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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
JOSÉ LEÔNCIO FERREIRA FILHO
UM ESTUDO SOBRE ARGUMENTAÇÃO E PROVA
ENVOLVENDO O TEOREMA DE PITÁGORAS
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE
MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2007
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
JOSÉ LEÔNCIO FERREIRA FILHO
UM ESTUDO SOBRE ARGUMENTAÇÃO E PROVA
ENVOLVENDO O TEOREMA DE PITÁGORAS
Trabalho Final apresentado à Banca Examinadora
da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE PROFISSIONAL em Ensino de
Matemática, sob a orientação do professor Dr.
Vincenzo Bongiovanni.
SÃO PAULO
2007
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BANCA EXAMINADORA
_____________________________
_____________________________
_____________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de
fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:______________________Local e data:______________
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela sabedoria.
Aos meus pais José Leôncio e Erotilde, que mesmo a distância sempre
confiaram e incentivaram. Tenho orgulho de vocês.
À minha querida esposa Adriana e meu querido filho Leonardo, que bem
compreenderam minhas muitas ausências nesse período de mestrado. Obrigado
pela cooperação e apoio. Amo vocês.
Ao Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni, pela sábia, dedicada e paciente orientação.
Foi um grande privilégio.
Aos professores doutores Antonio Carlos Brolezzi e Sônia Pitta Coelho por
terem aceitado o convite a compor a Banca Examinadora e pelas valiosas
sugestões. Seus nomes enobrecem este trabalho.
Aos professores e colegas do projeto AprovaME. Foi muito importante a ajuda
de vocês.
Aos professores do curso de Mestrado Profissional da PUC-SP, por contribuírem
para minha formação.
À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo pela bolsa de estudo. À
equipe da Diretoria de Ensino Sul II.
Aos meus irmãos José Maria e Mário, minhas irmãs Raimunda, Socorro,
Eronilde, Celsa, Marinete, Marinês, Ana Cláudia, Marinelza e Ednelza.
Ao Colégio Adventista de Itapecerica da Serra e à sua mantenedora a
Associação Paulista Sul da Igreja Adventista do Sétimo Dia, pelo auxílio
financeiro.
Aos colegas de curso Wellington Zarur Vianna e Paulo Rogério Salomão, por
estarmos juntos em todas as disciplinas, todos os seminários e todas as
reuniões. Obrigado pela amizade.
Muito Obrigado.
RESUMO
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998) reconhecem e
orientam, que o currículo de Matemática deve necessariamente contemplar
atividades e experiências que possibilitem aos aprendizes o desenvolvimento e
a comunicação efetiva de argumentos matematicamente válidos. Mas há
consenso entre os pesquisadores da Educação Matemática, em diversos países,
quanto às dificuldades inerentes ao ensino e à aprendizagem de prova.
Esta pesquisa está inserida no projeto AprovaME na área da Educação
Matemática da PUC-SP, que tem entre seus objetivos, o de contribuir para o
debate sobre o ensino e aprendizagem de prova em Matemática.
O objetivo do presente trabalho foi investigar o envolvimento de alunos da
1ª.série do Ensino Médio em processos de construção de conjeturas e provas, a
fim de responder à seguinte questão de pesquisa: que dificuldades apresentam
os alunos diante de situações de argumentação e prova envolvendo o teorema
de Pitágoras?
Para responder à questão de pesquisa, adotamos como metodologia de
pesquisa alguns elementos da engenharia didática. Uma seqüência de ensino foi
elaborada com questões sobre argumentação e prova, envolvendo o teorema de
Pitágoras e aplicada a alunos de uma escola particular do interior do Estado de
São Paulo.
Os trabalhos de Robert (1998) e Duval (2002) contribuíram para a
concepção das atividades e os de Balacheff (1988) para a análise dos tipos de
provas dos alunos.
As produções dos alunos ao final das atividades mostram que uma
seqüência de ensino concebida para produzir argumentações e provas
favoreceu a passagem de uma etapa onde as validações são
predominantemente empíricas para uma outra etapa onde as validações são
dedutivas.
Outros trabalhos abordando diferentes tópicos de matemática e que
tratem do ensino e aprendizagem da prova tornam-se cada vez mais
necessários para compreender a complexidade desse processo.
PALAVRAS-CHAVE: Argumentação, Prova, Dificuldades, Teorema de
Pitágoras, Educação Matemática.
ABSTRACT
The National Curriculum Parameters (Brazil, 1998), acknowledge and
recommend that the Mathematics syllabus should necessarily cover activities
and experiences which enable learners to develop and effectively communicate
with valid mathematical argumentation. However, there is consensus among
Mathematics Education researchers, in several countries, as to the inherent
difficulties of teaching and learning proof.
This research is inserted in the AprovaME project, in the Mathematics
Education area at PUC-SP, which has as one of its goals to foster debate over
the teaching and learning of proof in Mathematics.
The objective of the present study was to investigate the involvement of
first-year students at high school in processes of conjecture and proof
construction, aiming to answer the following research question: what difficulties
do students present when faced with argumentation and proof situations
involving the Pythagorean Theorem?
In order to answer the research question, we adopted some elements
from the didactic engineering as the research methodology. A teaching
sequence was then elaborated with questions on argumentation and proof
involving the Pythagorean Theorem and applied to students from a private school
in a countryside city in the State of Sao Paulo.
The work by Robert (1998) and Duval (2002) contributed to the conception
of activities, and the ones by Balacheff (1988), to the analysis of the types of
proof from the students.
The production from the students, at the end of the activities, show that
the teaching sequence conceived to produce argumentation and proof
advantaged the passing of a step where validations are predominantly empirical
into another step, in which validation takes on a deductive character.
Other studies approaching different mathematics topics and which treat
teaching and learning of proof have become more and more needed for
understanding the complexity surrounding this process.
KEYWORDS: Argumentation, Proof, Difficulties, Pythagorean Theorem,
Mathematics Education.
SUMÁRIO
CAPÍTULO I:
Problemática
1.1. Introdução......................................................................................... 11
1.2. Justificativa....................................................................................... 13
1.3. Descrição do AprovaME................................................................... 17
1.4. Descrição do trabalho....................................................................... 20
1.5. Levantamento bibliográfico............................................................... 21
1.6. Delimitação do problema.................................................................. 31
1.7. Fundamentação teórica.................................................................... 31
1.7.1. Balacheff................................................................................ 32
1.7.2. Duval....................................................................................... 34
1.7.3. Robert.................................................................................... 38
1.8. Questão de pesquisa e objetivos..................................................... 40
1.9. Metodologia....................................................................................... 41
CAPÍTULO II:
Estudo histórico do Teorema de Pitágoras
2.1. O nascimento do método demonstrativo............................................. 43
2.2. O Teorema de Pitágoras na história antiga da matemática................ 44
2.3. O surgimento da demonstração com Tales e Pitágoras..................... 47
2.4. O Teorema de Pitágoras na Obra de Euclides................................... 51
2.5. O Teorema de Pitágoras na obra de Clairaut...................................... 55
2.6 O Teorema de Pitágoras na obra de Legendre.................................. 57
2.7 Hilbert e Birkhoff................................................................................. 57
2.8 Provas e teorema de Pitágoras em livros didáticos............................ 62
2.8.1 Livro 1...................................................................................... 64
2.8.2 Livro 2...................................................................................... 67
2.8.3 Livro 3...................................................................................... 69
2.8.4 Livro 4..................................................................................... 70
CAPÍTULO III:
Concepções das atividades e análise a priori
3.1. Concepções das atividades.............................................................. 73
3.2. Análise a priori.................................................................................. 74
3.2.1. Atividade 1.............................................................................. 74
Análise da atividade 1........................................................... 76
3.2.2. Atividade 2............................................................................. 82
Análise da atividade 2........................................................... 83
3.2.3. Atividade 3............................................................................. 88
Análise da atividade 3........................................................... 90
3.2.4. Atividade 4............................................................................. 98
Análise da atividade 4........................................................... 100
CAPÍTULO IV:
Experimentação e análise a posteriori das atividades
4.1. Experimentação................................................................................. 113
4.2. Levantamento de dados..................................................................... 115
4.3. Análise a posteriori da atividade 1...................................................... 116
4.4. Análise a posteriori da atividade 2...................................................... 123
4.5. Análise a posteriori da atividade 3...................................................... 138
4.6. Análise a posteriori da atividade 4...................................................... 153
CAPÍTULO V:
Considerações finais
...................................................................... 170
Referências bibliográficas........................................................... 175
Anexos
Anexo I – Atividade 1................................................................................. 179
Anexo II – Atividade 2................................................................................. 181
Anexo III – Atividade 3................................................................................ 183
Anexo IV – Atividade 4............................................................................... 186
11
CAPÍTULO I
PROBLEMÁTICA
1.1 - Introdução
"O verdadeiro educador não se satisfaz com trabalhos de segunda
ordem. Não se contenta com encaminhar seus estudantes a um padrão
mais baixo do que o mais elevado que lhes é possível atingir". (Ellen
White, 1827-1915)
Muitas vezes essas palavras serviram-nos de estímulo e incentivo para
continuarmos firmes nessa difícil tarefa que é a de ensinar. Nossa formação
inicial é em Licenciatura Curta em Ciências exatas e naturais no período de
1991 a 1993, e depois mais um ano específico de Licenciatura Plena em
Biologia em 1994, única opção oferecida pela instituição em que estudávamos,
na época. Como queríamos trabalhar com Matemática, logo em 1995
começamos o trabalho como professor do Ensino Fundamental II. Para
trabalharmos com o Ensino Médio precisávamos continuar os estudos. Voltamos
a estudar no período de 1999 a 2000 e concluímos a Licenciatura Plena em
Matemática. Em 2004 começamos o trabalho com o Ensino Médio. Antes de
ingressarmos no Mestrado, ainda cursamos uma especialização Lato Sensu em
matemática pura em 2001 e 2002.
Nas aulas da formação inicial e principalmente na especialização, tivemos
muitas aulas com demonstrações de teoremas e fórmulas. Podemos lembrar-
nos de um professor de física no nosso primeiro ano de estudos. Ele enche a
lousa com a demonstração de uma fórmula e em seguida aplica-a em um
exemplo. A classe fica mais tranqüila quando ele fala que não cobraria aquela
demonstração complicada na prova, só precisaríamos saber usar a fórmula.
Claro que nas aulas de álgebra, geometria, etc., não escapávamos de ter que
decorar algumas demonstrações, sem muitas vezes entendê-las, para reproduzi-
las na hora da avaliação.
Geralmente durante os Ensinos Fundamental e Médio temos pouco ou
nenhum contato com o processo demonstrativo, mas quando chegamos ao
12
Ensino Superior, dependendo da instituição de ensino, ou temos pouco ou
quase nada de trabalhos com demonstrações, ou somos surpreendidos com
aquelas aulas em que o próprio professor realiza demonstrações e mais
demonstrações no quadro, apenas para verificar a veracidade de certas
proposições, sem se preocupar em envolver o aluno com atividades que o
ensine a construir as suas próprias demonstrações. Pressupõe-se que esse
aluno já esteja acostumado com as demonstrações, o que, quase sempre, não é
verdade. Assim, esse aluno acaba tendo que memorizar o texto da
demonstração feita pelo o professor, para reproduzi-lo na hora da avaliação.
Tradicionalmente é isto que acontece nas aulas de matemática. A
demonstração é usada exclusivamente com a função de verificar a veracidade
das afirmações matemáticas. Como afirma De Villiers (1999) "A idéia é que a
demonstração é usada principalmente para remover a dúvida". Isto cria uma
idéia negativa em relação às demonstrações. Os alunos têm dificuldades em
compreender a necessidade das demonstrações, pois, não estão acostumados
com elas, não são ensinados sobre elas, e por isso não as vêem com bons
olhos e sempre que podem perguntam: "Por que é que temos que demonstrar
isto?" Que professor já não experimentou uma sensação de frustração quando
confrontado com essa pergunta?
Como professores de matemática hoje, diferente do que pensávamos
enquanto aluno, entendemos que demonstrar é importante. A demonstração nos
faz pensar e nos desenvolve o raciocínio. O professor e educador George Polya
(1887 a 1985), autor do livro A arte de resolver problemas, afirmava, que para
ensinar é preciso saber muito mais do que se ensina, é preciso conhecer sua
matéria, ter interesse e entusiasmo por ela. Nós consideramos que saber
demonstrar uma proposição é conhecê-la mais profundamente. Sempre que
podemos, fazemos algumas demonstrações, mas vemos que não é interessante
para os alunos. Ficamos surpresos quando aquele aluno mais interessado
questiona certas proposições e interessa-se pedindo uma demonstração. Mas a
pergunta imediata da classe é: "Isso vai cair na prova?".
13
Se os alunos questionam por terem que aprender certos conteúdos
matemáticos, quanto mais questionarão sobre as demonstrações! Talvez, o que
precisa mudar é a forma com que usamos a demonstração.
1.2 - Justificativa
O AprovaME, é um projeto da área de Educação Matemática da PUC-SP,
o qual visa fazer um mapeamento das concepções de provas de alunos
brasileiros, e sobre o qual daremos mais detalhes no próximo item. Quando
fomos convidados a participar desse projeto duas coisas impulsionaram-nos a
aceitar o convite. A primeira foi que poderíamos conhecer mais sobre essa
discussão dos problemas com a prova no ensino de matemática, a segunda foi
que desde cedo poderíamos receber orientações a fim de conhecermos,
organizarmos, e discutirmos em grupos, referências bibliográficas para nossa
pesquisa. Durante o período de um ano e meio tivemos o privilégio de poder
estudar e discutir com nossos colegas e professores, pesquisas existentes sobre
o assunto de provas no ensino de matemática, o que nos enriqueceu bastante.
Do que vimos nas nossas leituras e discussões, podemos concluir que a
questão da inserção da prova nos currículos desde a Educação Básica, já é
tema de debates em alguns países como Inglaterra, França e Itália.
No Brasil, o tema sobre a inserção da prova no ensino de matemática,
ainda é considerado pouco difundido, basta considerar o baixo número de
trabalhos existentes nessa área, como os de Vianna (1988), Cury (1988),
Gouvêa (1988), todos do mesmo período e os de Gravina (2001) e Vaz (2004),
que foram realizados mais de uma década depois. Mesmo assim, os Parâmetros
Curriculares Nacionais – PCN, destacam a importância da inclusão de atividades
com argumentação e prova nos currículos de matemática, já nos ciclos 3 e 4
(fundamental II). Sugerem experimentos concretos que levantem conjeturas,
mesmo que esses experimentos não constituam provas matemáticas, mas que
sejam elementos desencadeadores de conjeturas e processos que levem a
justificativas mais formais. Além de considerar que:
14
A argumentação está fortemente vinculada à capacidade de justificar
uma afirmação por conteúdos matemáticos e se for possível responder
aos contra-argumentos ou réplicas que lhe forem impostos.
Uma argumentação não é, contudo, uma demonstração. A
argumentação é mais caracterizada por sua pertinência e visa ao
plausível, enquanto a demonstração tem por objetivo a prova dentro de
um referencial assumido. Assim, a argumentação está mais próxima das
práticas discursivas espontâneas e é regida mais pelas leis de coerência
da língua materna do que pelas leis da lógica formal que, por sua vez,
sustenta a demonstração.
Se por um lado a prática da argumentação tem como contexto natural o
plano das discussões, na qual se podem defender diferentes pontos de
vista, por outro ela também pode ser um caminho que conduz à
demonstração.
Assim, é desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a
argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a
produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre
tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode-se avançar no
quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das
demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns
teoremas. (PCN, 1998, p. 70). (negritos nossos)
Em relação à inclusão da prova no currículo de matemática da educação
básica, as perguntas que surgem, dentre outras, são: "É a prova tão crucial na
cultura matemática para ser incluída no currículo escolar?". Como responder
quando os alunos questionam "Porque é que temos que demonstrar isto?”. "Os
alunos compreendem a necessidade e a função (significado, objetivo e utilidade)
da demonstração?". "É possível superar as dificuldades tão freqüentemente
descritas pelos professores quando introduzem provas para os alunos?".
Questões desse tipo têm de certa forma orientado os trabalhos de alguns
educadores em Educação Matemática a respeito da prova. Pietropaolo (2005)
faz uma análise de pesquisas existentes nesta área e destaca os seguintes
estudos realizados: análises de dificuldades de alunos da Educação Básica no
15
processo de aprendizagem de provas (Ballachef, 1988); estudos das
concepções de provas pelos alunos (Healy e Hoyles, 2000); a estrutura do
raciocínio dedutivo e a aprendizagem da demonstração (Duval, 1991);
concepções de professores sobre provas (Knuth, 2002 e Dreyfus 2000);
relações entre argumentações e provas formais (Ballachef, 1988, Duval 1992 e
1993, Boero, 1997 e Mariotti, 2001).
Pietropaolo (2005) ainda acrescenta que apesar dos enfoques diferentes
dessas pesquisas, em nenhuma delas, os pesquisadores deixaram de enfatizar
a necessidade de introduzir a prova em qualquer nível de ensino. Podemos citar
como exemplo Mariotti (2001), que é enfática em afirmar que “não se pode
ensinar matemática sem introduzir a demonstração”.
Essa frase de Mariotti (2001), que pode até ter uma pitada de exagero,
nos parece muito séria, e como professores de matemática ficamos muito
preocupados com relação ao que estamos realizando em nossas aulas. Será
que estamos realmente “ensinando” matemática?
Para amenizar a situação para os professores de matemática, achamos
importante destacar que, os mesmos pesquisadores que enfatizam a
necessidade de introduzir a prova em qualquer nível de ensino, também
consideram não ser essa uma tarefa fácil.
Fonseca (2000) considera que "demonstrar é um processo que serve
para validar, esclarecer, sistematizar o conhecimento matemático, por isso um
tal processo deve ser utilizado com as crianças, desde que começam a aprender
matemática".
Parece claro que, há consenso entre os pesquisadores da educação
matemática, quanto à necessidade de inclusão das provas nos currículos, mas
há consenso também quanto às dificuldades associadas ao ensino de prova,
que envolve o trabalho dos professores e quanto às dificuldades associadas à
aprendizagem de prova, que envolve o trabalho do aluno.
Segundo Pietropaolo (2005), entre os educadores matemáticos ainda não
há pleno acordo sobre os próprios significados de prova. Alguns deles, como
Hanna (1990), Balacheff (1998), Rezende e Nasser (1994), a fim de fazer
16
diferenciação, procuram classificar os tipos de prova de acordo com os níveis de
rigor. Segundo Nasser e Tinoco (2001), dependendo da faixa etária e do nível de
raciocínio dos alunos, o professor deve aceitar, e até mesmo estimular certas
justificativas, como parte do processo de construção do raciocínio dedutivo e
citam Veloso, (1998, p. 360) que afirma:
"A prática freqüente pelos alunos da argumentação, da justificação das
próprias afirmações e da procura de uma explicação em defesa das
conjeturas que formulam, no decorrer das atividades de investigação,
constituem modos válidos para melhorar o seu discurso matemático e as
formas de exprimir os seus raciocínios"
Diante dessa problemática, surge a pergunta: No Brasil, quais têm sido os
esforços feitos para se colocar em prática, na matemática escolar, os trabalhos
com provas? Como já foi dito, nos Planos Curriculares isto já é algo
estabelecido. Bastaria a inclusão do trabalho de provas nos conteúdos dos livros
didáticos? E os professores brasileiros, quais as suas concepções em relação às
provas matemáticas? E as concepções de alunos brasileiros?
A fim de buscar respostas a essas perguntas, é concebido um projeto de
pesquisa denominado "Argumentação e Prova na Matemática Escolar"
(AprovaMe), tendo por coordenação a Professora Doutora Siobhan Victoria
Healy, que compõe o Grupo de Pesquisa Tecnologias e Meios de Expressão em
Matemática (TECMEM) da PUC-SP. Além dela participam do projeto o(a)s
professore(a)s: Dra. Ana Paula Jahn, Dra. Celina A. A. P. Abar, Dra, Janete
Bolite Frant, Dra. Sônia Pitta Coelho, Dr. Vincenzo Bongiovanni. Os seis
professores supracitados constituem o que o AprovaME denomina de grupo de
pesquisadores. Vinte e sete estudantes do curso de Mestrado Profissional no
Ensino de Matemática da PUC-SP integram a equipe como professores-
colaboradores.
Assim, esta pesquisa justifica-se por ser um trabalho que visa investigar
sobre argumentação e prova na matemática escolar do Brasil e por fazer parte
do AprovaME.
17
1.3 – Descrição do AprovaME.
O AprovaME visa fazer um mapeamento das concepções de provas de
alunos brasileiros, a fim de subsidiar propostas e abordagens de ensino
especificamente endereçadas à realidade brasileira, sem deixar de lado a
aceitação e apropriação pelos professores de tais situações de ensino. Visa
também investigar as possibilidades oferecidas pelos ambientes
computacionais, nessas situações de aprendizagem da prova.
Os objetivos do AprovaMe são:
1. Levantar um mapa das concepções sobre argumentação e prova de
alunos adolescentes em escolas do estado de São Paulo.
2. Formar grupos colaborativos compostos por pesquisadores e
professores para a elaboração de situações de aprendizagem, visando envolver
alunos em processos de construção de conjeturas e provas em contextos
integrando ambientes informatizados.
3. Criar um espaço virtual de compartilhamento entre os membros da
equipe do projeto e analisar seu papel no desenvolvimento das situações de
aprendizagem, assim como na evolução de conhecimentos pedagógicos sobre
prova em Matemática.
4. Avaliar situações de aprendizagem, em termos da compreensão dos
alunos sobre a natureza e funções de prova em Matemática.
5. Investigar a implementação destas atividades por diferentes
professores e assim identificar em que medida sua participação nos grupos
colaborativos fornece uma apropriação desta abordagem para o ensino e
aprendizagem de prova.
6. Formular recomendações relacionadas ao papel da argumentação e da
prova no currículo de Matemática escolar.
7. Contribuir para o debate internacional sobre o ensino e aprendizagem
de prova em Matemática.
A duração prevista para o AprovaME é de dois anos. O projeto está
organizado em duas fases, a primeira (fase 1) envolvendo um levantamento de
18
concepções de alunos na faixa etária de 14 a 16 anos, e a segunda (fase 2),
subsidiada pela primeira, envolvendo a elaboração e avaliação de situações de
aprendizagem.
Os trabalhos da fase 1 começaram no segundo semestre de 2005, com a
elaboração de um questionário (denominado Q1) baseado naquele concebido
por Healy e Hoyles (1998) na Inglaterra e já utilizado em outros países (França,
Taiwan, Israel, Austrália). O Q1 é composto de itens que visam avaliar em que
medida os alunos aceitam evidências empíricas como prova, distinguem
evidências empíricas de argumentos matematicamente válidos, compreendem o
domínio de validade de uma prova e são capazes de construir argumentos
válidos. Além disso, pretende identificar a influência da forma de representação
da prova (língua natural, língua formal, representações visuais e figurativas, etc.)
na compreensão dos argumentos. Geometria e Álgebra são os domínios
matemáticos contemplados nas questões do Q1, as quais estão organizadas em
2 grupos. São eles: 1) avaliação de vários argumentos apresentados como
provas de uma dada afirmação e, 2) construção de provas. A definição dos
argumentos apresentados nos itens do Q1 está fundamentada no modelo de
concepções sobre tipos de prova de Balacheff (1988).
O Q1 foi aplicado em um total de 45 turmas do Ensino Fundamental e
Médio, de escolas públicas e particulares do estado de São Paulo. Inicialmente,
15 dos professores-colaboradores indicaram, cada um, de 6 a 10 turmas, das
quais 3 são escolhidas por sorteio. Um espaço virtual (Teleduc) foi criado para
facilitar as comunicações entre os membros da equipe no compartilhamento das
decisões e ações sobre o projeto. Ao longo da fase 1, foram realizados
encontros de trabalho presencial, com freqüência quinzenal, reunindo
pesquisadores e professores-colaboradores. Concomitante à aplicação do Q1
junto aos alunos, foi aplicado junto aos professores de Matemática de cada
turma um segundo questionário (Q2), que além dos mesmos itens relacionados
à prova em Matemática de Q1, compreende questões sobre a escola, sobre o
perfil dos alunos da turma e do próprio professor e sobre os materiais didático-
pedagógicos utilizados no ensino de Matemática.
19
Os dados coletados foram organizados e classificados pela equipe de
professores-coordenadores, utilizando critérios inspirados em Healy e Hoyles
(ibid.) e em seguida foram analisados segundo a construção de um modelo
multi-nível, para considerar a correlação de respostas entre os sujeitos que
compartilham experiências comuns (Goldstein, 1987). Os resultados dessa
análise permitiram uma avaliação das áreas de compreensão de prova dos
alunos. Aquelas áreas que merecem maior atenção serviram de base para o
trabalho da fase 2 do projeto. Os trabalhos da fase 1 se encerraram no 1º.
Semestre de 2006, quando começou a Fase 2.
Esta fase visou contemplar dois eixos inter-relacionados de investigação:
a aprendizagem e o ensino. Em relação ao eixo da aprendizagem o objetivo
principal foi a elaboração e avaliação de situações, especificamente destinadas
às áreas de dificuldades e limitações de compreensão de prova identificadas
com o mapeamento elaborado na fase 1. No eixo relativo ao ensino, a atenção
se voltou ao professor, e sua contribuição no processo de elaboração das
situações de aprendizagem e nas modificações destas em ação, considerando
que essas situações foram propostas pelos professores em suas salas de aula.
A estratégia para essa fase compreendeu um desenvolvimento colaborativo e
contínuo entre pesquisadores e professores-colaboradores. Mais precisamente,
o desenvolvimento das situações de aprendizagem seguiu um ciclo segundo a
organização de 5 grupos com 3 professores-colaboradores e, pelo menos, 2
pesquisadores. Cada grupo desenvolveu situações de aprendizagem,
envolvendo ou objetos geométricos representados no software Cabri-géomètre
ou o uso de planilhas eletrônicas (como por exemplo, o Excel) para explorar
problemas algébricos. Ao longo da fase 2, os grupos se reuniam semanalmente,
alternando encontros presenciais e também à distância por meio do espaço
virtual Teleduc criado na fase 1. A fase 2 foi constituída de 3 etapas. Na
primeira, as situações foram elaboradas por cada grupo e, em seguida,
testadas/aplicadas em uma pequena amostra de alunos, e por fim, discutidas e
reformuladas em cada grupo. Na segunda etapa, dando seqüência ao processo
de elaboração das situações, as produções de cada grupo foram colocadas à
20
disposição no ambiente virtual, de maneira que cada professor-colaborador
pudesse desenvolver, pelo menos, duas atividades elaboradas pelos outros
grupos (uma em geometria e a outra em álgebra), em uma de suas turmas, para
fazerem observações a fim de melhorar essas atividades. Nesta fase também
ocorreu a aplicação dessas atividades aos alunos para posterior análise. Essa
aplicação de atividades foi no 1º. Semestre de 2007. A terceira e última etapa da
fase 2, os alunos participantes da Fase 2 responderam ao questionário Q1
elaborado na Fase 1. Essas respostas foram organizadas e analisadas gerando
um mapa, que por sua vez, foi comparado àquele resultante da Fase 1. É
importante observar que os alunos pesquisados nas duas fases foram de 8ª.
série (9º. ano atualmente) e 1º. ano do Ensino Médio, e como a Fase 1
investigou alunos de 2005, esses alunos não constam da pesquisa da Fase 2, já
que esta investiga alunos de 2007.
Para as situações de aprendizagens elaboradas na Fase 2, foram
concebidas seqüências didáticas, envolvendo alguns temas de geometria e de
álgebra.
Algumas dessas seqüências didáticas elaboradas no AprovaME, foram
indicadas como tema de trabalho final de dissertação de mestrado, a alguns
professores-colaboradores do projeto.
1.4 – Descrição do Trabalho
A presente investigação está organizada em cinco capítulos, sendo que
no primeiro apresentamos a problemática da pesquisa, ou seja, a justificativa da
escolha do tema, a descrição do projeto AprovaME, o levantamento bibliográfico
a fundamentação teórica, a questão de pesquisa e os procedimentos
metodológicos.
No capítulo 2 apresentamos um breve histórico relacionado ao teorema
de Pitágoras, baseando-nos nas obras de Euclides, Clairaut, Legendre, Hilbert e
Birkhoff. No final do capítulo fazemos uma análise de quatro livros didáticos.
21
O capítulo 3 inclui as concepções das atividades que compõem a
seqüência didática usada na pesquisa e uma análise a priori dessa seqüência.
O capítulo 4 trata da organização e aplicação da seqüência didática e da
sua análise a posteriori.
No capítulo 5 são colocados em destaque os resultados obtidos e as
considerações finais sobre a investigação realizada.
1.5 – Levantamento Bibliográfico
A fim de oferecer apoio e dar subsídios aos trabalhos que fazem parte do
AprovaME, são sugeridas para leitura, várias referências obtidas da literatura a
respeito de demonstração e provas no ensino de matemática. Trata-se de uma
bibliografia composta de pesquisas publicadas na área da Educação
Matemática, do Brasil e do Exterior.
Neste item, apresentamos uma síntese de algumas dessas leituras.
1.5.1 – Gravina
Gravina (2001), trata sobre a demonstração considerando as dificuldades
dos alunos nesse processo, e as possíveis contribuições do uso de um software
de geometria dinâmica na demonstração.
Em sua pesquisa os sujeitos da investigação são 13 alunos da disciplina
Geometria I, do curso de licenciatura em matemática da UFRGS. Portanto,
alunos ingressantes da universidade.
Ela considera que o processo de prova é central no desenvolvimento do
conhecimento matemático e que esse processo, na geometria euclidiana,
apresenta grandes obstáculos aos alunos. Cita como um desses obstáculos, a
dificuldade em fazer a transição, necessária, do conhecimento de natureza
empírica, que o aluno já adquiriu, e aquele a ser construído: o da geometria
euclidiana enquanto modelo teórico, organizado em axiomas, teoremas e
demonstrações.
22
Para Gravina (2001) o conhecimento empírico, constitui-se, a partir das
impressões e experiências proporcionadas pelo mundo sensível e imediato,
sobremodo, das impressões visuais.
Ela mapeia, em sua investigação, dificuldades inerentes ao processo de
aprendizagem da geometria, e sinaliza o potencial dos ambientes de geometria
dinâmica na superação das dificuldades.
Uma das dificuldades consideradas por ela, no processo de
aprendizagem da geometria, é o entendimento do sentido de demonstração, o
perceber a diferença entre argumento de natureza empírica e argumento de
natureza dedutiva.
