( PDF ) Matemática e educação matemática: a dinâmica de suas relações ao tempo do movimento da matemática moderna no Brasil

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APARECIDA RODRIGUES SILVA DUARTE

MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA:

a dinâmica de suas relações ao tempo do Movimento da

Matemática Moderna no Brasil

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

PUC/SP

São Paulo

2007

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APARECIDA RODRIGUES SILVA DUARTE

MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA:

a dinâmica de suas relações ao tempo do Movimento da

Matemática Moderna no Brasil

Tese apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de Doutor

em Educação Matemática, sob a orientação do

Professor Doutor Wagner Rodrigues Valente.

PUC/SP

São Paulo

2007

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Banca Examinadora

________________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

_______________________________________ ________________________

Assinatura Local e Data

Ao Paulo, Alexandre, Aninha,

José Rodrigues (in memorian) e

Oranides Aredes,

Com amor e gratidão

AGRADECIMENTOS

Profundos agradecimentos ao Professor Doutor Wagner Rodrigues

Valente

, orientador que me acompanha desde as primeiras

jornadas no Mestrado, culminando com a realização deste novo

trabalho. Autêntico pesquisador, que vem prestando inestimáveis

serviços à Educação Matemática, com quem muito aprendi, em

fraterno convívio, deixando-me contaminar pelo espírito da

investigação científica, encontrando nele, ainda, a força

necessária para superar obstáculos, com a certeza de que

manterei sempre viva uma admiração que não se consegue

explicar facilmente, cultivando em mim a memória que só as

grandes lutas em comum são capazes de criar.

Professor Doutor Ubiratan D’Ambrosio, pela amizade,

incentivo e atenção que sempre teve para comigo e pelo exemplo

de vida, cuja riqueza espiritual faz com que as pessoas que dele

se aproximam sintam-se afetados por sua grandiosidade,

manifestada, paradoxalmente, por uma doce e admirável

simplicidade.

Aos professores doutores

Ubiratan D’Ambrosio, Vincenzo

Bongiovanni

, Neuza Bertoni Pinto, José Manuel Matos, Maria

Cristina Menezes

, André Luís Mattedi Dias, Silvia Dias Alcântara

Machado

, que gentilmente se prontificaram em participar da banca

examinadora, contribuindo com oportunas e relevantes sugestões

para o aprimoramento da pesquisa.

À professora

Doutora Diana Gonçalves Vidal, a quem tributo

especial reconhecimento, considerando suas intervenções

durante a qualificação, esclarecendo pontos cruciais que

permeiam as práticas escolares, alertando para as armadilhas

conceituais, ajudando na melhor compreensão da História

Cultural.

Aos professores Doutores do Programa de Estudos Pós-graduados

em Educação Matemática da PUC/SP

, que jamais pouparam

empenho para a formação de futuros Mestres e Doutores desta

Instituição de Ensino Superior.

Aos professores

Adriana César de Matos Marafon, Alegria Gladys

Chalom

, Anna Franchi, Beatriz D’Ambrosio, Chaim Samuel Hönig,

Circe Mary Silva da Silva

, Eduardo Veloso, Elizabete Zardo

Búrigo

, Elza Gomide, Lourdes de La Rosa Onuchic, Manhúcia

Perelberg Liberman

, Mário Carvalho de Matos, Martha Maria de

Souza Dantas

, Odilon Otavio Luciano, Oscar João Abdounur,

Osvaldo Sangiorgi

, Plínio Castrucci, Renate Watanabe, Rita

Bastos

, Saddo Ag Almouloud, Sônia Igliori, Sonia Maria de

Freitas

, Valdemar Setzer, pela solicitude e desprendimento com

que se dispuseram a prestar colaboração para a realização desta

pesquisa, contribuindo com entrevistas, textos, comentários, etc.

Aos eficientes funcionários do

Museu da Imagem e do Som/SP, do

Arquivo da Escola Politécnica da USP/SP, do MAST/RJ, da

Biblioteca Central da UFBa, da Biblioteca Nacional/RJ, das

bibliotecas do

IME/USP, da Faculdade de Educação da USP/SP,

Instituto de Ciências Matemáticas da USP de São Carlos/SP,

das bibliotecas da PUC/SP e da Biblioteca Municipal de Pouso

Alegre/MG

, pelo profissionalismo e recepção que me dispensaram

ao longo desta caminhada.

Aos meus queridos colegas do GHEMAT, verdadeiros

companheiros no apoio para que fosse vencida cada etapa desta

gratificante jornada acadêmica. Agradecimentos especiais ao

Alex, “Anjinhu”, Célia Leme, Cristina Oliveira, Denise Medina,

Elenice

, Flainer, Inara, Liu, Mário, Maryneusa, Marytta, Tana,

Vera Moreno

e Viviane. E também aos colegas: Antonio,

Marilene

, Mônica e Rita.

Eliene Barbosa Lima, que foi responsável pela minha

“descoberta” da Bahia, quando ali me dediquei a estudos,

reunindo elementos importantes para este trabalho.

Ao casal

Layse Helena Jacy Monteiro e Nesso, filha e genro de

Luiz Henrique Jacy Monteiro, pelo incentivo, hospitalidade e

calorosa acolhida em sua residência, quando ali complementaram

dados de interesse para esta pesquisa.

Luiz Henrique Jacy Monteiro Filho, pela amizade e carinho

com que me recebeu, fornecendo elementos que me permitiram

melhor compreender os caminhos trilhados por seu pai.

À senhora Ana Augusta, mãe da Professora Doutora Sandra

Magina

que, pela sua experiência de vida e relacionamento

pessoal com matemáticos portugueses, ajudou-me a obter uma

melhor compreensão do contexto em que um dia atuaram.

À Diretora da

FAFIEP/UNIVÁS/MG, Professora Fafina Vilela de

Souza

, como também aos professores Aline, Benedito, Luis

Felipe

, Luiz Gonzaga, Paulo César e Rosimeire Borges, do

Departamento de Matemática; aos funcionários da secretaria,

especialmente à

Cristina e Janua e aos alunos desta IES, pelo

apoio e compreensão durante essa jornada.

Aos colegas, funcionários e alunos da

Escola Estadual “Dr. José

Marques de Oliveira”

, em especial à diretora Mônica Maria

Mendes

e vice-diretoras Rosa Helena Zampieri e Isméria Barroso

Cintra

e à secretária Maria Alice, pelo auxílio e incentivo

demonstrados nessa caminhada.

Doutor Dalmo Ribeiro Silva, cujo trabalho perante a

Assembléia Legislativa de Minas Gerais engrandece a população

do Sul de Minas Gerais, sempre incentivando aqueles que atuam

na área da investigação cientifica.

Secretaria do Estado da Educação de Minas Gerais, pelo arrojo

nas políticas voltadas à capacitação de seus professores,

refletindo na qualidade de ensino para os mineiros, exemplo para

o Brasil.

Francisco Olimpio da Silva, pelo auxílio na formatação do

trabalho.

A todos os membros da

família Junho, em especial ao Professor

Mestre Benedito Afonso Pinto Junho

, sua esposa Rita, seus filhos

Camila e Gabriel, e também Dona Tereza, Zezé, Rosângela e

Jorgina. Incluo também Danilo Luiz Pereira, em quem aposto

todas as fichas, dado seu empenho e ânsia pelo saber.

minha família, que sempre participou com seu afeto,

entusiasmo, alegria, conselhos e acima de tudo, com seu amor. E

viva o

Serpentário!

Tereza, João, Mirna, Lucinha e Fábio, pelo amor, compreensão

e paciência que sempre me devotaram.

Ione Tófoli e à família Porto - Antonio, Cida e Laura, pela velha

e duradoura amizade.

À Suzi, cujo sacrifício que lhe foi cobrado pela imposição de minha

ausência, espero que aceite minha eterna gratidão.

Doutor Gaspar Bustamante e Patrícia Bressanin, pelos

preciosos conselhos, cuidando de minha saúde.

Enfim, a todos que contribuíram para que essa pesquisa se

tornasse realidade.

A Autora

RESUMO

Este trabalho, de natureza histórica, teve como objetivo central investigar a

dinâmica das relações entre Matemática e Educação Matemática. Valendo-nos

de pressupostos metodológicos da História Cultural, a pesquisa desenvolvida

implicou na realização de um estudo da dinâmica das relações entre cultura

acadêmica e cultura escolar no contexto do Movimento da Matemática Moderna

(MMM) no Brasil, nas décadas de 1950 a 1980. Para a análise dessa questão,

tomamos os matemáticos Omar Catunda, Benedito Castrucci e Luiz Henrique

Jacy Monteiro como personagens representativas da comunidade matemática

daquela época, quando tiveram expressivo envolvimento com o MMM.

Procuramos, então, retratar suas produções científicas e propostas para o ensino

da matemática, utilizando como fontes livros didáticos, documentos de arquivos

escolares e de arquivos pessoais, etc. O MMM foi abordado a partir de suas

origens no cenário internacional e da sua inserção na educação nacional. O

trabalho, em suas conclusões, enfatizou como as relações entre matemáticos e o

ensino de matemática transformam-se ao longo do tempo e estão estabelecidas

num determinado período histórico, além disso, na dinâmica dessas relações, a

cultura acadêmica nutre-se da cultura escolar e esta, do mesmo modo, também

se nutre da cultura acadêmica, acarretando uma relação de retro alimentação.

Palavras-chave: Educação Matemática; História da Educação Matemática;

História da Educação Matemática no Brasil.

ABSTRACT

This assignment had as the main objective to investigate the dynamic of

Mathematic and Mathematic Teaching relationship. Based on methodological

presuppositions of Cultural History, the developed research requested the

development of a study about the relationship between the dynamics of the

academic culture and elementary school in the context of Modern Mathematic

Movement (MMM) in Brazil, placed between the 1950 and 1980 decades. For the

analysis of this matter, three characters were considered to be representative

among the mathematic community from that time in reason of their expressive

involvement in the MMM, they were: Omar Catunda, Benedito Castrucci and Luiz

Henrique Jacy Monteiro. Thus, we decided to portray their scientific productions

and proposals related to mathematics teaching, using didactic books, school

document files and personal files, etc., as sources. The MMM was approached

from its origins in the international scenario and from its insertion in the national

education. This assignment emphasized in its conclusions how the relationship

among mathematicians and mathematic teaching changes as time goes by and is

established in a determinate historical period, besides that, in these dynamics

relationships, academic culture feeds itself from elementary school and vice-

verse, causing a backward feeding relationship.

Key words: Mathematic Education; Mathematic Education History, Mathematic

Education History in Brazil.

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

APMEP –

Association des Professeurs de Mathématiques de L’Enseignement

Public

CADES – Centro de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário

CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

CATEC – Centro de Aperfeiçoamento Técnico do Ensino de Ciências

CBEM – Congresso Brasileiro de Ensino da Matemática

CECIBA – Centro de Ensino de Ciências da Bahia

CEMPEM – Centro de Estudos, Memória e Pesquisa em Educação Matemática

CECINE – Centro de Ensino de Ciências no Nordeste

CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

CIAEM – Conferência Interamericana de Educação Matemática

CIEM –

Commission Internationale de L’Enseignement Mathématique

CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

CNRS –

Conseil National de la Recherche Scientifique

COGESP – Coordenadoria de Ensino da Grande São Paulo

CTA – Centro Tecnológico da Aeronáutica

DRHU/LC – Departamento de Recursos Humanos Laerte de Carvalho

FFCL – Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras

FFCLUSP – Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São

Paulo

FNFi – Faculdade Nacional de Filosofia da Universidade do Brasil

FUNBEC – Fundação Brasileira para o Desenvolvimento do Ensino de Ciências

GEEM – Grupo de Estudos do Ensino da Matemática

GEPEM – Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática

GHEMAT – Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática

GRUEMA – Grupo de Ensino de Matemática Atualizada

IBECC – Instituto Brasileiro de Educação, Ciência e Cultura

ICME –

International Commission on Mathematical Instruction

IMECC – Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

IMFUFBa – Instituto de Matemática e Física da Universidade Federal da Bahia

IMUK –

Internationale Mathematische Unterrichts Kommission

IREM –

Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques

ITA – Instituto Tecnológico da Aeronáutica

KMK – Conferência Permanente de Ministros da Educação

LDB – Lei de Diretrizes e Bases

MAST – Museu de Astronomia e Ciências Afins

MEC – Ministério da Educação e Cultura

MM – Matemática Moderna

MMM – Movimento da Matemática Moderna

NCTM –

National Council of Teachers of Mathematics

NHC – Nova História das Ciências

NSF –

National Science Foundation

OCDE – Organização de Cooperação e Desenvolvimento Econômico

OEA – Organização dos Estados Americanos

OECE – Organização Européia de Cooperação Econômica

PRENEM – Programa de Expansão e Melhoria do Ensino

PUC – Pontifícia Universidade Católica

RFA – República Federal Alemã

RDA – República Democrática Alemã

SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática

SBM – Sociedade Brasileira de Matemática

SHE/INRP – Serviço de História da Educação do Instituto Nacional de Pesquisa

Pedagógica

SMSP – Sociedade de Matemática de São Paulo

SUDENE – Superintendência do Desenvolvimento do Nordeste

UFBa – Universidade Federal da Bahia

UFMT – Universidade Federal do Mato Grosso

UFRN – Universidade Federal do Rio Grande do Norte

UICSM –

University of Illinois Committee on School Mathematics

UnB – Universidade de Brasília

UNEMAT – Universidade do Mato Grosso

UNESCO –

United Nations Educational, Social and Cultural Organization

UNESP – Universidade Estadual Paulista

UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas

USAID –

United States Agency for International Development

USP – Universidade de São Paulo

SUMÁRIO

CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................................... 20

CAPÍTULO 1 ............................................................................................................. 30

PARA UMA NOVA HISTÓRIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NO BRASIL:

algumas considerações teórico-metodológicas ............................................ 30

1.1 O papel do ensino na organização do meio matemático .............................. 34

1.2 Cultura escolar como objeto histórico ........................................................... 39

1.3 Fontes e a escrita da história ........................................................................ 45

CAPÍTULO 2 ............................................................................................................. 48

O NASCIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA ............................................. 48

2.1 As origens da Matemática Moderna ............................................................. 49

2.2 As novas álgebras ........................................................................................ 54

2.3 A escola algébrica alemã .............................................................................. 57

2.4 A “crise dos fundamentos” ............................................................................ 59

2.5 A aritmetização da análise ............................................................................ 61

2.6 As principais correntes filosóficas ................................................................. 63

CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 66

MATEMÁTICOS E AS PROPOSTAS DE INTERNACIONALIZAÇÃO DO

ENSINO DE MATEMÁTICA ............................................................................... 66

3.1 O primeiro movimento internacional de reforma do ensino da Matemática .. 66

3.1.1 Guido Castelnuovo: o ensino como um dever social ou porque um

matemático deve despender seu tempo com o ensino da

matemática ......................................................................................... 69

3.2 Renovação na matemática francesa: o projeto boubarkista ......................... 72

3.2.1 Matemática e ensino de matemática na perspectiva de Jean

Dieudonné ........................................................................................... 81

3.3 A velha matemática sob uma roupagem moderna ........................................ 86

CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 90

O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA E SUA DIMENSÃO

INTERNACIONAL ............................................................................................... 90

4.1 Movimento da Matemática Moderna na França ............................................ 91

4.2 Movimento da Matemática Moderna na Alemanha ....................................... 95

4.3 O movimento da Matemática Moderna nos Estados Unidos da América ..... 99

4.4 O Movimento da Matemática Moderna na Itália ............................................ 104

4.5 O Movimento da Matemática Moderna na URSS ......................................... 105

4.6 O Movimento da Matemática Moderna na Bélgica ....................................... 107

4.7 A reforma da Matemática Moderna em alguns países: um olhar sobre a

participação de matemáticos e educadores matemáticos ......................... 109

CAPÍTULO 5 ............................................................................................................. 113

SOBRE A PARTICIPAÇÃO DE MATEMÁTICOS NO MOVIMENTO DA

MATEMÁTICA MODERNA NO BRASIL: um panorama de teses e

dissertações ...................................................................................................... 113

5.1 D’AMBROSIO, Beatriz. The Dynamics and consequences of the modern

mathematics reform movement for brazilian mathematics education. Tese

de Doutorado. Indiana University, 1987 ....................................................... 116

5.2 BÜRIGO, E. Z. Movimento da matemática moderna no Brasil: estudo da

ação e do pensamento de educadores matemáticos nos anos 60.

Dissertação de Mestrado em Educação. UFRGS, Porto Alegre, 1989 ........ 122

5.3 SOUZA, Gilda Lúcia Delgado de. Três décadas de educação matemática:

um estudo de caso da Baixada Santista no período de 1953 – 1980.

Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. UNESP. Rio Claro,

1998 .............................................................................................................. 127

5.4 VITTI, Catarina Maria. Movimento da Matemática Moderna: Memória,

Vaias e Aplausos. Tese de Doutorado em Educação, Universidade

Metodista de Piracicaba, 1998 ..................................................................... 133

5.5 SOUSA, Maria do Carmo de. A percepção de professores atuantes no

ensino de matemática nas escolas estaduais da delegacia de ensino de

ITU, do movimento matemática moderna e de sua influência no currículo

atual. Dissertação de Mestrado. UNICAMP, Faculdade de Educação,

Campinas, 1999 ............................................................................................ 136

5.6 STEPHAN, Ana Maria. Reflexão histórica sobre o Movimento da

Matemática Moderna em Juiz de Fora. Dissertação de Mestrado.

Universidade Federal de Juiz de Fora, 2000 ................................................ 142

5.7 SOARES, Flávia dos Santos. Movimento da Matemática Moderna no

Brasil: Avanço ou Retrocesso? Dissertação Mestrado em Matemática.

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2001 ............................ 146

5.8 BARALDI, Ivete Maria. Catarina Maria. Retraços da Educação Matemática

na Região de Bauru (SP): uma história em construção. Tese de Doutorado

em Educação Matemática. UNESP, Rio Claro, 2003 ................................... 149

5.9 Comentário gerais ......................................................................................... 154

CAPÍTULO 6 ............................................................................................................. 157

A ERA DOS EXTREMOS ................................................................................... 157

6.1 A criação da Universidade de São Paulo ...................................................... 162

6.2 Luigi Fantappiè e o Departamento de Matemática da FFCLUSP ................. 166

CAPÍTULO 7 ............................................................................................................. 171

OMAR CATUNDA, O ENSINO SECUNDÁRIO E O MOVIMENTO DA

MATEMÁTICA MODERNA ................................................................................. 171

7.1 Trajetória Científica e educacional de Omar Catunda .................................. 172

7.2 Omar Catunda e a contratação de professores estrangeiros ....................... 174

7.3 Concursos de Omar Catunda para o Departamento de Matemática ............ 177

7.4 Trilhas de Catunda no Ensino Secundário: idéias e práticas ........................ 181

7.4.1 A aula inaugural de 1945 ..................................................................... 182

7.4.2 Algumas observações .......................................................................... 186

7.4.3 O Boletim da Sociedade de Matemática de São Paulo ....................... 187

7.4.4 Provas e concursos .............................................................................. 190

7.4.5 Participando da revista “Notas de Matemática e Física” ...................... 193

7.4.6 A Portaria 1951: por uma menor quantidade de conteúdos ................ 196

7.4.7 O parecer de 1954 e o Congresso de 1955 ......................................... 201

7.4.8 Participações em Congressos: 1959 ................................................... 203

7.4.9 Participações em Congressos: 1961 ................................................... 204

7.4.10 Participações em Congressos: 1962 ................................................. 206

7.4.11 Participações em Congressos: 1966 ................................................. 209

7.4.12 A participação de Omar Catunda no MMM da Bahia ........................ 211

7.5 Elaborando textos para a promoção do MMM na Bahia ............................... 214

7.5.1 A coleção “Matemática Moderna” ........................................................ 218

7.5.2 Ensino Atualizado da Matemática: curso ginasial, volumes I, II, III e

IV ......................................................................................................... 224

7.5.3 Ensino Atualizado da Matemática: primeiro grau, 5 ª, 6ª, 7ª e 8ª

séries ................................................................................................... 227

7.6 Abaixo Euclides e acima quem? Apropriações efetivadas para a

elaboração de um manual moderno .............................................................. 230

7.7 Omar Catunda e as relações entre a matemática e educação matemática . 234

CAPÍTULO 8 ............................................................................................................. 236

BENEDITO CASTRUCCI, O ENSINO SECUNDÁRIO E O MOVIMENTO DA

MATEMÁTICA MODERNA ................................................................................. 236

8.1 Benedito Castrucci: trajetória de um matemático .......................................... 236

8.2 Na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP: vida acadêmica,

recomendações italianas e avaliações didáticas .......................................... 242

8.3 Giacomo Albanese e o Departamento de Matemática da FFCLUSP ........... 249

8.4 Concursos de Benedito Castrucci para o Departamento de Matemática ..... 252

8.5 O ensino da Geometria no secundário: depoimentos de Castrucci .............. 258

8.6 Participando de Congressos: 1957 ............................................................... 262

8.7 Participando de núcleos de estudos: a formação do GEEM ......................... 265

8.8 Atuando no GEEM: apropriando-se de preceitos modernos para o ensino

secundário .................................................................................................... 267

8.9 Participando de Congresso: 1962 ................................................................. 269

8.10 Elementos de Teoria dos Conjuntos ........................................................... 270

8.11 Participações em Congressos: 1966 ........................................................... 271

8.12 Geometria: curso moderno .......................................................................... 272

8.13 A abordagem da Geometria durante o MMM .............................................. 274

8.14 “Matemáticos são contra Euclides” ............................................................. 280

8.15 Produzindo manual inovador para o ensino da matemática ....................... 284

8.16 As coleções “Matemática: curso moderno”, para o ciclo ginasial ............... 285

8.16.1 O nascimento de uma nova vulgata para o ensino da matemática

moderna .......................................................................................... 286

8.16.2 “Matemática: curso moderno” de Benedito Castrucci e Alcides

Bóscolo: considerações gerais ....................................................... 288

8.17 Castrucci e Bóscolo: sedimentando a nova vulgata ................................... 300

8.18 Benedito Castrucci e as relações entre a matemática e educação

matemática ................................................................................................. 305

CAPÍTULO 9 ............................................................................................................. 308

LUIZ HENRIQUE JACY MONTEIRO, O ENSINO SECUNDÁRIO E O

MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA ................................................... 308

9.1 Correspondências com Catunda ................................................................... 311

9.2 Na Rua Maria Antônia ................................................................................... 313

9.3 Participando dos Colóquios Brasileiros de Matemática ................................ 315

9.4 Organizando eventos, correspondências, revistas, periódicos ..................... 317

9.5 Álgebra Moderna e Álgebra Linear: novos conteúdos para a cadeira de

Complementos de Geometria e Geometria Superior ................................... 322

9.6 As Faculdades de Filosofia na visão de Jacy Monteiro ................................ 325

9.7 Participando das atividades do GEEM .......................................................... 328

9.8 Jacy Monteiro e a Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Rio Claro ... 331

9.9 Jacy Monteiro e a Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da

Universidade Católica de Santos .................................................................. 333

9.10 Jacy Monteiro e a Universidade de Brasília ................................................ 334

9.11 Obras Publicadas ........................................................................................ 336

9.12 Publicações no GEEM: “Iniciação às estruturas algébricas” ....................... 336

9.13 Publicações no GEEM: “Polinômios” .......................................................... 337

9.14 Matemática: Curso Moderno, segundo ciclo ............................................... 339

9.15 Curso Moderno de Matemática para a Escola Elementar ........................... 348

9.16 Jacy Monteiro e as relações entre a matemática e educação matemática . 351

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 355

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................ 369

ANEXO I ................................................................................................................... 395

A COLEÇÃO “MATEMÁTICA MODERNA” ............................................................ 395

I.1 A Matemática Moderna I ................................................................................ 395

I.2 A Matemática Moderna II ............................................................................... 400

I.3 A Matemática Moderna III .............................................................................. 401

ANEXO II .................................................................................................................. 405

MATEMÁTICA: CURSO MODERNO ....................................................................... 405

Tabela I ............................................................................................................... 405

Tabela II .............................................................................................................. 406

Tabela III ............................................................................................................. 407

Tabela IV ............................................................................................................. 408

ANEXO III ................................................................................................................. 410

O PROGRAMA DA FFCLUSP E AS NOTAS DE AULA DE D’AMBROSIO ........... 410

CRONOLOGIA OMAR CATUNDA ........................................................................... 412

CRONOLOGIA BENEDITO CASTRUCCI ................................................................ 416

CRONOLOGIA LUIZ HENRIQUE JACY MONTEIRO ............................................. 424

GLOSSÁRIO ............................................................................................................. 428

CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Ao elaborar nossa dissertação de mestrado

tivemos a oportunidade de

auxiliar na organização e montagem do Inventário Sumário denominado APER

(Arquivo Pessoal Euclides Roxo). Este inventário foi realizado a partir do acervo

que reúne centenas de documentos do professor de matemática Euclides de

Medeiros Guimarães Roxo (1890-1950), composto de correspondência pessoal,

rascunhos de livros didáticos, propostas de programas de ensino, recortes de

jornal, trechos traduzidos de livros, listas de livros, entre outros.

A análise desses documentos foi condição primordial para a elaboração de

nossa dissertação. Além disso, durante esse período, tivemos oportunidade de

nos inteirar e acompanhar as pesquisas realizadas pelo Grupo de Pesquisa de

História da Educação Matemática no Brasil (GHEMAT)

, do qual fazemos parte.

Desse modo, fizemos visitas ao Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro, local em que

se encontram as atas de reuniões dos professores da Congregação desse

tradicional estabelecimento de ensino; promovemos ainda visitas à Biblioteca

Nacional do Rio de Janeiro, com a finalidade de consultar jornais e periódicos que

circularam nos tempos da Reforma Francisco Campos.

“Henri Poincaré e Euclides Roxo: História das relações entre filosofia da matemática e educação

matemática”, Dissertação de Mestrado defendida em 2002, na PUC/SP.

Criado em 2000, o GHEMAT encontra-se vinculado ao Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação

Matemática da PUC-SP e é coordenado pelo Prof. Dr. Wagner Rodrigues Valente. Conta, também, com

equipes de pesquisa em diversas instituições brasileiras. O Grupo reúne doutores, doutorandos, mestrandos

e alunos de Iniciação Científica. O GHEMAT desenvolve projetos de pesquisa que abrigam pesquisadores de

vários níveis, engajados na produção de seus pós-doutoramentos, teses, dissertações e monografias

(VALENTE, 2005).

Quanto ao tema, o trabalho realizado tratou do estudo das relações que

envolveram uma Filosofia da Matemática e uma Educação Matemática, no Brasil,

na década de 1930.

A Reforma Francisco Campos

impôs, para todo o território nacional,

modificações expressivas na estrutura do ensino secundário, visando dar-lhe um

caráter eminentemente educativo, em oposição à finalidade exclusiva de

matrícula aos cursos superiores. Nesse contexto, a Reforma Campos acatou,

integralmente, as idéias modernizadoras propugnadas por Euclides Roxo

referentes ao ensino da Matemática (MIORIM, 1998).

Roxo destacou-se por praticar uma intermediação entre o primário e o

secundário, propondo uma mudança de concepção, com a introdução do aspecto

intuitivo no secundário. Uma preocupação básica que se afigurava era como

trazer o intuitivo para esse grau de ensino. Euclides Roxo viu, nas idéias

pedagógicas do matemático e filósofo Henri Poincaré (1854-1912) – principal

referência tomada por Roxo, no âmbito da Filosofia da Matemática – algumas das

respostas para essa questão.

Assim como Poincaré, as idéias pedagógicas para o ensino secundário

sustentadas pelo matemático Felix Klein (1849-1925) também foram privilegiadas

por Euclides Roxo, vindo a fazer parte do programa de Matemática do Ensino

Médio na década de 1930.

Dessa forma, no trato com matemáticos e suas manifestações sobre o

ensino secundário que exerceram influência efetiva nas propostas pedagógicas

enunciadas por Euclides Roxo, foi possível observar que, nas pesquisas sobre a

História da Educação brasileira, não se encontravam arrolados, sistematizados e

estudados os pensamentos dos matemáticos que eventualmente se relacionavam

com a Educação Matemática de então.

Essa constatação colocou-nos diante de uma situação que nos pareceu

interessante para o estudo das relações entre matemáticos e professores de

A partir da Reforma Francisco Campos, o ensino secundário passou a ter apenas a disciplina Matemática,

ao invés da clássica separação em três ramos (Aritmética, Álgebra e Geometria). Além disso, o ensino

secundário passou a ter dois ciclos: um fundamental (5 anos) e outro complementar (2 anos), visando a

preparação para o curso superior e evitando que o ensino secundário permanecesse meramente

propedêutico, isto é, servindo apenas de preliminar para o ensino superior (MIORIM, 1998).

Matemática. Pode-se dizer que, de modo mais preciso, remeteu-nos à

possibilidade de estudar a dinâmica de relações existentes entre a produção

Matemática e a Educação Matemática.

Ensina Valente (2001a) que trabalhos sobre a História da Educação

Matemática no Brasil são ainda muito escassos. Para ele, essa área tem

dificuldades quanto às fontes de pesquisa, posto que, no Brasil não se tem uma

tradição na organização sistemática dessas fontes. Estudar a legislação de ensino

não é suficiente para revelar a trajetória do ensino brasileiro. Além de fontes

administrativas e estatísticas, torna-se necessário, também, investigar materiais

que tratam diretamente das práticas em Educação Matemática como cadernos,

provas, artigos de jornais, etc.

Circe Mary S. Silva (2001) também advoga semelhante opinião:

Já apontamos a necessidade de ampliar as pesquisas sobre a

História da Matemática no Brasil. Não numa perspectiva

eurocentrista, valorizando apenas os grandes nomes, as criações,

mas, também, e sobretudo, procurando mostrar as pequenas

contribuições de personagens anônimos e esquecidos, que

desenvolveram suas atividades como educadores, como

professores de Matemática e como pesquisadores e que influíram

nos rumos que a Matemática e a Educação tomaram no País.

Ingressando no doutorado, passamos a participar no projeto “Estudos

sobre a história da educação matemática no Brasil, 1950 – 2000” o qual intenta

analisar historicamente o percurso da educação matemática no Brasil, dos anos

1950 até o final do século XX, a partir da trajetória do matemático e educador

brasileiro Ubiratan D'Ambrosio. Este trabalho está sendo realizado pelo Grupo de

Pesquisa História da Educação Matemática no Brasil – GHEMAT/PUC-SP, tendo

como atividade, dentre outras, organizar os documentos doados pelo professor

Ubiratan D’Ambrosio, com vistas ao seu aproveitamento como fontes de

pesquisa. A organização, catalogação e higienização do material doado pelo

professor D’Ambrosio constituirá o APUA – Arquivo Pessoal Ubiratan D’Ambrosio.

Portanto, na consecução deste trabalho, procuramos tomar como ponto de

partida a análise de alguns documentos contidos no APUA – Arquivo Pessoal

Ubiratan D’Ambrosio, os quais proporcionaram elementos que permitiram, por

meio deles, iniciar um mapeamento histórico das relações entre matemáticos

brasileiros e educação matemática. Tal procedimento colaborou para a

localização e análise de trabalhos científicos realizados por matemáticos

brasileiros, bem como textos em que estes matemáticos expõem suas idéias

relativas ao ensino e aprendizagem da Matemática, visando o ensino fundamental

e médio, compreendendo os anos 1950 a 1980.

Não pretendemos, entretanto, relatar ou reduzir a pesquisa a uma simples

biografia de importantes personagens da nossa história, e sim, elaborar uma

análise crítica, sob o ponto de vista de duas perspectivas, quais sejam: uma que

volta seu olhar para o fazer do matemático e, outra, de modo concomitante, que

verifica quando e como este se envolve no processo de ensino e aprendizagem

da Matemática.

Quanto ao período escolhido, primeiro porque, embora se constitua em

uma época de expressiva mudança no cenário educativo nacional, parece haver

necessidade de ampliar pesquisas sobre personagens que contribuíram para

mudanças no processo de ensino e aprendizagem no âmbito da História da

Educação Matemática brasileira. Segundo, no que tange ao ensino da

Matemática, foi ocasião em que o secundário sofre alterações significativas,

impulsionadas entre outras causas, pelo Movimento da Matemática Moderna com

reflexos importantes no Brasil.

Assim, este estudo passou a configurar-se pelo seguinte objetivo: estudar

quais as dinâmicas que envolvem a relação entre matemáticos e professores de

Matemática. De modo específico, considerar as décadas 1950 -1980, analisando

a participação de matemáticos brasileiros no que ficou conhecido como

Movimento Matemática Moderna.

Nesse sentido, buscou-se enfocar trabalhos científicos produzidos por

matemáticos no Brasil durante o MMM, analisando possíveis conexões entre

aquela produção e o ensino da Matemática. Tal procedimento envolveu leitura e

análise de documentos referentes a cientistas e professores da época em

questão, utilizando para tanto, materiais como: livros didáticos, arquivos

escolares, arquivos pessoais de professores, etc.

A abordagem deste assunto mostra-se relevante ante à análise de teses e

dissertações, que diretamente tomaram o MMM como tema principal de suas

investigações. Esta análise, realizada em capítulo específico, revelou que esses

estudos são insuficientes para compreender a herança deixada pelo Movimento

nas práticas pedagógicas dos professores de matemática brasileiros. Para

compor o ideário do Movimento, os trabalhos, em geral, preocuparam-se em

explicitar o significado da Matemática Moderna

, em relatar o contexto social,

político e econômico da época, em situar os grupos que a difundiram no Brasil,

bem como na apresentação e análise de textos que discutem seu esgotamento

em nível nacional e internacional. Praticamente não incluíram preocupações e

estudos mais detalhados sobre matemáticos no Brasil, os quais retratem suas

produções científicas e suas propostas para o ensino da Matemática. Essa é, no

entanto, a pretensão maior almejada nesta pesquisa.

Contudo, tais observações não impediram que, ao longo do estudo

daqueles trabalhos, aflorassem algumas questões referentes ao papel assumido

pelos matemáticos durante o Movimento, evidenciando o espaço em que se

processará a investigação, possibilitando trazer respostas para uma melhor

compreensão sobre esse assunto.

Para a análise das relações existentes entre educadores matemáticos e

matemáticos fizemos uso de pressupostos metodológicos próprios da História

Cultural, porquanto o trabalho desenvolvido implica diretamente na realização do

estudo da dinâmica que relaciona cultura acadêmica universitária e cultura

escolar. A primeira, aqui entendida como o conjunto de normas e práticas que

professores e estudantes concretizam na universidade, incluindo nele o saber

escolar como uma forma de saber científico, e, portanto, como uma maneira de

expressar normas e práticas científicas de matemáticos e professores

universitários. A segunda, considerada como o conjunto de normas e práticas

estabelecidas por professores e alunos no secundário, lugar em que as práticas

científicas são apropriadas, reelaboradas e reutilizadas.

Apesar de examinar mais detalhadamente a Matemática Moderna em momento posterior, é possível dizer

que ela pode ser caracterizada pelo domínio do método estrutural, ou seja, aquele que busca abstrair uma

arquitetura escondida em objetos e teorias e do método axiomático, que por sua vez se caracteriza por uma

série de afirmativas chamadas axiomas, aceitos como verdadeiros e para os quais não se exige prova. A

partir destes, são deduzidos teoremas, por meio de raciocínio puramente lógico (PATRAS, 2001, p. 57-78).

Práticas do cotidiano de matemáticos, o modo como estas foram

apropriadas pelo ensino secundário e os procedimentos para fazer uma análise

em profundidade do objeto investigado, procurando explorar todas as

possibilidades interpretativas, exigem embasamentos teórico-metodológicos que

permitam ao historiador mostrar o caminho percorrido. Para tanto, valemo-nos, de

conceitos como apropriação, cultura escolar, táticas e estratégias, descrição

densa, dentre outros, estabelecidos conforme definição dos teóricos Chartier

(1991), Julia (2001), De Certeau (2002) e Geertz (1989), respectivamente.

A partir dessas considerações, nosso estudo buscou constatar como se

processam as práticas do fazer matemático em nossa história cultural, através da

reconstrução de trajetórias de matemáticos, os quais tiveram participação no

ensino da matemática, reveladas pela análise de suas produções envolvendo o

ensino da matemática brasileiro.

Neste aspecto, esforçamo-nos no sentido de responder ao seguinte

questionamento: que estratégias e táticas estão envolvidas na dinâmica de

relacionamento entre as culturas acadêmica e escolar ao tempo do MMM?

Na busca de respostas envolvendo essa problemática, defrontamo-nos

com as seguintes indagações:

Quais foram os principais matemáticos brasileiros que, durante o MMM,

mantiveram alguma preocupação com o ensino secundário?

Qual a formação intelectual e qual a posição social desses matemáticos?

Quais as principais contribuições que podem ser creditadas em favor de

matemáticos que participaram do MMM?

Como educadores matemáticos investiram na escriturística (publicações,

documentos oficiais, participação em congressos, livros etc.) para participarem

desse Movimento?

Uma dificuldade com a qual nos deparamos residiu na identificação e

seleção, dentre os matemáticos da época, daqueles que, de forma intencional,

manifestaram preocupações com o ensino da Matemática, o que exigiu a adoção

de critérios adequados para definir e identificar aqueles notoriamente chamados

matemáticos profissionais durante o período escolhido.

A princípio, tomamos como base nomes arrolados no “Manual de História

Matemática” elaborado por Ubiratan D’Ambrosio (2000) considerados como

personagens que se destacaram no desenvolvimento da pesquisa matemática

brasileira. Além da publicação de D’Ambrosio, levamos em conta um relatório

realizado por uma comissão de professores do Setor de Pesquisas Matemáticas

do CNPQ, intitulado “Conclusões e sugestões da comissão reunida pelo setor de

Matemática do CNPQ, para estudar as diversas instituições brasileiras que se

dedicam a esse ramo da ciência” (MAST, 1999). Essa comissão classificou as

instituições matemáticas em três grandes grupos, de acordo com a produção

científica de seus membros, publicada em periódicos de alto nível, arrolando

matemáticos com destacadas atividades nos programas de pesquisa e pós-

graduação. Comparando os nomes citados por D’Ambrosio e os contidos na lista

da comissão do CNPq, prevaleceram os nomes arrolados no estudo de

D’Ambrosio, ainda que não se coadunassem, em sua totalidade, com aqueles

citados pela comissão do CNPq, uma vez que esta tinha por intenção única

estabelecer um critério para concessão de bolsas às instituições que, naquele

momento, participavam ativamente de pesquisas no âmbito da ciência

matemática, não tendo, portanto, o caráter de indicar todos os pesquisadores

atuantes nas instituições.

Mais tarde, ao realizarmos análises de teses e dissertações, tornou-se

possível identificar alguns traços comuns na atuação dos matemáticos durante o

processo de renovação do ensino secundário, das décadas 50, 60 e 70,

permitindo-nos, num primeiro momento, elaborar uma prévia classificação, a qual

aponta alguma regularidade nas práticas dos matemáticos mobilizados pela

reforma, existindo aqueles que:

– se dedicaram a ministrar cursos de formação de professores primários e

secundários nos grupos promotores do Movimento;

– escreviam textos relativos aos conteúdos da Matemática Moderna, tendo

como público-alvo os professores do ensino médio;

– se dedicavam a escrever obras referentes aos conteúdos de Matemática

Moderna, destinados aos estudantes do curso secundário;

– se dedicavam a participar de congressos e/ou publicar artigos

defendendo o Movimento, expondo os motivos pelos quais a Matemática

Moderna deveria fazer parte do currículo das escolas elementares;

– fizeram críticas ao Movimento, mostrando-se contrários à reforma.

Confrontando esses dados com a grade inicial de personagens que se

encontram na lista elaborada por D’Ambrosio, observa-se que, no geral, os

matemáticos citados com maior freqüência foram Omar Catunda, Benedito

Castrucci, Luiz Henrique Jacy Monteiro.

Desse modo, como foco para a discussão da dinâmica das relações entre

matemáticos e educação matemática, tomamos Omar Catunda, Benedito

Castrucci, Luiz Henrique Jacy Monteiro como personagens representativos dos

modos de pensar daquele período. Há que se notar, que todos eles eram

professores da Faculdade de Filosofia da Universidade de São Paulo (FFCLUSP),

participaram do Movimento Matemática Moderna, publicaram livros didáticos para

o ensino secundário e superior e tiveram contato com alguns matemáticos do

grupo Bourbaki, durante sua estadia no Brasil. Outrossim, esses matemáticos

eram representativos de ramos da Matemática bem definidos: Omar Catunda era

analista, Benedito Castrucci, geômetra e Luiz Henrique Jacy Monteiro, algebrista.

Todas essas considerações, envolvendo constatações, evidências,

dificuldades e procedimentos metodológicos tomados para o desenvolvimento

desta pesquisa, além de discussões sobre o papel do ensino na organização do

meio matemático, a cultura escolar e fontes para a escrita da história são

discutidas no primeiro capítulo.

O MMM no Brasil assumiu uma dinâmica específica, e, para compreendê-la

necessário se faz discorrer sobre a origem e características da Matemática

Moderna, para, posteriormente, buscar analisar como esta foi apropriada pelo

campo educacional. Assim sendo, o segundo capítulo apresenta uma síntese do

que ficou conhecido por “Matemática Moderna”. Nesse sentido, valemo-nos

especialmente de um estudo realizado por Frédéric Patras (2001), o qual nos

remete a reflexões sobre a origem da Matemática Moderna. Nele, destacamos

ainda, o surgimento das novas álgebras, os principais acontecimentos históricos

que motivaram o aparecimento das correntes filosóficas e alguns aspectos sobre

o primeiro movimento internacional de matemática moderna. Segue-se, no

terceiro capítulo, um estudo da trajetória do grupo Bourbaki

, ressaltando o

importante papel que o mesmo desempenhou nesse Movimento, uma vez que,

segundo constatações de Patras, a Matemática Moderna foi freqüentemente

identificada com concepções defendidas por Bourbaki. Além disso apresentamos

os pontos de vista dos matemáticos Castelnuovo e Dieudonné sobre o ensino da

Matemática.

O quarto capítulo, como desdobramento do capítulo anterior, traz um breve

panorama sobre a participação de alguns países na realização da reforma da

Matemática Moderna, buscando apontar o verdadeiro papel que a Matemática

desempenhou no ensino de cada nação e no interior de suas instituições, como

França, Itália, Estados Unidos da América, Alemanha, etc., por meio da atuação

dos matemáticos em relação ao ensino de Matemática em todo o mundo, durante

o Movimento.

No quinto capítulo são analisadas teses e dissertações, aquelas que

diretamente tomam o MMM como tema central de suas investigações, focalizando

especialmente, como esses trabalhos discutem a participação de matemáticos no

movimento da matemática moderna no Brasil.

O sexto capítulo procura retratar o Departamento de Matemática da

FFCLUSP, uma vez que os matemáticos escolhidos neste trabalho integravam o

corpo docente daquela instituição, que tinha como uma de suas principais

finalidades preparar uma elite de pesquisadores matemáticos. Ademais, o

capítulo investiga a participação e apropriação das idéias de Bourbaki e de

matemáticos italianos, os quais foram contratados pela Universidade e de que

forma os matemáticos brasileiros se apropriaram dos conhecimentos transmitidos

pelas escolas francesas e italianas.

O Grupo Bourbaki começou formar-se na década de 1930. Jean Dieudonné, Jean Delsarte, André Weil e

Alexandre Grothendieck, matemáticos que fizeram parte da liderança do grupo, vieram para São Paulo,

contratados pela FFCLUSP. Aqui orientaram os responsáveis pelas cátedras como também alguns jovens

assistentes (D’AMBROSIO, 2000).

No sétimo, oitavo e nono capítulos, aprofundamos a trajetória profissional

dos matemáticos Omar Catunda, Benedito Castrucci e Luiz Henrique Jacy

Monteiro respectivamente, por meio de informações extraídas em obras,

depoimentos e outras publicações destes e de outros autores, quando se procura

compreender como se dá a dinâmica das relações entre matemática e ensino de

matemática.

As considerações finais apontam os resultados obtidos no trabalho de

investigação, que provavelmente farão emergir outras questões, ensejando a

possibilidade de que novas investigações venham a ser realizadas.

CAPÍTULO 1

PARA UMA NOVA HISTÓRIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NO

BRASIL: algumas considerações teórico-metodológicas

Recusando-se à uma história essencialmente política e épica, Bloch e

Febvre, na revista Annales, contribuíram para uma mudança expressiva de

enfoque, promovendo a dessacralização da memória dos grandes homens, dos

eventos políticos, militares e diplomáticos, indo em direção à história social,

notadamente voltada para as diferentes dimensões da vida dos homens no

tempo, privilegiando as condições da vida material, as formas de viver, de pensar

e de sentir (BURKE, 1991). Tornou-se inevitável a procura por fontes, muito

diversas daquelas utilizadas por historiadores tradicionais, propondo novos

objetos de investigação e exigindo novas reflexões metodológicas.

A atual historiografia proveniente do movimento iniciado pelos Annales,

expandiu-se e orienta hoje em dia muitos trabalhos, constituindo uma tendência

historiográfica de larga abrangência e reconhecimento, ao vincular-se aos

conceitos antropológicos de cultura. A História Cultural, também chamada de

Nova História Cultural “talvez a principal herdeira da Nova História” tornou-se um

campo academicamente privilegiado e fértil, contribuindo para a renovação da

historiografia ocidental (FONSECA, 2003, p.50).

Nesse contexto, a História da Matemática vem se tornando objeto de

estudo como uma das formas da história das ciências, especificamente na

denominada Nova História das Ciências (NHC)

, uma das derivações da nova

historiografia. A NHC rejeita a concepção que considera a produção matemática

como que separada a priori, pelo historiador, das condições de sua reprodução,

aqui entendida como operações por meio das quais o sentido é localmente

produzido, sendo parte integrante da atividade de produção/invenção do saber

matemático (VALENTE, 2001b).

A NHC debruça-se sobre novos objetos históricos, procurando evidenciar

aqueles essenciais para a prática científica, o que possibilita uma nova

abordagem para compreensão do significado dos saberes escolares. Nesse

sentido, deve-se levar em conta as reflexões de Pestre (1996, p.37), para quem o

texto científico é um objeto construído segundo regras variáveis no tempo e no

espaço social, sofrendo apropriações, modificações por aqueles que o utilizam. O

estudo da reescritura do texto a que os saberes são submetidos, desde as

cadernetas de laboratório, a correspondência, os croquis, os rascunhos de artigos

até as versões publicadas, os tratados, manuais de cursos, apresentações para

não especialistas e conferências para o grande público, destacam que o status de

evidência e de lógica dos resultados se modifica a cada contexto. Cada

reescritura tem funções múltiplas: heurística, demonstrativa, didática, reflexiva,

filosófica, cujo peso varia segundo os locais e os públicos aos quais se dirige.

Nesse caso, a atividade científica é uma atividade de interpretação e

inovação, com implicações tanto na teoria quanto na prática. Além disso, para

Pestre (1996) os saberes científicos adquirem o caráter universal mediante a

circulação e reutilização em diversos lugares de produção:

Por essa razão, a aparente universalidade dos enunciados

científicos, o fato de que eles sejam descritos como “verdadeiros

em qualquer parte” e compreendidos “nos mesmos tempos” por

todos não pode constituir um bom ponto de partida para uma

análise histórica das ciências. Se os saberes científicos (da

mesma forma que outras formas de saberes) circulam, não é

porque são universais. É porque eles circulam – isto é, porque são

(re)utilizados em outros contextos e um sentido lhes é atribuído

por outros – que eles são descritos como universais... (1996, p.

20).

Em síntese, nessa perspectiva, a ciência é vista como algo que se pratica e quem constrói essa prática são

os homens, que dependem de circunstâncias sociais, de uma determinada época. Desta forma, é o sujeito

que constrói o objeto, o objeto não existindo sem o sujeito (PESTRE, 1998).

Nessa perspectiva, o saber escolar é visto como uma forma de saber

científico, como um dos modos das práticas científicas se expressarem.

Matemática Escolar é a expressão da própria Matemática no âmbito da escola.

A importância da realização de um mapeamento histórico, com vistas à

compreensão de como as práticas científicas foram ganhando expressão e

universalizando-se, isto é, sendo apropriadas e reelaboradas em diferentes

contextos, em especial ao ensino da Matemática, é assinalada por Valente

(2003a):

Considerando, então, que a produção científica está sempre

envolvida em contextos específicos, responsáveis por seu

desenvolvimento, é parte integrante dessa produção, a sua

reprodução. Assim, o ensino caracteriza-se como uma de suas

modalidades. A análise dessa modalidade de reprodução revela

não somente o caráter importante da transmissão do saber, mas

também o papel que o ensino tem, na própria constituição da

Matemática enquanto ciência.

De modo geral, atualmente, as instituições de ensino superior oferecem

aos interessados em ciência matemática os cursos de Bacharelado (Matemática

e Matemática Aplicada) e Licenciatura. O curso de Licenciatura volta-se,

evidentemente, para a formação do educador, buscando dar preparação

pedagógica àqueles que desejam ser professores. Essa formação permite que

seus membros atuem no ensino básico e superior, em instituições públicas ou

privadas. Já o bacharelado em Matemática visa formar profissionais para a

carreira acadêmica. Muitos egressos do bacharelado prosseguem seus estudos

em programas de pós-graduação, tornando-se, geralmente, pesquisadores e

docentes do Ensino Superior. Nos dias de hoje, os que se tornam cientistas da

matemática perfazem essa trajetória.

Dessa forma, pode-se admitir, como Pestre (1996), que o cientista, aquele

que pratica as ciências, “é alguém que adquiriu uma cultura, que foi formado,

modelado por um certo meio, que foi fabricado no contato com um grupo e com

ele compartilhou atividades – e não uma consciência crítica operante, um puro

sujeito conhecedor”, valendo dizer que os pesquisadores matemáticos, são

partícipes de uma prática social de investigação, isto é, de atividades sociais

realizadas por um conjunto de indivíduos que produzem conhecimentos.

Essa linha de entendimento vem ao encontro da posição assumida pelo

pesquisador Antonio Miguel, para quem toda prática social comporta uma

atividade educativa no seu interior, mesmo que de modo difuso ou inconsciente,

pois, a comunidade promotora de uma prática social procura assegurar, de

alguma forma, “as condições de produção e reprodução dos conhecimentos

gerados em seu interior”, evitando-se que essa prática desapareça. Assim sendo,

a produção de conhecimentos educacionais ocorre em todas as práticas sociais,

e portanto, na própria investigação em Matemática [grifo do autor], (2004, p. 83).

Desse modo, sustenta Miguel (2004), a atividade matemática não se

restringe tão somente à produção de conhecimentos matemáticos, realizando,

igualmente, uma atividade educacional, produzindo conhecimentos educacionais,

mesmo que estes últimos não estejam num primeiro plano em relação à sua

atuação, ainda que de modo involuntário ou inconsciente. Por outro lado, não é

menos verdade que os educadores matemáticos também realizam atividade

matemática, produzindo conhecimento matemático, ainda que, também, de modo

não proposital e não associado diretamente à sua atividade predominante.

Em relação a esse assunto, conclui Antonio Miguel:

Podemos dizer, então, que além de um conhecimento

intencionalmente produzido e absolutamente necessário para

uma prática social se constituir e sobreviver, seus promotores

acabam também produzindo outros conhecimentos que, embora

não sejam vistos como tão importantes quanto aqueles

intencionalmente produzidos, são também absolutamente

necessários para que essas práticas se constituam e sobrevivam.

E daí, resguardadas as diferenças, um matemático profissional

não é um não-educador matemático, do mesmo modo que um

educador matemático não é um não-matemático profissional

(2004, p. 84-85).

O debate sobre a redefinição do entendimento do que são práticas

científicas

, operada pela Nova História das Ciências, nos dá a possibilidade de

O termo “científico” é bastante suspeito nas “Ciências Humanas”. Mas De Certeau não o considera menos

suspeito que nas “Ciências Exatas”. Pode ser definido como a possibilidade de estabelecer um conjunto de

regras que permitam controlar operações destinadas à produção de determinados objetos (DE CERTEAU,

1982, p. 109).

Antes da Revolução Francesa (1789-1795), os quadros administrativos franceses eram

indicados pela aristocracia. Com o advento da Revolução, instala-se uma nova relação social, advinda do

moderno conceito de cidadania, gerando novas demandas para a burocracia e a administração pública. Entra

em ação um intenso trabalho educativo e, dentre as intervenções realizadas, criou-se a Escola Politécnica em

1794, com a finalidade de preencher os quadros vagos deixados pela aristocracia, buscando-se a formação

de uma elite para dirigir o país. Dessa forma, conferiu-se à matemática uma situação privilegiada para a

seleção dessas elites dominantes (D’AMBROSIO, 2003).

perceber os saberes escolares, e em particular a matemática escolar, como uma

das formas de apropriação e reelaboração da prática matemática, provocando,

por sua vez, uma nova escrita para história da matemática que rejeita o texto

cronológico, recheado de biografias de matemáticos ilustres e suas teorias

desprovidas dos contextos históricos e sociais (VALENTE, 2001a, p. 216).

1.1. O papel do ensino na organização do meio matemático

Os posicionamentos defendidos por Pestre (1996; 1998), Valente (2001a;

2003b) e Miguel (2004), explicitados neste estudo encontram-se, em boa medida,

alinhados com as reflexões do historiador da matemática Bruno Belhoste

manifestadas no artigo “Pour une réévaluation du role de l’enseignement dans

l’histoire des mathématiques”, publicado na “Revue d’histoire des

mathématiques”, 4, 1998; e reproduzido na revista Educação Matemática

Pesquisa nº 1, vol. 4, 2002, do Programa de Estudos Pós-graduados em

Educação Matemática da PUC/SP.

Para Belhoste, o ensino da matemática não se constitui somente numa

fonte em que o historiador de matemática extrai uma documentação ou um

cenário, e sim, também, num elemento por inteiro de sua problemática. Sob essa

perspectiva, propõe uma nova reavaliação do papel do ensino na história da

Matemática, abandonando o posicionamento simplista da maioria dos

historiadores em considerar a comunicação, a transmissão e a vulgarização do

saber matemático como uma atividade secundária e periférica, limitando-se a uma

abordagem do ensino restrita a estudos institucionais, análises de cursos e de

tratados didáticos, biografias de matemáticos, etc.

No entanto, para esse pesquisador francês, raramente os historiadores de

matemática tratam este assunto dando toda a importância que lhe é merecida.

Sob esta indiferença, esconde-se a falsa idéia de que a produção matemática é

inteiramente independente das circunstâncias sociais de uma determinada época.

A rigor, o desenvolvimento da ciência matemática está intimamente ligado ao

próprio ensino da matemática.

Nessa linha de entendimento, defende o ponto de vista segundo o qual, de

maneira geral, a maioria das atividades intelectuais encontra-se engajada em

contextos específicos que determinam as condições de seu desenvolvimento.

Conseqüentemente, o estudo da circulação dos textos e das atividades

matemáticas no tempo e no espaço social e geográfico parece-lhe o centro do

trabalho do historiador. Inclui assim, o ensino, pois este se caracteriza como parte

integrante da atividade de produção/invenção do saber matemático. O ensino tem

um papel decisivo não somente na difusão do saber e sua transmissão

generalizada, mas também na constituição da matemática enquanto ciência. Os

historiadores incorreriam em erro se ignorassem a influência do ensino da

matemática na construção dessa ciência.

Na busca da origem da profissionalização do professor de matemática,

Belhoste salienta que nas universidades medievais, o quadrivium, (aritmética,

geometria, música e astronomia) ocupava lugar marginal, desconhecendo-se

quem eram os profissionais que o ensinava aos alunos. Apesar de, no século XIV,

os algarismos e o ábaco serem ensinados por uma comunidade de matemáticos e

professores e de se constatar a existência de escolas onde a aritmética comercial

era ensinada a futuros mercadores, é sobretudo no século XVI, que o ensino

matemático desenvolve-se na Europa. Com a aparição de novas técnicas

militares, em particular a artilharia, a fortificação e a cartografia, também com o

desenvolvimento da marinha de guerra, suscitou-se uma forte demanda na

formação de matemáticos. A necessidade de dominar e transmitir os

conhecimentos matemáticos levou à criação de cadeiras de matemática nas

universidades e nos colégios, muito embora a contribuição desses professores ao

desenvolvimento da matemática tenha sido, em geral, modesta.

Belhoste ressalta que, os matemáticos criadores, aqueles a quem a história

da matemática doou seu nome, foram em sua maioria, homens da corte ou de

gabinete, a serviço de príncipes e depois integraram as instituições acadêmicas.

A grande virada na emergência do estatuto do matemático profissional ocorre no

período entre 1770 e 1820, época em que a pesquisa matemática foi implantada

nas instituições de ensino. Então, uma nova figura emergiu, aquela do

matemático professor, surgindo primeiramente na França e depois em toda a

Europa. Duas razões fundamentais explicam, segundo Belhoste, esta

modificação: de um lado os Estados assumem a formação dos especialistas, em

particular os especialistas militares, consagrando a Matemática como disciplina

por excelência, promovendo gradativamente a integração dos mestres de

matemática no sistema de formação de elites administrativas

; de outra parte, a

introdução da matemática como elemento fundamental na formação intelectual e

moral no ensino de nível secundário.

No século XVIII, na França, os candidatos à administração do corpo de

artilharia, da engenharia e da marinha militar eram examinados por matemáticos

membros da Academia de Ciências, o que propiciou a criação de preparatórios

nos colégios de elite, abrindo carreiras para os professores de matemática. Em

seguida, as escolas de engenheiros foram abertas, dando o primeiro lugar aos

estudos da matemática. A mais ilustre era a l’École Militaire de Mézière, onde

Gaspard Monge começou ao mesmo tempo sua carreira de professor e

matemático. A l’École Polytechnique, fundada durante a revolução francesa,

herdou a experiência acumulada nestas escolas. O ensino da matemática era

assegurado por grandes matemáticos do momento: Lagrange, Monge, mais tarde

Fourier, Poisson, Cauchy, Liouville e muitos outros. Desse modo, a maioria dos

matemáticos franceses do século XIX foi formada na Escola Politécnica. Os

engenheiros politécnicos eram predominantes (hegemônicos) na Academia de

Ciências e nos altos estabelecimentos parisienses de ensino e de pesquisa,

cabendo à escola normal formar os professores de liceus, ignorando as atividades

de pesquisas, que ficavam a cargo dos politécnicos.

A dominação de politécnicos traduzia-se pelo controle que

exerciam sobre o ensino da matemática no nível secundário e

superior, tanto pela intermediação do exame de admissão da

Escola Politécnica quanto diretamente pelo Conselho de Instrução

Publica e a Inspeção Geral. Foi preciso esperar o

desenvolvimento do ensino superior a partir do final do ano de

1870, para que a situação se transformasse progressivamente: os

professores das novas universidades, formados na maior parte

pela escola normal superior, se impõem progressivamente como

os novos líderes do meio matemático, tanto no ensino como na

pesquisa, enquanto recua a influência dos politécnicos

(BELHOSTE, 1998, p. 294).

Prosseguindo em seus comentários sobre o papel dos estabelecimentos de

ensino na organização do meio matemático, o autor observa que não somente as

relações institucionais entre ensino e pesquisa evoluíram consideravelmente entre

o início do século XIX até hoje, como também esta situação se diferencia,

conforme os países e os estabelecimentos. Nos primeiros anos de fundação da

Escola Politécnica, o ensino e a pesquisa encontravam-se associados

organicamente. Lagrange e Monge ao mesmo tempo em que davam suas lições

aos alunos mais avançados, apresentaram trabalhos e resultados inéditos, o

primeiro sobre a teoria das funções analíticas, o segundo sobre a geometria

infinitesimal. Além disso, os próprios alunos eram convidados a fazer pesquisas

originais, produzindo estudos avançados.

A princípio, a Escola Politécnica era um centro de ensino e pesquisa,

porém, aos poucos, perde essa característica, deixando de lado a preocupação

com a pesquisa, priorizando um ensino técnico. As lições passaram a obedecer

estritamente os programas definidos com antecedência.

Nas universidades alemãs, em compensação, a pesquisa era considerada

como uma atividade normal de professores e estudantes mais avançados,

engajados na preparação de um doutorado. Também se desenvolveram no

século XIX as tradições de pesquisa em cada universidade, onde apareceram

matemáticos notáveis: Jacobi em Konigsberg; Weierstrass, Kummer e Kronecker

em Berlim; Gauss, Dirichlet, Riemman e Clebsch em Gottingen. Felix Klein, no

final do século, leva o modelo ao seu apogeu fazendo de Gottingen um centro de

ensino e pesquisa de renome internacional.

Discutindo sobre a contribuição que as atividades didático-pedagógicas

oferecem ao desenvolvimento das práticas matemáticas, Belhoste cita como

exemplo, as práticas relativas à preparação das aulas. O ponto que interessa a

esse historiador diz respeito principalmente à especificidade da aula magistral

como atividade matemática e o que ela implica para o trabalho de pesquisa.

Segundo Belhoste, em geral, o objetivo de um curso é apresentar, do ponto

de vista didático, os resultados já alcançados na teoria, consistindo em colocar

em ordem, clarificar e simplificar esses resultados, ao invés de realizar um

trabalho criativo. No entanto, esse trabalho pode chegar, às vezes, à invenção de

novos conceitos, de novos métodos, de novas teorias, e sobretudo, contribuir

poderosamente com a organização do saber matemático. Isso exige do professor

escolher quais os conhecimentos pré-requeridos, quais os essenciais dentre

esses resultados, quais aqueles que são acessórios, aqueles que bastam

reutilizar em exercícios de aplicação. Estas escolhas implicam, com efeito, não

somente numa opinião sobre o valor didático de tal ou qual modo de exposição,

mas também, em uma visão da natureza e da estrutura do saber matemático. Não

raro, anotações de aulas tornaram-se livros-texto, em que novos elementos foram

introduzidos à teoria, a partir do modo de exposição realizada pelo professor, por

meio de seu ensino magistral, conclui Belhoste.

A preparação das aulas é em geral uma atividade solitária, mas sua

redação é freqüentemente coletiva: não somente os professores podem

considerar as observações de seu auditório, mas acontece do professor deixar

para um aluno a redação da publicação, segundo uma prática universitária

comum admitida. Esta colaboração entre professores e alunos na redação das

lições ilustra a dimensão coletiva da atividade didática. Em que medida esta

prática de trabalho passou do ensino para a pesquisa? Responder esta pergunta

contribui, alega Belhoste, para a melhor compreensão da gênese e do

funcionamento das escolas de matemática do séc. XIX e XX. Em sua origem,

exemplifica Belhoste, os seminários matemáticos nas universidades alemãs

funcionavam como uma preparação ao ensino secundário: sob a direção do

professor, os estudantes apresentavam as lições e se criticavam mutuamente.

Mas os assuntos não se limitavam às questões ensinadas no secundário. Os

estudantes deviam também apresentar trabalhos pessoais. O seminário

pedagógico tornou-se dessa maneira, ao mesmo tempo, um seminário de

pesquisa. Jacobi, em colaboração com Franz Neumann, criam o primeiro

seminário de Matemática e Física na Universidade de Köningsberg em 1835. O

modelo se difunde progressivamente para as outras universidades alemãs, como

Friburgo, Göttingen, Munique, Breslau, Heidelberg, Tübingen, Giessen, Berlim,

etc. São esses seminários que dão corpo as diferentes escolas de pesquisa que

caracterizam a atividade matemática na Alemanha no séc. XIX.

Nos temas abordados por Belhoste, o ensino ganha fundamental

importância para a História da Matemática delimitando vasto campo de

investigação, “que ultrapassa a história da matemática stricto sensu para tocar a

história das culturas profissionais e das culturas científicas” (BELHOSTE, 1998, p.

302). Há que se levar em conta, enfatiza ainda Belhoste, que matemáticos de

modo geral, são em sua maioria, professores, cujas atividades se dão em nível

escolar universitário. Por essa razão, a sociedade atribui à Matemática o status de

disciplina do ensino e ao profissional da área, o matemático, como uma figura

vinculada ao ensino, muito embora, na visão do próprio matemático, ensinar

matemática não é suficiente para ser digno dessa designação. Seria preciso,

então, produzir matemática, de modo a contribuir para o avanço da ciência.

As análises realizadas por Belhoste, a nosso ver, revestem-se de

fundamental importância para a compreensão do processo de profissionalização

do professor de Matemática, posto que permitem refletir sobre o ensino e as

práticas do fazer matemático e defendem uma nova reavaliação do papel do

ensino na História da Matemática.

1.2. Cultura escolar como objeto histórico

Diante de tais considerações, procuramos analisar o percurso da História

da Educação Matemática brasileiro, à luz da Nova Historiografia das Ciências,

considerando que:

A História da Educação Matemática no Brasil vem sendo muito

pouco estudada, principalmente, sob a perspectiva de sua

inserção na história cultural brasileira. Mesmo dentre os estudos

pautados pela historiografia tradicional, são raros os trabalhos que

se ocuparam do tema. A Educação Matemática, vista como

apropriação cultural, deve lançar mão, muitas vezes, como ensina

a Nova Historiografia das Ciências, de documentos nunca

anteriormente considerados como fontes de pesquisa. Livros

didáticos, arquivos escolares, arquivos pessoais de professores

constituem grande parte dessa documentação. (VALENTE,

2001b).

O conceito de apropriação que norteia esta pesquisa é tomado de Roger

Chartier: “A apropriação, a nosso ver, visa uma história social dos usos e das

interpretações, referidas às suas determinações fundamentais e inscritas nas

práticas específicas que as produzem” (1991, p. 177). A idéia de apropriação

assim colocada é central para a História Cultural. Neste novo enfoque, pretende-

se enveredar pelas relações e tensões que as constituem, tomando como ponto

de partida um tema particular, tal como um acontecimento, importante ou obscuro,

um relato de vida, uma rede de práticas específicas. Na análise de textos,

necessário se faz considerar que a leitura é uma prática investida de gestos,

espaços, hábitos. Chartier sustenta que as formas materiais que revestem um

texto também contribuem para dar feição às antecipações do leitor em relação ao

texto e para atrair novos públicos e usos inéditos: “O essencial é, portanto,

compreender como os mesmos textos – sob formas impressas possivelmente

diferentes – podem ser diversamente apreendidos, manipulados e

compreendidos” (1991, p. 177-182).

Desse modo, a Nova História Cultural vem contribuir para a mudança dos

procedimentos na pesquisa de fontes, possibilitando à História uma nova forma

de trabalhar a cultura, entendendo-a “como um conjunto de significados

partilhados e construídos pelo homem para explicar o mundo” (PESAVENTO,

2005, p. 15).

Para De Certeau, ainda que qualquer atividade humana possa ser

considerada como cultura,

... ela não o é necessariamente ou não é ainda forçosamente

reconhecida como tal. Para que haja verdadeiramente cultura, não

basta ser autor de práticas sociais; é preciso que essas práticas

sociais tenham significado para aquele que as realiza. [...] É uma

prática significativa. Ela consiste não em receber, mas em exercer

a ação pela qual cada um marca aquilo que outros lhe dão para

viver e pensar (2003, p. 141-143).

Um pouco mais explícito, Geertz (1989) defende um conceito de cultura

como algo essencialmente interpretativo, um sistema de signos interpretáveis que

podem ser descritos de forma densa. Fazer uma “descrição densa” é investigar

detalhadamente, sob vários aspectos, o significado dos signos dentro de uma

determinada sociedade. Trata-se de analisar em profundidade o objeto

investigado, explorando todas as possibilidades interpretativas por meio de

cruzamento com outros elementos. Esse método permite ao historiador mostrar,

com segurança e seriedade, o caminho percorrido.

A História da Educação tem se valido das discussões da Nova História

Cultural, esforçando-se por compreender os processos escolares. Nesse

contexto, o estudo das culturas escolares adquire significativa importância como

objeto de investigação em história, posto que se volta para as práticas cotidianas

instauradas no interior da escola.

A noção de cultura escolar é aqui entendida como define Dominique Julia:

... um conjunto de normas que definem conhecimentos a ensinar e

condutas a inculcar, e um conjunto de práticas que permitem a

transmissão desses conhecimentos e a incorporação desses

comportamentos; normas e práticas coordenadas a finalidades

que podem variar segundo épocas (finalidades religiosas,

sociopolíticas ou simplesmente de socialização). Normas e

práticas não podem ser analisadas sem levar em conta o corpo

profissional dos agentes que são chamados a obedecer a essas

ordens e, portanto, a utilizar dispositivos pedagógicos

encarregados de facilitar sua aplicação, a saber, os professores

primários e os demais professores (2001, p. 10-11).

Analisar as relações existentes entre educadores matemáticos e

matemáticos a partir dos pressupostos metodológicos próprios da Nova História,

implica na realização do estudo da dinâmica que relaciona cultura acadêmica ou

universitária e cultura escolar. A primeira, aqui entendida como o conjunto de

normas e práticas que professores e estudantes concretizam na universidade,

incluindo aí o saber escolar como uma forma de saber científico, e, portanto,

como uma maneira de expressar normas e práticas científicas de matemáticos e

professores universitários

. A segunda, considerada como o conjunto de normas

e práticas estabelecidas por professores e alunos no ensino elementar, lugar em

que as práticas científicas são apropriadas, reelaboradas e reutilizadas.

Vale lembrar que, a Nova História das Ciências vem procurando redefinir o que são práticas científicas. A

redefinição do entendimento dessas práticas cria a possibilidade de perceber os saberes escolares, e em

particular a Matemática Escolar, como uma das formas de apropriação e reelaboração da prática matemática.

A Nova História das Ciências rejeita as noções passivas de difusão e recepção do saber, buscando

evidenciar, dentre outras coisas, o significado de prática teórica, qual seja, o da dimensão de saber-fazer

inerente ao trabalho matemático-teórico, que repousa sobre um conjunto de procedimentos selecionados,

que, é sempre material e culturalmente situado (PESTRE, apud VALENTE, 2003a). Tradicionalmente, a

teoria associa-se à idéia de verdade e a prática à de eficácia, de uso. Em que medida existe efetivamente

alguma coisa que é de um lado a teoria e de outro, que é prática? Na verdade, a prática se alimenta da teoria

e a teoria se alimenta da prática. Encontra-se aí presente uma relação intrínseca entre esses dois conceitos.

Entretanto, a história das práticas culturais “é a mais difícil de se

reconstruir, porque ela não deixa traço: o que é evidente em um dado momento

tem necessidade de ser dito ou escrito?” (JULIA, 2001, p. 11).

Há uma dificuldade, portanto, de se obterem fontes para a escrita da

história. Na medida em que os acontecimentos ocorrem, estes se mostram

evidentes e absolutamente naturais para aqueles sujeitos que os vivenciam,

podendo levá-los a uma omissão quanto à preocupação e cuidado em se

preservar os elementos que possam interessar e servir para a escrita da história.

Todavia, Valente (2003b) chama a atenção para a necessidade de se

realizar um esforço para a busca de traços deixados por cotidianos escolares

passados:

Esses vestígios, por circunstâncias as mais variadas, podem ser

encontrados. Eles compõem um conjunto de produtos da cultura

escolar. Ao lado de toda normatização oficial que regula o

funcionamento das escolas, como leis, decretos etc. há toda uma

série de produções da cultura escolar como livros didáticos,

cadernos de alunos, de professores, diários de classe, provas etc.

São essas as fontes de pesquisa a serem encontradas,

organizadas e inventariadas para fim de estudarmos a trajetória

histórica da matemática escolar. A dificuldade de encontrar tais

produtos da cultura escolar coloca, como se disse, as fontes de

pesquisa como chave para a escrita dessa história. Os cadernos

de alunos de outros tempos, os de professores, as provas, não

estão disponíveis são, em sua época, descartados depois do uso.

Os arquivos das escolas não estão organizados, aliás, seguem

uma legislação que os exclui a cada cinco anos. Os livros

didáticos antigos apresentam dificuldades de serem obtidos pois

tradicionalmente não são pensados como fontes de pesquisa.

Nossos próprios materiais escolares tendem a ser jogados fora

em razão, por exemplo, de espaços cada vez menores nas

moradias.

Dentre os produtos da cultura escolar, destacamos os livros didáticos, os

quais representam uma fonte privilegiada para o estudo da dinâmica das relações

entre cultura acadêmica e cultura escolar, na medida em que, “todo manual está

histórica e geograficamente determinado; é o produto de um grupo social e de

uma determinada época” (CHOPPIN, 2000, p. 16).

Nesta perspectiva, podemos considerar que o manual é feito para um

determinado grupo da sociedade e nele estão impressos de modo implícito ou

explícito, os valores desta mesma sociedade, como por exemplo, os conteúdos

relevantes que o educando deva aprender e as competências que ele deva

desenvolver.

Assim, os manuais escolares, juntamente com outras fontes, foram

considerados relevantes para a realização desta pesquisa. A esse respeito, ainda

nos valemos das palavras de Choppin, que assim se manifesta: “somente a

multiplicidade das perspectivas e de idéias permite, em um âmbito globalizador,

tecer os laços indispensáveis para a compreensão de certos fenômenos e de sua

evolução” (CHOPPIN, 2000, p. 117-118).

Dessa maneira, nosso estudo também leva em conta alguns aspectos

sobre os livros didáticos em voga durante o Movimento, procurando verificar como

os matemáticos participaram da produção desses manuais e, ainda, identificar

táticas e estratégias por eles utilizadas nesse ambiente de produção dessas

obras.

Nesse sentido, adotamos nesta investigação, os conceitos de estratégias e

táticas conforme definidas por De Certeau (2002).

Para esse historiador, a estratégia

... postula um lugar capaz de ser circunscrito como um próprio e

portanto capaz de servir de base a uma gestão de suas relações

com uma exterioridade distinta. A nacionalidade política,

econômica ou científica foi construída segundo esse modelo

estratégico [...] as estratégias escondem sob cálculos objetivos a

sua relação com o poder que os sustenta, guardado pelo lugar

próprio ou pela instituição (DE CERTEAU, 2002, p. 46-47).

Enquanto que a tática diz respeito a

... um cálculo que não pode contar com um próprio, nem portanto

com uma fronteira que distingue o outro como totalidade visível. A

tática só tem por lugar o do outro. Ela aí se insinua,

fragmentariamente, sem apreendê-lo por inteiro, sem poder retê-lo

à distância. Ela não dispõe de base onde capitalizar os seus

proveitos, preparar suas expansões e assegurar uma

independência em face das circunstâncias (DE CERTEAU, 2002,

p. 46).

Desse modo, as estratégias, com um lugar próprio, encontram-se ligadas

ao poder; enquanto que as táticas, sem possuir um lugar próprio, agem

subrepticiamente, aproveitando-se das oportunidades para manipular e subverter

a ordem estabelecida.

Voltando à definição de apropriação como proposto por Roger Chartier,

destacamos o entendimento de Diana Vidal sobre esse conceito, ao afirmar que

Chartier reconheceu,

de certa forma, o legado ‘certeauniano’, perceptível na remissão

aos usos, que se achegam à dimensão tática da proposta de De

Certeau, envolvendo subversões sutis individuais e coletivas, e às

determinações sociais, que se aproximam do conceito de

estratégia, implicando a incorporação dos dispositivos do poder

em circulação na sociedade [grifo da autora] (VIDAL, 2005, p. 59).

Assim, as estratégias constituem-se num espaço em que transitam os

sujeitos, (matemáticos, professores, educadores). Esse espaço pode ser

entendido como lugar institucional (a escola, a faculdade, por exemplo), lugar

físico (a sala de aula, o livro didático, a carteira do aluno), lugar simbólico (posição

do matemático nas instituições, congressos), lugar teórico (a ciência matemática).

Regidos por regras e normas, “esses lugares pretendiam assegurar a estabilidade

das ações individuais, submetendo-as à observação e controle”. Contrariamente,

as táticas constituem-se em tipos de operações que, tendo apenas o tempo como

aliado, movem-se no interior dos espaços ordenados estrategicamente, raramente

deixando vestígios. Como modelo de apropriação, efetuam um consumo criativo

dos bens culturais, por meio de um fazer que subverte os dispositivos de poder

inscritos nos objetos e lugares (VIDAL, 2005, p. 57-58).

Marta M. C. Carvalho e Maria Rita A. Toledo (2002) advertem que a

distinção analítica entre os conceitos de estratégia e tática é apenas definicional,

ou seja, visa apenas destacar a posição dessas práticas relativamente a um lugar

de poder determinado: enquanto a estratégia é prática cujo exercício se dá a

partir de um lugar de poder, as táticas, (dentre elas as práticas de apropriação)

dão-se sempre em um território que não é o seu:

Assim, uma mesma prática pode ser analisada como estratégia e

como apropriação, dependendo de sua posição relativamente a

um lugar de poder determinado. Dar uma aula, por exemplo é

prática que pode ser descrita como estratégia, se o interesse for

analisá-la do ponto de vista dos dispositivos de modelização dos

comportamentos dos alunos nela acionados; a mesma aula pode

também ser descrita como prática de apropriação, se o interesse

for analisá-la do ponto de vista das táticas acionadas pelo

professor para escapar dos constrangimentos impostos, por

exemplo, pelo programa de sua disciplina ou pelas normas

regimentais da escola em que trabalha. Assim, falar em estratégia

e em apropriação não significa propor um modelo de análise da

cultura que estabeleça uma relação bipolarizada entre práticas

definidas pelos dois conceitos.

Estratégias e táticas são conceitos úteis para a compreensão das dinâmicas

de modificações curriculares. A oficialidade das estratégias encontra sempre nas

práticas pedagógicas cotidianas o viés de sua concordância, por intermédio da

leitura que fazem dela: o uso de suas táticas.

1.3. Fontes e a escrita da história

Considerando que durante este estudo utilizamo-nos de documentos

contidos em arquivos privados, dentre eles o Arquivo Pessoal Ubiratan

D’Ambrosio (APUA), Arquivo Pessoal Osvaldo Sangiorgi (APOS), Acervo

Benedito Castrucci e Arquivo Morto da Escola Politécnica de São Paulo, foram

observados alguns cuidados, atentando para os ensinamentos de Prochasson

(1998), para quem o pesquisador, ao descrever a história a que se propõe, deve

equilibrar as conclusões do arquivo pessoal com as fontes administrativas e

estatísticas, e com a história da época, evitando, dessa forma, a segmentação da

história e obtendo uma visão mais geral dos fatos.

O pesquisador deve procurar descobrir os segredos que estão por trás de

cartas e correspondências, cuidando que, nem sempre tais documentos são

reveladores, pois, embora as correspondências pessoais não tenham, a priori, a

intenção de divulgação, existe a possibilidade de que estas tenham sido escritas

com a intenção de que fossem mais tarde divulgadas (PROCHASSON,1998).

Buscamos ainda, fazer uma leitura crítica dos documentos que se fizeram

pertinentes, investigando as razões pelas quais estes documentos foram

produzidos, preservados e de que modo interferiram na sociedade em que se

encontram inseridos. Neste caso, utilizamos o termo documento no sentido

empregado por Le Goff:

O documento não é inócuo. É antes de mais nada o resultado de

uma montagem, consciente ou inconsciente, da história, da

época, da sociedade que o produziu, mas também das épocas

sucessivas durante as quais continuou a viver, talvez esquecido,

durante as quais continuou a ser manipulado, ainda que pelo

silêncio. O documento é coisa que fica, que dura, e o testemunho,

o ensinamento (para evocar a etimologia) que ele traz devem ser

em primeiro lugar analisados desmistificando-lhe o seu significado

aparente. O documento é monumento

. Resulta do esforço das

sociedades históricas para impor ao futuro – voluntária ou

involuntariamente – determinada imagem de si próprias. (LE

GOFF, 1982).

Cabe ao pesquisador analisar as condições de produção dos documentos,

desestruturando-os com o auxílio de uma crítica histórica. Para que o documento

contribua para uma história total, necessário se faz estudá-lo em conjunto com

outros documentos, sem subestimar o ambiente que o produziu, recorrendo a

documentos iconográficos, provas, que forneçam dados que permitam a

descoberta de fenômenos em situação de modo a transferir o documento do

campo de memória para o da ciência histórica (LE GOFF, 1982).

A esse respeito, De Certeau (1982) assinala que ao proceder a uma

redistribuição dos objetos, obtemos novos objetos. Pelo simples fato de recopiar,

transcrever ou fotografar estes objetos muda-se ao mesmo tempo seu lugar e seu

estatuto. Produzem-se novos documentos.

O estabelecimento de fontes é feito por meio da combinação de um lugar

(um recrutamento, meio econômico, político, cultural, uma profissão), de um

aparelho (arquivos, informações, registros) e de técnicas. Um trabalho é científico,

no sentido observado por De Certeau, quando opera uma ação instauradora, por

Para Le Goff, a história é a forma científica da memória coletiva. Os materiais da memória apresentam-se

de duas formas principais: o monumento, aquilo que pode evocar o passado, perpetuar a recordação, por

exemplo, os atos escritos; e os documentos, escolha do historiador, que nos dizeres de Febvre: “tudo o que,

pertencendo ao homem, depende do homem, serve o homem, exprime o homem, demonstra a presença, a

atividade, os gostos e as maneiras de ser do homem.” (LE GOFF, 1982).

meio de técnicas transformadoras. Utiliza, de modo diverso, os recursos

conhecidos, iniciando, a partir do modo de utilização das fontes, a escrita de uma

nova história. Assim, De Certeau considera que,

... a título de novas pertinências, constitui como documentos,

utensílios, composições culinárias, cantos, imagens populares,

uma disposição de terrenos, uma topografia urbana, etc. Não se

trata apenas de fazer falar estes ‘imensos setores adormecidos da

documentação’ e dar voz a um silêncio, ou efetividade a um

possível. Significa transformar alguma coisa, que tinha sua

posição e seu papel em alguma outra coisa que funciona

diferentemente [grifo do autor] (1982, p. 82-83).

Em razão de novas intervenções passam a surgir respostas novas. Ainda

assim, adverte De Certeau, prolifera a idéia antiga de que nos arquivos ou

aparelhos já se concentram todas as possíveis respostas.

A periodização (1950 a 1980) estabelecida para o desenvolvimento deste

estudo, possibilitou contar com fontes orais para esta pesquisa, fossem elas

captadas diretamente por esta pesquisadora ou mesmo por meio de depoimentos

prestados a outros pesquisadores. Assim, professores dessa época puderam

ainda ser entrevistados, permitindo, a partir de suas reminiscências, conhecer o

que essas pessoas vivenciaram e experimentaram durante o MMM, o que

possibilitou a obtenção de novos dados, diferentes ou confirmadores daqueles

revelados por documentos escritos até então disponíveis, evidenciando como as

práticas do ensino de Matemática foram efetivadas nas escolas.

A partir dessas considerações, nosso estudo buscou constatar como se

processam as práticas do fazer matemático em nossa história cultural, através da

reconstrução de trajetórias de matemáticos, os quais tiveram participação no

ensino da matemática, reveladas pela análise de suas produções envolvendo o

ensino da matemática brasileiro. Neste aspecto, esforçamo-nos no sentido de

responder ao seguinte questionamento: que estratégias e táticas estão envolvidas

na dinâmica de relacionamento entre as culturas acadêmica e escolar ao tempo

do MMM?

CAPÍTULO 2

O NASCIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA

Cesse tudo o que a musa antiga canta.

Que outro valor mais alto se alevanta.

Luis Vaz de Camões

Antes mesmo de entrar na essência do Movimento da Matemática Moderna

(MMM), assunto que será tratado em capítulo posterior, consideramos

conveniente apresentar uma síntese do que ficou conhecido por “Matemática

Moderna”, matéria indispensável, a nosso ver, para auxiliar a compreensão da

História da Educação Matemática no Brasil, no período de 1950 a 1980, época

em que ocorreu o início, consolidação e declínio do MMM em nosso país.

As preocupações, em termos estruturais e axiomáticos, com o

desenvolvimento da Matemática serviram de base para implementação do MMM

em todo o mundo, sendo possível identificar seus sinais também no Brasil, em

meados do século XX. Muito embora tenha laços de dependência com os

propósitos norteadores levados a cabo nos países desenvolvidos, o MMM no

Brasil assume uma dinâmica específica, e, para compreendê-la necessário se faz

discorrer sobre a origem e características da Matemática Moderna, para,

posteriormente, buscar analisar como esta foi apropriada pelo campo

educacional.

Nesse sentido, valemo-nos especialmente de um estudo realizado por

Frédéric Patras em sua obra intitulada “La pensée mathématique contemporaine”,

a qual nos remete a reflexões sobre a origem da Matemática Moderna. Nela, o

autor realiza uma análise crítica de suas principais características e o modo como

estas aparecem nos trabalhos de matemáticos dos séculos XVIII e XIX, fazendo

florescer o Movimento da Matemática Moderna no século XX.

Da obra de Patras, interessou-nos especificamente o capítulo III – “As

origens da matemática moderna” e o capítulo V – “A corrente estruturalista”,

tópicos em que o autor analisa a trajetória do Grupo Bourbaki e o importante

papel que este grupo desempenhou no MMM, traçando em seguida, uma análise

crítica do Movimento da Matemática Moderna.

Tomamos o estudo de Patras como equivalente a uma estrutura-mãe,

fazendo uma analogia à organização teórica matemática, de forma que a narrativa

se desenvolva tomando por base seu trabalho como eixo organizador. Há que se

explicitar, ainda, que incorporamos a esse eixo obras de outros autores, não

menos relevantes, cujas críticas forneceram informações complementares sobre o

assunto tratado, com a intenção de que esse capítulo se constitua em um quadro

epistemológico para a análise da Matemática Moderna, principal referência para o

MMM.

2.1. As origens da Matemática Moderna

Não é possível assinalar com precisão o nascimento da Matemática

Moderna, observa Patras, pois o método identificado por moderno pode ser

percebido em trabalhos de matemáticos do século XVII e XVIII, embora essas

idéias ainda estivessem germinando, apresentando-se de forma pontual, a fim de

serem explicitadas, identificadas e organizadas. Somente a partir de 1930, a

teorização do método aflorou em sua totalidade, decorrente dos trabalhos do

Grupo Bourbaki.

Patras inicia o capítulo III, “As origens da matemática moderna”,

caracterizando a Matemática Moderna como aquela dominada, em toda sua

universalidade, pelo método transcendental, o qual, por sua vez, é definido pelo

autor como aquele que permite “ir diretamente às noções mais gerais, obtidas de

uma classe de problemas de estruturas típicas e regulares” (2001, p. 58). A

Álgebra foi o elemento motor para a tomada de consciência da necessidade de se

extrair os conceitos universais que emanam dos problemas matemáticos, com o

maior grau de generalização possível.

É o método transcendental que permite extrair conceitos matemáticos

universais os quais “organizam a percepção e a compreensão que um

matemático tem de sua ciência” (PATRAS, 2001, p. 58). O método transcendental

contribui para o alargamento do campo de investigação matemática, uma vez que

as estruturas universais, conceito que fundamenta esse método, consistem em

identificar padrões análogos ocultos em diferentes objetos, operações e métodos

matemáticos. Estas emanam a partir de situações diversas e sem ligação

aparente, permitindo tratar questões relevantes e de domínios distintos,

independentemente da natureza dos objetos observados.

Com o advento das estruturas amplia-se o leque de significados

associados aos objetos matemáticos:

Assim, números, grandezas e figuras, por exemplo, passam a

dividir as atenções com vetores, matrizes, permutações e

proposições, constituindo sistemas caracterizados por

propriedades, por relações.

Posteriormente, os próprios sistemas multiplicam-se,

transfiguram-se, sem perder suas características básicas, suas

propriedades fundamentais. Ocorre, assim, um deslocamento das

atenções, dos objetos, para as relações (PIRES, 2000, p. 99).

Patras (2001) enfatiza ainda que, hoje em dia, para a cultura matemática é

necessário o controle de um número importante de conceitos estruturantes

embora requeiram uma extensão do conceito de estrutura.

O grupo Bourbaki afirma em “Les fondements de la mathématique pour le mathématicien”, artigo publicado

em 1949, que a matemática inteira pode ser construída a partir do conceito de estrutura. Exemplificando,

pode-se descrever as propriedades das relações soma e produto para os números reais, os quais estão

inseridas em um estudo geral das estruturas algébricas; pode-se ainda, descrever as propriedades de ordem

dos números reais, como por exemplo, entre dois números reais sempre existe um terceiro; pode-se ainda

descrever as propriedades não dos números reais individuais, mas de sua vizinhança, propriedades essas

que se inserem no estudo geral das estruturas topológicas (ODIFREDDI, 2004, p. 24).

Para dar início à sua narrativa, Patras elege o matemático Leibniz, dentre o

extenso rol de matemáticos cujos trabalhos possuem, ainda que pouco explícitos,

características do método transcendental. As obras matemáticas de Leibniz estão

repletas de conceitos originais, os quais trazem toda a universalidade e abstração

desejada, assevera Patras. Leibniz teve a genialidade de compreender o método

transcendental, indo diretamente às noções mais gerais, obtidas de estruturas

típicas e regulares. A esse respeito, Edwards Jr. em sua obra “The historical

development of the Calculus”, comenta que “Leibniz tinha como objetivo constante

a formulação geral dos métodos e algoritmos que poderiam servir para unificar o

tratamento de diversos problemas. Enfatizava as técnicas em geral, que

pudessem ser aplicadas a problemas específicos” (1982, p. 265).

No entanto, Patras (2001) não se aprofunda no estudo da obra de Leibniz,

por avaliar suas idéias como muito avançadas em relação ao nível técnico e

conceitual de sua época, para que pudessem fazer escola.

Assim, Patras debruça-se sobre o trabalho de Carl Friedrich Gauss (1777-

1855), por reconhecer nele o embrião da Matemática Moderna. Apesar disso,

esclarece, é um exemplo longe de ser isolado. Toma esse exemplo por constatar

que há em sua obra “a marca do método estrutural-transcendental”, sendo que

suas idéias sobre o trabalho matemático são próximas daquelas que viria a

defender o grupo Bourbaki.

Os trabalhos de Gauss testemunham sua capacidade de estabelecer

paralelos e ligações entre fenômenos aparentemente distintos. Patras exemplifica

essa aptidão de Gauss de analisar o mesmo problema sob diferentes ângulos e

recorrer, para uma mesma demonstração, a uma variedade de ordens de intuição

(geométrica, analítica, topológica, etc...), em suas provas do Teorema

Fundamental da Álgebra, ocasião em que Gauss apresenta quatro

demonstrações “substancialmente diferentes em sua natureza”

(PATRAS, 2001,

p. 59).

Teorema Fundamental da Álgebra: “toda equação algébrica de grau n possui pelo menos uma raiz no

corpo dos complexos”. A tese de doutorado de Gauss versou sobre esse teorema, tendo como título

“Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in

factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse”. Em 1815 apresentou nova demonstração dele e ainda

em 1816 e 1849 mais duas demonstrações (SILVA, 2005).

Gauss realizou grande parte do trabalho sobre Teoria dos Números

Complexos. Em carta escrita para um de seus discípulos, Friedrich Bessel (1784-

1846), em 1811, Gauss reivindicou aos números complexos o mesmo direito de

existência que os números reais:

Antes de tudo, a quem deseje introduzir uma nova função em

análise, rogaria uma explicação sobre se lhe interessa sua

aplicação somente a magnitudes reais (valores reais dos

argumentos da função) e contempla os valores imaginários do

argumento só como um estorvo ou se adota o meu princípio

básico de que no domínio das magnitudes, os imaginários

bia1ba   hão de ser considerados com os mesmos

direitos que os reais. Não se trata de uma questão de utilidade

prática, senão de que a análise é uma ciência independente que

perderia extraordinariamente em beleza e redondeza se deixasse

de lado as quantidades fictícias, além de que seria necessário, a

cada instante, estabelecer limitações sumamente modestas a

verdades que em outro caso são geralmente válidas (GAUSS,

1900, p. 11, apud SILVA, 2005).

Gauss foi um dos primeiros matemáticos a representar os números

complexos como pontos de um plano, não hesitando em identificar os objetos

matemáticos totalmente distintos de um ponto de vista intuitivo. Esse caso,

observa Patras, exemplifica quando o matemático faz a abstração da natureza

dos objetos e do significado das relações que eles mantêm, enfatizando a forma

de certas relações, sua estrutura, lembrando que a forma das relações entre

objetos é ela própria um objeto de ordem superior.

Um outro traço característico de Gauss era sua preocupação com o rigor

demonstrativo. A preocupação com o rigor vai percorrer todo o século XIX,

conhecendo uma evolução impressionante no decorrer do século XX. Gauss

antecipou notadamente os esforços de Cauchy e de Abel nesse aspecto, ao

desconfiar dos recursos da intuição que não estão apoiados em regras precisas.

No entanto, corre-se o risco de atribuir a Gauss resultados que ele não

conservou em toda sua generalidade:

Há nele, a essência da teoria. Mas, como avaliar o que está

errado: uma linguagem convenientemente desenvolvida para

perceber a natureza exata dos objetos considerados? Sob a

perspectiva transcendental, a identificação precisa dos conceitos

tem um papel decisivo, pois ela delimita o terreno sob o qual

diversas teorias poderão ser unificadas. Ela sozinha permite

ressaltar, à partir de elementos específicos os problemas

considerados sobre uma situação matemática dada, o universal

suscetível de ser utilizado em outras situações (PATRAS, 2001,

p. 61).

Atendo-se ao processo de nascimento da Álgebra Moderna, Patras (2001)

detém-se em Évariste Galois (1811-1832), indicando-o como o representante

exemplar da entrada da Matemática na era moderna, devido à sua grande

contribuição, sua situação histórica e também por seu papel de iniciador das

renovações dos métodos algébricos do século XIX.

Sua obra traz, pela primeira vez, de modo explícito, as propriedades mais

importantes da Teoria dos Grupos. No final do século XVIII, pensava-se que para

resolver a equação algébrica de grau n fosse necessário apenas a operação de

extrair suas raízes. Galois determinou com toda generalidade as condições para

que uma equação algébrica seja solúvel por radicais

. Para estabelecer sua

teoria, introduziu o conceito de grupo das permutações das soluções, onde, para

permutar elementos de um conjunto basta simplesmente combinar um modo de

lhes dispor. Por exemplo, com três elementos distintos a,b,c é possível efetuar 6

permutações (PEREIRA DA SILVA, 1984). Na teoria de Galois estuda-se o que

acontece a certas expressões formadas a partir das raízes da equação quando as

raízes são permutadas. Galois encontrou, na teoria das permutações, a solução

para o problema da resolução de equações. Dessa forma, deduziu todo um

conjunto de propriedades que definem a percepção do conceito de grupo

, cuja

estrutura é a que fundamenta a Álgebra, revelando assim, generalidade e

fecundidade extraordinárias.

Da efêmera vida de Galois, há que se destacar, que antes mesmo de

ingressar para o ensino superior, o mesmo já apresentava produção matemática,

A raiz da equação é qualquer número que a satisfaça e, conforme foi demonstrado por Gauss, o número

de raízes de uma equação algébrica é igual ao grau da equação (PEREIRA DA SILVA, 1984).

Seja G um conjunto munido de uma operação *. Diz-se que a operação * define uma estrutura de grupo

sobre o conjunto G ou que o conjunto G é um grupo em relação à operação * se, e somente se, são válidos

os seguintes axiomas:

G1: quaisquer que sejam x, y, e z em G, tem-se (x*y) * z = x * (y * z) (propriedade associativa da operação *);

G2: existe em G um elemento e tal que e*x = x = x * e (G2 nos garante a existência do elemento neutro);

G3: para todo x em G existe um elemento x’ em G tal que x’ * x = e = x * x’ (G3 estabelece a existência do

simétrico de cada elemento de G) (MONTEIRO, 1973, p. 154).

inclusive com publicação de artigo nos “Annales de Mathématiques Pures et

Appliquées”. Longe de se tratar de um acontecimento isolado, esse episódio

ilustra a existência de produção matemática à margem daquela produzida no

ensino superior, no caso, concretizada por um aluno do Liceu Louis-le-Grand,

candidato à École Polytéchnique. Vê-se dessa forma, como defende Belhoste, “as

práticas de ensino agir sobre e interferir nas práticas de pesquisa” (1998, p. 298).

Para Patras, depois da divulgação das idéias de Galois, a Álgebra tomou

um impulso formidável. Em suas obras já se encontra implícito o conceito de

corpo, que viria a ser definido por Dedekind (1831-1916). Embora a noção de

grupo comutativo

estivesse implícita em certos trabalhos de Gauss, Lagrange

ou Abel, Galois foi o primeiro a entrever o alcance do conceito de grupo, abrindo

perspectivas e um novo horizonte de aplicabilidade, concebendo uma

organização dos conceitos algébricos gerais, obtido por abstração a partir de

situações familiares.

Depois de Galois, os matemáticos Grassmann (1809-1877), Cayley (1821-

1895) e Hamilton (1805-1865), destacaram-se por suas contribuições para o

desenvolvimento da Álgebra, posto que, dentre outros, estes matemáticos foram

fundadores da Álgebra Linear e Multilinear Moderna. Entretanto, Patras não se

deteve nesses matemáticos e em suas contribuições, voltando seu olhar para a

obra de Dedekind, justificando que a produção deste matemático marcou o início

da escola algébrica alemã, cujo estudo, sob o ponto de vista Patras, revestiu-se

de maior importância.

Contudo, em que pese o posicionamento de Patras, esta pesquisa, dedicou

espaço para algumas considerações sobre a gênese dessas novas álgebras.

2.2. As novas álgebras

No século XIX, a Álgebra voltou-se para o que se considera hoje em dia a

essência de seu objeto de estudo, as estruturas algébricas por si mesmas. Nesse

Se (G,*) é um grupo e se a operação * satisfaz o axioma (lei ou propriedade comutativa) G4: quaisquer que

sejam x e y em G, tem-se x * y = y * x, diremos que G é um grupo comutativo ou abeliano (MONTEIRO,

1973, p. 154).

período, romperam-se os padrões clássicos da Álgebra, dedicados à teoria das

equações, em especial a resolução de equações de terceiro e quatro graus, numa

situação relativamente concreta, por meio do emprego de letras para designar as

incógnitas, subentendendo-se que estas letras representavam números (naturais,

inteiros, racionais, etc). A partir de então, a Álgebra direcionou-se para critérios

cada vez mais abstratos, enfatizando o estudo das operações algébricas,

independentemente da natureza dos objetos aos quais elas se aplicam. A

aplicação desses critérios possibilitou a criação de novos entes, ampliando em

grau considerável o campo da álgebra.

Os vetores destacam-se dentre os entes que contribuíram para a criação

de novas álgebras. Embora fossem utilizados, nos fins do século XVII, na

composição de forças e de velocidades pelos tratadistas da mecânica, somente

começou a chamar a atenção dos matemáticos a partir dos trabalhos de Gauss, o

qual utiliza implicitamente a soma vetorial em sua representação geométrica dos

números complexos no plano (BABINI, 1967).

Novos tipos de Álgebra foram estudados por matemáticos como George

Peacock, Augustus De Morgan, George Boole, Arthur Cayley, William Rowan

Hamilton, dentre outros (BOYER, 1996).

George Peacock, tentando esclarecer os fundamentos da Álgebra, publicou

em 1830, a obra intitulada “Treatise on Álgebra”, em que buscou dar à Álgebra

uma estrutura lógica comparável aquela dada à geometria nos “Elementos” de

Euclides. Esta obra marcou o início do pensamento axiomático em Álgebra.

Peacock foi um dos primeiros matemáticos a perceber que um cálculo formal

poderia ser realizado sem considerar a natureza dos entes com os quais se

trabalha, sendo suficiente preocupar-se com as operações entre estes, conforme

regras prefixadas (MILIES, 1987).

O matemático inglês Augustus De Morgan, juntamente com Peacock,

auxiliaram na formação de uma escola inglesa de matemática, auxiliando na

formação da “British Association for the Advancement Science”, em 1831. De

Morgan contribuiu para o desenvolvimento da Álgebra abstrata, embora ainda

utilizasse axiomas abstraídos da Aritmética. Foi o matemático Hamilton que

procedeu ao desenvolvimento da Álgebra, independente da experiência

Aritmética.

Hamilton foi um matemático irlandês que se ocupou dos vetores, utilizando

o termo “vetor” com um sentido algébrico moderno, ou seja, como a diferença

entre dois pontos no espaço. Hamilton também criou um sistema de números

complexos de quatro unidades o qual denominou por “quaternions”. De modo

geral, Hamilton tratou os quatérnions como vetores e basicamente mostrou que

formam um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais. Definiu a adição de

quatérnions e introduziu a noção de dois tipos de produtos, obtidos multiplicando

um vetor por um escalar ou por outro vetor respectivamente; observando que o

primeiro é associativo, distributivo e comutativo, ao passo que o segundo é

apenas associativo e distributivo. Trata-se do primeiro e único exemplo de corpo

não comutativo no campo dos números reais. Sua principal obra, “Lectures on

quaternions” foi publicada em 1853, dez anos após sua descoberta (BABINI,

1967). Conforme observou Boyer, mais do que o desenvolvimento de um novo

tipo de álgebra, a descoberta revelou a “tremenda liberdade que tem a

matemática de construir álgebras que não precisam satisfazer às restrições

impostas pelas ditas ‘leis fundamentais’”, que até então tinham sido invocadas

sem exceção [grifo do autor] (1996, p. 405).

Depois de Hamilton, outro matemático inglês, Artur Cayley, contribuiu para

o progresso da álgebra no século XIX. Cayley desenvolveu, em 1858, o estudo da

álgebra das matrizes e lhes deu esse nome.

Em meados do século XIX, a álgebra invade o campo da lógica. George

Boole interessou-se pela matemática e lógica. Em 1854, publicou “Investigations

on the laws of Thought”, a qual estabelecia ao mesmo tempo a lógica formal e

uma nova álgebra. A álgebra de Boole é hoje a álgebra dos conjuntos e encontra

aplicações em diversos campos: probabilidades, teoria da informação, análise,

problemas de seguros, etc. (MILIES, 1987).

Após 1870, pode-se assinalar um novo progresso perante a estrutura geral

das álgebras com a obra do matemático americano Benjamin Pierce (1809-1880),

sobre as álgebras lineares associativas. Estabeleceram-se ali os conceitos de

elementos nilpotentes e idempotentes, cujo estudo teve início em 1864 e foi

publicado após a morte do autor, em 1881.

