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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
MICHELE VIANA DEBUS DE FRANÇA
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA LINEAR:
UMA ABORDAGEM INTEGRANDO GEOMETRIA
DINÂMICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2007
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ii
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
MICHELE VIANA DEBUS DE FRANÇA
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA LINEAR:
UMA ABORDAGEM INTEGRANDO GEOMETRIA
DINÂMICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da
Profa. Dra. Ana Paula Jahn.
São Paulo
2007
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Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
iv
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
v
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, por ter me dado força, sabedoria, esperança e saúde.
À Professora Doutora Ana Paula Jahn, por todo empenho, confiança e amizade.
Às Professoras Doutoras Siobhan Victoria Healy e Maria Cristina Bonomi Barufi,
pelas sugestões, críticas e comentários, valiosíssimos para a conclusão deste
trabalho.
À Professora Doutora Maria Célia Leme, cuja colaboração foi fundamental para a
realização do Experimento de Ensino.
Aos professores do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da PUC/SP, por todas as contribuições ao longo de todo o curso.
Aos alunos do curso de Licenciatura em Matemática da PUC/SP, que de boa
vontade empenharam-se na realização das atividades do Experimento de Ensino.
Aos colegas da turma do primeiro semestre de 2005 do Mestrado Acadêmico em
Educação Matemática da PUC/SP que, direta ou indiretamente, contribuíram para
a elaboração deste trabalho.
Aos colegas do Grupo de Pesquisa TecMEM (Tecnologias e Meios de Expressão
em Educação Matemática), pelas contribuições a este estudo durante as
discussões.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pela bolsa de estudos
concedida.
vi
Em especial aos meus pais, Jonson e Cleide, e meus irmãos, Wellington e Gleice,
que de forma direta e indireta me apoiaram e sempre demonstraram acreditar em
mim e em minha capacidade.
Aos demais familiares que demonstraram sua preocupação e que me ajudaram
de alguma forma, a todos os meus irmãos em Cristo os quais oraram por mim e
amigos que entenderam minha ausência.
Aos amigos Danielle Bonke e Marçal Bonke, pela prestatividade e amizade.
Aos meus alunos, ex-alunos e colegas de trabalho pela compreensão nos
momentos mais críticos.
De forma mais especial, ao meu esposo Danilo, por todo afeto, compreensão,
companheirismo, paciência e respeito.
vii
SUMÁRIO
Lista de Figuras________________________________________________________viii
Lista de Quadros_________________________________________________________x
Lista de Tabelas_________________________________________________________xi
Lista de Esquemas ______________________________________________________xii
Resumo_______________________________________________________________xiii
Abstract_______________________________________________________________xiv
Introdução_____________________________________________________________1
1. Delineando o cenário da pesquisa ________________________________________4
1.1. Estudos e pesquisas no tema ____________________________________4
1.2. Objetivo do nosso estudo ______________________________________12
2. Fundamentação Teórica _______________________________________________13
2.1. Registros de Representação Semiótica____________________________13
2.2. Teoria dos Campos Conceituais _________________________________21
2.3. Algumas Considerações________________________________________24
3. Metodologia do Estudo_________________________________________________27
3.1. Considerações sobre o método___________________________________27
3.2. Apresentação das Atividades do Experimento de Ensino ______________29
3.2.1. Atividades____________________________________________30
3.2.1.1. Primeiro Bloco: Vetores e Coordenadas de Vetores_____31
3.2.1.2. Segundo Bloco: Dependência Linear e Base __________39
3.2.1.3. Terceiro Bloco: Transformações Lineares ____________50
3.3. Considerações Finais do Capítulo ________________________________58
4. Descrição e Análise dos Resultados do Experimento de Ensino_________________59
4.1. Introdução ___________________________________________________59
4.2. Papel do professor e desenvolvimento das atividades_________________62
4.2.1. Primeira Sessão _______________________________________64
4.2.2. Segunda Sessão._______________________________________73
4.2.3. Terceira Sessão________________________________________83
4.2.4. Quarta Sessão_________________________________________87
4.2.5. Quinta Sessão_________________________________________98
4.2.6. Sexta Sessão_________________________________________107
Considerações Finais___________________________________________________113
Referências Bibliográficas________________________________________________119
Anexo 1______________________________________________________________124
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo da diversidade de registros no Cabri_________________________________18
Figura 2: Atividade 1, no Cabri ____________________________________________________31
Figura 3: Atividade 2A, no Cabri___________________________________________________33
Figura 4: Atividade 2B, no Cabri___________________________________________________35
Figura 5: Possível solução da Atividade 2B__________________________________________35
Figura 6: Atividade 3, no Cabri____________________________________________________36
Figura 7: Atividade 4A, no Cabri___________________________________________________39
Figura 8: Possível solução da Atividade 4____________________________________________40
Figura 9: Atividade 4B___________________________________________________________41
Figura 10: Possível solução da Atividade 4B_________________________________________42
Figura 11: Atividade 4C__________________________________________________________43
Figura 12: Solução da Atividade 4B, com a opção “Novos Eixos”_________________________43
Figura 13: Solução da Atividade 4C, com a opção “Novos Eixos”_________________________44
Figura 14: Solução da Atividade 4C com a calculadora do Cabri__________________________45
Figura 15: Atividade 4D__________________________________________________________46
Figura 16: Solução da Atividade 4D usando novos eixos e soma de vetores_________________46
Figura 17: Solução da Atividade 4D usando Homotetia_________________________________47
Figura 18: Atividade 4E__________________________________________________________48
Figura 19: Atividade 4E (Desafio)__________________________________________________48
Figura 20: Atividade 5A, no Cabri__________________________________________________52
Figura 21: Atividade 5B__________________________________________________________53
Figura 22: Possível solução para a Atividade 5B______________________________________54
Figura 23: Atividade 6___________________________________________________________55
Figura 24: Solução dos itens (a), (b) e (c) da Atividade 6________________________________56
Figura 25: Solução do item (d) da Atividade 6________________________________________56
Figura 26: Solução de Lucas para a Atividade 1_______________________________________65
Figura 27: Solução de Roberta para a Atividade 1_____________________________________66
Figura 28: Solução de Denise para a Atividade 2A_____________________________________69
Figura 29: Solução dos Alunos A e B para a Atividade 2A_______________________________69
Figura 30: Solução dos alunos A e B para a Atividade 2B_______________________________71
Figura 31: Solução do Aluno D para a Atividade 2B____________________________________72
Figura 32: Solução do Aluno E para a Atividade 2B____________________________________72
Figura 33: Primeira macro-construção feita por Roberta e Denise_________________________75
Figura 34: Macro de Roberta e Denise, com as coordenadas do vetor separadas manualmente_75
Figura 35: Nova macro de Denise__________________________________________________76
ix
Figura 36: Solução de Denise para a Atividade 4A_____________________________________78
Figura 37: Solução de Lucas e Carol para a Atividade 4A_______________________________79
Figura 38: Primeira solução de Roberta para a Atividade 4A_____________________________79
Figura 39: Solução de Carol para a Atividade 4B______________________________________81
Figura 40: Solução de Denise para a Atividade 4B_____________________________________83
Figura 41: Nova solução de Roberta para a Atividade 4A_______________________________85
Figura 42: Solução dos Alunos A e B para a Atividade 4B_______________________________86
Figura 43: Nova solução de Roberta para a Atividade 4B_______________________________86
Figura 44: Resposta de Roberta à questão 3 da Atividade 4B, exibida pelo professor (SIM)____88
Figura 45: Nova resposta de Roberta à questão 3 da atividade 4B, exibida pelo professor
(NÃO)_______________________________________________________________________89
Figura 46: Revisando a Construção, Atividade 4B_____________________________________90
Figura 47: Revisando a Construção, Atividade 4B_____________________________________90
Figura 48: Revisando a Construção, Atividade 4B_____________________________________91
Figura 49: Vetores criados na construção anterior_____________________________________92
Figura 50: Solução do Aluno A para a Atividade 4C____________________________________95
Figura 51: Solução de Denise para a Atividade 4C_____________________________________96
Figura 52: Solução do aluno B para a Atividade 4D____________________________________97
Figura 53: Solução de Carol para a Atividade 4E______________________________________97
Figura 54: Solução de Lucas para o Desafio_________________________________________98
Figura 55: Solução da dupla D1 para o item (b) da 2ª questão (atividade impressa)___________99
Figura 56: Resposta da dupla D2 para a 1ª questão da atividade impressa________________101
Figura 57: Respostas da dupla D2 para os itens (a) e (b) da questão 2____________________102
Figura 58: Resposta dada à 1ª pergunta____________________________________________103
Figura 59: Exemplo de resposta dada à 1ª pergunta__________________________________103
Figura 60: Exemplo de resposta dada à 1ª pergunta__________________________________104
Figura 61: Exemplo de resposta dada à 1ª pergunta__________________________________104
Figura 62: Solução da dupla D1 para a Atividade 5A__________________________________106
Figura 63: Primeira solução da dupla D1 para a Atividade 5B___________________________106
Figura 64: Segunda solução apresentada pela dupla D1 para a Atividade 5B_______________109
Figura 65: Terceira solução apresentada pela dupla D1 para a Atividade 5B_______________110
Figura 66: Solução da dupla D1 para a Atividade 6___________________________________111
x
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Exemplo de tratamento no registro simbólico-algébrico_________________________16
Quadro 2: Exemplo de conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico _____________17
Quadro 3: Exemplo de variação de congruência ou não-congruência de uma conversão_______17
Quadro 4: Exemplos de representação em língua natural_______________________________21
Quadro 5: Transformações apresentadas na 2ª pergunta do questionário impresso___________51
Quadro 6: Enunciado da Atividade 1 (1
a
Sessão)______________________________________64
Quadro 7: Enunciado da Atividade 2A (1
a
Sessão)_____________________________________67
Quadro 8: Enunciado da Atividade 2B (1
a
Sessão)_____________________________________70
Quadro 9: Enunciado da Atividade (2
a
Sessão)_______________________________________74
Quadro 10: Enunciado da Atividade 4A (2ª sessão)____________________________________77
Quadro 11: Enunciado da Atividade 4B (2ª sessão)____________________________________80
Quadro 12: Exemplo de combinação linear dado pelo professor__________________________91
Quadro 13: Enunciado da Atividade 4C (4ª sessão)____________________________________94
Quadro 14: Enunciado da Atividade 4D (4ª sessão)____________________________________94
Quadro 15: Enunciado da Atividade 4E (4ª sessão)____________________________________94
Quadro 16: Enunciado da Atividade 4E – Desafio (4ª sessão)____________________________95
Quadro 17: Anotação da dupla D1________________________________________________100
Quadro 18: Enunciado da Atividade 5A (5ª sessão)___________________________________104
Quadro 19: Enunciado da Atividade 5B (5ª sessão)___________________________________104
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Distribuição prevista das sessões__________________________________________30
Tabela 2: Teve bom desempenho em Álgebra Linear? _________________________________60
Tabela 3: Maiores Dificuldades em Álgebra Linear_____________________________________61
Tabela 4: Maiores Facilidades em Álgebra Linear _____________________________________61
Tabela 5: Distribuição das Atividades por sessão______________________________________62
Tabela 6: Número de soluções apresentadas por atividade______________________________95
xii
LISTA DE ESQUEMAS
Esquema 1: As três atividades cognitivas da semiótica_________________________________15
xiii
RESUMO
Este estudo trata de questões relativas à aprendizagem de conceitos de Álgebra
Linear no ensino superior. A pesquisa envolveu o design de atividades sobre os
conceitos de coordenadas de vetores, dependência linear, base e transformação
linear no plano, articulando diferentes registros em um ambiente de Geometria
Dinâmica. Objetivou-se investigar em que medida um tratamento geométrico e a
articulação entre registros de representação (algébrico, gráfico e geométrico),
auxiliados pelo ambiente Cabri-Géomètre, influenciam nas concepções de
estudantes que já cursaram a disciplina de Álgebra Linear. As bases teóricas
deste estudo são os Registros de Representação Semiótica de Duval (1995,
2000, 2005) e a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990, 1997, 1998).
Com base na metodologia de experimento de ensino (Steffe & Thompson, 2000),
foram concebidas atividades de exploração de diferentes representações para os
conceitos já mencionados. Participaram do experimento 18 alunos de uma turma
de terceiro ano de Licenciatura em Matemática de uma universidade particular da
cidade de São Paulo. Apesar de os estudantes tentarem reproduzir um registro
simbólico-algébrico, não demonstraram domínio de sentido, o que não estava
previsto no design das atividades. Ainda assim, com base nos resultados,
podemos identificar evoluções dos sujeitos na compreensão dos conceitos, bem
como um domínio mais amplo das representações gráfica, algébrica e
geométrica, realizando conversões em ambos os sentidos, servindo para fazer
com que os mesmos fossem confrontados com falsos invariantes os quais eles
possuíam e obrigando-os a questioná-los e explicitar noções. O ambiente de
Geometria Dinâmica proporcionou efeitos positivos nas estratégias de resolução
dos estudantes, fornecendo meios de validação experimental de teoremas-em-
ação e levando-os a explicitar e rediscutir as noções envolvidas, a partir dos
diferentes aspectos evocados nas representações.
Palavras-Chave: Educação Matemática. Álgebra Linear. Geometria Dinâmica.
Registros de Representação Semiótica. Conceito.
xiv
ABSTRACT
This study treats questions related to the learning of Linear Algebra concepts in in
the superior education. The research involved the design of activities on the
concepts of vector coordinates, linear dependency, base and linear transformation
on the plane, articulating different records in a Dynamic Geometry environment. It
was intended to investigate in what measure a geometric treatment and the
articulation among representation registers (algebraic, graphical and geometric),
assisted by the Cabri-Géomètre environment, influence in the conceptions of
students who have already attended the discipline of Linear Algebra. The
theoretical bases of this study are the Duval’s theory of Semiotics Representation
Registers (1995, 2000, 2005) and the Vergnaud’s theory of the Conceptual Fields
(1990, 1997, 1998). Based on the teaching experiment methodology (Steffe &
Thompson, 2000), exploration activities of different representations for the
concepts already mentioned were conceived. Eighteen third grade Mathematic
students from a Private University from the city of São Paulo participated in the
experiment. Although the students tried to reproduce a symbolic algebraic
register, they did not show sense domain, what was not foreseen in the design of
activities. Even so, based on the results, we can identify the individual’s evolution
on the understanding of the concepts, as well as a wider domain of the graphical,
algebraic and geometric representations, carrying through conversions in both
directions, to make them collate with false invariants, which they possessed, and
compelling them to question and to explain notions. The Dynamic Geometry
environment provided positive effects in the students resolution strategies,
providing means of experimental validation of the theorem-in-action and leading
them to explicitate and rediscuss the involved notions, from the different aspects
evoked in the representations.
Keywords: Mathematics Education. Linear Algebra. Dynamic Geometry. Semiotic
Representation Registers. Concept.
1
Introdução
Ingressante no curso de Graduação em Licenciatura em Matemática do
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo no ano de 2000,
minha única pretensão era ser professora de Matemática efetiva da rede pública de
ensino básico, já que abandonara uma graduação em outra área pela vocação para
lecionar.
Na condição de aluna de primeiro ano da Graduação, não pude assumir as
aulas que tanto queria, o que me levou a investir numa bolsa de monitoria ou
iniciação científica na Universidade. Dessa forma, comecei a participar do projeto do
site e-calculo, de apoio às disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e Laboratório
de Matemática, coordenado pela professora doutora Maria Cristina Bonomi Barufi.
Ao envolver-me com o Cálculo, pude perceber que meu interesse pela
pesquisa foi crescendo, com vontade de ir além daquele projeto inicial. As “novas”
abordagens no ensino de funções, integrando recursos tecnológicos, também
despertaram meu interesse e resolvi então que poderia ir além da Graduação. Tinha
a percepção de que havia muito mais a ser estudado e produzido nessa área, com
contribuições a serem dadas ao ensino. Assim, o Mestrado no Programa de Estudos
Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP foi a primeira de muitas
novas escolhas.
Devido à minha preferência pela área de Tecnologia na Educação
Matemática, ao ingressar no Programa, fui encaminhada para o Grupo de Pesquisa
TecMEM – Tecnologia e Meios de Expressão em Matemática. Basicamente, este
grupo trata da integração de tecnologias digitais na Educação Matemática. Suas
maiores preocupações estão relacionadas aos objetos do saber e aos ambientes
informatizados nos quais eles estão inseridos e podem ser estudados, bem como às
problemáticas que envolvem o uso da tecnologia em sala de aula, considerando
possíveis abordagens, suporte necessário etc. Além dos ambientes informatizados,
o grupo abrange também calculadoras e as questões relativas à Educação a
Distância.
Diante das preocupações do grupo, a temática que mais me chamou a
atenção foi a que se relacionava às funções, por serem a base do Cálculo
Diferencial e Integral, ferramenta para muitas áreas do conhecimento, tais como a
2
Engenharia, a Física, as Ciências Econômicas, entre outras, e fruto de estudos ao
longo de séculos. Porém, para o desenvolvimento de um trabalho da disciplina de
Metodologia da Pesquisa - e também por curiosidade pessoal - pesquisei o
inventário de teses e dissertações produzidas no Brasil desde a década de 1970,
percebendo que este tema de pesquisa envolvendo funções era algo bastante
discutido, estudado sob diferentes aspectos, contando com inúmeros trabalhos, fato
também observado em nosso grupo de pesquisa.
Em conversa com minha orientadora, a Professora Doutora Ana Paula Jahn,
tais constatações foram confirmadas. Mas havia por parte dela muitas idéias a
serem propostas, relacionadas aos projetos e estudos em desenvolvimento naquele
momento, em particular envolvendo o uso de ambientes de Geometria Dinâmica.
Uma das pesquisas em andamento que me foi relatada referia-se a esse uso no
Ensino Superior, com relação à exploração de conceitos da Álgebra Linear no plano,
buscando uma articulação com a Geometria.
Fui então incentivada a pesquisar sobre algumas dessas produções. As
pesquisas às quais tive acesso mostraram que, no âmbito internacional, o assunto é
pertinente e bastante discutido, apresentando inúmeras sugestões para o
aprofundamento dos estudos na área. Já no âmbito nacional, se comparado a outros
temas ou mesmo ao contexto internacional mencionado, o assunto ainda não foi
bastante estudado.
Conforme veremos de forma mais detalhada em nosso primeiro capítulo,
algumas pesquisas revelam um alto índice de reprovação na disciplina de Álgebra
Linear, ministrada nos primeiros anos da maioria dos cursos universitários da área
de Exatas. É o caso do estudo de Celestino (2000), o qual apresenta um
levantamento detalhado de tal índice referente à década de 1990.
Este alto índice de reprovação e as muitas dificuldades, mesmo por parte de
alunos que obtêm aprovação, são atribuídos a obstáculos constituídos,
principalmente, pela abordagem formal e essencialmente algébrica adotada por
professores e presente na maioria dos livros didáticos dessa disciplina.
Assim, compreendi que novas investigações, propondo novas abordagens,
seriam relevantes como temática de pesquisa. Dessa forma, optei por desenvolver
meu estudo nessa área, envolvendo a análise de processos de conceitualização de
estudantes universitários em Álgebra Linear, articulados com noções geométricas,
3
em um ambiente de geometria dinâmica – o Cabri-Géomètre – que permite a
diversificação de registros de representação, em particular o figural e o gráfico.
O trabalho está organizado em quatro capítulos, compreendendo:
• No primeiro (Capítulo 1), um breve panorama de algumas pesquisas de
referência no tema, visando delinear o cenário no qual o trabalho se insere.
Esse tópico permite formular as questões iniciais, bem como definir o objetivo
geral do estudo;
• O Capítulo 2, com a apresentação de algumas noções e ferramentas
conceituais que fundamentam o estudo, em particular os registros de
representação de Duval (1993, 1995, 2000, 2005) e os elementos da teoria
dos campos conceituais de Vergnaud (1990, 1997, 1998);
• No Capítulo 3, a descrição da metodologia adotada – um experimento de
ensino na perspectiva de Steffe & Thompson (2000), bem como a descrição
das principais escolhas e planejamento das atividades do experimento, com
elementos de análise a priori destas atividades;
• O Capítulo 4, com a descrição e discussão dos resultados, confrontando com
os elementos da análise a priori das situações.
E a conclusão geral do estudo, destacando suas principais contribuições,
assim como alguns prosseguimentos possíveis, em termos de questões ainda não
completamente tratadas no trabalho.
4
Capítulo 1
Delineando o cenário da pesquisa
1.1. Estudos e pesquisas no tema
A Álgebra Linear é uma parte da Álgebra que, por sua vez, é um ramo da
Matemática. Na Álgebra Linear dos currículos de cursos do Ensino Superior onde
ela aparece, estudam-se matrizes, espaços vetoriais e transformações lineares.
Todos esses assuntos servem para um estudo detalhado de sistemas lineares de
equações. Tanto a Álgebra Linear como a Geometria Analítica aplicam-se a várias
áreas, em especial às Engenharias e à Computação. Um dos mais importantes
objetivos da disciplina é estabelecer a intrincada linha de relações entre sistemas de
equações lineares, matrizes, determinantes, vetores, transformações lineares e
autovalores e autovetores.
O fato de a Álgebra Linear ser um campo da Matemática configurado como
abstrato, envolvendo diversos tipos de pensamentos, faz dela objeto de estudo de
vários pesquisadores na área de Educação Matemática.
De fato, em Educação Matemática, pesquisas nacionais e internacionais
relacionadas a essa disciplina mostram que os estudantes encontram inúmeras
dificuldades de aprendizagem. Uma delas, destacada nos trabalhos do grupo
francês liderado por Jean-Luc Dorier (1997), refere-se à abordagem extremamente
formal e predominantemente algébrica do ensino, presente nos livros didáticos e
utilizada por professores que ministram essa disciplina. Nesse sentido, os conceitos
são geralmente apresentados formalmente e utilizando registro simbólico-algébrico.
Destacamos também a pesquisa de Oliveira (2005), que traz um panorama
das pesquisas internacionais relacionadas ao tema, incluindo os trabalhos do grupo
francês acima mencionado, os quais foram iniciados na década de 1980. Nestes
trabalhos, encontra-se um levantamento das dificuldades apresentadas pelos
estudantes franceses no primeiro ano da universidade, quando do estudo da Álgebra
Linear. Segundo Oliveira (ibid.), os resultados dessas pesquisas apontam que a
forma axiomática utilizada para tratar as primeiras noções de Álgebra Linear, como
espaço vetorial e base, traz ao aluno uma sensação de fracasso, impedindo-o de
5
avançar no seu aprendizado. E é notável o fato de que isso foi constatado com um
número considerável de estudantes. O autor ainda destaca, a partir da leitura da
primeira parte do livro L’enseignement de l’Algèbre Linéaire en Question (DORIER et
al., 1997), resultado da tese de doutorado de Dorier, que
as dificuldades dos alunos com o aprendizado de Álgebra Linear
revelam um obstáculo epistemológico
1
, pois estas são do mesmo tipo
daquelas enfrentadas por sucessivas gerações de estudiosos no
desenvolvimento dessa estrutura, quais sejam, a criação de uma
forma axiomática e a utilização de uma notação própria para facilitar
a manipulação matemática que ele denominou de obstáculo do
formalismo (OLIVEIRA, 2005, p. 14-15).
Assim, os estudos de Dorier (1997) enfatizam os obstáculos do formalismo e
da abordagem abstrata empregada freqüentemente nesta disciplina, criticando a
formação dos alunos no Ensino Secundário em Vetores e Geometria, considerada
por ele limitada.
Especificamente sobre a noção de base, Oliveira (2005) investigou o papel
dos recursos-meta
2
, utilizados por um professor de Álgebra Linear em sala de aula,
que ajudaram alguns de seus alunos na compreensão dessa noção. Esse trabalho
apóia-se na definição de alavanca-meta
3
de Dorier (1990) e os três princípios para o
ensino e a aprendizagem de Harel (1990): o princípio da concretização, da
necessidade e da generalização. Particularmente, o primeiro princípio nos interessa
neste estudo e será retomado mais adiante.
Ainda nessa perspectiva, vale destacar a pesquisa de Araujo (2002), a qual
traz interessantes articulações entre questionários aplicados a alunos e professores
de Álgebra Linear e o tratamento de assuntos dessa disciplina pelos livros didáticos.
Esse estudo teve por objetivo encontrar textos metamatemáticos em livros didáticos,
passíveis de se tornarem alavancas-meta para alunos de um primeiro curso de
1
A noção de obstáculo epistemológico tem origem na obra de Bachelard (1932) e foi introduzida na
Didática da Matemática por Guy Brousseau: “Um obstáculo é um conhecimento que tem seu
próprio domínio de validade e que fora desse domínio é ineficaz e pode ser fonte de erros e
dificuldades”. (BROUSSEAU, 1983, apud CHEVALLARD, BOSCH e GASCON, 2001, p. 223)
2
Oliveira (2005) utiliza o termo “recurso-meta” para se referir ao que, ao longo do tempo, foi
chamado de “metamatemática” ou “metaconhecimento matemático” e, por fim, simplesmente de
“meta”.
