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IVANILDO BASÍLIO DE ARAÚJO
UMA ABORDAGEM PARA A PROVA COM
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E CABRI-
GÉOMÈTRE
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC/SP
SÃO PAULO
2007
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II
IVANILDO BASÍLIO DE ARAÚJO
UMA ABORDAGEM PARA A PROVA COM
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E CABRI-
GÉOMÈTRE
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob
orientação da Prof
a
Dr
a
Siobhan Victoria Healy (Lulu
Heal
y)
.
PUC/SP
SÃO PAULO
2007
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III
Banca Examinadora
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
IV
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:______________________Local e data:___________________
V
DEDICATÓRIA
Aos meus pais
Taumaturgo e Tereza (em memória)
A Lulu Healy (orientadora)
Por todo o apoio dado e pela competente orientação
Ao professor Vincenzo
Por sua valiosa contribuição na parte histórica deste trabalho
Aos camaradas do Núcleo de Estudos Marxistas da Associação Oeste de Diadema
Por compreenderem os momentos em que estive ausente
VI
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar, a todos os estudantes e, especialmente, às duplas de alunos
(as) da 7
a
Série C da Escola Estadual “Vila Santa Maria”, Diadema/SP, que
foram parte essencial, tornando possível a realização desta pesquisa.
À Professora Doutora Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy), por sua dedicação
constante na orientação e realização deste trabalho.
À Professora Doutora Yuriko Yamamoto Baldin, pelas valiosas contribuições nos
aspectos matemáticos deste trabalho.
Ao Professor Doutor Vincenzo Bongiovanni, por sua competente contribuição na
parte histórica desta dissertação.
A todos os colegas da turma do Mestrado Acadêmico em Educação Matemática
da PUC/SP (2005 a 2007), que direta, ou indiretamente, me ajudaram na
elaboração desta pesquisa. Meu sincero respeito e agradecimento a todos.
A todos os participantes do G3-TecMEM (professores, convidados e
estudantes), pelas valiosas discussões que muito me ajudaram na elaboração
deste trabalho
A todos os professores do Programa de Estudos Pós Graduados em Educação
Matemática da PUC/SP, em especial os professores Saddo Ag Almouloud &
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, disciplina Fundamentos da Didática da
Matemática; Wagner Rodrigues Valente, disciplina Metodologia da Pesquisa;
Anna Franchi, disciplina Didática da Matemática I; Lulu Healy, disciplina Teorias
da Aprendizagem; Maria Célia Leme da Silva, disciplina Estudos
Complementares; e Silvia Dias Alcântara Machado & Sônia Barbosa Camargo
Igliori, disciplina Didática da Matemática II. Pelas valiosas aulas que nos
ministraram, meu muito obrigado a todos.
VII
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS ..................................................................................................... XI
LISTA DE FIGURAS..................................................................................................... XII
RESUMO.......................................................................................................................XV
ABSTRACT..................................................................................................................XVI
APRESENTAÇÃO............................................................................................. XVII{ TC }
CAPÍTULO 1
UM PANORAMA DA GEOMETRIA..........................................................................................1
1.1 Introdução ..................................................................................................................1
1.2 As Etapas da Geometria ............................................................................................1
1.2.1 Geometria Subconsciente ................................................................................................1
1.2.2 Geometria Científica .........................................................................................................3
1.2.3 Geometria Demonstrativa.................................................................................................4
1.2.4 As Origens do Raciocínio Dedutivo ..................................................................................5
1.3 Sobre Euclides e seus Elementos..............................................................................6
1.4 O Postulado das Paralelas e as Geometrias Não-Euclidianas...................................8
1.4.1 Postulados e axiomas na obra de Euclides......................................................................9
1.5 Os Três Problemas Famosos da Antiguidade..........................................................12
1.6 Os Instrumentos Euclidianos....................................................................................15
1.6.1 Construções Euclidianas ................................................................................................18
1.6.2 Construções Geométricas ..............................................................................................18
1.6.3 Construções Geométricas com Restrições ....................................................................22
1.6.4 As Construções de Mohr-Mascheroni ............................................................................24
1.7 Teorema de Mohr-Mascheroni .................................................................................25
1.7.1 Lema 1 ...........................................................................................................................25
1.7.2 Lema 2 ...........................................................................................................................25
1.7.3 Prova do Teorema..........................................................................................................26
1.8 Inversão: Cosntruções Geométricas com Pontos Inversos......................................40
1.9 Sumário do Capítulo.................................................................................................43
CAPÍTULO 2
ARGUMENTAÇÕES, PROVAS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ....................................45
2.1 Introdução ................................................................................................................45
2.2 Importância e Papel da Demonstração ....................................................................45
2.2.1 Provas e Educação Matemática .....................................................................................47
2.2.2 Provas e Geometria Dinâmica: O Cabri-Géomètre ........................................................50
2.3 Considerações Teóricas...........................................................................................55
2.3.1 Classificando Provas ..................................................................................................55
2.3.2 Construções Geométricas como Campo de Experiência para o Estudo de Provas...58
2.3.2.1 Construções Geométricas e Cabri: Aspectos Teóricos e Dinâmicos................................... 60
VIII
2.3.2.2 Considerações sobre a Nossa Pesquisa ............................................................................. 62
2.3.2.3 Inspiração ............................................................................................................................. 64
2.3.2.4 Questões a Serem Investigadas .......................................................................................... 64
2.4 Comentários Adicionais............................................................................................66
2.5 Sumário do Capítulo.................................................................................................67
CAPÍTULO 3
METODOLOGIA.............................................................................................................69
3.1 Introdução ................................................................................................................69
3.2 Iteração e Design .....................................................................................................69
3.3 Design Experiments .................................................................................................70
3.3.1 Experimentos de Ensino.................................................................................................72
3.4 O Papel do Professor ...............................................................................................74
3.5 Considerações Adicionais ........................................................................................75
3.6 Sujeitos de Pesquisa e Procedimentos Iniciais para Coleta de dados .....................75
3.6.1 Sobre a Seleção dos Alunos ..........................................................................................76
3.6.2 Os Materiais e o Ambiente de Trabalho .........................................................................77
3.6.3 Familiarização com o Cabri-Géomètre ...........................................................................78
3.7 As Atividades............................................................................................................80
3.7.1 As Atividades: Objetivos, Resoluções e Comentários....................................................82
3.7.1.1 Conjunto Zero: Atividades Preparatórias ............................................................................... 82
3.7.1.2 Sumário sobre as Atividades do Conjunto Zero..................................................................... 83
3.7.2 Conjunto Um...................................................................................................................84
3.7.2.1 Conjunto 1.1: Introduzindo as Construções Geométricas no Cabri....................................... 84
3.7.2.2 Conjunto 1.2: Introdução à Prova........................................................................................... 87
3.7.2.3 Conjunto 1.3 Caixas-Pretas.................................................................................................... 91
3.7.2.4 Conjunto 1.4: Episódio de Ensino .......................................................................................... 95
3.7.2.5 Construções de Mohr-Mascheroni ......................................................................................... 96
3.7.3 Sobre as Atividades Previstas e as Atividades Realizadas (Conjunto 1) .......................98
3.7.4 Sumário sobre as Atividades do Conjunto 1...................................................................99
3.8 Conjunto Dois: Jogo de Prova e Pós-teste.............................................................100
3.8.1 As Atividades: Jogo de Prova.......................................................................................101
3.8.2 O Pós-teste...................................................................................................................111
3.8.3 Sumário sobre as Atividades do Conjunto 2.................................................................112
3.9 Fase de Experimentação e Coleta de Dados.........................................................112
3.9.1 Procedimentos para Análise dos Dados .................................................................. .113
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS ALUNOS ...............................................................114
4.1 Apresentação .........................................................................................................114
4.2 Sessão com Cabri-Géomètre.................................................................................114
4.3 Introdução à Análise das Atividades (Conjunto Zero) ............................................115
4.3.1 Atividade 1 ....................................................................................................................115
4.3.2 Atividade 2 ....................................................................................................................118
4.3.3 Atividade 3 ....................................................................................................................120
4.3.4 Atividade 4 ....................................................................................................................123
IX
4.3.5 Atividade 5 ....................................................................................................................125
4.3.6 Atividade 6 ....................................................................................................................128
4.3.7 Atividade 7 ....................................................................................................................129
4.3.8 Sumário do Conjunto Zero (Análise das Atividades) ....................................................131
4.4 Introdução à Análise das Atividades do Conjunto 1(Sistema de Aprendizagem A)132
4.4.1 Atividade 1 ....................................................................................................................133
4.4.2 Atividade 2 ....................................................................................................................134
4.4.3 Atividade 3 ....................................................................................................................136
4.4.4 Atividade 4 ....................................................................................................................137
4.4.5 Atividade 5 ....................................................................................................................139
4.4.6 Atividade 6 ....................................................................................................................143
4.4.7 Atividade 7 ....................................................................................................................146
4.4.8 Sumário sobre o Conjunto 1: Considerações Gerais ...................................................147
4.5 Conjunto Dois.........................................................................................................149
4.5.1 Descrição das Atividades do Conjunto 2 ......................................................................149
4.5.2 Atividade 1 ....................................................................................................................150
4.5.3 Atividade 2 ....................................................................................................................152
4.5.4 Atividade 3 ....................................................................................................................153
4.5.5 Atividade 4 ....................................................................................................................155
4.5.6 Pós-teste (Atividade 5) .................................................................................................157
4.6 Introdução à Análise das Atividades do Conjunto 1(Sistema de Aprendizagem B)159
4.7 Conjunto 1..............................................................................................................160
4.7.1 Atividade 1 ....................................................................................................................161
4.7.2 Atividade 2 ....................................................................................................................162
4.7.3 Atividade 3 ....................................................................................................................163
4.7.4 Atividade 4 ....................................................................................................................164
4.7.5 Atividade 5 ....................................................................................................................165
4.7.6 Atividade 6 ....................................................................................................................167
4.7.7 Atividade 7 ....................................................................................................................170
4.8 Sumário sobre o Conjunto 1 (Sistema de Aprendizagem B) ..................................173
4.9 Conjunto 2: Jogo de Prova e Pós-teste..................................................................175
4.9.1 Atividade 1 ....................................................................................................................175
4.9.2 Atividade 2 ....................................................................................................................176
4.9.3 Atividade 3 ....................................................................................................................177
4.9.4 Atividade 4 ....................................................................................................................178
4.9.5 Atividade 5 (Pós-teste) .................................................................................................180
4.9.6 Uma Breve Comparação entre os dois Sistemas de aprendizagem ............................182
4.10 Sumário do Capítulo
................................................................................................ 182
CAPÍTULO 5
CONCLUSÃO...............................................................................................................185
5.1 Introdução ..............................................................................................................185
5.2 As Questões de Pesquisa ......................................................................................186
5.3 Principais Resultados.............................................................................................190
5.4 Respondendo as Questões de Pesquisa ...............................................................196
5.5 Sugestões e Implicações para Futuros Estudos ....................................................198
X
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................199
RELAÇÃO DE ANEXOS (1 A 14)................................................................................203
Anexos: Primeira Parte (Sistema de Apendizagem A) ..........................................................204
Anexos: Primeira Parte..........................................................................................................204
Anexo 1: Atividades do Conjunto 0........................................................................................204
Anexo 2: Possíveis Resoluções do Conjunto 0 .....................................................................205
Anexo 3: Repostas do Conjunto 0 (por Bruno)......................................................................217
Anexo 4: Respostas do Conjunto 0 (Augusto/Cristina) .........................................................223
Anexo 5: Atividades Previstas do Conjunto 1 (1ª Sessão) ....................................................229
Anexo 6: Respostas do Conjunto 1(1ª Sessão – Augusto/Cristina) ......................................232
Anexo 7: Resposta do Conjunto 1 (1ª sessão – Bruno/Gisele) .............................................236
Anexo 8: Atividades do Conjunto 1 (2ª Sessão)....................................................................241
Anexo 9: Respostas do Conjunto 1 (2ª Sessão – Augusto/Cristina) .....................................243
Anexo 10: Respostas do Conjunto 1 (2ª Sessão – Bruno/Gisele).........................................245
Anexo 11: Respostas do Jogo de prova e Pós-teste (Augusto/Cristina)...............................247
Anexo 12: Respostas do Jogo de Prova e Pós-teste (Bruno/Gisele) ....................................254
Anexos: Segunda Parte (Sistema de Aprendizagem B)...............................................262
Anexo 13:Respostas do Conjunto 1 (por Bárbara/Suzane)...................................................262
Anexo 14: Respostas do Jogo de Prova e Pós-teste (Bárbara/Suzane)...............................267
XI
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1: Resumo do Sistema de Aprendizagem A ...................................................81
Tabela 3.2: Resumo do Sistema de Aprendizagem B ...................................................82
Tabela 4.1: Respostas das Duplas Augusto/Cristina e Bruno/Gisele – Atividades 1, 2, 3
e 4 do Conjunto 2 .........................................................................................................157
Tabela 4.2: Questões 1, 2 e 3 do Conjunto 1...............................................................161
Tabela 4.3: Respostas da Dupla Bárbara/Suzane – Atividades 1, 2, 3 e 4 do Conjunto 2
.....................................................................................................................................180
XII
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1:Postulados das Paralelas..............................................................................10
Figura 1.2: Substituto do 5º Postulado ...........................................................................10
Figura 1.3: Trissecção de Ângulo Arbitrário ...................................................................14
Figura 1.4: Transporte de Segmentos............................................................................17
Figura 1.5: Construção da Média Geométrica................................................................20
Figura extra 1..................................................................................................................................26
Figura extra 2..................................................................................................................................27
Figura 1.6: Construção do Simétrico de um Ponto (Simetria Axial)................................27
Figura 1.7: Construção do Simétrico de um Ponto (Simetria Central)............................28
Figura 1.8: Verificação de Colinearidade de Pontos ......................................................29
Figura extra 3..................................................................................................................................30
Figura 1.9: Construção do Ponto Médio.........................................................................32
Figura 1.10: Bissecção de Arco......................................................................................33
Figura 1.11: Intersecção de Reta e Circunferência (1)...................................................36
Figura 1.12: Intersecção de Reta e Circunferência (2)...................................................37
Figura 1.13: Construção da 4ª Proporcional...................................................................38
Figura extra 4..................................................................................................................................39
Figura 1.14: Construção de Pontos Inversos .................................................................40
Figura 1.15: Inverso de um Ponto no Interior de uma Circunferência ............................42
Figura 2.1: Construção Mole ..........................................................................................54
Figura 2.2: Construção Robusta.....................................................................................54
Figura 3.1: Tela principal do Cabri-Géomètre (Tela de Apresentação) ..........................79
Figura 3.2: Destaque de janela do Programa Cabri-Géomètre ......................................79
Figura 3.3: Atividade 1 ...................................................................................................84
Figura 3.4: Atividade 2 ...................................................................................................85
Figura 3.5: Atividade 3 ...................................................................................................86
Figura 3.6: Atividade 4 ...................................................................................................86
Figura 3.7: Atividade 5 ...................................................................................................87
Figura 3.8: Primeira Possível Solução da Atividade 5....................................................88
Figura 3.9: Segunda Possível Solução da Atividade 5...................................................88
Figura 3.10: Terceira Possível Solução da Atividade 5 ..................................................89
Figura 3.11: Atividade 5 .................................................................................................89
Figura 3.12: Duas Paralelas cortadas por uma Transversal ..........................................90
Figura 3.13: Todos os itens da Atividade 6 ....................................................................92
Figura 3.14: Ilustração (Movimentação do Ponto B) ......................................................92
Figura 3.15: Atividade 6 .................................................................................................93
Figura 3.16: Resolução da Atividade 6 (1) .....................................................................94
Figura 3.17: Resolução da Atividade 6 (2) .....................................................................94
Figura 3.18: Resolução da Atividade 6 (3) .....................................................................95
Figura 3.19: Atividade 6 (item d) ....................................................................................95
Figura 3.20: Atividade 7 .................................................................................................97
Figura 3.21: Resolução da Atividade 7 (a) .....................................................................97
Figura 3.22: Resolução da Atividade 7 (b) .....................................................................98
Figura 4.1: Construção da Mediatriz (por Augusto/Cristina).........................................116
XIII
Figura 4.2: Construção da Mediatriz usando Arcos......................................................116
Figura 4.3: Construção da Mediatriz com a Ferramenta Compasso (por
Augusto/Cristina)..........................................................................................................117
Figura 4.4: Construção da Mediatriz/Ponto Médio (por Bruno) ....................................118
Figura 4.5: Ilustração de uma Construção Mole...........................................................119
Figura 4.6: Construção de um Diâmetro (Augusto/Cristina).........................................119
Figura 4.7: Construção de um Diâmetro (por Bruno) ...................................................120
Figura 4.8: Simetria Central (Augusto/Cristina)............................................................121
Figura 4.9: Simetria Central com Circunferência e Reta (por Augusto/Cristina)...........121
Figura 4.10: Ainda, Simetria Central ............................................................................123
Figura 4.11: Simetria Axial (por Augusto/Cristina)........................................................124
Figura 4.12: Simetria Axial com Reta e Circunferência (por Augusto/Cristina) ............125
Figura 4.13: Resposta da Atividade 5(a) – Ciclotomia .................................................126
Figura 4.14: Resposta da Atividade 5(b) (por Augusto/Cristina) – Ciclotomia..............126
Figura 4.15: Resposta da Atividade 5(c) (por Augusto/Cristina) – Ciclotomia..............127
Figura 4.16: Divisão da Circunferência em 3 Partes Iguais (por Bruno).......................128
Figura 4.17: Resposta da Atividade 6 (por Augusto/ Cristina)......................................129
Figura 4.18: Construção de um ângulo Raso (por Bruno)............................................129
Figura 4.19: Primeira Reposta da Atividade 7..............................................................130
Figura 4.20: Segunda Resposta da Atividade 7 (Augusto/Cristina)..............................131
Figura 4.21: Produção da dupla Augusto/Cristina – Atividade 1 ..................................133
Figura 4.22: Resposta da Atividade 2, Conjunto 1 .......................................................135
Figura 4.23: Questão 3, Conjunto 1 .............................................................................136
Figura 4.24: Resposta da dupla Bruno/Gisele, Atividade 3 ..........................................137
Figura 4.25: Resoluções da Atividade 4, Conjunto 1....................................................137
Figura 4.26: Segunda Resolução da Atividade 4, por Augusto/Cristina .......................138
Figura 4.27: Respostas da Atividade 5.........................................................................140
Figura 4.28: Uma Solução da Atividade 5, por Augusto/Cristina..................................140
Figura 4.29: Outra Solução da Atividade 5, por Augusto/Cristina (Sessão 2) ..............140
Figura 4.30: Mais uma Solução da Atividade 5, por Augusto/Cristina (Sessão 2)........142
Figura 4.31: Cópia Exata – Simetria Axial, por Augusto/Cristina..................................144
Figura 4.32: Reprodução de Figura (Ativ.6), por Augusto/Cristina ...............................145
Figura 4.33: Resposta da dupla Bruno/Gisele, Atividade 6 ..........................................145
Figura 4.34: Outra forma de Reprodução de Figura, Conjunto 1 .................................146
Figura 4.35: Figuras da Atividade 7, Conjunto 1 ..........................................................146
Figura 4.36: Atividade 1, Conjunto 2 ............................................................................150
Figura 4.37: Dados da Atividade 2, Conjunto 2............................................................152
Figura 4.38: Atividade 3, Conjunto 2 (Construção).......................................................153
Figura 4.39: Construção do Ponto Simétrico numa Reta (Atividade 4, Conjunto 2).....155
Figura 4.40: A Figura do Pós-teste, Conjunto 2 ...........................................................157
Figura 4.41: Resposta da Atividade 1, por Bárbara/Suzane ........................................161
Figura 4.42: Resposta da Atividade 2, por Bárbara/Suzane ........................................162
Figura 4.43: Resposta da Atividade 3, por Bárbara/Suzane ........................................163
Figura 4.44: Resposta da Atividade 4, por Bárbara/Suzane ........................................164
Figura 4.45: Primeira Resposta da Atividade 5, por Bárbara/Suzane ..........................166
Figura 4.46: Complemento à Atividade 5 (Observação Nossa)....................................166
Figura 4.47: Resposta da Atividade 5, por Bárbara/Suzane ........................................167
XIV
Figura 4.48: Primeira Resposta da Atividade 6, por Bárbara/Suzane ..........................168
Figura 4.49: Segunda Resolução da Atividade 6, por Bárbara/Suzane .......................169
Figura 4.50: Uma outra Resolução da Atividade 6, por Bárbara/Suzane .....................169
Figura 4.51: Resposta da Atividade 7, por Bárbara/Suzane ........................................171
Figura 4.52: Segunda Resposta da Atividade 7, por Bárbara/Suzane .........................172
Figura 4.53: Terceira Resposta da Atividade 7, por Bárbara/Suzane ..........................173
Figura 4.54: Quarta Resposta da Atividade 7, por Bárbara/Suzane.............................173
Figura 4.55: Resposta do Pós-teste, por Bárbara/Suzane ...........................................181
XV
RESSUMO
Este trabalho, inserido na temática do uso de tecnologias digitais, discute o ensino e
aprendizagem da prova. O objetivo é investigar uma abordagem para a prova em
geometria, tomando por objeto de estudo as construções geométricas no ambiente do
Cabri-Géomètre. A fim de alcançar o objetivo proposto, foi elaborado um experimento
de ensino envolvendo estudantes de uma 7ª série da rede pública estadual de São
Paulo. Este experimento foi formado por duas fases, o design e a análise das
atividades. Na fase de design, foram criados e aplicados três conjuntos de atividades,
sendo um deles fora do ambiente do Cabri. As atividades tinham como uma inspiração
a geometria do compasso (MASCHERONI, 1980). Para a fase de análise, buscou-se
apoio na teoria de Balacheff (1987,1988) sobre as categorias de provas produzidas
pelos aprendizes: pragmáticas e conceituais. Por meio das atividades desenvolvidas
com o Cabri, além dos aspectos dinâmicos deste software, procurou-se explorar os
diferentes tipos de ferramentas para a resolução de um mesmo problema proposto.
Enfatizou-se, em grande parte das tarefas com construções geométricas, não apenas
os aspectos indutivo e dedutivo das provas, mas também possíveis movimentos do
primeiro rumo ao segundo. Um dos principais resultados obtidos aponta que o Cabri é
bastante sugestivo aos aprendizes no sentido de que tende a facilitar as verificações
empíricas de propriedades geométricas nas figuras e, além disso, em grande medida,
se centram mais nas tarefas de construções e descrição que nas de justificativas. Outro
resultado importante diz respeito às dificuldades dos aprendizes com a noção de
construção robusta, indicando que a tela do Cabri é confundida, muitas vezes com o
ambiente do lápis e papel.
Palavras-chaves: Argumentação e Prova, Mohr-Mascheroni, Geometria Dinâmica,
Cabri-Géomètre
XVI
ABSTRACT
This study, inserted in the theme of the use of digital teachnologies within Mathematics
Education, discusses the teaching and learning of proof. It aims to investigate an
approach to proof in geometry with its basis in geometrical constructions using the
software Cabri-Géomètre. With this aim in mind, a teaching experiment involving
students from the 7
th
grade of school from the public school system of the state of São
Paulo was conducted. The experiment was carried out in two phases: the design phase
and the analysis phase. In the design phase, three sets of activities were created and
tested, two involved use of the dynamic geometry software, will the thirds was paper and
pencil based. The dynamic geometry activities were inspired by Mascheroni´s geometry
of the compass. During the analysis phase, Balacheff´s notions related to types of proof
produced by students (pragmatic and conceptual) were employed (BALACHEFF, 1987,
1988). Through the medium of the dynamic geometry activities, the study sought to
explore not only the impact of the dynamism but also how the availability of different
tools for the solution of the same problem influenced students´ strategies and thinking.
The activities drew from the possibilities associated with geometrical constructions, in
terms of aspects inductive and deductive proofs as well as movements between these
two poles. Results points to how the use of Cabri encouraged students to at least give
attention to empirical verifications of geometrical proprieties within the constructed
figures, but may also have contributed to the tendency to focus more on constructions
and descriptions than on justifications. Another notable result relates to students´
difficulties with the notion of robust construction, indicating that the screen of Cabri is
frequently confused with the paper and pencil environment.
Keywords: Argumentation and proof, Mohr-Mascheroni, Dynamic Geometry, Cabri-
géomètre
XVII
APRESENTAÇÃO
É muito comum nos planejamentos de Matemática do início de cada ano os
professores colocarem, na parte de objetivos gerais, algo como “desenvolver o
raciocínio lógico” e até mesmo, às vezes, “desenvolver o raciocínio dedutivo”. O que
não ocorre na prática, quase nunca. Ora, desenvolver o raciocínio lógico em
matemática sugere uma relação direta com as demonstrações, justificativas de
procedimentos, etc. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) recomendam o
trabalho com atividades que levem o aluno a conjecturar e provar suas próprias
conjecturas, ou melhor, atividades que fomentem nos aprendizes a capacidade de
argumentar e de explicar, o que poderia ser feito partindo de situações-problema que
privilegiem as verificações empíricas de propriedades e relações (MEC,1998). Isso, no
ensino de Geometria, seria particularmente muito interessante, pois esta matéria tem
sido fortemente negligenciada, principalmente na escola básica. Isso acontece no Brasil
e em outros países.
Uma outra sugestão que os PCN enfatizam é que o currículo de Matemática
deve necessariamente contemplar atividades e experiências que possibilitem aos
aprendizes a comunicação efetiva de argumentos matematicamente. O problema é que,
de 98 (advento dos PCN) para cá, pouco mudou na prática dos professores de
Matemática, notadamente com relação ao ensino de prova e de Geometria, talvez
devido à precária formação que obtiveram.
A importância do ensino da prova tem sido enfatizada por inúmeros educadores
matemáticos no mundo inteiro, por exemplo, Nasser & Tinoco (2001, 2003), Healy &
Hoyles (2000), Vaz (2003) e Balacheff (1987,1988). A maior parte das pesquisas se
foca nas dificuldades dos aprendizes em construir argumentos matematicamente
válidos. Dito de outra forma, são abordadas as dificuldades dos estudantes em produzir
provas matemáticas, seja no campo da álgebra ou da geometria e com o incremento,
XVIII
ou não, do uso do computador. É exatamente nesta perspectiva que trazemos ao leitor
a presente pesquisa.
Neste trabalho, apresentamos uma discussão acerca da demonstração em
geometria, a partir de uma pesquisa que conduzimos com três duplas de estudantes do
nível básico (7ª Série do Ensino Fundamental), numa escola estadual de Diadema, São
Paulo. Tratamos, essencialmente, de abordar o tema prova, partindo-se das
construções geométricas e Cabri. A opção pelo software Cabri-Géomètre se deve, não
somente à sua versatilidade ou ao seu dinamismo, mas também, por que o mesmo se
configura como uma via de acesso para a prova.
A história da matemática também é um aspecto relevante enfatizado nesta
dissertação. Buscou-se inspiração em fatos relacionados com a história da geometria,
como os três problemas clássicos da antiguidade (trissecção do ângulo, duplicação do
cubo e quadratura do círculo), mas com especial interesse nas construções
geométricas realizadas com o compasso apenas (construções de Mohr-Mascheroni ou
Geometria do Compasso). Este aspecto do desenvolvimento histórico da matemática
contempla bem aquilo que o foco central deste estudo: as demonstrações em
geometria.
Nos próximos parágrafos são destacados os principais pontos discutidos em
cada um dos cinco capítulos da presente pesquisa.
No Capítulo 1 discutimos um pouco de história da matemática focada,
especificamente, no contexto da geometria, aproximadamente desde os gregos de 600
a.C. até o século XIX e início do século XX. Procuramos nos concentrar nos aspectos
históricos que dizem respeito ao desenvolvimento da matemática pela ótica das
demonstrações, particularmente em geometria. Neste capítulo são apresentados
também resultados teóricos importantes sobre construções geométricas.
XIX
De certa forma, o capítulo sobre história levanta questões importantes, que irão
nos levar a uma discussão sobre provas/demonstrações no contexto da Educação
Matemática e das novas tecnologias, especialmente os programas ditos de Geometria
Dinâmica – O Cabri-Géomètre. Este software tem se mostrado uma importante
ferramenta nas investigações em Educação Matemática, porque é freqüentemente
utilizado como recurso no processo de prova.
No Capítulo 2, além dos aspectos citados acima, faremos as devidas
considerações teóricas, procurando fundamentar a nossa pesquisa. De um lado, a parte
de nossa pesquisa que envolveu a criação das atividades, se fundamenta no trabalho
de Mariotti (2001), que enfoca as construções geométricas no Cabri como um campo de
experiência para a aprendizagem da prova. De outro lado, para a análise das
atividades, nos baseamos nos trabalhos de Balacheff (1987,1988), que versam sobre
processos de prova e situações de validação, ou seja, sobre a categorização de provas
(empírica e conceitual). Este capítulo também apresenta as questões de pesquisa a
serem investigadas.
Quanto às questões metodológicas, bem como todo o processo envolvendo o
design das atividades que compuseram a presente pesquisa, isto será tratado no
Capítulo 3. Este traz as informações referentes à elaboração, descrição, comentários e
resolução das atividades pretendidas para serem aplicadas/realizadas. A metodologia
empregada se baseia nos experimentos de ensino, de Kelly e Lesh (2000). Trata-se de
um tipo de metodologia baseada em design.
A análise de todas as atividades desta pesquisa será objeto de estudo do
Capítulo 4, no qual lançaremos mão da teoria de Balacheff, sobre classificação de
provas, ou seja, serão analisadas as produções matemáticas dos aprendizes:
construção, descrição e justificativas. Finalmente, no Capítulo 5, apresentaremos os
principais resultados obtidos nesta pesquisa, bem como responderemos as duas
questões investigadas.
CAPÍTULO 1
Um Panorama da Geometria
1.1 Introdução
Desde o momento em que o homem adquiriu um grau razoável de civilização,
eis que começou a interessar-se por problemas de medidas de comprimentos, de
áreas etc e, desta forma, se viu obrigado a comparar distâncias e a determinar as
dimensões dos corpos que o rodeavam. Conjectura-se que tenha sido isto a origem
da geometria. Por exemplo, egípcios, assírios e babilônios já conheciam as
principais figuras geométricas, bem como as noções de ângulo que usavam na
medição de áreas e na Astronomia. Primeiro, com uma geometria intuitiva, passando
em “seguida” a uma geometria científica e desta, para o que temos na atualidade,
que é, entre tantas outras, uma geometria demonstrativa.
Discutiremos neste capítulo um pouco de história da matemática. E dentro da
história da matemática, focaremos atenção um pouco na forma como a matemática
foi sendo construída ao longo dos séculos. Ou melhor, dissertaremos um pouco
sobre geometria, raciocínio dedutivo e demonstração em matemática.
1.2 As Etapas da Geometria
Como um dos focos deste trabalho está na história da matemática, se faz
necessário desenvolver algumas idéias sobre esta história e, em particular, sobre a
história da geometria.
1.2.1 Geometria Subconsciente
Uma das necessidades mais básicas do ser humano é a alimentação e para
consegui-la os homens criam, se adaptam a novas situações, se relacionam uns
com os outros, etc. Essa busca pela sobrevivência tem sido assim desde os tempos
mais remotos.
2
Desde o início dos tempos, devido às necessidades dos homens na sua
caminhada pela sobrevivência, técnicas foram sendo criadas e assim incorporadas
ao montante dos conhecimentos já existentes. Por outro lado, pela observação dos
fatos e coisas à sua volta, surgia a necessidade de organização e ocupação do
espaço físico habitado; concomitante a isto, uma das primeiras noções geométricas
que se desenvolveram no homem primitivo foi a de distância.
Todos os povos do mundo desenvolveram e desenvolvem conhecimentos
geométricos. Basta lembrarmos das pinturas rupestres nas cavernas, feitas pelos
primitivos caçadores da idade da pedra. Esses desenhos nos mostram que já nos
homens primitivos as noções de forma, tamanho e proporção estavam presentes (e
inter-relacionadas). Portanto, já manifestavam aquilo a que podemos chamar de
“geometria subconsciente”. Para Eves (1992):
As primeiras considerações que o homem fez a respeito da geometria são,
inquestionavelmente, muito antigas. Parecem ter se originado de simples
observações provenientes da capacidade humana de reconhecer
configurações físicas, comparar formas e tamanhos.(p.1)
Os conhecimentos matemáticos e/ou geométricos vão surgindo como uma
necessidade vital de adaptação do homem ao meio em que vive. Por exemplo, da
necessidade de demarcar a terra emergiu a noção de figuras geométricas simples
(retângulos, quadrados, triângulos); com as construções de casas e muros, teriam
surgido as noções de vertical, horizontal, paralela e perpendicular.
Pela observação das formas da natureza, como troncos de árvores, folhas,
pétalas de flores, o sol, a lua; certos fenômenos naturais, como o arco-íris e os
furacões, tudo isso e muito mais teriam conduzido o homem às primeiras noções de
curvas, superfícies e sólidos. As primeiras confecções de cestos, de recipientes de
barro ou de cerâmica teriam levado o homem a formar a noção de volume.
O conjunto das artes e das técnicas criadas nos tempos primitivos é o que
podemos chamar de “geometria subconsciente” ou primitiva. O que
fundamentalmente caracteriza essa etapa da geometria, entre outros fatores, é o
fato dela só levar em conta questões concretas, de forma que o saber geométrico
3
era traduzido num montante desconexo de noções geométricas sobre o espaço
físico. Mas esse conjunto é que veio a preparar o terreno para uma etapa posterior
do conhecimento geométrico.
1.2.2 Geometria Científica
Não se sabe ao certo quando e nem como se deu a passagem da geometria
subconsciente a uma forma de geometria superior. Conjectura-se que, mais tarde,
após a etapa subconsciente, estava o homem em condições (devido à sua
inteligência) de relacionar entre si observações geométricas que, apesar de
particulares, tinham em comum propriedades subjacentes. Isto quer dizer,
essencialmente, que o homem desse estágio começou a “abstrair” relações dos
objetos que observava e, por assim dizer, a tirar conclusões acerca dessas relações.
É nessa etapa da geometria, à qual dar-se o nome de geometria científica,
que surgem as primeiras elaborações intelectuais de fatos longamente observados,
ou seja, vão emergindo pouco a pouco leis geométricas. Por exemplo, a bem
conhecida constante resultante da razão entre o comprimento e o diâmetro de uma
circunferência pode ter sido percebida (descoberta) a partir de processos
envolvendo mensuração prática (processos empíricos).
Domingues (1997) complementa:
Com isso tinha-se um processo geral para achar o comprimento de qualquer
contorno circular, independentemente de o medir diretamente: bastava
multiplicar por essa constante o comprimento do diâmetro. Essa questão,
em particular, envolve duas outras,a saber, a da natureza dessa constante e
a de seu valor, questões essas cuja abordagem requer um grau de
sofisticação que somente seria alcançado muitos séculos depois.(p.4)
Caracteriza esse nível mais elevado do desenvolvimento da geometria o fato
de os métodos empregados lembrarem o método indutivo moderno, uma vez que
indução (observação de casos particulares), ensaio e erro eram os meios de
descobertas (EVES, 1992).
4
Temos nessa época a geometria como um conjunto de receitas práticas e
resultados de laboratório. Esses resultados – uns corretos, outros aproximados ou
mesmo errados –, diga-se de passagem, referem-se a áreas, volumes e relações
entre várias figuras sugeridas por objetos físicos.
Datam dessa fase as contribuições geométricas dos antigos egípcios e
babilônios, de acordo com relatos do historiador grego Heródoto, o qual escreveu
que a geometria teria surgido no Egito, a partir de questões envolvendo a medição
de terras
1
. Os conhecimentos matemáticos desenvolvidos, tanto pelos egípcios
quanto pelos babilônios, constituíam verdades geométricas determinadas por
“métodos indutivos”, ainda que bastante incipientes. Nessa fase, em geral, não havia
preocupação com qualquer justificativa ou demonstração dos resultados obtidos.
1.2.3 Geometria Demonstrativa
Eudemo de Rhodes, que viveu à mesma época de Euclides (séc. III a.C),
escreveu “uma história da geometria grega”, abrangendo desde o seu início até 335
a.C; mas esta se perdeu. O filósofo neoplatônico Proclus (410-485 d.C) teve acesso
a essa obra e no seu “Comentário sobre Euclides, Livro I” encontramos um breve
relato sobre a obra de Eudemo, na verdade um sumário – o chamado “Sumário
eudemiano”. Neste relato Proclus afirma que “a geometria grega parece ter
começado essencialmente com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do
século VI a.C” (EVES, 2001, p.7).
Essa geometria grega a que nos referimos deve ser entendida como a
precursora da geometria demonstrativa que conhecemos hoje em dia. Além disso,
coloca-se Tales como o inaugurador dessa etapa do desenvolvimento geométrico.
Ainda de acordo com Eves (1992):
Os gregos insistiram em que os fatos geométricos deviam ser
estabelecidos, não por procedimentos empíricos, mas por raciocínios
dedutivos; as verdades geométricas deviam ser obtidas no gabinete de
estudos, e não no laboratório. Em suma, os gregos transformaram a
geometria empírica, ou científica, dos egípcios e babilônios antigos no que
poderíamos chamar de geometria ‘sistemática’ ou ‘demonstrativa’. (p.7)
1
Etimologicamente, geometria quer dizer “medida da terra”. É claro, entretanto, que esta acepção
remonta às origens; a geometria é muito mais que medição de terras.
5
1.2.4 As Origens do Raciocínio Dedutivo
Há três considerações que devemos fazer acerca das origens da matemática
demonstrativa. Em primeiro lugar, e segundo a tradição, é creditado a Tales de
Mileto (624 – 548 aC, aprox.), um dos sete sábios da Antigüidade, ter sido o iniciador
da geometria demonstrativa. Para Boyer (1996), “Tales foi freqüentemente saudado
como o primeiro matemático verdadeiro – originador da organização dedutiva da
geometria”. Sendo fato ou lenda, a questão é que a tradição tem sido persistente, e
a Tales é atribuída nada menos que a demonstração dos cinco teoremas seguintes:
1) um ângulo inscrito num semicírculo é reto; 2) um círculo é bissectado por um
diâmetro; 3) os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; 4) os pares de
ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais; e 5) se dois
triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a
dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos são congruentes.
Uma segunda consideração sugere que a forma dedutiva tenha surgido mais
tarde, pelo início do século V a.C, com a descoberta dos segmentos
incomensuráveis
2
, o que é defendido por historiadores da matemática como Otto
Neugebauer. E por último, uma terceira sugestão é que esse aludido raciocínio
dedutivo tenha suas origens fora da matemática, a partir do florescimento, nas
cidades-estado gregas, da dialética e da lógica, ramos do saber que tem a ver com
convencimento e base racional. Mas, de qualquer forma, é quase unânime a opinião
de que a dedução tenha aparecido na Grécia.
Como já fizemos referência a Tales de Mileto, que viveu por volta de 600 a.C,
avancemos para cerca de 300 a.C, época em que surge a obra mais marcante das
matemáticas, pelas mãos de um grego chamado Euclides de Alexandria.
2
Não se sabe ao certo se foi
2 ou 3 ,ou ainda, o segmento áureo
5 1
2
.
6
1.3 Sobre Euclides e seus “Elementos”
Na obra do matemático grego Euclides de Alexandria, escrita por volta de 300
a.C e intitulada Os Elementos, encontramos uma compilação de praticamente toda a
matemática produzida até então. Mas, é particularmente interessante ressaltar que,
como se pensa às vezes, Os Elementos não formava um compêndio de todo o
conhecimento geométrico; era, sim, um texto que servia de introdução, cobrindo toda
a matemática elementar, ou seja:
9Aritmética – no sentido de “teoria dos números”;
9Geometria sintética – de pontos, retas, planos e esferas; e
9Álgebra – não no sentido moderno, mas mais em roupagem geométrica.
O conteúdo d’Os Elementos, como apresentado por Euclides, foi o primeiro
sistema de idéias desenvolvido pelo homem, a partir do qual umas poucas
afirmações simples são admitidas sem demonstração e então utilizadas para se
provar outras mais complexas. É o que chamamos de um sistema dedutivo. Este
caráter dedutivo, dado com ênfase à geometria, veio a inspirar sábios das mais
diversas áreas do conhecimento humano a organizarem suas idéias da mesma
forma como está nos Elementos. O “Principia”, de Newton, em que ele tenta
apresentar a física como um sistema dedutivo, e a “Ética”, de Espinosa, são só
alguns exemplos.
Prossigamos dando mais alguns detalhes sobre Os Elementos. O que segue
é um resumo do conteúdo dos treze livros (ou capítulos) desta obra:
9Livro I: Construções elementares, teoremas de congruências, áreas de
polígonos, teoremas de Pitágoras;
9Livro II: Álgebra geométrica;
9Livro III: Geometria do círculo;
9Livro IV. Construção de certos polígonos regulares;
9Livro V: A teoria das proporções de Eudoxo;
9Livro VI: Figuras semelhantes;
9Livro VII-IX: Teoria dos números;
7
9Livro X: Classificação de certos irracionais ou incomensuráveis(Teaetetus);
9Livro XI: Geometria no espaço, volumes simples;
9Livro XII: Áreas e volumes achados pelo “método da exaustão” (integração)
de Eudoxo; e
9Livro XIII: Construção dos cinco sólidos regulares (AABOE, 2002).
Como se observa pela descrição anterior, os seis primeiros livros versam
sobre geometria plana elementar. A título de exemplo, boa parte das proposições do
Livro I nos é apresentada em qualquer curso da escola secundária, como os
teoremas “familiares” sobre congruência de triângulos, propriedades das retas
paralelas, construções simples com régua e compasso, entre outros. E vale enfatizar
ainda que o Livro I termina com a demonstração do teorema de Pitágoras e sua
recíproca.
Euclides, de cuja vida pouco sabemos, viveu em Alexandria no final do século
III a.C, portanto, pouco antes de Arquimedes (287-212 aC) e de Apolônio (262-190
a.C). Esta monumental obra, composta por 13 livros (ou capítulos), não expõe
somente o bê-á-bá das matemáticas; vai muito mais além: “... o principal mérito d’Os
Elementos é apresentar a totalidade dos conhecimentos segundo uma organização
dedutiva e unificada, axiomática, como se diz hoje”(BARTHÉLEMY, 1999, p.42
.).
Além disso, o encadeamento lógico-dedutivo é tão consistente que sua obra
permaneceu imune às várias tentativas de mudanças feitas ao longo de vinte
séculos de evolução. Mas a partir do século XIX, com as muitas investidas de
matemáticos em tentar provar o quinto postulado (que sempre causou desconforto
aos matemáticos desde a Antiguidade), acabam por surgir as Geometrias Não-
Euclidianas : a Geometria Hiperbólica e a Geometria Elíptica
3
(ver adiante).
A obra de Euclides tornou-se um clássico, e não só em seu tempo: Depois da
Bíblia, é um dos maiores best-sellers de todos os tempos. Mais de 1000 edições
desta obra já foram publicadas desde que a imprensa foi inventada. Muito do que
estudamos hoje em dia é herança, direta ou indiretamente, d’Os Elementos.
3
Na Geometria Hiperbólica, o quinto postulado é substituído pelo que afirma que “por um ponto dado
P, fora de uma reta r, existe mais de uma paralela à reta dada”. Já na Geometria Elíptica, postula-se
que não existe nenhuma paralela. (COUTINHO, 1989, p.27)
8
O fato de termos mencionado Euclides e seus Elementos tem uma
explicação: a de que Euclides, como professor, fez diversas demonstrações em seu
trabalho, como por exemplo, uma demonstração do teorema de Pitágoras, bastante
engenhosa, ou então, a de que existem infinitos números primos. Ora, como a maior
parte de nossa pesquisa está relacionada com a temática das demonstrações em
geometria, o interesse pela obra de Euclides fica justificado. A seguir, daremos uma
idéia inicial do que será investigado em nossa pesquisa.
Iniciaremos nossa discussão sobre prova fazendo uma breve retrospectiva do
chamado quinto postulado, o postulado das paralelas, por entendermos que este foi
uma das alavancas para o desenvolvimento de idéias matemáticas fecundas, que
culminaram no aparecimento de novas geometrias, as chamadas geometrias não-
euclidianas.
1.4 O Postulado das Paralelas e as Geometrias Não-Euclidianas
Nos tópicos anteriores tratamos de questões relacionadas ao
desenvolvimento da geometria, a partir dos Elementos de Euclides, que foi o
primeiro e o mais influente sistema dedutivo na história da matemática. As sementes
plantadas pelo trabalho de Euclides têm influenciado centenas de cientistas e
matemáticos desde 2300 anos atrás: as sementes de um sistema axiomático-
dedutivo. Isso está de acordo com Greenberg (1997), que enfatiza o método
axiomático dos Elementos como protótipo do que hoje se chama “matemática pura”,
no sentido de “pensamento puro”, ou melhor, sem o uso de experimentos físicos
para a sua comprovação, mas apenas através da exatidão do raciocínio utilizado.
Segundo Vaz (2003), se se pretende afirmar que algo é correto usando o
método axiomático, duas condições devem ser satisfeitas:
1) Aceitação de certas afirmações chamadas “axiomas” ou “postulados”
sem qualquer justificação; e
2) Acordo sobre como e onde uma afirmação “deriva logicamente” de outra,
ou seja, um acordo sobre certas regras de raciocínio.” (VAZ, 2003, p.21)
9
Esta autora ainda nos conta que a pretensão de Euclides nos seus Elementos
era que toda a sua geometria derivasse de apenas cinco postulados, o que não
ocorreu, pois como se percebeu em estudos posteriores, “a primeira proposição do
livro primeiro mostra claramente que os axiomas de Euclides não são completos”
(A
ABOE, 2002, p.56). Pede esta proposição que se construa um triângulo eqüilátero
com a medida do lado. Uma construção elementar, inclusive que pode ser feita
apenas com o compasso. Porém, nada há nos axiomas que nos assegure a
existência de um ponto comum entre dois arcos de circunferência, o que mostra a
incompletude dos axiomas de Euclides.