Gravina (2001) considera um trabalho de Harel, G. e Sowder, L. (1991),
que registram comportamentos de alunos , já no final do estudo secundário e
mesmo no início de estudos universitários, no qual: a) a verificação empírica é
suficiente para garantir a veracidade de uma propriedade; b) a demonstração é
tomada como garantia de verdade somente na situação particular do desenho
representativo do teorema em questão – após terem trabalhado com a
demonstração que garante que "os pontos médios dos lados de um quadrilátero
formam um paralelogramo" eles vacilam para responder se a propriedade aplica-
se um quadrilátero diferente do inicialmente representado.
Quanto ao software de geometria dinâmica, Gravina (2001) utiliza o Cabri
Geometry II. Ao inserir o software em sua pesquisa, a autora, visa investigar
duas questões:
- Como os ambientes de geometria dinâmica podem contribuir para que
os alunos entendam o significado de demonstração?
- Como os ambientes de geometria dinâmica podem contribuir para que
os alunos construam suas próprias demonstrações?
Gravina (2001) considera ter detectado, no desenrolar da sua
experimentação, o progresso dos alunos, que:
- Compreenderam o propósito e a necessidade da demonstração.
- Mostraram atitudes que caracterizam o "pensar matemático" – formular
conjeturas, errar, realizar muitos experimentos de pensamento e então
23
avançar no processo de demonstração; desenvolveram competências
para o tratamento do desenho suporte à argumentação dedutiva:
reinterpretações / reconstruções / extensões de desenho. A variedade de
soluções e demonstrações por eles apresentadas são indicadores de
autonomia no processo de demonstração.
Para Gravina (2001) nem sempre a produção final de demonstrações se
apresentou satisfatória; mas tentativas e insucessos são aspectos que
participam do processo de criação em matemática, o que também foi
experimentado pelos alunos.
Quanto à geometria dinâmica, Gravina considera que sua utilização
favoreceu a ascensão de patamar de conhecimento geométrico; a partir do
patamar de conhecimento ainda empírico, os alunos ascenderam àquele em que
a geometria é entendida como um modelo teórico. Neste novo patamar com "os
desenhos em movimento" os alunos desenvolveram progressivamente
habilidades para construir suas próprias demonstrações; a utilização do
ambiente também favoreceu os pensamentos de natureza visual, fonte de
insights para a construção de demonstrações.
Sendo recente o uso da tecnologia informática no cotidiano da sala de
aula, Gravina (2001) considera necessário mais investigações para que se
defina o adequado uso dos ambientes de geometria dinâmica.
1.5.2 - Gouvêa
Gouvêa (1998) baseada nas dificuldades apresentadas por alunos no
Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar - SARESP implantado pela
Secretaria de Educação do Estado de São Paulo em 1996, e considerando que
entre os aspectos de maior dificuldade para o aluno, detectados através de um
questionário respondido pelos alunos, estava a "forma pela qual o professor
ensinavam a matéria dada (19,25% no curso noturno; 18,51% no diurno)",
apresenta seu trabalho de pesquisa que foi realizado na perspectiva de
contribuir para a prática pedagógica do professor de Matemática, abrangendo
especificamente conteúdos estudados em Geometria no ensino fundamental.
24
Dentre os objetivos da pesquisa de Gouvêa (1998), está o de
reconquistar o aspecto da descoberta para que o aluno sinta a necessidade de
provar o que tenha conjeturado. Para isto foi elaborada uma seqüência de
ensino para alunos na faixa dos 13 a 15 anos de idade, da qual professores
participaram vivenciando como se realiza esse processo dando sua opinião a
todo tempo, validando ou não a proposta de ensino, assim o professor se
colocava no lugar do aluno.
Segundo Gouvêa (1998), a maioria dos professores que participaram de
sua pesquisa, perguntava: “Que estratégias devem ser usadas, para superar os
obstáculos que se acham no ensino-aprendizagem da demonstração? Como
levar o aluno a sentir a demonstração como um instrumento eficiente de prova?
Como agir para que a dificuldade de expressão de certo alunos não se
transforme em dificuldade relacionada à geometria?”
Para a própria pesquisa de Gouvêa (1998), não há resposta pronta para
todas essas preocupações, mas considera, que “o conhecimento dos obstáculos
mais importantes encontrados pelos alunos, podem ser levados em conta na
aprendizagem da demonstração.”
Gouvêa (1998) ainda considera que, uma das dificuldades encontradas
pelos alunos, como relataram os professores durante a seqüência, é o
procedimento de resolução: Como começar? Quais conhecimentos a serem
utilizados? O aluno tem a tendência de utilizar as propriedades estudadas
recentemente, mas tem dificuldade para utilizar seus conhecimentos anteriores.
Diante disso ou ele pede explicações ao professor antes de começar o trabalho,
ou se desencoraja ou dá uma resposta absurda.
Para Gouvêa (1998) o professor, nas atividades de demonstração, muitas
vezes se satisfaz com um ensino-aprendizagem por analogia. O aluno, colocado
diante de um modelo de demonstração, procura observar e em seguida, imitar o
método de resolução numa situação aproximada. Acrescenta que essa
aprendizagem por imitação não tem nada evidente para os alunos: a maioria
deles tem dificuldade em começar um problema. A demonstração não pode ser
apresentada como um produto pronto para os alunos, mas, sim, como um
25
processo que é construído a partir de problemas que tomam sentido na vida
prática. Considera, por outro lado, não haver método geral que se aplique à
situação e é difícil para o professor resolver o trabalho para o aluno. Adverte que
dar uma “mãozinha” ao aluno nessa situação de bloqueio é dar parte da
resposta.
Na pesquisa Gouvêa (1998) ainda considera como um dos problemas
para o processo de demonstração, o da linguagem. Os resultados do Sistema de
Avaliação do Rendimento Escolar (SARESP, 1996) fazem menção ao baixo
desempenho alcançado pelos alunos do ensino fundamental também em Língua
Portuguesa. Isto resulta na falta de competência em compreender os
enunciados dos problemas de matemática e em elaborar uma resposta com
argumentos articulados dentro de um texto coerente. Muitos alunos, como
alertam os professores pesquisados, têm o raciocínio correto e percebem a
solução do problema, mas têm dificuldade na formulação da resposta com
argumentos precisos.
Gouvêa conclui que o professor deve propor uma série variada de
atividades que venham favorecer um comportamento de pesquisa, a elaboração
de conjeturas, despertando assim o raciocínio dedutivo.
1.5.3 – De Villiers
De Villiers (2001) trata de uma apresentação da importância e do caráter
indispensável da demonstração no conhecimento matemático, e das várias
funções que assume, nomeadamente em presença de programas de geometria
dinâmica como o Sketchpad.
De Villiers (2001) considera, que a dificuldade que os alunos têm em
compreender a necessidade da demonstração, é bem conhecido dos
professores do ensino secundário, e é identificada em toda a investigação em
educação, sem exceção, como um dos maiores problemas no ensino da
demonstração.
De Villiers (2001) descreve algumas funções importantes da
demonstração, e discute brevemente algumas implicações para o seu ensino.
26
Ele apresenta um modelo relativo à função da demonstração, que considera ser
uma ampliação ligeira da distinção original de Bell (1976) entre as funções de
verificação, iluminação e sistematização. O modelo está abaixo, sem que a
ordem signifique ordem de importância.
- verificação (dizendo respeito à verdade da afirmação)
- explicação (fornecendo explicações quanto ao fato de ser verdadeira)
- sistematização (a organização dos vários resultados num sistema).
- descoberta (descoberta ou invenção de novos resultados).
- comunicação (a transmissão do conhecimento matemático).
- desafio intelectual (a realização pessoal/gratificação, resultantes da
construção de uma demonstração).
Quanto ao ensino da demonstração com os Sketchpad, De Villiers (2001)
declara que quando os alunos já investigaram com cuidado uma conjetura
geométrica por meio de uma variação contínua, com um software como o
Sketchpad, têm pouca necessidade de adquirir maior convicção ou de proceder
à sua verificação. Assim, conclui que a verificação não serve ou serve de pouca
motivação para fazer uma demonstração. Mas afirma ter constatado que é
relativamente fácil suscitar nova curiosidade ao perguntar porque razões
pensam que um resultado específico é verdadeiro: ou seja, desafiá-los a tentar
explicá-lo.
De Villiers (2001), considera que é aconselhável introduzir cedo a função
de descoberta da demonstração e acrescenta que a função de verificação deve
ficar reservada apenas para os resultados em relação aos quais os alunos
mostrem de modo genuíno ter dúvidas. Para ele:
Embora alguns alunos possam não sentir a demonstração como um
desafio intelectual, são capazes de apreciar que assim seja para outros.
Além disso, na matemática real, como qualquer pessoa com um pouco
de experiência pode testemunhar, a função pura de sistematização
apenas se torna presente num estágio avançado da prática da
demonstração, pelo que deve ser evitada num curso introdutório sobre a
demonstração.
27
1.5.4 – Nasser e Tinoco
Nasser e Tinoco (2001) apresentam estratégias para o desenvolvimento
da habilidade de argumentação, em turmas desde a 5ª. Série (atual 6º. ano) até
o final do ensino médio.
Consideram que, quase todos os professores de matemática incluem em
seus planejamentos, como um dos objetivos, o de desenvolver o raciocínio
lógico. Observam entretanto, que “apesar disto, os alunos passam pela escola
sem vivenciar atividades que desenvolvam esse tipo de raciocínio ou que os
preparem para o domínio do processo dedutivo”.
Para Nasser e Tinoco (2001) isto vem sendo observado em todos os
níveis de escolaridade, incluindo alunos universitários de matemática, ou ainda,
entre professores de matemática em exercício. Consideram que o tipo de ensino
que é ministrado na maioria das escolas é sem incentivo ao questionamento ou
às explicações, o que faz com que os alunos não desenvolvam o raciocínio
lógico e não os preparam para o domínio do processo dedutivo.
Nasser e Tinoco (2001) desenvolveram seu trabalho contando com a
participação de professores do ensino fundamental e médio e de licenciandos e
tendo como base a pesquisa desenvolvida na Inglaterra pela Dra. Célia Hoyles
(1997). E os primeiros experimentos que realizaram em turmas cujos
professores não costumavam trabalhar com argumentação, com questões do
teste utilizado por Hoyles, mostraram que os alunos não eram capazes de
justificar qualquer afirmação, por mais simples que fosse, tanto no campo
geométrico como no algébrico.
Na investigação, partiram do pressuposto de que “a habilidade de
argumentar deve ser trabalhada desde as primeiras séries”.
As estratégias que as pesquisadoras utilizaram e que segundo elas se
mostraram eficientes são as seguintes:
- Após tentar resolver uma tarefa individualmente e de ouvir a explicação
do professor, os alunos trabalham em grupos, discutindo soluções para o
mesmo problema.
- Avaliar justificativas apresentadas por outros estudantes.
28
- Propor problemas do tipo desafio, que requerem raciocínio lógico, não
importando o tópico que esteja sendo abordado.
- O mesmo problema é proposto tanto a estudantes que já aprenderam o
conteúdo matemático correspondente quanto àqueles que ainda não adquiriram
esse conhecimento, a fim de observar a variação de formas de argumentação.
- Uso do computador (geometria dinâmica) para verificar se uma
afirmativa é verdadeira ou falsa. Depois de convencidos da verdade (ou não), os
alunos são levados a justificá-la, ou a procurar um contra-exemplo.
- Atividades que ajudam a diferenciar a hipótese da tese de uma
afirmativa.
Nasser e Tinoco (2001) chegaram às seguintes conclusões:
- É necessário um trabalho contínuo durante um longo período para que
haja um progresso sensível no nível de argumentação dos alunos.
- A habilidade de argumentar e provar resultados de um certo campo da
matemática como, por exemplo, o geométrico, não se transfere para os outros
campos, como o numérico e o algébrico.
- O trabalho freqüente com problemas-desafio que envolvem um
raciocínio lógico, mas não estão diretamente ligados a conteúdos matemáticos
favorece o desenvolvimento da habilidade de argumentar e de demonstrar
resultados matemáticos.
- O desenvolvimento das habilidades de argumentação e prova em
matemática está estreitamente ligado ao domínio da língua materna e à
atribuição de significado aos conteúdos matemáticos pelos alunos.
1.5.5 - Fonseca
Já Fonseca (2005) trata a questão da prova com enfoque na formação
inicial de professores de matemática.
Considera que, como a investigação aponta no sentido de que os
professores tendem a ensinar do mesmo modo em que foram ensinados, mais
do que como foram ensinados a ensinar (e.g. Carrilo & Contreras, 2000;
Chapman, 2000; Hefendehl-Hebeker, 1998; Thompson, 1985, 1992) para que os
29
professores venham a utilizar métodos, técnicas e materiais adequados é
necessário que durante a formação inicial ou contínua possam passar pelas
mesmas experiências que se deseja usem com os seus alunos.
Ela propõe os seguintes problemas e questões:
- Como se poderão caracterizar o nível de sofisticação dos argumentos
construídos pelos futuros professores quando pretendem demonstrar?
- Que dificuldades revelam futuros professores de matemática quando
elaboram demonstrações?
- Que relações se podem estabelecer entre o ambiente de formação
inicial e as competências em demonstração dos futuros professores?
- Que aspectos da formação inicial foram percebidos pelos jovens
professores como tendo sido integrados na sua prática profissional?
Ainda considera que:
(...) para os alunos desenvolverem apreciação pela demonstração
matemática é necessário tempo, muitas e variadas experiências em
todos os conteúdos e anos de escolaridade, orientação para desenvolver
a habilidade para construir argumentos válidos e para avaliar os
argumentos construídos por si e pelos outros.
Para Fonseca (2005) a formação inicial deve proporcionar aos futuros
professores experiências enriquecedoras e desafiadoras, permitindo-lhes ser
criativos, tanto na resolução de problemas e nas investigações, como na
formação de novos conceitos. E ainda sugere que, na formação inicial de
professores, o ensino da matemática deve basear-se na resolução de problemas
não rotineiros, onde se inclui a construção de demonstrações.
1.5.6 – IREM de Grenoble e de Rennes
Os IREM (Institut de Recherce sur l΄Enseignement des Mathématiques)
são institutos de Pesquisa sobre o Ensino de Matemática, fundados na década
de 60, na França. Sua missão consiste em “pesquisar sobre o ensino de
Matemática, elaborar e difundir documentos relativos a ele e contribuir tanto para
a formação universitária inicial quanto para a reciclagem contínua dos
professores de Matemática.”
30
Em uma de suas publicações, os IREM de Grenoble e de Rennes, que
doravante denominaremos IREM de G & R, nas páginas 84 a 99, que foram
traduzidas pelos professores do projeto AprovaMe, Dra. Ana Paula Jahn, Dra.
Sônia Pitta Coelho e Dr. Vincenzo Bongiovanni em fevereiro de 2006, fazem
uma seleção de atividades que exploram o ensino-aprendizagem de
demonstração.
Os IREM de G & R afirmam que essas atividades não são descritas de
forma detalhada, mas dão idéia de como devem ser trabalhadas. Advertem que
para colocar em prática alguma delas, é necessário ter o máximo de informação
sobre as razões de escolha dos idealizadores da atividade. Para conseguir
essas informações, os autores convidam o leitor a consultar os artigos onde ela
é descrita.
Segundo os IREM de G & R, as atividades são compostas de tarefas. O
termo tarefa designa aqui o trabalho que o aluno deve realizar, isto é, o fim
perseguido, os procedimentos possíveis para aí chegar, os parâmetros e os
auxílios que são propostos.
Dentre as muitas tarefas que os IREM de G & R apresentam está uma
relativa aos enunciados de teoremas. Consideram que o domínio de teoremas é
evidentemente um ponto importante da aprendizagem. Indicam que o teorema
pode ser introduzido como uma conjetura que é preciso validar ou rejeitar. Mas é
necessário nesse caso conceber um cenário que conduz os alunos a se
interessarem realmente a esta conjetura.
Os IREM de G & R observam que não é fácil fazer nascer uma verdadeira
conjetura, isto é, fazer descobrir aos alunos uma propriedade da qual eles não
estão certos, que crie um verdadeiro conflito na classe e que faz muitos alunos
ter vontade de procurar uma prova.
Como exemplo do tipo de tarefas relativas aos enunciados de teoremas,
eles citam os seguintes:
- Para o teorema dos pontos médios, a utilização do Cabri-géomètre
coloca em evidência que o comprimento do segmento que une os pontos médios
31
de dois lados é constante quando se desloca o vértice comum; essa experiência
torna os alunos curiosos de compreender porque esse fenômeno se produz.
- Para introduzir o teorema de Pitágoras, os IREM G & C citam Etienne
Thépot que propôs uma longa seqüência. Essa seqüência comporta em
particular trabalhos sobre puzzles e a idéia interessante sobre figuras em
perspectiva cavaleira. Para os IREM de G & R, essa proposição pediria sem
dúvida um trabalho de validação. Mas em seguida advertem que se a duração
da seqüência proposta for muito longa, pode desencorajar bem os professores.
Os IREM de G & R citam Robert Noirfalise que explica como uma
seqüência sobre o teorema de Pitágoras muito orientada sobre a decomposição
de área pode fazer desaparecer aos olhos dos alunos a relação entre os
comprimentos dos lados, que é no entanto o ponto central do teorema visto na
sétima série (atual 8º. ano).
1.6 - Delimitação do problema
Os professores pesquisadores que compõem o AprovaME, elegeram
alguns conteúdos de álgebra e geometria, para serem temas de seqüências de
ensino, a fim de explorar a argumentação e a prova no ensino de matemática,
como reza um dos objetivos do AprovaME.
As seqüências de ensino, antes mesmo de serem elaboradas, são
indicadas como tema de trabalho final de dissertação de mestrado, aos
professores-colaboradores. Portanto, como um dos professores-colaboradores
do AprovaME, preferimos, para esta pesquisa, trabalhar com um tema de
geometria, neste caso, com o teorema de Pitágoras.
1.7 – Fundamentação Teórica
Esta investigação usa como fundamentação teórica os trabalhos de
Balacheff (1998), Duval (2001) e Robert (1998). Os trabalhos de Balacheff,
referente aos tipos de provas, foram utilizados durante a análise a posteriori das
atividades, onde podemos classificar, quando possível, os tipos de prova que
são apresentados pelos alunos. A contribuição de Duval é para a concepção da
32
atividade 3. Segundo ele, a demonstração de um teorema é uma seqüência de
passos, em que cada passo tem uma hipótese e uma tese. Ao provar cada
passo, considera-se provado o teorema em questão. Já o trabalho de Robert é
utilizado como base para a concepção da atividade 4, na qual procuramos incluir
exercícios nos vários níveis de dificuldades, segundo essa autora.
Apresentamos abaixo essas idéias.
1.7.1 - Balacheff
Balacheff (1988), ao considerar o trabalho dos alunos no âmbito da
demonstração, propõe a existência de três níveis iniciais de sofisticação:
explicação, prova e demonstração. A explicação situa-se no nível do
indivíduo "falante" que estabelece e garante para si a validade dos raciocínios. A
prova surge subdividida em quatro níveis, sendo a validade dos raciocínios
garantida:
- no empirismo ingênuo, pela exibição de alguns casos particulares em
que a proposição se verifica, sem questionamento quanto a particularidades. Ou
seja, o aluno tira da observação de um pequeno número de casos, a certeza da
verdade de uma afirmação. Este modo ainda pouco desenvolvido,
reconhecidamente insuficiente, é uma das primeiras formas do processo de
generalização, e perdura ao longo do processo de desenvolvimento do
pensamento geométrico.
- na experiência crucial, pela verificação da afirmação em causa num
caso particular tido como típico. É um método de validação no qual o indivíduo
coloca explicitamente o problema da generalização. Se isto vale então vale
sempre. A prova continua sendo fundamentalmente empírica, mas distingue-se
do empirismo ingênuo justamente pela generalização que é feita.
- no exemplo genérico pela apresentação de propriedades aplicadas
sobre um caso típico. Este nível consiste na explicitação das razões que validam
uma propriedade que encerra uma generalidade mesmo, fazendo uso de um
representante particular do objeto geométrico.
33
- na experiência mental pela apresentação de deduções lógicas baseadas
em propriedades. A argumentação não é mais através de situações particulares,
como no exemplo genérico.
Na demonstração a validade dos raciocínios é garantida pelo referencial
adotado (conceitos primitivos e postulados) e é um tipo de prova com forma
estritamente codificada e formal.
A presente investigação baseia-se na categorização de prova de
Balacheff.
A fim de compreendermos mais claramente os níveis que subdividem a
prova, apresentamos abaixo um relato de uma experiência que ilustra os
diferentes níveis.
Gravina (2001) cita de Balacheff (1987), um relato onde o problema
proposto é relativo ao número de diagonais de um polígono.
No empirismo ingênuo, os alunos determinam experimentalmente que o
número de diagonais de um certo pentágono é 5; modificam a forma do
pentágono e conferem novamente a constatação inicial; daí concluem
decisivamente que um hexágono tem 6 diagonais.
Na experiência crucial os alunos fazem experiência com um polígono de
muitos vértices (uma imensa figura), buscando deduzir generalização empírica,
buscando a validação em outros casos particulares.
No exemplo genérico os alunos utilizam o caso particular do hexágono
para explicação, mas se desprendem de particularidades, o que dá indícios de
pensamento dedutivo: "num polígono com seis vértices, em cada vértice temos 3
diagonais. Assim são 18 diagonais; mas como uma diagonal une dois pontos, o
número de diagonais é 9. O mesmo acontece com 7 vértices, 8, 9..."
E finalmente na experiência mental os alunos se desprendem do caso
particular, o que transparece na argumentação; "em cada vértice o número de
diagonais é o mesmo de vértices, menos os dois vértices vizinhos; é preciso
multiplicar isto que encontramos pelo número de vértices, porque em cada
vértice parte o mesmo número de diagonais. Mas estamos contando cada
34
diagonal duas vezes; o número de diagonais que procuramos se encontra
dividindo por 2 e obtemos uma vez cada diagonal".
1.7.2 – Duval
Duval (2002) ao tratar sobre a aprendizagem da prova em geometria, faz
alguns questionamentos e apresenta suas considerações sobre eles, depois
afirma que a maioria das pesquisas surge no âmbito de apenas duas dessas
questões. São elas:
(1) Quais propriedades, ou teoremas, devem ser usados a fim de provar
alguma conjetura dada?
(2) Como fazer com que provas matemáticas convençam os estudantes?
(a) Como organizar o ensino a fim de convencer estudantes por meio de
uma prova matemática?
Para ele, se o ensino fornecesse problemas apropriados e situações
estimulantes de trabalho, então a maioria dos estudantes não teria problemas
com provas matemáticas.
A seguir está a produção de um aluno, que, segundo Duval (2002),
recolhe todas as dificuldades recorrentes que muitos alunos não conseguem
transpor. Ele lembra que, esse aluno foi treinado previamente a escrever provas
esclarecendo a categoria de cada declaração, usando três termos: hipóteses,
propriedade, e conclusão.
Num círculo de centro O, marque três pontos A, B, C. O círculo de
diâmetro [BC] intersecta (AB) em I. Seja D o ponto médio de [AB].
Prove que a reta (OD) e (CI) são paralelas.
35
A figura do aluno de 13 anos.
ESCRITA DE UM ALUNO DE 13 ANOS
Hipóteses: Tem-se (OD) perpendicular a [AB]
Propriedades: Se uma reta é perpendicular a um segmento no seu ponto
médio então ela é a mediatriz desse segmento.
Conclusão: (OD) é perpendicular a [AB]
Para Duval (2002), os erros recorrentes são indicadores da profunda
brecha entre o raciocínio comum e processos válidos do raciocínio e mostram
também a dura interação entre olhar uma representação visual e entender a
declaração, quando ambos são referentes à mesma coisa.
A partir daí Duval (2002) começa a discorrer sobre características
cognitivas do raciocínio válido numa prova geométrica. Afirma que um raciocínio
liga várias proposições juntas de tal forma que progressões tornam-se
intrinsecamente necessárias das primeiras à última. Daí considera que um
raciocínio válido envolve dois níveis de organização discursiva: o nível da
organização de várias proposições em um passo dedutivo e o nível de
organização de diversos passos em uma prova. Para esta investigação
citaremos apenas sobre o segundo nível.
36
Duval (2002) afirma que muito freqüentemente provas requerem mais do
que um passo da dedução. O ponto básico é ligar dois passos a fim de mover-se
para a conclusão. Essa ligação específica tem três características.
- A conclusão de um passo é repetida no próximo passo, mas deixa de
ser uma conclusão para ser uma premissa. Assim premissas de um passo
devem ser conclusões do anterior.
- De um passo para o seguinte, apenas a conclusão é mantida, e suas
outras indicações devem ser esquecidas.
- Desde a primeira conclusão têm-se como alvo a conclusão do
raciocínio dedutivo válido avançando através de substituições sucessivas
de conclusões intermediárias. Assim, neste nível, o raciocínio válido funciona
exatamente como uma computação.
A fim de compreendermos melhor como funciona a divisão de um
raciocínio em passos, apresentamos em seguida, um exemplo que o próprio
Duval (2002) coloca, baseado no problema que já foi apresentado anteriormente
e que repetimos abaixo:
Num círculo de centro O, marque três pontos A, B, C. O círculo de
diâmetro [BC] intersecta (AB) em I. Seja D o ponto médio de [AB].
Prove que a reta (OD) e (CI) são paralelas.
Nesse exemplo Duval (2002) considera que temos três passos e um
quarto poderia ser esclarecido, mas não apresenta indicações. Em todo caso,
considera que, o ponto básico é ligar dois passos a fim de avançar na direção do
alvo, que é a conclusão.
Ele observa também, a possibilidade de seqüências paralelas de passos
dedutivos, como faz nesse exemplo apresentado. Neste caso, ele considerou os
passos I e II paralelamente, ou seja, o passo I é o da esquerda e o passo II o da
direita ou vice-versa e a conclusão dos passos I e II são hipóteses do passo III.
Destacamos que a figura que apresentamos a seguir, que ilustra o nosso
exemplo, é uma construção nossa, feita com os recursos do software Cabrì, mas
37
é uma reprodução literal do conteúdo da figura que foi apresentada por Duval
(2002). Destacamos que para cada passo as conclusões estão em negrito.
Repetições de proposições ressaltam ligação entre dois passos. Por meio
dessas repetições, a categoria da proposição muda.
38
1.7.3 – Robert
Robert (1998) classifica o funcionamento de conhecimentos pelos alunos
em 3 níveis: técnico, mobilizável e disponível.
O aluno põe em funcionamento um conhecimento de nível técnico
quando resolve uma questão simples que corresponde a uma aplicação imediata
de um teorema, de uma propriedade, de uma definição ou de uma fórmula. Em
geral, há indicações dos métodos a utilizar.
No nível de funcionamento mobilizável os conhecimentos que serão
utilizados são bem identificados, mas necessitam de alguma adaptação ou de
alguma repetição antes de serem colocados em funcionamento.
O nível de funcionamento disponível corresponde a resolver uma
questão proposta sem nenhuma indicação ou sugestão fornecida pelo professor.
É preciso achar nos conhecimentos anteriores o que favorece a resolução da
questão.
A fim de compreendermos melhor a diferença entre os três níveis, damos
a seguir um exemplo em geometria referente ao assunto relações métricas num
círculo.
Nível Técnico
Obter o valor de x na figura.
É uma simples aplicação da fórmula: PA.PB = PC.PD
Nível Mobilizável
Na circunferência de centro O e raio 5 temos PA = 3cm e AB = 4cm.
Obter a distância de P ao centro O.
39
Uma Pequena adaptação deve ser feita antes de aplicar a fórmula.
Nesse caso deveríamos escrever ou
.
PD.PC=PB.PA
)R+PO).(RPO(=PB.PA -
)10+PC.(PC=PB.PA
Nível Disponível
Descrever um método que permite construir uma circunferência passando
por A e B e tangente à reta dada.
Nesse caso, o problema aparentemente não está ligado ao assunto, mas
uma análise mostra que para obter o ponto C basta utilizar a relação PA.PB =
PC
. A partir do ponto C levanta-se uma perpendicular à reta.
2
A intersecção dessa reta com a mediatriz do segmento AB dará o centro
da circunferência procurada.
40
Que podemos representar da seguinte forma.
Robert (1998) sugere que nenhum desses três níveis seja negligenciado
no ensino da matemática.
1.8 – Questão de pesquisa e objetivos
Apoiando-nos em observações feitas em livros didáticos de 7ª.s (8º. ano)
e 8ª.s séries (9º. ano), é possível que o conteúdo "Teorema de Pitágoras" já seja
um conhecimento disponível dos alunos que são investigados nesta pesquisa,
os de 8ª série (9º. ano) ou de 1º. ano do Ensino Médio, que inclusive podem até
conhecer alguma das demonstrações desse Teorema. Entretanto, é importante
salientarmos que o Teorema de Pitágoras é apenas um pretexto para inserirmos
nossa pesquisa no processo de argumentação e prova.
Nesta pesquisa queremos responder à seguinte questão:
Que dificuldades apresentam os alunos diante de situações de
argumentação e prova envolvendo o Teorema de Pitágoras?
A pesquisa terá como objetivo:
Investigar o envolvimento de alunos do Ensino Médio no processo de
construção de conjeturas e provas.
41
1.9 - Metodologia
Para responder à questão de pesquisa, escolhemos como metodologia,
alguns elementos da engenharia didática.
A engenharia didática, vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-
se em primeiro lugar por um esquema experimental baseado em
“realizações didáticas” em sala de aula, ou seja, sobre a concepção, a
realização, a observação e a análise de seqüências de ensino. (Artigue,
1988, p. 285).
Na engenharia didática a investigação é organizada em quatro fases.
Apoiados em Artigue, (1988, p. 285), apresentamos essas fases da seguinte
forma:
Primeira fase: Análise preliminar.
Segunda fase: Concepção da seqüência didática e análise a priori.
Terceira fase: Experimentação.
Quarta fase: Análise a posteriori e validação de hipóteses.
A primeira fase compreende a busca de subsídios para o tratamento do
problema sob investigação, os quais também indicam a relevância do problema.
Alguns dos aspectos que podem fazer parte dessa fase são: análise histórica do
conteúdo objeto de ensino; análise das propostas curriculares; análise de
restrições presentes nas realizações didáticas; a análise da forma como é
tratado usualmente o assunto no ensino.
