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PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
ÁREA DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICAS
Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática
MARINEZ CARGNIN STIELER
COMPREENSÃO DE CONCEITOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA NA
PERSPECTIVA DA MODELAGEM MATEMÁTICA: CAMINHOS PARA UMA
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA E CONTEXTUALIZADA NO ENSINO
SUPERIOR
Santa Maria, RS
2007
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MARINEZ CARGNIN STIELER
COMPREENSÃO DE CONCEITOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA NA
PERPECTIVA DA MODELAGEM MATEMÁTICA: CAMINHOS PARA UMA
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA E CONTEXTUALIZADA NO ENSINO
SUPERIOR
Dissertação apresentada ao Curso de
Mestrado Profissionalizante em Ensino
de Física e de Matemática do Centro
Universitário Franciscano como
exigência parcial para obtenção do
título de Mestre em Ensino de
Matemática.
Orientadora: VANILDE BISOGNIN
Santa Maria, RS
2006
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CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE
MATEMÁTICA
A COMISSÃO EXAMINADORA, ABAIXO-ASSINADA, APROVA A DISSERTAÇÃO:
COMPREENSÃO DE CONCEITOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA NA
PERPECTIVA DA MODELAGEM MATEMÁTICA: CAMINHOS PARA UMA
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA E CONTEXTUALIZADA NO ENSINO
SUPERIOR
Elaborada por:
MARINEZ CARGNIN STIELER
COMISSÃO EXAMINADORA
______________________________________________
Profª. Drª. Vanilde Bisognin
Presidente
________________________________________________
Profª. Drª. Silvia Maria de Aguiar Isaia
________________________________________________
Profª. Drª. Helena Noronha Cury
Santa Maria, 03 de maio de 2007.
Ao meu esposo, Eugênio, e ao meu filho,
Gabriel, por participarem de minha
caminhada, com amor e compreensão.
Aos meus pais, Antonio e Rosalina, pelo
amor e carinho dedicados e pelos princípios
e valores transmitidos.
AGRADECIMENTOS
Expresso minha gratidão a todos que contribuíram para que este trabalho pudesse se
realizar. Meu agradecimento especial,
A Deus, pela vida e pelas pessoas que colocastes em meu caminho;
À professora Vanilde Bisognin, que aceitou o desafio de orientar este trabalho e pela dedicada
orientação que auxiliou nas reflexões e construções realizadas;
À professora Silvia Maria de Aguiar Isaia, pelo acolhimento, pelas sugestões e discussões que
enriqueceram este trabalho;
À professora Helena Noronha Cury, pelas sugestões na apresentação do projeto;
Aos participantes Ana, Eva, Diana, Lia, Roberto e Vania, pela simpatia e disponibilidade
manifestadas;
À coordenadora do mestrado, Eleni Bisognin, pela acolhida e incentivo;
Ao corpo docente do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de
Matemática, pelo incentivo e empenho na formação profissional.
Aos colegas do curso, pelo convívio e troca de experiências;
À secretária do mestrado, Juliane, pela atuação e presteza;
Aos funcionários da Biblioteca da UNIFRA, pela disponibilidade e pelo atendimento
competente e atencioso;
A todos os meus professores, que contribuíram para que eu pudesse chegar até aqui;
Aos colegas de trabalho, pelo apoio e discussões que favoreceram o crescimento profissional
e pessoal;
Aos amigos do NEED, com os quais tenho aprendido muito, em especial a Helen, Ivanete e
Leonice pelo incentivo e apoio;
Aos meus alunos, que são o incentivo para a caminhada.
Ao meu cunhado Marco e minha irmã Miria, pela acolhida e apoio.
À UNEMAT pela licença para a qualificação, sem a qual não seria possível desenvolver este
trabalho.
As ensinanças da dúvida
Tive um chão (mas já faz tempo)
Todo feito de certezas
Tão duras como lajedos
Agora (o tempo é que fez)
Tenho um caminho de barro
Umedecido de dúvidas
Mas nele (devagar vou)
Me cresce funda a certeza
De que vale a pena o amor.
(Thiago de Mello)
RESUMO
Este trabalho tem como foco central a investigação sobre as possibilidades que a Modelagem
Matemática oferece à aprendizagem contextualizada e significativa de conceitos matemáticos
e estatísticos, em uma turma de sétimo semestre do Curso de Licenciatura em Matemática da
UNIFRA. As justificativas sustentam-se na possibilidade de adotar uma metodologia de
ensino capaz de oportunizar aos alunos o contato com problemas do cotidiano, desenvolvendo
a capacidade de resolvê-los e de analisar e interpretar as soluções e, ao mesmo tempo,
aprender conteúdos matemáticos e estatísticos. A investigação foi operacionalizada, numa
abordagem qualitativa, baseada nos dados coletados em entrevistas semi-estruturadas,
observações participantes das atividades desenvolvidas com os alunos, relatos dos sujeitos da
pesquisa registrados nos Diários de Campo e dos documentos por eles produzidos. Os sujeitos
participantes da pesquisa são os alunos que freqüentaram a disciplina de Projeto de Pesquisa
e Extensão em Educação Matemática II, que faz parte da matriz curricular do curso de
Licenciatura em Matemática. Embasada nos pressupostos teóricos, em reflexões próprias e
nos objetivos da pesquisa estabeleceu-se a análise dos dados. Com a análise foi possível
perceber mudanças de atitudes durante a investigação e o comprometimento dos alunos com o
trabalho desenvolvido. Percebeu-se também que o ambiente de Modelagem Matemática
despertou o interesse e a motivação para estudar conteúdos matemáticos e estatísticos
contextualizados e a significação desses conteúdos além de desenvolverem habilidades para a
investigação e a compreensão do papel sociocultural da matemática.
Palavras-chave: Ensino e aprendizagem de matemática, Modelagem Matemática, Ensino
Superior, aprendizagem significativa.
ABSTRACT
This work is focused on the investigation of the possibilities that Mathematical Modelling
offers to contextualized and meaningful learning of statistical and mathematical concepts, in a
class of students from the seventh semester of Mathematics from UNIFRA. The study is
supported on the possibilities of adopting a teaching methodology capable of enabling
students to have contact with everyday problems, developing the ability of solving them and
analyzing and interpreting the solutions while, at the same time, learning mathematic and
statistic subjects. The research was carried out, in a qualitative approach, based on data
collected in semi-structured interviews, observations made during student activities, reports of
research subjects which were registered in Diários de Campo and other documents produced
by them. Students enrolled in the Projeto de Pesquisa e Extensão em Educação Matemática
II, from the Mathematics course participated in this work as research subjects. The analysis of
the data was established based on theoretical approachest and personal reflection. Attitude
changes during the research and the commitment of the students with the study could be
verified through the analysis. It was also verified that the Mathematical Modelling
environment produced interest and motivation to study contextualized mathematic and
statistic subjects and the meaning of these subjects as well as developing abilities for
investigating and comprehending the socio-cultural role of mathematics.
Key words: Teaching and learning of mathematics, Mathematical Modelling, Higher
Education, meaningful learning.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO................................................................................................................11
1.1. TRAJETÓRIA PESSOAL................................................................................................11
1.2. PROBLEMÁTICA DA INVESTIGAÇÃO – RELEVÂNCIA DO ENSINO DA
MATEMÁTICA E DA ESTATÍSTICA...................................................................................14
1.3. O CONTEXTO .................................................................................................................16
1.3.1. A Instituição..............................................................................................................16
1.3.2. O Curso de Licenciatura em Matemática..................................................................18
1.3.3. A Disciplina ..............................................................................................................19
2. PRESSUPOSTOS TEÓRICOS ........................................................................................20
2.1. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A PRÁTICA PEDAGÓGICA......................20
2.2. METODOLOGIA DE ENSINO ADOTADA - MODELAGEM MATEMÁTICA.........24
3. DELINEAMENTO METODOLÓGICO..........................................................................35
3.1. O PROBLEMA.................................................................................................................35
3.2. OBJETIVO .......................................................................................................................35
3.3. ABORDAGEM METODOLÓGICA ...............................................................................36
3.4. SUJEITOS PARTICIPANTES.........................................................................................38
3.5. OS INSTRUMENTOS DE COLETAS DE DADOS .......................................................38
3.6. ANÁLISE DOS DADOS UTILIZADOS.........................................................................41
4. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS...........................................................43
4.1. APRESENTAÇÃO DOS SUJEITOS PARTICIPANTES ...............................................43
4.2. EXPERIÊNCIA EM AÇÃO.............................................................................................52
4.3. ATIVIDADES DOS GRUPOS E SUAS PRODUÇÕES.................................................58
4.4. APRECIAÇÃO DA EXPERIÊNCIA PELOS SUJEITOS PARTICIPANTES .............105
5. REFLEXÕES FINAIS....................................................................................................116
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ...........................................................................121
ANEXOS ................................................................................................................................126
ANEXO A - PLANO DE ENSINO........................................................................................127
ANEXO B - ARTIGO PRODUZIDO PELO GRUPO UM ...................................................129
ANEXO C - ARTIGO PRODUZIDO PELO GRUPO DOIS ................................................139
ANEXO D - ARTIGO PRODUZIDO PELO GRUPO TRÊS................................................149
ANEXO E - ARTIGO PRODUZIDO PELO GRUPO QUATRO .........................................161
APÊNDICES ..........................................................................................................................171
APÊNDICE A - ENTREVISTA INDIVIDUAL....................................................................172
APÊNDICE B - ENTREVISTA COLETIVA........................................................................175
11
1. INTRODUÇÃO
Este capítulo tece alguns aspectos da trajetória pessoal da pesquisadora que
encaminhou e influenciou na elaboração deste estudo e aborda também a problemática da
investigação, os aspectos de relevância do ensino da matemática e da estatística e, ainda, o
contexto em que aconteceu essa investigação, em especial, a instituição, a licenciatura e a
disciplina em estudo.
1.1. TRAJETÓRIA PESSOAL
Desde o ano de 1979, vi-me envolvida com o magistério embora não possuísse,
naquele período, um curso de licenciatura. Em 1982, ingressei no curso de licenciatura em
Matemática na Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e durante toda a faculdade
exerci o magistério. Desde o início da licenciatura, sempre participei de encontros, congressos
e cursos sobre Matemática e sobre Educação. Essa participação foi impulsionada pela
necessidade de atualização com a prática pedagógica.
Em 1986, ingressei, como professora efetiva, na rede estadual de ensino no município
de Nova Palma e em 1989, ingressei na rede estadual de Mato Grosso, atuando
exclusivamente no ensino de matemática. Até então, possuía experiência nas séries iniciais do
ensino fundamental. Logo, pude perceber a diferença entre a educação de um estado para
outro e a diferença entre os níveis de ensino. Nas séries iniciais, a responsabilidade do
professor é maior, mas a beleza de proporcionar a aquisição de conhecimento básico é
gratificante devido ao retorno recebido dos alunos. Confesso que esse retorno ainda não
percebi como professora das séries finais do ensino fundamental ou médio.
Minha primeira experiência com o ensino de Estatística, ocorreu em 1993, numa turma
de secretariado, na Escola Estadual 13 de Maio em Tangará da Serra-MT. As aulas de
estatística tinham como base o estudo da estatística descritiva com fórmulas e cálculos,
seguindo o modelo de aulas que recebi na graduação. Apesar de ter cursado três cadeiras
nessa área, não recebi uma preparação sólida para atuar na disciplina. Mesmo assim, esse
contato com a estatística forneceu subsídios que, posteriormente, auxiliaram-me a enfrentar
um concurso na área.
A aula expositiva sempre me acompanhou, mas mesmo com pouco embasamento
teórico, procurei algumas alternativas metodológicas, como a história da matemática, jogos,
materiais concretos, trabalhos em grupos, leituras de livros paradidáticos, entre outras
12
atividades, com o intuito de melhorar a aprendizagem. Com essas preocupações, que me
angustiavam, em 1994, ingressei em um curso de pós-graduação lato-sensu, oferecido pelo
Estado de Mato Grosso em Currículo do Ensino Fundamental.
Em 1998, ingressei como professora efetiva na área de Estatística, na Universidade do
Estado do Mato Grosso (UNEMAT). Ao ingressar no magistério superior, acreditava que os
alunos, por serem adultos, estariam interessados nos conteúdos que o professor deveria
transmitir. Logo no início, percebi que a pré-concepção que havia desenvolvido sobre o
ensino superior não estava correta. Era a única professora de Estatística no Campus de
Tangará da Serra, mas a angústia levou-me a pedir orientação a um colega, que havia
ministrado essa disciplina em outro Campus da UNEMAT. Ele orientou-me a ler Pedro Demo
e começar a desenvolver projetos porque, segundo ele, era disso que os acadêmicos
precisavam. Ouvi suas experiências e comecei a mudar minha postura. Sou grata a essas
orientações e também a um aluno que argumentou que estavam cursando o terceiro ano de um
curso superior e que precisavam de uma estatística que pudessem aplicar como futuros
profissionais. A partir de reflexões sobre esses fatos e de leituras, percebi, que também na
universidade, as aulas não podem ser desenvolvidas com exercícios sem sentido e nem
precisam de professores que lhes transmitam conteúdos. Para o acadêmico, o conteúdo tem
significado se representar uma situação do contexto para o futuro profissional e o aprendizado
é uma realidade que almeja para a vida. Com essa percepção, mesmo com pouco
embasamento teórico, passei a desenvolver alguns projetos com os alunos. Em alguns anos,
comecei a compartilhar a experiência com outros professores. A cada ano, a experiência
crescia e com isso aprimorava o meu trabalho.
Ao preparar as aulas, procurava propor situações que envolvessem os alunos,
propondo-lhes algumas atividades com reportagens, principalmente, ligadas a sua profissão.
Em contrapartida, a contribuição dos alunos era admirável e com isso, possibilitavam o
enriquecimento das aulas com algumas discussões sobre o assunto envolvido.
Em 2000, fui convidada a formar a equipe da coordenação pedagógica, na escola de
educação básica em que trabalhava. Primeiramente, assumi a coordenação das séries iniciais e
em seguida, a coordenação da área das Ciências da Natureza e Matemática. Tive a
oportunidade de acompanhar o trabalho de alguns professores e observar como lidam com as
dificuldades de seus alunos. Essa experiência proporcionou-me uma visão mais ampla da
educação e confesso que aprendi muito nesses quatro anos, pois foi uma convivência diferente
daquela que havia vivenciado anteriormente. Outro trabalho que quero destacar, por ter
vivenciado, foram as feiras do conhecimento, onde professores e alunos envolviam-se num
13
projeto conjunto para toda a escola e cada turma vivenciava uma situação diferente. Com
esses trabalhos, percebi que nenhuma área de atividade pode desconsiderar a matemática e a
estatística, pois ambas contribuem para a compreensão do contexto em que vivemos. Com
essas experiências, percebi que o ensino de matemática e de estatística não poderia
desvincular-se de uma situação vivenciada pelo aluno. Trabalhar a estatística ou a
matemática, de forma a dar sentido ao que o aluno estuda, ver numa representação gráfica ou
numa porcentagem, por exemplo, representações que respondam a um problema por eles
vivenciados, foi fruto de uma percepção da realidade. A insegurança era todavia como fazer
isso, sem se descuidar do conteúdo proposto pelo currículo escolar.
No segundo semestre de 2000, inicia-se o Programa de Ciências Agro-ambientais na
UNEMAT e passo a fazer parte do corpo docente desse projeto. Por ser um projeto inovador
dentro da instituição, propõe um trabalho diferenciado entre professores e acadêmicos e é uma
proposta interdisciplinar em que os conteúdos deveriam ser desenvolvidos em torno dos
problemas sociais vivenciados pela comunidade e por ela elencados. Confesso que foram
momentos de trabalhos compartilhados, de leituras e reflexões em conjunto com todo o corpo
docente. Uma oportunidade ímpar de aprendizado para os docentes que se empenharam em
manter viva a proposta de ensino que fez diferença para a aprendizagem daqueles jovens e
porque não dizer também dos docentes envolvidos.
Por alguns anos, as experiências foram diversificadas. O planejamento, as correções e
as leituras ocupavam o tempo destinado ao descanso ou ao lazer. Parte dos finais de semana
era ocupada com atividades escolares destinadas as aulas da rede pública e privada, na
educação básica e superior, com o ensino de matemática e de estatística e, nesse contexto,
ocorria o aprendizado de minha profissão.
Muitas situações contribuíram para o aprendizado e mudança da prática docente, como
o fato de estar atuando na rede pública de ensino e na rede privada, estar atuando no ensino
superior e na educação básica, participar de eventos científicos, participar de grupos de
estudos e, em especial, do Núcleo de Estudos de Educação e Diversidades (NEED), atuar na
coordenação pedagógica, tanto na educação básica quanto no ensino superior. Essas situações
e muitas outras, foram responsáveis pelo aprendizado e mudanças significativas da prática
docente.
Procurando respostas para essas inquietações, em 2004, ingressei no curso de
aperfeiçoamento em Matemática, oferecido pela Universidade Estadual de Campinas
(UNICAMP) na UNEMAT, Campus de Cáceres e, posteriormente, em 2005, no Curso de
Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática no Centro Universitário
14
Franciscano (UNIFRA). A expectativa foi a busca de alternativas para trabalhar com a
matemática e a estatística de forma contextualizada e significativa.
Neste contexto, foi proposto o problema da presente investigação. O processo de
traduzir as inquietações para a interrogação proposta, na presente pesquisa, não foi simples,
implicou idas e vindas pela literatura e reflexões até a convergência dos anseios.
1.2. PROBLEMÁTICA DA INVESTIGAÇÃO – RELEVÂNCIA DO ENSINO DA
MATEMÁTICA E DA ESTATÍSTICA
Esta investigação surgiu dos anseios e inquietações da nossa prática docente no ensino
de matemática e de estatística na educação básica e superior. O ensino de estatística, pode-se
dizer que, em geral, apresenta-se como uma simples ferramenta para as demais áreas do
conhecimento. As discussões sobre o ensino de estatística no Brasil são recentes e estão
geralmente ligadas ao ensino de matemática. Na Sociedade Brasileira de Educação
Matemática (SBEM), o mais novo grupo de pesquisa é o da Educação Estatística. A estatística
pode contribuir, de forma significativa, para a compreensão de novos conceitos e resultados
que permitam entender a própria matemática em si e, ao mesmo tempo, auxiliem na
interpretação dos problemas atuais do mundo em que o aluno está inserido. Nesse sentido, os
conceitos e resultados da estatística podem contribuir para uma análise crítica da realidade e
permitir aos educandos compreenderem problemas que envolvem a sociedade. A matemática
e a estatística possuem um papel social significativo na inclusão ou exclusão dos indivíduos
na sociedade, por isso, a preocupação de educar para auxiliar a construção de uma sociedade
mais justa.
Um trabalho docente de qualidade visa o desenvolvimento integral do educando de
uma forma dialética, necessita dos conhecimentos científicos sistematizados e do
conhecimento da realidade, sendo portanto, necessário uni-lo em torno de uma prática
pedagógica coerente.
Faz-se necessário que o educador repense sua prática pedagógica, fazendo uma opção
política e pedagógica por uma metodologia diferenciada que favoreça o aprendizado do aluno,
levando-o a buscar o saber de forma contextualizada e buscar soluções para problemas
vivenciados pela comunidade, com o objetivo de formar um cidadão independente, crítico e
criativo. Para isso, há a necessidade do educador adotar metodologias diferenciadas para o
ensino, refletindo sobre as práticas adotadas, a fim de contribuir com a discussão dos
problemas sociais.
15
A Modelagem Matemática é uma metodologia de ensino que permite explorar
questões relacionadas à realidade do aluno, nas quais a matemática ou a estatística surge
naturalmente no entendimento dessas questões ou na tomada de decisão, com a possibilidade
de tornar as aulas mais agradáveis, despertar o interesse pela disciplina, aguçar a criatividade
e a criticidade na solução de problemas do cotidiano.
Nessa perspectiva, essa metodologia é uma alternativa de trabalho, em sala de aula,
que permite a participação conjunta do professor e do aluno. Utilizar-se da Modelagem
Matemática é permitir que conteúdos sejam, desenvolvidos com o envolvimento e
participação ativa dos alunos e do professor, em um trabalho de trocas recíprocas.
Essa metodologia de trabalho estimula a criatividade, aguça o senso crítico e
possibilita a discussão de temas de relevância comunitária. O educando passa a ser atuante,
socializa os saberes e as dificuldades e o problema de pesquisa, geralmente, envolve um tema
que permite, para sua compreensão, o envolvimento de diferentes áreas do conhecimento,
possibilitando um trabalho interdisciplinar e colaborativo entre os professores.
Novas metodologias de ensino não mudam, necessariamente, a relação pedagógica
entre aluno e professor, mas modificam algumas das funções do professor e do aluno. O
professor se transforma no articulador da curiosidade do aluno, favorecendo o conhecimento,
a pesquisa, a busca de informação mais relevante, para num outro momento, coordenar o
processo de resolução dos problemas levantados e propiciar uma análise crítica dos resultados
obtidos pelos alunos com o professor.
A fim de possibilitar ao professor o atendimento a esses quesitos, é necessária uma
formação de qualidade comprometida com uma visão emancipatória do educando. A
formação inicial e continuada deve dar acesso a ambientes de pesquisa, com novas
tecnologias, e também a bibliografias atualizadas, priorizando a formação de grupos para a
análise e discussão de diferentes estratégias de ensino, para se formar assim, um educador
capaz de investigar a própria prática docente.
Esta investigação sugere um repensar da metodologia utilizada nas aulas, tendo em
vista o educando que se quer formar, ou seja, um cidadão consciente, capaz de interferir no
seu meio. Este estudo é produto da observação e reflexão dos modelos de concepção e
percepção das práticas adotadas em aula. A reflexão acadêmica sobre as práticas adotadas
contribui para a discussão e lança novas luzes sobre a educação.
Com o propósito de proporcionar um ensino de qualidade ao educando, faz-se
necessário substituir o acúmulo de informações, às vezes sem sentido, por situações
interdisciplinares que relacionem os conteúdos entre si, estimulando o domínio de
16
competências para a vida e a capacidade de aprender continuamente. O professor necessita
incorporar a investigação no seu cotidiano, partir para novas metodologias de ensino,
despertar o interesse do aluno, provocar reflexões, auxiliar na elaboração de sínteses, a fim de
facilitar um posicionamento crítico.
Ao ingressar no ensino superior, como professora de Estatística, imaginava, como
relatado anteriormente, que o primordial fosse transmitir conteúdos. Logo percebi que os
acadêmicos necessitavam ainda mais saber “para que serve?”, “aonde vou utilizar?”. Dessa
maneira, com urgência, precisamos encontrar formas para os alunos trabalharem, participarem
ativamente das aulas, investigarem sobre a realidade na qual vivem. Das angústias de perceber
conteúdos que pouco contribuíam para a motivação e aprendizagem dos alunos, surgiu a
necessidade de continuar buscando o aperfeiçoamento profissional e pessoal.
Nesta investigação, apresenta-se um estudo que foi desenvolvido com a utilização da
metodologia da Modelagem Matemática em uma turma do sétimo (7º) semestre do Curso de
Licenciatura em Matemática. Justifica-se a escolha dessa metodologia por permitir o contato
dos alunos com problemas do cotidiano, que permitem desenvolver a capacidade de resolvê-
los, de analisar e de interpretar as soluções e dessa forma melhor compreender o mundo em
que estão inseridos. Essa metodologia tem apresentado resultados animadores quanto à
motivação, participação e envolvimento dos atores no processo de ensino-aprendizagem.
Havendo relação da estatística ou da matemática com situações do cotidiano, permite-se uma
construção coletiva e participativa de alunos e professores no processo de ensino-
aprendizagem.
1.3. O CONTEXTO
Neste item pretendemos apresentar um breve relato sobre o contexto em que a
presente investigação ocorreu, a instituição de ensino superior, o Centro Universitário
Franciscano (UNIFRA), o curso de Licenciatura em Matemática, a disciplina de Projeto de
Pesquisa e Extensão em Educação Matemática II.
1.3.1. A Instituição
Na região central do Estado do Rio Grande do Sul, Santa Maria, tem sua história
marcada por um povo que busca cultura e conhecimento aliado a religiosidade e, isso, fez
17
dessa terra um campo fértil para o crescimento de instituições de ensino e no século XX,
destacou-se o ensino superior.
Santa Maria, uma cidade cuja população inicial foi constituída por uma grande
representatividade de ferroviários e militares e, posteriormente, de estudantes,
caracteriza-se atualmente como um município em que parte de sua população é
flutuante. Esse fato tem gerado para muitos que aqui residem temporariamente
certo desconhecimento da história desta Instituição. No entanto, o ir e vir de uma
parte representativa da população oportunizam a vantagem de disseminar, em locais
diferentes, o saber aqui construído (PPI, 2002, p.1).
O Centro Universitário Franciscano (UNIFRA) teve sua origem em 1955 como
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Imaculada Conceição (FIC). Em 1995, com a
unificação da FIC e da Faculdade de Enfermagem Nossa Senhora Medianeira (FACEM)
passou a denominar-se Faculdades Franciscanas (FAFRA).
Conforme o Projeto Pedagógico Institucional (PPI, 2002, p. 6 e 7)
Com as Faculdades Franciscanas, iniciou-se uma fase de crescimento pela
ampliação de cursos de graduação e de pós-graduação lato-sensu, expansão da
infra-estrutura física e organizacional e capacitação de docentes, o que possibilitou
à Instituição encaminhar sua transformação em Centro Universitário (PPI, 2002,
p.6).
Em 1998, a FAFRA é transformada no Centro universitário Franciscano pertencendo à
Congregação das Irmãs Franciscanas. Sua mantenedora é a Sociedade Caritativa e Literária
São Francisco de Assis Zona Norte (SCALIFRA-ZN).
Hoje, o Centro Universitário Franciscano - UNIFRA, fruto da integração
FIC/FACEM, é uma idéia que se materializou. Conhecido e respeitado nos meios
acadêmicos locais e nacionais, é uma instituição que compõe o cenário desta cidade
e contribui para o seu desenvolvimento social, cultural e educacional
(PPI, 2002,
p.6).
A UNIFRA é uma instituição de ensino superior com quatro conjuntos na área central
da cidade sendo sua sede localizada na Rua dos Andradas, centro de Santa Maria - RS. Sua
região de abrangência é de 34 municípios, nos quais vive uma população aproximadamente de
622 mil indivíduos e equivale a 6,5% da população do estado. O setor de serviços é
responsável por 65,3% do PIB regional; as atividades agropecuárias por 20,6% e a indústria
por 14,1%. O PIB per capta, em média, é de R$ 4 236,47 e o índice de desenvolvimento
humano - IDHM- varia entre 0,881 a 0,590. (UNIFRA, 2002)
18
Nesse contexto, a UNIFRA tem uma trajetória de experiência em ensino superior.
Comprometida com as questões educacionais e coerente com a concepção
institucional, desenvolve a produção e divulgação do conhecimento, a promoção da
cultura e contribui para o desenvolvimento técnico-científico e social, em
consonância com a filosofia franciscana (PPI, 2002, p.6).
Atualmente, o Centro Universitário Franciscano possui trinta cursos de graduação,
vários cursos de pós-graduação lato-sensu e dois cursos de pós-graduação stricto-sensu em
nível de Mestrado.
Além disso, gostaríamos de destacar, pela importância na aquisição de conhecimento,
a biblioteca que conta com uma política de informatização, de modo a favorecer e facilitar as
consultas ao acervo bibliográfico que é composto por livros, periódicos e monografias
(dissertações e teses).
1.3.2. O Curso de Licenciatura em Matemática
O curso de Licenciatura em Matemática foi criado em 1958 e reconhecido pelo decreto
número 47 437/59. Foi o primeiro curso a ser criado em Santa Maria, uma vez que somente
em 1966, teve início na UFSM o curso de Matemática, licenciatura (BISOGNIN &
BISOGNIN, 2005).
O currículo inicial do curso de Licenciatura em Matemática da FIC, como os demais
do país, sofreu influências das orientações trazidas para o Brasil de pesquisadores italianos
cuja pesquisa centrava-se em problemas de Geometria. Assim, as matrizes curriculares dos
primeiros cursos de Licenciatura em Matemática no Rio Grande do Sul continham a disciplina
de Geometria Projetiva, segundo Bisognin e Bisognin (2005).
Com a instituição dos currículos mínimos estabelecidos pelo MEC, o currículo do
curso de Matemática foi adaptado a esta legislação que perdurou até o ano de 2002, quando
foram aprovadas as novas diretrizes curriculares para a formação de professores.
As diretrizes curriculares nacionais para os cursos de formação de professores trazem
uma orientação diferente daquela estabelecida pela legislação anterior. Não apresentam
disciplinas obrigatórias, mas campos de saberes, além de preconizarem a flexibilização
curricular e a integração entre ensino, pesquisa e extensão. As instituições de ensino
superiores têm liberdade ao elaborar o projeto político pedagógico dos cursos, observando as
cargas horárias para prática de ensino e estágios estabelecidos nas resoluções.
O currículo do Curso de Licenciatura em Matemática foi adaptado a essas novas
diretrizes, a partir de 2004. Para responder a questão de flexibilização curricular foram criadas
210 horas de Estudos Independentes, além de disciplinas optativas. Para responder a questão
19
de integração do ensino, pesquisa e extensão o Projeto Político Pedagógico do curso propõe a
inclusão das disciplinas Projeto de Pesquisa e Extensão em Educação Matemática I e II.
Nessas disciplinas, com carga horária de 75 horas, os alunos têm oportunidade de
propor e desenvolver projetos de pesquisa e extensão, segundo diferentes metodologias, em
educação matemática.
O objetivo geral do curso de Licenciatura em Matemática da UNIFRA, conforme
Projeto Político Pedagógico de Matemática (PPP, 2004, p. 15), é “formar professores de
matemática para a segunda fase do ensino fundamental e ensino médio aptos ao exercício
profissional competente, empreendedor, ético, com visão global crítica, humanística, para
atuar numa sociedade de rápidas mudanças”.
O curso de Matemática da UNIFRA tem duração de quatro anos, perfazendo oito
semestres num total de 2 955 horas distribuídas entre quarenta e quatro disciplinas. O corpo
docente é formado por vinte e três professores, a maioria com graduação em Matemática e
titulação de mestre ou doutor. O curso é oferecido no período noturno e oferta uma turma de
quarenta vagas por ano.
1.3.3. A Disciplina
Uma das disciplinas de caráter obrigatório da matriz curricular do curso é Projeto de
Pesquisa e Extensão em Educação Matemática II com carga horária de 30 horas. Segundo o
Projeto Político Pedagógico do curso, essa disciplina está ligada ao componente curricular da
pesquisa “[...] e tem por finalidade, propiciar ao educando oportunidade de experienciar a
relação teoria-prática-teoria em processo de investigação da realidade e do conhecimento em
estudo, como meio de construção do saber, e de intervenção, via prática de pesquisa ou
extensão na prática pedagógica” (PPP 2004, p.24).
A ementa dessa disciplina publicada na página da instituição é “metodologia da
modelagem matemática: modelagem matemática em sala de aula, realização de um ou mais
projeto de pesquisa e/ ou extensão seguindo a metodologia da modelagem matemática sob
orientação do professor” (UNIFRA). Segundo o Projeto Político Pedagógico (2004) a
bibliografia básica e complementar será indicada pelo professor de acordo com o tema
escolhido pelo aluno.
De acordo, com os objetivos do curso, e da ementa da disciplina, a mesma foi
escolhida para a realização desta investigação por oportunizar a aplicação da metodologia da
Modelagem Matemática em um curso superior de formação de professores.
20
2. PRESSUPOSTOS TEÓRICOS
“A história da vida não se desenrola apenas nos campos de batalha
e nos gabinetes presidenciais. Ela se desenrola também nos
quintais, entre plantas e galinhas; nas ruas de subúrbio, nas casas
de jogo, nos prostíbulos, nos colégios, nas ruínas, nos namoros de
esquina. Disso eu quis fazer a minha poesia, dessa vida obscura e
injustiçada, porque o canto não pode ser uma traição à vida, e só é
justo cantar se o nosso canto arrasta consigo as pessoas e as coisas
que não têm voz” (Ferreira Goulart).
Nossa intenção neste capítulo é explicitar uma perspectiva da Modelagem Matemática,
como metodologia de ensino, capaz de possibilitar aos alunos uma aprendizagem significativa
e contextualizada. Significativa, por partir da realidade em que os alunos estão inseridos,
dando sentido aos procedimentos matemáticos e estatísticos que serão utilizados para a
investigação e compreensão das situações-problema elencadas. Contextualizada, porque os
conteúdos matemáticos e estatísticos estão associados a realidade sociocultural. Para isso
embasamo-nos em autores que trabalham com a Modelagem Matemática no ensino. A escolha
da Modelagem Matemática para realizar a pesquisa com alunos de Licenciatura em
Matemática está embasada nas novas abordagens para o ensino de matemática e estatística e
nos Parâmetros Curriculares Nacionais, especialmente levando-se em conta a ênfase na
aprendizagem contextualizada e na análise crítica das possibilidades que essa abordagem
permite. Com esse propósito, começamos abordando algumas considerações sobre a prática
pedagógica e, posteriormente, discutimos a metodologia de ensino adotada nesta pesquisa, a
Modelagem Matemática.
2.1. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A PRÁTICA PEDAGÓGICA
Ao referir-se sobre a aprendizagem na universidade, Zabalza (2004), procura
simplificar, usando metáforas. Na metáfora do diálogo ou do coro, ele a define como um
processo de interação com os atores da educação e o contexto onde ela se realiza. Inclusive,
cita exemplo, da insegurança e da falta de criatividade em alunos privados da interação com
colegas e professor, por participarem de aprendizagem virtual. A aprendizagem por mais que
seja individual, se dá nas contribuições com os pares. Cabral e Baldino (2006), defendem que
se aprende falando e não escutando, que é a forma que geralmente o professor pensa que
ensina. Dessa forma, o aluno aprende quando ele interage com os colegas e o professor. “[...]
21
O aprendizado dos alunos depende não apenas deles [...] mas também das condições em que
se dá o processo de aprendizagem e da capacidade dos professores para ajudá-los”
(ZABALZA, 2004, p. 197). O autor argumenta que as tendências didáticas da modernidade
insistem em orientar o processo de aprendizagem para a autonomia do sujeito. Para ele, o
objetivo básico de qualquer atividade de aprendizagem é o aluno ter a possibilidade de
desenvolvê-la com autonomia, acompanhado pelo professor.
O trabalho docente no ensino superior para Masetto (2001) e Zabalza (2004), é
complicado porque não pode ser encarado como uma oportunidade para comunicar aos alunos
o conhecimento e as experiências do professor sobre o conteúdo. Na opinião de Masetto
(2001), o docente necessita estar atento às novas exigências da sociedade para com o futuro
profissional. Sobre a crescente exigência na qualidade do ensino universitário, argumenta que
a sociedade impõe certas condições de atualização para o futuro profissional de forma que
este precisa se adaptar a essas exigências, demonstrando além do conhecimento a capacidade
de relacioná-lo com informações atuais. Para Zabalza (2004), o docente necessita repensar as
metodologias de ensino visando trabalhar um processo de formação continuada,
possibilitando ao aluno o aprofundamento na disciplina de acordo com a própria motivação.
Giesta (2003, p. 40) discutindo sobre a complexidade do ensinar e aprender na educação
superior argumenta:
O docente que tiver clareza do seu papel diante da educação está também consciente
do seu compromisso com a aprendizagem de seus alunos. Uma aprendizagem que
lhe confira confiança em utilizar conhecimentos adquiridos para analisar, refletir,
propor, modificar, acrescentar, suprimir informações e ações.
Comprometido com a aprendizagem, o professor procura buscar sua formação
continuada, a fim de possibilitar aos acadêmicos um ensino de qualidade, voltado para as
necessidades dos estudantes e da sociedade.
O docente desempenha um papel importante na busca de novos conhecimentos e
formas de ensinar. O aprendiz tende a copiá-lo em suas atitudes e valores. Portanto, para o
acadêmico aprender, faz-se necessário que ele também seja responsável pela sua
aprendizagem, juntamente com seus colegas e professor na busca de uma formação
profissional e humana. A importância da formação, segundo Zabalza (2004), está vinculada
ao crescimento e aperfeiçoamento das pessoas e o aperfeiçoamento deve ser entendido num
sentido amplo, como crescimento pessoal, sendo este para qualificar a pessoa. Acréscimos na
22
formação só têm sentido quando se dá como um todo, visando o crescimento do ser humano,
da pessoa que está em processo de formação.
Chamamos ‘aprendizagem contínua’ o desenvolvimento do potencial humano
através de um processo de apoio constante que estimule e capacite os sujeitos a
adquirir os conhecimentos, os valores, as habilidades e a compreensão das coisas
que vão necessitar para saber aplicá-los com confiança, criatividade e prazer em
quantos papéis, circunstancias e ambientes vejam-se envolvidos durante toda sua
vida. (LONGWORTH apud ZABALZA, 2004, p. 54).
Para o autor, essa definição homogeneíza e homologa, em nível mundial, a formação
contínua. A importância da definição se deve ao fato de aliar a formação ao prazer do sujeito
estar em formação para a vida, se tornando um ser independente, capaz de gerenciar sua
aprendizagem.
O processo de formação contínua para Isaia e Bolzan (2006), é entendido como um
processo de (trans)formação. Entende-se como um processo que vai além da formação, que
supera o âmbito profissional, estendendo-se ao âmbito pessoal, inclusive.
Quando o professor atua nas licenciaturas, seu papel é essencial, porque além de
formar futuros profissionais, está diante de futuros formadores de opinião, de profissionais
que, em breve, terão a responsabilidade de formar outros seres humanos, que deverão ter as
mesmas oportunidades como pessoas.
A formação envolve segundo Isaia e Bolzan (2006, p.72),
[...] ações formativas desenvolvidas ou ativadas conscientemente pelos próprios
professores ou futuros professores; ações formativas orientadas por professores
responsáveis pela preparação de futuros profissionais da educação; ações formativas
a partir da interação com outros professores ou alunos em formação e, ainda, os
contextos específicos nos quais a formação se desenvolve.
Percebe-se então, que o processo de formação é amplo e acontece no contexto e na
interação com os outros e depende de uma ação consciente dos envolvidos.
Ao refletir sobre os profissionais que as licenciaturas devem formar Isaia e Bolzan
(2006) salientam que este necessita ter o conhecimento para ser professor e o conhecimento
específico da área que vai lecionar. Portanto, para ser professor, o sujeito precisa ter o
conhecimento de como e o quê ensinar. “O papel de mediador é fator essencial para que os
processos de ensino e de aprendizagem se estabeleçam, promovendo as trocas socioculturais
essenciais ao desenvolvimento de aprendentes e ensinantes”. (ISAIA & BOLZAN, 2006,
p.71).
23
Quando o ensino e a pesquisa não andam juntos tem-se um empobrecimento da
produção pedagógica. O professor que ensina em especial nas licenciaturas e procura
pesquisar sua própria prática docente atinge os objetivos de formação continuada tanto sua
quanto dos acadêmicos (ISAIA, 2003; ZABALZA, 2004; ISAIA & BOLZAN, 2006).
Segundo os autores, essa valorização da pesquisa na educação não é comum, tendo em vista
que ela acontece, em geral, dissociada do ensino.
Com o propósito de favorecer a aprendizagem e melhorar a qualidade dos cursos de
graduação, uma das características básicas da aprendizagem, segundo Masetto (2004, p. 87) é:
Integrar o processo de ensino-aprendizagem com a atividade de pesquisa tanto do
aluno como do professor. O aluno começar a se responsabilizar por buscar as
informações, aprender a localizá-las, analisá-las, relacionar as novas informações
com seus conhecimentos anteriores, dando-lhes significado próprio, redigir
conclusões, observar situações de campo e registrá-las, trabalhar com esses dados e
procurar chegar à solução de problemas etc.
Atuando dessa forma, o professor proporciona ao aluno oportunidades de reflexões
pessoais e compartilhadas e favorece a autonomia do educando. Nesse sentido, Isaia (2003)
argumenta que a medida que o professor oportuniza a formação de seus alunos, ele se
constitui como tal. E nesse sentido, entende-se que o professor que prima por oportunizar uma
formação mais adequada aos seus educandos favorece sua própria formação e atuando assim
desempenha o papel de educador consciente. Isaia e Bolzan (2006) argumentam, ao mesmo
tempo, que os professores são responsáveis pelos processos formativos de seus alunos e seus e
trata-se de integrá-los a prática educativa.
Ser educador é fazer uma opção metodológica, uma opção política consciente, com a
escolha de uma metodologia de ensino que favoreça o processo de emancipação do educando.
A educação é intencional “[...] toda e qualquer metodologia de ensino possui uma
intencionalidade política. Não existe, pois, uma metodologia de ensino despolitizada, assim
como toda ação pedagógica supõe uma atitude metodológica” (RAYS, 2000, p.101). Por essa
razão, o educador, ao posicionar-se metodologicamente antes, fez uma opção política
consciente ou inconscientemente que está atrelada a sua visão de mundo. Para Saviani (1997,
p. 13), “a neutralidade é impossível porque não existe conhecimento desinteressado”.
É papel do educador fazer uma análise crítica da realidade na qual está inserida a
escola e a realidade social dos educandos, para optar por uma metodologia de ensino que
favoreça os anseios do momento e do futuro desses educandos. “A opção por uma
metodologia de ensino que atenda aos interesses imediatos e mediatos dos educandos, só pode
24
ser originada da análise crítica do contexto social e das características individuais e grupais
[...]” (RAYS, 2000, P.90). Para realizar essa análise crítica, faz-se necessário que o educador
esteja inserido no ambiente escolar e analise, criticamente, o meio social do qual os
educandos provêm.
Utilizar uma metodologia de ensino que proporcione a unidade entre a teoria e a
prática, favorece o aprendizado do saber elaborado de forma crítica. Referindo-se à unidade
entre a teoria e a prática, Rays (1998, p. 40) escreve que “a correta unidade dessa relação
exige uma prática pedagógica histórico-crítica, visando a garantir ao educando atividades
cognoscitivas e atividades práticas, que proporcionem os meios para a assimilação crítica do
conhecimento científico e da realidade objetiva”.
O professor pesquisador, aquele que pesquisa sua própria prática docente, tem
condições de unir a prática a teoria. A teoria desenvolve-se ao pesquisar sobre educação e a
prática ao exercitar a função de educador, porque dessa forma desenvolve a prática com o
conhecimento teórico de suas pesquisas, de suas construções, enfim das reflexões em torno da
prática educativa.
Segundo Sacristán (1999, p. 19)
Elucidar o problema das relações entre teoria e prática constitui um esforço para
obter uma teoria explicativa do como, do porquê e do para que da prática educativa,
que deveria explicar os processos de elaboração e de desenvolvimento do
pensamento sobre a educação e dos possíveis papéis que desempenha (grifo do
autor).
Com essa idéia, procura-se explicitar no próximo item como, por que e para quê a
Modelagem Matemática estará posta neste estudo e além disso, para quem, discutindo-a como
uma metodologia de ensino capaz de embasar a ação desenvolvida durante esta investigação e
desta forma, adquiri-se conhecimento teórico sobre a ação que se pretende desenvolver para
posterior análise e ainda refletir sobre a prática desenvolvida.
