( PDF ) Estimação da densidade de solos utilizando sistemas de inferência fuzzy

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JULIO DE MESQUITA FILHO”

FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRONÔMICAS

CAMPUS DE BOTUCATU

ESTIMAÇÃO DA DENSIDADE DE SOLOS UTILIZANDO SISTEMAS

DE INFERÊNCIA FUZZY

LUIZ CARLOS BENINI

Tese apresentada à Faculdade de Ciências

Agronômicas da UNESP – Campus de

Botucatu, para obtenção do título de Doutor em

Agronomia (Energia na Agricultura).

BOTUCATU - SP

Dezembro - 2007

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JULIO DE MESQUITA FILHO”

FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRONÔMICAS

CÂMPUS DE BOTUCATU

ESTIMAÇÃO DA DENSIDADE DE SOLOS UTILIZANDO SISTEMAS

DE INFERÊNCIA FUZZY

LUIZ CARLOS BENINI

Orientador: Prof. Dr. José Ângelo Cagnon

Co-Orientador: Prof. Dr. Ivan Nunes da Silva

Tese apresentada à Faculdade de Ciências

Agronômicas da UNESP - Campus de

Botucatu, para obtenção do título de Doutor em

Agronomia (Energia na Agricultura).

BOTUCATU - SP

Dezembro - 2007

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TO DA INFORMAÇÃO – SERVIÇO TÉCNICO DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇÃO – UNESP -

FCA - LAGEADO - BOTUCATU (SP)

Benini, Luiz Carlos, 1952-

B528e Estimação da densidade de solos utilizando sistemas de

inferência fuzzy / Luiz Carlos Benini. - Botucatu :

[s.n.], 2007.

xv, 194 f. : gráfs., tabs.

Tese (Doutorado)-Universidade Estadual Paulista, Facul-

dade de Ciências Agronômicas, Botucatu, 2007

Orientador: José Ângelo Cagnon

Co-orientador: Ivan Nunes da Silva

Inclui bibliografia

1. Solos – Compactação. 2. Solos - Densidade. 3. Sistema

de inferência fuzzy. I. Cagnon, José Ângelo. II. Silva,

Ivan Nunes. II. Universidade Estadual Paulista “Júlio de

Mesquita Filho” (Campus de Botucatu). Faculdade de

Ciências Agronômicas. IV. Título.

III

OFEREÇO,

A DEUS por me dar sempre a fé e a perseverança.

“Confie em Deus de todo o seu coração e não se apóie na sua própria inteligência”

(Prov. 3-5)

DEDICO,

Aos meus pais Luiz e Maria (in memorian) pela dedicação e amor, e

ensinamentos de vida.

A minha esposa e amiga Joalice, sempre querida e presente.

As minhas duas Marias, Carolina e Isabella, que são dádivas de

Deus a mim concedidas, com amor.

AGRADECIMENTOS

A minha família, Joalice, Maria Carolina e Maria Isabella pelos

incentivos e forças nos momentos alegres e nos momentos difíceis.

Ao Prof. Dr. Ivan Nunes da Silva pela amizade e orientação, pela

confiança e por ter acreditado em mim na realização deste trabalho.

Ao Zider Jones e Simone pela amizade, convívio e logística durante

todo o tempo da realização deste trabalho.

Aos professores Antonio Assiz de Carvalho Filho, Edílson Ferreira

Flores, José Gilberto Spasiani Rinaldi e José Roberto Nogueira, do Departamento de

Matemática, Estatística e Computação (DMEC) da Faculdade de Ciências e Tecnologia (FCT)

da Universidade pelo incentivo ao longo de nossa convivência durante todos estes anos.

Ao Prof. Dr. Messias Meneguete Junior, Prof. Dr. Suetônio de

Almeida Meira e Prof. Dr. Marcelo Messias que em mim confiaram e que sempre me

cobraram a realização deste trabalho.

A professora Rita Filomena Andrade Januário Bettini do Departamento

de Educação/FCT/UNESP, pela amizade e palavras de incentivo durante a realização do curso.

Aos funcionários da Biblioteca, da Faculdade de Ciências

Agronômicas da UNESP – Campus de Botucatu, pela competência, e pelo apoio constante

recebido no decorrer do trabalho.

As funcionárias da Secretaria de Pós-graduação, Jaqueline de Moura

Gonçalves, Kátia Otono Duarte, Marilena do Carmo Santos e Marlene Rezende de Freitas pelo

atendimento competente e paciência sempre quando solicitadas.

SUMARIO

Página

1 RESUMO............................................................................................................................. 01

2 SUMMARY......................................................................................................................... 03

3 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 05

3.1 Motivação e relevância................................................................................................... 05

3.2 Objetivos ........................................................................................................................ 06

4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.......................................................................................... 08

4.1 O solo............................................................................................................................. 08

4.2 Porosidade do solo......................................................................................................... 10

4.3 Compactação do solo..................................................................................................... 11

4.4 Parâmetros físicos do solo............................................................................................. 19

4.4.1 Textura do solo....................................................................................................... 19

4.4.2 Densidade do solo .................................................................................................. 23

4.4.3 Teor de água no solo .............................................................................................. 27

4.5 Parâmetro mecânico do solo.......................................................................................... 29

4.5.1 Resistência à penetração......................................................................................... 29

4.6 Conceitos e fundamentos sobre conjuntos e lógica fuzzy............................................. 34

4.6.1 Operadores e operações dos conjuntos fuzzy......................................................... 42

4.6.2 Relações fuzzy ....................................................................................................... 48

4.6.3 Composição de relações fuzzy............................................................................... 51

4.6.4 Variáveis lingüísticas ............................................................................................. 54

4.6.5 Operações com variáveis lingüísticas .................................................................... 56

4.6.6 Relações de implicações ........................................................................................ 57

4.6.7 Inferência de regras fuzzy ...................................................................................... 58

4.6.8 Sistema de inferência fuzzy ................................................................................... 63

4.6.9 Agregação .............................................................................................................. 64

4.6.10 Modelo de Mamdani ............................................................................................ 66

4.6.11 Modelo de Takagi-Sugeno ................................................................................... 70

VII

4.6.12 Defuzzyficação..................................................................................................... 72

4.6.13 Método do centro de área..................................................................................... 72

4.6.14 Método da média dos máximos............................................................................ 73

5 MATERIAL E MÉTODO ................................................................................................. 74

5.1 MATERIAL................................................................................................................... 74

5.2 MÉTODO...................................................................................................................... 75

5.2.1 Tratamento dos dados ............................................................................................ 75

5.2.2 Modelo Fuzzy para a obtenção da densidade do solo............................................ 77

5.2.3 Arquitetura do modelo ANFIS............................................................................... 80

5.2.4 Algoritmo de aprendizagem da estrutura ANFIS .................................................. 85

5.2.5 Determinação dos conjuntos fuzzy ....................................................................... 89

5.2.6 Avaliação do desempenho do modelo ................................................................... 91

6 RESULTADOS E DISCUSSÃO ....................................................................................... 96

MODELOS FUZZY PARA A ESTIMAÇÃO DA DENSIDADE DO SOLO ................... 96

6.1 Modelo para estimação de solo não preparado do tipo I............................................... 96

6.1.1 Comparação entre o modelo neuro-fuzzy e redes neurais para solo não

preparado tipo I.....................................................................................................107

6.2 Modelo para estimação de solo não preparado do tipo II.............................................111

6.2.1 Comparação entre o modelo neuro-fuzzy e redes neurais para solo não

preparado do tipo II ..............................................................................................121

6.3 Modelo para estimação de solo não preparado do tipo III ...........................................125

6.3.1 Comparação entre o modelo neuro-fuzzy e redes neurais para solo não

preparado do tipo III.............................................................................................134

6.4 Modelo para estimação de solo preparado do tipo I.....................................................137

6.4.1 Comparação entre o modelo neuro-fuzzy e redes neurais para solo

preparado do tipo I ...............................................................................................148

6.5 Modelo para estimação de solo preparado do tipo III ..................................................152

6.5.1 Comparação entre o modelo neuro-fuzzy e redes neurais para solo

preparado do tipo III.............................................................................................163

7 CONCLUSÃO....................................................................................................................167

VIII

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................170

9 APÊNDICES......................................................................................................................180

Apêndice 1. Solo não preparado do tipo I ...........................................................................181

Apêndice 2. Solo não preparado do tipo II..........................................................................182

Apêndice 3. Solo não preparado do tipo III.........................................................................184

Apêndice 4. Solo preparado do tipo I ..................................................................................186

Apêndice 5. Solo preparado do tipo III ...............................................................................190

LISTA DE FIGURAS

Página

Figura 1. Classificação das partículas do solo, segundo as escalas (em mm) de

tamanhos de partículas............................................................................................. 20

Figura 2. Triângulo da classificação textural (USDA) adotado pela Sociedade

Brasileira da Ciência do Solo .................................................................................. 22

Figura 3. Função de pertinência triangular.............................................................................. 37

Figura 4. Função de pertinência trapezoidal............................................................................ 38

Figura 5. Função de pertinência gaussiana.............................................................................. 38

Figura 6. Função de pertinência sigmóide............................................................................... 38

Figura 7. Conjunto unitário ..................................................................................................... 39

Figura 8. Conjunto fuzzy normalizado e não normalizado ..................................................... 41

Figura 9. Altura de um conjunto fuzzy.................................................................................... 41

Figura 10. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama da união

∪

....................... 42

Figura 11. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama da intersecção

∩

................ 43

Figura 12. Diagrama do complemento (

) do conjunto A .................................................... 43

Figura 13. Composição das variáveis (x

) .......................................................................... 53

Figura 14. Variável lingüística “resistência do solo à penetração” de um conjunto

fuzzy de valores discretos...................................................................................... 55

Figura 15. Representação da variável lingüística resistência do solo à penetração ................ 56

Figura 16. Mecanismo de inferência fuzzy de Mamdani ........................................................ 68

Figura 17. Mecanismo de inferência fuzzy de Takagi-Sugeno ............................................... 71

Figura 18. Divisão dos dados em grupos, utilizados para a estimativa da densidade

do solo.................................................................................................................... 76

Figura 19. Modelo Fuzzy para a determinação da densidade do solo..................................... 77

Figura 20. Inferência Fuzzy com saída precisa ....................................................................... 79

Figura 21. Arquitetura típica de um modelo ANFIS............................................................... 81

Figura 22. Diferença entre os erros de treinamento e de teste para o solo não

preparado do tipo I ................................................................................................. 97

Figura 23. Funções de pertinências para a variável de entrada resistência do solo à

penetração para o solo não preparado do tipo I...................................................... 99

Figura 24. Funções de pertinências para a variável teor de água (umidade) para o

solo não preparado do tipo I.................................................................................100

Figura 25. Regras do modelo da estimativa da densidade do solo para o solo não

preparado do tipo I...............................................................................................101

Figura 26. Gráfico de dispersão e de regressão das densidades do solo observadas e

obtidas pelo modelo para o solo não preparado do tipo I ....................................104

Figura 27. Gráfico de superfície de respostas para as variáveis de entrada e saída do

modelo neuro-fuzzy para o solo não preparado do tipo I ....................................107

Figura 28. Diferença entre o erro de treinamento e de teste para o solo não preparado

do tipo II...............................................................................................................112

Figura 29. Funções de pertinências para a variável de entrada resistência do solo à

penetração para o solo não preparado do tipo II..................................................113

Figura 30. Funções de pertinências para a variável de entrada teor de água para o

solo não preparado do tipo II ...............................................................................114

Figura 31. Regras do modelo da estimativa da densidade do solo para o solo não

preparado do tipo II..............................................................................................116

Figura 32. Gráfico de dispersão e de regressão das densidades do solo observadas e

obtidas pelo modelo para o solo não preparado do tipo II...................................118

Figura 33. Gráfico de superfície de respostas para as variáveis de entrada e saída do

modelo neuro-fuzzy para o solo não preparado do tipo II...................................121

Figura 34. Diferença entre o erro de treinamento e de teste para o solo não preparado

do tipo III .............................................................................................................126

Figura 35. Funções de pertinências para a variável de entrada resistência do solo à

penetração para o solo não preparado do tipo III.................................................127

Figura 36. Funções de pertinências para a variável teor de água (umidade) para o

solo não preparado do tipo III..............................................................................128

Figura 37. Regras do modelo da estimativa da densidade do solo para o solo não

preparado do tipo III ............................................................................................129

Figura 38. Gráfico de dispersão e de regressão das densidades do solo observadas e

as obtidas pelo modelo fuzzy para o solo não preparado do tipo III ...................132

Figura 39. Gráfico de superfície de respostas para as variáveis de entrada e saída

do modelo neuro-fuzzy para o solo não preparado do tipo III.............................133

Figura 40. Diferença entre os erros de treinamento e de teste para o solo preparado

do tipo I................................................................................................................138

Figura 41. Funções de pertinências para a variável de entrada resistência do solo à

penetração para o solo preparado do tipo I..........................................................140

Figura 42. Funções de pertinências para a variável de entrada teor de água (umidade)

para o solo preparado do tipo I ............................................................................141

Figura 43. Regras do modelo da estimativa da densidade do solo para o solo

preparado do tipo I...............................................................................................142

Figura 44. Gráfico de dispersão e de regressão das densidades do solo observadas e

as obtidas pelo modelo fuzzy para o solo preparado do tipo I ............................145

Figura 45. Gráfico de superfície de respostas para as variáveis de entrada e saída do

modelo neuro-fuzzy para o solo preparado do tipo I...........................................147

Figura 46. Diferença entre os erros de treinamento e o de teste para o solo preparado

do tipo III .............................................................................................................153

Figura 47. Funções de pertinências para a variável de entrada resistência do solo à

penetração para o solo preparado do tipo III.......................................................154

Figura 48. Funções de pertinências para a variável teor de água (umidade) para o

solo preparado do tipo III ....................................................................................155

Figura 49. Regras do modelo da estimativa da densidade do solo para o solo

preparado do tipo III............................................................................................156

Figura 50. Gráfico de dispersão e de regressão das densidades do solo observadas e

as obtidas pelo modelo fuzzy para o solo preparado do tipo III..........................160

Figura 51. Gráfico de superfície de respostas para as variáveis de entrada e saída do

modelo neuro-fuzzy para o solo preparado do tipo III ........................................162

XII

LISTA DE TABELAS

Página

Tabela 1. Frações granulométricas segundo os sistemas de classificação USDA e

ISSS (diâmetros em mm) ........................................................................................ 21

Tabela 2. Limites de classes de resistência de solos à penetração e graus de limitação

ao crescimento das raízes ........................................................................................ 33

Tabela 3. Classificação do solo de acordo com a porcentagem de argila ............................... 75

Tabela 4. Universos de discurso das variáveis de entrada e saída do sistema fuzzy

para o solo não preparado do tipo I ......................................................................... 96

Tabela 5. Caracterização do modelo neuro-fuzzy (ANFIS) para o solo não preparado

do tipo I.................................................................................................................... 98

Tabela 6. Parâmetros das funções de pertinências para o solo não preparado do tipo I.......... 98

Tabela 7. Funções de pertinências para as variáveis fuzzy de entrada para o solo não

preparado do tipo I................................................................................................... 99

Tabela 8. Parâmetros das funções lineares de saída dos conseqüentes para o solo não

preparado do tipo I.................................................................................................100

Tabela 9. Resultados do modelo para solo não preparado tipo I (teor de argila menor

que 30%)................................................................................................................103

Tabela 10. Análise de regressão e de variância para os dados experimentais e

estimados para solo não preparado do tipo I .......................................................105

Tabela 11. Valores de densidades de solo obtidos em laboratório, por modelo neuro-

fuzzy e rede neural e os erros relativos para solo não preparado do tipo I..........108

Tabela 12. Parâmetros estatísticos para as densidades do solo experimental e

estimadas para o solo não preparado do tipo I.....................................................108

Tabela 13. Coeficientes de correlação e p-valores das combinações entre dados

experimentais e estimados para o solo não preparado do tipo I..........................109

Tabela 14. Valores de medidas estatísticas para comparar o desempenho dos

modelos de estimativas da densidade do solo para o solo não preparado

do tipo I................................................................................................................110

Tabela 15. Universos de discurso das variáveis de entrada e saída do sistema fuzzy

para solo não preparado do tipo II.......................................................................111

Tabela 16. Caracterização do modelo neuro-fuzzy (ANFIS) para solo não preparado

do tipo II ..............................................................................................................113

Tabela 17. Parâmetros das funções de pertinências para solo não preparado do tipo II .......113

Tabela 18. Funções de pertinências para as variáveis fuzzy de entrada para solo não

preparado do tipo II ............................................................................................114

XIII

Tabela 19. Parâmetros das funções lineares de saída dos conseqüentes para solo não

preparado do tipo II .............................................................................................115

Tabela 20. Resultados do modelo para solo não preparado tipo II (teor de argila entre

30% e 50%) .........................................................................................................117

Tabela 21. Análise de regressão e quadro da análise de variância para os dados

experimentais e estimados para solo não preparado do tipo II............................119

Tabela 22. Valores de densidade de solo obtidos em laboratório, por modelo neuro-

fuzzy e rede neural e os erros relativos para solo não preparado do tipo II. .......122

Tabela 23. Parâmetros estatísticos para as densidades do solo experimental e

estimadas para solo não preparado do tipo II .....................................................123

Tabela 24. Coeficientes de correlação e p-valores das combinações entre dados

experimentais e estimados para solo não preparado do tipo II............................123

Tabela 25. Valores de medidas estatísticas para comparar o desempenho dos

modelos de estimativas da densidade para solo não preparado do tipo II...........124

Tabela 26. Universos de discurso das variáveis de entrada e saída do sistema fuzzy

solo para solo não preparado do tipo III..............................................................125

Tabela 27. Caracterização do modelo neuro-fuzzy (ANFIS) para solo não preparado

do tipo III.............................................................................................................126

Tabela 28. Parâmetros das funções de pertinências para solo não preparado do tipo III......127

Tabela 29. Funções de pertinências para as variáveis fuzzy de entrada para solo não

preparado do tipo III............................................................................................127

Tabela 30. Parâmetros das funções lineares de saída dos conseqüentes para solo não

preparado do tipo III............................................................................................128

Tabela 31. Resultados do modelo para solo não preparado do tipo III (teor de argila

maior que 50%) ...................................................................................................130

Tabela 32. Análise de variância da regressão para os dados experimentais e

estimados para solo não preparado do tipo III.....................................................131

Tabela 33. Resultados dos testes de existência da regressão e do coeficiente linear para

os dados experimentais e estimados para solo não preparado do tipo III............132

Tabela 34. Valores de densidade de solo obtidos em laboratório, por modelo neuro-

fuzzy e rede neural e os erros relativos para solo não preparado do tipo III.......135

Tabela 35. Parâmetros estatísticos para as densidades do solo experimental e

estimadas para solo não preparado do tipo III.....................................................135

Tabela 36. Coeficientes de correlação e p-valores das combinações entre dados

experimentais e estimados para solo não preparado do tipo III ..........................136

Tabela 37. Valores de medidas estatísticas para comparar o desempenho dos

modelos de estimativas da densidade do solo para solo não preparado do

tipo III..................................................................................................................136

XIV

Tabela 38. Universos de discurso das variáveis de entrada e saída do sistema fuzzy

para solo preparado do tipo I ..............................................................................138

Tabela 39. Caracterização do modelo neuro-fuzzy (ANFIS) para solo preparado do

tipo I....................................................................................................................139

Tabela 40. Parâmetros das funções de pertinências para solo preparado do tipo I ...............139

Tabela 41. Funções de pertinências para as variáveis fuzzy de entrada para solo

preparado do tipo I..............................................................................................140

Tabela 42. Parâmetros das funções lineares de saída dos conseqüentes para solo

preparado do tipo I..............................................................................................141

Tabela 43. Resultados do modelo para solo preparado tipo I (teor de argila menor

que 30%).............................................................................................................143

Tabela 44. Análise de variância da regressão para os dados experimentais e

estimados para solo preparado do tipo I .............................................................145

Tabela 45. Resultados dos testes de existência da regressão e do coeficiente linear

para os dados experimentais e estimados para solo preparado do tipo I ............146

Tabela 46. Valores de densidade de solo obtidos em laboratório, por modelo neuro-

fuzzy e rede neural e os erros relativos para solo preparado do tipo I ................148

Tabela 47. Parâmetros estatísticos para as densidades do solo experimental e

estimadas para solo preparado do tipo I .............................................................150

Tabela 48. Coeficientes de correlação e p-valores das combinações entre dados

experimentais e estimados para solo preparado do tipo I....................................151

Tabela 49. Valores de medidas estatísticas para comparar o desempenho dos

modelos de estimativas da densidade para solo preparado do tipo I...................151

Tabela 50. Universos de discurso das variáveis de entrada e saída do sistema fuzzy

para solo preparado do tipo III ............................................................................152

Tabela 51. Caracterização do modelo neuro-fuzzy (ANFIS) para solo preparado do

tipo III..................................................................................................................153

Tabela 52. Parâmetros das funções de pertinências para solo preparado do tipo III.............154

Tabela 53. Funções de pertinências para as variáveis fuzzy de entrada para solo

preparado do tipo III............................................................................................154

Tabela 54. Parâmetros das funções lineares de saída dos conseqüentes para solo

preparado do tipo III............................................................................................155

Tabela 55. Resultados do modelo para solo preparado tipo III (teor de argila maior

que 50%).............................................................................................................157

Tabela 56. Análise de variância da regressão para os dados experimentais e

estimados para solo preparado do tipo III ...........................................................159

Tabela 57. Resultados dos testes de existência da regressão e do coeficiente linear

para os dados experimentais e estimados para solo preparado do tipo III ..........161

Tabela 58. Valores de densidade de solo obtidos em laboratório, por modelo neuro-

fuzzy e rede neural e os erros relativos para solo preparado do tipo III..............163

Tabela 59. Parâmetros estatísticos para as densidades experimentais e estimadas para

solo preparado do tipo III ....................................................................................165

Tabela 60. Coeficientes de correlação e p-valores das combinações entre dados

experimentais e estimados para solo preparado do tipo III .................................165

Tabela 61. Valores de medidas estatísticas para comparar o desempenho dos

modelos de estimativas da densidade para solo preparado do tipo III ................166

1 RESUMO

Este trabalho tem por objetivo principal apresentar o desenvolvimento

de um sistema inteligente, utilizando a Teoria Fuzzy, para estimar valores aproximados da

densidade do solo a partir de medidas diretas (campo) sem a necessidade de ensaios

laboratoriais e, consequentemente, identificar a compactação do solo por meio destes valores

estimados. A densidade do solo é um dos principais parâmetros utilizado para a identificação

do grau de compactação do solo, e está relacionada com outros parâmetros tais como a

resistência à penetração do solo, o teor de água e a textura do solo.

Para o desenvolvimento do trabalho foram considerados três

parâmetros do solo: a resistência à penetração representado pelo índice de cone (em kPa), o

teor de água dado pela umidade do solo (em porcentagem, %), e a textura dada pela

quantidade de argila presente no solo (em porcentagem, %). Foram, ainda, considerados solos

preparados (passagem de arado, de grade, de escarificador, e outros) e solos não preparados

(nenhum tipo de preparado ou em solo de plantio direto). Segundo a porcentagem de argila no

solo, estes foram divididos em solo tipo I (teor de argila menor que 30%), solo tipo II (teor de

argila entre 30% e 50%), solo tipo III (teor de argila maior que 50%) para o solo não

preparado, e solo tipo I (teor de argila menor que 30%) e solo tipo III (teor de argila maior que

50%) para o solo preparado.

O modelo matemático proposto para determinar as estimativas da

densidade do solo foi desenvolvido com base em dados experimentais representados pelas três

características do solo: índice de cone, umidade e argila. Utilizando os dados experimentais os

modelos foram identificados por meio de um algoritmo neuro-fuzzy, em função da resistência

à penetração, teor de água e textura do solo, onde se pode analisar a densidade do solo para os

distintos valores das variáveis de entradas do modelo. Os dados experimentais e os estimados

pelo modelo foram comparados por meio de métodos estatísticos, e estes se mostraram

correlacionados, indicando uma boa exatidão para os modelos neuro-fuzzy obtidos.

SOIL DENSITY ESTIMATION USING FUZZY INFERENCE SYSTEMS. Botucatu,

2007, 194p. Tese (Doutorado em Agronomia/Energia na Agricultura) – Faculdade de Ciências

Agronômicas, Universidade Estadual Paulista.

Author: LUIZ CARLOS BENINI

Adviser: JOSÉ ANGELO CAGNON

Co-adviser: IVAN NUNES DA SILVA

2 SUMMARY

The present work aims to develop a intelligent system using fuzzy

theory in order to estimate approximate values for the soil density taking in account direct

measurements (in loco) disregarding laboratorial essays and, consequently, to identify the

compactation of the soil through those estimated values. The soil density is one of the main

parameters used to identify the soil compactation level, and it is also related to other

parameters such as resistance to the soil penetration, water content and soil texture.

Three soil parameters were considered for the development of this

work: resistance to the soil penetration represented by the cone index (in kPa), the water

content given by the soil humidity (percentage, %), and the texture given by the quantity of

clay present in the soil (percentage, %). Also, prepared soils were considered (plough step,

grid, disk harrow, and others) as well as non prepared soils (no kind of soil preparation or

direct planted soil). According to the percentage of clay in the soil, they were classified as soil

type I (clay content less than 30%), soil type II (clay content between 30% and 50%), soil type

III (clay content higher than 50%) for the case of non prepared soil. For the case of prepared

soil it was considered only soils type I (clay content less than 30%) and type III (clay content

higher than 50%).

The mathematical model considered to estimate the soil density was

developed on the basis of given experimental data having the three soil characteristics: Cone

index, humidity and clay content. Using the experimental data the models were identified by

means of a neuro-fuzzy algorithm in function of the resistance to the penetration, water

content and soil texture, through which one can analyze the soil density for different values of

the model entrance variables. The experimental data and the estimated ones by the model were

compared by means of statistical methods and revealed being correlated, what indicates a good

precision for the obtained neuro-fuzzy models.

Keywords: Fuzzy inference systems, soil density, Cone index, water content, soil texture, soil

compactation.

3 INTRODUÇÃO

3.1 Motivação e Relevância

A compactação constitui um campo de pesquisa de crescente interesse

nos dias atuais devido à degradação da qualidade física do solo, acarretando alteração no

arranjo das partículas do solo tornando-os mais densos, e concorrendo para a redução da

produtividade.

Caracterizada pela deformação na estrutura física do solo, a

compactação do solo tem trazido sérios problemas à área agrícola, tais como a redução na

infiltração da água no solo, a deficiência no crescimento radicular das plantas, a restrição nas

trocas de gases e a redução da produtividade agrícola.

As principais causas da compactação do solo são as pastagens de

animais, tráfego intenso e o uso excessivo de máquinas e implementos agrícolas, podendo a

compactação do solo ser avaliada a partir de diversos atributos do solo, tais como a densidade

do solo, a porosidade, a infiltração de água, a resistência ao penetrômetro e outros parâmetros

correlatos.

