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Campus de Ilha Solteira
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
“Características dos Parâmetros do Condutor Equivalente a um
Feixe de Subcondutores de Linhas de Transmissão: Análise Inicial”
CAROLINA GOULART DE CARVALHO
Orientador: Prof. Dr. Sérgio Kurokawa
Ilha Solteira – SP
novembro/2007
Dissertação apresentada à Faculdade
de Engenharia, UNESP – Campus de
Ilha Solteira, para obtenção do título
de Mestre em Engenharia Elétrica –
Área de Conhecimento: Sistemas
Elétricos de Potência.
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FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação/Serviço Técnico
de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira
Carvalho, Carolina Goulart de.
C331c Características dos parâmetros do condutor equivalente a um feixe de subcondutores de
linhas de transmissão: análise inicial / Carolina Goulart de Carvalho. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2007
149 f. : il., fots. ( Algumas color.)
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha
Solteira. Área de Conhecimento: Sistemas Elétricos de Potência, 2007
Orientador: Sérgio Kurokawa
Bibliografia: p. 147-149
1. Energia elétrica – Transmissão. 2. Condutores elétricos. 3. Sistemas de parâmetros
distribuídos. 4. Análise modal.
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4
Dedico esse trabalho aos meus pais, Francisco
Carlos Goulart de Carvalho e Rosângela Q. B. G.
de Carvalho, as minhas irmãs Cristiane Queiroz
de Carvalho e Gabriela Queiroz de Carvalho e à
Leandro Santana. Sou-lhes grato por toda
paciência, carinho e apoio.
5
Agradecimentos
Todo ser humano possui sonhos! Sonhos grandes, sonhos pequenos, sonhos...
Sonhos nascem a cada dia, a cada hora, a cada minuto. Sem percebermos, um sonho
nasce dentro do nosso coração. Sonhos nos motivam a viver, a continuarmos caminhando.
Vivemos, na verdade, na busca da realização dos nossos sonhos. A vontade de se tornar algo
melhor a cada dia é o que faz do ser humano uma máquina de sonhar. Projetar idéias e desejos
e lutar para transformar o que um dia foi um simples pensamento em uma situação real.
Nunca desistir de algo que se deseja muito e que se almeja fazer parte da vida. O ser humano
sonha! Mas se apenas sonhássemos nunca saberíamos do que somos capazes, é preciso
conquistar os sonhos.
Durante toda minha vida muitas pessoas compartilharam comigo muitos dos meus
sonhos. A todas pessoas que estiveram comigo e as que permanecem ao meu lado, o meu
agradecimento do fundo do coração.
Especialmente que agradecer e dedicar o resultado do trabalho
:
Aos meus pais Francisco e Rosângela, às minhas irmãs Gabriela e Cristiane,
ao meu companheiro Leandro, por todo amor que dedicam a mim e por todo
apoio e paciência que tiveram durante esta trajetória.
A toda minha família, pelo incentivo, amor, carinho e tolerância, meus avós
maternos Aureni e Valfrides, minha avó paterna Maria, aos meus tios
Edmilson, Vando, Eduardo, José Roberto, Roger, Silvia e Roseli, a todos os
primos,minha afilhada e meus cunhados. As minhas tias Lea e Rosilande,
confidentes e amigas.
Em especial, quero agradecer meu padrinho e tio Valter, tia Selma, Jéssica,
Gabriel, tia Valda, tio Silva, Leandro e Valquiria, obrigada pela acolhida,
pelo apoio e por toda paciência.
Aos meus padrinhos Cláudio e Neide, e a minha madrinha Elza.
A minha companheira e amiga de jornada Denise Charantola. Aos meus
amigos Marleide Alves, Lucidalva Bárbara, Gislaine, Susilene Mattos, Paula
Emiko, Rangel Guelfi, Marielen, Elisangela Menegasso, Sônia, Luzinete Maria
e todos aqueles que não foram citados mais estão guardados em meu coração.
Aos mestres e mentores que contribuíram com minha formação em especial ao
meu orientador. O professor Sérgio Kurokawa foi impecável na seriedade e no
desempenho das tarefas acadêmicas e seu apoio foi um estímulo e sinal de
amizade. Pela compreensão e pelo prazer de trabalharmos juntos.
Aos professores Mariângela Carvalho Bovolato, Humberto Mendes Mazzini,
Luiz Fernando Bovolato pela disposição para participar da banca, bem como
por seus questionamentos e contribuições na etapa da defesa.
A todos os docentes, funcionários e alunos do Departamento de Engenharia
Elétrica em aos colegas de trabalho Fábio e Rodrigo.
6
“TUDO POSSO NAQUELE QUE ME FORTALECE.”
(Filipenses 4:13)
7
RESUMO
O objetivo deste trabalho é desenvolver uma metodologia para definir um condutor
equivalente para um condutor múltiplo. O método baseia-se no fato de que os parâmetros dos
subcondutores estão distribuídos ao longo do comprimento dos mesmos e, deste modo, cada
subcondutor deve ser tratado como uma linha de transmissão. Inicialmente são obtidas as
relações entre as correntes e tensões nos dois terminais de cada subcondutor. Em seguida,
considera-se que a corrente no condutor múltiplo deve ser igual à corrente no condutor
equivalente. Uma vez que as tensões e correntes nos terminais do condutor equivalente são
conhecidas, é possível obter a impedância longitudinal e a admitância transversal deste
condutor. O método desenvolvido foi aplicado em um condutor múltiplo hipotético
constituído de dois subcondutores. Os resultados obtidos com este método são comparados
com o método clássico de obtenção do condutor equivalente, que se baseia no raio médio
geométrico dos subcondutores do condutor múltiplo. Para isto foi mostrado que quando o raio
médio geométrico é usado para definir um condutor equivalente de um condutor múltiplo, os
parâmetros longitudinais e transversais do condutor equivalente são afetados.
Palavras-chave: Linhas de Transmissão, condutores múltiplos, parâmetros distribuídos,
domínio modal
,
análise no domínio da freqüência.
8
ABSTRACT
The objective of this work is to improve a methodology to define an equivalent
conductor for a bundled conductor. The proposed methodology takes into account that the
longitudinal and transversal parameters are distributed along the subconductors. This way,
each subconductor of a bundled conductor needs to be considered as being a transmission
line. Initially the relationships among currents and voltages at sending and receiving end of
each subcondutor are obtained. Then, it is considered that total currents and voltages at
sending and receiving end of the bundled conductor is equal to currents and voltages at
sending and receiving end of the equivalent conductor. Taking into account that parameters of
the equivalent conductor are distributed parameters, it is possible to obtain them from currents
and voltages at sending and receiving end. The proposed methodology was applied in a
hypothetical bundled conductor constituted by two subconductors. The results were compared
with results obtained by using geometric mean radius. It was shown that when geometric
mean radius is used to define an equivalent conductor of a bundled conductor, the longitudinal
and transversal parameters of the equivalent conductor are severely affected.
Keywords: Lines of Transmission, multiple conductors, distributed parameters, modal domain,
frequency domain.
9
Listas de Figuras
Figura 1.1 – Estrutura básica de um sistema interligado 18
Figura 2.1 - Sistema de Transmissão Interligado Nacional 27
Figura 2.2 – Estrutura para circuito simples com 138kV e circuito duplo com 230kV 28
Figura 2.3 – Estruturas de circuito duplo com 345kV e simples com 440kV 29
Figura 2.4 – Estruturas de circuito simples e circuito duplo triangular com 440kV 30
Figura 2.5 – Estrutura de circuito duplo vertical e circuito simples com 440kV 31
Figura 3.1 – Cabo de alumínio com alma de aço 36
Figura 3.2 – Cabo de alumínio liga 1120 36
Figura 3.3 – Condutor PENGUIN 40
Figura 3.4 - Condutores múltiplos 42
Figura 4.1 – Condutores i e k, sobre um solo ideal, e suas respectivas imagens i’ e k’ 46
Figura 4.2 – Condutores i e k, sobre um solo não ideal, e suas respectivas imagens i’ e k’53
Figura 4.3 – Condutores i e k, sobre um solo não ideal, e suas respectivas imagens i’ e k’58
Figura 4.4 - Sistema de n condutores 60
Figura 4.5 - Capacitâncias entre condutores e dos condutores ao solo 62
Figura 5.1 – Condutor múltiplo constituído de 4 subcondutores 67
Figura 5.2 – Condutor múltiplo constituído por n subcondutores 68
Figura 5.3 - Sistema de dois condutores múltiplos 69
Figura 5.4 – Condutores i e k de uma linha genérica 70
Figura 5.5 - Condutores múltiplos i e k e suas respectivas imagens i’ e k’ 76
Figura 5.6 - Sistema de n condutores múltiplos 75
Figura 5.7 - Condutor múltiplo disposto sobre um solo não ideal 77
Figura 5.8 - Linha de transmissão trifásica de circuito simples 79
Figura 5.9 - Resistências próprias da fase 1 devido ao efeito solo 81
Figura 5.10 – Resistências mútuas entre as fases 1 e 2 devido ao efeito solo 81
Figura 5.11 - Resistências próprias da fase 2 devido ao efeito solo 82
Figura 5.12 – Resistências mútuas entre as fases 2 e 1 devido ao efeito solo 82
Figura 5.13 - Indutâncias próprias da fase 1 devido ao efeito solo 83
Figura 5.14 - Indutâncias mútuas entre as fases 1 e 2 devido ao efeito solo 84
Figura 5.15 - Indutâncias próprias da fase 2 devido ao efeito solo 85
10
Figura 5.16 - Indutâncias mútuas entre as fases 2 e 1 devido ao efeito solo 86
Figura 6.1 - Condutor múltiplo hipotético constituído de dois subcondutores 89
Figura 6.2 - Associação paralela de dois condutores vista de outro ângulo 90
Figura 6.3 - Tensão aplicada no terminal A do sistema 90
Figura 6.4 – Correntes e tensões nos terminais A e B do sistema 91
Figura 6.5 – Condutor equivalente ao sistema de dois subcondutores 92
Figura 6.6 – Processo de obtenção dos parâmetros do condutor equivalente 94
Figura 6.7 – Condutor múltiplo constituído por dois subcondutores 95
Figura 6.8 – Correntes e tensões nos terminais A e B do sistema 96
Figura 6.9 - Modos de propagação do sistema de dois subcondutores 100
Figura 6.10 – Componente real da função γ 110
Figura 6.11 – Componente imaginária da função γ 111
Figura 6.12 – Componente real da função γ obtida a partir da equação (6.72) 112
Figura 6.13 – Componente imaginária da função γ obtida a partir da equação (6.72) 112
Figura 6.14 – Componente imaginária de γ 114
Figura 6.15 – Funções F e F’ 115
Figura 6.16 – Função F’ 116
Figura 7.1 - Associação paralela de dois subcondutores 119
Figura 7.2 - Associação paralela de dois condutores vista de outro ângulo 119
Figura 7.3 - Resistências próprias dos subcondutores 1 e 2 120
Figura 7.4 - Indutâncias próprias dos subcondutores 1 e 2 121
Figura 7.5 - Resistência mútua entre os subcondutores 1 e 2 122
Figura 7.6 - Indutância mútua entre os subcondutores 1 e 2 122
Figura 7.7 - Condutor equivalente aos condutores 1 e 2 124
Figura 7.8 - Resistência do condutor equivalente obtido a partir do RMG dos
subcondutores 124
Figura 7.9 - Indutância do condutor equivalente 125
Figura 7.10 - Resistência do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 127
Figura 7.11 - Indutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 127
Figura 7.12 - Condutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 128
Figura 7.13 - Capacitância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 129
Figura 7.14 - Resistência do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 130
Figura 7.15 - Indutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 130
11
Figura 7.16 - Condutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 131
Figura 7.17 - Capacitância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 132
Figura 7.18 - Resistência do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 134
Figura 7.19 - Indutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 134
Figura 7.20 - Condutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 135
Figura 7.21 - Capacitância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 135
Figura 7.22 - Resistência do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 136
Figura 7.23 - Indutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 137
Figura 7.24 - Condutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 138
Fig. 7.25 - Capacitância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2) 138
Figura 7.26 - Resistência do condutor equivalente obtida com o método proposto:
Condutor múltiplo de 100 m (1) e de 10 km (2) 139
Figura 7.27 - Indutância do condutor equivalente obtida com o método proposto:
Condutor múltiplo de 100 m (1) e de 10 km (2) 140
Figura 7.28 - Condutância do condutor equivalente obtida com o método proposto:
Condutor múltiplo de 100 m (1) e de 10 km (2) 140
Figura 7.29 - Capacitância do condutor equivalente obtida com o método proposto:
Condutor múltiplo de 100 m (1) e de 10 km (2) 141
12
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO...........................................................................................16
1.1 ESTRUTURA BÁSICA DE UM SISTEMA ELÉTRICO 16
1.2 SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA 18
1.3 SISTEMA DE GERAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 20
1.4 TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 20
1.4.1 Linhas de transmissão 20
1.4.2 Linhas de subtransmissão 21
1.4.3 Linhas de distribuição primária 21
1.4.4 Linhas de distribuição secundária 21
1.5 CONCLUSÕES 22
2 LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA
ELÉTRICA............................................................................................... 23
2.1 INTRODUÇÃO 23
2.2 EVOLUÇÃO HISTÓRICA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 24
2.3 SISTEMA DE TRANSMISSÃO BRASILEIRO 26
2.4 DESCRIÇÃO DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 27
2.5 CONCLUSÕES 31
13
3 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DOS CONDUTORES QUE
CONSTITUEM AS LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO..............33
3.1 INTRODUÇÃO 33
3.2 CARACTERÍSTICAS DOS CABOS CONDUTORES 34
3.2.1 Condutores de cobre 37
3.2.2 Condutores de alumínio e alumínio e aço 38
3.2.3 Condutores em ligas de alumínio 40
3.2.4 Condutores alumoweld 41
3.2.5 Condutores expandidos 41
3.2.6 Condutores múltiplos 41
3.3 CONCLUSÕES 43
4 PARÂMETROS DE LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO
DE ENERGIA ELÉTRICA...................................................................... 44
4.1 INTRODUÇÃO 44
4.2 IMPEDÂNCIAS LONGITUDINAIS DE LINHAS AÉREAS DE
TRANSMISSÃO 45
4.2.1 Impedância externa 46
4.2.2 Impedância interna da linha 50
4.2.3 Impedância devido ao retorno de corrente através do solo (efeito solo) 52
4.3 ADMITÂNCIAS TRANSVERSAIS DE LINHAS AÉREAS DE
TRANSMISSÃO 57
4.3.1 Capacitância da linha 57
4.3.2 Admitância da linha 64
4.5 CONCLUSÕES 64
14
5 PARÂMETROS DE LINHA DE TRANSMISSÃO CONSTITUÍDA
DE CONDUTORES MÚLTIPLOS.......................................................... 66
5.1 INTRODUÇÃO 66
5.2 LINHAS DE TRANSMISSÃO CONSTITUÍDAS DE CONDUTORES
MÚLTIPLOS 67
5.2.1 Condutor equivalente a um condutor múltiplo 67
5.2.2 Distância média geométrica entre dois condutores múltiplos 69
5.3 IMPEDÂNCIA EXTERNA 70
5.4 IMPEDÂNCIA INTERNA 72
5.5 IMPEDÂNCIA DEVIDO AO EFEITO SOLO 73
5.6 ADMITÂNCIAS TRANSVERSAIS 75
5.7 CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DO USO DO RMG E DMG 77
5.8 APLICAÇÃO EM UMA LINHA TRIFÁSICA DE 440 KV 79
5.9 CONCLUSÕES 86
6 ASSOCIAÇÃO PARALELA DOS SUBCONDUTORES DE
UM CONDUTOR MÚLTIPLO................................................................ 88
6.1 INTRODUÇÃO 88
6.2 REPRESENTAÇÃO DE UM CONDUTOR MÚLTIPLO POR MEIO
DE UM ÚNICO CONDUTOR 89
6.2.1 Descrição geral 89
6.2.2 Obtenção dos parâmetros do condutor equivalente em função dos
parâmetros dos subcondutores 95
6.3 ANÁLISE DA FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃO γ 110
15
6.3.1 Componente imaginária da função
γ
113
6.4 CONCLUSÕES 117
7 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA..................................................... 118
7.1 INTRODUÇÃO 118
7.2 DESCRIÇÃO DOS DOIS SUBCONDUTORES CONECTADOS EM
PARALELO 119
7.3 DADOS DO CONDUTOR EQUIVALENTE OBTIDO A PARTIR DO
CONCEITO DE RMG 123
7.4 ASSOCIAÇÃO PARALELA DOS DOIS SUBCONDUTORES 125
7.4.1 Análise de um segmento de 100 m 126
7.4.2 Análise de um segmento de 500 m 129
7.4.3 Análise de um segmento de 1 km 133
7.4.4 Análise de um segmento de 10 km 136
7.4.5 Influência do comprimento do condutor múltiplo sobre os parâmetros do
condutor equivalente 139
7.5 CONCLUSÕES 141
8 CONCLUSÕES.......................................................................................... 143
REFERÊNCIAS.....................................................................................................147
16
1 INTRODUÇÃO
1.1 ESTRUTURA BÁSICA DE UM SISTEMA ELÉTRICO
O progresso industrial de uma nação pode ser medido pelo grau de aproveitamento
de suas fontes de energia. A descoberta dessas fontes na natureza, o transporte da energia em
suas várias formas de um lugar a outro e a conversão dessa energia para formas mais úteis,
são partes essenciais de uma economia industrial. Um sistema de potência é uma das
ferramentas utilizadas para a conversão e transporte de energia.
