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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
GRÁCIA MARIA CATELLI ANACLETO
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE A APRENDIZAGEM DO
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2007
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
GRÁCIA MARIA CATELLI ANACLETO
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE A APRENDIZAGEM DO
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação
do Professor Doutor Benedito Antonio da Silva.
SÃO PAULO
2007
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BANCA EXAMINADORA
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
__________________________ __________________________
Assinatura Local e Data
Dedico este trabalho a Deus, ao meu marido
Rui e aos meus queridos filhos Grácia Helena
e Douglas, Lúcia Helena e Joel, Ruy Cláudio e
Fabiana.
A
gradecimentos
Meus especiais agradecimentos,
Ao Prof. Dr. Benedito Antonio da Silva pelos conselhos,
ensinamentos e privilégio de ser sua orientanda.
Às Dra. Sonia Barbosa Camargo Igliori e Dra. Luzia Aparecida
Palaro pelas contribuições feitas durante o Exame de
Qualificação, fundamentais para o aprimoramento deste trabalho.
Aos alunos, que tão gentilmente participaram da pesquisa,
respondendo aos questionários.
Aos Professores do Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da PUC-SP e a todos os meus colegas e
amigos do curso, pela amizade e companheirismo durante esta
caminhada.
A meu esposo e filhos, por compreenderem minha presença-
ausência nestes últimos dois anos e meio, conseqüência da
necessidade de muita dedicação e esforço para atingir este
objetivo.
E a todos os que contribuíram direta ou indiretamente para que
este trabalho se tornasse realidade.
Á todos o meu carinho e reconhecimento.
A Autora
R
esumo
Este estudo teve por objetivo investigar os conhecimentos mobilizados por alunos
que já haviam estudado o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) relativamente
aos conceitos de derivada e integral e sua interelação. O TFC, segundo Segadas
(1998), é um dos tópicos mais importantes em qualquer curso de Cálculo.
Pretendemos com o trabalho avaliar se a mobilização desses conceitos se deu de
forma adequada na resolução de questões específicas em que a aplicação
desses conceitos era necessária. A pesquisa fundamentou-se nos pressupostos
teóricos da dialética ferramenta-objeto e jogos de quadros de Douady (1987).
Teve como base a pesquisa realizada por Segadas (1998) sobre a compreensão
do TFC pelos alunos ao final do curso de Cálculo. Foi aplicado um questionário-
piloto a alunos do curso da Ciência da Computação de uma universidade
particular da cidade de São Paulo. Percebemos nessa primeira investigação que
alunos que participaram do estudo piloto não haviam recebido o conteúdo relativo
ao TFC com a profundidade requerida pela nossa pesquisa. Reestruturamos o
questionário e reaplicamos a um grupo alunos do curso de Licenciatura em
Matemática desta mesma universidade, onde esta disciplina é ministrada com
maior carga horária. Verificamos que a maioria dos alunos encontrou dificuldades
para solucionar problemas em que a simples visualização de gráficos faria com
que não necessitassem desenvolver longos algoritmos. Este resultado demonstra
que os obstáculos dos estudantes para compreender o TFC estão relacionados
com uma incompleta mobilização das noções de derivada, integral e continuidade,
uma vez que utilizaram apenas parcialmente esses conhecimentos para a solução
das questões apresentadas. Tal fato está provavelmente associado aos hábitos
dos estudantes, que tendem a não focar atenção aos aspectos conceituais do
teorema, apenas memorizando o algoritmo dos procedimentos sem refletir sobre
a sua aplicabilidade. A fundamentação teórica mostrou-se uma ferramenta eficaz
na análise dos protocolos que nos conduziram a essas conclusões.
Palavras-chave: Teorema Fundamental do Cálculo (TFC); Ferramenta Objeto;
Jogo de Quadros.
A
bstract
This study aims to investigate the knowledge mobilized by students who have
already studied the Fundamental Theorem of Calculus (FTC) regarding the
concepts of differentiation and integration and its relationship. The FTC is one of
the most important topic in any Calculus course according to Segadas (1998). The
intention of the study is to evaluate if the mobilization of these concepts occurred
in the proper manner for specific questions resolution where necessarily they have
to be applied. The research was based on Douady’s (1987) theoretical beliefs of
the tool-object dialectic and change of frameworks. As support the study was
carried through Segadas (1998) research on the understanding of the FTC by
students at the end of the course of Calculus. A pilot-questionnaire was applied to
students of a Computer Science course in a private University of São Paulo city. In
this first inquiry we perceive the participant students had not received the FTC
related content in the deep required for our research in this course. Thus we have
decide restructure the questionnaire and apply it to a different group of students in
the Mathematics Bachelors course where the FTC content was teach deeper due
to greater teaching load in the same university. The research found the majority of
the students have found difficulties to solve problems where the simple
visualization of graphs would solve it without developing extensive algorithms. This
findings shows the students’ obstacles to understand the FTC are related to an
incomplete mobilization of differentiation, integration and continuity concepts since
to solve the given questions they have only partially used these knowledge. Such
fact is probably associated the students habits who do not tend to focus their
attention to the conceptual aspects of the theorem but only memorizing the
procedures algorithm without reflecting on its applicability. The theoretical
fundamentals used revealed an efficient tool in the analysis of the protocols who
led us to these conclusions.
Key-Words: Fundamental Theorem of Calculus (FTC); Tool-Object, Frame
Games.
S
umário
Capítulo 1
............................................................................................................... 12
1 Apresentação ................................................................................................... 12
Capítulo 2 ............................................................................................................... 16
2 Introdução ........................................................................................................ 16
2.1 As dificuldades no aprendizado do Cálculo ................................................ 17
2.2 O problema da pesquisa ............................................................................. 22
Capítulo 3 ............................................................................................................... 24
3 Desenvolvimento Histórico do Teorema Fundamental do Cálculo .................. 24
3.1 De Arquimedes a Newton e Leibniz ........................................................... 25
3.1.1 Arquimedes (287-212 a.C.) ................................................................ 25
3.1.2 Torricelli (1608-1647) ......................................................................... 27
3.1.3 Gregory (1638-1675) .......................................................................... 30
3.1.4 Barrow (1630-1677) ........................................................................... 31
3.1.5 Newton (1642-1727) .......................................................................... 35
3.1.6 Leibniz (1646-1716) ........................................................................... 40
3.2 Operações Centrais do Teorema Fundamental do Cálculo ....................... 45
3.2.1 A integral como função do limite superior de integração ................... 46
3.2.2 Derivadas das Integrais indefinidas ................................................... 47
Capítulo 4 ............................................................................................................... 51
4 Fundamentação Teórica .................................................................................. 51
4.1 A dialética ferramenta-objeto e o jogo de quadros ..................................... 51
4.2 Conhecimentos matemáticos ..................................................................... 51
4.3 Ferramenta, Prática e Objeto ..................................................................... 53
4.4 Os quadros e suas trocas ........................................................................... 55
Capítulo 5 ............................................................................................................... 58
5 Procedimentos Metodológicos ......................................................................... 58
5.1 Introdução ................................................................................................... 58
5.2 Os sujeitos .................................................................................................. 61
5.3 O Questionário piloto .................................................................................. 62
5.4 Os resultados da aplicação do questionário piloto ..................................... 67
Capítulo 6 ............................................................................................................... 77
6 O Questionário ................................................................................................. 77
6.1 As questões ................................................................................................ 78
6.2 Análise dos dados coletados ...................................................................... 87
Capítulo 7 ............................................................................................................... 115
7 Conclusões ....................................................................................................... 115
Referências Bibliográficas ................................................................................. 120
Anexos .................................................................................................................... I
Anexo 1 – Questionário – Piloto ......................................................................... I
Anexo 2 – O Questionário ................................................................................... Iv
Anexo 3 – Termo de Compromisso ..................................................................... Viii
Anexo 4 – Ementa das disciplinas de Cálculo II do Curso de Licenciatura de
Matemática e Ciências da Computação ............................................ Ix
L
ista de Tabelas e Quadros
Tabela 1 – As seis fases da dialética ferramenta-objeto .......................................... 54
Quadro 1 – Tabulação dos resultados da Questão 1 ............................................... 88
Quadro 2 – Tabulação dos resultados da Questão 2 ............................................... 93
Quadro 3 – Tabulação dos resultados da Questão 3 ............................................... 98
Quadro 4 – Tabulação dos resultados da Questão 4 ............................................... 100
Quadro 5 – Tabulação dos resultados da Questão 5 ............................................... 102
Quadro 6 – Tabulação dos resultados da Questão 6 ............................................... 106
Quadro 7 – Tabulação dos resultados da Questão 7 ............................................... 111
L
ista de Figuras
Figura 1 – Índice de reprovação nas “Disciplinas - problema” na UNICAMP, USP
e UNESP entre 1993 e 1996 ................................................................... 18
Figura 2 – Porcentual de reprovação (1995/1996) – UNESP .................................. 19
Figura 3 – Região entre Arco e Corda de uma Parábola ......................................... 26
Figura 4 – Curva velocidade-tempo ......................................................................... 28
Figura 5 – Gráfico espaço percorrido e tempo ......................................................... 29
Figura 6 – O método de Barrow para a determinação de tangentes à curva .......... 31
Figura 7 – Representação da demonstração de Barrow I ........................................ 33
Figura 8 – Representação da demonstração de Barrow II ....................................... 34
Figura 9 – Representação do método proposto por Newton ................................... 37
Figura 10 – Representação da demonstração de Pascal ........................................ 41
Figura 11 – Representação exemplificada da idéia de Leibniz para a criação do
Cálculo ("triângulo característico") ........................................................ 42
Figura 12 – Representação da idéia apresentada por Leibniz para o Cálculo
Integral ................................................................................................... 42
Figura 13 – A integral como função do limite superior de integração ...................... 46
Figura 14 – Estudo piloto - Questão 1a - Produção da dupla de alunos A .............. 67
Figura 15 – Estudo piloto - Questão 1a - Produção da dupla de alunos B .............. 68
Figura 16 – Estudo piloto - Questão 1b - Produção da dupla de alunos A .............. 68
Figura 17 – Estudo piloto - Questão 1b - Produção da dupla de alunos B .............. 69
Figura 18 – Estudo piloto - Questão 2c - Produção da dupla de alunos A .............. 70
Figura 19 – Estudo piloto - Questão 2c - Produção da dupla de alunos C .............. 70
Figura 20 – Estudo piloto - Questão 3 - Produção da dupla A ................................. 72
Figura 21 – Estudo piloto - Questão 3 - Produção da dupla A ................................. 72
Figura 22 – Estudo piloto - Questão 4 - Produção da dupla de alunos A ................ 74
Figura 23 – Estudo piloto - Questão 4 - Produção da dupla de alunos B ................ 75
Figura 24 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A7 ................................... 89
Figura 25 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A11 ................................. 90
Figura 26 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A12 ................................. 90
Figura 27 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A13 ................................. 91
Figura 28 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A10 ................................. 91
Figura 29 – Questão 1 c - Produção da dupla de alunos A1 ................................... 92
Figura 30 – Questão 2 - Produção da dupla de alunos A1 ...................................... 95
Figura 31 – Questão 2 – item b) Produção da dupla de alunos A1 ........................ 95
Figura 32 – Questão 2 - Produção da dupla de alunos A4 ...................................... 96
Figura 33 – Questão 2 - Produção da dupla de alunos A1 ...................................... 96
Figura 34 – Questão 2 - Produção da dupla de alunos A3 ...................................... 96
Figura 35 – Questão 4 - Produção da dupla de alunos A12 .................................... 101
Figura 36 – Questão 5 - Produção da dupla de alunos A12 .................................... 104
Figura 37 – Questão 5 - Produção da dupla de alunos A2 ...................................... 105
Figura 38 – Questão 6 - Produção da dupla de alunos A5 ...................................... 107
Figura 39 – Questão 6 - Produção da dupla de alunos A2 ...................................... 108
Figura 40 – Questão 6 - Produção da dupla de alunos A4 ...................................... 109
Figura 41 – Questão 7 - Produção da dupla de alunos A2 ...................................... 112
Figura 42 – Questão 7- Produção da dupla de alunos A4 ..................................... 113
Figura 43 – Questão 8 - Produção da dupla de alunos A13 .................................... 114
12
C
apítulo 1
1 APRESENTAÇÃO
Não há passado, presente e futuro. Só há presente.
O presente do passado chama-se memória.
O presente do presente chama-se visão.
O presente do futuro chama-se espera.
(Santo Agostinho)
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) traduz a idéia central do
Cálculo Diferencial e Integral (CDI), e suas origens remontam aos trabalhos de
Newton e Leibinz do final do século XVII. Em muitos manuais encontra-se a
afirmação de que o CDI foi inventado por eles, mas esta afirmação pode ser
considerada um pouco simplista.
Courant (2000) afirma que:
“O Cálculo é produto de uma longa evolução que não foi
iniciada nem concluída por Newton e Leibniz, porém ambos
desempenharam papel decisivo em sua construção. Havia na
Europa do século XVII, em sua maior parte fora das escolas,
um grupo de cientistas ativos que se empenhava em dar
continuidade aos trabalhos já realizados por Galileu e Kepler.
Por meio de correspondências e de viagens, esses homens
mantinham entre si estreito contato”. (Courant, citado por Hsia,
2006, p. 11).
Segundo o autor, dois problemas chamavam a atenção de Newton e
Leibniz: a questão de determinar as retas tangentes a uma curva e o problema
da quadratura, a saber, a questão de determinar a área da região delimitada
por uma curva.
13
O grande mérito deles foi o fato de terem identificado a estreita relação
entre estes dois problemas. Cada um utilizando métodos próprios conseguiu
tratar de maneira unificada essas duas grandes questões, o que resultou no
que hoje é conhecido por Teorema Fundamental do Cálculo.
O ensino de CDI tem sido bastante discutido em diversas pesquisas
realizadas no campo da Educação Matemática e uma das principais
justificativas para tal discussão são as dificuldades de aprendizado e o elevado
percentual de reprovações observado nessa disciplina. Vários trabalhos têm
sido feitos procurando caracterizar as concepções que os alunos retêm quando
estudam o TFC relativamente a conceitos básicos, tais como: função,
continuidade, diferenciação e integração, além da inter-relação entre estes dois
últimos conceitos.
Este trabalho tem por objetivo investigar os conhecimentos que são
mobilizados pelos alunos, que cursaram anteriormente a disciplina CDI, quanto
à inter-relação entre a diferenciação e a integração. E tem sua fundamentação
nos pressupostos teóricos contidos na dialética ferramenta-objeto, no jogo de
quadros de Douady (1987) e na pesquisa de Segadas (1998).
Ele se insere no contexto de um conjunto de pesquisas que estão sendo
realizadas pelo Grupo de Pesquisa G2, intitulado “Matemática do Ensino
Superior: Didática do Ensino do Cálculo“ que tem por finalidade; compreender
os fenômenos ligados ao ensino/aprendizagem da Matemática, as relações
entre os saberes científicos e escolares, e a constituição histórico-cultural da
Matemática.
Há nesse Grupo, dois outros colegas que desenvolvem pesquisas
referentes ao Teorema Fundamental do Cálculo. Uma aborda as
representações de professores sobre o TFC, e a outra o tratamento dado ao
TFC em livros didáticos.
O nosso interesse pelo tema do TFC nasceu em sintonia com os
trabalhos do Grupo e a direção voltada para a investigação sobre os
conhecimentos mobilizados por estudantes seria complementar aos dois outros
trabalhos.
A escolha do público alvo recaiu nos estudantes que já haviam
estudado o Teorema Fundamental do Cálculo, em um curso regular de Cálculo.
14
O trabalho se constituiu na elaboração, aplicação e análise dos
resultados de um questionário, preparado à luz do quadro teórico de Douady,
voltado ao aprendizado do TFC. Inicialmente elaboramos um questionário
piloto com quatro questões envolvendo cálculo de integral e interpretação do
significado geométrico da noção de integral.
Num primeiro momento aplicamos o questionário-piloto a estudantes da
disciplina CDI II do curso de Ciência da Computação, ministrado em uma
instituição particular na cidade de São Paulo.
Ao aplicamos o questionário piloto, percebemos que os alunos não
tinham recebido no referido curso, um conteúdo relativo ao TFC que
desejávamos explorar em nossa pesquisa, em razão da menor carga horária
prevista para esta disciplina neste curso
1
.
Notamos, a partir da análise das resoluções das questões do
questionário piloto que os alunos tiveram dificuldades em identificar as funções
a partir dos gráficos de funções, e quais eram os papéis das variáveis na
definição da função. Por isso decidimos reestruturar o questionário para sua
aplicação definitiva, incluindo novas questões a iniciais explorando a relação
entre a integral e a área da região plana sob o gráfico da função integranda, na
tentativa de explorar tais dificuldades e dar subsídios para a comparação entre
os gráficos, e incluir uma questão “aberta” para investigar como os alunos
interpretam o enunciado do TFC, na criação de um exemplo de função que
satisfaça as condições do Teorema.
O questionário reestruturado, incluindo as novas questões foi aplicado a
estudantes do curso de Licenciatura em Matemática da mesma instituição, que
já tinham estudado os conteúdos relativos ao TFC. Nesse curso, o conteúdo da
disciplina CDI é ministrado de forma mais aprofundada, em razão da maior
carga horária prevista para a disciplina e pela natureza do curso.
O trabalho é apresentado em sete capítulos:
Neste primeiro capítulo estão apresentados o problema, os objetivos, o
modo como se realizou a pesquisa.
__________________
1
Ementa do curso no anexo 4
15
No capítulo dois apresentamos a problemática, relativa às dificuldades
observadas no aprendizado do CDI e o elevado índice de repetência nessa
disciplina, e o problema da pesquisa.
No capítulo três incluímos comentários sobre os aspectos históricos
relativos ao desenvolvimento do TFC e as operações centrais do Teorema
Fundamental do Cálculo.
No capítulo quatro fazemos explanações a respeito dos pressupostos
teóricos contidos na dialética ferramenta-objeto, bem como no jogo de quadros
de Douady.
No capítulo cinco registramos os procedimentos metodológicos, os
sujeitos da pesquisa, o ambiente no qual o questionário definitivo foi aplicado,
como o questionário-piloto foi elaborado, aplicado, e analisado, bem como os
resultados obtidos dele.
No capítulo seis apresentamos o questionário da pesquisa propriamente
dito, como foi elaborado e a análise dos resultados obtidos.
No capítulo sete são apresentadas as conclusões da pesquisa.
16
C
apítulo 2
2 INTRODUÇÃO
O desenvolvimento do Cálculo seguiu um longo percurso iniciado cerca
de três séculos antes de Cristo com os antigos gregos. O Cálculo atingiu
importante estágio de desenvolvimento por volta da segunda metade do século
XVII, quando derivada e integral foram relacionadas uma com a outra,
associação esta que fica determinada pelo “Teorema Fundamental do Cálculo”.
As raízes do Cálculo vêm dos estudos e trabalhos do grego Eudoxo,
apresentados em seu trabalho “Os Rudimentos da Exaustão” e tornaram-se
muito mais efetivas com Arquimedes, que pelo "método mecânico" aperfeiçoou
o método de exaustão de Eudoxo, na questão de quadratura.
No século XVII, os métodos e modelos utilizados nos trabalhos de Isaac
Newton e Gottfried Leibniz estabeleceram a estrutura unificada e organizada do
Cálculo Diferencial e Integral.
Após o século XVII, com a algoritmização dos processos de derivação e
integração, os matemáticos conseguiram se libertar do modelo geométrico e
passar a usar formas algébricas. "Assim, do século XVII em diante, o modelo
geométrico de curvas, tangente e quadratura foi gradualmente substituído pelo
modelo analítico de função, derivada e integral"
(BARON, 1985, p. 3, unidade 1).
As noções de Derivada e Integral são os conceitos principais contidos no
Cálculo. “A Derivada está ligada à interpretação da inclinação de uma reta
tangente ao gráfico de função e as taxas de variação” (LEITHOLD, 1994, p.
138) que têm aplicação na Física, por exemplo, a velocidade no movimento
retilíneo é definida em termos de uma derivada. A Integral refere-se à soma de
17
infinitésimos, e tem aplicação em estudos de áreas, volumes, comprimentos,
cálculo de trabalho, de massa, etc.
Esses problemas, que podem se referir tanto a questões relativas à
construção de tangentes a curvas como também a questões de quadraturas,
aparecem, por exemplo, na Medicina, que emprega o cálculo infinitesimal para
determinar taxa de crescimento de bactérias e avaliar tamanhos de nódulos; na
Física, que o usa na solução de problemas relacionados aos fenômenos
mensuráveis como os relacionados com calor, luz, som, gravitação,
magnetismo, eletricidade etc.; e em outras ciências, como a Geometria, a
Biologia, e a Engenharia.
Comentários mais aprofundados sobre os aspectos históricos relativos
ao desenvolvimento do TFC e suas operações centrais são apresentados no
capítulo 3.
2.1 As dificuldades no aprendizado do Cálculo
Muitas são as pesquisas existentes que tratam das dificuldades
observadas na aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral, disciplina
básica e obrigatória em diversos cursos de graduação por tratar de conceitos
aplicáveis em muitos campos do saber.
Essas pesquisas abordam o problema sob diversos ângulos,
perspectivas e contextos e cada uma delas oferece sempre mais e mais
elementos que permitem a ampliação da análise das dificuldades detectadas
no aprendizado pelos alunos, as quais incorrem em altos índices de abandonos
e repetências.
Celestino (2000, p. 12) relata que uma equipe da Universidade de
Campinas (UNICAMP) realizou uma pesquisa com alunos entre o primeiro
semestre de 1993 e o primeiro semestre de 1996 para identificar as
“disciplinas-problema” e seus índices de reprovação em três universidades
públicas (UNICAMP - Universidade de Campinas, USP – Universidade de São
Paulo e UNESP – Universidade do Estado de São Paulo). Dentre as 15
18
“disciplinas-problema” identificadas destacaram-se Cálculo, Álgebra Linear e
Geometria Analítica.
As figuras 1 e 2 apresentadas por ele e mostradas a seguir, reproduzem
os resultados do desempenho dos alunos nessas disciplinas. O Cálculo
aparece como o detentor de um dos maiores índices de reprovação em vários
cursos na área de Ciências Exatas.