Um ano após a descoberta dos quatérnions por Hamilton, em 1844, o

matemático polonês Hermann Günther Grasssmann, publicou a obra denominada

“Teoria da extensão” (Ausdehnungslehre), cujo título referia-se a “uma nova

disciplina matemática exposta e aclarada mediante aplicações”. A maneira

inusitada e excessivamente “filosófica” de apresentação da obra fez com que esta

passasse despercebida pelos matemáticos da época. Somente mais tarde,

quando o autor já havia falecido, reconheceu-se a ampla generalidade e

abstração deste cálculo algébrico-geométrico em um espaço de n dimensões,

com importantes aplicações, onde aparecem conceitos básicos de cálculo vetorial

(BABINI, 1967, p. 35). Seus trabalhos, precursores do primeiro sistema

axiomático completo dos Espaços Vetoriais, guiaram os matemáticos a várias

noções hoje utilizadas na Álgebra Linear (MILIES, 1987, p.18).

As novas álgebras, cujo desenvolvimento se iniciou no século XIX,

mantiveram durante esse século um traço comum com as geometrias não-

euclidianas, posto que nelas se nota a contribuição para a eliminação de

conceitos intuitivos e hábitos mentais ainda arraigados nas idéias matemáticas.

Enquanto que a álgebra liberou-se de sua dependência da aritmética, as

geometrias não-euclidianas fizeram com que os matemáticos percebessem que

as propriedades geométricas não dependiam da intuição espacial ou física dos

entes matemáticos em si.

2.3. A escola algébrica alemã

Dando continuidade à narrativa da trajetória da Matemática Moderna,

Patras considera que, depois de Galois, Grassmann, Cayley e Hamilton

, o

grande nome da Álgebra no século XIX foi cronologicamente, Richard

Dedekind.Sua obra marca o início da escola algébrica na Alemanha. O

Hermann Grassmann (1809-1877), Arthur Cayley (1821-1895), William Rowan Hamilton (1805-1865).

Fundadores, entre outros, da Álgebra Linear e Multilinear moderna. Apesar de genial, a obra de Grassmann

não teve repercussão na comunidade matemática de sua época. Os trabalhos de Cayley e Hamilton vão no

sentido de um desenvolvimento simbólico da álgebra (PATRAS, 2001, p. 67).

pensamento de Dedekind e sua aproximação bastante algébrica dos problemas

aritméticos foram decisivos na constituição da Matemática Moderna.

Dedekind buscou identificar os conceitos ou estruturas que são

subjacentes ao problema dado (seu núcleo algébrico), estruturas que emanam

pouco a pouco e tomam corpo no trabalho de acompanhamento dos objetos

considerados, utilizando um processo semelhante ao de Galois. Seu método é

implícito, colocado em prática sem ser verdadeiramente teorizado.

Sua mais famosa contribuição diz respeito à construção dos números reais

tendo por base a definição de “corte”

, procedimento que define um número

irracional, determinado por meio da separação do conjunto dos racionais em dois

subconjuntos, os maiores e os menores que o irracional considerado.

Uma das características que percorre a obra de Dedekind é permitir efetuar

cálculos não mais sobre elementos de um conjunto, mas sobre os próprios

conjuntos (pesquisa de conceitos estruturantes); seu trabalho aparece como

premissa da moderna Teoria dos Conjuntos.

O mais original dos conceitos introduzidos por Dedekind é a noção de

ideal

, aduz Patras. Uma de suas características é permitir efetuar cálculos não

mais sobre elementos de um conjunto, mas sobre os conjuntos por ele mesmos.

Os cálculos tradicionais com números são substituídos vantajosamente por

cálculos sobre coleções de objetos.

A contribuição de Dedekind ao nascimento da Matemática Moderna

repousa essencialmente em seus resultados em teoria algébrica dos números. No

entanto, os conceitos introduzidos no trabalho de Dedekind não se organizam

Dadas duas classes A e B, A U B = Q e A ŀ B = ĭ Qualquer que seja x ȯ A, y ȯ B, x < y. Um número real

é um corte: Se A possuir um máximo ou B um mínimo, o corte é um número racional; se não possui nem um

nem outro, é irracional (COURANT; ROBBINS, 2000, p. 85).

O programa de Álgebra elaborado pela OECE traz a seguinte definição de anéis: “Seja M um conjunto

(contendo pelo menos dois elementos) munido de duas leis de composição, chamadas adição e

multiplicação, totalmente definidas sobre M. Diz-se que M é um anel se (i) M é um grupo comutativo em

relação à adição. (ii) A multiplicação é associativa. (iii) Adição e multiplicação são ligadas entre si pelas leis

de distribuidades: a.(b+c) = a.b + a.c, (b+c).a = b.a + c.a. Dizemos que M é um anel comutativo, se M é um

anel e se a multiplicação é comutativa” (GEEM, 1965, p.120). O conceito de ideal é definido por Monteiro

(1974, p.392) da seguinte forma: “Diz-se que um subconjunto M, de um anel comutativo A (com elemento

unidade, i.é., existe um elemento 1 em A tal que a.1 = a = 1.a), é um ideal de A se, e somente se, são válidas

as seguintes condições: I1: M  Ø; I2: quaisquer que sejam a e b em A, se a ȯ M e se b ȯ M, então a-b ȯ M”;

I3: qualquer que seja a em A, se b ȯ M, então a .c ȯ M”.

como um conjunto de estruturas algébricas. A idéia de uma hierarquia de

conceitos organizados da Álgebra ainda fica em falta em sua obra.

Em Dedekind aparecem as premissas da moderna Teoria dos Conjuntos,

mas é com Gottlob Frege (1848-1925), que tudo se torna decisivo. Lógico e

matemático alemão, Frege propôs derivar os conceitos da Aritmética dos da

lógica formal. Observou que a Teoria dos Conjuntos parecia servir como

fundamento para a Matemática, porquanto a Aritmética podia ser reduzida à

lógica da Teoria dos Conjuntos.

A idéia de uma hierarquia de conceitos organizados da Álgebra só será

explicitada e aprimorada a partir de 1920, com Emmy Noether e Van der

Waerden.

Emmy Noether contribuiu para a expansão e desenvolvimento de pontos

de vista muito abstratos sobre Álgebra, como a teoria abstrata dos anéis,

influenciada pelos trabalhos de Dedekind. “Tudo está em Dedekind”, afirmava

Noether (PATRAS, 2001, p. 111). Noether deu ao método axiomático

tratamento diferenciado, convencida de seu papel esclarecedor.

A Idéia revolucionária de trabalhar a Álgebra de modo estrutural se

completou com a obra “Moderne Algebra” de Van der Waerden, em 1930. O

Grupo Bourbaki reconheceu neste trabalho o porta-voz do movimento

estruturalista. Na França, e por muitos matemáticos do mundo, a idéia de

estrutura está ligada ao nome de Bourbaki.

2.4. A “crise dos fundamentos”

Até o século XIX a geometria euclidiana representou o modelo a ser

seguido pelo pensamento científico. Tendo como característica tratar os teoremas

geométricos por meio de um tratamento axiomático, ou seja, sistemático,

O método axiomático caracteriza-se por uma série de afirmativas chamadas axiomas, aceitos como

verdadeiros e para os quais não se exige prova. A partir destes, são deduzidos teoremas, por meio de

raciocínio puramente lógico. Se os fatos de um campo científico são colocados em uma determinada ordem

lógica, tal que se possa mostrar que todos decorrem de um certo número de enunciados escolhidos, então se

diz que o campo é apresentado de forma axiomática. O método axiomático é de grande importância, pois

conduz à economia do pensamento. No seu estudo, pode-se tratar das diversas teorias que se enquadram

nesta axiomática, sistematizando-as. É aplicado praticamente em toda a Matemática, sendo uma técnica

básica para esta ciência. (COURANT; ROBBINS, 2000).

utilizando-se do método dedutivo, a obra “Elementos” de autoria do grego

Euclides da Alexandria (300 a.C) era a base que fundamentava a matemática.

Euclides escolheu um pequeno número de proposições, ditas primitivas, eram

auto-evidentes, não passíveis de demonstração. A essas premissas denominou-

as “postulados” e "axiomas”. Assim, a matemática encontrava-se fundamentada

na Geometria Euclidiana, considerada por filósofos e matemáticos o mais firme e

confiável dos conhecimentos (DUARTE, 2002).

Seguiu incólume a geometria grega por mais de vinte séculos, até o

advento das geometrias não-euclidianas

. Depois desse acontecimento, a

geometria perdeu seu status, a matemática ficou sem uma base norteadora,

promovendo um colapso em sua estrutura, denominado "crise dos fundamentos".

Parecia, aos matemáticos conservadores, que os postulados e teoremas

explicitados por Euclides eram todos verdadeiros e conseqüentemente, as

geometrias não-euclidianas deveriam ser logicamente inconsistentes. De todos os

postulados propostos por Euclides, o 5º é diferenciado, por ser mais complexo

que os enunciados dos outros postulados, não tendo um caráter de verdade

evidente

O desenvolvimento histórico das Geometrias não-Euclidianas surgiu das

tentativas de “eliminar” o 5º postulado de Euclides. Gauss foi o primeiro

matemático a compreender a irredutibilidade do postulado das paralelas e a

possibilidade das geometrias não-euclidianas. Primeiramente, procurou-se

mostrar que o 5º postulado não era independente dos demais. Os matemáticos

desejavam torná-lo um teorema, deduzindo-o a partir dos quatro primeiros

postulados. Essa idéia mostrou-se impraticável, razão pela qual, tentaram

substituí-lo por outro mais simples e mais evidente, de modo que o antigo

Muitos outros matemáticos contribuíram para a descoberta de outras geometrias, sendo destacadas as

Geometrias de Gauss, Lobachewsky, Bolyai e Riemann O matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachewsky

(1793-1856), e o matemático húngaro Janos Bolyai (1802-1860), de forma independente, publicaram versões

do mesmo tipo de Geometria, a Hiperbólica, por exemplo, na qual é possível fazer passar mais de uma

paralela a uma reta dada por um ponto que esteja fora da reta. Já na Geometria do alemão Bernhard

Riemann (1826-1866), (Geometria Eliptica), é negada a possibilidade de alongar, arbitrariamente, um dado

segmento, de forma que cada segmento admite um comprimento máximo; por dois pontos pode-se sempre

passar mais de uma reta. (BARKER, 1976, p. 51-52).

O 5º postulado pode ser assim enunciado: “Se duas retas, em um mesmo plano, são cortadas por uma

outra reta, e se a soma dos ângulos internos de um lado é menor do que dois retos, então as retas se

encontrarão, se prolongadas suficientemente do lado em que a soma dos ângulos é menor do que dois

ângulos retos” (DAVIS; REUBEN, 1985, p. 251).

postulado se tornasse um teorema. Gauss observou a não demonstrabilidade do

5º postulado e a possibilidade da construção de geometrias não-euclidianas.

No entanto, não se conseguira descobrir nas novas geometrias, um par de

teoremas que se contradissessem um ao outro em virtude apenas da forma

lógica. Ou seja, não se conseguira provar que as geometrias não-euclidianas

violavam os requisitos de consistência lógica formal

, embora também não se

mostrassem positivamente consistentes

Entretanto, no século XIX, os padrões de rigor matemático foram se

tornando cada vez mais acentuados, percebendo, na obra “Elementos”, de autoria

de Euclides, inúmeras deficiências de caráter lógico, acarretando a perda da

certeza na geometria euclidiana (BARKER, 1976, p. 54).

Os matemáticos da época passaram então a se preocupar em encontrar

um sistema axiomático capaz de gerar toda a Matemática. Assim, consideraram a

possibilidade da Aritmética servir de fundamentação teórica para sua ciência,

reduzindo a Análise e a Geometria à Aritmética. Neste procedimento, denominado

de aritmetização, busca-se reduzir os conceitos fundamentais de um ramo da

Matemática, com base no conjunto dos números naturais.

2.5. A aritmetização da análise

Dado que a Geometria podia ser reduzida à Análise (Geometria Analítica),

a Aritmética se configuraria como base natural para fundamentar a Matemática.

Os axiomas de Peano, por exprimirem as propriedades essenciais dos números

naturais, foram utilizados por Weierstrass, Dedekind e Cantor

, para a

aritmetização da Análise e da Geometria.

Um sistema é consistente quando este não encerra nenhum tipo de contradição, isto é, que não se possa

provar uma proposição e ao mesmo tempo sua negação. Um sistema tem consistência relativa quando ele é

consistente a partir de outro sistema, menos suspeito, que também o seja.

Sob o ponto de vista da Matemática do século XX, os dois tipos de Geometria são, por vezes, aplicáveis ao

mundo físico, sendo ambas relativamente consistentes. Somente no século XX levantou-se o problema de

saber se a própria Geometria Euclidiana era ou não consistente. Esta pergunta foi feita e respondida pelo

matemático David Hilbert: a Geometria não-Euclidiana é consistente se a Geometria Euclidiana for

consistente (DAVIS; HEUBEN, 1985, p. 263-264).

Os alemães Karl T.W. Weierstrass, Richard Dedekind, Georg Cantor, preocupavam-se com a falta de

definição rigorosa da expressão “número real”, fazendo esforços bem sucedidos para fundamentar o cálculo

fora da geometria. Em todos os três métodos criados, usaram algum conjunto infinito de números racionais

para definir um número real (ÁVILA, 1999, p. 43-45).

Weierstrass promoveu a efetiva aritmetização da Análise apresentando

uma fundamentação para os números reais sem recorrer a procedimentos que se

valiam da intuição geométrica, como vinha ocorrendo até então. Dedekind

apresentou uma fundamentação para os números reais por meio dos “Cortes de

Dedekind” no conjunto dos números racionais. Já Cantor, definiu os números

reais como classes de equivalência de seqüências de Cauchy de números

racionais. O processo da aritmetização foi utilizado para a realização desses três

processos, acabando por reduzir o conceito essencial de número real, passo a

passo, àquele de número natural. Além disso, foi também necessário introduzir

conjuntos infinitos nos fundamentos da Matemática (MENEGHETTI, 2001, p. 84).

A preocupação de Cantor com o desenvolvimento de uma teoria sobre os

números reais trouxe à baila a questão do infinito em matemática de modo que o

levou a construir uma teoria dos conjuntos. A idéia de infinito, como uma coleção

infinita de objetos sempre causou dificuldades, tanto a matemáticos como a

filósofos, sendo até então reprimida, como mostra a frase pronunciada por Gauss:

“Protesto contra o uso, jamais permitido em matemática, de magnitudes infinitas

como algo completo. O infinito não é senão uma maneira de dizer...”. As palavras

de Gauss assumem o significado de que, quando consideramos qualquer

conjunto finito de números naturais, sempre existe algum número fora desse

conjunto. O infinito expressa, então, a potencialidade dos números, sem,

entretanto, precisar o conceito atual, completo e acabado de infinito. A teoria de

Cantor, no entanto, legislou, hierarquizou e classificou este infinito atual (BABINI,

1967, p. 56). Cantor mostrou que a aritmética do infinito é diferente daquela do

finito e que não é possível aplicar as mesmas leis para ambas.

As descobertas de Cantor causaram grande impacto entre os matemáticos,

cuja preocupação, no século XIX, voltava-se para a questão do rigor na análise e

na geometria. Fundamentar os ramos da matemática era assunto corrente

naquela época.

Uma vez que ocorrera a aritmetização da Análise, Frege observou que a

Teoria dos Conjuntos desenvolvida por George Cantor, parecia servir de modo

adequado como fundamento para a Matemática, porquanto a Aritmética podia ser

reduzida à lógica da Teoria dos Conjuntos – Frege mostrou que os números

naturais podiam ser construídos a partir do conjunto vazio – usando-se as

operações da Teoria dos Conjuntos (DAVIS; REUBEN, 1985, p. 373). O

matemático Bertrand Russell foi mais além, pretendendo fundamentar toda a

Matemática por meio da lógica da Teoria dos Conjuntos. Para tanto, fazia-se

necessário uma formulação clara do que seriam as leis da Lógica e definir uma

série de termos-chave da Teoria dos Números de forma a possibilitar que a

Aritmética se tornasse dedutível das leis da Lógica. Necessitava-se, portanto, de

um sistema lógico muito mais potente do que a Lógica tradicional.

Não obstante, foi o próprio Russell quem descobriu que as noções da

Teoria dos Conjuntos podiam conduzir a contradições – chamadas antinomias ou

paradoxos

. A descoberta desses paradoxos determinou o que veio a se chamar

“crise dos fundamentos”, pois esta descoberta evidenciou que mesmo os

princípios básicos da Teoria dos Conjuntos podiam esconder contradições.

2.6. As principais correntes filosóficas

Assim, os matemáticos passaram a preocupar-se em encontrar uma base

sólida que viesse a fundamentar sua ciência, buscando uma teoria axiomática

isenta de inconsistências. Voltaram-se para a Aritmética, considerando o conjunto

dos números naturais como um sistema capaz de gerar toda a Matemática. Neste

contexto, a discussão sobre a existência e significação do conceito de número

tiveram papel preponderante, acabando por determinar o aparecimento das três

principais correntes da filosofia da Matemática:

- o logicismo ou platonismo, que considera os objetos matemáticos reais.

Os números existem, mas sua existência é totalmente independente de

nosso conhecimento sobre eles. Considera a lógica como geradora da

matemática;

O mais famoso exemplo de antinomia foi inventado pelo próprio Russell. Costa (1977, p. 10) exemplifica:

“Consideremos o conjunto A formado por todos os conjuntos que não pertencem a si mesmo. Pelo princípio

do terceiro excluído, A pertence ou não pertence a A. Suponhamos que A pertence a A; então, como A é o

conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos, A não pode pertencer a A. Admitamos

então, que A não pertença a A; logo, de acordo com a definição de A, este conjunto deve pertencer a si

mesmo. Há, por conseguinte, contradição”.

- o formalismo, que considerava os objetos matemáticos isentos de

qualquer significado, não importando, dessa forma, se os números

existem ou não. Tem como finalidade a eliminação dos poderes da

intuição na fundamentação e elaboração de uma teoria. Sustenta que a

matemática é o estudo dos sistemas simbólicos formais. Seus termos

são meros símbolos, e as afirmações são apenas fórmulas envolvendo

símbolos. Deseja-se, dessa forma, garantir a consistência do sistema

envolvido;

- intuicionismo ou construtivismo, que considerava reais somente os

objetos matemáticos que podem ser construídos. Assim, os números

existem como criações humanas, são construídos pela mente. Defende

que a base da matemática é a intuição, que permite conceber um objeto

após o outro, obtendo-se seqüências infindáveis, a mais conhecida das

quais é a dos números naturais (DUARTE, 2002).

Os diversos problemas apontados na axiomática de Euclides chamavam a

atenção de matemáticos como David Hilbert (1862-1943), Alfred Tarski (1901 -

1983), George David Birkhoff (1884-1944), Moritz Pasch (1843-1930) os quais

apresentaram trabalhos direcionados à compreensão e esclarecimento pleno dos

fundamentos da Geometria Euclidiana.

No início do século XX, o matemático David Hilbert, principal representante

do formalismo, cuja obra “Grundlagen der Geometrie” de 1899, é a mais

conhecida das formulações da Geometria, exercendo maior influência que

qualquer outra sobre o ensino dessa matéria em todos os níveis. O tratamento

dado por Hilbert à Geometria, segundo Howard Fehr, cortou “os últimos laços que

ligavam a Geometria à intuição e foi confirmado o fato de que, no que concerne

aos matemáticos, o formalismo havia obtido uma notável vitória” (1961, p. 6).

Por meio de Hilbert, a Teoria dos Conjuntos recebeu consagração oficial no

1º Congresso Internacional de Matemática, realizado em 1897, em Zurique,

contribuindo decisivamente para a difusão das idéias de Cantor.

Em 1900, David Hilbert anunciou, no II Congresso Internacional de

Matemática, realizado em Paris

, uma lista de problemas abertos, que serviu

como um dos principais guias para os matemáticos em suas produções científicas

ao longo do século XX. Seu discurso pode ser considerado um manifesto

metodológico da matemática do século XX. Suas idéias foram largamente

difundidas à comunidade matemática.

O discurso proferido por Hilbert deu destaque ao papel dos problemas no

futuro da ciência matemática. São os problemas que animam e dão sentido ao

trabalho dos pesquisadores. Nesse sentido, Hilbert constatou que algumas

questões prosperam, dando origem a novos campos de investigação: “É pela

solução de problemas que aumentam as forças do pesquisador; ele descobre

novos métodos e novas perspectivas e ganha horizontes mais largos e mais

livres” (HILBERT, apud PATRAS, 2001, p. 102).

Nas considerações de Hilbert, a noção de horizonte também teve seu

papel destacado como essencial para o trabalho matemático. Mais do que

encontrar a solução de um problema, o que apaixona o matemático são as

perspectivas, que nelas entrevê uma rede de significados a elucidar e não raro,

direcionam sua pesquisa.

No que concerne ao papel do rigor axiomático, Hilbert contentou-se, em

seu discurso de 1900, em insistir sobre sua universalidade e sua função

esclarecedora. Na sua lista de problemas, o segundo problema preocupa-se com

a questão da consistência axiomática

, enquanto que o sexto problema, com a

possibilidade de fundamentar as teorias da física em termos axiomáticos.

O discurso de Hilbert completa-se pelo testemunho de sua convicção

profunda quanto à unidade da Matemática, altamente discutível, segundo Patras

(2001), ao menos no que se refere à possibilidade de sua realização.

A partir de 1900, este congresso passou a ser realizado de quatro em quatro anos, com interrupções nesta

regularidade apenas durante as duas guerras mundiais.

A consistência axiomática é obtida quando se pode provar que um número determinado de passos lógicos,

derivados de um conjunto de axiomas, não encerra nenhum tipo de contradição.

CAPÍTULO 3

MATEMÁTICOS E AS PROPOSTAS DE INTERNACIONALIZAÇÃO

DO ENSINO DE MATEMÁTICA

3.1. O primeiro movimento internacional de reforma do ensino da

matemática

No final do século XIX, surgiram em diversos países europeus, inúmeras

revistas especializadas em matemática, tendo como objetivo publicar os avanços

obtidos nesta ciência. A matemática achava-se então, internacionalizada. Em

conseqüência, em 1897, foi realizado o 1º Congresso Internacional de Matemática

em Zurique e logo após, em 1899, foi criada a revista “L’Enseignement

Mathématique”, pelos matemáticos Henri Fehr e Charles-Ange Laisant, tendo

como objetivo estabelecer contato, troca de informações e comparações entre os

sistemas educacionais dos países (D’AMBROSIO, 2003).

Em paralelo a esse movimento de internacionalização e em meio às

discussões filosóficas sobre como a matemática deveria ser fundamentada, surgiu

também o movimento internacional de reforma do ensino de matemática, durante

o IV Congresso Internacional de Matemática, ocorrido em Roma, em 1908, que

culminou com a criação do IMUK (Internationale Mathematische

Unterrichtskommission), ou CIEM (Commission Internacionale de L’Enseignement

Mathématique), isto é, “Comissão Internacional para o Ensino da Matemática”.

Essa iniciativa deveu-se ao matemático americano David Eugene Smith.

Um comitê central composto der três membros, Felix Klein, como presidente,

Alfred George Greenhill, de Londres, na vice-presidência e Henri Fehr, de

Genebra, como secretário, foi incumbido de formar a grande comissão e organizar

os seus trabalhos.

Os relatórios, que os delegados dos diversos países deviam apresentar ao

“Comitê Central”, tinham como escopo responder às seguintes questões: Qual é o

estado atual do ensino da Matemática, do ponto de vista da sua organização, da

sua finalidade e do seu método? Quais as tendências modernas que nele se

fazem sentir? (ROXO, 1930).

A CIEM fazia-se representar em vários países: França, Alemanha,

Inglaterra, Itália e Estados Unidos, tendo como principal objetivo discutir e tentar

solucionar as dificuldades no ensino da Matemática, resultando na primeira

proposta de internacionalização do ensino de Matemática (VALENTE et alli,

2004). Desde então, a revista oficial da CIEM é o “L’Enseignement

Mathématique”

. Essa revista publicou em 1920 um relatório de encerramento da

CIEM e uma lista completa das publicações desta e das sub-comissões, por onde

se pode avaliar a importância desse movimento internacional, pois nessa lista

figuram 294 relatórios sendo que grande número de outros trabalhos ficaram

inacabados (ROXO, 1930). Henri Fehr dirigiu a revista até 1954, publicando 40

volumes até essa data, denominada primeira série. Em 1955, Jean Karamada

assume a direção da revista e inicia a publicação de uma segunda série de

volumes (RHAM, 1976).

Note-se, portanto, que a preocupação com o ensino de matemática e

mesmo a justificativa para a sua reforma partiu de matemáticos, cujo maior

expoente na problematização do ensino revela-se na pessoa de Felix Klein,

responsável pela defesa de concepções norteadoras da renovação internacional

do ensino secundário de matemática (BRAGA, 2006).

A preocupação de Klein com o ensino de matemática já era conhecida,

uma vez que entre 1900 e 1904, Klein realizou uma série de conferências em

A Revista L’Enseignement Mathématique” foi fundada em 1899 por Henri Fehr e Charles A. Laisant

(RHAM, 1976).

diversas universidades européias sobre o ensino de matemática, nas quais traçou

as diretivas do movimento renovador, coordenando esforços que atuavam

esparsamente.

Entre 1907 e 1908, Klein publicou a obra “Matemática elementar sob um

ponto de vista superior”, que se converteu em princípios do movimento de

modernização do ensino da matemática secundária do início do século XX.

Apresentada em dois volumes, o primeiro versa sobre aritmética, álgebra e

análise e o segundo, sobre geometria (SANTALÓ, 1979). Nela, Klein propunha

unificar os vários ramos da matemática escolar por meio do conceito de função,

nas suas diversas representações (BRAGA, 2006). Klein ainda defendia a

unificação das diferentes geometrias sob o ponto de vista da teoria dos grupos.

Descrevia a geometria como “o estudo das propriedades das figuras que

permanecem invariantes sob um particular grupo de transformações” (VITTI,

1998, p. 32-33).

Klein insistia sobre a necessidade de que as tendências da matemática

superior, manifestadas no século XIX, fizessem parte da matemática do

secundário, dando-lhe vitalidade. A ordenação da geometria com base na teoria

dos grupos, (funções e representações gráficas) eram propostas defendidas em

sua obra “Programa Erlanger”. O grupo das transformações (rotações, reflexões e

translações) é utilizado para caracterizar a geometria euclidiana, precedido de um

sistema de axiomas que conservam a congruência de triângulos da geometria de

Euclides como fundamentais para o desenvolvimento posterior do estudo (FEHR,

1961).

Várias conferências foram patrocinadas pela CIEM, sob a presidência de

Felix Klein. Estas conferências tiveram lugar em Bruxelas (1910), Milão (1911),

Cambridge (1912) e Paris (1914). Com a primeira Guerra Mundial, as atividades

da Comissão foram paralisadas e retornaram em 1928, assumindo a presidência

David E. Smith, até 1932, quando foi substituído pelo matemático francês Jacques

Hadamard.

As idéias propugnadas por Klein, voltaram à tona durante o segundo

movimento internacional de reforma do ensino da matemática, o MMM, quando

novamente os matemáticos reuniram-se para discutir e elaborar um novo

programa de ensino, que buscava diminuir a distância entre a matemática do

ensino superior e a matemática escolar.

3.1.1. Guido Castelnuovo: o ensino como um dever social ou porque um

matemático deve despender seu tempo com o ensino da matemática

Na cidade de Paris, em 4 de abril de 1914, o professor Guido Castelnuovo

(1865-1952)

, matemático da Universidade de Roma e membro do CIEM,

proferiu o discurso de abertura da V CIEM.

Felix Klein (1849-1925), então presidente da comissão, não pudera

comparecer ao evento por problemas de saúde, motivo pelo qual Guido

Castelnuovo fora convidado para falar em seu nome. Em seu discurso,

Castelnuovo defendeu a necessidade de alargar os programas e estender a

investigação em escolas de todos os níveis, devido à crescente preocupação com

o ensino de matemática em todo o mundo, denunciada pela quantidade de

relatórios remetidos ao comitê sobre o assunto, totalizando cento e sessenta

fascículos publicados, enviados pelas subcomissões da Europa, América e Japão,

sem contar aqueles que ainda estavam em andamento. Esse número de

publicações provocou, ainda, questionamentos sobre como proceder uma síntese

adequada de todas as informações obtidas, com vistas à próxima conferência,

que seria realizada em Estocolmo

Os trabalhos da comissão não se limitavam apenas na publicação de

relatórios, observou Castelnuovo. Consistiam também na realização de reuniões

internacionais para discutir sobre assuntos didáticos como: o rigor, o papel da

intuição e da experiência no ensino secundário e da preparação matemática dos

físicos.

A comissão não tinha como propósito reformar radicalmente o ensino de

matemática, nem fazer impingir uma determinada tendência sobre os métodos de

Guido Castelnuovo (1865-1952) foi uma das figuras mais representativas da escola geométrica italiana,

juntamente com Federico Enriques e Francesco Severi (SEBASTIÃO SILVA, 1952).

O evento não foi realizado em 1916 em Estocolmo como havia sido anunciado, devido à Primeira Guerra

Mundial, sendo apenas retomado a partir de 1928, na cidade de Bolonha, Itália.

ensino empregados nos diversos países participantes, posto que cada um deles

tinham suas regras, sabiam avaliar o que seria melhor para suas escolas.

Entretanto, isso não deveria ser empecilho para que as diferentes nações

tomassem conhecimento e aproveitassem de suas experiências em matéria do

ensino de matemática.

O Comitê Central indicou dois temas para serem examinados durante essa

conferência em Paris. Um deles dizia respeito aos resultados obtidos pelos países

participantes pela introdução de elementos do cálculo infinitesimal nas escolas de

ensino médio; o outro assunto tratava de estudar o papel da matemática na

preparação dos futuros engenheiros.

Foi justamente por esse motivo que a escolha do lugar para a reunião

internacional recaiu sobre a França. Castelnuovo recordou aos presentes que, a

partir de 1902, deu início nesse país uma reforma no ensino tradicional

introduzindo noções de derivadas e funções primitivas nos programas dos liceus

franceses. Além dessa experiência, a França dedicou por mais de um século

cuidados assíduos à preparação dos engenheiros, especialmente porque a

colossal da indústria moderna não podia ser mais prevista. A multiplicidade de

escolas do porte da Escola Politécnica e a diversidade de suas organizações

permitiam o fornecimento de objetos de comparação instrutivos. Devia-se,

portanto, examinar qual ponto seria conveniente ensinar aos futuros engenheiros,

se os ramos superiores da matemática pura, ou se era preferível dar uma

educação mais prática, voltada para as ciências e suas aplicações.

O destaque dado à delegação francesa não impedia aos interessados notar

que os problemas do ensino ultrapassam os limites da investigação matemática e

compreende todos os saberes. Castelnuovo buscou apoio nos matemáticos

Monge e Lagrange, os quais procuraram levar seu saber para proveito de todas

as escolas, para defender a propriedade do matemático em se preocupar com o

ensino.

Para Castelnuovo, é um dever social do matemático se importar com o

ensino. “Não devemos facilitar aos nossos semelhantes a aquisição do saber, que

é ao mesmo tempo uma força e uma felicidade?”, questiona. E ainda: “Às vezes

nós nos perguntamos se o tempo em que consagramos às questões do ensino

teria sido melhor empregado nas pesquisas científicas. Então respondemos que é

o dever social que nos força à tratar desses problemas”. Além de produzir

conhecimento, sustenta Castelnuovo, cabe ao matemático fazer com que o

indivíduo seja informado de suas investigações “sem demora e desperdício” de

modo que pudesse servir aos propósitos sociais.

Não é suficiente, com efeito, produzir riqueza, deve-se também

fazer com que sua distribuição se faça sem demora e sem

desperdício. Não é, portanto, uma riqueza, mesmo a mais

preciosa das riquezas, aquela que aperfeiçoa nosso orgulho e que

é a fonte de nossas intenções mais puras? (CASTELNUOVO,

1914, p. 191).

Entretanto, as palavras de Castelnuovo, não sugerem caminhos a serem

seguidos, indicando apenas que pretendeu expressar e divulgar suas

preocupações sobre o ensino de Matemática. Não se ocupou, portanto, esse

palestrante em propor métodos de ensino, e tampouco em atribuir para quais

sujeitos seriam mais convenientes. Como empregar as investigações

matemáticas “sem demora e desperdício” ao ensino? Quem estaria apto a

promover essas renovações? Para qual público? São indagações que restaram

em aberto.

Sua fala, própria para aquela ocasião, qual seja, um discurso de abertura

de uma conferência, provavelmente não lhe permitiu fazer uma reflexão mais

minuciosa sobre essas questões, possibilitando apenas o desenvolvimento de

uma idéia geral, pela qual deixou entrever a obrigação moral que o matemático

teria em se preocupar com a sociedade como um todo.

Esse discurso sobre o dever social dos matemáticos parece ter sido

negligenciado anos mais tarde pelos matemáticos do grupo Bourbaki, ao se

posicionarem como uma sociedade secreta e exporem uma matemática voltada

para a máxima abstração, fazendo supor a prática matemática algo asséptico. No

entanto, note-se, o modelo bourbakista prestou-se para justificar a renovação do

ensino, para todas as classes sociais, em diferentes países.

3.2. Renovação na Matemática francesa: o projeto bourbakista

Globalmente, em seu conjunto, o pronunciamento de Hilbert durante o II

Congresso de Matemática, em 1900, reflete as convicções do século XX, em

especial a preocupação com a unidade e com o método axiomático, o qual

alcançou alto nível de precisão e desenvolvimento com as obras do Grupo

Bourbaki.

As axiomatizações das diversas teorias matemáticas eram feitas pelo

Grupo Bourbaki por meio da Teoria dos Conjuntos, esta mesma,

convenientemente axiomatizada. Segundo Andre Weil, “axiomatizar uma teoria

matemática, consiste essencialmente em se definir uma espécie de estrutura em

Teoria dos Conjuntos”. Dessa forma, para Bourbaki, o método axiomático é

indissociável do estudo das estruturas. São expressões sinônimas: axiomatizar

uma teoria matemática é definir uma espécie de estrutura [grifo do autor]

(COSTA, 1987, p. 10).

Na França e para muitos matemáticos do mundo todo, a idéia de estrutura

está ligada ao nome de Bourbaki, um dos maiores responsáveis pelo papel

proeminente que essa noção tomou na organização da ciência Matemática atual.

Na terminologia bourbakiana, o termo estrutura corresponde a uma classe

particular de definições de objetos abstratos, tendo em mente que estes objetos

têm um certo número de propriedades características, que poderiam ser

eventualmente exibidas.

Segundo Krause (1987), para o Grupo Bourbaki, os conceitos

estruturantes, ou seja, aquelas estruturas fundamentais (estruturas-mãe), a partir

das quais as demais poderão ser obtidas, são de três espécies:

... algébricas (que introduzem a noção de operação), de ordem

(que introduzem as noções de ordenação) e as topológicas (que

permitem um tratamento de noções tais como limite, continuidade

e vizinhança). Intuitivamente, uma estrutura é constituída por uma

coleção de conjuntos e de relações entre seus elementos. As

relações, ponto de partida para a caracterização de uma estrutura,

podem ser de natureza variada. Para caracterizá-las, utiliza-se a

linguagem de teoria dos conjuntos. [...] As estruturas são

construídas tendo por base a linguagem da teoria dos conjuntos e

fazendo uso das relações e aplicações (KRAUSE, 1987, p. 85-87).

Do ponto de vista da história do pensamento, Bourbaki desempenhou um

papel exemplar de catalisador das tendências epistemológicas nascidas do

método axiomático e da reorganização do corpus da matemática fundamental.

Bourbaki havia conseguido dar uma aura indiscutível ao pensamento matemático,

ao procurar o predomínio – o estruturalismo – e uma finalidade – a pesquisa de

uma arquitetura dedutiva e hierarquizada de seus conceitos e resultados.

O Grupo Bourbaki começou a se formar nos anos 1934-1935. Para Patras

(2001), sua história se subdivide em duas épocas: 1934 a 1958 e 1958 a 1980.

No início do século XX, ocorre um declínio nas investigações matemáticas

francesas, que se ressentem pela interrupção provocada pela 1ª Guerra Mundial

(1914-1918). A França se vê desfalcada de matemáticos e alunos nas escolas

superiores. Contrariamente aos alemães, pecaram os franceses em mandar para

a frente de batalha seus expoentes no campo da Matemática, sofrendo

significativas baixas nessa área. Além disso, um financiamento insuficiente para a

pesquisa pós-guerra e um certo autoritarismo do poder científico vigente

concorriam para que os matemáticos franceses ficassem praticamente impedidos

de terem acesso às novas teorias matemáticas

, especialmente aquelas

produzidas pela Universidade de Göttingen, local onde se constituiu uma

poderosa escola de Álgebra Moderna, notadamente representada por Hilbert,

Emmy Noether e Bartel van der Waerden.

Apesar das dificuldades em estabelecer contato com a matemática

alemã

, um grupo de jovens diplomados pela Escola Normal Superior

ambicionava diminuir a defasagem do ensino francês em relação ao

desenvolvimento da matemática germânica.

Nesse período, disputas de ordem política impossibilitavam os matemáticos franceses de apreciar a

vitalidade da escola algébrica alemã. Os principais representantes da matemática francesa, professores

como Émile Picard (1856-1941), Jacques Hadamard (1865-1963), René Baire (1874-1932), Émile Borel

(1871-1956) e Henri Lebesgue (1875-1941), eram analistas, concentrando seus esforços em trabalhos sobre

a teoria das funções. Elie Cartan (1869-1941) foi uma exceção, pois suas pesquisas situavam-se entre a

teoria dos grupos, sistemas de equações diferenciais e geometria, sua obra, posteriormente muito estimada

pelos Bourbakistas, era considerada, entretanto, muito avançada para a época (MASHAAL, 2002, p. 45-48).

Somente a partir do 7º Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Bolonha, Itália, em 1928, foi

permitida a presença de matemáticos alemães, oportunizando-se à comunidade matemática travar contato

com as contribuições alemãs, capitaneadas por Hilbert (MASHAAL, 2002, p. 48).

Andre Weil, figura central do bourbakismo desde sua criação, foi um dos

primeiros, senão o primeiro a dar o passo inicial. A partir de 1925, inicia uma série

de viagens, tendo oportunidade de encontrar os maiores matemáticos da época.

Esteve na Itália, Alemanha, Escandinávia e Inglaterra. Em Göttingen, em 1926,

iniciou seus estudos sobre Álgebra Moderna, fazendo cursos com Emmy Noether,

que, “por serem menos desordenados, foram mais úteis” (WEIL, 2002, p. 49).

O nascimento do grupo Bourbaki remonta a 1934. Na Universidade de

Strasburgo, André Weil e Henri Cartan estavam encarregados de ministrar o

curso de Cálculo Diferencial e Integral, baseado no “Traté d’Analyse” de Edouard

Goursat, considerado ultrapassado para as conquistas matemáticas da época,

parecendo-lhes cada vez mais inadequado para o ensino. Assim Weil relata, em

suas “Memorias de aprendizaje” a origem do grupo Bourbaki:

Cartan me consultava de vez em quando sobre a melhor maneira

de tratar este ou aquele capítulo do programa; terminei por

apelidar-lhe “o indagador”. [...] Um dia de inverno, no final de

1934, creio ter tido uma idéia luminosa para por fim às

persistentes perguntas de meu companheiro. “Somos cinco ou

seis amigos – lhe disse aproximadamente – encarregados do

mesmo ensino em diversas universidades. Façamos uma reunião,

decidamos isto de uma vez por todas, depois disso me verei

liberado de suas perguntas”. Ignorava que Boubaki acabava de

nascer naquele momento. [grifo do autor] (WEIL, 2002, p. 103).

Bourbaki nasce, pois, de preocupações pedagógicas, evoluindo,

posteriormente, em direção à vontade de se tornar referência, incompatível com

as exigências de um manual de ensino:

Quanto à natureza desse empreendimento, não a tivemos clara

desde o princípio. No começo, nosso objetivo era de alguma

maneira pedagógico; tratava-se de trazer as grandes linhas do

ensino da matemática para o nível da licenciatura. Em seguida,

tratou-se de escrever para esse nível um curso ou tratamento de

análise que substituísse ao Goursat e que servisse de base a

esses ensinos. (WEIL, 2002, p. 103).

Os cursos de análise clássicos, como os de Jordan ou Goursat procuravam

explanar, segundo Weil, “em poucos volumes, tudo o que se supunha que um

aprendiz de matemático deveria saber antes de especializar-se”. Nesse sentido,

apenas as preliminares mais indispensáveis da teoria dos

conjuntos e noções algébricas e topológicas requeriam mais que

breves capítulos de introdução. Quando abordamos a tarefa, não

de escrever um tratado sobre cada um destes temas, senão

simplesmente de expô-los com uma suficiente amplitude para não

ter que voltar a eles depois, não nos restou outra alternativa que

ambicionar a idéia de escrever um manual de ensino universitário.

Antes de tudo tratava-se de construir uma base suficientemente

ampla e sólida para suportar todo o essencial das matemáticas

modernas... (WEIL, 2002, p. 110-111).

A lista dos primeiros membros do grupo Bourbaki variava de um autor a

outro, de acordo com os critérios assegurados (assiduidade, longevidade...). Henri

Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné,

Charles Ehresmann, Jean Leray, Szolem Mandelbrojt, René de Possel e André

Weil integram o grupo.

No início da década de 1930, o único seminário que os matemáticos

franceses haviam conhecido era aquele oferecido por Hadamard. Em suas

“Memórias”, Weil tece alguns comentários sobre o Seminário Hadamard:

Em Paris, quando eu era normalien, e muito depois, não houve

mais do que um, o de Hadamard. No início de curso nos

reuníamos em seu domicílio, na rua Jacques Dolent, em sua

biblioteca, para a distribuição dos trabalhos e estudar. Tratava-se,

em primeiro lugar, de publicações que havia recebido de todas as

partes do mundo ou pelo menos das que lhe haviam parecido

merecedoras de um informe. Ademais, acrescentava títulos

diversos recolhidos aqui e acolá e aceitava de bom grado

trabalhos publicados nos dois ou três últimos anos, embora não

existisse uma norma fixa a respeito. Quanto aos temas, seu

desejo era o de apresentar-nos um panorama o mais extenso

possível das matemáticas contemporâneas; se não o conseguia,

ao menos era o objetivo a que se propunha. Para cada um dos

assuntos que anunciava, buscava um voluntário; às vezes o

expunha brevemente porque tal estudo excitava sua curiosidade.

[...] Entre os colaboradores se encontravam tantos matemáticos

experientes como principiantes... (WEIL, 2002, p. 35-36).

Ao freqüentar as universidades alemãs, Weil e seus companheiros tiveram

a oportunidade de assistir aos seminários alemães, habituais em seu ensino.

Ocorreu-lhes, então, a idéia de organizar um seminário em Paris, como ponto de

partida para as reuniões do grupo. A princípio fora denominado Seminário Julia,

em homenagem ao mais jovem professor da L’École, Gaston Julia. Esse

seminário manteve-se até 1939. A cada ano dedicava-se a um tema central:

“Grupos e álgebras” em 1933-1934; “Espaços de Hilbert” (1934-1935); “Topologia”

(1935-1936); “Obras de Elie Cartan” (1936-1938); “Cálculo das variações” (1938-

1939). O Seminário Julia não resistiu à II Guerra Mundial. Contudo, renasceu em

1948, rebatizado como Seminário Bourbaki (MASHAAL, 2002, p. 105).

A escolha do nome Nicolas Bourbaki, como pseudônimo do grupo de

matemáticos franceses, se faz acompanhar de certo folclore. Uma das versões

para a escolha do nome – existem várias – diz respeito a um episódio datado de

1923, quando calouros da École Normale foram convidados a assistir uma

conferência sobre noções básicas da teoria das funções. Nela, o palestrante

apresenta um extravagante “Teorema de Bourbaki”, deixando o auditório

completamente confuso. Provavelmente, o teorema idealizado na brincadeira leva

o nome do General Charles Bourbaki, participante da guerra franco-proussiana de

1870.

Uma das vantagens para o emprego de um tal pseudônimo, além do

folclore associado à edificação de um mito coletivo, é que permitiu resolver, de

maneira simples, o problema das assinaturas para os fundadores do Bourbaki,

qual seja, assinar um tratado com uma longa lista de nomes, que não eram os

mesmos ao longo dos anos.

Bourbaki, como se denominou oficialmente o grupo a partir do congresso

de fundação em julho de 1935, em Besse-en-Chandesse, (o pré-nome Nicolas só

aparece mais tarde)

, articula-se para redigir uma obra coletiva, para combater

as lacunas do ensino universitário francês, em princípio, em menos de um ano.

No entanto, o projeto de Bourbaki revestiu-se de tamanha amplitude e ambição

que a redação de um tratado de Análise não mais satisfazia. Os “Éléments de

mathématique” tornou-se um tratado monumental de matemática. O primeiro

volume apareceu em 1939 e o último data de 1998. Consiste, hoje em dia, em dez

livros, cada um deles, em geral, com vários volumes: Teoria dos conjuntos;

Álgebra; Topologia geral; Funções de uma variável real; Espaços vetoriais

As exigências em fornecer uma breve biografia do autor para publicação no “Compte Rendus de

l’Académie des Sciences” fez vir à tona a questão de um pré-nome para Bourbaki. Eveline Weil, mulher de

Andre Weil, batizou-o de Nicolas (MASHAAL, 2002, p. 22).

topológicos; Integração; Álgebra comutativa; Variáveis diferenciais e analíticas;

Grupos e álgebras de Lie; Teorias espectrais (MASHAAL, 2002, p. 53-54).

Em suas primeiras reuniões, para a consecução do empreendimento,

Bourbaki decidiu incluir um certo número de noções consideradas essenciais,

limitadas ao estritamente necessário, da Teoria dos Conjuntos, Topologia e

Álgebra Moderna (aos moldes do livro de Van der Waerden), como ferramentas e

conceitos de bases, que denominaram “pacote abstrato”. Já no primeiro

congresso, em Besse-en-Chandesse, começaram a aflorar características

basilares do bourbakismo:

Como o “pacote abstrato” continha as noções necessárias para a

exposição de outros temas previstos, é sobre eles que são

focalizados as primeiras redações de Bourbaki. Durante esse

processo, longo e tortuoso, tendo em vista o modo de trabalho do

grupo e a exigência de unanimidade, a ampliação do “pacote

abstrato” não cessa de crescer, ao mesmo tempo que emergia, no

âmago de Bourbaki, uma certa visão de Matemática, aquela

considerada por eles como um edifício dotado de profunda

unidade, repousando sobre a Teoria dos Conjuntos e

hierarquizada em termos de estrutura abstratas (algébricas,

topológicas, etc., ) [grifos do autor] (MASHAAL, 2002, p. 53).

O método de trabalho do grupo Bourbaki consistia, segundo as

“Memorias” de Weil (2002), em designar, dentre os participantes, aquele a ser

encarregado da redação do tema discutido no congresso. Essa primeira redação

era lida e rediscutida novamente em um novo congresso, quando eram feitas

alterações, com maior ou menor profundidade. Não raras vezes, a escrita era

rechaçada em sua totalidade. Era então proposto um novo redator que procedia

segundo as instruções recebidas e o processo terminava quando se obtinha

aceitação unânime dos participantes.

Bourbaki foi responsável pela popularização de algumas notações

universalmente aceitas hoje em dia, como: ,  e I. Acrescentou a letra Q para

designar o conjunto dos números Racionais. A obra de Bourbaki ainda é

caracterizada por uma terminologia rígida, substituindo a linguagem informal e as

abreviaturas por termos técnicos precisos, empregando um estilo

... comumente classificado como muito seco, demasiadamente

rígido em sua organização e de leitura desconfortável, além do

fato de ser um sistema de referência muito pesado de se

manipular. Mas, mais do que um estilo, uma certa evolução havia

sido denunciada: evolução em direção à generalidade e à

abstração por elas mesmas, sem referências aos problemas

fundamentais que deram vida e alma aos matemáticos (PATRAS,

2001, p. 121).

De acordo com Patras (2001), o primeiro período (1938-1958) se concluiu

com a redação de um tratado sobre os fundamentos da Análise moderna. A obra

comporta seis livros: Teoria dos Conjuntos; Álgebra; Topologia geral; Funções de

uma variável real; Espaços vetoriais topológicos e Integração.

Devendo os membros de Bourbaki retirar-se do grupo com a idade de 50

anos, a partir de 1958, uma nova geração vem como substituta. Pierre Cartier,

Samuel Eilenberg, Alexandre Grothendieck, Pierre Samuel e Jean-Pierre Serre,

fizeram parte desse novo grupo.

Naqueles novos tempos, comenta Patras (2001), o estilo axiomático

tornou-se bastante difundido, independente dos manuais de Bourbaki, apesar de

satisfazer as mesmas exigências metodológicas. Exemplo disso são os trabalhos

de Oskar Zariski em Geometria Algébrica, os quais apresentavam com sucesso o

método axiomático-estrutural, herdados da escola algébrica alemã, obtidos à

parte dos empreendimentos bourbakistas. Zariski realizou, desde 1937, a reforma

da Geometria Algébrica no sentido predominante na Álgebra Moderna. O método

bourbakista, uniformemente aceito e reconhecido, tornou-se um sucesso.

Entretanto, ressalta Patras, a originalidade e a especificidade do empreendimento

em nome de Bourbaki e de sua obra também se tornou proporcionalmente

reduzida, à medida que seus membros começaram a publicar individualmente,

diferentes tratados (de topologia algébrica, de álgebra homológica...).

Segundo Patras (2001), uma das exigências do grupo era que cada um de

seus membros aspirasse à universalidade e se interessasse por toda a

Matemática. Entretanto, esse preceito dificilmente poderia prevalecer

uniformemente, pois a extensão dos conhecimentos matemáticos não cessa de

expandir, ameaçando os membros do grupo com a especialização. Assim,

surgiram duas tendências principais: construir fundamentos para os matemáticos

que viriam, ultrapassando conteúdos elementares, continuando a tradição dos

primeiros bourbakistas; ou se empenhar na redação de manuais mais

especializados e abandonar o aspecto “Éléments de mathématiques”, ou seja,

rompendo com a tendência planejada pelos iniciantes.

Recorrendo ao testemunho de Armand Borel, Patras comenta sobre a

participação de Alexandre Grothendieck (1928 - ) no grupo Bourbaki. Para Patras,

Grothendieck apresentou-se, nesse momento do percurso bourbakista, como a

pessoa mais abalizada para regenerar o projeto inicial e lhe dar um novo impulso.

“Toda a obra de Grothendieck traz a marca da maior aspiração bourbakista: a

pesquisa do conceito justo, no grau de generalidade otimizada”. Seu programa

preocupava-se em colocar em ordem a Matemática contemporânea, propondo

definir e estruturar os conceitos reguladores da Topologia Algébrica e da

Geometria Diferencial, Analítica e Algébrica. Embora Patras vislumbre na obra de

Grothendieck, o esforço de um homem para conduzir uma reviravolta radical nas

idéias fundamentais da Geometria e da Topologia, seu programa não logrou êxito.

(PATRAS, 2001, p. 125-126).

Além de certa desconfiança provocada pelo gosto imoderado de

Grothendieck para limites extremos de abstração, os membros de Bourbaki

entreviam em sua proposta imenso trabalho a empreender, sem garantia de

sucesso. Desse modo, Bourbaki acabou por empenhar seus esforços em outras

vias, mais modestas e razoáveis, daquelas pretendidas por Grothendieck,

afastando-se assim, da idéia de universalidade pretendida pelos primeiros

bourbakistas. Lançaram três livros: Álgèbre commutative, Groupes et algèbres de

Lie e Théories spectrales. Groupes et algèbres de Lie foi um sucesso, mostrando

que a escolha de temas específicos pode levar a resultados incontestáveis.

Os membros de Bourbaki trabalharam por muito tempo como em uma

sociedade secreta, recusando tornar público seus debates e restringindo suas

tomadas de posição oficial à publicação de textos puramente matemáticos. Dessa

forma, a comunidade Matemática foi privada das reflexões estratégicas e

metodológicas que poderiam ter sido discutidas abertamente. Sem dúvida, infere

Patras (2001), a história os julgará com pouca indulgência, pois a publicidade dos

debates é essencial à vida do pensamento científico.

Com exceção do manifesto “L’Arquitecture des matématiques” (1948), cuja

provável autoria é de Dieudonné, publicações regulares sobre Bourbaki

começaram a surgir somente a partir de 1980. O referido manifesto,

freqüentemente citado para contradizer o silêncio de Bourbaki, é relativizado por

Patras por considerá-lo como parte de uma propaganda de Bourbaki, o qual

impunha uma imagem da natureza do bourbakismo que não admitia contradição e

tampouco permitia investigar a existência de diferentes pontos de vista no interior

do grupo (PATRAS, 2001). A atual historiografia empreendeu o estudo dos

documentos disponíveis, fazendo reviver as discussões e polêmicas que agitavam

as reuniões do grupo, mostrando que, longe da imposição de uma imagem

rigorosa e rígida do pensamento matemático, encontrada nas publicações,

tratados matemáticos e notas históricas do grupo Bourbaki, as tomadas de

decisão admitiam a contradição, as escolhas efetuadas pelo grupo eram

alimentadas por intensos debates.

Armand Borel, em artigo de março de 1998, “Twenty-five years with Nicolas

Bourbaki, 1949-1973” insiste vivamente sobre isso e denuncia em particular o

caráter abusivo do subtítulo, “Le choix boubakiste”, uma das obras mais populares

de Dieudonné, considerando-o “extremamente enganoso”. Segundo Borel, os

membros do grupo Bourbaki mantinham intensa conversação durante os

seminários e contribuíam na escolha dos temas das conferências, quando os

tópicos discutidos eram de interesse de pelo menos alguns de seus membros, e,

além disso, muitos outros temas que se mostravam interessantes eram

preteridos. Por outro lado, o seminário não poderia ser visto, como coloca

Dieudonné, na obra supracitada, como um esforço convencionado por Bourbaki

para apresentar um trabalho que abrangesse toda pesquisa recente em

matemática de seu interesse. Tais conclusões são apenas dele, Dieudonné, e não

deveria ser tomada como consenso por Bourbaki, rebate Armand Borel.

André Revuz

, corroborando as palavras de Borel, afirma existir “um

profundo dogmatismo em Bourbaki”, porquanto as discussões que faziam parte

da elaboração de seus tratados apresentavam-se sempre sob um mesmo ponto

de vista ainda que, munidos de boas justificativas, “o leitor jamais é convidado a

Segundo Mashaal (2002), o matemático André Revuz foi um dos principais incentivadores da reforma da

Matemática Moderna no ensino secundário francês.

dividir as dúvidas e hesitações do autor”. Além disso, embora a organização e

pureza lógica imprimam uma beleza austera nos textos de Bourbaki, rendem-lhes

uma abordagem muito difícil: “se seus trabalhos podem servir como referência,

raramente podem ser utilizados para um primeiro contato”, acrescenta Revuz

(1996, p. 74).

Paradoxalmente, a despeito da pretensão de Bourbaki em produzir um

manual didático destinado ao ensino superior, ao mostrar-se como uma

sociedade secreta, o grupo revelou de tal modo um fechamento, dando origem a

uma representação, que contaminou o pensamento didático, qual seja, aquela

que acredita ter existido desde sempre, uma comunidade de matemáticos

produzindo matemática e que, posteriormente essa matemática passaria a ser

consumida pelos professores. Assim, apesar de suas origens escolares, o

bourbakismo realizou historicamente, de modo bem datado, o ideário de uma

comunidade de matemáticos que pensa na produção matemática apartada do

ensino e, ao mesmo tempo, destinada a ser consumida por outras instâncias,

particularmente as educacionais.

3.2.1. Matemática e ensino de matemática na perspectiva de Jean Dieudonné

Neste tópico, apresentamos um breve relato de obras de Jean Dieudonné,

nas quais esse matemático bourbakista emitiu opiniões sobre o ensino de

matemática. Dieudonné dedicou sua obra “Algébre linéaire et geométrie

élementaire” (Paris: Hermann, 1973a) aos professores secundários, aqueles

desejosos de inovação de seus métodos de ensino, e que se sentiam indecisos “a

respeito do que deveriam conter os novos programas e sobre as articulações

tanto internas como em relação aos programas do Ensino Superior”. Para

Dieudonné, o que se ensina nas classes propedêuticas do Ensino Superior

deveria ser um “prolongamento natural” daquilo que o estudante viu no ensino

secundário [grifo do autor] (1973a, p. 7).

Segundo Dieudonné, a Matemática Moderna utiliza-se de novas e potentes

ferramentas, não previstas pela matemática tradicional, graças às quais foi

possível atacar, com sucesso, numerosos problemas que haviam ficado sem

solução. Entretanto, constatou, o ensino secundário não sofreu modificações

significativas, encontrando-se bastante afastado do nível das pesquisas

matemáticas contemporâneas. Desse modo, subsistia uma incoerência,

registrada nos programas do ensino secundário, a provocar um distanciamento

entre os métodos e o sentido do ensino de matemática do curso secundário e os

do curso superior:

... o ensino secundário, que por sua própria natureza está

bastante afastado do nível das pesquisas matemáticas

contemporâneas, não tem sofrido modificações, a menos de

alguns acréscimos superficiais, ou seja, consiste essencialmente

da Geometria de Euclides, da Álgebra de Viète e de Descartes, e

nas últimas séries, de um pouco de Cálculo Infinitesimal. Não é,

pois, surpresa, que seja cada vez maior a lacuna entre esse

ensino e o que é ministrado na universidade (DIEUDONNÉ,

1973a, p. 9).

Exemplificou, aludindo que as construções com régua e compasso, as

propriedades como triângulos, quadriláteros, a circunferência e os sistemas de

circunferências e as cônicas, além da trigonometria, eram assuntos

exclusivamente enfocados no secundário e, não chegavam sequer a ser

mencionados na universidade. Para esse autor, não era verdade que a

abordagem de tais temas tradicionais propiciasse aos alunos apreender métodos

de pesquisa e hábitos de raciocínio que lhes seriam úteis futuramente.

Nessa obra, Dieudonné defendeu também a necessidade de ensinar as

crianças a pensar sobre algumas noções previamente escolhidas, muito mais do

que acumular uma série de conhecimentos particulares, “mais ou menos

extravagantes”, com o objetivo de prepará-las para todas as profissões. A técnica

utilizada pelos matemáticos profissionais, em que era freqüente a substituição de

um sistema de axiomas por outro equivalente, porém mais conveniente,

conduzindo a simplificações consideráveis, foi apresentada por Dieudonné como

a ideal para ser implantada no ensino. Assim, uma teoria onde tudo fosse

espontaneamente ordenado em torno de algumas idéias chaves simples seria a

mais vantajosa, uma vez que esta se mostrava fundamental para os estudos

ulteriores (1973a, p. 10).

Além da aprendizagem precoce oferecida pelo método moderno, seu

aproveitamento ainda se justificaria, porquanto permitia agrupar teorias

aparentemente bastante diferentes. O ensino tradicional oferecia uma série de

disciplinas, tais como geometria analítica, geometria projetiva, teoria dos números

complexos, trigonometria, etc., que eram apresentadas separadamente e, com

freqüência, ignorando-se totalmente umas às outras e que poderiam ser ensinada

em uma só disciplina, a Álgebra Linear, “uma das teorias mais centrais e mais

eficazes da Matemática contemporânea”. Seria, portanto, de grande interesse

familiarizar os estudantes, o mais cedo possível, com as noções básicas dessa

disciplina, ensinando-lhes a “pensar linearmente” [grifo do autor] (DIEUDONNÉ,

1973a, p. 12).

Desse modo, preconizou Dieudonné, o aluno ingressante no ensino

superior, na área de ciências, deveria trazer como bagagem mínima noções de

Álgebra Linear, motivo pelo qual o livro apresentava uma exposição detalhada

dessa teoria.

Para Dieudonné, o ensino secundário não tinha como objetivo formar

futuros matemáticos, nem mesmo futuros professores de matemática. Era

justamente o ensino tradicional que incentivava esse procedimento, por insistir na

introdução de assuntos que só interessavam aos matemáticos. Uma das

vantagens da Álgebra Linear é que ela permitia apresentar a Geometria

Elementar de maneira rigorosa e sem esforços, ao passo que o estudo axiomático

da Geometria Euclidiana mostrava-se tão complexo e sutil, que eram

apresentados aos alunos nada mais do que “pseudo-raciocínios” (DIEUDONNÉ,

1973a, p. 13).

O autor adotou como critério de elaboração de sua obra desenvolver um

programa destinado aos dois ou três últimos anos do secundário, expondo

somente tópicos que interessavam aos programas universitários, sem, entretanto,

procurar introduzir prematuramente teorias a serem ensinadas no ensino superior.

Procurou limitar-se às idéias que tinham importância não apenas à Matemática

como também à Física teórica, deixando como exercícios as sutilezas que

interessariam exclusivamente aos matemáticos. Resolveu, ainda, não fazer uso

de qualquer tipo de figura no texto, deixando para os leitores suprir essa

deficiência.

Dieudonné alegou desconhecer as reações de alunos da faixa etária

compreendida entre 11 a 14 anos, de modo que, ao inserir seu programa, o autor

esbarrou em duas dificuldades.

A primeira referia-se à necessidade de um tratamento axiomático para a

matemática, como ainda, de familiarizar o aluno no trato com algumas noções

abstratas, dentre elas, a de aplicação ou transformação, que, no dizer de

Dieudonné, tratava-se da “pedra angular” de todo o edifício da Matemática

Moderna. Para tanto, sugeriu utilizar o menos possível figuras tradicionais (com

exceção de ponto, reta e plano) em proveito da idéia de transformação

geométrica, a ser ilustrada com inúmeros exemplos. Convinha ainda ensinar os

alunos as construções geométricas, mas fugir, “como se foge da peste”, do uso

dos instrumentos régua e compasso, utilizando outros aparelhos mecânicos como

o pantógrafo, afinógrafo

, etc. Dever-se-ia evitar também, pronunciar a palavra

“axiomas” aos alunos, embora aproveitar todas as oportunidades possíveis para

dar exemplos de deduções lógicas, que, mais do que a idéia de axioma, seria o

verdadeiro motor do pensamento matemático [grifo do autor] (DIEUDONNÉ,

1973a, p. 16).

A segunda dificuldade dizia respeito à introdução do Cálculo Infinitesimal o

mais cedo possível, no ensino secundário. Apesar de que a escola francesa já

viesse ministrando rudimentos desse assunto, Dieudonné acreditava que deveria

ser dada maior atenção a esse ensino, posto que engenheiros e físicos

queixavam-se do despreparo com que os estudantes chegavam à universidade,

com relação aos processos elementares do Cálculo Diferencial e Integral, que

deveriam ser oferecidos no secundário de um modo “experimental”, sem

tentativas de tratamento rigoroso, posto que nesse estágio seria mais prejudicial

do que benéfico. Inclusive, sugeriu Dieudonné, dever-se-ia libertar o ensino

secundário de querer deduzir tudo de uma única fonte axiomática, lembrando que

Pantógrafo: Instrumento destinado a copiar mecanicamente desenhos, ampliando ou reduzindo figuras

mantendo sempre sua forma. (HOUAISS; VILLAR; FRANCO, 2001, p. 2119).

Afinógrafo: Instrumento utilizado para transcrever figuras planas de forma que em uma direção mantêm-se as

longitudes, mas se diminuem proporcionalmente em outra http://coliman.tripod.com/mate/letraa.htm.

o importante seria saber fazer deduções lógicas corretas, a partir de premissas

julgadas mais acessíveis ao ensino. Além disso, propôs que o tempo necessário

para ministrar esse assunto poderia ser obtido a partir “da supressão de muitas

aulas consagradas às ‘construções’ e à ‘resolução de triângulos’ e outras

baboseiras” [grifos do autor] (DIEUDONNÉ, 1973a, p. 18).

Dieudonné finalizou a introdução da aludida obra asseverando ser sua

única intenção fornecer ao futuro investigador um exemplo do que poderia ser

feito para a melhoria do preparo do aluno ingressante no ensino superior,

esperando que o leitor acreditasse não ter o autor qualquer interesse nas

questões do ensino secundário, não tendo conhecimento de quando haveria

reforma e quais seriam as modalidades escolhidas para esse nível de ensino.

A preocupação de Dieudonné com o ensino manifestou-se perante a

escolha dos conteúdos a serem trabalhados, voltada essencialmente aos alunos

ingressantes em ciências exatas do ensino superior. Sua preocupação, portanto,

relacionava-se com a qualidade do ensino de matemática de nível universitário,

de modo a diminuir o “abismo” entre esse ensino e o secundário. Era mister,

então, uma modificação significativa dos conteúdos e métodos do ensino de

matemática no secundário, a fim de compatibilizá-lo com a natureza do ensino

superior de matemática que seria enfrentada posteriormente pelo secundarista.

Embora Dieudonné defendesse uma ênfase na experimentação, mais do

que num tratamento rigoroso no que tange ao Cálculo Infinitesimal no secundário,

e ainda, a supressão da palavra “axioma” no trato com a Geometria, propunha, de

modo adverso, a necessidade de um tratamento axiomático, o aproveitamento de

todas as oportunidades possíveis para dar exemplos de deduções lógicas, posto

que estas representassem “o verdadeiro motor e único motor do pensamento

matemático” (1973a, p. 16).

O método moderno, conforme propugnado por Dieudonné, permitiria

agrupar teorias aparentemente diferentes, por meio da Álgebra Linear. A

introdução da linguagem vetorial e de grupos de transformações elementares,

com definições abstratas de noções e objetos, permitiria uma apresentação

rigorosa e sem esforços.

Ademais, conforme também sustentou Dieudonné em “Abregé d’Histoire

des Mathématiques: 1700-1900” (Paris: Hermann, 1986), o fazer matemático,

num primeiro momento, pode ser realizado de forma solitária e isolada. Desse

modo, pode-se pensar numa dissociação entre a produção matemática e seu

ensino. Quando se está produzindo, o matemático trava um diálogo silencioso

consigo próprio, refletindo sobre as hipóteses levantadas, tentando responder aos

questionamentos colocados. Entretanto, o matemático sempre se defrontará com

a necessidade de expor os resultados de suas pesquisas, mesmo que parciais,

perante a comunidade acadêmica, de maneira a receber o reconhecimento,

sugestões e críticas ao estudo apresentado, como igualmente enunciou

Dieudonné. Ora, na medida em que o matemático fica sujeito a essas

considerações e avaliações, estabelece-se aí uma relação que não deixa de ser

pedagógica, não no sentido canônico dessa noção, muito embora seja também

baseada numa exposição calcada no diálogo e debate, em que se busca

esclarecer e convencer seus pares. Cai por terra, desse modo, a separação

estabelecida entre matemáticos e professores de matemática, como apregoada

por Dieudonné.

3.3. A velha matemática sob uma roupagem moderna

A Matemática Moderna foi freqüentemente identificada com a concepção

que Bourbaki tinha, constata Patras; e o Movimento da Matemática Moderna

evidenciou-se como uma época em que se tornou hegemônico um modo de

pensar, o qual sustenta que a matemática tem como ponto de partida, conceitos

precisos e delimitados, plena e claramente definidos, além de proposições e

teoremas explícitos, demonstrados em sua totalidade de forma rigorosa,

apresentados em linguagem única. Essa imagem “um tanto fixa” da matemática

(Patras, 2001, p. 117), faz supor um único modo de fazer matemática, em que,

seu saber, uma vez estabelecido, torna o matemático um mero observador (DE

LORENZO, 1998).

Esse modo de pensar não permite uma reflexão crítica sobre o papel

exercido pelo matemático. No entanto, o ofício de matemático é histórico. Essa

afirmação, postulada por De Lorenzo em suas obras, dentre elas “La matemática:

de sus fundamentos y crisis” (1998), pressupõe analisar o fazer matemático,

examinando sua produção. Para esse autor, embora alguns conceitos se

cristalizem no interior de algumas teorias matemáticas, isso não impede que o

saber matemático seja um saber vivo, em constante processo de mutação:

A matemática é um trabalho, um produto e uma produção da

espécie humana, ou melhor, de parte dessa espécie, e, como tal,

com seus trabalhos, suas imperfeições, seus logros, entre os que

se destacam algumas obras principais... (DE LORENZO, 1998, p.

16).

Talvez, infere De Lorenzo, o que permaneça cristalizado sejam alguns

livros-texto, nos quais as definições se apresentam como ponto de partida e

precisão radical. Neles, as demonstrações se revelam “completas” e a estrutura

do texto se mostra de tal forma fechada que acaba por criar a convicção de que

na matemática já não se tem mais nada de novo para ser realizado.

Em geral, os conceitos-núcleo da matemática mostram-se inicialmente

difusos e vão se delimitando, tornando-se precisos, ao longo da atividade prática.

As proposições, muitas vezes, não estão plenamente demonstradas e existem

teoremas que são simplesmente aceitos, porque poucos matemáticos podem

chegar a entender, dominar e controlar sua demonstração

; há teoremas que se

demonstram utilizando em cada ocasião conteúdos conceituais diferentes, porque

na prática matemática o que interessa não é o teorema em si,

senão as idéias, analogias e possíveis novos instrumentos

metodológicos e conceituais que podem associar-se a cada uma

das demonstrações do teorema. As disputas entre matemáticos

tem sido e são permanentes, as tentativas de demonstração, não

são rechaçadas, total ou parcialmente, porque os teoremas

estiveram “mal” demonstrados, necessariamente... (DE

LORENZO, 1998, p. 15-16).

A afirmação feita por Fermat (1637), de que x

+ y

= z

não tem solução para números inteiros e positivos

quando n>2, é conhecida como “o último teorema de Fermat” e desafiou matemáticos de todo o mundo por

358 anos. A busca pela solução desse teorema fomentou a pesquisa, o estudo e o desenvolvimento da

matemática. Foi demonstrado por Andrew Wiles, em 1997. No entanto, a aceitação da prova é baseada na

autoridade de vários matemáticos. Além disso, segundo o livro “O último teorema de Fermat” de autoria de

Simon Singh, muitos matemáticos deram continuidade aos seus trabalhos aceitando como verdadeira a

“Conjectura Taniyama-Shimura”, mesmo sem demonstração, por considerar fortes indícios de sua validade.

Foi a partir da demonstração parcial dessa conjectura que Andrew Wiles conseguiu demonstrar o Teorema

de Fermat. Apenas em 1999, a “Conjectura Taniyama-Shimura” foi demonstrada em sua totalidade pelos

matemáticos Breuil, Conrad, Diamond e Taylor http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/;

http://ca.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taniyama-Shimura.

Nesse sentido, De Lorenzo exemplifica recorrendo à tarefa empreendida

por Gauss, ao propor quatro demonstrações para o Teorema Fundamental da

Álgebra, já citado anteriormente neste estudo. Um dos objetivos implícitos das

sucessivas demonstrações de Gauss, segundo De Lorenzo, era tentar eliminar a

exigência de irracionais imposta para a solução do teorema ou alcançar a razão

pela qual, caso contrário, não seja possível eliminá-los. Apesar do teorema não

ser puramente algébrico, já que requer a admissão do número irracional – tanto

real quanto complexo – é considerado “fundamental da álgebra”. Assim, na

primeira das demonstrações, Gauss não evita unir a Álgebra e a Geometria num

mesmo processo demonstrativo, culminando com uma demonstração geométrica

intuitiva. Ao relacionar esses dois campos, favorece a construção da Geometria

Algébrica, que se converteria em um dos campos mais fecundos da atividade

matemática (1998, p. 95-96).

Embora constatações como as defendidas por De Lorenzo, de que o

conhecimento matemático não é um produto já acabado, e sim uma prática

dinâmica que se vai transformando, incorporando novas idéias, conceitos,

mecanismos de demonstração, além da necessidade de reorganizar, estruturar

essas idéias; a prática científica tem sido interpretada como vitória de um

reducionismo da Teoria dos Conjuntos, ou seja, todo o fazer matemático encontra

sua expressão em termos de conjuntos. Essa interpretação reducionista, presente

nesse novo modo de fazer matemática, impulsionou a reforma da “Matemática

Moderna” em diversos países... (DE LORENZO, 2005).

Ainda sobre esse novo modo de fazer matemática, vale atentar sobre a

observação de Ubiratan D’Ambrosio. Segundo ele, a Segunda Guerra Mundial

impulsionou sobremaneira o avanço científico e tecnológico, e a matemática,

agregada à nova tecno-ciência e a estratégias políticas, desenvolveu-se

diversamente à matemática tradicional, formal, dominante, embora houvesse um

esforço para inseri-la no formalismo “oficial”.

Surgiram, dentro do próprio ambiente matemático, teorias novas

como a Programação Linear e Dinâmica, Pesquisa Operacional,

Teoria das Comunicações, Informática, Cibernética, Teoria dos

Jogos. Mas não sem certa hesitação quanto à sua aceitação pelos

matemáticos puros, ainda fortemente atrelados à matemática

originada da Mecânica Newtoniana (D’AMBROSIO, 2004, p. 272).

D’Ambrosio (2004) vê a obra de Nicolas Bourbaki como uma rejeição a um

novo pensar. Baseada em três pilares sob os quais repousava a ciência dita

“moderna”, qual seja, o determinismo newtoniano, a lógica clássica e os sistemas

formais, Bourbaki resiste a propostas inovadoras como a mecânica quântica e à

relatividade, apoiando-se num estruturalismo que dominou as ciências cognitivas

da época, dando início aos movimentos de renovação no ensino de Matemática,

Física e das Ciências. O que levou D’Ambrosio a enfatizar: “Na verdade,

movimentos para se ensinar o velho com roupas modernas!” (2004, p. 274).

CAPÍTULO 4

O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA E SUA DIMENSÃO

INTERNACIONAL

Nos anos 1960-1970 surgiu forte uma necessidade de reformar o ensino de

Matemática, decorrendo daí um vasto debate sobre o assunto, marcando esse

período como um momento de profunda renovação desse ensino, colocando-o

em lugar de destaque na história do ensino de Matemática do século XX, o que

ocorreu em grande número de países.

A circulação das idéias, em escala internacional, foi intensa. A

intensificação dos debates permite identificar diferentes análises em relação ao

ensino de Matemática em todo o mundo, cuja abrangência internacional

favoreceu reflexões e reformas, apontando o verdadeiro papel que a Matemática

desempenhou no ensino de cada nação e no interior de suas instituições, como

na França, Itália, Estados Unidos da América, Alemanha, União Soviética, etc.

Assim sendo, este capítulo traz um breve panorama sobre a participação

de alguns países na realização da reforma da Matemática Moderna, extraída em

boa medida da obra coletiva intitulada “Les sciences au lycée: un siècle de

reformes des mathemátiques et de la physique en France et à l’étranger”,

organizada pelos historiadores Bruno Belhoste, Hélène Gispert e Nicole Hulin, em

1996. A obra conta com a colaboração de historiadores da educação e da ciência,

além de cientistas, filósofos e educadores, os quais participaram, em janeiro de

1994, do Colóquio Internacional “Réformer l’enseignement scientifique: histoire et

problème actuels” organizado pelo Serviço de História da Educação do Instituto

Nacional de Pesquisa Pedagógica (SHE/INRP).

A opção por essa obra assume significativa importância posto que o livro

em questão contém, em boa medida, síntese dos estudos que os autores

participantes do colóquio realizaram sobre o MMM em seus países, quando

discutem o papel exercido pelas nações na realização dessas reformas. Trata-se,

portanto, de uma literatura atualizada sobre o assunto, o que permite obter uma

compreensão geral da dimensão internacional assumida pelo MMM.

As particularidades assumidas pelo Movimento nos diversos países em

que ele se deu, ditadas por problemáticas comuns e diferenças nacionais, fizeram

surgir especificidades históricas, institucionais e culturais ligadas às várias

reformas, cujo teor, debatido pelos teóricos que compõem a obra “Les sciences

au lycée" é objeto de comentários neste capítulo, procurando contribuir para o

alargamento de certas questões no âmbito do Movimento da Matemática Moderna

no Brasil.

4.1. Movimento da Matemática Moderna na França

Em meados dos anos 50, a política educacional francesa preconizava para

o ensino a necessidade de aliar os estudos científicos aos estudos clássicos. Aos

poucos, o prestígio das humanidades clássicas foi declinando, desabando

brutalmente entre 1963 e 1968. Concorreu para precipitar os acontecimentos a

marginalização das línguas clássicas (antigas), sobretudo a língua grega e o

crescimento muito rápido de renovação do ensino superior (BELHOSTE, 1996, p.

27-37).

Nesse período, o ensino superior passou por uma profunda reforma,

provocando a valorização do nível científico em todas as áreas, promovendo a

modernização dos programas da licenciatura em ciências das grandes escolas,

impulsionando o ensino científico nos liceus e colégios, principalmente em relação

à matemática (BELHOSTE, 1996, p. 27-37).

Vestígios da renovação do ensino de matemática aparecem no início de

1950. Em 1952, Jean Dieudonné, Gustave Choquet e André Lichneronowicz se

reuniram em Melun, França, com filósofos suíços para discutir os problemas do

ensino de Matemática em classes elementares. A Organização Européia de

Cooperação Econômica (OECE), atual Organização de Cooperação e

Desenvolvimento Econômico (OCDE) deu um impulso decisivo para a

implementação de uma reforma, organizando, dentre outras atividades, o

Colóquio de Royaumont, na França, dirigido pelo matemático Marshall Stone

(1903-1989) da Universidade de Chicago. A conferência internacional reuniu

especialistas de vinte países com o objetivo de promover uma reforma de

conteúdos e métodos do ensino de matemática na escola secundária. Contou

com a presença de Gustave Choquet, o qual apresentou um programa para o

ensino primário e secundário e Jean Dieudonné, que pronunciou o célebre slogan

“abaixo Euclides!”, fazendo referência à geometria euclidiana como representante

da matemática clássica.

A reforma da Matemática Moderna na França remonta aos anos 1950, mas

se colocou oficialmente em 1967. Nessa época, o modelo humanista restava

acabado. O ensino secundário estava voltado para uma nova clientela que não se

reconhecia na velha cultura das elites e, ao mesmo tempo, o ensino superior, em

pleno desenvolvimento, exigia de seus futuros estudantes, conhecimentos novos,

particularmente científicos. Nesse contexto, a reforma da Matemática Moderna foi

modelada pelo ensino superior, em função de seus interesses e de suas

preocupações e sem uma visão clara das finalidades próprias do secundário.

(BELHOSTE, 1996, p. 27-37).

A reforma de ensino da matemática não foi propriamente uma reforma

pedagógica, no sentido de que não foi motivada por argumentos pedagógicos,

nem mesmo por instâncias habituais de seus domínios. Ao se decidir pela

reforma, em 1966, Ministro da Educação Christian Fouchet cedeu à pressão da

Sociedade de Matemática Francesa e da Associação dos Professores de

Matemática do Ensino Público (APMEP), que denunciaram a conhecida

defasagem entre o estado atual da pesquisa Matemática e seu ensino,

acrescentando, contudo, um novo aspecto: “se não for feita a reforma em dez

anos, a França será um país subdesenvolvido” (ARMATTE, 1996, p. 79).

Deliberadamente, o ministro designou uma elite pedagógica agregada a

especialistas matemáticos. Para presidente do comitê, foi escolhido o matemático

André Lichnerowicz. Essa instância compreendia inicialmente dezessete

membros entre universitários e professores de liceu, dentre os quais, o

matemático Gustave Choquet, o físico Louis Néel, o matemático bourbakista

Pierre Samuel, o matemático Charles Pisot – antigo participante de Bourbaki – e o

matemático André Revuz, um dos principais promotores da reforma (MARSHAAL,

2002).

Assim, em outubro de 1966, a Comissão Lichnerowicz, encarregada pelo

Ministro da Educação de se “debruçar sobre o ensino de Matemática na França,

do maternal à universidade”, afirmava que seu objetivo não era elaborar “uma

reforma definitiva mas uma reforma lenta, de caráter cultural” (TRABAL, 1996, p.

181).

A reforma impulsionada pela Comissão Lichnerowicz apresentava um

caráter ideológico e totalizante, marcado pela posição bourbakista. Cumpre, no

entanto, fazer uma ressalva, no sentido de que André Revuz sustenta que apesar

de Bourbaki ter revificado o ensino universitário francês e ter dado à pesquisa um

impulso decisivo, não direcionou seu trabalho para o ensino em nível de

licenciatura. “É Choquet, que jamais foi Bourbakista, que fez a renovação do

Cálculo Diferencial e Integral em 1954 e cumpriu o projeto de Bourbaki iniciado

em 1934”. E, finalmente, “Bourbaki não estava preocupado ou mesmo se

interessou, ainda que de longe, pelo ensino secundário” (1996, p. 75).

Entretanto, os reformadores interpretaram a posição bourbakista como

fonte para fundamentar a implementação da reforma. Viam, nesse sentido, a

matemática como modelo de todo conhecimento, propício a reconstruir os

diversos domínios do saber ao modo matemático. Nesse sentido, a linguagem

matemática ocuparia um lugar essencial na elaboração do conhecimento. O

ensino da matemática deveria também aprender essa linguagem universal do

conhecimento. Como a matemática era considerada como instrumento essencial

de compreensão e de domínio do mundo, ela deveria ser ensinada a todos e isso

sob uma versão moderna, levando em conta suas estruturas. Essa ideologia de

“matemática para todos” era sustentada pela descoberta da pedagogia científica,

que afirmava uma harmonia entre a construção do pensamento da criança e a

Matemática Moderna fundamentada na epistemologia genética de Jean Piaget.

Nessa conjuntura, Piaget elaborou um modelo que acentuava a analogia

entre as estruturas que sustentavam o desenvolvimento dos conhecimentos

matemáticos das crianças e as estruturas matemáticas. As estruturas-mãe de

Bourbaki tornaram-se, desse modo, a marca da estruturas cognitivas profundas. A

aprendizagem da matemática passa, assim, pela aprendizagem das estruturas-

mãe em conformidade com a matemática bourbakista (BKOUCHE, 1996).

Os programas colocados pela reforma se articularam essencialmente sobre

uma ordem estrutural. A matemática unificada a partir de um ponto de vista

estrutural se apoiava sobre a Teoria dos Conjuntos. O ensino secundário

desenvolvia operações sobre conjuntos, relações e aplicações. A exposição se

reduzia, entretanto, à colocação de um vocabulário que se esforçava por ilustrar

exemplos concretos, que eram bem pouco lembrados em conformidade com a

matemática, mas que participavam de universalidade afirmada pela matemática.

A álgebra era privilegiada, na medida em que se presumia ser ela a fundadora da

matemática contemporânea. A noção de lei de composição, em particular a de

grupo, estava subordinada à geometria e à álgebra (BKOUCHE, 1996).

Segundo o historiador Bkouche, o referido programa terminou em fracasso,

que foi diversamente interpretado. Certos reformadores alegaram a falta de

preparação dos professores, embora tenha havido esforços de atualização,

empreendido pelo IREM (Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques),

solicitado para acompanhar a reforma. A “Association des Professeurs de

Mathématiques de l’Enseignement Public” rejeitou que a eles fosse atribuída a

responsabilidade pelo fracasso, alegando que houve um apelo ao formalismo

“estéril” para fazer da matemática um instrumento de seleção (BKOUCHE, 1996,

p. 130).

Depois de 1972, toda a imprensa passou a acusar a reforma de não

produzir nada a não ser um sistema cultural de elite. A revista “Impacience”, por

exemplo, dedicou um número especial à Matemática em 1976, fazendo uma dura

crítica ao papel social dos matemáticos, dirigida especialmente sobre a função

que ela exerceu na escola: seleção, efeitos de linguagem, perda de sentido,

exclusão, castração... mas especialmente sobre a função que ela exerceu na

sociedade (ARMATTE, 1996).

Há que se considerar, também, o entendimento de Bkouche (1996), para

quem o fracasso da matemática se transformou em um fracasso social: se a

matemática é para todos, aquele que fracassa em matemática é incapaz de

compreender o mundo e, portanto, não faz parte daqueles que possuem seu

saber fundamental.

4.2. Movimento da Matemática Moderna na Alemanha

A reforma e desenvolvimento do ensino da Matemática Moderna na

República Federal Alemã (RFA) ocorreu depois de 1960. Depois da 2ª Guerra

Mundial, o sistema de ensino foi reorganizado na RFA sob o modelo do sistema

existente nos anos 1920, cuja principal característica relacionava-se à

organização tripartida do ensino de nível secundário, com três tipos de escola, em

que os alunos eram encaminhados segundo os resultados obtidos no primário: o

Gymnasium (correspondente ao liceu francês), a Realschule (escola secundária

média) e a Volkschule, posteriormente transformada em Hauptschule (escola

principal, correspondendo a um ensino secundário curto). Havia uma diferença

tanto quantitativa quanto qualitativa entre os saberes oferecidos em cada uma das

partes do ensino secundário (KEITEL, 1996; SCHNEIDER, 1996).

No fim dos anos 60, as tentativas para reformar o ensino de matemática

diziam respeito ao Gymnasium. Os problemas relativos ao ensino de matemática

eram caracterizados por um ensino repetitivo e incoerente das questões

estudadas associadas a uma sobrecarga do programa. Para diminuir essa

sobrecarga, a Conferência Permanente de Ministros da Educação (KMK)

começou a publicar, a partir de 1955, recomendações e instruções para o ensino

de matemática para o Gymnasium. Não se tratava de modernizar, mas de unificar

e reduzir o cânone tradicional de ensino de matemática. Recomendava ainda

introduzir algumas raras questões de Matemática Moderna (do tipo universitário)

mas unicamente nos dois últimos anos de matemática do Gymnasium. A essas

instruções, juntou-se, a concepção tradicional de educação (Bildung)

inspiração cristã-conservadora, que reconhecia um valor menor às ciências,

incluindo a Matemática. Desse modo, a partir de 1961, foram reduzidos os

conteúdos e os horários de matemática e ciências do Gymnasium (KEITEL,

1996).

A partir de 1964, a Volkschule, passa por uma profunda reforma pela

KMK. O ciclo superior da Volkschule foi transformado em Hauptschule. O ensino

da Hauptschule começou a ser conhecido como um ensino moderno, orientado

notadamente para a indústria e ao mundo do trabalho. Procurou-se, dessa forma,

melhorar o recrutamento da Hauptschule, instituindo os dois primeiros anos de

classes específicas para os alunos mais dotados. A escolaridade foi aumentada

em um ou dois anos, mas sem aumento nos programas de Matemática, os quais

enfatizavam a preparação voltada ao mundo do trabalho e aplicação da Aritmética

em contextos diversos da vida social e econômica (KEITEL, 1996).

Somente a partir da publicação, em 1968, das “Recomendações e

instruções para a modernização do ensino de Matemática nas escolas primárias e

secundárias da KMK” uma nova orientação incidiu sobre o ensino de Matemática.

Essa recomendação se inseria no movimento internacional de reforma do ensino

de Matemática. Essa política de reforma repousava sobre certos objetivos gerais.

Tratava de elevar o nível geral de ensino da educação para a maioria da

população, definindo o que deveria ser a formação geral de base na matemática.

Fez mobilizar os recursos intelectuais do conjunto da nação e encorajou os alunos

de origem modesta a possuir estudos superiores. Restituiu a equivalência das

diferentes partes do sistema escolar, permitindo acesso aos estudos superiores e

às universidades a partir de cada filial do sistema. O objetivo último era a melhoria

e elevação do nível científico da matemática ensinada, para harmonizar com o

desenvolvimento do Ensino Superior e a pesquisa matemática.

O ponto crucial da reforma na Alemanha consistiu em considerar

a Matemática escolar como uma unidade, qualquer que fosse o

tipo de escola. Essa novidade se inscrevia numa política que

visava a unificação do conjunto do sistema escolar do ponto de

Bildung: princípio segundo o qual a aquisição do saber é indissociável da formação do espírito e mesmo da

pessoa (OTTE, 1993, p. 38).

vista dos conteúdos do ensino. A integração das três partes do

ensino secundário não deveria se efetuar para uma reestruturação

do sistema tripartido mas colocou em desenvolvimento um

programa de Matemática global – a matemática para todos! –

comum e unificada (KEITEL, 1996, p. 305).

Ao mesmo tempo, sob um plano mais geral, favorecia a passagem das

classes superiores de ensino secundário, levando ao desenvolvimento do

Gymnasium, prolongando a escolaridade obrigatória até então de 9 ou 10 anos e

propunha, ainda, escolaridades secundárias curtas e longas num mesmo

estabelecimento.

A reforma pretendia não somente modernizar, mas também elevar o nível

do conjunto de matemática escolar depois da escola primária, por meio da

introdução de conceitos básicos da Matemática Moderna tais como conjunto,

relação, grupo; insistindo também para a aquisição de estruturas e métodos da

ciência matemática, como a axiomatização, a dedução, a lógica formal, a

generalização, a abstração e a formalização. A utilização geral da linguagem

formal rigorosa deveria ser o símbolo da reforma, além de empregar termos e

conceitos da Teoria dos Conjuntos nos enunciados e definições e dos teoremas,

como também em toda sorte de demonstrações. E mais, a Teoria dos Conjuntos

penetraria também no ensino primário (KEITEL, 1996).

O sucesso da difusão do novo programa dependeu principalmente da

divulgação comercial dos manuais escolares. Graças a uma ativa propaganda de

reforma, os manuais escolhidos pelos alunos traziam mais leituras e explicações

do que exercícios e problemas. O objetivo não era somente informar os

professores sobre as novas tendências didáticas, mas também facilitar o trabalho

autônomo dos alunos. A escolha dos manuais era livre e os professores e alunos

tinham à sua disposição uma grande variedade de obras contendo abundante

material pedagógico. A passagem das idéias reformadoras na prática escolar não

foi acompanhada de uma vasta renovação pedagógica, nem de algum programa

pedagógico inovador, nem de alguma pesquisa ou de experimentação

pedagógica. Foi uma reforma burocrática, no entender de Christine Keitel (1996),

uma vez que

... não foi acompanhada nem por debates públicos, nem por

debates profissionais. As decisões foram tomadas no topo da

hierarquia e falharam ao se dedicar a uma área sem a devida

preparação. Esse procedimento administrativo foi seguido

também de um modelo didático que inspirou o conteúdo da

reforma; é a partir de temas que interessavam aos matemáticos

de nível universitário, de conceitos “necessários” ou

“fundamentais” que as questões e métodos do ensino secundário

foram definidos e selecionados (KEITEL, 1996, p. 308).

Paradoxalmente, observa Keitel, os matemáticos não tiveram um papel

maior na reforma. A maior parte deles considerou que o problema de

modernização se resumia em saber “como ensinar aos jovens as questões e os

fatos mais importantes da matemática de hoje em dia”. Ao considerar, de fato,

que a transformação da matemática em matemática escolar se aplicaria ao

conjunto do curso de matemática, herdeira evidente de concepções que

dominavam o ensino secundário (KEITEL, 1996, p. 308).

Em 1976, a KMK desiste da idéia de introduzir os conceitos e a linguagem

da Teoria dos Conjuntos na escola primária. Essa decisão marcou

simbolicamente o fim do período ativo da reforma. Ao invés de continuar a

consolidar a reforma, escolheu-se abandonar o programa de modernização. Os

programas oficiais passaram por uma nova revisão, para se reaproximarem das

antigas tradições, específicas de cada nível; os editores de manuais voltam ao

modelo tradicional de coleções de problemas para todos os tipos de escolas, o

engajamento de professores em favor da reforma se transformou em rejeição

(KEITEL, 1996). O objetivo ambicioso de combater a lacuna existente entre a

Matemática do secundário e a Matemática da universidade – um dos objetivos do

MMM – foi baseado na introdução de um curso opcional de aperfeiçoamento em

Matemática. Através de uma nova repartição de matérias de ensino nos dois

últimos anos do Gymnasium em 1972, estabeleceu-se cursos de níveis diferentes,

oferecendo a escolha entre um curso de matemática de base e um curso de

matemática especializada. Entretanto, essa última escolha não foi levada em

conta nas notas para o exame final. A Matemática perdeu assim, todo o valor

seletivo no sistema secundário (KEITEL, 1996).

Depois da queda do muro de Berlim em 1990, a Alemanha passou por

uma profunda transformação e confrontou-se com problemas concernentes à

unificação dos sistemas escolares do Oeste e do Leste, em particular, o ensino da

matemática. O sistema escolar do Leste foi alinhado ao do ocidente, sendo

restabelecido o sistema tripartido, considerado ultrapassado. O ensino de

matemática que ocupava um lugar notável no antigo sistema da República

Democrática Alemã (RDA), perdeu muito de sua importância. Contudo, ainda hoje

o sistema escolar se ressente das transformações sociais ocorridas no período,

exigindo inevitáveis e novas mudanças no ensino secundário (KEITEL, 1996).

4.3. O Movimento da Matemática Moderna nos Estados Unidos da América

Com o final da II Guerra Mundial, a fragilidade do ensino da matemática

tornou-se evidenciada, exigindo modificações na sociedade de modo que

pudesse acompanhar o rápido desenvolvimento tecnológico. Expandiu-se o

significado da matemática, o que exigiu a constituição de novos grupos de estudo

compostos não somente por profissionais oriundos dos cursos de matemática.

O principal órgão responsável pela elaboração das recomendações

educacionais era o “National Committee on Mathematical Requirements”, ligado à

“Mathematical Association of América”. Além disso, o “National Council of

Teachers of América” (NCTM) também apresentou recomendações gerais para o

ensino da matemática, enfatizando a compreensão dos procedimentos e seu

significado, em oposição a um ensino baseado na memória e destreza na

realização de operações (BÚRIGO, 1989).

Os trabalhos desenvolvidos por esses grupos culminaram com o

surgimento, em meados de 1950, do Movimento da Matemática Moderna nos

EUA, tendo sua origem em grande parte vinculada às universidades. Os

matemáticos universitários cuja atenção voltava-se para a Teoria dos Conjuntos e

o método axiomático, lamentavam a ausência de questões de matemática pura

nos programas escolares, considerando, igualmente, que a matemática pura

poderia se transformar em poderosa aliada para a melhoria desses programas. A

reforma visava adaptar os conceitos de Matemática Moderna como base para

alterar os programas de ensino (KILPATRICK, 1996).

100

A preocupação com a melhoria da formação de cientista e técnicos levou à

elaboração de projetos que culminou com a criação do primeiro grupo de

pesquisa, o University of Illinois Committee on School Mathematics (UICSM), em

1951, sob a coordenação do educador matemático Max Beberman, cujo projeto

caracterizava-se pela ênfase à precisão da linguagem, aos conceitos e à

compreensão como base da habilidade matemática (D’AMBROSIO, 1987;

BÚRIGO, 1989).

Em 1958, foi criado o School Mathematics Study Group (SMSG), sob a

liderança de Edward Griffith Begle. Participavam desse grupo, matemáticos,

professores de matemática, educadores, psicólogos e representantes da

comunidade científica e tecnológica, os quais tinham como objetivo maior

escrever livros didáticos da Matemática Moderna para o secundário. O material

produzido foi testado, publicado e traduzido para quinze línguas diferentes. O

SMSG foi indiretamente influenciado pelos trabalhos do grupo Bourbaki

(D’AMBROSIO, 1987).

Tomaram parte na redação dos textos do SMSG cerca de 100 matemáticos

e 100 professores secundaristas, com a finalidade de que os temas tratados

fossem rigorosos tanto do ponto de vista matemático quanto do didático. Durante

o período escolar de 1959/1960, 45 estados americanos receberam os textos e

manuais para professores, numa experiência que envolveu 400 professores e

42.000 alunos. No transcurso desse período, os professores foram assessorados

por matemáticos universitários. Professores, assessores e alguns alunos

avaliaram os materiais recebidos, apresentando suas sugestões e críticas, as

quais foram analisadas por uma equipe de revisão, composta por 50 professores

e 50 matemáticos. Esta equipe realizou diversas alterações, reescrevendo

novamente alguns pontos assinalados como complexos e difíceis pelos alunos.

Entretanto, essas revisões não alteraram a orientação básica dos textos originais

(BROWN, 1963).

Recebendo total apoio do governo e financiamento do NSF, o SMSG

elaborou um conjunto de obras para variados níveis de ensino, iniciando suas

publicações a partir de 1960. Nelas, apresentava novos conteúdos, assim como

modificações na organização e apresentação dos assuntos clássicos. Insistia nas

101

idéias unificadoras, como o estudo das propriedades comuns de todos os

sistemas matemáticos (as estruturas), a Teoria dos Conjuntos (BROWN, 1963).

O SMSG apresentou o estudo da geometria em um curso separado,

iniciando pelo desenvolvimento da percepção do espaço. Algumas vezes,

integravam a geometria dos sólidos com a geometria plana. Freqüentemente

aparecia integrada com a álgebra. Buscava estimular a penetração intuitiva,

insistindo particularmente no enunciado exato das definições e teoremas

(BROWN, 1963).

O SMSG (1960) adotou o tratamento métrico tipo régua-transferidor, no

qual a geometria euclidiana é desenvolvida a partir da noção de número e

baseada em propriedades sugeridas pela régua (graduada) e pelo transferidor.

Este tratamento, reservado ao ensino secundário, foi apropriado de diversas

formulações geométricas desenvolvidas ao longo do tempo, dentre as quais se

destacam aquelas elaboradas por Birkhoff.

Em 1925, Birkhoff elaborou as seguintes propostas para explicar fatos

geométricos ao leitor não especializado:

a) As medidas de distâncias ao longo da reta podem ser

realizadas com a régua.

b) As medidas de ângulos entre retas podem ser realizadas com o

transferidor.

c) Dois pontos estão contidos em uma única reta.

d) O plano é igual e ainda semelhante a si mesmo em todas as

suas partes (COSTA, 1985, p. 37).

Posteriormente, em 1932, propôs um tratamento métrico para a escola

secundária, por meio de um sistema postulacional, em “A set of postulates for

plane geometry, base don scale and protractor”. A partir de 1959, o matemático

Saunders Mac Lane, no artigo “Metric postulates for plane geometry” colocou em

evidência as vantagens do tratamento, alertando matemáticos e professores

universitários. Mac Lane aperfeiçoou o sistema de Birkhoff, mas esse sistema

ainda não se encontrava adequado para o ensino secundário. O SMSG (1960)

apresentou uma variante do sistema numa explicitação compatível com o ensino

básico, utilizando noções geométricas como as medidas de comprimento e de

102

ângulo, de modo simples, procurando retratar de imediato as propriedades

comprovadas no espaço físico (COSTA, 1985).

As iniciativas desenvolvidas nos EUA, em especial aquelas efetuadas pelo

SMSG, inspiraram o GEEM

a promover a introdução de novos tópicos no

currículo do ensino secundário, os quais normalmente estavam presentes em

níveis mais avançados: geometria informal, probabilidades, álgebra e teoria dos

números. Os conjuntos aparecem como tema unificador, sendo dada grande

ênfase nas estruturas algébricas.

No começo dos anos 60, vários projetos foram consagrados a uma revisão

do programa do nível secundário

norte-americano, e posteriormente,

começaram também a investir no ensino elementar. Inicialmente, a disposição

dos programas voltava-se especialmente para alunos que reuniam potencial de

ingressar na universidade e por conseqüência, aos mais estimulados, mais

inteligentes, mais elegantes. Quando o Governo Federal lançou o programa de

luta contra a pobreza, os alunos considerados desfavorecidos exigiram recursos

para uma reforma de ensino que atendesse a seus interesses. Tratava-se de um

desafio muito mais difícil para os reformadores.

As idéias que pareciam bem encaminhadas para High Schools

dos subúrbios residenciais vizinhos das universidades com

professores entusiasmados e alunos interessados fracassavam

freqüentemente quando eles eram aplicados às escolas menos

favorecidas (KILPATRICK, 1996, p. 253).

As críticas começaram a surgir e um grande número de pais e educadores

passam a acreditar que a Matemática Moderna foi um fracasso. Houve intensa

manifestação em prol do regresso aos currículos e métodos anteriores à reforma,

o chamado “back to basics”, que se tornou expressão corrente nos manuais e nas

instruções oficiais (KILPATRICK, 1996).

GEEM: Grupo de Estudos do Ensino da Matemática. Fundado em 1961, tinha como objetivo incentivar o

estudo da Matemática Moderna no Brasil e, uma das principais características do GEEM, foi a de promover

cursos de verão como também seminários e palestras durante o ano letivo, para professores de todo o país e

de outros países da América Latina.

Além do UICSM e do SMSG, destacamos os programas desenvolvidos pela Ball State Teacher’r College,

Boston College Mathematics Institute, University of Maryland Mathematics, dentre outros (D’AMBROSIO,

1987).

103

Para Kilpatrick (1969), o Movimento da Matemática Moderna não teve seus

esforços recompensados nos programas americanos, mas de uma forma ou de

outra provocou transformações substanciais na comunidade americana de ensino

de matemática. Em particular, aquelas produzidas nos anos 1970 e 1980, em que

as tentativas para modernizar o ensino do país foram acompanhadas por um

aumento rápido no número de educadores matemáticos e um formidável

desenvolvimento de suas atividades de pesquisa.

Além do mais, a reflexão sobre o ensino de Matemática sofreu um avanço

significativo nos EUA a partir da segunda metade do século XX. Os americanos

participaram ativamente de conferências promovidas pela OECE, em particular

aquelas realizadas pelo CIEM, tanto com a pretensão de se informarem sobre as

transformações do ensino de Matemática no estrangeiro quanto para

apresentarem o que estava sendo feito em seu país. Os professores americanos

de Matemática tiveram um papel dos mais ativos na comunidade internacional

que se organizou depois dos anos 1950.

De acordo com Kilpatrick (1996), o gosto da experimentação nos EUA é

um verniz que esconde um profundo conservadorismo em matéria pedagógica.

Esse conservadorismo tem contribuído para congelar ao longo dos anos as

veleidades dos programas de reforma. O prestigioso “National Advisory

Committee on Mathematical Education” (Comitê Nacional de Consulta para o

Ensino de Matemática) depois de ter examinado o andamento da reforma da

Matemática Moderna, chegou à conclusão que “o impacto real foi modesto com

relação ao que era esperado”, ou seja, a melhoria do ensino por meio da

introdução de noções de Matemática Moderna. Para confirmar suas palavras

Kilpatrick, busca auxílio em Peter Hilton, para quem a Matemática Moderna teria

agradado apenas cerca de 15% dos alunos americanos (1996, p. 255).