A única maneira de transportar a energia sob a forma de eletricidade é usando as
linhas de transmissão. O gás é transportado em dutos; ferrovias, navios e oleodutos levam o
petróleo a grandes distâncias; o carvão é transportado por via férrea e marítima. Os oleodutos
multiplicam-se rapidamente e com isso são os maiores competidores das linhas de
transmissão, visto que proporcionam o transporte de energia a baixo custo.
A energia elétrica de origem hidráulica é barata somente no caso em que o custo do
seu transporte seja baixo. A economia no transporte de energia em uma forma ou em outra
depende de ser sua demanda contínua ou intermitente, da distância considerada e do custo e
da possibilidade de armazenamento. O fator determinante é o custo final, incluído o preço do
transporte da energia na forma desejada.
Um sistema elétrico de potência é particularmente vantajoso quando a fonte primária
é hidráulica. Essa energia deve ser transformada no próprio local em que se encontra e um
17
sistema elétrico de potência propicia a sua utilização em pontos diferentes. A energia
hidráulica é convertida em elétrica na própria origem, sendo então transportada por linhas de
transmissão até o ponto em que é convertida na forma desejada, luz, calor, energia mecânica
ou química. A linha de transmissão não pode armazenar energia e toda a energia fornecida na
estação geradora é convertida simultaneamente à carga, exceto as perdas do sistema.
Um sistema elétrico consiste em três componentes principais: as estações geradoras,
as linhas de transmissão e os sistemas de distribuição; as linhas de transmissão ligam as
estações geradoras aos sistemas de distribuição; um sistema de distribuição liga todas as
cargas individuais de uma determinada área às linhas de transmissão. Um sistema de potência
bem projetado compreende um grande número de estações geradoras interligadas de modo
que a energia total produzida possa ser utilizada em toda a região coberta pelo sistema. A
localização das centrais hidroelétricas é fixada pela presença de quedas d’água, porém, a
localização das centrais termoelétricas, utilizando combustível fóssil ou nuclear é mais
flexível. As centrais termoelétricas são, em geral, distribuídas pelo sistema de tal maneira que
haja pelo menos uma próxima de cada grande centro de carga.
Os sistemas de potências devem prever a demanda futura de energia de tal forma
que, centrais geradoras adequadamente situadas e sistemas de transmissão bem coordenados,
flexíveis e eficazes, possam atender a uma determinada região por meios de sistemas de
distribuição prontos a fornecer a potência requerida pela carga (STEVENSON, 1978).
18
1.2 SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA
Os modernos sistemas de energia elétrica possuem uma estrutura baseada na
organização vertical e numa organização horizontal, conforme mostra a Figura 1.1.
Figura 1.1 – Estrutura básica de um sistema interligado
Na organização vertical de um sistema elétrico distinguem-se, em geral, cinco níveis
que recebem a seguinte denominação:
- Sistema de distribuição de energia;
- Sistema de subtransmissão de energia;
19
- Sistema de transmissão de energia;
- Linhas de interligação;
- Sistema de geração
Horizontalmente, cada camada ou nível se divide em um número de subsistemas
que, a princípio, são isolados eletricamente e geograficamente dos subsistemas vizinhos de
mesmo nível, sendo ligados entre si apenas através dos sistemas de nível mais elevado.
Essas divisões principais são geralmente identificáveis, apesar de que em alguns
casos, as linhas divisórias não resultam muito claras, por peculiaridades locais dos sistemas
individuais.
A integração dos sistemas regionais e nacionais, através da interligação dos sistemas
isolados, é considerada indispensável devido a diversos fatores, que são:
a) Possibilidade de intercâmbio de energia entre os diversos sistemas de acordo com as
disponibilidades e necessidades diferenciadas;
b) Possibilidade de se construírem centrais maiores e mais eficientes que seria
economicamente inviável em qualquer um dos sistemas isolados;
c) Aumento da capacidade de reserva global das instalações de gerações para casos de
acidentes em alguma central dos sistemas que constituem o sistema interligado;
d) Aumento da confiabilidade de abastecimento em situações anormais ou de emergência;
e) Possibilidade de um despacho único e mais eficiente, com alto grau de automatização e
otimização;
20
f) Possibilidade de manutenção de um órgão de planejamento de alta categoria, em conjunto,
com rateio de despesas e, conseqüentemente, menor incidência sobre os custos de cada
sistema que constitui o sistema interligado (FUCHS,1979).
1.3 SISTEMA DE GERAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA
A produção de energia elétrica no Brasil é realizada por um sistema hidrotérmico de
grande porte, com ampla predominância hidrelétrica e múltiplos proprietários, sendo que
96,6% dessa produção integram o Sistema Interligado Nacional (SIN), formado pelas
empresas das regiões Sul, Sudeste, Centro-Oeste, Nordeste e parte da região Norte. Os 3,4%
restantes encontram-se fora do SIN, em pequenos sistemas isolados, localizados,
principalmente, na região amazônica (CTEEP, 2006).
1.4 TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA
O transporte de energia elétrica é realizado em todos os níveis, diferenciando-se
pelas tensões e quantidades de energia que é transportada por cada uma das linhas de
transmissão aéreas e/ou cabos (que podem ser subterrâneos ou submarinos).
1.4.1 Linhas de transmissão
Denominam-se linhas de transmissão as linhas que operam com as tensões mais
elevadas do sistema e que transportam a energia elétrica entre os centros geradores de energia
21
e os centros consumidores. Em geral, as linhas de transmissão terminam nas subestações
abaixadoras regionais, onde a tensão é reduzida para os níveis de subtransmissão.
1.4.2 Linhas de subtransmissão
São as linhas que operam com níveis de tensão inferiores àqueles dos sistemas de
transmissão. Estas linhas têm início nos barramentos das subestações regionais e terminam
nas subestações abaixadoras locais. Em um sistema pode haver dois ou mais níveis de tensão
de subtransmissão.
1.4.3 Linhas de distribuição primária
São linhas em que a tensão possui um nível suficientemente baixo de modo que
estas linhas possam ocupar vias públicas. No entanto, mesmo sendo relativamente baixo, o
nível de tensão deve ser elevado o suficiente para assegurar boa regulação.
1.4.4 Linhas de distribuição secundária
São linhas que operam com as tensões mais baixas do sistema e em geral seu
comprimento não excede 300 m. Sua tensão é apropriada para uso direto em máquinas
elétricas, aparelhos e lâmpadas (FUCHS, 1979).
22
1.5 CONCLUSÕES
Este capítulo procurou mostrar algo sobre o desenvolvimento dos sistemas elétricos
de potência, bem como algumas descrições das partes que constituem estes sistemas elétricos.
Verificou-se que o sistema de energia elétrica é baseado na organização em níveis
verticais e horizontais e o transporte de energia é realizado em todos os níveis. As linhas de
transmissão são as responsáveis pelo transporte de energia elétrica e são consideradas uma das
componentes principais do sistema, assim como as estações geradoras e os sistemas de
distribuição. Por fim, foram analisados outros tipos de linha que realizam o transporte de
energia.
23
2 LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA
2.1 INTRODUÇÃO
A transmissão de energia elétrica é talvez a contribuição de maior importância que a
engenharia ofereceu à civilização moderna. Entre suas visíveis manifestações, as mais
expressivas são as linhas de transmissão de alta tensão sobre elevadas torres de aço que
cruzam o país em todas as direções. Transportando milhares de megawatts de energia, estas
linhas interligam as estações geradoras distantes dos centros urbanos de carga ou unem, em
sistemas cooperativos, as instalações de produção de energia de grandes áreas geográficas
(FUCHS, 1979); (CTEEP, 2006); (CHIPMAN, 1976).
O estudo desenvolvido neste capítulo consiste em descrever: a evolução dos sistemas
de potência ao longo da história da energia elétrica; a evolução das linhas de transmissão
brasileira até chegar aos sistemas utilizados hoje; as características das principais estruturas de
sustentação das linhas de transmissão.
24
2.2 EVOLUÇÃO HISTÓRICA DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
O desenvolvimento do sistema de transmissão de energia elétrica teve início no final
do século XIX quando foi possível, graças aos trabalhos de cientistas como Siemens, Gramme
e Pacinotti, a obtenção de energia elétrica em quantidades razoáveis a partir da energia
mecânica. Somente em 1879-1880, porém, com a invenção da lâmpada incandescente por
Thomas A. Edison, é que a energia elétrica teve seu grande impulso. A partir de 1882, quando
foi inaugurada a central elétrica de Pearl, pelo mesmo Edison, fornecendo iluminação pública
e energia para motores em parte da cidade de Nova York, começaram a surgir os primeiros
sistemas comerciais de eletricidade, em diversos países do mundo. Com eles também tiveram
início problemas com o transporte e a distribuição de energia elétrica, então gerada e
consumida em tensão contínua. A expansão dos sistemas incipientes e o uso da energia
hidráulica eram limitados devido à queda de tensão e ao efeito Joule. Para evitar a utilização
de condutores de seções maiores, as centrais elétricas eram construídas relativamente
próximas umas das outras. O grande potencial hidroelétrico ficava fora de alcance, pois a
energia era consumida na tensão em que era produzida, não havendo solução imediata à vista
para os problemas de corrente contínua.
Por volta de 1884/1885 foi inventado o transformador, que permitia elevar e abaixar
a tensão alternada com alto grau de rendimento. Destacam-se neste período, duas realizações
que podem ser consideradas notáveis para a época: Em 1886 foi construída na Itália uma linha
monofásica com 29,5 km, conduzindo 2700 HP para Roma e em 1888 foi construída uma
linha trifásica de 11 kV e 180 km na Alemanha.
A invenção, entre 1885 e 1888, dos motores a indução, devida a Ferraris e Tesla, deu
novo impulso aos sistemas de tensão alternada em detrimento dos sistemas de tensão
25
contínua, que foram pouco a pouco sendo substituídos. Mais e mais energia elétrica passou a
ser utilizada, crescendo continuamente as potências das centrais elétricas; os novos locais que
favoreciam aproveitamentos hidroelétricos tornavam-se cada vez mais remotos, exigindo
tensões sempre mais elevadas e linhas mais longas, avolumando-se os problemas. Assim é
que, por volta de 1903, a tensão de 60 kV era atingida; em 1910, 150 kV. Por volta de 1922
entrou em operação a primeira linha de 230 kV, em 1936, uma linha de 287 kV. Esta somente
foi suplantada em 1950, com a entrada em serviço de uma linha de cerca de 1000 km de
comprimento e tensão de 400 kV na Suécia. Por volta de 1955 foram construídas as primeiras
linhas em 345 kV nos Estados Unidos, onde se iniciaram estudos e experiências, visando à
implantação de linhas de 500 kV. Entre 1964 e 1967, no Canadá, foram projetadas e
construídas as primeiras linhas de 735 kV.
A primeira linha de transmissão de que se tem registro no Brasil foi construída por
volta de 1883, na cidade de Diamantina, Minas Gerais. Esta linha transportava energia gerada
em uma usina hidroelétrica, constituída de duas rodas d’água e dois dínamos Gramme, a uma
distância de 2 km, aproximadamente. Consta que era a linha mais longa do mundo, na época.
Em 1901, com a entrada em serviço da central Hidroelétrica de Santana do Parnaíba,
a então The San Paulo Tramway Light and Power Co. Ltd. construiu as primeiras linhas de
seus sistemas de 40 kV. Em 1914, com a entrada em serviço da Usina Hidroelétrica de
Utupararanga, a mesma empresa introduziu o padrão 88 kV. Esse padrão de tensão foi, em
seguida, adotado pela Companhia Paulista de Estradas de Ferro, Estrada de Ferro Sorocabana
e, através desta, pela USELPA, que futuramente viria a integrar o sistema CESP. Entre 1945 e
1947 construiu-se a primeira linha de 230 kV no Brasil, com um comprimento aproximado de
330 km. Esta linha, destinada a interligar os sistemas Rio Light e São Paulo Light, operava
inicialmente em 170 kV, passando, em 1950, a operar com 230 kV. Foi também a primeira
26
interligação de dois sistemas importantes realizados no Brasil. Vieram, a partir daí, em rápida
sucessão, as linhas de 230 kV do sistema da Cia. Hidroelétrica de São Francisco, 161 e 345
kV da CEMIG e FURNAS, 460 kV da CESP, as linhas de 500 kV de FURNAS e 800 kV do
sistema Itaipu. De acordo com dados disponíveis na página do Operador Nacional do Sistema
Elétrico, no final de 2002 a rede de transmissão brasileira era formada por mais de 72.000 km
de linhas de transmissão em tensões iguais ou superiores a 230 kV (FUCHS, 1979);
(KUROKAWA et al., 2003).
2.3 SISTEMA DE TRANSMISSÃO BRASILEIRO
O Sistema de Transmissão Interligado Nacional, nas tensões de 230 kV a 750 kV, é
composto de cerca de 77.640 km de linhas de transmissão e capacidade de transformação
acima de 176.000 MVA, instalados em cerca de 320 subestações (CTEEP, 2006) figura 2.1
mostra o Sistema de Transmissão Interligado Nacional.
27
Figura 2.1 - Sistema de Transmissão Interligado Nacional
2.4 DESCRIÇÃO DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO
As linhas de transmissão aéreas são compostas por cabos metálicos, sustentados por
torres através de cadeias de isoladores e ferragens e seguem pelas faixas de segurança. As
linhas subterrâneas estão protegidas por valas ou túneis e são compostas por cabos de energia
especialmente projetados e construídos para atuarem nesta condição.
28
As silhuetas típicas das torres de transmissão (metálicas) da companhia de
Transmissão Paulista são apresentadas nas figuras 2.2 a 2.5 (CTEEP, 2006).
Figura 2.2 – Estrutura para circuito simples e duplo com 138kV e 230kV, respectivamente
A figura 2.2 apresenta a estrutura para circuito simples e circuito duplo, onde a
largura da faixa de passagem é de 30 metros e a largura da faixa com queimada proibida é de
60 metros. Para linha de 88 kV a cadeia de isoladores é composta por 6 ou 7 discos, para linha
de 138 kV a cadeia de isoladores é composta por 9 ou 10 discos. Para circuito duplo de linhas
de 230 kV, a largura da faixa de passagem é de 50 metros, e a largura da faixa com queimada
proibida é de 80 metros, tal estrutura possui uma cadeia de isoladores com 15 ou 16 discos,
podendo ter dois cabos condutores por fase.
29
Figura 2.3 – Estruturas de circuito duplo e simples com 345kV e 440kV, respectivamente
A figura 2.3 mostra a estrutura para circuito duplo e circuito simples, para as linhas
de 345kV e 440kV, respectivamente. Para os dois tipos de estruturas a largura da faixa de
passagem é de 50 metros e a largura da faixa com queimada proibida é de 80 metros. A cadeia
de isoladores para o circuito simples é de 24 a 30 discos, já para o circuito duplo a cadeia de
isoladores é de 19 ou 20 discos e possui dois ou quatro cabos condutores por fase.
30
Figura 2.4 – Estruturas de circuito simples e circuito duplo triangular com 440kV
A linha de 440 kv de circuito simples da Figura 2.4 apresenta a largura da faixa de
passagem de 40 metros e a largura da faixa com queimada proibida de 70 metros, as cadeias
de isoladores são dispostas em “V” e possuem 24 ou 26 discos em cada uma. Já a linha de 440
kV de circuito duplo, tem a largura da faixa de passagem de 60 metros e a largura da faixa
com queimada proibida de 90 metros, as cadeias de isoladores possuem 24 discos.
31
Figura 2.5 – Estrutura de circuito duplo vertical e circuito simples com 440kV
O circuito duplo vertical e o circuito simples da linha de 440kV, da Figura 2.5,
apresentam a largura da faixa de passagem de 50 metros e a largura da faixa com queimada
proibida de 80 metros, as cadeias de isoladores possuem 24 discos e cada fase tem 4 cabos
condutores.
32
2.5 CONCLUSÕES
Neste capítulo foi feito um estudo referente aos sistemas de transmissão.
Inicialmente este estudo procurou desenvolver um histórico da evolução da energia
elétrica apontando os principais fatos ocorridos que contribuíram para o desenvolvimento da
transmissão de energia elétrica no mundo. No Brasil, a história da energia elétrica começou
pouco tempo depois da descoberta da lâmpada incandescente por Thomas A. Edson, porém
acompanhou todos os passos da evolução histórica mundial.
