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ESTUDO NUMÉRICO DA PROPAGAÇÃO PARA ÁGUAS RASAS DE ONDAS
GERADAS POR EMBARCAÇÕES
Maria Francisca do Nascimento
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO
DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO
DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.
Aprovada por:
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JANEIRO DE 2007
Prof. Claudio Freitas Neves, Ph.D.
Prof. Geraldo de Freitas Maciel, Docteur
Prof. João Alfredo Ferreira dos Santos, Ph.D.
Prof. Paulo Cesar Colonna Rosman, Ph.D.
Prof. Paulo Kroeff Souza, Dr. Ing.
Prof. Geraldo Wilson Júnior, Docteur d’Etat
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ii
NASCIMENTO, MARIA FRANCISA DO
Estudo numérico de propagação para águas
rasas de ondas geradas por embarcações [Rio de
Janeiro] 2007
XIX, 204 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,
Engenharia Oceânica, 2007).
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE
1. Ondas de embarcação 2. Equações de
Boussinesq 3. Propagação em águas rasas
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
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iii
A Fé e a Razão (fides et ratio) constituem como que as duas asas pelas quais o espírito
humano se eleva para a contemplação da verdade.
(João Paulo II,1998)
iv
Esta tese é dedicada à minha família.
v
AGRADECIMENTOS
À Deus, por me chamar à vida.
Aos meus pais e meus irmãos pelo carinho e paciência.
Aos professores Claudio Neves e Geraldo Maciel por toda orientação dada neste
trabalho e também pela confiança depositada na minha capacidade de realizá-lo. Aos
professores Paulo César Rosman, Enise Valentini, Carlos Eduardo Parente, Susana Vinzon, e
demais docentes do Programa de Engenharia Oceânica pela maneira como transmitiram seus
conhecimentos e experiências e também por todo o apoio dado a esta pesquisa. À querida
professora Maria Helena Silveira pela maneira apaixonante com que olha e transmite seus
conhecimentos e seu amor pela educação.
À CAPES pela concessão de bolsa de estudo em nível de doutorado no âmbito do
projeto Amigos de Boussinesq (CAPES/PROCAD 0144/01-0) e ao CNPq no âmbito do
projeto ONDISA 3 pelo financiamento para a realização do experimento em modelo físico.
À Valéria Rego pela ajuda na iniciação nos modelos de Boussinesq de ordem superior e
à Juana Fortes pela paciência em ensinar os primeiros passos do modelo FUNWAVE. À
professora Nara Rossauro e ao professor Paulo Kroeff por toda ajuda dispensada durante
minha permanência em Porto Alegre. Também à Maria Lúcia Mota por toda dedicação e
carinho prestados nesta cidade.
Aos amigos do Programa de Engenharia Oceânica, Sávio Freire Lima, René Sena
Garcia, Daniel Carlos de Menezes, Marcos Gallo, Mariela Gabioux, Maximiliano Strasser,
Rodrigo Campos de Andrade, Renato Feitosa, Marcelo Montenegro Cabral, Valéria Nunes
Oliveira e também demais colegas da pós-graduação por todo apoio, incentivo e amizade. A
Marise Cardoso por seu carinho sem medidas, à Webber Zopellari que enriqueceu meus
conhecimentos sobre os grandes pintores e suas obras, à Glace pela paciência e aos demais
funcionários e amigos da COPPE.
Aos amigos do IPH/UFRGS Pedro, Carol, Josy, Richard e especialmente ao Eduardo
Puhl por toda ajuda, amizade e compreensão à mim dedicados. Ao professor Paulo Kroeff,
aos estagiários Diógenes Machado, Doglas Stoffel e Felipe Ely, ao técnico Humberto Mello e
ao Engenheiro Joares Marcelo Patines por toda ajuda dada na parte experimental, que ainda
continua.
Às amigas Rivadalva, Laura Beatriz e Flávia por serem meu apoio no Rio de Janeiro.
Aos amigos Humberto, Roseli e Bernadete por se fazerem presentes mesmo ausentes e por
todos que de alguma maneira me ajudaram nestes anos de pesquisa. Deus abençoe a todos.
Por fim, aos membros da banca examinadora que bem aceitaram contribuir na discussão
e certamente no enriquecimento deste trabalho.
vi
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a
obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
ESTUDO NUMÉRICO DE PROPAGAÇÃO PARA ÁGUAS RASAS DE ONDAS
GERADAS POR EMBARCAÇÕES
Maria Francisca do Nascimento
Janeiro/2007
Orientadores: Claudio Freitas Neves
Geraldo de Freitas Maciel
Programa: Engenharia Oceânica
Este trabalho analisa aspectos relacionados à propagação para águas rasas de ondas
geradas por embarcações e a transformação dessas junto às margens de rios e canais de
navegação onde fenômenos costeiros tais como, refração, arrebentação e espraiamento,
podem ocorrer. Apresenta-se uma revisão bibliográfica dos métodos empíricos para a
determinação de alturas de onda bem como a metodologia adequada para a medição dessas
em modelos físicos. O uso de modelos numéricos de propagação dessas ondas também é
apresentado e, como proposta de investigação dos fenômenos costeiros sofridos por essas
ondas, é sugerida a modificação do modelo FUNWAVE com a adição de uma função fonte
geradora de ondas de embarcação. O modelo FUNWAVE é um modelo hidrodinâmico de
águas rasas baseado nas equações de Boussinesq totalmente não lineares que leva em conta
fenômenos costeiros de refração, arrebentação e espraiamento. Para que este modelo se torne
apto a reproduzir a propagação de ondas de embarcações e sua ação nas margens uma função
fonte representada por uma perturbação móvel na superfície livre da água foi adicionada a
este. A resposta do modelo FUNWAVE mostrou-se viável para sua utilização na simulação
da propagação de ondas de embarcação e na visualização do padrão bidimensional exibido
por essas ondas.
vii
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for
the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
NUMERICAL STUDY OF SHIP WAVES PROPAGATION IN SHALLOW WATER
Maria Francisca do Nascimento
January/2007
Advisors: Cláudio Freitas Neves
Geraldo de Freitas Maciel
Department: Ocean Engineering
This work analyzes aspects related to ship waves propagation in shallow water and their
transformation near the margins of rivers and waterways, where coastal phenomena such as
refraction, wave breaking and run up, may occur. Empirical models predictions for wave
height as well as the suitable measurement techinique of these ship waves in physical models
are presented. The use of numerical models propagation of these waves also are presented
and, as research proposal of the coastal phenomena suffered by ship waves, is proposed a
modification of the FUNWAVE model with the addition of a source function generating ship
waves. The FUNWAVE model is a hydrodynamic shallow water model based in fully non
linear Boussinesq equations that takes in account coastal phenomena of refraction, wave
breaking and run up. So a function source represented for a moving pressure disturbance was
added to this model and becoming it adjusted to reproduce the ship waves propagation and its
action in the edges. The cases analyzed in FUNWAVE model showed a good answer for
simulation of ship waves propagation and for observing 2D standard shown by these waves.
viii
ÍNDICE
CAPÍTULO
1. INTRODUÇÃO .....................................................................................................................1
2. CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS DE EMBARCAÇÃO.....................................................248H9
2H2.1. Águas profundas............................................................................................................249H9
3H2.2. Águas rasas ..................................................................................................................250H12
4H2.3. Ondas em canais restritos...........................................................................................251H15
5H2.4. Padrões de ondas interagindo com a margem..........................................................252H17
6H3. PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE EMBARCAÇÃO..........................................................253H21
7H3.1. Determinação de alturas de ondas.............................................................................254H21
8H3.1.1. Medições de campo e em modelos físicos.............................................................255H25
9H3.1.2. Métodos empíricos.................................................................................................256H30
10H3.2. Modelos numéricos de propagação............................................................................257H32
11H4. MODELO FUNWAVE PARA ONDAS DE EMBARCAÇÃO..........................................258H37
12H4.1. Implementação da função fonte.................................................................................259H37
13H4.2. Adição nas equações do modelo FUNWAVE ...........................................................260H37
14H4.3. Pressão não linear........................................................................................................261H42
15H4.3.1. A representação da pressão máxima, pa ................................................................262H44
16H4.3.2. O número de Ursell inicial.....................................................................................263H47
17H4.4. Distribuição de pressão a ser utilizada......................................................................264H48
18H4.5. Inclusão no código numérico do modelo FUNWAVE..............................................265H49
19H5. APLICAÇÕES DO MODELO ............................................................................................266H57
20H5.1. Representação dos padrões de onda..........................................................................267H59
21H5.2. Comportamento da onda durante a propagação .....................................................268H61
22H5.3. Arrebentação ...............................................................................................................269H65
23H5.4. Ondas em canal restrito..............................................................................................270H67
24H5.5. Comparação entre fontes............................................................................................271H68
25H6. RESULTADOS E DISCUSSÕES .......................................................................................272H69
26H6.1. Representação dos padrões de onda..........................................................................273H70
27H6.2. Refração .......................................................................................................................274H77
28H6.3. Arrebentação ...............................................................................................................275H88
29H6.4. Ondas em canal restrito..............................................................................................276H91
30H6.5. Comparação entre fontes............................................................................................277H94
31H6.6. Tempo de simulação....................................................................................................278H96
32H6.7. Métodos empíricos.......................................................................................................279H97
ix
6.8. Modelos físicos.............................................................................................................97
7. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES............................................................................ 99
ANEXO A - EQUAÇÕES DE BOUSSINESQ E O MODELO FUNWAVE....................... 104
ANEXO B - COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES DE PRESSÃO .................................118
ANEXO C - MÉTODO DE CÁLCULO DOS AGENTES HIDRÁULICOS INDUZIDOS
POR UMA EMBARCAÇÃO EM CANAIS RESTRITOS ................................................... 124
ANEXO D - RESULTADOS DAS VELOCIDADES PARA O PROBLEMA DE
REFRAÇÃO...........................................................................................................................128
ANEXO E - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL............................................................ 182
ANEXO F -
ROTEIRO PARA EXECUTAR O MODELO FUNWAVE MODIFICADO ..192
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................................198
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Hidrovia Tiête-Paraná. Em destaque no quadro o reservatório de Ilha Solteira. .......2
Figura 2: Erosão das margens no Reservatório de Ilha Solteira: (a) Farol de São Martinho;....2
Figura 3: Erosão nas margens do rio Paraguai na Hidrovia do Pantanal...................................3
Figura 4: (a) e (b) – Erosão nas margens do rio São Lourenço, Canadá....................................3
Figura 5: a) Ondas geradas por um pato; b) Ondas geradas por tipos diferentes de
embarcações...............................................................................................................................9
Figura 6: Padrão Kelvin de ondas de embarcação em águas profundas. .................................10
Figura 7: Coordenadas das ondas de embarcação em águas profundas pela teoria de Kelvin.11
Figura 8: Diferentes padrões de ondas de embarcação em águas rasas...................................14
Figura 9: Padrões de ondas de embarcação geradas em águas rasas, resultados de Havelock
(1908).......................................................................................................................................
14
Figura 10: Esquema ilustrativo dos ângulos da envoltória (τ) e da propagação (θ) em relação à
F
h
no padrão de ondas em águas rasas.....................................................................................15
Figura 11: Variação dos ângulos da envoltória e da propagação em relação à F
h.
..................15
Figura 12: Componentes da perturbação da água induzida por uma embarcação...................17
Figura 13: Perfil da superfície da água durante o deslocamento da embarcação.....................17
Figura 14: Casos de reflexão de ondas de embarcação............................................................18
Figura 15: Registros de Johnson (1968) para onda de embarcação.........................................19
Figura 16: Ondas geradas por um comboio de chatas arrebentando nas margens...................19
Figura 17: Ondas de embarcação provocando espraiamento nas margens..............................20
Figura 18: Onda de embarcação tipo ressalto móvel ...............................................................20
Figura 19: Distância s do eixo central da embarcação até o ponto onde as ondas são medidas.
..................................................................................................................................................21
Figura 20: Características de uma embarcação. Adaptado de PIANC (1987)......................... 21
Figura 21: Procedimento experimental de Sorensen (1967)....................................................25
Figura 22: Procedimento experimental do MCA, 2003...........................................................27
Figura 23: Par de fotografias obtidas por Zeller (1952) em um canal de ondas......................28
Figura 24: Reconstituição das ondas por meio de estereoscopia.............................................28
Figura 25: Procedimento experimental para obtenção de fotografias terrestres para
reconstituição de ondas de embarcação por meio da estereoscopia.........................................
29
Figura 26: Reconstituição da onda de embarcação por meio de estereoscopia .......................29
Figura 27: Representação da pressão móvel como geradora de ondas de embarcação. ..........39
Figura 28: padrões de ondas geradas por interação sólido-líquido..........................................44
Figura 29: a) Fases da dinâmica do bloco deslizante (Nascimento, 2001); b) Fases da
dinâmica do material granular (Fritz et al, 2004).....................................................................
46
Figura 30: Algoritmo de cálculo do modelo FUNWAVE .......................................................55
Figura 31: Representação do deslocamento da pressão (embarcação) ....................................56
Figura 32: Geometria dos canais a serem simulados no FUNWAVE devido à posição da linha
de navegação............................................................................................................................59
Figura 33: Localização espacial dos pontos de registros de séries temporais analisadas........62
Figura 34: Profundidades onde se localizam os pontos de registros........................................62
Figura 35: Representação espacial do padrão de onda na superfície (a) e cortes longitudinais
em diferentes pontos no domínio de y (b)................................................................................63
Figura 36: Exemplo de perfis espaciais de alturas em cada corte longitudinal........................64
Figura 37: Exemplo de representação da altura máxima variando em função de y.................64
Figura 38: Resultado de Johnson (1968)..................................................................................66
Figura 39: Comportamento da onda do resultado de Johnson (1968)......................................67
xi
Figura 40: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0, 5 ..........................................71
Figura 41: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0,6 ...........................................72
Figura 42: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0,65 .........................................73
Figura 43: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0,70 .........................................74
Figura 44: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0,8 ...........................................75
Figura 45: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 1,0 ...........................................76
Figura 46: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 1,1 ...........................................77
Figura 47: Princípio fundamental da Lei de Snell....................................................................78
Figura 48: Razão entre as velocidades u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
F
h
= 0,8 e para pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m) .......80
Figura 49: Razão entre as velocidades v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
F
h
= 0,8 e para pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m) .......80
Figura 50: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para F
h
= 0,8 e para pontos
distribuídos ao longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m)............................................81
Figura 51: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para F
h
= 0,8....................81
Figura 52: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m) ....................................................................82
Figura 53: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m) ....................................................................82
Figura 54: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas.............................................................................................................83
Figura 55: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas.............................................................................................................83
Figura 56: Nova localização espacial dos pontos de registros................................................. 84
Figura 57: Representação da hodógrafa de uma onda unidimensional....................................85
Figura 58: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade (h = 0,06 m) para F
h
= 0,80................................................................................ 86
Figura 59: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades distintas
para F
h
= 0,80...........................................................................................................................87
Figura 60: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade (h = 0,06 m) para F
h
= 1,0.................................................................................. 87
Figura 61: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade (h = 0,06 m) para F
h
= 1,1.................................................................................. 88
Figura 62: Padrão de ondas de embarcação gerado para o modelo Johnson ...........................90
Figura 63: Comportamento das alturas máximas das ondas geradas para o modelo Johnson.91
Figura 64: Padrões de onda em canal restrito gerado pelo modelo FUNWAVE. A =onda
dianteira, B = rebaixamento do nível de água e C = onda transversal de popa........................
93
Figura 65: Perfil da onda na linha de navegação .....................................................................93
Figura 66: Comportamento das alturas máximas de onda .......................................................94
Figura 67: Comparação entre os resultados do Modelo Dam (F
h
= 0,80) de altura máxima,
simulados com o FUNWAVE e com o modelo de Dam et al. (2006).....................................95
Figura 68: Comparação entre os resultados do Modelo Dam (F
h
= 1,0) de altura máxima,
simulados com o FUNWAVE e com o modelo de Dam et al. (2006).....................................95
Figura 69: Comparação entre os resultados do Modelo Dam (F
h
= 1,1) de altura máxima,
simulados com o FUNWAVE e com o modelo de Dam et al. (2006).....................................96
Figura 70: a) Interação de dois barcos deslocando-se no mesmo sentido..............................102
Figura 71: Domínio de validade das diferentes aproximações teóricas de equações de
propagação de ondas. Onde: A – Equações clássicas de Boussinesq; B – Wu e KdV;C –
xii
Green-Naghdi e Serre; D- Aproximações para ordens superiores (teorias fracamente e
totalmente não lineares com dispersão melhorada)................................................................107
Figura 72: Esquema de entradas e saídas do modelo funwave2d para ondas de embarcação.
................................................................................................................................................117
Figura 73: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 0,1. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 2m e dx = 0,1 e B = 0,2 e dy = 0,01......119
Figura 74: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 1,0. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 2m e dx = 0,1 e B = 0,2 e dy = 0,01......120
Figura 75: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 0,1. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 40m e dx = 0,5 e B = 20 e dy = 1..........121
Figura 76: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 0,5. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 40m e dx = 0,5 e B = 20 e dy = 1..........122
Figura 77: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 1,0. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 40m e dx = 0,5 e B = 20 e dy = 1..........123
Figura 78: Geometria do canal...............................................................................................124
Figura 79: Geometria da embarcação.....................................................................................124
Figura 80: Ábaco de Schijf’s para a obtenção da corrente de retorno e depressão do nível de
água ........................................................................................................................................126
Figura 81: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................130
Figura 82: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................130
Figura 83: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................131
Figura 84: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................131
Figura 85: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................132
Figura 86: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
132
Figura 87: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
133
Figura 88: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................133
Figura 89: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................
134
Figura 90: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................
134
Figura 91: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................135
Figura 92: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................135
Figura 93: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................136
Figura 94: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................136
Figura 95: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................
137
xiii
Figura 96: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................137
Figura 97: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................138
Figura 98: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................138
Figura 99: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos em
diferentes profundidades........................................................................................................139
Figura 100: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades ..................................................................................................139
Figura 101: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades ..................................................................................................140
Figura 102: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................140
Figura 103: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................
141
Figura 104: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................141
Figura 105: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................142
Figura 106: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................142
Figura 107: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................143
Figura 108: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................143
Figura 109: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................145
Figura 110: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
145
Figura 111: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
146
Figura 112: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................146
Figura 113: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
147
Figura 114: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
147
Figura 115: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................148
Figura 116: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................148
Figura 117: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................149
Figura 118: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................149
Figura 119: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................
150
xiv
Figura 120: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................150
Figura 121: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................151
Figura 122: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................151
Figura 123: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................152
Figura 124: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................152
Figura 125: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................153
Figura 126: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................153
Figura 127: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades ..................................................................................................
154
Figura 128: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades ..................................................................................................154
Figura 129: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades ..................................................................................................155
Figura 130: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................155
Figura 131: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................156
Figura 132: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................156
Figura 133: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................157
Figura 134: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................
157
Figura 135: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................
158
Figura 136: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................158
Figura 137: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
160
Figura 138: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
160
Figura 139: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................161
Figura 140: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................161
Figura 141: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................162
Figura 142: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................162
Figura 143: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................
163
xv
Figura 144: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade...................................................163
Figura 145: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................164
Figura 146: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................164
Figura 147: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................165
Figura 148: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................165
Figura 149: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................166
Figura 150: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades...................................................................166
Figura 151: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................
167
Figura 152: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................167
Figura 153: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................168
Figura 154: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................168
Figura 155: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades ..................................................................................................169
Figura 156: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades ..................................................................................................169
Figura 157: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades ..................................................................................................170
Figura 158: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................
170
Figura 159: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................
171
Figura 160: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................171
Figura 161: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade...........................................................................................................................
172
Figura 162: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................
172
Figura 163: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................173
Figura 164: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas...................................................................................................................................173
Figura 165: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................175
Figura 166: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................175
Figura 167: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................
176
xvi
Figura 168: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................176
Figura 169: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................177
Figura 170: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................177
Figura 171: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................178
Figura 172: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................178
Figura 173: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................179
Figura 174: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade .......................................................................................179
Figura 175: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas...........................................................................................................
180
Figura 176: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas...........................................................................................................180
Figura 177: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas...........................................................................................................181
Figura 178: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas...........................................................................................................181
Figura 179: Canal de velocidade – IPH/UFRGS ...................................................................183
Figura 180: Carro tracionado .................................................................................................183
Figura 181: Caixa utilizada no experimento e sua fixação ao carro tracionado. ...................183
Figura 182: Seqüência da propagação de ondas geradas para uma velocidade de 1,25m/s...184
Figura 183: Seqüência da propagação de ondas geradas para uma velocidade de 0,5m/s.....184
Figura 184: a) Configuração do fundo falso a ser instalado no canal de velocidade.............185
Figura 185: Detalhes das peças que simulam o fundo falso ..................................................185
Figura 186: Fase de fixação das chapas de aço na peça.........................................................186
Figura 187: Teste de encaixe das peças prontas.....................................................................186
Figura 188: Colocação das peças suspensas nas paredes do canal ........................................187
Figura 189: Modelo de embarcação utilizado........................................................................187
Figura 190: Teste de sincronização das cameras ...................................................................188
Figura 191: Resultados da calibração das câmeras................................................................189
Figura 192: Mostrador do relógio em posição no canal.........................................................189
Figura 193: Confetes de EVA lançados na água....................................................................190
Figura 194: Pares de imagens sincronizadas obtidos no experimento...................................191
Figura 195: Arquivo de entrada (funwave2d.data) do modelo FUNWAVE. ........................193
Figura 196: Tela de apresentação do programa depth.f.........................................................193
Figura 197: Tela de apresentação do programa initw.f..........................................................194
Figura 198: Tela de apresentação do programa funwave2d.f ................................................194
Figura 199: Tela de apresentação do programa funwave2d.f ................................................195
Figura 200: Tela de apresentação do programa funwave2d.f ................................................195
xvii
LISTA DE SÍMBOLOS
A - área da seção submersa da embarcação,
A
c
- área da seção transversal do canal,
a
0
- amplitude de onda típica,
B - boca da embarcação,
C - celeridade da onda,
Cg - celeridade de grupo,
C
b
- coeficiente de bloco,
C
T
- celeridade da onda transversal,
C
D
- celeridade da onda divergente,
CE - camada esponja,
(cfx,cfy) - coordenadas da posição inicial da pressão em x e y respectivamente,
(cfmx,cmfy) - coordenadas móveis da pressão em x e y respectivamente e variando no tempo,
cbkv - Coeficiente que permite a variação do parâmetro para o esquema de arrebentação,
ck_bt - Coeficiente de atrito de fundo,
D - calado da embarcação,
dx e dy - espaçamentos da malha de cálculo em x e y respectivamente,
dt - passos de tempo para simulação no modelo numérico,
delta -Largura da fenda do fundo,
e - altura do bloco,
F
h
- número de Froude da profundidade,
F
L
- número de Froude do comprimento da embarcação,
Fs - número de Froude do deslizamento,
F* - número de Froude modificado,
g - aceleração da gravidade,
h - profundidade da coluna de águas,
h
0
- profundidade característica,
H - altura da onda,
H
max
- altura máxima da onda,
hd - altura da coluna de água junto à região da camada esponja,
Hb - altura de arrebentação da onda,
xviii
I
s
- inclinação da margem,
isltb - Ponto do domínio onde se inicia o fundo permeável,
islte - Ponto do domínio onde termina o fundo permeável,
ispg - Largura das fronteiras de absorção,
l - comprimento da onda,
l
0
- comprimento de onda característico,
L - comprimento da embarcação,
L
e
- raio da curvatura da embarcação,
L
c
- largura do rio ou canal,
LR - lado reto do canal,
LI - lado inclinado do canal,
mx e ny - número máximo dos pontos de cálculo em x e y respectivamente,
nt - tempo total de cálculo para simulação no modelo numérico,
P - pressão móvel,
Px - derivada da pressão em x,
Py - derivada da pressão em y,
pa - pressão máxima,
slmda - Tipo de permeabilidade do fundo,
S - coeficiente de bloqueio,
s - distância do eixo central da embarcação até o ponto onde as ondas são medidas,
sg - altura máxima do material granular,
S
g
– relação entre sg e h,
t - tempo,
t
f
- tempo no qual a pressão percorreu a distância V*t
f
,
T - período da onda,
u
α
-
vetor velocidade horizontal,
u - velocidade orbital na direção x,
Ur - número de Ursell,
Ur
0
- número de Ursell inicial,
r
u
^
- velocidade máxima da corrente de retorno,
r
u
_
- velocidade média da corrente de retorno,
xix
v - velocidade orbital na direção y,
V - velocidade da embarcação,
V
imp
- velocidade de impacto do bloco,
∀ - volume da embarcação,
x
0
- posição inicial da pressão em t = 0 para simulação no modelo numérico,
z
α
- profundidade arbitrária,
z
max
- altura da onda transversal da popa,
α - coeficiente empírico que depende da forma do casco da embarcação,
α1 - coeficiente considerando o tipo de casco e o calado,
α2 - expoente determinado experimentalmente,
β - coeficiente empírico que depende da forma do casco,
ε - parâmetro que determina a magnitude dos efeitos não-lineares,
η - elevação da superfície,
θ - ângulo da propagação,
τ - ângulo da envoltória,
μ - parâmetro que determina a magnitude dos efeitos dispersivos,
ρ - massa específica da água,
ρ
SE -
massa específica da embarcação,
Δ - rebaixamento do nível de água durante a passagem da embarcação,
_
h
Δ
- depressão média do nível de água,
^
h
Δ - depressão máxima do nível de água,
Δ
hf
- altura da onda dianteira,
CAPÍTULO 1
1. INTRODUÇÃO
O estudo das ondas de embarcações é de grande interesse para a Engenharia Naval,
Civil, Hidráulica e Costeira. A Engenharia Naval está fundamentalmente interessada na
resistência à navegação, posto que o estudo das características da onda de embarcação tem
atentado para o desenho de formas de casco com menor resistência ao movimento. A
Engenharia Civil e Costeira têm mais interesse nos efeitos que a onda provoca em áreas
portuárias e de navegação, podendo ocasionar danos em estruturas de acostagem e excessivas
perturbações em outros barcos que estejam ancorados ou se deslocando, o que pode conduzir
a acidentes e comprometer até mesmo, vidas humanas. São também, de grande interesse para
a Engenharia Hidráulica e Costeira, os efeitos devidos ao ataque dessas ondas sobre a linha de
costa e em margens de rios e canais, provocando erosão e exigindo obras de proteção.