As falhas na estrutura dos programas expressos na organização geral dos

cursos e nas práticas de ensino ao longo da história do ensino de Matemática não

marcam o início de uma reforma de ensino. Em compensação, elas assinalam,

desde os primeiros anos do século XX (primeira reforma)

a emergência de uma

A primeira década do século XX apresentou-se como crucial para discussões sobre o ensino de

Matemática norte-americano. Jacob Willian Albert Young e David Eugene Smith foram os principais nomes

que se consagraram no desenvolvimento da pedagogia Matemática americana.

104

comunidade de educadores em Matemática e nos anos 1955-1970, a

consolidação dessa comunidade (KILPATRICK, 1996).

4.4. O Movimento da Matemática Moderna na Itália

A organização do sistema escolar italiano atual encontra-se dividido em

três níveis: a escola elementar, obrigatória para crianças na idade de 6 a 10 anos,

a escola secundária de primeiro grau, igualmente obrigatória para crianças entre

11 e 14 anos e a escola secundária de segundo grau (escola secundária

superior), para alunos entre 14 e 19 anos, permitindo acesso imediato à todas as

faculdades do país.

Um dos primeiros atos do regime fascista italiano foi realizar uma reforma

global e estrutural da escola secundária italiana, conhecida como Reforma

Gentile, datada de 1923, em homenagem ao filósofo Giovanni Gentile (1875-

1944). Após a II Guerra Mundial, embora não se possa afirmar que fora uma

reforma efetiva em seus quadros – uma vez que os programas antigos foram

conservados – algumas mudanças marcantes se realizaram: a escolaridade

obrigatória para aqueles indivíduos até os 14 anos, a unificação do ensino

secundário de 11 a 14 anos e acesso à universidade para todos os alunos da

escola secundária superior.

A partir dos anos 1950, a Itália começa a participar dos debates sobre a

renovação do ensino de Matemática organizado pela CIAEM, ICMI e OECE,

fazendo-se presente no Congresso de Royaumont em 1959.

Emma Castelnuovo, pesquisadora e educadora matemática italiana, além

de contribuir consideravelmente para a difusão dos novos métodos de ensino na

Itália, os livros que escreveu para alunos de 11 a 14 anos (ensino secundário de

primeiro grau), em conformidade com um método construtivo baseado na

observação do mundo real, era novidade naquela época no panorama italiano.

Foram publicados pela primeira vez em 1949, tendo várias edições. Desse modo,

Castelnuovo contribuiu também para manter contato com o meio internacional,

embora os intercâmbios com outros países tenham sido incipientes. O pouco

105

impacto que a Matemática Moderna exerceu no ensino secundário italiano depois

de 1960 é exemplo dessa escassa interação (FURINGHETTI, 1999).

Entretanto, o ensino primário conheceu algumas tentativas de introdução

da Matemática Moderna, cujos manuais escolares primários se reduziam à

introdução de alguns elementos da Teoria dos Conjuntos – que eram identificados

com a Matemática Moderna – inseridos artificialmente num contexto tradicional e

pelos quais os professores não tinham nenhuma formação.

Já a formação universitária dos professores de Matemática da Escola

Secundária Superior não comportava, nos anos 1960, nenhum elemento de

Matemática Moderna. Fulvia Furinghetti (1996) observa que, somente por volta de

1960 os primeiros cursos de Álgebra Moderna foram introduzidos na universidade

e seria um paradoxo que a Matemática Moderna entrasse na escola secundária,

antes ou ao mesmo tempo, que na universidade.

Em 1975, foram criados os primeiros grupos de pesquisa em Didática da

Matemática com o suporte financeiro do Centro Nacional de Pesquisa. Um dos

primeiros resultados obtidos pelo grupo foi o desenvolvimento de projetos e

produção de manuais para a escola secundária superior. Esses projetos

contribuíram fortemente para orientar as discussões sobre o nível de ensino e o

desgaste dos programas. Traziam novos conteúdos, como noções de

probabilidades; novos métodos, como o ensino por resolução de problemas, uma

visão moderna do problema da axiomatização. No entanto, o ambiente na escola

secundária apresentava-se debilitado, não permitindo a aceitação desses

projetos, apesar do apoio do Ministério da Educação e das contribuições das

iniciativas não governamentais (FURINGHETTI, 1999).

4.5. O Movimento da Matemática Moderna na URSS

Durante a maior parte do período soviético, os programas de ensino de

Matemática não sofreram modificações significativas. O manual de A. P. Kissilev,

por exemplo, publicado em 1892, foi utilizado por mais de 70 anos. Somente nos

anos 1970, uma mudança radical nos programas do ensino secundário foi

106

realizada, tendo como um de seus objetivos a reorganização do ensino de

matemática para acompanhar a evolução da Matemática Moderna.

Uma comissão da Academia de Ciências da URSS e da Academia de

Ciências Pedagógicas reuniu-se, em dezembro de 1964, para definir o conteúdo

dos ensinos escolares, ficando a cargo de Kolmorogov a direção da subcomissão

de Matemática. Um grupo formado por matemáticos profissionais, pedagogos e

professores reuniu-se durante três meses para preparar um projeto de programa

que foi submetido a uma grande discussão e posterior redação em 1967. A

reforma foi aplicada por etapas a partir do ano escolar de 1970-1971. Cada etapa

da reforma do ensino de Matemática foi desenvolvida com participação direta de

Kolmogorov, que praticamente renunciou à pesquisa para se consagrar

inteiramente ao ensino. Um reflexo de suas atividades pedagógicas é encontrado

nos numerosos artigos publicados em jornais e revistas da época, além de

conferências realizadas na Rússia e no exterior para explicar incansavelmente os

objetivos e conteúdos da reforma. Kolmogorov se interessava por outras reformas

de ensino que estavam ocorrendo em outros países estrangeiros, particularmente

na França, para onde se dirigia regularmente (PETROVA, 1996).

A estrutura do curso foi inteiramente modificada. A partir de então, o curso

de Matemática do ensino secundário formaria um conjunto unificado da 1ª à 5ª

série, onde foram introduzidos elementos de Álgebra (números negativos,

notação literal, equações lineares, noções mais simples sobre conjuntos e

operações sobre conjuntos). Da 6ª ao 8ª série dava início ao curso de Álgebra e

geometria, sendo que na 9ª e 10ª série, juntamente com a Álgebra, era

introduzida a Análise. Em Álgebra, foram introduzidas noções de aplicação e

função numérica. Em Geometria, as noções eram aprofundadas e demonstradas

nas séries superiores onde a apresentação era fundamentada na Teoria dos

Conjuntos. Para determinação do volume do cone, pirâmide e esfera, foram

introduzidas noções elementares de integrais. Algumas noções de Lógica como

implicação, equivalência, etc, foram usadas em demonstrações.

O projeto inicial continha outros conteúdos que foram sendo abandonados

em seguida, como noções de grupos, anéis e corpos, elementos de cálculo,

probabilidade e números complexos. Conscientes da dificuldade que apresentava

107

tal programa para a maioria dos alunos, os autores da reforma propuseram tornar

facultativo parte do curso de matemática. Além disso, cientes da necessidade dos

professores em aprender o novo método, os reformadores igualmente atacaram a

formação profissional dos professores (PETROVA, 1996).

A partir da metade dos anos 1970, uma série de críticas contra os

manuais redigidos a partir dos programas de Kolmogorov começou a surgir.

Essas críticas estavam ligadas, em grande medida, à linguagem matemática, que

foi julgada excessivamente formalizada, recheada de definições abstratas e pouco

compreensíveis, muito além do conteúdo real; um número de noções e

propriedades foram suprimidas no curso de Geometria e o tempo dedicado à

resolução de problemas clássicos havia sido reduzido (PETROVA, 1996).

Alguns artigos críticos começam a surgir na imprensa contra a reforma de

Kolmogorov. Essa campanha, como freqüentemente acontecia na URSS,

assumiu a forma de denúncia pública de oposição a Kolmogorov, sob o domínio

pedagógico. Assim, a reforma foi abandonada. O Ministro da Educação recebeu

instruções para revisar imediatamente os conteúdos dos programas de

matemática. Três projetos de programa foram levados à discussão no início de

1979. Segundo Petrova (1996), a análise desses programas mostrou que eles

diferem daquele de Kolmogorov mais pelo conteúdo do que pela maneira de tratar

os temas. Desse modo, o programa dos anos 1980, adotado depois do abandono

da reforma de 1970, conservou ainda os principais elementos do programa de

Kolmogorov.

4.6. O Movimento da Matemática Moderna na Bélgica

O Movimento da Matemática Moderna na Bélgica teve início nos anos

1960. Foi promovido por professores do ensino secundário, integrantes da

“Sociedade Belga de Professores de Matemática”. Esses professores

organizaram congressos, publicaram a revista “Mathematica & Paedagogia” e

participaram dos encontros anuais da CIEM os quais forneceram a oportunidade

de fazer contatos internacionais frutíferos para a implementação da reforma da

Matemática Moderna na Bélgica. Willy Serrais, Fréderic Lenger, Louis Jéronnez,

108

foram alguns dos professores que tiveram papel de destaque na organização

desse movimento. Desejosos de lançar novas experiências na Bélgica, Servais e

Lenger buscaram apoio no matemático Georges Papy (1920- ), professor da

Université Libre de Bruxelles, cuja relevante colaboração fez com que a Bélgica

se tornasse o país de vanguarda do movimento.

Desde 1961, os programas modernos foram experimentados nas primeiras

séries do secundário. O dinamismo de Papy suscitou a colaboração dos

professores e imprimiu maior agilidade para a realização da reforma. Em

numerosas ocasiões Papy definiu seu objetivo pedagógico como sendo o de

“ensinar os alunos de hoje em dia, a matemática de hoje em dia”, reconstruída

com esta intenção pela ciência matemática. Tratava-se de fazer uma exposição

da matemática elementar de modo estrutural e coerente, que proporcionasse

acesso o mais rápido possível, às grandes estruturas, em particular, às estruturas

de Espaço Vetorial (NOËL, 1996, p. 320).

Com base nessas idéias, Papy empreendeu efetivamente a reconstrução

da matemática elementar. O resultado, embora inacabado, foi apresentado na

célebre “Mathématique Moderne” volumes 1, 2, 3, 5 e 6, publicados nos anos

1963-1967. Os programas, segundo Noel (1996), eram muito coerentes. Em

particular, o curso de geometria plana, levado a cabo por Papy era rigoroso, muito

elegante, muito econômico, colocando em evidência os resultados considerados

essenciais.

Em 1968, a influência de Georges Papy sobre o Movimento começou a

decair:

Seu estilo, sua recusa de concessões, mesmo sobre detalhes, as

oposições pessoais foram afastando dele alguns de seus

colaboradores que continuaram, entretanto, sua ação de modo

independente. Pelas mesmas razões, Papy não se fez mais

presente nas comissões oficiais que redigiram os programas

definitivos (NOËL, 1996, p. 320-321).

Elaborar um programa e manuais didáticos que estivessem em

conformidade com as idéias inovadoras não era suficiente para garantir o êxito da

reforma do ensino da matemática. Convinha, além disso, assegurar a atualização

109

dos professores. Os cursos de formação de professores foram baseados em dois

componentes: o conteúdo e a metodologia. A quase totalidade dos trabalhos

debruçou-se sobre a matéria a ser ensinada, pois poucos eram os professores

que tinham noções de Álgebra Moderna. Mesmo entre aqueles que possuíam

essas noções, ainda lhes faltava o modo apropriado de como aplicá-las ao estudo

das noções elementares em Geometria, Álgebra e Aritmética (NOËL, 1996).

Modificar os métodos de ensino mostrou-se muito mais difícil do que

modificar as matérias de ensino. Dessa forma, trabalhos enfocando a metodologia

foram quase inexistentes. Assim, a maioria dos professores comunicava a seus

alunos as matérias que eles dominavam pouco, aplicando os mesmos métodos

que sempre haviam aplicado para a Matemática tradicional (NOËL, 1996).

Em relação à pretensão dos reformadores em tornar a matemática mais

agradável para a maioria dos cidadãos, a reforma não cumpriu seu intento.

Contudo, para NOËL (1996), seria um erro falar em fracasso total para a

Matemática Moderna. Depois de 1992, as idéias evoluíram o suficiente para a

composição de um novo programa, que não se constituiu em uma ruptura com os

programas do período da Matemática Moderna, posto que esses foram

absorvidos, eliminando-se os excessos. O curso de Geometria foi completamente

revisto, mas continuou dando lugar à Geometria das Transformações; e

conteúdos de álgebra linear, destacados na reforma da Matemática Moderna,

ainda conservam um lugar importante.

4.7. A reforma da Matemática Moderna: um olhar sobre a participação de

matemáticos e educadores matemáticos

Os artigos sobre reformas de ensino de Matemática Moderna que

compõem a obra “Les science au lycée” revelam uma especial preocupação por

parte dos reformadores com a modernização do ensino superior após a Segunda

Guerra Mundial, cujo incentivo ao avanço científico e tecnológico ali encontrado,

particularmente quanto à ciência matemática, impulsionou os movimentos de

renovação do ensino secundário.

110

Os pesquisadores assinalam a pretensão manifestada por diversos países

em democratizar o ensino secundário, decorrente da expansão econômica a partir

dos anos 50. O crescimento do ensino superior nos países industrializados

estimulou a adoção de critérios para a valorização do ensino científico,

concorrendo para o declínio das humanidades clássicas. Surge a necessidade de

reformar o ensino secundário, procurando adequá-lo à nova realidade do ensino

superior e promover a ampliação das oportunidades de acesso às universidades.

Assim, o lema “Matemática para todos”, é defendido por reformadores da

França e Alemanha. Em outros países, tais como, Estados Unidos, Bélgica e

Itália, o anseio em divulgar a matemática para a maioria dos cidadãos ganhou

significativo interesse por parte dos dirigentes governamentais, estimulando a

revisão de programas de ensino, e mobilizando um grupo de atores constituído

por matemáticos, professores, pedagogos, políticos etc, que, convencidos da

urgência em adequar o ensino secundário aos novos tempos, empenharam-se em

promover a reestruturação do ensino de matemática naquele nível.

A “matemática para todos” também foi objeto de considerações por parte

de Michael Otte (1993), para quem esse assunto pode levar a duas

interpretações. A primeira, diz respeito à uma determinada forma de matemática

que deve ser indistintamente ensinada para todos os indivíduos da sociedade; já

pela segunda, a frase pode expressar a intenção de que para cada indivíduo,

deveria ser acessível ao menos uma forma de matemática. A matemática, na

primeira acepção, se caracteriza pelo domínio referencial de suas afirmações e

pela generalidade de seus conceitos; enquanto que na segunda, a matemática

fica caracterizada pela natureza de sua ligação com a atividade individual e pela

particularidade e concretude de seu modo de proceder.

Para Otte (1993), o MMM advogou um tipo uniforme de matemática no

sentido da primeira interpretação, deduzindo dessa uniformidade do saber, uma

uniformidade na educação, ao defender o estabelecimento de uma escola única

para todos. Uma das causas aventadas para o fracasso do Movimento, reside

justamente no argumento de que nem todos os alunos têm aptidão para uma

matemática científica – entendida aqui como formal, rigorosa e abstrata. Ora, se

não havia essa aptidão generalizada, como levar à frente uma reforma amparada

111

em um idealismo que se sustentava na cientificidade da matemática e na

cientificidade do seu ensino como instrumentos de superação das desvantagens e

desigualdades sociais? Isso permitiu a Otte constatar que hoje em dia, a história

da reforma se apresenta “como uma mudança da concepção da frase

‘matemática para todos’ da primeira para a segunda das interpretações

mencionadas” [grifo do autor] (p. 32, 1993).

Entretanto, naquela época, os reformadores não poderiam vislumbrar as

conseqüências daquelas propostas de universalização da Matemática, tendo em

vista que o foco das discussões concentrava-se na necessidade de inovação

curricular por meio da adoção de conteúdos da Matemática Moderna, para atingir

aquele objetivo.

As várias análises expressas no “Les science au lycée” permitem verificar,

realmente, que a iniciativa por mudanças foi desencadeada a partir da

insatisfação de matemáticos universitários, os quais denunciavam a ausência de

questões matemáticas mais “modernas” ligadas à Teoria dos Conjuntos e ao

método axiomático, que preparassem os estudantes durante o curso secundário.

Não obstante as afirmações como as de Weil (2002) ou de Revuz (1996)

indiquem patente indiferença de Bourbaki em relação ao ensino secundário, ou,

do mesmo modo, a afirmação de Keitel (1996) ao denunciar o desinteresse dos

matemáticos alemães pela modernização do ensino, os métodos empregados no

fazer matemático, os conteúdos escolhidos para serem abordados, as práticas

utilizadas, deram o tom, indicaram os caminhos para a realização das reformas.

Ainda assim, os matemáticos Andreï Kolmogorov (Rússia), George Papy

(Bélgica) e Edwad G. Begle (EUA) ganharam destaque nas pesquisas realizadas

por representarem lideranças frente às reformas da Matemática Moderna. Na

França, matemáticos como Jean Dieudonné, Gustave Choquet, André

Lichnerowicz, Pierre Samuel, André Revuz, Charles Pisot participaram ativamente

da reforma do ensino secundário, espelhando-se no método bourbakista.

Embora menos numerosos, os matemáticos encontram-se unidos por

práticas profissionais múltiplas, colóquios, júris, teses, revistas, formando um

grupo relativamente coeso. Em 1959, com o apoio da OEEC (Organization for

112

European Economic Cooperation), realizou-se a Conferência de Royaumont na

França, que contou com a participação de matemáticos e educadores

matemáticos de diversos países, cujas delegações deveriam ser compostas por

pessoas de notório saber em suas ocupações. As recomendações da Conferência

de Royaumont incentivaram a colaboração entre diversos países e estimulou a

organização de iniciativas em prol da melhoria do currículo e do ensino da

Matemática.

Entretanto, há que se levar em conta a assertiva de Antoine Prost “Se é

grande o seu prestígio, os sábios, sozinhos, são impotentes. Para atingir seus

fins, eles precisam de aliados” (1996, p. 17). Ou seja, para a realização das

reformas foi necessária uma aliança entre matemáticos, administradores,

professores, políticos e pedagogos, formando um corpo heterogêneo de

reformadores.

Na história das reformas de ensino, a mobilização dos atores e mais ainda,

suas alianças, são fatores decisivos. Além disso, continua Prost, os professores

são atores decisivos da reforma. Para que uma reforma seja duradoura, faz-se

necessário convencê-los de sua necessidade, especialmente porque eles se

deparam, em sala de aula com resistências que não são de todo superadas.

Em relação aos professores, outro aspecto deve ser ressaltado: nem seus

sindicatos, nem suas associações representam, em sua totalidade, os interesses

da classe, não sendo raro, portanto, acontecer uma política cuja adesão não é

completa.

Também o Brasil não ficou imune àquelas preocupações e debates em

torno da reestruturação do ensino de Matemática, os quais serviram de base para

implementação do Movimento da Matemática Moderna no país, a partir da década

de 1960.

113

CAPÍTULO 5

SOBRE A PARTICIPAÇÃO DE MATEMÁTICOS NO MOVIMENTO

DA MATEMÁTICA MODERNA NO BRASIL: um panorama de teses

e dissertações

Retomando o objetivo geral deste trabalho, qual seja, o da investigação da

dinâmica das relações entre matemáticos e educadores matemáticos nas

propostas de ensino de Matemática, defendidas pelo MMM, neste capítulo são

analisadas teses e dissertações, aquelas que diretamente tomam esse

movimento como tema central de suas investigações.

Para tanto, utilizamos como critério básico a leitura dessas pesquisas, em

ordem cronológica, entendendo-se que esse procedimento propicia um maior

conhecimento e convida a uma crítica mais ponderada sobre os trabalhos que

tiveram como finalidade a análise do MMM. Além disso, esses trabalhos foram

realizados em diferentes épocas e lugares e, na medida em que vamos nos

aproximando dos trabalhos mais recentes, observamos que estes vão

acrescentando novos dados, compondo um quadro cada vez mais geral sobre o

Movimento, apresentando documentos já referenciados nos demais, postulando

conclusões às vezes diferenciadas ou mesmo discordantes dos trabalhos

anteriores, como também convergindo para aquelas apresentadas nas

investigações posteriores.

Neste estudo, valemo-nos de parte das teses e dissertações discriminadas

no inventário realizado pelo Grupo de Pesquisa em História da Educação

114

Matemática – GHEMAT, da PUC-SP

, a saber: “The Dynamics and

consequences of the modern mathematics reform movement for brazilian

mathematics education”, de Beatriz D’ Ambrósio, 1987; “Movimento da

matemática moderna no Brasil: estudo da ação e do pensamento de educadores

matemáticos nos anos 60”, de Elizabete Zardo Búrigo, 1989; “Três décadas de

educação matemática: um estudo de caso da Baixada Santista no período de

1953-1980”, de Gilda Lucia Delgado de Souza, 1998; “Movimento da matemática

moderna: memória, vaias e aplausos”, de Catarina Maria Vitti, 1998; “A percepção

de professores atuantes no ensino de matemática nas escolas estaduais da

Delegacia de Itu, do movimento da matemática moderna e de sua influência no

currículo atual”, de Maria do Carmo Sousa, 1999; “Reflexão histórica sobre o

Movimento da Matemática Moderna em Juiz de Fora”, de Ana Maria Stephan,

2000; “Movimento Matemática Moderna no Brasil: avanço ou retrocesso?”, de

Flávia Soares dos Santos, 2001 e “Retraços da educação matemática na região

de Bauru (SP): uma história em construção”, de Ivete Maria Baraldi, 2003.

A disposição adotada para a descrição desses trabalhos fez com que, os

assuntos abordados nos primeiros estudos descritos neste capítulo, fossem, em

grande parte, retomados pelos que se seguiram posteriormente. Por esse motivo,

a disposição adotada na narrativa desses trabalhos foi mais alongada para os

primeiros, cujas descrições e explicações fizeram igualmente parte dos demais.

Além disso, estas explicações prestaram-se para o desenvolvimento da própria

tese que ora apresentamos, quando nos valemos destas mesmas explicações

para dar continuidade aos assuntos em pauta.

Apenas a constatação da existência de uma proposta de inovação para o

ensino e de esforços para implantá-la, além de aquilatar o que teria representado

ou nos legado para o futuro, por si só justifica tomar o MMM como objeto de uma

maior investigação histórica. Realizar um estudo histórico, apesar dos trabalhos

que tratam especificamente do MMM, faz-nos lembrar a observação feita por Le

Goff, sobre a necessidade de se questionar a documentação histórica, também

em suas lacunas: “é necessário fazer o inventário dos arquivos do silêncio e fazer

O GHEMAT, o banco de teses da CAPES e o inventário realizado pelo CEMPEM, da UNICAMP, apontam

a existência de apenas oito teses e dissertações que tomaram o Movimento da Matemática Moderna por

tema central de pesquisa.

115

a história a partir dos documentos e das ausências de documentos” (1982, p.

103).

Cabe também esclarecer que, neste capítulo, não foram incluídas

dissertações realizadas e publicadas por pesquisadores integrantes do GHEMAT,

do qual fazemos parte. Todas essas investigações, incluindo esta pesquisa,

buscam ir além do ideário do MMM, valendo-se de aportes teórico-metodológicos

que orientam pesquisas dentro da História da Educação, especialmente a de

estudos relativos às questões culturais. O que as diferenciam de nosso trabalho

são justamente o problema de pesquisa e as questões que se propuseram a

responder e, tendo em vista que esses estudos foram desenvolvidos dentro do

mesmo grupo, não buscaram, obviamente, analisar as produções dos

matemáticos Omar Catunda, Benedito Castrucci e Jacy Monteiro e suas relações

com a Educação Matemática durante o MMM.

Os trabalhos do GHEMAT

que trataram direta ou indiretamente do MMM

foram os seguintes:

A dissertação “Tempos pré-modernos: a matemática escolar dos anos

1950” de autoria de Alex Sandro Marques (2005), investigou como fora

organizada a matemática escolar do ginásio nos anos 1950, situando-se entre

dois momentos fundamentais da história da educação matemática brasileira: o

nascimento da disciplina matemática, em 1929, e o advento do Movimento da

Matemática Moderna (MMM), no início do decênio de 1960.

Já a dissertação elaborada “A matemática moderna no Brasil: as primeiras

experiências e propostas de seu ensino” de autoria de Rosimeire Aparecida

Soares Borges (2005) teve como objetivo estudar o MMM, a partir da história de

vida do professor Ubiratan D’Ambrosio nos anos de 1957,1959 e 1961.

A pesquisa realizada por Flainer Rosa de Lima (2006), “O Grupo de

Estudos do Ensino da Matemática e a formação de professores durante o

movimento da matemática moderna” voltou-se para o estudo dos cursos

desenvolvidos e realizados pelo GEEM, para os professores de Matemática do

As dissertações elaboradas pelo GHEMAT encontram-se disponíveis para pesquisa no site

http://www.pucsp.br/pos/edmat/.

116

Ensino Secundário durante o MMM, por meio da análise de documentos

pertencentes ao Arquivo Pessoal Osvaldo Sangiorgi, principal representante

daquele grupo de estudos.

Finalmente, o trabalho de Mario Nobuyuki Nakashima (2007), denominado

“O papel da imprensa no movimento da matemática moderna”, analisou o

tratamento dado pela imprensa ao MMM, buscando nos textos jornalísticos, de

1960-1980, respostas para a seguinte questão de pesquisa: qual o papel da

imprensa no MMM?

Como dissemos, embora estes últimos trabalhos a que nos referimos

linhas acima, sejam objeto de estudos do GHEMAT, não vimos a necessidade de

contemplá-los neste capítulo. Entretanto, ao longo de nossas investigações,

sempre que se fez necessário, cuidamos de mencionar suas análises e

conclusões.

5.1. D’AMBROSIO, Beatriz. The Dynamics and consequences of the modern

mathematics reform movement for brazilian mathematics education.

Tese de Doutorado. Indiana University, 1987.

O estudo realizado por D’Ambrosio teve como propósito descrever a

dinâmica do movimento de reforma da matemática moderna e suas

conseqüências no sistema educacional brasileiro, tratando das razões pelas quais

o tema apresentado é relevante para a Educação Matemática no Brasil.

No capítulo introdutório, a autora buscou identificar e analisar componentes

da dimensão internacional na difusão do conhecimento na área de educação,

tomando como principal questionamento: Quais são os canais pelos quais uma

inovação influencia um grupo de pessoas? D’Ambrosio intentou verificar quais os

mecanismos de transferência foram utilizados para que um projeto sobre a

Matemática Moderna, elaborado em países desenvolvidos, em especial pelos

Estados Unidos da América, fosse adotado no ensino brasileiro.

No segundo capítulo, a autora apresentou uma retrospectiva histórica do

desenvolvimento qualitativo e quantitativo da expansão do sistema educacional

117

brasileiro, tecendo comentários sobre as principais reformas legislativas ocorridas

no país. Ainda nesse capítulo, D’Ambrosio realizou um estudo sobre a dinâmica

da reforma dos EUA, por considerar esse país como guia para a reforma

curricular brasileira.

No terceiro capítulo, D’Ambrosio realizou uma análise do MMM no Brasil,

atendo-se especialmente aos anais de congressos nacionais de Educação

Matemática, ao papel exercido pelo GEEM no Movimento e à implementação e

impacto causado pela da reforma curricular. Para tanto, apoiou-se em entrevistas

realizadas com matemáticos e educadores matemáticos brasileiros, além de

artigos sobre o MMM veiculados em jornais e revistas especializadas, dentre

outros documentos.

Comenta que, em 1955, o Primeiro Congresso Nacional de Educação

Matemática realizou-se em Salvador, Bahia. O programa sugerido no congresso

era basicamente o mesmo que o oficial, com algumas alterações relativas à

mudança de tópicos de um ano para o outro. A autora afirma não haver

evidências de introdução de tópicos da MM no currículo.

Já no Segundo Congresso Nacional, ocorrido em 1957, em Porto Alegre,

aparecem as primeiras manifestações dos participantes em prol da incorporação

de elementos da MM no currículo do ensino secundário. Ubiratan D’Ambrosio

sugeriu a introdução do estudo de propriedades de diferentes conjuntos

numéricos e operações de estruturas algébricas, tais como aquelas que podem

ser observadas na Geometria das Transformações, justificando que “as

aquisições mais recentes da Matemática Moderna e da Psicologia não são

consideradas no panorama geral do ensino” (1959, p. 374). O professor Osvaldo

Sangiorgi

, recomendou que mudanças relativas à MM no currículo fossem

gradativas, a fim de “evitar malefícios decorrentes de transformações radicais”

(1959, p. 399). A esse respeito, a autora chama a atenção para o fato de que o

programa proposto por Sangiorgi não acolheu nenhuma das novas idéias,

contradizendo sua afirmação de incorporação gradativa das novas idéias.

Ubiratan D’Ambrosio defendeu a tese “Considerações sobre o ensino atual da matemática” (1959, p. 373-

378).

Osvaldo Sangiorgi apresentou a tese “Matemática clássica ou matemática moderna na elaboração

dos programas do Ensino Secundário?” (1959, p. 398-406).

118

Em 1959, no Rio de Janeiro, aconteceu o Terceiro Congresso Nacional.

Nele, foi sugerido o desenvolvimento de experimentos de implementação da MM

em nível secundário, em algumas escolas brasileiras.

Beatriz D’Ambrosio conta que os anais do Quarto Congresso Nacional

ocorrido em Belém, no ano de 1962, nunca foram publicados. Alguns de seus

artigos foram incluídos nas publicações de Matemática Moderna para o Ensino

Secundário do GEEM, aqueles apresentados pelos seus membros no congresso.

Entre eles, a autora destaca o artigo que propôs requisitos mínimos para o

desenvolvimento de um novo programa no ensino secundário, sendo assim o

primeiro a incorporar a Matemática Moderna no currículo secundário

Ainda no terceiro capítulo, D’Ambrósio dedicou-se à análise de como se

deu o início do movimento no Brasil. Busca apontar as razões que levaram os

educadores matemáticos a promover mudanças, considerando como fato

importante o movimento mundial na educação, principalmente na França e EUA,

ocorrido no início da década de 1960. Nesse sentido, os intercâmbios de

bolsistas, promovidos por institutos como Instituto Brasileiro de Educação, Ciência

e Cultura (IBECC), Organização dos Estados Americanos (OEA), Organização

das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (UNESCO), etc.,

procedimento comum na época, é considerado um dos canais de transferência de

idéias de um país para outro.

Diferentemente do que ocorrera nos EUA ou na Europa, D’Ambrosio

observou que a liderança do Movimento no Brasil ficou a cargo de professores

secundários, altamente qualificados, diplomados em prestigiosos departamentos,

como a FFCLUSP. Faziam parte de uma elite, numa época em que a maioria dos

professores tinha diploma em outros campos que não a matemática ou vinham de

escolas normais.

Segundo D’Ambrosio, muitos entrevistados afirmaram que o envolvimento

com a Educação Matemática demorou a ganhar respeitabilidade entre

matemáticos. Eles acreditavam que isto apenas ocorreu como conseqüência da

O ensino secundário, em conformidade com a Lei 4024 de 1961, estava dividido em duas partes, o ginásio,

correspondente ao período compreendido entre a 5ª a 8ª série do atual ensino fundamental; e o colegial,

correspondente ao atual ensino médio.

119

efetiva participação de proeminentes pesquisadores matemáticos, tal com

Marshall Stone e Jean Dieudonné. Estes dois matemáticos, particularmente,

tiveram forte influência, pois ambos orientaram estudantes brasileiros de

matemática, que posteriormente se tornaram respeitáveis pesquisadores nas

universidades brasileiras.

A autora destacou os seguintes educadores matemáticos que visitaram o

Brasil: Springer (EUA), Ranucci (EUA), Pickert (Alemanha), Felix (França), Papy

(Bélgica), Gattegno (Inglaterra), Dienes (Canadá). Estes professores fizeram

várias palestras no Brasil, especialmente em São Paulo e Rio de Janeiro. O

impacto de suas idéias no currículo foi considerado pelos entrevistados como

altamente relevante para o desenvolvimento do ensino da matemática no Brasil.

Uma vez que os entrevistados eram líderes do Movimento, a autora conclui que

estas idéias foram transferidas para a classe dos professores.

Em suas conclusões, D’Ambrosio observou que o movimento caracterizou-

se por esforços isolados de reforma. Houve pouca comunicação e partilha de

idéias sobre a experiência conduzida. Enquanto as reformas americana e

européia buscavam preparar cientistas e matemáticos por meio da melhoria da

qualidade no ensino, no Brasil dos anos 1960, a reforma mostrou-se inapropriada,

pois, a tentativa foi de expansão do sistema educacional de forma quantitativa,

oferecendo oportunidades educacionais para todas as crianças. Assim, a autora

concluiu que o currículo de matemática deveria ter objetivos e metas apropriados

para cada situação, e ainda, ser diferente daqueles advindos do mundo

industrializado no qual as crianças permanecem dez ou mais anos na escola.

Para a nova proposta, o processo educacional era centrado no aluno. O

papel do professor deveria ser a de orientador de uma aprendizagem voltada para

a descoberta e exploração, substituindo formas autoritárias de exposição do

ensino. No entanto, constatou D’Ambrosio, essas mudanças não ocorreram. Um

dos indicativos foi o fato de que os professores continuavam preocupados em

cumprir o programa estipulado e com a preparação dos alunos para o vestibular.

Desse modo, a memorização continuou a ser o método mais empregado.

A tese defendida por Beatriz D’Ambrosio, além da especial característica

de ser um trabalho pioneiro, destaca-se por fornecer aos pesquisadores um leque

120

de informações sobre o MMM, o qual possibilita os mais diversos

questionamentos, e por sua vez, a abertura de novas pesquisas.

Ao questionar sobre qual o grau de participação dos educadores brasileiros

nos congressos internacionais, quais foram as publicações internacionalmente

distribuídas disponíveis e quais foram as decisões tomadas durante o MMM, suas

análises foram direcionadas para a discussão do currículo e, desse modo, seu

interesse sobre matemáticos e educadores brasileiros não se traduziram em uma

atenção voltada especialmente às relações entre matemáticos e o ensino

secundário de matemática no Brasil.

Relativamente ao primeiro congresso, D’Ambrosio constatou não haver

evidências concretas da introdução de tópicos da MM. No entanto, já se

observava uma forte preocupação com o ensino secundário, preocupação esta

que levou, inclusive, a promover esse congresso, revelando não apenas

apreensão quanto ao andamento do ensino de matemática da escola secundária

como também um esforço para obter mudanças, mesmo que ainda não se

soubesse exatamente qual o caminho a ser seguido, mesmo sem uma posição

efetiva, dirigida para uma reforma sustentada pela ênfase em tópicos da MM.

Nesse caso, para a realização desse primeiro congresso, não se poderia pensar

em influências das idéias renovadoras, incentivadas pelo Movimento que já vinha

ocorrendo nos EUA e em países europeus? Não haveria chegado até o Brasil um

sopro de mudanças, na forma de idéias, materiais, artigos gerados por esses

trabalhos?

Quanto ao segundo congresso, observa-se que Beatriz D’Ambrosio não se

deteve na participação do matemático Benedito Castrucci. Entretanto, Castrucci

substituiu Ubiratan D’Ambrosio no evento, relatando sua tese, uma vez que o

professor D’Ambrosio não pudera comparecer por problemas de saúde.

Tampouco se verifica, nos comentários tecidos aos Congressos de 1959 e

1962, alguma alusão sobre a participação de matemáticos durante o evento.

Conquanto o corpo docente das faculdades de matemática estivesse

envolvido no movimento de reforma, por meio de palestras nos cursos de

formação, as faculdades não exerceram papel de liderança, concluiu D’Ambrosio.

121

Nesse caso, consideramos ser necessário um estudo mais concentrado no papel

exercido pelo corpo docente das faculdades de matemática, em especial, os

matemáticos nesse Movimento.

As entrevistas realizadas por D’Ambrosio evidenciaram a pouca

participação de matemáticos no Movimento. No entanto, por meio das palestras e

seminários promovidos pelo GEEM, explicitados pela autora, verifica-se que

houve uma participação regular de matemáticos pesquisadores de várias

universidades do país. Por toda a agenda de atividades do GEEM, apresentada

no capítulo três, a autora indicou nomes de matemáticos e educadores

matemáticos envolvidos nas atividades do GEEM. Como matemáticos, considerou

aqueles pesquisadores matemáticos que trabalham em instituições de ensino

superior no Brasil. Para distingui-los dos educadores matemáticos, os nomes dos

matemáticos, quando citados, foram marcados com um asterisco. Como

educadores matemáticos, considerou os professores licenciados em faculdades

privadas (D’AMBROSIO, 1987, p. 98).

Para D’Ambrosio, ao promover as inovações curriculares em matemática,

os países em desenvolvimento, de modo geral, ignoraram o fato de que o

sucesso da implementação de novos materiais necessitava de uma mudança na

crença dos professores sobre a aprendizagem e instrução matemática. Segundo

conclui D’Ambrosio, a maioria dos professores acreditava que o professor era o

centro do processo educacional e que a aprendizagem cobrava um árduo

trabalho, envolvendo memorização de informações.

Apesar de mencionar em diversos momentos a participação de

matemáticos no movimento, a tese de D’Ambrosio preocupa-se em apresentar um

panorama geral sobre o MMM, cujos questionamentos não cobravam a

necessidade de um estudo aprofundado sobre a ação dos matemáticos na cultura

escolar. Cabe, entretanto, ressaltar que tal assunto não foi premiado pela autora.

122

5.2. BÚRIGO, E. Z. Movimento da matemática moderna no Brasil: estudo da

ação e do pensamento de educadores matemáticos nos anos 60.

Dissertação de Mestrado em Educação. UFRGS, Porto Alegre, 1989.

A pesquisa realizada por Búrigo teve como objetivo examinar a dinâmica

do MMM no Brasil e as visões produzidas pelos seus protagonistas em relação ao

contexto histórico.

Considerando, como D’Ambrosio (1987), o Estado de São Paulo como

centro irradiador da MM no Brasil, no primeiro capítulo a autora empregou como

metodologia na elaboração de sua dissertação, a coleta de dados relativos ao

Movimento e entrevistas realizadas, em sua maioria, com membros do GEEM, a

saber, os matemáticos: Leopoldo Nachbin; Ubiratan D’Ambrosio; Ruy Madsen A.

Barbosa; Irineu Bicudo; Alésio de Caroli; Benedito Castrucci; e os educadores

matemáticos: Lucília B. Sanches; Dione L. Carvalho; Scipione di P. Neto; Anna

Franchi; Esther Pilar Grossi; Martha Blauth Menezes; Luiz Márcio Imenes;

Osvaldo Sangiorgi e Renate Watanabe.

Muito embora considerasse como as iniciativas mais importantes para a

renovação curricular do ensino aquelas advindas de outras instâncias, no

segundo capítulo, Búrigo dedicou-se ao exame dos três primeiros congressos

nacionais envolvendo o ensino de matemática, por entender que os esforços

realizados pelos congressistas para a melhoria do ensino da Matemática tiveram

continuidade e foram posteriormente incorporados pelo Movimento.

Ao examinar como se organizaram esses congressos, seus temas e

preocupações, a pesquisadora buscou compreender as condições que permitiram

a introdução da proposta da Matemática Moderna no Brasil. Como elemento

comum entre os esforços que deram origem a esses congressos e o MMM,

constatou a disposição de renovação do ensino da matemática a partir da

iniciativa dos professores. Além disso, o processo de valorização do ensino

secundário alcançou seu grau de expressão mais articulado com os Congressos

Nacionais, realizados nos anos de 1955, 1957 e 1959.

123

Para melhor contextualizar o MMM, no terceiro capítulo a autora versou

sobre as relações entre ciência, tecnologia e produção no capitalismo do pós-

guerra.

Búrigo dedicou o quarto capítulo ao estudo do MMM nos EUA e Europa

com o intuito de analisar como propostas internacionais de renovação do ensino

foram apropriadas pelo MMM no Brasil.

A preocupação com a melhoria da formação do cientista e de técnicos

levou à elaboração de projetos que culminaram com a criação de diversos grupos

de pesquisa, iniciados nos anos 50. Búrigo deu destaque ao papel exercido pelos

grupos americanos como NCTM, SMSG, UICSM e grupos de estudos europeus

como o CIEM, OECE e a OCDC.

No quinto capítulo da dissertação, foram examinadas as condições

históricas que permitiram a adoção da MM por educadores brasileiros, quando,

em especial, a autora examinou como São Paulo constituiu-se em um centro

difusor da nova proposta.

Búrigo atribuiu maior importância aos matemáticos na divulgação da MM

do que à presença de pedagogos, psicólogos ou sociólogos. Freqüentemente,

temas relativos à psicologia eram abordados pelo professor Sangiorgi ou

professores secundários sem especialização na área. Nesse sentido, a autora

deu destaque ao curso organizado por Sangiorgi em 1961. De acordo com Búrigo,

o curso oferecia quatro disciplinas, ministradas por Springer (Lógica Matemática),

Jacy Monteiro (Álgebra Linear), Alésio Caroli (Teoria dos Conjuntos) e Sangiorgi

(Práticas de Matemática Moderna). Desse modo, observa-se que a prática

pedagógica ficou a cargo de Sangiorgi, que embora não fosse matemático puro,

tinha sólida formação matemática enquanto que os demais professores eram

matemáticos. Não se faz evidente, portanto, a participação de pedagogos e

psicólogos.

Segundo declarações registradas pela autora, Sangiorgi era “odiado”

pelos matemáticos da USP. No entanto, essas mesmas pessoas que o “odiavam”

beneficiavam-se do acesso que Sangiorgi tinha junto à mídia (BÚRIGO, 1989, p.

111). Ademais, ainda segundo a autora, Sangiorgi exercia papel central na

124

formulação do discurso do GEEM, adaptando a linguagem utilizada para o

contexto brasileiro, além de fazer ligação com os órgãos públicos.

Ainda nesse capítulo, Búrigo reportou-se à necessidade de aprovação dos

matemáticos para que o Movimento ganhasse destaque. Citou, em especial, a

vinda do matemático bourbakista Jean Dieudonné ao Brasil, respeitado

matemático e defensor do Movimento, que proporcionou uma abertura para a

aceitação do MMM pelos matemáticos da USP. E, além disso, conforme

depoimento da educadora Lucília Bechara, havia a necessidade dos professores

fazerem cursos ministrados por matemáticos de renome de modo que pudessem

participar da organização do GEEM ou se candidatar às escolas vocacionais

(BÚRIGO, 1989).

No sexto capítulo, a autora enfocou os processos de expansão e

institucionalização do Movimento, as características que permitiram sua expansão

naquele contexto histórico e o modo como a evolução do Movimento foi

condicionada por esse mesmo contexto.

Ao comentar sobre a participação de Leopoldo Nachbin na organização e

nos trabalhos nas CIAEM, Búrigo constatou que esta se deveu em grande parte, a

uma relação pessoal com o professor Mashall Stone. Havia uma identidade de

propósito entre dois renomados matemáticos, numa posição de destaque dentro

do congresso. Os organismos e agências norte-americanas apoiavam as

conferências interamericanas. Do lado brasileiro, tem-se encabeçando os

comitês, matemáticos como Lindolpho de Carvalho Dias e Leopoldo Nachbin

(BÚRIGO, 1989).

O sétimo capítulo refere-se ao processo de esgotamento do Movimento,

quando a autora analisou a divisão no interior do GEEM, a finalização de seus

trabalhos em 1976 e as críticas oferecidas por matemáticos ao Movimento.

Para investigar o processo de esgotamento do Movimento, Búrigo apoiou-

se nas críticas apresentadas pelos matemáticos Morris Kline e René Thom, como

também em entrevistas realizadas com matemáticos e educadores matemáticos

brasileiros. Destacou, por exemplo, depoimento de Benedito Castrucci, quando

125

este atribuiu como principal causa do “fracasso” do MMM, objeções apontadas

por notáveis matemáticos, tais como Freudenthal e René Thom.

Segundo Búrigo, as críticas mais explícitas relacionadas ao MMM

começaram no Brasil por volta de 1973. O matemático Elon Lages Lima, nesse

mesmo ano, durante o Nono Colóquio Brasileiro de Matemática, apontou o ensino

brasileiro como seguidor de modelos estrangeiros desligados da realidade,

demasiadamente modernos. Já Manfredo do Carmo Perdigão, durante o

Seminário de Ciências e Matemática, também em 1973, atribuiu as distorções e a

má aplicação das idéias modernistas à inexperiência dos protagonistas do

Movimento (BÚRIGO, 1989).

Para a autora, tais críticas fizeram com que o GEEM modificasse os

temas apresentados em seus cursos de férias em 1974, quando foram incluídos

tópicos de Cálculo e Construção dos Números. Cursos de Teoria dos Conjuntos,

Álgebra ou Topologia, antes enfatizados pelo GEEM, dessa vez não foram

contemplados. Além disso, Elon L. Lima foi convidado pelo GEEM para realizar

palestra durante os cursos de férias (BÚRIGO, 1989).

As conclusões da autora são apresentadas no oitavo capítulo.

A autora considerou que o pensamento pedagógico que orientou a ação

dos educadores durante o MMM foi marcado pelo contexto histórico em que

surgiu e se desenvolveu. As razões que estimularam ou levaram educadores

brasileiros a defender mudanças baseadas na Matemática Moderna deveram-se

não só aos elementos de transferência de projetos educacionais gerados em

outros países como também pelo crescimento e modernização da economia

brasileira, aliados ao otimismo acerca das conseqüências sociais da melhoria do

ensino, ao desenvolvimento científico no país, à expansão do ensino secundário e

às preocupações dos educadores quanto à eficácia e deselitização desse ensino.

Para Búrigo, a autoridade que os matemáticos pesquisadores

emprestavam ao Movimento representou uma importante ligação entre o caráter

científico atribuído à proposta da MM e sua aceitação pelos professores. Essa

autoridade era reproduzida pelo GEEM, com a participação de matemáticos como

Omar Catunda e Benedito Castrucci.

126

A legitimação da discussão em torno do ensino da matemática, de sua

constituição em objeto de ação e reflexão consolidou-se com o MMM. Uma das

modificações no panorama de possibilidades atribuído à MM foi a aglutinação de

educadores em torno do Movimento, dispostos a liderar um processo de

renovação do ensino, implicando no surgimento da figura do educador

matemático, consolidada nos anos 70 e 80.

Não houve a preocupação por parte da autora em obter dos entrevistados

uma avaliação ou julgamento da validade do MMM. No entanto, em suas

conclusões, Búrigo selecionou elementos dessa avaliação exteriorizados por

alguns entrevistados. Um deles trata-se do reconhecimento da proposta da MM

como aquela que enfatiza as estruturas e a axiomatização, valorizando o produto

acabado da construção do conhecimento. Um outro, diz respeito ao

reconhecimento de que as soluções para os problemas do ensino não se

restringiam somente ao campo da ciência Matemática, sendo forte tendência na

área da Educação Matemática buscar soluções na área da Metodologia, aliada a

recursos da Psicologia da Aprendizagem.

Em seu estudo, Búrigo buscou verificar as relações entre o pensamento

pedagógico que orientou a ação dos protagonistas e o contexto histórico em que

foram produzidos, com o MMM de âmbito internacional. A esse respeito, nota-se

que a autora procurou responder a uma quantidade respeitável de questões.

Ao comentar sobre a concepção formalista de matemáticos integrantes do

grupo Bourbaki que lecionaram na USP, Búrigo não fez um estudo aprofundado

das apropriações feitas pelos estudantes, futuros matemáticos e educadores

matemáticos, relativamente ao rigor matemático, característico das aulas

ministradas por matemáticos desse grupo.

Além disso, suas conclusões provocaram outros questionamentos, razão

pela qual surgem lacunas que ensejam a possibilidade de uma exploração mais

pormenorizada acerca do papel dos matemáticos em relação ao movimento. Uma

delas consiste na análise de como se processa a ação da cultura matemática na

cultura escolar, levando-se em conta a prática pedagógica, tanto de matemáticos

quanto de professores de matemática, podendo ser verificada através de notas de

127

aula, artigos publicados em periódicos, participação em congressos, entrevistas,

diários de classe, atas, etc.

5.3. SOUZA, Gilda Lúcia Delgado de. Três décadas de educação matemática:

um estudo de caso da Baixada Santista no período de 1953 – 1980.

Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. UNESP. Rio Claro,

1998.

Com a pretensão de resgatar a memória da Educação Matemática no

Estado de São Paulo, mais precisamente na cidade de Santos, Gilda Lúcia

Delgado Souza procurou registrar, por meio de entrevistas e documentos, a

atuação de um grupo de professores de matemática vinculados à rede oficial de

ensino nas décadas de 1950, 1960 e 1970.

A dissertação encontra-se subdividida em cinco capítulos. No capítulo zero,

a autora fez uma narrativa de sua trajetória profissional, como professora de

matemática da rede estadual.

A autora comentou ainda, sobre como se deu a mudança da Lei 4024/61

para a Lei 5692/71, o surgimento de órgãos oficiais da Secretaria da Educação do

Estado de São Paulo tais como a Coordenadoria de Ensino da Grande São Paulo

(COGESP), Departamento de Recursos Humanos Laerte de Carvalho (DRHU/LC)

e a Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP), além de suas

impressões sobre como essas reformas foram sentidas e apreendidas pelos

professores da Baixada Santista.

O capítulo um é dedicado à justificação dos pressupostos teórico-

metodológicos que deram sustentação ao estudo. Como o próprio título sugere,

“Cotidiano, memória e história”, a autora procurou destacar como a vida cotidiana

articula-se com a memória e a história. Nesse sentido, optou por analisar a vida

cotidiana, tomando como referência básica a obra “A vida cotidiana” de autoria de

Agnes Heller.

A memória foi igualmente tema privilegiado na pesquisa. Sobre esse

assunto, Souza delineou um painel histórico da memória, subsidiada por Le Goff,

128

atentando para os progressos da memória escrita do século XVI aos dias atuais.

Destacou a fundação da revista “Annales d’Histoire Économique et Sociale” e a

insistência dos historiadores daquela geração em dar uma nova concepção ao

documento, abrangendo não apenas o documento escrito, como também o

ilustrado, transmitido pelo som, pela imagem ou de alguma outra maneira. A

reabilitação da oralidade como fonte de estudos históricos foi sublinhada por

Souza, porquanto sua pesquisa se inscreveu na perspectiva da História Oral.

O capítulo dois é dedicado à explicitação dos procedimentos

metodológicos adotados durante a investigação.

Para operacionalizar a pesquisa, fundamentada nos princípios da História

Oral, Souza recolheu entrevistas de professores de matemática atuantes nas

décadas de 1950 a 1970, ligados à cidade de Santos, cuja atuação teve

repercussão significativa junto à Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.

Utilizando-se de um roteiro de entrevistas com perguntas contextualizadas,

embora com a possibilidade de inserir outros questionamentos a partir dos relatos

obtidos, foram entrevistados os professores Maria Lucia Martins Demar Perez,

Maria Luiza Carmo Neves da Silva, Sylvio Andraus, e Almerindo Marques Bastos.

No capítulo três, a autora apresentou, integralmente, as textualizações das

entrevistas realizadas, momento em que buscou “resgatar a memória de um

tempo” (SOUZA, 1998, p. 76).

A primeira textualização apresentada diz respeito ao depoimento dado pela

professora Maria Lúcia Martins Demar Perez.

Licenciada em Matemática pela Faculdade de Filosofia do Instituto Sedes

Sapientiae, Perez destacou alguns de seus professores e as disciplinas

ministradas naquele período: Abrahão de Moraes, em Análise Matemática;

Benedito Castrucci em Geometria Projetiva e Didática da Matemática; Fernando

Furquim de Almeida em Geometria Descritiva.

No início de sua carreira no magistério, a professora Maria Lúcia declarou

que precisava de tempo para estudar, uma vez que “matéria ministrada no

secundário não fora abordada na faculdade”. O professor, naquela época

129

formava-se sem nunca ter entrado em uma sala de aula e o programa do

Segundo Grau não fazia parte daquele visto na faculdade. A esse respeito, Maria

Lúcia conversou com os professores Abraão de Morais e Benedito Castrucci. De

Abrahão de Morais, recebeu a seguinte resposta: “... o importante era aprender a

pensar muito bem e, se tivéssemos uma estrutura mental muito bem feita,

conseguiríamos usá-la em situações diversificadas” (PERES, apud SOUZA, 1998,

p. 81-82).

Em 1960, com o início do MMM, a entrevistada teve oportunidade de

ministrar alguns cursos de MM. Para ela, os professores entendiam por MM

introduzir a Teoria dos Conjuntos, os conceitos de relação e função, como um

acréscimo aos conceitos já conhecidos e não como elementos unificadores da

matemática. Recordou que o professor Alésio João de Caroli, durante os cursos,

“mostrava-se contrário ao fato de se abrir um capítulo especial sobre a Teoria dos

Conjuntos. O importante era usar a linguagem da Teoria dos Conjuntos para

facilitar a assimilação dos conceitos matemáticos” (PERES, apud SOUZA, 1998,

p. 84).

A professora Maria Lúcia participou de um grupo designado pela CENP a

fim de estudar e fornecer subsídios para a implementação do Guia Curricular de

Matemática, sob orientação de Almerindo M. Bastos e Lydia C. Lamparelli, tendo

como assessor de conteúdo Alésio J. de Caroli.

A segunda entrevista textualizada foi a da professora Maria Luiza Carmo

Neves da Silva. Licenciada em Matemática pela Faculdade de Filosofia do

Instituto Sedes Sapientiae, em 1954, destacou, dentre os professores que

ministravam aulas nesse Instituto, os nomes de Fernando Furquim de Almeida,

Benedito Castrucci e Abrahão de Moraes.

A entrevistada teceu comentários sobre um curso de Teoria dos Grupos,

ministrado pelo professor L. H. Jacy Monteiro: “... foi o curso que ele veio ministrar

aos professores daqui de Santos, justamente com a finalidade de ter um grupo

que trabalhasse na Faculdade! Foi fabuloso para mim! Aí eu comecei a enxergar

mais coisas e a ter confiança em trabalhar na Faculdade” (NEVES DA SILVA,

apud SOUZA, 1998, p. 103).

130

A professora Maria Luiza teve participação efetiva para a criação de um

grupo de estudos interessado em reformular o ensino da Matemática, que fora

denominado de GEEM’. Esse grupo teve apoio da Secretaria da Educação, de

diretores de escolas, prefeituras da Baixada Santista, do professor Luiz Carranca,

chefe do Departamento Cultural do jornal “A Tribuna” e ainda, dos professores

Almerindo M. Bastos, Sylvio Andraus, Maria Helena Roxo, dentre outros.

A terceira textualização diz respeito à entrevista realizada com o professor

Sylvio Andraus. Ingressou, em 1949, na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras

da USP, formando-se em 1953.

Segundo Andraus, a equipe de professores do Curso de Matemática era

composta pelos seguintes professores Benedito Castrucci, Rômulo Pieroni,

Fernando Furquim de Almeida, Elza Gomide e André Wataglin Filho, Omar

Catunda, Abrahão de Moraes, Luiz Henrique Jacy Monteiro, Marcelo Damy de

Souza Santos, Edson Farah, Cândido Lima e Silva. O professor Sylvio Andraus

não nomeou os professores que lecionaram no quarto ano. Apenas fez referência

às matérias da área pedagógica, ministradas no último ano, que, segundo ele,

“não eram muito convincentes”, uma vez que não era disponibilizado estágio para

os licenciandos daquela época.

Os cursos e estudos sobre a MM realizados pelos professores da Baixada

Santista começaram a partir do curso realizado pelo GEEM, em 1964. O professor

Luiz Fernandes Carranca se encarregou da vinda do GEEM para fazer

conferências em Santos. Irineu Bicudo, Scipione, Jacy Monteiro, Castrucci e

Sangiorgi foram citados como conferencistas. Além disso, naquela época, foi

realizado um curso de pós-graduação em Santos, sobre Teoria dos Corpos

Comutativos, ministrado pelo professor Jacy Monteiro, nos mesmos moldes como

era oferecido na USP.

A última textualização registra a entrevista realizada com o professor

Almerindo Marques Bastos, formado em 1954, pela FFCLUSP.

Almerindo Bastos iniciou seu relato apontando os professores que mais o

influenciaram durante os anos de graduação. Omar Catunda, Edson Farah,

Abrahão de Morais e Mario Schenberg foram lembrados. Destacou, de modo

131

especial, o professor Jacy Monteiro, observando que “fez falta para as gerações

que vieram depois de nós. Ele tinha uma visão completamente distinta da dos

outros [professores]”, sem, no entanto, esclarecer sobre essa visão diferenciada

[grifo da autora] (BASTOS, apud SOUZA, 1998, p. 147).

Sobre a divisão entre bacharelado e licenciatura na graduação, o professor

Almerindo comentou que, para obtenção do título de bacharel, era necessário

cursar todas as disciplinas dos três primeiros anos, além de escolher, no quarto

ano, duas cadeiras entre todas as disciplinas de todos os cursos da faculdade.

Ainda no quarto ano, eram oferecidas as disciplinas pedagógicas, obrigatórias

para a obtenção do título de licenciado. As matérias pedagógicas oferecidas

eram: Didática Geral, ministrada pelo professor Onofre de Arruda Penteado;

Didática Especial da Matemática, pela professora Berenice Correa Gonçalves e

Psicologia Educacional, pelos professores Arrigo Leonardo Angelini e Noemi da

Silveira Rudolf.

Em 1955, Almerindo Bastos prestou concurso para o magistério público

estadual, tomando posse numa escola em Ibitinga. Nessa cidade, observou que

os professores de Matemática eram todos contratados. O ensino de Matemática

resumia-se em repetir “ipsis literis”, durante a aula, o livro de Osvaldo Sangiorgi.

Segundo Bastos, uma das mais importantes conseqüências do MMM foi a

mudança de enfoque do ensino da Matemática. O Movimento proporcionou uma

mudança de atitude do professor em relação ao aluno, passando a dar maior

importância à atividade do aluno, que anteriormente não era levada em

consideração (BASTOS, apud SOUZA, 1998, p. 167).

Em julho de 1961, Bastos fez um curso promovido pela CADES

Santos, quando o professor Sangiorgi ministrou Teoria dos Conjuntos e Lógica, o

professor Jacy Monteiro, um curso de Álgebra Moderna e o professor Ruas, um

curso de Prática de Ensino. Para o entrevistado, esse foi o primeiro passo para

A Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário – CADES, criada pelo governo federal

em 1955, tinha como atribuições a formação de professores, o incentivo à elaboração de material didático, a

assistência pedagógica e administrativa às escolas. Realizava cursos em períodos de férias, destinados a

professores que não tinham o diploma de curso superior, que dava direito a esses professores de realizar os

exames de suficiência para obtenção do registro permanente (BÚRIGO, 1989, p. 37).

132

dar início ao MMM em Santos. Em seguida, vieram os cursos promovidos pelo

jornal “A Tribuna”, por iniciativa do professor Carranca.

Sobre uma possível influência do grupo Bourbaki nos trabalhos

desenvolvidos pelos professores secundaristas, Bastos considerou que foi uma

influência indireta, ocorrida por meio dos professores que ministravam os cursos

de aperfeiçoamento, como por exemplo, o professor Jacy Monteiro. E constatou:

“que eu saiba, quem se interessava pela reforma do ensino secundário, quando

eu estudava na faculdade, era o Catunda, mas não sei por que ele não participou

muito desses movimentos. Mais tarde, na época do GEEM, foi Jacy. Estes foram

os dois que conheci” (BASTOS, apud SOUZA, 1998, p. 193).

Sobre os treinamentos realizados pelo GEEM, o professor Almerindo

Bastos relatou que eram feitos por estágios. O primeiro estágio era constituído por

noções de Teoria dos Conjuntos, Lógica Matemática e aplicações dessas noções

no ensino de matemática. No segundo estágio, era oferecido um curso de Álgebra

Moderna. Noções de Álgebra Linear eram proporcionadas no segundo e terceiro

estágios. Com base nesses cursos, formou-se em Santos uma espécie de sub-

grupo do GEEM, do qual Almerindo Bastos participou ativamente ministrando

cursos e palestras para professores do ensino secundário nesse período.

Além disso, participou, na qualidade de coordenador, da elaboração dos

Guias Curriculares de Matemática e do Projeto de Geometria Experimental

elaborado pelo PRENEM (Programa de Expansão e Melhoria do Ensino Médio)

em conjunto com o IMECC/UNICAMP, em 1974.

No quarto e último capítulo, Souza buscou assinalar o que mudou e o que

permaneceu nas práticas sociais ligadas à educação, por meio das textualizações

focalizadas na dissertação. Delas, a autora deteve-se nos seguintes itens:

formação acadêmica dos entrevistados; a prática docente; projetos e ações

desenvolvidos pelos depoentes e a legislação vigente.

Esse estudo revelou, por meio das textualizações, alguns aspectos

importantes sobre o cotidiano escolar, as práticas utilizadas pelo GEEM, a

participação dos matemáticos durante o Movimento, notadamente, a atuação do

professor Luiz Henrique Jacy Monteiro, cujo nome aparece como um dos seus

133

principais divulgadores. Os depoimentos do professor Sylvio Andraus e Almerindo

Marques Bastos revelam nomes e cursos ministrados pelos professores do Curso

de Matemática da FFCLUSP na década de 50, além de descreverem como era o

ambiente universitário daquela época.

Embora tais depoimentos tenham trazido à tona elementos de grande valia

para o estudo das relações entre matemáticos e educadores matemáticos durante

o MMM, destaco que esses não foram aspectos centrais da dissertação de

Souza.

5.4. VITTI, Catarina Maria. Movimento da Matemática Moderna: Memória,

Vaias e Aplausos. Tese de Doutorado em Educação, Universidade

Metodista de Piracicaba, 1998.

A tese teve como propósito apontar como foi a reação da comunidade de

professores, pesquisadores e educadores envolvidos direta ou indiretamente com

a Educação Matemática e as mudanças incorporadas no ensino, após a

constatação do declínio do MMM. Para justificar seu estudo, Vitti catalogou

trabalhos dedicados ao MMM, observando que, nos anos 80, apenas uma tese de

doutorado, o de Beatriz D’Ambrosio (1987) e uma dissertação de mestrado, a de

Elizabete Z. Búrigo (1989) haviam se debruçado sobre o tema. Em sua busca,

destacou ainda trabalhos de Célia Maria Carolino Pires e Maria Angela Miorim, os

quais trataram indiretamente desse movimento.

No primeiro capítulo, a autora relatou como a matemática se desenvolveu

no século XIX, apresentando uma biografia dos principais matemáticos cujos

trabalhos acabariam por exercer influências no ensino: Gauss, Riemann,

Poincaré, Klein e Hilbert. Pretendeu, ao narrar a vida desses personagens,

mostrar como se envolveram com as primeiras tentativas de reforma do ensino de

matemática, as quais culminaram com o Primeiro Movimento Modernizador do

Ensino da Matemática.

No segundo capítulo, a autora dedicou-se ao estudo da origem e objetivos

do MMM. Fez breve comentário sobre o surgimento do grupo Bourbaki e a

134

realização de duas conferências: a da OECE em Royaumont, em 1959, na França

e a de Dubrovnik, em 1960, na Iugoslávia.

A conferência de Royaumont contou com a presença de Jean Dieudonné.

Em seu pronunciamento, Dieudonné almejou demonstrar o quanto o ensino

secundário era atrasado e antiquado em relação ao superior, tornando-se cada

vez maior o abismo existente entre eles, apesar dos esforços para a incorporação

de tópicos como elementos de Cálculo Diferencial Integral, Álgebra Vetorial e

Geometria Analítica no ensino secundário “sempre relegados a um segundo

plano” (DIEUDONNÉ, apud VITTI, 1998, p. 57).

Vitti também destacou alguns objetivos e propostas apresentadas pelos

países participantes da Conferência de Lima, Peru, ocorrido em 1966,

referenciando-se em Howard Fehr (1969). A autora descreveu os principais

acontecimentos relacionados com o MMM em 29 países participantes da

conferência, como também os procedimentos necessários para alcançar os

objetivos propostos. Verifica-se que nos trabalhos anteriores não aparece

semelhante discussão.

Quanto à participação do Brasil na Conferência de Lima, dentre outras

observações, a autora colocou em evidência a manifestação de Sangiorgi no

sentido de atribuir como principal elemento para o progresso obtido em relação ao

ensino da MM, a participação dos matemáticos no movimento. Vitti reforçou essa

constatação transcrevendo os dizeres de Sangiorgi: “figuram matemáticos das

universidades que propiciam aos futuros professores secundários uma boa

vivência com a matemática atual” (SANGIORGI, apud VITTI, 1998, p. 89).

O “fracasso” do MMM é tratado no capítulo três. Norteando-se

especialmente na obra de Morris Kline “O fracasso da matemática moderna”, Vitti

analisou os principais motivos que contribuíram para o insucesso do Movimento.

Nesse sentido, sublinhou a constatação de Kline quanto à forma como foram

desenvolvidos muitos assuntos em Matemática, ou seja, a partir da imaginação e

criatividade dos pesquisadores e estudiosos em matemática, sem que

mantivessem vínculos com as necessidades reais dos estudantes.

135

O capítulo quatro, intitulado “O sucesso do Movimento da Matemática

Moderna” trata das questões as quais foram incorporadas ao ensino, e que, para

Vitti, são fatores positivos decorrentes do MMM. Dentre eles, destaca-se a

organização da comunidade de pesquisadores em Educação Matemática, a

criação de cursos de pós-graduação em Educação Matemática e o

desenvolvimento de novas tendências no ensino da Matemática, incorporando

tais como História da Matemática, Resolução de Problemas, Etnomatemática e

Modelagem Matemática.

Em conclusão, a autora recapitulou os principais pontos abordados ao

longo do trabalho, reforçando a constatação de elementos positivos importantes

advindos do Movimento, indicando novas propostas e métodos de ensino, em que

a autora propõe sejam voltados efetivamente para a escola, não indo muito além

dos muros escolares, de modo a não se contaminarem com “elementos

estranhos” – sem, no entanto especificá-los – e ainda, considerando a realidade

do país nos quais se pretenda ver instituídos (VITTI, 1998, p. 177).

De imediato, a leitura da tese de Vitti permitiu-nos verificar uma diferença

entre esse estudo e as pesquisas elaboradas por D’Ambrosio e Búrigo, referentes

à descrição realizada pela autora, ainda que de forma sucinta, de como

transcorreu o movimento em diversos países da Europa e América. Em sua

análise, a autora abriu espaço para comentários e citações proferidos por

matemáticos estrangeiros quando expressaram suas idéias relativas ao ensino da

matemática, possibilitando formular alguns questionamentos a partir desses

comentários e citações.

Ao mencionar o relatório elaborado pela Argentina, durante a Conferência

de Lima, Vitti apresentou breve citação de Helmuth Renato Völker, sobre como

deveria ser o professor do futuro: um professor moderno, aquele que, tendo

acesso à matemática moderna, estando adequadamente preparado para ensiná-

la, pensando, portanto, de forma moderna, ou seja estruturada, “poderia continuar

a desenvolver-se por si mesmo” (VOLKER, apud VITTI, 1998, p. 74). Na análise

da obra de Morris Kline, vemos combatida a idéia de Volker e outros educadores,

pela qual a nova matemática seria auto-suficiente ou auto-criadora. Tais

preocupações nos revelam indícios de uma matemática idealizada para atingir o

136

mais alto grau de abstração e pureza, tornando-se “a ciência das ciências”, a qual

se auto-constrói, independente da realidade. A superioridade do currículo da MM

transcenderia não só os currículos tradicionais de matemática como também se

tornaria imprescindível, perpassando todos os outros de quaisquer ciências.

Vitti comentou que a matemática do século XX era caracterizada por sua

generalidade, seu maior grau de abstração e rigor lógico. Por esse motivo, a

matemática identificou-se com a dedução e a estrutura axiomática, garantindo-lhe

em certa medida um caráter de independência perante as outras ciências. Desse

modo, talvez por ser assim caracterizada, os matemáticos atribuíam à matemática

a linguagem comum a todas as ciências. Vitti apresentou uma fala de Stone, a

qual afirma que a matemática é totalmente independente do mundo físico, razão

pela qual estaria dissociada de suas aplicações. Tal posição sugere uma relação

de subordinação da matemática aplicada à matemática pura. Vitti comentou

ainda, que havia uma crença na matemática como sustentáculo para uma cultura

moderna, voltada para a ciência e tecnologia. Pensamos, todavia, existir aí uma

contradição entre aquilo que se acreditava, ou seja, uma cultura moderna voltada

para a ciência e tecnologia, que, a nosso ver, necessitaria de uma matemática

voltada para aplicações, e o desejo de uma matemática abstrata, totalmente

separada do mundo físico, como pleiteava Stone.

Nessa tese, destaque-se ainda, que em nota de rodapé, a autora afirma

não ter tido a pretensão de desenvolver um trabalho sobre a participação dos

matemáticos no movimento deixando esse tema em aberto para outras

pesquisas.

5.5. SOUSA, Maria do Carmo de. A percepção de professores atuantes no

ensino de matemática nas escolas estaduais da delegacia de ensino de

ITU, do movimento matemática moderna e de sua influência no currículo

atual. Dissertação de Mestrado. UNICAMP, Faculdade de Educação,

Campinas, 1999.

Subdividido em cinco capítulos, o trabalho realizado por Sousa pretendeu

investigar a relação existente entre professores atuantes junto à rede pública de

137

escolas pertencentes à Delegacia de Ensino de Itu e o Movimento da Matemática

Moderna.

Para realizá-lo, a autora utilizou-se de entrevistas com oito professores da

região as quais foram gravadas e textualizadas. Procurou destacar a formação

inicial e acadêmica desses professores, focalizando o modo como a vida

estudantil articulava-se com a trajetória profissional.

Assim, no primeiro capítulo, denominado “Justificativa e construção do

problema”, a autora formulou sua questão de pesquisa, ou seja, “qual a

percepção que os professores atuantes têm do Movimento Matemática Moderna e

de sua influência no currículo atual?”, tomando por base o movimento

especificamente curricular e a relação deste com os professores que tiveram sua

trajetória profissional desenvolvida no âmbito das escolas estaduais (1999, p. 17).

Ainda nesse capítulo, autora defendeu que a reforma do MMM foi feita sem

a participação efetiva do professor, tornando-o um mero aplicador do que fora

elaborado pelos especialistas. Bastaria ao professor ser um “técnico do ensino”,

reproduzindo o que está no livro didático ou dos cursos de curta duração, para

reproduzir fielmente o pensamento dos especialistas. Durante a implantação

desse currículo, foram oferecidos estudos relâmpagos dos conceitos que

deveriam ser ensinados. Acreditava-se que, para assegurar a reforma curricular,

bastava uma pequena adaptação do professor, consistindo na simples troca do

livro tradicional pelo novo didático indicado. Desse modo, segundo Sousa, os

professores viram no livro didático o único recurso para entender o que deveriam

aplicar em sala de aula, fazendo sua própria interpretação das idéias presentes

nos textos.

A pesquisadora ressaltou ainda que, a maioria dos livros didáticos de

Matemática que chegavam às mãos dos professores da rede estadual

apresentava concepções fortemente fincadas nas estruturas de ordem e

estruturas algébricas e davam muito mais importância à linguagem matemática

que à construção da elaboração do pensamento matemático pelos alunos.

No segundo capítulo, “Da matemática moderna para o movimento

matemática moderna”, a pesquisadora procurou fazer um estudo mais

138

aprofundado do que representou a Matemática Moderna no século XIX. Mais

especificamente, propôs-se a estudar de que modo a Teoria dos Conjuntos

chegou até os currículos escolares, entendendo que, com essa trajetória, poderia

esclarecer o que os professores pensam hoje em dia sobre o MMM. Como

justificativa, fundamentou-se, dentre outros autores, nas idéias defendidas por

Morris Kline (1976), ao constatar que o novo currículo da Matemática escolar, dos

anos 60-70, trazia englobadas “as antigas matérias: aritmética, álgebra, geometria

euclidiana, trigonometria e os elementos da geometria analítica, denominadas

pelos modernistas de matemática pré-1700” introduzindo como novidade somente

a Teoria dos Conjuntos. Essa teoria dava “à nova matemática mais o ar de ser

sofisticada e adiantada do que por ser útil” (KLINE, apud SOUSA,1999, p. 24).

Em seu trabalho, a autora enfatizou que, em muitos países, dentre eles o

Brasil, procurou-se ensinar a Matemática Moderna a seus estudantes, levando em

conta, além de tópicos da Teoria dos Conjuntos, o programa de Bourbaki: formal,

abstrato e rigoroso, enfatizando a precisão da definição e cuidadoso uso da

linguagem.

Destacou, igualmente, os resultados de pesquisas de Piaget que, na

década de 60, deram o respaldo necessário à Matemática Moderna, “até então

elaborada por matemáticos e não por professores de Matemática”, passando a

refletir no ensino (SOUSA, 1999, p. 33).

Além de se valer do movimento estrutural da Matemática liderado pelo

Grupo Bourbaki e nos resultados obtidos por Piaget na Psicologia, Sousa

considerou fatores políticos envolvendo discussões sobre ciência e tecnologia,

especialmente entre Estados Unidos e União Soviética, os quais propiciaram a

reforma da Matemática Moderna nos Estados Unidos, impulsionando a

comunidade americana a realizar mudanças no currículo da Matemática, de modo

a superar, em curto prazo, os conhecimentos científicos dos russos.

No capítulo três, intitulado “Percepções de professores sobre o Movimento

Matemática Moderna dos anos 60-70” a autora pretendeu retratar os

pensamentos que emergiram dos depoimentos dos professores entrevistados

durante sua pesquisa.

139

As características do ensino apontadas pelos depoentes indicaram que,

nem o MMM, nem as propostas então recentemente implantadas, conseguiram

romper com a metodologia e as estratégias de ensino tradicional das décadas

anteriores. Os professores apegaram-se ao tecnicismo para dar conta de ensinar

um formalismo que era exigido em todas as escolas que aderiram ao novo

currículo. A relação aluno-professor não se modificou; o conteúdo continuou

sendo transmitido pelo professor, que via no livro didático a única forma de

ensinar Matemática. Independentemente das tendências pedagógicas que

estavam em vigor no MMM, o ensino esteve pautado no formalismo e

memorização. O ensino era livresco e, aos estudantes, cabia apenas memorizar

os conteúdos e devolvê-los quando solicitados.

Portanto, concluiu a autora, a inserção de novos conteúdos, como foi o

caso da Teoria dos Conjuntos nas décadas de 60-70, não garantiu mudanças na

prática do professor de Matemática, mostrando que, somente a proposição de

renovação curricular não tem caráter desencadeador de mudanças na prática dos

professores.

O capítulo quatro se intitula “A participação de professores na elaboração e

implantação do currículo brasileiro na década de 70”.

Nesse capítulo, a autora constatou que, apenas parte do professorado

paulista participou ativamente do processo de implantação curricular promovidas

pelo GEEM e pela Secretaria da Educação, ficando a cargo dos professores

universitários a elaboração do novo currículo. Além disso, de modo geral, os

cursos de atualização de professores não possibilitaram o contato desses

profissionais com aspectos conceituais que motivaram a reorganização interna da

Matemática. Pareceu-lhe, também, que um exame atento sobre as dificuldades

enfrentadas por professores e alunos na assimilação dos conceitos do novo

currículo não se fez presente nesses cursos.

Os mentores do movimento eram, em sua maioria, matemáticos; faziam

parte, portanto, de uma classe de profissionais privilegiada quanto ao

entendimento dessa nova Matemática.

140

Entretanto, os professores não tinham formação acadêmica para ensinar

Matemática Moderna, tendo que aprender e interpretar o conteúdo proposto de

forma diferenciada do que ocorrera com os mentores do movimento. Desse modo,

o conhecimento sobre a Teoria dos Conjuntos ficou reduzido, por parte dos

professores, à escrita de uma grande quantidade de símbolos matemáticos.

Perdeu-se a essência filosófica que fundamenta esse conceito, passando o

professor a reproduzir apenas o pensamento matemático sem muita clareza, na

maioria das vezes, sem vida: “O conceito que se originou do pensar no infinito, e

que proporcionou uma nova visão da Matemática, chegou ao ensino com o único

objetivo: substituir idéias por estruturas e pela lógica da axiomatização” (SOUSA,

1999, p. 140).

Provavelmente, observou a autora, esses professores conheceram apenas

fragmentos da Teoria dos Conjuntos, cujos conteúdos foram incorporados no

currículo de maneira não compreensível em sua forma conceitual e foram

ensinados em seu último estágio de abstração, em conformidade com o programa

elaborado por Bourbaki.

Sousa tomou como exemplo a participação do matemático Omar Catunda

no IV Congresso de Ensino da Matemática, realizado em Belém, em 1962. Para

Catunda, fazia-se necessário uma simplificação do entendimento sobre os

conceitos fundamentais da Matemática, atendo-se especialmente aos conjuntos e

estruturas, de modo a garantir a compreensão dos professores do ensino

secundário. Em sua análise, Sousa verificou que Catunda seguiu as diretrizes

propostas pelo novo currículo, dedicando-se especialmente às estruturas

algébricas, apresentando-as por meio de uma listagem de conteúdos.

Esse tratamento levou Sousa a afirmar que a maioria dos cursos de

treinamento de professores em exercício não possibilitou o contato desses

profissionais com os aspectos conceituais que motivaram a reorganização interna

da Matemática, assim como não possibilitaram, na maioria dos países latinos,

maior reflexão, pelo professorado, sobre os reais motivos políticos da

reformulação curricular dos anos 60.

141

O quinto e último capítulo, denominado “Educando o olhar” a pesquisadora

retomou a questão central do estudo e apresentou uma síntese dos principais

resultados obtidos.

Relativamente ao MMM no Brasil, a autora considerou que a popularização

da educação impeliu as escolas a contratar um grande número de estudantes que

cursavam os primeiros anos de graduação para lecionarem no ensino

fundamental e médio. O regime político autoritário dos anos 60-70 proporcionou a

massificação do ensino e o não questionamento da maioria dos professores sobre

a elaboração e implantação do novo currículo. Nesse período, a forma de ensinar

matemática reforçava o formalismo que, aliado ao tecnicismo, atingiu

profundamente a dimensão escolar. Os professores viram no livro didático o

único recurso para entender o que deveriam aplicar em sala de aula, fazendo sua

própria interpretação das idéias presentes nos textos.

Sousa finalizou seu trabalho alegando que, para os professores

entrevistados, o ensino atual pouco se diferencia daquele oferecido nos anos 60-

70, estando a Matemática Moderna ainda presente no currículo da atualidade.

A leitura da dissertação de Sousa permitiu, desde logo, verificar que a

autora direcionou seu trabalho para a análise do MMM a partir das alterações

sofridas pelo currículo, particularmente, da inserção da Teoria dos Conjuntos,

respaldando-se em entrevistas realizadas com professores da rede pública da

região de Itu.

O estudo alertou para a ênfase dada por Omar Catunda às estruturas

algébricas, em seu pronunciamento durante o IV Congresso de Ensino da

Matemática. Além disso, o matemático utilizou-se, como principal método para

defender suas idéias, de uma lista de conteúdos matemáticos a serem

trabalhados no ensino secundário.

Embora a autora traga à tona esses aspectos, não se deteve nos motivos

que levaram Catunda a manifestar-se daquela forma. Sousa limitou-se a discutir

como as colocações desse matemático contribuíram para o formalismo que

predominou no ensino e para a ausência de domínio de conceitos fundamentais

da Matemática.

142

Sousa enfatizou, ainda, a participação de matemáticos na elaboração do

novo currículo, mas, com exceção de Omar Catunda, não fez referência sobre

quais matemáticos brasileiros tiveram atuação destacada na reforma curricular da

Matemática Moderna.

5.6. STEPHAN, Ana Maria. Reflexão histórica sobre o Movimento da

Matemática Moderna em Juiz de Fora. Dissertação de Mestrado.

Universidade Federal de Juiz de Fora, 2000.

O objetivo da pesquisa de Stephan foi compreender como e quando a MM

passa a ser referencial de transformação do ensino de matemática e como e

quando perde esse atributo modernizador. O estudo procurou ainda desvendar a

visão de educação enquanto prática sob regime de opressão militar. A

metodologia empregada no trabalho baseou-se na análise do discurso, a partir de

nove entrevistas, divididas em dois grupos, com professores que lecionaram a

MM, a maioria deles, na cidade de Juiz de Fora, Minas Gerais. O primeiro grupo

foi formado por professores da rede pública estadual durante o MMM; o segundo

grupo foi constituído por professores de matemática que participaram como

líderes locais do Movimento. Sua pesquisa priorizou a década de 1970, ocasião

em que começou a dispersão do Movimento, procurando saber, a partir das

justificativas dadas pelos professores entrevistados, a razão do esvaziamento do

movimento. Privilegiou como referenciais teóricos considerações de Jean Paul

Sartre, Carlo Ginsburg, Michel de Certeau, dentre outros.

No primeiro capítulo, preocupando-se em conhecer quem eram os

professores que exerciam o magistério e de que maneira conduziam esse

processo quando da inserção da MM nas salas de aula de Juiz de Fora, a autora

realizou entrevistas com três professoras da rede pública estadual.

A terceira professora é lembrada como integrante da cúpula do MMM em

Juiz de Fora, participando ativamente de cursos e seminários nas escolas da

região. Para essa professora, a resistência aos pressupostos do MMM advinha da

desinformação dos professores. Mesmo quando os professores aprendizes

compreendiam o que vinha a ser o ensino da MM, esbarravam em outra

143

dificuldade, qual seja, a modificação da prática e da rotina escolar. Para tanto,

constatou a entrevistada, seria necessário que as professoras tivessem um

conteúdo mais aprofundado e vontade de mudar. Para Stephan, seu discurso

apresentava semelhanças com o discurso dos professores entrevistados no

segundo grupo, uma vez que, “mesmo sendo mulher ela trata as demais

professoras como ‘elas’, não como ‘nós’. O termo aparece com mais regularidade

na sua entrevista é ‘eficiente’ e seus derivados” [grifos da autora] (STEPHAN,

2000, p. 50).

Para Stephan, as professoras de matemática são freqüentemente tratadas

como totalidade, sendo colocadas como responsáveis pelas mazelas da

educação, desconsiderando suas histórias de vida, visões de educação e

formação intelectual.

No segundo capítulo, a autora analisou as falas de seis professores de

matemática, os quais se posicionaram como líderes e anunciadores locais dos

benefícios que adviriam com a introdução da MM no Ensino Fundamental e

Médio. O grupo entrevistado foi formado por professores de vários níveis

escolares, inclusive universitários, conhecedores com certa profundidade os

meandros da prática e da burocracia do ensino.

Para esses entrevistados, segundo Stephan, a MM significava a

possibilidade de se utilizar tecnologia avançada, solução para os problemas

decorrentes do subdesenvolvimento. No entanto, “a vontade de reformar nem

sempre é compatível com o poder de reformar”. Apesar dos incentivos, “não

existiram meios de modificar a realidade escolar descompassada em relação ao

que se projetava para ela” (2000, p. 60).

Ao tentar reavaliar o MMM a autora sentiu dificuldade em posicionar o

sentido das alterações ocorridas sob o regime militar e seus aparelhos autoritários

na questão educacional. Os sujeitos entrevistados não assumiram o lado político

do movimento. No entanto, este é destacado justamente pelo fato de não terem

sido feitas referências à vinculação política com os militares. É justamente o

silêncio que o denuncia, constatou a pesquisadora.

144

O autoritarismo externo imposto ao MMM, embora não assinalado pelos

entrevistados, foi uma das causas do insucesso do Movimento, posto que os

entrevistados citam apenas fatores internos, tais como o despreparo dos

professores que não haviam feito cursos, o desinteresse das universidades em

prepará-los, e a falta de recursos para a implantação da reforma, os quais

conduziram à desaceleração prematura do Movimento.

Alguns dos entrevistados admitiram o caráter seletivo do ensino de

matemática. No entanto, para esses professores, adeptos ao MMM, o problema

era resultante da inadequação de alunos e professores e não do método e do

currículo proposto pelo Movimento.

O depoimento desse grupo de entrevistados permitiu à autora concluir que

a opção pela MM deveu-se ao fato de os professores acreditarem que seu ensino

seria capaz de impulsionar o progresso econômico. A inserção de pressupostos

econômicos sustentados pela educação chocava-se com a cultura escolar, tanto

no aspecto organizacional quanto na formação docente e prática do ensino,

resultando em um entrave ao Movimento.

No terceiro capítulo, Stephan procurou estabelecer uma interlocução entre

os grupos entrevistados, as condições históricas e a teorização. Para tanto,

apoiou-se em autores da História da Educação e naqueles que se dedicaram ao

estudo do MMM. Nesse sentido, fundamentou-se na Análise do Discurso, de

modo a ampliar o significado das falas dos professores entrevistados.

Da linguagem das professoras, captada no primeiro grupo de entrevistas, a

autora verificou que a palavra central que emergiu das entrevistas é a palavra

“aluno”. Em contrapartida, o termo mais destacado na fala dos professores líderes

do MMM em Juiz de Fora, participantes do segundo grupo de entrevistas, foi

“matemática”. Assim, por meio de diferentes regularidades, pode perceber a

construção de diferentes visões de educação: de um lado, a formação do aluno

prepondera; de outro, destaca-se o conteúdo, a instrução, enquanto função

educacional. No entanto, embora estabeleçam campos simbólicos conflitantes,

essas visões não são excludentes, concluiu a autora. Porquanto a fala das

145

professoras ligou-se ao cotidiano escolar, Stephan tomou as entrevistadas do

primeiro grupo como autoras e intérpretes do cotidiano escolar.

No quarto capítulo a autora procurou desvelar a teia de significações que

permeavam as entrevistas dos grupos de professores abordados no estudo. A

autora inferiu que os pontos de vista em relação ao ensino de matemática não se

prendiam somente às questões pedagógicas, mas também a uma hierarquia que

existia dentro da própria profissão. Os professores disseminadores das propostas

do Movimento mostraram-se entusiasmados com a MM. Entretanto, os

professores que se limitavam a dar aulas nas escolas públicas não apresentavam

o mesmo nível de entusiasmo, fazendo com que os primeiros os julgassem

despreparados para ensinar os novos conteúdos. A MM mostrou-se, ainda, como

facilitadora para o ensino de matemática. Os professores “entusiasmados” com

esse conteúdo acreditavam no poder que a MM tinha para solucionar não só

problemas relativos à aprendizagem no âmbito escolar, mas de impulsionar as

escolhas racionais nas demais ciências, como também na vida em sociedade.

Stephan, ao analisar a fala dos professores líderes do Movimento em Juiz

de Fora, reconheceu a existência de uma rede de preconceitos, na medida em

que esses professores imputaram os problemas relativos ao Movimento à má

qualidade na formação dos professores da rede pública, denunciando, segundo a

pesquisadora, formas preconceituosas nas relações hierárquicas entre os níveis

de apreensão da MM.

Em suas considerações finais, a partir da análise dos depoimentos, a

autora concebeu o MMM antes como uma experiência interrompida do que como

um fracasso em toda sua extensão. Para Stephan, o Movimento conseguiu

realizar mudanças consideráveis no ensino e essas características, como a

facilidade do ensino, a rapidez do aprendizado e a possibilidade da MM ser

aplicada em várias abordagens pedagógicas são, por exemplo, colocadas como

indícios da aceitação da MM em âmbito escolar.

De todos os trabalhos realizados, o estudo de Stephan traz como elemento

diferenciador a trajetória acadêmica da pesquisadora, cuja formação filia-se à

História da Educação, diferentemente dos demais autores, todos pesquisadores

146

da área da Educação Matemática. Essa distinção imprime ao trabalho da autora

uma forma de escrita (própria dos historiadores) voltada para o jargão corrente na

História, mantendo com os teóricos historiadores e antropólogos uma interlocução

mais profunda e espontânea, devido à sua natural facilidade em transitar pela

historiografia.

Em seus comentários, Stephan chamou a atenção para a lacuna deixada

por Búrigo (1989), qual seja, a ausência de análise das ações dos professores de

escolas públicas. Stephan buscou preencher tal lacuna, na medida em que seu

trabalho incorporou esses sujeitos históricos. Entretanto, convém destacar que,

ambos os trabalhos não priorizaram a participação e a contribuição dos

matemáticos brasileiros como enfoque principal em seus estudos.

5.7. SOARES, Flávia dos Santos. Movimento da Matemática Moderna no

Brasil: Avanço ou Retrocesso? Dissertação Mestrado em Matemática.

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2001.

O trabalho buscou assinalar com mais profundidade alguns tópicos já

referidos em teses e dissertações as quais tratam especificamente sobre o MMM,

tais como as atividades do GEEM, como também relatar novos aspectos

relacionados ao movimento, apresentando, de forma detalhada, experiências

realizadas com a Matemática Moderna em três escolas situadas no Estado do Rio

de Janeiro, durante a década de 70.

Para a consecução do estudo, utilizou como fontes, além das teses e

dissertações anteriores à pesquisa, entrevistas com educadores matemáticos

que, de alguma forma, se envolveram com o MMM no Estado do Rio de Janeiro;

artigos de revistas e jornais brasileiros publicados nas décadas de 60 e 70; artigos

de periódicos brasileiros das áreas de Matemática e Educação; artigos de

periódicos estrangeiros da área de Matemática; obras sobre o MMM e temas

correlatos; anais de congressos, anuários, documentos oficiais publicados por

organismos internacionais como a UNESCO e a OEA.

Após o capítulo introdutório, a autora apresentou um breve panorama

político, econômico e educacional do Brasil dos anos 50, 60 e início dos anos 70,

147

abordando, de modo geral, as Leis de Diretrizes e Bases da Educação de 1961 e

1971, a Reforma Universitária de 1968 e algumas de suas conseqüências para o

ensino secundário. Procurou, desse modo, mostrar a forte influência de tais

medidas na elaboração das propostas curriculares lançadas na década de 70.

No terceiro capítulo, Soares deteve-se nas origens do MMM. Comenta

sobre iniciativas de reforma internacionais, a partir da criação do IMUK ou CIEM,

quando se buscava conciliar o ensino das escolas secundárias com o

desenvolvimento científico e tecnológico da época. Apresenta objetivos e

conclusões da Conferência de Royaumont (1959). Dentre as principais

conclusões da conferência, pronunciadas por Howard Fehr, destaca-se aquela

citada no item (i): “é preciso contar com um grupo de peritos composto de

pessoas de distintos países ao que se recomenda a elaboração de programas

detalhados do ensino de matemática para as escolas secundárias” (SOARES,

2001, p. 29). Soares ainda teceu comentários sobre as iniciativas de mudanças

propostas pelos Estados Unidos, Inglaterra, Portugal, Hungria, Holanda, França,

Canadá, Austrália, América do Sul e países árabes.

Para a América do Sul, Soares abordou especialmente a Primeira

Conferência Interamericana sobre Educação Matemática, realizada em Bogotá,

em 1961. Sobre o Brasil, citou, de passagem, a participação de Omar Catunda e

Alfredo Pereira Gomes, mencionando a tese defendida por Catunda, intitulada “A

preparação de professores de matemática no Brasil”. Soares apenas fez menção

aos nomes de Catunda e Alfredo Pereira Gomes, sem apresentar maiores

comentários sobre a participação desses matemáticos no encontro.

Os capítulos quatro e cinco foram dedicados a um estudo aprofundado

sobre o MMM. Nele, Soares elaborou uma síntese sobre os congressos

brasileiros sobre o ensino de matemática (1955 a 1966). Citou o programa de

Matemática aprovado no 1º Congresso de Ensino da Matemática, comentando

sobre as tendências modernas defendidas pelo matemático Felix Klein e pelo

professor Euclides Roxo.

Ao comentar, no capítulo cinco, sobre a Primeira Conferência

Interamericana de Educação Matemática, a autora mencionou uma carta de

148

Marshall Stone, então presidente do comitê, para o professor Alfredo Pereira

Gomes. Esta carta está inserida no artigo “Sobre a reforma do ensino de

matemática no Brasil” de autoria de Stone, publicada pelo Boletim da Sociedade

Paranaense de Matemática, em 1962. Nessa carta, Stone recomenda o

estabelecimento antecipado de um currículo moderno de Matemática, o qual

deveria ser elaborado por professores interessados, tais como Omar Catunda,

Osvaldo Sangiorgi e Martha Dantas (SOARES, 2001, p. 82-83).

Ainda nesse capítulo, Soares narrou as atividades com a Matemática

Moderna realizadas no Colégio São Bento, no Centro Educacional de Niterói e no

Colégio Estadual André Mourois. A implantação da MM nessas escolas alcançou

resultados positivos, embora tenha sido uma experiência de alcance restrito. O

projeto no Colégio Estadual André Mourois continuou por vários anos, graças ao

sucesso alcançado em 1970, quando a escola obteve o menor índice de

reprovação em matemática.

Sobre o Colégio Pedro II, Soares relatou que a instituição resistiu às

propostas inovadoras, apenas começando a implantá-las a partir de 1970.

Segundo depoimento de Vera Rodrigues, Diretora do CPII, a opinião do professor

Haroldo Lisboa da Cunha, catedrático de matemática e chefe do Departamento de

Matemática do Colégio, contribuiu fortemente para essa oposição à introdução da

MM no colégio. Este acreditava que o movimento era um “modismo” e que os

conteúdos apresentados serviam para serem estudados no ensino superior.

No sexto capítulo Soares dedicou-se à análise do denominado “fracasso”

da Matemática Moderna. Como os demais trabalhos já apresentados, ateve-se

principalmente na obra de Morris Kline. Além disso, acrescentou comentários do

professor Manfredo Perdigão do Carmo e Elon Lages Lima, datados de 1973.

Segundo Manfredo P. Carmo, as idéias modernistas colocadas em “mãos

inexperientes” resultaram no caos em que se tornou a matemática do ensino

secundário. Ainda assim, não defendeu a volta ao ensino tradicional. Já o

professor Lima, observou que o exagerado desligamento da realidade e o

excesso no uso da Teoria dos Conjuntos contribuíram para o estado crítico em

que se encontrava o ensino brasileiro de matemática [grifo da autora] (SOARES,

2001, p. 117-118).

149

Concluindo, Soares verificou que “a implantação da Matemática Moderna

como parte do currículo escolar não se mostrou eficaz no combate aos problemas

que o ensino tradicional já apresentava”. As propostas realmente inovadoras,

desenvolvidas pelos grupos de estudos da época não chegaram às salas de aula

e não foram incorporadas aos livros didáticos mais conhecidos. No entanto, “o

Movimento fez com que os professores começassem a refletir mais sobre sua

prática docente e sobre os verdadeiros propósitos do ensino da Matemática”

(SOARES, 2001, p. 142-144).

De todas as teses e dissertações analisadas, o estudo realizado por

Soares é o que apresentou experiências realizadas no Estado do Rio de Janeiro

com a Matemática Moderna, as quais foram iniciativas bem sucedidas, embora

tivessem sofrido solução de continuidade, não sendo assimiladas pelo

Movimento. Nota-se, além disso, que em seu estudo, a pesquisadora procurou

analisar o MMM, destacando em subcapítulos, o papel dos Fundamentos da

Matemática Moderna, da Psicologia, do livro didático, da Álgebra e da Geometria.

Como os demais trabalhos já analisados, o estudo de Soares não

apresenta uma análise específica sobre o papel representado pelos matemáticos,

de como a comunidade matemática se pronunciou durante o Movimento.

5.8. BARALDI, Ivete Maria. Retraços da Educação Matemática na Região de

Bauru (SP): uma história em construção. Tese de Doutorado em

Educação Matemática. UNESP, Rio Claro, 2003.

Esse trabalho teve como principal objetivo responder ao seguinte

questionamento: “Como evidenciou-se, delineou-se, caracterizou-se a formação

do professor de Matemática, nas décadas de 1960 e 1970, em seus variados

aspectos, na região de Bauru?”.

Baraldi apresentou seu estudo em três volumes. O primeiro, “Vozes de

Professores de Matemática – Mosaico de Vidas” traz depoimentos de professores

de Matemática da região de Bauru. A seguir, passamos a descrever alguns deles.

150

O primeiro entrevistado foi o professor João Linneu do Amaral Prado.

Durante sua formação, Amaral Prado teve contato direto com professores de

renome na área de Matemática. Fez curso preparatório de matemática no Grêmio

Estudantil da Faculdade de Filosofia da USP, quando eram admitidos alunos com

apenas o ginásio, ou seja, sem o pré-politécnico (correspondente hoje em dia ao

Ensino Médio). Nos anos de 1941 a 1943, já na FFCLUSP, cursou as seguintes

disciplinas ministradas pelos respectivos professores: Análise 1 – Omar Catunda,

Análise 2 – Cândido Lima da Silva Dias, Geometria Projetiva – Giacomo

Albanese, Teoria dos Números – Fernando Furquim de Almeida, Física – Marcelo

Dami de Souza Santos, Cálculo Vetorial e Geometria Analítica – Benedito

Castrucci. Segundo Prado, os professores Omar Catunda e Giacomo Albanese

tinham como assistentes os professores Benedito Castrucci e Edson Farah,

respectivamente.

Amaral Prado relembrou que naquela época não se falava de Álgebra

moderna. Nesse período, a Faculdade oferecia como atividade semanal, reuniões

denominadas “Crítica dos Princípios”, ocasião em que eram debatidos temas

previamente escolhidos, sob a orientação de Giacomo Albanese. Nessa atividade

participavam todos os professores e os alunos. Por intermédio dessas reuniões,

ao discutirem as idéias de Hilbert, o entrevistado passou a se interessar por

Geometria. Em 1944, deixou de freqüentar a faculdade, embora continuando a

lecionar em alguns ginásios de São Caetano e de São Paulo.

Em sua narrativa, fez questão de sublinhar que, Giacomo Albanese

recomendava aos seus alunos para “não perderem tempo com licenciatura”

(PRADO, apud BARALDI, 2003, p.18). Sobre o concurso ao Magistério,

esclareceu:

Nesse concurso, além de uma prova escrita, problemas e teoria,

tive duas exposições orais: uma aula, que era para a avaliação

pedagógica e uma exposição, que era para a avaliação de

conhecimento de um tema sorteado vinte quatro horas antes. [...]

A banca era constituída pelos professores: Benedito Castrucci,

Omar Catunda e Fernando Furquim de Almeida. Fiz a minha

exposição somente para a banca. Os membros da banca

examinadora não eram licenciados em Matemática e, portanto,

não conheciam nada sobre Didática e Pedagogia. A segunda

151

exposição oral consistia em desenvolver para uma classe com

alunos, durante quarenta e cinco minutos, o tema números

complexos. Iniciei a minha aula [...] falando sozinho, pois estava

lecionando para uma classe vazia – era época de férias escolares

(PRADO, apud BARALDI, 2003, p. 18).

Tomou posse como professor secundário no Ginásio Estadual de Jahu.

Ministrou cursos na CADES, nas décadas de 1950 e de 1960, lecionando em São

Carlos, Londrina (Paraná), Ubá (Minas Gerais), Nova Friburgo (Rio de Janeiro).

Na década de 1960, foi convidado para lecionar Álgebra Moderna na

Faculdade de Ciências e Letras de Penápolis. Segundo o entrevistado, falava-se

muito em Matemática Moderna, Teoria dos Conjuntos, Teoria dos Grupos,

assuntos que na sua época de graduação não eram cogitados. As primeiras

noções que teve sobre Teoria dos Grupos foi com o professor Omar Catunda, seu

professor de Análise, porém em suas aulas extras. Posteriormente, adotou o livro

de Álgebra de Jacy Monteiro, que fora seu colega de turma. A coleção de livros

do Grupo Bourbaki, também era prestigiada, especialmente o primeiro volume, de

leitura mais amena, o qual tratava dos fundamentos da Teoria dos Conjuntos.

No início da década de 1970, Prado passou a freqüentar as reuniões

promovidas pelo GEEM, juntamente com o Benedito Castrucci e Renate

Watanabe, cujo marido, Shigeo Watanabe, havia sido seu colega de turma na

faculdade. Prado começou a utilizar livros sob orientação do GEEM, adotando,

por dois ou três anos, os livros de Osvaldo Sangiorgi. Nos encontros, os debates

e cursos enfocavam temas didáticos, além de fazerem análises críticas de livros

didáticos publicados.

Rubens Zapater, terceiro entrevistado, iniciou sua carreira como professor

1958, quando assumiu aulas de Matemática em Iacanga, interior de São Paulo.

No começo de 1960, em Araçatuba, recebeu o registro definitivo para lecionar

Matemática no ginásio, pela CADES.

Na década de 1960, segundo Zapater, os nomes relacionados ao ensino

de Matemática que mais se destacavam eram os de Benedito Castrucci, Scipione

de Pierro Neto, Jacy Monteiro. Após sua formação na CADES, ficou lecionando

no secundário. No ano de 1962, o Estado de São Paulo precisava de novos

152

professores e, então, abriu um concurso para o ingresso no ensino secundário e

normal. Seria sua chance para tornar-se professor efetivo. Nesse concurso,

relembrou Zapater, uma das questões fazia referência à Álgebra Moderna,

assunto que Zapater ainda não dominava.

Zapater participou, em 1959, no Rio de Janeiro, do 3º Congresso do Ensino

de Matemática, e, posteriormente, participou ainda do GEEM. Embora estivesse

no início de sua carreira, sentia que os programas de Matemática eram

inadequados para a faixa etária dos mesmos. Reportando-se mais

especificamente à Matemática Moderna, Zapater considerou que foi implantada

no ensino sem o devido preparo, tanto da clientela como do professor.

A entrevistada seguinte foi Miriam Delmont. Em seu depoimento, relatou

recebeu o registro da CADES para lecionar no primeiro grau em 1960. Em 1962,

prestou o concurso para a cadeira de Matemática. Fez a prova escrita e depois

veio a chamada no Diário Oficial para a leitura da prova. Essa etapa foi realizada

em três dias; a leitura foi feita por uma banca composta por três examinadores.

