0.71 ± 0.02 [15].
A lei de Hubble foi uma descoberta fundamental no nascimento do modelo cos-
mol´ogico padr˜ao (MCP). Ela ´e uma conseq¨uˆencia direta da isotropia e da homoge-
neidade espacial. Por exemplo, se a lei seguisse a rela¸c˜ao,
vαD
n
, (1.2)
com n = 1, distintos observadores mediriam uma taxa de expans˜ao diferente em cada
ponto do espa¸co. A lei de Hubble permitiu pensar em um universo em expans˜ao
e que nasceu em um passado remoto. Na verdade, antes mesmo da descoberta de
Hubble, Alexander Friedmann obteve solu¸c˜oes que evoluem no tempo das equa¸c˜oes
de Einstein para o campo gravitacional. J´a Einstein, naquela ´epoca, acreditava em
um universo est´atico e infinito no tempo.
Um dos pilares fundamentais no modelo atual do universo, ´e o princ´ıpio cos-
mol´ogico. Esta id´eia aumenta o alcance do princ´ıpio copernicano que afirma que o
universo ´e o mesmo em qualquer dire¸c˜ao em volta de n´os.
3
O principio cosmol´ogico baseia-se na id´eia de que o universo ´e espacialmente ho-
mogˆeneo e isotr´opico. A homogeneidade espacial pressup˜oe a equivalˆencia, em grande
escala, de todos os pontos no universo. De fato, esta propriedade n˜ao ´e imediatamente
´obvia. Em pequenas escalas observamos estrelas, gal´axias, nebulosas e outros objetos
que fazem com que a distribui¸c˜ao de mat´eria seja localmente n˜ao uniforme. Con-
tudo, quando observamos em grandes escalas, tipicamente distˆancias de 100 Mpc, ou
maiores, o universo em m´edia, parece tornar-se homogˆeneo [40]. A isotropia, ´e a pro-
priedade de que as observa¸c˜oes e medidas sejam independentes de qual ´e a dire¸c˜ao para
a qual se esteja olhando. Notamos que a verifica¸c˜ao de uma dessas caracter´ısticas,
n˜ao implica necessariamente que a outra tamb´em esteja correta. Podemos ter um
espa¸co homogˆeneo, mas n˜ao isotr´opico e vice-versa.
No modelo cosmol´ogico padr˜ao, o conte´udo material do universo ´e modelado como
um fluido perfeito, formado por v´arias componentes (essencialmente mat´eria escura,
b´arions, radia¸c˜ao e energia escura) e distribu´ıdo de forma homogˆenea e isotr´opica. As
equa¸c˜oes de Einstein, as hip´oteses de isotropia e homogeneidade espacial e algumas
considera¸c˜oes termodinˆamicas sobre a evolu¸c˜ao do universo, sugerem que ele teve
uma etapa inicial muito densa e quente, esfriou-se com a expans˜ao, e evoluiu para o
universo que hoje observamos. O modelo padr˜ao da cosmologia ´e tamb´em conhecido
como ”Hot Big Bang”.
Em 1948, George Gamow e Ralph Alpher, fizeram a previs˜ao de que se o universo,
efetivamente, houvesse come¸cado nessa etapa densa e quente, uma rel´ıquia dessa
´epoca deveria existir na forma de uma radia¸c˜ao isotr´opica permeando todo o espa¸co.
Essa radia¸c˜ao estaria em equil´ıbrio, teria o espectro de um corpo negro e ter-se-ia
resfriado ao longo da hist´oria t´ermica do universo.
4
No inicio da d´ecada de 1960, Robert Dicke e Yakob Zel’Dovich, chegaram inde-
pendentemente `as mesmas conclus˜oes que Gamow e seu grupo. J´a em 1964, come¸cou
por parte de David Wilkinson e outros membros do grupo de Dicke, a constru¸c˜ao de
um radiˆometro para medir esse “eco”do Big Bang.
Em 1965, Arno Penzias e Robert Wilson, que trabalhavam nos laborat´orios da
Bell Telephone em New Jersey (EUA), encontraram um sinal na faixa de microondas
que n˜ao correspondia a nenhum dos alvos usualmente estudados pela antena principal
do laborat´orio, e que parecia vir de todas as dire¸c˜oes que era apontada a antena. A
temperatura medida dessa radia¸c˜ao era sempre a mesma, 2.5 K. Penzias e Wilson,
reportaram a descoberta sem fazer uma interpreta¸c˜ao definitiva de qual era a origem
daquele fenˆomeno. Quem associou esta observa¸c˜ao com o remanescente do Big Bang,
predita por Gamow, foi o grupo do f´ısico Jim Peebles na universidade de Princeton.
O prˆemio nobel de f´ısica de 1978 foi outorgado `a Penzias e Wilson pela descoberta,
embora eles nunca tenham se comprometido com essa id´eia.
Na fase inicial do universo co-existiam em equilibro t´ermico part´ıculas elementa-
res como quarks, el´etrons, e radia¸c˜ao. Ao mesmo tempo que o universo expandia-
se, diminu´ıa a sua temperatura permitindo que os quarks se juntassem para formar
part´ıculas de maior tamanho chamados b´arions (pr´otons e nˆeutrons). Contudo, como
os f´otons da radia¸c˜ao eram muito energ´eticos, estes n˜ao permitiam a forma¸c˜ao de
´atomos. Isto s´o foi poss´ıvel quando a temperatura atingiu algo da ordem de 3800K.
Esta era ´e conhecida como recombina¸c˜ao e ´e nesta fase que aparecem os primeiros
´atomos neutros de hidrogˆenio.
Com a expans˜ao, os el´etrons e a radia¸c˜ao foram diluindo-se, diminuindo a probabi-
lidade de intera¸c˜ao entre eles. Em um desvio para o vermelho da ordem de z = 1000,
5
os f´otons da radia¸c˜ao c´osmica de fundo (RCF) deixam de estar em equil´ıbrio t´ermico
com os el´etrons produzindo assim o desacoplamento radia¸c˜ao-mat´eria. Os f´otons
s˜ao ent˜ao espalhados pela ´ultima vez, at´e a sua posterior intera¸c˜ao com estruturas
gasosas, tais como o meio intra-aglomerado ou meio intra-gal´actico.
Ap´os essa ´epoca a mat´eria e a radia¸c˜ao evoluem de forma independente. A ra-
dia¸c˜ao de fundo continua a se resfriar at´e atingir a temperatura de 2.725K, que ´e a
que observamos hoje.
1.2 A M´etrica de Robertson-Walker
Para estudar um modelo de universo que seja compat´ıvel com a hip´otese de ho-
mogeneidade espacial e isotropia do principio cosmol´ogico e que permita descrever as
linhas de universo dos corpos no espa¸co-tempo ´e necess´ario exibir de forma explicita a
m´etrica a ser usada. A m´etrica que usaremos ´e a de Robertson-Walker. Uma dedu¸c˜ao
detalhada dela pode ser encontrada em [22] ou tamb´em em [52]. Nesta se¸c˜ao s´o ser˜ao
revistas algumas de suas principais propriedades.
Usando coordenadas esf´ericas com x
1
= x = r
sin θ cos φ, x
2
= y = r
sin θ sin φ,
x
3
= z = r
cosθ , o elemento de linha na m´etrica de Robertson-Walker pode ser
escrito:
ds
2
= dt
2
− a(t)
2
[
dr
2
1 − kr
2
− r
2
dΩ
2
] (1.3)
com dΩ
2
= (dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
), a(t) ´e o chamado fator de escala e a constante k est´a
diretamente relacionada com o escalar de curvatura da se¸c˜ao espacial [31] atrav´es da
6
rela¸c˜ao:
3
R = −6[
k
a
2
] (1.4)
e permite definir a curvatura do espa¸co tomando os valores:
• k > 0, universo com curvatura espacial positiva,
• k = 0 universo com curvatura espacial nula,
• k < 0 universo com curvatura espacial negativa.
O que pode ser visualizado como geometrias esf´erica no primeiro caso, euclidiana no
segundo e hiperb´olica no terceiro.
Fazendo uma mudan¸ca de coordenadas,
r =
2 tan(χ/2), se k > 0;
2 tanh(χ/2), se (k < 0);
χ, se (k < 0).
pode-se tamb´em expressar a m´etrica na forma
ds
2
= dt
2
− a(t)
2
[dχ
2
− S
κ
(χ)
2
dΩ
2
] (1.5)
onde κ ≡ k/|k|, e
S
κ
(χ) =
sin χ, se (κ = 1);
sinh χ, se (κ = −1);
χ, se (κ = 0).
7
1.3 Equa¸c˜oes de Friedmann
Como foi visto na se¸c˜ao anterior, pode-se modelar o conte´udo material do universo
em grandes escalas como um fluido perfeito espacialmente homogˆeneo e isotr´opico,
caracterizado pelas suas propriedades termodinˆamicas tais como press˜ao, densidade
de energia, temperatura, entre outras. No contexto do modelo padr˜ao da cosmologia,
em primeira ordem, todas essas quantidades s˜ao fun¸c˜oes do tempo apenas, variando
na medida em que o universo expande.
As equa¸c˜oes de Einstein do campo gravitacional revelam a forma como o espa¸co-
tempo se relaciona com o conte´udo material e como a presen¸ca de mat´eria e energia
modifica a geometria do pr´oprio espa¸co-tempo.
As equa¸c˜oes de campo de Einstein s˜ao escritas como:
G
αβ
= R
αβ
−
1
2
g
αβ
R = 8πGT
αβ
+ Λg
αβ
. (1.6)
onde no lado direito da equa¸c˜ao aparece o tensor energia-momentum T
αβ
, a constante
cosmol´ogica Λ e a constante de gravita¸c˜ao G. A constante cosmol´ogica originalmente
era escrita como um termo geom´etrico do lado esquerdo, mas atualmente ´e interpre-
tado como tomando parte na dinˆamica gravitacional do universo pelo qual ´e escrito
no lado direito.
Impondo condi¸c˜oes de isotropia e homogeneidade na express˜ao anterior para o
tensor de energia-momentum T
β
α
os elementos da diagonal devem satisfazer a rela¸c˜ao
T
1
1
= T
2
2
= T
3
3
. Para o caso de um fluido perfeito, a componente T
0
0
´e a densidade de
energia e as componentes T
i
i
representam a press˜ao isotr´opica, mais especificamente
T
α
β
= diag[ρ, −p, −p, −p]. (1.7)
8
Assim, podemos escrever o tensor energia-momentum como:
T
αβ
= (ρ + p)u
α
u
β
− pg
αβ
. (1.8)
Para o tensor de Ricci temos
R
00
= −3[
¨a
a
], (1.9)
R
ij
= −[
¨a
a
+ 2
˙a
2
a
2
+ 2
k
a
2
]g
ij
(1.10)
e para o escalar de curvatura
R = −6[
¨a
a
+
˙a
2
a
2
+
k
a
2
]. (1.11)
Quando consideramos o elemento de ordem 00 na equa¸c˜oes de Einstein obtemos:
R
00
−
1
2
g
00
R = 8πGT
00
+ Λ, (1.12)
−3
¨a
a
+ 3[
¨a
a
+
˙a
2
a
2
+
k
a
2
] = 8πGT
00
+ Λ, (1.13)
e finalmente,
H(t)
2
≡
˙a
a
2
=
8πGρ
3
−
k
a
2
+
Λ
3
. (1.14)
Esta ´ultima equa¸c˜ao ´e conhecida como a equa¸c˜ao de Friedmann. Ela descreve como
o fator de escala, e portanto a taxa de expans˜ao, varia devido a a¸c˜ao do conte´udo
material (poeira, radia¸c˜ao etc), da curvatura espacial e de uma poss´ıvel constante
cosmol´ogica Λ. Na densidade de energia ρ inclui-se a contribui¸c˜ao de componentes
como a mat´eria n˜ao relativist´ıstica (b´arions e mat´eria escura) e relativist´ıstica (f´otons
e neutrinos). A quantidade H(t) ´e o chamado parˆametro de Hubble.
9
Usando as outras componentes da diagonal na equa¸c˜ao de Einstein e o grupo de
equa¸c˜oes (1.9) − (1.11), obt´em-se:
2
¨a
a
+
˙a
2
a
2
+
k
a
2
= 8πGp + Λ (1.15)
Agora, se derivarmos a eq. (1.14) em rela¸c˜ao ao tempo supondo que Λ = 0 e se
substituirmos ¨a de (1.15), o resultado ´e a chamada equa¸c˜ao do fluido,
˙ρ + 3
˙a
a
(ρ + p) = 0 (1.16)
Multiplicando (1.14) por a
2
e tomando a derivada temporal, chegamos a
2¨a ˙a =
8πG
3
( ˙ρa
2
+ 2ρa ˙a). (1.17)
Dividindo a equa¸c˜ao acima p or 2a ˙a e usando ˙ρ da equa¸c˜ao do fluido (1.16), obtemos
a equa¸c˜ao da acelera¸c˜ao
¨a
a
= −
4πG(3p + ρ)
3
+
Λ
3
. (1.18)
Supondo Λ = 0 na equa¸c˜ao acima vemos que se tivermos, p > −ρ/3 o universo ´e
desacelerado, para p < −ρ/3 o universo ´e acelerado e para p = −ρ/3 a velocidade de
expans˜ao ou contra¸c˜ao ´e constante. Note ainda que o termo da constante cosmol´ogica
na equa¸c˜ao da acelera¸c˜ao pode gerar um efeito oposto ao efeito usual de desacelera¸c˜ao
da mat´eria ordin´aria na dinˆamica do universo, isto ´e, Λ > 0 contribui para a acelera¸c˜ao
da expans˜ao.
At´e agora obtivemos trˆes equa¸c˜oes b´asicas para descrever o modelo. Como vimos,
apenas duas delas s˜ao linearmente independentes. Supondo Λ = 0, as vari´aveis
contidas no problema s˜ao realmente trˆes: a densidade de energia ρ, a press˜ao p e
o fator de escala a. Precisamos, portanto, fornecer uma nova equa¸c˜ao para obter
10
solu¸c˜oes para todas as inc´ognitas. Em geral, isto ´e feito introduzindo-se uma equa¸c˜ao
de estado do tipo p = p(ρ), cuja forma mais simples ´e:
p = wρ, (1.19)
com w sendo uma constante mas com valor mas arbitrario em principio. Atualmente
se trabalha tamb´em com parametriza¸c˜oes de w para descrever uma poss´ıvel evolu¸c˜ao
dessa quantidade com o tempo (Albrecht et al., 2006). Usualmente, o parˆametro w
pode tomar valores como w = 0 para uma mat´eria sem press˜ao (poeira), que descreve
aproximadamente o est´agio atual de evolu¸c˜ao do universo, ou tamb´em w = 1/3 para
um g´as de radia¸c˜ao. Observa¸c˜oes recentes sugerem que o universo est´a expandindo-
se de forma acelerada. Como respons´avel por esse fenˆomeno tem-se indicado, entre
outras possibilidades, a constante cosmol´ogica. Ela tamb´em pode ser descrita como
um fluido com w = −1. Existem outros candidatos genericamente conhecidos pelo
nome de energia escura (Dark Energy) que como caracter´ıstica geral possuem uma
equa¸c˜ao de estado tal que, w < −
1
3
.