O principal objetivo deste capítulo foi apresentar o sistema de transmissão brasileiro,
por isso em seguida, descreveram-se as linhas de transmissão brasileira, apresentando os
principais tipos de estruturas de sustentação utilizados, as características destas estruturas e os
níveis de tensão utilizados na transmissão.
33
3 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DOS CONDUTORES QUE CONSTITUEM AS
LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO
3.1 INTRODUÇÃO
O desempenho elétrico de uma linha aérea de transmissão depende quase
exclusivamente de sua geometria. Suas características físicas não apenas ditam o seu
comportamento em regime normal de operação, definindo os seus parâmetros elétricos, como
também quando submetidas à sobretensões de qualquer natureza. O conhecimento das
características físicas das linhas de transmissão é fundamental antes da análise de seu
desempenho elétrico.
Portanto, é conveniente proceder, antes de iniciar o seu estudo elétrico, um estudo
das características físicas e os elementos que a compõe (FUCHS, 1979).
Neste capítulo pretende-se descrever as principais características de cabos
condutores e dentre esses, quais os mais empregados no mundo.
Em seguida, é definida a padronização de condutores utilizada no Brasil.
34
3.2 CARACTERÍSTICAS DOS CABOS CONDUTORES
Os cabos condutores podem ser considerados os principais elementos das linhas de
transmissão, devendo, portanto, possuir características especiais. A especificação adequada é
muito importante para o dimensionamento da linha, pois não só depende disso o bom
desempenho da linha, como tem importantes implicações de natureza econômica. Condutores
ideais apresentam as seguintes características:
a) Alta condutibilidade elétrica – para que as perdas por efeito Joule possam ser
mantidas, economicamente, dentro de limites aceitáveis;
b) Baixo custo – o custo dos cabos condutores absorve parcela do investimento
total de uma linha, influindo, portanto, no custo do transporte da energia;
c) Boa resistência mecânica – assegurar integridade mecânica à linha, garantindo
continuidade de serviço e segurança às propriedades e às vidas;
d) Baixo peso específico – as estruturas de suporte são dimensionadas para
absorver os esforços mecânicos transmitidos pelos condutores, e um desses é
seu peso. Por isso, quanto maior for seu peso, mais robustas e caras serão as
estruturas;
e) Alta resistência à oxidação e à corrosão por agentes químicos poluentes - a fim
de que não venham a sofrer redução em sua secção com o decorrer do tempo,
provocando redução na sua resistência mecânica e eventual ruptura.
35
As condições mencionadas anteriormente não são atendidas simultaneamente por
nenhum material em particular. Dentre os metais que possuem a maior parte dessas
propriedades, estão o cobre e o alumínio bem como suas ligas, que são empregadas
universalmente.
Durante muito tempo o cobre dominou o mercado, apesar de, já em 1895, terem sido
construídas as primeiras linhas em cabo de alumínio (nos Estados Unidos e na França),
seguidas de outras em 1898, 1899, 1902, etc. Nesta época, os fatores que limitavam a
utilização do alumínio era o preço do mesmo em relação ao cobre, e também sua baixa
resistência mecânica.
O problema decorrente da baixa resistência mecânica do alumínio foi superado já em
1908, com a invenção dos cabos de alumínio com alma de aço, CCA (Aluminium Conductor
Steel Reinforced – ACSR), que foram utilizados com sucesso em 1913 na linha Big Creek, na
Califórnia.
Problemas de custo de produção do alumínio, aliados a certo grau de
conservadorismo, mantiveram acirrada a concorrência entre os dois materiais, e somente com
a evolução da tecnologia de obtenção do alumínio, no período compreendido entre 1938 e
1945, que reduziu drasticamente seu custo, é que o cobre foi quase que totalmente afastado do
campo das linhas de transmissão.
Nas linhas de transmissão, o uso de fios foi virtualmente abandonado em favor de
cabos, obtidos por encordoamento de fios elementares (FUCHS,1979).
A figura 3.1 mostra um condutor de alumínio com alma de aço que tem o
encordoado concêntrico composto de uma ou mais camadas (coroas) e o núcleo de aço. Pode
36
ser constituído por um único fio de aço ou diversos fios de aço encordoados conforme a
dimensão do cabo.
Figura 3.1 – Cabo de alumínio com alma de aço
O cabo ilustrado na Figura 3.1 é utilizado, principalmente, em redes de transmissão
aérea.
A Figura 3.2 mostra um cabo de alumínio liga 1120 que é um condutor, com o cabo
concêntrico composto, com uma ou mais coroas de fios de alumínio liga 1120 (PDCI, 2006).
Figura 3.2 – Cabo de alumínio liga 1120
37
A aplicação do cabo de alumínio liga 1120, mostrado na Figura 3.2, ocorre,
principalmente, em circuitos aéreos onde seja necessária uma resistência mecânica maior que
do cabo de alumínio e uma melhor resistência à corrosão que o cabo de alumínio-aço.
Pode-se construir cabos de uma mesma secção a partir de inúmeras combinações de
fios elementares. Deste modo, os fabricantes de condutores padronizaram a fabricação dos
mesmos, não somente em função do número de filamentos, mas também em função das
secções destes filamentos. Assim, nos Estados Unidos e na Europa surgiram diferentes tabelas
de padronização de condutores.
No Brasil, a padronização de condutores é definida pela ABNT, sendo que estas
normas especificam as características exigíveis na fabricação e para o recebimento dos
condutores destinados a fins elétricos. A padronização brasileira é a mesma adotada pelos
Estados Unidos.
3.2.1 Condutores de cobre
Para os condutores de cobre (cabos nus de cobre), utiliza-se a EB-12. De acordo com a
ABNT, os condutores de cobre devem ser especificados em função da secção em milímetros
quadrados, da composição (ou número de filamentos) e da classe de encordoamento. No
Brasil, fabricam-se cabos de cobre nas bitolas de 13 mm² (referência comercial nº. 6) até
645,2 mm² (referência comercial 1000 Mil Circular Mil), nas temperas duras e semiduras. O
encordoamento é feito de acordo com as classes A e AA, definidos por normas. Os
encordoamentos classe AA são empregados em condutores para linhas aéreas. Os condutores
classe A em linhas aéreas são usados quando munidos de capa protetora ou quando se deseja
maior flexibilidade.
38
Os condutores de alumínio e alumínio-aço possuem características especificadas, no
Brasil, pela ABNT, descritas a seguir.
3.2.2 Condutores de alumínio e alumínio e aço
Estes condutores são especificados pela ABNT através de EB- 219 (fios de alumínio
para fins elétricos), EB-292 (fios de aço zincado para alma do cabo de alumínio) e EB-193
que é referente a cabos de alumínio (CA) e cabos de alumínio com alma de aço (CAA) para
fins elétricos.
A designação destes condutores deve ser feita por meio da área nominal da secção de
alumínio expressa em mm², pela formação, pelo tipo (CA ou CAA), pela classe de
encordoamento correspondente e pela referência comercial.
Utiliza-se para designação dos cabos o código canadense de referência comercial. Para
os cabos CA as palavras-código são nomes de flores e para CAA utilizam-se nomes de aves.
As palavras-código são sempre pertencentes à língua inglesa. Como exemplo, é mostrado a
descrição de um cabo de alumínio (CA) e de um cabo de alumínio com alma de aço (CAA).
TULIP: Cabo CA de alumínio, composto de 19 filamentos.
diâmetro dos filamentos: 3,381 mm;
diâmetro do cabo (nominal): 16,92 mm;
peso do cabo (nominal): 467,3 kg/km;
carga de ruptura: 2995 kg;
39
resistência elétrica: 0,168 ohm/km (em corrente contínua a uma temperatura de
20
0
C).
área da secção do cabo: 170,45 mm².
PENGUIN: Cabo CAA de alumínio, composto de 1 fio de aço e 6 fios de alumínio.
Bitola AWG n
o
0000;
diâmetro do fio de aço: 4,77 mm;
diâmetro do fio de alumínio: 14,31 mm;
carga de ruptura: 3820 kg;
resistência elétrica: 0,26719 ohm/km (em corrente contínua a uma temperatura de
20
0
C.
área da secção: 107 mm².
A Figura 3.3 mostra a maneira como o cabo PENGUIN é encordoado.
40
Figura 3.3 – Condutor PENGUIN
3.2.3 Condutores em ligas de alumínio
São cabos em que os fios de alumínio são substituídos por uma liga metálica
constituída de alumínio e um outro material. Estes cabos são utilizados em locais sujeitos a
um alto índice de poluição e também à beira-mar, pois são mais resistentes à corrosão.
Estas ligas recebem nomes comerciais diversos. Na Europa, o ALDREY é bastante
utilizado, enquanto que nos Estados Unidos e Canadá existem dois condutores de ligas de
alumínio bastante utilizados. Estes condutores são o AAC (all aluminium alloy cable), que
são cabos homogêneos compostos de fios iguais em ligas de alumínio, de diversas
composições, e o ACAR (aluminium conductor alloy reinforced), que são cabos de
construção idêntica à dos cabos CAA, exceto pela alma, que neste caso será composta de fios
de liga de alumínio, ao invés de aço.
Fio de alumínio
Fio de aço
41
3.2.4 Condutores alumoweld
Os filamentos destes cabos são obtidos pela extrusão de uma capa de alumínio sobre
um fio de aço de alta resistência. O uso destes cabos, em linhas de transmissão, é limitado a
situações especiais em que são necessárias pequenas seções de material condutor aliadas a
elevadas resistências mecânicas. Estes condutores são aplicados como cabos pára-raios e
também como condutor neutro em sistemas de distribuição, urbanos e rurais.
3.2.5 Condutores expandidos
São condutores constituídos de materiais diversos, designados como expandidos. A
finalidade destes condutores é reduzir o gradiente de potencial em suas superfícies e com isso
aumentar o valor da tensão crítica de corona (valor mínimo de tensão, a qual o condutor está
submetido, para que tenha início a manifestação do efeito Corona).
3.2.6 Condutores múltiplos
O advento, em 1950, das primeiras linhas em tensões extra-elevadas tornou premente
o emprego de meios capazes de reduzir os gradientes de potencial nas superfícies dos
condutores, sendo que os condutores múltiplos ou enfeixados vieram de encontro a esta
necessidade.
42
A Figura 3.4 mostra 3 exemplos de condutores múltiplos.
Figura 3.4 - Condutores múltiplos
Na Figura 3.4 (a) mostra-se um condutor múltiplo que é constituído de 2
subcondutores dispostos simetricamente em relação a um eixo vertical. Estes subcondutores
são conectados em paralelo resultando em um único condutor. As Figuras 3.4 (b) e 3.4 (c)
mostram condutores múltiplos constituídos de 3 e 4 subcondutores, respectivamente.
Nas figuras 3.4 (a), 3.4 (b) e 3.4 (c), s é igual à distância entre os centros dos
subcondutores.
A partir de 1979 os condutores múltiplos foram empregados em praticamente todas as
linhas cuja tensão nominal estivesse acima de 300 kV.
A quantidade de subcondutores em um condutor múltiplo, bem como o diâmetro dos
subcondutores e o espaçamento entre os mesmos, são padronizados (FUCHS, 1979).
(a)
(b)
(c)
43
3.3 CONCLUSÕES
Neste capítulo apresentou-se um estudo referente às principais características físicas
dos cabos condutores. Os cabos condutores são considerados os principais elementos de uma
linha de transmissão e por isso suas características devem corresponder ao bom desempenho
da linha.
Devido à rigorosa exigência do mercado de energia elétrica mundial, apenas o cobre e
o alumínio satisfazem algumas das características exigidas, sendo então, empregados
universalmente.
Inicialmente, este capítulo mostrou quais são as características apresentadas por
condutores ideais e como se sucedeu o uso do cobre e o alumínio na fabricação de cabos
condutores.
No capítulo anterior, viu-se que o sistema de transmissão brasileiro teve grande
influência européia e norte-americana, com a padronização dos cabos condutores não foi
diferente, no Brasil, a padronização é definida pelas normas da ABNT que seguem as normas
adotadas nos Estados Unidos. Com base nestas normas, foram apresentadas, em seguida, as
padronizações dos cabos nus de cobre e dos cabos de alumínio.
Por fim, descreveram-se, devido às especificações definidas pela ABNT, os tipos de
cabos condutores de alumínio. Dentre eles, estão os condutores múltiplos que terá grande
importância no decorrer deste trabalho.
44
4 PARÂMETROS DE LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA
ELÉTRICA
4.1 INTRODUÇÃO
Uma linha de transmissão de energia elétrica possui quatro parâmetros que
influenciam no seu comportamento como componente de um sistema de potência, são eles:
resistência, indutância, capacitância e condutância.
Um dos aspectos mais importantes na representação da linha para estudos de
transitórios eletromagnéticos consiste em considerar que os parâmetros da linha são
distribuídos ao longo de seu comprimento e que são variáveis em função da freqüência.
Modelos em que os parâmetros são considerados constantes não representam
adequadamente a linha em toda faixa de freqüência presente durante o transitório sendo que,
na maioria dos casos, a utilização de parâmetros constantes simplifica as componentes
harmônicas dos sinais e provoca distorções nas formas de onda.
O efeito do retorno através do solo e o efeito skin (pelicular), tornam os parâmetros da
linha altamente dependentes da freqüência, sendo que Carson e Pollaczeck desenvolveram
modelos matemáticos que representam o efeito do retorno de corrente através do solo
(PETTERSSON et al., 1999); (D’ AMORE et al., 1997).
45
No estudo dos parâmetros longitudinais e transversais de uma linha aérea de
transmissão, verifica-se também que estes parâmetros são influenciados pela geometria da
linha e, em alguns casos, pelo meio a que a linha está imersa.
A seguir, são descritos os parâmetros longitudinais e transversais de uma linha de
transmissão genérica.
4.2 IMPEDÂNCIAS LONGITUDINAIS DE LINHAS AÉREAS DE
TRANSMISSÃO
As impedâncias, próprias e mútuas, inseridas nas equações de uma linha representada
no domínio da freqüência podem ser obtidas a partir da solução das equações de Maxwell
levando em consideração as condições de contorno de três materiais que são o condutor,
propriamente dito, o ar e o solo (HOFMANN et al., 2003). Considerando que estes três
materiais podem ser caracterizados por uma resistência, por uma permeabilidade magnética e
por uma permissividade dielétrica, pode-se mostrar que as impedâncias da linha podem ser
escritas em função das propriedades físicas do sistema (ar, solo e condutor) e da freqüência.
Para fins de cálculos, a impedância longitudinal de uma linha de transmissão é
dividida em três componentes que são:
46
ik
θ
Z
ext
Impedância externa
Z
int
Impedância interna
Z
solo
Impedância devido ao retorno da corrente através do solo
A impedância total da linha corresponde à soma das três componentes mencionadas
anteriormente.
4.2.1 Impedância externa
Considere os condutores i e k de uma linha de transmissão genérica que está sobre um
solo ideal, conforme mostra a Figura 4.1(FUCHS, 1979); (HOFMANN et al., 2003).
Figura 4.1 – Condutores i e k, sobre um solo ideal, e suas respectivas imagens i’ e k’
i
i’
k
k’
b
ik
h
k
h
i
d
ik
D
ik
Solo i
deal
47
A impedância externa é resultante da ação do campo magnético no ar, considerando
que o condutor e a linha são ideais (sem perdas). Para os condutores i e k, mostrados na
Figura 4.1, a impedância externa é dada por:
ikik
XjZext =
(4.1)
Considerando
ik
R
nula, as equações das impedâncias externas são dadas por:
)
d
D
(ln
2
j)(Zext
ik
ik
ik
π
µ
ω=ω (ohm/km) (4.2)
)
r
h2
(ln
2
j)(Zext
i
i
ii
π
µ
ω=ω (ohm/km) (4.3)
Sendo:
i
h
Altura do condutor
i
em relação ao solo;
k
h
Altura do condutor
k
em relação ao solo;
ik
d
Distância entre os condutores
i
e
k
;
ik
D
Distância entre os condutores
i
e
k’
;
i
r
Raio do condutor
i
;
µ
Permeabilidade do meio;
ω
Função variável.
48
Nas equações (4.2) e (4.3) a função
ω
depende da variável freqüência f e a
permeabilidade do meio
µ
depende do meio em que a linha está imersa. As equações que
determinam
ω
e
µ
são calculadas como:
)Hz(f2
π
=
ω
(4.4)
)km/H(
r0
µ⋅µ=µ (4.5)
Em (4.5) temos:
4
0
104
−
⋅π=µ (H/km) Permeabilidade do vácuo;
1
r
≅µ
Permeabilidade relativa do ar;
Na equação (4.2) Zext
ik
é a impedância externa mútua entre os condutores i e k,
enquanto que na expressão (4.3) Zext
ii
é a impedância externa própria do condutor i.