Em sua banca estavam: Osvaldo Sangiorgi, Benedito Castrucci. Delmont

relembra que, pouco antes do concurso, Sangiorgi havia feito uma reunião com o

grupo e na ocasião havia dito que eles, professores do interior, não teriam muitas

chances porque estava sendo introduzida a Matemática Moderna e só os

professores de São Paulo estavam tendo aulas desse conteúdo. Das três teses

sorteadas por Sangiorgi, duas delas diziam respeito à MM. Delmont conseguiu

discorrer sobre uma das teses, obtendo aprovação no concurso.

Antonio Augusto Del Preti, sétimo entrevistado por Baraldi, relatou que os

autores de livros didáticos que mais se destacavam em sua época foram: Ary

Quintella, Scipione, Castrucci. O depoente conhecia esses professores apenas

pelo nome e pelas suas obras. Em Rio Claro, teve aulas com os professores

Mário Tourasse, Scipione e Ubiratan D’Ambrosio. Teve ainda a oportunidade de

travar contato com os professores Nelson Onuchic, Lourdes Onuchic e o Gilberto

Loibel.

Formou-se em 1965, passando a lecionar em Bauru, onde se tornou um

dos primeiros professores formados em Matemática. Por volta de 1970, começou

153

a lecionar na Fundação Educacional de Bauru, no curso de Ciências. Aposentou-

se nessa Fundação, agora UNESP, em setembro de 1998. Deixou de lecionar no

Estado em 1988, quando a UNESP encampou a Fundação.

O último entrevistado, Milton de Oliveira, efetivando-se como professor em

1960, exercendo essa profissão até 1989, ocasião em que se aposentou pelo

Estado de São Paulo. Segundo Oliveira, a decadência do ensino tornou-se mais

notável no MMM, devido à uma série de imposições, consideradas pelo

entrevistado como descabidas:

Em Matemática, por exemplo, de repente criaram uma tal de

Matemática Moderna e começou-se a ensinar Teoria dos

Conjuntos, não dizendo para que isso servia, ou seja, no primeiro

dia de aula ensinava-se Teoria dos Conjuntos e, em seguida,

voltava-se a ensinar a Matemática tradicional, sem fazer qualquer

ligação entre uma e outra. Isso perdurou por muitos anos e

perdemos muito tempo com essa Matemática Moderna

(OLIVEIRA, apud BARALDI, 2003, p. 101).

O segundo volume da tese, denominado “Vozes da Literatura”, Baraldi fez

um relato sobre aspectos característicos da região de Bauru, em especial a

utilização da ferrovia como meio de transporte nas décadas exploradas, a

formação dos professores de Matemática pela CADES, o Movimento da

Matemática Moderna e a Lei 5.692/71. Utiliza-se, especialmente, nesse volume

dos relatos dos entrevistados, como também trabalhos de Elizabeth Búrigo,

Beatriz D’Ambrosio e Célia Maria Carolino Pires.

O terceiro volume, intitulado “Nossa voz” apresenta o esboço teórico

construído sobre a História Oral e descreve com mais detalhes o objetivo da

pesquisa. Nesse sentido, Thompson, Jouthard, Meihy, Garnica e Freitas são

alguns historiadores destacados pela autora.

A leitura dessa pesquisa permitiu ampliar um pouco mais os aspectos

referentes aos processos educacionais, notadamente aqueles sobre formação de

professores, o funcionamento da escola e os concursos públicos para provimento

do cargo de professor, no período que cobre o MMM.

154

Baraldi procura dar visibilidade aos anseios, sucessos e dificuldades dos

professores do interior paulista em relação aos novos conteúdos e métodos

estabelecidos pelos promotores da reforma. Entretanto, apesar de serem

constatadas, em toda a extensão do trabalho, algumas interferências de

matemáticos no ensino, estas são tratadas de forma implícita, uma vez que não

representavam o centro das atenções da autora.

5.9. Comentários gerais

As teses e dissertações sobre o MMM no Brasil, ao que tudo leva a crer,

são insuficientes para compreender a herança deixada pelo Movimento nas

práticas pedagógicas dos professores de matemática brasileiros. Para compor o

ideário do Movimento, os trabalhos, em geral, preocupam-se em explicitar o

significado da Matemática Moderna, em relatar o contexto social, político e

econômico da época, em situar os grupos que a difundiram no Brasil, bem como

na apresentação e análise de textos que discutem seu “fracasso” nacional e

internacional.

Praticamente não incluem preocupações com a análise das práticas

científicas, de como elas se transformam ao longo do tempo. Essa é, entretanto, a

pretensão maior almejada pelo projeto de pesquisa “Estudos sobre história da

educação matemática no Brasil, 1950-2000”, conduzida pelo GHEMAT/PUC-SP:

Ao focalizar matemáticos e professores de Matemática, com

estudo acurado de sua inserção histórica, teríamos a possibilidade

de enxergar com maior nitidez as práticas do fazer matemático em

nossa história cultural. Isso possibilitaria, também, a análise do

percurso que seguiu a educação matemática em nosso país

(VALENTE, 2003a).

Portanto, a análise das teses e dissertações revela a necessidade de

estudos mais aprofundados sobre as relações entre a cultura matemática e a

cultura escolar, havendo, assim, uma lacuna histórica no que se refere aos rumos

que a Educação Matemática tomou a partir da segunda metade do século XX.

155

Dessa forma, defendemos a necessidade de novos estudos, que venham

enfocar pontos de vista distintos daqueles já investigados. Neste estudo

buscamos identificar influências culturais, trocas entre duas culturas (acadêmico-

matemática e escolar) ao tempo do que ficou conhecido como Movimento da

Matemática Moderna no Brasil.

Cabe também esclarecer que as teses e dissertações mencionadas, de

maneira geral, não tomaram como referência, as bases teóricas adotadas pelo

GHEMAT, e tampouco observaram em seus objetivos, um estudo

especificamente voltado à análise da participação de matemáticos durante o

MMM.

Contudo, tais observações não impediram que, ao longo do estudo

daqueles trabalhos, aflorassem algumas questões referentes ao papel assumido

pelos matemáticos durante o Movimento, evidenciando o espaço em que se

processou a investigação, possibilitando trazer respostas para uma melhor

compreensão sobre esse assunto.

Assim, a análise das teses e dissertações, tornou possível identificar

alguns traços comuns na atuação dos matemáticos durante o processo de

renovação do ensino secundário, das décadas 50, 60 e 70, permitindo-nos

elaborar uma categorização, a qual apontou alguma regularidade nas práticas dos

matemáticos mobilizados pela reforma, existindo aqueles que:

 se dedicaram a ministrar cursos de formação de professores primários e

secundários nos grupos promotores do Movimento: Alexandre Martins

Rodrigues, Arago Bacx, Carlos B. Lyra (curso para pais), Alésio de

Caroli, Benedito Castrucci, Leônidas Hegenberg (curso para pais), Luiz

Henrique Jacy Monteiro, Ruy Madsen Barbosa, Omar Catunda, dentre

outros;

 escreviam textos relativos os conteúdos da Matemática Moderna, tendo

como público-alvo os professores do ensino médio: Benedito Castrucci;

Ruy Madsen Barbosa, Luiz Henrique Jacy Monteiro, Edson Farah, Alésio

de Caroli, Omar Catunda, dentre outros;

156

 se dedicavam à escrever obras referentes aos conteúdos de Matemática

Moderna, destinados aos estudantes do curso secundário: Benedito

Castrucci, Luiz Henrique Jacy Monteiro, Omar Catunda, Edson Farah,

dentre outros;

 se dedicavam a participar de congressos e/ou publicar artigos

defendendo o Movimento, expondo os motivos pelos quais a Matemática

Moderna deveria fazer parte do currículo das escolas elementares:

Ubiratan D’Ambrosio, Omar Catunda, Leônidas Hegenberg, Leopoldo

Nachbin, dentre outros;

 fizeram críticas ao Movimento, mostrando-se contrários à reforma,

durante sua implantação ou após a constatação de seu esgotamento:

Elza Furtado Gomide, Lindolfo de Carvalho Dias, Manfredo do Carmo

Perdigão, Elon Lages Lima, dentre outros.

Os dados acima permitem verificar que os matemáticos citados com maior

freqüência nas teses e dissertações foram Omar Catunda, Benedito Castrucci e

Luiz Henrique Jacy Monteiro.

Assim sendo, levando em conta que a análise da participação dos

matemáticos brasileiros no MMM é elemento capital para investigar as dinâmicas

de relacionamento entre as culturas acadêmico-matemática e escolar,

destacamos esses matemáticos como um conjunto representativo para o estudo

dessas dinâmicas.

157

CAPÍTULO 6

A ERA DOS EXTREMOS

Em conformidade com Michel de Certeau (1982), toda pesquisa histórica

articula-se num local de produção sócio-econômica, política e cultural. Sua

produção dá-se a partir dos lugares em que o esforço para a interpretação da

história foi engendrado. Pretendendo construir uma narrativa histórica,

assinalamos, a seguir, o ambiente no qual Omar Catunda, Benedito Castrucci e

Luiz Henrique Jacy Monteiro estudaram e posteriormente tornaram-se

professores.

A vida dos brasileiros, com o advento da República, viu-se fortemente

afetada por pressões transformadoras, de tal modo que o período fora

denominado de “a era dos extremos”

. De um lado, pressões do mercado

consumidor, de outro, as intervenções das elites dirigentes. Nos anos 30, 40,

tomando como modelo os regimes repressivos que vingavam na Europa, o

governo de Getúlio Vargas (1930-1935) procurou tirar o máximo proveito das

técnicas de propaganda e dos meios de comunicação, especialmente do rádio,

para construir sua base de sustentação política. A população brasileira, em sua

maioria analfabeta, passou a receber fortes estímulos sensoriais das imagens e

dos sons, pela prática inédita do uso de novas tecnologias, que contribuíram

intensamente para mudanças efetivas nos usos e costumes da sociedade. A

introdução da televisão, em 1950, veio consolidar esse quadro, em que as novas

Alusão inspirada na “Era dos extremos: o breve século XX: 1914 - 1991” de autoria de Eric J. Hobsbawm

(2001).

158

técnicas, equipamentos e artigos representariam “a vida moderna” (SEVCENKO,

2001).

“A era dos extremos”, em boa medida, traz a marca dos tempos em que

ocorre a substituição da elite no poder, quando caem as oligarquias tradicionais,

fazendo emergir os militares, técnicos diplomados, jovens políticos e industriais.

Tempos de revolução constitucionalista, encabeçada pelo Estado de São Paulo,

em que o rádio aparece como dispositivo tecnológico utilizado em grande escala

para incentivar o povo para comícios e o fluxo de voluntários à frente de combate;

tempos da criação da Universidade de São Paulo e da promulgação de uma nova

Constituição, estabelecendo o ensino primário gratuito e a freqüência obrigatória;

tempos em que, aos poucos, com o fortalecimento das Forças Armadas,

especialmente o Exército, a corrente autoritária foi assumindo a perspectiva

denominada “modernização conservadora”, que vai percorrer toda a era Vargas,

de presidente eleito via voto indireto, a chefe de governo no Estado Novo (1937-

1945). Perpassa, em 1946, nova Constituição e novo presidente, General Dutra,

que novamente passaria, em 1951, a faixa presidencial a Vargas, que

permaneceu até 1954 (FAUSTO, 2002).

Em suas manifestações dirigidas ao povo, o Governo Vargas explicava

suas atitudes para promover a busca da integração nacional, a ordem e a entrada

do Brasil nos tempos modernos. A nação brasileira, impelida a ingressar na era

da industrialização, exigia maior incremento na área da pesquisa científica. O

interesse em promover a industrialização refletiu-se no campo educacional,

manifestando-se este como instrumento modernizador. A criação do Ministério da

Educação e Saúde (1930), a Reforma Francisco Campos (1931), a fundação da

Universidade de São Paulo (1934) e da Universidade do Distrito Federal (1935)

assinalam um processo de estruturação orgânica do ensino nacional. A

promulgação da reforma de ensino, promovida por Gustavo Capanema (1942)

favoreceu a expansão e transformação do ensino ginasial em escola básica para

todos os ramos de ensino, enquanto que os cursos de grau médio estruturaram-

se em ensino secundário (clássico e científico).

Em 1942, a Reforma Capanema deu nova organização ao Ensino Secundário, criando o ginásio (primeiro

ciclo), de quatro anos e os cursos clássico e científico (segundo ciclo ou colegial), de três anos (VALENTE,

2005).

159

O sentido de modernização, nesse período, encontrava-se vinculado à

educação e produtividade. Tratava de tornar o país desenvolvido por meio da

produção tecnológica e a eficácia administrativa do Estado, em que a educação

seria a forma pela qual o Brasil alcançaria o progresso, atuando como promotora

de conhecimentos científicos que fariam crescer a produção tecnológica. Assim,

enquanto o ensino profissional visava a preparação de mão de obra qualificada,

destacando-se por meio da criação do SENAI – Serviço Nacional de

Aprendizagem Industrial e do SENAC – Serviço Nacional de Aprendizagem

Comercial, as escolas secundárias destinavam-se às elites.

Em tempos de Vargas, os reflexos do primeiro movimento internacional de

modernização do ensino da matemática secundária também se fizeram sentir no

Brasil, tendo como conseqüência o surgimento dos novos programas de

Matemática implementados no Colégio Pedro II

, a partir de 1929 e pela Reforma

Francisco Campos, em 1931, ambos propostos por Euclides de Medeiros

Guimarães Roxo, e inteiramente aceito pelo Ministério da Educação e Saúde

Pública.

Em seus trabalhos, Euclides Roxo mostrava-se basicamente um defensor

do pensamento de Felix Klein. Foi, desse modo, o primeiro a procurar introduzir

no Brasil, os pontos de vista inseridos no moderno movimento de reforma iniciado

por aquele matemático alemão.

Dentre as instruções pedagógicas para o ensino da Geometria, contidas no

programa de matemática de 1931, destacamos aquela que determinava “salientar

a importância da simetria axial e central, da rotação e translação”, ou seja, a

geometria das transformações, em conformidade com as propostas de Klein

(DUARTE, 2002, p. 149).

O Colégio Pedro II foi criado em 1837, sendo a primeira escola secundária pública a apresentar um plano

gradual e integral para o ensino secundário. A partir de sua criação, os alunos eram promovidos por série,

não mais por disciplina. O ensino secundário não era obrigatório, ou seja, não havia necessidade de se

possuir diploma para candidatar-se a uma vaga no ensino superior. Bastava ter idade mínima de 16 anos e

ser aprovado nos exames preparatórios. No entanto, os alunos que chegavam ao final do curso obtinham o

título de bacharel em Letras, além de garantir a matrícula em qualquer ensino superior, sem necessidade de

prestar os exames preparatórios. A partir de 1890, o ensino secundário sofreu modificações significativas,

com a Reforma Benjamin Constant. Por meio dela, foram extintos os exames parcelados, passando-se a

exigir, para o ingresso no curso superior, a realização de estudos regulares nas escolas particulares ou

oficiais e a aprovação nos exames de madureza realizados no Colégio Pedro II, então denominado Ginásio

Nacional, ou nos estabelecimentos de ensino a ele equiparados (DUARTE, 2002).

160

Ao optar por Klein, Euclides Roxo deu ênfase para o ponto de vista

psicológico quanto à metodologia sugerida para o ensino secundário brasileiro,

sendo inovador neste aspecto. Segundo Roxo, a matemática escolar, mais do que

discorrer sobre demonstrações impecáveis sob o ponto de vista do rigor lógico,

deveria dar significado à aprendizagem do aluno, voltando-se, deste modo, para a

compreensão dos conteúdos a serem trabalhados.

A Reforma Francisco Campos impôs, para todo o território nacional,

modificações expressivas na estrutura do ensino secundário, visando dar-lhe um

caráter eminentemente educativo, em oposição à finalidade exclusiva de

matrícula aos cursos superiores.

A partir dos anos 30, com a obrigatoriedade da freqüência a cada uma das

séries do ensino secundário

, verificou-se que a expansão desse ensino foi

proporcionalmente maior do que a expansão do ensino primário, ensino superior e

dos ensinos profissionalizantes existentes nesse período.

No entanto, apesar de todo empenho despendido, a escola secundária

continuava sendo um curso para a elite. Em 1951, menos de 6% da população

entre 11 e 17 anos estava matriculada no ensino médio (BÚRIGO, p.30, 1990).

Posteriormente, em meio a grave crise política, Getúlio Vargas comete

suicídio em 1954. Em 1956, foi eleito e chegou ao poder Juscelino Kubitschek

cujo governo foi marcado por intenso desenvolvimento econômico, traduzido na

época pela expressão “cinqüenta anos de progresso em cinco anos de governo”,

o que caracterizou uma política de nacionalismo desenvolvimentista, que não

impediu, todavia, conspirações para derrubada de seu governo. Na educação,

verificava-se ainda um enorme déficit de escolas de nível secundário

(SKIDMORE, 1996).

O período compreendido entre 1925-1930 caracterizou-se por uma época de transição entre o sistema que

permitia eliminar exames para ingresso ao ensino superior sem ter diploma do ensino secundário e aquele

que instituía a seriação obrigatória para o ensino secundário (VALENTE et alli, 2004).

Entre o governo Vargas e o de Kubitschek, vigorou o de Café Filho (1954-1955). Juscelino Kubitschek de

Oliveira governou desde 31/01/1956 a 31/01/1961 (BÚRIGO, 1989).

161

No Governo de Kubitschek acentuou-se a implantação da indústria

brasileira, abrindo-se as portas da economia nacional ao capital estrangeiro. As

novas necessidades surgidas pela crescente urbanização vinham acompanhadas

de pressão dos setores médios e populares pelo acesso ao ensino. Foi também

um período marcado pela discussão da necessidade de elaboração de um Plano

Nacional de Educação, que vinha ocorrendo desde 1948 e concretizado em

dezembro de 1961, já no Governo de João Goulart, com a Lei 4024 (Lei de

Diretrizes e Bases da Educação Nacional). Com a promulgação da LDB, a

estrutura tradicional do ensino pouco foi alterada, ficando o sistema organizado da

seguinte forma: Ensino pré-primário, Ensino primário de 4 anos; Ensino Médio,

subdividido em dois ciclos: o ginasial de 4 anos e o colegial de 3 anos, ambos por

sua vez compreendendo o ensino secundário e o ensino técnico; Ensino Superior,

com a mesma estrutura já estabelecida anteriormente. Embora não oferecesse

um currículo fixo e rígido para toda a Nação, suscitaram novos debates em torno

de currículos e programas do ensino médio, não mais fixados pelo governo

federal, com exceção do estabelecimento de um núcleo comum de matérias,

deixando aos estados e estabelecimentos a possibilidade de anexarem disciplinas

optativas ao currículo mínimo estabelecido pelo Conselho Federal de Educação

(ROMANELLI, 2003).

O governo norte-americano também começou a intervir cada vez mais nos

setores educacionais. Entre 1958 e 1963, professores primários foram

contemplados com bolsas de estudo de um ano para realizar cursos na Indiana

University, por meio do PABAAEE (Programa Brasileiro-Americano de Assistência

ao Ensino Elementar). Em 1957, um convênio previa o aprimoramento de 600

professores do ensino secundário, com bolsa de estudos para a University

Southern Califórnia (ROMANELLI, 2003).

Em 1960, assumiu como presidente eleito Jânio Quadros, num cenário

marcado por um processo de democratização e pela crescente industrialização e

urbanização, desde a queda da ditadura Vargas em 1945. No âmbito

internacional, os conflitos gerados pela Guerra Fria, expressavam o confronto

entre capitalismo e socialismo. Posteriormente, Jânio Quadros renunciou ao cargo

de presidente, assumindo o vice-presidente João Goulart, que foi deposto pelo

Golpe Militar em 1964. O golpe, justificado pela expressão “segurança nacional”

162

inspirada pela Guerra Fria, ditada pelos Estados Unidos, deu sustentação a um

regime que vigorou durante o período compreendido entre 1964 e 1985

(GERMANO, 2005).

A política intervencionista norte-americana intensificou-se a partir do

movimento de 1964, quando foram assinados os “Acordos MEC-USAID”, uma

série de convênios entre o MEC e a Agency for International Development (AID),

com a finalidade de prestar assistência técnica e cooperação financeira por parte

dessa agência à organização do sistema educacional brasileiro. Segundo

Romanelli (2003), a política educacional brasileira teve seu arcabouço e suas

vigas mestras sustentadas nos acordos MEC-USAID

, quando foram lançadas

as principais bases das reformas educacionais que se seguiram, como a Lei

5.692, de 11 de agosto de 1971, que fixou as diretrizes e bases para o ensino de

1º e 2º graus

, e a Lei 5540 de 28 de novembro de 1968, que fixou normas para

a organização e funcionamento do ensino superior

É nesse contexto histórico, portanto, que surgiram as principais

modificações no sistema educacional brasileiro. Nele vemos acirrar o debate

sobre os problemas envolvendo o ensino secundário e vemos florescer o

Movimento da Matemática Moderna.

6.1. A criação da Universidade de São Paulo

O Estado de São Paulo, após amargar a derrota provocada pela Revolução

Constitucionalista de 1932, busca destaque no campo intelectual. O governador

Armando de Salles Oliveira (1887-1945), com o apoio de outros intelectuais

Segundo Romanelli (2003, p. 213), os acordos firmados atingiram todo o sistema educacional: a) Níveis:

primário, médio e superior; b) Ramos: acadêmico e profissional (com ênfase no primeiro); c) Funcionamento:

1. reestruturação administrativa; 2. planejamento; 3. treinamento de pessoal docente e técnico; d) Controle do

conteúdo geral do ensino através do controle de publicação e distribuição de livros técnicos e didáticos.

A educação fundamental e média passou a ter a seguinte estruturação: Ensino de 1º grau, com 8 anos de

duração e destinado à formação da criança e do pré adolescente e Ensino de 2º grau, com 3 ou 4 anos de

duração destinado à formação do adolescente. Algumas das principais inovações propostas nesta lei, são

resumidas por Romanelli: a extensão da obrigatoriedade escolar; a eliminação do dualismo educacional

(ensino secundário x ensino profissional); a profissionalização em nível médio; a cooperação das empresas

na educação; a integração geral do sistema educacional desde o 1º grau ao superior (ROMANELLI, 2003, p.

253).

As mudanças na estrutura universitária observam as seguintes características: integração de cursos, áreas

e disciplinas; centralização da coordenação administrativa, didática e de pesquisa; cursos de vários níveis e

de duração diferente; incentivo formal à pesquisa; extinção da cátedra; ampliação da representação nos

órgãos de direção às várias categorias docentes, etc. (ROMANELLI, 2003, p. 229).

163

paulistas como Júlio de Mesquita Filho, Fernando de Azevedo, entre outros,

fizeram brotar a idéia da criação da Universidade de São Paulo. Fernando de

Azevedo, referindo-se à fundação dessa universidade, escreveu em suas

“Histórias da minha vida” (1971, p. 119):

Com Armando Sales, no poder, e Júlio de Mesquita Filho, na

direção d’O Estado de S. Paulo, pareceu-nos ter chegado, afinal,

oportunidade de criar a Universidade de S. Paulo e a Faculdade

de Filosofia, Ciências e Letras que seria integrada no sistema.

Júlio de Mesquita e eu lutávamos por isso desde 1923 (apud

VIDAL, 2000).

Em “Figuras do meu convívio” (1960, p. 98-99), ainda sobre a criação da

USP, lê-se:

Ali é que Júlio de Mesquita Filho e eu, tantas e tantíssimas vezes,

em cerca de 17 anos, sonhamos juntos a criação e, afinal juntos,

projetamos o plano da Universidade de São Paulo, que o seu

eminente fundador pôde, em três anos, pela força de seu espírito

construtivo, transformar na mais fecunda realidade, inaugurando

uma época de pesquisas e rasgando novas perspectivas à

educação nacional. (AZEVEDO, apud VIDAL, 2000).

A Universidade de São Paulo foi concretizada pelo Decreto nº 6.283 de 25

de janeiro de 1934 que, ao mesmo tempo, instituiu a Faculdade de Filosofia,

Ciências e Letras (FFCLUSP), sendo idealizada para ser um centro catalisador

das demais unidades da universidade, na medida em que esta se apresentaria

apta a formar professores e pesquisadores capazes de satisfazer às exigências

da vida moderna.

As tradicionais escolas de Direito, Medicina, Engenharia

e Agricultura

eram insuficientes para suprir as necessidades de formação de cientistas e

professores, pois eram direcionadas para a formação de profissionais liberais.

Urgia, pois, a criação de uma Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras que

satisfizesse esses requisitos. Já existiam algumas faculdades de filosofia, como a

A Faculdade de Direito foi criada em 1827, a Escola Politécnica em 1893 e a Faculdade de Medicina em

1912 (PIRES, 2006, p. 163).

164

Faculdade de Filosofia de São Bento

, que, entretanto, mantinham-se limitadas

ao campo da Filosofia.

Discorrendo sobre a importância da Faculdade de Filosofia, André Dreyfus,

em aula inaugural de 1942, justificou que, a ela estava reservado o papel de

centro de formação de pesquisadores, dedicados às investigações científicas

desinteressadas, aquelas provenientes da ciência pura, responsável, segundo

ele, pela invenção de aparelhos voltados ao bem estar da sociedade moderna:

... o cinema falado e os soros terapêuticos, o automóvel e as

vacinas, o arranha-céu e a quimioterapia, o avião e as regras

dietéticas, o rádio e os animais e plantas selecionados, a

geladeira automática, a vitrola e os transatlânticos, tudo, tudo isso

foi obra da ciência.

É particularmente notável que, na base de quase todas essas e

tantas outras descobertas úteis, estejam pesquisas científicas

desinteressadas, feitas sem nenhuma preocupação de ordem

prática. Pode-se mesmo afirmar: nenhuma grande descoberta

existe que não tenha tido suas raízes em pesquisas de ciência

pura (1939-1949, p. 97).

A FFCLUSP iniciou suas atividades em 11 de março de 1934, sob a

direção do professor Theodoro Augusto Ramos (1895-1935), o qual fora

incumbido pelo Governo do Estado de contratar professores estrangeiros e

nacionais de modo a levar adiante a missão de fazer funcionar a recém-criada

Faculdade, empenhando-se em romper com o regime de improvisações docentes,

buscando renovar e atualizar as práticas educacionais vigentes.

Concebida para ser a célula mater da Universidade, a Faculdade de

Filosofia sofreu severas críticas por parte de educadores positivistas, que

defendiam uma universidade constituída por organismos isolados, prevalecendo

as ciências aplicadas, em conformidade com as escolas politécnicas, faculdades

de medicina, de Direito, etc., já instituídas no país (BASSALO, 2005).

Criada em 1908, sob a denominação de Faculdade Livre de Philosophia e Lettras de São Paulo, e em

1940, Faculdade de São Bento. A partir de 1936 sofre ampla remodelação a fim de adequar-se às exigências

das leis que regulamentam o ensino superior. Somente por meio do Decreto nº 6.526, de 12 de novembro de

1940, seus cursos são reconhecidos e passa a denominar-se "Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de

São Bento", organizando-se em quatro seções: Seção de Filosofia (compreendendo o curso de Filosofia);

Seção de Ciências (compreendendo os cursos de Matemática, Física, Geografia e História, Ciências Sociais);

Seção de Letras (compreendendo os cursos de Letras Clássicas, Neo-latinas, Anglo-germânicas); Seção de

Pedagogia (compreendendo os cursos de Pedagogia e Didática) (MUCHAIL, 1992).

165

Segundo o professor Eurípedes Simões de Paula, a escolha pela

contratação de professores estrangeiros deveu-se a uma carência de

“especialistas à altura de uma faculdade de nível superior”, o que provocou um

movimento de oposição à Faculdade promovida por autodidatas, ou aqueles

dispostos a lecionar quatro, cinco ou seis disciplinas diferentes, denominados

ironicamente por Simões de Paula de “especialistas polididáticos” que se sentiam

prejudicados, por terem ficado à margem do processo seletivo para escolha de

professores especialistas (1951, p. 57).

Outros setores da sociedade, também não viam com bons olhos a

Faculdade de Filosofia. A igreja, por exemplo, julgava que essa faculdade era um

antro de ateísmo. Adhemar de Barros, pertencente ao Partido Republicano

Paulista (PRP) e nomeado interventor em 1937, também criticava a criação dessa

faculdade, obra efetivada pela facção rival, o Partido Constitucionalista, ao qual

pertencia Armando de Salles Oliveira.

Em discurso proferido quando paraninfo da turma de 1951 da FFCLUSP,

Eurípedes Simões de Paula desabafou: “Essa luta foi longa. Estivemos

ameaçados de fechamento, por governantes que nada entendiam da necessidade

de pesquisa, nem da formação de um professorado de curso médio de nível

universitário” (ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1951, p. 53).

Em depoimento para a Revista Estudos Avançados (1994) Erasmo Garcia

Mendes registra uma provável participação de um matemático italiano em defesa

da manutenção da FFCLUSP:

Assim, a campanha movida por interesses religiosos, políticos ou

subalternos chegou a tal vulto que houve a intenção, por parte do

governo, de extinguir a FFCL. Essa intenção quase chegou a ser

concretizada quando, em uma manhã, do ano de 1938 se não me

engano, o Conselho Universitário da USP reuniu-se na Faculdade

de Direito para discutir a questão. Para essa reunião foram

convidados os Profs. Marcus e Luigi Fantappié. A proposta de se

destruir a FFCL só não teve êxito porque, segundo me contou o

Prof. Marcus, Fantappié emudeceu os conselheiros com uma

brilhante defesa dos objetivos da Faculdade, mostrando que sua

extinção seria um inconcebível retrocesso em termos culturais e

científicos. Assim, o grande matemático italiano salvou a FFCL.

166

Não temos dados que nos permitam afirmar se realmente ocorreu essa

passagem. Entretanto, o que podemos refletir a esse respeito? Além da forte

personalidade de Fantappiè, seu poder de sedução e autoridade que possuía

perante o Conselho Universitário, nesse provável debate, exemplifica a dinâmica

operada no Conselho Universitário, revelando a crença partilhada e coletiva

instaurada nessa instituição, de que a extinção da Faculdade de Filosofia seria

um retrocesso, suplantando outros interesses. Definia-se uma posição entre os

atores, imposta “segundo suas próprias experiências, seus encontros, suas

práticas, e para muitos, segundo suas práticas escolares passadas” (CHARTIER,

2005, p. 26).

Ora, o matemático italiano Luigi Fantappié (1901-1956)

, foi um daqueles

professores estrangeiros contratados por Theodoro Ramos, para reger a cadeira

de Análise Matemática da FFCLUSP, permanecendo durante o período

compreendido entre 1934 e 1939.

6.2. Luigi Fantappiè e o Departamento de Matemática da FFCLUSP

Inicialmente, a FFCLUSP compreendia as seguintes seções: Ciências

Matemáticas, Ciências Físicas, Ciências Químicas, Ciências Naturais, Geografia e

História, Ciências Sociais e Políticas, Letras Clássicas e Português e Línguas

Estrangeiras, tendo como finalidades:

a) preparar trabalhadores intelectuais para o exercício de altas

atividades culturais de ordem desinteressada ou técnica;

b) preparar candidatos ao magistério do ensino secundário,

normal e superior;

c) realizar pesquisas nos vários domínios da cultura que

constituem o objeto do seu ensino (ANUÁRIO DA FFCLUSP,

1939-1949, p. 11).

O artigo 10 do Decreto n. 6283 de 25 de janeiro de 1934, que criou a

Universidade de São Paulo rezava que os cursos de licenciatura seriam seriados

Luigi Fantappié, a convite de Theodoro Ramos, veio para o Brasil implantar o Departamento de

Matemática da FFCLUSP, permanecendo durante o período compreendido entre 1934 e 1939 (DIAS, 2001,

p. 40).

167

e com duração de três anos, sendo que as matérias da Seção de Ciências

Matemáticas encontravam-se distribuídas da seguinte forma:

1º ano – Geometria (projetiva e analítica), Análise matemática;

2º ano – Análise matemática, Cálculo Vetorial e Elementos de

Geometria Infinitesimal, Física Geral e Experimental;

3º ano – Mecânica Racional e Elementos de Mecânica Celeste,

Física Geral e Experimental, História das Matemáticas (ANUÁRIO

USP, 1936, p. 43).

Apesar de ser concebida com a finalidade de formar cientistas e

aperfeiçoamento de professores do Ensino Secundário e Superior, a formação do

professor ficava a cargo do Instituto de Educação – que a partir de 1938 foi

transformado em Seção de Educação da FFCLUSP – e, somente após os alunos

terem concluído o bacharelado, dedicavam-se às disciplinas pedagógicas (SILVA,

2000). Essa prática continuou até pelo menos meados da década de 50, pois

conforme depoimento de D’Ambrosio (2005), bacharel e licenciado pela

FFCLUSP em 1954, para os alunos do Curso de Matemática, os três primeiros

anos eram dedicados ao bacharelado, sendo que somente no último ano, os

alunos dedicavam-se às disciplinas pedagógicas.

No início, a FFCLUSP teve suas secções espalhadas pela cidade de São

Paulo. Nos dizeres de Eurípedes Simões de Paula:

... fomos expulsos pelos estudantes da Faculdade de Medicina,

fato que revelou ser o espírito universitário pura fantasia. Da

Politécnica, precisamos retirar-nos também. Isso que, naquela

ocasião recebemos tão mal, foi um bem: tivemos de procurar casa

própria. Aí começou uma verdadeira via crucis para a Faculdade.

Mudamos as Letras para a Alameda Glete (depois de passarmos

por um casarão situado no local onde está hoje a Biblioteca

Municipal) e de lá saímos, para dar lugar aos laboratórios de

Ciências Naturais, rumando, em seguida, para o 3º andar do

Instituto de Educação Caetano de Campos, onde permanecemos

por mais de 10 anos. Os cursos de Física e Matemática

espalharam-se também: cada um foi instalado em casas

completamente inadequadas para o ensino. A Faculdade

desagregara-se, mas continuava coesa e unida, pelo espírito

comum de luta de professores e alunos [grifos do autor]

(ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1951, p. 53).

168

Especificamente às secções de Matemática e Física, a princípio, até

setembro de 1938, dividiam seus espaços com a Escola Politécnica

, quando o

curso de Física acabou por ser instalado em prédio alugado na Avenida

Brigadeiro Luiz Antonio e o de Matemática no terceiro andar da Escola Normal

“Caetano de Campos”, na Praça da República, juntamente com outros cursos.

Saindo do prédio da Praça da República, o curso de Matemática foi instalado no

bairro do Paraíso, à rua Alfredo Élis, em 1942. A etapa seguinte, foi a

transferência para a famosa sede da Faculdade, na rua Maria Antônia, em agosto

de 1949 (DIAS, 1994).

Por intermédio de Theodoro Ramos, o engenheiro Omar Catunda foi

convidado para exercer as funções de professor assistente de Fantappié, na

cadeira de Análise Matemática.

Durante sua permanência na FFCLUSP, a partir de julho de 1934,

Fantappiè dedicou-se a organizar a biblioteca do Departamento de Matemática,

formada com obras doadas pelo governo italiano, bem como outras publicações

com verbas diversas. Como seu assistente, Catunda participou ativamente desse

trabalho. Também ficou incumbido de redigir as apostilas do curso, em número de

nove aulas semanais, além da aplicação e correção das listas de exercícios.

Relembrando Fantappiè, assim se expressou Catunda:

Sua exposição era claríssima e rigorosa, mas o ritmo acelerado

prejudicou a maioria dos estudantes, que faziam o curso de

engenharia. Para mim e para mais seis que se transferiram para o

curso da Faculdade (entre os quais Mario Schemberg e Marcelo

Dammy), ele expôs, no 2º ano, a teoria das funções analíticas e

no 3º ano, a teoria que ele mesmo criara – dos funcionais

analíticos – funcionais cujo argumento variável é uma função

analítica (1985, p. 90).

Fantappiè instituiu o “Seminário Matemático e Físico”, criado em 1935. A

intenção era organizar seminários onde fossem abordadas questões referentes à

Matemática e à Física, que não puderam ser incluídos nos cursos normais. Além

disso, estudantes e professores apresentavam e discutiam trabalhos, por vezes

Naquela época, a Escola Politécnica, criada em 1893, funcionava no Edifício Paula Souza, situado na

Praça Cel. Fernando Prestes (SANTOS, 1985).

169

inéditos. Associado ao Seminário, encontrava-se o periódico “Jornal de

Matemática Pura e Aplicada” (D’AMBROSIO, 1999).

Luigi Fantappiè foi o primeiro diretor do “Jornal de Matemática Pura e

Aplicada” da Universidade de São Paulo, lançado em 1936 (primeiro e único

número). Além de Fantappiè, a revista era redigida por Giacomo Albanese e por

Gleb Wataghin. O primeiro fascículo, de junho de 1936, apresentou um resumo de

todas as conferências pronunciadas no “Seminário Matemático e Físico” do ano

de 1935. Luigi Fantappiè contribuiu com dois artigos: “Teoria matemática da luta

pela vida” e “Origem e desenvolvimento da teoria dos funcionais”. Omar Catunda

apresentou, igualmente, dois trabalhos: “Exposição de uma memória de Abel

sobre funções simétricas e teoremas da adição” e “Demonstração do teorema de

Jordan sobre curvas fechadas” (JORNAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA,

1936).

Segundo Afonso D’Escragnole Taunay, os seminários matemático e físico,

eram realizados em sessões públicas ou abertas, quando vinham à tela dos

debates estudos realizados por pesquisadores nacionais e estrangeiros. “Por

vezes viram-se estas sessões honradas com a presença de verdadeiras

sumidades da ciência universal e de passagem por São Paulo" (ANUÁRIO,1939-

1949, p. 231).

O modo de apresentação e desenvolvimento de seminários já era adotado

na Europa, em países como Itália e Alemanha

. Fantappiè visitou a Alemanha

depois de ter recebido o prêmio Volta, concedido pela Real Academia da Itália,

entre 1931 e 1932. Nessa ocasião, entrou em contato com outro meio científico e

pode discutir os resultados originais alcançados em seus trabalhos sobre os

Funcionais Analíticos (LIMA, 2006, p. 28). Havia, portanto, um intercâmbio cultural

entre esses países os quais já tinham costume de realizar seminários, e não raro

apresentavam resultados originais na área de matemática e física.

Em “Souvernirs d’Apprentissage”, Weil lembra que se encontrou diversas

vezes com Fantappiè em Roma, no ano de 1925, e já naquela época portava

distintivo de fascista. Entretanto, apesar de anti-semita, na Itália, Fantappiè, foi

Segundo Belhoste (1998), os seminários incorporavam as atividades de diferentes escolas de pesquisa na

Alemanha no séc. XIX.

170

aluno favorito do matemático judeu Vito Volterra, e no Brasil, Omar Catunda, seu

assistente e admirador, era militante comunista (PIRES, 2006, p. 218).

O Curso de Análise de Fantappiè, dado para os alunos da Politécnica e da

Matemática, seguiam o seguinte currículo:

As aulas começaram com um curso de Análise até derivações e

integração de uma variável, equações diferenciais ordinárias e

funções de mais de uma variável (1º ano) mais números reais

(Dedekind, determinantes, matrizes e equações lineares (em

exames – palpite). No 2º ano, integrais múltiplas, séries de

funções e de potências, funções analíticas e estruturas algébricas

pelo livro de Van der Waerden além de seminários. Exames de +

ou – 3 horas individuais. No 3º ano, curso nemográfico (eq. Dif.)

(monográfico). Aulas eram em italiano e as piadas si por quem

entendia (CASTRUCCI, apud PIRES, 2006, p. 218).

Por intermédio de Fantappiè, o professor Omar Catunda obteve bolsa de

estudos do governo italiano, por quatro meses (de novembro de 1938 a março de

1939) na Universidade de Roma, quando acompanhou os cursos de Francesco

Severi e outros mestres.

Em 1939, com o retorno de Fantappiè à Itália, Omar Catunda tornou-se

professor interino de Análise Matemática e diretor do Departamento de

Matemática da FFCLUSP.

O Departamento de Matemática da FFCLUSP, nas primeiras décadas de

sua criação, mostrava-se preocupado, com as teorias matemáticas destinadas

aos alunos, de tal modo que concorressem para a formação de pesquisadores. As

questões pedagógicas eram reservadas para o último ano letivo do curso, ainda

assim facultativamente àqueles que manifestassem tivessem interesse. Dessa

forma, a cultura acadêmica voltava-se para os conteúdos matemáticos, não

apenas pelo que a matemática representava enquanto ciência, mas também por

representar contribuição eficiente à modernidade, cujos ares impregnavam a

comunidade acadêmica e a própria sociedade.

171

CAPÍTULO 7

OMAR CATUNDA, O ENSINO SECUNDÁRIO E O MOVIMENTO DA

MATEMÁTICA MODERNA

A luz, o sol, o ar livre envolvem o sonho do engenheiro.

O engenheiro sonha coisas claras: superfícies, tênis,

um copo de água. O lápis, o esquadro, o papel;

o desenho, o projeto, o número: o engenheiro

pensa o mundo justo, mundo que nenhum

véu encobre.

João Cabral de Melo Neto

Clifford Geertz, em obra intitulada “A interpretação das culturas” (1989),

defende o conceito de cultura como essencialmente semiótico

, acreditando que

o homem é um animal amarrado a teias de significados que ele mesmo teceu. A

cultura é o estudo dessas teias, uma ciência interpretativa à procura do

significado. Dessa forma, a antropologia interpretativa é um estudo que pretende

entender “quem as pessoas de uma determinada formação cultural acham que

são, o que elas fazem e por que razões elas crêem que fazem o que fazem”

(GEERTZ, 2001).

Procurando, como solicita Geertz, fazer uma interpretação de um

acontecimento, perscrutando seu significado, tencionamos identificar como o

professor Omar Catunda (1906-1986) concebia as relações entre matemática e

seu ensino, apresentando sua trajetória profissional, tomando como base fontes

Semiótica: estudo dos fenômenos culturais considerados como sistemas de significados, incluindo as

práticas sociais, comportamentos, etc., além dos sistemas de comunicação (HOUAISS; VILLAR, 2001, p.

2543).

172

primárias (anuários, revistas) e secundárias, especialmente e suas produções

didáticas.

7.1. Trajetória científica e educacional de Omar Catunda

Omar Catunda nasceu em Santos/SP, no dia 23

de setembro de 1906. Filho do médico Thomaz Catunda

e de Maria Lúcia Verde Catunda, cursou o Grupo Escolar

Cesário Bastos, e, segundo o próprio Catunda, foi um

aluno distraído e displicente. Ao estudar no Liceu

Comercial, já aos doze anos, distinguiu-se em Português

e Matemática; a seguir, cursou as duas últimas séries da

Escola de Comércio José Bonifácio. Em 1922 foi para o

Rio de Janeiro, onde se preparou para os exames

parcelados do Colégio Pedro II, estudando no Curso

Superior de Preparatórios, quando teve oportunidade de

estudar com os professores Antenor Nascentes na disciplina Português e

Sebastião Fontes na de Matemática. Para Catunda, esses dois professores

contribuíram de modo decisivo para sua formação, sendo que as explicações

precisas e claras de Fontes foram responsáveis por incutir nele o senso de rigor

matemático. Os outros exames parcelados foram prestados no Ginásio da Capital

do Estado de São Paulo. Sua preparação constou de estudos auto-didáticos, com

onze horas diárias, com exceção do Latim. Das matérias estudadas, a que mais

lhe agradou foi o estudo da Geometria, tomando como livro-texto a obra

“Geometria Elementar” de Comberrousse (CATUNDA, 1985).

Com esse procedimento, obteve o primeiro lugar no exame vestibular da

Escola Politécnica da USP, em 1925. O primeiro ano do curso de engenharia era

chamado Curso Preliminar. Nele, devido ao domínio adquirido sobre a geometria

do espaço, não encontrou dificuldades no estudo da Geometria Descritiva. Na

disciplina “Complementos de Matemática”, teve seus primeiros contatos com o

Cálculo Diferencial Integral, ocasião em que travou contato com o professor

Theodoro Augusto Ramos, que posteriormente orientou seus estudos superiores

em Matemática. Além disso, foi o ganhador do Prêmio Cesário Motta, uma

173

medalha de ouro conferida ao melhor aluno do Curso Preliminar (CATUNDA,

1985).

Conforme se pode observar pelo depoimento oferecido ao Caderno nº 3 do

IFUFBA (1985), a característica que mais impressionou Catunda era o senso de

rigor matemático encontrada nas práticas do professor Sebastião Fontes. Essa

também era uma das características cobradas pelo MMM. Desse modo, é

razoável inferir que o MMM tenha encontrado simpatia por parte do professor

Catunda, vendo nesse movimento a possibilidade de melhoria no ensino

secundário.

Em 1930 formou-se engenheiro e em 1933 candidatou-se à vaga para

ocupar a cadeira nº 3 “Complementos de Geometria Analítica, Nomografia e

Cálculo Diferencial Integral” na Escola Politécnica da USP. José Octávio Monteiro

de Camargo (? – 1963) venceu o concurso, assumindo a cadeira em 1938, após

longa batalha jurídica

(LIMA, 2006).

Depois de formado, Catunda foi trabalhar como engenheiro da Prefeitura

de Santos, até que, em 1934, foi contratado pela FFCLUSP como assistente de

Luigi Fantappiè na disciplina Análise Matemática.

Nessa época, segundo seu depoimento, dedicou todo seu esforço ao

ensino e ao aperfeiçoamento das apostilas de análise, que, após acréscimos e

modificações foram publicadas primeiramente sob a forma de fascículos

mimeografados, levando o título “Curso de Análise Matemática”, o que

permaneceu nas diversas edições que se seguiram

Conforme Catunda, as apostilas de Cálculo e os fascículos do Curso de

Análise Matemática tiveram boa aceitação em todo o Brasil, proporcionando-lhe a

fama de grande matemático (1985, p. 95). Matemáticos como Elza Gomide e

Ubiratan D’Ambrosio atestam que o “Curso de Análise Matemática” foi o primeiro

livro de análise moderna escrito por um brasileiro e foi largamente utilizado nas

Para maiores detalhes sobre esse concurso ver a tese de doutorado intitulada “Vocação matemática como

reconhecimento acadêmico” de Adriana C. De Matos Marafon, 2001.

As apostilas foram transformadas em livro, dividido em sete partes, cuja primeira edição deu-se em 1952.

A partir de 1962, Catunda modificou esse formato, sintetizando as sete partes em dois volumes (LIMA, 2006).

174

instituições de nível superior brasileiras, por um determinado período (LIMA,

2006).

Omar Catunda ocupou o cargo de professor de Matemática do Colégio

Universitário entre 1934 a 1937. Na década de 1950, encarregou-se de ministrar

curso de férias para professores do ensino secundário e normal do Estado, em

colaboração com a Secretaria da Educação (Anuário da Escola Politécnica,

1951).

Orientado por Fantappiè, Omar Catunda iniciou estudos sobre a Teoria dos

Funcionais Analíticos e posteriormente, entre 1938 e 1939, realizou estudos pós-

graduados na Universidade de Roma, sobre esse mesmo tema. Retornando ao

Brasil, foi nomeado professor interino responsável pela cadeira de Análise

Matemática e Superior, ocupando, ainda, a chefia do Departamento de

Matemática da FFCLUSP.

7.2. Omar Catunda e a contratação de professores estrangeiros

O Decreto nº 7.069 de 1935, em seu art 42, § 1º, rezava que o contrato de

professores nacionais ou estrangeiros deveria ser proposto ao Conselho

Universitário, pelo Conselho Técnico Administrativo e ouvindo-se a Congregação.

Em seu § 2º mencionava que o contrato dependia da aprovação do Governo, e

seria concedido por período máximo de três anos, podendo ser renovado por

igual período a critério da Congregação e aprovação do Conselho Universitário

(PIRES, 2006, p. 265). A procura por professores estrangeiros, devido à 2ª Guerra

Mundial, dar-se-ia especialmente nos Estados Unidos e não na Europa.

As atas de reuniões da Congregação da FFCLUSP revelam como eram

realizadas as discussões para a contratação de professores e também a

importância que Catunda manifestava quanto à contratação desses professores,

escolhendo aqueles de “notório saber”, denominados como “autoridade na

matéria”. Mostra, também, que Catunda mantinha-se atualizado em relação às

pesquisas matemáticas em voga internacionalmente e o empenho na contratação

175

de dois matemáticos, ligados à abordagem axiomático-estrutural, característica da

Matemática Moderna, André Weil e Oscar Zariski.

A Ata da 12ª Reunião da Congregação da FFCLUSP, realizada aos 05 de

março de 1942, tratou da nomeação interina de Cândido Lima da Silva Dias para

a disciplina de Análise Superior; da nomeação interina de Benedito Castrucci para

a Cadeira de Geometria Analítica, Projetiva e Descritiva que ficou vaga devido à

transferência de seu titular, Giacomo Albanese, para a cadeira de Geometria

Superior; e a designação de Fernando Furquim de Almeida para a parte de

Complementos de Matemática da cadeira de “Crítica dos Princípios e

Complementos de Matemática”. Nesta reunião, Omar Catunda tomou a palavra

para enfatizar que a indicação de Candido da Silva Dias era temporária, “foi feita

à vista de não terem ultimadas as providências para contrato de um professor

extrangeiro [sic], o que se deverá dar para o ano próximo” (PIRES, 2006, p. 230).

Apesar da inclusão de professores como Candido Lima da Silva Dias,

Benedito Castrucci, Fernando Furquim de Almeida, a restrição feita por Catunda

recaiu apenas sobre Candido Dias, para a cadeira de Análise Superior, sob a

alegação de que a exigência de um professor estrangeiro estaria ligada à

complexidade da disciplina, além da formação ainda recente de Candido Lima da

Silva Dias.

A Ata da reunião da Congregação de 05 de junho de 1942 mostra a

indicação de Omar Catunda dos nomes de André Weil e Jesse Douglas para

regerem a cadeira de Análise Superior, em conformidade com sugestões de Mario

Schemberg, que se encontrava nos Estados Unidos, havendo ainda a

preocupação de que o professor escolhido pudesse dar suas aulas em francês ou

espanhol (PIRES, 2006, p. 231-232).

A vinda de André Weil para o Brasil aconteceu por intermédio de André

Dreyfus, Diretor da FFCLUSP e presidente da Congregação, que vai para os

Estados Unidos em 1944, a convite da Fundação Rockfeller em viagem de

estudos e intercâmbio universitário. Em lá estando, aproveitou para procurar

professores que pudessem preencher as cadeiras vagas da Faculdade de

Filosofia. Nessa ocasião, Weil encontrava-se refugiado nos Estados Unidos,

176

favorecido por um programa de acolhimento de cientistas franceses e judeus,

financiado pela Fundação Rockefeller e mostrava-se insatisfeito com as

condições de trabalho que lhe foram dispensadas. As posições oferecidas para

Weil estavam muito aquém de sua capacidade (PIRES, 2006). Entre 1943 e 1944,

viu-se lecionando, quatorze horas por semana, Álgebra e Geometria para recrutas

da Army Science Training Program, pouco interessados em matemática. Em

1944, André Weil faz um pedido a Hermann Weyl, nestes termos:

A prostituição consiste em desviar alguma coisa de alto valor para

um uso vil, por razões mercenárias, isto é o que tenho feito nestes

dois anos. Eu anuncio minha decisão de deixar,

independentemente do que acontecer, minha presente posição, e

eu preciso de sua ajuda para obter um meio de subsistência de

minha família (WEIL, 1991, p. 193).

A insatisfação de Weil combinada com a necessidade de contratação de

um matemático para a FFCLCUSP, fez com que Catunda redigisse uma carta

(provavelmente endereçada a Dreyfus) requerendo a aprovação do nome de

André Weil para reger a disciplina de Análise Superior. Parte da carta é lida

perante a Congregação da Faculdade, em 15 de dezembro de 1944:

Fiquei muito apreensivo com o pessimismo demonstrado em sua

carta, a respeito da vinda de André Weil, embora esteja

convencido de seu interesse pelo caso, insisto em lhe pedir por

favor que não deixe escapar esta oportunidade de contratar um

mestre deste quilate. [...] A perda desta oportunidade seria

incrivelmente maior do que pode parecer a primeira vista e tenho

fortes motivos para afirmá-lo (CATUNDA, apud PIRES, 2006, p.

246).

A ata da reunião realizada em 20 de agosto de 1944 apresenta uma

discussão referente a contratos de professores para dar cursos de extensão na

Faculdade de Filosofia. Dentre eles, aparece o nome de Oscar Zariski, cujo valor

foi enaltecido por Dreyfus. O parecer foi votado e aprovado por unanimidade.

(PIRES, 2006, p. 240). Foi aprovada a proposta da realização de um curso de

extensão universitária por um ano de Geometria Algébrica ministrado por Oscar

Zariski, em 15 de dezembro de 1944. Alguns trechos de uma carta de Catunda

encontram-se transcritos nessa ata, revelando os méritos do professor Zariski e

também apresentando apoio à vinda desse professor:

177

O Prof. Zariski é full professor da Universidade John Hopkins e

membro da National Academy of Science. É ainda membro do

“Institute of Advanced Studies” e editor das mais importantes

revistas de matemática dos Estados Unidos: Annals of

Mathematics, American Journal of Mathematics e Transaction of

the American Mathematical Society. Os seus trabalhos versam

todos sobre Geometria Algébrica, sendo que o volume de sua

autoria publicado em 1935, na coleção Ergebnisse der

Mathematischan Wissenchaften é considerado de importância

fundamental no Departamento de Matemática desta universidade,

pois os seus ensinamentos sobre Geometria Algébrica virão

complementar o curso iniciado pelo professor Giacomo Albanese

sobre o mesmo assunto (CATUNDA, 1944, PIRES, 2006, p. 248-

249).

As sugestões de Catunda para a contratação de renomados matemáticos

estrangeiros e que foram acatadas pela Congregação, sugerem a respeitabilidade

de Catunda perante a comunidade acadêmica e, ainda, revelam a necessidade de

poder contar com o prestígio de matemáticos oriundos de outros centros de

produção acadêmico-científica.

7.3. Concursos de Omar Catunda para o Departamento de Matemática

Os concursos para catedráticos na FFCLSP passam a ocorrer a partir de

1937, sendo que o primeiro edital para concurso do Departamento de Matemática

foi para a cadeira de Análise Matemática, em 16 de maio de 1939. Os candidatos

à vaga deveriam entregar na secretaria da faculdade cinqüenta exemplares

impressos de monografia original ainda não publicada com no mínimo cinqüenta

páginas, sobre assunto de livre escolha, relacionada à matéria do concurso

(LIVRO DE CONCURSOS, apud PIRES, 2006, p. 305).

O único candidato à cadeira foi Omar Catunda, que fez sua inscrição em 24

de agosto de 1939, apresentando exemplares mimeografados da tese “Teoria das

formas diferenciais e sua aplicação”. Juntou, além disso, os seguintes trabalhos

de sua autoria:

1) “Sobre as funções ou funções de matrizes”, separata do “Jornal

de Matemática” da Universidade de São Paulo; 2) “Un teorema

sugl’insiemi, Che si reconnette allá teoria dei funzionali analitici”,

separata dos “Rediconti della R. Academia Nazionale Dei Lincei”.

178

Juntou ainda os originais, em italiano, do seu trabalho ainda não

publicado, “Sui sistemi di equazioni alle variazioni totali in piú

funzionali incogniti

” (LIVRO DE CONCURSOS I, p. 52, apud

PIRES, 2006, p. 306).

Para compor a banca examinadora desse concurso, foram convidados os

professores Henrique Jorge Guedes e Mario Whaterly, Luigi Fantappiè, Giacomo

Albanese e Gleb Wataghin.

Não se sabe qual o motivo pelo qual o concurso não foi realizado. Segundo

observou Rute Pires (2006), nos livros de concursos não há nenhuma indicação

da razão de sua não realização. Destaca a partida de Fantappiè para a Itália

naquele mesmo ano, devido à guerra. Entretanto, não se pode vincular a viagem

de Fantappiè à não realização do concurso.

O Decreto Estadual nº 12511 de 21 de Janeiro de 1942, em seu artigo 64,

§ 2º, rezava que seria concedido título de doutor a todos os aprovados em

concurso para professor catedrático. Esse foi o caso do matemático Omar

Catunda, que em 1944 tornou-se catedrático de Análise Matemática

. As provas

do concurso realizaram-se de 25 a 30 de setembro, quando Omar Catunda

defendeu a tese intitulada “Sobre os fundamentos da teoria dos funcionais

analíticos”, cuja comissão organizadora foi composta pelos professores Paulo de

Menezes Mendes da Rocha e Telêmaco van Langendonck (indicados pelo

Conselho Universitário) e Carlo Tagliacozzo, Achille Bassi e F. M. de Oliveira

Castro (indicados pelo Conselho Técnico-administrativo) (ANUÁRIO DA

FFCLUSP, 1939-1949, p. 383-384).

A ata de 26 de setembro de 1944, constante no Livro de Concursos II, p. 3-

5, relata como foi realizada a prova escrita de Omar Catunda. Primeiramente

encontra-se arrolada uma lista de 20 pontos, da qual fora sorteado o ponto de

número 1, contendo o seguinte enunciado: “Teorema Fundamental da Álgebra e

conseqüências”. A prova teve início às 14 horas e foi concedido ao candidato o

O trabalho, “Sui sistemi di equazioni alle variazioni totali in piú funzionali incogniti”, posteriormente foi

publicado nas atas da Reale Accademia d’Italia (DIAS, 2001).

Em 1943, pelo decreto nº 13.426, de 23 de junho, foi baixada a regulamentação dos concursos para

professor catedrático e para a livre-docência. Os primeiros concursos sob esse dispositivo legal aconteceram

em 1944 para provimento das Cadeiras de Mecânica Racional e Análise Matemática (ANUÁRIO FFLCUSP,

1939-1949, p. 381).

179

prazo de 5 horas para discorrer sobre o ponto sorteado. A partir das 19 horas, o

presidente da comissão, o professor Paulo de Menezes Mendes da Rocha fez a

recolha das folhas, que levou a rubrica de todos os membros da banca e do

candidato, inclusive.

As folhas recolhidas e rubricadas foram encerradas em envelope

próprio o qual foi selado e rubricado pelos membros da Comissão

e depositado na urna fechada à chave, a qual ficou em poder do

Diretor da Faculdade, em envelope fechado e rubricado por todos

os membros da Comissão Julgadora (LIVRO DE CONCURSOS II,

apud PIRES, 2006, p. 310-311).

A prova didática, do mesmo modo que a escrita, era realizada a partir de

um ponto sorteado de uma lista de 20 pontos. Para esse concurso o ponto

sorteado foi o de número 19, “Função analítica de mais de uma variável. Extensão

do teorema de Cauchy”. O candidato tinha 24 horas para preparar-se para a

preleção, cuja duração regulamentar era de 50 minutos e foi realizada no dia 28

de setembro de 1944 (LIVRO DE CONCURSOS II, apud PIRES, 2006, p. 312).

A defesa de tese foi realizada no dia 29 de setembro de 1944, no salão

nobre da Faculdade, às 8 horas e 45 minutos, versando “Sobre os fundamentos

da teoria dos funcionais analíticos”, sendo o candidato argüido pelos

componentes da banca. (LIVRO DE CONCURSOS II, apud PIRES, 2006, p. 312-

313).

Em 30 de setembro de 1944 teve início, no edifício da Escola Caetano de

Campos, às 8 horas e 30 minutos a avaliação dos títulos apresentados por Omar

Catunda.

Conforme consta na Sexta Ata do Livro de Concursos II, os professores

participantes da banca emitiram seus pareceres em relação aos títulos

apresentados pelo candidato, tecendo comentários sobre a pequena quantidade

de trabalhos apresentados – apenas cinco – a saber: 1) “Sobre as funções ou

funções de matrizes”, publicado no “Jornal de Matemática de São Paulo”, em

1937; 2) “Un teorema sugl’insiemi, Che si reconnette allá teoria dei funzionali

analitici”, separata dos “Rediconti della R. Academia Nazionale Dei Lincei”, em

1939; 3) “Sobre os sistemas de equações de variações totais em mais de um

180

funcional incógnito”, publicado nos “Anais da Academia Brasileira de Ciências, em

1942; 4)“ Um exemplo de sistema autônomo” e 5) “Área de uma superfície curva”.

Entretanto, essa constatação foi suavizada com observações como as que

proferiu Achile Bacci “Nestas circunstâncias evidentemente transitórias, o

examinador acha de seu dever atribuir importância preeminente à qualidade dos

trabalhos científicos tendo a certeza de que, quem já fez bons trabalhos outros

bons poderá fazer no futuro para própria satisfação e para o progresso da ciência”

(BACCI, apud PIRES, 2006, p. 317).

Com relação à qualidade científica dos trabalhos apresentados, os

comentários recaíram sobre as publicações 1, 2 e 3, quando foram unânimes em

afirmar que demonstraram a “capacidade para a pesquisa científica em elevados

campos da Matemática Moderna” (BACCI, apud PIRES, 2006, p. 317), além de

versarem sobre “assuntos originais nos setores mais transcendentais de pesquisa

matemática moderna” (ROCHA, apud PIRES, p. 314).

Finalizando o concurso, ainda no dia 30 de setembro de 1944, às 9h e 15

min, Omar Catunda procedeu a leitura da prova escrita, sendo acompanhado pela

comissão julgadora por meio de projeção ipidiascópica (projetor de imagens). Em

seguida, a comissão reuniu-se em sessão secreta para proceder ao julgamento

da prova.

A partir das 10 h e 45 min, daquele mesmo dia, no salão nobre da

Faculdade, foi realizada a apuração final das notas obtidas por Omar Catunda,

que alcançou as seguintes médias: prof. Paulo de Menezes Mendes da Rocha,

dez; Telêmaco van Langendonck, 9,75; Francisco Mendes de Oliveira Castro,

dez; Carlo Tagliacozzo, 9,75 e Achile Bacci, 9,5. O candidato foi julgado

habilitado, e de acordo com o art. 97 do decreto 13426, indicado para provimento

da cadeira nº VIII, Análise Matemática, como professor catedrático da FFCLUSP

(LIVRO DE CONCURSOS II, apud PIRES, p. 318-319).

Clóvis Pereira da Silva afirma que, no mesmo ano de 1944, Omar Catunda

obteve livre docência. Pires não encontrou nenhuma indicação de recebimento

desse título, assinalando, entretanto, que o decreto 13.426/1943 sobre regimento

de concurso, apresenta na página 18, o artigo 103 que reza: “O candidato

181

habilitado em concurso para cátedra terá direito de livre-docência da mesma”

(2006, p. 320).

O próprio Omar Catunda, em “Depoimento” (1985), esclarece a questão:

“Em 1944, prestei concurso para a cátedra de Análise Matemática, obtendo, com

o título correspondente, os títulos de doutor e de livre-docência, sendo nomeado

para o cargo em 1945”.

Uma conclusão da pesquisadora Pires, que importa ainda destacar é que,

nos estudos de Catunda, até meados da década de 1940, prevalece a temática

sobre a teoria dos funcionais analíticos apresentados por Fantappiè.

7.4. Trilhas de Catunda no Ensino Secundário: idéias e práticas

Foram muitos os caminhos

percorridos por Catunda ao longo de sua

vida profissional. Dentre tantos, destacamos

a seguir, aquelas trilhas que nos interessam

mais de perto para a consecução desse

estudo.

Em 1946, Omar Catunda vai para

Universidade de Princeton, nos Estados

Unidos, com bolsa oferecida pela Fundação

Rockefeller

, participando de diversos

cursos, dentre os quais de Emil Artin (1898-

1962), N. Cramer, Heinz Hopf (1894-1971),

Hermann Weyl (1885-1955), John Von Neumann (1903-1957).

Voltando para São Paulo em 1947, engajou-se na campanha em defesa do

petróleo brasileiro, chegando a ser presidente do Centro de Estudos e Defesa do

Petróleo. Foi também candidato a deputado estadual, apoiado pelos comunistas e

petebistas, porém sua candidatura foi impugnada pela justiça eleitoral. Catunda,

A partir de 1942, a Fundação Rockefeller voltou sua atenção para a FFCLUSP, auxiliando na compra de

equipamentos para realização de pesquisas em diversos departamentos e subsidiando diversas bolsas de

estudos aos docentes dessa instituição (ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1939-1949).

182

embora militante, não se filiou ao Partido Comunista Brasileiro. Criticava o

governo getulista pelo descaso com a educação da maior parte do povo brasileiro,

preocupando-se unicamente com a elite. Para Catunda, o governo havia resolvido

“democratizar o ensino secundário, sem perceber [ou fingindo não perceber] que

não havia material humano, para fazer essa democratização com a necessária

seriedade”. Este seria o motivo pelo qual os estudantes chegavam às

universidades sem o devido preparo. Também defendia maiores investimentos

nos cursos superiores, de modo que formassem profissionais qualificados para

melhorar e ampliar o ensino secundário (CATUNDA, apud LIMA, 2006, p. 39).

Catunda não especificou de que modo poderiam ser aplicados os

investimentos que se destinariam aos cursos superiores. Manter-se-ia a estrutura

estabelecida para o Departamento de Matemática da FFCLUSP, com três anos

destinados ao bacharelado e um ano aos assuntos pedagógicos?

7.4.1. A aula inaugural de 1945

Na qualidade de professor catedrático de matemática, Omar Catunda

proferiu uma aula inaugural no ano de 1945, quando da abertura dos cursos da

Faculdade de Filosofia Ciências e Letras Universidade de São Paulo (FFCLUSP),

intitulada “A posição da matemática na cultura geral”, buscando identificar como

esse matemático concebia, naquele tempo, as relações entre matemática e seu

ensino.

Naquela época, na FFCLUSP, como abertura de cada ano letivo, era

realizada uma solenidade especial, marcada pela presença de autoridades

administrativas e culturais do Estado de São Paulo e da USP, além de

professores, alunos e auxiliares da Faculdade de Filosofia. A celebração consistia

em uma aula inaugural proferida por um professor catedrático, representando um

dos cursos que compunham a faculdade, a convite do Diretor dessa instituição.

Coube ao professor Omar Catunda o privilégio de pronunciar a aula

inaugural do ano de 1945, a convite do professor André Dreyfus, então Diretor da

FFCLUSP, catedrático do Curso de Biologia Geral e doutor em Medicina. A

183

escolha recaiu sobre o nome desse professor de matemática em razão de sua

recente aprovação como professor catedrático da FFCLUSP, conforme ele próprio

esclareceu em seu discurso.

Sob o título “A posição da matemática na cultura geral”, Omar Catunda

discursou ao auditório acadêmico, procurando justificar seu ponto de vista sobre

as finalidades da FFCLUSP, chamando primeiramente a atenção para a forma

como foram estabelecidas as primeiras escolas profissionais, favorecendo

escolas como a de Medicina e de Engenharia, que, não obstante a excelência de

ensino ali ministrado, não estimulava estudos significativos nas áreas como

Letras, História e Filosofia, bem como o hábito da pesquisa científica.

As faculdades de filosofia, ciências e letras apareceram nesse ambiente

como “oásis culturais daquele deserto” embora não tivessem conseguido, até

aquele momento, obter a plena compreensão da sociedade em relação às suas

finalidades e não ter atingido a eficiência desejada, que caracterizariam esses

institutos, constatou Catunda.

Catunda voltou-se para a defesa do que considerou primordial: “a formação

de um meio cultural elevado, em harmonia com sua matéria prima, que é o povo

brasileiro” (CATUNDA, 1945, p. 10). Para esse matemático, a criação das

faculdades de filosofia, ciências e letras influiu diretamente na constituição de um

meio cultural, possibilitando a formação de professores para o ensino secundário,

propiciando aquela harmonização. Seu interesse por esse nível de ensino ficou

expresso nos seguintes termos:

... esta influência se fará sentir, em primeiro lugar pela constante

publicação de novos estudos realizados em nossos laboratórios e

em nossos seminários, assim como em livros e compêndios

elaborados aqui; em segundo lugar, pela formação de um número

cada vez maior de professores secundários, cuja mentalidade

mais esclarecida pelo contacto com um ambiente de estudos

sérios terá, por sua vez, influência cultural e moral sobre os

futuros estudantes; em terceiro lugar, por todos aqueles que tendo

passado por estes bancos escolares e tendo adquirido uma

cultura geral e especializada, resolvam entregar-se a outras

atividades em que possam influir no meio ambiente, como o

jornalismo, o rádio, as letras e as artes em geral, ou a política e

cargos governamentais (CATUNDA, 1945, p. 12).

184

Para a formação de um cidadão culto, seria necessário o desenvolvimento

de um meio cultural no qual a cultura geral fosse mais valorizada do que a

especialização prematura ou o aprendizado de grande número de disciplinas.

Para tanto, Catunda colocava, em primeiro lugar, o estudo da Língua Portuguesa,

o qual deveria ser cultivado não apenas nas aulas específicas, como também em

todas as matérias e nas conversas coloquiais dos alunos. Quanto ao estudo da

Matemática, Catunda posicionou-a em segundo lugar, porquanto o raciocínio

matemático dependeria fundamentalmente de uma clara exposição oral ou

escrita, devendo ser feita, portanto, em linguagem precisa e correta.

Mas, qual a posição que a Matemática deve ocupar no ensino secundário?

Para responder essa questão, Catunda definiu, grosso modo, a Aritmética

como a ciência dos números, a Álgebra como o estudo das relações e algoritmos

e a Geometria, como a ciência da forma e do espaço. Destacou, ainda, que a

Aritmética e a Geometria são fundamentadas na intuição, tendo, dessa forma,

suas origens na pré-história, enquanto a Álgebra é pura criação do espírito

humano, cujos primeiros vestígios datam do século III

Assim sendo, o ensino da Matemática teria por finalidade máxima, na visão

de Catunda, fazer o aluno passar do estado do pensamento rudimentar do

conhecimento, baseado em regras e definições decoradas, para o estado mais

desenvolvido da capacidade de raciocínio puro, sobre entes abstratos e uma

intuição geométrica especial bastante adiantada. Além disso, dever-se-ia levar em

conta o estágio de desenvolvimento cognitivo do adolescente, sem perder de vista

a questão prática da organização dos programas de ensino. Para a passagem de

um estado para o outro, seria necessário um retorno às bases fundamentais,

eliminando os pontos em que essas bases se apóiam na intuição, até atingir “um

conjunto orgânico de conseqüências lógicas dos postulados fundamentais”

(CATUNDA, 1945, p.19).

Para a Aritmética, Catunda sugeriu que os alunos aprendessem, já desde o

início do curso, a idéia de número como um atributo de um conjunto de objetos,

O modo de pensar algébrico aparece em Diophanto da Alexandria, no século III; e a criação da Álgebra

propriamente dita deve-se ao árabe Alchwarizmi, no século IX (CATUNDA, 1945, p. 18).

185

de tal modo que dois conjuntos cujos objetos que estão em

correspondência biunívoca têm sempre o mesmo número, que a

soma de dois números é o número que corresponde ao conjunto

de todos os objetos contidos nos dois conjuntos dados, etc

(CATUNDA, 1945, p. 19-20).

A partir dessa base intuitiva, o professor deveria justificar as propriedades

fundamentais da Aritmética (propriedades comutativa e associativa da adição e da

multiplicação), porquanto essas propriedades, juntamente com a definição de

desigualdade e as operações inversas, constituem a base do raciocínio rigoroso

da Aritmética. As conseqüências das propriedades fundamentais, quais sejam, as

noções de fator, múltiplo, divisibilidade, a teoria do máximo divisor comum, os

números primos, após serem apresentadas de modo intuitivo, deveriam ser dadas

com uma sucessão lógica impecável e demonstradas rigorosamente, sustentou

Catunda.

Para o ensino das noções fundamentais da Geometria, que deveriam ser

introduzidas em consonância com a Aritmética deveriam, igualmente, buscar o

auxílio da intuição, para o estabelecimento de suas propriedades fundamentais.

Para Catunda, o valor cultural dessas noções reside mais no raciocínio

empregado do que nos resultados obtidos, uma vez que, mesmo quando os

resultados do ensino foram esquecidos, restará sempre, como resíduo, uma

capacidade de raciocínio puro, de incalculável riqueza. A compreensão desses

conceitos é fundamental, pois, do contrário,

... se o professor só se preocupa em ensinar com fórmulas e

regras, se o aluno é obrigado a aprender os processos práticos

como quem aprende a lidar com uma ferramenta, que nunca mais

utilizará, então seria melhor que ocupasse esse tempo assim

perdido em coisas mais úteis como jogar futebol, ir ao cinema, ou

namorar, e que o ensino da matemática fosse limitado aos

engenheiros e arquitetos e aos que se destinassem ao estudo das

ciências Matemáticas e Físicas (CATUNDA, 1945, p. 21-22).

Além disso, Catunda defendeu que “a introdução do ensino da Álgebra

deve ser retardada o mais possível, permitindo o desenvolvimento do raciocínio

aritmético e geométrico”, pois a função cultural do raciocínio algébrico só aparece

quando esta perde seu caráter de puro mecanismo. Para a Álgebra, seria

necessário que fosse percebida como um meio eficaz para resolver problemas e

186

não como um mecanismo de resolução de equações e sistemas, que os alunos

decoram e não conseguem compreender as vantagens e sua verdadeira utilidade.

Nesse caso, observou Catunda, o conhecimento dos alunos é limitado a uma

certa prática do algoritmo algébrico, tornando-os incapazes de resolver

geometricamente um problema ou fazer um raciocínio aritmético (CATUNDA,

1945, p. 24).

Finalizando, desde que colocadas em prática essas sugestões,

procedendo-se, portanto, a uma revisão das noções fundamentais, Catunda

preconizava que, ao final do curso secundário, os alunos poderiam estabelecer

para a Geometria e Aritmética, bases lógicas inteiramente independentes do

mundo exterior, dispondo de uma maior acuidade de raciocínio, possibilitando-

lhes a aquisição de uma cultura geral mais elevada.

7.4.2. Algumas observações

Observa-se que, em 1945, Catunda não defendia a unificação dos ramos

da Matemática, quais sejam, a Álgebra, a Geometria e a Aritmética, por

considerar que historicamente a Álgebra surgiu somente a partir do século III,

sugerindo, dessa forma, uma provável inclinação desse matemático pelo

“princípio genético”, consistindo este num modo de exposição dos conhecimentos

segundo a ordem pelos quais foram obtidos pelos seres humanos. Assim, toda

didática se resumiria em “estudar sucessivamente, na ordem cronológica, as

diversas obras originais que contribuíram para o progresso da ciência” (MIGUEL,

1993, p. 41-56).

Catunda preconizava uma formação para o professor de matemática a

partir de uma abordagem dos conteúdos matemáticos. Embora suas sugestões

fossem baseadas preponderantemente na teoria matemática, sem explorar

aspectos pedagógicos inerentes às atividades educacionais, não se afastava,

contudo, das questões de ensino propriamente ditas. Manifestava preocupação

em elevar a cultura geral do povo brasileiro, a partir de sua integração com os

professores oriundos das faculdades de filosofia, ciências e letras recém criadas,

fazendo supor que se tratava de um matemático que não promovia um

187

afastamento ou marginalização da licenciatura, colocando-a em segundo plano.

Ao contrário, percebe-se um esforço em compatibilizar aspectos educacionais

com a pesquisa científica, com reflexos para a cultura geral da população.

Sua visão de mundo tecia uma trama que relacionava ciência, cultura e

educação, de tal forma que a ciência estava umbilicalmente ligada à cultura, como

se pode observar em sua aula inaugural; por sua vez a cultura se relacionava com

a política, estando a serviço da construção de um meio intelectual, profissional;

além da relação mantida entre educação e ciência, em prol de um ideal

civilizatório.

Catunda defendia uma cultura geral como pressuposto de uma cultura

específica, na verdade, não haveria como dissociar uma da outra.

Independentemente do regime político vigente no país, este sempre estaria na

dependência de intelectuais responsáveis pela filosofia de ensino a ser

implantada, valendo dizer, portanto, que tais personagens haveriam de portar

sólida cultura geral, além daquela recomendada, necessária e voltada para o seu

próprio campo de atuação profissional, o que refletiria nas políticas educacionais.

Não se cogitaria de modernidade sem contar com profissionais dotados desse

preparo.

Já em 1945, expressava a intenção de revisar os programas do ensino

secundário de Matemática, de modo que esse ensino atingisse todos os

indivíduos da sociedade brasileira, característica essa que seria enfatizada

posteriormente, durante o Movimento da Matemática Moderna, na década de

1960, sob o lema “matemática para todos”.

7.4.3. O Boletim da Sociedade de Matemática de São Paulo

A Sociedade de Matemática de São Paulo foi criada com o intuito de

“estimular e manter um interesse ativo pela Matemática, incentivar a pesquisa

nesse ramo da ciência e estudar as questões relativas ao seu ensino de grau

secundário e superior”. Assim, em 7 de abril de 1945, foi fundada a Sociedade,

em sessão solene presidida pelo então Diretor da FFCLUSP, André Dreyfus. A

188

primeira diretoria da Sociedade foi eleita pelos sócios fundadores por três anos,

sendo constituída por Omar Catunda, na qualidade de presidente; Candido Lima

da Silva Dias, como vice-presidente; Luiz Henrique Jacy Monteiro, secretário

geral; Francisco Antonio Lacaz Neto, secretário auxiliar; Benedito Castrucci,

tesoureiro e Fernando Furquim de Almeida, como diretor de publicações (Boletim

da SMSP, 1946, 2-5).

Por ocasião da constituição dessa Sociedade, ficou estabelecido por seus

membros que haveria publicação de um boletim oficial denominado “Boletim da

Sociedade de Matemática de São Paulo”. A princípio, o Boletim foi pensado como

meio de divulgação de artigos originais e exposições de caráter didático.

Entretanto, após entendimento com a Fundação Getúlio Vargas, esta se

comprometeu em responder pela publicação do Boletim, bem como distribuir

gratuitamente aos membros da Sociedade as publicações da “Summa Brasiliensis

Mathematicae”

, proceder ao intercâmbio com revistas estrangeiras e colocar à

disposição cópias de artigos que fossem solicitadas pela Sociedade. Por força

desse convênio, a Sociedade deliberou por reduzir o alcance do Boletim, que

passou “a ter caráter didático e informativo, publicando exposições novas de

assuntos já conhecidos, pequenas notas, etc.” (Boletim da SMSP, 1946, p. 6).

Convém destacar que qualquer trabalho ou comunicação que fossem

apresentados à Sociedade, seriam submetidos à uma apreciação prévia por parte

da Comissão de Redação, formada pelos professores Fernando Furquim de

Almeida, André Weil, Candido Lima da Silva Dias e Jean Dieudonné, os quais

ficaram incumbidos de proferir decisão a respeito de sua eventual publicação,

fosse na íntegra ou mesmo que em resumo, no Boletim ou “Summa Brasiliensis

Mathematicae”

Aparentemente, o acordo realizado entre a Sociedade e a Fundação

Getúlio Vargas, procurava delimitar as matérias que seriam objeto de divulgação

por ambas as publicações, ficando reservadas para a “Summa Brasiliensis” textos

de maior complexidade e inéditos.

Fundada em 1945, era uma publicação de nível internacional, financiada pelo Instituto Brasileiro de

Educação, Ciência e Cultura, no Rio de Janeiro. Publicou seu último fascículo em 1968 (SILVA, 2003).

189

Os Estatutos da Sociedade de Matemática de São Paulo apontam seu

interesse por assuntos relativos ao ensino secundário expressos no artigo 2º,

capítulo 1: “A Sociedade interessar-se-á, igualmente, pelas questões relativas ao

ensino de Matemática de grau superior e secundário, e promoverá estudos

tendentes ao aperfeiçoamento desse ensino” (Boletim da SMSP, 1946, 9).

Em obediência a esse artigo, na sessão solene realizada em 6 de

dezembro de 1945, Omar Catunda encarregou os professores Francisco Lacaz

Neto, Benedito Castrucci, Furquim de Almeida, Abraão de Moraes e Abrahão Bloh

para:

... estudarem as questões relativas ao ensino secundário da

Matemática. Essa comissão, entrando em entendimentos com a

Diretoria Geral do Ensino e a Sociedade dos Professores

Secundários, realizou durante as férias, um curso especialmente

destinado aos professores secundários que teve ótima acolhida

(Boletim da SMSP, 1946, p. 6).

O Boletim da Sociedade de Matemática de São Paulo, em seu Fascículo 2,

de dezembro de 1946, noticiou que Omar Catunda passou o cargo de presidente

da Sociedade ao vice-presidente, professor Cândido Lima da Silva Dias, uma vez

que havia recebido uma bolsa de estudos da Rockefeller Foundation, indo para a

Universidade de Princeton em setembro daquele mesmo ano. Nesse mesmo

fascículo, encontra-se registrado que a Sociedade enviou para publicação no

“Summa Brasiliensis Mathematicae” trabalhos de Oscar Zariski, André Weil,

Fernando Furquim de Almeida e Jean Dieudonné. Informa ainda que houve uma

modificação de orientação por parte da Fundação Getúlio Vargas, o que dificultou

o intercâmbio entre a Sociedade e a Fundação, acarretando na possibilidade do

Boletim ampliar sua atuação, de modo a acolher maior número de trabalhos

originais.

O último volume do Boletim da Sociedade de Matemática de São Paulo foi

publicado em 1966. Em 1968, depois de entendimentos entre a SMSP e o IMPA,

o qual desejava criar uma sociedade de matemática em âmbito nacional, a SMSP

foi extinta, e seu acervo bibliográfico foi incorporado para a biblioteca da

Sociedade Brasileira de Matemática, fundada em 1969 (SILVA, 2001, p. 8).

190

Nos idos de 1949, nova referência sobre a formação de uma comissão de

professores da FFCLUSP para discutir sobre o ensino secundário volta à baila,

desta vez constituída por outros professores, tendo ainda Catunda como

organizador. Não obtivemos outros dados que façam referência a esse assunto.

7.4.4. Provas e concursos

O Jornal Diário da Noite, em 07 de maio de 1949, publicava em destaque a

matéria “Não há opiniões divergentes sobre a decadência do ensino”, cujo título

foi extraído de uma expressão utilizada por Catunda durante uma entrevista,

constando da referida reportagem: “O fato é que não há uma só opinião

divergente sobre a decadência do ensino secundário

” 68

Antes de abordarmos o motivo pelo qual Catunda proferiu esta declaração,

achamos oportuno valer-nos de um “resumo histórico” oferecido pelo professor de

matemática e renomado autor de livros didáticos, Ary Quintela, extraído dos Anais

do III Congresso Brasileiro do Ensino de Matemática, em 1959, que nos permitiu

compreender as razões pelas quais o ensino secundário virou notícia.

Como relatou Ary Quintela, em fins de 1946, os resultados dos concursos

de ingresso para a carreira militar, prestados tanto pelos alunos que concluíram

os quatro anos do Ginásio e inscreveram-se para ingresso nos cursos prévios das

Academias Militares (Escola de Aeronáutica, Escola Naval e Escolas

Preparatórias do Exército), quanto pelos que concluíram os três anos do Curso

Científico e candidatavam-se ao ingresso no primeiro ano das Escolas Superiores

Civis e Militares, foram desastrosos. Essa constatação de tal modo empolgou a

opinião pública, que foi aberto um debate pela imprensa o qual se denominou “A

decadência do ensino secundário”. Ainda segundo Quintela (ANAIS III CBEM,

1959), longos debates públicos foram realizados. Pelo que podemos inferir,

também em 1949, eram destaque nas manchetes de jornais.

Na década de 1950, após cursarem quatro anos do ensino primário e realizarem o exame de admissão, os

alunos garantiam seu ingresso no ensino secundário. Com duração de sete anos, o curso secundário

encontrava-se estruturado em dois ciclos: o primeiro, de quatro anos, chamado Ginasial e o segundo, de três

anos, subdividido em Clássico e Científico, conforme previsto na Lei Orgânica do Ensino Secundário

(Reforma Capanema), homologada em 9 de abril de 1942, pelo Decreto-lei nº 4244 (CHAGAS, 1980, p. 115).

191

Assim, Omar Catunda, como presidente da Sociedade de Matemática de

São Paulo e professor de Análise Matemática da FFCLUSP, foi convidado a

pronunciar sua opinião acerca das dificuldades pelas quais passava o ensino

secundário daquela época, em maio de 1949, no Diário da Noite.

Para Catunda, as principais causas que podiam ser atribuídas à propalada

“decadência” do ensino secundário, recaíam sobre o programa exigido, questões

burocráticas das autoridades e a falta de preparo dos professores.

Segundo Catunda, as provas do concurso para professores de matemática

nas escolas oficiais do Estado sugeriam diversos problemas relacionados com o

ensino de Matemática no secundário. Esta constatação levou-o a debater esse

assunto em conferência no Instituto de Engenharia, quando foram sugeridas

reuniões específicas na Sociedade de Matemática para tratar acerca do reflexo

das sucessivas reformas sofridas pelo ensino de Matemática, e ainda, a falta de

orientação apresentada pela maioria dos professores.

Essa preocupação já havia sido enunciada pela Sociedade, informou

Catunda. Uma das medidas tomadas pela Sociedade foi nomear uma comissão

especialmente encarregada de organizar e convocar reuniões para discutir os

problemas do ensino secundário. Participavam dessa comissão, os professores

Osvaldo Sangiorgi, Abraão Bloh e Ester Resnik

A primeira reunião realizou-se no Instituto de Engenharia, quando se

discutiu, entre outros assuntos, o rendimento do ensino primário. A maioria dos

professores secundários presentes no encontro, julgava que o ensino primário

havia decaído nos últimos anos, como podia ser constatado pelos exames de

admissão ao ginásio

, revelando falta de preparo dos candidatos. Aventou-se

que uma das causas desse despreparo estaria no critério utilizado para a

remoção de professores para estabelecimentos mais requisitados, tomando como

base a porcentagem de alunos aprovados pelo professor, o que levaria as escolas

oficiais de ensino primário em facilitar a promoção dos alunos. A matéria

Osvaldo Sangiorgi (1921- ), Abrão Bloh e Ester Resnik foram diplomados pela FFCLUSP nas turmas de

matemática de 1941, 1942 e 1947 respectivamente (ANUÁRIO, 1939-1949).

Os exames de admissão ao Ginásio compreendiam provas realizadas pelos alunos ao ingresso no ensino

secundário (VALENTE et alli, 2004).

192

jornalística afirmou que os professores presentes ao evento mostraram-se

alarmados com a possibilidade de que esse critério de remoção de professores

passasse a ser utilizado também no ensino secundário.

Nesse sentido, os professores mostraram-se avessos às alterações no que

diziam respeito à remoção, o que nos permite concluir que os professores

secundaristas estavam satisfeitos com as normas vigentes relativamente à

transferência. Atrelar a remoção do professor às aprovações obtidas por seus

alunos, significaria a perda de autoridade? Qual a importância da reprovação para

o professor de matemática? Para que o professor primário fosse removido para

outra escola, mais requisitada, teria que se sujeitar a aprovar alunos que talvez

não estivessem aptos a cursarem a série seguinte, havendo, portanto, um

afrouxamento nas avaliações realizadas, acabando por refletir nos exames de

admissão ao ginásio. Seria uma forma de o governo minimizar as dificuldades

surgidas em relação ao aumento do número de alunos e a escassa quantidade de

professores? Tal medida também faria com que houvesse um aumento do

número de alunos no ensino secundário. Como esse critério poderia agravar

ainda mais a situação do ensino secundário, já considerado, naquela época como

decadente?

Questões como essas exigiam um estudo acurado, “só possível com um

amplo debate sobre o assunto”, alertou Catunda (1949). Apesar das medidas

tomadas pela Sociedade para discutir as deficiências do ensino secundário,

Catunda observou ser indispensável contar com a participação dos professores

nos debates, de maneira que os esforços realizados para melhoria do ensino

surtissem efeito, posto que estes estavam mais diretamente em contato com a

questão. Além disso, a Sociedade pretendia incrementar publicações sobre o

ensino de Matemática em seu Boletim.

Vê-se que as discussões sobre o ensino secundário partiam, num primeiro

momento, de um meio essencialmente composto por matemáticos e que, pouco a

pouco, vai contando com a colaboração de professores prestigiosos. A

participação desses professores no debate acabou vindo ao encontro ao que já

manifestara anteriormente Catunda, quando se mostrou interessado numa ampla

participação de professores secundários nas discussões sobre o ensino.

193

Em conseqüência dos debates públicos conduzidos pelos jornais da época,

por iniciativa do Ministério da Aeronáutica e apoio do Ministério da Educação,

realizou-se em 1951, o primeiro encontro de âmbito nacional entre professores,

denominado de “Conferência Nacional de Estudos sobre a Articulação do Ensino

Médio e Superior”, sediado pelo Instituto Tecnológico da Aeronáutica, em São

José dos Campos/SP (QUINTELA, apud ANAIS III CBEM, 1959).

O evento também é noticiado no Anuário de 1951, confirmando que

ocorreu entre os dias 14 e 21 de junho daquele ano e visou o encontro de

educadores do ensino médio com os de ensino superior, civil e militar, com o

intuito de elevar o nível do ensino médio. Segundo a nota, os temas do conclave

foram analisados por seis sub-comissões que chegaram a conclusões

“verdadeiramente revolucionárias algumas, quer nos métodos, quer na estrutura

básica do ensino médio”. A FFCLUSP enviou como representantes os

professores Paulo Saraiva de Toledo e Benedito Castrucci, os quais participaram

das reuniões sobre o ensino médio de Física e Matemática, respectivamente

(ANUÁRIO, 1951, p. 343). Os dados obtidos não nos permitiram averiguar a

presença de Catunda nessa conferência.

Observa-se um conflito ditado pela preocupação com a qualidade de

ensino, da parte dos professores e as práticas políticas implementadas para a

Educação. Harmonizar esses interesses era a grande questão.

7.4.5. Participando da revista “Notas de Matemática e Física”

Por iniciativa dos alunos de Matemática e Física da FFCLUSP, surgiu a

idéia de elaborar uma revista, que contemplasse tanto alunos da graduação

quanto professores secundários. Mais ainda, era ambição dos alunos obterem um

espaço no qual pudessem publicar seus primeiros artigos científicos.

Surge assim, em 1953, a revista “Notas de Matemática e Física”, sob

direção do então aluno da Secção de Matemática Ubiratan D’Ambrosio. Os

estudantes do Departamento de Matemática e Física contaram com ajuda

financeira dos professores da Faculdade de Filosofia. Além da contribuição

194

pecuniária, os professores deram grande apoio aos alunos, formando, inclusive,

seu corpo editorial, constituído pelos professores: Omar Catunda, Edison Farah,

Cândido L. da Silva Dias, Fernando Furquim de Almeida, Benedito Castrucci,

Marcelo Damy S. Santos, Hans Stammreich, David Bohm, Mário Schenberg,

Oscar Sala e Abrahão de Moraes.

O primeiro número das “Notas de Matemática e Física” foi inaugurado com

um artigo de Omar Catunda (1953, p. 05-10), intitulado “O ensino da Matemática

na escola secundária”. Nele, o então professor catedrático de Análise Matemática

da FFCLUSP, faz um estudo sobre o ensino da Matemática no secundário.

A escolha do tema não soa como mera coincidência, carregando com ele a

impressão de que o professor Catunda mantinha o firme propósito de se

preocupar com o nível do ensino secundário, tentando já desde o início da

graduação daqueles alunos, conscientizá-los da importância do assunto tratado.

Pode-se cogitar que em sendo a carreira universitária restrita a um pequeno

número de egressos daquele curso, uma boa parcela daqueles seguiria para o

ensino secundário, quando então, teriam a oportunidade de trabalhar com aquele

seguimento escolar, dotando-o da qualidade pela qual se empenhava Catunda.

Pretendeu contribuir para responder à seguinte questão: Para que serve o

ensino de Matemática? Assim se expressa a esse respeito:

O valor desse estudo reside não na matéria aprendida, mas no

hábito adquirido de um processo de raciocínio puro, universal e

absoluto; a mente que aprendeu uma vez esse processo de

raciocínio, pode esquecer todas as fórmulas, regras e

denominações estudadas, mas saberá, diante de um problema ou

de uma situação real, discernir as premissas, simplificar ou

esquematizar os dados e tirar as conclusões que se impõem, pelo

menos em uma primeira aproximação da realidade (CATUNDA,

1953, p. 6).

Defende, como princípio fundamental, um ensino de Matemática todo

baseado no raciocínio. Afirma, enfaticamente, que a “Matemática é raciocínio”, ou

seja, é o culto ao bom senso, o qual “todo professor dessa matéria deveria ter em

mente”. (CATUNDA, 1953, p. 6). A adoção e fidelidade a esse princípio evitariam,

segundo Catunda, erros comuns que ocorrem nas escolas brasileiras, como o de

195

procurar incutir nos alunos uma variedade de regras e fórmulas sem que os

alunos percebam sua razão de ser.

Em seguida, Catunda fez referências ao ensino da Geometria e Álgebra.

Indica, para essas áreas, alguns procedimentos desejáveis aos professores e

organizadores de programas de Matemática de modo a se obter uma melhoria do

seu ensino no secundário.

Quanto ao ensino da Geometria, precisaria ser introduzido pelas formas

mais elementares e esquemáticas, a partir de exemplos concretos; pois, para

Catunda, é pela observação e pela experiência que melhor se conduz o aluno a

aceitar, os postulados sobre pontos, retas e planos, dos quais se deduzem todas

as outras proposições geométricas. A Geometria, assegura o professor Catunda,

é a área que melhor se presta ao desenvolvimento do raciocínio lógico:

É no estudo da Geometria que tradicionalmente se introduzem

explicitamente as noções lógicas de proposição, teorema,

corolário, hipótese, tese, etc. (...) bem conduzido o ensino, com

constantes referências a exemplos concretos e freqüentes

exemplos de aplicação, como os problemas de construção com

régua e compasso, obtêm-se certamente um desenvolvimento

notável de capacidade de raciocínio. Para isto é porém necessário

que o professor não se restrinja à exigência de regras decoradas

e fórmulas de cálculo de comprimento de segmentos e de áreas

de figuras planas, que só servem para encher a cabeça dos

pobres alunos, e dedique o melhor de seu esforço para conseguir

que os alunos compreendam o desenvolvimento do raciocínio em

todas as fases (CATUNDA, 1953, p. 9).

No que diz respeito à Aritmética, deveria o ensino secundário conservar o

mais possível sua feição concreta, com grande quantidade de exemplos, de modo

a convencer o aluno da necessidade das regras e fórmulas dadas:

Com exemplos concretos, acumulados e repetidos, é

perfeitamente possível ao professor conduzir o raciocínio dos

alunos de modo a fazê-los aceitar como fato evidente por si

mesmo, e não pelo falso princípio do “magister dixit”, a justeza das

regras e fórmulas deduzidas [grifo do autor], (CATUNDA, 1953, p.

8).

Como se pode observar, o primeiro artigo da revista fez referência

justamente ao ensino da Matemática na escola secundária, mostrando uma

196

preocupação por parte de alunos e docentes de nível superior com a melhoria do

ensino de Matemática no secundário. Além disso, o professor Catunda, ao propor

sugestões nas diversas áreas que compõe a Matemática, pareceu buscar

convencer os professores do ensino secundário, a utilizar novos métodos de

ensino, de modo a conduzir ao desenvolvimento do raciocínio “puro, universal e

absoluto” dos alunos em todas as fases.

7.4.6. A Portaria 1951: por uma menor quantidade de conteúdos

O Conselho Diretor da Associação Brasileira de Educação (ABE) solicitou a

um seleto número de professores secundaristas e de escolas superiores que

opinassem sobre o programa do ensino secundário vigente em 1954, sob a

alegação de que em inquéritos promovidos pela imprensa, em pareceres

divulgados de diversas maneiras, sustentava-se que os programas oficiais do

ensino secundário continham demasiado conteúdo, estranho aos interesses dos

adolescentes e acima de suas capacidades.

Novamente convidado a opinar sobre ensino secundário, precisamente

sobre o programa oficial de matemática, Omar Catunda teve seu parecer

publicado na Revista Educação, órgão da ABE, em junho de 1954.

Nessa época, vigorava a Portaria Ministerial nº 966 de 2 de outubro de

1951, complementada pela Portaria nº 1045 de 14 de dezembro de 1951. Tratava-

se de uma legislação que alterou os programas de dezesseis disciplinas do

ensino secundário, anteriormente estabelecidos pela Reforma Capanema de

1942. O novo texto legal estabelecia um programa simplificado, o Programa

Mínimo, que diferia dos anteriores pela menor quantidade de conteúdos, aqueles

considerados essenciais, aos quais as instituições escolares ficaram sujeitas a

executá-los

. A esse conjunto de normas passaremos a denominar

simplesmente como “Portaria 1951”

Objetivando completar os programas básicos já estabelecidos pela Portaria 966, o então Ministro da

Educação e Saúde, Simões Filho, expede a Portaria nº 1.045, em 14/12/1951, a qual apresentava programas

analíticos, juntamente com instruções metodológicas concernentes a cada uma das disciplinas que

compunham o ensino secundário daquela época.

Maiores detalhes sobre a Portaria 1951, ver a dissertação de mestrado “Tempos pré-modernos: a

matemática escolar dos anos 1950” de Alex Sandro Marques (2005).

197

Contrariamente à Reforma Capanema, a Portaria 1951 previa a elaboração

de instruções metodológicas para acompanhar os novos programas

. Os

assuntos deveriam ser ilustrados com aplicações e exemplos, nas primeiras

séries o ensino deveria ter um caráter prático e intuitivo de modo a despertar o

aluno, aos poucos e cuidadosamente, para o método dedutivo, com rigor

moderado.

Mais que a diminuição dos conteúdos, o programa possibilitava a

elaboração de um plano de desenvolvimento mais adequado às especificidades

de cada região, de modo que cada Estado tinha autonomia para elaborar seus

próprios planos, se assim decidissem. Caso contrário, ficariam sujeitos ao plano

preparado pelo Colégio Pedro II, incumbido de elaborar os programas do curso

secundário para esta legislação

Resumidamente, as instruções metodológicas enfatizavam que: cada

assunto deveria ser ilustrado com aplicações e exemplos; - a unidade matemática

deveria ser posta em evidência; o ensino de matemática nos primeiros anos

deveria ter caráter pratico e intuitivo; dever-se-ia despertar aos poucos e

cuidadosamente o aluno para o método dedutivo; o rigor deve ser moderado

(MARQUES, 2005, p. 60-61).

Como se vê, os debates acerca da metodologia e conteúdos de ensino,

mantinham-se vivos. Nesse sentido, em parecer oferecido ao Conselho Diretor da

ABE, Catunda indicou como principal crítica ao ensino de matemática no

secundário, a sua forma de apresentação, que segundo ele, era excessivamente

formalista. Ao invés de professores, examinadores e fiscais, alunos e seus pais

preocuparem-se com a eficiência real do ensino, qual seja, a formação da cultura

e da personalidade do estudante, os fatores que valorizavam eram os aspectos

A Reforma Capanema procurou acatar diferentes sugestões advindas das camadas mais representativas

da sociedade, dentre as quais se destacavam religiosos, militares e educadores como Euclides de Medeiros

Guimarães Roxo. Ao procurar seguir essas sugestões, acabou por gerar um extenso programa. Esses

representantes não chegaram a um acordo quanto às instruções metodológicas, motivo pelo qual a reforma

de 1942 suprimiu recomendações sobre os métodos e processos pedagógicos que deveriam nortear os

professores. Esse assunto é tratado na dissertação de mestrado de autoria de Bruno Alves Dassie (2001), “A

matemática do curso secundário na Reforma Capanema”.

A Congregação do Colégio Pedro II foi incumbida de elaborar os programas das diversas disciplinas do

curso secundário para o Programa Mínimo, por meio da Portaria nº 614, de 10 de maio de 1951 (MARQUES,

2005).

198

formais, burocráticos – provas e exercícios corretos, exames bem feitos,

certificados de promoção e diplomas.

Para Catunda, entretanto, era necessário insistir num preceito já acolhido

pela maioria dos pedagogos, mas violado no cotidiano escolar: “O ensino da

matemática no ginásio deve servir para desenvolver a capacidade de raciocínio, e

não para dar ao aluno o conhecimento de regras e fórmulas de aplicação simples

ou imediata”. Ou seja, “em todo o curso secundário não se deve dar nunca uma

regra sem a necessária justificação” (1954, p. 25).

Impunha-se, portanto, a introdução da abstração de forma progressiva,

uma vez que a abstração procura afastar elementos que são acessórios para a

validade do raciocínio matemático.

Seria sempre preferível partir da representação concreta, seja para

números inteiros, seja para as frações, principalmente para estabelecer as

primeiras propriedades. A utilização freqüente de exemplos concretos de

aplicação deveria ir habituando o aluno à noção de número abstrato, seja inteiro

ou fracionário. Também os números reais deveriam ser introduzidos e estudados

com exemplos concretos, isto é:

...como medida de grandezas comensuráveis ou incomensuráveis,

(aliás, estas últimas só deveriam ser introduzidas na Geometria,

na teoria da medida); esta noção de número real como medida

deve ser mantida até o fim do curso secundário, pois a teoria

abstrata dos números reais só tem cabimento num curso superior

(1954, p. 25).

O ensino dos números relativos no primeiro ano do ginásio era, para

Catunda, uma das maiores incoerências do programa, “um dos maiores absurdos

do programa”, pois exigia da parte do aluno um esforço de abstração não

condizente com o estágio de desenvolvimento cognitivo em que ele se

encontrava, incutindo regras que o aluno acabava por decorar sem compreender

a justificativa correspondente. Pela mesma razão, na segunda série ginasial, não

deveria ser introduzido o cálculo literal e o estudo das equações, sem antes se ter

completado o estudo da aritmética (CATUNDA, 1954, p. 27).

199

Quanto à Geometria Elementar Clássica, esta deveria ser ensinada de

modo elementar, mas de forma rigorosa e sistemática, sem reduzi-la a um

formalismo inútil.

Após essa preleção de caráter geral, Catunda sugeriu a retirada de pontos

do programa que revelassem a intenção de ensinar regras práticas e processos

de cálculo que não contribuíssem para o desenvolvimento do raciocínio do

estudante. Em seguida, passou a sugerir modificações específicas no programa,

atendo-se especialmente ao primeiro ciclo, uma vez que, para ele, a diversidade e

complexidade dos assuntos tratados no segundo ciclo cobravam um estudo mais

apurado e um conhecimento mais íntimo do problema.