Euclides baseou a sua geometria em 10 axiomas separados em dois grupos:
cinco foram classificados como “noções comuns” e os outros como “postulados”. A
distinção entre eles não é bem clara. As noções comuns parecem ter sido
consideradas como hipóteses aceitáveis a todas as ciências ou a todas as pessoas
inteligentes; já os postulados eram considerados como hipóteses características da
geometria (BARBOSA, 2001).
Não é possível precisar quais afirmações Euclides assumiu como seus
postulados e axiomas nem, muito menos, quantos ele empregou, devido às
mudanças e acréscimos em edições posteriores dos Elementos. A maioria dos
matemáticos gregos fazia distinção entre postulado e axioma. Na matemática
moderna não é feita distinção alguma entre ambos.
1.4.1 Postulados e axiomas na Obra de Euclides
Os cinco axiomas (noções comuns) são:
A1) Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si.
A2) Adicionando-se iguais a iguais, as somas são iguais.
A3) Subtraindo-se iguais de iguais, as diferenças são iguais.
A4) Coisas que coincidem uma com a outra são iguais entre si.
A5) O todo é maior do que a parte.
Os cinco postulados são:
P1) É possível traçar uma reta de um ponto qualquer a outro ponto qualquer.
10
P2) É possível prolongar uma reta finita indefinidamente em linha reta.
P3) É possível descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
P4) Todos os ângulos retos são iguais entre si.
P5) Se uma reta, interceptando duas outras retas forma ângulos interiores do
mesmo lado menores do que dois ângulos retos, então as duas retas, caso
prolongadas indefinidamente, se encontram do mesmo lado em que os
ângulos são menores do que dois retos. Veja a Fig. 1.1 abaixo.
Figura 1.1 - Postulado das paralelas
A questão é que o quinto postulado (acima), desde Euclides, não parecia
auto-evidente
4
como os quatro primeiros, procurando-se substitui-lo por um outro
equivalente, e das muitas alternativas propostas, a mais comumente utilizada deve-
se ao físico e matemático escocês John Playfair. Este substituto para o postulado
das paralelas (como é chamado o quinto postulado), já fora formulado no século V
d.C por Proclus. Playfair, que em 1795 publicou seus Elementos de Geometria, deu
a seguinte faceta ao postulado das paralelas: “Por um ponto fora de uma reta pode-
se traçar uma única paralela à reta dada” (E
VES, 1992).
Figura 1.2 - Substituto do Quinto Postulado
4
Isto quer dizer muitos matemáticos, até o século XIX, tentaram deduzir este postulado como
conseqüência dos quatro primeiros.
11
Muitas descobertas e o surgimento de novas teorias nas matemáticas são
particularmente interessantes. Foi o que aconteceu quando matemáticos
(especialmente os geômetras) de várias gerações tentaram deduzir como um
teorema o postulado das paralelas a partir dos quatro primeiros. Muitos foram os
esforços e as investigações para “solucionar” este problema, mas muito mais
importantes foram os frutos de tais investigações, pois apesar de ter sido provado
que o quinto postulado é independente dos demais, essas pesquisas foram o motor
propulsor, culminando em alguns dos desenvolvimentos de maior alcance da
matemática contemporânea.
Entre os matemáticos mais particularmente importantes que se empenharam
em “provar” o 5° postulado, estão G. Saccheri em 1733, J. H. Lambert e Adrien M.
Legendre:
Cada um desses homens tentou instituir uma reductio ad absurdum,
produzindo uma contradição sob a hipótese de alguma negação de algum
equivalente do postulado das paralelas. Embora seus esforços tenham
falhado, todos trouxeram à luz várias conseqüências reconhecidas hoje
como teoremas importantes de uma geometria não-euclidiana. (EVES,
1992, p.21)
Os próximos matemáticos a se debruçarem sobre o assunto foram,
destacadamente, K. F. Gauss (1777-1855), N. I. Lobachevsky (1793-1856) e J.
Bolyai (1802-1860), que de fato foram os primeiros a suspeitar e até anunciar a
impossibilidade de obter uma contradição sob umas das negações do postulado das
paralelas. O que fizeram foi focar atenção na forma de Playfair do postulado das
paralelas, analisando três possibilidades: dada uma reta e um ponto fora dela, pode-
se traçar mais que uma reta, exatamente uma ou nenhuma paralela à reta dada. O
terceiro caso é descartado, bastando assumir tacitamente – como o fazia Euclides –
a infinitude da reta; a nenhuma contradição se chegou sobre o primeiro caso, apesar
de inúmeras investigações; finalmente, cedo ou tarde, cada um deles começou a
desconfiar de que contradição alguma poderia haver e também de que a geometria
resultante, mesmo que muito distinta da euclidiana, era tão consistente quanto esta.
É então que começam a surgir as geometrias não-euclidianas: uma bela criação de
matemáticos, como resultado de incansáveis investigações sobre aquelas coisas
duvidosas e inalcançáveis.
12
Somente na segunda metade do séc XIX, de forma definitiva e inquestionável,
foram dadas provas da consistência da geometria não-euclidiana e,
conseqüentemente, a independência do postulado das paralelas em relação aos
outros postulados da geometria euclidiana foi comprovada. Esses feitos
monumentais para a matemática devemos principalmente a Beltrami, Klein e
Poincaré. E o método consistia, ainda de acordo com Eves, em construir um modelo
em que a geometria não-euclidiana tivesse uma interpretação como parte do espaço
euclidiano e então, se houvesse uma inconsistência na geometria não-euclidiana, o
mesmo ocorreria, correspondentemente, na geometria euclidiana. No próximo tópico
exporemos algumas idéias sobre a demonstração na matemática, fazendo antes um
breve relato de seus primórdios, desde aproximadamente 600 anos antes de Cristo.
Nosso trabalho tem por preocupação abordar as demonstrações em
matemática, particularmente na geometria, onde atacaremos a problemática das
construções geométricas e sua fundamentação nas propriedades da geometria
euclidiana, ou seja, trataremos o tema prova em torno das justificativas das
construções geométricas. Por isso, a nosso ver, é importante que façamos um
retrospecto de alguns problemas históricos, com destaque para os três problemas
clássicos da antiguidade: o da quadratura do círculo, o da duplicação do cubo e, em
especial, o da trissecção de um ângulo arbitrário, porque, como entendemos, tais
problemas estão relacionados com as construções geométricas com régua e
compasso. E uma outra justificativa é a seguinte: que as investidas de inúmeros
matemáticos por tentar solucionar estes problemas (apenas com régua e
compasso!) resultaram em muitas descobertas frutíferas, e isso aconteceu porque
persistentemente procuraram fazer apenas uma coisa: demonstrações.
1.5 Os Três Famosos Problemas da Antiguidade
Provavelmente nenhum outro problema exerceu um fascínio maior ou mais
duradouro do que aquele de construir um quadrado cuja área seja a mesma de um
círculo dado. Este problema é o da quadratura do círculo. Segundo Eves(2004,
p.140), “já em 1800 a.C, os egípcios haviam ‘resolvido’ o problema, tomando o lado
do quadrado igual a 8/9 do diâmetro do círculo dado”. Como se vê, uma aplicação
13
prática
5
da ciência egípcia. Anaxágoras (c. 499 – c.427 a.C) – primariamente um
filósofo da natureza mais que um matemático –, ocupou-se com uma tentativa de
quadrar o círculo, mas não se sabe exatamente em que ele contribuiu. Fora o fato de
que este problema iria fascinar inúmeros matemáticos por mais de 2000 anos, “não
há outros detalhes quanto à natureza do problema ou as regras que o condicionam,
sendo que mais tarde ficou entendido que o quadrado procurado, de área
exatamente igual à do círculo, deveria ser construído só com régua e compasso”
(BOYER, 1996, p.44). Aqui temos um tipo de matemática bem diferente da dos
egípcios e babilônios: Não se trata de uma aplicação prática do mundo dos números
a uma experiência comum, mas de uma questão teórica que envolve uma diferença
clara entre bom grau de aproximação e exatidão de pensamento.
O problema da duplicação do cubo – aquele de construir com régua e
compasso apenas, a aresta de um cubo cujo volume seja o dobro de um cubo dado
– é um dos mais intrigantes de toda a história da matemática, e sua origem está
relacionada com lendas mitológicas. Conta-se que por volta de 427 aC (ano da
peste, que matou em torno de um quarto da população de Atenas) formou-se uma
delegação e que esta foi enviada ao oráculo de Apolo, em Delos
6
, para saber
como a tal peste poderia ser combatida, ao que o oráculo lhes respondeu que
deveriam dobrar o altar cúbico de Apolo. Obedientemente, dobraram as dimensões
do altar, com o que conseguiram multiplicar por oito o seu volume, e não duplicá-lo,
como pedira o oráculo. A solução
7
é encontrada com o uso de cônicas: a partir de
um cubo de aresta x, que tem por volume x
3
, se quisermos um novo cubo, de aresta
y, que tenha duas vezes o volume do primeiro, basta que façamos y
3
= 2.x
3
, donde a
aresta procurada será y = x.
3
2
. Outra forma de duplicar o cubo usa a teoria das
proporções de Eudoxo: Parte-se de dois segmentos de reta medindo s e 2s e forma-
se a proporção dupla
2
s x y
x
y s
, que leva às duas relações
5
Para a área do círculo, os egípcios aplicavam a fórmula
2
9
d
d
§ ·
¨
© ¹
¸
, o que conduzia a um valor de
S
de 256/81 = 3,1605 (STRUIK, 1986,p.55). Ou, o que dá no mesmo,
2
2
8 256
2
9 81
r r
§ ·
¨ ¸
© ¹
.
6
Daí o problema da duplicação do cubo ser comumente chamado “deliano” ou “délico” .(observação
nossa)
7
A solução não está no uso de nossa notação moderna (como se pensa às vezes), mas sim no uso
de cônicas (que não era permitido).
14
2
s x x y
e
x
y y
s
, ou seja,
2 2
2
x
sy e y sx , donde tirando y na primeira e
levando-o à segunda equação, encontramos
2
2
2
x
sx
s
§ ·
¨ ¸
© ¹
,
4 3
2
x
s x ,
3
2
3
x
s e, portanto,
3
2
x
s
.
Um terceiro problema começara a circular a esta mesma época em Atenas.
Era o problema da trissecção do ângulo. Seu enunciado é o seguinte: dado um
ângulo arbitrário, pede-se construir com régua (não graduada) e compasso, um outro
ângulo igual a um terço do ângulo dado. Sabe-se que Arquimedes tri-seccionava um
ângulo arbitrário usando a seguinte construção (ver Figura 1.3): dado o ângulo COD
= x, traça-se um semicírculo de centro O e raio r que corte em C o lado OC.
Marcam-se sobre a régua os pontos A e B, distando r. Agora, desliza-se a régua,
mantendo A sobre o prolongamento de OD e B sobre o semicírculo, de maneira que
a régua passe por C, obtendo então o ângulo CÂD = y. Exatamente nesta posição
tem-se
3
x
y . Para se chegar a este resultado, primeiro observamos que o triângulo
ABO é isósceles, com AB = BO e portanto, m(<BOE) = m(<EAB) = y (propriedade do
triângulo isósceles). Agora, observemos que m(<CBO) = y + y = 2y (propriedade do
ângulo externo); de forma que o triângulo OBC é isósceles, pois OB = OC = r, o que
acarreta m(<OBC) = m(<OCB) = 2y. Finalmente, como x é ângulo externo do
triângulo OAC, vem que x = y + 2y, x = 3y e, por conseguinte,
3
x
y . Observe-se
que nesta “construção” é necessário o uso de medidas.
Figura 1.3 – Trissecção de um ângulo arbitrário
Quando a régua não possui escalas, o problema da trissecção é de maneira
geral impossível, conforme será mostrado mais adiante.
15
A importância dos três problemas famosos da antiguidade, os chamados
problemas clássicos, está no fato de que muito do esforço dispendido para se
resolver esses problemas resultou em muitas descobertas frutíferas, o que veio a
influenciar fortemente a geometria grega. Podemos citar as secções cônicas,
diversas curvas cúbicas e quárticas e várias curvas transcendentes, conforme
relatado em Eves (2004, p.134). Boa parte da matemática grega e muito do que
apareceu posteriormente em pesquisas matemáticas e até na física, se deveu aos
esforços para atingir objetivos inalcançáveis.
No século XIX, portanto mais de 22 séculos depois de os três problemas
terem sido concebidos, seria provada a impossibilidade de que os mesmos
pudessem ser solucionados apenas com régua (não-graduada) e compasso. Mas a
possibilidade de os resolver por métodos aproximados, como exemplificamos acima,
grande estímulo deu à matemática, notadamente no tocante à criação de novas
teorias. É por isso que os esforços ininterruptos para dar cabo dos três problemas da
Antiguidade ilustram o valor heurístico de problemas matemáticos atraentes não
resolvidos.
1.6 Os Instrumentos Euclidianos
É muito importante que sejamos claros quanto ao que é permitido fazer com a
régua e o compasso. Com a régua permite-se traçar uma reta de comprimento
indefinido, passando por dois pontos distintos dados. Com o compasso, é permitido
traçar uma circunferência com centro num ponto dado, passando por um segundo
ponto qualquer dado. O traçado de construções com régua e compasso, encarado
como um jogo em que se obedecem às duas regras referidas, provou ser um dos
jogos mais fascinantes e absorventes jamais inventados (EVES, 2004, p.134). É de
surpreender a gama de construções realmente difíceis que se podem realizar dessa
maneira (com esses instrumentos). Portanto, é difícil crer que os três problemas
clássicos da antiguidade não possam ser resolvidos por esses meios modernos.
Uma vez que os postulados dos Elementos de Euclides limitam o uso da
régua e do compasso de acordo com regras dadas acima, esses instrumentos,
assim utilizados, ficaram conhecidos como instrumentos euclidianos. A limitação diz
16
respeito ao seguinte. A régua não tem escalas
8
(não é graduada) e o compasso de
Euclides, também chamado de compasso dobradiço
9
, difere do compasso moderno,
na medida em que com este é permitido traçar um círculo com centro num ponto
qualquer e tendo como raio um segmento AB qualquer, ou seja, com o compasso
moderno permite-se efetuar o transporte de segmentos.
Poderia se pensar, no entanto, que o compasso moderno é muito mais
poderoso que o compasso euclidiano. Mas isso não é o que ocorre. De fato, como
será mostrado, toda construção efetuada com o compasso moderno pode também
ser efetuada com o compasso euclidiano (eventualmente com um número maior de
operações). Dito de outra forma: esses dois instrumentos são equivalentes.
Para provar a equivalência entre compasso moderno e compasso euclidiano
usa-se a idéia de transporte de segmentos. A este respeito alguns comentários de
Sousa (2005) nos parecem oportunos:
Ao falarmos em construções com régua não graduada e compasso
estamos a referir-nos aos três primeiros postulados dos Elementos de
Euclides. Estes postulados são a base destas construções, muitas vezes
designadas por construções euclidianas. Nos Elementos de Euclides não se
menciona o compasso ou quaisquer outros instrumentos, Euclides
simplesmente assume que linhas rectas podem ser construídas dados dois
pontos, e que uma circunferência pode ser construída dado o seu centro e
passando por um outro ponto. A régua não tem propriedades métricas e o
compasso é de pontas "caídas" (contrariamente ao nosso "compasso
moderno" que é de pontas fixas) e assim a possibilidade de transposição de
comprimentos é, obrigatoriamente, assegurada por Elementos I, 2. (SOUSA,
2005)
A construção
10
– que faz uso de retas e circunferências -- e a prova serão
dadas na seqüência.
Dados um ponto A e um segmento BC, construir um ponto F tal que AF = BC.
8
Lembremos que, com uma régua com escalas, é possível trissectar um ângulo.
9
Com este compasso não é possível transportar segmentos, pois seus braços se fecham logo que
uma de suas pontas é tirada do papel.
10
Em Alves (1991), usa-se o compasso apenas para transportar segmentos. A prova, neste caso,
apresenta pequenas variações.
17
Figura 1.4 Transporte de segmentos (Equivalência de compassos)
Passos da construção:
Dados um ponto A e um segmento BC,
9Unem-se os pontos A e B (Postulado 1);
9Construímos o triângulo eqüilátero ABD (Proposição 1
11
), onde D é
intersecção das circunferências (A, AB) e (B, BA), de acordo com a figura
acima;
9Construímos a circunferência de centro B e raio BC (Postulado 3);
9Prolongamos o segmento DB (Postulado 2) até encontrar a circunferência (B,
BC) no ponto E;
9Construímos a circunferência de centro D e raio DE (pelo Postulado 3);
9Prolongamos DA (Postulado 2), que encontra a circunferência (D, DE) em F.
Então, F é o ponto pretendido.
Prova: Temos que DF = DE (pela definição 15
12
) e que DA = DB (por
construção). Daí resulta que AF = BE (pelo Axioma 3). Mas como, pela Definição
15, BC = BE, segue o resultado AF = BC (Axioma 1).
11
Esta proposição é a que pede para construir um triângulo eqüilátero, dada a medida do lado
(segmento de reta).
12
Esta diz respeito à definição de círculo. Um círculo é uma figura plana fechada por uma só linha (a
qual se chama periferia ou circunferência), de forma que todos os segmentos conduzidos a ela de um
ponto existente dentro da figura são iguais entre si. Este ponto se chama centro do círculo.
18
Os postulados e os axiomas citados na descrição e prova anterior são aqueles
que constam na sessão 1.4.1 (p.9-10).
1.6.1 Construções Euclidianas
O uso da régua não-graduada e do compasso é permitido nas construções
geométricas, sendo que as únicas operações possíveis de serem efetuadas com
estes dois instrumentos são:
9Assinalar um ponto, ou arbitrário, ou completamente arbitrário, mas sobre
uma figura já desenhada;
9Traçar uma reta, ou arbitrária, ou completamente arbitrária, mas passando por
um ponto conhecido;
9Traçar a reta que passa por dois pontos conhecidos;
9Traçar uma circunferência de centro e raio, ou ambos arbitrários, ou um deles
conhecido e o outro arbitrário; e
9Traçar uma circunferência de centro conhecido, conhecendo também ou o
seu raio ou um de seus pontos.
Uma construção que possa ser executada com um número finito das
operações acima chamar-se-á construção euclidiana. Conseqüentemente, nas
construções euclidianas os pontos são obtidos de três maneiras, como intersecções
de:
9Duas retas;
9Duas circunferências; e
9Uma reta com uma circunferência.
1.6.2 Construções Geométricas
Problemas envolvendo construções geométricas sempre ocuparam lugar de
destaque na geometria, além de terem importância teórica fundamental. Passemos a
algumas considerações sobre as construções geométricas em seus aspectos gerais.
Por uma construção geométrica devemos entender um problema do seguinte tipo: a
partir de elementos dados ou prontamente construídos (pontos, retas, círculos,
ângulos) outros elementos podem ser derivados, de acordo com as regras
seguintes, com base em Breidenbach & Süss (1983; p.198-237):
19
9Apenas certos instrumentos bem-definidos podem ser usados em cada caso;
9Cada um dos instrumentos pode ser usado apenas de uma forma pré-
determinada; e
9A construção deve acabar em um número finito de passos.
Qualquer construção geométrica com régua e compasso obedece a uma
seqüência de etapas bem característica e pode envolver ao menos uma das etapas
seguintes: (a) unir dois pontos por uma reta; (b) achar o ponto de intersecção de
duas retas; (c) desenhar um círculo com um raio dado em torno de um ponto; (d)
encontrar os pontos de intersecção entre dois círculos ou entre um círculo e uma
reta. Uma construção geométrica consiste, portanto, em encontrar elementos que
podem ser pontos, retas ou círculos.
Os esforços de gerações e gerações de matemáticos por resolver os três
problemas clássicos da antiguidade resultaram no desenvolvimento de novas idéias,
novas teorias e novos procedimentos, a exemplo do que ocorre quando se quer
provar a impossibilidade da trissecção de um ângulo arbitrário apenas com régua
(sem escalas) e compasso. A questão central aqui é que os matemáticos tiveram
que mudar de foco, passando então a considerar a seguinte questão, apontada em
Courant & Robbins (2000): “Como é possível provar que certos problemas não
podem ser resolvidos?”. Tiveram que concentrar esforços num “casamento” da
geometria com a álgebra, na medida em que foi necessário traduzir problemas
geométricos para a linguagem da álgebra. Vamos agora dar uma idéia resumida de
como este procedimento funciona: um elemento x é procurado a partir de outros
elementos a, b, c,... e então o que se tem de fazer é primeiro encontrar uma
equação que relacione x com as quantidades a,b,c,... dadas; em seguida,
encontramos x resolvendo esta equação para, finalmente determinarmos se esta
solução pode ser obtida por processos algébricos que correspondam a processos
geométricos.
Para ilustrar o que foi dito acima, consideremos o problema de achar a média
geométrica entre a e b. Neste caso, a quantidade x procurada é obtida a partir dos
segmentos dados a e b, e devido à semelhança dos triângulos ABE e EBC
20
formamos a equação
a x
x
b
, da qual tiramos .
x
a b . De fato, a solução algébrica
obtida corresponde à construção geométrica indicada na figura abaixo.
'ABEa'EBC
a x
x
b
2
.
x
a b .
x
a b
Figura 1.5 – Construção da média geométrica entre a e b
Nesta situação, o que se vê é um problema algébrico com solução no campo
real ser solucionado de forma correspondente no campo geométrico por meio de
uma construção com régua e compasso.
Vamos, mais uma vez, nos reportar ao problema da trissecção do ângulo. A
prova de que a trissecção do ângulo é de maneira geral impossível usa a idéia
simples de considerar um ângulo
T
dado por seu co-seno, digamos cos
T
= g, e
desta forma o problema consiste em encontrar o co-seno de
3
T
, que como sabemos
está relacionado com o de
T
pela identidade trigonométrica
cos
T
= g = 4.cos
3
(
3
T
) – 3.cos(
3
T
),
ou seja, o problema de trissectar o ângulo equivale a construir uma solução da
equação cúbica
4z
3
– 3z – g = 0 (*).
21
O que se tem de demonstrar é que a tri-secção do ângulo não pode ser
efetuada por um procedimento válido para todos os ângulos. Para levar a prova a
efeito, basta tomar um ângulo que não possa ser trissectado, pois um método geral
válido teria que cobrir cada exemplo individual, o que não é possível. De fato, a falta
de um método geral será provada se pudermos demonstrar, por exemplo, que o
ângulo de 60° não pode ser trissectado apenas com régua e compasso. Agora, do
fato de que g = cos 60° =
1
2
(
13
), a equação (*) pode ser escrita:
8z
3
– 6z - 1= 0,
que é uma equação cúbica de coeficientes racionais que não possui qualquer raiz
racional
14
. Um teorema importante nos assegura que a raiz desta equação não pode
ser construída com régua e compasso: Se uma equação cúbica de coeficientes
racionais não tem raiz racional, nenhuma de suas raízes é construtível a partir do
corpo dos racionais. Pode-se colocar esse resultado de forma mais geral,
escrevendo-se o seguinte: Se um dado número real é construtível, então ele é raiz
de um polinômio a uma variável com coeficientes racionais cujo grau é uma potência
de 2 (dois).
O fato de a equação 8z
3
– 6z - 1= 0 ser de grau 3 corresponde à
impossibilidade da tri-secção do ângulo. O leitor pode encontrar os detalhes da
prova deste fato em Courant & Robbins (2000; p.164-167), que usa a teoria das
equações algébricas, em particular a das equações cúbicas. Resumindo, a questão
da construtibilidade de um número deve ser enunciada assim: “um número será
construtível somente se for algébrico, de grau igual a uma potencia de dois”.
13
Se a trissecção não pode ser feita para um certo ângulo, por exemplo, de 60°, então é impossível
de maneira geral, exceto, é claro, para os casos de 90° e 180°, que são facilmente trissectados
apenas com o compasso.
14
Se uma equação polinomial
1 2
1 2 1
... 0 ( 0)
n n n
n n n o n
a x a x a x a x a a
z de
coeficientes inteiros, admite uma raiz racional p/q (onde p e q são inteiros primos entre si e 0q
z
),
então p é divisor de e q é divisor de . No caso da equação 8z
0
a
n
a
3
– 6z - 1= 0, teríamos p{1, -1} e
q{1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8}. Assim, se esta equação tiver alguma raiz, ela estará no conjunto
{
1 1 1 1 1
1, 1, , , , , ,
2 2 4 4 8 8
1
}. Fazendo a verificação para os 8 elementos deste conjunto, constatamos
que nenhum deles é raiz da equação dada.
22
Nossa intenção ao mencionar esses fatos referentes aos problemas clássicos
da antiguidade foi basicamente a seguinte: o fato de estarem ligados a problemas de
álgebra e teoria dos números, além de, teoricamente, o assunto nos remeter ao
campo das construções geométricas com régua e compasso.
Enfim, convém ressaltar que as construções geométricas têm uma
importância teórica (e prática) fundamental no ensino e aprendizagem de geometria,
além de representarem uma poderosa ferramenta nas investigações matemáticas.
1.6.3 Construções geométricas com restrições: Régua ou compasso apenas?
Que construções são possíveis apenas com a régua? E que construções são
exeqüíveis apenas com o compasso? Muitos estudiosos se debruçaram sobre estas
questões e é com base no trabalho dessas pessoas que daremos as devidas
respostas.
É sabido que o uso conjunto da régua e do compasso amplia
consideravelmente a gama de construções que se pode realizar. Mas a restrição a
um desses instrumentos constitui um ponto de interesse central nos problemas de
construções geométricas, como é o caso do que se pode construir apenas com a
régua. Neste caso, a ausência do compasso é uma restrição real e muito
significativa, sendo que o estudo sistemático do que é possível fazer usando
somente a régua nos leva à Geometria Projetiva (LEITE; 1983). Uma boa referência
para este assunto se encontra na obra intitulada Geometria do compasso ou de
geometria de Mascheroni, de Lisboa (1915).
As construções geométricas com meios limitados dizem respeito às restrições
adicionais na escolha dos instrumentos a serem usados e/ou à maneira de acordo
com a qual devem ser usados. Certamente, umas dessas restrições que mais
interessará ao nosso presente trabalho, é a de que a régua pode ser dispensada
nas construções geométricas. Ainda de acordo com Leite (1983; p.3), a restrição ao
uso da régua teve origem por razões de ordem prática, com a dificuldade de se obter
réguas de boa qualidade e em vista disso, desenhistas e construtores dos primórdios
23
do renascimento passaram a usar, sempre que possível, o compasso em detrimento
da régua.
A limitação tradicional nos instrumentos usados para as construções
geométricas somente pelo compasso e pela régua remonta à antiguidade. De fato, a
geometria de Euclides (euclidiana) se fundamentou sobre as construções
geométricas cumpridas mediante o compasso e a régua (KOSTOVSKI, 1980, p.8).
Além disso, o compasso e a régua eram considerados equivalentes, ou seja, foi
completamente indiferente como se realizavam algumas construções separadas – se
com a ajuda do compasso e da régua, por meio de um compasso ou de uma régua
somente.
Quanto ao uso apenas do compasso nas construções geométricas, pode-se
afirmar que esta ferramenta tem sua importância justificada por ser mais precisa que
a régua, sendo possível construir, sem recorrer à régua, certas figuras como o
hexágono regular (e também o triângulo eqüilátero) e achar o simétrico de um ponto
(simetria central e axial). E por ser mais precisa, tinha aplicação imediata na
construção de certos instrumentos astronômicos e gravações em placas metálicas
finas, que, segundo Kostovski (1980), teria sido [um outro] o motivo que veio a
estimular as investigações das construções geométricas somente com o compasso.
Continuemos. Poderíamos indagar: qual o interesse próprio das construções
apenas com o compasso? Uma resposta é devida ao professor José Paulo Q.
Carneiro:
Em primeiro lugar, devemos ressaltar que dentro da linha de ‘pureza’
procurada pelos gregos, o compasso é, sob um certo aspecto, mais nobre
que a régua, uma vez que nesta, somos obrigados a utilizar o seu ‘fio’, que
já foge dos dois pontos iniciais que determinam a reta, isto é, os outros
pontos da reta são determinados pela régua, ‘plagiando um instrumento
físico previamente construído, enquanto que o compasso é de fato um
instrumento baseado em apenas dois pontos, correspondentes a um centro
e um ponto de passagem, ou seja, o compasso acompanha mais de perto a
teoria. Por outro lado, deve ser observado que, justamente no final do
século XIX, com o uso cada vez maior dos motores de explosão, passou a
interessar particularmente aos cientistas o problema de como transformar,
mecanicamente, um movimento circular em um movimento retilíneo, o que
equivale, geometricamente, a construir retas só com o compasso. Neste
sentido, é particularmente interessante uma obra de 1877, intitulada ‘Como
desenhar uma linha reta: uma lição sobre engrenagens’, do inglês A. B.
Kempke. (CARNEIRO, 2000, p.107)
24
1.6.4 As Construções de Mohr-Mascheroni
As construções que fazem uso apenas de um compasso foram descobertas
por G. Mohr (1640-1697), um matemático dinamarquês que em 1672 publicou um
livro intitulado Euclides danicus
15
, no qual mostrou que toda construção ponto a
ponto que possa se realizar com régua e compasso pode ser realizada apenas
com o compasso (BOYER,1996). Mas, ainda segundo este autor, assim como
Lahire (1640-1718), Mohr não foi um matemático reconhecido em sua época. Tanto
é assim que só em 1928 um exemplar de seu livro foi encontrado numa livraria de
Copenhagem (Dinamarca) pelo também dinamarquês Guelmslev e o que sabemos
hoje ser a geometria do compasso é devida, não a Mohr, mas ao geômetra e poeta
italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800), um professor da Universidade de Pavia,
que em 1797 publicou sua Geometria del compasso. Neste livro, segundo Eves
(2004), Mascheroni fez a fantástica descoberta de que todas as construções
euclidianas, na medida em que os elementos dados e procurados são pontos,
podem ser feitas apenas com o compasso, demonstrando assim a superfluidade da
régua. Mas entenda-se que não é possível traçar (construir) uma reta com o
compasso; deve-se ter em mente uma reta como sendo determinada por dois de
seus pontos. Hoje em dia a geometria do compasso recebe o nome de geometria de
Mohr-Mascheroni e mais adiante daremos uma demonstração dos resultados
(teorema) de Mohr-Mascheroni.
Com relação às construções utilizando-se apenas a régua, sabe-se que em
1822, Poncelet, inspirado pelo trabalho de Mascheroni, sugeriu que todas as
construções euclidianas planas podem ser efetuadas com uma régua desde que
seja dada uma única circunferência e seu centro.
Este teorema foi provado em 1833 por Steiner e é conhecido hoje por
Teorema de Poncelet-Steiner. Em outras palavras, o teorema diz que não se pode
na geometria euclidiana, dispensar totalmente o compasso, mas tendo usado este
para traçar uma circunferência e o seu centro, pode-se daí por diante dispensá-lo e
utilizar somente a régua. Em 1904, o italiano F. Severi foi muito mais além,
15
Euclides dinamarquês
25
mostrando que é suficiente dispor de um arco de circunferência (por menor que seja)
e seu centro, a fim de cumprir todas as construções euclidianas com a régua
apenas.
A seguir enunciaremos o teorema que nos garante que a régua é supérflua
nas construções euclidianas.
1.7
Teorema de Mohr - Mascheroni
O enunciado do Teorema de Mohr-Mascheroni é o seguinte:
Todo ponto do plano obtido através de uma construção euclidiana pode ser
obtido por uma construção utilizando apenas o compasso.
A demonstração do teorema acima será dada mostrando, primeiro, que é
possível, apenas com o compasso, encontrar o ponto de intersecção de duas retas
(não paralelas). Segundo, mostrando que o(s) ponto(s) de intersecção de uma reta
com uma circunferência (quando existirem) podem ser obtidos somente com o
compasso. O que será feito demonstrando-se os lemas abaixo enunciados:
1.7.1 Lema 1
Sejam A, B, C e D pontos distintos do plano tais que as retas AB e CD concorrem no
ponto X. Nestas condições, é possível obter-se o ponto X por uma construção
usando-se apenas o compasso.
1.7.2 Lema 2
Seja C uma circunferência de centro O e raio R e A e B dois pontos do plano de C
tais que a reta AB intercepta a circunferência C. É possível nestas condições
determinar os pontos M e N de intersecção de C com a reta AB, utilizando-se
apenas o compasso.
26
Passaremos, agora, à demonstração dos lemas.
1.7.3 Prova do Teorema
A prova dos lemas anteriormente enunciados será feita através da resolução
de 8 problemas e, assim, de maneira construtiva, ao final deles teremos
demonstrado o Teorema de Mohr-Mascheroni (FERREIRA
16
, 2000; MASCHERONI,
1980; KOSTOVSKI, 1980).
Problema 1: Dados três pontos A, B e C não alinhados, achar o simétrico de C
em relação à reta AB .
Antes de solucionarmos este problema, vamos definir “ponto médio” e
“simetria axial”.
Definição 1) Ponto Médio: Dados os pontos A e B, chama-se ponto médio do
segmento AB o ponto M, colinear com A e B, tal que AM = MB.
Figura extra 1 – ponto médio
Definição 2) Ponto Simétrico (Simetria Axial): Dadas uma reta r e ponto P,define-se
simetria axial de eixo r como uma aplicação que faz corresponder:
a cada ponto da reta r esse mesmo ponto P;
a cada ponto P não pertencente à reta r, um ponto P', tal que r seja
perpendicular ao segmento PP’ pelo seu ponto médio. A reta r chama-se eixo
de simetria.
16
A principal referência para a demonstração deste resultado se baseia no trabalho de Shirley
Ferreira (Trabalho de Conclusão de Curso, sob orientação do professor Sérgio Alves)
27
Figura extra 2 – simetria axial
Passos da Construção:
9construa a circunferência C
1
de centro no ponto A passando pelo ponto C;
9construa a circunferência C
2
de centro no ponto B passando pelo ponto C;
9tome C’ pertencente à intersecção de C
1
e C
2
e tal que CC’ ;
Figura 1.6 – Construção do simétrico de um ponto; simetria axial.
Justificativa:
Sabemos, por construção, que AC=AC’ e que BC=BC’. Como AB é lado
comum aos triângulos ABC e ABC’, podemos dizer que eles são congruentes (pelo
caso LLL). Agora, seja
'
M
AB CC . Os triângulos ACM e AC’M são congruentes
pelo caso LAL, pois
AC = AC’ (raio) (L)
CÂM { C’ÂM ( por causa da congruência dos triângulos ABC e ABC’) (A)
AM = AM (lado comum) (L).
Conseqüentemente, temos CM = C’M e (devido à
congruência LAL acima). Além disso, como , podemos concluir
ˆ
'CMA C MA {
ˆ
ˆ ˆ
' 180
o
CMA C MA
28
que (pois se dois ângulos são congruentes e a soma de suas
medidas é igual a dois ângulos retos, então cada um deles mede 90º). Como
provamos que os triângulos AMC e AMC’ são congruentes e com ângulos retos nos
vértices em M, concluímos que C’ é o simétrico de C em relação à reta AB.
ˆ ˆ
' 9
o
CMA C MA 0
Problema 2
17
: Dados os pontos A e B, achar o ponto C da reta AB tal que B
seja ponto médio do segmento AC . Generalize o exercício para obter um
ponto C de tal forma que AC=mAB, m
Passos da Construção:
9construa um triângulo eqüilátero ABD de base AB
9construa outro triângulo eqüilátero BDE com EA
9com base BE construa o triângulo eqüilátero BEC tal que CD
Figura 1.7 – Construção do simétrico de um ponto (simetria central).
Justificativa:
Sabemos que os triângulos ABD e BDE são eqüiláteros, assim, AB=BD,
BD=BE e m( ABD) = 60°= m(
DBE). Da mesma forma, o BEC é eqüilátero e,
assim, BE=BC=AB e m( EBC) = 60°. Ou seja, como a soma dos 3 ângulos no
vértice B é igual a dois ângulos retos (ângulo raso), os pontos A, B e C são
colineares e como AB = BC = raio (por construção), temos que B é ponto médio do
segmento AC, o que implica AC = 2.AB. Repetindo-se o processo para os pontos B
e C, ou seja, dobrando o segmento BC, teremos triplicado AB, o que se faz
'
17
Este problema é equivalente àquele de multiplicar de duplicar, triplicar, etc, um segmento de reta.
29
encontrando um ponto F na reta AB tal que AF=3AB. E assim por diante, de forma
análoga, conseguimos encontrar um ponto P na reta AB tal que AP=m.AB, para m
natural.
Problema 3: Dados três pontos A, B e C, verifique se estes são colineares.
Justifique a resposta.
Passos da construção:
9traçar a circunferência de centro em A e raio AC;
9trace outra circunferência de centro C e raio AC;
9encontre os pontos D e E de intersecção destas circunferências
9se BD=BE então os pontos A, B e C são colineares.
Figura 1.8 - Verificação de colinearidade de pontos.
Antes de passarmos à justificativa, precisamos definir mediatriz e demonstrar dois
resultados importantes relativos a este conceito.
Mediatriz: Chama-se mediatriz de um segmento de reta a reta perpendicular ao
segmento passando pelo seu ponto médio. A reta mediatriz tem a propriedade de
que todos os seus pontos (e somente eles) são eqüidistantes dos extremos do
segmento (A mediatriz é o que se chama de um Lugar Geométrico). Esta
propriedade é o
Teorema. Se P pertence à mediatriz do segmento de reta AB, então P é
eqüidistante de A e B.
30
Por hipótese, P pertence à mediatriz de
AB. Temos que provar que P é
eqüidistante de A e B, ou seja, que PA =
PB.
Figura extra 3 – mediatriz
Hipótese: A reta r é mediatriz de AB
Tese: PA = PB
Demonstração. Primeiramente é preciso lembrar que, por definição, a mediatriz é
perpendicular a AB e passa pelo seu ponto médio. A partir disso, vamos provar que
os triângulos PMA e PMB são congruentes. Vejamos:
MA = MB (pois por hipótese, M é ponto médio de AB) (L)
(por hipótese, ambos são retos) (A)
AMP BMP {
PM = PM (lado comum) (L).
Pelo critério LAL, os triângulos PMA e PMB são congruentes e dessa congruência
concluímos que PA = PB.
Recíproco. Dado o segmento AB e o ponto P tal que PA = PB, então o ponto P
pertence à mediatriz de AB (ou seja, ele existe na perpendicular ao meio do
segmento AB).
Demonstração. Primeiro, une-se o ponto A com M, o qual divide ao meio o
segmento AB (M é o ponto médio de AB). Temos então que os triângulos PMA e
PMB são congruentes pelo caso LLL, visto que
PA = PB (por hipótese) (L)
AM = BM (pois M é ponto médio) (L)
PM = PM (lado comum) (L)
31
Logo, os ângulos PMA e PMB são congruentes e como eles são suplementares,
concluímos que cada um deles é igual a um ângulo reto, ou seja,
.
( ) ( ) 9m PMA m PMB 0º
Portanto, as retas por AB e PM são perpendiculares, o que prova que o ponto
P pertence à perpendicular pelo ponto médio do segmento AB (P pertence à
mediatriz de AB).
Na verdade provamos que P pertence à mediatriz de AB se, e somente se,
PA = PB.
Justificativa:
Os triângulos AEC e ADC são congruentes, pelo caso LLL. Assim, D e E são
simétricos em relação à reta AC (conforme Problema 1).
Da construção acima, temos que CD = CE, ou seja, P pertence à mediatriz do
segmento DE; da mesma forma, AD = AE e então, A pertence à mediatriz de DE.
Para verificar se os pontos A, B e C são colineares basta comparar com o compasso
os segmentos BD e BE. Se BD=BE, tem-se que B pertence à mediatriz do segmento
DE e, portanto, os pontos A, B e C são colineares; caso contrário, B não pertence à
reta AC e, assim, os pontos A, B e C não serão colineares.
Problema 4: Dados dois pontos A e B, achar o ponto médio do segmento AB .
Passos da construção:
9construa o ponto C tal que B é ponto médio do segmento AC (problema 2)
9construa a circunferência C
1
de centro A passando pelo ponto B
9construa outra circunferência C
2
de centro C e de raio AC
9faça a intersecção de C
1
e C
2
encontrando os pontos X e Y
9construa a circunferência C
3
de centro X passando pelo ponto A
9construa a circunferência C
4
de centro Y passando pelo ponto A
32
9tome M pertencente à intersecção de C
3
e C
4,
com MA (M será o ponto
procurado)
Figura 1.9 - Construção do ponto médio.
Justificativa:
Pela construção do ponto C sabemos que B está entre os pontos A e C; como
C pertence à mediatriz do segmento XY (pois, por construção, CX = CY) e como
também B pertence à mediatriz de XY (pois, por construção, BX = BY), tem-se que C
é colinear com A e B. Agora, observando que as circunferências C
3
e C
4
têm o
mesmo raio (por construção), o ponto M é tal que MX = MY e, portanto, M pertence à
mediatriz de XY, donde se conclui que A, M e C são colineares, como o são também
A, M e B. Além disso, os triângulos AXM e ACX são semelhantes já que são
isósceles e possuem os ângulos da base congruentes ao ângulo XÂC. Logo,
2
( )AM AX AX
AM
AX AC AC
. Mas, por construção, sabe-se que AC = 2.AB e AX =
AB, donde se segue que
2
( )
2. 2
AB AB
AM
AB
.
Como provamos que os pontos A, M e B são colineares e que AB = 2.AM,
disso resulta que M é ponto médio de AB.
33
Problema 5: Dado um arco AB em uma circunferência de centro O e raio R,
achar a bissetriz deste arco.
Passos da Construção
9construa a circunferência C
1
de centro no ponto O e raio AB;
9construa a circunferência C
2
de centro no ponto A e raio R;
9construa a circunferência C
3
de centro no ponto B e raio R;
9seja C o ponto tal que CC
2
ŀ
C
1
e ABOC seja um quadrilátero;
9seja o D ponto tal que DC
3
ŀ
C
1
e ABDO seja um quadrilátero;
9construa a circunferência C
4
de centro no ponto C e raio CB;
9construa a circunferência C
5
de centro no ponto D e raio DA;
9ache um ponto E tal que EC
4
ŀ
C
5
;
9trace a circunferência C
6
de centro C e raio OE;
9trace a circunferência C
7
de centro D e raio OE;
9Encontre os pontos X e X
1
na intersecção de C
6
e C
7
.
Figura 1.10 - Bissecção de arco
34
Justificativa:
O quadrilátero ABDO é um paralelogramo, pois os pares de lados opostos
AB e OD, e AO e BD são congruentes, ou seja, AB=OD e AO=BD. Analogamente,
ABOC também é paralelogramo. Assim, os pontos C, O e D são colineares, pois
CO//AB e OD//AB. Devido ao fato dos triângulos CED e CXD serem isósceles, temos
m(
COE) = m(
COX) = 90° (pois CO=OD). Deste modo, a reta OX é
perpendicular à corda AB.
Vamos provar, primeiro, que OX é a bissetriz do arco AB e, em seguida, que
OX=R (ou seja, que ponto X pertence à circunferência dada, de centro O e raio R).
Vamos à prova?
1ª Parte: Vamos provar que OX bissecta o arco AB, o que se faz provando que CX
=DX.
'
OCX ' ODX Justificativa Critério
OC = OD Pois O é ponto médio Lado
CÔX { DÔX Ângulo reto, 90º Ângulo
OX = OX Lado comum Lado
Logo, pelo caso LAL, os dois triângulos OCX e ODX são congruentes.
Conseqüentemente (devido a essa congruência), podemos concluir que CX= DX e,
portanto, CX bissecta de fato o arco AB.
2ª Parte: Prova de que OX = R.
O quadrilátero ABOC é paralelogramo e daí temos:
OC = AB, AC = OB, m( ) =
ˆ
OCA
D
e m( )= 180
ˆ
COB
o
D
.
Aplicando a lei dos co-senos, respectivamente, aos triângulos AOC e BOC, teremos:
No triângulo AOC,
AO
2
= OC
2
+ OB
2
– 2.OC.OB. cos (
D
) (I)
35
No triângulo BOC,
BC
2
= OC
2
+ OB
2
– 2.OC.OB.cos(180
o
D
); mas como cos(180
o
D
) = - cos(
D
),
esta igualdade se transforma em
Da figura, pode-
se observar que:
AB = OC,
CX = OE e
CE = BC
BC
2
= OC
2
+ OB
2
- 2.OC.OB.( - cos(
D
)), ou melhor:
BC
2
= OC
2
+ OB
2
+ 2.OC.OB.cos(
D
) (II)
Adicionando, membro a membro, as igualdades (I) e (II), obtemos:
2 2 2
20 2AO BC B AB
2
22 2 2
2 2
R
BC R AB
2 2
2
2
B
C AB R
Além disso, o triângulo COE é retângulo e, portanto,
2 2 2 2 2 2 2
0 2CE BC C OE AB R AB OE
2
22 2
OE AB R
Finalmente, notando que o triângulo COX também é retângulo, obtemos
2 2 2 2
2 2 2 2
OX CX OC OE OC
AB R AB R R
Ou seja, OX = R.
Assim, o ponto X pertence à circunferência de centro O e raio R dada e
bissecta o arco AB.
Note que a solução do problema de bissectar um dado ângulo arbitrário AÔB,
é conseqüência imediata deste, pois basta traçarmos uma circunferência C com
centro em O e raio R arbitrário e bissectarmos o arco correspondente.
Observação: Este resultado pode ser usado para encontrar o ponto de intersecção
entre uma reta e uma circunferência, no caso em que a reta passa pelo centro da
circunferência.
36
Problema 6: Determinar, quando possível, os pontos de intersecção de uma
reta dada pelos pontos A e B com uma circunferência C de centro O e raio R.
CASO 1: O não pertence à reta AB
Passos da Construção:
9ache O’ simétrico de O em relação à reta AB (problema1)
9construa a circunferência C1 com centro em O’ e raio R
9encontre os pontos D e E na intersecção de C com C1 (estes são os pontos
procurados)
Figura 1.11 - Intersecção de reta com circunferência (1)
Justificativa:
O ponto O’ é simétrico de O em relação à reta AB, ou seja, a reta é a
mediatriz do segmento OO’. Pela construção, OD=O’D=R e OE=O’E=R. Assim,
D
AB e EAB . Como, pela construção, já sabíamos que D e E pertencem à
circunferência C,temos que, DAB ŀC e EAB ŀC.