A origem do interesse de estudo, para a investigação nesta tese, do tema propagação
para águas rasas de ondas geradas por embarcações se deu primeiramente pelo contato com
professores da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista
(UNESP), no âmbito do Projeto “Amigos de Boussinesq – Rede Cooperativa de Pesquisa
sobre Hidrodinâmica Costeira de Águas Rasas” (Projeto CAPES/PROCAD 144/01-0), que
vinham desenvolvendo trabalhos sobre monitoramento de ondas na represa de Ilha Solteira,
Estado de São Paulo fronteira com o Estado do Mato Grosso do Sul (
Figura 1). A cidade, de
mesmo nome, está situada junto a um dos trechos da Hidrovia Tietê-Paraná, no encontro do
rio São José dos Dourados com o rio Paraná. A intensidade dos ventos locais, associada à
extensão do espelho de água permite a geração de ondas de tamanho considerável, tendo sido
registrados ondas com período médio da ordem de 2,5s e altura 0,5m (Lima et al, 2003). Nos
últimos anos está sendo observada, no lago formado pela Barragem de Ilha Solteira, a
ocorrência de erosões junto às margens (
Figura 2). Atribui-se esse fenômeno à ação de ondas
gravitacionais geradas pelo vento, mas não se pode desprezar o potencial de ação de ondas
geradas por embarcações, especialmente com o aumento previsto do transporte fluvial na
região. Atualmente, apenas 8% da capacidade de transporte da Hidrovia Tietê-Paraná é
utilizada, mas a meta é chegar nos aos 25% até o ano de 2010.
1
Figura 1: Hidrovia Tiête-Paraná. Em destaque no quadro o reservatório de Ilha Solteira.
Fonte: PAPERPUBLISHER (2001)
Figura 2: Erosão das margens no Reservatório de Ilha Solteira: (a) Farol de São Martinho;
(b) proximidade do rio Grandinho.
Fotos tiradas por Claudio Neves em 3/5/2002.
Outro fato que levou ao interesse pelas ondas de embarcações é a polêmica hidrovia do
Pantanal na região Centro-Oeste. O relatório de impacto ambiental produzido por Galinkin et
al. (2001), sobre a situação atual do rio Paraguai (Figura 3), diz que os comboios, que
navegam com baixa velocidade, produzem ondas com níveis energéticos baixos,
potencialmente pouco impactantes para as margens do rio. No entanto em algumas
localidades, foram observados efeitos de ondas geradas por lanchas voadeiras e empurradores
(quando navegam sozinhos) produzindo ondas altas que atacavam as margens. Concluem que
o efeito das ondas de embarcação naquela região deve ser objeto de maiores estudos.
2
Figura 3: Erosão nas margens do rio Paraguai na Hidrovia do Pantanal.
Fonte: Wilson Júnior (1999)
É fato conhecido que ondas geradas por embarcações, provocam impactos sobre as
margens e sobre o fundo de corpos de água rasos. São relatados por Blume (2002) casos
ocorridos no Rio Parramatta, Austrália; Marlborough Sound, Nova Zelândia; Baía de São
Francisco e Rio James, Estados Unidos. Verheij e Knaap (1995) realizaram estudos sobre
erosão provocada por ondas de embarcação em Sarawak, Malásia. Atualmente, o Quebec
Department of Transport (2003) estuda o problema de erosão no Rio São Lourenço, Canadá
(Figura 4), onde foi identificado que 86% da erosão é devida à ação das ondas de embarcação.
Estudos de Brebner et al. (1966) também no Rio São Lourenço revelavam que, naquela época,
a porcentagem de erosão provocada pela ação de ondas de embarcação era de apenas 1 a 2%.
A comparação entre estes percentuais revela que provavelmente o aumento do tráfego de
embarcações agravou o problema de erosão neste rio.
Figura 4: (a) e (b) – Erosão nas margens do rio São Lourenço, Canadá.
Fonte: Quebec Department of Transport (2003)
Com a crescente valorização do transporte hidroviário no Brasil, a preocupação
ambiental no que se refere à manutenção das margens é importante. Para fins de projeto de
3
engenharia, estimar apenas a altura máxima de onda é justificável, mas para estudos de erosão
deve-se pensar no que seria mais danoso para a margem: sofrer ataque das ondas de longo
período com baixa freqüência de ocorrência ou a ação das ondas de curto período e alta
freqüência de ocorrência? Enxergar a onda do ponto de vista da margem em um estudo que
caracterize o padrão de onda durante sua incidência nesta, torna-se pertinente e justificável
como uma contribuição na busca de soluções para o problema de impacto ambiental
decorrente do possível aumento do transporte hidroviário no Brasil.
Na interação com a margem, as ondas tornam-se importantes quando da passagem das
embarcações por locais de largura restrita onde a ação erosiva torna-se mais intensa. Em áreas
costeiras restritas, segundo PIANC (1987), os agentes hidráulicos que podem atuar gerando
tensões no fundo (e assim provocar mobilização e transporte de sedimentos) são: correntes de
retorno, correntes naturais (rios, marés e vento), ondas de vento e ondas de embarcação. As
somas das cargas hidráulicas devido ao vento, maré e embarcação provocam uma maior
mobilização de sedimentos, no entanto seria necessário um estudo mais detalhado sobre a
interação onda de vento e de embarcação supondo a superposição das duas. Dessa maneira, no
estudo da incidência da onda na margem, esta tese enfoca o caso de corpos de água restritos
onde as ondas de embarcação predominam em vez de ondas de vento e maré. Entenda-se
nesta tese como corpos de água restritos os canais de navegação cuja distância da linha de
navegação até a margem permite que os efeitos de propagação para águas rasas, da onda
gerada pela embarcação, sejam observados.
É importante conhecer as características da onda de embarcação quando da sua
propagação até atingir a margem, pois, dependendo da profundidade de água local e da
velocidade e dimensões da embarcação, diferentes padrões de ondas são gerados. Estes
padrões são constituídos por ondas de longo e curto período formando um trem de ondas não
linear em perfil e bidirecionalmente espalhado em planta. Dependendo também da distância
do curso de navegação até a margem e da inclinação dos taludes, estas ondas podem provocar
refração, arrebentação, espraiamento, reflexão e geração de correntes que favorecem o
movimento de sedimentos. Dessa maneira, no Capítulo 2 é apresentada a teoria sobre os
padrões de ondas de embarcações gerados para profundidades infinitas (águas profundas),
profundidades finitas (águas rasas) e em canais restritos.
No Capítulo 3 é apresentada uma revisão bibliográfica dos estudos sobre a propagação
das ondas de embarcação. É relatado neste capítulo que, nos últimos 40 anos, foram feitos
4
estudos Brebner et al,1966; Hay,1968; Johnson, 1968; Sorensen, 1967, 1968, 1969 1973,
1997; PIANC, 1987, 2003; Verhey e Bogaerts, 1989; Verheij e Knaap, 1995; Knight, 1999;
Kriebel e Seeelig, 2005) sobre medição de alturas e padrões de ondas de embarcação para
diferentes tamanhos e formas de casco em águas profundas e rasas. As medições de altura de
onda levam sempre em consideração o valor máximo registrado e, assim, a onda de
embarcação tem sido assemelhada a uma onda de vento monocromática unidirecional e a
teoria linear de ondas é usada para sua previsão, embora os registros mostrem claramente uma
combinação de ondas de curto e longo período e um padrão bidirecional.
A solução para os problemas de impacto das ondas de embarcações nas margens
considera a estimativa das cargas hidráulicas induzidas, e a conseqüente erosão, em função do
tipo de embarcação, sua velocidade e a distância do seu curso em relação à margem.
A velocidade máxima permitida para a embarcação trafegar em um determinado local é
limitada como sendo aquela que gera altura máxima de onda igual à maior altura de onda de
vento na mesma localidade. Parte-se do princípio de que não haverá interferência importante
nas margens se, no máximo, houver equivalência com o que ocorre naturalmente em
determinadas condições ambientais (Maynord, 2000 apud Padovezi, 2003). Esta é a solução
tradicional, mas ela já vem sendo questionada. Blume (2002) diz que, para estudo de impacto
de ondas, não é solução estabelecer velocidades limites, necessita-se conhecer como resulta o
impacto da onda e seus efeitos e, assim, estudar a solução apropriada para cada situação.
A resposta, ao ataque de ondas irregulares, de uma estrutura ou da morfologia de fundo
próximo à costa pode diferir muito daquela prevista para ondas regulares (Long, 1991). A
diferença é que as ondas irregulares podem adicionar suas amplitudes (interferência
construtiva) ou cancelar (interferência destrutiva) para diferentes lugares no espaço. Estas
interferências resultam em espraiamento, galgamento e fricção no pé de estruturas (e em
margens) que pode ser mais ou menos intensos para ondas irregulares do que para ondas
regulares.
Observa-se com isso que, uma abordagem linear e unidirecional, não parece ser
satisfatória, pois desconsidera componentes da onda de embarcação que podem ter efeitos
significativos quando incidem sobre uma estrutura, uma praia ou um talude. Isso parece
sugerir o estabelecimento dos padrões de onda tanto em planta (plano x-y) como em perfil
(plano x-z) propagando para águas rasas e interagindo com a margem.
5
Com o padrão de onda em perfil, pode-se identificar que tipo de modelo matemático é
mais apropriado para estimar alturas de onda. Com o padrão em planta, pode-se analisar o
espalhamento da onda, e efetivamente localizar onde ocorrem as máximas alturas, e observar
os efeitos de curto e longo período.
O uso de modelos matemáticos que sirvam de referência em estudos de riscos causados
por estas ondas torna-se também uma ferramenta muito útil. Tais modelos podem ser usados
para prever o comportamento da onda em uma determinada situação. Dessa maneira, ainda no
capítulo 3 é apresentada uma revisão bibliográfica dos modelos numéricos para ondas de
embarcação. A partir de um modelo hidrodinâmico (Navier-Stokes, equações de águas rasas
ou equações de Boussinesq) é possível, com a adição de uma fonte conveniente, tornar tal
modelo apto a reproduzir o fenômeno de ondas de embarcação. Se em tal modelo houver
ainda a possibilidade de simulação de fenômenos costeiros (refração, arrebentação, etc), este
poderá ser capaz de reproduzir também a propagação e a ação dessas ondas junto à costa.
Dessa maneira, a proposta de estudo dessa tese é a modificação de um modelo hidrodinâmico
baseado nas equações de Boussinesq de forma a analisar a sua aplicabilidade na simulação da
propagação de ondas de embarcação e sua ação nas margens. O modelo proposto a ser
modificado é o modelo FUNWAVE, que resolve as equações não-lineares de Boussinesq
deduzidas por Wei e Kirby (1995). Este modelo reproduz a maioria dos fenômenos
relacionados à transformação da onda em fundos de profundidade variável, quais sejam,
dispersão em freqüência, dispersão de amplitude, difração, refração pelo fundo e devida às
correntes, transferência de energia entre componentes harmônicas e dissipação de energia por
arrebentação da onda e atrito de fundo.
A validação de um modelo numérico de propagação para águas rasas de ondas de
embarcação que inclua efeitos costeiros, particularmente arrebentação e espraiamento trará
uma inovação tecnológica muito significativa visto que, atualmente, os modelos de
propagação de onda de embarcação, no que se referem a fenômenos costeiros, simulam
apenas o efeito de refração e geração de correntes.
O estudo numérico das ondas de embarcação engloba duas fases distintas, a saber: a)
fase de geração onde o enfoque de estudo é dado ao escoamento próximo à embarcação (“near
flow field”); b) fase de propagação onde o enfoque é dado ao escoamento longe da
embarcação (“far flow field”).
6
Nesta tese o enfoque será dado à fase de propagação, dessa maneira, o escoamento será
observado após a passagem da embarcação. No entanto, como para a simulação numérica é
importante utilizar uma função fonte que gere a onda que irá se propagar, a fase de geração
torna-se também pertinente ao estudo. O problema do escoamento próximo à embarcação
pode ser resolvido por duas hipóteses: i) considerando a embarcação como uma pressão
distribuída na superfície que se põe em movimento, perturbando o fluido próximo à
embarcação, gerando um trem de ondas; ii) considerando a embarcação como uma fonte
linear através da teoria de fontes e sumidouros para corpos finos. Numericamente, as duas
hipóteses têm apresentado resultados similares sendo que a primeira é mais utilizada pela área
das Engenharias Civil, Hidráulica e Costeira e a segunda pela Engenharia Naval (a teoria dos
corpos finos é clássica para o estudo da resistência ao avanço da embarcação). Nesta tese, será
utilizada a primeira hipótese visto que aqui não há interesse na resistência da onda ao avanço
da embarcação.
Tem-se assim, como objetivo principal desta tese, o estudo da propagação de ondas de
embarcação em corpos de águas restritos onde as ondas de embarcação são predominantes
através da simulação numérica de um modelo hidrodinâmico que leva em consideração os
efeitos costeiros. Os objetivos secundários são: 1) A modificação do modelo FUNWAVE
através da adição de uma pressão móvel de modo a torná-lo adequado para a simulação de
ondas de embarcação; 2) Analisar a aplicabilidade do modelo FUNWAVE modificado na
simulação de efeitos costeiros de refração, arrebentação e na geração dos padrões de onda.
Dessa maneira, no Capítulo 4 é apresentada a metodologia de modificação do modelo
FUNWAVE pela adição de uma fonte que possibilite ao modelo gerar padrões de onda de
embarcação e no Capítulo 5 é relatada a aplicação de simulações que serão analisadas, ou
seja, simulações que representem os padrões de onda, os efeitos de refração e arrebentação e
de ondas em canais restritos. Finalmente, no Capítulo 6 são apresentados os resultados e
discussões das aplicações do modelo e o Capítulo 7 trata sobre as conclusões desse estudo e
recomendações para futuros trabalhos.
São apresentados também anexos com informações complementares. O anexo A
apresenta um resumo das equações de Boussinesq e a estrutura do modelo FUNWAVE. O
anexo B apresenta graficamente o comportamento de várias expressões de pressão móvel
relatadas na literatura. O anexo C relata o método de cálculo dos agentes hidráulicos
induzidos por uma embarcação em canais restritos e o anexo D apresenta os resultados das
7
velocidades orbitais simuladas com o modelo modificado. No Anexo E é relatado o
procedimento experimental realizado no IPH/UFRGS para análise da propagação de ondas de
embarcação e o anexo F apresenta um roteiro para executar o modelo FUNWAVE
modificado. Finalmente é apresentada a lista de referências bibliográficas utilizadas nesta
investigação.
8
CAPÍTULO 2
2. CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS DE EMBARCAÇÃO
As ondas de embarcação são classificadas, segundo às suas características, em ondas de
águas profundas (h/l ≥ 0,5) ou rasas (h/l < 0,04), onde h é a profundidade da coluna de água,
onde a embarcação se desloca, e l é o comprimento da onda.
2.1. Águas profundas
Em águas profundas, como relata Stoker (1957), essas ondas têm um comportamento
muito peculiar: a perturbação gerada segue o objeto em movimento sem mudar sua forma,
confinada em uma região atrás do mesmo, de tal modo que apresenta sempre a mesma forma
em V, seja o objeto um pato nadando numa lagoa ou um grande porta-aviões (Figura 5).
Figura 5: a) Ondas geradas por um pato; b) Ondas geradas por tipos diferentes de
embarcações.
Fonte: GALLERY OF FLUID DYNAMICS (2002)
A primeira explanação e o tratamento desse fenômeno foram dados por Kelvin (1824-
1907) e, por este motivo, o conjunto também é conhecido como Teoria de Kelvin de Ondas de
Embarcação ou Ondas de Kelvin. Esse pesquisador concluiu que, em águas profundas, uma
embarcação (ou qualquer objeto) que se desloque com velocidade constante gera sempre
ondas confinadas em uma região com a forma de um V, com semi-ângulo igual a 19,5
o
em
relação ao eixo imaginário do curso da embarcação e se propagam em um ângulo igual a 35
o
9
também em relação a esse eixo. Nessa região, surgem dois conjuntos distintos de ondas, um
parece emanar da curvatura do barco, chamado sistema divergente, e outro posicionado
aproximadamente em ângulos retos ao curso do barco, chamado sistema transversal
(Figura 6).
x
y
Figura 6: Padrão Kelvin de ondas de embarcação em águas profundas.
Fonte: Adaptado de COASTAL ENGINEERING (2002)
Stoker (1957), Lighthill (1978), Whitham (1974) e Sorensen (1969,1973) apresentam as
equações obtidas por Kelvin para as componentes espaciais (x, y) das ondas de embarcação
em águas profundas. Elas são escritas como:
)coscos2(
cos
3
ττ
τ
−=
r
x
(1)
ττ
τ
sen
r
y
2
cos
cos
=
(2)
τ
cos
2
1
Vtr =
(3)
onde: τ é ângulo da envoltória do padrão de onda, t é o tempo e V é a velocidade da
embarcação.
Assim, conhecendo-se a velocidade da embarcação é possível calcular a posição das
ondas transversais e divergentes em cada instante t. Como exemplo, considere-se uma
embarcação deslocando-se a 5m/s em t = 3s. Neste instante, a embarcação já teria percorrido
15m em relação ao seu ponto de partida e a onda transversal normal ao curso da embarcação
estaria a 7,5m atrás dela (Figura 7). Como se trata de uma onda em águas profundas tem-se:
VttCtC
g
2
1
2
1
==
, onde: C
g
é a celeridade de grupo; C é a celeridade da onda.
10
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
17,5
20
22,5
25
27,5
-10 -5 0 5 10
eixo y (m)
eixo x (m)
t = 3s
t = 6s
t = 9s
Figura 7: Coordenadas das ondas de embarcação em águas profundas pela teoria de Kelvin.
O parâmetro mais importante para caracterizar as ondas em águas profundas é o número
de Froude referido ao comprimento da embarcação. Originalmente definido por William
Froude, este número é baseado na razão entre a velocidade e o comprimento de um objeto
movendo-se em um corpo de água. Tal razão foi descoberta por Froude durante suas
pesquisas para estabelecer leis de escala de embarcações e resistência de ondas ao avanço. O
número de Froude do comprimento é dado por:
gL
V
F
L
=
(4)
onde L é o comprimento da embarcação.
Em função desse número, o comportamento das ondas transversais e divergentes é
analisado para diferentes velocidades. Para velocidades baixas, ao longo do casco da
embarcação são geradas muitas ondas transversais, mas à medida que a velocidade aumenta,
estas se tornam mais longas. Para F
L
= 0,3 o comprimento das ondas transversais é metade do
comprimento da embarcação. As cristas geradas na proa coincidem com as geradas na popa
criando ondas relativamente altas. Para F
L
= 0,35 as cristas da proa coincidem com os cavados
da popa, produzindo ondas baixas. Para F
L
= 0,40 o comprimento das ondas transversais é
igual ao comprimento da embarcação, a velocidade correspondente a este número é também
conhecida como velocidade de casco (hull speed) e, para embarcações comerciais, é quase
sempre a velocidade máxima. Para F
L
= 0,6 as ondas transversais são mais longas que o
comprimento da embarcação propagando-se com velocidade maior que a velocidade da
11
embarcação e as ondas divergentes predominam no padrão de ondas. Para F
L
= 0,8 as ondas
divergentes tornam-se muito esbeltas chegando ao limite de arrebentação. Uma série de
comprimentos de ondas é gerada, cada uma propagando com uma velocidade proporcional ao
comprimento. Para F
L
= 1 as ondas transversais praticamente somem, mas a resistência ao
avanço é maior, pois as ondas divergentes são grandes. Para F
L
= 1,5 começa a reduzir a
elevada hidrodinâmica do deslocamento ativo da embarcação. Isto reduz por sua vez, a altura
das ondas, embora sejam ainda ainda muito energéticas. Como são rápidas, estas ondas longas
quando se propagam em águas rasas têm um impacto muito grande em áreas costeiras.
A celeridade das ondas transversais é igual à velocidade do barco. A celeridade das
ondas divergentes é dada como função também do ângulo de propagação. Tem-se então,
segundo Sorensen (1967):
VC
T
=
(5)
θ
cosVC
D
=
(6)
()
112
127,35
−
−=
h
F
e
θ
(7)
h
V
F
gh
= (8)
onde: g é a aceleração da gravidade; F
h
é o número de Froude da profundidade e será
discutido no próximo item; os índices T e D indicam respectivamente ondas transversais e
divergentes e θ é o ângulo da propagação da onda.
Dada a celeridade da onda, o comprimento (l) e o período (T) são calculados pela teoria
linear, ou seja:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
l
hgl
C
π
π
2
tanh
2
2
(9)
C
l
T =
(10)
2.2. Águas rasas
Em águas rasas, Havelock (1908) aplicando uma aproximação semelhante à de Kelvin,
deduziu equações para definir o padrão de ondas divergentes e transversais para velocidade
ssubcrítica e supercrítica em função do número de Froude da profundidade F
h
, ou seja, F
h
<1 e
F
h
>1. Em águas rasas, tais ondas sofrem mudanças consideráveis em relação às ondas de
12
águas profundas (Figura 8 e Figura 9). Os resultados de Havelock mostraram que, em águas
rasas, podem surgir três diferentes padrões de ondas dependendo de F
h
. Se V aumenta ou h
diminui satisfazendo (velocidade subcrítica), o padrão geral das ondas é o mesmo para
águas profundas sendo que, para
1<
h
F
7,00
<
≤
h
F , o ângulo da envoltória τ (que é o limite da
forma em V onde as ondas divergentes e transversais são confinadas, Figura 10) tem o mesmo
valor 19,5
o
como em águas profundas. No intervalo 17,0
<
≤
h
F ocorre um aumento de τ que
varia dentro do intervalo . Para
oo
905,19 <<
τ
1
=
h
F (velocidade crítica) as ondas transversais
e divergentes combinam-se para formar uma simples onda (similar a uma onda solitária
segundo Sorensen, 1967) com τ = 90
o
. Para (velocidade supercrítica) as ondas
transversais desaparecem, pois a velocidade da onda não pode exceder a velocidade crítica da
embarcação, e somente é encontrado o sistema divergente. Nesta situação, ocorre o inverso,
ou seja, para o intervalo ocorre uma diminuição de τ que varia dentro do
intervalo , para tem-se (condição similar ao número de Mach
na aerodinâmica). Assim, para , o ângulo τ é dado por:
1>
h
F
31 <<
h
F
oo
5,1990 <<
τ
3≥
h
F
o
5,19=
τ
1>
h
F
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
FV
gh
1
arcsenarcsen
τ
(11)
Dessa maneira, a variação dos ângulos da envoltória e da propagação, em relação à F
h
, é
representada pelas expressões apresentadas na Tabela 1 e os gráficos da Figura 11.
Tabela 1 – Variação dos ângulos da envoltória e da propagação em relação à F
h.
F
h
ângulo da envoltória,
τ
ângulo de propagação,
θ
< 0,7 °
=
5,19
τ
°
=
27,35
θ
0,7 ≤ F
h
< 1,0
(
)
(
)
112
15,19
−
+°=
h
F
e
τ
()
112
127,35
−
−°=
h
F
e
θ
F
h
≥ 1,0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
F
1
arcsen
τ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
F
1
arccos
θ
13
a
b
Figura 8: Diferentes padrões de ondas de embarcação em águas rasas.
Fonte: COASTAL ENGINEERING (2002)
Figura 9: Padrões de ondas de embarcação geradas em águas rasas, resultados de Havelock
(1908).
14
Figura 10: Esquema ilustrativo dos ângulos da envoltória (τ) e da propagação (θ) em relação à
F
h
no padrão de ondas em águas rasas.
Fonte: Adaptado de COASTAL ENGINEERING (2002)
Figura 11: Variação dos ângulos da envoltória e da propagação em relação à F
h.
2.3. Ondas em canais restritos
Segundo Maynord (2002), não há um critério estabelecido para definir quando um canal
é considerado restrito. Como resultado de suas pesquisas, o autor classifica como canal
15
restrito aquele em que o fator de bloqueio S, definido como a razão entre a máxima área
submersa da seção transversal da embarcação e a do canal, varia entre 0,05 < S < 0,1. O canal
pode ser fechado em ambos os lados (quando as duas margens do canal sofrem com a
incidência das ondas) ou aberto em um e confinado no outro (quando apenas uma margem do
canal sofre a incidência das ondas).
As cargas hidráulicas induzidas pela embarcação são uma combinação de onda de curto
período (picos de interferência) e de longo período (onda dianteira, rebaixamento do nível de
água e onda transversal da popa). O relato do PIANC (1987) diz que as perturbações na água
produzidas por embarcações em canais restritos podem ser descritas em termos de correntes,
ondas e mudança no nível de água (Figura 12). Um objeto, deslocando-se ao longo de um
canal restrito, gera uma corrente de retorno no canal que é paralela, mas oposta à direção do
movimento. A velocidade do fluxo onde a embarcação passa, causa um rebaixamento do nível
da água para manter a velocidade da embarcação constante. A Figura 13 representa o perfil da
superfície da água observado durante o deslocamento da embarcação. O nível em torno da
embarcação é abaixado como uma função da velocidade local e da corrente de retorno. A
transição entre o nível não perturbado e o rebaixado, na frente da embarcação, toma a forma
de um empilhamento de água, referido como onda dianteira. A superfície da água
imediatamente à frente da embarcação é elevada pela aproximação dessa e assim, a altura
total da onda dianteira é levemente maior que o rebaixamento. A onda transversal da popa é a
transição entre o rebaixamento e o nível normal atrás da embarcação. Ela pode ser uma onda
arrebentando, dependendo da velocidade da embarcação e a profundidade do canal.
Relacionada a onda transversal da popa, estão as velocidades de corrente local nos taludes do
canal. Ali, na interação com os taludes, a onda dianteira causa uma agitação na água
produzindo uma componente de fluxo perpendicular ao eixo do canal. O resultado é uma
corrente local de alta velocidade chamada (em inglês)
slope supply flow, como não há
tradução para o português, nesta tese ela é chamada de corrente inclinada. As ondas geradas
na proa e na popa da embarcação e em qualquer descontinuidade ao longo do seu casco são
chamadas ondas secundárias. Em alguns casos essas ondas interferem subseqüentemente com
as ondas transversais da popa e sua combinação aumenta o rebaixamento do nível de água e
adiciona picos na altura das ondas da popa. Para PIANC (1987) tais perturbações ocorrem em
condições de águas profundas e para embarcações de geometria de casco retangular (chata e
balsas).
16
Figura 12: Componentes da perturbação da água induzida por uma embarcação.
Fonte: PIANC (1987)
Figura 13: Perfil da superfície da água durante o deslocamento da embarcação.
Fonte: Adaptado de PIANC (1987)
2.4. Padrões de ondas interagindo com a margem
Como já foi dito, as dimensões da embarcação e suas velocidades associadas ao local de
navegação geram padrões variados de ondas. A seguir são mostradas algumas imagens
tiradas da literatura e da internet onde é possível perceber tais variações. Na Figura 14 são
17
apresentados dois casos onde se observa a reflexão das ondas geradas pela embarcação. A
Figura 15 apresenta os resultados obtidos por Johnson (1968). Nestas imagens são
observadas claramente as variações no padrão de onda interagindo com a margem como
função do número de Froude da profundidade F
h
. Os padrões sofrem efeito de refração e,
próximo à margem, variam desde arrebentação (F
h
= 0,75) passando para reflexão (F
h
= 0,90)
e, por fim, a interação com uma corrente gerada pela onda dianteira agindo na margem
(F
h
= 1,02 e F
h
= 1,11) que por sua vez gera um outro padrão de onda que interage com a
onda da embarcação. Na Figura 16 observam-se as ondas geradas por um comboio de chatas
sofrendo efeito de refração e arrebentando nas margens. Na Figura 17, as ondas de
embarcação se espraiam nas margens e Figura 18 na as ondas geradas na popa da embarcação
apresentam características de um ressalto hidráulico móvel, ou seja uma onda arrebentando
que se propaga junto com a embarcação.