Para o primeiro ciclo, ofereceu as seguintes sugestões:

a) Na primeira série, insistir muito mais nos problemas das

quatro operações. Suprimir os processos de cálculo abreviado

e divisão aproximada, que o professor poderá dar, querendo,

como curiosidade ou complemento do ensino.

b) Suprimir o ponto I-6. Números relativos.

c) Dar à parte II a ordem mais natural, que é:

1. Múltiplos e divisores. Divisibilidade. Caracteres de

divisibilidade por 10 e suas potências; por 2, 4, 8, 5, 25, 9,

3, 11 (com dedução de todas as regras). Justificação da

“prova dos nove” para as operações elementares.

2. Máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides.

Propriedades.

3. Mínimo múltiplo comum. Propriedades relação com o

máximo divisor comum.

4. Números primos entre si. Números compostos e números

primos. Crivo de Erastótenes. Decomposição de um número

em fatores primos. Aplicação à pesquisa do máximo divisor

comum e do mínimo múltiplo comum.

d) Na segunda série, suprimir “expoente zero; expoente

negativo” (ponto I-1).

e) No ponto I-4, suprimir “regra prática para a extração da raiz

cúbica dos números inteiros. Prova”.

f) No ponto I-5, penso que seria preferível suprimir a referência a

grandezas incomensuráveis, e consequentemente a números

irracionais; cujo estudo estaria melhor enquadrado na

Geometria, quando se estuda a teoria da medida.

g) No mesmo I-5, suprimir “números fracionários”.

200

h) No lugar da atual parte I I do programa, continuar na segunda

série com o estudo da Aritmética, segundo a parte I do

programa da 3ª série. Acrescentar: câmbio, divisão

proporcional, regra de sociedade.

i) Dar apenas um início de noções de Álgebra no fim da 2ª série:

números relativos, expressões algébricas (com muitos

exercícios sobre valor numérico) monômios e polinômios, etc.

j) Penso que deveria deixar toda a Geometria plana no quarto

ano, onde seria feito um estudo completo e sistemático dessa

parte da Matemática que é essencial para o curso secundário

e que hoje em dia é a mais sacrificada. Neste caso a Álgebra

ficaria toda na terceira série e mais a pequena parte que

coubesse na segunda, suprimindo-se porém o ponto I-2 do

atual programa da 4ª série, pois o estudo do trinômio é muito

difícil de ser bem compreendido no curso ginasial. Alega-se

comumente que a interrupção do estudo de Álgebra por um

ano leva o aluno a esquecer completamente essa matéria; a

isso posso responder observando que tal alegação procede

efetivamente quando o ensino é formalista (e portanto,

praticamente inútil); se o aluno aprendeu a Álgebra

compreendendo-a efetivamente, ele pode esquecer algumas

regras e fórmulas, mas em pouco tempo de 2º ciclo ele

recuperará todo o conhecimento.

k) No ponto II-10, acrescentar: método dos isoperímetros

(CATUNDA, 1954, p. 26).

Para o segundo ciclo, fez as seguintes recomendações:

a) Antes do estudo dos logaritmos, introduzir: 1) estudo do

trinômio do 2º grau, 2) os expoentes zero, negativos e

fracionários, o cálculo de potências com tais expoentes e os

expoentes irracionais.

b) No estudo da Geometria, suprimir o ponto V-5, ou reduzi-lo ao

estudo das superfícies cilíndricas, cônicas e de revolução.

c) No ponto 8, acrescentar: triângulos esféricos.

d) Transferir o estudo das secções cônicas para a 3ª série, onde

penso que deveria ser restabelecido o estudo elementar de

algumas transformações em Geometria: simetria, homotetia,

semelhança, rotação e translação.

e) Na 3ª série, reduzir ao mínimo a parte II – Noções sobre

derivadas. Suprimir o conceito de função primitiva e de integral

definida (pontos 4 e 5).

f) Simplificar também o estudo das equações algébricas (pontos

4, 5 e 6), acrescentando, porém uma noção sobre a resolução

aproximada das equações (CATUNDA, 1954, p. 27).

201

Finalizando suas observações, Catunda alertava para a necessidade de

aumentar o número de aulas de matemática, sendo que não deveria haver menos

de quatro aulas semanais dessa disciplina e, nos últimos anos, “tanto no primeiro

como no segundo ciclo, devem ser dadas aulas diárias” (1954, p. 27).

Nota-se que o parecer oferecido por Catunda não se contrapunha aos

preceitos constantes nas instruções metodológicas previstas na Portaria 1951

para o ensino de matemática. Também nelas, vê-se assinalada com ênfase, a

necessidade de manter-se um ensino eminentemente prático e intuitivo, não

estabelecendo um rigor exagerado, mesmo no segundo ciclo, de modo que a

explanação da matéria não se tornasse fastidiosa. Além disso, orientavam para

que as passagens de uma afirmativa para outra fossem sempre justificadas, com

todo cuidado.

Diante das recomendações de Catunda, publicadas na revista “Educação”,

como resposta à solicitação da ABE, convida-nos a uma indagação nos seguintes

termos: seriam aquelas recomendações mantidas por Catunda na oportunidade

em que se dedicou a escrever livros didáticos durante o MMM?

7.4.7. O parecer de 1954 e o Congresso de 1955

Em 1955, ocorre o Primeiro Congresso Brasileiro do Ensino de

Matemática, em Salvador, Bahia. Como representantes da Sociedade de

Matemática de São Paulo, compareceram Omar Catunda e Osvaldo Sangiorgi.

Nesse congresso, do mesmo modo como sugeriu Catunda, as teses

apresentadas propuseram alterações que diziam respeito basicamente à ordem

em que esses conteúdos eram apresentados nas séries. A idéia de modificação

do ensino somente suscitou interesse em suprimir ou alterar a ordem dos

conteúdos arrolados no programa, mantendo-se a estrutura da Portaria 1951, de

modo que as instruções metodológicas foram endossadas pelos participantes do

congresso, ou seja, a parte didática continuou condizente com a metodologia

indicada pela portaria.

202

O programa proposto pelo professor Sangiorgi diferiu daquele aprovado

pelo Congresso para Curso Ginasial, apenas no que se referia à trigonometria,

que para Sangiorgi, deveria ser ensinada no 4º ano Ginasial e o Congresso votou

pela sua inclusão na 1ª série do Curso Colegial. Como conseqüência, a

Geometria no Espaço, a qual deveria ser introduzida no 1º ano do Curso Colegial

conforme sugerido na tese de São Paulo, fora colocada no 2º ano na versão final

proposta pelo Congresso, de modo a abranger todos os conteúdos relativos à

Trigonometria na 1ª série, evitando assim, a divisão de seus conteúdos.

Ao confrontarmos as sugestões de Catunda com as sugestões oferecidas

por Sangiorgi no Congresso, verificamos que, apesar de não serem em sua

maioria compatíveis, ainda continuavam sendo relativos à ordem em que esses

conteúdos deveriam ser inseridos no programa. Algumas propostas oferecidas

por Catunda foram seguidas, tanto por Sangiorgi como pelo programa aprovado

pelo congresso, como é o caso da seguinte sugestão: os números relativos serem

suprimidos da 1ª série do ensino ginasial; a sugestão de suprimir o item III da 2ª

série ginasial, qual seja, “Binômio linear; equações e inequações do primeiro grau

com uma incógnita; sistemas lineares com duas incógnitas”, foi recomendado

tanto por Sangiorgi quanto pelos congressistas. Para Catunda, o estudo do

trinômio do 2º grau deveria ser realizado no curso colegial, “pois o estudo do

trinômio é muito difícil de ser bem compreendido no curso ginasial” (1954, p. 26).

Nas conclusões do congresso, relativas aos horários e programas, foi proposto

um estudo particular do estudo do 2º grau, para a 3ª série do Curso Colegial.

Outras sugestões, entretanto, não foram acatadas (1955, p. 34). Uma delas, que

nos chamou atenção, dizia respeito ao restabelecimento do “estudo elementar de

algumas transformações em Geometria: simetria, homotetia, semelhança, rotação

e translação”, já proposto anteriormente na Reforma Capanema Unidade VII, da

3ª série do Programa do Curso Científico e proposto novamente pelo GEEM, em

conformidade com programa proposto pela Organização Européia de Cooperação

Econômica (OECE), publicado pelo GEEM, em seu volume 2, 1965, p. 153.

A década de 50, para o ensino secundário, apresentou-se como um

período de consenso entre os professores, sobre os métodos e conteúdos a

serem ministrados, não havendo por parte dos professores secundaristas

exigências reais de mudanças. Constata-se um descontentamento por parte dos

203

professores em relação ao número de aulas semanais de Matemática previstas

no programa – três aulas semanais – insuficientes para que se cumprisse as

exigências estipuladas pelo Programa Mínimo. A legislação permitia aumentar a

quantidade de aulas desde que o número de horas de toda a grade curricular não

ultrapassasse o máximo previsto pela Reforma Capanema, ou seja, para

aumentar as aulas de uma determinada disciplina, necessariamente deveria haver

redução da carga horária de uma outra (MARQUES, 2005).

O grande mote do Congresso de 1955 foi a preocupação com o

desprestígio da disciplina e a reivindicação para o aumento do número de aulas

de matemática por semana. Segundo Marques (2005), o congresso endossou as

orientações metodológicas propugnadas pela Portaria 1951, enfatizando que a

matemática desempenha um papel preponderante “como objeto de cultura, um

instrumento de trabalho e fator de aperfeiçoamento mental”, sendo, portanto,

disciplina indispensável para a formação do cidadão moderno, devendo ser

destacada no currículo do ensino secundário. (SANGIORGI, 1955, p. 112). Para

implementar o programa, o Congresso “reconhece a necessidade e propõe a

elevação do número de aulas semanais para quatro, no curso de ginásio e cinco

no de colégio” (ANAIS, 1955, p. 19).

A discussão sobre a necessidade de um programa apresentando um rol de

assuntos mínimos permeará os primeiros encontros sobre o ensino de

matemática da década de 1960, incluindo-se os conceitos de conjuntos e

estrutura.

7.4.8. Participações em Congressos: 1959

Em 1959, no III Congresso Brasileiro do Ensino de Matemática, realizado

na cidade do Rio de Janeiro em 20 a 25 de julho, sob o patrocínio da Campanha

de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário (CADES), cujo principal

objetivo era “estudar os problemas relativos ao ensino da matemática nos cursos

secundário, comercial, industrial, normal e primário” (ANAIS, III CBEM, 1959, p.

13), foi apresentada uma tese intitulada “Sobre uma Revista de Matemática para

o Ensino Médio”, de autoria dos professores Elon Lages Lima e Omar Catunda.

204

Os anais não trazem o texto relativo à tese, mas apresentam as conclusões do

congresso relativas ao assunto, recomendando que fosse criada uma Revista de

Matemática nos moldes apresentados na tese e que fosse constituída uma

comissão integrada pelos professores Omar Catunda, Osvaldo Sangiorgi, Mário

de Oliveira e Martha Blauth Menezes para empreender os trabalhos iniciais da

sua organização (ANAIS III CBEM, 1959, p. 236).

7.4.9. Participações em Congressos: 1961

A fórmula que eu reivindicaria para o Brasil não é

‘abaixo Euclides’ e sim, ao menos Euclides!

Omar Catunda

Com o objetivo de integrar os países das Américas para discutir assuntos

relacionados com a Educação Matemática, em 1961, foi fundado o Comitê

Interamericano de Educação Matemática (CIAEM), tendo como um dos principais

incentivadores Marshall Stone, então Presidente do “International Comittee of

Mathematical Instruction” – ICMI.

A preocupação de Catunda com o ensino secundário levou-o a participar da

Primeira Conferência Inter-Americana sobre o Ensino de Matemática (I CIAEM),

realizada em Bogotá, Colômbia, de 4 a 9 de dezembro de 1961. Financiada pela

National Science Foundation (NSF) dos Estados Unidos, a I CIAEM contou com a

participação de prestigiosos matemáticos como Marshall Stone dos Estados

Unidos e Gustave Choquet da França.

A I CIAEM teve como principal objetivo divulgar, nos países latino-

americanos o MMM, buscando alcançar junto aos participantes um compromisso

de promoção de mudanças curriculares em seus países, aos moldes do que já

vinha ocorrendo nos Estados Unidos e Europa.

Uma das principais idéias discutidas nessa conferência defendia uma

mudança no ensino da geometria nas escolas secundárias, passando a ser

ensinada sob o ponto de vista da Álgebra Linear, ao invés da Geometria

Euclidiana.

205

O Professor Howard Fehr, dos Estados Unidos, em sua conferência

“Reforma do Ensino da Geometria” apoiou as idéias de Jean Dieudonné,

defendidas na Conferência de Royaumont (1959), sustentando, para a escola

secundária, o ensino dos tópicos principais da geometria euclidiana, que poderia

ser feito em dois ou três meses, dando-lhe, em seguida, um tratamento algébrico,

combinando a Álgebra com a Geometria, levando os estudantes ao estudo dos

espaços vetoriais o quanto antes (RUIZ; BARRANTES,1997).

Entretanto, nesta mesma Conferência, Omar Catunda manifestou-se

contrário à posição de Fehr, no que dizia respeito ao tratamento a ser dado à

Geometria Euclidiana no ensino secundário. Ao proferir sua palestra intitulada “A

preparação de professores de matemática”, parodiou a famosa frase de

Dieudonné, “abaixo Euclides!”, da seguinte maneira: “a fórmula que eu

reivindicaria para o Brasil não é ‘abaixo Euclides’ e sim, ao menos Euclides!”.

Tratava-se de um artigo no qual Catunda expunha a situação do ensino de

matemática no Brasil, destacando aspectos relativos à formação de professores,

quando alertou sobre a escassez de professores graduados, má formação de

professores, dificuldades de assessoramento e capacitação, etc. (RUIZ;

BARRANTES, 1997).

Ao final do evento, várias recomendações foram oferecidas pela CIAEM:

- que a formação dos professores de ensino médio estivesse a cargo das

universidades, sob a influência dos matemáticos mais competentes. Que

a parte pedagógica se limitasse às suas devidas proporções;

- que regularizassem os contatos entre professores secundários e

universitários;

- que se facilitasse a titulação dos professores que estivessem na ativa.

- que fossem estimuladas as realizações de cursos e a criação de

institutos de caráter experimental para serem aplicados os novos

métodos de ensinar matemática.

Solicitava, ainda, que os delegados se empenhassem junto aos governos

de seus países, para que fossem adotadas medidas efetivas para a

implementação da renovação do ensino de matemática no ensino médio, além de

206

incentivar as universidades e institutos formadores de professores para que

capacitassem os futuros professores, em conformidade com as recomendações

indicadas pela Comissão (RUIZ; BARRANTES, 1997).

Como podemos observar nas recomendações oferecidas pela Conferência,

a formação dos professores estaria diretamente vinculada ou sob domínio do que

pensavam os matemáticos, aliás, os mais competentes, implicando dizer que toda

didática poderia ser utilizada, desde que não comprometesse o rigor matemático.

Ainda nesse congresso, nota-se a presença maciça de matemáticos, reunidos a

convite de Mashall Stone, para juntos discutirem questões relativas ao ensino de

matemática. Assim, o Brasil foi representado por uma delegação composta pelos

matemáticos Omar Catunda, Alfredo Pereira Gomes e Leopoldo Nachbin. Vê-se,

desse modo, a importância dada aos matemáticos e pelos matemáticos no

processo de renovação do ensino de matemática.

7.4.10. Participações em Congressos: 1962

Entre 22 e 28 de julho, realizou-se em Belém do Pará o IV Congresso

Brasileiro de Ensino da Matemática, com a participação de delegados de diversas

regiões brasileiras.

A delegação paulista, de acordo com artigo publicado na Folha de São

Paulo em 16 de agosto de 1962, foi representada pelo “professor Catunda e seus

assessores: Osvaldo Sangiorgi, Benedito Castrucci e a professora Lucila Bechara,

secretária da comissão”.

Já o Jornal O Estado de São Paulo, em 30 de junho de 1962, informava o

temário organizado para o IV Congresso:

1. A formação dos professores de matemática e as faculdades de filosofia;

2. O aperfeiçoamento do professor de matemática;

3. Correlação entre o ensino na escola e o currículo das faculdades de

filosofia;

4. Introdução da matemática moderna na escola secundária;

207

5. Experiências realizadas em cursos regulares ou experimentais;

6. Reestruturação do ensino da matemática ante a Lei de Diretrizes e

Bases;

7. Didática da matemática na escola secundária;

8. Verificação da aprendizagem;

9. Liberdade de ensino.

Como se verifica no item 4, a introdução da MM no secundário é colocada

em pauta pelo Congresso, manifestando abertamente a aspiração de levar

adiante um novo programa para a matemática nesse nível de ensino.

Os assuntos relativos à MM ficaram sob a responsabilidade do GEEM de

São Paulo, o qual relatou as experiências realizadas pelo grupo e levou a

proposta “Assuntos mínimos para um moderno programa de matemática para o

ginásio”, previamente aprovado no V Encontro de Mestres em São Paulo

promovido pela CADES e Inspetoria Seccional de São Paulo em 27 e 28 de junho

de 1962 (GEEM, 1962).

O tema já vinha sendo discutido mesmo antes do Encontro de Mestres,

como mostra o Jornal Folha de São Paulo, de 21 de maio de 1962, “Professores

discutem ensino da Matemática Moderna”. Nesse encontro, Catunda presidiu

reunião no GEEM, assessorado por Osvaldo Sangiorgi e realizado nas

dependências da Faculdade de Filosofia da Universidade Mackenzie, com o

objetivo de apresentar relatórios sobre as experiências realizadas e pertinentes à

introdução da Matemática Moderna no ensino secundário. Discutiu-se acerca dos

assuntos mínimos de um programa de matemática para o ginásio, enfatizando os

conceitos de conjuntos e estruturas e de como adequá-los ao programa de

matemática em vista da LDB.

Os “Assuntos mínimos para um moderno programa de matemática para o

ginásio: orientação e sugestões para o seu desenvolvimento” recebeu aprovação

unânime do IV CBEM (GEEM, 1962).

Naquela ocasião, o professor Omar Catunda teve seu trabalho intitulado

“Os conceitos fundamentais da matemática, conjuntos e estruturas” publicado

208

pelo GEEM, na obra “Matemática moderna para o ensino secundário”. Nele,

procurou introduzir as idéias de conjuntos e estruturas, uma vez que estas se

constituem no fundamento da MM. Apresentou, num primeiro subtítulo, as

principais notações e definições matemáticas utilizadas na Teoria dos Conjuntos.

Em seguida, introduz de uma forma simples, a noção de estrutura:

Para que um conjunto possa ser tratado matematicamente, ele

deve ter uma certa “estrutura”. Com este termo se indica um

sistema de relações fundamentais que se verificam entre os seus

elementos e das quais se deduzem outras relações mais

complexas, que são dadas pelos teoremas (CATUNDA, apud

GEEM, 1962, p. 66).

A diferença entre a matemática antiga e moderna também é aventada no

artigo. A esse respeito, Catunda expôs seu ponto de vista, argumentando que na

matemática antiga vigorava a idéia de que os conceitos de número e de ponto

eram conceitos primitivos fundamentais, sendo comum encarar a matemática

como a “ciência da medida ou da quantidade”. Para a MM, entretanto, não

importava a natureza dos elementos do conjunto, uma vez que se dois conjuntos

satisfizessem a um mesmo sistema de relações fundamentais, então satisfariam

também a todos os teoremas que delas decorressem. Assim, na concepção de

Catunda, uma moderna teoria matemática se apresentaria da seguinte forma:

Consideremos um conjunto A (inteiramente indeterminado).

Suponhamos que este conjunto tenha a estrutura E descrita pelo

seguinte sistema de postulados: (a), (b), (c), .... Então, dos

postulados (a) e (b) se deduz o teorema (p). Deste teorema e do

postulado (c), deduz-se outro teorema (q); e assim por diante.

Estabelecida assim a teoria, ela se aplicará a qualquer conjunto

dado por uma outra ciência ou tirado de uma outra teoria

matemática, por meio de definições convenientes (CATUNDA,

apud GEEM, 1962, p. 69-70).

Além disso, prossegue Catunda, um sistema de postulados pode oferecer

tudo o que é necessário para o estudo de um dado conjunto; mas,

freqüentemente estuda-se apenas um aspecto de um conjunto, ou seja, de uma

“uma estrutura”, deixando de lado, para outro estudo, uma outra estrutura, que

pode coexistir com a primeira em um mesmo conjunto. Assim, na MM haveria

uma preocupação menor com a natureza dos elementos estudados e maior com o

tipo de estrutura que caracteriza as relações existentes entre esses elementos.

209

Após fazer referência às estruturas de ordem e algébricas, Catunda

concluiu sua palestra, sem tecer comentários às estruturas topológicas, para não

alongar seu pronunciamento. Antes, porém, comentou sobre a necessidade de se

valorizar e incrementar o uso da linguagem simbólica, uma vez que esta

sintetizaria e reforçaria o âmbito de ação da matemática. Além disso, assinalou

que o movimento de renovação do ensino de matemática estava se processando

no mundo todo, por meio da adoção da linguagem da Teoria dos Conjuntos e o

conceito de estrutura, o que permitiria à ciência matemática ganhar enorme vigor

e possibilidade de aplicação e progresso.

O tema abordado por Catunda no IV CBEM, qual seja, a modernização da

linguagem dos assuntos matemáticos via introdução da Teoria dos Conjuntos e a

utilização das estruturas matemáticas, justamente os assuntos basilares que

deram sustentação ao MMM, aponta para um papel de destaque reservado a

esse matemático nesse Congresso, e desse modo, verifica-se que Catunda

encontrava-se afinado ou recebia com bons olhos os princípios norteadores do

MMM. O tema por ele escolhido para sua exposição reforça essa idéia.

Catunda vai para a Bahia em 1963. Impressionado com a situação do

ensino da Matemática, procurou contribuir para a modernização das atividades

matemáticas na Bahia. Tendo como objetivo melhorar a formação dos

professores, organizou cursos, seminários, palestras e conferências; momentos

nos quais comunicava os resultados de suas pesquisas e estimulava os alunos a

exporem seus próprios trabalhos. Continuou, ao mesmo tempo, participando de

congressos sobre o ensino da matemática.

7.4.11. Participações em Congressos: 1966

O V Congresso Brasileiro do Ensino da Matemática foi realizado no Centro

Técnico da Aeronáutica, em São José dos Campos, São Paulo, de 10 a 15 de

janeiro de 1966, sob a coordenação do Grupo de Estudos do Ensino da

Matemática (GEEM).

Uma das novidades apresentadas nesse congresso dizia respeito à

introdução de uma nova disposição organizacional, fazendo constar algumas

sessões de estudos oferecidas aos participantes, assim então estabelecidas:

210

8 h 9 h 10 m 10 h 20 m

Teoria dos Conjuntos

Prof. Benedito Castrucci

(auditório)

Lógica Matemática

Prof. O. Sangiorgi

(auditório)

Matemática Aplicada

Prof. Ruy M. Barbosa

(auditório)

Tratamento Moderno da

Geometria Analítica

Prof. A. Rodrigues

(sala 2201)

Introdução à Álgebra

Moderna

Prof. I. Bicudo

(sala 2201)

Geometria – Tratamento

Moderno

Prof. O. Catunda

(sala 2201)

Introdução à Análise

Prof. L. Mauro Rocha

(sala 2126)

Técnicas Dedutivas

Prof. L. Hegenberg

(sala 2126)

Conferências

(sala 2126)

Às páginas 33, os Anais do Congresso apresenta o resumo do que fora

tratado na sessão de estudos coordenada por Omar Catunda:

1. Representação dos números na reta, ordenação.

2. Soma de números reais. Vetores. Translação. Soma de vetores.

3. Simetria. Composição de simetrias. Composição de simetria com uma

translação. Grupo de isometrias.

4. Homotetias. Composição de homotetia com translação.

5. Exercícios.

O curso traz uma introdução de Geometria das Transformações, por meio

de um tratamento algébrico.

Após definir medida algébrica, o autor associa números reais a vetores.

Posteriormente, ao somar dois números reais, representados pela soma dos

vetores correspondentes em uma reta, aproveita para definir translação, a

distância entre dois pontos e as propriedades comutativa e associativa. Em

seguida, define simetria e a composição de uma simetria com uma translação,

apresentando as propriedades relativas ao conjunto de todas as translações e

simetrias, mostrando que esse conjunto forma um grupo, não comutativo, até

definir transformação afim, como x o x’ = ax +b, com a z 0. Para interpretar a

multiplicação de números reais, utiliza-se do conceito de homotetia de centro na

origem e razão į: x o x’ = įx, em que x representa um ponto qualquer da reta e į

um número real fixo, į z 0.

211

Ao final do trabalho, nota-se que o curso teve como objetivo a dedução de

três grupos de transformações da reta: o grupo das translações, o grupo das

translações e simetrias e o grupo das translações e homotetias. Esses conteúdos,

em especial os referentes à geometria das transformações, foram destacados nos

livros didáticos escritos de autoria de Martha Maria de Souza Dantas e outros

professores, em que Catunda se apresentava, ora como autor, ora como

organizador.

Ainda em 1966, participou do Congresso Internacional de Matemática,

reunido em Moscou, de 20 a 30 de agosto.

7.4.12. A participação de Omar Catunda no MMM da Bahia

Segundo Clovis Pereira da Silva (2004), na década de 1950, Catunda

fomentou um programa de intercâmbio que procurava estimular jovens docentes

do Departamento de Matemática da FFCLBa para estudos pós-graduados, por

meio de cursos de aperfeiçoamento realizados na FFCLUSP.

Assim, ao conhecer Arlete Cerqueira Lima durante o 1º CBEM, Omar

Catunda convidou-a para estudar em São Paulo, sob sua orientação. Cerqueira

Lima aceitou o convite e foi para São Paulo em 1957, encarregando-se de dar

aulas de exercícios de Cálculo para o primeiro ano da FFCLUSP (CATUNDA,

1985).

Ao voltar para a Bahia, Arlete Cerqueira Lima tomou a iniciativa de solicitar

apoio ao CNPq para a criação de um instituto de matemática, o qual foi fundado

em 1961. O matemático Rubens Gouveia Lintz foi convidado para assumir o

cargo de diretor do novo instituto, permanecendo nele até 1962. (CATUNDA,

1985).

Ao aposentar-se na USP, em 1962, e a convite de Arlete Cerqueira Lima,

Catunda decide por residir em Salvador, assumindo o cargo de Diretor do Instituto

de Matemática e Física no lugar de Rubens Gouveia Lintz, em setembro de 1963.

Pouco antes de tomar posse como Diretor do Instituto, Catunda foi vitimado por

um acidente cerebral, ocasionando a perda de sua capacidade de leitura (alexia

212

parcial), prejudicando suas atividades culturais. Entretanto, continuou exercendo

suas funções de professor e diretor do Instituto de Matemática e Física, cargo que

deixou em 1969.

Durante sua gestão no IMFUFBa, Catunda deparou-se com uma situação

dicotômica, no sentido de que a matemática superior era vista na Escola

Politécnica, com os recursos tradicionais do Cálculo, Geometria Analítica e

Mecânica, oferecidos, segundo ele, em “nível modesto” e sem pretensão de

formar cientistas. Já o curso de matemática apresentava-se bastante deficitário. A

avaliação a que se submetiam era também bastante facilitada. Omar Catunda

insurgiu-se contra esse estado de coisas, procurando desenvolver a pesquisa

científica e melhorar o programa do Curso de Matemática, mesmo enfrentando

dificuldades de ordem econômica e falta de pessoal habilitado para a função

docente. Catunda preocupava-se especialmente com a criação de um núcleo de

pesquisa na universidade:

... o funcionamento normal do Instituto deveria consistir em

observar os melhores elementos graduados em Matemática e em

Física pela Faculdade de Filosofia, encaminhando-os para cursos

superiores até atingirem o nível de trabalhadores científicos de

pesquisa. Mas os alunos graduados pela Faculdade não estavam

em condições de enfrentar estudos superiores e o ambiente

universitário daqueles tempos não oferecia atrativos para a

contratação de outros professores... (CATUNDA, 1985, p. 99).

Enfrentou também críticas de alguns professores da Escola Politécnica os

quais julgavam que o Instituto deveria limitar-se “à formação de professores para

suprir as necessidades das outras unidades, desistindo de ensinar teorias mais

elevadas e principalmente fazer pesquisas”. Predominava a idéia de que a

principal função da universidade era o ensino, sendo a pesquisa uma atividade

opcional, dependendo unicamente das aspirações do professor. O máximo que

conseguiu, segundo seu depoimento, foi a vinda de alguns professores visitantes

e outros que colaboraram em conferências ou mini-cursos, como Marko Svec, da

Eslováquia, Kenichi Shiraiwa do Japão e René Deheuvels, da França.

Paulatinamente, alguns professores e estudantes graduados prestaram exames

de pós-graduação e apresentaram teses, obtendo título de mestre. Catunda foi o

primeiro coordenador do Curso de Mestrado em Matemática da UFBa, iniciado

213

em 1968. Apesar disso, na opinião de Catunda, naqueles tempos, o Instituto não

chegou a constituir um verdadeiro núcleo de pesquisa, conforme havia idealizado

(CATUNDA, 1985, p. 95-99).

Arlete Cerqueira Lima atribui a Catunda uma característica, que para ela

era a maior de todas, qual seja, “sua congruência: a identidade entre o seu

pensamento e o seu discurso. Era o oposto de Talleyrand que dizia que as

palavras foram feitas para esconder o pensamento”. Essa característica gerou

muitos problemas junto à administração do Instituto de Matemática e Física, a tal

ponto de lhe serem negados os pedidos de tempo integral e dedicação exclusiva,

embora, segundo recorda Arlete Cerqueira Lima, fosse um dos primeiros a chegar

na universidade e um dos últimos a sair no expediente de cada dia (LIMA, 1985,

p. 48).

Em 1969, teve início o programa de Mestrado em Ciências do Instituto de

Matemática da UFBa, contando com a participação ativa de Omar Catunda.

Orientou a dissertação de Arlete Cerqueira Lima, intitulada “Equivalência

assintótica de dois sistemas diferenciais”, defendida em dezembro de 1972. No

entanto, a partir dos anos seguintes, Omar Catunda não mais orientou alunos em

programas de pós-graduação, limitando-se em participar de diversas bancas

examinadoras de mestrado na UFBa, entre 1972 a 1976 (SILVA, 2004).

Omar Catunda aposentou-se compulsoriamente em 1976. Durante o

tempo em que militou no ensino e na pesquisa, foi professor de físicos renomados

como: Mário Schemberg, Marcelo Damy, Abraão de Morais, de físicos residentes

em Paris: Jean Meyer e Salmeron e de matemáticos como: Carlos Benjamin

Lyra, Luiz Henrique Jacy Monteiro, Alexandre Rodrigues e Ubiratan D’Ambrosio,

entre muitos outros.

Na FFCLUSP, participou das bancas dos seguintes matemáticos:

- 1942, Candido Lima da Silva Dias (anuário 1939-1949, p. 401)

- 1943, Benedito Castrucci (anuário 1939, p. 402)

- 1950, Elza Furtado Gomide (orientador/Jean Delsarte) Quem realmente

orientou o trabalho de Gomide foi Delsarte, mas para fins legais, foi

Omar Catunda.

214

- 1950, João Batista Castanho

- 1950, Edson Farah (orientador) Título: Sobre a medida de Lebesgue, na

cadeira de Análise Matemática

- 1950, José Severo de Camargo Pereira (doutoramento em Pedagogia)

- 1951, Luiz Henrique Jacy Monteiro

- 1952, Chaim Samuel Hönig

- 1953, Geraldo dos Santos Lima

- 1956, Domingos Pizanelli (orient.)

- 1957, Nelson Onuchic

- 1958, Carlos Benjamin Lyra

- 1960, José Barros Neto

7.5. Elaborando textos para a promoção do MMM na Bahia

Para o ensino secundário, e juntamente com a professora Martha Dantas,

Omar Catunda auxiliou na coordenação de uma equipe de professores do Centro

de Estudos de Ciências da Bahia (CECIBA)

. Tencionava-se introduzir a MM no

ensino secundário, por meio do projeto denominado “Desenvolvimento de um

currículo para o ensino atualizado da matemática”, tendo como ambição a

modificação dos programas de matemática, incluindo a linguagem dos conjuntos,

utilizando-se o método axiomático e o estudo das estruturas (DANTAS, 1993, p.

23).

A participação de Omar Catunda no projeto é enfatizada por Dantas, com a

seguinte expressão: “Foi, sem dúvida, com Catunda e por causa de Catunda que

pudemos iniciar a pesquisa do ensino da Matemática no 1º e 2º graus do curso

secundário, tentando casar conteúdo e método” (DANTAS, 1996, p. 125).

O Centro de Ensino de Ciências da Bahia foi criado por convênio entre o MEC, a Secretaria da Educação e

a Universidade Federal da Bahia. Teve como primeiro diretor José Walter Bautista Vidal. Martha Maria de

Souza Dantas coordenou o setor de Matemática do CECIBA (DANTAS, 1993, p. 23).

215

Para tanto, esforçavam-se por encontrar um consenso geral sobre os

conceitos a serem introduzidos, levando em consideração as recomendações de

reuniões internacionais e nacionais.

Acreditando ser o despreparo da grande maioria dos professores um dos

motivos da deficiência do ensino da Matemática, a equipe do CECIBA preparou e

realizou cursos de aperfeiçoamento e de estágios para professores de ensino

secundário. Além disso, dedicou-se à redação de textos que tornassem os

programas elaborados exeqüíveis, de modo a viabilizar mudanças no ensino de

matemática, em especial, na elaboração de textos para a implantação do MMM

no Colégio de Aplicação da Universidade da Bahia, a partir de 1966 (DANTAS,

2003, p. 3).

Uma apostila de Lógica elaborada pelo matemático Sebastião Silva e

oferecida à Martha Dantas durante estudos realizados em 1958 em Lisboa,

inspirou Arlete Cerqueira Lima a oferecer cursos de Lógica sob patrocínio da

Superintendência do Desenvolvimento do Nordeste – SUDENE – o primeiro em

fevereiro de 1964 e o segundo em julho do mesmo ano, com o objetivo de

preparar professores do ensino médio para a atualização do ensino de

matemática no curso secundário. Ainda sob patrocínio da SUDENE, Martha

Dantas ministrou dois cursos básicos para introduzir noções de Teoria dos

Conjuntos, de grupos e espaço vetorial (CIAEM, 2003).

Esses não foram os únicos cursos a serem oferecidos. Em 1966, teve

lugar em Salvador, um curso de verão que se propunha a abordar tópicos de MM.

Sua divulgação alcançou o Estado do Rio Grande do Norte, por meio do Centro

de Ensino de Ciências no Nordeste (CECINE), o qual encaminhou para a UFRN

informações e fichas de inscrição para que professores se inscrevessem (BRITO;

CRUZ; FERREIRA, 2006).

Martha Dantas, em discurso proferido na 2ª CIAEM, em Lima, Peru, no

ano de 1966, relatou que o programa estabelecido para a atualização de

professores secundaristas correspondiam à programação estabelecida pelo

Instituto de Matemática e Física da UFBa e atendia às necessidades de pelo

menos quatro matérias básicas, assim organizadas:

216

Primeiro estágio: elementos de lógica simbólica, introdução à

teoria dos conjuntos, estruturas algébricas fundamentais, noções,

aplicações práticas; segundo estágio: álgebra moderna,

geometria linear plana; terceiro estágio: geometria espacial e

estudo das matrizes; quarto estágio: elementos de topologia,

cálculo integral e diferencial. Cada estágio tem duração mínima

de um mês. Prevê-se pelo menos 64 aulas teórico-práticas bem

como igual número de aulas de estudo dirigido para cada estágio.

Face às condições antiquadas de preparação do instrutor na

Bahia, o primeiro estágio já foi realizado cinco vezes. Os

professores examinados e matrículas no estágio seguinte são

condicionadas à aprovação no anterior. A realização do segundo

estágio está programada para julho de 1967 (DANTAS, apud

CIAEM, 1966, p. 170-171).

Além disso, esses cursos eram realizados em Salvador durante o período

escolar e cada aula vinha acompanhada por uma hora de estudo dirigido, sob a

orientação de um professor universitário. Os professores também faziam exames

semanais, com intuito de verificar se as dificuldades anteriores foram vencidas.

Com relação às experiências realizadas no Colégio de Aplicação da UFBa,

de acordo com Dantas (2003), a partir de 1966, foram bem sucedidas. Isto

porque, segundo seu entendimento, os professores que fizeram parte da

experiência estavam bem preparados e os alunos que dela participaram tinham

condições de suportá-la.

A equipe também preparou um projeto de livros de matemática elementar,

cuja principal característica era uma reforma substancial no ensino da Geometria.

A redação dos novos textos só foi possível porque contaram com a colaboração

de Omar Catunda, “que aceitou, inclusive, a proposta que lhe fizemos de usar, na

abordagem da Geometria, as transformações geométricas, recomendação

centenária – feita por Felix Klein, no século passado”. Esse depoimento tornou

evidente a colaboração de Catunda para a implementação de novos conteúdos e

metodologia para o ensino secundário de matemática (DANTAS, 1993, p. 23-24).

Ainda segundo Dantas, quando iniciaram a elaboração dos textos para

viabilizar o projeto, o grupo se deparou com o seguinte problema: como abordar a

Geometria, seguindo essa linha inovadora? A Geometria Euclidiana, quase havia

desaparecido dos programas do curso secundário e um dos motivos de seu

217

abandono era devido a sua apresentação excessivamente formal. Essa

constatação já era reclamada por Dantas no primeiro CBEM (1955).

Assim, a equipe do CECIBA deduziu que o estudo da Geometria, por meio

das transformações geométricas, permitiria assentar noções abstratas sobre

bases intuitivas mais simples e mais sólidas, facilitando a compreensão e a

demonstração de propriedades que as envolvem. Além disso, possibilitaria o

desenvolvimento da imaginação e a criatividade dos alunos.

E mais, ao admitir a importância dos conceitos de relação e estrutura para

o ensino da matemática, considerados como instrumentos de modernidade, o

grupo divisou um motivo a mais para utilizar as transformações geométricas e

explorar sua riqueza estrutural.

Cientes de que a experiência inovadora exigia atenção redobrada e

constante reavaliação, o grupo de professores engajados no projeto passou a

modificar os textos, em conformidade com a reação dos alunos em sala de aula e

pela análise crítica dessa reação.

Dessa forma, a tendência para a abstração que marcou, inicialmente, as

programações, foi paulatinamente sendo reduzida. “Era preciso eliminar conceitos

muito abstratos para os alunos e encontrar abordagens mais intuitivas para

conceitos que, julgamos, deveriam permanecer” (DANTAS, 2003, p.4).

Segundo Dantas,

... as idéias originais de Catunda não passaram pelo concreto

porque, como bem disse Dienes – famoso pedagogo quando aqui

esteve, Catunda era dos que queimavam a etapa da

concretização. Assim, o algebrismo utilizado, sobretudo na

introdução da geometria e a abstração decorrente da introdução

de conceitos estruturais foram

responsáveis, em parte, pela rejeição

dos livros” (DANTAS, 1993, p. 24).

Mesmo sofrendo alterações, como a adoção de uma linguagem mais

simples, a obra não teve a aceitação esperada pelo grupo.

Em seu depoimento, Catunda indicou os motivos pelos quais acreditava

que seus livros-texto não obtiveram sucesso de vendas, como também procurou

justificar as modificações efetuadas pelo grupo:

218

Infelizmente, os livros foram publicados justamente na época em que o

nível do ensino baixou consideravelmente, dando-se preferência a exposições

extremamente facilitadas e os nossos livros não tiveram aceitação, mesmo depois

que adotamos uma linguagem mais simples, sem, entretanto, abdicar do

raciocínio, que procuramos introduzir paulatinamente (CATUNDA, 1985, p. 101).

Vejamos mais detalhadamente como eram constituídos os livros didáticos

elaborados pela equipe do CECIBA, sob coordenação de Omar Catunda.

7.5.1. A Coleção “Matemática Moderna”

Coleção composta por três volumes, sob o título de “Matemática Moderna”,

destinada à primeira, segunda e terceira série ginasial, apresenta-se na forma

mimeografada, tendo sido publicada pelo CECIBA e planejada para auxiliar na

consecução de um programa experimental elaborado por professores de

matemática integrantes daquele centro, sob orientação de Omar Catunda, então

Diretor do Instituto de Matemática e Física da UFBa. Os autores procuraram

seguir as linhas gerais dos programas estipulados pelos reformistas do MMM.

As mudanças ostentadas pelo MMM impulsionaram os autores para a

escrita de um manual didático à altura dos novos tempos. Possivelmente foi um

trabalho pioneiro na Bahia, ao menos na Universidade Federal. No primeiro

volume, os autores alertavam que, embora o livro já tivesse sido experimentado

por dois anos e os resultados obtidos considerados “bastante animadores”, a obra

estava ainda em fase de experimentação, e esperavam que os resultados obtidos

e revisões continuamente realizadas os levassem a um maior aperfeiçoamento.

O quarto volume, planejado para dar seguimento à obra e correspondendo

à quarta série ginasial, não foi encontrado. É possível que não tenha sido

produzido, talvez visando um melhor acabamento e divulgação, cuja continuidade

do trabalho deu-se por meio de uma coleção de livros didáticos, lançada no início

da década de 1970, não mais em caráter experimental, mas de forma abrangente,

com vistas à circulação em todo território nacional.

219

Também foram encontradas duas apostilas de matemática da 1ª série

ginasial, sob o título “Curso experimental segundo os novos métodos de ensino

da Matemática”, datadas de fevereiro de 1966, que possivelmente deram origem

à Coleção “Matemática Moderna”, como pode ser verificado por meio de

comparação dos títulos e subtítulos apresentados nas obras e pelos enunciados,

exemplos e comentários oferecidos, que até onde foi possível averiguar, são

semelhantes, como também pelos os elementos gráficos (caracteres, letras,

símbolos matemáticos, figuras) empregados na elaboração das apostilas. As

apostilas denotam a precariedade da impressão em relação à Coleção

Matemática Moderna, cuja apresentação mostra-se mais sofisticada, desde a

capa – o volume três exibe uma ilustração que lembra a configuração do Teorema

de Tales juntamente com a expressão O(u + v) = Ou + Ov; como também pela

introdução que acompanha cada volume, quando os autores explicitam seus

objetivos e dão breves informações aos leitores, procurando justificar as razões

pelas quais decidiram adotar feições diferenciadas daquelas tradicionais, e que

vinham sendo apresentadas para professores e alunos secundaristas.

O primeiro volume da Coleção “Matemática Moderna” informa, na folha de

rosto que o acompanha, o nome dos autores, o qual leva a assinatura de Martha

Maria de Souza Dantas, Eliana Costa Nogueira e Maria Augusta de Araújo

Moreno. Logo em seguida, em destaque, encontram-se os seguintes dizeres: “sob

orientação de Omar Catunda, Diretor do Instituto de Matemática e Física da

UFBa”.

Comunica ainda, que colaboraram na revisão do trabalho, as professoras

Norma Coelho de Araújo, Eunice da Conceição Guimarães e Neide Clotilde de

Pinho e Souza. A capa e ilustração foi elaborada pela equipe de desenhistas do

departamento Cultural da UFBa, sob a direção de Fernando Fonseca e a

publicação esteve sob a incumbência da Reitoria da UFBa, por intermédio de seu

Departamento Cultural.

O exemplar encontrado não traz a data de sua publicação. Como os

volumes II e III foram publicados em 1968 e 1969, respectivamente, acreditamos

que o primeiro volume tenha sido publicado por volta de 1967.

220

A primeira justificativa dada pelos autores para a elaboração do manual

encontra-se expressa na introdução do primeiro volume da coleção e diz respeito

às modificações que a sociedade daquela época vinha passando. Invocando a

modernidade, a sofisticação tecnológica proporcionada pelos computadores, e

também o desenvolvimento alcançado pela ciência matemática, os autores

reclamavam, para o ensino secundário, uma reestruturação de seus programas e

metodologias, concebidos mais adequados às exigências daqueles tempos

modernos:

A vida contemporânea sofre transformações aceleradas. Estamos

na era da televisão, do piloto automático, dos teleguiados, das

naves espaciais e dos cérebros eletrônicos. [...] A Ciência e a

Técnica estão exigindo, cada vez mais, conhecimentos

matemáticos mais amplos e seguros. Por isso o ensino da

Matemática precisou reformular-se em todos os seus níveis e, há

mais de dez anos, iniciou a sua reestruturação no secundário. Os

alunos precisam aprender melhor e mais rapidamente o que se

lhes ensina (DANTAS, et alli, s/data).

Sugerem também a forma como pretendiam desenvolver os conteúdos,

defendendo uma matemática unificada, em conformidade com as instruções

propugnadas pelos reformadores:

Para alcançar tais objetivos foi preciso modificar os programas e a

apresentação da matéria de modo a tornar coeso e harmonioso o

ensino da Matemática nos diferentes níveis. Se a beleza da

Matemática está na unidade, simplicidade e generalidade, que a

caracterizam, por que não apresentá-la de cedo, com tais

atributos, aos jovens? (DANTAS, et alli, s/data, p. III).

A unificação seria colocada em evidência mantendo os mesmos conceitos

básicos e, sobretudo, a mesma linguagem e terminologia para todos os ramos da

matemática, a partir das idéias fundamentais dos conjuntos e das operações,

amparadas por uma notação mais ampla de símbolos lógicos, de forma a

ressaltar o caráter estrutural da MM (GEEM, 1962).

Além disso, o trabalho tinha como objetivo apresentar, já para o primeiro

ano do Ginásio, uma matemática escolar que pudesse fazer com que os

estudantes participassem de uma universidade renovada. Ou seja, seria um livro

didático com pretensões de unificar os conhecimentos matemáticos do ensino

221

secundário, minorando o “abismo” existente entre a matemática do ensino

secundário e a do ensino superior.

Os dois últimos parágrafos fazem referência ao público ao qual o livro era

destinado, sugerindo que sua divulgação restringia-se ao grupo de professores do

CECIBA, mas com expectativa de uma futura publicação que viesse a atingir um

número maior de professores:

Este livro já foi experimentado dois anos e os resultados que

apresentaremos, em breve, aos professores, são bastante

animadores.

Alguns capítulos podem parecer um pouco sobrecarregados

porque, a nossa preocupação foi, também, algumas vezes, de

sistematizar melhor a matéria; fica, portanto, a cargo do professor,

selecionar o que ele pode exigir do aluno (DANTAS, s/d, p. IV).

Em síntese, para a 1ª série ginasial, a obra procurou alcançar os seguintes

objetivos:

1. Introduzir, na 1ª série ginasial, a linguagem dos conjuntos;

2. Utilizar, efetivamente, tanto quanto possível, essa linguagem;

3. Introduzir o conceito de aplicação e estudar as operações entre

números naturais como aplicações;

4. Seguir, de perto, o programa de Matemática, para a 1ª série

ginasial, apresentado pelo G.E.E.M. (DANTAS, apud V CBEM,

p. 203).

Observa-se todo um cuidado com a apresentação do conteúdo, de modo

que os próprios professores fizessem por compreendê-lo e assimilassem a forma

pela qual deveriam ministrá-lo aos alunos. Outro aspecto a ser observado, é no

sentido de que os autores apropriaram-se das propostas de Papy, algumas delas,

como aquela referente à argola sem o laço para representar a propriedade

reflexiva, encontram-se publicadas nos Anais do V CBEM, de 1966

(Ver Anexo

I.1).

Martha Dantas conheceu Papy por ocasião do V CBEM em 1966 e

aproveitou a oportunidade para solicitar-lhe estágio para as professoras do

Esses e outros comentários encontram-se publicados nos Anais do V CBEM, em artigo intitulado “Métodos

e técnicas de explicar conceitos novos de matemática no início do curso secundário”, de autoria de George

Papy.

222

CECIBA no Centro Belga de Pedagogia da Matemática, local em que Papy

experimentava seu projeto de implantação da MM no ensino secundário. Papy

ofereceu-lhe duas bolsas de estudos. Dessa forma, as professoras do CECIBA

que foram estagiar no Centro Belga tiveram a oportunidade de observar como

eram apresentados a geometria das transformações, os conceitos de aritmética,

álgebra e geometria afim nos livros-texto elaborados por Papy. Embora o estágio

na Bélgica tivesse sido de grande valia, as professoras estagiárias declararam

que a programação idealizada por Papy não era adequada à realidade dos alunos

secundaristas da Bahia.

Diferentemente do primeiro volume a folha de rosto do manual “Matemática

Moderna II” informa que sua elaboração ficou a cargo das professoras Martha

Maria de Souza Dantas, Eliana Costa Nogueira, Norma Coelho de Araújo, Eunice

da Conceição Guimarães e Neide Clotilde de Pinho e Souza, sob orientação de

Omar Catunda. Assim, as professoras que anteriormente participavam como

colaboradoras são apresentadas como co-autoras. Indica também local e data de

publicação, qual seja, Salvador,1968.

É nesse segundo volume que essa a primeira vez que a palavra “vetor” é

mencionada nessa obra. Vem acompanhada da palavra “translação”, sem a

preocupação de definir vetor, do modo como geralmente se apresenta nos livros.

O termo “translação de vetor a

” mostra-se bastante sofisticado para sua utilização

em manual destinado à segunda série ginasial (Ver Anexo 1.2).

Da mesma forma, ao abordar o conjunto dos números racionais relativos e

sua representação na reta, as autoras definiram uma aplicação f

, em que a cada

número racional x

faz corresponder x + a, sendo a fixo e pertencente ao conjunto

dos números relativos. A esta aplicação denominou-se “translação de vetor a

”.

Em seguida, as autoras mostram que o conjunto das translações de vetor a

é um

grupo abeliano em relação à composição de translações.

Esse assunto é retomado no terceiro volume dessa série.

Ainda no conjunto dos racionais relativos são ressaltadas suas estruturas

de anel comutativo e corpo, relativamente à adição e à multiplicação.

223

Quanto ao terceiro volume, a primeira página desse manual traz as

mesmas informações que a do segundo volume, com exceção da data de

publicação, constando de 1969.

Esse volume inicia-se com a apresentação de noções de Lógica e,

segundo informações as autoras, tendo como objetivo melhor compreender o

método dedutivo, requisito básico utilizado nos capítulos destinados à Geometria.

Em seguida, trata do conjunto dos números reais, quando são trabalhadas

as propriedades relativas a esse conjunto, chegando até a estrutura de corpo em

relação às operações adição e multiplicação.

No sub-capítulo que trata da “Representação dos números reais na reta”,

observamos que parte do texto apresentado foi extraído do Curso de Geometria

dado por Catunda no V CBEM, em 1966. Assim, as autoras utilizam-se de

expressões, símbolos e exemplos de modo idêntico à exposição de Omar

Catunda naquele Congresso, para apresentarem as noções de semi-retas,

segmentos e intervalos.

Após explanarem sobre as operações no conjunto dos números reais e

suas propriedades, conduzem os leitores à constatação de que o conjunto do

reais tem uma estrutura de corpo em relação às operações de adição e

multiplicação.

O Capítulo II do terceiro volume é dedicado ao estudo da reta real,

especialmente à apresentação das translações, simetrias, transformação afim e

homotetias na reta, apropriando-se, em grande medida, do Curso de Geometria

oferecido por Catunda no V CBEM. Nota-se que as autoras procuraram dar um

caráter mais didático à exposição de Catunda, acrescentando exemplos e

exercícios aos conteúdos do livro-texto (Ver Anexo I.3.).

O capítulo III desse livro introduz a estrutura de espaço vetorial do conjunto

de translações no plano. Estudam-se, então, as retas do plano, as semi-retas, os

segmentos e, em seguida, as figuras geométricas que não dependem do conceito

de distância. Em seguida, apresentam noções de base e dimensão de um espaço

vetorial e dependência linear, considerando o espaço afim determinado pelo

224

conjunto dos números reais. Note-se que esta forma de tratamento para a

geometria era defendida por Dieudonné (Ver Anexo I.3.)

Apenas após a exploração dos espaços vetoriais os autores dão início à

parte métrica da geometria elementar. Simetria, ortogonalidade, medidas de

ângulos, a rotação são introduzidas, finalizando com semelhança de figuras,

apresentando um tratamento geométrico em conformidade com as propostas de

Felix Klein.

A introdução constante do manual informa que a geometria afim inserida

nesse terceiro volume foi “projetada pelo Professor Omar Catunda” e por meio

dela, “consegue-se um ensino realmente dinâmico e altamente motivado, quer

pela simplicidade das definições dos conceitos introduzidos, quer pela sua

aplicabilidade imediata ao estudo de outras ciências e mesmo aos cursos

técnicos, quer pela oportunidade que oferece ao aluno para desenvolver a sua

imaginação e capacidade de criação” (DANTAS, et alli, 1969, p. 78).

Informa ainda, que a matéria prevista para a quarta série ginasial seria

composta pela geometria clássica do plano. Contudo, esse volume não foi

encontrado.

7.5.2. Ensino Atualizado da Matemática: curso ginasial, volumes I, II, III e IV

A coleção “Ensino Atualizado da Matemática: curso ginasial” é composta

por quatro volumes, tendo sua segunda edição datada de 1971

, sendo

publicada pela EDART – São Paulo Livraria Editora LTDA e impressa pela

Empresa Gráfica da Revista dos Tribunais S. A., também instalada na cidade de

São Paulo, o que patrocinou um sistema de produção editorial que permitiu

tiragens ampliadas, de dimensão nacional e, desse modo, constituindo-se em

nova forma de acesso, uso e circulação desse manual escolar.

Apresenta pequenas alterações em relação à coleção “Matemática

Moderna”, quando se encontram modificados, além do título, capa e folha de

A edição consultada é de 1971, 2ª edição, pois não encontramos exemplares da 1ª edição e não pudemos

precisar a data de sua primeira publicação.

225

rosto. O nome de Omar Catunda aparece em destaque em todos os volumes da

coleção, especificando ainda, sua condição de Diretor do Instituto de Matemática

e Física da UFBa, já agora participando como um dos autores, ao invés de

orientador, como ocorria na coleção anterior.

A capa, produzida em papel plastificado, mais resistente ao manuseio e

possibilitando melhor conservação, apresenta caracteres gráficos coloridos e traz

a maior parte do lado direito ocupada por uma ilustração composta por figuras

geométricas planas: o triângulo, o círculo e um retângulo sobrepostos,

diferenciados pela cor, a qual se modifica a cada volume. Ao nosso ver, esses

aspectos ilustrativos permitem uma maior aproximação do leitor, fornecendo-lhe

previamente dados informativos que mostram o apreço dos autores pela

Geometria, e além disso, como lembra Chartier, contribui “amplamente para dar

feição às antecipações do leitor em relação ao texto e para avocar novos públicos

ou usos inéditos” (1981, p. 182).

A autoria do primeiro volume também sofre mudanças, apresentando como

autores os professores Omar Catunda, Martha Maria de Souza Dantas, Eliana

Costa Nogueira, Maria Augusta de Araújo Moreno, Norma Coelho de Araújo,

Eunice da Conceição Guimarães e Neide Clotilde de Pinho

. Sua introdução é a

mesma encontrada no “Matemática Moderna I”, com exceção dos dois últimos

parágrafos, que foram suprimidos. Estes faziam referência ao público a quem se

destinava o manual, ou seja, para um grupo restrito de professores, sendo

difundido pelo Departamento Cultural da Reitoria da UFBa, em forma de apostila.

Diversamente, a publicação e divulgação do “Ensino Atualizado da Matemática”,

ficou a cargo de uma editora especializada, proporcionando aumento da oferta

editorial, e, portanto, com possibilidade de alcançar um público maior.

O primeiro volume do manual “Ensino Atualizado da Matemática: curso

ginasial I” difere do “Matemática Moderna I” no item de número 20, do Capítulo IV,

intitulado “Aplicações, da decomposição de um número em fatores primos, aos

múltiplos e divisores”, que, no “Matemática Moderna I” denomina-se “Construção

dos divisores de um número”. Esse item – a construção dos divisores de um

Norma C. Araújo, Eunice C. Guimarães e Neide C. de Pinho aparecem no “Matemática Moderna I” como

colaboradoras da primeira revisão.

226

número – aparece inserido como um dos assuntos abordados no tópico 20 do

“Ensino Atualizado de Matemática”.

De resto, os títulos, e a numeração dos capítulos descritos no sumário, são

exatamente iguais aos do “Matemática Moderna I”. Observa-se, entretanto, que o

primeiro volume do “Ensino Atualizado da Matemática” é composto por apenas

seis capítulos, sendo suprimido o último capítulo do “Matemática Moderna I”,

referente ao estudo das principais figuras planas e espaciais, medida de

comprimentos, áreas e volumes. Parte dele, relativo às áreas de figuras planas,

reaparece no IV volume da série.

O manual apresenta, ainda, respostas aos exercícios enunciados.

O aparato didático (explicações, exercícios, exemplos, figuras,

observações, notações, linguagem natural e científica, etc.) são exatamente o

mesmo elaborado para o “Matemática Moderna I”. O manual traz, inclusive, a

mesma sugestão sobre a representação da relação por uma argola, em

conformidade com o procedimento realizado por Papy em seu livro

“Mathématique Moderne I”.

O volume dois da série “Ensino Atualizado de Matemática” não apresenta

nenhuma alteração significativa em relação ao seu antecessor, o “Matemática

Moderna II”. Os autores são os mesmos, acrescentando-se agora o nome de

Omar Catunda. O sumário também é composto pelos mesmos conteúdos do

manual anterior, com títulos idênticos. Exceção apenas no Capítulo II, sobre razão

e proporção, em que foi acrescido um novo sub-capítulo, de número 9, intitulado

“Grandezas proporcionais a várias outras” e no capítulo IV, sobre números

racionais relativos, em que foi subtraído o sub-capítulo três, intitulado “valor

absoluto”.

A introdução do volume, contendo justificativas para a elaboração do

manual, os exercícios, exemplos, propriedades, linguagem, figuras mantiveram-se

inalterados.

Já no volume três do “Ensino Atualizado da Matemática”, as alterações

realizadas são ainda menores. Trata-se do mesmo volume do Matemática III,

227

apenas adicionando-se o nome de Omar Catunda como um dos autores.

Introdução e sumário são exatamente iguais. Não há acréscimo ou supressão de

tópicos ou conteúdos.

O volume quatro do “Ensino Atualizado da Matemática” leva a assinatura

de Omar Catunda, Martha Maria de Souza Dantas, Eliana Costa Nogueira, Maria

Augusta de Araújo Moreno, Norma Coelho de Araújo, Eunice da Conceição

Guimarães e Neide Clotilde de Pinho e completa a série para o primeiro ciclo do

curso secundário.

Dando continuidade ao estudo da geometria euclidiana, iniciado no capítulo

“distâncias e polígonos”, do terceiro volume, essa série estuda as propriedades de

círculo, as relações métricas num triângulo e no circulo, dos polígonos regulares e

suas respectivas áreas. Após o estudo da geometria clássica no plano, os autores

introduzem a equação de 2º grau, suas relações entre os coeficientes e as raízes,

sinais das raízes, equações redutíveis ao 2º grau e problemas do 2º grau. Ao final

fazem um estudo simplificado do cálculo de radicais.

Os autores finalizam a introdução do quarto e último volume expressando o

desejo de que os estudantes obtivessem máximo proveito do método estrutural

estabelecido nessa programação para o curso ginasial, porquanto entendiam que

a aplicação desse método proporcionava uma simplificação cada vez maior do

ensino da Matemática. Para aqueles que não pretendiam cursar o colegial,

esperavam a obtenção de capacidade para resolver problemas que surgissem em

suas atividades futuras.

7.5.3. Ensino Atualizado da Matemática: primeiro grau, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries

Procurando ajustar-se à LDB/1971, Omar Catunda, Martha Maria de Souza

Dantas, Eliana Costa Nogueira, Maria Augusta de Araújo Moreno, Norma Coelho

de Araújo, Eunice da Conceição Guimarães e Neide Clotilde de Pinho lançam

novamente a coleção “Ensino atualizado da matemática”, para 5ª, 6ª, 7ª e 8ª série

do Primeiro Grau. Além da necessária alteração no título, substituindo os termos

228

“curso ginasial” por “primeiro grau”, podemos ainda observar a ocorrência de

outras modificações realizadas pelos autores.

A ilustração que emoldurava a primeira coleção permaneceu, utilizando-se

as mesmas cores, patenteando a importância que os autores dedicaram à

Geometria como informação relevante para o projeto pedagógico do manual. A

apresentação dos conteúdos ganhou nova cor, representado pelos títulos

coloridos na cor vermelha, como também algumas representações figurais.

A contracapa da coleção traz os seguintes dizeres: “obra elaborada pela

equipe de professores do Instituto Brasileiro de Educação, Ciência e Cultura –

IBECC – Secção de São Paulo e da Fundação Brasileira para o desenvolvimento

do Ensino de Ciência e Cultura – FUNBEC”

. Além disso, vem acrescida do

logotipo da FUNBEC e arrola os membros de seu conselho científico, indicando,

dessa forma, os financiadores do compêndio.

O verso da capa mostra a ficha catalográfica preparada pelo Centro de

Catalogação-na-fonte, da Câmara Brasileira do Livro de São Paulo. Na folha de

rosto, o nome de Omar Catunda, embora apareça em primeiro lugar seguido pelo

nome de Martha Dantas, não vem destacado nos exemplares da 5ª série, como

no manual anterior, mas volta a apresentar a titulação dos autores nos outros

volumes.

Também nos modos de organização e estruturação da coleção observam-

se alterações significativas.

Exemplificando, a 3ª edição, de 1974, para a 5ª série do primeiro grau não

traz prefácio, apresentando, imediatamente após a folha de rosto, o índice cujos

tópicos já exibem algumas modificações. Para o Capítulo 1, dessa vez intitulado

“Conjuntos, relações e operações” foram acrescidos subtítulos relativos às

operações. Nele, as estruturas ganharam destaque, exibidas em tópico especial.

Quando abordado o conceito de relações, no caso em que um elemento está

O Instituto Brasileiro de Educação, Ciência e Cultura (IBECC) foi criado em 1946, vinculado à UNESCO.

Em 1965, o MEC criou seis Centros de Ciências, dentre eles o de Salvador, que funcionavam através de

convênios estabelecidos entre Secretarias de Educação e Universidades. Em 1967, é criada a Fundação

Brasileira para o Desenvolvimento do Ensino de Ciências - FUNBEC, sob a direção do IBECC de São Paulo.

O IBECC propôs a tradução e adaptação de vários materiais didáticos produzidos pelo SMSG. Fundos

provenientes do MEC-USAID foram utilizados para a publicação desses textos por meio da Universidade de

Brasília e da EDART (D’AMBROSIO, 1987).

229

relacionado com ele próprio, a representação é mostrada por uma argola munida

de uma flecha, sendo, portanto, abandonada a notação proposta por Papy em seu

“Mathématique moderne I” e também é suprimido o comentário correlato.

No Capítulo 2 suprimiu-se a idéia de número e numeral e, em seu lugar, foi

colocado o tópico relativo à operação adição de números naturais; e o capítulo 3 é

dedicado à operações no sistema decimal ao invés de operações com números

naturais.

Para a 6ª série, cujo tema gira em torno da Aritmética e Álgebra, não se

observam modificações significativas, mantendo-se praticamente sem nenhuma

alteração, conservando os títulos e ordenação dos capítulos e sub-capítulos que

compõe o manual. Entretanto, para a 7ª série, observa-se um reordenamento dos

capítulos, dessa vez contendo apenas dois capítulos, o primeiro relativo à

Geometria afim do plano, e o segundo capítulo dedicado ao estudo da Geometria

Euclidiana.

Em toda a coleção nota-se um aumento na quantidade de exercícios

propostos, por exemplo, no item “associatividade da intersecção e da união”, do

capítulo 1 da 5ª série, aos seis exercícios que compunham a primeira coleção,

foram acrescentados outros, totalizando 16 exercícios, revelando uma maior

ênfase no treinamento para a aprendizagem de novos conceitos.

Além disso, a linguagem natural cedeu mais espaço à linguagem científica.

No volume I, do curso ginasial, a propriedade da relação transitiva é introduzida

considerando-se a relação “nascer no mesmo ano” no conjunto de rapazes de

uma classe mista, da seguinte maneira:

... observa-se, ainda, que se um aluno “nasceu no mesmo ano”

que outro e este “nasceu no mesmo ano” que um terceiro, o

primeiro “nasceu no mesmo ano “ que o terceiro, isto é, se um

aluno está relacionado com outro e este está relacionado com um

terceiro; nesse caso, diz-se que esta relação é transitiva [grifo dos

autores] (CATUNDA et alli, 1971, p. 9).

Na 5ª série da coleção, a propriedade transitiva é desenvolvida fazendo-se

uso do mesmo exemplo, ou seja, a relação “nascer no mesmo ano” no conjunto H

de 6 alunos de uma classe, e vem assim especificada:

230

Viu-se, ainda, que se um mesmo elemento figura em dois pares,

uma vez como segundo elemento e outra como primeiro, por

exemplo, se em (x,y) e (y,z), então os outros elementos desses

dois pares também estão relacionados e na mesma ordem, isto é,

tem-se o par (x,z). Por isso, diz-se que a relação é transitiva.

Pode-se também, escrever: dados x, y, z ȯ H, se x R y e y R z,

então x R z ou, se (x,y), (y,z) ȯ R, então (x,z) ȯ R [grifo dos

autores] (CATUNDA et alli, 1974, p. 24).

Dessa forma, por toda a coleção, observa-se maior ênfase no emprego da

linguagem científica por meio da Teoria dos Conjuntos.

7.6. Abaixo Euclides e acima quem? Apropriações efetivadas para a

elaboração de um manual moderno

Pode-se notar, por meio da análise dos livros didáticos nos quais Catunda

participou como orientador ou como autor, que houve de sua parte uma

apropriação dos conhecimentos e valores que, comunicados por diferentes

escolas matemáticas, contribuíam para com seu trabalho de difusão dos novos

assuntos sob diferentes abordagens em seus livros, apostilas e cursos

ministrados.

Nos dois primeiros volumes do “Matemática Moderna” verifica-se que as

autoras apropriaram-se das idéias reformistas, enfatizando as propriedades

estruturais relativas às operações definidas para os conjuntos numéricos.

Enquanto a Teoria dos Conjuntos e a Álgebra Moderna compareceram nos

livros didáticos do ensino secundário de forma semelhante, segundo uma visão

estruturalista, enfatizando a linguagem matemática e a lógica matemática,

constituindo, assim, o fenômeno da vulgata

, a introdução da Geometria

processou-se de forma desigual, não havendo consenso entre os reformadores e

autores sobre qual o tratamento que se mostrasse mais adequado e a ser

adotado nas escolas secundárias. Essa, aliás, é uma discussão que ultrapassou

as fronteiras brasileiras.

Segundo André Chervel (1990), o fenômeno da vulgata constitui-se quando os livros didáticos de uma

disciplina, numa determinada época, "dizem a mesma coisa, ou quase isso”, ocorrendo, assim pouca

variação envolvendo produções didáticas diferentes, como conceitos definidos, organização dos capítulos,

terminologia adotada (CHERVEL, 1990, p. 203).

231

As idéias de Klein sobre transformações geométricas reportam-se à

primeira tentativa de modernização do ensino de matemática, processada que foi

no início do século XX e retomada, em parte, por alguns grupos envolvidos com o

MMM

. Um tratamento da Geometria utilizando os recursos da Álgebra Linear,

em substituição à Geometria Euclidiana, tradicionalmente ensinada nas escolas,

era inovação defendida por Jean Dieudonné durante o MMM. Gustave Choquet

adotava um tratamento composto por noções de paralelas, perpendicularismo e

distância, de forma a conduzir de maneira “natural e rápida” às estruturas

algébricas do plano e espaço, propondo, assim, uma axiomática combinando

medida e enfoque vetorial, sendo indicado para alunos na faixa dos 15 aos 18

anos. Dieudonné, defensor ardoroso do desenvolvimento da Geometria pela

Álgebra Linear, mostrou-se crítico ao tratamento geométrico proposto por

Choquet, para quem, “a notável engenhosidade de tal sistema é testemunha do

grande talento do autor, mas a meu ver o sistema é totalmente inútil e até nocivo”

(DIEUDONNÉ, apud COSTA, 1985, p. 22).

Como se vê, a complexidade no tratamento do ensino da Geometria,

mereceu destaque nas discussões travadas entre renomados matemáticos e

educadores no mundo inteiro, apontando para a inexistência de um consenso

sobre uma estruturação didática mais conveniente para a implantação das

reformas modernistas.

As implicações que emergiram dessas discussões e conseqüente

surgimento de variadas alternativas para o tratamento da Geometria direcionado a

um tratamento axiomático, com recurso às estruturas algébricas e à Teoria dos

Conjuntos, refletiram na elaboração, pelos professores do CECIBA, de um

programa incluindo a temática das transformações algébricas.

Em “Matemática Moderna III” é destacado o estudo das transformações

geométricas como delineadas por Klein, usando vetores para trabalhar translação

sob um ponto de vista algébrico. No entanto, a Geometria afim é definida como

uma geometria associada a um Espaço Vetorial, tomando os axiomas de um

espaço vetorial, e depois definindo uma soma de um ponto com um vetor, ou seja,

Ver, por exemplo, “Abaixo Euclides e acima quem? Uma análise do ensino de geometria nas teses e

dissertações sobre o Movimento da Matemática Moderna no Brasil” (DUARTE; SILVA, 2005).

232

os autores estão trabalhando Geometria afim juntamente com Álgebra Linear,

fazendo uma apropriação da proposta defendida por Jean Dieudonné,

representada por um tratamento de tendência bourbakista. Já no quarto capítulo

desse manual é realizado um estudo voltado para a geometria tradicional, a

Geometria Euclidiana orientando-se, assim, pelas formulações de Hilbert.

Outra variação exibida no volume III do “Matemática Moderna” diz respeito

ao tratamento da axiomática da Teoria dos Conjuntos. O conceito de conjunto e a

relação de pertinência são tratados como conceitos primitivos e vêm acrescidos

de quatro axiomas: da unicidade, da união, da diferença, da existência.

Entretanto, o referido manual didático apresenta um outro tipo de enunciado para

o axioma da existência, pois a linguagem utilizada, qual seja, “existe, pelo menos,

um conjunto”, a qual deixa implícito que esse conjunto é o conjunto vazio, não é a

usual (DANTAS, 1969, p. 10). De modo geral, os tratados trazem o axioma da

existência como primeiro axioma, expressando-se da seguinte forma: “existe o

conjunto vazio”. É possível que esse sistema axiomático tenha sido formulado a

partir da apropriação feita por Martha Dantas de textos de autoria do matemático

português Sebastião e Silva, quando da visita de Martha Dantas ao Instituto de

Alta Cultura de Lisboa. Segundo Dantas, esses textos foram utilizados nos cursos

de atualização para introduzir noções de Teoria dos Conjuntos, de Grupo e de

Espaço Vetorial patrocinados pela SUDENE (DANTAS, 1966).

Na Coleção “Ensino Atualizado da Matemática” para o Primeiro grau dentre

as modificações efetivadas em relação aos outros manuais cumpre destacar a

ênfase na precisão da linguagem científica, que de um lado, foi suprimida a idéia

de numeral, e por outro, acentuou-se o emprego da linguagem dos conjuntos.

Sobre o insucesso das publicações dos manuais, foram duas as

justificativas apresentadas, sendo que para Dantas (1993), o professor Omar

Catunda “queimava etapas”, apresentando conteúdos para alunos do secundário,

numa linguagem sofisticada, resultante de longa manipulação técnica formal,

enquanto que para Omar Catunda (1985), a falta de êxito era atribuída ao

despreparo dos professores ante os novos conteúdos, desconhecendo mesmo a

linguagem e símbolos básicos da Teoria dos Conjuntos, necessários para a

compreensão e escrita dos conceitos matemáticos de uma forma moderna.

233

Ao que tudo indica, é possível pensar que, as duas coisas ocorreram: os

livros abordavam conteúdos matemáticos desconhecidos pela maioria dos

professores e ainda, os autores utilizavam uma linguagem precisa, rigorosa,

abandonando os pontos em que os conceitos fundamentais se apoiavam na

intuição. Desse modo, os professores ofereceram resistência às propostas de

reformulação do ensino, as quais pareceram não vingar no cotidiano escolar, a

não ser em casos isolados quando, excepcionalmente, o ensino pode contar com

a presença de professores engajados no Movimento.

As práticas escolares, por serem práticas culturais, são compartilhadas

pelo grupo de professores e, portanto, fazem sentido para esse grupo. “A cultura

é pública”, destaca Geertz (1989). Assim, quando surge um manual ou guia

curricular apresentando novos conteúdos e/ou métodos para serem utilizados

pelos professores, seu uso vai implicar em alterações nas práticas escolares

vigentes, exigindo transformação da cultura escolar.

Entretanto, cabe destacar que as apropriações feitas pelos professores em

relação aos conteúdos escolares (sejam eles novos ou velhos, conhecidos ou

desconhecidos) são táticas sutis (não têm lugar próprio, não aparecem de pronto)

e, muitas vezes, tornam imperceptíveis as modificações que vão, pouco a pouco,

acontecendo nas práticas escolares, nas maneiras de fazer do cotidiano da

escola, insinuando-se sobre os modos de empregar os recursos disponíveis, e

assim, vão paulatinamente fazendo parte da cultura escolar (DE CERTEAU,

2002).

O número de autores que assinam a obra indica uma harmoniosa ligação

entre professores da escola experimental do Colégio Universitário e o matemático

especialista Diretor do Instituto de Matemática da UFBa, permitindo diálogo entre

aqueles que produzem o manual e os que vão utilizá-lo. As modificações eram

realizadas com base no que se notava em sala de aula, de maneira a permitir

também que os autores pudessem realizar ajustes, adequando os métodos

modificações. Com o aumento do público perde-se esse vínculo, até de

acompanhamento, não só da constatação dos resultados positivos esperados

como também na possibilidade de interferir diante das dificuldades observadas,

que poderiam ser amenizadas em curso de formação, congressos.

234

7.7. Omar Catunda e as relações entre matemática e educação matemática

Dos documentos investigados, das análises realizadas para a construção

da trajetória profissional de Catunda de modo a estabelecer sua trajetória de

apropriação das idéias modernizadoras, salientamos quatro momentos nos quais

se evidenciam:

I. Num primeiro momento, quando Catunda assume como professor

assistente de Fantappié na FFCLUSP, começa a construir sua respeitabilidade

como matemático. Catunda preocupava-se com a educação do povo e com o

desenvolvimento do Brasil. Engajamento político, consciência da necessidade de

medidas que proporcionassem uma melhora do ensino e vontade de colocá-las

em prática, encontram-se presentes em sua personalidade. No entanto, apesar de

ter ministrado aulas no curso universitário e participado de bancas examinadoras

de ingresso ao magistério, suas preocupações não são marcadas pela busca de

soluções, de mudanças significativas para com esse nível de ensino.

II. Num segundo momento, época em que começam a surgir discussões

sobre o ensino da matemática, já reconhecida a autoridade de Catunda como

matemático pela academia, passa a opinar sobre o ensino secundário de

matemática, ainda que se verifique a ausência de uma visão global sobre o

assunto, atendo-se à alterações no programa quanto à ordem dos conteúdos

matemáticos e número de horas disponibilizadas para a disciplina.

III. Um terceiro momento pode ser divisado a partir da participação de

Catunda na primeira Conferência Interamericana, em que, a convite de Marshall

Stone, os matemáticos da ativa assumem a discussão sobre os problemas do

ensino secundário de matemática, propondo que a formação dos professores de

ensino médio estivesse a cargo das universidades, sob a autoridade dos

matemáticos mais competentes, e, além disso, que a parte pedagógica se

limitasse às suas devidas proporções. A autoridade dos matemáticos é que iria

referenciar as mudanças rumo à modernização. Os professores sem

reconhecimento da comunidade de matemáticos não eram considerados

competentes para alterar o ensino de matemática, mesmo porque, muitos deles

não tinham conhecimento dos assuntos concernentes à MM. Assim, como

235

matemático prestigiado, Catunda foi convidado a participar da discussão em

andamento sobre a educação matemática, momento que se defronta com a

produção do saber didático-pedagógico internacional.

Representa um momento de inflexão, em que as novas idéias oferecidas

no debate internacional proporcionaram a Catunda uma tomada de posição

diversa daquela antes defendida.

IV. Como última fase, aquela em que Omar Catunda adere ao movimento

internacional de renovação do ensino da matemática, caracterizado por uma

tendência à forte algebrização em todos os ramos da matemática do secundário.

Cai por terra, sua pregação de buscar primeiro o apoio da intuição para depois a

apresentação formal, ou seja, que a introdução da álgebra deveria ser retardada o

mais possível, permitindo o desenvolvimento do raciocínio aritmético e

geométrico. Assim, continua a opinar na implementação do MMM, mantendo sua

respeitabilidade como matemático.

236

CAPÍTULO 8

BENEDITO CASTRUCCI, O ENSINO SECUNDÁRIO E O

MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA

Bisogna no credere nelle bestialità dei professori

ed anche dei libri; bisogna pensare per sè.

Giacomo Albanese

Apresentamos, neste capítulo, um estudo sobre Benedito Castrucci, o que

defendia para o ensino da Matemática do secundário e sua participação no MMM.

Expomos alguns resultados da pesquisa baseados especificamente em

depoimentos concedidos a investigadores e jornalistas, artigos de revista, anais

de congressos, anuários, notas de aula, livros didáticos e textos diversos

gentilmente cedidos por pesquisadores, professores, como também, nos

elementos encontrados em arquivos como o APOS, APUA, APAF, Arquivo da

Escola Politécnica e bibliotecas. Esperamos que os resultados apontados possam

contribuir para um melhor entendimento do que representou o Movimento da

Matemática Moderna, revelando caminhos a serem percorridos, servindo como

estímulo para novas análises, novas pesquisas e que, dessa maneira, possam

desenvolver e renovar a discussão sobre a dinâmica das relações entre

Matemática e Educação Matemática.

8.1. Benedito Castrucci: Trajetória de um matemático

Benedito Castrucci nasceu em 08 de julho de 1909 na cidade de São

Paulo/SP e faleceu em 02 de janeiro de 1995. Filho de Ângelo Castrucci e Maria

237

Antonia de Jesus Castrucci, casou-se com Ermelinda de Lauro Castrucci, com

quem teve cinco filhos.

Aprovado no exame de admissão com grau 9, é admitido, em 1925

, no

Ginásio da Capital

. Contava, então, 16 anos de idade. Seu ingresso tardio no

ginásio foi em razão de ter feito, antes, um curso técnico comercial no “Gymnasio

e Academia Comercial Brasil de São Paulo” (VALENTE et alli, 2004).

Sobre seu ingresso no mundo do ensino, em depoimento

concedido à Academia Paulista de Educação, Castrucci recordou

seu antigo professor de Geometria do 4º ano do Ginásio do

Estado, Antonio Silvestre Alves Cruz, que lhe confiou, mediante

convite, a incumbência de repetir o curso de Geometria para os

alunos que precisaram se submeter aos exames de segunda

época. “Como é possível dar aulas aos meus colegas?” Indagou

Castrucci ao professor, que prontamente lhe afiançou: “Você vai

desincumbir-se muito bem dessa tarefa”. O êxito obtido nessa

primeira experiência com o ensino, quando, segundo ele,

também aprendeu muito, fez com que Castrucci passasse a ser

requisitado pelos alunos de anos anteriores, de maneira que

ministrasse aulas particulares de revisão de Geometria e ainda

de algumas outras disciplinas, proporcionando-lhe um interesse

pela Geometria e seu ensino, que o acompanharia durante toda

sua trajetória profissional (CASTRUCCI, 1993).

Assim, aos vinte anos Castrucci era violonista, estudava artes plásticas e

dava aulas de matemática aos colegas.

O ano de 1925 é marcado pela Reforma Rocha Vaz, que instituía a seriação e a obrigatoriedade da

freqüência no ensino secundário. Essa reforma e a vida escolar de Benedito Castrucci no ginásio são

tratados em detalhes na dissertação de mestrado “A matemática escolar nos anos 1920: uma análise de suas

disciplinas através das provas dos alunos do Ginásio da Capital do Estado de São Paulo” de Vera Cristina

Machado Santos, 2003 e no livro “O nascimento da matemática do ginásio”, Wagner Rodrigues Valente

(org.), 2004.

O Ginásio da Capital foi fundado em 1894, sendo o primeiro colégio seriado e oficial do Estado de São

Paulo equiparado ao Colégio Pedro II. Ao longo dos anos recebeu diversas denominações: Ginásio de São

Paulo, Colégio de São Paulo, Colégio Estadual “Franklin Delano Roosevelt”, Colégio Estadual “Presidente

Roosevelt” e Escola Estadual de 2º grau de São Paulo (VALENTE et alli, 2004). No tempo de Castrucci,

situava-se no edifício da Pinacoteca do Estado (CASTRUCCI, 1955).

238

Juntamente com o sexto e último ano de ginásio, cursou a Escola Normal

do Braz, tornando-se habilitado como professor normalista e, ainda, por ter optado

em fazer todas as matérias oferecidas no curso ginasial, obteve o diploma de

bacharel em ciências e letras (VALENTE et alli, 2004).

Como aluno do Ginásio da Capital, foi agraciado com o prêmio “Antonio

Godoy” em 16 de setembro de 1954, correspondente à turma que se formou em

1930, por ter sido o primeiro aluno durante os seis anos do curso ginasial. O

prêmio Antonio de Godoy foi instituído em 27 de julho de 1905 pelo Dr. Miguel de

Godoy Moreira em homenagem à memória de seu filho, Dr. Antonio de Godoy

Moreira e Costa, para ser conferido anualmente ao aluno que mais se distinguisse

em ciências e letras no Ginásio da Capital (VALENTE et alli, 2004).

Bacharelou-se, em 1935, pela Faculdade de Direito do Largo São

Francisco. Ainda estudante de Direito, foi convidado pelo professor Luiz Pasquale

Filho para lecionar no Ginásio Machado de Assis. Esta escola fundiu-se com o

Ginásio Moura Santos formando o Colégio Paulistano, do qual foi um dos sócios.

Na época, lecionava nos períodos vespertino e noturno, dedicando-se à

Faculdade de Direito pela manhã (CASTRUCCI, 1993). Depois de formado em

Direito, passou a trabalhar no Departamento Jurídico da Secretaria da Fazenda,

sem, no entanto, abandonar o magistério, devotando-se ao ensino de Matemática,

Latim e História. Até 1951 pertenceu ao quadro docente do Colégio Paulistano

(CASTRUCCI, 1982).

Desejou ser juiz, mas sua esposa recusava-se a deixar a cidade de São

Paulo, assim, desistiu dessa idéia e resolveu tornar-se professor

. Lecionava

matemática e ao mesmo tempo exercia a advocacia, até que, em 1937, ingressou

na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP, para integrar o quadro dos

alunos do Departamento de Matemática. Desejava melhorar sua cultura

matemática, para tornar-se um professor secundário com sólida formação, “um

bom preparo, eventualmente fazer concurso para colégios do Estado, que eram

as escolas bem remuneradas naquele tempo (CASTRUCCI, 1990).

Na lista de alunos matriculados no 1º ano de Doutorado da Faculdade de Direito encontra-se o nome de

Benedito Castrucci, ainda aluno do 5º ano, matriculado condicionalmente (ANUÁRIO DA USP, 1934-1935, p.

348).

239

Em 1939, Castrucci licenciou-se em Ciências Físicas e Ciências

Matemáticas pela FFCLUSP. Neste mesmo ano, por indicação do professor Luigi

Fantappiè, obteve bolsa para estudar na Itália, porém não pode usufruir da bolsa

de estudos que recebera, devido à II Guerra Mundial. A partir de 1940, Benedito

Castrucci foi nomeado assistente de Geometria na cadeira regida pelo professor

Giacomo Albanese.

Doutorou-se, em 1943, com a tese intitulada “Sobre uma nova definição de

cúbica plana”, sob orientação de Albanese. Foi nomeado interinamente, em 1947,

professor de Geometria Analítica e Projetiva da Escola Politécnica da USP, em

substituição a Giacomo Albanese, cargo que exerceu até 1958. Entre 1945 e

1958, Castrucci foi professor de Geometria Projetiva e Geometria Superior da

Faculdade de Filosofia Sedes Sapientiae. Posteriormente, tornou-se catedrático

do IME/USP, onde ministrou cursos de graduação e pós-graduação

(CASTRUCCI, 1989).

O Anuário da FFCLUSP de 1951 revela que Castrucci freqüentou entre os

anos 1940 e 1950 cursos de Gabriele Mammana (1940), Acchile Bassi (1940),

André Weil (1945 a 1947), Oscar Zariski (1945), Jean Dieudonné (1946 a 1947) e

Jean Delsarte (1948 a 1950), versando sobre os seguintes assuntos: Cálculo das

Variações, Topologia Combinatória, Espaços de Hilbert, Topologia Geral,

Geometria Algébrica, Teoria de Galois e Corpos Comutativos, Teoria da

Distribuição de Schwartz e Cálculo Numérico.

As preocupações de Castrucci com o ensino levaram-no a visitar diversos

institutos matemáticos europeus durante sua vida acadêmica: 1952, 1959, 1968 e

1990. Em 1968, foi professor visitante do “Mathematisches Institut da

Universidade Justus Liebig” de Giessen, Alemanha, participando de seminários e

cursos, e ainda, como representante daquele instituto, participou do Congresso de

Geometria, em Oberwohlfach, sul da Alemanha.

240

Em 3 de abril de 1968, Benedito Castrucci escreveu uma carta, endereçada

ao professor Gunther Pickert, agradecendo a atenção dispensada para que

pudesse realizar viagem à Alemanha

Anexo à carta, encontra-se um questionário que deveria ser preenchido

pelos pesquisadores estrangeiros que pleiteassem visita de estudos na República

Federal Alemã, no qual é solicitada uma descrição de sua formação universitária,

atividades profissionais, lista de publicações científicas, lista das organizações

científicas a que pertence, curriculum vitae e um programa de estudos a ser

realizado durante sua estadia na Alemanha.

Como programa de visitação, Castrucci escreveu a seguinte proposição:

Eu estou interessado em Geometria Projetiva, Fundamentos da

Geometria e o Ensino da Matemática Moderna nos cursos

secundários. Eu vou conhecer os trabalhos e o progresso desses

setores junto à Universidade de Giessen (Prof. G. Pickert)

(CASTRUCCI, 1967).

O programa revela que, além dos interesses direcionados à pesquisa

matemática, o ensino secundário assumia uma posição de relevância para

Castrucci. Assim, segue rumo à Alemanha, em 1968. Ao retornar, pronunciou a

conferência “Atual ensino da Matemática na Alemanha Ocidental”, por ocasião do

sétimo aniversário do GEEM. (FOLHA DE SÃO PAULO, 1968).

Castrucci dominava, além da língua portuguesa, o alemão, o francês, o

italiano e o inglês, conhecia também o latim, o russo, o japonês, o esperanto e o

grego.

Sua preocupação com o ensino levou-o, a partir de 1949, a escrever livros

de Matemática, inicialmente para o Ensino Médio, posteriormente para a

universidade e, com o início da Matemática Moderna, também para o Ensino

Fundamental. Publicou mais de 30 trabalhos, entre livros e apostilas

(CASTRUCCI, 1989).

A referida carta contém os seguintes dizeres: “Chère Professeur Dr. G. Pickert. J’ai reçu votre lettre de

27.3.68 et je ne sai pas comme je peux vous remercier par votre attention aux moindres problèmes sur mon

voyage; je regrett sincèrement de vous deranger. Je partirai de S. Paulo le 22.4.68, à 14.20 et selon les

informations de la Lufthansa j’arriverai à Frankfurt le 23.4.68, à 8.40, du matin. Veullez accepter mes cordials

voeux de bonheur. Merci bien. Prof. Benedito Castrucci” (1968).

241

Como docente da FFCLUSP, do mesmo modo como Omar Catunda e Jacy

Monteiro, o professor Benedito Castrucci também incentivou e participou da

realização da revista “Notas de Matemática e Física”. Além de fazer parte de seu

corpo editorial, publicou, no volume de número 2, de outubro/dezembro de 1953,

o artigo intitulado “Nota sobre a congruência de ângulos”, utilizando como

referência obras de geômetras italianos.

Sua adesão ao MMM, rendeu-lhe a publicação de diversas obras, como

“Geometria: curso moderno”, de 1967 a 1969; “Matemática: curso moderno” para

o ciclo ginasial em 1967, juntamente com Alcides Bóscolo, de 1967 a 1968 e “A

conquista da Matemática” em co-autoria com José Ruy Giovanni, em 1971; 1982;

1986. O GEEM publicou, de autoria de Benedito Castrucci as seguintes obras:

“Introdução à lógica matemática” (1973) e “Elementos da teoria dos conjuntos”

(1967).

Contou, igualmente, com diversos artigos publicados em periódicos

científicos especializados internacionais, inúmeras participações em congressos

nacionais e internacionais, foi eleito membro titular da Academia de Ciências de

São Paulo e da Academia Paulista de Educação. Foi fundador da Sociedade de

Matemática de São Paulo, do Grupo de Estudos do Ensino da Matemática

(GEEM) e da Sociedade Brasileira de Matemática. Pertenceu à Sociedade

Brasileira de Educação Matemática, American Mathematical Society, Circolo

Matemático de Palermo, entre outras sociedades.

Aposentou-se em 1979 pelo IME/USP, mas continuou sua atividade

docente como professor titular do curso de pós-graduação da PUC/SP

(CASTRUCCI, 1989).

Durante sua vida acadêmica, orientou e participou de inúmeras bancas de

mestrado e doutorado, dentre as quais destacamos aquelas em que participou

enquanto professor da USP:

- 1950, Elza Furtado Gomide

- 1950, João Batista Castanho

- 1950, Edson Farah

242

- 1951, Luiz Henrique Jacy Monteiro

- 1951, Osvaldo Sangiorgi (não ocorreu a defesa de tese, mas Castrucci

era o orientador do trabalho)

- 1953, Geraldo dos Santos Lima (orient.)

- 1965, Mário Tourasse Teixeira

8.2. Na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP: vida acadêmica,

recomendações italianas e avaliações didáticas

A maior surpresa de Castrucci ao ingressar na Faculdade de Filosofia

residiu na constatação da diferença entre as práticas dos professores da FFCL e

aquelas exercidas pelos professores da Faculdade de Direito. Naquele tempo, os

catedráticos da Faculdade de Direito eram, no dizer de Castrucci (1990), como

“semi-deuses”. Donos de considerável cultura jurídica, expunham os assuntos do

alto de um oratório, durante mais ou menos sessenta minutos, com poucas

interrupções, sempre de forma eloqüente, acompanhada de reverência e

formalidade irrepreensíveis: “V. Excia. permite um aparte? – Oportunamente dar-

lhe-ei um aparte”, assim é que exemplificou Castrucci, procurando ratificar seu

ponto de vista. Em contrapartida, a postura dos professores italianos da FFCL em

relação aos alunos, ao contrário, era de estreita camaradagem. Os docentes eram

mais acessíveis, e depois das aulas sentavam-se com os alunos para conversar,

davam maior abertura ao diálogo, dispostos a esclarecer possíveis dúvidas

(CASTRUCCI, 1990).

Devido ao seu bom desempenho nos exames do primeiro semestre do

primeiro ano, ou seja, em 1937, Luigi Fantappiè ofereceu-lhe, juntamente com

José Abdelhay, mais tarde professor da Universidade Federal do Rio de Janeiro,

bolsa de estudos para a Itália. Castrucci não pode aproveitar a oportunidade

oferecida, impedido pela função que exercia junto à Secretaria da Fazenda.

Entretanto, Fantappiè confiou-lhe um comissionamento junto à Faculdade, com

todos os vencimentos, até o final do curso, com uma única condição: que as notas

obtidas não fossem inferiores a sete (CASTRUCCI, 1993).

243

Foi assim que, segundo o próprio Castrucci (1993), passou a ir ao encalço

da “aquisição de conhecimento científico seguro”.

O convívio com os matemáticos italianos Luigi Fantappié e Giacomo

Albanese permitiu a Castrucci observar a diferença de postura e temperamento

desses professores, que foi assim descrita:

... eram assim professores surpreendentes. Os dois professores

de matemática eram bem diferentes como temperamento, porque

o Fantappié era um professor do norte da Itália [...] muito delicado,

atencioso, finíssimo [...]. e o Albanese era da Sicília [...] era aquele

temperamento do sulista da Itália que é explosivo, mas tinha uma

compensação, era brilhantíssimo como professor, tinha facilidade

para falar, exprimia-se muito bem e era uma pessoa curiosa

(CASTRUCCI, apud SILVA, 2000).

Nem mesmo o fato das aulas serem dadas em italiano atrapalhava o

relacionamento entre professores e alunos. Os livros de matemática da época

eram, em sua grande maioria, escritos em italiano também, o que contribuía para

um maior companheirismo e familiaridade com a língua italiana, de modo que,

“alguns alunos esqueciam que estavam fazendo exames no Brasil e respondiam

as questões em italiano”. Além disso, em suas recordações, Castrucci revelou

como os estudantes acompanhavam os cursos e resolviam o problema da

bibliografia:

Os italianos citavam muitos autores alemães e quem sabia

alemão por conhecimento secundário aproveitava. Eu tinha tido

um secundário com quatro anos de alemão e alguns colegas

também, então aproveitávamos esse conhecimento. Quem não

sabia alemão limitava-se aos italianos e franceses, e também

alguns ingleses (CASTRUCCI, 1990).

Na época em que Castrucci era estudante, as aulas eram sempre pela

manhã. Ocupavam a manhã toda e iam até aproximadamente às 14 horas. Os

professores Fantappié e Albanese, geralmente lecionavam durante duas a três

horas seguidas, sem intervalo. Já os professores das aulas de Física, por

exemplo, dividiam esse tempo, ministrando uma a uma hora e meia de aula.

No entanto, mesmo reconhecendo e exaltando o valor das aulas recebidas,

Castrucci salientou que, mais do que o conhecimento científico oferecido, “gravou

244

na memória” os conselhos recebidos dos professores Giacomo Albanese e Luigi

Fantappiè:

Giacomo Albanese, grande matemático e brilhante professor, de

quem fui assistente e orientando na tese de doutoramento, deu-

nos certa vez uma importante advertência e diretriz: “– É preciso

não acreditar nas besteiras dos professores e também dos livros:

é preciso pensar por si mesmo”. Peço licença para repeti-la em

italiano, devido à forte sonoridade. “– Bisogna no credere nelle

bestialità dei professori ed anche dei libri; bisogna pensare per

sè.”

Por outro lado, o Prof. Luigi Fantappiè, tecendo considerações

sobre os cursos de didática, deu a seguinte regra. “– A única

didática que importa é o conhecimento profundo da matéria que

se ensina. Um bom expositor, sem cultura, pode perder gerações,

ao passo que um mau didata, firme nos seus conhecimentos,

beneficiará os alunos respondendo com exatidão às perguntas,

seja na aula, seja fora da sala.” (CASTRUCCI, 1993).

Segundo Castrucci, para alguém se tornar um bom professor, além do

conhecimento profundo dos conteúdos de ensino, era necessário ainda que

tivesse vocação, considerado por ele como “o chamado” e amor para com a

profissão, ou seja, ser dono de um sentimento que o elevasse acima das

ambições materiais, dono de um entusiasmo que despertasse sua criatividade no

desempenho da missão.

Entretanto, havia um outro quesito da qualidade didática o qual Castrucci

julgava não possuir: ser um artista em sala de aula.

Considerava-se um “mau ator”. Para tanto, tomou como exemplo a

apreciação de seu desempenho como professor feita por Malba Tahan (Julio

César de Melo e Souza), para quem Castrucci era o “pior professor” que já vira, o

que, na versão de Castrucci, significava ser um “péssimo ator”. Os motivos da

avaliação proferida por Malba Tahan eram os seguintes: “1) não usar avental; 2)

não usar ponteiro; 3) não saber trabalhar no quadro negro, pois este deve ser

utilizado de modo que coincida o término da preleção com a lousa inteiramente

escrita” (CASTRUCCI, 1993).

Essa avaliação foi resultante de um curso para professores dado por

Castrucci no Rio de Janeiro, durante sua permanência no GEEM. Segundo

245

Castrucci, logo no primeiro dia de aula, percebeu Malba Tahan entre os

participantes, sentado na primeira fila. Segundo Castrucci, a presença do

conhecido professor fê-lo pensar: “... esse meu amigo vai perturbar-me com

perguntas e críticas”. As suspeitas de Castrucci mostraram-se infundadas.

Durante todo o curso, que perdurou por dias, Tahan esteve presente, mostrando-

se “calado e atento, como se fosse um bom e disciplinado aluno”. No entanto,

após a última preleção do curso, Malba Tahan veio cumprimentá-lo e emitiu seu

veredicto sobre a atuação didática de Castrucci: nota zero! (CASTRUCCI, 1993).

Para Castrucci, as duas primeiras alegações apontadas por Tahan eram

fáceis de corrigir, mas a última, foi considerada impossível superar:

... o último, diante da quantidade de assunto e o limite físico do

quadro negro, era e foi sempre impossível para mim. Na

Alemanha, quando fui professor visitante na Universidade Justus

Liebig de Giessen, com surpresa, via a solução, pois lá havia

quadros superpostos: esgotado o primeiro, este subia e

trabalhávamos no segundo e depois um terceiro e a aula ficava

toda escrita e inteiramente à disposição dos alunos (CASTRUCCI,

1993).

O que se pode observar a respeito desse depoimento de Castrucci?

Primeiramente, que reconhecia em Malba Tahan um escritor e educador

matemático renomado e que esse prestígio social conferia-lhe autoridade perante

o público docente presente, deixando o conferencista em situação desconfortável

ante a iminência de prováveis questionamentos ou críticas de Tahan, que lhe

pudessem ser desferidas durante o curso. Diversamente, entretanto, a atitude de

Malba Tahan foi de silêncio e atenção, “como se fosse um bom e disciplinado

aluno”. Podemos inferir, desse modo, que sua concepção do que viria a ser um

bom aluno para Castrucci, resumia-se em ser um estudante que não participa

com questionamentos, dúvidas ou críticas durante a exposição do professor nas

aulas.

Malba Tahan, ao contrário do esperado, não apenas prestou atenção nos

conteúdos apresentados (relativos à matemática moderna), como também na aula

como um todo, desde a vestimenta, não compatível com a autoridade do

professor; o uso do ponteiro, tecnologia disponível e comum na época, auxiliar

para centralizar a atenção da platéia para determinado ponto destacado na

246

preleção; bem como na organização visual referente à distribuição do texto no

quadro negro.

Mas, não é porque alguém é professor que se deve concordar com tudo

que ele diz, nem com tudo o que se encontra nos livros, argumentou Castrucci,

respaldado pelo conselho de Albanese.

A crítica desferida dizia respeito ao papel da didática na formação do

professor, o que equivalia atribuir a Castrucci, segundo seus próprios critérios, a

pecha de não ser um bom artista.

Sobre a qualidade de um professor ser artista, Castrucci parece ter seguido

os conselhos de Fantappié, que imputava ao bom professor a condição de artista,

conforme se expressou Castrucci:

Porque havia um curso de didática da matemática. Tinha didática

geral, psicologia, essas coisas todas e esse curso, Fantappié nos

aconselhou a não fazer: ‘estuda matemática e deixa de lado essas

coisas de didática, porque didática só tem uma regra boa: saber a

matéria. Se souber a matéria, o resto você é um artista. Se for

mau artista, será a vida toda. Se for bom artista, será bom

professor. E o resto põe tudo de lado’. Então, na minha vida,

nunca fiz nenhum curso de didática (CASTRUCCI, 1990).

Para Castrucci não havia necessidade de estudar didática, uma vez que

ser um bom professor seria uma tendência inata do indivíduo, valendo mais a

pena dedicar-se às teorias da ciência matemática.

Além da nítida separação entre os conteúdos específicos e a preparação

pedagógica, especificamente em relação ao Curso de Matemática, torna-se

evidente que este curso, visava, em primeiro lugar, a formação de pesquisadores,

deixando em segundo plano a formação de professores. Silva (2000), buscou

comprovação no depoimento do professor de matemática Benedito Castrucci:

Os que fizeram didática na minha turma foram aqueles que já

estavam excluídos da carreira de professores na Universidade.

Já estavam empurrados para o ensino secundário, foram fazer o

curso, era de um ano. Fazia psicologia educacional, fazia didática

geral, didática especial e mais umas outras coisas. Eu não fiz

essa parte [grifos nossos] (CASTRUCCI, apud SILVA, 2000, p.

14).

247

Nota-se certa carga pejorativa nos dizeres de Castrucci, no sentido de que

aqueles alunos que não tinham tendência para a pesquisa científica e portanto,

não recomendados para uma carreira universitária, a eles restaria a carreira do

magistério junto ao ensino secundário, cujos conteúdos se revestiam de menor

complexidade, bastando-lhes o estudo das disciplinas pedagógicas.

Castrucci tinha experiência autodidata como professor, uma vez que não

teve nenhuma formação pedagógica. Antes mesmo de ingressar no Curso de

Matemática, já lecionava. A sua competência no trato com os conteúdos fazia

dele um bom professor, aos olhos do professor que o indicou. Quando entrou

para a faculdade, sentiu que se tornou um professor pior, do ponto de vista

didático, pois no ginásio dava aula com uma determinada velocidade, com um

tempo de exposição que considerava necessário para a compreensão dos alunos.

No entanto, depois de entrar na faculdade, ouviu o conselho de Albanese, que

dizia: ”não importa a velocidade, importa que o programa tem que ser dado

inteiro”. Assim, Castrucci procurava finalizar o programa, ciente de que “nesse

período eu era um mau professor”, o que, de certo modo não importava, já que

“os alunos eram muito bons e supriam isso estudando” (CASTRUCCI, 1990).

Os dizeres de Castrucci nos permitem entrever um modo de pensar pelo

qual a universidade precisaria contar com bons alunos, o que afastaria a

preocupação com a didática de seus professores. Liberava-os, portanto, da

obrigação de se tornarem “bons atores” ou “artistas”, pois os próprios alunos

supririam esta eventual deficiência, considerando o seu bom desempenho

esperado por seus professores.