No capítulo II fazemos um histórico sobre a evolução das demonstrações
matemáticas, dando destaque à demonstração do teorema de Pitágoras, e
também uma análise de como é apresentado em livros didáticos o tema teorema
de Pitágoras, no que tange à sua demonstração.
Um reforço a esta primeira fase são as leituras e as discussões, relativas
à argumentação e à prova na matemática escolar, realizadas ao longo da
execução do AprovaMe,
Na segunda fase, ocorre o delineamento de atividades a serem propostas
para os alunos. São feitas escolhas didáticas em função dos problemas
42
analisados na fase preliminar. A análise a priori tem caráter de predição e dá
suporte ao enunciado de hipóteses que poderão ser validadas na quarta fase . A
análise a priori indica de que forma as atividades propostas propiciarão a
aprendizagem almejada. Nesta investigação, a segunda fase, foi executada
dentro das atividades do AprovaME, e envolveu vários meses de discussões e
pesquisas, em encontros quinzenais, dos grupos de professores pesquisadores
e professores-colaboradores. Após muitas "idas e vindas" foi definida a estrutura
da seqüência didática, a qual utiliza como conteúdo matemático o Teorema de
Pitágoras. A concepção e análise a priori da seqüência didática, estão
apresentadas no capítulo III.
A terceira fase compreende a organização e a aplicação da seqüência
didática.
Na aplicação faz-se a coleta de dados, que podem constar de: gravação
de áudio ou vídeo a fim de se ter os diferentes momentos da produção dos
alunos, suas tentativas e dificuldades; a produção dos alunos em material
escrito; observações dos comportamentos e diálogos das duplas e dos diálogos
entre duplas e professor.
A quarta fase compreende a análise a posteriori e validação de hipóteses.
Os dados coletados na terceira fase constituem o material utilizado na análise a
posteriori, que é realizada levando-se em consideração a análise a priori e as
hipóteses formuladas inicialmente. Nessa "confrontação entre análise a priori e
análise a posteriori" (Artigue, p. 286) é que se processa a validação.
A análise a posteriori e a validação, nesta pesquisa, são apresentadas no
capítulo IV.
43
CAPÍTULO II
ESTUDO HISTÓRICO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Neste capítulo apresentamos um estudo histórico sobre o teorema de
Pitágoras e demonstrações dadas em diferentes períodos e por diferentes
matemáticos.
Logo em seguida, apresentamos uma análise do Teorema de Pitágoras,
apresentado em alguns livros didáticos, indicados e utilizados no ensino
brasileiro.
2.1 – O nascimento do método demonstrativo
A visão estática do antigo Oriente, sobre as coisas, tornou-se
insustentável com as mudanças e chegadas de novas civilizações nos últimos
séculos antes de Cristo. Numa atmosfera de racionalismo crescente, pela
primeira vez, o homem começou a indagar como e por quê. "Por que os ângulos
da base de um triângulo isósceles são iguais?" e "Por que o diâmetro de circulo
divide esse círculo ao meio?". Os processos empíricos do Oriente antigo,
suficientes para responder questões na forma de como, já não bastavam para as
indagações mais científicas sob a forma de por quê, das novas civilizações
espalhadas ao longo das costas da Ásia Menor e, mais tarde, na parte
continental da Grécia, na Sicília e no litoral da Itália. O método demonstrativo
começou com algumas experiências que foram se substanciando e se impondo
ao método empírico. Foi assim que a matemática, no sentido como a
conhecemos hoje, nasceu nessa esfera de racionalismo.
A matemática tem sido freqüentemente comparada a uma árvore, pois
cresce numa estrutura acima da terra que se espalha e ramifica sempre
mais, ao passo que ao mesmo tempo suas raízes cada vez mais se
aprofundam e alargam, em busca de fundamentos sólidos. (Boyer, 1996,
p. 414).
44
Esse crescimento da matemática deve-se ao desenvolvimento da
matemática demonstrativa, desenvolvida por seus grandes personagens, desde
alguns séculos antes de Cristo, começando com Tales, Pitágoras e os
pitagóricos.
Apresentamos abaixo o teorema de Pitágoras, desde a chamada história
antiga da matemática até os tempos modernos.
2.2 – O Teorema de Pitágoras na história antiga da matemática
"A geometria possui dois grandes tesouros: um é o Teorema de
Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão.
Podemos comparar o primeiro a uma porção de ouro; o segundo a uma
jóia preciosa." Kepler (1571-1630).
1
Como professores de matemática, fica fácil compreendermos nas
palavras de Kepler, a grande importância atribuída ao Teorema de Pitágoras.
Quão grande é a quantidade de situações em que o aplicamos. Podemos citar
como exemplos, as seguintes:
- Cálculo de diagonal de quadrado, retângulo, losango, trapézio
(dependendo dos dados);
- Altura de triângulo eqüilátero, isósceles, trapézio;
- comprimento de segmentos de tangente, cordas;
- relações entre lado, apótema e raio para polígonos inscritos e
circunscritos;
- construção com régua e compasso de segmentos de medidas
5,3,2,etc.;
- distância entre dois pontos no plano cartesiano; equação de uma
circunferência;
- estabelecimento da relação
;
1cossen =+ xx
22
- diagonal de cubo, paralelepípedo, prismas em geral;
1
Boyer (1996, p.35) cita essa escrita lírica de Kepler.
45
- relação entre altura, apótema da base e apótema de pirâmides
regulares;
- relação entre altura, raio do círculo circunscrito à base e aresta lateral
em pirâmides regulares;
- relação entre altura, geratriz e raio da base num cone reto;
- distância de um plano secante, ao centro de uma esfera, em relação ao
raio da esfera e ao raio da secção;
- módulo de um número complexo;
- numa elipse de eixo maior medindo 2a, eixo menor 2b e distância focal
2c;
- numa hipérbole quando a medida do eixo real é 2a, a medida do eixo
imaginário é 2b e a distância focal é 2c.
Como sabemos, o enunciado do Teorema de Pitágoras diz que: "A área
do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma
das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos."
Se b, c são as medidas dos catetos e a é a medida da hipotenusa, o
enunciado equivale a afirmar que a
.
222
cba =+
Segundo Boyer (1996) e Eves (2004) essa relação já havia sido testada,
em determinados triângulos retângulos, por diversas culturas antigas.
Documentos históricos mostram que os egípcios e babilônios muito antes dos
gregos conheciam casos particulares desse teorema, expressos em relações
como:
222
543 =+
e
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
4
1
1
4
3
1
2
2
.
Os babilônios muito antes de Pitágoras conheciam essa relação. O
desenho a seguir é uma adaptação de uma tabuinha de argila nomeada YBC
2
7289 da época paleo-babilônica de 1800-1600 a.C.
2
YBC 7289 (YBC = Yale Babylonian Collection) publicado em O. Neugebauer e A. Sachs,
Mathematical Cuneiform Texts. New Haven, 1945. p. 42. Citado em Aaboe A., Episódios da
História Antiga da Matemática, 2002, p. 27.
46
Nessa tabuinha, por comodidade, representa-se a unidade pelo símbolo I
e a dezena pelo símbolo 〈 . Esses símbolos, que substituíam, respectivamente,
uma cunha vertical e uma cunha horizontal, eram usados para representar
qualquer número racional. O sistema de numeração utilizado por eles era o
sexagesimal.
Na tabuinha acima vemos três números. O primeiro 〈〈〈 representa o
número 30. O segundo I 〈〈 IIII 〈〈〈〈〈I 〈 que pode ser escrito usando a notação
de Neugebauer por 1;24,51,10 representava no nosso sistema de numeração o
número 1+24/60+51/60²+10/60³
≅
1,4142129 (esse número, com sete casas
decimais, é uma boa aproximação da raiz quadrada de dois, a qual é um número
infinito e não periódico igual a 1,4142129...,) e o terceiro 〈〈〈〈II 〈〈IIIII 〈〈〈IIIII
escrito na notação 42;25,35 representava o número
42+25/60+35/60²=42,426388.
Interpreta-se a tabuinha como a ilustração do cálculo da diagonal de um
quadrado, obtida multiplicando-se a medida do lado por
2
, resultado tão
preciso que só poderia ser obtido pelo uso do teorema de Pitágoras.
Aaboe, 2002, p. 33 cita sobre o tablete Plimpton 322, um texto babilônio
que contém uma lista de quinze linhas, de valores correspondentes a ternos de
números pitagóricos.
Há também um manuscrito chinês, o Chou Pei Suang Ching (1200 a.C.
ou 300 a.C), não há unanimidade entre os historiadores no que se refere às
possíveis datas (Boyer, 1996, p. 133), onde se encontra a seguinte afirmação:
47
"Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raiz
quadrada dessa soma é a hipotenusa".
Destacamos abaixo, matemáticos que contribuíram para o
desenvolvimento das demonstrações em matemática, especificamente do
desenvolvimento da geometria, e as demonstrações dadas ao teorema de
Pitágoras.
2.3 O Surgimento da demonstração com Tales e Pitágoras
Pitágoras, ao que parece, nasceu por volta de 572 a.C., na ilha de
Samos, na Grécia. Não há registros de relatos originais sobre sua vida e
trabalhos, mas há muitos mitos e lendas sobre sua figura, o que deixa muitas
dúvidas a respeito de sua vida. Pitágoras parece ter viajado bastante até se
estabelecer em Crotona, uma colônia grega situada no sul da Itália. Ali, fundou
uma escola, muito conhecida hoje pelo nome escola pitagórica. Além de ser um
centro de estudos de filosofia, matemática e ciências naturais, essa escola era
também uma irmandade. Seu lema era "Tudo é número".
Apesar de seu conteúdo ser conhecido de muitos séculos antes por
babilônios, egípcios e chineses, o teorema hoje recebe o nome de Pitágoras.
Qual teria sido o motivo desse fato?
O que parece certo é que nenhum desses povos sabia demonstrar o
teorema. O que se observa é que egípcios e babilônios calculavam por meio de
"receitas", que produziam respostas corretas e eram passadas de geração a
geração, sem que ninguém questionasse o porquê delas.
Para Pitágoras e os Pitagóricos, como são denominados hoje os
membros da suposta escola fundada por Pitágoras, era importante entender os
números, suas relações e não meramente utilizá-los. Como afirmar a veracidade
do teorema para uma infinidade de triângulos retângulos? Isso só se tornou
possível quando Pitágoras lançou-se em busca de uma demonstração
matemática. Tudo indica que ele, foi o primeiro a prová-lo ou alguém da sua
escola o fez, o que dá no mesmo, pois o conhecimento científico no grupo era
48
propriedade comum. E por isto o nome Teorema de Pitágoras
3
. Isto evidencia a
importância da demonstração no meio matemático. Os matemáticos sempre
buscaram fundamentos sólidos para a matemática. No caso de Pitágoras o
ponto de partida pode ter sido o conhecimento de casos particulares advindos
dos egípcios, babilônios e chineses.
As demonstrações na época de Pitágoras não eram comuns, ele pode ter
aprendido de Tales (600 a.C). Como é provável que era 50 anos mais novo e
morava perto de Mileto, é bem possível que tenha sido discípulo de Tales. Este
último, segundo (Boyer, 1996, p.31 e Eves, 2004, p.95), foi o primeiro grego com
interesses científicos em matemática e o maior sábio da época.
Segundo a tradição, a ele se atribui o começo da organização dedutiva da
geometria. Credita-se a ele a prova dos seguintes teoremas:
1. Um ângulo inscrito num semi-círculo é um ângulo reto.
2. Um círculo é bissectado por um diâmetro.
3. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
4. Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
5. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são
iguais respectivamente a dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos
são congruentes.
Segundo (Boyer, 1996, p. 32), não há documento antigo que contenha o
registro das provas desses teoremas por Tales.
Inclusive, pode ter sido na época em que era aluno de Tales, que
Pitágoras obteve a prova do teorema.
Qual teria sido a demonstração dada por Pitágoras? Como ele não deixou
trabalhos escritos, não se sabe ao certo, por isto, muitas conjeturas têm sido
feitas quanto à demonstração que ele poderia ter dado. Uma dessas conjeturas
é a de que Pitágoras deu uma demonstração por decomposição, como a que se
3
"Sugeriu-se, como justificativa para chamá-lo teorema de Pitágoras, que foram os pitagóricos
os primeiros a dar uma demonstração dele; mas não há meios de se verificar essa conjetura."
(Boyer, 1996 p. 34)
49
segue ilustrada na figura abaixo, baseada em comparação de áreas
4
. Mas
também poderia ser por semelhança de triângulos ou até mesmo outro tipo de
demonstração. Por que não?
Do quadrado que tem a + b como lado, retiremos 4 triângulos iguais ao
dado. Se fizermos isto como na figura à esquerda, obteremos um quadrado de
lado c. Mas se a mesma operação for feita como na figura à direita, restarão dois
quadrados, de lados a e b, respectivamente. Logo, a área do quadrado de lado c
é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medem a e b.
O professor de Matemática Elisha Scott Loomis, da cidade de Cleveland,
estado de Ohio, nos Estados Unidos, já falecido, reuniu em um livro intitulado
The Pythagorean proposition, publicado em 1927 como primeira edição, 230
demonstrações do teorema de Pitágoras; e na segunda edição do livro,
publicada em 1940, este número aumentou para 370 demonstrações. O
professor Loomis classifica as demonstrações do Teorema de Pitágoras em
basicamente dois tipos: "provas algébricas" (baseadas nas relações métricas
nos triângulos retângulos) e "provas geométricas" (baseadas em comparações
de áreas).
4
Comentário retirado de ROSA, E. 1983. Mania de Pitágoras. Revista do Professor de
Matemática, no. 2, pp. 14-17. Sociedade Brasileira de Matemática
.
50
A demonstração apresentada acima como uma suposta utilizada por
Pitágoras, segundo a classificação de Loomis seria geométrica. Apesar de ser
considerada uma bela demonstração, para Loomis não pareceu ser, pois no seu
livro ela aparece sem maior destaque, como variante de uma das provas dadas,
não sendo sequer contada entre as 370 numeradas.
5
Abaixo apresentamos a seguir outra demonstração do teorema de
Pitágoras, devida a Bháskara (Eves, 2004, p. 103), do tipo algébrico, é uma
prova curta e também muita conhecida. Baseia-se na seguinte conseqüência da
semelhança de triângulos retângulos:
"Num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a
hipotenusa e sua projeção sobre ela". Assim, como ilustra o desenho acima, se
m e n são respectivamente as projeções dos catetos a e b sobre a hipotenusa c,
temos
, , enquanto
mca
2
= ncb
2
=
cnm
=
+
. Somando as duas igualdades,
vem
.
222
cba =+
Os pitagóricos (incluindo Pitágoras) também deram outras contribuições
às demonstrações matemáticas. Para se ter idéia, grande parte de uma obra de
grande importância na matemática, datada do século III, d.C., é devida aos
pitagóricos. (Boyer, 1996, p. 36).
Proclo (410-485)
6
, ao descrever sobre Tales, segundo (Boyer, 1996, p.
33) diz o seguinte:
5
Comentário retirado de ROSA, E. 1983. Mania de Pitágoras. Revista do Professor de
Matemática, no. 2, pp. 14-17. Sociedade Brasileira de Matemática
.
6
Proclo, segundo (Eves, 2004, p. 213), foi um filósofo e matemático neoplatônico, que teve
acesso a trabalhos históricos e críticos (ou comentários sobre eles) que se perderam para nós. O
51
Pitágoras que veio depois dele, transformou essa ciência numa forma
liberal de instrução, examinando seus princípios desde o início e
investigando os teoremas de modo imaterial e intelectual. Descobriu a
teoria das proporcionais e a construção de figuras cósmicas.[Thomas,
1939, p.149.]
Boyer, 1996, p. 33, ainda acrescenta que, é evidente que os
pitagóricos desempenharam um papel importante, talvez crucial, na história da
matemática.
São atribuídas aos pitagóricos as seguintes descobertas:
- A fundamentação científica da música.
- O teorema da soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo.(Este teorema é atribuído a Pitágoras por Eudemus no livro História da
Geometria)
- A descoberta de grandezas incomensuráveis.
- A construção dos sólidos regulares (figuras cósmicas)
- A teoria das proporcionais (teoria das médias)
- Classificação dos números (par, ímpar, amigo, perfeito, deficiente,
abundante, primo, composto).
- A criação dos números figurados (números triangulares, números
oblongos, números quadrangulares, números pentagonais,...).
- A divisão de um segmento em média e extrema razão.
- A obtenção de ternos pitagóricos.
- A esfericidade da Terra
2.4 – O Teorema de Pitágoras na obra de Euclides
Pouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides. Sua data e
local de nascimento também são desconhecidos. Da natureza do trabalho dele
pode-se presumir que tivesse estudado com discípulos de Platão, se não na
seu Sumário Eudemiano, é uma de nossas principais fontes de informação sobre a história dos
primeiros tempos da geometria elementar. Proclo estudou em Alexandria, no séc. V. a.C.,
tornou-se líder da escola ateniense e morreu em Atenas no ano de 485 com a idade de setenta e
cinco anos.
52
própria Academia. Foi chamado para ensinar matemática em Alexandria, por
isso é conhecido hoje como Euclides de Alexandria. Ele foi autor de vários
trabalhos, mas sua fama repousa principalmente sobre o qual foi chamado de
"Os Elementos".
Em (Eves, 2004, p. 167 e Boyer, 1996, p. 69), lemos sobre uma história
mencionada no Sumário Eudemiano
7
de Proclo. Essa história conta que
Ptolomeu uma vez perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto, para a
geometria, que o estudo de Os Elementos, e Euclides lhe respondeu que não
havia estrada real para a geometria.
Os trabalhos apresentados nos elementos de Euclides, por volta de 300
a.C., foram de tamanha grandeza, que os outros escritos gregos dos 300 anos
anteriores acabaram sendo descartados a ponto de se perderem para nós. Esse
fato demonstra a importância dessa obra de Euclides, ainda hoje explorada.
Para David Hilbert (1862-1943), citado por Eves, (2004, p.96), pode-se medir a
importância de um trabalho científico pelo número de publicações anteriores
tornadas supérfluas por ele. Existiram outros Elementos anteriores ao de
Euclides, o primeiro foi de Hipócrates de Quio e o seguinte foi de Leôn. A
academia de Platão também tinha seus Elementos – uma coleção admirável e
muito elogiada escrita por Teúdio de Magnésia. Esta última, deve ter sido a
precursora imediata dos Elementos de Euclides, e deve ter tido acesso a ela,
ainda mais se de fato foi aluno da escola de Platão. Os trabalhos importantes de
Teeteto e Eudoxo também deviam estar disponíveis às consultas de Euclides. É
possível que o sucesso alcançado pelos Elementos de Euclides, seja atribuído,
à boa seleção das proposições e tê-las colocado numa seqüência lógica.
Nenhuma descoberta nova é atribuída a ele, mas era hábil em expor.
8
Para
Eves (2004, p. 168) não há dúvidas de que Euclides teve de dar muitas
demonstrações e aperfeiçoar outras tantas. Talvez a maneira formal como
7
Segundo (Boyer, 1996, p. 97), esse Sumário Eudemiano, escrito por Proclo (410-485), consiste
nas páginas de abertura do Comentário sobre Euclides, Livro I, e é um breve resumo do
desenvolvimento da geometria grega desde seus primeiros tempos até Euclides.
8
Boyer, C.B. História da Matemática, 1995, p. 72.
53
Euclides apresentou os conteúdos, tenha tornado o seu trabalho tão importante.
Isto impressionou tanto as gerações seguintes que a obra se tornou um modelo
de demonstração matemática rigorosa. De fato, os Elementos de Euclides
tornaram-se o protótipo da forma matemática moderna.
9
Nessa obra Euclides também apresenta uma demonstração do teorema
de Pitágoras, e como a demonstração do teorema de Pitágoras têm muito a ver
com esta pesquisa, escolhemos encerrar as considerações sobre Euclides,
destacando a sua demonstração para a proposição 47 do livro I, que é
exatamente o Teorema de Pitágoras cujo enunciado é o seguinte:
Em triângulos retângulos, o quadrado construído sobre o lado que
subtende o ângulo reto, isto é, a hipotenusa, é igual à soma dos
quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto. (Aaboe, 2002,
p. 71)
A demonstração de Euclides
10
é como segue: Sobre os três lados de um
triângulo retângulo ABC (C = 90 ) são construídos quadrados (Veja a figura a
seguir).
0
9
Eves, H. Introdução à História da Matemática, 2004, p. 178
10
A demonstração está baseada na apresentada por Aaboe, no livro Episódios da História
Antiga da Matemática, 2002, p. 71.
54
A altura CH a partir de C é traçada e prolongada até F. São traçados os
segmentos DB e CE.
Observe em primeiro lugar que o triângulo DAB é congruente ao triângulo
CAE, pelo caso LAL de congruência de triângulo; para ver isso, observe que se
fizermos um deles girar de 90
0
em torno de A ele cobrirá exatamente o outro.
Ora, o quadrado sobre AC é duas vezes o triângulo DAB, pois têm a
mesma base (AD) e estão situados entre as mesmas retas paralelas (proposição
41 do livro I)
11
; semelhantemente, vemos que o retângulo AEFH é duas vezes o
triângulo CAE, pois têm também a mesma base (AE) e estão situados entre as
mesmas retas paralelas. Como os dois triângulos são congruentes, o quadrado
sobre AC é igual ao retângulo AEFH.
Segue-se, exatamente da mesma maneira, que o quadrado sobre BC é
igual ao retângulo sob HB, e desta maneira a soma dos quadrados sobre AC e
11
A proposição 41 do livro I dos Elementos garante que se um paralelogramo e um triângulo têm
a mesma base e estão entre duas paralelas dadas, então o paralelogramo tem duas vezes a
área do triângulo. Hoje poderíamos considerar que o quadrado e o triângulo têm a mesma base
AD e mesma altura AC, é fácil ver que a área do quadrado é o dobro da área do triângulo.
55
BC é igual à soma dos dois retângulos; mas isso é exatamente o quadrado
sobre AB.
Para Aaboe essa demonstração de Euclides é muito elegante, e inclusive
desaprova a observação feita por Schopenhauer.
12
Particularmente, achei muito
agradável realizá-la nesta pesquisa e tive a mesma consideração de Aaboe.
Inúmeras análises críticas subseqüentes revelaram muitos defeitos na
estrutura lógica da obra de Euclides. Mas, esta serviu de inspiração e avanços
em toda a matemática e grande parte da matemática moderna tem suas raízes,
principalmente nos Elementos. Seria realmente notável, diz Eves, 2004, p. 655,
se os Elementos de Euclides, sendo uma tentativa tão antiga e monumental de
aplicar o método postulacional, não apresentasse defeitos lógicos.
2.5 – O Teorema de Pitágoras na obra de Clairaut
Alexis Clairaut (1713 – 1765) é conhecido como anti-Euclidiano. Muitos
autores tentaram fazer revisões na obra de Euclides, porém, Clairaut em 1741,
publicou uma obra intitulada “Elementos de Geometria” onde apresenta uma
geometria fora dos padrões de “Os Elementos” de Euclides. Não apresentou
axiomas ou postulados, mas proposições dispostas ordenadamente.
A evolução das proposições ocorre utilizando proposições anteriores ou
provas evidentes, sem o rigor da obra de Euclides, em linguagem natural mais
acessível ao aluno.
No prefácio da sua obra, Clairaut afirma:
“Propus-me remontar ao que podia ser a fonte da geometria. Tratei de
lhe desenvolver os princípios por um método tão natural que parecesse o
empregado pelos inventores, fugindo entretanto de todas as falsas
tentativas que eles necessariamente fizeram. A medida de terrenos me
pareceu mais própria para dar origem às primeiras proposições de
12
Schopenhauer a chama de "demonstração ratoeira" e também "dês Eukleides stelzbeiniger, ja,
hinterlistiger Beweis"; em tradução livre, isso significa "A demonstração artificial, forçada, em
verdade, maliciosa e desonesta de Euclides". Aaboe, O, Episódios da História Antiga da
Matemática, 2002, p. 177,
56
geometria; e é efetivamente daí que provém esta ciência, pois que
geometria significa medida de terreno.”
Clairaut tenta dar um aspecto prático e simples à geometria. Para ele se
os primeiros matemáticos apresentaram suas primeiras descobertas sob a forma
de teoremas, foi sem dúvida para dar à suas produções um aspecto mais
maravilhoso.
Na segunda parte de seu livro, item XVIII, Clairaut faz uma demonstração
para o teorema de Pitágoras, que ele enuncia da seguinte forma:
“A hipotenusa de um triângulo retângulo é seu grande lado. O quadrado
deste lado é igual à soma dos quadrados feitos sobre os outros dois”.
Antes de apresentar a demonstração, Clairaut apresenta um método para
“fazer um quadrado igual à soma de dois outros distintos”.
Ele parte de dois quadrados distintos ADCd e CFEf, como mostra figura
abaixo, e prova que AHEh, é um quadrado igual a soma dos dois quadrados
iniciais.
Para provar o teorema de Pitágoras, a partir das seguintes
considerações:
“Se notarmos que os dois quadrados ADCd, CFEf são feitos
respectivamente sobre AD, lado médio do triângulo ADH, e sobre EF,
igual a DH, pequeno lado do mesmo triângulo ADH; se notarmos ainda
57
que o quadrado AHEh, igual aos outros dois, é descrito sobre o grande
lado AH, comumente chamado hipotenusa do triângulo retângulo,
descobriremos logo esta famosa propriedade dos triângulos retângulos:
O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados construídos
sobre os outros dois lados.”
Essa demonstração pareceu-nos interessante e inusitada até aqui.
2.6 – O Teorema de Pitágoras na obra de Legendre
Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) foi professor na escola militar de
Paris. Em 1794 publicou sua obra intitulada Elementos de Geometria (Éléments
de Géométrie), que foi escrita para uso escolar e acadêmico.
Legendre faz um aprimoramento pedagógico dos Elementos de Euclides,
que foi amplamente difundido nos Estados Unidos da América e no Brasil.
Nessa obra, que é constituída de oito livros, Legendre, atualiza e
simplifica as proposições de Os Elementos de Euclides.
Na página 72, do livro III, Legendre trata do assunto teorema de
Pitágoras. É a proposição XI, que apresentamos abaixo.
“TEOREMA – O quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo
retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre os outros dois lados”
A demonstração dada por Legendre a esse teorema, é exatamente a
mesma dada por Euclides, e já foi apresentada acima nesta pesquisa.
2.7 – Hilbert e Birkhoff
David Hilbert (1862-1943), foi considerado um matemático
excepcionalmente abrangente e talentoso, por suas muitas e importantes
contribuições a diversas áreas do conhecimento.
Em 1898-1899 ele publicou o seu Grundlagen der Geometrie
(Fundamentos de geometria), foi um volume pequeno mas que ficou famoso.
Traduzida nas principais línguas essa obra exerceu forte influência na
matemática do século vinte.
58
Foi principalmente nessa obra de Hilbert que pela primeira vez foi
apresentado um sistema completo de axiomas para a geometria euclidiana.
Segundo (Boyer, 1996, p. 424), os Elementos de Euclides tinham uma estrutura
dedutiva, certamente, mas estavam cheias de hipóteses ocultas, definições sem
sentido e falhas lógicas. Hilbert estava preocupado em melhorar ou completar o
trabalho de Euclides, ele pretendia apresentar uma geometria que eliminasse as
deficiências lógicas apresentadas nos Elementos. No texto de introdução dos
grundlagen ele apresenta a sua intenção com esse trabalho, por meio dos
seguintes dizeres:
“A presente investigação é um novo ensaio para construir a Geometria,
sobre um sistema completo de axiomas, o mais singelo possível,
deduzindo os mais importantes teoremas, de maneira tal, que nesse
processo apareçam com a máxima clareza a interpretação dos distintos
grupos de axiomas e a relação das conseqüências que isoladamente se
derivem de cada um dos elos”. (Hilbert, 1899, citado por Hilbert, 1953, p.
1).
Ele formulou para sua geometria, segundo (Boyer, 1996, p. 424) uma
coleção de vinte e um axiomas, conhecidos como axiomas de Hilbert, em lugar
dos cinco axiomas (ou noções comuns) de Euclides e cinco postulados. O
desenvolvimento dado por ele à geometria dava ênfase a que não se devem
assumir, para os termos não definidos na geometria, propriedades além das
indicadas nos axiomas. Ele percebeu que nem todos os termos em matemática
podem ser definidos e por isso começou seu tratamento da geometria com três
objetos não definidos: ponto, reta e plano e três relações não definidas: estar
sobre, estar entre, ser congruente.
Através de seus grundlagen, Hilbert se torna o principal representante da
"escola axiomática".
13
.
Para (eves, 2004, p. 682) Hilbert aguçou o método matemático, levando-o
da axiomática material dos tempos de Euclides à axiomática formal dos dias
13
Essa é uma denominação dada por (Boyer, 1996, p. 424), já em (Eves, 2004, p. 682) é dada a
denominação "Escola formalista".
59
atuais. A obra de Hilbert foi pioneira, seguida de outras coleções de axiomas que
foram propostas por outros, assim o caráter puramente dedutivo e formal da
geometria, como dos outros ramos da matemática, fica completamente
estabelecido desde o começo do século vinte.
Birkhoff (1884-1944), segundo Moise & Downs (1971, p. 84), foi um dos
matemáticos mais produtivos e versáteis da sua geração. Em sua vida escreveu
cento e noventa trabalhos de pesquisa em vários ramos de matemática pura e
aplicada.
Em 1932, Birkhoff introduz um sistema de axiomas, equivalente ao de
Hilbert, onde incorpora o conjunto dos números reais. Esses axiomas, ao
contrário dos de Hilbert, introduzem a idéia de medida desde o início. Os
segmentos e os ângulos são medidos com números reais.
A fim de compreendermos melhor essa idéia de medida introduzida por
Birkhoff, apresentamos abaixo os dois postulados que caracterizam essa
axiomática.
Postulado I - Dois pontos A e B numa reta podem ser postos em
correspondência biunívoca com os números r
tais que
d(A,B
eais
) =
,
−
e
nça
para todos os pontos A e B.
Postulado III – As semi-retas m e n por um ponto O, podem ser
colocadas em correspondência biunívoca com os números reais
tais que se A e B são pontos de m e n diferentes de O, a
difere
−
é a medida do ângulo AOB.
Observa-se que ele centralizou seu sistema nos números reais, para
fundamentar a geometria.
Moise (1976) que adaptou e difundiu em seus livros a axiomática de
Birkhoff, compara os enfoques dados pelas geometrias de Euclides, Hilbert e
Birkhoff.
