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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
TATIANE POLICÁRIO CHAGAS
ESTIMAÇÃO E COMPENSAÇÃO DA HISTERESE EM VÁLVULAS DE
CONTROLE PNEUMÁTICAS
VITÓRIA
2007
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TATIANE POLICÁRIO CHAGAS
ESTIMAÇÃO E COMPENSAÇÃO DA HISTERESE EM VÁLVULAS DE
CONTROLE PNEUMÁTICAS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica do Centro
Tecnológico da Universidade Federal do Espírito
Santo, como requisito parcial para obtenção do
Grau de Mestre em Engenharia Elétrica, na área
de concentração em Automação.
Orientador: Prof. Dr. Celso José Munaro.
Co-Orientador: Alessandro Mattedi.
VITÓRIA
2007
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Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)
(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)
Chagas, Tatiane Policário, 1983-
C433e Estimação e compensação da histerese em válvulas de controle
pneumáticas / Tatiane Policário Chagas. – 2007.
89 f. : il.
Orientador: Celso José Munaro.
Co-Orientador: Alessandro Mattedi.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Espírito Santo,
Centro Tecnológico.
1. Válvulas de controle pneumática. 2. Diagnóstico. 3. Histerese. I.
Munaro, Celso José. II. Mattedi, Alessandro. III. Universidade Federal do
Espírito Santo. Centro Tecnológico. IV. Título.
CDU: 621.3
TATIANE POLICÁRIO CHAGAS
ESTIMAÇÃO E COMPENSAÇÃO DA HISTERESE EM VÁLVULAS DE
CONTROLE PNEUMÁTICAS
Dissertação submetida ao programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica do Centro
Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisição parcial para a
obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Elétrica - Automação.
Aprovada em 30 de outubro de 2007.
COMISSÃO EXAMINADORA
Prof. Dr. Celso José Munaro
Universidade Federal do Espírito Santo
Orientador
Prof. Dr. Alessandro Mattedi
Universidade Federal do Espírito Santo
Co-orientador
Prof. Dr. José Leandro Félix Salles
Universidade Federal do Espírito Santo
Prof. Dr. Cláudio Garcia
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
A Deus por ser tudo em minha vida.
Ao meu esposo Patrick que tanto amo.
A minha Mãe e ao meu Pai por terem me permitido
chegar até aqui.
Agradeço aos meus orientadores, Professor Celso
Munaro e Professor Alessandro Mattedi, pela paciência,
amizade, encorajamento e experiência de trabalho.
A todos do LCI, Marco Antônio, Vantuil, Saul pela ajuda
na implementação prática, Cláudia pelo apoio e incentivo,
Gustavo, José Geraldo, professor Edson Ferreira, pelos
auxílios intelectuais.
A torcida da família Policário e da família Amorim.
A todos os amigos e colegas de trabalho que me
acompanharam nesta jornada.
Ao meu esposo, Patrick, por ter sido meu sustento físico
e emocional, por ser meu companheiro durante a
realização deste trabalho.
Aos meus pais, Rosário e Mauro, e aos meus irmãos,
Junior, Thaís e Larissa, por todo o carinho que sempre
mostraram.
"Não há invenção mais rentável que a do conhecimento".
Benjamin Franklin
RESUMO
Neste trabalho são discutidos métodos para diagnóstico, quantificação e
compensação de histerese em válvulas de controle pneumáticas. A histerese é
medida através de métodos off-line conhecidos e comparada ao método on-line, com
resultados semelhantes. Os testes são feitos via simulação de modelos matemáticos
conhecidos da literatura e com uma válvula real atuando sobre um processo. A
histerese é medida e seu efeito é compensado na malha de controle, reduzindo
assim a oscilação da variável do processo. O atrito estático é estimado pelo método
off-line, sendo que no método on-line é estimado junto com a histerese. Os
resultados em simulação e em testes reais demonstram que a estimação da
histerese seguida da compensação permitem reduzir as oscilações da saída do
processo, o valor do índice IAE e o número de reversões da válvula.
Descritores: Válvulas de controle; Diagnóstico on-line; Compensação.
ABSTRACT
In this work are discussed methods for diagnosis, quantification and compensation of
backlash in pneumatic control valves. The backlash is measured through offline
methods known in the literature and it is compared with on-line method, showing
similar results with both methods. Tests are done via simulation of mathematical
models known from literature and with a valve on a real working process. Backlash is
computed and its effect is compensated in the control loop, reducing the variability of
the process variable. The static friction is estimated by the offline method, and in the
on-line method it is estimated together with the backlash. The results in simulation
and in real tests show that the estimation of the backlash followed by the
compensation can reduce the output fluctuations of the process, the value of the IAE
index and the number of reversals of the valve.
Keywords: Control valves; On-line diagnosis; Compensation.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Tipos de válvulas de controle ................................................................... 21
Figura 2 – Não linearidades em válvulas de controle ................................................ 24
Figura 3 – Diferenças entre não linearidades e resolução em válvulas de controle .. 25
Figura 4 - Não linearidades em válvulas de controle com resolução perfeita ........... 25
Figura 5 – Parte do atuador da válvula ..................................................................... 26
Figura 6 - Agarramento em válvulas de controle ....................................................... 26
Figura 7- Diagrama de bloco do modelo de Karnopp ................................................ 28
Figura 8 – Modelo computacional da válvula de controle pneumática ...................... 30
Figura 9 – Modelo do posicionador pneumático ........................................................ 30
Figura 10 – Bloco backlash para a histerese............................................................. 31
Figura 11 – Fluxograma da função que modela o atrito estático ............................... 32
Figura 12 – Assinatura típica de uma válvula de controle ......................................... 34
Figura 13 – Sinal de pressão para obter o valor da histerese ................................... 36
Figura 14 – Teste para obter o valor do atrito estático .............................................. 37
Figura 15 – Resposta ao degrau para determinar a constante de tempo ................. 37
Figura 16 – Entrada triangular de pressão ................................................................ 39
Figura 17 – Curva estática da válvula via modelo analítico ....................................... 40
Figura 18 – Curva dinâmica da válvula via modelo analítico ..................................... 40
Figura 19 - Curva estática da válvula via modelo computacional .............................. 42
Figura 20 - Curva dinâmica da válvula via modelo computacional ............................ 42
Figura 21- Curvas estáticas do modelo analítico e do modelo computacional .......... 43
Figura 22 - Curvas dinâmicas do modelo analítico e do modelo computacional ....... 43
Figura 23 – Sinal aplicado para estimação de histerese off-line ............................... 44
Figura 24 – Sinal aplicado para estimação de atrito estático .................................... 45
Figura 25 - Diagrama de blocos de uma válvula de controle com histerese ............. 46
Figura 26 – Sinais da válvula com histerese na presença de ruídos ......................... 47
Figura 27 - Válvula em uma malha de controle ......................................................... 49
Figura 28 – a) Referência u
2
e posição da válvula y
1
b) Sinal de controle aplicado
a válvula u
1
em um processo de primeira ordem .................................... 50
Figura 29 – Sinal de controle e posição da válvula em um processo de primeira
ordem...................................................................................................... 52
Figura 30 – Válvula de controle com posicionador .................................................... 54
Figura 31 – Sinais da válvula com 2% de histerese e 1% de ruído na saída ............ 55
Figura 32 – Ampliação da Figura 24 em torno do instante 44 segundos .................. 55
Figura 33 – Válvula de controle em um processo de primeira ordem ....................... 57
Figura 34 - a) Referência e posição da válvula b) Referência e saída do processo
para uma válvula com 2% de histerese .................................................. 58
Figura 35 – Ampliação da Figura 27 em torno do instante 142s ............................... 58
Figura 36 – Sinais de controle e posição da válvula com 2% de histerese em uma
malha de controle ................................................................................... 60
Figura 37 - Ampliação da Figura 29 em torno do instante 68s .................................. 60
Figura 38 – Bloco compensador ................................................................................ 63
Figura 39 – Válvula em uma malha de controle com compensação de histerese ..... 64
Figura 40 – a) Referência e posição da válvula b) Referência e saída do processo
para uma válvula com compensação ..................................................... 64
Figura 41 – Sinais de controle da válvula com compensação de histerese .............. 65
Figura 42 – Compensação ideal de histerese Ĥ=δ .................................................... 65
Figura 43 – Sistema real utilizado para os testes ...................................................... 67
Figura 44 – Válvula de controle pneumática rotativa ................................................. 68
Figura 45 - Conversor I/P .......................................................................................... 68
Figura 46 - Sensor de pressão .................................................................................. 69
Figura 47 – Potênciometro: sensor de posição ......................................................... 69
Figura 48 - CLP: programação dos controladores PI´s ............................................. 70
Figura 49 – Diagrama de blocos do sistema real ...................................................... 71
Figura 50 – Foto do sistema real ............................................................................... 71
Figura 51 – Sinal de pressão e posição da válvula real ............................................ 72
Figura 52 – Sinal de pressão e posição para identificar o atrito estático da válvula .. 73
Figura 53 – Sinais do sistema real: mudança de referência de 25% para 50% ........ 74
Figura 54 – Sinais do sistema real: ponto de operação de 25% ............................... 75
Figura 55 - Ampliação da Figura 54 b) em torno do instante 50 s ............................. 76
Figura 56 - Ampliação da Figura 54 b) em torno do instante 110 s ........................... 76
Figura 57 – Sinais do sistema real com compensação de histerese ......................... 78
Figura 58 – Sinais da válvula real com compensação da histerese para uma
referência de 25% ................................................................................... 78
Figura 59 - Bloco de simulação do atrito estático ...................................................... 84
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Parâmetros do modelo analítico da válvula de controle pneumática ....... 33
Tabela 2 – Parâmetros do modelo computacional .................................................... 35
Tabela 3 – Relação entre os parâmetros do modelo computacional e do modelo
analítico .................................................................................................. 38
Tabela 4 – Valores dos parâmetros do modelo analítico .......................................... 39
Tabela 5 – Parâmetros do modelo computacional obtidos a partir do modelo
analítico .................................................................................................. 41
Tabela 6 – Alternativas para estimar a histerese ...................................................... 54
Tabela 7 – Parâmetros de simulação da válvula com posicionador .......................... 55
Tabela 8 – Estimação de histerese: Método 1 .......................................................... 56
Tabela 9 – Parâmetros de simulação da válvula em um processo de primeira
ordem...................................................................................................... 57
Tabela 10 – Estimação de histerese: Método 2 ........................................................ 59
Tabela 11 – Estimação de histerese: Método 3 ........................................................ 61
Tabela 12 – Comparação entre os métodos de estimação de histerese ................... 61
Tabela 13 – Comportamento da válvula no processo com e sem compensação da
histerese ................................................................................................. 66
Tabela 14 – Parâmetros do sistema real ................................................................... 74
Tabela 15 - Histerese estimada para duas referências ............................................. 77
Tabela 16 - Comparação entre o processo com a válvula real sem e com
compensador .......................................................................................... 79
LISTA DE SIGLAS
CLP - Controlador lógico programável
IAE – Integral do erro absoluto
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 16
1.1 TRABALHOS RELACIONADOS ........................................................................ 17
1.2 OBJETIVOS E METODOLOGIA ........................................................................ 19
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...................................................................... 19
2 DESCRIÇÃO DA VÁLVULA DE CONTROLE PNEUMÁTICA ............................. 21
2.1 NÃO LINEARIDADES EM VÁLVULAS DE CONTROLE .................................... 23
2.1.1 Tempo Morto ................................................................................................. 23
2.1.2 Zona Morta ..................................................................................................... 24
2.1.3 Banda Morta .................................................................................................. 24
2.1.4 Histerese ........................................................................................................ 24
2.1.5 Resolução ...................................................................................................... 25
2.1.6 Atrito Estático ................................................................................................ 26
3 MODELAGEM DE VÁLVULAS DE CONTROLE E SUAS NÃO
LINEARIDADES ....................................................................................................... 27
3.1 MODELO ANALÍTICO DA VÁLVULA DE CONTROLE PNEUMÁTICA .............. 27
3.2 MODELO COMPUTACIONAL PARA VÁLVULA DE CONTROLE
PNEUMÁTICA ........................................................................................................... 29
3.3 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS PARA O MODELO ANALÍTICO E O
MODELO COMPUTACIONAL ................................................................................... 33
3.4 VALIDAÇÃO DO MODELO COMPUTACIONAL ................................................ 38
4 DETECÇÃO E COMPENSAÇÃO DE HISTERESE EM VÁLVULAS DE
CONTROLE PNEUMÁTICAS ................................................................................... 44
4.1 DETECÇÃO E ESTIMAÇÃO OFF-LINE DE HISTERESE E ATRITO
ESTÁTICO ................................................................................................................ 44
4.2 ESTIMAÇÃO ON-LINE DE HISTERESE ........................................................... 45
4.2.1 Método 1 para Estimação de Histerese ....................................................... 46
4.2.2 Método 2 para Estimação de Histerese ....................................................... 49
4.2.3 Método 3 para Estimação de Histerese ....................................................... 51
4.3 SIMULAÇÕES DE ESTIMAÇÃO HISTERESE ON-LINE ................................... 54
4.4 COMPENSAÇÃO DE HISTERESE .................................................................... 62
4.5 SIMULAÇÕES DA COMPENSAÇÃO DE HISTERESE ..................................... 63
5 APLICAÇÃO EM UMA VÁLVULA REAL ............................................................. 67
5.1 DESCRIÇÃO DO PROCESSO .......................................................................... 67
5.2 OBTENÇÃO DAS DEGRADAÇÕES VIA MÉTODO OFF-LINE ......................... 72
5.3 ESTIMAÇÃO ON-LINE E COMPENSAÇÃO DA HISTERESE ........................... 73
6 CONCLUSÃO ....................................................................................................... 80
7 REFERÊNCIAS .................................................................................................... 81
8 ANEXO ................................................................................................................. 84
8.1 ANEXO A: DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO ATRITO ESTÁTICO ............................. 84
8.2 ANEXO B: ALGORITMO DE ESTIMAÇÃO DE HISTERESE MÉTODO 1 ......... 86
8.3 ANEXO C: ALGORITMO DE ESTIMAÇÃO DE HISTERESE MÉTODO 3 ........ 87
16
1 INTRODUÇÃO
Uma típica planta química possui centenas de malhas de controle. É extremamente
importante a avaliação o desempenho dessas malhas para garantir a qualidade e o
baixo custo dos produtos em tais plantas. A presença de oscilações em uma malha
de controle aumenta a variabilidade das variáveis de processo, acelera o desgaste
dos equipamentos, gera produtos de qualidade inferior e aumenta o consumo de
energia. Detectar, diagnosticar e corrigir as causas das oscilações nos processos em
operação é fundamental, pois quanto mais próximo do ponto de operação a planta
estiver, mais rentável é o processo. Algumas das causas de oscilações em malhas
de controle são: distúrbios oscilatórios externos, incorreta sintonia do controlador,
não linearidades da planta, não linearidades do atuador, ou combinações destes. De
acordo com (Bialkowski, 1992), 30% dos processos são oscilatórios por causa de
problemas nas válvulas de controle, a única parte móvel nas malhas.
