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COLISÃO ENTRE RISERS DE SISTEMAS OCEÂNICOS EM ÁGUAS
PROFUNDAS
Stefânia Defilippo Rocha
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS
EM ENGENHARIA OCEÂNICA.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Antonio Carlos Fernandes, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Paulo Batista Gonçalves, D.Sc.
________________________________________________
Dr. Enrique Casaprima Gonzalez, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
AGOSTO DE 2007
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ii
ROCHA, STEFÂNIA DEFILIPPO
Colisão entre Risers de Sistemas
Oceânicos em Águas Profundas [Rio de
Janeiro] 2007
IX, 157 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,
D.Sc., Engenharia Oceânica, 2007)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Colisão entre risers
2. VIV sob Interferência
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
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iii
À minha família e ao grande companheiro Rogério.
iv
AGRADECIMENTOS
Aos professores Antonio Carlos Fernandes e Breno Pinheiro Jacob, pela
orientação e pelo grande apoio para realização deste trabalho.
À Bruna Capanema, Joseane V. Queiroz, Fábio M. Coelho, Luiz A. Ferreira e
Rodrigo Basileu pela contribuição fundamental na realização dos ensaios.
À Petrobras e à Agência Nacional do Petróleo que me deram tempo nos
momentos de sufoco.
Aos amigos da Petrobras-E&P/ENGP/DP/PPP pelo incentivo, apoio e
colaboração no período final deste trabalho.
Ao Rogério pela paciência, ajuda e companheirismo inesgotáveis.
Aos meus queridos pais, Ronan e Ignês, e aos meus irmãos Thiago e Thomás
pela confiança e carinho.
Às pessoas que colaboraram de forma direta ou indireta, por meio de incentivo,
confiança e troca de experiências.
A Deus, pela força e proteção.
v
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D. Sc.)
COLISÃO ENTRE RISERS DE SISTEMAS OCEÂNICOS EM ÁGUAS
PROFUNDAS
Stefânia Defilippo Rocha
Agosto/2007
Orientadores: Antonio Carlos Fernandes
Breno Pinheiro Jacob
Programa: Engenharia Oceânica
A indústria de petróleo “offshore” apresenta grandes desafios tecnológicos em
seus projetos de engenharia devido às descobertas de novos campos de petróleo em
lâminas d’água cada vez mais profundas.
Sistemas de risers pouco espaçados entre si, submetidos à corrente, tendem a
apresentar diferentes deflexões estáticas devido à influência das esteiras formadas pelos
risers do arranjo. Dependendo de seu posicionamento, cada riser sofrerá uma influência
menor ou maior das esteiras de seus vizinhos.
Este estudo apresenta uma teoria simplificada para a determinação de esteiras
formadas atrás de cilindros submetidos a um escoamento e a análise de sua
aplicabilidade. Um simulador numérico foi desenvolvido e dois tipos de configuração
foram ensaiados em modelos de escalas reduzidas. A configuração com cabos, em
catenária suspensa, teve por objetivo a validação do simulador numérico e a análise de
suas limitações influenciadas pela Vibração Induzida por Vórtices (VIV), VIV sob
Interferência (VIV-SI) e pelo atrito devido ao contato entre os cabos. A outra
configuração, com dois cilindros rígidos verticais, objetivou avaliar, especificamente, o
fenômeno da VIV sob Interferência. Em ambas as configurações, os resultados podem
ser extrapolados para os casos reais e mostram a possibilidade de colisão entre risers
pouco espaçados entre si, colocando em evidência os fenômenos relacionados à mesma.
vi
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D. Sc.)
CLASHING AMONG RISERS IN DEEP WATER OCEAN SYSTEMS
Stefânia Defilippo Rocha
August/2007
Advisors: Antonio Carlos Fernandes
Breno Pinheiro Jacob
Department: Ocean Engineering
The offshore petroleum industry reveals great technological challenges as new
field discoveries are made on steadily increasing water depths.
Risers of systems having little space between its elements, subjected to current,
tend toward different static deflections due to wakes formed by the other risers of the
system. Depending on its position, each riser will be submitted to a stronger or weaker
effect from their neighbors.
This work presents the theory to measure the perturbation of the velocity profile
due to wakes formed behind cylinders. A numerical model was developed and two
physical configurations were studied on small scale models. A configuration with two
suspended catenary (jumper) was carried to validate the numerical simulator and to
stress its limits when submitted to Vortex Induced Vibration (VIV), VIV under
Interference (VIV-UI) and friction. The other configuration, with two stiff cylinders
placed vertically, aimed for an evaluation of the VIV under Interference. The results on
both configurations can be extrapolated to real cases and shows the possibility of
clashing on closely spaced systems, putting in evidence other phenomena related to it.
vii
ÍNDICE
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO 1
1.1. Motivação 1
1.2. Objetivo e Metodologia 4
1.3. Revisão Bibliográfica 4
1.4. Organização da Tese 6
CAPÍTULO II – EQUAÇÕES BÁSICAS DA MECÂNICA DOS FLUIDOS 7
2.1. Forma integral dos movimentos dos fluidos 8
2.2. Forma diferencial dos movimentos dos fluidos 10
CAPÍTULO III – ESCOAMENTO EXTERNO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL 14
3.1. Camada Limite 15
3.2. Escoamento Laminar em uma Placa Plana 16
3.3. Escoamento Turbulento 19
3.4. Comprimento de mistura 22
3.5. Equação da camada limite turbulenta 25
CAPÍTULO IV – ESCOAMENTO TURBULENTO LIVRE TIPO ESTEIRA 27
4.1. Acréscimo da Largura e Decréscimo da Perturbação da Velocidade em uma Esteira Turbulenta 28
4.2. Função distribuição de velocidades em uma esteira turbulenta 31
4.3. Campo de esteira de um cilindro baseado na Teoria de Huse 35
4.4. Força de Arrasto em um cilindro a jusante 37
4.5. Vibrações Induzidas por Vórtices 39
CAPÍTULO V – SIMULADOR NUMÉRICO PARA PREVER A COLISÃO ENTRE RISERS
BASEADO NA TEORIA DE HUSE 46
5.1. Estruturacão do Simulador 46
5.2. Variáveis da Análise 49
5.3. Verificação de Ocorrência de Colisão 50
5.4. Reordenação dos nós dos Risers do Arranjo em relação à incidência da Velocidade de Corrente 57
viii
5.5. Determinação das distâncias entre os Risers nas direções paralela e perpendicular à incidência da
Corrente 59
5.6. Cálculo do Perfil de Perturbação da Velocidade (Esteira) 60
5.7. Cálculo do Cd equivalente 60
CAPÍTULO VI – ENSAIOS COM MODELOS REDUZIDOS 61
6.1. Laboratório de Ondas e Corrente 61
6.2. Configuração em Catenária Suspensa 66
6.3. Consideração das Vibrações devido ao Desprendimento de Vórtices (VIV e VIV-SI) 108
6.4. Configuração em Cilindros Verticais Rígidos – (VIV sob Interferência) 120
6.5. Análise dos Resultados 130
CAPÍTULO VII – CONCLUSÕES 132
7.1. Sugestões para Trabalhos Futuros 135
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 137
APÊNDICE A – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS 140
A.1. Definição de Fluido 140
A.2. O fluido como um contínuo 141
A.3. Regime Permanente e Transiente 142
A.4. Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais 142
A.5. Trajetórias, Linhas de Emissão e Linhas de Corrente 143
A.6. Campo de Tensões 143
A.7. Viscosidade 145
A.8. Escoamentos Laminares e Turbulentos 146
A.9. Número de Reynolds 146
A.10. Escoamentos Compressíveis e Incompressíveis 147
A.11. Escoamentos Internos e Externos 147
A.12. Escoamento sobre uma placa plana 148
A.13. Escoamento Externo em torno de um Cilindro 149
APÊNDICE B - ANÁLISE DE ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE CRÍTICA
151
B.1. Formulação do Problema 151
ix
B.2. Análise de Estabilidade 155
B.3. Velocidade de Corrente Crítica 157
1
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO
1.1.
M
OTIVAÇÃO
Novos campos “offshore” de petróleo e gás natural no mundo tendem a ser
encontrados em lâminas d’água cada vez mais profundas. Projetos de sistemas de risers,
ancoragens e plataformas marítimas representam, a cada nova descoberta, desafios
tecnológicos de complexidade crescente, fundamentais para o desenvolvimento desta
nova indústria.
Uma das principais linhas de pesquisa, visando viabilizar o desenvolvimento
destes campos, encontra-se nos projetos de sistemas de risers. Com os comprimentos
dos risers cada vez maiores, alguns efeitos como, pesos submersos elevados, vibrações
induzidas por vórtices e o efeito da corrente ao longo deste comprimento, devem ser
analisados cuidadosamente. O efeito da corrente ao longo do comprimento, por
exemplo, pode ser observado tanto em risers rígidos (Figura 1.1) como em risers
flexíveis. Considerando as características físicas, geométricas e hidrodinâmicas, a
deflexão estática devido à força de arrasto provocada pela corrente pode fazer com que
os risers vizinhos fiquem muito próximos em um arranjo. Esta deflexão é cada vez mais
acentuada à medida que o comprimento dos risers aumenta, tornando-se fator
determinante em arranjos de risers pouco espaçados entre si. Esta proximidade faz com
que um riser interfira na força de arrasto a que outro esteja submetido, e este poderá
defletir diferentemente de seu vizinho a montante, aumentando a probabilidade de
ocorrência de colisão (“clashing”) entre eles.
2
Figura 1.1 – Sistema de Risers em uma TLP
A determinação da esteira formada atrás de um riser é ponto crucial para o
estudo da colisão. Esforços vêm sendo gastos no desenvolvimento de procedimentos
numéricos para o cálculo das esteiras geradas por cilindros submetidos a escoamentos
contínuos. Há métodos baseados no desprendimento de vórtices gerados no interior da
camada limite da esteira e na correspondente força resultante a ser aplicada aos cilindros
adjacentes, há métodos empíricos e, além destes, há outra linha de estudos, simplificada,
que considera a esteira como um escoamento turbulento, onde não são considerados os
efeitos dos vórtices.
O método de Schlichting [1] baseia-se na teoria de esteiras turbulentas
juntamente com o princípio da conservação da quantidade de movimento. Este método é
adequado em arranjos de risers com grandes espaçamentos entre si. Para arranjos mais
densos, onde o espaçamento de centro a centro dos risers é muito próximo, esta teoria é
insuficiente sendo necessária a introdução do conceito de Posição Virtual da Fonte
idealizada por Erling Huse [2].
3
A aplicação desta teoria simplificada idealizada por Erling Huse é sugerida na
norma americana API / PETRO RP 2RD [3], que estabelece os procedimentos de
análises estruturais para projetos de risers em sistemas oceânicos.
Resumidamente, o fenômeno da colisão ocorre quando um riser R2 situado na
esteira do riser R1 sofre menos influência da velocidade de corrente que seu vizinho à
montante. Conseqüentemente, o riser R2 tem uma deflexão estática menor que o R1 e
existe, portanto, a possibilidade de se tocarem (Figura 1.2). Este fenômeno é passível de
ocorrer em risers rígidos ou flexíveis pouco espaçados entre si. Os danos que possam
aparecer devido à colisão não são objetos de estudo deste trabalho.
R1
R2
Figura 1.2 – Definição de Colisão (“clashing”)
4
1.2.
O
BJETIVO E
M
ETODOLOGIA
O objetivo deste estudo foi entender melhor o fenômeno físico envolvido no
processo da colisão. Para isso, a teoria de Huse foi implementada em um programa de
elementos finitos para análise estática de sistemas oceânicos e foram realizados ensaios
em modelos reduzidos.
Além da menor deflexão estática obtida através da teoria de Huse, observamos
através dos ensaios em modelos reduzidos que outros fatos podem influenciar a
ocorrência da colisão entre os risers em um arranjo:
- a Vibração Induzida por Vórtices (VIV) causa um aumento na amplitude do
movimento transversal do riser devido ao desprendimento de vórtices em sua esteira,
amplificando o coeficiente de arrasto e, conseqüentemente, a deflexão do riser a
montante.
- a VIV sob Interferência (VIV-SI) causa um aumento, maior que o anterior, na
amplitude do movimento transversal de um riser R2 situado na esteira de um riser a
montante R1. Tal aumento no movimento transversal causa um acréscimo no coeficiente
de arrasto e, conseqüentemente na deflexão do riser a jusante.
- o Atrito devido ao contato entre dois risers de um arranjo quando há
sobreposição faz com que haja diminuição de suas deflexões quando comparadas ao
caso sem atrito.
O simulador numérico desenvolvido neste trabalho considera a teoria
simplificada de Huse sem levar em consideração os fenômenos de VIV, VIV-SI e atrito.
1.3.
R
EVISÃO
B
IBLIOGRÁFICA
Durante as últimas décadas, muitos estudos têm sido realizados para a
determinação de esteiras formadas por corpos submetidos a escoamentos incidentes.
Em 1969, Schilichting [1] propôs uma solução para resolver as equações de
movimento de esteiras usando a teoria do comprimento de mistura proposta por Prandtl
[4].
5
Escoamentos em camadas limites, desprendimento de vórtices, determinação da
força de arrasto (“drag”) média e oscilatória, determinação da força de sustentação
(“lift”) são também exemplos de linhas de pesquisa diretamente relacionadas à
determinação de esteiras ao redor de corpos. Uma importante publicação, considerando
a influência do desprendimento de vórtices em esteiras ocorreu em 1983 por Faltinsen e
Pettersen [5].
Em 1987 [6], Huse e Muren apresentaram os primeiros estudos considerando
que as forças de arrasto em corpos com movimentos oscilatórios apresentam os mesmos
coeficientes de arrasto que os obtidos a partir de escoamentos estacionários, desde que
se faça uma correção na velocidade da esteira.
Em suas publicações posteriores [7, 2, 8, 9], Huse desenvolveu sua linha de
pesquisa utilizando a teoria de Schilichting, introduzindo o conceito de Posição Virtual
da Fonte e realizando testes experimentais.
Em 2000, Huse e Kleiven [10] através de medições de forças e acelerações
obtidas de um arranjo de risers para o estudo da colisão desenvolveram um
procedimento para determinar a energia envolvida na colisão.
Wu, Huang e Barltrop [11] em 1999, apresentaram um método numérico
baseado na teoria aerodinâmica para prever as forças de arrasto e sustentação na
presença de esteiras.
Os mesmos Wu, Huang e Barltrop [12, 13, 14, 15] em 2000, 2001 e 2002
publicaram uma metodologia baseada na análise de estabilidade para determinação da
velocidade crítica a partir da qual o cilindro a jusante não atinge mais uma configuração
de equilíbrio, o que levaria à provável colisão entre dois cilindros.
Mais recentemente, em 2005, Huang e Sworn [16] apresentaram um estudo
sobre a amplificação do coeficiente de arrasto quando um cilindro é posicionado na
esteira de outro.
Em 2007, Assi, Bearman e Meneghini [17] publicaram um estudo sobre a
determinação da força agindo em um cilindro a jusante posicionado na esteira de outro e
concluíram que a amplificação da oscilação no movimento transversal deste mesmo
cilindro pode atingir um nível de aproximadamente 1,5 vezes o seu diâmetro.
6
1.4.
O
RGANIZAÇÃO DA
T
ESE
O capítulo 2 deste trabalho apresenta uma breve abordagem sobre as equações
básicas da mecânica dos fluidos, nas formas integral e diferencial, dando enfoque
especial ao Princípio da Conservação da Massa e ao Princípio da Conservação da
Quantidade de Movimento.
O capítulo 3 apresenta o conceito de camada limite e comprimento de mistura e
finaliza com a obtenção das equações da camada limite para escoamentos em regimes
turbulentos.
No capítulo 4, que trata do escoamento turbulento livre tipo esteira, é deduzida a
função perturbação do perfil de velocidades da equação de movimento de corpos
cilíndricos submetidos a esteiras, utilizando-se a teoria de Schilichting. Posteriormente,
é apresentado o conceito de Posição Virtual da Fonte, utilizado por Erling Huse, para
estimar as equações de movimento considerando que os cilindros se encontram a
distâncias relativamente pequenas. Neste capítulo, é também descrito o fenômeno de
Vibrações Induzidas por Vórtices presentes nas esteiras de cilindros.
O capítulo 5 descreve o simulador numérico desenvolvido neste trabalho através
da subrotina “CLASHING” acoplada ao programa PROSIM-E e mostra como foram
verificadas a ocorrência de colisão entre os vários elementos dos risers.
No capítulo 6, são apresentadas as descrições dos ensaios em modelos reduzidos
executados no Laboratório de Ondas e Corrente da UFRJ, a comparação dos resultados
com o simulador numérico e a influência dos fenômenos físicos de Vibração Induzida
por Vórtices (VIV), VIV sob Interferência (VIV-SI) e do Atrito devido ao contato.
Finalmente, no capítulo 7, são apresentadas as conclusões deste trabalho e as
sugestões para trabalhos futuros.
Há ainda dois apêndices no final deste trabalho: o apêndice A, que trás uma
breve introdução à mecânica dos fluidos para melhor compreensão da teoria apresentada
e o apêndice B, que trata da análise de estabilidade para previsão da colisão entre risers.
7
CAPÍTULO II – EQUAÇÕES BÁSICAS DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
A análise de qualquer problema em mecânica dos fluidos apoia-se nas leis
básicas que regem o movimento dos fluidos [18]:
1. Conservação de massa
2. Segunda lei de Newton para o movimento
3. Princípio da quantidade de movimento angular
4. Primeira lei da termodinâmica
5. Segunda lei da termodinâmica
Estes princípios devem ser aplicados de modo adequado a resolver problemas de
escoamentos de fluidos. Obviamente, nem todas as leis básicas são necessárias para
resolver alguns problemas. Por outro lado, em outros problemas é necessário introduzir
equações de estado ou constitutivas.
Na mecânica básica, faz-se uso intenso do diagrama de corpo livre. Na mecânica
dos fluidos, empregam-se os conceitos de sistema e volume de controle.
Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa e identificável, onde
nenhuma massa cruza suas fronteiras.
O volume de controle é um volume arbitrário no espaço através do qual o fluido
escoa. A fronteira do volume de controle é chamada superfície de controle, a qual pode
ser real ou imaginária. É difícil focalizar a atenção numa quantidade de massa fixa
identificável. É muito mais conveniente fazê-lo num volume do espaço através do qual
o fluido escoa.
Sistema de Referência
O sistema de referência utilizado neste estudo para a dedução das equações está
mostrado na Figura 2.1.
8
Figura 2.1 – Sistema de Referência
2.1.
F
ORMA INTEGRAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS
Para análise de fluidos em movimento foram desenvolvidas as equações básicas
na forma integral para aplicação em volumes de controle. De modo geral, nesta
situação, se está interessado nos efeitos do movimento sobre algum dispositivo ou
estrutura.
Princípio da Conservação da Massa
Equação da Continuidade
Sabemos que massa não pode ser criada nem destruída, portanto se a vazão em
massa para dentro de um volume de controle (VC) excede aquela que sai, conclui-se
que houve acumulação de massa dentro do VC.
A formulação de volume de controle do princípio de conservação de massa é
dada por:
∫ ∫
=⋅+∀
∂
∂
VC SC
AdVd
t
0
r
r
ρρ
(2.1)
O primeiro termo representa a taxa de variação de massa dentro do volume de
controle, enquanto o segundo a taxa de fluxo de massa ou vazão em massa através da
superfície de controle (SC). Cabe destacar que a velocidade
V
r
é medida em relação à
superfície de controle. O produto escalar
AdV
r
r
⋅
ρ
é positivo quando o fluxo sai do VC,
z
u
v
w
V
x
y
9
negativo quando o fluxo é para dentro do VC e nulo quando o fluxo é tangente à
superfície de controle.
Para um escoamento incompressível no qual a massa específica permanece
constante e com um volume de controle de forma e tamanho fixos, a equação de
conservação de massa torna-se:
∫
=⋅
SC
AdV 0
r
r
(2.2)
Assim, para escoamento incompressível, a vazão em volume para dentro do VC
deve ser igual à vazão em volume para fora do VC.
A vazão em volume, Q, através de uma seção de uma superfície de controle de
área A, é dada por:
∫
⋅=
A
AdVQ
r
r
(2.3)
E a magnitude da velocidade média nessa seção é definida como:
∫
⋅==
A
AdV
AA
Q
V
r
r
1
(2.4)
Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento
Equação de Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial
A formulação da segunda lei de Newton para um volume de controle
estacionário não submetido à aceleração, em relação a uma referência fixa XYZ, é dada
por:
∫∫
⋅+∀
∂
∂
=+
SCVC
BS
AdVVdV
t
FF
r
r
r
r
r
r
ρρ
(2.5)
Esta equação estabelece que a soma de todas as forças (superfície e campo)
atuando sobre um volume de controle não submetido à aceleração, é igual à soma da
taxa de variação da quantidade de movimento no interior do volume de controle com a
taxa líquida do fluxo de quantidade de movimento cruzando a superfície de controle.