Muitos pesquisadores que se ocupam do estudo da compactação do

solo consideram, com certa restrição, que a densidade do solo é a medida quantitativa mais

direta da compactação.

No cálculo da densidade do solo é exigido tempo e trabalho, pois a

maioria dos métodos deste cálculo é realizada em laboratório. Deste modo, para avaliação da

compactação é feita de modo freqüente com a utilização da resistência do solo à penetração

por ser o método mais rápido, pois é feito diretamente no campo, mas tendo suas limitações, e

sendo muito variável em função de outros fatores como o teor de água e o tipo de solo.

Entretanto, as diversas fases envolvidas com as variáveis que

quantificam o processo de avaliação da compactação de solos são cercadas por imprecisões e

incertezas inerentes aos próprios aspectos físicos e estruturais do sistema.

Os sistemas fuzzy são usados principalmente nesses casos, pois os

mesmos objetivam o mapeamento de processos, cujos valores das variáveis de entrada

envolvidos no mesmo possuem diferentes graus de imprecisão e incerteza. Assim sendo, essas

técnicas fornecem uma estrutura poderosa para manipular informações aproximadas, em que o

processo pode ser estimado/mapeado a partir de um conjunto de regras nebulosas do tipo “Se-

Então”, as quais são capazes de tratar (coordenar) conhecimentos incompletos, incertos ou

mesmo conflitantes. A aplicação de técnicas convencionais em tais processos pode

eventualmente trazer resultados insatisfatórios, pois os mesmos podem não estar aptos para o

tratamento de informações incertas.

Tem-se como proposta neste trabalho avaliar a compactação do solo

utilizando sistema de inferência fuzzy, sendo os dados de entrada: resistência à penetração do

solo, teor de água, teor de argila e obtendo como saída dados da densidade de solo, e por

comparação com a abordagem de redes neurais artificiais, já existente na literatura, verificar a

capacidade e a eficiência dos sistemas de inferência fuzzy na estimação da densidade do solo.

3.2 Objetivos

Este trabalho tem por objetivo principal a investigação e a aplicação da

Teoria Fuzzy no processo de identificação da densidade do solo para se fazer a avaliação da

compactação do solo.

Deste modo, dentro deste contexto, tem-se por objetivo principal

propor uma metodologia, via a utilização de sistemas de inferência fuzzy, para obter

estimativas da densidade do solo e avaliar a compactação do solo a partir de medidas diretas

(campo) sem a necessidade de ensaios laboratoriais.

Os objetivos específicos deste trabalho são:

a) estimar valores da densidade do solo, cuja obtenção em laboratório tem certo grau de

dificuldade, em função de outros parâmetros conhecidos que podem ser obtidos com mais

facilidade;

b) disponibilizar uma ferramenta que auxilia na obtenção de valores de densidade do solo em

campo;

c) utilizar abordagens que usam técnicas de processamento inerentemente paralelas e

adaptativas;

d) dispor de uma técnica alternativa que permite fornecer valores aproximados de densidade

de solo sem a necessidade de realização de ensaios laboratoriais;

e) verificar a capacidade e a eficiência dos sistemas de inferência fuzzy na estimativa da

densidade do solo por comparação com a abordagem das redes neurais artificiais.

4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

4.1 O Solo

O solo é uma superfície inconsolidada que recobre as rochas e mantém

a vida animal e vegetal da Terra, sendo constituído de camadas que diferem pela natureza

física, química, mineralógica e biológica que se desenvolvem com o tempo sob a influência do

clima e da própria atividade biológica (VIEIRA, 1988).

Joffe (1949 apud VIEIRA, 1988) definiu o solo como um corpo

natural, de constituintes minerais e orgânicos diferenciados em horizontes de profundidade

variável, que diferem do material subjacente em morfologia, propriedades físicas e

constituição, propriedades químicas e composição e em características biológicas.

O solo, segundo Kiehl (1979), é constituído de um sistema composto

de três fases: sólida, líquida e gasosa. A fase sólida, geralmente a predominante, é formada por

substâncias minerais ou inorgânicos (areia, silte e argila) e materiais orgânicos, sendo a porção

mineral consistindo de partículas de diversos tamanhos, resultantes de decomposição de

rochas que deram origem ao solo e a porção orgânica consistindo dos resíduos animais e

vegetais, ocorrendo no solo em distintos estágios de decomposição. A fase líquida é

constituída pela solução do solo, compondo-se de água, sais em dissolução e matéria coloidal

em suspensão. A fase gasosa é constituída pelos gases que circulam entre as partículas do solo,

ou seja, é o ar do solo, assim denominado para diferir do ar atmosférico.

Buckman e Brady (1968) citaram que o solo é um conjunto de corpos

naturais, sintetizados em forma de perfil, composto de uma mistura variável de minerais

(despedaçados e desintegrados) e de matéria orgânica (em decomposição), que cobre a terra

com uma camada fina e que fornece, desde que contenha as quantidades necessárias de ar e de

água, amparo mecânico e substância para os vegetais. Segundo os mesmos autores, o solo

agrícola constitui um organismo vivo, onde as plantas devem encontrar condições favoráveis

para a germinação, crescimento e o desenvolvimento do ciclo vegetativo, beneficiando-se das

interações biológicas no volume de solo explorado pelas raízes. Tais interações existem

quando para a planta são fornecidos os seguintes fatores: luz, fixação mecânica, calor, ar, água

e nutrientes. Com exceção da luz, o solo é agente que supre, no todo ou em parte, o conjunto

de todos os outros fatores.

A parte sólida de um solo é constituída por material mineral e

orgânico, interligados entre si. O solo cujo material mineral sólido é constituído por partículas

de maior tamanho tem aspecto cascalhento ou arenoso; em outros predominam as partículas

coloidais, dando ao solo características argilosas (BUCKMAN; BRADY, 1968; KIEHL,1979).

As partes líquida e gasosa ocupam os poros do solo, que são os volumes de vazios deixados

entre as partículas sólidas (KIEHL, 1979). O volume total de um solo, de acordo com

Mantovani (1987), é constituído do volume das partículas minerais e orgânicas do solo e do

volume de poros entre as partículas.

Segundo Caputo (1973) o solo é um material constituído por um

conjunto de partículas sólidas, deixando entre si vazios que poderão ser preenchido, parcial ou

totalmente, pela água ou o ar. Quando o espaço poroso estiver totalmente preenchido com

água, compreende-se que o solo está saturado; em caso contrário, o solo está não saturado,

quando o solo estiver completamente seco e o espaço poroso ocupado pelo ar (KIEHL, 1979).

Alguns autores, como Kiehl (1979), Buckman e Brady (1968),

Alvarenga et al. (1987) e Camargo et al. (1997), afirmaram que um solo ideal com ótimas

condições para o crescimento vegetal deve apresentar 50% do volume em sólido, dos quais

45% é constituído de matéria mineral e 5% de matéria orgânica. Os outros 50% representam o

volume dos poros (ar e água), dos quais entre 20-30% é água e entre 20-30% é ar de acordo

com Buckman e Brady (1968) e Alvarenga et al. (1987), e segundo Kiehl (1979) e Camargo e

Alleoni (1997) esta proporção deve ser de 33,5% para a água (microporos) e de 16,5% para o

ar (macroporos).

Por ser apenas um modelo teórico, um solo dessa natureza dificilmente

será encontrado na prática (ALVARENGA et al., 1987). Em situações naturais, a proporção de

ar e água estará sujeita às grandes flutuações, dependendo das condições metereológicas e de

outros fatores (BUCKMAN; BRADY, 1968).

4.2 Porosidade do solo

A porosidade de um solo pode ser definida como sendo o volume de

vazios ou ainda o espaço do solo não ocupado pelos componentes orgânicos e minerais

(KIEHL,1979). Esta constitui uma rede de poros conectados entre si, de tamanhos variados,

que permitem o movimento de água e de ar no interior do solo, sendo a qualidade dessa rede

de poros e a sua continuidade denominada estrutura do solo. Segundo Camargo e Alleoni

(1997), a estrutura do solo se refere ao arranjo, orientação e à organização de suas partículas

sólidas e à geometria do espaço poroso. A relação entre o volume ocupado por estas frações

(água e/ou ar) e o volume total de uma massa de solo é chamada porosidade total (CAPUTO,

1973).

A porosidade depende da composição granulométrica e da estrutura

dos solos, desse modo os seus limites de variação podem ser muito amplos; solos com

partículas de tamanho uniforme são mais porosos do que os de partículas de diferentes

tamanhos (KIEHL,1979). Segundo o mesmo autor, a porosidade total de um solo não constitui

uma informação muito importante para caracterizar suas propriedades, o que é necessário

saber é a distribuição do tamanho de seus poros. Em 1860 Schumacher classificou a

porosidade em duas classes: a porosidade capilar, hoje denominada microporosidade e a

porosidade não-capilar atualmente referida como macroporosidade (KIEHL,1979). De acordo

com Héning et al. (1976) a macroporosidade corresponde aos poros mais grossos, poros de

maior diâmetro (acima de 50

m); os que serão utilizados para a circulação da água com

certa rapidez, passando os vazios a serem ocupados pelo ar, e a microporosidade corresponde

ao volume dos poros mais finos, poros de menor diâmetro (abaixo de 50

m); principal

responsável para a retenção e a armazenagem da água no solo.

Um solo bem estruturado possui elevada porosidade, o que possibilita

fácil penetração de água e das raízes, boa circulação de ar e grande facilidade no manejo do

solo (JORGE,1969). A estrutura do solo influencia o crescimento das plantas de várias formas,

sendo os efeitos sobre o alongamento radicular os mais claros e determinantes sobre a

habilidade das raízes em extrair água e nutrientes do solo em quantidades adequadas

(MÜLLER et al., 2001).

O sistema de manejo é um fator que está correlacionado com a

estrutura do solo (KIEHL,1979) e, portanto, modificações na estrutura do solo irão produzir

um rearranjo na rede de poros com conseqüente movimentação de água e ar no solo, podendo

acarretar diminuição na porcentagem dos espaços vazios, afetando as propriedades físicas,

químicas e biológicas do solo.

Segundo Machado et al. (1978) e Alvarenga et al. (1987) o uso

agrícola intensivo do solo provoca alterações nas suas características físicas, promovendo a

deterioração destas, e com o cultivo anual aumentam-se a microporosidade e a densidade do

solo, e como conseqüência há a redução da porosidade, dificultando o desenvolvimento do

sistema radicular e diminuindo a disponibilidade da água para as plantas.

4.3 Compactação do Solo

A compactação constitui um campo de pesquisa de crescente interesse

nos dias atuais devido à degradação da qualidade física do solo, causada com o aumento da

mecanização agrícola, da prática de manejo do solo e pelo pisoteio dos animais acarretando

alteração no arranjo das partículas do solo tornando-os mais densos, e concorrendo para a

redução da produtividade.

Diversos fatores ocasionam um crescimento deficiente do sistema

radicular de plantas cultivadas, podendo ser citadas dentre estes a compactação do solo. A

compactação do solo é um fator limitante, muitas vezes, de dimensões sérias, pois ao causar

restrição ao crescimento e desenvolvimento radiculares, acarreta uma série de problemas que

afetam direta e indiretamente a produção das plantas (CAMARGO; ALLEONI, 1997).

O termo compactação, segundo Miranda et al. (2003), refere-se ao

processo de compressão do solo não saturado, provocando mudança na estruturação das

partículas, ocorrendo aumento da densidade em conseqüência da redução do volume pela

expulsão do ar de seus poros devido ao manejo inadequado do solo.

Segundo Mantovani (1987) a compactação do solo fica caracterizada

quando a proporção do volume total de poros, para certo volume de solo, é inadequada ao

máximo desenvolvimento de uma cultura ou manejo eficiente do campo.

Os conhecimentos da compactação do solo e de sua relação com os

tipos de operações agrícolas são elementos importantes no manejo adequado das condições

físicas do mesmo para a otimização dos sistemas de produção agrícola (FERNANDES;

SOUZA, 2003; OLIVEIRA et al., 1998; PEREIRA; BENEZ, 1998).

A compactação tem sido identificada como uma das principais

causadoras da degradação dos solos. O efeito da compactação afeta as propriedades físicas do

solo, aumentando a densidade e a sua resistência mecânica e diminuindo a porosidade total,

tamanho e continuidade dos poros, a absorção de nutrientes, a infiltração e redistribuição de

água, as trocas gasosas e o desenvolvimento do sistema radicular, resultando em decréscimo

da produção, aumento de erosão e da energia necessária para o preparo do solo (DIAS

JUNIOR et al., 1996; MIRANDA et al., 2003).

Oliveira et al (1998) citaram que a compactação é descrita como o ato

ou ação de forçar a agregação das partículas do solo, reduzindo o volume por elas ocupada,

podendo ser descrita em termos da tensão aplicada no solo e das mudanças resultantes nas

condições dele. As mudanças que ocorrem nas propriedades físicas do solo incluem: aumento

na densidade natural do solo, decréscimo no volume de macroporos, infiltração e movimento

interno de água mais lento, aeração mais pobre e maior resistência mecânica do solo ao

crescimento de raízes.

De acordo com Lanças (2000 apud NAGAOKA, 2003), a compactação

do solo é um processo de aumento da densidade e da resistência do solo, e de redução da

permeabilidade, resultante de cargas aplicadas, implicando na redução do volume de poros,

principalmente macroporosidade ou porosidade de aeração. Esta pode afetar diversas

características do solo, tais como a condutividade hidráulica, a temperatura, a infiltração de

água e outras características ligadas à porosidade. Ainda, além de a compactação alterar a

estrutura física do solo, esta traz inúmeros efeitos nocivos ao mesmo, tais como: impedimento

do crescimento das raízes, diminuição da ação capilar do solo (microporosidade), e redução da

infiltração da água provocando erosão nos solos em declive.

McKyes (1985) definiu a compactação do solo como um aumento da

sua densidade, a partir de um rearranjo da disposição das partículas sólidas causando a

redução da porosidade total do solo. A compactação, segundo o mesmo autor, pode resultar de

causa natural ou artificial. Compactação de causa natural pode ocorrer com o impacto das

gotas da chuva, umidade, tensão interna da água; a de causa artificial ocorre devido à pressão

exercida por máquinas usadas no manejo do solo.

Para Camargo e Alleoni (1997) a compactação do solo é resultante de

duas forças que atuam no solo e que podem ser classificadas como externas e internas. Forças

externas resultam do tráfego de veículos, animais ou pessoas, assim como do crescimento das

raízes grandes que empurram as partículas do solo para forçar sua passagem, podendo até

causar compactação. As forças internas resultam de ciclos, como congelamento e degelo,

umedecimento e secamento, e expansão e contração da massa do solo. Quando expressas

como pressão, essas forças provavelmente têm a mesma ação no sistema, não sendo necessária

distinção entre elas.

A resposta do solo às pressões externas depende de sua deformação, a

qual ocorre apenas se as partículas são capazes de se separar e se movimentar, uma em relação

às outras, o que é altamente influenciado pela estrutura do solo, ou seja, pela presença dos

agregados e pelo espaço poroso (ARAÚJO, 2004).

A compactação, reconhecidamente uma das principais causas da

degradação em áreas cultivadas como conseqüência do manejo inadequado do solo, é

resultante da ação dos implementos de seu preparo, da pressão exercida pelas rodas do intenso

tráfego de tratores e máquinas agrícolas e pelo pisoteio animal em áreas de integração lavoura-

pecuária (ALBUQUERQUE et al., 2001; ALVARENGA et al., 1987).

Conforme citado em Castro Neto (2001), a compactação do solo tem

ocorrido em conseqüência da intensiva mobilização do solo sob condições inadequadas de

umidade. Nas pastagens, o pisoteio excessivo do gado tem sido a causa da compactação na

camada superficial (GREENWOOD et al., 2001). Já nas áreas reflorestadas, a compactação do

solo ocorre principalmente durante as operações de colheita, por causa do tráfego de máquinas

de corte, da extração e do escoamento da produção (DIAS JUNIOR et al., 1999).

O uso de máquinas e equipamentos na agricultura vem contribuindo

para o aumento da produtividade, entretanto, a passagem sucessiva desses elementos na

mesma área, aumenta a densidade deste solo e a resistência à penetração das raízes,

influenciando negativamente no desenvolvimento das plantas cultivadas nestes solos (RUIZ,

2003).

A compactação, segundo Alves et al. (2003), está relacionada com a

menor aeração do solo, fluxo de água e resistência à penetração das raízes e, geralmente, a

causa é atribuída ao intenso tráfego de máquinas e implementos agrícolas necessários no

sistema de plantio. Os autores ainda citam que em razão da aplicação de cargas ou pressões, a

compactação provoca um aumento da densidade do solo, pela redução da porosidade e

modificação da sua estrutura. Para cada classe de solo, a uma determinada pressão, o grau de

compactação dependeria, principalmente, do teor de água.

Fernandes e Lanças (1997) citaram que solos florestais podem ser

compactados por animais e também pelas raízes de árvores; porém, mais significativos são os

efeitos ocasionados pela mecanização e, particularmente, por máquinas utilizadas no manejo

de florestas. A análise mecânica da compactação sob pneus e ferramentas agrícolas não é

simples, pois a distribuição da pressão ocorre de maneira não-uniforme no solo (MCKYES,

1985).

Segundo Marshal e Raney (1966 apud NAGAOKA, 2003) as zonas

compactadas são definidas como sendo o resultado da deterioração de sua estrutura, tendo

como conseqüência à diminuição da porosidade nas camadas logo abaixo da profundidade de

trabalho dos órgãos ativos das máquinas.

A mobilização mecânica e o tráfego de máquinas e implementos

agrícolas interferem na estrutura e no grau de cobertura do solo, e os índices de compactação,

embora existam outros fatores que exercem influência neles, como a porcentagem de argila e o

teor de umidade do solo, são aqueles relacionados com os esforços provocados na superfície

(CINTRA et al., 1983).

Mantovani (1987) argumenta que, embora seja a densidade do solo o

melhor método direto para determinar a compactação é a porosidade o parâmetro de maior

significado para se usar na discussão da compactação do solo, devido à descrição direta da

proporção de volume do solo disponível para raízes das plantas, da água e do ar que elas

requerem.

O tráfego contínuo de máquinas dentro de uma área tem provocado

alterações significativas no solo no que diz respeito à compactação, havendo a necessidade de

direcionar a seleção e o manejo dos equipamentos agrícolas e os sistemas de produção,

visando obter níveis de compactação ao longo do perfil do solo que não sejam restritivos ao

desenvolvimento da cultura (MAZIERO et al., 1997).

Miranda et al. (2003) descreveram que o uso intensivo de mecanização

nos solos tem alterado suas propriedades físicas, devido à utilização de máquinas agrícolas

pesadas, o que pode causar degradação de sua estrutura com conseqüente compactação,

prejudicando as produções agrícolas desses solos

Nagaoka (2001) citou que a movimentação de veículos e máquinas

agrícolas, geralmente bastante pesados, e o preparo intensivo do solo têm contribuído para a

formação de camadas compactadas. Essas camadas, além de provocarem erosão superficial do

solo, refletem na produtividade agrícola, devendo, portanto, haver uma importante relação

entre solo/máquina/planta.

Fernandes et al. (1998) avaliaram o nível de compactação do solo

causado pelo tráfego de três tipos de máquinas florestais (harvester, forwarder e guincho-

arrastador). As variáveis físicas do solo analisado foram a densidade do solo e a resistência do

solo à penetração. Foram testados o efeito da máquina, o efeito de profundidade e o efeito da

interação entre máquina e a profundidade. Com a análise dos resultados, os autores concluíram

que o “forwarder” foi o equipamento que provocou menor compactação do solo.

Guerra et al. (2000) realizaram estudos para investigar os efeitos das

cargas no solo que provocam compactação após a passagem de um rolo compactador

tracionado por trator de pneus. Foram realizadas duas séries de medições em dois tipos de

solos, sendo uma com solo mais úmido e outra com solo seco. Neste estudo concluíram que o

número de passadas influenciou na compactação do solo, sendo que na primeira e segunda

passada do rolo compactador é que foram causados os maiores aumentos de compactação. Foi

observado ainda que o teor de água no solo é de grande importância na determinação da

resistência do solo à penetração representada pelo índice de cone.

A compactação do solo pelo pisoteio animal pode ocorrer devido à

umidade elevada do solo durante o pastejo, ao sistema contínuo deste, à alta carga animal e à

reduzida massa de forragem nas áreas. O pisoteio animal em toda a superfície e, às vezes,

repetidamente no mesmo local, pode promover drásticas alterações nas condições físicas do

solo para o crescimento radicular. A extensão e a natureza destes efeitos são determinadas pela

taxa de pisoteio, pelo tipo de solos, principalmente pela umidade do solo na ocasião do pastejo

(LEÃO et al., 2004).

As pressões exercidas pelo pastejo animal são comparáveis às pressões

das máquinas agrícolas (GREENWOOD et al., 1997). Para os autores, a pressão exercida pelo

pisoteio de ovelhas é em torno de 50 a 80 kPa, e a pressão exercida por tratores ou veículos

rebocados não carregados varia de 60 a 80 kPa.

Lima et al. (2004) citaram que na literatura há indicações de que

tratores agrícolas podem exercer no solo pressões com valores entre 70 kPa a 350 kPa. Em

sistemas de pastejo os animais podem exercer pressões no solo de até 200 kPa (PROFFITT et

al., 1993). Greenwood et al. (1997) indicaram ainda que a pressão exercida pelos animais em

movimento é ainda bem maior, podendo ser o dobro, da exercida quando eles estão parados.

Kondo e Dias Junior (1999) em estudo sobre compressibilidade de três

latossolos em função da umidade e uso, demonstraram que o efeito da compactação causada

por máquinas no preparo do solo atingiu a camada de 20 a 30 cm, e a compactação causada

pelo pisoteio de gado em área de pastagem atingiu a camada superficial do solo de 0 a 3 cm.

A compactação do solo, segundo Oliveira et al. (2003), depende do

conteúdo de água, da pressão aplicada e do tipo de manejo do solo e tem sido avaliada por

métodos que usam estes fatores (CAMARGO; ALLEONI, 1997).

Soehne (1958 apud GREENWOOD et al., 1997) apontou que a

distribuição da pressão exercida sobre a mesma superfície vai depender da área de contato;

onde a área de contato é menor, a compactação estará localizada próxima à superfície do solo.

Greenwood et al. (1997) investigaram os efeitos de longo prazo (superior a 30 anos) da taxa de

ocupação (baixa, média e alta) em pastagens de ovelhas e observaram pelas propriedades

físicas do solo que a compactação provocada pelo pastejo dos animais foi limitada à camada

dos primeiros 5 cm do perfil do solo quando comparado ao solo não ocupado por pastagens. O

pastejo excessivo proporcionou a redução da porosidade, aumento da densidade e da

resistência à penetração e, portanto, baixa condutividade hidráulica saturada. Ainda, segundo

os mesmos autores, não foram encontradas diferenças nas propriedades físicas do solo sob

pastagens para as diferentes taxas de ocupações, mas foram significativas as diferenças

notadas entre solos ocupados por pastagens e aqueles não ocupados.

O estado da compactação do solo depende de vários fatores, entre os

quais se destacam as características originais de cada solo e às práticas de manejo empregadas

(CAMARGO; ALLEONI, 1997).

Os sistemas de manejo do solo têm grandes influências nas

propriedades físicas do solo, estando eles relacionados com a compactação (STREK et al.,

2004) e, segundo Tavares Filho et al. (2001), as modificações estruturais causadas no solo

pelas diferentes práticas de manejo podem resultar em maior ou menor compactação, que

poderá intervir na densidade do solo, na porosidade, na infiltração de água no solo e no

desenvolvimento radicular das culturas.

Nas práticas de manejo utilizando o sistema de plantio direto, onde o

revolvimento do solo se reduz ao longo da linha de plantio (para a abertura do sulco de

semeadura), a movimentação do solo é restrita à linha de semeadura, mas a ocorrência

sistemática de tráfego de máquinas causa compactação na camada superficial do solo

(TORMENA et al., 1998 apud STREK et al., 2004). No sistema plantio direto, devido à

ausência do revolvimento da terra, aliado ao tráfego de máquinas, pode haver a compactação

em subsuperfície, principalmente em solos com elevados teores de argila (SECCO et al.,

2004).

No sistema de manejo convencional, onde a movimentação do solo é

realizada por aração, com arado de aiveca, de uma camada mais profunda (20 a 30 cm),

seguida de mais duas movimentações da camada já revolvida utilizando gradagem niveladora

(RUIZ, 2003), se tem uma intensa mecanização, acentuando os problemas de compactação do

solo.

Machado e Brum (1978) estudaram solos submetidos aos sistemas de

plantio direto e convencional, comparando-os com solo de mata virgem e campo nativo e

observaram alterações físicas decorrentes do manejo em duas profundidades (de 0 a 15 cm e

de 15 a 30 cm) e em quatro condições diferentes de uso e manejo. Concluíram que em solo

submetido ao sistema convencional de cultivo, este apresentou alterações na densidade do

solo, na porosidade total, na macroporosidade e microporosidade, indicando alto grau de

compactação, e evidenciaram a necessidade de implantação de técnicas mais racionais de

cultivo.

Segundo Chancellor (1997), conforme citado por Nagaoka (2003), a

compactação pode ser avaliada em função da porosidade total, da densidade e da infiltração da

água no solo: pode também ser medida através da resistência à penetração, determinada pelo

índice de cone. Ainda, como citado em Nagaoka (2003), a determinação da densidade do solo

se constituiu no método bastante seguro de avaliação da compactação do solo.

Guimarães et al. (2002) citaram que a compactação é limitante do

crescimento radicular das plantas, compromete a capacidade de absorção de nutrientes e água,

bem como, a sua fixação ao solo, sobretudo quando a camada de compactação é superficial,

afetando ainda a parte aérea das plantas, reduzindo a área foliar e a produtividade.

Guimarães e Moreira (2001) revelaram que as plantas têm melhor

desenvolvimento em solos que não apresentam limitação ao crescimento radicular das plantas,

portanto com baixa densidade, porém alta o suficiente para oferecer bom contato entre as

raízes e as partículas de solo. Os mesmos autores observaram o desenvolvimento do arroz de

terras altas em diversos níveis de densidade, avaliando a compactação em um Latossolo

Vermelho-Escuro, textura franca, sobre duas cultivares de arroz de terras altas, avaliando o

comportamento do arroz após 40 dias de emergência por meio de parâmetros da parte aérea e

radicular da planta. O crescimento da parte aérea do arroz de terras altas diminuiu com o

aumento da densidade do solo a partir de 1,2 kg.dm

-3

; as raízes na camada compactada de 0 –

20 cm de profundidade apresentaram engrossamento, em razão do aumento da densidade do

solo, e a compactação superficial do solo diminuiu a quantidade de raízes presentes nesta

camada e na camada inferior não compactada de 20 a 40 cm de profundidade.