1.4 Deslocamento para o Vermelho
Devido ao movimento relativo entre uma fonte emissora de ondas e um observador,
a freq¨uˆencia com que os pulsos chegam at´e o observador muda quando eles se afastam
ou aproximam um do outro, isto ´e o que se conhece como efeito Doppler. Em um
universo em expans˜ao, do ponto de vista da relatividade geral, esse fenˆomeno acontece
n˜ao apenas pelas velocidades peculiares do observador e da fonte, mas por causa do
alongamento do espa¸co entre eles. O incremento no comprimento de onda acontece
11
em todas as faixas do espectro n˜ao s´o no ´otico, mas tamb´em no radio, infravermelho,
etc.
No in´ıcio do s´eculo passado, revisando os espectros de nebulosas espirais, Vento
Slipher notou que as linhas espectrais provenientes delas apresentavam um desloca-
mento para regi˜oes de maior comprimento de onda, isto ´e, para o vermelho. Este fato
foi interpretado posteriormente como evidencia da expans˜ao do universo. Definimos
o deslocamento para o vermelho como fun¸c˜ao do comprimento de onda emitido pela
fonte λ
e
, e o cumprimento de onda medido pelo observador λ
o
, como,
z ≡
λ
o
λ
e
− 1. (1.20)
Vamos supor que uma gal´axia, em uma certa regi˜ao do espa¸co, encontra-se no
fluxo de Hubble (n˜ao possui velocidade peculiar) e ´e observada por um observador,
nas mesmas condi¸c˜oes, e que encontra-se em uma outra regi˜ao P. Enquanto a luz
viaja entre a gal´axia e o observador, o universo est´a se expandido e o comprimento
de onda da luz emitida, como medida por um observador com´ovel, est´a aumentado.
Consideremos o observador situado em P, que recebe o sinal luminoso que saiu da
gal´axia situada na coordenada r = r
1
, e que foi emitido no instante t = t
1
. O sinal ´e
observado em t = t
0
. Considere que o f´oton proveniente da gal´axia viaja sobre uma
geod´esica radial nula (ds
2
= 0). Usando a equa¸c˜ao (1.3) e fazendo dΩ = 0 obtemos,
0 = dt
2
− a(t)
2
[
dr
2
1 − kr
2
] (1.21)
Integrando a rela¸c˜ao acima desde o instante da emiss˜ao at´e o instante em que o f´oton
atinge o observador, teremos
t
0
t
1
dt
a(t)
=
0
r
1
dr
(1 − kr
2
)
1
2
(1.22)
12
Suponha agora que um outro sinal sai da fonte em t
1
+ δt
1
e chega ao observador
em t
0
+ δt
o
. Como o lado direito de (1.22) n˜ao varia teremos,
t
0
t
1
dt
a(t)
=
t
0
+δt
o
t
1
+δt
1
dt
a(t)
(1.23)
Agora,
t
0
t
1
+δt
1
dt
a(t)
+
t
0
+δt
o
t
0
dt
a(t)
=
t
1
+δt
1
t
1
dt
a(t)
+
t
0
t
1
+δ.t
1
dt
a(t)
(1.24)
Portanto,
t
0
+dt
o
t
0
dt
a(t)
=
t
1
+dt
1
t
1
dt
a(t)
(1.25)
Assumindo que o intervalo de tempo entre a emiss˜ao de um f´oton e o outro ´e
muito pequeno, δt
0
∼ δt
1
<< 1, e que o fator de escala ´e praticamente constante
nesse intervalo de tempo, podemos escrever:
δt
o
a
o
=
δt
1
a
1
(1.26)
ou tamb´em,
ν
1
ν
o
=
a
o
a
1
, (1.27)
onde ν
1
´e a freq¨uˆencia emitida pela fonte e ν
o
a medida pelo observador.
Da equa¸c˜ao (1.27) e da defini¸c˜ao (1.20) obtemos
z + 1 =
λ
o
λ
e
=
ν
1
ν
o
=
a
o
a
1
. (1.28)
Assim, o alongamento do comprimento de onda da radia¸c˜ao ´e proporcional ao incre-
mento no fator de escala a.
13
1.5 O Parˆametro de Densidade
Como vimos anteriormente, o universo contem distintas componentes, cada qual
com uma equa¸c˜ao de estado particular e que contribuem para a dinˆamica da expans˜ao.
De forma geral, quando nos referimos `a press˜ao e `a densidade de energia dessas
componentes podemos considerar, gra¸cas ao modelo, que o somat´orio de cada uma
dessas quantidades corresponde a press˜ao e a densidade de energia do universo como
um todo:
p
total
=
i
p
i
=
i
w
i
ρ
i
. (1.29)
Aqui w
i
´e o parˆametro da equa¸c˜ao de estado e que pode ser uma constante ou de-
pender do tempo. Assim, se o acoplamento entre as diferentes componentes ´e apenas
gravitacional, ´e v´alido que:
˙ρ
i
+
−3˙a
a
(1 + w
i
)ρ
i
= 0 (1.30)
onde ˙ρ
i
´e a derivada em rela¸c˜ao ao tempo da densidade de energia da i-´esima compo-
nente. Integrando a equa¸c˜ao acima e supondo w
i
constante, obtemos uma express˜ao
para a densidade de energia como fun¸c˜ao de w
i
e do fator de escala a:
ρ
i
(a) = ρ
0
(
a
0
a
)
−3(1+w
i
)
(1.31)
Vamos voltar agora para a equa¸c˜ao de Friedmann (1.14). Se considerarmos um
universo com curvatura espacial e constante cosmol´ogica nulas, obtemos,
H(t)
2
=
8πGρ(t)
3
(1.32)
Assim, definimos a densidade critica como,
ρ
c
(t) =
3H(t)
2
8πG
(1.33)
14
Esta defini¸c˜ao ´e ´util para investigarmos a rela¸c˜ao entre a densidade de energia total
e a curvatura. Se a densidade de energia total do universo for maior que este valor,
a curvatura do espa¸co ´e positiva (k > 0), no caso contrario a curvatura espacial ´e
negativa (k < 0).
Definimos o parˆametro de densidade total, Ω(t), como a raz˜ao entre densidade
total e a densidade cr´ıtica,
Ω(t) =
ρ(t)
ρ
c
(t)
(1.34)
Dividindo e multiplicando ambos lados da equa¸c˜ao de Friedmann (1.14) por H
2
0
,
teremos,
H
2
= [
8πGρ
m
3H
2
0
−
8πGρ
r
3H
2
0
−
k
a
2
H
2
0
+
Λ
3H
2
0
]H
2
0
(1.35)
Definimos tamb´em os parˆametros de densidade espec´ıficos para mat´eria e radia¸c˜ao,
curvatura e constante cosmol´ogica respectivamente,
Ω
m,r0
=
8πGρ
m,r0
3H
2
0
(1.36)
Ω
κ0
= −
k
a
2
0
H
2
0
(1.37)
Ω
Λ0
=
Λ
3H
2
0
(1.38)
Da equa¸c˜ao de Friedmann segue que em qualquer instante temos,
Ω
Λ
+ Ω
m
+ Ω
r
+ Ω
κ
= 1 (1.39)
Das express˜oes (1.36)-(1.38), da defini¸c˜ao da densidade critica e lembrando a de-
pendˆencia da densidade com o fator de escala (eq. (1.31)), obtemos,
H(z) = E(z)H
0
(1.40)
15
onde
E(z) =
[Ω
m0
(1 + z)
3
+ Ω
r0
(1 + z)
4
+ Ω
Λ0
+ Ω
k0
(1 + z)
2
] (1.41)
A estimativa dos valores para os diferentes Ω
i
e, particularmente, de Ω
m0
´e um
campo de muito interesse atualmente, pois estimando os valores para essas quantida-
des podemos obter informa¸c˜ao sobre a curvatura espacial do universo e reconstruir
com maior precis˜ao a historia e evolu¸c˜ao dele mesmo. O surgimento de novas tecno-
logias abre janelas na procura por esses valores. Levantamentos usando t´ecnicas que
v˜ao desde o infravermelho at´e os raios X est˜ao sendo desenvolvidos ou encontram-se
em fase de an´alise de dados. Alguns exemplos de tais levantamentos s˜ao WMAP
(Wilkinson Microwave Anisotropy Prove), que tem fornecido grande quantidade de
dados sobre a radia¸c˜ao c´osmica de fundo, LDSS (Legacy Digital Sky Survey) um
grande levantamento de gal´axias que tem permitido construir mapas detalhados da
distribui¸c˜ao de mat´eria, e o DES (Dark Energy Survey) que se perfila como um dos
projetos mais ambiciosos dos ´ultimos tempos para pesquisar a identidade da compo-
nente escura do universo.
1.6 Algumas Solu¸c˜oes das Equa¸c˜oes de Friedmann
Discutiremos nesta se¸c˜ao alguns modelos cosmol´ogicos que foram propostos como
uma tentativa de descever o universo em alguma fase de sua evolu¸c˜ao. Faremos isto
usando o formalismo descrito at´e aqui. Devido `as evidˆencias recolhidas nos ´ultimos
anos de observa¸c˜oes da radia¸c˜ao do fundo de microondas em combina¸c˜ao com medidas
da constante de Hubble, acredita-se que o universo tenha curvatura espacial nula
16
(k = 0) ou muito pr´oxima de zero.
Analizaremos agora a dependˆencia do fator de escala com o tempo e com a cons-
tante w da equa¸c˜ao de estado. Substituindo a eq.(1.31) na equa¸c˜ao de Friedmann
para (k = 0) temos
˙a
2
=
8πGρ
0
3
a
−(1+3w)
. (1.42)
Neste ponto se propoe uma dependˆencia do fator de escala com o temp o, o que
usualmente ´e feito por meio de uma lei de potˆencias, tal que aαt
l
, com isto o lado
esquerdo de (1.42) ´e proporcional a t
2l−2
e o lado direito a t
−(1+3w)l
e podemos esta-
belecer a rela¸c˜ao:
l =
2
(3 + 3w)
(1.43)
Com w = −1. Ap´os a normaliza¸c˜ao e para o caso espacialmente plano o fator de
escala ´e dado por
a(t) = a
o
(
t
t
0
)
2
(3+3w)
. (1.44)
1.6.1 O Modelo de Milne
O modelo cosmol´ogico de Milne ´e aquele em que a densidade de energia ´e nula
(ρ = 0), n˜ao h´a constante constante cosmol´ogica (Λ = 0) e a curvatura espacial ´e
negativa (k < 0).
´
E um modelo simples, e embora sua aplica¸c˜ao seja muito limitada
´e interessante fazer um estudo desse universo como um ponto de partida para melhor
compreender o processo de expans˜ao.
Vamos considerar a equa¸c˜ao de Friedmann para este caso particular.
(
˙a
a
)
2
= −
k
a
2
(1.45)
17
A solu¸c˜ao trivial k = 0 representaria um universo est´atico com geometria plana
que poderia ser descrita atrav´es da m´etrica de Minkowsky. Para k = 1 a varia¸c˜ao do
fator de escala com o tempo seria um numero complexo, e que portanto n˜ao deve ser
considerado. Fazendo k = −1 e integrando obtemos
a = a
0
(
t
t
0
). (1.46)
Neste cen´ario o universo est´a em expans˜ao, mas a velocidade de recess˜ao, isto ´e, a
velocidade com que part´ıculas teste se afastam uma das outra ´e constante (v = Hd =
const). Como n˜ao h´a fontes, ρ = Λ = 0, a acelera¸c˜ao, nesse universo ´e, portanto,
nula (¨a = 0).
1.6.2 O Modelo de Einstein-de Sitter
Esta solu¸c˜ao foi publicada no ano de 1932 [39]. O modelo de Einstein-de Sitter
(EdS) ´e um universo dominado por poeira (mat´eria n˜ao relativ´ıstica) e com curvatura
espacial nula.
Para o caso de poeira, teremos press˜ao nula p = 0 e o parˆametro w = 0, assim
substituindo w em (1.44)
a(t) = a
o
(
t
t
0
)
2
3
. (1.47)
1.6.3 Universo com Radia¸c˜ao
Consideremos agora o caso de um universo sem curvatura espacial e que cont´em
somente radia¸c˜ao. Este caso ´e interessante por se tratar de uma solu¸c˜ao que reproduz
18
as condi¸c˜oes do universo primitivo.
Considerando que para radia¸c˜ao w =
1
3
, a equa¸c˜ao (1.44) fica:
a(t) = (
t
t
0
)
1
2
. (1.48)
1.6.4 Universo de de Sitter
Em 1917, Willem de Sitter propos uma solu¸c˜ao para um universo sem curvatura
espacial, sem mat´eria e com uma constante cosmol´ogica positiva (a constante cos-
mol´ogica ´e tomada como um termo repulsivo na dinˆamica da expans˜ao). Este modelo
pode ser aplicado como uma aproxima¸c˜ao do comportamento do universo na ´epoca
da infla¸c˜ao c´osmica.
A hipotese de uma era inflacionaria foi proposta inicialmente pelo f´ısico Alan Guth
no ano de 1981 para tentar resolver trˆes dos principais problemas do modelo cl´assico
do Big Bang: o problema de horizonte, o problema de chatesa (flatness problem) e
a ausˆencia de monopolos magn´eticos [17]. O cen´ario da infla¸c˜ao sup˜oe que em um
per´ıodo muito cedo da evolu¸c˜ao do universo, ele ter-se-ia expandido aceleradamente, e
a componente que dominaria nesta etapa seria a constante cosmol´ogica (com w = −1).
A equa¸c˜ao de Friedmann para o modelo de de Sitter ´e dada por,
˙a
2
=
8πGρ
Λ
3
a
2
. (1.49)
onde ρ
Λ
´e uma constante. Se definimos,
H
I
= (
8πGρ
Λ
3
)
1
2
. (1.50)
19
Tamb´em podemos escrever a express˜ao anterior como:
˙a = H
I
a, (1.51)
cuja solu¸c˜ao ´e imediata,
a(t) = a
I
e
H
I
(t−t
I
)
. (1.52)
Esta solu¸c˜ao representa um universo com um fator de escala crescendo exponen-
cialmente. Este cen´ario ´e conhecido como estado estacion´ario, pois o parˆametro de
Hubble H e a densidade de energia permanecem constantes durante a expans˜ao. Caso
o modelo ΛCDM seja o modelo mais adequado para descrever o universo, no futuro
o universo ser´a dominado pela constante cosmol´ogica entrando novamente em uma
fase de de Sitter. Neste caso a mat´eria e a radia¸c˜ao est˜ao muito dilu´ıdas e podem ser
consideradas totalmente desprez´ıveis.