Com estas imagens, observam-se padrões complexos de ondas interagindo com a
margem que necessitam ser melhor investigados mostrando assim, a necessidade de um
melhor entendimento das relações entre as características da embarcação e sua velocidade e
as características das margens. Com isto tem-se que os efeitos de refração, arrebentação,
espraiamento e reflexão e a determinação de altura e período de onda são os aspectos
relevantes a serem analisados em relação à onda que se propaga afastando-se da embarcação,
e interagindo com a margem. Destes aspectos, a determinação da altura de onda e,
conseqüentemente, o período, têm sido a mais estudada.
Figura 14: Casos de reflexão de ondas de embarcação
Fotos: DON COLES (2004)
18
(I
1
) (I
2
)
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 15: Registros de Johnson (1968) para onda de embarcação
I = inclinação das margens: (I
1
) = 1:10; (I
2
) = 1:5
(a)F
h
= 0,75; (b) F
h
= 0,90; (c) F
h
= 1,02; (d) F
h
= 1,11
Figura 16: Ondas geradas por um comboio de chatas arrebentando nas margens
Fotos: DON COLES (2004)
19
Figura 17: Ondas de embarcação provocando espraiamento nas margens
Fonte: PIANC (1987)
Figura 18: Onda de embarcação tipo ressalto móvel
Fonte: Maynord (2002)
20
CAPÍTULO 3
3. PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE EMBARCAÇÃO
3.1. Determinação de alturas de ondas
Os estudos desenvolvidos ao longo dos últimos anos determinaram a altura da onda (H)
e o rebaixamento do nível de água durante a passagem da embarcação (Δ) como função da
velocidade da embarcação (V), comprimento (L), calado (D) e forma de casco da embarcação,
profundidade local (h) e distância do eixo da embarcação até o ponto onde as ondas são
medidas (s) Figura 19 e Figura 20.
Figura 19: Distância s do eixo central da embarcação até o ponto onde as ondas são medidas.
Adaptado de PIANC (1987)
Figura 20: Características de uma embarcação. Adaptado de PIANC (1987)
Considerando o padrão de ondas gerado por uma fonte pontual estacionária, Havelock
(1908) deduziu a amplitude da onda no padrão de águas profundas (ondas transversais e
21
divergentes) como uma função da velocidade e posição da perturbação no padrão de onda. Ele
observou que as alturas das ondas divergentes e transversais, em um curso reto, irão diminuir
a uma razão inversamente proporcional à raiz cúbica e quadrada, respectivamente, das
distâncias da perturbação. Assim suas equações são boas para prever a razão de decaimento
das componentes da onda logo que são geradas.
Segundo Brebner et al. (1966), até aquele ano, os estudos precedentes não
consideravam a geometria do casco da embarcação. Desses estudos, quatro conclusões foram
obtidas, quais sejam: H e Δ aumentam com o aumento de V até esta atingir um valor crítico,
ghV =
; H e Δ aumentam com a diminuição de h; H e Δ diminuem com o aumento de x; Δ
aumenta com o aumento do fator de bloqueio S (razão entre a máxima área submersa da seção
transversal da embarcação e a do canal). Até os dias atuais a análise de ondas de embarcação
levam em consideração esses quatro aspectos.
Brebner et al. (1966), foram os primeiros a tentar determinar (H) e (Δ) como função de
(V), (L), (D), (h) e (x) e também da forma de casco da embarcação. Um parâmetro, para a
geometria do casco que descrevesse adequadamente a capacidade da embarcação de gerar
ondas não estava, segundo ele, realmente estabelecido. Foram feitos testes com três modelos
de embarcações de geometrias de casco diferentes. Comparando modelos de mesmo calado,
mas larguras de boca diferentes, foi observado que, para uma mesma velocidade, o modelo de
menor largura de boca produzia ondas maiores. Com isso, os pesquisadores observaram que a
geometria da proa é aparentemente o fator controlador em relação à altura de onda H e um
parâmetro para a geometria da proa foi desenvolvido. Este parâmetro chamado de razão de
fineza (fineness ratio) é definido como
A
L
e
, onde A é a área da seção transversal no meio da
embarcação e abaixo da linha de água e L
e
é o raio da curvatura da proa. Os autores
concluíram que a velocidade era o fator mais importante afetando a altura de onda (quanto
maior fosse V maior seria H). A profundidade da água e a distância da linha de navegação até
a margem também contribuíam para a variação da altura da onda, mas em grau menor
comparado à velocidade. Também segundo o autor, o comprimento da embarcação na linha
de água e os parâmetros normais da arquitetura naval, como o coeficiente de bloco, seriam
fatores inadequados quando da análise de alturas de onda e que, a razão de fineza, como
definido no trabalho, e a largura da boca, pareciam ser mais apropriadas.
22
Hay (1968) realizou testes com seis modelos de embarcações com o objetivo de
determinar a altura das ondas geradas. A altura máxima de onda, para várias distâncias da
linha de curso e diferentes profundidades, foi relacionada à velocidade das embarcações. Os
seis modelos incluíam um cargueiro, um navio petroleiro, uma embarcação auxiliar (que é
uma embarcação, de pequeno ou médio porte, utilizada para manter a integridade e assegurar
a segurança de um navio mercante, seja de transporte ou de pesca), uma barcaça, um
rebocador e um pesqueiro. Os resultados mostraram que, em hidrovias, a magnitude das ondas
era comparável com as de ondas de vento e, dos resultados, uma indicação da velocidade
máxima permissível para as embarcações se deslocarem sem provocar ondas magnitudes
maiores que as de vento foi determinada. Para o pesquisador, a profundidade de água e a
velocidade da embarcação são fatores importantes para as alturas de ondas geradas. Ele
também teceu alguns comentários sobre a razão de fineza (que não era propósito de estudo)
dizendo que os dados não isolam este fator e confirma a intuição e observação de que a
capacidade de uma embarcação de gerar ondas diminui com o aumento desta razão de fineza.
Para Johnson (1968), a magnitude da altura máxima da onda para uma dada embarcação
é função da velocidade da embarcação, da profundidade local e da distância da linha de
navegação até a margem. Com o objetivo de observar a propagação das ondas para águas
rasas, dois tipos de embarcação foram rebocados a várias velocidades em local de
profundidade uniforme. As alturas de ondas foram medidas em distâncias iguais, em relação
ao eixo da embarcação, nos dois lados do curso da embarcação. Um dos lados do canal tinha
profundidade uniforme e no outro lado foram moldadas praias com três inclinações diferentes.
Os resultados mostraram que, do lado de profundidade uniforme, as alturas eram maiores em
relação ao lado das praias (aparentemente como efeito de refração) e aumentavam com o
aumento da velocidade. Os padrões de onda foram determinados por fotogrametria usando a
técnica da estereoscopia.
Verhey e Bogaerts (1989) expandem as equações dadas pelo PIANC (1987) para altura
máxima de onda gerada. Eles introduzem um coeficiente para considerar o efeito da proa no
resultado da altura da onda dependendo do tipo de geometria de casco da embarcação.
O relatório final da Maritime and Coastguard Agency, MCA, (2001), apresenta os
resultados de um estudo que tinha o objetivo de melhorar o entendimento das propriedades
físicas de ondas de embarcação (catamarãs e monocascos) de período muito longo em regime
crítico e supercrítico. Para a transição de profundidade rasa para intermediária estudou-se, a
23
onda divergente e a sua propagação no regime supercrítico e próximo ao crítico, analisando a
razão de decaimento da altura de onda e a influência da profundidade nesse decaimento. Os
resultados confirmaram os estudos de Havelock (1908) sobre o decaimento potencial dessas
ondas.
PIANC (2003) apresenta uma revisão completa dos aspectos hidrodinâmicos e físicos
das ondas geradas por embarcações de alta velocidade com o objetivo de dar orientação para
uma efetiva administração das velocidades máximas permitidas em hidrovias. Esta orientação
não prescreve uma solução, apenas sugere um processo que as autoridades que administram
hidrovias e os operadores de embarcações podem usar para desenvolver uma solução
apropriada para “controlar” a altura de onda de embarcação de alta velocidade. O processo
passaria pelo conhecimento das características das ondas geradas (padrão de ondas), da sua
propagação e transformação, seu comportamento em áreas costeiras e os impactos ambientais
e de segurança.
Erikson et al. (2003) analisaram o problema de espraiamento de ondas de embarcação
em praias ao longo de canais de navegação. A embarcação ao passar próximo à praia gerava
ondas que, ao se propagarem, provocavam espraiamento elevado que afetavam os banhistas.
Neste estudo, o espraiamento de ondas de vento e de embarcação foram estimados,
comparados e usados para determinar a velocidade máxima que uma embarcação poderia
navegar sem gerar excessivo espraiamento. Esta comparação é feita em termos de altura de
onda e velocidade da embarcação da seguinte maneira: supondo, por exemplo, que o
espraiamento provocado por uma onda de vento que prejudique os banhistas seja da ordem de
1m e que, para uma onda de embarcação, um espraiamento com tal magnitude ocorra para
uma velocidade de 5m/s, assim, a velocidade máxima com o qual a embarcação pode navegar
sem prejudicar os banhistas fica limitada a 5m/s. A relação entre a altura de onda de
embarcação gerada a uma certa velocidade com uma altura equivalente gerada por ondas de
vento é apresentada em forma de ábacos. Desta maneira, com um conhecimento prévio das
condições da praia, pode-se recorrer aos gráficos para determinar a máxima velocidade que a
embarcação poderá viajar, conhecendo somente o período e altura das ondas de vento que
geram um espraiamento admissível para a localidade, ou seja, que não perturbe os banhistas.
24
3.1.1. Medições de campo e em modelos físicos
Dos trabalhos revistos, sobre medições de ondas de embarcações, quatro apresentam
detalhes do procedimento usado para a obtenção de alturas de onda. O primeiro (Sorensen,
1967) detalha medições de campo no estuário de Oakland com embarcações protótipo. Hay,
1968, Maritime and Coastguard Agency (MCA), 2001 e Sorensen (1968) apresentam
medições de laboratório com modelos reduzidos. Os dois primeiros devido ao arranjo das
sondas relatam a dificuldade em adquirir a altura máxima das ondas obtendo com isso
resultados muito dispersos. O terceiro ordenou as sondas de modo a obter também a direção
das ondas conseguindo assim descrever o espalhamento e o decaimento dessas.
Na pesquisa de Sorensen (1967), uma sonda de 15pés, fornecida pelo Corps of
Engineers Coastal Engineering Reserch Center, foi instalada numa extremidade do cais do
estuário de Oakland acoplada a um registrador que fornecia o registro impresso da variação da
superfície da água no tempo (Figura 21). Um cronômetro e marcadores espaçados de 200pés,
na extremidade do cais e ao longo de uma linha paralela à linha de navegação, foram usados
para determinar as velocidades das embarcações. O autor comenta que os dados apresentaram
muita dispersão, resultado atribuído à imprecisão inerente ao equipamento e das técnicas de
medição, e também às ondas de vento que poderiam causar um possível erro adicional aos
resultados. A dispersão nas alturas máximas de onda em função da velocidade da embarcação
pode ser causada pelo fato que a sonda pode ou não ter medido as ondas divergentes no ponto
mais elevado ao longo de suas cristas.
Figura 21: Procedimento experimental de Sorensen (1967)
25
No trabalho de Hay (1968), os modelos de embarcação foram rebocados por uma linha
de nylon esticada, conectada à proa e à popa. Pesos suspensos conectados a um eixo proveram
a força motriz. Quando os pesos eram liberados a velocidade constante, foi registrado o tempo
requerido para um determinado número de revoluções do eixo, de diâmetro conhecido,
permitindo calcular a velocidade do modelo. As ondas geradas por seis modelos de
embarcação foram medidas em quatro pontos ao longo de uma linha normal ao curso das
embarcações para uma série de velocidades e diferentes profundidades (infelizmente Hay não
apresenta figura alguma para visualizar o procedimento). Hay comenta que os resultados
mostraram as alturas máximas de onda no ponto de medição que necessariamente não são as
alturas máximas do padrão de onda. As alturas máximas (picos de interferência) se localizam
onde as ondas divergentes e as transversais se cruzam e se superpõem. Como estes picos se
propagam obliquamente em relação ao curso de navegação da embarcação e em diferentes
posições, sondas distribuídas perpendicularmente a este curso podem deixar de registrar os
picos máximos.
Para investigar as ondas de longo período produzidas por embarcações de alta
velocidade, a Maritime and Coastguard Agency, (MCA) 2001 realizou uma série de
experimentos em uma bacia de 50x17m construída para esse propósito. Um sistema de cabo
rebocador com motor de velocidade variável controlado por computador foi usado para
rebocar uma variedade de modelos, cujas escalas variaram entre 1:50 e 1:80. A profundidade
da água no modelo foi ajustada de 100mm a 400mm que correspondiam às profundidades no
protótipo equivalentes a 5m e 32m. Praias de pedra com uma inclinação de 1:3 foram usado
para minimizar reflexões em torno do tanque. Blocos de espuma de densidade variável foram
colocados no alto da praia em uma formação tipo chevron (forma zig-zag ou V) para
maximizar a dissipação da energia da onda.
Um arranjo de doze sondas foi usado para medir o perfil de ondas produzido por diferentes
modelos de catamarã e monocasco. As sondas foram conectadas através de uma placa
Analógico/Digital de 16 canais, a um computador portátil para o armazenamento e análise de
dados. A localização das sondas esta mostrada na Figura 22
Figura. Sensores óticos foram usados para registrar a velocidade do modelo. Os
modelos foram rebocados a várias velocidades, resultando em alturas e padrões de onda
medidos para números de Froude da profundidade que variaram de 0,8 a 2,2.
26
Com este arranjo de sondas, foi possível analisar a direção de propagação das ondas e a
ocorrência e a posição dos picos. Nos resultados observou-se que a ocorrência de picos foi
diferente para diferentes tamanhos de embarcações com a mesma velocidade confirmando
assim, a importância do número de Froude do comprimento para embarcações de alta
velocidade.
Figura 22: Procedimento experimental do MCA, 2003
Zeller (1952) apresenta resultados (Figura 23 e Figura 24) da utilização da
fotogrametria terrestre em um canal de ondas. Com esta técnica foi possível reproduzir o
perfil da superfície livre e as alturas das ondas em um processo semelhante ao da confecção
de cartas cartográficas. A partir do trabalho de Zeller (1952), Sorensen (1968 e 1969) e
Johnson (1968) utilizaram a técnica da estereoscopia para medir alturas de onda de
embarcação e delinear os padrões de ondas gerados.
Sorensen (1968 e 1969) demonstra a utilização do método da estereoscopia para medir
ondas de embarcações mostrando ser, com os instrumentos e procedimentos utilizados, um
método excelente para medir as formas da superfície da água e o contorno das ondas na
superfície, geradas por uma embarcação.
Os resultados obtidos por Johnson (1968) apresentaram-se mais eficientes quanto à
observação da onda na margem, sua direção e espalhamento, permitindo obter também a
localização exata das maiores alturas. Neste experimento, duas câmeras fotográficas foram
colocadas a uma altura acima do canal de 6m onde registraram ao mesmo tempo a mesma
imagem, mas com uma variação no ângulo de visada (Figura 25). Por meio de estereoscopia
foi possível reconstituir a imagem em terceira dimensão e assim obter as cristas e cavados das
ondas e sua exata localização (Figura 26).
27
Figura 23: Par de fotografias obtidas por Zeller (1952) em um canal de ondas.
Figura 24: Reconstituição das ondas por meio de estereoscopia
Fonte: Zeller (1952)
28
Figura 25: Procedimento experimental para obtenção de fotografias terrestres para
reconstituição de ondas de embarcação por meio da estereoscopia.
Fonte: Sorensen (1968)
Figura 26: Reconstituição da onda de embarcação por meio de estereoscopia
Fonte: Sorensen (1968)
29
3.1.2. Métodos empíricos
Sorensen (1997) apresenta uma revisão das principais equações empíricas para previsão
de altura de ondas. Seu objetivo era avaliar o melhor modelo de previsão de ondas para
embarcações típicas do Rio Missisipi. Estas equações se apresentam em uma variedade de
formas predizendo a altura das ondas como função de várias variáveis independentes tais
como o coeficiente de bloco, o calado da embarcação, a largura da boca, raio da curvatura da
embarcação, largura do canal e volume deslocado. Todas as equações de previsão incluem a
velocidade da embarcação. Muitas incluem a forma do casco ou fatores de forma obtidos
empiricamente e alguns relacionam o valor da altura máxima em relação à distância da
embarcação.
A revisão dessas equações levou a seleção da equação apresentada por PIANC (1987)
que é dada como:
2
FH
33,0
1max
α
α
h
h
s
h
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
(12)
onde:
H
max
= altura máxima
α
1
= coeficiente considerando o tipo de casco e o calado
h = profundidade da água
s = distância do eixo central da embarcação até o ponto onde as ondas são medidas
V = velocidade da embarcação
α
2
=
expoente determinado experimentalmente variando entre 2,67 e 4,00
g = aceleração da gravidade
A equação 12 foi baseada em valores adimensionais de
h
h
s
h
Fe,
H
max
para dados
coletados em modelo e estudos de campo. Havelock (1908), Verhey e Bogaerts (1989) e
Sorensen (1997) sugeriram que a altura da onda fosse inversamente proporcional à raiz cúbica
da distância da linha de navegação ou seja, o expoente para
h
s
seria (-1/3).
Para α
2
, PIANC (1987), Verhey e Bogaerts (1989) e Verheij e Knaap (1995)
recomendam um valor igual a 4 e o valor de α
1
foi determinado como sendo igual a 1.
30
Em todas as referências apresentadas por Sorensen (1997) nenhum fenômeno que
ocorra junto à margem é descrito pela equação 12, ou seja, atenuação, arrebentação, refração,
etc. alem do que, tal equação é válida somente para condições de águas profundas (F
h
< 0,7).
Blaauw et al. (1984) determinaram α
2
como sendo igual a 2,67. Knight (1999), baseada
nesta análise, questiona o valor utilizado por PIANC (1987), Verhey e Bogaerts (1989) e
Verheij e Knaap (1995) afirmando que qualquer valor diferente de 2,67 torna a profundidade
h na equação 12 um fator importante na previsão da altura de onda e assim, invalidando a
suposição de águas profundas.
Na análise de Knight (1999), a equação 12 resulta em:
67,2
33,0
1max
g
V
H
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
h
h
s
h
α
(13)
Dessa maneira, as potências de h acabam por fim desprezando qualquer dependência
desse parâmetro na equação 13 que passa a ser expressa como:
2,67
0,33
max 1
V
Hs
g
−
⎛⎞
=α
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(14)
onde α
1
é função da área da seção transversal submersa da embarcação, tal que:
Se área ≤ 30m
2
então α
1
= 0,5
Se 30m
2
< área < 65 m
2
então α
1
= 0,6
Se área ≥ 65 m
2
então α
1
= 0,7
Uma outra equação apresentada por Kriebel e Seelig (2005) (também válida somente
para águas profundas), leva em consideração o calado da embarcação e é dada por:
()
3
1
2
*
2
max
1,0Fβ
V
gH
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
L
s
(15)
onde:
β = coeficiente empírico que depende da forma do casco; F
*
= número de Froude
modificado que contêm um coeficiente empírico α que também depende da forma do casco;
s = distância do eixo central da embarcação até o ponto onde as ondas são medidas.
()
b
α 2,35 1 C=− (16)
31
3
e
L
β 1 8 tanh 0,45 2
L
⎛⎞
⎛⎞
=+ −
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎝⎠
⎟
⎟
⎟
(17)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
h
D
αexp
gL
V
h
D
αexpFF
L
*
(18)
onde: C
b
é o coeficiente de bloco
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∀
=
LBD
C
b
,∀ = volume da embarcação e L
e
= raio da
curvatura da embarcação.
No caso da equação 15, a suposição de águas profundas não se verifica no número de
Froude da profundidade, pois esta equação é dependente do número de Froude do
comprimento da embarcação. A validade da equação 15 para supor ondas de embarcação se
verifica na relação
h
D
.
3.2. Modelos numéricos de propagação
Ondas geradas pelo deslocamento de embarcações são estudadas utilizando-se as
equações da “classe Boussinesq”. Ertekin
et al. (1986) estudaram este fenômeno usando o
equacionamento de Green e Naghdi e concluíram que essas equações são capazes de
reproduzir um fenômeno muito similar ao observado para um modelo experimental de
embarcação movendo-se em um tanque. Entretanto, eles não consideraram que a solução era
uma propriedade única das equações de Green-Naghdi e sugeriram o problema: determinar a
classe de equações que geram ondas solitárias à frente de uma perturbação movendo-se ao
longo de um canal, enquanto vai produzindo um padrão complexo de ondas atrás de si.
Wu (1987) forneceu as primeiras contribuições para a solução desse problema.
Estudando um modelo de equações generalizadas de Boussinesq, concluiu que tal modelo
ainda parecia muito complexo para ser usado na investigação de instabilidades
hidrodinâmicas do movimento de fluidos gerados por uma perturbação movendo-se a
velocidade constante, e sugeriu um modelo mais simplificado baseado nas equações de
Korteweg-de Vries admitindo uma função fonte arbitrária, o modelo KdV forçado (fKdV).
Casciola e Landrini (1996) estudaram esse fenômeno usando as equações de Wu e o
modelo fKdV com a condição de geração de ondas de pequenas amplitudes. Eles concluíram
32
que, para essa condição, os dois modelos fornecem boa precisão de resposta e sugeriram que,
para grandes amplitudes de onda, fosse usado um modelo de ordem superior.
Jiang (2000) apresenta a implementação numérica das equações de Boussinesq para
ondas de embarcações geradas em águas rasas. Tais equações foram usadas para simular
velocidades critica, sub e supercríticas. Admitindo-se que as ondas de embarcação em águas
rasas sejam caracterizadas tanto por sua natureza dispersiva como pela sua não linearidade, e
que a embarcação se desloque em águas de profundidade relativamente pequena, foram
usadas equações de Boussinesq modificadas, totalmente não lineares, e com dispersão
melhorada desenvolvida por Nwogu, (1993). Tal modificação consiste basicamente na
comparação das características da dispersão nas equações de Boussinesq com aquelas da
teoria linear. Isto se deve ao fato de que a suposição de pequenos valores de dispersão (para
admitir ondas fracamente não lineares e o uso da equação de Boussinesq) restringe a
aplicação de tais equações para ondas de embarcações onde ocorrem também ondas de
pequeno comprimento e forte dispersão. Em seus estudos, foi comparado o modelo clássico
com o modelo modificado e foi possível observar que realmente a equação modificada
permite pequenos comprimentos de onda na popa, mas não influencia a onda longa (solitária)
na proa.
Jiang
et al. (2002) usaram as equações modificadas (Jiang, 2000) para investigar a
propagação das ondas de embarcação em regiões de topografia variada. Basicamente foi
observado que a propagação das ondas depende significamente da topografia do fundo, da
velocidade da embarcação e da história do movimento (influência da aceleração inicial) mas
ainda necessitavam ser validadas por experimentos.
Liu e Wu (2002) estudaram ondas de embarcação geradas em canais de seção retangular
e trapezoidal. O objetivo era investigar os efeitos da inclinação da parede do canal nas
características da onda gerada, portanto necessitava-se de uma análise bidimensional. Estes
pesquisadores, considerando que as ondas de embarcação possuem componentes de ondas
longas e curtas, chamam a atenção quando da utilização das equações de Green-Naghdi e
fKdV pois estas não são suficientes para computar ondas longas. Além do que, fKdV é
unidirecional, e não é válido para número de Froude pequeno. Eles propuseram um modelo
bi-dimensional de ordem superior, o fFNBM, (também baseado em Nwogu, 1993) onde, na
equação da quantidade de movimento, é adicionado um gradiente de pressão na superfície
33
livre. Comparados com o modelo fKdV este modelo pôde avaliar com mais precisão os
efeitos não-lineares e dispersivos.
Jiang (2000) e Jiang
et al. (2002) fazem referência a alguns estudos de ondas de
embarcação utilizando as equações KP. Essas equações correspondem à generalização
bidimensional das equações KdV. Tal natureza bidimensional implica que as equações KP são
“direcionalmente espalhadas”. Ambas as equações (KdV e KP) são importantes para
descrever a propagação de ondas não lineares em águas rasas. O Teorema Geral, segundo
Osborne (1994), diz que: todas as soluções para as equações KdV e KP podem ser escritas
como superposição linear das ondas cnoidais mais as suas interações não lineares. Esta
característica confere às equações KP resolverem o problema das ondas de pequeno
comprimento presentes no padrão de ondas de embarcação. Entretanto é ressaltado que tais
equações não são válidas para casos de mudanças topográficas no fundo. Listando alguns
trabalhos clássicos sobre o uso das equações de Boussinesq para propagação, eles concluem
que estas são mais gerais atendendo a casos mais variados. No entanto, os modelos de
Boussinesq são válidos para ondas propagando-se de águas intermediárias a rasas e, segundo
Demirbilek (2003), para ondas de embarcação os modelos com dispersão melhorada são
limitados para F
h
< 0,65 pois é o limite de geração de padrões de ondas de embarcação em
águas profundas.
No que se refere aos modelos numéricos de propagação incluindo a simulação de
fenômenos costeiros, são destacados na literatura quatro modelos a saber: Stockstill e Berger
(2001), Belibassakis (2003), Nwogu e Demirbilek (2004) e Dam
et al. (2006).
Com o objetivo de descrever ondas e correntes geradas por embarcações navegando em
uma hidrovia, Stockstill e Berger (2001) desenvolveram um modelo numérico baseado nas
equações de águas rasas. Nestas equações, a pressão na superfície livre é considerada igual a
zero em todo o domínio exceto abaixo da embarcação, onde a pressão é dada pelo calado da
embarcação. As coordenadas do centro da embarcação variam em cada passo de tempo de
acordo com a velocidade e a direção do movimento da embarcação. O modelo reproduz as
principais correntes de retorno em trechos retos de pequenos canais e fornece informações
sobre ondas e correntes próprias do ambiente e também sobre aquelas geradas por
embarcações.
Belibassakis (2003) desenvolveu e testou um modelo para a transformação do espectro
de ondas de embarcação em regiões de batimetria variada, baseada em dados de ondas de
34
embarcação próximas do barco em águas profundas. Os dados são obtidos tanto da aplicação
de códigos CFD (
computer fluid dynamics) de embarcações como de medições experimentais.
Os modelos foram aplicados para o problema de propagação-refração-difração de ondas
geradas por embarcações navegando próximo a regiões costeiras caracterizadas por contornos
paralelos ao curso da embarcação.