A formação do professor é percebida como indispensável à construção de um espaço
de aprendizagem significativa e contextualizada, em que formadores e alunos estejam
envolvidos em aprender através da pesquisa. A Modelagem Matemática, nessa visão, pode
possibilitar ao professor construir seu próprio processo de aprendizagem docente.
2.2. METODOLOGIA DE ENSINO ADOTADA - MODELAGEM MATEMÁTICA
25
A forma como os conteúdos matemáticos e estatísticos são trabalhados, podem
contribuir para que o aluno tenha uma visão crítica das relações sociais que envolvem os seres
humanos. Para Bassanezi (2002), é necessário buscar alternativas de ensino aprendizagem que
facilitem a compreensão e a utilização da matemática. Para esse autor, a Modelagem
Matemática une teoria e prática, motiva o aluno no entendimento da realidade que o cerca e
na busca de meios para agir sobre ela e transformá-la. Assim, o aluno terá um discernimento
mais apropriado para exercer a cidadania e participar da sociedade ativamente.
Segundo Barbosa (2005), transpor o ensino de Matemática do paradigma do exercício
para o de cenários para a investigação é um avanço considerável para uma aprendizagem
significativa. Para o autor, o paradigma do exercício está centrado no conhecimento do
professor, ele expõe o conteúdo, exemplifica, passa exercícios para serem resolvidos pelos
alunos, conforme o modelo e os corrige. As estratégias estão predefinidas e os exercícios são
o centro da atenção, dessa forma o professor trabalha na zona de conforto. No entanto, os
cenários para a investigação representam zona de risco pelo fato de que, nesse cenário, parte-
se de um problema, uma situação de investigação, passando pela discussão dos alunos e
professor, uma situação de plenária. O exercício é a consolidação das normas, conhecimento
produzido com o professor em diálogo com os alunos. Nessa situação, o centro é a
investigação, o exercício é periférico. Como as atividades que surgem não são programadas
pelo professor porque os alunos investigam, pesquisam, surgindo discussões que,
normalmente, não surgiriam em aulas de matemática, o professor depara-se com situações
novas a cada aula, a cada turma, o que o faz estar em constante busca e ele passa então a ser
um eterno aprendiz.
Em relação às investigações sobre o ensino e a aprendizagem dos conteúdos de
estatística e matemática, Wodewotzki e Jacobini (2004) sugerem que sejam realizadas
concomitantes e com intercâmbio dos resultados alcançados, além de não serem exclusivas e
nem dissociadas. Não é possível separar a estatística da matemática. A estatística, em geral, é
utilizada como ferramenta pela matemática e vice-versa. Roiter e Petocz, apud Grácio e
Oliveira (2005, p.9), pesquisando sobre cursos nas universidades australianas “identificam
quatro abordagens principais para cursos introdutórios de Estatística: Estatística como ramo
da Matemática; Estatística como análise de dados; Estatística como delineamento
experimental e Estatística como resolução de problemas”.
Discutindo a importância do pensamento estatístico, inclusive na abordagem de
conteúdos matemáticos, Wodewotzki e Jacobini (2004, p. 234) descrevem sua percepção com
a estatística.
26
No ensino superior a Estatística é ministrada em praticamente todos os cursos, com
ênfase na estatística descritiva e em questões relacionadas com a inferência
estatística. No entanto, apesar da importância do pensamento estatístico na
abordagem dos conteúdos programáticos, sua presença raramente é percebida.
Devido ao fato da estatística passar despercebida, acredita-se que o importante é a
forma como é trabalhada e pode, ou não, envolver os conteúdos abordados. Sua presença será
marcante ao representar mais que uma disciplina no currículo, um significado para o aluno e
um envolvimento com a vivência do aluno; ao investigar problemas relacionados ao cotidiano
do aluno, que favoreçam a tomada de decisões; ao oportunizar reflexões e críticas podem
trazer uma relevância aos trabalhos desenvolvidos.
Lopes (2004, p.192), ao discutir uma perspectiva para o ensino de estatística que
possibilite ao aluno realizar análises de questões sociais e econômicas, posiciona-se pela
estatística na perspectiva da análise de dados e argumenta.
Incorporar estatística nas aulas de matemática, focalizando uma formação mais
crítica parece exigir uma abordagem dos conhecimentos estatísticos na perspectiva
da análise de dados que sejam coletados a partir de uma problemática que seja
relevante para o estudante.
Os educadores matemáticos em qualquer nível de ensino possivelmente estão
comprometidos com a construção da cidadania do estudante, ao considerar o ensino
de estatística como análise de dados.
Compactua-se com a opinião da autora, pois ao considerar o ensino de estatística, a
partir da análise de dados, oriundos da coleta, a fim de solucionar situação-problema do
interesse do aluno, torna-se possível uma formação crítica. Cargnin Stieler (2006) argumenta
ser papel da estatística favorecer a tomada de decisão de forma crítica, consciente e
condizente com a realidade.
Pela importância que pode exercer na formação do sujeito, a estatística tem despertado
atenção dos educadores, de modo que, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), há a
sugestão de desenvolver a capacidade de pesquisar informações, analisá-las e relacioná-las
com a capacidade de aprender, criar e formular ao invés do simples exercício de memorização
(BRASIL, 1999). Esses conteúdos podem ser propostos com dados reais e relacionados à
realidade do aluno, desde que parta deles a problemática a ser pesquisada ou que ela seja de
seu interesse.
Os PCNs argumentam que a matemática pode contribuir de forma significativa para o
exercício da cidadania, uma vez que, para exercê-la, faz-se necessário saber calcular, medir
raciocinar, argumentar e tratar informações estatisticamente.
27
Para isso, faz-se necessário desenvolver uma prática pedagógica em que se desenvolva
a criatividade, a iniciativa pessoal de emitir opinião e tomar decisões, a socialização do
conhecimento, a argumentação, o estabelecimento de estratégia, a validação de resultados, a
capacidade crítica e a autonomia. Segundo Lopes (2004), a ação crítica e reflexiva com a
estatística ajuda o aluno a refazer seu modo de observar o mundo, formando-o para tomar
decisões.
Pelo fato de ser o professor de matemática, na educação básica, que trabalha com a
estatística, na disciplina de matemática, surge assim uma tentativa de integração de conceitos
matemáticos e estatísticos para a resolução de problemas através da Modelagem Matemática.
No Brasil, segundo Burak (2004), iniciaram-se os trabalhos de Modelagem
Matemática com um grupo de professores coordenados pelo professor Dr. Rodney Carlos
Bassanezi, na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), nos anos oitenta. Em cursos
de especialização três anos mais tarde, no Paraná, hoje, Universidade Estadual do Centro
Oeste (UNICENTRO).
A partir de 1987, começam os primeiros trabalhos com enfoque na Modelagem, como
uma alternativa para o ensino de matemática, sob a forma de dissertações e artigos. Mas nas
salas de aulas ainda hoje, continuam como experiências isoladas.
A Modelagem Matemática surge como uma alternativa para contextualizar as aulas de
matemática, ministradas em qualquer nível de ensino, via da investigação e pesquisa. Segundo
Burak (2004), ela vem ao encontro das expectativas do educando, por dar sentido ao que ele
estuda, por satisfazer suas necessidades, seus interesses, realizando seus objetivos. O aluno
trabalhará com entusiasmo e perseverança formando atitudes positivas em relação à
matemática, ou seja, despertará nele o gosto pela disciplina. Para
Bisognin, Bisognin e Rays
(2004, p. 82), “o ensino de matemática, por meio da Modelagem Matemática, proporciona ao
aluno o contato com problemas reais e desenvolve a capacidade de resolvê-los”.
Para melhor compreensão da Modelagem Matemática, esse referencial teórico está
baseado em autores como Barbosa (2001, 2003, 2004 e 2005), Bassanezi (2002), Biembengut
e Hein (2003), Burak (1987, 2004), Wodewotzki e Jacobini (2001, 2004), entre outros que
publicaram trabalhos sobre a Modelagem Matemática.
O professor ao conhecer novas metodologias necessita ler, estudar, pesquisar e buscar
fontes de informações. Trabalhar com a Modelagem Matemática é uma proposta motivadora,
mas necessita-se conhecer a experiência do aluno, sua realidade social, o meio cultural em
que o aluno está inserido, o contexto social, político, econômico e cultural porque o aluno é
parte fundamental: ele sugere, opta, participa e contribui. Para isso, as atividades devem partir
28
da realidade do seu ambiente, a fim de desenvolver um conhecimento contextualizado, crítico
e significativo. Entende-se que a Modelagem Matemática favorece a construção coletiva
(ISAIA & BOLZAN, 2006) pelo fato que a produção se realiza na troca de idéias e discussões
entre professor e alunos.
Segundo Rodney Bassanezi, Modelagem Matemática é:
[...] um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos
matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de
previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de
transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem
ser interpretadas na linguagem usual (2002, p. 24).
Modelos matemáticos e situações que envolvem Modelagem Matemática, descritas
por ele, podem ser vistas como aproximações da realidade contextualizada, pois geralmente,
não é possível trabalhar com todas as variáveis do problema real.
A Modelagem Matemática no ensino, segundo a definição dada por Biembengut e
Hein (2003, p. 82), pode ser:
[...] um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele
ainda desconhece, ao mesmo tempo em que aprende a arte de modelar,
matematicamente. Isso porque é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-
problema por meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso
crítico.
Exemplos de utilização da Modelagem Matemática são citados pelos autores,
relatando o quanto foi possível despertar o interesse dos alunos em situações concretas, como
ao fazer uma caixinha ou ao criar perus em que, além do ensino da matemática estar
contextualizado, desperta o senso crítico do aluno.
Ao investigar temas da realidade é possível instigar o aluno a se interessar por
problemas atuais da sociedade, como as injustiças sociais, problemas econômicos, ambientais,
dentre outros, enquanto aprende matemática. Dessa forma, o ensino, pela Modelagem
Matemática, passa a ter um papel relevante no aspecto social, porque o aprendiz troca a
passividade por uma posição atuante, em condição de contribuir, dissipar mudanças, interagir
e tomar decisões como cidadão integrado na sociedade.
Dentre as literaturas consultadas, acredita-se que este estudo identifica-se com a
definição produzida por Barbosa (2004b, p. 4) que ao discutir atividades de Modelagem na
educação matemática desenvolvidas na escola, resume que Modelagem Matemática “é um
ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por
29
meio da matemática, situações com referência na realidade”. No mesmo artigo, descreve
exemplos, nos quais a Modelagem Matemática foi desenvolvida em sala de aula como
facilitador da aprendizagem e as conquistas obtidas em favor da educação matemática.
Na literatura consultada, existem abordagens diferentes para a Modelagem
Matemática. Cada autor tem uma visão relacionada a sua história de vida, sua experiência e
sua formação. Existem divergências e pontos em comum que, em geral, relacionam a
matemática e a estatística com o contexto, contribuindo para tornar o conhecimento mais
prazeroso, útil e motivador, além de relacionar a matemática e a estatística com as outras
ciências. Uma das visões distintas, mesmo que seja no emprego das palavras, são autores que
citam a Modelagem Matemática como estratégia de ensino (BASSANEZI, 2002;
BIEMBENGUT & HEIN, 2003) ou como uma metodologia de ensino (BARBOSA, 2001c;
BURAK, 1989) ou usam ambas (BURAK, 2004). Entende-se que são significados atribuídos
a palavras e podem estar associadas a modismos ou a concepções próprias.
O dicionário Michaelis (1998) define estratégia como a “arte de usar os meios
disponíveis ou as condições que se apresentam para atingir determinados objetivos” (p. 524) e
metodologia como a “teoria dos procedimentos de ensino, geral ou particular, para cada
disciplina; didática teórica” (p. 842). Quanto a origem das palavras segundo o dicionário
Novo Aurélio [s.d] estratégia pelo grego strategía e do latim strategia e metodologia do grego
méthodos.
Quando a Modelagem Matemática vem acompanhada de fundamentação teórica é uma
metodologia de ensino, por explicitar a concepção de educação que se pretende almejar.
Estratégia pode ser uma técnica sem embasamento teórico, uma palavra tecnicista e ser
generalizada como, por exemplo, estratégia de combate, estratégia de guerra. Estratégia de
ensino é pontual, é um instrumento, uma técnica, uma ferramenta que auxilia o aluno na
aprendizagem. Wodewotzki e Jacobini (2004, p. 234) exploram a palavra estratégia ao
relacionar estratégia de atuação com o pensamento estatístico. Segundo esses autores, “A
estratégia é um elemento essencial para o planejamento de um trabalho quantitativo simples,
para a elaboração de um projeto, a definição de hipótese e de variáveis, como para a escolha
dos sujeitos e para o processo de coleta de dados”. Barbosa (2001c, p.211), a usa para
descrever as concepções das participantes da sua pesquisa quanto a Modelagem para ensinar
matemática. “[...] pareciam identificar a Modelagem como uma estratégia de ensino, no
sentido de que, através dela, a aprendizagem dos conteúdos seria alcançada”. Zabalza (2004),
escrevendo sobre os tipos de atividades que condicionam o processo de aprender, cita as
estratégias de ensino, definindo “como é apresentado o conteúdo em tempo e forma
30
determinados” (p. 196) e estratégias de aprendizagem sendo “como o aprendiz, por meio de
sua própria atividade, organiza, elabora e reproduz tal conteúdo” (p. 197). Anastasiou e Alves
(2003, p. 68), ao referirem-se aos meios ou processos utilizados em aula, argumentam ser
utilizada estratégia como sinônimo de técnica ou dinâmica e adotam o termo estratégia
definindo “[...] como a arte de aplicar ou explorar os meios e condições favoráveis e
disponíveis, visando à efetivação da ensinagem”.
Metodologia de ensino é mais abrangente e está intimamente ligada com a visão de
mundo, com a concepção de educação, de ensino que o educador possui. Numa metodologia
de ensino é possível discutir o papel da educação. É possível explicitar a concepção de
educação do educador. Utilizar a Modelagem Matemática como uma metodologia de ensino
para a aprendizagem da matemática ou da estatística, evidencia o compromisso com uma
educação transformadora.
Caldeira (2004), ao se referir à Modelagem Matemática, enfatiza a necessidade dos
conhecimentos matemáticos para o indivíduo atuar como sujeito de transformação social e
sugere que essa aprendizagem parta do contexto sociocultural do aluno, proporcionando-lhe o
desenvolvimento do pensamento lógico, da criatividade, de aprender conceitos e de construir
estruturas matemáticas, a fim de compreender a realidade social, histórica e cultural.
Por essas razões, entende-se que a matemática ou a estatística ensinada via
Modelagem Matemática, faz sentido para a aprendizagem do aluno. Ao partir do contexto do
aluno, ele terá entusiasmo para aprender, gostará dessa aprendizagem, além de lhe facilitar a
tomada de decisão em situações do cotidiano que envolvam aspectos socioculturais. Nesse
sentido, Gadotti (2003, p. 48), ao explanar por que as pessoas aprendem, escreve:
Todo ser vivo aprende na interação com o seu contexto: aprendizagem é relação com
o contexto. Quem dá significado ao que aprendemos é o contexto. Por isso para o
educador ensinar com qualidade, ele precisa dominar, além do texto, o com-texto,
além do conteúdo, o significado do conteúdo que é dado pelo contexto social,
político, econômico ... enfim, histórico do que ensina.
Na Modelagem Matemática, busca-se, na resolução de situações-problema
vivenciadas pela sociedade, os modelos matemáticos que auxiliam os alunos a
compreenderem tais fatos e adquirirem conceitos matemáticos ou estatísticos, favorecendo a
compreensão do papel da matemática ou da estatística que os ajudará nas tomadas de decisão
com o objetivo de formar um cidadão mais consciente.
Para Skovsmose (2001), a construção de modelos para entender a matemática, só é
relevante se forem entendidas, além da construção matemática, as idéias econômicas que
31
estão por trás de cada modelo matemático. É ser capaz de seguir os caminhos da educação
matemática crítica.
Barbosa (2001c, 2003b), discute as perspectivas de Modelagem Matemática no
cenário internacional, classificando-a em três formas de abordagem, do ponto de vista teórico.
Na perspectiva pragmática, os alunos utilizam a matemática para resolver problemas reais e o
currículo se resume em tópicos de matemática com aplicações imediatas, priorizando o
conhecimento técnico e a capacidade de resolver problemas. Na perspectiva científica-
humanista, o contexto é utilizado como motivação para conduzir os alunos a tópicos de
matemática, prioriza o conhecimento matemático. A perspectiva sociocrítica analisa o papel
da matemática nas práticas sociais, priorizando o conhecimento reflexivo, a capacidade de
discutir as implicações dos resultados matemáticos decorrentes da resolução de situações-
problema da sociedade. Defendendo a idéia da Modelagem Matemática na perspectiva
sociocrítica, Barbosa (2003b, s.n), argumenta que “[...] aplicações da matemática estão
amplamente presentes na sociedade e trazem implicações para a vida das pessoas”. A
capacidade de compreender e criticar argumentos matemáticos auxilia a intervenção dos
indivíduos em debates baseados em matemática e minimiza a chance de aceitar o argumento
do outro sem questionamentos. Nesse sentido, a educação matemática crítica defendida por
Skovsmose (2001), sugere que os trabalhos escolares auxiliem os alunos na reflexão sobre a
natureza crítica da matemática e os prepare para o exercício da cidadania. Situações do dia-a-
dia, situações que acontecem na sociedade preparam os alunos para viverem no cotidiano e é
um propósito para levar o aluno a aprender matemática.
Na perspectiva sociocrítica da Modelagem Matemática, acredita-se ser possível
investigar o contexto social. A esse respeito Demo (1990), escreve que a visão da pesquisa no
contexto dos interesses sociais é o ponto fundamental. Para esse autor, pesquisar é aprender
em sentido criativo, é aprender de verdade, é parte integrante do processo emancipatório, no
qual se constrói o sujeito crítico, capaz de valorizar o semelhante e ser valorizado, capaz de
questionar criativamente a realidade. A aprendizagem, por meio da pesquisa, facilita o
processo de construção de um sujeito capaz de ter atitudes próprias, com capacidade para
argumentar e discutir questões sociais. Na opinião de Demo (1996), educar pela pesquisa é
um desafio agradável, mas não fácil. O aluno vem para a escola para trabalhar em conjunto,
tendo no professor a orientação motivadora, é pois um trabalho coletivo.
Nossos alunos precisarão aprender a iniciação à pesquisa e aos trabalhos científicos,
a fazer investigação de caráter básico, a socializar esses conhecimentos, a
desenvolver competências e atitudes que lhes permitam analisar e discutir
32
criticamente a ciência e suas soluções para os problemas da humanidade como hoje
se apresentam, e a tomar decisões com responsabilidade de profissionais
competentes e cidadãos. (MASETTO, 2001 p. 84)
Observa-se a importância de uma aprendizagem interativa e colaborativa, envolvendo
o aluno em atividades de pesquisa, com o objetivo de formar um sujeito capaz de exercer sua
profissão com dignidade e respeito aos seus semelhantes.
Segundo Masetto (2001, p. 87), algumas das características básicas da aprendizagem
no ensino universitário são adquirir conhecimentos de maneira crítica, com a capacidade para
refletir sobre a sua formação, valorizando-a e “integrar o processo de ensino e aprendizagem
com atividade de pesquisa tanto do aluno como do professor”; para acontecer a aprendizagem,
ela precisa ser significativa para o aluno e envolvê-lo como ser humano, sendo ele sujeito do
processo de aprendizagem.
Segundo Chizzotti (2001), o ensino carece e deve tirar proveito da pesquisa, de forma
sistemática e como uma atividade do cotidiano. Pesquisar é ampliar os horizontes, é aprender
buscar o conhecimento de forma mais ampla, atendendo interesses individuais e coletivos. A
Modelagem Matemática em suas várias formas de aplicação está relacionada com a pesquisa,
com o ato de investigar. Demo (1996), argumenta sobre a importância da pesquisa na
educação objetivando torná-la a maneira própria de educar.
Ao utilizarem a Modelagem Matemática no ensino de estatística Jacobini e
Wodewotzki (2001, p. 64), concluem que “a aplicação da Modelagem Matemática no ensino
faz com que o aluno perceba a estreita relação existente entre o que ele aprende e o meio em
que ele vive”. Eles relatam como objetivos, mostrar a importância da disciplina e motivá-los
para a aprendizagem. Isso acontece pelo fato do aluno pesquisar o meio em que ele vive e
usar a estatística ou a matemática, a fim de solucionar as situações postas por eles em
conjunto com o professor.
Segundo Wodewotzki e Jacobini (2004, p. 235),
[...] em qualquer um dos níveis de ensino, os estudantes devem ser preparados para
escolher projetos, aprender a formular questões, planejar e coletar efetivamente os
dados, escolher os métodos estatísticos adequados, resumir as informações e criticar
os resultados obtidos, elaborar relatórios que sejam objetivos e críticos e entender
limitações da Estatística, geradas principalmente pela incerteza e pela variabilidade.
Dessa forma, o ensino está relacionado a um ato de incerteza. O ensino e o
pensamento sobre ele são variáveis dependentes da época histórica, do contexto e dos
resultados almejados por quem ensina. O professor reflexivo procurará desenvolvê-lo por
33
meio de pesquisas, a fim de possibilitar aos aprendizes um pensamento interpretativo e uma
visão analítica da vida cotidiana.
Destacamos a importância de os alunos gerarem seus próprios dados, defrontando-se
com atividades de ensino nas quais determinem a temática, formulem o problema
que se quer investigar, formulem hipóteses e planejam. É muito importante que
sejam os estudantes a gerar seus próprios dados. As atividades que assumem a forma
de projetos fornecem aos estudantes experiência na formulação de questões, na
definição de problemas, na formulação de hipóteses, na coleta e na representação de
dados (LOPES, 2004, P. 196).
A qualidade das abordagens matemáticas e/ou estatísticas faz a diferença para a
aprendizagem do aluno. A forma como se aborda um conteúdo pode contribuir, de maneira
significativa, para um aprendizado consciente e crítico. Na opinião de Caldeira (2004), o nível
do curso se medirá pela qualidade com que se abordará cada tópico, ganhando a dimensão do
qualitativo no aprendizado.
Para Freire (1996), é indispensável ao professor saber que o fundamental, no ser
humano, é despertar a curiosidade, que faz o sujeito perguntar, conhecer, atuar, reconhecer.
Entende-se que, ao trabalhar com a Modelagem Matemática, é possível também aguçar a
curiosidade do aluno, que irá investigar a problemática de seu interesse, o que lhe despertou a
curiosidade de saber mais sobre, de pesquisar sobre. É um desafio trabalhar nessa perspectiva,
em sala de aula, pois o professor e os alunos passam a ser desafiados a todo instante. O
professor pode enriquecer o trabalho com indagações que favoreçam a aprendizagem,
permanecendo atento a todas as possibilidades, para facilitar a aprendizagem de forma crítica
e consciente. Nesse sentido, para Freire e Faundez (1985, p. 48), “[...] a primeira coisa que
aquele que ensina deveria aprender é saber perguntar. Saber perguntar-se, saber quais são as
perguntas que nos estimulam e estimulam a sociedade. Perguntas essenciais que partem da
cotidianidade, pois é nela onde estão as perguntas”. A curiosidade gera a pergunta, a ação de
refletir e pensar sobre uma situação posta. Exercitar a curiosidade, o ato de perguntar é sair da
zona de conforto e desafiar-se. Perguntar é dar o direito de receber respostas e perguntas
gerando discussões, em torno de situações vivenciadas.
Um dos propósitos da Modelagem Matemática, entre outros, é levar o aluno a gostar
mais da Matemática, gostar de estudar Matemática, sentir vontade de estar em contato com
essa disciplina. Pensa-se que a Modelagem Matemática atinge esse objetivo quando ela
favorece a discussão de situações vivenciadas no dia-a-dia, facilitando a tomada de decisão.
“Acreditamos que esse gosto se desenvolve com mais facilidade quando é movido por
34
interesses e estímulos externos à Matemática, vindo do ‘mundo real’” (BASSANEZI, 2002, P.
15).
Discutindo a formação dos professores, Barbosa (2001b), inclusive baseado em outros
autores, considera que são vantagens da Modelagem Matemática, a contribuição na
compreensão dos conteúdos matemáticos, desenvolvimento de habilidades de pesquisa e
experimentação, levando em consideração o contexto sociocultural, a interdisciplinaridade, a
espiralização do currículo, a significação das atividades escolares, o envolvimento dos alunos,
o relacionamento e a influência positiva no desempenho escolar.
Por ser um processo de investigação, a Modelagem Matemática possibilita ao aluno
participar ativamente do trabalho, desperta nele interesse, curiosidade, criatividade,
motivação, favorece a criação de um ambiente que propicie momentos de construção do
conhecimento, de descoberta, de troca de idéias, de produção significativa e crítica, visando
formar um cidadão consciente. Blum, apud Barbosa (2003a, p. 67) discutem cinco
argumentos para incluir a Modelagem Matemática na educação escolar.
- Motivação: os alunos sentir-se-iam mais estimulados para o estudo de matemática,
já que vislumbrariam a aplicabilidade do que estudam na escola;
- Facilitação da aprendizagem: os alunos teriam mais facilidade em compreender as
idéias matemáticas, já que poderiam conectá-las a outros assuntos;
- Preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas: os alunos teriam a
oportunidade de desenvolver a capacidade de aplicar matemática em diversas
situações, o que é desejável para moverem-se no dia-a-dia e no mundo do trabalho;
- Desenvolvimento de habilidades gerais de exploração: os alunos desenvolveriam
habilidades gerais de investigação;
- Compreensão do papel sócio-cultural da matemática: os alunos analisariam como a
matemática é usada nas práticas sociais.
Ao analisar as contribuições da Modelagem Matemática para o ensino–aprendizagem,
observando essas assertivas e refletir sobre cada uma delas, percebe-se que todas têm sua
importância. Salienta-se a motivação e o interesse, a vontade de aprender, a participação e a
colaboração, a aplicabilidade e/ou a utilidade, a investigação e a pesquisa, como fatores
importantes para que essa metodologia de ensino seja aplicada. A principal, porém, é a
compreensão do papel sociocultural da Matemática que auxilia o educando na tomada de
decisão.
35
3. DELINEAMENTO METODOLÓGICO
A proposição da presente investigação surgiu das nossas inquietações profissionais,
referentes ao ensino de matemática e de estatística e do interesse que sentimos em refletir
sobre as possibilidades que a Modelagem Matemática oferece à aprendizagem
contextualizada e significativa de conceitos matemáticos e estatísticos.
Este capítulo dedica-se a justificar os delineamentos metodológicos, composto pelo
problema, objetivos, abordagem metodológica, sujeitos participantes da pesquisa, os
instrumentos de coleta de dados e a análise dos dados utilizados.
3.1. O PROBLEMA
O problema de pesquisa que orienta esse estudo é sustentado pela problemática da
investigação que argumenta a relevância do ensino da matemática e da estatística e a
importância do problema em estudo.
Dessa forma, busca-se delimitar o tema da pesquisa, a fim de apresentar o ensino de
maneira contextualizada, crítica e contribuir para a compreensão do papel da matemática e da
estatística nas práticas sociais. Este estudo tem como problema de pesquisa:
A metodologia da Modelagem Matemática contribui para uma aprendizagem significativa e
contextualizada de conceitos de Matemática e Estatística em um curso de licenciatura?
3.2. OBJETIVO
No intuito de encontrar solução para o problema pesquisado, estabeleceu-se o objetivo a
seguir:
Objetivo geral:
Analisar as possibilidades que a Modelagem Matemática oferece à aprendizagem
contextualizada e significativa de conceitos matemáticos e estatísticos, em uma turma de
sétimo semestre do Curso de Licenciatura em Matemática da UNIFRA.
Objetivos específicos:
-Observar as atividades de Modelagem Matemática, realizadas pelos alunos do ponto de vista
da matemática e do contexto social.
36
-Analisar a aprendizagem adquirida durante a construção de modelos matemáticos.
-Analisar o modo pelo qual a Modelagem Matemática contribui para uma aprendizagem
contextualizada e significativa de conceitos matemáticos e estatísticos.
3.3. ABORDAGEM METODOLÓGICA
Esta investigação requer a opção por uma abordagem de pesquisa e a definição de
procedimentos metodológicos para o plano de ação da experiência de ensino a ser
desenvolvida. Descreve-se, de forma sucinta, a abordagem de pesquisa e os procedimentos
metodológicos a serem utilizados no plano de ação para o desenvolvimento da Modelagem
Matemática.
A pesquisa, quanto aos objetivos, é descritiva porque, segundo Gil (2002), é a que
descreve as características de um determinado grupo ou determina as associações entre as
varáveis. Tem uma abordagem qualitativa por trabalhar com o pensamento do aluno,
analisando as respostas e atitudes em sua complexidade (D’AMBROSIO, 2004). Nessa
abordagem, o raciocínio é dialético e indutivo, preocupa-se com a qualidade das informações,
possibilita narrativas ricas e interpretações individuais ou partilhadas, dependendo do
contexto. Para Oliveira (2002, p. 117)
As pesquisas que se utilizam da abordagem qualitativa possuem a facilidade de
poder descrever a complexidade de uma determinada hipótese ou problema, analisar
a interação de certas variáveis, compreender e classificar processos dinâmicos
experimentados por grupos sociais, apresentar contribuições no processo de
mudança, criação ou formação de opiniões de determinado grupo e permitir, em
maior grau de profundidade, a interpretação das particularidades dos
comportamentos ou atitudes dos indivíduos.
Para o autor, essa abordagem permite uma pesquisa não estruturada de caráter
exploratório que favorece ao pesquisador um entendimento significativo do contexto de
inserção do problema. Além disso, há um acompanhamento mais detalhado e pormenorizado
da situação que é a pretensão, ao desenvolver as atividades de Modelagem Matemática.
Com o propósito de encaminhar o trabalho em sala de aula, seguimos as etapas da
Modelagem Matemática descritos por Burak (2004) que são: escolha do tema; pesquisa
exploratória; levantamento dos problemas; resolução do(s) problemas e o desenvolvimento da
matemática relacionada ao tema; análise crítica da(s) solução (es).
A experiência teve início com a apresentação da proposta de trabalho seguindo os
passos descritos por Burak (2004):
37
A escolha do tema:
O tema foi proposto pelos grupos de acordo com o interesse de seus componentes.
Nesta etapa, a professora pesquisadora observou as discussões que os alunos travaram para a
escolha do tema e quais argumentos usaram para chegarem a um consenso sobre o assunto a
ser pesquisado. Essas observações foram registradas no Diário de Campo da pesquisadora,
divididas por grupo para facilitar o trabalho e ter as observações em seqüências.
Pesquisa exploratória:
É a etapa de investigação sobre o tema e sobre o conteúdo matemático a ser abordado,
no intuito de conhecer as dimensões socioculturais do contexto dos alunos.
Levantamento das situações-problema:
As situações-problema foram elaboradas pelos grupos, a partir da investigação dos
dados. Essa etapa estimulou a busca e a organização de dados, favoreceu a compreensão do
assunto em questão. As situações-problema determinaram o conteúdo matemático ou
estatístico a ser desenvolvido. Nessa etapa, cada grupo decidiu a problemática a investigar, ou
seja, que situações-problema eles pretendiam investigar.
Resolução das situações-problema e o desenvolvimento da matemática ou estatística
relacionada ao tema:
A resolução das situações-problema constituiu-se numa das etapas mais ricas, pois
favoreceu a aprendizagem de conteúdos matemáticos e estatísticos de forma contextualizada.
A partir das hipóteses levantadas pelos grupos, juntamente com as professoras, foram
desenvolvidos diferentes conteúdos matemáticos e estatísticos. Essa etapa oportunizou a
construção de modelos matemáticos que permitiram a tomada de decisão e favoreceram a
formação do pensamento reflexivo como também as habilidades de pesquisa.
Análise crítica da(s) solução (es):
Verificamos se a solução da situação-problema investigada era válida e realizamos a
validação e a análise crítica para a elucidação de fatos do cotidiano. Os alunos foram
encorajados a investigar o que era possível aplicar de estatística e/ou matemática na resolução
das situações-problema, quais suas implicações sociais e a relevância para a comunidade.
Durante o desenvolvimento desta investigação, que teve a intenção de trabalhar com
Modelagem Matemática, a ação pedagógica da professora pesquisadora embasou-se em
Ferruzzi, que descreve as seguintes orientações ao professor que pretende desenvolver
atividades com Modelagem Matemática.
38
[...] o professor deve comportar-se como um orientador, como um coordenador das
atividades, tentando solucionar as dúvidas dos alunos, intervir quanto solicitado e
recomendar bibliografias que possam auxiliar os alunos, comportando-se assim
como um norteador de idéias. É importante que os alunos reflitam sobre o seu
trabalho. Assim, o professor não deve responder diretamente as questões, mas sim,
usar questões que os incentivem a refletir sobre o seu desenvolvimento.
É importante também que os alunos sejam incentivados a justificar seus
procedimentos e que explicitem matematicamente suas conclusões, para que assim,
reflitam sobre o seu próprio trabalho. Assim, a atitude do professor visa a orientação
dos trabalhos, oferecendo apoio, provocando discussões, realizando ligações entre o
conhecimento do aluno e os conteúdos a serem apresentados. (2004, p. 11).
As orientações da autora vêm ao encontro desta investigação, pois as professoras
procuraram orientar e coordenar as atividades com Modelagem Matemática, valendo-se de
intervenções quando solicitadas ou ao julgarem necessária, bem como instigaram discussões
no intuito de provocar reflexões.
Vencidas todas essas etapas, foi destinada oportunidade para os grupos apresentarem
seus trabalhos aos alunos e professores do curso de Licenciatura em Matemática da UNIFRA
e, dessa forma, puderam compartilhar os resultados da experiência com a comunidade do
curso.
3.4. SUJEITOS PARTICIPANTES
A presente investigação foi desenvolvida com alunos do sétimo semestre do Curso de
Licenciatura em Matemática da UNIFRA, matriculados na disciplina Projeto de Pesquisa e
Extensão em Educação Matemática II e foi realizada de março a junho de 2006, com um
encontro semanal de duas horas-aulas. Freqüentaram a referida disciplina seis alunos. A fim
de preservar a identidade, em consonância com a pesquisa qualitativa, para os alunos são
apresentados os nomes fictícios de sua preferência de Ana, Diana, Eva, Lia, Roberto e Vania.
3.5. OS INSTRUMENTOS DE COLETAS DE DADOS
O desenvolvimento da investigação é de natureza qualitativa e para uma melhor
compreensão do problema foi utilizado mais de um instrumento para obtenção dos dados,
como observação participante, Diários de Campo, análise de documentos e entrevistas.
A observação participante é uma forma consciente e crítica do pesquisador obter as
informações desejadas, interferindo, quando necessário, de modo que se sinta membro do
grupo e que o grupo também o conceba da mesma forma. Para Feil (1995), a observação
participante é um instrumento de captação de dados e de mudança social porque é também um
39
instrumento de modificação do meio pesquisado. Para Alves-Mazzotti (1999), a observação
participante é a mais utilizada nas pesquisas qualitativas e o pesquisador é o principal e o mais
confiável instrumento de observação, seleção, coordenação e interpretação. Na pesquisa
qualitativa, segundo Barbosa (2001c, p. 82), “o pesquisador é considerado instrumento de
pesquisa, que pode recorrer às suas experiências, ao seu conhecimento táctico e aos seus
pressupostos existenciais para coletar os dados, compreendê-los e interpretá-los”.
O acompanhamento do desenvolvimento das atividades de Modelagem Matemática foi
realizado através de registros sistemáticos no Diário de Campo da pesquisadora, no qual foi
registrado o que ocorreu durante o andamento das atividades. Para Feil (1995, p. 13), Diário
de Campo “é o instrumento pelo qual o pesquisador registra, descreve, ordena dados, toma
novas decisões e produz conhecimento [...]”. Cada grupo de alunos recebeu seu Diário de
Campo, um caderno destinado para o registro do andamento de suas aprendizagens, relatos
das dificuldades, das dúvidas, dos acertos, da validade dos problemas por eles mesmos
propostos e que permitiu fazer uma auto-avaliação do grupo e triangulação dos dados.
Com o intuito de evidenciar os resultados da pesquisa, analisou-se os documentos
produzidos pelos grupos de alunos, durante a pesquisa com Modelagem Matemática, ou seja,
seus trabalhos escolares que em suma são os artigos produzidos (Anexo B, C, D, E). Segundo
Alves-Mazzotti (1999, p. 169), documento é “qualquer registro escrito que possa ser usado
como fonte de informação”.
Outro procedimento metodológico utilizado foi a entrevista semi-estruturada, que é
uma forma de obter dados utilizando uma entrevista com perguntas pré-determinadas, tendo a
pesquisadora liberdade de fazer pequenas alterações, dependendo do rumo da entrevista. Para
Feil (1995), a entrevista semi-estruturada é composta de perguntas planejadas com o objetivo
de servir de parâmetro para o pesquisador e são desenvolvidas de forma natural, seguindo o
rumo que a própria entrevista dá. Para Alves-Mazzotti (1999) na entrevista semi-estruturada
as perguntas são específicas e o sujeito responde com suas palavras. Aplicou-se a entrevista
semi-estruturada como sendo um instrumento de coleta de dados de caráter qualitativo, as
questões foram levantadas como parâmetros para a pesquisadora e foram desenvolvidas de
forma natural. Foram realizadas entrevistas individuais com todos os sujeitos da pesquisa e
uma entrevista coletiva. As entrevistas foram gravadas para a pesquisadora ter mais liberdade
e dedicar maior atenção aos sujeitos da pesquisa e as suas expressões, proporcionando-lhe
melhores condições de entender as visões dos sujeitos e captar a riqueza das explanações.
A entrevista individual (Apêndice A) foi realizada para traçar o perfil sócio-acadêmico
dos sujeitos, a fim de compreender suas atitudes frente aos encontros realizados durante a
40
investigação. A entrevista coletiva (Apêndice B) foi realizada no final da pesquisa, junho de
2006, a fim de levantar a apreciação dos sujeitos da pesquisa sobre a experiência realizada. As
entrevistas aconteceram nas dependências da biblioteca da UNIFRA e depois transcritas.
Utilizando-se mais de um procedimento para a obtenção dos dados é possível realizar
a triangulação. Fizemos a opção por realizar uma triangulação confrontando os dados obtidos
pela pesquisadora, que desenvolve uma investigação sobre a própria prática docente, com os
obtidos pelos alunos, principalmente pela opção de propor uma metodologia interativa, onde o
professor e alunos são responsáveis pela aprendizagem. Alves-Mazzotti (1999), destaca que
uma forma de aumentar a credibilidade de uma pesquisa de abordagem qualitativa é triangular
os dados, salientando a importância de diferentes procedimentos para a obtenção de dados.
Para Araújo e Borba (2004, p. 35,36)
[...] Triangulação em pesquisa qualitativa consiste na utilização de vários e distintos
procedimentos para a obtenção dos dados. Os principais tipos de triangulação são a
de fontes e a de métodos. Quando checamos, por exemplo, as informações obtidas
em uma entrevista com as atas de uma reunião sobre um mesmo assunto, estamos
fazendo uma triangulação de fontes. Por outro lado, se observarmos o trabalho de
um grupo de alunos e depois entrevistarmos seus componentes sobre o trabalho
desenvolvido, realizamos uma triangulação de métodos. Fazendo assim, o
pesquisador, ao invés de construir suas conclusões a partir de observações, pode
utilizar as entrevistas para checar algum detalhe ou para compreender melhor algum
fato ocorrido durante as observações, promovendo uma maior credibilidade de sua
pesquisa.
Tendo em vista, a opinião desses autores e a natureza da pesquisa, optamos por
realizar a triangulação de fontes dando maior credibilidade à pesquisa. Para isso, utilizamos as
observações participantes registradas no Diário de Campo da pesquisadora, registros nos
Diários de Campo dos sujeitos participantes, documentos dos sujeitos participantes e
entrevistas semi-estruturadas, individuais e coletiva.
Esta investigação ocorreu num contexto de sala de aula na disciplina de Projetos de
Pesquisa e Extensão em Educação Matemática II com encontros semanais de duas horas-
aulas, durante o primeiro semestre letivo de 2006, com um trabalho compartilhado com a
professora responsável pela disciplina. As observações foram realizadas neste contexto, no
qual realizamos uma produção conjunta entre as duas professoras e os alunos e ao término de
cada encontro discutíamos, juntamente com os alunos, as atividades desenvolvidas, as
facilidades e as dificuldades encontradas. Percebemos que no decorrer do trabalho,
estabeleceu-se um clima de confiança entre os alunos e as professoras.
Durante todo o processo, a pesquisadora se valeu da observação participante para
acompanhar o andamento do trabalho, as progressões em grupo e individuais, tendo os
41
objetivos propostos pela pesquisa e a questão de pesquisa como relevância para os aspectos
observados. Registrou-as em seu Diário de Campo, após cada encontro, descrevendo os
acontecimentos, o que julgava relevante para o estudo e as possíveis reflexões decorrentes.
Durante toda a pesquisa, procurou-se obter dados por meio das entrevistas individuais
e coletivas, das observações registradas no Diário de Campo da pesquisadora, e das atividades
desenvolvidas pelos sujeitos da pesquisa.
3.6. ANÁLISE DOS DADOS UTILIZADOS
No decorrer da investigação, os pressupostos teóricos foram aprimorados com leituras
de livros, artigos, dissertações e teses para comparar idéias de autores sobre Modelagem
Matemática, principalmente voltadas ao trabalho com pesquisas. E o embasamento teórico
adquirido serviu para orientar a investigação e contrastar com os argumentos formulados na
análise dos dados.
Segundo Alves-Mazzotti (1999, P. 170), a pesquisa qualitativa gera dados que
necessitam ser organizados e compreendidos. “Este é um processo complexo e não-linear, que
implica um trabalho de redução, organização e interpretação dos dados que se inicia já na fase
exploratória e acompanha toda a investigação”.
Os dados por si só não dão significado a investigação, por isso descreveremos os
passos seguidos para preparar a análise dos dados e sua realização.
Durante toda a pesquisa, procurou-se ter em mãos os dados até então adquiridos, como
a transcrição das entrevistas individuais, as observações registradas no Diário de Campo da
pesquisadora e as atividades desenvolvidas pelos sujeitos da pesquisa, por acreditarmos que
dessa forma, teríamos conhecimento adequado sobre os dados que estavam sendo gerados.
Orientamo-nos para analisar os dados, basicamente pelos objetivos da pesquisa e analisamos
as possibilidades que a Modelagem Matemática oferece à aprendizagem contextualizada e
significativa de conceitos matemáticos e estatísticos.
De posse de todos os dados, o primeiro passo foi preparar o material a ser analisado,
os Diários de Campo, as entrevistas transcritas, a produção dos grupos. Através da leitura,
procurou-se estabelecer contato com o material a ser analisado e formular argumentos.
Buscaram-se na literatura contrastes para os argumentos formulados, a fim de perceber o que
se enquadrava ou não, aprimorando o processo de análise de dados. Compartilharam-se as
interpretações com o orientador e colega de curso e após as sugestões e comentários as
interpretações tecidas anteriormente foram revisadas.
42
Escrever e apresentar os resultados são os últimos passos a serem seguidos. Escrever é
parte do processo de interpretação e acompanha esta investigação que está baseada na
pesquisa qualitativa e os resultados estão sob a forma descritiva, acrescidas da discussão e das
vozes dos sujeitos participantes.