Quanto ao convívio com outros estudantes da FFCLUSP, Castrucci relatou

que havia grande camaradagem entre eles, até porque o número de alunos

acabava sendo drasticamente reduzido na passagem do primeiro para o segundo

ano. Em seu depoimento, Castrucci (1990) relatou que sua turma havia começado

com uns vinte alunos aproximadamente e, para o segundo ano, foram promovidos

apenas dois alunos do Curso de Matemática (José Abdelhay e ele, Castrucci) e

mais três ou quatro estudantes do Curso de Física

. A situação era agravada

Não nos foi possível verificar os dados fornecidos por Castrucci. Mas o Anuário da FFCLUSP (1939-1949)

indica que, para o ano de 1939, o curso de Matemática contava com vinte e quatro alunos no primeiro ano,

nove alunos no segundo e quatro no terceiro e último ano: José Abdelhay, Zillah Barreto de Mesquita,

Benedito Castrucci e Nelson da Silveira Leite.

248

pelo motivo de que reprovação não era por disciplina, pois o aluno ficava

reprovado por ano.

O ponto de encontro preferido da turma era o barzinho da escola, onde se

encontravam para conversar e tomar café. Também freqüentavam livrarias, era

um passeio que sempre faziam. De modo geral os alunos tinham uma condição

econômica razoável. Como o número de alunos era reduzido, geralmente

ganhavam bolsas de estudos que lhes permitiam alimentar-se, pagar uma

pensão. Castrucci, que naquela ocasião achava-se desempregado, ficou

comissionado até o término do curso, com a condição de não tirar nota inferior a

sete.

Havia, de acordo com depoimento de Castrucci (1990), grande distância

entre a formação dos alunos e os conteúdos que os professores pretendiam

ministrar. Assim, paralelamente, os professores ensinavam muitos assuntos

visando minimizar essa distância de modo que os estudantes atingissem o ponto

desejado pelos professores e que se fazia necessário para prosseguir com o

programa. Contavam também com a visita de professores de outras instituições

nacionais e estrangeiras que faziam palestras para os professores e alunos do

curso.

Os professores catedráticos procuravam manter a biblioteca organizada e

atualizada, que além de receber verbas para a compra de livros, contava com o

governo italiano que, em reconhecimento à acolhida oferecida aos professores

italianos, doou à biblioteca um acervo com numerosas obras de matemáticos

italianos. Os professores, em contrapartida, cobravam muitas leituras, muitas

pesquisas. Exemplificando, Castrucci relatou que, para o curso de Análise, no

primeiro ano, os alunos tinham que dar uma aula expositiva sobre determinado

conteúdo do programa e assistir as aulas de exercícios preparadas pelo professor

assistente, quando era resolvida uma série de exercícios relativos ao assunto

tratado. Além disso, eram ainda indicados títulos de livros sobre outros assuntos

que deveriam ser estudados separadamente. No final do semestre os alunos

prestavam exame sobre o assunto explanado, os exercícios e a matéria estudada

à parte. (CASTRUCCI, 1990).

249

No tempo de Castrucci como aluno de graduação, a avaliação principal era

realizada semestralmente, em forma de exame oral com aproximadamente quatro

horas de duração para cada aluno. O nível de exigência era alto, fundado na

memorização, o que, segundo Castrucci era o motivo das elevadas taxas de

retenção:

O exame de avaliação oral exigia bastante memória, não era só

saber a matéria, pois as perguntas não eram metódicas. A pessoa

perguntava: ‘Este teorema, do que consta? Então você respondia.

Em seguida, pedia para demonstrar, às vezes, não. Às vezes

dava um pulo para outra coisa e depois voltava, para ver se você

tinha o domínio geral da matéria toda. Era bastante difícil, aí a

razão da reprovação em massa (CASTRUCCI, 1990).

Após o término da graduação, Benedito Castrucci tornou-se assistente de

Giacomo Albanese, cuja prática acadêmica e conselhos foram apropriados por

Castrucci, como revelam os diversos depoimentos concedidos durante sua

carreira e também podem ser percebidos em seus trabalhos acadêmicos, como

veremos no decorrer deste estudo.

8.3. Giacomo Albanese e o Departamento de Matemática da FFCLUSP

Giacomo Albanese chegou ao Brasil em 1936, tornando-se o segundo

matemático italiano, depois de Fantappié, a exercer atividade docente no

Departamento de Matemática. Albanese foi assessorado, a princípio, por Narcísio

Menciassi Lippi até 1939 e depois por Benedito Castrucci.

Conforme informou Castrucci (1990), o professor distinguia, dentre os

alunos, aquele que tinha possibilidade para prosseguir na carreira de pesquisador

matemático. Após o término do curso, o professor catedrático convidava esse

aluno para ser seu assistente, na época denominado de assistente científico. A

escolha era exclusivamente do professor catedrático e o ordenado, acrescentou

Castrucci, “era muito bom”. Assim também aconteceu com Castrucci, que se

tornou assistente de Albanese e por ele foi orientado em seu doutoramento.

Aprendeu, na lida com alunos e professores da FFCLUSP a fazer pesquisa,

começando por pequenos trabalhos de pesquisa, demonstrando um teorema

250

novo, demonstrando um teorema de forma diferente. Albanese foi seu mentor, em

quem se espelhou para se tornar um profissional matemático.

Como homenagem póstuma ao professor Giacomo Albanese, que falecera

em 08 de junho de 1947, no mesmo ano, Benedito Castrucci publicou um artigo

no Boletim da Sociedade de Matemática de São Paulo, o qual relatou um pouco

da trajetória do matemático Albanese na Itália e durante sua permanência na

FFCLUSP

A convite de Theodoro Ramos, Albanese veio para o Brasil em 1936, para

reger a cadeira de Geometria na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de São

Paulo, além de reger, também, a cadeira de Geometria Analítica e Projetiva na

Escola Politécnica de São Paulo, permanecendo até abril de 1942, quando voltou

para Pisa devido às circunstâncias internacionais advindas da Segunda Guerra

Mundial. Nesse ínterim, dando continuidade e buscando preservar a tradição

italiana de realização de seminários, organizou um seminário semanal sobre

matemática elementar com a finalidade de minimizar as dificuldades

apresentadas pelos alunos em assuntos básicos necessários para dar andamento

ao programa de matemática.

Retornou ao Brasil em 1946, assumindo a cadeira que deixara em 1942, na

Escola Politécnica.

Além de ser responsável pelas cadeiras de Geometria da FFCL e da

Politécnica da USP, integrava ainda a comissão de redação da “Summa

Brasiliensis Mathematicae”, do Jornal de Matemática Pura e Aplicada da USP e

De acordo com o relato de Castrucci, Albanese nasceu em Geraci Siculo, Palermo, em 11 de julho de

1890. Diplomou-se em 1909 no Instituto Físico-Matemático de Palermo, onde deu início aos seus estudos.

Nesse mesmo ano, ingressou na Escola Normal Superior da Real Universidade de Pisa, obtendo

doutoramento em 1913 com distinção e publicação da tese. Foi assistente de Análise Infinitesimal na cadeira

regida pelo professor Ulisse Dini, na Real Universidade de Pisa no período compreendido entre 1913 a 1930.

A partir de 1915, Albanese deu início às suas atividades científicas com a memória: “Sistemi continui di curve

sopra una superfície algébrica”, primeira de uma série de trabalhos matemáticos publicados em anais de

congressos e revistas especializadas da Itália. Após ter combatido na primeira Guerra Mundial, entre 1917 a

1918, foi assistente do professor Francisco Severi na cadeira de Geometria Analítica na Real Universidade de

Pádua. A partir de 1920, tornou-se professor de Análise Algébrica da Real Academia Naval de Livorno e, em

1923 obteve a livre docência na Real Universidade de Pisa, na cadeira de Geometria Projetiva, Analítica e

Descritiva. Em 1927 foi nomeado professor de Geometria Descritiva da Real Universidade de Palermo. Dois

anos depois volta para a Real Universidade de Pisa. A excelência dos trabalhos realizados ao longo de sua

carreira acadêmica fez com que Albanese fosse agraciado com os prêmios Ulisse Dini, Pia Ereditá Lavagna e

Torelli (CASTRUCCI, 1947).

251

foi o primeiro sócio honorário da Sociedade de Matemática de São Paulo

(CASTRUCCI, 1947, p. 3-5).

Albanese pertenceu a diversas instituições científicas, como o Circolo

Matemático de Palermo, Academia Gioenia de Ciências Naturais de Catânia,

Academia de Lincei, União Matemática Italiana, Conselho Nacional de Pesquisas

(fundado por Marconi), Sociedade de Matemática de São Paulo e Academia

Brasileira de Ciências.

As principais publicações de Albanese, em conformidade com o discurso

proferido por Castrucci foram: Sobre o ensino da Geometria (1936); Apostilas de

Geometria Analítica para a FFCLUSP (1939); Apostilas de Álgebra complementar

(não concluídas), acordadas com o curso dado no Instituto de Pesquisas

Tecnológicas da USP (1946-47) e apostilas de Geometria Projetiva (não

concluídas) para o curso da Escola Politécnica da USP.

Castrucci finalizou sua homenagem a Albanese, assinalando a

compatibilidade entre sensibilidade, magistério e produção científica, estimadas

pelo orador como características imanentes da personalidade daquele

matemático, nos seguintes termos:

A posição do Prof. Giacomo Albanese na escola dos grandes

geômetras italianos é de grande relevo, devido à sua contribuição

fundamental no campo da Geometria Algébrica.

[...] O passamento do ilustre professor encheu de consternação os

meios culturais de São Paulo, onde se fizera muito estimado pelos

discípulos e amigos, quer pelas qualidades de coração, quer pelos

dotes de mestre e cientista (CASTRUCCI, 1947, p. 3-5).

O noticiário publicado no mesmo fascículo do Boletim informa que no

mesmo ano do falecimento do professor Albanese, durante a primeira reunião

solene da Sociedade de Matemática de São Paulo, no dia 31 de maio de 1947,

Albanese pronunciou uma conferência sobre “Singularidades das curvas

algébricas”. Nessa mesma sessão, foram empossados os professores Oscar

Zariski, André Weil e Jean Dieudonné, como sócios honorários da Sociedade.

Em sessão solene realizada em 12 de abril de 1946, Omar Catunda, na qualidade de presidente da

Sociedade de Matemática de São Paulo, outorgou o título de sócio honorário ao professor Giacomo Albanese

(Boletim da SMSP, 1946, p. 6).

252

Informa, ainda, que no enterro de Giacomo Albanese, a Sociedade se fez

representar pela sua diretoria, tendo discursado à beira da sepultura o professor

Benedito Castrucci.

Segundo Circe Mary Silva da Silva (2000), durante sua estadia na USP,

Albanese arregimentou uma coleção de obras de matemática, priorizando

especialmente aquelas sobre Geometria Algébrica e disponibilizando-a para

leitura e consulta de alunos e professores. Os matemáticos franceses que mais

tarde também freqüentaram a FFCLUSP, particularmente André Weil e Jean

Dieudonné, muito usufruíram dessa biblioteca.

Ressalte-se ainda que, pouco antes de Albanese ir para a Itália, em abril

de 1942, o recém-formado Benedito Castrucci passou a pertencer ao quadro

docente da Universidade, assumindo a função de professor interino da cadeira de

Geometria Analítica, Projetiva e Descritiva da FFCLUSP.

8.4. Concursos de Benedito Castrucci para o Departamento de Matemática

Durante a sessão do Conselho Universitário de 9 de dezembro de 1941, foi

aprovado o regulamento que estabelecia o processo de doutoramento da

FFCLUSP, o qual foi publicado no Diário Oficial de 4 de janeiro de 1942. As

provas para obtenção do grau de doutor em filosofia, ciências, letras e pedagogia

eram elaboradas sob orientação do professor da cadeira relativa ao assunto e

exame de duas matérias subsidiárias, escolhidas a critério dos cinco professores

indicados pelo orientador e componentes da banca examinadora. De acordo com

o regulamento da Faculdade, os assistentes eram obrigados ao doutoramento

(ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1939-1949).

Oficializando esse regulamento, o Decreto Estadual n. 12.511 de 21 de

janeiro de 1942, que “reorganiza a Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da

Universidade de São Paulo”, decretou em seu artigo 64:

§1º. Será conferido o diploma de doutor ao bacharel que defender

tese de notável valor, depois de dois anos, pelo menos, de

estudos sob a orientação do professor catedrático da disciplina

sobre que versarem os seus trabalhos, e for aprovado no exame

253

de duas disciplinas subsidiárias da mesma secção ou de secção

afim (SILVA, 2003b, p. 50).

Como assistente de Albanese, impunha-se a Castrucci o doutoramento.

Naquela época, a preparação para o doutorado começava a partir da orientação,

em que conversar, discutir, indicar obras, comentar os trabalhos realizados eram

os procedimentos habituais. Docência e pesquisa caminhavam juntas. Castrucci

era incumbido de lecionar aulas de exercício três vezes por semana, assistir as

aulas teóricas de Albanese e preparar os exercícios de acordo com a exposição

teórica dada. Às vezes Albanese designava seminários em que Castrucci deveria

coordenar, sob a observância atenta de Albanese, que comentava e criticava a

forma de apresentação do assunto tratado. Além disso, Castrucci deveria estudar

à parte os assuntos referentes à tese. Um episódio sobre o modo de orientação

de Albanese é rememorado por Castrucci:

Eu me lembro que ele me deu um assunto, eu desenvolvi, cheguei

ao ponto quase que final. Quando escrevi tudo e entreguei, ele

rasgou e disse: “isso aqui é treino, agora é que eu vou dar um

assunto bom para você fazer a tese”. Aí comecei a trabalhar de

novo (CASTRUCCI, 1990).

Segundo depoimento de Castrucci (1990), em sua época, o aluno

preparava a tese e, pouco antes do término de sua elaboração, recebia dos

professores duas outras matérias, geralmente dois livros, versando sobre temas

fora do currículo, para serem estudadas. Iniciava-se o estudo desses conteúdos

antes mesmo do término da escrita da tese. Em determinada época, a banca era

convocada e examinava oralmente o candidato que recebia, nesse ínterim, uma

determinada nota. Essa nota, enfatizou Castrucci, era eliminatória. Era, portanto,

fundamental. Poucos dias depois, reunia-se novamente uma banca – Castrucci

não esclareceu se era composta pelos mesmos professores da anterior – mas

compunha-se de cinco membros, que procedia a argüição da tese e auferia uma

segunda nota que, reunidas à nota do trabalho escrito, totalizavam três notas, das

quais era extraída uma média, a nota final.

No Anuário 1939-1949 consta que, no ano de 1943, o doutoramento de

Benedito Castrucci, realizou-se em 04 de agosto, quando defendeu a tese “Sobre

uma nova definição de cúbica plana”. Albanese já não se encontrava no Brasil

254

desde abril de 1942. É possível que essa orientação tenha sido concluída à

distância, por correspondência

. Fizeram parte da comissão examinadora os

professores Omar Catunda, Fernando Furquim de Almeida, Cândido Lima da

Silva Dias, Gleb Wataghin e Abrahão de Moraes.

Pires (2006) complementa as informações extraídas do Anuário,

comunicando, em conformidade com o Livro de Doutorado I que, em 26 de julho

de 1943 a comissão examinadora deu seu parecer sobre o material entregue por

Castrucci, bem como marcou a data dos exames das matérias subsidiárias para

28 de julho de 1943 e da defesa de tese para 04 de agosto do mesmo ano.

Em 1949, o Departamento de Matemática mudou-se para a Rua Maria

Antonia, 258. O discurso proferido por Plínio Benedito de Lauro Castrucci, durante

a solenidade de doação do acervo de Benedito Castrucci, seu pai, à Biblioteca do

IME, permite-nos ter uma idéia de como eram as instalações físicas do prédio, o

ambiente em que se dava o trabalho diuturno de Castrucci e seus colegas, com

destaque para a presença de Albanese na vida de Benedito Castrucci, registrada

na memória de seu filho:

A menção à Maria Antonia traz-me à lembrança imagens

indeléveis, de meu pai e das origens deste Instituto. Pois, ainda

menino, na década de 40, eu era levado com certa freqüência ao

então Departamento de Matemática, nele se entrava por uma

pequena porta a uns 20 metros do imponente hall do prédio

principal; subindo alguns degraus, havia um intrincado conjunto de

pequenas salas, para 10 ou 12 alunos. Impressionavam-me o

silêncio ambiente e um certo mistério, uma certa parcimônia

verbal dos colegas de meu pai: Omar Catunda, que eu associava

de maneira imprecisa ao título impressionante de ex-engenheiro

projetista de redes de saneamento de Santos, Cândido Lima da

Silva Dias, que eu associava a um desconhecido mundo de

longínqua fazenda, em Mococa... ali também um pouco mais tarde

viria a conhecer Edson Farah; no correr da vida tornaram-se tão

amigos, meu pai e ele, que se referiam mutuamente como irmãos.

E conheci Fernando Furquim de Almeida e outros pioneiros. Mas

só pude realmente aferir sua notáveis competências, na qualidade

de aluno de Física.

Clovis Pereira da Silva (2003b) em artigo publicado nos Anais do V Seminário Nacional de História da

Matemática, alega que Albanese orientou a tese para o concurso de cátedra de Castrucci, que foi defendida

em 1951. Há que se observar, entretanto, que Albanese foi para a Itália em 1942 e retornou ao Brasil em

1945, onde faleceu em 1947. Assim, é provável, como sugere Rute da Cunha Pires (2006), que Albanese

tenha orientado, à distância, o doutoramento de Castrucci, cuja defesa deu-se em 1943, ao invés da tese do

concurso à cátedra.

255

Dos professores italianos que vieram fundar o ensino superior de

matemática e física, em 1935 ou 36, Fantappiè, Wattaghin e

Albanese, só me lembro bem do último, o geômetra que orientou

cientificamente meu pai (CASTRUCCI, 2001).

A transferência da maioria dos cursos da FFCLUSP para a Rua Maria

Antonia representou uma experiência de implantação de um campus universitário

no centro da cidade de São Paulo, uma vez que o funcionamento conjunto das

diversas secções propiciou um ambiente universitário de intenso convívio entre

professores e alunos: “Não havia espaço para intransigência e prepotência, não

havia oportunidade para a intolerância se manifestar, o obsoleto não era

defendido por ser mais seguro e o novo não era temido. Esse era o espírito da

Maria Antonia...” (D’AMBROSIO, 1988, p. 64).

É nesse espaço, lugar socialmente destinado à formação de especialistas

e professores, espaço que Castrucci (DE CERTEAU, 2002), doutor em

Geometria, decidiu tornar-se professor catedrático, o que também exigia

aprovação em concurso. Segundo Castrucci (1990), a FFCLUSP determinava que

fossem doutores

. Nesse tempo, em alguns departamentos, devido à

concorrência, os professores primeiro faziam livre docência e depois a cátedra

No caso do Departamento de Matemática, eram apenas três assistentes

doutores

, já com publicações e não havia concorrência, pois a exigência do

doutorado impedia candidatos de outras instituições, considerando que havia

insuficiência de doutores na área de matemática. Estavam, de certa forma,

isolados.

A princípio, em 1937, enquanto a Faculdade de Filosofia não contava com doutores formados naquela

instituição, a Resolução de 14 de maio de 1937, aprovada pelo Conselho Universitário, determinava a

apresentação de seis exemplares impressos ou datilografados em espaço duplo de uma tese em disciplina

afim, ficando dispensados os candidatos que fossem doutores, os quais deveriam apresentar cinco

exemplares de sua tese de doutoramento (PIRES, 2006, p. 304).

O Decreto n. 13.426 de 23 de junho de 1943, regulamentou os concursos para professor catedrático e livre

docente. O primeiro concurso realizado pelo Departamento de Matemática da FFCLUSP sob esse dispositivo

legal foi para provimento da cadeira de Análise Matemática, tendo Omar Catunda como único candidato

inscrito (PIRES, 2006).

Castrucci fazia referência a Cândido Lima da Silva Dias, que concorreu para a cadeira de Complementos

de Geometria e Geometria Superior e Fernando Furquim de Almeida, candidato à cadeira de Crítica aos

Princípios e Complementos de Matemática, na mesma época que Castrucci e também exerciam

interinamente as cadeiras pelas quais concorreram (ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1951). Cândido Lima da Silva

Dias doutorou-se em 1942, entretanto, não foram encontrados registros sobre possível doutoramento de

Fernando Furquim de Almeida, que no Anuário de 1951, aparece como Licenciado em Ciências Matemáticas.

Apesar disso, como destaca Clóvis Pereira da Silva (2003b), Furquim de Almeida orientou tese de doutorado

de João Batista Castanho, em 1950.

256

Dessa maneira, relembrou Castrucci (1990), Eurípedes Simões de Paula,

então Diretor da Faculdade de Filosofia, solicitou que os professores se

inscrevessem para o concurso de cátedra. O concurso constava de uma prova

escrita, com ponto sorteado do programa. Se a cadeira comportava prova prática,

esta era então realizada, seguindo-se a defesa de tese

. Para ser aprovado o

candidato precisava alcançar, no mínimo, nota sete. Caso se apresentasse mais

do que um candidato, aquele que obtivesse maior nota tornava-se catedrático e o

segundo colocado, livre-docente. Ainda, se o professor candidato não fosse

doutor, quando se tornava catedrático, também lhe era creditado o título de

doutor. Este foi o caso, por exemplo, de Omar Catunda, como já abordado

anteriormente. Além disso, salientou Castrucci (1990), “se a gente não tivesse

bons títulos, a norma era a banca reprovar de qualquer maneira. Não davam sete.

Então, quando a gente ia fazer concurso, tínhamos muita publicação”.

Particularmente, Castrucci não ensejou ser livre docente, prestando

concurso para catedrático em 1951. Segundo seu depoimento, o cabedal de

trabalhos publicados permitiu-lhe essa escolha:

Quando era convidado a examinar um concurso de cátedra fora

de São Paulo, eu era convidado por notório saber. Porque não era

titular, nem catedrático. Tudo isso pesava. [...] minha nota de

títulos foi dez. Eu achava muito bom (CASTRUCCI, 1990).

No dia 20 de novembro de 1951, teve início o concurso de provimento da

cadeira de “Geometria Analítica, Projetiva e Descritiva” tendo como candidato

único Benedito Castrucci. Nesta mesma ocasião, iniciaram-se os trabalhos para

provimento das cadeiras “Complementos de Geometria e Geometria Superior” e

“Crítica dos Princípios e Complementos de Matemática”, tendo candidatos os

professores Cândido Lima da Silva Dias e Fernando Furquim de Almeida,

respectivamente. Os trabalhos foram presididos pelo professor Milton da Silva

Rodrigues, contando com os seguintes professores componentes da banca: Omar

Catunda, Edmundo Medeiros Dantas, Cristóvão Colombo dos Santos e Ary

Tithbol Nunes. O ponto sorteado para a prova escrita de Benedito Castrucci

Esta afirmação de Castrucci encontra-se em consonância com a ementa do Reitor Jorge Americano,

aprovada pelo Conselho Universitário em 14 de maio de 1937, ficando determinado que a prova prática

somente seria exigida para as cadeiras que a comportassem (LIVRO DE CONCURSOS I, apud PIRES,

2006).

257

versava sobre “Proposição de Staudt e Teorema Fundamental” (ANUÁRIO, 1951,

p. 91-92).

Em 20 de novembro de 1951, às 13 horas, tiveram início os trabalhos dos

concursos para provimento das três cadeiras. Nessa ocasião foi realizada a prova

escrita, cujo tema foi retirado de uma lista de pontos elaborada pela comissão

examinadora. Nesse mesmo dia, a comissão procedeu ao exame e julgamento

dos títulos dos três candidatos, enquanto que a leitura das provas escritas

aconteceu no dia seguinte, às 15 horas, no salão nobre da Faculdade, em sessão

presidida pelo Diretor, professor Eurípedes Simões de Paula.

A prova didática realizou-se no dia 22 de novembro de 1951, às 16 horas,

quando Castrucci dissertou sobre o ponto sorteado “Estudo das quádricas.

Equações reduzidas”.

Para a defesa de tese, realizada em 24 de novembro de 1951, às 14 horas,

Castrucci apresentou o tema “Fundamentos da Geometria Projetiva Finita N-

Dimensional”. Os membros da comissão examinadora argüiram o candidato

obedecendo a seguinte ordem: Cristóvão Colombo dos Santos, Edmundo

Meneses Dantas, Ari Nunes Tithbol, Omar Catunda e Milton da Silva Rodrigues.

(ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1951, p. 94-95).

O Anuário de 1951 apresenta um resumo da tese de Castrucci às páginas

95-96, tecendo comentários sobre os resultados originais, generalizando

resultados obtidos pelo matemático Chung Tao Yang e publicados no

Mathematical Institute National University of Chekiang – Hongchow-China, em

1947, para o espaço N-dimensional. Ainda segundo o relatório, o capítulo II da

tese constituiu-se na parte mais importante, pois o autor obtém resultados novos,

e, além disso, as demonstrações de teoremas conhecidos em geral, foram

inteiramente pessoais.

Desse concurso, não se observou efetivo predomínio de estudos e

resultados advindos da escola francesa, mas percebe-se que as referências aos

conteúdos apresentados estão acordados com as da escola italiana (PIRES,

2006).

258

8.5. O ensino da Geometria no secundário: depoimentos de Castrucci

As considerações expostas neste tópico

decorrem, sobretudo, de depoimentos feitos

por Castrucci para pesquisadores, jornais e

revistas. Neles, Castrucci expressou sua

opinião sobre o ensino secundário, dando

destaque especial ao ensino da geometria.

Ao ser indagado sobre o que deveria ser

considerado fundamental no ensino elementar

de matemática, Castrucci (1978), defendeu um

ensino voltado à destreza do cálculo das

principais operações com números inteiros,

frações e números relativos, como também noções práticas de porcentagem,

juros, média, etc. Além disso, ainda para o 1º grau, nas séries mais avançadas,

dever-se-ia introduzir algumas noções de álgebra, noções geométricas do plano,

de modo intuitivo, levando o aluno a obter noções de demonstração.

Para Castrucci, o valor e utilidade do ensino de geometria consistiam em

adquirir uma intuição do espaço e suas figuras. Para o primeiro grau, conhecer as

formas, insistindo na introdução de uma geometria espacial intuitiva, o cubo, o

cilindro, o cone, etc. e, concomitantemente, conhecer algumas figuras planas, por

meio do desenho de triângulos, quadrado, retângulo etc., valendo-se do uso de

instrumentos, como o compasso. Do ponto de vista histórico, esclareceu, a

geometria nasceu da observação, intuição, da experiência. Somente com os

gregos aparece a idéia de demonstração e posteriormente a idéia de vetores.

Esse fato deve ser levado em conta no ensino, uma vez que, “ao que parece, um

homem ao longo de uma vida percorre os mesmos caminhos que a humanidade

percorreu através dos séculos” (CASTRUCCI, 1978, p. 37).

Castrucci (1978) também sugeriu que o processo dedutivo de teoremas

não deveria ser dado de modo algum, no primeiro grau. Somente a partir da 7ª

série, por meio da geometria plana, poderia ser introduzida alguma demonstração

de alguns teoremas que serviriam de modelo, para que o aluno pudesse

259

perceber, pela primeira vez o que vem a ser um raciocínio dedutivo. Para o 2º

grau, durante o estudo da geometria espacial, já se poderia insistir na

demonstração de teoremas, embora em pequeno número, alertava.

Pode-se notar, que Castrucci defendia uma seqüência para o ensino,

sugerindo etapas a serem percorridas, a exemplo do desenvolvimento histórico da

matemática, lembrando o “método genético”, também defendido por Catunda.

Desse modo, ensinar vetores ou noções de álgebra linear no ciclo fundamental,

como proposto durante o MMM, contrariava a posição de ensinar a matemática

sem queimar etapas.

Quanto à utilidade do estudo da geometria, Castrucci analisou a questão

sobre dois aspectos, a serventia da geometria como passagem intermediária para

assuntos futuros e como explicação sobre o valor histórico de determinados

assuntos. Castrucci entendia que, a princípio, no ensino básico, o ensino da

geometria deveria começar pelo estudo das formas, numa visão geométrica, com

muitos exercícios e ensinando a construção de sólidos com cartolinas. Numa

segunda fase, o conteúdo obedeceria a uma programação de geometria plana,

iniciando pelas noções preliminares de ângulo, reta e segmento. Para o ensino de

geometria o ideal seria a utilização do método heurístico, quando os alunos

seriam levados a perceber a validade de uma dada propriedade, por meio de

desenhos. Para tanto, as classes não deveriam ser numerosas, para não haver

perturbações. No segundo grau, os métodos poderiam ser mais expositivos e o

conteúdo mais científico, sem exageros, pois “é preciso lembrar que os alunos

podem se destinar a estudar filosofia ou letras ou artes ou direito e não precisam

ter um excesso de matemática” (1978, p. 38).

Seu depoimento sugere, dessa forma, uma preocupação em ministrar a

matemática para todos, sem focalizar um grupo especial de alunos, aqueles que

se destacam nessa área.

Para o segundo grau, Castrucci considerou que não haveria tanta

dificuldade no tratamento da geometria espacial e a analítica por vetores, embora

fosse necessário “destreza dos professores para ensinar por esse caminho”. Além

disso, acreditava que restaria ainda uma grande quantidade de propriedades

260

geométricas que seria melhor estudada diretamente pelo desenvolvimento

axiomático clássico (1978, p. 39).

Para auxiliar o aluno a desenvolver a intuição, Castrucci (1979) via, na

apresentação da matéria com procedimentos variados, um modo propício para

que o aluno fizesse uso de sua intuição. Esse tratamento permitiria à criança fazer

muitas perguntas, que poderiam ser embaraçosas para o professor com má

formação geométrica, sendo esse um dos motivos pelo qual professores têm

medo de ensinar geometria para alunos de 7ª série. Considerou o método

utilizado por Polya muito interessante, embora salientasse a imposição de se

trabalhar com classes pouco numerosas para manter a disciplina. Comentou

sobre um grupo dirigido por George Springer, utilizando o método de Polya, que

ouviu dizer teria conseguido excelentes resultados, fazendo com que o grupo de

crianças desenvolvesse a capacidade de pesquisar. Quanto à ênfase a ser dada

ao rigor, Castrucci entendia que no ensino, nem sempre as definições e

demonstrações rigorosas podem ser apresentadas, bastando ao aluno perceber e

aceitar como válidas.

Perguntado sobre o que seria essencial para a formação do professor de

Matemática, Castrucci (1978) respondeu ser sempre necessário um bom

conhecimento matemático. O professor secundário deve ter um bom

conhecimento de geometria euclidiana axiomática, questões de geometria não

euclidianas. Deve ter boa formação em álgebra, inclusive linear, e boa formação

de cálculo. Como complemento, ter conhecimentos de história da matemática, um

curso simples de Lógica matemática e noções de Teoria dos Conjuntos, além das

matérias didáticas, as quais devem vir acompanhadas de estágios (treinamento).

Sobre a pesquisa no ensino de matemática, Castrucci entendia que era

esporádica, posto que até naquele momento, década de 1970, não havia cursos

de pós-graduação em ensino de matemática. Defendia a idéia da criação de

mestrado na área de Educação Matemática. Para Castrucci, em linhas gerais,

esse curso deveria contar com 40% a 50% de matérias pedagógicas,

educacionais e psicológicas e o restante seriam dedicados aos estudos no campo

da Topologia, Geometria, Álgebra, sem no entanto, abordar aspectos muito

específicos, próprios de uma pós-graduação em matemática pura.

261

O primeiro fator que afeta o ensino é a preocupação com a urgente

necessidade de suprir a população com uma ampla oferta de escolas, que

possam atender a demanda cobrada pela sociedade:

Nós temos que dar escolas para todos, quando nós aumentamos

o número de elementos que devem ser servidos, que devem ser

instruídos, nós temos dificuldade em arranjar um corpo docente

para toda esta imensa área que cresce rapidamente de ano para

ano, enquanto o corpo docente cresce mais lentamente

(CASTRUCCI, 1978, p. 41).

Outro fator é o econômico, pois o professor, não tendo uma remuneração

condigna, obriga-se a assumir uma quantidade muito grande de aulas,

acarretando em um ensino deficiente.

Os motivos pelos quais Castrucci (1988) disse interessar-se pelo Ensino

Secundário era que, para ele, sem o Ensino Secundário e o Primário, “não

adianta nada o Ensino Superior”. Ou seja, não adiantaria nada esforços para

manter um alto padrão de Ensino Superior, se não houvesse, concomitantemente,

uma preocupação com a excelência de qualidade do ensino primário e

secundário. Seu interesse, portanto, manifestava-se especialmente pela

necessidade em manter-se um Ensino Primário e Secundário de alto nível, como

alicerce insuperável para que também se obtivesse e mantivesse um Ensino

Superior de excelente qualidade. Embora Castrucci destacasse seu interesse pela

matemática secundária, observa-se que por trás de suas observações, deixou

implícita uma preocupação com a qualidade e desenvolvimento do Ensino

Superior: “sempre tive um grande interesse na matemática secundária porque eu

acho que sem o ensino secundário e o primário, não adianta nada o superior, não

é?” (CASTRUCCI, 1988).

Problemas do ensino secundário eram discutidos na década de 1940 e

1950 com participação da Sociedade de Matemática de São Paulo, que

incentivava a formação de grupos de professores dispostos a discutir o assunto.

Assim, Omar Catunda convidou Castrucci para participar dessas discussões em

1945. Em 1951, Castrucci foi convidado para representar o Departamento de

Matemática da FFCLUSP na Conferência Nacional de Estudos sobre a

Articulação do Ensino Médio e Superior.

262

8.6. Participando de Congressos: 1957

De 29 de junho a 4 de julho de 1957 aconteceu em Porto Alegre/RS o II

Congresso Brasileiro do Ensino da Matemática, em que surgem as primeiras

propostas para implementação da MM no ensino secundário. A 2ª Subcomissão,

dedicada às questões relativas ao Ensino Secundário, atuou sob a presidência do

professor Roberto Peixoto e vice-presidência do Irmão Leôncio José. Nela,

Benedito Castrucci apresentou a tese “Sobre o ensino da geometria no ensino

secundário”.

Castrucci (1959) partiu do pressuposto que o ensino secundário é

eminentemente formativo, não tendo por finalidade prover o aluno de uma

bagagem de conhecimentos e sim desenvolver completamente suas faculdades.

Desse modo, Castrucci defendeu a necessidade de reduzir e até mesmo eliminar,

certos assuntos que não têm valor formativo. Não se devia, em sua opinião,

enfatizar assuntos como, por exemplo, limites e derivadas, para não desvirtuar o

objetivo do ensino secundário.

O estudo da Geometria, por outro lado, seria um ramo privilegiado da

matemática para manter o caráter formativo do aluno. Sua finalidade seria “tornar

claro o sentido da precisão matemática e o prazer da descoberta da verdade”

[grifos do autor] (CASTRUCCI, 1959, p. 369).

Aqui vemos o matemático privilegiando uma boa formação inicial,

colocando-a em primeiro plano e reservando o aprofundamento de conteúdos

matemáticos para um momento posterior. O sentido da precisão matemática e o

prazer da descoberta passavam necessariamente pela familiaridade com os

princípios da geometria euclidiana, responsável pela boa formação do aluno

secundarista, verdadeiro pressuposto para vôos mais altos em relação ao

aprendizado da matemática.

Segundo Castrucci, a Geometria tem por objetivo o ensino do pensamento

dedutivo e, portanto, deve ser desenvolvida numa seqüência lógica, sem

necessariamente, demonstrar todas as proposições, pois não podemos esquecer

o aspecto psicológico e pedagógico do aprendizado. Dever-se-ia considerar,

preliminarmente, dois tipos de demonstração: “a experimental, com apelo ao

263

mundo exterior e com uso de nossos sentidos, a lógica, que independe do

universo exterior, apoiada exclusivamente nas definições, postulados e teoremas

anteriores” [grifos do autor] (CASTRUCCI, 1959, p. 370).

Além disso, Castrucci defendia que a beleza da geometria estava em

admitir um mínimo de proposições intuitivas (postulados) conforme estabeleceu

David Hilbert.

A esse respeito, lembramos que Castrucci possua excelente domínio da

axiomática de Hilbert, que aparece de forma fragorosa em seus livros e apostilas.

Por exemplo, nas notas de aula do Curso de especialização da FFCL de Santo

André, para o ano de 1972, Castrucci apresenta um esquema em que evidencia

os planos mais importantes que se encontram relacionados com o plano

euclidiano, apropriando-se da axiomática de Hilbert. Encontra-se explicitada o

plano de incidência, o plano afim, o plano afim desargueano etc. Castrucci seguiu

os preceitos de Hilbert, reorganizando-os de modo que o professor tivesse uma

idéia clara, passo a passo, de como a geometria é construída. Em Hilbert, vê-se

os axiomas de incidência, ordem, congruência, continuidade e paralelismo.

Castrucci coloca-os em outra ordem, plano afim (incidência + ordem), mas em

termos substanciais é o que se encontra em Hilbert (CASTRUCCI, 1972).

Entretanto, para a didática, não se necessita demonstrar o máximo de

propriedades, mas apenas aquelas que forem compatíveis com a idade dos

alunos e sua possibilidade de compreensão. Caso o professor decida pelo uso da

experiência ou pelo raciocínio dedutivo, observou Castrucci, o importante é “não

confundir os tipos de demonstração”, para que, pouco a pouco, o aluno vá

distinguindo claramente os dois tipos de procedimento, (1959, p. 370).

O professor não deve, tampouco, advertiu Castrucci, demonstrar

proposições iniciais que se apresentam espontaneamente ao aluno e são de seu

domínio.

Finalizando, Castrucci conclui sua tese lembrando que “ensinar é uma arte

e não existe o melhor caminho para se ensinar alguma coisa” (1959, p. 372). Se

não existe o melhor caminho, todos os caminhos são, em tese, possíveis de

serem percorridos, e a geometria de Euclides configurava-se como um deles, não

264

havendo razão para descartá-la sob o argumento de que não condizia com a

modernidade, como foi preconizado por alguns reformadores durante o

Movimento.

Da tese de Castrucci, o plenário aprovou a seguinte conclusão:

Ao ser iniciado o estudo da Geometria Dedutiva consideram-se

conhecidos os conceitos e as definições já de posse dos alunos

no estudo dessa Geometria no Curso Primário e nos cursos de

desenho das duas primeiras séries (II CBEM, 1959, p. 372).

Neste mesmo Congresso, o artigo de autoria de Ubiratan D’Ambrosio

intitulado “Considerações sobre o ensino atual da matemática”, foi relatado por

Benedito Castrucci, porquanto D’Ambrosio, então professor da Faculdade de

Filosofia, Ciências e Letras da Universidade Católica de Campinas, não pode

comparecer ao evento por motivos de saúde. Nesse artigo D’Ambrosio tece

considerações sobre o currículo, no qual sugeria a introdução do estudo de

propriedades de diferentes conjuntos numéricos e operações de estruturas

algébricas, tais como aquelas que podem ser observadas na Geometria das

Transformações, justificando que “as aquisições mais recentes da Matemática

Moderna e da Psicologia não são consideradas no panorama geral do ensino”

(1959, p. 374).

Esta foi uma das primeiras manifestações em prol da renovação do ensino

de matemática direcionada para a introdução de conteúdos de MM no secundário,

quando não, a primeira propriamente dita, considerando que as outras propostas

apresentadas, quais sejam, a de Osvaldo Sangiorgi e do Major Jorge Emmanuel

Barbosa

, não previam uma sistemática e exemplificação de conteúdos levando

em conta cada uma das séries, como as detalhou D’Ambrosio.

Sangiorgi apresentou a tese “Matemática clássica ou matemática moderna na elaboração dos programas

do ensino secundário” e o professor Barbosa o trabalho intitulado “Reflexos do desenvolvimento atual da

matemática no Ensino Secundário”. Osvaldo Sangiorgi, recomendou que mudanças relativas à MM no

currículo fossem gradativas, a fim de “evitar malefícios decorrentes de transformações radicais” (1959, p.

399). A esse respeito, Beatriz D’Ambrosio (1987), chama a atenção para o fato de que o programa proposto

por Sangiorgi não acolheu nenhuma das novas idéias, contradizendo sua afirmação de incorporação

gradativa das novas idéias. Por sua vez, Barbosa defendeu a necessidade de atualização do ensino,

propunha ainda a designação de um grupo de professores para estudo e experimentação de conteúdos de

MM no secundário, mas não propôs um programa como fez D’Ambrosio.

265

Ressalte-se que o artigo de D’Ambrosio, propondo uma “matemática mais

moderna” foi, de certa forma, defendido e aprovado por Benedito Castrucci, uma

vez que este se mostrou solícito em apresentá-lo, não manifestando qualquer

crítica ao trabalho de seu ex-aluno. No mínimo, ao aceitar expor as idéias de

D’Ambrosio, Castrucci deve ter cogitado no sentido de que o pensamento de seu

ex-aluno poderia fomentar discussões e reflexões por parte dos congressistas,

importando dizer que ficariam sujeitas não só a eventuais críticas, como também

poderiam ser aprovadas. Vale dizer, D’Ambrosio estava respaldado pela

autoridade do professor Castrucci.

8.7. Participando de núcleos de estudos: a formação do GEEM

Na década seguinte, o jornal Folha de São Paulo, do dia 11 de outubro de

1960, publicou uma matéria intitulada “Professores de São Paulo visam a reforma

dos programas e métodos do ensino da matemática”, informando aos seus

leitores que havia sido dado início, na cidade de São Paulo, a um movimento de

reforma do ensino da matemática. Trazia como justificativa a verificação de que a

metodologia e conteúdos do ensino da matemática encontravam-se ultrapassados

em vista dos grandes avanços verificados nos estudos matemáticos, sobretudo a

partir dos anos 1950. Ainda segundo a reportagem, esse movimento encontrava-

se organizado em pelo menos três grandes núcleos de estudos. Um deles era

levado a cabo pela FFCLUSP, no Colégio de Aplicação, sendo orientado pelo

professor Benedito Castrucci, do Curso de Matemática e pelo professor Scipione

di Pierro Neto, professor do Colégio de Aplicação daquela instituição de ensino

superior

Neste mesmo ano, em dezembro de 1960, Castrucci, juntamente com os

professores Onofre de Arruda Penteado Junior, Scipione di Pierro Neto e Geraldo

dos Santos Lima Filho organizou um ciclo de palestras franqueadas aos

Outro grupo funcionava na CATEC (Centro de Aperfeiçoamento Técnico do Ensino de Ciências), mantido

pelo IBECC – UNESCO, em colaboração com o Centro de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário

(CADES). Este grupo visava elaborar cursos intensivos para professores do ensino médio de colégios

particulares e oficiais. Nos cursos eram discutidos métodos e processos para a apreensão da matemática e

também eram construídos materiais didáticos. Outro núcleo estava sob a coordenação da Secretaria da

Educação, sendo coordenado pelo professor Osvaldo Sangiorgi. Mantinha estreito contato com o CATEC e

propunha-se a realizar viagens pelo interior do Estado de São Paulo, ministrando seminários (JORNAL

FOLHA DE SÃO PAULO, 11 out. 1960).

266

professores interessados em melhorar a qualidade do ensino secundário,

realizado no Colégio de Aplicação da Rua Gabriel dos Santos, 34. Naquela

ocasião, Castrucci proferiu palestra intitulada “A idéia de conjunto no ensino

secundário” (Folha de São Paulo, 1960). A preocupação em implementar a

introdução da Teoria dos Conjuntos, portanto, já se apresentava no grupo

encabeçado pela FFCLUSP, em 1960.

O mesmo grupo de professores citados na Folha de São Paulo aparece

novamente, juntamente com o nome de Osvaldo Sangiorgi, em nota introdutória

de um artigo publicado por Ubiratan D’Ambrosio na Revista Atualidades

Pedagógicas no ano de 1961, intitulado “Álgebra moderna e a escola secundária”.

O autor da nota esclareceu que o artigo de D’Ambrosio foi publicado pelo Colégio

de Aplicação da Universidade de São Paulo, e ainda que,

... o presente trabalho do prof. Ubiratan D’Ambrosio nos chama a

atenção, de maneira lúcida, para a imediata necessidade de ser

introduzido o espírito da álgebra moderna nos atuais programas

do ensino secundário. Essas idéias, tão bem desenvolvidas nos

maiores centros modernos de ensino da Matemática, vem sendo

articuladas com entusiasmo e alto senso de responsabilidade

técnica e pedagógica por um grupo de professores universitários

da Universidade de São Paulo (Prof. Onofre de Arruda Penteado

Jr., Benedito Castrucci, Geraldo dos Santos Lima Filho, Scipione

Di Pierro Netto, O. Sangiorgi e outros) (BORGES, 2005, p. xviii).

Segundo Borges (2005)

, Ubiratan D’Ambrosio, ao examinar a lista dos

sujeitos referidos na nota introdutória, declarou que

... de todo esse grupo os únicos que estavam fazendo alguma

coisa nessa linha, eram o Sangiorgi e o Castrucci. Eles eram

muito ligados. O Sangiorgi iniciou o negócio da Matemática

Moderna e o Castrucci foi um dos primeiro a dar muito apoio a ele,

etc. E com isso os outros, o Geraldo na sombra de Castrucci, o

Onofre nada a ver com isso e o Scipione quase que numa, não

diria oposição, mas, correndo por fora (D’AMBROSIO, apud

BORGES, 2005, p. 170).

Dessa forma, D’Ambrosio faz sobressair o nome de Castrucci juntamente

com Osvaldo Sangiorgi como um dos principais propulsores do movimento de

reforma da MM.

Sobre a participação de Ubiratan D’Ambrosio no MMM ver dissertação de mestrado de Rosimeire

Aparecida Soares Borges (2005).

267

Ainda nos idos de 1960, Osvaldo Sangiorgi viajou para os Estados Unidos

com a finalidade de participar de um seminário de verão na Universidade de

Kansas, ocasião em que veio a conhecer o matemático George Springer que, por

sua vez, veio ao Brasil em 1961, especialmente convidado para lecionar em um

curso de aperfeiçoamento para professores organizado por Sangiorgi, que se

realizou nos meses de agosto e setembro, na Universidade Mackenzie.

Passo decisivo para a criação do GEEM, também em 1961:

Aí o Sangiorgi que era muito entusiasta foi para os Estados

Unidos, [...] ele trouxe para cá o George Springer, que era um

especialista dessa área muito inovadora e o Springer deu um

curso no Mackenzie, que todos nós assistimos, [...] Então eu

embrenhei também nesse movimento, e aí quando o Springer foi

embora nós fundamos um grupo de estudos sobre a matemática e

aí o jeito era fazer reciclagem dos professores (CASTRUCCI,

1988).

A vinda de George Springer foi garantida por um acordo entre a National

Science Foundation, a Secretaria da Educação e o Instituto Mackenzie. O curso,

realizado nos meses de agosto e setembro, contou com a presença de cerca de

25 professores, liberados pela Secretaria da Educação e recebendo uma bolsa de

estudos. Além da disciplina Lógica Matemática, lecionada por Springer, foram

ministradas as disciplinas Álgebra Linear, pelo professor Jacy Monteiro; Teoria

dos Conjuntos pelo professor Alésio de Caroli e Práticas de Matemática Moderna,

pelo professor Sangiorgi (BÚRIGO, 1989).

8.8. Atuando no GEEM: apropriando-se de preceitos modernos para o

ensino secundário

O GEEM foi fundado logo em seguida, em 31 de outubro de 1961. Desde o

princípio, Castrucci aderiu ao MMM, colaborando ativamente com o GEEM, onde

ministrou vários cursos sobre Teoria dos Conjuntos e Lógica, além de Geometria,

ramo em que era especialista e para o qual dedicava a maior parte de suas

pesquisas.

268

Uma justificativa para abraçar a causa do MMM foi dada por Castrucci em

entrevista concedida aos leitores do Jornal Folha de São Paulo, em 6 de fevereiro

de 1965, na matéria intitulada “Matemática Moderna torna o estudo mais

accessível”. Primeiramente, Castrucci fez saber que, uma das qualidades

apontada pelos professores no que dizia respeito ao trabalho renovador no ensino

de matemática, era que este permitia uma maior integração entre diversas

disciplinas. Especificamente, no caso da relação entre as ciências humanas e a

matemática, esta última não pretendia fornecer “os elementos qualitativos dessas

disciplinas, mas sim enriquecer a dimensão quantitativa dos fenômenos por elas

estudados”. Em um segundo momento, o artigo esclarece “Se nenhum outro

resultado fosse obtido pela Matemática Moderna, afirmou o professor Castrucci,

ela já estaria justificada por haver despertado o professor, tornando-o inquieto e

disposto a não fossilizar-se”.

Para Castrucci, o Movimento foi responsável, no mínimo, por fazer nascer

nos professores a preocupação com a forma pela qual se transmitiria a

matemática, independentemente do apego aos conteúdos, de maneira a ser

constantemente repensada a metodologia e o programa relativos ao seu ensino,

ao mesmo tempo que tornaria o professor mais dinâmico.

Ou seja, o motivo maior para a renovação do ensino secundário na forma

proposta pelo MMM, na visão de Castrucci, era a possibilidade de uma maior

comunicação entre as disciplinas, proporcionando aos professores, ao contrário

do que se observava até então, um estímulo capaz de tirá-lo da estagnação,

tornando-o apto para um grau de ensino mais moderno, instigante, vibrante, cheio

de vida.

No ano de 1960, Castrucci, juntamente com outros professores do ensino

superior, também se organizavam para discutir a matemática do ensino

secundário. Portanto, mesmo antes da criação do GEEM, a Teoria dos Conjuntos,

conteúdo que ainda não participava do currículo da escola secundária, já se fazia

presente nas palestras proferidas por Castrucci.

Pelos dados constantes na cronologia apresentada em anexo, pode-se

observar que, a maior parte dos cursos ministrados por Castrucci no GEEM, dizia

269

respeito à Teoria dos Conjuntos. Na impossibilidade de realizar uma exata

verificação da quantidade de assuntos tratados, nos diversos cursos ministrados

por Castrucci junto ao GEEM, podemos inferir, porém, que o professor deu ênfase

ao tema Teoria dos Conjuntos, dedicando-lhe igual ou maior atenção do que

aquela destinada à Geometria, considerando sua condição de reconhecido

geômetra. Além disso, o GEEM publicou, em sua “Série Professor”, de número3,

a obra “Elementos de teoria dos conjuntos” em 1967 e na de número 4,

“Introdução à lógica matemática” em 1973, ambas de autoria de Benedito

Castrucci.

8.9. Participando de Congresso: 1962

Castrucci participou do IV CBEM, realizado em Belém, Pará, entre 08 e 14

de julho de 1962, apresentando o artigo “Introdução do estudo algébrico de

sucessões através do espaço vetorial”. Os anais do Quarto Congresso Nacional

nunca foram publicados. Alguns de seus artigos foram incluídos na obra intitulada

“Matemática moderna para o ensino secundário”, publicado pelo IBECC e Editora

Universitária da USP, em 1962.

Em seu trabalho, com a finalidade de apresentar um estudo de espaços

vetoriais, para ser trabalhado no curso Colegial, Castrucci toma como exemplo o

tratamento algébrico dado às sucessões (ou seqüências). Para tanto,

primeiramente Castrucci define Espaço Vetorial sobre um conjunto K, munido de

operação produto e operação adição. Em seguida, define sucessão de números

reais, a operação adição para duas sucessões, a sucessão nula e a sucessão

oposta. Define ainda o produto de um número real por uma sucessão. Prova que

a sucessão de números reais é um Espaço Vetorial. Ao finalizar, deixou indicado

que a progressão aritmética trata-se de um Espaço Vetorial sobre R, que é

precisamente um Subespaço do Espaço das sucessões.

Em relação ao aspecto didático, Castrucci fez a seguinte observação:

... achamos mais importante mostrar a estrutura, sem dar-lhe

nome, como, também, deve ser feito em outros casos como o de

grupo, corpo, etc... O nome deve aparecer depois de motivada a

270

estrutura com vários exemplos, como o que apresentamos, ao

qual se podem acrescentar:

a) sucessão de números racionais, que é uma aplicação de N em

Q (corpo dos racionais) e, então, é um espaço vetorial sobre Q,

subespaço do exemplo estudado.

b) sucessão dos números complexos, aplicação de N em C (corpo

dos complexos), que nos dá um espaço vetorial sobre R ou

sobre C (1962, p. 261).

O trabalho de Castrucci, portanto, teve como pretensão ressaltar as

estruturas, mostrando as propriedades comuns das seqüências e das

progressões aritméticas, não interessando dar-lhe um nome, ou seja, não

importando a natureza dos elementos dos conjuntos considerados, e sim, se os

conjuntos satisfaziam ao mesmo sistema de relações fundamentais. Assim, o

tratamento a partir dos Espaços Vetoriais também estava relacionado à

valorização do rigor, da linguagem dos conjuntos e das estruturas matemáticas

como base da unidade matemática.

8.10. Elementos de Teoria dos Conjuntos

Como terceira publicação do GEEM, “Elementos da teoria dos conjuntos”

publicada a partir de 1967, teve como objetivo fornecer ao professor secundário

os principais assuntos tratados na Teoria dos Conjuntos, de modo a auxiliá-lo no

desempenho de suas atividades junto aos novos conteúdos e abordagem

presentes no ensino da matemática com o advento da MM.

O destaque especial dado à Teoria dos Conjuntos, justificando a

publicação exclusiva, deveu-se ao papel preponderante que o assunto assumiu

no Movimento, tornando-se base para todos os ramos da Matemática, devido à

sua característica unificadora tanto no que diz respeito à linguagem quanto na

própria teoria matemática.

Benedito Castrucci, autor da obra, apoiou-se especialmente em Bourbaki,

enfatizando, na introdução do livro, que a Teoria dos Conjuntos inaugurou essa

monumental obra francesa, justamente pelo seu atributo unificador, que, junto

com as estruturas, sustentavam a orientação moderna do ensino. Desse modo,

271

afirmou, essas noções básicas acrescidas de uma simbologia atualizada,

deveriam compor os currículos mais elementares de matemática, proporcionando

aos jovens, o mais cedo possível, a percepção da feição unificadora dessa

ciência.

Dentre os diversos livros utilizados para a composição do livro, citados por

Catrucci, encontram-se os de autoria de Lucienne Felix, “Mathématiques

elémentaires”, 1959; OECE, “Programme moderne des mathématiques”, 1962;

Nicholas Bourbaki, “Théorie des ensembles”, 1954 e “Algébre linéaires”, 1955;

Edson Farah, “Teoria dos conjuntos”, 1961; Birkhoff/MacLane, “Modern algebra”,

1944 e Jacy Monteiro, “Álgebra moderna”, 1964.

Em notas complementares, Castrucci empregou algumas noções de lógica,

porquanto considerasse que seus aspectos mais elementares deveriam ser

trazidos ao conhecimento dos alunos, o quanto antes. O capítulo composto pelas

noções de Lógica, juntamente com as notas complementares poderiam ser

deixadas de lado, sem prejuízo para o estudo da Teoria dos Conjuntos.

8.11. Participações em Congressos: 1966

Castrucci também participou do 5º CBEM, realizado na cidade de São José

dos Campos/SP, entre os dias 10 e 15 de janeiro de 1966. A organização desse

congresso ficou a cargo do GEEM, que instituiu a seguinte comissão

organizadora: Alfredo Pereira Gomes, Alcides Bóscolo, Alesio de Caroli, Benedito

Castrucci, Irineu Bicudo, Leônidas Hegenberg, Lucília Bechara, Luiz Henrique

Jacy Monteiro, Osvaldo Sangiorgi e Renate G. Watanabe.

Nesse congresso, o professor Castrucci coordenou a sessão de estudos

sobre Teoria dos Conjuntos. Durante a sessão solene de abertura, o professor

Castrucci fez parte da mesa diretora, sendo apresentado como Presidente do

Conselho Deliberativo do GEEM de São Paulo e representante do Instituto de

Pesquisas Matemáticas da USP (1966, p.20).

O resumo dos cursos apresentados no evento exibe os tópicos trabalhados

por Castrucci:

272

1. Conjuntos, conceito e notação. Subconjuntos. Conjunto das

partes. Conjuntos especiais.

2. Operações entre conjuntos: reunião, intersecção, diferença.

Complementação. Diagramas. Propriedades das operações.

3. Produto Cartesiano. Relações: conceitos, propriedades.

Composição.

4. Aplicações: conceito. Tipos de aplicações.

5. Operações: conceito, propriedades. Principais estruturas

(CBEM V, 1966, p. 31).

Comparando os tópicos apresentados no curso ministrado por Castrucci e

o Sumário da obra publicada “Elementos de teoria dos conjuntos” pelo GEEM,

também de sua autoria, verificamos que os assuntos tratados são os mesmos, na

mesma ordem.

Desse modo, fica sinalizada a preocupação de Castrucci com a

implementação do MMM, voltada de modo enfático para fomentar a introdução da

Teoria dos Conjuntos que, além do mais, ocupava lugar de destaque junto aos

reformadores da época quanto ao secundário. No entanto, seria de se supor que

daria destaque ao ensino da Geometria em conformidade com as prescrições

defendidas pelo MMM, uma vez que sua trajetória acadêmica revela uma

propensão para o estudo, pesquisa e ensino da Geometria.

8.12. Geometria: curso moderno

Em 1968, Benedito Castrucci também publicou,

pela editora Nobel, uma coleção denominada

“Geometria: curso moderno”, composta por três

volumes, em substituição ao compêndio “Lições de

geometria elementar”, que, segundo o autor, “durante

muitos anos mereceram a preferência dos estudantes,

o que nos foi provado pelas sucessivas edições”. Não

obstante o sucesso da obra, Castrucci considerou a

necessidade de trazer ao público uma nova coleção,

de modo a acompanhar o movimento de renovação do

273

ensino, que naquela época se achava em pleno andamento no Brasil

(CASTRUCCI, 1969).

A coleção teve como público alvo alunos do Curso Colegial e candidatos

aos exames vestibulares, o que permitia ao autor o uso de uma linguagem mais

formal.

Esses esclarecimentos, que constam do prefácio do primeiro volume de

“Geometria: curso moderno”, vêm acompanhados de outras informações, tanto no

que diz respeito ao tratamento destinado aos conteúdos ali contemplados, quanto

ao método empregado:

O nosso trabalho na chamada Matemática Moderna tem sido no

sentido de evolução e não de uma revolução, por isso, achamos

conveniente e útil não alterar a seqüência dos assuntos e

teoremas da Geometria, tratando-os apenas numa nova

linguagem, com base na Teoria dos Conjuntos, pondo em relevo

certos aspectos que constituem uma nova atitude e que nos livros

tradicionais não eram ressaltados [grifos nossos] (CASTRUCCI,

1969).

Ainda nesse prefácio, Castrucci opinou sobre a tentativa de algebrização

da geometria, defendida por renomados matemáticos reformadores:

Há um movimento para a substituição do conteúdo geométrico no

curso colegial e, talvez, no ginasial, por uma algebrização

Geometria, tratando-a como um capítulo da Álgebra Linear.

Acreditamos que esta inovação preconizada por grandes

matemáticos não possa ser feita imediatamente, pois a nosso ver

seria, no momento, um passo ousado [grifo do autor]

(CASTRUCCI, 1969).

Note-se que Castrucci referiu-se aos termos de evolução e revolução, o

que nos permite inferir que, ao se falar em evolução, não se prescinde

necessariamente daquilo que até então vigorava, não havendo, portanto, uma

ruptura brusca com os ensinamentos tradicionais, servindo estes até mesmo de

base justificadora do que se pretenderia implantar, ao contrário do se entende por

revolução, esta sim, verdadeiro meio, muitas vezes de se romper com uma dada

situação, impondo-se o novo pelo abandono de velhas práticas.

274

O que seria, então, na fala de Castrucci a evolução e a revolução? A

evolução, para ele, estaria na proposta de manter-se a seqüência dos assuntos e

teoremas da geometria, apresentando-os por meio da linguagem dos Conjuntos.

A introdução de conteúdos de Álgebra Linear no trato da Geometria representava,

todavia, uma ousadia, valendo dizer que tal posicionamento implicava em

verdadeira revolução, porém inoportuna, prematura para aquele momento.

Impunha-se, no seu entender, que se passasse por um processo gradual de

modificações, de modo a se concretizar a reformulação no ensino, como

preconizada por aqueles grandes matemáticos.

Confirmando esse posicionamento, a análise realizada por Leme da Silva e

Oliveira (2006), sobre a escolha de axiomas na construção da geometria,

utilizados por Castrucci nessa obra, vem confirmar esse posicionamento, uma vez

que as autoras constatam que a obra, preservou a Geometria Euclidiana com os

mesmos postulados e teoremas apresentados em seu livro anterior, “Lições de

geometria elementar”, de 1957. A diferença entre os dois livros ficou por conta da

colocação de uma nova linguagem, com base na teoria dos conjuntos, para o

“Geometria: curso moderno”, utilizando a axiomática de Hilbert.

8.13. A abordagem da Geometria durante o MMM

O estudo da Geometria, via Transformações Geométricas, é uma

abordagem que possibilita o tratamento da Geometria pelas estruturas algébricas,

consideradas pelo MMM como elemento unificador da Matemática. Entretanto,

não obstante o esforço de renovação sugerido para esse ensino, a Geometria

escolar sofreu um gradual abandono no Brasil, sendo que uma das causas

apontadas para esse abandono diz respeito à proposta defendida durante o MMM

de ser realizado um trabalho com a Geometria sob o enfoque das transformações,

o que levou os professores, que já enfrentavam problemas em relação ao

conhecimento na abordagem tradicional, a encontrar dificuldades ainda maiores

com a proposição de programas nos quais a Geometria era desenvolvida sob o

enfoque das transformações.

275

Beatriz D’Ambrósio (1987), afirma que a Geometria, até a década de 1980,

era relegada para a última parte dos livros didáticos e os tópicos de Geometria

propostos na década de 60, como as Transformações Geométricas, nunca

integraram o currículo. Além disso, apresenta uma agenda de cursos oferecidos

pelo GEEM no período entre 1960 a 1970, na qual permite observar que a

geometria não foi uma área muito discutida, apresentando um número bastante

reduzido de cursos com enfoque na Geometria, se comparado aos demais.

Reduzido também foi o número de matemáticos ou educadores

matemáticos que se dedicaram à Geometria, destacando-se, entre eles, Benedito

Castrucci (DUARTE; SILVA, 2006).

Embora o ensino de Geometria não tenha sido efetivamente integrado ao

currículo, Elisabete Zardo Búrigo (1989), relata que a partir de 1969, vários cursos

organizados pelo GEEM incluíram a temática das Transformações Geométricas.

Comenta ainda, que, em 1965, já era desenvolvida no Ginásio do Brooklin uma

experiência para introduzir novos conceitos de Geometria, como os de

Transformação Geométrica, Isometria e Homotetia.

Uma outra via também defendida pelos reformadores seria dar à

Geometria um tratamento vetorial. Ao ser indagado sobre o que pensava sobre o

ensino da Geometria Euclidiana e Analítica através de vetores, Castrucci (1978)

relembrou que essa idéia surgiu com o advento do MMM, especialmente

preconizada por Dieudonné, para quem a Geometria se fazia de maneira mais

rigorosa por meio de Espaços Vetoriais e devendo ser introduzida já no primeiro

ensino de Geometria plana, no primeiro grau. Continuando, afirmou que Papy

escreveu uma obra sobre geometria plana por meio do estudo de vetores, voltada

para alunos de 13 anos, tendo como conseqüência, o surgimento do estudo da

Geometria Analítica também por meio de vetores, para essa fase de ensino.

O depoimento oral de Castrucci (1988) revela as preocupações dos

educadores com o modo pelo qual a Geometria poderia ser incorporada aos

princípios do MMM:

276

... se nós estávamos fazendo um movimento, em que tudo tinha

que nascer da teoria dos conjuntos e da idéia de estrutura, que

era o princípio geral, então, como a geometria axiomática não está

encaixada nisso, como é que eu vou dizer axiomas, teoremas e

tudo o mais? [...] não é uma estrutura algébrica, não é uma

estrutura topológica, não é uma estrutura de ordem, então, temos

que modificar isso aí. Então, para a geometria ficar coerentemente

dentro dessa linha, em todos os países, se faria a Matemática

Moderna, então estudaram uma maneira de sair disso. Então o

processo foi sair uma geometria também por meio da estrutura

algébrica. Daí fizeram o estudo da geometria, já no ginásio, por

meio de planos vetoriais que é uma estrutura algébrica, então a

geometria é dada, logo no início, vetorialmente, [...], e outro

caminho foi pelos grupos de transformação, também uma

estrutura algébrica, já uma idéia do Klein, mas agora passada a

limpo, não é, poderia funcionar (CASTRUCCI, 1988).

A fala de Castrucci especifica as possíveis aproximações do ensino de

Geometria com as idéias centrais defendidas pelo MMM. Em relação às

estruturas, o matemático constatava as dificuldades encontradas na elaboração

de um curso de Geometria para o ensino secundário apropriando-se dessas

idéias, mas apontou duas tendências pelas quais os reformadores procuraram

enveredar: Espaço Vetorial e Geometria das Transformações.

Ensinar Geometria, em conformidade com os preceitos do MMM revelou-se

frustrante para Castrucci. Segundo seu depoimento, teria encontrado dificuldade

em ministrar cursos de Geometria Vetorial e das Transformações para os

professores. Acostumado a trabalhar com a Geometria axiomática euclidiana, os

resultados insuficientes obtidos nos cursos de formação de professores com a

nova Geometria para o secundário pareceu-lhe responsável pela supressão da

Geometria no secundário. Seu entusiasmo com a Matemática Moderna arrefeceu,

pois não conseguiu fazer com que os professores aceitassem o novo conteúdo de

Geometria. Essa constatação levou Castrucci a considerar que a tentativa de

renovação da Geometria durante o Movimento provocou o desaparecimento do

ensino da Geometria nas escolas. Mais ainda, segundo Castrucci, a não

aceitação da Geometria das Transformações e da Vetorial foi responsável por

deflagrar o “fracasso” do Movimento:

277

E o fracasso para mim foi na Geometria. É aí que começou o

fracasso, porque a Geometria... [...] então resolvemos dar essa

reciclagem também e eu como sou mais da área de geometria,

fiquei encarregado de fazer isso. Então eu dei um curso de planos

vetoriais. E os meus cursos todos tinham muito êxito, muitos

alunos e professores e dessa vez eu fracassei. Quer dizer, os

alunos não reagiram bem, acabaram não fazendo boas provas,

porque nós tínhamos muita avaliação, não é, e eles não se saíram

bem. Então eu disse, será que eu estou ficando mau professor?

Eu não soube apanhar bem a coisa, mas daí tentei mais um outro

curso em um outro lugar, também não funcionou. E os professores

então, aí eles diziam o seguinte, não ensinamos mais geometria,

porque a geometria anterior está errada, eu dizia, não, não está

errada. “Está errada porque não é moderna”. Então ensinamos só

álgebra e conjuntos. E aí ficou aquele impasse, e nós tentamos aí

ensinar... eu também dei um curso de geometria das

transformações, por isometrias, [...], fracasso maior ainda

(CASTRUCCI, 1988).

Castrucci reafirmou o fracasso experimentado ao tentar ensinar vetores

para o ensino secundário, especialmente para o 1º Grau (correspondente à 5ª a

8ª série do Ensino Fundamental), mas para o 2º Grau (Ensino Médio) sua posição

foi mais condescendente. Acreditava, para esse nível de ensino não haver tanta

dificuldade em ensinar Geometria Espacial e a Analítica por vetores, mas antes,

tal prática carecia ser estudada e experimentada. Além disso, dependia ainda da

“destreza” dos professores em ensinar por esse caminho. Entretanto, mesmo

admitindo a possibilidade de êxito em experimentações dessa natureza,

acrescentou: “se bem que eu acho que sempre resta uma grande quantidade de

propriedades geométricas que é melhor se estudar diretamente através do

desenvolvimento clássico axiomático” (CASTRUCCI, 1978).

Ainda sobre esse assunto, Castrucci (1978) acrescentou que essas

tentativas fracassadas provocaram o banimento do ensino de Geometria no

secundário, que se prolongou de tal maneira que se formou toda uma geração

que não aprendeu Geometria. Esta geração, por sua vez, entrou para a

universidade e lá também o ensino da Geometria foi combatido, “a não ser a

Geometria Diferencial e a Geometria Analítica (que, no fundo, uma é Álgebra e a

outra é Cálculo)”. O estudante, já sem o devido preparo no secundário,

igualmente não o adquiriu na universidade. Em conseqüência, ao retornar como

professor no secundário, não tem condições de lecionar Geometria, pois para

278

Castrucci, o professor não se encontraria em condições de responder aos

questionamentos dos alunos.

E, ainda, constatou, essa situação é mundial. Contatos realizados com

colegas estrangeiros durante sua participação no Congresso Internacional de

Educação Matemática ocorrido em 1977 permitiu-lhe verificar que o “fracasso”

nesse tipo de curso foi generalizado. Segundo Castrucci, o ensino via Geometria

das Transformações e da Vetorial para o secundário foi abolida, voltando-se ao

ensino clássico, um pouco mais suave, ou seja com mais apelo à intuição e

menos demonstrações (CASTRUCCI, 1978).

Entretanto, provavelmente, o abandono da Geometria a partir do MMM,

observado por Castrucci, apenas veio intensificar uma prática de não aceitação

da Geometria que já vinha sendo exercida pelos professores anteriormente ao

Movimento. Vale lembrar que, já no 1º Congresso Nacional de Ensino de

Matemática, realizado na cidade de Salvador, Estado da Bahia, em 1955, os

professores congressistas Moura Bastos e Eleonora Ribeiro advertiam sobre a

forma como vinha sendo sacrificado o Curso de Geometria em benefício da

Álgebra em alguns ginásios, chegando mesmo, em alguns deles, os alunos não

verem Geometria durante todo o curso (ANAIS CBEM, 1957). Esta discussão

sobre o quase desaparecimento da Geometria no ensino, voltou a ser motivo de

preocupação, em 1964, para o matemático Omar Catunda, que, juntamente com

a professora Martha Dantas, ao elaborar textos para a atualização do ensino de

Matemática na Bahia de acordo com o MMM, deparou com o problema da

abordagem da Geometria. Assim Dantas se expressa:

Já na década de 50, quando comecei a ensinar no curso

secundário, o abandono da Geometria euclidiana era notório. A

causa maior era, sem dúvida, o despreparo dos professores.

Também a apresentação milenar da Geometria euclidiana não

motivava o seu ensino. Era preciso reapresentá-la com uma nova

roupagem e foi o que fizemos, em 1964 [...]. Das recomendações

de eminentes matemáticos, deduzimos que o estudo da

Geometria, através das transformações geométricas, permite

assentar noções abstratas sobre bases intuitivas mais simples e

mais sólidas, tornando-as compreendidas melhor e facilitando a

demonstração de propriedades que os envolvem (DANTAS, 2002,

p. 4-10).

279

Nesse sentido, o MMM no Brasil, em relação à Geometria, assumiu dois

motivos para efetuar alterações no currículo: uma preocupação com o abandono

da Geometria, realçado em meados da década de 50, e adequação dos

conteúdos matemáticos a um novo padrão de educação, considerado “moderno”

e, portanto, mais eficiente e adequado aos novos tempos.

Castrucci (1988), em sua entrevista à Búrigo, afirmou que o MMM teve seu

início graças à disposição resoluta de matemáticos como Dieudonné e, de igual

maneira, seu término deveu-se às críticas proferidas por matemáticos da

categoria de Hans Freudenthal, Morris Kline, René Thom. Sobre a apreciação de

Thom, observou tratar-se de uma “crítica de um grande matemático, prêmio da

medalha Fields, prêmio internacional”. Observou ainda que, no Brasil, “na

Universidade de São Paulo, no IMPA, no Rio, grandes matemáticos não

concordavam com a Matemática Moderna, em nenhum momento” (CASTRUCCI,

1988). Embora certificasse que o ponto nevrálgico da renovação do ensino era a

Geometria e afirmasse não saber ao certo as causas da propagação do

Movimento, suas alegações encontravam-se marcadas pela presença

dominadora das idéias propaladas por renomados matemáticos. Desse modo,

para Castrucci, a participação e anuência dos matemáticos para modificações no

currículo do ensino secundário foram fatores marcantes e decisivos, tanto no que

dizia respeito à implementação da nova proposta de ensino quanto na rejeição e

crítica às bases em que se assentava. Portanto, na visão de Castrucci, o MMM se

impôs pelos matemáticos e feneceu, também, por eles.

Quanto aos aspectos positivos do MMM, Castrucci considerou que o

Movimento foi muito importante, especialmente porque os professores daquela

época, segundo ele, não se aprimoravam nos estudos, limitando-se a pegar o

livro didático, e “dar mais ou menos o livro até onde sabiam” (CASTRUCCI, 1988).

Os cursos de atualização exerceram papel primordial, pois propiciaram a esses

professores o entusiasmo pela continuação de estudos de conteúdos

matemáticos próprios do Ensino Superior.

Então, com aqueles cursos, como nós cobrávamos nos cursos,

que tinham certificados e que valiam os certificados, inclusive a

Secretaria da Educação aceitava a promoção e esses cursos

eram examinados muito seriamente, com avaliações longas.

280

Avaliação séria e vários professores davam o curso, então eles

passaram a estudar, começaram a gostar. Alguns deles gostaram

tanto que acabaram indo para o curso superior, eles estavam com

a vocação meio escondida, relaxados, sem entusiasmo, se

entusiasmaram indo para o curso superior. Então eu acho que

isso foi um grande valor, quer dizer, um despertar do professor

(CASTRUCCI, 1988).

Entretanto, a preocupação manifestada por Castrucci dizia respeito,

sobretudo, ao entendimento que o professor deveria ter dos conteúdos

matemáticos, sem explorar aspectos didáticos inerentes à prática docente. Sua

preocupação ia até a formação do professor, cabendo a este último “mexer com

os alunos e fazê-los trabalhar”, sustentando a idéia de que naquela época tanto o

ensino público quanto o particular estavam bons. Dessa forma, deixa entrever que

não haveria necessidade de uma preocupação que fosse além da formação dos

professores secundários, confiando na didática que até então era praticada

(CASTRUCCI, 1988).

A memória, “é tocada pelas circunstâncias, como o piano que ‘produz’ sons

aos toques das mãos”, sublinha De Certeau [grifo do autor], (2002; p. 163). O

toque das mãos de Castrucci, em sua tentativa de ensinar Geometria das

Transformações, produziu uma tal sonoridade, que o levou a crer que o abandono

da Geometria foi instaurado a partir do MMM. Tanto assim, que Castrucci (1988)

mostrou-se admirado pela insistência e determinação de Martha Dantas em

continuar ensinando Geometria pelas Transformações Geométricas para o

secundário: “... existem remanescentes da Matemática Moderna na Bahia, existe

a Martha Souza Dantas que ainda acredita que a Matemática Moderna deve ser

ensinada, [...] apresentando resultados da geometria ensinada por

transformações. Só sei que o que ela apresenta lá eu ensino na pós-graduação.

Se os alunos dela de lá aprendem é muito interessante, é excepcional. Mas não

tem mais nada, ninguém mais está ensinando isso”.

8.14. “Matemáticos são contra Euclides”

Com esta manchete, ou com este título chamativo, o Jornal O Estado de

São Paulo de 17 de janeiro de 1967, procurou dar ênfase a uma posição

281

generalizada de questionamento sobre o ensino da Geometria Euclidiana, até

então ministrado nas escolas secundárias.

Conforme a matéria, um grupo de professores estava procurando um modo

de contar aos colegas professores do ciclo secundário, “sem causar escândalo”,

que a Geometria de Euclides “já estava superada”. Esta constatação vinha sendo

discutida e alardeada por matemáticos modernos em diversos congressos de

educação, afirmou o articulista. Justificou suas afirmativas baseando-se nas

palavras do matemático Howard Fehr, para quem “já encerraram, há muito tempo,

todos os tesouros euclidianos num museu, onde o pó da história apagou

imediatamente seu brilho”

e também naquelas proferidas por George Papy, que

afirmou, segundo a nota, “o ensino da geometria euclidiana intoxica os jovens e

lhes impossibilita a compreensão dos novos horizontes da matemática moderna”

(O ESTADO DE SÃO PAULO, 1967).

Ainda segundo a matéria jornalística, dentre os professores que aderiram à

renovação do ensino da Geometria, encontrava-se a professora Lucília Bechara,

sendo identificada como “a maior adversária de Euclides”. Em seu depoimento,

Bechara declarou que “o modelo da geometria em bases modernas para o ensino

secundário ainda é o euclidiano, mas a abordagem deve ser feita através de

espaços vetoriais”. Assim, o ensino da Geometria por meio dos Espaços Vetoriais

eliminaria os vícios da Geometria Euclidiana, “cujas estruturas muito rígidas não

abre perspectivas para os estudantes e os impede de maiores compreensões no

curso universitário” (O ESTADO DE SÃO PAULO, 1967).

Uma semana depois, com o título “Matemáticos e Euclides”, o assunto

volta à tona no mesmo jornal, sob a alegação de que a professora Lucília Bechara

“não havia sido muito feliz nas suas declarações, sobre a posição da Matemática

Moderna diante da Geometria Euclidiana”. Assim é que, diante de tantas dúvidas

suscitadas e interpretações errôneas a respeito daqueles comentários proferidos,

Essa frase foi proferida por Fehr durante sua conferência na I CIAEM, em Bogotá, Colômbia, 1961.

Entretanto, essa citação feita por Fehr dizia respeito ao ensino de Geometria do curso superior e não ao

ensino secundário, como se poderia pensar. Convém ressaltar, que nessa mesma conferência, Fehr sustenta

que, para o ensino secundário, “o tratamento atual da Geometria de Euclides deve desaparecer. Contribui

pouco para os estudos posteriores e se encontra fora das correntes principais da Matemática”, e ainda que,

“não deveremos permitir jamais que uma dada Geometria domine os programas de ensino e do pensamento

dos homens de forma tal que impeça qualquer mudança, que é exatamente o que a de Euclides tem feito

durante os últimos cem anos” (FEHR, 1961).

282

o que criou certo mal estar entre os estudiosos da matemática do Estado de São

Paulo, e de modo a atender a curiosidade de leitores que estranharam as

afirmações de Bechara, O Jornal O Estado de São Paulo procurou por Benedito

Castrucci, na ocasião Diretor do Departamento de Matemática da FFCLUSP, o

qual emitiu a seguinte opinião:

Como tem havido dúvidas do que consiste a nova formulação do

ensino de Geometria na escola secundária, julgando muitos que

se trata de eliminação da geometria euclidiana, substituídas então,

por outra, naturalmente não euclidiana, devemos esclarecer que

absolutamente não pretendem os reformadores a supressão da

Geometria Euclidiana, que é uma aproximação muito boa para o

mundo físico em que vivemos e satisfatórias para as aplicações

técnicas (CASTRUCCI, 1967).

No entendimento de Castrucci, o ensino da Geometria Euclidiana seria

modificado, introduzindo-se a Álgebra Linear. Mas seria fundamentalmente a

mesma teoria,

Trata-se simplesmente de mudar o método de abordagem,

substituindo-se o ensino da geometria de Euclides pelo processo

axiomático – preconizado por ele mesmo – cuja obra é ainda hoje

base da grande maioria dos livros didáticos, pelo caminho que

pode ser feito por meio da álgebra linear. O livro de G. Papy, que

procura introduzir esse método novo traz, logo no início, um

axioma equivalente ao de Euclides, o que mostra que a geometria

por ele construída é euclidiana (CASTRUCCI, 1967).

Com este novo caminho, ao mesmo tempo em que se obtém os

conhecimentos geométricos por processos algébricos, coloca-se à

disposição do aluno um novo instrumento de útil aplicação nos

estudos futuros da Matemática, que é álgebra linear. Os

matemáticos como Dieudonné que afirmaram “abaixo Euclides”

não se referiram à geometria euclidiana, mas à abolição do ensino

segundo o livro de Euclides (CASTRUCCI, 1967).

Reforça, também, que esse novo método de ensino ainda estava em fase

de experimentação:

No curso ginasial, o problema é didático e de assimilação do novo

processo e isto está em fase de experimentação. Este é o trabalho

que o GEEM, com as devidas precauções, vem realizando com

seus cursos e trabalhos experimentais (CASTRUCCI, 1967).

283

Assim, para Castrucci, deixar de ensinar a Geometria da forma tradicional

não implicava no abandono da Geometria Euclidiana, que permaneceria viva, mas

acrescida da Álgebra Linear, se assim os experimentos comprovassem sua

eficácia para o ensino, ou seja, essa alteração estava condicionada ao sucesso

dos trabalhos e cursos experimentais.

Osvaldo Sangiorgi (1967), na mesma matéria jornalística, também foi

convidado para opinar sobre o assunto. Do mesmo modo que Castrucci,

argumentou que “a glória de Euclides é imorredoura” e os estudiosos, ao

exprimirem-se com ênfase nas novas reconstruções da Geometria Euclidiana

acabam por ser mal interpretados.

Sangiorgi considerou que o tratamento moderno dado à Geometria valia-se

das estruturas que a matemática dispunha naquela época. A estrutura algébrica

de Espaço Vetorial invocada na moderna abordagem da geometria vinha

enriquecendo os trabalhos experimentais de grupos de estudos europeus e

americanos, fixando-se em processos algébricos que aprimoravam o modo de

apresentação dos assuntos pertinentes à Geometria: “uma nova reconstrução de

Geometria Euclidiana com novas ferramentas”. Em continuação, afirmou, no

seguinte tom: “de qualquer maneira não parece haver justificativa que os

conhecimentos geométricos por intermédio de processos algébricos suprima a

geometria euclidiana” (SANGIORGI, 1967).

O pronunciamento de Sangiorgi não deixava de convergir para aquele

manifestado por Castrucci, ao comentar a repercussão da fala de Bechara sobre

o assunto.

Das alegações de Bechara, Castrucci, Sangiorgi e Fehr, podemos perceber

que as discussões giravam em torno da conceituação dessa nova Geometria,

aquela que procurava mesclar a Geometria Euclidiana clássica com a Álgebra

Linear, e conseqüentemente, sobre qual a metodologia mais adequada para

implementá-la nas escolas.

Cumpre, então, verificar qual era a Geometria que Castrucci defendia para

a escola secundária e como era apresentada e trabalhada em suas obras

didáticas, ao tempo da MM. Nesse período, mais precisamente no ano de 1967 e

284

juntamente com o professor Alcides Bóscolo, Castrucci publicou um manual

didático intitulado “Matemática: curso moderno”, para o curso ginasial. Nele,

intentamos verificar como Castrucci se apropriou das recomendações do MMM,

em especial, no que tange à adoção de novos métodos e conteúdos para a

Geometria.

8.15. Produzindo manual inovador para o ensino da matemática

Antes mesmo do advento do MMM, Castrucci já era autor de livros

didáticos do secundário

. Suas obras não traziam, ainda, as “vestes modernas”,

abalizadas pelo Movimento.

Em depoimento, contou que, solicitado pelos colegas a escrever livros de

Matemática Moderna, a princípio não se mostrou interessado. Instado a colaborar

com um colega, preocupado com o rigor necessário à elaboração do livro,

Castrucci consentiu em colaborar, escrevendo uma coleção publicada pela FTD

que, segundo ele, obteve relativo sucesso de vendas:

Depois do GEEM, aí alguns colegas começaram a escrever livros

de Matemática Moderna para o secundário, e eu não estava muito

interessado. Mas aí um colega meu disse, não, ajude a escrever

comigo, porque eu tenho medo na parte rigorosa escapar erro,

então escrevi uma coleção do FDT, mas essa coleção teve êxito,

era um livrinho até muito moderno, tinha muito coisa, e a gente

examinava inclusive estruturas, possíveis estruturas de operação

[...], então era um livro cheio de coisas assim (CASTRUCCI,

1988).

Com o falecimento desse professor, a editora indicou um outro, cujo nome

não foi mencionado e que “nunca esteve no movimento moderno, mas era moço e

ele lecionava com muita tarimba, muito bom professor de matemática”, para

auxiliá-lo na escrita do livro. Segundo Castrucci, o professor cortou quase tudo o

que fora escrito anteriormente, ditado pela sua experiência pedagógica, dentro de

Publicou, de 1944 a 1950, pela Editora Brasil, a coleção “Matemática para o curso colegial” juntamente

com João Batista Castanho, Edson Farah e Fernando Furquim de Almeida, (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951,

p. 177).

Pelas características descritas, infere-se que Castrucci referia-se à obra “Matemática: curso moderno”,

ciclo ginasial, ao que tudo indica, pelas informações extraídas de seu currículo entre 1967 a 1969, em autoria

com Alcides Bóscolo, que na época da elaboração da coleção era licenciado em Matemática, professor

efetivo por concurso do Magistério Secundário e Normal Oficial do Estado de São Paulo.

285

sua “linha didática”. Quanto mais subtraía os aspectos modernos introduzidos na

primeira coleção, “mais o livro vendia e eu cheguei a ganhar dinheiro com o livro e

o livro está sendo vendido até hoje”

100

(CASTRUCCI, 1988).

Ao mesmo tempo em que deixava aflorar uma certa frustração, exibia um

rasgo de ironia ao procurar evidenciar o enfoque que fora dado à didática em

detrimento da exposição dos conteúdos de Matemática Moderna, Castrucci

compensa esse sentimento, logo a seguir, com a revelação de que, de qualquer

modo, obteve lucro com a venda do livro didático.

8.16. As coleções “Matemática: curso moderno”, para o ciclo ginasial

Como o próprio título deste tópico indica, o termo “as coleções” fazem

referência ao surgimento de duas coleções homônimas para o ensino da

matemática moderna, intituladas “Matemática: curso moderno”. A antecedente, de

autoria de Osvaldo Sangiorgi, cujo primeiro volume foi publicado a partir de 1963

era destinada ao ginásio para uso no ano letivo de 1964, e uma posterior, de

autoria de Benedito Castrucci e Alcides Bóscolo

101

, cuja publicação teve início em

1967, destinava-se, igualmente aos cursos ginasiais.

Antes mesmo de passarmos a analisar como era constituída a nova

coleção didática para o curso ginasial de Castrucci e Bóscolo, consideramos

importante tecer alguns comentários sobre o livro didático de autoria de Sangiorgi,

intitulado “Matemática: curso moderno”, uma vez que essa obra, a partir do MMM,

constituiu-se em referência para outros manuais, os quais passaram a realizar

uma apropriação de suas propostas inovadoras (VALENTE, 2007). Uma de

nossas intenções é verificar em que medida Castrucci e Bóscolo apropriaram-se

dos assuntos presentes na coleção de Sangiorgi. O item a seguir busca

esclarecer os motivos pelos quais tomamos como fonte de análise a coleção

inovadora de Sangiorgi e não outro didático.

100

Tudo leva a crer que o parceiro de Castrucci tenha sido José Ruy Giovanni e a obra “A conquista da

matemática”, que foi reeditada pelo menos três vezes: 1971, 1982 e 1986.

101

Antes do MMM, Castrucci já havia editado, pela Editora Francisco Alves do RJ, uma coleção para o

ginásio, em parceria com Geraldo dos Santos Lima Filho, Doutor em Ciências Matemáticas pela FFCLUSP,

seu assistente na cadeira de Geometria Analítica, Projetiva e Descritiva e colega no Colégio Paulistano.

286

8.16.1. O nascimento de uma nova vulgata para o ensino da matemática

moderna

Com amplo apoio da imprensa, em meados de 1963, para uso no ano

letivo de 1964, a Cia. Editora Nacional lançou para os ginásios, o livro

“Matemática: curso moderno”, de autoria de Osvaldo Sangiorgi, com tiragem

inicial, para o volume 1, de 240 mil exemplares. Em seu prefácio, o autor explicou

que o programa desenvolvido na coleção fazia parte dos “Assuntos mínimos para

um moderno programa de matemática para os ginásios” elaborados pelo GEEM e

apresentado no IV CBEM, em 1962, e readaptados no “Curso de treinamento

básico para professores secundários” realizado em Brasília, 1963 (VALENTE,

2007).

A coleção atingiu extraordinário sucesso de vendagem, difundindo-se pelo

Brasil, de modo que, em 1965, “mais de 250 mil novos livros foram editados e

assim, anualmente, o livro com tiragens na casa dos 250 mil exemplares, até

1967, alcançando a sua 10ª edição, como atesta o “Mapa de Edições” da Editora”

[grifos do autor] (VALENTE, 2007).

Um dos fatores que pode justificar tal aceitação e penetração de sua obra,

deriva da constatação de que Sangiorgi já contava com grande prestígio, desde a

década de 1950, como conceituado autor de livros didáticos (VALENTE, 2007).

A partir de 1963, Sangiorgi lançou, então, como se disse, uma nova

coleção, intitulada “Matemática: curso moderno”, que foi pioneira na introdução de

conteúdos da Matemática Moderna e obteve um sucesso editorial maior ainda.

Sangiorgi era renomado professor em escolas de referência, reconhecido

pela sua eficiência como professor particular na preparação de alunos às provas e

exames, ativo participante em congressos nacionais para discussão dos

programas de ensino de matemática e em cursos para professores, com amplo

acesso à imprensa e de reconhecida autoridade matemática devido à sua

formação acadêmica na FFCLUSP.

Dotado dessas qualidades, gozava junto à Cia. Editora Nacional, à classe

professoral e perante as autoridades educacionais responsáveis pela elaboração

287

oficial dos programas, de tal posição de destaque, que lhe possibilitou, inclusive, a

elaboração de um livro didático contendo novas diretrizes para o ensino de

matemática, as quais ainda não dispunham de legislação oficial que lhe dessem

respaldo:

A nova coleção de matemática moderna alterou por completo a

organização do ensino de matemática para o ginásio. Sangiorgi,

ao que tudo indica, traçou uma estratégia para não depender de

portarias ou qualquer outro tipo legislação educacional, de modo a

referenciar o novo programa nacionalmente. Elas, por certo, iriam

se arrastar a um tempo imprevisível (VALENTE, 2007).

Desse modo, os livros didáticos dessa coleção, apresentaram-se como

produtores de significados e posições, que foram posteriormente apropriados não

apenas para a produção de outros livros didáticos como também de programas

curriculares.

Assim, uma nova vulgata (Chervel, 1990) surgiu com a publicação, em

1963, da coleção "Matemática – curso moderno” de autoria de Osvaldo Sangiorgi,

posto que esta se constituiu em fonte de referência para a elaboração de obras

didáticas posteriores.

Contrariamente à constatação de Chervel (1990), no sentido de que há

uma tendência para rejeição de obras inovadoras, pelo fato trazerem, como o

próprio nome diz, inovações, significando estas um rompimento com práticas

didático-pedagogicas já consolidadas, a obra de Sangiorgi, entretanto, como bem

observou Valente (2007), apesar de inovadora, tornou-se um best-seller.

Assim, a coleção elaborada por Sangiorgi traz a marca da modernidade, e

na condição de obra precursora, passou a ser apropriada por outros autores que

procuraram fazer uma releitura da mesma, embora sem alterações significativas,

de tal modo que, a partir da publicação da coleção “Matemática: curso moderno”,

inicia-se uma nova vulgata, quando começaram a ser elaborados novos livros

didáticos tomando como referência a obra inovadora de Sangiorgi.

Passemos, então, a examinar a coleção “Matemática: curso moderno”,

aquela de autoria de Castrucci e Bóscolo, procurando identificar como esses

288

autores se apropriaram das idéias e métodos inovadores presentes no livro

didático de Sangiorgi.

8.16.2. “Matemática: curso moderno” de Benedito Castrucci e Alcides

Bóscolo: considerações gerais

Com o título de “Matemática: curso moderno” Benedito Castrucci e Alcides

Bóscolo deram início, em 1967, à publicação de uma série de livros didáticos pela

Editora FTD e destinados ao ciclo ginasial, em atendimento aos reclames da

reforma do ensino, de acordo com o MMM. Os autores justificaram a posição

assumida alegando que

A modernização do ensino da Matemática que no Brasil, como em

quase todas as partes do mundo, está empolgando todos quantos

possuem uma parcela de responsabilidade na educação dos

jovens é sem dúvida um movimento irreversível que não pode

prescindir da preciosa colaboração dos professores em exercício

(CASTRUCCI, BOSCOLO, 1967).

A primeira edição, do primeiro volume da série, datado de 1967, trazia

como ilustração em sua capa, para todos os volumes da coleção, a representação

de uma correspondência biunívoca entre dois conjuntos por meio de diagramas,

em que os elementos de cada conjunto encontram-se representados por letras

maiúsculas. Somente as cores de fundo das capas foram alteradas, para cada

uma das séries da coleção.

Posteriormente, essa capa foi substituída por outra que trazia a parte

superior ilustrada em fundo branco

102

, com cinco desenhos iguais, de copos

contendo uma flor vermelha dentro de cada um deles. A parte inferior, em fundo

amarelo, trazia o título “Matemática” em caracteres pretos e subtítulo “curso

moderno” em verde, bem como os nomes dos autores e da editora.

102

Somente no primeiro volume (1ª série), da primeira edição, encontramos essa capa ilustrada com copos e

flores. Os outros volumes os quais tivemos acesso já apresentavam capa com a representação de uma

correspondência biunívoca entre elementos de dois conjuntos por meio do Diagrama de Venn.

289

Ilustração idêntica a que aparece na capa dessa edição é encontrada no

capítulo relativo à “Correspondência Biunívoca” do mesmo manual e foi utilizada

para explicar o que vem a ser esse conceito:

“a cada flor corresponde um e um só copo e cada copo é

correspondente de uma e uma só flor”. Diz-se por isso que “o

conjunto de flores e o conjunto de copos d’água foram colocados

em correspondência biunívoca ou correspondência um a um”

[grifos dos autores](CASTRUCCI; BÓSCOLO, p. 16, 1967).

Pode-se concluir, então, que a ilustração com copos e flores que emoldura

a capa do primeiro volume, fazia menção à noção de conjuntos eqüipotentes, ou

seja, em que se verifica a correspondência biunívoca entre os conjuntos.

Inferimos, dessa forma, que as ilustrações contidas em todas as capas,

procuravam evidenciar o destaque que os autores tributaram à modernização por

meio da linguagem da Teoria dos Conjuntos na coleção.

Conforme se encontra mencionado no prefácio, o primeiro volume tinha

como pretensão expor, de modo rigoroso, o programa de matemática vigente, por

intermédio da introdução de recursos modernos, com o intuito de facilitar o ensino

e aprendizagem de matemática. Assim, os autores propuseram-se a apresentar

de modo intuitivo as primeiras noções de conjunto, como também, fazer

sobressair as propriedades estruturais das operações fundamentais no conjunto

dos números naturais e no conjunto dos números racionais. Buscaram,

igualmente, fazer uso de símbolos lógicos utilizados na Teoria dos Conjuntos,

exemplificando, no próprio sumário, os símbolos concernentes à “implicação”

“ ”, e ao da “equivalência”, “  ”. Alertavam ainda aos leitores que, apesar de

conservar, no desenvolvimento do conteúdo, um caráter prático intuitivo,

procuraram substituir, sempre que fosse possível, a simples verificação

experimental das propriedades por um procedimento dedutivo, considerado como

“mais fecundo, iniciando os jovens alunos no estudo lógico que os aguarda nas

series seguintes (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1967)”.

Os títulos dos capítulos, tópicos, algumas ilustrações, assim como algumas

frases ganharam destaque, sendo representadas em caracteres vermelhos. Além

disso, encontram-se centralizados e emoldurados por uma figura retangular,

290

enquanto que alguns subtítulos foram colocados à direita da página, de modo

que, como assuntos basilares, sobressaíssem em relação aos demais conteúdos.

Na contracapa do prefácio, foram acrescentados esclarecimentos a

respeito dos exercícios que compõem a obra, os quais foram apresentados em

duas séries. Assim, de acordo com os autores da obra, a primeira das séries de

exercícios, mais simples, encontra-se exibida imediatamente após a exposição de

cada tópico, de modo que pudesse ser resolvida na própria classe, a critério do

professor. A segunda série de exercícios é apresentada após cada capítulo, e diz

respeito aos diversos assuntos tratados no capítulo, sendo destinada à fixação do

que foi ensinado, sendo acompanhada das respostas dos exercícios. O último

capítulo é composto por problemas com números naturais e decimais, todos com

resposta e, os mais difíceis, também com sugestões para sua resolução.

Em alguns exercícios, aqueles considerados pelos autores como “simples”

e propostos logo após a explanação de determinado conteúdo, encontram-se

delimitados espaços para que os alunos pudessem responder as questões no

próprio manual, desenhando ou preenchendo as lacunas tracejadas para essa

finalidade.

(CASTRUCCI; BÓSCOLO, p 11, 1967).

Como desfecho de alguns capítulos, os autores acrescentaram um tópico

intitulado “Leitura”, quando recorreram à trechos da História da Matemática como

recurso didático para motivar e esclarecer algumas idéias matemáticas

291

exploradas no assunto. Desse modo, a primeira “Leitura” é dedicada a

comentários sobre a vida de Cantor e sua contribuição para a Teoria dos

Conjuntos, abordando especificamente a idéia da correspondência biunívoca.

A modernidade também impunha novas técnicas de comunicação com o

leitor. Novos métodos, novos procedimentos são experimentados, levando em

conta o desenvolvimento cognitivo do aluno. Tais inovações também eram

sentidas no manual didático, o qual trazia uma comunicação inspirada num

diálogo diretamente travado com o aluno. Assim sendo, ao esclarecer sobre as

respostas dos exercícios, os autores advertem:

Daremos a resposta somente daqueles mais difíceis, ou melhor,

daqueles menos fáceis. O mesmo critério será usado nos

capítulos seguintes.

Mas, seja esperto! Não comece a resolução, olhando a resposta

[grifos dos autores] (CASTRUCCI; BÓSCOLO, p. 17, 1967).

O índice foi anexado no final do volume. A tabela I (Anexo II) mostra, à

esquerda, os tópicos constantes no índice para a 1ª série do manual de Castrucci

e Bóscolo, e, à direita, os de Sangiorgi

Procedendo comparação entre os índices da primeira série do livro didático

de Castrucci e Bóscolo e do livro de Sangiorgi, pode-se notar a ocorrência de

supressão de alguns tópicos no livro de Castrucci e Bóscolo, mas pela verificação

dos assuntos e da forma como foram trabalhados dentro dos manuais, pudemos

observar que, a maioria dos tópicos encontrados na obra de Sangiorgi foi

igualmente abordado, utilizando método semelhante, a deste último. Assim, por

exemplo, apesar de não citarem contagem em outras bases (item 1 do primeiro

volume), Castrucci e Bóscolo dedicaram algumas linhas para esse assunto. Não

fizeram, igualmente, uso da expressão “operações inversas”, mas expuseram as

relações equivalentes no interior do livro didático (Ver Anexo II, Tabela I).

Uma das sugestões constantes nos assuntos mínimos propostos pelo

GEEM (1962) recomendava enfatizar a idéia de conjuntos no tratamento dos

números naturais, além de destacar as propriedades estruturais das operações.

No livro didático de Castrucci e Bóscolo, as operações adição e subtração de

292

números naturais foram iniciadas a partir das noções de reunião e intersecção,

utilizando-se a noção de função:

A operação adição encontra-se assim definida:

A operação que a cada par ordenado de números inteiros faz

corresponder a soma do primeiro com o segundo, chama-se

adição

Assim:

(3, 5) 8

o



parcelas adição soma

[grifo dos autores] (CASTRUCCI, BÓSCOLO, 1967, p. 61).

A idéia de função e par ordenado faz-se presente, desse modo, nesse

primeiro volume, embora sem que os autores definissem explicitamente essas

noções.

As propriedades das operações também foram abordadas no manual de

Castrucci e Bóscolo, utilizando-se a notação algébrica, após a verificação de cada

propriedade com a ajuda de números pequenos, com o intuito de esclarecê-las.

Para a propriedade associativa da multiplicação, por exemplo, têm-se:

Numa multiplicação de três fatores, pode-se associar os dois

primeiros ou os dois últimos fatores, indiferentemente.

Assim,

(3x 5) x 10 = 3 x (5 x 10); (8 x 1 ) x 3 = 8 x (1 x 3); ...

De um modo geral:

(a x b) x c = a x (b x c)

quaisquer que sejam os números inteiros a, b e c [grifos dos

autores] (CASTRUCCI, BÓSCOLO, 1967, p. 89).

O segundo volume do “Matemática: curso moderno”, dos autores Castrucci

e Bóscolo também empregaram recursos para acompanhar as inovações

lançadas no primeiro volume, tanto no que dizia respeito à materialidade da obra,

quanto nos recursos metodológicos e inserção de conteúdos, utilizando uma

linguagem fortemente baseada na Teoria dos Conjuntos:

Seguimos a mesma orientação utilizada no 1º volume,

desenvolvendo com simplicidade e clareza os diversos assuntos

constantes de um moderno programa de Matemática para as

escolas de grau médio (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1967).

293

Os assuntos tratados procuravam seguir o programa e as sugestões

expostas pelo GEEM nos “Assuntos mínimos para um moderno programa de

matemática para o ginásio” de 1962.

O que se observa é que Castrucci e Bóscolo promoveram uma alteração

na seqüência de apresentação dos assuntos em relação ao índice apresentado

por Sangiorgi. Assuntos referentes a números proporcionais, regra de três e

porcentagem aparecem em Castrucci e Bóscolo depois de ser estudado o

conjunto dos inteiros relativos. Além disso, no primeiro capítulo, os autores deram

continuidade à apresentação do conjunto dos números racionais, já iniciada na

primeira série. Embora não destacados, conteúdos relativos à Álgebra encontram-

se presentes na coleção: expressões, sentenças abertas, variáveis, conjunto-

universo, conjunto-verdade, importância da linguagem simbólica na resolução de

problemas, fases para a resolução de problemas são alguns tópicos trabalhados

por Castrucci e Bóscolo no interior do livro (Ver Anexo II, Tabela II)

Castrucci e Bóscolo dedicaram à Geometria os volumes 3 e 4, quando

procuraram salientar a dedução a partir de um desenvolvimento de caráter prático

e intuitivo, diferentemente da metodologia utilizada em obras anteriores ao MMM.

O terceiro volume do “Matemática: curso moderno” foi publicado em 1969.

Embora apresentasse os dois primeiros capítulos dedicados à Aritmética, a

ênfase do livro foi dividida em dois temas: a Álgebra (distribuída em nove

capítulos) e a Geometria (distribuída em oito capítulos e um apêndice), sendo que

a Geometria aparece a partir da metade do manual.