60
Para ele o enfoque chamado de "sintético", diz respeito à geometria de
Euclides/Hilbert, cuja estrutura é composta por ponto, reta, plano, uma relação
de separação e uma relação indefinida de congruência para segmentos e
ângulos. Já no enfoque que ele chama de "métrico", a estrutura é composta por
ponto, reta, plano, distância e medida angular e é referente ao sistema proposto
por Birkhoff.
Birkhoff apresenta a demonstração do teorema de Pitágoras que ele
chama de:
Princípio 12 – O TEOREMA DE PITÁGORAS. Em qualquer
triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos outros dois lados; e reciprocamente.
A prova, a seguir, apresentada por Birkhoff é baseada na semelhança de
triângulos, pois um de seus postulados é o caso LAL de semelhança de
triângulos, mas não usa diretamente as fórmulas prontas das relações métricas
de um triângulo retângulo, como se costuma fazer hoje. Está abaixo uma
tradução livre do inglês
14
da prova do teorema.
Dado: Triângulo ABC (figura abaixo) no qual o ângulo C é igual a
.
0
90
Provar que:
ou .
,(BC)(AC)(AB)
222
+=
222
abc +=
Sejam a, b, e c os comprimentos dos lados do triângulo ABC dado, como mostra
a figura abaixo.
14
Do livro Basic Geometry, p. 92
61
Esse triângulo pode ser ampliado de tal forma que cada lado do novo
triângulo A’B’C’ é b vezes a medida do anterior. Veja a figura acima.
Agora construamos um triângulo B’C’D’ tal que o ângulo C’B’D’ = Â e o
ângulo B’C’D’ =
. Veja a figura acima.
0
90
Assim, segue do caso 2 de semelhança
15
que cada lado do triângulo
B’C’D’ é a vezes o lado correspondente do triângulo ABC.
Agora prove que o ângulo A’B’D’ é igual a
.
0
90
16
Já que o ângulo A’B’D’ é igual ao ângulo C (Por que?)
17
, e já que o ângulo
A’ é igual ao ângulo A, por construção, dois ângulos do triângulo A’B’D’ são
iguais respectivamente a dois ângulos do triângulo ABC, e portanto os triângulos
A’B’D’ e ABC são semelhantes, pelo Caso 2 de semelhança.
Mas A’B’ = c.b = c.AC, indicando que o fator de proporcionalidade é c.
Portanto, A’D’ = c.AB, ou
2
c
Mas A’D’ é também igual a .
22
cb +
Portanto
222
abc +=
Ao lermos o livro “Basic Geometry” publicado em 1948, esperávamos que
no enunciado do teorema de Pitágoras, Birkhoff incluísse as frases "medida da
hipotenusa" ou "medida dos outros dois lados", já que ele introduziu a idéia de
medida no seu sistema de exiomas, mas curiosamente, isto não ocorre. Todavia
entendemos que nas frases "o quadrado da hipotenusa" e "quadrados dos
outros dois lados", está implícita a palavra "medida" visto que ele inicia a sua
prova tomando os comprimentos dos lados do triângulo.
15
Birkhof e Beatley (1959) chamam de princípio 6. CASO 2 DE SEMELHANÇA. Dois triângulos
são semelhantes se dois ângulos de um são iguais a dois ângulos do outro. (Tradução do autor)
16
basta considerar que os ângulos A e B são complementares e são respectivamente
congruentes aos ângulos C’B’D’ e A’B’C’.
17
C = por hipótese e o ângulo A’B’D é igual a como foi visto no parágrafo anterior
0
90
0
90
62
2.8 - Provas e teorema de Pitágoras em livros didáticos
Neste estudo pesquisamos em livros didáticos, a forma como é abordado
o Teorema de Pitágoras. Como esse conteúdo costuma ser trabalhado na
sétima série (8º. ano) e na oitava série (9º. ano) do Ensino Fundamental,
escolhemos coleções relativas a essas duas séries. Analisamos aqueles
indicados pelo PNLD – Programa Nacional do Livro Didático, coordenado pela
Secretaria de Educação Básica do Ministério da Educação do Brasil. Alguns
desses livros dizem-se reformulados conforme os. Por isto, antes de iniciarmos
este trabalho, buscamos no texto dos PCN quais as orientações propostas,
relativas à demonstração.
Encontramos algumas orientações para o terceiro ciclo (5ª.e 6ª. séries) e
quarto ciclo (7ª. e 8ª. séries) do Ensino Fundamental, em relação à
demonstração em geometria. Destacamos as seguintes:
As atividades em Geometria são muito propícias para que o professor
construa junto com seus alunos um caminho que a partir de experiências
concretas leve-os a compreender a importância e a necessidade da
prova para legitimar as hipóteses levantadas.(PCN, 1998, p. 126)
(...) Apesar da força de convencimento para os alunos que possam ter
esses experimentos com material concreto ou com a medição de um
desenho, eles não se constituem provas matemáticas. Ainda que essas
experiências possam ser aceitas como "provas" no terceiro ciclo, é
necessário, no quarto ciclo, que as observações do material concreto
sejam elementos desencadeadores de conjeturas e processos que levem
às justificativas mais formais.
No caso do teorema de Pitágoras, essa justificativa poderá ser feita com
base na congruência de figuras planas e no princípio da aditividade para
as áreas. Posteriormente, os alunos poderão também demonstrar esse
teorema quando tiverem se apropriado do conceito de semelhança de
triângulos e estabelecido as relações métricas dos triângulos
retângulos.(PCN, 1998, p. 127)
63
Embora no quarto ciclo se inicie um trabalho com algumas
demonstrações, com o objetivo de mostrar sua força e significado, é
desejável que não se abandonem as verificações empíricas, pois estas
permitem produzir conjeturas e ampliar o grau de compreensão dos
conceitos envolvidos.(PCN, 1998, p. 87)
Ao desenvolver a capacidade de buscar soluções favorece a que o aluno
passe a reconhecer a necessidade de construir argumentos plausíveis.
A argumentação está fortemente vinculada à capacidade de justificar
uma afirmação por conteúdos matemáticos e se for possível responder
aos contra-argumentos ou réplicas que lhe forem impostos.
Uma argumentação não é, contudo, uma demonstração. A argumentação
é mais caracterizada por sua pertinência e visa ao plausível, enquanto a
demonstração tem por objetivo a prova dentro de um referencial
assumido. Assim, a argumentação está mais próxima das práticas
discursivas espontâneas e é regida mais pelas leis de coerência da
língua materna do que pelas leis da lógica formal que, por sua vez,
sustenta a demonstração.
Se por um lado a prática da argumentação tem como contexto natural o
plano das discussões, na qual se podem defender diferentes pontos de
vista, por outro ela também pode ser um caminho que conduz à
demonstração.
Assim, é desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a
argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a
produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre
tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode-se avançar no
quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das
demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns
teoremas. (PCN, 1998, p. 70).
Ainda sobre o Teorema de Pitágoras os PCN reiteram:
Nenhuma verificação experimental ou medição feita com objetos físicos
poderá, por exemplo, validar matematicamente o Teorema de Pitágoras
ou o teorema relativo à soma dos ângulos de um triângulo. Deve-se,
64
enfatizar, contudo, o papel heurístico que têm desempenhado os
contextos materiais como fontes de conjeturas matemáticas. (p. 26).
Em Matemática existem recursos que funcionam como ferramentas de
visualização, ou seja, imagens que por si mesmas permitem
compreensão ou demonstração de uma relação, regularidade ou
propriedade. Um exemplo bastante conhecido é a representação do
Teorema de Pitágoras mediante figuras que permitem "ver" a relação
entre o quadrado da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos (p.
45).
Para a análise escolhemos duas coleções de livros. A primeira é
denominada “Matemática hoje é feita assim” do autor Antonio José Lopes
Bigode e a segunda é denominada “Matemática: idéias e desafios” das autoras
Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga.
Destacamos que, nosso objetivo aqui, é analisar o conteúdo teorema de
Pitágoras e sua demonstração. Por isso vamos analisar apenas os dois livros de
7ª. e 8ª. Séries de cada coleção.
2.8.1 - Livro 1
Coleção: Matemática hoje é feita assim
Autor: Antonio José Lopes Bigode
Série: 7ª. série.
Editora: FTD, 2000.
Este livro inicia-se com a biografia do autor. Em seguida dá alguns
recados na tentativa de estimular o aluno na sua jornada. Os conteúdos
apresentam-se divididos em 14 blocos, numerados de 1 a 14, e nas últimas
páginas são apresentados um glossário e uma sessão "para saber e gostar mais
de matemática". Cada bloco apresenta atividades distribuídas durante o seu
estudo e ao final uma sessão denominada "Retomando" que traz mais
exercícios e também a chamada "Revistinha" que conta um pouco da história do
conteúdo.
65
O teorema de Pitágoras é trabalhado no bloco 12, logo após triângulos e
quadriláteros (bloco 10) e Simetria (bloco 11). Inicia-se com um breve histórico
intitulado "Dos egípcios aos gregos". Afirma que os egípcios usavam, para
construir um ângulo reto, uma corda contendo 13 nós eqüidistantes e três
estacas. Com essa corda, eles construíam um triângulo de lados 3, 4 e 5, o que
garantia que um dos ângulos era reto.
Em seguida, o livro leva o aluno a uma atividade. Nos três primeiros
exercícios eles devem realizar experiências parecidas com a dos egípcios com
um barbante e três alfinetes, a fim de construírem ângulos de 90 graus. No
exercício 4 eles devem, com régua e compasso, construir triângulos a partir de
ternas dadas e observarem quais são retângulos.
Após essa atividade os alunos são convidados a voltarem à terna 3, 4 e 5
dos egípcios, para observarem que essa terna satisfaz a relação
. Em seguida afirma, em outras palavras, que nesse
triângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa (lado maior) é igual
à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (lados menores),
ilustrando com um desenho em que os quadrados estão divididos em
quadradinhos, a fim de facilitar a visualização das áreas. Depois dá exemplos de
ternas que não satisfazem a relação também ilustrando com desenhos. Para as
ternas que satisfazem a relação, ela dá o nome de ternas pitagóricas. O
exercício 5 pede para indicar dentre várias ternas, as que são pitagóricas e na
atividade 6, pede para indicar dentre três ternas, quais podem ser os
comprimentos de lados de um triângulo retângulo.
25169543
222
=+⇒=+
Depois apresenta uma demonstração para o teorema de Pitágoras,
aquela que já apresentamos acima neste capítulo II desta pesquisa, cuja
ilustração é feita pela figura a seguir.
66
Finalmente, sugere ao aluno construir modelos em cartolina que ilustram
a relação de Pitágoras, por meio de dois quebra-cabeças. Além da atividade 7
que também é semelhante. Encerra-se com os exercícios do Retomando e a
revistinha com um pouco da história de Pitágoras e seu teorema.
Análise
Sobre a importância da introdução histórica, destacam-se nos PCN vários
argumentos, como os seguintes:
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao
processo de ensino-aprendizagem dessa área do conhecimento.
(...) Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode
esclarecer idéias matemáticas que estão sendo construídas pelo
aluno.(p. 42-43)
Logo na introdução o autor preocupa-se brevemente com o aspecto
histórico do teorema de Pitágoras, ao fazer alusão à utilização por povos
antigos, no caso os egípcios, da terna (3, 4 e 5). Depois ao final, apresenta uma
breve biografia de Pitágoras.
Um aspecto importante, é que o aluno trabalha bastante o empírico da
demonstração, como orientam os PCN, para essa série.
Algo importante que podemos observar, neste livro é que se trabalha
muito o recíproco ou a contra-positiva, mais do que o teorema em si. Por
67
exemplo: Quando o aluno usa a terna dos egípcios (3, 4 e 5) para construir
ângulos retos eles estão usando a recíproca; quando as ternas não satisfazem a
relação pitagórica o triângulo não é retângulo, isto é a contra-positiva.
Entretanto, o aluno faz esse trabalho achando que está usando o teorema.
O livro apresenta também uma demonstração para o teorema do tipo
geométrico, por reconfiguração
18
e conceito de área.
Se observarmos, muitas ou a maior parte das demonstrações do teorema
de Pitágoras correspondem a diferentes empregos da reconfiguração. O livro
foge daquela seqüência tradicional que apresenta o texto, exercícios resolvidos
e exercícios propostos. Consideramos que as atividades exploram bem o texto.
2.8.2 - Livro 2
Coleção; Matemática hoje é feita assim
Autor: Antonio José Lopes Bigode
Série: 8ª. série.
Editora: FTD, 2000.
Os conteúdos estão divididos em 14 blocos.
O bloco 9 trata de congruência e semelhança e o bloco 10 trata do
Teorema de Pitágoras. Inicia-se com uma atividade experimental que
apresentamos abaixo:
1º.) Pegue uma folha de papel de formato retangular (sulfite ou caderno).
2º.) Faça uma única dobra na folha, de modo a obter um triângulo
retângulo.
3º.) Recorte o triângulo obtido.
4º.) Use uma régua para medir os lados do triângulo.
5º.) Calcule o quadrado das medidas dos lados.
6º.) Some os quadrados das medidas dos catetos e compare com o
quadrado da medida da hipotenusa.
18
Segundo Padilla, (1992) citado por Bastian, (2000), a reconfiguração é um tipo de apreensão
operatória. Consiste em repartir uma figura em várias subfiguras igualmente geométricas e
agrupar, isto é, reorganizar todas ou algumas delas de modo a formar uma nova figura.
68
7º.) Compare seu resultado com o de seus colegas.
A atividade leva o aluno a perceber a relação pitagórica, mas questiona
sobre possíveis erros nesse experimento, devido a falhas que podem ocorrer
nos recortes. E sugere a necessidade de uma demonstração, apresentando em
seguida a demonstração por semelhança de triângulo, que também já
apresentamos acima, neste mesmo capítulo. O autor considera que essa
demonstração é atribuída a Pitágoras.
Em seguida apresenta as atividades 1 a 3, com exercícios de aplicação.
Depois apresenta um tópico que ele chama de Problemas clássicos & o teorema
de Pitágoras, que apresenta dentre outros os seguintes: diagonal do quadrado,
altura do triângulo eqüilátero, cálculo do apótema. As atividades 6 a 11 são de
aplicações e depois volta ao cálculo da diagonal do cubo e da diagonal do bloco
retangular, distância entre dois pontos, com novos exercícios de aplicação do 12
ao 14. Encerram o assunto um comentário sobre a espiral pitagórica, Pitágoras e
a calculadora e volta ao tratamento de ternas pitagóricas, seguidos de novos
exercícios de aplicação. No final tem uma generalização do teorema para
triângulos, retângulos, semicírculos, construídos a partir dos lados do triângulo
retângulo, aquela que é uma generalização feita por Euclides nos Elementos. E
depois apresenta a sessão Retomando, que são exercícios gerais sobre tudo
que foi tratado. Apresenta, ainda, uma página bem discreta sobre Pitágoras.
Análise
Nesse livro, talvez por ser uma continuação da 7ª. série não há registro
do aspecto histórico, exceto uma muito breve biografia no final de tudo.
Aqui o conteúdo do Teorema de Pitágoras vem apresentado logo após o
tópico, "Relações métricas no triângulo retângulo", talvez com o objetivo de
utilizar essas relações métricas para a demonstração da relação pitagórica.
Geralmente é nessa ordem que esses conteúdos são apresentados nos livros
didáticos de 8ª. série (9º. ano), dando a impressão que as relações métricas no
triângulo retângulo devem obrigatoriamente preceder a relação de Pitágoras, o
que não é verdade. É bom lembrarmos que a presente pesquisa dá uma mostra
de que o Teorema de Pitágoras poderia ser um pré-requisito para as relações
69
métricas do triângulo retângulo. Sobre essa questão de um conhecimento
preceder outro, há uma citação nos PCN que apresentamos abaixo:
Embora se saiba que alguns conhecimentos precedem outros e que as
formas de organização sempre indicam um certo percurso, não existem,
por outro lado, amarras tão fortes como algumas que podem ser
observadas comumente, tais como: apresentar a representação
fracionária dos racionais, para introduzir posteriormente a decimal;
desenvolver o conceito de semelhança, para depois explorar o Teorema
de Pitágoras.(p.22).
No livro a demonstração por semelhança de triângulos é atribuída a
Pitágoras, o que nesta pesquisa foi atribuída a Bháskara.
O livro explora bastante o teorema quando o aplica para deduzir várias
outras fórmulas da geometria, como a diagonal do quadrado, etc. Mas "entrega"
todas as deduções, sem deixar que o próprio aluno o faça. Talvez fosse mais
interessante deixar que o próprio aluno realizasse algumas. Não é dada a
oportunidade para que ele realize uma demonstração mais formal que a da 7ª.
série, como orientam os PCN.
2.8.3 - Livro 3
Coleção: Matemática: Idéias e desafios
Autores: Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga.
Série: 7ª. série.
Editora: Saraiva, 2002.
Este livro está dividido em 10 unidades. E na unidade 1 que trata de
Números não-racionais e figuras geométricas, apresenta um tópico denominado
“ângulos retos e o teorema de Pitágoras”.
Há uma referência a ângulos retos e em seguida fala de esquadros,
incluindo aí o esquadro egípcio, que é a terna (3, 4 e 5) por meio da corda com
13 nós. Em seguida, denomina os lados do triângulo retângulo como hipotenusa
70
e catetos. Através de desenhos em papel quadriculados de triângulos retângulos
cujos lados são números naturais o texto conduz o aluno ao teorema de
Pitágoras. E parte para exercícios de aplicação, inclusive utilizando triângulos
com lados de medidas racionais.
Ao final apresenta um brevíssimo histórico de Pitágoras e realiza uma
atividade com recortes, onde há a montagem de um quebra-cabeça para
verificar a relação pitagórica
Análise
Sobre o aspecto histórico, este livro faz uma referência muito breve sobre
o esquadro dos egípcios. E ao final do estudo, é apresentada uma pequena
biografia de Pitágoras. Depois em um exercício explora o trabalho com as
cordas dos egípcios.
Não realiza nenhuma validação mais formal, apenas com desenhos em
papel quadriculado de triângulos retângulos mostra a relação pitagórica, mas
depois usa um quebra-cabeça para que o aluno através de recortes verifique o
teorema.
O livro chega a explorar o texto através de atividades, mas é
caracterizado por apresentar grande número de exercícios.
2.8.4 - Livro 4
Coleção: Matemática: Idéias e desafios
Autores: Iracema Mori e Dulce Satiko Onaga.
Série: 8ª. série.
Editora: Saraiva, 2002.
Este livro, está dividido em 9 unidades.
Não há uma unidade específica para o estudo do teorema de Pitágoras,
ele aparece apenas como leitura na unidade 2 que trata sobre o estudo dos
radicais, onde é feita uma verificação do teorema de Pitágoras usando área,
aquela cujas figuras aparecem acima no relato do livro da 7ª. série. Também na
página seguinte é feita uma breve relação entre radicais e o teorema de
71
Pitágoras. Já em um tópico da unidade 8 que trata de Semelhança e medidas,
há um tratamento mais prolongado do teorema. O texto o introduz da seguinte
forma:
O teorema de Pitágoras
Sem dúvida, o teorema de Pitágoras é um dos mais famosos da
Geometria.
No decorrer dos séculos surgiram muitas demonstrações desse
teorema. Por volta do ano 300 a.C., por exemplo, Euclides, um
matemático grego, usou áreas de quadrados em sua demonstração. Veja
Euclides desenhou um triângulo retângulo e relacionou as áreas
de quadrados construídos junto aos lados desse triângulo. A figura era
parecida a que segue:
Aparece uma figura de Euclides perguntando: O que você imagina que eu
concluí? E o texto afirma que Euclides concluiu e demonstrou uma propriedade
que nós já conhecemos:
A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das
áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
Ou seja:
222
cba +=
E continua, afirmando que essa conclusão, que pode ser observada
comparando-se as áreas dos quadrados desenhados sobre os lados de um
triângulo retângulo, é um teorema da Geometria que pode ser demonstrado por
72
meio das relações métricas estudadas. Então, realiza a demonstração por
semelhança de triângulos, que já conhecemos e fizemos acima, neste capítulo
II.
Depois apresenta novamente o teorema escrito na seguinte forma: O
quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas
dos catetos. Logo após, considera possível demonstrar a recíproca do teorema,
mas não o faz.
O livro traz atividades que exploram o texto e também exercícios. São
mais de trinta exercícios, sem contar aqueles que apresentam itens a, b, c..., só
sobre aplicação do teorema de Pitágoras.
Análise
No aspecto histórico o livro se apresenta muito "pobre", apenas uma
tímida referência a Euclides como tendo demonstrado o teorema, não dando
importância às orientações dos PCN.
Em seguida apresenta uma demonstração, usando as relações métricas
no triângulo retângulo.
O livro caracteriza-se por apresentar pouco texto e um grande número de
exercícios. Consideramos que não há preocupação com a argumentação do
teorema e sim com a sua aplicação.
Comentários gerais sobre os quatro livros.
No geral, nos livros citados há apenas validações empíricas. Não é dada
nenhuma oportunidade ao aluno de realizar por ele mesmo uma validação mais
dedutiva.
Os alunos são levados somente a fazer conjeturas por meio de questões
postas nos exercícios.
73
CAPÍTULO III
CONCEPÇÕES DAS ATIVIDADES E ANÁLISE A PRIORI
3.1 - Concepções das atividades
Pretendemos, neste capítulo, apresentar primeiramente as escolhas
didáticas para as concepções das atividades que compõem a seqüência didática
e em seguida fazer análise a priori dessas atividades.
Depois de muitas reuniões, discussões e sucessivas mudanças,
chegamos ao final da elaboração da seqüência didática. A cada reunião traziam-
se novas idéias e novas propostas a serem discutidas e inseridas.
Levamos em consideração as pesquisas analisadas, as orientações dos
IREM de Grenoble e de Rennes sobre como elaborar atividades com prova e
demonstração, os tipos de provas, etc. A intenção é envolvermos os alunos em
processos de prova, envolvendo o teorema de Pitágoras.
A primeira atividade concebida é a de um puzzle pré-fabricado no Cabrì,
em que o aluno deve relacionar as áreas dos quadrados construídos a partir dos
lados do triângulo retângulo em questão. São utilizados nove triângulos
diferentes para que os alunos possam ter opções diferentes de escolha,
podendo até testar em vários deles. Ao perceber a relação pitagórica, o aluno
será questionado sobre a confiabilidade e certeza desse experimento. Para fazer
mais conjeturas, ele deve construir seu próprio triângulo retângulo no Cabrì e
procurar confirmar a relação obtida com o puzzle.
A seguir concebemos a atividade dois, que visa encaminhar o aluno a
uma argumentação de natureza mais dedutiva do teorema de Pitágoras. Ao final
dessa atividade o aluno deve comparar os dois processos de verificação (da
atividade 1 e da atividade 2) e indicar qual dos dois melhor justifica o Teorema
de Pitágoras.
A atividade 3 visa envolver novamente o aluno numa atividade de
natureza empírica no Cabrì, onde ele próprio constrói um triângulo retângulo e
com os recursos de medidas e de cálculo disponíveis no Cabrì ele obtém as
74
relações métricas do triângulo retângulo. Depois ele é levado a provar essas
relações.
Algumas dessas provas são subdivididas em passos, de acordo com
Duval (2002), onde cada passo constitui-se num pequeno teorema com hipótese
e tese. O aluno só precisa justificar cada passo, ao final, tendo justificado todos
os passos, tem justificado o teorema inicial. Deixamos algumas provas a cargo
do aluno e não fazemos a subdivisão em passos. A intenção é observarmos se
ele faz uma imitação da prova por passos ou usa outras formas.
Destacamos que, em geral, os livros didáticos de 8ª. série (9º. ano), usam
as relações métricas do triângulo retângulo, deduzidas a partir do conceito de
semelhança, para provar o Teorema de Pitágoras. Já esta atividade usa o
Teorema de Pitágoras, para provar as relações métricas do triângulo retângulo.
A atividade quatro é concebida, a fim de explorar o teorema de Pitágoras
e o trabalho com provas, por meio de exercícios. Escolhemos abordar nesses
exercícios, os níveis de dificuldades sugeridos por Robert (1998).
No geral, a idéia da seqüência didática, é partir de casos particulares ou
concretos e chegar ao geral ou abstrato.
3.2 - Análise a priori
Esta análise é feita por atividade, começando sempre com a
apresentação do seu enunciado. Pretendemos, sempre que possível, para cada
atividade incluir o seu objetivo, os pré-requisitos, as possíveis dificuldades dos
alunos e as possíveis resoluções para a questão proposta. Na atividade 4
identificamos também os níveis de conhecimentos dos alunos de acordo com a
classificação de Robert (1998).
3.2.1. Atividade 1.
No Cabrì, abra o arquivo denominado “puzzle.fig” o qual contém vários
puzzles diferentes.
Os 3 quadriláteros dessa figura são quadrados que foram construídos a
partir dos lados do triângulo ABC, retângulo em A, o qual aparece no centro da
75
figura. Um dos quadrados, o construído a partir de um dos catetos do triângulo,
foi dividido em 4 peças (polígonos) que foram coloridas, como também foi
colorido o outro quadrado construído a partir do outro cateto, como mostra a
figura abaixo.
Agora, por superposição, cubra, sem deixar falhas ou remonte, o
quadrado construído a partir da hipotenusa com as cinco peças coloridas, sem
que haja remonte ou sobra. Para isto, selecione um desses polígonos por vez,
clicando sobre um de seus lados e depois digitando “control C” e “control V”
seguidamente. A cópia do polígono se deslocará da posição original parecendo
dois polígonos, arraste-a então, sem alterar a sua posição ou forma, colocando-
a sobre o quadrado grande. É como montar um quebra-cabeça. Cuidado para
não arrastar os polígonos pelo vértice para não deformá-lo, mas caso isso
aconteça, desfaça a ação (menu editar-desfazer) e repita o processo. Obs:
Dependendo do polígono que você tentar selecionar, pode aparecer uma lista de
objetos, geralmente é o último da lista, se não for, selecione o penúltimo e assim
por diante.
Faça o que se pede abaixo:
a) O que você observou? Relacione as áreas dos quadrados construídos sobre
os catetos com a área do quadrado construído sobre a hipotenusa. O que você
conclui?
76
b) Represente a medida da hipotenusa do triângulo retângulo pela letra a, e por
b e c as medidas de cada cateto. Relacione as três medidas a, b e c.
c) A verificação feita com os puzzles é confiável, suficiente e dá certeza de que a
relação obtida no item b é sempre válida em qualquer triângulo retângulo?
Justifique.
d) No Cabrì, construa um triângulo retângulo ABC qualquer. Com a ferramenta
“distância ou comprimento” meça os lados de seu triângulo e com a calculadora
verifique a relação percebida anteriormente. O que você conclui?
e) A verificação feita no item d, garante que a relação vale sempre para qualquer
triângulo retângulo? Justifique.
Análise da Atividade 1
No Cabrì, abra o arquivo denominado “puzzle.fig”, o qual contém
vários puzzles diferentes.
Os 3 quadriláteros dessa figura são quadrados que foram
construídos a partir dos lados do triângulo ABC, retângulo em A, o qual
aparece no centro da figura. Um dos quadrados, o construído a partir de
um dos catetos do triângulo, foi dividido em 4 peças (polígonos) que foram
coloridas, como também foi colorido o outro quadrado construído a partir
do outro cateto, como mostra a figura abaixo.
77
Agora, por superposição, cubra, sem deixar falhas ou remonte, o
quadrado construído a partir da hipotenusa com as cinco peças coloridas,
sem que haja remonte ou sobra. Para isto, selecione um desses polígonos
por vez, clicando sobre um de seus lados e digitando “control C” e
“control V” seguidamente. A cópia do polígono se deslocará da posição
original parecendo dois polígonos, arraste-a então, sem alterar a sua
posição ou forma, colocando-a sobre o quadrado grande. É como montar
um quebra-cabeça. Cuidado para não arrastar os polígonos pelo vértice
para não deformá-lo, mas caso isso aconteça, desfaça a ação (menu editar-
desfazer) e repita o processo. Obs: Dependendo do polígono que você
tentar selecionar, pode aparecer uma lista de objetos, geralmente é o
último da lista, se não for, selecione o penúltimo e assim por diante.
Ao abrir o arquivo do puzzle, os alunos têm a sua frente a seguinte tela do
cabrì, que dá uma visão parcial dos puzzles.
Utilizando a barra de rolagem, podemos visualizar os outros puzzles,
como a seguir:
78
Como exemplo de resolução de um desses puzzles, mostramos abaixo a
resolução do puzzle 5, que está ao centro da tela.
79
O objetivo deste inicio da atividade 1 é colocar o aluno numa situação
empírica que o leve a perceber a relação entre as áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos com a área do quadrado construído sobre a
hipotenusa. A atividade faz uso de puzzles, que se diferenciam pelos triângulos
retângulos a partir dos quais foram construídos. O aluno terá a sua disposição
um arquivo contendo os puzzles pré-construídos no software Cabrì, com os
quais poderá realizar a tarefa solicitada, e que o auxiliarão a responder as
questões seguintes da atividade. São puzzles construídos a partir de vários
triângulos, para que o aluno tenha oportunidade de testar em triângulos
diferentes.
Nesta tarefa, pode ser que a maior dificuldade que os alunos poderão
enfrentar, será a de arrastar os polígonos sem deformá-lo, quando da montagem
do puzzle. No arrastar dos polígonos, estes podem deformar-se e perderem
suas propriedades iniciais, neste caso, o aluno deverá desfazer a operação e
começá-la novamente, conforme está orientado no texto.
O pré-requisito é uma familiarização com o Cabrì, o que será realizado
em trabalho prévio às atividades.
Após a atividade do puzzle, os alunos devem responder a alguns
questionamentos, conforme a seguir:
Item a
O que você observou? Relacione as áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos com a área do quadrado construído sobre a
hipotenusa. O que você conclui?
O objetivo aqui é desafiar o aluno a construir explicações sobre suas
observações. Que ele escreva em linguagem comum a relação que se espera
que tenha observado durante a manipulação do puzzle.
Talvez a dificuldade que encontrarão será a de se expressar
corretamente com palavras.
As possíveis respostas à pergunta são:
80
- A área dos quadrados construídos sobre os catetos é igual à área do
quadrado construído sobre a hipotenusa.
- As áreas são iguais.
- As áreas dos dois quadrados menores são iguais à área do quadrado
grande.
- Os polígonos preenchem o quadrado grande exatamente.