43
4. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Este capítulo tem o propósito de apresentar as análises e discussões dos dados obtidos
através das observações participantes, realizadas durante a aplicação da pesquisa, registradas
no Diário de Campo da pesquisadora, dos relatos registrados nos Diários de Campo dos
sujeitos da pesquisa, das entrevistas individuais, da entrevista coletiva e dos documentos
produzidos, tendo como base os pressupostos teóricos do capítulo 2.
O processo de interpretação e descrição foi organizado em subitens, a fim de facilitar a
compreensão. Buscamos compreender como os alunos realizam suas aprendizagens, durante o
desenvolvimento das atividades de Modelagem Matemática. Orientamos-nos, basicamente
pelos objetivos da pesquisa e analisamos as possibilidades que a Modelagem Matemática
oferece à aprendizagem contextualizada e significativa de conceitos matemáticos e
estatísticos, em uma turma de sétimo semestre do Curso de Licenciatura em Matemática do
Centro Universitário Franciscano de Santa Maria (UNIFRA).
4.1. APRESENTAÇÃO DOS SUJEITOS PARTICIPANTES
Para compreender as atitudes e posicionamentos dos sujeitos frente aos encontros
realizados durante a pesquisa voltada para o ensino de matemática e estatística, na entrevista
individual (Apêndice A), o objetivo foi traçar o perfil sócio-acadêmico do aluno de
Licenciatura em Matemática, participante desta pesquisa. Os objetivos foram explicados aos
alunos, evidenciando que estavam participando da pesquisa de uma dissertação de mestrado
em Ensino de Física e de Matemática que busca esclarecer a contribuição da Modelagem
Matemática para uma aprendizagem contextualizada e significativa.
A entrevista foi respondida por todos os alunos participantes, em horário marcado
exclusivamente para este fim, fora dos encontros semanais. O espaço utilizado foi uma sala de
estudo da biblioteca da instituição. As entrevistas foram gravadas e o sujeito não foi
identificado, para que não se sentissem constrangidos e a pesquisadora pudesse analisá-las, no
anonimato. Foram nomeados por pseudônimos de suas preferências e as vozes escolhidas
foram as significativas para o estudo. Foi combinado com os alunos que as falas passariam
por correções lingüísticas, porém os conteúdos não seriam alterados.
As primeiras dezessete questões referem-se ao perfil sócio-acadêmico do sujeito da
pesquisa, elaboradas com o propósito de conhecer os sujeitos participantes deste estudo.
44
A idade dos sujeitos da pesquisa variou de vinte a trinta anos. Para a maioria dos
alunos o grau de instrução do pai é o ensino fundamental incompleto, com exceção de um que
o pai iniciou o curso superior. O grau de instrução da mãe, para metade dos alunos, é também
o ensino fundamental incompleto e as mães dos outros alunos possuem o ensino médio
incompleto, ensino médio ou superior. Todos os alunos cursaram o ensino fundamental em
escola pública e somente um, repetiu um ano escolar. O ensino médio, os alunos cursaram
também em escola pública, com exceção de um aluno que cursou em escola particular. Com
exceção de um aluno todos se deslocaram para Santa Maria para cursar a faculdade. Alguns
alunos (33%) viajam de duas a três horas por dia para freqüentar as aulas. Excluídos os
bolsistas e monitores, alguns alunos (33%) exercem função remunerada, com carga horária de
quarenta horas semanais e a metade dos alunos necessita do auxílio da família para manter-se
na faculdade. Alguns (66%) possuem computador em casa e destes a metade dispõe de
Internet em casa e somente um possui conexão rápida. Todos têm acesso aos laboratórios de
informática na instituição e todos consideram esse acesso importante e necessário, pelo fato
de auxiliar na complementação de seus estudos. Transcrevo parte da fala de dois alunos
quanto ao acesso aos laboratórios de informática.
[...] importante, uso sempre o laboratório. Utilizo com freqüência a
internet, sinto falta de não ter em casa [...] Lia
[...] muito bom porque assim desenvolvo mais os trabalhos, pesquiso
com freqüência os conteúdos para desenvolver melhor meus
estudos. Eva
Pelo fato de todos os alunos terem acesso a Internet, em suas residências ou na
instituição de ensino, foi possível contar com esse recurso durante o desenvolvimento das
atividades.
As outras quinze questões referem-se a opinião dos alunos sobre aspectos
considerados importantes para o desenvolvimento da pesquisa. Os alunos sentiram-se
valorizados em opinar e responderam todas as questões, argumentando e justificando as
respostas.
A primeira questão formulada refere-se ao motivo que o levou a escolher o curso de
Matemática. A maioria dos alunos (83%) considerou o gosto pela disciplina, afinidade e
facilidade manifestada durante a educação básica. Outros pontos destacados foram a questão
ligada ao mercado de trabalho, a facilidade de obter emprego (33%), e somente um aluno
falou que o motivo era o desejo de ser professor. Alguns alunos citaram mais de um motivo
45
que os levou a escolher o Curso de Matemática. Esperava-se que o desejo de ser professor,
num curso de licenciatura, representasse a opinião da maioria dos entrevistados.
A segunda questão referiu-se as disciplinas do Curso de Matemática que mais
gostaram e o porquê. Um aluno, respondeu que gostou de todas as disciplinas, porque tem
sempre alguma coisa diferente que cativa. A disciplina preferida pelos alunos (67%) foi o
Cálculo Diferencial, por não ser abstrato e por ser base para outras disciplinas foram os
argumentos usados pelos sujeitos da pesquisa. Alguns alunos (17%) citaram a Álgebra por
estar relacionada a situações do cotidiano. Transcrevo parte da fala de um aluno ao justificar
porque gosta da disciplina de Álgebra.
[...] é
possível trabalhar muitas coisas. Fiz um trabalho sobre
genética Eva
Também citaram a disciplina de Análise Real, por obterem boas notas e por
conseguirem resolver as listas de exercícios propostas pelo professor. Observou-se que a
valorização do aluno desenvolve o gosto pela disciplina.
Na terceira questão indagou-se sobre quais disciplinas os alunos menos gostaram e o
porquê. Um dos sujeitos respondeu não ter disciplinas que não gostou, pois segundo ele
sempre aprende-se algo novo. A disciplina de Álgebra Linear foi citada por alguns
entrevistados (33%) e a justificativa foi que é abstrata e o aluno deve saber demonstrações.
Outras disciplinas citadas foram: Análise Real, Teoria dos Números, Física, Estruturas
Algébricas, Língua Portuguesa, Políticas Educacionais e Gestão, Introdução a Educação
Especial e Metodologia da Pesquisa. Os motivos repetiram-se várias vezes e foram: a
dificuldade de ler e interpretar textos; não se sentir atraído para estudar, distanciamento com o
que era ensinado. Observou-se que o número de disciplinas em que os alunos gostaram foi
inferior ao que não gostaram.
Na quarta questão indagou-se sobre a reprovação que se fez presente para a minoria
dos entrevistados (33%) sendo que não houve disciplina em que mais de um aluno reprovasse.
As disciplinas citadas foram: Cálculo I, Álgebra Linear, Análise Real e Teoria dos Números.
Como causas da reprovação citaram: falta de tempo para estudar, o fato de trabalhar mais de
oito horas por dia, as viagens para deslocar-se até Santa Maria e a falta de afinidade com a
disciplina.
A quinta questão relacionou-se com as atividades matemáticas que lhes despertaram
maior interesse. Para alguns alunos (33%) são as que envolvem atividades concretas.
Atividades práticas, exercícios, cálculos, trabalhos, apresentação de trabalhos e uso do
46
computador também foram citadas. Transcrevo parte da fala de duas alunas que descrevem as
atividades que lhes despertaram maior interesse.
[...] trabalhar com material concreto nas aulas de Estágio e
computador (maple, matlab) nas aulas de Cálculos
. Ana
[...]
além das aulas expositivas, quando começava explicando os
fenômenos do dia-a-dia era atrativo nas aulas de Cálculo
. Vania
O gostar da disciplina de Cálculo, citada na primeira questão como a preferida dos
alunos, está relacionado ao modo como o professor conduz as atividades em sala de aula, ou
seja, de uma forma que desperta o interesse dos alunos.
A sexta questão referiu-se sobre quando os alunos acreditam que aprendem. A metade
dos alunos acredita que aprendem quando conseguem ensinar para outra pessoa. Além disso,
outros (33%), quando lembram do que estudaram e um sujeito disse que aprender é estudar
sozinho. A metade dos alunos acredita que a aprendizagem está relacionada ao ato de ensinar
alguém, porque eles aprendem enquanto ensinam por interagir com outra pessoa, desta forma
fazem papel de mediador e no esforço de tentar explicar, eles esclarecem a si próprio.
Aprendem na relação com o outro. Bisognin, Bisognin e Rays (2004), ao discutirem as
competências cognitivas básicas à aprendizagem de matemática salientam que uma das
melhores formas de aprender é aprender a ensinar.
A sétima questão referiu-se sobre como deveriam ser trabalhados os conteúdos de
Matemática. Um dos sujeitos da pesquisa referiu-se que a melhor forma é o ensino tradicional
ministrado com aulas expositivas e uma listagem de exercícios para serem resolvidos, além da
adoção de um livro didático que permite o desenvolvimento de conteúdos matemáticos de
forma linear e seqüencial, citando as atividades que poderiam ser desenvolvidas.
Destaca-se o fato, de que um terço dos sujeitos gostaria que os conteúdos de
matemática do curso estivessem relacionados com os da educação básica, o que, segundo eles,
não está acontecendo. Transcrevo algumas fala dos alunos:
[...
]
acho que deveriam trabalhar mais o conteúdo que vamos usar
para o aluno nas escolas. Na faculdade eu sinto falta, muita falta
desses conteúdos. Vou ter que explicar conteúdos que não vi na
faculdade, não me lembro e não sei [...]. Assim tenho uma visão mais
ampla da matemática do que um aluno do ensino médio, mas vou ter
que estudar muito, tenho uma base pelas aulas particulares que dou.
Eva
47
[...] fazer o intercâmbio entre o ensino superior e o médio. Os
professores não realizam esse intercâmbio na faculdade
. Vania
Os alunos referiam-se aos seus professores da faculdade e enfatizavam que os
conteúdos do ensino básico deveriam ser trabalhados no curso superior, além daqueles que
eles estão estudando.
Na primeira questão, a maioria dos alunos opinou que estão cursando licenciatura pelo
gosto, afinidade e facilidade manifestada durante a educação básica com a Matemática.
Enquanto que na sétima questão, alguns manifestaram a importância de serem trabalhados
conteúdos da educação básica, no curso de licenciatura porque, apesar de não responderam
que está se formando para serem professores, sentem a necessidade de uma matemática
voltada para os conteúdos da educação básica, de uma matemática voltada para os problemas
do cotidiano, da vida e com aplicações.
Outro aluno cita algumas estratégias que acredita que poderiam melhorar a
aprendizagem em aulas expositivas. Pelas falas observou-se que a maioria dos pesquisados
não acreditam em aulas sem nenhuma estratégia que inove a forma de ensinar Matemática.
Pela riqueza das falas transcrevem-se três opiniões sobre como trabalhar os conteúdos de
matemática segundo os sujeitos da pesquisa.
[...] devem ser com material concreto, em algumas aulas. Promover
discussão entre colegas e utilizar calculadoras e computador. Ana
[...]
de acordo com o meio, avaliar a turma. Isso é complicado. A
realidade do curso é uma e na escola que faço estágio é outra. A
escola dispõe de uma sala de aula com quadro e giz e tem que
motivar os alunos para a aprendizagem
.
Roberto
[...] além das aulas expositivas acredito que trabalhar envolvendo a
realidade. Levar o conteúdo para a realidade é significativo para o
aprendizado.
Vania
A oitava questão estava relacionada com a opinião dos alunos sobre trabalhos em
grupo. A maioria (83%) posicionou-se favorável aos trabalhos em grupo, somente um dos
alunos posicionou-se não muito favorável, pelo fato de depender dos componentes do grupo e
argumentou levar a sério os trabalhos e por isso, às vezes, tem dificuldade de produzir com
trabalhos coletivos, mas gosta da troca de idéias que o trabalho em grupo oferece. Na opinião
dos alunos que são favoráveis, justificaram:
48
[...] é significante para o aprendizado interagir com os colegas. Vania
[...] gosto de trabalhar em grupo, discutir idéias, montar o trabalho.
São visões diferentes e é bom. Lia
[...] é importante porque aprendemos a conversar uns com os outros,
avaliar-se e avaliar o colega, comunicar-se com o outro, conversar e
saber o que vai dizer. Eva
[...] gosto de trabalhar em grupos. Em pequenos grupos o rendimento
é melhor. A troca de idéias é válida. Diana
Na opinião do aluno Roberto trabalhar em grupo auxilia a formação do professor. Para
ele trabalhar em grupo
[...] é importante, aprende-se a falar. Desenvolve a capacidade de
manifestar-se. Hoje, para exercer qualquer profissão, saber se
comunicar com as outras pessoas é primordial. Quem tem
dificuldades de falar, ao trabalhar em grupo começa a se libertar,
conversar, ficar mais a vontade. Conheço professores que se
tivessem desenvolvido trabalhos em grupo teriam aprimorado a
comunicação, professor que domina o conteúdo, mas chega em
frente de um grupo e tem dificuldade para se expressar.
A nona questão estava relacionada a opinião dos entrevistados na classificação da
Matemática entre as disciplinas, em termos de dificuldades para os alunos. Na opinião dos
entrevistados a Matemática é a disciplina com maior dificuldade. Justificaram pelo fato da
Matemática exigir disciplina, concentração, estudo e vontade de aprender. Transcrevo parte
de uma fala quando justifica o porquê que classificam a Matemática como a disciplina com
maior grau de dificuldade.
[...] por ter o lado abstrato a Matemática traz dificuldade, por isso a
interligação com o real é fundamental. Fazer conta por conta é não
entender. Vania
Nesse estudo, procuramos dar vozes aos alunos, futuros professores e percebeu-se que
associam a dificuldade da matemática com o fato dela ser abstrata, justificativa da terceira
questão que é sobre a disciplina que menos gostam. Portanto, se eles acreditam que a
matemática tem parte abstrata, acabam conceituando-a com maior grau de dificuldade. E é
essa visão da matemática que precisa ser desmistificada.
49
Na décima questão os sujeitos da pesquisa foram indagados sobre o que é ser bom
professor de Matemática. Para a maioria dos alunos é aquele que consegue transmitir o
conteúdo. Todos tinham bons argumentos para iniciar a conceituar o que é ser bom professor
e relacionaram com o fato de saber ensinar. Percebeu-se nas respostas que não existiu um
padrão nas definições. Alguns tinham uma visão mais crítica, do ensino outros um caráter
mecânico. É intrínseco do aluno porque essa posição se repete em várias questões. Analisando
as falas dos sujeitos da pesquisa percebeu-se que alguns têm uma visão mais crítica sobre o
que é ser professor. Para a maioria dos pesquisados, o conceito de bom professor está atrelado
a pequenas mudanças sugeridas em aulas expositivas, o que de certa forma contraria o que se
observou na sétima questão, ao referirem-se sobre como devem ser trabalhados os conteúdos
de Matemática. A opinião de Ana sobre o que é ser bom professor.
[...] acredito que é conseguir transmitir de forma que o aluno consiga
ver que aprendeu, que está relacionado com a vida deles não só
fazer conta e conta.
A aluna Vania refere-se as teorias adquiridas no curso superior e as relaciona com sua
prática escolar no estágio e as outras duas alunas se manifestam sobre a aprendizagem dos
alunos.
[...] conseguir que o aluno entenda o que está aprendendo e não
simplesmente memorize. Com a aprendizagem me preocupo, penso
nisso quando preparo aula. Não basta saber, tem que fazer. Não dá
para escrever sobre a aprendizagem significativa e não fazer. Vania
[...] saber passar o conteúdo porque não importa se o professor
sabe, tem que saber passar para o aluno. Lia
[...] conseguir transmitir de diversas maneiras o conteúdo de forma
que os alunos aprendam. Eva
Observa-se que os verbos utilizados pelas alunas para conceituar o bom professor
nos remete ao ensino tradicional, obtido durante a vida escolar com algumas mudanças
acrescidas durante o curso de licenciatura.
As falas transcritas abaixo deixam a idéia de um trabalho voltado para a valorização
do ser humano não mencionado pelos outros alunos.
[...] além de saber o conteúdo, ser uma pessoa humana. Oportunizar
ao aluno que crie e seja criativo. É utilizar material concreto porque é
dessa forma que os alunos vão sentir as dúvidas. Diana
50
[...] é aquele que motiva o aluno a estudar, não simplesmente passa
o conteúdo, mas faz o aluno gostar da disciplina. Roberto
Na décima primeira questão indagou-se sobre que experiências com o ensino de
Matemática os sujeitos da pesquisa possuíam. Eles responderam que estavam relacionadas
com estágios no ensino fundamental, monitoria oportunizada pela instituição de ensino e aulas
particulares. Nenhum dos sujeitos participantes da pesquisa está exercendo ou exerceu o
magistério, além das atividades exigidas pelo curso.
Com base nessas experiências dos alunos, solicitou-se que respondessem as próximas
questões.
A décima segunda questão estava relacionada com as facilidades em ser professor. O
gostar de ser professor e gostar de ensinar manifestou-se em alguns (33%) dos sujeitos da
pesquisa. O estar a par dos problemas sociais e o convívio social também foram aspectos
apontados pelos alunos. As opiniões sobre facilidades de ser professor foram variadas
inclusive uma que ser professor não tem facilidades. Veja parte da fala da aluna Vania ao
argumentar que não há facilidades em ser professor.
[...] só tem trabalho. Professor não tem facilidades. Não consegue
refletir...
Transcreve-se parte da fala dos sujeitos da pesquisa quando argumentam sobre as
facilidades em ser professor.
[...] o convívio social e o prazer de estar ensinando aquilo que sabe
para alguém que está querendo aprender. Eva
[...] na comunicação com as pessoas. Não ter medo de falar em
grupo, enxerga os problemas da vida e da sociedade. É estar no
meio das pessoas. Roberto
[...] quando estás bem preparado, leva-se coisa nova para eles,
dedica-se para a aula, prepara-se, quando gostas fica fácil. Ana
[...] gosto de ser professora, gosto de ensinar. Saber passar para
alguém é importante. Por exemplo, o médico que todo mundo fala,
chegou lá passando pelos professores. Lia
[...] não sei se têm facilidades. É estar ensinando, pensar que não
sabem, ajudar no aumento intelectual da pessoa. Diana
51
A décima terceira questão estava relacionada com as dificuldades em ser professor. As
dificuldades apontadas pelos sujeitos da pesquisa foram diversas e nenhuma se destacou.
Apontaram dificuldades corriqueiras como a desvalorização profissional, o desinteresse dos
alunos, as dificuldades de aprendizagem. Não manifestaram nenhuma dificuldade quanto ao
conhecimento adquirido nem tampouco questionaram as metodologias utilizadas ou estudadas
durante o curso.
Na décima quarta questão questionou-se o tipo de atividades que desperta maior
interesse para seus alunos. A resposta da maioria dos sujeitos da pesquisa foi o uso de
material concreto, pois acreditavam que é um ótimo recurso para o ensino fundamental.
Outras respostas citadas foram: trabalhar em grupo e discussão com colegas. Observou-se que
as respostas da quinta questão, que se referia as atividades que lhes despertaram maior
interesse, pouco diferem dessa.
Recorte das vozes dos sujeitos da pesquisa quando explicam as atividades
desenvolvidas, com o propósito de despertar o interesse dos alunos
[...] estou trabalhando com material concreto e percebo que eles têm
aquela vontade de aprender, descobrir. Jogos e atividades em grupo
também usei e são bons ... Vania
[...] brincadeiras, competições, interação e material concreto. É difícil
para eles trabalhar, ler..., pegar o que foi dado no quadro. Diana
Nesse recorte o sujeito da pesquisa refere-se aos seus professores como agir para
despertar o interesse dos acadêmicos.
[...] além da aula expositiva, quando um professor traz alguma coisa
diferente, assim em vez de ser, mostra que essa matéria pode ser
usada, para que vou usar essa fórmula, porque vou utilizar... Porque
é importante. Lia
Na décima quinta questão perguntou-se sobre quando seus alunos aprendem. Os
sujeitos da pesquisa posicionaram-se de forma diferente comparado com a sexta questão, que
é a opinião deles sobre como aprendem. Os sujeitos da pesquisa repetiram que quando uma
pessoa interage com outro acontece aprendizagem. Alguns sujeitos da pesquisa (33%) citaram
que os alunos aprendem com a prova, mas para a metade dos sujeitos da pesquisa o
aprendizado se dá na interação professor aluno. Citaram também o ensinar utilizando a
história da matemática. No nosso ponto de vista, a história da matemática é uma estratégia de
52
ensino que ao explorar conteúdos matemáticos, a partir de sua descoberta, os alunos
conseguem fazer uma reconstrução desses conteúdos. Eles são desafiados a vivenciar a
história de como se desenvolveu a matemática, ao longo do tempo. Com a história da
matemática, vivencia-se o processo que organizou conteúdos estudados nas escolas.
Após análise da entrevista individual, considera-se que os sujeitos da pesquisa têm
opiniões relevantes do que é ser professor, das atividades que despertam interesse aos alunos e
de quando eles aprendem. Pelo fato de ainda serem alunos e estarem iniciando os estágios têm
uma visão aprimorada e nada cômoda da situação em que o ensino de matemática se encontra.
Manifestaram suas concepções e interagiram com a pesquisadora durante a entrevista. Foi
gratificante realizar estas entrevistas, conhecer a realidade dos alunos, suas angústias e seus
anseios e perceber que são professores, não só por estarem cursando licenciatura mas por que
de uma forma ou de outra estão preocupados com a aprendizagem dos seus alunos.
4.2. EXPERIÊNCIA EM AÇÃO
Tem como propósito relatar a investigação a partir dos dados obtidos através das
observações participantes registradas no Diário de Campo da pesquisadora e dos registros
realizados pelos grupos nos Diário de Campo dos sujeitos da pesquisa. Sendo um Diário de
Campo da pesquisadora e três Diários de Campo dos sujeitos da pesquisa, um a cada grupo de
trabalho, composto por dois alunos. Ao término de cada encontro, discutíamos, juntamente
com os alunos, as atividades desenvolvidas, as dificuldades e facilidades encontradas.
A pesquisa foi realizada com os alunos da disciplina de Projeto de Pesquisa e
Extensão em Educação Matemática II, do sétimo semestre do Curso de Licenciatura em
Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA) durante o primeiro semestre de
2006. Havia seis alunos matriculados na disciplina que foi programada, na matriz curricular,
com 30 horas semestrais.
Os objetivos da disciplina são “elaborar, desenvolver e aplicar projetos de investigação
seguindo a metodologia da Modelagem Matemática para os diferentes níveis de ensino”. E
“Oportunizar experiências em projetos de pesquisa e extensão conectados com a prática
escolar”. (PLANO DE ENSINO, Anexo A).
Como relatado anteriormente, a ementa da disciplina que tem caráter obrigatório é:
“Metodologia da Modelagem Matemática. Modelagem Matemática em sala de aula.
Realização de um ou mais projetos de pesquisa ou extensão seguindo a Metodologia da
Modelagem Matemática, sob a orientação de um professor” (UNIFRA). De acordo, com a
53
ementa da disciplina a mesma está em consonância com a proposta da pesquisa e por esta
razão escolhemos trabalhar com os alunos matriculados nesta disciplina.
Num primeiro momento, a professora responsável pela disciplina apresentou o Plano
de Ensino e discutiu com os alunos sobre as atividades propostas e sobre a pesquisa que seria
desenvolvida. Desta forma, pretendíamos seguir a idéia lançada por Masetto (2001) que o
propósito do primeiro encontro é esclarecer que o sucesso da disciplina depende de um
trabalho conjunto entre alunos e professores.
No primeiro encontro, a professora pesquisadora não esteve presente. Segundo relato
da professora responsável pela disciplina, os alunos perguntaram se seriam avaliados por
prova, como seria realizada a avaliação, se teriam aulas expositivas. Na verdade não estavam
entendendo a dimensão que daríamos para a pesquisa, como realmente aconteceria esse
trabalho com Modelagem Matemática, porque não fazia parte da rotina deles. Neste primeiro
encontro, após as discussões do Plano de Ensino, a professora responsável pela disciplina
entregou o artigo: Modelagem na Educação Matemática: Uma perspectiva de Barbosa
(2004b), dividiu os alunos em duplas para lerem o texto com o propósito de discuti-lo e
também entregou o artigo: Modelagem Matemática em sala de aula: um estudo de Fidelis e
Almeida (2004) que seria discutido em sala, no próximo encontro e recomendou aos alunos
que pensassem sobre algum tema que gostariam de estudar.
Fizemos a opção de fornecer artigos aos alunos, por entendermos que a leitura e a
discussão são fundamentais para quem pretende trabalhar com Modelagem Matemática e, em
especial, para alunos que se preparam para o exercício do magistério. Segundo Barbosa
(2001a), num ambiente de Modelagem Matemática a prática fica fragilizada sem a teoria.
No Diário de Campo, o relato do primeiro encontro pelos grupos: “No primeiro dia de
aula foram realizadas as apresentações, da professora e dos alunos, discutimos o Plano de
Ensino e fomos divididos em grupos para a leitura e discussão de textos sobre Modelagem
Matemática.” Grupo Dois.
No primeiro dia, foram escolhidos os grupos e em seguida, ficou como atividade
para casa, refletir e pensar sobre uma situação-problema para o trabalho em estudo.
Foi discutido o Plano de Ensino ficando claro a proposta do projeto. Também nos
foi fornecido dois textos de Modelagem para nos inteirarmos sobre o assunto e
começarmos a decidir um tema. Grupo Um
Apresentamos-nos para a professora;
Falamos sobre os projetos de iniciação científica;
A professora nos explicou como iríamos trabalhar, o que era Modelagem
Matemática, e nos deu exemplos de Modelagem.
Pensamos e falamos tópicos, pelos quais poderíamos desenvolver;
Dividimos os grupos de estudo;
54
Discutimos sobre o Plano de Ensino;
Começamos ler dois textos que a professora nos forneceu, para que pudéssemos nos
embasar sobre o assunto; Grupo Três
A partir do segundo, encontro a professora pesquisadora esteve presente durante o
tempo destinado à aula. Participou na orientação das atividades, procurando provocar
discussões e gerar reflexões, opinando e manifestando-se quando solicitada pelos grupos ou
quando percebeu ser necessário.
No Diário de Campo da pesquisadora está relatado, com detalhes, o segundo encontro.
Registramos parte das falas dos alunos, as idéias que expressaram e as observações realizadas.
Neste encontro estavam presentes os seis alunos e percebemos que estavam apreensivos, o
que seria normal, pois a Modelagem Matemática desestabiliza a rotina que é normalmente
utilizada nas aulas de Matemática. A professora pesquisadora apresentou-se e solicitou que o
grupo fizesse o mesmo e que relatassem as expectativas e apreensões que tinham em relação à
disciplina. Esperávamos conhecer um pouco mais sobre a realidade deles, para conduzir a
pesquisa que tínhamos proposto. No Diário de Campo da pesquisadora está relatado parte da
fala de todos os alunos bem como a percepção que ela teve naquele momento. Parte da fala da
primeira aluna ao se apresentar:
[...] sou de Faxinal do Soturno. Espero aprender como montar um
projeto. Sou bolsista de iniciação cientifica e já pesquisei sobre
equações diferenciais, equações de diferença, logística e Fibonacci.
Meu grupo é [...] Lia
No Diário de Campo da pesquisadora consta a observação que a aluna em sua fala
deixou transparecer a angústia, o interesse em aprender, a crença que a licenciatura é uma
forma de almejar um futuro melhor e percebeu também a preocupação com a matemática em
si.
A segunda aluna ao se apresentar explicita o tema que quer pesquisar.
[...] trabalho com projetos, com a professora desta disciplina.
Pesquisei sobre m.d.c., números figurados e equações diofantinas. O
meu grupo é [...]. Vamos pesquisar sobre transgênicos... Ana
A terceira aluna relata
Minha dificuldade é como escrever. Sou bolsista da professora
[...]
Diana
55
No Diário de Campo da pesquisadora aparece a observação que a dificuldade dessa
aluna deve ir além da escrita, inclusive no discurso porque são poucas palavras. Pela fala da
aluna não foi possível perceber além do que falou.
O relato da fala do quarto aluno
[...]
participei de alguns projetos de pesquisa. Sou formado em
Informática, tenho pós-graduação e trabalho no hospital
[...] Roberto
O quinto aluno ao se apresentar, foi o que mais falou. Duvidou do trabalho que
realizaríamos, pois, segundo ele, existem dificuldades para levar a Modelagem Matemática
para a sala de aula que atuarão.
[...] trabalho no INSS como estagiária. Estou preocupada com a
interdisciplinaridade. Afinal, com Modelagem Matemática o professor
de Matemática não pode trabalhar sozinho, vai interagir com
professores das outras disciplinas e como fazer isso? Como levar a
Modelagem Matemática para a sala de aula? Preocupo-me também
com a escrita, como escrever? Eva
Segundo o relato da pesquisadora, o último aluno a se apresentar diz:
[...] sou bolsista em dois projetos. Tenho a proposta de trabalhar com
a água em um deles. Acredito ser importante aprender a trabalhar
com Modelagem Matemática. O receio é de como construir o
trabalho
. Vania
Está relatado que esse aluno percebeu a relevância de trabalhar com Modelagem
Matemática, mas acreditava que o trabalho seria uma tarefa árdua e que talvez não
conseguisse.
Após as apresentações dos alunos, a professora pesquisadora sentiu-se desafiada, pois
as dúvidas que eles tinham eram também as dela. A professora pesquisadora apresentou-se
com mais detalhes, apresentou a proposta e colocou-se a disposição. Ela começou relatando
um exemplo possível e como conseguimos, em uma disciplina regular, fazer Modelagem
Matemática com o tema radiação solar. Apresentou as informações previamente pesquisadas
com dados qualitativos e quantitativos sobre o tema e duas situações-problema. Seguiu os
passos da Modelagem Matemática descrita por Burak (2004), que a professora responsável
pela disciplina os orientara para realizarem as atividades de modelagem no encontro anterior.
56
A escolha do tema.
A idéia inicial surgiu de artigos de jornais da cidade alertando sobre o problema da radiação
solar que a comunidade estava exposta. Relatou-se onde buscou dados e informações. Qual a
importância de estudar a radiação solar e quais conhecimentos obtêm-se após essa pesquisa e
quais as implicações sociais.
Pesquisa exploratória
Relatou-se como foram conseguidos os dados, quais profissionais entrevistamos e as
pesquisas realizadas para obter os dados. Os conteúdos matemáticos e estatísticos
desenvolvidos. Qual realidade, contexto e quais profissões seriam beneficiados de posse desse
conhecimento.
Levantamento dos problemas.
Relatou-se os problemas matemáticos formulados e a relevância a eles atribuída.
Resolução das situações-problema e o desenvolvimento da matemática relacionada ao tema.
Resolvemos duas situações-problemas discutindo-se a matemática envolvida, inclusive em
que séries poderiam ser utilizadas. Discutiu-se sobre a utilização da planilha eletrônica Excel
para construir alguns gráficos e obtenção dos modelos, e dialogamos sobre a importância do
uso da tecnologia em sala de aula.
Análise crítica das soluções
A partir do modelo encontrado, realizou-se a validação do problema e analisou-se
criticamente o modelo apresentado.
A primeira situação-problema apresentada tinha como objetivo responder a questão:
qual a proteção oferecida por um protetor solar, conforme o seu fator de proteção solar (FPS)?
Os passos da Modelagem Matemática foram percorridos. Para responder a esta questão,
utilizou-se tabelas, gráficos e para a construção do modelo foi utilizado a planilha eletrônica
Excel. Explorou-se a matemática relacionada ao tema, principalmente os resultados sobre
logaritmos.
A segunda situação-problema foi responder a questão: é possível fazer a previsão para
o índice ultravioleta em Santa Maria daqui a 50 anos? Seguindo os passos da Modelagem
Matemática, construiu-se o modelo matemático e discutiu-se as dificuldades de validação do
57
resultado obtido. Perceberam que um problema pode não ter uma única solução e que esta
pode mudar de acordo com as hipóteses consideradas. Com esse problema foi possível
trabalhar com porcentagem, regra de três e função linear. Desta forma, segundo Barbosa
(2001a, 2004a e 2004b), foi possível investigar, sem sair da sala de aula, porque a professora
forneceu a situação-problema formulada e os dados para a resolução e validação da situação-
problema proposta.
Neste momento, a percepção relatada pela professora pesquisadora em seu Diário de
Campo foi que os alunos sentiram-se entusiasmados em realizar o trabalho proposto. No
sétimo semestre é possível perceber a preocupação dos alunos com o ensino de matemática. A
maioria está em contato com turmas de alunos, pelo fato de estarem realizando o estágio
curricular obrigatório. Percebeu-se, nestes primeiros encontros, que os alunos, em alguns
momentos, estavam apreensivos com a proposta e em outros entusiasmados.
No Diário de Campo os grupos escreveram sobre o segundo encontro.
Apresentamo-nos de novo;
A professora nos perguntou quais temas que nos interessam para desenvolver o
projeto;
A professora mostrou trabalhos que desenvolveu, sobre protetor solar.
Gostei das apresentações, pois foi aí que consegui entender o que iríamos fazer.
Achei que poderíamos ser mais claros no tema; tinha dúvida ainda. Grupo Três
Foram apresentados pela professora dois projetos sobre Modelagem Matemática,
com o objetivo de propor algumas idéias (sugestões) sobre o trabalho a ser
desenvolvido.
A aula foi interessante. Foi transmitida de forma clara, objetiva e apresentada
também reportagens interessantes que contribuíram para a formação de nossas idéias
para o projeto. Grupo Um
Fomos apresentados para a professora que acompanhará o desenvolvimento deste
projeto.
Ela nos apresentou o que é um modelo matemático exemplificando vários temas a
serem desenvolvidos. Mostrou matérias de jornais que poderiam ser usados como
temas.
Nós realizamos a escolha do tema que seria sobre os transgênicos. Grupo Dois
No terceiro encontro não dispomos de todo o tempo, pelo fato de ter acontecido uma
palestra sobre educação matemática, oferecida pela coordenação do curso.
Após as discussões sobre os temas que cada grupo iria trabalhar, o restante do tempo
foi ocupado com o estudo do artigo Modelagem Matemática em sala de aula: um estudo de
Fidelis e Almeida (2004). Os alunos realizaram a leitura do texto extra sala e desta forma foi
possível estabelecer uma discussão coletiva. O tempo todo, a professora relacionou o que
estávamos discutindo com o trabalho que iríamos desenvolver.
58
Nos encontros seguintes, os alunos trabalharam em duplas, chamadas de grupo que
foram responsáveis pela escolha de um tema de interesse do grupo, coletaram informações,
elaboraram e resolveram situações-problema, a fim de investigar por meio da matemática,
acompanhados e orientados pelas professoras (BARBOSA, 2001a).
4.3. ATIVIDADES DOS GRUPOS E SUAS PRODUÇÕES
O relato das atividades dos grupos foi realizado pelos registros nos Diários de Campo
dos grupos e pelo Diário de Campo da pesquisadora que registrou as observações, idéias e
algumas falas procurando relatar sua percepção dos encontros para compreender os fatos
ocorridos durante o processo. O Diário da pesquisadora geralmente foi escrito após, pelo fato
de que durante os encontros foi realizado um trabalho compartilhado com a professora
responsável pela disciplina. Um trabalho com interação e uma produção conjunta em que as
duas professoras trabalharam juntas e aprenderam juntas. Por essa razão esse trabalho foi
escrito na primeira pessoa do plural (nós) por realizarmos uma produção conjunta, em
comum, entre as duas professoras e os alunos, todos interagindo entre si. Para Isaia e Bolzan
(2006), uma construção coletiva envolvendo troca de idéias e discussões.
Para uma melhor visão de conjunto, discutiremos as produções dos grupos resultantes
das atividades que desenvolveram. Consideramos os quatro artigos produzidos pelos grupos
de alunos, como os documentos a gerarem análise e discussão dos resultados, do ponto de
vista da matemática e do contexto social. Durante a pesquisa, seguimos a metodologia da
Modelagem Matemática, mas não podíamos antecipar, pré-ver ou pré-dizer os conteúdos, os
modelos matemáticos porque dependeria da atuação dos atores, professoras e alunos, no
processo coletivo, compreendido como aprendizado. Os documentos produzidos não foram
direcionados, surgiram da vontade de saber do grupo de alunos. Nós professoras
orientávamos, sugeríamos, incentivávamos e oferecíamos apoio, provocando reflexões e
discussões para que os alunos refletissem, justificassem seus procedimentos e explicitassem
matematicamente suas conclusões, conforme orientação de Ferruzzi (2004).
De antemão não tínhamos a menor idéia do tema que seria pesquisado, ou das
situações-problema, enfim a produção que obteríamos com a proposta de trabalho. Os temas
investigados pelos alunos estiveram relacionados a interesses do grupo, envolvendo situações
reais, onde encontraram razões e objetivos para desenvolverem suas atividades.
59
Optamos em disponibilizar os artigos produzidos pelos grupos, em anexo, porque eles
são os documentos dos sujeitos da pesquisa, elaborados durante o semestre letivo com a
orientação da professora responsável pela disciplina e da professora pesquisadora.
O relato que segue é a descrição das atividades de cada grupo integrado com sua
produção.
Atividades do grupo um e sua produção
A escolha do tema foi realizada pelo grupo, após algumas tentativas, acertos e
desacertos. Inicialmente o grupo um, se propôs a trabalhar com o consumo de água e seu
desperdício. A professora incentivou os alunos, sugeriu leituras, citou artigos publicados,
indicou onde encontrar dados para pesquisar. Após discussões, os alunos demonstraram
insegurança sobre o tema e concluíram que esse não seria um tema relevante e preferiram o
assunto como:
[...] drogas, ou álcool, ou fumo que seria mais interessante e
interessaria aos jovens. Lia. (Fala extraído do Diário de Campo da
pesquisadora).
A professora incentivou-os dizendo que o tema está relacionado com os jovens e é um
assunto atual, além de sugerir artigos e propor algumas questões que poderiam ser
pesquisadas. Após a escolha do tema os alunos ficaram entusiasmados e acreditavam que
poderiam produzir boas situações-problema e que posteriormente poderiam aproveitá-las para
trabalhar com os jovens, como futuros professores.
[...] a
cho que drogas será um ótimo assunto. Os alunos gostam de
falar desse assunto. Vânia. (Recorte de fala extraído do Diário de
Campo da pesquisadora).
Pelas falas, percebeu-se a preocupação com o ensino e com a aplicação desta
metodologia em sala de aula. Como futuros professores gostariam de adotar esta metodologia
de ensino por acreditarem que a mesma poderia fazer a diferença para a educação. No Diário
de Campo relataram “começamos a definir alguns temas para o desenvolvimento do
trabalho”.
No encontro seguinte sentimos que o grupo estava seguro com o tema escolhido. Na
pesquisa exploratória, investigaram sobre drogas, especialmente maconha que foi o tema
escolhido e sobre os conteúdos matemáticos que acreditavam ser possível trabalhar. No Diário
60
de Campo eles relataram “Concluímos a leitura dos textos sobre Modelagem. Após,
decidimos o tema: Maconha. A partir da decisão do tema a ser trabalhado, iniciamos a busca
de informações e coleta de dados”.
Uma aluna do grupo avisou que não poderia participar das aulas por problemas de
saúde, mas que, de sua casa, continuaria trabalhando com a colega via correspondência
eletrônica. Ao iniciar a busca dos dados começaram a sentir algumas dificuldades e tiveram
algumas dúvidas. A professora responsável pela disciplina diz que precisavam buscar leituras
sobre o tema e dedicar-se na busca de informações. Ela os auxiliou na busca de dados e
informações e sugeriu pesquisas em revistas especializadas, jornais, entrevistas com
especialistas da área, Internet entre outras.
O relato do grupo no Diário de Campo para o encontro é,
Com a coleta de dados, começou-se a pensar como elaborar uma situação-problema.
Com o auxílio da professora, foi trabalhado a seguinte situação-problema: ‘com o
passar do tempo, qual é a concentração de maconha no organismo se for ingerida na
forma pulmonar, sendo considerado a meia-vida?’
Estavam enfrentando dificuldade para trabalhar em grupo, porque uma das alunas
estava impossibilitada de comparecer aos encontros. A seguir apresentamos a correspondência
eletrônica enviada pela aluna Vania durante o repouso, relatando como está conduzindo seu
estudo e desta forma a professora pesquisadora acompanhava a aluna,
Não se preocupe que estou pesquisando sobre o tema "maconha". Achei interessante
dar uma olhada no que tinha a oferecer.
Enviei e-mail para delegacia da SUSEPE de Santa Maria, pedindo dados sobre o
tema. Não me responderam.
Estou buscando. Está difícil falar com a colega. Ela não tem tempo e eu não posso
me encontrar com ela, devido ao repouso.
Depois de estar com dados suficientes qual o passo que devemos seguir? Vou
adiantando...
Obrigada professora e aguardo retorno.
Abraços.
Marcaram uma entrevista com agentes da Delegacia Especializada em Furtos, Roubos,
Entorpecentes e Capturas (DEFREC) e nos convidaram para acompanhá-los. O grupo
concluiu que teria melhor proveito, se conhecêssemos o assunto em profundidade e estivesse
com o roteiro de entrevista definido. Elas concluíram que “indagação e investigação são tidas
como indissociáveis, pois uma só ocorre na mesma medida da outra. Se o aluno não avança
no conhecimento das informações sobre a situação em estudo, não pode indagá-la; e vice-
61
versa” (BARBOSA, 2001a, p. 7) e nós concordamos que indagação e investigação ao
ocorrerem juntas, o aluno avança com mais facilidade em suas atividades.
Fomos bem recebidos e tivemos o tempo necessário para entrevistar as pessoas. As
entrevistas foram esclarecedoras. Tivemos oportunidade de conhecer exemplares de drogas
aprendidas, objetos que acompanham as apreensões e prontuários, e inclusive uma delegacia.
Recortamos algumas das perguntas realizadas com a escrivã e com o delegado.
Qual a droga mais usada?
Qual o peso das trouxinhas comumente encontradas?
Quanto custa a trouxinha?
Onde é feita geralmente a venda da droga?
Em que área concentra-se a vendas de droga?
Quais as drogas apreendidas em Santa Maria?
De onde vem a droga?
Como é diferenciado o usuário do traficante?
Qual a classe social do traficante e do usuário?
Existe a possibilidade de nos repassarem as estatísticas?
Qual sua sugestão para a prevenção?
Quais suas considerações finais?
No encontro seguinte foi realizado um estudo com os dados. É um assunto polêmico e
difícil de modelar, pelo fato de ter várias informações e algumas contradições. Via
correspondência eletrônica, a aluna Lia agradece a professora pesquisadora e relata as
atividades que pretende realizar.
Olá, professora.
Muito obrigado por nos acompanhar.
Pretendo neste final de semana fazer os gráficos.
Sobre os dados, como fica melhor para você, posso passar na UNIFRA, pois não sei
onde você mora.