As válvulas de controle são os atuadores mais importantes em aplicações de
controle em plantas químicas. Problemas associados a dimensionamento incorreto,
presença de não linearidades, principalmente atrito estático e histerese,
comprometem não apenas a malha em que atuam, mas o processo como um todo.
A manutenção preventiva da válvula de controle é, por estes motivos, altamente
desejável. Alguns fabricantes de válvulas disponibilizam softwares que se
comunicam com as mesmas, realizando testes que permitem indicar degradações
em seu desempenho e a eventual necessidade de manutenção corretiva.
Normalmente, estes testes são feitos durante uma parada do processo, de modo
que haja liberdade para aplicar sinais adequados e a obtenção da respectiva
resposta da válvula (assinatura). De qualquer forma, trata-se de uma melhoria
considerável se comparada à retirada da válvula do processo para este mesmo fim.
Alguns softwares fazem o monitoramento on-line, tais como ExperTune, FieldCare,
Asset View, registrando parâmetros que permitem inferir o desgaste da válvula, e
dessa forma, programar uma manutenção.
Se a válvula de controle contém não linearidades tais como tempo morto, zona
morta, banda morta, histerese e atrito estático, o desempenho da malha de controle
fica seriamente comprometido. Dentre as várias não linearidades, o atrito estático e
a histerese são as mais comuns e as que geram maiores problemas para os
processos industriais.
17
Recentes pesquisas têm sido desenvolvidas para quantificar, com dados de
operação on-line, o atrito e a histerese em válvulas de controle. O aumento da
histerese e do atrito estático causa oscilações na variável do processo, e um
aumento dessas degradações implica na parada do processo para retirada da
válvula e sua manutenção. Entretanto, é desejável manter a válvula operando pelo
maior tempo possível. Isto é possível estimando as degradações e alterando a
estratégia de controle para fazer sua compensação.
1.1 TRABALHOS RELACIONADOS
Um grande número de pesquisadores têm se dedicado ao estudo de atrito e
histerese em válvulas de controle, sugerindo métodos para a detecção e
compensação de seus efeitos.
Diversas técnicas para detecção do atrito estático foram propostas (Rossi, Scali,
2005). Algumas delas são manuais e requerem a interferência do operador no
processo (Hägglund, 1995). Outras técnicas são baseadas em conhecimentos
adicionais do processo, como curva característica da válvula, valores da variável
manipulada ou da posição da válvula (Taga et al, 1996; Manabu et al, 2004). Entre
as técnicas que requerem somente o conhecimento do sinal de controle e da
variável do processo, além dos parâmetros do processo e da válvula, sendo
portando, utilizadas para uma monitoração automática de uma malha de controle,
têm-se as contribuições de (Horch, 1999; Choudhury et al, 2004; Choudhury et al,
2006; Rossi,Scali,2004).
Em (Horch,1999) é apresentado um método para detecção de atrito estático em
válvulas analisando a função de correlação cruzada entre a saída do controlador e a
variável de processo. Observou-se que o deslocamento de fase entre o sinal de
controle e a variável de processo depende da presença do atrito estático. Na
presença de atrito estático o sinal de controle e a variável manipulada oscilam com
um deslocamento de fase de 90°, enquanto que um controle agressivo ou a
presença de distúrbios oscilatórios resulta em um deslocamento de fase de 180°. O
atraso de fase é 180° para um controle agressivo, quando as oscilações na malha
de controle são devidas a saturação do sinal do controlador. Entretanto, quando o
atrito está presente e a saída do controlador não satura, a defasagem pode se
encontrar entre 90° e 180° para um controlador PI. Esse método não é aplicado a
18
processos contendo um integrador, como nível, sendo principalmente aplicado à
malhas de controle de vazão.
Em (Choudhury et al, 2004) foi apresentada uma técnica baseada na função de bi-
coerência da variável de processo: a presença de picos é um sintoma de atrito
estático. Nesse trabalho, observou-se que a estatística de primeira e a segunda
ordem (média, variância, autocorrelação, etc...) são suficientes para descrever
sistemas lineares. O comportamento do sistema não linear deve ser detectado
usando ferramentas estatísticas de ordem mais elevada, tais como bi-espectro e bi-
coerência. Essa técnica pode ser utilizada para detectar qualquer não linearidade,
em particular o atrito estático. Baseado na transformada de Fourier da variável de
processo, dois índices são calculados: NGI, utilizado para indicar quanto o sinal é
gaussiano e NLI, utilizado para indicar o quanto o sinal é não linear. Se o sinal é
gaussiano ou linear a malha não é afetada por atrito estático.
Em (Choudhury et al, 2006) é apresentado um novo método baseado em estatística
de ordem elevada para detectar e quantificar o atrito em válvulas de controle, sendo
aplicável a qualquer malha de controle. O método examina primeiramente a
presença de não linearidade através das ferramentas estatísticas de ordem elevada,
verificando se as saídas do controlador e da planta possuem características
gaussianas (lineares) ou não lineares. Se a não linearidade é detectada, então os
valores da variável do processo, saída do controlador e referência são usados para
diagnosticar possíveis causas da não linearidade.
Em (Rossi, Scali, 2004) a variável de processo é aproximada a uma onda quadrada,
triangular ou senoidal: os dois primeiros casos estão relacionados à presença de
atrito estático e o terceiro caso, a presença de perturbação externa.
Existem várias propostas para detectar automaticamente a presença do atrito
estático em malhas de controle, entretanto são encontrados na literatura poucos
procedimentos para detectar histerese de forma automática (Nordin, Gutman, 2002).
Em (Hägglund, 2007) é proposta uma técnica para detecção automática da
histerese em malhas de controle, baseada no valor da saída do processo, da
referência, dos parâmetros do controlador PID e do ganho do processo. É feita uma
análise da histerese, da sua influência na malha de controle, apresentando uma
metodologia para estimação e a compensação de seus efeitos.
19
Em (Munaro, Chagas, et al., 2007) foram utilizados resultados de (Hägglund, 2007)
para estimar e compensar a histerese de uma válvula de controle pneumática em um
processo de primeira ordem. O resultado é aplicado a simulações e a um processo
real.
1.2 OBJETIVOS E METODOLOGIA
Esta dissertação tem como objetivo a estimação e a compensação da histerese em
válvulas de controle atuando em processo.
Métodos on-line e off-line são apresentados e analisados em diferentes contextos e
aplicados a modelos e a um caso real.
Comparações são realizadas entre a histerese estimada pelo método off-line e on-
line. Também são comparados diferentes métodos para estimação on-line da
histerese e a influência do atrito estático nas estimações, via simulação de modelos.
Para o caso da válvula real, é feita uma comparação do processo com e sem
compensação da histerese.
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
A presente dissertação está organizada em seis capítulos.
No segundo capítulo é abordada a descrição da válvula de controle pneumática e
suas não linearidades.
No terceiro capítulo é descrito o modelo analítico que descreve matematicamente o
comportamento da válvula e suas não linearidades. Além disso, é apresentado um
modelo computacional para a válvula, desenvolvido no ambiente do
Simulink/Matab®. Também são apresentadas as simulações que mostram as
influências das não linearidades da válvula nas malhas de controle.
No quarto capítulo são descritos os procedimentos utilizados para estimação e
compensação da histerese, discutindo em quais situações cada método é aplicado.
Também nesse capítulo apresentam-se simulações que aplicam tais métodos para
estimar on-line e compensar histerese em válvulas de controle operando em um
processo.
20
No quinto capítulo, são apresentados os testes de estimação off-line e on-line e
compensação da histerese aplicada a uma válvula real operando em um processo.
Também são feitas comparações entre os valores estimados de histerese e o
comportamento do sistema sem e com compensação.
No sexto capítulo são descritas as conclusões.
21
2 DESCRIÇÃO DA VÁLVULA DE CONTROLE PNEUMÁTICA
O elemento final mais comum utilizado em processos industriais é a válvula de
controle com atuador pneumático. A função da válvula de controle é provocar e
absorver uma queda de pressão em uma linha de fluido, variando a área da
passagem do fluido pela alteração de sua abertura.
A válvula de controle consiste basicamente de dois conjuntos principais: atuador e
corpo. O atuador é o elemento responsável em proporcionar a força motriz
necessária ao funcionamento da válvula de controle. Dependendo do meio de
produção da força motriz ele pode ser classificado como: pneumático, elétrico,
eletro-pneumático, eletro-hidráulico e hidráulico. O corpo é a parte da válvula que
executa a ação de controle permitindo maior ou menor passagem do fluido no seu
interior, conforme a necessidade do processo. Dependendo dos tipos de corpos, a
válvula pode ser classificada em deslocamento rotativo: borboleta, esfera, obturador
excêntrico; e deslocamento linear: globo convencional, globo gaiola, globo angular,
diafragma, entre outras.
As válvulas mais conhecidas são as válvulas globo e borboleta, ilustradas na figura 1
(Correa, 2002).
Figura 1 – Tipos de válvulas de controle
22
Na Figura 1 (a), pode-se observar que sinal de corrente de 4-20 mA provenientes do
controlador chega em um conversor I/P ou transdutor eletropneumático, cuja
finalidade é converter o sinal elétrico em sinal pneumático padronizado e
proporcional de 3 a 15 psi.
O atuador pneumático, destacado na Figura 1(a), é o elemento mecânico capaz de
converter uma pressão numa força que age em contraposição à da mola, de forma a
atuar sobre a haste que atua sobre o obturador da válvula. Nessa mesma Figura é
ilustrada uma válvula de controle borboleta com posicionador, de deslocamento
rotativo, corpo de duas vias de passagem retas, com internos de sede simples e
elemento vedante constituídos por um disco ou lâmina de formato circular acionados
por eixo de rotação axial.