Nas equações (4.2) e (4.3) a parte imaginária é dada pelas reatâncias indutivas.
Das expressões (4.2) e (4.3) pode-se obter as indutância externas próprias e mútuas
como sendo:
)
d
D
(ln
2
Lext
ik
ik
ik
π
µ
= (4.6)
)
r
h2
(ln
2
Lext
i
i
ii
π
µ
= (4.7)
49
Em que:
Lext
ik
Indutância externa mútua entre os condutores i e k
Lext
ii
Indutância externa própria do condutor i
Em (4.6) e (4.7) a indutância externa depende da geometria da linha e do meio a que a
linha está imersa.
Deste modo, para uma linha de n fases, considerando que cada fase é constituída de
um único condutor, pode-se escrever a matriz de impedâncias externas [Z
ext
] como sendo:
π
µ
ω=
n
n
2n
2n
1n
1n
n2
n2
2
2
21
21
n1
n1
12
12
1
1
ext
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
2
j]Z[
L
MOMM
L
L
(ohm/km) (4.8)
A matriz de impedância [Z
ext
] pode ser escrita como sendo:
]L[ωj]Z[
extext
= (4.9)
Na equação (4.9) [L
ext
] é a matriz de indutâncias externas, que pode ser escrita sob a
forma:
50
π
µ
=
n
n
2n
2n
1n
1n
n2
n2
2
2
21
21
n1
n1
12
12
1
1
ext
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
2
]L[
L
MOMM
L
L
(4.10)
Observa-se na equação (4.10) que a matriz de indutância externa da linha é função das
características geométricas dos condutores e das características do meio que constituem a
linha e é independente da freqüência.
4.2.2 Impedância interna da linha
A impedância interna ou impedância devido ao efeito pelicular (ou efeito skin) está
presente sempre que um condutor é percorrido por uma corrente alternada. Quando percorrido
por corrente alternada ocorre uma distribuição não uniforme de corrente elétrica na área da
seção transversal do condutor, que causa um aumento na resistência efetiva do condutor e
diminuição na indutância interna à medida que a freqüência aumenta.
No cálculo da impedância interna de um condutor cilíndrico sólido ou tubular pode se
utilizar as funções de Bessel de primeira ordem, ou funções modificadas de Bessel. Deste
modo, a impedância interna será expressa como (STEVENSON, 1978):
)rm('jbei)rm('ber
)rm(jbei)rm(ber
r2
m
intZ
ii
ii
i
ii
−
+
π
ρ
=
(ohm/km) (4.11)
Sendo:
51
ρ
µπ
=
f2
m (4.12)
ber (mx) =
( ) ( )
K
−
+
−
2
8
2
4
!4
2
mx
!2
2
mx
1 (4.13)
bei (mx) =
( ) ( )
L
−
+
−
2
10
2
6
2
!5
2
mx
!3
2
mx
2
mx
(4.14)
Os
termos ber e bei são abreviações de “Bessel real” e “Bessel imaginário”, respectivamente.
ber’ mx =
( )
mxber
dx
d
m
1
(4.15)
bei’
mx
=
( )
mxbei
dx
d
m
1
(4.16)
x =
i
r
.
(4.17)
ρ
Resistividade do material condutor
i
r
Raio do condutor
Portanto para uma linha de n fases, considerando que cada fase é constituída de um
único condutor, pode-se escrever a matriz de impedâncias internas [Z
int
] como sendo:
52
=
nn
22
11
int
intZ00
0intZ0
00intZ
]Z[
L
MOMM
L
L
(ohm/m) (4.18)
A matriz de impedância [Z
int
] pode ser decomposta em uma componente real e outra
imaginária, resultando em:
)]ω(L[ωj)]ω(R[]Z[
intintint
+=
(4.19)
Na equação (4.19) [R
int
(
ω
)] é a matriz de resistências devido ao efeito pelicular
enquanto que [L
int
(
ω
)] é a matriz de indutâncias devido ao efeito pelicular.
As matrizes [R
int
(
ω
)] e [L
int
(
ω
)] são variáveis em relação à freqüência.
4.2.3 Impedância devido ao retorno de corrente através do solo (efeito solo)
Os parâmetros de uma linha de transmissão são fortemente dependentes da freqüência.
Os efeitos do solo sobre os parâmetros longitudinais podem ser calculados por meio
das equações de Carson e de Pollaczeck. Ambas as equações podem ser aplicadas em linhas
aéreas, mas as equações de Pollaczeck são mais genéricas, podendo ser
aplicadas também em
cabos (DOMMEL, 1986); (KUROKAWA et al., 2006).
Considere os condutores
i
e
k
dispostos sobre um solo não ideal, conforme mostra a
Figura 4.2.
53
Carson considerou condutores paralelos ao solo, admitindo a resistividade como
uniforme e tendo extensão infinita. Carson demonstrou que as impedâncias próprias e mútuas
de circuitos com retorno pelo solo são iguais às impedâncias para um circuito envolvendo um
solo ideal, no qual se pode considerar um condutor imagem à mesma profundidade que a
altura do condutor sobre o solo acrescida de um fator de correção aplicável a ambas as
impedâncias.
O termo de correção foi então denominado impedância devido ao efeito solo. Deste
modo, para os condutores
i
e
k
, mostrados na Figura 4.2, as impedâncias próprias e mútuas
(devido ao efeito solo) destes condutores podem ser calculadas, respectivamente, da seguinte
maneira (FUCHS, 1979); (STEVENSON, 1978); (DERI et al., 1981):
ikikik
XjRZsolo ∆+∆=
(4.20)
b
ik
i
i’
k
k’
h
k
h
i
d
ik
D
ik
ik
θ
Solo não ideal
Figura 4.2 – Condutores
i
e
k
, sobre um solo não ideal, e suas respectivas imagens
i’
e
k’
54
Sendo:
R
∆
correção dos termos de Carson para efeitos com retorno pelo solo;
X
∆
correções dos termos de Carson para efeitos com retorno pelo solo.
Os termos de correção de Carson
R
∆
e
X
∆
, na equação (4.20), considerando o efeito
solo, são funções do ângulo
θ
(
θ
= 0 para a impedância própria,
θ
=
ik
θ para a impedância
mútua) e do parâmetro
δ
:
O termo
δ
é calculado como:
ik
s
4
ik
D
2
1054
πρ
ω
×π=δ
−
(4.21)
Sendo:
s
ρ
Resistividade do solo, em mohm
⋅
.
ik
D
Distância entre o condutor
i
e a imagem do condutor
k
;
Na equação (4.21) a distância
ik
D
entre os condutores i e sua imagem i’ é calculada
como:
iik
h2D ⋅=
(4.22)
55
Sendo h
i
a altura do condutor
i
em relação ao solo.
R
∆
e
X
∆
são iguais a zero quando
δ
∞
→
( no caso da resistividade do solo ser muito
pequena). Carson apresentou uma integral infinita para os parâmetros
R
∆
e
X
∆
, a qual ele
desenvolveu como uma série infinita.
Para
δ
≤
5 tem-se:
( )
[
]
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ]
( ) ( )
}8cosd7cosb
6sin6coslncb5cosb4cosd
3cosb2sen)(lnc2cos)(bcosb
8
{R
ik
8
ik8ik
7
ik7
ik
6
ikikik
6
ikik66ik
5
ik5ik
4
ik4
ik
3
ik3ikik
2
ikik2ik
2
ik2ikik1ik
K−θδ−θδ+
θδθ+θδδ−+θδ−θδ−
θδ+θθδ+δ−θδ+θδ−
π
=∆
(4.23)
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
[ ]
}8sin8coslncb7cosb
6cosd5cosb4sin4coslncb
3cosb2cosdcosbln6159315.0
2
1
{104X
ik
8
ikikik
8
ikik88ik
7
ik7
ik
6
ik6ik
5
ik5ik
4
ikikik
4
ikik44
ik
3
ik3ik
2
ik2ikik1ik
4
ik
K+θδθ+θδδ−−θδ+
θδ−θδ+θδθ+θδδ−−
θδ+θδ−θδ+δ−⋅ω=∆
−
(4.24)
Os coeficientes b
i
, c
i
e d
i
são constantes, e podem ser obtidos pelas seguintes relações:
b
i =
( )
2ii
s
2b
i
i
+
−
, (4.25)
a partir de :
6
2
b
1
=
e
16
1
b
2
=
.
2
i
1
i
1
cc
2ii
+
++=
−
(4.26)
56
a partir de : c
2
= 1,3659315.
ii
b
4
d
⋅
π
=
(4.27)
Com
1s
i
±=
mudando após cada quatro termos sucessivos (
i
s
= +1 para
i
= 1, 2, 3,4;
i
s
= -1 para
i
= 5, 6, 7, 8...).
Para
δ
>5 tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1047cos455cos33cos2cos2cos
R
4
7
ik
ik
5
ik
ik
3
ik
ik
2
ik
ik
ik
ik
ik
−
⋅ω
⋅
δ
θ
−
δ
θ
+
δ
θ
+
δ
θ
−
δ
θ
=∆
(4.28)
( ) ( ) ( )
2
1047cos455cos33coscos
X
4
7
ik
ik
5
ik
ik
3
ik
ik
ik
ik
ik
−
⋅ω
⋅
δ
θ
−
δ
θ
+
δ
θ
−
δ
θ
=∆
(4.29)
Deste modo, a matriz de impedâncias de uma linha em que há o retorno de corrente
através do solo é escrita como sendo:
=
nn2n1n
n22221
n11211
solo
ZsoloZsoloZsolo
ZsoloZsoloZsolo
ZsoloZsoloZsolo
]Z[
L
MOMM
L
L
(4.30)
A matriz de impedância [Z
solo
] pode ser decomposta em uma componente real e outra
imaginária, resultando em:
57
)](L[j)](R[]Z[
solosolosolo
ωω+ω= (4.31)
Na equação (4.31) [R
solo
(ω)] é a matriz de resistências devido ao efeito solo enquanto
que [L
solo
(ω)] é a matriz de indutâncias devido ao efeito solo.
As matrizes [R
solo
(ω)] e [L
solo
(ω)] são variáveis em relação à freqüência.
4.3 ADMITÂNCIAS TRANSVERSAIS DE LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO
A diferença de potencial entre os condutores de uma linha de transmissão faz com que
se carreguem da mesma maneira que as placas de um capacitor quando entre elas existe uma
diferença de potencial. A capacitância entre os condutores é a carga nos condutores por
unidade de diferença de potencial entre eles.
Além da capacitância existe também, em uma linha aérea de transmissão, uma
condutância entre os condutores e o solo. Esta condutância é denominada condutância de
dispersão (FUCHS, 1979); (STEVENSON, 1978).
4.3.1 Capacitância da linha
Considere os condutores
i
e
k
, dispostos sobre um solo não ideal, carregados com
cargas q
i
e q
k
, respectivamente, conforme mostra a Figura 4.3 (FUCHS, 1979).
58
Figura 4.3 – Condutores
i
e
k
, sobre um solo não ideal, e suas respectivas imagens
i’
e
k’
Na Figura 4.3 os condutores imagens
i
’ e
k
’ terão, respectivamente, cargas -q
i
e -q
k
.
Sabe-se que o potencial do condutor
i
, na Figura 4.3, em relação ao solo é dado por:
−+
πε
=
ik
k
k
ik
k
k
i
i
i
0
i
D
r
lnq
d
r
lnq
r
h2
lnq
2
1
v
(4.32)
Na equação (4.32) r
i
e r
k
são os raios dos condutores
i
e
k
, respectivamente. O termo ε
0
é a permissividade do vácuo e assume o valor km/F10
36
1
6
0
−
×
π
=ε (HAYT, 1983).
A equação (4.32) pode ser escrita como sendo:
ik
ik
k
0i
i
i
0
i
d
D
lnq
πε2
1
r
h2
lnq
πε2
1
v +=
(4.33)
b
ik
i
i’
k
k’
h
k
h
i
d
ik
D
ik
θ
Solo não ideal
59
Utilizando o mesmo procedimento, pode-se calcular o potencial do condutor
k
em
relação ao solo da seguinte forma:
ik
ik
i
0k
k
k
0
k
d
D
lnq
πε2
1
r
h2
lnq
πε2
1
v +=
(4.34)
Escrevendo as equações (4.33) e (4.34) na forma matricial obtém-se:
[ ] [ ]
Q
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
πε2
1
V
k
k
ik
ik
ik
ik
i
i
0
= (4.35)
Na equação (4.35) os vetores [V] e [Q] são escritos como sendo:
[ ]
=
k
i
v
v
V
(4.36)
[ ]
=
k
i
q
q
Q
(4.37)
60
Considere agora, um sistema de n condutores, conforme mostra a Figura 4.4.
Figura 4.4 - Sistema de n condutores
Com base no raciocínio empregado no cálculo do potencial de cada condutor em uma
linha com dois condutores, pode-se afirmar que para o sistema de n condutores, mostrado na
Figura 4.4, as equações (4.35)-(4.37) torna-se:
=
n
2
1
n
n
n2
n2
n1
n1
n2
n2
2
2
12
12
n1
n1
12
12
1
1
0
n
2
1
q
q
q
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
πε2
1
v
v
v
M
L
MOMM
L
L
M
(4.38)
A equação (4.38) pode ser escrita, de forma simplificada, como:
[
]
[
]
[
]
QAV =
(4.39)
condutor 1
condutor 2
condutor n
Solo
61
Na equação (4.39) a matriz [A] é denominada matriz dos coeficientes de potencial (ou
matriz dos coeficientes de campo elétrico).
A partir da definição de capacitância de um sistema de dois condutores, (HAIT, 1983),
pode-se definir a seguinte relação matricial para uma linha de n condutores:
[
]
[
]
[
]
VCQ =
(4.40)
Na
expressão (4.40) a matriz [C] é a matriz de capacitâncias de um sistema de n condutores.
Deste modo, a partir das equações (4.39) e (4.40) pode-se escrever a matriz de
capacitâncias como sendo:
[
]
[
]
1
AC
−
= (4.41)
Na expressão (4.35) os elementos da matriz [C] são expressos em F/km.
A matriz [C], mostrada na expressão (4.41), pode ser escrita na forma:
[ ]
=
nn2n1n
n22221
n11211
CCC
CCC
CCC
C
L
MOMM
L
L
(4.42)
62
Para entender o significado dos elementos da matriz [C], mostrada na expressão
(4.42), considere o sistema de n condutores com todas suas capacitâncias parciais, conforme
mostra a figura 4.5.
Figura 4.5 - Capacitâncias entre condutores e dos condutores ao solo
Considere, na Figura 4.5, que os condutores 1, 2,..., n possuem, em relação ao solo, os
potenciais v
1
, v
2
,..., v
n
, respectivamente. Deste modo, podem-se escrever as seguintes
expressões (FUCHS, 1979):
)vv(C)vv(CvCq
n1n121121101
−++−+=
L
(4.43)
A equação (4.43) pode ser escrita como sendo:
nn12121n112101
vCvCv)CCC(q −−−+++=
LL
(4.44)
De modo análogo, para os demais condutores, obtêm-se:
Solo
condutor 1
condutor 2
condutor n
C
10
C
20
C
n0
C
12
C
1n
C
2n
63
nn22n212201122
vCv)CCC(vCq −−++++−=
LL
(4.45)
nn2n10n2n21n1n
v)CCC(vCvCq
LL
++++−−= (4.46)
Escrevendo as expressões (4.44)-(4.46) na forma matricial obtém-se:
]V[]C[]Q[
=
(4.47)
Onde
:
=
n
2
1
q
q
q
]Q[
M
(4.48)
=
n
2
1
v
v
v
]V[
M
(4.49)
+++−−
−+++−
−−+++
=
)CCC(CC
C)CCC(C
CC)CCC(
]C[
n2n10nn2n1
n2n2122012
n112n11210
LL
MOMM
LL
LL
(4.50)
Comparando as expressões (4.42) e (4.50) pode-se afirmar que:
64
-
Um elemento C
ii
qualquer na expressão (4.42) é constituído pela soma das
capacitâncias do condutor i em relação aos demais condutores e também do condutor i
em relação ao solo;
-
Um elemento C
ij
na expressão (4.50), para i ≠ j, é constituído pelo valor negativo da
capacitância entre os condutores i e j.
4.3.2 Admitância da linha
Assumindo que a condutância do ar é desprezível, conclui-se que a matriz de
admitâncias transversais de uma linha de transmissão é dada por (TAVARES et al., 1998):
]C[ωj]Y[
=
(4.51)
Na expressão (4.51) [C] é a matriz de capacitâncias obtida na equação (4.42).
4.4 CONCLUSÕES
Neste capítulo foi feito um estudo dos parâmetros longitudinais e transversais da linha.
Os parâmetros longitudinais e transversais da linha são obtidos a partir do cálculo da
impedância longitudinal e admitância transversal, respectivamente.