A Figura 1 retrata o índice médio de reprovação no período citado e é
composta por três blocos: um para a disciplina Álgebra Linear, outro para
Cálculo I, II e III e o último para Geometria Analítica e Vetores. Cada um
desses blocos apresenta três colunas com as porcentagens relativas a cada
uma das universidades pesquisadas. No bloco correspondente às disciplinas
Cálculo I, II e III, os pesquisadores informam que os dados referem-se à média
da porcentagem de reprovação, o que pode não dar uma idéia precisa do
índice nos diferentes cursos.
Figura 1 - Índice de reprovação nas “Disciplinas-problema” na UNICAMP, USP e UNESP entre
1993 e 1996.
Comparativo do índice de reprovação nas "Disciplinas Problema" entre
Unicamp, USP e UNESP (#) (1ºSem93 - 1ºSem96)
0%
25%
50%
Álgebra
Linear
(*)
Cálculo
I, II e III
G.A. e
Vetores
Disciplinas-problema
Índice de Reprovação
UNICAMP
USP
UNESP(#)
(*) Média das porcentagens fornecidas (#) Média entre as Faculdades (1995/96)
Fonte: Celestino (2000, p. 12).
A Figura 2 mostra a incidência de reprovações nas três disciplinas entre
os anos de 1995 e 1996, em diversos cursos da UNESP. Nela se vê, por
exemplo, que o índice de reprovação da disciplina Cálculo, no curso de
Estatística, é de aproximadamente 70%, enquanto que no curso de Engenharia
Elétrica é de pouco mais de 20%.
19
Figura 2 - Porcentual de reprovação (1995/1996) – UNESP.
Fonte: Celestino (2000, p. 12).
Com essa pesquisa pretende-se alertar que as reprovações nestas
disciplinas acabam retendo os alunos, uma, duas, três e até mais vezes, o que
é um problema para a Universidade já que tem impacto, por exemplo, na
necessidade de se disponibilizar professores para os alunos retidos e geram
retardo na formatura das turmas.
Malta (2003), em seu artigo “Linguagem, Leitura e Matemática”, afirma
que durante alguns anos os professores acreditaram que o grande número de
reprovações na disciplina CDI era causado exclusivamente pela deterioração
do ensino pré-universitário, especificamente do ensino médio, e que a solução
do problema só poderia advir de uma ação neste segmento de ensino.
20
Ainda, segundo a autora, este quadro mudou. Hoje prepondera a
convicção de que as reprovações não são causadas somente pela ineficiência
do ensino fundamental e médio, mas também pelo contexto social, político e
cultural, em que a universidade exerce um papel extremamente importante.
Avalia que as questões referentes às dificuldades de aprendizado não se
encerram apenas no ensino pré-universitário e enfatiza que muito se tem
refletido, discutido e pesquisado sobre a questão das dificuldades do
aprendizado da Matemática nas disciplinas básicas dos cursos universitários
na área de Ciências Exatas.
Barufi (1999) procura investigar as dificuldades encontradas no ensino
do Cálculo nos cursos iniciais da universidade a partir dos livros didáticos, por
esses constituírem um elemento sempre presente na sala de aula. Sua análise
enfocou a negociação de significados, visando esclarecer em que medida a
abordagem do CDI nos livros e nas aulas é uma simples revelação ou uma
construção significativa de conceitos e idéias. Nesse trabalho, a autora discute
ainda o papel fundamental do professor na sala de aula, tendo o computador
como aliado potencial e instrumento facilitador, que abre novos horizontes para
o ensino ao possibilitar o estabelecimento de múltiplas relações e negociações
de significados. A análise dos livros selecionados por ela mostrou que a
dificuldade não está na falta de bons livros, apesar de vários deles não partirem
de situações problemas (eles demonstram que o Cálculo tem aplicações em
diferentes áreas do conhecimento).
Leme (2003), na sua dissertação de mestrado “Aspectos processuais e
estruturais da noção de derivada”, pretendeu buscar as possíveis causas das
dificuldades na compreensão conceitual da noção de derivada. Ele utiliza os
pressupostos teóricos de Sfard sobre as concepções operacional e estrutural
de uma noção matemática. A pesquisa foi feita por meio da análise de alguns
livros didáticos a partir de critérios relacionados com a abordagem dessa
disciplina nesses livros. Concluiu que a diversidade de causas geradoras de
dificuldades para a compreensão da noção de derivada é tão grande que se
torna difícil focá-las.
Na disciplina CDI, o Teorema Fundamental do Cálculo apresenta
dificuldades inerentes à sua aprendizagem. Procuramos algumas pesquisas
21
para ilustrar este ponto e encontramos quatro estudos que focaram
especificamente o aprendizado do TFC.
Tall (1991) discute aspectos formais ligados ao TFC. A importância
particular dessa pesquisa são suas idéias sobre o significado da diferenciação
e da integração, levantadas com um programa de computação gráfica que
ajudará no entendimento do TFC e na compreensão do conceito de
continuidade de uma função.
Thompson (1994) trabalhou em uma experiência de ensino com 19
estudantes de Matemática. Ele explorou com esses estudantes situações-
problema tais como problemas de comparações entre velocidade e distância e
volumes e superfícies. O pesquisador enfatiza que a compreensão destas
noções é essencial para que os estudantes compreendam
)x(F
c
como uma
taxa de variação. Também atribui algumas dificuldades que os estudantes
tiveram com o TFC às noções de: razão de acumulação, taxa de variação e
taxa de acumulação, bem como a outros problemas como a imagem de uma
função.
Evidências de dificuldades no aprendizado do conceito de função foram
encontradas também por Thomas (1995), que acompanhou o progresso de 27
estudantes não graduados em Ciências, Engenharia e Matemática em um
curso não tradicional de Cálculo, em que os estudantes, divididos em grupos,
usaram computadores. Ele seguiu um dos grupos de perto e ao final
entrevistou três estudantes desse grupo e três de outros. A linguagem de
computação usada em sua pesquisa foi ISETL (Interative Set Language), e o
sistema de computação de álgebra, Maple V.
Seu objetivo era examinar como esses estudantes aprenderam o TFC e
como o uso dos computadores afetaria a aprendizagem. Além de citar
dificuldades relativas ao conceito de função, a autora também discutiu o que
chamou de “uma concepção fundamental equivocada”, que é a dificuldade dos
estudantes em usar variáveis no TFC (o papel de cada variável na função). Ela
atribuiu isso à maneira como os estudantes construíram o esquema das
funções, que não incluiu diferentes tipos como as definidas por integrais.
22
Segadas (1998), em sua tese de doutorado “Students’ Understanding of
the Fundamental Theorem of Calculus: An exploration of definitions, theorems
and Visual Imagery”, tem como alvo investigar a compreensão do TFC pelos
estudantes. O TFC foi escolhido por ser considerado um dos tópicos mais
importantes ensinados no Cálculo, uma vez que estabelece a ligação entre os
conceitos de derivação e de integração. Suas investigações são relevantes
para tentarmos entender os fenômenos que interferem na aprendizagem da
Matemática a fim de que possamos repensar o ensino e compreender as
causas das dificuldades dos alunos.
Entre os vários resultados obtidos por ela, foi identificado que o emprego
de imagens gráficas não é tão eficiente, pois são utilizados durante o curso
para ilustrar conceitos na forma de exemplos de casos em que uma dada
definição aplica-se ou não. Pouco uso se faz deles como facilitadores na
resolução de alguns problemas e auxiliares efetivos na compreensão de uma
definição ou teorema.
Pela aplicação de um teste e de entrevistas, com e sem o uso do
computador, a autora verificou que a maioria dos estudantes apresentou
dificuldades para solucionar problemas em que a simples visualização de um
gráfico evitaria o uso de longos algoritmos. A razão disso foi atribuída às
dificuldades na apresentação de gráficos, que sempre aparecem de forma
estática e não dinâmica. Algumas sugestões foram apresentadas no sentido de
reverter a situação, incluindo atividades com o uso do computador.
2.2 O problema de pesquisa
Escolhemos investigar os conhecimentos que os alunos retêm após o
aprendizado do TFC, levando-se em conta sua importância e sua função de
relação entre os conceitos de derivação e de integração.
Em nossa atividade como professora de Cálculo, em cursos de
graduação da área de Ciências da Computação e Sistemas de Informação,
constatamos que os alunos apresentavam dificuldades de aprendizagem, em
particular na compreensão do significado do TFC e entendimento dos seus
23
conceitos fundamentais: derivada, integral, continuidade. E nos deparamos
com alto índice de reprovação nessa disciplina.
Interessou-nos então investigar os conhecimentos mobilizados pelo
aluno que já havia cursado a disciplina CDI, tendo, portanto tido contato
anterior com os conteúdos referentes ao TFC, cujo enunciado é:
“Se uma função integrável
>@
ob,a:f possui uma primitiva,
>@
ob,a:F , então
³
b
a
)a(F)b(Fdx)x(f ”.
Nessa perspectiva pretendemos levantar os conhecimentos retidos pelos
alunos e verificarmos se eles identificam que:
A derivada da integral é a função integranda;
A integral (indefinida) da derivada de uma função é a própria função;
A integral de uma função resulta do cálculo da diferença entre o valor de
uma primitiva dessa função no limite superior e o valor no limite inferior de
integração;
A derivação e integração são operações inversas.
Desejamos ainda verificar como os alunos manipulam conceitos
relacionados ao TFC, como a continuidade e a integrabilidade.
Para atingir esses objetivos elaboramos e aplicamos um questionário a
alunos do Curso de Licenciatura em Matemática de uma Universidade
particular de São Paulo. A análise das respostas às questões tem como base
as fases da dialética ferramenta-objeto, a interação entre domínios de Douady
(1987) e a pesquisa realizada por Segadas (1998) sobre o Teorema
Fundamental do Cálculo em sua tese de doutorado.
No capítulo quatro tratamos dos pressupostos teóricos de Douady.
24
C
apítulo 3
3 DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO
CÁLCULO
Neste capítulo, procuramos apresentar informações sobre o
desenvolvimento histórico do Cálculo Integral e Diferencial e, em particular, do
TFC.
O Cálculo Diferencial e Integral é um ramo da Matemática que estuda
movimentos, variações, aproximações e quadraturas, e cuja origem se
encontra na busca de solução de dois problemas fundamentais: o cálculo de
áreas e volumes e o traçado de tangentes a curvas. Ou seja, ele trata dos
processos de integração e derivação.
A conexão existente entre os problemas da integração e da
diferenciação é a idéia fundamental de todo o Cálculo Diferencial e Integral.
Dois grandes gênios do século XVII, Newton e Leibniz, impulsionaram o
desenvolvimento do Cálculo, fazendo suas descobertas independentemente
um do outro. Em 1687, Newton publica o “Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica”. Paralelamente, Leibniz trabalhava e divulgava seus resultados
em seu periódico “Acta Eruditoruim”.
Conquanto Newton, nas suas investigações, possa ter enunciado seus
conceitos de forma mais clara, a notação e os métodos de cálculo de Leibniz
foram desenvolvidos de modo mais perfeito, constituindo, ainda hoje,
elementos indispensáveis na teoria.
25
3.1 De Arquimedes a Newton e Leibniz
As idéias principais que formam a base do Cálculo foram acontecendo
ao longo de vários séculos.
Os gregos antigos deram os primeiros passos e desenvolveram métodos
de aproximação para o cálculo de áreas e volumes.
Dos gregos até o século XVII, muito pouco progresso foi feito no que
tange à determinação de áreas e volumes. É nessa época que aparecem a
necessidade e o uso prático do Cálculo na análise estática, dinâmica e
termodinâmica das máquinas industriais, das quais eram solicitadas a cada dia
mais e mais potência e velocidade. Desde então, o Cálculo Infinitesimal não
parou de se desenvolver e de ter novas aplicações, passando a ser
imprescindível a muitos cientistas.
Palaro (2006, p. 83) considera que a fase que antecede a Newton e
Leibniz é chamada de período pré-histórico do Cálculo. Foi a época da
evolução dos problemas relacionados a questões de quadraturas e de
determinação de retas tangentes.
3.1.1 Arquimedes (287-212 a.C.)
Arquimedes entre outras descobertas, estabeleceu a quadratura da
parábola, isto é, determinou a área da região compreendida por um arco de
parábola e uma reta secante por meio das somas de áreas de infinitos
triângulos inscritos na região. Ele obteve o valor da soma infinita ao observar
que, conforme n (número de termos) crescia as somas (finitas) dos n primeiro
termos aproximavam-se de um valor limite. Utilizou, também, outra
demonstração de cunho geométrico, mostrando que a área do segmento de
parábola é igual a
3
4
da área do triângulo cuja base é a corda que liga os
extremos de arco e altura igual à da parábola.
Tratava-se de calcular a área da região entre o arco BA’ AA’’C e a corda
BC.
26
Figura 3 - Região entre Arco e Corda de uma Parábola.
Fonte: Kline (1998, p. 231 apud Vidigal, p. 31).
Para tanto, primeiro construiu o triângulo ABC com ponto A escolhido de
forma que a tangente à parábola em A seja paralela à corda BC. A área desse
triângulo é a primeira aproximação do segmento em questão. Para obter uma
região cuja área estivesse mais próxima ao segmento da parábola, ele
adicionou as áreas dos triângulos AA’’C e AA’B. Para obter a terceira
aproximação, inscreveu triângulos em cada uma das outras quatro regiões
ainda não incluídas – a região delimitada pelo arco A’B e a corda A’B é uma
delas – e assim a terceira aproximação é a soma dos triângulos ABC, AA’B,
AA’’C e dos novos quatro triângulos.
Kline (1998, p. 231, apud Vidigal, 2007, p. 32) registra que “observando
a tendência dessas aproximações, Arquimedes mostra que a área do
segmento parabólico é 4/3 da área do triângulo ABC”.
No prefácio do livro “O Método” (Carta a Erastóstenes), Arquimedes
explica:
“Enunciarei o primeiro teorema que descobri por métodos
mecânicos, isto é: qualquer segmento de parábola é quatro
terços do triângulo com a mesma base e igual altura.” (ÁVILA,
1986, p. 32 apud Vidigal, 2007, p. 32).
27
E, conforme Kline:
“Outros resultados sobre áreas foram obtidos por Arquimedes.
Entretanto, cada um deles tocava no problema de requerer um
conjunto de aproximações de figuras especificas. Devemos
considerar que o problema maior dos gregos seria o de lhes
faltar os nossos processos de álgebra e geometria analítica
assim como conceito de limite”. (KLINE, 1998, p. 231 apud
VIDIGAL, 2007, p. 32)
Um longo período se passou entre as idéias de Arquimedes e as
próximas contribuições para o desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal, que
ocorreram no século XVI e, mais efetivamente no século XVIII.
3.1.2 Torricelli (1608-1647)
Evangelista Torricelli nasceu perto de Faenza e morreu em Florença, em
1647. Dentre suas realizações, apresentou dois métodos de cálculo para a
área da região limitada por uma ciclóide. Em um, usou o método dos
indivisíveis de Cavalieri
2
(1598-1647); no outro, o método da exaustão de
Arquimedes-Eudoxo
3
(séculos III e IV a.C.). Para construir a tangente à ciclóide
em um ponto genérico da mesma, empregou o método de composição de
movimentos
4
já usado por Galileu (1564-1643) e Descartes (1596-1650), dentre
outros. Estes resultados foram apresentados por Torricelli em “De parabole”
publicada em 1644 (BOYER, 1974, p. 260).
Ao considerar as investigações medievais e o trabalho de Galileu em
que o movimento de um ponto, ao longo de uma reta com velocidade variando,
é representado por um gráfico que relaciona velocidade e tempo, e a distância
total percorrida pelo ponto é representada pela área sob tal gráfico. A
__________________
2
Cavalieri considerava que uma figura geométrica é composta de um número infinitamente grande de
indivisíveis. Assim, uma superfície plana é formada de uma infinidade de segmentos de reta paralelos e
um sólido formado por uma infinidade de secções planas paralelas. No entanto, não deixou claro se
essas unidades indivisíveis tinham ou não espessura. (EDWARDS JR, 1979, p. 104).
3
O sistema Eudoxiano consiste de um determinado número de esferas de raios iguais em rotação, com
eixos passando pelo centro da Terra. "Cada eixo de rotação, por sua vez, também se rotaciona através
de pontos fixos em outra esfera em rotação, gerando assim uma composição de movimentos”.
Disponível: http://www.ime.unicamp.br/~calculo/modulos/history/eudoxo/eudoxo.html. Acesso em: 01
Maio 2006.
4
Se de uma grandeza qualquer subtraímos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente
subtrai-se não “menos que a metade e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará
uma grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie.” (BOYER, 1974, p. 67)
.
28
abordagem de Cavalieri de que uma área da região pode ser pensada como
sendo formada por segmentos ou "indivisíveis”, Torricelli acabou relacionando
tangentes e quadraturas. Conforme descreve EDWARDS JR (1979, p. 138-
139), em linguagem atual, o raciocínio de Torricelli é resumido no gráfico que
se segue:
Figura 4 - Curva velocidade-tempo.
Fonte: Edwards Jr (1979, p. 138).
a) Considerando um ponto em movimento, a distância total percorrida
pelo ponto é dada pela área da região sob a curva velocidade-tempo, pois a
distância percorrida durante um elemento infinitesimal de tempo é igual ao
produto deste elemento tempo pela velocidade instantânea (figura 4). Se, por
exemplo, o ponto inicia seu movimento no tempo
0t e sua velocidade é
n
tv num tempo t, então a distância y percorrida é dada pela área sob a
curva
n
tv , ou seja,
.
1n
t
y
1n
(1)
b) O mesmo movimento pode ser representado, também, por um gráfico
que relaciona espaço percorrido e tempo. Considerando que o ponto
movimente-se ao longo de uma curva
)t(yy com duas componentes de
velocidade - uma velocidade horizontal 1(um) (considerada uniforme de forma
que a distância horizontal possa ser considerada como medida do tempo) e
uma velocidade vertical v (do ponto cujo movimento está representado na
figura 4) -,
o vetor velocidade desse ponto é a resultante de um vetor horizontal de
29
comprimento 1(um) e um vetor vertical de comprimento v (figura 5). Assim, a
inclinação da reta tangente à curva )t(yy em cada ponto é a velocidade v.
Considerando, como no exemplo, que a distância percorrida por um ponto no
tempo é dada pela equação (1), então a velocidade é dada por
n
tv (2) que é
a inclinação da reta tangente à curva
.
1n
t
y
1n
Figura 5 - Gráfico espaço percorrido e tempo.
Fonte: Edwards Jr., (1979, p. 139)
Em resumo:
a) a área da região sob a curva
n
xy de 0 a x é
1n
x
1n
b) a curva y =
1n
x
1n
tem inclinação
n
x
.
Torricelli percebeu, pelo menos de forma intuitiva, a relação inversa
entre as equações (1) e (2). Ou seja, a relação entre os problemas das
quadraturas e das tangentes.
A relação inversa percebida em que a inclinação da reta tangente à curva
)t(yy que representa a área (figura 4) é igual à ordenada de um ponto da curva
30
original )t(vv corresponde a uma primeira formulação do TFC, que diz que a
taxa de variação da área sob uma curva é igual à sua ordenada. Esse fato
marca o início do desenvolvimento de um cálculo algorítmico (EDWARDS JR,
1979, p. 139).
Na opinião de Boyer (1974, p. 261-262), se Torricelli tivesse vivido mais,
é possível que se tornasse o inventor do Cálculo. Segundo Baron (1985, v. 2,
p. 42), quando Torricelli morreu, a maior parte de seus trabalhos ainda não
havia sido publicada, mas muitas de suas idéias foram transmitidas por seu
discípulo Stefano degli Angeli (1623-1697) a Issac Barrow e James Gregori.
3.1.3 Gregory (1638-1675)
James Gregory, matemático escocês foi um dos predecessores de
Newton e morreu ainda jovem, com apenas trinta e seis anos de idade. Em
1663, foi para a Itália onde estudou vários anos com Stefano degli Angeli, com
quem aprendeu os métodos italianos sobre indivisíveis (BOYER, 1974, p. 282).
Ainda na Itália, publicou, nos anos de 1667 e 1668, as obras “Vera circuli et
hyperbolae quadratura” e “Geometriae pars universalis” (BARON, 1985, v. 2, p.
42).
Na primeira, apresentou muitos resultados importantes referentes à
Análise Infinitesimal e procurou generalizar o algoritmo de Arquimedes “Método
da Exaustão”, aplicando-o na quadratura de elipses e hipérboles (BOYER,
1974, p. 282).
Na segunda, de caráter essencialmente geométrico com difícil
entendimento, apresentou uma primeira exposição sistemática, contendo
operações para a determinação de arco, tangente, área e volume, presentes
em um trabalho de Cálculo Infinitesimal (BARON, 1985, v. 2, p. 43-44).
Segundo Boyer (1974, p. 282), se Gregory houvesse expressado sua
obra analiticamente, poderia ter-se antecipado a Newton na invenção do
Cálculo, pois conhecia virtualmente todos os elementos fundamentais.
31
Para Baron, Gregory tinha a clara compreensão da relação inversa entre
o problema de quadratura e de tangente, conhecido atualmente como TFC.
3.1.4 Barrow (1630-1677)
Isaac Barrow, contemporâneo de James Gregori, nasceu em Londres
em 1630 e morreu em Cambridge em 1677. Era considerado um conservador
em Matemática por não gostar do formalismo da Álgebra. Editou obras de
Euclides, Apolônio e Arquimedes e também publicou as suas próprias, como
“Lectiones opticae” em 1669 e “Lectiones geometriae” em 1670, ambas com a
ajuda de seu discípulo Newton (BOYER, 1974, p. 284). Newton, em
contrapartida, acabou se beneficiando com a forma usada por Barrow para
determinar áreas e tangentes a curvas.
O método de Barrow para a determinação de tangentes à curva, que se
baseia no chamado triângulo diferencial ou infinitesimal, foi um avanço
significativo no desenvolvimento do Cálculo, e muito se assemelha ao processo
moderno de diferenciação.
Figura 6 - O método de Barrow para a determinação de tangentes à curva.
Fonte: Eves (1995, p. 435).
32
Para construir a tangente à curva (Figura 6) no ponto P, Barrow,
conforme descrito por Eves (1995, p. 434-435), considerava T como sendo o
ponto de intersecção da tangente com o eixo das abscissas e marcava sobre a
curva um ponto Q infinitamente próximo de P.