A Figura 1 (b) ilustra uma válvula de controle globo com posicionador. O elemento
obturador, em destaque, é um elemento vedante, com formato de disco, cilíndrico ou
com contorno caracterizado, que se move linearmente no interior do corpo obturando
o orifício de passagem de modo a formar restrição variável ao fluxo. Esse elemento
é posicionado pelo atuador da válvula para controlar a vazão. Em geral, a ação do
obturador pode ser proporcional ou de 2 posições (on-off). Em controle proporcional,
o obturador é posicionado em qualquer ponto intermediário entre aberto e fechado,
sendo continuamente movido para regular a vazão de acordo com as necessidades
do processo.
Nas válvulas de controle pode-se encontrar um acessório muito importante para o
controle e diagnóstico do processo: o posicionador. O posicionador é um
equipamento de controle capaz de receber um sinal pneumático e enviar pressão de
ar ao atuador de forma a posicionar a válvula num valor desejado. Para tal, o
posicionador recebe mecanicamente a informação da posição atual da válvula
através de uma barra presa à haste do obturador. O posicionador atua como um
controlador de posição, ou seja, garante que a posição da haste será realmente
aquela desejada, independentemente dos atritos e desgastes. Sendo parte
integrante do sistema de controle, quando corretamente selecionado, deve
proporcionar à válvula meios de operacionalidade estáveis e suaves, contra a ação
variável das forças dinâmicas e estáticas originadas na válvula através da ação do
fluido de processo. Assim uma válvula sem posicionador opera em malha aberta, e a
válvula que possui o acessório posicionador opera em malha fechada com
realimentação mecânica de posição.
23
Na área industrial é possível encontrar três tipos de posicionadores: pneumático,
eletropneumático e inteligente, este último é um dispositivo microprocessado e
totalmente programável. Alguns posicionadores inteligentes eliminam o link
mecânico, sendo sua realimentação feita através do efeito “Hall” (campo magnético).
O posicionador inteligente permite, através de sua programação, obter as seguintes
informações: leitura da posição da válvula, sinal de entrada e pressão no atuador;
comandos de posição da válvula, configuração e auto-calibração; auto-ajustes;
tempo de fechamento e abertura, números de ciclos; gráficos de pressão versus
posição; histórico da configuração; caracterização de fluxo através do programa:
linear, abertura rápida; limites de posição, entre outros.
2.1 NÃO LINEARIDADES EM VÁLVULAS DE CONTROLE
Quando um comando é enviado a uma válvula de controle para que ela possa ir
para uma determinada posição, o comportamento da válvula pode variar
dependendo da posição inicial, da direção e amplitude do sinal. Isso porque o
comportamento da válvula apresenta algumas não linearidades tais como: tempo
morto, zona morta, banda morta, histerese e atrito estático. Dependendo da
amplitude dessas não linearidades, o funcionamento da válvula pode ser
prejudicado. Outra característica importante a ser considerada é a resolução (vide
item 2.1.5), pois informações importantes podem ser perdidas quando essa
resolução apresenta valores relativamente pequenos.
2.1.1 Tempo Morto
Tempo morto é o tempo de atraso da resposta da válvula ao sinal de controle
aplicado, provocado pelo comprimento e diâmetros de ligação entre a válvula e o
controlador e o volume do atuador.
24
2.1.2 Zona Morta
Zona Morta é a não linearidade apresentada quando uma determinada variação do
sinal de entrada não provoca mudança na saída. Em uma válvula pneumática, é a
pressão mínima necessária que consiga superar a força da mola do atuador.
2.1.3 Banda Morta
Banda Morta é a variação do sinal de entrada, durante uma reversão de sentido, que
não inicia uma mudança observável na saída. Em outras palavras, em qualquer
momento em que o sinal enviado para válvula de controle inverte a direção, este
sinal passa por uma banda morta sem que qualquer variação na posição da válvula
ocorra. Enquanto a variação da pressão não ultrapassar um determinado valor, a
válvula permanece na mesma posição.
2.1.4 Histerese
Histerese é a diferença máxima na posição da haste da válvula para a pressão mais
baixa da câmara, quando o sentido do movimento for invertido. Para a mesma
pressão, se a válvula estiver abrindo ou fechando, ela se encontrará em posição
diferente. A histerese é uma não linearidade típica de instrumentos mecânicos,
causada por folgas nas partes mecânicas e deformações nas superfícies de contato,
associadas ao atrito.
A Figura 2 ilustra as não linearidades zona morta, banda morta e histerese, descritas
acima.
Figura 2 – Não linearidades em válvulas de controle
25
2.1.5 Resolução
Resolução é a menor variação da grandeza a medir que pode ser indicada ou
registrada pelo sistema de medição. Em uma válvula, é a menor variação do sinal de
saída que produz uma variação no sensor de posição. Dessa forma o movimento da
válvula não será representado de forma contínua, mas sim em degraus.
Na Figura 3 é ilustrada a diferença entre a folga, histerese e resolução (Ruel, 2000).
Figura 3 – Diferenças entre não linearidades e resolução em válvulas de controle
Considerando a resolução perfeita, a folga é igual à histerese, como ilustrado na
Figura 4.
Figura 4 - Não linearidades em válvulas de controle com resolução perfeita
26
2.1.6 Atrito Estático
O atrito estático surge no contato entre as partes móveis internas da válvula,
principalmente entre a haste e a gaxeta (Figura 5). Na literatura esse atrito é
conhecido como stiction, da junção dos termos static e friction. O atrito estático,
também conhecido como agarramento, é a resistência mecânica para iniciar um
movimento, existente sempre que partes móveis estiverem em contato e gerarem
fricção. Dessa forma uma pequena variação no valor da pressão não altera a
posição da válvula. O movimento somente se inicia quando a resistência mecânica é
superada.
O resultado desse agarramento é que a válvula, toda vez que iniciar um movimento
de abertura ou fechamento, se moverá em saltos. A Figura 6 ilustra o agarramento.
Figura 5 – Parte do atuador da válvula
Figura 6 - Agarramento em válvulas de controle
27
3 MODELAGEM DE VÁLVULAS DE CONTROLE E SUAS NÃO LINEARIDADES
Modelos matemáticos têm sido propostos para estudar as não-linearidades que
surgem durante a operação de válvulas de controle. Para modelar uma válvula de
controle pneumática, supondo seu atuador do tipo mola e diafragma, utiliza-se o
sinal de saída do controlador convertido para sinal de pressão como variável de
entrada e a posição da haste como variável de saída.
3.1 MODELO ANALÍTICO DA VÁLVULA DE CONTROLE PNEUMÁTICA
O equacionamento das forças na haste da válvula regido pela Lei de Newton é
composto por (Garcia, 2006; Choudhury et al., 2005):
toassentamenfluidoatritomolapressão
FFFFFxm −−−−=⋅
••
(1)
onde:
m – massa das partes móveis da válvula;
x – posição da haste da válvula;
PSF
Apressão
⋅=
– força aplicada pelo atuador, sendo S
A
a área do diafragma do
atuador e P a pressão de ar
xKF
Mmola
⋅= – força da mola, sendo K
M
o coeficiente de Hook da mola;
atrito
F – força de atrito existente na válvula;
PF
fluido
Δ⋅=
α
– força devida à queda de pressão do fluido na válvula, sendo que α é
a área de desbalanço do obturador e ∆P é a queda de pressão do fluido na válvula;
toassentamen
F
– força extra necessária para forçar a válvula travar na sede.
As componentes F
fluido
e F
assentamento
, conforme sugestão de (Kayihan, Doyle, 2000;
Choudhury et al., 2005), podem ser desprezadas. F
fluido
é desconsiderada por possuir
ordem de grandeza duas vezes menor que as forças de atrito e a da mola.
Desconsiderando F
fluido
e F
assentamento
na expressão (1), ela pode ser reescrita como,
atritomolapressão
FFFxm −−=⋅
••
(2)
A força de atrito normalmente é dada por três componentes: atrito estático, seco ou
stiction, atrito viscoso e atrito de Coulomb. O atrito total é dado por:
vFveFFvF
V
VsV
SCatrito
⋅+⋅+=
−
)sgn(][)(
2
)/(
(3)
28
onde:
F
C
– coeficiente de atrito de Coulomb (N)
F
S
– coeficiente de atrito estático (N)
v
S
– velocidade de Stribeck (m/s)
F
V
– coeficiente de atrito viscoso (N.s/m).
Para descrever o comportamento do atrito presente nas válvulas de controle,
utilizou-se o modelo de (Karnopp, 1985), exemplificado na equação (4) e Figura 7.
Segundo (Garcia, 2006), esse modelo está apto a descrever o comportamento do
atrito em válvulas de controle, modelando o efeito de travamento e escorregamento.
SCext
SCext
extSC
ext
atrito
atrito
FFF
FFF
e
e
v
v
v
se
se
se
FsngFF
F
vF
F
+>
+≤
=
=
≠
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅+
=
0
0
0
)()(
)(
(4)
onde F
atrito
(v) é calculada por (3) e a F
ext
é a força externa aplicada.
O primeiro termo da equação (4) modela o comportamento da válvula se movendo, o
segundo modela a válvula parada e o terceiro modela a válvula na iminência de
movimento, ou seja, quando a força externa supera as forças de atrito estático e
Coulomb.
Visando superar os problemas com detecção de velocidade nula e evitar os
chaveamentos entre as equações que descrevem a haste travada ou se movendo,
(Karnopp,1985) criou uma região em torno da velocidade zero. Esse modelo define
um intervalo em torno de v=0 de largura DV, ou seja, |v|=DV. Dessa forma, se |v| <
DV, a força de atrito é uma versão saturada da força externa, pois o corpo está
parado (travado, v=0), e se |v| > DV, a força de atrito é dada pela equação (3), pois o
corpo está se movendo (escorregando), conforme ilustração da Figura 7.
Figura 7- Diagrama de bloco do modelo de Karnopp
DV é um parâmetro a ser definido, adotando-se DV = 0,1.v
S
(Garcia, 2006).
29
A força de atrito estático, componente da força de atrito dada em (3), com v = DV é:
S
VsVs
Sestaticoatrito
FeFF .9608,0
2
)/.1.0(
_
=⋅=
−
. (5)
O valor muito pequeno de velocidade (DV=0,1.v
S
) é escolhido de forma que não haja
descontinuidade considerável na força de atrito estático, que passa de 0,9608.F
S
para F
S
.
O modelo analítico de válvulas de controle, sendo composto por equações
diferenciais não lineares, exige certo esforço computacional, e escolha adequada da
tolerância e tempo de integração para realização das simulações.
3.2 MODELO COMPUTACIONAL PARA VÁLVULA DE CONTROLE PNEUMÁTICA
Quando o objetivo do modelo é fazer simulações, o uso de um modelo
computacional constituído por funções pré-definidas pode facilitar essa tarefa. Nesta
seção é discutido um modelo computacional constituído por blocos do
Simulink/Matlab®, para modelar o comportamento da válvula de controle e suas não
linearidades.
Em (Chouldhury et al.,, 2005) é proposto um modelo para representar estaticamente
o comportamento dos atritos em uma válvula de controle através de um algoritmo,
baseado na curva de pressão versus posição da válvula. O modelo computacional
proposto nesta seção modela os efeitos dos atritos de forma independente,
separando as contribuições da histerese e do atrito estático, além de modelar o
comportamento dinâmico da válvula.
O comportamento dinâmico linear de uma válvula de controle em conjunto com um
atuador pneumático pode ser expresso por uma função de transferência de primeira
ordem, que inclui a dinâmica do atuador com diafragma e o corpo da válvula, dado
por (Garcia, 2005):
s
K
sV
sX
G
V
V
AT
.1)(
)(
τ
+
==
(6)
onde:
X(s) – posição da haste da válvula (0 a 1 pu)
V(s) – sinal que chega ao atuador (0 a 1 pu)
V
K – ganho da válvula
V
τ
– constante de tempo da válvula.
30
O ganho da válvula
V
K é adimensional, pois a posição da haste e o sinal do atuador
são normalizados, dados em pu (por unidade).
As não linearidades podem ser representadas por blocos existentes no ambiente do
Simulink/Matlab®, ou construídos a partir de funções existentes. Na Figura 8 é
apresentado o diagrama de blocos do modelo computacional utilizado neste
trabalho. São consideradas as não linearidades: histerese e atrito estático.
Figura 8 – Modelo computacional da válvula de controle pneumática
O posicionador, cuja finalidade é a realimentação da posição da válvula e controle
da pressão que atua no diafragma do atuador, é modelado através de um
controlador PI, padrão ISA, conforme ilustrado na Figura 9. Os parâmetros deste
controlador PI são os ganhos proporcional K
C
e integral K
i
.