3
Na perspectiva de Dorier (1990), a metamatemática é constituída de recursos que o professor
utiliza para introduzir um novo conceito matemático aos seus alunos. São informações contidas no
discurso do professor, numa seqüência didática ou até mesmo em livros didáticos, tais como:
apresentar exemplos e contra-exemplos, citar os erros mais freqüentes, mostrar uma aplicação do
conceito estudado e/ou como utilizá-lo. Este discurso pode funcionar como “alavanca-meta” se
proporcionar ao aluno condições de realizar uma análise reflexiva sobre seu conhecimento já
existente, reorganizando-o a fim de utilizá-lo como ferramenta para a compreensão de um novo
conceito. No entanto, o reconhecimento do caráter de “alavanca-meta” depende do receptor.
6
Álgebra Linear, quando do estudo da noção de base. Foi feita uma análise
qualitativa dos três livros didáticos mais referenciados em programas ou ementas do
curso de Álgebra Linear de Universidades da cidade de São Paulo. Concluiu-se que,
além dos textos serem muito antigos e escritos há mais de três décadas, eles trazem
pouquíssimas situações que apresentem metamatemáticas capazes de se
transformarem em alavancas- meta, quando do estudo da noção de base.
No contexto nacional, podemos ainda citar o estudo de Silva (1997), que teve
por objetivo explicitar alguns modos de produção de significados para a noção de
base, apoiando-se no Modelo Teórico dos Campos Semânticos (MTCS). O Modelo
Teórico dos Campos Semânticos foi desenvolvido por Lins (1993) e trata-se de um
modelo epistemológico que permite compreender alguns aspectos do processo de
produção de significados em matemática. Neste modelo, o conhecimento é
entendido como crença, levando-se em conta o que o sujeito afirma e como justifica
tal crença. Assim, justificativas diferentes implicam conhecimentos diferentes. Ao
justificar sua crença, o sujeito produz um significado, ou seja, entende-se por
significado aquilo que o sujeito pode e efetivamente diz sobre o objeto numa dada
atividade. Quando o sujeito faz uma afirmação para a qual não acha necessária uma
justificativa, diz-se que esta é uma afirmação local, e ao conjunto delas chama-se
núcleo. Um sujeito opera no campo semântico sempre que produz significado em
relação a um núcleo dado.
4
Silva (1997) afirma que os matemáticos e os estudantes
produzem significados diferentes para a noção de base em Álgebra Linear, o que
pode justificar alguns problemas no desempenho dos estudantes, ao serem
avaliados por um instrumento que não contenha elementos do campo semântico por
eles construído para as noções envolvidas.
No âmbito internacional, destacamos os trabalhos de Harel (1990). Esse autor
descreve pesquisas de um grupo de professores de vários departamentos de
Matemática de diferentes universidades americanas, das quais ele também fez
parte, denominado Linear Algebra Curriculum Study Group (LACSG), que já há
algum tempo tinha por objetivo propor abordagens mais adequadas ao ensino de
Álgebra Linear e elaborar um currículo e orientações didáticas para esta disciplina.
Posteriormente, Harel (2000) estudou um modelo experimental de ensino da Álgebra
Linear utilizando um modelo geométrico baseado no Princípio da Concretização,
4
Para mais detalhes sobre o Modelo Teórico dos Campos Semânticos, ver LINS (1992).
7
segundo o qual os estudantes possuem uma estrutura matemática mental, isto é,
pré-conceitos que lhes servem como ponto de partida.
Para que estudantes possam abstrair uma estrutura matemática de
um dado modelo, seus elementos devem ser entidades conceituais
no entender desses estudantes; ou seja, os estudantes dispõem de
procedimentos mentais que podem tomar estes objetos como ponto
de partida. (HAREL, 2000, apud GUEUDET-CHARTIER, 2004, p.
87)
5
Aplicado ao caso desta disciplina, isto permite formular hipóteses com a ajuda
de um modelo geométrico suficientemente familiar aos estudantes. Suas
observações permitiram concluir melhoras nas performances dos estudantes que
foram submetidos a tal abordagem, em comparação a um grupo anterior, não
submetido.
Além disso, devemos aqui destacar o trabalho de Gueudet (2004), o qual tem
nos inspirado fortemente, pois sugere novas abordagens para o ensino de Álgebra
Linear, discutindo as possibilidades do emprego de desenhos (ou representações
figurais) nesta disciplina, e mais precisamente, de um modelo geométrico na
perspectiva de Fischbein (1987).
Segundo Gueudet (ibid.), os próprios professores da Universidade apontam
como um dos fatores que auxiliam a aprendizagem desta disciplina um bom
conhecimento de Geometria. Em seu artigo, a autora afirma que a Comissão de
Reflexão sobre o Ensino de Matemática (CREM, 2000), criticando o Movimento da
Matemática Moderna – o qual apresenta a Geometria como aplicação da Álgebra
Linear – defende que a Geometria usual de dimensões 2 e 3 fornece um suporte
intuitivo para trabalhar em dimensões superiores a 3. Aqui, o termo “suporte intuitivo”
está apoiado nos trabalhos de Fischbein (1987). Para ele, os alunos devem
aprender a produzir e avaliar afirmações matemáticas formal e intuitivamente. Assim,
esse pesquisador defende a interação entre os três componentes básicos da
Matemática como atividade humana: o formal, o algorítmico e o intuitivo. Por aspecto
formal, o autor entende o uso de axiomas, definições, teoremas, demonstrações,
que representam o cerne da Matemática como ciência formal. Os aspectos
algorítmicos de um conhecimento são referidos como habilidades de usar
procedimentos de resolução, compreendendo o conhecimento formal que o embasa.
Já o componente intuitivo é um tipo de intuição, aceita diretamente sem o
5
Tradução feita por nós, do original em Francês.
8
sentimento de que qualquer tipo de justificativa seja necessário. O componente
intuitivo do conhecimento matemático pode estar de acordo com os componentes
formal e algorítmico ou contradizê-los. Assim, ele pode tanto facilitar o papel do
processo de aprendizagem, quanto se tornar obstáculo para esse processo. A inter-
relação entre esses três componentes é, segundo Fischbein (ibid.), fundamental
para o desenvolvimento de um raciocínio matemático produtivo. Um recurso
essencial da intuição em Matemática é o emprego de modelos. Um modelo permite
trocar uma noção por um substituto de aparência ou existência concreta, que pode
servir de suporte ao raciocínio. Toda teoria axiomática está associada a um modelo
intuitivo, que permite assim escolher axiomas, fazer verificações de independência e
de completude.
Com base nessas idéias, Gueudet (ibid.) considera relevante para a
Geometria os modelos: geométricos – provenientes de uma Geometria e ligados a
uma teoria axiomática – e os figurativos – constituídos de desenhos. Uma
propriedade essencial dos modelos geométricos é a possibilidade de associação
com os modelos figurativos. Esta associação leva à noção de conceito figural, a
partir dos desenhos empregados em Geometria. De acordo com Fischbein (1993),
conceitos figurais têm ao mesmo tempo aspectos conceituais e propriedades
espaciais. Assim, quando se fala em figura geométrica, tem-se um referente dado
aos desenhos, ou seja, existe a associação de dois fatores: o primeiro fator o
referente e o segundo um dos desenhos que o representa, tomado no universo dos
desenhos possíveis. O termo figura geométrica remete-nos, nesta acepção, ao
estabelecimento de uma relação entre um objeto geométrico e as suas
representações possíveis
6
.
Gueudet (2004) define intuição geométrica em Álgebra Linear como o apelo
de um sujeito a um modelo geométrico ou figurativo, ao estudar elementos da
Álgebra Linear.
Uma questão ainda colocada pela autora é com relação à Geometria
considerada “adequada” para servir de base aos alunos ingressantes nos cursos de
Exatas, pois a Geometria que é ensinada no Ensino Secundário francês precisaria
sofrer adaptações no elenco de conceitos e propriedades para que pudesse ser
6
Essa distinção entre desenho e figura geométrica foi considerada por outros autores em Educação
Matemática, em particular por pesquisadores da Didática Francesa como Parzysz (1988) e
Laborde (1994).
9
integrada aos conceitos de Álgebra Linear. Gueudet (ibid.) aborda essa questão
quando afirma que um bom uso de modelos geométricos e figurais – aqui
novamente referindo-se aos modelos de Fischbein (1993) – requer a introdução de
modelos intermediários, menos gerais do que a teoria.
Essa autora formula alguns questionamentos, dentre os quais retomamos
dois, por nos interessarem particularmente:
• Quais são as possibilidades do professor de Álgebra Linear empregar
modelos geométricos provenientes do Ensino Secundário? Como esse
professor pode utilizá-los efetivamente?
• Quais são os diferentes tipos de apelo ao geométrico feitos pelos professores
de Álgebra Linear?
Cabe aqui relembrar que essas questões foram colocadas referindo-se ao
contexto francês. Para respondê-las, a autora recorre a livros didáticos franceses do
Ensino Médio (específicos da área de Exatas) e da Universidade, e também a
questionários propostos aos professores da Universidade que haviam ministrado
recentemente a disciplina de Álgebra Linear.
Este estudo revela que a Geometria do ensino secundário francês fornece
modelos para o ensino de Álgebra Linear, resultado da trajetória das duas disciplinas
ao longo do tempo e após as reformulações curriculares pelas quais passaram
nesse contexto de ensino. Ele também permitiu analisar quais as possibilidades de
emprego dos modelos geométricos em Álgebra Linear. No entanto, nenhuma parte
experimental com alunos foi realizada e a autora sugere uma continuidade da
pesquisa nesse sentido, inclusive assumindo que a mesma constitui subsídio para
isto.
Retomando as pesquisas mencionadas, destacamos:
Sem dúvida, não existe na França, um primeiro ciclo universitário,
onde os professores não constatem o fracasso do ensino tradicional
de Álgebra Linear. (ROGALSKI, 1990, apud OLIVEIRA, 2005, p. 14)
Dois grandes eixos de pesquisa parecem se destacar para o futuro
imediato: o prosseguimento das pesquisas sobre a utilização da
alavanca-meta e sobre a avaliação de seus efeitos reais sobre a
aprendizagem, e a análise das relações entre aspectos semióticos
(tratamento e conversão das representações) e os aspectos mais
conceituais da aprendizagem em Álgebra Linear. (DORIER, 1997, p.
296)
7
7
Traduzido por nós do original em Francês.
10
Percebemos nessa última citação que há uma sugestão em relação às
tendências das pesquisas relacionadas ao tema. No nosso caso, optamos pela
segunda tendência mencionada: análise das relações entre aspectos semióticos e
conceituais da aprendizagem em Álgebra Linear, buscando integrar o contexto
geométrico em situações envolvendo conceitos dessa disciplina.
Nesse sentido, devemos mencionar mais três estudos que se enquadram
nessa tendência e influenciaram fortemente nossas escolhas. O primeiro é o de
Bittar (1998), no qual é apresentada a análise da aplicação de uma seqüência
didática para o ensino de vetores em uma turma francesa correspondente ao
primeiro ano do Ensino Médio brasileiro (15-16 anos). Esta seqüência foi elaborada
com o auxílio do software Cabri-Géomètre II. Nesse trabalho, é discutido o papel
desse ambiente informático como ferramenta didática, permitindo uma abordagem
diferente da habitual e como instrumento para o pesquisador em Didática da
Matemática, auxiliar na explicitação de concepções dos alunos, dificilmente
percebidas ou questionadas no ambiente convencional. O principal resultado deste
estudo é que o Cabri efetivamente ajudou a colocar em evidência algumas das
dificuldades dos alunos: ele permitiu confrontar os alunos com alguns teoremas-em-
ação
8
falsos construídos por eles, obrigando-os a retomar e refletir sobre certas
noções.
Além disso, na perspectiva do ensino, o caráter dinâmico do Cabri
proporcionou aos alunos a verificação de propriedades e constituiu um meio para o
controle das ações, funcionando, portanto, como um meio para a elaboração e
validação de conjecturas, que normalmente não poderiam ser facilmente verificadas
no ambiente do papel-lápis.
Outro estudo é o de Sierpinska (1999), o qual discute alguns aspectos de
uma engenharia didática sobre transformações lineares. Seu objetivo era o de criar
condições de aprendizagem que permitissem aos estudantes superar os obstáculos
do formalismo mencionados por Dorier (1997). Novamente aqui, as atividades foram
desenvolvidas no ambiente Cabri II. A análise foi fundamentada nos Registros de
Representação Semiótica
9
. Sierpinska (ibid.) conclui que o design das atividades da
seqüência apresentou inúmeras falhas, e reconhece o Cabri como fonte de muitas
das dificuldades dos estudantes durante o desenvolvimento das atividades. Além
8
No sentido de Vergnaud (1990), o qual será abordado mais adiante em nosso estudo.
9
Teoria de Raymond Duval, apresentada e discutida no Capítulo 2.
11
disso, ela aponta fatores epistemológicos relacionados ao uso de definições, como a
noção de função utilizada nas atividades, e fatores didáticos. Em sua opinião, no
primeiro ano de um curso universitário, alguns conteúdos poderiam ser
simplesmente transmitidos aos estudantes, porque sua explicação requereria
conhecimentos prévios, por parte dos mesmos, de teorias de um nível avançado.
Numa situação como essa, alguns estudantes seriam capazes de alcançar tal nível
de entendimento, mas outros tirariam conclusões equivocadas destes conceitos, que
a autora chama de “misinterpretations”. Dessa forma, seria melhor apenas transmitir
tais conhecimentos, garantindo um mesmo nível de entendimento entre os
estudantes. Ela sugere ainda continuar seu estudo, reaplicando as atividades, porém
sem o auxílio do Cabri, pois acredita que os estudantes, apesar de conseguirem
construir objetos além do que fora pretendido, não conseguiram articular as
representações, tendo apenas manipulado figuras no Cabri.
Apesar do aparente fracasso no estudo de Sierpinska (ibid.), conseguimos
visualizar possibilidades em suas atividades, uma das quais, inclusive, será
adaptada e utilizada em nosso experimento, conforme descreveremos no Capítulo 3.
E o último estudo dentre os três acima mencionados é o de Karrer (2006), o
qual envolveu o design de atividades sobre transformação linear, explorando a
conversão de registros no ambiente Cabri II. A autora buscou investigar as
trajetórias de aprendizagem de estudantes universitários e o impacto dessa
abordagem de ensino. O trabalho foi organizado em duas fases. Na primeira,
realizaram-se estudos preliminares e desenvolvimentos teóricos para a formulação
de hipóteses de trabalho e identificação de ferramentas conceituais para a análise
das trajetórias dos estudantes. Com base na teoria dos Registros de Representação
Semiótica de Duval (1993, 1995, 2000, 2005), analisou-se a exploração dos
registros e conversões presentes no conteúdo das transformações, tanto nos livros
didáticos de Álgebra Linear quanto nos de Computação Gráfica. Ainda, aplicou-se
um questionário sobre transformações lineares a cerca de 180 estudantes da área
de Computação. Esses estudos apontaram deficiências e dificuldades com relação à
exploração de diferentes registros por parte dos estudantes, principalmente os
registros matricial e gráfico. Na segunda fase, com base na metodologia de Design
Experiments (COBB et al., 2003), foram concebidas atividades de exploração das
diversas representações de transformações lineares planas, nos ambientes Cabri-
Géomètre e papel-lápis. Os resultados revelaram evoluções dos sujeitos na
12
compreensão das condições de linearidade e nas particularidades gráficas inerentes
às transformações lineares, além de um domínio mais amplo das diversas
representações e de suas conversões. Por fim, foram observados efeitos específicos
nas estratégias dos estudantes, relacionados às características das tarefas, bem
como às especificidades do ambiente computacional.
1.2. Objetivo do nosso Estudo
Segundo esse cenário inicial das pesquisas em Educação Matemática,
podemos perceber a relevância do tema e notar que ainda há muitas questões a
serem investigadas nessa temática. Dessa forma, diante de várias possibilidades,
optamos por dar continuidade aos estudos que relacionam Geometria e Álgebra
Linear. Nosso objetivo consiste em analisar as contribuições do uso da Geometria
Dinâmica na compreensão de conceitos fundamentais de Álgebra Linear, tais como
vetores e coordenadas, dependência linear, base e transformações lineares.
Optamos, para tanto, por conceber um experimento de ensino. Pretendemos
investigar em que medida um tratamento geométrico e a articulação entre registros
de representação (algébrico, gráfico e geométrico), auxiliados pelo ambiente Cabri-
Géomètre, influenciam nas concepções dos estudantes após terem cursado esta
disciplina.
Assim, em nosso trabalho, iremos analisar as possibilidades de interpretações
com o emprego do geométrico em Álgebra Linear, mas não por meio de um estudo
da trajetória da Geometria e da Álgebra Linear nos livros didáticos, e sim por meio
de um experimento de ensino, no qual pretendemos confrontar estudantes que já
cursaram a disciplina de Álgebra Linear com situações didáticas envolvendo as
noções de coordenadas de vetores, base e transformações lineares, em um
ambiente diferente do convencional. Utilizaremos aqui uma abordagem com
Geometria Dinâmica, no ambiente Cabri-Géomètre, por suas potencialidades em
desenvolver o conceito de figura geométrica e também em tornar acessível diversos
registros de representação dinamicamente relacionados.
A seguir, apresentaremos as bases teóricas que fundamentam nosso estudo.
13
Capítulo 2
Fundamentação Teórica
Nesse capítulo, apresentamos os principais elementos teóricos com os quais
fundamentamos algumas de nossas escolhas e possíveis interpretações na
discussão das atividades. Primeiramente, nos dedicaremos às considerações sobre
os Registros de Representação Semiótica de Duval (1993, 1995, 2000, 2005). A
seguir, descreveremos os principais elementos da Teoria dos Campos Conceituais
de Vergnaud (1990, 1997, 1998).
2.1. Registros de Representação Semiótica
A teoria dos registros de representação de Duval (2005) é, nesta pesquisa,
um importante instrumento para compreendermos a complexidade da aprendizagem
de Matemática e organizarmos as situações de aprendizagem envolvendo noções
da Álgebra Linear, as quais nos propusemos a estudar.
Esse pesquisador busca estudar o funcionamento cognitivo do sujeito em
uma atividade matemática e as dificuldades ou problemas a ela relacionados. Ele
atém-se às diversas representações mobilizadas na apreensão de um objeto
matemático e desenvolveu um modelo de funcionamento cognitivo do pensamento,
baseado na mudança de registros de representação semiótica
10
. Para ele, a maneira
matemática de raciocinar e de visualizar está intrinsecamente ligada à utilização das
representações semióticas, e toda comunicação em Matemática se estabelece com
base nessas representações.
Para Duval (1995), as representações semióticas são produções constituídas
pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm
suas características próprias de significado e de funcionamento. Para designar os
10
Segundo Santaella (1983), a semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as
linguagens possíveis, ou seja, que tem por objetivo o exame dos modos de constituição de todo e
qualquer fenômeno como fenômeno de produção de significação e de sentido. Linguagem aqui
tem um sentido amplo, ligado às formas sociais de comunicação e de significação.
14
diferentes tipos de representações semióticas utilizadas em Matemática, esse autor
fala de registro de representação.
Segundo D’Amore (2005), em Duval (1996) há uma citação de Vigotsky na
qual, substancialmente, declara-se que não existe conceito sem signo.
Todas as funções psíquicas superiores estão ligadas por
meio de uma característica comum superior, que é a de constituírem
processos mediados, ou seja, que incluem sua própria estrutura,
como parte central e essencial do processo em sua totalidade, o
emprego do signo como meio fundamental de orientação e de
domínio dos processos psíquicos. O aspecto central do
processo de formação de conceitos é o uso funcional do signo
ou da palavra como meio que permite ao aluno submeter ao seu
poder as próprias operações psíquicas, dominar o desenrolar dos
próprios processos psíquicos [...]. (VYGOTSKY, 1985, p. 150, 151,
157, apud D’AMORE, 2005, p. 49-50, grifo nosso).
Ainda segundo D’Amore (ibid.) seria conveniente, ao traduzir Vygotsky,
colocar no lugar da palavra “signo” a expressão “sistema de signos”.
Com base nesse pressuposto, Duval expressa questões relativas à
aprendizagem matemática, relacionando os processos de semiosis e noesis.
Entende-se por semiosis a apreensão ou a produção de uma representação
semiótica – ou ainda, uma representação por meio de signos – e, por noesis, os atos
cognitivos, como a apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma
diferença ou a compreensão de uma inferência – em suma, a aquisição conceitual.
De acordo com esse pesquisador, não há aquisição conceitual (conhecimento) de
um objeto sem recorrer a sistemas semióticos (representações). Em outras palavras,
não existe noesis sem semiosis. Com isso, as representações mentais e as
representações semióticas não podem ser dissociadas, ao contrário, há uma estreita
interdependência entre elas, de forma que, para garantir o primeiro passo na direção
da noesis, é necessária a semiosis.
Essa estreita interdependência entre noesis e semiosis é enfatizada por duas
características da aquisição conceitual – e, portanto, da noesis: (1) o uso de diversos
registros de representação semiótica é típico do pensamento humano e (2) a criação
e o desenvolvimento de novos sistemas semióticos são marcos do progresso do
conhecimento.
São três as atividades cognitivas características da semiótica: a
representação, o tratamento e a conversão.
15
Na atividade de representação, tem-se a finalidade de exprimir uma
representação mental ou evocar um objeto real. Os tratamentos são transformações
de representações dentro de um mesmo registro, por exemplo: efetuar um cálculo
ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos
números. As conversões são transformações de representações que consistem em
mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados, por exemplo: passar
da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica.
D’Amore (2005), referindo-se a Duval, apresenta um esquema que relaciona
essas três atividades cognitivas. Vamos utilizá-lo aqui, permitindo-nos fazer
pequenas alterações.
Esquema 1: As três atividades cognitivas da semiótica, adaptado de D’Amore (2005, p.59)
Podemos interpretar que, dado um objeto, suas características específicas
fixadas dependem das capacidades semióticas de representação do registro
escolhido (setas “para cima” a partir da representação). A escolha de outro registro
determina outras características do objeto. E tal escolha não é fixa a priori, mas sim
Escolha das características específicas do objeto
REPRESENTAÇÃO
(em um dado registro)
TRATAMENTO
(transformação de representação)
CONVERSÃO
(transformação de registros)
OBJETO
(a ser representado)
Nova representação no mesmo registro
Nova representação em outro registro semiótico
16
+−=−
+=
+−+=−
+−=−
+=
=
−
=
−
=
ba
ba
baba
ba
vbuaw
vuw
3 2
2 5
)3 ,2( )2 ,5(
)3 ,1.()1 ,2.( )2 ,5(
..
)3 ,1( );1 ,2( );2 ,5(
rrr
r
r
r
é fruto da opinião, desejo, necessidade ou gosto de quem a escolhe, ou seja, está
ligada não apenas ao objeto, mas ao sujeito que o está representando.
Representações diferentes do mesmo objeto, em registros diferentes, possuem
conteúdos diferentes.
As setas “para baixo” representam o fluxo: dado um objeto, sua
representação é expressa por meio da escolha de suas características específicas.
Quando do tratamento, ocorre nova representação no mesmo registro, com
transformação de representação. Na conversão, ocorre nova representação em
outro registro, ou seja, uma transformação de registro. Cabe observar que não
necessariamente existe uma ordem para que ocorram o tratamento e a conversão.
Em Álgebra Linear, em uma situação referente à combinação linear, o
exemplo abaixo representa uma atividade de tratamento no registro simbólico-
algébrico, já que seu desenvolvimento envolve manipulações dentro desse mesmo
registro.
Quadro 1: Exemplo de tratamento no registro simbólico-algébrico
Como exemplo de conversão, podemos mencionar a representação de um
vetor no plano, dado inicialmente como vetor geométrico e representado a partir de
suas coordenadas, quando fixado um sistema de eixos. Ou seja, parte-se de uma
representação em um determinado sistema semiótico (registro geométrico ou
figural), sendo produzida outra representação em um sistema semiótico distinto
daquele de partida (registro gráfico). Relativamente ao conteúdo matemático de
nossa pesquisa, no campo da Álgebra Linear, o exemplo a seguir representa uma
conversão do registro algébrico para o gráfico, com relação ao objeto matemático
transformação linear.