10
Quando a única força de campo atuante é a gravidade, tem-se:
∫
∀=
VC
B
dgF
ρ
r
r
(2.6)
A força de superfície decorrente da pressão é dada por:
∫
−=
A
S
ApdF
r
r
(2.7)
A equação da quantidade de movimento é vetorial e, como tal, pode ser
decomposta em três equações escalares (u, v e w).
Equação de Quantidade de Movimento para Volume de Controle movendo-se
à velocidade constante
Os parágrafos anteriores mostraram a aplicação da equação da quantidade de
movimento para VC estacionário (inercial). Um VC movendo-se a velocidade constante
em relação a um sistema de referência fixo XYZ é também inercial, visto que não possui
aceleração com respeito à XYZ.
A equação para o volume de controle com velocidade constante em relação ao
sistema de referência XYZ é então escrita como:
dAVVdV
t
FFF
xyz
SC
xyz
VC
xyzBS
⋅+∀
∂
∂
=+=
∫∫
r
r
r
r
r
r
ρρ
(2.8)
Esta equação é idêntica a estabelecida na equação (2.5), exceto pela inclusão do
índice xyz, para assinalar que as quantidades devem ser medidas em relação ao volume
de controle (é como seriam vistas por um observador movendo-se a velocidade
constante com o VC).
2.2.
F
ORMA DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS
No item 2.1, foram desenvolvidas as equações básicas na forma integral para um
volume de controle. Aquelas equações são particularmente úteis, quando estamos
interessados no comportamento genérico de um campo de escoamento e nos seus efeitos
sobre dispositivos quaisquer. Contudo, o método de aproximação integral não nos
capacita a obter conhecimento ponto a ponto do escoamento. Para obter esse
11
conhecimento detalhado, devemos aplicar as equações dos movimentos dos fluidos na
forma diferencial.
Princípio da Conservação de Massa
Equação da Continuidade
Na hipótese do contínuo, os campos de propriedades são definidos por funções
contínuas das coordenadas e tempo. Os campos de massa específica e de velocidade são
relacionados através da conservação de massa. O princípio de conservação de massa diz
que a taxa líquida de massa através das superfícies de controle mais a taxa de variação
de massa dentro do volume de controle deve ser zero.
Utilizando um volume de controle diferencial, obtém-se a equação diferencial
para conservação de massa que, para coordenadas retangulares, é dada por:
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
tz
w
y
v
x
u
ρ
ρ
ρ
ρ
(2.9)
Esta equação é frequentemente chamada de equação da continuidade.
Sabendo que o operador vetorial gradiente,
∇
, em coordenadas retangulares é
dado por:
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ˆ
ˆˆ
, então:
V
z
w
y
v
x
u
r
ρ
ρ
ρ
ρ
.∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
(2.10)
E a conservação de massa pode ser representada por:
0. =
∂
∂
+∇
t
V
ρ
ρ
r
(2.11)
Para escoamentos incompressíveis, a massa específica,
ρ
, é constante, não
sendo, portanto, função das coordenadas espaciais e nem do tempo. Deste modo, a
equação da continuidade para escoamentos incompressíveis é dada por:
12
0. =∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
V
z
w
y
v
x
u
r
(2.12)
Para escoamentos bidimensionais (w = 0), tem-se:
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
(2.13)
E no caso de escoamento permanente todas as propriedades são, por definição,
independentes do tempo. Assim, para escoamento permanente, a equação da
continuidade pode ser escrita como:
0. =∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
V
z
w
y
v
x
u
r
ρ
ρ
ρ
ρ
(2.14)
Translação de um Fluido
Aceleração de uma partícula fluida num campo de velocidade
Dado o campo de velocidade,
(
)
tzyxVV
,,,
r
r
=
, temos que a variação da
velocidade de uma partícula ao mover-se da posição
r
r
para
rdr
r
r
+
é dada por
dt
t
V
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
Vd
pppp
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r
r
r
r
(2.15)
A aceleração total da partícula é dada por
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
dt
Vd
a
pppp
p
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
r
r
r
r
r
r
(2.16)
Como,
u
dt
dx
p
= , v
dt
dy
p
= e w
dt
dz
p
=
(2.17)
temos
t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
u
dt
Vd
a
p
p
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
r
r
r
r
r
r
(2.18)
13
Que pode ser representada pelo símbolo DtVD
r
, chamada de derivada
substancial ou de partícula.
t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
u
dt
Vd
a
Dt
VD
p
p
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
===
r
r
r
r
r
r
r
(2.19)
Observando a equação acima, reconhecemos que uma partícula fluida movendo-
se num campo de escoamento pode sofrer aceleração por dois motivos: porque é
transportada por convecção para uma região de velocidade mais alta (ou mais baixa) e,
para escoamento não permanente, a partícula passará por uma aceleração adicional
“local”, pois a velocidade é função do tempo.
Obtivemos uma expressão para a aceleração de uma partícula em qualquer local
de um campo de escoamento - esse método é o Euleriano de descrição.
Qualquer propriedade fluida pode ser tratada do ponto de vista euleriano usando-
se a regra da cadeia.
Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento
Equação de Quantidade de Movimento – Navier-Stokes
As equações diferenciais de quantidade de movimento, as chamadas equações
de Navier-Stokes, para escoamento incompressível com viscosidade constante
(newtoniano) são dadas por:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
g
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u
x
µρρ
(2.20)
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
y
p
g
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
u
y
µρρ
(2.21)
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
p
g
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
u
z
µρρ
(2.22)
14
CAPÍTULO III – ESCOAMENTO EXTERNO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL
Escoamentos externos são escoamentos sobre corpos imersos em um fluido [18].
Estes escoamentos podem ser representados por um escoamento viscoso com alto
número de Reynolds sobre um aerofólio, que divide-se no ponto de estagnação e
circunda o corpo. Devido à condição de não deslizamento, o fluido em contato com a
superfície adquire a velocidade do corpo. As camadas limites se formam tanto na
superfície superior como na inferior. No início a camada limite tem escoamento laminar
e depois torna-se turbulenta a certa distância do ponto de estagnação. Há um pequeno
deslocamento das linhas de corrente causado pelo crescimento das camadas limites nas
superfícies. Poderá ocorrer a separação do escoamento devido à variação adversa de
pressão. O fluido presente nas camadas limites na superfície do corpo forma uma esteira
viscosa atrás dos pontos de separação.
Na Figura 3.1, o aerofólio é submetido a uma força resultante das forças de
cisalhamento e de pressão que atuam na sua superfície. A componente da força
resultante paralela ao escoamento uniforme a montante, ou seja paralela a
V
r
, é a força
de arrasto e a componente perpendicular a
V
r
é a força de sustentação.
Figura 3.1 – Escoamento viscoso em torno de um aerofólio
Ponto de Estagnação
CLL
CLL
CLT
CLT
T
T
Esteira Viscosa
V
r
S
S
CLL – Camada Limite Laminar
CLT – Camada Limite Turbulenta
T – Transição
S – Ponto de separação
15
3.1.
C
AMADA
L
IMITE
O primeiro a introduzir o conceito de camada limite foi o alemão Ludwig
Prandtl em 1904. Prandtl mostrou que a análise dos escoamentos viscosos pode ser
dividida em duas regiões: uma perto da fronteira sólida e a outra no restante do
escoamento. Apenas na pequena região próxima à fronteira sólida, na chamada camada
limite, a viscosidade é importante. Nas outras regiões a viscosidade é desprezível.
No estudo das camadas limites [18], tanto as forças viscosas como as de inércia
são importantes, portanto o número de Reynolds, que representa a razão entre as forças
de inércia e as forças viscosas, é essencial na caracterização deste tipo de escoamento.
Não há valor do número de Reynolds que caracteriza a transição de regime laminar para
turbulento na camada limite. O que afeta esta transição são o gradiente de pressão,
rugosidade, transferência de calor, forças de campo e perturbações de corrente livre.
O perfil de velocidade na camada limite une-se assintoticamente com a
velocidade de corrente livre. Um pequeno erro é introduzido se a leve diferença entre as
velocidades na borda da camada limite for ignorada em uma análise aproximada.
Hipóteses simplificadoras usualmente feitas em análises de engenharia para o
desenvolvimento da camada limite são:
1. Vu
→
, para
δ
=
y ,
2.
0→∂∂
yu
, para
δ
=
y ,
3. Vv
<<
, dentro da camada limite,
onde
δ
é a espessura da camada limite.
Além destas hipóteses, como a camada limite é muito fina quando comparada
com o seu comprimento de desenvolvimento ao longo da superfície, é também razoável
supor que:
4. A variação de pressão através da camada limite fina é desprezível, ou seja,
pode-se considerar na camada limite a mesma distribuição de pressão da corrente livre.
16
3.2.
E
SCOAMENTO
L
AMINAR EM UMA
P
LACA
P
LANA
Considere uma camada limite laminar durante o escoamento sobre uma placa
plana, vemos imediatamente que o problema é bidimensional, ou seja, o vetor de
velocidades em cada ponto depende tanto da coordenada x quanto da coordenada y, o
problema é invariante na direção z, e w é identicamente nula. Desprezando-se as forças
de campo, as equações diferenciais de quantidade de movimento, equações de Navier-
Stokes, para escoamento incompressível com viscosidade constante (Newtoniano) se
reduzem a [19]:
Direção x:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
1
y
u
x
u
x
p
t
u
y
u
v
x
u
u
ν
ρ
(3.1)
1 1 δ 1/δ 1 δ
2
1 1/δ
2
Direção y:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
1
y
v
x
v
y
p
t
v
y
v
v
x
v
u
ν
ρ
(3.2)
1 δ δ 1 δ δ
2
δ 1/δ
E a Equação da Continuidade:
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
(3.3)
1 1
Onde as quantidade 1, δ, etc., resultam de uma análise de ordem de grandeza,
conforme será discutido a seguir, visando eliminar os termos que podem ser
desprezados.
Inicialmente, atribuímos o valor comparativo 1 ao comprimento máximo e à
velocidade máxima envolvida neste problema e tentamos avaliar o valor extremo de
todos os termos em comparação com estes. Portanto a velocidade máxima é u
max
, e
dizemos que
u é da ordem de 1, ou seja,
17
]1[Ou
=
(3.4)
Agora x pode variar de 0 a 1, e, portanto, a variação máxima de x é da ordem de
grandeza da unidade. A variação de u pode ser de 0 a 1, e, escrevendo-se a derivada em
forma de diferenças finitas, vem,
]1[
]1[
]1[
O
O
O
x
u
x
u
==
∆
∆
≈
∂
∂
(3.5)
De modo análogo podemos mostrar que a ordem de grandeza da segunda
derivada é
]1[
2
2
O
x
u
=
∂
∂
(3.6)
Examinando a direção y, vemos que o valor extremo de y é dado pela espessura,
δ, da camada limite. De acordo com a equação da continuidade com
]1[Oxu
=∂∂
,
concluímos que
]1[Oyv
=∂∂
. Como o valor extremo de y
∆
é O[δ], é preciso que
tenhamos,
][
δ
Ov
=
(3.7)
Então as derivadas de u em relação a y são,
=
∂
∂
δ
1
O
y
u
(3.8)
=
∂
∂
22
2
1
δ
O
y
u
(3.9)
Usando argumentos semelhantes, obtemos,
=
∂
∂
δ
1
2
2
O
y
v
(3.10)
][
δ
O
x
v
=
∂
∂
(3.11)
][
2
2
δ
O
x
v
=
∂
∂
(3.12)
18
Estas ordens de grandeza são dadas abaixo dos respectivos termos das equações
(3.1), (3.2) e (3.3).
Supondo que a variação extrema seja da ordem da unidade, temos
]1[O
t
u
=
∂
∂
(3.13)
][
δ
O
t
v
=
∂
∂
(3.14)
e daí também se conclui que os termos de inércia são da mesma ordem de grandeza em
cada uma das equações de Navier-Stokes. A ordem da viscosidade cinemática,
ν
, deve
ser
2
δ
para que os termos viscosos desta equação sejam da mesma ordem de grandeza
que os termos inerciais.
O exame das equações (3.1) e (3.2) com as ordens de grandeza dos termos
indicadas abaixo deles revela um fato importante. A ordem de grandeza da densidade
ρ
não excede a unidade, e, supondo que ela seja O[1], vemos que,
]1[O
x
p
=
∂
∂
(3.15)
para que o termo da pressão seja significativo.
Pelo mesmo argumento,
][
δ
O
y
p
=
∂
∂
(3.16)
e, uma vez que
1
<<
δ
, concluímos que o
gradiente de pressão vertical é desprezível
.
Isto nos permite calcular a pressão no interior da camada limite usando a teoria do
escoamento do fluido perfeito considerando-se o gradiente de pressão no eixo dos
x
como sendo expresso pelo escoamento externo. Também, como cada termo da equação
da quantidade de movimento da direção
y
é da ordem de
δ
e cada termo da equação na
direção
x
é da ordem da unidade, a equação inteira na direção
y
é insignificante; e
observando que:
19
2
2
2
2
y
u
x
u
∂
∂
<<
∂
∂
(3.17)
temos,
2
2
1
y
u
dx
dp
t
u
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ν
ρ
(3.18)
0
=
∂
∂
y
p
(3.19)
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
(3.20)
Estas relações são conhecidas como
equações da camada limite de Prandtl
.
Resumindo, a análise da ordem de grandeza reduziu o problema de três para
duas equações e possibilitou determinar o gradiente de pressão. Uma das derivadas
parciais de segunda ordem dos termos viscosos também foi eliminada.
3.3.
E
SCOAMENTO
T
URBULENTO
No desenvolvimento de qualquer camada limite existe, normalmente, uma seção
laminar, a montante, que se torna turbulenta à medida que o fluido se dirige a jusante. A
diferença fundamental entre os dois tipos de escoamentos reside na existência de
componentes completamente caóticos para a velocidade no escoamento turbulento [19].
Para o regime turbulento o vetor velocidade é dado por:
kwjviuVV
r
r
r
r
r
'''
+++=
(3.21)
onde
u’
,
v’
e
w’
são as
flutuações
de velocidade nas direções
x
,
y
e
z
e
V
r
é a velocidade
média. Portanto, para cada direção podemos expressar as componentes da velocidade
por:
'
uuu
+
=
(3.22)
'
vvv
+
=
(3.23)
'
www
+
=
(3.24)
20
Lembrando que as linhas de corrente num escoamento laminar são paralelas e as
partículas fluidas escorregam umas sobre as outras em camadas, ou lâminas, sem se
misturarem, a viscosidade newtoniana representa a interação entre o fluido e a
superfície numa escala
microscópica
.
Considerando um escoamento turbulento na direção
x
, Figura 3.2, nota-se que
devido à flutuação da velocidade
v’
, um aglomerado de partículas fluidas designado por
1 move-se para cima e é substituído pelo aglomerado 2 que se move para baixo. Esta
troca se repete em todo o campo de escoamento, produzindo uma interação
macroscópica
entre as camadas fluidas, caracterizado por um comportamento caótico.
Estas flutuações de velocidade dão origem a termos adicionais da tensão na equação do
movimento.
Figura 3. 2 – Interação macroscópica entre as camadas em escoamentos turbulentos
No escoamento turbulento as
equações de Navier-Stokes
são válidas se usarmos
velocidades instantâneas no lugar de médias temporais, baseando-se na consideração da
interação do fluido numa escala macroscópica.
Supondo que a velocidade e a pressão possam ser representadas por suas médias
temporais acrescidas de um termo de flutuação e desprezando-se as forças de campo, as
equações diferenciais de quantidade de movimento para o escoamento turbulento, em
regime permanente (
equações de Navier-Stokes
) são dadas por:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−∇+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
uw
y
uv
x
u
u
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
'''''
2
2
ρµρ
(3.25)
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−∇+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
vw
y
v
x
vu
v
y
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
'''''
2
2
ρµρ
(3.26)
u
x
y
2
1
21
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−∇+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
wv
x
wu
w
z
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
2
2
'''''
ρµρ
(3.27)
As
forças de Reynolds
, ou
forças devido à turbulência
, que atuam sobre um
volume de controle resultam das flutuações turbulentas e se superpõem com as forças
laminares. São as forças adicionais (atuando sobre um volume de controle), nas
equações acima, representadas pelos termos que contêm derivadas dos produtos dos
componentes das flutuações de velocidades:
( )
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∑
z
uw
y
uv
x
u
f
t
x
'''''
2
ρ
(3.28)
( )
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∑
z
vw
y
v
x
vu
f
t
y
'''''
2
ρ
(3.29)
( )
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∑
z
w
y
wv
x
wu
f
t
z
2
'''''
ρ
(3.30)
Como estas forças para uma área infinitesimal equivalem a
tensões devido à
turbulência
,
τ
t
, elas podem ser consideradas pelas relações:
( )
( )
( )
t
zx
t
yx
t
xx
zyxz
uw
y
uv
x
u
τττρ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
'''''
2
(3.31)
( ) ( ) ( )
t
zy
t
yy
t
xy
zyxz
vw
y
v
x
vu
τττρ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
'''''
2
(3.32)
( )
( )
( )
t
zz
t
yz
t
xz
zyxz
w
y
wv
x
wu
τττρ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
2
'''''
(3.33)
Em muitos escoamentos turbulentos as tensões devido à turbulência são
consideravelmente maiores que as tensões viscosas, deste modo, os termos envolvendo
a viscosidade podem normalmente ser omitidos nas aplicações das equações de Navier-
Stokes para escoamento turbulento.
22
3.4.
C
OMPRIMENTO DE MISTURA
Figura 3. 3 – Escoamento na camada limite turbulenta – comprimento de mistura
Como visto anteriormente, no item 2.2, para escoamento laminar incompressível
com viscosidade constante existem quatro variáveis e quatro equações, dadas pelas
equações de Navier-Stokes e pela equação da continuidade. O escoamento turbulento
correspondente envolve três incógnitas adicionais,
u’
,
v’
e
w’
,
porém o número de
equações permanece o mesmo. A solução matemática de sete variáveis (desconhecidas)
com apenas quatro equações é impossível, necessitamos, portanto, de outras hipóteses
simplificadoras. Daí surgiu o conceito de Comprimento de Mistura, sendo a teoria semi-
empírica desenvolvida por Prandtl [4] uma das mais antigas e bem aceitas. Em sua
teoria semi-empírica, Prandtl introduziu o conceito de um grupo de partículas fluidas
que se movem como um corpo, retendo uma propriedade tal como a velocidade ao
longo de uma distância
l
que ele chamou de
comprimento de mistura
. Para esclarecer
[20], considere o escoamento na camada limite turbulenta indicado na Figura 3.3.
Supomos que um corpo de fluido na camada
y + l
possua, na direção
y
, uma
perturbação
– v’
que faz com que ele se mova para baixo até a camada
y
. Esta distância
de movimento
l
é a necessária para que a troca de quantidade de movimento linear
produza flutuações de velocidade
u’
da mesma ordem de grandeza que as ocorridas num
escoamento turbulento real. Em outras palavras, supomos que o corpo fluido na posição
y + l
se move para
y
sem nenhuma variação da velocidade na direção
x
até que o
movimento da vertical termine. Então, na nova posição, a velocidade original é
(
)
(
)
yulyuu −+='
(3.34)
v’
u’
l
l
y
x
y
(
)
yu
(
)
lyu
+
(
)
yu
(
)
lyu
−
23
Este é o valor de
'u
no campo de escoamento real. Portanto
l
fornece uma
dimensão com significado físico diretamente relacionado com o escoamento turbulento.
Trocando
l
por
∆y
podemos escrever a equação (3.34) na forma
(
)
(
)
y
yuyyu
l
u
∆
−∆+
=
'
(3.35)
A qual, no limite quando
∆y
tende a zero, torna-se
dy
ud
lu =
'
(3.36)
O mesmo resultado é obtido para um corpo de partículas fluidas que se movem
de
y – l
até
y
. A média temporal de
'u
em
y
é encontrada tomando-se a média da
flutuação devido ao movimento para cima e ao movimento para baixo,
dy
ud
l
dy
ud
l
dy
ud
lu =
+=
2
1
'
(3.37)
Prandtl também supôs que a média temporal das flutuações da componente
vertical da velocidade seria da mesma ordem de grandeza que a da direção
x
,
dy
ud
lCuCv
11
''
==
(3.38)
Onde
1
C
é uma constante. Das relações (3.31), (3.32) e (3.33), a tensão de
cisalhamento devido à turbulência é dada por
(
)
''vu
t
yx
ρτ
−= (3.39)
Devemos examinar a média temporal ''vu . Da Figura 3.3, vemos que um valor
positivo de v’ produzirá movimento de um corpo fluido para uma região com
u
mais
elevado e, portanto, resultará num produto negativo de u’ e v’. Analogamente, um valor
negativo de v’ produzirá um valor u’ positivo, e vemos que a média ''vu normalmente
difere de zero e é negativa. Em vista disto, Prandtl supôs que,
24
''''
2
vuCvu −= (3.40)
onde,
2
C é um fator de correlação com valores maiores do que zero e menores
ou iguais a um.