Item b
Represente a medida da hipotenusa do triângulo retângulo pela letra
a, e por b e c as medidas de cada cateto. Relacione as três medidas a, b e
c.
O objetivo aqui é que o aluno faça uma mudança na sua escrita,
passando da linguagem natural para a linguagem algébrica, da relação que ele
apresentou no item a. Na escrita algébrica ele deverá utilizar as letras a, b e c
como as respectivas medidas da hipotenusa e dos dois catetos e escrever a
relação na forma
.
222
cba +=
O conhecimento disponível do aluno deve ser o de área de quadrados
e familiaridades.
Nesta atividade espera-se que o aluno não apresente dificuldades por já
ter algum conhecimento sobre essa relação.
A solução esperada é a igualdade
.
222
cba +=
Item c
A verificação feita com os puzzles é confiável, suficiente e dá certeza
de que a relação obtida no item b é sempre válida em qualquer triângulo
retângulo? Justifique.
O Objetivo é levantar dúvidas no aluno sobre a validade ou não dessa
relação em qualquer triângulo retângulo, conduzindo-o a fazer conjeturas e
sentir a necessidade de investigar a validade dessa relação em outros casos
particulares de triângulos.
81
Possíveis soluções:
- Não, os puzzles podem apresentar falhas mesmo que muito pequenas,
na sua construção, o que poderiam levar a conclusões falsas.
- Sim, pois em todos os puzzles a relação se confirmou.
- Sim, pois já sabemos que essa relação é verdadeira.
Item d
No Cabrì, construa um triângulo retângulo ABC qualquer. Com a
ferramenta “distância ou comprimento” meça os lados de seu triângulo e
com a calculadora verifique a relação percebida anteriormente. O que você
conclui?
Objetivo – Oferecer ao aluno um novo processo de validação para a
relação pitagórica, a partir de uma construção própria no Cabrì.
Consideramos necessário para a realização desta atividade, algum
conhecimento prévio sobre o manuseio de algumas ferramentas do cabrì
como: a calculadora, a medida e comprimento, e outras necessárias na
construção de triângulos retângulos. Com isto dificuldades podem surgir
causando um pouco de demora na execução dessa atividade.
O que se espera como uma possível resposta dos alunos para esta
atividade é semelhante a seguinte:
Conclui-se que a relação percebida anteriormente, é válida para este
triângulo também.
Item e
A verificação feita no item d, garante que a relação vale sempre para
qualquer triângulo retângulo? Justifique.
Objetivo – Verificar se o aluno faz generalização apenas a partir da
verificação feita num caso particular.
É provável que alunos apresentem dificuldades em responder essa
questão, por não terem experiências em sala de aula, relativas ao trabalho com
82
demonstração. Assim podem responder afirmativamente que a relação vale
sempre, mas terão dificuldades para justificar.
Uma solução esperada seria a seguinte:
Não, pois este é mais um caso particular.
3.2.2. Atividade 2
a) Na figura abaixo o quadrilátero ABCD, é um quadrado. Justifique.
b) Calcule o valor de a, da figura do item a, utilizando o conceito de área.
Justifique.
c) Observe o desenho abaixo e calcule o valor de a em função de b e c usando
apenas o conceito de área.
Compare com o resultado obtido na atividade 1 letra b. O que você observa?
83
d) Compare a conclusão obtida na atividade 1 com a conclusão obtida na
atividade 2 e responda:
i) As duas conclusões são equivalentes? (iguais?)
ii) Em qual dos dois processos (da atividade 1 ou da atividade 2) você
considera ter efetuado uma prova para a relação
?
Justifique.
222
cba +=
Análise da atividade 2
O objetivo desta atividade é conduzir o aluno a uma prova para a relação
pitagórica, utilizando o conceito de área.
Vamos analisar cada item dessa atividade separadamente.
Item a
Na figura abaixo o quadrilátero ABCD, é um quadrado. Justifique.
O objetivo é que o aluno verifique que o quadrilátero de lado a, na figura,
é um quadrado.
84
Para isto, são necessários alguns conhecimentos disponíveis, como a
definição de quadrado, a soma dos ângulos internos de um triângulo e o
conceito ângulo raso, congruência de triângulos.
Uma possível resolução que se espera do aluno é a seguinte:
Sejam x e y as medidas dos ângulos agudos dos triângulos retângulos
que compõem a figura. temos que x + y =
, pois x e y são ângulos
complementares, e sejam
as medidas dos ângulos internos do
quadrilátero ABCD em questão. Temos que mostrar que
(ângulos retos). Observando a figura abaixo, que é um recorte da figura do
exercício apresentado, temos que
= 180 – (x + y) = 180 –
90 = 90 graus. Neste caso consideramos que os quatro triângulos são
congruentes pelo caso LLL de congruência de triângulo.
o
90
4
z e z,z,z
321
o
4321
90zzzz ====
o
1
180zyx =++ ⇒
1
z
Repetindo o mesmo processo para
, podemos concluir que são
ângulos retos e portanto, o quadrilátero ABCD é um quadrado. Pois tem os
quatro lados iguais e os quatro ângulos internos iguais a 90 graus.
4
z,z,z
32
item b
Calcule o valor de a, (na figura do item a) usando apenas o conceito
de área. Justifique.
O objetivo é uma preparação do aluno para o item c. A orientação feita
para usar o conceito de área, além de ser um direcionamento para o item
85
seguinte, é também uma forma de evitar que o aluno já aplique aqui a relação
pitagórica, sem ao menos tê-la provado.
Os conhecimentos disponíveis para esse exercício são o conceito de
área de triângulos e retângulos, congruência de triângulos, potenciação e
radiciação.
Uma possível dificuldade dos alunos, poderá ser na percepção de que a
área da figura pode ser expressa de duas formas diferentes.
Apesar de ser orientado a fazer uso do conceito de área, o uso direto da
relação de Pitágoras, ainda deve aparecer como uma possível estratégia de
alguns alunos.
Uma resolução para esse item pode ser a seguinte:
A figura é um quadrado cujo lado mede 4 + 3 = 7 e cuja área mede 7.7 =
49, mas esse mesmo quadrado é subdividido em um outro quadrado menor cujo
lado mede a e cuja área mede
e 4 triângulos congruentes, pelo caso LLL,
cuja área é
2
a
6
2
4.3
=
cada um. Portanto podemos escrever a seguinte relação:
525a
2449a
4964a
2
2
==
−=
=⋅+
Caso o aluno tenha muita dificuldade em encontrar uma estratégia de
resolução, o aplicador poderá sugerir que ele compare a área do quadrado
MNPQ com as áreas do quadrado ABCD e dos quatro triângulos retângulos.
item c
Observe o desenho abaixo e calcule o valor de a, em função de b e c
usando apenas o conceito de área.
86
Compare com o resultado obtido na atividade 1, letra b. O que você
observa?
O objetivo é levar o aluno a uma comprovação da relação pitagórica,
seguindo o mesmo raciocínio e os mesmos passos utilizados no item b, mas
agora, algebricamente, com mais rigor. É bom destacar que o exercício pede
para calcular o valor de a, sem referir-se explicitamente a provar a igualdade em
questão e sem ao menos citar o nome da relação que conhecemos como
Teorema de Pitágoras.
O conhecimento disponível é o de produtos notáveis, cálculo de área,
congruência de triângulos, potenciação e radiciação.
Como o raciocínio da resolução é similar à do item anterior, supõe-se que os
alunos encontrarão dificuldades somente no cálculo algébrico.
Uma possível resolução para essa questão seria a seguinte:
Observando que a figura é um quadrado cujo lado mede
c)(b
+
, temos que sua
área mede
. Por outro lado, essa mesma figura é formada
por um quadrado cujo lado mede a e cuja área mede
e por quatro triângulos
congruentes, pelo caso LLL, cuja área mede
222
c2bcbc)(b ++=+
2
a
2
cb
⋅
cada um. Portanto, podemos
escrever a seguinte igualdade.
87
22
222
222
222
cba
cba
c2.b.cb2.b.ca
c2.b.cb
2
cb
4.a
+=
+=
++=+
++=
⋅
+
item d
Compare a conclusão obtida na atividade 1 com a conclusão obtida
na atividade 2. Responda:
i) As duas conclusões são equivalentes? (iguais?)
ii) Em qual dos dois processos (da atividade 1 ou da atividade 2)
você considera ter efetuado uma prova para a relação
? Justifique.
222
c+b=a
O objetivo desta última questão da atividade 2, é conhecer do aluno
suas concepções sobre o que é uma prova e o que é uma simples verificação ou
validação. Também é objetivo saber se o aluno reconhecerá quando um
argumento constitui-se numa prova.
Este é o momento em que o aplicador deverá fazer uma
institucionalização daquilo que se pretende alcançar com essas atividades,
que é levar o aluno a reconhecer a diferença entre uma verificação e uma prova.
Pode ser que os alunos respondam sim, que a atividade do item c representa
uma prova, mas terão dificuldades em justificar sua resposta.
Uma possível solução seria:
i) Sim, são equivalentes.
ii) A atividade 2, pois o triângulo escolhido não é um caso particular, com
medidas conhecidas, mas sim um caso geral, em que as medidas a, b e c
representam medidas quaisquer.
88
3.2.3. Atividade 3
a) No Cabrì, construa um triângulo retângulo qualquer ABC, retângulo em
A e trace a altura AH relativa ao lado BC. Considere a, b, c, h, m e n as
respectivas medidas dos segmentos BC, AB, AC, AH, CH e BH, como ilustra a
figura abaixo.
Com a ferramenta “medida ou comprimento” obtenha e anote abaixo, as
medidas a, b, c, h, m e n da sua figura.
n m h c b a =
=
=
===
Com a calculadora (Cabrì ou qualquer outra) obtenha os valores abaixo e
relacione a coluna da esquerda de acordo com a direita.
=
=
==
==
==
n.a b.c
m.n c
m.a b
a.h h
2
2
2
Anote abaixo as relações obtidas.
b) No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo e h é a sua altura relativa ao lado BC, m e n são as
projeções ortogonais sobre o lado BC dos respectivos lados AC e AB. Um
triângulo semelhante ao que você construiu no item a.
89
Para justificar que
, um aluno utilizou-se dos seguintes passos.
Justifique cada um desses passos. Observe a figura acima.
m.n=h
2
Passo 1 - Se o triângulo ABC é retângulo em A então
. Justifique.
222
c+b=a
Passo 2 - Se
então . Justifique.
222
c+b=a
222
c+b=n)+(m
Passo 3 - Se
então
Justifique.
222
c+b=n)+(m
222222
m+h+n+h=n+2mn+m.
Passo 4 - Se
então . Justifique.
222222
m+h+n+h=n+2mn+m 2mn=2h
2
Passo 5 – Se
então . Justifique.
2mn=2h
2
mn=h
2
c) Para justificar que
, um outro aluno utilizou-se dos seguintes passos.
Justifique cada um desses passos. Observe a figura no item b.
a.n=b
2
Passo 1 - Se o triângulo ABH é retângulo em H, então . Justifique.
222
n+h=b
Passo 2 - Se
então . Justifique.
222
n+h=b
22
n+m.n=b
Passo 3 – Se então . Justifique.
22
n+m.n=b
m)+n.(n=b
2
Passo 4 – Se
então . Justifique.
m)+n.(n=b
2
n.a=b
2
d) Como você justificaria a igualdade
? Observe a figura do item b.
a.m=c
2
e) Para provar que
, outro aluno procedeu da seguinte maneira.
Justifique cada passo. Observe a figura do item b.
ah=bc
Passo 1 – Se e então . Justifique
na=b
2
. a.m=c
2
m.aa.n=cb
22
.
Passo 2 – Se então . Justifique.
an.am=cb
22
mna=cb
222
90
Passo 3 - Se então . Justifique.
mna=cb
222 2222
ha=cb
Passo 4 – Se
então . Justifique.
2222
ha=cb
ah=bc
f) Encontre uma outra prova para a relação
usando o conceito de área.
Observe novamente a figura no item b.
ah=bc
Análise da atividade 3
O objetivo é de conhecer um pouco mais sobre o comportamento e a
reação do aluno, em mais um trabalho de argumentação e prova.
A atividade está subdividida em vários itens, que analisaremos abaixo
separadamente.
a) No Cabrì, construa um triângulo retângulo qualquer ABC,
retângulo em A e trace a altura AH relativa ao lado BC. Considere a, b, c, h,
m e n as respectivas medidas dos segmentos BC, AB, AC, AH, CH e BH,
como ilustra a figura abaixo.
Com a ferramenta “medida ou comprimento” obtenha e anote
abaixo, as medidas a, b, c, h, m e n da sua figura.
= n =m =h =c = b = a
Com a calculadora (Cabrì ou qualquer outra) obtenha os valores
abaixo e relacione a coluna da esquerda de acordo com a direita.
91
2
2
Anote abaixo as relações obtidas.
lidações das relações métricas num
iângulo retângulo, a partir de um caso particular de triângulo retângulo, que ele
próprio
uitos cálculos com números decimais.
ois dependem do triângulo que cada um constrói. Já as relações
obtidas
2
b) No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, a, b e c são as
edidas dos lados do triângulo e h é a sua altura relativa ao lado BC, m e n
são as
=a.h = h
2
=n.a = b.c
=m.n = c
=m.a = b
Objetivo – Levar o aluno a fazer va
tr
constrói.
Pode ser que haja alguma dificuldade no manuseio de ferramentas do
cabrì e com os m
Pré-requisitos – Conhecimentos de Cabrì, cálculo com números
decimais.
Possível solução – As respostas para os valores de a, b, c, h, m e n são
abertas, p
deverão ser todas iguais, como abaixo:
n.a=b
m.n=h
2
2
ah=bc
m.a=c
m
projeções ortogonais sobre o lado BC dos respectivos lados AC e
AB. Um triângulo semelhante ao que você construiu no item a.
92
Para justificar que , um aluno utilizou-se dos seguintes
passos. Justifique cada um desses passos. Observe a figura acima.
m.n=h
2
Passo 1 - Se o triângulo ABC é retângulo em A então
.
Justifique.
222
c+b=a
Passo 2 - Se
então . Justifique.
222
c+b=a
222
c+b=)n+m(
Passo 3 - Se
então
Justifique.
222
c+b=)n+m(
222222
m+h+n+h=n+mn2+m.
Passo 4 - Se
então .
Justifique.
222222
m+h+n+h=n+mn2+m mn2=h2
2
Passo 5 – Se
então . Justifique.
mn2=h2
2
mn=h
2
Objetivo – Desenvolver no aluno a capacidade de argumentação e de
prova e obter dados para analisar seu desempenho.
As possíveis dificuldades poderão ser: na escrita, na interpretação
algébrica da figura do triângulo, na justificativa do passo 3 em que exige o uso
do teorema de Pitágoras duas vezes.
Se houver muita dificuldade que impeçam o aluno de prosseguir, o
aplicador poderá sugerir alguma estratégia que o permita continuar.
Os pré-requisitos são: Teorema de Pitágoras e produtos notáveis.
Uma possível resolução seria como a seguir:
93
Passo 1 - Se o triângulo ABC é retângulo em A então .
Justifique.
222
c+b=a
Justificativa - Pelo Teorema de Pitágoras.
Passo 2 - Se
então . Justifique.
222
c+b=a
222
c+b=)n+m(
Basta observar na figura que
e fazer a substituição.
n+m=a
Passo 3 - Se
então
222
c+b=)n+m(
222222
m+h+n+h=n+mn2+m.
No 1º. Membro da igualdade desenvolve-se o produto
222
c+b=)n+m(
222
n+mn2+m=)n+m(.
No 2º. Membro da igualdade
, observando a figura e
aplicando o Teorema de Pitágoras, tem-se que
e que .
222
c+b=)n+m(
222
n+h=b
222
m+h=c
Substituindo no 1º. e 2º. Membros da igualdade da hipótese, obtêm-se a
seguinte igualdade:
222222
m+h+n+h=n+mn2+m
Passo 4 - Se então .
Justifique.
222222
m+h+n+h=n+mn2+m mn2=h2
2
Basta fazer subtrair e de cada membro da igualdade
2
m
2
n
222222
m+h+n+h=n+mn2+m.
Passo 5 – Se então . Justifique. mn2=h2
2
n.m=h
2
Basta dividir ambos os membros da igualdade por 2.
c) Para justificar q
, um outro aluno utilizou-se dos
seguintes passos. Justifique cada um desses passos. Observe a figura no
item b.
ue
94
Passo 1 - Se o triângulo ABH é retângulo em H, então .
Justifique.
222
n+h=b
Passo 2 - Se
então . Justifique.
222
n+h=b
22
n+n.m=b
Passo 3 – Se
então . Justifique.
22
n+mn=b
)m+n(n=b
2
Passo 4 – Se então . Justifique. )m+n(n=b
2
na=b
2
Objetivo - Desenvolver no aluno a capacidade de argumentação e de
prova e obter dados para analisar seu desempenho.
Pré-requisitos – Teorema de Pitágoras, a relação
provada no
item b), fatoração de expressões algébricas.
n.m=h
2
Uma possível dificuldade do aluno poderá ser no passo 2 onde foi
utilizada a relação
recém provada, e também na fatoração realizada no
passo 3.
n.m=h
2
Uma possível resolução está abaixo:
Passo 1 - Se o triângulo ABH é retângulo em H, então
.
Justifique.
222
n+h=b
Basta aplicar o Teorema de Pitágoras.
Passo 2 - Se
então . Justifique.
222
n+h=b
22
n+mn=b
Usando a igualdade provada no item b), basta substituir
por
mn
no
segundo membro.
2
h
Passo 3 – Se
então . Justifique.
22
n+mn=b
)m+n(n=b
2
Basta colocar
n
em evidência no segundo membro da igualdade.
Passo 4 – Se
então . Justifique.
)m+n(n=b
2
na=b
2
Observando na figura que
, faz-se a substituição no segundo
membro para obter que
.
a=m+n
na=b
2
95
d) Como você justificaria a iguald ? Observe a figura do
item b.
ade
)
Objetivo – Proporcionar ao aluno exercício de prova e observar sua
iniciativa e suas estratégias.
É provável que haja certa dificuldade para dar a partida. Talvez ele
procure comparar essa relação com as outras já provadas, para tentar imitar a
sua prova.
Pré-requisitos - Teorema de Pitágoras, a relação
provada no
item b), fatoração de expressões algébricas, equações.
nm=h
2
Uma possível solução seria por imitação ao item c, como segue.
Passo 1 - Se o triângulo ACH é retângulo em H, então
222
h+m=c
Passo 2 – Se então
222
h+m=c mn+m=c
22
Justificativa:
conforme já foi provado.
mn=h
2
Passo 3 – Se
então
mn+m=c
22
n+m.(m=c
2
Justificativa: colocou-se o
m
em evidência no segundo membro da
igualdade.
Passo 4 – Se
então
)n+m.(m=c
2
ma=c
2
Justificativa: Observando a figura no item b, temos que
e
substituímos no segundo membro da igualdade.
a=n+m
Outra solução possível seria a seguinte, que se diferencia por não usar
a subdivisão em passos:
Na figura do item b, tem-se que o triângulo ACH é retângulo em H, e
portanto pelo Teorema de Pitágoras
.(I)
222
h+m=c
96
Mas já foi provado no item b que , substituindo em (I) obtém-
se a igualdade
(II).
n.m=h
2 2
h
mn+m=c
22
2
Colocando
m
em evidência a igualdade (II) fica (III). )n+m.(m=c
2
Ainda, pela figura do item b, observa-se que
, logo pode-se
substituir a em (III) e .
a=n+m
ma=c
e) Para provar que , outro aluno procedeu da seguinte
maneira. Justifique cada passo. Observe a figura do item b.
h.a=c.b
Passo 1 – Se
e então . Justifique.
an=b
2
am=c
2
am.an=cb
22
Passo 2 – Se
então . Justifique.
am.an=cb
22
mna=cb
222
Passo 3 - Se
então . Justifique.
mna=cb
222 2222
ha=cb
Passo 4 – Se
então . Justifique.
2222
ha=cb
ah=bc
Objetivo – Desenvolver a capacidade de reconhecer estratégias de
provas e observar seu crescimento em relação aos 3 itens anteriores.
Pré-requisitos - Radiciação, propriedades da relação de igualdade.
Uma possível dificuldade será no passo 1, em que há um produto de
igualdades e no passo 4 na extração da raiz quadrada de ambos os membros da
igualdade.
Uma possível solução é a seguinte:
Passo 1 – Se
e então
an=b
2
am=c
2
am.an=cb
22
Justificativa. Basta multiplicar os membros correspondentes das duas
igualdades.
Passo 2 – Se
então .
am.an=cb
22
mna=cb
222
Justificativa. No segundo membro
2
a=aa
Passo 3 - Se
então . Justifique.
mna=cb
222 2222
ha=cb
97
Justificativa. Como pode-se substituir no segundo membro da
igualdade.
n.m=h
2
Passo 4 – Se
então . Justifique.
2222
ha=cb
ha=c.b .
Justificativa. Considerando que a, b, c e h são medidas de segmentos,
logo números positivos, então basta extrair a raiz quadrada de ambos os
membros da igualdade.
f) Encontre uma outra prova para a relaç
usando o
conceito de área. Observe novamente a figura no item b.
ão
Objetivo – Colocar o aluno diante de novas estratégias de prova.
Pré-requisitos – Área de triângulos, cálculo com frações.
Possíveis dificuldades – Estabelecer relação de área nos três
triângulos.
Uma possível solução é a seguinte:
Pela figura tem-se que a área do triângulo ABC é igual à soma das áreas
dos triângulos ACH e ABH.
Por outro lado, tem-se que:
Área do triângulo ABC é igual a
2
c.b
Área do triângulo ACH é igual a
2
c.m
98
Área do triângulo ABH é igual a
2
h.n
Daí podemos escrever que
a.h=c.b
2
a.h
=
2
)n+m.(h
=
2
h.n
+
2
h.m
=
2
c.b
→
.
Está provado.
3.2.4. Atividade 4
a) Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 2cm.
b) Dado um segmento AB de medida 1cm, apresente um método para
construir um segmento de medida
2
cm.
c) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero de lado medindo 2cm.
d) Mostre que a altura de um triângulo eqüilátero de lado medindo
cm é
l
2
3
=h
l
.
e) Considere o retângulo ABCD representado pelo desenho abaixo.
Dobre o retângulo de modo que o vértice A coincida com o vértice C,
como o desenho a seguir:
99
Calcule a medida x do segmento EB.
f) Calcule o comprimento da diagonal AB do cubo de aresta igual a 5cm
conforme a figura abaixo:
g) Sendo D uma diagonal do cubo cuja aresta mede
a, prove que 3a=D.
h) Existem dois postes AC e BD perpendiculares a um plano, como mostra a
figura. O plano está dividido em quadrados cujos lados medem 1m.
AC = 9 m, BD = 2 m. Encontre o comprimento de CD.
100
i) A figura abaixo representa o projeto da cobertura de uma casa. O futuro
proprietário deseja que essa cobertura, vista de frente, tenha a forma de um
triângulo retângulo, cujo ângulo reto fique na cumeeira do telhado (ponto A). Ele
ainda almeja que um lado do telhado meça 8m e o outro lado meça 6m. O
arquiteto responsável pelo projeto está com algumas dúvidas e precisa do teu
auxílio para saná-las. Ajude-o. Veja abaixo:
i1) Qual deve ser a largura a desse telhado?
i2) Qual a medida m do comprimento do segmento
CH
?
i3) Qual a medida n do comprimento do segmento
HB ?
i4) Qual deve ser a altura h desse telhado?
Análise da atividade 4
Objetivo – Oferecer oportunidade de o aluno aplicar os conhecimentos
adquiridos nas atividades 1, 2 e 3. Observar o seu desempenho após terem
passado por uma atividade de prova.
Vamos analisar cada um dos exercícios que compõem essa atividade 4.
a) Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede
2cm.
101
Objetiva-se verificar se o aluno consegue perceber que a diagonal de um
quadrado é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são os lados
do quadrado e então aplicar o Teorema de Pitágoras.
Segundo a classificação de Robert (1998), podemos classificar este
exercício no nível disponível, pois não há, no enunciado da questão, nenhuma
indicação para se aplicar o Teorema de Pitágoras.
O que pode trazer dificuldades para o aluno neste exercício, é a
ausência de uma figura no enunciado da questão.
Resolução:
Se o aluno inicialmente fizer a representação do quadrado poderá
decompô-lo em dois triângulos retângulos e depois “matematizar” a situação,
como abaixo:
2=x
2=x
2
4
=x
x2=4
x+x=2
2
2
2
222
O valor obtido para o lado do quadrado, é um número irracional, é
possível que os alunos tentem calcular a raiz de 2.
b) Dado um segmento AB de medida 1cm, apresente um método
para construir um segmento de medida
2
cm.
Objetivo – Colocar o aluno diante de um problema de
incomensurabilidade e levá-lo a reconhecer a importância do Teorema de
Pitágoras nesta construção.
102
Este exercício está no nível disponível de Robert (1998), pois não há
nenhuma indicação ou sugestão.
Observa-se que os dados do problema não vêm representados por um
registro de desenho, isto constituirá numa possível dificuldade para o aluno.
Possíveis resoluções:
- O aluno talvez tente usar a calculadora para extrair o valor de
2
e
então construir com régua esse segmento de medida aproximada. Neste caso
ele (o aluno) não usa o segmento AB como pede a questão.
- A hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem ambos
1cm tem medida igual a
2
cm. Portanto, basta construir um triângulo retângulo
cujos catetos sejam iguais ao segmento AB e depois traçar a hipotenusa. Neste
caso a hipotenusa será o segmento pedido de medida
2
cm.
c) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero de lado medindo 2cm.
Objetivo – Neste caso o objetivo é envolver o aluno em um processo de
prova, no nível que Balacheff (1988) chama de exemplo genérico e também
preparar o raciocínio do aluno para resolver com maior desenvoltura o exercício
seguinte. Espera-se que o aluno faça uso do Teorema de Pitágoras para o
cálculo da altura do triângulo eqüilátero, a qual é um dos catetos de um triângulo
retângulo. Mas pode ser que eles usem o conceito de trigonometria na sua
resolução.
Consideramos este um exercício de nível disponível da classificação de
Robert (1998), visto que não está sendo dada nenhuma indicação ou sugestão
de que o aluno deverá usar o teorema de Pitágoras.
Uma possível dificuldade do aluno pode ser em representar o problema
em forma de figura.
Um pré-requisito – O conceito de altura de um triângulo.
Uma possível resolução é a seguinte:
Traçando-se uma altura do triângulo eqüilátero de lado medindo 2cm,
obtemos a seguinte figura:
103
Daí, aplicando a relação de Pitágoras, vem que:
3=h
h=14
h+1=2
2
222
Portanto, a altura do triângulo eqüilátero de lado medindo 2cm é
3cm.
d) Mostre que a altura de um triângulo eqüilátero de lado medindo
cm é
l
2
3
=h
l
.
Objetiva-se neste exercício que o aluno aplique o raciocínio do item
anterior para obter um fórmula para o cálculo da altura de um triângulo
eqüilátero em função de seu lado
. Este exercício também visa envolver o
aluno em um processo de prova no nível que Balacheff (1988) chama de
experiência mental.
l
Observa-se que não é dada nenhuma dica de que este exercício é
semelhante ao anterior. Entretanto, por causa dessa semelhança com o
exercício anterior consideramos que este exercício está no nível mobilizável
pois neste caso os conhecimentos a serem utilizados estariam bem
identificados. Mas poderíamos classificá-lo também no nível disponível caso o
aluno não perceba que há semelhança com o exercício anterior.
Pré-requisitos – Cálculo algébrico, cálculo com frações e com radicais.
Talvez a dificuldade dos alunos será no cálculo algébrico e no cálculo
com fração.
Uma possível resolução segue os passos do item anterior, que se faz
abaixo:
104
Considerando-se um triângulo eqüilátero de lado , traça-se a sua altura
para obter a figura abaixo:
l
Aplicando Pitágoras tem-se
2
3
=
4
3
=h
4
3
=h
3=h4
4=h4
4
+h=
)
2
(+h=
2
2
2
22
222
2
22
222
ll
l
l
ll
l
l
l
l
Está mostrado.
Outra possível resolução é com o uso de trigonometria. Considerando
que os ângulos do triângulo eqüilátero são de 60 graus, podemos calcular
observando a figura abaixo
2
3
=h
h
=
2
3h
=)30cos(
0
l
ll
→→ . Está mostrado.
O aluno ainda pode provar usando o ângulo B, que mede 60 graus, da
seguinte forma:
105
2
3
=h
h
=
2
3h
=60sen
0
l
ll
→→ .
e) Dado o retângulo ABCD representado pelo desenho abaixo.
Dobre o retângulo de modo que o vértice A coincida com o vértice C,
como o desenho abaixo.
Calcule a medida x do segmento EB.
Objetivo – Também é uma aplicação do Teorema de Pitágoras.
Consideramos este um exercício do nível mobilizável da classificação de
Robert (1998), visto que os conhecimentos que são utilizados são bem
identificados, pois é uma aplicação do Teorema de Pitágoras, mas é necessária
alguma adaptação.
106
Pré-requisitos – Cálculo algébrico.
As possíveis dificuldades que os alunos podem encontrar é a de
visualização e transferência de medidas. Ele tem que visualizar, por exemplo,
que os segmentos EC e AE têm medidas iguais e medem
cm.
)x8( -
Uma possível resolução é a seguinte:
Observando a figura, temos que
)x8(ECAE -≡≡
O triângulo BCE é retângulo em B, pois ABCD é um retângulo. Logo,
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. Assim, temos que:
75,1=
4
7
=
16
28
=x
28=x16
36=x1664
36+x=x+x1664
6+x=)x8(
22
222
-
-
-
f) Calcule o comprimento da diagonal AB do cubo de aresta igual a
5cm conforme a figura abaixo:
O
objetivo deste exercício é preparar o raciocínio do aluno para o
exercício seguinte. Ao realizar esta tarefa, o aluno estará realizando uma prova,
no
exemplo genérico, para a fórmula da diagonal de um cubo.
Consideramos que este exercício é do
nível disponível de acordo com
Robert (1998), visto que não é dada nenhuma sugestão referente ao teorema de
Pitágoras.
As
possíveis dificuldades devem acontecer na visualização, pois o
aluno tem que traçar a diagonal de uma das faces para perceber que o
107
segmento AB é hipotenusa de um triângulo retângulo que tem como um dos
catetos a diagonal traçada. Além disso, tem que efetuar cálculos envolvendo
potência de radical.
Os
pré-requisitos são potenciação, radiciação e propriedades do cubo.