A investigação do conteúdo matemático, a elaboração das situações-problema, a
resolução e validação costumavam acontecer ao mesmo tempo para o Grupo Um como para
os outros grupos, porque, conforme acontecia a busca de dados, foram elaborando situações-
problema, investigando conteúdos matemáticos e estatísticos, encontrando a solução e
validando-a. Percebeu-se que as alunas estavam autônomas e pesquisavam sozinhas,
elaboravam situações-problema e procuravam resolvê-los e as professoras continuavam
dialogando com o grupo sobre suas investigações (BARBOSA, 2001a). Estavam
entusiasmadas com o assunto e com as atividades de Modelagem Matemática produzidas.
Estavam participativas e sentiam-se encorajadas em compartilhar seu aprendizado com os
outros grupos. Continuávamos nos comunicando com a aluna Vânia, que estava
impossibilitada de comparecer, via correspondência eletrônica,
62
Pelo que a colega passou, devemos começar pelo artigo...
Estou lendo, juntando idéias e a princípio o histórico estaria pronto (coloquei em
anexo para ler e dizer como está, se tenho a mudar alguma coisa).
Nesse anexo tem também: efeitos da maconha e uma "introdução que fiz com
relação ao problema a fazer e solucioná-lo". GOSTARIA QUE LESSE TAMBÉM...
Meu problema é encontrar dados que apresentem concentrações dessa droga,
quantidades... Para fazer tabela e assim formular o problema e não encontro na
internet... Não acho.
Queria saber a seqüência de um artigo... Para ir organizando!
Abraços e aguardo retorno. (grifos da aluna)
O grupo está completo novamente, a aluna afastada manteve contato durante todo o
período de afastamento dos encontros, e dessa forma o desenvolvimento dos trabalhos não
ficou prejudicado. Continuavam entusiasmados com os conteúdos que estavam estudando e
com o uso de programas computacionais para traçado de gráficos e determinação dos modelos
matemáticos. O grupo apresentou algumas dúvidas para representar um gráfico da função
logarítmica ao trabalhar com escalas, os modelos matemáticos construídos, bem como a sua
validação. Conforme investigavam sobre o assunto elaboravam as situações-problema,
construíam tabelas, utilizavam programas computacionais como o Excel, Maple, CurveExpert
para traçar o gráfico e comparar os modelos obtidos, bem como comparavam as diferenças
entre os programas.
Ao longo do trabalho, percebeu-se como conseguiram superar as dificuldades
matemáticas, elaborar uma situação-problema, resolver e analisar a solução tanto do ponto de
vista matemático quanto social. Observamos a desenvoltura e o entendimento matemático que
o grupo conseguiu. Os conteúdos matemáticos estudados pelo grupo durante a realização do
trabalho foram as funções lineares, quadráticas, exponenciais, logarítmicas, crescimento e
decrescimento das funções, limites dessas funções, equações de diferenças de primeira ordem
e estatísticos, as medidas de tendência central como média, moda e mediana, as medidas de
dispersão como variância e desvio padrão e a regressão ou ajuste de curvas, taxas de
crescimento ou decrescimento e os diversos tipos de representações gráficas utilizada para
representarem dados. Lembrando que o grupo não estudou só o que aparece no artigo, em
anexo, e por isso foi citada toda a matemática e estatística estudada durante a realização do
trabalho, independente da solução ou modelo matemático escolhido para a situação-problema
ou se está no artigo publicado ou não.
Inicialmente, elaboraram o trabalho com sete situações-problema, como “Qual a
quantidade de concentração de maconha no organismo, com o passar do tempo, se um
indivíduo ingerir 500 mg (equivalente a um cigarro comum), de forma pulmonar
considerando-se a meia-vida?”, “Supondo que um usuário crônico de drogas fume
63
diariamente 5 cigarros de maconha contendo 500 mg cada um. Sabendo-se também que a
concentração de THC de cada cigarro é de 1%, qual é a concentração no organismo do
usuário com o passar do tempo?”, “Considerando que a maconha é eliminada do organismo
com o passar do tempo. Qual é o modelo matemático da concentração do THC, considerando-
se a mesma situação anterior e a meia-vida?”, “Considerando os dados coletados da CEBRID,
2000 que fornece a percentagem de estudantes usuários de drogas do Brasil. É possível fazer
uma previsão da percentagem de estudantes que serão usuários de drogas com o passar do
tempo?” dentre outros. Também analisaram a quantidade de maconha apreendida, a
quantidade de termos circunstanciais e a quantidade de indiciados por tráfico de entorpecentes
por mês, durante o ano de 2005, em Santa Maria. Para solucionar e validar o que haviam
problematizado o grupo investigou, discutiu e analisou várias implicações sociais que estão
imbricadas nesse contexto.
Ao solucionar a situação-problema que versava sobre a quantidade de concentração da
droga no organismo, eles construíram uma tabela da permanência da droga no organismo com
o passar do tempo. Chegaram a um gráfico, que representava a quantidade da droga que
permanece no organismo num determinado intervalo de tempo, sendo este, o melhor modelo
encontrado para a situação-problema, naquele momento. Para isso utilizaram programas
matemáticos e compararam os modelos obtidos. Passos idênticos seguiram para solucionar e
analisar a segunda situação-problema. Trabalhando a concentração do princípio ativo da
maconha, chegaram numa descrição do fenômeno, criando um modelo matemático que
envolve uma equação de diferenças de primeira ordem (Anexo B). E a partir deste modelo
construíram o gráfico para a visualização do modelo que descreve o fenômeno, a
concentração do princípio da droga em estudo.
A fim de analisar a quantidade de maconha apreendida em Santa Maria, num
determinado ano, o grupo analisou as representações gráficas no Excel e concluíram que o
gráfico de colunas seria a melhor representação para a situação em estudo. Calcularam a
média e o desvio padrão da quantidade da droga apreendida durante o tempo em estudo.
Concluíram que a média não era uma boa representação para a situação, porque o desvio
padrão estava maior que a média obtida e ela não representaria a contento aquela situação.
Nesse momento, ocorreu uma discussão importante entre os componentes do grupo, pois,
observaram que a maior parte dos dados obtidos na pesquisa exploratória resultava da média
de situações analisadas e tornadas públicas. Procederam da mesma forma ao analisar outras
duas situações pertinentes ao assunto. Em todas as situações analisadas, eles construíram um
modelo matemático, ou seja, uma representação ideal que traduz a situação-problema
64
estudada. Entendemos que as indagações e as investigações, que aconteceram durante as
atividades, foram mais significantes do que a construção do modelo em si e concordamos com
Barbosa (2001c, p. 36) ao afirmar que:
[...] os alunos podem investigar matematicamente uma dada situação, sem
necessariamente construir um modelo matemático. O importante- assim julgo- não é
a construção do modelo em si, mas o processo de indagação e investigação, que
pode, ou não, envolver a formulação de um modelo matemático propriamente dito.
A seguir apresenta-se a síntese do trabalho sobre drogas, em especial a maconha e
algumas das situações-problema elaboradas pelo grupo.
A maconha
Maconha é o nome dado aqui no Brasil a uma planta chamada cientificamente de
Cannabis Sativa, em outros países ela recebe nomes diferentes. A Cannabis Sativa contém
aproximadamente 400 substâncias químicas, entre as quais se destacam pelo menos 60
alcalóides conhecidos como “canabinóides” que são os responsáveis pelos seus efeitos
psíquicos. Um dos principais canabinóides psicoativo é o Delta 9 tetrahidrocanabinol (Delta-
9-THC).
É interessante observar que em países de clima temperado, a concentração de
Delta-9-THC é menor em relação aos países de clima quente. O THC não é solúvel em
água e por isso ele não pode ser injetado. A quantidade de THC em uma dose pode variar
intensamente de acordo com a procedência da droga e a forma como é consumida.
A Cannabis Sativa tem diferentes formas de preparo. Entre os quais se destacam:
I. O Haxixe que é uma resina com aspecto de uma pasta semi-sólida seca e marrom-escuro,
obtida através da compressão das florescências superiores da planta, e moldada em forma
de “bolotas” com alta concentração de THC.
II. Maconha ou ”Marijuana” é a mistura de várias partes da planta, principalmente as
florescências, as sementes, os talos e as falhas das partes superiores, que são preparadas
e secadas.
Nos últimos anos, as estatísticas mostram que a maconha está sempre entre as
drogas ilícitas mais consumidas pelos jovens estudantes colegiais e universitários.
Normalmente a droga é fumada sob a forma de cigarro e é conhecida por diversos nomes
como baseado, fino, fininho, erva, bagana, cibaba, etc. Porém, também pode ser ingerida
por via oral. Os efeitos da droga dependem da quantidade absorvida, do tipo de preparação,
da via de administração, da sensibilidade da pessoa e do seu estado de espírito no
momento do uso.
65
A maconha causa dependência, mas depende do indivíduo que está consumindo a
droga. Esse pode consumir por anos e não se tornar dependente, mas pode consumir
algumas vezes e se tornar dependente. Porém, o maior problema, é que a maconha pode
vir a ser uma passagem para drogas mais pesadas. A maconha é uma droga perturbadora
do sistema nervoso, ou seja, ela altera o funcionamento normal do cérebro provocando
fenômenos psíquicos do tipo delírios e alucinações.
Os efeitos farmacológicos pela absorção pulmonar podem demorar de 5 a 10
minutos e apenas 14 segundos para atingir o cérebro. Já a absorção oral pode demorar de
30 a 45 minutos. Alguns pacientes podem exibir os sinais e sintomas de intoxicação dentre
12 a 24 horas, devido à liberação lenta dos canabinóides a partir do tecido adiposo. A meia-
vida de uma dose de maconha consumida é de 50 horas.
Os canabinóides possuem elevadas lipossolubilidade, ficando facilmente preso no
revestimento surfactante dos pulmões, quando é fumado. Devido à sua lipossolubilidade,
acumulam-se principalmente nos órgãos nos quais os níveis de gordura são mais elevados
como cérebro, testículos e tecidos adiposos. Pesquisas mostram que seu uso freqüente
provoca câncer e modifica a atividade cerebral comprometendo principalmente a capacidade
de concentração, memória e aprendizado.
Dentre os malefícios conhecidos causados nos usuários podemos destacar:
I. Em curto prazo, os efeitos comportamentais são:
• Período inicial de euforia (sensação de bem-estar e felicidade e seguido de
relaxamento e sonolência);
• Perda da definição de tempo e espaço: o tempo passa mais lentamente e as distâncias
são calculadas muito maiores do que realmente são; coordenação motora diminuída: perda
do equilíbrio e estabilidade postular;
• Alteração da memória recente. Quanto aos efeitos na memória eles se manifestam
principalmente na chamada memória a curto prazo, ou seja, aquela que nos é importante
por alguns instantes; falha nas funções intelectuais e cognitivas; os batimentos cardíacos e
a pressão arterial aumentam; os olhos ficam vermelhos e as pupilas se dilatam; a boca seca
e o apetite (especialmente por doces) aumentam;
• Maior fluxo de idéias. Idéias confusas, dificultando a comunicação oral, a concentração,
o aprendizado e o desenvolvimento intelectual;
II. Doses mais altas podem levar a:
• Alucinações, ilusões e paranóias, pensamentos confusos e desorganizados;
• Ansiedade e angústia que podem levar ao pânico, medo da morte, despersonalização;
• Sensação de extremidades pesadas; incapacidade para o ato sexual (até impotência).
66
III. A longo prazo a extensão dos danos bem caracterizados se restringem ao sistema
pulmonar e cardiovascular.
• Maior risco de desenvolver câncer de pulmão, pois a fumaça da maconha pode causar
irritação, gerando problemas que vão desde bronquites até cânceres e enfisemas
pulmonares; diminuição das defesas, facilitando infecções; dor de garganta e tosse crônica,
aumenta os riscos de isquemia cardíaca; aumento dos batimentos cardíacos (140/160 por
minuto, quando o normal é 80/100); a mulher que amamenta passa as toxinas da drogas
para a criança através do leite materno. O uso contínuo da maconha interfere na capacidade
de aprendizagem e memorização.
Segundo informações do médico psiquiatra Dr. Rodrigo Marot, o Delta-9-THC, no
sistema imunológico, prejudica a produção de células de defesa no baço, medula óssea e
timo. Já no sistema cardiovascular, provoca a aceleração do batimento cardíaco e
diminuição da pressão arterial, além de diminuir a capacidade de coagulação do sangue.
Não existe relato na literatura médica de casos de morte pelo uso da maconha
diretamente, mas o usuário pode sofrer acidentes depois de ter consumido, uma vez que se
sabe que a maconha causa desorganização mental e alteração da percepção tempo-
espacial.
Problematização
A partir das informações e dados obtidos propomos várias situações-problema com o
objetivo de elucidar o tema proposto e explorar a matemática relacionada.
Situação-problema 1
Qual a quantidade de concentração de maconha no organismo, com o passar do
tempo, se um indivíduo ingerir 500 mg (equivalente a um cigarro comum), de forma
pulmonar considerando-se a meia-vida.
Vamos construir a tabela do tempo de permanência da droga no organismo
(considerando a meia-vida) e a quantidade ingerida. De acordo com os dados obtidos a
meia-vida é de 50 horas.
TABELA 1: Concentração da maconha no organismo
Tempo T
(em horas)
0 50 100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
Quantidade
ingerida
C(t)) em
mg
500
250
125
62,5
31,2
15,6
7,81
3,9
1,95
0,97
0,48
0,24
0,12
0,06
0,03
0,01
A situação acima é representada pelo gráfico abaixo:
67
Figura 1
Análise da solução: Analisando a tabela e o gráfico percebe-se que ao ingerir uma
dose de 500 mg, a mesma leva aproximadamente 30 dias para que o princípio ativo da
maconha seja eliminado totalmente do organismo de um indivíduo. Esta dose de 500 mg é
considerada pequena e se consumida diariamente um indivíduo permanecerá sempre em
quantidade crescente com a maconha intoxicando seu organismo.
Situação-problema 2
Supondo que um usuário crônico de drogas fume diariamente 5 cigarros de maconha
contendo 500 mg cada um. Sabendo-se também que a concentração de THC de cada
cigarro é de 1%, qual é a concentração no organismo do usuário com o passar do tempo?
A tabela a seguir mostra a concentração de THC no organismo desse indivíduo com
o passar do tempo.
TABELA 2: Concentração de THC
Dia T
0
T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
Cigarro
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
THC
(mg)
25
25+T
0
= 50
25+T
1
= 75
25+T
2
= 100
25+T
3
= 125
25+T
4
= 150
25+T
5
= 175
25+T
6
= 200
25+T
7
= 225
25+T
8
= 250
25+T
9
= 275
Observando-se a tabela, o modelo matemático que descreve essa situação é dado
por:
No 1º dia o indivíduo absorve 25mg de maconha, ou seja, T0 = 25mg.
No 2º dia o indivíduo absorve, T1 = T0 + 25 = 50mg.
No 3º dia o indivíduo absorve, T2 = T1 + 25 = 75mg.
Ou seja, no n-ésimo dia tem-se, T
n
= T
n-1
+ 25, onde n é o tempo medido em dias.
Análise da solução: Em 10 dias esse indivíduo, possuirá em seu organismo um
total de 275 mg de THC. Com o passar do tempo aumentará a concentração de THC,
levando, no organismo futuramente, este indivíduo a ter sérios problemas cardiovasculares
ou até mesmo desenvolver um câncer de pulmão entre outras doenças. Isso se dá devido
ao alto índice de concentração de THC no organismo a cada cigarro que é fumado.
68
Graficamente, tem-se:
Figura 2
Ou seja, com o passar do tempo percebe-se que a concentração de THC no
organismo cresce linearmente.
Situação-problema 3
Considerando que a maconha é eliminada do organismo com o passar do tempo.
Qual é o modelo matemático da concentração do THC considerando-se a mesma situação
anterior e a meia-vida? Neste caso tem-se o modelo:
1
25
2
n
n
T
T
−
= +
Tendo em vista esse modelo, pode-se determinar a seguinte tabela:
TABELA 3: Concentração de THC
Geometricamente tem-se:
Figura 3
Análise da solução: Observa-se que o nível de concentração do THC no
organismo, considerando a meia-vida, atinge um ponto de equilíbrio igual a 50 mg. Esta
Dias T
0
T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
Concentração de THC
(mg)
25
37,5
43,8
46,9
48,4
49,2
49,6
49,8
49,9
50
50
69
quantidade de THC permanece no organismo ao longo do tempo. Continuando com este
processo de fumar esta quantidade de cigarro diariamente o indivíduo estará sempre com
uma alta intoxicação.
Situação-problema 4
Considerando os dados coletados da CEBRID, 2000 que fornece a percentagem de
estudantes usuários de drogas do Brasil. É possível fazer uma previsão da percentagem de
estudantes que serão usuários de drogas com o passar do tempo?
TABELA 4: Percentual de estudantes que consomem maconha
Ano 1987 1989 1993 1997
% 2,8 3,4 4,5 7,5
Fonte: CEBRID, 2000.
Com base na tabela acima construiu-se a seguinte tabela:
TABELA 5: Percentual de estudantes que consomem maconha de 1987 até 2006
Anos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
% 2,8 3,0 3,4 3,5
3,7
4,1 4,5 5,2 5,8 6,6
Anos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
% 7,5 8,3 9,3 10,4 11,5 12,8 14,1 15,5 17,0 18,5
Através da utilização do software Curve Expert tem-se, o seguinte gráfico que
descreve a situação dos dados acima no período de 1987 a 2006.
O uso de maconha por estudantes
Anos a partir de 1987 até 2006
Estudantes usuários (%)
0.1 3.7 7.4 11.0 14.6 18.3 21.9
1
.
2
4
.
4
7
.
5
1
0
.
7
1
3
.
8
1
7
.
0
2
0
.
2
Figura 4
O modelo matemático que descreve esta situação é dado por .
Análise da solução: De acordo com os dados da tabela acima e levando em
consideração o modelo aproximado obtido pode-se fazer uma previsão do número de
9224,2041,0412,0
2
+−=
xxy
70
estudantes usuários de maconha para o ano de 2006. Por esse modelo, se nada for feito até
o final de 2006, tem-se um percentual maior de estudantes consumidores de maconha, em
torno de 19 % de estudantes usuários desta droga.
Após a superação da fase de elaboração de situações-problema, de solucioná-las e
analisar os resultados, o grupo iniciou a escrita do trabalho. Começou a escrever o artigo,
atividade final do trabalho proposto e foi a fase de maior preocupação do grupo, pois redigir
um artigo é trabalhoso. Sentiram-se apreensivos porque escrever artigos não faz parte da
rotina do curso de Matemática.
No período que estavam escrevendo o artigo percebemos algumas dúvidas em utilizar
o computador para traçarem gráficos e necessitaram de ajuda. Para nós essas dúvidas
representaram que o grupo continuou refletindo sobre a melhor solução para o problema e
desta forma o aprendizado continuava. As dúvidas foram pontuais, mas sentiram-se à vontade
para procurar a professora e pedir ajuda, inclusive fora dos encontros. “Professora é a parte
final que está com problema de resolução, dá uma olhada e manda por e-mail”.
Correspondência eletrônica enviada pela aluna Lia.
Os alunos perceberam o quanto o computador pode auxiliá-los na tarefa de
modelagem, mas observamos que alguns alunos não dominam programas computacionais que
são de domínio público na área de matemática.
Eles estavam autônomos e já percebiam quando acertavam e erravam, pois a alegria
era grande. Inclusive percebemos que se alegravam pelo trabalho produzido e por estarem
vencendo as dificuldades. Após o trabalho realizado, escreveram o embasamento teórico
sobre Modelagem Matemática que basicamente é o que se encontra no artigo, em anexo.
De acordo com o cronograma estabelecido no plano de ensino, na terceira semana do
mês de junho as alunas deste grupo estavam com o trabalho concluído.
O artigo foi enviado para as professoras que realizaram alguns ajustes e a partir desse
momento, o grupo começou a preparar a apresentação oral. Esta também representou uma
fase não muito fácil para os alunos, pois expressar-se oralmente e fazer um resumo das idéias
principais do trabalho para ser apresentado em trinta minutos não é uma tarefa comum.
Observamos que esta etapa também não faz parte do cotidiano das disciplinas do curso.
Esse grupo necessitou de pouco auxílio e poucos ajustes, pelo fato que os alunos
dedicavam-se ao trabalho de forma criativa e crítica, demonstrando interesse e
responsabilidade bem como participaram do seminário, apresentando o trabalho desenvolvido,
durante o semestre, com entusiasmo e segurança. Pela dedicação do grupo, estudaram
71
conteúdos, além do que seria possível vencer em um curso com trinta horas, em que a
aprendizagem dependesse do professor fornecer os conteúdos. Além disso, obtiveram
conhecimentos sobre drogas, em especial a maconha, as implicações sociais envolvidas, sobre
Modelagem Matemática e aplicações de programas computacionais que os auxiliaram nos
estudos realizados.
Algumas dificuldades foram apresentadas, mas não podemos deixar de salientar que o
grupo alcançou boa produção inclusive o artigo (Anexo B) que foi publicado na 12ª Jornada
Nacional de Educação e 2º Congresso Internacional de Educação que está com quatro das
situações-problema desenvolvidas pelo limite de páginas em que o grupo o apresentou na
forma de comunicação oral.
Atividades do grupo dois e sua produção
Este grupo iniciou, de modo entusiasmado a pensar em trabalhar com transgênicos. Na
busca de dados, encontraram listas de alimentos de origem transgênica associada, mas não
viam como desenvolver, criar situações-problema. A professora responsável pela disciplina
respondeu cada pergunta, com indagações para auxiliá-los na reflexão. A sugestão foi que
transgênico é um assunto muito interessante, mas que deveriam limitar a pesquisa. Pesquisar,
por exemplo, se a semente transgênica, esgotaria o solo mais cedo do que outra semente. Os
alunos acharam uma ótima idéia, pois seria um assunto que pessoas da comunidade se
interessariam. O tema transgênico surgiu, pelo fato de um componente do grupo ter
profissionais na família ligados a área da agricultura e pais agricultores. No Diário de Campo
da pesquisadora encontram-se registradas essas idéias e parte da fala de uma das alunas
conforme transcrevemos abaixo.
Meu namorado é engenheiro agrônomo e pode nos auxiliar nas
pesquisas. Meus pais plantam e na região as pessoas estão ligadas
com a agricultura. Ana
Observamos que estavam confusas, pois gostariam de estudar sobre transgênicos, mas
as pesquisas realizadas não permitiram a obtenção de dados que pudessem formular questões
relevantes. O entusiasmo, inicialmente demonstrado com o tema, foi, aos poucos,
esmorecendo pelas dificuldades que encontraram na busca de dados sobre a contaminação do
solo cultivado por transgênicos. Solicitaram tempo para pensar e percebemos que estavam
inseguras para trabalharem com este tema. “Professora, estamos com dificuldades para
encontrar material a respeito da contaminação do solo, precisamos de sugestões para fazer o
72
trabalho sobre outro assunto”. Esta é uma solicitação via correspondência eletrônica, durante
a semana, da aluna Diana. Foram sugeridos artigos e documentos eletrônicos relacionados ao
tema e sugestões de procurar em jornais outro tema que lhes interessassem, caso preferissem
mudar o assunto.
Depois de várias tentativas de buscar dados sobre transgênicos, os alunos estavam
decididos a trocar de assunto, pois sentiram dificuldade com o tema. Neste momento, os
jornais da cidade publicaram matérias jornalísticas sobre a polêmica do aumento de passagens
de ônibus urbano. Os alunos então propuseram trabalhar com este tema, pois os jornais
apresentavam vários dados sobre o transporte urbano de Santa Maria. Desta forma, definiram
que este seria o tema a ser abordado e resolveram trabalhar com tarifa de ônibus urbano de
Santa Maria. A partir desta definição, iniciaram o estudo do tema e a busca de informações e
dados. As professoras os orientam a buscar leituras sobre o tema, sugerem entrevistas com
algumas pessoas da prefeitura, da Associação de Transporte Urbano (ATU), do Diretório
Central de Estudantes (DCE). No Diário de Campo eles relatam “fizemos a leitura dos jornais
e mandamos e-mail para os jornais A Razão e Diário de Santa Maria. Fomos à Prefeitura,
DCE e ligamos para a ATU, porém poucos dados foram fornecidos. Fizemos pesquisa na
internet”.
Nossa percepção, nesse momento, era que este grupo não tinha uma atitude autônoma.
Esperavam que as professoras pensassem nas situações-problema e sentiam-se inseguras para
tomar decisões. No Diário de Campo da pesquisadora encontra-se o registro de parte da fala
de uma aluna.
Está difícil pensar professora, vocês fazem muitas perguntas. Nós
vamos voltar para casa com dúvidas... Diana
E era exatamente isso que queríamos suscitar, a dúvida, perguntar para favorecer ao
aluno pensar e nos remetemos a Freire e Faundez (1985), ao afirmar que todo o conhecimento
começa pela pergunta, pela curiosidade e que o professor antes de tudo deveria ensinar a
perguntar.
No Diário de Campo o grupo relata “A professora [...] conseguiu o material para
calcular a tarifa de ônibus. Estudamos o material e fizemos algumas contas em que nos
deparamos com a falta de vários dados”.
Interpretamos que naquele momento era o grupo que apresentava menor rendimento,
pois a dedicação a leituras era menor, comparada com os outros grupos e o esforço não era
percebido pelas professoras. As atividades pareciam ser realizadas apenas nos encontros
73
semanais. Fora dos encontros semanais tinham dificuldade para se encontrarem porque cada
componente do grupo mora numa cidade. A professora responsável pela disciplina propõe
uma tarefa para o próximo encontro que era elaborar uma situação-problema com os dados
obtidos. Esta solicitação deu-se pelo fato das alunas demonstrarem passividade nos encontros.
Vivenciamos o que Barbosa (2001a) argumenta que com a Modelagem Matemática o aluno
não sabe como proceder por ser atividades de natureza diferente e, portanto, não é de esperar
que essa mudança ocorra instantaneamente por estar baseada na indagação e investigação e se
diferenciar da forma como o ensino tradicional é conduzido, sendo este visivelmente
hegemônico nas escolas.
No encontro seguinte, os alunos trouxeram algumas situações-problema elaboradas
durante a semana e a professora, responsável pela disciplina, em conjunto com o grupo, as
auxiliou na melhoria das situações-problema e na resolução e validação das mesmas.
Percebemos que após terem conseguido, com auxílio da professora, elaborar uma
situação-problema, resolvê-la, encontrando o modelo matemático e validando-o, as alunas
motivaram-se com o trabalho. A partir deste momento o grupo conseguiu elaborar novas
situações-problema e necessitaram de auxílio, apenas na parte matemática e a partir de então,
o grupo apresentou boa evolução no desenvolvimento do trabalho. Percebemos que a partir
deste momento, ocorreram trocas valiosas de conhecimento entre o grupo e as professoras
pelo amadurecimento dos envolvidos no contexto. Concordamos com Cargnin Stieler (2006,
p. 141) “O educando passa a ter um papel atuante, quando forma um grupo de aprendizagem,
pois socializa os saberes e as dificuldades”.
Na pesquisa exploratória investigaram sobre transporte urbano, especialmente
envolvendo o custo das passagens e sobre os conteúdos matemáticos que acreditavam ser
possível trabalhar. A investigação dos conteúdos matemáticos, a elaboração das situações-
problema, a resolução e validação costumavam acontecer simultaneamente no trabalho
desenvolvido, não eram etapas estanques, aconteciam e voltavam a acontecer.
Conforme investigavam sobre o assunto, elaboravam as situações-problema,
procuravam solucioná-las, construíam e comparavam modelos obtidos. Desta forma,
estudaram alguns conteúdos de matemática financeira como, porcentagem, taxas, juros e série
de pagamento, além de equações lineares, logarítmicas, progressões e equações de diferenças
de primeira ordem. Enfim dedicavam-se as situações-problema elaboradas e procuravam
solucioná-las e validá-las por mais de uma forma, para certificar-se do que estavam
construindo. Concordamos com Skovsmose (2001), que além da construção de modelos é
relevante entenderem as idéias econômicas que estão por trás do modelo matemático.
74
Situações-problema elaboradas e discutidas pelo grupo como a previsão de lucro
mensal pelas empresas de transportes coletivos, o custo das passagens desconsiderando a
gratuidade, o saldo obtido em caderneta de poupança de um usuário, se o mesmo economizar
o valor das passagens, a renovação da frota de ônibus urbanos com o lucro e de quanto em
quanto ela precisa ser renovada, o passe livre discutindo implicações como o lucro das
empresas se o mesmo fosse desconsiderado, o custo para dobrar o dia de passe livre e a quem
se remetem os encargos com este tipo de benefício. Todas essas situações foram discutidas e
analisadas. Além dos conteúdos matemáticos, as implicações sociais e econômicas que estão
presentes neste contexto foram discutidas e a busca de outras alternativas de transporte.
Quanto as situações-problema elaboradas pelo grupo, concordamos com Barbosa (2003a) que
representam problemas para os alunos pelo fato que o tema por eles abordado faz parte da
realidade vivenciada por eles.
A seguir apresenta-se a síntese do trabalho sobre tarifa de ônibus urbano de Santa
Maria e algumas das situações-problema elaboradas pelo grupo.
A polêmica do aumento da tarifa de ônibus urbano em Santa Maria
O valor da tarifa de ônibus em Santa Maria no mês de março de 2006 é de R$ 1,60.
Mas segundo informações e notícias de jornais, virá um novo aumento das tarifas de ônibus
do transporte coletivo.
Cada vez que se fala em aumento de tarifas, ocorre uma grande discussão em torno
do assunto. Isso se dá pelo fato, de várias pessoas e entidades participarem do cálculo
dessa tarifa e da sua aprovação.
Quando se propõem um aumento da tarifa, deve-se justificá-lo. Na cidade de Santa
Maria o cálculo da tarifa é repensado primeiramente pela administração Municipal, que leva
em conta um estudo completo sobre as condições do sistema de transporte coletivo urbano.
Neste estudo, foi constatado que deve haver uma melhor operacionalização de questões
relacionadas a excessos de oferta e falta de demanda em alguns horários, os quais podem
influenciar diretamente no preço da tarifa.
A Associação de Transportes Urbanos (ATU), também defende o aumento da tarifa
alegando que de 2005 para 2006, o número de passageiros diminuiu sensivelmente em
função da greve da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e que o salário também
subiu, fazendo com que o cálculo da tarifa se modifique levando em conta esses dados.
Segundo dados do jornal A RAZÃO do dia 28 de março de 2006, Edmilson Gabardo
atual presidente da ATU (Associação dos Transportes Urbanos) divulgou números relativos
75
a outubro de 2005 que, segundo empresários do setor, contribuem para a elaboração do
cálculo da planilha do transporte coletivo urbano, os quais são:
Passageiros transportados: 3,1 milhão (100% da demanda)
Pagantes: 1,75 milhão (56% da demanda)
Estudantes (50% de desconto): 650 mil (21% da demanda)
Idosos (gratuidade): 550 mil (17% da demanda)
Demais gratuidades - deficientes, acompanhantes, policiais militares, carteiros,
fiscais e estafetas do Município: 180 mil (6% da demanda)
Tendo como base os dados apontados pela ATU, elaborou-se situações-problema
relacionadas ao tema.
Situação-problema 1:
Segundo dados do jornal A RAZÃO, 28 de março de 2006, o lucro dos empresários
proprietários dos ônibus é de 12% ao mês. Considerando o número de passageiros
transportados mensalmente pelas empresas de ônibus de Santa Maria, e que pagam
passagem integral ou parcial, qual é a previsão de lucro mensal, considerando o valor da
passagem:
a) R$ 1,57 (valor defendido pelo economista da UFSM)
b) R$ 1,60 (valor atual)
c) R$ 1,80 (valor defendido pela prefeitura)
d) R$ 2,00 (valor defendido pela ATU).
Caso I) Considerando o fato de que todas as pessoas pagam passagem integral.
TOTAL MENSAL ARRECADADO = NÚMERO DE PASSAGEIROS QUE PAGAM
PASSAGEM INTEGRAL
x
PREÇO DA PASSAGEM
T
1
= PP
x
X
LUCRO = TAXA DE LUCRO
x
TOTAL MENSAL ARRECADADO
1111
12,0
100
12
TLTL
⋅=⇒⋅=
Para cada caso tem-se:
a) T
1
= 2.747.500,00 L
1
= 329.700,00
b) T
1
= 2.800.000,00 L
1
= 336.000,00
c) T
1
= 3.150.000,00 L
1
= 378.000,00
d) T
1
= 3.500.000,00 L
1
= 420.000,00
76
Caso II) Considerando o fato das pessoas que pagam passagem parcial.
TOTAL MENSAL ARRECADADO = NÚMERO DE PASSAGEIROS QUE PAGAM
PASSAGEM PARCIAL
⋅
PREÇO DA PASSAGEM.
2
2
X
PET
⋅=
LUCRO = TAXA DE LUCRO
x
TOTAL MENSAL ARRECADADO
2222
12,0
100
12
TLTL ⋅=⇒⋅=
Ou seja, para cada caso segue que:
a) T
2
= 510.250,00 L
2
= 61.230,00
b) T
2
= 520.000,00 L
2
= 62.400,00
c) T
2
= 585.000,00 L
2
= 70.200,00
d) T
2
= 65.000,00 L
2
= 78.000,00
Caso III) Considerando o fato das pessoas que pagam passagem integral e parcial.
LUCRO FINAL MENSAL= LUCRO
1
+ LUCRO
2
L = L
1
+ L
2
i) Lucro Total no caso do preço da passagem ser R$ 1,57.
L = 39.930,00
ii) Lucro Total no caso do preço da passagem ser R$ 1,60.
L = 398.400,00
iii) Lucro Total no caso do preço da passagem ser R$ 1,80.
L = 448.200,00
iv) Lucro Total no caso do preço da passagem ser R$ 2,00.
L = 498.000,00
Considerando o valor da passagem R$ 1,60 a ATU obtém um lucro mensal de R$
398.400,00 se o valor da passagem aumentasse para R$ 2,00 o lucro dos empresários
aumentaria aproximadamente R$ 100.000,00 por mês. A pergunta que podemos colocar é a
seguinte: este lucro é repassado para a melhoria salarial dos empregados? É repassado
para a melhoria das frotas de ônibus? É repassado para a melhoria da oferta dos serviços
prestados aos usuários?
Situação-problema 2:
77
Considerando o fato da empresa de ônibus trabalhar com o lucro fixo mensal de R$
398.400,00 (valor atual de a passagem ser R$ 1,60) e de todas as pessoas pagarem
passagem como sugerem os empresários. Qual seria o valor da passagem?
L = T
x
taxa
L = PP
x
X
x
0,12, ou seja
X = 1,07 ou x
≅
1,10
Devido, a dificuldade de troco, a passagem será cobrada no valor de R$ 1,10.
Com este valor da passagem o lucro é de R$ 409.200,00 um valor ainda maior do
que o lucro já obtido, será então que é necessário tirar as gratuidades ou diminuir o lucro já
obtido?
Quanto eles estarão lucrando, com esse arredondamento além dos R$ 398.400,00?
L
2
= taxa PP. X
L
2
= 409.200,00 e
L
2
– L
1
= 10.800,00
Eles lucram R$ 10.800,00 com a diferença de R$ 0,03 por cada passagem num mês.
Se esse lucro de R$ 10.800,00 fosse revertido em gratuidades teríamos 9.818 pessoas
beneficiadas.
818.9
10,1
800.10
=
pessoas
Situação-problema 3:
Um professor em início de carreira, utiliza 2 passagens de ônibus diariamente,
trabalhando 25 dias por mês. A fim de comprar uma motocicleta, resolveu ir caminhando
para o trabalho poupando diariamente os valores das passagens e colocando este valor em
uma Caderneta de Poupança com taxa de juros igual a 0,7% ao mês, no início de cada mês.
Em quanto tempo ele terá o saldo de R$ 2.000,00 que é o custo estimado para a
motocicleta?
Primeiramente consideremos o valor da passagem R$1,60.
Por dia o professor economiza: 2
x
1,60 = 3,20 e por mês: 3,20
x
25 = 80,00. Assim, o
professor deposita mensalmente R$ 80,00 na Caderneta de Poupança.
Vamos deduzir o modelo matemático que determina o saldo na caderneta de
poupança passados t meses.
Seja C
0
o valor inicial que será depositado mensalmente a uma taxa de juros mensal.
Após o primeiro mês o saldo é de:
C
1
= C
0
+iC
0
C
1
= C
0
(1+i)
Após o segundo mês, o saldo é de:
78
C
2
= C
0
(1+i)
+i[C
0
(1+i)] +C
0
+iC
0
.C
2
C
2
= C
0
(1+i)
+C
0
+i[C
0
(1+i) +C
0
]
C
2
= C
0
(1+i) (1+i)
+C
0
(1+i)
C
2
= C
0
(1+i)
+C
0
(1+i)
2
Após o terceiro mês, o saldo é de:
C
3
= C
0
(1+i)
+C
0
(1+i) +i[C
0
(1+i) +C
0
(1+i) ]
C
3
= C
0
(1+i)
+C
0
(1+i).(1+i) + C
0
(1+i)
C
3
= C
0
(1+i)
3
+C
0
(1+i)
2
+ C
0
(1+i)
e assim sucessivamente.
Transcorridos
t
meses o saldo acumulado é dado por
C
t
= (1+i)C
0
+ (1+i)
2
C
0
+ (1+i)
3
C
0
+...+ (1+i)
t-1
C
0
+ (1+i)
t
C
0
que é uma soma de uma progressão geométrica, dada por:
(
)
1
1
1
−
−
=
q
qa
c
n
t
, para q≠ 1, onde a
1 =
(1+i)C
0
e q=(1+i)
Ou seja,
( ) ( )
0
1 1 1
1 1
t
t
i c i
c
i
+ + −
=
+ −
(
)
(
)
[
]
i
iic
c
n
t
111
0
−++
=
No caso específico do problema proposto, temos:
23
t
≅
Após 23 meses que é equivalente há 1 ano e 11 meses, teremos o valor de R$
2.000,00 disponíveis para comprar a motocicleta, depositando no início de cada mês R$
80,00, contando com uma taxa fixa de 0,7% ao mês. Ou seja, em aproximadamente 2 anos
o professor ganha autonomia no seu transporte diário.
Situação-problema 4:
A frota total de ônibus de Santa Maria é de 650 ônibus. Com o lucro encontrado na
situação-problema 1, em quanto tempo se renovaria toda a frota?
O valor de um ônibus novo é de aproximadamente R$ 400.000,00. Assim, para
renovar a frota precisaríamos de:
Valor Total = 400.000,00 x 650 = 260.000.000,00
Como o lucro mensal é de R$ 398.400,00 o lucro anual será de 4.780.800,00 com o
valor da passagem R$1,60, para renovar a frota precisaríamos de
79
260 000 000,00 ÷ 4 780 800,00 ≅ 54 meses
A frota se renovaria em 4 anos e 6 meses, ou seja, toda a frota poderia ser renovada
a cada 5 anos aproximadamente.
Se com o valor atual a frota se renova em 5 anos, então considerando o valor
sugerido pela ATU de R$ 2,00 onde o lucro anual é de R$ 5.976.000,00 em quanto tempo
se renovara toda a frota?
260.000.000,00 ÷ 5976.000,00 ≅ 43 meses
A frota se renovaria em 3 anos e 7 meses, ou seja, aproximadamente a cada 4 anos
teríamos uma renovação da frota.
Com a diferença de R$ 1,60 para 2,00 a frota se renovaria com um ano menos. Será
que um veículo como esse necessita ser renovado em tão pouco tempo?
Situação-problema 5:
Um fim de semana de cada mês, há o chamado Passe Livre, onde neste dia as
pessoas não pagam passagem. Isto ocorre em todas as linhas urbanas de Santa Maria. A
média de população transportada neste dia é de 103.333 pessoas.
a) Qual seria o lucro das empresas se não houvesse Passe Livre?
b) Considerando o Passe Livre sendo oferecido para a população dois finais de semana
a cada mês, qual seria o lucro?
c) Quem paga as passagens para as empresas neste dia?
O passo seguinte foi escrever o artigo. Nesta fase os alunos apresentaram algumas
dúvidas ao redigir e percebemos que este grupo possuía desenvoltura na escrita, apesar de
algumas dúvidas, produziam ativamente. Não dependiam mais das professoras. Ganharam
autonomia, percebiam os erros e acertos e procuravam as professoras quando sentiam alguma
insegurança, mas sabiam o que queriam e desta forma interagiam entre si e com as
professoras. Elaboraram o artigo e sentiam-se encorajadas e confiantes com os resultados
obtidos. Estavam orgulhosas com os modelos construídos e pelo artigo elaborado.
A partir do término do trabalho escrito, iniciaram o resumo para a apresentação oral.
Este grupo não apresentou dificuldades nesta fase do trabalho e apresentou o trabalho
demonstrando conhecimento e argumentando sobre suas produções e sobre a Modelagem
Matemática com desenvoltura.
Percebemos uma mudança significativa nas atitudes da fase inicial para a fase final do
trabalho, pois na última fase estavam autônomas, posicionando-se e argumentando as
80
situações que estavam dispostas a enfrentar. Tinham uma postura crítica quanto ao assunto e
aos modelos construídos por, desenvolverem a arte de julgar e analisar as situações
vivenciadas. (BARBOSA, 2001a).
Pela dedicação do grupo, estudaram conteúdos matemáticos, empenharam-se na
aprendizagem de conceitos além de obterem conhecimentos sobre os transportes urbanos e as
implicações sociais envolvidas em torno do tema e sobre a Modelagem Matemática.
O trabalho elaborado por este grupo resultou no artigo (Anexo C) publicado na 12ª
Jornada Nacional de Educação e 2º Congresso Internacional de Educação, apresentado na
forma de comunicação oral.
Atividades do grupo três e sua produção
Este grupo iniciou o trabalho sem acreditar muito na proposta e realizou a escolha do
tema sem muito entusiasmo. O tema que o grupo, inicialmente, propôs estava relacionado
com o trabalho de um dos componentes: o consumo de tecido num hospital. Para a obtenção
dos dados os alunos necessitavam da autorização do hospital para utilizá-los. A justificativa
para trabalhar com o tema é que um dos alunos trabalha neste local e com muitos dados, mas
nem sempre concorda “[...]
como a conta está sendo feita
” Roberto (relato extraído do Diário
de Campo da pesquisadora).
Este aluno tem uma formação acadêmica mais sólida, pois é graduado em Sistemas de
Informações. A professora os incentivou a buscarem dados e informações e salientou que
precisavam da concordância da empresa e que a mesma fornecesse os dados. Observamos que
este é um dos grupos mais resistente em desenvolver as atividades com Modelagem
Matemática, pois prefeririam que a professora explicasse o conteúdo em aulas expositivas e
que os avaliassem com provas, mas mesmo assim esforçam-se para desenvolver as atividades
sugeridas. No Diário de Campo eles relatam: “Discutimos sobre o material encontrado, ainda
havia dúvida sobre o tema. Discutimos sobre o tema, a princípio queríamos escrever sobre
consumo de tecidos utilizado em um hospital”. A nossa percepção, nesse momento, foi que
estavam com vontade de mudar de assunto, mas não manifestaram essa intenção.