CASO 2: O pertence à reta AB
Passos da Construção:
9trace uma circunferência C1 de centro no ponto A e raio adequado
9ache os pontos E e D na intersecção de C
1
e C.
9encontre a bissetriz do arco ED na circunferência C (problema5)
9os pontos X e Y que definem a bissetriz acima são os pontos procurados
37
Figura 1.12 - Intersecção de reta com circunferência (2)
Justificativa:
Como, por construção, OE = OD e AE = AD, então a reta AO é mediatriz do
segmento ED. Como X e Y pertencem à bissetriz do arco então X e Y pertencem à
mediatriz de ED , isto é, X e Y pertencem à reta AB .
Problema 7: Dados os segmentos de comprimentos a, b e c, tais que a>c/2,
construir um segmento de comprimento x tal a/b =c/x.
Passos da Construção:
9sejam R e S os pontos extremos do segmento de comprimento c
9construa a circunferência C
1
de centro R e raio a
9construa a circunferência C
2
de centro S e raio a
9faça a intersecção de C
1
com C
2
obtendo os pontos X e Y
9construa a circunferência C3 de centro X e raio b
9ache os pontos D
1
, D
3
, D
2
, D
4
na intersecção de C
3
com C
1
e C
2
,
respectivamente
9tome dois destes pontos do mesmo lado da reta XY(na figura, os pontos D
1
e
D
4
ou D
2
e D
3
)
9o segmento que une esses dois pontos é a solução
38
Figura 1.13 – Construção da quarta proporcional
Justificativa:
Os triângulos SXD
4
e RXD
1
são congruentes pelo caso LLL, pois
SX=RX=a (Lado)
SD4=RD
1
=a (Lado) e
XD
2
=XD
1
=b (Lado).
Logo m( RXD
1
) = m(
SXD
4
) e assim, m(
RXS) =m ( D1XD
4
). Como os
triângulos RXS e D
1
XD
4
são isósceles com ângulos congruentes no vértice X, e,
portanto, estes triângulos são semelhantes pelo caso LAL. Desta forma, temos que:
1 4
a c
b D D
Chamando D
1
D
4
de x vem o resultado
a c
b x
, como queríamos.
Dizemos que x é a quarta proporcional entre a, b e c.
Problema 8: Dados os pontos A, B, C e D, determinar os pontos de
intersecção das retas AB e CD .
Passos da Construção:
9vamos supor, sem perda de generalidade, que C e D estão em lados opostos
39
9construa os simétricos C’ e D’ dos pontos C e D, respectivamente, em relação
à reta por A e B
9construa a circunferência C
1
de centro D’ e raio CC'
9construa a circunferência C
2
de centro C e raio CD
9tome o ponto E na intersecção de C
1
e C
2
de modo que CC’D’E seja um
9quadrilátero
9construa o segmento de comprimento x tal que
'
DE CD
DD x
(como no prob. 7)
9construa a circunferência C
3
de centro D e raio x
9construa a circunferência C
4
de centro D’ e raio x
9ache o ponto PC
3
ŀ
C
4
tal que P e C estão do mesmo lado da reta DD'.
Figura extra 4 – intersecção de 2 retas
Justificativa:
Observamos inicialmente que a intersecção de AB com CD é dada pela
intersecção das retas CD e C’D’. Mostraremos que P é o ponto de intersecção. O
quadrilátero CC’D’E é um paralelogramo, pois, D’E=CC’ e CE=CD=C’D’. Assim, os
pontos D, D’ e E pertencem à mesma reta, já que DE//CC’ e DD’//CC’. Sendo Y o
40
ponto de intersecção das retas CD e C’D’, segue que
'
DE DC
DD DY
e
conseqüentemente, DY = x pela construção de x. Logo, YC
3
e como o triângulo
CDE é isósceles, concluímos que YD’ = YD = x, ou seja, YC
4
. Portanto, Y=P.
Como nos problemas 6 e 8 mostramos que é possível encontrar os pontos de
intersecção, sempre que existirem, de duas retas ou de uma reta com uma
circunferência, utilizando-se apenas do compasso, fica assim demonstrado o
Teorema de Mohr-Mascheroni.
1.8 Inversão: Construções Geométricas com Pontos Inversos
As construções geométricas realizadas com o compasso apenas, segundo o
método de Mohr-Mascheroni, têm notável relevância teórica para a geometria.
Existe, entretanto, um outro método, mais simples, para realizar construções
geométricas com o compasso apenas (e, portanto, para demonstrar o Teorema em
questão). É o método de inversão de pontos, que abordaremos sucintamente na
seqüência.
Uma inversão é um tipo de transformação geométrica do plano.Tais
transformações são às vezes chamadas de reflexões circulares, pois com uma certa
aproximação elas representam a relação entre o objeto e sua imagem por uma
reflexão em um espelho circular (COURANT & ROBBINS, 2000).
De acordo com estes autores, apresentamos a seguinte definição de
inversão: Em um plano fixo, seja C um círculo de centro O (chamado círculo de
inversão) e raio r. A imagem de um ponto P é definida como sendo o ponto P’
pertencente à semi-reta OP de origem O, tal que
OP. OP’ = r
2
.
Os pontos P e P’ são ditos pontos inversos com respeito a C. Observemos desta
definição que, se P’ é o inverso de P, então P é o inverso de P’. Além disso, uma
41
inversão permuta as partes interna e externa do círculo C, uma vez que para OP < r
temos OP’ > r (e vice-versa). Os únicos pontos do plano que permanecem fixos sob
inversão são os pontos do próprio circulo C.
A propriedade mais importante de uma inversão é a de ela transforma retas e
círculos em retas e círculos. Mais precisamente, após uma inversão:
9uma reta que passa por O torna-se uma reta por O;
9uma reta que não passa por O torna-se um círculo que passa por O;
9um círculo que passa por O torna-se uma reta que não passa por O; e
9um círculo que não passa por O torna-se um círculo que não passa por O.
Sobre a prova dessas proposições e mais detalhes, ver pp.172-177 da mesma obra
de Courant & Robbins.
A construção geométrica de pontos inversos é, desta maneira, bastante útil e
assegurada pelo seguinte teorema: “O ponto P’ inverso de um ponto P com
respeito a um círculo C pode ser construído geometricamente com o uso
apenas do compasso”.
Vejamos. Tomando OP como raio e P como centro, descrevemos um arco
cruzando C nos pontos R e S. Tendo estes dois pontos como centros, descrevemos
arcos com raio r que se cortem em O e em um ponto P’ sobre a reta OP.
Figura 1.14 – Construção de pontos inversos.
Prova: Nos triângulos isósceles ORP e ORP’, tem-se
'ORP POR OP R
,
42
de modo que estes triângulos são semelhantes, e portanto
'
OP OR
OR OP
,
u seja, OP.OP’ = OR.OR= r.r = r
2
.
esta forma, P’ é o inverso procurado de P, que deveria ser construído.
tos.
distância de
seja um inteiro múltiplo de OP e que esteja no exterior de C, isto é,
OR = n.OP
ncontramos o ponto R’ inverso a R como na
onstrução anteriormente dada. Então
r
2
= OR’.OR = OR’.(n.OP) = (n.OR’).OP.
ortanto, o ponto P’ para o qual OP’ = n.OR’ é o inverso desejado.
o
D
Se o ponto P estiver contido no interior de C, a mesma construção e prova
serão válidas, desde que o círculo de raio OP em torno de P corte C em dois pon
Se não for este o caso, pode-se reduzir a construção do ponto inverso P’ com o
seguinte artifício simples. Encontramos o ponto R sobre a reta OP cuja
O
Fazemos isto medindo sucessivamente a distância com o compasso até que se vá
para a região externa de C. Feito isso, e
c
P
Figura 1.15 - Inverso de um ponto no interior de C.
43
Problemas como o de recuperar o centro (perdido) de uma circunferência ou o
de um segmento de reta são “facilmente” resolvidos sob
método de inversão (em comparação com a Geometria de Mohr-Mascheroni).
em ordem cronológica e nem abordamos todos os
picos que entendemos fazer parte da geometria. Vimos que a história da geometria
Abordamos um pouco da origem e evolução da matemática demonstrativa,
desde
te séculos, produzindo novas teorias e
escobertas frutíferas para o edifico matemático. Estas duas linhas de discussão
apresentadas foram acompanhadas pelo que podemos chamar o “pilar” deste
tamos está vinculada às demonstrações.
nesse sentido que abordamos as construções geométricas como ponto partida
de encontrar o ponto médio
o
1.9 Sumário do Capítulo
Neste capítulo, traçamos um breve panorama da geometria desde suas
origens. Mas não fizemos isso
tó
se confunde um pouco com a história da evolução do homem na Terra (pelo menos
a partir de um certo momento)
Tales de Mileto, por volta do século VI antes da era cristã, culminando com os
feitos de Euclides, cerca de 300 anos mais tarde.
Focamos a atenção em questões mais internas à matemática, como “os três
problemas clássicos da antiguidade” (trissecção do ângulo, quadratura do círculo e
duplicação do cubo), além da temática das geometrias não-euclidianas, que se
originaram na negação do “postulado das paralelas”. Essas matérias foram e são de
grande importância para o desenvolvimento da matemática no sentido de que
fustigaram o intelecto humano duran
d
edifício matemático: as demonstrações.
Toda a temática histórica de que tra
E
para o estudo e a aprendizagem da prova, salientando assim a importância teórica
que tem uma construção e sua validação.
Explicitamos as diferenças entre compasso moderno e compasso euclidiano e
mostramos esses instrumentos são equivalentes.
44
Mostramos que toda construção geométrica realizável com régua e compasso
pode ser cumprida com o compasso apenas, ou melhor, demonstramos o Teorema
de Mo
nferência, e entre duas circunferências.
No próximo capítulo, continuaremos a nossa discussão sobre prova, mas
mando como foco as construções geométricas num ambiente de Geometria
Dinâmica – o Cabri-Géomètre II.
hr-Mascheroni. A demonstração desse teorema consiste basicamente em:
encontrar, com o compasso apenas, os pontos de intersecção entre duas
retas, entre uma reta e uma circu
to
45
C
APÍTULO 2
Argumentação, Provas e Educação Matemática
“A matemática, como um todo, pode ser encarada como uma
sistematização exatamente daqueles problemas que foram atacados
em construir provas matemáticas.
saberiam demonstrar a fórmula de Heron para o cálculo da área de um triângulo? E
quanto ao Teorema de Pitágoras? São apenas alguns exemplos. Conjecturamos
com sucesso”.(DAVIS & HERSH, 1986, p.181)
2.1 Introdução
Faremos, neste capítulo, uma singela e não muito pretensiosa discussão
sobre prova e demonstração em matemática e, sobretudo, na Educação Matemática.
Nosso foco será a Geometria Euclidiana, em particular as construções geométricas,
seguindo-se as suas justificativas, ou seja, o tema prova será abordado partindo da
fundamentação das construções geométricas na Geometria Euclidiana Plana. Muitas
já foram as pesquisas desenvolvidas abordando o tema prova, com especial
interesse nas dificuldades dos alunos
Apresentaremos também a base teórica, bem como as questões de pesquisa a
serem investigadas.
2.2 Importância e Papel da Demonstração
Comecemos com algumas perguntas: Quantas pessoas conhecemos que
conseguem estruturar de maneira organizada (lógica) algo que devem expor em
público, por exemplo? Quantas pessoas dominam algum assunto da Matemática
Escolar, como as equações do primeiro grau? Quantos professores de Matemática
46
que não muitos professores conseguiriam tais feitos. E menos ainda as pessoas em
geral. E isso não é de estranhar, pois estamos falando de organização lógica das
éias, numa palavra, de raciocínio formal-dedutivo; aquilo que os matemáticos
el das
emonstrações: o de estruturar o discurso matemático. Já quanto à importância das
matemática. O que conta, isto sim, é que as tentativas por demonstrar certas
id
praticam: as linguagens formais
18
.
Quando se tem de demonstrar um teorema matemático usam-se noções ou
fatos já estabelecidos para mostrar, por meio de um raciocínio lógico-dedutivo, que a
afirmativa contida no teorema é realmente verídica, ou seja, que tem sentido
matematicamente. Em outras palavras, demonstrar envolve um processo complexo,
que vai desde a hipótese (aquilo que é dado), passando por certos raciocínios e
fazendo referência a fatos estabelecidos, até chegar à tese (a conclusão).
Realmente, a maior parte das pessoas tem muita dificuldade em compreender um
raciocínio desse tipo, o que sugere que “o ser humano tem uma aversão insuperável
às linguagens formais; o mesmo já não ocorre com os computadores – eles se dão
muito bem com elas” (DAVIS & HERSH, 1986). Mas o grau de formalidade que
consegue atingir o ser humano, mesmo os matemáticos de talento, sequer chega
aos pés daquele atingido pelo computador; em verdade, até mesmo os matemáticos,
no máximo o que conseguem é um misto de linguagem natural e linguagem formal.
Entretanto, é interessante notar que embora as linguagens formais sejam “ideais”
para os computadores, eles não conseguem demonstrar efetivamente nenhuma
espécie de teorema matemático. Ao que nos consta, parece ser este o pap
d
demonstrações, só o que podemos dizer é que são o “pilar” das matemáticas.
De muita importância para a matemática são as conjecturas, a exemplo da
“conjectura de Goldbach”
19
(ainda por demonstrar) e do já demonstrado “O Último
Teorema de Fermat”
20
. Relativamente a isto, e de acordo com de Villiers (1999), o
que é realmente importante numa conjectura não é o fato de a mesma ser
verdadeira ou falsa; isso, a maior parte das vezes, não tem a menor importância em
18
Ver mais detalhes sobre formalismo em “O Sonho de Descartes”, de Davis & Hesh (1986b, p.290-
313).
19
A esse respeito, ver o livro “Tio Petros e a Conjectura de Goldbach”, de Doxiadis (2001).
20
Ver Singh (1998),sobre a história das tentativas de demonstração de “O Ultimo Teorema de
Fermat”.
47
conjecturas resultam em novas descobertas e novas teorias. De forma semelhante,
são as demonstrações e não os teoremas que formam a estrutura do conhecimento
atemático. O teorema, em si, é como uma etiqueta.
mente para a construção da matemática. É demonstrando que
ática!
única, por algo
onhecido como demonstrações” (DAVIS & HERSH, 1986, p.178).
om o qual nosso trabalho se identifica: as produções matemáticas dos estudantes.
.2.1 Provas e Educação Matemática
a
está relacionada com características bem definidas da instrução e cultura escolar.
m
Podemos nos perguntar agora: por que demonstrar? Ou ainda: por que
ensinar a demonstrar? Não são questões simples, mas na perspectiva de de Villiers,
de que demonstrar vai muito mais além de meramente verificar o resultado,
entendemos que a razão de demonstrar (e a de também ensinar a demonstrar,)
contribui deliberada
se faz matem
Todos os comentários acima têm apenas como objetivo corroborar “a
afirmação de que a matemática fica caracterizada, de maneira
c
Por um lado, as demonstrações no campo formal são preocupações quase
que exclusivamente de matemáticos e, por outro, há inúmeros pesquisadores em
Educação Matemática que também se detêm nas demonstrações, porém mais
preocupados em estudos sobre as dificuldades de aprendizes, desde o ensino
básico ao nível superior, na aquisição de provas matemáticas. Eis aqui um ponto
c
2
Uma das dificuldades relacionadas com o ensino e aprendizagem da prov
De fato, as demonstrações não têm sido assunto recorrente na sala de aula
de Matemática: não se ensina a demonstrar criando atividades que instiguem os
aprendizes a exercitar o raciocínio dedutivo-formal, mesmo que seja a partir da
formulação de conjecturas e verificação de casos particulares; no máximo, o que se
faz é propor exercícios em que se pede para simplesmente fazer a demonstração –
isto quando se chega a fazê-lo. Melhor dizendo, executam-se demonstrações
48
mecânicas. Por exemplo, ao se propor que o aluno prove que “a soma das medidas
dos ângulos internos de triângulo é 180°”, poderia se começar pedindo que os
aprendizes efetuem medições, recortem e façam dobraduras, para depois,
gradativamente, passarem à etapa formal, que é a escrita da prova – a qual envolve
um misto de linguagem algébrica com linguagem natural (respectivamente, registro
lgébrico e registro na língua materna).
to aconteça pela aversão que a maioria das pessoas tem às linguagens
rmai .
o de algumas demonstrações do mesmo teorema de
itágoras usando figuras.
as por indução” (
.3). As autoras ainda citam de Villiers (1991) no seguinte sentido:
a
Com relação ao exemplo visto no parágrafo anterior, o problema é que em
geral os aprendizes não vão além da “mostração”. Vaz (2003), se referindo ao
trabalho de Chazan (1993), salienta que as dificuldades dos aprendizes na
construção de uma prova provêm do fato deles preferirem argumentos empíricos e
não os argumentos dedutivos, além de não saberem diferenciar um do outro (p.23).
Talvez is
fo s
O que irá contribuir para que uma proposição ou afirmação seja provada de
forma aceitável é uma boa coordenação entre os raciocínios indutivo e dedutivo e a
forma como se deve passar do primeiro ao segundo. No entanto, não devemos nos
esquecer de que, às vezes, o raciocínio que se deve empregar numa prova
matemática é puramente (ou quase) dedutivo, e aí a dificuldade é ainda maior. É só
citarmos a demonstração/dedução do teorema de Pitágoras com o recurso de
semelhança de triângulos. Outras vezes, o raciocínio é tão-somente visual e
heurístico, como é o cas
P
Segundo Nasser & Tinoco (2003), podem ser atribuídas diversas funções à
prova ou demonstração, sendo que a mais usada é a de validar um resultado, ou
seja, comprovar que é verdadeiro. Mas existe outra função da prova, que é a de
explicar ou elucidar, ou melhor, mostrar por que o resultado é verdadeiro. “Algumas
provas são perfeitamente aceitas, mas não dão nenhum indício do motivo pelo qual
a afirmativa vale. Por exemplo, as provas por absurdo, ou as prov
p
“...em vez de enfatizar na prova apenas seu papel de verificação, a função
mais fundamental da prova como meio de explicação deve ser explorada, a
49
fim de apresentar a prova como uma atividade significativa para os alunos.”
(de Villiers, 1991, apud Nasser & Tinoco, 2003, p.3)
Nosso trabalho consiste basicamente em analisar a produção de provas por
alunos de uma turma de 7ª série de uma escola pública de Diadema, São Paulo,
num ambiente informatizado e com o software Cabri-Géomètre II. As construções
geométricas com régua e compasso serão nosso objeto matemático de estudo.
Pretendemos fazer uma abordagem da prova em geometria, partindo das
justificativas das construções geométricas. Salientamos que a abordagem não será
formal, e sim conforme a idéia sustentada por alguns educadores matemáticos, a
exemplo de Bell (1976, apud NASSER & TINOCO, 2003), o qual afirma que a função
da prova é sistematizar”, isto é, preparar para o processo dedutivo. É nessa
perspectiva que atacaremos a problemática das construções geométricas (bem
como as suas provas). Portanto, tentar-se-á fazer uma abordagem da prova em seu
aspecto heurístico, levando em conta suas funções (destacadas por Bell) de
descoberta (de novos resultados) e de comunicação (a transmissão de
onhecimento matemático).
talhada sobre as funções da demonstração é
estacada por de Villiers (2002):
e;
ovos resultados
x ctual: a realização/satisfação pessoal por se fazer uma
x e vários resultados num sistema dedutivo de
axiomas, conceitos e teoremas.
c
Uma exposição mais de
d
x Explicação: proporcionar compreensão sobre porque é verdad
x Descoberta: a descoberta ou a invenção de n
x Comunicação: a negociação do significado;
Desafio intele
demonstração;
Sistematização: a organização d
Esse mesmo autor ainda ressalta um outro aspecto da demonstração, ou
seja, traz à luz a idéia de demonstração como meio de verificação (justificação).
Para o propósito do nosso trabalho, que é o de abordar a problemática das
construções geométricas no ambiente do Cabri-Géomètre, essa faceta da
demonstração pode constituir um dos pontos de partida para introduzir os
aprendizes (principiantes) ao pensamento indutivo, uma espécie de preparação
50
para o raciocínio dedutivo. Mas não devemos nos esquecer do papel que devem ter
as atividades elaboradas para esses aprendizes: devem despertar nos aprendizes a
prática da descoberta e da invenção (principalmente em problemas de geometria);
devem, enfim, explorar ao máximo as conjecturas. Além disso, é preciso que a
forma com que as atividades sejam propostas incite nos aprendizes o hábito de
uvidar.
veis de rigor em função da idade ou do nível de escolaridade dos
ua forma de se expressar,
ara enfim introduzir rudimentos de linguagem algébrica.
provas matemáticas no
ontexto da Geometria Dinâmica do Cabri-Géomètre.
.2.2 Provas e Geometria Dinâmica: O Cabri-Géomètre
d
A bem do que foi exposto no parágrafo precedente, gostaríamos de enfatizar
as posições de dois pesquisadores (HANNA, 1990; BALACHEFF, 1988, apud
NASSER & TINOCO, 2003), que defendem aquilo a que se chama prova ingênua,
no sentido de que a argumentação seja plausível, aceitável, prova essa que pode
ter vários ní
aprendizes.
Em nossa pesquisa, procurar-se-á, enquanto pesquisador-professor, dar
oportunidade e condições para que os sujeitos desenvolvam suas capacidades de
justificar os resultados (que julguem ser verdadeiros ou falsos), bem como de
comunicar suas idéias, verbalmente e por escrito. Ou seja, trataremos
essencialmente de justificativas informais em geometria, mas sempre que possível
incentivando os aprendizes a dar um salto qualitativo rumo ao processo dedutivo, o
que deve ser feito com atividades planejadas que propiciem o uso da linguagem
corrente e, com o tempo, levem os alunos a aprimorar s
p
A seguir, apresentaremos algumas idéias sobre
c
2
Muitos problemas das ciências em geral e das matemáticas, em particular,
não são completamente resolvidos em uma determinada época, simplesmente pelo
fato de que os conhecimentos apropriados (ferramentas) ainda não estão
suficientemente avançados para solucioná-los (por exemplo, “O Último Teorema de
Fermat”). Os computadores invadiram quase todos os ramos profissionais. Mesmo o
51
inquestionável método dedutivo-axiomático não conseguiu resolver tudo. Nem a
matemática pode tudo. Apesar do formalismo na matemática, convém acrescentar
que o uso do computador tem exercido razoável influência nas provas matemáticas,
a despeito dos mais puristas. O computador também não pode tudo, mas a
experiência tem mostrado que é melhor tê-lo como aliado que como inimigo. Nesse
entido, Ruy César Pietropaolo é categórico:
áticos precisarão
para a busca da verdade. (PIETROPAULO, 2005, p. 67)
cesso de prova. Focaremos atenção
ca das construções geométricas.
ho, mas não a forma da figura, preservando,
ortanto, suas propriedades básicas.
introduzir os aprendizes à “prova” no Cabri devem ser elaboradas de forma que
s
Ainda que muitos relutem em aceitar o uso de computadores para as
provas matemáticas, não há como negar que os métodos matemáticos não
podem tudo, mesmo contando com intenso trabalho, forte intuição e grande
talento das pessoas voltadas à construção e ampliação do edifício
matemático. Para responder às muitas questões que advêm dessa própria
área do conhecimento – e de outras áreas –, os matem
utilizar, muitas vezes, métodos mais amplos, como o auxílio da informática,
Nossa intenção é abordar as demonstrações em geometria, usando, para isto,
o software Cabri-Géomètre como recurso no pro
na problemáti
São inegáveis a capacidade e versatilidade que tem o software Cabri.
Entretanto, isto não significa que certas tarefas de construção neste software sejam
mais fáceis de executar (se comparadas com o ambiente do lápis e papel). Podemos
citar como exemplo a construção de um quadrado, primeiro com régua e compasso
e depois, com o Cabri. Se comparada com o ambiente do lápis e papel, a tarefa de
construir o quadrado no Cabri pode até se tornar mais difícil (por que depende de
certos conceitos geométricos e do manuseio técnico do próprio software). A
vantagem de uma construção no Cabri sobre a sua equivalente com lápis e papel
talvez se deva aos aspectos dinâmicos deste programa: desde que a construção
seja robusta, pode-se alterar o taman
p
A questão do dinamismo do Cabri, um dos focos de interesse do presente
trabalho, pode ser vista como meio facilitador para que o aluno se convença de
certas propriedades geométricas e é neste sentido que atividades tencionando
52
permitam realizar ensaios e verificações empíricas (valendo-se do dinamismo)
quando não estiverem (os aprendizes) convencidos da validade de uma afirmação.
Já a questão de se abordar propriamente a demonstração a partir de tarefas
de construção no Cabri é controversa e tem suscitado muitos debates, notadamente
entre educadores matemáticos. O fato de o Cabri servir como um meio de acesso à
prova, não é garantia de que os alunos consigam explicitar e formalizar
(matematicamente) as propriedades de uma figura. É uma tarefa que foge ao
controle do estudante. Mesmo em ambientes computacionais como o do Cabri-
Géomètre, “os estudantes preferem mais as argumentações narrativas que aquelas
baseadas em propriedades matemáticas, ou seja, preferem descrever os raciocínios
utilizados valendo-se quase que exclusivamente da língua materna” (HEALY &
HOYLES, 2000).
A discussão sobre Geometria Dinâmica, em particular o caso do Cabri-Géomètre,
tem considerável relevância nos círculos de Educação Matemática no Brasil e em
muitos países do exterior e deve ser, a nosso ver, pauta de discussão, também, de
matemáticos.
As considerações que temos feito até o momento – principalmente as que tratam
dos aspectos dinâmicos do Cabri – estão, ainda, muito distantes do âmbito escolar
(escola básica) e, mais ainda, distantes da grande maioria dos professores. É um
tema interessante para futuras pesquisas, tanto na área educacional como para
matemáticos: o impacto de novas tecnologias associadas com o ensino e
aprendizagem de Matemática/Geometria. Citamos, por exemplo, King &
Schattschneider (1997, apud Santos & Martinez, 2000), que apontam os principais
benefícios e aplicações do Cabri:
a precisão e a capacidade de visualização das relações geométricas,
a possibilidade de exploração das construções e descoberta de relações e
propriedades geométricas,
a prova de teoremas, de forma experimental;
a geração de transformações e lugares geométricos, e
53
a possibilidade de simulação e de construção de micromundos com
características próprias.
“Provar” uma proposição de forma experimental pode ser muito empolgante
para o aprendiz, além de abrir caminho para a prova de teoremas de modo mais
reflexivo, isto é, com mais abstração, podendo ser uma via para uma abordagem
teórica. Por exemplo, provar “que a soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é 180°” usando lápis e papel exige muito mais abstração do aluno (pois
requer que o mesmo mobilize vários conhecimentos anteriores a fim de demonstrar
o teorema) que quando se usa um ambiente de GD, como o Cabri-Géomètre. É claro
que neste último caso, a prova é mais experimental, empírica, mas o importante é
que pode conduzir o aprendiz rumo a um pensamento lógico-matemático mais
estruturado, à abstração (reflexiva) propriamente dita e, desta maneira, talvez, à
compreensão do que vem a ser uma demonstração.
Num ambiente de Geometria Dinâmica, como o Cabri-Géomètre, atividades
envolvendo construções geométricas têm um novo enfoque sob o recurso clicar e
arrastar. Este recurso, junto com os recursos de medição/verificação, além da
calculadora que existe no próprio software, constituem o ponto de partida para que o
aprendiz possa formular suas próprias conjecturas, principalmente com respeito às
propriedades das figuras. Conseqüentemente, podem levar o aluno a elaborar suas
primeiras “provas” matemáticas.
Há até mesmo pesquisadores como Laborde, conforme nos relata a autora
Amaral (2002), que afirmam que um quadrilátero com quatro ângulos iguais e quatro
lados iguais só é considerado um quadrado num software de Geometria Dinâmica se
passar pela ‘prova do arrastar’, ou melhor, se ao movimentar um vértice pela tela,
suas propriedades são preservadas. Quais são essas propriedades? Algumas delas
são: ortogonalidade, perpendicularidade, proporção de segmentos e ângulos.
Abaixo, construímos a Figura 2.1 com a ferramenta “polígono”, ao passo que
usamos as ferramentas “circunferência” e “polígono regular” para a execução da
Figura 2.2 . A segunda construção é robusta (mantém as propriedades: ângulos,
paralelismo etc, mas não lados), como se pode observar; já a primeira é mole, pois
54
ao arrastar um vértice pela tela, obtemos uma figura com forma (e tamanho)
diferente da anterior.
Figura 2.1: Construção mole
Figura 2.2 – Construção robusta
O exemplo acima serve para mostrar que a idéia por traz de uma
demonstração é a de explicar e convencer, mesmo sendo por meio de figuras não-
consistentes, construções moles. A partir de questões como esta, pode-se propor
aos estudantes questões mais gerais do tipo: “o que é demonstrar?” ou “qual seu
papel?”.
Eis um ponto chave: As figuras ajudam na compreensão de uma prova? Em
que sentido? Segundo Almouloud & Mello (2000), as figuras exercem o papel de
âncora dos entes matemáticos nas hipóteses, ou seja, ao analisar-se uma figura,
55
passa-se à invenção e à descoberta de novos elementos e relações entre elementos
– passa-se, por fim, a novas configurações. Além do mais, é importante que se
associe, notadamente nos problemas de construções geométricas [sempre que
possível], a figura com um teorema [e vice-versa]. Estas considerações, no nosso
entender, conferem à figura um papel heurístico, de muita importância, aliás, para
explicar logicamente as propriedades geométricas.
Atividades envolvendo construções geométricas num ambiente de Geometria
Dinâmica precisam ser organizadas e direcionadas, num primeiro momento, de
modo a exigir que os alunos expliquem o que fizeram e em seguida passem à
verificação e validação dos resultados. Num segundo momento, deve-se fomentar
nos aprendizes a constante busca pela formulação de conjecturas e por fim, a
sistematização dos resultados que obtêm, podendo neste momento ser
concomitante o de ‘uso de lápis e papel’ e do computador. Deve ficar claro que em
todos os momentos o professor-mediador deve-se fazer presente.
Na próxima sessão discutiremos os aspectos teóricos que fundamentam este
trabalho.
2.3 Considerações Teóricas
Como base teórica para o nosso trabalho, será abordada a teoria de Balacheff
(1987, 1988), que trata das classificações de prova e dos processos de validação, e
a pesquisa de Mariotti (2001), que versa sobre construções geométricas e Cabri.
Enfatizamos que o trabalho de Mariotti é particularmente interessante aos nossos
propósitos, pois faz uma ligação entre uma construção e o teorema que a valida.
Começaremos este tópico apresentando as concepções sobre prova de
Balacheff.
2.3.1 Classificando Provas
Com relação às concepções de provas dos alunos, tomaremos como
referencial teórico as classificações de prova de Balacheff (1987, 1988), como já
56
mencionamos acima. Este referencial também servirá para fazer a análise das
atividades.
Resumidamente, faremos um relato dos tipos de provas classificados por
Balacheff. Mas antes, uma citação de Vaz (2003):
As provas produzidas por alunos podem ser analisadas através da lógica
nela envolvida ou através das práticas matemáticas dos estudantes. A
abordagem presente neste estudo contemplará a segunda concepção
explorada com ênfase por Balacheff (1988). Segundo este autor, a
abordagem experimental envolve o processo de busca da solução de um
problema por parte dos alunos, analisando como os estudantes se
convencem da validade de suas respostas.(Vaz, 2003, p.26)
No estudo de Balacheff (1988) são relatados dois tipos de provas, quais
sejam, as pragmáticas e as conceituais. As do primeiro tipo se valem de recursos
de ação, a exemplo dos desenhos, movimentação de objetos na tela, etc; já as do
segundo tipo não envolvem ações, mas formulações de propriedades intrínsecas em
questão e as relações estabelecidas entre estas propriedades (VAZ, 2003).
A idéia central contida no tipo de prova conceitual é a utilização da linguagem,
não como um meio de comunicação e sim como ferramenta para deduções lógicas,
o que é característico do processo dedutivo.
A classificação de Balacheff nos parece bem apropriada, portanto nos sendo
útil no que diz respeito à passagem das provas pragmáticas às conceituais; quer no
estágio pragmático ou no conceitual, interessa-nos que o conhecimento adquirido
pelos estudantes seja objeto constante de reflexão. Balacheff fala de características
hierárquicas, dependendo da qualidade das generalizações das provas, assim como
da contextualização do conhecimento envolvido.
Gravina (2001) destaca que “a ascensão de categorias depende da
concomitante evolução nas formas de ação, formulação e validação” (p.66).
Balacheff (1987) identifica quatro diferentes formas de validação solidárias ao
processo de ascensão:
57
9O empirismo ingênuo. Tem um caráter mais indutivo. Verificam-se vários
casos e então se conclui a validade de todos aceitando o fato como
verdadeiro. É um processo insuficiente e uma primeira abordagem das formas
de validação/generalização.
9Experimento crucial. Constitui um salto em relação à etapa precedente. O
experimento crucial é um método de validação em que é proposto, de forma
explícita, o problema da generalização. Objetiva verificar uma propriedade em
um caso particular, porém sem considerá-lo tão particular. Por outras
palavras, escolhe-se um exemplo com determinadas características com a
intenção de verificar sua validade para este caso específico; se por acaso for
confirmado, conclui-se o seu caráter geral.
9Exemplo genérico, que consiste na explicação das razões que validam uma
propriedade (fase do discurso e das argumentações, ainda cruas), com base
na escolha de um objeto representativo de uma classe, ou seja, um tal objeto
que possua propriedades características e estrutura representativa desta
classe.
9A experiência mental. Recorre-se à ação por meio da superação de qualquer
caso específico e sua internalização; não envolve situações particulares. É a
etapa das construções cognitivas mais complexas, com estruturação do
discurso e encadeamento do raciocínio.
No que diz respeito ao movimento de passagem das provas pragmáticas às
conceituais, terminamos nossa reflexão citando Gravina (2001), que esclarece:
Ainda segundo Balacheff, o nível experiência mental marca claramente a
transição da prova pragmática à intelectual. Nesse nível, ações
interiorizadas dirigem-se à generalidade, desprendidas de concretização
particular, em gênesis cognitiva da demonstração. O nível exemplo genérico
é uma fase intermediária, ora na categoria de prova pragmática, ora na
categoria de prova intelectual, dependendo da natureza efetiva da ação
sobre o exemplo – ou ação ainda dependente de concretização particular,
ou ação que usa a concretização apenas como suporte para expressar
raciocínio generalizador. Já a experiência mental converge para explicação
caracterizada como demonstração matemática, e nesta se transforma
quando considera os princípios de organização do modelo teórico (...)
(negrito nosso).(GRAVINA, 2001, p.67)
58
No próximo tópico, continuamos a discussão sobre o nosso referencial
teórico, de acordo com a pesquisa de Mariotti (2001), que trata basicamente do
campo de experiência em que se inserem as construções geométricas.
2.3.2 Construções Geométricas como Campo de Experiência para o Estudo de
Provas
As construções geométricas sempre tiveram relevância teórica para a
matemática, em especial para a Geometria Euclidiana; também é inegável sua
importância prática em diversas áreas afins, como a arquitetura e engenharia. Com o
advento dos sistemas de Geometria Dinâmica, este campo de estudo se ampliou
ainda mais, despertando o interesse de muitos pesquisadores em Educação
Matemática, com especial interesse nos resultados obtidos por estudantes a partir
de certas tarefas de construção em ambientes computacionais como o Cabri-
Géomètre. Desde a criação deste software
21
muitas pesquisas e publicações em
geral já foram feitas, muitas das quais abordando o tema prova com base em tarefas
de construções geométricas. Nesta dissertação, tomaremos como referência o
trabalho da pesquisadora italiana Maria Alessandra Mariotti, cujo enfoque são as
provas e construções geométricas com Cabri.
Mariotti (2001) trabalhou com uma pesquisa conduzida na forma de um
experimento de ensino de longa duração, situado no paradigma de ‘pesquisa de
inovação’
22
. Um dos objetivos principais era investigar uma abordagem para o
ensino centrada no uso do micromundo Cabri-Géomètre com a intenção de
desenvolver o pensamento teórico em geometria. A hipótese era que o processo de
ensino-aprendizagem associado com este desenvolvimento pode ser esperado
como gradual; assim o experimento resultante envolveu estudantes com dois anos
de estudo ininterruptos, correspondendo ao 9º e 10º ano de escolaridade. O estudo
de Mariotti teve por alvo clarificar o papel do ambiente do Cabri nos processos de
ensino-aprendizagem: a análise dos protocolos de sua pesquisa mostra a possível
21
O Cabri-Géomètre foi desenvolvido por um grupo de pesquisa coordenado por Jean Marie Laborde,
na Universidade Joseph Fourier, Grenoble, França. A primeira mostra do programa se deu no VI
Congresso Internacional de Educação Matemática, realizado em Budapeste, Hungria, em 1988.
22
Este modelo de pesquisa está relacionado com metodologias que se baseiam em design.
59
evolução em uma prova, mas ao mesmo tempo indica que esta evolução não pode
ser esperada como simples nem espontânea.
Além disso, a pesquisa foi conduzida com a estrita colaboração entre
pesquisadores e professores (da escola) e o experimento organizado na base de
uma seqüência de atividades projetadas para todo o grupo, atividades estas
realizadas na classe e pelo professor, com a aula de Matemática transcorrendo
naturalmente. O conteúdo de Geometria não sofreu alterações, mas a abordagem
geral mudou dramaticamente. A abordagem desenvolvida envolveu a integração do
software Cabri-Géomètre na atividade em classe, não somente como um suporte
didático, mas como parte essencial do processo de ensino-aprendizagem. O
experimento de ensino conduzido por Mariotti se focou no uso do Cabri-Géomètre
como um mediador da idéia de prova matemática. Segundo ela, o Cabri foi escolhido
por muitas razões diferentes, mas especialmente por causa de sua flexibilidade.
No tocante a um sistema teórico, os principais objetivos que caracterizam o
experimento são os seguintes:
9As atividades de sala de aula são organizadas dentro do ‘campo
de experiência’ (Boero et al., 1995) das construções geométricas
no ambiente do Cabri.
9A evolução do campo de experiência é realizada através das
atividades sociais da sala de aula, visadas para a construção
social do conhecimento. As ‘discussões matemáticas’ formam o
coração das atividades sociais (Bartolini Bussi, 1996). (Mariotti,
2001, p.259)
No caso da construção de uma teoria, quando um sistema dedutivo é
relacionado, há dois aspectos combinados entre si: a idéia de prova e a idéia de
sistema teórico (ambas as teorizações, local e global, podem ser consideradas).
Mariotti se refere a um teorema matemático como a unidade de uma afirmação, uma
prova e uma teoria de referência; algo que envolve a introdução da idéia de
validação e as regras que sustentam tal validação.
No momento em que os estudantes começam a trabalhar no Cabri, eles
entram num sistema geométrico com regras específicas e seus significados. Quando
todo o menu do Cabri é usado, toda a Geometria Euclidiana fica disponível; assim, o
sistema teórico se torna altamente complexo. Realmente, devido à riqueza das
60
ferramentas geométricas disponíveis, não é fácil saber o que é dado (se axiomas ou
velhos teoremas) e o que deve ser provado (os novos teoremas). É possível que a
riqueza deste tipo de ambiente (Cabri) possa enfatizar a ambigüidade sobre fatos
intuitivos e teoremas, podendo constituir um obstáculo na escolha dos elementos
corretos da cadeia dedutiva de uma prova. Em outras palavras, existe o risco de os
alunos não serem capazes de controlar a relação entre o que é dado e o que deve
ser deduzido (MARIOTTI, 2001, p. 263).
A autora ainda esclarece que, por esta razão, em seu experimento de ensino
decidiu tirar proveito da flexibilidade do micromundo Cabri e também ajustar o menu
aos seus objetivos educacionais específicos. Ou seja, no começo do experimento
apresenta-se o Cabri com o menu vazio e a escolha dos comandos é, então,
discutida de acordo com afirmações específicas selecionadas como axiomas. Desta
forma, um duplo processo é iniciado, dizendo respeito, de um lado, ao aumento do
menu e de outro, ao aumento do sistema teórico. Novas construções são realizadas
no micromundo e, paralelamente, os teoremas correspondentes se juntam à teoria
(novos elementos são introduzidos pelos teoremas e definições, novos comandos
são introduzidos no menu).
2.3.2.1 Construções Geométricas e Cabri: Aspectos Teóricos e Dinâmicos
Desde a antiguidade, as construções geométricas têm tido uma importância
teórica fundamental, claramente ilustrada pela história dos problemas clássicos
impossíveis que tanto intrigaram os geômetras gregos (HEATH, 1956, 124; HENRY,
1994; apud MARIOTTI, 2001, p.259).
Nessa perspectiva, objetivando possíveis movimentos do empírico ao
conceitual, as tarefas de construção podem envolver desde noções geométricas
simples até aquelas que permitam introduzi-los à noção de prova, e assumindo
como hipótese, que o ambiente do Cabri (
MARIOTTI, 2001, p.261) “pode servir como
uma chave de acesso para o significado da prova”. Basicamente, as tarefas de
construção pedidas aos estudantes são:
61
91. Um procedimento visado para obter um desenho/figura específico
(figura no Cabri);
92. Uma justificativa de um semelhante procedimento, explicando as
razões para sua exatidão (explicar por quê a construção é correta).
A duas tarefas correspondem a duas partes distintas no que se espera das
respostas escritas esperadas.
Há uma questão interessante a ser ressaltada. É que no ambiente do Cabri
uma atividade envolvendo uma construção está intimamente associada, integrada
com a função arrastar e, neste caso, a necessidade de justificar a solução advém da
necessidade de validação da própria construção, a ponto de explicar porque
funciona ou prever que vai funcionar. Sem dúvida, a operação de arrastar a figura
pode ser suficiente para convencer alguém da exatidão da solução, mas neste ponto
a segunda componente das atividades de ensino-aprendizagem se envolve num
jogo. Os problemas de construção também se tornam parte de uma troca social,
onde soluções diferentes são relacionadas e comparadas. Para Mariotti (2001):
A presença do modo arrastar introduz um critério específico de validação
para a solução de problemas de construção: uma solução é válida se, e
somente se, a figura é estável sob o teste do arrastar. Porque o sistema
dinâmico de figuras-Cabri
23
expressa um sistema de relações, consistente
no sistema amplo de uma teoria geométrica, solucionar problemas de
construção no Cabri significa não apenas aceitar todas as facilidades do
software, mas também um sistema lógico para suportar estas facilidades. (p.
260)
Na ótica da geometria clássica, as ferramentas de desenho podem ser
concebidas como ferramentas teóricas definindo um tipo particular de geometria.
Neste sentido, tradicionalmente, tem havido referência à Geometria Euclidiana como
a Geometria-da-régua-e-do-compasso, deste modo fazendo menção
simultaneamente à origem e limitações de seus objetos.
Realmente, o significado teórico das construções geométricas, ou seja, a
ligação entre a construção e o teorema que a valida, é por demais complexo e, por
conseguinte, não é imediato para os estudantes. Já o significado prático, relacionado
23
Figuras executadas na tela do Cabri (observação nossa).
62
com as possibilidades de realização concreta de um desenho pode interferir
criticamente com a adoção de uma perspectiva teórica. De fato, qualquer construção
geométrica pode ser utilizada para obter um desenho com uma certa garantia de
eficiência, mas também é verdade que construções ‘impossíveis’, a despeito de suas
impossibilidades teóricas, podem ser realizadas com uma precisão escolhida
arbitrariamente (MARIOTTI, 2001, p. 259).
Em termos de teoria vygotskiana, e ainda de acordo com Mariotti, as figuras e
comandos do Cabri podem ser pensados como signos externos da teoria de
geometria, e como tais, podem se tornar instrumentos de mediação semiótica
(VYGOTSKY, 1978, apud MARIOTTI, 2001, p.262).
A geometria é a ciência das formas, tanto planas como espaciais, mas
também das idéias, da abstração e da demonstração. Na tela do Cabri, interessa-
nos o aspecto dinâmico que estas formas planas (desenho/figura) possam tomar.
Aqui, estamos pensando no conjunto formado pelas ferramentas/comandos do
Cabri, bem como as construções que nele possamos efetuar, como um meio de
acesso à teoria geométrica. Acreditamos que algumas atividades, desenvolvidas
alternativamente, envolvendo construção de tarefas, bem como outras com
discussões coletivas podem introduzir os aprendizes ao pensamento teórico, o que
pode privilegiar a mediação semiótica a que nos referimos.
Muito embora na maior parte das vezes a elaboração intelectual independa do
desenho (ou figura), se faz necessário, por vezes, partir de um desenho para poder
generalizar algum resultado. Ora, como a figura-desenho serve de base ao
pensamento (no sentido de ser suporte de idéias), acreditamos que o movimento do
empírico ao conceitual possa ser facilitado, partindo da figura como meio de acesso
à abstração.
2.3.2.2 Considerações sobre a Nossa Pesquisa
Como já mencionamos, a pesquisa de Mariotti trata de um experimento de
ensino de longa duração. Em seu design, a seqüência de atividades foi desenvolvida
63
de uma maneira estruturada, com atividades dentro do micromundo (tarefas de
construção) alternando com atividades de discussões coletivas
24
. A idéia era que,
sob orientação do professor, os estudantes construiriam um paralelo entre as
construções no ambiente Cabri e a geometria como um sistema teórico. Ainda, na
pesquisa de Mariotti, primeiro aconteceram as sessões com Cabri e, depois disso,
as discussões coletivas em sala de aula.
A nossa pesquisa contempla a primeira das abordagens acima (experimentos
com Cabri) e se fundamenta na base de um design de atividades desenhadas para o
ambiente do Cabri. Pelo fato de ser uma pesquisa introdutória, o experimento de
ensino é de curta duração. Além disso, as discussões coletivas que farão parte desta
pesquisa serão as resultantes das interações do professor-pesquisador com os
estudantes. A seguir, algumas considerações sobre o uso do menu do Cabri.