Uma
resolução possível é a seguinte:
Traçando-se sobre a base do cubo a projeção ortogonal do segmento AB,
obtemos a seguinte figura
Considere o triângulo BCD, que é retângulo em D, pelas propriedades do
cubo. Pelo Teorema de Pitágoras temos que:
cm25=50=25+25=BC
5+5=BC
BD+CD=BC
222
222
Por outro lado, considere o triângulo ABC, que é retângulo em C, pelas
propriedades do cubo. Aplicando o teorema de Pitágoras temos que:
cm35=75=AB
75=50+25=2.25+25=)25(+5=AB
BC+AC=AB
222
222
g) Sendo D uma diagonal do cubo cuja aresta mede a, prove que
3a=D .
Objetivo
– Desenvolver o cálculo algébrico, muito importante na atividade
de prova.
108
Se considerarmos que este exercício é semelhante ao da letra f, podemos
classificá-lo no
nível mobilizável, pois neste caso os conhecimentos que são
utilizados são bem identificados, como afirma Robert (1998), entretanto, se o
considerarmos isoladamente, sem a dica do exercício anterior, podemos
classificá-lo no nível disponível.
As
dificuldades possíveis são as de interpretação do enunciado, a
representação do mesmo em figuras, o cálculo algébrico e o cálculo com
radicais.
Pré-requisitos – propriedades do cubo, cálculo algébrico e cálculo com
radicais.
Uma
possível resolução é a seguinte:
Considerando a figura abaixo em que d representa a diagonal da base do
cubo e D representa uma diagonal do cubo.
Pelo Teorema de Pitágoras e considerando as propriedades de um cubo,
observando a figura, temos que
2a=a2=d
a2=a+a=d
2
2222
Novamente, observando a figura, considerando as propriedades de um
cubo e pelo Teorema de Pitágoras, temos que
3a=a3=D
a3=a2+a=D
)2a(+a=d+a=D
2
2222
22222
Assim, está provado.
109
h) Existem dois postes AC e BD perpendiculares a um plano, como
mostra a figura. O plano está dividido em quadrados cujos lados medem
1m. AC = 9 m, BD = 2 m. Encontre o comprimento de CD.
Objetivo – Desenvolver a capacidade do aluno em aplicar os recursos
disponíveis (o Teorema de Pitágoras) na resolução de problemas.
A questão proposta não apresenta nenhuma indicação ou sugestão, por
isto, a classificamos no
nível de funcionamento disponível da classificação de
Robert (1998).
Pré-requisitos – Cálculo com radicais.
Aqui as
possíveis dificuldades deverão acontecer somente nos
processos de cálculo, visto que com os dois exercícios anteriores os alunos já
terão adquirido certa maturidade na visualização de triângulos retângulos.
Uma
possível solução é a seguinte:
Observando a figura, observa-se que o segmento AB é hipotenusa de um
triângulo retângulo cujos catetos medem 4m e 2m, portanto pelo Teorema de
Pitágoras temos que:
cm52=20=AB
20=4+16=2+4=AB
222
Para Calcular CD, basta imaginar a seguinte figura
110
Na qual temos que os segmentos AB e ED são paralelos e congruentes
por construção. Neste caso temos o triângulo CED, retângulo em E, cujos
catetos ED e EC medem respectivamente
52 cm e 7cm. Assim, aplicando o
Teorema de Pitágoras temos que:
69=CD
69=49+20=49+5.4=7+)52(=EC+ED=CD
22222
i) A figura abaixo representa o projeto da cobertura de uma casa. O
futuro proprietário deseja que essa cobertura, vista de frente, tenha a
forma de um triângulo retângulo, cujo ângulo reto fique na cumeeira do
telhado (ponto A). Ele ainda almeja que um lado do telhado meça 8m e o
outro lado meça 6m. O arquiteto responsável pelo projeto está com
algumas dúvidas e precisa do teu auxílio para saná-las. Ajude-o. Veja
abaixo:
i1) Qual deve ser a largura a desse telhado?
111
i2) Qual a medida m do comprimento do segmento CH?
i3) Qual a medida n do comprimento do segmento
HB?
i4) Qual deve ser a altura h desse telhado?
Objetivo – Colocar o aluno diante de uma situação em que possa aplicar
as relações que foram provadas a partir do Teorema de Pitágoras. Observar o
desempenho do aluno em exercícios de aplicação, após executar atividades
com provas.
Consideramos esse exercício no
nível técnico de Robert (1998), visto
que os alunos poderão apenas utilizar as fórmulas obtidas na atividade 3.
Os
pré-requisitos, as possíveis dificuldades e as possíveis
resoluções
estão apresentados logo abaixo, separadamente por item.
Para esta atividade será permitido o uso de calculadora.
i1) Qual deve ser a largura a desse telhado?
Pré-requisitos – Teorema de Pitágoras e cálculos com raiz quadrada.
Considera-se que o aluno
não terá dificuldade neste item.
Possível resolução
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, tem-se que
10=a100=a100=36+64=6+8=a
222
⇒⇒ . Logo a largura do telhado deve
ser de 10 metros.
i2) Qual a medida m do comprimento do segmento CH?
Pré-requisitos
– Relações métricas no triângulo retângulo.
Consideramos que o aluno
não terá dificuldade neste item.
Possível resolução
Observando o telhado e aplicando uma das relações métricas no triângulo
retângulo ABC, tem-se que
, como ,
64=a.ma.m=8
2
⇒
10=a 4,6=
10
64
=m
Logo, o comprimento m é 6,4 metros.
112
i3) Qual a medida n do comprimento do segmento HB?
Possíveis pré-requisitos – Subtração ou relações métricas no triângulo
retângulo.
Consideramos que o aluno
não terá dificuldade neste item.
Soluções Possíveis.
1. Como pela figura do telhado
e já sabemos que e
tem-se que . Assim o comprimento
é 3,6 metros.
n+m=a
10=a
4,6=m 6,3=4,610=ma=n
n
2. Observando o telhado e aplicando uma das relações métricas no
triângulo retângulo ABC, tem-se que
, como ,
36=naa.n=6
2
⇒
10=a
6,3=
10
36
=n
. Logo o comprimento
n
é 3,6 metros.
i4) Qual deve ser a altura h desse telhado?
Possíveis pré-requisitos - relações métricas no triângulo retângulo,
radiciação com números decimais e Teorema de Pitágoras.
Uma
possível dificuldade pode ser a extração da raiz quadrada de
números decimais.
As
possíveis resoluções são:
1. Pela relação
8,4=04,23=h04,23=6,34,6=n.m=h
2
⇒
. Logo o
comprimento
h é 4,8 metros.
2. No triângulo retângulo ABH temos pelo Teorema de Pitágoras que
.8,4=04,23=h04,23=96,1236=6,336=n36=hn+h=6
222222
⇒⇒
Logo o comprimento
h
é 4,8 metros.
3. No triângulo retângulo ACH temos pelo Teorema de Pitágoras que
.8,4=04,23=h04,23=96,4064=h4,6+h=64m+h=8
222222
⇒⇒⇒
Logo, o comprimento h é 4,8 metros.
4. Aplicando a relação
. Então,
c.b=h.a
.8,4=
10
48
=h8.6=h10 ⇒
113
CAPÍTULO IV
EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE A POSTERIORI DAS
ATIVIDADES
Neste capítulo apresentamos um relato sobre a fase de experimentação
da seqüência didática, o público alvo e a análise
a posteriori de cada atividade.
4.1. Experimentação
Optamos por aplicar a seqüência didática apenas a alunos da 1ª. série do
Ensino Médio, por conveniência, já que esses alunos pertenciam às turmas do
próprio professor aplicador, que é também o professor pesquisador.
Mesmo conhecendo os alunos, encontramos dificuldades para conseguir
um número suficiente de participantes. A atividade deveria ser aplicada em
horário diferente do horário normal de aula dos alunos. Assim, no período
vespertino aplicaríamos as atividades para alunos do horário matutino, e no
período matutino aplicaríamos para os alunos do período vespertino.
O convite foi estendido a três turmas, sendo duas turmas de escola
particular da cidade de Itapecerica da Serra, município do interior do Estado de
São Paulo, e uma turma de escola pública estadual, localizada no Capão
Redondo, bairro da periferia da zona sul da Capital Paulista.
Os alunos da escola pública não se dispuseram a participar, justificando-
se que não teriam tempo disponível fora do horário normal de aula, e quando
desafiados a realizarem a tarefa no próprio período de aula, durante as aulas de
matemática, se esquivaram, desculpando-se por não terem facilidade para
realizar tais tarefas. Inclusive em conversa particular com dois alunos
considerados “bons” em matemática, percebemos uma falta de vontade em
participar, demonstrando-se receosos.
Já alunos das duas classes de escola particular, uma do período matutino
(turma A) e a outra do período vespertino (turma B), demonstraram ter boa
vontade, mas se desculpavam em não poder participar em horário diferente ao
seu horário normal de aula.
114
Na turma A, apenas três duplas se dispuseram a participar, mas logo em
seguida um aluno desistiu e então ficamos apenas com 5 alunos. Formamos
então uma dupla e um trio.
Devido às dificuldades de se trabalhar em horário diferente do horário
normal das aulas, resolvemos que na turma B, por ter número reduzido de
alunos, aplicaríamos as atividades no próprio horário da aula de matemática, o
que também não foi fácil, pois na rotina da sala de aula, alguns alunos tendem a
não colaborar e não levar a sério. Portanto, escolhemos limitar a aplicação a
apenas 5 duplas. Abaixo apresentamos as duplas de trabalho.
Dupla (Gui, Yu) manteve-se até o final das atividades
Trio (Pep,Ma,Lou) manteve-se até o final.
Dupla (Rau, Ped) manteve-se até o final, um dos componentes faltou em
um dos encontros.
Dupla (Wil, Ary) manteve-se até o final.
Dupla (Nat, Tha) manteve-se até o final.
Dupla (Jo, Gui) manteve-se até o final, mas com ausência freqüente de
um dos componentes.
Dupla (Vi, Tha) manteve-se até o final.
Na dupla (Wil, Ary) o aluno Wil em certos momentos, por conta própria,
resolveu trabalhar sozinho, mas ao final voltou ao trabalhar em duplas.
Usamos para a nossa análise a dupla (Gui, Yu) e o trio (Pep, Ma, Lou),
que, por comodidade, algumas vezes chamaremos de dupla e trio,
respectivamente. Escolhemos esses dois grupos por terem trabalhado em
horário diferente do seu horário de aula, permitindo um maior controle dos
registros de suas discussões.
Sempre que for necessário, faremos comentários sobre os outros grupos.
A dupla (Gui,Yu) completou os trabalhos em três encontros. No primeiro,
realizou a atividade 1 que durou 26 minutos e também a atividade 2 que durou
45 minutos, nesse mesmo encontro iniciou a atividade 3, por insistência deles.
No segundo encontro, a dupla reiniciou a atividade 3, que durou 72 minutos,
115
incluindo o tempo gasto no primeiro encontro. No terceiro e último encontro,
realizou a atividade 4, que durou 70 minutos.
O trio (Pep, Ma, Lou) completou as atividades em 4 encontros. No
primeiro, realizou a atividade 1, em 30 minutos, a atividade 2 em 50 minutos e
também iniciou a atividade 3, por insistência do próprio trio. No segundo
encontro, retomou a atividade 3 e a concluiu em 77 minutos, incluindo o tempo
gasto no primeiro encontro. No terceiro encontro, que durou 90 minutos realizou
a atividade 4.
Para a realização das atividades, em cada encontro, era entregue aos
alunos somente o questionário referente à atividade daquele encontro, mas
podiam usar o software, quando necessitassem. Nesse questionário teriam que
registrar suas respostas e ao final devolver ao professor pesquisador. Os grupos
foram orientados a não apagar nada do que escrevessem, mesmo que errado,
para isto aconselhamos a utilização de caneta.
Antes da realização das tarefas, os alunos se familiarizaram com o
software Cabrì Gèométre II. Esse trabalho de familiarização foi realizado em
aulas particulares com as duplas, durante as aulas de matemática do professor
pesquisador.
4.2 Levantamento de dados
Os dados utilizados na análise a posteriori constam de:
a) Observações e anotações das falas dos alunos, das discussões entre
eles no grupo, das dificuldades que encontraram ao realizar as tarefas e dos
diálogos entre grupo e professor.
b) Produção dos grupos na forma de material escrito, nas folhas de
atividades.
c) Discussões no grupo, obtidas através de aparelho de gravação de voz.
Duas duplas foram gravadas.
116
4.3 Análise a posteriori da atividade 1
A atividade 1 é introduzida por meio de 9 puzzles construídos a partir de
triângulos retângulos diferentes (vide pág. 68 e 69). Os alunos poderiam
escolher quantos puzzles achassem necessários e por superposição, deveriam
cobrir, sem deixar falhas ou remonte, o quadrado construído a partir da
hipotenusa com as cinco peças que constituem os quadrados construídos sobre
os catetos.
O objetivo dessa atividade é que os alunos, através de uma situação
empírica, percebam que os quadrados construídos sobre os catetos se
encaixam no quadrado construído sobre a hipotenusa.
Observamos que, apesar de terem nove puzzles à sua disposição, os
alunos se contentam em utilizar apenas um puzzle para concluírem a relação.
Assim concluímos, pelas discussões entre eles, que isto ocorreu, não só por
confiarem plenamente no experimento empírico, mas por já conhecerem essa
relação. Em discussão nos grupos ouvíamos eles falarem “É o teorema de
Pitágoras!”.
Concluímos neste início que o software não foi bem explorado pelos
alunos, mas cremos que isto ocorreu devido ao conhecimento prévio desses
alunos, em relação ao teorema de Pitágoras. Ficou patente que o puzzle só
serviu para eles (os alunos) confirmarem o que já sabiam. Assim, o potencial do
software não foi bem explorado.
Em seguida a atividade faz alguns questionamentos, que estão a seguir:
a) O que você observou? Relacione as áreas dos quadrados construídos
sobre os catetos com a área do quadrado construído sobre a hipotenusa. O que
você conclui?
A dupla (Gui,Yu) respondeu:
117
Já o trio T1 respondeu:
Entendemos que os dois grupos compreenderam bem o que deveriam
responder, mas cometem falhas na forma como se expressam. A dupla (Gui, Yu)
escreveu “área dos catetos”, e o trio (Pep, Ma, Lou) escreveu: “área construída
sobre a hipotenusa” e “áreas construídas sobre os catetos”.
Aproveitamos a boa oportunidade para discutir com os grupos, a fim de
esclarecê-los que, cateto e hipotenusa são segmentos e portanto têm área nula.
E demos dicas da forma como poderiam ter se expressado. Eles questionaram,
mas chegamos à conclusão de que não construímos áreas e sim calculamos
áreas. Que área é um número real positivo. Consideramos termos obtido
proveito nessa discussão.
Com o objetivo de fortalecermos a idéia de que, o conhecimento prévio
dos alunos em relação ao teorema de Pitágoras, influenciou nas suas respostas,
vamos incluir a resposta dada a este item a, pela dupla (Jo,Gui). Essa dupla
apresentou a seguinte conclusão:
Mais uma vez fica claro que esses alunos usaram o teorema de Pitágoras
como premissa para as suas conclusões, pois em outras palavras dizem que foi
possível montar os puzzles porque o quadrado da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados dos catetos.
118
Vamos continuar observando o próximo item.
b) Represente a medida da hipotenusa do triângulo retângulo pela letra a,
e por b e c as medidas de cada cateto. Relacione as três medidas a, b e c.
Em relação ao item b, consideramos que o objetivo foi alcançado, pelos
dois grupos analisados, que deram a resposta esperada
, como
mostramos abaixo.
222
c+b=a
(Gui, Yu)
(Pep, Ma, Lou)
c) A verificação feita com os puzzles é confiável, suficiente, e dá certeza
de que a relação obtida no item b é sempre válida em qualquer triângulo
retângulo? Justifique.
As respostas obtidas da dupla e do trio, respectivamente, são as
seguintes:
119
Como vemos, os dois grupos concordam que o experimento empírico é
confiável e que garante a validade do teorema de Pitágoras para qualquer
triângulo retângulo. Mas as suas justificativas não são as que gostaríamos que
fossem.
Analisando separadamente cada grupo, consideramos que a dupla já
conhecia o teorema de Pitágoras e se apoia nesse conhecimento para fazer sua
conclusão. Ao invés de afirmarem que a relação é verdadeira por confiarem no
experimento que realizaram, eles afirmam que o experimento é confiável, pois
em qualquer triângulo retângulo a relação é válida. Assim, ficou claro que a
conclusão deles baseou-se no conhecimento prévio do teorema de Pitágoras e
não no experimento em si, mesmo porque o experimento foi pouco explorado,
mostrando que os alunos não tinham dúvidas sobre essa relação.
Já o trio, respondeu que sim, que o experimento com os puzzles é
confiável e que garante a validade da relação em qualquer triângulo retângulo,
mas justificou-se tentando fazer uma generalização baseada também no
teorema de Pitágoras, afirmando até de forma interessante, que as letras
“podem se ajustar às medidas de todos os triângulos retângulos”, mas os
puzzles nem apresentam tais letras, que segundo o trio se ajustam em qualquer
triângulo! Neste caso, podemos também concluir que, o trio apoia-se no
conhecimento prévio do teorema de Pitágoras. Em suma, poderíamos escrever
a resposta do trio da seguinte forma: Sim, o experimento é confiável, pois o
teorema de Pitágoras é válido.
Uma justificativa, que pareceu-nos muito interessante, foi novamente da
dupla (Jo,Gui), que diz:
120
Essa dupla mostra certa desconfiança na verificação com os puzzles,
quando declara que “os resultados não serão os mesmos, devido às diferenças
de medidas”, o que consideramos uma ótima conclusão, e bem próxima da
resposta que esperávamos, pois eles parecem ter percebido pequenas falhas
nesse processo de verificação com os puzzles. Todavia, o que causou-nos certa
decepção, foi a forma como concluíram, pois a frase “mas a fórmula será
sempre a mesma”, mostra que eles estão apoiados no teorema de Pitágoras.
O objetivo deste item, é levantar dúvidas sobre a confiabilidade desse
método empírico de prova, e também conduzir o aluno a novas conjeturas e
investigações em outros casos particulares de triângulos. Mas os alunos, ao que
parece, não compreenderam bem a questão.
Concluindo a análise deste item, parece-nos mais provável que, ao
responderem “sim”, os alunos demonstram uma confiança mais baseada no
conhecimento prévio do teorema de Pitágoras, do que no método de verificação
feita com os puzzles. Nossa expectativa era que os alunos questionassem a
verificação empírica da relação pitagórica e fossem percebendo a necessidade
de provas mais confiáveis e que fossem adquirindo essa confiança, aos poucos,
à medida que realizassem as futuras tarefas. Entretanto, vamos aguardar quais
comportamentos terão mais adiante.
d) No Cabrì, construa um triângulo retângulo ABC qualquer. Com a
ferramenta “distância ou comprimento” meça os lados de seu triângulo e com a
calculadora verifique a relação percebida anteriormente. O que você
conclui?
Resposta dada pela dupla.
121
Resposta dada pelo trio.
O objetivo deste item é oferecer ao aluno um novo processo de validação
para a relação pitagórica, a partir de uma construção própria no Cabrì.
O que esperávamos era apenas que os alunos concluíssem que, para
esse novo triângulo retângulo construído, a relação observada anteriormente
também é válida.
O trio demonstra-se muito confiante em relação à sua construção, a ponto
de generalizar, pois concluem que “a fórmula (
) pode ser aplicada
em qualquer triângulo retângulo independente do tamanho dos seus catetos e
hipotenusa”.
222
c+b=a
Já a dupla, apenas apresenta a sua conclusão sem fazer generalização, o
que consideramos uma resposta mais correta.
Achamos importante destacar o que ocorre com a dupla (Rau, Ped),
durante a execução desta tarefa (item d), e que está registrado na gravação.
O professor percebeu que essa dupla (Rau,Ped) estava bastante
adiantada, por ter passado muito rapidamente por esse exercício do item d.
Assim, ao ser interrogada, pelo professor, sobre sua rapidez, a dupla disse que,
neste item d, não precisaram realizar a construção do triângulo com o software,
pois já sabiam que “de qualquer jeito a hipotenusa ao quadrado é igual à soma
dos quadrados dos catetos”.
Esse fato, mostra que os alunos não tiveram curiosidade em realizar a
tarefa, por conhecerem o teorema de Pitágoras.
e) A verificação feita no item d, garante que a relação vale sempre para
qualquer triângulo retângulo? Justifique.
122
Respostas:
Dupla (Gui, Yu)
Trio (Pep, Ma, Lou)
Como prevíamos, os dois grupos consideraram que a relação é válida
sempre para qualquer triângulo retângulo.
Consideramos uma resposta absolutamente aceitável para essa situação
dos alunos e mostra que esses alunos não conhecem níveis mais sofisticados
de provas.
A dupla justifica que depois dos testes feitos já poderiam considerar uma
prova. Essa justificativa pode ser uma demonstração da confiança desses
alunos nos experimentos com o software.
Para De Villiers (2001), “quando os alunos já investigaram com cuidado
uma conjetura geométrica, por meio de uma variação contínua, têm pouca
necessidade de fazer maior investigação”. Seria essa a situação desses alunos?
Pode ser, mas não temos muita certeza, pois não chegaram a fazer uma
investigação cuidadosa, a ponto de adquirirem tanta confiança. É provável
também que essa confiança deva-se ao conhecimento prévio do teorema de
Pitágoras, como já temos citado. Mas o que é importante destacar é que a
resposta dessa dupla mostra, que eles não sentem necessidade de mais provas.
Já o trio também considera válida a relação pitagórica em qualquer
triângulo retângulo e justifica que isto ocorre porque “as letras contidas na forma
são variáveis”. Mas este era um caso particular de triângulo e também não
aparecem tais letras das quais o trio se refere, ao escrever sobre as “letras
123
contidas na forma”. Talvez os alunos do trio tenham sido influenciados pelo item
b, na qual usaram letras para representar os lados do triângulo. Também,
poderíamos considerar que, esses alunos consideraram o experimento como
válido para qualquer triângulo retângulo, por estarem num nível de prova que
Balacheff (1988) chama de
Exemplo genérico.
Referente à dupla (Rau,Ped) que não realizou a tarefa do item d, como
citamos na análise do item anterior, respondem que “Sim, por que é uma fórmula
que garante que
2
=a
as eles não realizaram a tarefa, como chegaram
a essa conclusão?
22
c+b
”. M
Concluindo a atividade 1, consideramos que os alunos, em geral, tiveram
um desempenho dentro do esperado, e todos apresentaram resultados bem
semelhantes. Mas não que esse desempenho seja considerado o melhor.
Consideramos que foi o esperado, por estar dentro do que dizem a maioria das
pesquisas, que pregam sobre as dificuldades dos alunos em relação às provas,
em particular sobre a dificuldade que os alunos têm de reconhecer a
necessidade de provas.
Passemos à análise da atividade 2. Vamos observar se os alunos
mudarão de idéia, em relação à alta confiança que demonstraram ter, no método
empírico de verificação.
4.4. Análise a posteriori da Atividade 2
Esta atividade visa conduzir o aluno a uma prova para a relação
pitagórica, utilizando o conceito de área. A atividade apresenta quatro itens, os
quais analisaremos abaixo:
a) Na figura abaixo o quadrilátero ABCD, é um quadrado. Justifique
.
124
Neste item a, da atividade 2, acontece algo curioso, com a dupla (Gui,
Yu). Na discussão entre os dois componentes, podemos ouvir por meio da
gravação, o seguinte:
Ao ler a questão, Gui diz em tom de deboche: “Tem que justificar? Está
de brincadeira! Se aqui está dizendo que todos os lados são iguais, então
logicamente que é um quadrado!”
Já Yu complementa sorrindo com Gui: “Um quadrilátero é um quadrado”.
Gui pergunta em seguida: “Quem foi que elaborou isso aqui?”
Após uma pequena pausa, Gui solicita a presença do professor aplicador,
e insiste dizendo com certa liberdade: “Dá licença, né? Na figura abaixo o
quadrilátero, ou seja, quatro lados iguais...”. “Não!” O professor interrompe
dizendo: “Não. Um quadrilátero é uma figura de quatro lados, mas não significa
que tem quatro lados iguais”.
Gui insiste dizendo: “Mas é um quadrado. Se na figura, os quatro lados
medem a, significa que todos são iguais. Não é meio lógico?”
“Para um quadrilátero ser quadrado, basta ter lados iguais?” Questiona o
professor, dando exemplo do losango.
Yu, mostrando-se convencido, responde: “É verdade Gui”. Mas Gui ainda
não convencido diz: “É sim. Quadrado é só lados iguais”. Mas em seguida
desculpa-se e completa: “É verdade, precisa ter ângulos iguais, também”.
A gravação mostra que, em seguida, a dupla argumentou, por algum
tempo, tentando buscar a justificativa de que o quadrilátero ABCD era um
125
quadrado, mas desiste, para tentar resolver o item b. Essa idéia de partir para o
item b, sem resolver o item a, partiu de Gui, que se justificou dizendo: “Vamos
fazer o item b e calcular o valor de a da figura. Cálculo é mais legal, depois
voltamos para o item a”.
Isso mostra que os alunos não gostam de trabalhos com demonstrações
por considerarem algo difícil, preferindo aqueles exercícios com cálculos, como
normalmente são as aulas de matemática.
Observamos que de todos os grupos investigados, somente a dupla (Gui,
Yu) solicitou a presença do professor pesquisador, a fim de questionar sobre o
item a. Os outros grupos não fizeram nenhum tipo de argumentação, e,
simplesmente, passaram ao item b. Mas, ao serem questionados, uns diziam
que não tinham o que justificar, pois no enunciado do item a, já está afirmando
que o quadrilátero é um quadrado; outros diziam que a figura mostra claramente
que é um quadrado, pois tem lados iguais e os ângulos de 90 graus; outros
consideravam ser uma questão muito difícil.
Quando ouvimos a gravação de voz da dupla (Rau,Ped), percebemos que
os alunos lêem a questão e logo concluem que o quadrilátero ABCD é um
quadrado por ter lados iguais e ângulos iguais, mas chegam à essa conclusão
apenas olhando para a figura. Eles falam “Todos os lados são iguais e os quatro
ângulos são iguais.”
Ao perceber a dificuldade, e afim de não deixar que essa questão
passasse em branco e perdesse seu objetivo, o professor aplicador, orientou os
alunos, de que bastava mostrar que os ângulos internos do quadrilátero ABCD
eram todos iguais a 90 graus, já que os lados já são iguais. Mesmo assim, os
alunos continuaram com dificuldades, então foi dada uma nova sugestão, a de
observarem que os dois ângulos agudos dos triângulos da figura são
complementares e que seria melhor atribuir um valor a cada um desses ângulos,
como por exemplo o valor x e o valor y.
Depois dessas dicas, alguns grupos conseguíram mostrar, pelo menos
para um dos ângulos, que media 90 graus. Devido ao longo tempo envolvido
com esse primeiro ângulo, os alunos acabam esquecendo-se de considerar a
126
demonstração como válida para os outros três ângulos do quadrilátero. Outro
fato que utilizam, sem justificar, é o de que os triângulos são congruentes.
Alguns grupos, por causa da dificuldade, teimavam em não realizar a
tarefa, pois consideravam óbvio que o quadrilátero tinha lados iguais e
visualmente os ângulos mediam 90 graus.
Apresentamos a seguir as respostas dadas pelos dois grupos que
estamos dando destaque nesta análise.
A dupla (Gui, Yu) apresentou a seguinte justificativa:
Mesmo tendo recebido sugestões, ainda podemos considerar essa, uma
excelente justificativa. Basta notar que essa dupla justifica, corretamente, que os
quatro ângulos medem 90 graus. Considera que “os triângulos são iguais”, onde
poderia considerar que “os triângulos são congruentes”, mostrando ter uma
linguagem diferente. Enfim, consideramos que essa é uma prova bem
elaborada, e talvez dentro do nível que Balacheff (1988) chama de
exemplo
genérico
, pois é uma prova que utiliza propriedades de ângulos complementares
e de ângulos rasos, e também faz uma explicitação das razões porque o
quadrilátero é um quadrado. E, por fazer uso de uma figura, que nos parece ser
um representante particular, é que a classificamos neste nível e não no nível da
experiência mental. Mas pode ser que se enquadre neste último.
127
O trio (Pep,Ma,Lou), apresentou a seguinte justificativa:
Observa-se que o trio justifica corretamente que o ângulo C mede 90
graus, mas falha em não considerar o mesmo, para os outros três ângulos A, B
e D, visto que ao justificar “Porque este quadrilátero possui lados e ângulos
semelhantes”, o trio está, implicitamente, considerando que esses ângulos A, B
e D, medem 90 graus. Entendemos isto como uma das dificuldades que os
alunos apresentam, quando realizam provas. Eles não escrevem os detalhes
daquilo que concluem em cada passo do seu processo de prova, mas utilizam
essas conclusões anteriores em passos posteriores.
Durante a execução desse item a, o trio demonstrou ter muitas
dificuldades, mesmo com todas as sugestões do professor aplicador. Até
apresenta também uma outra justificativa, a qual não compreendemos bem, que
foi a seguinte: “Pois possuem os 4 lados iguais, os segmentos de reta (D,A)
(C,B) são paralelos”.
Observa-se, também, que esses alunos (do trio) traçaram o segmento
BD, mostrando terem tentado outras formas de argumentação, o que mostra que
tentaram outros caminhos, o que é interessante, mas parece não terem
alcançado sucesso.
128
Concluímos nesta tarefa do item a, que, no geral, os alunos não vêem
necessidade de buscar uma justificativa. Alguns, por não compreenderem o
enunciado da questão, outros, por considerarem que a própria figura já é
suficiente. E aqueles, que reconhecem a necessidade de justificar, mostram ter
grandes dificuldades em encontrar uma argumentação inicial. E é talvez essa
dificuldade inicial de que cita Gouvêa (1998) quando considera que uma das
dificuldades encontradas pelos alunos, é o “procedimento de resolução: Como
começar? Quais conhecimentos a serem utilizados?” E para Gouvêa (1998),
quando essa dificuldade surge, ou o aluno busca a ajuda do professor antes de
tentar resolver sozinho ou se desanima sem apresentar nenhuma resposta, ou
por fim escolhe dar uma resposta absurda.
b) Calcule o valor de a
, da figura do item a, utilizando o conceito de área.
Justifique.
Para facilitar, vamos incluir a figura do item a.