Considerava, assim, os triângulos PTM e PQR semelhantes, donde:
TM
MP
QR
RP
e .
RP
QR
MPTM
Fazendo eQR e aRP , e indicando as coordenadas de
P
por
x
e
y e as coordenadas de Q por e
x
e a
y
, substituía
x
e y , na equação da
curva por
e
x
e ay , respectivamente. Desconsiderava todas as potências
de
a e e de expoentes maiores que um, encontrando a razão
e
a
para pontos
infinitamente próximos, representando a inclinação da curva. Sendo
M um
ponto conhecido,
RP
QR
.MPOMTMOMOT
,
a
e
.yxOT
fornece as
coordenadas do ponto
T , o que possibilita traçar a tangente à curva, no ponto
P .
Conforme Boyer, Barrow gostava de pensar em grandezas geométricas
como sendo geradas por um fluxo uniforme de pontos, a maneira de Torricelli.
De acordo com Eves:
Apesar de indícios tênues que apontam noutra direção, em
geral, considera-se que Barrow foi o primeiro a perceber, de
maneira plena, que a diferenciação e a integração são
operações inversas uma da outra (EVES, 1995, p. 435).
Na proposição 11, da lição X de sua obra “Lectiones geometriae”
publicada em 1670, Barrow faz a seguinte demonstração do que hoje é
conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo:
Seja qualquer curva ZGE, com eixo VD; suponhamos primeiro
que as ordenadas VZ, PG, DE perpendiculares a VD, cresçam
continuamente a partir do primeiro VZ. Seja a curva VIF tal que,
traçando-se qualquer reta EDF perpendicular a VD (que corta a
curva nos pontos E, F e VD em D), o retângulo sob DF e
qualquer reta dada R, pode ser respectivamente igual ao
espaço interceptado VDEZ; faça agora DE: DF:: R: DT, e trace
a reta TF: esta tocará a curva VlF.
33
Figura 7 - Representação da demonstração de Barrow I.
Fonte: Barrow apud Baron (1985, p. 45).
Tome qualquer ponto I na curva VIF (primeiro acima do ponto
F, em direção ao início V) e, através disto, trace as retas IG e
KL paralelas a VZ e VD, respectivamente, (cortando a curva
como o esquema), então LF: LK:: (DF: DT::) DE: R; então LF.
R=LK. DE. Mas (por superposição) LF. R é igual ao espaço
PDEG. Portanto LK. DE = PDEG<DP. DE. Daí LK<DP, ou
LK<LL”.
Novamente tome qualquer ponto I, abaixo do ponto F, e faça o
mesmo procedimento anterior. Então, por razões semelhantes,
parece que LK. DE = PDEG > DP. DE; portanto LK > DP, ou LI.
Donde se conclui que a reta inteira TKFK cai dentro (ou fora)
da curva VIFI.
As coisas continuam como antes se as ordenadas VZ, PG, DE
continuam a decrescer; a conclusão é que o raciocínio serão os
mesmos, com uma única diferença - é que a curva VIF é
côncova com relação ao eixo VD. (BARROW apud BARON,
1985, p. 45).
De acordo com Palaro (2006, p. 80-81) “A demonstração
apresentada por Barrow é baseada em curvas, tangentes e
quadraturas e não em uma notação pautada em coordenadas
cartesianas e notação funcional. Afinal, na época, não havia
nenhuma convenção para traçar eixos, este é um fato que
acaba dificultando a compreensão da demonstração. Uma das
características fundamentais inerentes à História da
Matemática é a necessidade incessante de adequação de
conceitos, métodos e maneiras de pensar e agir referentes ao
problema apresentado. Isto justifica o fato de que em busca de
facilitar a compreensão da demonstração apresentada por
Barrow faz-se necessário traduzir seus resultados e métodos a
uma linguagem algébrica e geométrica moderna”.
Edwards Jr. (1979, p. 139-140) descreve sucintamente a demonstração
de Barrow acima citada.
34
Figura 8 - Representação da demonstração de Barrow II.
Fonte: Edwards Jr. (1979, p. 140).
Para tanto, conforme ilustrado pela Figura 8, sugere que primeiro sejam
considerados por conveniência os eixos
y
e
z
com orientações opostas entre
si e perpendiculares ao eixo
x
. Seguindo o procedimento desenvolvido por
Barrow, considera dada uma função
)x(fy positiva e crescente. Denota-se,
então, pela função
)x(Az
, a área da região compreendida entre a curva
)x(fy e o segmento
>@
x,0 contido no eixo
x
. Sendo dado um ponto
)0,x(D
0
pertencente ao eixo
x
, T será um ponto, convenientemente
localizado também sobre o eixo
x, tal que
.
xf
xA
DE
DF
DT
0
0
Feitas estas
considerações, Barrow afirma que a reta TF toca a curva z = A(x) somente no
ponto
))x(A,x(F
00
. Para provar esta afirmação, considera um ponto
))A(x ,(x I
11
pertencente à curva A(x) z , tal que
01
x x e mostra que, neste
caso, o ponto K (intersecção da reta horizontal IL com a reta TF) localiza-se à
direita do ponto I. Levando em consideração a obtenção do ponto T, nota que
,DE
DT
DF
LK
LF
logo D
E
L
K
L
F
u ; observa, também, que
DE DP )A(x- )A(x PI- DF LF
10
u , pois f(x) y é uma função crescente.
Consequentemente,
D
E
D
P
D
E
L
K
uu , mostrando que D
P
L
K
, ou seja,
provando que o ponto K localiza-se à direita de I. Repetindo, então, o processo,
35
mostrando que para
01
x x ! , o ponto K localiza-se à esquerda de I, provando,
assim, que TF é tangente à curva
A(x) z , no ponto F.
Edwards Jr. (1979, p. 139) chama a atenção para o fato da inclinação da
reta TF ser
)x(f/)x(A
)x(A
DT
DF
00
0
; observa que Barrow apresentou uma prova de
que a reta TF é tangente à curva
A(x) z no sentido apresentado pelos antigos
gregos, ou seja, que a reta tangente a uma curva toca a mesma em um único
ponto. Conclui que se Barrow tivesse apresentado analiticamente a reta TF,
com inclinação
)(xA
0
c
propriamente definida, poderia ter chegado a
)f(x = )(xA
00
c
, ou seja, poderia ter formulado de modo explícito o Teorema
Fundamental do Cálculo.
3.1.5 Newton (1642-1727)
Isaac Newton nasceu na Inglaterra. Estudou Euclides, Schooten, Kepler,
Viète e Wallis e conheceu as obras de Galileu, Fermat, Huygens e outros. Sua
grande produção aconteceu nos anos 1665 e 1666, quando precisou se
recolher em sua aldeia natal, Woolsthorpe, em razão de uma peste.
Em 1669, Newton passou a ocupar a cátedra de seu mestre Issac
Barrow como professor em Cambridge. Relutava em divulgar suas
descobertas, mas em 1687, por insistência de alguns colegas, publicou seu
livro “Philosophiae naturalis principia mathematica”, considerada uma das
maiores obras científicas de todos os tempos.
Newton ligou dois problemas, o das séries infinitas e o das taxas de
variação, e chamou de “meu método” (“Methodus fluxionum et serieum
infinitorum”).
Suas primeiras descobertas [...] resultaram de saber exprimir
funções em termos de séries infinitas – a mesma coisa que
Gregory estava fazendo na Itália pela mesma época, embora
dificilmente Newton pudesse saber disso (BOYER, 1974, p.
287).
36
O método de Newton é descrito na resolução do problema de
determinação da tangente a uma curva dada por uma equação 0 y)f(x, , em
que denominava as variáveis
x e y respectivamente por fluentes, isto é,
grandezas que fluem com o passar do tempo; e, por fluxões, as taxas de
variação.
“O deslocamento de um ponto P sobre a curva pode ser
descrito em termo dos deslocamentos de suas projeções sobre
os eixos; e a velocidade de P é a composição das velocidades
de x e y, designadas pelos símbolos
o
x
e
o
y , chamados de
fluxões de
x e y, respectivamente. Durante um incremento
“infinitamente pequeno” de tempo, designado por “o”, os
deslocamentos
x e y sofrem incrementos “infinitesimais”
ox
o
e
oy
o
, respectivamente” (ÁVILA, 1993, p. 140).
Hsia (2006, p. 49) considera que neste aspecto o trabalho de Newton
tem por finalidade, dada a relação entre fluentes
y)f(x, , encontrar a relação
entre as fluxões que, na linguagem atual, significa determinar o declínio da reta
tangente no ponto P. Como exemplo ilustrativo, tomou a curva cúbica
0yaxyaxx)y,x(f
323
. Expandiu 0)yy,xx(f
00
e desprezou
os termos em que “0” aparece com expoente igual ou maior a dois e dividido
pelo infinitésimo “0” resulta
axy3
ayax2x3
x
y
2
2
R
R
, que, atualmente, corresponde
à
y
x
f
f
dx
dy
.
Este resultado é o teorema da função implícita quando
0=y)(x, f define
implicitamente
y como uma função diferencial de
x
, com 0f
x
z .
Ao desprezar os termos em que o zero aparece com expoente igual ou
maior que dois Newton apresenta noções embrionárias sobre limites,
retomando os infinitésimos (“infinitamente pequenos”).
Entre as numerosas aplicações do método, encontravam-se a
determinação dos máximos e mínimos, tangentes a curvas, curvaturas de
37
curvas, pontos de inflexão e concavidade de curvas e a determinação de
muitas quadraturas e retificações de curvas.
Segundo Newton,
“Chamando de fluxões os aumentos das velocidades dos
movimentos, e de fluentes às quantidades geradas esclareci
aos poucos (nos anos 1665 e 1666) o método das fluxões, que
aproveito aqui na Quadratura das curvas”.
As fluxões são semelhantes aos aumentos dos fluentes, os
quais são gerados em intervalos de tempos iguais, mas são
infinitamente pequenos; e para ser mais exato diria que estão
na primeira razão dos aumentos nascentes, mas podem ser
representados por quaisquer linhas proporcionais a elas. Se as
áreas ABC, ABDG forem descritas pelas ordenadas BC e BD,
que se movem uniformemente ao longo da base AB, então as
fluxões dessas áreas estarão entre si como as ordenadas BC e
BD que as descrevem e poderão ser representadas por
aquelas ordenadas; isto é, tais ordenadas estão na mesma
proporção que os aumentos nascentes das áreas”.
(Newton, citado por PALARO, 2006, p. 94).
Figura 9 - Representação do método proposto por Newton.
Fonte: Baron (1985, v. 3, p. 31)
Desse modo, Newton enunciou os problemas fundamentais do Cálculo:
a relação das quantidades fluentes é inversa à relação de suas fluxões. Esse
fato se traduz hoje pelo conhecido Teorema Fundamental do Cálculo que, em
termos da geometria, significa resolver o problema do cálculo da área sob uma
curva com o traçado de tangentes à curva.
38
Newton enuncia claramente os problemas fundamentais do Cálculo:
"Sendo dada a relação das quantidades fluentes, encontrar a relação de suas
fluxões e inversamente”. Com isso, cita que, ao considerar um ponto em
movimento, este é descrito dando a posição e a velocidade do ponto em
relação ao tempo. Chama a relação posição-tempo de fluente e a relação
velocidade-tempo de fluxão; qualquer uma das relações dada, a outra poderá
ser determinada. Além de descobrir o Teorema Fundamental do Cálculo, usa-o
para resolver problemas de cálculo de área (KATZ, 1998, p. 514).
Segundo Boyer (1974), os estudos de Newton não passaram
diretamente da forma do triângulo de Pascal ao teorema binomial, mas
indiretamente, partindo de um problema de quadratura para o teorema
binomial, percurso que lhe foi benéfico e permitiu verificar:
[...] que a análise por séries infinitas tinha a mesma
consistência interior, e estava sujeita às mesmas leis gerais,
que a álgebra de quantidades finitas [...], que as séries infinitas
eram outras formas das funções que representavam e não
deviam ser apenas consideradas como instrumento de
aproximação (BOYER,1974, p. 289).
Em sua publicação de 1711, “De analysi per aequationes numero
terminorum infinitas”, composta em 1669, baseada nas idéias obtidas em seu
glorioso período entre 1665 e 1666, Newton prova que a área sob a curva
n
m
axy é dada por
1
n
m
ax
1
n
m
.
Pela primeira vez uma área foi determinada pelo inverso do que
chamamos de diferenciação. Possivelmente, esse processo já fosse conhecido
por Barrow, Gregory e, talvez, Torricelli e Fermat.
Boyer (1974, p. 291) expressa que “Newton tornou-se o efetivo inventor
do Cálculo porque foi capaz de explorar a relação inversa entre inclinação e
área através de sua nova análise infinita”.
39
Assim, a partir desse momento, outros estudiosos não precisavam mais
evitar processos infinitos como faziam com freqüência os gregos, “pois esses
eram agora considerados como matemática legítima” (BOYER, 1974, p. 290).
Newton apresentou os fundamentos de seu Cálculo, em três momentos
diferentes, de forma tal que evidenciou sua constante busca de uma
fundamentação cada vez mais sólida e aprimorada que justificassem seus
métodos analíticos. Ele conseguiu mostrar que esses métodos eram aplicáveis
a um grande número de problemas com curvas algébricas simples, expressões
algébricas que envolvem raiz, seções cônicas e outras mais.
Newton formulou regras e procedimentos sistemáticos para cobrir as
soluções gerais da maioria dos problemas relacionados ao cálculo infinitesimal
que eram conhecidos no seu tempo.
Embora muitas dessas regras tivessem sido estabelecidas ou
introduzidas de uma ou de outra maneira pelos seus predecessores, ele
estabeleceu uma estrutura unificada e um quadro dentro do qual todos os
problemas podiam ser formulados.
Apesar de toda sua dedicação, as bases lógicas sobre as quais seu
cálculo estava calcado não foram convincentes e ainda causaram preocupação
e controvérsia que perduraram por mais de um século após sua morte.
Com Newton, a idéia de que a diferenciação e a integração eram
operações inversas foi firmemente estabelecida. Desde Arquimedes e durante
todo o século XVII, os procedimentos de integração eram baseados em somas
de um grande número de pequenas áreas.
Em seguida descrevemos uma pequena cronologia
5
de alguns estudos e
trabalhos de Isaac Newton, como também algumas de suas obras:
1663: Newton inicia seus estudos.
1664 (Final de): Estuda integral por indivisíveis (integral de Wallis).
__________________
5
O leitor encontrará um quadro cronológico mais completo em BARON, Newton e Leibniz, unidade 3, p.
11, 1985.
40
1664-1665: Trabalha na série Binomial. Encontra o método de séries infinitas.
Estuda o procedimento de retificação de arcos de Heuraet
(determinar o comprimento de arcos e curvas).
1665: Após estudo de retificação, Newton reconhece a natureza inversa entre
diferenciação e integração. Trabalha nas séries de expansão da integral.
Faz uma tabulação sistemática de derivadas e integrais em colunas
paralelas. Estuda um ensaio para resolver teoricamente equações
fluxionais simples.
1666: Elabora uma conjunção dessas idéias no primeiro tratado sobre fluxões,
chamado por ele de “método de fluxões”. Nesse quadro aparecem as
noções de movimento, proveniente do estudo com Barrow, e as séries
infinitas, que eram as ferramentas dos métodos sistemáticos de
integração.
1671: Publica o Tratado de Fluxões ‘Methodus Fluxionum et Serierum
Infinitarum’ (O método de fluxões e séries infinitas), cuja divulgação
aconteceria somente após sua morte (entre 1736 e 1737).
1687: Embora relutante em divulgar suas descobertas, publica seu livro
‘Philosophiae Naturalis Principia Mathematica’ (Princípios Matemáticos
de Filosofia Natural), uma das maiores obras cientificas de todos os
tempos.
1704 (Após): É publicado o tratado sobre quadraturas de curvas, “Tractatus de
quadratura curvarum” que foi escrito em 1693.
1711: É publicada a obra intitulada “De analysi per aequationes numero
terminorum infinitas” elaborada em 1669.
3.1.6 Leibniz (1646-1716)
Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig em 1646 e desde cedo
manifestou grande interesse pelo estudo. Ávila (1993) relata que no período de
1672-1676, Leibniz, que desejava ser matemático, entrou em contato com
Christian Huygens (1629-1695) quando cumpria uma missão diplomática em
41
Paris, que o aconselhou a ler uma publicação de Blaise Pascal (1623-1662) a
respeito de certos problemas geométricos.
Segundo Palaro (2006), o que chamou atenção de Leibniz ao ler a obra
“Traité des sinus du quart de cercle”, de Pascal, foi o seguinte fato:
[...] considerando o quadrante ABC de um círculo de unitário e
sendo D um ponto para o qual seno é
DI, Pascal traçou uma
pequena tangente
EDE' à curva ABC em D e os segmentos ER
e
E'R' perpendiculares ao raio AC (figura 11). Notando que os
triângulos
EKE' e DIA são semelhantes, encontrou que
EE
RR
EE
KE
DA
DI
c
c
c
c
e, portanto, RRDA
E
E
DI
c
c
.
Considerando que, para um intervalo
RR' infinitamente
pequeno, o segmento
EE' é considerado igual ao arco de
círculo, Pascal afirma que o retângulo formado pelo seno
DI e o
arco infinitesimal (ou a tangente EDE'), representado por EE“ é
igual ao retângulo formado pelo raio DA e a parte do eixo entre
as extremidades do arco dada RR
'. Ou seja, Pascal mostrou
que a soma dos senos ou quadratura de qualquer arco de um
quadrante de um círculo é igual à porção da base entre os
senos extremos multiplicada pelo raio do círculo. (KATZ apud
PALARO, 2006, p. 103).
Figura 10 - Representação da demonstração de Pascal.
Fonte: Katz apud Palaro (2006, p.103).
De acordo com a autora, a leitura dessa publicação inspirou Leibniz a ter
uma de suas idéias fundamentais na criação do Cálculo ("triângulo
característico"), pois percebeu que o "triângulo infinitesimal" inscrito em círculos
por Pascal poderia ser generalizado e aplicado a curvas arbitrárias.
Considerando a Figura 11, a exemplificação desta idéia dada por Baron é
descrita por Palaro (2006, p. 104) da seguinte forma:
42
[...] OcC é uma curva arbitrária;
cg W é uma tangente á curva
em c;
cen é a normal à curva, também, em c; e cby é
obtido pela projeção ortogonal do ponto c sobre o eixo
horizontal. Tomando um ponto c' pertencente à tangente, mas
tão próximo de c que cc' é confundido com a própria curva,
Leibniz obtém o triângulo característico cdc' em c, que é
semelhante aos triângulos cbe e gbc, chegando às relações
W
cc
:y:tn:v:ycc:cd:cd
(em notação atual,
n
'cc
v
'dc
y
cd
e
W
'cc
y
'dc
t
cd
), úteis em transformações de
quadraturas.
Figura 11 - Representação exemplificada da idéia de Leibniz para a criação do Cálculo
("triângulo característico").
Fonte: Baron (1985, v.3, p. 47)
Em 1686, Leibniz publicou um artigo em que apresenta o seu cálculo
integral e enfatiza a relação inversa entre diferenciação e integração (BOYER,
1974, p. 296).
Figura 12 - Representação da idéia apresentada por Leibniz para o Cálculo Integral.
Fonte: Baron (1985, v. 3, p. 60)
43
Leibniz considera a integral como sendo a área sob uma curva. Assim,
conforme esboçado na Figura 12, ele pensa na área como sendo composta por
muitas faixas retangulares verticais infinitamente finas
ydx e indica a soma das
áreas de todas essas faixas por
³
ydx
, que é a área sob a curva )x(fy e
compreendida entre as retas
0y e
x
y ; considerando que a diferencial da
área de
OCB é a área do retângulo
ydx
à direita, ou seja,
³
ydxydxd
,
(mostra a relação inversa entre
d e
³
e, reciprocamente,
³
ydy
(BARON,
1985, v. 3, p. 60).
Segundo Katz (1998, p. 524), a importância dos resultados de Leibniz
repousa na possibilidade de somas de diferentes seqüências, reveladas
quando se transfere esta idéia à geometria:
“Ele considerou uma curva definida num intervalo dividido em
subintervalos e construiu as ordenadas
i
y na curva, relativas a
cada ponto
i
x da divisão. Se a seqüência (
i
yw ) é a das
diferenças dessas ordenadas, a sua soma
¦
w
ii
y
é igual a
diferença
0n
yy das ordenadas finais e iniciais.
Similarmente, se a seqüência (
¦
i
y ), onde
i210i
y...yyyy
¦
, a seqüência (
¦
w
i
y
) é igual à
seqüência das ordenadas iniciais. Leibniz explorou essas duas
regras para manejar a situação quando havia infinitas
ordenadas. Ele considerou a curva como um polígono com
uma infinidade de lados no qual cada em ponto de intersecção
a ordenada y é projetada num eixo. Se diferença infinitesimal
das ordenadas for designada por
dy, e se a soma das
infinitésimas ordenadas for designada por
³
y
, a primeira regra
será traduzida por
³
dxy
enquanto a segunda dá
³
yyd
.
Geometricamente, a primeira significa simplesmente que a
soma de diferenças (diferenças infinitesimais) de um segmento
é igual ao segmento. (Aqui Leibniz assumiu que ordenadas
iniciais são iguais a zero). A segunda regra não tem uma
representação geométrica óbvia, porque a soma termos
infinitésimos talvez seja infinita. Então Leibniz trocou
ordenadas finitas
y por áreas infinitesimais ydx, onde dx era
uma parte infinitesimal do eixo x determinada pelos pontos de
intersecção dos lados do polígono de infinitos lados. Então
³
ydx
pode ser interpretado como a área sob a curva e a regra
³
ydxydxd
simplesmente significava que a diferença entre os
termos de seqüências de áreas
³
ydx
são os termos ydx”.
O elemento central de sistematização e unificação dos métodos
infinitesimais constitui o que, atualmente, é conhecido por Teorema
44
Fundamental do Cálculo, identificado tanto por Newton como por Leibniz que
podem ser considerados os fundadores do Cálculo infinitesimal.