Figura 9 – Modelo do posicionador pneumático
O bloco de saturação presente no modelo possui a finalidade de limitar os valores de
pressão na faixa de 0 a 100%.
As não linearidades banda morta e histerese são modeladas através do bloco
backlash, do Simulink/Matlab® (Figura 10). Esse bloco executa uma função que,
após a reversão no sinal de entrada, só altera a saída quando a variação no sinal de
entrada supera um determinado valor (H). O parâmetro deste bloco é H, o valor da
histerese presente na válvula de controle, dado em porcentagem de pressão.
31
Figura 10 – Bloco backlash para a histerese
A função de transferência dada pela equação (6) é composta pelos blocos: ganho
K
V
, ganho 1/τ
v
e o integrador. A posição da válvula é limitada de 0 a 100% pelo
bloco integrador.
Para modelar o comportamento do atrito estático da válvula de controle, baseado em
(Choudhury et al., 2005), foi programada uma função, cujo fluxograma está
apresentado na Figura 11 e o código de programação está no anexo A.
A função tem a finalidade de detectar o instante em que a válvula inicia movimento,
retendo o valor da posição até que o atrito estático seja superado. Nesse momento a
válvula dá um salto e atinge o valor da posição retida. O parâmetro desta função é a
variável S, que representa o valor do atrito estático dado em porcentagem de
posição.
32
Figura 11 – Fluxograma da função que modela o atrito estático
33
3.3 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS PARA O MODELO ANALÍTICO E O
MODELO COMPUTACIONAL
São discutidos agora a obtenção dos parâmetros necessários para a simulação dos
modelos analítico e computacional.
Na tabela 1 são listados os parâmetros necessários para a simulação do modelo
analítico dado pela equação (4).
Tabela 1 – Parâmetros do modelo analítico da válvula de controle pneumática
Parâmetros Unidade
S
A
m
2
m Kg
F
S
N
K
M
N/m
Fc N
F
V
N.s/m
v
S
m/s
DV m/s
Os valores da área do diafragma do atuador S
A
e massa das partes móveis da
válvula m são obtidos através de medições efetuadas na válvula.
Os valores da constante da mola K
M,
do atrito de Coulomb F
C ,
do atrito estático F
S
,
são obtidos através da assinatura da válvula, ou seja, da curva de pressão versus
posição, ilustrada na Figura 12, obtida via simulação do modelo analítico.
34
Figura 12 – Assinatura típica de uma válvula de controle
Aplicando a equação (2) aos pontos P1 a P5 da figura 12, obtemos as seguintes
expressões (observe que a velocidade é nula nesses pontos):
SC
PRESSÃO
FFFP +=:1 (7)
SPMC
PRESSÃO
FxKFFP +⋅+=
2
:2 (8)
3
:3
PMC
PRESSÃO
xKFFP ⋅+= (9)
SPMC
PRESSÃO
FxKFFP −⋅+−=
4
:4 (10)
5
:5
PMC
PRESSÃO
xKFFP ⋅+−= (11)
onde:
x
Pn
– posição da haste da válvula no ponto P
n
F
PRESSÃO
– força aplicada no atuador, dada por:
A
PRESSÃO
S
P
F =
. (12)
Subtraindo (9) de (10),
SC
A
FF
S
PP
+=
−
2
43
. (13)
35
Subtraindo (8) de (11),
SC
A
FF
S
PP
+=
−
2
52
. (14)
Os valores de F
C
e F
S
são obtidos resolvendo o sistema de primeira ordem
constituído pelas equações (13) e (14).
Subtraindo (7) de (8),
2
21
PM
A
xK
S
PP
⋅=
−
(15)
obtemos o valor da constante da mola K
M
.
O atrito viscoso F
V
é obtido fazendo com que a velocidade da válvula seja constante.
Para esse caso a resposta ao degrau pode ser utilizada.
Dessa forma a equação (2) pode ser reescrita como:
ATRITOMOLA
PRESSÃO
FFF −−=0
(16)
vFveFFxKF
V
VsV
SCM
PRESSÃO
⋅+⋅++⋅=
−
)sgn(][
2
)/(
(17)
Substituindo os valores de velocidade v, constante da mola K
M
, posição da haste x,
atrito de Coulomb F
C
, atrito estático F
S
, velocidade de Stribeck v
S
na equação (17),
pode-se calcular o valor do atrito viscoso F
V
.
O valores de v
S
e DV são adotados segundo sugestões de (Fitzgerald, 1995; Garcia,
2006), respectivamente.
Os parâmetros do modelo computacional, listados na tabela 2, podem ser obtidos
aplicando uma seqüência de degraus de pressão no atuador da válvula pneumática
e analisando o comportamento da posição da válvula.
Tabela 2 – Parâmetros do modelo computacional
Parâmetros Unidade
H % pressão
S %posição
V
τ
s
K
V
-
36
A Figura 13 ilustra a seqüência de degraus de pressão utilizada para estimar a
histerese (H) do modelo computacional. O valor da histerese é obtido através da
diferença entre as posições no fechamento e na abertura, para o mesmo valor de
pressão.
Figura 13 – Sinal de pressão para obter o valor da histerese
O valor do atrito estático S é obtido aplicando uma seqüência de pequenos degraus
de pressão na válvula e observando a posição, ilustrado na Figura 14. A pressão
necessária para iniciar o movimento da válvula permite obter o atrito estático. É
importante ressaltar que dever ser aplicado um degrau anterior de pressão suficiente
para vencer a zona morta.
A constante de tempo
V
τ
da válvula pode ser obtida pela análise da resposta ao
degrau de pressão. Na Figura 15 é ilustrada a resposta da válvula a um degrau de
amplitude 50%. O tempo gasto para a válvula variar 63 % da sua posição é a sua
constante de tempo. Para o exemplo da Figura 15, a válvula tem uma constante de
tempo
V
τ
= 1s.
37
Figura 14 – Teste para obter o valor do atrito estático
Figura 15 – Resposta ao degrau para determinar a constante de tempo
38
O cálculo do ganho da válvula, K
V
, é obtido:
pres
pos
K
V
Δ
Δ
=
(18)
onde:
∆
PRES
– variação de pressão
∆
POS
– variação da posição da válvula.
Os parâmetros do modelo computacional também podem ser obtidos a partir do
modelo analítico, conforme a tabela 3. A histerese e atrito estático podem ser
calculados diretamente dos parâmetros desse modelo, enquanto o ganho e a
constante de tempo são obtidos através de sua simulação.
Tabela 3 – Relação entre os parâmetros do modelo computacional e do modelo analítico
Parâmetros do modelo computacional Obtenção a partir do modelo analítico
K
V
– ganho da válvula
Simulação a entrada degrau ou
assinatura da válvula
V
τ
– constante de tempo da válvula
Simulação a entrada degrau
H – Histerese 2F
C
/ S
A
S – atrito estático (F
S
/S
A
) x K
V
3.4 VALIDAÇÃO DO MODELO COMPUTACIONAL
Nesta secção será apresentada a validação do modelo computacional, através de
comparação com o modelo analítico da literatura (item 3.1).
As curvas de resposta estática e dinâmica do modelo analítico serão utilizadas para
a obtenção dos parâmetros do modelo computacional, que será simulado gerando
curvas que serão comparadas com as curvas do modelo analítico.
Considere uma válvula com os parâmetros extraídos de (Fitzgerald, 1995; Kayihan,
Doyle, 2000; Garcia, 2006), descritos na tabela 4.
Aplicando uma entrada de pressão triangular, Figura 16, ao modelo analítico da
válvula, obtemos a curva estática, ou seja, o gráfico de posição versus pressão,
ilustrada na Figura 17. De forma semelhante, aplicando um degrau de pressão,
obtemos a curva dinâmica da válvula, representada na Figura 18.
39
Tabela 4 – Valores dos parâmetros do modelo analítico
Parâmetro Valor (válvula nominal)
SA– área do diafragma do atuador (m
2
) 0.06452
m – massa das partes móveis da válvula (Kg) 1.361
K – constante da mola (N/m) 52538
F
C
– coeficiente de atrito de Coulomb (N) 1423
F
S
– coeficiente de atrito estático (N) 284.7
F
V
– coeficiente de atrito viscoso (N) 612.9
v
S
– velocidade de Stribeck (m/s) 2.54x10
-
4
Figura 16 – Entrada triangular de pressão
Conforme descrito na seção 3.3, tabela 3, os parâmetros do modelo computacional
podem ser obtidos pelos parâmetros do modelo analítico e das curvas estática e
dinâmica da válvula.
40
Figura 17 – Curva estática da válvula via modelo analítico
Figura 18 – Curva dinâmica da válvula via modelo analítico
O valor da histerese é obtido através do atrito de Coulomb, dado por:
Pa
S
F
H
A
C
44110
06452.0
1423*2
*2
===
. (19)
41
A pressão máxima aplicada à válvula é 82737 Pa, ou seja, 12 psi e a posição
máxima da válvula é 10.15cm. Dessa forma obtemos o valor da histerese em
porcentagem de pressão:
%31.53
82737
44110
==H
. (20)
O valor do ganho da válvula pode ser obtido através da assinatura da válvula,
utilizando os valores de pressão e posição nos pontos A e B, destacados na Figura
17:
)/(
14120
7350.1
5588070000
125.486.5
)()(
)()(
Pacm
BpresApres
BposApos
pres
pos
K
V
=
−
−
=
−
−
=
Δ
Δ
=
. (21)
Sendo o ganho da válvula adimensional, é necessário calcular a porcentagem da
variação de posição e pressão. Dessa forma,
1
82737
14120
15.10
7350.1
==
V
K
. (22)
O valor do atrito estático referido a posição poder ser obtido:
%33.51*
82737
1
*
06452.0
7.284
*(%) ===
V
A
S
K
S
F
S
(23)
Através da curva dinâmica, Figura 18, obtemos a constante de tempo da válvula,
cujo valor é 0.12 s.
Os parâmetros do modelo computacional são listados na tabela 5.
Tabela 5 – Parâmetros do modelo computacional obtidos a partir do modelo analítico
Parâmetros Valor
H 53.31%
S 5.33%
V
τ
0.12 s
K
V
1
Aplicando o sinal de pressão triangular, Figura 16, ao modelo computacional
obtemos a curva estática da válvula, ilustrada na Figura 19. Na Figura 20 é ilustrada
a curva dinâmica da válvula, obtida por simulação do modelo computacional.
42
Figura 19 - Curva estática da válvula via modelo computacional
Figura 20 - Curva dinâmica da válvula via modelo computacional
Na Figura 21 são ilustradas as curvas estáticas obtidas através de simulações do
modelo analítico (Figura 16) e modelo computacional (Figura 19), em uma mesma
escala. Os valores de pressão e posição da Figura 16 são convertidos para a faixa
de 0 a 100 %, considerando a pressão variando de 0 a 82737 Pa e a posição
43
variando 0 a 10.15cm. De forma semelhante, na figura 22 são ilustradas as curvas
dinâmicas dos dois modelos.
Figura 21- Curvas estáticas do modelo analítico e do modelo computacional
Figura 22 - Curvas dinâmicas do modelo analítico e do modelo computacional
A semelhança entre as curvas estática e dinâmica dos dois modelos (Figura 21 e
22 ) indica que o modelo computacional pode ser utilizado para representar o
comportamento estático e dinâmico da válvula de controle, com a vantagem de exigir
um esforço computacional muito menor nas simulações.
44
4 DETECÇÃO E COMPENSAÇÃO DE HISTERESE EM VÁLVULAS DE
CONTROLE PNEUMÁTICAS
Neste capítulo é apresentado o método para estimação on-line da histerese em
válvulas de controle, bem como o método para compensar automaticamente seu
efeito.
4.1 DETECÇÃO E ESTIMAÇÃO OFF-LINE DE HISTERESE E ATRITO ESTÁTICO
A detecção e estimação off-line de histerese são feitas retirando a válvula do
processo ou colocando-a para operar em modo manual. Dessa forma o sinal
pressão aplicado no atuador da válvula não é do controlador do processo e sim do
operador.
Na Figura 23 é apresentado um sinal de pressão que pode ser aplicado na válvula
para medir o valor da histerese. Se a histerese é zero, a posição na abertura e no
fechamento, para o mesmo sinal de pressão, é a mesma. Caso a válvula apresente
algum valor de histerese, existirá uma diferença entre a posição na abertura e no
fechamento. Essa diferença quantifica a histerese da válvula, conforme destaque na
Figura 23.