1.6.5 Λ-CDM
Como foi mencionado anteriormente, diversas evidˆencias indicam que o universo
tem uma curvatura espacial nula. Em conseq¨uˆencia, se al´em de k = 0 assumimos
desprez´ıvel a densidade de energia da radia¸c˜ao frente `as densidades da materia e da
constante cosmol´ogica, podemos re-escrever a equa¸c˜ao (1.39), como
Ω
Λ0
= 1 − Ω
m,0
, (1.53)
Para w = −1 a equa¸c˜ao de Friedmann (1.40) pode ser escrita
H
2
= H
2
0
Ω
m,0
(1 + z)
3
+ (1 − Ω
m,0
)
. (1.54)
20
A equa¸c˜ao acima pode ser geralizada se considerarmos modelos com
−1 ≤ w < −1/3. Assim, usando (1.44) podemos re-escrever (1.54)
H
2
= H
2
0
Ω
m,0
(1 + z)
3
+ (1 − Ω
m,0
)(1 + z)
3(1+w)
. (1.55)
Este tipo de modelo ´e conhecido como X-CDM. Na literatura existem outro tipo
de modelos chamados fantasma (phantom) caraterizados por ter w < −1 sendo w
tamb´em constante como no caso dos X-CDM.
Pode se mostrar [40] que para o caso de um universo dominado por constante
cosmol´ogica o fator de escala ´e dado por
a ≈ a
mΛ
e
(
√
1−Ω
m,0
H
0
t)
, (1.56)
onde
a
mΛ
= a
0
[
Ω
m,0
1 − Ω
m,0
]
1/3
(1.57)
1.7 Distˆancias Cosmol´ogicas
A possibilidade de efetuar medi¸c˜oes de distˆancia entre objetos no universo ´e um
assunto fundamental no estudo de qualquer modelo cosmol´ogico. O problema reside
na defini¸c˜ao dessas distˆancias no cen´ario de um universo em expans˜ao.
Quando ´e adotada a m´etrica de Robertson-Walker para o espa¸co-tempo, e acei-
tando que o universo, de fato est´a expandindo-se, a defini¸c˜ao de distˆancia entre os
objetos muda. Em um universo em expans˜ao, a separa¸c˜ao entre objetos ´e uma quan-
21
tidade dinˆamica e depende da geometria do espa¸co-tempo. A seguir descrevemos
algumas das distˆancias cosmol´ogicas que usaremos na discuss˜ao do cap´ıtulo 5.
1.7.1 Distˆancia Pr´opria.
A distˆancia pr´opria entre dois pontos no espa¸co ´e igual ao comprimento da geod´esica
espacial entre eles quando se fixa o fator de escala a(t) para um tempo t, ent˜ao da
equa¸c˜ao (1.3) sobre uma geod´esica espacial dΩ = 0, teremos
ds = a(t)
dr
√
1 − kr
2
(1.58)
integrando sobre a coordenada radial r,
d
p
≡ a(t)
χ
0
dr
√
1 − kr
2
= a(t)χ, (1.59)
onde χ pode tomar os valores:
• χ =
sen
−1
(r
√
k)
√
k
, se k > 0;
• χ =
senh
−1
(r
√
−k)
√
−k
, se k < 0;
• χ = r, se k = 0.
Sendo que as coordenadas com´oveis n˜ao mudam com o tempo, a taxa de varia¸c˜ao
da distˆancia pr´opria ´e
˙
d
p
= ˙aχ =
˙a
a
d
p
. (1.60)
Quando avaliamos a express˜ao acima em t = t
0
obtemos a Lei de expans˜ao de Hubble
v
p
(t
0
) = H
0
d
p
(t
0
). (1.61)
22
Se considerarmos v
p
= c, teremos
d
H
≡
c
H
0
. (1.62)
onde d
H
´e conhecido como Raio de Hubble.
1.7.2 Distˆancia Co-m´ovel. (linha de visada)
A distˆancia co-m´ovel ´e definida como o produto entre o valor do atual fator de
escala e a fun¸c˜ao χ definida em (1.59), desta forma definida a distˆancia co-m´ovel n˜ao
muda com o tempo.
Considerando uma geod´esica nula ds
2
= 0, ent˜ao
dt = a(t)
dr
√
1 − kr
2
(1.63)
integrando novamente sobre a coordenada radial r
χ ≡
t
0
t
dt
a(t)
=
χ
0
dr
√
1 − kr
2
, (1.64)
d
C
≡ a
0
t
0
t
dt
a(t)
= a
0
t
0
t
da
˙aa
(1.65)
d
C
=
t
t
0
dz
H(z)
(1.66)
1.7.3 Distˆancia Diˆametro Angular.
Define-se a distˆancia diˆametro angular como a raz˜ao entre a largura de um objeto
astronˆomico e o seu tamanho angular. Esta distˆancia ´e usada para expressar os
23
tamanhos angulares de objetos astronomicos como vistos p or um observador, em
termos de tamanhos pr´oprios no referencial do objeto [20].
Se um objeto tem um diˆametro pr´oprio l, e un tamanho angular θ. Para θ << 1
o
e em um universo est´atico e euclidiano a distˆancia diˆametro angular se define como
D
A
≡
l
θ
(1.67)
Para um universo em expans˜ao o diˆametro pr´oprio do objeto astronˆomico pode ser
escrito usando a m´etrica de Robertson-Walker da forma
ds = l = a(t
e
)S
k
(r)θ =
S
k
(r)θ
1 + z
(1.68)
onde S
k
, ´e o mesmo definido na equa¸c˜ao (1.5). Substituindo a rela¸c˜ao anterior em
(1.67), obtemos,
D
A
=
l
θ
=
S
k
(r)
1 + z
(1.69)
Uma propriedade interessante deste tipo de distˆancia ´e que para desv´ıos para o ver-
melho muito altos, ela atinge um m´aximo em um valor z
c
cr´ıtico, depois do qual ela
come¸ca a decrescer. Para modelos dominados pela constante cosmol´ogica esse valor
pode ser muito maior do que nas outras cosmologias.
No presente trabalho usaremos a distˆancia diˆametro angular, como uma ferra-
menta ´util para calcular parˆametros cosmol´ogicos quando consideramos diˆametro
pr´oprio dos aglomerados de gal´axias como r´eguas padr˜ao, ou seja, o diˆametro pr´oprio
´e conhecido e se mant´em fixo com o decorrer do tempo.
CAP
´
ITULO 2
Aglomerados de Gal´axias
2.1 Introdu¸c˜ao
O conhecimento que temos hoje da estrutura em grande escala do universo ´e
produto de grandes levantamentos realizados desde o s´eculo XVIII. Messier observou
e catalogou 109 objetos, entre os quais havia 35 que foram chamados de nebulosas,
pela sua aparˆencia quando vistos no telesc´opio. A maioria desses objetos pareciam
estar situados na vizinhan¸ca do que hoje conhecemos como o aglomerado da Virgem.
William Herschel e John Dreyer nos seus trabalhos General Catalogue, New General
Catalogue of Nebulae and Clusters of Stars e Index Catalogue, acharam uma tendˆencia
`a aglomera¸c˜ao das nebulosas. Ap´os os levantamentos feitos na d´ecada de 1920 pelo
astrˆonomo Heber Curtis e outros, realiza-se o que foi conhecido como “O grande
debate”. O tema do debate era a natureza das nebulosas espirais. O astrˆonomo
24
25
Harlow Shapley defendia a id´eia de que as nebulosas espirais eram objetos situados
na nossa pr´opria gal´axia, enquanto Curtis afirmava que eram objetos que estavam
fora da gal´axia e que teriam dimens˜oes compar´aveis com a Via L´actea. [51].
No ano de 1924, Edwin Hubble mostrou que a distˆancia `a gal´axia de Andrˆomeda
era em maior do que, o que se acreditava ent˜ao ser, o raio da Via L´actea. Hubble usou
estudos feitos por Henrietta Leavitt que mostrou a existencia de uma correla¸c˜ao entre
o per´ıodo de varia¸c˜ao no brilho de um tipo particular de estrelas gigantes chamadas
vari´aveis cefeidas , e a luminosidade m´edia (em um ciclo) dessas estrelas. Quanto
maior o per´ıodo maior a luminosidade. Assim, observando o per´ıodo e usando a
rela¸c˜ao de Leavitt, era poss´ıvel obter uma estimativa da luminosidade absoluta da
estrela. Portanto, como a intensidade da radia¸c˜ao cai com o quadrado da distˆancia,
medindo o fluxo era ent˜ao poss´ıvel determinar a distˆancia da estrela. Em seu trabalho
Hubble demonstrou que a nebulosa de Andrˆomeda era sim, um objeto fora da nossa
gal´axia. Nasce assim a astronomia extra-gal´actica.
Em 1934 Hubble observou que a distribui¸c˜ao de gal´axias parecia n˜ao ser aleat´oria,
possuindo diferentes densidades em algumas regi˜oes do espa¸co. J´a o astrˆonomo Fritz
Zwicky defendia a id´eia de que o universo podia ser visto como dividido em c´elulas
de 7.5 × 10
6
parsec, com uma densidade aproximadamente igual e com uma distri-
bui¸c˜ao aleat´oria de gal´axias dentro delas. Observa¸c˜oes atuais indicam que, de fato,
as gal´axias tˆem a tendˆencia de situarem-se em sistemas aglomerados, alguns com sub
estruturas pr´oprias, existindo exce¸c˜oes que s˜ao as chamadas gal´axias de campo. Al´em
dos aglomerados de gal´axias, existem tamb´em aglomerados de aglomerados ou super
aglomerados, que s˜ao modelados como extensas paredes no espa¸co e tamb´em regi˜oes
de baixa densidade chamadas de vazios.
26
No cen´ario hier´arquico de forma¸c˜ao de estruturas [24], as gal´axias e os aglomerados
surgem a partir de halos escuros. Quando esses halos se resfriam formam estruturas
condensadas, que depois ir˜ao formar estruturas de maior escala. A forma¸c˜ao dos
aglomerados neste quadro, ocorre ap´os a forma¸c˜ao das gal´axias, aproximadamente
em um desvio para o vermelho z 1.
No presente cap´ıtulo apresentaremos algumas caracter´ısticas gerais dos aglomera-
dos de gal´axias, como ferramenta para descrever os processos de absor¸c˜ao e emiss˜ao
de radia¸c˜ao no meio intra-aglomerado.
2.2 Classifica¸c˜ao de Aglomerados de Gal´axias
´
E dif´ıcil definir precisamente o que ´e um aglomerado de gal´axias, ainda mais
quando se pensa que a maior parte da massa dos aglomerados n˜ao est´a nas gal´axias
nem nas estrelas na forma de mat´eria bariˆonica ordin´aria (feita de pr´otons e nˆeutrons),
e sim no g´as intra-aglomerado (MIA) e na forma de mat´eria escura (Dark Matter).
Apesar disto, a maioria das classifica¸c˜oes usadas at´e agora usam a popula¸c˜ao de
gal´axias e a estrutura aparente para ordenar os aglomerados.
Diferentes tipos de classifica¸c˜oes tˆem sido propostos por diversos autores, sendo
as principais a de George Abell e a de Fritz Zwicky, ambas baseiadas no levantamento
do Monte Palomar Sky Survey (POSS), que inicialmente possu´ıa 2172 aglomerados
identificados visualmente e registrados em 935 pares de placas fotogr´aficas. Uma
classifica¸c˜ao mais recente foi feita por Rood & Strastry, no ano de 1982 e que tamb´em
descreveremos a seguir.
27
2.2.1 Classifica¸c˜ao de Abell para Aglomerados de Gal´axias
O cat´alogo constru´ıdo por George Abell em 1958 e ampliado posteriormente por
Corwin e Olowin em 1989, possui 4073 aglomerados [25]. Os crit´erios propostos por
Abell para fazer a classifica¸c˜ao foram: riqueza, compacidade e distˆancia.
Crit´erio de Riqueza
Por riqueza entende-se o n´umero de gal´axias associadas a um aglomerado. A
riqueza, ´e portanto, uma medida estat´ıstica da popula¸c˜ao de um aglomerado baseiada
em um crit´erio de sele¸c˜ao pr´e-determinado.
A popula¸c˜ao no cat´alogo de Abell ´e definida como o n´umero de gal´axias com
magnitude aparente maior que m
3
+2, onde m
3
´e a magnitude do terceiro membro mais
brilhante do aglomerado, medido no filtro vermelho e ordenados de forma crescente
no n´umero de gal´axias. Assim,
• Classe 0: possui entre 30 e 49 gal´axias.
• Classe 1: possui entre 50 e 79 gal´axias.
• Classe 2: possui entre 80 e 129 gal´axias.
• Classe 3: possui entre 130 e 199 gal´axias.
• Classe 4: possui entre 200 e 299 gal´axias.
• Classe 5: possui 300 ou mais gal´axias.
28
Aglomerados das classes 2 `a 5 s˜ao considerados ricos, a classe 1 ´e dita intermedi´aria
e a classe 0 pobre.
Crit´erio de compacidade
No cat´alogo de Abell [25], um aglomerado compacto ´e aquele no qual as gal´axias
encontram-se dentro de um raio de 1.5h
−1
Mpc de distˆancia do centro. Este valor
´e conhecido na literatura como o raio de Abell e corresponde a um raio angular de
1.7
z
arcmin, onde z ´e o desvio para o vermelho da d´ecima gal´axia mais brilhante do
aglomerado com magnitude m
10
.
Crit´erio de Distˆancia
A amostra do cat´alogo de Abell cobre uma faixa de desvio para o vermelho entre
z = 0.02 e z = 0.2 (Bahcall, 1977). Devido `a dificuldade de contar as gal´axias nas
placas fotogr´aficas para magnitudes maiores que 20, o limite de corte em brilho ´e
a magnitude aparente do terceiro membro mais brilhante quando ela ´e m
3
= 18.
Assim a classifica¸c˜ao foi feita p or classe de acordo com a magnitude aparente de m
10
e usando como medida de distˆancia o seu desvio para o vermelho.
• Classe 1 Pr´oximos, m
10
entre 13.3 − 14, z = 0, 0283.
• Classe 2 Distˆancia media, m
10
entre 14.1 − 14.8, z = 0, 0400.
• Classe 3 Distantes, m
10
entre 14.9 − 15.6, z = 0, 0577.
• Classe 4 Muito distantes, m
10
entre 15.7 − 16.4, z = 0, 0787.
29
• Classe 5 Extremamente distantes, m
10
entre 16.5 − 18, z = 0, 2.
Al´em dos parˆametros de classifica¸c˜ao acima apresentados, Abell distinguia en-
tre aglomerados regulares e irregulares, sendo os primeiros ricos em popula¸c˜ao de
gal´axias, com altas concentra¸c˜oes centrais e marcada simetria esf´erica. Os aglomera-
dos regulares, tem como popula¸c˜ao dominante gal´axias el´ıpticas e espirais lenticulares
do tipo S0. As lenticulares s˜ao interpretadas comumente como espirais, nas quais o
g´as e a poeira foram removidos por colis˜oes com outras gal´axias (Bahcall, 1977).