Inicialmente, foi feito um estudo dos parâmetros longitudinais e verificou-se que estes
são constituídos de uma parcela fixa e uma parcela variável. A parcela fixa corresponde à
resistência do condutor, esta resistência depende da geometria da linha e da característica do
meio; a parcela variável corresponde à indutância e depende da geometria da linha, da
65
condutividade do condutor e também da resistividade do solo. Esta segunda parcela é variável
em relação à freqüência.
A impedância longitudinal é determinada a partir da soma de parcelas determinadas
pelas impedâncias: externa, interna e impedância devido ao retorno da corrente através do
solo. Notou-se que cada uma dessas impedâncias possui características próprias e por isso
foram estudadas individualmente.
Quanto aos parâmetros transversais, viu-se que os mesmos são representados por uma
capacitância e por uma condutância. Porém, considerando que a condutância do ar é
desprezível apresentou-se apenas a expressão que determina a capacitância.
Tanto no cálculo da matriz de impedância longitudinal quanto no cálculo da matriz de
admitância transversal, considera-se o cálculo para uma linha composta por dois condutores e
partindo da mesma proposta, foram apresentadas as equações para uma linha genérica com n
condutores.
66
5 PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO CONSTITUÍDAS DE
CONDUTORES MÚLTIPLOS
5.1 INTRODUÇÃO
No capítulo anterior foi visto os procedimentos utilizados para calcular os parâmetros de
uma linha área de transmissão. A partir das equações utilizadas no capítulo anterior e
considerando uma linha cujas fases são constituídas de condutores múltiplos, este capítulo
apresentará o método utilizado para calcular os parâmetros destas linhas de transmissão.
Para determinar os parâmetros de um condutor múltiplo, considera-se que este pode
ser substituído por um condutor equivalente cujo raio é igual à média geométrica das
distâncias entre o grupo de subcondutores do condutor múltiplo. Essa média é denominada
raio médio geométrico ou, simplesmente, RMG (FUCHS, 1979).
Em seguida, considerando o condutor equivalente ao condutor múltiplo calcula-se a
distância média geométrica (DMG) entre cada fase da linha. Nessas condições, o estudo fica
resumido na determinação do RMG e da DMG (FUCHS, 1979).
Como ilustrações serão mostradas os parâmetros de uma linha trifásica de 440 kV que
foram obtidos a partir das equações estudadas neste trabalho.
67
5.2 LINHAS DE TRANSMISSÃO CONSTITUÍDAS DE CONDUTORES
MÚLTIPLOS
Linhas de condutores múltiplos são linhas em que cada uma das fases é constituída de
um grupo de subcondutores.
Figura 5.1 – Condutor múltiplo constituído de 4 subcondutores
A Figura 5.1 mostra um condutor múltiplo constituído de 4 subcondutores, que são
dispostos na forma de um quadrado. Cada um dos subcondutores pode ser do tipo
encordoado, ou de qualquer outro tipo definido na padronização (FUCHS, 1979).
5.2.1 Condutor equivalente a um condutor múltiplo
Considere um condutor múltiplo constituído por n subcondutores idênticos, conforme
mostra a Figura 5.2.
1
2
3
4
68
Figura 5.2 – Condutor múltiplo constituído por n subcondutores
O condutor múltiplo mostrado na Figura 5.2 pode ser substituído por um condutor
equivalente cujo raio é igual ao RMG (raio médio geométrico dos
n
subcondutores do
condutor múltiplo) que é calculado como sendo (FUCHS, 1979); (SINCLAIR et al., 1996):
nn
)1n(n2n1nn3343231n22321n11312
n
)ddd()dddd)(ddd)(ddd(rmgRMG
−
⋅=
LLLLL
(5.1)
Onde:
ik
d
distância entre o subcondutor
i
e o subcondutor
k
;
rmg raio médio geométrico de um subcondutor do condutor múltiplo que é dado por:
r7788.0rmg
⋅
=
(5.2)
Em (5.2) r é o raio do subcondutor.
1
2
3
n
69
5.2.2 Distância média geométrica entre dois condutores múltiplos.
Considere um sistema constituído por dois condutores múltiplos, A e B, conforme
mostra a Figura 5.3.
Figura 5.3 - Sistema de dois condutores múltiplos
Nas Figura 5.3, os condutores múltiplos A e B são constituídos, respectivamente, por
n
e
m
subcondutores. Define-se como distância média geométrica DMG entre os condutores A e
B como a média geométrica da distância do condutor A ao condutor B (FUCHS, 1979);
(SINCLAIR et al., 1996).
Sendo assim, considerando a Figura 5.3, podemos escrever a DMG entre A e B como:
BAAB
ddDMG ⋅=
(5.3)
1
2
3
n
1’
2’
3’
m
Condutor A
Condutor B
70
De modo geral, considerando
n
condutores equivalentes ao condutor múltiplo, pode-se
escrever DMG como:
n
1nn2n1nn22321n11312
)ddd()ddd()ddd(DMG
−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
KKKK
(5.4)
Na equação (5.4) o termo d
ij
corresponde à distância entre o condutor equivalente
i
,
condutor equivalente
j
.
5.3 IMPEDÂNCIA EXTERNA
A Figura 5.4 mostra os condutores múltiplos
i
e
k
, de uma linha de transmissão
genérica.
Figura 5.4 – Condutores
i
e
k
de uma linha genérica
i
i’
k
k’
b
ik
h
k
h
i
d
ik
D
ik
ik
θ
Solo
ideal
71
Sabe-se que a matriz de indutâncias externas da linha mostrada na Figura 5.4 é dada
por (FUCHS, 1979):
π
µ
=
n
n
2n
2n
1n
1n
n2
n2
2
2
21
21
n1
n1
12
12
1
1
ext
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
2
]L[
L
MOMM
L
L
(5.5)
Na expressão (5.5) têm-se:
D
ik
Distância média geométrica entre o condutor
i
e a imagem do condutor
k
;
d
ik
Distância média geométrica entre os condutores
i
e
k
;
r
i
Raio médio geométrico do condutor
i
.
A matriz de impedância externa é dada por:
]L[ωj]Z[
extext
= (5.6)
72
5.4 IMPEDÂNCIA INTERNA
Conforme verificado no capítulo 4, a impedância interna do condutor múltiplo
i
, da
linha mostrada na Figura 5.6, pode ser obtida a partir da seguinte expressão (TAVARES,
1998):
)rm('jbei)rm('ber
)rm(jbei)rm(ber
r2
m
intZ
i
ii
+
+
π
ρ
= (5.7)
Sendo:
r Raio médio geométrico do condutor múltiplo.
Portanto para uma linha de n fases, considerando que cada fase é constituída de um
condutor múltiplo, pode-se escrever a matriz de impedâncias internas [Z
int
] como sendo:
=
nn
22
11
int
intZ00
0intZ0
00intZ
]Z[
L
MOMM
L
L
(ohm/km) (5.8)
A matriz de impedância [Z
int
] pode ser decomposta em uma componente real e outra
imaginária, resultando em:
)]ω(L[ωj)]ω(R[]Z[
intintint
+=
(5.9)
73
5.5 IMPEDÂNCIA DEVIDO AO EFEITO SOLO
Considere os condutores múltiplos
i
e
k
dispostos sobre um solo não ideal, conforme
mostra a Figura 5.5.
Figura 5.5 - Condutores múltiplos
i
e
k
e suas respectivas imagens
i’
e
k’
No capítulo 4, verificou-se que a impedância dos condutores devido ao retorno de
corrente através do solo, é dada por (FUCHS, 1979); (TAVARES et al., 1998); (DOMMEL,
1996):
ikikik
XjRZsolo ∆+∆= (5.10)
Onde
:
b
ik
i
i’
k
k’
h
k
h
i
d
ik
D
ik
ik
θ
Solo não ideal
74
( )
[
]
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
km/ohm}8cosd7cosb
6sin6coslncb5cosb4cosd
3cosb2sen)(lnc2cos)(bcosb
8
{R
ik
8
ik8ik
7
ik7
ik
6
ikikik
6
ikik66ik
5
ik5ik
4
ik4
ik
3
ik3ikik
2
ikik2ik
2
ik2ikik1ik
K−θδ−θδ+
θδθ+θδδ−+θδ−θδ−
θδ+θθδ+δ−θδ+θδ−
π
=∆
(5.11)
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
[ ]
( )
km/Henry}8sin8coslncb7cosb
6cosd5cosb4sin4coslncb
3cosb2cosdcosbln6159315.0
2
1
{104X
ik
8
ikikik
8
ikik88ik
7
ik7
ik
6
ik6ik
5
ik5ik
4
ikikik
4
ikik44
ik
3
ik3ik
2
ik2ikik1ik
4
ik
K
+θδθ+θδδ−−θδ+
θδ−θδ+θδθ+θδδ−−
θδ+θδ−θδ+δ−⋅ω=∆
−
(5.12)
Sendo:
ik
4
ik
D
2
1054
πρ
ω
×π=δ
−
(5.13)
D
ik
Distância média geométrica entre o condutor
i
e a imagem do condutor
k
, descrita na
Figura 5.7.
Deste modo a matriz de impedâncias de uma linha, com condutores múltiplos, em que
há o retorno de corrente através do solo é escrita como sendo:
=
nn2n1n
n22221
n11211
solo
ZsoloZsoloZsolo
ZsoloZsoloZsolo
ZsoloZsoloZsolo
]Z[
L
MOMM
L
L
(5.14)
75
A matriz de impedância [Z
solo
] pode ser decomposta em uma componente real e outra
imaginária, resultando em:
)]ω(L[ωj)]ω(R[]Z[
solosolosolo
+= (5.15)
Na equação (5.15) [R
solo
(ω)] é a matriz de resistências devido ao efeito solo enquanto
que [L
solo
(ω)] é a matriz de indutâncias devido ao efeito solo.
As matrizes [R
solo
(ω)] e [L
solo
(ω)] são variáveis em relação à freqüência.
5.6 ADMITÂNCIAS TRANSVERSAIS
Considere um sistema de n condutores múltiplos, representados pelos condutores
equivalentes mostrados na Figura 5.6.
Figura 5.6 - Sistema de n condutores múltiplos
condutor 1
condutor 2
condutor n
Solo
76
No capítulo 4 foi mostrado que a matriz de potencial do sistema mostrado na Figura
5.6 é dada por:
=
n
n
n2
n2
n1
n1
n2
n2
2
2
12
12
n1
n1
12
12
1
1
0
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
d
D
ln
d
D
ln
d
D
ln
r
h2
ln
πε2
1
]A[
L
MOMM
L
L
(5.16)
Na equação (5.16) têm-se:
D
ik
Distância média geométrica entre o condutor
i
e a imagem do condutor
k
;
d
ik
Distância média geométrica entre os condutores
i
e
k
;
r
i
Raio médio geométrico do condutor
i
.
A matriz de capacitâncias associada aos condutores múltiplos mostrados na Figura 5.6
é dada por:
[
]
[
]
1
AC
−
= (5.17)
Assumindo que a condutância do ar é desprezível, conclui-se que a matriz de
admitâncias transversais de uma linha de transmissão é dada por:
]C[ωj]Y[
=
(5.18)
77
Na expressão (5.18) [C] é a matriz de capacitâncias obtida a partir da equação (5.17).
5.7 CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DO USO DO RMG E DMG
Considere um condutor múltiplo disposto sobre um solo não ideal, conforme mostra a
Figura 5.7.
Figura 5.7 - Condutor múltiplo disposto sobre um solo não ideal
Verificou-se neste capítulo que o condutor múltiplo mostrado na Figura 5.7 pode ser
representado por um único condutor equivalente com raio igual ao raio médio geométrico do
condutor múltiplo. Para chegar a este resultado é necessário considerar que a corrente total no
condutor múltiplo mostrado na Figura 5.7 divide-se igualmente entre todos os subcondutores
que constituem o condutor múltiplo (FUCHS, 1979).
solo não
1
2
3
4
Solo não ideal
78
No entanto, para que a corrente seja dividida igualmente entre todos os subcondutores
é necessário que os mesmos possuam impedâncias iguais.
Observando a Figura 5.7 verifica-se que:
-
Os condutores não estão todos à mesma altura em relação ao solo;
-
Os condutores não estão igualmente espaçados.
As duas observações feitas anteriormente fazem com que as impedâncias destes
condutores não sejam exatamente iguais.
No entanto, devido ao fato de que o quadrado que dá sustentação aos subcondutores é
de dimensões relativamente pequenas, consideram-se estes subcondutores com impedâncias
idênticas, podendo-se considerar a corrente divida igualmente entre os mesmos.
79
1
2
3
4
5
(9.27; 24.4)
(7.51; 36)
3.6 m
5.8 APLICAÇÃO EM UMA LINHA TRIFÁSICA DE 440 KV
A figura 5.8 mostra uma linha trifásica, de circuito simples, de 440 kV.
Figura 5.8 - Linha de transmissão trifásica de circuito simples
A linha mostrada na figura 5.8 é uma linha de transmissão trifásica cujas fases 1, 2 e 3
são constituídas de 4 subcondutores do tipo Grosbeak. Os condutores 4 e 5 são os cabos pára-
raios do tipo EHS-3/8”. Considerou-se que a resistividade do solo em que está a linha é 1000
ohms.m (TAVARES et al., 1998).
Para a linha mostrada na Figura 5.8, foram calculadas as indutâncias externas e as
capacitâncias e também as resistências e indutâncias devido ao efeito solo. Os condutores
múltiplos foram representados por condutores equivalentes cujos raios são definidos como
sendo o raio médio geométrico de cada condutor múltiplo.
Para a implementação dos programas utilizou-se o software Matlab 5.3.
80
[ ]
=
1269.12070.03355.0
2070.01269.13355.0
3355.03355.01544.1
L
ext
[ ]
−−
−−
−−
=
−
1282.00141.00377.0
0141.01282.00377.0
0377.00377.01343.0
10C
4
Obtiveram-se os seguintes valores, utilizando a linha mostrada na Figura 5.8, para as
indutâncias externas das fases:
Obtiveram-se os seguintes valores, utilizando a linha mostrada na Figura 5.8, para as
capacitâncias das fases:
As Figuras 5.9, 5.10, 5.11 e 5.12 mostram as resistências próprias e mútuas da linha,
devido ao efeito solo.
(H/km)
(F/km)
81
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
Freqüência (Hz)
Resistência (Ohms/km)
R
11
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
Freqüência (Hz)
R
12
Resistência (Ohms/km)
Figura 5.9 - Resistências próprias da fase 1 devido ao efeito solo
Figura 5.10 – Resistências mútuas entre as fases 1 e 2 devido ao efeito solo
82
1
0
2
10
4
10
6
10
8
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
Freqüência
(Hz)
Resistência (Ohms/km)
R
22
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
Freqüência
(Hz)
Resistência (Ohms/km)
R
21
Figura 5.11 - Resistências próprias da fase 2 devido ao efeito solo
Figura 5.12 – Resistências mútuas entre as fases 2 e 1 devido ao efeito solo
83
As Figuras 5.13, 5.14, 5.15 e 5.16 mostram as indutâncias próprias e mútuas da linha,
devido ao efeito solo.
10
2
10
4
10
6
10
8
1.69
1.7
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
x 10
-3
Freqüência (Hz)
Indutância (Henrys/km)
L
11
Figura 5.13 - Indutâncias próprias da fase 1 devido ao efeito solo
84
10
2
10
4
10
6
10
8
9.605
9.61
9.615
9.62
9.625
9.63
9.635
9.64
9.645
x 10
-4
Freqüência (Hz)
Indutância (Henrys/km)
L
12
Figura 5.14 - Indutâncias mútuas entre as fases 1 e 2 devido ao efeito solo
85
10
2
10
4
10
6
10
8
1.69
1.7
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
x 10
-3
Freqüência (Hz)
Indutância (Henrys/km)
L
22
Figura 5.15 - Indutâncias próprias da fase 2 devido ao efeito solo
86
5.9 CONCLUSÕES
Neste capítulo foi feito um estudo dos parâmetros de linhas de transmissão
constituídas de condutores múltiplos. Verificou-se que um condutor múltiplo pode ser
representado por um único condutor equivalente cujo raio é o raio médio geométrico do grupo
de subcondutores.
No cálculo dos parâmetros longitudinais e transversais da linha de transmissão,
considerada neste capítulo, os valores do RMG e DMG foram substituídos nas equações que
determinam os parâmetros longitudinais e transversais de uma linha de transmissão.
10
2
10
4
10
6
10
8
9.605
9.61
9.615
9.62
9.625
9.63
9.635
9.64
9.645
x 10
-4
Freqüência (Hz)
Indutância (Henrys/km)
L21
Figura 5.16 - Indutâncias mútuas entre as fases 2 e 1 devido ao efeito solo
87
Como exemplo, calculou-se os parâmetros de uma linha trifásica de 440 kV, de
circuito simples, considerando o efeito do solo.