Em primeiro lugar, não foi feito nenhum tipo de discussão com os estudantes
sobre que ferramentas do menu do Cabri deveriam ser utilizadas. É permitido o uso
de todas as ferramentas nas tarefas de construção. Entretanto, levando em conta
que um mesmo problema (construção) pode ser resolvido com diferentes
ferramentas, optou-se por trabalhar com todas as ferramentas disponíveis,
solicitando-se aos estudantes que cumprissem certas tarefas usando todas essas
ferramentas (exceto algumas bem específicas, como “cônicas” e “rotação”). Em
segundo lugar, motivados pela Geometria do Compasso, ou de Mohr-Mascheroni,
proibiu-se
25
o uso da ferramenta “reta” (e outras correlatas), de modo que aos
aprendizes serão pedidas tarefas de construção quase que exclusivamente com as
ferramentas “ponto” e ”circunferência” (ou “compasso”).
O desenvolvimento das atividades sempre cumprirá a seguinte ordem:
primeiro utilizam-se todas as ferramentas disponíveis para, depois, usar o menu
restrito.
24
“Discursos”, diálogos dos aprendizes.
25
Mais no sentido de uma sugestão...
64
2.3.2.3 Inspiração
As construções geométricas têm sido importante objeto de estudo nas
matemáticas desde a antiguidade, notadamente com os gregos. É sabido que a
régua que usavam nas construções não tinha escalas e que o compasso era de
abertura fixa, dito compasso “enferrujado”
26
.
Um dos elementos importantes para o desenvolvimento da geometria está
relacionado aos instrumentos associados com os sistemas de referência, ou, por
outras palavras, aos instrumentos euclidianos (da Geometria Euclidiana): a régua e o
compasso. Nas construções da Geometria Euclidiana, tradicionalmente a régua e o
compasso são sempre usados, mas ao longo dos séculos outros métodos foram
sendo inventados, sendo um dos mais famosos o que ficou conhecido como
Geometria do Compasso, descoberto de forma independente, pelos matemáticos
Mohr e Mascheroni. Eles mostraram que tais construções podem ser executadas
apenas com um desses instrumentos: o compasso. A principal inspiração para este
trabalho surgiu a partir do contato que tivemos com esta Geometria do Compasso,
na qual as construções euclidianas, na medida em que os elementos procurados
são pontos, podem ser cumpridas somente com o compasso, sendo a régua
dispensável. Na Geometria do Compasso, ou de Mohr-Mascheroni, a reta de fato
“não existe”, não é traçada (já que uma reta fica perfeitamente determinada por dois
de seus pontos) e o ponto é obtido pela intersecção de duas circunferências. Pode-
se também assinalar ponto sobre objeto.
2.3.2.4 Questões a Serem Investigadas
Na seqüência apresentamos as (duas) questões de pesquisa que
pretendemos investigar. Nosso tema é a geometria; o tópico, as construções
geométricas e suas fundamentações nas propriedades da Geometria Euclidiana
Plana (construção e validação); nosso foco central de investigação consiste em usar
o software de Geometria Dinâmica, o Cabri-Géomètre, como recurso para a
26
Ao que sabemos, devido a questões de ordem prática (provavelmente), hoje em dia e desde há
muito, o que se firmou foi a régua graduada e compasso sem restrição alguma.
65
elaboração de provas matemáticas – mesmo que sejam informais – a partir das
construções geométricas, conforme será discutido mais adiante.
Sabemos das várias possibilidades de construções que nos fornecem as
ferramentas disponíveis no menu do Cabri. O que pretendemos investigar em nossa
pesquisa é:
1. Em que medida as ferramentas do Cabri, disponíveis para a resolução de
problemas, influenciam as provas produzidas pelos alunos?
2. Qual o impacto da mudança nas ferramentas na compreensão das provas
pelos alunos?
Esclarecemos que, especificamente em relação à pergunta de pesquisa nº 2
acima, proporemos aos alunos aprendizes que façam uso apenas das ferramentas
“circunferência” (ou “compasso”) e “ponto”, ou seja, procuraremos tratar um pouco
da Geometria do Compasso, e ressaltamos que fomos impelidos a esta abordagem
baseando-se nos resultados de Mohr-Mascheroni (Teorema de Mohr-Mascheroni).
Os resultados, como já comentamos (Capítulo 1) se devem, primeiro a G. Mohr e
depois, a L. Mascheroni, que em seu livro “Geometria del compasso”, de 1797,
afirma : “J’appelle Géomètrie du compas, celle qui, par le moyen du compas
seulement, et sans le secours de la règle, dètermine la position des points”
27
(MASCHERONI, 1980, p.1). Um ponto aqui entendido como a intersecção de duas
curvas.
Entendemos que estas questões não são fáceis de responder, mas tentaremos
fazê-lo, desenvolvendo atividades simples, permitindo que usem todos os recursos
disponíveis do Cabri: medição, clicar e arrastar, animação, rastro, etc.
Gradativamente, iremos mudando as ferramentas disponíveis, por exemplo, usar
somente a ferramenta “circunferência” e “ponto”, que remetem às construções
apenas com o compasso.
27
”Chamo de Geometria do Compasso aquela que, fazendo uso apenas do compasso, e sem o
auxílio da régua, determina a posição dos pontos.” (tradução nossa, do francês).
66
2.4 Comentários Adicionais
Evidentemente, a Geometria Dinâmica não pode provar teoremas de nenhum
tipo, no sentido estrito de provar. Mas vale ressaltar que um software como o Cabri-
Géomètre remete os aprendizes à experimentação de hipóteses, formulação de
conjecturas e estratégias de resolução de problemas, o que pode motivar
sobremaneira a busca pela demonstração. Ou melhor, através de um processo de
indução a fim de chegar à validade de um resultado, um ambiente de GD pode
sugerir caminhos para provar teoremas. O uso do Cabri-Géomètre, se bem
conduzido pelo educador, pode servir muito bem a este propósito.
As demonstrações em geometria, como na matemática em geral, são regidas
pelo formalismo; as demonstrações em geometria, a partir de um ambiente de GD,
são uma via para se alcançar esta formalização, apenas uma via, cabendo ao
estudante dar continuidade ao processo. A aquisição de conceitos científicos é
sempre demorada, principalmente se envolvem conceitos matemáticos, mas num
ambiente de GD este processo pode se tornar menos lento.
As construções geométricas podem constituir uma boa maneira para iniciar o
aluno a algum conhecimento formal, notadamente se são organizadas atividades
bem planejadas com seqüências didáticas específicas. Nessa perspectiva, trabalhar
com um software de GD pode se constituir em um meio expressivo de sistematizar
fatos observados.
Os softwares de Geometria Dinâmica podem se constituir em excelentes
ferramentas para visualizações de propriedades das figuras, bem como para a
formulação de conjecturas. Com o uso de programas como o Cabri-Géomètre, é
possível tornar muito mais recreativas (mas nem por isso mais fáceis!) as
construções geométricas.
As atividades devem levar à formação do pensamento geométrico, aquele
que vai do raciocínio intuitivo e visual ao raciocínio dedutivo. E lembremos que a
intuição é aquilo que é latente e precisa ser provocada para vir à tona. É, portanto,
desta maneira, que o pensamento geométrico se desenvolve.
67
Uma última consideração: de um lado, é sabido desde há muito do descaso
para com o ensino de GEOMETRIA – do abandono da geometria nos currículos
escolares (ver Pavanello, 1993). Este fato está de acordo e tem sido referido em
nossas reflexões sobre ensino e aprendizagem de Matemática. De outro lado, os
softwares de GD vieram, em certa medida, para “revolucionar” a Geometria Plana e
mesmo a Espacial. E então, o que se espera é que as pesquisas em Educação
Matemática centrem boa parte de suas forças (intelectuais) em questões de
ensino/aprendizagem de geometria, com vistas a recolocar esta nobre área das
matemáticas no seu devido lugar: no centro das atenções, em todos os sentidos.
2.5 Sumário do Capítulo
Os principais pontos que abordamos neste capítulo foram:
9Algumas questões sobre prova no cenário da Matemática e da Educação
Matemática;
9O papel do computador como ferramenta para investigação em matemática;
9A importância dos softwares de Geometria Dinâmica para o ensino-
aprendizagem de Geometria (o caso do Cabri-Géomètre);
9Uma discussão sobre os diferentes papéis/funções da demonstração para a
matemática e para Educação Matemática em particular;
9A importância teórica (e histórica) das construções geométricas para o
trabalho com provas;
9Os aspectos teóricos que fundamentam a nossa pesquisa, em duas direções:
Primeiramente Mariotti, que abrange as tarefas de construção e validação no
Cabri e, em segundo lugar, Balacheff, que nos servirá de suporte teórico para
a análise das atividades (contempladas no Capítulo 4); e
9Os elementos centrais de nossa pesquisa bem como as perguntas a serem
respondidas.
68
O próximo capítulo estará reservado à base metodológica escolhida para esta
dissertação e também para a apresentação e descrição das atividades que
formam o coração desta pesquisa.
69
CAPÍTULO 3
METODOLOGIA
3.1 Introdução
Neste capítulo será apresentada a nossa opção metodológica, a qual
embasará a presente pesquisa. Vamos discutir e explicitar todo o processo envolvido
na elaboração das atividades e os parâmetros que permitirão analisar os dados
coletados.
A seguir, faremos algumas considerações gerais sobre a metodologia
baseada em design, que culminará na exposição da metodologia empregada neste
trabalho: experimentos de ensino.
3.2 Iteração e Design
Como veremos mais adiante, as atividades que compuseram a presente
pesquisa foram desenvolvidas mediante um processo iterativo de design ou um
design de iteração. Não existe, em português, uma tradução explícita para o termo
design. De acordo com Drisostes (2005), seu significado é bastante amplo, devendo
ser compreendido como projeto, padrão, plano, desenho, modelo, propósito, além de
expressar ações como planejar, projetar, produzir, esboçar, esquematizar, inventar,
criar e executar (p.38).
O que está por trás de atividades envolvendo design não é apenas a criação
de objetos físicos, mas também a elaboração teórica, que se compõe de
planejamento, organização e estratégias. Nesse sentido, as elaborações teóricas ou
construções intelectuais são imprescindíveis ao pesquisador durante um processo
de design, principalmente em ambientes de ensino-aprendizagem. Atividades de
design, portanto, envolvem a criação de artefatos ou objetos, que são
70
deliberadamente produtos da mão-de-obra humana e “que podem ser concretos ou
abstratos” (DRISOSTES, 2005, p.38).
Por iteração deve-se entender um processo de solução de um certo problema
(uma equação, por exemplo) por meio de uma seqüência finita de operações em que
o resultado de cada etapa (a partir da segunda) utiliza os resultados da etapa
imediatamente anterior. As noções de iteração e de design, juntas, nos conduzem à
noção de design iterativo.
Num processo de design iterativo, uma atividade (inicial) é criada e aplicada;
num segundo momento, de acordo com as informações obtidas em etapas
anteriores, esta atividade pode ser redesenhada (alterada). Assim, num processo de
design iterativo, os pesquisadores interagem no sistema, dotando-o de uma
característica cíclica.
O design iterativo constitui elemento essencial para metodologias de pesquisa
que investigam áreas educacionais, especialmente seus cenários de ensino e
aprendizagem em contextos escolares, sendo também uma característica marcante
de metodologias de pesquisa baseada em design, como os “design experiments”. A
nossa opção metodológica, que será explicada a seguir, baseia-se na noção de
“experimentos de ensino”, de Kelly e Lesh (2000). Queremos ressaltar que esta
metodologia é uma versão mais singular de “design experiments”, a qual constitui
um paradigma de pesquisa mais abrangente, principalmente em ambientes
educacionais.
3.3 Design Experiments
28
O objetivo da metodologia baseada em design é estudar a aprendizagem em
um ambiente escolar natural. Os design experiments constituem uma abordagem
interdisciplinar que reconhece a natureza fundamental da pesquisa educacional,
sendo que nesta abordagem pesquisadores trabalham em parceria com professores
28
Neste trabalho, manteremos a designação original, em inglês.
71
a fim de desenvolver e refinar teorias educacionais inovadoras. Para Drisostes
(2005),
A pesquisa baseada em design visa ir além de meramente projetar e testar
intervenções particulares. As intervenções incorporam reivindicações
teóricas específicas sobre ensinar e aprender, refletem um compromisso de
compreender os relacionamentos entre a teoria, artefatos projetados e a
prática. Ao mesmo tempo, a pesquisa sobre intervenções específicas pode
dar contribuição às teorias de aprendizagem e de ensino (p.42).
Cobb et al (2003) identificaram cinco características transversais que
caracterizam a metodologia dos Design Experiments:
9Primeiramente, a finalidade de um experimento de design é desenvolver uma
classe de teorias acerca, tanto do processo de aprendizagem como sobre os
significados que são desenhados para dar suporte à aprendizagem, sendo
que “estes últimos vinculados aos artefatos materiais, às práticas de ensino e
de aprendizagem, à negociação de normas e outras formas de mediação”
(KARRER, 2006, p.199).
9Em segundo lugar, é uma metodologia altamente intervencionista,
procurando sempre a inovação. Design experiments tem como meta
representar bases iniciais para futuras inovações e isto significa que a
intenção deste tipo de metodologia é inquirir sobre as possibilidades de
novas formas de aprendizagem, visando mudanças educacionais.
9A terceira característica envolve seus aspectos prospectivo e reflexivo. No
primeiro deles, o design é implementado como um processo de
aprendizagem baseado por hipóteses. Já no segundo aspecto, conjecturas
são realizadas com vários níveis de análise. O design ou projeto inicial é uma
conjectura sobre os significados que darão suporte a uma forma particular de
aprendizagem, que por sua vez será testada. Na condução do experimento,
são realizadas e testadas conjecturas mais especializadas, e se uma
conjectura inicial é refutada, podem ser geradas e testadas novas
conjecturas alternativas.
9Juntos, os aspectos prospectivo e reflexivo, resultam numa quarta
característica, o design iterativo. Como conjecturas são geradas e talvez
refutadas, novas conjecturas são desenvolvidas e sujeitas a teste. Esta
72
característica se foca nos ciclos de intervenção e revisão necessários para
desenvolver a pesquisa.
9A quinta e última característica está relacionada com suas raízes
pragmáticas, reivindicando que a teoria usada deve fazer “trabalho real”. As
teorias desenvolvidas durante o processo de experimentação são humildes,
modestas, não apenas no sentido de que estão relacionadas a um domínio
específico do processo de aprendizagem, mas também porque são
responsáveis pela atividade de design (pelo fato de desempenharem um
trabalho real).
Uma metodologia baseada em design pode ser conduzida em diferentes
cenários educacionais, dentre os quais destacamos os experimentos de sala de aula
(onde professores e pesquisadores colaboram) e os experimentos desenvolvidos
com pequenos grupos de estudantes – que é o caso da nossa pesquisa –, em que
as seqüências ou sessões de ensino são conduzidas com professor-pesquisador e
estudante. Segundo Cobb et al (2003), “o objetivo é criar uma versão em pequena
escala de uma ecologia de aprendizagem que possa ser estudada em profundidade
e detalhe”(p. 9).
A metáfora “ecologia de aprendizagem” é usada no sentido de representar um
sistema complexo e interativo, envolvendo, além disso, múltiplos fatores de
diferentes tipos e níveis. Isto é possibilitado por meio da modelagem de seus
elementos, bem como da antecipação de como tais elementos funcionam em
conjunto, para suportar a aprendizagem.
A metodologia dos design experiments representa um tipo de experimento de
ensino voltado para pesquisas em Educação Matemática. Teve origem nos Estados
Unidos, por volta de 1970. Experimentos de ensino nem sempre foram um método
aceito de fazer pesquisa em Educação Matemática.
3.3.1 Experimentos de Ensino
Um traço marcante desta metodologia – e que a diferencia das demais – é o
fato de que os papéis de professor e pesquisador são insolúveis, mas por vezes,
73
durante um experimento, há uma reconfiguração desses papéis, de modo a permitir
a atuação do pesquisador como professor ou mesmo como co-aprendiz (KELLY &
LESH, 2000). No caso específico da nossa pesquisa, desenvolvida com dois
pequenos grupos de estudantes, exerceremos o papel de professor (devido às
interações com os estudantes) e de pesquisador (levando em consideração as
responsabilidades na criação, aplicação e análise das atividades envolvidas no
processo de design).
Na condução do nosso experimento de ensino queremos enfatizar a
ocorrência de algumas variáveis. Primeiro, quase que o total desconhecimento do
objeto de estudo tratado no experimento, neste caso, as construções geométricas
(com ou sem o computador). Segundo, a deficiência ou a falta de artefatos materiais,
principalmente computadores, na escola onde se deu o experimento, além de só
dois dos estudantes possuírem computador em suas casas. E por fim, longos
intervalos de tempo entre uma sessão e outra (Nas sessões de familiarização com o
Cabri esse intervalo de tempo foi, em média, de oito dias).
Em geral, um experimento de ensino pode apresentar diferentes focos. Para
Vaz (2003), alguns destes focos compreendem:
9O ambiente, que deve permitir aos estudantes participação ativa nas
atividades propostas;
9A atividade do professor e dos alunos; e
9A seqüência de atividades elaboradas por meio de um processo cíclico,
envolvendo teoria e prática, e chamado processo de design.
Nesta dissertação, focaremos atenção nas produções matemáticas dos
estudantes (produção de provas) a partir de atividades desenhadas no contexto das
construções geométricas no ambiente computacional de Geometria Dinâmica, o
Cabri-Géomètre.
Um experimento de ensino, segundo Steffe & Thompson (2000), envolve uma
seqüência de episódios de ensino. Um episódio de ensino inclui um agente de
ensino, um ou mais estudantes, uma evidência dos episódios de ensino, e um
método de gravação para capturar todas interações durante o episódio. Estas
74
gravações são usadas para preparar os episódios subseqüentes e, desta forma,
para a condução de uma análise conceitual retrospectiva do experimento de ensino.
Um dos principais objetivos de um experimento de ensino é a criação de
modelos explanatórios a fim de permitir interpretar os processos de aprendizagem
dos alunos. Daí, a questão a ser colocada é se os modelos construídos com base
em um determinado experimento de ensino poderão ser aplicados à compreensão
do comportamento de outros aprendizes sob condições semelhantes. Steffe &
Thompson (2000), esclarecem a esse respeito que o objetivo de um experimento de
ensino é estabelecer um modelo vivo da atividade matemática dos aprendizes em
diferentes ambientes de aprendizagem.
Ao se conduzir um experimento de ensino, deve-se constantemente testar e
revisar conjecturas, analisar o raciocínio dos estudantes e a influência do ambiente
de aprendizagem. Neste tipo de metodologia, é expressivo o fato de que a
compreensão do fenômeno em investigação ocorre enquanto o experimento se
desenvolve. É isso que confere um caráter de dinamismo à metodologia baseada em
experimentos de ensino.
3.4 O Papel do Professor
Desenvolvemos as atividades com a expectativa de que os aprendizes
pudessem expressar suas descrições e/ou justificativas com um certo nível de
autonomia, mas nos deparamos com algumas possibilidades inesperadas no
decorrer do design. Isto porque o que é esperado e o que pode ser de fato realizado
num experimento de ensino são questões que devem estar na linha de frente das
preocupações do professor-pesquisador.
Antes de qualquer coisa, a questão das dificuldades
29
dos aprendizes na
linguagem materna, e tanto mais ainda na linguagem matemática, tem implicação
direta na forma de intervenção e interação do professor, enquanto conduz as
sessões de um experimento de ensino.
29
Nos referimos, aqui, às dificuldades naturais na língua escrita e falada, tendo em vista o nível
escolar dos aprendizes (7
a
Série do Ensino Fundamental).
75
As ações do professor, neste tipo de metodologia, se dão em um contexto de
constante interação com os estudantes. As formas de agir e de indagar são
questões que representam o foco central ao se conduzir um experimento de ensino.
Cientes de que este tipo de metodologia se foca na análise do raciocínio
oferecido pelo aluno, e interessados em suas produções matemáticas, nosso papel
é auxiliar os estudantes no sentido de que possam organizar seus raciocínios, rumo
a uma linguagem matemática mais apropriada, mas, talvez, nem sempre mais
precisa.
O objetivo principal do professor-pesquisador é estabelecer modelos vivos da
atividade matemática dos estudantes, ou melhor, é criar meios de interação que
possam encorajar mudanças nos pensamentos atuais dos estudantes. O que se dá
através de uma atenção especial no design e redesign das atividades desenvolvidas
durante o experimento.
3.5 Considerações Adicionais
Entendemos que o nosso estudo se desenvolveu nas bases de um design
iterativo, caracterizado por ciclos de revisão e atualização, o que define a relação do
presente estudo com este tipo de metodologia. Nossa hipótese inicial de pesquisa é
que o Cabri-Géomètre irá contribuir com as produções matemáticas (as “provas”)
dos estudantes a partir do objeto de estudo construções geométricas.
3.6 Sujeitos de Pesquisa e Procedimento Inicial para Coleta de Dados
Os nossos sujeitos de pesquisa são alunos da 7ª Série
30
(Ensino
Fundamental) de uma escola da rede estadual de Diadema, São Paulo. No início do
ano letivo de 2006, explicamos aos alunos desta classe que haveria uma pesquisa a
ser desenvolvida e que esta trataria das construções geométricas com o uso do
computador. Esclarecemos que seria usado um programa de computador chamado
Cabri-Géomètre para executar as construções.
30
Fizemos a opção de trabalhar com nossos próprios alunos.
76
O próximo passo foi convidá-los a participar do projeto de pesquisa. Tivemos
de imediato cerca de 20 (vinte) interessados, dos quais somente 6 participaram da
pesquisa do início ao fim. Deixamos claro que o projeto seria desenvolvido fora do
horário de aula. Depois disso, começamos a fase de familiarização dos aprendizes
com o Cabri-Géomètre, concomitantemente ao uso do computador. (Veja-se a
próxima sessão)
Um dos primeiros problemas que vivenciamos nesta classe é que estes
alunos não tinham tido aulas de Geometria
31
, menos ainda de construções
geométricas. É claro, também, que como se trata de uma comunidade de baixa
renda, o acesso ao computador é muito restrito. Além do mais, os computadores da
escola estavam com problemas, com exceção de um. Uma primeira preocupação
que tivemos foi com respeito ao conteúdo de geometria a ser ensinado, o qual foi
abordado no planejamento da escola. Providenciamos em seguida dois
computadores para serem usados no desenvolvimento das atividades.
Como os nossos aprendizes não tinham acesso ao computador, tivemos
necessariamente que fazer várias sessões de familiarização com o software Cabri-
Géomètre. (Quanto ao uso do computador propriamente dito – ligar, desligar,
teclado, mouse; abrir e fechar programas; salvar arquivos e até jogar – essas tarefas
não apresentaram dificuldades para os aprendizes)
3.6.1 Sobre a Seleção dos Alunos
Não adotamos critério algum e nem aplicamos qualquer tipo de teste escrito
para escolha dos alunos, não havendo, portanto, nenhum tipo de seleção. Da lista
geral de vinte interessados do início do ano (de 2006), sobressaíram dois grupos
que, junto com o professor-pesquisador, constituíram dois sistemas de
aprendizagem. O Sistema de Aprendizagem A, com duas duplas de alunos, e o
Sistema de Aprendizagem B, com uma dupla – sendo que esta dupla só manifestou
31
Cabe a observação de que, apesar desses alunos não terem tido aulas de Geometria (não de
forma planejada), deve ficar claro que detêm algum conhecimento (noção) sobre conceitos básicos,
como retas, ângulos, e figuras planas, como triângulos e quadrados.
77
interesse em participar do projeto cerca de dois meses após termos concluído parte
da coleta de dados (nos experimentos de ensino com Cabri) com as duas duplas do
Sistema de Apendizagem A.
3.6.2 Os Materiais e o Ambiente de Trabalho
O ambiente de trabalho onde se deu o experimento de ensino é uma escola
da rede estadual de ensino, em Diadema. Ressalte-se que a sala de aula de
informática desta escola está praticamente desativada, uma vez que apenas um
computador está em condições de uso. Apesar disso, foi esse o espaço que
utilizamos.
Utilizamos, nos experimentos, dois computadores, um deles tendo sido
providenciado com os nossos próprios recursos. Em cada um dos computadores
instalamos o software Cabri-Géomètre II, que foi usado para a execução das
atividades. Participaram do experimento 3 duplas ao todo, sendo que num primeiro
momento tivemos as duplas Augusto/Cristina e Bruno/Gisele (compondo o Sistema
de Aprendizagem A) e, num segundo momento, apenas a dupla Bárbara/Suzane
(Sistema de Aprendizagem B). Esclarecemos que só depois de ter terminado os
trabalhos com as duplas Augusto/Cristina e Bruno/Gisele é que começamos a
trabalhar com a dupla Bárbara/Suzane.
Depois de cada etapa do experimento de ensino com Cabri, utilizamos,
também, cartões contendo escritas de provas matemáticas (ou explicações). Em
cada cartão escrevemos um passo da prova (esta etapa compreende o chamado
“jogo” de Prova com cartões mais os pós-teste, discutidos mais adiante). A tarefa
dos aprendizes era “montar a prova”, colocando em ordem os cartões de acordo
com o raciocínio correto empregado na demonstração.
Todas as sessões foram registradas em áudio e vídeo. Para isso,
providenciamos gravadores (“K-7” e “mp3-players”) e uma filmadora. As imagens
foram gravadas por uma outra pessoa, o que facilitou nossa atuação como
professor. Além disso, por vezes, para uma melhor interação com os estudantes,
lançamos mão da lousa como recurso didático.
78
As escritas dos aprendizes foram registradas na própria tela principal do
software, e devidamente salvas numa pasta do computador.
3.6.3 Familiarização com o Cabri-Géomètre
Nossa preocupação inicial foi fazer com que os alunos envolvidos na
pesquisa tomassem conhecimento do software Cabri-Géomètre da forma mais
familiar possível. Para tanto, foi necessária nossa interação constante com os alunos
nas várias sessões
32
de familiarização, onde agimos essencialmente como
professor-mediador.
O software Cabri-Géomètre, apesar de estar disponível nas escolas estaduais
há cerca de dez anos, é muito pouco conhecido e utilizado pelos professores. E se
pensarmos no Cabri como uma possibilidade didática (para ser usado na sala de
aula), seu uso pelos alunos se reduz quase a zero.
Pelo motivo exposto acima tivemos que introduzir os alunos ao treinamento
técnico do Cabri no que diz respeito ao menu e às ferramentas disponíveis para
construção. Esse treinamento aconteceu ao mesmo tempo em que foram sendo
executadas as primeiras construções na tela do programa. A maioria dos recursos
disponíveis no menu do Cabri foi sendo apresentada no decorrer do
desenvolvimento das atividades. Por exemplo, para construção da mediatriz de um
segmento de reta, introduzimos as ferramentas “mediatriz” e “ponto médio”, além da
ferramenta “compasso” (e também a “circunferência”).
Fizemos uma apresentação sucinta das principais características do software:
tela principal, menus e comandos. Um aspecto geral do Cabri é apresentado na
figura abaixo.
32
Cerca de quatro a cinco sessões para cada Sistema de Aprendizagem.
79
Figura 3.1 – tela principal, de abertura do Cabri-Géomètre II
Explicamos aos aprendizes a maneira de utilizar os comandos (os principais,
para os nossos objetivos). Começamos explicando como se constrói uma figura (um
ponto, uma reta, uma curva, etc), dizendo que deveriam clicar com o mouse numa
das janelas da barra de ferramentas do Cabri e depois voltar com o cursor para a
tela, efetuando a construção desejada. Citamos a construção de uma circunferência
de raio arbitrário, em que o aluno tem que clicar na 4ª janela (da esquerda para a
direita), quando retorna à tela, dá um clique, solta e arrasta para a posição
pretendida, dando um clique final. E pronto.
Figura 3.2 – destaque da 4ª janela, que permite construir circunferência, arco e cônica
Fizemos em torno de quatro a cinco sessões, sempre aos sábados, com o
objetivo de familiarizar os alunos com o uso do computador, com o software, ao
mesmo tempo em que treinamos as principais construções geométricas: ponto, reta,
segmento, circunferência, ponto médio, mediatriz, retas paralelas e perpendiculares
80
etc. A postura do professor-pesquisador foi de constante interação com os
aprendizes. Ressaltamos que não houve nenhuma forma de registro nessas sessões
de familiarização (áudio ou vídeo), pois os aprendizes não estavam bem à vontade
para tal.
3.7 As Atividades
As atividades que integram a presente pesquisa se dividem em três
conjuntos, aplicados a dois sistemas de aprendizagem. O Sistema de Aprendizagem
A é composto por duas duplas e o Sistema de Aprendizagem B, por uma dupla. Os
dois sistemas serão descritos em detalhes quando for feita a análise das atividades
no Capítulo 4. No que segue, apresentamos um resumo dos três conjuntos de
atividades.
x Conjunto 0, composto pelas Atividades Preparatórias, e contendo sete
questões.
Foi aplicado com o objetivo de introduzir os aprendizes à noção de construções
geométricas num ambiente de Geometria Dinâmica e prepará-los para a etapa
seguinte – a coleta de dados propriamente dita. Houve apenas registro de voz, mas
pedimos que escrevessem na tela a descrição da construção e que salvassem num
diretório do HD (Hard Disk). Tais respostas estão em anexo no fim deste trabalho.
Vale lembrar que as questões abordadas neste conjunto de atividades já vinham
sendo desenvolvidas nas sessões com Cabri e na sala de aula de Matemática.
x Conjunto 1, com seis questões assim distribuídas:
Conjunto 1.1: Introduzindo construções geométricas no Cabri;
Conjunto 1.2: Introdução à prova;
Conjunto 1.3: Caixas-pretas;
Conjunto 1.4: Episódio de Ensino; e
Conjunto 1.5: Construções de Mohr-Mascheroni (ponto simétrico)
x Conjunto 2, composto por um total de 5 atividades. Neste conjunto,
apresentamos as provas de certas proposições geométricas confeccionadas
81
em cartões, da seguinte maneira: num certo cartão, colocamos o enunciado
do teorema, bem como figuras, diagramas, dicas etc e as etapas da prova
eram apresentadas de forma “solta” em alguns outros cartões. A isto vamos
chamar de “jogo” de prova, de modo que cada dupla de aprendizes “ganha”
o jogo quando conseguir organizar as etapas da prova na ordem correta. Este
conjunto abrangeu também a realização de um pós-teste, em que a prova
tinha que ser elaborada por escrito (com lápis e papel).
Abaixo, organizamos um quadro-resumo do Sistema de Aprendizagem A.
Sistema de Aprendizagem A
Conjunto Descrição
Número de
sessões
Duplas/sujeitos
Conjunto 0
Atividades
Preparatórias
1
x Augusto/Cristina
x Bruno
1ª sessão
x
Augusto/Cristina
x Bruno/Gisele
2ª sessão
x
Augusto/Cristina
x Bruno/Gisele
Conjunto 1
Introdução à
prova e às
construções
geométricas no
Cabri
2
Redesenhadas na Sessão 2
Conjunto 2
“Jogo” de
prova com
cartões +Pós-
teste
1
x Augusto/Cristina
x Bruno/Gisele
Tabela 3.1 – Resumo do Sistema de Aprendizagem A
O Sistema de Aprendizagem B é formado apenas por uma dupla,
Bárbara/Suzane, e segue resumido abaixo.
82
Sistema de Aprendizagem B
Conjunto Descrição
Número
de
Sessões
Duplas/sujeitos
Conjunto
0
Atividades
Preparatórias
--- ---
Conjunto
1
Introdução à
prova e às
construções
geométricas
no Cabri
3 Bárbara/Suzane
Conjunto
2
“Jogo” de
prova com
cartões+Pós-
teste
1 Bárbara/Suzane
Tabela 3.2 – Resumo do Sistema de Aprendizagem B
3.7.1 As Atividades: Objetivos, Resoluções e Comentários
3.7.1.1 Conjunto 0 (Atividades Preparatórias)
Este conjunto de atividades foi desenvolvido para ser aplicado a duas duplas
– Augusto/Cristina e Bruno/Gisele –, mas no dia marcado, um sábado, a aluna
Gisele faltou. Com isso, o teste se realizou com a dupla Augusto/Cristina num
computador e com o aluno Bruno sozinho num outro computador.
Não pedimos aos aprendizes que apresentassem as justificativas das
construções feitas; mas tiveram que fazer suas primeiras tentativas de descrever os
passos da construção. A opção da não justificativa das construções foi feita por
entendermos ser uma etapa inicial do processo de design, em que os aprendizes
ainda estavam tentando dominar as construções básicas. Inclusive, enquanto
professor-pesquisador, interagimos com os aprendizes na maior parte das
atividades.
83
Seguem as atividade do Conjunto 0 no quadro abaixo:
1) Construa um segmento de reta AB. Trace a mediatriz deste segmento. Como se chama o
ponto de intersecção da reta mediatriz com o segmento?
2) Construir uma circunferência e um diâmetro.
3) Marque dois pontos A e B e construa o simétrico de A com relação a B.
4) Desenhe uma reta r e um ponto P fora dela. Construa o simétrico de P com relação à reta
r.
5) Dividir uma circunferência:
a) em duas partes iguais;
b) em seis partes iguais
c) em três partes iguais
6) Construa um ângulo de 180°.
7) Construa 3 pontos colineares (que estão na mesma reta). Faça a verificação!
Quadro 3.1 – Conjunto zero (Atividades Preparatórias)
Para cada uma dessas questões, esperamos certos tipos de soluções (da
construção) dadas pelos aprendizes. As possíveis soluções apresentadas por nós
para este primeiro conjunto de atividades se encontram no Anexo 2 no fim deste
trabalho.
3.7.1.2 Sumário sobre as Atividades do Conjunto 0
Nas atividades do Conjunto 0, nossa intenção foi iniciar os aprendizes no
processo de design, uma espécie de preparação para a etapa seguinte do
experimento. Reforçamos que foi solicitado aos aprendizes que descrevessem suas
construções na própria tela do Cabri, mas de forma alguma foram dadas quaisquer
justificativas (provas) de suas construções. Além disso, só houve gravação de voz.
Apesar de todas as questões requererem um certo nível de prova, isso não foi
feito pelos aprendizes, como salientamos acima. Podemos dizer que foram
atividades exploratórias, no sentido de que os alunos visualizaram propriedades,
exploraram conjecturas e até “provaram” teoremas de forma experimental. Para
84
tanto, fizeram uso dos diversos recursos que oferece o Cabri, como as ferramentas
“distância e comprimento”, “medida de ângulo”, “colinear?”, “simetria central”,
“simetria axial”, “perpendicular”, etc.
Apresentaremos, na próxima sessão, o conjunto de atividades que compôs a
etapa seguinte da coleta de dados, que vamos denominar de Conjunto 1.
3.7.2 Conjunto 1
Este conjunto, composto por sete questões, foi planejado para ser aplicado às
duplas Augusto/Cristina e Bruno/Gisele. Imaginávamos também ser possível aplicar
essas atividades em apenas uma sessão, mas isso não foi possível, pois há uma
distância significativa entre o que é previsto e o que pode ser de fato realizado,
executado, num processo de design. Resultado: este conjunto foi aplicado em duas
sessões e enfatizamos que foram sessões de longa duração (em torno de 2,5 a 3
horas cada sessão). Nesta etapa pedimos aos alunos que justificassem suas
construções, ou seja, que escrevessem a prova na tela do Cabri. Vale ressaltar que,
como houve gravação de vídeo (além de um gravador para cada dupla), isso deixou
os estudantes pouco à vontade diante da câmera, pelo menos nos primeiros
momentos.
3.7.2.1 Conjunto 1.1: Introduzindo construções geométricas no Cabri
Atividade 1
33
Construa uma circunferência qualquer e marque um ponto P sobre a mesma. Use a ferramenta
“animação” para fazer com que o ponto P se movimente sobre a circunferência. Marque um outro
ponto, A, sobre a circunferência, e repita a operação. O que você pode observar?
Figura 3.3 – Atividade 1
33
Esta atividade teve como objetivo levar os alunos a indagar que propriedade geométrica caracteriza
o ponto A (ponto P...).
85
Esta questão teve por objetivo mostrar aos aprendizes que todos os pontos
de uma circunferência são eqüidistantes do seu centro. A conclusão a que deveriam
chegar era que OA = OP = raio. Para isso, deveriam se valer do dinamismo do
Cabri.
Atividade 2
34
Na circunferência abaixo, os segmentos OA, OB, OC e OD têm a mesma medida. Comente a
afirmação.
Figura 3.4 – Atividade 2
Colocamos esta questão na forma de uma afirmação, explicando aos
aprendizes que em matemática, quando se faz uma afirmação, há duas
possibilidades: quando a afirmativa é verdadeira, procura-se provar, explicar o
porquê; quando é falsa, apresenta-se um contra-exemplo e com isso a afirmação
fica verificada.
Entendemos que esta questão reforça a anterior, sendo uma extensão da
mesma. Um dos objetivos era que os aprendizes enunciassem a propriedade:
“qualquer segmento que ligue um ponto da circunferência ao seu centro tem sempre
o mesmo tamanho (raio)”. O outro objetivo visado era, também, que verificassem a
afirmação usando os recursos dinâmicos do software.
34
O objetivo principal é que, numa atividade como esta, os alunos comentem a veracidade (ou não)
de uma afirmação; um segundo objetivo é que usem os recursos dinâmicos do Cabri.
86
Atividade 3
Por quê o círculo C
1
tem o mesmo tamanho que o círculo C
2
?
Figura 3.5 – Atividade 3
Esta questão foi apresentada aos alunos a fim de que dessem os primeiros
passos na compreensão entre uma construção e a explicação que a valida.
Observemos ainda que na pergunta está implícito que as circunferências têm o
mesmo tamanho.
A resposta esperada era: por que têm o mesmo raio; ou ainda, por que foram
construídas com o mesmo raio (por construção). Os aspectos dinâmicos do Cabri
poderiam ser usados para responder à pergunta.
Atividade 4
Construir uma reta que divide uma circunferência um duas partes iguais.
Figura 3.6 – Atividade 4
Nesta atividade, os alunos deveriam primeiro construir uma circunferência
com qualquer centro e raio. O próximo passo da construção seria traçar uma reta
passando pelo centro da circunferência. Esperávamos, nesta questão, que os alunos
87
(além de traçar a reta pelo centro), marcassem os pontos de intersecção da reta com
a circunferência e percebessem a relação entre pontos colineares e um ângulo raso
e que uma reta que passa pelo centro determina, na circunferência, um diâmetro.
3.7.2.2 Conjunto 1.2: Introdução à prova
Atividade 5
Dobrar o segmento de reta AO. Faça a construção (a) sando todas as ferramentas
disponíveis do Cabri e (b) usando apenas o compasso (a ferramenta
“circunferência”)
E a prova, vem quando?
Figura 3.7 – Atividade 5
Esta atividade teve como alvo introduzir os estudantes à prova (no redesign
para a segunda Sessão, o item (ii) foi excluído, uma vez que os aprendizes não
perceberam diferenças entre este e os demais).
Nossa intervenção foi no sentido de que os aprendizes fossem abandonando
gradualmente as diversas ferramentas disponíveis no Cabri e só ficassem com a
circunferência. A seguir, ofereceremos algumas possibilidades de resolução para
esta questão.
Iremos resolver as atividades (i) e (ii) conjuntamente, por simetria central ou
usando retas e circunferências.
1ª resolução: por simetria central
88
Figura 3.8 - 1ª possível resolução da Ativ.5
Passos da construção
1) Clicamos na ferramenta “simetria central”;
2) Levamos o cursor até a tela, clicamos em O e depois em A, quando aparece
um outro ponto, B, que será o simétrico de O em relação a A. Com as
ferramentas “colinear” e “distância e comprimento”, facilmente verifica-se que
OB = 2.OA.
2ª resolução – item (i): usando retas e circunferências
Figura 3.9 – 2ª possível resolução da Ativ.5 (i)
1) Traçamos uma reta r, passando por O e A;
2) Traçamos uma circunferência C’ de centro A e raio OA;
3) Tomamos o ponto B, intersecção da circunferência C’ com a reta r.
Prova: O segmento OB é de fato o dobro de AO, visto que AO = AB = raio e B é
colinear com O e A (pois B é intersecção de C’ e r).
3ª resolução - item (ii): reta e circunferência
Passos da construção
89
Figura 3.10 – 3ª possível solução da Ativ.5 (ii)
1) Traçamos a reta r, que passa por O e A (assim, o segmento estará contido
em r);
2) Construímos a circunferência C, de centro A e raio OA;
3) Toma-se o ponto B, B = C
r.
Prova: O ponto B é colinear com A e O e como A é ponto médio de OB, segue
que AO = AB =raio. Portanto, OB = 2.OA = 2.(raio).
Resolução do item (iii).
Aqui usaremos apenas circunferências.
Figura 3.11 – Ativ.5
Passos da construção:
1) Traçamos as circunferências C, de centro O, e C
1
, de centro A (ambas de
mesmo raio OA)
2) Tomamos P na intersecção de C e C
1
;
3) Traçamos a circunferência C
2
, de centro P e raio OA;
4) Tomamos Q na intersecção de C
1
e C
2
;
5) Traçamos a circunferência C
3
, de centro Q e raio OA;
6) Tomamos o ponto B, intersecção de C
1
e C
3.
90
Prova: Precisamos provar que OB = 2.OA.
Vamos usar o teorema auxiliar seguinte: Se
D
E
, então r // s.
Figura 3.12 – Duas paralelas cortadas por uma transversal
Como OA = AB = raio, para concluir que OB = 2.OA, temos que provar que os
pontos O, A e B são colineares. O que é feito provando-se que as retas OB e PQ
são paralelas (usando o teorema enunciado acima).
Por construção, cada um dos 3 ângulos no vértice A mede 60º (pois os
triângulos OAP, PAQ e QAB são eqüiláteros, todos com o vértice A em comum).
Logo, a ângulo OÂB é raso e, portanto, os pontos O, A e B são colineares.
Eis a prova:
Como , pela congruência dos triângulos OAP e PAQ, tem-
se que PQ // AO (1);
ˆ
ˆ
PAO APQ{
Da mesma forma, temos a congruência dos triângulos PAQ e QAB,
donde , e então PQ // AB (2).
ˆ
BAQ AQP{
ˆ
Logo, por (1) e (2), temos que AB // AO e sendo AO e AB dois segmentos (iguais)
com o ponto A em comum, concluímos que os pontos O, A e B são colineares. Caso
contrário, teríamos pelo ponto B duas paralelas à reta PQ, o que contraria o 5º
postulado de Euclides.
91
3.7.2.3 Conjunto 1.3: “Caixas pretas”:
O principal objetivo das atividades tipo “caixas-pretas” foi procurar fazer com
que os alunos se utilizassem certas noções ou propriedades já adquiridas ou
parcialmente adquiridas, ou que fizessem novas descobertas a partir da figura dada,
principalmente fazendo uso do dinamismo do software Cabri-Géomètre. E vale
lembrar que as figuras correspondentes a esta questão foram preparadas pelo
professor-pesquisador e prontamente salvas em uma pasta do computador.
O termo “cópia exata”, como foi explicado no experimento, significa construir
uma figura com as mesmas propriedades que a figura dada. Além disso, não foi
pedida qualquer justificativa da construção.
Lembramos que na segunda Sessão, para o Sistema de Aprendizagem A,
esta questão teve o enunciado modificado. A explicação é que na primeira sessão
uma das duplas usou o conceito de simetria para “copiar” a figura (no caso, item (a)
e (b)), momento em que houve interferência do professor-pesquisador, esclarecendo
que este método não era apropriado para resolver a questão, uma vez que a
ferramenta “simetria” apenas executa a “imagem” e, portanto, não mantém o mesmo
comportamento da figura original. Vejamos a versão inicial e a versão final desta
questão:
9Versão inicial “Procure fazer uma “cópia exata” de cada figura a seguir. Mas
antes, procure movimentar a figura ou partes da mesma.”
9Versão final (redesenho) : “Reproduzir uma figura que tenha o mesmo
comportamento que a figura abaixo. Mas antes, procure movimentar a figura
ou partes da mesma.” Segue a atividade.
Atividade 6
O principal objetivo desta atividade era enfatizar a noção de construção
robusta. Nossa interação com os aprendizes se deu no sentido de esclarecer que
uma construção é robusta se pudermos movimentar partes da mesma e ela mantiver
as propriedades originais (pode mudar a forma).
92
Procure fazer uma “cópia exata” de cada figura a seguir:
Mas antes, procure movimentar a figura ou partes da mesma.
Figura 3.13 – Todos os itens da Ativ.6
Esta atividade trata exclusivamente dos dois tipos de simetria: central e axial.
O objetivo era enfatizar a noção de construção robusta/mole e, para isto, os alunos
deveriam explorar a fundo cada figura, a fim de encontrar as pistas para a solução
correta. Esperávamos, por exemplo, que medissem distâncias, verificassem a
colinearidade de pontos, perpendicularismo, que medissem ângulos e assim por
diante.
Nesta questão, primeiro pedimos aos aprendizes que abrissem o arquivo
contendo cada figura. Auxiliamos os aprendizes mostrando que nem todos pontos
das figuras poderiam ser movimentados (ver ilustração abaixo).
Figura 3.14 (Ilustração). Movimentação do ponto B.
Os alunos deveriam perceber em primeiro lugar que somente o ponto B
poderia ser movimentado. Foram instruídos a fazer verificações utilizando as
ferramentas do Cabri: “distância e comprimento” e “colinear?”.
Resolução: de (a)
93
1)Traçamos uma circunferência com centro O em qualquer lugar da tela do Cabri,
mas com o mesmo raio da circunferência dada,usando a ferramenta “compasso”;
2) marcamos um ponto B sobre a mesma e encontramos o seu simétrico A
relativamente ao centro O;
3) Unimos os pontos B e A, o que resolve a questão.
Resolução: de (b)
Uma vez que foi permitido manipulações de partes da figura, bem como
verificações (das distâncias, alinhamento dos pontos), esta questão se resolve da
mesma maneira que a anterior, sendo apenas uma pequena variação da mesma
(deixamos de traçar o diâmetro e mudamos os rótulos dos pontos).