Estas gal´axias est˜ao em uma classe intermedi´aria entre as el´ıpticas e as espirais na
classifica¸c˜ao de Hubble. Um exemplo de aglomerado regular ´e Coma.
Os aglomerados irregulares p odem ser ricos ou pobres, n˜ao apresentam simetria
esf´erica e sua popula¸c˜ao ´e diversa, contendo desde gal´axias espirais at´e irregulares.
Em muitos casos p ossuem sub-estruturas ou sub-aglomerados. Exemplo desse tipo
s˜ao o aglomerado de Virgo e o grupo local de gal´axias.
2.2.2 A Classifica¸c˜ao de Zwicky
O cat´alogo feito por Zwicky, Herzog, Wild, Karpowicz e Kowal, ´e chamado Cat´alogo
de Gal´axias e Aglomerados de Gal´axias e foi constru´ıdo entre 1961 e 1968. Para defi-
nir o limite do aglomerado, Zwicky estab eleceu como crit´erio de corte da popula¸c˜ao,
a isopleta (contorno de isodensidade) na qual a densidade ´e o dobro da densidade do
campo local [43]. Esta isopleta deve conter pelo menos 50 membros com magnitudes
entre m
1
e m
1
+ 3, onde m
1
´e o membro mais brilhante do aglomerado.
O grupo de Zwicky classificou os aglomerados como: compactos, semi-compactos
30
e abertos, de acordo com o fato deles possuirem ou n˜ao uma concentra¸c˜ao central de
massa.
• Aglomerados Compactos:
S˜ao caracterizados por apresentarem uma marcada concentra¸c˜ao de gal´axias no
centro do aglomerado. Pelo menos 10 dos membros mais brilhantes aparecem
como se quase estivessem em contato quando observados.
• Aglomerados semi-Compactos:
Pode existir, como no caso anterior, um excesso de densidade na regi˜ao central,
mas as gal´axias aparecem separadas por distˆancias v´arias vezes seus pr´oprios
diˆametros. S˜ao observados sub-grupos em regi˜oes afastadas do centro.
• Aglomerados Abertos:
N˜ao apresentam uma distribui¸c˜ao de gal´axias concentrada de forma evidente.
2.2.3 Classifica¸c˜ao de Rood & Strastry
Rood & Strastry (1971), Oemler (1974) e Struble & Rood(1982) propuseram uma
classifica¸c˜ao fundamentada na distribui¸c˜ao, posi¸c˜ao aparente e na densidade num´erica
das 10 gal´axias mais brilhantes do aglomerado. Assim, segundo esses autores, temos
os seguintes tipos de aglomerados:
• Tipo cD: o aglomerado ´e dominado por uma gal´axias el´ıptica gigante central.
• Tipo bin´ario: o aglomerado ´e dominado por um sistema bin´ario de gal´axias, um
exemplo ´e o aglomerado de Coma.
31
• Tipo Linear: trˆes ou mais das gal´axias mais brilhantes parecem formar um eixo
de simetria no aglomerado.
• Tipo caro¸co: pelo menos quatro dos membros mais brilhantes est˜ao em volta
do centro do aglomerado formando um caro¸co ao seu redor
• Tipo achatado: n˜ao existe um grupo dominante de gal´axias. Geometricamente
a distribui¸c˜ao lembra a forma de um charuto.
• Tipo irregular: s˜ao aglomerados ricos, sem um centro definido e nos quais pre-
dominam as gal´axias espirais.
Figura 2.1: Diagrama de Classifica¸c˜ao de Rood & Strastry [41]
Nesse tipo de classifica¸c˜ao, se diz que os aglomerados tipo cD est˜ao em maior
estado de equil´ıbrio e os irregulares estariam menos virializados.
Devido ao fato de serem concebidos desde a posi¸c˜ao aparente das gal´axias, os
sistemas de classifica¸c˜ao anteriores est˜ao sujeitos a poss´ıveis erros de proje¸c˜ao, super-
posi¸c˜ao de imagens, entre outros. Mais recentemente surgiram outros esquemas de
32
classifica¸c˜ao, como os de Morgan(1962) & Oemler(1974), que propuseram uma clas-
sifica¸c˜ao baseada no conte´udo de tipos gal´acticos dividida em 1) Ricas em espirais,
2)Tipo cD e 3) Pobres em espirais. Al´em de cat´alogos no ´optico existem tamb´em
cat´alogos em raios-X e outras bandas. Para uma discuss˜ao mais detalhada de outros
tipos de cat´alogos ver por exemplo [43].
2.3 Dimens˜oes Carater´ısticas dos Aglomerados
Antes de discutirmos as propriedades dinˆamicas de um aglomerado, apresenta-
remos algumas defini¸c˜oes importantes acerca do seu tamanho. Essas defini¸c˜oes s˜ao
fundamentais quando queremos estudar o movimento e conte´udo material, al´em de
processos f´ısicos, como por exemplo, emiss˜oes em raios-X nos aglomerados. Devido
`a dificuldade de se estabelecer uma fronteira geom´etrica clara para um aglomerado,
s˜ao definidos os seguintes raios:
Raio gravitacional: ´e a distˆancia do centro na qual a energia gravitacional
´e aproximadamente igual `a energia cin´etica de uma gal´axia movendo-se dentro do
aglomerado.
´
E definido por,
R
G
≡
2GM
3¯v
2
r
. (2.1)
Na express˜ao (2.1) ¯v
r
´e velocidade quadr´atica m´edia das gal´axias, M a massa do
aglomerado e G a constante de gravita¸c˜ao. Essa mesma express˜ao pode ser obtida de
forma natural atrav´es do teorema do virial, que apresentaremos mais abaixo.
Raio do caro¸co central R
C
: ´e o raio para o qual a densidade num´erica de
gal´axias, projetada no plano do c´eu, ´e a metade da densidade central do aglomerado
33
σ(R
C
) ≡ σ
0
/2. Envolve o centro do aglomerado, sem considerar a regi˜ao externa
do mesmo. A regi˜ao mais externa ´e comumente conhecida com o nome de halo [2].
Um c´alculo preciso de R
C
´e importante quando se estuda o perfil de distribui¸c˜ao de
densidade no aglomerado.
Raio de meia massa R
M
: ´e o raio que contem a metade da massa luminosa
(gal´axias e estrelas) do aglomerado.
2.4 Aglomerados e o Teorema do Virial
Os aglomerados de gal´axias podem ser modelados como sistemas auto-gravitantes,
o que significa que os elementos que os comp˜oem tendem ao equil´ıbrio dinˆamico sob
a a¸c˜ao da gravidade. Mesmo que o aglomerado n˜ao esteja totalmente em equil´ıbrio
a escala de tempo na qual as mudan¸cas ocorrem na sua estrutura s˜ao menores que a
idade do aglomerado. Um parˆametro usado habitualmente para descrever o estado de
relaxamento, ou estado de equil´ıbrio de um aglomerado, ´e o tempo de cruzamento t
cr
(crossing time), que ´e o tempo que uma gal´axia leva para atravessar o aglomerado,
t
cr
=
R
car
< v >
. (2.2)
Na express˜ao acima R
car
´e um raio caracter´ıstico do aglomerado, cuja defini¸c˜ao de-
pende da regi˜ao de interesse a ser estudada. Uma escolha comum ´e R
car
= R
M
. A
quantidade < v > ´e a velocidade m´edia das gal´axias do aglomerado. Por exemplo, no
caso do aglomerado de Coma < v >
∼
=
10
3
Kms
−1
e R
cr
∼
=
2Mpc, tal que t
cr
= 2 ×10
9
anos, o que corresponde aproximadamente a um quinto ou um d´ecimo da idade do
universo. Se Coma n˜ao fosse um sistema gravitacionalmente ligado, as gal´axias j´a
34
teriam se dispersado daquela regi˜ao. Para o caso de super-aglomerados com raios da
ordem de R ≈ 35Mpc, o tempo de cruzamento ´e t
cr
≈ 2 × 10
10
anos.
A seguir discutimos o teorema do virial para o caso de aglomerados de gal´axias.
Consideraremos o caso mais simples, isto ´e, o de um aglomerado descrito como um
sistema auto-gravitante, isolado e sem intera¸c˜ao com outros aglomerados. As gal´axias
s˜ao aproximadas por massas pontuais que interagem apenas pela atra¸c˜ao gravitacional
m´utua. Assim, a acelera¸c˜ao da i-´esima gal´axia devida `a presen¸ca das outras ´e:
¨
r
i
=
j=i
Gm
j
(r
j
−r
i
)
|r
j
−r
i
|
3
(2.3)
Fazendo o produto escalar com m
i
r
i
e somando obtemos,
i
m
i
r
i
·
¨
r
i
=
i
j=i
Gm
j
m
i
r
i
· (r
j
−r
i
)
|r
j
−r
i
|
3
(2.4)
A energia potencial gravitacional das gal´axias no aglomerado ´e dada por,
U ≡ −G/2
i,j(i=j)
m
i
m
j
|r
j
−r
i
|
. (2.5)
A energia cin´etica T e o momento de in´ercia I de um sistema de part´ıculas s˜ao:
T ≡
1
2
i
m
i
(
˙
r
i
)
2
(2.6)
e
I ≡
i
m
i
(r
i
)
2
(2.7)
Derivando a equa¸c˜ao anterior duas vezes em rela¸c˜ao ao tempo, podemos estabelecer
uma rela¸c˜ao entre a energia cin´etica e o momento de in´ercia,
¨
I = 2
i
m
i
¨
r
i
·r
i
+
˙
i
r ·
˙
r
i
, (2.8)
35
ou seja,
¨
I = 2
i
(m
i
¨
r
i
·r
i
) + 4T. (2.9)
Para introduzir a energia p otencial na equa¸c˜ao anterior, notamos que o primeiro
termo do lado direito ´e, com exce¸c˜ao de uma constante, a equa¸c˜ao (2.4), trocando os
´ındices i e j em (2.4) e somando as duas equa¸c˜oes teremos,
i
m
i
r
i
· ¨r
i
= 1/2
i
m
i
r
i
· ¨r
i
+
j
m
j
r
j
· ¨r
j
(2.10)
= −G/2
i,j(i=j)
m
i
m
j
|r
j
−r
i
|
(2.11)
Na equa¸c˜ao anterior identificamos U com a energia potencial das gal´axias no
aglomerado. Das equa¸c˜oes (2.9) e (2.11) obtemos:
¨
I = 2U + 4T (2.12)
No caso em que o sistema encontra-se em equil´ıbrio, ou seja, n˜ao se contrai nem se
expande e seu momento de in´ercia I ´e constante, teremos,
T = −
1
2
|U|. (2.13)
Esta ´e a forma mais conhecida do teorema do virial.
Para aplicarmos o teorema do virial a aglomerados, algumas considera¸c˜oes preci-
sam ser feitas. Devemos conhecer a distribui¸c˜ao de velocidades e assumir o tipo de
simetria espacial da distribui¸c˜ao de gal´axias. Vamos supor que a distribui¸c˜ao de velo-
cidades no aglomerado ´e isotr´opica, ou seja, a dire¸c˜ao do vetor velocidade ´e aleat´oria
e, portanto, a velocidade quadr´atica m´edia ´e tal que,
¯v
x
2
= ¯v
y
2
= ¯v
z
2
(2.14)
36
a velocidade quadr´atica m´edia total ser´a,
¯v
2
≡
i
m
i
˙
x
i
2
= 3 ¯v
x
2
. (2.15)
Supondo que o aglomerado possui simetria esf´erica e que a velocidade quadr´atica
m´edia total n˜ao depende da massa particular de cada gal´axia, podemos escrever a
energia cin´etica como,
T =
3
2
M ¯v
x
2
, (2.16)
e a energia potencial gravitacional,
U =
GM
2
R
G
. (2.17)
onde M ´e a massa total das gal´axias no aglomerado e R
G
´e o raio gravitacional do
aglomerado. Das equa¸c˜oes (2.15), (2.16) e usando o teorema do virial podemos fazer
uma primeira estimativa da massa do aglomerado,
M =
3 ¯v
x
2
R
G
G
(2.18)
´
E claro que nem todos os aglomerados possuem simetria esf´erica, e a determina¸c˜ao
do valor ¯v
x
2
n˜ao ´e algo trivial, de modo que esta estimativa ´e um pouco grosseira.
Usando observa¸c˜oes em raios-X e outras bandas ´e poss´ıvel melhorar esta estimativa.
M´etodos mais detalhados s˜ao descritos, por exemplo, em [19]. Al´em de estimar a
massas dos aglomerados para descrever os processos f´ısicos que com eles acontecem,
conhecer essas massas pode ajudar a establecer um valor m´ınimo para a densidade
de mat´eria no universo.
37
2.5 A Estrutura dos Aglomerados
Podemos distinguir trˆes componentes principais dos aglomerados: gal´axias, meio
intra-aglomerado e a mat´eria escura. Abaixo descreveremos de forma suscinta cada
uma dessas componentes.
2.5.1 O Meio Intra-Aglomerado (MIA)
O meio intra-aglomerado p ossui em torno de 25% da massa do aglomerado e ´e
constitu´ıdo, basicamente, de um g´as ionizado com uma temperatura da ordem de
10
8
K. Existem duas teorias sobre a origem do MIA [14]. Uma delas indica que o g´as
aparece na pr´opria forma¸c˜ao dos aglomerados, ficando preso pelo potencial gravita-
cional dos mesmos. O principal argumento contra essa hip´otese ´e a dificuldade em se
explicar a abundˆancia de elementos pesados cuja origem s˜ao, fundamentalmente, os
processos de nucleoss´ıntese em estrelas. A metalicidade do g´as ´e aproximadamente
um ter¸co da metalicidade solar, sendo que os metais mais comuns s˜ao o ferro e o
sil´ıcio, sintetizados, majoritariamente, em explos˜oes de supernova e n´ucleos ativos de
gal´axia (AGN). As maiores metalicidades s˜ao encontradas no centro do aglomerado.
De acordo com a segunda teoria, o g´as seria um subproduto da intera¸c˜ao gra-
vitacional entre as gal´axias do aglomerado. Isto sup˜oe que o processo de forma¸c˜ao
gal´actica teve uma eficiˆencia de cem por cento, e n˜ao ficou mat´eria livre dentro do
aglomerado.
O mais aceito atualmente, ´e que o processo de forma¸c˜ao do MIA seja uma mistura
dos dois processos anteriores e n˜ao apenas algum deles.
38
Os principais mecanismos que temos para estudar o MIA s˜ao: a emiss˜ao em raios-
X, devida a radia¸c˜ao de Bremsstrahlung, efeito Compton inverso da radia¸c˜ao c´osmica
de fundo de micro-ondas e a press˜ao exercida sobre o g´as mais frio no interior das
gal´axias.
Emiss˜ao de Bremsstrahlung em Raios-X.