Para investigar as ondas e correntes geradas por embarcações movendo-se em canais
restritos, Nwogu e Demirbilek (2004) desenvolveram um modelo baseado nas equações de
Boussinesq fracamente dispersiva adotando a teoria dos corpos finos para o escoamento
próximo à embarcação. Para combinar a solução próxima e a afastada, o método da expansão
assintótica foi utilizado e a embarcação foi representada por uma distribuição de fontes
colocadas ao longo da linha central da embarcação. O modelo numérico foi usado para
investigar os efeitos das mudanças decorrentes das propriedades refletivas das paredes do
canal nas flutuações do nível de água e padrão de circulação em hidrovias restritas. As
predições do modelo numérico para a embarcação induzindo rebaixamento do nível (RNA) de
água e correntes foram comparadas com dados obtidos de medições de campo no canal
Mississipi River – Gulf Outlet (MRGO) e uma boa concordância foi observada entre os dados
medidos e o modelo. A conclusão final foi que, além da dependência do número de Froude da
profundidade, F
h
, e do coeficiente de bloqueio do canal há também a dependência referente às
propriedades refletivas do contorno do canal. Para paredes totalmente refletivas, o RNA é
amplificado próximo ao contorno. A magnitude do RNA foi reduzida em 50% nos contornos
fracamente refletivos.
Com o objetivo de investigar a propagação de ondas de embarcações em áreas
costeiras com fundo inclinado, Dam
et al. (2006) desenvolveram um modelo 2D governado
pelas equações de Boussinesq deduzidas por Madsen e Sorensen (1992) levando em conta
também os efeitos de arrebentação (Kennedy
et al., 2000 e Chen et al., 2000) onde a fonte
geradora de ondas de embarcação é dada pela teoria de corpos finos. Baseados nos resultados
numéricos do modelo foram investigados os padrões de refração de ondas, o comportamento
da altura máxima de onda para diferentes valores de F
h
, o comportamento da altura máxima
de onda ao longo da área inclinada até o ponto de arrebentação e a aplicabilidade da lei de
Snell. Vale lembrar aqui que, F
h
utilizado nas investigações é aquele referente à profundidade
constante onde a embarcação se desloca, gerando os padrões de onda descritos no capítulo 2
(onde F
h
varia somente pela mudança da velocidade da embarcação), e não às profundidades
35
variáveis ao longo da margem inclinada onde a onda se propaga. Da investigação de Dam et
al.
(2006), fórmulas empíricas para altura máxima, período e ângulo de refração como função
de F
h
foram obtidas a partir dos resultados do modelo numérico. Nesta investigação, é
sugerido que a refração das ondas de embarcação seja similar às ondas de gravidade geradas
pelo vento e a lei de Snell possa ser aplicada. No entanto há certa incoerência nos resultados
apresentados, pois é admitido que a onda viaja à frente da embarcação como se a velocidade
da onda fosse maior que a velocidade da embarcação.
Com relação ao tipo de fonte utilizada para gerar as ondas de embarcação, com modelos
de Boussinesq tem-se que, em quatro modelos (Ertekin
et al. (1986), Wu (1987), Casciola e
Landrini (1996) e Liu e Wu (2002)), foram usados a metodologia da pressão móvel e em
outros quatros (Jiang (2000), Jiang
et al. (2002), Nwogu e Demirbilek (2004) e Dam et al.
(2006)) a metodologia da fonte linear foi usada.
Vê-se que, para os dois modelos de Boussinesq que incluem os efeitos costeiros
(Nwogu e Demirbilek (2004) e Dam
et al. (2006)) a metodologia empregada foi a fonte linear
visto que, seus autores são engenheiros navais possuindo assim maior experiência com esta
metodologia. No modelo proposto para esta tese será utilizada a metodologia da pressão
móvel e, cabe lembrar, que esta tentativa de modificação do modelo Funwave para simulação
de onda de embarcação é pioneira e representa um importante avanço no estudo dos
fenômenos costeiros de propagação de ondas de embarcação.
36
CAPÍTULO 4
4. MODELO FUNWAVE PARA ONDAS DE EMBARCAÇÃO
4.1. Implementação da função fonte
A adição de um gradiente de pressão móvel na equação da quantidade de movimento
dos modelos de equações de tipo Boussinesq funciona como uma fonte geradora de padrões
de ondas semelhante àqueles gerados por embarcações. Uma distribuição de pressão
compatível com este sistema deve ser escolhida de modo a levar em conta as características
não-linear e dispersivas das equações. Tal distribuição apresenta-se na forma de uma função
co-seno limitado por um retângulo tendo valores iguais a zero em suas extremidades e um
pico máximo central. A análise da pressão máxima de tal distribuição, para casos reais, é
requerida devido ao fato de que sua influência, nos estudos encontrados na literatura, é
avaliada adotando-se valores arbitrários. As análises comparativas são feitas, variando o valor
máximo até encontrar um número que resulte em um perfil numérico compatível com os
resultados experimentais. Para casos reais, tal análise torna-se inviável exigindo-se valores
compatíveis com as dimensões das embarcações.
Neste capítulo, são apresentadas as modificações feitas nas equações e no código de
cálculo do modelo FUNWAVE de modo a se levar em conta a adição de uma pressão móvel.
Apresenta-se também a hipótese adotada para a pressão máxima e sua implicação nas
características não-lineares e dispersivas do modelo. Por fim, é apresentado um plano de
simulações a serem realizadas em vista a avaliar e eficácia do modelo na geração e
propagação de ondas de embarcações.
4.2. Adição nas equações do modelo FUNWAVE
As equações de Wei e Kirby (1995), base para o modelo FUNWAVE, são as seguintes:
Equação da continuidade
(19)
27
Equação da conservação da quantidade de movimento
(20)
onde:
η
é a elevação da superfície; h é a profundidade;
)
vuu ,
=
α
é o vetor velocidade
horizontal na profundidade ; g é a aceleração da gravidade; o índice t indica a
derivada parcial relativa ao tempo e
hzz 531,0==
α
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∇
yx
, o operador gradiente horizontal.
Para a geração de ondas de embarcações, uma modificação nas equações governantes
do modelo FUNWAVE se faz necessária de modo que a forçante geradora seja uma
perturbação móvel representada por uma pressão hidrostática.
A implementação de tal forçante é direta, basta adicionar à equação da quantidade de
movimento um gradiente de pressão que provoca perturbações na superfície livre (Figura 27).
Tem-se então de (20) que:
(21)
Ainda que seja direta, a adição de um gradiente de pressão como a forçante geradora de
ondas de embarcação, para garantir a validação do sistema de equações para propagação de
ondas em águas rasas é necessário escolher uma distribuição de pressão compatível com as
propriedades não lineares e dispersivas das equações de Boussinesq, ou seja, da mesma ordem
de aproximação das equações.
As equações de Boussinesq são deduzidas a partir das equações adimensionalizadas de
Navier-Stokes admitindo a hipótese de águas rasas,
1<<
l
h
. Tal procedimento faz surgir nas
equações dois parâmetros adimensionais independentes, ε e μ
2
. O parâmetro ε representa a
28
razão entre a amplitude da onda e a profundidade local,
h
η
ε
=
, que determina a magnitude
dos efeitos não lineares. O parâmetro μ é a razão entre a profundidade local e o comprimento
da onda,
l
h
=
μ
, e determina assim a magnitude dos efeitos dispersivos.
Figura 27: Representação da pressão móvel como geradora de ondas de embarcação.
Dependendo da magnitude desses parâmetros, várias suposições podem ser feitas
resultando em diferentes modelos de aproximação. A importância relativa dos efeitos de ε e
μ
2
é então proporcional a
r
U
h
l
==
3
0
2
2
η
μ
ε
, U
r
é o número de Ursell (1953).
Assim, quando U
r
< 1 (ε < μ
2
), os efeitos dispersivos predominam sobre os efeitos não-
lineares. Quando U
r
> 1 (ε > μ
2
) os efeitos não-lineares predominam sobre os dispersivos.
Quando U
r
= 1, (ε = μ
2
), os dois efeitos têm a mesma importância para determinar o
comportamento da onda. Nas equações de Boussinesq é admitida a hipótese de U
r
= 1, ou
seja, há um balanço entre os efeitos não lineares e dispersivos (ε = μ
2
).
29
O sistema de equações de Boussinesq descreve a evolução de um trem de ondas
propagando-se em águas rasas. No entanto, não se pode estudar a propagação de onda se esta
não for gerada. Na análise da influência de um forçante na equação da quantidade de
movimento, o primeiro passo consiste em, a partir da adimensionalização de (19) e (21),
desenvolver as variáveis dependentes,
η
, u
α
, P, em série de potências relativamente ao
parâmetro forçante dominante. Tal procedimento permite determinar a ordem de grandeza da
fonte geradora de perturbações compatível com as características das equações.
A adimensionalização das variáveis é feita utilizando um comprimento característico, l
0
,
uma amplitude de onda típica, a
0
e uma profundidade característica h
0
, tendo as seguintes
relações:
(22)
Substituindo (22) em (19) e (21) resulta em:
Equação da continuidade
(23)
30
Equação da conservação da quantidade de movimento
(24)
Para a geração de pulsos, no sistema (23) e (24) um termo forçante de ordem O(ε) é
requerido, dessa maneira,
η
’, u’
α
, P’ são expandidos em séries de potência em relação à O(ε).
Como o forçante real da equação é
∇
P’ que se move ao longo do eixo x, implicando também
a influência de termos dissipativos, é conveniente que este tenha uma ordem que relacione ε e
μ menor que ordem de μ
4
. Expandindo
η
’, u’
α
, P’ e
∇
P’ em séries de potência e omitindo-se
as vírgulas por conveniência tem-se:
(25)
Como a forçante age em (24), a análise da ordem de grandeza de P pode limitar-se a
esta equação. Assim, substituindo (25) em (24) obtém-se uma seqüência finita de problemas
lineares. Conhecendo a solução de primeira ordem pode-se encontrar a de segunda.
Conhecendo-se as soluções de primeira e segunda ordem pode-se encontrar a de terceira e
assim por diante. Em cada ordem de aproximação a solução é representada como:
Primeira ordem, O(1)
(26)
Para valer a propriedade das equações não lineares, ou seja, em primeira aproximação
vale a teoria linear,
∇
P
1
precisa necessariamente ser igual a zero. A equação (26) fica então
representada como:
(27)
31
A equação (27) é a forma linearizada (pois refere-se à primeira ordem de aproximação
O(1)), da equação da quantidade de movimento totalmente não linear como apresentada por
Nwogu (1993).
Na segunda ordem de aproximação, O(ε), tem-se:
()()
()()
[]
()
[]
211
2
11
22
22
22
2
1
Phuuu
uhuzu
t
ttt
∇−∇−∇−
=
⎭
⎬
⎫
∇+
⎩
⎨
⎧
∇∇+∇+
μημ
μη
ααα
αααα
..(28)
Os termos do lado direito representam a interação não linear de primeira ordem de
η
1
e
u
α
1
e de segunda ordem de P
2
que servem como termos forçantes para a onda de segunda
ordem
η
2
e para u
α
2
.
No caso da geração de ondas de embarcação, em um tempo inicial t
0
, admite-se que a
velocidade e a elevação da superfície livre da água encontram-se em repouso, ou seja,
α
η
ue
são iguais a zero, e a pressão P é a força impulsiva geradora das ondas, onde:
P =
ε
P
2
+O(
ε
2
). (29)
A representação de P como dependente de P
2
se dá devido à condição imposta a (27),
pois necessitava que
∇
P
1
fosse nulo. Isto significa que o valor de P
1
deveria ser constante ou
igual a zero. Como a forçante da equação é um gradiente da pressão,
∇
P, qualquer que seja o
valor de P
1
ele será anulado pelo gradiente. Dessa maneira, admitiu-se (para simplificação)
nesta investigação P
1
= 0. De (29), verifica-se que P é da ordem de ε, demonstrando assim a
necessidade da fonte assumir características de uma perturbação não linear (da ordem de ε) na
geração das ondas de embarcação garantido também que
∇
P seja da ordem de εμ.
4.3. Pressão não linear
Na literatura são apresentadas funções representando pressões não lineares (com ordem
de aproximação O(ε)) sempre limitadas por um retângulo de largura B e comprimento L. Tal
limitação pode representar os efeitos de uma embarcação movendo-se ao longo de um corpo
de água ou as mudanças topográficas do fundo onde, tal movimento, provoca perturbações
iniciais na superfície livre dentro dos domínios do retângulo que, com o passar do tempo,
propagam-se gerando padrões semelhantes aos das ondas de embarcação. Depois de geradas,
as perturbações começam a se propagar formando um padrão de ondas (estacionárias, do
32
ponto de vista de um observador se movendo junto com a embarcação). Na Tabela 2 são
listados alguns tipos de funções para P (adimensional), onde pa é a amplitude máxima da
pressão. Seu valor é uma constante e é assumido para ser da mesma ordem de ε, indicando
assim a natureza não linear da fonte como na equação (29).
Tabela 2: Funções de pressões listadas na literatura
Autor Expressão para a Pressão Estudo
Pedersen (2004)
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
2
2
2
2
2
cos,
B
y
L
x
payxP
π
Padrões similares de ondas
gerados por pressões,
distribuição de fontes e
variações topográficas.
Li e Sclavounos
(2002)
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
B
y
L
x
payxP
ππ
22
coscos,
Radiação da onda solitária
gerada à frente da
embarcação em mar aberto.
Wu (1987)
Cao et al. (1993)
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
L
x
paxP
π
2cos1
2
1
Ondas não lineares geradas
por pressões móveis na
superfície, no fundo e por
cilindros submersos.
Ertekin et al. (1986)
()
(
)
()
(
()
)
2
2
x0,5..L
Px,y pacos *
1.L
y0,5..B
cos
1.B
⎡
⎤
π− α
=
⎢
⎥
−α
⎣
⎦
⎡
⎤
π− β
⎢
⎥
−β
⎣
⎦
α = 0,7 e β = 0,4
Geração de ondas solitárias
à frente de uma embarcação
e a onda transversal de popa.
Scullen e Tuck (2002)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
2
2
2
11
16
),(
B
y
L
x
payxP
π
Ondas geradas por
embarcações de alta
velocidade.
Casciola e Landrini
(1996)
() ()
[
xpapaxP
π
cos1
2
1
+=
]
Ondas não lineares geradas
por pressões móveis.
33
Válidas dentro do intervalo
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤−
≤≤−
22
22
B
y
B
L
x
L
Dos estudos apresentados na literatura, para a comparação de resultados numéricos e
experimentais, são adotados valores arbitrários para pa fazendo-se análises comparativas
variando seu valor até encontrar um número que resulte em um perfil numérico compatível
com os resultados experimentais. No entanto, para simular casos reais, tal análise torna-se
inviável. Se, para cada tipo de embarcação e características da via de navegação, for
necessário escolher valores arbitrários para a amplitude máxima da pressão até chegar em um
valor compatível, o trabalho de previsão de alturas de ondas numericamente tornar-se-á muito
desgastante, impreciso e ineficaz (Nascimento e Neves, 2005). Como saber a priori, qual
altura de onda resultante de diferentes valores de pa é aquela que mais se aproxima da altura
real?
Dessa maneira, faz-se necessário adotar valores de pa compatíveis com as dimensões
das embarcações de forma a garantir ainda a preservação da característica não linear da
pressão. Para tal investigação, recorreu-se à teoria de ondas geradas pelo impacto de corpos
sólidos em meio fluido, fazendo-se uma analogia entre as dimensões destes corpos e de
embarcações deslocando-se na superfície livre. Como a onda gerada no segundo caso também
é devido ao impacto de um corpo sólido em movimento, acredita-se que tal analogia seja
possível visto que objetos se deslocando na superfície, no fundo ou submersos geram padrões
semelhantes de onda (e.g. Cao et al, 1993 e Pedersen, 2004) como mostrado na Figura 28.
34
Figura 28: padrões de ondas geradas por interação sólido-líquido.
4.3.1. A representação da pressão máxima, pa
A classificação dos tipos de ondas geradas pelo impacto de corpos sólidos foi definida
por uma síntese de soluções teóricas (Noda, 1970) e resultados experimentais (Wiegel et al,
1970) e também Maciel (1991). A classificação foi baseada na relação entre a altura relativa
do corpo, e/h, e o número de Froude do deslizamento, F
S
= V
imp
/√gh, (onde e = altura do
bloco, h = profundidade de água no canal, V
imp
= velocidade de impacto do bloco na água). O
mesmo conceito foi aplicado por Nascimento (2001) que discutiu a caracterização
bidimensional em perfil dos padrões oscilatórios devidos ao impacto de um corpo sólido na
água classificando quatro tipos de ondas geradas: onda com padrão oscilatório (fracamente
não linear), onda cnoidal (na transição para ondas não lineares), onda solitária e ressalto
hidráulico. Observou-se que existe uma relação entre a altura relativa do corpo e o número de
Froude nas características dos padrões de ondas geradas. Para e/h = 0,5 o padrão era tipo onda
solitária, acima de 0,5 observam-se ressaltos e abaixo desse valor cnoidal e oscilatório. À
medida que se aumentava o valor do número de Froude, diminuía a relação e/h para o qual as
ondas geradas apresentavam padrões cada vez mais fortemente não lineares (transição entre
onda solitária e ressalto).
Tal comportamento também foi discutido por Fritz et al. (2004) que, aplicando o
mesmo conceito, também observaram a relação entre a altura máxima do material granular sg
35
e a profundidade h (S
g
=sg/h) e F
S
. Nesse trabalho, os autores determinaram relações empíricas
entre S
g
e número de Froude na caracterização dos perfis de ondas. Para F
S
< (4-7,5 S
g
) um
padrão não linear oscilatório foi observado, para (4-7,5 S
g
) ≤ F
S
< (6,6-8 S
g
) foram observadas
ondas fracamente não lineares. O intervalo para o qual eram observadas ondas solitárias é
dado por (6,6-8 S
g
) ≤ F
S
< (8,2-8 S
g
) e finalmente para F
S
≥ (8,2-8 S
g
) notou-se a ocorrência
de ressaltos.
Tanto no trabalho de Nascimento (2001) como em Fritz et al. (2004), o mecanismo
gerador de onda era representado por blocos de concreto e PVC e material granular
(respectivamente), deslizando sobre uma rampa a montante do canal, incidindo no meio
líquido. Este mecanismo foi divido em 3 fases; a primeira fase chamada fase aérea onde o
corpo (sólido ou granular), que estava inicialmente em repouso, adquiria velocidade por ação
da gravidade; a segunda era a fase de choque e transferência de energia; na terceira fase,
tratava-se da geração da onda (Figura 29), a partir desta fase a onda gerada começa a se
propagar e assim podia ser caracterizado o padrão (em perfil).
a)
b)
Figura 29: a) Fases da dinâmica do bloco deslizante (Nascimento, 2001); b) Fases da
dinâmica do material granular (Fritz et al, 2004).
36
A análise dimensional para o problema de ondas de embarcação resulta na Equação
(30). Os conjuntos adimensionais para este fenômeno são parecidos com aqueles para ondas
geradas pelo impacto de um bloco mostrando assim que uma analogia entre os dois
fenômenos pode ser um caminho viável para analisar o problema formação de ondas de
embarcação.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
l
h
g
T
h
x
h
L
gh
V
h
L
h
D
h
B
f
h
H
SE
wc
,,,,,,,,
ρ
ρ
(30)
onde: B = boca da embarcação; L = comprimento da embarcação; V = Velocidade da
embarcação; L
c
= Largura do rio ou canal; x = Distância da embarcação à margem;
ρ
w
= massa específica do fluido; ρ
SE
= massa especifica da embarcação; H = altura da onda;
T = período da onda; l = comprimento da onda.
Fazendo-se uma transformação conveniente em (30) de modo a incluir o coeficiente de
bloqueio e a inclinação de uma margem, os conjuntos fundamentais que podem apresentar as
relações esperadas por englobarem as características da embarcação, do local de navegação e
velocidade devem ser:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
g
TI
L
h
F
L
h
h
D
Sf
h
H
s
c
h
,,,,,,
(31)
onde
A
DB
S =
, A = área da seção transversal do canal,
gh
V
F
h
=
,
x
h
I
s
=
, é a
inclinação da margem.
De (31) percebe-se que a relação
h
D
, aparentemente é esperada para ter um
comportamento semelhante as relações
h
e
(do bloco) e
h
s
g
(do material granular), ou seja, ser
responsável juntamente com F
h
pelo padrão de onda em perfil à frente, ao longo e atrás da
embarcação.
Dessa maneira, admite-se neste trabalho a hipótese que:
)(),(onde
με
O
L
h
O
h
D
h
D
pa
===
(32)
37
4.3.2. O número de Ursell inicial
Analisando a hipótese (32) acima, a primeira impressão é que, aparentemente, ela pode
violar a suposição das equações de Boussinesq, ou seja, ε = μ
2
e U
r
= 1. Esta impressão fica
mais visível quando se trabalha com dados reais como pode ser visto na Tabela 5, mais
adiante (página 55), que apresenta as dimensões das embarcações a serem utilizadas como
estudos de casos. Na Tabela é observada uma grande variação do número de Ursell que
apresenta um intervalo de valores de U
r
tanto menores quanto maiores que um.
Esta aparente violação pode ser explicada, lembrando que a hipótese (30) vale para a
geração das ondas e que, em um curto intervalo de tempo inicial, a perturbação gerada
propaga-se como na teoria linear (como mostrado na equação 26) e demonstrado por Ursell
(1953). Neste caso, o tempo de propagação em que a teoria linear é aplicável é regularizado
pelo comportamento do número de Ursell no decurso da propagação o que introduz os
conceitos de tempo de propagação e variação do número de Ursell com este tempo (Seabra
Santos, 1989).
Seabra Santos (1989) estudando os domínios de validade das diferentes teorias de
evolução de ondas em águas rasas comprovou numericamente, a demonstração de Ursell
(1953) sobre a influência do tempo de propagação e a variação de U
r
. Em um tempo de
propagação pequeno qualquer uma das teorias pode ser usada, pois conduzem aos mesmos
valores. À medida que o tempo de propagação aumenta as soluções tornam-se bastante
distintas e a interpretação para este fenômeno é que: tanto os efeitos dispersivos como os não-
lineares precisam de um tempo para se tornarem significativos na descrição da onda.
Finalmente chega a mesma conclusão obtida por Hammack e Segur (1978) de que, qualquer
que seja o número de Ursell inicial, existe um intervalo de tempo para o qual a teoria linear
não dispersiva é válida. O número de Ursell inicial (U
r0
), é admitido como sendo aquele
calculado com base na amplitude e comprimentos da perturbação inicial.
Passado este intervalo de tempo, se U
r0
<< 1 (indicando que os efeitos dispersivos
predominaram na geração das ondas), à medida que as ondas se propagam afastando-se da
fonte, os efeitos não-lineares vão sendo cada vez mais significativos até se tornarem da
mesma ordem de grandeza dos efeitos dispersivos. Por outro lado, se U
r0
>> 1 (onde os efeitos
não lineares predominaram na fase de geração) indica que à medida que as ondas se propagam
os efeitos dispersivos se tornam importantes, aumentando em relação aos efeitos não lineares
e o número de Ursell vai diminuindo até chegar ao valor de um. Isto mostra que, sejam quais
38
forem as características iniciais da perturbação, a sua propagação em águas rasas acontece de
tal maneira que elas sempre tendem a um estado em que o número de Ursell é da ordem de
um.
Deste relato, acredita-se que a adoção de (32) que resulta em U
r0
≠ 1, quando
adicionado às equações de Boussinesq, apresentará um comportamento semelhante ao
descrito nesta seção.
4.4. Distribuição de pressão a ser utilizada
Definido pa pode-se agora escolher qual distribuição de pressão é mais adequada para
atender as hipóteses assumidas.
No anexo B é apresentado em forma de gráficos as variações sofridas pelas equações
apresentadas na Tabela 2, de acordo com a variação do valor de pa e da dimensão dos
intervalos de x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤−
22
L
x
L
e y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤
22
B
y
B
. Foge ao escopo dessa investigação analisar
o comportamento destas funções, pois o interesse é verificar a reposta do modelo FUNWAVE
à adição de um gradiente de pressão em vista a analisar a propagação da onda gerada. Com
isto, adotou-se como critério de escolha da distribuição de pressão aquela que não sofreu
mudança em sua forma com a variação de pa e dos intervalos de x e y. Pelos gráficos do
anexo B é possível notar que a expressão da pressão P
b
aparentemente
não sofre alteração em
sua forma mudando apenas sua amplitude pela mudança de pa e também, na literatura, é a
expressão que apresenta uma melhor resposta na geração dos padrões de ondas de embarcação
Levando-se em conta este critério, para esta investigação foi escolhida a distribuição de
pressão apresentada por Li e Sclavounos (2002) para ser acrescentada às equações do modelo
FUNWAVE.
Tem-se então:
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
B
y
L
x
payxP
ππ
22
coscos,
(33)
Na forma dimensional (33) fica representada como:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
B
y
L
x
pahgyxP
ππρ
22
coscos),( 34)
Finalmente de (34) tem-se:
39
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
B
y
L
x
DgyxP
ππρ
22
coscos),( (35)
onde: x = x
0
+Vt, 0 < t < t
f
2222
B
y
B
e
L
x
L
≤≤−≤≤−
ρ = massa específica da água; D = calado da embarcação; V=velocidade da embarcação;
x
0
posição inicial da pressão em t = 0; t
f
= tempo no qual a pressão percorreu a distância Vt
f
.
4.5. Inclusão no código numérico do modelo FUNWAVE
As equações (19) e (20) descrevem a evolução sobre um fundo suave e impermeável de
ondas que não arrebentam. Com o objetivo de desenvolver um modelo para aplicações reais
para zonas de arrebentação e de espraiamento, foram incluídos termos às equações (19) e (20)
levando-se em conta a dissipação de energia por arrebentação e atrito no fundo e a simulação
do escoamento na zona de espraiamento. Com a inclusão desses termos, as equações (19) e
(20) resultam no conjunto de equações dadas por (36) até (50). No código numérico, o cálculo
dessas equações é feito separadamente. A cada equação, corresponde uma sub-rotina
específica como pode ser visto na Figura 30.