Castro Neto (2001) desenvolveu e avaliou equipamentos e

metodologia para a determinação de parâmetros físicos do solo, relacionados a dias

trabalháveis com máquinas agrícolas, com ênfase nas características do conjunto trator-

implemento e na pressão aplicável ao solo sem que este sofra compactação adicional. Foi

observado que houve incrementos na densidade do solo de 25%, 19% e 15%, respectivamente,

para as condições de tráfego a um, dois e quatro dias após a chuva, não ocorrendo incremento

significativo para seis dias após a chuva. O autor concluiu que os maiores efeitos da aplicação

de rolos compactores e do tráfego por um trator agrícola ocorreram em profundidades

inferiores a 20 cm, sendo que o tráfego pelo trator 6 dias após a chuva provocou aumento na

resistência à penetração do solo apenas para a camada de 10 a 20 cm.

4.4 Parâmetros Físicos do Solo

4.4.1 Textura do Solo

O solo deve apresentar propriedades físicas, químicas e biológicas

favoráveis ao desenvolvimento das plantas, pois além de suporte, é também fonte de minerais,

água e ar, importantes à vida vegetal. As propriedades físicas do solo dependem de vários

fatores, como o tamanho e disposição das partículas e teor em matéria orgânica (JORGE,

1968).

A resistência do solo à compactação depende dos atributos intrínsecos

do solo, com a textura sendo um dos mais importantes, pois ele influencia outras propriedades

de grande significado para o uso e o manejo do solo (IMHOFF, 2004).

A textura do solo refere-se à distribuição quantitativa das classes de

diferentes tamanhos das partículas minerais que formam o solo (BUCKMAN; BRADY, 1968;

VIEIRA, 1988). São consideradas partículas minerais: pedras, seixos, cascalhos, areia (com

diâmetro de 2,0 a 0,05 mm), silte (diâmetro de 0,05 a 0,002 mm) e a argila (diâmetro menor

que 0,002 mm) (BERTONI; LOMBARDI NETO, 1999).

A textura é estudada pela análise granulométrica, a qual permite

classificar os componentes sólidos em classes de acordo com os seus diâmetros. Para uma

mesma classe há um limite superior e um inferior de acordo com a escala adotada (KIEHL,

1979).

As diversas classes de partículas são denominadas frações

granulométricas e o processo analítico pelo qual as porcentagens das várias classes do solo são

obtidas são denominados análise mecânica (BUCKMAN; BRADY, 1968), assim quando se

fala em porcentagem de areia, porcentagem de silte e porcentagem de argila temos a textura,

mas quando se afirma que um solo é argiloso ou arenoso estamos nos referindo à sua classe

textural.

Existem várias classificações para definir as escalas de tamanhos de

partículas, as faixas de tamanhos para quatro desses sistemas são mostradas na Figura 1, sendo

as mais usadas as escalas desenvolvidas pelo Departamento de Agricultura dos Estados

Unidos (USDA) e da Sociedade Internacional de Ciências do Solo (ISSS) (BUCKMAN;

BRADY, 1968; PREVEDELLO, 1996).

Instituto Britânico de Padrões

Sociedade Internacional de Ciência do Solo (ISSS)

Departamento de Agricultura dos Estados Unidos (USDA)

Administração de Estradas Públicas dos Estados Unidos

Figura1. Classificação das partículas do solo, segundo as escalas (em mm) de tamanhos de

partículas.

Na Tabela 1 são mostradas as frações granulométricas dos dois

principais sistemas de classificação do solo USDA e ISSS adotadas no Brasil.

0,002

2,0 mm

0,2 0,02

2,0 mm

0,6 0,2

0,06 0,02

0,006

0,002

Fino

Grosso

Areia

Fino

Areia

Grosso Médio

Silte

Grosso Médio Fino

Argila

Silte

Cascalho

Muito

Grosso

1,0 0,5 0,10 0,05 2,0 mm

2,0 mm 0,25

0,25

0,05 0,005

0,002

Grosso Fino

Muito

Fino

Grosso

Areia

Fino

Areia

Médio

Silte

Argila

Argila Silte

Cascalho

Tabela 1. Frações granulométricas segundo os sistemas de classificação USDA.

e ISSS (diâmetros em mm)

Frações

(texturas)

USDA ISSS

Areia muito grossa 2 a 1 - - -

Areia grossa 1 a 0,5 2 a 0,2

Areia média 0,5 a 0,2 - - -

Areia fina 0,25 a 0,1 0,2 a 0,02

Areia muito fina 0,1 a 0,05 - - -

Silte 0,05 a 0,002 0,02 a 0,002

Argila menor que 0,002 Menor que 0,002

Fonte: Kiehl, 1979

As partículas do solo de tamanho superior a 2,00 mm são

denominadas esqueleto do solo, sendo assim classificadas: cascalho fino ou seixos, de 2,00

mm a 20 mm e cascalho grosso ou pedras, de 20 mm a 50 mm de diâmetro (KIEHL, 1979), e

não são incluídas na análise de textura do solo.

Partículas menores que 2,00 mm de diâmetro (argila, silte e areia), são

as de maior importância, pois muitas das propriedades físicas e químicas da porção mineral do

solo dependem da proporção que contém dessas partículas de tamanho pequeno (BERTONI;

LOMBARDI NETO, 1999). Assim acham-se identificados três grupos fundamentais de

classes ou frações texturais: areia, silte e argila, para caracterizar a textura (BUCKMAN;

BRADY, 1968).

Segundo Bertoni e Lombardi Neto (1999) nenhum solo é composto

exclusivamente de uma única fração, há sempre uma mistura das três, e as porcentagens das

diversas frações é que diferenciam os tipos de textura. Assim, há por exemplo, de acordo com

a nomenclatura brasileira, as seguintes denominações: arenosa, arenosa-francosa, siltosa, silto-

francosa, francosa, franco-arenosa, franco-siltosa, argilosa e muito argilosa.

As características mais importantes das várias classes de textura do

solo podem ser reconhecidas através das seguintes maneiras:

a. no campo as porcentagens de partículas de areia, silte e argila em um solo são

determinadas através da sensibilidade do tato correlacionadas com o tamanho e a

distribuição das partículas do solo (BUCKMAN; BRADY, 1968);

b. em laboratório a determinação da textura se faz pela análise granulométrica ou textural,

tendo por finalidade fornecer a distribuição das partículas menores de 2,00 mm. Neste

caso, dos métodos para a análise textural, os mais utilizados são: tamisamento (para

separar areias em suas classes), pipeta (para determinação de argila, podendo também

determinar a fração silte) e Bouyoucos (um método expedito) (KIEHL, 1979).

Realizada a análise textural e tendo o conhecimento das proporções de

areia, silte e argila a determinação da classificação do solo é feita transportando os resultados

analíticos obtidos para um diagrama triangular.

Existem vários modelos de triângulos para auxiliar na classificação

das classes texturais. No Brasil os mais utilizados são aqueles cuja composição são definidas

pelo USDA, modificado pela Sociedade Brasileira de Ciência do Solo introduzindo mais uma

classe textural (argila pesada), e outro proposto pelo Instituto Agronômico de Campinas

(IAC), com base no sistema de classificação definida pela ISSS. Na Figura 2 é mostrado o

triângulo de classes texturais (KIEHL, 1979; PREVEDELLO, 1996) adotado pela Sociedade

Brasileira de Ciência do Solo com as suas diferentes classes.

Figura 2. Triângulo da classificação textural (USDA) adotado pela Sociedade Brasileira

da Ciência do Solo.

100

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Argila

pesada

Argila

% argila

% silte

Argila

arenosa

Franco-

argilo-

arenoso

Franco-

arenoso

Areia

Franco-siltoso

Silte

Franco

iloso

Argila-

siltosa

Franco

Franco-

argilo-

siltoso

% areia

Areia

franca

Solos cuja constituição seja de partículas do mesmo tamanho, são

menos susceptíveis ao processo de compactação, comparados aqueles onde há mistura de

argila, silte e areia. Isto se deve ao fato de as partículas de tamanhos diferentes se arranjarem e

preencherem os poros quando submetidas a uma pressão no solo (MANTOVANI, 1987).

Bacchi (1976) apud Seixas (1988), citou que os solos mais

susceptíveis à compactação são os de textura média à moderadamente grosseira (francos,

franco-arenosos, e franco-siltosos), pela maior facilidade de reorganização de suas partículas.

Ainda, segundo Seixas (1988), os solos altamente porosos são os mais susceptíveis ao

processo de compactação que os solos menos porosos.

Ohu, Ayotamuno e Folorunso (1987), citados por Dias Junior e

Miranda (2000), observaram que os solos com classe textural areia franca são mais

susceptíveis à compactação do que os solos franco-arenosos devido ao teor de areia do

primeiro ser maior do que do solo franco arenoso.

A textura do solo apresenta grande importância no processo de

compactação do solo. Quando determinada pressão externa é aplicada ao solo, o incremento

da pressão exercida por máquinas, equipamentos de transporte ou animais faz com que ocorra

um novo acomodamento e/ou arranjamento das partículas, diminuindo o espaço aéreo do solo,

incrementando a densidade e a resistência à penetração e, decorrente disso, aumentando a

compactação (LIMA, 2004).

A textura do solo influencia o processo de compactação, pois modifica

várias propriedades do solo como a relação do tamanho dos poros, retenção de água,

densidade do solo e resistência crítica do solo à penetração (ALBUQUERQUE et al., 2001).

4.4.2 Densidade do Solo

A densidade do solo é um parâmetro que expressa o peso do solo

considerando o espaço total do solo, ou seja, é uma medida de peso em que é levado em conta

o volume ocupado pelos sólidos e pelos espaços porosos em conjunto (BUCKMAN;

BRADY, 1968).

Pela sua relação direta com a compactação do solo, a densidade é a

propriedade física mais comumente usada para se descrever o estado de compactação

(CAMPBELL, 1994 apud ARAUJO, 2004). Segundo Mantovani (1987), o melhor método

direto para se determinar a compactação do solo é o da densidade do solo, já de acordo com

Camargo e Alleoni (1997) pode-se dizer que a densidade do solo é a medida quantitativa mais

direta da compactação.

A densidade do solo (D

), também denominada como densidade

aparente ou densidade global, é definida pela relação existente entre a massa (m

), em

kilogramas, de uma amostra do solo seco a 110º C e a soma dos volumes (V

), em decímetros

cúbicos, ocupados pelas partículas e pelos poros, isto é, a densidade do solo é a razão entre a

massa seca e o volume total do solo, representada pela seguinte expressão matemática:

= (1)

em que V

inclui o espaço ocupado por água e ar (KIEHL, 1979).

Os valores encontrados pela expressão (1) são bastante variáveis de

acordo com as características do solo, pois a densidade depende da textura, da estrutura e do

grau de compactação do solo (RUIZ, 2003). A fase líquida também afeta o volume aparente,

fazendo variar a densidade aparente conforme o estado de umidade do solo (KIEHL, 1979).

A amplitude de variação da densidade do solo se situa dentro dos

seguintes limites médios, segundo Kiehl (1979): solos argilosos, de 1,00 a 1,25 kg.dm

-3

; solos

arenosos, de 1,25 a 1,40 kg.dm

-3

; solos humíferos, de 0,75 a 1,00 kg.dm

-3

e solos turfosos, de

0,20 a 0,40 kg.dm

-3

Camargo e Alleoni (1997), citaram que devido à forma, ao tamanho e

ao arranjamento diferenciado das partículas de areia e argila, os valores médios de densidade

de solos arenosos (1,20 a 1,40 kg.dm

-3

) são maiores do que os solos argilosos (1,00 a 1,20 kg.

-3

). Segundo os mesmos autores, deve-se ter muito cuidado ao considerar o valor absoluto

como referência para concluir se um solo está ou não compactado. São considerados valores

críticos (BOWEN, 1981 apud CAMARGO; ALLEONI, 1997) os valores de 1,55 kg.dm

-3

para

solos franco-argilosos a argilosos e 1,85 kg.dm

-3

para solos arenosos a franco-arenosos

ocorrendo restrição ao desenvolvimento de raízes quando os solos estiverem na “capacidade

de campo”.

Segundo Carvalho et al. (2004) não existe um consenso entre os

autores sobre um valor específico que evidencia o nível crítico para a densidade do solo, valor

acima do qual o solo é considerado compactado. Goedert et al. (2002) indicam que valores

entre 0,7 kg.dm

-3

a 1,0 kg.dm

-3

podem ser considerados normais em Latossolo Vermelho, e

propuseram 0,9 kg.dm

-3

como limite permitido quando se deseja sustentabilidade no caso de

Latossolos.

Machado e Brum (1978) afirmaram que a variação nos valores da

densidade do solo, em sua maior parte, é devida à diferença no volume total dos poros. Para

um mesmo solo pode-se ter distintos valores de densidade, segundo as variações que se

produzem no volume de poros.

Vários métodos são usados para a determinação da densidade do solo,

podendo estes ser classificados em métodos destrutivos e métodos não destrutivos. Os

métodos destrutivos são aqueles que dependem da retirada de uma amostra representativa do

solo, devendo apresentar o mínimo possível de perturbação. Neste caso, uma amostra de solo

de volume conhecido é removida, secada e pesada e a densidade é calculada pela relação entre

o peso seco e volume.

Dentre os métodos destrutivos para a determinação da densidade do

solo, destacam-se, segundo Kiehl (1997): o método do balão volumétrico (que consiste em

encher um balão volumétrico de vidro, de paredes grossa e resistentes, com terra seca ao ar,

colocando pequenas porções de cada vez, apoiando o balão sobre uma mesa e batendo com o

punho nas paredes do frasco, a fim de fazer com que a terra se acame), o método do anel ou

cilindro volumétrico (que consiste no uso de um anel de aço, conhecido como anel de

Kopeck, de bordas cortantes e capacidade interna conhecida, geralmente 50 cm

. Crava-se o

anel na parede do perfil ou no próprio solo, por pancadas ou pressão, removendo-o a seguir

com excesso de terra, a qual será desbastada com o auxílio de uma faca cortante, até igualar

com ambas as bocas do anel), método do torrão impermeabilizado (que consiste na

impermeabilização; com parafina, borracha crua dissolvida, resina, de um torrão ou

conglomerado, de maneira a permitir mergulhá-lo em água ou outro liquido, a fim de

determinar seus volumes).

Os métodos não destrutivos são aqueles em que são usados aparelhos

mais sofisticados (CAMARGO; ALLEONI, 1997) que permitem a obtenção de melhores

resultados. Estes consistem em determinar os valores da densidade do solo tanto em

laboratório como diretamente no próprio campo, através de técnicas como moderação de

nêutrons (KIEHL, 1979), que consiste na aplicação de radiação de nêutrons em amostras de

terras levadas ao laboratório, ou transportando o aparelho ao campo e determinando a

densidade do solo no próprio local, e a tomografia computadorizada de raios gama

(CAMARGO; ALLEONI, 1997).

Segundo Kiehl (1979) quanto mais elevada for a densidade, para uma

mesma classe de solo, maior será a sua compactação e o solo apresentará menor grau de

estruturação, menor porosidade total e maiores serão suas restrições para o crescimento e

desenvolvimento das plantas. A densidade pode ser interpretada como estimativa da

porosidade e compactação do solo, pois, para uma mesma classe textural, quanto maior a

densidade, menor será a quantidade de vazios no solo.

De acordo com Pedrotti et al. (2001) a densidade do solo reflete o

arranjamento das partículas do solo, que por sua vez, define as características do sistema

poroso. A densidade do solo geralmente aumenta com a profundidade do perfil do solo, pois

as pressões exercidas pelas camadas superiores sobre as subjacentes provocam o fenômeno da

compactação, reduzindo a porosidade (KIEHL, 1979).

Anjos et al. (1994) citaram ter sido constatado, em diversos trabalhos,

o efeito dos diferentes sistemas de uso e manejo do solo em suas propriedades físicas. Em

geral, verifica-se um aumento da densidade do solo e uma diminuição da porosidade, da

infiltração e condutividade hidráulica, quando os solos são submetidos a diferentes sistemas de

manejo, em relação ao seu estado natural. Segundo Oliveira Filho et al. (1987) o manejo

inadequado do solo contribui para o aumento da densidade, pela compactação da camada

superior das terras de cultura.

Segundo Pedrotti e Dias Junior (1996), citados por Pedrotti et al.

(2001), a densidade do solo é um dos mais importantes parâmetros físicos para caracterizar e

avaliar os efeitos de diferentes sistemas de manejo na compactação do solo.

O cultivo intensivo aumenta a densidade das camadas superficiais do

solo (MACHADO; BRUM, 1978). Segundo Buckman e Brady (1968) para um solo localizado

no estado de Iowa (EUA), de textura barro síltico (franco-siltoso), para um período superior a

50 anos de cultivo, chegou a apresentar uma densidade aparente de 1,13 kg.dm

-3

e 56,2% de

porosidade total e que o mesmo solo não cultivado apresentava uma densidade aparente de

0,93 kg.dm

-3

e uma porosidade de 62,7%. Como se pode observar, o cultivo num prazo

superior a 50 anos, aumentou a densidade aparente das camadas superficiais do solo.

Segundo Pritchett e Fisher (1987 apud SILVA, 2003) o pisoteio de

animais, o emprego de maquinaria pesada de colheita, uso recrecional intensivo ou

movimentação enquanto o solo está úmido são fatores de aumento da densidade do solo,

especialmente em solos de textura fina. Areias compactadas com densidade além de 1,75

kg.dm

-3

ou argilas com densidades maiores que 1,55 kg.dm

-3

podem impedir a penetração de

raízes das árvores.

Lorimer e Douglas (1995), citados em (MARTINS et al., 2002),

estudaram as alterações dos atributos físicos do solo sob diferentes coberturas vegetais e

observaram que, na camada superficial, solos sob pastagem plantada e floresta nativa

apresentaram menor densidade do solo do que solos sob seis cultivos contínuos de trigo.

Benez e Gamero (1982) estudaram o efeito do sistema de plantio

direto e de preparo convencional, no início e após colheita, à profundidade de 0 cm a 10 cm, e

verificaram que a densidade do solo foi significativamente maior nos preparos com aração do

que no sistema de plantio direto, e concluíram que a densidade do solo sofreu variações

induzidas pelas operações de preparo, não indicando mudanças significativas por ocasião da

colheita.

Em estudos realizados por Cintra et al. (1983) para avaliar

características físicas de um Latossolo Roxo Distrófico, em solos com sistema de cultivo

convencional por mais de 15 anos com sucessão trigo-soja e em solo sob mata, concluíram que

solos cultivados convencionalmente apresentaram em profundidade próximas a superfície

níveis altos de densidade do solo, menor porosidade e baixa taxa de infiltração de água em

comparação aos mesmos solos sob mata nativa.

4.4.3 Teor de Água no Solo

A umidade do solo é o mais importante atributo a ser levado em conta

ao se tratar de compactação de solo (CAMARGO; ALLEONI, 1997), podendo ser

determinada, segundo Caputo (1973), pela razão entre o peso da água (em gramas) contida

num certo volume de solo e o peso da parte sólida (em gramas) existente neste mesmo

volume, expressa em porcentagem, representada pela expressão matemática:

100×=θ

(2)

sendo

θ teor de umidade, P

o peso da água e P

o peso do solo seco.

A água é um dos principais componentes do solo, ocupando

juntamente com o ar, todo o espaço poroso existente (KIEHL, 1979), sendo que a máxima

presença de um dos componentes implica na ausência do outro. O equilíbrio entre os

componentes visa um adequado suprimento de água e ar para as plantas, constituindo um dos

mais importantes fatores do solo, indicando a sua adequação como meio de desenvolvimento

radicular (PREVEDELLO, 1996).

De acordo com Mantovani (1987) o teor de água tem grande

influência no processo de compactação do solo, sendo que o teor de umidade favorece a

obtenção da densidade do solo, ficando este próximo ao da umidade correspondente à

capacidade de campo.

Segundo Camargo e Alleoni (1997) as operações no solo devem ser

realizadas com a umidade adequada, sempre mais secos do que úmidos, pois nestas condições

a resistência à compactação é maior.

Segundo Beltrame et al. (1981) o preparo do solo destrói a estrutura

natural da camada arável, e quando realizados sob condições de excesso de umidade causam

compactação, reduzindo as taxas de infiltração, aumentando o volume do escoamento

superficial, principalmente nos solos com declividade acentuada. Nas áreas com baixa

declividade a compactação promove a redução das taxas de infiltração aumentando o tempo de

encharcamento, diminuindo consideravelmente o tempo disponível para seu preparo.

De acordo com Camargo e Alleoni (1997) seja qual for a operação

agrícola, se efetuada quando o solo apresenta teor de água inadequado, provocará deterioração

em seus atributos físicos, especialmente, estrutura e agregação. Segundo os autores, a

mobilização excessiva (tráfego de máquinas e da movimentação do solo por implementos

sobre o mesmo local), produz um número muito grande de pequenos agregados facilitando a

formação de crostas na superfície, fazendo com que haja uma inadequada infiltração de água,

tanto na camada superficial como no subsolo.

Em condições semelhantes de solo, o fator determinante da

compactação é o teor de umidade no momento do tráfego, como observado por vários autores.

Segundo Harris (1971 apud ARAÚJO, 2004), em geral, quanto maior

o teor de umidade do solo maior a compactação para uma mesma pressão aplicada, devido à

melhor lubrificação entre suas partículas, o que reduz o atrito entre elas e possibilita maior

compressão. Ao contrário, solos secos apresentam menor deformação com o tráfego de

máquinas resultando em baixos níveis de compactação.

Pereira e Benez (1998) analisaram o efeito de vários níveis de teor de

água e da carga aplicada na compactação de uma Terra Roxa Estruturada em amostras de

classes de agregados, e concluíram que o menor nível de teor de água proporcionou menor

densidade do solo para as condições de agregados e pressão aplicada, e que a compactação do

solo é função do teor de água, da pressão aplicada e do tamanho de agregados com maior

efeito na camada próxima a superfície do solo.

4.5 Parâmetro Mecânico do Solo

4.5.1 Resistência à Penetração

Um dos indicadores de compactação do solo é a resistência do solo à

penetração, que descreve a resistência física que o solo oferece a algo que tenta se mover

através dele, como uma raiz em crescimento ou uma ferramenta de cultivo (GENRO JUNIOR

et al., 2004). Para Balastreire (1990 apud SILVA, 2003), a resistência à penetração do solo, ou

penetrabilidade, é a resistência oferecida à introdução de um corpo sólido na massa de solo.

Segundo Perez–Gomar et al. (2002) a resistência à penetração pode ser utilizada para medir a

resistência do solo ao tráfego com maquinaria, a resistência à penetração de raízes, a

resistência a emergência de plântulas após semeadura e o estado de compactação existente.

A resistência mecânica à penetração vem sendo utilizada, há anos, em

diversos campos da pesquisa agronômica em várias aplicações, como exemplo: na detecção de

camadas compactadas, no estudo da ação de ferramentas de máquinas no solo, no

conhecimento de processos de umedecimento, conforme citado por Cunha et al. (2002), e tem

sido utilizada para avaliar o crescimento das culturas, estudar o elongamento das raízes e,

também, avaliar o esforço necessário para a emergência das sementes (SANTOS; LANÇAS,

1999).

Segundo Bradford (1986 apud MAIA, 1999) a resistência do solo à

penetração pode ser considerada um dos fatores mais importantes para se avaliar o grau de

dificuldade que o solo oferece ao desenvolvimento das raízes de uma determinada cultura.

De acordo com Vaz e Hopmans (2001) a resistência mecânica do solo

à penetração é um importante parâmetro do solo que afeta o crescimento da raiz, o transporte

de água e o controle de nutrientes na zona de enraizamento e, segundo Letey (1985), constitui

uma das propriedades físicas do solo diretamente relacionados com o crescimento das plantas.

O aumento da resistência à penetração do solo reduz a taxa de crescimento das raízes,

indiferentemente se for conseqüência do aumento da densidade ou pela redução do conteúdo

de água (STRECK et al., 2003).

Segundo Pedrotti et al. (2001) a resistência à penetração está

relacionada com a textura do solo, com os solos arenosos apresentando menor resistência à

penetração do que solos argilosos devido à menor coesão entre as partículas de areia em

relação às de argila. Vaz e Hopmans (2001) caracterizaram a resistência à penetração do solo

como uma propriedade que depende, além da textura, de outros fatores tais como a densidade

do solo, o teor de água, agregação, cimentação e da mineralogia.

A resistência do solo à penetração, segundo Mantovani (1987), é um

indicador secundário de compactação, não sendo, pois, uma medição física direta de qualquer

condição do solo, tendo outros fatores, além da compactação, que afetam a resistência do solo,

dentre os quais se destaca o teor de umidade do solo.

De acordo com Klein et al. (1998) a resistência do solo é influenciada

por diversos fatores, citando que os mais importantes são a densidade do solo e a umidade do

solo. Ainda, segundo os mesmos autores, como a resistência do solo à penetração aumenta

com a densidade do solo e diminui com a umidade do solo, é fundamental que, quando a

influência de um está sendo estudada, a influência da outra deverá ser controlada.

No campo, a resistência à penetração é bastante variável, sendo muito

influenciada pelas condições do manejo dado ao solo, intensidade de tráfego das máquinas

agrícolas, do pisoteio animal sobre o solo e é dependente da umidade do solo (SILVA et al.,

2004).

Na avaliação da resistência mecânica à penetração de raízes no solo,

têm sido utilizados, na maioria das pesquisas, estudos de penetrometria por causa da facilidade

e rapidez na obtenção dos resultados, apesar das diferenças entre uma raiz e um cone metálico

(PRADO et al., 2002).

O impedimento físico à penetração que apresenta um solo é

freqüentemente medido usando um penetrômetro, embora sejam estes muito mais resistentes

que as raízes das plantas (WHALLEY et al., 2005), fornecendo boas estimativas da resistência

mecânica do solo à penetração das raízes (IMHOFF et al., 2000), sendo a medida da

resistência à penetração expressa pela relação entre a força exercida para fazer penetrar um

cone metálico no solo e sua área basal, comumente denominada índice de cone.

Os penetrômetros vêm sendo empregados em grande escala no meio

agrícola, para diversas aplicações, de acordo com Bianchini et al. (2002), por serem de

utilização fácil, rápida e barata, com fácil interpretação dos resultados, principalmente para a

determinação da resistência do solo à penetração de raízes e detecção de camadas de solo

compactadas. Apesar das vantagens do uso dos penetrômetros, a resistência do solo à

penetração varia diretamente com a densidade do solo e inversamente com o conteúdo de água

no solo, dificultando a interpretação caso esses fatores não sejam levados em consideração

(IMHOFF et al., 2000).

O princípio do penetrômetro, de acordo com Camargo e Alleoni

(1997), é baseado na resistência do solo à penetração de uma haste, após recebimento de um

impacto provocado pelo deslocamento vertical de um bloco de ferro colocado na parte

superior da haste, por uma distância conhecida, normalmente 40 cm. Segundo os mesmos

autores, quando o aparelho atinge zonas compactadas maior é o número de impactos para que

a haste desça um comprimento conhecido, indicando uma resposta à maior resistência do solo

à penetração.