REGISTRO ALGÉBRICO REGISTRO GRÁFICO
17
)2,2(),( yyxyxT
+
=
Quadro 2: Exemplo de conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico
A conversão pode ser classificada como congruente ou não-congruente. No
caso da não-congruência, existe uma coordenação entre os registros de
representação mobilizados (em geral, dois), mas ela não ocorre de início e não é
construída de modo espontâneo. O caso da conversão congruente é o da
coordenação entre registros de representação que ocorre mais rapidamente e é
construída de modo espontâneo. Isto é, quando a representação terminal (no
registro de chegada) transparece na representação de partida (enunciado) e a
conversão se assemelha a uma situação de simples codificação, então há
congruência, isto é, há correspondência semântica das unidades de significado entre
os dois registros; se a representação terminal não transparece absolutamente, então
há o fenômeno de não-congruência. Como exemplos, apresentamos o quadro
abaixo, extraído e adaptado de Duval (2005, p. 19)
REGISTRO DE
PARTIDA
REGISTRO DE CHEGADA CONGRUÊNCIA
y > x
O conjunto dos pontos cuja ordenada é
superior à abscissa
SIM
x . y > 0
O conjunto dos pontos cuja abscissa e
cuja ordenada têm o mesmo sinal
NÃO
Quadro 3: Exemplo de variação de congruência ou não-congruência de uma conversão
É importante ressaltar que há conversões congruentes em um sentido e não-
congruentes no sentido contrário. Duval (2005) classifica essa característica como
“fenômeno da heterogeneidade da congruência”.
De acordo com Duval (2005), não se dá atenção devida a estes dois
fenômenos da congruência (as variações de congruência e de não-congruência) no
ensino e nas pesquisas relacionadas à Educação Matemática. Ele considera
18
essencial para a aprendizagem em Matemática o reconhecimento de conversões
não-congruentes e uma efetiva coordenação entre os registros, atividades que
considera como condições de acesso à compreensão matemática.
Nosso estudo pretende envolver uma diversidade de registros e explorar os
fenômenos das atividades cognitivas da semiótica, na abordagem de conceitos
básicos de Álgebra Linear – vetores, base e transformações lineares. Acreditamos
que um trabalho centrado na diversidade dos sistemas de representação e que
explore as conversões em duplo sentido, podem promover modificações nas
produções dos estudantes, no que se refere à qualidade dessas produções, a partir
da ampliação da compreensão dos objetos em jogo.
Figura 1: Exemplo da diversidade de registros no Cabri.
Assim, temos o interesse em analisar as atividades de conversão,
particularmente em transformações que envolvam o registro gráfico e o figural. E
cabe observar que o ambiente Cabri-Géomètre permite o uso simultâneo dessas
representações, de forma relacionada ou articulada dinamicamente, uma das
principais razões para sua escolha.
As atividades cognitivas de representação, tratamento e conversão estão
associadas a certas regras. No caso da atividade de representação, por exemplo,
essas regras são denotadas por regras de conformidade. Tais regras estão
19
associadas às possibilidades de comunicação e tratamento, são essenciais para a
determinação das unidades elementares do sistema – como os símbolos e
vocábulos – e promovem o estabelecimento das combinações admissíveis das
unidades elementares, para formarem unidades mais complexas.
Já a atividade de tratamento está associada às regras de expansão
informacional, aplicadas em transformações de representações em um mesmo
registro.
Com relação à atividade de conversão, segundo Duval (1995), é essencial
para o seu estabelecimento – para que a mesma seja compreensível – que haja
distinção entre objeto e representação. Uma representação é um objeto matemático
quando o sujeito reconhecer na representação seu conteúdo matemático.
Referente a essa preocupação de Duval, destacamos o Paradoxo Cognitivo
do Pensamento Matemático (Duval, 1993, p. 38): por um lado, a apreensão dos
objetos matemáticos só pode ser uma apreensão conceitual e, por outro lado,
somente por meio de representações semióticas é possível uma atividade sobre os
objetos matemáticos. Como os sujeitos, em fase de aprendizagem, poderiam deixar
de confundir os objetos matemáticos com suas representações semióticas, se eles
apenas podem estabelecer relações com as representações semióticas? E, ao
contrário, como podem esses indivíduos adquirir o domínio dos tratamentos
matemáticos, necessariamente ligados às representações semióticas, se ainda não
possuem uma apreensão conceitual dos objetos representados? Assim, este
paradoxo é conseqüência inevitável da atividade matemática sobre os objetos e
sobre seus representantes.
Com relação a uma representação, existem quatro aspectos a serem
considerados. Primeiro, deve-se determinar o sistema em que a representação é
produzida, já que o conteúdo da representação é alterado conforme o sistema de
representação utilizado. O segundo aspecto refere-se à relação entre a
representação e o objeto representado. Se o sistema de produção for semiótico,
composto por palavras, símbolos e desenhos, a relação é somente de denotação. O
terceiro aspecto relaciona-se com a análise da possibilidade de acesso ao objeto
representado sem o uso de uma representação semiótica. E o último aspecto é se o
motivo pelo qual a representação se faz necessária é para comunicação ou
tratamento.
20
Estes aspectos evidenciam a especificidade do acesso ao objeto matemático,
ou seja, uma característica particular da atividade cognitiva requerida pela
Matemática: o acesso a objetos matemáticos não é possível por meios perceptivos
ou instrumentais, dada a sua natureza “não real”. Faz-se necessária uma relação de
denotação, que só é possível por meio de um sistema de representação semiótica.
Portanto, cada conceito matemático necessita de representações, uma vez que não
existem objetos para serem exibidos em seu lugar ou para evocá-lo.
Quanto à sua natureza, os registros podem ser classificados como mono ou
multifuncionais. Registros multifuncionais são usados tanto com finalidade de
comunicação quanto de tratamento. Além disso, fornecem possibilidades de vários
tratamentos. A linguagem natural é um desses registros. Ela é usada em
Matemática, mas não da mesma maneira como é usada no dia-a-dia. Os registros
multifuncionais não podem ser modificados de modo algorítmico. Os registros
monofuncionais foram desenvolvidos para um tipo específico de tratamento, para
terem desempenhos menos custosos do que os registros multifuncionais.
Duval (2000) afirma que é importante para o entendimento matemático
estabelecer a coordenação entre, pelo menos, dois registros, onde um é
multifuncional e o outro monofuncional.
[...] se considerarmos o nível de ensino mais avançado, parece
crescer a predominância dos registros discursivos monofuncionais.
Além disso, é com esse tipo de registro que tanto os desempenhos
quanto a perda de sentido são muito freqüentemente observados.
Por quê? Acredita-se erroneamente que as aplicações ao cotidiano
ou as situações extra-matemáticas possam ser uma fonte de
significado e, portanto, de entendimento. Não! O principal problema é
primeiramente com os registros multifuncionais. Eles são implícita e
explicitamente necessários para o entendimento matemático, mas a
maneira como eles operam nos processos de pensamento
matemático é muito diferente da forma como operam em outros
campos do conhecimento e, mais fortemente, no dia-a-dia. (DUVAL,
2000, p. 65-66)
11
.
A língua natural pode ter um emprego comum ou social, literário ou ainda
especializado, nos diferentes domínios do conhecimento. Em nosso estudo,
utilizaremos a exploração da língua natural em dois tipos de emprego: o comum e o
especializado, este último relacionado ao uso da língua natural especificamente no
domínio da Matemática, como pode ser observado nos exemplos abaixo.
11
Tradução nossa.
21
EMPREGO
COMUM
Ache a transformação T do plano no plano que é uma reflexão
em torno do eixo y
EMPREGO
ESPECIALIZADO
Dizemos que um conjunto
{
}
VuuuL
n
⊂
=
,...,,
21
é linearmente
independente (L.I.) se, e somente se, uma igualdade do tipo
0...
11
=
+
+
nn
uu
α
α
, com
i
α
em
R
, só for possível para
0...
1
=
=
=
n
α
α
(Callioli, 1995, p. 69-70)
Quadro 4: Exemplos de representação em língua natural
A teoria dos registros de representação semiótica insere-se no modelo
cognitivo do processo da aprendizagem Matemática, cujo foco está na complexidade
cognitiva do pensamento humano. Assim, o objetivo é analisar as condições
cognitivas necessárias para o estudante entender Matemática.
A compreensão em Matemática, então, depende da mobilização de vários
registros e a condição para que um indivíduo aprenda é integrar os registros
necessários em suas condições cognitivas, como novos sistemas de representação.
A teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval fornece
ferramentas teóricas para nosso estudo, sendo utilizada na elaboração e análise das
atividades do experimento de ensino, conforme abordaremos nos capítulos que
seguem.
2.2. Teoria dos Campos Conceituais
Desenvolvida por Gérard Vergnaud, esta teoria tem por objetivo principal
discutir o comportamento cognitivo do indivíduo em situações de aprendizagem. Ela
está baseada na formação e no desenvolvimento de conceitos, o que ocorre de
forma interligada a vários outros conceitos e em muitas situações.
Parte-se do princípio de que o indivíduo adquire e desenvolve conhecimento
por meio da interação e da resolução de muitas situações-problema, utilizando, a
cada nova situação, conceitos formados anteriormente, adaptados a essa nova
situação, mas incorporando novos aspectos a estes, o que acaba por tornar suas
competências mais complexas.
22
Por sua vez, a situação-problema deve ser desafiadora e considerar as
competências e concepções envolvidas. Competência aqui está ligada à ação, cujo
conhecimento está implícito; e a concepção é apresentada por representações
simbólicas assumidas pelo sujeito como, por exemplo, uma expressão escrita,
estando ligadas ao conhecimento explícito.
Os esquemas que atuam no processo de aprendizagem devem ser
considerados no desenvolvimento de um conceito, relacionando competências e
concepções. Para Vergnaud (1998), os esquemas são as formas como o sujeito
organiza seus componentes cognitivos que permitem gerar diferentes seqüências de
ações e tomadas de informações em relação às variáveis do problema. A cada nova
situação, o sujeito evoca esquemas sucessiva e/ou simultaneamente.
Os componentes cognitivos organizados pelo sujeito são chamados de
invariantes de ação e podem ser implícitos, quando ligados aos esquemas de ação,
ou explícitos, quando ligados a uma concepção.
Vergnaud (1997) define conceito por meio de uma terna, C = (S, I, L):
S – o conjunto de situações que dão sentido ao conceito (o referente);
I – o conjunto de invariantes operatórios, conceitos-em-ação e teoremas-em-ação,
que intervêm nos esquemas de tratamento destas situações (o significado);
L – o conjunto de representações lingüísticas e simbólicas que permitem a
representação do conceito e suas propriedades, das situações às quais ele se aplica
e dos procedimentos de resolução destas situações (o significante
12
).
Os invariantes operatórios, que podem ser implícitos ou explícitos, são as
ações do sujeito e as propriedades matemáticas envolvidas na resolução de um
problema. Os implícitos estão ligados à competência ou aos significados, e
evidenciados pela ação do sujeito ao resolver um problema – são também
chamados de teoremas-em-ação. Assim, os teoremas-em-ação são as relações
matemáticas consideradas pelo sujeito, mesmo que inconscientemente, quando este
escolhe uma operação ou uma seqüência delas para resolver um problema. Ou seja,
o sujeito utiliza-os de forma intuitiva e estes, muitas vezes, têm validade local, não
universal. Essa validade local e a própria formulação dos teoremas-em-ação deve-
se ao fato de estarem fortemente relacionados às situações experimentadas pelo
sujeito. Já os invariantes explícitos estão ligados à concepção e aos significantes e
12
Os sistemas de significantes compreendem os registros de representação semiótica de Duval
(1995).
23
são expressos quando o sujeito usa representações diversas, como a oral e a
escrita, para exteriorizar seus invariantes operatórios, construindo um conceito.
Cabe observar que, segundo Vergnaud (1990) o saber se forma a partir de
problemas para resolver, de situações para dominar. Por “problema” se entende
toda situação na qual é preciso descobrir relações, desenvolver atividades de
exploração, de hipótese e de verificação, para produzir uma solução.
Em Bittar (1998), por exemplo, foi identificado como invariante presente nas
atividades com vetores, manifestado pelos alunos: se um representante de um vetor
está situado no primeiro quadrante, então suas coordenadas são positivas; no
terceiro quadrante, suas coordenadas são negativas; no segundo e quarto
quadrantes, suas coordenadas possuem sinais diferentes. Isto é, as coordenadas de
um representante de um vetor dependem de sua posição no plano.
É necessário, de acordo com essa teoria, que o sujeito interaja com diversas
situações-problema, para que a aprendizagem ocorra satisfatoriamente, pois os
conceitos estão sempre em constante evolução e nunca são construídos de forma
isolada.
A linguagem e o símbolo na representação têm o papel de tornar explícito o
conhecimento, para que seja compartilhado entre os indivíduos. Por meio deles, os
invariantes operacionais podem ser transformados em sentenças. Assim, os
conceitos e os teoremas-em-ação podem se tornar conceitos científicos ou teoremas
reais.
Com relação ainda à terceira componente da terna “conceito” – o conjunto de
representações lingüísticas e simbólicas, segundo Vergnaud (1997), Bittar (1998),
para estudar os sistemas de linguagem, utilizou os registros de representação
semiótica presentes no ensino secundário francês em torno da noção de vetor.
Estes são alguns exemplos de diferentes registros que foram extraídos da análise de
livros didáticos e do estudo de situações:
• Registro da escrita simbólica vetorial (RSV), ou linguagem vetorial que
contém dois tipos de escrita e, a partir das quais são expressas as operações
(soma e produto por escalar) e as relações vetoriais;
• Registro da linguagem natural, ou registro discursivo (RLN);
• Registro gráfico (Rgra) – refere-se à presença de um desenho;
24
• Registro Numérico (Rnum) – utilizado quando se efetuam cálculos sobre as
coordenadas de um vetor, por exemplo, como a condição de ortogonalidade
de dois vetores.
A Teoria dos Campos Conceituais será utilizada em nossa pesquisa como
instrumento teórico para modelizar algumas dificuldades dos alunos na
compreensão de determinados conceitos de Álgebra Linear. A idéia é que um
conceito não pode ser reduzido à sua definição formal, se nosso interesse está em
sua compreensão por parte dos alunos. Além disso, acreditamos que a sua
representação nos remete, além dos registros, a considerações sobre os invariantes
operacionais relacionados à atividade do sujeito.
2.3. Algumas Considerações
Algumas considerações precisam ser feitas ainda a respeito da aprendizagem
em Matemática e nossa fundamentação teórica.
Segundo D’Amore (2005), com base em Chevallard (1991), a aprendizagem
da Matemática não se constitui apenas de conceitos, mas envolve três tipologias de
aprendizagens distintas, possuindo alguma intersecção: aprendizagem conceitual,
aprendizagem de estratégias (resolver, demonstrar) e aprendizagem algorítmica
(calcular, operar). Segundo ele, na construção de um conceito participam tanto a
parte institucional (o saber) quanto a parte pessoal (de qualquer um que tenha
acesso a tal saber, não somente o cientista).
Fazer a relação entre um “conceito” e sua construção não é trivial e, talvez,
não seja possível, segundo D’Amore (2005): um conceito está permanentemente em
fase de construção. Alguns autores chamam tal construção de conceitualização.
Vergnaud (1990) tentou formular um modelo, unificando no conceito o
componente construtivo. Segundo esse autor, o ponto decisivo na conceitualização
é a passagem dos conceitos-como-instrumentos aos conceitos-como-objetos, e uma
25
operação lingüística essencial nessa transformação é a nominalização
13
. Ele
entende como conceitualização uma apropriação consciente, quando propõe sua
definição de conceito. E os registros estão inseridos nesse processo, mas não
ocupam o papel central. Para melhor investigar essa operação essencial, em nosso
estudo, complementaremos com os registros de representação semiótica de Duval,
relacionando com a terceira componente da terna “conceito” de Vergnaud.
Por esse motivo, e pelo fato de os registros de representação semiótica
constituírem um ponto fundamental deste estudo, optamos por, em Vergnaud
(1997), no lugar de utilizar os sistemas de linguagem, usarmos os registros de
representação semiótica, sem, contudo, modificar ou enfraquecer a teoria.
Queremos chamar a atenção para a atividade cognitiva de representação.
Concordamos com Duval quando o mesmo afirma que a construção dos conceitos
matemáticos depende da capacidade de utilizar vários registros de representação
semiótica dos referidos objetos: representando-os, tratando tais representações no
interior de um mesmo registro e fazendo a conversão de um registro para outro.
Para Duval, a noção de conceito torna-se secundária, uma vez que aquilo que
assume caráter de prioridade é o par signo-objeto. Para Vergnaud, ela é essencial e
os registros fazem parte de uma das componentes do conceito, mas isso não a torna
mais essencial que as outras. Já afirmamos que, dado um objeto, suas
características específicas fixadas dependem das capacidades semióticas de
representação do registro escolhido e que a escolha de outro registro determina
outras características do objeto. Também já dissemos que a escolha não é fixa a
priori, mas sim é fruto da opinião, desejo, necessidade ou gosto de quem a escolhe,
ou seja, está ligada não apenas ao objeto, mas ao sujeito que o está representando.
Representações diferentes do mesmo objeto, em registros diferentes, possuem
conteúdos diferentes. Assim, consideramos esta atividade cognitiva uma peça
importante e que promove a utilização dessas duas teorias em nosso estudo.
Vamos abordar a compreensão de um conceito em Matemática a partir dos
conhecimentos prévios que os alunos possuem e no trânsito entre os diferentes
registros de representação semiótica, levando em consideração os aspectos já
elencados: o significado operatório e as situações-problema propostas. É nesse
13
As nominalizações talvez constituam o fenômeno que mais deixa à mostra os bastidores da
construção de objetos-de-discurso pela atividade referencial – referenciação: criação de objetos-
de-discurso. (OLÍMPIO, 1997, p.70)
26
aspecto que, em nossa compreensão, a teoria dos campos conceituais vem
complementar nossa abordagem em termos de registros de representação
semiótica, dando suporte para a identificação dos invariantes operacionais que o
sujeito mobiliza na resolução de uma situação problema, relacionando-os às
representações utilizadas.
27
Capítulo 3
Metodologia do Estudo
Nesse capítulo, apresentaremos a metodologia empregada em nosso estudo,
bem como em que condições ele deverá ser desenvolvido e as atividades a serem
aplicadas, juntamente com nossas expectativas com relação às mesmas.
3.1. Considerações sobre o método
Diante do nosso objetivo, a metodologia empregada é a de experimento de
ensino (Steffe & Thompson, 2000). Um experimento de ensino é uma seqüência de
episódios de ensino que tem por objetivo a exploração e explicação da atividade
matemática dos estudantes. O termo experimento é empregado por esses autores
no sentido científico, ou seja, antes de o trabalho ser iniciado, hipóteses de pesquisa
são formuladas. Ao longo dos episódios de ensino, outras hipóteses podem ser
testadas. Já o termo ensino é utilizado em virtude das ações de ensino que ocorrem
na interação do professor-pesquisador com os alunos, durante a realização do
experimento.
Segundo os autores, tal interação pode ser intuitiva, responsiva e analítica.
Ela é intuitiva e responsiva quando o professor-pesquisador não sabe como e por
que age da forma que está agindo. Ele não prevê a reação do aluno e não imagina o
que pode ocorrer a partir de uma intervenção. Não há planejamento de ações
futuras. A interação ocorre naturalmente e o professor-pesquisador se coloca no
lugar do estudante, tentando pensar como ele, com o objetivo de explorar suas
ações. Quando as respostas dos estudantes evidenciam ao professor-pesquisador
informações importantes para futuras ações, a interação ocorre de forma mais
analítica do que intuitiva. Nesse caso, é possível ter uma noção da direção a seguir
para o encaminhamento da situação. Na interação analítica, com certas evidências
do raciocínio dos alunos, o professor-pesquisador pode testar as hipóteses
formuladas. O professor-pesquisador vai desenvolvendo as atividades com os
alunos, direcionadas pelas suas respostas, à medida que questões de interesse vão
28
surgindo. E é nesse sentido – o da interação analítica – que pretendemos
desenvolver nosso experimento.
Nesse tipo de pesquisa, atividades pedagógicas são propostas a estudantes
de forma que o professor-pesquisador possa perceber detalhadamente a
Matemática desenvolvida pelos mesmos. Assim, o que se visa é a construção de
modelos explanatórios para interpretar os processos de aprendizagem dos alunos,
estabelecendo um modelo vivo da atividade matemática dos aprendizes em
diferentes ambientes de aprendizagem.
É possível que o pesquisador valorize a voz do estudante de forma especial,
trazendo-a para a pesquisa, tentando construir modelos que validem a Matemática
do aluno, em contraposição a testes ou mesmo análises que enfocam o erro. Neste
sentido, é inegável que o experimento de ensino expressa de forma eloqüente ao
menos um dos princípios da pesquisa qualitativa: fazer com que o humano apareça
e não se esconda atrás de estatísticas (Borba, 2004).
Nesse tipo de metodologia, as variáveis são diversas, desde o número de
aprendizes, o tempo de duração, até o ambiente. Isto o torna sensível a pequenas
alterações em suas condições. E os focos podem ser diferentes: o ambiente, que
deve permitir aos estudantes participarem ativamente das atividades propostas; a
atividade do professor e dos alunos; a seqüência de atividades elaboradas por meio
de um processo cíclico envolvendo teoria e prática, chamado design. Para Cobb
(2000), o processo de design pode ser caracterizado por dois aspectos: o primeiro
consiste no planejamento envolvendo a teoria (guiada pela teoria instrucional
específica da disciplina); o segundo envolve a análise das atividades por meio da
estrutura interpretativa emergente (guiada pela metodologia empírica específica).
Nesse estudo, o foco abrange a atividade dos alunos na resolução de atividades
propostas num ambiente computacional, ou seja, pretendemos enfatizar a atividade
do aluno no referido ambiente, identificando o papel de certos recursos e as
possibilidades oferecidas por este.
Segundo Steffe & Thompson (2000), o início de um experimento de ensino é
marcado pela formulação de uma hipótese de aprendizagem, formada por três
componentes: metas de aprendizagem do estudo, planejamento das atividades de
ensino e conjectura do processo de aprendizagem no qual o pesquisador antecipa o
pensamento do aluno.
29
Temos como meta principal de aprendizagem do nosso estudo, entender qual
o papel da Geometria Dinâmica numa abordagem que diversifica os registros de
representação – na perspectiva de Duval (1993, 1995, 2000, 2005) – de objetos da
Álgebra Linear, enfatizando o gráfico e o figural, bem como, verificar até que ponto
esta abordagem ajuda a confrontar os estudantes com supostos falsos invariantes –
na perspectiva de Vergnaud (1990, 1997, 1998), apontados nas pesquisas de Bittar
(1998), Sierpinska (1999) e Karrer (2006).
O planejamento das atividades de ensino deu-se, também, com base em
outras pesquisas mencionadas na introdução deste trabalho e nos fundamentos
teóricos descritos no Capítulo 2, seguindo uma proposta de seqüência “flexível”, no
sentido de admitir possibilidades de alterações e adaptações das atividades ao
longo do processo, em função das respostas e comportamento dos alunos. O
professor-pesquisador tem a oportunidade de repensar e reformular suas ações à
medida em que vai recebendo os feedbacks dos alunos.
Na seqüência, apresentaremos as atividades que compõem o experimento,
explicitando elementos que contemplam algumas conjecturas com relação às
possíveis dificuldades dos alunos, os conhecimentos a serem mobilizados no
ambiente computacional e as soluções ou produções esperadas.
3.2. Apresentação das Atividades do Experimento de Ensino
Durante essa fase, construímos uma seqüência composta por três blocos de
atividades, todas a serem realizadas com o auxílio do Cabri-Géomètre, exceto a
introdução ao terceiro bloco, na qual estão previstas tarefas para serem respondidas
ou resolvidas no papel-lápis.
A análise a priori à qual vamos nos referir aqui corresponde aos objetivos das
atividades e às interações e produções esperadas num sistema composto por um
laboratório de Informática, o professor, um observador e um grupo de estudantes
universitários. Os critérios para a escolha dos sujeitos são:
- familiaridade com o ambiente Cabri-Géomètre;
- ter cursado a disciplina de Álgebra Linear.
30
Esses dois critérios foram estabelecidos, sobretudo, pela influência do estudo
de Sierpinska (1999), ao atribuir parte de seu fracasso à falta de familiaridade dos
estudantes com o Cabri-Géomètre. Além disso, não pretendemos introduzir os
conceitos de Álgebra Linear, mas sim discuti-los a partir dos conhecimentos dos
alunos, sugerindo uma abordagem que envolve diferentes registros de
representação e enfatiza aspectos geométricos no plano.
A previsão inicial é que essas atividades sejam realizadas em cerca de quatro
encontros de 1h30min de duração, em uma sala com acesso a computadores
(laboratório de Informática), pois as atividades foram elaboradas para serem
desenvolvidas com o auxílio do Cabri-Géomètre. Durante o experimento, os alunos
trabalharão por vezes individualmente, por vezes em dupla.
3.2.1 Atividades
Conforme mencionado, as atividades dividem-se em três blocos, explorando os
assuntos:
• vetores e coordenadas de vetores;
• dependência linear e base;
• transformação linear.