Desde os anos 60, se come¸cou a estudar a emiss˜ao de raios-X originada em aglome-
rados de gal´axias. Um dos primeiros experimentos foi o sat´elite UHURU, que detectou
radia¸c˜ao proveniente dos aglomerados Virgem e Coma. O processo pelo qual ´e pro-
duzida a radia¸c˜ao foi identificado como sendo emiss˜ao livre-livre ou Bremsstrahlung
t´ermico. Este fenˆomeno ocorre quando um el´etron acelerado interage com o campo
el´etrico de um n´ucleo carregado. O el´etron ´e espalhado, mudando sua trajet´oria e
energia cin´etica, emitindo, finalmente, um f´oton de raios-X [38].
A seguir, estudaremos um modelo simples de emiss˜ao no g´as intra-aglomerado.
Suponha um g´as quente com simetria esf´erica (raio r) e que exista equil´ıbrio
hidrost´atico entre a for¸ca devido `a press˜ao e a for¸ca gravitacional. A equa¸c˜ao de
Euler para o estado de equil´ıbrio ´e escrita como:
∇P
ρ
= −∇φ (2.19)
onde P ´e a press˜ao, ρ ´e a densidade do g´as e φ o potencial gravitacional newtoniano.
A simetria esf´erica do modelo, permite escrever a equa¸c˜ao anterior como,
dP
dr
= −
GMρ
r
2
. (2.20)
Devido a que o g´as no aglomerado est´a em altas temperaturas e ´e muito rarefeito,
39
podemos usar a equa¸c˜ao para um g´as perfeito,
P V = nK
B
T (2.21)
Usando a rela¸c˜ao,
ρ = µm
H
n, (2.22)
a equa¸c˜ao de estado pode ser expressa como,
P =
ρK
B
T
µm
H
. (2.23)
onde µ ´e o peso molecular m´edio do g´as, m
H
´e a massa do ´atomo de hidrogˆenio e n
a densidade m´edia por unidade de volume
n
=
N
V
.
Substituindo (2.23) na equa¸c˜ao (2.20) obtemos,
K
B
µm
H
d(ρT )
dr
= −
GM(r)ρ
r
2
(2.24)
Ou reorganizando os termos,
M(r) = −
K
B
T r
Gµm
H
[
d ln ρ
d ln r
+
d ln T
d ln r
]. (2.25)
A equa¸c˜ao (2.25) mostra como a distribui¸c˜ao de massa pode ser calculada uma vez
conhecido como variam a temperatura e a densidade em fun¸c˜ao do raio do aglomerado.
Informa¸c˜oes sobre essas quantidades podem ser obtidas do estudo dos espectros e das
imagens em raios-X do aglomerado.
As observa¸c˜oes do sat´elite UHURU mostraram que a emiss˜ao mais forte em raios-
X, vem da regi˜ao central dos aglomerados, que coincide, em muitos casos, com a
posi¸c˜ao de uma gal´axia gigante do tipo cD ou com um n´ucleo ativo de gal´axia. Devido
`a dificuldade de obter imagens bem delimitadas das regi˜oes centrais do aglomerado,
40
s˜ao propostos modelos para a distribui¸c˜ao de mat´eria e brilho. Os resultados desses
modelos s˜ao posteriormente convolu´ıdos com as imagens observadas para, finalmente,
se criar mapas da distribui¸c˜ao da emiss˜ao em raios-X.
Uma quantidade que costuma ser modelada ´e o brilho superficial em raios-X. O
brilho superficial ´e a imagem em raios-X do aglomerado projetada no plano do c´eu e
´e definido como:
S
X
=
1
4π(1 + z)
3
n
2
e
Λ
ee
(E, T
edl
)dl , (2.26)
onde Λ
ee
´e a chamada fun¸c˜ao de resfriamento ou emissividade espetral devida ao pro-
cesso de Brehmsstralhung. Ela depende da temperautura do g´as e da energia emitida
em raios-X, como vista no sistema em repouso do aglomerado. Na express˜ao acima,
n
e
´e a de densidade num´erica de el´etrons no g´as. Explicitamente, a emissividade para
o processo de Brehmsstralhung, pode ser escrita, [25]:
Λ
ee
=
Z
2
e
6
3π
2
3
0
c
3
m
e
(
m
e
K
B
T
)g(ν, T )NN
e
e
−
hν
K
B
T
. (2.27)
onde N e N
e
s˜ao as densidades num´ericas do n´ucleo atˆomico e dos el´etrons respecti-
vamente, Z ´e o n´umero atˆomico do n´ucleo, g(ν, T ) ´e conhecido como fator de Gaunt,
que da conta dos efeitos quˆanticos e relativ´ısticos no processo de Brehmsstralhung.
Para baixas energias e pequenos ˆangulos de espalhamento dos el´etrons, o fator de
Gaunt pode ser aproximado por:
g(ν, T ) =
√
3
π
ln[
hν
K
B
T
] (2.28)
Para grandes valores de K
B
T , o espectro de emiss˜ao Bremsstrahlung decresce ex-
ponencialmente o que, em princ´ıpio, permite medir a temperatura do g´as encontrando
o ponto no qual a emissividade come¸ca a cair.
41
Um dos modelos mais usados na literatura para ajustar, o brilho superficial ´e o
chamado modelo β isot´ermico proposto por Cavaliere & Fusco-Fremiano no ano de
1976. No modelo β, o perfil de densidade ´e descrito por:
n
e
= n
0
(1 + (r/R
C
)
2
)
−
3β
2
, (2.29)
no qual, n
0
´e a densidade num´erica no centro do aglomerado, R
C
´e o raio do caro¸co
central e β ´e raz˜ao entre a dispers˜ao de velocidade das gal´axias e a dispers˜ao de
velocidade do g´as no aglomerado. β ´e dado por
β =
µm
p
σ
2
K
B
T
e
, (2.30)
onde µ ´e o peso molecular m´edio, m
p
´e a massa do pr´oton, σ ´e a dispers˜ao de velocidade
das gal´axias e T
e
a temperatura do g´as intra-aglomerado.
Substituindo n
e
e Λ
ee
na equa¸c˜ao (2.26), obtemos,
S
X
α
∞
0
n
0
(1 + (r/R
C
)
2
)
−3β
2
T
1/2
dl (2.31)
O modelo β n˜ao ´e totalmente apropriado para descrever o perfil de densidade dos
aglomerados pois subestima o brilho total observado. Em aglomerados com regi˜oes
centrais muito densas se observa um fluxo de resfriamento central (cooling flow), que
consiste na migra¸c˜ao massiva de mat´eria da periferia para o centro do aglomerado.
Observacionalmente, essa migra¸c˜ao de mat´eria acontece em menor propor¸c˜ao do que
se esperaria teoricamente, e o resfriamento ´e controlado por n´ucleos ativos e por
eventos de supernova [13].
Para corrigir a discrepˆancia entre o modelo β e as observa¸c˜oes outros tipos de
distribui¸c˜oes s˜ao usadas. Um exemplo delas ´e o modelo duplo β, que incorpora um
42
termo a mais para modelar o centro do aglomerado, [29]
n
e
= n
0
[f(1 + (r/R
c
1
)
2
)
−3β
2
+ (1 − f)(1 + (r/R
c
2
)
2
)
−3β
2
] (2.32)
R
c
1
e R
c
2
s˜ao os raios de duas regi˜oes, o caro¸co central do aglomerado e a parte
externa do mesmo que n˜ao ´e afetada pelo fluxo de resfriamento, e p ´e um parˆametro
que toma valores 0 ≤ f ≤ 1.
2.5.2 As Gal´axias nos Aglomerados
A mat´eria bariˆonica (nˆeutrons e pr´otons), presente na forma de estrelas e gal´axias,
constitui aproximadamente cinco por cento da massa total do aglomerado [27].
Para estudarmos algumas carater´ısticas da distribui¸c˜ao de gal´axias, usaremos um
modelo no qual o aglomerado ´e tratado como uma esfera de g´as isot´ermica. A ener-
gia cin´etica m´edia das part´ıculas (gal´axias) que comp˜oem o sistema ´e constante e
a dispers˜ao de velocidades segue uma distribui¸c˜ao maxwelliana. Usando a equa¸c˜ao
de Euler que foi apresentada em (2.19), para uma esfera de g´as que se encontra em
equil´ıbrio hidrost´atico vemos que, para um elemento de massa dm, a for¸ca de atra¸c˜ao
gravitacional e a press˜ao se cancelam, podemos escrever a massa como,
M(r) =
r
0
4πr
2
ρ(r)dr. (2.33)
Derivando (2.20) em rela¸c˜ao a r e usando (2.33), obtemos a equa¸c˜ao de Lane-Emden
que descreve a dinˆamica de um objeto esf´erico em equilibrio hidrost´atico,
d
dr
(
r
2
ρ
dP
dr
) = −4πGρr
2
(2.34)
43
Para um g´as perfeito a equa¸c˜ao de estado ´e dada por (2.21). Substituindo na equa¸c˜ao
de Lane-Emden,
d
dr
(
r
2
ρ
dρ
dr
) +
4πGµρr
2
K
B
T
= 0 (2.35)
Se o g´as est´a em equil´ıbrio t´ermico, temos,
3
2
K
B
T =
1
2
µ¯v
2
, (2.36)
onde ¯v
2
´e a velocidade quadr´atica m´edia das gal´axias. Finalmente, a equa¸c˜ao de
Lane-Emden, fica:
d
dr
(
r
2
ρ
dρ
dr
) +
12πGρr
2
¯v
2
= 0 (2.37)
Muitas vezes, os perfis de densidade inseridos na equa¸c˜ao de Lane-Emden s˜ao de-
duzidos das observa¸c˜oes, ou a partir de modelos usados para gal´axias. Esses modelos
usam, em geral, trˆes parˆametros para fazer uma descri¸c˜ao aproximada da distribui¸c˜ao
de densidade: R
C
o raio do caro¸co, R
h
o raio do halo que define o corte da distribui¸c˜ao
e ρ
0
a densidade central.
Os perfis de densidade mais usados s˜ao: o de Zwicky-Bahcall para a densidade
projetada, o de King e o perfil de de Vaucouleurs.
O perf´ıl de Zwicky-Bahcall, estabelece uma densidade projetada no plano do c´eu
(σ), considerando o aglomerado como uma esfera isot´ermica e limitada pela regi˜ao do
halo. Uma express˜ao para esse perfil ´e:
σ
obs
= α [σ
iso
(r/R
C
) − C] , (2.38)
onde C = σ
iso
(R
h
/β) ´e uma constante de corte que limita a extens˜ao do halo, β ´e um
parˆametro de escala, α ´e uma constante de normaliza¸c˜ao e σ
iso
´e a chamada fun¸c˜ao
isot´ermica de Emden.
44
O perfil de densidade proposto por King em 1966 ´e baseado na distribui¸c˜ao de
luminosidade do aglomerado projetada no plano do c´eu.
´
E o perfil que apresenta
um melhor ajuste com as observa¸c˜oese e ´e tamb´em um dos mais usados na litera-
tura. Sua origem s˜ao estudos de distribui¸c˜ao do brilho em aglomerados globulares e
gal´axias el´ıpticas, mas o modelo funciona muito bem quando ´e aplicado ao centro dos
aglomerados de gal´axias. A forma do perfil ´e:
ρ = ρ
0
(1 + (r/R
c
)
2
)
−
3
2
. (2.39)
2.5.3 Mat´eria Escura em Aglomerados de Gal´axias
Em 1933, o astr´onomo Fritz Zwicky chamou a aten¸c˜ao sobre a grande dispers˜ao
de velocidades das gal´axias em alguns aglomerados. A mat´eria luminosa (aquela que
emite, absorve ou reflete radia¸c˜ao), presente na forma de estrelas e g´as, n˜ao fornecia
uma atra¸c˜ao gravitacional suficiente para manter ligados os aglomerados. Zwicky,
sugeriu que deveria existir um outro tipo de mat´eria, n˜ao observ´avel diretamente
no telesc´opio, que daria conta da dinˆamica observada das gal´axias. Ele a chamou
“dunkle materie”, ou mat´eria escura [50].
A mat´eria escura ´e classificada geralmente em dois tipos: bariˆonica e n˜ao bariˆonica.
A mat´eria escura bariˆonica, presente nas gal´axias, existe na forma de objetos compac-
tos muito massivos e de baixa luminosidade, comumente conhecidos como MACHO’s
(por sua sigla em inglˆes Massive Compact Halo Objects). Fazem parte desse grupo
de objetos, as an˜as marrons, os objetos jupiterianos, entre outros.
Uma an˜a marrom, ´e um remanescente estelar que n˜ao realiza o processo de fus˜ao
nuclear, de modo que o hidrogˆenio n˜ao ´e transformado em h´elio e n˜ao h´a uma fonte
45
de energia suficientemente potente para fazer que a estrela seja observada em grandes
distˆancias.
Em alguns halos gal´aticos, tem-se reconhecido a presen¸ca de objetos de alta massa,
que n˜ao conseguiram iniciar processos de fus˜ao nuclear. Esse objetos s˜ao conhecidos
como “Objetos tipo Jupiter ”. A massa desses objetos est´a na faixa de 0.004M
<
M
J
< 0.08M
, sendo que esses limites n˜ao est˜ao totalmente definidos.
Al´em dos anteriores, os buracos negros s˜ao apontados como outros poss´ıveis can-
didatos a mat´eria escura bariˆonica. Eles conseguem afetar a dinˆamica gravitacional
das estrelas e no caso dos buracos negros mais massivos, como os que se acredita
que existem em alguns centros gal´acticos, podem afetar a dinˆamica gravitacional da
pr´opria gal´axia.
Existem v´arios candidatos `a mat´eria escura n˜ao bariˆonica, mas o seu comporta-
mento e propriedades f´ısicas seguem sendo um problema ainda n˜ao resolvido. Entre os
candidatos a esta forma de mat´eria escura encontram-se os chamados
´
Axions. Estas
part´ıculas, foram propostas para evitar o problema da viola¸c˜ao da paridade CP na
cromodinˆamica quˆantica. Os ´axions s˜ao part´ıculas sem carga, com spin 0 e possuem
massas muito pequenas, da ordem de 1µeV at´e 10meV .
Acredita-se que os ´axions tenham sido criados abundantemente no Big Bang. Eles
formariam um condensado de Bose-Einstein, que ´e um estado da mat´eria caraterizado
por manter altas densidades de part´ıculas em regi˜oes muito pequenas do espa¸co [30].
Outro candidato `a mat´eria escura n˜ao bariˆonica s˜ao os “WIMP ”, ou part´ıculas
fracamente interagentes. Os “WIMP”, seriam part´ıculas que poderiam interagir com
outras part´ıculas somente atrav´es da gravidade e da intera¸c˜ao nuclear fraca. Em
46
super simetria, estas part´ıculas tem associadas a elas os chamadas companheiros super
sim´etricos. Esses companheiros, tem os mesmos n´umeros quˆanticos que os “WIMP”,
mas diferem no seu spin. Para os b´osons mediadores das intera¸c˜oes fundamentais,
tem-se proposto os seus respetivos companheiros como: o fotino, companheiro do
f´oton, o gravitino companheiro do graviton, o neutralino, associado ao neutrino e os
gluinos, associados aos gl´uons.