Aplicando-se as equações (3.37) e (3.38) na equação (3.40), encontramos,
2
2
3
''
−=
dy
ud
lCvu (3.41)
onde, o sinal de valor absoluto na derivada torna-se supérfluo, pois ela está
elevada ao quadrado. Uma vez que não possuímos medidas para l, podemos incluir a
constante
3
C e expressar a tensão de cisalhamento devido à turbulência do seguinte
modo,
( )
2
2
=
dy
ud
l
t
yx
ρτ
(3.42)
Uma vez que a tensão deve mudar o sinal de dyud , é melhor expressar este
resultado do seguinte modo,
( )
dy
ud
dy
ud
l
t
yx
2
ρτ
= (3.43)
Esta é a hipótese do comprimento da mistura de Prandtl. Embora a hipótese de
que l seja pequena, feita na dedução, não seja justificável fisicamente, o resultado tem
sido usado com êxito considerável na previsão de distribuição de velocidades médias
em numerosos problemas de escoamentos turbulentos.
25
3.5.
E
QUAÇÃO DA CAMADA LIMITE TURBULENTA
As equações da camada limite de Prandtl para um escoamento bidimensional
foram demonstradas no item 3.2, considerando as equações de Navier-Stokes para
escoamento incompressível com viscosidade constante e uma análise de ordem de
grandeza visando eliminar os termos que podiam ser desprezados.
No item 3.3, vimos que, para escoamento turbulento, as equações de Navier-
Stokes são válidas se usarmos os termos de velocidade e pressão representados por suas
médias temporais acrescidos de um termo de flutuação.
Portanto, utilizando-se as equações da camada limite de Prandtl para escoamento
bidimensional juntamente com as equações de Navier-Stokes para escoamento
turbulento, temos as equações da camada limite para escoamentos em regime
turbulento:
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
(3.44)
−
∂
∂
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
''
1
vu
y
u
ydx
pd
t
u
y
u
v
x
u
u
ν
ρ
(3.45)
Devido às simplificações utilizadas na equação da camada limite, os termos
gerados pelas tensões normais podem ser desprezados.
Comparando as equações acima com as equações da camada limite laminar
temos que:
1) As componentes de velocidade e pressão u, v e p foram substituídas por suas
médias temporais pvu ,, .
2) Os termos de inércia e pressão permaneceram os mesmos, sendo que o termo
viscoso
22
yu ∂∂
ν
foi substituído por,
−
∂
∂
∂
∂
''vu
y
u
y
ν
(3.46)
26
Isto equivale a dizer que a força viscosa por unidade de volume y∂∂
ν
τ
foi
substituída por,
(
)
y
t
∂
+∂
ττ
ν
(3.47)
Onde yu ∂∂=
µτ
ν
é a tensão cisalhante para fluidos newtonianos em regime
laminar e ''vu
t
ρτ
−= é a tensão cisalhante devido à turbulência dada pela hipótese de
Reynolds.
27
CAPÍTULO IV – ESCOAMENTO TURBULENTO LIVRE TIPO ESTEIRA
Escoamentos turbulentos são considerados livres se eles não estão confinados
entre paredes [1]. Existem basicamente três tipos de escoamentos livres: fronteiras com
jatos livres, jatos livres e esteiras. No caso específico de escoamento formado atrás de
um corpo sólido submetido a uma força de arrasto, podemos considerar o escoamento
do tipo esteira (Figura 4.1). As velocidades do escoamento na esteira são menores que
as do escoamento principal. Esta perda de velocidade causa uma perda na quantidade de
movimento devido ao arrasto no corpo.
Figura 4.1 – Perturbação da velocidade em uma esteira
Nos escoamentos turbulentos livres, o cisalhamento devido à turbulência é muito
maior que o cisalhamento viscoso laminar, sendo este freqüentemente desprezado na
solução dos problemas.
Podemos considerar tal escoamento turbulento livre como sendo de natureza
similar àquele desenvolvido numa camada limite turbulenta, desprezando-se a tensão
cisalhante devido à viscosidade. No caso bidimensional, as equações da camada limite
turbulenta são dadas por:
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
(4.1)
yt
u
y
u
v
x
u
u
t
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
τ
ρ
1
(4.2)
V
c
x
x
l
y
2b
28
O termo de pressão foi suprimido das equações porque em todos os problemas
envolvendo esteiras é permitido assumir, numa primeira aproximação, que a pressão
permanece constante a partir de certa distância.
Para a solução do sistema de equações faz-se necessário expressar a tensão
devido à turbulência em termos de parâmetros do escoamento principal. Esta relação é
possível fazendo uso da teoria do comprimento de mistura de Prandtl discutida
anteriormente, os seja,
( )
dy
ud
dy
ud
l
t
yx
2
ρτ
= (4.3)
4.1.
A
CRÉSCIMO DA
L
ARGURA E
D
ECRÉSCIMO DA
P
ERTURBAÇÃO DA
V
ELOCIDADE EM UMA
E
STEIRA
T
URBULENTA
Antes de prosseguirmos com a integração das equações (4.1) e (4.2), serão feitas
estimativas das ordens de grandeza e dos tipos de leis que governam o crescimento da
largura da esteira e o decréscimo da perturbação do perfil de velocidade à medida que a
distância x cresce [1].
No caso de esteiras turbulentas, podemos supor que o comprimento de mistura,
l, é proporcional à largura da esteira, b (Figura 4.2):
l
b
=
β
(4.4)
Figura 4.2 – Largura da esteira, b
b
y
x
V
c
29
Temos ainda que a variação da largura da esteira em relação ao tempo é
proporcional à velocidade de flutuação transversal v’.
v
Dt
Db
′
∝ (4.5)
Notamos que DtD é a derivada substancial e pode ser usada para qualquer
propriedade fluida, neste caso, a largura da esteira b. Para escoamento bidimensional,
permanente,
D
Dt
u
x
v
y
= +
∂
∂
∂
∂
(4.6)
Considerando a teoria do Comprimento de Mistura de Prandtl, apresentada
anteriormente, temos
y
u
lv
∂
∂
∝
′
(4.7)
E, portanto:
y
u
l
Dt
Db
∂
∂
∝ (4.8)
Chamando de V
c
a velocidade de corrente livre e definindo u
1
como o perfil de
velocidade de perturbação da esteira, temos:
uVu
c
−=
1
(4.9)
Podemos supor que o valor médio de yu ∂∂ é proporcional a bu
1
:
b
u
y
u
1
∝
∂
∂
(4.10)
Substituindo a equação (4.10) na equação (4.8) temos:
1111
.uCu
b
l
C
Dt
Db
β
== (4.11)
30
Na borda da esteira, podemos considerar que a derivada substancial da largura
da esteira, de acordo com a equação (4.6), será dada por:
dx
db
V
Dt
Db
c
= (4.12)
Igualando-se as equações (4.11) e (4.12) temos,
dx
db
VuC
c
=
11
.
β
(4.13)
Portanto,
c
V
u
dx
db
1
β
∝ (4.14)
Utilizando a equação da quantidade de movimento para esteiras turbulentas,
temos:
dAuVuF
c
A
)(
−=
∫
ρ
(4.15)
Para grandes distâncias, uVu
c
−=
1
é muito pequeno quando comparado à
velocidade V
c
, então, podemos considerar,
u V u V u u V u
c c c
( ) ( )
−
=
−
≈
1 1 1
(4.16)
E a equação da quantidade de movimento torna-se,
dAuVF
A
c
∫
≈
1
ρ
(4.17)
Resolvendo a integral da quantidade de movimento da equação (4.17) temos:
hbuVF
c
1
ρ
∝ (4.18)
Para esteiras bidimensionais chamamos de h a altura do corpo cilíndrico e de D
o seu diâmetro. A Força de Arrasto (“Drag”) obtida através de análise dimensional é
dada por:
31
hDVCF
cdd
2
2
1
ρ
= (4.19)
Igualando as equações (4.18) e (4.19), temos:
b
DC
V
u
d
c
2
1
∝ (4.20)
Inserindo a equação (4.14) na equação (4.20):
DC
dx
db
b
d
β
∝2 (4.21)
De onde vem que:
( )
2
1
DxCb
d
β
∝ (4.22)
E, inserindo a equação (4.22) na equação (4.20):
2
1
1
∝
x
DC
V
u
d
c
β
(4.23)
Das equações (4.22) e (4.23) acima, conseguimos estimar as ordens de grandeza
e os tipos de leis que governam o crescimento da largura da esteira e o decréscimo da
perturbação do perfil de velocidade à medida que a distância x cresce. Ou seja,
concluímos que a largura da esteira bidimensional cresce com x e a perturbação da
velocidade decresce com x1 .
4.2.
F
UNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES EM UMA ESTEIRA TURBULENTA
Agora, que já possuímos as estimativas de ordens de grandeza e os tipos de leis
que governam o movimento de uma partícula em uma esteira, estamos aptos a deduzir a
função perturbação do perfil de velocidades da equação do movimento.
Os primeiros estudos sobre esteiras bidimensionais turbulentas foram feitos por
Schlichting [1], baseados na hipótese do comprimento de mistura de Prandtl [4].
Apresentaremos a seguir o desenvolvimento deste estudo.
32
Os perfis de perturbação de velocidades em uma esteira podem ser considerados
similares somente a partir de certa distância x do corpo. Esta restrição faz com que o
perfil de perturbação, dado pela diferença entre a velocidade do escoamento livre e a
velocidade da esteira, seja muito pequeno quando comparado com a velocidade do
escoamento livre. Portanto, a aplicação da equação da quantidade de movimento (4.17)
para um cilindro de altura h nos leva a seguinte equação,
∫
+∞=
−∞=
=
y
y
c
dyuVhF
1
ρ
(4.24)
Substituindo a equação da força de arrasto (4.19) na equação (4.24), obtemos:
cd
y
DVCdyu
2
1
1
=
∫
+∞
−∞=
(4.25)
Do item 3.4, a hipótese do comprimento de mistura de Prandtl mostra que,
y
u
y
u
l
t
∂
∂
∂
∂
=
2
ρτ
(4.26)
E de acordo com o item 3.5, as equações diferenciais da quantidade de
movimento para camada limite turbulenta, em regime permanente, com pressão
constante e desprezando-se o termo yuv ∂∂ é dada por:
(
)
yx
u
u
t
∂
−∂
=
∂
∂
ττ
ρ
ν
1
(4.27)
Como em escoamentos turbulentos, o cisalhamento devido à turbulência é muito
maior que o cisalhamento viscoso laminar, pode-se desprezar a tensão cisalhante devido
à viscosidade,
yx
u
u
t
∂
∂
−=
∂
∂
τ
ρ
1
(4.28)
Lembrando que uVu
c
−=
1
, substituindo (4.26) em (4.28) e assumindo que o
comprimento de mistura é constante e proporcional a largura b,
(
)
xbl
β
= , temos:
33
2
1
2
1
2
1
2
y
u
y
u
l
x
u
V
c
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
− (4.29)
Devido à similaridade na forma dos perfis de perturbação, podemos introduzir a
variável independente by=
η
nas leis que governam o movimento de uma partícula
em uma esteira (equações 5.22 e 5.23).
( )
2
1
DxCBb
d
= (4.30)
( ) ( )
ηη
f
x
DC
Vu
d
c
2
1
1
=
(4.31)
Inserindo as expressões acima na equação (4.29), obtemos a seguinte equação
diferencial para
(
)
η
f :
( )
"'
2
'
2
1
2
ff
B
ff
β
η
=+ , (4.32)
considerando as condições de contorno: u
1
= 0 e
0
1
=∂∂ yu em y = b, ou seja, f
= f’ = 0 em 1
=
η
.
Integrando uma vez, obtemos:
2
2
'
2
1
f
B
f
β
η
= (4.33)
Integrando mais uma vez,
(
)
2
23
2
1
2
9
1
η
β
−=
B
f (4.34)
Precisamos determinar o valor da constante B. Substituindo a equação (4.34) em
(4.31) e integrando a equação da quantidade de movimento (4.25), obtemos
β
10=B
e a solução final torna-se,
( )
2
1
10 DxCb
d
β
= (4.35)
34
2
2
3
2
1
1
1
18
10
−
=
b
y
x
DC
Vu
d
c
β
(4.36)
Para a determinação da constante
β
foram feitos experimentos com cilindros
medindo-se as larguras das esteiras à medida que se aumentavam as distâncias x.
Para cada valor de y mediu-se a velocidade de perturbação u
1
correspondente e
de posse do gráfico mostrado na Figura 4.3 obteve-se o valor da constante 18,0
=
β
.
Substituindo o valor de
β
nas equações acima, as mesmas se tornam:
( )
2
1
569,0 DxCb
d
= (4.37)
2
2
3
2
1
1
1976,0
−
=
b
y
x
DC
Vu
d
c
(4.38)
E, em formato mais atual, a equação (4.38) pode ser obtida ajustando-se a curva
da Figura 4.3 por uma função exponencial:
( )
2
/285,3
2
1
1
by
d
c
e
x
DC
Vu
−
=
(4.39)
Figura 4. 3 – Distribuição da perturbação da velocidade em torno de um cilindro circular para
determinação de
β
ββ
β
Toda esta metodologia para a determinação do perfil de perturbação da
velocidade na esteira de um cilindro apresenta uma boa aproximação para distâncias x
35
relativamente grandes, ou seja, 50./ >DCx
d
. Para distâncias menores, devido à
descontinuidade na curvatura do perfil em y = 0, as equações (4.35) e (4.36) levam a
resultados errados.
4.3.
C
AMPO DE ESTEIRA DE UM CILINDRO BASEADO NA
T
EORIA DE
H
USE
De acordo com o apresentado no desenvolvimento deste trabalho até aqui, há
uma limitação no uso da teoria de Schilichting para determinação do perfil de
perturbação de velocidades de uma esteira para distâncias x relativamente pequenas.
Erling Huse em suas publicações sobre o tema [7, 8, 9], desenvolveu uma teoria
baseada no conceito de Posição Virtual da Fonte para corrigir as distorções
apresentadas na limitação citada.
Uma fonte [18] é um tipo de escoamento em um plano no qual o escoamento é
radial para fora a partir do eixo perpendicular ao plano e simétrico em todas as direções.
A intensidade da fonte, q, é a vazão em volume por unidade de profundidade. Em
qualquer raio, r, de uma fonte a velocidade tangencial Vt é zero, a velocidade radial Vr é
igual à vazão em volume por unidade de profundidade, q, dividida pela área por unidade
de profundidade, 2
π
r.
A base para a aproximação de Huse através do conceito de Posição Virtual da
Fonte considera que existe um fluxo de corrente sobre um cilindro virtual, a uma
distância x
v
do cilindro real, cuja esteira é medida no centro do cilindro real. Nesta
posição, o perfil de perturbação de velocidades da esteira encontra-se a uma distância x
infinitesimal do cilindro real, ou seja, no limite inferior onde a teoria de Schlichting
falha.
Assumindo uma fonte posicionada também a uma distância x
v,
a montante do
cilindro real, a componente horizontal da velocidade radial da fonte, Vr, pode ser
considerada igual à velocidade u
1
, quando y é igual a D/2.
Para se obter o valor de u
1
a qualquer distância x do cilindro real, faz-se
necessária anteriormente a obtenção de x
v
(posição do cilindro virtual em relação ao
cilindro real), de tal modo que nas bordas do cilindro real tangentes ao escoamento o
valor de u
1
seja igual a u
1max
/2.
36
Observando a Figura 4.3, citada anteriormente, é fácil notar que quando u
1
/u
1max
= 0,5, então, y/b = 0,441. Chamando y, nesta posição, de b
1/2
(Figura 4.4), temos que:
bb 441,0
2/1
= (4.40)
Figura 4.4 – Definição de b
1/2
Substituindo b da equação acima na equação (4.37), e fazendo x igual a x
v
:
( )
2
1
2/1
25,0 DCxb
dv
= (4.41)
Como b
1/2
é também igual a D/2, ao substituirmos este valor na equação (4.41)
encontramos o valor de x
v
.
dv
CDx /4= (4.42)
E, finalmente, para qualquer valor de x
s
= x
v
+ x (Figura 4.5):
( )
2
1
2/1
25,0 DCxb
ds
= (4.43)
( )
2
2/1
/639,0
2
1
1
by
s
d
c
e
x
DC
Vu
−
=
(4.44)
b
1/2
u
1max
½ u
1max
u
1
(y)
y
37
Figura 4.5 – Definição de b
1/2
Para cilindros bem espaçados entre si esta correção através da Posição Virtual
da Fonte não interfere no resultado do campo de esteiras, mas interfere
significativamente quando os cilindros estão muito próximos.
4.4.
F
ORÇA DE
A
RRASTO EM UM CILINDRO A JUSANTE
Coeficiente de arrasto equivalente
O arrasto (“drag”) agindo em um cilindro posicionado a jusante de outro é a
componente da força paralela ao escoamento, provocada pela esteira do cilindro a
montante. Através da aplicação do teorema dos PI de Buckingham obtemos a
formulação desta força:
(
)
2
1
5,0 uVCDF
cdjusjusdjus
−=
ρ
(4.45)
No simulador numérico desenvolvido neste trabalho foi considerado o conceito
de Coeficiente de Arrasto Equivalente (C
dEQ
) para determinação da força de arrasto
agindo em um cilindro posicionado na esteira de outro. No cálculo da força de arrasto
não considera-se a perturbação no perfil de velocidades agindo no cilindro a jusante,
mas sim é feito um ajuste no valor do coeficiente de arrasto (C
d
), chamado de
Coeficiente de Arrasto Equivalente, de tal modo que este leve à mesma força de arrasto
como se não houvesse ocorrido a perturbação de velocidades. Portanto, a força que
produz o mesmo efeito que aquele provocado pela esteira será:
2
5.0
cdjusEQjusdjus
VCDF
ρ
= (4.46)
y
C
1
C
2
x
v
x
x
s
x
l
y
38
Conseqüentemente,
2
1
1
−=
c
djusdjusEQ
V
u
CC (4.47)
onde
djusEQ
C é o coeficiente de arrasto equivalente do cilindro a jusante.
Coeficiente de arrasto equivalente em um sistema da risers
Em um sistema de risers contendo um conjunto de risers adjacentes, as forças de
arrasto atuantes em cada elemento dos mesmos serão calculadas através da subrotina
“CLASHING” desenvolvida neste trabalho para análise da colisão e adaptada ao
programa de análise estática PROSIM-E. Como dados de entrada temos:
•
Perfil de velocidades de corrente V
c
para a lâmina d’água considerada;
•
Direção do perfil de velocidades de corrente
α
para a lâmina d’água
considerada;
•
Coordenadas iniciais dos risers em um Sistema de Coordenadas Global;
•
Características físicas, geométricas e hidrodinâmicas dos risers do arranjo;
•
Coeficientes de arrasto de cada riser do arranjo.
Os nós dos risers são renumerados sequencialmente na direção do escoamento,
ou seja, de montante para jusante.
Como em um arranjo de muitos risers há contribuição da esteira de todos os
risers situados a montante o “perfil de perturbação de velocidades resultante”, agindo
sobre um riser a jusante, será calculado pela soma dos RMS
u1
(“Root Mean Square”) da
contribuição de todas as esteiras dos risers à montante.
2
1
1
−=
c
u
djusdjusEQ
V
RMS
CC
(4.48)
Calcula-se o RMS
u1
somando o quadrado das velocidades geradas pelas esteiras
a montante e calculando sua raiz quadrada. Este princípio está ilustrado Figura 4.6. Na
39
posição P1 próxima aos risers não existe superposição das esteiras e nenhuma soma é
feita, na posição P2 a jusante dos risers é calculada a soma das esteiras através do
RMS
u1
, de modo que a Quantidade de Movimento seja compatível com o somatório das
forças de arrasto dos dois risers.
Figura 4.6 – “Root Mean Square”
Através de iterações de análises estáticas executadas pelo programa, o
Coeficiente de arrasto de cada riser é substituído pelo Coeficiente de arrasto
equivalente até que não haja mais alterações neste valor em iterações sucessivas.
4.5.
V
IBRAÇÕES
I
NDUZIDAS POR
V
ÓRTICES
Considere uma superfície ABCDE de pequena curvatura imersa em um
escoamento, a camada limite que se forma sobre a superfície tem sua espessura
crescente à jusante, tendo comportamento diferente de acordo com a aceleração do
escoamento exterior à camada limite (Figura 4.7) [21].
Se o escoamento nas proximidades da camada limite for uniforme e laminar,
uma parte da sua energia é transferida para a camada limite através do fluido adicionado
à mesma e outra parte através da viscosidade dinâmica. Se o escoamento nas
proximidades da camada limite for uniforme e turbulento, tem-se uma terceira parcela
de transferência de energia: a turbulência.
V
c
P
2
P
1
40
Ao longo de qualquer seção transversal da camada limite a pressão pode ser
considerada constante, a força que se opõe ao movimento é uniforme em cada seção.
Porém, a desaceleração não será a mesma para todo o fluido que passa em um dado
instante por uma seção. O fluido próximo à superfície tem uma velocidade mais baixa e,
portanto, uma quantidade de movimento menor; será mais sensível à força retardadora
do que o fluido mais afastado da superfície. A distribuição de velocidades sofrerá
modificações em virtude deste fato.