Resolução: de c)
Figura 3.15 – Atividade 6
Nesta atividade, o diâmetro é fixo e o ponto A é móvel. Trata-se de simetria
na circunferência. O ponto B é o simétrico de A em relação ao diâmetro Tracejado.
Possibilidades de resolução
1ª) Esta atividade pode ser resolvida de modo mais prático por “simetria axial” ou por
perpendicularidade (ferramenta “reta perpendicular”).
1) Por simetria, basta clicar na ferramenta “simetria axial”, levar o cursor à tela,
clicar no ponto A e depois no diâmetro. O ponto B, simétrico de A, aparece
sobre a circunferência, do outro lado do diâmetro. Ver a figura abaixo:
94
Figura 3.16 – resolução da Ativ.6
2) Usando a ferramenta “reta perpendicular”, clicamos no ponto A e em seguida
no diâmetro. O ponto B aparece como intersecção da circunferência com a
reta. Ver a figura abaixo:
Figura 3.17 – Resolução da Ativ.6
2ª) Também podemos resolver esta atividade usando apenas circunferências, como
segue:
1ª) Basta que tracemos uma circunferência C’ numa das extremidades do diâmetro e
passando por A. A outra intersecção de C e C’ é exatamente o ponto B, simétrico de
A em relação ao diâmetro.
95
Figura 3.18 – Resolução da Ativ.6
[d]
Figura 3.19 – Ativ.6 (d)
Nesta atividade, que trata de simetria central, apenas dois pontos são
“clicáveis” (ou seja, podem ser movidos): A e C. A resolução desta já foi
contemplada anteriormente nas questões de encontrar o simétrico, dobrar o
segmento de reta etc. A intenção era que os aprendizes (a exemplo de outras
atividades) explorassem o dinamismo do Cabri.
3.7.2.4 Conjunto 1.4: Episódio de ensino – Introduzir as congruências.
Esta parte do experimento de ensino foi desenvolvida com a ajuda de
materiais concretos: cartolinas e folhas transparentes, assim como material de apoio
escrito (os critérios de congruência). Teve como objetivo tratar as noções e casos de
congruência de triângulos pela sobreposição de figuras. No final da exposição
explicamos aos aprendizes como se prova uma proposição envolvendo congruência
96
de triângulos. Basicamente, apresentamos a prova do seguinte problema: “Se um
ponto P pertence à mediatriz de um segmento de reta AB, então PA = PB.”
9Explicamos aos alunos que a idéia de sobreposição é que está por traz do
conceito de congruência, mas que só a idéia não é suficiente e por isso
não podemos comparar triângulos dessa maneira afim de verificar se eles
são ou não congruentes. Podemos, sim, “formar uma imagem mental da
sobreposição”, tentando descobrir visualmente quais vértices devem
coincidir para que os triângulos fiquem sobrepostos.
9Explicamos que para estabelecermos uma congruência, é necessário que
se faça uma associação (ou uma correspondência) entre os vértices dos
dois triângulos e que essa associação é que mostra a correspondência
entre os vértices do dois triângulos para que estes se sobreponham.
9Explicamos 3 dos 4 casos de congruência (LLL, LAL e ALA)
35
.
9Provamos o teorema da mediatriz usando congruências (caso LAL).
A congruência de triângulos constitui um importantíssimo recurso nas
demonstrações de teoremas em geometria. Sem este recurso, não se faz muita
coisa em Geometria, em particular com relação às propriedades de triângulos.
3.7.2.5. Conjunto 1.5 : Construções de Mohr-Mascheroni (Ponto simétrico)
Atividade 7
(a) Construir o simétrico de P em relação à reta AB;
(b) Construir o simétrico de P em relação ao diâmetro da circunferência.
35
Não foi necessário explicar o 4º caso de congruência – LAA
0
(Lado, Ângulo, Ângulo oposto) –, pois
as demonstrações que procuramos trabalhar com os aprendizes não chegaram a exigir tal nível de
raciocínio. Observe-se que é possível provar que a situação LAA
0
cai no caso ALA. Entretanto, a
situação LAA
0
aparece freqüentemente em demonstrações e, para não termos o trabalho de faze-la
recair no caso ALA sempre que ela aparecer, daí resulta que esta situação (LAA
0
) é elevada a critério
de congruência de triângulos. Os detalhes da prova a que nos referimos podem ser encontrados em
Putnoki (1991).
97
Figura 3.20 – Atividade 7
Possibilidades de solução
Primeiro observemos que se a reta (ou o segmento) não estiver pontilhada,
esta atividade não pode ser resolvida com a ferramenta “simetria axial”. As soluções
com retas e circunferências já foram abordadas Conjunto 0. Daremos as respectivas
soluções com o compasso apenas.
Resolução do item (a)
Figura 3.21 – Resolução da Ativ.7 (a)
1) Traçam-se duas circunferências C e C’: a primeira de centro A passando por
P e a segunda de centro B passando também por P;
2) O outro ponto de intersecção entre C e C’ é P’.
3) P’ é o simétrico de P em relação à reta AB. De fato, a reta que passa por A e
B é mediatriz do segmento
,
PP
assim obtido. Logo, M é ponto médio de
,
PP
,
o que garante que P’ é o simétrico de P.
98
Prova: Sabemos, por construção, que AP = AP’ e BP = BP’. Sabemos também que
AB é lado comum aos triângulos ABP e ABP’. Podemos dizer então que os
triângulos ABP e ABP’ são congruentes, pelo caso LLL.
Sendo M o ponto de intersecção de
,
PP
com a reta
A
B
HJJG
, temos que os
triângulos AMP e AMP’ são também congruentes com ângulos retos em M. Logo, P’
é o simétrico de P em relação à reta
A
B
H
JJG
.
Resolução do item (b)
Figura 3.22 – Resolução da Ativ.7 (b)
Passos da construção:
1) Traçamos uma circunferência C’ de centro B, passando por P;
2) Tomamos o ponto P’, intersecção de C e C’. O ponto P’ será o simétrico de P
em relação ao diâmetro da circunferência.
Prova: Esta prova não tem diferença em relação à apresentada no item (a).
Observemos que não foi necessário considerar, na construção, a circunferência C’’
(que deixamos tracejada), de modo que simplesmente aproveitamos a circunferência
C (que já estava desenhada).
3.7.3 Sobre as Atividades Previstas e as Realizadas (Conjunto 1)
Na Sessão 1, realizada numa segunda-feira, as duas duplas só conseguiram
chegar até o exercício 6 (Caixas-pretas) e ainda assim, não terminaram os itens c) e
d). Por isso, após uma análise preliminar, estas atividades foram revisadas. Não
reaplicamos as questões de 1 a 4 (pois já haviam sido feitas na primeira Sessão);
99
excluímos o item (2) da questão 5 e o item (c) da questão 6(sobre Caixas-pretas),
além de alterarmos seu enunciado.
Na Sessão 2, realizada numa sexta-feira, iniciamos com o Episódio de
Ensino, ou seja, com uma “aula” sobre congruência de triângulos (ver mais adiante).
Em seguida, continuamos a aplicação das atividades.
3.7.4 Sumário sobre as Atividades do Conjunto 1
As Atividades desenvolvidas no Conjunto 1 foram divididas em 5 partes. Com
exceção do Conjunto 1.4, no qual abordamos as congruências de triângulos, todas
exigiram algum tipo de prova por parte dos aprendizes. Ressaltamos que neste
conjunto sobre congruências, iremos levar em conta as possíveis interações dos
alunos com o professor-pesquisador, quando da análise das atividades no próximo
capítulo.
No Conjunto 1.1, o objetivo foi levar os aprendizes a explicar seus
raciocínios, principalmente explorando os aspectos dinâmicos do software Cabri-
Géomètre. Esperávamos que dessem mais explicações e menos provas (formais)
sobre o que entenderam.
No Conjunto 1.2, até mesmo as construções tinham que obedecer a uma
certa ordem: Primeiro efetuavam a construção usando todas as ferramentas
disponíveis no Cabri; e por último, tinham que resolver com o uso apenas do
compasso (ou seja, com o uso apenas das ferramentas “compasso” e/ou
“circunferência”). Nesta etapa, os aprendizes tinham que justificar suas construções
e para isso deveriam usar não somente linguagem matemática, mas também,
linguagem natural.
Com relação ao Conjunto 1.3, sobre caixas-pretas, o principal objetivo foi
levar os aprendizes à descoberta de propriedades e, possivelmente, de relações nas
figuras dadas para serem “copiadas”. Não era, portanto, para apresentar as
justificativas das construções. A relevância deste conjunto para o nosso estudo está
relacionada com a distinção entre construção mole e construção robusta.
100
Nas duas únicas atividades do Conjunto 1.5 foi abordado especificamente o
conceito de simetria axial. Neste grupo foi dada uma maior ênfase ao método das
construções geométricas realizadas apenas com o compasso (construções de Mohr-
Mascheroni). Isto porque as resoluções de tais questões por outros meios
(principalmente aquele que utiliza a reta nas construções) já tinham sido estudadas
em diversas outras ocasiões, como por exemplo, no Conjunto 0. Estas atividades
foram aplicadas com o objetivo de que os alunos elaborassem suas justificativas
(provas matemáticas), valendo-se das congruências de triângulos.
Infelizmente, ao que tudo indica, a análise global das atividades ficará um
tanto prejudicada, pois os aprendizes não conseguiram concluí-las (as do Conjunto
1.5) satisfatoriamente.
3.8 Conjunto 2 (“Jogo” de prova com cartões e Pós-teste)
Este conjunto, formado por quatro atividades, foi aplicado aos dois sistemas
de aprendizagem, A e B. Desta vez, as provas foram apresentas aos aprendizes na
forma acabada. Esta atitude foi tomada em face das dificuldades enfrentadas (pelos
alunos) nas sessões do experimento de ensino, conduzidas com o Cabri-Géomètre.
Freqüentemente, vamos nos referir a este conjunto como “jogo” de prova.
Como serão as regras deste “jogo”?
Em primeiro lugar, não deve haver disputas entre duplas (caso o experimento
seja conduzido com mais de uma dupla, ao mesmo tempo).Cada dupla de alunos
terá que “jogar” quatro partidas, sendo que cada partida corresponderá a colocar em
ordem um certo número de cartões contendo provas matemáticas (no âmbito da
Geometria Euclidiana Plana).
Em seguida às atividades do “jogo” de prova, os aprendizes farão um pós-
teste. O pós-teste consiste em que os aprendizes terão que contar a historinha da
prova, mas desta vez, com uma produção escrita, semelhante à forma que fizemos
nos cartões.
101
Às duas duplas do Sistema de Aprendizagem A não foi permitido que
consultassem os cartões do “jogo” de prova. Já para a dupla do Sistema de
Aprendizagem B, após uma análise retrospectiva, tomamos a decisão de permitir,
além do uso dos cartões, a consulta aos casos de congruência de triângulos, com o
objetivo de que, talvez, pudessem tomar como base o raciocínio empregado em
alguma prova já feita.
A seguir, apresentaremos a atividades deste conjunto. Ressaltemos que as
mesmas já se encontram resolvidas, ou melhor, o enunciado e os passos da prova
foram devidamente organizados em cartões.
3.8.1 Atividades: “Jogo” de prova
36
Atividade 1
Para esta atividade, além do enunciado e da construção, descrevemos
também os passos da construção. Trata-se de uma atividade que envolve
basicamente uma prova explicativa, a qual os aprendizes podem realizar observando
a construção (e a descrição). A prova foi organizada em três passos (como se pode
ver a seguir).
Dados os pontos A e B, construir um ponto C pertencente à reta , de maneira
AB
HJJG
que B seja ponto médio do segmento
AC .
Passo da construção:
1] Traçamos uma reta passando por A e B;
2] Construímos uma circunferência com centro em B e raio AB;
3] Marcamos o ponto C, intersecção da reta AB
H
JJG
com a circunferência.
36
Estas atividades, tais como são apresentadas neste capítulo, foram aplicadas ao Sistema de
Aprendizagem A. Para o Sistema de Aprendizagem B, forma revisadas/redesenhadas as atividades 1
e 4. Colocaremos a segunda versão de forma resumida, sem os “cartões”.
102
O ponto C intersecção da reta com a circunferência, é a resposta. Explique isso!
Passo 1
O pontos A, B e C são colineares, pois o ponto C é ponto de intersecção da reta s
A
B
HJJG
com a circunferência.
Passo 2
Como, por construção, eu sei que:
AB = BC = raio
Passo 3 (conclusão)
Posso, assim, concluir que o ponto C é o ponto da reta
A
B
H
JJG
tal que B é ponto médio de AC .
Comentários: Para a dupla do Sistema de Aprendizagem B, os passos da prova
tiveram que ser refeitos/reorganizados. O passo 1 apresentava incorreção teórica,
por isso foi reformulado; o passo 2 é uma conseqüência da construção, por isso ao
invés de “eu sei que...” escrevemos “eu tenho que...”; e por fim o passo 3
(conclusão) foi simplificado. Segue os passos da prova com as devidas alterações.
91 - Os pontos A, B e C são colineares, pois C é ponto da reta AB;
92 – Por construção, eu tenho que: AB = BC = raio;
93 – Portanto, B é ponto médio de AC.
Atividade 2
Esta atividade tem como objetivo verificar os entendimentos dos alunos sobre
congruência de triângulos, partindo de uma proposição referente ao triângulo
103
isósceles. Explora termos geométricos mais elaborados como mediana, ponto
médio, ângulos da base e congruência de lados e ângulos.
A prova compõe-se de quatro passos, sendo que o primeiro explica o que é a
hipótese e o que é a tese da proposição (que é a seguinte: provar que num triângulo
isósceles os ângulos da base são iguais). Além disso, em alguns passos da prova
foram dadas dicas e explicações adicionais. Segue a atividade.
A figura abaixo é um triângulo isósceles. Veja!
AB AC
M
é ponto médio de BC
°
®
°
¯
Você deve tentar provar que
ˆ
ˆ
B
C
{
. Para isso, organize os cartões na ordem correta
do raciocínio usado na prova.
Passo 1:
Temos: Queremos provar que:
ABC
AB AC
'
{
ˆ
ˆ
B
C
{
Hipótese Tese
(O que é dado) (Conclusão)
Passo 2:
Eu sei que nos dois triângulos, AMB e AMC, temos:
Ah! Então posso
imaginar um
triângulo se
sobrepondo ao
outro. E daí?...
104
AB AC
AM AM
B
M CM
do
'
AMB do
'
AMC
Passo 3:
O critério LLL (Lado, Lado, Lado) nos garante que
AMB AMC
'
{ '
(Os dois triângulos são congruentes)
Passo 4 (conclusão):
O fato de os triângulos AMB e AMC serem congruentes quer dizer que eles têm
a mesma forma e o mesmo tamanho.
Conseqüentemente,
ˆ
ˆ
B
C
{
Têm lados ordenadamente
iguais; logo, os demais
elementos (os ângulos) serão
ordenadamente iguais.
Atividade 3
Nesta atividade damos o enunciado e a construção, mas não a descrição. Do
mesmo modo que a atividade anterior, colocamos algumas caixas explicativas, do
tipo caixas de diálogos. É uma atividade que tenta explorar duas noções sutis e
interligadas, a nosso ver: a noção de colinearidade e a de ângulo raso. Em
comparação com a Atividade 1, sua prova exige um pouco mais de empenho
intelectual dos aprendizes. Observemos, também, que para esta atividade não se faz
necessário explicitar a hipótese e a tese. Podemos notar que esta questão é
praticamente igual àquela de dobrar um segmento de reta – a menos do enunciado,
claro.
105
Construir um ponto P na reta
A
B
HJJG
, de forma que B seja ponto médio do segmento
AP .
Nesta construção não usamos retas, apenas o compasso.
ÎComo é mesmo esta
construção? Vou traçando
circunferências com o
mesmo raio AB,
até…encontrar o ponto P.
Construção:
Passo 1:
Eu sei que
os triângulos ABC, CBD e DBP
são eqüiláteros (pois foram construídos com a mesma medida AB).
Logo, todos os três ângulos no vértice B medem 60° ( 60 graus), ou seja:
Passo 2:
ˆ ˆ
ABC CBD DBP
ˆ
=60º
Com este
resultado, posso
concluir que os
três pontos A, B
e P são
colineares.
ÎAs partes pontilhadas
são para ajudar a “ver”
as retas.
106
Passo 3:
Logo, somando esses três ângulos vem o resultado:
ˆ ˆ ˆ
60 60 60 180
ABC CBD DBP
q q q q
(A soma dos 3 ângulos no vértice B é 180 graus.)
Passo 4 (conclusão):
E como
AB = BP (= raio), chegamos à conclusão de que:
B é ponto médio de AB
Comentários: Em termos teóricos, esta atividade deveria ter sido redesenhada para
ser aplicada ao Sistema B, pois, como se observa acima, utiliza-se medida para
justificar as afirmações. Mas isto não foi possível, uma vez que só elaboramos uma
outra prova (sem utilizar medida) bem depois de aplicar as atividades a todos os
aprendizes. E esta prova foi feita com base em um teorema sobre paralelismo,
quando comentamos a Atividade 5.
Atividade 4
Nesta atividade, foi necessário efetuarmos a construção, a descrição e, além
disso, tivemos que construir uma nova figura onde os triângulos envolvidos
aparecem com mais destaque.
De todas as atividades do “jogo” de prova, consideramos esta a mais difícil.
Em primeiro lugar, porque usa dois casos de congruência de triângulos e em
segundo, porque a prova foi apresenta em oito passos. Como forma de proporcionar
uma melhor compreensão aos aprendizes foram colocadas notas explicativas e
diagramas para ajudar na prova. O principal objetivo era que os estudantes ao
menos percebessem os possíveis casos de congruência de triângulos, observando
107
os detalhes da figura e que, a partir daí, pudessem se concentrar nos passos iniciais
da prova. Relembramos que a construção foi executada com o compasso apenas
(construção de Mohr-Mascheroni), sendo que as linhas pontilhadas foram traçadas
para visualizar os triângulos e como dados auxiliares à elaboração da prova.
Vejamos a atividade na seqüência.
Dados os pontos A, B e C, construir o simétrico de C em relação à reta .
AB
HJJG
Nesta construção não usamos retas, apenas o compasso.
Passos da construção:
1] Construímos uma circunferência de centro B e raio BC;
2] Construímos outra circunferência, de centro A e raio AC
3] Marcamos o ponto D, que intersecção das duas circunferências traçadas. E
pronto!
As partes tracejadas
são apenas para
ajudar a “ver” as retas!
Então, o ponto D é a resposta procurada. Como vou mostrar agora que a construção
está correta?
108
Passo 1:
Podemos desenhar dois triângulos, ABC e ABD:
Passo 2:
Por construção, eu sei que:
AC = AD (mesmo raio)
o
L
BC = BD (mesmo raio)
o
L
AB = AB (lado comum aos 2 triângulos)
o
L
E posso dizer então que…
Passo 3:
O triângulo ABC é congruente ao triângulo ABD,
pelo caso LLL
Passo 4:
Podemos desenhar dois triângulos, ACM e ADM. Seja
M
AB CD .
Será que
sobrepondo…
109
Passo 5:
Sabemos que:
AC = AD (raio)
CÂB = DÂB (Por causa da congruência dos triângulos ABC e ABD).
AM = AM (lado comum)
Passo 6:
Então, pelo critério LAL
ACM ADM' { '
Daí, isso me leva ao seguinte:
Passo 7:
CM = DM
ˆ ˆ
CMA DMA
E além disso, como ,
ˆ ˆ
180CMA DMA q
podemos concluir que:
ˆ ˆ
90CMA DMA
q (ângulos retos)
ÎSe dois ângulos são iguais
e têm soma 180 graus, então
cada um mede 90 graus.
Qual é mesmo a
conseqüência desses dois
triângulos serem
congruentes? Hum! A
resposta me ajudaria
bas
t
a
nt
e
!
110
Passo 8(conclusão):
Logo, D é o simétrico de C em relação à reta AB
HJJG
Comentários: Pelo fato de que nesta prova também utilizamos medida para
justificar algumas afirmações, foi necessário redesenhá-la para aplicar ao Sistema B.
Eis a “nova” atividade:
91 – Podemos desenhar dois triângulos: ABC e ABD;
92 – Por construção, eu sei que AC = AD (L), BC = BD (L) e AB = AB (L). E
posso então dizer que...
93 – O triângulo ABC é congruente ao triângulo ABD, pelo caso LLL.
94 – Seja M o ponto de intersecção dos segmentos CD e AB. Podemos, assim,
desenhar dois triângulos: ACM e ADM;
95 – Sabemos que AC = AD (raio), CÂB = DÂB (porque 'ABC { 'ABD) e AM =
AM (lado comum);
96 – Então, pelo critério LAL, 'ACM { 'ADM (o triângulo ACM é congruente ao
triângulo ADM);
97 – Conseqüentemente (pela congruência dos dois triângulos), chegamos à
igualdade CM = DM;
98 – Portanto, D é o simétrico de C em relação à reta
A
B
H
JJG
111
3.8.2 – O Pós-teste
Esta atividade trata, mais uma vez, do caso do triângulo isósceles. Os
aprendizes deveriam escrever a prova lançando mão de congruência de triângulos.
Observe-se que o triângulo foi construído com um vértice no centro e os outros dois
sobre a circunferência. Só foram dadas duas dicas: de que os lados OA e OB são
iguais ao raio e de que M é ponto médio de AB.
O objetivo visado era que os estudantes primeiramente identificassem a
hipótese da proposição; em segundo lugar, fazendo referência às propriedades da
figura (ao ponto médio, por exemplo), que descobrissem um caso de congruência
(caso LLL) para assim chegar a conclusão de que ângulos da base são congruentes
(tese). Ou, ao menos, nossa pretensão era que, nas suas produções escritas
(tentativas de provar), apontassem elementos indicativos da hipótese e de alguma
propriedade matemática que levasse aa tese. Vem na seqüência a questão do pós-
teste.
Atividade 5 (Pós-teste)
Na figura, O é o centro da circunferência e o triângulo OAB é isósceles (que tem dois
lados iguais).
Fininho pensa:
Bolinha diz:
Agora estamos
encrencados!
- Já sei: vamos pedir
ajuda aos nossos
amiguinhos, né
Fininho?
OA = OB = r (raio)
M é ponto médio do lado
AB
Ajude Bolinha e Fininho a provar “que num triângulo isósceles os ângulos da base
são congruentes”.
112
3.8.3. Sumário sobre as Atividades do Conjunto 2
Para este conjunto de atividades, os alunos não tiveram qualquer contato com
o computador. Além disso, não registraram nada por escrito nos cartões, exceto para
o pós-teste.
Em todos os casos colocamos o enunciado das questões, seguindo-se a
construção da(s) figura(s), além de comentários e ilustrações. Também, nos passos
da prova, optamos por colocar diagramas e algumas dicas de como encontrar os
cartões corretos para pô-los em ordem.
3.9 Fase de Experimentação e Coleta de Dados
Neste tópico relataremos as questões referentes à coleta de dados, bem
como daremos as pistas para o processo de análise das atividades, a qual será feita
no próximo capítulo.
A coleta de dados da presente pesquisa foi feita de duas formas. Uma delas,
com experimentos de ensino no ambiente computacional de Geometria Dinâmica
(Cabri) e a outra, com experimentos de ensino sem o computador.
Nas sessões com Cabri foram registradas as “produções computacionais” dos
aprendizes. Por “produções computacionais”, devem ser entendidas as respostas
37
dos aprendizes registradas na tela do computador, bem como as discussões que daí
emergiram. Já nas sessões sem o computador (sem Cabri) só foram usados cartões
com provas matemáticas escritas (previamente preparadas pelo professor-
pesquisador). Neste caso, os aprendizes foram envolvidos naquilo a que já
chamamos de “jogo” de prova e os registros que consideraremos para análise serão
as discussões, gestos e atitudes frente a cada situação do “jogo”, haja visto não
terem registrado nada por escrito.
37
Faz parte das respostas as construções efetuadas, as descrições e as justificativas destas
construções.
113
3.9.1 Procedimentos para a Análise dos Dados
Em primeiro lugar, como procedimento inicial para análise dos dados, será
feita uma síntese das produções computacionais (registradas nas sessões com
Cabri) e dos resultados do “jogo” de prova (e pós-teste), abrangendo os dois
sistemas de aprendizagem envolvidos no experimento.
Num segundo momento, procederemos à categorização das produções dos
estudantes, levando em consideração: que métodos foram usados, se houve
descrição e justificativas (provas), e se foram usados argumentos em linguagem
matemática (ou não) para justificar as construções realizadas. Além disso, para cada
atividade realizada, procuraremos identificar:
9se os aprendizes valeram-se de propriedades geométricas vistas
anteriormente (se for o caso);
9se exploraram os aspectos dinâmicos do Cabri no processo de construção e
validação; e
9qual foi a natureza dos argumentos matemáticos em cada “prova” produzida.
Num ambiente computacional como o Cabri-Géomètre, um mesmo problema
(uma construção, por exemplo) pode ser solucionado com diversas ferramentas
simultaneamente ou com apenas uma ferramenta. São clássicos os casos da
simetria central e simetria axial. Portanto, um terceiro momento da análise envolverá
a comparação entre os argumentos utilizados na execução de uma mesma
construção, mas com ferramentas diferentes.
No próximo capítulo nos deteremos na análise das atividades desenvolvidas
com os dois sistemas de aprendizagem: Sistema de Aprendizagem A, composto
pelas duplas Augusto/Cristina e Bruno/Gisele e Sistema de Aprendizagem B, pela
dupla Bárbara/Suzane. Enfatizamos que tal análise abrangerá a primeira e a
segunda fase do experimento de ensino, sendo a primeira composta pelas sessões
com Cabri e a segunda, pelo “jogo” de prova (ou seja, conjuntos 0, 1 e 2).
114
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS ESTUDANTES
4.1 Apresentação
Este capítulo tem por objetivo apresentar os resultados e as respectivas
análises das atividades dos alunos (sistemas de aprendizagem A e B).
Iniciamos a análise pelas atividades do Conjunto Zero, que contém as
atividades preparatórias. Como já enfatizamos no Capítulo 3, este conjunto de
atividades foi aplicado após as sessões de familiarização com o Cabri
38
. Nossa
preocupação foi abordar questões envolvendo conceitos geométricos relevantes no
contexto da Geometria Euclidiana Plana, ao nível do Ensino Fundamental.
Como já vínhamos fazendo nas sessões de familiarização com Cabri,
procuramos, com as atividades, fazer com que os aprendizes se focassem no uso de
diferentes ferramentas
39
(disponíveis no Cabri) para a resolução de um mesmo
problema proposto. Esta preocupação, aliás, se manteve para o próximo conjunto de
atividades.
4.2 Sessão com Cabri-Géomètre
Inicialmente, planejamos uma sessão com uma hora de duração. No entanto,
talvez devido à quantidade de questões (sete ao todo) e principalmente, devido às
dificuldades dos aprendizes em executar algumas construções, esta sessão durou
cerca de três horas.
38
O Conjunto 0 não foi aplicado à dupla Bárbara/Suzane (Sistema de Aprendizagem B).
39
Citamos, por exemplo, a divisão de uma circunferência em duas partes iguais, questão que pode
ser resolvida (a construção) de várias maneiras (por exemplo, usando a ferramenta “simetria central”
ou circunferências apenas).
115
4.3 Introdução à Análise das Atividades do Conjunto 0
Sistema de Aprendizagem A
Neste primeiro encontro, a interação do professor-pesquisador com os
aprendizes do Sistema de Aprendizagem A (Augusto/Cristina e Bruno) ocorreu de
forma a sugerir o uso de diferentes ferramentas (para realizar as construções) em
cada problema proposto. O objetivo era que os aprendizes percebessem algumas
sutilezas referentes ao menu de ferramentas do Cabri, nomeadamente, os
comandos de construção e os comandos de criação.
Pudemos observar algumas desconexões nítidas entre alguns conceitos de
geometria trabalhados na sala de aula de Matemática e esses mesmos conceitos
abordados neste primeiro experimento de ensino com Cabri. Por exemplo, a noção
de raio, que pode ser usada para construir a mediatriz de um segmento de reta.
As anotações sobre as construções realizadas foram feitas na própria tela do
Cabri. Nesta tarefa, foi necessária a nossa interação com os aprendizes, em função
de suas dificuldades em traduzir (descrever) as construções em linguagem
matemática. Iniciamos, em seguida, a análise das atividades.
4.3.1 Atividade 1
Antes de qualquer coisa, orientamos os aprendizes no sentido de que, nesta
questão, além de uma construção a ser executada (a da mediatriz de um segmento),
deveriam responder a uma pergunta. Os aprendizes resolveram esta questão de
duas formas. Em primeiro lugar, não tiveram dificuldades em executar a construção
usando a ferramenta “mediatriz”. Podemos ver que responderam corretamente à
pergunta “Como se chama o ponto de intersecção da reta mediatriz com o
segmento?”, embora não tenham construído explicitamente este ponto de
intersecção (ponto médio).Vejamos a resposta (1ª forma) da dupla Augusto/Cristina:
116
Figura 4.1 – Construção da mediatriz, pela dupla Augusto/Cristina.
Praticamente a mesma resposta acima foi dada pelo aluno Bruno, sendo que
este a elaborou com mais rapidez, muito embora as dificuldades na escrita sejam
equivalentes (Ver Anexo 3).
A segunda forma de resposta oferecida pela dupla focou apenas na
ferramenta “compasso”. Neste momento, foi preciso nossa intervenção para que
usassem adequadamente tal ferramenta. A maior dificuldade foi usar circunferências
de mesmo raio. Assim, uma tentativa inicial utilizando a ferramenta “arco” foi a
seguinte (a qual avaliamos ser oportuno registrar):
Figura 4.2 – “Construção da mediatriz” usando arcos
Nesta tentativa foram usados dois arcos de circunferência traçados
arbitrariamente, e depois traçada a reta nas intersecções. Esta atitude dos
aprendizes nos fez refletir sobre três questões:
9Na sala de aula de Matemática, quando efetuamos construções com régua e
compasso, raramente traçamos por completo a circunferência (ou seja,
apenas fazemos arcos com o mesmo raio, evidentemente). Já com o Cabri
isso não acontece, visto que as circunferências são completamente traçadas.
117
9É possível que, ao executar a construção da mediatriz (no Cabri) por este
método, tivessem lembrando os passos da mesma construção efetuada na
lousa (com o compasso); e
9Atitudes como essas podem nos dar pistas sobre como nos orientarmos
quanto às práticas didático-pedagógicas em sala de aula, notadamente em
conceitos de geometria direcionados a crianças do Ensino Fundamental.
Ao que parece, por este motivo, o conceito geométrico de mediatriz talvez não
esteja claro para os aprendizes – nem no sentido de lugar geométrico, nem no
sentido de uma reta perpendicular ao segmento passando pelo seu ponto médio.
Interagimos explicando então que deveriam clicar na ferramenta “compasso”,
depois clicar em dois pontos na tela, determinando o raio (maior que a metade de
AB) e por último, que clicassem no ponto A, construindo a primeira circunferência;
para construir a segunda circunferência, de centro em B, explicamos que bastaria
repetir o procedimento anterior. E então, formularam a seguinte reposta (2ª forma):
Figura 4.3 – Construção da mediatriz com a ferramenta “compasso”, por Augusto/Cristina
Os dois pontos criados abaixo da figura são tais que a distância entre eles é o
raio, indicando, portanto, que a construção – feita com a ferramenta “compasso” – foi
bem sucedida. (Em todos os casos, pedimos que os aprendizes fizessem
verificações nas figuras, principalmente no caso em que usaram a ferramenta “arco”.
Isto para verificar a exatidão da construção, caso em que podiam se valer do
dinamismo do software Cabri).
118
Observemos nesta segunda resposta uma certa confusão em relação ao uso
da ferramenta “compasso”. Os aprendizes são unânimes, nas suas descrições, em
afirmar que a ferramenta “compasso” tem como finalidade determinar o ponto médio
do segmento, o que não é verdade, pois a partir do uso apropriado desta ferramenta
é que se determina a mediatriz para, depois, determinar o ponto médio. A resposta
do aprendiz Bruno reproduzida abaixo reforça este fato:
Figura 4.4 – Construção da mediatriz/ponto médio, por Bruno.
Esta confusão, ao que tudo indica, parece estar relacionada com a seguinte
idéia: Quanto maior é o número de ferramentas (ou elementos) utilizadas(os) numa
mesma figura, maior é a dificuldade de descrever/explicar os passos da construção.
Vale a pena, a título de comparação, nos reportarmos à primeira resolução dada
pelos aprendizes, na qual a produção escrita ficou bem mais clara.
Nenhum dos aprendizes tentou a solução por meio de circunferências, apesar
de que enfatizamos este método nas sessões de familiarização com o Cabri.
4.3.2 Atividade 2
Esta atividade pedia para “construir uma circunferência e um diâmetro”. Logo
de início, os estudantes tiveram dificuldades em entender o significado de diâmetro
(não lembraram!), quando então tivemos a iniciativa de explicar (na lousa) o
significado deste termo. Esclarecemos que o diâmetro é uma corda que passa pelo
centro da circunferência, sendo, portanto, igual a duas vezes o tamanho do raio.
119
Então, tentaram resolver a questão da seguinte maneira: Traçaram uma
circunferência e tentaram construir um diâmetro com a ferramenta “segmento”,
procurando “ajeitar” o segmento para que o mesmo passasse pelo centro.
Novamente, tivemos que intervir, pedindo que medissem os raios e verificassem se
os três pontos eram colineares. Na figura abaixo, segue um esboço das idéias
desenvolvidas pelos aprendizes (com base nas suas discussões gravadas em
áudio), já que as configurações originais não foram salvas no computador.
Figura 4.5 - Ilustração de uma construção mole.
Apesar de nossa intervenção, não foi imediato aos aprendizes perceber a
relação que deveria existir entre os dois extremos do segmento e o centro da
circunferência, ou seja, não perceberam que deveriam construir uma reta passando
pelo centro da circunferência. A construção correta só foi executada com a nossa
intervenção.
Figura 4.6 – Construção de um diâmetro, pela dupla Augusto/Cristina.
120
Levando-se em conta que “diâmetro é uma corda que passa pelo centro de
uma circunferência”, pode-se perceber na resposta do aluno Bruno um salto de
qualidade com respeito à apreensão deste conceito. Vejamos na Figura 4.7 a
resposta de Bruno:
Figura 4.7 – Construção de um diâmetro, por Bruno.
Este exemplo – da construção de um diâmetro – nos permite ver claramente a
distinção entre construção mole e construção robusta, noções que, aliás, só
aparecem em ambientes de Geometria Dinâmica – caso do Cabri-Géomètre. No
entanto, para os aprendizes, os dados observados
40
nos permitem concluir que,
mesmo estando no ambiente do Cabri, é como se estivessem usando lápis e papel
(régua e compasso mecânicos), conseqüentemente não relacionando a teoria
(noções geométricas simples) com a construção
, talvez por uma certa ansiedade e
porque o Cabri é novidade para os aprendizes.
4.3.3 Atividade 3
O enunciado desta questão é: “Marque dois pontos A e B e construa o
simétrico de A com relação a B”. Os aprendizes foram orientados a usar a
ferramenta “simetria central” e circunferências. Tanto o aprendiz Bruno como a dupla
Augusto/Cristina conseguiram efetuar a construção de três formas possíveis.
Na figura abaixo, vemos a primeira resposta da dupla Augusto/Cristina, em
que não apresentaram dificuldade, apesar de a aluna Cristina ter ficado em dúvida
40
A nossa posição, concomitantemente de professor e pesquisador, contribuiu bastante para esta
interpretação.
121
sobre qual tipo de simetria utilizar, momento em que foi ajudada pelo seu parceiro
(Augusto). Eis a resposta da dupla (semelhantemente à que foi dada por Bruno):
Figura 4.8 – Simetria central, pela dupla Augusto/Cristina.
Observemos que os aprendizes mediram as distâncias, mas não verificaram a
colinearidade dos pontos A, B e S. Pela descrição que a dupla fez, pode-se dizer
que se apropriaram da ferramenta “simetria central”, mas não podemos dizer o
mesmo do conceito de simetria (do ponto de vista de um conceito geométrico).
Todos os aprendizes, sem exceção, conseguiram executar a construção com
reta e circunferência. No entanto, cabe ressaltar que o aprendiz Bruno, apesar de ter
feito construções muito semelhantes às da dupla Augusto/Cristina, não conseguiu
apresentar nenhuma produção escrita (nem ao menos a descrição). Por isso, no que
segue, nos deteremos apenas nas produções da dupla Augusto/Cristina. Eis a
segunda resposta:
Figura 4.9 - Simetria central com circunferência e reta, por Augusto/Cristina
122
A ordem correta da construção foi a seguinte: Marcaram o ponto A, em
seguida o ponto B, depois a reta passando por A e B e finalmente uma
circunferência de centro B e raio BA. Ressaltamos que os aprendizes tiveram certas
dificuldades em ajustar a circunferência para que a mesma passasse pelo ponto A,
mais uma vez refletindo suas dificuldades em executar construções robustas.
Podemos dizer que a construção está correta (como o demonstra a
descrição), mas, neste caso, deixaram de especificar o simétrico do ponto A (não
construíram explicitamente o simétrico do ponto
41
), talvez porque não acharam isso
mais necessário e porque já o tinham feito antes. Novamente, não associaram a
idéia de pontos colineares com a de simetria.
Uma terceira resolução foi dada pela dupla usando o compasso, mas não da
maneira como havíamos orientado antes. Na verdade, usaram uma reta e a
ferramenta “compasso”.
Vimos, nesta questão, uma certa confusão dos aprendizes no uso do
compasso virtual. Vejamos: (1) construíram a reta AB como descrito no item anterior;
(2) para determinar o ponto C, utilizaram a ferramenta “compasso” clicando em A,
em seguida em B e depois num canto da tela, determinando a circunferência (de raio
pontilhado); (3) Finalmente, o aluno Augusto, talvez lembrando de algumas
construções feitas na sala de aula de Matemática (transporte de segmentos),
arrastou a circunferência, tentando fazer coincidir seu centro com o ponto B. Neste
momento, interferimos dizendo que não era a forma correta e que deveriam, com a
ferramenta compasso, clicar no raio (pontilhado) e em seguida, no ponto B,
conforme a Figura 4.10 a seguir:
41
A esse respeito, o aluno Bruno cumpriu a tarefa (conforme se pode ver no Anexo 3)
123
Figura 4.10 – Ainda, simetria central.
Terminada a construção, descreveram as etapas da mesma, de forma
semelhante ao item anterior. Ressaltamos que nossa intenção era que não usassem
retas para encontrar o ponto simétrico, mas, neste caso, não houve tempo para
maiores esclarecimentos, até porque, voltaríamos a essas questões nas atividades
posteriores (por exemplo, Atividade 5).
4.3.4 Atividade 4
Da mesma forma que na atividade anterior, orientamos os aprendizes a usar
todas as ferramentas disponíveis. Esta questão trata de simetria numa reta, ou seja,
simetria axial.
Usando a ferramenta “simetria axial”, todos os aprendizes conseguiram
realizar a construção sem dificuldades, mas só a dupla Augusto/Cristina fez a
descrição de forma satisfatória
42
, como segue:
42
A descrição de Bruno se restringiu ao seguinte: “Desenhei uma reta e um ponto fora dela”.
124
Figura 4.11 – Simetria axial, por Augusto/Cristina.
Mais uma vez, os aprendizes apresentam um bom domínio da ferramenta
“simetria axial”, mas não podemos afirmar que o correspondente conceito
geométrico foi apreendido por eles. Uma coisa é o domínio no uso de uma
ferramenta; outra coisa totalmente distinta é o conceito geométrico associado
quando se usa uma ferramenta para executar uma certa construção.
Na segunda forma de resolução destacam-se as ferramentas “reta”,
“circunferência” e “compasso”. Com relação ao uso (conjugado) dessas ferramentas,
vale ressaltar que o aluno Bruno teve muitas dificuldades
43
para realizar a
construção. Daí resulta que foi necessária a nossa intervenção/interação a fim de
que o aprendiz cumprisse a tarefa. Contudo, mesmo apesar de nossa intervenção,
ficou faltando a produção textual (descrição e justificativa). Já o desempenho da
dupla Augusto/Cristina foi um pouco diferente, como se esclarece na seqüência.
A dupla não apresentou dificuldade no uso da ferramenta “compasso”. Além
disso, executaram a construção corretamente e na descrição, aliás, percebe-se uma
certa evolução em relação às atividades anteriores.
43
Pelo fato, talvez, de estar sozinho (pois sua colega, Gisele, faltou), já estava um tanto cansado.
125
Figura 4.12 – Simetria axial com reta e circunferência, por Augusto/Cristina
A circunferência central (na intersecção das duas retas) é particularmente
interessante, pois apesar de o assunto ter sido trabalhado em sala de aula, não
tínhamos adotado este método (sobre possibilidades de resolução desta atividade,
ver Anexo 2).
Na solução da dupla observa-se que o traçado da mediatriz foi necessário,
indicando, a nosso ver (talvez), que os aprendizes estivessem fazendo referência a
conhecimentos adquiridos/abordados anteriormente (ponto de intersecção, simetria
central, mediatriz, raio).
4.3.5 Atividade 5
Esta atividade foi dividida em 3 partes: Dividir uma circunferência em (a) duas
partes iguais; (b) em seis partes iguais; (c) em três partes iguais. Como pode ser
visto, em todos os casos a circunferência é necessária para realizar as construções.
Os alunos ficaram à vontade para usar todas as ferramentas disponíveis.
Para o item (a), não tiveram dificuldade alguma. Praticamente reproduziram a
construção da Atividade 2, mas agora com uma construção robusta. Na figura abaixo
126
se vêem as respostas de Augusto/Cristina e de Bruno, sendo que na deste faltou
explicitar os pontos de intersecção e a descrição e/ou justificativa.
Figura 4.13 - Resposta da Ativ.5a (ciclotomia)
No caso da divisão da circunferência em seis partes iguais, como fora um
assunto recorrente nas sessões de familiarização com Cabri, os aprendizes
44
saíram-se bem na construção e apresentaram um esboço de justificativa da
construção, apesar de que isso não foi solicitado. Pode-se perceber que tiveram
bastante dificuldade para descrever a construção (mais em detalhes), talvez por
causa do emaranhado de circunferências desenhadas no “mesmo lugar”. Conforme
pudemos constatar, os aprendizes se atrapalham quando lidam com vários objetos
bem próximos uns dos outros, principalmente na descrição.
Figura 4.14- Resposta da Ativ.5b, por Augusto/Cristina (ciclotomia)
44
Novamente o aluno Bruno realizou apenas a construção (mas de forma correta).
127
Depois de ter resolvido esta questão, um dos aprendizes da dupla indagou o
professor-pesquisador sobre o fato de que “… em 4 partes iguais, o ângulo [se
referindo ao ângulo central] é de noventa graus, certo?”(Augusto, 7ª C). Isto, ao que
parece, indica que pelo menos este aprendiz da dupla esteja começando a se
apropriar do conceito de ângulo central e, desta forma, ligando a construção com a
teoria (de certa forma, este aprendiz demonstrou um raciocínio teórico mais
elaborado, na medida em que fez uso de propriedades). Podemos mesmo dizer que
fez uma descoberta, uma dedução, na medida em que concluiu que a partir de um
ângulo de 90º (no centro), chega-se à divisão da circunferência em 4 partes iguais.
Para a divisão da circunferência em três partes iguais, não houve dificuldade
em perceber que a mesma construção anterior poderia ser aproveitada.
Figura 4.15 - Resposta da Ativ.5c, por Augusto/Cristina (ciclotomia).
Entretanto, a dupla se confundiu com a medida do ângulo central, como se
pode observar na descrição acima, isso talvez por porque tenham medido, não o
ângulo central, mas o ângulo do triângulo eqüilátero traçado. Já o aprendiz Bruno
usou a mesma construção e foi mais categórico (mas também não mencionou nada
sobre ângulo central):
128
Figura 4.16 – Divisão em 3 partes iguais da circunferência, por Bruno.
Pode-se observar na figura que o aprendiz não teve a preocupação de marcar
explicitamente os três pontos que, segundo ele, dividem a circunferência em três
partes iguais.
4.3.6 Atividade 6
A tarefa dos aprendizes nesta atividade era construir um ângulo raso. A
resolução dada pelos aprendizes Augusto e Cristina, provavelmente, se baseou em
argumentos anteriores, como por exemplo, a divisão de uma circunferência em duas
partes iguais ou então, a construção de uma circunferência e um seu diâmetro.
Associaram, portanto, a construção do ângulo de 180 graus com a divisão da
circunferência em duas partes iguais. Nesta atividade, esperávamos que os
aprendizes relacionassem a construção do ângulo raso com o fato de que os três
pontos devem ser colineares. No entanto, como ocorreu em outras situações deste
conjunto de atividades, esta relação não chegou a ser percebida.
129
Figura 4.17 – Resposta da Ativ.6, pela dupla Augusto/Cristina.
Mas o aluno Bruno não segue o mesmo caminho para construir o ângulo de
180º, em parte porque já havia realizado construções muito parecidas nas atividades
anteriores. Sua idéia é um pouco diferente: Consistiu em desenhar um triângulo
qualquer, medir um de seus ângulos e depois ir aproximando o vértice deste ângulo
até alcançar o lado oposto para completar os 180º. Vejamos uma seqüência de
figuras que ilustram o raciocínio do estudante:
Figura 4.18 – “Construção” de um ângulo raso, por Bruno
Esta resolução mostra um domínio razoável do conceito de ângulo raso, além
do que, as ferramentas do software foram utilizadas de forma muito adequada;
mostra também que, em certa medida, o domínio dos aspectos técnicos do Cabri
pode levar os estudantes a novas descobertas. Um indício de que este software
contribui para o desenvolvimento do pensamento geométrico (e quiçá, algum
raciocínio dedutivo em geometria).
4.3.7 Atividade 7
Pedia a atividade para se construir três pontos colineares O objetivo foi
verificar o nível de apreensão dos estudantes sobre o conceito de colinearidade. Por
isso, não nos focamos nesta ou naquela ferramenta. Tanto a dupla Augusto/Cristina
130
como o aprendiz Bruno nos oferece praticamente a mesma resposta (como se vê na
Figura 4.15), da forma mais natural possível: traçaram uma reta e simplesmente
marcaram três pontos sobre a mesma. Observe-se que ainda mediram as distâncias,
apesar disso não comprometer a resposta que deram.