()()
),,(,,,,
2
tyxfvuEvuE
t
++=
η
η
η
(36)
()
[]
()()
[]
()
(
)
[
]
spbsbrbt
t
t
t
FFFFvuFvuFvFvuFuU
+
++++++= ,,,,,
21
ηηγη
(37)
()
[]
()()
[]
()
(
)
[
]
spbsbrbt
t
t
t
GGGGvuGvuGuGvuGvV
+
++++++= ,,,,,
21
ηηγη
(38)
onde: (é um parâmetro de controle que permite escolher entre casos totalmente não lineares
(γ = 1) e fracamente não lineares (γ = 0);
()()
[]
()
() ()
[
]
{}
()
() ()
[][]
{}
y
yy
xy
yyxy
x
xyxx
xyxx
yx
hyhuhavuha
hvhuhavuhavu
k
E
+++−
+++−Λ+Λ−=
2
2
3
1
2
2
3
1
1
(39)
40
()
()
()()()
[]
()
()
()()()
[]
y
xyxy
y
yyxy
x
xyxx
x
xyxx
hvhuhhavuhha
hvhuhhavuhhaE
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−=
ηηηηηη
ηηηηηη
2
1
6
1
2
1
6
1
2
222
1
2
222
12
(40)
(
)
[
xx
xx
huhbhubhuU
21
++=
]
(41)
()
[
yy
yy
huhbhvbhvV
21
++=
(42)
(
)
yxx
vuuugF +−−=
η
(43)
yxy
vvuvgG +−−=
η
(44)
()
[
]
xy
xy
hvbhvbhF
211
+−=
(45)
()
[
]
xy
xy
hubhubhG
211
+−=
(46)
()
()()
[]
()()()
[]
() ()
[
[
{
]
]
}
() ()
()
[]
{}
x
yx
yx
x
y
yx
x
yx
x
yx
x
yx
vuhvhu
hvhuvhvhuuz
yvuvvuuzF
2
22
2
2
1
2
1
+++−
+++−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++−−=
η
η
η
α
α
(47)
()
()()
[]
()()()
[]
() ()
[
[
{
]
]
}
() ()
()
[]
{}
y
yx
yx
y
y
yx
x
yx
y
yx
x
yx
vuhvhu
hvhuvhvhuuz
yvuvvuuzG
2
22
2
2
1
2
1
+++−
+++−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++−−=
η
η
η
α
α
(48)
() ()
[]
()
[]
()
[]
[
x
y
t
x
t
y
t
x
t
t
vhuhvuF
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++=
ηη
2
2
1
]
(49)
() ()
[]
()
[]
()
[]
[
y
y
t
x
t
y
t
x
t
t
vhuhvuG
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++=
ηη
2
2
1
]
(50)
onde:
¾ a
1
, a
2
, b
1
, b
2
são constantes relacionadas ao parâmetro adimensional
β = z
α
/h = -0,531 por:
β
β
β
β
==+=−=
2
2
12
2
1
e
2
,
2
1
,
6
1
2
bbaa
(51)
Para λ = 0 o sistema de equações acima se reduz às equações de Nwogu (1993).
41
Para
βλ
=====
2121
e
6
1
,0,0,0 bbaa
obtêm-se as equações
deduzidas por (Peregrini, 1967).
Finalmente, para
0
2121
=
=
=
=
= bbaa
λ
resulta nas clássicas equações não
lineares de águas rasas;
¾ Os termos Λ e k na equação (39) são referentes à técnica das fendas para
simulação de espraiamento descrita mais adiante;
¾ O vetor representa o atrito no fundo e é dado por:
(
bb
GF ,
)
()
αα
η
uu
h
K
GF
bb
+
=,
(52)
¾ O vetor representa o modelo de arrebentação;
(
brbr
GF ,
)
)
¾ O vetor representa o modelo de Smagorinski para tratar os efeitos
resultantes da viscosidade turbulenta;
(
bsbs
GF ,
¾ O vetor
(
)
spsp
GF ,
representa o modelo de camada esponja para absorver a
energia de onda nas condições de contorno.
De modo a incluir também a fonte geradora de ondas de embarcação como sendo uma
pressão móvel, modificações foram feitas em algumas destas equações e também no código
numérico.
Na equação (36), f(x,y,t) representa um termo fonte na equação da continuidade gerador
de ondas (de vento) dentro do domínio de cálculo do modelo. Para o caso de ondas de
embarcações este termo não é utilizado, sendo assim a equação (36) reduz-se a:
() (
vuEvuE
t
,,,,
2
)
η
γ
η
η
+
= (53)
Considera-se que a pressão, como representação de uma embarcação, desloca-se ao
longo de um corpo de água sem mudança na direção da sua trajetória. Dessa maneira, é
imposto que esta se desloca ao longo da direção x fixa em um ponto na direção y. Analisando
as equações (36 e 37) observa-se que a adição de P
x
e P
y
é também direta nestas. Temos
então:
()
[]
()()
[]
()
(
)
xspbbrtt
t
t
t
PFFFvuFvuFvFvuFuU +++++++= ,,,,,,
21
ηηγη
(54)
()
[]
()()
[]
()
(
)
[
]
yspbbrtt
t
t
t
PGGGvuGvuGuGvuGvV +++++++= ,,,,,,
21
ηηγη
(55)
42
A sub-rotina eval_fg (Figura) calcula os termos referentes às equações F, F
1
, F+γF
2,
G,
G
1
, G+γG
2
. Dependendo do tipo de equação escolhida (devido ao valor de γ), os termos F
2
, F
t
,
G
2
, G
t
, (calculados nas respectivas sub-rotinas eval_f2g2, eval_ftgt, e representados por B na
Figura 30) são adicionados ou não aos cálculos.
Dessa maneira, para os cálculos referentes aos termos da equação da quantidade de
movimento representados por (54 e 55), a sub-rotina eval_fg torna-se a principal sub-rotina do
programa e (54) e (55) suas principais equações onde, todos os outros termos são adicionados
a estas. Com isso, aparentemente, temos que P
x
e P
y
poderiam ser calculados diretamente
dentro desta sub-rotina sendo adicionados respectivamente às equações (43 e 44) para obter-
se finalmente:
(
)
xyxx
PvuuugF ++−−=
η
(56)
(
)
yyxy
PvvuvgG ++−−=
η
(57)
Como já foi mencionado, o cálculo dos termos P
x
e P
y
limita-se à zona compreendida
dentro de um retângulo de largura B e comprimento L. Ou seja, fora desse limite considera-se
que a superfície livre encontra-se em repouso. As equações F e G, por sua vez, são
computadas dentro de todo o domínio de cálculo que tem como limites máximos, mx e ny.
Para garantir que os limites impostos por F, G, P
x
e P
y
sejam respeitados, torna-se apropriado
calcular primeiramente as equações F e G dentro de seus limites e depois adicionar P
x
e P
y
calculados dentro de seus domínios. Lembrando que, como os dados iniciais η, u e v são
iguais a zero o resultado de F e G em todo o seu domínio será igual a zero. Computado os
valores de F e G, P
x
e P
y
podem ser calculados dentro de seus limites e adicionados às
equações F e G.
As modificações da sub-rotina eval_fg são representadas então por:
Calculando primeiro F e G em seus domínios (para i = 1, mx; j = 1, ny):
() ( ) ()( )
(
)
(
)
ji
y
ji
ji
x
ji
ji
x
ji
uvuugF
,
,
,
,
,
,
+
−−=
η
(58)
()
() ( )
(
)
ji
y
ji
ji
x
ji
ji
y
ji
vvvugG
,
,
,
,
,
,
+
−−=
η
(59)
Em seguida calcula-se P
x
e P
y
(em seus domínios de atuação) e soma-se à F e G:
() () ( )
ji
x
jii,j
PF F
,
,
+
=
(60)
() ()
(
)
ji
y
jii,j
PG G
,
,
+
=
(61)
Para: i = imin_x, imax_x; j = imin_y, imax_y
43
onde:
()
()
(
)
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
B
y
L
x
L
x
L
D
π -P
jijiji
i,j
x
,
2
,,
coscossin2
π
ππ
ρ
(62)
()
()
(
)
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
L
x
B
y
B
y
B
D
π -P
jijiji
i,j
x
,
2
,,
coscossin2
π
ππ
ρ
(63)
imin_x=max (1,int(cfmx-ilx));
imax_x=min (mx,int(cfmx+ilx));
imin_y=max (1,int(cfmy-ily));
imax_y=min(ny,int(cfmy+ily));
ilx = real (L/2/dx);
ily = real (B/2/dy);
x = real (i-cfmx)dx;
y = real (j-cfmy)dy;
cfmx = cfx+(Vt/dx);
cfmy = cfy;
(cfx, cfy) = coordenadas da posição inicial da pressão.
cfx = 0,1(mx-1)
cfy = 0,5(ny-1).
Os valores de cfx, cfy significam que a embarcação, em t = 0s, encontra-se posicionada
em coordenadas cujos valores são 10% do comprimento e 50% da largura do canal. Tais
valores foram adotados para garantir que a embarcação se desloque sempre no meio do canal
em relação à largura desse e percorra a maior distância possível ao longo do canal. Para
mudara a posição inicial da embarcação basta somente mudar os coeficientes de cfx e cfy.
Os termos acima podem ser mais bem visualizados na Figura 31 que representa o
deslocamento da pressão (embarcação) saindo do repouso no tempo inicial t
0
deslocando-se
até um tempo t percorrendo assim uma distância V(t-t
0
).
44
Chamar sub-rotina
init
para inicialização
do it = 1, nt
Ite = 0
Preditor: chamar sub-rotinas
unsol
,
vnso
l,
etsol
p
ara com
p
utar
x
=
{
η
, u, v
}
n+1
x
* = x, ite = ite + 1
Chamar sub-rotinas
eval_fg
,
eval_e
para calcular B = {E
’
, F
’
, G
’
,F
1
, G
1
}
n+1
ite > 10
Chamar sub-rotinas
eval_fg
,
eval_e
para calcular B = {E
’
, F
’
, G
’
,F
1
, G
1
}
n+1
Atualizar x, B para filtrar se necessário;
Continuar
Parar
Corretor: chamar sub-rotinas
unsol
,
vnso
l,
etsol
p
ara com
p
utar
x
=
{
η
, u, v
}
n+1
Sim
N
ão
S
im
N
ão
?10
4
*
−
>
−
x
xx
Figura 30: Algoritmo de cálculo do modelo FUNWAVE
45
Figura 31: Representação do deslocamento da pressão (embarcação)
46
CAPÍTULO 5
5. APLICAÇÕES DO MODELO
Para avaliar a aplicabilidade do Modelo FUNWAVE modificado, serão feitas
simulações para quatro diferentes situações de embarcações deslocando-se em canais
trapezoidais.
Para gerar o arquivo de batimetria dos exemplos do manual do modelo FUNWAVE, é
utilizado o programa depth.f. No entanto, para aplicações que não fazem parte do manual é
necessário construir o arquivo da batimetria a ser simulada. As dimensões das embarcações e
a batimetria, utilizadas nos cálculos de FUNWAVE de modo a reproduzir tais situações, estão
indicados nas Tabelas 3 e 4 e na Figura 32.
Com estes exemplos serão analisados:
1. O padrão de onda em planta confrontando os resultados dos ângulos da
envoltória e de propagação com a teoria;
2. Efeitos de refração e arrebentação;
3. Propagação de ondas em canais restritos;
4. Comparar ondas geradas pelo método da adição de uma pressão móvel e pela
teoria dos corpos finos.
Na Tabela 5 são apresentados os parâmetros adimensionais, relacionados a cada
situação, e na Tabelas 6 e 7 as respectivas velocidades, em função do número de Froude da
profundidade (F
h
), a serem simuladas.
Tabela 3 – Dimensões das embarcações
Modelos L (m) D (m) B (m)
Johnson 1,80 0,08 0,20
Padrão 1,5 0,061 0,15
PIANC 153 3,5 11,4
Dam 82 5,88 14,6
57
Tabela 4 – Dimensões dos canais de navegação
Modelos CE (m) LR1 (m) LR2 (m) LR (m) LI (m) 1/is (m) h (m) hd (m)
Johnson 1,000 3,111 1,588 _ 1,324 0,1 0,1524 0,0038
Padrão 3,0 _ _ 11,0 10,725 0,02 0,22 0,0055
PIANC 5,22-6,30 39,25 10,00 _ 29,25 0,25 7,50 0,1875
Dam 500 _ _ 700 700 0,02 15,00 1,00
onde:
CE = Camada esponja. Refere-se à dimensão da camada esponja utilizada no modelo
numérico para absorver a energia da onda nos contornos do domínio. Não há um critério para
a sua dimensão, devendo ser apenas suficientemente largo para absorver a energia da onda.
LR = Lado reto do canal. Refere-se à dimensão do lado reto do canal de navegação. A
definição de LR, LR1 ou LR2 dá-se devido à posição onde se desloca a fonte, ou seja, junto
ao pé da margem (LR) ou excêntrica a esta (LR1 ou LR2);
LI = Lado inclinado do canal. Refere-se à dimensão do lado inclinado (margem) do
canal de navegação;
1/is = Inclinação da margem;
h = Altura da lâmina de água;
hd = Altura da lâmina de água junto à região da camada esponja. É expresso como
hd = h.delta (onde delta é um valor empírico do modelo FUNWAVE que varia segundo
manual do modelo (Kirby et al., 1998) de 0,002 e 0,02, no entanto, os testes numérico
realizados para os quais o modelo convergiu resultaram em valores para delta como
apresentados na Tabela 5.
Tabela 5 – Parâmetros adimensionais
Modelos S D/h h/L U
r0
delta
Johnson 0,025 0,5 0,085 69,20 0,025
Padrão 0,0025 0,28 0,16 10,94 0,025
PIANC 0,106 0,47 0,050 188,00 0,025
Dam 0,005 0,39 0,180 12,04 0,067
onde: S é o coeficiente de bloqueio; D é o calado, L é o comprimento da embarcação e U
r0
é o
número de Ursell inicial.
58
Tabela 6 – Velocidades referentes à F
h
Modelos Velocidades, V (m/s)
Padrão 0,73 0,88 0,96 1,03 1,18 1,47 1,62
Dam - - - - 9,70 12,13 13,34
F
h
0,5 0,6 0,65 0,7 0,8 1,0 1,1
Tabela 7 – Velocidades referentes a F
h
Modelos F
h
V (m/s)
Johnson 0,82 1,00
PIANC 0,35 3,00
Figura 32: Geometria dos canais a serem simulados no FUNWAVE devido à posição da linha
de navegação.
5.1. Representação dos padrões de onda
Para analisar os padrões de onda gerados pelo modelo FUNWAVE modificado, as
condições adotadas para um modelo genérico de embarcação são aquelas, referentes ao
exemplo denominado Modelo Padrão nas Tabelas 3 a 5. As simulações numéricas
correspondem a uma embarcação deslocando-se em canal suficientemente largo (S = 0,0025
na Tabela 5) para evitar, a princípio, os efeitos nas margens retas. O canal tem um lado reto e
outro inclinado, com 1:50 de inclinação e h = 22cm e, assim, permitirá analisar também a
59
aplicabilidade do modelo FUNWAVE modificado na representação do efeito de refração da
onda levando-se em conta os critérios estabelecidos para F
h
crítico, sub e super crítico. Os
números de Froude da profundidade (F
h
) correspondentes a 0,5, 0,6, 0,65, 0,7, 0,8, 1,0 e 1,1
permitem observar os diferentes padrões de ondas gerados de acordo com a teoria cujas
velocidades das embarcações, são apresentadas na Tabela 6. Tem-se então no lado reto
(relembrando a Tabela 1):
Ângulo da Envoltória,
τ
F
h
< 0,7 ⇒ °= 5,19
τ
(64)
0,7 ≤ F
h
< 1,0 ⇒
()
(
)
112
15,19
−
+°=
h
F
e
τ
(65)
F
h
≥ 1,0 ⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
F
arcsen
1
τ
(66)
Ângulo de Propagação,
θ
F
h
< 0,7 ⇒ °= 27,35
θ
(67)
0,7 ≤ F
h
< 1,0 ⇒
()
112
127,35
−
−°=
h
F
e
θ
(68)
F
h
≥ 1,0 ⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
h
F
1
arccos
θ
(69)
Dessa maneira, para os valores de F
h
a serem analisados, os valores de
τ
e
θ
esperados
são apresentados na Tabela 8:
Tabela 8 – Ângulos de propagação e envoltória para F
h
definidos
F
h
τ
(º)
θ
(º)
0,5 e 0,65 19,5 35,27
0,7 20,03 34,30
0,8 21,27 32,07
1,0 90 0
1,1 65,38 24,62
Como citado anteriormente, os modelos de Boussinesq para ondas de embarcação os
modelos com dispersão melhorada são limitados para F
h
< 0,65. Pela teoria de ondas de
embarcações tem-se que essas ondas estarão em águas profundas para valores de
60
F
h
< 0,7. Com isso, será avaliada a resposta do modelo na geração e propagação de ondas no
intervalo 0,5 a 0,7 em águas profundas.
5.2. Comportamento da onda durante a propagação
O comportamento das ondas propagando-se até a margem será analisado pela estimativa
das suas alturas, velocidades e direção.
Para analisar o efeito de refração da onda, a direção de propagação será estudada pelo
comportamento das velocidades a partir do conceito de aplicabilidade da Lei de Snell, ou seja,
a mudança da velocidade ao passar de um meio a outro (ou de uma profundidade para outra
diferente). Se a onda de embarcação é assemelhada a uma onda de vento, como é citado na
literatura, isto implica que a onda de embarcação tem o mesmo comportamento de uma onda
progressiva e assim os mesmos conceitos de velocidade, comprimento e período podem ser
aplicados a ela. Para isto, um conjunto de doze séries temporais de velocidade distribuídas em
quatro diferentes profundidades na seção transversal do lado inclinado foi analisado. A
posição e profundidade onde serão registradas as séries são apresentadas na Tabela 9 e na
Figura 33 e Figura 34 e a metodologia foi aplicada às condições do Modelo Padrão.
Tabela 9 – posição dos pontos de registro das séries temporais e respectivas
profundidades
ponto x (m) y (m) h (m)
1 25,06 6,00 0,06
2 25,06 8,00 0,10
3 25,06 10,00 0,14
4 25,06 12,00 0,18
5 20,02 6,00 0,06
6 20,02 8,00 0,10
7 20,02 10,00 0,14
8 20,02 12,00 0,18
9 15,05 6,00 0,06
10 15,05 8,00 0,10
11 15,05 10,00 0,14
12 15,05 12,00 0,18
61
Figura 33: Localização espacial dos pontos de registros de séries temporais analisadas.
Figura 34: Profundidades onde se localizam os pontos de registros.
Para analisar os efeitos de arrebentação (modelo Johnson), as ondas em canais restritos
(modelo PIANC) e o tipo de fonte (modelo Dam), o comportamento das ondas propagando-se
até a margem foi analisado a variação da altura de onda ao longo de uma seção transversal.
Como foi mencionado, a estimativa de alturas de ondas por métodos empíricos leva sempre a
representar o comportamento da onda como sendo caracterizado por um decaimento potencial
tendo ponto máximo próximo à embarcação e mínimo junto á margem. Dessa maneira, nesta
62
tese, as alturas máximas de ondas serão analisadas de acordo com o comportamento que as
ondas sofrem ao longo do canal, desde a linha de navegação até o topo da margem.
Para melhor entendimento desta metodologia serão relatados os passos para obter tais
dados:
a) Obter resultados de alturas de ondas onde x representa a direção longitudinal do
canal e y a direção transversal (Figura 35a);
b) Fazer cortes longitudinais em x em diferentes pontos do domínio de y (Figura 35b);
c) Obter o perfil espacial de alturas de ondas em cada corte (Figura 36);
d) Registrar a altura máxima em cada perfil espacial;
e) Representar como função de y (Figura 37).
Finalmente será obtida a representação do decaimento das alturas máximas saindo da
linha de embarcação até o topo da margem.
a) b)
Figura 35: Representação espacial do padrão de onda na superfície (a) e cortes longitudinais
em diferentes pontos no domínio de y (b).
63
0 10 20 30 40 50
-0.04
-0.02
0
0.02
(A)
η
(m)
0 10 20 30 40 50
-0.01
0
0.01
(B)
η
(m)
0 10 20 30 40 50
-10
-5
0
5
x 10
-3
(C)
η
(m)
0 10 20 30 40 50
-5
0
5
x 10
-3
(D)
η
(m)
0 10 20 30 40 50
-5
0
5
x 10
-3
(E)
(x)
η
(m)
0 10 20 30 40 50
-5
0
5
x 10
-3
(F)
(x)
η
(m)
Figura 36: Exemplo de perfis espaciais de alturas em cada corte longitudinal.
Figura 37: Exemplo de representação da altura máxima variando em função de y.
64
5.3. Arrebentação
Para analisar a aplicabilidade do Modelo FUNWAVE modificado na representação de
arrebentação de uma onda de embarcação incidindo na margem, as condições adotadas para
embarcação e canal são aquelas, referentes ao exemplo denominado Modelo Johnson nas
Tabelas 3 a 5. O Modelo Johnson é uma representação do experimento realizado por Johnson
(1968) que apresenta os efeitos da onda de embarcação propagando sobre uma margem
inclinada em um canal com resultados obtidos através da técnica da estereoscopia (Figura 38).
No resultado apresentado por Johnson (1968) foi possível observar o efeito de arrebentação da
onda (ponto B) cuja magnitude (Hb) foi estimada, no instante do registro, como sendo
aproximadamente Hb = 81,28 cm no protótipo ou Hb = 8,1 mm no modelo.
O resultado numérico será comparado com o resultado obtido na Figura 38 da seguinte
maneira: estimar o decaimento da altura máxima de onda em pontos localizados na seção
transversal do canal e comparar com o decaimento resultante do modelo numérico.
A Figura 39 representa o comportamento da altura máxima de onda do exemplo
apresentado por Johnson (1968). As alturas de ondas registradas nesta figura foram obtidas
pelo método descrito na seção 5.2 para a estimativa das alturas máximas. Comparada com a
Figura 38, observa-se que a margem está representada no lado oposto ao modelo físico. Isto se
dá apenas por simplificação devido ao método de cálculo do modelo numérico e para que,
quando confrontado com os resultados numéricos, haja concordância com a posição dos
dados.
65
Figura 38: Resultado de Johnson (1968)
66
Figura 39: Comportamento da onda do resultado de Johnson (1968)
5.4. Ondas em canal restrito
Para analisar a aplicabilidade do Modelo FUNWAVE modificado na representação
de uma embarcação navegando em um canal restrito, as condições adotadas para
embarcação e canal são aquelas, referentes ao exemplo denominado Modelo PIANC nas
Tabelas 3, 4, 5 e 7. O Modelo PIANC é a representação de um exemplo de aplicação,
apresentado em PIANC (1987), da metodologia de cálculo das perturbações na água
produzidas por embarcações em canais restritos, ou seja, correntes de retorno, ondas e
mudança no nível de água. Apesar de, neste exemplo, F
h
ser muito pequeno (da ordem de
0,35) e como já foi mencionado, um valor tão baixo de F
h
não ser válido para as
equações de Boussinesq a justificativa para a simulação de tal exemplo se dá devido ao
fato de que, neste caso as ondas secundárias (divergentes e transversais) não são geradas
pelo movimento da embarcação produzindo apenas as ondas dianteira, de popa e o
rebaixamento do nível de água.
Seguindo tal metodologia, as cargas hidráulicas (que atuam nas margens) induzidas
por uma embarcação são limitadas pela sua distância em relação à margem e sua
67
velocidade e, para obtê-las alguns passos devem ser seguidos. A metodologia para os
cálculos é apresentada no anexo C.
Ao fim dos passos de cálculo, obtêm-se os valores de:
1. Velocidade média da corrente de retorno ( ) e depressão média do nível de água
;
r
u
_
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
_
h
2.
Velocidade máxima da corrente de retorno ( ) e depressão máxima do nível de
água ;
r
u
^
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
^
h
3.
Altura da onda transversal da popa (z
max
);
4.
Altura da onda dianteira (Δ
hf
);
Tem-se assim, como resultado do exemplo em questão:
Tabela 10 – Resultados do exemplo de aplicação, apresentado em PIANC (1987)
r
u
_
_
h
Δ
r
u
^
^
h
Δ
z
max
Δ
hf
0,82 m/s 0,37 m 1,2 m/s 0,54 m 0,54m 0,58 m
No entanto, neste trabalho serão comparados apenas os resultados de altura da onda
transversal da popa, altura da onda dianteira e depressão máxima do nível de água com
aqueles os que serão obtidos com o modelo numérico.
5.5. Comparação entre fontes
Para esta última aplicação, analisar-se-á o comportamento da fonte utilizada nesta tese
influenciando a propagação da onda. Para tal análise as condições adotadas serão aquelas
referentes ao exemplo denominado Modelo Dam nas Tabelas 3, 4, 5 e 6. O modelo Dam
representa um exemplo de aplicação apresentado por Dam
et al. (2006) para um modelo de
ondas de embarcação cuja fonte geradora de ondas segue a teoria dos corpos finos. Para as
mesmas condições, o exemplo será simulado no FUNWAVE onde, as semelhanças e
diferenças nos dois resultados, serão analisadas.
68
CAPÍTULO 6
6. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Para as condições de cada caso, o domínio de cálculo foi dividido em segmentos de reta
com espaçamento de dx e dy conduzindo a mx e ny pontos de cálculo. Os cálculos foram
realizados para passos de tempo dt, respeitando-se a condição do modelo para o número de
Courant
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
ax
hg
dx
dt
m
5,0
, resultando em um tempo total de cálculo denominado nt. Na Tabela
11 estão indicados os valores desses parâmetros para cada caso considerado e também dos
outros parâmetros utilizados no modelo FUNWAVE. Estes parâmetros estão descritos no
Anexo A e correspondem a:
• cbkv – Coeficiente que permite a variação do parâmetro para o esquema de arrebentação;
• ck_bt – Coeficiente de atrito de fundo;
• delta – Largura da fenda do fundo. Pode variar entre 0,002 a 0,02 é definido também
como
h
hd
delta =
;
• slmda – Tipo de permeabilidade do fundo. Pode variar entre 20 a 80; Tais variações dos
valores de delta e slmda são sugeridas pelo manual do Modelo FUNWAVE, no entanto
experiências relatadas por Vieira e Fortes (2004) mostraram que os resultados finais do
modelo são relativamente independentes da escolha dos valores desses parâmetros, desde que
estes garantam a convergência do modelo.
• isltb – Ponto do domínio onde se inicia o fundo permeável;
• islte – Ponto do domínio onde termina o fundo permeável;
• ispg i – Largura das fronteiras de absorção (em pontos), i = 1,2 referem-se as fronteiras
(inicial e final respectivamente) na direção x e i = 3,4 referem-se as fronteiras (inicial e
final respectivamente) na direção y. No manual é sugerido um valor correspondente a 2 ou
3 comprimentos de onda. Para esta investigação, no entanto levou-se em conta depois de
vários testes numéricos, que este valor seja apenas suficientemente largo para garantir a
absorção das ondas. Tem-se que CE = (ispg i - 1)*dy (CE = camada esponja, rever
Tabela 4).
69
Tabela 11 - Parâmetros de cálculo do modelo FUNWAVE
Modelo
dx
(m)
dy
(m)
dt
(s)
mx ny nt cbkv ck_bt delta slmda isltb islte ispg 1 ispg 2 ispg 3 ispg 4
Johnson 0,07 0,08 0,01 641 104 2001 0,55 0,005 0,025 80 151 151 71 71 14 14
Padrão 0,07 0,1 0,01 891 281 3001 0,55 0,001 0,025 20 101 101 71 71 31 31
PIANC 2 0,9 0,1 301 101 1001 0,55 0,005 0,025 40 301 301 2 2 6,8 8
Dam 5 8 0,1 801 301 2751 0,65 0,001 0,067 80 801 801 2 2 63,5 63,5
6.1. Representação dos padrões de onda
Utilizando os dados do modelo Padrão, foram simuladas numericamente situações cujos
números de Froude da profundidade (F
h
) correspondem a 0,5, 0,6, 0,65, 0,70, 0,8, 1,0 e 1,1.