88
6 ASSOCIAÇÃO PARALELA DOS SUBCONDUTORES DE UM CONDUTOR
MÚLTIPLO
6.1 INTRODUÇÃO
No capítulo 5 foi mostrado que um condutor múltiplo pode ser representado por um
condutor equivalente cujo raio é dado pelo raio médio geométrico RMG dos subcondutores
que constituem o condutor múltiplo.
O cálculo do raio médio geométrico de um condutor múltiplo parte da hipótese de que
a corrente que percorre o mesmo divide-se igualmente entre todos os subcondutores, ou seja,
considera-se que as impedâncias de todos os subcondutores são iguais.
No entanto, esses subcondutores não estão todos a uma mesma altura do solo e
também não estão igualmente espaçados. Nestas condições, a corrente não se distribui
igualmente entre todos os subcondutores e, teoricamente, não é possível afirmar que o
condutor equivalente possua um raio dado pelo raio médio geométrico da associação de
subcondutores.
Neste capítulo pretende-se determinar a impedância longitudinal a e admitância
transversal resultantes de um condutor múltiplo, levando em consideração as características
dos mesmos, ou seja, considerando que os subcondutores não estão todos a uma mesma altura
89
do solo e também não estão igualmente espaçados. Para isso serão desenvolvidas equações
para um condutor múltiplo genérico constituído de dois subcondutores.
6.2 REPRESENTAÇÃO DE UM CONDUTOR MÚLTIPLO POR MEIO DE UM
ÚNICO CONDUTOR
6.2.1 Descrição geral
Considere um condutor múltiplo hipotético constituído de dois subcondutores, cujos
parâmetros longitudinais e transversais são conhecidos, disposto sobre um solo não ideal
conforme mostra a Figura 6.1.
Figura 6.1 - Condutor múltiplo hipotético constituído de dois subcondutores
Na Figura 6.1 os extremos dos subcondutores estão unidos, de modo que os mesmos
resultem em uma associação paralela, conforme mostra a Figura 6.2.
solo não ideal
subcondutor 1
subcondutor 2
90
Figura 6.2 - Associação paralela de dois condutores vista de outro ângulo
O sistema mostrado na Figura 6.3 pode ser substituído por um condutor equivalente.
Para se determinar os parâmetros do condutor equivalente ao sistema de
subcondutores mostrado nas Figuras 6.2 e 6.3, considere então uma tensão V
A
aplicada no
terminal A do sistema, considerando o terminal B em aberto, conforme mostra a Figura 6.3.
Figura 6.3 - Tensão aplicada no terminal A do sistema
subcondutor 1
solo não ideal
subco
ndutor 2
Terminal B
Terminal A
V
A
subcondutor 1
solo não ideal
subcondutor 2
Terminal B
Terminal A
91
A aplicação de uma tensão V
A
no terminal A do sistema resultará em correntes nos
terminais A e B dos dois subcondutores e também em uma tensão V
B
no terminal B,
conforme mostra a Figura 6.4.
Figura 6.4 – Correntes e tensões nos terminais A e B do sistema
Na Figura 6.4 as grandezas I
A1
e I
A2
são as correntes saindo do terminal A nos
subcondutores 1 e 2, respectivamente enquanto que I
B1
e I
B2
são as correntes dos
subcondutores no terminal B. As grandezas V
A
e V
B
são as tensões nos subcondutores 1 e 2
nos terminais A e B, respectivamente.
Considerando que o terminal B do sistema mostrado na Figura 6.4 está em aberto,
pode-se escrever:
2B1B
II −=
(6.1)
subcondutor 1
solo não ideal
subcondutor 2
Terminal B
Terminal A
I
A1
I
B1
I
A2
I
B2
V
A
V
B
92
A partir da tensão V
A
é possível obter as correntes nos terminas A e B dos dois
subcondutores e também a tensão V
B
. Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos
terminais A e B do sistema, pode-se substituí-lo por um condutor equivalente, conforme
mostra a Figura 6.5.
Figura 6.5 – Condutor equivalente ao sistema de dois subcondutores
Para que o condutor mostrado na Figura 6.5 seja equivalente ao sistema de dois
subcondutores, mostrada na Figura 6.4, as seguintes relações devem ser obedecidas:
2A1AA
III += (6.2)
0I
B
= (6.3)
Neste trabalho será considerado que os parâmetros dos subcondutores do sistema
mostrado na Figura 6.4 estão uniformemente distribuídos ao longo do comprimento dos
mesmos. Deste modo, o condutor equivalente terá o comportamento de uma linha de
transmissão monofásica cujas correntes e tensões em seus terminais obedecem às seguintes
relações (DOMMEL, 1996).
I
A
I
B
V
A
V
B
solo não ideal
Terminal A
Terminal B
93
)dYZsenh(
Y
Z
I)dYZcosh(VV
BBA
−=
(6.4)
)dYZsenh(
Z
Y
V)dYZcosh(II
BBA
+−=
(6.5)
Substituindo a equação (6.3) nas equações (6.4) e (6.5) as mesmas tornam-se:
)dYZcosh(VV
BA
= (6.6)
)dYZsenh(
Z
Y
VI
BA
= (6.7)
Considerando que nas equações (6.6) e (6.7) as grandezas V
A
, V
B
e I
A
são conhecidos,
é possível obter a impedância longitudinal Z e a admitância transversal Y do condutor
equivalente ao sistema de dois subcondutores.
O processo de obtenção dos parâmetros deste condutor equivalente pode ser dividido
então em 04 etapas, conforme mostra o diagrama da Figura 6.6.
94
Cada uma das etapas mostradas na Figura 6.6 será descrita detalhadamente em seguida.
6.2.2 Obtenção dos parâmetros do condutor equivalente em função dos parâmetros dos
subcondutores
Etapa 1
Escrever as tensões e correntes nos terminais dos subcondutores 1 e 2, em função de seus
parâmetros longitudinais e transversais
Etapa 2
Escrever as tensões e correntes nos terminais do condutor equivalente em função das
correntes e tensões nos terminais dos subcondutores 1 e 2
Etapa 3
Escrever a impedância longitudinal Z e a admitância transversal Y em função das correntes
e tensões nos terminais do condutor equivalente
Etapa 4
Obter os parâmetros longitudinais e transversais do condutor equivalente a partir de Z e Y
Figura 6.6 – Processo de obtenção dos parâmetros do condutor equivalente
95
A Figura 6.7 mostra um condutor múltiplo hipotético constituído de dois
subcondutores.
Figura 6.7 – Condutor múltiplo constituído por dois subcondutores
Considerando que em cada um dos dois subcondutores, mostrado na Figura 6.7, os
parâmetros longitudinais e transversais estão uniformemente distribuídos ao longo de seus
comprimentos, pode-se escrever as matrizes de impedância longitudinais [Z] e de admitância
transversais [Y] do sistema como sendo:
[ ]
=
2221
1211
ZZ
ZZ
Z (6.8)
[ ]
=
2221
1211
YY
YY
Y
(6.9)
subcondutor 1
solo não ideal
subcondutor 2
Terminal B
Terminal A
96
Aplicando-se uma tensão V
A
no terminal A do sistema mostrado na Figura 6.7,
mantendo o terminal B em aberto, irão surgir correntes nos terminais A e B do mesmo,
conforme mostra a Figura 6.8.
Figura 6.8 – Correntes e tensões nos terminais A e B do sistema
Considerando que o terminal B está aberto, as correntes e tensões nos terminais A e B
do sistema mostrado na Figura 6.8 são escritas como sendo:
−
=
=
1B
1B
B
2A
1A
A
I
I
]I[;
I
I
]I[ (6.10)
=
=
B
B
B
A
A
A
V
V
]V[;
V
V
]V[ (6.11)
subcondutor 1
solo não ideal
subcondutor 2
Terminal B
Terminal A
I
A1
I
B1
I
A2
I
B2
V
A
V
B
97
A relação entre as correntes e tensões nos subcondutores 1 e 2 do sistema, mostrado na
Figura 6.8, será obtida a partir da representação da mesma no domínio modal (WEDEPOHL
et al., 1996).
O uso do domínio modal neste caso é bastante útil, pois permite representar o sistema
de dois subcondutores por meio de seus modos de propagação, sendo que os mesmos
comportam-se como dois subcondutores desacoplados um do outro. Nestas condições,
podem-se aplicar as equações (6.4) e (6.5) para cada um dos modos e obter, então, a relação
entre as correntes e tensões nos terminais dos mesmos.
O sistema mostrado na Figura 6.8 pode ser separado em seus modos de propagação
por meio de uma matriz de transformação modal [T
I
] escrita como sendo:
[ ]
=
2221
1211
I
TT
TT
T (6.12)
Na equação (6.12) as colunas da matriz [T
I
] são os autovetores associados aos
autovalores do produto [Y] [Z] (WEDEPOHL et al., 1996).
Quando um sistema de
n
condutores acoplados é separado em seus
n
modos de
propagação, cada um destes modos comporta-se como
n
condutores desacoplados uns dos
outros. Neste caso, diz-se que o sistema está representado no domínio modal.
As correntes e tensões nos terminais A e B da linha, no domínio modal, são escritas
como sendo (BUDNER et al., 1970):
]I[]T[]I[;]I[]T[]I[
B
1
ImBA
1
ImA
−−
==
(6.13)
98
]V[]T[]V[;]V[]T[]V[
B
T
ImBA
T
ImA
== (6.14)
A equação (6.13) pode-se ser escrita como:
]I][T[]I[;]I][T[]I[
mBIBmAIA
==
(6.15)
Nas equações (6.13), (6.14) e (6.15) os vetores [I
mA
] e [I
mB
] são as correntes nos
terminais A e B escritas no domínio modal enquanto que os vetores [V
mA
] e [V
mB
] são as
tensões nos terminais A e B escritas no domínio modal. A matriz [T
I
]
T
é a transposta da
matriz [T
I
] e
T
I
]T[
−
é a inversa de [T
I
]
T
.
Substituindo as equações (6.10) e (6.12) na equação (6.15) é possível obter:
=
=
2mA
1mA
2221
1211
2A
1A
A
I
I
TT
TT
I
I
]I[ (6.16)
=
−
=
2mB
1mB
2221
1211
1B
1B
B
I
I
TT
TT
I
I
]I[ (6.17)
Nas equações (6.16) e (6.17) os termos I
mA1
e I
mA2
são as correntes dos modos 1 e 2,
respectivamente, no terminal A enquanto que os elementos I
mB1
e I
mB2
são as correntes dos
modos 1 e 2, respectivamente, no terminal B.
Substituindo as equações (6.11) e (6.12) na equação (6.14) obtém-se:
=
=
A
A
2212
2111
2mA
1mA
mA
V
V
TT
TT
V
V
]V[ (6.18)
99
=
=
B
B
2212
2111
2mB
1mB
mB
V
V
TT
TT
V
V
]V[ (6.19)
No domínio modal, as matrizes de impedâncias longitudinais e de admitâncias
transversais da linha mostrada na Figura 6.8 são escritas como sendo (WEDEPOHL, 1996):
]T[]Z[]T[]Z[
I
T
Im
= (6.20)
T
I
1
Im
]T[]Y[]T[]Y[
−−
= (6.21)
Nas equações (6.20) e (6.21) as matrizes [Z
m
] e [Y
m
] são as impedâncias longitudinais
e as admitâncias transversais, respectivamente, escritas no domínio modal.
Sabe-se que a partir das equações (6.20) e (6.21) pode-se escrever [Z
m
] e [Y
m
] como
sendo (WEDEPOHL et al., 1996):
=
2m
1m
m
Z0
0Z
]Z[ (6.22)
=
2m
1m
m
Y0
0Y
]Y[ (6.23)
Observa-se, nas equações (6.22) e (6.23), que [Z
m
] e [Y
m
] são matrizes diagonais, não
existindo assim acoplamento entre os dois modos de propagação. Portanto, os dois modos de
propagação comportam-se como dois subcondutores independentes conforme mostra a Figura
6.9.
100
Figura 6.9 - Modos de propagação do sistema de dois subcondutores
Para o modo 1 pode-se escrever (BUDNER et al., 1970):
)dγsenh(ZcI)dγcosh(VV
1m1m1mB1m1mB1mA
−= (6.24)
)dγsenh(
Zc
1
V)dγcosh(II
1m
1m
1mB1m1mB1mA
+−= (6.25)
Analogamente, para o modo 2 têm-se:
)dγsenh(ZcI)dγcosh(VV
2m2m2mB2m2mB2mA
−= (6.26)
)dγsenh(
Zc
1
V)dγcosh(II
2m
2m
2mB2m2mB2mA
+−= (6.27)
Os termos γ
m1
e γ
m2
são as funções de propagação enquanto que os elementos Zc
m1
e
Zc
m2
são as impedâncias características dos modos 1 e 2, respectivamente, sendo escritos
como sendo (DUFOUR et al., 1996):
1m1m1m
YZγ = (6.28)
2m2m2m
YZγ = (6.29)
V
mA1
V
mB1
I
mA1
I
mB1
Modo 1
V
mA2
V
mB2
I
mA2
I
m
B2
Modo 2
101
1m
1m
1m
Y
Z
Zc = (6.30)
2m
2m
2m
Y
Z
Zc = (6.31)
Isolando o termo I
mB1
na equação (6.24) e, em seguida, substituindo-o na equação
(6.25) obtém-se:
+−+
= )dγsenh(
Zc
1
)dγsenh(Zc
)dγ(cosh
V
)dγsenh(Zc
)dγcosh(
VI
1m
1m1m1m
1m
2
1mB
1m1m
1m
1mA1mA
(6.32)
Isolando o termo I
mB2
na equação (6.26) e, em seguida, substituindo-o na equação
(6.27) obtém-se:
+−+
= )dγsenh(
Zc
1
)dγsenh(Zc
)dγ(cosh
V
)dγsenh(Zc
)dγcosh(
VI
2m
2m2m2m
2m
2
2mB
2m2m
2m
2mA2mA
(6.33)
Desenvolvendo as equações (6.18) e (6.19) pode-se obter:
A21111mA
V)TT(V += (6.34)
A22122mA
V)TT(V += (6.35)
B21111mB
V)TT(V += (6.36)
B22122mB
V)TT(V += (6.37)
102
Substituindo as equações (6.34) e (6.36) na equação (6.32) obtém-se:
B2A11mA
VαVαI += (6.38)
Sendo:
)TT(
)dγsenh(Zc
)dγcosh(
α
2111
1m1m
1m
1
+
= (6.39)
)TT()dγsenh(
Zc
1
)dγsenh(Zc
)dγ(cosh
α
21111m
1m1m1m
1m
2
2
+
+−= (6.40)
Substituindo as equações (6.35) e (6.37) na equação (6.33) obtém-se:
B4A32mA
VαVαI += (6.41)
Sendo
)TT(
)dγsenh(Zc
)dγcosh(
α
2212
2m2m
2m
3
+
= (6.42)
)TT()dγsenh(
Zc
1
)dγsenh(Zc
)dγ(cosh
α
22122m
2m2m2m
2m
2
4
+
+−= (6.43)
103
Desenvolvendo a expressão (6.16) pode-se escrever:
2mA121mA111A
ITITI += (6.44)
2mA221mA212A
ITITI += (6.45)
Substituindo as equações (6.38) e (6.41) nas equações (6.44) e (6.45) obtém-se:
B412211A3121111A
V)αTαT(V)αTαT(I +++= (6.46)
B422221A3221212A
V)αTαT(V)αTαT(I +++= (6.47)
As equações (6.46) e (6.47) mostram as correntes nos subcondutores 1 e 2, no terminal
A do sistema mostrado na Figura 6.8, expressas em função das tensões nos terminais A e B.
A corrente no terminal A do condutor equivalente, mostrado na Figura 6.5, deve ser
igual à soma das correntes no terminal A dos subcondutores 1 e 2 mostrados na Figura 6.8.
Deste modo, conforme mostrado na equação (6.2), pode-se escrever:
2A1AA
III += (6.48)
Na equação (6.48) I
A
é a corrente no terminal A do condutor equivalente mostrado na
Figura 6.5.
Substituindo as equações (6.46) e (6.47) na equação (6.48) obtém-se:
104
[
]
[
]
B4221222111A3221212111A
Vα)TT(α)TT(Vα)TT(α)TT(I +++++++= (6.49)
Substituindo as equações (6.39), (6.40), (6.42) e (6.43) na equação (6.49), a mesma
torna-se:
B2A1A
VKVKI += (6.50)
Sendo
2
2212
2m2m
2m
2
2111
1m1m
1m
1
)TT(
)dγsenh(Zc
)dγcosh(
)TT(
)dγsenh(Zc
)dγcosh(
K +
++
= (6.51)
2
22122m
2m2m2m
2m
2
2
21111m
1m1m1m
1m
2
2
)TT()dγsenh(
Zc
1
)dγsenh(Zc
)dγ(cosh
)TT()dγsenh(
Zc
1
)dγsenh(Zc
)dγ(cosh
K
+
+−
++
+−=
(6.52)
Substituindo a equação (6.6) na equação (6.50) obtém-se:
B2B1A
VKV)dYZcosh(KI += (6.53)
Igualando as expressões (6.53) e (6.7) obtém-se:
0K)dγsenh(
Zc
1
)dγcosh(K
21
=+− (6.54)
105
Sendo
YZγ = (6.55)
Y
Z
Zc = (6.56)
Na expressão (6.54) γ e Zc são, respectivamente, a função de propagação e a
impedância característica do condutor equivalente.