Figura 4.19 - 1ª resposta da Ativ.7.
Vemos que os aprendizes se valem freqüentemente dos recursos de medição
do Cabri. No caso de Bruno, compensando a falta de alguma descrição, mandou o
Cabri verificar a colinearidade dos pontos por meio da medida do ângulo . Mas,
claro está, que ele ao menos usou uma estratégia correta. Já quanto à dupla
Augusto/Cristina, mediram AB e BC (mas não AC), pensando, talvez, que isso
pudesse ser utilizado para uma possível justificativa.
ˆ
CBA
Cabe ressaltar que neste momento do experimento de ensino, os aprendizes
já estavam cansados, pois a sessão foi longa, com já enfatizamos antes.
Assim mesmo, ainda surgiu uma segunda resolução (somente da dupla
Augusto/Cristina), ou melhor, pelo que mostra a figura abaixo, duas soluções, sendo
que apenas uma foi descrita. Quanto à primeira figura, tudo indica que foi lembrado
o conceito de simetria. Como se vê, não foi feita nenhuma verificação da exatidão da
construção. Já na segunda figura, usaram uma reta passando pelo centro da
circunferência e ainda marcaram os pontos de intersecção, possivelmente se
recordando de situações anteriores (Atividade 2 e Atividade 5, por exemplo). Talvez
pelo cansaço, se restringiram a poucas palavras.
131
Figura 4.20 – 2ª resposta da Ativ.7, por Augusto/Cristina.
4.3.8 Sumário do Conjunto 0: Análise das Atividades
Apesar do alvo mais específico da presente pesquisa ser a elaboração de
provas matemáticas a partir das construções geométricas no Cabri, nesta primeira
fase procuramos focar atenção nas tarefas de construção e descrição, sem muitas
mudanças nas ferramentas do Cabri.
As tarefas de construção abrangeram conceitos elementares de Geometria
Plana: pontos, retas, segmento circunferência, diâmetro, ângulos/ângulo reto,
simetria central e axial e colinearidade.
Uma primeira análise nos permite afirmar que o foco principal dos aprendizes
sempre fica na construção e, em particular, dão mais atenção aos comandos de
construção que aos comandos de criação, tendo quase sempre dificuldades técnicas
(no manuseio de ferramentas) nas construções que envolvem a circunferência. Além
do mais, que as descrições são muito carentes de detalhes, isto por causa das
dificuldades naturais de expressão na linguagem matemática: pouco domínio da
escrita e de certos termos e noções de geometria/matemática (devido ao pouco uso
no dia-a-dia).
Temos mais duas importantes questões a ressaltar no fim do Conjunto 0. A
primeira delas diz respeito às muitas dificuldades dos aprendizes em executar
construções robustas, principalmente com as tarefas de construção envolvendo
132
circunferências e a segunda, com o conceito de colinearidade, uma propriedade que
parece ter passado despercebida aos aprendizes.
No próximo tópico, daremos início à análise das atividades do Conjunto 1,
em que focaremos atenção mais nas justificativas produzidas pelos aprendizes,
sendo que por justificativa devemos entender o seguinte: validar a construção por
meio de um teorema matemático.
4.4 Introdução à Análise das Atividades do Conjunto 1
O experimento de ensino que envolveu a aplicação das atividades do
Conjunto 1, para o Sistema de Aprendizagem A, ocorreu em duas sessões, com
cerca de 3 horas de duração cada uma. (Para o Conjunto 0, assim como para este
conjunto, não estabelecemos tempo-limite para a resolução das questões)
Uma segunda sessão foi necessária, pois não foi possível para os aprendizes
terminar as atividades propostas na primeira Sessão. Um dos motivos foi a
quantidade de questões e, certamente, as dificuldades dos aprendizes em executar
e justificar algumas construções propostas. Portanto, na segunda Sessão as
atividades do Conjunto 1 foram redesenhadas (para mais detalhes ver Capítulo 3,
pp.86-87,). E ainda, foi no início desta segunda Sessão que fizemos uma aula
explicativa sobre congruência de triângulos e provas – o chamado Episódio de
Ensino.
Neste conjunto de atividades, os aprendizes deveriam focar atenção nas
justificativas (provas) das construções executadas. Para tanto, serão analisadas as
respostas dos aprendizes, levando em consideração alguns aspectos, a saber:
Se usaram linguagem matemática na descrição ou justificativa de cada construção,
se fizeram uso de propriedades geométricas vistas anteriormente, e se exploraram o
dinamismo do Cabri para validar as construções.
Um outro aspecto da análise aborda a questão da categorização das provas
produzidas pelos aprendizes, ou seja, a questão de saber a natureza dos
133
argumentos matemáticos utilizados em cada prova produzida, ou ainda, nos termos
de Balacheff, se fazem uso de provas pragmáticas ou provas conceituais.
Passaremos, em seguida, à análise das atividades das duas duplas do
Sistema de Aprendizagem A: Augusto/Cristina e Bruno/Gisele. Serão analisadas as
atividades das duas sessões.
4.4.1 Atividade 1
O objetivo principal desta atividade era que os aprendizes se valessem dos
aspectos dinâmicos do software Cabri (o que foi sugerido no enunciado da questão).
Esta questão, claramente, envolve a noção de raio. (Pedia a questão para “construir
uma circunferência e marcar dois pontos sobre a mesma, depois usar recursos de
animação, medir distâncias, etc. O que você pode observar?”)
Não houve dificuldade dos aprendizes para realizar a construção, mas
tivemos de orientá-los no sentido de traçarem (explicitamente) e pontilharem os
segmentos. Exploraram o dinamismo do Cabri satisfatoriamente medindo os
segmentos e usando o recurso animação. Pela produção escrita da dupla, observa-
se que basearam sua resposta no dinamismo do software, mesclando linguagem
matemática e linguagem natural. Mas uma vez, tiveram alguma dificuldade com a
noção de raio. Vejamos a resposta da dupla Augusto/Cristina:
Figura 4.21- Produção da dupla Augusto/Cristina, Ativ.1
Na resposta acima percebe-se que faltou concluir que o que “fica em uma
mesma medida” é, na verdade, o raio da circunferência, apesar de ter havido uma
134
leve tentativa de generalização. Entretanto, ficou no plano pragmático – baseado em
ações e observações empíricas, nos termos de Balacheff.
“Nós observamos que marcando dois pontos numa circunferência qualquer e
[que se] usar a ferramenta animação apenas um ponto pode se movimentar em
sentido horário”. Esta foi a produção escrita da dupla Bruno/Gisele, a qual indica que
não usaram de forma apropriada o recurso de animação do Cabri. Mais uma vez
persistiu a dificuldade com o conceito de raio.
Nossa intervenção ocorreu no sentido de que os aprendizes respondessem a
pergunta “que nome se dá ao segmento que vai de um ponto da circunferência ao
seu centro”
45
. No entanto, só a primeira dupla chegou mais perto desta noção, como
se observa logo acima. A preferência por termos mais simples (por exemplo,
“medida”) ao invés de termos matemáticos, como “raio”, é recorrente por parte dos
aprendizes.
4.4.2 Atividade 2
Relembremos o enunciado desta tarefa: “Na circunferência abaixo, os
segmentos AO, OB, OC e OD têm a mesma medida”.
Colocamos o enunciado desta atividade na forma de uma afirmação com o
objetivo de que os aprendizes concordassem ou discordassem, mas que
procurassem justificar sua resposta.
Como na questão anterior, nenhuma das duplas apresentou dificuldade em
executar a construção, mas, desta vez, melhoraram a construção nomeando
corretamente os pontos. Além disso, se valeram dos recursos de animação e
medição do Cabri (dinamismo) para verificar a validade da construção. A dificuldade
surgiu na produção escrita, pois não conseguiram se expressar corretamente,
apesar de, de forma explícita, terem concordado com a afirmação. Na figura abaixo,
apresentamos a produção das duas duplas:
45
Uma vez que a metodologia empregada neste trabalho é altamente intervencionista, pretendemos,
com perguntas como essas, estimular/encorajar as respostas dos aprendizes.
135
Figura 4.22 – Resposta da Ativ.2, Conjunto 1
Percebemos que sabiam o que era para ser respondido, mas se atrapalharam
em como dar a resposta (apenas nas palavras finais). Verifica-se na escrita da
primeira dupla que houve dificuldades com a linguagem matemática, principalmente
quanto às noções de raio e distância. Isso, a nosso ver, é porque, no nível escolar
em que se encontram, os aprendizes não se sentem muito à vontade com certos
termos matemáticos para expressar suas idéias ou conclusões, ainda mais quando
estão diante coisas novas (demonstrações, por exemplo). Como há menção a
propriedades, a nosso ver, trata-se de uma prova quase conceitual. Diferentemente
da resposta da segunda dupla – Bruno/Gisele – que, apesar de algumas
semelhanças com a primeira, é basicamente empírica. (A semelhança está no fato
de que mencionaram a medida do raio obtida e fizeram referência a outros
segmentos – distintos do raio)
136
4.4.3 Atividade 3
Nesta questão, nenhuma tarefa de construção foi solicitada. Os estudantes
foram orientados, primeiramente, a abrir o arquivo Ativ.3, contendo a figura seguinte:
Figura 4.23 – Questão 3, Conjunto 1
em que os aprendizes deveriam responder por quê os dois círculos têm o mesmo
tamanho.
Em seguida, pedimos que clicassem na figura, movendo partes da mesma. É
interessante notar que, pela primeira vez, fizeram referência ao raio, talvez devido à
forma com que foram desenhadas as duas circunferências (os pontos P e O, por
exemplo).
É importante enfatizar que não houve nenhuma intervenção nossa no sentido
de induzir a seguinte resposta cuidadosamente elaborada pela dupla
Augusto/Cristina: “As circunferências 1 e 2 são iguais porque as duas possuem o
mesmo raio”. Do que se depreende que esta resposta não se baseou em
argumentos empíricos (nem no dinamismo do Cabri) e sim em propriedades
matemáticas, chegando bem perto de uma prova conceitual, de acordo com as
classificações prova de Balacheff. Temos, neste caso, um momento de segurança
com a noção de raio.
A descrição/justificativa da dupla Bruno/Gisele (Figura 4.24), muito embora
não expresse uma linguagem (matemática) do nível que vimos acima, denota já um
bom entendimento do conceito de raio. Consideramos oportuno trazer ao leitor o que
a dupla produziu:
137
Figura 4.24 – Resposta da dupla Bruno/Gisele, Ativ.3
4.4.4 Atividade 4
Esta atividade pede para construir uma reta que divide uma circunferência em
duas partes iguais. O objetivo era que os estudantes usassem as idéias de diâmetro,
pontos colineares e de ângulo raso para tentar justificar sua construção.
Uma primeira tentativa se baseou numa construção mole (fato ocorrido às
duas duplas), na qual foi traçada uma reta que aparentemente passava pelo centro,
quando então tivemos que orientar os aprendizes para que verificassem a
colinearidade dos pontos (dois deles na circunferência e o outro, no centro). Tendo
verificado que esta tentativa não funcionou, elaboraram uma outra construção, e
desta vez, sim, construíram uma reta passando pelo centro da circunferência – uma
construção robusta. Abaixo, temos a construção e a “justificativa” de ambas as
duplas:
Figura 4.25– Resoluções da Ativ.4, Conjunto 1
138
Algumas considerações se fazem necessárias sobre a resposta da primeira
dupla (Augusto/Cristina). É possível que, como a reta foi criada a partir do centro e
passando por um ponto da circunferência, os estudantes não acharam necessário
verificar que os três pontos são colineares. Os argumentos utilizados na justificativa
já mostram uma certa familiaridade com termos matemáticos, embora não deixem
explicitamente claro do porquê a circunferência fica dividida em duas partes iguais.
Quanto à segunda dupla, observa-se que não mencionam a reta passando
pelo centro (mas o traçado foi feito) e certificam-se da construção medindo o
“ângulo”(que é igual a 180°) a partir dos três pontos: o centro e os dois pontos A e B.
A visível dificuldade na justificativa é compensada, em certa medida, talvez, pelo
dinamismo do Cabri.
Também pedimos aos aprendizes que resolvessem esta atividade de outra
maneira, neste caso, usando apenas circunferências. Realizaram uma construção
robusta, no sentido de que mediram o ângulo PÔP’ (em que P’ é o simétrico de P em
relação ao centro O), obtendo 180°, fato que pode ter levado os aprendizes a
concluir que os três pontos são colineares, embora isso não tenha sido mencionado
na produção escrita.
Figura 4.26 – Segunda solução da Ativ.4, por Augusto/Cristina.
A dupla Bruno/Gisele realizou praticamente a mesma construção e
escreveram o seguinte: “Nós fizemos uma circunferência que é o centro e fiz[emos]
139
várias circunferências em volta até dividir duas partes de uma circunferência sem
usar a reta”. (Vide construção no Anexo 7)
Com base no fato de terem medido o ângulo PÔP’, é possível que tenham
feito uso de propriedades geométricas vistas anteriormente. Outra questão a ser
observada é que não é muito fácil aos aprendizes se livrarem da reta; precisam
traçar pelo menos uma reta pontilhada a fim de melhor compreender sua construção.
Acreditamos que esta dificuldade é absolutamente normal, pois o traçado (no papel
ou na tela do Cabri) é a materialização da noção de reta.
4.4.5 Atividade 5
Relembramos que esta atividade foi aplicada duas vezes. Na primeira
Sessão, os aprendizes poderiam resolvê-la com todas ferramentas disponíveis; já na
segunda Sessão, deveriam usar, preferencialmente, apenas o compasso. A
atividade pedia para dobrar um segmento de reta OA (CA).
Na primeira Sessão, os métodos usados foram: (a) simetria central; (b) retas e
circunferências; e (c) compasso apenas. Na segunda Sessão, os métodos foram
praticamente os mesmos (simetria central e compasso apenas).
Num primeiro momento, usando simetria central, ambas as duplas elaboraram
respostas bem parecidas, mas com o diferencial de que apenas a dupla
Bruno/Gisele apresentou sua justificativa (com base no dinamismo do software
Cabri).
140
Figura 4.27 – Respostas da Ativ.5
As duas duplas deram uma outra solução usando reta e circunferências.
Neste caso, descreveram corretamente a construção, como mostra a elaboração da
dupla Augusto/Cristina
46
. É válido observar que construíram o ponto O’
explicitamente.
Figura 4.28 – Uma solução da Ativ.5, por Augusto/Cristina
Vemos que a produção escrita fica mais na descrição, sendo que a
justificativa se baseia claramente no dinamismo do Cabri, uma vez que usaram a
ferramenta “colinear?” para os pontos O, A e O’ (apesar de os mesmos já se
encontrarem numa mesma reta, por construção) e mediram os segmentos OA e AO’
(iguais ao raio). Demonstram, portanto, uma certa atenção à colinearidade. Ainda,
46
A resposta da outra dupla, na essência, não difere da que nos é apresentada acima. Há apenas
uma pequena variação na parte escrita, obviamente.
141
quanto à descrição da construção, podemos dizer que os estudantes usam termos
matemáticos adequadamente (bem próximos da linguagem matemática).
Na segunda Sessão
47
, a mesma dupla acima oferece uma justificativa muito
mais elaborada, atestando uma prova de natureza quase conceitual (com
argumentos matemáticos coerentes): “Estas medidas estam [estão] iguais porque os
pontos C, A e C’ são colineares e a distância de OA é igual à distância de O’A”.
Na construção executada com o compasso apenas, percebemos uma certa
evolução em seus argumentos, muito embora ainda façam apelo às ferramentas do
Cabri (“colinear?” e “distância e comprimento”) para verificação de propriedades
matemáticas. Na falta de argumentos matemáticos, mandam o Cabri “provar”.
Atesta este fato a solução dada pela dupla Augusto/Cristina, usando apenas
circunferências, como descrito na Figura 4.29 a seguir.
Figura 4.29 - Uma outra solução para a Ativ.5, por Augusto/Cristina (1ª Sessão)
Nesta tentativa, usam claramente propriedades matemáticas e a
ferramenta “colinear?”.
É interessante notar que esta mesma atividade, quando reaplicada na
segunda Sessão do experimento, foi resolvida (a construção) usando a ferramenta
“compasso”. De forma semelhante à anterior, primeiro mandaram o Cabri “provar” e
depois escreveram a prova. Vejamos a resposta a título de comparação:
47
A construção, neste caso, foi feita por simetria central; depois traçaram o segmento de reta OO’.
Talvez por isso tenham afirmado que os 3 pontos O, A e O’ são colineares.
142
Figura 4.30 – Mais uma solução da Ativ.5, de Augusto/Cristina (2ª Sessão)
Pelo que podemos observar, em ambos os casos apresentados fazem
menção a propriedades matemáticas (raio, ângulo raso, pontos colineares).
Observamos também que, à medida que o experimento foi se desenvolvendo, os
termos matemáticos foram aflorando com mais facilidade nas falas dos aprendizes.
A produção matemática (construção e descrição/prova) da dupla Bruno/Gisele
não foge em nada do estilo de resolução visto logo acima. Isto em relação à primeira
Sessão. Além do mais, na segunda Sessão do experimento estes aprendizes
passaram por muitas dificuldades para dar cabo desta questão (tanto na construção
como na justificativa). Aliás, não só desta atividade como também das demais. Na
seqüência, nos deteremos um pouco sobre este fato, além de outras considerações.
Como já se sabe, o Conjunto 1, para o Sistema de Aprendizagem A (duplas
Augusto/Cristina e Bruno/Gisele), se deu em duas sessões. Esta segunda Sessão
durou cerca de duas horas e ocorreu 15 dias após a realização da primeira. Com
relação às duplas participantes, os resultados se mostraram bem distintos, com
exceção das construções de Mohr-Mascheroni, as quais não foram cumpridas por
nenhuma dupla.
Nesta segunda Sessão, a dupla Augusto/Cristina conseguiu resolver
satisfatoriamente as questões 5 e 6 (reaplicadas/redesenhadas, sobre dobrar um
segmento e caixas-pretas, respectivamente) num tempo considerável. Tal dupla,
pelo que pudemos observar, manteve bastante coerência de idéias na resolução das
atividades, comparativamente às mesmas atividades da primeira Sessão. Já o par
Bruno/Gisele gastou quase todo o tempo na questão 5, restando poucos minutos
143
para as questões 6 e 7 – o pouco que conseguiram desenvolver foi com a nossa
intervenção (até mesmo para construir as figuras).
O fato é que foram vários dias com pouco ou nenhum contato com o Cabri,
menos ainda com as questões que estávamos a trabalhar com os aprendizes (as
atividades do Conjunto 1). Sem contar que somente o aluno Bruno tinha computador
em casa. De qualquer forma, estas considerações não podem ser a causa direta das
dificuldades por que passou a dupla Bruno/Gisele e, em menor grau, a dupla
Augusto/Cristina. Há que se pensar que a temática construções/provas/Cabri, da
forma como está sendo proposta aos aprendizes, não é um assunto elementar,
destacadamente se levarmos em conta o nível escolar em que se encontram. E
sendo a presente pesquisa de curta duração, não houve tempo para que os
aprendizes amadurecessem muitos dos conceitos geométricos imprescindíveis a um
melhor desempenho nas atividades propostas.
4.4.6 Atividade 6
Esta atividade envolve caixas-pretas. O objetivo era que os aprendizes
utilizassem os vários recursos dinâmicos que oferece o Cabri e, por meio disto,
pudessem testar conjecturas e validar propriedades em cada construção. Não era
necessário que apresentassem justificativas da construção efetuada. Enfatizamos
que na primeira Sessão utilizamos o termo “cópia exata” no enunciado. Já na
segunda Sessão, tiramos o termo “cópia exata” e colocamos “reproduzir uma figura
que tenha o mesmo comportamento da figura...”. Esclarecemos que a figura original
foi preparada (construída) por nós usando a ferramenta “simetria central” e
previamente salva em uma pasta do computador.
Na primeira Sessão, talvez em função do termo “cópia exata”, o par
Augusto/Cristina tentou fazer a cópia usando um eixo de simetria
48
, como mostra a
figura seguinte:
48
Usando este raciocínio nenhuma parte da figura-imagem pode ser movida diretamente, a não ser a
partir da figura original.
144
Figura 4.31 – “Cópia exata” (simetria axial), por Augusto/Cristina.
Nossa intervenção, primeiramente, foi no sentido de explicar-lhes que este
método não funcionava, pois nenhum objeto da figura-imagem poderia ser
movimentado (Os objetos manipuláveis na figura-original são o ponto O, a
circunferência e o ponto B). Em segundo lugar, orientamos os aprendizes a usar a
ferramenta “compasso” (para construir circunferências de mesmo raio). Daí por
diante, os aprendizes não tiveram maiores dificuldades em realizar a construção
(lembrando, por exemplo, as propriedades de simetria central, pontos colineares e
do ângulo raso). Acreditamos que esta resposta inicial dos aprendizes se deve ao
fato de que tiveram como foco principal o desenho, mas não a figura (figura-cabri),
talvez ainda se lembrando do ambiente do lápis e papel.
De maneira geral, os resultados da segunda Sessão pouco diferem dos da
primeira, mas isto para dupla Augusto/Cristina. Quanto à segunda dupla, os
resultados da segunda Sessão foram bem discrepantes se comparados com os da
primeira, como enfatizamos nos comentários à Atividade 5. Uma dificuldade em
comum persistiu: a realização de construções robustas
49
. Era comum, por exemplo,
tentar construir um diâmetro, não com uma reta passando pelo centro ou por
simetria central, mas sim, “ajustando” um segmento de reta para que o mesmo
passasse pelo centro da circunferência. Dificuldade que pode ser explicada, em
primeiro lugar, pela não diferenciação entre figura e desenho e, em segundo, por
alguma falta de domínio no manuseio técnico do Cabri, como, por exemplo, fazer
uma circunferência (ou reta) passar por um determinado ponto.
Mas voltemos à atividade em questão. Esta atividade só pode ser
corretamente resolvida se primeiro for usada a ferramenta “compasso” (nisto os
49
Por exemplo, o fato de numa circunferência ter o diâmetro traçado, mas na outra não ter, não
caracterizou obstáculo algum aos aprendizes.
145
aprendizes apresentaram bastante dificuldade), pois a figura-imagem precisa ter o
mesmo raio que o da original. Em contrapartida, depois poderia-se usar simetria
central, retas passando pelo centro (para poder traçar o diâmetro) e circunferências
apenas. Em tempo: usaram quase que somente retas passando pelo centro,
marcaram as intersecções com a circunferência, esconderam a reta e finalmente
traçaram o segmento (neste caso, de fato o diâmetro).
Nas duas ilustrações seguintes estão as respostas de ambas as duplas, nas
quais ainda houve preocupação em apresentar justificativas para a construção
(Sessão 2):
Figura 4.32 - Reprodução de figura, por Augusto/Cristina
50
, Ativ.6
Figura 4.33 – Resposta da dupla Bruno/Gisele, Ativ.6
Uma segunda solução fez uso de circunferências, em que os aprendizes
claramente fizeram referência a propriedades matemáticas (a do ponto simétrico, por
exemplo):
50
Veja-se, a título de comparação, a escrita desta mesma dupla na Sessão 2: “Nós pegamos o
compasso e pegamos o mesmo raio da circunferência AOB e fizemos uma outra circunferência com
o mesmo raio, é por isso que são iguais [porque têm o mesmo raio]”.
146
Figura 4.34 – Outra forma de reprodução de figura (Conjunto 1)
Esta atividade, em sua primeira versão, contou com cinco itens, dos quais só
foram resolvidos dois – os itens (a) e (b). Na segunda versão, reaplicamos os itens
(a), (b) e (c) – este último sobre simetria na circunferência. Mais uma vez, os
aprendizes gastaram muito tempo nos itens (a) e (b) e não conseguiram resolver o
item (c) sem a nossa ajuda. É possível que tenhamos exagerado na quantidade de
questões nas duas sessões do experimento de ensino. De qualquer forma, a maior
dificuldade dos aprendizes ainda ficou em torno das construções robustas.
4.4.7 Atividade 7
A atividade pedia para encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma
reta (usando compasso apenas), conforme as figuras abaixo.
Figura 4.35 – Figuras da Ativ.7, Conjunto 1
O objetivo desta atividade era que os aprendizes focassem as construções de
Mohr-Mascheroni. Ou seja, os estudantes deveriam executar a construção com o
147
compasso apenas e depois justificar por quê a construção estava correta (deveriam
apresentar a prova matemática). Esperávamos que realizassem ao menos a
construção, mas nem isto conseguiram. Temos a avaliação de que, não a prova,
mas a construção do simétrico numa reta é muito mais fácil usando o compasso
apenas, mas não foi isso que os aprendizes sentiram ao tentar, sem sucesso,
realizar as construções.
As construções envolvendo circunferências, ao que parece, são as raízes de
tais dificuldades, mas o fato é que nas sessões de familiarização com o Cabri não
houve muito espaço para trabalhar tais construções, menos ainda, claro, as provas.
Isto porque, para justificar as construções, os aprendizes deveriam usar congruência
de triângulos, aliás, um assunto até então pouco explorado na sala de aula de
Matemática. Vale ressaltar que esta questão não foi aplicada imediatamente após o
Episódio de Ensino
51
, pois primeiro a Atividade 5 (sobre dobrar um segmento de
reta) foi reaplicada, com a qual foi gasto um tempo considerável, portanto restando
pouco tempo às construções de Mohr-Mascheroni.
4.4.8 Sumário sobre o Conjunto 1:Considerações Gerais
As atividades do Conjunto 1 perfazem um total de 7 questões, além do
episódio de ensino. Foram distribuídas em duas sessões, sendo que na segunda
Sessão foram redesenhadas. Com exceção do Conjunto 1.3 (episódio de ensino) e
do Conjunto 1.4 (caixas-pretas), as demais atividades desenhadas focaram nas
produções matemáticas dos aprendizes, isto é, nas justificativas das construções
realizadas (para estas atividades exigiu-se sempre algum tipo de prova).
O bloco de questões do Conjunto 1.1 (questões de 1 a 4) não ofereceu
maiores dificuldades aos aprendizes, visto que nestas questões foram explorados os
aspectos dinâmicos do Cabri. A partir destas questões pudemos perceber que os
aprendizes têm mais facilidade com argumentos pragmáticos, baseados
principalmente nas verificações com as ferramentas do software. Talvez, pelo nível
51
Este ocorreu no início da segunda Sessão.
148
escolar em que se encontram, os aprendizes demonstram um certo desconforto com
alguns termos matemáticos.
O bloco de questões do Conjunto 1.2 teve como objetivo introduzir os
estudantes à prova. As questões abordaram noções como a de simetria central,
pontos colineares, raio, diâmetro, angulo raso, além da soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo. Observamos diferenças significativas nos
argumentos dos aprendizes ao resolver um mesmo problema, mas com ferramentas
diferentes. Por um lado, quando dobraram o segmento usando retas e
circunferências, valendo-se do dinamismo do Cabri, conseguiram produzir
explicações boas (baseadas em fatos empíricos). Por outro lado, nas construções
executadas com o compasso apenas, tiveram dificuldades significativas em usar
propriedades matemáticas necessárias à elaboração das provas.
As produções escritas dos estudantes revelam considerável dificuldade em
separar a descrição da justificativa (para cada construção efetuada). Por isso, suas
“provas”, na maior parte das vezes, combinam descrição com justificativa e
argumentos empíricos com argumentos teóricos.
Nas atividades sobre caixas-pretas a intenção era enfatizar um importante
aspecto (teórico) de um software de Geometria Dinâmica (Cabri-Géomètre): a noção
de construção robusta. Tal noção, segundo pudemos constatar, não foi facilmente
apreensível pelos estudantes envolvidos no nosso experimento. Muitas vezes,
enquanto estavam executando a construção na tela do Cabri, era como se
estivessem desenhando com lápis e papel. Portanto, foi necessária nossa interação,
enquanto professor-pesquisador, no sentido da exatidão da construção (Ou seja, as
dificuldades neste tipo de construção persistiram).
As atividades sobre as construções de Mohr-Mascheroni não oferecem
elementos para análise, pois os aprendizes não conseguiram realizar nem ao menos
as construções. Por este motivo, nosso experimento de ensino envolveu uma
segunda abordagem, em que o presente objeto de estudo – construções
geométricas e provas – foi desvinculado do ambiente computacional do Cabri-
Géomètre. Este é o assunto a ser tratado na próxima sessão.
149
4.5 Conjunto 2
Este é o já mencionado conjunto relativo ao “jogo” de prova, no qual as
justificativas das construções geométricas são desvinculadas do Cabri. A principal
razão de termos acrescentado esta outra abordagem ao nosso experimento de
ensino se deve às dificuldades encontradas pelos aprendizes na elaboração de
provas a partir das construções geométricas no ambiente do Cabri. Outra razão,
talvez tão importante quanto a primeira, é que pretendemos fazer comparações
entre os resultados das duas abordagens (1ª abordagem: com Cabri; 2ª abordagem:
sem Cabri).
Neste conjunto, amenizamos as tarefas dos aprendizes no sentido de que
eles não precisaram realizar, nem a construção, nem a produção (descrição/prova)
escrita, exceto no pós-teste. Para tanto, foram confeccionados cartões, em conjunto
com nossa orientadora, contendo provas e/ou explicações matemáticas de alguns
problemas de construções geométricas já abordados na primeira fase (Conjunto 0 e
Conjunto 1).
4.5.1 Descrição das Atividades do Conjunto 2
Este conjunto compõe-se de 4 atividades iniciais e um pós-teste. Cada
atividade é formada por um certo número de cartões, num dos quais apresenta-se o
enunciado, a construção, dicas e explicações adicionais (às vezes por meio de
diálogos) da questão e nos demais se dão os passos da prova. A idéia desse tipo de
atividade é que os aprendizes reconstituam a “historinha” da prova, organizando os
cartões na ordem correta do raciocínio utilizado na prova/explicação. Abrangem,
desde as questões de dobrar um segmento de reta, até as construções de Mohr-
Mascheroni (ponto simétrico).
Já o pós-teste é um pouco diferente. A cada dupla de estudantes é dado um
cartão contendo uma proposição, cuja demonstração se apóia em congruência de
triângulos. A tarefa dos aprendizes, neste caso, é montar a “historinha” da prova,
mas desta vez têm que escrever a prova.
150
Estas atividades foram aplicadas, como previsto, às duas duplas do Sistema
de Aprendizagem A (cerca de 2 meses e meio depois da coleta de dados da fase 1).
Infelizmente, por diversos problemas de horários, tivemos que aplicar as atividades
durante o período de aulas. Aplicamos as atividades e o pós-teste numa única
sessão, com duração cerca de uma hora e meia. Toda a sessão foi gravada em
áudio e vídeo e, em particular, terminada cada atividade, a disposição (resposta)
final dos cartões foi focada bem de perto pela câmera, sendo que neste momento o
professor-pesquisador numerou os cartões na ordem colocada pelas duplas.
Apresentaremos, a seguir, as atividades deste conjunto, bem como a análise
dos resultados obtidos pelas duas duplas do Sistema de Aprendizagem A –
Augusto/Cristina e Bruno/Gisele. As questões e respostas deste conjunto se
encontram, na íntegra, nos anexos 11 e 12, entretanto, daremos de forma resumida
o enunciado de cada uma delas.
4.5.2 Atividade 1
O enunciado desta atividade é o seguinte: “Dados os pontos A e B, construir
um ponto C pertencente à reta AB, de maneira que B seja ponto médio do segmento
AC”. A partir dos pontos A e B, a construção foi feita assim: traçamos a reta AB e,
em seguida, a circunferência com centro em B e raio BA. Afirmamos, ao final, que o
ponto C – intersecção da reta com a circunferência –, era a resposta procurada e
pedimos aos estudantes que explicassem isso. Veja a figura a seguir:
Figura 4.36 - Ativ.1, Conjunto 2 (construção)
151
Os passos da prova na ordem correta são:
91 - Os pontos A, B e C são colineares, pois o ponto C é intersecção da reta AB com
a circunferência;
92 – Como eu que, por construção, AB = BC = raio;
93 – Posso, assim, concluir que C é o ponto da reta AB tal que B é ponto médio do
segmento AC.
A prova desta questão foi feita em três cartões (três passos). Os aprendizes
foram orientados, primeiramente, a observar todos os cartões a fim de que
percebessem a seqüência de idéias e raciocínios utilizados na prova apresentada.
Depois de terem feito isso, passaram às tentativas de organizar os cartões para
realizar a “prova”.
As duas duplas concluíram esta atividade em cerca de três minutos. Quando
cada dupla terminou sua atividade, nos chamaram para verificar o resultado, mas
não interferimos no que já tinham feito. A dupla Bruno/Gisele trocou os dois
primeiros cartões, ao passo que a dupla Augusto/Cristina trocou os últimos dois
cartões.
A dupla Bruno/Gisele discutiu bastante a questão e até lembraram de
situações anteriores em que o assunto (ponto médio) foi abordado, tanto nas aulas
de Matemática como nas sessões anteriores do experimento de ensino. Talvez, por
este motivo, “resolveram” satisfatoriamente a atividade.
Já a dupla Augusto/Cristina, apesar de discutir os dados da questão, não fez
referência a situações anteriores, indicando que possivelmente não lembraram a
noção de ponto médio. Na verdade, esta dupla confessou que este tipo de atividade
não era muito fácil (comparando, talvez, com as construções elementares que
realizara).
Possivelmente, pelos dados de que dispomos, e pelo fato de ser um tipo de
prova sem muita linguagem formal (com explicações, ao invés do esquema hipótese-
tese), no geral os aprendizes tiveram um bom desempenho.
152
4.5.3 Atividade 2
Nesta atividade, apresentou-se aos estudantes um triângulo isósceles ABC
com sua mediana AM (M = ponto médio de BC) já construída. A tarefa dos
aprendizes era provar que “se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base
são congruentes”.
Figura 4.37 – Dados da Ativ.2 (Conjunto 2)
Organizamos os passos da prova na seguinte ordem:
91 - Temos, no triângulo ABC, AB = AC e queremos provar que
ˆ
ˆ
B
C{ ;
92 - Eu sei que nos dois triângulos, AMB e AMC, temos:
AB = AC
AM = AM
BM = CM;
93 - O critério LLL (Lado, Lado, Lado) nos garante que AMB AMC
'
{ ' ;
94 - O fato de os triângulos AMB e AMC serem congruentes quer dizer que têm a
mesma forma e o mesmo tamanho. Conseqüentemente,
ˆ
ˆ
B
C{
Repetimos, nesta questão, praticamente as mesmas recomendações que
fizemos na atividade anterior. Colocamos explicitamente a proposição na forma
hipótese-tese. As duas duplas tiveram bastante dificuldade com os termos
matemáticos presentes na questão: mediana, ponto médio e até a notação utilizada.
Talvez, por causa disso, gastaram cerca de dez minutos, um tempo considerável
para concluir a questão, mas isto porque discutiram e interagiram bastante.
153
Consideramos, também, que os aprendizes tiveram mais dificuldade na
questão em função de se tratar de uma prova envolvendo congruência de triângulos
e, além disso, o fato de ter que partir da hipótese para chegar à tese confunde muito
os aprendizes (eles não entendem muito bem o que deve ser provado).
Ressaltamos que nesta questão interagimos mais com a dupla Bruno/Gisele
que com a outra. A pesar disso, a resposta das duas duplas coincidiu: o primeiro e o
último passos ficaram na ordem correta, mas trocaram os passos dois e três (ordem
correta: 1-2-3-4; resposta obtida: 1-3-2-4).
Nesta questão, pudemos notar que os aprendizes preferem, nas suas
explicações, termos matemáticos mais simples, como por exemplo, ao invés de
mencionar a palavra tese, mencionam a expressão conclusão geral. Também, não
dão quase nenhuma atenção à hipótese da proposição (mesmo isto estando escrito
no cartão). Identificar os elementos constituintes da hipótese foi muito difícil aos
aprendizes.
4.5.4 Atividade 3
Enunciado praticamente igual ao da Atividade 1: “Construir um ponto P na
reta AB, de forma que B seja ponto médio do segmento AP”. Essencialmente, a
diferença está na construção, a qual foi cumprida somente com o compasso. Eis a
construção:
Figura 4.38 – Ativ.3 (Construção)
Ordenamos a prova em 4 passos, como segue:
154
91 - Eu sei que os triângulos ABC, CBD e DBP são eqüiláteros (pois foram
construídos com a mesma medida AB). Logo, todos os 3 ângulos no vértice B
medem 60º, ou seja;
92 - ;
ˆ ˆ ˆ
60
o
ABC CBD DBP
93 - Logo, somando esses 3 ângulos, vem o resultado
ˆ ˆ ˆ
60 60 60 180
o o o
ABC CBD DBP
o
;
94 - E como AB = BP (= raio), chegamos à conclusão de que B é ponto médio de AP.
Nesta questão, procuramos focar a atenção dos estudantes em algumas
noções importantes de Geometria Plana: de novo o ponto médio, pontos colineares,
ângulo raso, triângulo eqüilátero e soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo. Mas desta vez, a construção foi executada com o compasso apenas, o que
foi explicado no enunciado da questão. Não fornecemos nenhuma dica sobre as
medidas dos ângulos, nem sobre a natureza dos triângulos. Só foi dada uma dica a
respeito da noção de colinearidade no passo três (a prova foi organizada em quatro
passos).
Não houve dificuldades na compreensão dos termos matemáticos envolvidos,
talvez pelo fato desta questão ter uma particularidade: a forma como as igualdades
(envolvendo as medidas dos ângulos) foram escritas, ao que parece, ajudou
bastante na rápida e bem sucedida conclusão da atividade: aproximadamente cinco
minutos para cada dupla.
É possível que a forma pela qual elaboramos a prova tenha facilitado a tarefa
dos aprendizes, mas o fato é que, como nesta questão não se fazia necessário que
os aprendizes buscassem argumentos ou raciocínios para identificar hipótese e tese
(ao menos explicitamente), a reconstituição da prova ficou mais acessível. Nota-se,
novamente, e de acordo com os dados de que dispomos, a preferência por termos
matemáticos mais simples.
Não se pode afirmar ao certo que trabalhar demonstrações segundo o
esquema hipótese-tese seja mais complicado aos aprendizes envolvidos nesta
pesquisa, mas apenas que se este esquema não estiver presente, a compreensão
parece tornar-se mais acessível.
155
Comentários: Notemos que, nesta questão, novamente usa-se medida para
justificar as afirmações. Poderia-se ter elaborado uma prova formal, usando
conceitos de paralelismo, como visto às pp.89-90, mas isso não foi possível, porque,
além da falta de tempo, nos pareceu difícil uma abordagem com aquele nível
conceitual. Resumidamente, vejamos a prova neste caso:
Como os triângulos ABC, CBD e DBP são eqüiláteros (por construção), temos:
ˆ
ˆ
//ABC BCD CD AB{
ˆ ˆ
//DBP BDC CD BP{
Logo, , o que prova que os pontos A, B e P são colineares. Mas AB =
BP (=raio) e, portanto, P é o ponto da reta
//AB BP
A
B
H
JJG
tal que B é ponto médio de AP.
4.5.5 Atividade 4
A prova elaborada para esta questão, sobre simetria numa reta, foi composta
por nada menos que oito etapas. Não se trata de uma questão em que os
aprendizes tenham que identificar explicitamente os elementos hipótese e tese. A
dificuldade decorre, novamente, da congruência de triângulos, pois exatamente dois
critérios de congruência foram usados na prova. Vejamos a construção e os passos
da prova na figura abaixo.
Figura 4.39 – Construção do ponto simétrico numa reta, Ativ.4 (Conjunto 2)
156
A prova foi organizada em 8 passos, conforme quadro a seguir.
91 – Podemos desenhar dois triângulos: ABC e ABD;
92 – Por construção, eu sei que AC = AD (L), BC = BD (L) e AB = AB (L). E posso
então dizer que...
93 – O triângulo ABC é congruente ao triângulo ABD, pelo caso LLL.
94 – Podemos desenhar dois triângulos: ACM e ADM;
95 – Sabemos que AC = AD (raio), CÂB = DÂB (porque 'ABC { 'ABD) e AM = AM
(lado comum);
96 – Então, pelo critério LAL, o triângulo ACM é congruente ao triângulo ADM;
97 – Temos que CM = DM e . E além disso, ,
ˆ
CMA DMA
ˆ ˆ ˆ
180
o
CMA DMA
donde podemos concluir que (ângulos retos);
ˆ ˆ
90ºCMA DMA
98 – Logo, D é o simétrico de C em relação à reta AB
H
JJG
Como se pode observar, dois triângulos foram desenhados ao longo da prova,
mas isso, pelo que observamos, não fez muita diferença para os estudantes.
Os aprendizes das duas duplas levaram um longo tempo discutindo esta
questão; concentraram-se, inclusive, na leitura atenta do enunciado.
Percebemos que os aprendizes entendem relativamente bem as explicações,
mas o problema maior é o de ordenar as idéias com base nos casos de congruência,
de maneira a chegar à conclusão (A aluna Cristina se refere a esta tarefa com “um
verdadeiro quebra-cabeça”).
Não era esperado que nenhuma das duplas ordenasse os cartões de forma
correta, mas tínhamos a pretensão de que acertassem pelo menos as duas
primeiras e a última etapa da prova, pois a idéia de hipótese traduzida por dados
iniciais ou ponto de partida, bem como a idéia de tese entendida como conclusão, a
157
esta altura já eram mais familiares aos aprendizes. Uma das duplas, inclusive, tentou
encontrar cartões contendo dicas contendo a palavra conclusão. Mas, em momento
algum nenhum estudante fez referência ao esquema hipótese-tese.
As duas duplas gastaram, cada qual, em torno de 16 a 17 minutos para
apresentar uma resposta. No que segue, temos uma tabela geral com as respostas
apresentas:
Duplas
Ativ-1
1-2-3
Ativ-2
1-2-3-4
Ativ-3
1-2-3-4
Ativ-4
1-2-3-4-5-6-7-8
Augusto/Cristina 1-3-2 1-3-2-4 1-2-3-4 1-3-2-4-6-5-7-8
Bruno/Gisele 2-1-3 1-3-2-4 1-2-3-4 2-7-1-6-3-4-5-8
Tabela 4.1 – Respostas das duplas (Conjunto 2, Ativ.1 a Ativ.4)
4.5.6 O pós-teste (Atividade 5)
Relembramos que o pós-teste foi realizado cerca de meia hora depois das
atividades do “jogo” de prova, para as mesmas duplas: Augusto/Cristina e
Bruno/Gisele. A questão foi apresentada da seguinte maneira: Construímos o
triângulo OAB, conforme a figura abaixo, e pedimos aos estudantes que provassem
que o ângulo A é congruente ao ângulo B.
Figura 4.40 - A figura do pós-teste (Conjunto 2)
As duas duplas levaram aproximadamente 25 minutos para concluir esta
atividade. Não estabelecemos tempo-limite para que respondessem a questão.
158
Explicamos inicialmente aos aprendizes que “contar a historinha da prova”
era o mesmo que “escrever a prova”.
Transcrevemos, a seguir, a “prova” da dupla Augusto/Cristina:
Para provar que o triângulo OAM é igual ao triângulo OBM, tem que imaginar
se sobrepondo um ao outro.
[Então, montam os diálogos - Fininho diz: Sim, Bolinha, também podemos
medir os triângulos; Bolinha responde: Então, se eu imaginar um triângulo se
sobrepondo ao outro, os dois têm que ser iguais]
E continuam: Para eles ser[em] congruentes, os ângulos e os lados tem que
ter as mesmas medidas.
ˆ
ˆ
A B
AM BM
AO BO
{
{
{
(...) sendo todos iguais os triângulos são congruentes.E então nesta
explicação o Bolinha acabou lembrando, o que são os ângulos da base.
Percebe-se na produção escrita desta dupla a utilização de argumentos
empíricos, pois fazem referência a casos de congruência de triângulos com base na
idéia de sobreposição, o que indica o recurso às provas pragmáticas, segundo as
classificações de prova de Balacheff.
Quanto à “prova” da dupla Bruno/Gisele, não existem diferenças significativas.
Temos dois triângulos de uma mesma medida.
Então vamos ajudar Bolinha e Fininho a provar que os triângulos são congruentes.
[Então começam]
O lado AO = OB, MB = MA.
Os ângulos A e B são iguais.
Fininho e Bolinha resolveram provar de uma forma mais divertida. Vamos ver a idéia [que]
eles tiveram!
9Vamos recortar assim [desenham uma tesoura cortando o triângulo em dois, a partir
do ponto M] e colocamos um em cima do outro para termos certeza de que são
congruentes;
9Isso Bolinha assim é mais fácil provar.
A idéia de Bolinha deu certo. Agora sim eles tem certeza que os triângulos são congruentes.
159
O fato de termos usado a idéia de sobreposição como suporte às explicações,
tanto na sala de aula de Matemática, como no próprio experimento de ensino
(Conjunto 2) teve grande influência nas respostas das duas duplas.
.
Entretanto, é possível, com base nas produções escritas dos aprendizes,
destacar alguns aspectos de suas “provas”:
9Referência a sobreposição de triângulos (usaram a idéia de congruência
empicamente);
9Tentativas de descrever elementos que levassem à congruência de
triângulos, mas sem chegar a mencionar qualquer caso de congruência;
Uma conclusão preliminar a que podemos chegar é que, pelos resultados
obtidos, conseguem realizar “provas” empíricas, na medida em que se baseiam em
sobreposição, talvez caracterizando o que Balacheff chama de empirismo ingênuo,
muito embora tenham faltado mais argumentos dos aprendizes.
No próximo tópico, daremos início à análise das atividades do Sistema de
Aprendizagem B, com a dupla Bárbara/Suzane.