Com isto foi possível avaliar a resposta do modelo na simulação dos diferentes padrões de
ondas levando-se em conta o critério estabelecido para F
h
, sub, super e crítico. Estes padrões,
que podem ser observados nas Figura 40 a Figura 46 mostraram-se em concordância com os
resultados teóricos apresentados na Tabela 8.
Os ângulos de envoltória e propagação apresentaram valores iguais ao relatado na
teoria sendo que, a medida que F
h
aumenta o padrão torna-se mais nítido, ou seja, quanto
maior F
h
melhor pode ser identificado as características das ondas. Como por exemplo, as
ondas divergentes e transversais são melhor observadas para F
h
= 0,80 do que para as
situações de F
h
menores que 0,70. Nesta última situação, apesar do padrão de ondas ser
observado, este se apresenta como que “difuso” dificultando a análise visual das ondas
divergentes e transversais. Com estes resultados, confirma-se a limitação do modelo de
Boussinesq na simulação de ondas para F
h
< 0,65.
70
Linha de
Navegação
CE CE
Topo Pé
Figura 40: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0, 5
71
Linha de
Navegação
CE CE
Topo Pé
Figura 41: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0,6
72
Linha de
Navegação
CE CE
Topo Pé
Figura 42: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0,65
73
Linha de
Navegação
CE CE
Topo Pé
Figura 43: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0,70
74
Linha de
Navegação
CE CE
Topo Pé
Figura 44: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 0,8
75
Linha de
Navegação
CE CE
Topo Pé
Figura 45: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 1,0
76
Linha de
Navegação
CE CE
Topo Pé
Figura 46: Padrão de ondas de embarcação gerado para F
h
= 1,1
6.2. Refração
Na Figura 40 até a Figura 46 observa-se claramente, no lado inclinado do canal, o efeito
de mudança na direção de propagação da onda aparentemente como efeito de refração.
Observando a diminuição gradual do ângulo da envoltória desde a linha de navegação até o
topo da margem nota-se a tendência das cristas tornarem-se paralelas ao contorno. Isto posto,
acredita-se que para analisar tal fenômeno a referência a este estudo deva ser a aplicabilidade
ou não da Lei de Snell a estas ondas.
77
Sabe-se que o princípio fundamental da Lei de Snell para as ondas de gravidade é a
mudança de direção da propagação destas provocadas pela diminuição de sua velocidade ao
passar de uma profundidade a outra mantendo, no entanto em cada região, velocidade
constante (Figura 47).
Profundidade 1
V 1
V 2
Profundidade 2
Figura 47: Princípio fundamental da Lei de Snell
A análise dos resultados das séries temporais de velocidade na direção x e y registrados
em doze pontos distribuídos no lado inclinado do canal revelou um comportamento muito
peculiar dessas ondas, demonstrando diferenças singulares com as ondas de gravidade geradas
pelo vento. O valor máximo do modulo (Um) das velocidades orbitais u e v difere em pontos
distribuídos ao longo de uma mesma profundidade e, em outros casos, comparando Um em
profundidades diferentes, há pequena variação de magnitudes.
Foram analisados os resultados de velocidade para F
h
igual a 0,80, 1,0 e 1,1 pois como
observado na Figura 44 até a Figura 46 são aqueles que aparentemente sofrem mais a ação do
fundo inclinado. Esta é uma questão óbvia devido ao fato de que quanto maior a velocidade
da embarcação maior é a ação da sua onda na margem.
Os gráficos das Figura 48 e Figura 49 representam a razão entre as velocidades u e v
pelo seu correspondente valor máximo (em valor absoluto) em cada série temporal para
F
h
= 0,80 em três pontos (nas figuras indicados como sonda 1, 5 e 9) na profundidade h = 0,06
m. Analisar as velocidades pela razão entre seu valor máximo possibilita, dentre de um
mesmo intervalo, avaliar o comportamento dessas em todos os pontos de registro.
Primeiramente observa-se, comparando as velocidades u e v em cada profundidade, que
os valores máximos das velocidades ocorrem no mesmo instante e com a mesma freqüência.
78
No entanto, existe variação de seus valores, ou seja, para um dado instante um valor da
velocidade u pode corresponder a um valor da velocidade v maior ou menor.
Outra observação pertinente é o fato de que ao longo de uma mesma profundidade em
pontos distintos existe variação da velocidade. Esta situação pode ser observada na Figura que
representa o módulo das velocidades resultantes de u e v ao longo do tempo na profundidade
h = 0,06 m. O pulso da onda chega primeiramente na sonda 9, cinco metros depois passa pela
sonda 5 e mais cinco metros chega finalmente na sonda 1 onde a velocidade é maior que na
sonda 9. Esta observação viola a hipótese de uma onda progressiva sobre a ação de refração
dada pela Lei de Snell, pois em uma mesma profundidade ao longo da costa a onda deveria ter
velocidade constante.
Por outro lado, na Figura 50 e 51 que representam séries temporais do módulo das
velocidades u e v em profundidades distintas observa-se que, para os respectivos valores nas
sondas 5 e 6 não houve uma considerável variação da velocidade máxima. A sonda 5
representa o ponto (no modelo numérico) localizado na profundidade 0,06m, a sonda 6
representa o ponto localizado na profundidade 0,10m. Analisando a variação da velocidade
máxima em relação ao número de Froude (Figura 52 a Figura 55) é possível observar melhor
este comportamento. Em uma mesma profundidade, mas em posições diferentes a onda
apresenta velocidades distintas (Figura 52 e Figura 53) e em profundidades diferentes pode
em alguns casos apresentar a mesma magnitude (Figura 54 e Figura 55).
Aparentemente, esse comportamento relatado, implicaria que o padrão de ondas deve
ser dispersivo tendo velocidades orbitais maiores próximo à embarcação diminuindo à medida
que se dispersa. No entanto, tal afirmação não é correta visto que as velocidades orbitais, que
são proporcionais à altura de onda, deveriam ser maiores quando mais a onda se aproxima do
topo da margem. Esse mesmo comportamento das velocidades orbitais foi observado tanto
para o caso de F
h
igual a 0,80 como para F
h
igual a 1 e 1,1. Dessa maneira, acredita-se que o
que deva ter ocorrido, para os resultados discutidos acima apresentarem-se tão distorcidos,
deva ser o fato de o modelo necessitar de certo tempo para estabilizar. Se as sondas estiverem
posicionadas muito próximas à posição inicial da embarcação, os resultados iniciais seriam
realmente distorcidos. Assim, decidiu-se realizar novos testes com as sondas posicionadas
mais a frente da posição inicial da embarcação. A nova localização das sondas é apresentada
na Tabela 12 e na Figura 56.
79
Figura 48: Razão entre as velocidades u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
F
h
= 0,8 e para pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m)
Figura 49: Razão entre as velocidades v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
F
h
= 0,8 e para pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m)
80
Figura 50: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para F
h
= 0,8 e para pontos
distribuídos ao longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m)
Figura 51: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para F
h
= 0,8
81
Figura 52: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m)
Figura 53: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade (h = 0,06 m)
82
Figura 54: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas
Figura 55: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas
83
Figura 56: Nova localização espacial dos pontos de registros.
Tabela 12 – Nova posição dos pontos de registro e respectivas profundidades
ponto x (m) y (m) h (m)
1 30,06 6,00 0,06
2 30,06 8,00 0,10
3 30,06 10,00 0,14
4 30,06 12,00 0,18
5 35,02 6,00 0,06
6 35,02 8,00 0,10
7 35,02 10,00 0,14
8 35,02 12,00 0,18
9 40,05 6,00 0,06
10 40,05 8,00 0,10
11 40,05 10,00 0,14
12 40,05 12,00 0,18
Com a nova localização das sondas os testes numéricos foram repetidos para F
h
igual a
0,80, 1,0 e 1,1. Todos os resultados das análises de velocidades são apresentados no anexo D
e, desta vez, apresentaram-se compatíveis como o que era esperado, ou seja, em uma região
84
de mesma profundidade observam-se velocidades constantes e, comparando as velocidades
em profundidades distintas, tem-se que tais velocidades tendem a aumentar à medida que se
aproximam do topo da margem. Esses resultados demonstram que realmente o modelo
necessita de um tempo para tornar-se estável. Dessa maneira, um estudo sobre o tempo
aproximado que o modelo necessita para estabilizar poderia ser realizado futuramente.
Para analisar a direção de propagação da onda recorreu-se ao conceito de curva
hodógrafa de velocidade. Curva hodógrafa é um gráfico construído a partir das componentes,
u e v de velocidade e ilustram a relação entre essas velocidades. Para o caso de uma onda
unidimensional, a hodógrafa de velocidade é uma linha reta indicando o movimento periódico
de vai e vem das velocidades nas cristas e cavados. Também indica a direção preferencial de
propagação, ou seja, se as ondas se propagam na direção x (por exemplo) a hodógrafa será
uma reta paralela ao eixo onde está representada a componente u de velocidade na direção x
(Figura 57).
Hodógrafa unidimensional
Figura 57: Representação da hodógrafa de uma onda unidimensional
Na Figura 58 estão representadas as hodógrafas de velocidade das sondas 1, 5 e 9 para
F
h
igual a 0,80. Pelos gráficos observa-se a tendência das hodógrafas a serem retas inclinadas
em relação aos eixos de velocidade. A direção principal de propagação das ondas é dada pela
inclinação desta reta e é possível observar que em uma mesma profundidade a onda tem
velocidade constante demonstrada pelos três gráficos que são praticamente iguais.
Na Figura 59 estão representadas as hodógrafas (para F
h
igual a 0,80) em quatro
profundidades distintas e é possível observar a mudança de direção que acontece em cada
ponto. Observa-se que a variação da inclinação do ângulo de propagação se dá no sentido da
velocidade v, indicando assim, que a propagação tende, a medida que a profundidade diminui,
a ficar perpendicular ao contorno da margem (direção y). Isto é percebido, lembrando-se que
85
no caso das sondas 1, 2, 3 e 4, o primeiro ponto a registrar a passagem da onda é a sonda 4 e
sucessivamente a 3, 2 e 1. Assim nota-se que o ângulo da inclinação da reta de tendência de
cada hodógrafa em questão aumenta da sonda 4 à sonda 1 e para a direção do eixo da
velocidade v que coincide com a direção de y.
As Figuras 60 e 61 representam as hodógrafas de velocidade das sondas 1, 5 e 9 para F
h
igual a 1 e 1,1 respectivamente. Dessas figuras observa-se que as velocidades já não
apresentam um mesmo comportamento isto se dá devido ao fato d que, para estes dois casos,
ocorreu efeitos de arrebentação (para F
h
igual a 1) e reflexão (F
h
igual a 1,1) tornando assim o
padrão de velocidades mais caótico.
Para todas as outras profundidades e números de Froude os resultados se mostram
semelhantes ao que foi discutido nos parágrafos acima e seus gráficos podem ser observados
no anexo D.
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 58: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade (h = 0,06 m) para F
h
= 0,80.
86
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 59: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades distintas
para F
h
= 0,80.
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 60: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade (h = 0,06 m) para F
h
= 1,0.
87
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 61: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade (h = 0,06 m) para F
h
= 1,1.
6.3. Arrebentação
O teste de arrebentação foi o mais sensível aos parâmetros de cálculo do modelo
FUNWAVE referentes aos termos de arrebentação. Foram analisados aproximadamente 26
combinações dos parâmetros CBKV, SLMDA, CK_BT. Isto se fez necessário, pois o objetivo
era encontrar valores para o comportamento das alturas de onda próximos dos valores
apresentados por Johnson (1968). Os valores apresentados na Tabela 11 foram os que
aparentemente apresentaram melhores resultados de convergência do modelo. Mas ainda há
necessidade de mais testes numéricos e experimentais. A Figura 62 representa a superfície de
água perturbada pela embarcação. Observa-se na margem inclinada uma região onde
predominam picos de alturas de onda. Admitindo que estes picos representem a localização
do ponto B do resultado de Johnson (rever Figura 38), a primeira observação é a posição onde
se localiza tal ponto. No experimento de Johnson o ponto B localiza-se aproximadamente a
4,12 m da popa do barco, no modelo numérico este valor é de aproximadamente 3,90 m, ou
seja, um erro de 5,3% aproximadamente.
88
Na Figura 63 é representado o comportamento da altura máxima de onda. Comparando
com os valores experimentais observou-se um comportamento muito semelhante de ambos os
resultados junto ao pé da margem onde a onda sofre um efeito de rebaixamento que poderia
ser caracterizado como um “set dow” e logo em seguida começa a se elevar provavelmente
como efeito de empolamento até arrebentar próximo ao topo. O ponto de arrebentação, no
entanto apresentou valores diferentes, enquanto Hb (altura de arrebentação) no experimento
foi da ordem de 8,0mm, no modelo foi de aproximadamente 12,5mm, ou seja, um erro de
aproximadamente 36%, um valor que em protótipo torna-se considerável e superestima o
valor real.
No entanto, a boa representação do modelo na simulação de arrebentação sugere mais
análises de calibração dos parâmetros e comparação com mais dados experimentais e se
mostrou viável para representar o fenômeno.
Levando-se em conta o critério de McCowan temos que Hb experimental é da ordem de
10mm e Hb numérico da ordem de 15,625mm, que correspondem aproximadamente com a
posição que se encontram nos registros. Não foi possível analisar no registro de Johnson, se a
altura de arrebentação no ponto B corresponde a altura máxima de arrebentação, pois o
registro é de um determinado instante que pode não ser o instante em que a altura de
arrebentação é máxima.
89
Figura 62: Padrão de ondas de embarcação gerado para o modelo Johnson
90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
y (m)
η
(m)
p
CE
Topo
Arrebentação
Pé
Linha de Navegação
CE
⊗
- num
O - exp
Figura 63: Comportamento das alturas máximas das ondas geradas para o modelo Johnson
6.4. Ondas em canal restrito
Os resultados da simulação para ondas em canais restritos são apresentados nas Figura
64 a Figura 66. Na
Figura observa-se o padrão de onda gerado pelo deslocamento da
embarcação. Como era esperado, não ocorreu formação de ondas secundárias devido ao F
h
muito baixo. Em virtude das dimensões do canal, formou-se uma onda dianteira a frente da
embarcação, uma onda transversal de popa e ao longo do comprimento da embarcação nota-se
o rebaixamento do nível de água.
A Figura 65 representa o perfil de onda na linha de navegação. Os valores de altura da
onda dianteira (Δ
hf
) e depressão máxima do nível de água ( ) calculados, mostraram-se
semelhantes aos resultados teóricos, no entanto, a altura da onda transversal da popa (z
^
h
Δ
max
)
apresentou um resultado inferior. Os resultados são apresentados na Tabela 13.
91
Tabela 13 - Comparação dos resultados do exemplo de aplicação do modelo PIANC
com os resultados obtidos com o modelo numérico.
Resultados
^
h
Δ
z
max
Δ
hf
Exemplo 0,54m 0,54m 0,58 m
Numérico 0,60m 0,20m 0,55m
O objetivo dessa simulação era a aplicabilidade do modelo na geração de ondas em
canais restritos. O modelo foi capaz de gerar padrões semelhantes à teoria, no entanto,
observa-se que pelos resultados obtidos a onda dianteira e o rebaixamento é bem
representado, mas a onda na popa não. Com isso vê a necessidade de realizar mais testes de
simulação para outras situações para obter resultados mais conclusivos.
A Figura 66 apresenta o comportamento da altura máxima da onda. Desse resultado, a
informação mais importante é o rebaixamento que se observa no lado esquerdo da figura,
demonstrando a capacidade do modelo em reproduzir o fenômeno de espraiamento. Este
resultado indica que o espraiamento é um fenômeno que pode ser simulado pelo modelo em
questão, mas há também aqui, a necessidade de mais resultados experimentais para efeito de
comparação.
92
Figura 64: Padrões de onda em canal restrito gerado pelo modelo FUNWAVE. A =onda
dianteira, B = rebaixamento do nível de água e C = onda transversal de popa.
Figura 65: Perfil da onda na linha de navegação
93
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
y (m)
η
(m)
Decaimento da altura máxima de onda - Exemplo PIANC
CE
Topo
Pé
Linha de Navegação
CE
Figura 66: Comportamento das alturas máximas de onda
6.5. Comparação entre fontes
A Figura 67 a Figura 69 apresentam a comparação entre os resultados obtidos do
modelo Dam simulados no FUNWAVE com aqueles reportados por Dam et al. (2006). Dos
resultados, observa-se que, para F
h
= 0,8 o comportamento das alturas mostrou-se muito
semelhante e, à medida que F
h
aumenta, há a tendência das alturas simuladas pelo
FUNWAVE serem menores igualando-se apenas com as alturas de arrebentação. Isto indica,
aparentemente, que a velocidade da fonte é o fator que influencia o comportamento da onda.
O modelo de Dam et al. (2006) usa as equações fracamente não lineares de Madsen e
Sorensen (1992) por outro lado, o modelo FUNWAVE usa as equações totalmente não
lineares de Wei e Kirby (1995). Sabe-se, como comentado no anexo A, que os domínios de
validade das equações de Boussinesq são limitados para diferentes situações (Nascimento,
2001). Dessa maneira, testes com diferentes fontes e diferentes modelos deveriam ser
realizados para determinar as situações para as quais as equações de Boussinesq são válidas,
fugindo ao escopo desse trabalho.
94
Figura 67: Comparação entre os resultados do Modelo Dam (F
h
= 0,80) de altura máxima,
simulados com o FUNWAVE e com o modelo de Dam et al. (2006).
Figura 68: Comparação entre os resultados do Modelo Dam (F
h
= 1,0) de altura máxima,
simulados com o FUNWAVE e com o modelo de Dam et al. (2006).
95
Figura 69: Comparação entre os resultados do Modelo Dam (F
h
= 1,1) de altura máxima,
simulados com o FUNWAVE e com o modelo de Dam et al. (2006).
6.6. Tempo de simulação
As simulações foram calculadas em um computador AMD Sempron 2400 (1,67 GHz),
480 MB de memória RAM. Na Tabela 14 é apresentado o tempo de simulação do fenômeno
para cada caso comparado com o tempo de cálculo do modelo. Desses resultados conclui-se
que o modelo FUNWAVE para onda de embarcação pode ser apropriado para diagnóstico de
situações reais desde que não seja preciso um resultado imediato, ou seja, no mesmo instante
em que ocorre o fenômeno. Pode ser usado também sem restrições para prognóstico de
situações que venham a acontecer, por exemplo, para o dimensionamento de canais de
navegação.
Tabela 14–Comparação entre o tempo real de simulado e o tempo de calculo do modelo
Modelo dx (m) dy (m) dt (s)
Tempo de
simulação (s)
Tempo de cálculo do
modelo
Johnson 0,07 0,08 0,01 20 32 min
Padrão 0,07 0,1 0,01 30 8 horas
PIANC 2 0,9 0,1 11,8 21 min
Dam 5 8 0,1 275 14 horas
96
6.7. Métodos empíricos
Em relação aos métodos empíricos, neste trabalho não foi possível realizar testes
comparativos visto que todos os métodos apresentados são válidos para F
h
< 0,7, valores estes
que não são bem representados pelos modelos de Boussinesq.
Ainda que estes métodos empíricos sejam válidos somente para ondas geradas em
condições de águas profundas, eles são utilizados para estimar ondas incidindo em margens
onde, dependendo da profundidade pode ocorrer dessas se transformarem em ondas de águas
rasas e assim sofrer mudanças consideráveis nas alturas de ondas. Em nenhuma das
referências citadas, sobre os métodos empíricos, este fato é levado em consideração. Portanto,
para verificação dessa evidência, mais estudos experimentais deveriam ser realizados.
6.8. Modelos físicos
As ondas de embarcação são medidas por técnicas tradicionalmente usadas para ondas
monocromáticas, ou seja, utilizando sondas capacitivas distribuídas ao longo do curso de
navegação. É neste ponto que surge algumas questões: se estas ondas são bidirecionalmente
espalhadas onde os picos máximos podem ocorrer em diferentes lugares, o uso de sondas
alinhadas ao curso de navegação garante o registro dos maiores picos? Qual o melhor arranjo
de sondas para obter este registro? Quantas sondas são necessárias para isto? Há outra técnica
que poderia fornecer resultados mais precisos? A técnica da estereoscopia foi utilizada na
década de 60 por Johnson(1968) e Sorensen (1968) com a intenção de delinear os padrões de
ondas gerados, mas mostrou-se também eficiente na determinação das alturas de onda de
embarcação e seu espalhamento.
Neste contexto, encontra-se em fase de atividade a realização de um experimento no
Canal de Velocidade do IPH/UFRGS que tem por objetivo analisar a propagação das ondas de
embarcação em margens inclinadas e a determinação de alturas de ondas pela técnica da
estereoscopia. Apesar de não ser uma técnica nova, não há registros do uso da técnica da
estereoscopia para medição de ondas no Brasil. A validação desta técnica pode-se apresentar
também como contribuição a mais para a medição de outros tipos de ondas. A descrição desse
modelo físico encontra-se no anexo E.
97
Os resultados desse experimento fogem aos objetivos dessa tese, no entanto, testes
visuais da propagação das ondas geradas mostraram a tendência que foi relatada no item 6.2
sobre a dispersão exibida por estas ondas apresentando um padrão bidimensional com as
ondas propagando-se em duas direções. A análise visual mostrou também que para a
simulação de um caso de F
h
= 0,65, ou seja, condições de águas profundas, as alturas de onda
foram influenciada pela variação de profundidade à medida que avançavam sobre a margem,
aumentando sua magnitude e provocando espraiamento.
Com isto observa-se que, se a simulação realizada era para condições de águas
profundas, deveriam valer as hipóteses dos modelos empíricos, ou seja, o decaimento da
altura saindo da embarcação até atingir o topo da margem. Dessa maneira, reitera-se a
necessidade de se levar em conta ao analisar métodos empíricos, a transformação sofrida
pelas ondas ao propagar-se para águas rasas.
98
CAPÍTULO 7
7. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
O objetivo desta tese foi estudar a propagação das ondas de embarcação para águas
rasas através da simulação numérica de um modelo hidrodinâmico que levasse em
consideração os efeitos costeiros. A proposta de investigação foi a modificação do modelo
FUNWAVE.
O modelo FUNWAVE é um modelo numérico de propagação de ondas em águas rasas
baseado nas equações de Boussinesq que reproduz a maioria dos fenômenos relacionados à
transformação da onda em fundos de profundidade variável, quais sejam, dispersão em
freqüência, dispersão de amplitude, difração, refração pelo fundo e devida às correntes,
transferência de energia entre componentes harmônicas e dissipação de energia por
arrebentação da onda e atrito de fundo.
A metodologia utilizada para a adaptação do modelo à geração de ondas de embarcação
foi a adição de uma pressão móvel na equação da quantidade de movimento. Tal
procedimento mostrou-se viável para a utilização do modelo na simulação da propagação de
ondas geradas por embarcações.
Os resultados dos padrões de ondas se mostraram adequadamente compatíveis com
aqueles descritos na literatura, exceto para o caso de velocidades muito pequenas (F
h
= 0,5)
onde os resultados apresentam-se como que “difusos” dificultando a análise visual das ondas
divergentes e transversais. Tal discrepância de dá devido ao fato de que modelos de
Boussinesq para ondas de embarcação são válidos para F
h
> 0,65, ou seja, ondas em águas
rasas. No entanto, o modelo mostrou-se viável para simular valores de F
h
> 0,7. Testes com
várias dimensões de embarcação e canal devem ser realizados para identificar o intervalo de
F
h
que deva ser mais adequado para o modelo em questão.
Os resultados do efeito de refração mostraram que as ondas do modelo seguem o
comportamento típico desse fenômeno, ou seja, a tendência das cristas de ondas ficarem
paralelas ao contorno do fundo. A aplicação da Lei de Snell para descrever o efeito de
refração das ondas de embarcação não se mostra adequada devido à forte característica não-
linear e espalhamento do padrão de onda necessitando assim, de um estudo mais detalhado. O
99
incentivo à experimentação física no que tange analisar o comportamento das velocidades e a
propagação da onda se faz pertinente para confirmar os resultados numéricos e estabelecer um
modelo conceitual da ação dessas ondas na costa, estabelecendo os parâmetros de velocidade,
altura, comprimento e período de onda que realmente atua nestas.
O modelo foi capaz de simular o efeito de arrebentação, mas ainda há a necessidade de
calibração dos parâmetros de arrebentação do modelo e também mais resultados
experimentais para efeito de comparação.
Na simulação de ondas em canais restritos, o modelo modificado mostrou-se eficaz na
geração de padrões semelhantes aos relatados na teoria, demonstrando também a capacidade
do modelo em reproduzir o fenômeno de espraiamento.
A comparação com resultados obtidos com fontes diferentes, para a geração de ondas,
indica que, aparentemente, a velocidade da embarcação é o fator que influência o
comportamento das ondas. No entanto, o domínio de validade das equações de Boussinesq é
limitado para diferentes situações e, como mostrado no anexo B, a variação das diversas
expressões de pressão usadas como fonte geradoras de ondas é considerável. Dessa maneira,
testes numéricos com diferentes fontes deveriam ser realizados para determinar as situações
para as quais as equações de Boussinesq são válidas.
Relacionando o tempo de cálculo do modelo com o tempo de simulação, conclui-se que
o modelo pode ser usado para diagnóstico de situações desde que não seja necessária uma
resposta imediata do problema e pode ser usado para prognóstico de questões a serem ainda
executadas.
A validação do modelo FUNWAVE modificado para a simulação de propagação de
ondas de embarcação foi realizada pela comparação dos resultados numéricos com resultados
experimentais de casos relatados na literatura. Dessa maneira, o modelo FUNWAVE
modificado apresenta-se como o primeiro modelo de propagação de ondas de embarcação que
leva em conta os fenômenos costeiros de refração, arrebentação, geração de correntes e até
espraiamento. Este fato representa uma inovação tecnológica pioneira na utilização de
modelos de ondas de embarcação que, até então, eram capazes de simular apenas os efeitos de
refração e geração de correntes.
Como sugestão de trabalhos futuros tem-se:
100
• Realização de testes numéricos com várias dimensões de embarcação e canal
para identificar o intervalo de F
h
que deva ser mais adequado para o modelo em
questão.
• Realização de testes numéricos para identificar possíveis relações entre as
dimensões de embarcação e canal e o número de Froude da profundidade F
h
com
os parâmetros do modelo FUNWAVE quais sejam, cbkv (coeficiente que
permite a variação do parâmetro para o esquema de arrebentação), delta (largura
da fenda do fundo), slmda (tipo de permeabilidade do fundo), ispg (largura das
fronteiras de absorção).
• Realização de testes com as diferentes expressões de pressão relatadas na teoria
para determinar a mais indicada para a geração de ondas de embarcação.