Idealmente a histerese em uma válvula é zero, mas na maioria das válvulas esse
valor está perto de 1%. Nos processos industriais, uma histerese de 2 a 3% é
aceitável se o controlador não tiver sintonia agressiva. Valores de histerese maior
que 3% indicam a necessidade de manutenção (Ruel, 2002).
Figura 23 – Sinal aplicado para estimação de histerese off-line
45
Na Figura 24 é ilustrado o sinal de pressão utilizado para estimar o valor do atrito
estático; idealmente é zero. Entretanto, nas válvulas industriais, o contato de partes
mecânicas móveis cria uma resistência para iniciar o movimento de abertura ou
fechamento. Essa resistência pode ser medida recuperando o valor necessário de
pressão para iniciar o movimento da válvula. É importante ressaltar que os pequenos
degraus consecutivos de pressão utilizados para identificar o valor do atrito estático
devem ser aplicados na mesma direção, de forma a não sofrerem influência da
histerese.
Nas malhas de controle, é aceitável um valor de atrito estático bem menor do que
1%. Valores maiores do que 1% indicam que a válvula necessita de manutenção
(Ruel, 2002).
Figura 24 – Sinal aplicado para estimação de atrito estático
4.2 ESTIMAÇÃO ON-LINE DE HISTERESE
Métodos de estimação on-line de histerese são muito mais atrativos por não
requererem a parada do processo. A dificuldade desses métodos é a utilização dos
dados de entrada e saída da válvula sujeitos ao processo e não sinais previamente
definidos, tais como o sinal de controle do posicionador e do controlador, pressão e
posição da válvula e saída do processo. Outra dificuldade são os ruídos comuns
nesse tipo de situação.
46
4.2.1 Método 1 para Estimação de Histerese
Na Figura 25 é ilustrado o diagrama de blocos de uma válvula de controle com
posicionador que apresenta histerese. O controlador C1 tem como entrada um erro
que é a diferença entre a referência r e a saída y da válvula ( posição da haste da
válvula), e como saída o sinal u de controle. A saída u do controlador não é a
entrada da válvula, pois o sinal de controle atravessa o bloco de histerese. Quando o
sinal de controle u for invertido, o sinal u
B
permanece constante até u ultrapassar a
banda morta.
Figura 25 - Diagrama de blocos de uma válvula de controle com histerese
A válvula V é um processo estável e a presença de histerese não produz ciclos
limites, como mostrado em (Hägglund, 2007). Entretanto, a presença de ruídos na
medição de y faz com que o erro nunca seja constante, e o sinal de controle deverá
passar pela banda morta toda vez que o erro for invertido, produzindo oscilações na
saída.
A técnica proposta por (Hägglund, 2007) é aplicada especificamente para o caso de
válvulas de controle.
Considera-se um controlador PID da forma
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++=
∫
dt
tde
Tdtte
T
teKtu
D
i
C
)(
)(
1
)()(
(24)
e a válvula V dada pela função de transferência
1
)(
+
=
s
K
sV
V
V
τ
. (25)
Na Figura 26 são apresentados os sinais típicos para o processo da Figura 25. A
saída permanece a uma distância média ∆y da referência, quando a ação do
controle atravessa a banda morta. Quando o sinal de controle varia ∆u, o erro entre
a saída e a referência muda de sinal. Os tempos do cruzamento da saída com a
referência estão destacados na Figura 26 a): t
i
e t
i+1
.
47
Figura 26 – Sinais da válvula com histerese na presença de ruídos
Supõe-se que a mudança do sinal de controle ∆u é ocasionado principalmente pela
parte integral do controlador. Desta forma, podemos aproximar
∫
+
≈Δ
1ti
ti
i
C
dte
T
K
u
(26)
Onde
F
yre −=
(27)
r
- referência constante da malha de controle
F
y
- saída filtrada do processo
A integral do erro é a área destacada na Figura 26 a). Aproximando essa área por
um retângulo, temos
tdtey
ti
ti
Δ≈Δ
∫
+
/
1
(28)
Assim, o sinal de controle pode ser obtido
ty
T
K
u
i
C
ΔΔ=Δ
. (29)
48
Considerando que ∆t é relativamente maior que T
i
, a dinâmica da válvula pode ser
negligenciada e a relação da saída com o sinal de controle é determinada
principalmente pelo ganho estático da válvula K
V,
ou seja
VV
uKy Δ⋅=Δ (30)
onde ∆u
V
é a parte de ∆u que realmente move a válvula, depois que a banda morta
é vencida.
Logo:
Huu
V
+Δ=Δ (31)
onde H é o valor da histerese.
A estimação de histerese Ĥ é dada por:
Vi
C
V
K
y
ty
T
K
uuH
Δ
−ΔΔ=Δ−Δ=
ˆ
(32)
Podemos reescrever (32) como:
y
KKT
t
KH
VCi
C
Δ−
Δ
= )
1
(
ˆ
(33)
O estimador proposto por (Hägglund, 2007), descrito nesta seção, supõe que os
sinais da malha de controle mudem lentamente, dessa forma, é importante verificar
se ∆t é grande comparado com a constante de tempo de malha fechada do
processo. Assim, podemos estimar a histerese através da equação (33) se ∆t ≥ 3T
i
.
O fato do ganho da válvula K
V
não ser precisamente conhecido não é crítico, uma
vez que o valor estimado Ĥ é pouco sensível a erros neste parâmetro, pois o termo
i
T
tΔ
é sempre maior que 3, e a estimação só é feita se ∆t ≥ 3T
i
.
Para estimar a histerese é necessário detectar os instantes em que a saída da
válvula cruza a referência, ou seja, os instantes em que o erro muda de sinal. Para
isso é importante filtrar a saída para que não ocorram detecções errôneas devido à
presença de ruídos.
Mudanças bruscas de referência e distúrbios podem afetar a estimação da histerese.
Dessa forma, é importante garantir que o comportamento do sinal seja semelhante
ao descrito na Figura 26. Para verificar essa semelhança, a estimação só é feita
quando e
max
<2∆y, onde e
max
é o maior valor absoluto do erro no intervalo de t
i
a t
i+1
.
O algoritmo utilizado para essa estimação se encontra no anexo B.
Esse algoritmo assume valores constantes da referência r para o cálculo de ∆y
(Figura 26).
49
4.2.2 Método 2 para Estimação de Histerese
As válvulas de controle operam freqüentemente como malhas escravas em cascata
com outras malhas, como mostrado na Figura 27. Neste caso, a referência para a
válvula não é constante com a presença de histerese na válvula.
Figura 27 - Válvula em uma malha de controle
Para estimar a histerese da válvula neste caso é necessário adaptar o método
apresentado. Caso se aplique o método proposto por (Hägglund, 2007) ao sinal de
referência r e a saída do processo y
2
, utilizando os parâmetros do controlador C2 da
malha externa, estaremos estimando a histerese do processo mais a válvula e não
especificamente a histerese da válvula.
Na Figura 28 são mostrados os sinais para um processo cuja função de
transferência é da forma
1
)(
+
=
s
K
sP
P
P
τ
(34)
e um controlador PI da forma
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
∫
dtte
T
teKtu
i
C
)(
1
)()(
2
22
. (35)
O sinal de controle u
2
é a referência da válvula e a saída y
1
é a posição da haste da
válvula. Os instantes em que a saída cruza a referência, t
i
e t
i+1
, estão destacados no
gráfico da figura 28 a). O sinal de controle varia ∆u para a válvula se deslocar ∆y, no
intervalo de tempo ∆t, conforme destaque na Figura 28 b).
50
Figura 28 – a) Referência u
2
e posição da válvula y
1
b) Sinal de controle aplicado a válvula u
1
em um
processo de primeira ordem
No método descrito anteriormente, o valor de ∆y é calculado aproximando a integral
do erro por um retângulo (equação (28)). Nesta situação a integral do erro, que é
numericamente igual à área destacada no gráfico da Figura 28 a), pode ser
aproximada a um paralelogramo. Podemos relacionar a área do paralelogramo com
∆t e ∆y:
2
.
1
t
ydteárea
ti
ti
Δ
Δ≈=
∫
+
, (36)
Onde
yΔ
é a altura e
2
tΔ
é a base do paralelogramo.
Portanto,
t
dte
y
ti
ti
Δ
≈Δ
∫
+1
*2
. (37)
51
Desta forma (29) é reescrita como:
2
ty
T
K
u
i
C
ΔΔ
=Δ
. (38)
Substituindo (30) e (38) em (31), a estimação de histerese para um processo com
referência variável é:
y
KT
tK
uH
Vi
C
V
Δ−
Δ
=Δ−Δ= *)
1
2
(
ˆ
. (39)
Podemos reescrever (39) como:
y
KKT
t
KH
CVi
C
Δ−
Δ
= *)
1
2
(
ˆ
(40)
O valor de Δu
v
, utilizado na equação (30), será uma aproximação razoável, pois
utilizando os instantes t
i
e t
i+1
, não estamos usando os valores da posição da válvula
em regime, mas sim da dinâmica do processo. Entretanto se forem mantidas as
mesmas condições, intervalo de tempo (∆t >3T
i
) , a influência do ganho K
V
na
estimação da histerese será pequeno. Isto porque
i
T
t
Δ
, da equação (40) será
sempre maior que 3 e o termo
VC
KK1 será pequeno, pois para controladores bem
sintonizados onde o atraso não é dominante, o termo
VC
KK é bem maior do que 0.5
( Åström, Hägglund, 2005) .
Observa-se que o caso da referência da válvula r não ser constante permite a
estimação da histerese com uma modificação no cálculo de ∆y, a variação da saída
da válvula. Nos dois casos o valor de ∆y é calculado no momento em que ocorre
uma inversão do sinal de erro, que é oscilatório devido à histerese.
4.2.3 Método 3 para Estimação de Histerese
Outra variação desta metodologia é agora apresentada para o caso do sinal de
controle u
1
da válvula estar disponível. Essa situação é particularmente interessante
quando não atendida a suposição de que variações em ∆u sejam derivadas
principalmente pela parte integral do controlador.
Estando disponível o sinal de controle u aplicado à válvula, pode-se estimar a
histerese utilizando o valor de ∆u medido e não o estimado. Na Figura 27, a saída u
1
do controlador C1 é o sinal de controle aplicado à válvula.
52
Na Figura 29 é ilustrado o sinal de controle aplicado à válvula e sua posição. Neste
gráfico estão destacados dois instantes de tempo, t
i
e t
i+1
: t
i
é o instante em que o
sinal de controle inverte de sentido, enviando um comando para a válvula fazer uma
reversão; t
i+1
é o instante em que a válvula muda de sentido, após o comando de
reversão. A válvula demora um intervalo de tempo ∆t = t
i
– t
i+1
para inverter a
direção. É necessário que o sinal de controle sofra uma variação de ∆u = u
1
(t
i+1
) –
u
1
(t
i
) para que a válvula inverta seu sentido. Essa ação de controle tem que ser
suficiente para alterar a posição da válvula de y
1
(t
i
) para y
1
(t
i+1
), além de vencer a
banda morta ocasionada pela histerese.
Assim a estimação de histerese descrita pela equação (31) pode ser reescrita como:
V
ii
iiV
K
tyty
tutuuuH
))()((
))()((
ˆ
111
111
−
−−=Δ−Δ=
+
+
. (41)
Figura 29 – Sinal de controle e posição da válvula em um processo de primeira ordem
Utilizando (41) para estimar a histerese da válvula, é necessário armazenar o valor
do sinal de controle u
1
e da posição y da válvula, além dos instantes nos quais o
sinal de controle e a posição da válvula invertem o sentido. Para detectar esses
instantes é analisada a derivada dos sinais. Havendo ruídos na medição da posição
da válvula e no sinal de controle, podem ocorrer detecções errôneas destes
53
instantes. Dessa forma é necessário que esses sinais sejam filtrados. O algoritmo
para esse método de estimação está no anexo C.
A substituição do valor estimado de ∆u por seu valor medido reduz o erro na
estimativa da histerese.
Em todos os casos o valor de ∆u
V
pressupõe valores de regime para ∆y, o que
implica que a posição da válvula entre em regime no intervalo do período de
oscilação.
A disponibilidade de K
V
também é condição necessária. Como discutido, seu efeito
sobre a estimativa da histerese não é significativo.
Nas aplicações práticas realizadas nesta dissertação, o valor de K
V
foi obtido a partir
dos valores médios de ∆y e ∆u em um intervalo de tempo no qual a saída da válvula
oscilou devido à histerese. Assim
u
pos
K
V
=
(42)
onde,
pos
– valor médio da posição em um intervalo de tempo
u
– valor médio do sinal u
1
de controle em um intervalo de tempo.