Sistema de Aprendizagem B
4.6 Introdução à Análise das Atividades do Conjunto 1
O Sistema de Aprendizagem B compõe-se apenas de uma dupla –
Bárbara/Suzane. A referida dupla participou de dois conjuntos de atividades: O
Conjunto 1 (7 questões mais o Episódio de Ensino) e o Conjunto 2, composto pelo
“jogo” de prova e o pós-teste. Para a aplicação das atividades do primeiro Conjunto
foram necessárias 3 sessões (em dias diferentes), e para o segundo Conjunto,
apenas uma sessão.
Distribuímos as sete atividades do Conjunto 1 ao longo das três sessões da
seguinte forma:
9Primeira Sessão, atividades de 1 a 4;
160
9Segunda Sessão, atividades 5 e 6; e
9Terceira Sessão: Começou com o Episódio de Ensino e depois foi aplicada a
Atividade 7.
Depois das dificuldades já relatadas na aplicação das atividades do Conjunto
1 para as duplas do Sistema de Aprendizagem A (Augusto/Cristina e Bruna/Gisele),
resolvemos, para esta presente dupla – Bárbara/Suzane –, estender este
experimento de ensino a 3 sessões, a fim de redimensionar o tempo (sessões com
menor duração), com tarefas de menor duração
52
, conseqüentemente menos
cansativas e até mesmo, talvez, mais produtivas.
O perfil sócio-econômico desta dupla é um tanto diferente daquele das outras
duplas participantes. Tanto Bárbara quanto Suzane tinham computador em casa.
Isto quer dizer que, além das sessões de familiarização com Cabri, houve algum
tempo para que praticassem as construções em casa (pois o software Cabri foi
instalado em seus PCs desde o início dos trabalho com a dupla). As atividades do
Conjunto 1 serão analisadas a seguir.
4.7 Conjunto 1
Alguns aspectos gerais para esse Conjunto 1 já foram traçados no Sistema de
Aprendizagem A, entretanto, destacaremos alguns de forma resumida.
Os principais objetivos das atividades 1, 2 e 3 (em conjunto) são: (a) explorar
a noção de raio; e (b) reforçar esta idéia (de raio) por meio do dinamismo do Cabri.
Retomamos, a seguir o enunciado dessas questões:
52
1ª Sessão: 47 min.; 2ª Sessão: 1h 3min; 3ª Sessão: 50 minutos.
161
Ativ.1 - Construa uma
circunferência qualquer e
marque um ponto P sobre a
mesma. Use a ferramenta
“animação” para mover o ponto
P sobre a circunferência.
Marque um outro ponto A e faça
o mesmo. O que você pode
observar?
Ativ.2 - Na circunferência
abaixo, os segmentos OA, OB,
OC e OD têm a mesma medida.
Ativ.3 - Por que o círculo 1 tem
o mesmo tamanho que o círculo
2?
Tabela 4.2 - Questões 1, 2 e 3 do Conjunto 1
4.7.1 Atividade 1
Nesta atividade, as estudantes da dupla deveriam se valer do dinamismo do
Cabri. Lembramos inicialmente às estudantes que sua principal tarefa era investigar
a existência de propriedades matemáticas na figura, como a noção de raio e a de
distância. Observemos que esta dupla, além de se utilizar dos recursos de animação
do programa, ainda achou necessário construir uma outra circunferência semelhante
à primeira, talvez, com a intenção de melhor compreender os fatos (ou as
propriedades) inerentes à figura. As construções foram feitas sem dificuldades.
Vejamos:
Figura 4.41 – Resposta da Ativ.1, por Bárbara/Suzane
Como no Sistema de Aprendizagem A, algumas dificuldades da dupla
Bárbara/Suzane são recorrentes, como, por exemplo, a preferência por termos
matemáticos mais simples (de falar): medida/tamanho ao invés de raio/distância.
162
Também, como se vê, não houve referência ao termo raio como sendo a distância
do centro a um ponto qualquer da circunferência, mas a resposta escrita (acima)
indica uma boa compreensão do assunto, tenha ficado no plano empírico. A dupla
esqueceu de concluir a última frase, entretanto, nos reportando aos dados de voz da
dupla, verificamos que a frase completa é: “Essa medida é o raio”. Queremos
enfatizar que os aprendizes esquecem constantemente tais termos matemáticos,
principalmente no momento de escrever. Não são apenas dificuldades na linguagem
matemática, mas também, e principalmente, dificuldades na produção textual (pode
acontecer que uma pessoa se expresse (fale) claramente, mas quando tem que
colocar as idéias no papel, as dificuldades aumentam – e muito).
4.7.2 Atividade 2
O enunciado desta atividade foi colocado na forma de uma afirmação e não
em forma de pergunta. Houve uma certa confusão por parte da dupla, pois
entenderam tratar-se de uma pergunta (após a leitura inicial que fizeram), momento
em interagimos com a dupla a fim de esclarecer a dúvida. Esclarecemos que teriam
que analisar se a afirmação era verdadeira ou falsa e, além disso, justificar a
resposta.
Figura 4.42 – Resposta da Ativ.2, por Bárbara/Suzane
A dupla realizou a construção sem problemas e, assim como na questão
anterior, recorreu ao dinamismo do Cabri (Notemos que mediram cada dos
segmentos OA, OB, OC e OD. A nosso ver, fizeram assim para melhor
convencimento). Na produção escrita, já se pode perceber uma boa articulação com
termos matemáticos (raio, centro, circunferência, medida), demonstrando uma leve
163
tentativa de generalização de conceitos (mesmo que inconscientemente), pois, pela
primeira vez se referem ao termo “medida” como sendo o raio.
4.7.3 Atividade 3
Antes de qualquer coisa, uma observação: esta atividade está
intrinsecamente ligada com as duas anteriores, no sentido de que o principal
conceito matemático envolvido é o de raio.
Nesta atividade, o professor-pesquisador orientou as aprendizes a abrir o
arquivo ativ.3, salvo no computador, e que continha a figura a ser estudada (ver
Tabela 4.2 , p.161). Ou seja, esta atividade não pedia tarefa de construção.
Esperávamos que a dupla respondesse a pergunta sem se valer dos recursos do
Cabri, principalmente o recurso “distância e comprimento”, o que não aconteceu.
Retomando os passos desta construção (com o comando “revisar construção”),
vemos que as aprendizes não se focaram na figura original (desenhada por nós),
mas na figura (à esquerda) que elas mesmas construíram. Vê-se que mediram os
raios apenas da figura que desenharam, a partir da qual deram a seguinte resposta:
Figura 4.43 – Resposta da Ativ.3, por Bárbara/Suzane
Resposta correta, entretanto influenciada pelos recursos de medição do Cabri
(ou seja, as “respostas” fornecidas pelo programa) e sem se referir ao raio, embora
isso não interfira na qualidade das respostas, pois muitas vezes o que conta é o
entendimento e não o detalhamento de um conceito. Os dados da figura acima nos
164
permitem concluir tratar-se de uma prova pragmática, talvez porque a questão ficou
clara para as estudantes. (Elas podem não ter entendido bem a pergunta)
4.7.4 Atividade 4
Relembremos que esta atividade pedia para “construir uma reta que divide
uma circunferência em duas partes iguais”. O esperado era que a dupla se
reportasse às idéias de diâmetro, pontos colineares e ângulo raso. Mas, pela
construção abaixo se vê que foi traçada uma circunferência com centro numa reta e,
depois, marcados pontos de intersecção entre os dois objetos (reta e circunferência).
Dito de outra maneira, tiveram a idéia de traçar uma reta passando pelo centro de
uma circunferência (mesmo que a ordem da construção tenha sido invertida).
Não solicitamos à dupla que resolvesse a questão usando circunferências
apenas, neste caso, para fazer jus ao enunciado [da questão] e para que se
focassem somente num mesmo tipo de construção. Segue a resposta da dupla:
Figura 4.44 – Resposta da Ativ.4, por Bárbara/Suzane
É possível que tenham feito esta construção lembrando da idéia de diâmetro,
mas isto não ficou claro na justificativa. Neste ponto foi necessária a nossa
intervenção, pois as dificuldades com tais termos matemáticos persistem, a despeito
de um considerável esforço dos aprendizes (em lembrar), por exemplo, a palavra
diâmetro, bem como seu significado. Segundo nos deixou transparecer uma das
aprendizes da dupla – Bárbara –, esses termos matemáticos não fazem parte da sua
165
língua
53
. Claro está que estas visões dos aprendizes devem ser ponderadas, mas é
fato que são decorrentes das dificuldades da linguagem natural/matemática.
Observemos ainda que a dupla mediu os raios, mas não se ateve à
colinearidade dos pontos ou ao ângulo raso, o que não prejudicou a resposta que
produziram. Na verdade, não era nem preciso que mencionassem estes termos a
que nos referimos neste parágrafo, mas que dessem pistas de que a divisão da
circunferência em duas partes iguais fica assegurada se for traçado um diâmetro.
Por último, inexistiu a dificuldade nas construções robustas, pelo menos nesta
atividade.
4.7.5 Atividade 5
1ª resolução
Esta questão, que é a de dobrar um segmento de reta, assim como ocorreu
com as duplas anteriores, deveria ser resolvida usando todas as ferramentas
disponíveis no Cabri. (Começa, com esta questão, a segunda Sessão do
experimento de ensino com o Sistema de Aprendizagem B). A nossa dupla resolve
de duas maneiras.
A primeira resolução fez uso da ferramenta “simetria central”, sendo que as
aprendizes não encontraram dificuldades em realizar a construção. Fizeram a
“prova” valendo-se da geometria dinâmica do Cabri. Podemos notar que mediram os
3 segmentos: CA, AB e CB. Usaram também a ferramenta de verificação “colinear”,
mas ocorreu um fato importante. Não perceberam que a medida de CB não é
exatamente igual ao dobro de CA (pois 2 vezes 3.55 dá 7.10 e não 7.09!). É obvio
que isto não afeta em nada a resposta dada, mas a questão é que, em certas
ocasiões, dependendo da disposição dos pontos na tela, isso pode acontecer.
Trata-se de um erro de aproximação do software.
53
É comum ouvirmos de estudantes do nível básico a seguinte “exigência”: “Fala na nossa língua,
professor!”.
166
Figura 4.45 – 1ª resposta da Ativ.5, por Bárbara/Suzane
Tivemos a preocupação de comparar duas construções usando a ferramenta
“simetria central” e, realmente, dependendo da maneira como estão dispostos os
pontos na tela, as distâncias podem ser iguais ou não. Vejamos uma ilustração do
que estamos a expressar:
Figura 4.46 – Complemento à Ativ.5 (Observação nossa)
De qualquer forma, esta particularidade do Cabri não poderia ser o foco da
atividade (e não o foi), já que por traz da solução dada pela dupla está o conceito de
simetria central, mas não os detalhes técnicos do software.
Poderia ser dada uma solução usando retas e circunferências, mas a dupla
não enxergou esta possibilidade. Preferimos não intervir a esse respeito.
A solução usando circunferências apenas está descrita abaixo. É claramente
perceptível o erro cometido nesta figura: as duas circunferências menores não
possuem o mesmo raio que as circunferências (C, CA) e (A, AC), denotando uma
considerável dificuldade no feito de construções robustas.
2ª resolução
167
Figura 4.47 – 2ª resposta da Ativ.5, por Bárbara/Suzane
A resolução acima pode ser um indício de que os aprendizes esquecem
constantemente
54
a noção de construção robusta, mas também retrata problemas no
manuseio técnico do Cabri, além de sérios déficits em conceitos de geometria. Por
exemplo, afirmam que os pontos C, A e B são colineares sem ao menos mandar o
Cabri verificar. Quanto às distâncias CA e AB (raios), está correto o que escrevem,
muito embora não tenham concluído que CB = 2.CA, diferentemente do que fizeram
na resolução anterior (1ª resolução), quando mediram a distância entre C e B.
Uma outra dificuldade, de acordo com nossas observações no experimento
de ensino, talvez, diz respeito ao fato de que não era permitido usar retas nesta
construção, apesar das construções com o compasso apenas terem sido bastante
exploradas nas sessões de familiarização com Cabri. Por fim, além da visível
construção mole, com a escrita da prova/justificativa não foi muito diferente, a ponto
de uma das aprendizes nos questionar com a seguinte argumentação: “Mas ele já
provou! (se referindo ao Cabri e ao que foi feito na primeira resolução); não precisa
mais...”. Queria ela, talvez, se focar apenas nos recursos dinâmicos do Cabri.
4.7.6 Atividade 6
O principal objetivo desta atividade foi o de enfatizar a noção de construção
robusta/mole. A dupla foi orientada a usar o dinamismo do Cabri, para que, por meio
54
Neste caso, devem ter se recordado de alguma construção anteriormente feita, porém, não
consideraram o fato de que os raios devem ser todos iguais à medida do segmento CA.
168
disto, fossem levados a testar conjecturas e validar certas propriedades nas
construções. A questão pedia para “reproduzir uma figura que tenha o mesmo
comportamento da figura”. A questão é composta de dois itens: um, sobre simetria
central e outro, sobre simetria axial (ambos na circunferência).
As aprendizes foram orientadas, também, a usar a ferramenta “compasso”,
pois a nova circunferência deveria ter o mesmo comportamento da figura por nós
desenhada. Observemos que esta exigência não foi cumprida, pois usaram a
ferramenta “circunferência”. Em verdade, como esta construção lembra aquela da
divisão de uma circunferência em duas partes iguais, a dupla não apresentou
nenhum problema, exceto pelo fato de não perceberem que a circunferência deveria
ter o mesmo raio, talvez, por não terem entendido o sentido desta questão.
a) Simetria central na circunferência
1ª resolução
Figura 4.48 – 1ª resolução da Ativ.6, por Bárbara/Suzane
Com a nossa interação, realizaram uma outra construção, desta vez usando a
ferramenta “compasso”. Ressalte-se aqui a dificuldade em diferenciar o uso das
ferramentas “compasso” e “circunferência”, no que foram ajudados pelo professor-
pesquisador. Na figura seguinte, a construção à direita é a resposta das aprendizes:
uma construção robusta e com o mesmo raio da original (à esquerda).
169
2
a
resolução
Figura 4.49 – 2ª resolução da Ativ.6, por Bárbara/Suzane
b) Simetria axial na circunferência
Temos na figura original abaixo uma circunferência, um diâmetro e os pontos
P e P’, simétricos em relação a este diâmetro (o ponto movimentável é o ponto P). A
primeira resposta indica uma confusão no tipo de simetria a ser usada. Usaram, na
verdade, a ferramenta “simetria central”, não dando conta de reproduzir a figura
dada. Para a resposta 2, a dupla foi orientada sobre o uso correto da ferramenta
(simetria axial).
Figura 4.50 - Uma outra resolução da Ativ.6, por Bárbara/Suzane
À primeira vista, parece que a segunda resposta da dupla é uma construção
robusta. Mas isto não é verdade. Por algum tipo de confusão, marcaram um
segundo ponto praticamente por cima do centro (já traçado) da circunferência. Daí
resulta que a reta que foi traçada passou exatamente por este ponto (que não é o
centro, pois o Cabri consegue diferenciar objetos que ficam muito próximos uns dos
outros) e depois feita a simetria axial nesta reta. Ora, como a reta não passa pelo
170
centro, conseqüentemente não temos um diâmetro, logo o ponto não é o simétrico
em relação ao diâmetro. Portanto, o que se vê é uma construção mole. Não fosse
por esta confusão de marcar um ponto sobre o outro, teríamos uma construção
robusta. E desta forma, acreditamos que esta tarefa não ficou tão prejudicada
quanto parece.
Como se viu na exposição acima (da Questão 6), nenhuma resolução fez uso
de circunferências apenas. Isto se deu devido ao fato de que as duas meninas já
demonstravam sinal de cansaço. Por isso, resolvemos encerrar esta sessão do
experimento de ensino. Perguntamos, entretanto, se esta tarefa poderia ser
resolvida usando circunferências apenas, ao que responderam que sim, mas que era
muito mais difícil.
4.7.7 Atividade 7
Começamos recordando que as duplas do Sistema de Aprendizagem A não
conseguiram desenvolver esta questão, porque esta foi aplicada no final da segunda
Sessão (que foi muito longa e os estudantes já se encontravam cansados) e devido
às dificuldades nas construções de Mohr-Mascheroni.(Eles deveriam se focar nas
construções com o compasso apenas)
Quanto ao Sistema de Aprendizagem B, formado pela dupla Bárbara/Suzane,
adotamos um procedimento um pouco diferente. A aplicação desta questão foi
reservada para uma única sessão, a qual durou cerca de 65 minutos. Foi no início
desta terceira Sessão que ocorreu o chamado Episódio de Ensino, cujo enfoque
foram os casos de congruência de triângulos (casos LLL, LAL e ALA) e provas.
Nessa aula sobre congruência de triângulos, lançamos mão da teoria inerente ao
assunto e de material concreto, como cartolinas, plástico transparente e outros (cada
triângulo desenhado no papel tinha uma cópia de si numa folha de plástico) a fim de
ilustrarmos, na prática, que a idéia que está por traz da congruência é a idéia de
sobreposição.
171
Mais uma vez, o alvo principal era que as aprendizes utilizassem os casos de
congruência como recurso para provar as proposições advindas de construções
envolvendo ponto simétrico (simetria numa reta).
Combinamos com a dupla que poderiam usar todas as ferramentas
disponíveis no Cabri, mas que deveriam escrever a prova/justificativa.
Nós, inicialmente, desenhamos uma reta e um ponto fora dela, como na
Figura 4.51. Depois pedimos à dupla que encontrasse o simétrico do ponto P na
reta r. Interessante notar que a postura desta dupla (assim como foi dos demais
aprendizes) consiste sempre em procurar os recursos do Cabri que dêem conta de
realizar a construção (comandos de construção). Entretanto, não tiveram clareza em
relação a qual ferramenta usar, por exemplo, poderiam ter usado a ferramenta “reta
perpendicular” para traçar a reta perpendicular a r passando por P, mas não o
fizeram; o que fizeram foi simetrizar o ponto P com a ferramenta “simetria central” e
depois traçaram a reta PS, onde S é o simétrico de P.
As aprendizes tentaram justificar a construção com base no conceito de
colinearidade (já que fizeram a verificação), mas não mencionam as medidas
efetuadas dos segmentos PX e SX, sendo X ponto intersecção das duas retas.
Claramente, colocam em primeiro lugar a necessidade de efetuar medidas ou fazer
verificações e, talvez, por este motivo certos fatos sejam omitidos em suas tentativas
de prova.
1ª resposta
Figura 4.51 – 1ª resposta da Ativ.7, por Bárbara/Suzane
172
É notório que os aprendizes ficam mais à vontade quando a reta está
presente, principalmente com relação à produção escrita.
2ª resposta
Na construção abaixo foram usadas retas e circunferências. A partir dos
pontos A e B (da reta) e do ponto P, a dupla construiu a explicitamente a reta AB. O
próximo passo foi construir as circunferências (A, AP) e (B, BP), que se intersectam
no ponto S (simétrico de P). Notemos que ainda traçam a reta PS e fazem as
devidas verificações com o Cabri. Trata-se de uma construção bem elaborada e,
neste caso, não se fez necessária a nossa intervenção (a menos de algumas
medições que estavam sendo feitas de forma incorreta).
Figura 4.52 – 2ª resposta da Ativ.7, por Bárbara/Suzane
A justificativa da construção se resume, novamente, às verificações/medições.
A ponto de supormos que o dinamismo do Cabri pode estimular as provas
pragmáticas e, talvez, o empirismo ingênuo, de acordo com Balacheff.
3ª resposta
Nesta resposta se usou a ferramenta “reta perpendicular”; houve a
preocupação de marcar o ponto de intersecção das duas retas. Além disso, traçaram
a circunferência com centro nesta intersecção X e raio XP. Faltou evidentemente
especificar o simétrico, bem como a descrição e a prova.
173
Figura 4.53 – 3ª resposta da Ativ.7, por Bárbara/Suzane
4ª resposta
A construção a seguir foi efetuada, como no caso anterior, sem dificuldades.
Orientamos os aprendizes no sentido de traçar os triângulos e marcar o ponto de
intersecção dos segmentos AB e PO (o ponto T). Quanto à prova, a dupla não
conseguiu identificar nenhum dos casos de congruência presentes na figura. Tudo
que produziram foi com relação a pontos colineares.
Figura 4.54 – 4ª resposta da Ativ.7, por Bárbara/Suzane
4.8 Sumário sobre o Conjunto 1 (Sistema B)
O Conjunto 1 permaneceu com sete questões. Não houve modificações em
relação às atividades aplicadas no Sistema de Aprendizagem A. Foram aplicadas
em três sessões.
No grupo de questões de 1 a 4 pudemos observar mais facilidade das
aprendizes em lidar com as ferramentas do Cabri, notadamente no tocante a seus
aspectos dinâmicos. Também preferiram argumentos pragmáticos em detrimento
174
(quase sempre) dos argumentos matemáticos (envolvendo termos, idéias, noções e
conceitos matemáticos). Essa preferência pode se explicar pelo uso recorrente das
ferramentas de verificação do software e pelas dificuldades corriqueiras em
raciocinar e expressar idéias matematicamente.
Na Atividade 5, com a tarefa de se dobrar um segmento de reta, nossa
intenção teórica foi de introduzir os estudantes à prova (como aconteceu com as
outras duplas). As produções matemáticas deveriam girar em torno não apenas da
construção, mas também de uma boa articulação entre os termos matemáticos
necessários às justificativas. As dificuldades com a linguagem matemática foram
recorrentes, mas não em menor grau que com a linguagem natural. A quase
ausência de justificativas demonstra isso.
Nem todas as ferramentas disponíveis no Cabri foram exploradas e a
ferramenta “circunferência” foi usada muito precariamente.
Para a Atividade 6, que tratou de caixas-pretas, procuramos enfatizar a noção
de construção robusta/mole e as diferenças entre ambas. Constataram-se resultados
semelhantes àqueles obtidos no outro sistema de aprendizagem. Algumas
dificuldades marcantes estão relacionadas com o uso de certas ferramentas, tais
como “compasso” e “circunferência”. Esta atividade não foi resolvida usando
circunferências apenas, simplesmente, talvez, por falta de experiência no uso
dessas ferramentas. É interessante notar que só uma vez foi usada a ferramenta
simetria, não a simetria central, mas a simetria axial (no caso da simetria na
circunferência). Ao invés de usar a ferramenta “simetria central” para determinar o
ponto simétrico (de um ponto na circunferência em relação ao centro), as aprendizes
preferiram conduzir uma reta pelo centro, determinando assim um diâmetro.
A questão 7, em princípio, tinha como objetivo focar nas construções com o
compasso apenas (construções de Mohr-Mascheroni). Naturalmente, pelas
dificuldades encontradas pela dupla de aprendizes em realizar tais construções,
ampliamos as ferramentas do Cabri para, assim, enriquecer a gama de construções
possíveis e, evidentemente, com a intenção de termos mais elementos comparativos
175
na análise de uma mesma questão (diferentes ferramentas para resolver um mesmo
problema).
Ao menos a parte das construções não ofereceu maiores obstáculos à dupla
Bárbara/Suzane, diferentemente das outras duplas (que não tiveram tempo nem
para realizar as construções), no entanto, em relação às provas, o desempenho
desta dupla manteve o foco, no máximo, em argumentos pragmáticos, longe, ainda,
de alcançar as provas conceituais.
4.9 Conjunto 2
Este conjunto de atividades, como já sabemos, trata do “jogo” de prova e do
pós-teste. Os detalhes gerais deste conjunto, bem como a descrição de todas as
atividades, já estão colocados na Sessão 4.5 (p.149), quando foram analisadas as
mesmas atividades das duplas do Sistema do Sistema de Aprendizagem A.
A única diferença significativa em relação às outras duplas é que a dupla
Bárbara/Suzane teve permissão para recorrer aos casos de congruência de
triângulos, a dois modelos de prova pré-elaborados pelo pesquisador, bem como, se
necessário, consultar os cartões na hora realizar o pós-teste (que requeria,
sobretudo, os conceitos de congruência de triângulos). Na seqüência, iniciaremos a
análise das atividades do “jogo de prova”.
4.9.1 Atividade 1
A atividade pedia para “construir um ponto C na reta AB de modo que B seja
ponto médio de AC”. Primeiramente, orientamos a dupla a trocar idéias sobre a
questão. Leram atentamente o enunciado e não levaram mais que 2min 20s para
nos apresentar o resultado. Uma resposta obtida um tanto rapidamente sem atentar
para alguns fatos essenciais. Por exemplo, não foi perceptível à dupla a palavra
“portanto”, pois a mesma quase sempre precede uma conclusão, que no caso desta
atividade indica o último passo da prova. Tendo sido a prova organizada em três
passos, as aprendizes deram a seguinte resposta: 1-3-2. Trocaram, desta forma, os
176
últimos dois cartões. Comparemos este resultado com a ordem correta dos cartões a
seguir.
91 - Os pontos A, B e C são colineares, pois C é ponto da reta AB;
92 – Por construção, eu tenho que: AB = BC = raio;
93 – Portanto, B é ponto médio de AC.
Nesta questão não nos referimos de forma explícita aos termos hipótese e
tese. Também, não interferimos a fim de que isto ficasse claro aos estudantes. A
dupla não fez referência a fatos anteriormente vistos, nem na sala de aula nem nas
sessões com Cabri. É possível que não tenham observado a construção feita e
afirmação logo abaixo da mesma.
4.9.2 Atividade 2
Começamos esclarecendo que esta questão tinha a ver com congruência de
triângulos e que poderiam usar o material disponível sobre o referido assunto, ou
seja, os casos de congruência, além de dois exemplos de provas matemáticas que
já havíamos preparado para eventuais consultas (o teorema da mediatriz, por
exemplo). O enunciado consistia no seguinte: “Se um triângulo é isósceles, então os
ângulos da base são congruentes”.
Houve bastante discussão até chegarem numa conclusão (cerca de 4min30s).
Ainda assim, são recorrentes os obstáculos que o esquema-hipótese impõe. Esta
atividade requer da parte dos aprendizes algo mais que pensar em jogo; esse algo
mais chama-se raciocínio dedutivo.
A pesar da estrutura da demonstração ser dada em termos do esquema
hipótese-tese, não se viu nos aprendizes a preocupação de identificar um ponto por
onde começar; mesmo assim, os dois primeiros cartões foram colocados na ordem
correta. Os dois últimos foram invertidos (ou seja, colocaram na seguinte ordem: 1-2-
4-3). Vejamos os passos corretos da prova:
91 - Temos, no triângulo ABC, AB = AC e queremos provar que
ˆ
ˆ
B
C{ ;
92 - Eu sei que nos dois triângulos, AMB e AMC, temos:
177
AB = AC, AM = AM e BM = CM
93 - O critério LLL (Lado, Lado, Lado) nos garante que AMB AMC
'
{ ' ;
94 - O fato de os triângulos AMB e AMC serem congruentes quer dizer que têm a
mesma forma e o mesmo tamanho. Conseqüentemente,
ˆ
ˆ
B
C{
Consideramos que, talvez, confundiram o que era para ser provado: que os
triângulos AMB e BMC são congruentes, mas não que o ângulo B é congruente ao
ângulo C. Não compreenderam, portanto, que o fato dos ângulos B e C serem
congruentes se deve à congruência dos dois triângulos citados.
Uma prova elaborada em poucos passos, mas que exige um razoável
raciocínio dedutivo e também um bom nível de leitura e compreensão de termos
matemáticos.
4.9.3 Atividade 3
O enunciado desta questão é praticamente igual ao da primeira, com a
diferença de que a construção foi realizada com o compasso apenas.
Antes de tudo, uma consideração importante sobre o conteúdo desta
atividade. No nosso exame de qualificação, fomos questionados sobre o fato de se
estar usando medidas para provar proposições, o que não é aceito do ponto de vista
formal da matemática/geometria. Ocorre que já tínhamos aplicado esta atividade às
duplas Augusto/Cristina e Bruno/Gisele e não dispusemos de mais tempo para
reformular esta atividade, pois teríamos que programar algumas aulas ou episódios
de ensino com a dupla, que por sua vez estava em processo de fechamento das
notas na escola. Não havia mais tempo. Por isso, o conteúdo desta atividade não foi
modificado. O mesmo se aplica àquele problema da construção de três pontos
colineares. (Nos dois casos foi usada a medida de ângulos – de 60º e de 180º –
para provar a colinearidade de pontos).
A atividade foi solucionada quase no mesmo tempo da anterior. Foi possível
observarmos dificuldades em ordenar as idéias (passos) envolvidas na prova.
Parece-nos que nem tanto os termos matemáticos causaram problemas às
178
aprendizes, mas sim, a não observância de certas partes escritas que estavam mais
claramente ligadas, principalmente o final de cada cartão. Não houve a preocupação
em estudar a figura construída a fim de relacioná-la com alguma passagem da prova
e, menos ainda, de procurar termos que sugerissem a idéia de conclusão. Aliás, nem
mesmo comentaram o fato que nas passagens, está explícita a palavra “conclusão”.
Uma outra suposição é que não conseguiram entender bem o enunciado da
questão, ou não prestaram atenção o suficiente, mas o certo é que os obstáculos no
que diz respeito à interpretação textual têm sido normais a todos os nossos
aprendizes.
Só conseguiram colocar o primeiro cartão no lugar certo, ou melhor,
ordenaram assim: 1-3-4-2. Ao passo que deveriam ter feito do seguinte modo:
91 - Eu sei que os triângulos ABC, CBD e DBP são eqüiláteros (pois foram
construídos com a mesma medida AB). Logo, todos os 3 ângulos no vértice B
medem 60º, ou seja;
92 - ;
ˆ ˆ ˆ
60
o
ABC CBD DBP
93 - Logo, somando esses 3 ângulos, vem o resultado
ˆ ˆ ˆ
60 60 60 180
o o o
ABC CBD DBP
o
;
94 - E como AB = BP (= raio), chegamos à conclusão de que B é ponto médio de AP.
4.9.4 Atividade 4
Esta atividade aborda, essencialmente, congruência de triângulos. Além
disso, há que se levar em conta que a construção (do ponto simétrico numa reta) foi
realizada com o compasso apenas. Trata-se de uma prova bastante longa, realizada
em nada menos que 8 passos. A atividade não deixa nada explícito com relação ao
esquema hipótese-tese – isso seria tarefa da dupla participante. Resumidamente,
relembramos a seqüência correta desta prova:
91 – Podemos desenhar dois triângulos: ABC e ABD;
179
92 – Por construção, eu sei que AC = AD (L), BC = BD (L) e AB = AB (L). E
posso então dizer que...
93 – O triângulo ABC é congruente ao triângulo ABD, pelo caso LLL.
94 – Seja M o ponto de intersecção dos segmentos CD e AB. Podemos, assim,
desenhar dois triângulos: ACM e ADM;
95 – Sabemos que AC = AD (raio), CÂB = DÂB (porque 'ABC { 'ABD) e AM =
AM (lado comum);
96 – Então, pelo critério LAL, 'ACM { 'ADM (o triângulo ACM é congruente ao
triângulo ADM);
97 – Conseqüentemente (pela congruência dos dois triângulos), chegamos à
igualdade CM = DM;
98 – Portanto, D é o simétrico de C em relação à reta
A
B
H
JJG
A dupla leu atentamente o enunciado da questão, após o que começaram as
tentativas de organizar os cartões.
Pôde-se perceber nitidamente as dificuldades no encadeamento lógico das
idéias. Tomamos então a iniciativa de orientar as aprendizes no sentido de que a
prova se compõe-se de duas etapas importantes, ambas envolvendo o conceito de
congruência de triângulos. Mesmo assim, os obstáculos não se dissiparam.
Para esta dupla, em especial, não constatamos um envolvimento voltado ao
melhor entendimento dos conceitos e/ou termos matemáticos que fazem parte da
questão, desde o enunciado até o último passo da prova (Pelo menos no tocante a
isto, os demais aprendizes se sobressaíram). Nos referimos, aqui, às figuras e aos
termos matemáticos, como: raio, lado, lado comum, ponto médio, ponto de
intersecção etc. É importante salientar que esta dupla poderia rever os casos de
congruência, se preciso fosse, uma vez que os mesmos estavam à disposição. Mas
não tomaram isso como uma tarefa necessária à resolução da atividade.
180
Na tabela logo abaixo, resumimos as respostas desta dupla.
Dupla
Ativ-1
1-2-3
Ativ-2
1-2-3-4
Ativ-3
1-2-3-4
Ativ-4
1-2-3-4-5-6-7-8
Bárbara/Suzane 1-3-2 1-2-4-3 1-3-4-2 1-5-3-4-2-6-7-8
Tabela 4.3 – Respostas da dupla Bárbara/Suzane, “jogo” de prova.
4.9.5 Pós-teste (Atividade 5)
Para esta dupla, o pós-teste foi realizado apenas alguns poucos minutos
depois de terminado o ”jogo” de prova. Como aconteceu antes com outras duplas,
explicamos como deveria ser realizada esta atividade; que teriam que contar a
“historinha” da prova; que usariam, para isso, congruência de triângulos e não
apenas a idéia de sobreposição. Reforçamos que poderiam lançar mão dos casos
de congruência de triângulos (disponíveis à mesa) e dos cartões envolvendo provas
semelhantes (os mesmos cartões que foram usados no “jogo” de prova), a fim de
que usassem essas “dicas” como prováveis suportes de idéias às suas elaborações.
Enquanto professor-pesquisador procuramos auxiliar a dupla com relação à
identificação do caso de congruência inerente à figura desenhada e de como a prova
poderia ser iniciada. Também usamos a idéia de sobreposição para ilustrar a
congruência dos triângulos. Mas as dificuldades persistiram.
O enunciado da questão é: “Se um triângulo é isósceles (tem dois lados
iguais”), então os ângulos da base são congruentes”. Após muita discussão e, ao
mesmo tempo, com uma considerável intervenção nossa, a dupla escreveu a
seguinte “prova”:
181
Figura 4.55 – Resp. do pós-teste, por Bárbara/Suzane
Pela resposta acima, vemos que:
9Os elementos (lados) foram listados/relacionados corretamente.
9Usaram o caso de congruência (LLL) de forma correta, apesar de não ter
havido uma justificativa; e
9Concluíram a congruência dos ângulos A e B.
Trata-se, evidentemente, de um tipo de prova formal, com uma boa
articulação entre encadeamento lógico de idéias e uso de termos matemáticos
(escrita, notação, símbolos). Percebe-se que não houve uma justificativa
contundente do caso LLL. Neste caso, então, pode-se afirmar que é uma prova
quase conceitual e, portanto, se aproxima das classificações de prova de N.
Balacheff. A despeito de nossa interação ter sido bastante significativa, o que mudou
sobremaneira a ação da dupla no ato de provar, temos que levar em consideração
que o empenho das aprendizes é que fez a diferença, mais do que a nossa ajuda.
182
4.9.6 Uma Breve Comparação entre os dois Sistemas de Aprendizagem
Pelos dados de que dispomos, e pela análise feita até o momento, avaliamos
que os dois sistemas apresentam alguns resultados em comum. Destacamos as
facilidades e preferências com o dinamismo do Cabri, as dificuldades com as
construções robustas e um certo desconforto com alguns termos matemáticos (raio,
diâmetro, congruência, etc). Ao que parece, para todos os aprendizes, as
dificuldades na linguagem natural (e mais na linguagem matemática) podem ser os
fatores associados com as dificuldades na elaboração de provas e mesmo nas
descrições das construções. Uma noção que ficou razoavelmente apreendida foi a
noção de raio e a de colinearidade (momentos de segurança com essas noções).
4.10 Sumário do Capítulo
Neste capítulo, discutimos e analisamos as atividades aplicadas às três
duplas de aprendizes – Sistema de Aprendizagem A: Augusto/Cristina e
Bruno/Gisele; e Sistema de Aprendizagem B: Bárbara/Suzane. Foram aplicados três
conjuntos de atividades (0, 1 e 2) ao Sistema A e dois conjuntos (1 e 2) ao Sistema
B.
As atividades do Conjunto 0 se focaram mais nas tarefas de construção e
descrição que nas tarefas de justificativas, muito embora em algumas questões os
aprendizes tenham esboçado tentativas de justificar as construções.
No Conjunto 1, o enfoque foram as provas matemáticas, ou seja, as
justificativas das construções geométricas. Para este conjunto, as atividades de 1 a
4 enfatizaram os aspectos dinâmicos do Cabri. A nossa intenção, neste caso, era
que os aprendizes se valessem desse dinamismo como recurso no processo de
prova e que, além disso, fossem experimentando o uso de linguagem matemática
nas justificativas. Procurou-se, também neste conjunto, abordar uma importante
noção em ambientes de Geometria Dinâmica, que é a noção de construção
robusta/mole, o que foi feito especificamente na Atividade 6 (Caixas-pretas). Por fim,
aspectos mais formais de provas foram levados em conta na Atividade 5 (sobre
183
duplicar um segmento de reta) e na Atividade 7, a qual abordou especificamente as
construções de Mohr-Mascheroni.
Foi, ainda, durante a aplicação do Conjunto 1, que realizamos o chamado
Episódio de Ensino – na verdade uma aula sobre congruência de triângulos e
provas. Foram abordados três dos quatro casos de congruência. O objetivo visado
era dar suporte teórico para provar proposições envolvendo congruência de
triângulos, notadamente o problema da construção do ponto simétrico numa reta
(simetria axial), construção cumprida com o compasso apenas (uma das
construções de Mohr-Mascheroni). Avaliamos que o Episódio de Ensino não trouxe
maiores benefícios a nenhum dos sistemas de aprendizagem envolvidos no
experimento de ensino, na medida em que não surtiu muito efeito no momento da
execução das provas. Tudo aponta para mais experiências com provas ou mesmo
experiências extras.
Dados os reais obstáculos enfrentados nos conjuntos de atividades 0 e 1, se
fez necessário uma outra abordagem para a prova em torno do assunto construções
geométricas. Assim, essa abordagem consistiu em tratar as construções
geométricas e provas fora do ambiente do Cabri (ou melhor, só lápis e papel), e isso
foi feito nas atividades do Conjunto 2, que se compôs pelo “jogo” de prova e pelo
pós-teste.
No “jogo” de prova, os aprendizes tinham diante de si provas já prontas,
organizadas em espécies de cartões. Teriam apenas que ordenar os cartões
corretamente. Portanto, não era necessário que escrevessem a prova. Já no pós-
teste, era necessário que produzissem uma prova a partir de uma questão
envolvendo um caso de congruência de triângulos. Vale ressaltar que o Sistema A
não pôde consultar os cartões na hora de produzir a prova escrita, ao passo que o
Sistema B teve acesso aos cartões e a exemplos de provas preparadas pelo
professor-pesquisador. Apesar desse fato, não foram observadas diferenças
significativas nos resultados dos dois sistemas (para o Conjunto 2).
Diferenças significativas, no entanto, foram detectadas nos resultados do
Conjunto 1 para os dois sistemas. Em poucas palavras, o maior empenho e
184
disposição dos aprendizes do Sistema de Aprendizagem A é que determinou os
melhores resultados desses estudantes, com destaque nas produções escritas. Com
relação à exploração dos recursos dinâmicos do software Cabri, os resultados são
muito parecidos.
Os principais pontos referidos neste capítulo, sobre a análise das atividades
dos estudantes, serão retomados no Capítulo 5 (Conclusão), o qual apresentará ao
leitor os mais importantes resultados obtidos neste trabalho, bem como tratará de
responder as duas questões de pesquisa propostas.
185
CAPÍTULO 5
C
ONCLUSÃO
5.1 Introdução
As investigações em Educação Matemática sobre o tema prova estão na
ordem do dia, mas também nos revelam que temos muito a pesquisar,
principalmente na Matemática Escolar, ao nível do ensino básico. É exatamente
nesse rico cenário educacional que se insere nosso trabalho.
De acordo com as considerações feitas no Capítulo 2 – Argumentações,
Provas e Educação Matemática –, nosso trabalho consiste em abordar as provas
matemáticas produzidas por alunos do ensino básico (7ª série do Ensino
Fundamental), em particular, a partir das construções geométricas tratadas num
ambiente de Geometria Dinâmica – o Cabri-Géomètre. Desta forma, o objetivo
principal foi o de investigar as produções matemáticas
55
dos estudantes. Tais
produções matemáticas foram observadas em duas vertentes principais:
9Nas construções realizadas com o software Cabri; e
9Nas produções escritas, ou seja, com base nas descrições/justificativas
dessas construções.
O uso do Cabri como recurso no processo de prova (justificativas das
construções realizadas) foi tido por nós como o “motor inicial” das provas
matemáticas propriamente ditas, ou melhor, esta pesquisa pretendeu não apenas
explorar o dinamismo do software, mas, sim, introduzir os estudantes aos complexos
processos de prova em geometria a partir de atividades que pudessem ser
solucionadas de diferentes formas (variar as ferramentas na resolução de um
mesmo problema).
55
Lembramos que produções matemáticas dos estudantes dizem respeito, não apenas às descrições
e justificativas (das construções), mas também, às suas construções realizadas.
186
5.2 As Questões de Pesquisa - Comentários Gerais
As duas perguntas de pesquisa que nos propomos a responder neste trabalho
giram em torno do menu de ferramentas do Cabri e da maneira como os aprendizes
fazem uso dessas ferramentas. Eis as questões:
91. Em que medida as ferramentas do Cabri, disponíveis para a
resolução de problemas, influenciam as provas produzidas pelos
alunos?
92. Qual o impacto da mudança nas ferramentas na compreensão das
provas pelos alunos?
Quanto à primeira pergunta, existe um fator fundamental a ser considerado: é
muito difícil nos livrarmos da reta nas construções geométricas ou no Desenho
Geométrico. Ela é, além de necessária, essencial à compreensão do desenho ou
figura em estudo. Facilita a descoberta da heurística de uma figura. Em particular,
no caso do Cabri, quando o uso da reta é sempre permitido, amplia-se sobremaneira
a gama de construções possíveis e, se somarmos a isto o dinamismo deste
software, as construções ficam realmente mais ricas.
Mas a pergunta 2 nos remete a uma consideração de outro tipo. Uma
consideração, a nosso ver, de ordem teórica. Primeiro, porque mudança nas
ferramentas pode significar, por exemplo, restringir o uso de algumas delas, como a
reta. Este é o ponto central desta pergunta. Segundo, porque eventuais restrições no
menu do Cabri tendem a dificultar ainda mais certos tipos de construção, a exemplo
da obtenção do ponto médio de um segmento de reta com o compasso apenas.
Esclareçamos melhor o sentido da pergunta 2. Existem várias maneiras de se
restringir o menu do Cabri, mas no caso da nossa pesquisa a restrição é só uma: A
reta não pode ser traçada, de modo que as construções geométricas devem
ser cumpridas com o compasso apenas – e quando dizemos compasso, nos
referimos à ferramenta “compasso” ou à ferramenta “circunferência”, ou ambas).
Tradicionalmente, as construções geométricas têm sido realizadas com a régua e o
187
compasso, como se fossem componentes de um jogo. Portanto, no nosso jogo, por
vezes, faltará uma peça importante: a reta (ou a régua, se pensarmos no ambiente
do lápis e papel).
Cabe mais uma consideração sobre esta segunda pergunta. A idéia de proibir
o traçado da reta nas construções geométricas surgiu a partir do contato que
tivemos com a já mencionada Geometria do Compasso (ou de Mohr-
Mascheroni)
56
, que foi a principal fonte de inspiração para o nosso trabalho. Nesse
sentido, a mudança nas ferramentas a que refere a pergunta 2 trata exatamente de
dispensar a reta
57
, de modo que somente circunferências são permitidas nas
construções.
Outra questão importante que envolve a mudança de ferramentas diz respeito
à colinearidade. Quando a reta está traçada, os aprendizes se convencem muito
mais facilmente da colinearidade; quando não está, ou seja, quando a condição
“sem reta” é imposta nas construções, a noção de colinearidade como uma
propriedade é quase sempre (ou sempre) não percebida pelos aprendizes.
A fim de alcançar o objetivo proposto – o de investigar as questões 1 e 2 –,
retomaremos os dois tópicos seguintes, referentes ao embasamento teórico-
metodológico:
1. Metodologia. Foi escolhida para este trabalho a metodologia baseada nos
procedimentos sobre experimentos de ensino, explicitados por Kelly & Lesh (2000),
que têm por objetivo a criação de uma versão, em escala reduzida, de uma ecologia
de aprendizagem, de forma que a mesma possa ser estudada em profundidade e
detalhe. Esta metodologia pode ser considerada como um tipo mais singular da
metodologia baseada em design (design experiments), que por sua vez constitui um
paradigma de pesquisa mais abrangente, notadamente em cenários educacionais.
56
Assunto discutido no Capítulo 1, mais em detalhes.
57
Dispensar no sentido de que a reta não pode (de fato) ser traçada, mas, evidentemente, a reta
continua existindo como sendo determinada por dois de seus pontos.
188
A parte empírica de um experimento de ensino, o estudo em si, divide-se em
duas fases (inter-relacionadas): a fase de desenvolvimento e fase de
experimentação. Na fase de desenvolvimento, foram especificados os sujeitos de
pesquisa e elaboradas as atividades, que foram de dois tipos: computacionais (com
o uso do Cabri) e não-computacionais (sem o Cabri), envolvendo o ambiente do
lápis e papel (“jogo” de prova e pós-teste). Resumindo, foram elaborados três
conjuntos de atividades para o Sistema de Aprendizagem A (Augusto/Cristina e
Bruno/Gisele) e dois conjuntos para o Sistema de Aprendizagem B (somente a dupla
Bárbara/Suzane). Já a fase de experimentação se deu, em primeiro lugar, com as
sessões de familiarização com o software Cabri para todos os estudantes e, em
segundo lugar, com a aplicação das atividades às 3 duplas participantes do
experimento.
O conjunto de atividades denominado Conjunto 0 teve como objetivo
introduzir os estudantes ao Cabri no tocante a conceitos elementares de geometria.
Teve como enfoque mais as construções que as descrições/justificativas. O
Conjunto 1, ao contrário, se focou mais nas provas matemáticas (justificativas das
construções). Por último, o Conjunto 2 abordou praticamente os mesmos temas
tratados nos dois primeiros, mas, desta vez, tudo foi feito no ambiente do lápis e
papel – nada de Cabri. Teve como objetivo o tratamento das provas matemáticas de
um ponto de vista mais formal, em comparação com o tratamento dado quando das
atividades desenvolvidas no contexto do Cabri-Géomètre.