A distribuição das atividades nas sessões está exibida abaixo.
Tabela 1: Distribuição prevista das sessões
SESSÃO
ATIVIDADES ASSUNTOS
1ª 1, 2A, 2B, 3 Vetores, Coordenadas de vetores, representantes
de um vetor
2ª 4A, 4B, 4C Dependência linear e base
3ª 4D, 4E, 4E (Desafio)
Dependência linear e base
4ª 5 (impressa), 5A,
5B, 6
Transformação linear
31
3.2.1.1 Primeiro Bloco: Vetores e Coordenadas de vetores
Os objetivos desse bloco de atividades são: um trabalho inicial com vetores,
visando explorar as ferramentas “Ponteiro” e “Giro” em relação ao efeito que
produzem ao serem aplicadas a vetores; discutir a noção de coordenadas de vetores
e os sinais dessas coordenadas; utilização de uma macro-construção “Coord_Vetor”
– que fornece as coordenadas de um vetor a partir de sua representação em um
sistema de eixos – como ferramenta de validação experimental, possibilitando
discutir a relação entre as coordenadas de um vetor e sua posição no plano
cartesiano; elaboração de uma macro com a mesma utilidade da “Coord_Vetor”,
como meio de explicitar noções sobre coordenadas de um vetor e representantes de
um vetor.
Esse bloco possui como característica a liberdade dada ao sujeito de testar e
validar suas hipóteses, já que o aluno tem a oportunidade de explorar os efeitos das
ferramentas “Ponteiro” e “Giro” e verificar suas respostas com o uso da macro. Esse
é o objetivo principal da Atividade 1, que propõe investigar o efeito dos movimentos
de translação e rotação de um vetor e também identificar a relação entre
coordenadas e vetor.
Figura 2: Atividade 1, no Cabri
32
Para a Atividade 1, consideramos corretas as respostas que afirmam que ao
movimentar apenas as extremidades do vetor com a ferramenta “Ponteiro”, o vetor
se altera (obtém-se um representante de outro vetor), pois não são conservadas sua
direção, nem seu sentido, nem seu módulo.
Ao movimentarmos o vetor (item b) com esta mesma ferramenta, suas
coordenadas não se alteram, pois com esse movimento, não modificamos sua
direção, nem seu sentido, nem seu módulo, fatores que influenciam na determinação
do vetor e, conseqüentemente de suas coordenadas. Esperamos que o aluno
reconheça, no ambiente dinâmico, estar trabalhando com diversos representantes
de um mesmo vetor (classe de equivalência). E, finalmente, ao utilizar a ferramenta
“Giro”, o aluno deverá concluir que, embora o módulo seja conservado, sua direção
e sentido são alterados, produzindo novamente representantes de vetores distintos
do inicial.
Quanto à análise das coordenadas, pretende-se identificar o significado
atribuído a essa noção pelos alunos e se eles relacionam as alterações de direção,
sentido e módulo à mudança do vetor e, por decorrência, alteração em suas
coordenadas. E, ainda, no caso da translação do vetor (com o uso da ferramenta
“Ponteiro” no vetor), se eles identificam que suas coordenadas permanecem
inalteradas, pois correspondem ao mesmo vetor.
Como os alunos já estão familiarizados com algumas ferramentas do Cabri,
esperamos que isso favoreça ainda mais a exploração do aspecto dinâmico do
software e que os mesmos possam discutir e descrever os fenômenos observados
na tela, testando e validando suas hipóteses com facilidade.
De fato, o aspecto dinâmico permite aos alunos verificarem propriedades que
o “ambiente” papel-lápis não permite, fornecendo, assim, por um lado, um meio de
controle de suas ações (retroações) e, por outro, um instrumento para ajudá-los a
elaborar conjecturas (Bittar, 1998).
Nessa atividade, esse aspecto dinâmico, facilitador da validação das
hipóteses dos alunos, é também garantido pela utilização da opção “Coord_Vetor”.
O Cabri possibilita que, a partir de uma construção utilizando objetos primitivos ou
de construção, seja definida uma nova ferramenta (por meio dos recursos de macro-
construção), a qual, a partir de alguns objetos iniciais, fornece um elemento final,
sem necessidade de realizar todos os passos intermediários da referida construção.
Em papel-lápis, para validar as respostas dadas, seria preciso passar pelo cálculo
33
das coordenadas de cada vetor, a partir das coordenadas de suas extremidades. O
custo dessas operações, e mesmo o fato de que a resposta pode ser imprecisa,
restringindo a situação a casos particulares, torna a possibilidade de verificação e
validação das respostas quase nula. No Cabri, utilizando a opção “Coord_Vetor”, a
retroação é imediata, independe do vetor escolhido e é atualizada em tempo real
quando da manipulação ou movimentação do vetor.
Observamos que os registros presentes nessa atividade são: o da língua
natural, o figural e o gráfico. A utilização da macro “Coord_Vetor” introduz uma
conversão (do registro figural para o gráfico) que deve ser interpretada pelo aluno, à
medida em que, ao elaborar conjecturas olhando apenas para o vetor “flecha” e,
posteriormente visualizar suas coordenadas com a macro, ele possa validá-las ou
não; ou seja, perceber se trata-se do mesmo vetor ou não, quando o mesmo é
submetido ao uso das ferramentas.
Na Parte A da Atividade 2, o objetivo é que o aluno elabore conjecturas a
respeito das coordenadas de vetores quaisquer, criados em diferentes posições no
plano. Da mesma forma que na atividade anterior, o aluno pode testá-las utilizando a
mesma opção “Coord_Vetor”.
Figura 3: Atividade 2A, no Cabri
34
Se o aluno já possui a idéia de que as coordenadas do vetor são obtidas pela
diferença de coordenadas das extremidades, com a presença dos eixos ele poderá
até estimá-las, mas não as determinará. Se ele não possui essa noção, ficará
influenciado apenas pela posição do vetor no plano e pelos sinais das coordenadas
nos quadrantes.
O esperado aqui é identificar se os alunos mobilizam um falso invariante
detectado por Bittar (1998), a saber: as coordenadas de um vetor têm o mesmo
comportamento das coordenadas de um ponto no plano. Sem obter essas
coordenadas graficamente, mas olhando para o vetor no plano, esperamos dos
alunos a elaboração de conjecturas visualizando geometricamente como elas devem
se comportar. Posteriormente, pretendemos que eles validem ou não suas
conjecturas com o auxílio da macro e, se for o caso, que ela os ajude a questionar o
referido invariante, incentivando-os a buscar uma justificativa, repensando ou
(re)elaborando seus conhecimentos algébricos e gráficos em jogo na situação.
Já na Parte B dessa mesma atividade (Figura 4), a partir do que o aluno
verificou na Parte A, poderá obter conclusões acerca de como se comportam as
coordenadas de um vetor nos diferentes quadrantes do plano ortogonal, com o
auxílio das ferramentas já trabalhadas nas atividades anteriores. Aqui estão
previstas duas intervenções possíveis do professor: caso os alunos se restrinjam à
criação de vetores com origem na origem do sistema e para que eles movimentem o
vetor, não suas extremidades, com a ferramenta “Ponteiro”, na questão 5. Isso
porque, pretende-se que os alunos reflitam sobre os diversos representantes de um
mesmo vetor e sejam confrontados a situações que possam evidenciar a não
validade do invariante acima citado. O professor também insistirá em solicitar
exemplos e explicações (justificativas) – a exemplo da questão 5 – a fim de obter
mais explicitamente as noções e interpretações dos alunos nesta situação.
35
Figura 4: Atividade 2B, no Cabri
Para todas as questões, a resposta é afirmativa, pois, um representante de
um vetor pode ocupar qualquer posição no plano. Abaixo (cf. Figura 5),
exemplificamos uma das possíveis soluções para a questão 5 desta atividade.
Figura 5: Possível solução da Atividade 2B
36
Ressaltamos aqui o papel do Cabri, colocando em evidência algumas
dificuldades dos alunos: ele nos serve para confrontá-los com alguns falsos
teoremas-em-ação anteriormente construídos, levando-os a explicitar certas noções.
Nessa Atividade 2, estão envolvidos os mesmos registros da Atividade 1.
Figura 6: Atividade 3, no Cabri
Na Atividade 3 (cf. Figura 6), destacamos outro aspecto do Cabri, ligado às
construções. No caso, a filosofia deste ambiente dinâmico de manipulação direta,
para construções robustas, impõe aos alunos a explicitação de propriedades e
definições que estão em jogo em uma dada situação. A proposta aqui é que os
alunos “reproduzam” a macro Coord_Vetor, de forma a analisarmos a influência das
atividades anteriores na noção de coordenadas de um vetor. É provável que os
alunos utilizem a estratégia habitualmente introduzida na disciplina de Geometria
Analítica ou Álgebra Linear, de calcular as coordenadas do vetor a partir das
coordenadas de suas extremidades (x
2
– x
1
; y
2
– y
1
). Caso isso ocorra, está prevista
uma interferência do professor no sentido de propor a comparação da macro
definida pelo aluno com a macro fornecida, evidenciando suas características e
funcionamento. Uma solicitação explícita será a de manutenção dos mesmos
objetos iniciais (vetor e eixos), visando a articulação de dois registros: o geométrico -
vamos utilizar como sinônimos: geométrico ou figural – e o gráfico. Nesse caso, a
solução prevê a obtenção do representante do vetor na origem do sistema de eixos,
37
podendo ser realizada de diferentes formas: por translação, com retas paralelas e
compasso, etc.
Em síntese, nesse bloco de atividades, esperamos produzir reflexões nos
alunos acerca da influência das noções de direção, sentido e módulo de um vetor
sobre suas coordenadas, do ponto de vista geométrico, articulando o registro figural
com o registro gráfico.
As atividades deste bloco foram fortemente inspiradas no estudo de Bittar
(1998). Na ocasião, a pesquisadora aplicou uma seqüência de atividades para
investigar o papel do ambiente Cabri como instrumento que proporcionaria uma
abordagem diferente da habitual (no papel-lápis) para o trabalho com vetores no
nível do Ensino Médio francês (alunos de 15-16 anos). Nessa seqüência, após uma
atividade e discussão sobre as noções de direção e sentido de um vetor, a autora
propôs a construção de uma macro-construção que fornecesse as suas
coordenadas e, em seguida, explorasse os efeitos das ferramentas “Ponteiro” e
“Giro” sobre as mesmas.
As principais conclusões de Bittar (ibid.) revelam que a utilização do Cabri
impõe aos alunos mudanças na visualização dos objetos, obrigando-os a
explicitarem propriedades e definições. No caso da construção da macro, para que
ela esteja correta no Cabri, é preciso que as propriedades da figura construída
continuem verdadeiras quando se desloca o objeto. Segundo ela, se não se constrói
geometricamente o representante de um vetor de maneira que ele esteja sobre retas
paralelas e com o mesmo sentido e comprimento do vetor dado, quando se desloca
o vetor, seu representante perde estas propriedades. Assim, essa atividade enfatiza
a interpretação geométrica das coordenadas de um vetor. Em nossas atividades,
admitiremos outras possíveis soluções, mas em todas elas os representantes de um
vetor devem manter as coordenadas e estas só deverão mudar caso o vetor de fato
mude. No nosso caso, é bem provável que os alunos associem o algébrico e
gráfico: cálculo das coordenadas do vetor a partir das coordenadas das
extremidades. O que pedimos é uma interpretação dessa “fórmula”, em termos da
construção geométrica.
No estudo de Bittar (ibid.), após a criação da macro, foram propostas as
questões sobre o papel das ferramentas “Ponteiro” e “Giro” nas coordenadas de um
vetor. A maioria dos alunos respondeu que as coordenadas não mudavam com a
ferramenta “Ponteiro” e a resposta de que com a ferramenta “Giro” haveria mudança
38
nas coordenadas do vetor foi unânime. Essas respostas foram consideradas
naturais, pois os alunos já tinham verificado no Cabri as respostas para o
deslocamento. Por isso a opção, em nosso estudo, de primeiro fazer com que os
alunos pensassem geometricamente no que aconteceria com as coordenadas ao
utilizarem as duas ferramentas e depois verificassem suas conjecturas com a
utilização da macro. Nosso objetivo é proporcionar aos alunos o confronto com os
invariantes que Bittar (1998) afirma que eles possuem, relacionados à confusão
entre as coordenadas de um vetor e as de um ponto.
A autora ainda afirma que mesmo após as atividades, não se pôde concluir se
os alunos haviam compreendido que as coordenadas de um vetor dependem de sua
direção, de seu sentido e de seu comprimento e não de sua posição no plano. Ela
afirma que a dúvida ficou evidente na atividade seguinte, sobre os sinais das
coordenadas de um vetor posicionado em diferentes quadrantes. Os alunos criavam
vetores de coordenadas positivas no primeiro quadrante e de coordenadas
negativas no terceiro. Em alguns casos, os alunos desenhavam o mesmo vetor, que
era apenas deslocado para outro quadrante, ou criavam vetores diferentes, mas não
conforme fora pedido. Como eles tinham a macro para verificar suas respostas, à
medida que faziam isso, ao invés de repensarem numa razão para a resposta não
estar correta, tentavam adaptá-la. Isso evidencia o papel do Cabri como meio de
controle de validação de suas ações. Além disso, a aparição de vários registros,
segundo ela, contribui para a aquisição das noções de vetores e coordenadas de
vetores.
Em nosso estudo, queremos evidenciar os papéis do Cabri mencionados por
Bittar (1998), além de propor uma interpretação geométrica (a partir do registro
figural) dos conceitos os quais os alunos passaram a tratar de forma algébrica. Esse
aspecto é retomado nas atividades do segundo bloco, conforme descrevemos
adiante.
39
3.2.1.2 Segundo Bloco: Dependência Linear e Base
O objetivo desse segundo bloco de atividades é retomar os conceitos de
dependência linear e base, fazendo com que o aluno chegue à conclusão de que
dois vetores não colineares (não nulos) podem, no plano, gerar qualquer outro vetor
também do plano, isto é, constituem uma base do plano (qualquer outro vetor do
plano pode ser obtido como combinação linear desses dois vetores).
Inicialmente, na Parte A da Atividade 4, o aluno deve colocar em jogo os
saberes que já possui acerca da dependência linear. Estamos aqui supondo que
eles se lembrem da definição algébrica de dependência linear
14
. Um dos objetivos é
fazê-los interpretar e visualizar, por meio do registro figural, esses conceitos,
atribuindo significado geométrico a essa noção no plano. Acreditamos que o aspecto
dinâmico do Cabri aqui se mostra mais econômico que o trabalho com papel-lápis.
Figura 7: Atividade 4A, no Cabri
14
A partir desse tipo de definição, muito freqüente nos livros de Álgebra Linear: dizemos que um
conjunto
{
}
VuuuL
n
⊂
=
,...,,
21
é linearmente independente (L.I.) se, e somente se, uma igualdade
do tipo 0...
11
=
+
+
nn
uu
α
α
, com
i
α
em
R
, só for possível para 0...
1
=
=
=
n
α
α
. E dizemos que
{
}
VuuuL
n
⊂
=
,...,,
21
é linearmente dependente (L.D.) se, e somente se,
L
não é L.I., ou seja, é
possível uma igualdade do tipo 0...
11
=
+
+
nn
uu
α
α
sem que os escalares
i
α
sejam todos iguais a
zero. (Callioli, 1995, p. 69-70)
40
Um tipo de resposta considerada correta está representada abaixo (cf. Figura
8). Como v
1
e v
2
foram criados segundo uma construção onde a reta que dá direção
a v
2
é paralela a v
1
, eles podem ser movimentados sem que deixem de ser l.d. No
caso de u
1
e u
2
, da forma na qual se encontram, são l.i., ou seja, não estamos
considerando sua movimentação. Porém, se tal movimentação fosse considerada,
teríamos que provar, por meio de uma construção, por exemplo, que em
determinada posição seriam l.d.
Figura 8: Possível solução da Atividade 4A
Também por estarem mais habituados, é provável que os alunos representem
os pares de vetores com a mesma origem. Além disso, talvez o item 3 seja o mais
problemático para alguns alunos, sobretudo se desejarem ampliar o critério
“geométrico” utilizado nos itens anteriores para um conjunto de 2 vetores (o fato de
serem ou não paralelos) para o caso de 3. Ao final dessa atividade, esperando que
soluções diferentes sejam apresentadas (tanto respostas afirmativas, quanto
negativas), o professor deve propor uma confrontação dessas respostas, a fim de
destacar os critérios e argumentos utilizados pelos alunos, propiciando uma
discussão sobre a validade deles. Acreditamos que outros conhecimentos de
Álgebra Linear podem ser mobilizados aqui (como por exemplo, a dimensão do
plano), favorecendo o questionamento das respostas consideradas incorretas.
41
A partir da Parte B, o aluno deve ser levado – caso não o tenha feito na
atividade anterior – a concluir que quaisquer pares de vetores linearmente
independentes (l.i.) constituem uma base no plano. Nesta etapa, a abordagem é
feita no registro figural, o qual acreditamos que os alunos devam conhecer.
Provavelmente, eles usarão de recursos com os quais já possuem familiaridade,
como a decomposição de vetores e a chamada “regra do paralelogramo” para
chegar à combinação desejada. Estaremos, então, fazendo com que o aluno articule
os registros os quais já possui como recurso, mas de forma isolada.
Figura 9: Atividade 4B
O item (c) dessa parte da atividade tem especial importância, pois
movimentando os vetores envolvidos na construção, o aluno poderá observar as
diversas formas dessa combinação, nas diversas posições que os vetores podem
assumir no plano. Esse tratamento dinâmico permite evidenciar a noção de base e a
possibilidade constante de decompor w em função dos outros dois vetores (u e v).
Exibimos abaixo uma possível solução para esta questão (cf. Figura 10).
42
Figura 10: Possível solução da Atividade 4B
O papel da Parte C na atividade é o de fazer a articulação mencionada a
pouco, agora do geométrico para o algébrico. Na verificação proposta, o aluno
poderia concluir que os vetores l.i. u e v dados inicialmente, por constituírem uma
base do plano, definem um sistema de coordenadas. Uma vez definido esse sistema
com u e v como versores
15
, os coeficientes a e b são obtidos por meio das
coordenadas do vetor w nesse novo sistema de eixos. No entanto, como os alunos
provavelmente desconhecem a ferramenta “Novos eixos” do Cabri, necessária para
definir o novo sistema, podem simplesmente recorrer à solução numérica,
calculando as razões entre os módulos de u e v e as projeções de w nas retas-
suportes de u e v.
15
Aqui chamamos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou
seja: | u | = 1, no sistema de eixos considerado.
43
Figura 11: Atividade 4C
A ilustração abaixo traz a solução com a utilização da opção do Cabri “Novos
Eixos”, utilizando as retas-suportes dos vetores u e v criados como novos eixos e os
módulos dos vetores como unidades deste novo sistema (cf. Figura 12).
Figura 12: Solução da Atividade 4B, com a opção “Novos Eixos”
44
A passagem entre as atividades 4A e 4B é bastante importante, e estão
previstas algumas intervenções do professor, em particular na introdução da
ferramenta “Novos eixos” e na institucionalização da noção “geométrica” de base
para o plano, isto é, aqui o professor deverá fazer uma discussão com os alunos
para obterem juntos conclusões acerca da noção de base e o significado geométrico
desta noção.
Com essa “ajuda”, esperamos que os alunos cheguem a uma das soluções
previstas.
Abaixo exibimos uma solução para esta atividade, utilizando a opção “Novos
eixos” (cf. Figura 13).
Figura 13: Solução da Atividade 4C, com a opção “Novos Eixos”
Outra solução, considerada por nós mais comum, sem utilizar “Novos eixos”,
mas com o auxílio da calculadora do Cabri, determinando os coeficientes por meio
da razão entre os módulos dos vetores, é ilustrada na figura seguinte.
45
Figura 14: Solução da Atividade 4C com a calculadora do Cabri
Neste caso, utiliza-se a decomposição do vetor w em relação às retas-
suportes dos vetores u e v, criam-se os vetores da decomposição (projeção de w
nas retas-suportes de u e v) e divide-se, com o auxílio da calculadora, o
comprimento de cada vetor projetado (nas retas-suportes de u e v) pelo
comprimento de u e v, respectivamente. Esses são os coeficientes procurados.
Na Parte D, pretende-se verificar se o aluno coloca em prática (aplica) o que
pôde observar e concluir até aqui. Destacamos novamente o papel do Cabri como
meio de controle e validação, pois esta tarefa em papel-lápis seria extremamente
trabalhosa.
46
Figura 15: Atividade 4D
Uma possível solução para o item (a) é criar os vetores u e v, criar novos
eixos utilizando-os como versores do novo sistema e encontrar, a partir das
coordenadas dos vetores k
1
.u e k
2
.v. Depois, basta utilizar a opção do Cabri para a
soma dos dois vetores (cf. Figura 16). A solução do item (b) é análoga.
Figura 16: Solução da Atividade 4D usando novos eixos e soma de vetores
47
Outra solução é utilizar o recurso “Homotetia” do Cabri (cf. Figura 17). Com
ele, colocamos os dois vetores na mesma origem e escolhemos em que objeto
queremos aplicá-la, em relação a que ponto (centro) e usando um número como
fator de homotetia, que pode, inclusive, ser alterado, se definido com a opção
“Número” do Cabri.
Caso os alunos não façam opção por este tipo de recurso na solução – o que
é provável, pois em se tratando de Cabri, ele é pouco utilizado e acreditamos que os
alunos desconheçam – a próxima atividade traz a proposta explícita de utilizar essa
ferramenta.
Figura 17: Solução da Atividade 4D usando Homotetia
A Parte E da atividade conta, então, com a utilização da ferramenta
“Homotetia”, que pode facilitar ou dinamizar o trabalho com a nova base. Pretende-
se levar o aluno a observar que essa opção serve para obter “vetores múltiplos” de
vetores dados, representando a operação de multiplicação de um vetor por um
número real. E, no caso, podendo ser combinada com a adição de vetores para
obter os vetores solicitados.
48
Figura 18: Atividade 4E
Ao final, para solucionar o “Desafio”, o aluno deverá usar a calculadora do
Cabri. Utilizamos 3^(1/2) (ou 3
1/2
), pois o Cabri não possui o símbolo para a raiz
quadrada de 3.
Figura 19: Atividade 4E (Desafio)
49
De uma maneira geral, esse bloco de atividades procura articular os registros
algébrico e geométrico.
Segundo Bittar (2005), o conceito de vetor é introduzido na França nos
ensinos Fundamental e Médio de forma geométrica e tem por objetivo auxiliar na
resolução de problemas de Geometria. Ela ainda afirma que, apesar de o conteúdo
ser apresentado em momentos diferentes no Brasil e na França (no Brasil,
geralmente, esta noção é introduzida nos cursos de exatas na disciplina de Vetores
e Geometria ou Geometria Analítica, já no Ensino Superior), não existe diferença
significativa no tipo de abordagem e nas possíveis dificuldades dos alunos.
A partir de análises feitas com livros didáticos e um estudo sobre os textos
oficiais dos programas franceses, Bittar (2005) constatou que existe uma ruptura
entre o vetor da álgebra linear e o vetor da geometria analítica. Segundo ela, quando
a geometria analítica vetorial é introduzida, não mais no ensino básico, mas agora
na Geometria Analítica, as coordenadas de um vetor são definidas a partir das
coordenadas de seus pontos-extremidades, reforçando o ponto de vista gráfico.
Nesse momento, fica estabelecida uma distância entre o vetor gráfico e o
geométrico. Os alunos não conseguem perceber que as coordenadas de um vetor
independem de sua posição no plano (ou no espaço), gerando o falso invariante já
mencionado. Formulamos a hipótese de que a exploração do comportamento de um
vetor submetido ao movimento de translação, aliado à interpretação geométrica de
suas coordenadas (identificadas com as coordenadas da extremidade de um vetor
representante com origem na origem do sistema) pode diminuir a distância, levando
o aluno a estabelecer uma relação correta entre o comportamento das coordenadas
de um vetor e seus representantes em qualquer posição do plano. E estamos
testando se isso se faz com a utilização de ferramentas diferentes do ambiente
convencional do papel-lápis, no caso o Cabri, que impõe um contrato diferente do
habitual.
50
3.2.1.3 Terceiro Bloco: Transformações Lineares
16
Os objetivos deste bloco de atividades são: investigar quais as concepções
dos alunos sobre Transformação Linear (T.L.); verificar se eles reconhecem
graficamente uma T.L. e como argumentam a esse respeito; levar os alunos a
discutirem e justificarem a não linearidade de uma translação no plano e a
perceberem que uma T.L. está completamente determinada, dado um par de vetores
não colineares no plano. Nos livros didáticos em geral, o conceito de T.L. é
formalizado por meio de uma definição algébrica (estabelecendo duas condições,
conforme exibimos em nota de rodapé), difícil de ser compreendida pelos alunos
(Karrer, 2006). Temos a hipótese de que o contexto geométrico no plano (com os
registros geométrico e gráfico associados) pode dar suporte na ampliação dos
conhecimentos dos alunos, favorecendo a construção de imagens mentais e o
questionamento da validade de certos invariantes gerados pela definição.