Nem os ´axions, nem os “WIMP”, foram detetados at´e agora. Entre as part´ıculas
j´a observadas est˜ao os neutrinos. Eles se apresentam em trˆes tipos ou “sabores”: neu-
trinos muˆonicos, neutrinos eletrˆonicos e neutrinos tauˆonicos. Os neutrinos interagem
muito pouco com a mat´eria bariˆonica e com a radia¸c˜ao. Ainda n˜ao se tem certeza
sobre qual ´e a massa dos neutrinos, mas alguns experimentos com neutrinos solares
mostram que seria algo da ordem de 0, 04 − 0, 07eV .
Existe outra classifica¸c˜ao para a mat´eria escura, baseando-se na quantidade de
energia que as part´ıculas possu´ıam no momento do desacoplamento da radia¸c˜ao. As-
sim, a mat´eria escura fria ou Cold Dark Matter (CDM), ´e a materia escura que
possu´ıa energia n˜ao relativ´ıstica na ´epoca do desacoplamento. J´a a mat´eria escura
quente, Hot Dark Matter (HDM), ´e mat´eria que tinha energias relativistas na ´epoca
do desacoplamento.
Escapa ao escopo deste trabalho aprofundar neste interessante tema. Para uma
referˆencia mais completa sobre mat´eria escura, pode consultar-se o livro de Ostriker.
[30].
CAP
´
ITULO 3
Efeito Sunyaev-Zel’Dovich (SZ)
Como foi visto no cap´ıtulo II o meio intra-aglomerado possui temperaturas muito
altas, da ordem de 10
8
K. A elevada energia cin´etica dos el´etrons favorece o espa-
lhamento dos f´otons da radia¸c˜ao c´osmica de fundo, produzindo uma mudan¸ca no seu
espectro caracter´ıstico, o espectro de Planck [28]. A formula¸c˜ao e a primeira descri¸c˜ao
do fenˆomeno foi feita por Ya .Zel’Dovich & R. Sunyaev nos seus artigos de (1969),
(1970) e (1972), por esta raz˜ao o efeito leva os nomes desses autores.
Distinguem-se duas classes de efeito SZ. O primeiro, e que altera em maior pro-
por¸c˜ao o espectro da RCF, ´e o efeito t´ermico causado pela passagem dos f´otons atrav´es
de uma distribui¸c˜ao de g´as quente. O segundo tipo ´e o efeito cinem´atico, causado
pelo movimento relativo entre o aglomerado e os f´otons da radia¸c˜ao de fundo.
47
48
3.1 Efeito Sunyaev-Zel’Dovich T´ermico
Na teoria cl´assica do eletromagnetismo, o espalhamento de Thomson acontece
quando uma part´ıcula carregada, inicialmente em repouso, interage com um campo
eletromagn´etico. A part´ıcula, acelerada pelo campo, emite radia¸c˜ao, numa dire¸c˜ao
diferente `a de propaga¸c˜ao da onda incidente. A energia do campo n˜ao se altera ao
final da intera¸c˜ao e a part´ıcula volta ao seu estado original de movimento ap´os a
colis˜ao.
No ano de 1923, Arthur Compton estudou o problema da colis˜ao de f´otons de alta
energia com el´etrons desde o ponto de vista da mecˆanica quˆantica, mostrando que,
ap´os a intera¸c˜ao os f´otons espalhados diminuem a sua freq ¨uˆencia e, portanto, a sua
energia (Fig 3.1).
´
E simples mostrar que a energia ap´os da colis˜ao ´e dada por [38]
ε
=
ε
1 +
ε
mc
2
(1 − cos θ)
(3.1)
onde θ ´e o ˆangulo de sa´ıda dos f´otons depois de serem espalhados, m a massa de
repouso da part´ıcula carregada e c a velocidade da luz. A equa¸c˜ao anterior pode ser
reescrita tamb´em em termos do comprimento de onda como:
λ
− λ = λ
c
(1 − cos θ) (3.2)
onde λ
c
=
h
mc
´e o comprimento de onda Compton da part´ıcula.
Quando os f´otons da radia¸c˜ao c´osmica de fundo passam atrav´es do plasma intra-
aglomerado, pode ocorrer o chamado espalhamento Compton inverso. Devido ao
fato dos el´etrons possu´ırem uma energia cin´etica maior que a dos f´otons, parte dessa
energia pode ser transferida aos f´otons levando-os a atingir energias maiores. Isto ´e
49
Figura 3.1: Esquema de colis˜ao entre um el´etron e um f´oton no efeito Compton
observado como uma distor¸c˜ao do espectro da RCF. O fenˆomeno foi descrito analiti-
camente pela primeira vez por R. Sunyaev & Y.B. Zel’Dovich em [45], [48] e como foi
mencionado anteriormente ´e conhecido como efeito Sunyaev-Zel’Dovich. Somente 1%
dos f´otons da RCF sofrem este tipo de espalhamento. Note que o n´umero de f´otons
´e conservado no processo, isto ´e, o efeito final s´o muda a energia e n˜ao o n´umero de
part´ıculas [7].
A continua¸c˜ao obtemos a express˜ao para as distor¸c˜oes na intensidade da RCF
devidas ao efeito SZ T´ermico. Seguiremos as referˆencias [45], [48] e [3] considerando
o caso de uma distribui¸c˜ao t´ermica de el´etrons com energias n˜ao relativ´ısticas, isto ´e,
50
K
B
T
e
<< m
e
c
2
, onde T
e
´e temperatura do g´as e m
e
a massa dos el´etrons.
O n´umero de ocupa¸c˜ao de estados de energia n
α
, para um g´as de f´otons ´e dado
pela estat´ıstica de Bose-Einstein
n
α
≡
1
(e
hν/k
B
T
rad
− 1)
. (3.3)
Pode-se mostrar [16], que a intensidade espec´ıfica da radia¸c˜ao segue uma distribui¸c˜ao
planckiana quando os f´otons est˜ao em equil´ıbrio termodinˆamico, e que ´e dada pela
equa¸c˜ao
I
ν
=
2hν
3
c
2
(e
hν/k
B
T
rad
− 1)
−1
. (3.4)
Para estudar como varia o n´umero de ocupa¸c˜ao devido `a difus˜ao dos f´otons no g´as de
el´etrons no limite n˜ao relativ´ıstico usa-se a equa¸c˜ao de difus˜ao obtida por Kompaneets
em 1957 [38]:
∂n
∂y
=
1
x
2
e
∂
∂x
e
(x
4
e
(
∂n
∂x
e
+ n
2
+ n)), (3.5)
sendo x
e
=
hν
k
B
T
e
. Definimos tamb´em o parˆametro de Compton y,
y ≡
K
B
T
e
m
e
c
2
n
e
σ
T
ct (3.6)
onde σ
T
´e a se¸c˜ao de choque do espalhamento Thomson e n
e
´e a densidade num´erica de
el´etrons. Para o caso de um campo de radia¸c˜ao atravessando uma nuvem de el´etrons,
´e usual expressar o parˆametro de Compton ao longo da linha de visada como
y =
K
B
T
e
n
e
σ
T
dl
m
e
c
2
. (3.7)
Nos aglomerados, o g´as de el´etrons encontra-se a temp eraturas muito altas e a
energia dos f´otons da radia¸c˜ao de fundo ´e muito menor que a dos el´etrons. Assim,
para o caso que estamos estudando hν << K
B
T
e
ou conseq¨uentemente x
e
<< 1 [3]
51
temos que, (
∂n
∂x
e
>> n
2
, n) o que simplifica a express˜ao (3.5) e permite reescreve-la
como,
∂n
∂y
=
1
x
2
e
∂
∂x
e
(x
4
e
∂n
∂x
e
). (3.8)
Substituindo o n´umero de ocupa¸c˜ao n pela equa¸c˜ao (3.3), e levando a cabo as deri-
vadas, teremos
∂n
∂y
=
1
x
2
e
[4x
3
e
∂n
∂x
e
+ x
4
e
∂
2
n
∂x
2
e
], (3.9)
∂n
∂x
e
= −
e
x
e
(e
x
e
− 1)
2
, (3.10)
∂
2
n
∂x
2
e
= −2
e
2x
e
(e
x
e
− 1)
3
−
e
x
e
(e
x
e
− 1)
2
. (3.11)
Finalmente,
∂n
∂y
=
x
e
e
x
e
(e
x
e
− 1)
2
[−4 + x
e
(
2e
x
e
e
x
e
− 1
) − 1] (3.12)
∂n
∂y
=
x
e
e
x
e
(e
x
e
− 1)
2
[
x
e
e
x
e
+ 1
e
x
e
− 1
− 4] (3.13)
o que resulta na forma da distor¸c˜ao do espectro da radia¸c˜ao:
∂n
∂y
=
x
e
e
x
e
(e
x
e
− 1)
2
[x
e
coth(x
e
/2) − 4] (3.14)
Fazendo a aproxima¸c˜ao de profundidades ´oticas pequenas e para el´etrons com energias
n˜ao relativistas [35], para um parˆametro de Compton pequeno (y ∼ 10
−4
),
∂n
∂y
≈
n
y
,
e se dividimos pelo n´umero de ocupa¸c˜ao na sua forma original (3.3), obtemos
n
n
= y
x
e
e
x
e
(e
x
e
− 1)
2
[x
e
coth(x
e
/2) − 4]. (3.15)
Da equa¸c˜ao (3.4), vemos que a intensidade espec´ıfica ´e proporcional ao n´umero de
ocupa¸c˜ao. Assim, podemos escrever tamb´em a varia¸c˜ao na intensidade como
I
I
RCF
=
I
RCF
− I
SZ
I
RCF
≈
n
n
(3.16)
52
I
I
RCF
= yg(x
e
) (3.17)
onde g(x) ´e a fun¸c˜ao espectral, definida por:
g(x) =
x
e
e
x
e
(e
x
e
− 1)
2
[x
e
coth(x
e
/2) − 4]. (3.18)
No limite de Raleigh-Jeans (RJ), x
e
<< 1, obt´em-se
I
RJ
I
RCF
= lim
x→0
I
RJ
I
RCF
→ −2y. (3.19)
A equa¸c˜ao anterior pode ser tamb´em escrita para as varia¸c˜oes em temperatura, sendo
que a express˜ao ´e do mesmo tipo que a anterior [48],
T
RJ
T
RCF
= lim
x→0
T
RJ
T
RCF
→ −2y. (3.20)
Da equa¸c˜ao (3.19), observamos que, no limite de baixas freq¨uˆencias, a intensidade
observada da radia¸c˜ao ´e menor que a intensidade incidente, mas conserva o mesmo
tipo de varia¸c˜ao funcional que a curva planckiana e por isto ´e chamado espectro de
corpo negro modificado. Em contraste, na regi˜ao de altas freq¨uˆencias a intensidade ´e
maior que a do espectro original. O ponto de transi¸c˜ao entre estas duas regi˜oes, est´a
situado em 218 Ghz onde o espectro cruza da regi˜ao de Raleigh-Jeans, para a regi˜ao
de Wien de Altas freq¨uˆencias (Fig. 3.2). Este comportamento, pode ser traduzido
tamb´em da equa¸c˜ao (3.20) em termos da temperatura, para freq¨uˆencias menores que
218 Ghz a temperatura medida ´e menor para freq¨uˆencias superiores a temperatura
correspondente ser´a maior.
As express˜oes apresentadas acima s˜ao apropriadas para uma distribui¸c˜ao t´ermica
n˜ao relativ´ıstica de el´etrons, por tanto, elas s˜ao v´alidas s´o no limite de baixas freq¨uˆencias.
Usualmente os el´etrons em aglomerados podem atingir energias muito altas entre
53
Figura 3.2: Espectro da radia¸c˜ao c´osmica de fundo modificado pelo efeito SZ, a linha
tracejada representa o espectro original (adaptado de [7])
3 − 15KeV , ou velocidades da ordem de v ∼ 0.3c. Neste caso para obter resultados
rigorosos, ter´ıamos que usar corre¸c˜oes relativistas. Contudo, para os nossos prop´ositos
neste trabalho usaremos a aproxima¸c˜ao anterior. Express˜oes adequadas para o caso
relativista podem ser encontradas em [36] e [37],
3.2 Efeito Sunyaev-Zel’Dovich Cinem´atico
At´e agora consideramos o espalhamento devido a uma distribui¸c˜ao t´ermica de
el´etrons como o fator principal da varia¸c˜ao do espectro da RCF ao passar por um
54
aglomerado de gal´axias. Existe outro tipo de fenˆomeno, descrito na referˆencia [47], que
modifica o espectro da radia¸c˜ao e que se deve ao movimento peculiar do aglomerado
em rela¸c˜ao `a radia¸c˜ao de fundo.
Quando a radia¸c˜ao c´osmica de fundo ´e vista no sistema de repouso do aglomerado
e se considerarmos que ele tem uma velocidade peculiar v
z
, a radia¸c˜ao apresenta uma
anisotropia dipolar. Quando a radia¸c˜ao ´e espalhada no g´as intra-aglomerado, ela
aparece como sendo isotr´opica de novo neste referencial em repouso.
Se o processo ´e visto agora no sistema de referˆencia de um observador alinhado
com a dire¸c˜ao de movimento do aglomerado, a anisotropia ´e medida de novo, mas
gerada pelo efeito doppler que aparece do movimento relativo entre o aglomerado e
o observador. O resultado definitivo ´e um aumento na intensidade da radia¸c˜ao, que
´e proporcional `a velocidade peculiar do aglomerado ao longo da linha de visada. Isto
´e conhecido como efeito Sunyaev-Zel’Dovich cinem´atico.
Os detalhes para obter-se a equa¸c˜ao de distor¸c˜ao do espectro para o efeito ci-
nem´atico podem ser consultados em [33] onde se parte da equa¸c˜ao de Boltzman para
obter a equa¸c˜ao de varia¸c˜ao de intensidade da radia¸c˜ao.
A raz˜ao entre a varia¸c˜ao na intensidade devida ao movimento do aglomerado ao
longo da linha de visada e a intensidade incidente ´e:
I
k
I
RCF
= −τ
e
β
xe
x
e
x
− 1
(3.21)
onde β = v
z
/c, v
z
´e a velocidade peculiar do aglomerado ao longo da linha de visada
e τ
e
´e a profundidade ´optica do g´as de el´etrons que ´e uma medida de quanto um
f´oton pode viajar nesse meio sem ser absorvido. Para aglomerados que se afastam do
observador β > 0, assim para este caso
I
k
I
RCF
< 0 e viceversa.