É importante ressaltar que nenhum dos estudantes conhecia o software
Cabri-Géomètre até o início do experimento de ensino e tinham poucos
conhecimentos de Geometria Euclidiana elementar, a menos daqueles conceitos
mais corriqueiros, abordados de forma esparsa nas aulas de Matemática, como as
noções de ponto e de reta, de ângulo, quadrado (talvez o retângulo) e triângulo, mas
não as propriedades geométricas inerentes a algumas desta figuras. Podemos citar
a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e ponto médio.
Enfatizamos que todos esses assuntos, inclusive os casos de congruência de
triângulos, tiveram que ser ensinados na sala de aula de Matemática, à média de
uma aula de Geometria por semana, de acordo com plano de aulas (para a 7ª
Série).
189
Finalmente, esclarecemos que esta fase de experimentação se deu de forma
separada para os dois sistemas de aprendizagem, ou melhor, primeiro o Sistema de
Aprendizagem A cumpriu as sessões de familiarização com o Cabri e, na seqüência,
os três conjuntos de atividades (conjuntos 0, 1 e 2). Somente depois de terminada
essa etapa, começamos a experimentação com o Sistema de Aprendizagem B, que
cumpriu familiarização com Cabri e os conjuntos 1 e 2 (Não foi aplicado o Conjunto
0).
2. Base Teórica. Buscamos apoio teórico no trabalho de Mariotti (2001), que
fundamenta nosso trabalho no que concerne ao campo de experiência (das
construções geométricas) e criação das atividades, ou seja, Mariotti enfoca, em sua
pesquisa, as provas e construções geométricas com Cabri, sendo que um dos
principais alvos era a investigação de uma abordagem para o ensino centrada no
uso do micromundo Cabri-Géomètre e tendo como intenção o desenvolvimento do
pensamento teórico em geometria. Um outro objetivo foi o de clarear o papel do
ambiente do Cabri nos processos de ensino-aprendizagem.
Em relação à nossa pesquisa, a escolha do Cabri se deu, não somente por
sua flexibilidade ou pelo fato de o mesmo ser um bom suporte didático para ensinar
geometria elementar, mas sim, porque ele pode ser encarado como um elemento
mediador da idéia de prova matemática. Acreditamos que este enfoque pode
contribuir para desenvolver o pensamento teórico em geometria, com destaque para
os processos de indução e dedução. A nossa intenção, quando da aplicação das
atividades, foi que este pensamento teórico ao qual nos referimos pudesse ser
incorporado no momento das tarefas de construção e validação, ou seja, que
ocorresse a ligação entre uma construção e o teorema matemático que a valida. Foi
justamente esta ligação que foi mais difícil para os nossos aprendizes. E então,
dados esses obstáculos absolutamente normais, se faz necessário “aproximar a
teoria com a prática”, com possíveis movimentos do empírico ao conceitual,
envolvendo, respectivamente, desde noções simples de geometria (tratadas, por
exemplo, com o dinamismo do Cabri) até aquelas mais complexas, que possam
introduzir os aprendizes à prova. Conjecturamos, assim, que atividades privilegiando
o modo dragging (arrastar) podem favorecer este movimento, bem como a validação
190
de uma construção poderá surgir da observação dos diversos casos particulares
decorrentes deste recurso.
As ferramentas teóricas utilizadas para a análise das atividades dos
estudantes se fundamentam nos trabalhos de Balacheff, que explicita a
categorização de provas e os processos de validação. Segundo este autor, as
provas se dividem em duas categorias: as pragmáticas – que utilizam recursos de
ação e são sub-categorizadas em empirismo ingênuo, experimento crucial e
exemplo genérico – e as conceituais, que envolvem formulações de propriedades
em questão, assim como as relações que se estabelecem entre estas propriedades,
subdividindo-se em experimento de pensamento e cálculo mental ou cálculo de
afirmações. Nas do primeiro tipo, temos um caráter ou raciocínio
preponderantemente indutivo e nas do segundo, predomina o raciocínio dedutivo.
Na presente pesquisa, a categoria de prova denominada de pragmática está
claramente contemplada nas atividades que enfocam os aspectos dinâmicos do
Cabri (medição, verificação de propriedades, etc) e também, naquelas relacionadas
com os casos de congruência de triângulos, em que se usa a idéia de sobreposição
(caso da atividade 7 do Conjunto 1, e atividade 4 (“jogo” de prova) e pós-teste, do
Conjunto 2). Já o tipo de prova classificado como conceitual cobre todas as
atividades, desde o Conjunto 0 ao Conjunto 2, que envolvem descrição e
justificativas das construções geométricas.
5.3 Principais resultados
As produções matemáticas dos aprendizes foram analisadas levando-se em
conta três aspectos importantes: (a) se usaram linguagem matemática na
descrição/justificativa de cada construção, (b) se fizeram referência a propriedades
matemáticas vistas anteriormente, e (c) se exploram os recursos dinâmicos do Cabri
para validar as construções. A partir destes elementos, pretendemos responder as
duas questões de pesquisa que retomamos mais adiante. O referencial teórico
considerado acima é que nos guiará nas devidas respostas. De um lado, o campo
teórico em que se inserem as construções geométricas, na perspectiva de Mariotti,
191
e, de outro lado, a teoria de Balacheff, a qual nos ensina sobre a natureza dos
argumentos matemáticos utilizados nas respostas dos aprendizes, argumentos estes
que podem originar duas categorias de provas: as de caráter empírico ou
pragmáticas e as de caráter teórico ou conceitual, como já foi discutido no tópico
anterior.
Enfatizemos, de início, que o alvo mais específico de nossa pesquisa é a
elaboração de provas matemáticas no contexto das construções geométricas (num
primeiro momento, com o Cabri, e num segundo momento, sem o Cabri). Pensando,
entretanto, no Conjunto 0 como um bloco de atividades preparatórias, que
servissem de iniciação à temática das construções geométricas no Cabri, acabamos
por tomar a decisão de enfocar apenas as tarefas de construção e descrição. Por
outro lado, sendo tais tarefas desenvolvidas no ambiente do Cabri-Géomètre, fomos
levados naturalmente a interagir com os aprendizes no sentido de que explorassem
os aspectos dinâmicos deste software, com vistas, obviamente, a que se iniciassem
na produção de provas (no contexto do empirismo do cabri).
Podemos, em linhas gerais, afirmar que o foco dos aprendizes ficou mais na
construção, sendo que as descrições são muito carentes de detalhes, tanto em
termos de linguagem matemática (pouco uso de termos matemáticos adequados)
como na própria língua materna. A idade escolar em que se encontram os
aprendizes, bem como a falta de experiência com este tipo de atividade, talvez
sejam os fatores associados com essas dificuldades.
Algumas dificuldades observadas são particularmente interessantes.
Podemos destacar duas delas: as de nível teórico-matemático e as aquelas
relacionadas com o manuseio técnico do software. Em primeiro lugar, foram
recorrentes nas produções escritas dos aprendizes muitas dificuldades em se
expressar matematicamente, por exemplo, com a noção de raio e de colinearidade.
Só à medida que as atividades foram se desenvolvendo é que certos termos
matemáticos iam aflorando nas falas dos aprendizes, mas as dificuldades na escrita
não se resolveram por completo, não se dissiparam.
192
Em segundo lugar, pudemos notar dificuldades no manuseio técnico do
software, que, no nosso entendimento, implicaram em problemas na execução de
construções robustas. As atividades que trataram, por exemplo, da construção do
diâmetro de uma circunferência, ofereceram várias dificuldades aos aprendizes, sem
exceção. Outro fato digno de nota é que houve uma maior preferência pelos
comandos de construção, em detrimento, quase sempre, dos comandos de
criação
58
, ou seja, ficou nítida, em muitas atividades, a preferência por processos
mais automáticos para executar as construções.
Com relação ao conjunto de atividades denominado de Conjunto 1, o bloco
de questões de 1 a 4, para os dois sistemas de aprendizagem, A e B, apresenta
resultados muitos parecidos, senão coincidentes, em alguns casos. Tal bloco de
questões teve como foco o dinamismo do Cabri. Um resultado interessante diz
respeito às produções escritas dos aprendizes, nas quais percebemos uma mescla
de linguagem natural e linguagem matemática e, além do mais, dentro desta
linguagem mista, foi preponderante o uso de termos matemáticos acessíveis, ou
melhor, daqueles que mais se aproximam do uso diário.
O resultado mais importante deste grupo de questões (de 1 a 4) está
relacionado com a natureza das “provas” produzidas pelos aprendizes. Nos
referimos, neste caso, ao fato de que as dificuldades nas provas escritas foram
compensadas, em grande medida, pelas “provas” empíricas que o Cabri pôde
oferecer. Dito de outra maneira, com a ausência de justificativas teóricas mais
convincentes, o Cabri era solicitado a “provar”, a validar as construções.
A Atividade 5 – sobre dobrar um segmento de reta –, teve como objetivo
principal introduzir os estudantes à prova. Algum tipo de justificativa deveria ser
sempre fornecida pelos aprendizes, quer fossem argumentos empíricos, baseados
no dinamismo do Cabri, quer fossem argumentos teóricos ou conceituais, com base
58
Os comandos de construção tendem a tornar mais automáticas as construções, e só pode ser
construído um novo objeto a partir de um outro já existente. Exemplo: Você pode construir uma reta
perpendicular a uma reta dada, com a ferramenta “perpendicular”, ou querer determinar o ponto
médio de um segmento de reta, com a ferramenta “ponto médio”. Já os comandos de criação – ponto,
reta, circunferência, etc – exigem algum movimento do mouse, tipo clicar, mover, arrastar e soltar.
Portanto, é a posição do cursor em certos eventos (pressionar o botão do "mouse", soltar o botão do
"mouse", ...) que determinará as características destes objetos.
193
em fatos matemáticos propriamente ditos. Um resultado que já tínhamos previsto (de
acordo com os dados das atividades anteriores), está relacionado com o uso de
”justificativas” com base nos recursos dinâmicos do Cabri, aliás, um fato recorrente a
todos os aprendizes.
O uso de diferentes ferramentas para a resolução de um mesmo problema
trouxe algumas dificuldades, principalmente no tocante às justificativas. Os recursos
dinâmicos do Cabri, aliados à utilização da ferramenta “simetria central” e mesmo o
uso constante da reta nas construções, propiciaram boas “provas” para esta questão
(provas pragmáticas). No entanto, quando o menu do Cabri foi restrito ao uso do
compasso apenas, as dificuldades dos aprendizes aumentaram significativamente,
pois, no geral, faltou mencionar propriedades matemáticas imprescindíveis para a
elaboração das provas. Salientamos também uma séria dificuldade que se revelou
quando os aprendizes se deparavam com uma figura formada por vários objetos
bem próximos uns dos outros (o que, a nosso ver, interferiu nas produções escritas).
Citamos, por exemplo, este mesmo problema de dobrar um segmento de reta com o
compasso somente, em que aparecem várias circunferências ao mesmo tempo.
Foi marcante também o traçado de retas (pontilhadas ou não), apesar de seu
uso não ser permitido em algumas atividades. É bem evidente que a reta deixa mais
à vontade os aprendizes, tornando as construções mais fáceis de entender. Sem a
reta, em geral foi muito trabalhoso para eles perceberem certas propriedades
matemáticas nas figuras e, ao mesmo tempo, na sua falta (da reta) percebemos
como a noção de colinearidade como uma propriedade matemática passa
despercebida pelos estudantes.
As atividades sobre caixas-pretas revelaram um mesmo problema a todos os
aprendizes: a dificuldade nas construções robustas. Esta atividade, muito embora
não tivesse enfoque nas provas matemáticas (procurava enfatizar as construções
robustas), nos faz refletir sobre a seguinte questão. O Cabri se apresenta como algo
novo aos estudantes participantes, não só no sentido tecnológico ou didático-
pedagógico, mas também, no sentido de que certos conceitos de geometria
elementar tiveram uma abordagem distinta daquela costumeiramente vista no
ambiente do lápis e papel. De maneira que algumas dificuldades envolvendo, por
194
exemplo, a construção do diâmetro de uma circunferência, revelam que o elemento
novo é, na verdade, o conceito de construção robusta. A geometria no ambiente do
lápis e papel chegou mesmo, por vezes, a interferir na apreensão do conceito de
construção robusta no ambiente do Cabri e de sua Geometria Dinâmica. Mas em
parte, os percalços na execução de construções robustas se devem a muitas
dificuldades no manuseio técnico deste software.
O alvo principal do Episódio de Ensino, cujo tema central foram as
congruências de triângulos, foi “preparar” os aprendizes para as provas de Mohr-
Mascheroni, decorrentes das construções realizadas con el compás solamente.
Temos a avaliação de que este Episódio de Ensino, do modo como foi conduzido
(aula explicativa com recurso a materiais manipulativos) foi pouco eficiente, pois
seus efeitos quase que não se fizeram presentes nas produções escritas dos
aprendizes. Nem as idéias de sobreposição chegaram a ser utilizadas para justificar
as construções de Mohr-Mascheroni. É bem verdade que este tipo de prova, pelo
fato de envolver congruência de triângulos, requer um tipo de raciocínio puramente
teórico, raciocínio, por sua vez, que não esperávamos que emergisse dos
estudantes. Esperávamos, sim, uma certa dose de referência, pelo menos ao
empirismo ingênuo descrito por Balacheff.
Até mesmo as construções de Mascheroni foram de difícil compreensão para
os estudantes, certamente porque a ausência da reta dificulta bastante e até chega
a inviabilizar, de fato, algumas construções.
Alguns resultados gerais e importantes podem ser destacados para os
sistemas de aprendizagem A e B. Primeiro,fica constatada, nesta pesquisa, a
preferência pelas provas pragmáticas (principalmente baseadas no dinamismo do
Cabri); segundo, percebeu-se uma certa evolução no uso de termos matemáticos,
muito embora, muito poucas vezes as justificativas apresentaram argumentos
próximos do nível conceitual; e, terceiro, foram recorrentes as dificuldades com as
construções robustas. Um dos conceitos matemáticos que talvez tenha sido melhor
apreendido pelos estudantes foi o de raio, em grande parte porque sempre apareceu
em quase todas as atividades (e, portanto, provavelmente, esse fato propiciou
muitas experiências aos aprendizes).
195
Passamos, agora, aos principais resultados das atividades do Conjunto 2,
sobre o “jogo” prova e o pós-teste, de acordo com a análise feita no Capítulo 4.
Enfatizamos que esta fase do experimento de ensino se deu totalmente fora do
ambiente computacional do Cabri-Géomètre.
O tipo de raciocino que se emprega em demonstrações matemáticas exige
muito mais tempo para ser consolidado de alguma forma. Não se trata somente de
entender como se faz uma determinada prova matemática, mas de entender as
várias facetas que uma prova pode ter, bem como o seu funcionamento. As
atividades do Conjunto 2 suscitam tais preocupações.
Uma das preocupações nossas ao elaborar os cartões do “jogo” de prova (e o
pós-teste) levou em conta as dificuldades, explicitadas acima, quando da elaboração
das provas ou justificativas. E para tanto, procuramos, nos enunciados ou nos
passos de cada prova, realçar o uso de expressões mais corriqueiras, que
pudessem despertar nos aprendizes a busca pelo encadeamento lógico contido em
uma demonstração. Por exemplo, foi recorrente nos cartões o uso de palavras como
“portanto”, “conclusão”, “assim”, etc. Paralelamente, tentamos dosar o que estamos
a chamar, neste trabalho, de esquema-hipótese, para enfatizar este que é um dos
aspectos cruciais das demonstrações e, principalmente, para levar os aprendizes a
pensar matematicamente em como “caminhar” do ponto inicial (hipótese), valendo-
se de fatos conhecidos (argumentos), até alcançar a conclusão (a tese).
Nas atividades do “jogo” prova, a despeito de cada prova já se encontrar
escrita, os principais obstáculos dos aprendizes dizem respeito ao raciocínio lógico
empregado nas provas. Na maioria das atividades os aprendizes ordenaram os
cartões incorretamente. Houve apenas um acerto, sendo que na maioria dos casos,
acertaram o primeiro e último cartões
59
. Se é verdade que os aprendizes têm
grandes dificuldades ou não conseguem elaborar provas com o rigor exigido pela
matemática, como já pudemos constatar nesta pesquisa, também não é menos
59
Em todas atividades as duplas Augusto/Cristina e Bruno/Gisele acertaram o 1º e último cartões,
pelo menos, ao passo que a dupla Bárbara/Suzane só conseguiu esse feito numa atividade.
196
verdade que, se forem ajudados do modo como foram neste jogo de prova, suas
dificuldades poderiam gradualmente diminuir.
Podemos afirmar que o “jogo” de prova com cartões, em certa medida, ajudou
os estudantes a entender umas poucas idéias gerais sobre uma prova matemática,
mas o mesmo não se pode dizer da compreensão de cada prova, notadamente
aquelas envolvendo congruência de triângulos, pois houve bastante confusão no
encadeamento lógico, talvez em função da existência de termos matemáticos ainda
não familiares aos aprendizes.
5.4 Respondendo as Questões de Pesquisa
Neste tópico, voltamos às duas questões de pesquisa que foram investigadas
no presente trabalho.
91. Em que medida as ferramentas do Cabri, disponíveis para a resolução de
problemas, influenciam as provas produzidas pelos alunos?
Nas atividades desenvolvidas com o Cabri, os aprendizes exploraram
praticamente todo o seu menu de ferramentas. Nossa intenção foi chamar a
atenção dos aprendizes para que explorassem diferentes propriedades ao resolver
um problema (fazer uma verificação, executar uma construção, por exemplo), bem
como para a necessidade de utilizar diferentes argumentos em suas justificativas.
Por outras palavras, pretendíamos que as ferramentas disponíveis pudessem
influenciar os aprendizes na produção de provas conceituais e não apenas que
ficassem no campo empírico, como ocorreu mais freqüentemente. Entretanto, como
alcançaram muito pouco o campo teórico, é bem verdade que a influência se deu,
com destaque, nos tipos de construção, mas não na produção de provas.
Talvez o próprio dinamismo do Cabri seja bastante sugestivo, a ponto de
fazer com que os aprendizes apreciem mais as provas empíricas que as conceituais,
mas o fato é que a falta de experiência com as atividades propostas (no Cabri) e,
principalmente, com provas matemáticas, também devem ter um papel central nas
197
dificuldades em elaborar provas. Em muitas atividades os aprendizes não iam além
dos recursos de medição (de segmentos, de ângulos) e animação, ou melhor, não
passavam do pragmatismo, não vendo, portanto, necessidade de escrever a
justificativa por escrito.
92. Qual o impacto da mudança nas ferramentas na compreensão das provas
pelos alunos?
Como já se discutiu anteriormente, a única mudança proposta a que se refere
esta pergunta é que, nas construções geométricas só deveriam ser usadas
circunferências e nenhuma reta poderia ser traçada (construída). Trata-se,
claramente, de uma mudança radical.
Em primeiro lugar, o fato de a reta não estar presente trouxe impacto
considerável às tarefas de construção e, em segundo, a ausência da reta causou
ainda mais obstáculos na compreensão das figuras (foi difícil aos aprendizes
identificarem, por exemplo, ângulos, segmentos e triângulos nas figuras sem a reta).
Mas então, qual o impacto dessa mudança na compreensão das provas? Ao
que tudo indica, não é o uso de uma ou outra ferramenta que poderia influenciar a
compreensão das provas pelos estudantes, e sim, um pouco mais de experiência em
provas. Avaliamos, desta maneira, que o curto tempo dedicado ao tema prova, às
atividades enfim, não foi suficiente para responder satisfatoriamente esta questão.
Nas construções com o compasso apenas quase sempre se quebrava a regra
“não trace retas”. Mas, foi justamente essa quebra de regra que propiciou alguns
momentos de segurança com as propriedades geométricas envolvidas, destacando-
se a noção de colinearidade.
198
5.5 Sugestões e Implicações para Estudos Futuros
Quando o assunto é prova, não é nenhuma novidade que, sendo um aluno do
nível básico ou mesmo da graduação, as dificuldades são persistentes. A nossa
experiência como professor do nível básico mostra que, com temas como este, se
faz necessário sempre dedicar mais tempo às atividades planejadas para este fim,
muito embora existam outras variáveis, tais como o conteúdo abordado (que pode
ser mais ou menos acessível) e o tipo das atividades. E no caso dessas atividades
serem desenvolvidas no ambiente do Cabri-Géomètre, além de tempo, é necessário
algumas experiências extras com provas.
O problema dos experimentos de ensino de curta duração, como foi o nosso,
é que ficam lacunas, ou no desenho das atividades ou nos resultados obtidos pelos
aprendizes, de modo que, mesmo a pesquisa estando embasada teoricamente, não
se consegue investigar o problema de pesquisa profundamente. Portanto, a nosso
ver, futuras pesquisas abordando o tema prova, construções geométricas e Cabri
deverão ser conduzidas na base de experimentos de ensino de longa duração,
talvez, até mesmo, nos termos descritos por Mariotti, com estrita colaboração entre
pesquisadores e professores. Além disso, também seria interessante pesquisar um
grupo de alunos que já tenha tido alguma experiência com provas e confrontar os
resultados com outro grupo que não teve esse tipo de experiência.
E também, além das atividades envolvendo provas no contexto do Cabri,
deixamos a sugestão de se trabalhar atividades semelhantes no ambiente do lápis e
papel. Na presente pesquisa, as tarefas do “jogo” de prova e do pós-teste nos
revelaram que as dificuldades dos aprendizes não são muito diferentes, se
comparadas com as atividades no Cabri.
Seria apropriado, no nosso entender, que atividades envolvendo as
construções de Mohr-Mascheroni fossem tratadas num nível escolar mais avançado
do que o do nosso estudo – por exemplo, poderia ser para uma terceira série do
Ensino Médio ou para um primeiro ano de graduação.
199
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203
ANEXOS
ANEXO 1: Atividades do Conjunto 0
ANEXO 2: Possibilidades de resolução das atividades do Conjunto 0 (nossa
resolução)
ANEXO 3: Resposta das atividades do Conjunto 0, pelo aprendiz Bruno
ANEXO 4: Resposta das atividades do Conjunto 0, pela dupla Augusto/Cristina
ANEXO 5: Conjunto 1 – Atividades Previstas para a primeira Sessão
ANEXO 6: Respostas das atividades realizadas do Conjunto 1 – Primeira Sessão,
pela dupla Augusto/Cristina
ANEXO 7: Respostas das atividades realizadas do Conjunto 1 – Primeira Sessão,
pela dupla Bruno/Gisele
ANEXO 8: Conjunto 1 – Atividades Previstas para a segunda Sessão
ANEXO 9: Respostas das atividades realizadas do Conjunto 1 – Segunda Sessão,
pela dupla Augusto/Cristina
ANEXO 10: Respostas das atividades realizadas do Conjunto 1 – Segunda Sessão,
pela dupla Bruno/Gisele
ANEXO 11: Conjunto 2 - Respostas das atividades do “jogo” de prova e do pós-
teste, pela dupla Augusto/Cristina
ANEXO 12: Conjunto 2 - Respostas das atividades do “jogo” de prova e do pós-
teste, pela dupla Bruno/Gisele
ANEXO 13: Respostas das atividades realizadas do Conjunto 1 – pela dupla
Bárbara/Suzane (apenas uma sessão)
ANEXO 14: Conjunto 2 - Respostas das atividades do “jogo” de prova e do pós-
teste, pela dupla Bárbara/Suzane
204
PRIMEIRA PARTE: SISTEMA DE APRENDIZAGEM A – DUPLAS:
AUGUSTO/CRISTINA & BRUNO/GISELE
ANEXO 1
Atividades do Conjunto 0
1) Construa um segmento de reta AB. Trace a mediatriz deste segmento. Como se
chama o ponto de intersecção da reta mediatriz com o segmento?
2) Construir uma circunferência e um diâmetro.
3) Marque dois pontos A e B e construa o simétrico de A com relação a B.
4) Desenhe uma reta r e um ponto P fora dela. Construa o simétrico de P com
relação à reta r.
5) Dividir uma circunferência
[a] em duas partes iguais;
[b] em seis partes iguais
[c] em três partes iguais
6) Construa um ângulo de 180°.
7) Construa 3 pontos colineares (que estão na mesma reta). Faça a verificação!
205
ANEXO 2
Possibilidades de resolução das atividades do Conjunto 0 (nossa resolução)
Atividade 1: Construa um segmento de reta AB. Trace a mediatriz deste segmento.
Como se chama o ponto de intersecção da reta mediatriz com o segmento?
Possibilidades de resolução.
1ª) Usando a ferramenta ”mediatriz”, conforme mostrado na figura abaixo, a reta
mediatriz é facilmente traçada. Para isso,
Figura a.1 – Construção da mediatriz (1)
2ª) Determinamos o ponto médio (M) do segmento de reta AB e, em seguida,
traçamos uma reta perpendicular ao segmento passando pelo ponto M. Essa
perpendicular será a mediatriz do segmento de reta AB.
206
Figura a.2 – Construção da mediatriz (2)
3ª) Podemos usar a ferramenta “circunferência”. Neste caso, traçamos duas
circunferências: Uma de centro A, passando por B; e outra de centro B, passando
por A (portanto com o mesmo raio AB). Depois disso, traçamos a reta m que passa
pelos pontos C e D, intersecções da duas circunferências. Essa reta m será a
mediatriz do segmento de reta AB.
Figura a.3 – Construção da mediatriz (3)
4ª) O mesmo resultado se obtém usando a ferramenta “compasso”, bastando tomar
o raio maior que metade do segmento.
207
Prova: Seja P um ponto da mediatriz. Precisamos provar que P é eqüidistante de A e
de B. Temos:
9 AM MB (L) – pois M é ponto médio do segmento AB; {
9
BMP {
AMP (A) – ângulo reto, 90 graus
9 PM PM (L) – lado comum {
Então, pelo caso LAL, os triângulos AMP e BMP são congruentes.
Conseqüentemente, PA = PB.
Atividade 2: Construir uma circunferência e um diâmetro.
Possibilidades de resolução:
1ª) Traçamos uma circunferência com qualquer raio; em seguida, construímos uma
reta passando pelo centro desta circunferência. O diâmetro fica determinado pelos
dois pontos de intersecção da reta com a circunferência.
Figura a.4 – Construção de uma circunferência e um diâmetro.
Prova: Por construção, os pontos A, O e B são colineares. E como AO = OB = r,
temos AB = AO+OB = r + r = 2r, ou seja, AB é um diâmetro.
2ª) Criamos uma circunferência qualquer (C
1
) e nesta marcamos um ponto P
(arbitrário). A partir do ponto P:
a) traçamos a circunferência C
2
de centro P e raio OP = r;
b) Tomamos o ponto R = C
1
C
2
;
c) Traçamos a circunferência C
3
de centro R e raio r;
d) Tomamos ponto S = C
1
C
3
;
e) Traçamos a circunferência C
4
de centro S e raio r, a qual encontra C
1
em Q.
O segmento PQ assim obtido é diâmetro da circunferência dada.
208
Figura a.5 – Construção de uma circunferência e um diâmetro (2)
Prova: Os pontos P, O e Q são colineares pois, por construção: m() POR)
=m(
ROS) = m(
SOQ) = 60° e, portanto, a soma desses três ângulos é 180°.
Além disso, também por construção, QO =OP = r e pelo fato de Q, O e P serem
colineares, tem-se: PQ = QO + OP = r + r = 2r, logo PQ é um diâmetro.
Atividade 3: Marque dois pontos A e B e construa o simétrico de A em relação a B.
Possibilidades de resolução:
1ª) Criamos dois pontos A e B, distintos, pelos quais traçamos uma reta t. Em
seguida, construímos uma circunferência de centro B, passando por A. O ponto A’,
intersecção da circunferência C com a reta t, é o simétrico de A.
Figura a.6 – Simetria central (1)
Prova: De fato, A’ esta alinhado com A e B; além disso, esta à mesma distância de
B que A (AB = BA’ = r e AA’ = AB+BA’ = r+r = 2r).
2ª) Podemos também usar a ferramenta “simetria axial” e fazer a verificação com os
recursos do Cabri (ferramentas “distância e comprimento” e “colineares?”)
209
3ª) Ainda podemos dar uma solução apenas com o compasso (ferramenta
“circunferência”). Para isso, a partir dos pontos A e B dados, construímos as
circunferências (A,AB), (B,AB), (C,AB) e (D,AB). O Procedimento, tanto de resolução
como de prova, é igual ao da questão 2, segunda forma de resolução.
Figura a.7 – Simetria central (2)
Atividade 4: Desenhe uma reta r e um ponto P fora dela. Construa o simétrico de P
com relação à reta r.
Figura a.8 – Uma reta, um ponto fora dela.
Possibilidades de resolução
1ª) Podemos simplesmente clicar na ferramenta “simetria axial”, levar o cursor à tela,
clicar no ponto P e depois na reta r, quando aparecerá o ponto P’, simétrico de P em
relação à reta r.
210
Figura a.9 – Simetria axial no cabri
2ª) Pelo ponto P, traçamos a reta t perpendicular à reta r. Com centro no ponto O,
intersecção de r e t, construímos uma circunferência de raio OP. O ponto P’,
intersecção dessa circunferência com a reta t, será o simétrico que buscamos.
Figura a.10 – Simetria axial (com reta e circunferência).
3ª) Com centro em P, criamos uma circunferência de raio suficiente a cortar a reta r,
determinando os pontos A e B. Traçamos as circunferências (A, AB) e (B,AB),
determinando a mediatriz do segmento AB. Por fim, construímos a circunferência de
centro M (ponto médio do segmento AB) e raio MP. O ponto P’, intersecção da
circunferência (M,MP) com a mediatriz é o simétrico que procuramos.
211
Figura a.11 – Simetria axial com reta e circunferência (2)
4ª) Uma outra solução poder obtida, primeiro marcando-se dois pontos A e B sobre a
reta r. Esta construção é muito simples, como segue:
a) Traçamos as circunferências (A,AP) e (B,BP);
b) O ponto P’, intersecção das duas circunferências traçadas, é o simétrico
procurado.
Figura a.12– Simetria axial (com o compasso apenas).
Observe-se que nesta possibilidade, podemos dispensar o traçado da reta. A figura
abaixo ilustra melhor o queremos dizer
60
.
60
A diferença básica é que no primeiro caso, traçamos a reta e depois marcamos os pontos A e B e
no segundo caso, marcamos os pontos A e B sem traçar a reta, caso em que assumimos que uma
reta fica perfeitamente definida por dois de seus pontos.
212
Figura a.13– Simetria axial com o compasso apenas (2)
A prova desta questão usa congruência de triângulos e será explorada em
detalhes no Conjunto 1(Pois neste Conjunto 0, só focamos nas construções
basicamente)
Atividade 5: Dividir uma circunferência em:
[a] em duas partes iguais;
Resolução já contemplada nas atividades 2 e 3 acima.
[b] em seis partes iguais
Construímos uma circunferência de centro O e raio r e marcamos o ponto 1 sobre a
mesma. A seguir, a partir do ponto 1 e com mesmo raio r, construímos conforme a
figura abaixo, determinando os pontos 2, 3, 4, 5 e 6.
Figura a.14– Ciclotomia (1).
Prova: Por construção, temos seis triângulos eqüiláteros; segue que cada um dos
ângulos centrais (no vértice O) mede 60° e, portanto, a circunferência fica dividida
em 6 partes iguais.
[c] em três partes iguais
213
Da resolução anterior, basta considerarmos os pontos 1, 3 e 5 (por exemplo),
que a a circunferência fica dividida em3 partes iguais, pois 360°/3 = 120°.
Figura a.15 – Ciclotomia (2)
Prova: Basta observar que cada um dos ângulos no vértice O (centro) mede 120°
[60° + 60° = 120°, devido ao item (a)]; logo, a circunferência fica dividida em 3 partes
iguais, pois 360°/3 = 120°.
Atividade 6: Construa um ângulo de 180°.
1ª) Basta traçar uma circunferência e um diâmetro, como na figura abaixo.
Figura a.16 – Ângulo raso.
2ª) Marcar um ponto P numa circunferência e encontrar o seu simétrico em relação
ao centro.
214
Figura a.17 – Construção de um ângulo raso (com o compasso apenas).
Os três triângulos P’OS, SOR e ROP são eqüiláteros (por construção) e,
portanto, cada um dos três ângulos no vértice O medem 60°, o que dá um ângulo de
180° em torno de O (logo, os três pontos P, O e P’ são colineares) . Observemos
que no caso de “dobrar um segmento de reta” ou “encontrar o simétrico de um ponto
(simetria central)” esta mesma solução pode ser usada, bastando lembrar que P’O =
PO = raio e daí, PP’ = 2.OP = 2.(raio).
Atividade 7: Construa 3 pontos colineares. Faça a verificação!
Esta atividade foi contemplada nas questões 1, 2, 3, 4 e 5. Entretanto,
apresentaremos outras opções, como segue.
1ª) Marcamos dois pontos A e B e por eles passamos uma reta. Depois assinalar um
ponto sobre esta reta (distinto de A e B).
Figura a.18 – Três pontos colineares.
2ª) Usando o compasso apenas.
9Traçamos as circunferências (A,AB) e (B,AB), que se intersectam em C e C’.;
9Com centros em C e em C’ construímos s circunferências de um mesmo raio
(maior que a distância de C à reta AB);
215
9Tais circunferências se cortam nos pontos P e P’, os quais são colineares
com A e B.
Figura a.19 – Construção de pontos colineares com A e B.
Prova: Observemos que os triângulos CAB e CPP’ são isósceles (por construção).
Logo, os ângulos da base são iguais desses dois triângulos são iguais.
Para provar que o ponto P’ (por exemplo) é colinear com A e B, bastar concluir que
, conforme a figura a-20 desenhada a seguir.
180
o
D E
216
Lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos:
No triângulo CAB: e
180 2
o
z x
No triângulo CPP’: 180 2
o
y
E
.
Por outro lado, sendo w a medida do ângulo
ˆ
'
B
CP , tem-se que:
(180 2 ) (180 2 )
2 2
o o
z y x
w x
E
E
.
Finalmente, como no triângulo BCP’
180
o
w x
D
,
vem que
( ) 180
o
x x
E D
,
ou seja:
180
o
D E
.
como queríamos.
217
ANEXO 3
Respostas das atividades do Conjunto 0 – Por Bruno
Atividade 1
1ª forma:
Figura a-21 – Resposta da ativ.1, por Bruno
2ª forma
Figura a-22 -- Resposta da ativ.1, por Bruno
Atividade 2
218
Figura a-23 -- Resposta da ativ.2, por Bruno
Atividade 3
1ª forma
Figura a-24 -- Resposta da ativ.3, por Bruno
2ª forma
Figura a-25 -- Resposta da ativ.3, por Bruno
3ª forma
219
Figura a-26 -- Resposta da ativ.3, por Bruno
Atividade 4
1ª forma
Figura a-27 -- Resposta da ativ.4, por Bruno
2ª forma
220
Figura a-28 -- Resposta da ativ.4, por Bruno
Atividade 5
1ª forma
Figura a-29 -- Resposta da ativ.5, por Bruno
2ª forma
221
Figura a-30 -- Resposta da ativ.5, por Bruno
3ª forma
Figura a-31 -- Resposta da ativ.5, por Bruno
Atividade 6
1ª forma
Figura a-32 -- Resposta da ativ.6, por Bruno
Atividade 7
222
Figura a-33 -- Resposta da ativ.7, por Bruno
223
ANEXO 4
Respostas das atividades do Conjunto 0, pela dupla Augusto/Cristina
Atividade 1
1ª forma
Figura a-34 -- Resposta da ativ.1, por Augusto/Cristina
2ª forma
Figura a-35 -- Resposta da ativ.1, por Augusto/Cristina
Atividade 2
224
Figura a-36 -- Resposta da ativ.2, por Augusto/Cristina
Atividade 3
1ª forma
Figura a-37 -- Resposta da ativ.3, por Augusto/Cristina
2ª forma
Figura a-38 -- Resposta da ativ.3, por Augusto/Cristina
225
3ª forma
Figura a-39 -- Resposta da ativ.3, por Augusto/Cristina
Atividade 4
1ª forma
Figura a-40 -- Resposta da ativ.4, por Augusto/Cristina
2ª forma
226
Figura a-41 -- Resposta da ativ.4, por Augusto/Cristina
Atividade 5
1ª forma
Figura a-42 -- Resposta da ativ.5, por Augusto/Cristina
2ª forma
Figura a-43 -- Resposta da ativ.5, por Augusto/Cristina
227
3ª forma
Figura a-44 -- Resposta da ativ.5, por Augusto/Cristina
Atividade 6
Figura a-45 -- Resposta da ativ.6, por Augusto/Cristina
Atividade 7
1ª forma
Figura a-47 -- Resposta da ativ.7, por Augusto/Cristina
2ª forma
228
Figura a-48 -- Resposta da ativ.7, por Augusto/Cristina
229
ANEXO 5
Atividades Previstas do Conjunto 1 (1ª Sessão)
Conjunto 1.1: Introduzindo construções geométricas no Cabri
[1] Construa uma circunferência qualquer e marque um ponto P sobre a mesma. Use
a ferramenta “animação” para fazer com que o ponto P se movimente sobre a
circunferência. Marque um outro ponto, A, sobre a circunferência, e repita a
operação. O que você pode observar?
Figura a-49 – Ativ.1
[2] Na circunferência abaixo, os segmentos OA, OB, OC e OD têm a mesma medida.
Figura a-50 – Ativ.2
[3] Por quê o círculo C
1
tem o mesmo tamanho que o círculo C
2
?
Figura a-51 – Ativ.3
230
[4] Construir uma reta que divide uma circunferência um duas partes iguais.
Conjunto 1.2: Introdução à prova
[5] Dobrar o segmento de reta AO
[a] Usando todas as ferramentas disponíveis do Cabri.
Figura a-52 – Ativ.5
Conjunto 1.3 – “Caixas pretas”:
[6] Procure fazer uma cópia exata
de cada figura a seguir:
Mas antes, procure movimentar a figura ou partes da mesma.
Figura a-53 – Ativ.6
Conjunto 1.4 – Episódio de ensino: Introduzir as congruências.
Conjunto 1.5 :Construções de Mascheroni (Ponto simétrico)
[7] (Resolva esta atividade de duas maneiras: (a) Utilizando todas as ferramentas
disponíveis no Cabri; e depois (b) Usando somente circunferências.)
231
a) Encontrar o simétrico do ponto P em relação à reta.
Figura a-54 – Ativ.7a
b) Construa o simétrico do ponto P em relação ao diâmetro AB
Figura a-55 – Ativ.7b
232
ANEXO 6
Respostas das Atividades Realizadas do Conjunto 1 – 1ª Sessão, pela dupla
Augusto/Cristina
Atividade 1
Figura a-56 – Resp. da ativ.1, por Augusto/Cristina
Atividade 2
Figura a-57 -- Resp. da ativ.2, por Augusto/Cristina
Atividade 3
233
Figura a-58 -- Resp. da ativ.3, por Augusto/Cristina
Atividade 4
Figura a-59 -- Resp. da ativ.4, por Augusto/Cristina
Atividade 5
5
-
a)
Figura a-60 -- Resp. da ativ.5a, por Augusto/Cristina
5-b)
234
Figura a-61 -- Resp. da ativ.5b, por Augusto/Cristina
5-c)
Figura a-62 -- Resp. da ativ.5c, por Augusto/Cristina
Atividade 6
6-a)
235
Figura a-63 -- Resp. da ativ.6a, por Augusto/Cristina
6-b)
Figura a-64 -- Resp. da ativ.6b, por Augusto/Cristina
6-c)
Figura a-65 -- Resp. da ativ.6c, por Augusto/Cristina
236
ANEXO 7
Respostas das Atividades Realizadas do Conjunto 1 – 1ª Sessão, pela dupla
Bruno/Gisele
Atividade 1
Figura a-66 – Resp. da ativ.1, por Bruno/Gisele
Atividade 2
Figura a-67 -- Resp. da ativ.2, por Bruno/Gisele
Atividade 3
Figura a-68 -- Resp. da ativ.3, por Bruno/Gisele
237
Atividade 4
4-a)
Figura a-69 -- Resp. da ativ.4a, por Bruno/Gisele
4-b)
Figura a-70 -- Resp. da ativ.4b, por Bruno/Gisele
Atividade 5
5-a)
Figura a-71 -- Resp. da ativ.5a, por Bruno/Gisele
238
5-b)
Figura a-72 -- Resp. da ativ.5b, por Bruno/Gisele
5-c)
Figura a-73 -- Resp. da ativ.5c, por Bruno/Gisele
Atividade 6
6-a)
239
Figura a-74 -- Resp. da ativ.6a, por Bruno/Gisele
6-b)
Figura a-75 -- Resp. da ativ.6b, por Bruno/Gisele
6-c) Construção com o compasso apenas
Figura a-76 -- Resp. da ativ.6c, por Bruno/Gisele
Resolução Extra: Neste caso, simplesmente traçaram dois raios e procuraram
ajeitar para ficar igual à figura dada.
240
Figura a-77 -- Resp. extra da ativ.6, por Bruno/Gisele
241
ANEXO 8
Conjunto 1 – Atividades Previstas para a 2ª Sessão (Dupla: Augusto/Cristina e
Bruno/Gisele). Foram aplicadas assim à dupla Bárbara/Suzane.
5] Dobrar o segmento de reta CA (atividade reaplicada):
Figura a-78 -- Ativ.1, Conjunto 1(2ª Sessão)
6] Caixas-pretas – Reproduzir uma figura que tenha o mesmo comportamento que a
figura abaixo (atividade redesenhada):
Figura a-79 -- Ativ.2, Conjunto 1(2ª Sessão)
Construções de Mascheroni* – Ponto simétrico
*As chamadas construções de Mascheroni são efetuadas apenas com o compasso.
7] Encontrar o simétrico do ponto P em relação à reta.
Resolva esta atividade de duas maneiras:
x Primeiro, utilizando todas as ferramentas disponíveis no Cabri; e depois
x Usando somente a “circunferência”.
242
a]
Figura a-80 -- Ativ.3a, Conjunto 1(2ª Sessão)
b] Construa o simétrico do ponto P em relação ao diâmetro AB
Figura a-81 -- Ativ.3b, Conjunto 1(2ª Sessão)
243
ANEXO 9
Respostas das Atividades da 2ª Sessão, pela dupla Augusto/Cristina.
Atividade 5
1ª forma:
Figura a-82 – Resp. da ativ.1(2ª Sessão), por Augusto/Cristina
2ª forma:
Figura a-83 -- Resp. da ativ.1(2ª Sessão), por Augusto/Cristina
Atividade 6
6-a)
244
Figura a-84 -- Resp. da ativ.6a (2ª Sessão), por Augusto/Cristina
6-b) Não fizeram
6-c)
Figura a-85 -- Resp. da ativ.6c (2ª Sessão), por Augusto/Cristina
Atividade 7 (Construção abaixo realizada com ajuda do professor-pesquisador)
Figura a-86 -- Resp. da ativ.7 (2ª Sessão), por Augusto/Cristina
245
ANEXO 10
Respostas das atividades do Conjunto 1 – 2ª Sessão, pela dupla Bruno/Gisele
Atividade-5 (1ª resolução)
Figura a-87 – Resp. da ativ.5 (2ª Sessão), pela dupla Bruno/Gisele
Atividade-5 (2ª resolução – com o compasso apenas)
Figura a-88 -- Resp. da ativ.5 (2ª Sessão), pela dupla Bruno/Gisele
Atividade-6
246
Figura a.89 -- Resp. da ativ.6 (2ª Sessão), pela dupla Bruno/Gisele
Atividade-7
Observação nossa: Não conseguiram desenvolver, nem ao menos a
construção do ponto simétrico. O problema era sobre simetria axial. Lembremos que
as construções deveriam ser realizadas com o compasso apenas (construções de
Mohr-Mascheroni).
247
ANEXO 11
Conjunto 2 -- Respostas das Atividades do “Jogo” de prova e Pós-teste, pela dupla
Augusto/Cristina.
Atividade 1
248
Atividade 2
249
Atividade 3
250250
Atividade 4
251
Atividade 4 (Continuação)
252
Atividade 5 – Pós-teste aplicado à dupla Augusto/Cristina
253
A resposta:
254
ANEXO 12
Conjunto 2 – Respostas das Atividades do “Jogo” de prova e Pós-teste, pela dupla
Bruno/Gisele.
Atividade 1
255255
Atividade 2
256256
Atividade 3
257257
Atividade 4
258
Atividade 4 (Continuação)
259
Atividade 5 - Pós-teste
260260
A resposta:
261
Continuação...
262
SEGUNDA PARTE: SISTEMA DE APRENDIZAGEM B – DUPLA:
BÁRBARA/SUZANE
ANEXO 13
Respostas das atividades do Conjunto 1, pela dupla Bárbara/Suzane
Atividade 1
Figura a.105 – Resp. da ativ.1 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
Atividade 2
Figura a.106 -- Resp. da ativ.2 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
Atividade 3
263
Figura a.107 -- Resp. da ativ.3 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
Atividade 4
Figura a.108 -- Resp. da ativ.4 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
Atividade 5
1ª resolução
Figura ª109 -- Resp. da ativ.5 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
2ª resolução
264
Figura a.110 -- Resp. da ativ.5 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
Atividade-6
1ª resolução
Figura a.111 -- Resp. da ativ.6 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
2
a
resolução
Figura a.112 -- Resp. da ativ.6 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
3ª resolução
265
Figura a.113 -- Resp. da ativ.6 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
Atividade 7
1ª resposta
Figura a.114 - Resp. da ativ.7 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
2ª resposta
Figura a.115 -- Resp. da ativ.7 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
3ª resposta
266
Figura a.116 -- Resp. da ativ.7 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
4ª resposta
Figura a.118 -- Resp. da ativ.7 (Conjunto 1), por Bárbara/Suzane
267
ANEXO 14
Conjunto 2 – Respostas das atividades do “jogo” de prova e do Pós-teste, pela
dupla Bárbara/Suzane
Atividade 1
268
Atividade 2
269
Atividade 3
270
Atividade 4
271
Atividade 4 (Continuação...)
272
Pós-teste
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