Em função do princípio de penetração, os penetrômetros podem ser

denominados de estáticos ou dinâmicos (BEUTLER, 2003). Penetrômetros estáticos consistem

de uma agulha, com um cone na extremidade, ligada a um medidor da força ou pressão

aplicada (HERRICK; JONES, 2002 apud LEÃO, 2002), quando o conjunto é pressionado

contra o solo a resistência à penetração é registrada em um dinamômetro (BEUTLER, 2003).

A força exercida pelo operador é normalizada com a área basal do cone fornecendo o

parâmetro índice de cone, em geral, registrado em megapascal (MPa). Penetrômetros

dinâmicos são baseados no fornecimento de uma quantidade de energia cinética ao

penetrômetro, o que faz com que uma haste penetre o solo em decorrência do impacto de um

peso que cai em queda livre de uma altura constante e a mesma se move uma determinada

distância através do solo (BEUTLER, 2003; STOLF, 1991 apud LEÃO, 2002).

Na obtenção do índice de cone podem ser utilizados penetrômetros

manuais ou hidráulicos. Os penetrômetros manuais podem causar imprecisões de leitura

devido à impossibilidade do operador manter uma velocidade constante durante o tempo de

penetração da haste. A grande vantagem dos penetrômetros hidráulicos em relação aos

manuais é que o primeiro opera com velocidade de penetração constante independente da

força resistente do solo, o que é praticamente impossível de se obter com os de acionamento

manual, segundo Lanças et al. (1996 apud SANTOS et al., 1999).

Camargo e Alleoni (1997 apud NAGAOKA, 2003) apontaram alguns

cuidados que devem ser tomados quando da utilização de um penetrômetro para a obtenção de

dados quando se pretende avaliar a resistência à penetração, alertando sobre alguns itens que,

se observados, poderão evitar problemas:

• a resistência do solo à penetração é influenciada pela textura do solo;

• a utilidade do penetrômetro na medida da compactação do solo é limitada às medidas

feitas para o mesmo solo à mesma umidade;

• a maioria dos penetrômetros tem diâmetro maior que as porções das raízes que estão se

alongando;

• a resistência real exercida pelo solo à penetração radicular é, em geral, menor que a

resistência medida pelo penetrômetro;

• a ponta da raiz tem normalmente camadas de mucilagem que reduzem o coeficiente de

fricção na superfície de contato com o solo quando comparado ao penetrômetro;

• a raiz se deforma facilmente, enquanto a ponta do penetrômetro é rígida;

• deve-se tomar muito cuidado ao usar o penetrômetro em solos pedregosos, pois apenas um

fragmento de rocha pode invalidar a leitura;

• penetrômetros diferentes, em solos iguais, dão medidas diferentes da resistência do solo.

De acordo com Lins e Silva (1995) as medidas dos penetrômetros,

para a obtenção do índice de cone do solo, foram padronizadas pela Sociedade Americana de

Engenharia Agrícola, ASAE (1978), traduzido do inglês American Society of Agricultural

Engineers, para atender os seguintes propósitos:

• Promover um método comum, para expressar as propriedades mecânicas do solo e facilitar

as interpretações e comparações entre os trabalhos produzidos nos diferentes centros de

pesquisas;

• Atender a necessidade de comparações das propriedades dos solos, em trabalhos que

utilizam diversos tipos e condições de solos; e,

• Promover um sistema de caracterização de propriedades do solo, no qual pode ser possível

estabelecer relações de desempenho e predição de modelos.

Apesar das limitações, a resistência à penetração do solo é

freqüentemente utilizada para indicação comparativa de compactação, por causa da facilidade

e rapidez, na qual numerosas medidas podem ser realizadas, com os resultados expressos em

termos de força por unidade de área do cone na ponta do penetrômetro (MANTOVANI,1987).

Canarache (1990 apud CAMARGO; ALLEONI, 1997) sugeriu que

valores superiores a 2,5 MPa começam a restringir o pleno crescimento das raízes das plantas,

conforme a Tabela 2.

Tabela 2. Limites de classes de resistência de solos à penetração e graus de

limitação

ao crescimento das raízes

Classes Limites (MPa) Limitações ao crescimento das raízes

Muito baixa Menor de 1,1 Sem limitação

Baixa 1,1 a 2,5 Pouca limitação

Média 2,6 a 5,0 Algumas limitações

Alta 5,1 a 10,0 Sérias limitações

Muito alta 10,1 a 15,0 Raízes praticamente não crescem

Extremamente alta Maior de 15,0 Raízes não crescem

Fonte: Camargo e Alleoni, 1997

Alguns pesquisadores consideram a resistência à penetração restritiva

ao crescimento radicular acima de certos valores que variam de 1,5 a 3,0 MPa segundo Grant e

Lanfond (1993) e de 2,0 a 4,0 MPa segundo Arshad et al. (1996), conforme citados em Silva

et al. (2000). Beutler e Centurion (2003) citaram os autores Nesmith (1987), Toop et al.

(1994), Arshad et al. (1996), Tormena et al. (1998), Imhoff et al. (2000) que consideram

críticos valores de resistência à penetração variando entre 1,5 a 4,0 MPa, sendo, em geral, o

valor de 2,0 MPa aceito como impeditivo para o crescimento radicular segundo Tormena et al.

(1998). Sene et al. (1985), citados por Camargo e Alleoni (1997), consideraram como críticos

os valores variando de 6,0 a 7,0 MPa para solos arenosos e em torno de 2,5 MPa para solos

argilosos.

Como citado em Mantovani (1987) e Castro Neto (2001), a resistência

à penetração pode ser obtida facilmente em diversas profundidades, entretanto, para que os

dados possam ser comparados, o teor de umidade deverá ser o mesmo em todos os níveis de

profundidade.

Na interação da resistência à penetração com outros atributos, como a

densidade do solo e o teor de água, Mantovani (1987) afirmou que há um aumento na

resistência à penetração com o incremento da densidade do solo. Stirzaker et al. (1996 apud

BEUTLER, 2003) verificaram que o efeito do conteúdo de água na resistência à penetração foi

maior com o aumento da densidade do solo, sendo que pequenas alterações na densidade

proporcionaram acentuado aumento da resistência à penetração em solos mais compactados e

secos.

4.6 Conceitos e Fundamentos sobre Conjuntos e Lógica Fuzzy

Na teoria de conjuntos clássica, segundo algum critério, um elemento

pertence ou não a um dado conjunto, estando a pertinência do elemento baseado na função

característica, dada pela definição;

Definição 1. (Função característica)

Seja U um conjunto universo de discurso, A um subconjunto de U

( UA

⊆ ), e x um elemento particular de U. Define-se a função característica como sendo uma

função

{}

1 , 0: →U

com

⎩

⎨

⎧

∉

∈

se , 0

se , 1

)(

(3)

Pode-se observar que a função característica, assim definida, é um

mapeamento do conjunto universo U, para os elementos do conjunto

{

}

1 , 0

, assumindo deste

modo apenas valores discretos e dividindo o conjunto universo em duas partes com fronteiras

bem definidas.

A teoria dos conjuntos fuzzy, introduzida por Zadeh (1965), surgiu

como um meio de representação e manipulação de dados imprecisos, e são conjuntos que não

possuem fronteiras bem definidas como na teoria usual de conjuntos. Estes foram propostos

pelo fato dos conjuntos clássicos apresentarem limitações para lidar com problemas onde

transições (passagem de pertinência para a não pertinência) de uma classe para outra

acontecem de forma lenta e gradual.

Zadeh (1973) propôs uma caracterização mais ampla, generalizando a

função característica de maneira que esta pudesse assumir um número infinito de valores no

intervalo [0,1], sugerindo que alguns elementos são mais membros (pertinentes) de um

conjunto do que outros. Neste caso, o grau de pertinência pode assumir qualquer valor no

intervalo fechado [0, 1], sendo o valor 0 usado para representar não-pertinência completa, o

valor 1 usado para representar pertinência completa, e os valores entre 0 e 1 usados para

representar os graus intermediários de pertinência do subconjunto A. Esta generalização, faz

com que a função característica passa a ser contínua no seu domínio, aumentando o poder de

expressão da função característica.

Na teoria dos conjuntos fuzzy, a idéia da função da inclusão é

flexibilizada, a qual indica que um determinado elemento pertence mais ao conjunto do que

outros elementos pertencentes ao mesmo conjunto, ou seja, os elementos podem pertencer

parcialmente ao conjunto.

A função que define o grau de pertinência de um determinado

elemento em um conjunto fuzzy, levando em consideração o seu universo de discurso, é

definida como função de pertinência. Formalmente, temos a seguinte definição:

Definição 2. (Função de pertinência) (ZADEH, 1965)

Seja U um conjunto universo não vazio (

≠

U ). Um conjunto fuzzy A

U é caracterizado por sua função de pertinência

[

]

)(

1 , 0 :

→

(4)

sendo

)(x

interpretado como o grau de pertinência do elemento x no conjunto fuzzy A para

cada

Ux ∈

Pode ser observado, da definição 2, que um conjunto fuzzy

A em um

conjunto universo

U é um conjunto de pares ordenados de um elemento genérico x e seu

respectivo grau de pertinência

)(x

, e este é completamente determinado pelo conjunto de

n-uplas

()

{}

UxxxA

∈= )(,

(5)

A família de todos (sub)conjuntos fuzzy em

U é denotado por Y (U).

Subconjuntos fuzzy da reta real são chamados de variáveis fuzzy.

A terminologia usada para denotar um conjunto fuzzy pode ser feita

das seguintes formas, para o caso quando se tem conjuntos fuzzy discretos ou contínuos:

a) Conjuntos Fuzzy Discretos

Seja um conjunto fuzzy

A discreto e finito, tendo elementos definido

no universo de discurso finito

U =

{

}

xxx ,,,

K . Neste caso, o conjunto fuzzy A, com suporte

U, pode ser determinado enumerando os seus elementos juntamente com os seus graus de

pertinências, e denotado por:

∑

=+++=

NN2211

/)(/)(/)(/)(

iiAAAA

xxxxxxxxA

μμμμ

L (6)

sendo que a somatória se refere a operação união, e o termo

xx /)(

, i = 1, 2, ..., N,

significa que )(

A i

é o grau de pertinência de x

em A.

b) Conjuntos Fuzzy Contínuos

Seja um conjunto fuzzy A contínuo, tendo elementos definidos no

universo de discurso U. No caso contínuo, o conjunto fuzzy A é representado por:

∫

iiA

xxA /)(

(7)

onde o sinal da integral se refere à união de conjuntos unitários fuzzy.

Quanto ao formato das funções de pertinências, este é restrito a certa

classe de funções, representadas por alguns parâmetros específicos. Os formatos mais comuns

são: linear por partes (triangular, trapezoidal), gaussiana, sigmóide e singleton (conjuntos

unitários).

1. Função Triangular:

Parâmetros (a,m,b), com a ≤ m ≤ b

()

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

∈

−

∈

−

≤

b,mx

m,ax

se ; 0

se ;

se ; 0

(8)

Figura 3.

Função de pertinência triangular

onde a, b, m e x pertencem ao conjunto universo de discurso U.

b a x

)(

2. Função Trapezoidal: Parâmetros (a,m,n,b), com a ≤ m, n ≤ b e m ≤ n

()

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∈

−

∈

−

bnx

nmx

max

se ; 0

, se ;

, se ; 1

, se ;

se ; 0

(9)

Figura 4. Função de pertinência trapezoidal

onde a, b, m, n e x pertencem ao conjunto universo de discurso U.

3. Função Gaussiana:

()

)(

mxk

−−

;

()

1>k (10)

Figura 5. Função de pertinência gaussiana

4. Função Sigmóide

()

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

∈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅−

∈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

≤

b,mx

m,ax

se ; 1

se ; 21

se ; 2

se ; 0

(11)

Figura 6. Função de pertinência sigmóide

onde

)

(

a m b

)(

b a x

)(

5. Conjunto Unitário ( Função singleton): Parâmetros (m,h)

⎩

⎨

⎧

contrário caso , 0

se ,

)(

mxh

(12)

Figura 7. Conjunto unitário

Nem sempre a escolha do formato da função de pertinência mais

adequada é óbvia, podendo inclusive não estar ao alcance do conhecimento para uma

determinada aplicação (DELGADO, 2002). No entanto, existem sistemas fuzzy cujos

parâmetros das funções de pertinências podem ser completamente definidos por especialistas.

Nestes casos, a escolha de funções triangulares e trapezoidais é mais comum, pois a idéia de se

definir regiões de pertinências total, média e nula é mais intuitiva do que a especificação do

valor médio e de dispersão, conceitos estes ligados às funções gaussianas.

Outro conceito importante na teoria de conjuntos fuzzy é o de

conjunto suporte de um conjunto fuzzy A. O conjunto suporte de um conjunto fuzzy A é o

subconjunto dos pontos x de U tal que a função de pertinência seja positiva, isto é,

0)( >x

Formalmente, tem-se a seguinte definição:

Definição 3. (Conjunto Suporte)

Seja U um conjunto universo não vazio (

≠

U ), e A um subconjunto

de U (

UA ⊂ ). O suporte Sup(A) do conjunto fuzzy A é o conjunto de todos os elementos

Ux ∈ tal que a função de pertinência tem valor maior que zero, ou seja,

{

}

0)()( >∈= xUxASup

. (13)

)(

Definição 4. (Conjunto unitário fuzzy)

Seja U um conjunto universo não vazio (

≠

U ), e A um subconjunto

de U (

UA ⊂ ), então um conjunto fuzzy A cujo conjunto suporte Sup(A) é um único ponto de

U com

1)( =x

é chamado de conjunto unitário fuzzy.

Da definição 4, observa-se que o conjunto A é um conjunto unitário, e

equivale a um conjunto unitário convencional, e ainda, por esta definição, os conjuntos

clássicos passam a ser um caso específico na teoria dos conjuntos fuzzy.

Definição 5. (Igualdade de conjuntos fuzzy)

Sejam A e B subconjuntos fuzzy de um conjunto clássico U. Os

conjuntos fuzzy A e B são iguais, e denotados A = B se, somente se,

)()( xx

= para todo

Ux ∈

Definição 6. (Conjunto fuzzy vazio)

Um conjunto fuzzy de um universo de discurso U , é definido um

conjunto vazio se para cada

Ux ∈

, 0)(

Definição 7. (Conjunto universal)

O maior subconjunto fuzzy no universo de discurso U, chamado de

conjunto fuzzy universal em U, denotado por

1 , é definido por 1)(1

, para todo Ux

∈

Definição 8. (Centro de um conjunto fuzzy)

Seja U um conjunto universo não vazio (

≠

U ), e A um subconjunto

de U (

UA ⊂ ). O centro de um conjunto fuzzy é definido como o conjunto de elementos

Ux ∈

, nos quais )(x

alcança seu valor máximo.

Definição 9: (Conjunto Fuzzy Normalizado)

Seja U um conjunto universo não vazio (

≠

U ), e A um subconjunto

de U (

UA ⊂ ). Um conjunto fuzzy A é normalizado se pelo menos um de seus elementos

possuir grau de pertinência igual a 1, ou seja, 1)(

, com Ux

∈

Figura 8. Conjunto fuzzy normalizado e não normalizado

Definição 10: (Altura de um Conjunto Fuzzy)

Seja U um conjunto universo não vazio (

≠

), e A um subconjunto

de U (

UA ⊂ ). A altura de um conjunto fuzzy A corresponde ao maior grau de pertinência

assumido por um de seus elementos, ou seja, simbolicamente,

)(max)(

xAAlt

∈

, i = 1, 2, ...

Figura 9.

Altura de um conjunto fuzzy

(Normalizado)

(Não-Normalizado)

4.6.1 Operadores e Operações dos Conjuntos Fuzzy

Para os sistemas que utilizam a lógica fuzzy, o processamento de

informações fuzzy é normalmente consistido de operações que são realizadas sobre os seus

conjuntos fuzzy.

Como na lógica clássica, algumas propriedades foram definidas por

Zadeh (1965) a respeito dos operadores de conjuntos fuzzy.

Sejam A e B dois conjuntos fuzzy definidos em um universo de

discurso U com funções de pertinências

)(x

e )(x

, respectivamente. As operações fuzzy

básicas de união, intersecção e complemento são definidas por Zadeh, (1965):

Definição 11: (Conjunto União)

A união entre dois conjuntos fuzzy A e B, pertencentes a um mesmo

universo de discurso U, é formado por todos os valores máximos entre

)(x

e )(x

, para

todo

Ux ∈ . Formalmente, tem-se:

(

)

(

)

)(),(max)()()( xxxxx

BABABABA

∪

∪=

∪

(14)

(a)

(b)

Figura 10. (a) Diagrama dos conjuntos A e B (b) Diagrama da união

A ∪

A B

A ∪

B A

Definição 12. (Conjunto Intersecção)

A intersecção entre dois conjuntos fuzzy

A e B, pertencentes a um

mesmo universo de discurso

U, é formado por todos os valores mínimos entre )(x

)(x

, para todo Ux ∈ , ou seja,

(

)

(

)

)(),(min)()()( xxxxx

BABABABA

∩

(15)

(a) (b)

Figura 11. (a) Diagrama dos conjuntos

A e B (b) Diagrama da intersecção B

∩

Definição 13. (Conjunto Complemento)

O complemento de um conjunto fuzzy

A, pertencente a um universo de

discurso

U, é formado pela subtração de )(

do valor unitário 1, ou seja,

)(1)(

−

&&&

; Ux

∈

. (16)

Figura 12. Diagrama do complemento (

) do conjunto A

0 0

A B

A ∩

B A

Generalizando, uma coleção de conjuntos fuzzy A

, todos definidos em

um mesmo universo de discurso

U, tem as seguintes operações:

União total:

(

)

)(,),(),(max)(

xxxx

AAAA

μμμμ

KU =

Intersecção Total:

(

)

)(,),(),(min)(

xxxx

AAAA

μμμμ

KI =

Como na teoria de conjuntos clássica, se define também propriedades

para conjuntos fuzzy como segue:

i) Propriedade Comutativa:

ABABBABA

xxxx

∪∪

∪

∪=

)()()()(

ABABBABA

xxxx

∩∩

∩

)()()()(

ii) Propriedade Associativa

()

(

)

∪∪

)()()( xxx

CBACBA

(

)

()

CBACBA

xxx

∪∪

)()()(

()

(

)

)()()( xxx

CBACBA

∩

∩∩

(

)

()

CBACBA

xxx

∩∩

∩

)()()(

iii) Propriedade Distributiva

()

(

)

∩

∪

∩∪

)()()( xxx

CBACBA

(

)

(

)

()()

CABACABA

xxxx

∪∩∪

=∪

∩

∪

)()()()(

()

(

)

∪

∩

∪∩

)()()( xxx

CBACBA

(

)

(

)

()()

CABACABA

xxxx

∩∪∩

∩

∪

∩

)()()()(

iv) Idempotência

)()( xx

AAA

∪

)()( xx

AAA

∩

v) Identidade

)()( xx

Φ∪

)()( xx

A ΦΦ∩

)()( xx

UUA

∪

)()( xx

AUA

∩

vi) Lei de Morgan

)()(

)(

_______

∩

∪

)()(

)(

_______

∪

∩

Uma conseqüência da definição de conjunto fuzzy em contraste com

os conjuntos clássicos é a Lei do Meio Excluído e a Lei da Contradição (ORTEGA, 2003). Na

teoria de conjuntos clássica, os conjuntos usuais satisfazem:

UAA =∪ e

∩ AA . Na

teoria de conjuntos fuzzy isto não é satisfeito devido à flexibilização da função característica,

como pode ser visto nas propriedades abaixo:

vii) Contradição: UAA ≠∪

viii) Meio excluído:

Φ≠∩ AA

Além das operações mostradas, outras podem ser usadas para definir

operações para união e intersecção de conjuntos fuzzy. Para estas classes de operações foram

criadas duas famílias de operadores denominadas normas triangulares ou T-normas e Co-

normas triangulares ou S-normas, formalmente, definidas a seguir (FULLÉR, 1995).

Definição 14 (Norma triangular)

Um operador T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] é chamado um operador

Norma Triangular (T-norma) se, e somente se, T é um operador comutativo, associativo, não-

decrescente em cada um dos seus pontos e T(x, 1) = x, para todo

[

]

1,0

∈

x .

Em outras palavras, da definição 14, tem-se que qualquer T-norma

satisfaz as propriedades:

T(x, y) = T(y, x) (comutatividade)

T(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z) (associatividade)

T(x, y) ≤ T(z, w) se x ≤ z e y ≤w (monotonicidade)

T(x, 1) = x, para todo

[

]

1,0

∈

x (identidade)

De maneira similar, um operador Co-norma Triangular é definido

como segue:

Definição 15

(Co-norma triangular)

Um operador S: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] é chamado um operador Co-

norma Triangular (T-conorma) se S é comutativo, associativo, não-decrescente ponto a ponto

(em cada argumento) e S(x, 0) = 1, para todo

[

]

1,0

∈

Em outras palavras, qualquer T-conorma S deve satisfazer as

seguintes propriedades:

S(x, y) = S(y, x) (comutatividade)

S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) (associatividade)

S(x, y) ≤ S(z,w) se x ≤ z e y ≤ w (monotonicidade)

S(x, 0) = x, para todo

[

]

1,0

∈

x (identidade)

Definição 16. (T-norma baseada na intersecção)

Seja T uma T-norma. A T-intersecção de dois conjuntos fuzzy A e B,

em um conjunto de discurso U, é definida como:

(

)

(

)

)(),()(),(min)( xxTxxx

BABABA

∩

(17)

para todo

Ux ∈

A operação união pode ser definida através do operador co-norma

triangular.

Definição 17 (T-conorma baseada na união)

Seja S uma T-conorna. A S-união de dois conjuntos fuzzy A e B, em

um conjunto de discurso U, é definida como:

(

)

(

)

)(),()(),(max)( xxSxxx

BABABA

∪

(18)

para todo

Ux ∈

Em geral, a lei do meio excluído e o princípio da contradição não

satisfazem as propriedades de T-norma e T-conorma, definidas as operações de intersecção e a

união, como descritas a seguir:

(

)

(

)

≠

∩

)(),()(),(min)( xxTxxx

e, portanto, Φ≠∩ AA

(

)

(

)

UxxSxxx

≠

∪

)(),()(),(max)(

e, portanto, UAA ≠∪

O emprego do operador mínimo representando a T-norma e do

operador máximo representando a S-norma foram propostos por Zadeh (1965), destarte,

existem outras T-normas (tais como: mínimo, produto algébrico, produto limitado, produto

drástico) e S-conormas (tais como: máximo, soma algébrica, soma limitada, soma drástica)

que podem ser empregadas na definição dos sistemas fuzzy (PEDRYCZ; GOMIDE, 1998).

4.6.2 Relações Fuzzy

As relações fuzzy são generalizações das relações usuais utilizadas na

teoria clássica dos conjuntos, e por serem mais gerais do que funções, estas permitem que as

dependências entre as variáveis envolvidas sejam capturadas sem que nenhuma caracterização

direcional particular seja fixada, ou seja, não há domínio e contradomínio (PEDRYCZ;

GOMIDE, 1998).

Relações fuzzy entre conjuntos fuzzy podem ser construídas a partir do

produto cartesiano dos mesmos, sendo o produto cartesiano fuzzy a intersecção entre

conjuntos fuzzy de universos de discurso diferentes (SHAW; SIMÕES, 1999).

Definição 18 (Produto cartesiano de conjuntos fuzzy)

Sejam U e V dois universos de discurso. O produto cartesiano de dois

conjuntos fuzzy A

∈ Y (U) e B ∈ Y (V) é definido (FULLÉR, 1995) por:

{

}

)(),(min),( yxyx

BABA

, (19)

com VUyx

×∈),(

Pela definição, nota-se que o produto cartesiano de dois conjuntos

fuzzy

A∈Y (U) e B∈Y (V) é uma relação fuzzy binária em

, ou seja,

A×∈Y (

Sejam

U e V dois universos de discursos quaisquer. Uma relação

fuzzy, definida em um espaço bidimensional, é qualquer conjunto fuzzy do universo de

discurso, definido no produto cartesiano

, que associa cada elemento (x, y) em

grau de pertinência, denotado por

),( yx

, definido no intervalo unitário, ou seja,

[]

1,0: →×VUR . Neste caso, a função característica é definida como

⎩

⎨

⎧

∈

contrário caso , 0

),( se , 1

),(

Ryx

(20)

e a relação fuzzy é vista como uma generalização do produto cartesiano clássico

{}

1,0→×VU dada por:

()

{}

VUyxyxyxR

×∈= ),( ),(),,(

(21)

Generalizando as relações bidimensionais fuzzy, podem ser obtidas

relações multidimensionais fuzzy, denominadas de relações fuzzy

n-ária, dadas por:

[

]

1,0:

→

UUUR L

sendo

, U

, ... , U

conjuntos universos de discurso.

De acordo com Lee (1990) uma relação

n-ária é um conjunto fuzzy em

UUU ××× L

dado por:

()

{}

nnnRn

UUUxxxxxxxxxR ×××∈= KKKK

21212121

),,,( ),,,(),,,,(

sendo (

xxx ,,,

K ) elementos dos conjuntos nos universos de discurso.

Se os valores

xxx ,,,

K são discretos, a relação fuzzy R, definida

em (21), pode ser expressa em forma matricial, relacionando os elementos pertencentes aos

diferentes conjuntos fuzzy.

Como exemplo, suponha que se queira expressar a relação fuzzy de

um sistema de conceito “ambiente confortável” em termos de temperaturas e umidades.

Considere o universo de discurso para temperatura dado por:

{

}{ }

22 ,20 ,18,,

321

xxxU , e o

universo de discurso para os graus de umidade dado por:

{

}{ }

07 ,50 ,30,,

321

yyyV . Pode-

se estabelecer o grau de relação entre cada valor de temperatura com cada valor da umidade e,

desta forma, o conceito de ambiente confortável pode ser representado pelas funções de

pertinências:

20)7022()3022()7018()3018( ,,,,,

RRRR

60)5022()5018( ,,,

50)7020()3020( ,,,

15020

),(

e, deste modo, podendo ser elaborada uma matriz de relação fuzzy, onde as colunas são as

umidades, as linhas são as temperaturas consideradas e os valores são os graus com que as

temperaturas se relacionam com as umidades, dada por:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2,06,02,0

5,00,15,0

2,06,02,0

Como no caso de conjuntos fuzzy, as relações fuzzy podem ser

combinadas e definidas as operações de união, intersecção e complemento, como dadas nas

definições a seguir. Estas operações são importantes porque elas podem descrever interações

existentes entre as variáveis. Sejam

R e S duas relações fuzzy binárias em

VU ×

, dadas por

()

{}

VUyxyxyxR

×∈= ),( ),(),,(

()

{}

VUyx yxyxS

×∈= ),(),(),,(

Definição 19 (Intersecção de relações fuzzy)

Sejam

R e S duas relações fuzzy binárias VU

. A intersecção das

relações fuzzy

R e S é definida por:

()

{

}

),(),,(min),( yxyxyx

SRSR

∩

, VUyx ×

∈

),( .