A parte de levantamento dos conhecimentos dos alunos acerca do assunto e
se eles reconhecem graficamente uma T. L. consta na parte escrita da Atividade 5,
conforme Anexo 1. As partes A e B desta atividade são aplicadas diretamente no
Cabri.
Na parte escrita da atividade, pretende-se primeiramente que o aluno
relembre a definição algébrica de transformação linear a qual ele viu ao cursar a
disciplina de Álgebra Linear. Isso ele deve escrever no espaço reservado para isso:
o quadro da questão 1. Espera-se que ele escreva, mesmo que de uma maneira não
formal, as condições de soma e multiplicação por escalar da transformação linear.
Na questão 2, desejamos verificar se o estudante, ao se deparar com
situações que exploram as possibilidades ou impossibilidades geométricas de
transformações lineares, consegue reconhecê-las e de que forma argumenta –
realizando ou não a conversão do registro gráfico para a língua natural.
16
Definição: Sejam
U
e
V
espaços vetoriais sobre
R
. Uma aplicação
VUF
→
:
é chamada
transformação linear de
U
em
V
se, e somente se,
a)
(
)
(
)
(
)
UuuuFuFuuF
∈
∀
+
=
+
212121
, ,
, e
b)
R ),()(
∈
∀
=
α
α
α
uFuF
e
Uu
∈
∀
. (Callioli, 1995, p. 106)
51
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Quadro 5: Transformações apresentadas na 2ª pergunta do questionário impresso
No item (a), pretendemos observar se os estudantes reconhecem que foram
aplicadas as transformações lineares de expansão na direção do eixo x e alguma
contração (precisamente na direção da reta y = (x – 1)/2). Observaremos também
suas reações quanto ao fato de o objeto inicial ser uma circunferência. No item (b),
esperamos que os alunos reconheçam a transformação que leva um retângulo no
outro como linear. No item (c), pretendemos observar se os estudantes justificam a
52
possibilidade de um quadrado ser transformado em paralelogramo por meio da
transformação linear “cisalhamento”, reconhecendo as aplicações e expansão desta
transformação. Já no item (d), observaremos se o estudante reconhece que a
transformação não é linear. No item (e), desejamos que os estudantes reconheçam
a transformação homotetia e decidam que ela é linear. E, por fim, no item (f),
esperamos dos estudantes um argumento sobre a figura transformada não
conservar o alinhamento dos pontos e, portanto, a transformação aplicada não ser
linear.
Na parte A, já no Cabri, pretende-se discutir a translação – suas propriedades
e definição – por meio do uso da referida ferramenta do Cabri e da exploração
dinâmica de seus efeitos sobre um polígono. Para tanto, é proposta a construção da
imagem de um polígono usando a ferramenta “Translação” (cf. Figura 20). Espera-se
com isso que os alunos possam avançar na noção intuitiva de movimento de
translação (como o “arrastar” sem alterar a forma e as distâncias, ou no caso de um
vetor, suas coordenadas), podendo formular uma definição matemática para
obtenção da imagem de um ponto por translação.
Figura 20: Atividade 5A, no Cabri
É possível que essa formulação fique relativamente restrita à situação
apresentada, a saber, a imagem de um polígono por uma translação de vetor v.
53
Na parte B, o aluno deverá colocar os saberes em jogo identificados nas
atividades anteriores para decidir se a translação é uma T.L. Esperamos aqui que
eles tentem mobilizar as propriedades algébricas lembradas na parte escrita do
início da atividade, agreguem aspectos das construções geométricas realizadas e as
facilidades de manipulação dos objetos no Cabri para argumentar sobre o fato de
que a translação não é uma T.L., produzindo um contra-exemplo. É desejável que os
alunos reconheçam o significado geométrico de tais propriedades.
Figura 21: Atividade 5B
Interessa-nos observar e avaliar se esses recursos do ambiente podem
auxiliá-lo na articulação de suas apreensões de uma T.L. e dos registros algébrico,
gráfico e figural. Caso os estudantes considerem e partam da definição “clássica” de
uma T.L., é esperado que a solução envolva atividades de conversão de registro,
entre representação gráfica e língua natural de emprego especializado, bem como
do registro simbólico-algébrico para o gráfico.
Outra solução possível, mas talvez menos popular entre os estudantes,
baseada na mesma definição citada, corresponderia a uma mudança para o quadro
geométrico, interpretando as duas condições geometricamente e utilizando o registro
figural (cf. Figura 22)
54
Figura 22: Possível solução para a Atividade 5B
Essas atividades são inspiradas em Karrer (2006). Esta autora afirma que já
esperava as dificuldades dos alunos no estabelecimento da conversão da língua
especializada para a representação gráfica. O reconhecimento dos vetores
geométricos (u+v), T(u), T(v) e T(u+v) não foi imediato, mas o papel do professor-
pesquisador, com questionamentos foi fundamental para que todos os alunos
concluíssem que a translação não era linear. Ainda assim, esta atividade foi
pertinente para promover um significado à propriedade T(u+v) = T(u) + T(v), ao
permitir aos estudantes confrontá-la em uma situação geométrica de translação,
envolvendo os registros gráfico e figural.
A partir de sua experimentação com estudantes universitários, Karrer (ibid.)
conclui que o Cabri ofereceu condições para que houvesse conversão entre a língua
natural especializada e o gráfico, permitindo a identificação dos vetores e de suas
coordenadas, cuja comparação levou à compreensão da não-lineariade da
translação.
A Atividade 6 é inspirada e adaptada da pesquisa de Sierpinska (1999). O que
pretendemos é evidenciar aspectos e propriedades que, numa abordagem habitual
sobre o assunto – com representação simbólico-algébrica e no papel-lápis – podem
não ter sido destacadas ou interpretadas pelos alunos.
55
Figura 23: Atividade 6
Pretendemos avaliar em que medida os estudantes mobilizam seus
conhecimentos (e de que tipo) para o tratamento de uma transformação linear do
ponto de vista geométrico, utilizando tratamentos no registro figural. Para a
resolução da atividade, são necessárias algumas propriedades de uma T.L. que
podem não ser percebidas pelos estudantes nesse contexto, como o fato de que
uma T.L. no plano está completamente definida a partir das respectivas imagens de
um par de vetores não colineares.
A seguir, é exibida uma solução possível para essa atividade, conforme
Figuras 24 e 25.
56
Figura 24: Solução dos itens (a), (b) e (c) da Atividade 6
Figura 25: Solução do item (d) da Atividade 6
Com base nos estudos de Karrer (2006) e de Sierpinska (1999), afirmamos
desde já que há grande possibilidade de os estudantes encontrarem dificuldades
para solucionarem esta atividade, particularmente no item (d). Neste último estudo
57
mencionado, que teve por objetivo introduzir conceitos de Álgebra Linear por meio
de modelos geométricos, as atividades foram aplicadas em três versões, pois foram
sendo reformuladas de acordo com as resoluções dos estudantes. Isso devido às
dificuldades apresentadas pelos mesmos, principalmente em obter um vetor
qualquer como combinação linear de dois outros do plano e em reconhecer que uma
transformação linear está completamente determinada pelas imagens de dois
vetores de uma base do plano. Assim, Sierpinska (ibid.) considerou importante
retomar a noção de combinação linear e as condições de linearidade. A partir daí, a
transformação linear seria definida como uma aplicação que mantém combinações
lineares. Logo, isso constituiria um estímulo para que os estudantes pudessem obter
a imagem do vetor a partir da transformação, dados os vetores iniciais. Mesmo
assim, os estudantes apresentaram dúvidas e ainda estiveram presos a uma “lei”
algébrica para a transformação.
Karrer (2006) relata em seu estudo que, como primeira estratégia de
resolução para essa atividade, a maior parte dos alunos tentou determinar, ou a lei
da transformação linear, ou a comparação com transformações geométricas
conhecidas – tais como a translação ou homotetia, por exemplo, principalmente para
resolverem o item (d). Uma dupla estabeleceu espontaneamente a relação entre a
situação gráfica e as propriedades da linearidade, resolvendo a atividade por meio
de conversão entre o registro da língua de emprego especializado e o gráfico, mas
mesmo assim, inicialmente, ficou confusa diante do item (d) e questionou qual era a
transformação. Com base nesse resultado e na afirmação da autora de que as
atividades anteriores sobre combinação linear e base foram insuficientes para
garantir a essa dupla a base necessária para resolver a atividade, acreditamos que
os nossos dois primeiros blocos de atividades são necessários e devem fornecer
outros elementos para a resolução desta atividade, podendo nossos alunos
apresentar soluções e comportamentos distintos dos observados por Karrer (ibid.) –
tentaremos validar essa hipótese. Karrer (ibid.) também ressalta a influência da
discussão sobre a não-linearidade da translação. As outras duplas também
conseguiram resolver a tarefa, mas com um tempo maior e com a interferência do
professor-pesquisador. Ela atribui esse desempenho ao caráter dinâmico do Cabri,
pois, num ambiente de geometria dinâmica, os alunos puderam interpretar um
processo que normalmente é predominantemente numérico e algébrico, garantindo,
assim, novas concepções e representações sobre uma mesma situação.
58
Em nosso estudo, procuraremos analisar quais as interpretações dos
estudantes, quando buscam mobilizar seus invariantes baseados em propriedades
algébricas, em uma situação cuja abordagem é mais geométrica e na presença dos
registros gráfico e figural.
3.3. Considerações Finais do Capítulo
A partir dessa apresentação das atividades, reafirmamos a característica de
experimento de ensino do nosso estudo.
Apresentamos nossas hipóteses, mas não sabemos o que pode ocorrer a
partir das interações entre os alunos e entre os alunos e o professor. Assim, ao
longo das sessões, outras hipóteses poderão ser formuladas e testadas.
A próxima etapa de nosso experimento é a descrição da aplicação das
atividades e análise dos resultados obtidos.
59
Capítulo 4
Descrição e Análise dos Resultados
do Experimento de Ensino
Nesse capítulo, descreveremos como foi a realização das sessões do
experimento de ensino e analisaremos os resultados obtidos.
4.1. Introdução
O experimento foi realizado com uma turma de alunos do 3º ano do curso de
Licenciatura em Matemática de uma Universidade particular da cidade de São
Paulo, matriculados na disciplina de Geometria das Transformações. Esses
estudantes já tinham familiaridade com o software Cabri-Géomètre, introduzido e
integrado às disciplinas de Geometria desde o 1º ano do curso. Eles também já
haviam cursado a disciplina de Álgebra Linear. Foram realizadas 6 (seis) sessões,
no laboratório de Informática, com o uso do Cabri II+, nos horários das aulas de
Geometria das Transformações, constituindo assim um experimento no âmbito desta
disciplina. Os alunos foram, entretanto, prevenidos de que estas atividades não
tinham finalidade avaliativa, correspondendo a atividades habituais da disciplina e
contando com uma participação efetiva.
Dada a nossa dificuldade em conseguir sujeitos com a disponibilidade
desejada para todas as sessões, aproveitamos um interesse por parte da professora
da disciplina de Geometria das Transformações, pois iríamos utilizar as ferramentas
do Cabri de “Translação”, “Homotetia”, “Soma de vetores”, entre outras, e permitir
um aprofundamento no domínio do software que interessava para sua disciplina.
Então aceitamos o desafio de desenvolver parte do estudo com um grupo maior do
que desejávamos.
O grupo era oficialmente composto por 21 alunos (número de alunos
matriculados), mas nunca tivemos freqüência de 100% nos encontros – vários
60
alunos ausentaram-se de uma ou mais sessões destinadas ao desenvolvimento das
atividades de nosso experimento. Esta é uma das razões pelas quais decidimos
acompanhar, em detalhes, somente alguns estudantes, os mais assíduos nas
sessões de trabalho individual – que serão identificados como alunos A, B, C, D, E e
F – e apenas duas duplas nos demais encontros. Essas duplas (denominadas de D1
e D2 nas atividades em dupla e compostas pelos alunos Lucas e Carol; Roberta e
Denise
17
, respectivamente) foram selecionadas aleatoriamente no grupo. Assim,
descreveremos e analisaremos aqui as produções desses estudantes e dessas duas
duplas participantes do experimento de ensino.
De acordo com as respostas de 14 (quatorze) desses estudantes a um
questionário escrito, obtivemos informações sobre a formação dos mesmos, em
particular no que se refere à disciplina de Álgebra Linear. Como mencionado, todos
já haviam cursado a referida disciplina, sendo: 1 (uma) aluna antes de 2000, 2 (dois)
alunos em 2004, 2 (duas) alunas em 2005 (uma delas tendo sido reprovada) e 9
(nove) alunos em 2006. Como bibliografia básica do curso, foram mencionados os
livros didáticos de Boldrini (1986), Callioli (1995) e Steinbruch & Winterle (1987).
Com relação ao que responderam sobre seu desempenho na disciplina e
suas principais dificuldades e/ou facilidades, apresentamos as respostas nas tabelas
abaixo.
Tabela 2: Teve bom desempenho em Álgebra Linear?
RESPOSTA NÚMERO DE ALUNOS
SIM 6
NÃO 2
MAIS OU MENOS 4
NÃO RESPONDERAM 2
TOTAL 14
17
Os nomes são fictícios.
61
Tabela 3: Maiores Dificuldades em Álgebra Linear
RESPOSTA NÚMERO DE ALUNOS
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 3
LINGUAGEM/ABORDAGEM 1
ROTAÇÃO 1
MATRIZES 1
NÃO TIVERAM DIFICULDADES 3
NÃO RESPONDERAM 5
TOTAL 14
Tabela 4: Maiores Facilidades em Álgebra Linear
RESPOSTA NÚMERO DE ALUNOS
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 2
REFLEXÕES 1
ESPAÇO VETORIAL 1
DEPENDÊNCIA LINEAR 1
NÃO RESONDERAM 9
TOTAL 14
Podemos perceber a heterogeneidade da turma, refletida em variados tipos
de dificuldades, facilidades e na própria auto-avaliação quanto ao desempenho na
disciplina de Álgebra Linear. Quase metade do grupo (seis alunos) considera ter tido
um bom desempenho, considerando, sobretudo, a aprovação na disciplina, com
média superior 7,0
18
. As questões relativas às dificuldades e facilidades foram
interpretadas pelos alunos em termos de conteúdos ou tópicos estudados, e nesse
caso, 3 (três) estudantes indicam dificuldades no estudo das transformações
lineares. Observamos que, nas questões relativas às facilidades e dificuldades, não
obtivemos respostas de vários estudantes, o que pode representar uma falta de
experiência ou de hábito em refletir e falar sobre suas aprendizagens.
Com relação aos 4 (quatro) alunos que compõem as duplas D1 e D2,
podemos destacar que os da dupla D1 apontaram dificuldades no conceito de
transformação linear; Denise, da dupla D2 não teve dificuldades e Roberta destacou
18
Informações obtidas a partir de questionamento do professor, no momento da aplicação do
questionário.
62
os tópicos dependência e independência linear e mudança de base, mas não
identificou como dificuldade ou facilidade. Em geral, todos alegam ter tido bom
desempenho na disciplina.
4.2. Papel do professor e desenvolvimento das atividades
Para a aplicação das atividades no ambiente de geometria dinâmica, foram
realizadas 6 (seis) sessões de aproximadamente 1h30min de duração. Nas quatro
primeiras, os estudantes realizaram as atividades individualmente, mas podendo
discutir entre si. Acompanhamos mais de perto, além dos alunos das duplas D1 e
D2, os estudantes A, B, C, D, E e F. Nos dois últimos encontros, as atividades foram
realizadas em dupla e acompanhamos mais de perto as duplas D1 e D2. O quadro
abaixo mostra como ficou a distribuição das atividades após todas as sessões e o
número de participantes em cada uma delas.
Tabela 5: Distribuição das Atividades por sessão
SESSÃO
ATIVIDADES N
o
DE ALUNOS
1ª 1, 2A, 2B 17
2ª 3, 4A, 4B 19
3ª 4A, 4B 17
4ª 4A, 4B, 4C, 4D, 4E, 4E (Desafio)
15
5ª 5 (escrita), 5A, 5B 14
6ª 5B, 6 13
Os dados coletados, a serem organizados e analisados, constituíram-se de
registros escritos no material impresso (ficha do aluno), áudio-gravação das
interações das duplas, filmagens das sessões em classe e arquivos do Cabri
(figuras com comentários salvas pelos alunos no computador). As filmagens e
áudio-gravação permitiram observar os diálogos entre os alunos e entre os alunos
e o professor.
63
A descrição desses dados será feita por sessão e por atividade. De todas as
sessões, apenas a quinta foi realizada sem qualquer interferência do professor, a
qual visou analisar a produção das duplas quando desafiadas a retomarem o
conceito de Transformação Linear e quando proposta uma tarefa sobre este
conteúdo, mais particularmente, envolvendo o reconhecimento de uma
transformação linear a partir de seu registro gráfico. Esta atividade foi realizada no
ambiente convencional do papel-lápis.
Todas as atividades iniciavam-se de forma que o aluno tentasse retomar ou
revisitar algum conceito ou propriedade do tópico a ser abordado, provavelmente já
visto por ele na disciplina de Álgebra Linear, visando garantir uma base necessária
ao desenvolvimento das demais atividades, as quais representavam uma proposta
em um ambiente diferenciado de ensino, envolvendo noções sobre vetores,
dependência linear, base e transformação linear.
Em alguns momentos, o professor realizou intervenções que direcionaram os
trabalhos, principalmente nas quatro primeiras sessões, com o intuito de ajudar os
alunos nessa retomada dos conceitos básicos e também no sentido de
institucionalizar alguns conhecimentos utilizados pelos estudantes “em ação”. Isto
porque muitos estudantes declaravam “não lembrar” dos conceitos da disciplina de
Álgebra Linear e adotavam uma posição de certa passividade frente às propostas
apresentadas.
Essas intervenções eram geralmente feitas a partir das respostas e
comportamento dos alunos e tinham um caráter interrogativo e questionador,
incentivando o grupo a refletir sobre seus conhecimentos e sobre os significados
atribuídos a certos objetos matemáticos. O professor procurou ainda animar
discussões em alguns momentos da atividade que desestabilizaram os estudantes
quanto a seus conceitos ou teoremas-em-ação.
Na seqüência, apresentamos mais detalhes do desenrolar das sessões e do
desenvolvimento das atividades pelos estudantes.
64
4.2.1 Primeira Sessão
Nessa primeira sessão, a resolução das atividades foi feita de forma
individual, porém os alunos comunicaram-se e discutiram várias idéias entre si.
A seguir, faremos a descrição e análise das produções dos estudantes,
reproduzindo, sempre no início, os enunciados das atividades em estudo.
ATIVIDADE 1
1) Crie um vetor AB qualquer.
2) O que acontece quando movimentamos:
a) as extremidades A e B com a ferramenta "Ponteiro";
b) o vetor AB com a ferramenta "Ponteiro"
c) o vetor AB com a ferramenta "Giro".
Observe também o que acontece com as coordenadas desse vetor AB. Para
isso, mostre os eixos e utilize a opção "Coord_Vetor".
Quadro 6: Enunciado da Atividade 1 (1
a
Sessão)
Nesta atividade, os alunos não apresentaram muitas dificuldades, apenas não
conheciam a ferramenta “Giro” e foram instruídos pelo professor para seu uso
19
.
Todos concluíram que ao movimentar as extremidades de um vetor com a
ferramenta “Ponteiro” (item a), o vetor inicial tem seu módulo, sua direção e seu
sentido alterados, produzindo assim um “novo” vetor, distinto do inicialmente criado.
Com relação à movimentação do vetor com essa mesma ferramenta (item b),
Lucas, Carol e os alunos C e D tiveram dificuldades em explicitar o conceito de
representante de um vetor e acabaram concluindo que o vetor “era o mesmo”. Os
demais concluíram que o vetor era o mesmo, mas não fizeram qualquer menção à
idéia de representante de um vetor.
Ao movimentarem o vetor com a ferramenta “Giro” (item c), todos explicaram
que obtinham também um vetor distinto do inicial, mas apresentaram confusão entre
direção, sentido e módulo na hora de justificar.
Como esse momento da atividade era ainda anterior à discussão proposta no
item seguinte, com relação às coordenadas do vetor, aqui os alunos estavam
19
O professor sugeriu a utilização da ajuda (tecla F1) e comentou os dois modos de movimentação
com o “Giro”: em torno do centro de gravidade da figura ou em torno de um ponto qualquer,
previamente selecionado.
65
observando o comportamento do vetor geométrico, considerando direção, sentido e
módulo. Esse tipo de enfoque era esperado.
A título de ilustração, reproduzimos abaixo as respostas de 2 (dois) alunos
para esta atividade (cf. Figuras 26 e 27).
A primeira resposta é de Lucas. Ele explicita o conceito de representante de
um vetor e revela a confusão mencionada no item 2c, quando responde que o
sentido do vetor não se altera ao ser movimentado com a ferramenta “Giro”, apenas
a direção.
Figura 26: Solução de Lucas para a Atividade 1
A segunda resposta é de Roberta. Pela sua resposta ao item (b), quando
considera as coordenadas do vetor, ela apresenta o falso invariante de que a
mudança de posição do vetor altera as coordenadas das extremidades e,
conseqüentemente, as coordenadas do vetor também se alteram. Após utilizar a
macro, percebe que sua conjectura era falsa e conclui (cf. frase final da solução
apresentada) que havia pensado apenas nas extremidades e não nas coordenadas
do vetor.
66
Figura 27: Solução de Roberta para a Atividade 1
Quanto à discussão sobre o efeito desses movimentos nas coordenadas do
vetor, observamos que muitos alunos, contrariamente à nossa intenção, não
começaram fazendo uma análise ou previsão sobre as mesmas, e sim, obtiveram
imediatamente as coordenadas com o auxílio da macro-construção “Coord_Vetor”.
Nesse momento, o professor fez uma intervenção no sentido de solicitar aos alunos
que primeiramente tentassem responder, usando a macro somente para verificar
suas respostas.
A resposta da maioria dos alunos para o item b da segunda questão foi
equivocada como a de Roberta, mas depois, ao fazerem a verificação com o auxílio
da macro, perceberam a não variação das coordenadas. No entanto, ao contrário de
Roberta, muitos não sabiam explicar por qual motivo. Dessa forma, eles revelaram
ter dúvidas sobre a noção de coordenadas de um vetor, não apresentando, até este
momento, uma interpretação clara para seu significado geométrico e para a idéia de
representante de um vetor.
Fica evidenciada aqui uma dificuldade da maioria dos alunos em associar os
registros gráfico e figural, pois embora eles tenham mencionado que as
coordenadas de um vetor dependem de sua direção, seu sentido e seu
comprimento, ativeram-se à posição das extremidades no plano cartesiano, a
exemplo do que observamos na resposta de Roberta. Além disso, é importante
destacar o uso da língua natural para justificar os sinais das coordenadas, com o
67
uso freqüente de termos como “para cima” ou “para baixo”, associando o registro
figural (o vetor como uma “flecha”) e o gráfico (seguindo a orientação dos eixos
cartesianos).
Essa atividade evidenciou o papel do Cabri como meio para os estudantes
verificarem respostas e avaliarem suas conjecturas. Suas previsões, em particular
com relação às coordenadas do vetor, foram validadas (ou não) com o auxílio do
recurso dinâmico (ferramentas de manipulação) do ambiente informático e,
principalmente, com o uso da macro “Coord_Vetor”.
Assim como em Bittar (1998), graças aos recursos do ambiente
computacional, podemos afirmar que a maioria dos alunos percebeu que as
coordenadas de um vetor dependem de sua direção, sentido e comprimento, ainda
que tenham revelado confusão entre esses conceitos. Ficou evidente que a maioria
dos alunos tinha o invariante: as coordenadas de um vetor dependem das
coordenadas de suas extremidades; ao deslocarmos o vetor, suas extremidades
estão sendo igualmente deslocadas e, portanto, as coordenadas do vetor variam.
Atribuímos isso ao fato de ser resistente o invariante de que as coordenadas
de um vetor se comportam como as de um ponto e como os alunos foram levados
novamente a questioná-lo, quando confrontados com evidências que o invalidavam,
conforme fica mais claro nas atividades seguintes.
ATIVIDADE 2
Parte A
1) Crie dois vetores u e v quaisquer.
2) Mostre os eixos.
3) Considerando esse sistema de eixos, o que você pode dizer sobre os
sinais das coordenadas desses vetores?
4) Verifique suas respostas utilizando a macro-construção "Coord_Vetor".
Suas previsões estavam corretas?