No ponto C, a velocidade das partículas próximas à superfície se anula. A partir
deste ponto, o movimento junto à superfície muda de sentido, primeiramente só muito
próximo à mesma, para ir progressivamente aumentando a espessura. O fluido separa-se
no ponto C. Esta separação e o movimento retrógrado à jusante alteram a distribuição de
pressões; a linha de separação move-se para uma posição anterior até uma posição de
equilíbrio.
Figura 4.7 – Camada Limite
Para um cilindro circular imerso no escoamento, considera-se o fluxo
bidimensional, com número de Reynolds gradualmente crescente, correspondendo a um
aumento da velocidade do escoamento. Observa-se que a forma do fluxo não varia de
maneira contínua. Há intervalos de variações do número de Reynolds dentro de cada um
dos quais o fluxo apresenta uma forma constante, oferecendo aspecto bem diferente ao
se passar de um intervalo para outro. Esta transição não se faz em valores bem definidos
de número de Reynolds.
Em um fluido ideal, sem viscosidade (Figura 4.8), o escoamento apresenta-se
perfeitamente simétrico, com a mesma forma à montante e à jusante do cilindro. A
A
B
C
D
E
41
pressão tem resultante nula, não havendo resistência de forma. Para fluidos reais
aparece a influência da viscosidade, que se faz sentir de diversos modos.
Figura 4.8 – Fluido ideal
Para números de Reynolds muito pequenos, abaixo da unidade, a forma do
campo hidrodinâmico deve-se quase que exclusivamente à influência direta da
viscosidade. O corpo emerso no escoamento causa uma deformação das linhas de
corrente.
À medida que o número de Reynolds aumenta, a partir de um valor em torno da
unidade, a camada limite torna-se progressivamente mais espessa, sem que haja ainda
separação. A forma do fluxo é muito próxima da correspondente a um fluido ideal,
porém as velocidades e pressões são diferentes das correspondentes ao caso teórico.
Crescendo ainda mais o número de Reynolds, chega-se a uma situação em que
surge a separação, ou descolamento, os filetes fluidos descolam-se do cilindro e aparece
a esteira, pois as pressões a montante e a jusante do cilindro são diferentes. A partir do
limite anterior até o número de Reynolds igual a 40 ou 50 a esteira apresenta as
seguintes características: há descolamento do fluxo, formam-se dois vórtices simétricos,
estacionários, dos quais participa quase todo fluido da esteira, em lentos movimentos
circulatórios, que se realizam em sentido contrários nos dois vórtices. O comprimento
da esteira na direção do escoamento é da ordem de grandeza do diâmetro do cilindro.
À medida que o número de Reynolds cresce, entre 50 e 150, esse par de vórtices
simétricos torna-se cada vez mais alongado, terminando por desfazer-se, dando origem
a uma esteira mais agitada. A partir do número de Reynolds em torno de 150 os vórtices
enrolam-se em espirais que se destacam alternadamente de ambos os lados do cilindro.
Forma-se uma dupla fila de vórtices alternados, conhecidos como vórtices de Von
Karman.
42
Até um número de Reynolds em torno de 150 estes vórtices são laminares. Para
número de Reynolds entre 150 e 300 dá-se a transição para vórtices turbulentos, embora
a condição de contorno no cilindro permaneça laminar. A partir de número de Reynolds
igual a 300, aproximadamente, os vórtices são plenamente turbulentos. A esteira
apresenta uma largura superior ao diâmetro do cilindro. Esta região é denominada
região subcrítica. O desprendimento de vórtices é periódico.
Para valores de número de Reynolds entre 1x10
5
e 3x10
5
o ponto de
descolamento desloca-se para jusante. A camada limite torna-se turbulenta. A esteira
torna-se mais estreita, com largura menor que o diâmetro do cilindro.
Conseqüentemente, diminui a zona em baixa pressão. A separação dá-se em uma zona
em que as linhas de corrente estão mais distanciadas. A designação mais usada para esta
região é Região Crítica, sendo o número de Reynolds designado de Número de
Reynolds Crítico. É importante salientar que as estruturas esbeltas reais situam-se nesta
faixa do número de Reynolds.
Enquanto que na região subcrítica o desprendimento de vórtices ocorre em uma
freqüência bem definida, na região crítica este desprendimento vai se desorganizando,
realizando-se em uma gama extensa de freqüências. Para número de Reynolds ainda
maiores, a partir de 3,5x10
6
, voltam os vórtices de Von Karman.
Portanto, conclui-se que o desprendimento de vórtices de um fluido estável
sobre um cilindro circular é função do número de Reynolds Re.
43
Estruturas típicas de
escoamentos em cilindros
Escoamentos sobre cilindros
Figura 4.9 – Evolução da esteira de vórtices com o aumento do número de Reynolds [32]
44
Os vórtices vão se desprender da superfície com uma determinada freqüência,
denominada de freqüência de desprendimento de vórtices:
D
s
c
SV
f = (4.49)
onde: S é o número de Strouhal, dado por
c
n
V
D
fS = , e f
n
é a freqüência natural de
vibração do cilindro.
O número de Strouhal para um cilindro circular estacionário num fluido, é
função do número de Reynolds, da rugosidade da superfície e do diâmetro.
Experimentos feitos determinaram que no regime de transição dos números de
Reynolds, as vibrações induzidas por desprendimento de vórtices dos cilindros ocorrem
geralmente com um número de Strouhal de aproximadamente 0,2.
O desprendimento de vórtices resulta em uma força oscilatória transversal ao
fluxo, aplicada sobre o cilindro, que oscila com a freqüência de Strouhal denominada de
força de sustentação. Caso uma das freqüências naturais do cilindro seja próxima à
freqüência de desprendimento de vórtices, o cilindro começará a vibrar
transversalmente ao fluxo.
)sin(
2
1
2
tDCVF
SLcL
ωρ
= (4.50)
onde :
ρ
- massa específica do fluido.
V
c
- velocidade da corrente.
D - diâmetro do cilindro.
C
L
- coeficiente de sustentação (coeficiente de “lift”).
SS
f
πω
2=
- freqüência circular de desprendimento de vórtices, rad/s.
t - tempo em segundos.
Um fato observado na VIV é a sincronização da freqüência de oscilação da
estrutura com a freqüência natural em uma faixa de freqüências em torno da mesma,
45
conhecido como “lock in”. Com o aumento da velocidade incidente, a estrutura passa a
vibrar transversalmente na freqüência dada pela expressão (4.49). Próximo à freqüência
natural, observa-se que a estrutura passa a vibrar na freqüência natural, mesmo com a
alteração da freqüência de excitação. Esta região é chamada de faixa de sincronismo ou
banda de “lock in” [22].
O parâmetro velocidade reduzida V
R
, corresponde ao inverso do número de
Strouhal, é importante na determinação de ocorrência de “lock in”, já que um dos dados
de entrada para esta verificação é a velocidade incidente na estrutura em questão,
conhecendo-se suas freqüências naturais de vibração. A faixa de “lock in” para
oscilações transversais de estruturas imersas na água é 4 < V
R
< 10. A faixa para
vibrações “in line” é 1,2 < V
R
< 3,8, mais estreita que a das oscilações transversais.
46
CAPÍTULO V – SIMULADOR NUMÉRICO PARA PREVER A COLISÃO
ENTRE RISERS BASEADO NA TEORIA DE HUSE
5.1.
E
STRUTURACÃO DO
S
IMULADOR
O simulador “CLASHING” desenvolvido neste trabalho através da linguagem
FORTRAN foi acoplado ao programa PROSIM-E [23] que calcula as deflexões
estáticas dos risers submetidos a um perfil de velocidades de corrente.
A técnica de discretização dos risers empregada no programa PROSIM-E é o
Método dos Elementos Finitos – MEF [24]. Nos casos apresentados neste estudo, foram
empregados elementos reticulados de treliça, que possuem três graus de liberdade por
nó, representando movimentos lineares nas direções x, y e z [25].
O objetivo desta análise através do simulador PROSIM-E/“CLASHING” é
verificar a ocorrência de colisão entre risers através da teoria de Huse, e
conseqüentemente, detectar qual a velocidade de corrente máxima a que um arranjo
possa estar submetido de tal modo que não haja colisão entre eles.
O número de risers e o número de discretizações dos risers em elementos de
treliça são os mesmos utilizados pelo programa PROSIM-E.
Os risers do arranjo podem estar em qualquer posição do espaço tridimensional
definido pelo Sistema de Coordenadas Global do programa PROSIM-E.
Formulação de Morison
O programa PROSIM-E utiliza a formulação de Morison [26] para o cálculo das
forças de fluidos em corpos esbeltos. Esta formulação assume que as forças são
computadas através de uma aproximação na qual os parâmetros importantes do fluxo na
superfície do corpo, tais como pressão, velocidade e aceleração, podem ser aproximados
pelo valor correspondente calculado no eixo da seção transversal do corpo esbelto.
A formulação de Morison, para regime permanente (na presença de corrente e na
ausência de onda), considera que a força é composta pela parcela de arrasto associada a
efeitos viscosos, proporcional à velocidade do fluido.
47
Neste caso, a equação de Morison pode ser expressa da seguinte forma:
2
5,0
cd
VDCF
ρ
=
Nesta expressão,
ρ
é a massa específica do fluido, D é o diâmetro de um
membro cilíndrico e Vc a velocidade do fluido. Na análise de risers usualmente
empregam-se valores de Cd variando entre 0,7 e 1,2. A equação de Morison tem
apresentado bons resultados em aplicações práticas de risers modelados por elementos
finitos. Nestas aplicações, no entanto, deve-se ter em mente os seguintes aspectos:
1- A Fórmula de Morison considera que a resposta do riser está alinhada com a
direção do fluxo incidente. Portanto, omite forças de sustentação (“lift”) e forças de
arrasto devido à vibração induzida por vórtices (VIV), que podem ser importantes em
muitas situações.
2- Não incorpora o efeito da esteira de interferência entre risers muito próximos.
A subrotina CLASHING implementada no programa PROSIM-E procurou
incorporar o efeito da esteira citada no parágrafo anterior, através da teoria de Huse.
Para cada perfil de velocidades de corrente são executadas várias iterações comparando-
se os Coeficientes de Arrasto Equivalentes dos risers do conjunto até que duas iterações
sucessivas convirjam para um mesmo valor de C
dEQ
. Para cada iteração é feita a
verificação de ocorrência de colisão entre todos os elementos de todos os risers
envolvidos no problema.
Determinação da configuração estática
A configuração de equilíbrio estático inicial dos risers é obtida através do pré-
processador PREANF/ANFLEX [27] que emprega formulações analíticas baseadas em
equações clássicas da catenária. A partir da leitura das coordenadas dos nós e das
propriedades físicas e geométricas dos risers o programa PROSIM-E calcula as
deflexões estáticas dos mesmos através do procedimento convencional de solução para
problemas estáticos não-lineares discretizados pelo MEF, baseado no método iterativo
de Newton-Raphson [28].
48
Fluxograma do algoritmo
O fluxograma esquemático a seguir mostra como é feita a análise da colisão a
partir da subrotina “CLASHING” acoplada ao programa PROSIM-E.
Início do programa PROSIM-E
Subrotina FEANCS – loop de iterações para análise da colisão e cálculo do Cdeq
Subrotina LINEST – loop de passos para aplicação incremental da corrente
Subrotina BASTAT – determinação da configuração estática das linhas pelo método
de Newton
-
Raphson
Subrotina CLASHING – início da execução (item 5.2)
Armazenamento do Cdeq anterior para determinação da convergência
Cálculo da deformada inicial de cada riser devido ao peso próprio e à corrente
Verificação de ocorrência de colisão => subrotinas de cálculo vetorial (item 5.3)
Cálculo da posição de cada nó dos risers em relação à incidência de corrente
Cálculo dos nós mais à montante que não sofrem influência das esteiras (item 5.4)
Cálculo do índice do perfil de corrente que atua em cada nó de cada riser
Cálculo das distâncias, paralela e perpendicular à incidência da corrente para uso na
teoria de Huse (item 5.5)
Cálculo do perfil de perturbação de velocidades usando a teoria de Huse (item 5.6)
Determinação do Cdeq para a iteração atual (item 5.7)
Avaliação da ocorrência ou não de convergência comparando os Cdeqs.
Fim do loop de iterações caso haja convergência ou execução da próxima iteração
caso não haja convergência
Fim do loop de passos para aplicação incremental da corrente
Fim do programa PROSIM-E
49
5.2.
V
ARIÁVEIS DA
A
NÁLISE
As seguintes variáveis são utilizadas para a análise da colisão entre risers de um
sistema oceânico:
-
N - número de risers do arranjo
-
D - diâmetro externo dos risers do arranjo.
-
Nnos - número de nós de cada riser discretizado em elementos finitos.
-
Vc - perfil de velocidades da corrente incidente sob o sistema de risers.
-
Alfa - ângulo de incidência da corrente para cada velocidade do perfil.
-
Depth - profundidade de cada velocidade do perfil.
-
Ncurvp - número de velocidades do perfil em função da profundidade.
-
Ncurdp - número de direções do perfil de velocidades em função da profundidade.
-
Cd - coeficiente de arrasto de cada elemento dos risers.
Para a estimativa da interferência entre os risers são calculados os Coeficientes
de Arrasto Equivalentes em cada iteração. Tais coeficientes serão utilizados para os
cálculos das deflexões iniciais de cada riser para a próxima iteração.
Após as iterações de execução do PROSIM-E, é gerado um arquivo de saída de
dados (.def) onde são impressas as deflexões estáticas dos risers do sistema [27], e
também um arquivo de saída (.cla) onde são impressas as menores distâncias entre os
risers em cada iteração e se houve ou não colisão entre eles.
50
5.3.
V
ERIFICAÇÃO DE
O
CORRÊNCIA DE
C
OLISÃO
Para facilitar o entendimento vamos chamar de riser M (montante) o riser (ou
risers) gerador da esteira de fluxo e de riser J (jusante) o riser (ou risers) no qual a
esteira causa perturbação no perfil de velocidades da corrente. O índice n será utilizado
como índice dos nós do elemento de riser M, ou seja, nó M
(n)
e do elemento de riser J,
ou seja, nó J
(n)
.
Para a verificação de ocorrência de colisão entre os risers de um arranjo é
necessário calcular a menor distância entre eles. Para isso calculamos as distâncias entre
cada elemento do riser M e todos os elementos do riser J e depois calculamos a distância
mínima entre eles (Figura 5.1) [29].
A condição necessária para que haja colisão entre dois risers em um arranjo é
que a soma dos raios dos risers J e M seja menor que a menor distância entre eles.
Figura 5.1 – Condição para ocorrência de colisão
Ocorrência de Colisão
Riser J
Riser M
2
2
J
M
D
D
d +<
51
1
ª
V
ERIFICAÇÃO DE
O
CORRÊNCIA DE
C
OLISÃO
Ocorre colisão entre dois elementos de risers se há interseção entre as
circunferências definidas pelos diâmetros do riser M e do riser J, mesmo que seus eixos
não tenham se cruzado (Figura 5.2).
Figura 5.2 – Interseção entre os diâmetros dos risers M e J
Para esta verificação calcula-se a menor distância entre os nós
(n)
, ou entre o nó
M
(n)
e nó J
(n+1)
, ou entre o nó M
(n+1)
e o nó J
(n)
dos elementos dos risers M e J. Se
alguma delas for menor que a soma dos raios dos risers ocorre colisão.
2
ª
V
ERIFICAÇÃO DE
O
CORRÊNCIA DE
C
OLISÃO
Se as retas definidas pelos elementos dos risers M e J forem paralelas e a
distância entre elas for menor que a soma dos raios dos risers, ocorre colisão (Figura
5.3).
Riser M
Riser J
52
Figura 5.3 – Elementos paralelos
Para esta verificação considera-se a condição de paralelismo entre duas retas
definidas pelos vetores diretores formados pelos nós adjacentes (n e n+1) de cada
elemento dos risers M e J.
Condição de paralelismo entre duas retas
A reta r
1
tem a direção do vetor knjmilr
r
r
r
r
1111
++= . Por sua vez, a reta r
2
tem a
direção do vetor knjmilr
r
r
r
r
2222
++= . A condição para que as duas retas sejam
paralelas é que seus vetores diretores também sejam:
2
1
2
1
2
1
n
n
m
m
l
l
==
(5.1)
Cálculo da distância entre um ponto e uma reta
A distância entre um nó do riser J (nó A) e a reta r, definida por 2 nós do riser M
(nó B e nó C) é então calculada:
(
)
(
)
( )
BC
BCBA
rAd
−
−×−
=),(
(5.2)
Riser M Riser J
r
2
r
1
53
3
ª
V
ERIFICAÇÃO DE
O
CORRÊNCIA DE
C
OLISÃO
Se as retas definidas pelos elementos dos risers M e J forem concorrentes e o
ponto de interseção entre elas estiver contido nestes elementos, ocorre colisão.
Figura 5.4 – Elementos concorrentes
Para esta verificação considera-se a condição de coplanaridade entre duas retas
definidas pelos vetores diretores formados pelos nós adjacentes (n e n+1) de cada
elemento dos risers M e J.
Condição de coplanaridade entre duas retas
A reta r
1
contém o ponto
(
)
1111
,, zyxP =
e tem a direção do vetor
knjmilr
r
r
r
r
1111
++= . A reta r
2
contém o ponto
(
)
2222
,, zyxP =
e tem a direção do vetor
knjmilr
r
r
r
r
2222
++= . As retas r
1
e r
2
serão coplanares se, e somente se, os vetores
)(
12
PP −
,
1
r
r
e
2
r
r
o forem, ou seja:
B
A
P
1
C
r
d(A,r)
)
Riser M Riser J
54
0
222
111
121212
=
−−−
nml
nml
zzyyxx
(5.3)
O ponto de interseção é calculado igualando-se as equações das duas retas r
1
e
r
2.
4
ª
V
ERIFICAÇÃO DE
O
CORRÊNCIA DE
C
OLISÃO
Se as retas definidas pelos elementos dos risers M e J forem reversas, e os pés da
normal comum (menor distância) estiverem contidos nestes elementos, e esta distância
for menor que a soma dos raios dos risers, ocorre colisão (Figura 5.5).
Para esta verificação calcula-se a distância entre duas retas reversas definidas
pelos vetores diretores formados pelos nós adjacentes (n e n+1) de cada elemento dos
risers M e J, depois são calculados os pés da normal comum N
1
e N
2
.
Figura 5.5 – Elementos reversos
Cálculo da distância entre duas retas reversas
Para se calcular a distância entre as duas retas foi utilizada a seguinte expressão
desenvolvida através de Cálculo Vetorial [29]:
r
1
r
2
P
1
P
2
Riser M
Riser J
55
( )
(
)
21
2112
21
.
,
rr
rrPP
rrd
rr
r
r
×
×−
= (5.4)
Onde:
A reta r1 passa por P
1
e é paralela ao vetor
1
r
r
. Neste trabalho, consideramos P
1
igual a um nó do elemento selecionado do riser J.
A reta r2 passa por P
2
e é paralela ao vetor
2
r
r
. Neste trabalho, consideramos P
2
igual a um nó do elemento selecionado do riser a montante.
Para o prosseguimento desta verificação é preciso encontrar o ponto em cada
reta que faz a interseção com a normal comum, ou seja, calcular o pé da normal comum:
O vetor (N
1
-P
1
) é paralelo ao vetor
1
r
r
, e o vetor (N
2
-P
2
) é paralelo ao vetor
2
r
r
.
Impondo a condição de paralelismo entre dois vetores, temos:
(
)
1111
rkPN
r
=− (5.5)
e
(
)
2222
rkPN
r
=− (5.6)
k
1
e k
2
são escalares.
Subtraindo membro a membro as duas equações:
(
)
(
)
11221212
rkrkPPNN
r
r
−+−=− (5.7)
n
r
1
r
r
2
r
r
N
1
N
2
P
1
P
2
r
1
r
2
d(r
1
,r
2
)
α
56
Roteiro para o cálculo de k
1
e k
2
:
1)
Multiplica-se escalarmente (5.7) por
1
r
r
;
2)
Multiplica-se escalarmente (5.7) por
2
r
r
;
3)
Resolve-se o sistema de duas equações do 1
°
grau em k
1
e k
2
;
4)
Substitui-se k
1
em (5.5) obtendo-se N
1
. k
2
é substituído em (5.6) para se obter N
2
;
5
ª
V
ERIFICAÇÃO DE
O
CORRÊNCIA DE
C
OLISÃO
Se as retas definidas pelos elementos dos risers M e J forem reversas, um dos
pés da normal comum (menor distância) estiver contido em um dos elementos e esta
distância for menor que a soma dos raios dos risers, ocorre colisão (Figura 5.6).
Figura 5.6 – Elementos reversos com um dos pés da normal em um dos elementos
Neste caso, calcula-se a distância entre um nó do elemento que não contém o pé
da normal e a reta definida pelos nós do outro riser, similarmente à segunda verificação
de ocorrência de colisão apresentada anteriormente.
Riser M
Riser J
57
5.4.