Definição 20. (União de relações fuzzy)

Sejam

R e S duas relações fuzzy binárias VU

. A união das relações

fuzzy

R e S é definida por:

()

{

}

),(),,(max),( yxyxyx

SRSR

∪

, VUyx ×

∈

),(.

Definição 21. (Complemento de relações fuzzy)

Sejam

R e S duas relações fuzzy binárias VU

. O complemento de

uma relação fuzzy

R é definido por:

),(1),( yxyx

−

VUyx

∈

),(

4.6.3 Composição de Relações Fuzzy

As relações fuzzy definidas em diferentes conjuntos de discurso

podem ser combinadas utilizando-se de diferentes operadores de composição, sendo a

composição mais conhecida dada como na definição a seguir:

Definição 22. (Composição de Relações Fuzzy)

Sejam

U, V e W três universos de discurso. Seja R uma relação fuzzy

VU × e S uma relação fuzzy em WV

. A composição das relações R e S é uma relação

fuzzy sup-

T, representada por SR o , definida como:

(

)

{

}

),/(),(),,(sup zxzyyxTSR

∫

∈

μμ

o . (22)

As composições mais usadas, definidas sobre as relações fuzzy, são

aquelas que utilizam o operador mínimo e máximo sendo, respectivamente, denominadas

composição sup-min e sup-max, que combinam relações fuzzy de produtos de espaços

diferentes. Fazendo a notação:

(

)

{

}

)z,y(),y,x(T)z,x(

∈

sup

, (23)

a função de pertinência da composição de relações fuzzy, no caso discreto, a composição sup-

min é denominada max-min, podendo esta ser representada em forma matricial, sendo cada

um dos termos da matriz, ),(

SRo

, dado por:

(

)

{

}

),(),,(minmax),( zyyxzx

∈

(24)

e, portanto, a composição max-min entre

R e S é o seguinte conjunto fuzzy:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∈∈∈=

∈

WzVyUxzyyxzxSR

,,)]}),(),,({min[max),,((

μμ

. (25)

Pelo que foi visto, se

R e S são duas relações fuzzy em VU

WV × , com },,,{

21 n

xxxU K= , },,,{

21 m

yyyV K

e },,,{

21 t

zzzW K

, respectivamente,

conjuntos fuzzy finitos, a forma matricial da relação SR o , considerando a composição max-

min, é obtida como na multiplicação de matrizes usual, substituindo a operação produto pelo

mínimo e a operação soma pelo máximo. Deste modo, se

R é uma relação fuzzy em VU

e S

é uma relação fuzzy em

WV ×

, então, R e S podem ser representadas, respectivamente, por:

nmnnn

rrrx

yyy

222212

112111

= e

mtmmm

sssy

zzz

222212

112111

e, portanto, usando a definição 22, a relação fuzzy

SRQ o

dada pela composição max-min,

tem a forma matricial

ntnnn

qqqx

zzz

222212

112111

onde,

)},{min(max)]},(),,({min[max),(

ijik

jkSkiR

SRij

srzyyxyxq

De modo análogo, pode ser definida uma composição inf-

S de relações

fuzzy

R e S, com os elementos da composição definida como:

(

)

{

}

),(),,(inf),( zyyxSzx

∈

que para o caso discreto, com a utilização do operador máximo, tem-se a composição min-

max, expressa como:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∈∈∈=

∈

WzVyUxzyyxzxSR

,,)]}),(),,({max[min),,((

μμ

Como exemplo de composição de relações fuzzy sejam R e S duas

relações fuzzy discretas, dadas por:

01800100

80018090

01800130

00903001

,,,,

R = ;

103020

001030

500001

900101

,,,

S =

Para melhor compreender a composição de relações fuzzy, é

construído um grafo, explicitando a composição das variáveis (x

, z

), com x

correspondendo

aos valores da segunda coluna em R e os valores de z

correspondentes à terceira coluna em S,

e para os demais pares de variáveis o raciocínio é análogo.

Figura 13. Composição das variáveis (x

, z

)

Considerando o operador mínimo (min) como T-norna, a composição

SR o

para as variáveis (x

, z

) torna-se:

(

){}

∈

),(),,(minmax),(

zyyxzx

{}

∈

)1,0;0,1min();0,0;8,0min();5,0;0,1min();9,0;3,0min(max

{}

5,01,0;0,0;5,0;3,0max

∈Vy

0.8

W U

Para todos os outros pares de variáveis envolvidas, de modo análogo,

tem-se a matriz de composição dada por:

503001

909090

503001

900101

103020

000130

500001

900101

01800100

80018090

01800130

00903001

,,,

,,,,

SR == oo

4.6.4 Variáveis Lingüísticas

As variáveis lingüísticas são variáveis que permitem a descrição de

informações que estão normalmente disponibilizadas de forma qualitativa, ou seja, são

variáveis cujos possíveis valores são palavras ou frases, ao invés de números (PEDRYCZ;

GOMIDE, 1998), podendo ser representadas mediante um conjunto fuzzy. Estas são expressas

qualitativamente através de termos lingüísticos, fornecendo um conceito à variável, e

quantitativamente por uma função de pertinência.

Cada variável lingüística tem um conjunto de termos fuzzy associados

(denominados termos primários) que é o conjunto de valores que a variável fuzzy pode tomar.

Por exemplo, a variável fuzzy compactação do solo pode ter o conjunto de termos primários

{baixa, média, alta}, sendo que cada termo primário representa um conjunto fuzzy específico.

Zadeh (1975) definiu, formalmente, a variável lingüística fuzzy através

da quíntupla: < X, T(X), U

, G, M >, com X representando o nome da variável lingüística

(rótulo associado a uma variável lingüística); T(X) representa o conjunto de termos

lingüísticos, com cada elemento de T(X) representando um rótulo l (tamanho da base) dos

termos que a variável X pode assumir; U

é o universo de discurso da variável lingüística X ; G

representa a gramática para a geração dos termos ou rótulos; M é a regra que associa a cada

rótulo (l), um conjunto fuzzy no universo U

, representando o seu significado M(l).

Como exemplo, considere como variável lingüística a “resistência do

solo à penetração (RP)”. Admitindo valores lingüísticos: baixa, média e alta, para a variável

“resistência do solo à penetração”, cada um destes valores lingüístico admite valores

numéricos num intervalo [0, RP

max

], e assim, podendo projetar os valores lingüísticos sobre o

intervalo [0, RP

max

] através de funções de pertinências. À atribuição de um significado para os

termos lingüísticos, é associado a cada um destes termos um conjunto fuzzy definido sobre um

universo de discurso comum. Assim, desde que uma variável lingüística tem por característica

assumir valores dentro de um conjunto de termos lingüísticos (cada termo da variável

“resistência do solo à penetração”), cada valor fuzzy da “resistência do solo à penetração”, que

são elementos de T(RP), é caracterizado por um conjunto fuzzy, digamos; baixa: [0,0 , 2,5],

média: [2,6 , 5,0] e alta: [5,1 , 15,0] , em um universo de discurso, por exemplo [0,0 , 15,0].

Na Figura 14 é mostrado como os elementos da variável fuzzy “resistência do solo à

penetração” podem ser dispostos pela quíntupla < X, T(X), U

, G, M >.

Figura 14. Variável lingüística “resistência do solo à penetração”

e um conjunto fuzzy de valores discretos

Pela Figura 14 pode-se citar a variável lingüística com rótulo

X = resistência do solo à penetração, com conjunto de termos T(resistência do solo à

penetração) = {baixa, média, alta}, universo de discurso U = [0,0 , 15,0] e um dos valores

M(X) escrito como:

]}MPa 50,1 , MPa 0,0[))(,({ ∈=)( xxxbaixa

baixa

M .

1,0 1,0 0,8 0,4

0,0

0,2

Universo

de discurso

0,8 0,4 0,6

0,6

1,0

Resistência do solo

à penetração

0,2

Baixa

Média

Alta

2 2

9 3

Graus de

Pertinências

Variável Fuzzy

Valores Fuzzy

Na Figura 15 são ilustrados três possíveis termos lingüísticos para a

variável representando a “resistência do solo à penetração”.

Figura 15. Representação da variável lingüística resistência do solo à penetração.

Supondo uma medida do universo de discurso e tendo em conta que

foram definidas três funções: duas retangulares (baixa e alta) e uma triangular (média), que

qualquer valor da resistência à penetração, por exemplo 2,2 MPa, tem um único grau de

pertinência a cada valor:

6,0)2,2(

baixa

4,0)2,2(

média

0,0)2,2(

alta

e, pode ser observado sobre o eixo

)(x

a fuzzyficação da medida, ou seja, a conversão da

medida, de valor 2,2 MPa do universo de discurso, em valores compreensíveis para fuzzy, é

dada por:

2,2 MPa = 0,6 “baixa” + 0,4 “média” + 0,0 “alta”.

4.6.5 Operações com Variáveis Lingüísticas

As principais operações entre variáveis lingüísticas são realizadas por

meio da utilização dos conectivos “

e”, “ou” e “não”, e por meio desses conectivos podem ser

realizadas composições lógicas entre os termos das variáveis lingüísticas. Assim, dados dois

)(x

BAIXA MÉDIA

ALTA

0 2

0 3

0 4

0 R

(

MPa

)

termos A e B de uma determinada variável lingüística, as operações compostas “A e B” e “A

ou B” são definidas, respectivamente, em função de seus graus de pertinências por:

“A

e B” ⇒ )(x

e )(x

(

)

)(),(min xx

“A

ou B” ⇒ )(x

ou )(x

(

)

)(),(max xx

Para a operação de complemento “

não” de uma variável lingüística A,

tem-se a expressão:

“

não A” ⇒ 1 –

)(x

4.6.6 Relações de Implicações

Sejam A e B dois conjuntos fuzzy, com suas funções de pertinências

)(x

e )(y

, em

VU ×

, respectivamente. A implicação fuzzy entre os conjuntos fuzzy A e

B é um novo conjunto fuzzy C, representado por C =

BA →

, se define como um tipo especial

de relação fuzzy em

VU × , definida mediante a função de pertinência

[

]

1,0: →×

→

tal que

(

)

)(),(),( yxIyx

BABA

→

VyUx

∈

∀

∈

∀

(26)

onde,

[][] []

1,01,01,0: →×I é um operador de implicação obedecendo as seguintes

propriedades, para

∀ x, x’, y, y’

[

]

1,0∈ :

• se

′

≤

então

),(),( yxIyxI

′

≤

• 1),0( =yI

• yyI =),1(

Uma interpretação simples consiste em definir a implicação fuzzy

através de uma função de pertinência particular mediante o operador mínimo (min),

representando a implicação fuzzy pela função de pertinência:

)}(),(min{),( yxyx

BABA

→

4.6.7 Inferência de Regras Fuzzy

O processo de inferência fuzzy ou raciocínio aproximado permite que

sistemas fuzzy sejam elaborados por um conjunto de regras fuzzy através de proposições

condicionais, do tipo “

se (condição) ... então (ação)”, baseadas nas variáveis lingüísticas para

executar um processo de tomada de decisão.

As regras fuzzy descrevem situações específicas que podem ser

submetidas à análise de especialistas, e cuja inferência conduz a algum resultado desejado

(ORTEGA, 2001). A inferência baseada em regras fuzzy pode ser compreendida como um

funcional que mapeia um conjunto de uma ou mais variáveis de entrada associadas a um

conjunto fuzzy, denominadas premissa ou antecedentes, para um conjunto de uma ou mais

variáveis de saída, também, associadas a conjuntos fuzzy, denominadas conseqüentes ou

conclusão, de um dado sistema. Segundo Lee (1990) e Ortega (2001) cada regra fuzzy é

composta por uma parte antecedente ou premissa, parte “

se”, e uma parte conseqüente ou

conclusão, parte “

então”, resultando em uma estrutura do tipo:

Se < proposição fuzzy antecedente > Então < proposição fuzzy conseqüente >.

Uma proposição fuzzy simples, representada por “x é A”, onde x um

valor do domínio e A uma variável lingüística, estabelece uma relação entre um valor x do

domínio e o espaço fuzzy (COX, 1992). Dessa maneira, modelos fuzzy representam um

sistema através de um conjunto do tipo:

Se “x é A” Então “y é B”

sendo a proposição “x é A” o antecedente e a proposição “y é B” o conseqüente da regra fuzzy.

As proposições podem também ser estabelecidas através de

composição de proposições simples, denominadas proposições fuzzy compostas, utilizando

conectivos lógicos “

e”, “ou” e “não” representando, respectivamente, a intersecção, união e

complemento fuzzy. Assim, se x e y são variáveis lingüísticas nos universos de discurso U e V,

e A e B são conjuntos fuzzy, respectivamente, em U e V, tem-se:

• a proposição fuzzy composta dada por:

“x é A

e y é B”

é uma relação fuzzy

A ∩ em VU

definida por seu grau de pertinência

(

)

(

)

)(),(min)(),(),( yxyxtyx

BABABA

∩

com

[][] []

1,01,01,0: →×t uma T-norma;

• a proposição fuzzy composta dada por:

“x é A

ou y é B”

é uma relação fuzzy

A ∪ em

definida por seu grau de pertinência

(

)

(

)

)(),(max)(),(),( yxyxsyx

BABABA

∪

com

[][] []

1,01,01,0: →×s uma S-norma;

• a proposição fuzzy composta dada por:

“x é

não A”

é uma relação fuzzy

A em U definida por seu grau de pertinência

)(1)( xx

−

= .

As variáveis de entrada são conectadas entre si por intermédio dos

operadores lógicos fuzzy, e estas se associam a valores lingüísticos (conjuntos fuzzy), em todo

universo de discurso por meio de funções de pertinências.

Na utilização de regras composicionais de inferência é possível definir

procedimentos para se obter uma conclusão fuzzy a partir de uma ou mais regras,

representadas por uma relação fuzzy R, e de um fato fuzzy (DELGADO, 2002). Assim, se x e

y são variáveis lingüísticas compostas respectivamente por um conjunto de termos

,...,A

} e {B

,...,B

} então o problema básico do processo de inferência é encontrar

uma função de pertinência

′

que represente a conseqüência da aplicação simultânea de

regras da forma “se ... então”.

Formalmente, dado um fato observável (x é A

′

), o qual é representado

por um conjunto fuzzy

′

, e uma base de regras dada por uma relação fuzzy R, um conjunto

fuzzy induzido pelo fato x é

′

e pela regra R, é dado por:

Fato: x é

′

Regra 1: se x é A

então y é B

;

Regra 2: se x é A

então y é B

M M M

Regra n: se x é A

então y é B

Conseqüência: y é

′

O processo de inferência fuzzy aplicado nas regras acima, em geral, é

baseado na regra modus ponens generalizada explicitada por:

Fato: x é

′

Regra: se x é A então y é B

Conseqüência: y é

′

onde A,

′

, B e

′

são conjuntos fuzzy associados aos valores das variáveis lingüísticas x e y.

Simbolicamente:

Fato:

′

Regra: A B_

Conclusão:

(

)

BAAB →

′

Isto significa que a regra modus ponens generalizada permite inferir o

valor fuzzy

′

, dado um valor de entrada A

′

e uma relação de implicação ),( yxR

BA→

relacionando ambas variáveis. O valor inferido

′

é calculado através da composição do valor

′

com a relação de implicação R:

(

)

BAAyxRAB

→

′

→

oo ),( (27)

com função de pertinência (ARNOULD; TANO,1995) dada por:

(

)

[

]

{

}

)(),();(minsup)( yxIxy

BAA

′′

= , (28)

onde

[][] []

1,01,01,0: →×I é o operador implicação.

Como um exemplo da regra modus ponens, dado um fato observável

(densidade é muito alta) e uma base de regras (se densidade é alta então solo é compactado),

um conjunto fuzzy induzido pelo fato e pela regra, é dado por:

Fato: densidade é muito alta

Regra: se densidade é alta então solo é compactado

Conseqüência: solo é muito compactado

Vários tipos de inferência fuzzy podem ser utilizados para relacionar

as entradas e saídas de um conjunto finito de regras, e estas inferências diferem pelo tipo de

operador e pelos tipos de proposições antecedentes e conseqüentes utilizados. O método de

inferência determina a forma operacional do modelo fuzzy, e este é um mapeamento que

define uma transformação do valor fuzzy de entrada em um valor de saída.

As bases de regras fuzzy podem ser constituídas de várias formas, de

acordo com o número de variáveis lingüísticas apresentadas na entrada e na saída dos

sistemas, determinando e classificando os modelos lingüísticos como: modelo SISO (Single-

Input/Single-Output), modelo MISO (Muliple-Input/Single-Output) e modelo MIMO

(Muliple-Input/Multiple-Output).

O modelo SISO (Single-Input/Single-Output), apresenta regras

constituídas por uma única entrada e uma única saída. Neste caso o conhecimento é expresso

por meio de um conjunto de regras possuindo a seguinte estrutura:

Regra 1: Se x é A

Então y é B

;

Regra 2: Se x é A

Então y é B

;

...

Regra n: Se x é A

Então y é B

onde x é a variável lingüísticas de entrada (antecedentes), y é a variável lingüísticas de saída

(conseqüentes) e A

e B

são valores fuzzy (subconjuntos fuzzy dos conjuntos U e V, universos

de discurso das variáveis) das entradas e saídas, em geral, os conjuntos fuzzy A

e B

estão

associados a algum termo lingüístico, tais como, pequeno, médio, muito alto, baixo, rápido.

O modelo MISO (Muliple-Input/Single-Output) caracteriza-se por

sistemas que consistem de múltiplas entradas e uma única saída (LEE,1990). Uma base de

regras para o modelo MISO com m regras e n variáveis fuzzy de entradas e uma variável fuzzy

de saída tem a seguinte forma:

Regra 1: Se x

é A

1,1

e x

é A

2,1

e ... e x

é A

n,1

, Então y é B

;

Regra 2: Se x

é A

1,2

e x

é A

2,2

e ... e x

é A

n,2,

Então y é B

;

...

Regra m: Se x

é A

1,m

e x

é A

2,m

e ... e x

é A

n,m,

Então y é B

onde x

, x

, ...,x

são as variáveis lingüísticas de entrada e y é a variável de saída e A

n,m

, e B

subconjuntos de um universo de discurso U e V, respectivamente, os valores fuzzy de entrada

e saída do modelo.

Um exemplo para a base de regras possuindo a estrutura MISO é dado

como:

Regra 1: Se (densidade do solo é alta) e (textura é argilosa) e

(resistência à penetração é média)

Então (solo é muito compactado);

Regra 2: Se (densidade do solo é baixa) e (textura é siltosa) e

(resistência à penetração é baixa)

Então (solo é compactado)

As regra 1 e regra 2 formam um modelo fuzzy com três variáveis e

dois valores lingüísticos para cada variável, tendo então 12 regras, para se chegar à conclusão

do tipo de compactação que o solo pode ter, a partir dos atributos que são as variáveis

lingüísticas de entrada, densidade do solo (alta/baixa), textura do solo (argilosa/arenosa) e

resistência à penetração (média/alta). As variáveis de saída “muito compactado” e

“compactado” representam os conjuntos fuzzy da parte conseqüente do sistema de regras de

dois tipos de compactação de solo segundo uma classificação fuzzy adotada.

O modelo MIMO (Muliple-Input/Multiple-Output) apresenta múltiplas

variáveis fuzzy de entrada e múltiplas variáveis fuzzy de saída, com as regras possuindo a

seguinte forma:

Regra 1: Se x

é A

1,1

e x

é A

2,1

e ... e x

é A

n,1

Então y

é B

1,1

, y

é B

2,1 ,

... , y

é B

s,1

Regra 2: Se x

é A

1,2

e x

é A

2,2

e ... e x

é A

n,2

Então y

é B

1,2

é B

2,2

, ... , y

é B

s,2

...

Regra m: Se x

é A

1,m

e x

é A

2,m

e ... e x

é A

n,m

Então y

é B

1,m

, y

é B

2,m

, ... , y

é B

s,m

onde as variáveis de entrada x

,...,x

e os termos lingüísticos A

i,j

, com i = 1,2,...,n e

j = 1,2,...,m , são definidos como no modelo MISO, y

, y

,..., y

são as variáveis de saída e B

i,j

com i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m, são subconjuntos fuzzy definidos no universo de discurso

, V

,...,V

das variáveis de saída.

4.6.8 Sistema de Inferência Fuzzy

Os sistemas de inferência fuzzy são sistemas que mapeiam as entradas

advindas de um conjunto de dados resultante de medições ou observações experimentais em

saídas precisas, y = f(x), onde x é entrada e y a saída do sistema de inferência fuzzy e f uma

representação quantitativa do mapeamento.

A estrutura de um sistema de inferência é baseada em um conjunto de

regras fuzzy incluindo quatro componentes básicos principais (JANG et al.,1997 apud

DELGADO, 2002; SERRA, 2005):

• um fuzzyficador, que traduz a informação de entrada em conjuntos fuzzy. A cada

variável de entrada são atribuídos termos lingüísticos que são os estados da variável, e

cada termo lingüístico é associado a um conjunto fuzzy traduzido por uma função de

pertinência;

• uma base de conhecimento, que consiste de um conjunto de regras fuzzy e de uma base

de dados. No conjunto de regras fuzzy (conhecido como base de regras) estão as

declarações lingüísticas do tipo “se...então”, definidas por especialistas ou retiradas de

um conjunto de dados numéricos. Na base de dados estão as variáveis lingüísticas, as

definições dos respectivos universos de discursos e o conjunto de funções de

pertinências;

• um método de inferência, que aplica um raciocínio fuzzy para obter uma saída fuzzy;

• um defuzzyficador, que traduz a saída por um valor numérico.

As relações entre as variáveis de entrada e saída em um sistema fuzzy

é, como já visto, representado através da forma geral: “se

antecedente

então

conseqüente

”, e dependendo da forma da parte “então” (parte conseqüente), existem dois

tipos de sistema de inferência fuzzy: sistema de inferência fuzzy Mamdani (onde as

proposições do antecedente e do conseqüente são proposições fuzzy) e sistema de inferência

fuzzy Takagi-Sugeno (onde o antecedente é uma proposição fuzzy e o conseqüente uma

expressão funcional das variáveis lingüísticas definidas no antecedente).

4.6.9 Agregação

Em uma base de regras, quando mais de uma regra é acionada, as

contribuições das diversas regras após a inferência são combinadas pelo operador de

agregação. Para uma única regra R: A→B, o processo de inferência de B´ a partir do fato A´, e

da regra fuzzy R, é dado por :

B´ = A´o R = A´ o ( A → B )

No caso em que o operador lógico é a conjunção fuzzy, a relação

R: A→B = A x B é um ponto fuzzy.

Quando são apresentadas mais de duas regras, o raciocínio fuzzy é

realizado sobre um conjunto de m regras fuzzy na forma:

Regra i = R

: Se x é A

então y é B

, i = 1,2,...,m

Cada regra individual R

(i = 1,2,...,m) é induzida por uma relação

fuzzy diferente. Assim, o conjunto de regras, por sua vez, resulta numa relação fuzzy obtida

pela agregação de todas as relações individuais, através da operação união:

()

RABB

oUU

′

== 11

Utilizando a regra de inferência composicional de Zadeh (ZADEH,

1973) para uma relação do tipo

→

, onde UA

∈

e VB

∈

, e dado um conjunto fuzzy de

U denotado por A’ e um conjunto fuzzy B’ de V, a inferência B’ é dada pela função de

pertinência, através do operador max-min, por:

(

)

{

}

),(),(minmax)( yxxy

′

∈

′

= ; Ux

∈

, Vy ∈ (29)

Em geral, o operador agregação, representado pelo símbolo

U , é

caracterizado por uma S-norma, podendo ainda ser utilizado as T-normas.

Um exemplo de função para o operador agregação é o operador união,

ou seja, a agregação do conjunto de regras é realizada através do operador união sobre todas as

relações individuais (ORTEGA, 2002). Por exemplo, supondo

B,,B

′

todos os resultados

derivados das diversas regras acionadas, todos relacionados a uma mesma variável lingüística,

o resultado da implicação de todas as regras B

’

é dada por:

′

onde o símbolo

U representa o operador agregação.

Para a agregação do conjunto de regras, vários métodos podem ser

utilizados, na maioria dos casos o antecedente (parte “se”) é formado por proposições

lingüísticas e a distinção entre os modelos se dá no conseqüente (parte “então”) das regras

fuzzy. Entre os modelos mais conhecidos podem ser destacados:

• modelo de Mamdani (MAMDANI; ASSILIAN, 1975 apud DELGADO, 2002): utiliza

conjuntos fuzzy tanto no antecedente como no conseqüente das regras fuzzy. A saída

final é representada por um conjunto fuzzy resultante da agregação da saída inferida de

cada regra. Para se obter uma saída final não fuzzy adota-se um dos métodos de

transformação da saída fuzzy em não-fuzzy descritos na desfuzzyficação dos dados.

• modelo de Takagi-Sugeno (TAKAGI; SUGENO, 1983 apud DELGADO, 2002): no qual

o antecedente é uma proposição fuzzy e o conseqüente é representado por uma função

das variáveis de entrada. A saída final é obtida pela média ponderada das saídas inferidas

de cada regra. Os coeficientes da ponderação são dados pelos graus de ativação das

respectivas regras.

A seguir, serão detalhados os dois modelos mais comuns: Mamdani e

Takagi-Sugeno.

4.6.10 Modelo de Mamdani

No modelo de Mamdani as saídas são construídas pela superposição

dos conseqüentes das regras individuais do tipo:

Regra i: Se x é A

então y é B

onde i = 1,2,...,n, n é o numero de regras, x é a variável lingüística de entrada, y é a variável

lingüística de saída e A

e B

são subconjuntos fuzzy, respectivamente, dos universos de

discursos U e V.

Cada uma das regras acima, pode ser expressa através de uma relação

fuzzy R

interpretada como o produto cartesiano dos conjuntos fuzzy A

e B

iii

BAR ×=

ou seja, a relação R

é um subconjunto de VU

, com função de pertinência dada por:

(

)

)(),(min),( yxyx

iii

BAR

onde “min” (operador mínimo) é o operador de conjunção fuzzy.

A agregação dos conjuntos de regras é realizada através do operador

união sobre todas as relações individuais e, desta maneira, denotando por R a união de todas

estas relações tem-se:

= U

e a função de pertinência

),( yx

da relação fuzzy R é dada por

(

)

{

}

)(),(minmax),(),(

yxyxyx

iii

BAR

μμμμ

U (30)

onde “max” (operador máximo) é um operador de disjunção fuzzy.