Para obter uma outra equação referente aos parâmetros do condutor equivalente, deve-
se utilizar a equação que relaciona a corrente no terminal B dos dois subcondutores do sistema
mostrado na Figura 6.8. Para isso, pode-se reescrever a equação (6.17), ou seja:
=
−
=
2mB
1mB
2221
1211
1B
1B
B
I
I
TT
TT
I
I
]I[ (6.57)
Desenvolvendo a equação (6.57) pode-se obter:
2mB121mB111B
ITITI += (6.58)
2mB221mB211B
ITITI +=− (6.59)
A soma das equações (6.58) e (6.59) resulta em:
106
0ITITITIT
2mB221mB212mB121mB11
=+++ (6.60)
Nas equações (6.25) e (6.27) pode-se isolar, em um dos membros destas equações, os
termos I
mB1
e I
mB2
, respectivamente. Em seguida, substituindo estes termos na equação (6.60)
obtém-se:
0
Zc
V
)TT(
Zc
V
)TT(
Zc
)dγcosh(
)TT(V
Zc
)dγcosh(
)TT(V
2m
2mA
2212
1m
1mA
2111
2m
2m
22122mB
1m
1m
21111mB
=++++
+−+−
(6.61)
Substituindo as equações (6.34)-(6.37) na equação (6.61) é possível obter a seguinte
expressão:
0VKVK
B4A3
=− (6.62)
Sendo
2m
2
2212
1m
2
1211
3
Zc
)TT(
Zc
)TT(
K
+
+
+
= (6.63)
)dγcosh(
Zc
)TT(
)dγcosh(
Zc
)TT(
K
2m
2m
2
2212
1m
1m
2
2111
4
+
+
+
= (6.64)
A partir da expressão (6.62) pode-se escrever:
107
B
3
4
A
V
K
K
V = (6.65)
Igualando as expressões (6.6) e (6.65) obtém-se:
3
4
K
K
)dγcosh( = (6.66)
Na expressão (6.66) γ é a função de propagação do condutor equivalente ao condutor
múltiplo e sua expressão é mostrada na equação (6.55).
Reescrevendo as equações (6.54) e (6.66) têm-se:
0K)dγsenh(
Zc
1
)dγcosh(K
21
=+− (6.67)
3
4
K
K
)dγcosh( = (6.68)
Os termos K
1
, K
2
, K
3
e K
4
são escritos em função dos parâmetros dos subcondutores e
do comprimento da linha. Estes podem ser obtidos a partir das equações (6.51), (6.52), (6.63)
e (6.64), respectivamente.
A partir das equações (6.67) e (6.68) é possível obter os parâmetros γ e Zc do condutor
equivalente.
Sabe-se que (LEITHOLD, 1994):
108
1)dγ(senh)dγ(cosh
22
=− (6.69)
Substituindo a equação (6.68) na equação (6.69) é possível obter a seguinte equação:
1
K
K
)dγsenh(
2
3
4
−
=
(6.70)
Substituindo a equação (6.70) na equação (6.67) obtém-se:
2
3
2
4
3241
C
KK
KKKK
1
Z −
+
= (6.71)
A equação (6.71) mostra a expressão que permite calcular a impedância característica
Zc do condutor equivalente, a partir dos parâmetros dos dois subcondutores.
Da mesma forma, a equação (6.66) permite calcular o valor da função de propagação
γ. De acordo com esta expressão, a função de propagação γ do condutor equivalente pode ser
escrita como:
=γ
−
3
4
1
K
K
cosh
d
1
(6.72)
109
A equação (6.72) mostra que a função de propagação do condutor equivalente pode ser
obtida a partir dos parâmetros dos dois subcondutores. Esta equação mostra também que a
função de propagação do condutor equivalente depende do comprimento
d
da linha.
Uma vez conhecidos γ e Zc, pode-se obter a impedância longitudinal Z e admitância
transversal Y a partir das equações (6.55) e (6.56). Deste modo, têm-se:
γ=
C
ZZ (6.73)
C
Z
Y
γ
=
(6.74)
Sendo:
LωjRZ
+
=
(6.75)
CωjGY
+
=
(6.76)
Na
equação (6.75) R e L são os parâmetros longitudinais unitários do condutor equivalente,
sendo R a resistência e L a indutância. Do mesmo modo, na equação (6.76), G e C são os
parâmetros transversais unitários do condutor equivalente, sendo G a condutância e C a
capacitância.
Com os resultados obtidos a partir do processo desenvolvido neste capítulo é possível
fazer uma comparação dos resultados obtidos por meio do uso do conceito de raio médio
geométrico. Essa comparação será feita no capítulo a seguir.
110
6.3 ANÁLISE DA FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃO
γ
γγ
γ
Como foi visto anteriormente, é possível calcular o valor da função de propagação γ a
partir dos parâmetros da linha utilizando a equação (6.72). De acordo com esta expressão, a
função γ é expressa a partir da função inversa do co-seno hiperbólico.
Sabe-se que, de maneira genérica, as partes real e imaginária da função de propagação
possuem os aspectos mostrados nas Figuras 6.10 e 6.11, respectivamente.
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
Freqüência (Hz)
Componente real da função de propagação
Figura 6.10 – Componente real da função γ
111
Figura 6.11 – Componente imaginária da função γ
As Figuras 6.10 e 6.11 mostram que a função de propagação de um condutor genérico
é contínua.
Caso a função de propagação de um condutor genérico seja obtida a partir da equação
(6.72), a componente real e imaginária de γ terá os aspectos mostrados nas Figuras 6.12 e
6.13, respectivamente.
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
10
4
Freqüência (Hz)
Componente imaginária da função de propagação
112
Figura 6.13 – Componente imaginária da função γ obtida a partir da equação (6.72)
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
Freqüência (Hz)
Componente real da função de propagação
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Freqüência (Hz)
Componente imaginária da f
unção de propagação
Figura 6.12 – Componente real da função
γ
obtida a partir da equação (6.72)
113
Ambas as figuras foram obtidas utilizando a função
acosh(x)
do software Matlab 5.3.
A Figura 6.12 mostra que se a função de propagação for calculada a partir da equação
(6.72), a componente real da função γ é contínua. No entanto, o mesmo não acontece com a
componente imaginária, conforme visto na Figura 6.13.
Deste modo, deve-se desenvolver um método para transformar a componente
imaginária de γ, obtida a partir da equação (6.72), em uma função contínua.
6.3.1 Componente imaginária da função γ
Na Figura 6.13 notou-se que o comportamento da componente imaginária da função
de propagação γ é descontínuo em certa faixa de freqüência. A equação (6.72) possui uma
função inversa do co-seno hiperbólico e o cálculo desta função foi desenvolvido
numericamente a partir do software Matlab 5.3 com a função
acosh(x)
.
A Figura 6.14 mostra, graficamente, este comportamento.
114
Figura 6.14 – Componente imaginária de γ
Portanto, a componente imaginária da função de propagação γ obtida através da
equação (6.72) (curva F) deve ser corrigida de tal modo que para valores de freqüências
maiores que f
1
seja contínua.
6.3.2 Correção da curva F
Deve-se ajustar F de modo que sua curva descreva um comportamento contínuo para
todos os valores da freqüência.
Considere F’ como sendo a curva ajustada. A Figura 6.15 mostra um trecho genérico
das funções F e F’.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
F
f
0
f
1
f
2
f
3
f
4
f
5
115
Figura 6.15 – Funções F e F’
Com base nas figuras 6.14 e 6.15 é possível expressar F’ em função de F. Deste modo,
obtém-se:
FF]f,f[fPara
'
10
=⇔∈ (6.77)
hFF]f,f[fPara
'
21
+=⇔∈ (6.78)
h2FF]f,f[fPara
'
32
+=⇔∈ (6.79)
h3FF]f,f[fPara
'
43
+=⇔∈ (6.80)
h4FF]f,f[fPara
'
54
+=⇔∈ (6.81)
De acordo com a Figura 6.15, generalizando as expressões (6.77)-(6.81) pode-se
expressar F’ em função de F, nos intervalos genéricos [f
n-1
, f
n
] e [f
n
, f
n+1
] como sendo;
-2
0
2
4
6
8
10
F'
F
fn-1
fn
fn+1
h
1
2
116
FF]f,f[fPara
'
n1n
=⇔∈
−
(6.82)
nhFF]f,f[fPara
'
1nn
+=⇔∈
+
(6.83)
Na expressão (6.83) deve-se considerar n = 1, 2, 3,.... Portanto, a função F pode ser
ajustada através das equações (6.82) e (6.83).
A Figura 6.16 mostra a função F’de γ.
Figura 6.16 – Função F’
A Figura 6.16 mostra que a função F’ é contínua.
Sendo assim pode-se afirmar que F’ é a componente imaginária da função de
propagação que foi calculada a partir da equação (6.72).
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
10
4
F'
Freqüência (Hz)
Componente imaginária da função de propagação
117
6.4 CONCLUSÕES
Neste capítulo foi mostrado um processo alternativo para determinar o condutor
equivalente a um condutor múltiplo. O condutor múltiplo considerado era constituído de dois
subcondutores cujas características e os parâmetros longitudinais e transversais eram
conhecidos.
O método baseia-se em equações desenvolvidas para dois subcondutores e verificou-se
que existe uma relação entre a impedância característica da linha do condutor equivalente Zc,
e a função de propagação γ com os parâmetros da linha. A partir desta relação foi possível
obter os parâmetros longitudinais e transversais do condutor equivalente.
A equação que foi desenvolvida para calcular a função de propagação permite calcular
diretamente a componente real dessa função. Quanto à parte imaginária, a mesma pode ser
obtida após um ajuste nos resultados obtidos com a equação
desenvolvida.
118
7 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA
7.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo serão apresentados os resultados da associação paralela de dois
subcondutores.
Considerando que a associação paralela de dois subcondutores pode ser substituída por
um único condutor equivalente, serão obtidos os parâmetros longitudinais e transversais do
mesmo. Os resultados obtidos serão comparados com o condutor equivalente obtido por meio
da aplicação dos conceitos de Raio médio Geométrico (RMG), em que a associação em
paralela é substituída por um único condutor cujo raio é idêntico ao RMG da associação dos
subcondutores.
Para aplicação do método de cálculo do condutor equivalente, será considerada uma
associação paralela de dois subcondutores, localizados sob o mesmo eixo vertical, com alturas
diferentes em relação ao solo. O método será aplicado considerando diversos comprimentos
dos subcondutores. Também será feita uma análise da influência da freqüência sobre os
parâmetros do condutor resultante da associação paralela.
119
7.2 DESCRIÇÃO DOS DOIS SUBCONDUTORES CONECTADOS EM
PARALELO
A Figura 7.1 mostra dois subcondutores, do tipo Grosbeak (FUCHS, 1979) conectados
em paralelo.
Figura 7.1 - Associação paralela de dois subcondutores
Na Figura 7.1 os extremos dos subcondutores estão unidos, de modo que os mesmos
resultem em uma associação paralela, conforme mostra a Figura 7.2.
Figura 7.2 - Associação paralela de dois condutores vista de outro ângulo
subcondutor 1
subcondutor 2
Solo
subcondutor 1
subcondutor 2
Solo
120
Os subcondutores 1 e 2 possuem um raio médio geométrico r
1
e r
2
, respectivamente,
igual 1,021 cm (FUCHS, 1979) e suas alturas h
1
e h
2
em relação ao solo são, respectivamente
24,6 m e 24,2 m. Considerou-se que o solo sob o qual estão dispostos os subcondutores possui
uma resistividade de 1000 Ω.m e que a condutância dos subcondutores é desprezível.
As Figuras 7.3 e 7.4 mostram as resistências e indutâncias próprias dos subcondutores
1 e 2, que foram calculadas levando em consideração os efeitos solo e pelicular.
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
Freqüência (Hz)
Resistência (ohms/km)
Condutor 1
Condutor 2
Figura 7.3 - Resistências próprias dos subcondutores 1 e 2
121
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
1.5
1.75
2
Freqüência (Hz)
Indutância (mH/km)
Condutor 1
Condutor 2
Figura 7.4 - Indutâncias próprias dos subcondutores 1 e 2
As Figuras 7.3 e 7.4 mostram que as resistências e indutâncias próprias dos
subcondutores 1 e 2 são praticamente idênticas. Isto ocorre porque os subcondutores estão
separados por uma altura de apenas 40 cm.
As Figuras 7.5 e 7.6 mostram as resistências e indutâncias mútuas entre os
subcondutores 1 e 2. Sabe-se que a resistência mútua é devido ao efeito do solo (DOMMEL,
1996).
122
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
10
2
Freqüência (Hz)
Resistência mútua (ohms/km)
Figura 7.5 - Resistência mútua entre os subcondutores 1 e 2
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
0
0.5
1
1.5
Freqüência (Hz)
Indutância (mH/km)
Figura 7.6 - Indutância mútua entre os subcondutores 1 e 2
123
A Figura 7.6 mostra que a indutância mútua entre os subcondutores 1 e 2 é
praticamente constante.
Utilizando as equações (4.38)-(4.41) é possível mostrar que a matriz de capacitâncias
para os subcondutores 1 e 2 é dada por:
−
−
=
674,948,5
48,5656,9
]C[ ηF/km (7.1)
7.3 DADOS DO CONDUTOR EQUIVALENTE OBTIDO A PARTIR DO
CONCEITO DE RMG
Para o sistema mostrado nas Figuras 7.1 e 7.2, pode-se afirmar que os dois
subcondutores podem ser substituídos por um único condutor cujo raio é idêntico ao raio
médio geométrico dos dois condutores (FUCHS, 1979). Deste modo, têm-se:
4
2
12
2
sequiv
dDr ×=
(7.2)
Na equação (7.2) D
s
é o raio médio geométrico do subcondutor 1 (ou condutor 2), que
vale 1,021 cm (FUCHS, 1979). Ainda na equação (7.2), d
12
é a distância entre os
subcondutores 1 e 2. Deste modo, o condutor equivalente terá um raio r
eq
= 6,39 cm. Este
condutor estará localizado a uma altura de 24,4 m em relação ao solo. A Figura 7.7 ilustra o
condutor equivalente aos dois subcondutores mostrados na Figura 1.
124
Figura 7.7 - Condutor equivalente aos condutores 1 e 2
Uma vez obtidas o raio e a altura do condutor equivalente, é possível calcular os
parâmetros dos mesmos.
As Figuras 7.8 e 7.9 mostram a resistência e a indutância do condutor equivalente,
respectivamente.
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
Freqüência (Hz)
Resistência (ohms/km)
Figura 7.8 - Resistência do condutor equivalente obtido a partir do RMG dos subcondutores
h = 24,4 m
r
eq
= 6,39 cm
125
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
1
1.25
1.5
Freqüência (Hz)
Indutância (mH/km)
Figura 7.9 - Indutância do condutor equivalente
Utilizando as equações (5.16) e (5.17) é possível obter o valor da capacitância do
condutor equivalente. O valor obtido é:
21,6C
=
ηF/km (7.3)
7.4 ASSOCIAÇÃO PARALELA DOS DOIS SUBCONDUTORES
Neste item, os parâmetros do condutor equivalente aos dois subcondutores mostrados
nas Figuras 1 e 2 serão obtidos por meio das equações mostradas no capítulo 6.
Serão obtidos resultados considerando diversos comprimentos para os subcondutores.
126
Com a finalidade de simplificar a notação, o método que considera o raio do condutor
equivalente igual ao raio médio geométrico dos subcondutores, será denominado método
clássico. O método desenvolvido neste trabalho será denominado método proposto.
7.4.1 Análise de um segmento de 100 m
As Figuras 7.10 e 7.11 mostram, respectivamente, a resistência e a indutância próprias
do condutor equivalente, considerando que os subcondutores da Figura 1 possuem um
comprimento de 100 m. A curva 1 mostra os parâmetros obtidos a partir do método clássico,
enquanto que a curva 2 mostra os parâmetros que foram obtidos a partir do método proposto.
A Figura 7.10 mostra que quando se utiliza o método clássico, obtém-se uma
resistência longitudinal menor que o valor exato da mesma. No que diz respeito à indutância,
a Figura 7.11 mostra que em baixas freqüências existe uma pequena diferença entre o valor
obtido pelo método proposto e o valor obtido pelo método clássico para a indutância do
sistema de dois condutores. Para valores de freqüências superiores a 1 kHz praticamente não
há diferença entre os valores obtidos por ambos os métodos para as indutâncias.