Quadro 7: Enunciado da Atividade 2A (1
a
Sessão)
Nesse início de atividade, novamente o professor decidiu intervir, pois os
alunos tiveram dificuldade em interpretar o que a atividade estava propondo. Na
verdade, não ficou claro para os alunos que deveriam pensar sobre as coordenadas
do vetor e o que acontece com elas quando se utilizam as ferramentas “Ponteiro” e
“Giro”, registrar as conclusões e, posteriormente, fazer uma verificação do que
68
pensaram utilizando a macro-construção “Coord_Vetor”. Ou seja, aqui os alunos
deveriam interpretar geometricamente o efeito desses movimentos nas coordenadas
dos vetores, realizando conversões entre os registros gráfico e figural.
Percebendo que as tarefas não ficaram claras no próprio enunciado da
atividade, o professor resolveu fazer uma intervenção. Esta consistiu na retomada
dos resultados da primeira atividade (Atividade 1), levantando-se verbalmente, junto
aos alunos, suas principais conclusões e comentando-as. O que os alunos
apontaram e formularam sobre o uso das ferramentas “Ponteiro” e “Giro” foi
praticamente o que foi relatado anteriormente.
Além disso, o professor tentou esclarecer a questão e também retomar a idéia
de coordenadas de um vetor, trabalhada principalmente na disciplina de Geometria
Analítica, no 1
o
ano do curso. O professor questionou os alunos, buscando provocar
reflexões sobre o significado daquelas coordenadas (a qual ponto correspondem) e
para que eles pensassem nos sinais delas sem, necessariamente, determiná-las.
Aqui, as respostas e comentários de alguns alunos não foram claros, indicando
confusão nessa interpretação. Os alunos E e F chegaram a mencionar que as
coordenadas do vetor correspondiam às coordenadas do seu ponto médio. Os
alunos A e B, após hesitação, associaram as coordenadas de um vetor às
coordenadas de uma das extremidades, “dependendo da posição do vetor”, mas não
chegaram a aprofundar esta idéia.
Os alunos A, B, E e F confundiram-se e o invariante de que as coordenadas
de um vetor se comportam como as de um ponto foi se tornando mais evidente.
Roberta, Denise, Lucas, Carol e os alunos C e D, a partir das discussões e
questionamentos, fizeram a interpretação correta, chegando à solução esperada.
Abaixo, a título de ilustração, reproduzimos duas respostas para esta
atividade (cf. Figuras 28 e 29). Na primeira, Denise indica incorretamente o sinal das
coordenadas de um dos vetores (o vetor u), mas revela nas conclusões a sua
compreensão sobre a obtenção das coordenadas de um vetor e comenta a
facilidade em identificar os sinais de suas coordenadas “quando trazemos o vetor
para a origem” do sistema de eixos. Observa-se que todos os vetores por ela criados
tinham tal condição.
Na segunda resposta, os alunos A e B revelam um pensamento
predominantemente baseado na representação gráfica, influenciado pelos eixos e
pelas coordenadas de um ponto no plano cartesiano. Para eles, como se deve
69
“considerar o sistema cartesiano com origem na origem do vetor” – o que é diferente
de pensar na translação do vetor (sem alteração de suas coordenadas), podendo
este ocupar qualquer posição – faz com que os sinais das coordenadas do vetor
sejam facilmente identificados com os sinais das coordenadas da extremidade do
vetor. Esta análise leva os estudantes a respostas incorretas na parte B, conforme
veremos a seguir.
Figura 28: Solução de Denise para a Atividade 2A
Figura 29: Solução dos Alunos A e B para a Atividade 2A
70
Parte B
1) Mostre os eixos.
2) Crie um vetor u de coordenadas positivas.
3) Crie um vetor v de coordenadas negativas.
4) Verifique suas respostas com a macro "Coord_Vetor".
5) Movimente os vetores u e v com o "Ponteiro". O que acontece com suas
coordenadas?
A partir dessas observações, responda:
a) é possível obter um vetor com coordenadas positivas no 3º quadrante?
b) é possível obter um vetor com coordenadas negativas no 1º quadrante?
c) é possível obter um vetor cujas coordenadas têm sinais opostos no 4º
quadrante?
Em cada caso, apresente um exemplo ou explique por que não é possível.
Quadro 8: Enunciado da Atividade 2B (1
a
Sessão)
Nessa atividade, muitos alunos acabaram criando vetores e, após a
verificação com a macro-construção “Coord_Vetor”, reposicionaram seus vetores,
movimentando-os com a ferramenta “Ponteiro”. Isso porque, a maioria dos alunos
criou um vetor de coordenadas positivas no primeiro quadrante e um de
coordenadas negativas no segundo ou no terceiro quadrante, como era esperado.
Sem necessariamente pensarem no representante do vetor na origem do sistema,
consideraram novamente as coordenadas dos pontos extremidades do vetor.
A seguir, exibiremos uma resposta dos mesmos alunos A e B citados na
atividade anterior (cf. Figura 30). Ao contrário dos outros, eles não tentaram
movimentar os vetores, nem criá-los em um quadrante específico, de acordo com as
coordenadas que desejavam obter. Primeiro, tentaram achar mentalmente as
coordenadas, imaginando os eixos de uma forma conveniente, fazendo gestos em
frente à tela do computador e falando sobre os sinais das mesmas, mas depois, ao
criarem os eixos, descobriram que estavam equivocados, pois as coordenadas de
um dos vetores tinham sinais opostos e o outro não ficou na posição esperada.
Então responderam que não era possível nos itens (a) e (b) e justificaram com as
mesmas afirmações da atividade anterior sobre os sinais das coordenadas nos
quadrantes. Eles não notaram que um dos vetores ficou no segundo e terceiro
quadrantes e suas coordenadas fornecidas pela macro eram ambas negativas.
71
Figura 30: Solução dos alunos A e B para a Atividade 2B
Para os alunos E e F, nessa atividade, ao funcionamento do invariante
identificado nas outras atividades – de que as coordenadas de um vetor se
comportam como as de um ponto – foi associado outro, referente aos sinais das
coordenadas: as coordenadas de um vetor dependem de suas extremidades, para
que um vetor tenha coordenadas positivas, as coordenadas de suas extremidades
devem ser positivas, para que tenha coordenadas negativas, as coordenadas de
suas extremidades devem ser negativas (Bittar, 1998). Eles novamente ficaram
confusos (ou demonstraram ainda surpresa) quando movimentaram os vetores com
a ferramenta “Ponteiro” e perceberam que as coordenadas do vetor não se
alteravam, mesmo já tendo observado o fato na Atividade 1. Então, inicialmente,
concluíram que não era possível desenhar vetores de coordenadas com qualquer
sinal, em qualquer quadrante. Mas, após utilizarem também a ferramenta “Giro”,
começaram a responder afirmativamente às questões sobre os sinais das
coordenadas em cada quadrante e a dar exemplos corretos.
As respostas reproduzidas a seguir ilustram as duas principais estratégias
usadas para esta atividade: uma com uso da macro e da ferramenta “Ponteiro”
(Figura 31), e outra acrescentando o uso da ferramenta “Giro” (Figura 32).
72
Figura 31: Solução do Aluno D para a Atividade 2B
Figura 32: Solução do Aluno E para a Atividade 2B
Ao final da atividade, os alunos E e F, que mais insistiram em utilizar os
invariantes mencionados, revelaram ter compreendido a relação entre os aspectos
geométricos (direção, sentido e módulo) do vetor e a determinação de suas
coordenadas. Após as discussões e a validação (ou não) de suas conjecturas com o
73
auxílio da macro-construção “Coord_Vetor”, puderam tirar conclusões corretas
acerca do assunto.
A possibilidade de confrontar os alunos com seus “falsos” invariantes foi
proporcionada pelos recursos do Cabri, ou seja, nesse ambiente os alunos
invalidaram experimentalmente alguns de seus teoremas-em-ação, observando
contra-exemplos e testando ou tratando vários casos. Assim, podemos afirmar que o
objetivo da atividade foi globalmente atingido e pudemos constatar que, para a
maioria dos alunos, a utilização de diferentes registros e o tratamento da situação no
ambiente de geometria dinâmica contribuiu para a retomada das noções de
representante e de coordenadas de um vetor.
A Atividade 3, que estava prevista para esta sessão, foi desenvolvida no
encontro seguinte, relatado no item que segue.
4.2.2 Segunda Sessão
Neste segundo encontro, os alunos trabalharam individualmente, mas
poderiam discutir suas observações e conjecturas. Assim, houve relativa interação
entre os alunos e difusão de informações e respostas ao longo da sessão.
Essa segunda sessão teve início com o professor dando algumas orientações
sobre como definir uma macro-construção no Cabri. Após algumas considerações
sobre a função ou utilidade das macros – como um recurso que permite ampliar as
ferramentas do ambiente – o professor optou por propor uma construção geométrica
e explicar passo a passo a definição da macro correspondente. Essa etapa foi
expositiva, com os alunos acompanhando as orientações do professor e
reproduzindo os procedimentos indicados, visando uma possível reutilização na
Atividade 3. O exemplo escolhido foi o da determinação do baricentro de um
triângulo. A partir da construção do baricentro de um triângulo, realizada pelos
próprios alunos, procedeu-se à elaboração da macro, na qual se observou que os
mesmos não tiveram dificuldades para compreender a seleção de objetos iniciais e
finais e para a definição final, bem como à sua utilização e teste na obtenção do
baricentro de um triângulo qualquer. Os alunos mostraram-se interessados, pois se
consideravam familiarizados com o Cabri, mas comentaram não conhecer essa
74
possibilidade e nem terem tido oportunidade anterior para utilizar os recursos da
criação de macro-construções.
ATIVIDADE 3
Como você acha que foi definida a macro-construção "Coord_Vetor"?
Sua tarefa é fazer sua própria macro que fornece as coordenadas de um
vetor qualquer.
Indique os objetos iniciais e finais e não se esqueça de testá-la!
Quadro 9: Enunciado da Atividade (2
a
Sessão)
Nessa atividade, cada aluno deveria construir sua própria macro
“Coord_Vetor”, que fornece as coordenadas de um vetor qualquer no plano.
Roberta e Denise faziam a atividade, cada uma em uma máquina, porém
discutindo muito. Começaram determinando as coordenadas do vetor criado usando
a macro “Coord_Vetor”. Depois, determinaram as coordenadas das extremidades e
fizeram a diferença entre elas, usando a calculadora do Cabri. Definiram, então, a
macro, tendo como objetos iniciais os eixos, o vetor e as coordenadas das
extremidades, e como objetos finais os dois resultados dos cálculos (diferenças
entre as abscissas e ordenadas dos pontos extremidades). Após definirem a macro,
elas a testaram e obtiveram os resultados, mas não tinham segurança se estes
estavam corretos. Criaram mais alguns vetores, anteciparam como deveriam ser
suas coordenadas (observando o sinal e fazendo o cálculo mental aproximado) e
testaram usando a macro-construção por elas criada (cf. Figuras 33 e 34).
75
Figura 33: Primeira macro-construção feita por Roberta e Denise
Figura 34: Macro de Roberta e Denise, com as coordenadas do vetor separadas
manualmente
A dúvida destas alunas foi com relação à forma com que o Cabri apresentava
os dois resultados, correspondentes à abscissa e à ordenada do vetor, sobrepondo
um ao outro (Cf. Figura 33), em uma mesma caixa de texto. Questionaram o
76
professor e o mesmo explicou tratar-se de um “aspecto técnico”, que poderia ser
resolvido alterando a forma dos resultados numéricos da calculadora.
O professor validou a macro definida, mas aproveitou para chamar a atenção
das alunas para o objetivo: produzir uma macro mais “simplificada”, com menos
objetos iniciais, nos moldes daquela apresentada nas atividades anteriores. Assim,
sugeriu que pensassem em outra possibilidade de construção, que necessitasse
somente do vetor e dos eixos coordenados. Devido ao inconveniente observado
pelas alunas na apresentação das coordenadas, elas se mobilizaram para refazer a
macro, buscando outra construção conforme as condições propostas pelo professor.
Roberta e Denise resgataram da discussão a idéia de representante de um vetor e
resolveram usar a translação, ou seja, refizeram a macro, que agora, ao invés de
calcular as coordenadas do vetor por meio da calculadora, usando a diferença das
coordenadas das extremidades, determinava as coordenadas de um vetor qualquer
pela extremidade de um representante do mesmo, obtido por translação segundo o
vetor que tinha por extremidades: a origem do vetor dado e a origem do sistema (cf.
Figura abaixo). Denise já tinha revelado antes, na Parte A da Atividade 2, que
achava mais “fácil” trazer o vetor para a origem do sistema, por translação.
Figura 35: Nova macro de Denise
77
Essa foi praticamente a estratégia utilizada pela maioria dos demais alunos,
após esse tipo de intervenção do professor. Tal estratégia volta a relacionar as
coordenadas do vetor com as coordenadas de um ponto, mas na construção
geométrica (usando translação ou ainda retas paralelas para obter um
paralelogramo), essa relação se esclarece, uma vez que a origem do vetor coincide
com a origem do sistema. O aluno C chegou a mencionar que “o vetor veio pra cá,
por isso ficam só as coordenadas de um ponto... o ponto extremidade, pois o outro é
a origem, e nem precisa fazer a conta com os zeros”.
Notamos aqui que houve uma conversão, do registro algébrico – diferença de
coordenadas – para o geométrico – por meio da construção, usando translação,
propiciada pela atividade e discussões do professor com os alunos.
ATIVIDADE 4
Parte A
1) Represente dois vetores linearmente independentes (l.i.) no plano.
Identifique esses vetores, nomeando-os de u1 e u2.
2) Represente dois vetores linearmente dependentes (l.d.) no plano.
Identifique esses vetores, nomeando-os de v1 e v2.
3) É possível obter um conjunto de 3 vetores l.i. no plano? Em caso
afirmativo, dê um exemplo, senão explique por quê.
Quadro 10: Enunciado da Atividade 4A (2ª sessão)
A maior dificuldade no início desta atividade foi a retomada do conceito de
dependência linear. Os alunos alegavam “não lembrar” o que eram vetores
linearmente dependentes ou independentes, sem muita participação quando
questionados pelo professor.
O professor participou da discussão entre Denise e Roberta:
Denise: Para ser l.i. tinha que fazer a matriz ou o sistema e tem que
dar zero. Se o sistema zera, ele é l.i.?
Roberta: Não sei, não me lembro.
Professor: Vamos pensar. Tem mais uma condição. Um exemplo:
num sistema, 3
=
+
yx , 622
=
+
yx . São dependentes ou
independentes?
Denise: Quando não tem relação nenhuma é l.i.
Professor: E essas duas equações têm relação? Qual?
Roberta: Uma é múltipla da outra.
Professor: E em vetores? Quando um vetor tem relação com outro?
No plano, como são vetores dependentes?
Denise: Ah, já sei...
(2ª sessão, Atividade 4A)
78
No item 1, para representar dois vetores l.i., Denise criou dois vetores
distintos, que chamou de u
1
e u
2
, com uma mesma origem.
No item 2, para representar dois vetores l.d. no plano, criou v
1
e hesitou para
criar v
2
, pensando primeiro em uma translação de v
1
, depois em uma sobreposição
de dois vetores distintos. Concluiu que deveria fazer uma construção usando uma
reta paralela ao vetor e definir o v
2
sobre esta reta (cf. Figura 36).
Figura 36: Solução de Denise para a Atividade 4A
Dessa forma, assim como Roberta e Denise, alguns outros alunos (Lucas,
Carol, A, C, D e F) apresentaram uma noção geométrica (ainda que intuitiva) de
dependência linear, associada à idéia algébrica resgatada a partir da intervenção do
professor, quando o mesmo trouxe o exemplo do sistema de equações. Eles
revelaram o invariante operatório associado ao registro geométrico quando
concluíram que “só é paralelo se é l.d.”. Assim, um problema que na verdade
começa a aparecer e preocupar é a falta de domínio dos conceitos, interpretados
algebricamente.
79
Inicialmente, todos os alunos acharam o item 3 muito simples e apenas Lucas
e Carol responderam que não é possível obter um conjunto de três vetores l.i. no
plano (cf. Figura 37).
Figura 37: Solução de Lucas e Carol para a Atividade 4A
A solução mais freqüente está ilustrada abaixo.
Figura 38: Primeira solução de Roberta para a Atividade 4A
80
Assim, foi bastante comum os alunos pensarem na questão do paralelismo
para dois vetores linearmente dependentes e em vetores não-paralelos para os
linearmente independentes. No entanto, essa característica para dois vetores foi
utilizada também para o item 3, relativo a um conjunto de 3 vetores no plano. De
fato, a maioria dos alunos utilizou o critério de “não paralelismo” dos vetores para
responder à questão.
Roberta, ao ser questionada, justificou sua resposta afirmando: “É só
desenhar dois vetores e a bissetriz”. Acreditamos que ela possui uma representação
mental, um desenho que é evocado quando se fala em três elementos não paralelos
– neste caso, os vetores.
Fica evidenciada aqui a interpretação geométrica que os alunos fizeram de
vetores linearmente dependentes e linearmente independentes no plano: serem ou
não paralelos. Tal interpretação levou a respostas corretas nos dois primeiros itens,
mas a erros quando estendida para o conjunto de 3 vetores. Na verdade, os
estudantes não refletiram sobre este último caso, não esboçando relação entre o
algébrico e o geométrico, nem em termos do registro, nem considerando os
aspectos figurais.
Parte B
Represente dois vetores u e v linearmente independentes (l.i.).
a) Crie um vetor w qualquer.
b) Obtenha uma representação geométrica de w como combinação linear de
u e v.
c) Movimente os vetores e observe a combinação linear.
Quadro 11: Enunciado da Atividade 4B (2ª sessão)
As primeiras reações nessa atividade mostraram dúvidas e inquietações por
parte dos estudantes. Eles fizeram inúmeros questionamentos, tais como: “Como
assim combinação linear? Combinação não é a soma dos vetores? Pode ser um w
obtido a partir de u e v?”. O professor optou por não interferir neste momento,
solicitando aos alunos que tentassem discutir e refletir sobre as questões.
Em princípio, os alunos queriam primeiro criar os vetores u e v, com mesma
origem, e depois obter w como soma de u e v. Ao serem orientados pelo professor
que deveriam obedecer à ordem de criação dos objetos estabelecida no enunciado
da atividade – isto é, criar primeiro u e v, depois um vetor w qualquer e aí sim obter
(por construção) w como combinação linear de u e v – tentaram alterar e movimentar
81
o vetor w. Inicialmente, a maioria dos alunos só considerou o ajuste de w com o uso
da ferramenta “Ponteiro”, para obtê-lo como soma de u e v, fixando-se apenas nesta
operação. Denise e Roberta tentaram esse tipo de “ajuste” por um longo tempo.
Abaixo exibimos a solução de Carol – da mesma dupla que respondeu
anteriormente não ser possível encontrar três vetores l.i. no plano (cf. Figura 39) –
que demonstrou entendimento da proposta e iniciou rapidamente uma construção,
nas condições dadas.
Figura 39: Solução de Carol para a Atividade 4B
Denise, não conseguindo resolver a atividade, mesmo alterando o módulo de
w, solicitou orientação ao professor, que a questionou sobre a resposta dada ao item
3 da atividade anterior, referente à possibilidade de se obter três vetores l.i. no
plano. A aluna retomou: “Basta olhar a direção. Se os três não têm a mesma
direção, então são l.i.”. Novamente, a aluna considerou o critério para dois vetores
(vetores paralelos) e o adotou também para três. Considerando a falta de feedbacks
e/ou ferramentas de validação para o referido item, julgamos a proposta limitada,
não levando os alunos a buscarem um significado geométrico, a partir do algébrico,
da dependência linear no caso de três vetores.
Assim, o professor resolveu interferir novamente:
82
Professor: Combinação linear, pega dois vetores, combina, faz
‘alguma coisa’, operações de soma e multiplicação, para obter o
terceiro. Se eu conseguir, tudo bem. Se não conseguir, eles são l.i.
Denise: Soma eu ‘junto’, multiplicação eu ‘aumento’. Acho que dá.
Professor: Como?
Denise: Como? Deve existir a combinação, porque o enunciado não
pergunta se tem, fala para obter.
(2ª sessão, Atividade 4B)
Pela última fala, é possível que a formulação da questão (na forma
imperativa), aliada à intervenção do professor (solicitando retomar a atividade
anterior), tenha provocado um comportamento contratual
20
por parte de Denise.
O professor procurou reforçar a idéia de que produzir um terceiro vetor a partir
de outros dois é o caso da dependência linear, recomendando que Denise
retomasse o caso dos três vetores. Esse é um invariante interessante para nosso
estudo: produzir um terceiro vetor a partir de outros dois linearmente independentes
é combinação linear.
Denise continuou pensando muito, desenhou os três vetores quaisquer no
Cabri e começou a pensar em como somar u e v para obter w. Resolveu, por
translação, colocá-los na mesma origem e viu que não daria certo apenas somá-los.
Repetiu a frase do professor sobre soma e multiplicação e decidiu construir o
“paralelogramo”, com retas paralelas, representando os vetores que chamou de k.u
e k.v, chegando ao vetor w. Depois, considerou a resposta que tinha dado para o
caso dos três vetores: “Ah, era disso que ele tava falando, os três vetores não eram
os três l.i.!”.
Acreditamos que, mesmo com esse possível efeito contratual, essa atividade
proporcionou a reflexão e a retomada da questão anterior sobre o caso dos três
vetores e o recurso dinâmico mostrou-se um elemento positivo, levando alguns
alunos a refletirem sobre as possíveis operações com os vetores e sobre a noção de
combinação linear.
Porém, mesmo o professor tendo explicitado aos demais alunos a discussão
feita com Denise, novamente, os outros alunos, exceto Lucas, Carol e Denise,
20
Referente ao contrato didático: "Em uma situação de ensino, preparada e realizada por um
professor, o aluno tem por tarefa, em geral, resolver o problema (matemático) que lhe é
apresentado, mas o acesso a essa tarefa se faz através de uma interpretação das questões
postas, de informações fornecidas de contingências impostas que são constantes e de maneiras
de ensinar do professor. Estes hábitos (específicos) do professor, esperados pelo aluno e os
comportamentos do aluno esperados pelo professor, isto é o contrato didático" (Brousseau, 1983
apud Chevallard, 1989, p. 25).
83
tentaram representar uma soma de vetores com u, v e w, mudando o ângulo entre u
e v e alterando o módulo de w, movimentando os vetores com a opção “Ponteiro”.
Assim, o papel dessa atividade de desestabilizar o teorema-em-ação sobre a
condição de paralelismo para três vetores l.d. no plano e de suscitar uma
interpretação (geométrica ou algébrica) da combinação linear como envolvendo as
operações de soma e multiplicação por um escalar de vetores, não foi efetivo para a
maioria dos alunos.
A sessão foi encerrada e Denise apresentou uma solução semelhante à de
Carol.
Figura 40: Solução de Denise para a Atividade 4B
4.2.3 Terceira Sessão
A terceira sessão foi iniciada pelo professor com uma discussão sobre o
conceito de dependência linear. Como concluímos na Atividade 4, para a maioria
dos alunos, dois vetores são l.d. quando “um é múltiplo do outro”, ou seja, um é
obtido pela multiplicação por escalar do outro. A presença deste invariante na
maioria dos alunos fez com que não tivéssemos êxito em desestabilizar o teorema-
em-ação sobre a condição para o caso dos três vetores no plano.
84
Novamente, o professor utilizou o exemplo do sistema de equações, pois
julgou ter surtido algum efeito com Denise para associar o conceito de combinação
linear à resolução de sistemas de equações. Ele escreveu no quadro o sistema
=+
=+
622
3
yx
yx
e questionou
Professor: O que podemos dizer desse sistema ou dessas
equações?
Aluno A: São dependentes.
Roberta: São múltiplas.
Professor: E quanto às soluções?
Lucas: São equivalentes. Têm infinitas soluções.
Aluno B: De acordo com o conjunto Universo.
Professor: Dêem uma solução.
Aluno A: (2,1).
Professor: (2,1) é solução da primeira equação, vai ser da segunda,
já que são equivalentes? Pensando geometricamente, podemos
representar o conjunto dos pontos que satisfazem essa equação...
Uma reta. Quando representarmos a segunda, ela ficará como? Vai
sobrepor ou não? Serão paralelas?
[Silêncio. Dúvida geral]
Lucas: Sim.
Aluno A: Não.
Professor: Repensando na primeira pergunta, se todo par que
satisfaz à primeira equação satisfaz à segunda...
(3ª sessão, Atividade 4B)
Pedindo para os alunos explicarem como fazer, o professor representou
graficamente as equações e discutiu com os alunos as posições das retas obtidas.
O professor pediu exemplos do que estava discutindo. Um aluno sugeriu os
vetores (1,2) e (2,4).
Carol: Um é duas vezes o outro.
Professor: O módulo do vetor vai mudar? E o sentido e a direção?