Os assuntos do volume 3 das coleções Castrucci/Bóscolo e Sangiorgi

encontram-se discriminados na Tabela III do Anexo II.

Desde o primeiro capítulo do livro de Sangiorgi e a partir do capítulo 3, do

livro de Castrucci e Bóscolo, nota-se que a Álgebra ganhou proeminência, em

conformidade com os preceitos do MMM, já que, o programa de matemática

oficial, anterior ao Movimento (Portaria 966 e 3045 de 1953) não contemplava a

parte algébrica para esta série. Além disso, a Álgebra, nos novos cursos, deveria

ser ensinada de modo que sua estrutura – o seu caráter dedutivo – se tornasse

aparente (GEEM, 1962) (Ver Anexo II, Tabela III).

294

Castrucci e Bóscolo optaram por trabalhar a parte algébrica enfatizando

formas de representação literal, expressões literais; expressões equivalentes, uso

do quantificador universal

 , técnicas de fatoração, expressões monômias e

polinômias, operações, produtos notáveis, sistemas de equações, cálculo e

reduções. Deixaram como último capítulo da parte algébrica, um tópico destinado

ao conjunto dos números reais.

Enquanto Sangiorgi iniciou a abordagem do conjunto dos números reais já

no primeiro capítulo, Castrucci e Bóscolo reservaram para esse assunto o capítulo

XI, volume 3, ou seja, o último capítulo. Os autores versaram sobre a ampliação

dos conjuntos numéricos até a obtenção do conjunto dos números reais. Citaram

as relações de igualdade, de ordem e as definições das operações. Quanto às

propriedades relativas a estas definições, apresentaram uma recapitulação

concisa do assunto, em que essas propriedades não são demonstradas e

tampouco são exemplificadas:

Deveríamos agora dar as definições das relações de igualdade,

maior e menor, bem como as definições de soma, produto,

quociente, ..., no conjunto dos números reais.

Entretanto, deixaremos para outra oportunidade, pois entendemos

que tais conceitos fogem à compreensão dos alunos do ciclo

ginasial (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1969, p. 140).

Em seguida, Castrucci e Bóscolo explanaram sobre a correspondência

biunívoca entre o conjunto dos números reais e a reta, fornecendo a

representação geométrica dos números reais. Destacavam a também o fato do

conjunto dos números reais ser denso.

Em relação à Geometria, iniciada no capítulo XII, os autores anunciaram

que tomaram como base a Geometria Euclidiana.

Para desenvolver seu estudo, procuraram fazer uso freqüente da intuição,

mas apresentando os temas numa seqüência lógica. Além disso,

Como entendemos que a parte de Geometria não deve ser

sacrificada, como felizmente sói acontecer, tentamos desenvolvê-

la dentro de um esquema mínimo que pensamos deva ser

integralmente lecionado (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1969).

295

No capítulo XIII, dedicado ao estudo dos ângulos, os autores deram início

ao tratamento dedutivo. Até aquele momento, haviam introduzido vários conceitos

geométricos, ora apresentados intuitivamente, ora por meio de uma definição.

Algumas propriedades geométricas anunciadas foram verificadas intuitivamente,

pela observação e experimentação em figuras:

Também foram enunciadas diversas propriedades geométricas.

Muitas foram verificadas intuitivamente, pela observação e pela

experimentação em figuras; foi o que ocorreu quando concluímos,

por exemplo, que “por dois pontos distintos passa uma e uma só

reta” [grifos dos autores] (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1969, p. 175).

Enquanto algumas outras propriedades

... foram demonstradas, isto é, através de uma seqüência de

afirmações verdadeiras, que exprimem conceitos já conhecidos e

propriedades já verificadas, chegamos à propriedade desejada, ou

seja à conclusão; foi o que ocorreu quando concluímos, por

exemplo, que “dois ângulos opostos pelo vértice são

congruentes”. [grifos dos autores] (CASTRUCCI; BÓSCOLO,

1969, p. 140).

Assim sendo, consideraram os autores que, era chegada a hora de

esclarecer ao leitor sobre a importância e a necessidade das demonstrações em

matemática. Comentários sobre esse assunto foram realizados ao final do

capítulo XIII, com o subtítulo “Postulados e teoremas”, composto dos seguintes

itens: Conceitos geométricos, postulados e teoremas, por que necessitamos de

demonstração em Matemática? Hipótese e tese de um teorema.

A participação do aluno antes da formalização de conceitos, de modo a

torná-lo mais apto à compreensão do desenvolvimento dedutivo, não era

metodologia adotada pelos livros didáticos tradicionais, anteriores ao MMM. A

constatação experimental por meio de exercícios exploratórios, com o uso de

instrumentos tais como compasso, esquadro e transferidor, de modo a levar o

aluno a tirar as conclusões possíveis e justificá-las foi recurso largamente utilizado

na parte dedicada à Geometria. Por exemplo, comparações entre segmentos,

para verificar se são congruentes ou se um deles é maior que outro, são

justificadas por meio do uso do compasso.

296

Exemplificando, vejamos como os autores abordam o caso de congruência

L.A.L. (lado-ângulo-lado). Primeiramente, esse caso de congruência foi expresso

por meio de postulado: “Se dois triângulos têm dois lados e o ângulo em que

estão compreendidos respectivamente congruentes, então, os triângulos são

congruentes”. Em seguida, solicita ao leitor que realize a construção de dois

triângulos ABC e MNO, nas condições do enunciado. E, dando continuidade,

esclarecem:

Por meio de uma régua ou de um compasso, é fácil verificar que,

nessas condições, AC Ł NO.

Portanto, os dois triângulos têm os lados respectivamente

congruentes e, então, são congruentes.

Este caso é indicado pela sigla LAL (lado – ângulo – lado) [grifos

dos autores] (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1969, p. 187-188).

Sobre a definição de ângulo, os autores adotaram a seguinte

apresentação: “Sejam duas semi-retas

OA e OB de mesma origem O não

colineares, isto é, com retas suportes distintas. A figura constituída por duas semi-

retas, de mesma origem e não colineares, chama-se ângulo” [grifos dos autores]

(CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1969, p. 140). Trata-se de definição semelhante

aquela adotada por Hilbert:

“Let Į be any arbitrary plane and h, k any two distinct half-rays

lying in Į and emanating from the point O so as to form a part of

two different straight lines. We call the system formed by these two

half-rays h, k an angle and represent it by the symbol <(h,k) or

<(k,h) [grifos do autor] (HILBERT, 1938, p. 13).

Uma das características da geometria axiomática proposta por Hilbert parte

de conceitos não definidos, como ponto, reta e plano, sendo escolhidos

postulados que, a partir deles, são deduzidos os teoremas, sem tomar por base a

noção de medida. Apesar de observarmos em obras de Castrucci uma tendência

a apresentação da geometria pela teoria axiomática de Hilbert

103

, tanto naquelas

dedicadas ao ensino superior como também em “Geometria: curso moderno”,

esta última destinadas aos alunos dos últimos anos do secundário e interessados

103

“Fundamentos da geometria: estudo axiomático do plano euclidiano” (1978), “Lições de geometria plana”

(1960), “Fundamentos da Geometria” (1972), “Geometria: curso moderno” (1969) são algumas obras de

autoria de Benedito Castrucci que seguem as formulações axiomáticas de Hilbert.

297

em aprovação no vestibular, verifica-se que a teoria axiomática de Hilbert

continua presente na coleção destinada ao ginásio, porém, os autores

acrescentaram outra formulação baseada no tratamento métrico da teoria da

medida.

Os autores recorreram a vários questionamentos como forma de justificar o

primeiro postulado contido em um sistema dedutivo de formulação métrica tipo

régua-transferidor elaborado e recomendado pelo SMSG (1960). que afirma:

“dados dois pontos distintos, existe uma e uma só reta que os contém”

104

. Este

postulado aparece no livro didático da seguinte forma:

Nesse livro didático, após a definição do termo segmento, os autores

introduzem o conceito de medida, da seguinte forma:

104

O postulado acima mencionado refere-se à unicidade da reta por dois pontos distintos, mas não

propriamente da medida, de associar a reta a uma régua, a um sistema de medida. A régua foi usada como

instrumento de verificação experimental, mas poderia ser uma régua sem medida como a de Euclides.

298

Se medirmos um seg AB com uma régua ou com um metro, ou

ainda com outro instrumento próprio, e encontrarmos 6 cm, isto

significa, como sabemos, que a medida do seg AB com a unidade

cm é 6. Fixada uma unidade de medida, fica associado a cada

segmento um e um só numero real positivo, que é a sua medida.

[...] Medida é um número e comprimento não é um número, mas

sim um atributo comum a segmentos congruentes entre si.

Distância: Dados dois pontos M e N, distintos, chama-se

distância geométrica de M a N, o comprimento do segmento MN.

A medida do segmento MN, chama-se distância métrica [grifos

dos autores] (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1969).

Destacam-se dois aspectos em relação à essa explicação. A primeira,

relativa ao instrumento de medição, utilizando régua ou metro, e a outra, o realce

dado ao valor da medida como um número real positivo e a definição de distância.

A forma como foram abordados os conceitos de distância e comprimento

sugere semelhança com as recomendações o SMSG (1960). O “postulado da

distância”, conforme elaborado pelo SMSG, é enunciado da seguinte forma: “a

todo par de pontos distintos corresponde um único número positivo”, o que

permite definir: “A distância entre dois pontos é o número positivo dado pelo

postulado da distância. Se os pontos são P e Q, então a distância é indicada por

PQ” e “a distância AB é chamada comprimento

de AB [grifo do autor] (COSTA,

1985, p. 53).

O modo como outros conceitos geométricos foram abordados também

parecem seguir as explicações gerais explicitadas por Birkhoff e apropriadas pelo

SMSG. Como por exemplo, a utilização do transferidor para medir ângulos, com

acompanhamento da figura do transferidor para maior esclarecimento do leitor.

Entretanto, não há, na coleção elaborada por Castrucci e Bóscolo, qualquer

menção sobre quais autores foram consultados durante a elaboração da obra.

Um outro aspecto que chama a atenção nesse livro didático diz respeito à

inclusão, em forma de apêndice, de um estudo das principais transformações

geométricas no plano. Para tanto, Castrucci e Bóscolo ofereceram a seguinte

explicação: “Há um apêndice, que reputamos importante na orientação moderna,

que é o referente às transformações geométricas do plano, apresentadas de

forma intuitiva. Se possível não deve ser omitido” (CASTRUCCI; BÓSCOLO,

299

1969). Embora considerado importante, não mereceu maiores atenções por parte

dos autores.

O quarto volume da coleção segue a mesma orientação dos três primeiros

volumes, ou seja, a exposição foi feita dentro de um esquema mínimo para que o

livro pudesse ser desenvolvido, mas com o cuidado de não abandonar o rigor

necessário aos conceitos, informaram Castrucci e Bóscolo no prefácio da 2ª

edição. O livro encontra-se dividido em duas partes, a primeira dedicada à

Álgebra e a segunda a Geometria. A Geometria foi tratada rigorosamente, dentro

de uma seqüência dedutiva, embora apresentada com um mínimo de informações

e teoremas demonstrados sobre cada tema.

Os assuntos de que são objeto do quarto volume das coleções

Castrucci/Bóscolo e Sangiorgi acham-se mencionados no Anexo II, Tabela IV.

O capítulo VII do quarto volume foi dedicado ao estudo das funções, que é

realizado por intermédio da correspondência entre conjuntos e auxiliado pelo

recurso visual proporcionado pelo uso do diagrama de Venn nas explicações.

Do mesmo modo que no volume anterior, o apêndice tratou de assuntos

complementares, relativos ao tratamento moderno de semelhança, como

finalização do estudo das transformações planas iniciado no terceiro volume.

Notamos que, embora no sumário do livro de Castrucci e Bóscolo não

estipule detalhadamente os assuntos tratados, ao compararmos com o livro da

mesma série de autoria de Sangiorgi, observamos que seguem praticamente os

mesmos conteúdos, na mesma ordem. Modificações significativas aparecem no

apêndice, quando os autores privilegiaram assuntos diferentes, nas duas

coleções.

Observamos ainda que, nesse último volume de autoria de Castrucci e

Bóscolo, desapareceram os exercícios com lacunas utilizados para que os alunos

pudessem responder no próprio livro. A linguagem também assume um aspecto

mais formal, menos pessoal, sem formulações de questionamentos ou diálogos

com o leitor.

300

De todo modo, segundo os autores, os assuntos tratados em todos os

volumes da coleção procuravam seguir o programa e as sugestões expostas pelo

GEEM nos “assuntos mínimos para um moderno programa de matemática para o

ginásio” de 1962.

8.17. Castrucci e Bóscolo: sedimentando a nova vulgata

Notamos que Castrucci e Bóscolo procuraram seguir os passos de

Sangiorgi: mesmo título, diálogos com o leitor, fizeram uso de recursos visuais por

meio de ilustrações, esquemas gráficos e utilizaram-se da cor para estimular a

aprendizagem dos alunos.

Os tópicos abordados por Sangiorgi, mesmo quando não foram expostos

no índice da coleção didática de Castrucci e Bóscolo, de modo geral, acabaram

por ser explorados no interior da coleção. Pela comparação dos assuntos

tratados, pode-se notar a ocorrência de supressão de alguns tópicos no índice do

livro de Castrucci e Bóscolo, mas, pela verificação dos temas e da forma como

foram trabalhados dentro dos manuais, pudemos observar que, a maioria deles foi

abordada, utilizando metodologia semelhante àquela adotada por Sangiorgi.

Assim, para a primeira série do curso ginasial, Sangiorgi trabalhou as

operações inversas, introduzindo letras e outros símbolos, sendo o mais comum,

“o quadradinho”, denominados por Sangiorgi por “novas estruturas de problemas”,

referindo-se à uma nova forma de colocação de um problema com o auxílio de

figuras como o quadrado (1965, p. 79), elemento desconhecido no qual o aluno

deveria encontrar o valor numérico que substituísse o símbolo, já estabelecendo

condições para a introdução das equações do primeiro grau. Esse método não foi

utilizado por Castrucci e Bóscolo. As dízimas periódicas também não foram

trabalhadas por Castrucci e Bóscolo.

Embora não tenha sido especificado no sumário do primeiro volume,

Castrucci e Bóscolo dedicaram um tópico para o estudo dos números primos e o

processo de decomposição em fatores primos, isto é, a fatoração completa.

301

As duas coleções trabalharam operações definidas nos conjuntos

numéricos fazendo uso de uma notação mais ampla de símbolos lógicos, da idéia

de função e par ordenado. Exibiram ainda as propriedades relativas às

operações, sendo verificadas pelo emprego de exemplos numéricos e procurando

ressaltar o caráter estrutural da MM.

Além disso, do mesmo modo como na coleção de Sangiorgi, as

construções geométricas encontram-se espalhadas pelos capítulos, não

apresentando lugar específico para sua exposição. Outra semelhança observada

nas duas obras refere-se ao espaço reservado às Transformações Lineares. As

duas obras trazem esse estudo em apêndice do volume 3, enquanto que a Teoria

dos Conjuntos e Relações foram incluídas ao longo dos capítulos, não apenas no

terceiro volume como em toda coleção.

Diferença marcante, porém, aparece no assunto destinado ao apêndice do

segundo e quarto volume. Para a segunda série, enquanto Sangiorgi fez uma

exposição sobre os sistemas matemáticos, iniciando pelo estudo das relações

binárias, fazendo uso de grafos para representá-las, e, em seguida, discorrer

sobre as estruturas algébricas (semigrupo, monóide e grupo), Castrucci e Bóscolo

optaram por oferecer aos professores, “uma sugestão para a justificação das

regras dos sinais da adição e da multiplicação no conjunto dos números inteiros”.

Observa-se, porém, que as regras operatórias comentadas no apêndice foram

justificadas por meio de exemplos, levando-se em conta as propriedades

estruturais do conjunto dos números inteiros relativos, mas em momento algum

fizeram menção das estruturas algébricas (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1967). Para

a quarta série, enquanto Sangiorgi privilegiou os temas “Números complexos” e

“Mapas topológicos”, esses assuntos não foram considerados por Castrucci e

Bóscolo, que preferiram fazer uma revisão relativa à “Potenciação de números

racionais” e “Expressões polinômias”, além de dar continuidade ao estudo das

transformações do plano iniciado no terceiro volume, agora tratando da

semelhança no plano. Esse procedimento indica que os autores, apesar de

procurarem seguir os preceitos inovadores do Movimento, agiram com mais

cautela, não apresentando a mesma ousadia e a feição moderna oferecidas na

obra de Sangiorgi.

302

Leme da Silva (2007), em artigo que investiga como Osvaldo Sangiorgi,

apropriou-se de idéias e propostas relativas à geometria que circularam durante o

MMM, considerou que a obra de Sangiorgi foi inovadora, cuja diferença

fundamental com os livros tradicionais residiu em uma mudança na maneira como

os conteúdos de Geometria foram introduzidos e abordados. No livro “Matemática

curso moderno”, de Sangiorgi, um dos tópicos mais importantes na programação

referiu-se à construção lógica da Geometria, a partir de um processo de

exploração intuitiva com vistas ao desenvolvimento da Geometria dedutiva.

Do mesmo modo que Sangiorgi, Castrucci e Bóscolo cercaram-se de

cuidados ao iniciar as proposições geométricas, partindo de um processo intuitivo

de observação e exploração para, posteriormente, alguns dos teoremas propostos

serem demonstrados.

As duas coleções fizeram uso do termo “segmentos congruentes”, ao invés

de “segmentos iguais”. Em Castrucci e Bóscolo encontramos a seguinte

observação:

Segmentos congruentes ou segmentos iguais?

Como vimos, segmento é um conjunto de pontos. Ora, dois

conjuntos são iguais quando todos os elementos de um são

também elementos do outro, e no caso de segmentos isso

somente ocorre quando se trata do mesmo segmento.

Portanto, pode-se escrever: AB = AB, mas nunca AB = CD, se AB

e CD forem segmentos distintos, pois neste caso AB e CD são

congruentes e não, iguais [grifos dos autores] (1970, p. 153).

No entanto, não justificam essa alteração pela incorporação da linguagem

da Teoria dos Conjuntos, como fez Sangiorgi:

A fim de precisar a linguagem dos conjuntos que está sendo

usada, não se deve dizer que dois segmentos que possuem a

mesma medida são iguais e, sim, congruentes, pois um segmento

– como um conjunto de pontos – só é igual a si próprio

(SANGIORGI, apud LEME DA SILVA, 2007).

Em todo caso, essa preocupação com o uso preciso dos símbolos e

definições também foi enfatizada nas recomendações do SMSG. Nelas, foi feita

uma diferenciação cuidadosa entre igualdade e congruência, entre segmentos de

303

reta e seu comprimento, entre ângulos e sua medida. Para o SMSG o termo

congruência é cuidadosamente definido e usado cautelosamente (COSTA, 1985).

Inferimos que Castrucci e Bóscolo, ao abordarem o conceito de medida,

provavelmente levaram em conta o manual inovador de Sangiorgi (1966), que por

sua vez parece ter se apropriado das propostas de Birkhoff, expressas nas

recomendações do SMSG. A investigação de Leme da Silva aponta para essa

direção, no tocante à coleção didática de Sangiorgi:

... levantamos a hipótese de que a incorporação do conceito de

medida como um facilitador no estudo da geometria possa estar

ligada à proposta elaborada por Birkhoff e utilizada nos textos

experimentais dos EUA. Dentre eles, o que parece ter tido maior

influência no Brasil é o grupo norte-americano SMSG – School

Mathematics Study Group, iniciado em 1958, que produziu textos

para todos os graus do ensino elementar e secundário (LEME DA

SILVA, 2007).

Em suas considerações sobre a coleção didática de Sangiorgi, Leme da

Silva concluiu que Sangiorgi não assumiu uma postura radical, procurando

incorporar os elementos característicos dos diferentes posicionamentos

defendidos pelos reformadores em relação à Geometria. À Geometria Euclidiana,

dedutiva, acrescentou uma Geometria exploratória. Apesar de não aderir à

Geometria das Transformações, reservou espaço para essa abordagem no

apêndice do volume três. Esses mesmos procedimentos em relação à Geometria

também se encontram presentes na coleção de Castrucci e Bóscolo: a

incorporação do conceito de medida, provavelmente apropriado das

recomendações do SMSG; procuraram partir de uma Geometria experimental

para gradativamente introduzir uma formulação dedutiva de conteúdos da

Geometria Euclidiana. Reservaram, igualmente, espaço para a Geometria das

Transformações nos apêndices dos volumes três e quatro.

Essas discussões acerca do melhor método para ensinar Geometria

também se faziam presentes nas organizações governamentais. A esse respeito,

cumpre destacar a solicitação, feita em 1965, pelo Departamento de Educação do

Estado de São Paulo para que fosse elaborado um documento contendo

sugestões de programa para a cadeira de Matemática por uma comissão

composta por Benedito Castrucci (presidente), Osvaldo Sangiorgi (secretário),

304

Luiz Mauro Rocha, Renate Watanabe e Alcides Bóscolo. Para a terceira série do

curso ginasial, essa comissão sugeriu, relativamente à Geometria: construções

com régua e compasso, transformações geométricas elementares: translação,

rotação e simetria

105

. Entretanto, os membros da comissão divergiram sobre

como deveria ser o ensino da geometria na nova proposta em relação aos

conteúdos. Resta saber, até que ponto Sangiorgi e Castrucci concordaram com a

sugestão final da comissão, uma vez não houve unanimidade entre os

componentes da comissão (MABUCHI, 2000). É possível que seja esse o motivo

pelo qual a Geometria das Transformações aparece como apêndice em ambos os

livros didáticos. Isso de certa forma indica que tanto Castrucci/Bóscolo quanto

Sangiorgi mantiveram uma uniformidade de pensamento, porém divergente de

membros da comissão, os quais pregavam o ensino da Geometria com base nas

Transformações Geométricas, que dessa forma deveria compor o texto principal e

não ficar relegado ao um apêndice, como optaram os autores em seus didáticos.

Outro aspecto a ser destacado diz respeito à alegação de Castrucci,

constante em seu depoimento de 1988, quando disse ter sido convidado pela

editora para elaborar, em parceria com um professor, um livro didático moderno,

na qualidade de assessor daquele professor quanto ao rigor matemático da obra.

É possível, portanto, que as inovações contidas no livro de Castrucci e Bóscolo

tenham sido sugeridas por Bóscolo, cabendo a Castrucci a supervisão

matemática do compêndio, afora emprestar autoridade à obra.

Em nosso entendimento, ambas as coleções mostraram aspectos

inovadores e muitas são as semelhanças entre os livros didáticos quanto ao

tratamento dos assuntos expostos. Ainda assim, foi possível verificar que a obra

de Sangiorgi exibia uma maior quantidade de exemplos, exercícios e ilustrações.

Em Sangiorgi, o diálogo mantido entre o autor e o leitor é mais direto, mais

evocativo, estimulante, manifestando-se em todos os tópicos exibidos. Já no

didático de Castrucci e Bóscolo, apesar de percebermos certa mobilização por

105

Para a terceira série ginasial, Sangiorgi assinala que o programa elaborado estava de acordo com os

“Assuntos mínimos” para um moderno programa de Matemática aprovado pelo MEC no Curso de

Treinamento Básico para Professores Secundários, realizado em Brasília, em 1963, e “Sugestões para um

roteiro de programa para a cadeira de matemática” da Secretaria de Educação de São Paulo, publicadas no

Diário Oficial de 19 de janeiro de 1965 (SANGIORGI, 1966).

305

parte dos autores para entabular um diálogo com os leitores, esses convites

mostraram-se tímidos, escassos e esparsos entre os volumes analisados.

Dessa forma, por meio do exame dos procedimentos adotados por

Castrucci e Bóscolo para a elaboração de sua coleção, percebemos movimentos

de apropriação da inovadora obra de autoria de Sangiorgi, tanto no que se refere

à metodologia empregada, quanto na inserção de uma nova programação para o

ensino moderno de matemática.

8.18. Benedito Castrucci e as relações entre a matemática e educação

matemática

Comment construire une axiomatique qui

satisfasse à nos exigences?

Gustave Choquet

Da mesma maneira como evidenciamos fases na trajetória de Omar

Catunda, pontuamos, neste último tópico, momentos significativos da trajetória

profissional de Benedito Castrucci, identificando sua atuação na construção de

formas didáticas para o ensino secundário.

I. Numa primeira fase, após o término da graduação, Benedito Castrucci

tornou-se assistente de Giacomo Albanese, cuja prática acadêmica e conselhos

foram apropriados por Castrucci, e, como bem observou Pires (2006), Castrucci

pouco se deixou envolver pelas idéias bourbakistas, fiel à tradição italiana.

Afeiçoado ao tratamento axiomático para a Geometria segundo Hilbert, trabalhava

com segurança naquela teoria. Desse modo, consideramos que dificilmente iria

abandonar esse sistema para navegar em outros sistemas postulacionais, onde

as demonstrações são diferentes daquelas preconizadas por Hilbert.

Assim, em suas obras sobre Geometria, Castrucci seguia a axiomática de

Hilbert e, durante o MMM, usou abundantemente da Teoria dos Conjuntos,

empregando profusamente a notação simbólica. Tinha excelente domínio da

Lógica e fazia freqüente uso de quantificadores, em obras voltadas para o ensino

secundário. Era a Geometria tradicional com uma nova roupagem, novo

simbolismo. É possível falar em um “planejamento hilbertiano” de ensino de

306

Castrucci, isto é, em uma apropriação do sistema postulacional de Hilbert, em que

procurou dar uma outra conformação mais pormenorizada, mostrando como a

Geometria é construída passo a passo, de modo que pudesse ser aceita pelo

professor secundarista. Nesse sentido, fica patenteada a preocupação de

Castrucci com a implementação do Movimento, voltada enfaticamente para

fomentar a introdução da Teoria dos Conjuntos que, além do mais, ocupava lugar

de destaque junto aos reformadores da época.

Ademais, a presença de Castrucci nos cursos dados pelo GEEM conferia

autoridade matemática ao Movimento, representando uma iniciativa para

alteração das práticas pedagógicas dos professores. Esta autoridade provinha de

sua posição como renomado matemático, posto que figurava como Diretor do

Departamento de Matemática da FFCLUSP, contava com diversas viagens de

estudo ao exterior, possuía diversas publicações em revistas especializadas, além

de participar de bancas examinadoras de concursos para professores do ensino

superior e secundário. Assim, em diversas ocasiões, ocupava lugar de destaque

em congressos, coordenando sessões de estudos, fazendo parte da mesa

diretora como Presidente do Conselho Deliberativo do GEEM e representando o

Instituto de Pesquisas Matemáticas da USP. Nesse aspecto também, representou

importante ligação entre o caráter científico atribuído à proposta da Matemática

Moderna e sua aceitação pelos professores.

II. Num segundo momento, encontramos Castrucci na posição de quem

reconhece que a Geometria moderna idealizada seja por transformações, seja por

Álgebra Linear, defendidos por matemáticos como Klein e Dieudonné não se

impôs. Embora Castrucci tenha tentado ensinar a Geometria das Transformações

ou a Vetorial nos cursos do GEEM, não obteve bom êxito. Contudo, essa

experiência permitiu-lhe concluir que a causa do “fracasso” do Movimento deveu-

se à geometria, quando se buscou introduzir nas escolas a Geometria das

Transformações ou a vetorial, provocando, inclusive, o desaparecimento do

ensino da Geometria nas escolas.

III. Numa terceira etapa, consideramos a produção dos livros didáticos de

Castrucci elaborados em co-autoria com Alcides Bóscolo, quando constatamos

que esses autores se apropriaram de conteúdos e métodos adotados por

307

Sangiorgi, segundo as semelhanças apresentadas pelas respectivas coleções, a

partir de sua confrontação.

Entretanto, a coleção de Sangiorgi obteve estrondoso sucesso, ao contrário

daquela de autoria de Castrucci e Bóscolo, a qual alcançou apenas um relativo

sucesso de vendas. Muitas causas podem ter concorrido para essa diferença.

Afora o ineditismo, o sucesso da obra de Sangiorgi deveu-se à uma melhor

apresentação do livro, com forte apelo gráfico, dotado de ilustrações mais

elaboradas e modernas, além de uma comunicação mais envolvente com o leitor,

instigando-o a responder questões e resolver problemas. Possivelmente,

Sangiorgi dispunha de uma verba maior do que os outros autores, graças ao seu

sucesso editorial anterior, o que lhe proporcionava amplo acesso à editora.

Igualmente, Sangiorgi era comunicativo, pertencia à classe dos professores

secundaristas, estava integrado à cultura deles, o que lhe garantia grande

prestígio e popularidade junto à categoria.

IV. Numa quarta e última fase, destacamos que o livro didático escrito em

co-autoria com outro professor, porém incógnito, não considerado por Castrucci

como um “bom matemático”, foi sucesso de vendas. Isto porque a coleção já não

trazia a idéia central dos reformadores: a unicidade da matemática por meio das

estruturas. Somente a Teoria dos Conjuntos permaneceu, como linguagem

unificadora dessa ciência.

308

CAPÍTULO 9

LUIZ HENRIQUE JACY MONTEIRO, O ENSINO SECUNDÁRIO E O

MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA

“Um esgrimista intelectual do mais alto

nível”. Assim Osvaldo Sangiorgi definiu o

professor e amigo Luiz Henrique Jacy Monteiro,

em discurso inflamado publicado no Jornal “O

Estado de São Paulo”, em 06 de junho de 1975.

Jacy Monteiro havia falecido em 20 de maio

daquele ano.

Jacy Monteiro, como gostava de ser

chamado, nasceu no Rio de Janeiro, em 6 de julho

de 1921, mudando-se para São Paulo com dez

anos de idade, lugar em que iniciou seus estudos

primários. Já naquela época revelava tendência excepcional para com as ciências

exatas, levando seu pai, Ernesto Jacy Monteiro, famoso poliglota e tradutor, a

desejar que se tornasse engenheiro.

Amigos desde a juventude, Osvaldo Sangiorgi freqüentava o casarão em

que a família Monteiro residia, na Vila Galvão, em São Paulo. Juntos,

participavam de torneios de natação e ciclismo, nos quais Jacy Monteiro revelava-

se excelente atleta. Jacy Monteiro era ótimo nadador. Nadava em um lago, nas

309

proximidades da casa na Vila Galvão. A música de Vivaldi e Bach também

comparecia nas horas de descanso, no casarão da vila onde a família residia.

Bons momentos vividos e por isso mesmo relembrados com nostalgia por

Sangiorgi, naquela homenagem póstuma, ligando o sofrimento presente ao

passado alegre e vigoroso da juventude.

Jacy Monteiro casou-se em Martha Anna Dorothea Wallbaum, com quem

teve dois filhos, Luiz Henrique Jacy Monteiro Filho e Layse Helena Jacy Monteiro.

Segundo depoimento de Sangiorgi (1975), Jacy Monteiro não pudera

realizar estudos secundários regulares, devido a constantes mudanças de sua

família, para diferentes lugares. Essa condição, no entanto, não o impediu de ser

aprovado com brilhantismo nos exames de madureza presididos por Martin Egídio

Damy e somente realizados, naquela época, no tradicional Colégio do Estado de

São Paulo.

Sua perseverança permitiu-lhe ingressar no Colégio Universitário da Escola

Politécnica em 1940. Iniciou o curso na Escola Politécnica, mas segundo

depoimento de Jacy Monteiro Filho, seu pai não se adaptou às condições da

escola, devido à própria natureza do curso, que requeria conhecimentos de ordem

técnica, enquanto que Jacy Monteiro inclinava-se para a Lógica e à Matemática

pura. Todavia, o curso permitiu-lhe conhecer o professor Cândido Lima da Silva

Dias, que o incentivou a cursar ciências matemáticas na FFCLUSP (MONTEIRO

FILHO, 2005).

Ingressou na Faculdade de Filosofia em 1941, juntamente com outros

quatorze alunos, e diplomou-se em 1943, na companhia de quatro colegas de

turma. Em 1944, já pertencia ao corpo docente do Departamento de Matemática,

como assistente do professor Cândido Lima da Silva Dias, na disciplina de

Geometria Superior (ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1939-1949).

Com a vinda de Oscar Zariski, em 1945, para dar curso de extensão sobre

“Álgebra moderna” e “Introdução à Geometria Algébrica”, Jacy Monteiro foi

contratado como professor auxiliar de ensino, com a incumbência de assistir

aquele professor durante sua estadia no Brasil. Da mesma forma, quando Jean

Dieudonné visitou o Brasil em 1946, para dar curso de “Álgebra moderna” e

310

“Grupos de Galois”, novamente Jacy Monteiro passou a exercer a função de

auxiliar de ensino daquele curso.

Jacy Monteiro possuía prodigiosa memória, além de grande inclinação para

o aprendizado de idiomas. A memória e outras características ligadas à sua

personalidade foram motivos de comentários por parte de Sangiorgi. A esse

respeito, Sangiorgi escreveu:

Aparentemente, Jacy Monteiro se apresentava como fleumático,

introvertido, características que poderiam ser confundidas com

timidez, mas, na verdade, os que dele se aproximavam percebiam

nitidamente seu imenso calor humano, a retidão de seu caráter,

temperados por um fino senso de humor, amparados por

prodigiosa memória. Guardava com jocosa e extrema facilidade

números de telefone e datas importantes de seus amigos.

Lembro-me de certa ocasião, em que não me lembrava do meu

primeiro telefone, da casa em que morei na Vila Mariana. Cinco

anos depois da mudança de casa, Jacy, a um amigável desafio

provocado, reproduziu instantaneamente o número do antigo

telefone (SANGIORGI, 1975).

João Linneu do Amaral Prado, colega de Jacy Monteiro nos tempos em

que estudaram na FFCLUSP, também teceu comentários sobre aquela

excepcional memória:

Numa dessas partidas de xadrez entre Jacy Monteiro e Catunda,

pudemos perceber a agilidade mental de Jacy. Alguém inquiriu

como foi o desenrolar da partida e, então, Jacy recolocou,

imediatamente, todas as pedras nas suas respectivas posições e

em seguida refez toda a partida. [...] O Jacy era uma pessoa

sensacional e com uma memória incomum. Nas aulas, ele

anotava exatamente o que o professor desenvolvia, depois

distribuía para os seus colegas em folhas mimeografadas. Eu e os

demais colegas estudávamos através de seus apontamentos

(PRADO, apud BARALDI, 2000, p. 18-19).

Essa performance permitia a Jacy Monteiro, ao mesmo tempo em que

assistia os cursos dos professores estrangeiros, no caso de Zariski, em inglês, e

de Dieudonné, em francês, fizesse transcrições precisas da aula, traduzindo-a

diretamente para a língua portuguesa. Essas notas de aula proporcionavam aos

estudantes uma melhor compreensão da matéria lecionada que, de modo geral,

era bastante complexa. Posteriormente, Jacy Monteiro elaborou dois trabalhos:

311

“Teoria dos Ideais” e “Teoria dos corpos comutativos” volumes I e II, relativos às

notas de aulas do curso do professor Zariski (1945) e Dieudonné (1946)

respectivamente, e que foram publicados pela Sociedade de Matemática de São

Paulo (ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1939-1949).

Nesta particular relação entre professor e aluno na redação das lições,

exemplifica a dimensão coletiva da atividade didática, do modo como observou

Belhoste (1998), ao constatar que, apesar da preparação de aulas ser, em geral,

uma atividade solitária, sua redação é freqüentemente coletiva, quando os

professores deixam para um aluno a redação das aulas e, não raro, tais

apontamentos convertem-se em obras didáticas. Da mesma forma, as anotações

de Jacy Monteiro tornaram-se livros-texto, a partir das exposições realizadas por

Dieudonné e Zariski.

9.1. Correspondências com Catunda

Em 14 de setembro de

1946

106

, Omar Catunda escreveu,

da cidade de Miami (EUA), uma

carta para Jacy Monteiro. Nela,

Catunda agradecia a Jacy por

tomar conta da escrituração de

sua contabilidade em relação às

apostilas do Curso de Análise,

uma vez que Jacy ficou

encarregado de ministrar aquele curso. Sua preocupação dizia respeito à compra

e vendas das apostilas, além de despesas, provavelmente relativas à impressão

das mesmas, que estava sob a responsabilidade de um senhor chamado Giorelli.

Nesse sentido, esclareceu, já havia pago previamente Cr$ 4000,00, sendo

combinado que cada página custaria Cr$ 36,00, num total de 250 folhas. Catunda

tinha assuntos com a Livraria Italiana em São Paulo e com a Livraria Boffoni do

Rio de Janeiro. Solicitou também, que Jacy anunciasse a existência, para venda,

106

Essa carta e as demais a que se refere este tópico, foram disponibilizadas pelo Sr. Luiz Henrique Jacy

Monteiro Filho.

312

de nova edição de suas apostilas e que, dissesse a Benedito Castrucci e Edson

Farah, que prometia enviar, até novembro daquele ano, os originais relativos à

sua parte em determinado livro

107

Em 24 de fevereiro de 1947, nova missiva de Catunda ao amigo Jacy,

dessa vez de Princeton (EUA). Solicitava notícias do serviço de composição das

apostilas, a cargo de Giorelli e das vendas das mesmas.

Informou, também, sobre o interesse de um professor de matemática

chamado German Ancochea Quevedo, em obter as notas de aulas sobre o curso

que Zariski deu em São Paulo, e que ficavam sob a responsabilidade de Jacy,

considerando que ele as havia redigido.

Outra carta, datada de 15 de abril de 1947, também de Princeton, revelava

que Catunda mostrava-se preocupado com um possível transtorno na vida de

Jacy Monteiro: “Realmente para mim é mais cômodo acreditar que essas

apostilas não lhe estão dando trabalho; mas a consciência sempre me dói um

pouco; em todo o caso, muitíssimo obrigado” (CATUNDA, 1947b).

Na carta, Catunda deixou transparecer a preocupação com a saída de

André Weil da FFCLUSP e a necessidade de contratação de outro matemático do

mesmo porte para suprir o cargo em vias de ficar vago. A preocupação se

justificava pela possibilidade de que a Faculdade viesse a perder em qualidade,

em razão do desfalque em seu corpo docente, trazendo como resultado uma

queda de seu padrão de ensino, até então de excelência, acarretando, por sua

vez, uma perda de terreno por parte do Estado de São Paulo em relação aos

outros estados:

Também estou esperando confirmação da notícia que ouvi por

aqui; de que o Weil vai para Chicago em outubro. Diga ao

Candido que promova logo uma reunião para ver o que sugerem

para substituir. O Albert foi para o Rio, o Stone parece que

também vai para lá, e fala-se que o Von Neumann também. Será

que nós em São Paulo vamos ficar na rabeira? Este último é

107

Ao que tudo indica, trata-se do livro didático “Matemática”, para a 2ª série Colegial, em que Omar Catunda

redigiu o capítulo intitulado “Análise combinatória, binômio de Newton, determinantes e equações lineares”.

Foi publicado em 1948. A coleção, destinada ao curso Colegial, contou com diversos colaboradores: Edson

Farah, Fernando Furquim de Almeida, Benedito Castrucci e João Batista Castanho (ANUÁRIO DA FFCLUSP,

1939-1949, p. 617-118).

313

considerado uma das maiores capacidades que há por aqui. Ouvi

falar de um professor que disse que há três métodos para resolver

uma equação diferencial que não entra nos tipos conhecidos: 1)

por tentativa 2) por aproximação 3) consultando o Von Neumann

(CATUNDA, 1947b).

Realmente, a notícia de Catunda se confirmou. Em 1947, André Weil e

Jean Dieudonné seguem para os Estados Unidos, ocasionando a necessidade de

contratação de outro professor. Quem foi convidado a substituir esses dois

matemáticos bourbakistas foi outro bourbakista: Jean Delsarte, que veio para a

USP em 1948 (ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1939-1949). Ademais, os matemáticos

Marshall Stone e Adrien Albert ministraram cursos no Rio de Janeiro na década

de 1940 (SILVA, 2003a).

Como auxiliar de Jean Dieudonné, em 1947, Jacy Monteiro foi

contemplado com uma bolsa de estudos pela Rockefeller Foundation, por

intermédio de Zariski, o qual escolheu os alunos que obtiveram melhor

desempenho em Álgebra para fazerem curso no exterior.

Seguiu, assim, para os Estados Unidos no mês de setembro, indo

primeiramente para a Universidade de Harvard, para acompanhar as aulas dadas

por Oscar Zariski. Em seguida, dirigiu-se à Universidade de Chicago para

acompanhar o curso de Funções Algébricas ministrado por Saunders Maclane.

Jacy Monteiro retornou ao Brasil em março de 1949 e reassumiu suas

funções como assistente de Candido Lima da Silva Dias, na cadeira de

Complementos de Geometria e Geometria Superior, a partir de 02 de maio de

1949 (MONTEIRO FILHO, 2005).

Naquele mesmo ano, em agosto de 1949, o Curso de Matemática da

FFCLUSP mudou-se para a Rua Maria Antonia, o coração da vida intelectual

paulista.

9.2. Na rua Maria Antonia

Com a transferência da FFCLUSP para a rua Maria Antonia, esse local

veio a se tornar palco de acirrados debates políticos, onde entrecruzavam as mais

314

variadas personalidades ligadas às diversas áreas científicas, interagindo

docentes, alunos e funcionários, favorecidos pelo pequeno espaço físico de que

era dotada a instituição, a qual, no dizer do físico José Goldemberg, era

... provavelmente a maior densidade intelectual por metro

quadrado que jamais se reuniu na cidade de São Paulo. Naquelas

instalações acanhadas, em que os professores não tinham salas

para trabalhar, se acotovelavam milhares de alunos e grandes

professores como Fernando Azevedo, Eurípedes Simões de

Paula, Mário Schemberg e outros. Era a proximidade das pessoas

e os encontros no corredor que tornavam altamente interessante o

ambiente que se formou naquele edifício... (1988, p. 155).

O grêmio estudantil, situado bem em frente da entrada do Departamento

de Matemática, era freqüentado por alunos, professores da Faculdade e de outras

faculdades da redondeza ou mesmo do secundário, fascinados com sua

atmosfera. Um lugar com muito barulho, muita fumaça e por isso mesmo com

portas de vidro sempre bem fechadas, lugar de efervescência intelectual e

política, onde se misturavam catedráticos, assistentes e funcionários das mais

diversas especialidades.

Nesse clima, a Faculdade abria-se para receber alunos e professores,

tanto em suas atividades recreativas quanto em seus cursos.

Em geral, os cursos do terceiro e quarto ano do Departamento de

Matemática eram de natureza monográfica, ocasião em que eram oferecidos

estudos de publicações recentes, inovadoras, não raro com a presença de

professores do departamento ou de outros cursos que se beneficiavam dessa

atualização permanente. Nessas aulas,

...era comum um professor abandonar suas notas, normalmente

bem preparadas, e enveredar num processo criativo durante a

aula. Claramente estavam ali porque viviam aquilo que estavam

ensinando, criavam perante seus alunos e, sem acanhamento,

criticavam e anulavam algo que estavam tentando fazer. [...] Uma

pergunta ou um problema proposto a um professor era algo que ia

para casa com ele, e dias, às vezes semanas depois, vinha uma

satisfação, com a solução ou uma confissão de não ter

conseguido. Retomar uma linha de raciocínio uma, duas semanas

depois, era também algo comum. Aula era algo levado a sério,

trazido de casa para a faculdade e da faculdade para casa. Era

um envolvimento total do professor com seus alunos e com sua

315

missão. Docência e pesquisa era algo que se fazia em simbiose

(D’AMBROSIO, 1988b, p. 57).

Os mesmos professores zelosos com a formação matemática dos seus

alunos e com o desenvolvimento de suas pesquisas, também circulavam pelo

grêmio. O número de matemáticos e físicos que freqüentava o grêmio era

considerável e estes se dedicavam ao jogo de xadrez e ao pingue-pongue

(D’AMBROSIO, 1988b). Dentre eles, destacava-se Jacy Monteiro, como uma das

figuras

... mais ativas e queridas, pois, como professor do mais alto

quilate, prestigiava as atividades estudantis, desde a seriedade

com que presidia às eleições, até a participação entusiástica nos

torneios de xadrez e pingue-pongue, modalidades esportivas em

que era mestre e quase sempre saía vitorioso (SANGIORGI,

1975).

Com a vinda da Faculdade para a Rua Maria Antonia e considerando que

nessa instituição também funcionava a Sociedade de Matemática de São Paulo, a

sede desta foi igualmente transferida para as novas instalações da FFCLUSP.

9.3. Participando dos Colóquios Brasileiros de Matemática

Luiz Henrique Jacy Monteiro participou do 1o Colóquio Brasileiro de

Matemática

108

, que foi realizado na cidade mineira de Poços de Caldas, no

período de 1 a 20 de julho de 1957, contando com a participação de 49

professores de nove centros universitários brasileiros. A coordenação do 1

CBM

ficou a cargo do professor Chaim S. Hönig.

Naquela ocasião, professores universitários e pesquisadores de

Matemática ministraram cursos intensivos de suas pesquisas, contando com o

patrocínio do CNPq, em colaboração com órgãos similares federais e estaduais,

bem como de universidades brasileiras. Jacy Monteiro deu sua contribuição

ministrando um curso sobre “Teoria de Galois”, o qual foi posteriormente

108

Os Colóquios Brasileiros de Matemática foram realizados em Poços de Caldas até 1985, com exceção do

3º Colóquio, de 1961, realizado na Universidade do Ceará. A partir de 1987, 16º Colóquio, foram transferidos

para o IMPA/RJ (IMPA, 2007).

316

publicado, juntamente com o curso “Teoria dos números algébricos”, de autoria de

Fernando Furquim de Almeida, com financiamento do CNPq.

Já o 5

Colóquio Brasileiro de Matemática, igualmente realizado na cidade

de Poços de Caldas/MG, durante o período de 4 a 24 de julho de 1965, foi

coordenado por Jacy Monteiro. Esse encontro contou com 204 participantes,

nacionais e estrangeiros

109

(IMPA, 2007).

Sob a coordenação de Jacy Monteiro, o Colóquio inovou, distinguindo-se

dos demais encontros pela introdução de cursos de Pós-Graduação, com duração

de três semanas, destinados a instrutores e professores de Matemática de

diversas universidades brasileiras, além de cursos de nível avançado, 7

conferências e comunicações sobre resultados de pesquisas. Para os cursos de

Pós-Graduação, foram oferecidos os cursos de “Aplicações da Álgebra Linear à

Geometria Euclidiana” ministrado por Alexandre Augusto Martins Rodrigues e

“Tópicos de Análise”, por Carlos Alberto Buarque Borges.

Segundo informações de Alexandre Augusto Martins Rodrigues, contidas

na obra “Álgebra Linear e Geometria Euclidiana” publicada em 1969, “a aplicação

da Álgebra Linear à Geometria facilita a compreensão e o domínio da primeira

teoria. Acreditamos que o emprego generalizado dos métodos da Álgebra Linear

no ensino da Geometria no curso secundário é unicamente uma questão de

tempo”. Ainda segundo o autor, a origem do trabalho encontra-se no curso

desenvolvido na Escola Politécnica de São Paulo em 1959 e 1960. Para o leitor

que desejasse ampliar seus conhecimentos, o autor recomendou o livro de Jean

Dieudonné “Algébre Linéaire et Géométrie Élémentaire” (RODRIGUES, 1969, p.

1-2).

Os cursos avançados oferecidos no Colóquio ficaram a cargo de notáveis

matemáticos: Edwin Spanier, (Universidade da Califórnia), “Teoria da Obstrução”;

Gustave Rabson (ITA), “Probabilidades”; Otto Endler (IMPA/ Universidade de

Bonn) “Teoria de Galois Infinita” e Serge Lang (Universidade de Columbia),

“Aproximações Diofantinas”.

109

Segundo informações de Layse Helena Jacy Monteiro, que durante esse Colóquio trabalhou como

secretária, o número de participantes presentes foi de 315. Informa mais, que enquanto seu pai respondeu

pela coordenação, o professor Lindolpho de Carvalho, matemático do IMPA, foi

responsável pela parte

financeira do evento (Depoimento oral, 2007).

317

Jacy Monteiro igualmente participou do 7º Colóquio Brasileiro de

Matemática, realizado em Poços de Caldas/MG de 6 a 26 de julho de 1969. Esse

colóquio foi organizado pelo professor Gilberto Francisco Loibel, contando com a

participação de 312 pessoas inscritas. No 7º Colóquio, Jacy Monteiro ministrou

curso de iniciação científica com o tema “Teoria de Galois” (IMPA, 2007).

Durante esse colóquio, foi fundada a Sociedade Brasileira de Matemática,

onde Jacy Monteiro, além de sócio fundador exerceu as funções de Conselheiro e

Diretor de Publicações.

9.4. Organizando eventos, correspondências, revistas, periódicos ...

Relativamente ao vínculo mantido entre Jacy Monteiro e a Sociedade de

Matemática de São Paulo, antes de sua sede ser instalada na rua Maria Antonia,

cabe esclarecer que esse matemático era responsável pela publicação do boletim

dessa sociedade

110

, figurando como seu Secretário Geral durante o primeiro

mandato da Diretoria (1945-1948), sob a presidência de Omar Catunda.

No exercício daquela função, cabia a Jacy Monteiro as seguintes

atribuições:

a) atender a toda correspondência da Sociedade;

b) substituir o Presidente na falta do Vice-Presidente;

c) proceder nas sessões à leitura do expediente e à

comunicação das ofertas feitas ou recebidas pela Sociedade;

d) redigir e ler as atas das sessões da Sociedade;

e) organizar e manter o arquivo da Sociedade (Boletim da SMSP,

1946, p.12).

Posteriormente, com a eleição de nova diretoria, já estabelecida na rua

Maria Antonia, Jacy Monteiro passou a exercer a função de Diretor de

Publicações, além de participar da Comissão de Redação, composta por

Fernando Furquim de Almeida e Candido Lima da Silva Dias. Nessa nova função,

competia a ele:

110

O Boletim da Sociedade de Matemática de São Paulo publicou seu primeiro volume em 1946 e o último

em 1966 (SILVA, 2003a, p. 135).

318

a) administrar e gerir todas as publicações da Sociedade;

b) atuar como Presidente da Comissão de Redação;

c) indicar, entre os sócios da Sociedade, um ou mais membros

da Comissão de Redação, indicação esta que será submetida

à aprovação da Diretoria;

d) tratar das trocas das publicações (Boletim da SMSP, 1946, p.

12).

Cartões postais de vários países, como Venezuela, Iugoslávia, Romênia e

Japão

111

, da década de 1960, quando Jacy Monteiro já participava do GEEM,

indicam suas relações com matemáticos da época, revelando interesses comuns

entre eles, e assim, ora tratavam sobre artigos a serem publicados no BSMSP, ou

acerca de eventuais necessidades da própria Sociedade, ora a respeito de livros

dos quais necessitavam e, não raro, através dessa troca de correspondências,

mantinham-se informados sobre as atividades acadêmicas que vinham ocorrendo

no Brasil e no exterior.

Além disso, no exame de outros cartões postais, estes indicam um

relacionamento amigável entre Jacy Monteiro e os professores Osvaldo Sangiorgi,

Ubiratan D’Ambrosio, Leopoldo Nachbin, Chaim Hönig, dentre outros.

Artibano Micali, por exemplo, em 16 de julho de 1962, enviou-lhe um postal

de Paris, contendo os seguintes dizeres: “Jacy, Samuel

112

vai lhe mandar um

artigo sobre anéis fatoriais para ser publicado no próximo número BSMSP. O

curso sobre anéis fatoriais está quase pronto. Abraços, Artibano” (MICALI, 1962).

Do mesmo modo, valendo-se de correspondência postal, uma pessoa que

assinava como Nello

113

, também da cidade de Paris, em janeiro de 1963,

indagava-lhe: “Gostaria de saber como vão minhas relações com a SMSP.

Quanto? Quais as últimas publicações? Precisa você ou a SMSP de algo daqui?”

(NELLO, 1963).

111

Esses cartões postais nos foram gentilmente exibidos para consulta por Layse Helena Jacy Monteiro,

durante depoimento oral.

112

É provável que seja o matemático bourbakista Samuel Eilenberg. Trabalhou em diversas universidades

americanas, como Michigan, Princeton, Indiana e Columbia. Publicou trabalhos juntamente com Saunders

MacLane. Realizou conferências na FFCLUSP em 1952 (PIRES, 2006).

113

O prenome da pessoa que assinou como Nello está ilegível. É possível tratar-se do matemático Nelo da

Silva Allan professor da Universidade do Mato Grosso (UNEMAT), orientou diversos trabalhos na

UNICAMP/SP (SILVA, 2003b).

319

Com a extinção da Sociedade de Matemática de São Paulo e a criação da

Sociedade Brasileira de Matemática, em 1969, Jacy Monteiro continuou a

desempenhar funções semelhantes, dessa vez no cargo de editor do boletim.

O traquejo adquirido com as redações e publicações de notas de aulas

ministradas pelos professores estrangeiros que freqüentavam a Faculdade, bem

como por sua administração, organização de eventos científicos, planejamento na

criação de revistas, elaboração e distribuição de periódicos, além da facilidade em

comunicar-se com outras sociedades, das mais diversas partes do mundo, faziam

com que o professor Jacy Monteiro fosse procurado pelos colegas, a fim de

auxiliá-los na agilização da publicação de seus trabalhos ou mesmo

aconselhamento na produção de revistas.

Este foi o caso, por exemplo, de Candido Lima da Silva Dias, ao publicar

sua tese para o provimento da Cadeira X – Complementos de Geometria e

Geometria Superior, assim se expressando: “ao assistente L.H. Jacy Monteiro que

não mediu esforços para que esta tese fosse publicada em tempo útil” (1951, p.

17).

O mesmo pode ser dito em relação à tese apresentada por Chaim Samuel

Hönig, para provimento da Cadeira de Complementos de Matemática:

... ao Dr. Luiz Henrique Jacy Monteiro que reviu conosco a maior

parte do presente trabalho, sugeriu diversas modificações e ao

qual também se deve todo o trabalho de preparação material

desta tese. Sem os esforços e a dedicação do Dr. Luiz Henrique

Jacy Monteiro esta tese não teria ficado pronta em tempo útil

(1959, p. XII).

Na mesma linha dos personagens antecedentes, Jorge Leal Ferreira, editor

geral da Revista Brasileira de Física, ao apresentar o primeiro número da revista,

dedicou as seguintes palavras: “... ao prof. Luiz Henrique Jacy Monteiro, do

Instituto de Matemática e Estatística da USP, por ensinamentos valiosos que me

permitiram enfrentar os problemas iniciais da Revista” (1971, p. 2).

Entre 1953 e 1954, ainda como diretor de publicações da Sociedade de

Matemática de São Paulo, Jacy Monteiro colocou-se à disposição dos alunos para

a elaboração da revista “Notas de Matemática e Física”, uma publicação de

320

iniciativa dos alunos, com suporte técnico-teórico da administração da Faculdade.

Apesar de não ter comparecido com um artigo científico, como outros professores

fizeram, Jacy Monteiro colaborou com a revista cedendo endereços de

instituições no Brasil e no exterior, viabilizando a elaboração e distribuição de

exemplares juntamente com cartões-resposta, que visavam a correspondência

com os leitores e possíveis permutas entre revistas (DUARTE, 2005).

Sua dedicação e inclinação para a elaboração de apostilas, fizeram com

que adquirisse uma máquina de escrever elétrica da marca IBM, dotada de uma

esfera de tipos, que se fazia acompanhar de uma outra esfera com diferentes

tipos de caracteres próprios para a datilografia de símbolos matemáticos que,

para a época, era o que havia de mais sofisticado em termos de equipamento

tecnológico de pequeno porte

114

Jacy Monteiro participou ativamente das atividades do GEEM, desde sua

criação, ministrando cursos, publicando livros-texto, sendo, inclusive, responsável

pelo Departamento de Publicações do GEEM. Nesse cargo, competia-lhe gerir

todas as publicações do GEEM e manter as trocas de publicações com todas as

entidades congêneres (ROSA LIMA, 2006, p. v).

Jacy Monteiro também exerceu o papel de consultor da Editora Polígono

S.A.

No caso da Editora Polígono S.A., no ano de 1971, Jacy Monteiro recebeu

uma carta com os seguintes dizeres:

Temos a satisfação de enviar-lhe um exemplar do nosso mais

recente lançamento editorial.

Estamos empenhados na edição de livros Técnicos e Científicos

que proporcionam ao leitor o acesso aos conhecimentos tão

necessários ao bom desenvolvimento profissional.

Ficaremos muito honrados em receber de V. Sª, um parecer e

uma crítica sobre o livro ora enviado, bem como sua avaliação

quanto à possibilidade de ser adotado o ensino da matemática

nele apresentada.

114

Em 1961, a IBM, International Business Machines, lançou a máquina de escrever elétrica com uma esfera,

em que todos os caracteres foram colocados numa só unidade rotativa, eliminando o problema de tipos

encavalados, uma vez que um dos problemas apresentados nas máquinas de escrever comuns era que os

tipos ficavam colados uns nos outros se o datilógrafo batesse depressa (GARCIA, 2007).

321

Ao ensejo, estendemos um convite, para que nos envie sugestões

para futuros lançamentos, agradecendo à atenção dispensada

(SILVA, 1971).

A carta, assinada por Irene da Silva, responsável pelo setor de relações

públicas da editora, não traz dia e mês em que foi elaborada. Por meio dela,

podemos perceber o apreço que a editora devotava aos conhecimentos

matemáticos de Jacy Monteiro, denotando certo prestígio pelo seu caráter

intelectual e revelando, também, mais uma outra faceta profissional especializada

dessa personagem, o que pode indicar outra fonte de renda a par com aquela

proveniente do exercício do magistério e venda de livros.

Ao que parece, e baseados nas informações contidas na tese de Rute

Pires (2006), o matemático Jacy Monteiro não orientou trabalhos de mestrado ou

doutorado, no período 1950-1969. Registra-se apenas, a orientação da

dissertação de mestrado de Marly Mandia, versando sobre “Módulo das

diferenciais e sua aplicação em extensões”, defendida em 15 de agosto de 1974

(SILVA, 2003b) e sua participação na banca de doutoramento de Paulo

Ribenboim, em agosto de 1957 (PIRES, 2007).

Até 1959, L.H. Jacy Monteiro lecionou Álgebra Moderna na Universidade

Mackenzie, recebendo do Centro Acadêmico de Filosofia o título de Sócio

Honorário e o diploma de Honra ao Mérito, “testemunho do seu alto

relacionamento com os estudantes de Matemática e Física daquela Universidade”

(SANGIORGI, 1975).

Jacy Monteiro também exerceu a docência na Escola de Oficiais da Força

Pública do Estado do Alto da Cantareira (Barro Branco). Lá foi professor de

Álgebra e Trigonometria. Sangiorgi também lecionou nessa academia, em

substituição a Jacy Monteiro e ali pôde constatar e testemunhar sobre o alto

apreço que lhe era dispensado por aquela tradicional instituição de ensino militar

(SANGIORGI, 1975).

Monteiro faleceu em 1975, ao ser submetido a uma operação cirúrgica,

quando sofreu um derrame cerebral, motivando seu passamento.

322

9.5. Álgebra moderna e álgebra linear: novos conteúdos para a cadeira de

Complementos de Geometria e Geometria Superior

Em 19 de abril de 1951, Jacy Monteiro defendeu a tese “Sobre as

potências simbólicas de um ideal primo de um anel de polinômios”, cuja banca

examinadora era composta pelos professores Candido Lima da Silva Dias, Omar

Catunda, Benedito Castrucci, Afonso Penteado de Toledo Piza e Leopoldo

Nachbin

115

(ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1951). A sessão foi aberta por Candido

Lima da Silva Dias, que passou a palavra ao primeiro argüidor, o professor Afonso

de Toledo Piza. Em seguida, Jacy Monteiro foi argüido pelos professores

Leopoldo Nachbin, Omar Catunda, Benedito Castrucci e Candido da Silva Dias.

Após as argüições, a banca examinadora auferiu a nota máxima ao candidato, por

unanimidade. Como no dia 12 de abril de 1951, data da realização dos exames

das matérias subsidiárias, Álgebra e Geometria projetiva, Jacy Monteiro já havia

obtido dez, foi aprovado com distinção (PIRES, 2006).

Embora Jacy Monteiro tenha sido orientado por Oscar Zariski, oficialmente

consta o nome de Candido Lima da Silva Dias como orientador, conforme

exigência legal (PIRES, 2006).

Comprovando a contribuição de Zariski na orientação da tese, registramos

as palavras do próprio Jacy Monteiro, na introdução do trabalho: “Quero

expressar aqui os meus agradecimentos ao Prof. O. Zariski pela sugestão do

problema acima e pela orientação prestada durante a preparação deste trabalho”.

Além disso, a tese baseou-se, em grande medida, em resultados obtidos por

Oscar Zariski em suas pesquisas (MONTEIRO, 1950).

Conforme pesquisa realizada por Pires (2006), ao buscar verificar como

ocorreram as apropriações efetuadas pelos professores do Curso de Matemática

da FFCLUSP das idéias bourbakistas, a partir 1950, já se podia observar uma

mudança da visão da perspectiva tradicional italiana para a perspectiva

estruturalista bourbakista. Daí por diante, a maioria dos títulos das teses

contemplou assuntos como topologia, álgebra, distribuições, entre outros, os

115

O Anuário da FFCLUSP notificou que deixou de transcrever o resumo da tese de Jacy Monteiro pela

dificuldade de transcrição dos símbolos matemáticos empregados.

323

quais eram privilegiados em cursos e conferências do grupo Bourbaki (PIRES,

2006, p. 341).

A análise dos programas permitiu a Pires (2006) concluir que as cadeiras

“Complementos de Geometria” e “Geometria Superior”, foram pouco a pouco se

orientando para a visão bourbakista da matemática, além disso, que o professor

catedrático Candido Lima da Silva Dias e seu assistente Luiz Henrique Jacy

Monteiro, não só se apropriaram das idéias bourbakistas como também as

divulgaram por meio de suas aulas, orientações, cursos, publicações, etc. (2006,

p. 343).

Além de nos valermos de informações extraídas da tese de Pires (2006),

apresentamos os apontamentos escritos por D’Ambrosio em 1952, para o 2º ano

na cadeira Complementos de Geometria e, em 1953, para o 3º ano na cadeira de

Álgebra. Uma vez que as conclusões de Pires amparam-se em grande medida,

no estudo do programa oficial do Curso de Matemática da FFCLUSP, buscamos

verificar, por meio de comparação entre o programa apresentado e as nota de

aulas de Ubiratan D’Ambrosio, se as práticas docentes seguiam efetivamente

aquele programa.

Envolvidas em delicados papéis de seda, já agora amarelados pelo tempo,

essas anotações, em forma de fichamento, foram feitas por D’Ambrosio a partir de

1951, ocasião em que ingressou no primeiro ano do Curso de Matemática da

FFCLUSP. Atualmente essas fichas fazem parte do acervo do APUA.

As anotações contidas na ficha introdutória da cadeira Complementos de

Geometria informam que o curso foi dado pelo professor Candido Lima da Silva

Dias, que adotou a seguinte bibliografia: “Finite Dimensional Vector Spaces”, de

Paul Halmos, 1948; “A Survey of Modern Algebra”, de G. Birkhoff e Saunders

MacLane, 1950; “Algèbre et Analyse Linéaires” de Lichnerowicz, 1947.

Ainda na mesma ficha, Ubiratan D’Ambrosio deixou registrado que as aulas

de Complementos de Matemática foram dadas pelo professor Fernando Furquim

de Almeida no primeiro ano, qual seja, 1951, e que este professor adotou o livro

“Modern Algebra” de Van der Waerden, segundo volume, 1949.

324

As anotações realizadas por D’Ambrosio em 1953, para o 3º ano na

disciplina de Álgebra, traz em sua capa as seguintes informações:

Relacionamos, no Anexo III, os assuntos constantes no programa da

FFCLUSP e os principais tópicos abordados em sala de aula, de acordo com as

anotações do professor D’Ambrosio, para a cadeira de Complementos de

Geometria e Geometria Superior.

Pela comparação entre o programa do Curso de Matemática e os assuntos

abordados em sala de aula, constantes nas fichas de Ubiratan D’Ambrosio, nota-

se que Jacy Monteiro e Silva Dias seguiram o programa estipulado pelo curso,

embora não tenham ministrado os últimos tópicos. Tanto na cadeira de

Complementos de Geometria quanto na de Geometria Superior, o conteúdo

programático dizia respeito à Álgebra Linear e Álgebra Moderna, assuntos

adotados sob a perspectiva bourbakista (Ver Anexo III).

Relativamente ao curso de Geometria Superior, conforme se apresenta nas

fichas de D’Ambrosio, o professor Jacy Monteiro, em 1953, seguiu os tópicos

apresentados na obra “Teoria dos corpos comutativos”, primeiro volume, do curso

de extensão ministrado por Jean Dieudonné em 1946. Os tópicos constantes no

programa, a partir da quarta parte, qual seja, “Isomorfismos das extensões

algébricas de um corpo”, diziam respeito ao segundo volume desta mesma obra,

também de autoria de Dieudonné, sendo ambos volumes redigidos por Jacy

Monteiro.

325

Ubiratan D’Ambrosio e Alexandre Rodrigues Martins, em entrevista

concedida à Adriana Marafon (1998), relembraram como era o curso de

Geometria Superior, ministrado por Jacy Monteiro. Segundo a conversação

mantida entre esses dois matemáticos, no terceiro ano começavam os cursos

avançados:

D’Ambrosio: Avançados...O curso de Geometria Superior, que na

verdade era um curso de Álgebra Comutativa.

Martins: Dado pelo Jacy...

D’Ambrosio: Dado pelo Jacy, um grande professor.

Martins: É, um grande professor, um excelente curso. Na verdade

um curso que naquela ocasião teria sido considerado um curso

muito bom em qualquer universidade do mundo.

D’Ambrosio: De pós-graduação. É o livro do Dieudonné.

Martins: Exato, que tinha sido preparado para o Bourbaki. Era

alguma coisa que cientificamente e matematicamente estava bem

avançado em relação ao que existia publicado no mundo.

Assim, confirma-se a conclusão de Pires, quando sustenta a incontestável

apropriação da perspectiva bourbakista efetuada por Jacy Monteiro, além de

divulgá-la em seus trabalhos posteriores.

9.6. As Faculdades de Filosofia na visão de Jacy Monteiro

Como professor da FFCL da Universidade Mackenzie desde 1956, Jacy

Monteiro foi convidado a paraninfar a turma de 1959. Na presença do Magnífico

Reitor Dr. Antonio Luiz Hipólito, do Presidente do Instituto Mackenzie, Dr. Peter

Barker e do Diretor da FFCL do Mackenzie, Dr. Willie Maurer, Jacy Monteiro

pronunciou seu discurso perante professores, alunos e familiares ali presentes.

Dirigindo-se especialmente aos formandos que, a partir daquele momento,

segundo suas próprias palavras, tornaram-se seus colegas de profissão, seu

pronunciamento versou, como tema de reflexão comum, sobre a formação,

objetivos e ideais das Faculdades de Filosofia. Este é o único documento de que

dispomos, no qual temos a oportunidade de tomar conhecimento sobre assuntos

escritos por Jacy Monteiro, os quais diferem da teoria matemática encontrada em

326

suas obras. Reveste-se, pois, esse documento de importância, porquanto

passamos a ter uma noção de algumas de suas idéias sobre o ensino, ao menos

no que tange àquele período.

Assim, para Jacy Monteiro, a racionalização dos diferentes modos de vida,

tão almejada pelas sociedades modernas, só é possível por meio da ciência e das

técnicas que dela derivam, as quais se tornam atuantes nos diversos setores

sociais. Desse modo, os centros de estudos deveriam conscientizar-se da

importância que exercem, uma vez que eram detentores do fator de alteração e

aperfeiçoamento das sociedades modernas.

Essas considerações revelavam o papel fundamental exercido pelas

faculdades de filosofia, especialmente em sociedades como a brasileira, em que o

desenvolvimento científico encontrava-se ainda incipiente.

Para Jacy Monteiro, as Faculdades de Filosofia teriam por função, além de

transmitir conhecimentos já adquiridos, criar condições satisfatórias à produção

de novos conhecimentos, ou seja, não se limitariam a formar apenas professores,

mas também pesquisadores. Enfim, elas deveriam “exprimir o clímax do

desenvolvimento intelectual atingido ela sociedade que a encerra, num dado

momento” (MONTEIRO, 1959).

Não se tratava, entretanto, de relegar a formação de professores a um

segundo plano, uma vez que para Jacy Monteiro exercer o magistério implicava

em responsabilidade tamanha, que não ser restringia a simples transmissão de

conhecimento aprendido, mas na incessante busca de verdades novas:

Poderemos admitir a pesquisa sem o magistério; nunca o

magistério sem pesquisa; senão, o professor se arrisca a parar no

tempo, a perder o contato com as novas realidades e portanto,

condenado a estiolar-se numa cátedra que ele não estará mais

em condições de possuir (MONTEIRO, 1959).

Além disso, carecia observar que a pesquisa não é fruto do isolamento e

sim, de uma instituição organizada, em que forças materiais e intelectuais se

unem e produzem um ambiente propício ao seu aparecimento. Para tanto, seriam

necessários cuidados contínuos para que a pesquisa aconteça. Um deles é o

auxílio financeiro, vital para promover um funcionamento perfeito da instituição.

327

O custeio de bolsas de estudo, o aparelhamento de laboratórios

capazes de atender às reais necessidades de estudo, o

equipamento de bibliotecas especializadas, são fases de

formação de um clima intelectual, que não são possíveis sem a

inversão de grandes somas (MONTEIRO, 1959).

Para Jacy Monteiro, contar com notáveis professores, por si só, também

não serviria para garantir o nível intelectual da faculdade. Mais do que isso, o

conhecimento e experiência desses ilustres mestres deveriam prosseguir além

deles, continuando a obra principiada, numa auto-renovação constante desses

mesmos valores.

Outro aspecto considerado relevante por Jacy Monteiro dizia respeito à

importância de se conseguir um corpo docente com dedicação exclusiva à

Faculdade, especificamente aquela da Universidade Mackenzie, à qual se dirigia,

de modo a garantir a assistência exigida pelo ensino de nível superior.

Finalizando seu discurso, Jacy Monteiro exortou os formandos a não

abandonar os estudos, pois o que aprenderam durante suas vidas acadêmicas

era, em sua opinião, uma pequena parcela e preparação para novos e melhores

estudos.

Sobre esse discurso, pode-se notar que Jacy Monteiro dirigiu-se aos

formandos como colegas, procurando falar, dessa forma, “de igual para igual”, o

que multiplicava as chances de ser ouvido e seguido. Nesse sentido, lembramos

a linguagem utilizada por Sangiorgi, em seus livros didáticos durante o MMM, em

que este autor buscou utilizar uma linguagem menos formal, buscando por esse

processo, estabelecer uma comunicação mais afável com seu leitor, preparando,

assim, o terreno de modo a motivá-lo para uma melhor aceitação quanto aos

conteúdos modernos que estavam sendo apresentados na obra. Esse novo modo

de comunicação representava também a inovação, o moderno.

Além disso, observa-se que Jacy Monteiro (1959), concebia a pesquisa

como condição sine qua non para o exercício do magistério, o qual deveria “ser o

resultado de uma vida dedicada à procura de verdades novas”. Esta posição

converge para os dizeres de Belhoste (1998), quando defende que o ensino tem

um papel decisivo não somente na difusão e transmissão do saber, mas também

328

na constituição da matemática enquanto ciência, posto que, por meio da pesquisa

é possível chegar à invenção de novos conceitos, métodos e teorias, contribuindo,

assim, para a organização do saber matemático.

9.7. Participando das atividades do GEEM

Em outubro de 1961, foi criado o GEEM, cuja proposta era fundamentada

no SMSG, sob a presidência o professor Osvaldo Sangiorgi. Considerado de

utilidade pública pela Lei 2663/63, da Assembléia Legislativa do Estado

(D’AMBROSIO, 1987), tendo como pretensão incentivar, divulgar e atualizar a

matemática, bem como o seu ensino, nos cursos primário, secundário e normal,

principalmente nos estabelecimentos do Estado de São Paulo, através da

cooperação direta da Secretaria dos Negócios da Educação de São Paulo

(GEEM, 1962). A chamada Matemática Moderna chegava,

... a galope, até nós e o GEEM se constituía no primeiro núcleo

brasileiro de professores universitários da USP, U. Mackenzie e U.

Católica, com o objetivo de levar aos professores secundários de

Matemática suas novas mensagens que efervesciam em outros

países, notadamente nos USA, França e Bélgica (SANGIORGI,

1975).

Antes mesmo da criação do grupo, já se observava a participação de Jacy

Monteiro nas reformulações do ensino de matemática na escola brasileira. Sua

presença foi destacada num curso realizado em Santos, em julho de 1961, sob o

patrocínio da CADES, que tinha como propósito apresentar conteúdos de MM aos

professores secundaristas, e dividia-se em três módulos, sendo que Teoria dos

Conjuntos e Lógica foi ministrado por Osvaldo Sangiorgi, Álgebra abstrata pelo

professor George Springer e Álgebra Moderna e Prática de Ensino por Jacy

Monteiro.

No mesmo ano, de 01 de agosto a 30 de setembro, foi realizado o um

Primeiro Curso de Aperfeiçoamento para Professores Secundários de

Matemática, na Universidade do Mackenzie, em São Paulo. Novamente contou

com a coordenação de George Springer, encarregado de ministrar o curso de

Lógica Matemática e Jacy Monteiro, o curso de Álgebra Moderna, que segundo

329

Sangiorgi (1975), “pela primeira vez era oferecido a um grande número de

professores secundários do Estado”.

Os cursos oficiais do GEEM eram oferecidos nos meses de janeiro,

fevereiro e julho de cada ano, na Universidade Mackenzie. Os membros do

GEEM reuniam-se geralmente aos sábados com a finalidade de debater sobre o

ensino da Matemática Moderna, por meio de textos escritos pelos integrantes do

grupo ou pautados em publicações já existentes, como as do SMSG. Também

eram relatadas as atividades que os membros estavam realizando

individualmente, como experimentos com alunos e professores e textos baseados

nessas experiências.

Em agosto, setembro, outubro e novembro de 1963, foram promovidos

diversos cursos pelo GEEM, ministrados por professores do Estado de São Paulo,

dentre eles, Jacy Monteiro, que ministrou, nos dias 21 e 28 de setembro, um

curso de “Iniciação à Álgebra Moderna”. (Jornal A Gazeta, 19 set. 1963).

No aniversário do GEEM, nos dias 19 e 26 de outubro de 1963, em

comemoração do seu primeiro aniversario, foram realizados sessões de estudos e

palestras em que Jacy Monteiro dirigiu o curso referente à álgebra moderna e

Irineu Bicudo as aulas práticas (Jornal O Estado de São Paulo, 17 out. 1963).

Em 1965, ministrou curso de Álgebra Moderna 2, no curso de férias

oferecido de 01 a 13 de fevereiro, com a participação de 400 professores,

“provenientes de todos os estados do Brasil, inclusive do Acre, juntamente com

um representante da Nicarágua e outro da Argentina, registra a maior participação

coletiva de professores de matemática em São Paulo” (Jornal O Estado de São

Paulo, 07 fev. 1965)

A estrutura dos cursos do GEEM era baseada em estágios. Divididos em

estágios, o primeiro voltado para professores de matemática que estavam

iniciando nas novas técnicas de ensino da matemática, e o segundo, no qual Jacy

Monteiro se apresentava como professor-formador, direcionado àqueles que

buscavam se aperfeiçoar nesse campo. Nessa condição, Jacy Monteiro participou

do curso de férias realizado em janeiro de 1967, de 2 a 21 de janeiro, das 8 às 18

horas. (Jornal Folha de São Paulo, 15 jan. 1967). Alguns cursos possuíam três

330

estágios, e no caso do terceiro estagio, era geralmente destinado a palestras,

debates, relatos de experiência dos professores-alunos. As disciplinas eram, de

modo geral, as mesmas do segundo estágio (ROSA LIMA, 2006).

O curso de férias de 1967, de 02 a 21 de janeiro, foi dividido em dois

estágios. Para o primeiro estágio foram oferecidas aulas sobre Teoria dos

Conjuntos, a cargo de Benedito Castrucci e René Charlier e Lógica Matemática

ministrada por Osvaldo Sangiorgi e Lucília Bechara. As sessões de exercícios e

estudos estiveram sob orientação de Clara Betanho Leite, Silvio de Lima

Nepomuceno e Douglas P. Bellomo. Para o segundo estágio, foram ministrados

os cursos de Álgebra Moderna pelo professor Irineu Bicudo; Matrizes, por Jacy

Monteiro; Álgebra Linear, por Carlos Callioli; Topologia, por Albert Hopmannn e

Introdução ao Cálculo, por Alésio de Caroli. As sessões de exercícios e estudos

nesse estágio ficou sob a responsabilidade dos professores Renate Watanabe e

José Bezerra Leite. Além das aulas, ainda ocorreram palestras ministradas por

Omar Catunda sobre Geometria Moderna e Douglas Belluomo, sobre

Probabilidade e Estatística (Jornal Folha de São Paulo, 24 jan. 1967).

Em 14 de abril de 1968, o Jornal “O Estado de São Paulo” publicou que

assumiu a nova diretoria do GEEM, para o biênio 68-69, permanecendo na

presidência o professor Osvaldo Sangiorgi, tendo como vice-presidente Alcides

Bóscolo. Para presidente do Conselho Consultivo, elegeu-se Benedito Castrucci e

para Direção de Publicações, foi reeleito Jacy Monteiro (O Estado de São Paulo,

14 abr. 1968). Ainda no ano de 1968, na qualidade de professor-formador, Jacy

Monteiro ministrou Álgebra Moderna 2, Polinômios e Equações Algébricas (ROSA

LIMA, 2006).

Jacy Monteiro também integrou a comissão central organizadora da 1ª

Olimpíada de Matemática, realizado no Estado de São Paulo, sob os auspícios do

GEEM e colaboração do Serviço do Ensino Secundário e Normal do

Departamento de Educação do Estado de São Paulo. A manchete do Jornal A

Gazeta Esportiva, em 08 de outubro de 1967, assim anunciava: “1ª Olimpíada de

Matemática reúne 100.000 colegiais”. A Olimpíada, que contou com alunos da 1ª

e 2ª séries do ciclo ginasial, tinha como principais objetivos estimular os

estudantes secundários ao estudo da matemática, despertar a atenção das

331

autoridades para a pesquisa e suscitar o interesse pela reestruturação e

modernização do ensino da matemática.

Segundo a matéria jornalística, os trabalhos foram coordenados pelos

professores Alcides Bóscolo e Osvaldo Sangiorgi, assessorados por uma

comissão formada pelos professores Benedito Castrucci, L. H. Jacy Monteiro,

Mário Omura, Renate Watanabe, Clara Betanho Leite, Sílvio de Lima

Nepomuceno, Raquel Geverts, Lucília Bechara, Lafayette de Morais, Aroldo de

Barros Salles e Roberto Antonio Stempniak.

Embora Sangiorgi constasse como um dos principais coordenadores do

evento, não se encontrava em São Paulo naquela ocasião. Um cartão postal

enviado a Jacy Monteiro, em 17 de outubro de 1967, informa que Sangiorgi

estava na cidade de Leningrado. De lá, perguntava ao amigo Jacy: “Muita

novidade? Como foi o final da Olimpíada?”

9.8. Jacy Monteiro e a Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Rio Claro

Reportamo-nos a um dos postais cedidos por Layse Helena Jacy Monteiro

para nossa consulta, conforme já nos referimos neste trabalho, mais

especificamente a um datado de julho de 1962. Este foi remetido da cidade de

Estocolmo e leva a assinatura de “Germano

116

, figurando como destinatário o

professor Jacy Monteiro. Germano informava que tinha participado de um

Simpósio de Matemática em Copenhagem. O postal foi endereçado à Faculdade

de Filosofia de Rio Claro, o que nos fez pressupor que Jacy Monteiro mantinha

certo vínculo profissional com aquela Instituição Superior de Ensino.

Esta informação coincide com os dados encontrados na Introdução da

coleção “Álgebra moderna”, de autoria de Jacy Monteiro, composta por dois

volumes e datada de 1963. Foi redigida com vistas ao estudo da Álgebra Moderna

para o primeiro ano de cursos de matemática de faculdades de filosofia. O autor

informa que a coleção teve sua origem em notas de aula de um curso realizado

116

É possível tratar-se de Germano Braga Rego, diplomado em 1949 em Ciências Matemáticas pela

FFCLUSP, conforme indica o Anuário de 1951.

332

na FFCL de Rio Claro, ministrado pelo professor J. Milano, sob orientação dele,

Jacy Monteiro.

Da conjugação dessas informações, podemos inferir que Jacy Monteiro

deu sua contribuição para o desenvolvimento do Curso de Matemática, junto à

Faculdade de Filosofia de Rio Claro, nos idos de 1962/1963.

Sobre o teor dessa coleção, cabe ainda tecer algumas considerações, que

entendemos necessárias para se verificar o caráter, o nível e objetivos de Jacy

Monteiro, até mesmo em relação ao ensino secundário.

Nesse sentido, verifica-se que o primeiro volume dessa coleção

desenvolve, além de noções da Teoria dos Conjuntos, conteúdos dos números

naturais, números inteiros, anéis e corpos, corpo de frações de um anel de

integridade e anéis e corpos ordenados. O segundo volume compreende os

assuntos sobre corpo dos números reais e corpo dos números complexos, anéis

de polinômios, anéis fatoriais e teoria dos grupos.

O autor chama a atenção para a circunstância de que o assunto se reveste

de grande valia também para conhecimento dos professores secundaristas:

... o presente trabalho será de grande utilidade para um novo

entendimento do ensino da matemática no curso secundário

(entendimento este que já vem se processando atualmente),

encontrando os professores uma nova formulação da Álgebra,

que, com as devidas modificações, poderá ser adaptada e

ministrada nesse nível de ensino (MONTEIRO, 1963).

Ao professor sempre será concedida a faculdade de fazer modificações e

adequações de conteúdos matemáticos que possibilitem sua inserção em

qualquer nível de ensino. Essa apropriação, pelo visto, é concebida por Jacy

Monteiro e revela-se em suas práticas acadêmicas. Além disso, em decorrência

de tal procedimento, pode-se dizer que o matemático, ou seja, aquele

responsável pela pesquisa e produção matemática, nem sempre se encontra à

margem de uma preocupação com o ensino dessa matéria.

333

9.9. Jacy Monteiro e a Faculdade de Filosofia da Universidade Católica de

Santos

Nos anos 1968 e 1969, na cidade de Santos, por meio de convênio firmado

entre a Secretaria de Educação e a Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de

Santos foi realizado um curso oferecido pelo GEEM, com o título: “Curso de

Matemática Moderna”, para professores do ensino secundário, sendo ministrado,

entre outros, pelos professores Irineu Bicudo, Scipione di Pierro Netto, Benedito

Castrucci, Osvaldo Sangiorgi e Jacy Monteiro (SOUZA, 1998).

Com as aulas promovidas pelo GEEM na cidade de Santos, um grupo de

participantes cogitou da viabilização de um curso de pós-graduação em

matemática, naquela mesma cidade, pois havia uma dificuldade de locomoção à

cidade universitária para cursá-lo, além de exigir um tempo dispendioso para

cobrir o percurso até a USP.

Esse grupo que era composto entre outros, pelos professores Almerindo

Marques Bastos, Sylvio Andraus, Maria Lúcia Martins Demar Perez, Maria Luiza

Carmo Neves, e Rosa Dias, tomou a iniciativa de implantar um curso de pós-

graduação em Santos. Após obterem autorização do diretor do IMEUSP, na

época o professor Chaim Hönig, para ser criado o curso de pós-graduação que

pretendiam, dirigiram-se à residência de Jacy Monteiro, propondo-lhe, então, que

ministrasse esse curso. Depois de aceitar o convite, Jacy Monteiro se propôs a

ministrar o curso denominado “Teoria dos Grupos Comutativos”, realizado no

prédio da Faculdade de Filosofia da Universidade Católica de Santos, com

duração de 4 meses, nos mesmos moldes da USP (BASTOS, apud SOUZA,

1998).

Almerindo Marques Bastos detalhou a dinâmica pela qual se deram os

primeiros passos direcionados à implantação daquele curso almejado pelo grupo:

Combinamos que ele daria duas aulas todos os sábados. Nos

sábados em que ele não pudesse vir, ele nos avisaria. Nós

pagaríamos duas aulas, mais quatro excedentes pela viagem.

Então ele daria duas e receberia por seis. Era uma forma de

compensá-lo satisfatoriamente, porque o Jacy era um nome

internacional. Ele concordou. Fizemos o curso de Teoria dos

Grupos, aqui em Santos, sem precisar ir à Cidade Universitária.

334

[...] A Teoria dos Grupos que o Jacy deu aqui foi bem pesada. Isso

ocorreu no primeiro semestre de 1971. Nós éramos doze. Eu ia

buscar o Jacy lá na Rodoviária e o levava depois (BASTOS, apud

SOUZA, 1998, p. 184).

Ainda segundo Almerindo Bastos, devido a dificuldades financeiras

enfrentadas pelo grupo, o curso oferecido por Jacy Monteiro acabou sendo

ministrado gratuitamente, “pois o Jacy, de uma lisura impecável, endossou o

cheque e nos deu de presente” (apud SOUZA, 1998, p. 185).

Ao aceitar e oferecer aos professores santistas aquela oportunidade de

atualização de conteúdos matemáticos, por meio da implantação do curso de pós-

graduação naquela cidade, Jacy Monteiro revelava sua conduta de fidelidade aos

princípios que proclamou em seu discurso como paraninfo da turma de 1959 da

Universidade Mackenzie, pois ali defendeu a renovação de uma prática

educacional, como resultado de forças convergentes para a junção do estudo e

da pesquisa, de modo que o professor pudesse aperfeiçoar-se e, ao mesmo

tempo, promover o desenvolvimento da sociedade em que estava inserido. O

tema escolhido para o curso, relativo à Álgebra Moderna, também vem ao

encontro desse posicionamento, pois se tratava de assunto condizente com a

nova matemática a ser ensinada nas escolas secundárias.

Cumpre também destacar que, Jacy Monteiro organizou curso de pós-

graduação, na área de Álgebra, para professores licenciados em Matemática da

cidade de Santos, em 1971 (BASTOS, apud SOUZA, 1998) e da Alta

Sorocabana/SP, a partir de agosto de 1973, para 37 professores matriculados

(FFCLPP, 1973, p. 36). Além disso, em 1973, foi oferecido o primeiro curso de

especialização em Matemática da Universidade Federal de Mato Grosso, Cuiabá,

com um quadro docente formado por Osvaldo Sangiorgi, Renate Watanabe,

Paulo Boulos e Jacy Monteiro (UFMT, 2007). Segundo informações de Layse H.

Monteiro (2007), nesse período, Jacy Monteiro visitava a UFMT a cada 15 dias.

9.10. Jacy Monteiro e a Universidade de Brasília

Em 18 de julho de 1962, Jacy Monteiro encontrava-se em Brasília. De lá

escreveu para sua filha informando que “A maior parte do tempo passo na

335

Universidade e no Ministério da Saúde (onde dou as aulas)”. Suas despesas eram

custeadas, segundo se extrai do postal, pela Universidade de Brasília.

(MONTEIRO, 1962a). No dia 21 do mesmo mês, escreveu novamente para Layse

Helena, fazendo constar que estava “no aeroporto esperando o Sangiorgi e Cia.

Matemática” (MONTEIRO, 1962b). Voltou para a cidade de São Paulo no dia 29.

Em 05 de fevereiro de 1964, retornou a Brasília. Dessa cidade, envia

novamente um cartão postal para a filha, informando que recebeu 500.000

cruzeiros

117

pela participação no trabalho que lá executava. Encontrava-se outra

vez em Brasília em 6 de outubro de 1964, quando escreveu outro postal para a

filha: “Por aqui não há tempo para nada de bom: só reuniões e discussões”

(MONTEIRO, 1964b). Os dados contidos nesses postais provocaram alguns

questionamentos, a saber: Que trabalho era esse, que Jacy Monteiro exercia

junto à Universidade de Brasília? O que Sangiorgi e “Companhia Matemática”

foram fazer em Brasília?

Na busca de respostas para essas questões, lembramos que em 1962, o

Departamento de Matemática da Universidade de Brasília iniciou suas atividades.

Em fevereiro daquele ano, sob a coordenação de Leopoldo Nachbin começou a

funcionar o Instituto Central de Matemática da UnB. Esse instituto contava, ainda,

com a colaboração dos matemáticos Djairo Guedes de Figueiredo e Geraldo

Severo de Souza Ávila. Segundo informações de Clóvis Pereira da Silva (2003a),

aos poucos foram sendo agregados outros doutores advindos de instituições da

cidade do Rio de Janeiro e São Paulo. A partir de setembro de 1962, a direção do

Departamento de Matemática da UnB começou a organizar um programa de

Mestrado em Matemática. Os primeiros frutos desse trabalho surgiram em julho

de 1964, quando os alunos Mário Carvalho de Matos e Mauro Bianchini

receberam os primeiros graus de mestre em Ciências Matemáticas concedidos

por uma instituição brasileira.

Entramos em contato com o professor Mário Carvalho de Matos, que nos

garantiu, via correio eletrônico (e-mail), ter tido aulas com Jacy Monteiro no curso

de Mestrado oferecido pela UnB. Segundo esse professor, na UnB, naquela

117

De acordo com a tabela “Salário Mínimo (piso)”, de 24 de fevereiro de 1964 até 01 de março 1965, o

salário mínimo era de 42.000 cruzeiros. 500000 cruzeiros correspondia, portanto, aproximadamente a 12

salários mínimos (AGENDA DO MAGISTRADO, 1997).

336

época, não havia professores especialistas em Álgebra, daí os convites da

diretoria do Departamento de Matemática para Jacy Monteiro ministrar aulas de

Álgebra e Álgebra Linear.

9.11. Obras publicadas

Jacy Monteiro produziu diversos trabalhos, entre os quais citamos “Álgebra

Moderna” vol. I de 1963, e vol. II, de 1964; “Álgebra Linear I”, 6ª ed., de 1969;

“Álgebra Linear II”, 1ª ed., de 1970; “Iniciação às estruturas algébricas”, 1ª ed., de

1968 e 5ª ed., de 1973; “Elementos de álgebra”, 1ª ed., de 1969 e 3ª reimpressão

em 1974, com tiragem de 4000 exemplares. Como observamos, o número de

edições atingido por algumas dessas obras, atestam o sucesso de vendas

alcançado por Jacy Monteiro, ao publicar os cursos que desenvolvia na USP,

tanto no que diz respeito ao tratamento da Álgebra quanto da Álgebra Linear.

Talvez o sucesso obtido com a publicação dessas obras acrescido do fato

de que Jacy Monteiro tinha larga experiência junto a conselhos editoriais, tenha

motivado o autor a aceitar o convite de Sangiorgi para, juntamente com Renate

Watanabe, enveredar-se na escrita de um livro didático destinado ao 2º ciclo em

1970. Sangiorgi, por sua vez, havia alcançado, até então, espetacular sucesso

com seus livros didáticos para o ginásio e, para a elaboração de uma coleção

voltada ao ensino médio, é possível que necessitasse cercar-se de indivíduos de

competência indiscutível na área da ciência matemática. Assim sendo, nas

condições de velhos amigos, colegas no GEEM e afinidades profissionais, tudo

apontava para circunstâncias favoráveis na realização de um livro-texto com ares

modernos.

9.12. Publicações no GEEM: “Iniciação às estruturas algébricas”

O GEEM lançou, em 1968, dentro da série “Professor”, volume 6, a obra

“Iniciação às estruturas algébricas” de autoria de Jacy Monteiro, dedicado ao 1º e

2º ciclo do curso colegial. Na apresentação do livro, há um agradecimento à

Renate Watanabe, por ter feito a leitura dos originais e incluído sugestões.

337

A obra encontra-se dividida em quatro partes, sendo a primeira destinada

ao estudo das relações, a segunda ao estudo das aplicações, a terceira ao estudo

das operações e suas respectivas propriedades estruturais e a última, aos grupos,

anéis e corpos.

Segundo a apresentação contida na obra, o autor procurou, no capítulo

quatro, enfatizar o tratamento da estrutura de grupo, cujo estudo considerou de

fundamental importância a todo professor secundário de matemática.

Dentre os autores que constam na bibliografia da obra, destacamos

Benedito Castrucci, com os “Elementos de teoria dos conjuntos”, o próprio Jacy

Monteiro, com a obra “Elementos de álgebra” e o programa de autoria do OECE,

“Um programa moderno de matemática para o ensino secundário”.

Encontramos dentro do livro, de propriedade de Jacy Monteiro, uma carta

de autoria de Eduardo Sá Pereira, da cidade de Lisboa, que, em 24 de fevereiro

de 1972, assim se refere à obra:

Um livro de estudo, sobretudo para os autodidatas e para os que

hão-de lecionar, é a “Iniciação às estruturas algébricas”, com as

restantes obras da prestantíssima “Série Professor”, constituem

um ‘conjunto’ de inegável mérito.

Este cresceria se, em correspondência, houvesse um ‘livro-do-

mestre’, contendo as recomendações afins e as soluções ou,

apenas, os resultados dos numerosos exercícios propostos,

acompanhados de sugestões que facilitassem o alcançá-los.

Entre os que – creio bem – serão grande número de concordantes

com existência de um tal livro, me conto, pedindo desculpas

imediata se é inoportuna ou descabida a pretensão.

Na esperança de que isso possa vir a acontecer, apresento

respeitosos cumprimentos ao subscrever-me (SÁ PEREIRA,

1972).

9.13. Publicações no GEEM: “Polinômios”

Segundo informa a apresentação da obra “Polinômios”, de autoria de Jacy

Monteiro, lançada em 1970, no volume 7 da Série Professor do GEEM, trata-se

de uma publicação que visava dar continuidade à obra “Iniciação às estruturas

338

algébricas”, publicadas no volume 6 e contendo ao todo quatro capítulos. Desse

modo, o livro “Polinômios” contém dois capítulos, iniciando pelo capítulo V, sobre

polinômios e em seguida, capítulo VI, referente à Divisibilidade. Apresenta, ainda,

um apêndice, sobre “Anéis euclidianos”.

Porquanto o capítulo IV promover um estudo comparativo entre

divisibilidade dos números inteiros e a divisibilidade dos polinômios, o autor usou

as páginas de números pares para o estudo da primeira divisibilidade e as

páginas de números ímpares para o estudo da segunda.

Assim, a apresentação da obra traz o seguinte exemplo:

na página 146 na página 147

6.2.2 – Todo número inteiro a, com 1 a ,

pode ser representado de modo único sob a

forma

(11)

pppa ...)1(

Onde cada é um número primo positivo

(logo, o primeiro fator é igual a 1 ou a -1

conforme a > 0 ou a < 0.

6.2.2 – Todo polinômio não constante

xkf  pode ser representado de modo

único sob a forma

(11)

ppapf ...

Onde cada

xk é irredutível e unitário e

a é uma constante (logo, a é o coeficiente

dominante de f).

(MONTEIRO, 1970, p. 5,6).

Essa forma de apresentação, embora não revelada pelo autor, indica um

esforço para tornar mais eficiente a compreensão do assunto tratado, no sentido

de que o leitor, por comparação dos itens, poderia fazer uma analogia ao que

provavelmente já seria de seu conhecimento, no caso, a divisibilidade dos

números inteiros e o novo assunto, objeto da obra, a divisibilidade dos polinômios.

A apresentação também ressalta a importância desse assunto para os

professores do ensino do segundo ciclo, uma vez que ela assegura o caráter

estrutural do moderno tratamento da Matemática, como ainda, representa uma

introdução para o estudo das equações algébricas.

339

9.14. Matemática: Curso Moderno, segundo ciclo

Ao caríssimo Jacy

“não retiro nenhuma palavra”

SP. 28/04/66

Osvaldo Sangiorgi

Com esses dizeres Sangiorgi dedicou a Jacy Monteiro um exemplar do

terceiro volume do livro didático “Matemática: curso moderno” para o ginásio, que

acabara de lançar. As palavras de Sangiorgi nos levam a imaginar que Jacy

Monteiro, em algum momento anterior, tenha expressado provável manifestação

de humildade, recusando-se, talvez, por aceitar algum elogio do amigo Sangiorgi,

colocando-se em posição de quem não havia feito por merecer tal tributo.

Sangiorgi, no entanto, aproveitou aquela oportunidade de oferecimento do livro

para ratificar seu pensamento, discordando carinhosa e respeitosamente do

posicionamento de Jacy Monteiro, escrevendo poucas, mas resolutas palavras,

que trazem implicitamente, pelo tom utilizado, profunda demonstração de apreço

àquele a quem oferecia o exemplar, como revelam os dizeres que ocuparam boa

parte de uma das páginas iniciais da obra.

Para uma incursão sobre o que estaria por trás daquela forma de

comunicação, expressa naquela dedicatória, nos apegamos aos ensinamentos

expostos por De Certeau (1982, p. 83), o qual se debruçou sobre o sentido do

fazer do historiador: "Não se trata apenas de fazer falar esses 'imensos setores

adormecidos da documentação' e dar voz a um silêncio, ou efetividade a um

possível. Significa transformar alguma coisa". Posteriormente, complementou:

"um trabalho é científico quando opera uma redistribuição do espaço e consiste,

primordialmente, em se dar um lugar, pelo estabelecimento de fontes – quer dizer,

por uma ação instauradora e por técnicas transformadoras". Entendemos que

para que essa ação se transforme em outro discurso científico, ou num fato

histórico, além de fazer falar os documentos, faz-se necessário dar a essa fala

uma interpretação, uma análise, uma crítica, que modifique o lugar social de onde

se fala, amplie o espaço.

Ler, segundo De Certeau (2002, p. 264), é “peregrinar por um sistema

imposto”, qual seja, o texto, tido aqui como um lugar, constituído num próprio,

num sistema de signos dispostos em determinada ordem. Assim sendo, a

340

comunicação entre Sangiorgi e Jacy Monteiro torna-se significativa,

transformadora, na medida em que deixa transparecer fortes laços de amizade

que uniam o educador matemático Sangiorgi e o matemático Jacy Monteiro.

Destaque-se, que foi um livro didático, o lugar eleito pelo educador matemático

para perpetuar sua mensagem sobre o que pensava a respeito do amigo.

Na condição de amigos de longa data e parceiros nas atividades do GEEM,

Sangiorgi convidou Jacy Monteiro para, juntamente com a professora Renate

Gompertz Watanabe, escrever um livro didático dedicado ao ciclo colegial.

Assim, no dia 15 de janeiro de 1970, a Companhia Editora Nacional lançou

uma carta aberta aos professores de matemática, anunciando que estaria

lançando o livro didático “Matemática: Curso Moderno, 2º Ciclo”, volume 1, de

autoria dos professores L.H. Jacy Monteiro, Osvaldo Sangiorgi e Renate G.

Watanabe. O compêndio, distribuído inicialmente em caráter preliminar, pretendia

atender especialmente:

a) à urgência de sua elaboração para aproveitamento ainda no

ano letivo de 1970;

b) à importância do conhecimento de opiniões e de sugestões de

professores que, adotando o livro, poderão, com sua vivência

no ensino, contribuir para melhor aproveitamento da edição

definitiva (COMPANHIA EDITORA NACIONAL, 1970).

Tratava-se, pois, de uma edição preliminar e, ainda segundo a nota, uma

inovação editorial no Brasil, a exemplo do que já vinha ocorrendo nos Estados

Unidos, de modo a reunir subsídios para que a edição definitiva, programada para

1971, fosse publicada sem pequenos defeitos de forma e conteúdo, inevitáveis

em primeiras edições, além de prevenir sobre modificações que continuavam a

ocorrer na organização curricular dos cursos colegiais.

Quanto ao livro didático em si, visava, fundamentalmente, introduzir na

literatura matemática uma nova perspectiva na formação cientifica moderna dos

alunos do 2º ciclo, procurando implantar um novo grau de rigor, perante às

exigências das escolas superiores, aos estudantes egressos dos cursos de 1º

ciclo e desejosos de continuar seus estudos.

341

O anúncio daquele lançamento também prenunciava o sucesso de vendas

do novo livro didático, sustentando-se na longa experiência dos autores no

magistério brasileiro e nos seus contínuos trabalhos ligados ao ensino da

matemática. Além disso, em nota da editora constante da edição preliminar,

menciona-se que a idéia de elaborar o livro didático surgiu a partir de insistentes

pedidos de numerosos professores, os quais aguardavam uma publicação de um

compêndio de nível colegial de Matemática Moderna, que atendesse, assim, a

reformulação do ensino conforme vinha sendo implementada.

Sangiorgi, naquela altura, já se encontrava numa posição destacada junto

à Cia. Editora Nacional, mantendo também boas relações com professores,

órgãos públicos e imprensa. Diante do inegável sucesso de vendagem do livro

didático para o ginásio enfocando a Matemática Moderna, era seu desejo dar

continuidade à coleção, escrevendo uma outra dedicada ao colegial.

Para a empreitada, Sangiorgi convidou os amigos e ativos participantes do

GEEM, Luiz Henrique Jacy Monteiro e Renate Watanabe, ambos com titulação

em matemática pura, sendo que Watanabe obteve o título de Mestre em

Matemática pela Universidade Illinois, nos Estados Unidos (WATANABE, 2007).

Para a escrita da coleção, Watanabe lembra que:

No que se refere à Matemática, tínhamos conhecimentos

suficientes, provenientes de anos de estudos.

Em relação à Matemática Moderna:

Professor Jacy havia traduzido o livro “Um programme moderne

de mathématiques pour l´enseignement secondaire” O.E.C.E., que

foi publicado pelo GEEM. Eu havia ficado um ano em Illinois onde

mantive contato com o UICSM. No Brasil, os livros do SMSG já

haviam sido traduzidos. A convite do GEEM, estiveram no Brasil

professores dos Estados Unidos e da Europa envolvidos no

ensino da Matemática Moderna. Assim, tínhamos várias fontes

para tomar conhecimento do que vinha acontecendo mundo afora.