Embora seus métodos também sejam aplicáveis às equações algébricas
e transcendentes, tanto o Cálculo de Newton como o Cálculo de Leibniz
apresentam incoerências, pois não definem o que vem a ser "quantidades
infinitamente pequenas", nem tampouco dão prova da validade de se
desprezar tais quantidades no decorrer do desenvolvimento de cálculos
(BOYER, 1992, p. 22).
Embora Newton tenha sido o pioneiro na criação de uma teoria de
cálculo bem desenvolvida, foi Leibniz quem primeiro tornou seus resultados
amplamente conhecidos no mundo científico, uma vez que foi apenas em 1704
que o “Tractatus de quadratura curvarum” escrito por Newton em 1676 foi
finalmente publicado e, ainda assim, como um apêndice de um livro sobre
óptica. É possível perceber que os trabalhos de Newton antecederam aos de
Leibniz, mas as divulgações não, pois as de Leibniz ocorreram em 1684 e
1686, no periódico “Acta Eruditorium”, e as de Newton somente em 1687.
Em sua primeira publicação a respeito do cálculo de fluxiões; Newton
apontou a razão pela qual, finalmente, quebrava o longo silêncio:
“Em uma carta escrita para o Sr. Leibniz no ano de 1676, e
publicada pelo Dr. Wallis, mencionei um método pelo qual
encontrei alguns teoremas gerais sobre figuras curvilíneas, e
há alguns anos emprestei um manuscrito contendo tais
teoremas; e tendo desde então encontrado algumas coisas
copiadas dele, nesta ocasião, tornei-o público”. (PARSHALL e
RICE, 2002, p. 121).
Leibniz nunca negou que o cálculo de Newton era anterior ao seu; mas
desejava uma absolvição da acusação de plágio e o reconhecimento de que
seu trabalho havia sido desenvolvido independente. Em meados do século XIX,
quando os manuscritos originais de Leibniz foram encontrados e publicados, foi
que sua reputação restaurou-se plenamente.
“Hoje, depois de muito estudo meticuloso e imparcial, o
consenso é que Newton e Leibniz desenvolveram o Teorema
Fundamental do Cálculo independentemente e que, portanto,
deveriam dividir igualmente a glória da criação do cálculo”.
(THOMAS, 2002).
45
Conforme Saraiva:
O interesse de Leibniz pelo simbolismo e pela notação,
vinculado à sua idéia de uma linguagem simbólica geral difere
de Newton, que tinha uma linguagem para cada problema. O
reconhecimento de que somar seqüências e tomar as suas
diferenças são operações inversas e que, semelhantemente, a
determinação de áreas e a tangentes, são, operações inversas.
O triângulo característico e o seu uso para deduzir
transformações gerais de áreas (por exemplo: a transmutação).
(2000, p. 36)
O cálculo de Newton e Leibniz utilizava variáveis, as
quantidades ligadas à curvas, tais como as ordenadas, as
abcissas, subtangentes e áreas. O cálculo moderno utiliza
funções, aplicações de um conjunto (de números reais) em
outro. As primeiras definições de função surgiram somente no
século XVIII.
No cálculo moderno a operação de diferenciação associa uma
função a sua derivada. Para Leibniz, a diferenciação associava
uma diferencial infinitamente pequena a uma variável. Para
Newton, tomar fluxões significava associar uma velocidade
finita a uma variável. Portanto, a concepção de operação
fundamental nos cálculos de Newton e de Leibniz era diferente
da diferenciação que está em uso no cálculo moderno.
Tanto no cálculo de Newton quanto no cálculo de Leibniz
existiam problemas sobre a consistência lógica dos conceitos
fundamentais - a fluxão (definidas por razões últimas) e a
diferencial (como diferença infinitamente pequena). No cálculo
moderno essas dificuldades quanto aos fundamentos são
esclarecidos pelo uso de um conceito bem definido de limite.
Por isso não encontramos quantidades infinitamente pequenas.
Leibniz parece ter sido o primeiro a mencionar o termo função
inicialmente para expressar qualquer quantidade associada a
uma curva, como, por exemplo, as coordenadas de um ponto
da curva, a inclinação de uma curva e o raio da curvatura de
uma curva. (2000, p. 37)
3.2 Operações Centrais do Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo é a base das duas operações
centrais do Cálculo, diferenciação e integração inversas uma da outra. Isto
significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois
diferenciada, volta-se à função original. A conexão existente entre os
problemas de integração e diferenciação é a pedra angular do Cálculo
Diferencial e Integral.
46
Este teorema é de importância central no Cálculo, tanto que recebe o
nome de Teorema Fundamental. A seguir, tal relação será o objeto das
considerações que estão baseadas na obra: Cálculo Diferencial e Integral v. 1,
de autoria de Courant, publicada em 1951.
3.2.1 A integral como função do limite superior de integração
Para Courant (1951), o valor da integral definida da função f depende da
escolha dos limites
a e b de integração, tanto na função do limite inferior a
como do superior
b. A fim de estudar esta dependência de modo mais conciso,
imaginemos o limite inferior
a como um número fixo; designemos a variável de
integração por
u; e indiquemos o limite superior por x em vez de b,
pesquisando o valor da integral, como função desse limite.
Assim, escreveremos:
Chamaremos a função
) de uma integral indefinida da função
f
.
Quando nos referimos a uma e não à integral indefinida, desejamos frisar que
poderíamos ter escolhido qualquer outro limite inferior em vez de
a, o que
ordinariamente dá uma função diferente à integral.
Figura 13 - A integral como função do limite superior de integração.
Fonte: Courant (1951)
³
)
x
a
xduuf )()(
47
Geometricamente, a integral indefinida para cada valor de
x
é dada pela
área sob a curva )u(fy e limitada pelas retas au
e
x
u e 0x .
Se escolhermos
D
para limite inferior em vez de a, teremos a integral
indefinida
³
<
D
x
du)u(f)x( .
A diferença
)x()x( )<
será dada por du)u(f
a
³
D
, que é constante, visto
a e
D
terem sido ambos considerados números fixos.
Portanto,
.constxx ) <
As integrais indefinidas da mesma
função diferem unicamente por uma constante aditiva.
Podemos, da mesma forma, considerar a integral como função do limite
inferior e introduzir a função
³
)
b
x
duufx
, na qual b é uma quantidade fixa.
Novamente, teremos duas integrais com limites superiores diferentes,
b e
E
,
divergindo somente por uma constante aditiva
du)u(f
b
³
E
.
3.2.2 Derivadas das Integrais indefinidas
A derivação da integral indefinida
) em relação à variável
x
nos
conduz ao seguinte teorema:
A integral indefinida du)u(f)x(
x
a
³
)
de uma função contínua f , possui sempre
derivada
xfx )
c
; isto é, derivação da integral indefinida de uma função contínua
dá-nos, novamente, a mesma função.
Segundo Courant, esta é a idéia Fundamental de todo o Cálculo
Diferencial e Integral. Ele define integral indefinida retomando o resultado
demonstrado anteriormente: dada uma função
f
, determinar outra
F
de modo
que
f
F
c
e afirma que:
Este problema requer a inversão do processo de derivação. É
um exemplo típico de solução inversa, tal como ocorre em
muitas partes da matemática, e que já verificamos ser um
método matemático muito eficiente para a geração de novas
funções. (...) Uma função
)x(F tal que )x(f)x(F
c
, é
48
denominada função primitiva de
)x(f ou, simplesmente,
primitiva de
)x(f . Esta designação sugere que a função )x(f
origina-se de
)x(F por derivação (COURANT, 1951, p. 111).
O autor alerta que o problema da determinação da função primitiva ou
da inversão da derivação pode ter um caráter diferente da integração. Mas
lembra que: “Toda integral indefinida
x) da função )x(f é função primitiva
de
)x(f “ (COURANT, 1951, p. 113).
Ele ressalta que esse resultado não resolve a questão da determinação
de todas as primitivas de uma função, sendo a questão definitivamente
resolvida pelo teorema que o autor diz que, muitas vezes, é mencionado como
Teorema Fundamental do Cálculo: “a diferença entre duas primitivas
1
F
e
2
F
da mesma função
f
é uma constante, isto é, C2F1F ”.
Desse modo, conhecida uma primitiva
F
, pode-se obter todas as outras
mediante escolha conveniente da constante
C , obtendo-se CF .
Inversamente, a expressão
CF1F representa uma função primitiva de
f
,
para cada valor constante
C .
A seguir, Courant enuncia que:
“Qualquer função primitiva
xF de uma função dada )x(f
pode ser representada por
du)u(fc)x(c)x(F
x
a
³ ) onde
c e a são constantes, e, reciprocamente, para quaisquer
valores constantes de a e de c, escolhidas arbitrariamente, tal
expressão sempre representará a função primitiva”.
O autor explicita que a constante
C pode ser omitida, uma vez que
mudando o limite inferior obtemos uma função primitiva que define a anterior
por uma constante.
Na seqüência, o autor estabelece que qualquer expressão da forma
³
)
x
a
du)u(fcxc seja chamada como integral indefinida de
f
.
E acrescenta que:
49
“Não faremos distinção entre função primitiva e integral
indefinida. Não obstante, para que o leitor tenha uma
concepção clara sobre as relações existentes entre esses
conceitos é absolutamente necessário, que, antes de tudo,
bem no espírito, que integração e inversão de derivação são
duas coisas completamente diferentes, e que só o
conhecimento do parentesco entre as mesmas nos autoriza a
aplicar o termo "integral indefinida” também à função primitiva”.
(COURANT, 1951, p. 116).
Em seguida, apresenta a notação da integral indefinida que considera
um “pouco obscuro”:
³³
x
a
dxxfduufcxF . Entretanto, expressa que:
Seria melhor, na realidade, evitar esta última troca, para evitar
possíveis confusões com o limite superior
x
que é a variável
independente
)x(F . Usando a notação
³
dx)x(f , não devemos
perder de vista a indeterminação contida na mesma, isto é,
este símbolo representa sempre, somente uma integral
indefinida (p. 109).
O próximo item que o autor apresenta é denominado de “Emprego das
funções primitivas na avaliação das integrais definidas”.
Inicialmente, cita a questão de encontrar o valor da integral definida
³
x
a
duuf , uma vez conhecida uma primitiva qualquer
xF
³
dxxf
da
função
)x(f .
Para tanto parte do fato de
³
)
x
a
duucx ser uma primitiva de
f
e
que, portanto outra primitiva qualquer
F
da função
f
difere de
x) por uma
constante. Isto é,
cxFx ) . A seguir, calculando
CaF0a ) ,
obtém
aFC
, donde
)a(F)x(Fx ) . Fazendo
bx
, obtém-se
³
x
a
)a(F)b(Fduuf o que fornece a seguinte regra: “Se )x(F for uma
função primitiva qualquer de
)x(f , a integral definida de )x(f entre os limites a
e b é igual a diferença )a(F)b(F ”.
Lima, em seu livro Curso de Análise (1976), inicia o estudo do Teorema
considerando uma função
>@
Rb,a:f o Riemann-integrável e, a partir dela,
definindo a função
³
x
a
dt)t(f)x(F
@@
b,ax e demonstrando que
F
é contínua
(mesmo que
f
não o seja).
50
Em seguida apresenta o Teorema:
“Seja
>@
Rb,a:f o
integrável. Se
f
for contínua no ponto
@>
b,ac ,
então, a função
>@
Rb,a:F o
, definida por
³
x
a
dt)t(f)x(F , é derivável no ponto
c
e se tem
)c(fc'F ”.
Após a demonstração desse Teorema o autor enuncia o corolário:
“Dada
>@
Rb,a:f o contínua, existe
>@
Rb.a:F o derivável em
@>
b,a , tal
que
f
'
F
, afirmando que basta tomar
³
x
a
dt)t(f)x(F ”.
Finalmente, apresenta, com a nomenclatura de Teorema Fundamental
do Cálculo, o seguinte:
“Se uma função
>@
Rb,a:f o Riemann-integrável possui uma primitiva
>@
Rb,a:F o , então
³
b
a
)a(F)b(Fdx).x(f ”.
Após esses pressupostos, entraremos no cerne de nosso trabalho,
expondo os procedimentos de elaboração do instrumento da investigação, bem
como sua aplicação e a análise dos dados obtidos nos próximos capítulos.
51
C
apítulo 4
4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.1 A dialética ferramenta-objeto e o jogo de quadros
A análise didática das relações entre ensino e aprendizagem beneficia-
se dos trabalhos de Régine Douady (1987) que se dedica aos processos pelos
quais os alunos podem adquirir um saber matemático, em situação escolar.
Os componentes teóricos de Douady, nomeadamente a dialética
ferramenta-objeto e o jogo de quadros, são instrumentos poderosos, pois
oferecem uma leitura da evolução das noções matemáticas, bem como
permitem a análise da aprendizagem matemática. Para essa autora, os
conhecimentos matemáticos podem ser efetivamente construídos fazendo-se
jogar a dialética ferramenta-objeto por meio de jogos de quadros apropriados,
ou seja, a aplicação de problemas que respondam a determinadas condições.
Na aplicação da proposição teórica de Douady, as noções matemáticas
são organizadas segundo um encadeamento de problemas que são resolvidos
por responsabilidade partilhada entre o professor e os alunos. A resolução,
graças a esta organização, deve proporcionar aos alunos controlar o
significado destas noções, dispondo-as do mesmo modo ou adaptando-as a
novas situações.
4.2 Conhecimentos matemáticos
Douady entende que um aluno detém conhecimentos matemáticos
quando é capaz de utilizá-los como ferramenta explícita nos problemas que
52
tem que resolver, devendo ser igualmente competente para adaptá-la quando
as situações habituais de emprego não são exatamente satisfeitas, ao
interpretar problemas ou formular questões.
Para que os alunos adquiram conhecimentos matemáticos, de acordo
com a hipótese de Douady o ensino, ao ser organizado, deve conter momentos
em que a classe simula uma sociedade de investigadores em atividade.
Muitos obstáculos opõem-se a tal simulação quando:
- O ensino utiliza o método "aprendo, aplico";
- Pouca responsabilidade é dada aos alunos na sua aprendizagem;
- Os problemas explorados em classe raramente permitem aos alunos a
apreensão dos significados essenciais dos conceitos;
Os conceitos são apresentados num quadro e as aplicações em outro
quadro.
A organização do ensino sugerida pela autora é fundamentada na
dialética ferramenta-objeto e nos jogos de quadros, os quais se engrenam a
partir de problemas que respondem a determinadas condições.
Qualquer problema numa situação escolar de aprendizagem deve
preencher quatro condições:
a) O enunciado, com texto e questões, deve fazer sentido para os
estudantes;
b) Os alunos podem engajar-se num procedimento de resolução levando
em conta seus conhecimentos, mas não têm meios para resolver
completamente o problema;
c) Os conhecimentos visados pelo aprendizado (conteúdo ou método)
são ferramentas que devem estar adaptadas ao problema;
d) O problema deve ser formulado em, pelo menos, dois quadros
diferentes.
53
4.3 Ferramenta, Prática e Objeto.
Um conceito pode ter o estatuto de ferramenta ou de objeto. É
ferramenta quando se focaliza o interesse no uso que se faz dele para resolver
um problema. Uma mesma ferramenta é passível de adaptação a vários
problemas, e várias ferramentas podem ser adaptadas a um mesmo problema.
Em uma atividade matemática, um aluno pode recorrer a uma
ferramenta de maneira implícita ou explícita. Ele o faz implicitamente, quando o
conceito em uso ainda não está completo. As concepções do aluno lhe
permitem engajar-se em um procedimento cuja justificativa faz referência a
noções que ele não sabe formular ou que exprime unicamente em termos de
ações em um contexto particular. Por seu turno, ferramentas explícitas são
noções que o aluno pode formular e aplicar e cujo emprego pode justificar.
Douady denomina
prática todo emprego adaptado que um aluno faz das
ferramentas expressas explicitamente ou por meio de ações, reconhecidas pelo
menos dentro da classe. Por
objeto entende o objeto cultural, fazendo parte de
um edifício maior que é o saber sábio reconhecido socialmente em um dado
momento. A dialética ferramenta-objeto é um processo cíclico, regulador dos
papéis respectivos dos alunos, e do ensino, ao longo do qual, os conceitos
matemáticos desempenham, alternativamente, o papel de ferramenta para
resolver um problema e de objeto, participando na edificação de um saber
organizado.
Trata-se de um processo de várias fases pelo qual o aluno deve passar
para resolver um determinado problema, e adquirir um conhecimento. Tais
fases, que desempenham diferentes funções, encontram-se sintetizadas na
tabela a seguir.
Fase a - “Antigo - ferramentas explícitas”
Fase b - “Pesquisa - novo implícito”
Fase c - “Explicitação e institucionalização locais”
Fase d - “Institucionalização - estatuto de objeto”
Fase e - “Familiarização - re-investimento”
Fase f – “Tornando a tarefa complexa ou novo problema”
54
Tabela 1 - As seis fases da dialética ferramenta-objeto
Fase a - “Antigo -
ferramentas
explícitas”.
Os conhecimentos matemáticos são aplicados como ferramentas
explícitas para resolver, pelo menos, parcialmente o problema.
Fase b -
“Pesquisa, novo
implícito”.
Os alunos encontram dificuldade para resolver completamente o
problema. Isto acontece se a estratégia primitiva torna-se muito
dispendiosa (em quantidade de operações e, a como
conseqüência também em tempo, com risco de erros e incerteza
sobre o resultado). A estratégia não funciona mais e novas
questões emergem. Estas novas questões compelem os alunos a
procurar meios novos adaptados. Progressos eficazes não
raramente provêm de uma troca de quadros, o que, de fato,
possibilita aplicar implicitamente ferramentas que são novas, seja
pela extensão do campo de intervenção, seja por sua própria
natureza. As trocas de ponto de vista e os jogos de quadros são
meios à disposição do professor para fazer avançar de modo
fecundo a pesquisa. Mas a pesquisa também pode avançar sob a
responsabilidade única dos alunos.
Fase c -
“Explicitação e
institucionalização
locais”
Elementos da fase precedente são apropriados pelos alunos. Eles
são formulados seja em termos de objeto, seja em termos de
prática com suas condições de emprego no momento. Pode-se
tratar também de convicções antes objeto de debate, dando lugar
à formulação argumentada. Os trabalhos e propósitos dos alunos e
sua validade são discutidos coletivamente.
Fase d -
“Institucionalização
- estatuto de
objeto”
Mesmo se a coletividade “classe” resolveu o problema, nem todos
reagem individualmente da mesma maneira em face das
ferramentas mobilizadas. Nas situações de comunicação, o saber
difunde-se diferentemente entre os alunos. Assim, é condição para
a homogeneização e para a constituição de um saber da classe, e
para cada estudante, uma maneira de reforçar seu próprio saber e
assim assegurar a progressão, oficializar conhecimentos que, até
então, atuaram somente como ferramentas, conferindo-lhes status
de objeto matemático. Por conseguinte, cabe ao professor a tarefa
de dar status de objeto aos conhecimentos utilizados em seu
aspecto ferramenta.
Fase e -
“Familiarização,
re-investimento”.
Para que haja efetivamente saber matemático, a estruturação
pessoal é de primordial importância. O aluno tem a necessidade de
colocar à prova, sozinho, os conhecimentos que acredita ter
adquirido, fazendo assim um balanço daquilo que sabe. Para tanto,
o professor pede aos alunos que resolvam exercícios variados, os
quais requerem noções recentemente institucionalizadas. Neste
ínterim, os alunos desenvolvem hábitos e habilidades, integram o
saber social confrontando-o com seu saber particular. Tais
exercícios empregam apenas o conhecido, porém os alunos
abordam-nos com concepções que evoluíram e que lhes
possibilitem fazer frente a um campo maior de problemas.
Fase f – “Tornando
a tarefa complexa
ou novo problema”
Nesta fase, colocam-se à prova situações mais complexas, nas
quais os alunos poderão testar e até mesmo desenvolver seu
domínio sobre as novas aquisições. O professor propõe, então, a
resolução de um problema mais complexo. A dificuldade é formular
questões pertinentes mais precisas em relação ao problema. Os
alunos já encontraram problemas similares, com outros valores
numéricos, mas agora devem voltar-se ao objeto de estudo no
caso geral. Cumprida esta etapa, o objeto estudado é suscetível de
tomar lugar, como “antigo” para um novo ciclo da dialética
ferramenta-objeto.
Fonte: extraída de Douady (1985)
6
.
__________________
6
Tradução nossa.
55
Na primeira fase, os alunos mobilizam conhecimentos antigos, objetos
matemáticos, que funcionam como ferramenta na busca de novos
conhecimentos matemáticos, por meio de problemas adequados que precisam
envolver, pelo menos, dois quadros (domínios), para que um forneça
referências ao outro e possibilitem meios de validação.
Na segunda fase, os alunos precisam lançar mão de novos
conhecimentos, quando sentem dificuldade para resolver o problema proposto
completamente. Nesta fase, os alunos encontram dificuldade de resolver
completamente o problema e são conduzidos a colocarem em jogo novos
conhecimentos que são implícitos.
Na terceira fase, o professor realiza um debate sobre os conhecimentos
antigos utilizados e os novos que foram criados, apoiado na formulação das
idéias explicitadas pelos alunos que são validadas ou refutadas.
Nas três últimas fases, os alunos formulam propriedades, procedimentos
e até conceitos do novo conhecimento matemático.
Douady observa que algumas vezes é preciso mais de um ciclo (a, b, c,
d) antes do desenrolar de um ciclo completo da aplicação da dialética
ferramenta-objeto.
4.4 Os quadros e suas trocas
Na concepção de Régine Douady um quadro é constituído pelos objetos
de um ramo da matemática, as relações existentes entre eles, por suas
eventualmente diversas formulações, e pelas imagens mentais que se
associam a tais objetos e relações. O termo “quadro” é tomado em sua
conotação usual referindo-se a: quadro algébrico, quadro aritmético, quadro
geométrico, por exemplo. Dois quadros podem comportar os mesmos objetos e
divergir pelas imagens mentais e pela problemática envolvida.
A autora concebe a noção de quadro como uma noção dinâmica. A troca
de quadros mostra-se uma via de obtenção de formulações diferentes para um
mesmo problema, sem que sejam necessariamente totalmente equivalentes, e
56
permite um novo acesso às dificuldades encontradas e à aplicação de
ferramentas e técnicas que não se impunham na formulação original. A
mudança de quadros revela-se uma maneira de modificar as ferramentas em
uso no problema apresentado, mostrando novas relações entre objetos que
estão sendo utilizados na resolução; e mesmo que não traduza totalmente o
problema, traz formulações diferentes e envolve novos conhecimentos.