R
EORDENAÇÃO DOS NÓS DOS
R
ISERS DO
A
RRANJO EM RELAÇÃO À
INCIDÊNCIA DA
V
ELOCIDADE DE
C
ORRENTE
Em um sistema de risers submetido a um determinado perfil de velocidades de
corrente, cada riser sofrerá influência dos outros geradores de esteiras que estiverem
posicionados a montante deste. É necessário, então, determinar quais os risers do
arranjo estão a montante e quais estão à jusante em relação à direção de incidência da
corrente. Para isso, calcula-se a posição de cada nó de todos os risers do arranjo em
relação à incidência da velocidade de corrente e estes são reordenados de montante para
jusante.
Para cada velocidade de incidência do perfil de corrente temos um plano
horizontal definido pelo vetor velocidade e o ponto definito pela profundidade de
incidência deste vetor. Os nós dos risers em um mesmo plano horizontal são
reordenados para a determinação dos nós mais a montante do sistema, ou seja aqueles
que não sofrem influência de esteiras.
Para esta reordenação supõe-se que exista um segmento de reta no plano
horizontal entre cada nó dos risers e a origem do sistema de coordenadas global.
Este segmento de reta é projetado na direção da reta definida pelo vetor
velocidade de corrente e a origem do sistema de coordenadas global.
Quando a projeção calculada for a menor possível tem-se o riser mais a
montante do arranjo, portanto este riser não sofrerá influência da esteira dos outros
(Figura 5.7).
58
Figura 5.7 – Reordenação dos risers de montante para jusante em um dos planos horizontais
6
1
2
3
4
7
5
Vc
nó
posição
Nó mais a
montante
nó
nó
nó
nó
nó
nó
posição
posição
posição
posição
posição
posição
59
5.5.
D
ETERMINAÇÃO DAS DISTÂNCIAS ENTRE OS
R
ISERS NAS DIREÇÕES
PARALELA E PERPENDICULAR À INCIDÊNCIA DA
C
ORRENTE
Para a utilização da teoria desenvolvida por Huse para o cálculo das esteiras
precisamos calcular as distâncias, entre os nós de dois risers adjacentes, paralela e
perpendicular à direção da corrente (Figura 5.8).
Figura 5.8– Distâncias entre os risers para aplicação da teoria de Huse
A distância paralela à corrente é a projeção do vetor definido pelo nó do riser J e
o nó do riser M, mais próximos entre si, na direção da velocidade da corrente. Para obtê-
la, é feito o produto escalar entre esse vetor e o versor associado ao vetor velocidade de
corrente.
A distância perpendicular à corrente é a projeção (produto escalar) do vetor
distância, definido pelo nó do riser J e o nó do riser M, mais próximos entre si, na
direção do versor perpendicular ao vetor corrente e o vetor formado pelo por dois nós
adjacentes ao nó do riser M (produto vetorial).
D perpendicular
D paralela
Vc
60
5.6.
C
ÁLCULO DO
P
ERFIL DE
P
ERTURBAÇÃO DA
V
ELOCIDADE
(E
STEIRA
)
Com as distâncias entre os risers calculadas, aplicamos a teoria de Huse para o
cálculo de b e u
1
definidos no item 4.3.
( )
2
1
2/1
25,0 DCxb
dv
= (5.8)
( )
2
2/1
/639,0
2
1
1
by
d
c
e
x
DC
Vu
−
=
(5.9)
Calcula-se a soma do perfil de perturbação de velocidades (u
1
) de cada riser M,
gerador de esteira, através de RMS, conforme item 4.4.
∑
=
M
u
uRMS
1
2
1
1
(5.10)
5.7.
C
ÁLCULO DO
C
D EQUIVALENTE
Após o cálculo do perfil de perturbação de velocidades, calcula-se o Cd
equivalente por nó para todos os risers J do arranjo, de acordo com o item 4.4
2
1
1
−=
c
u
djusdjusEQ
V
RMS
CC (5.11)
Com o cálculo dos Cds equivalentes dos risers J todo o procedimento é
reiniciado para a próxima iteração do programa PROSIM-E e da subrotina
“CLASHING” acoplada.
As iterações se repetem até que haja convergência entre duas iterações
sucessivas.
61
CAPÍTULO VI – ENSAIOS COM MODELOS REDUZIDOS
6.1.
L
ABORATÓRIO DE
O
NDAS E
C
ORRENTE
Com os objetivos de observar o comportamento físico do processo de colisão
entre risers, identificar novos fenômenos e avaliar melhor as limitações do simulador
desenvolvido neste trabalho, foram testados modelos em escalas reduzidas no
Laboratório de Ondas e Corrente (LOC) da COPPE, UFRJ. As características do canal
de corrente deste laboratório podem ser vistas na Figura 6.1, cujas dimensões principais
são: 1,40 m de largura e 0,5 m de lâmina d’água.
Figura 6.1 – Laboratório de Ondas e Corrente – COPPE / UFRJ
A variação da área aberta ao fluxo através da válvula, em azul, (Figura 6.2)
posicionada a montante do canal fornece a velocidade de corrente a ser utilizada em
cada ensaio.
62
Figura 6.2 – Válvula que fornece a velocidade de corrente
Na Figura 6.3 pode ser observado o uniformizador dos perfis retangulares de
corrente.
Figura 6.3 – Uniformizador do perfil de corrente
63
As velocidades dos perfis são medidas através de um correntômetro em função
do número de giros dados pelas hélices do rotor (Figura 6.4).
Figura 6.4 – Rotor do correntômetro
Dois tipos de configurações foram testadas neste canal. A primeira trata-se de
um sistema composto de cabos dispostos paralelamente, simbolizando risers em
catenárias suspensas, em um sistema de escoamento oceânico real. Tais mangueiras e
cabos de aço foram engastados nas conexões restringindo os movimentos nas
extremidades, mas com liberdade de movimentos ao longo do comprimento, nas
direções transversal e perpendicular à incidência da corrente (Figuras 6.5 e 6.6).
64
Figura 6.5 – Modelo em catenária suspensa
Figura 6.6 – Colisão e detalhe das extremidades dos cabos
A segunda configuração trata-se de dois cilindros rígidos de PVC dispostos
verticalmente, um a montante e outro a jusante, alinhados com o perfil de corrente. O
cilindro a montante encontra-se fixo e o a jusante tem liberado o seu o movimento, no
65
sentido transversal à incidência de corrente. As Figuras 6.7 e 6.8 mostram o dispositivo
montado e o ensaio sendo realizado, respectivamente.
Figura 6.7 –Modelo de cilindros rígidos verticais
Figura 6.8 – Esteira de vórtices
cilindro a montante
cilindro a jusante
66
6.2.
C
ONFIGURAÇÃO EM
C
ATENÁRIA
S
USPENSA
Para os ensaios de modelos reduzidos em catenária suspensa foram testadas
combinações de cabos com características físicas e geométricas diferentes. Em todas as
combinações, as mangueiras e os cabos de aço foram posicionados paralelamente. Tais
combinações representam, por exemplo, um sistema de risers de exportação real entre
uma plataforma semi-submersível e um FSO (“Floating Storage Offloading”).
As combinações testadas foram as seguintes:
a) 2 mangueiras de plástico cheias de areia, distantes 2 cm (de face a face) uma
da outra;
b) 2 cabos de aço (3/16”) encapados, distantes 2 cm um do outro;
c) 1 mangueira de plástico cheia de areia, 1 cabo de aço (3/16”) encapado, 1
cabo de aço (1/8”) encapado, distantes 2 cm um do outro.
As características da mangueira e dos cabos de aço são mostradas na Tabela 6.1.
Tabela 6.1 – Características da mangueira e dos cabos de aço.
Características Mangueira
com areia
Cabo de aço
de 3/16”
Cabo de aço
de 1/8”
Diâmetro externo (mm) 10 7 5
Diâmetro interno (mm) 8 - -
Comprimento (m) 1,50 1,50 1,50
Peso linear no ar (kN/m) 9,814E-4* 9,884E-4 5,047E-4
Projeção horizontal (m) 1,40 1,40 1,40
Módulo de Elasticidade (kN/m²) 2,6E+7 2,0E+8 2,0E+8
Freq. Natural (1º modo) (rad/s) 3,237 4,716 4,715
*O peso linear já considera a mangueira cheia de areia (γ
areia
= 14,77 kN/m³)
A
)
D
UAS MANGUEIRAS DE PLÁSTICO CHEIAS DE AREIA
Esta combinação de 2 mangueiras de plástico cheias de areia representa em
escala 1:25, os trechos centrais de dois de risers em catenária suspensa, com 10” de
diâmetro externo, peso linear de 0,620 kN/m, espaçados 50 cm um do outro, com 37,5
m de comprimento, submetidos a velocidades de corrente entre 0,5 m/s e 1,6 m/s. A
67
Figura 6.9 mostra a configuração de equilíbrio das duas mangueiras antes do início dos
ensaios.
Figura 6.9 – Catenárias em equilíbrio
As Figuras 6.10 e 6.11 mostram a primeira colisão entre as mangueiras ocorrida
com velocidade de corrente de 0,203 m/s.
Figura 6.10 - Vista frontal da primeira colisão entre as mangueiras
68
Figura 6.11 - Primeira colisão e esteira de vórtices
Os resultados sobre a ocorrência ou não de colisões para as respectivas
velocidades de corrente dos ensaios são mostradas na Tabela 6.2. Os resultados foram
obtidos através de observações visuais e filmagens.
Como não foram realizadas medições das freqüência de desprendimento de
vórtices nos ensaios, a velocidade de corrente foi adimensionalizada pelo diâmetro
externo médio dos cabos vezes a freqüência natural média do 1º modo de vibração dos
cabos (obtidas da análise modal do programa PROSIM-E). Chamamos este parâmetro
de velocidade adimensionalizada (V
A
).
69
Tabela 6.2 – Resultados – Mangueiras com areia
Distância entre as mangueiras = 2 cm
Velocidades de corrente (m/s) Colisão Figuras
0,106 (V
A
= 21) não Figura 6.13
0,154 (V
A
= 30) não Figura 6.14
0,165 (V
A
= 32) não Figura 6.15
0,203 (V
A
= 39) sim Figura 6.16
0,246 (V
A
= 48) sim Figura 6.17
0,288 (V
A
= 56) sim Figura 6.18
0,306 (V
A
= 59) sim Figura 6.19
0,312 (V
A
= 61) sim Figura 6.20
0,324 (V
A
= 63) sim Figura 6.21
Estes ensaios foram reproduzidos no simulador numérico desenvolvido neste
trabalho para verificação da aplicabilidade da teoria de Huse e, conseqüentemente, do
próprio simulador “CLASHING”.
As duas mangueiras foram discretizadas em 300 elementos de treliça com as
mesmas características dos modelos ensaiados e com coeficientes de arrasto iguais a
0,7, devido aos números de Reynolds da ordem de 10².
Foram consideradas cargas gravitacionais e de corrente atuando nas mangueiras.
A configuração de equilíbrio do sistema sob peso próprio pode ser observada na Figura
6.12.
70
Figura 6.12 – Configuração de Equilíbrio obtido do Programa PROSIM-E/“CLASHING”
Os resultados obtidos nas simulações numéricas são mostrados na Tabela 6.3.
Tabela 6.3 – Resultados da Simulação Numérica (PROSIM-E/“CLASHING”)
Distância entre as mangueiras com areia = 2 cm
Velocidades de corrente (m/s) Colisão Menor distância
0,106 (V
A
= 21) não 8,1 mm
0,154 (V
A
= 30) sim 0
0,165 (V
A
= 32) sim 0
0,203 (V
A
= 39) não 0,5 mm
0,246 (V
A
= 48) não 0,6 mm
0,288 (V
A
= 56) não 2,9 mm
0,306 (V
A
= 59) não 4,2 mm
0,312 (V
A
= 61) não 4,3 mm
0,324 (V
A
= 63) não 4,4 mm
As Figuras 6.13 a 6.21 a seguir mostram visualmente a comparação dos
resultados obtidos entre as simulações numéricas (configurações dos eixos dos cabos,
em perspectiva e vistas) e os ensaios em modelos reduzidos.
71
Vc = 0,106 m/s (V
A
= 21)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.13 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,106 m/s)
72
Vc = 0,154 m/s (V
A
= 30)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.14 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,154 m/s)
73
Vc = 0,165 m/s (V
A
= 32)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.15 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,165 m/s)
74
Vc = 0,203 m/s (V
A
= 39)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.16 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,203 m/s)
75
Vc = 0,246 m/s (V
A
= 48)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.17 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,246 m/s)
76
Vc = 0,288 m/s (V
A
= 56)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.18 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,288 m/s)
77
Vc = 0,306 m/s (V
A
= 59)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.19 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,306 m/s)
78
Vc = 0,312 m/s (V
A
= 61)
Perspectiva isométrica Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.20 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,312 m/s)
79
Vc = 0,324 m/s (V
A
= 63)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.21 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,324 m/s)
80
Podemos perceber dos resultados anteriores que a teoria de Huse fornece uma
primeira aproximação para a estimativa do posicionamento final das mangueiras sob
interferência da esteira, mas sua base simplificada leva a erros, devido à influência da
Vibração Induzida por Vórtices (VIV), da VIV sob Interferência (VIV-SI) e do Atrito que
ocorre quando há contato entre as mangueiras após a colisão, nenhum deles
considerados no simulador numérico.
Vibração Induzida por Vórtices (VIV):
Na análise das filmagens as mangueiras vibravam na direção transversal à
incidência da corrente devido ao desprendimento de vórtices (VIV).
VIV sob Interferência (VIV-SI):
Na análise das filmagens, para alguns casos, a mangueira a jusante parecia vibrar
a uma amplitude maior que a observada na mangueira a montante, o que caracteriza a
VIV sob Interferência (VIV-SI). Este último fato será melhor observado na combinação
de dois cabos de aço encapados, descritos mais adiante.
Atrito devido ao contato, agindo nas mangueiras com sobreposição:
Na análise das filmagens, observamos que para velocidades maiores que 0,203
m/s – ocorrência da primeira colisão – a mangueira inicialmente a montante se sobrepõe
à mangueira a jusante, causando um contato pontual entre elas. Este contato causa uma
força de atrito no sentido contrário à deflexão, fazendo com que as duas mangueiras
tenham seus movimentos na direção de incidência da corrente restritos, permanecendo
mais próximas entre si. A ocorrência do contato será melhor observada na terceira
combinação de cabos: mangueira / cabo 3/16” / cabo 1/8”.
O gráfico da Figura 6.22 mostra a identificação das regiões 1 e 2 onde os fatos
causadores de erros aparecem. O eixo das abscissas representa as velocidades de
incidência da corrente e o eixo das ordenadas a relação entre a menor distância entre as
mangueiras depois de submetidas à corrente e o espaçamento inicial entre elas (neste
caso igual a 2 cm). Note que quando a ordenada é igual a 0 significa que há colisão
entre as mangueiras.
81
Distância Final / Espaçamento Inicial
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
21 30 32 39 48 56 59 61 63
velocidade adimensionalizada
dist final / esp inic
simulação modelo reduzido
Região 2:
problemas devido
ao atrito
Região 1:
problemas devido à VIV
sob Interferência
Figura 6.22 – Identificação de problemas na teoria de Huse
82
B
)
D
OIS CABOS DE AÇO ENCAPADOS
(3/16”)
Na combinação anterior, com duas mangueiras cheias de areia, o movimento
transversal acentuado da mangueira a jusante contribuiu com as diferenças encontradas
em relação aos resultados obtidos numericamente. Para observar melhor este fato,
chamado de VIV Sob Interferência (VIV-SI), foi idealizada a combinação a seguir com
dois cabos de aço encapados, representando um sistema de cabos mais rígidos. A
expectativa, neste caso, foi observar um aumento maior ainda na amplitude do
movimento transversal por se tratar de cabos com maior freqüência natural de vibração
quando comparados à mangueira.
Esta combinação de 2 cabos de aço encapados representa em escala 1:25, os
trechos centrais de dois de risers rígidos em catenária suspensa, com 7” de diâmetro
externo, peso linear de 0,620 kN/m, espaçados 50 cm um do outro, com 37,5 m de
comprimento, submetidos a velocidades de corrente entre 0,6 m/s e 1,7 m/s. A Figura
6.23 mostra a configuração de equilíbrio dos dois cabos de aço antes do início dos
ensaios e a Figura 6.24, um detalhe do material utilizado (cabo de aço encapado).
Figura 6.23 – Catenárias em equilíbrio
83
Figura 6.24 – Cabo de aço encapado (3/16”)
Os resultados sobre a ocorrência ou não de colisões para as respectivas
velocidades de corrente dos ensaios são mostradas na Tabela 6.4.
Tabela 6.4 – Resultados dos ensaios em Modelos Reduzidos
Distância entre os cabos
3/16”
= 2,0 cm
Velocidades de corrente (m/s) Colisão Figuras
0,126 (V
A
= 24) não Figura 6.25
0,149 (V
A
= 28) não Figura 6.26
0,159 (V
A
= 30) não Figura 6.27
0,185 (V
A
= 35) não Figura 6.28
0,241 (V
A
= 46) não Figura 6.29
0,289 (V
A
= 55) não Figura 6.30
0,299 (V
A
= 57) não Figura 6.31
0,313 (V
A
= 60) não Figura 6.32
0,338 (V
A
= 64) não Figura 6.33
Estes ensaios também foram testados no simulador numérico, com os dois cabos
de aço encapados discretizados em 300 elementos de treliça com as mesmas
84
características dos modelos ensaiados e com coeficientes de arrasto iguais a 0,7, devido
aos números de Reynolds da ordem de 10².
Os resultados obtidos nas simulações numéricas são mostrados na Tabela 6.5.
Tabela 6.5 – Resultados da Simulação Numérica (PROSIM-E/“CLASHING”)
Distância entre os cabos
3/16”
= 2,0 cm
Velocidades de corrente (m/s) Colisão Menor distância
0,126 (V
A
= 24) não 12,4 mm
0,149 (V
A
= 28) não 9,4 mm
0,159 (V
A
= 30) não 7,9 mm
0,185 (V
A
= 35) não 4,2 mm
0,241 (V
A
= 46) não 1,0 mm
0,289 (V
A
= 55) não 5,4 mm
0,299 (V
A
= 57) não 2,4 mm
0,313 (V
A
= 60) não 3,4 mm
0,338 (V
A
= 64) não 1,7 mm
As Figuras 6.25 a 6.33 a seguir mostram visualmente a comparação dos resultados
obtidos entre as simulações numéricas e os ensaios em modelos reduzidos.
85
Vc = 0,126 m/s (V
A
= 24)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.25 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,126 m/s)
86
Vc = 0,149 m/s (V
A
= 28)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.26 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,149 m/s)
87
Vc = 0,159 m/s (V
A
= 30)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.27 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,159 m/s)
88
Vc = 0,185 m/s (V
A
= 35)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.28 – Modelo reduzido x simulação numérica Vc = 0,185 m/s
89
Vc = 0,241 m/s (V
A
= 46)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.29 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,241 m/s)
90
Vc = 0,289 m/s (V
A
= 55)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.30 – Modelo reduzido x simulação numérica Vc = 0,289 m/s
91
Vc = 0,299 m/s (V
A
= 57)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.31 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,299 m/s)
92
Vc = 0,313 m/s (V
A
= 60)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.32 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,313 m/s)
93
Vc = 0,338 m/s (V
A
= 64)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.33 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,338)
94
Conforme esperado, nestes ensaios com cabos de aço encapados foram
observadas acentuadas vibrações na direção transversal à incidência de corrente,
principalmente no cabo posicionado à jusante. Estas vibrações, já mencionadas
anteriormente no descritivo dos ensaios com as mangueiras cheias de areia, fez com que
houvesse uma amplificação do Coeficiente de Arrasto, aumentando a deflexão na
direção de incidência da corrente do cabo à jusante. Este fenômeno correspondente à
VIV sob Interferência (VIV-SI) é um fato importante, que não foi considerado na teoria
de Huse e, conseqüentemente, no simulador numérico desenvolvido neste trabalho.
O gráfico da Figura 6.34 mostra a discrepância nos resultados obtidos do
simulador quando comparados com os resultados dos ensaios de modelos reduzidos. O
eixo das abscissas representa as velocidades de incidência da corrente e o eixo das
ordenadas a relação entre a menor distância entre os cabos depois de submetidos à
corrente e o espaçamento inicial entre eles (neste caso igual a 2 cm). Note que neste
caso, os cabos não colidiram em nenhum momento nos ensaios.
Distância Final / Espaçamento Inicial
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
24 28 30 35 46 55 57 60 64
velocidade adimensionalizada
dist final / esp inic
simulação modelo reduzido
Região 1:
problemas devido à VIV
sob Interferência
Figura 6.34 – Identificação de problema na teoria de Huse provocado por VIV-SI
95
C
)
M
ANGUEIRA COM AREIA
/
CABO DE AÇO
(3/16”)
/
CABO DE AÇO
(1/8”)
A motivação para este ensaio foi analisar a sobreposição entre os cabos, e
conseqüentemente, a influência do contato entre o cabo sobreposto e o cabo sotoposto.