55
As anisotropias produzidas pelo efeito cinem´atico s˜ao muito menores que as pro-
duzidas pelo efeito t´ermico, em conseq¨uˆencia s˜ao mais dif´ıceis de se observar em
baixas freq¨uˆencias. Contudo, para freq¨uˆencias pr´oximas da transi¸c˜ao entre os re-
gimes de Raleigh-Jeans e Wien no t´ermico (218 Ghz), ´e poss´ıvel diferenciar os dois
efeitos claramente.
Uma aplica¸c˜ao imediata do efeito SZ cinem´atico aparece uma vez que s˜ao medidas
as anisotropias e calculada a profundidade ´optica de observa¸c˜oes em raios-X. Por
exemplo, combinando essas informa¸c˜oes, pode estimar-se a velocidade de recess˜ao do
aglomerado [21].
O movimento peculiar do aglomerado, desta vez na dire¸c˜ao transversal `a linha
de visada, pode modificar tamb´em a polariza¸c˜ao de quadrupolo da radia¸c˜ao [44].
Dependendo da profundidade ´optica do g´as intra-aglomerado e do n´umero de colis˜oes
dos f´otons, esse fenˆomeno ´e amplificado ou mascarado.
No cap´ıtulo seguinte, ser´a estudado como com a informa¸c˜ao combinada de ob-
serva¸c˜oes em raios-X, e com o efeito Sunyaev- Zel’Dovich, podemos extrair informa¸c˜ao
sobre parˆametros cosmol´ogicos tais como a constante de Hubble e o parˆametro de
densidade da mat´eria.
56
Figura 3.3: Compara¸c˜ao da varia¸c˜ao na intensidade entre os efeitos SZ t´ermico, SZ
cin´etico e t´ermico relativistico
CAP
´
ITULO 4
Estimativas de Parˆametros Cosmol´ogicos usando
Aglomerados de Gal´axias
A discuss˜ao realizada nos cap´ıtulos anteriores nos permitir´a, no presente cap´ıtulo mos-
trar como a informa¸c˜ao proveniente dos processos de emiss˜ao de raios-X e Compton
inverso, fornecem informa¸c˜oes importantes quando s˜ao usadas para testar diferentes
modelos cosmol´ogicos e calcular parˆametros como a constante de Hubble H
0
e a den-
sidade de mat´eria.
A combina¸c˜ao de dados recentes obtidos pelos sat´elites XMM Newton e Chandra em
raios-X, e de redes interferom´etricas de radiotelesc´opios, na faixa de comprimento
de onda milim´etrico como OV RO e BIMA, localizados no vale Owens nos Estados
Unidos [7], tem permitido calcular a distˆancia diˆametro angular definida na equa¸c˜ao
(1.67), atrav´es do m´etodo que ser´a descrito a seguir.
57
58
4.1 C´alculo da Distˆancia Diˆametro Angular.
Apresentaremos agora, um m´etodo que permite calcular a distˆancia diˆametro an-
gular partindo dos fluxos medidos em raios-X e das observa¸c˜oes do efeito SZ em
aglomerados de gal´axias. Esta t´ecnica ´e amplamente discutida em [4], [3].
Como foi visto no cap´ıtulo 3, a varia¸c˜ao na temperatura da radia¸c˜ao de fundo,
devida ao espalhamento Compton inverso no limite n˜ao relativ´ıstico ´e dado por,
∆T
RJ
∝ −2T
RCF
n
e
T
e
dl (4.1)
onde T
e
e n
e
s˜ao respectivamente a temperatura e densidade dos el´etrons no g´as e y
´e o parˆametro de Compton definido na equa¸c˜ao (3.6).
O brilho superficial em raios-X ao longo da linha de visada ´e, [4]
S
X
=
1
4π(1 + z)
3
n
2
e
Λ
ee
(E, T
edl
)dl , (4.2)
onde Λ
ee
, ´e a chamada fun¸c˜ao de resfriamento ou emissividade espetral devida ao
processo de Brehmsstrahlung. Esta fun¸c˜ao depende da temperatura do g´as e da
energia emitida em raios-X como observada no sistema em repouso do aglomerado.
Para calcular a distˆancia diˆametro angular, nos valemos das diferentes dependˆencias
funcionais com a densidade que apresentam os processos de emiss˜ao (raios-X) e de
absor¸c˜ao (SZ) no g´as, ou seja,
∆T
RJ
∝
n
e
dl . (4.3)
e
S
X
∝
n
2
e
dl . (4.4)
59
Geralmente, a densidade num´erica e a temperatura s˜ao expressas em termos dos
seus valores centrais n
e0
e T
e0
, e multiplicados por fatores adimensionais que descrevem
a distribui¸c˜ao dessas quantidades no aglomerado,
n
e
(r) = n
e0
f
n
(θ, φ, ξ), (4.5)
T
e
(r) = T
e0
f
T
(θ, φ, ξ), (4.6)
Λ
e
(E, T ) = Λ
e0
f
Λ
(θ, φ, ξ). (4.7)
Nas express˜oes acima, ´e suposto um sistema de coordenadas cil´ındricas, no qual, θ ´e
um ˆangulo de referˆencia medido a partir da linha de visada que passa pelo centro do
aglomerado, φ ´e o ˆangulo azimutal no aglomerado, e ξ = l/D
A
(fig. 4.1).
f
x
q
l
ff
x
q
x
q
l
a)
b)
Figura 4.1: Sistema de coordenadas para os fatores de forma dos aglomerados, (a)
vista frontal, (b) vista transversal
Para um modelo isot´ermico do g´as, as fun¸c˜oes f
T
e f
Λ
s˜ao iguais `a unidade, pois
a temperatura e a emissividade s˜ao constantes no aglomerado.
60
Pode-se mostrar [4], que se expressarmos (4.1) e (4.2) como fun¸c˜ao dos fatores f
obtemos:
∆T
RJ
= −2T
RCF
K
B
T
e0
m
e
c
2
σ
T
n
e0
D
A
dξf
n
f
T
≡ N
SZ
Θ
1
(4.8)
S
X
=
D
A
4π(1 + z)
3
Λ
e0
n
2
e0
dξf
2
n
f
Λ
≡ N
X
Θ
2
2
(4.9)
Nas equa¸c˜oes acima, Θ
1
e Θ
2
cont´em a informa¸c˜ao sobre a estrutura do aglomerado
e os detalhes da modelagem do g´as para o ajuste dos perfis observados, isto ´e,
Θ
1
=
dξf
n
f
T
(4.10)
Θ
2
=
dξf
2
n
f
Λ
(4.11)
Uma vez conhecidos os perfis da distribui¸c˜ao da densidade e a temperatura no
aglomerado, eliminando n
e0
das equa¸c˜oes anteriores, podemos calcular a distˆancia
diˆametro angular
D
A
=
N
2
SZ
N
X
(
m
e
c
2
K
B
T
e0
)
2
Λ
e0
16πσ
2
T
T
2
RCF
(1 + z)
3
(4.12)
O modelo mais usado para ajustar o brilho superficial em raios-X ´e o chamado
modelo β isot´ermico de Cavaliere & Fusco-Fermiano, descrito no cap´ıtulo 2. Ele
sup˜oe simetria esf´erica na distribui¸c˜ao do g´as e temperatura constante em todo o
aglomerado, de modo que a temperatura dos el´etrons ´e igual `a temperatura no centro
T
e
= T
e0
, o que, por sua vez, implica Λ
e0
≡ Λ
e
(T
e0
) e f
T
= f
Λ
= 1 [4].
A forma da densidade num´erica dos el´etrons ´e dada por [9],
n
e
= n
e0
1 +
r
2
R
2
C
−3β/2
, (4.13)
61
sendo que n
e0
´e o valor da densidade no centro do aglomerado, R
C
o raio do caro¸co
central e β ´e o parˆametro definido na equa¸c˜ao (2.30) e usualmente toma valores da
ordem de 1.
Pode-se mostrar [4] que para essa distribui¸c˜ao,
f
n
=
1 +
θ
2
+ ξ
2
θ
2
C
−3β/2
, (4.14)
onde θ
C
=
R
C
D
A
´e uma medida angular equivalente ao raio do caro¸co quando se projeta
o aglomerado no plano do c´eu. Usando (4.14) podemos escrever os fatores de estrutura
(4.10) e (4.11) como:
Θ
1
=
√
π
Γ(3β/2 − 1/2)
Γ(3β/2)
θ
C
1 +
θ
2
θ
2
C
1
2
−3β
(4.15)
Θ
2
=
√
π
Γ(3β/2 − 1/2)
Γ(3β/2)
θ
C
1 +
θ
2
θ
2
C
1
2
−
3β
2
(4.16)
Os perfis obtidos das equa¸c˜oes anteriores, s˜ao ajustados com as imagens observadas
dos aglomerados, assim s˜ao determinados os valores dos diferentes parˆametros do
modelo. Valores t´ıpicos desses ajustes s˜ao β ≈ 0, 7 e R
C
≈ 150 h
−1
Kpc.
Uma vez que a distˆancia diˆametro angular foi estimada pelo m´etodo que des-
crevemos acima, a comparamos com a distˆancia calculada teoricamente para uma
determinada cosmologia. Para o caso de um universo com constante cosmol´ogica, por
exemplo, a express˜ao ´e dada por [8]
D
A
=
c
H
0
1
(1 + z)|Ω
K
|
1/2
senn[|Ω
K
|
1/2
z
0
[(1 + x)
3
(1 + Ω
M
x) − x(2 + x)Ω
Λ
]
−1/2
dx]
(4.17)
onde,
62
senny
senhy, se Ω
K
> 0;
y, se Ω
K
= 0;
seny, se Ω
K
< 0.
em que vale a rela¸c˜ao, Ω
k
+ Ω
M
+ Ω
Λ
= 1.
4.2 O Teste χ
2
e o C´alculo de Parˆametros Cos-
mol´ogicos
Depois de calcular a distˆancia diˆametro angular te´orica (eq. (4.17)) e determinada a
distˆancia diˆametro angular atrav´es da eq. (4.12), podemos comparar os dois conjuntos
de dados para determinar os parˆametros que melhor ajustam o modelo aos dados
experimentais. Com esse prop´osito, uma ferramenta muito usada, ´e o chamado teste
estat´ıstico Chi Quadrado. Este teste permite dizer se existe diferen¸ca significativa
entre um conjunto de dados observados e um modelo te´orico.
Vamos supor que temos um modelo cosmol´ogico que depende de um conjunto de
m parˆametros. Dada a fun¸c˜ao,
χ
2
≡
N
i
f
t
i
(θ
1
, θ
2
, ...θ
m−1
, θ
m
) − f
exp
i
σ
exp
i
2
, (4.18)
queremos obter valores para os parˆametros θ
i
, que minimizam a fun¸c˜ao χ
2
.
θ
1
, θ
2
, ...θ
m−1
, θ
m
, s˜ao conhecidos como parˆametros livres do modelo, f
t
i
s˜ao os
valores te´oricos fornecidos pelo modelo, f
exp
i
os valores observados e σ
exp
i
´e o erro
estimado para cada um desses valores experimentais.
63
No teste Chi quadrado, se define o n´umero de graus de liberdade como n = N −m,
onde N ´e tamanho da amostra e m o n´umero de parˆametros livres θ. Se diz que um
modelo te´orico ajusta bem um conjunto de dados experimentais, quando o valor
m´ınimo calculado para a fun¸c˜ao χ
2
, ´e aproximadamente igual ao n´umero de graus de
liberdade.
Os n´ıveis de confian¸ca em um espa¸co de parˆametros de m dimens˜oes θ
1
× θ
2
×
...θ
m−1
× θ
m
, s˜ao determinados atrav´es do valor de ∆χ
2
(θ
1
, θ
2
, ...θ
m−1
, θ
m
), definido
por
∆χ
2
(θ
1
, θ
2
, ...θ
m−1
, θ
m
) ≡ χ
2
(θ
1
, θ
2
, ...θ
m−1
, θ
m
) − χ
2
min
(4.19)
Assim, por exemplo, se temos dois parˆametros, para um valor de ∆χ
2
= 2, 3,
teremos um n´ıvel de confian¸ca de 1σ = 68, 3%, ∆χ
2
= 6, 17 corresponde a 2σ =
95, 4%, etc. Valores de ∆χ
2
e seus correspondentes n´ıveis de confian¸ca, segundo
o n´umero de parˆametros livres, aparecem tabelados em diversos livros de texto de
estat´ıstica.
No cap´ıtulo seguinte, aplicaremos este teste para obter v´ınculos sobre parˆametros
cosmol´ogicos usando uma amostra de aglomerados de gal´axias.
4.3 Fontes de Erro na determina¸c˜ao de parˆametros
cosmol´ogicos
A seguir, apresentaremos algumas das incertezas mais comuns no c´alculo de parˆametros
cosmol´ogicos usando a t´ecnica anteriormente descrita.
64
• Incerteza na medi¸c˜ao da temperatura do g´as intra-aglomerado.
As medidas de temperatura do g´as s˜ao feitas atrav´es de espectroscopia. A
magnitude da varia¸c˜ao da temperatura devida ao efeito SZ, depende linearmente
da temperatura dos el´etrons no g´as como se vˆe em (4.8). Assim, a massa
estimada do g´as e a distˆancia diˆametro angular como calculada na equa¸c˜ao
(4.12), s˜ao muito sens´ıveis ao erro nesta quantidade. O problema ´e ainda maior
quando se assume um modelo como o β isot´ermico, pois a temperatura ´e suposta
constante em todo o aglomerado.
• Sub-aglomera¸c˜oes
Tradicionalmente, quando ´e modelado o perfil de densidade do g´as sup˜oe-se
que este varia somente como fun¸c˜ao do raio. Contudo, muitos aglomerados
apresentam sub-estruturas que quando s˜ao menores que a resolu¸c˜ao angular do
detector podem levar a superestimar a emiss˜ao em raios-X. Da sua vez, isto
subestima a distˆancia diˆametro angular devido a que (D
A
∝ S
−1
X
). Assim a
rela¸c˜ao entre a distˆancia real e a estimada ´e
D
AReal
= D
AEst
C
n
(4.20)
sendo C
n
um fator de sub-estrutura dado por [3]:
C
n
≡
n
2
e
n
e
2
≥ 1 (4.21)
Na literatura [7] em geral usa-se C
n
= 1 para ajustar os perfis de raios-X e para
os c´alculos da temperatura.
• Efeito SZ Cinem´atico
65
Na equa¸c˜ao (4.8) foi considerado apenas o efeito SZ t´ermico. O efeito ci-
nem´atico ´e aproximadamente 4% do t´ermico quando s˜ao usadas temperaturas
t´ıpicas para o g´as de (T
e
= 8 KeV ).
• Fontes n˜ao resolvidas de raios-X
At´e que o sinal vindo de um aglomerado, seja captado por um detector,
tanto em terra quanto em ´orbita, ele ter´a que atravessar regi˜oes onde existem
outras aglomera¸c˜oes de mat´eria, algumas delas possuindo halos extensos com
possibilidade de emiss˜oes n˜ao t´ermicas.