Traduções de um quadro para outro podem alcançar resultados não-
conhecidos, técnicas novas, e criação de objetos matemáticos novos; em
resumo, favorecem o enriquecimento do quadro original e dos quadros
auxiliares de trabalho.
O jogo de quadros são as mudanças de domínio provocadas por
iniciativa do professor quando da resolução de problemas convenientemente
selecionados, com o objetivo de fazer avançar as fases da pesquisa e evoluir
as concepções dos alunos.
As correspondências entre os quadros são, contudo, imperfeitas, seja
por razões matemáticas, seja devido aos conhecimentos insuficientes dos
alunos. Desse modo, a situação é fonte de desequilíbrio entre as convicções
dos alunos e aquilo que eles sabem fazer. A rigor, os estudantes manipulam
implicitamente funções que seus conhecimentos matemáticos não lhes
permitem controlar. Num processo de melhoria das correspondências, a
comunicação entre quadros, e especialmente a comunicação com um quadro
auxiliar de representação, é um fator de re-equilíbrio. Apesar disso as
interações entre quadros permitem fazer progredir o conhecimento em cada um
deles. O que Douady chamou de jogo de quadros, no início de sua teorização é
uma das operações matemáticas muito utilizadas pelos especialistas em
Matemática para resolver problemas, e tal recurso poderá auxiliar o aluno na
solução de um problema.
O jogo de quadro é um meio de se obter diferentes formulações para um
mesmo problema, de forma a permitir uma nova visão das dificuldades
encontradas e assim disponibilizar ferramentas e técnicas para resolver a
primeira formulação.
57
Em nosso trabalho, o questionário aplicado aos estudantes tenta seguir
as primeiras etapas da dialética ferramenta-objeto, criando situações em que
os conhecimentos antigos não são suficientes para solucionar o problema
proposto e apresentando uma mudança do quadro algébrico para geométrico,
dando uma nova visão da situação em estudo.
58
C
apítulo 5
5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
5.1 Introdução
Os procedimentos e os delineamentos da metodologia aplicada em
nosso estudo se caracterizam por uma abordagem qualitativa, cujos
pressupostos básicos são o aprofundamento intensivo e a compreensão do
fenômeno.
A pesquisa qualitativa objetiva obter dados descritivos conseguidos por
meio de uma participação ativa entre o investigador e os sujeitos. Enfatiza
muito mais o processo que o produto, ocupando-se dos fenômenos cujos
significados procuram-se captar e compreender. O contato direto do
pesquisador com a situação estudada busca retratar a perspectivas dos
participantes.
Segundo Ludke e André (1986) uma pesquisa qualitativa apresenta
várias características que são apontadas por estas autoras:
- O material obtido nessas pesquisas é rico em descrições de
pessoas, situações, acontecimentos; inclui transcrições de
entrevistas e de depoimentos, fotografias, desenhos e extratos
de vários tipos de documentos. Todos os dados da realidade
são considerados importantes.
O pesquisador deve atentar para o maior número possível de
elementos presentes na situação estudada, pois um aspecto
supostamente trivial pode ser essencial para melhor
compreensão do problema que está sendo estudado.
- Nesses estudos, há sempre uma tentativa de capturar a
“perspectiva dos participantes” isto é, a maneira como o
informante encara as questões que estão sendo focalizadas.
Ao considerar os diferentes pontos de vista dos participantes
os estudos qualitativos permitem iluminar o dinamismo interno
das situações geralmente inacessível ao observador externo.
59
- O pesquisador precisa ter cuidado ao revelar os pontos de
vista dos participantes deve encontrar meios para checá-las
discutindo-as abertamente com os participantes para que elas
possam ser ou não confirmadas. (1986, p. 12).
Garnica (2004) reforça o aspecto de que a pesquisa qualitativa não deve
estabelecer hipótese “a priori”, pois este tipo de investigação pode ser definido
tendo como base na:
(a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade
de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa se já
comprovar ou refutar: (c) a não neutralidade do pesquisador
que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e
filtros vivenciais prévios dos quais não consegue desvencilhar;
(d) a constituição de suas compreensões dá-se não como
resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas
compreensões e também os meios de obtê-las podem ser (re)
configuradas; e (e) a impossibilidade de estabelecer
regulamentações, em procedimentos sistemáticos, prévios,
estáticos e generalistas. [...]. (GARNICA, 2004, p. 86).
A partir destes pontos, que não devem ser tomados como regra,
segundo o próprio autor, observa-se que a pesquisa qualitativa é composta de
um método de análise que tende a seguir um processo indutivo, onde: "[...] Os
pesquisadores não se preocupam em buscar evidências que comprovem
hipóteses definidas antes do início dos estudos”
(LUDKE & ANDRÉ, 1986, p. 13).
A pesquisa qualitativa pode ser organizada apoiando-se em dados
descritivos abordados interpretativamente e coletados sob a forma de palavras,
argumentos, ações e produções textuais. Esses dados são registrados na
forma escrita pelos pesquisadores, observadores e até mesmo sujeitos da
pesquisa, ou gravados em áudio, ou vídeos com intuito de traduzir tanto quanto
possível como as coisas aconteceram.
Comparando com o método convencional do papel e lápis, entrevistas
baseadas em tarefas tornam possível centrar a atenção da pesquisa mais
diretamente sobre os processos de solução das tarefas de matemática do
sujeito do que somente sobre os padrões de respostas “certo ou errado” nos
resultados produzidos.
60
Outro aspecto importante de nosso trabalho está relacionado com a
forma como foram coletados e analisados os dados descritivos de nossa
pesquisa, obtido na produção escrita dos alunos.
Para atingirmos nosso objetivo, elaboramos, aplicamos e analisamos um
questionário de atividades, com o aporte da fundamentação teórica. O objetivo
era investigar se os estudantes eram capazes de identificar que:
- A derivada da integral é a função integranda;
- A integral (indefinida) da derivada de uma função é a própria função;
- A integral de uma função resulta do cálculo da diferença entre o valor
de uma primitiva dessa função no limite superior e no limite inferior de
integração;
- A derivação e integração são operações inversas, e ainda;
Visávamos também verificar de que maneira os alunos manipulam
conceitos relacionados ao TFC, tais como: continuidade, derivabilidade,
integrabilidade, etc.
Para elaboração desse instrumento, desenvolvemos previamente um
questionário-piloto com questões que requeriam os conhecimentos relativos à:
integral definida e imprópria, derivada de uma função, função contínua, função
primitiva e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Percebemos que os estudantes que participaram desta primeira
investigação não haviam recebido na disciplina Cálculo o conteúdo relativo ao
TFC com a profundidade requerida pela nossa pesquisa, em razão da menor
carga horária prevista, para a disciplina Calculo nesse curso. A partir dos
resultados desse piloto e das conclusões de Segadas, reestruturamos o
questionário. Incluímos novas questões relacionadas com a aplicação de
integral definida, cálculo de áreas e sua interpretação geométrica e o cálculo de
integrais no domínio algébrico de uma função descontínua, que deveriam ser
resolvidas através da aplicação das propriedades do TFC.
61
5.2 Os sujeitos
Aplicamos o questionário piloto a três duplas de alunos do curso de
Ciências da Computação de uma Universidade particular da cidade de São
Paulo que se apresentaram espontaneamente para participar da primeira
investigação. Como esse curso é semestral, os alunos que cursavam Cálculo II
estavam, portanto, no segundo semestre e já deveria ter sido estudado o
conteúdo relativo ao TFC, conforme ementa do curso (anexo 4).
O questionário foi aplicado em um único encontro pelo período de 50
minutos, sem intervalo. Não haviamos antes sido professora da classe,
portanto não se tratavam de alunos nossos conhecidos. Contamos com a
presença do professor, sem participação direta.
Para aplicação do questionário definitivo escolhemos uma turma de
Licenciatura em Matemática, da mesma Universidade particular de São Paulo,
que cursavam CDI III, ou seja alunos que cursavam o terceiro semestre, e o
conteúdo desta disciplina já havia sido ministrado, conforme ementa (anexo 4),
no nível de profundidade adequada às necessidades de nossa pesquisa,
diferentemente do curso escolhido para a aplicação do questionário piloto.
O questionário definitivo foi aplicado a 13 duplas de alunos, no horário
normal de aulas, em dois períodos de 45 minutos, com um intervalo de
aproximadamente 10 minutos.
Contamos com a presença do professor da turma em um papel
colaborativo, ajudando a distribuir o questionário e com a observação de uma
outra colega que anotou perguntas e ações dos estudantes, além dos fatos
relevantes que viessem ocorrer durante a aplicação do questionário. Os
períodos de resolução do questionário decorreram em perfeita harmonia e
obtivemos uma boa contribuição dos alunos.
62
5.3 O Questionário piloto
O questionário piloto foi composto por quatro questões, entre as quais
constavam técnicas de integração, cálculo da integral definida, gráficos da
integral, derivadas e aplicação do TFC. Com o piloto, pretendíamos verificar
como deveríamos montar o questionário final, isto é, quais questões iriam
necessitar formulação a fim de alcançar os objetivos desta pesquisa.
As quatro questões que compõem o questionário–piloto foram inspiradas
nos questionários trabalhados por Segadas (1998).
Questão 1:
Calcular as integrais
a)
³
3
0
2
dx)1x4x2(
b) dx
x
1
2
3
1
³
Com a Questão 1, pretendíamos verificar a aplicação do TFC para obter
a integral. Com o item a) pretendíamos investigar os conhecimentos
mobilizados por alunos em relação à resolução de integrais definidas, bem
como também aqueles relacionados com as técnicas para sua resolução, isto
é, se os estudantes mobilizariam:
bFaF
1n
x
dxx
b
a
b
a
1n
n
³
Com o item b) desejávamos verificar como o aluno reage frente a uma
integral cuja função integrada não está definida em um ponto do intervalo de
integração. Investigaríamos se o estudante percebe que a função não está
definida em
0x . No caso dele perceber desejamos observar se calcula
diretamente a integral e constata que ela não existe, ou se percebe que ela
deve expressar-se, como soma de duas integrais impróprias
³³ ³ ³³
oo
3
1
0
11
3
2
0
2
3
0
0
222
1
lim
1
lim
111
t
t
tt
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
e, finalmente, estudar a convergência de cada uma das parcelas.
63
Com essa questão, desejávamos verificar se os alunos mobilizam
conhecimentos antigos que funcionam como ferramentas para resolver a
questão.
Resumidamente, a questão 1 nos possibilitava verificar:
Se os estudantes determinam a primitiva de uma função polinomial.
Uma vez calculada a primitiva investigar se o aluno calcula a integral
proposta.
Se os alunos ao resolver a questão lançam mão da propriedade aditiva
da integral.
Se o estudante percebe que a função integranda não está definida em
0x .
Caso perceba esse fato, queremos observar, também, se conclui
diretamente que essa integral não existe ou que ela deve expressar-se como
soma de duas integrais impróprias.
Se os alunos estudaram a convergência de cada uma das parcelas.
Se o aluno determina uma primitiva de
.
x
1
)x(f
2
Questão 2:
Se
³
x
3
tdt2)x(g
determine:
a) g(3) =
b) g’(x) =
c) g’(3) =
Com a Questão 2 pretendíamos verificar se o aluno aplicaria o TFC
diretamente, mesmo em situações em que pudessem facilmente encontrar a
primitiva, calculando:
9x
2
18
2
x2
2
3.2
2
x2
2
t2
tdt2)x(g
2
222
x
3
2
x
3
³
64
e, a partir daí, obter os resultados nos três itens, ou se utilizariam a definição
da função g para calcular diretamente, por exemplo,
0
2
t2
tdt2)3(g
3
3
2
3
3
³
.
Desejávamos, também, verificar se os estudantes compreenderam o
papel das variáveis x e t, bem como das funções g e g’, isto é, a natureza das
operações integração e diferenciação, como sendo uma a inversa da outra,
obtendo:
x2tdt2)x('g
x
3
³
Com essa questão, também almejávamos verificar quais conhecimentos
antigos os estudantes mobilizaram para resolvê-la.
Resumidamente, pretendemos verificar com a questão 2:
Se o aluno calcula antes
9x3xttdt2)x(g
222
x
3
2
x
3
³
e, em
seguida,
93)3(g
2
ou se calcula diretamente
³³
x
3
3
3
0tdt2tdt2)3(g .
Se o aluno calcula
)x(g , e deriva o resultado obtendo x2)x(g
c
ou se
demonstram conhecer o papel das funções
g
e g
c
, explicitando diretamente
que nesse caso a derivada da integral de uma função é a própria função ao
escrever que
x2)x(g
c
. Também queríamos verificar se o papel das variáveis
t e x são compreendidos. (itens a e b).
Se uma vez obtido g calcula diretamente esta função no ponto 3.
Se os estudantes mobilizariam conhecimentos antigos para resolver a questão.
(item c)
65
Questão 3:
Dado o gráfico da função
f
definida no intervalo [-1,5].
Considere os gráficos a); b); c); d); e) abaixo.
a) b)
c) d)
e)
66
Quais dos gráficos a); b); c); d); e) poderiam ser o gráfico da função
dt)t(fxF
x
1
³
?
Circule a letra correspondente à resposta certa. Justifique sua escolha.
a b c d e
Considerando a função
F
do item anterior quais dos gráficos a); b); c);
d); e) representam a função
F
c
definida no intervalo
>@
x,1 ? Circule a letra
correspondente à resposta certa. Justifique sua escolha.
a b c d e
Com a Questão 3, pretendíamos verificar se os alunos identificam
geometricamente e relacionam as funções
f
,
F
e
F
c
. Desejamos observar se
os estudantes lançam mão de diferentes domínios que são citados por Douady,
neste caso, os domínios geométrico e algébrico. Segundo ela é necessário que
a formulação de problemas envolva, pelo menos, dois domínios de forma que
possibilite meios de validação pelo próprio aluno.
Questão 4:
As afirmações abaixo são verdadeiras. Como você justificaria cada um
dos resultados, partindo do se, chegando ao então:
a) se
³
x
0
tdt2)x(f , então, x2)x(f
c
;
b) se
³
S
x
2
sentdt)x(h , então,
senx)x('h
;
c) se
³
y
1
dt3)y(m
, então, 3)y('m .
Sendo
³
x
o
dt)t(fxg e considerando os dados acima, o que você pode
dizer sobre
)x(g
c
?
Com a Questão 4 queríamos verificar se o aluno é capaz de concluir ser
possível afirmar que para toda função contínua
f
tem-se que:
Se
³
x
o
.dt)t(f)x(g Então )x(f)x(g
c
.
67
A pergunta: considerando a função
F
definida no item anterior, quais os
gráficos que representam a função
F
c
da questão 3, foi colocada, como
representação geométrica e aqui ela se apresenta no domínio algébrico.
Com esta questão, pretendíamos investigar, também, o saber de cada
estudante (o saber coletivo torna-se o saber de cada indivíduo que compõe o
grupo) para que pudéssemos propor problemas.
Apresentadas as questões com seus objetivos, agora faremos uma
análise dos resultados do questionário–piloto, questão a questão.
5.4 Os resultados da aplicação do questionário piloto
Inicialmente, foi explicado aos seis alunos, do curso escolhido, que se
apresentaram espontaneamente para participar da primeira investigação, o
motivo do questionário. Foi solicitado a eles que se organizassem em duplas e
que deixassem por escrito comentários sobre a resolução de cada questão.
Apresentamos a seguir o desempenho dos estudantes relativos ao
primeiro item da questão 1, referente ao cálculo de duas integrais. Nenhuma
das três duplas registrou comentários.
A dupla A determinou a primitiva da função aplicou a propriedade aditiva
da integral deixou de colocar o símbolo dx.
Figura 14 - Estudo piloto - Questão 1a - Produção da dupla de alunos A
A dupla B determinou a primitiva da função sem aplicar a propriedade
aditiva da integral e deixou de colocar o sinal negativo no resultado final.
68
Figura 15 - Estudo piloto - Questão 1a - Produção da dupla de alunos B
Os estudantes da dupla C determinaram a primitiva da função,
calcularam a integral proposta, lançando mão da propriedade aditiva da
integração.
A Questão 1 item b) foi incluída porque a grade curricular do curso
contém o item referente ao estudo de integrais impróprias. Embora esse seja
um assunto que muitas vezes não seja tratado no curso de Computação,
quisemos constatar se os estudantes mobilizavam o conceito de integral
imprópria.
Segue a descrição dos resultados obtidos.
A dupla A explicitou que a função não está definida em
0x , dizendo
que ela é descontínua nesse ponto, concluindo que essa integral não existe.
Não demonstrou conhecer que a integral poderia ser expressa como soma de
duas integrais impróprias. A afirmação que a função é descontínua pode
significar, para esses alunos que a função não está definida no ponto.
Abaixo reproduzimos o protocolo dessa dupla
Figura 16 - Estudo piloto - Questão 1b - Produção da dupla de alunos A
69
O aluno afirma que: “A integral de uma função descontínua é uma
função descontínua”. Esta afirmação não é correta, uma vez que a integral de
uma função descontínua é contínua.
A dupla B aplicou as técnicas de integração sem indicar a percepção de
que a função não está definida em
0x .
Figura 17 - Estudo piloto - Questão 1b - Produção da dupla de alunos B
Para essa dupla não parece estar evidente que condições devem estar
satisfeitas pela função integranda para se poder aplicar diretamente o TFC.
A dupla C também mostrou desconhecer que a função não está definida
em
0x , como também expressou erroneamente a primitiva da função
integranda, expressando:
>@
>@
1ln9lnxlndx
x
1
)b
3
1
2
2
³
Neste caso parece que o aluno fez uma generalização abusiva da regra
da integral da função
x
1
)x(f
cuja primitiva é
Cxln)x(g
.
Observamos que só uma dupla mostrou perceber que a função
integranda não está definida em um ponto do intervalo de integração. As
duplas A e B mobilizaram conhecimentos antigos que funcionaram como
ferramentas para resolver, ao menos em parte, a questão.
Questão 2:
Se
³
x
tdtxg
3
2)(
determine:
a)
)3(g ; b)
c
xg ; c)
c
3g
Nenhuma das três duplas registrou comentários.
70
Calcularam o )x(g e em seguida )3(g
c
.
Os estudantes da dupla A, provavelmente derivaram
)x(g
22
3x e
com isso calcularam o
3g
c
incorretamente. A dupla B derivou o resultado da
integral
)x(g
obtendo o
)x(g
c
calculando diretamente esta função no ponto 3.
Figura 18 – Estudo piloto - Questão 2c - Produção de dupla de alunos A
Os estudantes da dupla C derivaram o resultado
)x(g
obtendo o
)x(g
c
,
provavelmente ao calcular
)3(g
c
substituíram o valor de x em )x(g ,
comprometendo o resultado.
Figura 19 - Estudo piloto - Questão 2c - Produção da dupla de alunos C
71
Questão 3:
Queríamos investigar se a partir do gráfico da função
f
definida no
intervalo [-1,5] se os alunos sabiam identificar o gráfico da função
F
como
sendo o da integral da função
f
no intervalo definido e se conseguiriam
justificar sua escolha.
Pudemos observar que os alunos das duplas A e C não souberam
identificar definitivamente o gráfico de
F
. No entanto a dupla A deu indícios de
que tentou relacionar o gráfico de
F
com o de
f
, ao explicitar:
“Suponha que esse intervalo é definido por três funções lineares,
contínuas
f
. Suas integrais serão três equações de segundo grau contínuas,
dentro do intervalo definido; e que .dx)x('F)x(f O que nos permite indicar
duas letras a e b, como possíveis integrais de
)x(f ”.
Percebe-se pela descrição desses alunos, que eles interpretaram uma
função descrita por três sentenças como sendo três funções e, além disso,
classificam como sendo linear qualquer função cujo gráfico é uma reta.
Também tomam a palavra função como sinônima de equação que é uma
confusão que observamos, ocorre com freqüência em nossa prática como
professora em sala de aula.
Apesar de não terem identificado um dos gráficos como sendo a
resposta definitiva, indicaram corretamente a possibilidade de a resposta ser a)
ou b). Provavelmente se esses alunos fizessem um jogo de quadros gráfico e
algébrico, observando que a integral de uma função positiva é positiva, teriam
optado pelo gráfico b.
72
Figura 20 - Estudo piloto - Questão 3 - Produção da dupla A
Justificativa:
Figura 21 - Estudo piloto - Questão 3 - Produção da dupla A
73
Os alunos da dupla B relacionaram o gráfico de
F
com o de
f
corretamente.
A dupla C não resolveu a questão.
Pelos resultados da questão 3 verificamos que foi difícil para os
estudantes aplicar o TFC em um contexto gráfico, essa dificuldade ficou mais
presente na dupla C.
Todavia precisamos considerar que esta questão não é simples, ou
trivial. Contudo a mantivemos no questionário definitivo, pois o objetivo era
avaliar os conhecimentos mobilizados pelos alunos sobre o TFC.
Questão 4:
Com a Questão 4, pretendíamos verificar se o aluno pode afirmar a
condição: se
³
x
0
,dt)t(f)x(g então, )x(f)x('g .
As duplas B e C verificaram cada uma das afirmações dada na questão,
calculando a integral e em seguida derivando o resultado obtido.
Esse procedimento pode indicar que talvez não tenha sido dada uma
atenção efetiva a primeira parte do enunciado sobre serem verdadeiras as
afirmações.
Os estudantes da dupla A ao verificarem a afirmação da questão
deixaram de encontrar uma primitiva da função integranda aplicando TFC e
com isso obtendo um resultado que não condizia com a afirmação inicial.
Concluindo por exemplo que a afirmação é falsa, expressando:
Se
³
S
x
2
sentdtxh , então
2
sensenxx'h
S
1senx)x('h
74
Figura 22 - Estudo piloto - Questão 4 - Produção da dupla de alunos A
Apresentamos a seguir a produção da dupla B.
Os alunos apresentaram também um comentário discursivo (escrito na
primeira pessoa do singular).