Os alunos receberam a permissão da empresa para utilizar os dados. Observamos que
os mesmos eram pobres e que teriam dificuldades para elaborar alguma situação-problema, a
partir do que conseguiram, mas aguardamos uma atitude deles e não nos manifestamos neste
momento. Eles argumentaram que com aqueles dados que lhe foram disponibilizados “[...]
não dá para fazer nada, não temos material suficiente
”. Eva (relato extraído do Diário de
Campo da pesquisadora).
81
Observamos que o desânimo estava tomando conta do grupo. Incentivamos então para
que o grupo pensasse em outro tema. Um dos alunos comentou que possuía um carro
bicombustível e “[...]
nessa época não estava valendo a pena
”. Roberto (relato extraído do
Diário de Campo da pesquisadora).
A professora responsável pela disciplina aproveitou o comentário e incentivou-os a
trabalharem com o tema: o consumo de carro bicombustível. Um dos elementos do grupo
comentou ser este um assunto conhecido e não demonstrou interesse. O outro aluno percebeu
a facilidade do tema e aceitou o desafio. Relato extraído do Diário de Campo da pesquisadora
[...] então vai ser ótimo, vamos ter muitos dados, vamos conseguir
usar muita matemática e criar bons problemas. Roberto
Observamos que não havia uma boa interação entre os componentes e procuramos
auxiliá-los nas dificuldades. O grupo reluta em trabalhar da forma que sugerimos. No
momento da escolha do tema estavam desmotivados e desacreditando que iriam conseguir
realizar as atividades. No Diário de Campo eles relatam o encontro,
Trabalhamos com médias que envolviam dados de compras e usos de tecidos
hospitalares;
Como não achamos que esses dados eram interessantes, então a professora nos
sugeriu para trabalharmos com carros flex, utilizando álcool e gasolina.
Durante a semana procuramos dados e informações.
A professora pediu para elaborarmos uma situação-problema.
No encontro seguinte um aluno não compareceu ao encontro e ficamos preocupadas e
indagamos: será que está tão difícil? Nós, como professoras também nos angustiamos. Os
alunos deste grupo apresentavam algumas dificuldades, pois não demonstravam saber o que
fazer com os dados e quais questões formularem. Fora da sala de aula, eles não têm
oportunidade de se encontrarem e assim o trabalho segue apenas nos encontros semanais.
Orientamos e repetimos as orientações. Apesar desses desafios, mantivemos o propósito de
continuar interagindo com o grupo, desafiando-os objetivando o sucesso do grupo no trabalho
proposto. Julgamos pertinente citar Skovsmose (2000, p. 86), em relação aos cenários para a
investigação e aos desafios para o professor.
Qualquer cenário para a investigação coloca desafios para o professor. A solução
não é voltar para a zona de conforto do paradigma do exercício, mas ser hábil para
atuar no novo ambiente. A tarefa é tornar possível que os alunos e o professor sejam
capazes de intervir em co-operação dentro da zona de risco, fazendo dessa uma
atividade produtiva e não uma experiência ameaçadora.
82
Num trabalho cooperativo com a professora elaboraram uma situação-problema e
buscaram soluções para o mesmo.
No Diário de Campo relatam o encontro,
A professora nos pediu as situações-problema, eu não havia elaborado, porém fiz em
aula. Discutimos sobre os preços que encontramos e sobre uma situação-problema
elaborada.
Chegamos em uma equação do primeiro grau e um gráfico do tipo x=y que resulta
em uma reta.
Trabalhamos com três situações:
Carro a álcool
Carro a gasolina
Carro flex.
Este carro percorreria certa distância, e com os dados encontrados, fizemos a média
de cada situação.
A partir da formulação da primeira situação-problema percebeu-se que mudaram de
postura e começaram a gostar do trabalho. É deles, a solicitação, via correspondência
eletrônica, enviada durante a semana: “Tem como mandar de novo o artigo sobre
Modelagem? Obrigado!” Roberto
O grupo apresentou mudanças de postura, mas percebemos algumas dificuldades para
problematizar, investigar e trabalhar com conteúdos matemáticos. O grupo apresentava
algumas dúvidas e precisava de auxílio e por isso foi destinada atenção especial ao grupo.
Desde o início do trabalho, percebíamos que um dos componentes do grupo não estava
muito interessado com o tema. Assim, eles propuseram uma divisão do grupo de modo que o
outro componente pudesse trabalhar sobre um outro tema de seu interesse. A partir desse
momento, um dos alunos forma o que chamamos de Grupo Quatro.
O grupo não tem freqüência regular, por isso o andamento do trabalho não é o mesmo
dos outros grupos, mas mesmo assim produziram um artigo de qualidade. Um dos alunos
redige bem e desenvolve as atividades, fora dos encontros sem acompanhamento. Traz o
trabalho para a professora ler e discutem as situações-problema e as soluções, bem como as
validações.
Com o primeiro tema, estudaram médias e construíram gráficos representativos e com
segundo tema, carro bicombustível, o grupo se envolveu durante a maior parte do tempo. A
investigação do tema, dos conteúdos matemático, a elaboração das situações-problema, a
resolução e validação eram etapas que não aconteciam em tempo definido, porque conforme
dispunham dos dados, elaboravam situações-problema, investigavam conteúdos matemáticos
para solucionar e validar e assim iam e voltavam percorrendo os passos descritos por Burak
(2004).
83
Conforme investigavam sobre o assunto, analisavam tabelas, elaboravam situações-
problema e para solucioná-las ou validá-las estudaram conteúdos matemáticos, como
equações lineares e porcentagem.
Situações-problema discutidas e analisadas por esse grupo foram: a maneira mais
econômica de abastecer o carro bicombustível, a comparação entre comprar um carro
bicombustível ou não, entre outras. Contexto esse relacionado a um público com poder
aquisitivo, o que nos permite inferir que o grupo encontra-se inserido nesta realidade, vivencia
o problema e solucionar essa problemática é parte de seu interesse. Problematizando e
analisando as soluções foi possível discutir e argumentar criticamente os modismos
consumistas, a qual a sociedade está exposta.
A seguir apresenta-se a síntese do trabalho sobre carro bicombustível e as situações-
problema elaboradas pelo grupo.
Introdução
Anda assustado com o preço da gasolina? É justamente aí que os modelos
bicombustíveis ganham clientes. A possibilidade de escolha entre abastecer com gasolina
ou álcool tem atraído cada vez mais consumidores (VARGAS, 2006).
Os carros bicombustíveis, ou flex, estão no mercado desde março de 2003, quando
a Volkswagen lançou o Gol Total Flex. Diferente daquela época, em que as opções eram
poucas, hoje é possível encontrar no mercado versões flex de quase todos os modelos das
mais conhecidas marcas de veículos. E a tendência é de mais lançamentos. Volkswagen,
Ford, Fiat, General Motors, Citroën, Peugeot e Renault são as marcas que já têm modelos
disponíveis no mercado (VARGAS, 2006).
Segundo a Associação Nacional dos Fabricantes de Veículos Automotores
(ANFAVEA), as vendas de bicombustíveis estão crescendo gradativamente no país. Em
janeiro de 2005 representavam cerca de 27% das vendas. Em dezembro, alcançavam 68%.
Em 2006 as previsões foram melhores: em janeiro foram vendidas mais de 91 mil unidades,
o que representa 72,8% do total (VARGAS, 2006).
A demanda pelos automóveis bicombustíveis não deve ser afetada pela recente
disparada no preço do álcool. Para especialistas e na visão da indústria, o problema é
pontual e a compra de um carro modelo "flex" é realizada com planos de obter uma
economia a longo prazo (MATTOS, 2006).
Segundo Rafael Schechtman, diretor do Centro Brasileiro de Infra-Estrutura (CBIE) e
professor da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), a elevação no valor cobrado
pelo álcool não deve ter influência no mercado "flex" pelo fato de que não se paga mais pela
84
tecnologia. "Para certos modelos de carros, só há o bicombustível", diz o especialista
(MATTOS, 2006).
Antes de responder os problemas em estudo, o engenheiro Marcelo Brandão vai
responder às perguntas mais freqüentes sobre os bicombustíveis.
Marcelo Brandão, chefe de engenharia de desenvolvimento de produtos da unidade
de Sistemas a Gasolina da Bosch, empresa que fornece o sistema bicombustível para
General Motors, Volkswagen, Peugeot, Fiat e Citroën (VARGAS, 2006).
- Como funcionam os bicombustíveis?
O que o sistema bicombustível faz é diferenciar o álcool da gasolina por meio da
quantidade de oxigênio que passa pelo escape, medida por um sensor de oxigênio, que,
após cálculos realizados pela central de comando do motor determina qual é o combustível.
Ou seja, o sistema é capaz de reconhecer qual é o combustível que o usuário está usando e
desta forma se ajusta para funcionar na condição ideal do motor.
- Pode misturar os combustíveis ou tem que usar um de cada vez?
Pode misturar sim, em qualquer proporção.
- Como é o desempenho do motor flex?
Com álcool, a tendência é que o desempenho do veículo seja melhor. Já com a
gasolina, a autonomia de distância é maior, ou seja, o consumo é menor por quilômetro
(Km).
- Quais são as vantagens dos bicombustíveis?
O triunfo dos bicombustíveis é o de proporcionar ao proprietário optar entre
abastecer com gasolina ou com álcool. É bom porque se um combustível estiver caro, ou
faltar no mercado, ele pode colocar outro. A política do preço dos combustíveis não afeta o
dono do veículo. Uma dica é ver o preço dos dois combustíveis. Por exemplo, se o álcool
estiver 70% ou menos do preço da gasolina, é melhor colocar álcool. Se estiver mais caro,
vale a pena colocar gasolina. Se o consumidor seguir esta regra, ele vai conseguir
economizar.
- Que cuidados uma pessoa deve ter com um carro bicombustível?
O mesmo cuidado que ela tinha com um veículo movido à gasolina, ou seja, seguir
as recomendações dos manuais dos proprietários. Se no manual não estiver escrita
nenhuma recomendação específica, os cuidados são os mesmos.
- Qual é a diferença entre o carro bicombustível original de fábrica e o carro
convertido fora de uma montadora?
A diferença é que o original de fábrica tem um sistema específico para cada veículo,
enquanto que os kits de conversão são genéricos. Desta forma, o original consegue
85
preencher as necessidades do veículo. Como o kit tem que atender ao maior número de
modelos de carros, ele não alcança. Algumas conseqüências são o aumento da poluição, a
perda de desempenho, o aumento do consumo e o desgaste de algumas peças do motor
que não são adequadas ao uso com álcool.
No dia 02/03/2006 o jornal FOLHA ONLINE publica a reportagem: Tabela ajuda dono
de carro flex a economizar com álcool ou gasolina (FOLHA ONLINE, 2006).
Para ajudar proprietários de carro bicombustível a fazer a escolha mais econômica
nos postos, a FOLHA ONLINE publica a tabela 1 que mostra o preço máximo do litro do
álcool para que esse combustível seja mais vantajoso que a gasolina.
Tabela 1: Abasteça com álcool somente se o litro custar menos que:
Gasolina Álcool Gasolina Álcool Gasolina Álcool Gasolina Álcool
2,20 1,54 2,36 1,652 2,52 1,764 2,68 1,876
2,21 1,547 2,37 1,659 2,53 1,771 2,69 1,883
2,22 1,554 2,38 1,666 2,54 1,778 2,70 1,89
2,23 1,561 2,39 1,673 2,55 1,785 2,71 1,897
2,24 1,568 2,40 1,68 2,56 1,792 2,72 1,904
2,25 1,575 2,41 1,687 2,57 1,799 2,73 1,911
2,26 1,582 2,42 1,694 2,58 1,806 2,74 1,918
2,27 1,589 2,43 1,701 2,59 1,813 2,75 1,925
2,28 1,596 2,44 1,708 2,60 1,82 2,76 1,932
2,29 1,603 2,45 1,715 2,61 1,827 2,77 1,939
2,30 1,61 2,46 1,722 2,62 1,834 2,78 1,946
2,31 1,617 2,47 1,729 2,63 1,841 2,79 1,953
2,32 1,624 2,48 1,736 2,64 1,848 2,80 1,96
2,33 1,631 2,49 1,743 2,65 1,855
2,34 1,638 2,50 1,75 2,66 1,862
2,35 1,645 2,51 1,757 2,67 1,869
Devido à variedade de valores cobrados no Estado de São Paulo, a tabela 1
enumera 61 opções de preços de gasolina e os valores máximos do litro do álcool que
representariam ganho para o motorista em cada um desses casos. Sempre que o álcool
ultrapassar esse máximo, o motorista ganha se optar pela gasolina.
Os cálculos foram feitos a partir de orientação do Centro de Estudos Avançados em
Economia Aplicada (Cepea-USP), uma das maiores autoridades do país em relação ao
álcool, que recomenda ao motorista não abastecer o veículo flex com álcool sempre que o
86
preço do litro superar 70% do valor da gasolina. O percentual reflete o menor rendimento do
álcool, que faz o veículo rodar menos quilômetros que a gasolina com um mesmo volume de
combustível.
Situação-problema 1
Supondo que uma pessoa possua um carro flex 1.6 e que rode 100 km por dia. No
final de um ano, qual é a melhor forma de abastecer este carro?
Para responder este problema utilizamos a tabela 2.
Tabela 2: abaixo segue simulação para um carro flex 1.6 rodando 100 km/dia:
Combustível
Consumo
médio
(LITROS) *
Custo por
Km
Preço ** Gasto Mensal Gasto Anual
Álcool 7,30 R$ 0,2671
R$ 1,95
R$ 801,30
R$ 9.615,60
Gasolina 9,70 R$ 0,2729
R$ 2,65
R$ 818,70
R$ 9.824,40
Flex 8,70 R$ 0,2645
R$ 2,30
R$ 793,50
R$ 9.522,00
* Fonte: teste realizado pela Ipiranga publicado em 29/10/05 pelo Diário de SP
** Fonte: preços pesquisados em 15/05/2006 em Santa Maria – RS
Definição das variáveis
Seja P o preço do litro do combustível e D a distância percorrida e C o consumo
médio do combustível em toda a viagem. O custo médio da viagem é V.
Qual é quantidade de litros de combustível que é gasto para percorrer a distância D.
Q = D/C
Solução do problema
Álcool
Seja D1=100 km, C1=7,3 litros e P1 = R$ 1,95.
Sendo Q1 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D1.
Ou seja, Q1 = D1 / C1 = 100 / 7,3 = 13,69 = 13,7. Assim o custo da viagem V1 é: V1
= Q1 * P1 = 13,7 * 1,95 = R$ 26,715.
O Custo por Km é 26,715 / 100 = R$ 0,2671.
O Custo mensal é 100 * 0,2671 * 30 = R$ 801,30.
O Custo anual é 100 * 0,2671 * 30 * 12 = R$ 9.615,60.
87
Gasolina
Seja D2 = 100 km, C2 = 9,7 litros e P2 = R$ 2,65.
Sendo Q2 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D2.
Ou seja, Q2 = D2 / C2 = 100 / 9,7 = 10,30. Assim o custo da viagem V2 é: V2 = Q2 *
P2 = 10,30 * 2,65 = R$ 27,295.
O Custo por Km é 27,295 / 100 = R$ 0,2729.
O Custo mensal é 100 * 0,2729 * 30 = R$ 818,70.
O Custo anual é 100 * 0,2729 * 30 * 12 = R$ 9.824,40.
Flex
Seja D3 = 100 km, C3 = 8,7 litros e P3 = R$ 2,30.
Sendo Q3 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D3.
Ou seja, Q3 = D3 / C3 = 100 / 8,7 = 11,49 = 11,5. Assim o custo da viagem V3 é: V3
= Q3 * P3 = 11,5 * 2,30 = R$ 26,45.
O Custo por Km é 26,45 / 100 = R$ 0,2645.
O Custo mensal é 100 * 0,2645 * 30= R$ 793,50.
O Custo anual é 100 * 0,2645 * 30 * 12= R$ 9.522,00.
De modo geral o custo médio da viagem diária é dado por V = X * P.
De modo geral o custo médio da viagem mensal é dado por V = X * P * 30.
De modo geral o custo médio da viagem anual é dado por V = X * P * 30 * 12.
De acordo com os resultados obtidos, verifica-se que o combustível flex é o mais
econômico.
Situação-problema 2
Na hora de abastecer com carro flex, o que é mais viável, álcool ou gasolina?
Baseado na tabela 2 verifique se o valor do álcool tem vantagem sobre a gasolina no
momento de abastecer, seguindo os dados da tabela 1.
Definição das variáveis
Seja G o preço do litro da gasolina e A o preço do litro do álcool e X o percentual do
álcool sobre a gasolina.
Solução do problema
88
Então, de acordo com a tabela 1, se o motorista decidir abastecer em um posto que
cobrasse R$ 2,65 pela gasolina, só deve optar pelo álcool se o litro custar menos que R$
1,855.
Baseado na tabela 2 seja G1 o valor da gasolina G1=R$ 2,65 e A1 o valor do álcool
A1= R$ 1,95. Sendo que X1 o percentual.
Calculo para verificar o percentual:
G1 * X1 = A1 * 100
X1 = A1*100 / G1
Baseado na fórmula do cálculo de X1 verificou-se o valor do percentual.
X1= 1,95 * 100 / 2,65
X1 = 195 / 2,65
X1 = 73,58 %
Verificou-se que o percentual X1 do álcool supera os 70% do valor da gasolina,
deste modo não é vantagem em abastecer com álcool.
Baseado na tabela 1, seja G2 o valor da gasolina G2=R$ 2,65 e A2 o valor do álcool
A2= R$ 1,855. Sendo que X2 o percentual.
Calculo para verificar o percentual:
G2 * X2 = A2 * 100
X2 = A2*100 / G2
Baseado na fórmula do cálculo de X2 verificou-se o valor do percentual.
X2 = 1,855 * 100 / 2,65
X2 = 185,5 / 2,65
X2 = 70,00 %
Verificou-se que o percentual X2 do álcool é justamente os 70% do valor da gasolina,
deste modo é vantagem em abastecer com álcool.
De modo geral o cálculo do percentual é dado por X = A*100 / G.
Situação-problema 3
89
Qual dos carros é mais econômico?
Baseado nas informações da tabela 3 calcule o custo por quilometro (Km) de cada
carro baseado nos valores da tabela 2.
Tabela 3
Celta 2 portas 1.0 Flexpower - Life Celta 2 portas 1.4
Gasolina - Life
Valor * R$ 24.490,00
R$ 27.290,00
Consumo em Estrada ** 18 km/l gasolina – 12,2 km/l álcool
17,7 km/l
* Fonte: http://www.gm.com.br/ no dia 15/06/2006.
** Fonte: http://www2.uol.com.br/bestcars/testes2/celta-flex-2.htm.
Definição das variáveis
Seja D a distância percorrida e C o consumo médio do combustível e P o preço do
litro do combustível.
Solução do problema
Celta Flexpower - Álcool
Seja D1 = 100 km, C1 = 12,2 litros e P1 = R$ 1,95.
Sendo Q1 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D1.
Ou seja, Q1 = D1 / C1 = 100 / 12,2 = 8,196 = 8,2. Assim o custo da viagem V1 é: V1
= Q1 * P1 = 8,2 * 1,95 = R$ 15,99.
O Custo por Km é 15,99 / 100 = R$ 0,1599.
O Custo mensal é 100 * 0,1599 * 30 = R$ 479,7.
O Custo anual é 100 * 0,1599 * 30 * 12 = R$ 5.756,40.
Celta Flexpower - Gasolina
Seja D2=100 km, C2 = 18 litros e P2 = R$ 2,65.
Sendo Q2 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D2.
Ou seja, Q2 = D2 / C2 = 100 / 18 = 5,555 = 5,55. Assim o custo da viagem V2 é: V2
= Q2 * P2 = 5,55 * 2,65 = R$ 14,70.
O Custo por Km é 14,70 / 100 = R$ 0,147.
O Custo mensal é 100 * 0,147 * 30 = R$ 441,00.
90
O Custo anual é 100 * 0,147 * 30 * 12 = R$ 5.292,00.
Celta Gasolina
Seja D3 = 100 km, C3 = 17,7 litros e P3 = R$ 2,65.
Sendo Q3 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D3.
Ou seja, Q3 = D3 / C3 = 100 / 17,7 = 5,649 = 5,65. Assim o custo da viagem V3 é:
V3 = Q3 * P3 = 5,65 * 2,65 = R$ 14,97.
O Custo por Km é 14,97 / 100 = R$ 0,1497.
O Custo mensal é 100 * 0,1497 * 30 = R$ 449,10.
O Custo anual é 100 * 0,1497 * 30 * 12 = R$ 5.389,20.
Tabela 4 - Gasto anual em combustível da situação-problema 3:
Gasto Anual
Celta Flexpower - Álcool
R$ 5.756,40
Celta Flexpower - Gasolina
R$ 5.292,00
Celta Gasolina
R$ 5.389,20
Baseado na tabela 4 qual dos celta é o mais econômico?
O Celta Flexpower – Gasolina é o carro mais econômico, durante um ano
economizaria R$ 97,20 em relação ao Celta Gasolina.
Após a elaboração e resolução das situações-problema, o grupo iniciou a redação do
trabalho e não apresentou dificuldades. Escreveram o artigo com embasamento teórico sobre
Modelagem Matemática e sobre os carros bicombustíveis. Concordamos com Bisognin,
Bisognin e Rays (2004, p. 87), ao relatarem que trabalhar com Modelagem Matemática
favorece “a participação ativa dos alunos, pois permite a quebra da passividade e da
desmotivação freqüente nas aulas de matemática”.
O grupo escreveu o artigo, elaborou a apresentação e apresentou o trabalho com
segurança e desenvoltura expondo suas idéias e argumentado sobre o trabalho e sobre a
metodologia utilizada.
O trabalho elaborado pelo grupo três resultou no artigo (Anexo D) e consideramos que
produziram um artigo de boa qualidade.
Atividades do grupo quatro e sua produção
91
O grupo quatro surgiu da divisão do grupo três e é formado por um aluno. A escolha
do tema foi realizada quase na metade do semestre letivo, passando assim a existir o grupo
quatro. A vantagem era que estava seguro com o tema escolhido e começou trabalhando com
interesse e conhecimento sobre o assunto.
O tema escolhido foi sobre a criação de chinchilas. O aluno possuía conhecimento
prévio, uma vez que é formado no curso de técnico agrícola e estudou sobre o assunto,
durante seu estágio. Os dados e informações que o aluno possuía permitiram a elaboração de
diversas situações-problema e a criação de modelos matemáticos com facilidade. Percebeu-se
que ficou motivado com o trabalho e animado quando conseguiu elaborar uma situação-
problema cuja solução recaiu na seqüência de Fibonacci.
No Diário de Campo relata “trabalhei com a professora [...] sobre a criação de
chinchilas. Começamos com uma situação-problema envolvendo a reprodução dos animais
com o passar do tempo”.
O aluno desenvolvia atividades extraclasse e no Diário de Campo relatou “trabalhei
em casa durante a semana sobre as chinchilas”. Apresentava, como os demais alunos, algumas
dúvidas na elaboração das situações-problema, na solução, na validação dos modelos e
também na redação do trabalho, mas sentia-se seguro quanto a abordagem e confiante para
procurar as professoras e expor suas dúvidas. Como fazia parte de seu cotidiano, sabia quando
a solução não estava adequada a situação-problema proposta e criticava a validação do
modelo, discutindo sobre o assunto com argumentos condizentes. Concordamos com Caldeira
(2004, p. 3) ao argumentar sobre a importância do aluno identificar os problemas.
Para isso, é necessário que os próprios alunos identifiquem determinados problemas,
tentem solucioná-los com a ajuda do professor e principalmente negociem entre eles
a legitimidade das soluções propostas. Essa legitimidade das soluções está
diretamente relacionada com a nova postura do professor a que me referi
anteriormente. Além disso, os alunos, ao trabalharem dessa forma, aprendem o
processo de construir a pergunta, além de elaborar respostas. Essa é a semente do
crítico-criativo em educação da matemática
Percebia a importância dos conteúdos matemáticos e sentia prazer em elaborar as
soluções e verificar a validade da solução encontrada, dialogando com as professoras e
colegas. Dessa forma, acontecia um trabalho compartilhado e a produção do conhecimento se
dava em conjunto e isso enriquecia o trabalho e o conhecimento adquirido por haver
interação. Concordamos com Isaia e Bolzan (2006, p. 73) que “no espaço da aula
universitária, professores e alunos, em um processo interativo e colaborativo, podem
recombinar de forma criativa os conhecimentos das áreas as quais estão vinculados”.
92
Investigou sobre o tema, problematizou, construiu tabelas, utilizou programas
computacionais como o Excel e o Maple para traçar gráfico e comparar os modelos obtidos,
bem como para modificar as hipóteses. Desta forma, entre os conteúdos matemáticos
estudados citamos a seqüência de Fibonacci, equação de diferença de primeira ordem, taxas
de crescimento e decrescimento, porcentagem, função linear, exponencial e logarítmica e a
regressão ou ajuste de curva. Analisou tendências, crescimento, decrescimento, limite da
representação gráfica e dos modelos construídos. Foram citados todos os conteúdos
matemáticos ou estatísticos desenvolvidos independente se as situações-problema e ou
estudos realizados estão presentes no artigo publicado ou não.
Inicialmente, elaborou o trabalho com cinco situações-problema como a previsão do
crescimento da população de chinchilas, a taxa de crescimento e o lucro obtido.
A seguir apresenta-se a síntese do trabalho sobre criação de chinchilas e algumas das
situações-problema elaboradas pelo grupo.
As chinchilas e a Modelagem Matemática
A reprodução dos animais acontece através do método poligâmico, formando
famílias com seis fêmeas e um macho. A vida reprodutiva das chinchilas inicia aos oito
meses de idade e pode durar até dez anos. As chinchilas têm em média dois partos por ano
e dois filhotes por parto, mas elas podem ter de um a quatro filhotes por parto. Possuem três
pares de mamas sendo um não funcional. A gestação é de cento e onze dias. A fêmea entra
regularmente no cio de vinte e oito dias em vinte oito dias no inverno, tendo uma variação no
verão, cujo intervalo torna-se maior por causa do calor.
O animal se torna adulto quando alcança os oito meses de idade, estando pronto para o
abate. A pele possui de oitenta a cento e vinte pêlos por folículo piloso sendo que cada fibra
chega a ser vinte vezes mais fina que um fio de cabelo humano. A pele é bastante densa e
leve, por isso é cara e apreciada pelo mercado internacional. A fibra se caracteriza por
possuir três fazes de cor. A base ocupada pela maior parte da fibra é de cor escura. A
banda que é branca e o véu que é a extremidade da fibra que esse é de cor preta.
A cotação média para a venda das peles fica em torno de U$ 35,00 (trinta e cinco
dólares) cada uma. O custo de produção está na média de U$ 12,00 (doze dólares) por
pele, ou seja, por animal.
Problematização e Desenvolvimento da Matemática Relacionada ao Tema.
As atividades desenvolvidas a seguir requerem entendimento sobre a criação e
reprodução de chinchilas.
93
Situação-Problema 1
Qual é a previsão do crescimento da população de chinchilas, com o passar do tempo,
se a cada parto nascem sempre uma fêmea e um macho?
Considere que um criador de chinchila adquira um casal maduro de chinchila. A situação
pode ser visualizada na tabela a seguir.
DATA
Tempo de Criação
Instantes
Nº DE PARES
POPULAÇÃO TOTAL
Início 0 = P
0
1 2
4 meses após 4 = P
1
2 4
8 meses após 8 = P
2
3 6
12 meses após 12 = P
3
5 10
16 meses após 16 = P
4
8 16
20 meses após 20 = P
5
13 26
De um modo geral tem-se o seguinte modelo matemático para o número de pares de
chinchilas
P
n
= P
n-1
+ P
n-2
, com n ≥ 2 ou
P
n+2
= P
n+1
+ P
n
, com n ≥ 0
Que é uma equação de diferença de 1ª ordem, onde n é o tempo medido de quatro em
quatro meses.
Se n = 2, então:
P
2
= P
1
+ P
0
= 2+1=3
Se n = 3, então:
P
3
= P
2
+ P
1
= 3+2=5
Neste caso obtém-se a famosa seqüência de Fibonacci.
“Sobre Fibonacci: Seu nome era Leonardo de Pisa. Atribui-se
Fibonacci ao fato de ser filho de Bonacci. Leonardo de Pisa escreveu
livros de Aritmética e Álgebra, destacando-se entre eles um clássico
histórico: o Líber abaci. Nesta sua obra ele debruça-se sobre um
problema por ele formulado que veio dar origem a uma sucessão a
que posteriormente se associou o seu nome - Fibonacci - ficando
assim conhecida na história como a Sucessão de Fibonacci. Esta
sucessão veio na seqüência do seguinte problema: Quantos pares
de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par,
se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a
partir do segundo mês? Todo este problema considera que os
coelhos estão permanente fechados num certo local e que não
ocorrem mortes. Queremos saber quantos pares de coelhos podem
ser gerados, durante um ano, por esse par, assumindo que pela sua
natureza, em cada mês dão origem a um outro par de coelhos, e no
segundo mês após o nascimento, cada novo par pode também gerar.
Ele mostra que teremos 233 pares de coelhos ao fim de um ano de
vida do par de coelhos com que partimos. Listando a sucessão 1, 1,
94
2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 na margem dos seus
apontamentos, ele observou que cada um dos números a partir do
terceiro é obtido pela adição dos dois números antecessores, e
assim podemos fazê-lo em ordem a uma infinidade de números de
meses.
Esta seqüência, é conhecida atualmente como a seqüência
ou sucessão de Fibonacci”. (LUCHETTA, 2003)
Essa seqüência se repetiu também em nossa atividade. Obteve-se o modelo matemático
encontrado chegando a uma previsão de crescimento da população, no tempo em que se
deseja.
Situação-Problema 2.
Qual a taxa de crescimento da população? A partir do modelo encontrado na Situação
Problema 1, construa uma tabela com os valores até n = 15 (onde n corresponde aos meses
de nascimento).
Tem-se:
n P
n+2
= P
n+1
+ P
n
0 P
2
= 3
1 P
3
= 5
2 P
4
= 8
3 P
5
= 13
4 P
6
= 21
5 P
7
= 34
6 P
8
= 55
7 P
9
= 89
8 P
10
= 144
9 P
11
= 233
10 P
12
= 377
11 P
13
= 610
12 P
14
= 987
13 P
15
= 1597
14 P
16
= 2584
15 P
17
= 4181
95
A partir dos dados da tabela anterior obtém-se o seguinte gráfico:
A partir dos dados da tabela tem-se a seqüência: {1,2,3,5,8,13,...} e a partir desta obtém-
se:
1
1
2
=
,
5,1
2
3
=
,
6,1
3
5
,
6,1
5
8
=
,
6,1
8
13
=
.
Assim a taxa de crescimento da população é de 1,6 (aproximadamente). Isto nos dá uma
idéia de crescimento exponencial. Ou seja, a cada período a população cresce na mesma
taxa (observe o cálculo da taxa de crescimento).
A partir disto tem-se:
P
n+1
= CP
n
, onde C = taxa de crescimento. Assim, tem-se:
P
1
=CP
0
P
2
=CP
1
= CCP
0
= C
2
P
0
P
3
=CP
2
= CC
2
P
0
= C
3
P
0
continuando com esse processo
. . .
. . .
P
n
= C
n
P
0
Que é a solução da equação de crescimento exponencial.
Análise do Modelo:
Observando a tabela e o gráfico anterior observa-se que a população em pouco tempo
cresce exponencialmente. Isto significa que a população cresce exponencialmente e com o
passar do tempo teremos uma superpopulação.
Situação-Problema 3.
a) Qual o Modelo Matemático do crescimento da população se o início da produção de
chinchilas seja um macho e seis fêmeas? E se cada fêmea dá origem a um par de filhotes,
(um macho e uma fêmea) com o passar do tempo?
Taxa de Crescimento
0
5
10
15
0 5 10 15 20 25
Tempo de Produção
População
96
b) Em quanto tempo teremos uma população adulta para o abate, de modo que abatendo
50% dos filhotes dessa população obtém-se lucro?
Considerando-se o custo de produção U$12,00 e a venda da pele de cada animal são de
U$35,00 para cada animal adulto.
Soluções:
a) Raciocinando-se como na situação-problema 1 tem-se
Produção de Chinchilas
DATA
Tempo de Criação
Instantes
Nº DE ANIMAIS
Início 0 = P
0
7
4 meses após 4 = P
1
19
8 meses após 8 = P
2
31
12 meses após 12 = P
3
55
16 meses após 16 = P
4
91
Da tabela obtém-se o modelo matemático:
P
n+2
= P
n+1
+ P
n
+ 5, onde n ≥ 0 é o tempo medido de quatro em quatro meses.
De acordo com dados obtidos sobre a criação de chinchilas sabe-se que o custo de
criação de cada animal é de U$ 12,00 e a venda da pele é de U$ 35,00, então o custo e a
venda de chinchilas é dado por:
b) Custo e Venda de Chinchilas
Nº de animais
Instant
e
M + M F F M FAA
F
FM
M CUSTO VENDA
7 P
0
7
19 P
1
7 12
31 P
2
7 12 12 6 372 210
35 P
3
7 12 12+12 12 420 432
91 P
4
7 12 12+12+12 12+12 12 1092 840
151 P
5
7 12 12+12+12+12 36+12 36 1812 1470
M + M = Macho + Matriz
F = Filhos
FM = Família de Matrizes adultas
FAA = Família Adulta para Abate
F
FM
M = Filhos da família adulta adultos.
Graficamente pode-se observar a receita total e produção
97
O custo de produção de chinchilas é dado pela função y = 180x-1788, onde x é o
número de animais adultos e y é o custo da produção. A Receita Total (Venda de Peles) é
dada pela função y = 157,5x -1680, onde x é o número de animais adultos e y é a Receita
Total.
Através do gráfico e dos cálculos, entende-se que se o criador abater somente 50% dos
filhotes adultos da produção não obterá lucro em tempo algum, pois as retas que
representam o custo da produção e a receita total não se interceptam no 1º quadrante.
Situação-Problema 4.
No caso da situação-problema 3, qual o percentual da população a ser vendida para
obter lucro após 24 meses do início da criação?
De acordo com o texto o custo de produção é de U$12,00 e o valor da pele de cada
animal adulto é de U$35,00.
Utilizando os dados da tabela de Custo de Venda de chinchilas, da situação-problema 3
e de acordo com o modelo descrito teremos, após 24 meses, 151 animais. O valor do custo
total de produção quando chega ao 24º mês, é de U$1.812,00. Assim o mínimo de animais
que devem ser abatidos para que se tenha lucro após 24 meses é de
52
35
1812
=
.
98
Ou seja, aproximadamente 52 animais devem ser abatidos. Logo para saber quanto este
valor representa em porcentagem sobre o número de animais basta usar uma regra de três,
mas não devemos esquecer que a família (de 7 animais) não pode ser vendida. Assim, têm-
se animais adultos e jovens.
151 – 7 = 144
Dos 144 animais, somente 84 são adultos e podem ter suas peles vendidas, ou seja, 60
acabaram de nascer, portanto não podem ser vendidos porque sua pele não tem valor
comercial. Portanto, pela regra de três segue que:
84 → 100%
52 → X
O que resulta X = 62 %.
Conclui-se que para obter lucro em uma criação de chinchilas, o produtor deve vender
após 24 meses do início da criação, 62% dos filhotes adultos ou seguindo o mesmo
raciocínio 34% de toda a população.
O aluno desenvolveu as atividades com desenvoltura e entendimento, demonstrou
prazer e segurança durante a escrita do trabalho, além de entusiasmo pelo que produziu e com
o que produziu.
Elaborou a apresentação oral do trabalho e o apresentou com segurança e motivação e
ainda justificou a importância da metodologia utilizada e o prazer de estar apresentando o
trabalho desenvolvido no semestre. Concordamos com Zabalza (2004, p. 200), ao argumentar
que “a aprendizagem também é produto da prática do aprendiz, do trabalho solicitado e das
condições para realizá-lo”.
O artigo (Anexo E) publicado na 12ª Jornada de Educação e 2º congresso
Internacional de Educação está com quatro situações-problema pelo limite de páginas
apresentado na forma de comunicação oral e este trabalho também foi apresentado em forma
de pôster no XIII Simpósio Sul Brasileiro de Ensino de Ciências em Blumenau.
Interpretação das atividades e da produção dos grupos
Relatamos aqui as conclusões mais importantes das atividades desenvolvidas e da
produção dos grupos.
Durante a realização do trabalho, observamos que os grupos escolheram temas do seu
cotidiano e que tinham interesse naquele assunto. Também levaram em consideração, na
escolha do tema, a qualidade dos dados.
Os argumentos que usaram com o colega para convencê-lo foi:
99
[...] vai ser fácil pesquisar este assunto, pois terei muitos dados [...]
Vania
[...] tenho como conseguir ajuda [...] Ana
(Relatos extraídos do Diário de Campo da pesquisadora).
Quando conseguiam convencer o colega foi porque para ambos, o tema fazia parte da
realidade, despertava interesse e o grupo partia para a pesquisa de informações e busca de
dados. Quando um dos componentes não se convencia, ou seja, o tema não era do seu
contexto, ficava receoso e não se empenhava com o trabalho. Ficava esperando que o colega
conseguisse pesquisar sozinho e dizia:
[...] meu colega não chegou e por isso não tenho o que fazer [...] Eva
(Relato extraído do Diário de Campo da pesquisadora).
No início do semestre, a cada encontro, parecia que as inseguranças aumentavam.
Concordamos com Barbosa (2005) e Skovsmose (2000) que cenários para a investigação
representam zona de risco. Em alguns momentos, nós professoras tínhamos dúvidas se nossos
alunos conseguiriam realizar o que tínhamos proposto. Não sabíamos o que iriam perguntar e
nem sobre o assunto. Segundo Barbosa (2001a, p. 5), “Os conceitos e idéias matemáticas
exploradas dependem do encaminhamento que só se sabe à medida que os alunos
desenvolvem a atividade”. Os grupos escolhiam um tema, entusiasmavam-se e no outro
encontro retornavam desmotivados pelas dificuldades encontradas, com dúvidas e
desacreditando que iriam conseguir realizar o trabalho. Dessa forma sentíamos que estávamos
trabalhando na zona de risco.
Os alunos perceberam, logo no início do trabalho, que as professoras não respondiam
diretamente as perguntas, mas questionavam e suscitavam dúvidas. Seguimos esse caminho
por acreditarmos que “a investigação é o caminho pelo qual a indagação se faz. É a busca,
seleção, organização e manipulação de informações [...]. Pode-se dizer que Modelagem é uma
investigação matemática, pois ela se dá por meio de conceitos, idéias e algoritmos desta
disciplina” (BARBOSA, 2001a, p. 6).
Tanto nós professoras quanto eles estávamos aprendendo e como foi difícil adotar uma
nova postura de ser professora e de ser aluno. Nesse sentido, Caldeira (2004, p. 2) argumenta
que “[...] faz-se necessário uma nova postura de professor frente a essa nova realidade
docente, postura essa que se concretizará através de concepções alternativas de aprendizagem
100
da Matemática e de novas metodologias em que o professor possa optar por aquela que mais
se adapte para essa nova realidade”.
Percebemos o quanto os alunos estão acostumados a receberem o conteúdo pronto, a
zona de conforto descrita por Barbosa (2005) e Skovsmose (2000) e no momento que é
sugerido trabalharem de forma diferente, ficaram desestabilizados e a tendência foi a de
proporem outro tema que segundo eles seria mais fácil. Essa etapa da escolha do tema foi a de
maior indecisão e mais longa, de muitos progressos e retrocessos. Após um mês do início do
semestre letivo, todos os grupos haviam vencido a etapa da escolha do tema e dois grupos
estavam na fase da pesquisa exploratória. Depois da definição do tema, a dúvida apresentada
pelos grupos foi na busca de dados e informações e o que fazer com os mesmos. Barbosa
(2004b) resumiu essas situações dizendo que no início das atividades, os alunos não possuíam
uma idéia clara sobre como proceder, mas a medida que se familiarizavam com o tema, com
as variáveis e discutiam com os professores prosseguiam. A postura dos grupos, inicialmente,
foi a de que as professoras tomassem a atitude de decidir o que o grupo deveria fazer.
Percebeu-se que o acadêmico de Matemática tem dificuldade de elaborar situações-problema,
pois preocupava-se com a Matemática e não com a situação que o envolvia. O envolvimento
que ele tinha era para resolver a situação-problema proposta com o objetivo de mostrar a
matemática. Nesse sentido, Caldeira (2004, p. 3)
Não passa pela compreensão dos alunos que alguns daqueles conceitos matemáticos
explorados em sala de aula não se encontram somente nos livros, mas aparecem de
fato também na realidade, no cotidiano, na própria atividade de explorar e investigar
o seu mundo real. E, o que é mais importante, na necessidade de entender esse
mundo.
Os alunos sentiram-se apreensivos quanto a sua capacidade para encontrar modelos
matemáticos, mas a insegurança foi desaparecendo, à medida que o trabalho avançava e
quando sentíamos que estavam muito apreensivos ou inseguros, retrocedíamos um pouco e
também adotamos a postura de encorajá-los. Nosso propósito, era mantê-los motivados para
investigar o assunto por eles escolhidos e compreender conceitos matemáticos ou estatísticos.
Nosso papel como professoras foi basicamente questionar e orientar o trabalho tanto na
construção dos modelos como na matemática necessária para entendê-los. Como professoras,
indagávamos, provocávamos perguntas que suscitassem dúvidas e novas questões, a fim de
possibilitar uma reflexão crítica sobre o que estava sendo estudado e construído. Sentimos a
importância da atitude democrática citada por Skovsmose (2001) que é o diálogo entre
professores e alunos.
101
Observamos a preocupação dos alunos quanto a matemática que teriam que dominar
para formular e resolver as situações-problema. Externavam a dúvida, se a professora queria
que os modelos envolvessem a matemática do ensino superior ou do ensino médio e
fundamental. Percebeu-se que os alunos queriam “agradar a professora” fazer o que eles
achavam que ela estava esperando. Um aluno comentou.
[...] será que se fizermos esse problema, a professora não vai achar
fácil. O exemplo que ela trouxe foi de diferencial. Não sei elaborar um
problema com diferencial. Acho que não vou conseguir fazer o
trabalho. Isso é difícil. Eva
(Extraído do Diário da pesquisadora nos relatos das inseguranças
vivenciadas pelos grupos).
Algumas dificuldades com leituras de textos, a compreensão do assunto lido e do
entendimento dos dados encontrados foram percebidas e esses entraves dos alunos
participantes da pesquisa pode ser atribuído a pequena dedicação a leituras.
Durante a realização do trabalho, as etapas da Modelagem Matemática descritas por
Burak (2004), não foram estanques, pois, ao mesmo tempo em que realizavam a pesquisa
exploratória, tentavam elaborar situações-problema e resolvê-las, bem como validá-las.
Percebeu-se também que alguns grupos, às vezes, não trabalhavam com unidades de medidas,
pois quando resolveram as situações-problema deixaram de usá-las e em situações posteriores
não sabiam com que unidades de medidas haviam trabalhado. Também observamos que
alguns alunos apresentaram algumas dificuldades em trabalhar com programas
computacionais.