Nesta combinação, foi considerado um arranjo com três cabos de características
físicas e geométricas diferentes, na seguinte seqüência em relação à incidência da
corrente:
- 1º- mangueira com areia;
- 2º- cabo de aço encapado de 3/16”;
- 3º- cabo de aço encapado de 1/8”.
Representam em escala 1:25, os trechos centrais de três risers em catenária
suspensa, com 10”, 7” e 5”, com pesos lineares de 0,620 kN/m, 0,620 kN/m e 0,315
kN/m, respectivamente. Todos com 37,5 m de comprimento, espaçados 50 cm um do
outro, submetidos a velocidades de corrente entre 0,7 m/s e 1,7 m/s. A Figura 6.35
mostra a configuração de equilíbrio dos três cabos antes do início dos ensaios e a Figura
6.36 o detalhe dos materiais utilizados antes de serem dispostos no canal.
Figura 6.35 – Catenárias em equilíbrio
96
Figura 6.36 – Detalhes do material utilizado
Os resultados sobre a ocorrência ou não de colisões para as respectivas
velocidades de corrente dos ensaios são mostradas na Tabela 6.6.
Tabela 6.6 – Resultados dos ensaios em Modelos Reduzidos
Distâncias entre: mangueira / cabo
3/16”
/ cabo
1/8”
= 2 cm
mang / cabo
3/16”
cabo
3/16”
/ cabo
1/8”
mang / cabo
1/8”
Velocidades de
corrente (m/s)
colisão colisão colisão
0,154 (V
A
= 32) não não não
0,169 (V
A
= 35) não não não
0,213 (V
A
= 45) sim não não
0,257 (V
A
= 54) sim não não
0,307 (V
A
= 64) sim não não
0,327 (V
A
= 68) sim não não
0,332 (V
A
= 69) sim não não
0,345 (V
A
= 72) sim não não
Estes ensaios também foram testados no simulador numérico, com os três cabos
discretizados em 300 elementos de treliça com as mesmas características dos modelos
97
ensaiados e com coeficientes de arrasto iguais a 0,7, devido aos números de Reynolds
da ordem de 10².
Os resultados obtidos nas simulações numéricas são mostrados na Tabela 6.7.
Tabela 6.7 – Resultados da Simulação Numérica (PROSIM-E/“CLASHING”)
Distâncias entre: mangueira / cabo
3/16”
/ cabo
1/8”
= 2 cm
mang / cabo
3/16”
cabo
3/16”
/ cabo
1/8”
mang / cabo
1/8”
Velocidades de
corrente (m/s)
colisão distância colisão distância
colisão distância
0,154 (V
A
= 32) sim 0 não 20 mm não 20 mm
0,169 (V
A
= 35) sim 0 não 16,1 mm não 14,4 mm
0,213 (V
A
= 45) sim 0 não 9,8 mm não 5,3 mm
0,257 (V
A
= 54) não 0,6 mm não 8,7 mm não 9,9 mm
0,307 (V
A
= 64) não 3,6 mm não 21,7 mm não 18 mm
0,327 (V
A
= 68) não 4,7 mm não 23,9 mm não 17,9 mm
0,332 (V
A
= 69) não 4,8 mm não 24,3 mm não 17,8 mm
0,345 (V
A
= 72) não 5,5 mm não 19,2 mm não 23,5 mm
As Figuras 6.37 a 6.44 a seguir mostram visualmente a comparação dos resultados
obtidos entre as simulações numéricas e os ensaios em modelos reduzidos.
98
Vc = 0,154 m/s (V
A
= 32)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.37 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,154 m/s)
99
Vc = 0,169 m/s (V
A
= 35)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.38 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,169 m/s)
100
Vc = 0,213 m/s (V
A
= 45)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.39 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,213 m/s)
101
Vc = 0,257 m/s (V
A
= 54)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.40 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,257 m/s)
102
Vc = 0,307 m/s (V
A
= 64)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.41 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,307 m/s)
103
Vc = 0,327 m/s (V
A
= 68)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.42 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,327 m/s)
104
Vc = 0,332 m/s (V
A
= 69)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.43 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,332 m/s)
105
Vc = 0,345 m/s idem (V
A
= 72)
Perspectiva isométrica
Vista lateral
Vista frontal
Vista superior
Figura 6.44 – Modelo reduzido x simulação numérica (Vc = 0,345 m/s)
106
Os gráficos das Figuras 6.45, 6.46 e 6.47 mostram as identificações das várias
regiões de discrepância entre os resultados do simulador e os resultados dos ensaios de
modelos reduzidos. Note que em alguns casos há influência de mais de um fenômeno
para uma mesma faixa de velocidades.
A Figura 6.45 mostra a relação entre a distância final da mangueira e do cabo
3/16” com o espaçamento inicial entre eles (2 cm) versus a velocidade de corrente.
Distância Final / Espaçamento Inicial
entre Mangueira e cabo 3/16"
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
32 35 45 54 64 68 69 72
velocidade adimensionalizada
dist final / esp inic
simulação modelo reduzido
Região 1:
problemas devido à
VIV sob Interferência
Região 2:
problemas devido
ao atrito
Figura 6.45 – Problemas na teoria de Huse analisando as distâncias entre a mangueira à montante e
o cabo 3/16” à jusante
A Figura 6.46 mostra a relação entre a distância final do cabo 3/16” e do cabo
1/8” com o espaçamento inicial entre eles (2 cm) versus a velocidade de corrente.
107
Distância Final / Espaçamento Inicial
entre cabo 3/16" e cabo 1/8"
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
32 35 45 54 64 68 69 72
velocidade adimensionalizada
dist final / esp inic
simulação modelo reduzido
Região 1 e 2:
problemas devido à VIV sob
Interferência, acentuados pelo atrito
entre a mangueira e o primeiro cabo
Região 1:
problemas devido à VIV
sob Interferência
Figura 6.46 – Problemas na teoria de Huse analisando as distâncias entre o cabo 3/16” à montante e
o cabo 1/8” à jusante
A Figura 6.47 mostra a relação entre a distância final da mangueira e do cabo
1/8” com o espaçamento inicial entre eles (2 cm) versus a velocidade de corrente.
Distância Final / Espaçamento Inicial
entre mangueira e cabo 1/8"
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
32 35 45 54 64 68 69 72
velocidade adimensionalizada
dist final / esp inic
simulação modelo reduzido
Região 1 e 2:
problemas devido à VIV sob
Interferência, acentuados pelo atrito
entre a mangueira e o primeiro cabo
Região 2:
problemas devido ao
atrito entre a mangueira e
o primeiro cabo
Figura 6.47 – Problemas na teoria de Huse analisando as distâncias entre a mangueira à montante e
o cabo 1/8” à jusante
108
6.3.
C
ONSIDERAÇÃO DAS
V
IBRAÇÕES DEVIDO AO
D
ESPRENDIMENTO DE
V
ÓRTICES
(VIV
E
VIV-SI)
As vibrações observadas nas filmagens dos ensaios levam a um acréscimo na
amplitude do movimento transversal dos cabos. O cabo a montante vibra devido à
Vibração Induzida por Vórtices (VIV) e o cabo a jusante vibra devido à VIV sob
Interferência (VIV-SI), que sente a influência tanto da própria esteira como da esteira de
seu vizinho a montante. Tais vibrações causam a amplificação do coeficiente de arrasto
e, conseqüentemente, aumentam a deflexão dos cabos na direção de incidência da
corrente. Estas vibrações devido ao desprendimento de vórtices não estão
implementadas no simulador numérico, que considera apenas a influência do perfil de
perturbação da velocidade incidente.
Para tentar representar adequadamente as curvaturas centrais dos cabos devido
ao desprendimento de vórtices observados nos ensaios, aumentamos os coeficientes de
arrasto (CD) no trecho central dos mesmos no simulador numérico e desligamos a
consideração da teoria de Huse. Os elementos centrais (131 a 170) do cabo a montante
tiveram os CDs alterados em várias análises no simulador numérico, até a obtenção de
uma configuração de equilíbrio que representasse bem a curvatura. Portanto, o valor
final estimado para os CDs centrais do cabo a montante passou a ser 1,4. Os elementos
1 a 130 e 171 a 300 permaneceram com o valor de CD igual a 0,7, tanto para o cabo a
montante como para o cabo a jusante. Para o trecho central (131 a 170) do cabo a
jusante também foram testados vários CDs, até a obtenção do valor de CD igual a 0,7
coincidindo com o valor dos CDs para os demais elementos deste cabo.
Um fato bastante relevante pode ser concluído do estudo realizado para a
obtenção do CD do trecho central do cabo a jusante:
1) a teoria de Huse mostra que para um cilindro posicionado na esteira de outro,
aquele sofre menos a influência da velocidade de corrente, fazendo com que sua
deflexão seja menor que a do cilindro a montante. Tal diminuição da deflexão pode ser
obtida numericamente considerando que há uma redução no coeficiente de arrasto (CD)
do cilindro a jusante.
109
2) A VIV sob Interferência (VIV-SI) faz com que haja uma amplificação no
coeficiente de arrasto do cilindro a jusante causando uma deflexão maior que a do
cilindro a montante, pois este sente apenas a vibração causada por VIV.
3) Considerando a influência dos dois fatos acima, temos o primeiro em que o
CD seria reduzido e o segundo em que o CD seria amplificado, em relação ao cilindro a
jusante.
No resultado do estudo realizado, testando vários valores de CD, obtivemos o
valor de 0,7 para o CD no trecho central do cabo a jusante, mostrando que, para este
caso, a redução do CD proposta na teoria de Huse e a amplificação do CD devido à VIV
sob Interferência anularam a influência das esteiras presentes no escoamento.
A
)
D
UAS MANGUEIRAS DE PLÁSTICO CHEIAS DE AREIA
As Figuras 6.48 a 6.56 mostram os resultados obtidos do simulador
considerando a teoria de Huse e considerando a amplificação do CD da mangueira a
montante, comparados com o ensaio em modelo reduzido.
O programa de análise estática PROSIM-E não considera a força de sustentação
(“lift”) causada pelo desprendimento de vórtices, mesmo assim observam-se nas figuras
a seguir que os casos com amplificação dos CDs devido ao VIV e VIV-SI mostram-se
bem mais próximos aos resultados dos ensaios.
110
Vc = 0,106 m/s (V
A
= 21)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.48 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,106 m/s)
Vc = 0,154 m/s (V
A
= 30)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.49 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,154 m/s)
111
Vc = 0,165 m/s (V
A
= 32)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.50 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,165 m/s)
Vc = 0,203 m/s (V
A
= 39)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.51 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,203 m/s)
112
Vc = 0,246 m/s (V
A
= 48)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.52 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,246 m/s)
Vc = 0,288 m/s (V
A
= 56)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.53 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,288 m/s)
113
Vc = 0,306 (V
A
= 59)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.54 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,306 m/s)
Vc = 0,312 m/s (V
A
= 61)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.55 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,312 m/s)
114
Vc = 0,324 m/s (V
A
= 63)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.56 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,324 m/s)
115
B
)
D
OIS CABOS DE AÇO ENCAPADOS
(3/16”)
As Figuras 6.57 a 6.65 mostram os resultados obtidos do simulador
considerando a teoria de Huse e considerando a amplificação do CD do cabo de aço a
montante, comparados com o ensaio em modelo reduzido. Lembrando que também
neste caso não foram consideradas as forças de sustentação causadas pelo
desprendimento de vórtices.
Vc = 0,126 m/s (V
A
= 24)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.57 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,126 m/s)
116
Vc = 0,149 m/s (V
A
= 28)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.58 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,149 m/s)
Vc = 0,159 m/s (V
A
= 30)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.59 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,159 m/s)
117
Vc = 0,185 m/s (V
A
= 35)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.60 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,185 m/s)
Vc = 0,241 m/s (V
A
= 46)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.61 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,241 m/s)
118
Vc = 0,289 (V
A
= 55)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.62 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,289 m/s)
Vc = 0,299 m/s (V
A
= 57)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.63 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,299 m/s)
119
Vc = 0,313 m/s (V
A
= 63)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.64 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,313 m/s)
Vc = 0,338 m/s (V
A
= 64)
Teoria de Huse
VIV e VIV-SI
CD
MONT
= 1,4 e CD
JUS
= 0,7
Modelo reduzido
Figura 6.65 – Teoria de Huse x VIV / VIV-SI x modelo reduzido (Vc = 0,338 m/s)
120
C
)
M
ANGUEIRA COM AREIA
/
CABO DE AÇO
(3/16”)
/
CABO DE AÇO
(1/8”)
Para esta combinação, o principal causador de diferenças entre os resultados
obtidos no simulador e os resultados dos ensaios foi o atrito causado pelo contato entre
o cabo sobreposto e o cabo sotoposto. Portanto, neste caso, não foi realizada a análise
do aumento dos coeficientes de arrasto (CD) para representar a influência do
desprendimento de vórtices.
6.4.
C
ONFIGURAÇÃO EM
C
ILINDROS
V
ERTICAIS
R
ÍGIDOS
–
(VIV
SOB
I
NTERFERÊNCIA
)
O objetivo deste ensaio foi verificar a VIV sob Interferência (VIV-SI) detectada
nos ensaios com configurações em catenária suspensa, obtendo a resposta de uma
estrutura cilíndrica de seção circular à jusante de outro cilindro com movimentos
restritos, ambos submetidos a uma velocidade de corrente incidente.
Descrição do Modelo
Para os cilindros foram utilizados dois tubos de PVC de 75 mm de diâmetro
externo, com 73,5 cm de comprimento e 43,5 cm de calado. O cilindro a montante foi
acoplado fixamente a uma barra de metal rígida e todos os seus movimentos foram
restritos. O dispositivo utilizado para o cilindro a jusante constituiu-se de duas bases
metálicas rígidas, com faces paralelas (coincidindo com as paredes do canal), onde
eixos para rolamentos lineares foram montados. Nestes eixos, foi acoplado um carrinho
com 12 rolamentos lineares, onde o cilindro foi fixado. Molas helicoidais, na função de
elementos de restauração vincularam o carrinho à base. Esta configuração de dispositivo
garantiu ao cilindro a jusante liberdade para oscilar transversalmente devido ao
desprendimento dos vórtices formados na própria esteira e na esteira do cilindro a
montante. A Figura 6.66 mostra o dispositivo com o cilindro, os eixos para os
rolamentos e as molas para restauração do sistema e a Figura 6.67 mostra um detalhe do
carrinho com rolamentos.
121
Figura 6.66 – Dispositivo utilizado no ensaio de VIV-SI
Figura 6.67 – Detalhe dos rolamentos
122
As grandezas medidas durante os ensaios foram os deslocamentos transversais
do cilindro à jusante através da técnica de medição por imagem a partir do programa
IMAQ (“Image Aquisition”) [30, 31]. Nesta técnica, a medição de movimentos do
cilindro acontece através do posicionamento de alvos presos rigidamente ao modelo,
que são identificados e têm suas coordenadas (x,y,z) definidas através do processamento
das imagens. No caso dos ensaios aqui descritos, utilizou-se um conjunto de luzes
vermelhas como alvo, localizado no topo da seção transversal do cilindro a jusante
(Figuras 6.68 e 6.69). Foi utilizada, também, uma cortina preta por cima do canal e ao
redor da câmera, com o objetivo de melhorar a detecção da imagem.
Figura 6.68 – Luzes vermelhas posicionadas no topo do cilindro a jusante
123
Figura 6.69 – Movimentos do alvo durante uma medição por imagem
Na Tabela 6.8, estão as características do modelo e na Tabela 6.9, as condições
de ensaio utilizadas.
Tabela 6.8 - Dados de ambos os cilindros
Diâmetro Externo (mm) 75
Diâmetro Interno (mm) 72,4
Comprimento (cm) 73,5
Calado (cm) 43,5
Lâmina d’água (cm) 50
Material PVC
O cilindro a jusante foi fechado em ambas as extremidades através de tampas de
vedação.
124
Tabela 6.9 - Condições de Ensaio
ω
n
(rad/s)
2,953
V
cs
(m/s) 0,176
Re 13200
Obs.: A velocidade V
cs
acima refere-se à situação de coincidência da freqüência de
Strouhal com a natural (ressonância), considerando S = 0,20, e
ω
n
= 2
π
f
n.
Descrição dos Ensaios
Foram realizados três tipos de ensaios para testar o fenômeno de VIV sob
Interferência:
1º - Apenas o cilindro com liberdade de movimentos na direção transversal à
incidência de corrente foi submetido ao escoamento (Figura 6.70).
2º - Os dois cilindros foram submetidos ao escoamento, sendo a distância entre
eles de 15 cm (22,5 cm entre os eixos) (Figura 6.72).
3º - Os dois cilindros foram submetidos ao escoamento, sendo a distância entre
eles de 22,5 cm (30 cm entre os eixos) (Figura 6.73).
As velocidades de corrente utilizadas para realização dos ensaios variaram entre
0,03 m/s e 0,53 m/s em uma faixa de 20 velocidades intermediárias. A faixa de Número
de Reynolds ficou entre 2.000 e 40.000 aproximadamente.
Para o cálculo do valor da amplitude calculou-se o harmônico equivalente do
sinal, ou seja,
A
RMSA .2=
125
A
)
E
NSAIO TIPO
1
Figura 6.70 – Ensaio tipo 1 (VIV)
O objetivo deste ensaio foi obter as respostas das vibrações transversais
induzidas pelos desprendimentos de vórtices (VIV) sem interferência da esteira de outro
cilindro posicionado a montante deste. O comportamento resultante deste tipo de ensaio,
já bastante conhecido da hidrodinâmica, serviu como base de comparação aos demais
resultados obtidos.
A Figura 6.71 mostra que a velocidade reduzida na banda de “lock in” está na
faixa entre 4 e 10, como era de se esperar, pois de acordo com a velocidade referente à
situação de coincidência da freqüência de Strouhal com a natural, que é igual a 0,176
m/s, a velocidade reduzida correspondente a este valor seria igual a 5, coincidindo com
o valor encontrado. Esta figura mostra ainda que, neste intervalo entre 4 e 10 para a
velocidade reduzida, a amplitude máxima do movimento transversal é da ordem de 0,5
vezes o diâmetro do cilindro, considerando um amortecimento igual a 34% calculado
através de ensaio de decaimento.
Vc
k
k
126
Ensaio tipo 1 - VIV
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
2,3 3,9 4,1 4,3 5,5 6,3 7,8 8,6 9,0 9,7 10,1 9,1 10,6 10,4 11,2 11,4 11,8 12,1 12,5 12,9 13,6
Velocidade Reduzida
A/D
Figura 6.71 – Velocidade Reduzida x A/D (VIV)
B
)
E
NSAIOS TIPO
2
E TIPO
3
Figura 6.72 – Ensaio tipo 2 (VIV-SI – distância de 15 cm)
Vc
u
22,5 cm
k
y
x
k
127
Figura 6.73 – Ensaio tipo 3 (VIV-SI – distância de 22,5 cm)
O objetivo dos ensaios tipo 2 e tipo 3 foi observar o comportamento da
amplitude no movimento transversal de um cilindro devido a dois fatores: a)
desprendimento de vórtices da esteira do próprio cilindro e b) interferência da esteira de
um cilindro posicionado à montante deste (VIV sob Interferência – VIV-SI).
Pôde-se observar durante os ensaios um significativo aumento na amplitude do
movimento do cilindro à jusante quando comparado ao fenômeno de Vibrações
Induzidas por Vórtices com cilindros isolados (ensaio tipo 1). As Figuras 6.74 e 6.75
ilustram este fato, onde observamos neste caso, que a amplitude máxima do movimento
transversal é da ordem de 1,3 vezes o diâmetro do cilindro.
Vc
u
30 cm
k
y
x
k
128
Ensaio tipo 2 - VIV-SI (distância = 15 cm)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0,8 3,4 4,6 4,9 6,1 6,9 7,8 8,6 9,1 9,7 10,1 9,4 10,5 10,3 11,2 11,4 11,8 12,1 12,5 12,9 13,6 14,3 15,1
Velocidade Reduzida
A/D
Figura 6.74 – Velocidade Reduzida x A/D (VIV-SI – ensaio tipo 2)
Ensaio tipo 3 - VIV-SI (distância = 22,5 cm)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0,1 1,5 4,4 5,0 6,3 7,1 7,9 8,5 9,3 9,9 10,3 9,5 10,5 10,6 11,2 11,4 11,8 12,1 12,5 12,9 13,6 14,3 15,1
Velocidade Reduzida
A/D
Figura 6.75 – Velocidade Reduzida x A/D (VIV-SI – ensaio tipo 3)
Na Figura 6.76 foram plotadas as três curvas obtidas nos ensaios para melhor
comparação dos resultados.