Muitos aglomerados possuem gal´axias gigantes do tipo CD que apresentam
grande atividade em ondas de r´adio e que podem ser interpretadas erroneamente
como provenientes de emiss˜ao do g´as.
As fontes de erro descritas acima, s˜ao apenas algumas das dificuldades encontradas
para ajustar perfis te´oricos de emiss˜ao em raios-X e do efeito SZ em aglomerados.
Alguns outros tipos de causas de erro, s˜ao descritas em [6] e [23], incluindo fluxos de
resfriamento e erros instrumentais.
CAP
´
ITULO 5
C´alculo de Parˆametros Cosmol´ogicos.
Neste cap´ıtulo apresentamos estimativas de parˆametros cosmol´ogicos usando a
distˆancia diˆametro angular de uma amostra de 38 aglomerados [6]. Fazemos uma
estimativa da constante de Hubble e usando um agrupamento (“binagem”) dos dados
no desvio para o vermelho s˜ao obtidos tamb´em, v´ınculos para o parˆametro w da
equa¸c˜ao de estado e para o parˆametro de densidade de mat´eria (Ω
m0
).
5.1 Descri¸c˜ao da Amostra
A amostra usada em [6] cont´em 38 aglomerados localizados numa faixa de des-
vio para o vermelho 0, 14 ≤ z ≤ 0, 89. Os aglomerados foram observados em dois
comprimentos de onda diferentes, detalhados a seguir.
66
67
Observa¸c˜oes em radio foram feitas com o sat´elite Chandra com dois tipos de detec-
tores: ACIS-I e ACIS-S, que produzem imagens espectrosc´opicas com uma resolu¸c˜ao
de aproximadamente 0, 5”. Das imagens obtidas podem ser extra´ıdas informa¸c˜oes
sobre a temperatura e a metalicidade do g´as intra-aglomerado.
Na faixa milim´etrica de comprimento de onda foram usados dados dos conjuntos
de radiotelesc´opios Berkeley-Illinois-Maryland Association Observatory (BIMA) e o
Owens Valley Radio Observatory (OVRO). Esses r´adio-observat´orios est˜ao equipa-
dos com receptores capazes de captar sinais entre 26Ghz − 36GHz. Eles permitem
elaborar mapas do efeito Sunyaev Zel’Dovich em aglomerados de gal´axias.
Na referˆencia [6] s˜ao apresentados dados sobre temperatura, raio do caro¸co, co-
ordenadas do aglomerado, densidades centrais, entre outros. A distˆancia diˆametro
angular ´e calculada usando a equa¸c˜ao (4.12), para trˆes modelos distintos de distri-
bui¸c˜ao da densidade: um modelo β isot´ermico simples, um modelo β isot´ermico duplo,
proposto em [29], que prevˆe a existˆencia de fluxos de resfriamento central no aglo-
merado, e um modelo isot´ermico que suprime a regi˜ao central do aglomerado para
eliminar a influˆencia de fluxos de resfriamento.
5.2 Metodologia
No presente trabalho, para estimar parˆametros cosmol´ogicos, usamos os dados
obtidos em [6] considerando um modelo de densidade β isot´ermico duplo, mostrado
na equa¸c˜ao (2.32). Em nossa investiga¸c˜ao adotamos um modelo cosmol´ogico do tipo
X −CDM, no qual a componente de energia escura ´e caracterizado por um parˆametro
68
da equa¸c˜ao de estado w constante. Considerando a curvatura espacial igual a zero, a
distˆancia diˆametro angular para esse modelo ´e dada por:
D
At
=
c
(1 + z)H
0
z
0
[(1 + x)
3
Ω
m0
+ (1 + x)
3(1−w)
(1 − Ω
m0
)]
−1/2
dx], (5.1)
onde H
0
= 100h Kms
−1
Mpc
−1
.
Inicialmente procuramos vincular Ω
m0
e w comparando as distˆancias que s˜ao apre-
sentadas em [6] com aquelas calculadas atrav´es da equa¸c˜ao (5.1). Devido `a dispers˜ao
dos dados, os v´ınculos obtidos para o parˆametro de densidade de mat´eria e para w
n˜ao foram satisfat´orios. Dividimos ent˜ao os aglomerados em cinco grupos (“bins”),
ordenados de forma crescente de desvio para o vermelho.
A distˆancia diˆametro angular experimental m´edia do i-´esimo “bin” ´e definida
atrav´es da rela¸c˜ao
D
Ai
=
m
m
j=1
1
D
Aj
, (5.2)
onde m ´e o n´umero de aglomerados desse “bin” e D
Aj
´e a distˆancia diˆametro angular
do j-´esimo aglomerado da amostra pertencente ao “bin”. Com esse procedimento
acreditamos ter reduzido p oss´ıveis erros sistem´aticos na determina¸c˜ao da distˆancia
diˆametro angular dos aglomerados.
Para cada grupo foi calculada a distˆancia diˆametro angular usando (5.1) adotando
o desvio para o vermelho m´edio de cada grupo.
Uma vez calculadas as distˆancias te´oricas e experimentais m´edias, foi feita uma
an´alise com o teste estat´ıstico “Chi quadrado ”descrito no cap´ıtulo anterior. A fun¸c˜ao
χ
2
D
A
=
5
i=1
D
Ai
− D
At
(Ω
m
, w, z
i
)
σ
bi
2
, (5.3)
69
foi minimizada para obter os melhores ajustes dos parˆametros w e Ω
m0
. Na equa¸c˜ao
acima usamos que em cada “bin” σ
2
bi
= 1/m
m
j=1
σ
2
j
. Os n´ıveis de verossimilhan¸ca
constante de 68, 3% e 95, 4% foram obtidos atrav´es do m´etodo ∆χ
2
e s˜ao mostrados
na figura 5.3. O resultado obtido demonstra que, com os dados dispon´ıveis, o poder
de v´ınculo desse teste ´e ainda bastante fraco.
Para vincular melhor os parˆametros estudados, levamos a cabo uma nova mini-
miza¸c˜ao, mas desta vez foi usada uma fun¸c˜ao χ
2
c
que combina o teste descrito acima
e um teste que usa observa¸c˜oes de oscila¸c˜oes ac´usticas de b´arions.
Na ´epoca anterior `a recombina¸c˜ao, que ´e a ´epoca na qual os b´arions se juntaram
aos el´etrons para formar ´atomos neutros, os f´otons, el´etrons e pr´otons interagiam
fortemente comportando-se como se fossem um ´unico fluido b´arion-f´oton. Esse fluido,
sob a influˆencia gravitacional da mat´eria escura, tendia a se aglomerar mas a press˜ao
exercida pelos f´otons se opunha a esse colapso gravitacional fazendo com que o fluido
se expandisse novamente. Essa expans˜ao era novamente freada pela a¸c˜ao gravitacional
e novamente o colapso gravitacional ocorria. Este processo c´ıclico de compress˜ao e
expans˜ao produziu no espectro angular de temperatura da radia¸c˜ao c´osmica de fundo
o que ´e conhecido com o nome de picos ac´usticos. Esse mesmo fenˆomeno aparece
tamb´em no esp ectro de potˆencia da mat´eria e leva o nome de oscila¸c˜oes ac´usticas de
b´arions (BAO) [12]. Em um estudo feito com uma amostra de espectros de gal´axias
vermelhas do Sloan Digital Sky Survey (SSDS), foram observadas oscila¸c˜oes ac´usticas
em um desvio para o vermelho da ordem de z = 0.35 [12]. Um parˆametro relevante
nesse estudo ´e definido por
A =
Ω
m
E(0.35)
−1/3
[
1
0.35
0.35
0
dz
E(z)
]
2/3
, (5.4)
70
onde E(z) = H(z)/H
0
. Essa quantidade foi estimada para a amostra do SSDS
obtendo-se o valor A = 0.469 ± 0.017 [12].
O χ
2
usado para o teste com BAO ´e
χ
2
BAO
(Ω
b0
, h, a
i
) = (
| 0.469 − A(Ω
b0
, h, a
i
) |
0.017
)
2
. (5.5)
A combina¸c˜ao dos testes envolve uma multiplica¸c˜ao das verossimilhan¸cas ou, de
forma equivalente, a soma dos χ
2
. Assim, a nova fun¸c˜ao a ser minimizada ´e
χ
2
c
= χ
2
BAO
+ χ
2
D
A
. (5.6)
Aqui estamos considerando que n˜ao h´a correla¸c˜ao entre os dois testes, isto ´e, que
as duas t´ecnicas s˜ao independentes. Feita a minimiza¸c˜ao, repete-se o procedimento
descrito anteriormente e determina-se os n´ıveis de confian¸ca 1σ e 2σ para Ω
m
e w. O
resultado encontra-se na figura 5.4.
Usando os dados originais (sem agrupar) apresentados em [6] e novamente os-
cila¸c˜oes ac´usticas de b´arions aplicamos mais uma vez o teste χ
2
, desta vez, assumindo
um modelo cosmol´ogico ΛCDM (w = −1) com curvatura nula. Nosso objetivo agora
´e encontrar v´ınculos sobre a constante de Hubble e a densidade de mat´eria Ω
m0
. O
teste que envolve BAO tem a caracter´ıstica de ser independente de H
0
. Contudo, no
caso em estudo, ele vincula fortemente o parˆametro Ω
m0
. A fun¸c˜ao χ
2
usada para
esta an´alise foi:
χ
2
c2
= χ
2
BAO
+
38
i=1
D
i
A
− D
i
At
(Ω
m
, h)
σ
i
2
. (5.7)
Os resultados de nosso estudo s˜ao apresentados na figura 5.5.
71
5.3 Resultados e Discuss˜ao
Usando os dados agrupados, a partir da minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao χ
2
c
e usando uma
t´ecnica que envolve a matriz de Fisher obtivemos com um n´ıvel de confian¸ca 1σ,
w = −1.09 ± 0.55 e Ω
m
= 0.26 ± 0.064. No espa¸co de parˆametros (Ω
m0
, w), os n´ıveis
de confian¸ca 68, 3% e 95, 4% para o teste combinado ´e exibido na figura (5.4). A
curva de melhor ajuste, os dados originais e os dados agrupados s˜ao mostrados nas
figuras (5.1) e (5.2).
Os resultados obtidos mostram que, embora a agrupamento de dados tenha tido
sucesso na redu¸c˜ao da dispers˜ao da amostra e, portanto reduzido o χ
2
da mesma, os
dados da distˆancia diˆametro angular fornecidos por [6] n˜ao conseguem impor v´ınculos
fortes sobre o parˆametro w da equa¸c˜ao de estado. Isto pode ser visto nas figuras (5 .3) e
(5.4). As incertezas descritas no cap´ıtulo 4 somadas ao baixo n´umero de aglomerados
em alto desvio para o vermelho, para os quais ainda n˜ao existem dados precisos do
efeito SZ, influenciam de forma not´avel os resultados.
Embora o modelo com w = −1 esteja em excelente acordo com os dados observaci-
onais, os testes que utilizamos n˜ao conseguem descartar modelos fantasma (w < −1)
e nem mesmo modelos em que n˜ao h´a acelera¸c˜ao (w < −1/3). Assim, conclu´ımos que,
no est´agio atual, o teste mostra-se pouco restritivo quando se procura estabelecer a
identidade da componente de energia escura.
Para a an´alise feita com os dados sem agrupar e usando um modelo ΛCDM
(fixamos w = −1) com k = 0, encontramos: h = 0.73 ± 0.023 e Ω
m
= 0.26 ± 0.011
(1σ). Os n´ıveis de confian¸ca no espa¸co de parˆametros (Ω
m0
, h) para este teste s˜ao
mostrados na figura (5.5). Os resultados obtidos est˜ao em excelente concordˆancia com
72
os valores obtidos em [6], onde a minimiza¸c˜ao foi feita com uma cadeia de Markov e
um algoritmo de Monte Carlo. Os valores encontrados tamb´em s˜ao semelhantes aos
resultados obtidos por [10], onde tamb´em ´e usado o teste χ
2
e a t´ecnica de minimiza¸c˜ao
conjunta (BAO/SZ/raios-X) para uma outra amostra com 25 aglomerados [11]. Este
resultado mostra que a combina¸c˜ao desses testes ´e uma abordagem interessante para
calcular a constante de Hubble e vincular o parˆametro de densidade de mat´eria.
Evidentemente outros testes como os de supernovas do tipo Ia (ou outros) poderiam
ter sido usados para restringir ainda mais o espa¸co de parˆametros. De fato, no caso
investigado, h´a uma certa complementaridade entre esses testes. Contudo, nosso
objetivo aqui foi principalmente ilustrar o potencial futuro de testes semelhante e que
envolvem aglomerados de gal´axias.
Resumindo, da discuss˜ao anterior, podemos concluir que a informa¸c˜ao extra´ıda
usando a distˆancia diˆametro angular em aglomerados ´e ainda pouco precisa quando
se vincula a componente de energia escura, mas a t´ecnica fornece bons resultados
quando ´e aplicada para estimar a constante de Hubble.
Para melhorar este tipo de an´alise espera-se que nos pr´oximos anos novos levan-
tamentos como o South Pole Telescope e o Dark Energy Survey forne¸cam uma maior
quantidade de dados e informa¸c˜oes mais completas sobre aglomerados de gal´axias em
alto e baixo desvio para o vermelho, permitindo ampliar o conhecimento dos perfis
de densidade e de brilho, tanto para raios-X, quanto para o efeito SZ.
Como mencionado acima, um poss´ıvel desdobramento deste trabalho ´e a com-
bina¸c˜ao da t´ecnica usada com outros testes como fra¸c˜ao de b´arions em aglomerados
[34] e supernovas do tipo Ia, para obter v´ınculos mais precisos sobre os parˆametros
estudados. O uso de parametriza¸c˜oes mais realistas para w ou mesmo parame-
73
triza¸c˜oes de outras quantidades (como o parˆametro de desacelera¸c˜ao) podem, no
futuro, tamb´em fornecer resultados interessantes que poder˜ao ser confrontados com
aqueles encontrados com o uso de outros testes cosmol´ogicos.
74
0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
DistânciaDiâmetro Angular(Gpc)
1
2
3
4
Z
Figura 5.1: Dados originais sem agrupar e a curva de melhor ajuste com w = −1.09
e Ω
m
= 0.26.
75
Z
Diâmetro Angular(Gpc)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8 1.0
1
2
3
4
0
Figura 5.2: Dados binados e a curva de melhor ajuste.
76
Wm
w
Aglomerados
BAO
Figura 5.3: N´ıveis de confian¸ca de 68, 3% e 95, 4% para os parˆametros w e Ω
m
nas
duas t´ecnicas separadas, BAO e SZ/raios-X
77
Wm
w
Figura 5.4: Contornos de confian¸ca de 68, 3% e 95, 4% para os parˆametros w e Ω
m
combinando BAO e SZ/raios-X.
78
Wm
h
Figura 5.5: Contornos de confian¸ca de 68, 3% e 95, 4% no espa¸co de parˆametros de h
e Ω
m
combinando BAO e SZ/raios-X.
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