Na tabela 6 é feita uma comparação entre os três métodos para estimar a histerese.
Observa-se que a equação (31) é a base para a estimação, havendo diferença na
forma como são calculados ∆u e ∆y.
Os três métodos aplicam-se a situações nos quais os sinais e parâmetros descritos
na tabela 6 estejam disponíveis. Para os métodos 1 e 2 supõe-se que o efeito da
parte integral do controlador C1 seja bem maior que a parte proporcional, o que não
é exigido para o método 3.
Em todos os métodos assume-se que a posição da válvula entre em regime durante
o intervalo de tempo correspondente a um período de oscilação, para que a
estimativa de ∆u
V
seja correta.
Todos os métodos requerem a detecção de instantes nos quais ocorre a reversão de
sinais, sendo portanto sensíveis a ruídos, que devem ser filtrados.
54
Tabela 6 – Alternativas para estimar a histerese
Método 1 Método 2 Método 3
Referência
da válvula
Constante Variável Variável
Variáveis
necessárias
Referênciadaválvular
Saídadaválvulay
Referênciadaválvulau
2
Saídadaválvulay
1
Sinaldecontroleaplicado
àválvulau
1
Saídadaválvulay
1
Parâmetros
necessários
Ganhosdocontroladorda
válvulaK
C
eT
i
GanhodaválvulaK
V
Ganhosdoposicionador
K
C
eT
i
GanhodaválvulaK
V
GanhodaválvulaK
V
Detecção de
t
i
e t
i+1
Quandooerromuda
desinal(e=r–y)
Quandooerromuda
desinal(e=r–y)
t
i
–inversãodeu
t
i+1
–inversãodey
∆y
t
dte
y
ti
ti
Δ
=Δ
∫
+1
t
dte
y
ti
ti
Δ
=Δ
∫
+1
*2
)()(
1 ii
tyty −
+
∆u
ty
T
K
u
i
C
ΔΔ=Δ
2
ty
T
K
u
i
C
ΔΔ
=Δ
)()(
1 ii
tutuu −=Δ
+
Ĥ
y
KKT
t
KH
VCi
C
Δ−
Δ
= )
1
(
ˆ
y
KKT
t
KH
VCi
C
Δ−
Δ
= )
1
2
(
ˆ
V
K
y
uH
Δ
−Δ=
)
4.3 SIMULAÇÕES DE ESTIMAÇÃO HISTERESE ON-LINE
Nesta seção os três métodos para estimação de histerese são aplicados para
situações típicas de válvula de controle atuando em processos, sendo usado para
isso o modelo computacional da válvula com histerese.
O diagrama de blocos apresentado na Figura 30 ilustra uma válvula de controle com
posicionador e na tabela 7 são listados os parâmetros utilizados na simulação.
Figura 30 – Válvula de controle com posicionador
55
Tabela 7 – Parâmetros de simulação da válvula com posicionador
Parâmetro Descrição Valor
V
τ
Constante de tempo da válvula 1 s
K
V
Ganho estático da válvula 1
S Atrito Estático 0
H Histerese 2%
K
C
Ganho proporcional do controlador 2
T
i
Tempo integral do controlador 1 s
Na Figura 31 pode-se observar o efeito da histerese, que se manifesta devido à
existência de ruído branco cuja amplitude máxima varia em 1% na posição da
válvula. A histerese da válvula pode ser estimada utilizando o Método 1 (seção
4.2.1).
Figura 31 – Sinais da válvula com 2% de histerese e 1% de ruído na saída
Ampliando a Figura 31, observamos que nos instantes t
i
= 40.9s e t
i+1
=50.6s a
posição da válvula cruza a referência.
Figura 32 – Ampliação da Figura 24 em torno do instante 44 segundos
Utilizando as equações (28) e (33) pode-se estimar a histerese presente na válvula,
1076.07.9/043.1/
1
==Δ≈Δ
∫
+
tdtey
ti
ti
(43)
56
%97.11076.0*)
1*2
1
1
7.9
(*2)
1
(
ˆ
=−=Δ−
Δ
= y
KKT
t
KH
VCi
C
. (44)
Observe que as restrições do método foram satisfeitas, ou seja, ∆t=9.7>3T
i
e e
max
=0.11<2*∆y.
Esta estimativa deve ser calculada repetidas vezes para diferentes instantes, de
modo a verificar a repetibilidade da estimativa.
Na tabela 8 são relacionados os valores de histerese estimados através da mesma
válvula com diferentes valores de histerese e atrito estático. Na primeira coluna são
listados os valores de histerese e atrito estático da válvula simulada, na segunda
coluna o valor médio da histerese Ĥ, desvio padrão σ e número de amostras
analisadas N (H
EST
± σ, N).
O número de amostras N é a quantidade de valores válidos de histerese estimada
ao longo do tempo, ou seja, os valores que satisfazem as restrições do método,
discutido na seção 4.2. A presença de atrito estático e ruídos dificultam a estimação,
reduzindo o número de amostras para o cálculo do valor médio da histerese. Os
valores estimados na tabela 8 foram calculados para um mesmo intervalo de tempo,
4000 segundos.
Tabela 8 – Estimação de histerese: Método 1
Válvula Simulada
Histerese estimada (%)
H (%) S (%)
1 0
Ĥ= 0.834 ± 0.27, N= 193
2 0
Ĥ= 0.786 ± 0.32, N= 219
2 0.5
Ĥ= 1.978 ± 0.34, N= 87
3 0
Ĥ= 2.680 ± 0.42, N= 198
3 1
Ĥ= 3.030 ± 0.80, N= 65
5 0
Ĥ= 4.260 ± 0.99, N= 198
Observa-se que a estimação da histerese sofre a influência do atrito estático. Com
base nas simulações acima podemos verificar que o erro de estimação da histerese
é menor a 16,7%, calculado a partir do valor estimado médio e o valor real da
histerese.
57
São realizadas agora simulações com a válvula operando em um processo de
primeira ordem, Figura 33, cujos parâmetros estão listados na tabela 9.
Figura 33 – Válvula de controle em um processo de primeira ordem
A histerese presente na válvula de controle faz com que surjam oscilações na saída
y
2
do processo. Nesse caso, a referência da válvula de controle é um sinal variável
proveniente do controlador C2 do processo P. Para se estimar a histerese desta
válvula utilizaremos o método 2 descrito no seção 4.2.
Tabela 9 – Parâmetros de simulação da válvula em um processo de primeira ordem
Parâmetro Descrição Valor
V
τ
Constante de tempo da válvula 1 s
K
V
Ganho estático da válvula 1
P
τ
Constante de tempo do processo 5 s
K
P
Ganho estático do processo 1
S Atrito Estático 0
H Histerese 2%
K
C1
Ganho proporcional do controlador C1 2
T
i1
Tempo integral do controlador C1 1 s
K
C2
Ganho proporcional do controlador C2 3
T
i2
Tempo integral do controlador C2 2.85 s
Na Figura 34 a) são apresentados os sinais de controle u
2
( referência da válvula)
,
saída da válvula y
1
, e na 34 b) a referência r e a saída y
2
do processo. Na Figura
35, ampliação da Figura 34 a) em torno do instante 142s, são destacados os
instantes em que a posição da válvula é igual à referência: t
i
= 139.2s e t
i+1
= 143.8s,
assim ∆t = 4.6s.
58
Figura 34 - a) Referência e posição da válvula b) Referência e saída do processo para uma válvula
com 2% de histerese
Figura 35 – Ampliação da Figura 27 em torno do instante 142s
As equações (37) e (40) permitem estimar a histerese existente na válvula de
controle:
471.0
6.4
084.1*2
*2
1
==
Δ
≈Δ
∫
+
t
dte
y
ti
ti
(45)
%69.1471.0*)
1*2
1
1*2
6.4
(*2*)
1
2
(
ˆ
=−=Δ−
Δ
= y
KKT
t
KH
VCi
C
. (46)
59
Observe que as restrições do método de estimação foram satisfeitas: ∆t=4.6 > 3T
i
e
e
max
= 0.46 < 2*∆y.
Na tabela 10 são listados os valores de histerese estimados através da simulação
usando os parâmetros da tabela 9, para diferentes valores de histerese e atrito
estático. De acordo com os valores da tabela 10, o maior erro de estimação foi de
14,1%.
Tabela 10 – Estimação de histerese: Método 2
Válvula Simulada
Histerese estimada (%)
H (%) S (%)
1 0
Ĥ= 0.871 ± 0.13, N= 862
2 0
Ĥ= 1.718 ± 0.15, N= 806
2 0.5
Ĥ= 2.050 ± 0.29, N= 351
3 0
Ĥ= 2.790 ± 0.12, N= 824
3 1
Ĥ= 2.660 ± 0.86, N=314
5 0
Ĥ= 4.560 ± 0.21, N= 825
Os valores de histerese estimados na tabela 10 foram calculados para um mesmo
intervalo de tempo, 4000 segundos.
Se o processo representado pelo diagrama de blocos da Figura 33 disponibilizar o
valor do sinal de controle u
1
do posicionador, podemos estimar a histerese presente
na válvula de controle utilizando o método 3, discutido na seção 4.2. Na Figura 36
são ilustrados os sinais de controle u
1
e da saída da válvula y
1
, para o mesmo
processo da tabela 9.
Ampliando a Figura 36 em torno do instante 68s, podemos identificar os instantes
em que o sinal de controle inverte de sentido (t
i
= 66.4s) e o instante imediatamente
posterior que a válvula inverte o sentido (t
i+1
= 70 s), destacados no gráfico.
60
Figura 36 – Sinais de controle e posição da válvula com 2% de histerese em uma malha de controle
Figura 37 - Ampliação da Figura 29 em torno do instante 68s
Para estimar a histerese existente na válvula de controle, sendo disponível o sinal de
controle e a posição da válvula, conforme discutido no item 4.2, utiliza-se a equação
(41).
%87.1
1
26.0
13.2
1
))4.66()70((
))4.66()70((
ˆ
11
11
=−=
−
−−=
yy
uuH
(47)
Na tabela 11 são relacionados os valores de histerese estimados através de
simulação da válvula com diferentes valores de histerese e atrito estático, utilizando
apenas o sinal de controle u
1
e a saída y
1
da válvula para a estimação. O intervalo
utilizado para as estimações foi igual a 4000 s. Observa-se que o erro máximo de
estimação foi de 5,3%, de acordo com os valores da tabela 11.
Na tabela 12 são comparados os valores estimados de histerese pelos 3 métodos.
Observa-se que o método três fornece o menor desvio padrão, visto que utiliza o
valor de ∆y medido e não estimado, reduzindo o erro da estimativa. Entretanto, por
utilizar o valor medido de ∆y, este método é o mais influenciado pela presença do
atrito estático.
61
Tabela 11 – Estimação de histerese: Método 3
Válvula Simulada
Histerese estimada (%)
H (%) S (%)
1 0
Ĥ= 0.954 ± 0.01, N= 750
2 0
Ĥ= 1.916 ± 0.04, N= 710
2 0.5
Ĥ= 2.420 ± 0.25, N= 380
3 0
Ĥ= 2.840 ± 0.09, N= 655
3 1
Ĥ= 3.860 ± 0.68, N= 280
5 0
Ĥ= 4.780 ± 0.14, N= 450
Tabela 12 – Comparação entre os métodos de estimação de histerese
Válvula
Histerese Estimada (%)
H (%)
S(%)
Método 1 Método 2 Método 3
1 0
Ĥ= 0.83 ± 0.27
N=193
Ĥ= 0.87 ± 0.13
N= 862
Ĥ=0.95 ± 0.01
N=750
2 0
Ĥ= 1.78 ± 0.32
N=219
Ĥ= 1.71 ± 0.15
N= 806
Ĥ=1.91 ± 0.04
N=710
2 0.5
Ĥ= 1.97 ± 0.34
N=87
Ĥ= 2.05 ± 0.29
N= 351
Ĥ= 2.42 ± 0.25
N= 380
3 0
Ĥ= 2.68 ± 0.42
N=198
Ĥ= 2.79 ± 0.12
N= 824
Ĥ= 2.84 ± 0.09
N= 655
3 1
Ĥ= 3.03 ± 0.8
N=65
Ĥ= 2.66 ± 0.86
N=314
Ĥ= 3.86 ± 0.68
N= 280
5 0
Ĥ= 4.26 ± 0.99
N=198
Ĥ= 4.56 ± 0.21
N= 825
Ĥ= 4.78 ± 0.14
N= 450
62
4.4 COMPENSAÇÃO DE HISTERESE
Ao identificar degradações em uma válvula de controle, a melhor ação é substituir ou
reparar a válvula, de forma que ela não deteriore a malha de controle. Entretanto,
substituir ou reparar uma válvula significa que a produção será interrompida, uma
ação que deve ser programada para reduzir seu impacto sobre a produção. Por essa
razão é de grande interesse que as válvulas operem mesmo com valores
consideráveis de histerese.