129
VIV sob Interferência
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0,1 1,5 4,4 5,0 6,3 7,1 7,9 8,5 9,3 9,9 10,3 9,5 10,5 10,6 11,2 11,4 11,8 12,1 12,5 12,9 13,6 14,3 15,1
Velocidade Reduzida
A/D
Ensaio tipo 1 Ensaio tipo 2 Ensaio tipo 3
Figura 6.76 – VIV sob Interferência – comparação dos resultados
Um estudo semelhante a este foi realizado por Assi et al [17], com conclusões
de que a amplitude de oscilação atinge níveis de A/D = 1,5 para uma grande faixa de
velocidades reduzidas, maiores até que 35, enquanto a freqüência de vibração cresce a
taxa constante.
Extrapolando os resultados da referência [17] e destes ensaios de VIV-SI em
relação aos ensaios anteriores com configurações em catenárias suspensas podemos
concluir que existe um aumento na amplitude do movimento transversal em risers
posicionados à jusante de outros, principalmente quando se tratam de risers rígidos. Tal
aumento de amplitude faz com que haja um acréscimo no Coeficiente de Arrasto,
causando um aumento na intensidade da Força de Arrasto e, conseqüentemente, na
deflexão do riser à jusante.
Este é um dos fatos não considerados na teoria de Huse podendo levar a erros
em sua utilização nos projetos de sistemas de risers oceânicos em lâminas d’água
profundas.
130
6.5.
A
NÁLISE DOS
R
ESULTADOS
Os resultados do simulador numérico, baseado na teoria de Huse, quando
comparados com os ensaios realizados, mostram uma primeira aproximação para a
estimativa do posicionamento final de cabos sob interferência de esteiras, mas para uma
análise mais criteriosa sobre a colisão, outros fatos como a Vibração Induzida por
Vórtices, a VIV sob Interferência e o atrito devido ao contato entre os cabos devem ser
considerados.
- Vibração Induzida por Vórtices (VIV):
Há um acréscimo na amplitude do movimento transversal no trecho central dos
cabos provocado pelo desprendimento de vórtices.
- VIV sob Interferência (VIV-SI):
Há um acréscimo na amplitude do movimento transversal do cabo a jusante,
maior que o causado pelo VIV, causando amplificação do coeficiente de arrasto e,
conseqüentemente, aumentando a deflexão na direção de incidência da corrente.
Nos gráficos das Figuras 6.22, 6.34, 6.45, 6.46 e 6.47 este fato pode ser
observado quando a linha azul-marinho fica acima da linha vermelha, significando que
a VIV-SI causou um aumento na deflexão estática do cabo à jusante, afastando-o do
cabo à montante. Esta análise difere do observado nos resultados numéricos, que
considera apenas a influência do perfil de perturbação da velocidade incidente.
Para quantificar a influência do VIV-SI, foram realizados os ensaios com dois
cilindros rígidos verticais, cujos resultados, observados na Figura 6.76, mostram que a
amplitude de oscilação, no movimento transversal à incidência da corrente, atinge níveis
de A/D = 1,3 para uma grande faixa de velocidades reduzidas, corroborando com o
observado visualmente nos cabos a jusante em catenárias suspensas.
- Atrito entre os cabos após a sobreposição:
Este fato é observado nos gráficos das Figuras 6.22, 6.45, 6.46 e 6.47 quando a
linha vermelha encontra-se acima da linha azul-marinho. Significa que o contato dos
cabos causa uma força de atrito no sentido contrário à deflexão, fazendo com que tanto
131
o cabo a montante, que agora encontra-se sobreposto, quanto o cabo inicialmente à
jusante, tenham seus movimentos na direção de incidência da corrente restritos, ficando
mais próximos entre si.
Observando os ensaios realizados com combinações diferentes de cabos
(mangueira / cabo 3/16” / cabo 1/8”) notamos que os fenômenos descritos anteriormente
influenciam um no outro.
- Superposição de efeitos devido à perturbação do perfil de velocidades (teoria
de Huse) e à VIV sob Interferência:
A influência destes efeitos na análise da interferência causada por esteiras tem
sinais opostos em relação à alteração do Coeficiente de Arrasto sentido pelo
escoamento. No caso apresentado neste estudo, a força de arrasto resultante comportou-
se como se não houvesse esteiras no escoamento, ou seja, o CD não foi alterado.
132
CAPÍTULO VII – CONCLUSÕES
O estudo da colisão entre risers de sistemas oceânicos é um tema desafiador para
a indústria do petróleo “offshore”, pois trata-se de um estudo que envolve a integração
de muitas disciplinas dentro da hidrodinâmica.
As maiores contribuições obtidas a partir deste trabalho foram as identificações
dos novos fenômenos observados nos ensaios em modelos reduzidos e das limitações da
teoria de Huse no estudo da colisão.
T
EORIA DE
H
USE
Nesta tese, foi apresentada a teoria de Schilichting [1], aperfeiçoada por Erling
Huse [2], para a estimativa do perfil de perturbação da velocidade provocada pela
esteira de um cilindro posicionado a montante de outro. Esta teoria simplificada
considera a esteira como um escoamento turbulento, onde não são considerados os
efeitos dos desprendimentos de vórtices.
S
IMULADOR
N
UMÉRICO
PROSIM-E/“CLASHING”
A partir da teoria simplificada de Huse foi desenvolvido o simulador numérico
“CLASHING”, posteriormente acoplado ao programa de análise estática PROSIM-E.
No simulador PROSIM-E/“CLASHING” foi introduzido o conceito de
Coeficiente de Arrasto Equivalente onde as configurações estáticas de cada riser do
arranjo submetido às interferências causadas pelas esteiras foram mais facilmente
determinadas simplesmente considerando o efeito provocado pelas forças de arrasto
equivalentes, como se ocorressem perturbações nas velocidades.
Para cada perfil de velocidades de corrente são executadas iterações,
comparando-se os Coeficientes de Arrasto Equivalentes dos risers do arranjo até que
duas iterações sucessivas convirjam para um mesmo valor.
Para cada iteração é feita a verificação de ocorrência de colisão entre todos os
elementos de todos os risers envolvidos no problema e é calculada a menor distância
entre eles através de cálculo vetorial.
133
Cada riser do arranjo sofre influência dos outros posicionados a montante,
portanto, fez-se necessário determinar quais os risers do arranjo estariam a montante e
quais estariam a jusante em relação à direção de incidência da corrente. Para isso,
calculou-se a posição de cada nó de todos os risers do arranjo em relação à incidência da
velocidade de corrente e estes foram reordenados de montante para jusante.
E
NSAIOS EM
M
ODELOS
R
EDUZIDOS
Duas configurações distintas foram modeladas em escalas reduzidas e ensaiadas
no canal de corrente do LOC/COPPE/UFRJ:
⇒ A primeira trata-se de um sistema composto de cabos dispostos
paralelamente, simbolizando risers em catenária suspensa em sistemas de
escoamento oceânicos reais.
⇒ A segunda trata-se de dois cilindros rígidos de PVC dispostos
verticalmente, um a montante e outro a jusante, alinhados com o perfil de
corrente.
Os resultados obtidos dos ensaios em modelos reduzidos mostraram que a teoria
simplificada de Huse, implementada no simulador PROSIM-E/“CLASHING”, embora
apresente uma primeira aproximação para determinação da deflexão dos cabos sob
interferência, deve ser usada com cautela e deve ser complementada a fim de considerar
três fatos:
⇒ Vibração Induzida por Vórtices (VIV): o cabo a montante sofre
influência do desprendimento de vórtices em sua própria esteira, causando
amplificação no coeficiente de arrasto. Este aumento do CD, que tem influência
direta no processo da colisão, merece, portanto ser melhor investigado em
trabalhos futuros.
⇒ VIV sob Interferência (VIV-SI): há um acréscimo na amplitude do
movimento transversal à incidência da corrente no cabo à jusante causado pelo
desprendimento de vórtices da própria esteira e da esteira de seu vizinho,
amplificando o coeficiente de arrasto, e conseqüentemente, aumentando a
134
deflexão na direção de incidência da corrente. Novamente este fato deve ser
melhor investigado em trabalhos futuros.
⇒ Atrito agindo nos cabos após a sobreposição: o contato entre os cabos
causa uma força de atrito no sentido contrário à deflexão, fazendo com que tanto
o cabo a montante, sobreposto, quanto o cabo a jusante, sotoposto, tenham seus
movimentos na direção de incidência da corrente restritos. Como tratar a
influência do atrito através de programas tipo PROSIM-E também deve ser
objeto de trabalhos futuros.
S
UPERPOSIÇÃO DE
E
FEITOS PARA
E
STIMATIVA DA
C
OLISÃO
(P
ERTURBAÇÃO DA
V
ELOCIDADE E
VIV
SOB
I
NTERFERÊNCIA
)
A teoria simplificada de Huse [2] considera a esteira como um escoamento
turbulento com perturbação no perfil de velocidades, onde não são considerados os
efeitos dos desprendimentos de vórtices. Para um cilindro posicionado na esteira de
outro, aquele sofre menos a influência da velocidade de corrente, fazendo com que sua
deflexão seja menor que a do cilindro a montante. Tal diminuição da deflexão causa
uma redução no coeficiente de arrasto (CD) do cilindro a jusante.
A VIV sob Interferência (VIV-SI) faz com que haja uma amplificação no
coeficiente de arrasto do cilindro a jusante causando uma deflexão maior que a do
cilindro a montante.
A superposição destes dois efeitos tem sinais opostos em relação à alteração do
Coeficiente de Arrasto sentido pelo escoamento.
Nos cabos, a jusante, analisados neste estudo (tanto na mangueira, como no cabo
de aço encapado) a força de arrasto resultante devido à superposição comportou-se
como se não houvesse esteiras no escoamento, ou seja, o CD não sofreu alteração.
135
7.1.
S
UGESTÕES PARA
T
RABALHOS
F
UTUROS
Alguns temas merecem destaque e são apresentados como sugestões para
trabalhos futuros:
•
Desenvolver modelos analíticos e numéricos para quantificar os seguintes
fenômenos na análise de colisão entre risers:
⇒ VIV sob Interferência e sua influência na amplificação do coeficiente
de arrasto;
⇒ Atrito agindo em risers sobrepostos;
•
Adicionar ao simulador PROSIM-E/“CLASHING”, e consequentemente à
teoria simplificada de Huse, implementações contendo a modelagem numérica
representativa dos fenômenos de Vibração Induzida por Vórtice, VIV sob Interferência
e Atrito no modelo de contato e testar os resultados através de ensaios em modelos
reduzidos.
•
Quantificar analítica e numericamente a superposição de efeitos causada pela
Perturbação do Perfil de Velocidades e pela VIV sob Interferência.
•
Utilizar o simulador PROSIM-E/“CLASHING” em análises dinâmicas do
processo de colisão no domínio do tempo, associadas à consideração da sustentação
causada pela Vibração Induzida por Vórtices .
•
Realizar novos ensaios em modelos reduzidos contando com um sistema de
medição de distâncias mais quantitativo do que o utilizado neste estudo.
•
Realizar outras configurações de ensaios em modelos reduzidos atentando que
novos fenômenos imprevistos podem ocorrer.
•
Estudar os critérios de estabilidade em projetos de risers, seguindo a linha
apresentada no apêndice deste estudo, obtendo a velocidade crítica a partir da qual os
risers passariam a se movimentar sem atingir o equilíbrio.
136
•
Determinar critérios de projetos, como: espaçamento mínimo entre risers,
defasagem entre ângulos de topo, intercalação de risers com características diferentes,
para se evitar a colisão entre eles.
•
Estudar as conseqüências causadas pelas colisões entre risers de um arranjo e
desenvolver mecanismos para se evitar tais colisões.
•
Estudar a energia liberada pelo aumento da amplitude nos movimentos
transversais influenciados pela VIV sob Interferência.
137
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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th
edition, McGraw-Hill, 1979.
[2] HUSE, E., Interaction in Deep-Sea Riser Arrays - Offshore Technology Conference.
United States, 1993.
[3] STD. API / PETRO RP 2RD. American Petroleum Institute, 2000.
[4] PRANDTL, L., Essential of Fluid Dynamics, 1952.
[5] FALTINSEN, O. M., PETTERSEN, B., Vortex Shedding around 2-dimensional
Bodies at High Reynolds Number, Proccedings 24
th
Symposium on Naval
Hydrodynamics. Ann Arbor, 1983.
[6] HUSE, E., MUREN, P., Drag in Oscillatory Flow Interpreted From Wake
Considerations, Offshore Technology Conference. Houston, 1987.
[7] HUSE, E., Current Force on Individual Elements of Riser Arrays, Second
International Offshore and Polar Engineering Conference. San Francisco, 1992.
[8] HUSE, E., Collision Criteria for Deep-Sea TLP Risers - Hydroelasticity in Marine
Technology. Rotterdam, 1994.
[9] HUSE, E., Experimental Investigation of Deep Sea Riser Interaction, Offshore
Technology Conference. Houston, 1996.
[10] HUSE, E., KLEIVEN, G., Impulse and Energy in Deepsea Riser Collisions Owing
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[11] WU, W., HUANG, S., NIGEL, B., Lift and Drag Forces on a Cylinder in the Wake
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[12] WU, W., HUANG, S., BALTROP, N., Stability Analysis of a Cylinder in the Wake
of an Upstream one. STAB2000, Tasmania, 2000.
138
[13] WU, W., HUANG, S., BALTROP, N. Multiple Stable/Unstable Equilibria of a
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2001.
[14] WU, W., HUANG, S., BALTROP, N., Stationary and Hopf Bifurcations of
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Norway, 2001
[15] WU, W., HUANG, S., BALTROP, N., Multiple Static Solutions of a Vertical Riser
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[16] HUANG, S., SWORN, A., VIV Motion and Drag Amplification of two Cylinders in
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on Applied Offshore Hydrodynamics. Rio de Janeiro, 2005.
[17] ASSI, G. R. S., BEARMAN. P. W., MENEGHINI, J. R., Unsteady force
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cylinder. OMAE2007, USA, 2007.
[18] FOX, R. W., MCDONALD, A. T., Introdução à Mecânica dos Fluidos. 5ª edição,
LTC, 2001.
[19] SISSOM, L. E., PITTS, D. R., Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, 1979.
[20] STREETER, V. L., WYLIE, E. B., Mecânica dos Fluidos. 7ª edição, McGraw-Hill,
1982.
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M.Sc., COPPE/UFRJ - Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro, 1998.
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[23] JACOB, B. P., Programa PROSIM 3.2. COPPE/UFRJ - Programa de Engenharia
Civil, 2006.
139
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Butterworth-Heinneman. Oxford, 2000.
[25] SENRA, S. F., Metodologias de Análise e Projeto Integrado de Sistemas
Flutuantes para Explotação de Petróleo Offshore. Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ
– Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro, 2004
[26] MORISON, J. R., O’BRIEN, M. P., JOHNSON, J. W., et al, The Force Exerted by
Surfaces Waves on Piles, Petrol. Trans, AIME no 189, 1950.
[27] MOURELLE, M. M., Programa ANFLEX versão 4.5.12.
[28] SILVA, D. M. L., Geração de Configurações Equilibradas de Sistemas de Linhas
Flexíveis através de Métodos de Relaxação Dinâmica, Tese de M.Sc.,
COPPE/UFRJ – Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro, 2005.
[29] VENTURI, J. J., Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 8ª edição, Unificado,
1949.
[30] SILVA, E. M., Vibração Auto-Induzida por Vorticidade (Vortex Self Induced
Vibration (VSIV)). Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ - Programa de Engenharia
Oceânica, Rio de Janeiro, 2007.
[31] SIQUEIRA, C. M., VILAÇA, R., NASCIMENTO, F., LEVI, C., FERNANDES,
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Brasileira de Engenharia Naval, SOBENA 2000, Rio de Janeiro, Brasil.
[32] Levantamento da Distribuição de Pressão sobre um cilindro em um Túnel de Vento
http://www.em.pucrs.br/lsfm/Experimental/Experiencia%20do%20Cilindro/Lab
-cilindros.htm.
140
APÊNDICE A – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS
A.1.
D
EFINIÇÃO DE
F
LUIDO
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de
uma tensão de cisalhamento, não importando quão pequena seja essa tensão [18].
Para uma melhor compreensão da definição acima, é necessário definir Tensão
de Cisalhamento. Uma força
δ
F agindo em uma área
δ
A pode ser decomposta em uma
componente tangencial
δ
Ft e uma componente normal
δ
Fn. A força dividida pela área,
na qual ela age, é chamada tensão. A componente normal da força dividida pela área é a
tensão normal e a componente tangencial dividida pela área é a tensão de cisalhamento.
Para o estudo da mecânica dos fluidos estamos interessados na tensão de cisalhamento:
A
Ft
A
δ
δ
τ
δ
0
lim
→
= (A.1)
Comparando-se os comportamentos entre um fluido e um sólido sob ação de
uma tensão de cisalhamento constante, o sólido deforma-se, mas não continuamente.
Daí, podemos afirmar que o fluido em contato com a fronteira sólida tem a mesma
velocidade da fronteira, ou seja, não há deslizamento entre o fluido e a fronteira. Na
Figura A.1, os comportamentos de um sólido e um fluido são comparados.
Figura A.1 – Sólido e fluido sob a ação de uma tensão de cisalhamento constante
t
1
t
2
t
0
F F
Sólido Fluido
141
A.2.
O
FLUIDO COMO UM CONTÍNUO
Na definição de fluido, nenhuma menção foi feita à estrutura molecular da
matéria. Sabe-se que todos os fluidos são compostos de moléculas em constante
movimento. Contudo, na maioria das aplicações de engenharia, estamos interessados
nos efeitos médios ou macroscópicos de muitas moléculas. São esses efeitos
macroscópicos que geralmente percebemos e medimos. Tratamos, assim, um fluido
como uma substância infinitamente divisível, um contínuo, e deixamos de lado o
comportamento das moléculas individuais.
O conceito de um contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. A hipótese
é válida no tratamento do comportamento dos fluidos sob condições normais.
Entretanto, ela passa a ser falha sempre que a trajetória média livre das moléculas
tornar-se da mesma ordem de grandeza da menor dimensão significativa do problema.
Em conseqüência da hipótese do contínuo, cada propriedade do fluido é
considerada como tendo um valor definido em cada ponto do espaço. Dessa forma, as
propriedades dos fluidos como massa específica, temperatura, velocidade, etc, são
consideradas funções contínuas da posição e do tempo.
A propriedade primária usada para determinar se a idéia de contínuo é
apropriada ou não é a massa específica, definida por:
∀
=
∀→∀
δ
δ
ρ
δδ
m
'
lim (A.2)
onde,
δ
m é a massa contida no volume incremental e
∀
δ
um volume pequeno,
abaixo do qual a idéia de contínuo falha. Para aplicações de engenharia, o volume
'
∀
δ
é
extremamente pequeno.
Com a hipótese de contínuo, as propriedades do fluido podem ser adotadas e
aplicadas como uma função contínua de x, y, z e t. Por exemplo, a massa específica pode
ser representada por
(
)
tzyx ,,,
ρρ
= e a velocidade (campo de velocidade) por
(
)
tzyxVkwjviuV ,,,
r
r
r
r
r
=++= .
142
A.3.
R
EGIME
P
ERMANENTE E
T
RANSIENTE
Em geral as propriedades do fluido serão funções da posição e do tempo (regime
transiente). Contudo, se as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento
não mudam com o tempo, o escoamento é denominado permanente. Matematicamente,
a definição de escoamento permanente é:
0=
∂
∂
t
η
(A.3)
onde,
η
representa qualquer propriedade do fluido. Assim, para escoamento
permanente,
0=
∂
∂
t
ρ
ou
(
)
zyx ,,
ρρ
= (A.4)
e
0=
∂
∂
t
V
r
ou
(
)
zyxVV ,,
r
r
= (A.5)
Portanto, no escoamento permanente, qualquer propriedade pode variar de ponto
a ponto no campo, mas todas as propriedades permanecerão constantes com o tempo,
em cada ponto.
A.4.
E
SCOAMENTOS
U
NI
,
B
I E
T
RIDIMENSIONAIS
Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional em função do
número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de
velocidades. Se
(
)
tzyxVkwjviuV ,,,
r
r
r
r
r
=++= , então o campo de velocidades é função
das três coordenadas espaciais e do tempo. Neste caso, o escoamento é denominado
tridimensional e transiente. Já se o campo de velocidade for definido por
(
)
zyxVV ,,
r
r
= ,
o escoamento é denominado tridimensional e em regime permanente.
Embora a maioria dos escoamentos seja tridimensional, há situações em que
algumas hipóteses, como por exemplo, simetria do escoamento, permitem simplificar a
análise do problema, eliminando-se a dependência de alguma coordenada. Caso o
campo de velocidade seja função somente de x e y (
(
)
yxVV ,
r
r
= ou
(
)
tyxVV ,,
r
r
= ), por
143
exemplo, o escoamento é classificado como bidimensional em regime permanente ou
transiente. Se depender de somente uma coordenada, o escoamento é classificado como
unidimensional.
Para fins de análise, muitas vezes é conveniente introduzir a noção de
escoamento uniforme em uma dada seção reta. Neste caso a velocidade é constante
através de qualquer seção normal ao escoamento.
Por outro lado, o termo campo de escoamento uniforme, em contraposição a
escoamento uniforme numa seção, é empregado para descrever um escoamento no qual
o módulo e o sentido do vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de
todas as coordenadas espaciais, através de todo o campo.