127
10
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0
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4
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2
Freqüência (Hz)
Resistência (Ohms/km)
(1)
(2)
Figura 7.10 - Resistência do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
10
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4
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Freqüência (Hz)
Indutância (mH/km)
(1)
(2)
Figura 7.11 - Indutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
128
As Figuras 7.12 e 7.13 mostram a capacitância e a condutância do condutor
equivalente. A curva 1 mostra os parâmetros obtidos a partir do método clássico, enquanto
que a curva 2 mostra os dados do condutor equivalente obtidos com o método proposto.
A Figura 7.12 mostra que para freqüências inferiores a 100 kHz a condutância do
condutor equivalente obtida por meio do método clássico é praticamente idêntica ao valor
obtido por meio da associação paralela. No entanto, para freqüências superiores a 100 kHz, a
condutância do condutor equivalente torna-se dependente da freqüência e este fenômeno não
é detectado quando se utiliza o método clássico.
10
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10
0
10
2
10
4
10
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0
2
4
6
8
10
x 10
-4
Freqüência (Hz)
Condutância (mho/km)
(1)
(2)
Figura 7.12 - Condutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
129
10
0
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2
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4
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6
10
8
0
2
4
6
8
10
Freqüência (Hz)
Capacitância (nF/km)
(1)
(2)
Figura 7.13 - Capacitância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
A Figura 7.13 mostra que a capacitância obtida por meio do método clássico é menor
que o valor obtido por meio do método proposto para a capacitância do condutor equivalente.
7.4.2 Análise de um segmento de 500 m
As Figuras 7.14 e 7.15 mostram, respectivamente, a resistência e a indutância do
condutor equivalente, considerando que os subcondutores da Figura 1 possuem um
comprimento de 500 m. A curva 1 mostra os parâmetros do condutor equivalente obtido a
partir do método clássico, enquanto que a curva 2 mostra a resistência obtida a partir do
método proposto.
130
10
-2
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0
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2
10
4
10
-4
10
-3
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-2
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-1
10
0
10
1
10
2
Freqüência (Hz)
Resistência (Ohms/km)
(1)
(2)
Figura 7.14 - Resistência do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Freqüência (Hz)
Indutância (mH/km)
(1)
(2)
Figura 7.15 - Indutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
131
A Figura 7.14 mostra que a resistência do condutor equivalente obtido por meio do
método clássico é menor do que o valor obtido por meio do método proposto para esta
resistência. Quanto à indutância, a Figura 7.15 mostra que em baixas freqüências existe uma
pequena diferença entre a indutância equivalente do sistema de dois condutores e a indutância
obtida com base no método clássico. Para valores de freqüências superiores a 1 kHz
praticamente não há diferença entre os valores obtidos por ambos os métodos para a
indutância.
As Figuras 7.16 e 7.17 mostram, respectivamente, a condutância e a capacitância do
condutor equivalente obtida por meio do método clássico (curva 1) e por meio do método
proposto (curva 2).
10
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0
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2
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4
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0
2
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8
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x 10
-4
Freqüência (Hz)
Condutância (mho/km)
(1)
(2)
Figura 7.16 - Condutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
132
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2
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4
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6
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0
2
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6
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Freqüência (Hz)
Capacitância (nF/km)
(1)
(2)
Figura 7.17 - Capacitância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
A Figura 7.16 mostra que a condutância calculada por meio do método clássico
coincide com o valor obtido por meio do método proposto para a mesma. No entanto, para
freqüências superiores a 100 kHz, a condutância equivalente dos subcondutores torna-se
variável em relação à freqüência e este fato não é detectado quando se utiliza o método
clássico.
Quanto à capacitância do condutor equivalente aos dois subcondutores, a Figura 7.17
mostra que quando a mesma é calculada com base no método clássico obtém-se um valor
menor que o valor obtido por meio do método proposto para esta capacitância.
133
7.4.3 Análise de um segmento de 1 km
As Figuras 7.18-7.21 mostram os parâmetros longitudinais e transversais do condutor
equivalente, considerando que os subcondutores da Figura 1 possuem um comprimento de
1000 m. A curva 1 mostra os parâmetros do condutor equivalente obtido a partir do método
clássico, enquanto que a curva 2 mostra os parâmetros que foram obtidos a partir do método
proposto.
A Figura 7.18 mostra que a resistência equivalente dos dois subcondutores é maior do
que o valor obtido por meio do método clássico.
A Figura 7.19 mostra que quando o condutor equivalente é obtido por meio do método
clássico, a indutância equivalente apresenta uma pequena diferença em relação ao seu valor
obtido pelo método proposto em freqüências inferiores a 1 kHz. Este erro tende a ser
eliminado quando se considera freqüências superiores a 1 kHz.
Quanto à condutância observa-se que quando se considera dois subcondutores,
dispostos conforme mostra a Figura 1, a condutância equivalente torna-se variável quando se
considera freqüências superiores a 100 kHz e esta variação não é detectada quando se calcula
a condutância equivalente utilizando o método clássico.
134
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0
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2
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4
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2
Freqüência (Hz)
Resistência (Ohms/km)
(1)
(2)
Figura 7.18 - Resistência do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
10
0
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2
10
4
10
6
10
8
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Freqüência (Hz)
Indutância (mH/km)
(1)
(2)
Figura 7.19 - Indutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
135
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x 10
-4
Freqüência (Hz)
Condutância (mho/km)
(1)
(2)
Figura 7.20 - Condutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
10
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2
10
4
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0
2
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Freqüência (Hz)
Capacitância (nF/km)
(1)
(2)
Figura 7.21 - Capacitância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
136
A Figura 7.21 mostra que a capacitância obtida a partir do método clássico é menor
que o valor obtido por meio do método proposto para a mesma.
7.4.4 Análise de um segmento de 10 km
As Figura 7.22-7.25 mostram os parâmetros do condutor equivalente, considerando
que os subcondutores da Figura 1 possui um comprimento de 10000 m. A curva 1 mostra os
parâmetros do condutor equivalente obtido a partir do método clássico, enquanto que a curva
2 mostra os parâmetros obtidos a partir do método proposto.
10
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0
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2
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0
10
1
10
2
Freqüência (Hz)
Resistência (Ohms/km)
(1)
(2)
Figura 7.22 - Resistência do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
A partir da Figura 7.22 é possível verificar que quando o condutor equivalente é
obtido a partir do método clássico, a resistência longitudinal apresenta um valor menor do que
o valor obtido por meio do método proposto para a mesma. Quanto à indutância, a Figura
137
7.23 mostra que existe uma diferença bastante pequena entre os valores obtidos por ambos os
métodos para a mesma.
A Figura 7.24 mostra que a condutância do condutor equivalente sofre influência da
freqüência, quando se considera freqüências superiores a 100 kHz. No entanto, esta variação
da condutância em função da freqüência não é detectada quando o condutor equivalente é
obtido a partir do método clássico. A Figura 7.25 mostra que quando se utiliza o método
clássico para obter o condutor equivalente, a capacitância deste condutor é menor que o valor
obtido pelo método proposto para a mesma.
10
0
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2
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4
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6
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Freqüência (Hz)
Indutância (mH/km)
(1)
(2)
Figura 7.23 - Indutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
138
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0
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x 10
-4
Freqüência (Hz)
Condutância (mho/km)
(1)
(2)
Figura 7.24 - Condutância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
10
0
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2
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4
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6
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8
0
2
4
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Freqüência (Hz)
Capacitância (nF/km)
(1)
(2)
Fig. 7.25 - Capacitância do condutor equivalente: Método clássico (1) e proposto (2)
139
7.4.5 Influência do comprimento do condutor múltiplo sobre os parâmetros do condutor
equivalente
As Figuras 7.26-7.29 mostram os parâmetros longitudinais e transversais do condutor
equivalente à associação paralela dos subcondutores. A curva 1 mostra os parâmetros
considerando que o condutor múltiplo possui um comprimento de 100 m, enquanto que a
curva 2 mostra os parâmetros considerando que o condutor múltiplo possui um comprimento
de 10 km.
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
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-1
10
0
Freqüência (Hz)
Resistência (Ohms/km)
(1)
(2)
Figura 7.26 - Resistência do condutor equivalente obtida com o método proposto: Condutor
múltiplo de 100 m (1) e de 10 km (2)
140
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Freqüência (Hz)
Indutância (mH/km)
(1)
(2)
Figura 7.27 - Indutância do condutor equivalente obtida com o método proposto: Condutor
múltiplo de 100 m (1) e de 10 km (2)
10
-2
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0
10
2
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4
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6
0
2
4
6
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10
x 10
-4
Freqüência (Hz)
Condutância (mho/km)
(1)
(2)
Figura 7.28 - Condutância do condutor equivalente obtida com o método proposto: Condutor
múltiplo de 100 m (1) e de 10 km (2)
141
10
0
10
2
10
4
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6
10
8
0
2
4
6
8
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Freqüência (Hz)
Capacitância (nF/km)
(1)
(2)
Figura 7.29 - Capacitância do condutor equivalente obtida com o método proposto: Condutor
múltiplo de 100 m (1) e de 10 km (2)
7.5 CONCLUSÕES
Neste capítulo foi feita uma análise do condutor equivalente a um condutor múltiplo.
Sabe-se que um condutor equivalente a um condutor múltiplo é definido como sendo um
condutor cujo raio corresponde ao raio médio geométrico do condutor múltiplo. Uma vez
conhecido o raio e a posição do condutor equivalente é possível calcular os parâmetros
longitudinais e transversais deste condutor.
Sabe-se que a substituição do raio médio geométrico como sendo o raio do condutor
equivalente é uma aproximação, pois para obter, de forma exata, os parâmetros longitudinais
e transversais do condutor equivalente a um condutor múltiplo, é necessário levar em conta a
natureza distribuída de cada um dos subcondutores.
142
Os resultados, obtidos para um condutor constituído de dois subcondutores, mostraram
que quando se calcula os parâmetros do condutor a partir do raio médio geométrico dos
subcondutores obtêm-se resistências longitudinais e capacitâncias transversais menores do
que os valores obtidos quando se considera a natureza distribuída dos parâmetros de cada um
dos subcondutores. A indutância longitudinal do condutor equivalente praticamente não é
alterada quando se determina a mesma a partir da associação paralela ou a partir do método
baseado no raio médio geométrico do condutor múltiplo.
Um outro fato que foi possível constatar é que os parâmetros obtidos a partir da
associação paralela dos subcondutores tendem a não variar em função do comprimento do
condutor múltiplo. Mostrou-se que para um trecho hipotético de 100 m e de 10 km, os
parâmetros unitários são praticamente os mesmos.
143
8 Conclusões
Este trabalho apresentou um método para calcular os parâmetros longitudinais e
transversais de um condutor equivalente ao sistema de subcondutores a partir da associação
paralela destes subcondutores.
No capítulo 1 foi feito um estudo dos sistemas de energia elétrica. Neste estudo,
verificou-se que um sistema de potência vantajoso possui uma fonte primária hidráulica e a
energia hidráulica obtida, é convertida em elétrica na própria origem. A energia elétrica,
então, é transportada por linhas de transmissão até o ponto em que é convertida em outras
formas. Contudo, um sistema elétrico é basicamente composto pelas estações geradoras, as
linhas de transmissão e o sistema de distribuição. Este sistema é formado por uma estrutura
organizada de maneira vertical e horizontal e cada organização é dividida em níveis de tensão
diferentes isolados elétrica e geograficamente uns dos outros. O transporte de energia elétrica
é realizado em todos os níveis, diferenciando-se pelas tensões e quantidades de energia que é
transportada por cada uma das linhas de transmissão aéreas ou cabos. No Brasil, o sistema
elétrico possui uma grande produção hidrelétrica e a maior parte desta produção é controlada
por um grupo de empresas regionais que integram o Sistema Interligado Nacional.
No capítulo 2 foi desenvolvido um estudo sobre a evolução dos sistemas de
transmissão de energia elétrica desde os primeiros resultados obtidos com a geração da
energia mecânica até as modernas linhas de transmissão de alta tensão. Porém, o principal
objetivo do capítulo, foi descrever o sistema de transmissão brasileiro e os principais tipos de
144
estruturas de sustentação utilizadas. Através deste estudo foi possível descrever as principais
características das linhas de transmissão aéreas. Foram apresentados alguns modelos de
estruturas e as características de cada linha.
No capítulo 3 fez-se uma análise das principais características físicas dos condutores
que constituem uma linha aérea de transmissão. Verificou-se que os cabos condutores são
considerados os principais elementos de uma linha de transmissão e por isso suas
características correspondem ao bom desempenho da linha. Devido à exigência do mercado
elétrico mundial, apenas o cobre e o alumínio satisfazem algumas das características exigidas,
sendo então, empregados universalmente. Como ilustração, foi apresentada alguns modelos de
condutores múltiplos. Este tipo de condutor é formado por grupos de subcondutores dispostos
simetricamente em relação a um eixo vertical. Estes subcondutores são conectados em
paralelo resultando em um único condutor.
No capítulo 4, fez-se um estudo dos parâmetros longitudinais e transversais de uma
linha aérea de transmissão, sem cabos pára-raios, considerando a influência dos efeitos solo e
pelicular. Desta forma foi possível verificar a influência da freqüência nos parâmetros da
linha. Constatou-se que os parâmetros longitudinais e transversais de uma linha aérea de
transmissão são influenciados também pela geometria da linha e, em alguns casos, pelo meio
a que a linha está imersa.
No capítulo 5 foi feito um estudo referente ao procedimento de cálculo dos parâmetros
da linha constituída de condutores múltiplos Para determinar os parâmetros de um condutor
múltiplo, considera-se que os subcondutores podem ser substituídos por um condutor
equivalente cujo raio é igual ao raio médio geométrico dos subcondutores. Sendo assim,
considerando as equações calculadas no capítulo anterior e substituindo o valor do raio médio
geométrico nestas equações, desenvolveram-se as expressões que determinam os parâmetros
145
longitudinais e transversais de um condutor múltiplo genérico. Como exemplo, apresentou-se
os resultados de uma linha trifásica de 440 kV e foram calculadas as indutâncias externas, as
capacitâncias e também as resistências e indutâncias devido ao efeito solo.
No capítulo 6 apresentou-se um processo alternativo para determinar os parâmetros
longitudinais e transversais de um condutor equivalente ao condutor múltiplo. Considerou-se
neste processo o fato de que os subcondutores que constituem um condutor múltiplo não estão
todos a uma mesma altura do solo e também não estão igualmente espaçados. Com isso, a
corrente não se distribui igualmente entre todos os subcondutores e não é possível afirmar que
o condutor equivalente possua um raio equivalente ao raio médio geométrico da associação de
subcondutores. Neste método, é considerado que um condutor múltiplo pode ser substituído
por um único condutor cujos parâmetros longitudinais e transversais são obtidos a partir da
associação paralela dos subcondutores. No desenvolvimento deste método foi considerado um
condutor múltiplo hipotético constituído de dois subcondutores, cujos parâmetros
longitudinais e transversais eram conhecidos. Nas equações obtidas, verificaram-se uma
relação entre a impedância característica da linha do condutor equivalente Zc, e a função de
propagação γ com os parâmetros do condutor equivalente. Desta forma, foi possível
determinar os parâmetros longitudinal e transversal do condutor equivalente.
No capítulo 7 foram apresentados resultados da associação paralela de um condutor
múltiplo. Estes resultados permitem analisar o comportamento dos parâmetros longitudinais e
transversais de um condutor múltiplo constituído de dois subcondutores, simétricos em
relação ao eixo vertical, com alturas diferentes em relação ao solo. Foi comparado o método
proposto desenvolvido no capítulo 6 com o método clássico que se baseia no raio médio
geométrico do conjunto de subcondutores. Para isso, consideraram-se os comprimentos de
linha: 100m, 500m, 1000m e 10000m. Para todos estes comprimentos de linha, verificou-se
146
que quando o condutor equivalente é obtido a partir do método clássico, a resistência
longitudinal apresenta um valor menor do que o valor obtido por meio do método proposto
para a mesma. Quanto à indutância, verificou-se que existe uma diferença bastante pequena
entre os valores obtidos por ambos os métodos. A condutância do condutor equivalente, a
partir do método proposto, sofre influência da freqüência, quando se considera freqüências
superiores a 100 kHz, o que não é detectado quando o condutor equivalente é obtido a partir
do método clássico. Considerando o método clássico, o valor da capacitância do condutor
equivalente é menor que o valor da mesma para o método proposto.
O procedimento de cálculo desenvolvido neste trabalho pode servir de referência para
trabalhos que visam calcular os parâmetros de linha constituída de condutores múltiplos, a
partir de um método mais preciso sem a necessidade de utilizar o conceito de raio médio
geométrico.
Fica como sugestão para trabalhos futuros a análise dos efeitos causados na linha a
partir dos resultados obtidos neste trabalho.
147
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