75
Figura 23 - Estudo piloto - Questão 4 - Produção da dupla de alunos B
O comentário feito explicita que não são claros os papeis
desempenhados pelas variáveis x e t na função
³
x
0
dt)t(f)x(g . O que nos deu
indicação que o questionário definitivo deve tratar dessa questão.
Os protocolos dos alunos permitem levantar as primeiras conclusões
que se seguem:
x Os alunos conseguem determinar a primitiva da função;
x Aplicar a propriedade aditiva da função com alguns equívocos
algébricos.
O cálculo de integral imprópria foi incluído porque a grade curricular do
curso contém o estudo de integral imprópria
76
Decidimos incluir no questionário definitivo uma função definida em todo
intervalo, porém descontínua em um ponto.
Verificamos que foi difícil para os estudantes aplicar o TFC em um
contexto gráfico.
Todavia precisamos considerar que esta questão não é simples, ou
trivial. Contudo a mantivemos no questionário definitivo, pois o objetivo era
avaliar os conhecimentos mobilizados pelos alunos sobre o TFC.
Os papeis desempenhados pelas variáveis x e t na função
³
x
0
dt)t(f)x(g , nos dá indicação que o questionário definitivo deve tratar dessa
questão.
Pelas análises dos protocolos do estudo piloto nós resolvemos aplicar o
questionário definitivo a um curso de Licenciatura em Matemática, cuja carga
horária é maior e que possivelmente o conteúdo previsto possa ser ministrado
com mais ênfase.
77
C
apítulo 6
6 O QUESTIONÁRIO
Segadas, referência para nosso estudo, realizou sua pesquisa com
alunos de Cálculo I de cursos de Matemática, Engenharia e Informática de uma
Universidade Pública do Rio de Janeiro. Seu trabalho resultou na sua tese de
doutorado, defendida no Instituto de Educação da Universidade de Londres,
sob a orientação da professora Célia Hoyles.
No seu estudo, a pesquisadora se propôs a identificar qual a
compreensão que os alunos, ao final do curso de Cálculo I, detinham quanto ao
Teorema Fundamental do Cálculo e os conhecimentos envolvidos nesse
teorema.
As informações da pesquisa de Segadas, e os resultados do nosso
questionário-piloto forneceram os subsídios para a elaboração do questionário
definitivo de nossa pesquisa, que resultou composto de oito questões.
Um dos resultados do questionário-piloto mostrou que os alunos tiveram
dificuldades em identificar o gráfico da função
>@
ob,a:F dada por
³
x
a
dt)t(f)x(F , a partir do gráfico de
f
. Dessa forma decidimos incluir duas
questões iniciais explorando a relação entre a integral e a área da região plana
sob o gráfio da função integranda.
Identificamos também que outro complicador para os estudantes eram
os papéis das variáveis x e t que apareceu na definição da função
F. Assim
foram propostas três questões, na tentativa de explorar tais dificuldades e dar
subsídios para a comparação entre os gráficos de
F
e de
f
.
78
Decidimos também incluir uma questão “aberta” (questão 8), para
investigar como os alunos interpretam o enunciado do TFC, na criação de um
exemplo de função que satisfaça as condições do Teorema.
Escolhemos em uma turma de Licenciatura em Matemática em uma
Universidade particular de São Paulo que cursavam CDI para aplicar o
questionário.
Esses alunos cursavam o terceiro semestre e haviam estudado o TFC
no semestre anterior no nível de profundidade adequado às necessidades de
nossa pesquisa, diferentemente do curso escolhido quando da aplicação do
questionário piloto.
O questionário definitivo foi aplicado em dois períodos de 45 minutos,
com um intervalo de aproximadamente 10 minutos. Participaram dos trabalhos
13 duplas de alunos, no horário normal de aulas. Não havíamos antes sido
professora desta classe, portanto não se tratavam de alunos nossos
conhecidos.
Contamos com a presença do professor da turma, que desempenhou
papel colaborativo, ajudando a distribuir o questionário e com a observação de
uma outra colega, que anotou perguntas e ações dos estudantes, além dos
fatos que ocorreram durante a aplicação do questionário. Os períodos de
resolução do questionário decorreram em perfeita harmonia e obtivemos uma
boa contribuição dos alunos.
6.1 As questões
A seguir descrevemos as 8 questões que compõem o instrumento da
pesquisa e os seus objetivos.
79
Questão 1:
O gráfico da função dada por
3x2x)x(f
2
está representada
abaixo:
a) Calcule:
³
3
0
2
dx)3x2x(
b) Qual é o significado geométrico do resultado obtido no item a)?
c) No gráfico, indique esse resultado.
Com a Questão 1, item a), pretendíamos verificar:
x Se os estudantes determinam a primitiva de uma função
polinomial.
x Se os alunos calculam a integral proposta, uma vez calculada a
primitiva.
x Se os alunos, ao resolverem a questão, lançam mão da
propriedade aditiva.
Com os itens b) e c) almejávamos verificar se os alunos relacionam a
integral com a área de região plana, bem como se identificam tal região e,
assim, verificar se lançam mão de um conhecimento que Douady chama de
“Antigo”, levando-se em conta que para resolver um problema, o estudante
mobiliza conhecimentos adquiridos. Esses conhecimentos funcionam como
ferramenta.
80
Questão 2:
Como no questionário piloto, alguns alunos afirmaram que a função
2
x
1
)x(f
é descontínua em zero, quando na verdade, trata-se de uma função
contínua mas não definida num ponto interior do intervalo de integração,
decidimos apresentar agora uma função definida em todo o intervalo, porém
descontínua em um ponto.
Considere a função
f
definida em
>@
3,1 , cujo gráfico é representado
abaixo:
a) Observando o gráfico indique o valor da integral de
f
no intervalo
>@
3,1
.
b) A expressão algébrica da função acima representada é:
¯
®
d
dd
3x2 se ,1
2x1 se ,0
)x(f
Como você calcula algebricamente a integral dessa função no intervalo
>@
3,1 ?
c) A função
f
é contínua?
Com o primeiro ítem almejávamos verificar se, sendo dado o gráfico o
aluno conseguia indicar o valor da integral de
f
, no intervalo [1,3].
81
Com o item b) desejávamos verificar como o aluno calcula a integral de
uma função descontínua dada no domínio algébrico e se ele confronta o
resultado com aquele obtido graficamente.
Com o item c) pretendíamos verificar quais são as concepções dos
alunos sobre função contínua.
O objetivo da Questão 2 é verificar como os alunos reagem frente a
possibilidade de calcular a integral de uma função descontínua num ponto. É
fato que uma função pode ser integrável sem ser contínua, enquanto que para
aplicar o TFC, é preciso encontrar uma primitiva da função integranda, e se
esta for contínua, tal primitiva existe.
Explicitando:
A função F definida por
dt)t(f)x(F
x
a
³
, com f uma função contínua é
derivável e, além disso,
)x(f)x(F
c
; isto é, a derivada da integral de uma
função contínua nós dá, essa mesma função, o que constitui a idéia
fundamental de todo o Cálculo Diferencial e Integral.
Para Douady, a formulação de um problema deve envolver pelo menos
dois domínios. Cada um deles serve de referência para o outro e sua interação
possibilita dar significado aos conceitos que estão em jogo. Nessa questão a
interação diz respeito às trocas entre os domínios algébricos e gráficos.
As questões 3 e 4 foram elaboradas com vistas a questão 5, também
para retomar o significado geométrico da integral.
Questão 3:
Dada a função
0)t(f , para 2t1 dd considere agora a função
F
dada
por
³
x
1
dt)t(f)x(F
e determine:
a)
)1(F
b) )2(F
c) )x(F , para
2
x
1 dd
82
Questão 4:
Dada a função
1)t(f , para 3t2 dd , considere agora a função
F
dada por
³
x
2
dt)t(f)x(F e determine:
a)
)2(F
b)
¸
¹
·
¨
©
§
2
5
F
c) )x(F para 3x2 dd
d) Qual é o significado geométrico de cada um dos resultados?
Questão 5:
Considerando a função
¯
®
d
dd
3t2 se 1,
2t1 se ,0
)t(f
, observe que a função
³
x
dttfxF
1
)()( , pelos resultados anteriores (questões 2, 3 e 4), expressa-se por
¯
®
dd
dd
3x2 se ,2x
2x1 se ,0
)x(F
a) Esboce o gráfico da função
F
.
b) Observando os gráficos de
f
e
F
, responda se cada uma dessas
funções é ou não contínua.
c) Ainda observando o gráfico da função
F
, você sabe afirmar se a
função é derivável?
A Questão 5 tem como objetivo verificar: a concepção dos estudantes
sobre continuidade das funções envolvidas e a relação entre os gráficos
F
e
f
.
Com as três questões pretendíamos verificar o conhecimento do aluno
em relação do significado da função
³
x
1
dt)t(f)x(F , bem como familiarizá-lo
com os papéis das variáveis x e t que nela figuram.
83
Para Douady, quando um aluno resolve parcialmente uma questão, é
possível para o professor identificar conhecimentos requeridos nos domínios
em jogo avivá-los, para que o estudante chegue a uma solução completa.
Questão 6:
Dado o gráfico da função
f
definida no intervalo [-1,5] e mais os gráficos
a); b); c); d); e) a seguir:
a) b)
c) d)
84
e)
Pergunta-se:
Qual dos gráficos a); b); c); d); e); você acha que representa a função
dada por:
³
x
1
dt)t(f)x(F . Justifique sua escolha.
Considerando a função
F
definida no item anterior, qual dos gráficos
representa função
F
c
? Justifique sua escolha.
A questão 6 é a mesma questão 3 do questionário piloto. Com ela
desejávamos verificar, agora em um Curso onde a disciplina Cálculo é dada em
maior profundidade, se os alunos:
Sabiam identificar o gráfico da função
F
como sendo o da integral da
função
f
no intervalo definido.
Conseguiam justificar sua escolha.
Compreendiam a relação dos gráficos das funções
F
e
f
.
Explicitando: A função
³
x
1
dt)t(f)x(F está no domínio algébrico,
pretendíamos verificar se os alunos, frente ao domínio geométrico,
visualizavam o seu significado.
Por exemplo:
Dado o gráfico da função
f
(domínio geométrico).
85
Em
>@
0,1 , gráfico de
f
: acima do eixo dos x. Isto significa que
f
é ai
positiva, logo o número
³
0
1
dt)t(f é positivo (domínio algébrico) e portanto a
função
F
é positiva. Daí decorre que o gráfico de
F
está acima do eixo x
(domínio geométrico) nesse intervalo. Observamos com esta análise que ficam
descartados os gráficos a) e c).
Em
>@
1,0 gráfico de
f
: abaixo do eixo x
f
é negativa
³
1
0
dt)t(f é
negativo e pela simetra do gráfico de
f
no intervalo
>@
1,1 , igual, em valor
absoluto a
³
0
1
.dt)t(f
³
1
1
0dt)t(f)x(F
0)1(F
gráfico de
F
corta o eixo
x em
1
x
.
Em
>@
2,1
gráfico de
f
: abaixo do eixo x
f
é negativa
³
2
1
dttf
é
negativo
gráfico
F
está abaixo do eixo x.
Em
>@
4,2 gráfico de
f
: abaixo do eixo –x
f
é negativa
³
4
2
dt)t(f é
negativo
gráfico
F
está abaixo do eixo x. Pela natureza cumulativa da
integal, em
>@
4,1 ,
F
é decrescente.
Em
>@
5,4 gráfico de
f
: acima do eixo x
f
é positiva
³
5
4
dttf é
positiva. Porém, como
³
4
1
df)t(f é, em valor absoluto, significativamente maior
que
³
5
4
dt)t(f , o gráfico de F, no intevalo
>@
5,4 situa-se abixo do eixo x,
interrompendo o decrescimento anterior de
F, sem que se anule.
Questão 7:
As afirmações abaixo são verdadeiras. Como você justificaria cada um
dos resultados, partindo do “
se” e chegando ao “então”.
86
a) se
³
x
0
tdt2)x(f , então, x2)x('f ;
b) se
³
S
x
2
sentdt)x(h , então,
senx)x('h
;
c) se
³
y
1
dt3)y(m , então, 3)y('m .
Sendo
³
x
0
dt)t(f)x(g e considerando os dados acima, o que você pode
dizer sobre
)x('g ?
Com a Questão 7, esperávamos verificar se o aluno pode afirmar que:
se
³
x
0
,dt)t(f)x(g então, ).x(f)x('g
O fato de os alunos terem explicitado, no questionário-piloto, que não
são claros os papéis desempenhados pelas variáveis
x e t na função
³
x
0
ftdt)x(F , levou-nos a trazer essa questão para o questionário definitivo,
uma vez que foram incluídas outras que procuram explorar tais papéis.
Questão 8:
LIMA (1976, p. 256) apresenta o Teorema: “Dada
>@
Rb,a:f o
contínua,
existe
>@
Rb,a:F o derivável, tal que
f
F
c
”. Em seguida denomina de
Teorema Fundamental do Cálculo o seguinte: “Se uma função integrável
>@
Rb,a:f o
possui uma primitiva
>@
Rb,a:F o
, então
³
b
a
)a(F)b(Fdx)x(f ”.
a) Em sua opinião, porque esse teorema chama-se Teorema
Fundamental do Cálculo?
b) Você pode dar um exemplo de uma função definida em um intervalo
[
a, b] que não satisfaça o teorema?
87
O objetivo da Questão 8 foi verificar quais condições devem satisfazer a
função f para que se possa aplicar o TFC. Desejamos investigar se os
estudantes identificavam corretamente, as condições contidas no enunciado
do teorema .
6.2 Análise dos dados coletados
Para fazer análise dos dados obtidos com a aplicação do questionário,
optamos pela formatação de quadros. Para cada questão, elaboramos um
quadro em cuja parte superior figuram as perguntas e na inferior as respostas.
A primeira coluna exibe os códigos que designam as duplas (A1 até A13), as
três colunas seguintes referem-se às respostas dadas pelos estudantes.
Na análise da Questão 1, adotamos a seguinte legenda:
S: para indicar as duplas que determinaram a primitiva da função,
calcularam a integral proposta uma vez calculada a primitiva e chegaram à
resposta correta,
B: (item a) para indicar as duplas que iniciaram corretamente o cálculo
da primitiva, porém cometeram erros durante o processo, não chegando ao
resultado correto.
S* (item c) para indicar que o aluno explicitou dúvidas ao concluir a
questão.
88
Quadro 1 – Tabulação dos resultados da Questão 1
Questão 1
O gráfico da função dada por
3x2x)x(f
2
está representada abaixo:
Item a Item b Item c
Duplas
de alunos
Calcule
³
3
0
2
)32( dxxx
Qual o significado
geométrico obtido no
item a?
Indique no gráfico esse
resultado.
A1 S
S
O resultado geométrico
obtido é a área
S
*
Produção do aluno
figura 29
A2
S S
O valor obtido
representa a área
sobre o gráfico.
S
A3
S S
Que a área do ponto
(0,0) ao (0,3) é igual a
9 u.a.
S
A4
S S
Área
S
A5
S S
Área do gráfico no
intervalo de 0 a 3
S
A6
S S
Área do gráfico no
intervalo de 0 a 3
S
A7
B
³³³
3
0
3
0
3
0
2
dx3xdx2dxx
213.3
2
3.2
3
3
22
S
Área do gráfico no
intervalo de 0 a 3
S
A8
S S
Área
S
A9
S S
Área
S
A10
B
a.u 459927
Cx3
2
x2
3
x
3
0
23
S
Área
S
89
Apresentamos a seguir a avaliação do desempenho dos estudantes
relativo ao item a):
Analisando a produção da dupla A7, pudemos observar que foi aplicada
a propriedade aditiva, porém, ao determinar a primitiva da função
2
x)x(g a
dupla deixou de somar uma unidade no expoente, determinando, o resultado
da integral incorreto.
Figura 24 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A7.
Apesar de não terem chegado ao resultado correto verificamos que
esses estudantes sabem determinar a primitiva da função como também
calcular a integral; possivelmente houve uma distração ao determinar a
primitiva da função
2
x)x(g .
A dupla A11 não lançou mão da propriedade aditiva da integral, também
não determinou a primitiva da função. Analisando o protocolo dos estudantes,
A11
B
a.u1569
3
33.23
0
2
3
³
³
S
Área no intervalo de 0
a 3
S*
“Porque não pinta para
baixo.”
A12
B
189
3
27
3
3
3
2
x2
3
x
2
3
3
0
23
S
Área entre 0 a 3
S
A13
B
C3C399
Cxx
3
x
2
3
3
0
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
«
¬
ª
S
Cálculo da área no
intervalo de 0 e 3
S
90
observamos que eles substituíram os limites de integração na função dada sem
determinar a sua primitiva, grafando um só limite em cada parcela da função
polinomial. A substituição da variável pelos limites de integração foi um fator
complicador, a ponto de eles não buscarem uma primitiva.
Figura 25 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A11
A dupla de estudantes A12 não apresentou o resultado correto, porém
verificamos pelos seus protocolos que ao calcular a primitiva da constante
cometeram um engano grafando zero, o que pode indicar equívoco com a
derivada de uma constante.
Figura 26 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A12
A dupla de alunos A13 determinou a primitiva da função. Eles
explicitaram a utilização da propriedade aditiva da integral, e expressaram x em
vez de 3x, como sendo a primitiva da constante
.3)x(g Verificamos que foi
apresentada a constante arbitrária em sua resposta. É possível que os
estudantes saibam determinar a primitiva de uma função como também
calcular a integral, e que não tivessem atentado para a constante 3.
91
Figura 27 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A13.
O protocolo da dupla de estudantes A10 indica que os alunos
determinaram a primitiva, não fazendo explicitamente uso da propriedade
aditiva e não observaram o sinal negativo do numerador da primeira parcela
desconsideraram o denominador, ao calcularem
3
x
)x(g
3
no ponto 3.
Figura 28 – Questão 1 a - Produção da dupla de alunos A10
De acordo com a fundamentação teórica, consideramos que esta
questão não envolvia qualquer conhecimento novo para o aluno. Entretanto as
duplas de estudantes A7, A10, A12, A13 ao determinarem a primitiva de uma
função cometeram alguns enganos prejudicando o resultado final. A dupla de
alunos A11 mostrou desconhecimento em relação à determinação da primitiva.
Tomando no Quadro 1 o relato dos estudantes relativos ao item b) da
Questão 1 verificamos que para eles o cálculo de área de figuras planas pode
ser feito por integração.
As duplas de estudantes A1 e A11 relacionaram a integral com a área de
região plana, porém ao identificar tal região mostraram desconhecimento de
que a região plana em questão estava limitada pelo gráfico de
f
, pelas retas
92
0x , 3x e o eixo dos x. Relatamos no Quadro 1 a observação deixada
pelos estudantes. Na figura 29, a indicação incorreta da região, apresentada
pela dupla A1.
Figura 29 – Questão 1 c - Produção da dupla de alunos A1
De acordo com a fundamentação teórica a resolução desta questão
envolve conhecimentos matemáticos (determinação da primitiva, cálculo da
integral, propriedade aditiva, simplificação de fração) que são aplicados como
ferramentas explícitas.
No Quadro 2, referente à Questão 2 a primeira coluna exibe os códigos
das duplas de alunos e as três colunas seguintes referem-se as suas
respostas.
Adotamos a seguinte legenda:
S: para indicar que o aluno expressou o valor da integral de
f
(item a);
que calculou a integral, no domínio algébrico, de uma função descontínua e
confrontou o resultado com aquele obtido graficamente (item b); que as
respostas dos alunos sobre a continuidade da função estão corretas (item c).
B: para indicar que os estudantes iniciaram o cálculo da integral de
f
,
porém cometeram erros durante o processo não chegando ao resultado
correto.
B* (item a) para indicar que o aluno explicitou que o valor da integral é Ø
(vazio).
93
B** (item c) para indicar que a resposta da dupla, sobre continuidade,
não está correta ou respondeu que a função não é contínua, sem justificar, ou
que não se lembrava.
B*** (item b) para indicar que calcularam algebricamente a integral
interpretando a função no intervalo
>@
2,1 de x e a função no intervalo
>@
3,2
1x)x(f .
B**** (item b) para indicar que calcularam o valor da integral
geometricamente.
N: para indicar que as duplas não resolveram a questão.
E: para indicar que o aluno exibiu processos equivocados.
Quadro 2 – Tabulação dos resultados da Questão 2
Questão 2
Considere a função
f cujo gráfico é representado abaixo:
Item a Item b Item c
Duplas de
alunos
Observando o
gráfico indique o
valor da integral de
f no intervalo
>@
3,1 .
A expressão algébrica da função
acima representada é:
¯
®
d
dd
3x2 se ,1
2x1 se ,0
)x(f
Como você calcula algebricamente
a integral dessa função?
A função
f é
contínua?
A1
B*
O valor é Ø porque
o segundo o
gráfico, a função
não tem área
B***
5
2
7
2
3
x
2
x
2
x
1xx
3
2
2
2
1
2
1
3
2
2
³³
B**
Não é contínua
como mostra o
gráfico
A2
SS
S
Não, há uma
descontinuidade
no ponto
2
x
.
94
A3
S S B**
Não, pois há
intervalos entre
uma e outra
A4
S B****
a.u1h.bA
B**
Não
A5
E
2
5
2
4
2
9
C
2
x
dx.x
3
2
3
2
2
³
B****
2
m11.1A
B**
Sim
A6
S N B**
Não
A7 S S S
A8
S B****
1IA
2
.
B**
Sim
A9
S S B**
Não
A10
S B****
1m
2
B**
Não
A11
N
Indicou
³
1
2
dxx ,
não efetuou
cálculos.
S B**
Não lembro
A12
S B****
A = b.h =1.
B**
Não
A13
B*
O valor é Ø, pois
de acordo com o
gráfico a função
não tem área.
B***
51
2
4
2
9
2
1
2
4
x3
2
x
2
x
1xx
3
22
2
2
1
2
1
3
2
2
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
³³
B**
Não, pois é
delimitado entre 1
e 3
A análise da Questão 2 foi realizada observando primeiramente as
produções dos alunos referentes aos itens a e b e em seguida ao item c.