Ao observarmos as respostas dos alunos, concluímos que todos eles
calculam o valor de a, sem dificuldades, mas, infelizmente, utilizando o teorema
de Pitágoras e não o conceito de área, como pede a questão.
Já estava previsto nesta pesquisa, que, apesar da orientação para
usarem o conceito de área, alguns alunos ainda usariam diretamente o teorema
de Pitágoras, mas não esperávamos isso de todos os alunos.
129
Ao questionarmos com vários desses grupos, alguns disseram ter usado
o teorema de Pitágoras por não lerem atentamente o enunciado da questão,
mas outros disseram ter usado, por não saberem o significado da expressão
“conceito de área”.
Essa dificuldade dos alunos, de não compreenderem o significado da
expressão “conceito de área”, não está prevista nesta pesquisa, mas chama-nos
a atenção, para o fato de que a linguagem pode tornar-se um empecilho a mais
para o aluno, quando da resolução de um exercício. Neste caso, uma frase que
nos parecia muito obvia, para o aluno foi obscura.
Na gravação de voz da dupla (Gui,Yu), ouvimos os alunos questionando,
dizendo: “Mas que conceito de área é esse? Eu nem sei que conceito de área é
esse!” Isso mostra que a dupla compreendeu bem o enunciado, e percebeu que
tinha que usar o tal “conceito de área”, mas não soube o que isto significava, e
por isso utilizou o teorema de Pitágoras, pois foi o caminho mais simples.
Para não perder o objetivo da questão, o professor aplicador insiste para
que a dupla resolva o exercício da forma correta, ou seja, utilizando o “conceito
de área”. Para isto pergunta aos alunos da dupla, se sabem calcular área de
triângulos e quadrados. Eles respondem que sim, e dão exemplos, mostrando
que realmente sabem. Então o professor aplicador esclarece-lhes que isto é o
“conceito de área”, do qual fala o enunciado do exercício. “É isto?” Pergunta
surpreso, Guy, e parte para tentar resolver a questão.
Depois disto, a dupla ainda precisa de algumas sugestões.
Ao final, um dos componentes da dupla diz: “Era maior fácil e a gente
ficou quebrando a cabeça”.
A resposta da dupla (Gui,Yu) é a seguinte:
130
Observa-se na parte superior esquerda a resolução pelo teorema de
Pitágoras e à direita a resolução correta.
A dupla considera a área do quadrado maior, igual a 49, depois a área do
triângulo retângulo igual a 6, multiplicando por 4 e obtendo 24. Depois considera
que “retirando a área dos triângulos da área do quadrado maior, restará somente
a área do quadrado menor (amarelo)”. Neste caso, a dupla está considerando
que 49 – 24 = 25, que é a área do quadrado menor (amarelo).
Depois, corretamente, a dupla justifica que: “como é um quadrado, seus
lados são, obviamente, iguais. Sendo assim, o lado seria a raiz da área”.
E nos cálculos, mostra corretamente, que
a=5=25 .
Essa dupla, desde o início, surpreendeu-nos, por se expressar de forma
clara e bem detalhada.
Já o trio (Pep,Ma,Lou) também não compreendeu o significado da
expressão “conceito de área”, e também achou mais conveniente utilizar o
teorema de Pitágoras. Mas da mesma forma que faz com a dupla (Gui,Yu), o
professor aplicador o incentiva o trio a realizar essa tarefa da forma correta.
131
Sua justificativa é a seguinte:
O trio usa a nomenclatura
∆
para área dos triângulos,
t
A para área
total, referindo-se ao quadrado maior MNPQ, e
a
A para área do quadrado
ABCD amarelo. Assim, utiliza corretamente a iguald
a∆
A+ , e fica
fácil compreender a sua resposta que foi a =
A
ade
A=A
5.
t
Antes de continuarmos a análise, lembramos que este item b, prepara o
aluno para o item c. Seria um exercício do nível de prova que Balacheff (1988)
chama de
exemplo genérico.
c) Observe o desenho abaixo e calcule o valor de a em função de b e c
usando
apenas o conceito de área.
132
Compare com o resultado obtido na atividade 1 letra b. O que você observa?
Neste exercício espera-se que os alunos imitem o processo utilizado no
exercício anterior. Assim, seu objetivo é provar a relação pitagórica, de forma
algébrica e mais rigorosa, seguindo o mesmo raciocínio e os mesmos passos
utilizados no item b. Por fim, os alunos devem comparar esse resultado com
aquele obtido empiricamente na atividade 1, por meio do uso de puzzles.
Ao realizar esta tarefa, o aluno está realizando uma prova no nível da
experiência mental da classificação de Balacheff (1988).
Observando os resultados obtidos dos alunos, vemos que a maioria
apresenta a fórmula
como resposta. Novamente usaram
diretamente o teorema de Pitágoras. Estes são exatamente os que não
conseguiram realizar o exercício anterior utilizando o conceito de área.
222
c+b=a
Naturalmente, a dupla (Gui,Yu) e o trio (Pep,Ma,Lou), por terem
conseguido realizar com sucesso a tarefa anterior, foram os que conseguiram
realizar esta tarefa.
A resposta apresentada pela dupla (Gui,Yu) foi a seguinte:
133
A fim de compreendermos melhor essa justificativa, vamos organizá-la.
222
222
222
2
a=b+c
a=cb2b+cb2+c
a=]
2
cb4
[b+cb2+c
a=)]
2
b.c
.(4[)b+c(
-
-
A solução final que esperávamos era
22
c+b=a
. Essa dupla, inicia
escrevendo na forma correta, isolando o a, mas logo em seguida muda de idéia,
representando na forma
, talvez visando obter a relação pitagórica.
2
a
Consideramos que foi bom o desempenho da dupla (Gui,Yu), que ao
comparar com o resultado obtido na atividade 1, letra b, observa que “ambos os
resultados são iguais”, isto é,
.
222
c+b=a
Já a resposta do trio (Pep,Ma,Lou), é a seguinte:
134
Observa-se que o trio segue o mesmo processo que utilizou para o item
anterior, calculando separadamente as áreas: Dos quatro triângulos
(
cb2=
2
cb
.4
), do quadrado amarelo e do quadrado maior . )a(
2
)bc2+c+b(
22
135
Mas comete, inicialmente, uma falha, ao considerar que a área do
quadrado maior é igual ao produto da área dos quatro triângulos pela área do
quadrado amarelo, da forma como apresentamos abaixo:
E ainda comete outra falha, ao realizar uma operação estranha no passo
seguinte:
Mas o trio, parece ter percebido a sua falha, desconsiderando em seguida
essa operação. Talvez a linha vermelha esteja cancelando a operação, pois logo
em seguida, ele volta com a operação correta. Mas, ao final obtém a relação
pitagórica e não o valor de
22
c+b=a
como pede a questão.
Ao fazer a comparação do resultado obtido neste item, com o obtido na
atividade 1, letra b, o trio conclui corretamente “que é a mesma fórmula”.
A dificuldade dos alunos neste item, novamente, foi utilizar o conceito de
área na resolução.
Passemos à análise do item d.
d) Compare a conclusão obtida na atividade 1 com a conclusão obtida na
atividade 2 e responda:
i) As duas conclusões são equivalentes? (iguais?)
136
ii) Em qual dos dois processos (da atividade 1 ou da atividade 2) você
considera ter efetuado uma prova para a relação
? Justifique.
222
cba +=
Para a primeira pergunta deste item d (pergunta i), todos os grupos são
unânimes em responder “sim”. Esta pergunta não foi influenciada pelos erros
que os alunos cometeram nos itens anteriores (que não usaram o conceito de
área), porque os resultados que obtiveram foram todos iguais
. Por
isto, responderam de forma correta.
222
cba +=
Já para a segunda pergunta (pergunta ii), resolvemos apresentar a
resposta de cada grupo de alunos, por considerarmos uma pergunta crucial para
esta pesquisa, visto que por meio dela, temos a oportunidade de observar sobre
as concepções que os alunos têm de diferentes tipos de prova.
A dupla (Gui, Yu) respondeu como abaixo:
O trio (Pep,Ma,Lou) respondeu como abaixo:
A dupla (Rau, Ped) respondeu que “Na 1 eu provo que funciona, na dois
eu a uso.”
A dupla (Wil, Ary) respondeu que “nas duas, porque nas duas quer saber
a hipotenusa e para isso é a mesma fórmula.”
A dupla (Nat, Tha) respondeu que “nas duas. Porque para se descobrir a
hipotenusa usa-se a mesma fórmula.”
A dupla (Jo, Gui) respondeu que “O processo da atividade 1.”
137
A dupla (Vi, Tha) respondeu que “Nos dois, porque nós usamos o mesmo
procedimento em cada um.”
Observando as respostas dos alunos, percebemos que a maioria
considera os dois processos como provas para a relação pitagórica, sem fazer
nenhuma diferenciação entre os dois métodos. Destacamos como exemplo, a
dupla (Gui, Yu) que se justifica dizendo que são apenas maneiras diferentes de
se provar a mesma coisa.
Essa justificativa apresentada pelos alunos, de que não há diferenças
entre os dois tipos de argumentação, pode ser uma confirmação, às
considerações de Gravina (2001). Essa pesquisadora considera, como uma das
dificuldades inerentes ao processo de aprendizagem da geometria, o perceber,
por parte do aluno, a diferença entre argumento de natureza empírica e
argumento de natureza dedutiva.
A dupla (Jo, Gui), que na atividade 1, considerou haver diferenças de
medidas no experimento com os puzzles, surpreendentemente, considera a
referida atividade 1, como uma prova e não a atividade 2. Talvez essa conclusão
seja porque a dupla não conseguiu desenvolver corretamente a prova da
atividade 2.
O trio (Pep,Ma,Lou) é o único grupo a considerar que, apenas a atividade
2 é uma prova. Mas, entendemos que a sua justificativa “porque descobrimos a
origem da fórmula” não foi convincente. Achamos que essa justificativa não é
suficiente para concluirmos que o trio sabe reconhecer a diferença entre uma
verificação empírica de uma verificação dedutiva. Ou se sabe, não se justificou
de forma convincente.
Concluindo, até aqui, diríamos que os alunos da pesquisa, não
reconhecem o maior valor matemático que há no argumento puramente dedutivo
em relação ao argumento empírico. Para eles tudo é prova.
138
4.5. Análise a posteriori da atividade 3
a) No Cabrì, construa um triângulo retângulo qualquer ABC, retângulo em
A e trace a altura AH relativa ao lado BC. Considere a, b, c, h, m e n as
respectivas medidas dos segmentos BC, AB, AC, AH, CH e BH, como ilustra a
figura abaixo.
Com a ferramenta “medida ou comprimento” obtenha e anote abaixo, as
medidas a, b, c, h, m e n da sua figura.
= n = m = h =c = b = a
Com a calculadora (Cabrì ou qualquer outra) obtenha os valores abaixo e
relacione a coluna da esquerda de acordo com a direita.
=n.a =b.c
=m.n = c
=m.a = b
=a.h = h
2
2
2
Anote abaixo as relações obtidas.
Os alunos executaram bem esta tarefa, que é uma validação das relações
métricas do triângulo retângulo, onde cada grupo realiza sua própria construção.
Mesmo utilizando triângulos diferentes, todos os grupos chegaram à mesma
conclusão.
Apresentamos a seguir os resultados dos dois grupos que estamos
destacando nesta pesquisa.
A dupla (Gui,Yu) construiu seu triângulo obtendo os seguintes valores
para as medidas a, b, c, h, m e n:
139
Ao fazer as contas indicadas, relaciona corretamente as duas colunas de
valores, como mostramos abaixo:
E as relações obtidas por essa dupla foram:
Já o trio (Pep,Ma,Lou), que construiu uma figura diferente, obteve os
seguintes valores para as medidas a, b, c, h, m e n.
Ao fazer as contas indicadas, o trio relaciona corretamente as duas
colunas de valores, como mostramos a seguir:
140
E as relações obtidas por esse trio foram as seguintes:
É importante destacar nesta atividade a importância do uso de um
software de geometria dinâmica. Com o software Cabrì os alunos puderam:
Construir sua própria figura; corrigir eventuais erros ou até reiniciar a construção;
medir segmentos de forma bastante precisa, neste caso com duas casas
decimais, o que não seria possível com régua; a facilidade do uso da
calculadora do próprio software, (no cabrì basta clicar sobre o número, sem
precisar digitá-lo), e puderam também alterar o seu triângulo retângulo, obtendo
outro diferente, apenas arrastando os seus vértices, sem ter que construir um
novo, percebendo que as relações se mantinham.
Se observarmos os resultados que os dois grupos citados acima
obtiveram para este item a da atividade 3, vemos que os valores dados para as
medidas de a, b, c, h, m e n, são diferentes de um grupo para o outro.
Entretanto, os dois grupos chegaram à mesma conclusão final. Este fato tornou
essa tarefa bastante interessante, pois no início, alguns alunos, ao perceberem
que os seus valores não coincidiam com os dos colegas de outros grupos,
achavam que alguém estava cometendo algum erro, assim, conferiam os seus
resultados a fim de verificar erros e discutiam com os colegas, questionando
quem estava certo ou errado. Mas ao final descobriam que todos estavam
141
corretos, pois chegavam ao mesmo resultado final e que essa diferença nos
valores ocorria apenas por causa dos diferentes triângulos retângulos que cada
grupo construiu.
Em seguida, os alunos estiveram trabalhando com as demonstrações
dessas relações métricas, que eles mesmos obtiveram no item a. Vamos
analisar o que fizeram.
b) No triângulo ABC abaixo, retângulo em A, a, b e c são as medidas dos
lados do triângulo e h é a sua altura relativa ao lado BC, m e n são as projeções
ortogonais sobre o lado BC dos respectivos lados AC e AB. Um triângulo
semelhante ao que você construiu no item a.
Para justificar que , um aluno utilizou-se dos seguintes passos.
Justifique cada um desses passos. Observe a figura acima.
n.m=h
2
Passo 1 - Se o triângulo ABC é retângulo em A então . Justifique.
222
c+b=a
Passo 2 - Se então . Justifique.
222
c+b=a
222
c+b=)n+m(
Passo 3 - Se então
Justifique.
222
c+b=)n+m(
222222
m+h+n+h=n+mn2+m.
Passo 4 - Se então . Justifique.
222222
m+h+n+h=n+mn2+m mn2=h2
2
Passo 5 – Se então . Justifique. mn2=h2
2
n.m=h
2
O objetivo deste item é desenvolver no aluno, a capacidade de
argumentar e de provar, dividindo a demonstração em vários passos, em que
142
cada passo constitui-se em um pequeno teorema com hipótese e tese. Esse
método de provar por meio da subdivisão em passos, foi baseado naquele,
apresentado por Duval (2002).
As justificativas da dupla (Gui,Yu) são as seguintes:
Essa dupla, expressou-se muito bem, teve facilidade para justificar cada
passo e teve um bom desempenho.
Já as justificativas do trio (pep,Ma,Lou), são as seguintes:
143
O trio também teve um bom desempenho, mas mostra-se com um pouco
de dificuldade para chegar às suas conclusões. No passo 4, esqueceu-se do
sinal de igualdade.
Observa-se também que, no passo 1, o trio justifica “Porque é um
triângulo retângulo”, sem se referir ao teorema de Pitágoras. Parece ter deixado
a cargo do leitor concluir que, por ser um triângulo retângulo, vale o teorema de
Pitágoras.
No geral, os grupos realizaram essa tarefa com sucesso. Isto nos dá
dicas de que, esse método de dividir uma demonstração em passos, facilitou
bastante o trabalho de demonstração para os alunos.
144
De todos os grupos, o que nos chamou a atenção durante a aplicação, foi
a dupla (Vi, Tha) que tentava justificar, fazendo contas, substituindo as letras
pelos seus respectivos valores, conforme obtidos no item a. Ou seja, estava
apenas verificando a validade das igualdades. Por exemplo, no passo 1, em que
aparece a igualdade
, a dupla apresenta o seguinte:
222
c+b=a
1,13+1,36=2,49
c+b=a
222
Já no passo 3, aparece a igualdade
então, eles apresentaram o seguinte:
222222
m+h+n+h=n+mn2+m,
1,49=1,49
m+h+n+h=n+mn2+m
222222
Isto mostra que o grupo tentou argumentar de forma diferente dos outros,
talvez por interpretarem de forma diferente essa questão.
Durante a execução das tarefas, tínhamos percebido que esse grupo
estava utilizando essa estratégia, sem apresentar as justificativas corretas. Foi
quando chamamos a sua atenção, para que também apresentasse as
justificativas. A partir daí, o grupo deixou de fazer as verificações e passou a
apresentar somente as justificativas.
c) Para justificar que
, um outro aluno utilizou-se dos seguintes
passos. Justifique cada um desses passos. Observe a figura no item b.
n.a=b
2
Passo 1 - Se o triângulo ABH é retângulo em H, então . Justifique.
222
n+h=b
Passo 2 - Se então . Justifique.
222
n+h=b
22
n+n.m=b
Passo 3 – Se então . Justifique.
22
n+n.m=b
)m+n.(n=b
2
Passo 4 – Se então . Justifique. )m+n.(n=b
2
a.n=b
2
Neste item c, pela grande semelhança com o item anterior, os alunos
foram ainda melhores.
145
O objetivo da tarefa, também é tentar desenvolver no aluno, a sua
capacidade de argumentação e prova.
Apresentamos, a seguir, apenas as justificativas da dupla (Gui,Yu), que
representam bem as justificativas dos outros grupos.
Isto mostra mais uma vez, que o método da subdivisão prévia em passos,
pode facilitar o trabalho de prova.
d) Como você justificaria a igualdade
? Observe a figura do item b.
m.a=c
2
O objetivo deste idem d, é dar oportunidade de argumentação ao aluno.
Observar sua capacidade de tomar iniciativa e que estratégias utilizam.
146
Durante a aplicação deste item, observamos que os alunos, em geral,
tentam argumentar, a fim encontrar uma justificativa. Mas, vimos que têm
grandes dificuldades.
Alguns grupos, tiveram a idéia de imitar as demonstrações anteriores,
usando a subdivisão por passos, mas mesmo assim encontraram dificuldades e
desistiram, deixando a questão em branco ou quase em branco.
Por exemplo a dupla (Wil, Ary) escreve “
então ” o
que mostra claramente que, esses alunos tentaram imitar a demonstração com
subdivisão em passos.
m.a=c
2
)c+b.(a=c
2
De forma semelhante, a dupla (Nat, Tha) inicia a sua justificativa
escrevendo “Porque se
então ”, confirmando o que
afirmamos, que tentaram imitar as demonstrações recentes que utilizaram na
subdivisão em passos.
m.a=c
2
)c+b.(a=c
2
A pesquisa de Gouvêa (1998) chama a atenção para o professor que, nas
atividades de demonstração, muitas vezes se satisfaz com um ensino-
aprendizagem por imitação, que coloca o aluno diante de um modelo de
demonstração, para que ele (o aluno) observe e em seguida, imite o método de
resolução numa situação aproximada. Para essa pesquisadora, esse tipo de
aprendizagem por imitação não tem nada evidente para os alunos.
Achamos importante destacar que, já era previsto que os alunos
tentassem imitar a demonstração por passos, por terem experimentado esse tipo
de demonstração, recentemente, nos itens anteriores. Mas destacamos que, não
era objetivo dessa pesquisa utilizar-se desse método de demonstração por
imitação, mesmo porque, no enunciado da questão, não foi dada nenhuma
indicação nessa direção e não foi feita nenhuma exigência nesse sentido. Além
de que, indicamos e apresentamos previamente, que há outra justificativa
diferente.
Talvez, esse insucesso dos alunos em tentar imitar a demonstração por
passos, nesta pesquisa, seja uma confirmação de que esse tipo de
aprendizagem por imitação, realmente não tem nada evidente para os alunos.
147
Mas, por outro lado, poderíamos concluir que o aluno que consegue provar pelo
menos por imitação, já está realizando um grande feito.
Uma outra dupla, denominada (Vi, Tha), tenta iniciar sua justificativa,
argumentando que
. O que é correto, pois essa igualdade é
equivalente à igualdade
, que a dupla queria justificar. Mas,
infelizmente, parou por aí.
22
h+m=m.a
m.a=c
2
Essa dupla parece não ter tentado imitar a demonstração por passos.
Já a dupla (Jo, Gui), argumenta de uma maneira que não
compreendemos, mas achamos importante apresentar sua justificativa, que não
utiliza a subdivisão em passos e foi a seguinte:
“Não substituiu. Nesse triângulo as medidas são de um triângulo, e a
multiplicação de a e m, a raiz encontra o resultado de c.”
Essa dupla parece ter encontrado dificuldades para expressar-se
corretamente, o que é uma das dificuldades que se acham no ensino-
aprendizagem da demonstração.
A dupla (Gui, Yu), da qual fizemos gravação de voz, discute bastante para
resolver essa questão, mas não consegue encontrar uma justificativa. No início
de sua argumentação, o componente Yu, diz: “Agora complica”. O componente
Gui pede calma, dizendo: “Calma, a gente tem que olhar nas entrelinhas”. E o
próprio Gui argumenta dizendo: “
, certo? Estamos olhando nas
entrelinhas!”, e continua, “ele substituiu por a, certo?”. Aqui, Gui está se
referindo ao passo 4, do item c, que apresenta o seguinte:
a.n=b
2
n+m
Passo 4 – Se então . Justifique. )m+n.(n=b
2
a.n=b
2
Ele parece tentar achar uma argumentação em cima do que é feito nesse
passo 4. E acaba concluindo que teria que usar a demonstração por passos,
expressando-se, com certa decepção, da seguinte forma:
“Agora nós vamos fazer a mesma droga de caminho até aqui”.
Ao perceber a discussão da dupla, o professor aproximou-se, mas os
componentes mostrando-se não ter desistido de buscar uma resposta, dizem ao
professor: “Não fala nada professor, porque senão, vão dizer que o senhor nos
ajudou”.
148
Essa dupla, continuou argumentando e ao final, apresentou a seguinte
justificativa:
Em princípio, essa justificativa pareceu-nos interessante, mas logo
percebemos que a dupla faz a substituição de
por , o que não deveria ter
feito, visto que era exatamente a igualdade
a ser provada.
2
c
a.m
a.m=c
2
Ao ser questionada sobre essa substituição, a dupla respondeu que já
tinha provado que
. E apresentou a seguinte justificativa, que é uma
verificação da igualdade
, fazendo a substituição das letras por seus
valores numéricos:
a.m=c
2
a.m=c
2
O professor diz que tudo bem, mas interroga os alunos, se aceitam ou
não essa verificação, como uma prova para a igualdade
. O
componente Yu, reclama: “Mas foi a gente que fez, professor!”. Já o componente
Gui, causando risos na discussão, responde: “Aceito! Eu aceito!”. E referindo-se
à justificativa com números, conclui dizendo: “Nós fizemos aqui, nós tiramos a
prova.”
a.m=c
2
149
Essa insistência da dupla em considerar que sua verificação numérica,
vale como uma prova para a igualdade
, só confirma a sua
consideração feita na atividade 1, onde afirma não haver diferenças entre o
argumento empírico e o argumento dedutivo. Essa prova, que utiliza um caso
particular de triângulo, pode ser classificada como do nível
empirismo ingênuo,
de acordo com Balacheff (1988).
a.m=c
2
Esta questão foi considerada muito difícil pelos alunos, mas desta vez
eles mostraram-se mais confiantes, e pelo menos tentaram argumentar.
Passemos para o item e.
e) Para provar que
, outro aluno procedeu da seguinte maneira.
Justifique cada passo. Observe a figura do item b.
h.a=c.b
Passo 1 – Se e então . Justifique
n.a=b
2
m.a=c
2
am.an=cb
22
Passo 2 – Se então . Justifique.
am.an=cb
22
mna=cb
222
Passo 3 - Se então . Justifique.
mna=cb
222 2222
ha=cb
Passo 4 – Se então . Justifique.
2222
ha=cb
h.a=c.b
Neste item e, os grupos voltaam a realizar com sucesso as suas
justificativas. Vamos apresentar o desempenho do dois grupos que estamos
destacando na pesquisa.
A dupla (Gui,Yu) apresentou o seguinte resultado.
150
O trio (Pep,Ma,Lou) apresentou a seguinte justificativa:
151
Os grupos, em geral, pelo sucesso obtido nesse tipo de demonstração
com divisão em passos, dão indicações de que esse método facilita bastante o
trabalho de demonstração. Entretanto, é importante destacar que, como
concluímos do item anterior, os alunos têm dificuldades de utilizar esse método,
quando o problema não vem previamente subdividido em passos. Por isto, no
próximo item os alunos tem oportunidade de realizar uma demonstração que
não faz utilização da subdivisão em passos. Vamos observar o que acontece.
f) Encontre uma outra prova para
usando o conceito de área.
Observe novamente a figura no item b.
h.a=c.b
Neste item, o aluno é colocado novamente diante de um trabalho de
prova, mas não com subdivisão em passos. Aqui, já vem indicado que o aluno
deverá usar o conceito de área. Queremos verificar o desempenho desses
alunos, após terem passado por situação semelhante na atividade 2, em que
tiveram dificuldades em utilizar o conceito de área.
152
A dupla (Gui, Yu) apresentou uma prova bem curta e inteligente, e desta
vez, com uma argumentação de natureza dedutiva, diferente daquela que
utilizou no item d, em que fez apenas uma verificação.
Mas apesar de essa dupla ter apresentado uma prova curta, não significa
que realizou a tarefa com facilidade. O grupo argumentou durante um bom
período de tempo, até chegar a essa resposta. A gravação de voz que
obtivemos dessa dupla, mostra-nos que o grupo, em princípio, não estava
utilizando o conceito de área, e somente com a indicação do professor, foi que
começou a pensar em usá-lo. Mesmo assim, os alunos encontraram
dificuldades. O mérito dessa dupla foi a persistência.
Sua demonstração foi a seguinte, e resume-se em calcular a área do
triângulo ABC de duas maneiras diferentes, e depois igualando essas duas
áreas obtidas, já que são equivalentes:
Observamos que essa dupla preocupou-se em apresentar um desenho,
que mostra o triângulo ABC de duas maneiras diferentes, de forma que,
visualmente, é possível fazer uma demonstração da igualdade
.
c.b=h.a
Na análise do item d, havíamos considerado que essa dupla estaria no
nível do
empirismo ingênuo. Entretanto ,aqui, a mesma dupla faz uma prova no
nível da
experiência mental. Neste caso perguntaríamos: Pode um mesmo aluno
“passear” pelos vários níveis de prova? Pelo que vimos, a resposta é sim. Afinal,
essa mesma dupla já mostrou anteriormente que, seja empírico ou seja
dedutivo, qualquer argumento prova.
153
Já o trio (Pep,Ma,Lou) parece ter tido a mesma idéia, mas faz uma
justificativa utilizando a linguagem natural. Sua justificativa foi a seguinte:
O grupo parece ter compreendido bem o problema e encontrou a solução,
mas deixa para o leitor a tarefa de concluir.
Já o grupo (Rau,Ped), argumenta de forma semelhante, como a seguir:
“Tanto c como h podem ser a altura e tanto b como a podem ser a base.” Mas
deixa também a cargo do leitor a conclusão.
Essa dificuldade de não concluir corretamente é uma das dificuldades que
podemos considerar nesta pesquisa.
De todos os grupos pesquisados, somente esses três, citados acima,
apresentaram uma resposta para o item f. Os outros deixaram totalmente em
branco. Isto, talvez, seja uma indicação da dificuldade que os alunos têm em
iniciar uma argumentação.
4.6. Análise a posteriori da atividade 4
Esta é uma atividade de aplicação. Seu objetivo é dar suporte às nossas
observações, em relação ao desempenho dos alunos, após terem realizado uma
atividade envolvendo provas e demonstrações.
a) Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 2cm.
Para responder a essa questão a dupla (Gui,Yu) parece não ter
encontrado dificuldades, e apresentou a seguinte resolução:
154
Observamos, em suas discussões gravadas, que a dupla percebeu
imediatamente que deveria usar o teorema de Pitágoras. O componente Gui ao
ler a questão, diz “Impressionante! Então os dois catetos são iguais”. E continua
dizendo: “Vamos fazer um desenho para o professor entender melhor.”
Já o trio (Pep,Ma,Lou) apresentou a seguinte solução:
Essa solução parece ter sido feita por aproximação. Partindo de um
quadrado, cujo lado mede 1,45cm, o trio obteve um valor que se aproxima de 2,
para a medida da diagonal desse quadrado.
Pelos registros apresentados, vemos, claramente, que esse grupo,
primeiramente utilizou o quadrado de lado 1, e só depois utilizou o quadrado de
lado 1,45cm. O que indica que o grupo estava procurando um valor mais
próximo de 2, para a diagonal do quadrado. Entretanto, esse grupo, não conclui
bem sua resposta. Esquecem de indicar qual a medida do lado do quadrado cuja
diagonal mede 2cm. Talvez, esta seja uma das dificuldades que há no ensino-
aprendizagem da prova. Esta pode ser mais uma indicação de que os alunos
155
conseguem raciocinar corretamente, percebem a solução do problema, mas se
esquecem ou não conseguem formular a resposta final.
Pode ser que esse esquecimento de apresentar a resposta final, seja uma
dificuldade que vá diminuindo com o tempo, à medida que os alunos forem se
acostumando com esse tipo de trabalho. Mas, como conclui Nasser e Tinoco
(2001) em sua pesquisa, “é necessário um trabalho contínuo durante um longo
período para que haja um progresso sensível no nível de argumentação dos
alunos.”
No geral, neste item a, da atividade 4, os alunos tiveram um bom nível de
raciocínio. Mas tiveram dificuldades na apresentação do resultado final.
b) Dado um segmento AB de medida 1cm, apresente um método para
construir um segmento de medida
2
cm.
Esse exercício foi considerado muito difícil pelos alunos. A maioria dos
grupos não conseguiu apresentar, se quer, um rabisco de uma possível
resposta, e deixaram a questão totalmente em branco. Todos buscaram ajuda
ao professor aplicador, mas este não deu nenhuma sugestão.
Poucos grupos, persistiram, argumentaram e conseguiram apresentar
alguma solução.
A dupla (Gui,Yu), por exemplo, apresentou a seguinte argumentação:
Já o trio (Pep,Ma,Lou) apresentou o seguinte:
156
Vemos que os dois grupos não deixam passar em branco a questão e
gastam certo tempo argumentando.
A dupla parece não ter tido sucesso em seu raciocínio, mas usou o
segmento AB de medida 1cm, tentando construir o segmento
2
cm.