Dessa forma, dado um conjunto fuzzy de entrada A, o conjunto fuzzy

de saída B’(y) é então obtida através da regra de inferência “max-min”

),()()( yxRxAyB

′

onde “

o ” é um operador de composição, cuja função de pertinência é dada por

{}

()

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∧=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∧=∧=

′

),()(),()(),()()(

yxxyxxyxxy

AxRAxB

μμμμμμμ

UUUUU

onde o símbolo

U representa o operador agregação e “

∧

” é o operador T-norma.

Em resumo, o modelo de Mamdani de inferência fuzzy é baseado em

composição “max-min” e dado pela definição a seguir.

Definição 23

Sejam A, A’ e B conjuntos fuzzy em U, U e V respectivamente.

Supondo a implicação fuzzy A → B expressa pela relação fuzzy R sobre

VU ×

, então o

conjunto fuzzy B’ induzido por “x é A’” e pela regra fuzzy “se x é A então y é B” é definido

por:

(

)

RAARAB →

′

com função de pertinência dada por

{

}

(

)

{

}

),(),(minmax),()()( yxxyxxy

′

∈

′

∈

′

∧

∨=

onde “

∨ ” é o operador S-norma e “

∧

” é o operador T-norma.

A Figura 16 ilustra o processo de inferência max–min quando existem

duas regras, A

→ B

e A

→ B

′

é o fato de entrada, representado como um conjunto fuzzy.

Figura 16. Mecanismo de inferência fuzzy de Mamdani

Sem perda de generalidade, podem ser consideradas bases com

múltiplas regras fuzzy com múltiplos antecedentes da forma:

Regra i: Se x

é A

1,i

e x

é A

2,i

e ... e x

é A

n,i

então y é B

, i = 1,2,...,m

onde m é o número de regras, x

,...,x

são variáveis lingüísticas e A

1,i

2,i

,...,A

n,i

são

conjuntos fuzzy, respectivamente, nos universos de discursos U

,...,U

, e B

são

subconjuntos de um universo de discurso V, de valores fuzzy de saída do modelo.

Cada uma destas regras é interpretada através de uma implicação

fuzzy:

Regra i :

)()()()(

,,2,1

yxxx

iinii

BnAAA

→

∧

∧ L

, i = 1,2,...,m

onde “

∧

” denota uma T-norma, )()()(

,,2,1

21 nAAA

xxx

inii

∧

L é uma relação fuzzy das

entradas lingüísticas entre si, sobre o universo de discurso

UUU L

e )(y

é a saída

definida sobre o universo de discurso

V . Neste caso, cada uma das regras é expressa por uma

relação fuzzy R

como o produto cartesiano dos conjuntos fuzzy A

1,i

, A

2,i

,..., A

n,i

e B

iiniii

BAAAR

,,2,1

′

Agregação

ou seja, a relação R

é um subconjunto de VUUU

com função de pertinência dada

por:

)()()()(),,,,(

,,2,1

2121

yxxxyxxx

iiniii

BnAAAnR

∧

O conjunto de todas estas implicações corresponde a uma única

relação fuzzy em VUUU

×× L

, obtida pelo operador união fuzzy máximo (max) sobre

todas as relações individuais R

, da forma:

(

)

yxxxRyxxxR

iinii

BnAAA

()()()(),,,,(

,,2,1

μμμμ

∧∧∧∧==

LUUK

e a função de pertinência ),,,,(

yxxx

da relação fuzzy R é dada por:

),,,,(),,,,(

yxxxyxxx

KUK

μμ

(

)

)()()()(

,,2,1

yxxx

iinii

BnAAA

μμμμ

∧∧∧∧=

com o símbolo

U denotando uma S-norma.

Dessa forma, para um dado conjunto de variáveis de entrada fuzzy

1,i

, A

2,i

,...,A

n,i

, o conjunto fuzzy de saída B’(y) é então obtida através da regra de inferência

“max-min”:

()

),,,,()()()()(

2121

,,2,1

yxxxRxxxyB

nnAAA

inii

KoKU

μμμ

∧∧∧=

′

onde “

o ” é um operador de composição, o símbolo U representa o operador agregação, “

∧

” é

o operador T-norma e a função de pertinência dada por:

()

),,,,()()()()(

2121

,,2,1

yxxxxxxy

nRnAAA

inii

KKU

μμμμμ

∧∧∧∧=

′

Nesta expressão tem-se representado um sistema de inferência fuzzy

de Mamdani para um sistema MISO, podendo esta ser estendida para um sistema MIMO com

m saídas para um conjunto de n bases de sub-regras MISO agrupadas (SERRA, 2005) da

seguinte forma:

()

),,,,()()()(

2121

,,2,1

yxxxRxxx

nMIMOnAAA

inii

KoKU

μμμ

∧∧∧=

′

(y)B

onde, )(yB

′

é um vetor

[]

′′′

′

)()()()(

21 n

yByByB LyB

(

)

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∧∧∧∧=

)()()()(),,,,(

,,2,1

21 jBnAAA

nMIMO

yxxxyxxxR

inii

μμμμ

KUUK

com

j 1=

U o operador união representando a coleção de todas as relações fuzzy de um sistema

MISO associadas a cada uma das saídas y

, j = 1,2,...,m.

4.6.11 Modelo de Takagi-Sugeno

O sistema de inferência fuzzy Takagi-Sugeno, representa um sistema

dinâmico ou um controle que associa um conjunto de regras lingüísticas no antecedente (parte

“se”) com proposições fuzzy, e no conseqüente (parte “então”) são apresentadas expressões

funcionais, do tipo

)(xfy =

, das variáveis lingüísticas do antecedente, ao invés de conjuntos

fuzzy como usados no modelo de Mamdani.

A base de regras fuzzy para o modelo de Takagi-Sugeno, é da forma:

Regra i: Se x

é A

1,i

e x

é A

2,i

e ... e x

é A

n,i

então y

= f

(x) , i = 1,2,...,m

onde m é o número de regras, x

,...,x

são as variáveis de entrada, A

1,i

2,i

,..,A

n,i

são

conjuntos fuzzy no antecedente das regras de um sistema MISO, nos universos de discursos

,...,U

, respectivamente, e f

(x), i=1,2,...,m, são funções lineares ou não-lineares das

variáveis numéricas de entrada.

No caso em que

[

]

xxx L

é um vetor de dimensão n, as

regras fuzzy para o modelo de Takagi-Sugeno podem ser escritos na forma:

Regra i: Se x

é A

1,i

e x

é A

2,i

e ... e x

é A

n,i

então y

= f

,...,,x

) , i = 1,2,...,m

onde os n conjuntos fuzzy A

1,i

, A

2,i

,...,A

n,i

do antecedente da regra i (i = 1,2,...,m) formam uma

região

n,i,i,i

AAA ××× L

no espaço de entrada de x

,...,x

, respectivamente, denominada

de superfície fuzzy entrada-saída.

A saída do modelo de Takagi-Sugeno (ORTEGA, 2001) é definida

como a soma ponderada dos conseqüentes y

, (i = 1,2,...,m), de cada subsistema linear, de

forma análoga à realizada no modelo de Mamdani, dada por:

∑

(31)

onde,

∑

)(

(32)

é o grau de ativação normalizado para a regra i (i = 1,2,...,m), com o grau de ativação h

para a

regra i dada por:

)()()()(

,,2,1

21 nAAAi

xxxh

inii

∧

= Kx , i = 1,2,...,m (33)

onde x

é um ponto do universo de discurso U

(j = 1,2,...,n).

A Figura 17 ilustra o processo de inferência de Takagi-Sugeno quando

existem duas regras definidas por:

Regra 1: Se x

11,

A e x

12,

A então y

= f

, x

)

Regra 2: Se x

21,

A e x

22,

A então y

= f

, x

)

onde y

= f

, x

) = p

+ q

+ r

, i = 1, 2.

Figura 17. Mecanismo de inferência fuzzy de Takagi-Sugeno.

Média

ponderada

22,

12,

21,

11,

= p

+ q

+ r

= p

+ q

+ r

2211

ywyw

∗

min

4.6.12 Defuzzyficação

A ação de controle consiste da união de todas as funções fuzzy

ativadas. O valor final, ou seja, aquele que será apresentado pelas saídas do sistema fuzzy, será

determinado pelo processo de defuzzificação.

A defuzzyficação consiste em determinar o valor da estimação não-

fuzzy, ou seja, obter a melhor representação para o conjunto de saída fuzzy, aplicando um

método de defuzzyficação no conjunto

′

U resultante da agregação de todos os

conjuntos fuzzy da saída

′

, m,,,i K21= . Desta forma, defuzzyficacão consiste em converter

os dados fuzzy em valores numéricos precisos, utilizando vários métodos para encontrar a

saída do sistema, sendo os principais: método do centro de área (centróide), método do

máximo e o método da média dos máximos. No método centróide, procura-se encontrar o

ponto de domínio associado ao centro de massa da região de saída. No método do máximo, a

saída é o ponto no domínio com o maior grau de pertinência. E o método do centro dos

máximos calcula a média das saídas com alto grau de pertinência.

4.6.13 Método do Centro de Área

O método do centro de área (CDA), ou método centróide, é a técnica

de defuzzificação mais comumente usada (KLIR; YUAN, 1995 e YEN; LANGARI, 1999

apud ORTEGA, 2001). Neste caso, o valor de saída é aquele que divide ao meio a área da

função de pertinência gerada pela combinação das conseqüentes das regras. Ainda, o método

do centro de área pode ser compreendido como uma média ponderada, onde μ

(x) funciona

como o peso do valor x. A defuzzyficação da conclusão fuzzy A é dada por:

∑

⋅

)(

; se x é discreto

CDA = (34)

∫

dxx

xdxx

)(

; se x é contínuo

4.6.14 Método da Média dos Máximos

O método de defuzzificação da média dos máximos (MM) calcula a

média de todos os valores de saída que tenham os maiores graus de pertinências. Supondo que

“y é B” é uma conclusão fuzzy que deve ser defuzificada, o método de defuzificação pode ser

expresso como:

∑

∗

(35)

onde

∗

y são os valores do universo de discurso de

′

U que contém graus de

pertinências máximos e m é a quantidade deles.

5 MATERIAL E MÉTODO

5.1 MATERIAL

Os dados, referentes à compactação do solo, utilizados para a execução

da pesquisa e assim estimar a densidade do solo, foram retirados de trabalhos científicos já

existentes na literatura, tais como dissertações, teses, livros, periódicos e outros. Nestes

trabalhos, as amostras de solos, obtidas em experimentos realizados pelos autores: Salvador

(1992), Ralisch (1995), Gabriel Filho (1998), Santos (1998), Ralisch (1999), Levien (1999),

Guerra et al (2000), Castro Neto (2001), Lazarini (2002) e Nagaoka (2003) foram coletadas

nas seguintes localizações: na Fazenda Lageado, pertencente à Faculdade de Ciências

Agronômicas da Universidade Estadual Paulista, Campus de Botucatu, São Paulo, localizado

geograficamente na coordenada 22º51’ de latitude sul, 48º26’de longitude oeste e altitude

média de 770 metros ao nível do mar; na Fazenda Escola da Universidade Estadual de

Londrina com localização geográfica a 23º20’ de latitude sul, 51º de longitude oeste e altitude

estimada em 590 metros; e na estação experimental Eloy Gomes da OCEPAR em Cascavel,

estado do Paraná, com a localização geográfica de 24º56’ de latitude sul, 53º26’ de longitude

oeste e altitude média de 760 metros.

Para o desenvolvimento do modelo proposto foi utilizado o software

Matlab (versão 6,5) e um computador com processador AMD Sempron 2800+, 1,61 GHz e

512 MB de RAM. Foi utilizado o Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS)

pertencente a Fuzzy Logic Toolbox do software Matlab para o treinamento e o teste dos dados

observados. O sistema foi alimentado com os dados de entradas sendo a resistência do solo à

penetração, o teor de água e teor de argila, referentes aos parâmetros de compactação do solo,

obtidos dos diversos trabalhos e obtendo como saída a densidade do solo.

5.2. MÉTODO

5.2.1. Tratamento dos Dados

Para o desenvolvimento da pesquisa foi estudado um conjunto de 1003

observações de dados do solo, e estes foram divididos em dois grupos: solo preparado,

constituído de 735 observações, e solo não preparado, constituído de 268 observações. São

considerados solos preparados aqueles em que houve a passagem de arado, de grade, de

escarificador, e outros, e o solo não preparado são aqueles em que não houve nenhum tipo de

preparado ou em solo que foi realizado o plantio direto. Segundo a porcentagem de argila

existente no solo, cada um dos grupos acima foi dividido nos seguintes subgrupos; solo tipo I,

quando este apresentava menos de 30% de argila, solo tipo II, porcentagem de argila

compreendida entre 30% e 50%, e solo tipo III, solo apresentando mais de 50% de argila,

como mostra a Tabela 3.

Tabela 3. Classificação do solo de acordo com a porcentagem de argila

Tipo de Solo Solo Preparado Solo Não Preparado

Solo I argila < 30% argila < 30%

Solo II 30% < argila < 50%

Solo III argila > 50% argila > 50%

Dos dados para o desenvolvimento do trabalho foram selecionados,

aleatoriamente, 188 pares de observações, os quais foram utilizados como referência na

avaliação de desempenho do sistema de inferência a ser adotado. Este valor corresponde, em

média, a 20 % dos dados, e está em conformidade com o valor proposto na literatura

(HAYKIN, 2001) para a verificação do desempenho (teste) do modelo. O restante das

observações, 815 pares de dados, foram utilizados no treinamento do sistema para a estimativa

da densidade do solo. A Figura 18 mostra a distribuição dos dados usados na pesquisa em

desenvolvimento.

Figura 18. Divisão dos dados em grupos, utilizados para a estimativa da densidade do solo

Solo não

Preparado

(268 dados)

Solo Tipo I

(62 dados)

Dados de treinamento (48 dados)

Dados de teste (14 dados)

Solo Tipo II

(104 dados)

Dados de treinamento (84 dados)

Dados de teste (20 dados)

Solo Tipo III

(102 dados)

Dados de treinamento (78 dados)

Dados de teste (24 dados)

Solo Preparado

(735 dados)

Solo Tipo I

(334 dados)

Dados de treinamento (274 dados)

Dados de teste (60 dados)

Solo Tipo III

(401 dados)

Dados de treinamento (331 dados)

Dados de teste (70 dados)

5.2.2 Modelo Fuzzy para a obtenção da Densidade do Solo

O presente trabalho consistiu da utilização dos conceitos da lógica

fuzzy para estimar a densidade do solo utilizando-se como variáveis de entrada, três

características físicas do solo na profundidade de 0 a 40 centímetros, que são: a resistência à

penetração, representada pelo índice de cone, em kilopascal (kPa), o teor de água, representada

pela umidade do solo, em porcentagem (%), e a textura do solo, representada pela quantidade

de argila, em porcentagem (%), que serão consideradas constantes dentro de cada subgrupo de

classificação.

Com os conceitos da teoria fuzzy, o esquema do modelo matemático

fuzzy para o cálculo da densidade do solo pode ser apresentado na forma dada na Figura 19.

Figura 19. Modelo Fuzzy para a determinação da densidade do solo

Na Figura 19 cada uma das fases do modelo fuzzy é realizada uma

particular tarefa. Na fase de fuzzyficação são atribuídas às variáveis de entrada as respectivas

variáveis fuzzy. Na fase de conjunto de regras é atribuído um grau de pertinência a cada

variável fuzzy de saída. A fase de defuzzificação transforma as variáveis fuzzy calculadas em

variáveis de saída.

VARIÁVEIS DE ENTRADA:

íCone, Umidade, Argila

FUZZIFICAÇÃO

CONJUNTO DE

REGRAS FUZZY

DEFUZZIFICAÇÃO

VARIÁVEL DE SAÍDA:

dade

DADOS DE

ENTRADA

DADOS DE

SAÍDA

Dentro da teoria compreendida pela lógica fuzzy, associada à teoria

dos conjuntos fuzzy, uma das implementações mais usuais que se destacam são os sistemas de

inferência fuzzy.

Sistemas de inferência fuzzy são sistemas que possuem propriedades

que os tornam atrativos em diversas áreas de aplicações, e desempenham papel de grande

importância em tarefas como reconhecimentos de padrões, simulações, diagnósticos de

processos, identificação de sistemas, previsões, etc.

Os sistemas de inferência fuzzy além de serem capazes de incorporar

conceitos lingüísticos são também capazes de mapearem as relações entre as entradas e saídas

de um sistema, desta forma, estas propriedades podem ser empregadas para designarem dois

tipos principais de sistemas de inferência fuzzy (GUILLAUME, 2001).

Um destes tipos de sistema é o sistema de inferência fuzzy definido a

partir de uma base de conhecimento especialista, conhecidos como sistemas fuzzy

especialistas ou controladores fuzzy dependendo da finalidade ser, respectivamente,

modelagem ou controle.

Outro tipo de sistema de inferência fuzzy é aquele que incorpora o

aprendizado por meio de um conjunto de dados onde as variáveis de entrada estão

relacionadas com suas respectivas variáveis de saídas. Desta maneira, se pode observar que

este tipo de sistema de inferência fuzzy é definido com base nos dados coletados ao qual se

deseja modelar, diferenciando do primeiro tipo, onde o sistema fuzzy era definido

relacionando-se o conhecimento especialista adquirido pela observação do sistema.

Como mencionado, sistema de inferência fuzzy permite que sistemas

fuzzy sejam elaborados por um conjunto de regras fuzzy através de proposições condicionais,

do tipo “

se ... então”, baseadas nas variáveis lingüísticas para executar um processo de tomada

de decisão.

Segundo Babüska (2002 apud ARAÚJO, 2004) um critério para se

classificar sistemas fuzzy é a forma como os conseqüentes das regras são descritos, diferindo,

somente, a saída do sistema verificando se ela é um conjunto fuzzy ou se ela é uma função

fuzzy, ou seja, a principal diferença do sistema de inferência fuzzy em relação aos sistemas

lingüísticos é que sua parte conseqüente é uma função afim ou linear, no lugar de um conjunto

fuzzy. No primeiro caso o sistema é um sistema fuzzy lingüístico, também chamado de

sistema Mamdani. No segundo caso o sistema é um sistema fuzzy paramétrico, chamado de

sistema tipo Takagi-Sugeno.

Takagi e Sugeno (1985) estão entre os pesquisadores pioneiros a

proporem estruturas de sistemas de inferência fuzzy próprio à agregação, ou seja, sistemas de

inferência fuzzy baseada em um conjunto de padrões de ajuste para a sua definição. Ainda,

segundo os mesmos autores, o sistema fuzzy paramétrico se baseia no espaço das variáveis de

entradas onde é realizada uma partição fuzzy, e em cada subespaço fuzzy, que corresponde a

uma regra, se estabelece uma relação linear entre a variável de entrada e a variável de saída.

Sistemas de inferência fuzzy tem sido utilizados para modelar

processos complexos, não lineares e vagos, com base em um conjunto regras do tipo “

se ...

então”, que representam as entradas e saídas do modelo, que combinadas com métodos de

redes neurais artificiais, dão origem a um novo método classificado como híbrido. Deste

modo, os sistemas neuro-fuzzy combinam a capacidade de aprendizado das redes neurais

artificiais, através de dados de treinamento, com o poder de interpretação lingüístico dos

sistemas de inferência fuzzy. Neste caso, uma rede adaptativa baseada em um sistema de

inferência fuzzy implementa um sistema de inferência fuzzy do tipo Takagi-Sugeno e redes

neurais. A estrutura básica de uma rede adaptativa consiste em duas partes conceituais

principais: um sistema de inferência fuzzy que inclui três componentes; uma base de regra, um

banco de dados, um mecanismo de raciocínio, o qual é mostrado esquematicamente na Figura

20, e um mecanismo de aprendizagem que consiste em uma rede multicamadas feedforward.

Figura 20. Inferência fuzzy com saída precisa

SAÍDA

ENTRADA

DEFUZZIFICA

ÃOFUZZIFICA

ÃO

TOMADA DE

DECISÃO

Base de conhecimento

DADOS REGRAS

(Fuzzy) (Fuzzy)

Uma rede neural adaptativa se caracteriza por um grafo formado por

nós e conexões, onde os nós representam entradas e saídas, e cada um destes nós representa

uma unidade de processamento, tendo associado a ele uma função. Cada arco do grafo indica

uma relação entre os nós conectados. O conjunto de nós pode ser dividido em dois

subconjuntos: os nós adaptativos, cujas saídas dependem não só de suas entradas, mas também

de parâmetros modificáveis, internos ao modelo; e, em caso contrário, os nós, cuja função

depende somente das entradas, denominados não adaptativos. Em geral, para se representar as

redes neurais adaptativas, são utilizados retângulos para os nós adaptativos e círculos para os

nós não adaptativos.

Dentre as abordagens que usam métodos híbridos destaca-se o sistema

de inferência fuzzy neuro adaptativo (ANFIS), do inglês Adaptive-Network-based Fuzzy

Inference System, proposto por Jang (1993). O modelo ANFIS funciona de modo equivalente

aos sistemas de inferência fuzzy, e suas capacidades adaptativas as fazem aplicáveis a uma

grande quantidade de áreas de estudos como, por exemplo, em classificação de dados e

extração de características a partir de modelos. Uma propriedade do modelo ANFIS é que o

conjunto de parâmetros pode ser decomposto para utilizar uma regra de aprendizagem híbrida

mais eficiente que os mecanismos tradicionais encontrados na literatura.

O modelo ANFIS é uma ferramenta disponível no entorno técnico do

programa MATLAB que suporta apenas sistema de Takagi-Sugeno de ordem zero ou um, e

permite várias variáveis de entrada, porém, com somente uma variável saída que o faz ser

identificado como um modelo MISO, e os pesos entre as regras são iguais à unidade.

5.2.3 Arquitetura do Modelo ANFIS

Diferentes sistemas de inferência fuzzy proporcionam diferentes

arquiteturas para o modelo ANFIS. O sistema de inferência fuzzy construído é do tipo Takagi-

Sugeno, definido por um conjunto de regras da forma:

se x é A e y é B, então z = f(x, y)

onde x e y são variáveis fuzzy, A e B são conjuntos fuzzy e f é uma função de x e y que

aproxima o valor de z. Usualmente a função f é uma combinação linear das variáveis de

entradas, cujos coeficientes são estimados usando mínimos quadrados.

A funcionalidade do modelo neuro-fuzzy com base no modelo do tipo

de Takagi-Sugeno de primeira ordem (combinações lineares das entradas) e no algoritmo

ANFIS, considerando, por exemplo, um sistema de inferência fuzzy de duas entradas, x

e x

uma saída, f, e composto por duas regras fuzzy:

Regra 1: Se x

A e x

A , então f

= p

+ q

+ r

Regra 2: Se x

A e x

A , então f

= p

+ q

+ r

pode ser representada pela Figura 21.

Figura 21. Arquitetura típica de um modelo ANFIS

A arquitetura do ANFIS é composta por 5 camadas, os nós da camada

1 e 4 são adaptativos sendo seus valores os parâmetros das partes antecedentes e conseqüentes

da regra, respectivamente. A Figura 21 apresenta a arquitetura ANFIS equivalente ao

mecanismo do raciocínio utilizado para o modelo do tipo de Takagi-Sugeno, onde os nós

situados na mesma camada desempenham tarefas similares.

)(

xμ

)(

xμ

)(

xμ

)(

xμ

camada 3 camada 4 camada 5 camada 2camada 1

Cada camada da rede neural realiza um processo específico na

inferência da saída do sistema, com os nós das camadas adjacentes conectadas entre si

conforme descrito a seguir:

Camada 1: Os nós desta camada são representados por:

)(

(36)

onde, i = 1, 2 é o número de variáveis e j = 1, 2 é o número regras. Os nós são constituídos

pelos conjuntos fuzzy

A , i, j = 1,2, associados às variáveis de entrada x

, i = 1, 2. A saída de

cada nó é o grau de pertinência do valor x

ao conjunto fuzzy

A . Todos os nós são

adaptativos, possuem parâmetros que podem ser ajustados, e as funções de pertinências

)x(

podem ser definidas de várias maneiras; triangulares, trapezoidais, gaussianas,

sigmóides e outras, com a restrição de que estas funções devem ser diferenciáveis. A função

de pertinência do tipo gaussiana possui formato do tipo de sino, com imagem no intervalo

[0,1], definida por:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

(37)

onde, i = 1, 2 é o número de variáveis e j = 1, 2 é o número regras, x

é a variável de entrada e

c e

são os parâmetros ajustáveis das funções de pertinências, e denominados parâmetros

antecedentes, os quais são coeficientes não lineares, e correspondem ao centro e a

variabilidade da função de pertinência.

Camada 2: Cada nó desta camada é não adaptativo, não tem parâmetros para serem ajustados,

e tem como saída

),(

ww μμ= , 2,1

j , o produto dos sinais de entrada de suas entradas:

O =

∏

μμ

× , 2,1

j . (38)

Cada saída w

corresponde à intensidade de disparo de uma regra, ou seja, calcula com que

grau de pertinência o conseqüente da regra está sendo atendido. Os neurônios desta camada

simbolizam a operação de T-norma e, em geral, se pode utilizar outro operador, em lugar do

produto. Para regras que empregam o conectivo “e”, os operados mais usados são o “produto”,

e o operador “mínimo” dado por:

O =

∏

(

)

;min

μμ

2,1

. (39)

Camada 3

: Os nós desta camada não são adaptativos. A saída deste nó é definida por

),(

ww μμ= como a razão entre a intensidade de disparo da j-ésima regra e a soma dos

disparos de todas as outras regras, denominada de intensidade de disparo normalizado, dada

por:

O =

∑

w =

;

21,j

. (40)

A normalização é utilizada como um pré-processamento para a defuzzificação do sistema.

Camada 4: Cada nó desta camada é adaptativo e seus parâmetros, p

, q

, e r

, 2,1

j ,

correspondem à parte do conseqüente de cada regra do modelo. As saídas são calculadas pelo

produto entre os níveis de disparos normalizados e o valor do conseqüente da regra. Assim, a

saída

)r,q,p,x,x,w(ff

jjjjjj 21

corresponde à saída parcial da j-ésima regra, dada por:

O =

(

)

)rxqxpwf

jjjjj

(41)

onde,

21,j =

, é a saída da camada 3 e { p

, q

, r

} é o conjunto de parâmetros do

conseqüente de cada regra, ou seja, os valores p

, q

, e r

correspondem aos conseqüentes

‘singletons’ ou aos conseqüentes do modelo de Takagi-Sugeno de primeira ordem

(combinações lineares das entradas).