A.5.
T
RAJETÓRIAS
,
L
INHAS DE
E
MISSÃO E
L
INHAS DE
C
ORRENTE
Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso
obter uma representação visual do campo de escoamento. Tal representação é provida
pelas linhas de trajeto, de emissão e de corrente. Uma linha de trajeto ou trajetória é o
caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em movimento. A linha unindo,
em um dado instante, as partículas que passaram por um ponto fixo no espaço é definida
como linha de emissão. Já as linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de
escoamento de forma que, num dado instante, são tangentes à direção do escoamento
em cada ponto do campo. Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade
em cada ponto do campo, não pode haver escoamento através dessas linhas. No
escoamento permanente as linhas de corrente permanecem constantes com o tempo e
são coincidentes com as linhas de trajeto e emissão. A forma das linhas de corrente pode
variar de instante a instante se o escoamento for transiente. Neste caso, as trajetórias, as
linhas de emissão e as linhas de corrente não coincidem.
A.6.
C
AMPO DE
T
ENSÕES
Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da
mecânica dos meios contínuos. As forças de superfície atuam nas fronteiras de um meio
através do contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por
todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacionais e
eletromagnéticas são exemplos de forças de campo.
144
As tensões em um meio resultam das forças que atuam em alguma porção dele.
O conceito de tensão é uma forma conveniente de descrever o modo pelo qual as forças
atuantes nas fronteiras são transmitidas através do meio.
Como a força e área são quantidades vetoriais, o campo de tensão não será
vetorial. Em geral são necessárias nove componentes para especificar o estado de tensão
num fluido:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
σττ
τστ
ττσ
Onde
σ
denota tensão normal e
τ
tensão cisalhante. Utiliza-se índice duplo para
designar as tensões, o primeiro indica o plano no qual a tensão atua e o segundo a
direção na qual a tensão atua.
Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o plano no qual
atua são ambos positivos ou ambos negativos, e é negativa quando o seu sentido e o
plano no qual atua tem sinais opostos. Na Figura A.2, as tensões foram traçadas como
positivas.
Figura A.2 – Componentes de Tensão
x
σ
yy
τ
yx
τ
yz
σ
zz
τ
zx
τ
zy
σ
xx
τ
xy
τ
xz
σ
xx
τ
xy
τ
xz
σ
zz
τ
zy
τ
zx
τ
yx
σ
yy
τ
yx
y
∆
y
∆
x
∆
z
z
145
A.7.
V
ISCOSIDADE
Da definição de fluido, sabe-se que o elemento fluido, quando submetido a
qualquer tensão de cisalhamento, experimenta uma taxa de deformação ou taxa de
cisalhamento. Portanto, os fluidos podem ser classificados de acordo com a relação
entre a tensão de cisalhamento aplicada e a taxa de deformação. Os fluidos nos quais a
tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação são chamados
newtonianos, enquanto nos não-newtonianos a tensão de cisalhamento não é
diretamente proporcional à taxa de deformação.
Para fluido newtoniano e escoamento unidimensional, u = u(y), temos:
dy
du
yx
∝
τ
(A.6)
Os fluidos mais comuns, como a água, o ar, a glicerina e a gasolina são
newtonianos. A constante de proporcionalidade na equação acima é a viscosidade
absoluta ou dinâmica,
µ
. O fluido que oferece maior resistência a deformação é mais
viscoso. Assim, dois diferentes fluidos newtonianos irão se deformar a taxas diferentes
sob a ação da mesma tensão de cisalhamento aplicada.
Em mecânica dos fluidos a razão
ρµ
aparece com freqüência e é chamada de
viscosidade cinemática, sendo representada por
ν
.
Outra observação importante é a tendência da viscosidade nos gases,
normalmente, aumentar com o aumento da temperatura e nos líquidos diminuir quando
a temperatura aumenta. Esta diferença de comportamento se deve principalmente ao
mecanismo que define a viscosidade em ambos os casos, movimento molecular nos
gases e forças de coesão nos líquidos. Para pressões moderadas, a viscosidade não
depende da pressão, somente da temperatura.
Em algumas situações físicas, para simplificação do problema, admite-se a
hipótese do escoamento ser não viscoso (
µ
= 0).
146
A.8.
E
SCOAMENTOS
L
AMINARES E
T
URBULENTOS
Os regimes de escoamentos são classificados como laminar ou turbulento. No
laminar a estrutura do escoamento tem movimento suave em lâminas ou camadas. No
regime turbulento o escoamento é caracterizado por movimentos tridimensionais
aleatórios de partículas fluidas, em adição ao movimento médio.
Em um escoamento laminar, permanente, a velocidade em um ponto permanece
constante com o tempo. No turbulento há flutuações aleatórias da velocidade
instantânea, u, em torno da velocidade,
ū
. Consideramos a velocidade instantânea, u,
como a soma da velocidade média,
ū
, e a componente flutuante u’.
'uuu
+
=
(A.7)
A velocidade média,
ū
, não varia com o tempo para escoamento permanente.
A.9.
N
ÚMERO DE
R
EYNOLDS
Para caracterizar um escoamento em laminar ou turbulento, e sua posição
relativa numa escala de turbulência usamos o número de Reynolds. Reynolds deduziu
que dois escoamentos com semelhanças geométricas seriam dinamicamente
semelhantes se as equações diferenciais que os descreviam fossem idênticas [20].
Mudando as unidades de massa, comprimento e tempo em um conjunto de equações e
determinando as condições que deveriam ser satisfeitas para torná-las idênticas às
equações originais, Reynolds descobriu que o grupo adimensional
µ
ρ
/ul deveria ser o
mesmo para os dois casos. Neste grupo, u é uma velocidade característica, l um
comprimento característico,
ρ
a massa específica e
µ
a viscosidade.
O número de Reynolds pode ser interpretado como a relação entre a tensão de
cisalhamento
τ
t
devido à turbulência e a tensão de cisalhamento
ν
τ
devido à viscosidade.
Para escoamento unidimensional na direção x, a tensão de cisalhamento devido à
turbulência,
τ
t
, é dada por:
''vu
t
ρτ
= (A.8)
A tensão de cisalhamento devido à viscosidade pode ser escrita como:
147
l
u'
µ
τ
ν
= (A.9)
onde u’ é interpretada como a variação de velocidade na distância l medida
perpendicularmente à velocidade. Então, a relação seguinte tem a forma de um número
de Reynolds.
µ
ρ
τ
τ
ν
lv
t
'
= (A.10)
A.10.
E
SCOAMENTOS
C
OMPRESSÍVEIS E
I
NCOMPRESSÍVEIS
Escoamento incompressível é o escoamento onde as variações de massa
específica são desprezíveis; quando as variações de massa específica não são
desprezíveis, o escoamento é dito compressível. Os escoamentos de líquidos podem
frequentemente ser tratados como incompressíveis.
A.11.
E
SCOAMENTOS
I
NTERNOS E
E
XTERNOS
Quando os escoamentos são envolvidos por superfícies sólidas, eles são
chamados internos, ou escoamentos em dutos. Escoamentos sobre corpos imersos num
fluido são denominados externos.
O escoamento sobre uma placa plana semi-infinita ou sobre um cilindro é
externo, podendo ser laminar ou turbulento. No caso da placa plana a natureza da
camada limite é dada pelo número de Reynolds,
µρ
Vx
x
=Re , onde x é a distância à
jusante da borda de ataque da placa. Geralmente, o escoamento é laminar para
5
105Re ×≤
x
e turbulento para valores maiores.
148
A.12.
E
SCOAMENTO SOBRE UMA PLACA PLANA
Figura A.3 – Escoamento viscoso, laminar e incompressível sobre uma placa plana
Suponha um escoamento que se aproxima de uma placa plana com velocidade
uniforme, V
r
, queremos obter, qualitativamente, o comportamento do perfil de
velocidades em diversos locais ao longo da placa (Figura A.3). Sabemos que a
velocidade no ponto de contato com a placa deve ser zero e que a placa exerce uma
força retardadora sobre o fluido até certo ponto de sua vizinhança, ou seja, nesta região
a velocidade encontra-se entre 0 e V
r
.
Após este ponto, a velocidade torna-se novamente
V
r
.
Destas características do perfil de velocidades e da definição de tensão de
cisalhamento, sabemos que haverá tensões cisalhantes na região descrita anteriormente
e fora desta região, onde o gradiente de velocidade é igual a zero, não haverá tensão de
cisalhamento.
Ao continuarmos acompanhando o escoamento sobre a placa plana, mas agora
numa seção adjacente à anterior, podemos notar que o perfil de velocidades não é o
mesmo, donde se conclui que à medida que se avança sobre a placa, no sentido do
escoamento, a placa influencia uma porção maior do campo de escoamento.
Podemos, então, dividir o campo de escoamento em duas regiões distintas, a
região adjacente à fronteira onde as tensões de cisalhamento estão presentes - chamada
de camada limite; e a região fora da camada limite, onde pode-se desprezar os efeitos da
viscosidade, pois o gradiente de velocidade e as tensões de cisalhamento são nulos.
V
r
V
r
V
r
0
M
C
B
A
A’
C’
B’
x
1
x
2
Camada limite
y
x
149
Para se manter um fluxo de massa constante entre uma linha de corrente
qualquer e o eixo x, o espaçamento entre a linha e o eixo deve aumentar continuamente
à medida que o escoamento se move sobre a placa, donde se conclui que a componente
da velocidade no sentido transversal ao escoamento, v, embora pequena, não é nula.
A.13.
E
SCOAMENTO
E
XTERNO EM TORNO DE UM
C
ILINDRO
Até aqui consideramos apenas o efeito de forças cisalhantes, a pressão era
constante em todo o campo de escoamento. Consideremos agora um escoamento
incompressível, permanente, sobre um cilindro onde tanto as forças de pressão quanto
as viscosas são importantes.
Observando a Figura A.4, notamos que as linhas de corrente são simétricas em
relação ao eixo-x, o fluido colide com o cilindro no ponto A, divide-se e escoa em volta
dele. O ponto A é chamando de ponto de estagnação. Entre os pontos A e C a camada
limite é delgada, a pressão cai continuamente com o aumento da velocidade, um
elemento fluido dentro da camada limite sofre uma força de pressão líquida na direção
do escoamento, mas esta é suficiente para vencer a força cisalhante resistente, mantendo
o movimento do elemento no sentido do escoamento. No dorso do cilindro, além do
ponto B, uma vez que a pressão aumenta no sentido do escoamento, o elemento fluido
experimenta uma força de pressão líquida oposta ao sentido do seu movimento. Em
algum ponto a quantidade de movimento do fluido na camada limite é insuficiente para
transportar o elemento mais adiante, para a região de pressão crescente, e as camadas de
fluido adjacentes à superfície são levadas ao repouso, então, o escoamento descola-se ou
separa-se da superfície. Esta separação leva a formação de uma região de pressão
relativamente baixa atrás do corpo, deficiente em quantidade de movimento, chamada
esteira. Na região da esteira há um desequilíbrio de forças de pressão no sentido do
escoamento, resultando em um arrasto de pressão sobre o corpo.
150
Figura A.4 – Escoamento viscoso, incompressível sobre um cilindro
B
x
A
y
C
Ponto de separação
Esteira
151
APÊNDICE B - ANÁLISE DE ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO DA
VELOCIDADE CRÍTICA
Uma outra maneira de se estudar o fenômeno da colisão entre risers de sistemas
oceânicos é através do estudo da estabilidade entre dois cilindros submetidos a um
escoamento. A partir de certa velocidade de incidência de corrente – Velocidade Crítica
– o sistema passa a oscilar entre duas posições e não há mais solução estável para o
problema.
Em estudos recentes sobre o tema HUANG, S., et al [12, 13] apresentam uma
formulação analítica para a determinação da Velocidade Crítica. Será feito a seguir um
breve comentário sobre estes estudos.
B.1.
F
ORMULAÇÃO DO
P
ROBLEMA
A Figura B.1 mostra um sistema de dois cilindros, onde o cilindro a jusante é
preso por 2 molas ortogonais, k
x
e k
y,
e o a montante é considerado fixo. A origem do
sistema de coordenadas está no centro do cilindro à montante, com o eixo x paralelo ao
sentido do escoamento [12].
Figura B.1 – Sistema massa, mola, amortecedor
A equação do movimento para o cilindro à jusante, desconsiderando a parcela de
amortecimento, pode ser expressa como:
=
−
−
+
y
x
s
s
y
x
F
F
yy
xx
k
k
y
x
m
m
0
0
0
0
&&
&&
(B.1)
Vc
u
x
s
y
s
k
y
k
x
y
x
152
onde m é a massa do cilindro,
(
)
ss
yx , é a posição inicial (repouso) do cilindro à jusante
quando nenhuma corrente está presente. F
x
e F
y
são as forças fluidas nas direções x e y,
dadas por [13]:
( )
( )
−=−=
−=−=
ββρββ
ββρββ
osCCDuosFFF
CCDuFFF
LDrLDy
LDrLDx
csen
2
1
csen
sencos
2
1
sencos
2
2
(B.2)
onde
r
u
é a velocidade relativa da esteira,
ρ
é a massa específica, D é o diâmetro do
cilindro à jusante,
β
é o ângulo entre a velocidade relativa da esteira e o eixo x,
2
2
,
,
u
F
C
LD
LD
ρ
= são os coeficientes de arrasto e sustentação, respectivamente.
Do diagrama a seguir é fácil mostrar que:
Figura B.2 – Velocidade Relativa
rr
u
y
sen
u
xu
&&
−
=
−
=
ββ
,cos (B.3)
( )
2
2
yxuu
r
&&
+−=
(B.4)
Substituindo a equação (B.3) na (B.2) temos:
( )
[ ]
( )
[ ]
−+−=
+−=
xuCyCDuF
yCxuCDuF
LDry
LDrx
&&
&&
ρ
ρ
2
1
2
1
(B.5)
β
xu
&
−
r
u
y
&
−
x
F
L
F
y
F
D
F
153
Vamos considerar aqui o conceito de “coeficiente equivalente” de tal modo que
este leve à mesma força como se não tivesse ocorrido perturbação na velocidade de
corrente. Conforme demonstrado no item 4.4, os coeficientes de arrasto e sustentação
equivalentes do cilindro à jusante são dados por:
2
,)(,
=
c
LDEQLD
V
u
CC (B.6)
Para pequenos movimentos em torno da posição de equilíbrio
(
)
00
, yx , temos
que 0
00
== yx
&&
. Substituindo (B.6) em (B.5), expandindo u
r
em série de Taylor em
torno deste mesmo ponto, e linearizando, ou seja,
xuu
r
&
−≅
, as forças F
x
e F
y
serão
dadas por:
−−
−
+
=
u
y
u
x
CC
CC
DV
C
C
DV
F
F
EQDEQL
EQLEQD
c
EQL
EQD
c
y
x
&
&
)()(
)()(
2
)(
)(
2
2
2
2
1
2
1
ρρ
(B.7)
Expandindo
)()( EQLEQD
CeC
em série de Taylor em torno do ponto
(
)
00
, yx e
adimensionalisando
DxX =
e
DyY =
, temos:
−
−
∂∂
∂
∂
∂
∂
+
=
=
=
=
=
0
0
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
YY
XX
Y
C
X
C
Y
C
X
C
C
C
C
C
yy
xx
EQDEQL
EQLEQD
yy
xx
EQL
EQD
EQL
EQD
(B.8)
Substituindo a equação (B.8) em (B.7) encontramos o termo das forças da
equação do movimento, (B.1):
154
+
−
−
∂∂
∂
∂
∂
∂
+
=
0
0
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
2
0
)(
0
)(
2
2
1
2
1
YY
XX
Y
C
X
C
Y
C
X
C
DV
C
C
DV
F
F
EQDEQL
EQLEQD
c
EQL
EQD
c
y
x
ρρ
sem esteira com esteira
−−
−
+
u
DY
u
DX
CC
CC
DV
EQDEQL
EQLEQD
c
&
&
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
2
2
2
2
1
ρ
(B.9)
com esteira
Os termos da equação acima estão divididos em: influenciados pela esteira e não
influenciados pela esteira. A mesma classificação será dada aos termos do lado
esquerdo da equação do movimento (B.1), que adimensionalizadas por D são escritos
como:
−
−
+
s
s
y
x
YY
XX
k
k
Y
X
m
m
0
0
0
0
&&
&&
(B.10)
Para classificarmos os termos acima, reescreveremos os mesmos como:
−
−
+
−
−
+
s
s
y
x
y
x
YY
XX
k
k
YY
XX
k
k
Y
X
m
m
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
&&
&&
(B.11)
com esteira com esteira sem esteira
A equação do movimento será então dividida em duas: uma sem a influência da
esteira, que dará a condição de contorno do sistema, e uma com a influência da esteira.
Portanto, a equação com a influência da esteira será dada por:
155
0
~
~
0
01
~
~
2
2
~
~
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
2
2
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
+
−
+
Y
X
Y
C
X
C
Y
C
X
C
au
R
Y
X
CC
CC
au
Y
X
EQLEQL
EQDEQD
R
k
EQDEQL
EQLEQD
R
&
&
&&
&&
(B.12)
E a equação sem a influência da esteira e que também nos dará as condições de
contorno do sistema será dada por:
=
−
−
0
)(
0
)(
2
0
0
2
0
01
EQL
EQD
R
s
s
k
C
C
au
YY
XX
R
(B.13)
Onde:
−
−
=
0
0
~
~
YY
XX
Y
X
,
m
k
x
x
=
ω
,
D
V
u
x
c
R
ω
=
,
x
y
k
k
k
R =
2
,
m
D
a
2
2
ρ
=
B.2.
A
NÁLISE DE
E
STABILIDADE
A estabilidade do cilindro à jusante será analisada pela determinação dos
autovalores da equação (B.12). A equação do movimento será divida em duas equações,
uma com todos os termos em
X
~
, e outra com todos os termos em
Y
~
.
EQUAÇÃO EM
X
~
:
( )
0
~
1
~
2
~
0
)(
0
)(
2
0
)(
0
)(
=
∂
∂
+
∂
∂
−+++ X
X
C
X
C
auXCCauX
EQLEQD
REQLEQDR
&&&
(B.14)
Convertendo a equação de segunda ordem acima em um sistema de duas
equações de primeira ordem, temos,
21
~
~
XX =
&
(B.15)
( )
2
0
)(
0
)(1
0
)(
0
)(
2
2
~
2
~
1
~
XCCauX
X
C
X
C
auX
EQLEQDR
EQLEQD
R
+−
∂
∂
+
∂
∂
−−=
&
A equação característica do sistema (B.15), dada pelo
[
]
0det =− IA
λ
, onde A é
matriz dos coeficientes, λ são os autovalores de A e I é a matriz identidade, é dada por:
156
( )
012
0
)(
0
)(
2
0
)(
0
)(
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−+++
X
C
X
C
auCCau
EQLEQD
REQLEQDR
λλ
(B.16)
-p q
Quando plotamos a família de soluções do sistema acima como curvas no plano
21
~
~
XX , todas as trajetórias tendem para um ponto crítico, cujos critérios para
determinação do seu tipo são dados por:
(a) nó, se q > 0 e ∆ ≥ 0,
(b) cela, se q < 0,
(c) centro, se p = 0 e q > 0,
(d) espiral, se p ≠ 0 e ∆ < 0.
Podemos ainda classificar os pontos críticos em estáveis e atrativos, estáveis, e
instáveis. Fisicamente falando, significa como um sistema se comporta ao ser submetido
a uma pequena perturbação em algum instante do tempo. Tal critério de classificação de
estabilidade é dado por:
(a) estável e atrativo se p < 0 e q > 0,
(b) estável se p ≤ 0 e q > 0,
(c) instável se p > 0 ou q < 0.
EQUAÇÃO EM
Y
~
:
( )
0
~~~
0
)(
0
)(
22
0
)(
0
)(
=
∂
∂
+
∂
∂
+−−−− Y
Y
C
Y
C
auRYCCauY
EQLEQD
RkEQDEQLR
&&&
(B.17)
Similarmente, à equação em
X
~
, temos,
21
~
~
YY =
&
(B.18)
( )
2
0
)(
0
)(1
2
0
)(
0
)(
2
2
~~~
YCCauYR
Y
C
Y
C
auY
EQDEQLRk
EQLEQD
R
−+
−
∂
∂
+
∂
∂
=
&
157
E a equação característica do sistema (B.18) é dada por:
( )
0
2
0
)(
0
)(
2
0
)(
0
)(
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
−+−
k
EQLEQD
REQDEQLR
R
Y
C
Y
C
auCCau
λλ
(B.19)
-p q
B.3.
V
ELOCIDADE DE
C
ORRENTE
C
RÍTICA
De acordo com os critérios de estabilidade apresentados acima, podemos
determinar o valor, a partir do qual, a velocidade relativa
R
u
torna o sistema de
equações (B.1) instável, ou seja, com probabilidade de ocorrência de colisão. Assim, a
partir da velocidade relativa podemos determinar a velocidade de corrente crítica.
DuV
xRcCRITICA
ω
=
(B.20)
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