Temos que olhar as três características. O que significa multiplicar
por dois?
Lucas: Muda o módulo, se for positivo mantém o sentido. A direção
continua a mesma.
Professor: Moral da história: segmentos orientados que têm a mesma
direção são paralelos.
Denise: Dois vetores que têm a mesma direção são paralelos.
Professor: E um pode ser obtido a partir do outro?
Aluno C: Sim!
Professor: Para obter o escalar, como se faz? E o que é l.i.? A
definição contrária. (1,2) e (1,3) não têm a mesma direção?
Não tenho um escalar? Como vocês viram dependência linear em
A.L.? É que essa abordagem é mais algébrica, trabalhando com
sistemas lineares. Vamos pensar no que acontece com os vetores no
Cabri quando fazemos essas operações...
(3ª sessão, Atividade 4B)
85
Todos os alunos foram então estimulados a relacionar as matrizes e os
determinantes que chegaram a mencionar na sessão anterior com a idéia
geométrica de dependência linear. O professor utilizou o exemplo com o intuito,
também, de desestabilizar o teorema-em-ação sobre a condição de paralelismo para
três vetores l.d. no plano e fazê-los (re)interpretar seus conhecimentos a partir da
representação figural.
A discussão estendeu-se para a idéia de combinação linear, uma vez que fora
observado que os alunos restringiram-se à operação de adição, desconsiderando a
multiplicação por escalar. O professor questionou sobre como se obtém uma
combinação linear e Denise, Roberta, Lucas, Carol e os alunos A, B, C, e D, mesmo
com imprecisão na formulação, introduziram a informação sobre o uso das duas
operações. A partir daí, o professor interrompeu a discussão e pediu que os alunos
revisassem suas resoluções nas atividades 4A e 4B, antes de prosseguirem na
resolução da atividade 4C.
Eles puderam aproveitar o restante da sessão para rever as questões, e
alguns que concluíram rapidamente essas revisões puderam iniciar as atividades da
próxima sessão.
Reproduzimos aqui algumas soluções revisadas para as atividades 4A e 4B.
Na primeira (cf. Figura 41), após as discussões, Roberta apresenta sua nova
solução para a Atividade 4A, reconsiderando o caso dos três vetores no plano.
Figura 41: Nova solução de Roberta para a Atividade 4A
86
Os alunos A e B, dois dos quais apresentaram maiores dificuldades nas
atividades anteriores, após as discussões, obtiveram êxito na compreensão da
dependência linear, principalmente no caso de três vetores e explicitaram uma
construção satisfatória para a Atividade 4B.
Figura 42: Solução dos Alunos A e B para a Atividade 4B
Figura 43: Nova solução de Roberta para a Atividade 4B
87
O mesmo ocorre com Roberta que, ao retomar a atividade 4A, apresenta uma
construção correta para a 4B e afirma, após as discussões, ter compreendido melhor
a idéia de combinação linear e base no plano (cf. Figura 43).
De um modo geral, os alunos demonstraram, de maneira satisfatória, que
conseguiram realizar a conversão do registro algébrico para o registro figural, ou
seja, conseguiram dar uma interpretação geométrica para os conhecimentos que
possuíam, numa abordagem algébrica para a combinação linear.
Isso foi possível depois da discussão proposta pelo professor e retomada das
atividades 4ª e 4B. O objetivo de levar os alunos à articulação entre os registros
algébrico, gráfico e figural, fazendo com que visualizassem a mesma idéia sob
diferentes pontos de vista foi globalmente atingido.
Além disso, posteriormente, os alunos puderam verificar suas conclusões
utilizando-se do recurso dinâmico do Cabri, que permitiu a movimentação dos
vetores (sobretudo transladando-os) e a execução de construções geométricas
econômicas, com validações experimentais das mesmas.
4.2.4 Quarta Sessão
Na quarta sessão, em virtude das dificuldades enfrentadas pela maioria dos
alunos com os conceitos de dependência linear e base, necessários particularmente
às questões da atividade 4, o professor iniciou uma discussão sobre esses
conceitos. Ele rediscutiu e enfatizou a interpretação geométrica da dependência
linear no caso de dois vetores no plano, visando retomar o item 3 da atividade 4,
envolvendo três vetores.
Professor: Geometricamente falando, quando dois vetores são l.i.?
Roberta: Quando não são paralelos.
Professor: Se não são paralelos são l.i., mas geometricamente...
Roberta: Não têm a mesma direção.
Professor: Direções diferentes. Não ser paralelo é ser l.i. Paralelos,
mesma direção, l.d. Por quê? Porque eu consigo, com multiplicação
por escalar de um, obter o outro. Multiplicação por 2, -2, por k, -k. A
grande maioria retomou comigo, foi tranqüilo, discutimos, foi isso que
vocês fizeram. Beleza. O problema foi no item c. Aí eu saí de um
conjunto de 2 vetores e fui pra 3. Daí, quando eu fui pra 3, que é
ainda na 4A, teve duas respostas do grupo. Como era a pergunta?
Todos com a 4A na tela...
Aluno C: É possível obter um conjunto de 3 vetores l.i. no plano?
(4ª sessão, Atividade 4A)
88
Depois, o professor exibiu no projetor duas soluções, selecionadas dentre as
apresentadas pelos alunos, para a Atividade 4A, item 3: “É possível obter um
conjunto de 3 vetores l.i. no plano? Em caso afirmativo, dê um exemplo, senão
explique por quê”.
As soluções exibidas estão abaixo (cf. Figuras 44 e 45).
Figura 44: Resposta de Roberta à questão 3 da Atividade 4B, exibida pelo professor (SIM)
O professor leu a resposta afirmativa e comentou que os alunos usaram a
mesma propriedade do caso de dois vetores para o caso de três: “basta olhar a
direção dos 3 vetores para ver se são diferentes. Se forem, são l.i.”.
O professor também leu a resposta negativa e destacou o argumento usado:
no plano R
2
, dois vetores l.i geram o outro vetor.
89
Figura 45: Nova resposta de Roberta à questão 3 da atividade 4B, exibida pelo professor
(NÃO)
A partir daí, ele perguntou ao grupo qual resposta estava correta. Os alunos
foram unânimes em dizer que era a segunda, ou seja, a negativa. Quando
perguntados individualmente, alguns disseram terem respondido “sim” antes, mas
mudaram de idéia naquele momento. Foi o caso de Roberta e os alunos C, D, E e F.
Esses alunos afirmaram que após as discussões perceberam que verificar o
paralelismo dos vetores (direção) não é válido para o caso de três vetores, pois
podem considerar, neste caso, a multiplicação por escalar para obter o outro vetor,
mas também a operação de soma de vetores. O professor aproveita para concluir.
Professor: Os alunos que responderam SIM esqueceram que agora
com três vetores é possível não só multiplicar, mas também somar
dois vetores para achar o terceiro. Então a resposta correta era NÃO.
Alguma dúvida?
Alunos (todos): Não.
Professor: Então, parte B. Agora é hora de construir a combinação
que concluímos que existe no item A. Alguns criaram três vetores
bem distintos no plano e assim era legal, porque, por translação,
multiplicação e soma de vetores, era possível obter um como
combinação linear dos outros. Teve gente que fez u e v primeiro e,
na hora de fazer o w, criou certinho como a soma de u e v. Não
podia, porque tinha que partir de três vetores quaisquer e depois
operar com dois vetores e obter o outro.
(4ª sessão, Atividade 4A)
90
O professor exibiu o histórico da construção
21
que foi feita em uma das
soluções de uma dupla de alunos para esta atividade.
Figura 46: Revisando a Construção, Atividade 4B
Figura 47: Revisando a Construção, Atividade 4B
21
Utilizando o recurso do Cabri “Revisar Construção”.
91
w
v
b.
u
.
a
3) (-5,w
4) (3,v
2) ,1(
rrr
r
r
r
=+
=
=
=
u
Figura 48: Revisando a Construção, Atividade 4B
Assim, passo a passo, foi exibindo a construção. Após esta exibição, o
professor movimentou os vetores da construção para explorar a combinação linear e
os alunos comentaram o que observavam na tela.
Depois, o professor iniciou uma discussão para mencionar como o problema é
geralmente tratado algebricamente nos cursos de Álgebra Linear. Para isso, utilizou
o exemplo abaixo, escrevendo no quadro as coordenadas de três vetores e
indicando o terceiro como combinação dos dois primeiros.
Quadro 12: Exemplo de combinação linear dado pelo professor
Em seguida, criou dois vetores na mesma construção anterior (cf. destacados
na Figura seguinte), e questionou os alunos sobre o que esses vetores
representavam. Roberta respondeu tratar-se dos vetores múltiplos de u e v que,
somados, resultavam em w.
92
Figura 49: Vetores criados na construção anterior
O professor insistiu perguntando qual a relação entre o que foi feito no
exemplo algébrico e a construção apresentada. Lucas respondeu que os
coeficientes a e b do exemplo algébrico eram os k’s que multiplicados pelos vetores
u e v produziam outros vetores no plano, na direção de u e v e estes novos vetores,
somados, resultavam em w, o que foi confirmado pelo professor.
Para concluir, o professor institucionalizou que qualquer conjunto de dois
vetores l.i. no plano R
2
pode servir para gerar qualquer outro vetor no plano. A partir
daí, solicitou aos alunos que caracterizassem esse tipo de conjunto. Lucas
respondeu ter “esse conjunto o papel o de base”. O professor então indagou com
qual base os alunos estavam acostumados a trabalhar. O aluno E disse ser a base
canônica e o aluno D completou, citando “os vetores (1, 0) e (0, 1)”.
Em seguida, o professor aproveitou para associar a base canônica ao sistema
de eixos por default e destacar a possibilidade de utilização de outras bases,
definindo outros sistemas de eixos. Foi nessas condições que a ferramenta “Novos
eixos” foi introduzida e, por meio de algumas construções guiadas, os alunos a
experimentaram e discutiram as coordenadas de pontos e vetores nesses sistemas.
Reproduzimos abaixo os comentários de Lucas e o Aluno A, os quais sintetizam
uma das conclusões dos alunos.
93
Lucas: As coordenadas representam a abscissa e a ordenada do
vetor.
Aluno A: Essas coordenadas são as projeções do vetor nos eixos.
Lucas: É!... Já dá os coeficientes dos vetores.
Aluno A: Como assim?
Lucas: Se você faz com esses vetores, quando você pede as
coordenadas, dá os k’s do u e v... Faz aí para ver...
(4ª sessão, Atividade 4B)
O professor chamou a atenção para a criação, no caso da atividade exibida
(Atividade 4B), de novos eixos utilizando os vetores u e v como vetores unitários (ou
versores) deste novo sistema. A partir daí, iniciou essa construção e apresentou as
coordenadas de alguns vetores nesse novo sistema.
Os alunos, nesse momento, deveriam refazer suas atividades 4A e 4B,
utilizando, no final, a opção “Novos Eixos” do Cabri para conhecê-la melhor e
entender seu funcionamento.
As interações dos alunos registradas nos vídeos mostram que a maioria deles
teve dificuldades para utilizar essa opção “Novos Eixos” e os alunos C, D, E e F não
tinham entendido ainda o significado das coordenadas obtidas com os novos eixos.
Suas soluções estavam incorretas, já que não utilizaram os vetores u e v como
versores do novo sistema. Quando o aluno E chamou o professor para ver se havia
atendido à proposta, o mesmo o questionou sobre o significado das coordenadas e
ele disse não saber. Então os alunos C, D e F, que acompanhavam a discussão do
professor com o aluno E, perceberam também não terem entendido o funcionamento
da ferramenta e nem o significado das coordenadas. O professor interferiu
novamente trazendo explicações e resgatando os exemplos anteriores, visando
auxiliar tanto na utilização da referida ferramenta, quanto na interpretação da base
de vetores u e v. O professor insistiu que tentassem refazer a atividade.
Mais uma vez, nosso grande obstáculo foi a falta de familiaridade dos alunos
com os conceitos, mesmo do ponto de vista algébrico, contrariando nossa hipótese
inicial. Coube ao professor retomar as noções e indicar a coordenação dos registros.
Os alunos, de forma geral, exceto Lucas, Carol e Denise, não tinham
conseguido considerar o caso de três vetores no plano, e estendiam o caso de dois
vetores para três. Eles insistiam com o falso invariante relacionado à noção
geométrica intuitiva que tinham sobre o paralelismo de dois vetores, pensando
apenas na multiplicação por escalar e esquecendo que, para a combinação
94
desejada, envolvendo três vetores, ambas as operações (adição e multiplicação por
escalar) devem ser consideradas.
Após a discussão e a exploração das ferramentas do Cabri, os alunos –
exceto C, D, E e F – foram capazes de compreender a definição de “novos” eixos, a
partir de base não canônica, realizando as conversões dos registros algébrico,
geométrico e gráfico.
Com relação às Atividades 4C, 4D, 4E e 4E (Desafio), selecionamos algumas
soluções apresentadas (cf. Figuras 50, 51, 52, 53 e 54).
Parte C
Considere os vetores u, v e w.
Já vimos na atividade anterior que, sendo u e v l.i., um vetor w pode ser
obtido como combinação linear de u e v, ou seja:
w=a.u+b.v (com a e b reais e não nulos).
Sua tarefa agora é obter essa combinação linear algebricamente, isto é,
determinar os coeficientes a e b.
Quadro 13: Enunciado da Atividade 4C (4ª sessão)
Parte D
1) Crie dois vetores u e v quaisquer.
2) Construa os vetores:
a) x = 3.u - 4.v
b) t = -0,5.u + 1,5.v
Indique as ferramentas utilizadas na sua construção.
Ao final, verifique sua construção usando as coordenadas dos vetores.
Quadro 14: Enunciado da Atividade 4D (4ª sessão)
Parte E
Vamos construir outros vetores, como na atividade anterior, mas agora
usando a ferramenta "Homotetia".
1) Crie dois vetores u e v quaisquer de mesma origem O.
2) Edite dois números quaisquer a e b (opção "Número").
3) Aplique a "Homotetia" no vetor u, em relação ao número a e à origem O do
vetor.
4) O que você obteve? Varie o número a e observe.
5) Explique com suas palavras o que faz a homotetia nesse caso.
6) Faça o mesmo com o vetor v e o número b.
7) Construa o vetor w = a.u + b.v
Quadro 15: Enunciado da Atividade 4E (4ª sessão)
95
Desafio
Desafio!
Construa o vetor q = 3^(1/2).u - (2/3).v
Ao final, verifique sua construção usando as coordenadas dos vetores.
Quadro 16: Enunciado da Atividade 4E – Desafio (4ª sessão)
Dos 15 (quinze) alunos participantes dessa sessão, o número de soluções
apresentadas para essas atividades aparece abaixo.
Tabela 6: Número de soluções apresentadas por atividade
ATIVIDADE
NÚMERO DE SOLUÇÕES APRESENTADAS
4C 12
4D 7
4E 5
Desafio 2
A esses resultados atribuímos as muitas dificuldades dos alunos, ligadas às
noções e também ao funcionamento da ferramenta “Novos Eixos” do Cabri, as quais
fizeram com que os alunos ficassem muito tempo discutindo as atividades 4C e 4D,
não restando muito tempo para as outras atividades.
Figura 50: Solução do Aluno A para a Atividade 4C
96
O aluno A, após compreender a ferramenta, explicitou ter compreendido a
noção de base, realizando a conversão entre os registros gráfico e geométrico.
Figura 51: Solução de Denise para a Atividade 4C
Denise demonstra, com sua solução, ter realizado a coordenação entre os
registros algébrico, geométrico e gráfico. Observando a solução apresentada,
notamos que ela construiu geometricamente, definiu os eixos com u e v e usou as
coordenadas (de u, v e w) e a calculadora para verificar os valores de u
2
e v
2
, a partir
de u, v e as coordenadas de w.
A solução apresentada pelo aluno B (cf. Figura 52) é interessante, uma vez
que explora outros recursos do Cabri e revela outra estratégia de resolução da
atividade. Nesse caso, o aluno não usou a ferramenta “Homotetia”, mas sim diversas
circunferências e pontos médios para determinar segmentos congruentes e também
os coeficientes -0,5 e 1,5.
97
Figura 52: Solução do aluno B para a Atividade 4D
Figura 53: Solução de Carol para a Atividade 4E
Os cinco alunos que responderam à atividade 4E fizeram como Carol.
98
Figura 54: Solução de Lucas para o Desafio
Lucas e Carol solucionaram o Desafio como fora esperado, utilizando a opção
“Novos Eixos” e a calculadora do Cabri.
4.2.5 Quinta Sessão
ATIVIDADE 5
Visando fazer com que os alunos resgatassem conhecimentos prévios sobre
a noção de transformação linear, foi aplicada a parte escrita da Atividade 5, que
consta do anexo 1.
Como já afirmamos anteriormente, as atividades dessa sessão foram
realizadas em dupla e no ambiente do papel-lápis. Acompanhamos os alunos das
duplas D1 e D2.
Os alunos da dupla D1 tentaram esboçar algo na primeira questão, sobre a
definição de transformação linear, mas resolveram partir para a segunda, pois
acharam que perderiam muito tempo tentando lembrar.
Para analisar as figuras e decidir se as transformações dadas eram lineares
ou não, os alunos da dupla D1 esboçaram no papel: “k(u+v) = ku + kv”, mas não
avançaram em suas decisões a partir do que escreveram.
99
Depois, olharam todos os itens da questão e reconheceram o cisalhamento e
a homotetia – itens (c) e (e), respectivamente. Comentaram terem visto tais
transformações no curso de Álgebra Linear e decidiram que, nestes dois itens, as
transformações representadas eram lineares. Sobre o item (f), concluíram que a
transformação não era linear sob o argumento de que a mesma não mantinha a
forma da figura inicial. Notamos aqui um invariante: trata-se do teorema-em-ação,
mais uma vez ligado a noções geométricas, intuitivas talvez, provavelmente
relacionado ao fato de terem estudado algumas isometrias, pois utilizaram
argumentos de conservação da forma das figuras.
Voltaram ao primeiro item, pensando no que acontecia com o raio da
circunferência dada inicialmente e concluíram que o mesmo fora “esticado”, mas
ainda assim, ficaram em dúvida, não estabelecendo nenhuma conclusão.
Partiram para o item b e tentaram, algebricamente, achar uma lei que levasse
pontos da primeira figura a pontos da segunda, pensando no que acontecia com os
vértices do retângulo nessa transformação.
Também chegaram a pensar em dois vetores, um com a mesma direção do
eixo das abscissas e outro com a mesma direção do eixo das ordenadas.
Inicialmente, concluíram que a transformação era linear, mas sem desenvolver a
idéia dos vetores e sem muita convicção.
Figura 55: Solução da dupla D1 para o item (b) da 2ª questão (atividade impressa)
Resolveram (cf. Figura 55), montar um sistema com os valores dos pontos,
mas também não conseguiram.
100
)2,3()1,1(
)2,2()1,0(
−−−−
−
−
−
a
a
Partiram então para o item (c), para reafirmar o que haviam concluído por
meio de uma lei que definisse a transformação. Tentaram insistentemente achá-la,
até conseguirem uma que valesse para os casos:
Quadro 17: Anotação da dupla D1
conforme o que eles mesmos escreveram, concluindo que a transformação era
linear e chegando à lei (x+2y, 2y). Notamos aqui que não houve ainda uma
conversão entre os registros geométrico e algébrico, pois os alunos chegaram a uma
lei algébrica baseada nas coordenadas dos pontos, mas não associaram isso a
nenhuma propriedade geométrica da figura.
Após essa conclusão, compararam os itens (a) e (b).
Lucas: Ponto leva a ponto, reta leva a reta...
(5ª sessão, Atividade 5)
Escreveram: kT(x) = T(kx) e logo depois apagaram, pois não tinham bem
certeza se era esta uma das propriedades de transformação linear vista durante o
curso.
O professor então resolveu pedir que os alunos encerrassem essa atividade
escrita, para poderem fazer as demais previstas para a sessão.
Os alunos da dupla D1 decidiram repassar todos os itens, para certificarem-se
de que tinham respondido a todos. Faltava o item (d), que eles disseram ter a
certeza de não ser uma transformação linear, só não sabiam justificar essa resposta,
pois acreditavam não existir uma lei para a transformação. E afirmaram o mesmo
para o item (f).
Carol: As transformações lineares deformam a figura, mas
conservam as propriedades [pensaram aqui em duas propriedades
as quais eles sabiam que existiam nas transformações lineares].
Lucas: No item c, segmento foi para segmento. Na d e na f, não
aconteceu da mesma forma.
Carol: E no item a? Parece que rolou um cisalhamento.
Cisalhamento e outra transformação.
Lucas: É cisalhamento mais translação! É linear sim!
(5ª sessão, Atividade 5)
101
Uma observação importante aqui, principalmente para as outras atividades, é
a presença do invariante de que a translação é linear, possivelmente baseado num
outro invariante forte, o de que a transformação linear conserva as propriedades da
figura, sem deformá-la. Esses alunos ficaram satisfeitos com essas respostas e
finalizaram essa parte da atividade, partindo para a realização das demais atividades
no Cabri.
Já as alunas da dupla D2, começaram pela primeira questão.
Denise: Concebo como uma função [olha a segunda questão e dá
como exemplo o quadrado do item b]. Como explicar?
Roberta: Concebo como função que tem só um resultado. Injetora,
no caso.
Denise: Cada elemento do domínio é associado a um único da
imagem. Como escrever...
(5ª sessão, Atividade 5)
Elas refletiram um pouco e Denise começou a esboçar algo no
papel.
Denise: Já vamos considerar no plano, então vai ser um ponto que
vai em outro.
Roberta: Sim.
(5ª sessão, Atividade 5)
Elas discutiram, pensaram em exemplos, considerando pontos do plano. A
partir daí, ficaram discutindo um desses exemplos, calculando as imagens dos
pontos dados inicialmente. Resolveram concluir a questão com a resposta abaixo.
Figura 56: Resposta da dupla D2 para a 1ª questão da atividade impressa
102
Elas revelaram a concepção de que a transformação linear é uma função e
utilizaram para isso língua natural de emprego comum. Embora a relação
apresentada seja pertinente, as alunas não demonstraram associar bem a idéia da
função com transformação linear, pois apenas falaram em domínio e imagem da
função, sem explicitar o que isso significa no caso da transformação linear. Então,
partiram para o exemplo, no qual a figura passa por uma translação horizontal e
outra vertical, não caracterizando bem uma transformação linear e revelando falha
na concepção geométrica da mesma, concepção esta que, possivelmente, devia
estar também associada à manutenção da forma da figura.
Figura 57: Respostas da dupla D2 para os itens (a) e (b) da questão 2
No item (a) da questão 2, discutiram bastante, mas, em geral, ficaram presas
à idéia de deformar ou não a figura e chegaram a escrever no item (a): “A translação
NÃO é linear, pois sua aplicação modificou o tipo da figura (circunferência é
diferente de elipse)”. Isso vem a confirmar a hipótese afirmada acima.
103
No item (b), concluíram que a transformação é linear, pois a aplicação
preservou as propriedades da figura. E nos demais itens, responderam afirmativa ou
negativamente segundo o critério de deformação ou não da figura. Concluíram que
nos itens (c), (d) e (f) as transformações não eram lineares e no item (e) que a
transformação era linear.
Analisando as fichas respondidas e entregues pelos presentes nessa sessão
(14 alunos divididos em 7 duplas), sem considerar os alunos das duplas D1 e D2 –
dos quais estamos exibindo com mais detalhes as respostas, apenas uma dupla
conseguiu explicitar as propriedades de soma e multiplicação por escalar na primeira
pergunta (cf. Figura 58), enquanto os outros utilizaram argumentos em língua natural
de emprego comum, ligados a leis de transformação, forma dos objetos, além de
comparação com função e aplicações com vetores (cf. Figuras 59, 60 e 61). E outra
dupla deixou em branco. Todos citaram o cisalhamento e a homotetia como
exemplos de transformações lineares na segunda questão.
Figura 58: Resposta dada à 1ª pergunta
Figura 59: Exemplo de resposta dada à 1ª pergunta
104
Figura 60: Exemplo de resposta dada à 1ª pergunta
Figura 61: Exemplo de resposta dada à 1ª pergunta
Essa atividade durou mais tempo do que tinha sido planejado. Após solicitar a
todos que concluíssem, o professor recolheu a atividade e orientou que os alunos
fizessem as atividades 5A e 5B no Cabri.
Parte A
Você conhece a "translação"?
Vamos discutir um pouco essa transformação...
1) Crie um polígono qualquer.
2) Crie um vetor v qualquer.
3) Obtenha a imagem do polígono pela translação de vetor v.
4) Quais as características da figura-imagem?
5) Com suas palavras, tente definir a translação.
Quadro 18: Enunciado da Atividade 5A (5ª sessão)
Parte B
1) A translação é uma transformação linear (T.L.)? Por quê?