Camada 5: Esta camada é constituída por um único nó, não adaptativo. O nó desta última

camada da arquitetura calcula a saída do sistema e, juntamente com os nós das camadas 3 e 4,

promove a defuzzificação do sistema. A sua saída

)f,f(ff

, que é a saída global do

modelo, é definida como a soma de todas as saídas parciais f

, 21,j

O =

∑

ff . (42)

A aprendizagem do sistema ANFIS tem dois conjuntos de parâmetros

que devem ser treinados: os parâmetros do antecedente, que são as constantes que

caracterizam as funções de pertinências, e os parâmetros do conseqüente, que são os

parâmetros lineares da saída do modelo de inferência. A aprendizagem do modelo ANFIS

emprega algoritmos do gradiente descendente para otimizar os parâmetros do antecedente e o

algoritmo de mínimos quadrados para determinar os parâmetros lineares do conseqüente, ou

seja, o aprendizado é realizado em duas etapas, dadas a seguir, que se repetem até que o

critério de parada seja alcançado:

Etapa 1 – os parâmetros do antecedente permanecem fixos, e se utiliza do algoritmo de

estimação de mínimos quadrados sobre os parâmetros do conseqüente para cada

regra. Uma vez identificado os parâmetros do conseqüente, o erro é calculado

como a diferença entre a saída da rede e a saída desejada apresentada nos pares de

treinamento. Uma das medidas mais usuais para o erro de treinamento é a soma de

erros quadráticos, definido por:

()

∑

−=

yySEQ

(43)

onde, N é o número de pares observados, y

correspondem aos dados de

treinamento proporcionados (saídas desejadas) e

é a correspondente saída da

rede;

Etapa 2 – os parâmetros dos conseqüentes permanecem fixos, e se utiliza o algoritmo de

retropropagação (backpropagation) sobre os parâmetro do precedente para cada

regra.

Estas etapas são executadas até que o número de épocas (interações)

de treinamento ou o valor do erro, ambos pré-fixados, sejam atingidos primeiro pela rede,

Ressalta-se que um número grande de épocas de treinamento pode levar a uma deformidade

das funções de pertinências.

O modelo ANFIS ajusta através do algoritmo backpropagation os

parâmetros das funções de pertinências, as quais serão de um tipo único (todas triangulares,

todas gaussianas, etc), dependendo da escolha realizada. O método dos mínimos quadrados é

usado para encontrar os coeficientes das funções lineares, que formam o conseqüente das

regras fuzzy.

A aprendizagem da rede é obtida combinando o algoritmo de

backpropagation e o método dos mínimos quadrados. Para cada época de treinamento o

método é realizado através de uma passagem à frente (forward step) e uma passagem para trás

(backward step). Na passagem à frente, para cada vetor de entrada, a rede é avaliada até

camada 4, e os parâmetros do conseqüente são estimados usando o método de mínimos

quadrados. Em seguida, são calculados os erros para cada par do conjunto de treinamento, ou

seja, os erros são estimados pela soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e o

observado. No passo para trás, os erros são propagados e os parâmetros dos antecedentes são

modificados pelo mecanismo do algoritmo de backpropagation.

5.2.4 Algoritmo de Aprendizagem da Estrutura ANFIS

A aprendizagem da estrutura ANFIS envolve a seleção de variáveis, a

determinação do número de funções de pertinências por variável e a obtenção de um conjunto

de regras fuzzy. Para se obter um conjunto de regras fuzzy Chiu (1996) desenvolveu uma

técnica de agrupamento fuzzy denominada agrupamento subtrativo, utilizada para particionar

o espaço de entrada e saída de um conjunto de dados.

Quando não se conhece “a priori” quantos agrupamentos deve haver

para um determinado conjunto de dados, o agrupamento subtrativo é um algoritmo rápido e

robusto para saber este número. Ainda, esta técnica permite a localização do centro do

agrupamento, sendo as funções de pertinências e as regras obtidas a partir destes centros de

agrupamento e, portanto, com estas informações é possível gerar um sistema de inferência

fuzzy do tipo Takagi-Sugeno que modela o comportamento dos dados.

O procedimento do método do algoritmo de agrupamento subtrativo

desenvolvido por Chiu (1994 apud CHIU,1996) considera um conjunto de N amostras (vetores

de observações) de dados, x

,...,x

, definidas em um espaço de dimensão m + n (no

problema da identificação do sistema, m é o número de entradas e n é o número de saídas) e

que são normalizados em cada uma das dimensões, de modo que os dados estejam limitados

por um hipercubo unitário.

Como se referiu, cada uma das observações define um eventual

candidato a centro de um agrupamento e uma medida potencial associada ao ponto x

Ni ,,2,1

K= , para servir como centro do agrupamento, é dado por:

∑

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−⋅−=

expp

(44)

onde

Ni ,,2,1 K= , 0>

r é uma constante que define o raio de vizinhança de cada centro de

agrupamento e || . || denota a norma euclidiana.

Da expressão dada por (44) pode ser observado que os pontos x

localizados fora do raio de ação de x

irão ter influência pequena no potencial do ponto. Em

caso contrário, quanto mais próximo estiverem os pontos na vizinhança de x

maior será a

influência no potencial. Assim, o potencial associado a cada ponto vai depender de sua

distância a todos os outros, o que faz com que pontos com uma vizinhança densa irá originar

um potencial elevado para o seu centro.

Após o cálculo do potencial de cada um dos pontos, aquele com maior

potencial é selecionado como o primeiro centro de agrupamento. Para

∗

x , a localização do

primeiro centro, e

∗

p , seu valor potencial, encontrados, o potencial de cada ponto x

revisado por:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−⋅−⋅−←

expppp

(45)

onde Ni ,,2,1

K= , 0>

r é uma constante que define o raio de vizinhança de cada centro ou

a distância onde os pontos serão afetados pela redução de potencial.

Deste modo, é feita uma subtração do potencial de cada ponto em

função da distância do centro do primeiro agrupamento. Os pontos próximos ao centro do

primeiro agrupamento têm potencial muito reduzido e, portanto, pouca possibilidade de serem

escolhidos como o próximo centro de agrupamento. Em geral, o valor atribuído a r

deve ser

um pouco superior a r

, para se obter grupos espaçados. De acordo com Chiu (1996) define-se

o valor do raio de vizinhança r

por: r

= 1,25 r

Efetuada a redução de potencial de cada ponto, pela última expressão,

aquele que apresentar o maior potencial é escolhido para ser o local do segundo centro de

agrupamento e, assim sucessivamente, efetuando-se a redução de potencial de maneira

análogo para todos os pontos restantes. De modo geral, após ser obtido o k-ésimo centro de

agrupamento o potencial de cada ponto é reduzido por:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−⋅−⋅−←

kii

expppp

(46)

onde

∗

x , i = 1, 2, ..., N, é a localização do centro do k-ésimo agrupamento,

∗

p é o seu valor

potencial e

r é uma constante positiva que define o raio de vizinhança de cada centro.

O processo de seleção de novos centros e a redução de potencial se

repete de modo iterativo até que todos os pontos estejam abaixo de uma fração de potencial do

primeiro centro de agrupamento

∗

p ; como critério de parada do processo toma-se

∗∗

⋅<

)51( p,p

Esta fração de potencial é um parâmetro

que especifica o limiar

entre a aceitação ou rejeição do potencial de um ponto como centro de agrupamento, isto é, se

a relação entre o potencial do ponto e o do primeiro centro é superior a

, então ele é aceito

como candidato a centro; em caso contrário, especifica o limiar oposto segundo o qual o ponto

é rejeitado como candidato ao centro, pondo fim ao processo de procura. Recomenda-se o

parâmetro

= 0,5 um limiar para o qual o ponto é aceito e

= 0,15 o limiar no qual o ponto é

rejeitado.

Para um conjunto },,,{

∗∗∗

xxx K de k centros de agrupamentos em

um espaço m-dimensional, se as n primeiras dimensões correspondem às variáveis de entrada

e as últimas

nm −

dimensões correspondem às variáveis de saída, cada vetor

∗

x pode ser

decomposto em dois vetores componentes:

y ℜ∈

∗

−∗

ℜ∈

tal que

]|[

∗∗∗

iii

zyx

. Cada

centro de agrupamento

∗

x representa uma regra fuzzy da forma:

“se a entrada está próxima de

∗

y , então a saída está próxima de

∗

z ”

onde

∗

é a localização do centro de agrupamento no espaço de entrada e

∗

é a localização

do centro de agrupamento no espaço de saída.

Para um vetor de entrada y, o grau no qual a regra i é ativada é

definido por:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−⋅−=

expg

(47)

onde, Ni ,,2,1

K= , r

é o raio de vizinhança de cada centro de agrupamento e o vetor de

saída z é calculado por:

∑

∗

. (48)

O modelo neuro-fuzzy obtido pode ser visto em termos de um sistema

de inferência através de uma base de regras fuzzy do tipo “se ... então ...”, sendo cada uma das

regras da forma:

“se y

e y

e ... e y

então z é

”

onde y

é a i-ésima variável de entrada, z a variável de saída,

é uma função de pertinência

da i-ésima regra associada com à j-ésima entrada e

é uma função de pertinência

(singleton) na i-ésima regra associada à variável de saída.

A i-ésima regra tem função de pertinência, cujo centro do

agrupamento é representado por

∗

, dada por:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

∗

iji

exp)y(

(49)

onde

∗

y é o j-ésimo elemento de

∗

y e

ασ

21=

∗

, com

O algoritmo descrito por Chiu (1994), é utilizado na estimação do

número de regras necessárias à definição de um modelo fuzzy baseado em um conjunto de

dados, e não necessita de ser especificado previamente o número de agrupamentos no modelo.

No entanto, é importante notar que o parâmetro r

, raio de vizinhança do agrupamento, está

diretamente relacionado com o número de regras e/ou agrupamentos encontrados. Assim, um

raio pequeno gera um número elevado de regras e/ou agrupamentos, o que, no caso de ser

excessivo, pode redundar em problemas de sobre ajustamento, não dando boas generalizações.

Por outro lado, um raio grande produz um número menor de regras e/ou agrupamentos, o que

poderá gerar modelos com capacidades de aproximação reduzidas, no caso do número de

regras se mostrar pequeno. Deste modo, em aplicações práticas é necessário o teste de diversos

valores para r

e selecionar o mais adequado em função dos resultados obtidos. Quanto ao

parâmetro r

, este tem uma relação constante com r

, e por definição, r

afeta igualmente o

número de centros obtidos, sendo necessário também experimentar valores diferentes em

algumas ocasiões.

5.2.5 Determinação dos Conjuntos Fuzzy

Com o uso das técnicas de otimização não linear do modelo ANFIS,

um sistema de previsão foi implementado com as variáveis independentes: resistência à

penetração do solo, teor de água e a argila, e a variável dependente a densidade do solo.

O modelo ANFIS trata-se de uma ferramenta para a construção de um

sistema de inferência fuzzy quando não se conhecem as características das funções de

pertinências para as variáveis de entradas e saídas, e nem se conhece também o número de

grupos ótimos dentro do sistema.

Após os dados serem carregados no ANFIS, para a geração do sistema

de inferência fuzzy foi selecionado o particionamento “agrupamento subtrativo” (do inglês,

“subctrative clustering”), e utilizado o tipo de treinamento híbrido, que usa o algoritmo

backpropagation e o método de mínimos quadrados.

Durante o treinamento alguns parâmetros foram ajustados visando

selecionar a configuração com melhor desempenho, para alcançar resultados coerentes, e

foram feitas diversas experiências a fim de refinar as funções de pertinências e,

conseqüentemente, os conjuntos de regra. Os parâmetros ajustados são aqueles relacionados

ao raio de vizinhança do centro de agrupamento no algoritmo subtrativo: r

a faixa de ação de

cada agrupamento e r

o “fator squash”.

Como se referiu, cada um destes parâmetros tem a sua importância: r

o raio de influência dos agrupamentos é importante na definição de um modelo, tem variação

entre valores de 0 a 1, valores muito baixos resultam um número elevado de pequenos

agrupamentos e determina, para cada dimensão do espaço de entrada e saída do modelo, a

vizinhança de influência do centro do agrupamento; r

é um parâmetro que multiplica o raio

de vizinhança do centro de cada agrupamento para reduzir o potencial de pontos distantes a

serem considerados como pertencentes ao agrupamento, para valores muito alto a este

parâmetro implica que são admitidos centros de agrupamentos muito distantes entre si.

Para cada tipo de solo, foi feita uma combinação de valores para os

parâmetros de ajuste (r

e r

), e foi gerado um modelo com o seu respectivo erro médio

quadrático para os dados de treinamento e de testes.

Vale ressaltar que no ANFIS, existem dois parâmetros para o critério

de parada para o treinamento dos dados; o erro de tolerância (que deve ser um valor muito

pequeno caso não se conheça o comportamento do erro de treinamento), e o número de épocas

(que define o número de épocas máximo para o ANFIS convergir). O treinamento da rede foi

realizado mantendo o erro de tolerância para a rede igual a 0 e o número de épocas que

apresenta o menor erro médio quadrático.

A quantidade de funções de pertinências utilizadas para fuzzificar a

entrada do modelo depende da quantidade de informações (dados) disponíveis, já que se deve

guardar relação com o número de parâmetros não lineares, p

, q

e r

, que devem ser calculados

para a saída do modelo. Segundo Shaw e Simões (1999), cada entrada do modelo deve ter de

três a sete funções de pertinências para que o modelo fuzzy possua uma melhor precisão, e

assim, o modelo obtido terá uma quantidade de termos lingüísticos que se aproxima mais da

forma do raciocínio humano.

Cada função de pertinência presente na entrada do modelo está

relacionada com o número de parâmetros a ser calculado na camada 1 da rede neuro-fuzzy

apresentada na Figura 21.

O modelo escolhido foi o que apresentou o menor erro quadrático para

o conjunto de testes, e se obteve um número de funções de pertinências, e em função destas,

também, um número de regras que satisfizeram ao critério do erro mínimo. Em todos os casos

foram obtidos o tipo de função de pertinência na forma gaussiana e o tipo de sistema

fundamentado foi o modelo fuzzy de Takagi-Sugeno de primeira ordem.

5.2.6 Avaliação do Desempenho do Modelo

Para a avaliação do modelo os dados observados foram divididos em

dois grupos: dados de treinamento em cerca de 80%, e os dados de testes, selecionados

aleatoriamente, para cada tipo de solo, em cerca de 20%, e estes foram utilizados para a

validação do modelo. Assim, para cada tipo de solo temos:

• Modelo para solo não preparado tipo I:

- total de 62 dados, 48 foram utilizados para treinamento e os 14 restantes para validação;

• Modelo para solo não preparado tipo II:

- total de 104 dados, 84 foram utilizados para treinamento e os 20 restantes para validação;

• Modelo para solo não preparado tipo III:

- total de 102 dados, 78 foram utilizados para treinamento e os 24 restantes para validação;

• Modelo para solo preparado tipo I:

- total de 334 dados, 274 foram utilizados para treinamento e os 60 restantes para validação;

• Modelo para solo preparado tipo III:

- total de 401 dados, 331 foram utilizados para treinamento e os 70 restantes para validação.

Todos os modelos têm três variáveis de entradas: índice de cone, teor

de água e porcentagem de argila, e uma de saída, a densidade do solo.

Para a generalização no conjunto de dados de treinamento, foram

utilizados os conjuntos de dados de testes. Na escolha do melhor sistema neuro-fuzzy, foi

realizado o treinamento para cada um dos cinco modelos dos conjuntos de dados de

treinamento e, a seguir, foi realizada a validação do modelo com os dados de testes. Ou seja,

foram gerados cinco sistemas correspondentes a cada um dos tipos de solo. O conjunto de

dados de testes é usado para evitar o overfitting, ou seja, os parâmetros devem ser escolhidos

buscando o menor erro no conjunto de dados de testes. Desta forma, o melhor sistema para

cada tipo de solo foi obtido através da análise do menor erro quadrático médio (EQM) no

conjunto de teste, o qual é calculado pelo ANFIS, e presta-se para determinar quando as

interações (épocas) devem ser interrompidas.

Em cada treinamento, para avaliar o desempenho do modelo ANFIS,

são consideradas três medidas de erros, o Erro Quadrático Médio (EQM), o Erro Relativo

Médio (ERM) e o Erro Absoluto Médio (EAM), definidas como:

()

∑

−=

EQM (50)

∑

−

100

ERM

(51)

∑

−=

EAM (52)

onde, n representa o número de observações,

y é a saída nominal do processo (densidade

observada) e

é a saída (densidade estimada) do modelo. Vale ressaltar que o valor ideal

para cada uma das expressões acima e que todas elas sejam iguais a zero. O erro relativo (ER)

é utilizado para medir a precisão entre dois valores da densidade do solo e é calculado pela

subtração do valor absoluto do primeiro e o segundo, dividindo-se pelo valor do primeiro

valor. O valor do erro relativo (ER) é também multiplicado por 100 para ser expresso em

porcentagem.

No ANFIS é utilizada a raiz quadrada do erro quadrático médio,

RMSEEQM =

, como medida para se determinar a parada das interações do sistema. Esta

medida indica a amplitude média dos desvios entre os valores desejados e estimados da

variável no modelo identificado e significa que quanto maior o seu valor, maior é a

variabilidade e, portanto, pior é o desempenho do modelo.

A variância do erro relativo médio e o desvio padrão são calculados,

respectivamente, através das equações (53) e (54):

()

∑

−=

)(Var

ERM

ERM (53)

Desvio =

()

∑

−

ERM

(ERM)Var

. (54)

Para cada modelo encontrado foi calculado o coeficiente de correlação

linear (r) definido pela equação (55):

()

(

)

()

∑∑

∑

−⋅−

−−

iiii

yyyy

(55)

para encontrar o grau de relacionamento entre os conjuntos de dado experimental e estimado

da densidade do solo. Para verificar a existência ou não da correlação linear entre estes dois

conjuntos de dados foi realizado um teste de hipóteses, ou seja, foram testadas as hipóteses:

: Não existe relacionamento linear entre os dados

: Existe relacionamento linear entre os dados

sendo a estatística usada para a realização deste teste dada por:

−

(56)

que tem a distribuição “t-de-student” com “n–2” graus de liberdade. Este valor de t

comparado com um valor tabelado, com “n–2” graus de liberdade a um nível

significância. A regra de decisão a ser tomada é rejeitar a hipótese H

se o valor calculado t

maior que o valor tabelado, e não se rejeita a hipótese H

em caso contrário.

No caso de rejeição da hipótese H

afirma-se, com um nível

significância, que os dois conjuntos possuem um relacionamento linear e, neste caso, há fortes

evidências de que dois conjuntos de dados possuem um relacionamento linear, e pode-se então

ajustar uma reta de regressão entre eles.

A análise de regressão, quando constatada a existência da correlação

linear, foi realizada com o objetivo de prever o comportamento de um conjunto de dados em

função da variação do outro.

Obtida a reta de regressão, dada na forma:

Densidade Fuzzy = a + b (Densidade experimental) (57)

foi testada a existência desta, ou seja, foi testado se o parâmetro b (coeficiente angular) é

diferente de zero. Desta forma o que se quer testar é:

: b = 0

: b

≠

Assim, fixado um nível de significância

, a estatística do teste é a “t-

de-student” com “n–2 ” graus de liberdade, sob a hipótese de nulidade, dada por:

= (58)

onde, s é o erro padrão da estimativa e

é o desvio quadrático da densidade experimental,

dados, respectivamente, pelas equações (59) e (60):

()

−

−−

∑

byay

(59)

∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

(60)

No caso do teste do coeficiente angular ser significativo, a um nível

de significância, a reta de regressão não coincide com a reta horizontal e, neste caso, há

relação entre os conjuntos dos dados experimentais e estimados.

O teste para o coeficiente linear da regressão (

a) foi realizado para

testar o valor inicial da regressão, ou seja, testar o valor de

quando 0

=y , As hipóteses são:

: a = 0

: a

≠

Fixado um nível de significância

, estatística do teste será a “t-de-

student” com “

n–2” graus de liberdade, sob a hipótese nula, é dada por:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. (61)

Para cada um dos modelos determinados pelo modelo neuro-fuzzy, foi

realizada uma comparação com resultados utilizando a abordagem de redes neurais artificiais,

existente na literatura, apresentada em Nagaoka (2003), onde se fez uso de várias redes neurais

artificiais com diferentes números de neurônios na camada escondida para obter a densidade

do solo, com as variáveis de entrada resistência do solo à penetração, teor de água e textura do

solo.

Para verificar o desempenho dos modelos determinados pelas duas

abordagens, foi utilizada a teoria estatística para calcular algumas medidas de posição e de

variabilidade.

Para verificar a igualdade de médias entre os conjuntos de estimativas,

dadas pelas abordagens fuzzy e de redes neurais artificiais, realizou-se o seguinte teste de

hipóteses:

: As médias das estimativas da densidade solo são iguais

: As médias das estimativas da densidade do solo são diferentes.

Para análise comparativa entre as densidades do solo obtidas foi

realizado teste de normalidade para cada um dos conjuntos de estimativas, utilizando o teste

de hipótese de Shapiro e Wilks. Para aqueles conjuntos de estimativas em que se verificou a

normalidade dos dados, para testar a igualdade das médias entre pares de conjuntos, foi

utilizado o teste de hipótese paramétrico “t-de-student”. Para os conjuntos de dados em que

esta condição não se verificou foi utilizado o teste de hipótese não paramétrico de Mann-

Whitney.

O teste de Mann-Whitney é um teste estatístico utilizado para testar se

dois conjuntos de dados independentes foram retirados de populações com médias iguais. Esse

é um teste alternativo quando as condições exigidas para o teste “t-de-student” não estiverem

satisfeitas. A única exigência para a realização do teste de Mann-Whitney é a de que as

observações sejam medidas numéricas.

6 RESULTADOS E DISCUSSÃO

MODELOS FUZZY PARA A ESTIMAÇÃO DA DENSIDADE DO SOLO

6.1 Modelo para Estimação de Solo Não Preparado do Tipo I

Para a construção do modelo do solo não preparado do tipo I foram

utilizados 62 vetores de observações separados em dois arquivos de dados, um constituindo o

conjunto de treinamento (48 vetores) e o outro, escolhido aleatoriamente, o conjunto de teste

(14 vetores).

Foram consideradas três variáveis: duas de entradas, a resistência à

penetração e o teor de água do solo, e uma de saída representando a densidade do solo. Na

Tabela 4 são mostrados os universos de discurso para cada uma das variáveis.

Tabela 4. Universos de discurso das variáveis de entrada e saída

do sistema fuzzy para o solo não preparado do tipo I

Variável Universo de discurso

Resistência à penetração (kPa) [ 761,40 , 5673,21 ]

entrada

Teor de água (%) [ 4,37 , 43,39 ]

saída Densidade do solo (kg.dm

-3

) [ 1,42 , 1,65 ]

Para a identificação do modelo foram realizadas simulações

combinando valores para os parâmetros de ajustes, r

e r

os raios de vizinhança de centro de

agrupamentos, para determinar os parâmetros das funções de pertinências e os parâmetros de

saída do modelo, o número de funções de pertinências das variáveis de entrada e,

conseqüentemente, o número de regras para o modelo, observando o menor erro quadrático

médio (RMSE) obtido para o conjunto de treinamento como para o conjunto de teste, com o

objetivo de melhorar o desempenho do modelo. O número de interações (épocas de

treinamento) foi especificado em 500 épocas, e o erro de tolerância, em virtude de não se

conhecer o comportamento do erro, foi selecionado igual a zero.

Na fase de treinamento, com os parâmetros de ajustes r

= 0,15 e r

5,25, o modelo neuro-fuzzy calculou para a saída o erro de 0,0253 com respeito aos dados de

treinamento e um erro de 0,0593 com respeito aos dados de teste do modelo. Verificou-se que

após 130 interações a diferença entre os erros de treinamento e de teste foi constante durante

todas as interações restantes. Vale ressaltar que quanto mais próximos os valores dos erros

estiverem, melhor é o desempenho do modelo, pois isto indica uma boa generalização para o

modelo. Na Figura 22 estão representados os erros de treinamento e teste para todas as

interações.

treinamento teste

Figura 22. Diferença entre os erros de treinamento e de teste para o solo

não preparado do tipo I.

Para a determinação do modelo com os parâmetros de ajustes, número

de épocas e o erro de tolerância considerado, o sistema ANFIS forneceu cinco funções de

pertinências para a variável resistência à penetração e cinco funções para a variável teor de

água, todas do tipo gaussiano, pois foi a combinação de valores que apresentou o menor erro

de treinamento e de teste entre todos os outros valores envolvidos na simulação.

Assim, o modelo identificado para estimar a densidade do solo, no

caso do solo não preparado tipo I, é constituído de duas variáveis de entrada, com cinco

conjuntos fuzzy associados a cada uma das variáveis, cinco regras com os antecedentes de

cada uma conectados pelo operador “e” e, portanto, cinco funções lineares, cada qual,

representando a parte do conseqüente da regra fuzzy.

Na Tabela 5 é dada a caracterização do modelo, obtido através do

ANFIS, e a Tabela 6 apresenta os parâmetros das funções de pertinências, onde o parâmetro m

denota o centro da função e

σ a variação dos dados observados com relação à sua média.

Tabela 5. Caracterização do modelo neuro-fuzzy (ANFIS)

para o solo não preparado do tipo I.

Modelo de inferência neuro-fuzzy

Operador “e” Produto

Número de nós 35

Número de parâmetros lineares 15

Número de parâmetros não lineares 20

Número total de parâmetros 35

Número de pares de dados treinamento 48

Número de pares de teste 14

Número de regras fuzzy 5

Tabela 6. Parâmetros das funções de pertinências para o solo não preparado do tipo I.

Parâmetros das funções de pertinências (

)

Variável

Entrada

iCone 260,5 1025 260,5 1512 260,5 1130 260,5 3877 260,5 1716

Umidade 1,59 10 1,172 14,07 2,069 43,39 2,069 6,953 1,901 16,12

As funções de pertinências na Tabela 6 são todas do tipo gaussianas e

caracterizadas pelos seus centros m e variabilidades

σ , e simétricas em relação aos seus

centros. O centro de cada função de pertinência representa o ponto que melhor caracteriza

cada uma destas regiões.

Pela Tabela 6 as funções de pertinências que definem os conjuntos

fuzzy para a variável resistência à penetração do solo (índice de cone) e o teor de água

(umidade) do solo são dados por:

Tabela 7. Funções de pertinências para as variáveis fuzzy de entrada

para o solo não preparado do tipo I.

Resistência à penetração Teor de água (Umidade)

60.5)2(

)26.1025(

−

iCone

eμ

)59.1(

)00.10(

−

Umidade

60.5)2(

)10.1512(

−

iCone

eμ

)17.1(

)06.14(

−

Umidade

60.5)2(

)1130(

−

iCone

eμ

)07.2(

)39.43(

−

Umidade

60.5)2(

)20.3877(

−

iCone

)07.2(

)95.6(

−

Umidade

60.5)2(

)49.1716(

−

iCone

)90.1(

)12.16(

−

Umidade

Na Figura 23 são dadas as regiões para cada uma das funções de

pertinências (Ri, i = 1,...,5) para a variável resistência à penetração do solo, em quilopascal

(kPa).

Figura 23. Funções de pertinências para a variável de entrada resistência do solo

à penetração para o solo não preparado do tipo I.