Percebemos que trabalhar desta forma, o tempo, a ser dedicado aos alunos, é superior
ao das aulas expositivas tradicionais. Os alunos procuravam as professoras fora do espaço
dedicado aos encontros, além das correspondências eletrônicas.
Esta mudança de postura foi gratificante para nós professoras. Correspondência
eletrônica enviada, durante a semana, para a professora pesquisadora relata o encontro com a
professora responsável pela disciplina e o rumo que o grupo está seguindo.
Conversamos com a professora e ela nos sugeriu um novo assunto. Não sei se você
leu a reportagem da A Razão na terça-feira (28/03/06) sobre o cálculo da tarifa de
ônibus. Gostamos do assunto e temos um problema que nos interessou. Vou
encontrar material na internet e escrever um e-mail para a redação do jornal A
Razão, pedindo informações sobre a reportagem.
Qualquer dúvida ou sugestão escreva.
Um abraço!
102
Obs: Se encontrar algum material envie. Obrigada! Ana
Superada a insegurança inicial, todos os grupos conseguiram elaborar situações-
problema, construíram modelos matemáticos, validaram os resultados, conjeturaram novas
hipóteses, expressaram domínio do tema, o que lhes permitiu estabelecer relações entre
conhecimentos de outras áreas com conteúdos matemáticos. Neste momento, concordamos
com Gadotti (2003), o que proporciona significado ao que aprendemos é o contexto, por isso é
necessário dominar, além do conteúdo, o contexto e este fornece significado àquele. Em um
processo contínuo, demonstraram interesse, domínio e curiosidade, construíram o
conhecimento, interpretaram e criticaram suas próprias construções e, dessa forma,
desenvolveram a criticidade e a reflexão sobre a tomada de decisão gerando aprendizagem.
Ousamos dizer que foi proporcionado aos alunos a oportunidade de problematizar através da
pesquisa.
Perceberam-se e instituíram-se como grupo, estabelecendo uma relação de confiança
mútua e de trocas de experiências, havendo pois um trabalho colaborativo, entre os
componentes dos grupos e dos grupos entre si. Conforme Masetto (2001), também sentimos
que as atividades desenvolvidas em grupo deixaram contribuições significativas e mais
avançadas porque os alunos participantes do grupo tomavam conhecimento das colaborações
dos outros, discutiam, analisavam, e com esse debate avançavam na problematização e na
investigação, bem como nas aprendizagens. Concordamos com Caldeira (2004, p. 4), “Grupos
de trabalhos se fazem necessários para uma dinâmica mais participativa, onde o aluno passa
da passividade das aulas explicativas, onde ele é mero espectador e ‘depositário’ de
informações, para uma dinâmica integrativa e criativa”.
Percebemos que no decorrer do trabalho foi, aos poucos, estabelecendo-se um clima
de confiança entre os alunos, entre alunos e professoras e ao mesmo tempo percebeu-se o
quanto os alunos estavam compromissados com o trabalho e interagiam entre si e com as
professoras. Como afirma Bisognin, Bisognin e Rays (2004), a Modelagem Matemática
envolve alunos e professores num trabalho participativo, na busca de soluções de problemas
provenientes da realidade social.
Na pesquisa realizada o número de alunos na turma permitiu um atendimento a todos e
um atendimento individualizado aos grupos. O número de alunos influenciou na qualidade das
discussões, na quantidade de assuntos discutidos e nas análises dos resultados que envolviam
103
diferentes conteúdos de matemática e/ou estatística. O questionamento que precisamos fazer é
como desenvolver um trabalho dessa natureza em turmas com quarenta alunos, por exemplo?
O uso da correspondência eletrônica também permitiu um trabalho dedicado tanto dos
alunos como das professoras, além de percebermos o quanto os alunos foram ganhando em
autonomia. Com o uso da correspondência eletrônica e com os recursos eletrônicos utilizados
durante as atividades desenvolvidas, percebemos como Masetto (2001, p. 99) que “os recursos
eletrônicos facilitam a pesquisa, a construção do conhecimento em conjunto ou em equipe, a
intercomunicação entre alunos e entre estes e seus professores”. No final do trabalho,
sentimos que os alunos estavam confiantes e seguros.
Os alunos desejavam compartilhar o resultado de suas pesquisas com os demais
colegas da instituição e a professora responsável pela disciplina agendou um seminário
envolvendo professores e alunos da Licenciatura em Matemática. O compromisso
estabelecido pelos componentes dos grupos em socializar o conhecimento produzido
coletivamente foi mais um momento para explicitar e discutir suas idéias, ouvir e considerar
as vozes de seus pares. O processo de socialização e discussão do trabalho realizado pelos
sujeitos participantes da pesquisa foi um momento de reflexão e foi significativo para o grupo,
assim como as atividades por eles desenvolvidas. Ousamos afirmar que o seminário constitui-
se em momento rico para o processo de formação dos alunos, por exercerem responsabilidade
e compromisso com o aprendizado e com o meio que estavam inseridos, demonstrando
autonomia em suas ações e isso possibilitou ampliarem seus conhecimentos. Para Masetto
(2001), o aluno necessita aprender pesquisar, fazer investigação e a socializar esses
conhecimentos, de forma a aprimorar atitudes e competências, a fim de possibilitar analisar e
discutir criticamente os conteúdos e as soluções para as situações-problema do contexto.
Após o fechamento do trabalho do semestre, percebemos que os alunos sentiram-se
valorizados, entusiasmados e seguros em apresentar o trabalho em congressos de bom nível
acadêmico. O grupo dois encerra o Diário de Campo com a seguinte frase ”A apresentação no
Salão Azul foi um sucesso”. E o grupo um escreve “decidimos apresentar na Jornada
Nacional de Educação”
Apesar de algumas dificuldades enfrentadas no início do trabalho, no final do
semestre, todos os grupos produziram um artigo com embasamento teórico sobre Modelagem
Matemática e construíram modelos matemáticos, a partir de situações-problema
contextualizadas sobre o assunto por eles escolhidos. Concordamos com Bisognin, Bisognin e
Rays (2004), quando escrevem que fazer uso da Modelagem Matemática possibilita ao aluno
conhecer situações reais e desenvolver a capacidade de solucioná-los. Além disso, podemos
104
dizer que desenvolve a autonomia e consciência crítica e todos os grupos sentiram-se
orgulhosos do trabalho por eles produzidos. Pode-se então dizer que a investigação foi
relevante para o aprendizado, dos alunos e das professoras.
Os documentos elaborados pelos grupos resultaram em artigos publicados em eventos
na forma de comunicação oral (12ª Jornada Nacional de Educação e 2º Congresso
Internacional de Educação) e na forma de pôster (XIII Simpósio Sul Brasileiro de Ensino de
Ciências). Concordamos com Masetto (2001) que redigir o artigo é uma atividade que auxilia
a aprender comunicar-se por escrito sobre seus conhecimentos de forma sintética, lógica,
coerente, com argumentação para fundamentar suas posições. Essa foi outra forma de
socializar o que foi experimentado numa disciplina da Licenciatura em Matemática e
expressamos nosso sentimento na voz de Masetto (2001, p. 101).
A socialização dessas experiências mantém nossa esperança de que outros colegas se
sintam motivados a ousar também, a modificar sua ação como docentes e a
contribuir para a elevação do nível de qualidade dos cursos de graduação das
universidades: o efeito imediato se fará sentir na formação de profissionais
atualizados, competentes e cidadãos.
Em todos os grupos, as atividades com a Modelagem Matemática desenvolveram-se a
partir de temas não-matemáticos (maconha, transportes urbanos, carros bicombustível, criação
de chinchilas) em que os grupos formularam, simplificaram e resolveram as situações-
problema e responsabilizaram-se pela coleta das informações que para Barbosa (2001a, 2004a
e 2004b) é uma das formas de trabalhar com Modelagem Matemática, em sala de aula. Com a
investigação dimensionavam o tema, tomando conhecimento de dados qualitativos e
informações estatísticas dos quais foi possível criar modelos matemáticos.
As indagações que fizeram-se presentes na validação dos modelos matemáticos ou das
soluções das situações-problema foram se realmente era válido, o porquê, como poderiam ter
certeza de que estava correto, se refletia a realidade enfocada e o que era analisado da situação
real para a solução encontrada (matemática), se existiam outras formas para solucionar a
situação-problema, entre outras. Questões como essas podem gerar conhecimento reflexivo
por fazer com que o aluno reflita sobre as implicações da matemática (BARBOSA, 2001a;
2003b; SKOVSMOSE, 2001).
O tema escolhido, as situações-problema elaboradas, a investigação sobre o tema
contextualizaram os conteúdos matemáticos e estatísticos desenvolvidos nos trabalhos,
contribuíram para a aprendizagem significativa e aconteceram de acordo com o interesse,
105
empenho e dedicação de cada grupo, bem como a fundamentação teórica sobre a Modelagem
Matemática. Caldeira (2004, p. 5) argumenta
Para tratar desses temas será necessário, de modo geral, compreender o papel da
aprendizagem da Matemática e suas interações com outras áreas de conhecimento,
buscando uma compreensão do real, e nesta busca, o aprendizado da matemática e
de outros saberes estarão presentes de forma significativa. E através dessa
compreensão, obter a modificação de comportamentos para uma vida de melhor
qualidade.
Conseguiram expressar domínio do tema o que lhes permitiu estabelecer relações entre
conteúdos matemáticos ou estatísticos com os temas por eles abordados, promovendo desta
forma, a contextualização desses conteúdos, num processo criativo, gerando resultados de
aprendizagem significativa por demonstrarem criticidade e reflexão na tomada de decisão. Por
isso, os caminhos da matemática crítica descritos por Skovsmose (2001), puderam ser
seguidos, oportunizando aos atores discutir as implicações da matemática nos contextos
estudados, além de aprender matemática proporcionando a compreensão do papel
sociocultural da matemática.
A dedicação dos alunos participantes deste estudo foi surpreendente e citamos alguns
dos fatores que contribuíam, nesse sentido, como: o envolvimento entre alunos e professores,
a investigação de temas de seus interesses, a realização de atividades fora do horário previsto
para os encontros, as correspondências eletrônicas entre professores e alunos e entre alunos e
alunos, entre outros. Dessa forma, acreditamos ter atingido o propósito de participar de um
estudo que favorece a aprendizagem contextualizada e significativa de conceitos matemáticos
e estatísticos.
4.4.
APRECIAÇÃO DA EXPERIÊNCIA PELOS SUJEITOS PARTICIPANTES
Com o objetivo de obter a opinião do aluno de Licenciatura em Matemática,
participante desta pesquisa sobre as atividades desenvolvidas na disciplina de Projeto de
Pesquisa e Extensão em Educação Matemática II da UNIFRA, com relação a Modelagem
Matemática foi realizada a entrevista coletiva (Apêndice B). O objetivo foi lido para os
sujeitos participantes, bem como a explicação de que esta pesquisa faria parte de uma
dissertação de Mestrado em Ensino de Física e de Matemática que busca esclarecer a
contribuição da Modelagem Matemática para uma aprendizagem contextualizada e
significativa.
106
A referida entrevista foi respondida pelos alunos participantes, em horário marcado
exclusivamente para este fim. O espaço utilizado foi uma sala de estudo da biblioteca da
instituição. As entrevistas foram gravada, depois transcritas e a identidade dos sujeitos foram
preservadas, atribuindo-lhes nomes fictícios de suas preferências, como Ana, Diana, Eva, Lia,
Roberto e Vania. Os sujeitos compareceram e opinaram sobre a metodologia utilizada nas
aulas desta disciplina, sobre a importância deste trabalho, se adotariam a mesma forma de
trabalhar nas suas aulas como futuros professores, justificando as opiniões e como avaliam as
atitudes e as atividades desenvolvidas pelas professoras em sala de aula. Falaram com
propriedade e se detiveram nas questões, explicando e exemplificando. As perguntas foram
lidas e eles responderam com tranqüilidade discutindo, opinando e complementando a
resposta do colega.
A primeira questão foi sobre a metodologia utilizada nas aulas desta disciplina, e os
alunos opinaram positivamente sobre essa forma utilizada para a aprendizagem, por despertar
o gosto e o interesse pela matemática. Argumentaram que se sentiram livres quanto a
matemática a ser trabalhada, não foram forçados a estudar este ou aquele conteúdo e
teoremas. Nesse sentido, as vozes dos sujeitos da pesquisa convergem para os achados de
Burak (1987, p. 32)
No estudo da matemática através da modelagem, as atividades se constituem na ação
de refletir, de fazer, de construir, de concluir e de generalizar. Esta é a liberdade que
essa prática educativa parece permitir a cada participante do processo, ao favorecer o
uso de suas próprias estratégias, na sua maneira natural de pensar, sentir e agir.
Nesta mesma direção pode-se ouvir o aluno Roberto
[...] é uma boa forma de ensinar matemática porque foge um pouco
daquela teoria. Podemos escolher um tema e desenvolver a
matemática e isso foi legal. Com liberdade, sem ninguém dizer tem
que ter aquele conceito, teorema, desenvolvi aquilo que quis. Foi
dado liberdade ao aluno. Pude trabalhar com aquilo que gosto.
Em nenhum momento, classificaram Modelagem Matemática como fácil, pelo
contrário, acreditaram ser trabalhoso para o aluno e na opinião deles, foi um trabalho diferente
do que estavam acostumados a fazer e se sentiram desestruturados no início, mas aos poucos
foram sentindo-se seguros. Transcrevo a seqüência das falas quando estão se referindo ao que
foi trabalhoso para o aluno.
107
[...] bem interessante. Deu trabalho por ser diferente do que
estávamos acostumados a trabalhar. Eva
[...] é muito trabalhoso. Diana
[...] tinha que escrever e esse era o problema, mas foi legal. Lia
[...] nos deixou bastante desestruturadas no início. Escolhemos um
tema depois não deu certo. Diana
[...] deu bastante trabalho até decidir o que fazer. Eva
Citaram também o pouco tempo para decidir o que fazer, a dificuldade para escrever e
não poder ausentar-se das aulas, devido ao fato de que o trabalho era em grupo.
Argumentaram que se sentiam responsáveis pelas aulas; tinham que pensar o que iam fazer,
mas, tinham clareza do que fazer. Transcrevo a seqüência das falas quando se referem a essa
situação
[...] achei muito interessante, ficou bem claro o que fazer. Nós
tínhamos que fazer, nós tínhamos que correr atrás... Vania
[...] não dava para matar aula, não tinha como matar aula... Eva
[...] tínhamos que fazer. Se eu faltasse o meu trabalho ia ficar
parado. Ana
[...] Gostei muito de trabalhar, pesquisamos muita coisa que não
conhecia. Lia
Um aluno relatou que, no início, parecia uma brincadeira, depois, percebeu o quanto
pesquisou e trabalhou para desenvolver as atividades. Nesse sentido, transcrevo parte da fala
de um aluno.
[...] no início eu pensei que era uma brincadeira, mas realmente não
foi [...] Tem que pesquisar e trabalhar e deu trabalho, mas foi um
trabalho bom de se fazer porque é uma coisa que eu gosto, é um
tema que eu gosto, aí é interessante. Eva
Pelas vozes dos sujeitos da pesquisa, observou-se que se sentiram compromissados
com a aprendizagem, pois perceberam que a aprendizagem dependia deles e não só do
professor. Percebemos durante a realização do trabalho que no final do encontro, os alunos
não saíam da sala e continuavam trabalhando, embora a professora os avisassem que o horário
da aula havia se esgotado e que a sala de aula seria utilizada por outra turma. Nesse sentido,
transcrevo parte da fala de um aluno.
108
[...] uma boa forma de ensinar matemática, [...] e tem afinidade com o
aluno por trabalhar temas da realidade. Fugi dos teoremas, tive
liberdade de fazer e desenvolver o que gosto. Roberto
A segunda questão foi sobre a importância deste trabalho. Consideraram importante e
argumentaram a importância para sua formação, pois aprenderam como trabalhar
determinados conteúdos, envolvendo os alunos na aprendizagem. O fato de trabalharem um
tema do cotidiano e a motivação que o trabalho despertou foram outras vantagens citadas
pelos alunos. Transcrevo parte da entrevista sobre a importância da Modelagem Matemática.
[...] aprendi como trabalhar um conteúdo, posso buscar um assunto
da realidade, como preparar as aulas para o aluno. É uma alternativa
usar Modelagem Matemática sempre ou em algum conteúdo que for
possível, é uma coisa diferente. Ana
[...] é importante para a formação porque consegue envolver o aluno,
trazer assunto do cotidiano, da região. Envolve o aluno, chama a
atenção, anima o aluno, traz o real, motiva o aluno. Lia
[...] Aprendemos como trabalhar o conteúdo, é uma alternativa,
incentiva o aluno [...] Ana
[...] uma alternativa para fazer uma aula diferente. Diana
[...] proporciona ao aluno sanar suas dúvidas. Vania
[...] a importância dela é para nossa formação, para ser professor. A
idéia é trazer um tema do cotidiano e trabalhar com ele. Modelagem
é isso. O professor geralmente não consegue envolver o aluno,
chamar a atenção e com a modelagem consegue. Bom, é que estou
fazendo o estágio bem quando estou fazendo a disciplina porque os
alunos estão desanimados, meus alunos não deixam nem abrir a
boca e dizem que odeiam matemática. Trazendo alguma coisa do
real, um exemplo básico, um exemplo deles porque escrever
números ninguém entende, mas se falar de dinheiro eles entendem e
isso é modelagem. Roberto
Citaram também que aprenderam a pesquisar e que sentiram-se desafiados, pois no
início acreditavam que não seriam capazes de pesquisar sobre um assunto e elaborar
situações-problema, mas com o passar do tempo perceberam que conseguiram realizar o
trabalho e, além disso, aprenderam novos conteúdos matemáticos e estatísticos. Barbosa
(2001c, p. 32), assinala que “os alunos não tem procedimentos fixados previamente, o que
109
demandará deles certo esforço intelectual”. Transcrevo a seqüência das falas ao discutirem o
que aprenderam
[...] aprendemos a pesquisar. Aprendemos qual é nossa dúvida e
pesquisar o que queremos saber. Eva
[...] é um desafio à nossa capacidade, para escrever e montar os
problemas. Vania
[...] primeiro eu achava que não ia conseguir, eu não vou conseguir
pensava comigo. Eva
[...] parece que é muito confuso, muita coisa, depois que a gente
estrutura, então fica fácil. Vania
[...] aprende a pesquisar, aprende a ver a dúvida, desafia a
capacidade, no início acreditava não conseguir. Aprende a estruturar
o conteúdo. Ana
[...] foi interessante, trabalhamos com softwares diferentes,
conhecemos situações que não conhecíamos. Lia
[...] nós queríamos saber então fomos pesquisar, nos interessamos
pelo assunto e pelo conteúdo. Diana
[...] pesquisei muita coisa que não sabia. Lia
Acreditaram que é uma alternativa pedagógica para incentivar o aluno a gostar da
matemática. Como professores, alguns (33%), analisando todos os comentários sobre esta
questão, não adotariam esta metodologia em todas as aulas porque demandaria tempo e isso
não permitiria desenvolver todos os conteúdos que o programa da escola exige. Esse é um dos
obstáculos para os professores apontado por Bassanezi (2002, p. 37), em especial quando
aplicada em cursos regulares “acreditam que perderão muito tempo para preparar as aulas e
também não terão tempo para cumprir todo o programa do curso”. Nesse sentido atestam as
vozes:
[...] Não tem condições de fazer tudo com modelagem porque
demora muito tempo. Diana
[...] não pode ser trabalhado todos os conteúdos por demorar muito
tempo. Ana
Pelas falas percebe-se que nem todos têm uma idéia formada sobre o que é a
Modelagem Matemática, porque os argumentos se baseavam na experiência vivenciada,
enquanto que na literatura existem outras formas de realizar Modelagem Matemática. Esta foi
110
a primeira experiência vivenciada, pelos sujeitos da pesquisa e sabe-se que em cursos
regulares existem distintos problemas que interferem no trabalho do professor. A experiência
foi rica e sugere-se a continuidade em outras disciplinas e em outros contextos, a fim de
possibilitar uma melhor compreensão sobre a Modelagem Matemática.
A terceira pergunta foi se adotariam a mesma forma de trabalhar que se adotou na
disciplina e o porquê. Quase todos haviam se pronunciado sobre esta indagação
espontaneamente na questão anterior e ela foi a mais debatida. Todos queriam falar ao mesmo
tempo, justificar as vantagens como professor e como aluno, repetir e enfatizar o aprendizado
que acreditavam ter conquistado, durante o semestre.
As discussões foram além da questão posta, pois compararam a metodologia usada
nesta disciplina com outras disciplinas ministradas no curso e argumentaram o quanto foi
proveitosa, manifestando-se favoráveis. Segundo os sujeitos da pesquisa é possível utilizar
essa metodologia em qualquer nível de ensino (WODEWOTZKI e JACOBINI 2004),
inclusive no curso superior, em disciplinas como Cálculo e Álgebra. Nesse sentido, transcrevo
parte da fala de um aluno.
[...] sim, com certeza. Não só no ensino fundamental como no ensino
médio e superior, eu adotaria porque ela dá liberdade para o aluno
trabalhar com o que ele gosta, aí ele faz bem. Roberto
Comentaram que a maioria dos alunos do ensino fundamental não tem gosto pela
matemática e muitas vezes demonstram aversão pela disciplina. Transcrevo a fala do aluno e
no final, ele se posiciona como professor e sua resposta assemelha-se a alternativa para
solução dos problemas com o ensino de matemática descrita por Burak (1987, p. 17), “O
professor, através dos seus procedimentos diários, pode contribuir para que seu aluno goste e
estude matemática ou deteste. Se conseguir motivá-lo, o aluno estudará matemática pelo
interesse e gosto que ela desperta”.
[...] O professor deixa o aluno ficar desacreditado, como vai gostar de
uma coisa que ele não gosta? Fica difícil para o professor... Primeiro
eu tenho que fazê-lo gostar e depois ele vai entender, tenho que
motivar e motivar, porque se eu deixá-lo ele isolado, só na
matemática, ele nem está aí, não vai. Roberto
Argumentaram que a Modelagem Matemática torna o aluno e o professor criativos e
motiva o trabalho, pois busca criar situações-problema que envolve a vivência do aluno.
111
Argumentaram que o professor que utiliza a metodologia da Modelagem Matemática estará
no contexto dos alunos e procurará, em conjunto com eles, solucionar seus problemas.
Transcrevo a seqüência das falas quando estão se referindo ao que foi exposto.
[...] com certeza sim, porque quando o professor usa, ele e os alunos
serão mais criativos porque eles se obrigam a pensar para criar as
coisas. Para dar uma aula vai ter que pensar, tem que pensar em
situações reais, o aluno tem que pensar e estudar mais, se eles
trazem o problema, eles vão se interessar mais, é aquilo que o aluno
vive. Situações reais chamam atenção. Vania
[...] o aluno vai ter que estudar mais, porque ele vai ter que
pesquisar, está no mundo do aluno ele vai ter que pensar, vai se
dedicar mais. Diana
[...] vai aprender pesquisar, escrever, solucionar os problemas,
escolhe o tema que ele gosta, pode escolher o conteúdo... Lia
[...] não vai ouvir o professor falar, vai fazer a aula. Eva
[...] ele vai trazer um problema da vida dele, que ele vive. Ele não vai
aprender se ele não se interessa. Ana
[...] tem que ser um exemplo que ele vive, problema da vida dele. Lia
[...] por exemplo, para um aluno de escola pública não vai se
interessar pelo problema que pesquisamos... Eva
Citaram que as maiores vantagens que eles vislumbraram foram: a produção do
conhecimento, a oportunidade de realizar pesquisas, escrever, de buscar soluções de
problemas reais. Citaram também a liberdade do trabalho e o fato de não precisar ouvir o
professor durante toda a aula. Nesse sentido transcrevo parte da fala de um aluno.
[...] sentia-me realizado quando podia resolver o problema do jeito
que queria, testar a solução e ver se realmente me interessava. O
aluno sente prazer com isso. Não precisava ouvir alguém falando o
tempo todo, e produzia nas aulas. Quando as professoras falavam
sentia a importância para meu trabalho. Lia
Eles acreditam que se os professores utilizassem essa metodologia, mesmo que seja
em algumas aulas, eles se sentiriam mais seguros de si como alunos, como ser humano e
como professores. Nesse sentido, transcrevo parte da entrevista.
[...] íamos para aula produzir para nós, aprender a pesquisar,
aprender a escrever, a redigir... Eva
112
[...] aprendemos muito. Lia
[...] o aluno vai escolher um tema que ele quer, então vai motivado
para a aula... Diana
[...] acho que sim, estudar e produzir para mim. Eva
[...] sim, com certeza em qualquer nível. Eu gostei da liberdade que
dá ao aluno, dá escolha, desenvolve o gosto pela matemática, cada
um tem um gosto. Roberto
Manifestaram as alegrias que sentiram como aluno e nas falas enfatizaram que
acreditavam que aconteceria o mesmo com seus alunos. Nesse sentido, transcrevo parte da
fala de um aluno.
[...] não precisarei impor conteúdo ou problemas que não fazem parte
da vida deles. Sentia-me livre como aluno e como professor também
conseguirei que o aluno sinta-se assim. Roberto
Este aluno compara a liberdade vivenciada como aluno e expressa que como professor
procurará seguir o mesmo caminho e isso nos remete a fala de Freire (1996, p. 90) sobre a
vivência dos alunos de licenciatura.
É interessante observar que a minha experiência discente é fundamental para a
prática docente que terei amanhã ou que estou tendo agora simultaneamente com
aquela. É vivendo criticamente a minha liberdade de aluno ou aluna que, em grande
parte, me preparo para assumir ou refazer o exercício de minha autoridade de
professor.
Um aluno argumentou ser difícil abordar novos conteúdos, mas não deixou de elencar
as vantagens em utilizá-la tanto para o professor quanto para o aluno. Em sua fala, salientou
que primeiramente ele, como professor, explicaria os conteúdos, para depois utilizar
Modelagem Matemática e essa, é uma das sugestões de Burak (1987) para trabalhar com a
Modelagem Matemática, inclusive relata ter trabalhado desta forma em algumas atividades
em sua dissertação.
A quarta e última pergunta da entrevista coletiva foi sobre como os sujeitos da
pesquisa avaliaram as atitudes e as atividades desenvolvidas pelas professoras em sala de
aula. Destacaram como positivas tanto as atitudes como as atividades desenvolvidas e
argumentaram que as professoras ouviam as idéias, opinavam, incentivavam e questionavam
com o objetivo de fazê-los pensar. Sentiram o tempo todo a presença objetiva e direta das
professoras e destacaram que a disciplina foi de grande valia pelo aprendizado que obtiveram.
113
Salientaram como vantagens, a forma como foi conduzida a disciplina, o fato de aprenderem
como elaborar situações-problema, como pesquisar, como redigir e um entrevistado
argumentou que conseguiu perder traumas da matemática e de outras disciplinas. Nesse
sentido, transcrevo parte da entrevista.
[...] foi muito válida a disciplina, tirei traumas do Cálculo... Roberto
[...] Recebíamos muita atenção, recebíamos e-mail e responderam
nossos e-mail. Conseguíamos falar com a professora... Ana
[...] não sabia nem montar uma situação problema de tão alienada
que estava... Eva
[...] sentíamos a presença objetiva e direta das professoras. Foi
difícil. Esperávamos resolver tudo de uma vez, o tempo era curto,
pouco tempo... Vania
[...] Deram o máximo de si, as professores ajudaram no que eu
queria que fosse solucionado. Eu aprendi a pensar... Eva
Pelo relato desses dois últimos alunos, vivenciou-se o que Barbosa (2001a) e
Bassanezi (2002) escrevem sobre o envolvimento dos alunos nas atividades de Modelagem
Matemática, que ocorre à medida que o tema escolhido interessa ao aluno e caso contrário,
pode não se envolver nas tarefas sugeridas.
Salientaram que foi uma disciplina diferente e difícil porque não haviam trabalhado
desta forma, mas agora gostariam de cursar outras disciplinas utilizando esta mesma
metodologia. Argumentaram que sentiram interesse e motivação para realizar as atividades
porque, segundo eles, tiveram liberdade de pesquisar o que lhes interessava e tiveram
oportunidade de errar e ver seus erros sem recriminações. Puderam dividir grupo e trocar de
tema quando assim se fez necessário. Nesse sentido, transcrevo parte da entrevista.
[...] foi diferente, difícil para nós. Diana
[...] não fomos obrigados a nada. Foi legal, e nós nos
interessávamos, pesquisávamos... Cada um escolheu seu tema e
não fomos forçados. Vania
[...] agora queria fazer outras disciplinas como essa, usando a
Modelagem Matemática. Diana
[...] O que mais empolgava era a liberdade de pesquisar o que
queria. Roberto
114
A fala do aluno Roberto remete-nos a explicação de Burak (2004, s.n.) para o interesse
dos grupos. “O fato de o grupo compartilhar o processo de ensino, isto é, escolher aquilo que
gostaria de estudar, ter a oportunidade de se manifestar, de discutir e propor, desenvolve o
interesse de cada grupo e dos grupos”. Esse interesse citado pelo autor, os alunos expressam
como liberdade no nosso ponto de vista.
O que lhes angustiou no início foi voltar para casa com dúvidas porque, segundo eles,
queriam elaborar as atividades e terminar o trabalho imediatamente. Como ponto negativo,
falaram que a professora responsável pela disciplina não atendia a todos, num mesmo dia.
Eles perceberam que seria humanamente impossível e por isso os grupos eram divididos entre
as professoras, mas que fica fora da realidade deles, porque na sala de aula não teria um outro
professor e nem uma turma com poucos alunos. O tempo disponibilizado para a disciplina,
um encontro por semana, também foi outro ponto destacado como negativo. Nesse sentido
transcrevo parte da entrevista.
[...] eu queria resolver tudo de uma vez. Vania
[...] nos também queríamos acabar o trabalho logo. Ana
[...] a professora se dedicava a um grupo, não chegava a minha
vez... E a professora ficava a aula inteira se dedicando. Vania
[...] só a professora da turma não daria para atender a todos. Ana
Após a análise da entrevista coletiva, considera-se que os sujeitos participantes têm
argumentos suficientes para considerarmos importante a investigação com a Modelagem
Matemática desenvolvida nesta disciplina. Pelos relatos, pode-se concluir que a Modelagem
Matemática contribuiu para uma aprendizagem contextualizada e significativa de conceitos
matemáticos e estatísticos.
Concordamos com Masetto (2001, p. 101), ao argumentar sobre as atividades
pedagógicas em que se preocupou em criar melhores condições para a aprendizagem “[...]
conseguimos motivar esses alunos para o estudo das disciplinas, envolvê-los com sua
formação profissional e tornar significativo para eles o curso de graduação – e como
conseqüência elevar o nível de qualidade desse curso”.
Para finalizar este capítulo, podemos salientar os resultados positivos obtidos nesta
investigação em que foi utilizada a Modelagem Matemática e concordamos com Barbosa
(2001b) que as vantagens foram a contribuição na compreensão dos conteúdos matemáticos,
desenvolvimento da habilidade de pesquisa observando o contexto sociocultural, a
significação das atividades escolares, o envolvimento dos alunos, o relacionamento e o
115
desempenho. Assim os alunos participantes desta investigação demonstraram características
idênticas as encontradas por Blum, apud Barbosa (2003a) e Bassanezi, apud Barbosa (2004b)
que são: motivação, facilitador da aprendizagem, aplicação da matemática em diversas
situações, desenvolvimento de habilidades para a investigação e compreensão sociocultural da
matemática.
116
5. REFLEXÕES FINAIS
Esta investigação teve início com os anseios e inquietações surgidas, durante a minha
prática docente no ensino de Matemática e de Estatística, na educação básica e superior. Ao
iniciar o curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática tive a
oportunidade de estar em contato com literaturas e com o grupo de professores e colegas que
me auxiliaram na reflexão e a formular a questão para a investigação: a metodologia da
Modelagem Matemática contribui para uma aprendizagem significativa e contextualizada de
conceitos de matemática e estatística em um curso de licenciatura? A expectativa era refletir
sobre as contribuições da Modelagem Matemática para aprendizagem significativa e
contextualizada num curso de formação de professores que se desenvolveu no contexto do
curso de Licenciatura em Matemática da UNIFRA, contando com a participação dos alunos
do sétimo semestre, matriculados na disciplina de Projeto de Pesquisa e extensão em
Educação Matemática II. Na análise e discussão dos resultados, apresentamos os sujeitos
participantes da pesquisa, contamos a experiência em ação, interpretamos as atividades e
produções dos grupos e a apreciação da experiência pelos sujeitos participantes da pesquisa
em relação ao estudo desenvolvido. Para isso, realizamos duas entrevistas: Na primeira fez-se
um levantado do perfil sócio-acadêmico dos alunos e na segunda, de caráter coletivo,
realizada ao final da pesquisa, levantou-se a apreciação dos alunos em relação a metodologia
empregada, o que nos permitiu cruzar as vozes, pelo fato das respostas terem sido dadas com
tranqüilidade, discutindo, opinando e complementando a fala um do outro. Este procedimento
lembra a metáfora que Zabalza (2004) denomina de coro e é neste espaço de interlocução que
todos aprenderam, pois o discurso intersubjetivo possibilita internalização de conhecimentos,
atitudes e valores de natureza intra-subjetiva.
Pode-se ter a impressão, por essas reflexões ou pela dissertação, que essa investigação
aconteceu de forma gradativa e contínua, mas salientamos que isso se deu ao contrário,
acertos e desacertos ocorreram durante todo o processo. As idas e vindas pela literatura, o
estudo com os sujeitos da pesquisa, a convivência com o meio acadêmico, os diálogos com a
orientadora, as contribuições da banca na apresentação do projeto foram responsáveis pelo
crescimento pessoal obtido, podendo afirmar que o desenvolvimento desta investigação me
proporcionou uma transformação. E desta forma, a investigação foi desenvolvida e
proporcionou-me subsídios para a reflexão sobre a Modelagem Matemática num curso de
Licenciatura em Matemática.
117
A análise e discussão estão embasadas nos objetivos da pesquisa e nos pressupostos
teóricos do estudo apresentados no segundo capítulo, ao se tratar de algumas considerações
sobre a prática pedagógica e a metodologia de ensino adotada, a Modelagem Matemática. No
trabalho pedagógico, houve o entrelaçamento dessas práticas, explicitado no momento em que
se tornou necessário inserir questões da prática educativa para desenvolver o método de
ensino escolhido, a Modelagem Matemática.
Durante a realização desta investigação, sentimos o que nos escreve Demo (1997), que
educar através da pesquisa é um desafio nada fácil, mas agradável, dessa forma, podemos
relatar que durante as atividades desenvolvidas, a dedicação dos alunos e professoras foi além
do que costumamos presenciar e isso foi sentido e relatado tanto pelas professoras quanto
pelos alunos. A interação e a cooperação entre os atores facilitaram a construção do
conhecimento.
A escolha do tema de pesquisa pelos grupos despertou o interesse e a curiosidade,
favorecendo aos aprendizes conhecimento matemático e estatístico para resolver e validar
situações-problema contextualizadas. Depois de um processo de dúvidas, questionamentos, de
idas e voltas escolheram como temas a serem investigados:
maconha, transportes urbanos,
carro bicombustível e criação de chinchilas.
O conhecimento no assunto escolhido pelos grupos favoreceu a criticidade e a
criatividade, pois pensaram para elaborar as situações-problema e questionaram as hipóteses
por eles formuladas, bem como as possíveis soluções e validações e as implicações sociais.
Podemos constatar que o número de situações-problema não significou a quantidade ou a
qualidade de conteúdos a serem explorados. Foi possível explorar, aprofundar cada situação-
problema, dialogando e discutindo com o objetivo de acrescentar conhecimento matemático
ou estatístico, aprofundá-los, compará-los e entender a significação social da situação-
problema e dos conteúdos abordados.
Observamos que o interesse em elaborar as situações-problema sobre o assunto
escolhido pelo grupo, resolvê-las e validá-las e ainda escrever sobre Modelagem Matemática
exigiu conhecimento e busca coletiva dos sujeitos da pesquisa, justificando a importância da
adoção da Modelagem Matemática como método de ensino ao possibilitar aos alunos da
Licenciatura em Matemática uma aprendizagem significativa e contextualizada. Significativa,
porque partiu da realidade em que os alunos estavam inseridos, dando sentido aos
procedimentos matemáticos e estatísticos que foram utilizados na investigação e compreensão
dos problemas elencados uma vez que coube a eles escolherem situações-problema que
desejavam resolver. Nesta perspectiva, os alunos passaram a perceber o significado de suas
118
aprendizagens tornando-as instrumentais para sua compreensão, não só dos conteúdos
apropriados, mas principalmente para uma análise contextualizada e compreensiva do mundo
em que vivem. Neste contexto os alunos passaram a ser sujeitos ativos de suas aprendizagens
no diálogo constante com seus pares e professoras. Contextualizada, pelo fato dos conteúdos
matemáticos e estatísticos, trabalhados por eles, não se encontrarem dissociados da realidade
sociocultural.
O importante é que forma e conteúdo, por estarem intimamente relacionados,
diminuem a possibilidade de um ensino baseado em fórmulas mecanicamente aplicadas em
que a compreensão é de natureza fragmentada, rotineira e dissociável de sua aplicabilidade
futura a novas situações. Em cada tema apresentado, os alunos enunciaram algumas situações-
problema e as solucionaram. E mais do que os procedimentos matemáticos e estatísticos
utilizados, foram capazes de explanar por escrito o processo de investigação utilizado e seus
respectivos resultados. Desta forma, matemática e estatística estiveram a serviço do contexto
concreto da vida e foram associadas a procedimentos de produção textual, indispensáveis ao
aluno de graduação.
A própria Modelagem Matemática, por sua natureza, envolve uma aprendizagem
significativa e contextualizada, tendo em vista as situações reais da vida.
Ao realizar esta investigação propusemo-nos não apenas a justificar uma metodologia
que tornasse os aprendizes sujeitos capazes de tomar decisões, a partir da problematização da
realidade do mundo em que vivem, mas também procuramos enfatizar a necessidade de uma
formação inicial e continuada de professores que possibilite acesso a ambientes de pesquisa.
A formação do formador é vista como indispensável à construção de um espaço de
aprendizagem significativa e contextualizada em que formadores e alunos estejam envolvidos
em aprender através da pesquisa e da experimentação. A Modelagem Matemática, dentro
dessa visão, além de ser um método de ensino, possibilita ao professor construir seu próprio
processo de aprendizagem docente, problematizando sua prática.
Refletimos sobre nossa prática pedagógica e sobre a formação nas licenciaturas,
especialmente, nos momentos em que nós professoras sentíamos dúvidas se nossos alunos
conseguiriam realizar o que tínhamos proposto ou ao percebermos que não sabíamos o que os
alunos iriam perguntar e nem sobre o assunto. Nesses momentos, também tivemos a certeza
que optamos por estar na zona de risco, como argumentam Barbosa (2005) e Skovsmose
(2000). Percebemos que aceitar o risco é uma das mudanças significativas para sair do “dar
aulas” para o “fazer aulas” que Anastasiou (2003) prega. Percebemos também que tanto nós,
professoras, quanto os alunos estávamos aprendendo e como foi difícil adotar uma nova
119
postura de ser professor e de ser aluno ou quando percebemos que o acadêmico de
Matemática apresentava dificuldades para elaborar situações-problema, pois se preocupava
mais com a matemática do que com a situação que o envolvia ou quando nos questionamos
que precisávamos saber como desenvolver um trabalho dessa natureza (Modelagem
Matemática) em turmas com quarenta alunos, por exemplo. Essas situações nos remeteram a
problemática da formação de professores, achados das pesquisas de Isaia (2003) e de Isaia e
Bolzan (2006) que argumentam que os professores não tem consciência de que formam
professores e permanecem centrados no conteúdo específico.
Durante a pesquisa, percebemos que ocorreram mudanças significativas nas atitudes e
habilidades dos sujeitos participantes, porém essas mudanças não aconteceram de imediato e
nem foram simultâneas a todos. Concordamos com Zabalza (2004, p. 195) que “[...] os alunos
aprendem por meio de um processo que vai enriquecendo progressivamente os conhecimentos
que já tinham” e essa aprendizagem vai modificando o conhecimento do aprendiz e
favorecendo a sua formação.
Percebemos que o ambiente de Modelagem Matemática em um curso de licenciatura
despertou o interesse e a motivação para estudar conteúdos matemáticos ou estatísticos
contextualizados, bem como atitudes positivas em relação a matemática, opinião partilhadas
por autores como Burak (2004); Biembengut e Hein (2003) e Caldeira (2004). O
entendimento da realidade e análise crítica do contexto estudado, citado por Bassanezi (2002),
Bisognin, Bisognin e Rays (2004) e Caldeira (2004), a dedicação dos alunos nos processos
investigativos proporcionada pela contextualização das situações-problema que os envolvia e
a significação dos conteúdos desenvolvidos e também a construção e a assimilação de saberes
são fatores positivos que merecem ser elencados.
Como pontos que apresentaram dificuldades nessa investigação, podemos salientar a
disponibilidade de tempo tanto do professor quanto dos alunos para o desenvolvimento dos
trabalhos em sala de aula e extraclasse. Por exemplo, nesse estudo foram tratados quatro
temas ao mesmo tempo e isso dificulta o atendimento individualizado a cada aluno ou grupo.
Também, a falta de autonomia dos sujeitos da pesquisa percebidos no processo inicial, mas
que foram contornadas com o desenrolar das atividades.
Reportando-se ao problema da presente pesquisa e com as constatações mencionadas
anteriormente, ousamos afirmar que a metodologia da Modelagem Matemática contribui para
uma aprendizagem significativa e contextualizada de conceitos de matemática e estatística em
um curso de licenciatura.
120
Julgamos oportuno citar as palavras de Masetto (2001) ao apontar que a socialização
desse estudo mantém viva a esperança de que outros educadores sintam-se motivados a
modificar sua prática docente e a contribuir com a educação. As idéias aqui postas,
representam um estudo, a fim de nutrir nossa própria prática. Sabemos que esse processo
encontra-se inacabado e envolto num ciclo de construções, por isso, procuraremos dar
continuidade a investigação sobre a Modelagem Matemática ao exercer a prática docente.
A satisfação pela oportunidade de refletir sobre as contribuições da Modelagem
Matemática para uma aprendizagem significativa e contextualizada e os conhecimentos
adquiridos, dão a certeza de que aprofundar essa investigação é dar continuidade a própria
formação.
121
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126
ANEXOS
127
ANEXO A - PLANO DE ENSINO
CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO
ÁREA: Ciências Naturais e Tecnológicas
PLANO DE ENSINO
1) Identificação
Disciplina
Projeto de Pesquisa e Extensão em Educação Matemática II
Código
MTM191
Curso
Matemática
Carga horária
30 horas
Semestre letivo
1º / 2006
Professor (a)
Vanilde Bisognin
2) Objetivos da Disciplina
-
Elaborar, desenvolver e aplicar projetos de investigação seguindo a metodologia da
Modelagem Matemática para os diferentes níveis de ensino.
-
Oportunizar experiências em projetos de pesquisa e extensão conectados com a
prática escolar
.