Futuramente, além das diversas situações simuladas neste trabalho, análises de interação
de ondas produzidas por dois ou mais barcos e problemas de reflexão em paredes retas
(problemas pertinentes em canais de acesso e portos, por exemplo) poderão ser simulados no
modelo numérico (Figura 70).
O incentivo à experimentação física no que tange analisar o comportamento das
velocidades orbitais e a propagação da onda se faz pertinente para confirmar os resultados
numéricos e estabelecer um modelo conceitual da ação dessas ondas na costa, estabelecendo
os parâmetros de velocidade, altura, comprimento e período de onda que realmente atua
nestas.
Reitera-se assim, a importância de realizações de modelos experimentais para melhor
estabelecer conceitos sobre a propagação dessas ondas e a validação dos resultados
numéricos.
No que tange ao modelo experimental em andamento no canal de velocidade do
IPH/UFRGS as sugestões futuras são:
• Pintar o fundo com uma cor mais clara para minimizar os efeitos de reflexo
produzidos pela iluminação do local.
• A utilização de pó de serra na água para torná-la opaca e assim auxiliar na
visualização da superfície.
• Testes de iluminação com luz blimpada, que é um equipamento de iluminação
adaptado para ser submergido na água. Com isso seria possível iluminar o canal
de dentro para fora e diminuir consideravelmente os reflexos produzidos.
101
.
a
)
b)
c
)
Figura 70: a) Interação de dois barcos deslocando-se no mesmo sentido
b) Interação de dois barcos deslocando-se em sentido contrário
c) Efeito de reflexão em paredes retas
102
103
ANEXOS
104
ANEXO A
EQUAÇÕES DE BOUSSINESQ E O MODELO FUNWAVE
Vários estudos já foram realizados tendo por objetivo a modelação matemática de ondas
em águas rasas. Sander e Hutter (1991) relatam resumidamente a história da evolução desses
estudos e suas principais teorias dando enfoque à teoria da onda solitária.
A primeira tentativa de modelação matemática de ondas em águas rasa foi feita por
Joseph Valentin Boussinesq (1842-1929) em 1871, que levou em consideração as acelerações
verticais das partículas fluidas e admitiu uma onda solitária como solução, mas negligenciou
um certo número de termos de produtos de derivadas considerando apenas os efeitos de 1ª
ordem não lineares e de dispersão em freqüência. Essas equações são chamadas equações
clássicas de Boussinesq.
Outras equações que se originaram das equações clássicas (considerando os termos de
ordem superior que Boussinesq negligenciou) foram desenvolvidas e serviram para melhorar
os procedimentos fixados por ele. As principais equações são as de Korteweg-DeVries, Serre
(1953), Peregrini (1967), Green-Naghdi e Wu. São chamadas equações da “classe
Boussinesq”.
As equações de Boussinesq são deduzidas a partir das equações adimensionalizadas de
Navier-Stokes admitindo a hipótese de águas rasas, 1<<
l
h
. Tal procedimento faz surgir nas
equações dois parâmetros adimensionais independentes,
ε e μ
2
. O parâmetro ε representa a
razão entre a amplitude da onda,
η
, e a profundidade local,
h
η
ε
= , que determina a magnitude
dos efeitos não lineares. O parâmetro
μ
2
é a razão entre a profundidade local e o comprimento
da onda ao quadrado,
2
2
2
l
h
=
μ
, e determina assim a magnitude dos efeitos dispersivos. Dessa
forma,
ε está relacionado à não linearidade e μ
2
é relacionado à dispersão da onda.
Dependendo da magnitude desses parâmetros, várias suposições podem ser feitas
resultando em diferentes modelos de aproximação. A importância relativa dos efeitos de
ε e
μ
2
é então proporcional a
r
U
h
l
==
3
2
2
η
μ
ε
, U
r
é o número de Ursell (1953).
105
Assim, quando U
r
< 1 temos que ε < μ
2
e significa que os efeitos dispersivos
predominam sobre os efeitos não-lineares. Quando U
r
> 1 temos que ε > μ
2
indicando que os
efeitos não-lineares predominam sobre os dispersivos. Quando U
r
= 1, temos ε = μ
2
significando que os dois efeitos têm a mesma importância para determinar o comportamento
da onda. Nas equações de Boussinesq é admitida a hipótese de U
r
= 1, ou seja, há um balanço
entre os efeitos não lineares e dispersivos (
ε = μ
2
).
Dependendo da aproximação desejada e das hipóteses quanto às ordens de grandeza de
ε e μ
2
as principais teorias matemáticas utilizadas na propagação das ondas em águas rasas
podem ser classificadas em:
a)
Aproximação linear não-dispersiva (LND)
As equações são obtidas em primeira aproximação considerando o caso de
ε << 1,
independente do valor inicial de U
r
.
b)
Aproximação não-linear não-dispersiva (NLND)
Em primeira aproximação, obtêm-se diretamente as equações de Barré De Saint-Venant
e para o caso de ondas de pequena amplitude,
ε = O(μ
2
), que se propagam apenas em uma
direção, obtém-se a equação de Airy. Nessa aproximação, predominam os efeitos não-
lineares, portanto U
r
> 1.
c)
Aproximação linear dispersiva (LD)
A equação é obtida em segunda aproximação considerando o caso de
ε<<μ
2
e o
fundo invariável no tempo. Nessa aproximação, predominam os efeitos dispersivos, portanto
U
r
<1.
d)
Aproximação não-linear dispersiva (NLD)
Em segunda aproximação e considerando o fundo invariável no tempo e escoamento
unidirecional, obtém-se o Sistema Serre que admite como solução a onda solitária de forma
permanente. Para o caso do fundo como função do espaço, z
f
= z
f
(x) (onde z
f
é a cota do
fundo), têm-se as equações de Boussinesq e quando as ondas se propagam apenas num
sentido obtém-se a equação de Korteweg-de Vries. Para os escoamentos a duas dimensões
horizontais com um fundo variável no espaço e no tempo, e independente da amplitude da
onda, obtêm-se as equações de Green e Naghdi e Peregrine (1967). No caso das ondas de
pequena amplitude, as equações de Green e Naghdi se reduzem às de Wu. Nessa
aproximação, há o equilíbrio entre os efeitos não-lineares e os dispersivos, portanto U
r
= 1.
106
Atualmente, estudam-se as aproximações para ordens superiores. Segundo os
pesquisadores, essas aproximações melhoram a dispersão em freqüência e as características
da não-linearidade das equações de Boussinesq não só em águas rasas como também em
águas intermediárias e profundas. Dizem que essa nova proposta não viola as suposições da
teoria clássica de Boussinesq, mas simplesmente estende seu campo de aplicação. Porém,
esses modelos, a princípio, em condições de águas rasas, só farão muita diferença se a
dispersão for muito importante. Destacam-se aqui os trabalhos de Madsen
et al. (1991),
Madsen e Sorensen (1992), Nwogu (1993), Chen e Liu (1995), Wei e Kirby
(1995), Gobbi e
Kirby (1999), Rego (1999), Gobbi
et al. (2000). Um resumo esquematizado do domínio de
validade das diferentes aproximações teóricas das equações de propagação de ondas é
apresentado na Figura 71.
No contexto dos modelos de ordem superior Kirby
et al. (1998) desenvolveram o
modelo numérico FUNWAVE, que resolve as equações não-lineares de Boussinesq deduzidas
por Wei e Kirby (1995). Este modelo reproduz a maioria dos fenômenos relacionados à
transformação da onda em fundos de profundidade variável, quais sejam, dispersão em
freqüência, dispersão de amplitude, empolamento, difração, refração pelo fundo e devida às
correntes, transferência de energia entre componentes harmônicas e dissipação de energia por
arrebentação da onda e atrito de fundo.
A seguir, uma breve descrição do modelo será relatada em vista ao entendimento das
modificações imposta para geração de ondas de embarcações. Para uma descrição mais
detalhada da formulação teórica e numérica do modelo recomenda-se consultar as seguintes
referências: Wei e Kirby (1995), Kirby (1997), Kirby
et al. (1998), Kennedy et al. (2000) e
Chen
et al. (2000).
107
ε<μ
ε = μ
ε>μ
μ
Figura 71: Domínio de validade das diferentes aproximações teóricas de equações de
propagação de ondas. Onde: A – Equações clássicas de Boussinesq; B – Wu e KdV;C –
Green-Naghdi e Serre; D- Aproximações para ordens superiores (teorias fracamente e
totalmente não lineares com dispersão melhorada).
Modelo FUNWAVE
As equações de Wei e Kirby (1995), base para o modelo FUNWAVE, são as seguintes:
Equação da continuidade
(A1)
Equação da conservação da quantidade de movimento
(A2)
108
onde: η é a elevação da superfície; h é a profundidade;
α
u é o vetor velocidade horizontal
na profundidade
hzz 531,0−==
α
; g é a aceleração da gravidade; t indica a derivada parcial
relativa ao tempo e
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∇
yx
,
o operador gradiente horizontal;
As equações (A1) e (A2) descrevem a evolução sobre um fundo suave e impermeável de
ondas que não arrebentam. Com o objetivo de desenvolver um modelo para aplicações reais
para zonas de arrebentação e de espraiamento, foram incluídos termos às equações (A1) e
(A2) levando-se em conta a dissipação de energia por arrebentação e atrito no fundo e a
simulação do escoamento na zona de espraiamento. Com a inclusão desses termos, as
equações (A1) e (A2) podem ser reescritas da seguinte maneira:
()()
),,(,,,,
2
tyxfvuEvuE
t
++=
η
η
η
(A3)
()
[]
()()
[]
()
(
)
[
]
spbsbrbt
t
t
t
FFFFvuFvuFvFvuFuU
+
++++++= ,,,,,
21
ηηγη
(A4)
()
[]
()()
[]
()
(
)
[
]
spbsbrbt
t
t
t
GGGGvuGvuGuGvuGvV
+
++++++= ,,,,,
21
ηηγη
(A5)
Onde: (é um parâmetro de controle que permite escolher entre casos totalmente não lineares
(
γ = 1) e fracamente não lineares (γ = 0);
()()
[]
()
() ()
[
]
{}
()
() ()
[][]
{}
y
yy
xy
yyxy
x
xyxx
xyxx
yx
hyhuhavuha
hvhuhavuhavu
k
E
+++−
+++−Λ+Λ−=
2
2
3
1
2
2
3
1
1
(A6)
()
()
()()()
[]
()
()
()()()
[]
y
xyxy
y
yyxy
x
xyxx
x
xyxx
hvhuhhavuhha
hvhuhhavuhhaE
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−=
ηηηηηη
ηηηηηη
2
1
6
1
2
1
6
1
2
222
1
2
222
12
(A7)
(
)
[]
xx
xx
huhbhubhuU
21
++= (A8)
()
[
yy
yy
huhbhvbhvV
21
++= (A9)
(
)
yxx
vuuugF +−−=
η
(A10)
109
(
)
yxy
vvuvgG +−−=
η
(A11)
()
[
]
xy
xy
hvbhvbhF
211
+−= (A12)
()
[
]
xy
xy
hubhubhG
211
+−= (A13)
()
()()
[]
()()()
[]
() ()
[]
[]
{}
() ()
()
[]
{}
x
yx
yx
x
y
yx
x
yx
x
yx
x
yx
vuhvhu
hvhuvhvhuuz
yvuvvuuzF
2
22
2
2
1
2
1
+++−
+++−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++−−=
η
η
η
α
α
(A14)
()
()()
[]
()()()
[]
() ()
[]
[]
{}
() ()
()
[]
{}
y
yx
yx
y
y
yx
x
yx
y
yx
x
yx
vuhvhu
hvhuvhvhuuz
yvuvvuuzG
2
22
2
2
1
2
1
+++−
+++−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++−−=
η
η
η
α
α
(A15)
() ()
[]
()
[]
()
[]
[]
x
y
t
x
t
y
t
x
t
t
vhuhvuF
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++=
ηη
2
2
1
(A16)
() ()
[]
()
[]
()
[]
[]
y
y
t
x
t
y
t
x
t
t
vhuhvuG
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+++=
ηη
2
2
1
(A17)
onde:
¾ a
1
, a
2
, b
1
, b
2
são constantes relacionadas ao parâmetro adimensional
β = z
α
/h = -0,531 por:
β
β
β
β
==+=−=
2
2
12
2
1
e
2
,
2
1
,
6
1
2
bbaa (A18)
Para
λ = 0 o sistema de equações acima se reduz às equações de Nwogu (1993).
Para
βλ
=====
2121
e
6
1
,0,0,0 bbaa obtêm-se as equações
deduzidas por (Peregrini, 1967).
Finalmente, para
0
2121
=
=
=
=
= bbaa
λ
resulta nas clássicas equações não
lineares de águas rasas;
¾ Os termos Λ e k na equação (A6) são referentes à técnica das fendas para
simulação de espraiamento descrita mais adiante;
¾ O vetor
()
bb
GF , representa o atrito no fundo e é dado por:
110
()
αα
η
uu
h
K
GF
bb
+
=
, (A19)
¾ O vetor
()
brbr
GF , representa o modelo de arrebentação;
¾ O vetor
()
bsbs
GF , representa o modelo de Smagorinski para tratar os efeitos
resultantes da viscosidade turbulenta;
¾ O vetor
(
)
spsp
GF ,
representa o modelo de camada esponja para absorver a
energia de onda nas condições de contorno.
Arrebentação da onda
Para simular a dissipação de energia na zona de arrebentação são acrescentados termos
de viscosidade turbulenta F
br
e G
br
no segundo membro das equações (A4) e (A5) nas
direções x e y, respectivamente, (Kennedy et al, 2000):
()()
()
()()()()
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++++
+
=
y
xy
x
x
br
vhuhuh
h
F
ααα
ηηνην
η
2
11
(A20)
()()()()
()()
()()
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++++
+
=
y
y
x
yx
br
vhvhvh
h
G
ααα
ηνηην
η
2
11
(A21)
onde:
ν
é o coeficiente de viscosidade turbulenta, localizado na face frontal da onda e é
definido como:
t
hB
ηηδ
ν
)(
2
+=
(A22)
onde:
δ é o coeficiente do comprimento de mistura e tem o valor empírico de 1,2; o termo B
controla a ocorrência de dissipação de energia é definido como:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤<−
≥
=
tt
ttt
t
t
tt
B
ηη
ηηη
η
η
ηη
2,0
2,1
2,1
**
*
*
(A23)
O parâmetro
*
t
η determina o início e o fim da arrebentação é definido como:
111
()
() () ()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<−≤−
−
+
≥
=
*
0
*
0
*
*
0),(
,
Ttt
T
tt
Tt
I
t
F
t
I
t
F
t
t
ηηη
η
η
(A24)
onde:
¾
g
h
T 5
*
=
é o tempo de transição, t
0
é o instante de tempo em que se inicia a
arrebentação e t-t
0
é a duração desta;
¾ O valor de
)(I
t
η
varia entre gh35,0 e gh0,65 . Sendo que seu limite inferior é mais
adequado para praias tipo barra-fossa e o limite superior para praias de inclinação
constante;
¾
gh
F
t
15,0
)(
=
η
.
Espraiamento
Para a modelação do espraiamento, é adotada uma técnica chamada “slot technique”,
que consiste na introdução, nas regiões do domínio inicialmente sólidas (não permeáveis), de
uma fenda vertical de espessura reduzida, fazendo com que o fundo se torne permeável.
Assim, considerando um fundo poroso, esta técnica permite que todo o domínio de cálculo
seja líquido (pelo menos parcialmente) e que o nível da superfície livre possa estar abaixo da
cota da superfície da praia.
A substituição do fundo sólido pelas fendas estreitas resulta na modificação da equação
da continuidade (A6) onde:
()
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤−+
=
−
*
*
0
,1
,1
*
z
ze
k
h
z
RR
R
η
ηδδ
η
λ
(A25)
()
()
(
)
(
)
()( )
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+++−
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
++
=Λ
+
−
+
−
−
*
0
0
**
*
0
0
,1
1
,
1
0
*
0
0
*
0
0
*
ze
h
hzz
zee
h
h
h
zh
R
R
R
h
zh
h
z
R
R
R
R
RR
η
λ
δ
δη
η
λ
δ
ηδ
λ
λ
η
λ
(A26)
112
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
=
RR
R
R
s
*
λδ
δ
h
δ
z
z
1
11
0
(A27)
Onde:
δ
R
é a largura da fenda; λ
R
é o valor da função de forma da fenda; z
s
é a elevação do
fundo sólido.
Condições de Contorno
Para condições de contorno, o modelo admite contornos absorventes (
sponge-layer) de
ondas com diferentes freqüências e direções, simuladas por termos dissipadores de energia
presentes na equação de conservação da quantidade de movimento.
() () ()
η
h
g
yxwuuyxwuyxwF
yyxxsp
,)(,,
321
+++=
(A28)
() () ()
η
h
g
yxwvvyxwvyxwG
yyxxsp
,)(,,
321
+++=
(A29)
As fronteiras são definidas no início e no fim do domínio de cálculo onde:
()
()
()
()
dynyy
dyjy
dxmxx
dxix
l
ss
l
ss
1
1
1
1
−=
−=
−=
−=
Assim, no intervalo entre
x
s
< x < x
0
e y
s
< y < y
0
tem-se que )3,2,1(0),( == iyxw
i
e
no intervalo
x
s
< x < x
l
e y
s
< y < y
l
tem-se que )3,2,1(),( =
=
iwfcyxw
ii
, onde c
i
são
coeficientes correspondendo ao tipo de função sumidouro considerada no contorno. O termo
w é a freqüência das ondas a serem absorvidas e
(
)
(
)
[
]
yfxff ,
=
é uma função de dissipação
que varia de 0 a 1 enquanto
x varia de x
s
a x
l
e y varia de y
s
a y
l
é representada por:
()
()
ls
sl
s
xxx
xx
xx
xf <<
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
= ,
11exp
1
)(
exp
)(
2
(A30)
113
()
()
ls
sl
s
yyy
yy
yy
yf <<
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
= ,
11exp
1
)(
exp
)(
2
(A31)
Segundo Kirby et al. (1998), a largura dos contornos absorventes deve ser de dois a três
comprimentos de onda.
Esquema Numérico
Para a discretização temporal das equações é utilizado o esquema numérico de
diferenças finitas com o método “previsor-corretor” de Adams-Bashforth-Moulton de 4ª
ordem (com passo de previsão de 3ª ordem Adams-Bashforth e de 4ª ordem Adams-Moulton
para o passo da correção). Os termos envolvendo as derivadas espaciais de 1ª ordem são
discretizadas por diferenças finitas centrais com uma precisão de 4ª ordem, utilizando uma
fórmula de cinco pontos. As derivadas espaciais e temporais para os termos de dispersão de
ordem superior são efetuadas com uma precisão de 2ª ordem.
Filtragem
Devido à interação não-linear do modelo, componentes harmônicas de ordem superior
podem ser geradas à medida que a onda se propaga no domínio. Essas super-harmônicas
podem ter comprimento de onda muito curto (o comprimento mínimo no modelo é de duas
vezes o tamanho da malha de resolução) e assim provocar a não convergência do modelo
(“blow-up”). Para eliminar este problema, é aplicado um filtro numérico baseado no método
de Shapiro (1970) de 4ª ordem, que consiste fundamentalmente numa média ponderada de
nove pontos. O filtro numérico é aplicado com um intervalo de passos temporais de uma a
duas vezes o período máximo da onda.
Estrutura do Modelo
O Modelo numérico FUNWAVE foi escrito em linguagem Fortran 77 e consiste em um
programa principal que usa um “do-loop” para os cálculos em cada passo de tempo. Dentro
114
do “loop” as sub-rotinas são chamadas para calcular os valores de η, u e v em cada passo de
tempo usando fórmulas preditor/corretor.
O programa principal é chamado funwave2d.f e calcula a elevação da superfície livre e
velocidades horizontais em todo o domínio;
Antes de executar o funwave2d.f, deve-se primeiro executar o programa depth.f para
gerar o arquivo de batimetria, em seguida executa-se o programa initw.f, que serve para gerar
condições iniciais de elevação de superfície livre em todos os pontos do domínio;
Há quatro arquivos de entrada necessários para rodar o modelo FUNWAVE que são:
1.
funwave2d.data – Arquivo que contem todos os parâmetros de controle a
serem usados pelos programas;
2.
f1n – Arquivo que contem dados de batimetria;
3.
f2n – Arquivo que contem os valores de elevação da superfície livre e
velocidade horizontal do campo inicial de ondas;
4.
f3n – Arquivo que contem a série temporal da amplitude da função fonte de
ondas (não utilizado para ondas de embarcação);
5.
fonte2d.in – Arquivo que contem os dados referentes a fonte geradora de ondas
de embarcação como sendo uma pressão móvel;
Parâmetros de controle do arquivo funwave2d.data
Os parâmetros do arquivo funwave2d.data são:
•
ibe – Parâmetro que define o tipo de equações de Boussinesq a utilizar: 0 –
Equações de Nwogu linearizadas; 1- Equações de Boussinesq estendidas
(Nwogu, 1993); 2 – Equações de Boussinesq totalmente não lineares (Wei et
al, 1995); 3 – Equações de Boussinesq (Peregrine, 1967) e 4 – Equações não
lineares para águas rasas (Boussinesq Clássico);
•
imch – Número de identificação para diferentes tipos de computador devido ao
diferente tamanho de gravação de dados para o formato binário: 1 – estações
SGI; 8 – Sun and Cray J90;
•
a0 – Amplitude inicial em metros. Para o caso de ondas geradas a partir de um
espectro, é a amplitude média quadrática (não utilizado para ondas de
embarcação);
•
h
0
– Profundidade da coluna de água na zona de geração de ondas;
115
• tpd – Período de onda para ondas monocromáticas. Período de pico para ondas
irregulares (não utilizado para ondas de embarcação);
•
dx, dy – Espaçamento da malha de cálculo nas direções x e y respectivamente;
•
dt – Passo temporal em segundos. Deve respeitar-se a condição
max
5,0
gh
dx
dt <
;
•
mx,ny - Número de pontos da malha nas direções x e y respectivamente;
•
nt – Número de passos temporais;
•
itbgn, itend, itdel – Início, fim e intervalo de passos temporais para guardar
valores de elevação de superfície livre;
•
itscr – Número de passos temporais entre apresentação de resultados na tela;
•
itftr – Número de passos temporais entre aplicações do filtro numérico. No
manual é aconselhado um valor correspondente a uma ou duas vezes o período
da onda;
•
theta – Ângulo (em graus) entre a direção da onda e o eixo x (não utilizado
para ondas de embarcação);
•
cbkv – Coeficiente que permite a variação do parâmetro para o esquema de
arrebentação;
•
delta – Largura da fenda do fundo. Pode variar entre 0,002 a 0,02;
•
slmda – Tipo de permeabilidade do fundo. Pode variar entre 20 e 80;
•
isltb – Ponto do domínio onde se inicia o fundo permeável;
•
islte – Ponto do domínio onde termina o fundo permeável;
•
isrc – Ponto do domínio onde se encontra a linha central da função fonte, na
direcção x (não utilizado para ondas de embarcação);
•
jsrc – Ponto do domínio onde se encontra a linha central da função fonte, na
direcção y (não utilizado para ondas de embarcação);
•
swidth – Relação entre a largura da função fonte e metade do comprimento de
onda. Deve ser de O(1) (não utilizado para ondas de embarcação);
•
cpsg, cpsg2, cpsg3 – Coeficientes para os três diferentes tipos de camada
absorvedora. Os valores utilizados para testes são: 10, 0, 0;
•
ispg – Largura das fronteiras de absorção (em pontos). No manual é sugerido
um valor correspondente a 2 ou 3 comprimentos de onda. Quanto maior o seu
116
valor, maior será a zona de absorção da energia das ondas (para ondas de
embarcação foi testado 2 comprimento de onda em águas profundas;
•
ngage – Número de sondas;
•
ixg, iyg – Coordenadas da malha nas direções x e y, para as posições das
sondas;
•
itg – Passos temporais onde o perfil de elevação da superfície livre é guardado;
•
f1n, f2n e f3n – Nomes dos arquivos de entrada do programa funwave2d.f;
•
f4n, f5n, f6n, f7n, f10n e f11n – Nomes dos arquivos de saída do programa
funwave2d.f;
•
ck_bt – Coeficiente de atrito de fundo. Valores típicos: 1,0e10-3 a 5,0e10-3;
•
itide – Parâmetro de controle do efeito das marés. 0 – não é considerado; 1 – é
considerado (não utilizado para ondas de embarcação);
Parâmetros de controle do arquivo fonte2d.in
O arquivo fonte2d.in foi criado para guardar os parâmetros com as características
próprias para a geração de ondas de embarcação.Os parâmetros do arquivo fonte2d.in são:
•
ship – parâmetro que impõe ao modelo adicionar ou não a pressão móvel na
equação da quantidade de movimento (ship = 1 função para gerar onda de
embarcação ativada, ship = 0 função desativada);
•
fh – número de Froude a ser testado;
•
lb – comprimento da embarcação;
•
boca – largura da embarcação;
•
calado – calado da embarcação;
Os arquivos de saída do programa são:
1.
f4n - Arquivo que contem a série temporal de elevação da superfície livre em
diversas sondas;
2.
f5n - Arquivo que pode conter séries temporais de outras quantidades como
volume de água ou componentes horizontais da velocidade (não utilizado para
ondas de embarcação);
117
3. f6n - Arquivo reservado para perfis espaciais de elevação da superfície livre
especificados pelo passo temporal itg a definir pelo utilizador;
4.
f7n - Arquivo que contem perfis espaciais da elevação da superfície livre ou
componentes da velocidade média nos passos temporais controlados por itbgn,
itend, itdel. Para ondas de embarcação é o arquivo que contem perfis espaciais
da elevação da superfície livre.
5.
f10n - Arquivo que contem séries temporais da velocidade u;
6.
f11n - Arquivo que contem séries temporais da velocidade v;
Os arquivos f10n , f11n foram criados para guardar os valores de velocidade gerados com o
modelo FUNWAVE adaptado para ondas de embarcação. Na Figura 72 é apresentado o
esquema das entradas e saídas do modelo FUNWAVE adaptado para ondas de embarcação.
Figura 72: Esquema de entradas e saídas do modelo funwave2d para ondas de embarcação.
118
ANEXO B
COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES DE PRESSÃO
Em vista a observar o comportamento das funções de pressão encontradas na literatura,
foram traçados gráficos para diversos valores de pa e da dimensão dos intervalos de x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤−
22
L
x
L
e y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤
22
B
y
B
. A rápida mudança na forma de algumas pressões é bem
significativa e parece sugerir um estudo de resposta do modelo FUNWAVE a cada uma
dessas perturbações. Tal estudo foge aos objetivos dessa investigação, mas poderá ser feito
mais adiante para analisar a real influência da fonte geradora de ondas de embarcação nos
modelos de propagação de ondas de Boussinesq.