Uma válvula de controle normalmente não se moverá quando o sinal de controle for
constante, a não ser que o posicionador seja instável. Dessa forma, uma maneira
óbvia de compensar a histerese é fazer com que o sinal de controle seja
incrementado, de modo a vencer a banda morta, toda vez que a ação de controle for
invertida. Usaremos para isto uma compensação feedforward (Hägglund, 2007) da
forma
FFFB
uuu +=
(48)
onde:
u
FB
– sinal de controle de realimentação, gerado pelo controlador PID
u
FF
– sinal de controle para compensação da histerese.
A compensação ideal da histerese é dada por:
)(
2 dt
du
sign
H
u
FF
=
(49)
Para utilizar essa compensação na presença de ruído, é necessário filtrar o sinal de
controle,
)(
2 dt
du
signu
F
FF
δ
=
(50)
onde u
F
é o sinal de controle filtrado.
A saída do processo pode ser filtrada através de um filtro passa-baixa de segunda
ordem
)(
)1(
1
)(
2
sY
sT
sY
F
F
+
=
(51)
Onde Y e Y
F
são a transformada de Laplace da saída do processo e da saída filtrada
do processo, respectivamente. Um filtro de segunda ordem é usado para garantir a
retirada dos sinais de alta freqüência no controlador, e a constante de tempo T
F
do
63
filtro é T
D
/5, para um controlador PID e T
i
/10, para um controlador PI (Åström,
Hägglund, 2005).
A presença do filtro irá introduzir um atraso na detecção da mudança do sinal de
controle, assim a variação da ação de controle por causa da histerese já terá
iniciado, antes de detectar o cruzamento com a referência. Para compensar esse
atraso, utiliza-se um ganho do compensador δ ≤ H. Outra possibilidade na
compensação é a utilização do sinal de erro, conforme a equação (52). Entretanto,
caso o processo apresente um atraso, haverá uma diferença de tempo entre a
mudança da direção do sinal de controle e do sinal de erro, fazendo com que o
ganho do compensador deva ser menor que a histerese existente no processo.
)(
2
esign
d
u
FF
=
(52)
4.5 SIMULAÇÕES DA COMPENSAÇÃO DE HISTERESE
O compensador descrito pela equação (50) é programado de acordo com o
diagrama de blocos da Figura 38. O termo
)(
dt
du
sign
tem a finalidade de determinar o
sentido do sinal de controle. De forma a simplificar o procedimento, a derivada de u
foi substituída pela diferença entre o valor de u
FB
(t) e u
FB
(t-d), onde d é o parâmetro
do bloco atraso.
O valo do atraso d influência na detecção do instante em que ocorre a inversão de
sentido do sinal de controle. Valores pequenos de d tornam a detecção da inversão
mais rápida, entretanto fica sensível a ruídos, ocasionando compensações em
instantes inadequados. Valores grandes de d atrasam a compensação, prejudicando
seu funcionamento.
Figura 38 – Bloco compensador
64
A malha de controle da Figura 27 com compensação da histerese é ilustrada na
Figura 39. Utilizando d=0.15s (estimado por tentativa e erro), δ= 1.916 (Ĥ estimado
pelo método 3, tabela 11) e os valores da tabela 10 para a simulação da
compensação de histerese, obtêm-se os resultados apresentados na Figura 40.
Figura 39 – Válvula em uma malha de controle com compensação de histerese
Figura 40 – a) Referência e posição da válvula b) Referência e saída do processo para uma válvula
com compensação
A compensação da histerese é feita através da adição (ou subtração) do ganho δ/2
ao sinal de controle, cuja finalidade é vencer a banda morta existente na válvula.
Esse ganho é adicionado ou subtraído de acordo com a direção do sinal de controle,
conforme ilustrado na Figura 41. Observe que a soma ou a subtração do ganho δ/2
65
faz com que a válvula responda de imediato ao sinal de controle, reduzindo
consideravelmente as variações da posição da válvula.
Figura 41 – Sinais de controle da válvula com compensação de histerese
A pequena variação da saída y
1
da válvula ocorre porque o ganho do compensador
é menor que a histerese existente na válvula. Caso o valor da histerese estimada
seja igual ao valor da histerese da válvula, a compensação será exata, conforme
ilustrado na Figura 42. Neste caso não haverá variação na posição da válvula, pois o
ganho, somado ou subtraído, δ/2 é igual à histerese, e conseqüentemente variação
na saída do processo será eliminada. Obviamente, isto é uma idealização.
Figura 42 – Compensação ideal de histerese Ĥ=δ
Para avaliar a compensação da histerese são utilizados três índices: amplitude
média de y
2
, o valor da IAE (Integral do erro absoluto) de y
2
e o número de
reversões da válvula. A amplitude das oscilações e o valor da IAE da saída do
processo são índices típicos para indicar o quanto a ação de controle é deteriorada
pela presença da histerese na válvula. Outro índice importante é o número de
reversões de sentido da válvula de controle, pois está diretamente ligado com seu
desgaste e vida útil.
66
Na tabela 13 são listados os valores de amplitude média da oscilação em y
2
, o valor
da IAE de y
2
e número de reversões da válvula, para o sistema sem compensação e
com compensação de histerese, utilizando os valores estimados de histerese pelo
método 3, para o mesmo intervalo de tempo de 120 a 200 s.
Nas simulações realizadas, só foram considerados como inversão de sentido da
válvula as variações de posição maiores que 0,1%. Portanto as linhas da tabela com
reversão 0 significa que a variação de posição foi inferior a 0,1%.
Os dados foram simulados com precisão de 10
-3
, portanto os itens de variação de
amplitude e IAE com valores zero indicam que o resultado era menor que 0,001.
Tabela 13 – Comportamento da válvula no processo com e sem compensação da histerese
Válvula Simulada
Índices de
comparação
Sem
compensação
Compensado
Ĥ – Método 3
H (%) S (%)
1 0
Amplitude (%)
0,045 0,0023
IAE
2,02 0,121
N° reversões
17 0
2 0
Amplitude (%)
0,09 0,004
IAE
4,32 0,188
N° reversões
17 0
2 0.5
Amplitude (%)
0,08 0
IAE
3,624 0,002
N° reversões
42 0
3 0
Amplitude (%)
0,14 0,009
IAE
6,45 0,42
N° reversões
17 0
3 1
Amplitude (%)
0,15 0,005
IAE
5,98 0,45
N° reversões
44 4
5 0
Amplitude (%)
0,23 0,011
IAE
10.84 0,651
N° reversões
17 0
67
5 APLICAÇÃO EM UMA VÁLVULA REAL
Os métodos de detecção off-line das degradações presentes na válvula de controle:
atrito estático e histerese, estimação e compensação on-line de histerese foram
aplicados a uma válvula de controle eletropneumática atuando em um processo.
5.1 DESCRIÇÃO DO PROCESSO
O processo utilizado para os testes é mostrado na Figura 43. A válvula de controle é
do tipo rotativa, classe de pressão 150 lbs, corpo de 1”, CV = 24, tipo segmento de
esfera, cujo atuador é do tipo pistão com suprimento de ar no máximo de 150 lbs e
ação APA ( ar para abrir), Figura 44. A válvula foi instrumentada com um conversor
de sinal I/P, um sensor de pressão e um sensor de posição.
Figura 43 – Sistema real utilizado para os testes
68
Figura 44 – Válvula de controle pneumática rotativa
O conversor I/P (corrente para pressão) possui entrada 4 a 20 mA e saída 0 – 1,5
bar, Figura 45.
Figura 45 - Conversor I/P
69
O transmissor de pressão (PT) é do tipo célula extensiométrica, cuja entrada é de 0
a 10 bar e a saída de 0 a 20mA / 0 a 10Vcc, Figura 46.
Figura 46 - Sensor de pressão
O sensor de posição (ZT) é um potenciômetro linear instalado junto à haste da
válvula, que através de sistemas de engrenagem varia a resistência elétrica e
conseqüentemente a tensão, fornecendo um valor de tensão proporcional à posição
da haste, Figura 47. O processo de primeira ordem é emulado através de um circuito
RC, R = 120KΩ e C=22μF, sendo a saída a tensão no capacitor E
C
.
Figura 47 – Potenciômetro: sensor de posição
70
Para a programação dos controladores C1, C2 e do compensador C3, foi utilizado
um Controlador Lógico Programável (CLP) da Matsushita modelo FP0-C32, Figura
48, com dois cartões analógicos FP0-A21, sendo que cada cartão possui duas
entradas e uma saída analógica, cuja faixa é de 0 a 5V com resolução de 12 bits.
No CLP foram programados dois controladores PI’s em cascata: C1 e C2. O
controlador C1 (malha interna) é o posicionador da válvula e o controlador C2 é
usado para o controle da malha externa da variável do processo (tensão no
capacitor). A malha interna foi sintonizada utilizando o método de Cohen-Coon e foi
feita uma re-sintonia manual para melhorar seu desempenho e a malha externa foi
sintonizada empiricamente. A programação dos controladores PI foi feita para o
mínimo tempo de amostragem possível (10ms).
O bloco de compensação C3, Figura 38, foi programado no CLP utilizando a função
tangente para a aproximação da derivada do sinal de controle u
1
.
Figura 48 - CLP: programação dos controladores PI´s
O mesmo sistema da Figura 43, é apresentado através de diagramas de bloco na
Figura 49.
71
Figura 49 – Diagrama de blocos do sistema real
Os dados foram coletados via sistema supervisório e processados no software
Matlab®. A Figura 50 apresenta a foto do sistema real, destacando cada um dos
componentes utilizados nos testes.
Figura 50 – Foto do sistema real
72
5.2 OBTENÇÃO DAS DEGRADAÇÕES VIA MÉTODO OFF-LINE
Com a válvula fora do processo, foram feitos testes para identificar a histerese e o
atrito estático.
Os sinais apresentados na Figura 51, conforme explicação da seção 3.3, permitem
quantificar a histerese presente na válvula de controle. Para a válvula em estudo, a
medida off-line da histerese é 35%. Esse valor grande de histerese presente na
válvula é ocasionado pela presença do atuador cilindro e pela faixa de trabalho da
pressão aplicada à válvula. A variação nominal de pressão da válvula é de 0 a 150
psi, entretanto nos testes a faixa utilizada foi de 0 a 23 psi, dessa forma o valor de
8,05 psi (35%) de histerese torna-se aceitável se comparado a faixa de pressão
nominal (5,33%).
Figura 51 – Sinal de pressão e posição da válvula real
Para verificar o valor do atrito estático utilizou-se uma seqüência de degraus de
pressão de amplitude 0,1psi. O valor necessário de pressão para iniciar o movimento
da válvula é o valor do atrito estático, conforme destacado na Figura 52.
73
Figura 52 – Sinal de pressão e posição para identificar o atrito estático da válvula
Portanto, a válvula utilizada nos testes apresentou uma histerese de 35% e um valor
médio de atrito estático de 0.2 psi. Sabendo que a faixa de pressão de operação da
válvula é de 23 psi, o valor do atrito estático presente na válvula é de 0.87%.
5.3 ESTIMAÇÃO ON-LINE E COMPENSAÇÃO DA HISTERESE
Os dados monitorados pelo sistema supervisório são: saída y
2
do processo (tensão
no capacitor), a posição y
1
da válvula, a pressão u
1
aplicada à válvula, a referência r
do processo, conforme ilustrado na Figura 49. Para facilitar as análises, esses
dados são normalizados na faixa de 0 a 100%. A referência r e saída y
2
do processo
variam na faixa de 0 a 4000, a posição y
1
da válvula varia de 0 a 4000, entretanto há
um off-set de 62 na medida do sensor e o sinal de pressão u
1
varia de 0 a 1020.
Na tabela 14 são listados os parâmetros dos controladores PI da malha externa (C2)
e da malha interna (C1), o ganho do processo (circuito RC) e a constante de tempo
da válvula. A constante de tempo
V
τ
foi obtida através da resposta ao degrau da
válvula real.