Para cada função de pertinência se pode identificar um intervalo para

cada um dos espaços da variável de entrada considerada. Assim, tendo como centro do

100

intervalo o valor m e dispersão σ , os intervalos para o conjunto de dados para a variável

resistência à penetração do solo são dados por: [761,40 , 1806,50] , [764,40 , 2293,50] ,

[764,40 , 1911,50] , [3095,50 , 4652,50] , [934,50 , 2497,50].

Na Figura 24 estão apresentadas as funções de pertinências para a

variável teor de água (Ui, i = 1,...,5), representada pela umidade do solo em porcentagem (%).

Figura 24. Funções de pertinências para a variável teor de água (umidade)

para o solo não preparado do tipo I.

Os intervalos que definem os conjuntos fuzzy para a variável teor de

água (umidade) são dados por: [5,23 , 14,77] , [10,55 , 17,59] , [37,18 , 43,39] , [4,37 , 13,16] ,

[10,42 , 21,83].

Na Tabela 8 são apresentados os parâmetros das funções lineares dos

conseqüentes, onde os parâmetros C

(i = 1, 2, 3) denotam os coeficientes da função linear do

conseqüente de cada uma das regras do modelo.

Tabela 8. Parâmetros das funções lineares de saída dos conseqüentes

para o solo não preparado do tipo I

parâmetros das funções

lineares dos conseqüentes

Regras

1 -0,000009 -0,0070 1,5020

2 0,000066 0,0358 1,0750

3 0,000046 0,0331 0,0007

4 -0,000033 -0,0176 1,8940

5 0,000104 -0,0269 1,7070

101

O modelo ANFIS estabelece uma relação linear entre a variável de

entrada e a variável de saída, baseado em regras, onde o conseqüente de cada regra define um

modelo linear ao redor do centro das funções de pertinências. Ressalta-se que o centro m da

função de pertinência representa o ponto que melhor caracteriza cada uma dessas regiões.

Deste modo, quanto mais um valor se distancia do centro da função de pertinência, mais

aumenta a possibilidade de erros, pois a capacidade de predição do modelo é reduzida, isto

porque se um ponto se colocar numa posição entre dois centros o modelo neuro-fuzzy realiza

uma interpolação entre os resultados de duas regras vizinhas.

Na Figura 25 estão representadas as funções de pertinências para as

variáveis de entradas, resistência à penetração e teor de água no solo, que formam a parte

antecedente das regras, e a variável de saída, densidade do solo, que forma a parte do

conseqüente das regras.

Figura 25. Regras do modelo da estimativa da densidade do solo para o solo

não preparado do tipo I.

102

Com os intervalos que definem os conjuntos fuzzy e os parâmetros

apresentados na Tabela 6 as regras e as funções lineares que definem as saídas para o

conseqüente de cada regra, onde x

representa a resistência à penetração (índice de cone) e x

teor de água (umidade) no solo, são as seguintes:

Regra 1. Se

∈

x [764,4 ,1806,50] e

∈

x [ 5,23 , 14,77]

Então y

= -0,000009 x

- 0,0070 x

+ 1,5020 (62)

Regra 2. Se

∈

x [764,40 , 2293,50] e

∈

x [10,55 , 17,59]

Então y

= 0,000066 x

+ 0,0358 x

+ 1,0750 (63)

Regra 3. Se

∈

[764,50 ,1911,50] e

∈

[37,18 , 43,39]

Então y

= 0,000046x

+ 0,0331 x

+ 0,0007 (64)

Regra 4. Se

∈

x [3095,50 , 4652,50] e

∈

x [ 4,37 , 13,16]

Então y

= -0,000033 x

- 0,0176 x

+ 1,8940 (65)

Regra 5. Se

∈

x [934,50 , 2497,50] e

∈

x [10,42 , 21,83]

Então y

= 0,000104 x

- 0,0269 x

+ 1,7070 (66)

Na Tabela 9 são apresentados os dados para solo não preparado do tipo

I (teor de argila menor que 30 %) e as estimativas obtidas pelo modelo, juntamente com os

erros relativos os quais são utilizados para medir a precisão entre os valores obtidos

experimentalmente e os valores estimados pelo modelo.

103

Tabela 9. Resultados do modelo para solo não preparado tipo I

(teor de argila menor que 30%)

Amostras

íCone

( kPa )

Umidade

( % )

Argila

( % )

Densidade

Experimental

( kg.dm

-3

)

Densidade

Estimada

( kg.dm

-3

)

Erro

Relativo

( % )

1 1590,0 43,39 6,7 1,45 1,51 4,21

2 1850,0 43,39 6,7 1,47 1,52 3,59

3 1800,0 43,39 6,7 1,66 1,52 8,40

4 2484,2 15,90 21,5 1,50 1,54 2,81

5 1798,2 15,90 21,5 1,50 1,51 0,57

6 1426,3 15,90 21,5 1,50 1,53 2,23

7 1400,0 15,90 21,5 1,50 1,54 2,45

8 1823,5 15,90 21,5 1,50 1,51 0,55

9 6051,3 6,95 21,5 1,65 1,58 4,55

10 4810,1 7,65 21,5 1,62 1,60 1,05

11 3172,6 11,28 21,5 1,65 1,59 3,50

12 2332,5 12,37 21,5 1,62 1,63 0,49

13 2396,1 11,99 21,5 1,57 1,64 4,30

14 1828,2 11,28 21,5 1,65 1,58 4,31

Erro relativo médio (ERM) 3,07

Variância 4,61

Para a comparação entre os conjuntos de dados experimentais e

estimados foi calculado o valor do coeficiente de correlação, cujo valor é r = 0,63, o que

indica uma relação moderadamente forte entre os dois conjuntos de dados. O p-valor igual a

0,016 é menor que um nível de significância 050,

e, portanto, a associação entre as

estimativas é considerada estatisticamente significativa, para um nível de confiança de 95%.

Deste modo, os resultados produzem evidências de que as estimativas são correlacionadas

com o conjunto de dados experimentais, e possuem a mesma tendência movendo-se na mesma

direção, isto é, como o coeficiente de correlação é positivo e o p-valor é menor que 0,05,

existe uma correlação significante entre os dois conjuntos dados.

Dado que existem evidências de que os dois conjuntos de dados

possuem um relacionamento linear pode-se prever o comportamento de um deles em função

da variação do outro, ajustando uma reta de regressão entre eles para o auxílio na análise dos

dados. Assim, é construído o gráfico de dispersão, com a regressão linear e o coeficiente de

determinação entre os conjuntos de valores da densidade experimental e os da densidade

104

estimadas, obtidos pelo modelo neuro-fuzzy para os dados de teste. A Figura 26 mostra o

ajuste feito pela reta de regressão.

y = 0.3634x + 0.9902

= 0.392

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7

Densidade experimental

Densidade estimad

Figura 26. Gráfico de dispersão e de regressão das densidades do solo observadas

e obtidas pelo modelo para o solo não preparado do tipo I

Para verificar se o modelo de regressão gerado é significante, ou seja,

para verificar a existência da regressão linear entre a densidade experimental e a densidade

estimada realizou-se teste de hipótese utilizando a estatística “t-de-student”, fixado um nível

de significância 050,=

, com “n–2” graus de liberdade para o coeficiente angular da reta de

regressão (0,363). A estatística t calculada para uma significância de 5% foi de 2,78, já o valor

de t tabelado para 12 graus de liberdade é 2,179. Como o valor da estatística t calculada (2,78)

é maior que o valor de t tabelado (2,179), pela distribuição “t-de-student”, rejeita-se a hipótese

de não haver regressão, isto é, de que o coeficiente de regressão é diferente de zero e, portanto,

é estaticamente significante, existindo então relação entre os dados observados e estimados.

Também, foi realizado o teste para o coeficiente linear da regressão (0,363409), o qual foi

estatisticamente significativo ao nível de significância de 5%. A Tabela 10 mostra a análise de

regressão e de variância para os dados experimentais e estimados pelo modelo neuro-fuzzy.

105

Tabela 10. Análise de regressão e de variância para os dados experimentais

e estimados para solo não preparado do tipo I

Parâmetros Estimativas Erro padrão Estatística-t p-valor

Intercepto 0,990226 0,20406 4,85262 0,0004

Coeficiente angular 0,363409 0,130655 2,78144 0,0166

F.V. g.l. S.Q. Q.M. Estatística-F p-valor

Regressão 1 0,0105388 0,0105388 7,74 0,0166

Resíduo 12 0,0163469 0,00136224

Total 13 0,0268857

Nota: F.V.=Fonte de variação, g.l.= Graus de liberdade, S.Q.= Soma de quadrados,

Q.M.= Quadrados médios

A Tabela 10 mostra que os resultados do ajuste do modelo linear para

descrever a relação entre o conjunto de densidade fuzzy e a densidade experimental é dada

pela equação:

Fuzzy = 0, 990226 + 0, 363409*Experimental (67)

É observado, ainda pela Tabela 10, que como o p-valor na tabela da

análise de variância é menor que 0,05, há uma relação estatisticamente significante entre o

conjunto de densidade estimada pelo modelo neuro-fuzzy e o conjunto de densidade

experimental ao nível de confiança de 95%.

Na Figura 26 é verificada uma dispersão dos pontos em relação à reta

de regressão, indicando uma variabilidade dos dados, e quanto mais os pontos estão distantes

desta reta, maior é o erro quadrático e o erro relativo. Pode ser observado, ainda, que a

estatística R

= 0,392, ou seja, a variação dos dados da densidade estimada são 39,2%

explicadas pelas variações do conjunto de dados da densidade experimental, isto é, R

representa a comparação em pares dos valores observados com as estimativas do modelo.

Embora o valor de R

tenha sido baixo, o desvio padrão da densidade

do solo (0,078348) do conjunto de teste está próximo da raiz quadrada do erro quadrático

médio para os dados de teste (

0630RMSE ,= ), e desde que o erro do teste (0,05933) e a

variância do erro relativo médio (4,61%) são pequenos, estes valores indicam que o modelo

neuro-fuzzy é capaz de identificar uma correlação entre as variáveis de entradas e as

respectivas estimativas do modelo.

106

Na análise do modelo observa-se que os valores calculados a partir do

modelo neuro-fuzzy representam de fato o que acontece no estudo da densidade do solo, onde

diversos fatores influenciam na determinação dos valores da densidade. O modelo apresentou

uma variação média de 4,61%, sendo o maior erro relativo o da terceira observação, onde o

teor de água é muito elevado. Deste modo, entre as densidades experimentais e as estimativas

das densidades fuzzy, não há disparidade significativa dos dados, apesar da subestimação de

8,40% com relação à terceira amostra.

Pela Tabela 9 e Figura 26, constata-se que os erros relativos médios

mais altos estão concentrados nos pontos de observações 1, 2, 3, 9 e 13 e 14, onde o maior

erro relativo está na observação 2, ERM = 8,40 %. Nas observações 1, 2 e 3 a razão destes

valores para o erro relativo pode ser devido ao alto teor de água (umidade) no solo (43,39 %),

que faz com que o solo atinja densidade elevada, confirmando resultados apresentados na

literatura como em trabalhos de Klein et al. (1998), Guerra (2000) e Lazarini et al. (2002), que

não recomendam que sejam realizadas a determinação da resistência à penetração do solo

quando este apresenta elevado teor de umidade.

A densidade do solo variou de 0,993 kg.dm

-3

a 1,74 kg.dm

-3

, sendo o

maior valor alcançado para valores do índice de cone entre 2450 kPa e 2500 kPa com o teor de

água muito alto (43,3%), e o menor valor atingido para densidade do solo é para o índice de

cone muito baixo e o teor de água em torno de 28,3%.

Com umidade do solo muito alta e índice de cone a partir de 5640 kPa,

a densidade atinge valor de 1,70 kg.dm

-3

. Na Figura 27, também se observa que para a

umidade muito alta, à medida que aumenta a resistência à penetração do solo a densidade é

incrementada. Observa-se, ainda, que a densidade é decrescente até a umidade de 30%,

quando a partir deste ponto, a densidade é crescente e à medida que a resistência à penetração

aumenta a densidade atinge o valor máximo.

Na Figura 27 são mostrados os gráficos de superfície de respostas em

diferentes ângulos de visão, onde (b), (c) e (d) são, respectivamente, as rotações de 90º, 180º e

270º em relação ao gráfico (a), para as variáveis de entrada e saída do modelo neuro-fuzzy

onde se pode verificar o comportamento do modelo neuro-fuzzy para os valores dos dados

estimados.

107

Figura 27. Gráfico de superfície de respostas para as variáveis de entrada e saída do

modelo neuro-fuzzy para o solo não preparado do tipo I.

Pelo arrazoado, o modelo teria melhores resultados se os dados para a

resistência à penetração, o teor de água e textura do solo tivessem sido coletados por uma

mesma metodologia. Ressalta-se que os dados utilizados para determinar o modelo para solo

não preparado do tipo I, foram retirados da literatura usando dados de diversos autores.

6.1.1 Comparação entre o Modelo Neuro-Fuzzy e Redes Neurais para Solo

Não Preparado do Tipo I

Nesta seção será feita uma comparação entre valores estimados pelo

modelo neuro-fuzzy com resultados apresentado em Nagaoka (2003), que implementou

diversas redes neurais do tipo perceptron multicamadas para determinar a densidade solo

utilizando como variáveis de entrada a resistência à penetração, teor de água e textura do solo.

108

Para fins comparativos foram reunidos na Tabela 11 os valores obtidos

em laboratórios e estimados para a densidade do solo, através do modelo neuro-fuzzy e de

redes neurais artificiais (RN). Para o solo não preparado do tipo I, Nagaoka (2003) considerou

as seguintes redes neurais, RN1 uma rede de arquitetura com 4 entradas, 15 neurônios na

camada escondida e uma saída, RN3 rede com 3 entradas, 10 neurônios na camada escondida

e uma saída e RN7 rede com 3 entradas, 15 neurônios na camada escondida e uma saída.

Tabela 11. Valores de densidades de solo obtidos em laboratório, por modelo neuro-

fuzzy e rede neural e os erros relativos para o solo não preparado do tipo I

Estimativas (kg.dm

-3

) Erros relativos (%)

Amostras

Exp Fuzzy RN1 RN3 RN7 Exp

xFuzzy ExpxRN1 ExpxRN3 ExpxRN7

1 1,45 1,51 1,56 1,48 1,51 4,14 7,86 2,28 4,34

2 1,47 1,52 1,60 1,48 1,55 3,40 8,71 0,61 5,31

3 1,66 1,52 1,59 1,48 1,54 8,43 4,16 10,84 7,29

4 1,50 1,54 1,38 1,50 1,42 2,67 8,00 0,00 5,33

5 1,50 1,51 1,49 1,52 1,50 0,67 0,80 1,07 0,00

6 1,50 1,53 1,53 1,52 1,50 2,00 1,67 1,53 0,13

7 1,50 1,54 1,53 1,52 1,50 2,67 1,80 1,60 0,20

8 1,50 1,51 1,49 1,52 1,50 0,67 1,00 1,00 0,07

9 1,65 1,58 1,58 1,61 1,65 4,24 4,42 2,42 0,00

10 1,62 1,60 1,61 1,61 1,56 1,23 0,74 0,74 3,64

11 1,65 1,59 1,61 1,63 1,65 3,64 2,42 1,45 0,00

12 1,62 1,63 1,62 1,63 1,65 0,62 0,12 0,37 1,85

13 1,57 1,64 1,61 1,63 1,65 4,46 2,29 3,50 5,10

14 1,65 1,58 1,53 1,62 1,64 4,24 7,03 2,00 0,42

Para realizar a comparação entre os conjuntos de estimativas foram

calculados as médias, os desvios padrão e o coeficiente de variação (CV) para cada um destes

conjuntos, explicitados na Tabela 12.

Tabela 12. Parâmetros estatísticos para as densidades do solo experimental

e estimadas para o solo não preparado do tipo I

Parâmetros estatísticos Experimental Fuzzy RN1 RN3 RN7

Média Aritmética 1,56 1,56 1,56 1,55 1,56

Desvio Padrão 0,0783 0,0455 0,0783 0,0455 0,0668

Coeficiente de Variação (%) 5,02 2,92 4,31 3,97 4,93

109

O Coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa que expressa o

desvio padrão como uma porcentagem da média aritmética. Quanto mais próximo de zero,

mais homogênea é a distribuição. Quanto mais distante, mais dispersas. Ele mede a dispersão

em relação à média, e é dado pela razão entre o desvio padrão e a média e é multiplicado por

100, para que o coeficiente de variação seja dado em porcentagem:

100CV ×=

(68)

onde

são, respectivamente, o desvio padrão e a média aritmética do conjunto de

dados X.

Como se pretende saber qual dos conjuntos de estimativas tem o

melhor desempenho, essa informação é conseguida através da análise da variabilidade,

procurando-se o conjunto que é mais homogêneo. Da Tabela 12 pelos coeficientes de variação

dos quatro conjuntos de estimativas desde que CV = 2,92% para o conjunto de estimativas

fuzzy, e quanto menor o coeficiente de variação mais homogêneo é o conjunto de dados,

conclui-se que o conjunto de estimativas obtidas pelo modelo neuro-fuzzy é mais homogênea

que as obtidas por rede neural.

A Tabela 13 apresenta os valores do coeficiente de correlação (r) com

seu respectivo p-valor entre os valores obtidos em laboratório e as estimativas determinadas

pelo modelo neuro-fuzzy e rede neural artificial.

Tabela 13. Coeficientes de correlação e p-valores das combinações entre dados

experimentais e estimados para o solo não preparado do tipo I

Fuzzy x Exp. RN1 x Exp. RN3 x Exp. RN7 x Exp.

correlação (r) 0,626 0,4830 0,7040 0,7320

p-valor (p) 0,0166 0,0799 0,0049 0,0029

Nota: Exp = Experimental

Da Tabela 13 como o p-valor para os coeficientes de correlação foi

menor para um nível de significância

= 0,05, com exceção da comparação Fuzzy x RN1,

para todos os outros resultados das comparações a associação entre as estimativas foi

considerada estatisticamente significativa, com um nível de confiança de 95% de

probabilidade, indicando que as estimativas são correlacionadas e possuem a mesma

tendência.

110

Na Tabela 14 são apresentados os valores, relativos a treinamento e

teste para comparar o desempenho dos dois modelos, neuro-fuzzy e rede neural, para as

estimativas da densidade do solo.

Tabela 14. Valores de medidas estatísticas para comparar o desempenho dos modelos de

estimativas da densidade do solo para o solo não preparado do tipo I

Treinamento Teste

Modelo

RMSE RMSE

Erro relativo

Médio (%)

Variância do

Erro relativo (%)

Desvio padrão

do erro

Fuzzy 0,0253 0,0593 3,08 4,42 0,0340

RN1 0,0765 0,0717 3,64 9,33 0,0461

RN3 0,0122 0,0545 2,11 7,18 0,0446

RN7 0,0028 0,0547 2,41 6,96 0,0414

Da Tabela 14 verifica-se que, embora, o erro relativo médio seja

menor para o modelo de redes neurais RN3 e RN7, os erros médios quadrático (RMSE) são

praticamente iguais para a duas abordagens, e o modelo neuro-fuzzy apresenta um melhor

desempenho em virtude dos valores da variação dos erros relativos e do desvio padrão ser

inferiores para a abordagem fuzzy para os dados de teste.

Para verificar a igualdade de médias entre os conjuntos de estimativas,

dadas na Tabela 11, realizou-se o teste de hipóteses, H

: As médias entre as estimativas são

iguais versus H

: As médias entre as estimativas são diferentes

Para análise comparativa entre as densidades do solo obtidas pelas

duas abordagens foi realizado o teste de normalidade, usando o teste de Shapiro e Wilks, para

cada um dos conjuntos de estimativas. Para os conjuntos de dados em que se verificou a

normalidade, para testar a igualdade das médias entre pares de conjuntos, foi utilizado o teste

de hipótese paramétrico “t-de-student”. Para os conjuntos de dados em que esta condição não

se verificou foi utilizado o teste de hipótese não paramétrico de Mann-Whitney. Desse modo,

para verificar a significância da diferença entre as médias das densidades obtidas em

laboratórios e estimadas, ao nível de confiança de 95% de probabilidade, um teste de hipótese

foi realizado e constatou-se que todos os pares de médias das estimativas tiveram a hipótese de

nulidade H

não rejeitada, indicando que os pares de estimativas não apresentaram diferença

entre as médias. Portanto, o modelo neuro-fuzzy mostra-se um método eficiente para a

obtenção da densidade do solo, quando comparado com trabalho já existente na literatura.

111

6.2 Modelo para Estimação de Solo Não Preparado do Tipo II

Para a construção do modelo do solo não preparado do tipo II, foram

utilizados 104 vetores de observações, separados aleatoriamente em dois arquivos de dados,

um constituindo o conjunto de treinamento (84 vetores) e o outro o conjunto de teste (20

vetores).

Foram consideradas três variáveis: duas de entradas, a resistência à

penetração e o teor de água do solo, e uma de saída representando a densidade do solo. Na

Tabela 15 são mostrados os universos de discurso para cada uma das variáveis.

Tabela 15. Universos de discurso das variáveis de entrada e saída

do sistema fuzzy para solo não preparado do tipo II

Variável Universo de discurso

Resistência à penetração (kPa) [ 463,4 , 8152,3 ]

entrada

Teor de água (%) [ 12,51 , 22,04 ]

saída Densidade do solo (kg.dm

-3

) [ 1,41 , 1,67 ]

Para a identificação do modelo, após várias simulações, foram

atribuídos aos parâmetros de ajustes os valores, r

= 0,65 e r

= 1,25, para determinar o

número de funções de pertinências das variáveis de entrada e, conseqüentemente, o número de

regras para o modelo, observando o menor erro obtido para o conjunto de treinamento como

para o conjunto de teste, com o objetivo de obter o melhor desempenho do modelo. O número

de interações (épocas de treinamento) considerado foi de 500 épocas e o erro de tolerância,

também, neste caso, foi igual a zero em virtude de não se conhecer o comportamento do erro.

Na fase de treinamento, o modelo neuro-fuzzy calculou a saída do erro

em 0,0437 com respeito aos dados de treinamento e um erro de 0,0547 com respeito ao erro de

teste do modelo, indicando uma boa generalização para o modelo. Verificou-se que após 250

interações a diferença entre os erros de treinamento e de teste foi constante durante todas as

interações restantes. Vale ressaltar que quanto mais próximos os valores dos erros estiverem,

melhor é o desempenho do modelo, pois isto indica uma boa generalização para o modelo. Na

Figura 28 estão representados os erros de treinamento e teste para todas as interações.

112

treinamento teste

Figura 28. Diferença entre os erros de treinamento e de teste para solo

não preparado do tipo II.

Para a determinação do modelo, o sistema ANFIS forneceu cinco

funções de pertinências para a variável resistência à penetração e cinco funções para a variável

teor de água, todas do tipo gaussiano, pois foi a combinação dos valores dos parâmetros de

ajustes considerados que apresentou o menor erro de treinamento e de teste entre todos os

outros valores envolvidos na simulação.

O modelo identificado para estimar a densidade do solo, no caso do

solo não preparado tipo II, é constituído de duas variáveis de entrada, com cinco conjuntos

fuzzy associados a cada uma das variáveis, cinco regras com os antecedentes de cada uma

conectados pelo operador “e” e, portanto, cinco funções lineares, cada qual, representando a

parte do conseqüente da regra fuzzy.

Na Tabela 16 é dada a caracterização do modelo, obtido através do

ANFIS, e a Tabela 17 apresenta os parâmetros das funções de pertinências, onde o parâmetro

m denota o centro da função e

σ a variação dos dados observados com relação à sua média.

113

Tabela 16. Caracterização do modelo neuro-fuzzy (ANFIS)

para solo não preparado do tipo II

Modelo de inferência neuro-fuzzy

Operador “e” Produto

Número de nós 35

Número de parâmetros lineares 15

Número de parâmetros não lineares 20

Número total de parâmetros 35

Número de pares de dados treinamento 84

Número de pares de teste 20

Número de regras fuzzy 5

Tabela 17. Parâmetros das funções de pertinências para solo não preparado do tipo II

Parâmetros das funções de pertinências (

)

Variável

Entrada

íCone 1766,9 1718,6 1766,9 2909,6 1766,9 4199,8 1766,9 1671,2 1766,9 5995,29

Umidade 1,42 20,20 1,37 17,29 1,00 18,54 2,43 21,39 2,19 13,69

Estas funções de pertinências são simétricas e caracterizadas pelos

seus centros m e variabilidades

σ . O centro de cada função de pertinência representa o ponto

que melhor caracteriza cada uma destas regiões. Na Figura 29 são dadas as regiões para as

funções de pertinências para a variável resistência à penetração do solo.

Figura 29. Funções de pertinências para a variável de entrada resistência

do solo à penetração para o solo não preparado do tipo II.

114

Pela Tabela 17, as funções de pertinências que definem os conjuntos

fuzzy para a variável resistência à penetração do solo (índice de cone) são dadas na Tabela 18.

Tabela 18. Funções de pertinências para as variáveis fuzzy de entrada

para solo não preparado do tipo II

Resistência à penetração Teor de água (Umidade)

766.9)1(

)6.1718(

−

iCone

eμ

)42.1(

)20.20(

−

Umidade

766.9)1(

)6.2909(

−

iCone

eμ

)37.1(

)29.17(

−

Umidade

766.9)1(

)8.4199(

−

iCone

eμ

)00.1(

)54.18(

−

Umidade

766.9)1(

)20.1671(

−

iCone

.43)2(

)39.21(

−

Umidade

766.9)1(

)29.5995(

−

iCone

.19)2(

)69.13(

−

Umidade

Para cada função de pertinência se pode identificar um intervalo para

cada um dos espaços da variável de entrada considerada. Assim, tendo como centro do

intervalo o valor m e dispersão

σ , os intervalos para o conjunto de dados para a variável

resistência à penetração do solo são dados por: [463,40 , 7019,30], [463,40 , 8210,30] ,

[463,40 , 8152,30] , [463,40 , 6971,90] , [694,36 , 8152,30] .

Na Figura 30 é apresentado o gráfico para a variável teor de água

(umidade) no solo.

Figura 30. Funções de pertinências para a variável de entrada teor de água

para o solo não preparado do tipo II.

115

Os intervalos que definem os conjuntos fuzzy para a variável teor de

água (umidade do solo) são dados por: [15,94 , 22,04] , [13,18 , 21,40] , [15,54 , 21,54] ,

[14,10 , 22,04] , [12,51 , 20,26],

Na Tabela 19 são apresentados os parâmetros das funções lineares dos

conseqüentes, onde os parâmetros C

(i = 1, 2, 3) são os coeficientes da função linear do

conseqüente de cada uma das regras do modelo.

Tabela 19. Parâmetros das funções lineares de saída dos conseqüentes

para solo não preparado do tipo II

Parâmetros das funções

lineares dos conseqüentes

Regras

1 0,000677 -0,851817 18,6280

2 -0,000230 -0,089060 3,8569

3 0,000162 -0,944996 17,9846

4 -0,000380 0,702583 -12,9082

5 -1,041071 0,086086 0,5033