As duplas de alunos A1 e A13 explicitaram que o valor da integral de
f
é
vazio porque segundo o gráfico, a “função não tem área”. Nos seus protocolos,
(item b), verificamos que calcularam algebricamente a integral chamando de
x)t(f se
2t1 dd
e 1x)t(f se
3t2 d
. Talvez tenha interpretado que
em [
1, 2], pelo gráfico coincidir com o eixo x, a função é
x
y
e em [2, 3] pelo
gráfico ser paralelo ao eixo
x e estar uma unidade acima, a função é 1xy .
95
Figura 30 – Questão 2 - Produção da dupla de alunos A1.
As duplas A1 e A13, no item b), ao aplicarem a propriedade aditiva da
integral deixaram de colocar a diferencial
dx.
Figura 31 – Questão 2 – item b) Produção da dupla de alunos A1
A dupla de alunos A5 ao calcular o valor da integral provavelmente não
observou o gráfico da função no intervalo de
>@
2,1 partiu para o intervalo
@@
3,2
denotando a função de x, mostrando desconhecimento para identificar a lei da
função a partir do gráfico.
Esses estudantes aplicaram a técnica de integração corretamente
acrescentando a constante C, mas talvez não tenham percebido que ao efetuar
o cálculo da integral definida não é necessário colocar a constante. Fizeram a
substituições dos extremos superior e inferior corretamente, porém não
chegaram ao resultado correto.
A dupla de alunos A11 apenas indicou a integral de
f
e ao colocar os
extremos de integração inverteu as posições expressando
³
1
2
xdx . Além disso,
denotaram a função integranda por
x)x(f
, expressando desconhecimento
para identificar a função sendo dado o seu gráfico.
Em relação ao item b as duplas A4, A5, A8, A10 e A12 calcularam o
valor da integral geometricamente e não algebricamente conforme pedia o
enunciado, isto é calcularam a área do retângulo.
96
O protocolo da dupla A4 dado a seguir, ilustra tal fato.
Figura 32 - Questão 2 - Produção da dupla de alunos A4
De acordo com a fundamentação teórica, esses alunos lançaram mão de
conhecimentos antigos resolvendo a questão no domínio geométrico.
Quanto ao item c o Quadro 2 mostra que somente a dupla de estudantes
A2 deixou registrado que no ponto
2
x
a função
f
é descontínua, indicando
que suas concepções sobre continuidade não estão claras.
As duplas de alunos A1, A3, A4, A6, A10, A11, A12, A13 expressaram
as suas respostas sem o rigor necessário ou por desconhecer sobre as
concepções de função contínua, conforme os protocolos a seguir.
Figura 33 – Questão 2 - Produção da dupla de alunos A1
Figura 34 – Questão 2 - Produção da dupla de alunos A3
97
As produções dos estudantes indicam que os conhecimentos anteriores
utilizados como ferramenta, tais como o cálculo de área de uma região de
integral definida foi utilizado, porém ficou constatado que em muitas situações
tais ferramentas não foram empregadas corretamente.
No Quadro 3, referente à Questão 3 a primeira coluna exibe os códigos
que designam as duplas de alunos e as três colunas seguintes referem-se às
respostas dadas pelos estudantes.
Adotamos a seguinte legenda:
S: para indicar que o aluno conseguiu determinar: a)
)1(F b) )2(F c)
)x(F , 2t1 dd
B: para indicar que os estudantes iniciaram o cálculo da integral
³
x
1
dt)t(f)x(F , porém cometeram erro durante o processo não chegando ao
resultado correto ou iniciaram a resolução, mas não concluíram.
B* para indicar que os alunos colocaram somente o resultado sem
explicitar qualquer procedimento.
N: para indicar que as duplas não resolveram a questão.
E: para indicar que a dupla exibiu processos equivocados.
Convém enfatizar que as questões 3 e 4 visam subdisiar a compreensão
do significado da função
F
, principalmente no caso de ser ela definida por
mais de uma sentença, fornecendo assim ferramentas para a resolução da
questão 5.
98
Quadro 3 – Tabulação dos resultados da Questão 3.
A dupla A6 resolveu corretamente os itens a) e b) e no item c) colocou 2
e não
x
como limite superior da integral. Substituiu a variável t por
x
, mas
deixou de empregar
0)t(f para obter 0)x(F .
A dupla A7 cometeu equívocos na resolução da questão. Tal fato pode
revelar uma dificuldade dos alunos em calcular a integral da função
0)t(f
,
para
2t1 dd . No entanto, eles perceberam o significado de )x(F , ao colocar
no limite superior da integral os números 1 e 2 respectivamente quando se
pediu para calcular o valor de
F(2) e )1(F
, porém ao integrar a função no
intervalo
>@
1,1 , substituíram a função )t(f por t , eliminando os limites de
integração, e no lugar da função
t foi colocado 1. Provavelmente derivaram
Questão 3
Dada a função
0)t(f
, para 2t1 dd , considere agora a função
F
dada por
³
x
1
dt)t(f)x(F
e determine:
Item a Item b Item c
Duplas
de
alunos
1F
2F
xF ,
2t1 dd
A1 N N N
A2 S s S
A3
S S S
A4 S S S
A5 S S S
A6
S S B
³³
2
1
2
1
)()( dxxfdttfxF
A7
E
³
³
tdt1tdt)1(F
1
1
E
³
2
1
dt.tf)2(F
E
dttft)x(F
2
1
³
A8
B*
0)1(F
B*
0)2(F
B*
0)x(F
A9 S S S
A10 S S S
A11
B*
³³
1
1
1
1
Cx0dt0dt)t(f)1(F
B*
dt)t(f)2(F
2
1
³
N
A12
B*
0)1(F
B*
0)2(F
B*
0)x(F
A13 S S S
99
t)t(f e em seguida integraram, pois o resultado final foi t . Indicaram
³
2
1
)2( dttfF e ao calcular o valor de )x(F somaram os resultados obtidos
nos itens a) e b).
As duplas de estudantes A8 e A12 não explicitaram qualquer cálculo,
mas expressaram corretamente o resultado dos três itens.
A produção exibida pela dupla A11 apresenta desenvolvimento correto
ao calcular o valor
)1(F
, porém não finalizou o procedimento acrescentando a
constante C. Quanto ao item b esses estudantes indicaram o cálculo de
)2(F ,
mas não o concluíram e não resolveram o item c.
As produções indicam que os estudantes buscaram os conhecimentos
anteriores para utilizar como ferramenta, tais como o cálculo de primitivas e
conceito de integral definida, porém ficou constatado que em muitas situações
tais ferramentas não foram empregadas corretamente, principalmente no que
se refere à integral da função nula.
No Quadro 4, referente à Questão 4 adotamos a seguinte legenda:
S: para indicar que os alunos determinaram: a)
)2(F ; b)
F
¸
¹
·
¨
©
§
2
5
e c)
)x(F dada, a função
1)t(f
, para 3t2 dd , deram significado geométrico a
cada um dos resultados.
B: para indicar que os estudantes iniciaram o cálculo da integral
de
³
x
2
dt)t(f)x(F , porém cometeram erro durante o processo não chegando ao
resultado correto ou iniciaram a resolução, mas não concluíram.
B* para indicar que os estudantes colocaram somente o resultado sem
efetuar qualquer procedimento.
N: para indicar que: as duplas não resolveram a questão.
E: para indicar que os alunos exibiram processos equivocados.
100
Quadro 4 – Tabulação dos resultados da Questão 4.
A4
S S S S
Área
A5
S S S S
Significado geométrico é
sua correspondência com
a área do gráfico montado
para as integrais.
A6
N N N N
A7
N N N N
A8
S S S S
A área
A9
S S S S
Área
A10
S S S N
A11
S S S S
Área
A12
B
³
2
2
t2dt22F
B
t
2
5
2
5
F
¸
¹
·
¨
©
§
NN
A13
S S S S
Todos determinam área
Considerando as produções da dupla de alunos A1 notamos que não
resolveram a questão 4, assim como também não resolveram a questão 3,
indicando dificuldade em interpretar o significado da função
F
ou não
disposição para realizar a tarefa. Já os estudantes da dupla A6, que haviam
resolvido satisfatoriamente a questão 3, não resolveram esta questão 4.
Questão 4
Dada a função
1)t(f
, para 3t2 dd , considere agora a função
F
dada por
³
x
2
dt)t(f)x(F
e determine:
Item a Item b Item c Item d
Duplas
de
alunos
2F
F
¸
¹
·
¨
©
§
2
5
xF ,
3t2
d
d
Qual é o significado
geométrico de cada um
dos resultados
A1
NN N N
A2 S S S N
A3
S S S S
Os resultados representam
área
101
Os estudantes das duplas A2 e A10, de acordo com os seus protocolos,
resolveram as questões 3 e 4, porém não responderam qual o significado
geométrico dos resultados obtidos, indicando que possivelmente não
relacionaram a integral com o cálculo de área de uma região plana.
A dupla de alunos A12, no item a, apresentou o cálculo da integral
substituindo o limite superior por 2 quando se pedia para calcular o valor de
)2(F , porém substituiu a função )t(f por 2, concluindo que t2)2(F . Com
este resultado “generalizou” que
¸
¹
·
¨
©
§
2
5
F
= t
2
5
e não resolveu os demais itens.
Comparando a resolução das questões 3 e 4 feitas por esta dupla
percebemos que não realizaram cálculos na questão 3, tendo colocado apenas
o resultado.
Na questão 4 as produções indicam que os estudantes buscaram
conhecimentos anteriores para utilizar como ferramentas, porém estas não
foram empregadas corretamente. Sobre o significado geométrico de
)x(F ,
esses alunos explicitaram algo que dificulta nossa conclusão a respeito de eles
terem ou não a compreensão do significado da integral. Das treze duplas de
estudantes que resolveram o item d), sete duplas produziram respostas
corretas.
Figura 35 – Questão 4 - Produção da dupla de alunos A12.
102
No Quadro 5, referente à Questão 5 adotamos a seguinte legenda:
S: para indicar que os estudantes:
Esboçaram o gráfico da função
F
.
A partir dos gráficos de
f
e
F
, responderam se cada uma dessas
funções é ou não contínua.
Sabem afirmar se a função
F
é derivável.
B (item a) para indicar que os alunos esboçaram o gráfico da função
F
,
porém não fizeram corretamente.
C (item a) para indicar que os alunos efetuaram cálculo de integração
em relação a função
f
e não esboçaram o gráfico da função
F
.
B* (item b) para indicar que a concepção da dupla sobre continuidade
não é compatível com a definição matemática ou que ela respondeu que a
função não é contínua sem justificar ou explicitou “não lembro”.
B** (item c) para indicar que a concepção da dupla sobre função
derivável não é compatível com a definição matemática.
N: para indicar que as duplas não resolveram a questão.
E: para indicar que os alunos exibiram processos equivocados.
Quadro 5 – Tabulação dos resultados da Questão 5.
Questão 5
Considerando a função
¯
®
d
dd
3t2 se1,
2t1 se,0
tf
, observe que a função
³
x
1
dttf)x(F
,
pelos resultados anteriores, expressa–se por:
xF
¯
®
dd
dd
3x2 se2,-x
2x1 se,0
Item a Item b Item c
Dupla
s de
alunos
Esboce o gráfico
da função F
Observando os gráficos de
f e
F
, responda se cada
uma dessas funções é ou
não contínua?
Ainda observando o
gráfico da função
F, você
sabe afirmar se a função é
derivável.
A1
NN N
103
O Quadro 5 mostra que as duplas A1, A9 e A10 não realizaram
quaisquer dos itens desta questão.
Comparando os protocolos destes alunos referente às questões 3 e 4
com a questão 5, notamos que a dupla A1 também não resolveu nenhuma
dessas questões, mostrando desconhecimento sobre o significado da função
A2
S B*
F
é contínua,
f
é
descontínua no ponto
2
x
.
S
Não, em
2
x
A3
S B*
F
é contínua
B**
Sim, é derivável, pois é
contínua.
A4
S B*
F
não é contínua f é
contínua
N
Não fez a questão
A5
S B*
f
não é contínua, pois não
há uma “ligação” entre
elas.
F
é contínua, pois há uma
“ligação das funções”.
N
Não lembramos
A6
C
³
2
1
0dt.tf
³
3
2
1dttf
³
1
1
dttf
NN
A7
S B*
F
é contínua
f não é contínua
B**
Sim
A8
S B*
Ambas são contínuas
B**
Ambas são deriváveis
A9
NN N
A10
NN N
A11
SB*
Não é contínua
B*
A função é derivável
A12
B
(protocolo do aluno
figura 36)
B*
Não são contínuas
B*
Não é derivável
A13
S B*
Nenhuma das duas
funções é contínua no
ponto
2
x
.
S
Não é derivável no ponto
2
x
.
104
)x(F como também, concepções sobre função contínua e derivável
inadequadas. Lembramos que as questões 3 e 4 visam subdisiar a
compreensão do significado da função
F
, principalmente no caso de ser ela
descrita por mais de uma sentença, fornecendo assim ferramentas para a
resolução da questão 5. Ainda assim, para os estudantes das duplas A9 e A10,
provavelmente, as ferramentas utilizadas naquelas questões como: cálculo da
integral, significado da função
)x(F , não os ajudou, pois não foram utilizadas
na resolução da questão.
A dupla A6 não esboçou o gráfico de
F
, mas esboçou dois cálculos de
integração, um dos quais, errado. Esses cálculos são supérfluos, uma vez que
a expressão algébrica de
F
é dada no enunciado da questão. Pelo protocolo
dessa dupla referente à Questão 3, parecia indicar que esses estudantes
haviam entendido o significado
)x(F , porém, não fizeram as Questões 4 e 5.
Tal situação nos leva a questionar a nossa interpretação em relação aos seus
conhecimentos e sobre o entendimento das ferramentas por eles utilizadas.
A produção da dupla A12 indica que, esses alunos ao esboçar o gráfico
da função
F
, cometeram equívocos. Estando a função
F
representada no
domínio algébrico, a passagem para o domínio geométrico acarretou
dificuldade.
Figura 36 – Questão 5 - Produção da dupla de alunos A12
105
Os protocolos apresentado pelas duplas de estudantes A1, A3 até A13
indicam que a noção sobre continuidade não é clara. Possivelmente, para
essas duplas de alunos o conceito de continuidade em um ponto não está
institucionalizado. Com o propósito de ilustrar esta afirmação, reproduzimos a
resposta da dupla de estudantes A5:
f
não é contínua, pois não há uma
“ligação” entre elas.
F
é contínua, pois há uma “ligação das funções”.
Somente uma dupla de alunos a A2 demonstrou conhecimento sobre
continuidade, reproduzimos sua resposta: “
F
é contínua,
f
é descontínua no
ponto
2
x
”. Isto talvez se deva à sua boa leitura dos gráficos das funções.
Figura 37 – Questão 5 - Produção da dupla de alunos A2
No Quadro 6, referente à Questão 6 foi adotada a seguinte legenda:
106
S: para indicar que o aluno identificou o gráfico que representa a função
dada por
³
x
1
dt)t(f)x(F , assim como, qual representa a função
F
c
justificando
sua escolha.
B: para indicar que a dupla de estudantes fez sua escolha, mas não a
justificou.
B*: para indicar que a dupla de estudantes fez sua escolha justificando.
C*: para indicar que a dupla de estudantes analisou o comportamento da
função
f nos intervalos [-1,1], [1,2] e [2,5], mas não fez sua escolha.
C**: para indicar que a dupla de estudantes analisou a função
f
nos
intervalos [
-1,1], [1,2] e [2,5], fizeram a escolha e justificaram.
N: para indicar que as duplas não resolveram a questão.
E: para indicar que o aluno exibiu processos equivocados.
Quadro 6 – Tabulação dos resultados da Questão 6.
Questão 6
Dado o gráfico da função
f
definida no intervalo [-1,5]
e mais os gráficos
a); b); c);
d); e) ,
107
pergunta-se:
Item a Item b
Duplas
de
alunos
Quais dos gráficos a); b); c); d); e) você
acha que representa a função dada por:
)x(F =
³
x
1
?dt)t(f
Justifique sua escolha
Considerando a função
F
definida no
item anterior.
Quais dos gráficos a); b); c); d); e)
representam a função
F
c
?
Justifique sua escolha.
A1 N N
A2
C**
Nenhum, calculando o valor de
)x(f no
intervalo dado não há gráfico que
represente os valores obtidos.
S
A3 N N
A4
S
Escolheu o gráfico b)
S
Escolheu o gráfico d)
Pois a função
F
é a integral de f ,
quando deriva
F
ela fica igual a função
f .
A5
S
Escolheu o gráfico b)
Único que apresenta
01 x
(Protocolo do aluno figura 38)
N
A6
B
Escolheu o gráfico a)
S e B
Escolheu o gráfico d)
A7 N N
A8
S
Escolheu o gráfico b)
Pois, quando
0y , 1
x
B
Escolheu o gráfico c)
A9 N N
A10 N N
A11
N N
(Não Lembro)
A12
B
Escolheu o gráfico a)
B
Escolheu o gráfico b)
A13
B
Escolheu o gráfico c)
B
Escolheu o gráfico c)
Figura 38 - Questão 6- Produção da dupla de alunos A5
108
Os alunos da dupla A2 não souberam identificar o gráfico de
F
. No
entanto essa dupla deu indícios de que tentaram relacionar o gráfico de
F
com
o de
f
, conforme exibido no protocolo.
Eles interpretaram a função
f
descrita por três sentenças como sendo
três funções:
4x)x(f,2)x(f,x2)x(f .
A dupla A2 calculou a integral de cada função, cometendo um equívoco
ao integrar
x2)x(f , como mostra sua produção. Possivelmente se essa
dupla realizasse o jogo de quadros entre o gráfico e algébrico, observando que
a integral de uma função positiva é positiva, teria optado pelo gráfico b.
Figura 39 –Questão 6 - Produção da dupla de alunos A2
Observamos que os alunos da dupla A2 ao fazerem o estudo da função
f
, possivelmente perceberam que no intervalo
>@
1,1 trata-se de uma função
decrescente, que integrada, resultava numa função do segundo grau cujo
gráfico seria uma parábola com concavidade para baixo. Provavelmente,
109
usaram esse raciocínio nos intervalos
>@
2,1 e
>@
4,2 , mostrando que
compreendiam a relação dos gráficos das funções
F
e
f
.
Os estudantes da dupla A2 e A4 ao nomearem quais dos gráficos
representam a função
F
c
optaram pelo gráfico d, indicando que para essas
duplas é claro que a integração e a derivação são operações inversas. Os
alunos da dupla A2 aplicaram corretamente o TFC em um contexto gráfico.
Os estudantes da dupla A4 fizeram uma análise do gráfico da função
f
nos intervalos
>@
1,1
,
>@
2,1
,
>@
4,2
provavelmente interpretando como sendo uma
função descrita por três sentenças apesar de não terem explicitado isto.
Os estudantes da dupla A4 realizaram jogo dos quadros gráfico e
algébrico e optaram pelo gráfico b).
Figura 40 – Questão 6 - Produção da dupla de alunos A4
Relativamente ao item a os alunos da dupla A5 e A8 optaram
corretamente pelo gráfico b), explicitaram: “Pois, quando
0y
,
1
x
”.
110
A dupla A5 não resolveu o item b) e a dupla A8 escolheu o gráfico c)
sem justificativa, possivelmente por dificuldades para interpretar o significado
das funções
F
e
f
.
As duplas de estudantes A12 e A13 deram indícios de que fizeram uma
escolha aleatória, sem justifica, indicando desconhecimento da relação entre
integração e derivação.
Com a Questão 6, que envolve concepções de integração e derivação e
a relação entre elas, as produções dos alunos indicaram, que as ferramentas
não foram bem utilizadas, todavia, como já mencionamos, devemos considerar
que a questão não é simples nem trivial.
Por isso foi reconfortante observar que uma quantidade razoável de
alunos apresentou discussões corretas sobre a interelação entre derivação e
integração explorando o quadro gráfico.
No Quadro 7 referente à Questão 7 é adotada a seguinte legenda:
S: para indicar que o aluno concluiu os resultados corretamente e
completou o item b satisfatoriamente.
B: para indicar que a dupla de estudantes verificou cada uma das
afirmações dos itens da questão, concluindo e completando corretamente.
B*: para indicar que a dupla de estudantes verificou cada uma das
afirmações dos itens da questão, não concluíram ou não completaram
corretamente.
N: para indicar que as duplas não resolveram a questão.
E: para indicar que os alunos exibiram processos equivocados.
111
Quadro 7 – Tabulação dos resultados da Questão 7.
Os resultados chamam a atenção para o fato de 6 duplas não terem
respondido a esta questão. No entanto isto não deve causar surpresas se
Questão 7
As afirmações abaixo são verdadeiras.
Como você justificaria cada um dos resultados, partindo do se e chegando no então:
I) se
tdt2)x(f
x
0
³ , então,
x2)x(f
c
;
II) se
tdtsen)x(h
x
2
S
³
, então, xsen)x(h
c
;
III) se
dt3)y(m
y
1
³ , então, 3)y(m
c
.
O que você conclui destes resultados
Item a Item b
Dupla
s de
alunos
O que você conclui destes resultados
Complete:
³
x
0
,dt)t(f)x(g , então,
c
)x(g
______.
A1
NN
A2
B
Que derivando uma Integral, obtém a
função primitiva.
B
)x(f)x(g
c
A3
NN
A4 B*
B
)x(f)x(g
c
A5
B
Derivada da Integral é sua primitiva
B
)x(f)x(g
c
A6 B*
B
)x(f)x(g
c
A7
NN
A8
NN
A9
B
B
)x(f)x(g
c
A10
NN
A11
NN
A12
S
Diferenciais e Integrais são funções
inversas
S
)x(f)x(g
c
A13
S
Quando integro e derivo volto na
primitiva
S
)x(f)x(g
c
112
analisarmos a natureza abstrata das questões, como também o modo que se
apresenta o enunciado. Este requer certo grau de abstração e o item b uma
enorme “generalização”, a partir de três exemplos tínhamos consciência disso,
mas mesmo assim resolvemos manter esta questão do piloto, na expectativa
do que seria respondido.
As duplas de alunos A2, A5, A9, verificaram cada uma das afirmações
feitas na questão, calculando a integral e em seguida derivando o resultado
obtido. Observamos que esse procedimento também ocorreu com as duplas A
e B do questionário piloto, podendo indicar que talvez não tenha sido dada a
devida atenção à primeira parte do enunciado, em que se afirma que são
verdadeiras as afirmações e também porque esse tipo de procedimento é muito
mais visual do que está sendo proposto.