74
Tabela 14 – Parâmetros do sistema real
Parâmetro Descrição Valor
V
τ
Constante de tempo da válvula 0,6 s
KP Ganho estático do processo 1
KC1 Ganho proporcional do controlador C1 3,3
Ti1 Tempo integral do controlador C1 0,4s
KC2 Ganho proporcional do controlador C2 1
Ti2 Tempo integral do controlador C2 1
A Figura 53 apresenta os dados reais do processo, para uma mudança de referência
de 25% para 50%, representados na tela do sistema supervisório.
Utilizou-se o software MatLab® para normalizar e analisar os dados do intervalo de
11:09:06 h a 11:11:36h, conforme ilustração da Figura 54.
Figura 53 – Sinais do sistema real: mudança de referência de 25% para 50%
75
Figura 54 – Sinais do sistema real: ponto de operação de 25%
Como o valor do sinal de controle aplicado à válvula está disponível, o método 3
será utilizado para estimar a histerese. Para esse método, é necessário conhecer o
sinal u
1
e a saída y
1
e estimar o valor do ganho K
V
da válvula, através da equação
(42).
Para calcular o valor médio de u e y, utilizam-se os dados no intervalo de tempo
onde o ponto de operação é constante e a saída oscila devido à presença da
histerese na válvula. Para o cálculo de K
V
utilizou-se os dados do intervalo de tempo
de 11:09:06 h a 11:11:36h, Figura 54.
25
150
150
1
==
∑
=
=
i
i
i
y
y
(53)
75.47
150
150
1
==
∑
=
=
i
i
i
u
u
(54)
Portanto,
571.0
75.47
25
===
u
y
K
V
. (55)
76
Na ampliação da Figura 54 b) em torno do instante 50 s, Figura 55, são destacados
os instantes em que ocorrem a inversão no sentido do sinal u
1
de controle e da
posição y
1
da válvula: t
i
= 47 s e t
i+1
= 49.9 s. A histerese é estimada através da
equação (36):
%01.29
571.0
67.0
19.30
571.0
))47()9.49((
))47()9.49((
ˆ
=−=
−
−−=
yy
uuH
(56)
Na ampliação da Figura 54 b) em torno do instante 110 s, Figura 56, os instantes em
que ocorrem a inversão no sentido do sinal u
1
de controle e da posição y
1
válvula: t
i
=
109.5 s e t
i+1
= 113.3 s. A histerese é estimada através da equação (41):
%62.3631.194.37
571.0
))5.109()3.113((
))5.109()3.113((
ˆ
=−=
−
−−=
yy
uuH
(57)
Figura 55 - Ampliação da Figura 54 b) em torno do instante 50 s
Figura 56 - Ampliação da Figura 54 b) em torno do instante 110 s
77
Na tabela 15 são relacionados os valores estimados de histerese para a válvula real,
utilizando o método 3, para dois pontos de operação. Na primeira coluna são
listados os pontos de operação, na segunda coluna o valor médio estimado da
histerese Ĥ, desvio padrão σ e número de amostras analisadas N (Ĥ±σ N), na
terceira coluna o intervalo de tempo dos dados analisados. O número N de amostras
é quantidade de valores estimados para a histerese no intervalo de tempo
registrado.
Tabela 15 - Histerese estimada para duas referências
Referência Histerese estimada Intervalo de tempo
r = 25%
Ĥ= 32,67 ±4,89 N= 187
11:07:00 h a 11:13:30h
r = 50 %
Ĥ= 29,33 ± 3,82 N= 169
11:15:25 h a 11:21:55h
Os valores estimados de histerese são próximos do valor da histerese estimada pelo
processo off-line, 35%.
O algoritmo para a compensação da histerese foi programado no CLP, utilizando o
ganho do compensador δ = 32.67%. Os sinais dessa compensação são
apresentados na Figura 57. Visualmente, podemos verificar a redução da amplitude
das oscilações da tensão no capacitor e a redução no número de reversões da
válvula.
Os dados do intervalo de 11:26:40 h a 11:29:10h foram normalizados, conforme
ilustrado da Figura 58. De forma semelhante à seção 4.4, na tabela 16 é
apresentada a comparação da válvula real no processo sem e com compensação
para dois pontos de operação. Os índices analisados são: amplitude e o valor da IAE
do sinal de saída y
2
do processo, que informa a deterioração do controle, e o número
de reversões da válvula, que indica o desgaste da mesma.
78
Figura 57 – Sinais do sistema real com compensação de histerese
Figura 58 – Sinais da válvula real com compensação da histerese para uma referência de 25%
79
Tabela 16 - Comparação entre o processo com a válvula real sem e com compensador
Ponto de
Operação
Índices de
comparação
Sem
compensação
Compensado
δ = 32,67%
Tempo
(s)
r = 25%
Amplitude
1,4% 0,6%
150 s
IAE
153,2 22,65
N° reversões
41 9
r = 50%
Amplitude
1% 0,5%
140 s
IAE
115,67 37,43
N° reversões
35 18
A compensação para o ponto de operação 25% apresentou resultados melhores que
para o ponto de operação 50%, pois o ganho utilizado pelo compensador é igual à
histerese estimada. Já na faixa de operação 50%, foi utilizado um ganho maior que a
histerese estimada, fazendo com que a compensação não seja tão eficaz.
Para a válvula testada, a compensação reduziu em 50 % a variação da amplitude do
processo, além de reduzir consideravelmente o número de reversões da válvula.
Outra observação importante é que o compensador conseguiu melhorar o
desempenho do sistema, mesmo com a válvula tendo um valor altíssimo de
histerese, 35%.
A compensação da histerese deve ser uma operação assistida pelo operador. Uma
vez detectada e quantificada a histerese, o operador é avisado de sua existência e
advertido a autorizar a compensação correspondente. Pode-se então emitir uma
requisição para a manutenção da válvula na próxima parada.
80
6 CONCLUSÃO
Neste trabalho foram apresentados, implementados e analisados métodos para
diagnóstico off-line e on-line da histerese em válvulas de controle pneumáticas. A
histerese foi quantificada e um algoritmo para sua compensação foi utilizado para
reduzir o efeito das oscilações produzidas por estas degradações em processos.
O método proposto por (Hägglund, 2007) e dois métodos aqui propostos foram
aplicados ao problema de estimação de histerese em válvulas em diferentes malhas
de controle, com diferentes requisitos de parâmetros e sinais necessários para a
estimação.
A influência do atrito estático na estimação da histerese foi analisada nas simulações
feitas.
Três critérios de desempenho usais para este problema foram calculados e
demonstraram melhorias após a aplicação da compensação. Estatísticas de primeira
ordem permitiram validar as metodologias.
A maior restrição a aplicação desses métodos é a presença de ruídos, que devem
ser filtrados para que sejam gerados dados válidos para a estimação da histerese.
Uma sugestão de trabalho futuro é analisar a estimação da histerese quando o efeito
do atrito estático for maior que a histerese presente na válvula de controle.
81
7 REFERÊNCIAS
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Instrumentation, System, and Automation Society. Research Triangle Park, NC
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Disponível em <http://www.topcontrol.com/pdf/controlvalveperformance.pdf>.
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83
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oscillation in control loops. Proceedings of 35
th
Conference on Decision and
Control. P. 2432-2437, Kobe, Japan, 1996.
84
8 ANEXO
8.1 ANEXO A: DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO ATRITO ESTÁTICO
Para descrever o atrito estático em válvulas de controle utilizou-se de funções
disponíveis no Simulink/Matlab®. O diagrama de blocos da Figura 52 ilustra como foi
programada essa função. O bloco MATLAB Function executa a função descrita pelo
algoritmo abaixo.
Figura 59 - Bloco de simulação do atrito estático
function y = stiction(u)
% entrada u
% u(1)- movimento anterior (inicializar com 1)
% u(2) - inicio de movimento (inicializar com 0)
% u(3) - referencia de posição (inicializar com 0)
% u(4) - posição anterior (sinal de entrada apos o bloco delay)
% u(5) - posição atual
% u(6) - valor do atrito estático
% u(7) - variável que controla se a válvula parou, mas ainda não superou o
% atrito estático
mov_ant = u(1) ; % subindo ou descendo
i_mov = u(2); %
ref_posicao = u(3);
posicao_ant = u(4);
85
posicao_atual = u(5);
S = u(6);
agar = u(7);
% Detectar se a válvula esta ou em movimento
if abs( posicao_atual - posicao_ant)< 0.02 % próximo de zero
% posição constante - sem movimento
mov_atual =0;
else mov_atual=1; % válvula em movimento
end
% verifica se o movimento de abertura ou fechamento da válvula iniciou
if (mov_ant==0) & (mov_atual==1)
i_mov=1;% inicio de movimento detectado
if agar==0 %% válvula não esta agarrando
ref_posicao = posicao_ant;
end
end
if (mov_ant==0) & (mov_atual==0)
% válvula parou
if i_mov==1
agar=1; % a válvula parou, mas não superou o atrito estático ( esta agarrando)
end
end
if i_mov==0
pos_valvula = posicao_atual; % válvula parada ou válvula em movimento
else % válvula iniciou o movimento
if abs(posicao_atual - ref_posicao) > S;
% a posição superou o atrito estático - inicia movimento em slipjump
pos_valvula = posicao_atual;
i_mov=0;
sim=0;
86
else % não superou o atrito estático
pos_valvula = ref_posicao;
end
end
% saída:
% y(1) - movimento atual
% y(2) - inicio de movimento
% y(3) - referencia de posição
% y(4) - posição da válvula
% y(5) - variável que controla se a válvula parou, mas ainda não superou o atrito
estático.
y(1) = mov_atual; % movimento anterior recebe movimento atual
y(2) = i_mov;
y(3) = ref_posicao;
y(4) = pos_valvula;
y(5)= sim;
end
8.2 ANEXO B: ALGORITMO DE ESTIMAÇÃO DE HISTERESE MÉTODO 1
% Inicializações:
Dt=0; eint=0; emax=0; e(ti-1)=0;
ti=1; % tempo inicial
tf=4001; % tempo final
h=0.1; % Tempo de Amostragem
% parâmetros do controlador
Ti=1; % ganho integral do controlador
Kc=2; % ganho do controlador
%% parâmetros do processo
Kp=1; % ganho da válvula
for t=ti:tf
eold=e(t-1);
87
e(t)=r(t)-pos(t); %% calculo do erro
eint = eint + h*abs(e(t)); %% integral do erro
if abs(e(t))>emax
emax=abs(e(t));
end
Dt= Dt + h;
if e(t)*eold <= 0 %% detecção da mudança de sentido
if Dt>3*Ti
Dy=eint/Dt;
if emax<2*Dy
dhat(t)=(Kc/Ti*Dt - 1/Kp)*Dy;
end
end
Dt=0;eint=0;emax=0;
end
end
8.3 ANEXO C: ALGORITMO DE ESTIMAÇÃO DE HISTERESE MÉTODO 3
%% inicializações
tempo_u=[]; tempo_pos=[]; du=0; dpos=0; dpos_ant=0; tempo=0;
Tinicio=1;
Tfinal=401;
Dt=0.1; % tempo de amostragem
for t=Tinicio:Tfinal
du_ant=du;
%% calculo da derivada - sinal de controle
du =( u(t+1) - u(t) )/Dt;
%% detectar inversão no sinal de controle
if du*du_ant < 0
%% inverteu o sentido controle, registrar o instante ti
tempo_u=[ tempo_u t];
end
end
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n= length(tempo_u);
for t=1:(n-1)
t1=tempo_u(t)+1;
t2=tempo_u(t+1)+1;
for i=t1:t2
%% procurar, no intervalo de tempo em que ocorrem duas mudanças
consecutivas do sinal de controle, uma mudança na posição da válvula
if dpos~=0 %% se a derivada for igual a zero, não atualizar valor
dpos_ant=dpos;
end
%% calculo da derivada - sinal de posição
dpos =( pos(i+1) - pos(i) )/Dt;
if dpos*dpos_ant < 0
%% inverteu a posição da válvula, registrar instante
tempo=i;
tempo_pos=[tempo_pos i];
break
end
end
end
%% Calcular o valor do ganho estatico
u_medio=mean(u(Tinicio:Tfinal));
pos_medio=mean(pos(Tinicio:Tfinal));
Kp = pos_medio/u_medio;
%% Estimar o valor da histerese
n=length(tempo_pos);
for i=1:n
t1=tempo_u(i)+1;
t2=tempo_pos(i)+1;
delta_u=abs (u(t2)-u(t1));
delta_pos=abs (pos(t2)-pos(t1));
u_true=delta_pos/Kp;
h_est(i)=delta_u - u_true;
end
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