Já o trio, novamente não foi claro na sua resposta. Onde deveria ser
apresentado um método de construção para o segmento de medida
2
cm, o
grupo apresenta um cálculo da diagonal de um triângulo retângulo, cujos
catetos medem 1cm. Consideramos que este é um raciocínio correto, mas não é
uma construção, como pede a questão. Entretanto, o triângulo que aparece na
resposta do trio, parece ser a construção do segmento de medida
2
cm. Isto
mostra que o trio descobriu o método de construção, mas teve dificuldades,
novamente, de apresentar a resposta final.
Esse trio, mais uma vez, demonstra ter dificuldades na formulação correta
de suas respostas.
A fim de enriquecermos nossa análise, achamos importante incluir o
resultado de um grupo, que se aproximou bem da resposta esperada, pelo
menos na maneira de se expressar. Foi a dupla (Ra,Ped), que apresentou o
seguinte método:
“É só medir o lado de um quadrado com diagonal de 2cm. E descobrir o
lado do quadrado.”
Essa resposta não está correta, pois não faz uso do segmento AB de
medida 1cm, e sim do segmento de medida 2cm. Mas parece-nos uma
argumentação válida, apesar de que o método apresentado, não dá orientações
157
sobre a construção do quadrado. Os alunos podem ter se baseado no item a,
onde calcularam a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 2cm, e
cuja resposta obtida foi
.cm2
Esse, nos parece um método difícil de se executar, mas que é verdadeiro.
Assim, vemos que esses alunos dão uma mostra de que um trabalho com
argumentação e prova, mesmo sendo considerado difícil, ainda é passível de
sucesso, mesmo que parcialmente.
c) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero de lado medindo 2cm.
Este exercício tem como objetivo, preparar o raciocínio do aluno para o
exercício seguinte, onde terá que fazer uma generalização, obtendo uma
fórmula para o cálculo da altura de um triângulo eqüilátero qualquer. Eles (os
alunos) poderiam utilizar o teorema de Pitágoras ou até fazer uso da
trigonometria.
Este exercício seria um
exemplo genérico do item seguinte. Aqui os
alunos usam um representante particular de triângulo eqüilátero.
A dupla (Gui,Yu) apresentou um argumento correto, o qual está abaixo:
Já o trio (Pep,Ma,Lou) não apresentou uma resposta correta, como
vimos a seguir:
158
Desses dois grupos, a dupla (Gui,Yu), por ter acertado, tem maior
possibilidade de obter sucesso no próximo item, já que respondeu corretamente
este item.
O trio apresentou um desenho bem representativo do enunciado da
questão, demonstrando ter entendido o exercício, mas acabou realizando
cálculos que utiliza medidas estranhas às medidas apresentadas no desenho.
Não entendemos o que o levou a fazer isto.
Essa deve ser mais uma das dificuldades inerente ao trabalho com
argumentação e prova. Os alunos fazem boa interpretação do enunciado da
questão, conseguem até traduzir o problema por meio de figura, mas têm
dificuldades para utilizar esses dados de forma correta, fazem confusão e não
conseguem concluir seu raciocínio de forma coerente.
Naturalmente, esse trio terá dificuldades para realizar o item d, o qual
analisamos a seguir.
d) Mostre que a altura de um triângulo eqüilátero de lado medindo
cm é
l
2
3
=h
l
.
159
Consideramos que este exercício representa uma prova no nível da
experiência mental da classificação de Balacheff (1988), pois nele os alunos
necessitam apresentar deduções lógicas baseadas em propriedades e não é
uma situação particular.
As respostas obtidas dos dois grupos analisados foram as seguintes:
Dupla (Gui,Yu)
Do trio (Pep,Ma,Lou)
160
Como já comentamos no item anterior, a dupla (Gui,Yu) realizou com
sucesso essa tarefa, naturalmente por ter tido sucesso no item anterior. Outros
dois grupos também responderam corretamente utilizando a trigonometria.
Neste caso os três realizaram uma prova no nível da
experiência mental.
Já o Trio (Pep,Ma,Lou) novamente argumentou corretamente, mas teve
dificuldade na realização dos cálculos. O que confirma a sua dificuldade do item
anterior, onde mostra compreender o problema, interpreta-o corretamente, mas
se perde durante o processo de prova, e não consegue concluir corretamente.
e) Considere o retângulo ABCD representado pelo desenho abaixo.
Dobre o retângulo de modo que o vértice A coincida com o vértice C, como o
desenho abaixo.
Calcule a medida x do segmento EB.
161
A dupla (Gui,Yu) conseguiu realizar bem essa questão, mas vamos
destacar aqui a resposta apresentada pelo trio (Pep,Ma,Lou), que encontrou a
dificuldade que estava prevista na análise
a priori.
Estava previsto que os alunos poderiam encontrar dificuldade de
visualizar na figura, que o segmento AE é congruente ao segmento EC e que
esses segmentos medem (8 – x)cm.
O trio apresentou a seguinte resposta:
Observa-se que essa resposta, na parte inicial, parece utilizar,
erradamente, que 8cm é a medida do segmento EC, o que não é verdade. Além
disso, apresenta erros na utilização do teorema de Pitágoras, ao considerar x
como hipotenusa, quando na verdade é cateto. E no final obtém, como medida
para o segmento x, 10cm. Entretanto, na parte final, faz mais uma confusão com
o valor de x, ao concluir que:
162
Mais uma vez, esse grupo mostra que entendeu o problema, reconheceu
que poderia utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCE, mas
teve dificuldades no processo de resolução.
De todos os grupos pesquisados, somente duas duplas obtiveram
sucesso nesta questão.
f) Calcule o comprimento da diagonal AB do cubo de aresta igual a 5cm
conforme a figura abaixo:
Este exercício visa preparar o raciocínio do aluno para o próximo item da
atividade. Sendo que neste item, o aluno está diante de um caso particular, e no
próximo item, de um caso geral.
A dupla (Gui,Yu) fez os cálculos da diagonal da seguinte forma:
163
Já o trio (Pep,Ma,Lou) realizou os seguintes cálculos:
Observa-se que os dois grupos alcançam sucesso nesta tarefa.
Destacamos que o trio utiliza valores aproximados para os radicais, assim obtém
valor aproximado para a diagonal do cubo. Com a dupla isto não ocorre.
Vamos observar qual foi o desempenho desses dois grupos no caso geral
apresentado a seguir.
g) Sendo D uma diagonal do cubo cuja aresta mede
a, prove que 3a=D.
164
Este exercício é uma generalização para o cálculo do exercício anterior, e
visa também envolver o aluno em cálculos algébricos, que são importantes em
atividades de prova.
É importante compararmos os dois casos (itens f e g), a fim de
observarmos se o sucesso obtido no caso particular é repetido no caso geral.
Como os dois grupos, citados no item anterior, obtiveram sucesso, têm
grandes possibilidades de ter sucesso neste item. Vamos observar suas
respostas.
A resposta da dupla (Gui,Yu) foi a seguinte:
Esse grupo apresenta bom desempenho na interpretação do problema e
também na realização dos cálculos. Aparentemente não utilizou figuras, talvez
tenha utilizado a mesma do item anterior. Compreendemos bem essa resposta,
mas talvez alguém com menos experiência tenha dificuldades em compreendê-
la, pois ela não esclarece algumas coisas, como por exemplo, a letra h, não há
indicação do que ela representa.
Essa dupla tem sido um destaque positivo nesse trabalho com
argumentação e prova, mas, não raramente, comete falhas, ao utilizar-se de
certos recursos, diretamente, sem justificá-los. Essa é, certamente, uma
dificuldade muito comum dentro desse tipo de trabalho e pode acontecer até
mesmo com os mais experientes.
165
Outros dois grupos também provam corretamente por meio da
trigonometria. Portanto, os três grupos apresentam provas no nível da
experiência mental.
Já resposta do trio (Pep,Ma,Lou) foi a seguinte:
O sucesso do grupo no item anterior, não contribuiu para o sucesso neste
item. O grupo apresenta apenas um cálculo para a diagonal do cubo cuja aresta
mede 5cm. Observa-se que nessa resposta, não há nenhuma argumentação,
no sentido de tentar repetir a idéia utilizada no raciocínio anterior. Isto pode
significar que esses alunos (o trio) não perceberam a relação deste exercício
com o anterior.
O tratamento algébrico, que deveriam ter dado ao problema, poderia ter
provocado dúvidas também, mas não parece ter sido essa a dificuldade, como
prevíamos, pois sequer iniciaram uma argumentação nessa direção. Pode ser
que o trio tenha usado o cubo de aresta 5cm, cuja medida da diagonal acabara
de calcular, apenas como modelo para provar que a fórmula
3a=D realmente
é válida. Mas, mesmo assim, não faz nenhuma generalização. Se realmente
pensou nesse sentido, o trio está garantindo a validade do raciocínio no nível do
empirismo ingênuo, dos níveis de prova considerados por Balacheff (1988).
h) Existem dois postes AC e BD perpendiculares a um plano, como
mostra a figura. O plano está dividido em quadrados cujos lados medem 1m.
AC = 9 m, BD = 2 m
. Encontre o comprimento de CD.
166
Observamos, durante a realização da atividade, que a grande dificuldade
dos alunos, nesse exercício, foi perceber e calcular a medida do segmento AB,
que é hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 4cm e 2cm e
depois visualizar, na figura, o segmento DE, que é paralelo ao segmento AB,
com
e DE congruente a AB.
AC∈E
Apenas três grupos obtiveram sucesso neste exercício, dada a
dificuldade apresentada no parágrafo anterior.
A fim de darmos uma mostra dessa dificuldade, incluímos abaixo, apenas
a argumentação do trio (Pep,Ma,Lou).
Observa-se que apesar de apresentar os cálculos corretamente, o grupo,
representa na figura (em azul), um segmento que não é paralelo ao segmento
AB. O que não é correto.
Talvez, esse erro de interpretação e visualização das figuras, seja uma
das dificuldades, comuns, no trabalho com argumentação e prova, em
geometria.
167
i) A figura abaixo representa o projeto da cobertura de uma casa. O futuro
proprietário deseja que essa cobertura, vista de frente, tenha a forma de um
triângulo retângulo, cujo ângulo reto fique na cumeeira do telhado (ponto A). Ele
ainda almeja que um lado do telhado meça 8m e o outro lado meça 6m. O
arquiteto responsável pelo projeto está com algumas dúvidas e precisa do teu
auxílio para saná-las. Ajude-o. Veja abaixo:
i1) Qual deve ser a largura a desse telhado
?
i2) Qual a medida m do comprimento do segmento
CH
?
i3) Qual a medida n do comprimento do segmento
HB ?
i4) Qual deve ser a altura h desse telhado
?
Este é um exercício de aplicação direta de fórmulas das relações métricas
no triângulo retângulo ou do teorema de Pitágoras. Esperava-se que os alunos
não encontrassem dificuldades, por ser um tipo de exercício costumeiramente
trabalhado em sala de aula.
Os grupos, em geral, realizaram essa tarefa com sucesso. Abaixo
incluímos a resposta do trio (Pep,Ma,Lou), que representa bem as respostas dos
outros grupos.
168
169
O grande sucesso dos alunos neste item, pode ser uma indicação de que
estão habituados a esse tipo de atividade, onde aplicam fórmulas prontas sem a
necessidade de muita argumentação.
Talvez, um trabalho contínuo envolvendo argumentação e prova,
introduzido desde os primeiros anos de estudos, possa contribuir para o
progresso dos alunos, em relação ao seu nível de argumentação.
170
CAPÍTULO V
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa tem como objetivo investigar o envolvimento de alunos em
um processo de construção de conjeturas e provas. Por isso, realiza um estudo
sobre argumentação e prova envolvendo o teorema de Pitágoras, com alunos
ingressantes do Ensino Médio. Uma seqüência didática composta de 4
atividades, é o instrumento utilizado para nos dar subsídios para responder à
seguinte questão de pesquisa:
Que dificuldades apresentam os alunos diante de situações de
argumentação e prova envolvendo o teorema de Pitágoras?
Assim, neste capítulo, apresentamos os resultados da pesquisa,
baseados na análise
a posteriori do capítulo anterior. Fazemos comentários
gerais, que achamos importantes, em relação à seqüência didática, os níveis de
prova dos alunos, de acordo com Balacheff (1988), mas o nosso enfoque
principal será nas dificuldades apresentadas pelos alunos.
É importante relembrar que o teorema de Pitágoras é apenas um pretexto
para realizar um trabalho com argumentação e prova, e não o objeto de ensino.
É natural que alunos do Ensino Médio já tenham estudado esse conteúdo
anteriormente.
Em relação à seqüência didática, concluímos que o conhecimento prévio
do teorema de Pitágoras por parte dos alunos, faz diminuir o potencial da
atividade 1. Observamos que os alunos passam muito rápidos pelo experimento
com os puzzles e já no primeiro, eles consideram a validade da relação
pitagórica. Nessa mesma atividade 1, os alunos são solicitados a construir o seu
próprio triângulo retângulo no Cabrì II, para, novamente, verificarem
empiricamente a validade da relação pitagórica. Mas um grupo argumenta
dizendo: “É o teorema de Pitágoras”. Eles não sentem necessidade de verificar,
pois já conheciam o teorema. Isto pode ser uma indicação de que alguns alunos
não têm interesse em investigar sobre o que já conhecem. Por isso, sugerimos
171
que, em caso de uma nova utilização, essa atividade possa ser revista, para ser
mais bem explorada e aproveitada.
Esses dois experimentos empíricos de validação do teorema de
Pitágoras, que os alunos realizam na atividade 1, são considerados por eles (os
alunos) como suficientes, para garantir a validade da relação em qualquer
triângulo retângulo. Um dos grupos pesquisados responde que: “Sim. Afinal de
contas, depois de testes, prova-se que a fórmula será sempre correta.” Dessa
forma, os alunos demonstram aceitar argumentos de natureza empírica (os
experimentos) como “provas”.
Em relação aos itens que propõem diretamente situações de provas,
queremos observar, nas respostas dos alunos, os níveis de prova de Balacheff
(1988). Assim, vamos destacar alguns desses itens.
Na atividade 3 temos: O item d, somente um dos grupos, o (Gui,Yu)
consegue apresentar uma argumentação, a qual consideramos estar no nível do
empirismo ingênuo. No item f, três grupos argumentam, mas somente a dupla
(Gui,Yu) faz uma validação com características de uma experiência mental.
Na atividade 4 temos: O item d, três grupos apresentam uma validação no
nível da
experiência mental, outros não concluem ou não iniciam a
argumentação. No item g, três grupos apresentam uma validação no nível da
experiência mental, um grupo faz uma validação no nível do empirismo ingênuo,
outros não concluem ou não argumentam.
Salientamos que os itens citados no parágrafo anterior, relativos à
atividade 4, geralmente, são precedidos de exercícios semelhantes, mas em
casos particulares (
exemplo genérico). Talvez isto tenham contribuído para que
as provas dos alunos apresentassem características de nível da experiência
mental
.
Sobre as dificuldades dos alunos, destacamos as seguintes:
- Dificuldade em perceber a necessidade de provar, quando uma figura já
é o suficiente.
Diante de uma figura que mostra um quadrilátero de lados iguais,
aparentemente um quadrado, mas sem indicação das medidas exatas dos
172
ângulos, os alunos têm apenas que provar que os ângulos internos são todos
iguais a 90 graus. Entretanto, não vêem necessidade de uma prova. Uma dupla
questiona em tom de deboche: “Tem que justificar? Está de brincadeira! Se aqui
está dizendo que todos os lados são iguais, então logicamente que é um
quadrado!”. Outro grupo (Rau,Ped), que parece conhecer bem as propriedades
do quadrado (lados iguais e ângulos iguais), é iludido pela figura apresentada, e
rapidamente conclui que o quadrilátero é um quadrado. Na sua gravação de voz,
esses alunos dizem “todos os lados são iguais e os quatro ângulos são iguais.”
Os alunos baseiam-se apenas na visualização da figura.
- Dificuldade de encontrar um argumento inicial.
Essa dificuldade é de grande importância, pois ela pode levar o aluno a
desanimar ou até desistir. Referente ao problema citado na dificuldade anterior,
mesmo após as orientações dadas pelo professor aplicador, de que deveriam
provar que os ângulos do quadrilátero mediam 90 graus, os alunos não
conseguem iniciar uma argumentação. Uma dupla chega a fazer a seguinte
consideração: “Vamos fazer o item b e calcular o valor de a da figura. Cálculo é
mais legal, depois voltamos para o item a”. Na atividade 3, da seqüência
didática, algumas questões são previamente subdivididas em passos, da forma
como considera Duval (2002), já outras são deixadas abertas, sem nenhuma
sugestão, para que o próprio aluno decida que estratégia utilizar, podendo até
escolher imitar a prova por meio de passos. Nas questões previamente
subdivididas em passos, os alunos têm bom desempenho, mas nas questões
abertas, o fracasso é geral. Isto pode ser mais uma indicação da dificuldade de
encontrar um argumento inicial. Além disso, pode ser uma indicação de que
dividir uma prova em passos, não é tarefa simples.
- Dificuldade de compreensão da linguagem utilizada no enunciado da
questão proposta.
Uma das questões propostas aos alunos é considerada insolúvel por
todos os grupos pesquisados. Ela orienta o uso do “conceito de área”. Mas eles
não compreendem o que significam as palavras “conceito de área”. Uma dupla
diz: “Mas que conceito de área é esse? Eu nem sei que conceito de área é
173
esse!”. Entendemos que a linguagem apresentada no enunciado da questão,
dificulta para o aluno. Depois de esclarecida a dúvida, alguns grupos conseguem
resolver a questão. No final, um aluno diz: “Era maior fácil e a gente ficou
quebrando a cabeça”.
- Dificuldade em reconhecer validações dedutivas de validações
empíricas.
Os alunos realizam argumentos de natureza empírica (atividade 1) e
argumentos de natureza dedutiva (atividade 2). É-lhes solicitado que decidam
entre os dois tipos de argumentação. Eles devem indicar aquele que consideram
ser uma prova para o teorema de Pitágoras. As análises mostram que a maioria
dos grupos de alunos decide pelos dois processos. Uma dupla, por exemplo,
considera o seguinte: “Em ambos. Porque cada uma prova de uma maneira
diferente, mas, de todo modo os dois levam e levarão sempre ao resultado
correto.” Essa escolha da maioria, pelos dois processos, pode ser uma indicação
de que os alunos têm dificuldades em reconhecer validações empíricas de
validações dedutivas.
- Dificuldade de finalizar um argumento.
Observamos que alguns alunos conseguem raciocinar corretamente,
percebem a solução do problema, realizam os cálculos referentes ao problema,
obtém resultados corretos, mas se esquecem ou não conseguem formular a
resposta final. Assim, suas respostas são confusas, e deixam a cargo do leitor a
interpretação e conclusão. Podemos tomar como exemplo a resposta
apresentada pelo trio (Pep,Ma,Lou), ao item f, da atividade 4, que incluímos na
análise apresentada no capítulo anterior. Ele (o trio) faz os seus cálculos
utilizando a letra x em duas situações, para representar segmentos diferentes, e
ao final não esclarece o que a tal letra x representa. Não deixa claro qual a
medida do segmento AB, solicitada. É possível que essa dificuldade vá
diminuindo com o tempo, à medida que os alunos forem se adaptando a esse
tipo de trabalho.
- Dificuldade no cálculo algébrico.
174
Os alunos fazem boa interpretação do enunciado da questão, conseguem
representar o problema por meio de uma figura ou por meio de uma igualdade,
mas a dificuldade em desenvolver os cálculos com letras, faz com que não
consigam concluir. No capítulo anterior, podemos observar na análise
a
posteriori
do item d, atividade 4, a resposta do trio (Pep,Ma,Lou). Ao tentar
calcular a altura de um triângulo eqüilátero qualquer, o trio se complica no
desenvolvimento algébrico e não consegue obter o resultado correto.
Um fato interessante, é a ausência de dificuldade, por parte de todos os
grupos, na realização de exercícios de aplicação de fórmulas prontas, como no
item i, da atividade 4. Esta pode ser uma indicação de que esses alunos estão
habituados a esse tipo de trabalho nas aulas de matemática.
Para concluir, consideramos que além das dificuldades dos alunos,
apresentadas anteriormente, observamos outra, que queremos relatar. É a
dificuldade de aplicação desse tipo de trabalho que envolve argumentação e
prova. Inicialmente os alunos colocam muitas barreiras, por não estarem
habituados e por considerarem um trabalho muito difícil. Assim, eles tendem a
desanimar e desistir. É necessário grande esforço para convencê-los a
prosseguir. Como resolver esse problema? A resposta não parece tão simples, e
encontrá-la, está além dos objetivos desta pesquisa.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998) reconhecem e
orientam que o currículo de Matemática deve necessariamente contemplar
atividades e experiências que possibilitem aos aprendizes o desenvolvimento e
a comunicação efetiva de argumentos matematicamente válidos. Mas os livros
didáticos, em sua maioria, ainda parecem estar longe de contemplar atividades e
experiências desse tipo.
Esperamos que os resultados obtidos nesta pesquisa possam subsidiar
possíveis propostas interessadas em buscar soluções.
175
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da Matemática). Rio de Janeiro, SBM (Sociedade Brasileira de Matemática).
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S. Paulo: Editora Atual, 1993.
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BIRKHOFF, G. D. & BEATLEY, R.
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Publishing Company, New York, 1959.
176
BONGIOVANNI, V.
O Teorema de Pitágoras: Uma ligação entre uma
propriedade angular e uma propriedade métrica. Notas de aula do curso tópicos
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BOYER, C.B. 1996.
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DUVAL, R. (2002).
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EVES, H.
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GRAVINA, M.A.
Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento
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. Porto Alegre, RS: UFRGS, 2001. Tese de doutorado.
177
FONSECA, L.
A demonstração e os futuros professores de matemática da
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, ESSE de Viana do Castelo, 2005.
GOUVÊA, F. A. T. "Aprendendo e Ensinando Geometria com a demonstração:
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178
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Preparando o raciocínio dedutivo, Projeto Fundão,
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. Tese de
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DOUADY, R.
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Caderno da Revista do Professor de Matemática, no. 1, pp. 1-4. Sociedade
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ROSA, E. 1983.
Mania de Pitágoras. Revista do Professor de Matemática, no. 2,
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VAZ, R. L.
O uso das isometrias do software Cabri-Gèométre como recurso no
processo de prova e demonstração
. Dissertação de mestrado, PUC-SP, 2004.
VIANNA, C.C. de S.
O papel do raciocínio dedutivo no ensino de matemática.
Dissertação de mestrado
, UNESP – Rio Claro, SP, 1988.
179
ANEXO I – ATIVIDADE 1
Nome:______________________________ Série:_____
Nome:______________________________ Série:_____
Data:___/___/___ Duração ______
Atividade 1
No Cabrì, abra o arquivo denominado “puzzle.fig” o qual contém vários puzzles
diferentes.
Os 3 quadriláteros dessa figura são quadrados que foram construídos a partir
dos lados do triângulo ABC, retângulo em A, o qual aparece no centro da figura.
Um dos quadrados, o construído a partir de um dos catetos do triângulo, foi
dividido em 4 peças (polígonos) que foram coloridas, como também foi colorido
o outro quadrado construído a partir do outro cateto, como mostra a figura
abaixo.
Agora, por superposição, cubra, sem deixar falhas ou remonte, o quadrado
construído a partir da hipotenusa com as cinco peças coloridas, sem que haja
remonte ou sobra. Para isto, selecione um desses polígonos por vez, clicando
sobre um de seus lados e depois digitando “control C” e “control V”
seguidamente. A cópia do polígono se deslocará da posição original parecendo
dois polígonos, arraste-a então, sem alterar a sua posição ou forma, colocando-
a sobre o quadrado grande. É como montar um quebra-cabeça. Cuidado para
180
não arrastar os polígonos pelo vértice para não deformá-lo, mas caso isso
aconteça, desfaça a ação (menu editar-desfazer) e repita o processo. Obs:
Dependendo do polígono que você tentar selecionar, pode aparecer uma lista de
objetos, geralmente é o último da lista, se não for, selecione o penúltimo e assim
por diante.
Faça o que se pede abaixo:
a) O que você observou? Relacione as áreas dos quadrados construídos sobre
os catetos com a área do quadrado construído sobre a hipotenusa. O que você
conclui
?
b) Represente a medida da hipotenusa do triângulo retângulo pela letra a, e por
b e c as medidas de cada cateto. Relacione as três medidas a, b e c.
c) A verificação feita com os puzzles é confiável, suficiente e dá certeza de que a
relação obtida no item b é sempre válida em qualquer triângulo retângulo?
Justifique.
d) No Cabrì, construa um triângulo retângulo ABC qualquer. Com a ferramenta
“distância ou comprimento” meça os lados de seu triângulo e com a calculadora
verifique a relação percebida anteriormente. O que você conclui?
e) A verificação feita no item d, garante que a relação vale sempre para qualquer
triângulo retângulo? Justifique.
181
ANEXO II – ATIVIDADE 2
Nome:______________________________ Série:_____
Data:___/___/___ Duração ______
Atividade 2
a) Na figura abaixo o quadrilátero ABCD, é um quadrado. Justifique.
b) Calcule o valor de a
, da figura do item a, utilizando o conceito de área.
Justifique.
c) Observe o desenho abaixo e calcule o valor de a em função de b e c
usando
apenas o conceito de área.
Compare com o resultado obtido na atividade 1 letra b. O que você observa?
182
d) Compare a conclusão obtida na atividade 1 com a conclusão obtida na
atividade 2 e responda:
i) As duas conclusões são equivalentes? (iguais?)
ii) Em qual dos dois processos (da atividade 1 ou da atividade 2) você
considera ter efetuado uma prova para a relação
?
Justifique.
222
cba +=
183
ANEXO III – ATIVIDADE 3
Nome:______________________________ Série:_____
Nome:______________________________ Série:_____
Data:___/___/___ Duração ______
Atividade 3
a) No Cabrì, construa um triângulo retângulo qualquer ABC, retângulo em A e
trace a altura AH relativa ao lado BC. Considere a, b, c, h, m e n as respectivas
medidas dos segmentos BC, AB, AC, AH, CH e BH, como ilustra a figura abaixo.
Com a ferramenta “medida ou comprimento” obtenha e anote abaixo, as
medidas a, b, c, h, m e n da sua figura.
= n = m = h =c = b = a
Com a calculadora (Cabrì ou qualquer outra) obtenha os valores abaixo e
relacione a coluna da esquerda de acordo com a direita.
=n.a =b.c
=m.n = c
=m.a = b
=a.h = h
2
2
2
184
Anote abaixo as relações obtidas.
b) No triângulo ABC abaixo, retângulo em A, a, b e c são as medidas dos lados
do triângulo e h é a sua altura relativa ao lado BC, m e n são as projeções
ortogonais sobre o lado BC dos respectivos lados AC e AB. Um triângulo
semelhante ao que você construiu no item a.
Para justificar que , um aluno utilizou-se dos seguintes passos.
Justifique cada um desses passos. Observe a figura acima.
n.m=h
2
Passo 1 - Se o triângulo ABC é retângulo em A então . Justifique.
222
c+b=a
Passo 2 - Se então . Justifique.
222
c+b=a
222
c+b=)n+m(
Passo 3 - Se então
Justifique.
222
c+b=)n+m(
222222
m+h+n+h=n+mn2+m.
Passo 4 - Se então . Justifique.
222222
2 mhnhnmnm +++=++
mn2=h2
2
Passo 5 – Se então . Justifique. mn2=h2
2
n.m=h
2
c) Para justificar que
, um outro aluno utilizou-se dos seguintes passos.
Justifique cada um desses passos. Observe a figura no item b.
n.a=b
2
Passo 1 - Se o triângulo ABH é retângulo em H, então . Justifique.
222
n+h=b
Passo 2 - Se então . Justifique.
222
n+h=b
22
n+n.m=b
Passo 3 – Se então . Justifique.
22
n+n.m=b
)m+n.(n=b
2
185
Passo 4 – Se então . Justifique. )m+n.(n=b
2
a.n=b
2
d) Como você justificaria a igualdade
? Observe a figura do item b.
m.a=c
2
e) Para provar que
, outro aluno procedeu da seguinte maneira.
Justifique cada passo. Observe a figura do item b.
h.a=c.b
Passo 1 – Se e então . Justifique
n.a=b
2
m.a=c
2
am.an=cb
22
Passo 2 – Se então . Justifique.
am.an=cb
22
mna=cb
222
Passo 3 - Se então . Justifique.
mna=cb
222 2222
ha=cb
Passo 4 – Se então . Justifique.
2222
ha=cb
h.a=c.b
f) Encontre uma outra prova para a relação
usando o conceito de área.
Observe novamente a figura no item b.
h.a=c.b
186
ANEXO IV – ATIVIDADE 4
Nome:______________________________ Série:_____
Data:___/___/___ Duração ______
Atividade 4
a) Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 2cm.
b) Dado um segmento AB de medida 1cm, apresente um método para construir
um segmento de medida
2
cm.
c) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero de lado medindo 2cm.
d) Mostre que a altura de um triângulo eqüilátero de lado medindo
cm é
l
2
3
=h
l
.
e) Considere o retângulo ABCD representado pelo desenho abaixo.
Dobre o retângulo de modo que o vértice A coincida com o vértice C, como o
desenho a seguir.
187
Calcule a medida x do segmento EB.
f) Calcule o comprimento da diagonal AB do cubo de aresta igual a 5cm
conforme a figura abaixo:
g) Sendo D uma diagonal do cubo cuja aresta mede
a, prove que 3a=D.
h) Existem dois postes AC e BD perpendiculares a um plano, como mostra a
figura. O plano está dividido em quadrados cujos lados medem 1m.
AC = 9 m, BD = 2 m
. Encontre o comprimento de CD.
188
i) A figura abaixo representa o projeto da cobertura de uma casa. O futuro
proprietário deseja que essa cobertura, vista de frente, tenha a forma de um
triângulo retângulo, cujo ângulo reto fique na cumeeira do telhado (ponto A). Ele
ainda almeja que um lado do telhado meça 8m e o outro lado meça 6m. O
arquiteto responsável pelo projeto está com algumas dúvidas e precisa do teu
auxílio para saná-las. Ajude-o. Veja abaixo:
i1) Qual deve ser a largura a desse telhado
?
i2) Qual a medida m do comprimento do segmento
CH
?
i3) Qual a medida n do comprimento do segmento
HB ?
i4) Qual deve ser a altura h desse telhado
?
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