A dupla A2, ao ler o enunciado da questão, fez uma retificação no
enunciado expressando a sua dúvida.
Figura 41 – Questão 7 - Produção da dupla de alunos A2.
As duplas A4 e A6 também verificaram cada uma das afirmações feitas,
calculando a integral e em seguida derivando o resultado obtido. Esse fato
aconteceu também com outras duplas, o que reforça nossa observação
anterior sobre o enunciado.
113
Os estudantes A4 e A6 no item b) ao completar que “Se
³
x
0
dt)t(f)x(g ,
então,
)x(f)x(g
c
”, indicaram compreender que a derivação e a integração
são funções inversas.
Figura 42 – Questão 7 - Produção da dupla de alunos A4.
Com a questão 8, desejávamos oferecer um espaço para que os alunos,
se quisessem, pudessem opinar sobre a “fundamental” relação entre a
derivada e a integral. Além disso, desejávamos verificar se os alunos
percebiam as condições que uma função
f
deve satisfazer para que o TFC
seja válido.
Os protocolos das duplas A2, A5, A12, A13 indicam que os estudantes
têm a concepção de que a relação entre Integral e derivada é a pedra angular
do Cálculo Diferencial e Integral. As demais duplas de alunos não resolveram a
questão. Quanto ao item b) somente a dupla A13 explicitou um exemplo de
uma função definida em um intervalo [
a, b] que não satisfazia o teorema.
114
Figura 43 - Questão 8 - Produção da dupla de alunos A13
Entendemos que esses alunos mobilizaram conhecimentos antigos que
funcionaram como ferramentas para responder a pergunta.
Somente quatro duplas das treze que participaram da nossa pesquisa,
ao ler a definição do TFC, explicitaram conhecimento sobre a relação entre a
integral e a derivada, fazendo uso dessa ferramenta.
Os dados coletados nesta investigação demonstram que os obstáculos
dos estudantes para compreender o TFC estão relacionados com uma
incompleta mobilização das noções de derivada, integral e continuidade, uma
vez que utilizaram apenas parcialmente estes conhecimentos para a solução
das questões apresentadas.
115
C
apítulo 7
7 CONCLUSÕES
Esta pesquisa teve como finalidade fazer uma investigação sobre os
conhecimentos mobilizados por alunos que estudaram o Teorema Fundamental
do Cálculo. O TFC foi escolhido porque é um dos tópicos mais importantes
ensinados no Cálculo, estabelecendo a ligação entre os conceitos de
diferenciação e de integração.
O estudo das dissertações, teses e outras pesquisas em Educação
Matemática que abordam as dificuldades existentes na disciplina de Cálculo
nos nortearam nas escolhas que fizemos durante o desenvolvimento e
construção do trabalho. Entre essas pesquisas ressaltamos a de Segadas
(1998) intitulada “Students’ Understanding of the Fundamental Theorem of
Calculus: An exploration of definitions, theorems and Visual Imagery”.
Escolhemos investigar questões relacionadas a esse tema, motivada
pelos trabalhos desenvolvidos no nosso grupo de pesquisa o G2, intitulado
“Matemática do Ensino Superior: Didática do Ensino do Cálculo“, que, como o
próprio nome indica, desenvolve investigações a respeito do ensino de Cálculo
e, em particular, sobre o Teorema Fundamental do Cálculo. Por ocasião do
desenvolvimento de nosso trabalho, duas outras pesquisas estavam em
andamento sobre esse assunto: um deles dedicava-se sobre a investigação
sobre as representações de professores a respeito do Teorema Fundamental
do Cálculo, a outra refere-se a uma investigação sobre as representações do
Teorema Fundamental do Cálculo em livros didáticos.
Nossa pesquisa fundamentou-se nos pressupostos teóricos contidos na
dialética ferramenta-objeto e nos jogo de quadros de Douady (1987). De
116
acordo com Douady, manipular objetos matemáticos em vários contextos ou
quadros pode favorecer o processo de construção do conhecimento desses
objetos. Segundo ela, um quadro constitui-se de objetos de um ramo da
Matemática, de relações entre eles, de suas formulações e de imagens mentais
que o indivíduo associa aos objetos. O jogo de quadros são mudanças que o
docente faz e que visam fazer o aluno avançar nas etapas do estudo e, em
conseqüência, evoluir suas concepções. A dialética ferramenta-objeto é um
processo de várias fases, pelas quais o aluno precisa passar, para resolver um
determinado problema e adquirir um conhecimento.
No instrumento proposto aos alunos, fizemos uso dos quadros
geométrico e algébrico e também das ferramentas explícitas e do novo
explícito.
Para atingir nossos alvos utilizamos um questionário como instrumento
de pesquisa.
Trabalhamos com dois grupos de alunos. Fizemos previamente um
questionário piloto que foi aplicado a 3 duplas de alunos que já haviam
estudado o Teorema Fundamental do Cálculo e faziam o curso de Ciência de
Computação.
O questionário definitivo foi aplicado a um segundo grupo, formado por
13 duplas de estudantes que também haviam estudado o TFC e faziam o curso
de Licenciatura em Matemática.
Realizamos uma análise qualitativa dos dados coletados. Com relação
aos objetivos que buscávamos investigar, que eram respectivamente:
a) Se os estudantes identificam que a derivada da integral é a função
integranda:
Os protocolos permitiram concluir que os alunos conseguem determinar
a primitiva da função e aplicar a propriedade aditiva da integral apresentando
algumas vezes alguns equívocos algébricos. Permitem também, concluir que
sabem como derivar a integral e verificar que derivada da integral é a função
integranda. No entanto essa relação fica evidente no domínio algébrico, mas
quando mudamos para o domínio geométrico, muitos estudantes não utilizam
117
os conhecimentos contidos nas representações para a solução das questões
apresentadas, o que pode significar que eles dominam apenas parcialmente
estes conceitos.
b) Se os estudantes identificam que a integral (indefinida) da derivada de
uma função é a própria função:
Os registros dos estudantes mostram que, para maioria, o entendimento,
da idéia fundamental do Cálculo Diferencial e Integral, ou seja da relação entre
integral e derivada (a derivação da integral indefinida de uma função contínua
resulta na mesma função) é parcial quando mudamos do domínio algébrico
para o geométrico.
c) Se os estudantes identificam que a integral de uma função resulta do
cálculo da diferença entre o valor de uma primitiva dessa função no
limite superior e no limite inferior de integração:
A maioria dos estudantes buscou conhecimentos anteriores como
ferramenta, em cálculo de primitivas e conceito de integral definida, porém
constatamos que em muitas situações tais ferramentas não foram empregadas
corretamente, o que confirmam as conclusões anteriores que o conceito de
derivação, integração e continuidade não estavam totalmente construídos.
d) Se os estudantes identificam que a derivação e integração são
operações inversas:
Foi possível verificar que para maioria dos alunos a derivação e a
integração são operações inversas, porém foram identificadas dificuldades na
visualização e interpretação geométrica, confirmando as conclusões anteriores.
e) Verificar de que maneira os alunos manipulam os conceitos
relacionados ao TFC, tais como: a continuidade e a diferenciação,
etc.:
As análises mostraram que alguns dos obstáculos dos estudantes para
compreender o TFC estão relacionados com os conceitos de continuidade,
derivada, integral, pois mobilizaram apenas parcialmente os conhecimentos.
Podemos concluir que, para alguns estudantes, o cálculo da primitiva de uma
118
função polinomial não traz dificuldades, mas percebemos variados erros nos
procedimentos de cálculo.
No questionário piloto havia uma questão sobre o cálculo de uma
integral imprópria, que foi incluída porque essa noção estava prevista na grade
curricular do curso. Só uma dupla de alunos mostrou perceber que a função
integranda não está definida em um ponto do intervalo de integração. As
duplas de estudantes não demonstraram conhecer que a integral poderia ser
expressa como soma de duas integrais impróprias. Alguns expressaram tratar-
se de uma função descontínua. Tal afirmação pode significar, para esses
alunos que a função não está definida no ponto. Tratava-se de uma função
contínua não definida num ponto interior do intervalo de integração; decidimos
incluir no questionário definitivo uma função definida em todo o intervalo, porém
descontínua em um ponto, para verificar a mobilização do conceito de
continuidade e pudemos inferir a partir das concepções dos alunos que esse
conceito merece atenção no ensino.
As produções indicam também que, embora os conhecimentos
anteriores tenham sido utilizados como ferramenta, tais como o cálculo de área
de uma função e o cálculo de integral definida, em muitas situações tais
ferramentas não foram empregadas corretamente.
De uma forma geral, pudemos verificar que a maioria dos alunos
apresentou dificuldade para solucionar questões em que a simples visualização
de um gráfico faria com que não necessitassem desenvolver longos algoritmos.
Ao lerem a definição do TFC somente quatro duplas das treze
envolvidas nesta pesquisa demonstraram conhecimento sobre a relação entre
a integral e a derivada fazendo uso dessa ferramenta.
Os resultados encontrados podem também estar associados a hábitos
dos estudantes, que tendem a não focar a atenção aos aspectos conceituais do
teorema, apenas memorizando o algoritmo dos procedimentos sem, todavia
refletir sobre a sua aplicabilidade.
A dialética ferramenta-objeto bem como o jogo de quadros de Douady
mostrou-se um poderoso e eficiente instrumento para nossas análises.
119
A pesquisa aponta para algumas questões que merecem estudos mais
aprofundados, como por exemplo:
Quais são os obstáculos na aprendizagem de um conceito matemático
quando se estuda o Teorema Fundamental do Cálculo?
Ao desenvolvermos nossa pesquisa pretendíamos também motivar a
reflexão de pesquisadores e educadores, e assim estimular a busca da
compreensão dos fenômenos que interferem na aprendizagem do Cálculo
Diferencial e Integral.
120
R
eferências Bibliográficas
ÁVILA, G. Arquimedes, o Rigor e o Método in Matemática Universitan.
Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. São Paulo, 1986, v. 4.
________. Introdução à Análise Matemática. Editora Edgard Biücher Ltda, São
Paulo, 1993.
BARON, M. Curso de História da Matemática: origens e desenvolvimento do
Cálculo. Tradução de José Raimundo Braga Coelho, Rudolf Maier e Maria José
M. M. Mendes Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985. 5v.
BARUFI, M. C. B., “A construção/negociação de significados do curso
universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral”. Tese de Doutorado. USP,
1999.
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo, Edgard Blucher, 1974.
__________. Cálculo. São Paulo: Atual, 1992.
CELESTINO, M. R. Ensino-Aprendizagem da Álgebra Linear: As pesquisas
brasileiras da década de 90. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)
São Paulo - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2000.
COURANT, R. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Globo, 1951.
DAHAN-DALMEDICO, A, PEIFFER, Jeanne. Une histoire des mathématique.
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121
DOUADY, R. Jeux de cadres et dialectique outil-objet. Recherches en
Didactique des mathématiques, 7(2), 5-32, 1987.
EDWARDS JR, C. H. The historical development of the calculus, New York,
Springer-Verlag, 1979
EVES, H. (1953). Introdução a História da Matemática. Tradução de Hygino H.
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GARNICA, A. V. M. História Oral e educação matemática. BORBA, M. C.;
ARAÚJO, J0. L. (Org) Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo
Horizonte: Autêntica, p. 77-98. 2004.
HSIA, W. Y. A Utilização do livro didático pelo aluno ao estudar integral. São
Paulo Dissertação (mestrado em Educação Matemática) - Pontifícia
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KATZ, V. J. A History of Mathematics an introduction. University of the District
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LEITHOLD. O Cálculo com Geometria Analítica, (3th ed.), Habra, São Paulo,
1994.
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Paulo. Dissertação (mestrado em educação matemática) – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, 2003.
LIMA, E. L. Curso de Análise (1976, Vol.1, p. 254 -257).
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Universidade Católica – PUC – Rio. Rio de Janeiro, 2003, p. 11. Nacional.
122
PALARO, L. A. A concepção de Educação Matemática de Henri Lebesgue. São
Paulo. Tese (doutorado em Educação Matemática) - Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, 2006.
PARSHALL, K. H., RICE, A. (eds.). Mathematics unbound: The evolution of an
international mathematical research community, 1800-1945. History of Math,
vol. 23, American Mathematical Society / London Mathematical Society,
Providence, RI, 2002.
PONTE, J. P. Estudo de caso na investigação em Educação Matemática. In:
BOLEMA, ano 19, n. 25, p. 105-132, 2006.
SARAIVA, P. S. Novas Tecnologias no Ensino do Conceito de Limite de
Função. Dissertação (mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, 2000.
SEGADAS, V. C. Students’ Understanding of the Fundamental Theorem of
Calculus: an Exploration of Definitions and Visual Imagery. Tese de doutorado,
Institute of Education, University of London, 1998.
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fundamental theorem of calculus. Educational Studies Mathematics 26.229-274,
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THOMAS, K. The Fundamental Theorem of Calculus: an Investigation into
Students
’
Constructions. Phd. Thesis. Purdue University Graduate School,
1995.
123
THOMAS, G. Guia para História do Cálculo.
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custo
m3/deluxe-content.html acesso em 08/11/05. (Documento eletrônico
complementar à publicação THOMAS, G. Cálculo. 10a. ed. Pearson / Prentice
Hall, 2002.)
VIDIGAL, L. F. Conhecimentos Mobilizados por Alunos sobre a Noção Integral
no Contexto das Concepções Operacionais e Estruturais. Dissertação
(mestrado em Educação Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, 2007.
i
A
nexos
Anexo 1 - Questionário – Piloto
As quatro questões que compõem o questionário foram inspiradas nos questionários
trabalhados por Segadas (1998).
Questão 1: Calcular as integrais
a)
³
3
0
2
dx)1x4x2(
b)
dx
x
1
3
1
2
³
Questão 2: Se
xg
=
³
x
3
tdt2
determine:
a)
3g
b)
c
xg
c)
c
3g
Questão 3: Dado o gráfico da função
f definida no intervalo [-1, 5]
f
ii
Considere os gráficos a); b); c); d); e) abaixo.
a) b)
c) d)
e)
Qual dos gráficos a); b); c); d); e) poderia ser o gráfico da
)x(F =
³
x
1
?dt)t(f
Circule a letra correspondente à resposta certa. Justifique sua escolha.
a b c d e
iii
Considerando a função
F
definida no item anterior quais dos gráficos a); b); c); d); e) que
representa a função
F
c
? Circule a letra correspondente à resposta certa. Justifique sua
escolha.
a b c d e
Questão 4: as afirmações abaixo são verdadeiras, como você justificaria cada um dos
resultados, partindo do se... e chegando no então...
a) se
³
x
0
tdt2)x(f
, então, x2)x(f
c
;
b) se
³
S
x
2
sentdt)x(h , então, senx)x('h ;
c) se
³
y
1
dt3)y(m
, então, 3)y('m .
Sendo
³
x
0
dt)t(fxg
e considerando os dados acima, o que você pode dizer sobre
)x(g
c
?
iv
Anexo 2 - O Questionário
Curso:_______________Semestre:_______Data___/___/___
1. O gráfico da função dada por
3x2xxf
2
está representada abaixo:
a) Calcule
³
3
0
2
dx)3x2x(
.
b) Qual é o significado geométrico do resultado obtido no item a)?
c) No gráfico, indique esse resultado.
2. Considere a função
f cujo gráfico é representado abaixo:
a) Observando o gráfico indique o valor da integral de
f .
b) A expressão algébrica da função acima representada é:
¯
®
d
dd
3x2 se ,1
2x1 se ,0
)x(f
Como você calcula algebricamente a integral dessa função?
c) A função
f é contínua?
v
3. Dada a função
0tf
para 2t1 dd , considere agora a função
F
dada por
dttf)x(F
x
1
³
e determine:
a)
)1(F
b)
)2(F
c)
)x(F , para
2
x
1 dd
4. Dada a função
1tf , para 3t2 dd , considere agora a função
F
dada por
³
x
2
dt tfxF
e determine:
a)
)2(F
b)
¸
¹
·
¨
©
§
2
5
F
c)
xF , para
3x2 dd
d) Qual é o significado geométrico de cada um dos resultados?
5. Considerando a função
¯
®
d
dd
3t2 se 1,
2t1 se ,0
tf
, observe que a função
³
x
1
dt tfxF
,
pelos resultados anteriores (questões 2, 3, 4), expressa - se por
¯
®
dd
dd
3x2 se ,2x
2x1 se ,0
)x(F
.
a) Esboce o gráfico da função
F
.
b) Observando os gráficos de
f e
F
, responda se cada uma dessas funções é ou não
contínua.
c) Ainda observando o gráfico da função
F
, você sabe afirmar se a função é derivável?
6. Dado o gráfico da função
f definida no intervalo [-1,5] e mais os gráficos a); b); c); d);
e) a seguir:
vi
Considere os gráficos a); b); c); d); e) abaixo.
a) b)
c) d)
e)
Pergunta-se:
a) Qual dos gráficos a); b); c); d); e) você acha que representa a função dada por:
?dttf)x(F
x
1
³
Justifique sua escolha.
b) Considerando a função
F
definida no item anterior.
c) Qual dos gráficos a); b); c); d); e) representa função
F
c
? Justifique sua escolha.
vii
7. As afirmações abaixo são verdadeiras. Como você justificaria cada um dos resultados,
partindo do se... e chegando no então...
I) se
³
x
0
tdt2)x(f
, então, ;x2)x(f
c
II) se
³
S
x
2
sentdt)x(h
, então, senx)x('h ;
III) se
³
y
1
dt3)y(m
, então, 3)y('m .
a) O que você conclui destes resultados?
b) Complete:
³
x
0
dt)t(f)x(g
, então,
xg
'
__________________.
8. LIMA (1976, p. 256) apresenta o Teorema:
“Dada
>@
Rb,a:f o contínua, existe
>@
Rb,a:F o derivável, tal que f
F
c
”.
Em seguida denomina de Teorema Fundamental do Cálculo o seguinte:
“Se uma função integrável
>@
Rb,a:f o
possui uma primitiva
>@
Rb,a:F o
, então
aFbFdx xf
b
a
³
”.
a) Em sua opinião, porque esse teorema chama-se Teorema Fundamental do Cálculo?
b) Você pode dar um exemplo de uma função definida em um intervalo [a, b] que não
satisfaça o Teorema?
viii
Anexo 3 – Termo de Compromisso
Campus Marquês de Paranaguá -PUC -SP
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática
Mestrado Acadêmico
TERMO DE COMPROMISSO
Este termo tem como objetivo esclarecer os procedimentos de nossa pesquisa,
principalmente no que tange a utilização dos dados nela coletados.
O material coletado, as atividades realizadas, as transcrições e os registros
escritos, servirão de base para pesquisas. Os nomes dos sujeitos citados nas
transcrições, assim como nos registros escritos, serão trocados por pseudônimos,
preservando suas identidades em sigilo. As demais, as pesquisas que utilizarem o
material coletado não serão feitas menção à Instituição onde o sujeito leciona ou
estuda.
As informações provenientes da análise desse material poderão, ainda, ser
utilizadas pelos pesquisadores em publicações e eventos científicos.
São Paulo, de 2006.
___________________________________
Prof. Grácia Maria Catelli Anacleto
ix
Anexo 4 – Ementa disciplinas de Cálculo II do Curso de
Licenciatura de Matemática e Ciências da Computação
Ementa das disciplinas de Cálculo II do Curso de Licenciatura de Matemática e Ciências da
Computação, fornecida pela universidade em que a pesquisa foi realizada.
Plano de Ensino
Atualizado em: 15 de setembro de 2006.
Semestre: 1
o
Semestre/ 2007
Disciplina: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Código:
100.1289.3
Curso:
Matemática
Carga
Horária:
04 aulas
Teoria:
04 aulas
Prática:
Etapa:
2ª
Professor:
Objetivo:
GERAIS: Proporcionar aos alunos condições para
compreender conceitos fundamentais de Cálculo assim como
desenvolver a competência técnica para discutir e descobrir
diferentes maneiras de solução de problemas.
ESPECÍFICOS: Estudar conceitos de integral indefinida e
integral definida, as técnicas de integração e as aplicações
geométricas e físicas.
Ementa:
Primitivação - Integral indefinida. Integral definida. Aplicações.
Técnicas de integração. Cálculo de áreas, volumes e
comprimento de arcos. Coordenadas polares.
Metodologia:
Aulas teóricas expositivas e aulas com listas de exercícios.
Critério de
Avaliação:
No decorrer do semestre serão realizadas 4 provas (P
1
,P
2
,
P
3
e P
4
) , e no final, a prova de avaliação final (PAF).
A média final será: MF = 0,3 (P
1
+ P
2
) + 0,3 (P
2
+ P
4
) + 0,4
PAF.
O critério de aprovação será de acordo com o Ato 6/2001 da
Reitoria.
x
Conteúdo
Programático:
x Primitivação. Conceito de integral indefinida. Aplicação
à cinemática.
x Conceito de integral definida como limite de Somas de
Riemann. Interpretação geométrica. Propriedades.
x Teorema Fundamental do Cálculo e aplicações. Áreas
e volumes.
x Técnicas de integração: integração por substituição,
integração por partes, integrais trigonométricas,
integração por substituição trigonométrica, integração
por decomposição em frações parciais.
x Aplicações das integrais definidas ao cálculo de áreas,
volumes e comprimentos de arcos.
x Coordenadas polares: Cálculo de áreas em
coordenadas polares. Cálculo de comprimentos de
arcos em coordenadas polares.
Bibliografia: Básica:
STEWART, J., Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2006, v.1.
STEWART, J., Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2005, v.2.
Complementar:
GUIDORIZZI, H. L., Um curso de cálculo. 5.ed. Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2004.
LEITHOLD, L., O cálculo com geometria analítica. 3.ed.
São Paulo: Harbra, 1994.
SIMMONS, G. F., Cálculo com geometria analítica. São
Paulo: Pearson Education, 1988.
SWOKOWSKI, E. W., Cálculo com geometria analítica. São
Paulo: Makron Books, 2000, v.1.
SWOKOWSKI, E. W., Cálculo com geometria analítica.
2.ed. São Paulo: Makron Books, 1994, v.2.
xi
PLANO DE ENSINO DO CURSO DA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
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Baixar livros de Direitos humanos
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Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