3) Tema ou Conteúdo
Unidade 1 – Metodologia da Modelagem Matemática
1.1) Modelagem e modelos matemáticos
1.2) Etapas da metodologia de modelagem matemática
1.3) Modelagem Matemática e Resolução de Problemas
1.4) Elaboração de modelos matemáticos utilizando a metodologia da modelagem
matemática
Unidade 2 – Modelagem Matemática em sala de aula
2.1) Experiências de modelagem em disciplinas de cursos de formação de professores.
2.2) Elaboração de projetos de pesquisa utilizando a metodologia da modelagem matemática
e aplicação em sala de aula.
4) Calendário e previsão de atividades
Mês Tema / atividade
128
Março
•
Apresentação dos objetivos, metodologia e sistema de
avaliação da disciplina
•
Modelagem e modelos matemáticos
•
Etapas da metodologia da modelagem matemática
•
Exemplos de modelos matemáticos
Abril
•
Leitura e discussão de textos de modelagem matemática.
Elaboração de resumo escrito.
•
Construção de modelos matemáticos: escolha do tema
•
Construção de modelos matemáticos: busca de dados e
informações
•
Construção de modelos matemáticos: análise dos dados e
formulação de questões
•
Construção de modelos matemáticos: elaboração dos modelos
de busca de solução
•
Construção de modelos matemáticos: análise crítica dos
modelos obtidos
•
Avaliação e realidade dos modelos encontrados
Maio
•
Redação de artigo científico
•
Modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem em sala
de aula: discussão de textos
•
Elaboração de projetos de investigação utilizando modelagem
matemática
Junho
•
Aplicação em sala de aula
Julho
•
Avaliação do trabalho realizado em sala de aula.
5) Metodologia de trabalho
O conteúdo programático da disciplina será desenvolvido através de aulas expositivas,
trabalhos em grupos, seminários com a participação dos alunos e orientações individuais.
6) Critérios de avaliação
A avaliação da aprendizagem será realizada de forma continua através da análise da
participação do aluno em todas as tarefas e das discussões propostas, além da avaliação do
projeto proposto e da experiência em sala de aula realizada.
7) Bibliografia Básica
BASSANEZI, R. C.
Ensino-aprendizagem com modelagem matemática
: uma nova
estratégia. São Paulo. Contexto, 2002.
8) Bibliografia Complementar
BASSANEZI, R. C. e FERREIRA, Jr.
Equações Diferenciais com Aplicações
. São Paulo.
Editora Harbra, 1988.
BATSCHELET, E.
Introdução à Matemática para Biocientistas
. Rio de Janeiro,
Interciência, 1975.
BIEMBENGUT, M. S., da SILVA, V. C. HEIN, N.
Ornamentos x Criatividade
: uma
alternativa para ensinar geometria plana, Blumenau, Editora da FURB, 1996.
Observaçã
o:ao longo do trabalho diferentes artigos publicados em revistas especializadas
serão indicados para leituras.
129
ANEXO B - ARTIGO PRODUZIDO PELO GRUPO UM
A MODELAGEM MATEMÁTICA E O USO DA MACONHA
Liliane Rose Refatti
1
Vanessa da Silva Chaves
2
Marinez Cargnin Stieler
3
Vanilde Bisognin
4
Resumo
Neste trabalho utiliza-se a metodologia da Modelagem Matemática como estratégia de ensino
na disciplina de Projeto Interdisciplinar do Curso de Licenciatura em Matemática do Centro
Universitário Franciscano de Santa Maria. Seguiu-se os passos da Modelagem Matemática
que são os seguintes: escolha do tema, pesquisa exploratória, levantamento dos problemas,
resolução dos problemas e desenvolvimento da matemática relacionada ao tema, análise
crítica das soluções. O tema escolhido foi o consumo da maconha por ser um assunto que
preocupa familiares e a sociedade em geral, devido aos seus efeitos nocivos e o alto consumo
que se observa entre os jovens. A metodologia da Modelagem Matemática permite a
exploração de temas do cotidiano dos alunos o que possibilita, além da exploração de
conhecimentos matemáticos também o desenvolvimento de habilidades de investigação,
estimulação da criatividade e a autonomia dos alunos. Da experiência realizada conclui-se que
a Modelagem Matemática envolve os educadores num trabalho pedagógico estimulante e que
possibilita uma aprendizagem significativa. Os conteúdos matemáticos passam a ter
significado, pois são tratados a partir de um tema da realidade social dos alunos.
PALAVRAS-CHAVE:
Modelagem Matemática, Maconha, Ensino-aprendizagem.
Introdução
A Modelagem Matemática, como uma metodologia de ensino-aprendizagem,
proporciona ao aluno desenvolver problemas envolvendo o conteúdo. Segundo Bassanezi
(2002) a Modelagem Matemática no processo de ensino-aprendizagem facilita aos alunos a
compreensão de determinados argumentos matemáticos como entender e guardar conceitos e
resultados.
1
Aluna do curso de Matemática – UNIFRA - [email protected]r
2
Aluna do curso de Matemática – UNIFRA - vscvanessa@yahoo.com.br
3
Aluna do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática – UNIFRA - marinez@unemat.br
4
Professora do curso de Matemática – UNIFRA -
130
Segundo Charlot (2000, p.56) “faz sentido para um indivíduo algo que lhe acontece e
que tem relações com outras coisas de sua vida, coisas que ele já pensou, questões que ele já
se propôs”. Nesse sentido, é importante trabalhar em sala-de-aula com situações reais, que
estão vinculadas a realidade social do aluno. Nesta direção acredita-se que a modelagem
matemática é uma alternativa metodológica que permite o estudo de conteúdos matemáticos a
partir de temas da realidade dos alunos. Isto porque essa metodologia ativa o aluno e
possibilita a participação, a interação entre os colegas e professores construindo um ambiente
favorável à aprendizagem. Fernandes (1995, p.32) “Aprender Matemática é construir relações
matemáticas, negociar os significados matemáticos com os outros, e refletir sobre sua própria
atividade matemática” e Fiorentini (1995, p.32) “O aluno aprende significativamente
Matemática, quando consegue atribuir sentido e significado às idéias matemáticas – mesmo
aquelas mais puras (isto é, abstraídas de uma realidade mais concreta) – e, sobre elas, é capaz
de pensar, estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar”.
Na Modelagem Matemática o papel do educador fica redefinido. Ele passa a ser o
mediador entre o conhecimento matemático elaborado e o conhecimento do aluno, ou seja, o
aluno é o centro do processo
,
proporciona ao educando a compreensão, o significado das
relações matemáticas tornando a aprendizagem significativa.
A Modelagem Matemática, além de uma alternativa de ensino, é também uma
metodologia de pesquisa que permite modelar diversas situações do cotidiano, como por
exemplo, os mecanismos que controlam a dinâmica de populações, ou problemas ligados a
ecologia, a neurologia, a genética e os processos fisiológicos entre outros. Esse trabalho tem
como objetivo utilizar a Modelagem Matemática como metodologia de ensino explorando o
tema: consumo de drogas.
Esse tema é motivo de preocupação constante na sociedade brasileira. Essa
problematização tem sido apontada como a responsável pela violência urbana, desagregação
familiar e delinqüência juvenil. Nesse contexto, os estudos sobre o consumo de substâncias
psicoativas são muito importantes para uma adequada e efetiva prevenção do uso indevido das
mesmas.
Metodologia
Existem diferentes autores que tratam da metodologia da Modelagem Matemática.
Entre eles: Bassanezi (2002) e Burak (2004). Neste trabalho seguiu-se as etapas da
Modelagem Matemática definidas por Burak que são: escolha do tema; pesquisa exploratória;
131
levantamento dos problemas; resolução do(s) problemas e o desenvolvimento da matemática
relacionado ao tema; análise crítica das soluções.
Escolha do tema: O objetivo do trabalho foi buscar formas de trabalhar a Matemática
através de situações-problema a partir do tema: consumo de drogas. Ao trabalhar com a
maconha procurou-se conhecer as várias dimensões da mesma tanto no aspecto social como
educacional.
Pesquisa exploratória: Na Modelagem Matemática, os conteúdos da Matemática a
serem trabalhados são determinados após as pesquisas realizadas. Com ela, pode-se levantar
questões e realizar investigações através de um processo reflexivo. Possibilita o
desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão do papel sócio-cultural
da Matemática. Dessa forma, para realizar um estudo significativo sobre a maconha, fez-se
necessário pesquisar em diferentes fontes bibliográficas que envolveram várias áreas do
conhecimento. Dentre elas, as ciências humanas, biológicas, naturais e tecnológicas,
informática e o uso da internet. Além disso, devido a necessidade da coleta de dados e
obtenção de informações foi realizado também uma entrevista de campo em uma delegacia da
cidade de Santa Maria - DEFREC.
Levantamento dos problemas; resolução do(s) problemas e o desenvolvimento da
matemática relacionado ao tema; análise crítica das soluções: A partir do estudo do tema e
diante dos dados coletados partiu-se para a proposição de situações-problema, sua resolução e
após a análise crítica das soluções encontradas. Esta etapa permite elucidar o tema proposto e
a tomada de decisões a partir dos resultados encontrados. É uma etapa extremamente rica,
pois alunos e professores participam ativamente de todo o processo de construção, resolução e
análise das respostas das situações-problema.
A maconha
Maconha é o nome dado aqui no Brasil a uma planta chamada cientificamente de
Cannabis Sativa, em outros países ela recebe nomes diferentes. A Cannabis Sativa contém
aproximadamente 400 substâncias químicas, entre as quais se destacam pelo menos 60
alcalóides conhecidos como “canabinóides” que são os responsáveis pelos seus efeitos
psíquicos. Um dos principais canabinóides psicoativo é o Delta 9 tetrahidrocanabinol (Delta-
9-THC).
É interessante observar que em países de clima temperado, a concentração de Delta-9-
THC é menor em relação aos países de clima quente. O THC não é solúvel em água e por isso
132
ele não pode ser injetado. A quantidade de THC em uma dose pode variar intensamente de
acordo com a procedência da droga e a forma como é consumida.
A Cannabis Sativa tem diferentes formas de preparo. Entre os quais se destacam:
I. O Haxixe que é uma resina com aspecto de uma pasta semi-sólida seca e marrom-escuro,
obtida através da compressão das florescências superiores da planta, e moldada em forma de
“bolotas” com alta concentração de THC.
II. Maconha ou ”Marijuana” é a mistura de várias partes da planta, principalmente as
florescências, as sementes, os talos e as falhas das partes superiores, que são preparadas e
secadas.
Nos últimos anos, as estatísticas mostram que a maconha está sempre entre as drogas
ilícitas mais consumidas pelos jovens estudantes colegiais e universitários. Normalmente a
droga é fumada sob a forma de cigarro e é conhecida por diversos nomes como baseado, fino,
fininho, erva, bagana, cibaba, etc. Porém, também pode ser ingerida por via oral. Os efeitos da
droga dependem da quantidade absorvida, do tipo de preparação, da via de administração, da
sensibilidade da pessoa e do seu estado de espírito no momento do uso.
A maconha causa dependência, mas depende do indivíduo que está consumindo a
droga. Esse pode consumir por anos e não se tornar dependente, mas pode consumir algumas
vezes e se tornar dependente. Porém, o maior problema, é que a maconha pode vir a ser uma
passagem para drogas mais pesadas. A maconha é uma droga perturbadora do sistema
nervoso, ou seja, ela altera o funcionamento normal do cérebro provocando fenômenos
psíquicos do tipo delírios e alucinações
.
Os efeitos farmacológicos pela absorção pulmonar podem demorar de 5 a 10 minutos
e apenas 14 segundos para atingir o cérebro. Já a absorção oral pode demorar de 30 a 45
minutos. Alguns pacientes podem exibir os sinais e sintomas de intoxicação dentre 12 a 24
horas, devido à liberação lenta dos canabinóides a partir do tecido adiposo. A meia-vida de
uma dose de maconha consumida é de 50 horas.
Os canabinóides possuem elevadas lipossolubilidade, ficando facilmente preso no
revestimento surfactante dos pulmões, quando é fumado. Devido à sua lipossolubilidade,
acumulam-se principalmente nos órgãos nos quais os níveis de gordura são mais elevados
como cérebro, testículos e tecidos adiposos. Pesquisas mostram que seu uso freqüente
provoca câncer e modifica a atividade cerebral comprometendo principalmente a capacidade
de concentração, memória e aprendizado.
Dentre os malefícios conhecidos causados nos usuários podemos destacar:
I. Em curto prazo, os efeitos comportamentais são:
133
•
Período inicial de euforia (sensação de bem-estar e felicidade e seguido de relaxamento e
sonolência);
•
Perda da definição de tempo e espaço: o tempo passa mais lentamente e as distâncias são
calculadas muito maiores do que realmente são; coordenação motora diminuída: perda do
equilíbrio e estabilidade postular;
•
Alteração da memória recente. Quanto aos efeitos na memória eles se manifestam
principalmente na chamada memória a curto prazo, ou seja, aquela que nos é importante por
alguns instantes; falha nas funções intelectuais e cognitivas;
os batimentos cardíacos e a
pressão arterial aumentam;
o
s olhos ficam vermelhos e as pupilas se dilatam; a boca seca e o
apetite (especialmente por doces) aumentam;
•
Maior fluxo de idéias. Idéias confusas, dificultando a comunicação oral, a concentração,
o aprendizado e o desenvolvimento intelectual;
II. Doses mais altas podem levar a:
•
Alucinações, ilusões e paranóias, pensamentos confusos e desorganizados;
•
Ansiedade e angústia que podem levar ao pânico, medo da morte, despersonalização;
•
Sensação de extremidades pesadas; incapacidade para o ato sexual (até impotência).
III. A longo prazo a extensão dos danos bem caracterizados se restringem ao sistema
pulmonar e cardiovascular.
•
Maior risco de desenvolver câncer de pulmão, pois a fumaça da maconha pode causar
irritação, gerando problemas que vão desde bronquites até cânceres e enfisemas pulmonares;
diminuição das defesas, facilitando infecções; dor de garganta e tosse crônica, aumenta os
riscos de isquemia cardíaca; aumento dos batimentos cardíacos (140/160 por minuto, quando
o normal é 80/100); a mulher que amamenta passa as toxinas da drogas para a criança através
do leite materno. O uso contínuo da maconha interfere na capacidade de aprendizagem e
memorização.
Segundo informações do médico psiquiatra Dr. Rodrigo Marot, o Delta-9-THC, no
sistema imunológico, prejudica a produção de células de defesa no basso, medula óssea e
timo. Já no sistema cardiovascular, provoca a aceleração do batimento cardíaco e diminuição
da pressão arterial, além de diminuir a capacidade de coagulação do sangue.
Não existe relato na literatura médica de casos de morte pelo uso da maconha
diretamente, mas o usuário pode sofrer acidentes depois de ter consumido, uma vez que se
sabe que a maconha causa desorganização mental e alteração da percepção tempo-espacial.
134
Problematização
A partir das informações e dados obtidos propomos várias situações-problema com o
objetivo de elucidar o tema proposto e explorar a matemática relacionada.
Situação-problema 1
Qual a quantidade de concentração de maconha no organismo, com o passar do tempo,
se um indivíduo ingerir 500 mg (equivalente a um cigarro comum), de forma pulmonar
considerando-se a meia-vida.
Vamos construir a tabela do tempo de permanência da droga no organismo
(considerando a meia-vida) e a quantidade ingerida. De acordo com os dados obtidos a meia-
vida é de 50 horas.
TABELA 1: Concentração da maconha no organismo
Tempo T
(em horas)
0 50 100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
Quantidade
ingerida
C(t)) em mg
500
250
125
62,5
31,2
15,6
7,81
3,9
1,95
0,97
0,48
0,24
0,12
0,06
0,03
0,01
A situação acima é representada pelo gráfico abaixo:
Figura 1
Análise da solução:
Analisando a tabela e o gráfico percebe-se que ao ingerir uma
dose de 500 mg, a mesma leva aproximadamente 30 dias para que o princípio ativo da
maconha seja eliminado totalmente do organismo de um indivíduo. Esta dose de 500 mg é
considerada pequena e se consumida diariamente um indivíduo permanecerá sempre em
quantidade crescente com a maconha intoxicando seu organismo.
135
Situação-problema 2
Supondo que um usuário crônico de drogas fume diariamente 5 cigarros de maconha
contendo 500 mg cada um. Sabendo-se também que a concentração de THC de cada cigarro é
de 1%, qual é a concentração no organismo do usuário com o passar do tempo?
A tabela a seguir mostra a concentração de THC no organismo desse indivíduo com o
passar do tempo.
TABELA 2: Concentração de THC
Dia T
0
T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
Cigarro
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
THC
(mg)
25
25+T
0
= 50
25+T
1
= 75
25+T
2
= 100
25+T
3
= 125
25+T
4
= 150
25+T
5
= 175
25+T
6
= 200
25+T
7
= 225
25+T
8
= 250
25+T
9
= 275
Observando-se a tabela, o modelo matemático que descreve essa situação é dado por:
No 1º dia o indivíduo absorve 25mg de maconha, ou seja, T0 = 25mg.
No 2º dia o indivíduo absorve, T1 = T0 + 25 = 50mg.
No 3º dia o indivíduo absorve, T2 = T1 + 25 = 75mg.
Ou seja, no n-ésimo dia tem-se, T
n
= T
n-1
+ 25, onde n é o tempo medido em dias.
Análise da solução:
Em 10 dias esse indivíduo, possuirá em seu organismo um total
de 275 mg de THC. Com o passar do tempo aumentará a concentração de THC, levando, no
organismo futuramente, este indivíduo a ter sérios problemas cardiovasculares ou até mesmo
desenvolver um câncer de pulmão entre outras doenças. Isso se dá devido ao alto índice de
concentração de THC no organismo a cada cigarro que é fumado.
Graficamente, tem-se:
Figura 2
136
Ou seja, com o passar do tempo percebe-se que a concentração de THC no organismo
cresce linearmente.
Situação-problema 3
Considerando que a maconha é eliminada do organismo com o passar do tempo. Qual
é o modelo matemático da concentração do THC considerando-se a mesma situação anterior e
a meia-vida? Neste caso tem-se o modelo:
1
25
2
n
n
T
T
−
= +
Tendo em vista esse modelo, pode-se determinar a seguinte tabela:
TABELA 3: Concentração de THC
Geometricamente tem-se:
Figura
3
Análise da solução:
Observa-se que o nível de concentração do THC no organismo,
considerando a meia-vida, atinge um ponto de equilíbrio igual a 50 mg
.
Esta quantidade de
THC permanece no organismo ao longo do tempo. Continuando com este processo de fumar
esta quantidade de cigarro diariamente o indivíduo estará sempre com uma alta intoxicação.
Situação-problema 4
Considerando os dados coletados da CEBRID, 2000 que fornece a percentagem de
estudantes usuários de drogas do Brasil. É possível fazer uma previsão da percentagem de
estudantes que serão usuários de drogas com o passar do tempo?
Dias T
0
T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
T
7
T
8
T
9
T
10
Concentração de THC
(mg)
25
37,5
43,8
46,9
48,4
49,2
49,6
49,8
49,9
50
50
137
TABELA 4: Percentual de estudantes que consomem maconha
Ano 1987 1989 1993 1997
% 2,8 3,4 4,5 7,5
Fonte: CEBRID, 2000.
Com base na tabela acima construiu-se a seguinte tabela:
TABELA 5: Percentual de estudantes que consomem maconha de 1987 até 2006
Anos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
% 2,8 3,0 3,4 3,5 3,7 4,1 4,5 5,2 5,8 6,6
Anos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
% 7,5 8,3 9,3 10,4 11,5 12,8 14,1 15,5 17,0 18,5
Através da utilização do software Curve Expert tem-se, o seguinte gráfico que
descreve a situação dos dados acima no período de 1987 a 2006.
O uso de maconha por estudantes
Anos a partir de 1987 até 2006
Estudantes usuários (%)
0.1 3.7 7.4 11.0 14.6 18.3 21.9
1
.
2
4
.
4
7
.
5
1
0
.
7
1
3
.
8
1
7
.
0
2
0
.
2
Figura 4
O modelo matemático que descreve esta situação é dado por .
Análise da solução:
De acordo com os dados da tabela acima e levando em
consideração o modelo aproximado obtido pode-se fazer uma previsão do número de
estudantes usuários de maconha para o ano de 2006. Por esse modelo, se nada for feito até o
final de 2006, tem-se um percentual maior de estudantes consumidores de maconha, em torno
de 19 % de estudantes usuários desta droga.
Considerações finais
No decorrer da construção dos modelos matemáticos envolvendo o tema: consumo de
maconha percebeu-se que os efeitos comportamentais da inalação da fumaça da Cannabis em
humanos são complexos e dependem de muitas variáveis (personalidade, ambiente,
expectativa do usuário, etc.).
9224,2041,0412,0
2
+−= xxy
138
Em trabalhos como esse é possível motivar os educandos para uma aprendizagem mais
significativa. Com a Modelagem Matemática é possível discutir o papel da Matemática nas
relações sociais e envolver o educando com temas da realidade deles e discuti-los auxiliando
na construção da cidadania.
Referências Bibliográficas
BASSANEZI, Rodney Carlos.
Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma
nova estratégia
. São Paulo: Contexto, 2002.
BURAK, Dionísio.
Modelagem Matemática e a sala de aula
. In: Encontro Paranaense de
Modelagem em Educação Matemática, 1, 2004, Londrina. Anais. Londrina: UEL, 2004. 1
CD-ROM.
FERNANDES, Elsa.
Fazer
Matemática compreendendo e compreender Matemática
fazendo
: A apropriação de artefactos da Matemática escolar. Quadrante, vol. 9. nº 1. 2000.
FIORENTINI, D. Alguns Modos de Ver e Conceber o Ensino da Matemática no Brasil
Zetetiké. Ano 3 – nº 4. 1995.
139
ANEXO C - ARTIGO PRODUZIDO PELO GRUPO DOIS
Modelagem Matemática no Transporte Urbano de Santa Maria
Dionéia Migotto
5
Simone Ferrari Piovesan
6
Marinez Cargnin Stieler
7
Vanilde Bisognin
8
Resumo
Neste trabalho utiliza-se a metodologia da Modelagem Matemática como estratégia
para o ensino de Matemática. Essa metodologia é utilizada para descrever o estudo de
questões relacionadas ao tema: tarifa de ônibus urbano na cidade de Santa Maria. Foram
construídos modelos matemáticos referentes à previsão de lucro mensal de uma empresa de
ônibus, levando-se em consideração os dados obtidos em jornais, revistas e internet sobre o
valor da passagem, número de passageiros que pagam passagem integral, parcial e número de
pessoas isentos. Para a realização do trabalho seguiu-se os passos da Modelagem Matemática
que são os seguintes: escolha do tema, pesquisa exploratória, levantamento de problemas,
resolução dos problemas e desenvolvimento da matemática relacionada ao tema, análise
crítica das soluções. Conclui-se, da experiência realizada, que a Modelagem Matemática
quando utilizada como uma metodologia de ensino, permite forte integração entre alunos e
professores possibilitando que os alunos sejam responsáveis pela aprendizagem. A
experiência vivenciada permitiu que os alunos adquirissem autonomia, frente ao estudo de
conteúdos matemáticos, adquirissem habilidades de formulação e resolução de problemas e
realizassem análises críticas das soluções. Nesse sentido, a Modelagem Matemática, faz com
que os alunos vejam sentido nos conteúdos matemáticos estudados uma vez que o ponto de
partida é o cotidiano dos mesmos.
Palavras-chave:
Educação Matemática - Modelos Matemáticos - Tarifas de ônibus.
5
Aluna do Curso de Matemática – UNIFRA – dioneia.migotto@bol.com.br
6
Aluna do Curso de Matemática – UNIFRA -
simarpiovesan@bol.com.br
7
Aluna do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática – UNIFRA –
8
Professora do Curso de Matemática – UNIFRA – vanild[email protected]
140
Introdução
O comportamento do ser humano reflete a maturação e os efeitos cumulativos da
aprendizagem. À medida que o indivíduo cresce, ele desenvolve suas capacidades, que
resultam da interação de um organismo em mudança com o ambiente também em contínua
mudança.
O mundo está em constante mudança, dado o grande e rápido desenvolvimento da
tecnologia. Máquinas de calcular, computadores, internet, etc. são assuntos do dia-a-dia, e
todos eles têm ligações estreitas com a Matemática. Para acompanhar está rápida mudança, os
alunos precisam ter uma formação matemática que os leve a adquirir capacidade e gosto de
pensar matematicamente.
Pesquisadores de diversas áreas vêm analisando a forma como as instituições
educacionais trabalham os conteúdos matemáticos. Percebe-se que a aprendizagem baseada
em exposição de conteúdos, seguida de alguns exercícios como exemplos e listas de
exercícios repetitivos nos mesmos moldes, não respondem às exigências do mundo atual e
não contribui para uma melhor compreensão da Matemática. Nesse, sentido faz-se necessário
utilizar alternativas metodológicas para o ensino de Matemática.
Uma das alternativas que viabiliza a interação da matemática com a realidade é a
Modelagem Matemática. De acordo com Barbosa (2001), “A Modelagem Matemática é um
ambiente de aprendizagem nos quais os alunos são convidados a indagar ou investigar por
meio da matemática, situações com referência na realidade”. Assim, a Modelagem
Matemática permite criar um ambiente de aprendizagem em que alunos e professores podem
discutir e questionar fenômenos (naturais, sociais, culturais e políticos) por meio da
matemática, ou seja, tornar visível o papel da matemática na vida social. Desse modo, a
Modelagem Matemática como alternativa pedagógica não se dá mais no sentido único do
professor para o aluno, mas ocorrerá na interação entre o aluno, o professor e o ambiente em
que vivem.
A proposta do presente trabalho consiste em mostrar que por meio de modelos
matemáticos os alunos têm a oportunidade de apropriar-se de conhecimentos diversos
relativos ao problema e a matemática envolvida na obtenção do modelo. O tema escolhido foi
às tarifas de ônibus urbanos na cidade de Santa Maria. Justifica-se a escolha do tema dada às
polêmicas discussões publicadas em jornais da cidade, com relação ao aumento dessa tarifa
nos últimos dias.
141
Metodologia da Modelagem Matemática
A Modelagem Matemática é vista como estratégia de ensino e aprendizagem na
disciplina de Matemática, por adotar uma metodologia diferenciada das convencionalmente
utilizadas pela maioria dos educadores. Essa metodologia pressupõe o ensino pela pesquisa,
possibilitando que se tragam para a sala de aula os mais diversos temas possíveis, sempre
vinculados à realidade do aluno.
Para a realização das atividades propostas, seguiremos as etapas descritivas por Burak
(2004) para a utilização da metodologia de Modelagem Matemática. O autor considera cinco
etapas para o desenvolvimento das atividades em situações de Modelagem Matemática:
escolha do tema; pesquisa exploratória; levantamento dos problemas; resolução do(s)
problema(s) e o desenvolvimento da matemática relacionada ao tema; e análise crítica da(s)
solução (es).
Num primeiro momento, faz-se um levantamento de possíveis situações de estudo as
quais devem ser, preferencialmente, abrangentes para que possam propiciar questionamentos
em várias direções. Passada a fase inicial, onde a ênfase foi dada à pesquisa, passa-se para a
discussão do tema, onde todos os alunos devem ter a oportunidade de expor seus
conhecimentos, suas idéias e opiniões.
Uma vez escolhido o tema, o próximo passo é buscar informações relacionadas com o
assunto. A coleta de dados qualitativos ou numéricos pode ser efetuada através de entrevistas
e pesquisas executadas com os métodos de amostragem aleatória, de pesquisa bibliográfica,
utilizando dados já obtidos e catalogados em livros e revistas especializadas.
Na 3º etapa, trabalha-se a problematização ou formulação dos problemas que devem
ser explicitados de forma clara, compreensível e operacional. Desta forma, um problema se
constitui em uma pergunta científica quando explicita a relação entre as variáveis ou fatos
envolvidos no fenômeno.
Enquanto que a escolha do tema de uma pesquisa pode ser uma proposta abrangente, a
formulação de um problema é mais específica e indica exatamente o que se pretende resolver.
O objetivo principal deste momento do processo de modelar é chegar a um conjunto de
expressões aritméticas ou fórmulas, ou equações algébricas, ou gráfico, ou representações, ou
programa computacional, que levem à solução ou permitam a dedução de uma solução.
Os problemas elaborados, com base nos dados coletados, determinarão os conteúdos a
serem trabalhados. Além de aplicar conhecimentos já adquiridos, como tradicionalmente tem
sido assinalado, há a possibilidade de os alunos adquirirem novos conhecimentos durante o
142
próprio trabalho de Modelagem (Tarp, 2001). Dessa forma, ganha sentido e significado cada
conteúdo matemático usado na busca da solução do problema ou dos problemas. É nessa
etapa que se oportuniza a construção dos modelos matemáticos que, embora simples, se
constituem em momentos privilegiados e ricos para a formação do pensar matemático.
Uma vez formulada a situação-problema, passa-se à resolução ou análise com o
“ferramental” matemático que se dispõe. O computador pode ser um instrumento
imprescindível, especialmente em situações em que não foi possível resolvê-la por processos
contínuos, obtêndo-se resultados aproximados por processos discretos (Biembengut, 2002).
Na última etapa, é necessário fazer uma avaliação para verificar em que nível ele se
aproxima da situação representada e, ainda verificar o grau de confiabilidade na sua
utilização, ou seja, se o modelo permite seu uso para outras situações análogas.
Se o problema não atender às necessidades que o geraram, o processo deve ser
retomado na terceira etapa, mudando-se ou ajustando a sua formulação.
É importante, ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que registrem todas
as facetas do desenvolvimento, a fim de propiciar o seu uso de forma adequada (Biembengut,
2003).
Nessa perspectiva, a Modelagem, como uma alternativa pedagógica para o ensino de
Matemática, vem ao encontro das expectativas dos estudantes, pois procura oferecer a
interação com o seu meio ambiente, uma vez que tem o ponto de partida no cotidiano do
aluno. Quando o aluno vê sentido naquilo que estuda, em função da satisfação das suas
necessidades e de seus interesses, da realização dos seus objetivos, não haverá desinteresse,
pois trabalha com entusiasmo e perseverança. Esse interesse é importante, pois dá inicio à
formação de atitudes positivas em relação à Matemática (Burak, 2004).
A polêmica do aumento da tarifa de ônibus urbano em Santa Maria
O valor da tarifa de ônibus em Santa Maria no mês de março de 2006 é de R$ 1,60.
Mas segundo informações e notícias de jornais, virá um novo aumento das tarifas de ônibus
do transporte coletivo.
Cada vez que se fala em aumento de tarifas, ocorre uma grande discussão em torno do
assunto. Isso se dá pelo fato, de várias pessoas e entidades participarem do cálculo dessa tarifa
e da sua aprovação.
Quando se propõem um aumento da tarifa, deve-se justificá-lo. Na cidade de Santa
Maria o cálculo da tarifa é repensado primeiramente pela administração Municipal, que leva
143
em conta um estudo completo sobre as condições do sistema de transporte coletivo urbano.
Neste estudo, foi constatado que deve haver uma melhor operacionalização de questões
relacionadas a excessos de oferta e falta de demanda em alguns horários, os quais podem
influenciar diretamente no preço da tarifa.
A Associação de Transportes Urbanos (ATU), também defende o aumento da tarifa
alegando que de 2005 para 2006, o número de passageiros diminuiu sensivelmente em função
da greve da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e que o salário também subiu,
fazendo com que o cálculo da tarifa se modifique levando em conta esses dados.
Segundo dados do jornal A RAZÃO do dia 28 de março de 2006, Edmilson Gabardo
atual presidente da ATU (Associação dos Transportes Urbanos) divulgou números relativos a
outubro de 2005 que, segundo empresários do setor, contribuem para a elaboração do cálculo
da planilha do transporte coletivo urbano, os quais são:
Passageiros transportados: 3,1 milhão (100% da demanda)
Pagantes: 1,75 milhão (56% da demanda)
Estudantes (50% de desconto): 650 mil (21% da demanda)
Idosos (gratuidade): 550 mil (17% da demanda)
Demais gratuidades - deficientes, acompanhantes, policiais militares, carteiros,
fiscais e estafetas do Município: 180 mil (6% da demanda)
Tendo como base os dados apontados pela ATU, elaborou-se situações-problema
relacionadas ao tema.
Situação-problema 1:
Segundo dados do jornal A RAZÃO, 28 de março de 2006, o lucro dos empresários
proprietários dos ônibus é de 12% ao mês. Considerando o número de passageiros
transportados mensalmente pelas empresas de ônibus de Santa Maria, e que pagam passagem
integral ou parcial, qual é a previsão de lucro mensal, considerando o valor da passagem:
e)
R$ 1,57 (valor defendido pelo economista da UFSM)
f)
R$ 1,60 (valor atual)
g)
R$ 1,80 (valor defendido pela prefeitura)
h)
R$ 2,00 (valor defendido pela ATU).
Caso I) Considerando o fato de que todas as pessoas pagam passagem integral.
TOTAL MENSAL ARRECADADO = NÚMERO DE PASSAGEIROS QUE PAGAM PASSAGEM
INTEGRAL
x
PREÇO DA PASSAGEM
144
T
1
= PP
x
X
LUCRO = TAXA DE LUCRO
x
TOTAL MENSAL ARRECADADO
1111
12,0
100
12
TLTL ⋅=⇒⋅=
Para cada caso tem-se:
a) T
1
= 2.747.500,00 L
1
= 329.700,00
b) T
1
= 2.800.000,00 L
1
= 336.000,00
c) T
1
= 3.150.000,00 L
1
= 378.000,00
d) T
1
= 3.500.000,00 L
1
= 420.000,00
Caso II) Considerando o fato das pessoas que pagam passagem parcial.
TOTAL MENSAL ARRECADADO = NÚMERO DE PASSAGEIROS QUE PAGAM PASSAGEM
PARCIAL
⋅
PREÇO DA PASSAGEM.
2
2
X
PET ⋅=
LUCRO = TAXA DE LUCRO
x
TOTAL MENSAL ARRECADADO
2222
12,0
100
12
TLTL ⋅=⇒⋅=
Ou seja, para cada caso segue que:
a) T
2
= 510.250,00 L
2
= 61.230,00
b) T
2
= 520.000,00 L
2
= 62.400,00
c) T
2
= 585.000,00 L
2
= 70.200,00
d) T
2
= 65.000,00 L
2
= 78.000,00
Caso III) Considerando o fato das pessoas que pagam passagem integral e parcial.
LUCRO FINAL MENSAL= LUCRO
1
+ LUCRO
2
L = L
1
+ L
2
i) Lucro Total no caso do preço da passagem ser R$ 1,57.
L
= 39.930,00
145
ii) Lucro Total no caso do preço da passagem ser R$ 1,60.
L = 398.400,00
iii) Lucro Total no caso do preço da passagem ser R$ 1,80.
L = 448.200,00
iv) Lucro Total no caso do preço da passagem ser R$ 2,00.
L = 498.000,00
Considerando o valor da passagem R$ 1,60 a ATU obtém um lucro mensal de R$
398.400,00 se o valor da passagem aumentasse para R$ 2,00 o lucro dos empresários
aumentaria aproximadamente R$ 100.000,00 por mês. A pergunta que podemos colocar é a
seguinte: este lucro é repassado para a melhoria salarial dos empregados? É repassado para a
melhoria das frotas de ônibus? É repassado para a melhoria da oferta dos serviços prestados
aos usuários?
Situação-problema 2:
Considerando o fato da empresa de ônibus trabalhar com o lucro fixo mensal de R$
398.400,00 (valor atual de a passagem ser R$ 1,60) e de todas as pessoas pagarem passagem
como sugerem os empresários. Qual seria o valor da passagem?
L = T
x
taxa
L = PP
x
X
x
0,12, ou seja
X = 1,07 ou x
≅
1,10
Devido, a dificuldade de troco, a passagem será cobrada no valor de R$ 1,10.
Com este valor da passagem o lucro é de R$ 409.200,00 um valor ainda maior do que
o lucro já obtido, será então que é necessário tirar as gratuidades ou diminuir o lucro já
obtido?
Quanto eles estarão lucrando, com esse arredondamento além dos R$ 398.400,00?
L
2
= taxa PP. X
L
2
= 409.200,00 e
L
2
– L
1
= 10.800,00
Eles lucram R$ 10.800,00 com a diferença de R$ 0,03 por cada passagem num mês.
Se esse lucro de R$ 10.800,00 fosse revertido em gratuidades teríamos 9.818 pessoas
beneficiadas.
818.9
10,1
800.10
= pessoas.
146
Situação-problema 3:
Um professor em início de carreira, utiliza 2 passagens de ônibus diariamente,
trabalhando 25 dias por mês. A fim de comprar uma motocicleta, resolveu ir caminhando para
o trabalho poupando diariamente os valores das passagens e colocando este valor em uma
Caderneta de Poupança com taxa de juros igual a 0,7% ao mês, no início de cada mês. Em
quanto tempo ele terá o saldo de R$ 2.000,00 que é o custo estimado para a motocicleta?
Primeiramente consideremos o valor da passagem R$1,60.
Por dia o professor economiza: 2
x
1,60 = 3,20 e por mês: 3,20
x
25 = 80,00. Assim, o
professor deposita mensalmente R$ 80,00 na Caderneta de Poupança.
Vamos deduzir o modelo matemático que determina o saldo na caderneta de poupança
passados t meses.
Seja C
0
o valor inicial que será depositado mensalmente a uma taxa de juros mensal.
Após o primeiro mês o saldo é de:
C
1
= C
0
+iC
0
C
1
= C
0
(1+i)
Após o segundo mês, o saldo é de:
C
2
= C
0
(1+i)
+i[C
0
(1+i)] +C
0
+iC
0
.C
2
C
2
= C
0
(1+i)
+C
0
+i[C
0
(1+i) +C
0
]
C
2
= C
0
(1+i) (1+i)
+C
0
(1+i)
C
2
= C
0
(1+i)
+C
0
(1+i)
2
Após o terceiro mês, o saldo é de:
C
3
= C
0
(1+i)
+C
0
(1+i) +i[C
0
(1+i) +C
0
(1+i) ]
C
3
= C
0
(1+i)
+C
0
(1+i).(1+i) + C
0
(1+i)
C
3
= C
0
(1+i)
3
+C
0
(1+i)
2
+ C
0
(1+i)
e assim sucessivamente.
Transcorridos
t
meses o saldo acumulado é dado por
C
t
= (1+i)C
0
+ (1+i)
2
C
0
+ (1+i)
3
C
0
+...+ (1+i)
t-1
C
0
+ (1+i)
t
C
0
que é uma soma de uma progressão geométrica, dada por:
(
)
1
1
1
−
−
=
q
qa
c
n
t
, para q≠ 1, onde a
1 =
(1+i)C
0
e q=(1+i)
Ou seja,
147
( ) ( )
0
1 1 1
1 1
t
t
i c i
c
i
+ + −
=
+ −
(
)
(
)
[
]
i
iic
c
n
t
111
0
−++
=
No caso específico do problema proposto, temos:
23
t
≅
Após 23 meses que é equivalente há 1 ano e 11 meses, teremos o valor de R$ 2.000,00
disponíveis para comprar a motocicleta, depositando no início de cada mês R$ 80,00,
contando com uma taxa fixa de 0,7% ao mês. Ou seja, em aproximadamente 2 anos o
professor ganha autonomia no seu transporte diário.
Situação-problema 4:
A frota total de ônibus de Santa Maria é de 650 ônibus. Com o lucro encontrado na
situação-problema 1, em quanto tempo se renovaria toda a frota?
O valor de um ônibus novo é de aproximadamente R$ 400.000,00. Assim, para
renovar a frota precisaríamos de:
Valor Total = 400.000,00 x 650 = 260.000.000,00
Como o lucro mensal é de R$ 398.400,00 o lucro anual será de 4.780.800,00 com o
valor da passagem R$1,60, para renovar a frota precisaríamos de
260 000 000,00 ÷ 4 780 800,00 ≅ 54 meses
A frota se renovaria em 4 anos e 6 meses, ou seja, toda a frota poderia ser renovada a
cada 5 anos aproximadamente.
Se com o valor atual a frota se renova em 5 anos, então considerando o valor sugerido
pela ATU de R$ 2,00 onde o lucro anual é de R$ 5.976.000,00 em quanto tempo se renovara
toda a frota?
260.000.000,00 ÷ 5976.000,00 ≅ 43 meses
A frota se renovaria em 3 anos e 7 meses, ou seja, aproximadamente a cada 4 anos
teríamos uma renovação da frota.
Com a diferença de R$ 1,60 para 2,00 a frota se renovaria com um ano menos. Será
que um veículo como esse necessita ser renovado em tão pouco tempo?
148
Situação-problema 5:
Um fim de semana de cada mês, há o chamado Passe Livre, onde neste dia as pessoas
não pagam passagem. Isto ocorre em todas as linhas urbanas de Santa Maria. A média de
população transportada neste dia é de 103.333 pessoas.
d)
Qual seria o lucro das empresas se não houvesse Passe Livre?
e)
Considerando o Passe Livre sendo oferecido para a população dois finais de semana a
cada mês, qual seria o lucro?
f)
Quem paga as passagens para as empresas neste dia?
Considerações Finais
Neste trabalho, aplicou-se como alternativa metodológica a Modelagem Matemática, a
qual possibilita a integração entre conteúdos curriculares de todas as áreas do conhecimento e
problemas vividos pela sociedade. O problema do aumento das tarifas de ônibus é um tema
presente no cotidiano da comunidade escolar, em todos os níveis de ensino, não somente na
cidade de Santa Maria, como a todas as cidades que possuem transporte urbano.
O tema abordado, por estar relacionado ao contexto real, ao ser trabalhado em aulas de
Matemática, possibilita que seja demonstrada a aplicabilidade e a importância dos conteúdos
matemáticos na vida cotidiana, constituindo-se uma forma de dar significado ao estudo da
Matemática para a formação geral para a vida.
Referências Bibliográficas
BARBOSA, Jonei Cerqueira.
Modelagem Matemática:
concepções e experiências de futuros
professores. Rio Claro: [s.1.], 2001. Tese (Doutorado em Educação Matemática), Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual de São Paulo, Rio Claro, 2001.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson.
Modelagem matemática no ensino.
2. ed. São
Paulo: Contexto, 2002.
BURAK, Dionísio.
Modelagem Matemática e a sala de aula
. In: Encontro Paranaense de
Modelagem em Educação Matemática, 1., 2004, Londrina.
Anais
. Londrina: UEL, 2004. 1
CD-ROM.
TARP, A.
Mathematics before or through applications:
Top-down and bottom-up
understandings of linear and exponential functions. In : Matos, J. F. et al. (Eds) Modelling and
mathematics education. Chichester: Ellis Horwood, 2001. p. 119-129.
149
ANEXO D - ARTIGO PRODUZIDO PELO GRUPO TRÊS
MODELAGEM MATEMÁTICA SOBRE O CARRO BICOMBUSTÍVEL: UM
ESTUDO
Luciano Brondani Ilha
9
Marinez Cargnin Stieler
10
Vanilde Bisognin
11
Resumo
O carro bicombustível possui tecnologia do motor que pode utilizar gasolina e álcool
misturados em qualquer proporção. Para os especialistas a compra de um carro modelo flex é
realizada com planos de obter uma economia com o gasto de combustível a longo prazo.