Autor Expressão para a Pressão Gráfico
Pedersen (2004)
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
2
2
2
2
2
cos,
B
y
L
x
payxP
π
P
a
Li e Sclavounos
(2002)
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
B
y
L
x
payxP
ππ
22
coscos,
P
b
Wu (1987)
Cao et al. (1993)
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
L
x
paxP
π
2cos1
2
1
P
c
Ertekin et al. (1986)
()
(
)
()
()
()
2
2
x0,5..L
Px,y pacos *
1.L
y0,5..B
cos
1.B
⎡
⎤
π− α
=
⎢
⎥
−α
⎣
⎦
⎡
⎤
π− β
⎢
⎥
−β
⎣
⎦
α = 0,7; β = 0,4
P
d
Scullen e Tuck
(2002)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
2
2
2
11
16
),(
B
y
L
x
payxP
π
P
e
Casciola e Landrini
(1996)
() ()
[]
xpapaxP
π
cos1
2
1
+=
P
f
119
Figura 73: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 0,1. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 2m e dx = 0,1 e B = 0,2 e dy = 0,01.
120
Figura 74: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 1,0. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 2m e dx = 0,1 e B = 0,2 e dy = 0,01.
121
Figura 75: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 0,1. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 40m e dx = 0,5 e B = 20 e dy = 1.
122
Figura 76: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 0,5. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 40m e dx = 0,5 e B = 20 e dy = 1.
123
Figura 77: Variações das pressões e suas derivadas para pa = 1,0. O eixo x representa a
dimensão da largura de uma embarcação com L = 40m e dx = 0,5 e B = 20 e dy = 1.
124
ANEXO C
MÉTODO DE CÁLCULO DOS AGENTES HIDRÁULICOS INDUZIDOS
POR UMA EMBARCAÇÃO EM CANAIS RESTRITOS
Considerando a seção transversal do canal como mostra a Figura 78 onde: b
w
é a largura
do canal na linha de água; b
b
é a largura do canal no fundo; h é a profundidade local; α é o
ângulo da inclinação das margens; A
c
é a área molhada da seção transversal.
Figura 78: Geometria do canal
Considerando também a geometria da embarcação como mostra a Figura 79 onde:
L
S
é comprimento da embarcação na linha de água; B
S
é largura da boca; T
S
é o calado e A
m
é
a área molhada da seção média da embarcação.
Figura 79: Geometria da embarcação
Temos então:
1. Excentricidade do curso da embarcação
125
O valor de y é dado entre o intervalo
3
0
w
b
y <<
.
Se a embarcação está navegando excentricamente então nos calculo fora da linha
o valor de A
c
será substituindo por uma área transversal imaginária A
ci
onde:
α
cot
1
2
hb
y
c
A
A
wc
ci
−
−=
(C1)
Onde c
2
depende do tipo de embarcação.
2. Velocidade Limite V
L
;
3. Velocidade da embarcação V
S
;
4. Velocidade média da corrente de retorno (
r
u
_
) e a depressão média do nível de água
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
_
h
;
Os parâmetros dos itens 2, 3 e 4 são calculados usando a Figura 80, baseado no método
de Schijf’s (1953,
apud PIANC,1987), com
ci
SS
ci
m
A
BT
A
A
=
(C2)
LS
VV 9,0= (C3)
W
c
b
A
h
=
'
(C4)
126
Figura 80: Ábaco de Schijf’s para a obtenção da corrente de retorno e depressão do nível de
água
5. Velocidade máxima da corrente de retorno (
r
u
^
) e a depressão máxima do nível de
água
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
^
h
;
Os valores para a corrente de retorno e depressão do nível de água encontrados no
item 4 são valores médios. Os valores máximos são encontrados para cada tipo de
barco. Para o caso de barcaças (por exemplo) têm-se:
Para
5,1>
S
w
L
b
;
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−Δ=Δ
c
c
hh
A
A
'
_
^
43
(C5)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
c
c
rr
A
A
uu
'
_
^
35,2 (C6)
Para
5,1<
S
w
L
b
;
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−Δ=Δ
c
c
hh
A
A
'
_
^
22 (C7)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
c
c
rr
A
A
uu
'
_
^
5,1
(C8)
6. Altura da onda transversal da popa (z
max
);
7. Altura da onda dianteira (Δ
hf
);
127
8. Altura e o comprimento dos picos de interferência (H
i
, L
wi
).
O perfil da onda de embarcação é uma combinação de onda de curto período (picos de
interferência) e de longo período (onda dianteira, depressão do nível de água e onda
transversal da popa) e também que, os estudos analíticos dos impactos sobre as margens e
estruturas costeiras levam em consideração somente a altura máxima de tal perfil. Dessa
forma, fica sem sentido calcular os itens 6 e 7 visto que suas influências já são computadas
nos picos de interferência (item 8).
A altura do pico de interferência H
i
é dada por:
4
33,0
hi
F
h
s
hH
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
(C9)
Onde s é a distância do curso da embarcação em relação à margem e h a profundidade
local.
E o comprimento da onda é dado por
g
V
L
S
wi
2
2.67,0
π
= (1C0)
Válida no intervalo
⎩
⎨
⎧
<
<<
7,0
5,85,6
h
F
h
128
ANEXO D
RESULTADOS DAS VELOCIDADES PARA
O PROBLEMA DE REFRAÇÃO
129
F
h
= 0,8
Tabela – altura dos pontos de registro das séries temporais
sonda h (m)
1 0,06
2 0,10
3 0,14
4 0,18
5 0,06
6 0,10
7 0,14
8 0,18
9 0,06
10 0,10
11 0,14
12 0,18
130
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 81: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 82: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
131
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 83: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 84: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
132
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 85: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 86: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
133
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 87: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 88: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
134
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 89: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 90: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
135
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 91: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 92: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
136
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 93: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 94: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
137
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
3,5E-03
4,0E-03
4,5E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
,
Figura 95: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 96: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
138
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 97: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
-2,0E-04
0,0E+00
2,0E-04
4,0E-04
6,0E-04
8,0E-04
1,0E-03
1,2E-03
1,4E-03
1,6E-03
1,8E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 98: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
139
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
3,5E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 1: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos em
diferentes profundidades
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
3,5E-03
4,0E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 100: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades
140
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
3,5E-03
4,0E-03
4,5E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 101: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 102: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
141
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
u (m/s)
v (m/s)
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 103: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 104: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
142
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 105: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 106: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
143
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 107: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 108: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
144
F
h
= 1,0
Tabela – altura dos pontos de registro das séries temporais
ponto h (m)
1 0,06
2 0,10
3 0,14
4 0,18
5 0,06
6 0,10
7 0,14
8 0,18
9 0,06
10 0,10
11 0,14
12 0,18
145
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
u/|u
max
|
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 109: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
v/|v
max
|
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 110: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
146
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
u/|u
max
|
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 111: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
v/|v
max
|
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 112: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
147
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
u/|u
max
|
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 113: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
v/|v
max
|
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 114: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
148
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
u/|u
max
|
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 115: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
v/|v
max
|
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 116: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
149
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
u/|u
max
|
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 117: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
v/|v
max
|
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 118: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
150
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
u/|u
max
|
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 119: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
v/|v
max
|
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 120: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
151
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
u/|u
max
|
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 121: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
v/|v
max
|
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 122: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
152
-5,0E-03
0,0E+00
5,0E-03
1,0E-02
1,5E-02
2,0E-02
2,5E-02
3,0E-02
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
Um (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
,
Figura 123: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
-2,0E-03
0,0E+00
2,0E-03
4,0E-03
6,0E-03
8,0E-03
1,0E-02
1,2E-02
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
Um (m/s)
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 124: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
153
-1,0E-03
0,0E+00
1,0E-03
2,0E-03
3,0E-03
4,0E-03
5,0E-03
6,0E-03
7,0E-03
8,0E-03
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
Um (m/s)
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 125: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
-2,0E-03
0,0E+00
2,0E-03
4,0E-03
6,0E-03
8,0E-03
1,0E-02
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
Um (m/s)
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 126: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
154
-5,0E-03
0,0E+00
5,0E-03
1,0E-02
1,5E-02
2,0E-02
2,5E-02
3,0E-02
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
Um (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 127: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades
-5,0E-03
0,0E+00
5,0E-03
1,0E-02
1,5E-02
2,0E-02
2,5E-02
3,0E-02
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
Um (m/s)
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 128: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades
155
-5,0E-03
0,0E+00
5,0E-03
1,0E-02
1,5E-02
2,0E-02
2,5E-02
3,0E-02
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t (s)
Um (m/s)
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 129: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 130: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
156
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08
u (m/s)
v (m/s)
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 131: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08
u (m/s)
v (m/s)
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 132: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
157
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06
u (m/s)
v (m/s)
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 133: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 134: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
158
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
u (m/s)
v (m/s)
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 135: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
u (m/s)
v (m/s)
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 136: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
159
F
h
= 1,1
Tabela – altura dos pontos de registro das séries temporais
sondas h (m)
1 0,06
2 0,10
3 0,14
4 0,18
5 0,06
6 0,10
7 0,14
8 0,18
9 0,06
10 0,10
11 0,14
12 0,18
160
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 137: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 138: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
161
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 139: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 140: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
162
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 141: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 142: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
163
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 143: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 144: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos ao longo de uma mesma profundidade
164
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 145: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 146: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
165
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 147: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 148: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
166
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
u/|u
max
|
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 149: Razão entre a velocidade u pelo seu correspondente valor máximo (|u
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 10203040506070
t (s)
v/|v
max
|
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 150: Razão entre a velocidade v pelo seu correspondente valor máximo (|v
max
|) para
pontos distribuídos em diferentes profundidades
167
-1,0E-03
0,0E+00
1,0E-03
2,0E-03
3,0E-03
4,0E-03
5,0E-03
6,0E-03
7,0E-03
8,0E-03
9,0E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 151: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
3,5E-03
4,0E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 152: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
168
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
3,5E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 153: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
-5,0E-04
0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
3,5E-03
4,0E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 154: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
169
-1,0E-03
0,0E+00
1,0E-03
2,0E-03
3,0E-03
4,0E-03
5,0E-03
6,0E-03
7,0E-03
8,0E-03
9,0E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 155: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades
-1,0E-03
0,0E+00
1,0E-03
2,0E-03
3,0E-03
4,0E-03
5,0E-03
6,0E-03
7,0E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 156: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades
170
-1,0E-03
0,0E+00
1,0E-03
2,0E-03
3,0E-03
4,0E-03
5,0E-03
6,0E-03
7,0E-03
0 10203040506070
t (s)
Um (m/s)
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 157: Série temporal do módulo (Um) das velocidades u e v para pontos distribuídos
em diferentes profundidades
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 158: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
171
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
u (m/s)
v (m/s)
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 159: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
u (m/s)
v (m/s)
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 160: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
172
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
u (m/s)
v (m/s)
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 161: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos ao longo de uma mesma
profundidade
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06
u (m/s)
v (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 162: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
173
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 163: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
-0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
u (m/s)
v (m/s)
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 164: Representação das hodógrafas para pontos distribuídos em profundidades
distintas
174
Velocidades Máximas
Tabela – altura dos pontos de registro das séries temporais
sondas h (m)
1 0,06
2 0,10
3 0,14
4 0,18
5 0,06
6 0,10
7 0,14
8 0,18
9 0,06
10 0,10
11 0,14
12 0,18
175
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Uxmax| (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 165: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Vymax| (m/s)
sonda 1
sonda 5
sonda 9
Figura 166: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
176
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Uxmax| (m/s)
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 167: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Vymax| (m/s)
sonda 2
sonda 6
sonda 10
Figura 168: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
177
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Uxmax| (m/s)
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 169: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Vymax| (m/s)
sonda 3
sonda 7
sonda 11
Figura 170: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
178
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Uxmax| (m/s)
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 171: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Vymax| (m/s)
sonda 4
sonda 8
sonda 12
Figura 172: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
179
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Uxmax| (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 173: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Vymax| (m/s)
sonda 1
sonda 2
sonda 3
sonda 4
Figura 174: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos ao
longo de uma mesma profundidade
180
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Uxmax| (m/s)
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 175: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Vymax| (m/s)
sonda 5
sonda 6
sonda 7
sonda 8
Figura 176: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas
181
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Uxmax| (m/s)
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 177: Variação de |u
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15
Fh
|Vymax| (m/s)
sonda 9
sonda 10
sonda 11
sonda 12
Figura 178: Variação de |v
max
| em relação ao número de Froude e para pontos distribuídos em
profundidades distintas
182
ANEXO E
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Baseando-se nos experimentos de Sorensen (1968), um procedimento experimental
semelhante foi montado no canal de velocidade do IPH/UFRGS. A proposta do projeto
consiste em medir, através de fotos e da técnica da estereoscopia, as amplitudes de ondas
geradas por uma embarcação se deslocando em um canal de navegação e, para diferentes
velocidades, como estas ondas se propagam e se dissipam nas margens do canal.
O canal de velocidade do IPH (Figura 179) tem 60m de comprimento total, 3m de
largura e uma altura total de 2,80m, sendo que a altura útil pode ir até 2,40m e sobre o canal,
há um carro que pode ser tracionado e se deslocar a velocidade constante (Figura 180). O
mecanismo gerador de onda no canal será representado por um modelo de embarcação tipo
chata acoplado ao carro tracionado. As velocidades do carro variam numa faixa de 0,02 m/s a
10 m/s. Devido às fases de aceleração e desaceleração, o comprimento útil do canal se reduz a
40m.
Figura 179: Canal de velocidade – IPH/UFRGS
183
Figura 180: Carro tracionado
Em maio de 2004, um experimento piloto foi realizado a fim de avaliar a viabilidade de
uso do canal de velocidade para este fim. Neste experimento, uma caixa de isopor de
0,40x0,60m foi usada para simular uma embarcação com calado de 0,10m (Figura 181). Uma
chapa de madeira com dois furos foi colocada no fundo da caixa, o que possibilitou sua
fixação ao carro tracionado que se deslocou pelo canal numa faixa de velocidades de 0,5 a
2m/s (Figura 182 e Figura 183).
As ondas atuando nas paredes geraram padrões de reflexão que por sua vez passaram a
se propagar na mesma direção das ondas geradas pela caixa, mas em sentido contrário. Na
superposição destas ocorriam os picos de interferência que se propagaram até a margens
provocando mais reflexão. Observa-se com isso que, analisar estas inteirações apenas com
registros de altura de onda obtidas através de sondas não seria viável, pois muitas informações
(picos máximos, sua posição e sentido de propagação) podem não ser registradas.
Figura 181: Caixa utilizada no experimento e sua fixação ao carro tracionado.
184
Figura 182: Seqüência da propagação de ondas geradas para uma velocidade de 1,25m/s.
Figura 183: Seqüência da propagação de ondas geradas para uma velocidade de 0,5m/s.
Na abordagem experimental, o mecanismo gerador de ondas no canal é representado
por uma embarcação em modelo reduzido acoplado ao carro tracionado. O monitoramento
experimental das ondas geradas será feito através de fotografias onde as alturas de onda serão
reconstituídas pela técnica da estereoscopia.
Para simular um canal trapezoidal, ao longo do canal de velocidade, a cada 1m, foram
colocadas estruturas que simulam o fundo e as margens de um canal de navegação. A
estrutura consiste de uma peça única confeccionada em fibra de vidro com a forma de metade
de um canal trapezoidal cuja margem tem inclinação 1:2. Para dar maior rigidez à peça, esta
foi reforçada com a colocação de uma malha de ripas de madeira na parte inferior da
estrutura. A Figura 184 representa o croqui da idéia inicial da estrutura e a Figura 185
apresenta as peças confeccionadas. Foram confeccionadas 20 peças, proporcionando assim,
20m de comprimento ao modelo para deslocamento da embarcação ao longo do canal.
185
embarcação
fundo falso
nível de água
a) b)
Figura 184: a) Configuração do fundo falso a ser instalado no canal de velocidade
b) Perspectiva da peça
Figura 185: Detalhes das peças que simulam o fundo falso
Na extremidade de cada peça foram colocadas chapas de aço que servem de apoio para
a fixação do fundo falso nas paredes do canal. Para facilitar a fixação das chapas, um gabarito
de madeira foi confeccionado onde as peças eram suspensas e a chapa de aço parafusada a
estas. Na Figura 186 é apresentada a execução dessa etapa, na Figura 187 é o teste de encaixe
das peças, prontas para serem suspensas no canal e a Figura 188 mostra a colocação dessas no
canal.
186
Figura 186: Fase de fixação das chapas de aço na peça
Figura 187: Teste de encaixe das peças prontas
187
Figura 188: Colocação das peças suspensas nas paredes do canal
Modelo de embarcação
Para a realização dos experimentos um modelo de embarcação tipo chata (Figura 189)
cedido pelo IPT-USP cujas dimensões foram escolhidas de modo que, relacionadas com as
dimensões do canal e à profundidade de 0,40m, este tenha condições de canal restrito
(0,05 < S < 0,1). As dimensões da embarcação modelo são apresentadas na Tabela E1.
Figura 189: Modelo de embarcação utilizado
Velocidades testadas
As velocidades escolhidas para teste nesta primeira fase, foram aquelas que em
protótipo representam as velocidades comuns de comboios em hidrovias (Padovezi, 2003), ou
seja, numa faixa situada entre 10km/h (2,8m/s) e 14km/h (3,9m/s). Para que no modelo estas
velocidades fossem reproduzidas com segurança pelo carro tracionado (para evitar que este
opere com velocidades muito altas) e também para evitar efeitos de capilaridade nas ondas
188
(devido à velocidades muito baixas) fixou-se escala 1:15 para as velocidades das embarcações
no modelo. Dessa maneira, as ondas são geradas para números de Froude da profundidade
entre 0,36 e 0,65 como mostrados na Tabela E1 sendo que, os valores de F
h
iguais a 0,60 e
0,65 são casos limites, simulados apenas para efeito de estudo, pois tais velocidades não são
utilizadas por embarcações tipo chata.
Tabela E1 – Velocidades e dimensões da embarcação no protótipo e no modelo
Experimento IPH escala 1:15
h prot = 6m h mod = 40cm
Velocidade protótipo (m/s) Velocidade modelo (m/s) F
h
2,78 0,72 0,36
3,24 0,84 0,42
3,59 0,93 0,47
3,85 0,99 0,50
4,60 1,19 0,60
5,00 1,29 0,65
Características
da embarcação
Protótipo (m) Modelo (cm)
Comprimento 20,25 135,00
Boca 6 40,00
Calado 1,5 10,00
Sistema ótico para medição de ondas
A proposta do modelo físico consiste em desenvolver um método de registro das ondas
e de sua interação com as margens através de fotos com a técnica da estereoscopia. Para tanto,
duas câmeras fotográficas eletrônicas Sony modelo R1 de 10 megapixels dotadas de conexões
para disparo remoto são utilizadas. A aquisição do par estereoscópio é feito por um disparador
remoto que sincroniza as duas câmeras. Testes de sincronização foram realizados com o
auxílio de um cronômetro (Figura 190) e revelaram a eficiência do aparelho sincronizador
cujo o erro de precisão foi de centésimos de segundo.
189
Figura 190: Teste de sincronização das cameras
Os testes de calibração das câmeras foram feitos usando o programa PhotoModeler5
mas não se mostrou eficiente visto que para cada câmera fotográfica os parâmetros resultantes
foram diferentes (Figura 191). A metodologia de calibração utilizada admite que as
fotografias são obtidas por uma única câmera, no caso em questão como a embarcação
encontra-se em movimento há a necessidade do uso de duas câmeras. No entanto, a
metodologia para a calibração de câmeras diferentes deve ainda ser melhorada.
Figura 191: Resultados da calibração das câmeras
Para controlar a precisão da sincronização das câmeras na identificação e
seqüenciamento de imagens, foi desenvolvido um relógio eletrônico que indica horas,
minutos, segundos e centésimos de segundo em dígitos de diodos luminescentes (Figura 192).
190
Figura 192: Mostrador do relógio em posição no canal.
Com o fundo falso em posição, foram realizados ensaios preliminares com as câmeras
fotográficas posicionadas a 3m de altura sobre o nível de água por meio de um suporte
provisório. Para diminuir o reflexo na água e para que posteriormente, auxiliassem na
restituição das imagens pela estereoscopia, confetes de EVA foram lançados na água (Figura
193). Entretanto, eles não se mostraram muito eficientes, visto que são facilmente dispersados
pela esteira da embarcação. A metodologia para esta estapa também deve ser melhorada, bem
como as formas de iluminação e visibilidade do relógio eletrônico. Os ensaios mostraram a
necessidade de cobrir a superfície da água com traçadores opacos e adotar uma iluminação
oblíqua. Testes de iluminação foram feitos com refletores de 1500W.
Figura 193: Confetes de EVA lançados na água.
Finalmente, apresenta-se na Figura 194 resultados preliminares dos testes de calibração
do modelo experimental realizado em dezembro de 2006. Os testes definitivos acontecerão
entre janeiro e fevereiro de 2007.
191
Figura 194: Pares de imagens sincronizadas obtidos no experimento
192
ANEXO F
ROTEIRO PARA EXECUTAR O MODELO FUNWAVE MODIFICADO
A seguir serão relatados os procedimentos para executar o modelo FUNWAVE
modificado.
O primeiro passo é carregar o arquivo funwave2d.data que contém todos os parâmetros
de controle do modelo Funwave como apresentado na Figura 195. A terceira parte do arquivo
chamada data3 não precisa ser modificada, ela gera os arquivos de saída do programa.
Em seguida deve-se executar o programa depth.f para gerar o arquivo de batimetria
como apresentado na Figura 196. Na tela será pedido para digitar o número correspondente à
batimetria que será simulada. Para os casos simulados nesta tese, tem-se que:
1 = profundidade constante, 8 = modelo Padrão, 10 = modelo Johnson, 12 = modelo PIANC e
13 = modelo Dam. Os outros valores apresentados na tela se referem ao modelo FUNWAVE
original (2 a 6) e casos de canais que não foram abordados nesta investigação (7, 9 e 11) e não
devem ser levados em consideração neste roteiro.
Depois, executa-se o programa initw.f, que serve para gerar condições iniciais de
elevação de superfície livre em todos os pontos do domínio e as dimensões da fonte a ser
utilizada; na Figura 197 é mostrada a tela de apresentação do programa. Será pedido em
primeiro lugar o parâmetro de controle para o tipo de onda a ser gerada e, no caso de ondas de
embarcação, deve-se digitar o número 4. Em seguida será pedido o tipo de fonte para a onda
de embarcação (1 = pressão ou 2 = slender): a opção 1 deve ser digitada para simular a fonte
com uma pressão móvel; a opção 2, que é para corpos finos, ainda não está ativada. Em
seguida são pedidas, respectivamente, as dimensões da embarcação (comprimento, boca e
calado) e por fim o número de Froude da profundidade a ser analisado. A execução do
programa initw.f gera o arquivo fonte2d.in que é o arquivo que contém os dados referentes à
fonte geradora de ondas de embarcação como sendo uma pressão móvel.
Por fim, basta executar o programa principal chamado funwave2d.f (Figuras 198, 199 e
200) que resultará nos arquivos de elevação da superfície livre (etaxy.out), velocidade u
(ux.da) e velocidade v (vy.da). Os arquivos de velocidade podem ser lidos diretamente no
programa Excel, no entanto, para os arquivos etaxy.out que se apresentam em formato
binário, é necessário a utilização de um programa auxiliar, nesta tese foi utilizado o programa
MatLab. A rotina para leitura desses arquivos é apresentada mais abaixo.
193
Figura 195: Arquivo de entrada (funwave2d.data) do modelo FUNWAVE.
Figura 196: Tela de apresentação do programa depth.f
194
Figura 197: Tela de apresentação do programa initw.f
Figura 198: Tela de apresentação do programa funwave2d.f
195
Figura 199: Tela de apresentação do programa funwave2d.f
Figura 200: Tela de apresentação do programa funwave2d.f
196
Rotina escrita no programa MatLab para a leitura do arquivo etaxy.out que contém os dados
de elevação da superfície livre.
clear all
mx=891;
dx=0.07;
ny=281;
dy=0.1;
%ELEVAÇAO DA SUPERFICIE LIVRE EM TODO O DOMINIO
%ship wave
%Carregar arquivos com elevaçao da superficie livre em todo o dominio para
%o passo temporal indicado no nome do arquivo
fid = fopen('etaxy00001','r');
fid1 = fopen('etaxy00002','r');
fid2 = fopen('etaxy00003','r');
fid3 = fopen('etaxy00004','r');
fid4 = fopen('etaxy00005','r');
fid5 = fopen('etaxy00006','r');
[a,b]=fread(fid,[ny,mx],'single');
[a1,b1]=fread(fid1,[ny,mx],'single');
[a2,b2]=fread(fid2,[ny,mx],'single');
[a3,b3]=fread(fid3,[ny,mx],'single');
[a4,b4]=fread(fid4,[ny,mx],'single');
[a5,b5]=fread(fid5,[ny,mx],'single');
a=flipud(a);
a1=flipud(a1);
a2=flipud(a2);
a3=flipud(a3);
a4=flipud(a4);
a5=flipud(a5);
cx=mx*dx;
cy=ny*dy;
retay=3;
retay1=25;
retay2=14.2;
retay3=10.725;
figure
surf((1:mx)*dx,((1:ny))*dy,a),colormap(jet),shading interp,axis([0 cx 0
cy]),view(90,270), axis image
xlabel('x (m)')
ylabel ('y (m)')
hold on
plot((1:mx)*dx,retay,'-',(1:mx)*dx,retay1,'-')
figure
surf((1:mx)*dx,((1:ny))*dy,a1),colormap(jet),shading interp,axis([0 cx 0
cy]),view(90,270), axis image
xlabel('x (m)')
197
ylabel ('y (m)')
hold on
plot((1:mx)*dx,retay,'-',(1:mx)*dx,retay1,'-')
figure
surf((1:mx)*dx,((1:ny))*dy,a2),colormap(jet),shading interp,axis([0 cx 0
cy]),view(90,270), axis image
xlabel('x (m)')
ylabel ('y (m)')
hold on
plot((1:mx)*dx,retay,'-',(1:mx)*dx,retay1,'-')
figure
surf((1:mx)*dx,((1:ny))*dy,a3),colormap(jet),shading interp,axis([0 cx 0
cy]),view(90,270), axis image
xlabel('x (m)')
ylabel ('y (m)')
hold on
plot((1:mx)*dx,retay,'-',(1:mx)*dx,retay1,'-')
figure
surf((1:mx)*dx,((1:ny))*dy,a4),colormap(jet),shading interp,axis([0 cx 0
cy]),view(90,270), axis image
xlabel('x (m)')
ylabel ('y (m)')
hold on
plot((1:mx)*dx,retay,'-',(1:mx)*dx,retay1,'-')
figure
surf((1:mx)*dx,((1:ny))*dy,a5),colormap(jet),shading interp,axis([0 cx 0
cy]),view(90,270), axis image
xlabel('x (m)')
ylabel ('y (m)')
hold on
plot((1:mx)*dx,retay,'-',(1:mx)*dx,retay1,'-',(1:mx)*dx,retay2,'-
',(1:mx)*dx,retay3,'-')
198
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