Como você pode justificar sua resposta, apresentando uma construção no
Cabri?
Quadro 19: Enunciado da Atividade 5B (5ª sessão)
Os alunos da dupla D1, na atividade 5A, criaram o polígono, mas hesitaram
ao utilizar a ferramenta “Translação”, o que já era esperado. Eles tentaram fazer a
translação por meio de uma construção, utilizando retas paralelas. Em seguida, após
ser solicitado, o professor os orientou para utilizarem a ferramenta do Cabri, o que
105
fizeram sem dificuldades. Sobre as características da figura-imagem e a definição de
translação, responderam evocando a idéia de movimento rígido do plano.
Lucas: Mantém o formato, muda de lugar segundo uma direção.
Quando movimentamos o vetor, a figura não rotaciona.
(5ª sessão, Atividade 5A)
Quando interrogados pelo professor sobre qual o sentido desse termo
“rotacionar”, responderam:
Lucas: A figura não gira em torno de si mesma, mas se movimenta
orientada pelo vetor.
(5ª sessão, Atividade 5A)
As alunas da dupla D2 criaram o polígono e o vetor, mas não tiveram a idéia
de movimentá-lo para verificar o que acontecia com a figura. Revelaram não terem
entendido a idéia da translação do polígono pelo vetor. O professor sugeriu a
movimentação do vetor e então elas também comentaram o fato da figura não ser
deformada.
Na Atividade 5B, ambas as duplas demonstraram dificuldades em olhar para
alguns pontos da figura, tais como os vértices do polígono. Ambas decidiram que a
translação era uma transformação linear, a partir da simples percepção e
observação das figuras na tela do computador. A dupla D1 usou a justificativa de ser
possível achar uma lei para a transformação e a dupla D2 usou o argumento de
manutenção de forma e tamanho para as figuras.
Para fazerem uma construção, as duplas tiveram muitas dificuldades, mesmo
para compreenderem que tipo de construção seria essa. A dupla D1 pensou em
fazer a translação por meio de uma construção geométrica, recriando a ferramenta
do Cabri. O critério foi novamente a não-deformação da figura e eles usaram o falso
invariante já revelado anteriormente de que a translação é linear. As construções
apresentadas pela dupla D1 estão reproduzidas abaixo.
106
Figura 62: Solução da dupla D1 para a Atividade 5A
Figura 63: Primeira solução da dupla D1 para a Atividade 5B
Para a realização dessas atividades, o professor, influenciado pela evidência
de que nossa hipótese acerca do domínio algébrico por parte dos estudantes dos
conceitos da Álgebra Linear havia sido invalidada, resolveu fazer com que os alunos
retomassem a noção de transformação linear, para depois resolverem as atividades.
107
O problema foi ter acreditado que os alunos retomariam de fato tais noções, o
que não ocorreu de forma satisfatória e acabou não produzindo os resultados
esperados nas atividades com o Cabri.
As alunas da dupla D2 não conseguiram concluir as atividades, não chegando
a apresentar uma solução. Os alunos da dupla D1, como não responderam à
questão da definição de transformação linear, não pensaram nas condições de
linearidade da transformação e decidiram que a translação era linear, baseando-se
apenas na conservação das propriedades da figura, como demonstraram na
justificativa apresentada: “tratar-se da mesma figura”.
4.2.6 Sexta Sessão
Nessa sessão, programada para ser a última – devido ao fato de as
atividades estarem sendo realizadas no horário de aulas dos alunos e a pedido da
professora da disciplina – o professor programou, inicialmente, uma retomada dos
conceitos de dependência linear e transformação linear.
Sobre a dependência linear, o professor comentou as novas versões das
soluções dadas pelos alunos ao item 3 da Atividade 4A, mas não prolongou muito o
assunto.
Com relação ao conceito de transformação linear, ele comentou o item (f) da
Atividade 2 (na folha impressa), aproveitando a idéia apresentada pela maioria dos
alunos de que uma transformação é linear se conserva a forma da figura inicial. Os
alunos foram unânimes em concordar que a transformação apresentada não era
linear, mas admitiam não terem justificado adequadamente, pois “não lembravam”.
O professor propôs então aprofundar a discussão, solicitando aos alunos que
buscassem argumentos mais convincentes. Uma aluna, que não fazia parte das
duplas analisadas, respondeu que uma “transformação linear leva reta em reta,
segmento em segmento e a transformação do item f leva segmento em curva, e
então não é linear”. O professor caracterizou a resposta como uma propriedade
geométrica válida no caso das transformações lineares, mas solicitou que a aluna
tentasse explicá-la.
O professor relata para o grupo que alguns alunos haviam tentado, embora
com pouco sucesso, pensar na transformação linear como uma função e, como
108
identifica que os alunos não mencionam as condições de linearidade (em relação à
soma e ao produto) na abordagem algébrica, propõe sua retomada a partir da
consulta a um livro didático de Álgebra Linear.
Professor: Uma transformação linear é como uma função por quê?
Lucas: Porque leva um valor de um conjunto a um valor de outro
conjunto.
Professor: Isso! E o que mais?
Denise: Faz isso de acordo com uma lei.
Professor: E como é essa lei? Vamos pensar na translação. Vocês
todos disseram que ela é uma transformação linear. Como é a lei da
translação?
Denise: É uma função que desloca um ponto através de um vetor.
[...]
Professor: Agora vamos ver o que vocês estudaram de
transformação linear. Vocês não disseram que estudaram com o livro
do Callioli? Então, eu trouxe o livro aqui para a gente pegar a
definição do Callioli para transformação linear e decidir, de acordo
com o que a gente fez para a translação, se ela é linear.
(6ª sessão, Atividade 5B)
Com base nessa definição reproduzida literalmente na lousa pelo professor,
os alunos passaram às tentativas de interpretação.
Aluno A: Conserva a soma, né?
Professor: Ou soma e depois transforma, ou transforma
separadamente e depois soma. É isso?
Aluno A: É!
Lucas: As duas vão conservar! [referindo-se ao segundo critério]
(6ª sessão, Atividade 5)
A partir daí o professor solicitou que os alunos refizessem a atividade 5B,
salientando que queria uma construção geométrica na qual pudessem ser
observadas as duas propriedades ou condições evocadas. Neste caso, o professor
indicou explicitamente a atividade de conversão de registros (da língua natural de
uso especializado e/ou simbólico-algébrico para os registros figural e/ou gráfico).
Cabe observar aqui que, contrariamente à nossa hipótese, os alunos não se
mostraram tão familiarizados com a definição abordada e continuaram a considerar
alguns critérios geométricos, de forma intuitiva e não necessariamente dominando a
conversão.
As alunas da dupla D2 não conseguiram concluir as atividades 5A e 5B. Elas
tiveram muitas dificuldades e acabaram não fornecendo uma solução no Cabri,
dentro do tempo estipulado para esse último encontro.
109
Os alunos da dupla D1 pensaram e discutiram bastante essas duas
atividades, fazendo mais duas vezes a parte B. Na primeira (cf. Figura 64),
construíram um polígono e não consideraram vetores, pensando apenas na
translação dos vértices do polígono. Quando precisaram verificar a condição de
linearidade para a soma (T(u + v) = T(u) + T(v)), começaram a pensar em vetores e
as gravações revelaram que eles tiveram dúvidas sobre qual ponto considerar como
origem do vetor soma ao fazerem T(u) + T(v). Eles reconheceram T(u + v) e
indicaram essa soma, mas, ao decidirem como fariam T(u) + T(v), ficaram em
dúvida, achando “estranha” a solução encontrada.
Figura 64: Segunda solução apresentada pela dupla D1 para a Atividade 5B
Em seguida, consultaram o professor e perceberam que era necessário
considerar os vetores e não os pontos do polígono. Recomeçaram então outra
solução, pensando na condição de soma, mas agora com os vetores (cf. Figura 65).
110
Figura 65: Terceira solução apresentada pela dupla D1 para a Atividade 5B
Assim, criaram o polígono, transladaram-no usando o vetor w, identificaram
os vetores u, v, (u + v), T(u), T(v), T(u + v) e fizeram a soma T(u) + T(v). Novamente
foram influenciados pelo falso invariante de que a translação era linear, achando que
a resposta estava incorreta. Consultaram o professor e este confirmou a resposta
como correta. Eles ainda disseram que não poderia ser, porque a translação era
linear e a construção indicava que não. O professor então pediu para eles
explicarem tudo o que haviam feito nas duas soluções e os mesmos chegaram à
conclusão de que a solução anterior estava incorreta porque não considerava os
vetores e a nova estava correta porque estava de acordo com “a condição para ver
se a transformação era linear ou não”. Ficaram surpresos ao descobrirem a não-
linearidade da translação, visualizando na tela o fato de T(u + v) não ser o mesmo
que T(u) + T(v).
Ao explicarem as construções, os alunos da dupla D1 demonstraram
compreender o significado geométrico da condição de linearidade com relação à
conservação da soma, o que indica terem realizado a conversão do registro
algébrico para o geométrico (ou figural) e, sendo confrontados com a situação
encontrada, puderam rediscutir o domínio de validade invariante com relação à
translação.
111
O professor questionou-os com relação à condição da multiplicação por
escalar e eles tentaram, no Cabri, observar se a translação satisfazia tal condição.
Movimentaram bastante a figura e produziram outros vetores como 2u, por exemplo,
verificando o que acontecia com 2.T(u). Explicaram para o professor que deveriam
observar esses dois vetores, mas quiseram ir para a próxima atividade.
Eles acabaram ficando com um tempo muito escasso para discutirem e
concluírem de forma satisfatória a Atividade 6. As soluções para os itens (a), (b) e (c)
estão ilustradas abaixo (cf. Figura 66).
Os alunos movimentaram os vetores, acreditando que eles poderiam estar
ligados ou que descobririam mais informações sobre as transformações dos vetores.
Isso revela algo positivo como efeito das atividades: o fato de explorar as figuras,
aproveitando o recurso dinâmico do Cabri, algo que, no começo, eles faziam de
forma muito tímida. Porém, desta vez, observaram não existir uma relação entre os
vetores que pudesse “dar pistas” sobre a transformação em jogo.
Figura 66: Solução da dupla D1 para a Atividade 6
Decidiram então, com a edição numérica do Cabri, encontrar os vetores
pedidos, usando a ferramenta “Homotetia”. Apresentaram soluções corretas para os
itens (a) e (b), mas no item (c), ao invés de considerarem –T(u), fizeram –u (o vetor
112
indicado em preto). É possível que tenha sido uma simples distração, pois estavam
apressados, já estava se esgotando o tempo dessa sessão.
Assim, não chegaram a exibir solução para o item (d). Ao iniciarem este item,
exibiram as coordenadas dos vetores, porém no sistema cartesiano, por default, o
que não iria ajudá-los muito em suas conclusões.
Podemos afirmar que a dupla D1 conseguiu reconhecer a condição de
linearidade associada à multiplicação por escalar, inclusive geometricamente, já que
haviam afirmado antes, na atividade anterior, e agora conseguem resolver
corretamente os dois primeiros itens desta atividade.
Não podemos afirmar se concluíram algo sobre o fato de uma transformação
linear no plano estar completamente determinada a partir das respectivas imagens
de um par de vetores não colineares, como desejávamos quando do
desenvolvimento as atividades.
Na sessão seguinte, apresentaremos as considerações sobe o estudo como
um todo e as conclusões gerais acerca da análise das atividades até aqui descrita.
113
Considerações Finais
Primeiramente, faremos uma retomada das idéias principais do
desenvolvimento de nosso estudo e, em seguida, algumas considerações sobre os
resultados das análises do experimento de ensino, em particular sobre o papel do
ambiente de Geometria Dinâmica e sugestões para prosseguimento da pesquisa.
Com relação ao ramo da Matemática “Álgebra Linear”, um levantamento de
pesquisas em Educação Matemática mostrou que, no âmbito internacional, o
assunto é pertinente e bastante discutido, apresentando inúmeras sugestões para o
aprofundamento dos estudos na área. Já no âmbito nacional, se comparado a outros
temas ou mesmo ao contexto internacional mencionado, o assunto ainda não foi
amplamente investigado.
Alguns estudos apontam para um alto índice de reprovação dos estudantes
dessa disciplina (Celestino, 2000) e evidenciam diversas dificuldades de
aprendizagem (Dorier, 1997) geralmente relacionadas à abordagem extremamente
formal e predominantemente algébrica do ensino, presente nos livros didáticos e
utilizada pelos professores. Inspirados nos estudos de Gueudet (2004), Bittar (1998),
Sierpinska (1999) e Karrer (2006), os quais sugerem novas abordagens de ensino,
particularmente discutindo as possibilidades de emprego de modelos geométricos,
optamos por dar continuidade a essas questões, buscando discutir condições
didáticas para relacionar Geometria e Álgebra Linear.
Nesse contexto, nosso intuito foi o de analisar as contribuições do uso da
Geometria Dinâmica na compreensão de conceitos fundamentais de Álgebra Linear,
tais como vetores e coordenadas, dependência linear, base e transformações
lineares.
Fundamentados nos Registros de Representação Semiótica de Duval (1993,
1995, 2000, 2005) e na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990, 1997,
1998), concebemos um experimento de ensino a fim de investigar as influências de
um tratamento geométrico e da articulação entre registros de representação
(algébrico, gráfico e geométrico), auxiliados pelo ambiente Cabri-Géomètre, sobre as
concepções dos estudantes após terem cursado a disciplina de Álgebra Linear.
114
Concordamos com Vergnaud (1990) ao afirmar que um conceito não pode ser
reduzido à sua definição formal - nosso interesse está em sua compreensão por
parte dos alunos. Além disso, acreditamos que sua representação nos remete, além
dos registros, a considerações sobre os invariantes operacionais relacionados à
atividade do sujeito. Assim, procuramos abordar a compreensão de um conceito em
Matemática a partir dos conhecimentos prévios dos alunos (conceitos e teoremas-
em-ação) e no trânsito entre os diferentes registros de representação semiótica,
levando em consideração o significado operatório e as situações-problema
propostas.
Dessa forma, procuramos utilizar a Teoria dos Campos Conceituais para
complementar nossa abordagem em termos de registros de representação
semiótica, a fim de que a mesma desse suporte para a identificação dos invariantes
operacionais mobilizados pelos alunos na resolução das situações problemas,
relacionando-os às representações utilizadas.
A metodologia adotada foi a de Experimento de Ensino (Steffe & Thompson,
2000) e, a partir de uma ‘nova’ abordagem para noções de Álgebra Linear,
procuramos avaliar a influência da mesma sobre as concepções de 21 (vinte e um)
estudantes de uma turma de licenciandos em Matemática, matriculados na disciplina
de Geometria das Transformações, em uma Universidade particular da cidade de
São Paulo. Como mencionado anteriormente, esses estudantes já haviam cursado a
disciplina de Álgebra Linear.
Foram concebidos três blocos de atividades – o primeiro explorando os
assuntos vetores e coordenadas de vetores; o segundo dependência linear e base e
o terceiro transformação linear – para serem desenvolvidos ao longo de quatro
encontros, com duração de 1h30min cada.
Em conformidade com as características da metodologia adotada, as
atividades foram redistribuídas ao longo dos encontros e as duas últimas acabaram
ficando incompletas, devido às dificuldades encontradas pelos estudantes em
aspectos conceituais e, de forma mínima, relacionadas a efeitos contratuais. Em
cada encontro, as respostas dos estudantes foram evidenciando ao professor
informações importantes para as ações seguintes. O professor participou ativamente
do processo, procurando compreender e interpretar as soluções apresentadas pelos
estudantes.
115
Na realização das atividades, em horário de aula, não houve presença de
todos os estudantes matriculados, razão pela qual acompanhamos mais de perto o
desempenho de 10 (dez) deles, ao longo de seis sessões de atividades. Como se
pode observar, duas sessões foram acrescentadas considerando a previsão inicial.
Após a análise das produções dos estudantes e dos fatos registrados em
vídeo e gravações de voz, constatamos que os estudantes, em sua maioria,
apresentaram evoluções significativas. Apesar da nossa importante hipótese – de
que os estudantes possuíam o domínio algébrico dos conceitos de Álgebra Linear
contemplados nas atividades – observamos, por parte dos mesmos, o alcance de
um domínio mais amplo das representações gráfica, algébrica e geométrica e a
realização de conversões em ambos os sentidos.
Além disso, por vezes, as atividades proporcionaram o confronto dos sujeitos
com falsos invariantes que possuíam, obrigando-os a questionarem o domínio de
validade destes e explicitarem estratégias e noções sobre os objetos em questão.
Assim, podemos afirmar que tais estudantes foram submetidos a um
ambiente diferenciado de aprendizagem, com uma abordagem diferente daquela
anteriormente adotada no ambiente do papel-lápis e envolvendo a articulação de
diversas representações das quais, em princípio, foi constatado que eles até
pareciam estar familiarizados, mas não apresentaram domínio significativo.
Destacamos algumas mudanças positivas dos sujeitos em relação às noções
abordadas:
• a compreensão da noção de coordenadas de um vetor,
invalidando o invariante de que as mesmas dependem da
posição do vetor no plano. Com isso, os alunos atentaram para
as características de direção, sentido e módulo do vetor;
• a compreensão da noção de representante de um vetor no plano
e a superação do falso invariante de que as coordenadas de um
vetor se comportam como as de um ponto no plano;
• a compreensão das noções de base e dependência linear, para o
caso de dois e três vetores no plano;
• a resolução de situações nas quais era preciso realizar
conversões do registro algébrico para o geométrico e gráfico e,
de forma análoga, no sentido oposto;
116
• o uso de ferramentas do Cabri para testar e validar ou não suas
hipóteses;
• a compreensão das condições de linearidade de uma
transformação;
• a atitude de avaliar suas próprias produções e repensar sua
estratégias.
Devemos observar também algumas falhas ou limitações na elaboração das
atividades do experimento. Na Atividade 2A, os alunos não compreenderam que
deveriam primeiro elaborar conjecturas e depois testá-las com a macro
“Coord_Vetor”: alguns deles partiram direto para o uso da macro, obtendo as
coordenadas. Eis um problema de clareza ou falta de orientação no enunciado.
A passagem da Atividade 4A para a 4B foi um dos momentos mais ‘tensos’
vividos pelos alunos. Isso ocorreu, em nossa opinião, por dois motivos: os alunos
não dominarem as noções de dependência linear e base no domínio geométrico do
plano e o fato de não termos previsto tal situação, colocando algum questionamento
que provocasse a retomada dos conceitos.
Além disso, a Atividade 4C admite várias estratégias de resolução, mas para
que os alunos pudessem optar pela ferramenta em “Novos Eixos”, talvez fosse
preciso incluir uma atividade intermediária utilizando essa opção, a fim de apresentá-
la antes aos alunos.
Em relação às atividades de transformação linear, a idéia de colocar uma
atividade de retomada do conceito (no papel-lápis) antes da realização das
atividades no Cabri foi uma tentativa, diante dos problemas enfrentados nas outras
atividades, de minimizar as dúvidas na realização desse novo bloco. Porém, não nos
certificamos de que houve tal retomada e ela não ocorreu da forma esperada.
Assim, a nosso ver, deveríamos ter discutido a parte escrita antes de partirmos para
as atividades 5A e 5B no Cabri.
Queremos apenas considerar que a realização de nossas atividades ficou um
pouco prejudicada pelo fato de os conhecimentos prévios dos alunos – em particular
com relação a aspectos algébricos dos conceitos – não corresponderem ao
esperado, em momentos nos quais eles eram imprescindíveis. Nesses momentos, o
papel do professor foi fundamental, repensando as ações e levantando questões
para retomar tais conceitos.
117
Quanto ao papel do ambiente de Geometria Dinâmica Cabri-Géomètre,
podemos afirmar que o mesmo proporcionou a elaboração de conjecturas, a
validação experimental de hipóteses e estratégias de resolução das atividades, com
o uso de diferentes ferramentas do programa e de seu aspecto dinâmico. Como
exemplos, podemos mencionar o uso das ferramentas “Ponteiro” e “Giro” na
Atividade 1, como forma de os alunos elaborarem conjecturas sobre o que
aconteceria com as coordenadas de um vetor quando este é movimentado.
Devemos também registrar o exemplo da macro-construção “Coord_Vetor” – nas
atividades 1 e 2 – como meio para os estudantes validarem (ou não) suas hipóteses
com relação aos sinais das coordenadas dos vetores; além disso, na Atividade 3, os
alunos explicitaram seus teoremas-em-ação para construir sua própria macro, com a
mesma utilidade da anterior. Ainda queremos lembrar a Atividade 4, que permitia o
uso de diferentes ferramentas, proporcionando diversas estratégias de resolução,
particularmente do item C em diante, das quais podemos listar: “Novos Eixos”,
“Homotetia”, a própria calculadora do Cabri, “Soma de vetores”, “Translação”, “Ponto
Médio” e “Retas paralelas”.
É importante ainda destacar as vantagens de um ambiente de Geometria
Dinâmica em relação ao ambiente papel-lápis, pois algumas tarefas mesmo as mais
simples, como a determinação das coordenadas de um vetor, seriam mais custosas
e demoradas no papel-lápis. Na Atividade 4B, os alunos podiam movimentar sua
construção e observar o que acontecia com a combinação linear para os mais
variados vetores e para as diversas posições destes vetores no plano.
Como um dos critérios de escolha dos sujeitos da pesquisa foi a familiaridade
com o software, não tivemos maiores problemas de dificuldades ocasionadas pela
falta de domínio das ferramentas, a não ser quando da introdução da opção “Novos
Eixos”. Mesmo neste caso, os estudantes, assim que assistidos mais de perto pelo
professor, puderam avançar, passando a utilizá-la sem dificuldades.
Afirmamos que, de uma forma geral, o desenvolvimento das atividades nesse
ambiente proporcionou o trabalho com diferentes registros na tela, oferecendo uma
melhor articulação entre os mesmos, conforme nossas expectativas no design do
experimento.
Nas atividades do primeiro bloco, sobre vetores, os estudantes obtiveram
êxito em relacionar os registros gráfico e geométrico, concluindo que as
coordenadas são influenciadas por módulo, direção e sentido. Nas atividades do
118
segundo bloco, sobre dependência linear e base, boa parte dos estudantes
observados em nosso estudo realizou conversões entre os registros algébrico,
gráfico e geométrico nos dois sentidos e as passagens entre as atividades desse
bloco, apesar de bastante tensas, foram fundamentais para isso e para a
compreensão da dependência linear. Particularmente, o uso de um novo sistema de
eixos possibilitou de fato a compreensão da noção de base no plano, tirando a
ênfase da base canônica. No que se refere às atividades envolvendo transformação
linear, os alunos de uma das duplas observadas foram capazes de visualizar
geometricamente as condições de linearidade com relação à soma e à multiplicação
por escalar e exibir uma construção que expressasse tais condições.
Por fim, deixamos aqui algumas sugestões para a continuidade das
pesquisas nesta área. A primeira delas, como tivemos apenas um momento de
aplicação da seqüência de atividades, é que esta fosse reaplicada, fazendo as
devidas adaptações e complementações apontadas e as retomadas necessárias dos
conceitos antes da aplicação das mesmas, a fim de comparar com nosso estudo e
medir quantitativamente os resultados.
Outra possibilidade, já sugerida em Karrer (2006): investigar o papel do
professor de Álgebra Linear. Destacamos aqui que o papel do professor foi
fundamental em momentos decisivos de nossas atividades, mas não analisamos
nossos resultados sob essa perspectiva. Karrer (ibid.) analisou o papel dos livros
didáticos e também seqüências de atividades. Nesse tipo de estudo, é preciso um
olhar sob outro ângulo.
Em nosso estudo, trabalhamos os conceitos no plano. Outra possibilidade
seria o aprofundamento com abordagens no espaço, com o uso da Geometria
Dinâmica.
Por fim, acreditamos que esta pesquisa contém algumas idéias e propostas
para uma abordagem não convencional de conceitos fundamentais da Álgebra
Linear no plano e esperamos que possam representar algum subsídio às práticas
docentes relativas a esta disciplina.
119
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VYGOTSKY, L. S. Thought and Language. Paris: Sociale, 1985. Resumo da
Edição original em russo
124
Anexo 1
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática
Grupo de Pesquisa TecMEM
Nome: _______________________________________________________________
Informações sobre sua formação:
Cursou a disciplina de Álgebra Linear em que semestre/ano?
____________________________________
Usou algum livro-texto na disciplina de Álgebra Linear?
________________________________________________________________
Considera que teve bom desempenho? Por quê?
________________________________________________________________
Indique alguma dificuldade e/ou facilidade que teve nesta disciplina.
________________________________________________________________
125
1) Escreva tudo o que você sabe sobre o conceito de transformação linear.
2) Em cada item abaixo, decida se a transformação que leva a figura azul na figura vermelha é
linear e explique por quê.
a)
b)
126
c)
d)
e)
f)
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