Levando em consideração esta perspectiva desenvolveu-se uma Modelagem Matemática que
avalia a vantagem de se utilizar álcool ou gasolina ou álcool e gasolina para este carro,
baseado nos seus valores de mercado.
PALAVRAS-CHAVE
- Carro Bicombustível; Gasto de Combustível; Modelagem
Matemática.
Introdução
Anda assustado com o preço da gasolina? É justamente aí que os modelos
bicombustíveis ganham clientes. A possibilidade de escolha entre abastecer com gasolina ou
álcool tem atraído cada vez mais consumidores (VARGAS, 2006).
Os carros bicombustíveis, ou flex, estão no mercado desde março de 2003, quando a
Volkswagen lançou o Gol Total Flex. Diferente daquela época, em que as opções eram
poucas, hoje é possível encontrar no mercado versões flex de quase todos os modelos das
mais conhecidas marcas de veículos. E a tendência é de mais lançamentos. Volkswagen, Ford,
Fiat, General Motors, Citroën, Peugeot e Renault são as marcas que têm modelos disponíveis
no mercado (VARGAS, 2006).
Segundo a Associação Nacional dos Fabricantes de Veículos Automotores
(ANFAVEA), as vendas de bicombustíveis estão crescendo gradativamente no país. Em
janeiro de 2005 representavam cerca de 27% das vendas. Em dezembro, alcançavam 68%.
9
Aluno do curso de Matemática Licenciatura do Centro Universitário Franciscano – UNIFRA, Santa Maria, RS.
10
Aluna do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano –
UNIFRA, Santa Maria, RS.
11
Professora titular do curso de Matemática Licenciatura do Centro Universitário Franciscano – UNIFRA, Santa Maria, RS.
150
Em 2006 as previsões foram melhores: em janeiro foram vendidas mais de 91 mil unidades, o
que representa 72,8% do total (VARGAS, 2006).
A demanda pelos automóveis bicombustíveis não deve ser afetada pela recente
disparada no preço do álcool. Para especialistas e na visão da indústria, o problema é pontual
e a compra de um carro modelo "flex" é realizada com planos de obter uma economia a longo
prazo (MATTOS, 2006).
Segundo Rafael Schechtman, diretor do Centro Brasileiro de Infra-Estrutura (CBIE) e
professor da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), a elevação no valor cobrado
pelo álcool não deve ter influência no mercado "flex" pelo fato de que não se paga mais pela
tecnologia. "Para certos modelos de carros, só há o bicombustível", diz o especialista
(MATTOS, 2006).
Antes de responder os problemas em estudo, o engenheiro Marcelo Brandão vai
responder às perguntas mais freqüentes sobre os bicombustíveis.
Marcelo Brandão, chefe de engenharia de desenvolvimento de produtos da unidade de
Sistemas a Gasolina da Bosch, empresa que fornece o sistema bicombustível para General
Motors, Volkswagen, Peugeot, Fiat e Citroën (VARGAS, 2006).
- Como funcionam os bicombustíveis?
O que o sistema bicombustível faz é diferenciar o álcool da gasolina por meio da
quantidade de oxigênio que passa pelo escape, medida por um sensor de oxigênio, que, após
cálculos realizados pela central de comando do motor determina qual é o combustível. Ou
seja, o sistema é capaz de reconhecer qual é o combustível que o usuário está usando e desta
forma se ajusta para funcionar na condição ideal do motor.
- Pode misturar os combustíveis ou tem que usar um de cada vez?
Pode misturar sim, em qualquer proporção.
- Como é o desempenho do motor flex?
Com álcool, a tendência é que o desempenho do veículo seja melhor. Já com a
gasolina, a autonomia de distância é maior, ou seja, o consumo é menor por quilômetro (Km).
- Quais são as vantagens dos bicombustíveis?
O triunfo dos bicombustíveis é o de proporcionar ao proprietário optar entre abastecer
com gasolina ou com álcool. É bom porque se um combustível estiver caro, ou faltar no
mercado, ele pode colocar outro. A política do preço dos combustíveis não afeta tanto o dono
do veículo. Uma dica é ver o preço dos dois combustíveis. Por exemplo, se o álcool estiver
151
70% ou menos do preço da gasolina, é melhor colocar álcool. Se estiver mais caro, vale a
pena colocar gasolina. Se o consumidor seguir esta regra, ele vai conseguir economizar.
- Que cuidados uma pessoa deve ter com um carro bicombustível?
O mesmo cuidado que ela tinha com um veículo movido à gasolina, ou seja, seguir as
recomendações dos manuais dos proprietários. Se no manual não estiver escrita nenhuma
recomendação específica, os cuidados são os mesmos.
- Qual é a diferença entre o carro bicombustível original de fábrica e o carro
convertido fora de uma montadora?
A diferença é que o original de fábrica tem um sistema específico para cada veículo,
enquanto que os kits de conversão são genéricos. Desta forma, o original consegue preencher
as necessidades do veículo. Como o kit tem que atender ao maior número de modelos de
carros, ele não alcança. Algumas conseqüências são o aumento da poluição, a perda de
desempenho, o aumento do consumo e o desgaste de algumas peças do motor que não são
adequadas ao uso com álcool.
No dia 02/03/2006 o jornal FOLHA ONLINE publica a reportagem: Tabela ajuda
dono de carro flex a economizar com álcool ou gasolina (FOLHA ONLINE, 2006).
Para ajudar proprietários de carro bicombustível a fazer a escolha mais econômica nos
postos, a FOLHA ONLINE publica a tabela 1 que mostra o preço máximo do litro do álcool
para que esse combustível seja mais vantajoso que a gasolina.
Tabela 1: Abasteça com álcool somente se o litro custar menos que:
Gasolina Álcool Gasolina Álcool Gasolina Álcool Gasolina Álcool
2,20 1,54 2,36 1,652 2,52 1,764 2,68 1,876
2,21 1,547 2,37 1,659 2,53 1,771 2,69 1,883
2,22 1,554 2,38 1,666 2,54 1,778 2,70 1,89
2,23 1,561 2,39 1,673 2,55 1,785 2,71 1,897
2,24 1,568 2,40 1,68 2,56 1,792 2,72 1,904
2,25 1,575 2,41 1,687 2,57 1,799 2,73 1,911
2,26 1,582 2,42 1,694 2,58 1,806 2,74 1,918
2,27 1,589 2,43 1,701 2,59 1,813 2,75 1,925
2,28 1,596 2,44 1,708 2,60 1,82 2,76 1,932
2,29 1,603 2,45 1,715 2,61 1,827 2,77 1,939
2,30 1,61 2,46 1,722 2,62 1,834 2,78 1,946
152
Gasolina Álcool Gasolina Álcool Gasolina Álcool Gasolina Álcool
2,31 1,617 2,47 1,729 2,63 1,841 2,79 1,953
2,32 1,624 2,48 1,736 2,64 1,848 2,80 1,96
2,33 1,631 2,49 1,743 2,65 1,855
2,34 1,638 2,50 1,75 2,66 1,862
2,35 1,645 2,51 1,757 2,67 1,869
Devido à variedade de valores cobrados no Estado de São Paulo, a tabela 1 enumera
61 opções de preços de gasolina e os valores máximos do litro do álcool que representariam
ganho para o motorista em cada um desses casos. Sempre que o álcool ultrapassar esse
máximo, o motorista ganha se optar pela gasolina.
Os cálculos foram feitos a partir de orientação do Centro de Estudos Avançados em
Economia Aplicada (Cepea-USP), uma das maiores autoridades do país em relação ao álcool,
que recomenda ao motorista não abastecer o veículo flex com álcool sempre que o preço do
litro superar 70% do valor da gasolina. O percentual reflete o menor rendimento do álcool,
que faz o veículo rodar menos quilômetros que a gasolina com um mesmo volume de
combustível.
Metodologia utilizada no estudo
Neste trabalho, tem-se o interesse em avaliar qual é o melhor custo benefício na hora
de abastecer um carro bicombustível. Para obter a resposta utilizou-se a Modelagem
Matemática.
As práticas escolares de Modelagem têm tido influências teóricas de parâmetros
emprestados da Matemática Aplicada. A compreensão de Modelagem é apresentada em
termos do processo de construção do modelo matemático, traduzido em esquemas
explicativos.
Segundo Skovsmose apud Barbosa (2001), a Modelagem Matemática distingue três
tipos de conhecimento que podem ser relacionados:
Conhecimento matemático;
O conhecimento tecnológico, que se refere a como construir e usar um modelo
matemático;
Conhecimento reflexivo, que se refere à natureza dos modelos e os critérios usados em
sua construção, aplicação e avaliação.
153
A Modelagem pode ser entendida em termos mais específicos, como uma ferramenta
que permite ao aluno indagar situações problemas que dependem dos conceitos e idéias
matemáticas exploradas à medida que os alunos desenvolvem a sua atividade.
A Modelagem Matemática é um ambiente de aprendizagem, pois estimula os alunos a
desenvolverem certas atividades.
Entende-se que a Modelagem estimula os alunos a investigarem situações de outras
áreas que não a matemática por meio da matemática.
Neste caso, o convite faz referência à indagação e investigação. Para (FREIRE &
FAUNDEZ
,
1998), a indagação é o próprio caminho da educação: “O que o professor deveria
ensinar – porque ele próprio deveria sabê-lo – seria, antes de tudo, ensinar a perguntar. Porque
o início do conhecimento, repito, é perguntar. E somente a partir de perguntar é que se deve
sair em busca de respostas e não o contrário”
.
Na Modelagem Matemática, o processo é compartilhado com o grupo de alunos, pois
sua motivação advém do interesse pelo assunto. Daí decorre aspectos a serem destacados
(BURAK, 2004):
Maior interesse do(s) grupo(s);
Interação no processo de ensino e de aprendizagem;
Demonstração de uma forma diferenciada de conceber a educação e, em conseqüência,
a adoção de uma nova postura do professor.
O Fato de compartilhar o processo de ensino com o grupo ou grupos faz a diferença,
constitui-se em uma mudança de postura por parte do professor: essa atitude favorece o
estabelecimento de relações afetivas mais fortes entre os alunos e professor e alunos
(BURAK, 2004).
Para fins de encaminhamento do trabalho na sala de aula, a Modelagem Matemática
foi desenvolvida em cinco etapas (BURAK, 2004):
Escolha do tema;
Pesquisa exploratória;
Levantamento dos problemas;
Resolução do(s) problema(s) e o desenvolvimento da Matemática relacionada ao tema;
Análise crítica da(s) solução(es).
Os objetivos da Modelagem:
154
Aproximar outras áreas do conhecimento da matemática;
Enfatizar a importância da matemática para a formação do aluno;
Despertar o interesse pela matemática ante a aplicabilidade;
Melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos;
Desenvolver a habilidade para resolver problemas;
Estimular a criatividade.
Para implementar a modelagem matemática é importante que o professor faça,
inicialmente, um levantamento sobre os alunos. Seguindo os seguintes passos:
- Diagnóstico
Verificar a realidade socioeconômica, o tempo disponível para a realização de trabalho
extraclasse e o conhecimento matemático que possuem os alunos.
- Escolha do tema ou modelo matemático
Escolher um tema a ser transformado em modelo matemático.
Desenvolvimento do conteúdo programático
O professor segue as mesmas etapas e sub etapas do processo de modelagem.
Orientações de modelagem
Elaborar um planejamento sobre a inteiração com o assunto, bem como a forma de
encaminhamento e quando ou em que momento guiará seus alunos.
Avaliação do processo
Aspectos subjetivos: participação, assiduidade, cumprimento das tarefas e espírito
comunitário.
Aspectos objetivos: provas, exercícios e trabalhos realizados.
Situação-problema 1
Supondo que uma pessoa possua um carro flex 1.6 e que rode 100 km por dia. No final
de um ano, qual é a melhor forma de abastecer este carro?
Para responder este problema utilizamos a tabela 2.
Tabela 2: abaixo segue simulação para um carro flex 1.6 rodando 100 km/dia:
Combustível
Consumo
médio
(LITROS) *
Custo por
Km
Preço ** Gasto Mensal Gasto Anual
155
Combustível
Consumo
médio
(LITROS) *
Custo por
Km
Preço ** Gasto Mensal Gasto Anual
Álcool 7,30 R$ 0,2671
R$ 1,95
R$ 801,30
R$ 9.615,60
Gasolina 9,70 R$ 0,2729
R$ 2,65
R$ 818,70
R$ 9.824,40
Flex 8,70 R$ 0,2645
R$ 2,30
R$ 793,50
R$ 9.522,00
* Fonte: teste realizado pela Ipiranga publicado em 29/10/05 pelo Diário de SP
** Fonte: preços pesquisados em 15/05/2006 em Santa Maria – RS
Definição das variáveis
Seja P o preço do litro do combustível e D a distância percorrida e C o consumo médio
do combustível em toda a viagem. O custo médio da viagem é V.
Qual é quantidade de litros de combustível que é gasto para percorrer a distância D.
Q = D
/C
Solução do problema
Álcool
Seja D1=100 km, C1=7,3 litros e P1 = R$ 1,95.
Sendo Q1 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D1.
Ou seja, Q1 = D1 / C1 = 100 / 7,3 = 13,69 = 13,7. Assim o custo da viagem V1 é: V1
= Q1 * P1 = 13,7 * 1,95 = R$ 26,715.
O Custo por Km é 26,715 / 100 = R$ 0,2671.
O Custo mensal é 100 * 0,2671 * 30 = R$ 801,30.
O Custo anual é 100 * 0,2671 * 30 * 12 = R$ 9.615,60.
Gasolina
Seja D2 = 100 km, C2 = 9,7 litros e P2 = R$ 2,65.
Sendo Q2 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D2.
Ou seja, Q2 = D2 / C2 = 100 / 9,7 = 10,30. Assim o custo da viagem V2 é: V2 = Q2 *
P2 = 10,30 * 2,65 = R$ 27,295.
O Custo por Km é 27,295 / 100 = R$ 0,2729.
O Custo mensal é 100 * 0,2729 * 30 = R$ 818,70.
O Custo anual é 100 * 0,2729 * 30 * 12 = R$ 9.824,40.
156
Flex
Seja D3 = 100 km, C3 = 8,7 litros e P3 = R$ 2,30.
Sendo Q3 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D3.
Ou seja, Q3 = D3 / C3 = 100 / 8,7 = 11,49 = 11,5. Assim o custo da viagem V3 é: V3
= Q3 * P3 = 11,5 * 2,30 = R$ 26,45.
O Custo por Km é 26,45 / 100 = R$ 0,2645.
O Custo mensal é 100 * 0,2645 * 30= R$ 793,50.
O Custo anual é 100 * 0,2645 * 30 * 12= R$ 9.522,00.
De modo geral o custo médio da viagem diária é dado por
V = X * P.
De modo geral o custo médio da viagem mensal é dado por
V = X * P * 30.
De modo geral o custo médio da viagem anual é dado por
V = X * P * 30 * 12.
De acordo com os resultados obtidos, verifica-se que o combustível flex é o mais
econômico.
Situação-problema 2
Na hora de abastecer com carro flex, o que é mais viável, álcool ou gasolina?
Baseado na tabela 2 verifique se o valor do álcool tem vantagem sobre a gasolina no
momento de abastecer, seguindo os dados da tabela 1.
Definição das variáveis
Seja
G
o preço do litro da gasolina e
A
o preço do litro do álcool e
X
o percentual do
álcool sobre a gasolina.
Solução do problema
Então, de acordo com a tabela 1, se o motorista decidir abastecer em um posto que
cobrasse R$ 2,65 pela gasolina, só deve optar pelo álcool se o litro custar menos que R$
1,855.
Baseado na tabela 2 seja G1 o valor da gasolina G1=R$ 2,65 e A1 o valor do álcool
A1= R$ 1,95. Sendo que X1 o percentual.
Calculo para verificar o percentual:
157
G1 * X1 = A1 * 100
X1 = A1*100 / G1
Baseado na fórmula do cálculo de X1 verificou-se o valor do percentual.
X1= 1,95 * 100 / 2,65
X1 = 195 / 2,65
X1 = 73,58 %
Verificou-se que o percentual X1 do álcool supera os 70% do valor da gasolina, deste
modo não é vantagem em abastecer com álcool.
Baseado na tabela 1, seja G2 o valor da gasolina G2=R$ 2,65 e A2 o valor do álcool
A2= R$ 1,855. Sendo que X2 o percentual.
Calculo para verificar o percentual:
G2 * X2 = A2 * 100
X2 = A2*100 / G2
Baseado na fórmula do cálculo de X2 verificou-se o valor do percentual.
X2 = 1,855 * 100 / 2,65
X2 = 185,5 / 2,65
X2 = 70,00 %
Verificou-se que o percentual X2 do álcool é justamente os 70% do valor da gasolina,
deste modo é vantagem em abastecer com álcool.
De modo geral o cálculo do percentual é dado por
X = A*100 / G.
Situação-problema 3
Qual dos carros é mais econômico?
Baseado nas informações da tabela 3 calcule o custo por quilometro (Km) de cada
carro baseado nos valores da tabela 2.
158
Tabela 3
Celta 2 portas 1.0 Flexpower - Life Celta 2 portas 1.4
Gasolina - Life
Valor * R$ 24.490,00
R$ 27.290,00
Consumo em Estrada ** 18 km/l gasolina – 12,2 km/l álcool
17,7 km/l
* Fonte: http://www.gm.com.br/ no dia 15/06/2006.
** Fonte: http://www2.uol.com.br/bestcars/testes2/celta-flex-2.htm.
Definição das variáveis
Seja
D
a distância percorrida e
C
o consumo médio do combustível e
P
o preço do
litro do combustível.
Solução do problema
Celta Flexpower - Álcool
Seja D1 = 100 km, C1 = 12,2 litros e P1 = R$ 1,95.
Sendo Q1 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D1.
Ou seja, Q1 = D1 / C1 = 100 / 12,2 = 8,196 = 8,2. Assim o custo da viagem V1 é: V1
= Q1 * P1 = 8,2 * 1,95 = R$ 15,99.
O Custo por Km é 15,99 / 100 = R$ 0,1599.
O Custo mensal é 100 * 0,1599 * 30 = R$ 479,7.
O Custo anual é 100 * 0,1599 * 30 * 12 = R$ 5.756,40.
Celta Flexpower - Gasolina
Seja D2=100 km, C2 = 18 litros e P2 = R$ 2,65.
Sendo Q2 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D2.
Ou seja, Q2 = D2 / C2 = 100 / 18 = 5,555 = 5,55. Assim o custo da viagem V2 é: V2 =
Q2 * P2 = 5,55 * 2,65 = R$ 14,70.
O Custo por Km é 14,70 / 100 = R$ 0,147.
O Custo mensal é 100 * 0,147 * 30 = R$ 441,00.
O Custo anual é 100 * 0,147 * 30 * 12 = R$ 5.292,00.
Celta Gasolina
159
Seja D3 = 100 km, C3 = 17,7 litros e P3 = R$ 2,65.
Sendo Q3 a quantidade de litros gastos para percorrer a distância D3.
Ou seja, Q3 = D3 / C3 = 100 / 17,7 = 5,649 = 5,65. Assim o custo da viagem V3 é:
V3 = Q3 * P3 = 5,65 * 2,65 = R$ 14,97.
O Custo por Km é 14,97 / 100 = R$ 0,1497.
O Custo mensal é 100 * 0,1497 * 30 = R$ 449,10.
O Custo anual é 100 * 0,1497 * 30 * 12 = R$ 5.389,20.
Tabela 4 -
Gasto anual em combustível da situação-problema 3:
Gasto Anual
Celta Flexpower - Álcool
R$ 5.756,40
Celta Flexpower - Gasolina
R$ 5.292,00
Celta Gasolina
R$ 5.389,20
Baseado na tabela 4 qual dos celta é o mais econômico ?
O Celta Flexpower – Gasolina é o carro mais econômico, durante um ano
economizaria R$ 97,20 em relação ao Celta Gasolina.
Considerações Finais
O tema abordado neste trabalho foi baseado em vários artigos publicados na internet.
Onde todos abordaram que a tendência é que os bicombustíveis dominem completamente o
mercado de automóveis do país por ser uma tecnologia mais avançada.
No mês passado, a participação dos flex foi de 76,3% do licenciamento de automóveis
e comercias leves. Em abril o percentual foi de 76,8% ante 77,6% em março (INVERTIA,
2006).
A quantidade de bicombustíveis vendida em maio registrou crescimento de 24,2% em
abril, para 118,7 mil veículos. Na comparação com março, houve avanço de 3,25%
(INVERTIA, 2006).
Em abril, quando o setor registrou queda pela primeira vez na participação dos
flexíveis, o presidente da Associação Nacional dos Fabricantes de veículos Automotores
(ANFAVEA), Rogelio Golfarb, afirmou que “a retração reflete a sazonalidade de um produto
160
(álcool) que é produzido em seis meses e consumido nos 12 meses do ano. O consumidor está
aprendendo a conviver com isso”
(INVERTIA, 2006).
Na modelagem que realizamos o preço do álcool realmente nos dias atuais, não
proporciona vantagem econômica para os consumidores dos carros com esta tecnologia. Onde
o melhor resultado foi obtido em abastecer álcool e gasolina na mesma proporção.
A modelagem matemática baseia-se por desenvolver o conteúdo programático a partir
de um tema e orientar o aluno na realização de seu próprio modelo matemático. É aplicável
em qualquer nível escolar, das séries iniciais a um curso de pós-graduação.
O professor de hoje, pode ser aquele que é um pesquisador de sua sala de aula e isto
pode e deve conduzi-lo a aprender com seus próprios alunos.
Referências bibliográficas
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem na educação matemática: contribuições para o
debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, 2001, Caxambu. Caxambu: ANPED,
2001. 1a CD-ROM.
BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática e a sala de aula. In: Encontro Paranaense de
Modelagem em Educação Matemática, 1., 2004, Londrina.
Anais
. Londrina: UEL, 2004. 1
CD-ROM.
FREIRE, P., FAUNDEZ
,
A.
Por uma pedagogia da pergunta. 4. ed.
Rio de Janeiro: Paz e
Terra, 1998. 158p.
FOLHA ONLINE:
Tabela ajuda dono de carro flex a economizar com álcool ou gasolina.
Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/folha/dinheiro/ult91u105646.shtml>, acesso
em: mar., 2006.
INVERTIA – O PORTAL DE ECONOMIA DO TERRA:
Venda de veículos novos sobe
25% em maio, diz Anfavea.
Disponível em:
<http://br.invertia.com/noticias/noticia.aspx?idNoticia=200606061338_RTR_1149600831nN
06453072>, acesso em: jun., 2006.
MATTOS, A.
Procura por carro “flex” deve seguir forte.
Disponível em:
<http://www1.folha.uol.com.br/folha/dinheiro/ult91u103944.shtml>, acesso em: jan., 2006.
VARGAS, V.
Bicombustíveis: ter ou não ter?
Disponível em:
<http://www.sitedapenelope.com.br/servicos/bicombustiveis.html>, acesso em: fev., 2006.
161
ANEXO E - ARTIGO PRODUZIDO PELO GRUPO QUATRO
METODOLOGIA DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO SUPERIOR:
CRIAÇÃO DE CHINCHILAS
Francisca Brum Tolio
12
Marinez Cargnin Stieler
13
Vanilde Bisognin
14
Resumo
Neste trabalho utiliza-se a metodologia da Modelagem Matemática para o estudo da
criação de chinchilas. Para a realização do trabalho seguiu-se os passos da Modelagem
Matemática, que são os seguintes: escolha do tema, pesquisa exploratória, levantamento de
problemas, resolução dos problemas e desenvolvimento da matemática relacionada ao tema,
análise crítica das soluções. A partir do tema proposto foram criadas diferentes situações-
problema que permitiram elucidar o tema e, ao mesmo tempo, compreender conceitos e
resultados relacionados, principalmente, com as Equações de Diferenças. Consideram-se as
questões da reprodução dos animais, o custo de produção e venda de peles, que é a principal
finalidade da criação de chinchilas pelo seu preço no mercado. Propõem-se situações-
problema sobre taxa de crescimento da população de animais, vantagens e desvantagens sobre
a produção e venda das peles. Em todas estas situações desenvolve-se a Matemática que está
relacionada com o tema proposto. O trabalho de pesquisa permitiu vivenciar uma metodologia
que pode ser aplicada em turmas regulares do ensino fundamental, médio e superior onde o
aluno e professor são sujeitos na construção do conhecimento.
Palavra-chave -
Modelagem Matemática, criação de chinchilas, Equações de Diferenças.
Introdução
O propósito do presente trabalho é relatar uma das experiências vivenciadas pelos alunos
do sétimo semestre da licenciatura em Matemática na disciplina de Projeto de Pesquisa e
Extensão em Educação Matemática II desenvolvidas através da Modelagem Matemática em
que alunos e professores estiveram empenhados nas atividades durante um semestre. Foram
12
Aluna do curso de Matemática – UNIFRA - franciscabrumto[email protected]m.br
13
Aluna do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática – UNIFRA -
14
Professora do curso de Matemática – UNIFRA – van[email protected]
162
propostas situações-problema envolvendo a criação de chinchilas que foi um assunto de
interesse da acadêmica que desenvolveu este trabalho.
Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a
problematizar e investigar, por meio da Matemática, situações com referência na realidade.
(BARBOSA, 2004). A Modelagem Matemática é livre e espontânea, surge da necessidade do
homem em compreender os fenômenos que o cercam para interferir ou não em seu processo
de construção (SILVEIRA e RIBAS, 2004). Escolher a Modelagem Matemática para
trabalhar é um desafio, e ao mesmo tempo torna-se algo agradável e lógico. Com ela aprende-
se a investigar e analisar problemas com base na realidade.
Trabalhar com Modelagem Matemática facilita a aprendizagem, pois o conteúdo
matemático passa a ter significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto fazendo parte
do contexto que está presente na vida do aluno. Esta metodologia de ensino envolve o
trabalho conjunto de alunos e professores, fazendo com que os alunos tornem-se responsáveis
pela sua própria aprendizagem. A Modelagem Matemática auxilia o aluno a tornar-se um
cidadão crítico e transformador de sua realidade, bem como, facilita a compreensão do papel
sociocultural da Matemática, dando assim maior significado a ela. Desta forma, ela permite
problematizar e investigar situações reais do cotidiano do aluno, produzindo melhor
entendimento de determinado assunto no qual o aluno se interessa e acaba por si percebendo a
importância e a presença da Matemática em suas atividades diárias.
O objetivo da Modelagem Matemática é tornar visível o papel da Matemática na vida
social dos alunos, fazendo com que eles possam situar-se em seu ambiente sócio-cultural
atuando e modificando esse ambiente.
Neste projeto de pesquisa escolheu-se o tema: Criação de Chinchilas por ser um tema de
interesse da comunidade uma vez que existem cabanhas que criam chinchilas na região de
Santa Maria.
Por meio de situações-problema construíram-se modelos matemáticos envolvendo a taxa
de crescimento da população, analisou-se as vantagens e desvantagens e o tempo de venda das
peles dos animais para obter-se lucro máximo, que é a principal atividade comercial das
chinchilas.
Em todas as situações propostas analisou-se a Matemática envolvida que são basicamente
as Equações de Diferença.
163
As chinchilas e a Modelagem Matemática
A reprodução dos animais acontece através do método poligâmico, formando famílias
com seis fêmeas e um macho. A vida reprodutiva das chinchilas inicia aos oito meses de idade
e pode durar até dez anos. As chinchilas têm em média dois partos por ano e dois filhotes por
parto, mas elas podem ter de um a quatro filhotes por parto. Possuem três pares de mamas
sendo um não funcional. A gestação é de cento e onze dias. A fêmea entra regularmente no
cio de vinte e oito dias em vinte oito dias no inverno, tendo uma variação no verão, cujo
intervalo torna-se maior por causa do calor.
O animal se torna adulto quando alcança os oito meses de idade, estando pronto para o
abate. A pele possui de oitenta a cento e vinte pêlos por folículo piloso sendo que cada fibra
chega a ser vinte vezes mais fina que um fio de cabelo humano. A pele é bastante densa e
leve, por isso é cara e apreciada pelo mercado internacional. A fibra se caracteriza por possuir
três fazes de cor. A base ocupada pela maior parte da fibra é de cor escura. A banda que é
branca e o véu que é a extremidade da fibra que esse é de cor preta.
A cotação média para a venda das peles fica em torno de U$ 35,00 (trinta e cinco dólares)
cada uma. O custo de produção está na média de U$ 12,00 (doze dólares) por pele, ou seja,
por animal.
Problematização e Desenvolvimento da Matemática Relacionada ao Tema.
As atividades desenvolvidas a seguir requerem entendimento sobre a criação e reprodução
de chinchilas.
Situação-Problema 1
Qual é a previsão do crescimento da população de chinchilas, com o passar do tempo, se a
cada parto nascem sempre uma fêmea e um macho?
Considere que um criador de chinchila adquira um casal maduro de chinchila. A situação
pode ser visualizada na tabela a seguir.
DATA
Tempo de Criação
Instantes
Nº DE PARES
POPULAÇÃO TOTAL
Início 0 = P
0
1 2
4 meses após 4 = P
1
2 4
8 meses após 8 = P
2
3 6
12 meses após 12 = P
3
5 10
16 meses após 16 = P
4
8 16
20 meses após 20 = P
5
13 26
164
De um modo geral tem-se o seguinte modelo matemático para o número de pares de
chinchilas
P
n
= P
n-1
+ P
n-2
, com n ≥ 2 ou
P
n+2
= P
n+1
+ P
n
, com n ≥ 0
Que é uma equação de diferença de 1ª ordem, onde n é o tempo medido de quatro em
quatro meses.
Se n = 2, então:
P
2
= P
1
+ P
0
= 2+1=3
Se n = 3, então:
P
3
= P
2
+ P
1
= 3+2=5
Neste caso obtém-se a famosa seqüência de Fibonacci.
“Sobre Fibonacci: Seu nome era Leonardo de Pisa. Atribui-se Fibonacci ao
fato de ser filho de Bonacci. Leonardo de Pisa escreveu livros de Aritmética e
Álgebra, destacando-se entre eles um clássico histórico: o Líber abaci. Nesta sua
obra ele debruça-se sobre um problema por ele formulado que veio dar origem a
uma sucessão a que posteriormente se associou o seu nome - Fibonacci - ficando
assim conhecida na história como a Sucessão de Fibonacci. Esta sucessão veio na
seqüência do seguinte problema: Quantos pares de coelhos serão produzidos num
ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se
torna produtivo a partir do segundo mês? Todo este problema considera que os
coelhos estão permanente fechados num certo local e que não ocorrem mortes.
Queremos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados, durante um ano, por
esse par, assumindo que pela sua natureza, em cada mês dão origem a um outro par
de coelhos, e no segundo mês após o nascimento, cada novo par pode também
gerar. Ele mostra que teremos 233 pares de coelhos ao fim de um ano de vida do par
de coelhos com que partimos. Listando a sucessão 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233 na margem dos seus apontamentos, ele observou que cada um dos números
a partir do terceiro é obtido pela adição dos dois números antecessores, e assim
podemos fazê-lo em ordem a uma infinidade de números de meses.
Esta seqüência,
é conhecida atualmente como a seqüência ou sucessão de
Fibonacci”. (LUCHETTA, 2003)
Essa seqüência se repetiu também em nossa atividade. Obteve-se o modelo matemático
encontrado chegando a uma previsão de crescimento da população, no tempo em que se
deseja.
Situação-Problema 2.
Qual a taxa de crescimento da população? A partir do modelo encontrado na Situação
Problema 1, construa uma tabela com os valores até n = 15 (onde n corresponde aos meses de
nascimento).
Tem-se:
165
n P
n+2
= P
n+1
+ P
n
0 P
2
= 3
1 P
3
= 5
2 P
4
= 8
3 P
5
= 13
4 P
6
= 21
5 P
7
= 34
6 P
8
= 55
7 P
9
= 89
8 P
10
= 144
9 P
11
= 233
10 P
12
= 377
11 P
13
= 610
12 P
14
= 987
13 P
15
= 1597
14 P
16
= 2584
15 P
17
= 4181
A partir dos dados da tabela anterior obtém-se o seguinte gráfico:
A partir dos dados da tabela tem-se a seqüência: {1,2,3,5,8,13,...
} e a partir desta obtém-
se:
1
1
2
=
,
5,1
2
3
=
,
6,1
3
5
,
6,1
5
8
=
,
6,1
8
13
=
.
Assim a taxa de crescimento da população é de 1,6 (aproximadamente). Isto nos dá uma
idéia de crescimento exponencial. Ou seja, a cada período a população cresce na mesma taxa
(observe o cálculo da taxa de crescimento).
Taxa de Crescimento
0
5
10
15
0 5 10 15 20 25
Tempo de Produção
População
166
A partir disto tem-se:
P
n+1
= CP
n
, onde C = taxa de crescimento. Assim, tem-se:
P
1
=CP
0
P
2
=CP
1
= CCP
0
= C
2
P
0
P
3
=CP
2
= CC
2
P
0
= C
3
P
0
continuando com esse processo
. . .
. . .
P
n
= C
n
P
0
Que é a solução da equação de crescimento exponencial.
Análise do Modelo:
Observando a tabela e o gráfico anterior observa-se que a população em pouco tempo
cresce exponencialmente. Isto significa que a população cresce exponencialmente e com o
passar do tempo teremos uma superpopulação.
Situação-Problema 3.
a) Qual o Modelo Matemático do crescimento da população se o início da produção de
chinchilas seja um macho e seis fêmeas? E se cada fêmea dá origem a um par de filhotes, (um
macho e uma fêmea) com o passar do tempo?
b) Em quanto tempo teremos uma população adulta para o abate, de modo que abatendo 50%
dos filhotes dessa população obtém-se lucro?
Considerando-se o custo de produção U$12,00 e a venda da pele de cada animal são de
U$35,00 para cada animal adulto.
Soluções:
a) Raciocinando-se como na situação-problema 1 tem-se
Produção de Chinchilas
DATA
Tempo de Criação
Instantes
Nº DE ANIMAIS
Início 0 = P
0
7
4 meses após 4 = P
1
19
8 meses após 8 = P
2
31
12 meses após 12 = P
3
55
16 meses após 16 = P
4
91
Da tabela obtém-se o modelo matemático:
167
P
n+2
= P
n+1
+ P
n
+ 5, onde n ≥ 0 é o tempo medido de quatro em quatro meses.
De acordo com dados obtidos sobre a criação de chinchilas sabe-se que o custo de criação
de cada animal é de U$ 12,00 e a venda da pele é de U$ 35,00, então o custo e a venda de
chinchilas é dado por:
b) Custo e Venda de Chinchilas
Nº de animais
Instante
M + M
F F M FAA
F
FM
M CUSTO VENDA
7 P
0
7
19 P
1
7 12
31 P
2
7 12 12 6 372 210
35 P
3
7 12 12+12 12 420 432
91 P
4
7 12 12+12+12 12+12 12 1092 840
151 P
5
7 12 12+12+12+12 36+12 36 1812 1470
M + M = Macho + Matriz
F = Filhos
FM = Família de Matrizes adultas
FAA = Família Adulta para Abate
F
FM
M = Filhos da família adulta adultos.
Graficamente pode-se observar a receita total e produção
168
O custo de produção de chinchilas é dado pela função y = 180x-1788, onde x é o número
de animais adultos e y é o custo da produção. A Receita Total (Venda de Peles) é dada pela
função y = 157,5x -1680, onde x é o número de animais adultos e y é a Receita Total.
Através do gráfico e dos cálculos, entende-se que se o criador abater somente 50% dos
filhotes adultos da produção não obterá lucro em tempo algum, pois as retas que representam
o custo da produção e a receita total não se interceptam no 1º quadrante.
Situação-Problema 4.
No caso da situação-problema 3, qual o percentual da população a ser vendida para obter
lucro após 24 meses do início da criação?
De acordo com o texto o custo de produção é de U$12,00 e o valor da pele de cada animal
adulto é de U$35,00.
Utilizando os dados da tabela de Custo de Venda de chinchilas, da situação-problema 3 e
de acordo com o modelo descrito teremos, após 24 meses, 151 animais. O valor do custo total
de produção quando chega ao 24º mês, é de U$1.812,00. Assim o mínimo de animais que
devem ser abatidos para que se tenha lucro após 24 meses é de
52
35
1812
=
.
169
Ou seja, aproximadamente 52 animais devem ser abatidos
. Logo para saber quanto este
valor representa em porcentagem sobre o número de animais basta usar uma regra de três,
mas não devemos esquecer que a família (de 7 animais) não pode ser vendida. Assim, têm-se
animais adultos e jovens.
151 – 7 = 144
Dos 144 animais, somente 84 são adultos e podem ter suas peles vendidas, ou seja, 60
acabaram de nascer, portanto não podem ser vendidos porque sua pele não tem valor
comercial. Portanto, pela regra de três segue que:
84 → 100%
52 → X
O que resulta X = 62 %.
Conclui-se que para obter lucro em uma criação de chinchilas, o produtor deve vender
após 24 meses do início da criação, 62% dos filhotes adultos ou seguindo o mesmo raciocínio
34% de toda a população.
Conclusão
Acredita-se que este trabalho foi interessante, pois descobriu-se maneiras diferentes de
trabalhar a Matemática, a partir de um tema concreto.
Quando o assunto chinchila foi cogitado em sala, acreditou-se que seria um bom trabalho
a ser realizado, por ser um assunto que poderia proporcionar o desenvolvimento de diferentes
conteúdos de Matemática o que comprovou-se após a realização das atividades.
No decorrer da pesquisa, pode-se observar que nem sempre as respostas das situações-
problema que propomos foram únicas. Tornou-se necessário realizar uma análise dos
modelos, com cautela e levou-se em consideração que as respostas podem variar
consideravelmente se a hipótese for modificada.
No decorrer do trabalho percebeu-se o grande envolvimento dos alunos e dos professores
no desenvolvimento das atividades. A Modelagem Matemática é uma metodologia de ensino
que permite que os alunos sejam responsáveis pelo ato de aprender e que os professores
passam a ter o papel de orientadores.
170
Referencias Bibliográficas
BARBOSA, Jonei Ceiqueira: Modelagem na Educação Matemática: Uma Perspectiva. In:
ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1.
2004, Londrina.
Anais
. Londrina: UEL, 2004.1 CD-ROM.
LUCHETTA, Valéria Ostete Jannis.
História da Matemática na Época Medieval (Europa)
.
2003. Disponível em: <http://www.matematica.br/> Acesso em: 24 maio 2006.
SILVEIRA, Jean Carlos; RIBAS, João Luiz Domingues.
Discussões sobre Modelagem
Matemática e o ensino-aprendizagem
. 2004. Disponível em:
<http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/> Acesso em 25 maio 2006.
171
APÊNDICES
172
APÊNDICE A - ENTREVISTA INDIVIDUAL
Centro Universitário Franciscano
Área de Ciências Naturais e Tecnológicas
Mestrado profissional em Ensino de Física e Matemática
Prezado (a) acadêmico (a)
Estou realizando uma pesquisa voltada para o ensino de Matemática e Estatística no
ensino superior que busca esclarecer a contribuição da Modelagem Matemática para uma
aprendizagem contextualizada e mais significativa dos alunos. Para poder desenvolvê-la
necessitaria da colaboração de cada um (uma) ao responder as questões colocadas nesta
entrevista. O objetivo das informações é para poder traçar o perfil sócio-acadêmico do aluno
de licenciatura em Matemática, participante desta pesquisa.
Contando com sua colaboração, desde já agradeço.
Marinez Cargnin Stieler
Mestranda
Santa Maria, maio de 2006
Entrevista
1-
Qual sua idade?
2-
Grau de instrução do Pai?
( )Ens. Fundamental inc. ( )Ens. Fundamental comp. ( ) Ens. Médio inc.
( ) Ens. Médio Comp. ( ) Superior inc. ( ) Superior comp.
3-
Grau de instrução da mãe?
( )Ens. Fundamental inc. ( )Ens. Fundamental comp. ( ) Ens. Médio inc.
( ) Ens. Médio Comp. ( ) Superior inc. ( ) Superior comp.
4-
Cursou o Ensino Fundamental em escola pública? Quantos anos? ( )
5-
Cursou o Ensino Fundamental em escola particular? Quantos anos? ( )
6-
Cursou o Ensino Médio em escola pública? Quantos anos? ( )
7-
Cursou o Ensino Médio em escola particular? Quantos anos? ( )
8-
Se morar em Santa Maria, veio para cá para cursar a faculdade?
( ) Sim ( ) Não
173
9-
Se não morar em Santa Maria, quanto tempo viaja para vir à faculdade?
10-
Exerce função remunerada?
11-
Quantas horas semanais?
12-
Necessita da colaboração econômica da família para manter-se no curso?
( ) Sim ( )Não
13-
No caso de não contar com a família, qual a renda que você dispõe para se manter na
faculdade?
14-
Tem computador em casa? ( ) Sim ( )Não
15-
Tem acesso a internet em casa? ( ) Sim ( )Não
16-
É banda larga ou discada? ( ) Banda larga ( )discada
17-
Tem acesso a internet na faculdade? O que acha desse acesso?
( ) Sim ( )Não
18-
Por que escolheu o curso de Matemática?
19-
Das disciplinas já cursadas, quais as que mais gostou? Por quê?
20-
Das disciplinas já cursadas, quais as que menos gostou? Por quê?
21-
Já repetiu alguma disciplina? Qual/ quais?
22-
Que tipos de atividades matemáticas lhe desperta maior interesse nas aulas?
23-
Quando você acha que aprende?
24-
No seu entender como deveriam ser trabalhados os conteúdos de Matemática?
25-
Qual tua opinião sobre trabalhar em grupo?
26-
Como classifica a Matemática entre as disciplinas, em termos de dificuldades para os
alunos?
27-
O que é ser bom professor de matemática, no seu entender?
174
28-
Já teve experiência com o ensino de matemática?
29-
Em caso afirmativo:
a-
Quais as dificuldades em ser professor?
b-
Quais as facilidades em ser professor?
c-
Que tipo de atividade matemática desperta maior interesse para os alunos?
d-
Quando eles aprendem?
175
APÊNDICE B - ENTREVISTA COLETIVA
Centro Universitário Franciscano
Área de Ciências Naturais e Tecnológicas
Mestrado profissional em Ensino de Física e Matemática
Prezados (as) acadêmicos (as)
Estou realizando uma pesquisa voltada para o ensino de Matemática e Estatística no
ensino superior que busca esclarecer a contribuição da Modelagem Matemática para uma
aprendizagem mais significativa e contextualizada dos alunos. Para poder desenvolvê-la
necessitaria da colaboração de cada um (uma) ao responder as questões colocadas nesta
entrevista. O objetivo das informações é obter a opinião do aluno de licenciatura em
Matemática, participante desta pesquisa sobre as atividades desenvolvidas na disciplina
acima, com relação à Modelagem Matemática.
Contando com sua colaboração, desde já agradeço
.
Marinez Cargnin Stieler
Mestranda
Santa Maria, maio de 2006
Entrevista coletiva
1.
Qual a opinião de vocês sobre a metodologia utilizada nas aulas desta disciplina?
2.
Qual a opinião de vocês, sobre a importância deste trabalho?
3.
Você adotaria a mesma forma de trabalhar que se adotou nesta disciplina? Sim ou não,
Por quê?
4.
Como avaliam as atitudes e as atividades desenvolvidas pelas professoras em sala de
aula com os alunos?
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