Além disso, ainda segundo informações fornecidas por Watanabe (2007),

os autores escreviam, liam tudo o que era escrito e se reuniam freqüentemente

para discutir juntos os manuscritos. Foi, de acordo com Watanabe, uma coleção

escrita a seis mãos.

342

A edição preliminar apresenta-se impressa de

forma simples, aparentando uma apostila

mimeografada. Na capa, plastificada, imperam tons de

verde, encontrando-se ainda ilustrada por

representações figurais composta por gráficos e

diagramas. Todos os textos e ilustrações empregados

no interior da obra foram impressos em cor preta,

denotando também, o caráter experimental e transitório

daquela edição-piloto.

Quanto aos lançamentos posteriores, de caráter definitivo, estes

apresentam uma produção mais elaborada. A capa, igualmente plastificada, em

tons de amarelo para a primeira série e verde para a segunda série, apresentam a

mesma ilustração, composta por um círculo contendo em seu interior outros

círculos e semicírculos. Os caracteres que compõem o texto interno da coleção

são menores do que aqueles utilizados para a edição preliminar, fazendo com que

a espessura do livro da primeira série seja menor do que aquela da edição-piloto.

A abordagem utilizada pelos autores pressupõe uma preocupação em

produzir um texto priorizando a linguagem matemática de forma rigorosa, em que

os conceitos são abordados com profundidade, conforme a própria divulgação

promovida pela editora.

Ainda sobre a organização do grupo para a feitura do livro, segundo

entrevista de Renate Watanabe concedida aos professores Wagner Rodrigues

Valente e Antonio José Lopes Bigode (fev. 2007), havia uma divisão de conteúdos

previamente estipulada. Cabia ao professor Jacy Monteiro a escrita da parte

relativa aos Conjuntos; a Sangiorgi, Geometria e a Watanabe, Progressão

Aritmética, Progressão Geométrica e Trigonometria. Essas partes referem-se ao

primeiro volume da série que, relativamente à edição preliminar, apresenta-se

distribuída da seguinte maneira:

1. Conjuntos

2. Relações

3. Aplicações

343

4. Progressões Aritméticas e Geométricas

5. Funções Circulares (ou Trigonométricas)

6. Resolução de Triângulos

7. O Sistema Geométrico [[, , , d, D]

8. Pontos, Retas e Planos no Espaço

[

9. Paralelismo e Perpendicularismo no Espaço

Testes de Vestibulares – 1967, 1968 e 1969 (MONTEIRO;

SANGIORGI; WATANABE, 1970, p. 7).

Em relação às outras edições, 2ª e 3ª edições, ambas de 1972, e portanto,

após a Lei nº. 5.692/71, (Lei de Diretrizes e Bases), por meio de comparação dos

Sumários apresentados, observa-se que a única modificação efetuada diz

respeito aos Testes de Vestibulares, constantes na edição preliminar e que foram

suprimidos nas edições posteriores.

Observando o programa proposto pela OECE para o segundo ciclo, que,

conforme declarou Watanabe foi um dos textos utilizados como parâmetro para a

escrita da obra, notamos que, para o primeiro ano, os autores seguem o

programa nos quesitos relativos a conjuntos, aplicações, relações (apresentando

noção de equivalência e de ordem). Além disso, o programa da OECE para o

primeiro ano, sugere somente uma introdução ao estudo da Teoria dos Conjuntos,

deixando a extensão do assunto para ser realizada no terceiro ano. Os autores,

no entanto, optaram por apresentar de uma única vez, o conteúdo da Teoria dos

Conjuntos, englobando os assuntos estipulados para o terceiro ano.

Entretanto, quanto às solicitações mais veementes da O.E.C.E,

relativamente à conceituação e desenvolvimento da teoria dos grupos, anéis e

corpos, não foram trabalhadas, nem ao menos foram sequer citadas. A sugestão

da introdução à teoria dos vetores e números complexos igualmente não foram

abordados.

Pode-se constatar a apropriação realizada pelos autores de postulados

enunciados por Moise & Downs, mais precisamente o postulado da distância

(indicado por D) e o postulado da régua (indicado por R):

344

No estudo axiomático que estamos fazendo, todos os fatos

relacionados com a distância entre dois pontos serão organizados

a partir de dois postulados (indicados pelas letras D, inicial da

palavra distância, e R, inicial da palavra régua) (MONTEIRO,

SANGIORGI, WATANABE, 1970, p. 317).

Assim, a geometria apresentada no primeiro volume da coleção utiliza-se

do conceito de distância, postulado da distância e postulado da régua, como

descritos na obra de Moise & Downs. O postulado da régua é enunciado da

seguinte forma pelos autores:

R – Postulado da régua

Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência

com os números reais de tal forma que:

R.1 A cada ponto da reta corresponde um e somente um número

real

R.2 A cada número real corresponde um e somente um ponto da

reta

R.3 A distância entre dois pontos é o valor absoluto da diferença

dos números reais correspondentes.

Este postulado é denominado postulado da régua porque

proporciona uma régua infinita que, colocada sobre qualquer reta,

permite determinar a distância entre dois pontos quaisquer [grifos

dos autores] (MONTEIRO, SANGIORGI, WATANABE, 1970, p.

319-320).

Comparando as duas obras, pode-se dizer que é praticamente o mesmo

texto do exemplar americano, com exceção de algumas palavras, que em nada

alteram o significado das afirmativas

118

Para as outras edições do primeiro volume, (2ª e 3ª edição), os autores

procederam a algumas modificações. Uma delas foi a inclusão de exercícios

resolvidos e a eliminação dos testes de vestibulares. O enunciado do postulado

da régua, por exemplo, foi modificado, ficando assim expresso:

118

O postulado da régua encontra-se enunciado da seguinte forma na obra de Moise & Downs “Os pontos de

uma reta podem ser postos em correspondência com os números reais, de tal modo que (1) a cada ponto da

reta corresponde exatamente um número real; (2) a cada número real corresponde exatamente a um ponto

da reta; e (3) a distância entre dois pontos quaisquer é o valor absoluto da diferença dos números

correspondentes. Chamamos esse postulado de Postulado da Régua, porque seu efeito é nos fornecer uma

régua infinita que pode ser colocada em toda reta e usada para medir a distância entre dois pontos” (1971, p.

30).

345

Consideremos uma reta r qualquer, e o conjunto R dos números

reais. Vale o seguinte postulado:

Existe uma aplicação bijetora f de r em R, tal que se P e Q são

dois pontos quaisquer de r, temos:

PQ)Q(f)P(f 

Este postulado é denominado postulado da régua porque

proporciona uma régua infinita que, colocada sobre qualquer reta,

permite determinar a distância entre dois pontos quaisquer [grifos

dos autores] (MONTEIRO, SANGIORGI, WATANABE, 1972, p.

208).

O tratamento dado à definição do postulado da régua nesta edição é feito

pela representação algébrica de funções. A linguagem tornou-se mais simbólica,

exigindo do leitor, para entendimento do postulado, recorrer à noção de função,

explicitada no capítulo III, diferentemente daquela definida na edição anterior, em

que o postulado é explicado por meio de uma linguagem corrente, mais próxima

do aluno.

Quanto ao segundo volume, o sumário apresenta os seguintes tópicos:

- Matrizes;

- Sistemas Lineares e Determinantes;

- Análise Combinatória

- Probabilidade;

- Sólidos Geométricos;

Respostas (MONTEIRO; SANGIORGI; WATANABE, 1973, p. 7).

Observamos que, em relação ao programa sugerido pela O.E.C.E.,

somente os conteúdos relativos à Análise Combinatória e Probabilidade foram

contemplados pelos autores. Divisibilidade; anéis de polinômios, grupos

(isomorfismos e homomorfismos), estrutura axiomática do conjunto dos números

reais, assuntos que constam na lista da O.E.C.E. para o segundo ano, não foram

trabalhados.

E ainda, quanto à Geometria, nota-se que os autores não atenderam as

solicitações propostas pela O.E.C.E., cuja forma de desenvolvimento dos

assuntos sugere o emprego de métodos algébricos para a resolução de

problemas geométricos, enfatizando o estudo dos grupos de transformações e

346

dos vetores. Logo na introdução do segundo volume, datado de 1973, lêem-se os

seguintes dizeres, relativos ao tratamento dado à Geometria:

Todos sabem que o estudo da Geometria está em fase de

transição. Também no Brasil se registra uma insatisfação com o

tratamento clássico (axiomática de Hilbert). Por outro lado

considera-se um tanto prematuro apresentar neste Volume o

tratamento da Geometria com as ferramentas propiciadas pela

Álgebra Linear. Nestas condições, ficamos ainda com o

tratamento clássico, embora em ‘embalagem moderna’ e bem

atenuado com novas informações [grifos dos autores]

(MONTEIRO; SANGIORGI; WATANABE, 1973, p. 5).

O segundo volume do livro apresenta a bibliografia utilizada. Dentre eles,

destacamos o livro “Geometria Moderna” de Edwin. E. Moise e Floyd. L. Downs

Jr. (1971), traduzido por Renate Watanabe e Dorival Melo, confirmando a

incorporação do conceito de medida, apropriado da obra de Moise & Downs que,

por sua vez, alegam terem sido “fortemente influenciados pelo texto chamado

Geometria, escrito pelo School Mathematics Study Group (SMSG) [grifos dos

autores] (MOISE; DOWNS Jr, Prefácio, 1971).

Segundo Valente (2007), nos finais da década de sessenta, o MMM

apresentava os primeiros sinais de enfraquecimento, já não contava tanto com o

apoio resoluto da imprensa. Surgiram também outras coleções didáticas, que

igualmente disputavam o mercado editorial. Esses foram alguns dos motivos

pelos quais a coleção para o 2º. Ciclo parece não ter tido vida longa.

Posteriormente, em 1975, Sangiorgi deixou a co-autoria e a obra foi

interrompida sem que, dessa forma, tenha sido publicado o terceiro e último

volume. Uma nova coleção veio substituir aquela, ficando sua autoria a cargo dos

professores Jacy Monteiro, Renate Watanabe e Paulo Boulos. Neste mesmo ano,

Jacy Monteiro veio a falecer. A coleção continuou levando apenas os nomes de

Renate Watanabe e Paulo Boulos, o que nos leva a supor que Jacy Monteiro teve

pouca ou nenhuma participação nas reformulações sofridas pela obra, após a

retirada de Sangiorgi.

Abaixo reproduzimos o prefácio escrito por Sangiorgi em 1975, para o

primeiro volume do livro “Matemática” de autoria de Monteiro, Boulos e Watanabe:

347

A Matemática, considerada, com muita propriedade, eixo-

metodológico de todos os ramos do conhecimento humano,

conseguiu, por parte dos autores, um tratamento correto e

simples, capaz de atrair os jovens estudantes do ensino do 2º

grau, mesmo aqueles que não se destinam especificamente ao

ensino secundário. Nada de tratamento exageradamente rigoroso

com a intenção de agradar tão somente aos matemáticos

profissionais e sim, dentro de uma linguagem clara e certa, a

preocupação de atender às reais necessidades de conhecimento

científico exigidas pelos atuais alunos.

Assim, foi abandonado o mito da “precisão de linguagem”, quando

se tratava de esclarecer conceitos que pediam forte apelo à

intuição e nunca a um rigor desmedido. Por exemplo, os autores

não hesitaram em falar de funções que “pegam” números e os

“levam” de um conjunto para outro; de números “imensamente

grandes”; de gráficos de funções crescentes que “sobem”; de

pontos que “andam” sobre uma circunferência e assim por diante.

Mais ainda: há uma didática do essencial, caracterizando certas

partes do livro, quando oferece ao estudante a oportunidade de

observar certas situações, fazendo-o trabalhar com exemplos

concretos e deixando-o através de suas próprias reflexões, extrair

conclusões, mesmo sabendo que ele pode errar. Mas, cometer

erros e verificar resultados é parte integrante do aprendizado que,

com um aluno motivado, tem na Matemática um forte aliado [grifos

do autor] (SANGIORGI, 1975, Prefácio).

As palavras de Sangiorgi deixam transparecer uma anuência quanto à

“vulgarização” da linguagem matemática, com o objetivo de facilitar uma melhor

compreensão do conteúdo, pois, para ele, nem sempre aquilo que possa agradar

o matemático profissional, como por exemplo a fidelidade ao rigor matemático, é

condizente com a expectativa seja do professor ou mesmo do aluno. Nesse

sentido, com os elogios à obra por parte de Sangiorgi, denota-se, até pelo

currículo de seus autores, que os mesmos mostraram desprendimento ao

patrocinarem uma flexibilidade em relação a uma linguagem até então praticada

no livro didático anterior, além de visar um trabalho voltado para a essência do

conhecimento matemático, em detrimento de uma apresentação integral do

programa, buscando atrair e impulsionar o leitor para uma maior interação com a

proposta oferecida, ensejando uma eficaz compreensão da ciência matemática.

Assim, ao optarem por uma linguagem mais simples, fizeram justamente o

contrário do que aquela empregada na oportunidade em que modificaram o

enunciado do postulado da régua, quando aderiram a uma linguagem matemática

348

formal. Note-se, por exemplo que, nesse novo compêndio, os autores nem ao

menos mencionaram explicitamente o postulado da régua.

As palavras de Sangiorgi sinalizam para o advento de um novo modo de

pensar o ensino da Matemática, não mais enfatizando as estruturas e o rigor da

linguagem matemática. Tempos de Matemática Moderna sendo deixados para

trás. Novos tempos inaugurando novas metodologias e privilegiando outros

conteúdos.

9.15. Curso Moderno de Matemática para a Escola Elementar

Lucília Bechara, Manhúcia Perelberg Liberman e Anna Franchi

119

professoras de matemática atuantes no GEEM, lançaram uma coleção intitulada

“Curso Moderno de Matemática para a Escola Elementar”, destinado aos cursos

primários. A partir da Lei nº 5.692/71, que estabeleceu a escola fundamental de

oito anos – o Ensino de 1º Grau –, as autoras sentiram-se compelidas a dar

continuidade à coleção didática já elaborada para as quatro primeiras séries

iniciais, tornando-a completa para o ensino de 1º grau.

Para a elaboração dos volumes destinados às 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries, as

autoras Lucília Bechara Sanchez

120

e Manhúcia Liberman sentiram necessidade

de ampliar a equipe, que passou a contar a presença de Anna Averbuch e Franca

Cohen Gottlieb, recebendo o grupo a denominação de GRUEMA – Grupo de

Ensino de Matemática Atualizada. A obra, intitulada “Curso moderno de

matemática para o ensino de primeiro grau” foi publicada pela Companhia Editora

Nacional, a partir de 1972.

Em nota destinada aos professores, as autoras esclarecem que, antes de

ser lançado, cada volume foi experimentado em algumas escolas do Estado do

Rio de Janeiro e do Estado de São Paulo, onde professores e orientadores

acompanhavam e verificavam os resultados obtidos com sua utilização,

apresentando êxito ao final.

119

Anna Franchi somente colaborou como autora nos três primeiros volumes dessa coleção (BECHARA,

LIBERMAN, 1969).

120

Lucília Bechara passou a assinar Sanchez, a partir da publicação do 5º volume da série.

349

Informam ainda que, coube às autoras, o trabalho de elaboração de textos,

experimentação e controle de resultados, e a L. H. Jacy Monteiro, “os trabalhos

de supervisão e revisão de conteúdo, a fim de que a preocupação com a

linguagem adequada ao nível dos alunos não sacrifique a precisão de conceitos,

para que os alunos não sejam mais tarde forçados a destruir para construir”

(AVERBUCH et alli, 1974).

Como se vê, Luiz Henrique Jacy Monteiro assumiu a supervisão e revisão

dos conteúdos matemáticos da coleção. Quanto ao resultado final da obra,

recorremos às análises efetuadas por Maria Ângela Miorim, que assim se

expressa:

Apesar de utilizar a linguagem matemática de forma rigorosa

sempre que necessário, percebe-se a preocupação das autoras

em produzir um texto que não priorize tal linguagem.

Isso, no entanto, não significa que os conceitos abordados não

sejam tratados com profundidade. Ao contrário, é perceptível a

preocupação com a apresentação, especialmente através de

questionamentos, rigorosa dos conceitos (MIORIM, 2005)

Em toda a coleção foram introduzidas histórias em quadrinhos, com a

intenção de motivar os alunos para os assuntos a serem abordados e, segundo

Franca Gottlieb, de modo que a

... história em quadrinhos era a parte que queríamos dar como

teoria mas não queríamos dar com a profundidade, e com a

propriedade de linguagem, que tem que ser dada, porque não se

pode escrever errado. E fazíamos duas crianças conversando

entre si, sobre aquilo, com linguajar de criança (apud SOARES,

2001, p. 61).

A coleção se fazia acompanhar de uma edição do professor em que, além

de oferecer as respostas dos exercícios propostos na obra, apresentava seus

objetivos educacionais, instrucionais, estratégias e outras observações de ordem

didática, além de sugestão de programação da matéria, separada por bimestre e

com sugestões de provas.

Para a 5ª série, sob a denominação “Temas de recordação” as autoras

introduziram um tópico sobre simbologia matemática, múltiplos e divisores, curvas

e regiões e medidas de ângulos, como pré-requisitos para o estudo das noções

350

de conjuntos, relações e sistema de numeração, temas trabalhados nesse volume

(AVERBUCH et alli, 1974).

Nas operações no conjunto dos números naturais, as autoras utilizaram-se

fartamente da Teoria dos Conjuntos. Para a adição de números naturais,

relacionam a soma dos números naturais e reunião dos conjuntos, da seguinte

forma:

DE UM MODO GERAL

Para determinar a soma de dois números naturais a e b,

construímos um conjunto A com a elementos e um conjunto B

com b elementos, com A e B disjuntos.

A soma de a e b será o número de elementos do conjunto-reunião

A U B.

Se n(a) = a, n(B) = b e n(A ŀ B) = 0, então n(A U B) = n(A) + n(B)

= a + b (AVERBUCH et alli, 1974, p. 105).

No livro do professor, as autoras advertiram que as conclusões e

generalizações enunciadas sob a denominação “De um modo geral”, tiveram

como objetivo dar uma oportunidade de aprimoramento aos alunos mais

interessados no aprendizado da matemática. Nessas sessões, portanto, as

autoras fizeram uso freqüente da linguagem matemática formal, e, apesar de não

dispensarem o rigor matemático em toda a obra, procuraram trabalhar os

assuntos matemáticos, estabelecendo com o leitor uma conversação coloquial, de

modo a fazê-lo chegar “por si a algumas conclusões que possibilitem o

desenvolvimento do seu raciocínio (AVERBUCH et alli, 1974, p. VIII).

Também para a 5ª, foram trabalhadas as noções de produto cartesiano,

funções e funções bijetoras, além das propriedades das operações no conjunto

dos números naturais.

Na 7ª série (1975), um dos objetivos instrucionais apresentados dizia

respeito ao conceito de grupo. Assim, as autoras pretenderam levar os alunos a

reconhecer quando um conjunto (finito ou infinito) munido de determinada

operação é um grupo, de modo que a formalização desse conceito viesse a

facilitar a prática da resolução de equações. Também é nesta série que o estudo

da simetria foi apresentado, com a intenção de desenvolver o domínio do espaço

351

ligado aos movimentos de uma figura plana no espaço e, igualmente, estudar a

Geometria através das transformações geométricas.

Em 1975, a coleção ainda não tinha todos os seus volumes publicados. O

volume 8 da coleção, correspondente à 8ª serie, ainda estava no prelo.

Entretanto, naquela época, apesar do MMM já dar sinais de esgotamento,

notamos que o GRUEMA ainda levava em conta as recomendações da

Matemática Moderna.

Constata-se, igualmente, que na elaboração da obra, havia uma

preocupação das autoras com a linguagem matemática, fosse ela formal ou

coloquial, procurando sempre manter uma apresentação rigorosa dos conceitos.

Nesse sentido, a participação de Jacy Monteiro, na qualidade de supervisor e

revisor dos conteúdos abordados, mostrou-se fundamental para garantir e manter

aquela precisão dos conceitos.

Verifica-se assim, uma conjugação eficaz entre a supervisão e revisão da

linguagem rigorosa utilizada na coleção, a cargo do matemático Jacy Monteiro, e

a experiência pedagógica das autoras, depreendendo-se, portanto, que Jacy

Monteiro soube transigir com uma certa modificação da linguagem, sempre que

fosse necessário, sem contudo, dispensar o rigor.

9.16. Jacy Monteiro e as relações entre a matemática e educação

matemática.

Nesta última sessão, procuramos sintetizar os principais aspectos

percebidos e discutidos durante o capítulo, de maneira a estabelecer as relações

entre o matemático Jacy Monteiro e a educação matemática.

De modo recorrente ao que já fora realizado nos capítulos em que nos

detivemos nas trajetórias de Catunda e Castrucci, valemo-nos de uma

apresentação subdividida em fases, as quais não obedecem, necessariamente, a

uma ordem cronológica. O sentido de optarmos por uma divisão em fases, é que

ela faz nascer a possibilidade de se aclarar e comparar as práticas levadas a

cabo por esses matemáticos.

352

Numa primeira fase, voltamos nosso olhar para Jacy Monteiro como

professor assistente de Oskar Zariski e Jean Dieudonné, matemáticos afinados

com a perspectiva bourbakista. Ao confrontar as conclusões de Pires (2006) e as

notas de aula de Ubiratan D’Ambrosio, destacamos a apropriação feita por Jacy

Monteiro dos métodos e conteúdos adotados por Bourbaki, servindo-se deles

para a consecução de suas aulas na FFCLUSP.

A preocupação de Dieudonné voltava-se para a escolha dos conteúdos que

deveriam ser ensinados no secundário e, de forma específica, aos alunos com

inclinação para as ciências exatas. Nesse caso, o secundário deveria

proporcionar a tais alunos, conteúdos da MM, em especial a Álgebra Linear,

dando-lhes tratamento axiomático rigoroso. Jacy Monteiro, por sua vez,

considerava a pesquisa prerrogativa não apenas dos matemáticos, mas também

dos professores, de modo que a sociedade viesse a beneficiar-se dessa prática

alcançando o desenvolvimento próprio de uma sociedade moderna.

As estruturas algébricas, distinguidas por Bourbaki como uma das

“estruturas-mãe”, responsáveis pela organização da ciência matemática, teve em

Jacy Monteiro um dos principais difusores. Jacy Monteiro voltou-se para a

pesquisa e ensino da Álgebra Moderna e Álgebra Linear, cujos tópicos foram por

ele abordados, tanto em cursos de pós-graduação quanto em cursos destinados à

graduação e de formação de professores.

Em outra etapa, vimos que as anotações elaboradas por Jacy Monteiro

durante as aulas de Zariski e Dieudonné tornaram-se obras didáticas para o

ensino superior. A partir do êxito obtido na elaboração e divulgação dessas

apostilas, especializou-se na produção e publicação de apostilas, quando

buscava suprir as necessidades de textos científicos dos graduandos. Para tanto,

mantinha contato com matemáticos do Brasil e do exterior, para tratar sobre obras

a serem publicadas no Boletim da SMSP ou, ainda, para o planejamento de

revistas, elaboração e distribuição de periódicos, compra de livros para a

biblioteca e organização de eventos científicos. Auxiliava na preparação de

trabalhos de outros colegas, destacando-se também o fato de que, durante o

Movimento, foi responsável pelo Departamento de Publicações do GEEM.

353

Numa terceira fase, vemos Jacy Monteiro como autor de uma coleção de

livros didáticos para o 2º ciclo, juntamente com Osvaldo Sangiorgi e Renate

Watanabe. Para a Geometria, os autores utilizaram-se da obra “Geometria

Moderna” dos autores Moise & Downs, não incorporando as ferramentas

propiciadas pela Álgebra Linear.

Observou-se, no entanto, que relativamente aos conteúdos envolvendo

conjuntos, relações e aplicações, que os autores procuraram atender às

recomendações da OECE, e, segundo Watanabe, estes conteúdos foram,

justamente, aqueles elaborados por Jacy Monteiro. Apesar disso, ao optar por

apresentar toda a Teoria dos Conjuntos, no primeiro ano, Jacy Monteiro não

acompanhou as propostas da OECE, no sentido de ser trabalhada apenas a

introdução no primeiro ano, deixando o restante para o último. A ênfase dada para

a “precisão da linguagem” constituiu-se na tônica dessa parte do livro, exatamente

como preconizava Dieudonné.

Em uma última e quarta fase, encontramos Jacy Monteiro como supervisor

e revisor de livros didáticos de 5ª a 8ª séries do “Curso moderno de matemática

para o ensino de primeiro grau”. A preocupação das autoras dessa obra, nesse

caso, era com uma apresentação rigorosa da matemática e, ao mesmo tempo,

sem priorizar a linguagem formal, procurando oferecer uma linguagem adequada

para os alunos daquelas séries.

Verifica-se assim, uma conjugação eficaz entre a supervisão e revisão da

linguagem rigorosa utilizada na coleção, a cargo do matemático Jacy Monteiro, e

a experiência pedagógica das autoras, depreendendo-se, portanto, que Jacy

Monteiro soube transigir com uma certa modificação da linguagem, sempre que

fosse necessário, sem contudo, dispensar o rigor.

Resumidamente, assim podem ser apontadas as atividades com as quais o

professor Jacy Monteiro esteve envolvido durante toda sua vida profissional:

organização de revistas; participação na elaboração de material gráfico;

catalogação de artigos e periódicos; correspondências com universidades,

matemáticos e editoras; supervisão e elaboração de livros didáticos para o ensino

secundário e superior e ainda, docência em cursos de nível superior e de

354

formação de professores, como revelado por fontes diversas, dentre elas,

professores e alunos, testemunhas de sua atuação.

Nesse universo de trabalho, Jacy encontrava-se numa posição estratégica

que lhe possibilitava colocar em pleno vigor as propostas do movimento da MM.

Nos cursos do GEEM, e em outros cursos, Jacy Monteiro foi um dos principais

representantes daqueles que se dedicavam à Álgebra Moderna, área da

matemática na qual era especialista. Ademais, a Álgebra Moderna, não se

incompatibilizava com os preceitos defendidos pelo MMM, provável razão de seu

engajamento no Movimento, permitindo-lhe trabalhar no desenvolvimento e

divulgação da Álgebra Moderna, posto que suas competências o recomendavam

para tanto.

355

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Pretendendo contribuir para a escrita da História da Educação Matemática

brasileira, esta pesquisa teve como objetivo central estudar as dinâmicas que

envolvem as relações entre Matemática e Educação Matemática durante o MMM.

Em nosso trabalho, procuramos historicizar as relações entre matemáticos

e educadores matemáticos, ou seja, consideramos que essas relações se

transformam ao longo do tempo e estão estabelecidas num determinado período

histórico. O período em que nos concentramos para levar à frente nossa

investigação é aquele de vigência do MMM, delimitando-a geograficamente no

Brasil.

Nesse sentido buscamos estudar as relações entre essas comunidades, do

matemático e daquele que ensina matemática. Essa investigação nos impulsionou

na direção de buscar respostas para as seguintes indagações: qual é a dinâmica

dessas duas comunidades ao tempo do MMM? E como isso se estabeleceu?

Para encontrar respostas a tais indagações, empreendemos uma certa

regressão, procurando caracterizar o próprio tempo que se tomou como

referência, qual seja, o período em que vigorou o MMM em relação a

determinados períodos anteriores a ele. Procedemos então, a um relato sobre a

origem e características da Matemática Moderna, destacando o surgimento das

novas álgebras, o aparecimento das correntes filosóficas e alguns aspectos sobre

o primeiro movimento internacional de reforma do ensino da Matemática. Em

seguida, apresentamos uma breve síntese sobre a trajetória do grupo Bourbaki,

considerando a relevância alcançada por esse grupo durante o MMM. Nessa

356

regressão, buscamos informações que pudessem nos auxiliar na compreensão da

dinâmica dessas relações antes mesmo do Movimento. Esta conduta se prestou

para aprofundar o debate de como historicamente os matemáticos levantam a

preocupação de discutir o ensino de Matemática.

Dessa forma, levamos em conta que o ofício do matemático se transforma

ao longo do tempo, tendo em vista, por exemplo, que o modo de produção

matemática do século XVII é diferente do modo como se produzia matemática no

século dezenove e certamente foi diferente de como se produziu matemática no

século XX, sendo certo dizer que esse ofício é histórico, pressupondo uma análise

de seu fazer matemático, por meio do exame de sua produção (LORENZO,

1988).

Nesse fazer matemático, revelado pelo exame de sua produção, constata-

se que os matemáticos são partícipes de uma prática social de investigação, qual

seja, a pesquisa acadêmica (PESTRE, 1996), que, entretanto, traz em seu cerne

uma prática educativa, mesmo que de modo difuso ou inconsciente, vale dizer,

por meio de táticas, de forma a assegurar “as condições de produção e

reprodução dos conhecimentos gerados em seu interior”, evitando-se que essa

prática de investigação desapareça (MIGUEL, 2004, p. 83). Na verdade, há uma

relação de retro alimentação entre teoria matemática e prática educativa.

Essas relações compatibilizam-se com as análises realizadas por Belhoste

(1998), para quem o desenvolvimento da ciência matemática está intimamente

ligado ao próprio ensino da matemática. Logo, podemos afirmar que são

históricas as relações estabelecidas entre os matemáticos e o ensino de

Matemática e, portanto, estão sujeitas a transformações ao longo do tempo.

Para discutir o ensino de Matemática, do ponto de vista dos matemáticos,

detivemo-nos no pronunciamento de Castelnuovo (1914), durante a CIEM de

1914, quando expôs suas idéias sobre os motivos pelos quais o matemático

deveria preocupar-se com o ensino de matemática. Para Castelnuovo, tratava-se

de um dever social do matemático, cabendo a ele informar à sociedade sobre o

andamento de suas investigações científicas, “sem demora e desperdício”, de

357

modo que estas investigações pudessem servir aos propósitos e expectativas

sociais.

Em seguida, voltamo-nos para as idéias propugnadas por Jean Dieudonné

(1973a), o qual advogava uma modificação significativa dos conteúdos e métodos

do ensino de Matemática no secundário, a fim de diminuir o “abismo” existente

entre ensino de Matemática de nível universitário e o ensino secundário. Sua

preocupação, portanto, relacionava-se com a qualidade do ensino de matemática

de nível superior. Para Dieudonné, o aluno ingressante no ensino superior, na

área de ciências, deveria trazer como bagagem mínima noções de Álgebra

Linear.

Como pudemos observar, as posições de Castelnuovo (1914) e Dieudonné

(1973 a) diferenciam-se na medida em que Castelnuovo dirigia seu olhar para o

dever social do matemático visando a melhoria da sociedade como um todo,

enquanto que Dieudonné enfatizava a necessidade de se introduzir conteúdos

modernos de Matemática no ensino secundário, de modo a obter um melhor nível

dos alunos ingressantes no ensino superior, na área de exatas.

Destacamos, além disso, o pensamento de Catunda que, em 1945,

defendia uma formação para o professor de matemática a partir de uma

abordagem dos conteúdos matemáticos, sem entretanto, afastar-se totalmente

dos aspectos pedagógicos. Manifestava preocupação em elevar a cultura geral do

povo brasileiro, a partir de sua integração com os professores oriundos das

faculdades de filosofia, ciências e letras, recém criadas, procurando compatibilizar

aspectos educacionais com a pesquisa científica, com reflexos para a cultura

geral da população. Nesse sentido, os pensamentos de Catunda coadunavam-se

com aqueles sustentados por Castelnuovo. Ademais, expressava intenção de

revisar os programas do ensino secundário de Matemática, de modo que esse

ensino atingisse todos os indivíduos da sociedade brasileira. Essa posição,

porém, aproximava-se daquela defendida por alguns reformadores durante o

MMM, sob a bandeira “matemática para todos”, em que, na década de 1950,

matemáticos e educadores matemáticos, de diversos países, manifestaram a

pretensão de democratizar o ensino secundário.

358

Essa diversidade de posições expressas por matemáticos de épocas

distintas, como assinalada por Castelnuovo, Dieudonné e Catunda, exemplifica

como as relações entre matemáticos e o ensino de matemática se transformam

ao longo do tempo e estão estabelecidas num determinado período histórico.

Utilizando-nos de aportes teóricos dos quais se vale a História Cultural,

prosseguimos na investigação estudo da dinâmica das relações entre matemática

e educação matemática, o que implicou na realização de um estudo das relações

entre cultura acadêmica e cultura escolar durante esse Movimento.

Para tanto, lançamos mão da categoria cultura escolar, apropriando-nos

daquela definida por Dominique Julia (2001), que vem subsidiando diversas

análises no campo da História da Educação.

Outras categorias que igualmente serviram de subsídios para a escrita

deste estudo foram os conceitos de estratégia e tática tomados em conformidade

com De Certeau (2002), as quais nos inspiraram a elaborar o questionamento

basilar que direcionou esta investigação, qual seja, quais estratégias e táticas

estavam envolvidas na dinâmica de relacionamento entre cultura acadêmica e

escolar ao tempo do MMM?

Outras questões também se fizeram presentes e motivaram este estudo:

Quais os principais matemáticos brasileiros que, durante o MMM

mantiveram alguma preocupação com o ensino secundário?

Qual a formação intelectual e qual a posição social desses matemáticos?

Quais as principais contribuições que podem ser creditadas em favor de

matemáticos que participaram do MMM?

Como matemáticos investiram na escriturística (publicações, documentos

oficiais, participação em congressos, livros etc.) para participarem desse

Movimento?

Em relação às últimas indagações, todas como resultado do

desdobramento da questão principal da pesquisa, cumpre esclarecer que, muitos

foram os matemáticos brasileiros que se dedicaram ao ensino secundário. Dentre

359

eles, nossa escolha recaiu sobre Omar Catunda, Benedito Castrucci e Luiz

Henrique Jacy Monteiro, porquanto consideramos como elementos de destaque e

representativos da comunidade matemática daquela época, quando tiveram

expressivo envolvimento com a reforma da MM. Assim, quanto à formação

intelectual, posição social e principais contribuições desses matemáticos, nos

capítulos que tratam especificamente sobre essas personagens, estes aspectos

foram explorados, descritos e podem ser também observados através da consulta

às cronologias que seguem anexas.

Quanto a responder sobre como matemáticos investiram na escriturística

ao tempo do MMM, o esforço nesse sentido revestiu-se de maior complexidade,

justamente porque nas práticas utilizadas pelos matemáticos para a elaboração

de textos que trataram do ensino secundário, vemos entrelaçadas táticas e

estratégias que, somente aos poucos algumas delas foram sendo percebidas e

identificadas, na medida em que se desenvolviam as atividades de leitura e

reflexão, provocadas pelas fontes obtidas no decorrer da elaboração da tese.

A adesão ao MMM, rendeu a Catunda, Castrucci e Jacy Monteiro

publicações compostas de diversas obras didáticas tanto para o ensino superior

quanto ao secundário.

Mesmo antes do Movimento, esses matemáticos já se dedicavam à escrita

de artigos, livros, apostilas, notas de aula, publicações em revistas, etc., cujas

produções eram freqüentes, embora a maioria delas voltadas para o público

universitário, sendo algumas publicadas em periódicos científicos especializados.

Assim, Catunda e Castrucci já contavam com a experiência de autores de livros

didáticos para o ensino secundário anteriormente ao MMM. Catunda e Castrucci

assinavam como co-autores da coleção “Matemática” para o curso colegial, na

década de 1940, sendo que Benedito Castrucci também escreveu o compêndio

“Lições de geometria elementar”, em 1952, igualmente destinado ao curso

colegial, além de outros trabalhos. Do mesmo modo, também assinaram artigos

na Revista “Notas de Matemática e Física”, sendo que Catunda inaugurou aquela

revista com a palestra “A matemática no ensino secundário”. Já Castrucci

pronunciou-se sobre o tema “Nota sobre a congruência de ângulos”, utilizando

como referência obras de geômetras italianos. Embora Jacy Monteiro não tenha

360

apresentado trabalho nessa revista, colaborou na consecução e divulgação,

favorecendo a distribuição de exemplares para diversas instituições de ensino.

Em tempos de MM, foram publicados pelo GEEM, na Série Professor, as

obras “Elementos da teoria dos conjuntos” (1967) e “Introdução à lógica

matemática” (1973) de autoria de Benedito Castrucci; “Introdução às estruturas

algébricas” (1968) e “Polinômios” (1970), ambas de autoria de Jacy Monteiro. Não

obstante Catunda não tenha publicado livros na série Professor, assinou, todavia,

o artigo “Os conceitos fundamentais da matemática: conjuntos e estruturas”,

publicado na obra coletiva “Matemática moderna para o ensino primário”, também

integrante da série Professor, em 1962.

Além disso, verificamos que esses matemáticos, sujeitos de nosso estudo,

também expuseram artigos em congressos, seminários e revistas especializadas

em educação, expressando posições em defesa do Movimento ou tratando

diretamente de conteúdos da Matemática Moderna.

Analisando obras escritas em conjunto com educadores matemáticos

durante o Movimento, pudemos verificar que todos eles foram convidados por

esses educadores de maneira a participarem como autores de livros-texto para o

secundário. Ademais, Omar Catunda e Jacy Monteiro, além de autores, também

exerceram a função de supervisores e revisores de obras didáticas.

A participação efetiva na escriturística e ainda na supervisão e revisão dos

conteúdos, expressas nos livros didáticos e outras publicações, foram por nós

consideradas como estratégias utilizadas por esses matemáticos, auxiliando,

dessa forma, na inserção de conteúdos de MM no ensino secundário.

Mas, quais foram as táticas que puderam ser reveladas através desta

pesquisa, quanto às atividades de Catunda, Castrucci e Jacy, ao enveredarem

pelo caminho da escrita de obras didáticas para o secundário?

Para tratar de responder esse questionamento, recorremos ao conceito de

apropriação na acepção de Chartier (1991) e, por conseqüência, de Michel de

Certeau (2002), ao fazer referência às táticas como modelo de apropriação, as

361

quais efetuam um consumo criativo dos bens culturais, por meio de um fazer que

subverte os dispositivos de poder inscritos nos objetos e lugares.

No caso de Catunda, para o ensino secundário, vimos que, em seu

depoimento sobre o programa para esse grau de ensino, vigente em 1954, esse

matemático defendeu o restabelecimento de um estudo elementar de algumas

transformações em Geometria: simetria, homotetia, semelhança, rotação e

translação, o qual já havia sido recomendado por Felix Klein por ocasião do

Primeiro Movimento Internacional de Reforma do Ensino da Matemática e

também preconizado por Euclides Roxo.

Em 1966, durante o 5º CBEM, pronunciou-se sobre o “Tratamento moderno

da geometria”, defendendo a introdução de conteúdos referentes à Geometria das

Transformações como um tratamento eficiente para o ensino da Geometria no

secundário.

Entretanto, na elaboração de livros didáticos por iniciativa do CECIBA,

destacamos a obra “Matemática Moderna III” (1969), cuja introdução enfatiza que

a Geometria Afim nela inserida foi elaborada por Omar Catunda. Num primeiro

momento, o estudo da Geometria baseou-se nas transformações geométricas

como delineadas por Felix Klein. Na mesma obra, no capítulo seguinte, Catunda

introduziu o seu estudo utilizando-se de recursos da Álgebra Linear, baseados

nos vetores e espaços vetoriais, numa provável apropriação da proposta

defendida por Jean Dieudonné, representada por um tratamento de tendência

bourbakista. Já no quarto capítulo desse manual foi realizado um estudo voltado

para a Geometria tradicional, a Geometria Euclidiana orientada pelas formulações

de David Hilbert.

Esses posicionamentos aparentemente contraditórios, pois não refletem

uma abordagem homogênea dirigida ao ensino da Geometria, podem ser

concebidos como uma tática do matemático para, ao mesmo tempo em que

praticava a inserção de “tratamentos” modernos (Geometria das Transformações

e Geometria com Álgebra Linear) não renunciava, contudo, à Geometria

tradicional desenvolvida no capítulo IV do “Matemática Moderna III”. Ao fazer uma

provável apropriação das geometrias trabalhadas por Hilbert, Klein e Dieudonné,

362

de modo a oferecer uma gama de alternativas para a compreensão desse ramo

da matemática, Catunda acabou por estabelecer uma nova forma de exposição

didática.

Relativamente a Benedito Castrucci, como constatado por Pires (2006) e

Leme da Silva & Oliveira (2006), esse matemático, enquanto assinava sozinho

sua obras didáticas, permaneceu fiel aos preceitos da Geometria Euclidiana

tradicional em conformidade com o tratamento axiomático de David Hilbert, dando

especial atenção à linguagem da Teoria dos Conjuntos. Pudemos constatar que a

modernidade, na concepção de Castrucci, dizia respeito à adoção de uma nova

linguagem, baseada na Teoria dos Conjuntos. Inferimos então, que uma de suas

táticas para o seu trânsito junto ao ensino secundário, deu-se por meio da escrita

de obras publicadas pelo GEEM e da coleção “Geometria: curso moderno” (1969),

nas quais enfatizava a linguagem daquela teoria como linguagem unificadora da

matemática, sem, no entanto, abrir mão da Geometria tradicional, indo desse

modo, contrariamente às prescrições do Movimento, que preconizava a adoção

da Geometria via Álgebra Linear ou a Geometria das Transformações.

Quando Castrucci aliou-se ao professor Alcides Bóscolo para escrever a

obra “Matemática: curso moderno”, a partir de 1967, nossa investigação apurou

que o livro não obteve a aceitação esperada em termos de vendagem, muito

embora os autores tivessem se apropriado de obra homônima, de autoria de

Osvaldo Sangiorgi (1963), reconhecido best seller. Essa apropriação do livro de

Sangiorgi revela-se como outra tática de Castrucci, porém, a nosso ver, para

alcançar sucesso de vendas, e como meio de inserir-se no ambiente do ensino

secundário.

Posteriormente, Castrucci elaborou outro livro didático, em co-autoria com

um professor não identificado, que atingiu, segundo ele, estrondoso sucesso de

vendas. Essa coleção, ainda conforme depoimento de Castrucci, já não

apresentava a idéia central dos reformadores, qual seja, a unicidade da

matemática por meio das estruturas. Os conteúdos modernos foram subtraídos

pelo professor co-autor, permanecendo na obra apenas a Teoria dos Conjuntos

como linguagem unificadora dessa ciência.

363

Neste caso, podemos também aventar outra tática de Castrucci, traduzida

no consentimento em subtrair conteúdos relativos à MM, mesmo sendo ele um

dos principais representantes do GEEM e portanto, defensor do Movimento.

No que tange à prática de produção de livros daquele anônimo professor

que escreveu em co-autoria com Castrucci, podemos tecer algumas

considerações e apontar uma de suas táticas.

Conforme entendimento de Geertz (1989), a cultura, compartilhada por um

determinado grupo, é permeada por códigos que permitem que este grupo se

entenda. É, portanto, pública. O professor não nominado, mas citado por

Castrucci, pertencia à comunidade escolar e suas práticas, seus códigos eram

entendidos por ela. Este professor, protegido à sombra da fama e respeitabilidade

do matemático Castrucci, interferiu no texto didático com o olhar do

funcionamento de sua aula, agindo de acordo com os códigos da cultura escolar

vigente. Com a memória de suas práticas, fez uma apropriação da nova

matemática, revelada mais próxima do professorado, acarretando grande

aceitação e um sucesso de vendas perante o público docente. Táticas como

essas, promovidas pelos professores, em um movimento silencioso, sem revolta,

aos poucos foram agindo sub-repticiamente, alterando a renovação do ensino, a

ponto de se notar, com o tempo, apenas vestígios da presença da Matemática

Moderna no secundário, fazendo crer, para muitos matemáticos como Castrucci,

no fracasso do Movimento. Assim, matemáticos falam de “fracasso”, pois não

vêem seu ideário inserido diretamente nas escolas, não contam com apropriações

realizadas pelos professores e pelos manuais didáticos elaborados a partir do

livro didático inovador.

Quanto ao matemático Luiz Henrique Jacy Monteiro, destacamos

primeiramente que ele não se utilizou, em momento algum, dos recursos

propiciados pela mídia para defender seus pontos de vista em relação ao ensino,

seja o superior ou mesmo o secundário. Suas obras tratavam eminentemente de

conteúdos próprios da ciência matemática, notadamente em relação aos temas

da Álgebra Moderna e Álgebra Linear.

364

No entanto, Jacy Monteiro aceitou e constantemente se envolveu com

supervisão, revisão de livros didáticos e exerceu consultoria junto a uma editora

especializada em obras didáticas, na área de matemática. Realçamos que, no

transcurso do MMM, Jacy Monteiro atuou como supervisor e revisor da coleção

“Curso moderno de matemática para o ensino de primeiro grau”.

No exercício daquela supervisão, revisão e mesmo consultoria, foi possível

identificar uma de suas táticas, na medida em que esta prática permitia-lhe sugerir

correções, supressões, vetar partes ou mesmo toda a obra que lhe era submetida

à apreciação. O mercado editorial contaria com obras sob o aval de Jacy Monteiro

ou mesmo com modificações que trariam implicitamente sua visão sobre o que

seria importante para o ensino naquele momento.

A experiência adquirida por Jacy Monteiro na elaboração de anotações de

aulas na FFCLUSP, nascida de sua convivência com renomados professores de

matemática, contribuiu para lhe dar o cabedal necessário, de forma a colocar-se à

frente daquelas atribuições correspondentes à revisão, supervisão e consultoria

sobre obras didática de matemática, em vias de serem lançadas pelo mercado

editorial.

Em conformidade com Belhoste (1998), as anotações de aulas, durante um

curso magistral, freqüentemente tornavam-se livros-texto, em que novos

elementos iam sendo introduzidos à teoria, a partir do modo de exposição

realizado pelo matemático. Comprovando estas colocações, vimos que as

anotações de Jacy Monteiro tomadas de aulas de Dieudonné e Zarisky tornaram-

se livros-texto. Tinham, portanto, uma função pedagógica, isto porque, auxiliavam

os estudantes na compreensão daquilo que era transmitido por aqueles

matemáticos. Jacy Monteiro estava sendo preparado para ser matemático e

mesmo assim, durante sua formação, sentia necessidade de lançar mão do

recurso consistente da elaboração de notas de aula. Ainda que os cursos da

FFCLUSP previssem matérias pedagógicas facultativas somente no último ano,

os apontamentos de Monteiro revelam uma necessidade e o reconhecimento de

sua parte, de que tais anotações representavam uma ferramenta pedagógica à

disposição dos estudantes. Ou seja, Jacy Monteiro fazia uma apropriação dos

conhecimentos transmitidos pelos professores e colocava-os a serviço dos

365

estudantes. A circunstância dessas anotações terem sido posteriormente

publicadas, comprova que a tática representada por sua apropriação revelou-se

eficiente, conforme os resultados colhidos, ou seja, Jacy Monteiro ganhou

notoriedade no meio acadêmico, em especial junto a Dieudonné e Zariski, até

porque beneficiados por aquela iniciativa. A tática empregada permitiu, portanto,

difundir as questões envolvendo a estrutura do saber matemático sob ótica de

Dieudonné e Zariski, exemplificando como o desenvolvimento da ciência

matemática encontra-se ligado ao próprio ensino da Matemática.

Paradoxalmente, as matérias teóricas, de modo geral, são vistas como

desvinculadas do processo de ensino-aprendizagem. Esse tipo de concepção

encontrava-se presente dentro da própria matriz curricular da FFCLUSP, em que

disciplinas matemáticas eram ministradas nos três primeiros anos do curso de

Matemática e as disciplinas pedagógicas, facultativas, eram oferecidas no último

ano. Essa concepção, articulada dentro da universidade, fazia parte da cultura

acadêmica, opondo teoria matemática e prática educativa sem a percepção de

que ambas não se desvinculam.

Além disso, segundo De Certeau (2003), para que haja verdadeiramente

cultura, não basta ser autor de práticas sociais; é preciso que essas práticas

sociais tenham significado para aquele que as realiza. Concluímos que, Jacy

Monteiro fez apropriação de métodos e conteúdos adotados por Bourbaki,

presentes nas teorias expostas por Dieudonné e Zariski, servindo-se deles para a

consecução de suas aulas na FFCLUSP e, posteriormente, nas atividades

realizadas, dentre elas, suas publicações perante o GEEM. Desse modo, essas

práticas tinham significado para esse matemático, tanto no que dizia respeito ao

seu envolvimento com a cultura acadêmica quanto com a cultura escolar, ao

divulgar a Álgebra Moderna em cursos e livros didáticos para o secundário.

Em nosso estudo, as categorias táticas e estratégias adquiriram especial

relevância, na medida em que permitiram analisar as relações existentes entre

cultura acadêmica e cultura escolar.

As práticas escolares, por serem práticas culturais, são compartilhadas

pelo grupo de professores e, portanto, fazem sentido para esse mesmo grupo.

366

Assim, quando surge um manual ou guia curricular apresentando novos

conteúdos e/ou métodos para serem utilizados pelos professores, seu uso implica

numa tendência de alteração nas práticas escolares vigentes, exigindo

transformação da cultura escolar.

Assim, as estratégias estabelecidas com a introdução de conteúdos da MM

exigiram dos professores uma implementação rápida e eficaz, que só podia ser

cumprida por parte dos professores, no cotidiano de suas práticas, por meio da

utilização de táticas, numa ação de astúcia que priorizava a metodologia,

concebida como uma maneira de fazer própria do cotidiano escolar, em

detrimento dos conteúdos respaldados nas teorias, por eles pouco conhecidas,

impostas pelas estratégias implementadas pelos promotores da modernização da

educação. Por outro lado, táticas também foram utilizadas pelos matemáticos

promotores da reforma em suas produções didáticas, como observado pelo

conjunto das ações praticadas pelos matemáticos Catunda, Castrucci e Jacy

Monteiro.

Com relação aos professores autores de livros didáticos, verificamos que

parcela deles recorreu ao auxílio de matemáticos para supervisionar suas obras

ou mesmo contou com matemáticos como co-autores, aproveitando-se dentre

outras qualidades, do renome e respeitabilidade de que gozavam esses

matemáticos, que além de emprestarem credibilidade ao livro didático, geravam a

expectativa de uma melhor divulgação daquela obra. De um lado, os matemáticos

participavam da elaboração dos textos, especialmente revisando os conteúdos

matemáticos; de outro, os professores tomavam parte na elaboração dessas

obras, apropriando-se da MM, levando em conta suas práticas de sala de aula,

em conformidade com a cultura escolar.

Essa relação permitiu a abertura de um novo mercado de trabalho para os

matemáticos brasileiros, na medida em que foram chamados a contribuir como

autores ou supervisores de livros didáticos. Esta ampliação do mercado de

trabalho favorecendo a classe dos matemáticos, decorreu da necessidade dos

professores, na elaboração de seus manuais didáticos, de proceder a inserção de

conteúdos de MM, o que exigia contar com a assessoria daqueles matemáticos. A

exploração desse novo filão, possibilitava aos matemáticos, além de ganhos

367

pecuniários, obter reconhecimento no âmbito da cultura escolar. Nota-se, desse

modo, que nessas relações não preponderavam apenas elementos políticos ou

ideológicos, havendo também motivações pessoais e econômicas.

No estudo das relações entre Matemática e seu ensino, envolvendo as

personagens Catunda, Castrucci e Jacy Monteiro, pudemos identificar a

preocupação desses matemáticos com o que representava a Matemática e seu

ensino para o desenvolvimento da sociedade.

Na “matematica para todos”, partia-se do pressuposto existente na época

do MMM, que para o desenvolvimento de uma sociedade moderna, esta

dependeria de conhecimentos científicos, que pudessem concorrer em favor do

crescimento da produção tecnológica. Nesse sentido, a matemática cumpriria um

papel fundamental, pensada como sustentáculo para os demais campos do saber

e instrumento essencial para compreensão e domínio do mundo. Portanto, a

matemática deveria ser ensinada a todos e isso sob uma versão moderna, por

meio da adoção da linguagem da Teoria dos Conjuntos e o conceito de estrutura,

o que permitiria à ciência matemática ganhar enorme vigor e possibilidade de

aplicação e progresso.

Catunda, Castrucci e Jacy Monteiro expressaram de modo explícito essa

preocupação. Catunda em seu pronunciamento sobre a posição da matemática

na cultura geral, durante a aula inaugural de 1945. Castrucci, em sua entrevista

datada de 1978, demonstrou preocupação em ministrar a matemática para todos,

sem focalizar necessariamente alunos que se destacavam na área da

matemática. Jacy Monteiro em seu discurso como paraninfo na Universidade

Mackenzie, em 1956, apontou a importância da formação de professores

pesquisadores, para promover a melhoria da sociedade.

Da mesma forma que os reformadores de outros países, é também no

contexto de uma “matemática para todos”, que Catunda, Castrucci e Jacy

Monteiro, cada um a seu modo, abraçaram a tese de uma urgente reestruturação

do ensino secundário, procurando adequá-lo aos novos tempos.

Cumpre destacar que, os professores de matemática estrangeiros, durante

a permanência na FFCLUSP, utilizaram-se de estratégias em relação aos

368

matemáticos brasileiros, que por sua vez, durante o MMM, usaram de estratégias

em relação aos professores de matemática. Contudo, considerando que

estratégias são indissociáveis de táticas, implica dizer que, os matemáticos

estrangeiros também utilizaram táticas ao trabalharem na formação dos

matemáticos brasileiros, que por sua vez, empregaram táticas quando, no

Movimento, envolveram-se com professores de matemática.

Assim, para implementar uma “matemática para todos”, esses matemáticos

brasileiros fizeram uso de estratégias, objetivando maior difusão dos conteúdos

de matemática moderna, e, consequentemente, também se valeram de táticas, na

medida em que consentiram em fazer concessões didáticas durante a elaboração

de livros didáticos em co-autoria com professores, embora sem renunciar ao rigor

matemático.

Na dinâmica dessas relações, a cultura acadêmica nutre-se da cultura

escolar e, esta do mesmo modo, também se nutre da cultura acadêmica. Há,

portanto, uma relação de retro alimentação.

Nessa dinâmica, constatou-se que os matemáticos envolvidos com o

MMM, mantinham um clima de confiança no sentido de poder oferecer um nível

de ensino de melhor qualidade aos acadêmicos, e, como conseqüência, para

aqueles que eventualmente viessem a dedicar-se à carreira do ensino secundário,

concorrendo assim, para um aprimoramento dos alunos secundaristas, que, por

sua vez, ao galgarem o status de universitários, estariam aptos a manter ou

aprimorar o padrão do ensino superior que lhes seria oferecido, criando por esse

processo um “círculo virtuoso”, o qual atenderia, não só as expectativas e

necessidades da academia, como também as da própria sociedade em que

estava inserida, permitindo a esta sociedade amplo acesso a novas tecnologias,

preparando-a para os novos tempos, tempos modernos.

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395

ANEXO I

A COLEÇÃO “MATEMÁTICA MODERNA”

I. 1. Matemática Moderna I

O volume “Matemática Moderna I” encontra-se subdividido em sete

capítulos, a saber:

Capítulo I: Conjuntos e relações;

Capítulo II: Número e numeral; sistemas de numeração; bases;

Capítulo III: Operações com números naturais; propriedades estruturais;

Capítulo IV: Divisibilidade; múltiplos comuns e divisores comuns; números

primos; fatoração;

Capítulo V: Frações;

Capítulo VI: Números decimais;

Capítulo VII: Estudo intuitivo das principais figuras planas e espaciais;

medida de seus comprimentos, áreas e volumes.

Para melhor ilustrar os métodos utilizados pelos professores do CECIBA

visando atingir os objetivos enumerados, apresentamos alguns tópicos por eles

trabalhados, aqueles considerados mais representativos das inovações advindas

pela introdução da MM nos currículos.

No Capítulo I, dedicado ao desenvolvimento de conceitos fundamentais de

conjunto e relações, os autores parecem seguir as recomendações encontradas

396

no “Comentário I” do programa de Álgebra elaborado pela OECE

121

. Senão,

vejamos: a comissão de professores da OECE sugeria que, os alunos, por

esforço próprio, adquirissem uma compreensão da noção de conjunto, por meio

de exemplos encontrados em seu cotidiano, de modo que:

Com a ajuda constante dos estudantes, inúmeras aplicações

serão descobertas: o conjunto de alunos na classe, o conjunto dos

dedos da mão, o conjunto das flores de um ramalhete, o conjunto

das casas da região, os aviões de uma esquadrilha, as letras de

uma palavra, os verbos, os selos de uma coleção, etc... (GEEM,

1965, p. 10-11).

O convite aos alunos no sentido de ajudarem, de modo que novas

aplicações sejam descobertas, deixa implícita a preocupação com a idéia da

pesquisa, preconizada como pré-requisito para a melhoria do curso superior,

pressupondo a participação do aluno, abrindo, assim, as portas para que a

universidade pudesse contar com pessoas mais qualificadas, trazendo consigo

um eficaz interesse pela investigação científica.

Nesse sentido, o livro didático “Matemática Moderna I” inicia seu primeiro

capítulo da seguinte maneira:

1. Noção de conjunto

Uma fila de carteiras,

as flores de um jarro,

as casas de uma rua,

São coleções ou conjuntos

de carteiras, flores e casas,

respectivamente.

Outros exemplos:

1) Os alunos de uma classe.

2) As classes de um Colégio.

3) Os dedos da mão.

4) Os aviões de uma esquadrilha.

5) Uma pilha de livros.

6) Os mapas da classe.

7) As letras de uma palavra.

8) As árvores de um pomar.

121

Obra elaborada com incentivo da OECE (Organização Européia de Cooperação Econômica), sob o título

“Um programme moderne de mathématiques pour l’enseignement secondaire”, traduzida por Jacy Monteiro e

publicada pelo GEEM na série Professor nº 2, em 1965. Elaborada por um “grupo de peritos”, composto por

“professores de matemática das universidades, das escolas secundárias e das instituições encarregadas de

formar os professores do ensino secundário” de diversos países europeus, encarregada de organizar um

quadro sinótico do conjunto das matérias a ser tratado no ensino secundário de matemática, indicando e

justificando diferentes formas de tratar as questões expostas (GEEM, 1965, p. 1).

397

9) Os jogadores de um time [grifos das autoras] (DANTAS, et

alli, s/d, p. 1).

Verifica-se, portanto, que alguns dos exemplos citados pelo grupo da

OECE, são utilizados pelos autores do manual. Além disso, outras sugestões são

acatadas, como a abundante utilização de representação em diagrama

122

, para

possibilitar a visualização das operações com conjuntos, suas relações e

aplicações.

No item 8, destinado a apresentação da idéia de relação, o manual didático

utiliza-se de flechas para representar as propriedades das relações (reflexiva,

simétrica e transitiva). Para representar a propriedade reflexiva, os autores

adotaram a figura de uma argola, sem a adição de uma flecha.

O uso da figura da argola para representar a propriedade reflexiva é

sugerida por George Papy, segundo o qual, ambas as convenções (por meio de

uma argola ou laço, podendo vir acrescentada ou não por uma flecha) são

aceitáveis “mas é divertido observar que em classes onde uma flecha é

adicionada ao laço, essa flecha, como um órgão sem função, se atrofia e

eventualmente desaparece” (PAPY, apud ANAIS V CBEM, 1966, p. 94).

E E

Relativamente à relação reflexiva, encontramos no “Matemática Moderna I”

o seguinte comentário: “No caso em que um elemento está relacionado com ele

próprio, é suficiente representar a relação por uma argola, como faz o Prof. Papy

no seu livro ‘Mathématique Moderne I’“ (DANTAS et alli, s/d, p. 12).

Esse comentário indica que esse manual não era dedicado especialmente

ao uso dos alunos e sim dos professores, pois, crianças entre 10 e 11 anos

122

A representação de conjuntos por partes do plano é chamada de diagrama. Tem a vantagem intuitiva da

visualização das propriedades. No caso em que se usa somente círculos, os diagramas são chamados de

Euler ou de Venn. Os diagramas foram introduzidos pela primeira vez por Euler em “Cartas a uma princesa

da Alemanha” (1770-1772), para explicar algumas proposições lógicas. Em 1880, John Venn propôs nova

forma de diagramas circulares em seu livro “Symbolic Logic”, dando uma interpretação com maiores recursos

(CASTRUCCI, 1967, p. 37-47).

398

dificilmente teriam acesso ao livro mencionado

123

, de autoria de George Papy,

encontrando, também, uma provável dificuldade de leitura de um texto escrito em

francês. Entretanto, a leitura do texto, até aquele momento, sugeria que a

linguagem utilizada pelos autores para as lições ali ministradas destinava-se aos

alunos, mas ao se reportar ao autor francês e sua obra, pudemos inferir que a

apostila destinava-se, na verdade, aos professores, que em tese, teriam alguma

familiaridade com Papy.

Após a apresentação da noção intuitiva de conjuntos, são introduzidas as

operações entre conjuntos como também são trabalhadas as propriedades de

reflexão, simetria, transitividade, associatividade, comutatividade, recorrendo, a

cada etapa, a exemplos para melhor compreensão do assunto e dos exercícios.

O Capítulo III trata das operações com números naturais e suas

propriedades estruturais. Para a adição, encontra-se a seguinte definição:

Pode-se dizer, também, que a adição de dois números naturais é

uma aplicação N x N (N cartesiano N) sobre N, isto é, a aplicação

que a cada par (a, b) de números naturais faz corresponder sua

soma a + b.

Em símbolos, tem-se

F: N x N ĺ N;

(a, b) ĺ a + b,

com a ɽ N; b ɽ N e a + b ɽ N.

Exemplo:

(2,3) 5

(0,0) 0

(1,8) 9

(0,6) 6

(4,5)

(7,3) 10

(9,9) 18

onde 2 + 3 = 5, 0 + 0 = 0, 0 + 6 = 6, 1 + 8 = 9, 4 + 5 = 9,

7 + 3 = 10, 9 + 9 = 18

123

“Mathematique Moderne I”, de George Papy, edição Didier – Bruxelles – Paris, 1963.

399

Como, quaisquer que sejam os números naturais a

e b, existe

sempre um número natural c

tal que

a + b = c,

diz-se que o conjunto dos números naturais é fechado

em relação

à adição [grifos das autoras] (DANTAS, s/d, p. 42-43).

Em seguida, os autores explanam sobre as propriedades da adição, quais

sejam, comutativa, associativa e a existência do elemento neutro, permitindo-lhes

explicar o porquê da regra prática da adição, já estudada no ensino primário:

2ª) Efetuar:

5490 + 213 + 1145 + 8.

Aplicando-se as propriedades associativa e comutativa da adição,

tem-se,

5490 + 213 + 1145 + 8 =

= (5000 + 400 + 90) + (200 + 10 + 3) + (1000 + 100 + 40 + 5) + 8 =

= (5000 + 1000) + (400 + 200 + 100) + (90 + 10 + 40) + (3 + 5 + 8) =

= 6000 + 700 + (140) + (16) =

= 6000 + 700 + (100 + 40) + (10 + 6) =

= 6000 + (700 + 100) + (40 + 10) + 6 =

= 6000 + 800 + 50 + 6 =

= 6856.

Dispositivo prático:

5490

213

1145

6856

[...]

Observação importante

Como se viu, o conjunto dos números naturais é fechado

, em

relação à adição, e, além disso, esta operação goza da

propriedade associativa

. Nestas condições, diz-se que o conjunto

dos números naturais tem a estrutura de monóide

124

em relação à

adição [grifos das autoras] (DANTAS, s/d, p. 46-48).

Da mesma forma, são realizados os estudos das outras operações com

números naturais (subtração, multiplicação e divisão), buscando fundamentar o

estudo dessas operações com as respectivas propriedades estruturais, por meio

da Teoria dos Conjuntos.

124

Uma operação (*) define em um conjunto A uma estrutura de monóide se e somente se é associativa e

existe elemento neutro. Ou seja, para quaisquer a, b, c pertencentes a A, tem-se (a*b)*c = a* (b*c) e existe e

pertencente a A, de modo que, para qualquer a pertencente a A, a*e=e*a=a (CASTRUCCI, 1967, p. 102).

400

Em seguida, o primeiro volume, apresenta o conjunto dos números

racionais absolutos, suas operações e as propriedades estruturais relativas a

essas operações. De modo geral, nesse manual, são ressaltadas as estruturas

monóide e grupo.

I. 2. Matemática Moderna II

Os capítulos seguem a seguinte disposição:

Capítulo I: Raiz quadrada;

Capítulo II: Razão e proporção;

Capítulo III: Números inteiros relativos;

Capítulo IV: Números racionais relativos;

Capítulo V: Equação do 1º grau com uma incógnita;

Capítulo VI: Inequações do 1º grau com uma incógnita;

Capítulo VII: sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Dando continuidade às operações no conjunto dos números racionais, o

segundo livro da série apresenta a operação radiciação e aplicações.

Visando a ampliação sucessiva dos campos numéricos, são introduzidos o

conjunto dos números inteiros, suas operações e propriedades, destacando a

estrutura de anel, como se pode verificar pela seguinte nota:

Observação importante:

Como se viu, o conjunto, Z, dos números inteiros relativos tem

uma estrutura

de grupo abeliano, em relação à adição e, além

disso, a multiplicação goza da propriedade associativa

e da

propriedade distributiva em relação à adição. Nestas condições,

diz-se que o conjunto dos números inteiros relativos tem uma

estrutura

de anel,emrelação às operações de adição e

multiplicação

Além disso, como a multiplicação goza, também, da propriedade

comutativa

, diz-se que o conjunto dos números inteiros relativos é

um anel

comutativo [grifo das autoras] (DANTAS et alli, 1968, p.

109).

No tópico destinado aos números inteiros relativos, encontra-se definida

uma aplicação denominada “translação de vetor a

”, do seguinte modo:

401

Seja f

a aplicação que a cada número inteiro relativo, x, faz

corresponder x+a, sendo a ɽ Z, e a fixo.

Em símbolos tem-se: f: Z Z

x x + a

Essa aplicação, interpretada, facilmente, na reta, chama-se

translação

de vetor a [grifo das autoras] (DANTAS et alli, 1968, p.

109).

I. 3. Matemática Moderna III

Destinado à terceira série ginasial, “Matemática Moderna III”, os assuntos

nele tratados seguem a seguinte divisão:

Noções de lógica;

Capítulo I: Números reais;

Capítulo II: Reta;

Capítulo III: Geometria afim no plano;

Capítulo IV: Geometria euclidiana: distâncias e polígonos.

Definindo como “axiomática da teoria” o conjunto de conceitos primitivos e

postulados, exemplifica com a “axiomática da teoria dos conjuntos” na qual o

conceito de conjunto e o de relação de pertinência de um elemento a um

conjunto, ou seja, a relação x ȯ A, em que A é um conjunto, são admitidos como

conceitos primitivos. Admitem também como proposições primitivas os seguintes

axiomas:

1. Axioma de unicidade

.ABeBABA 

2. Axioma

de união

Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, existe um conjunto

AUB, chamado união, cujos elementos são todos os elementos

de A e todos os elementos de B, e somente esses.

3. Axioma

da diferença

Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, existe um conjunto A \

B, cujos elementos são os que pertencem a A e não pertencem

a B, e somente esses.

4. Axioma

de existência

Existe, pelo menos, um conjunto (DANTAS, et alli, 1969, p. 10).

402

Aos axiomas são acrescidas as seguintes observações:

1ª) Não é necessário supor um axioma para a intersecção, pois é

fácil verificar que

A ŀ B = A \ (A \ B),

Ou seja, a intersecção pode ser definida em termos de

diferença.

2ª) A existência do conjunto vazio está garantida pelos axiomas 3.

e 4.

De fato, pelo axioma 4, existe, pelo menos, um conjunto; seja

A esse conjunto; pelo axioma 3., tem-se A \ A = Ø .

3ª) Qualquer outra propriedade da teoria dos conjuntos resulta dos

quatro axiomas enunciados acima e constitui o que se chamou

um teorema (DANTAS, et alli, 1969, p. 10-11).

O livro também traz definida uma translação de vetor v, de modo que, a

cada ponto P pertencente a uma reta r, faz corresponder um ponto Q pertencente

a r. O vetor v, que leva P em Q é indicado por v = Q – P e vem acompanhado da

seguinte representação figural:

P v Q r

Acompanha, igualmente, a seguinte definição:

... dado o ponto P e a translação de vetor v, o ponto Q obtido de

P, por esta translação, diz-se transformado

de P pela translação

dada, e indica-se por

Q = P + v.

Se a reta está referida a dois pontos O e U, correspondentes aos

números 0 e 1, respectivamente, então, cada ponto da reta é

representado por um número real, e ao vetor v

corresponde,

também um número real de tal modo que se v é a diferença entre

dois pontos, Q e P, por exemplo, de abscissas y

e x,

respectivamente, então, ao vetor v

, corresponde o número real



[grifos das autoras] (DANTAS et alli, 1969, p. 42-43).

Em seguida, as autoras denominam o número real Į como “valor algébrico

do vetor v” sendo que módulo do vetor v, indicado por

PQouv 

, é a

distância entre os pontos P e Q. Desse modo, é fixado o sistema de referência,

em que as translações de uma reta, sobre si mesma, representam números reais.

403

No Capítulo III, denominado “Geometria afim no plano

125

”, as autoras

retomam os principais tópicos apresentados no capítulo anterior, especialmente

ao que se refere à correspondência de cada número real a um vetor e à

correspondência de cada vetor a uma translação da reta sobre si mesma, de

modo que, passou-se a designar cada translação pelo próprio vetor.

Essas noções serviram para fundamentar o sub-capítulo “Translações no

plano”, em que se encontram definidas a soma de um ponto com um vetor e a

diferença de pontos, de forma que, em seguida, são descritas as propriedades

relativas a conjunto qualquer de vetores, indicado por V, numeradas de 1 a 10, de

modo a evidenciar que formam um Espaço Vetorial:

: O conjunto V é fechado em relação à adição, isto é, a dois

vetores quaisquer, u

e v, de V, corresponde o vetor u + v;

: u + v = v + u (propriedade comutativa);

: (u + v) + w = u + (v + w) (propriedade associativa);

: existe elemento neutro, isto é, existe o vetor nulo, 0,

(translação identidade) tal que 0 + u = u + 0 = u, qualquer que

seja u

;

: existe o oposto –u, de u, tal que u + (-u) = -u + u = 0, qualquer

que seja -u

;

Vue 

, corresponde Vu 

: a

: 1 . u = u;

: uu .)(

;

: uuu

  )( ;

: vuvu

  )( .

Um conjunto como esse conjunto V, que goza dessas

propriedades, de (P

a P

) diz-se um espaço vetorial [grifos das

autoras] (DANTAS et alli, 1969, p. 78).

Nessas condições, as autoras passam a considerar um conjunto de pontos

denominados por E, o qual associado ao Espaço Vetorial V, satisfazem as

seguintes propriedades:

1ª) Dois pontos P e Q de E, determinam um vetor v, de V, que se

designa por v = P – Q e se chama vetor

translação de Q a P;

2ª) Dado um ponto Q, de E, e um vetor u

, de V, fica determinado

um ponto P de E,

P = Q + u,

que se diz obtido de Q pela translação u

125

Ao conjunto de propriedades da geometria euclidiana que não dependem da noção de distância é

denominado geometria afim (RODRIGUES, 1969).

404

3ª) Dado um ponto P, de E, e dois vetores u e v, de V, tem-se

P + (u + v) = (P + u) + v [grifos das autoras] (DANTAS et alli,

1969, p. 78).

Dessa maneira, o conjunto de pontos E é chamado de espaço afim,

associado ao Espaço Vetorial V. Seus elementos são chamados de pontos e,

qualquer subconjunto de pontos do espaço afim é denominado de figura nesse

espaço (DANTAS, et alli, 1969, p. 78).

O manual também apresenta noções de Base e Dimensão de um Espaço

Vetorial e Dependência Linear, considerando o espaço afim determinado pelo

conjunto dos números reais. Enfatiza-se especialmente a estrutura de espaço

vetorial do conjunto das translações no plano. A partir dessas definições e

considerações, o manual passou a realizar o estudo,

... das coordenadas cartesianas ligadas a um sistema de

referência constituído por um ponto O e dois vetores não paralelos

u e v (sistema Ouv). Estudam, então, as retas do plano, as semi-

retas, os segmentos, as figuras geométricas que não dependem

do conceito de distância, isto é, que são conceitos afins: semi-

planos, faixas, semi-faixas, ângulos, triângulos, paralelogramos,

trapézios e quadriláteros convexos em geral (DANTAS, et alli,

1969, p. IV).

Somente após a exploração da parte de espaços vetorial e afim de duas

dimensões, inicia-se a parte métrica da Geometria elementar, ou seja, a

Geometria Euclidiana: triângulo isósceles, bissetriz, etc...

405

ANEXO II

MATEMÁTICA: CURSO MODERNO

Tabela I

Matemática: curso moderno

V. 1 (Castrucci; Bóscolo)

Matemática: curso moderno

V. 1 (Sangiorgi)

I. Conjuntos; o conceito de número; a sucessão

dos números inteiros naturais; Sistema de

numeração decimal.

II. Adição; subtração; multiplicação; divisão;

potenciação; raiz quadrada; expressões

aritméticas.

1. Noções de conjunto; operações com

conjuntos; relações;

2. número natural; numerais de um número –

sistemas de numeração – bases;

3. operações (operações inversas) com os

números naturais – propriedades

estruturais;

III. Divisibilidade; máximo divisor comum;

mínimo múltiplo comum.

4. divisibilidade – múltiplos e divisores;

números primos; fatoração completa;

IV. Os números racionais; operações com

números racionais; representação decimal dos

números racionais.

5. conjunto dos números racionais; números

fracionários – operações (operações inversas);

propriedades estruturais;

V. Medidas de comprimento; medidas de

superfície; áreas de figuras planas; volume dos

corpos; volumes dos sólidos geométricos;

medidas de massa; medidas não-decimais.

6. estudo intuitivo das principais figuras

geométricas planas e espaciais – sistemas de

medidas: decimal e não decimais.

406

Tabela II

Matemática: curso moderno

V. 2 (Castrucci; Bóscolo)

Matemática: curso moderno

V. 2 (Sangiorgi)

1. Conceito de número racional absoluto;

novo conjunto numérico Q; igualdade e

desigualdade de números racionais;

operações com números racionais;

propriedades estruturais; teste de

recapitulação.

Razões; aplicações; razões especiais:

velocidade..; proporções; propriedades;

proporções especiais; médias, ... ,

transformações; segmentos proporcionais;

por cento; porcentagem; teste de

recapitulação.

I. Potenciação e radiciação (no conjunto dos

números racionais)

II. Extração da raiz quadrada (no conjunto dos

números racionais)

2. Números proporcionais; problemas com

novas estruturas; grandezas proporcionais;

regra de três (R3S, R3C); juros simples,

desconto; câmbio; teste de recapitulação.

III. O conjunto dos números inteiros relativos.

IV. Adição e subtração.

V. Multiplicação e divisão.

VI. Potenciação e extração da raiz quadrada.

VII. O conjunto dos números racionais relativos.

3. números inteiros relativos; conjunto Z;

operações com conjuntos; estrutura de

ordem; valor absoluto; operações com

números inteiros relativos; adição;

propriedades estruturais; divisão;

potenciação; técnicas de cálculo; radiciação;

conceito de número racional relativo; conjunto

Q; operações; propriedades estruturais; teste

de recapitulação.

VIII. Equações do 1º grau com uma variável.

IX. Problemas do 1º grau.

X. Inequações.

XI. Sistemas de equações simultâneas.

XII. Razões e proporções.

XIII. Razões entre grandezas.

XIV. Regra de três simples. Porcentagem.

XV. Exercícios de recapitulação.

4. Moderno tratamento da álgebra;

sentenças e expressões; sentenças abertas;

variáveis; conjunto-universo (U); conjunto-

verdade (V), equações e inequações –

equações do primeiro grau; resolução de

equações no Q; princípios fundamentais;

técnicas; novas técnicas operatórias;

quantificadores; identidade; inequações do

primeiro grau; inequações simultâneas;

relações binárias; sentenças abertas com

duas variáveis; sistema de equações

simultâneas; técnicas de substituição;

adição e comparação; discussão.

Apêndice (CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1967, p.

290).

Apêndice: lembrando relações; Lembrando

sentenças abertas;sistemas matemáticos

(SANGIORGI, 1969).

407

Tabela III

Matemática: curso moderno

V. 3 (Castrucci; Bóscolo)

Matemática: curso moderno

V. 3 (Sangiorgi)

I – Regra de três composta. Juros

Simples.

II – números proporcionais e médias.

III – Cálculo literal : expressões iguais,

quantificador universal, simplificação de

expressões literais.

IV – Expressões monômias

V – Expressões polinômias; operações,

VI – Produtos notáveis. Fatoração.

VII – Frações algébricas

VIII – Simplificação de expressões

literais. Verificação de identidades.

IX – Equações fracionárias. Equações

literais.

X – Sistemas de equações simultâneas.

XI - Números reais

1 – Números reais; estrutura de corpo

- Números racionais, números irracionais, números

reais, reta real; operações no conjunto IR, adição e

multiplicação; estrutura de corpo, potenciação e

radiciação.

2 – Cálculo algébrico; estudo dos polinômios

- Expressões literais; operações em IR, expressões

equivalentes, uso do quantificador

 , têrmos

semelhantes, expressões literais, cálculo com têrmos

semelhantes; reduções; técnicas para o cálculo

algébrico, técnicas usuais na multiplicação; “produtos

notáveis”, técnicas de fatoração, técnicas de simplificar

expressões; complementação do estudo das equações,

inequações e sistemas do primeiro grau; equações e

inequações com uma variável, redutíveis ao primeiro

grau, sistemas de equações simultâneas; tratamento

elementar moderno dos polinômios; conceito de

polinômio em uma variável, igualdade de polinômios,

operações com polinômios; estrutura de anel.

XII – Semi-Retas. Segmentos de retas.

XIII – Ângulos

XIV – Triângulos

XV – Perpendicularismo e paralelismo

XVI – Soma das medidas dos ângulos

internos de um triângulo

XVII – Quadriláteros. Polígonos.

XVIII – Circunferência

XIX – Exercícios de Geometria

APÊNDICE. Transformações do plano

(CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1969, p.298).

3 – Estudo das figuras geométricas.

- Objetivos da geometria, figuras geométricas planas;

curvas fechadas simples, um pouco de topologia;

relações e operações com conjuntos de pontos no

plano, estrutura de ordem; relação … estar entre…,

semi-reta; segmento de reta; semi-plano, medida de

segmentos; segmentos congruentes; conceito de

ângulo, medida de ângulos; ângulos congruentes,

ângulos complementares; ângulos suplementares;

práticas demonstrativas, ângulos formados por duas

retas coplanares e uma transversal.

4 – Estudo dos polígonos e da circunferência.

- Conceito de polígono; diagonais, estudo dos triângulos,

congruência de triângulos; construção lógica da

Geometria, da necessidade de provas, Postulados e

Teoremas da Geometria em estudo, primeiros teoremas;

forma “se-então”, como efetuar uma demonstração

logicamente, teorema recíproco de outro teorema,

método indireto na demonstração de um teorema,

alguns teoremas fundamentais: sobre triângulos, sobre

retas paralelas, sobre ângulos, sobre polígonos

convexos; quadriláteros: paralelogramo; teoremas

fundamentais, trapézios; teoremas fundamentais;

circunferência; teoremas fundamentais, círculo ou disco

fechado; propriedades das cordas, posições relativas de

duas circunferências, posições relativas da reta e

circunferência, arcos de circunferência; medida,

propriedades fundamentais entre arcos e cordas,

ângulos relacionados com arcos; medidas, polígonos

inscritos e circunscritos a uma circunferência.

APÊNDICE – Transformações geométricas.

- Grupo das translações, grupo das rotações e simetrias

(SANGIORGI, 1966).

408

Tabela IV

Matemática: Curso Moderno

(V. 4 Castrucci; Bóscolo)

Matemática: curso moderno

V. 4 (Sangiorgi)

I – Cálculo com radicais. Potência com

expoente fracionário.

II – Equações do segundo grau.

III – Relações entre os coeficientes e as raízes.

IV – Equações redutíveis ao segundo grau.

V – Sistemas simples do segundo grau.

Problemas do segundo grau.

VI – Sistemas de coordenadas.

1. Números reais: práticas com números

irracionais

- Cálculo com radicais;

- Transformação de radicais;

- Operações combinadas;

- Casos simples de racionalização

- Equações do segundo grau;

- Como resolver;

- Discussão;

- Relações entre coeficientes e as raízes;

- Conseqüências;

- Equações biquadradas;

- Equações irracionais

- Sistemas simples do segundo grau;

- problemas do segundo grau.

Números reais: práticas com números

irracionais

- Cálculo com radicais;

- Transformação de radicais;

- Operações combinadas;

- Casos simples de racionalização

- Equações do segundo grau;

- Como resolver;

- Discussão;

- Relações entre coeficientes e as raízes;

- Conseqüências;

- Equações biquadradas;

- Equações irracionais

- Sistemas simples do segundo grau;

- problemas do segundo grau.

VII – Funções.

VIII – A função binômio do primeiro grau.

IX – A função trinômio do segundo grau.

X – Inequação do segundo grau.

2. Funções

- Conceito de função;

- Domínio e conjunto-imagem;

- Funções definidas por sentenças matemáticas

(equações);

- Coordenadas cartesianas no plano;

- Gráficos das funções definidas por equações;

- Funções lineares (afins), gráfico;

- Iniciação à Geometria Analítica;

- Gráficos de inequações do primeiro grau;

- Função trinômio do segundo grau, gráfico;

- Estudo algébrico, aplicações;

- Inequações do segundo grau.

409

XI – Segmentos proporcionais.

XII – Semelhança de polígonos.

XIII – Relações métricas no triângulo

retângulo.

XIV – Relações métricas num triângulo

qualquer e na circunferência.

XV – Polígonos regulares.

XVI – Medida da circunferência.

XVII – Áreas de figuras planas.

3.Semelhança

- Razão e proporção de segmentos;

- Feixe de paralelas: Teorema de Tales;

- Semelhança como correspondência;

- Semelhança de triângulos e de polígonos

- Similitude central ou homotetia;

- Razões trigonométricas de ângulos agudos;

- Relações métricas no triângulo retângulo;

- Teorema de Pitágoras;

- Relações métricas num triângulo qualquer;

- Relações métricas no círculo;

- Polígonos regulares;

- Relações métricas nos polígonos regulares;

- Medidas da circunferência;

- Cálculo do ʌ.

APÊNDICE

- Revisão;

- Posição de um número em relação às raízes

do trinômio;

- Semelhança no plano.

(CASTRUCCI; BÓSCOLO, 1970, p.283).

4. APÊNDICE

- Números complexos;

- Área de regiões planas; práticas usuais;

- Mapas topológicos.

(SANGIORGI, 1971).

410

ANEXO III

O PROGRAMA DA FFCLUSP E AS NOTAS DE AULA DE

D’AMBROSIO

PROGRAMA DA

FFCLUSP (1953)

NOTAS DE AULA DE D’AMBROSIO (1952)

2.º ano 2º ano

COMPLEMENTOS DE GEOMETRIA COMPLEMENTOS DE GEOMETRIA

(ESPAÇOS VETORIAIS)

Prof. Cândido Lima da Silva Dias

1 - Espaço vectorial. Definição de

dependência linear. Base. Dimensão

de um espaço vectorial. Espaços

vectoriais isomorfos. Sub-espaço e

espaço vectorial quociente. Espaço

vectorial dual. Reflexividade dos

espaços vectoriais de dimensão finita.

Soma direta.

Vetor; espaço vetorial; dependência linear;

combinação linear; base; dimensão;

isomorfismo; subsepaço vetorial; itersecção

de subespaço; geração; soma de

subespaço; soma direta de subespaço;

dimensão da soma direta; forma linear;

espaço dual; forma bilinear fundamental;

dual de dual; isomorfismo canônico;

espaços reflexivos; anuladores; soma

direta.

2 - Transformações lineares sôbre um

espaço vectorial. Matrizes. Operações

sôbre matrizes. Determinantes.

Estrutura de uma transformação linear

qualquer. Forma canônica de Jordan.

Transformações lineares de um espaço em

outro; transformação inversa; matriz

associada a uma transformação linear;

redução completa de uma transformação;

transformação idempotente; involução;

sistemas lineares; característica; forma

canônica de uma matriz ou de Jordan.

3 - Espaço vectorial normado. Espaço

vectorial euclideano e unitário. Base

ortonormal. Formas bilinear,

quadrática, hermitiana e suas

reduções.

Espaço vetorial normado. Espaço vetorial

completo. Transformações lineares

definidas num espaço normado;

continuidade de um transformação;

transformação linear limitada; rotação.

4 - Álgebra. Definição e exemplos.

Álgebra de Grassmann. definição e

construção. Formas de grau p.

Determinante. Aplicações das álgebras

de Grassmann ao estudo dos sub-

espaços de um espaço vectorial.

411

3.º ano (1953) 3º ANO (1953)

GEOMETRIA SUPERIOR (Álgebra) GEOMETRIA SUPERIOR (Álgebra)

Prof. L. H. Jacy Monteiro

Teoria dos corpos comutativos.

I - Noções preliminares sôbre a teoria dos

grupos, anéis e corpos.

1 - Grupos; sub-grupos normais; grupos,

quocientes; homomorfismos.

Grupos; grupo finito; relações de

equivalência; classes de equivalência;

partição; subgrupo normal; grupos

quocientes; homomorfismos.

2 - Anéis; sub-anéis; ideais; anéis

quocientes; homomorfismos; ideais

primos e maximais.

Anéis; subaneis; ideais; anéis quocientes;

homomorfismos; ideais primos e maximais.

3 - Corpos; sub-corpos; corpo de

quocientes de um campo de

integridade; Característica de um

corpo, corpo primo.

Corpos; subcorpos; homomorfismo de um

corpo; corpo de frações de um campo de

integridade; característica de um corpo;

corpo primo.

II – Anéis de polinômios.

1 - Álgebras; bases de uma álgebra. Espaços vetoriais; subespaço vetorial;

álgebras ou sistemas hipercomplexos;

exemplos de álgebras.

2 - Anéis de polinômios; corpo de frações

de um anel de polinômios; estrutura do

anel de polinômios de uma in-

determinada.

Anéis de polinômios; anel de polinômios

com um número qualquer de

indeterminadas; estrutura do anel de

polinômios com uma indeterminada; função

polinômio;corpo de frações racionais.

III - Estudo geral das extensões de um

corpo.

1 - Extensões algébricas; propriedades.

2 - Extensões transcendentes: famílias

algèbricamente livres; extensões

transcendentes puras; teoremas de

Steinitz, bases de transcendência.

3 - Extensões algébricas algèbricamente

fechadas.

Extensões algébricas e transcendentes;

elementos algébricos; transitividade das

extensões algébricas; extensões

transcendentes; bases de transcendência;

corpos algebricamente fechados; teorema

de Steinitz; prolongamento de um

isomorfismo.

IV - Isomorfismos das extensões algébricas

de um corpo.

1 - Isomorfismos relativos; propriedades.

2 - Extensões separáveis

3 - Extensões inseparáveis; extensões

radiciais.

V - Extensões normais e teoria de Galois.

1 - Extensões normais; propriedades.

2 - Teoria de Galois.

VI – Aplicações da teoria de Galois.

1 - Funções simétricas.

2 - Raízes da unidade: raízes primitivas;

polinômios ciclotômicos.

3 - Corpos finitos.

4 - Extensões cíclicas.

5 - Resolução das equações algébricas

pela teoria de Galois:

6 - Grupos resolúveis; resolução de

equações algébricas por radicais;

equação de divisão da circunferência;

teorema de Ruffini-Abel; equações do

segundo, terceiro e quarto graus;

construções pela régua e compasso.

412

CRONOLOGIA OMAR CATUNDA

1906 – Nasceu Omar Catunda, em 23 de setembro, na cidade de Santos.

1925 – Ingressou na Escola Politécnica da USP. Recebeu o prêmio Cesário

Motta.

1930 – Formou-se engenheiro pela Escola Politécnica da USP. Foi orador de sua

turma.

1933 – Candidatou-se à vaga para ocupar a cadeira de “Complementos de

Geometria Analítica, Nomografia e Cálculo Diferencial Integral” na Escola

Politécnica da USP. José Octávio Monteiro de Camargo venceu o concurso.

1934 – A convite de Theodoro Ramos, Catunda passou a trabalhar como

assistente de Luigi Fantappiè na FFCLUSP.

1938/1939 – Catunda estudou quatro meses com Francesco Severi, na

Universidade de Roma.

1939 – Omar Catunda foi nomeado professor interino de Análise Matemática e

Chefe do Departamento de Matemática da FFCLUSP.

1942 – Tornou-se professor interino da cadeira de Geometria Superior e

Complementos de Geometria.

1942 – Publica o trabalho “Sobre os sistemas de equações de variações totais em

mais de um funcional incógnito” nos Anais da Academia Brasileira de Ciências, t.

XIV.

1944 – Catunda tornou-se catedrático de Análise Matemática na FFCLUSP.

1945 – Catunda é eleito presidente da Sociedade de Matemática de São Paulo.

1946 – Em setembro, Catunda segue para a Universidade de Princeton agraciado

com bolsa de estudos da Fundação Rockefeller e lá permanece até 1947.

413

1946 – É publicado, na “Summa Brasiliensis Mathematicae”, vol. 1, fasc. 2, seu

trabalho “Sobre uma modificação da fórmula de Cauchy”.

1947 – Redigiu apostila do curso sobre “Equações Diferenciais”, desenvolvido em

Princeton pelo professor Richard Bellman.

1948 – Publicado o livro didático “Matemática” para a 2ª série Colegial – Catunda

escreveu o capítulo sobre Análise Combinatória, Determinantes e Equações

Lineares.

1948 – Participou da banca examinadora do concurso para ingresso no magistério

do Estado de São Paulo (BARALDI, 2003).

1949 – Catunda é nomeado presidente da banca examinadora para o segundo

concurso de ingresso para o magistério secundário.

1951 – É encarregado de ministrar curso de férias para professores do ensino

secundário e normal do Estado, realizados em colaboração com a Secretaria de

Educação.

1957 – Participação no primeiro “Colloquium Brasileiro de Matemática” em Poços

de Caldas/MG, apresentando a conferência “Estudo dos pontos singulares das

equações diferenciais sobre a esfera”.

1957 – Omar Catunda supervisiona textos elaborados pela professora Marta

Dantas para Matemática Moderna. Cursos dados no CECIBA – Centro de Ensino

de Ciências da Bahia - Colégio de Aplicação da UFBA (depoimento de Dantas no

V Seminário Nacional de História da Matemática, Rio Claro, UNESP, 13-16 abril,

2003.

1959 – Membro da comissão organizadora do segundo “Colloquium Brasileiro de

Matemática” em Poços de Caldas/MG, ministrando um curso sobre “Superfícies

de Riemman” e uma conferência intitulada “Introdução aos debates sobre o

ensino de matemática nas escolas superiores”.

1959 – III Congresso Brasileiro do Ensino da Matemática, realizado no Rio de

Janeiro, de 20 a 25 de julho. Catunda apresentou tese intitulada “Sobre uma

Revista de Matemática para o Ensino Médio”, juntamente com o professor Elon

Lages Lima.

1960 – Realiza a conferência “Sistemas diferenciais lineares e problemas

assintóticos” no ITA.

1961 – Catunda participou da I Conferência Interamericana de Educação

Matemática em Bogotá.

1962 – Catunda presidiu reunião no GEEM, assessorado por Osvaldo Sangiorgi.

Foi realizada na Faculdade de Filosofia da Universidade Mackenzie, com o

objetivo de apresentar relatórios das experiências realizadas sobre a introdução

da Matemática Moderna no ensino secundário. Discutiu-se sobre os assuntos

mínimos de um programa de matemática para o ginásio, enfatizando os conceitos

de conjuntos e estruturas e de como adequá-lo ao programa de matemática em

414

vista da LDB. Jornal Folha de São Paulo, 21/05/1962, “Professores discutem

ensino da Matemática Moderna”.

1962 – Catunda apresentou trabalho “Conceitos fundamentais da matemática:

conjuntos e estruturas”, no IV Congresso Brasileiro do Ensino da Matemática

realizado no Pará, de 22 a 26 de julho.

1962 – Aposentou-se do cargo de professor do IMEUSP.

1963 – Seguiu de mudança para Salvador/Ba, assumindo o cargo de Diretor do

Instituto de Matemática e Física da Universidade Federal da Bahia.

1964 – Realização da Comissão Interamericana de Educação Matemática CIAEM

na Guanabara, no qual destacamos a participação de convidados como:

Lindolpho de Carvalho Dias do IMPA e Osvaldo Sangiorgi do GEEM. Jornal O

Estado de São Paulo, 27/12/1964, “Apresentadas as conclusões pela reunião de

Educação Matemática”

1966 – Realizou-se a II Conferência Interamericana de Educação Matemática em

Lima, de 10 a 15 de janeiro. Catunda coordenou uma sessão de estudo sobre

“Geometria: Um tratamento moderno”.

1966 – Iniciou a elaboração de um projeto de livros didáticos, juntamente com um

grupo de professoras lideradas por Martha de Souza Dantas.

1966 – Reportagem sobre Congresso Internacional de Matemática ocorrido em

Moscou, de 13 a 26 de agosto de 1966 destaca a presença dos matemáticos

brasileiros Omar Catunda, Alexandre Martins Rodrigues, Maurício Peixoto,

Constantino de Barros e Ubiratan D’Ambrosio. Jornal folha de São Paulo,

18/09/1966, “URSS dá medalha a matemáticos dos EUA”.

1967 – Omar Catunda participou do curso do GEEM como professor convidado

para dar conferências especiais sobre o ensino moderno da Geometria. Jornal

Folha de São Paulo, 15/01/1967, “Renovação da Matemática”.

1967 – Jornal do Centro de Treinamento para Professores de Ciências informou

que foram organizadas sessões de estudos sobre o ensino moderno de

Geometria a cargo de Omar Catunda, no GEEM, de 2 a 21 de janeiro de 1967.

Jornal do CECISP, julho de 1967, “Matemática Moderna”.

1969 – Com a extinção do Instituto de Matemática e Física, deixa de exercer a

função de diretor, passando a trabalhar como professor do Instituto de

Matemática da Universidade Federal da Bahia.

1969 – Por intermédio de Catunda, em convênio assinado com a UNESCO, o

Instituto recebeu dois matemáticos G. Adler, da Hungria e M. Svec, da

Eslováquia, para ministrar conferências e cursos.

1976 – Ao atingir 70 anos, foi aposentado compulsoriamente pela UFBa.

1979 – Participou da 5ª Conferência Interamericana de Educação Matemática, na

qualidade de presidente de honra. Apresentou trabalho em mesa redonda

415

juntamente com Martha Dantas, sob o título de “Ensino da geometria baseado em

transformações”.

1981 – Proferiu palestra intitulada “Ciência e Jornalismo” na reunião da SBPC em

Salvador.

1981 – A biblioteca do IMUFBa foi denominada “Biblioteca Professor Omar

Catunda”.

1986 – Recebeu o diploma de Professor Emérito da Universidade Federal da

Bahia.

1986 – Omar Catunda faleceu no dia 11 de agosto, em Salvador, Bahia.

416

CRONOLOGIA BENEDITO CASTRUCCI

1909 – Nasceu Benedito Castrucci, em 08 de julho, na cidade de São Paulo/SP.

1923 – Cursou o 1º ano Comercial do Internato e Externato Modelo, sendo

promovido para o 2º ano.

1925 – Ingressou no Ginásio da Capital de São Paulo.

1931 – Ingressou na Escola Normal do Brás. Tornou-se professor e sócio do

Colégio Paulistano, permanecendo até 1951.

1932 – Participou da Revolução Constitucionalista de 1932, pelo Batalhão Borba

Gato, durante a qual foi ferido e condecorado.

1935 – Bacharelou-se em Ciências Jurídicas e Sociais pela Faculdade de Direito

da USP (CASTRUCCI, 1982).

1937 – Ingressou na FFCLUSP, sub-secção de Ciências Matemáticas (ANUÁRIO

DA FFCLUSP, 1939-1949, p. 726).

1939 – Licenciou-se em Ciências Físicas e Ciências Matemáticas pela FFCLUSP

(ANUÁRIO DA FFCLUSP 1939-1949, p.168-169). Obteve ainda, bolsa de estudos

para a Itália, por indicação de Luigi Fantappiè, mas não pode usá-la devido à

guerra (CASTRUCCI, 1982; 1989).

1940 – Tornou-se professor assistente da FFCLUSP, permanecendo até 1943.

1942 – Benedito Castrucci aparece como assistente, juntamente com Narcísio

Menciassi Luppi, de Giacomo Albanese no curso de Geometria.

1942 – Castrucci assume a cadeira de Geometria Analítica, Projetiva e Descritiva

na FFCLUSP, como professor interino.

1943 – Doutorou-se, com distinção, defendendo a tese “Sobre uma nova definição

de cúbica plana” em 04 de agosto, participaram da banca examinadora os

professores Omar Catunda, Fernando Furquim de Almeida, Cândido Lima da

Silva Dias, Gleb Wataghin e Abraão de Moraes (ANUÁRIO DA FFCLUSP 1939-

1949, p.402).

417

1943 – Realizou-se o primeiro concurso de ingresso ao Ministério Secundário.

Castrucci integrou a banca examinadora juntamente com Fernando Furquim de

Almeida.

1943 – Publicou o artigo “Sobre uma geração de uma curva plana de terceira

ordem segundo o tipo Staudtiano” nos Anais da Academia Brasileira de Ciências,

t. XV (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951, p. 176).

1944 – Foi contratado como professor da FFCLUSP, permanecendo até 1951

(CASTRUCCI, 1982).

1944 – Publicou apostila de Matemática Financeira (ANUÁRIO da FFCLUSP,

1951, p. 176).

1944 – Publicou apostila de Geometria Analítica (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1939-

1949, p. 618).

1944 – Publicou o livro didático “Matemática para o curso colegial”, 3 v, em

colaboração com Edson Farah e J. B. Castanho e Fernando Furquim de Almeida,

pela Editora Brasil, São Paulo, de 1944 a 1950 (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951, p.

177).

1945 – Tornou-se professor catedrático da Faculdade de Economia Trinta de

Outubro, exercendo a função até 1952 (CASTRUCCI, 1982).

1945 – Tornou-se professor Titular da Faculdade de Filosofia Sedes Sapientiae

da PUC, exercendo a função até 1957 (CASTRUCCI, 1982).

1946 – Publicou apostila de Trigonometria (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1939-1949,

p. 618).

1947 – Foi contratado para reger, interinamente, a partir de 11 de junho, aulas de

Geometria Analítica e Projetiva na Escola Politécnica em substituição a Giacomo

Albanese, permanecendo até 1958 (CASTRUCCI, 1982).

1947 – Publicou o artigo intitulado “Prof. Giacomo Albanese” no Boletim da

Sociedade de Matemática de São Paulo. Vol. 2 n.1, p.1-5, jun., 1947.

1947 – Realizou conferências intituladas “Equivalência de polígonos” e “Medidas

de circunferência” no Curso de Férias da Universidade de São Paulo (ANUÁRIO

da FFCLUSP, 1939-1949, p. 618).

1948 – Em substituição ao professor Cândido L. S. Dias, que foi estudar nos

Estados Unidos, Benedito Castrucci começou a lecionar Complementos de

Geometria na FFCLUSP.

1948 – Publicou apostila do Curso de Geometria Projetiva (ANUÁRIO da

FFCLUSP, 1951, p. 177).

1948 – Apresentou o trabalho intitulado “O ensino da matemática o curso

secundário” no III Congresso Nacional de Estabelecimentos Particulares de

Ensino em São Paulo (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951, p. 177).

418

1948 – Participou da banca examinadora do concurso para ingresso no magistério

do Estado de São Paulo (BARALDI, 2003)

1949 – Publicou obra intitulada “Curso de Geometria Analítica’, 2 volumes,

(ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951, p. 177).

1949 – Publicou apostila de Espaços Vetoriais (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1939-

1949, p. 619).

1949 – Apresentou trabalho intitulado “Sobre a congruência na geometria

euclidiana” publicado nos Anais da Faculdade de Filosofia Sedes Sapientiae –

1948 -1949 (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1939-1949, p. 619).

1949 – Apresentou o trabalho intitulado “A matemática no ensino secundário” no

IV Congresso Nacional de Estabelecimentos Particulares de Ensino em São

Paulo.

1950 – Apresentou nota sobre “Cálculo da ordem do grupo de homografias do

espaço n-dimensional sobre o corpo de ordem q = p

” e uma palestra sobre o

“Ensino da Matemática” no Congresso da Sociedade Brasileira para o Progresso

da Ciência, realizado em Curitiba, de 6 a 12 de novembro.

1950 – Publicou o artigo “Considerações sobre o teorema de Euler” na revista

Cultus, ano II, n. 5 (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951, p. 177).

1951 – Participou das reuniões sobre o ensino médio de Matemática durante a

Primeira Conferência Nacional de Estudos sobre a Articulação do Ensino Médio e

Superior, ocorrido no Instituto Tecnológico da Aeronáutica, entre os dias 14 e 21

de junho (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951,p.343).

1951 – Tornou-se professor catedrático da FFCLUSP, defendendo a tese

“Fundamentos da geometria projetiva finita n-dimensional” no concurso para a

cátedra de Geometria Analítica, Projetiva e Descritiva, permanecendo até 1970

(ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951, P. 91).

1951 – Publicou os artigos “Cálculo da ordem do grupo de homografias do espaço

n-dimensional sobre o corpo de ordem q = p

” e “Sobre o método de Denise-

Gastão Gomes”, ambos no Boletim da Sociedade de Matemática de São Paulo, v.

4, fasc.1.

1951 – Proferiu conferência intitulada “Geometria Projetiva Finita” na Faculdade

Nacional de Filosofia da Universidade de Belo Horizonte. Também participou da

banca examinadora no concurso para professor de Geometria Descritiva na

Escola Nacional de Minas de Ouro Preto (ANUÁRIO da FFCLUSP, 1951, p. 308-

309).

1951 / 1952 – Publicou o artigo “Postulados de Thomsen para a geometria

elementar e a geometria absoluta de Bachmann”, na Separata do Anuário da

Faculdade de Filosofia “Sedes Sapientiae” da Universidade Católica de São

Paulo, p. 90-96.

419

1952 – É apresentado como catedrático da cadeira de Geometria Analítica,

Projetiva e Descritiva, tendo como assistente Geraldo dos Santos Lima Filho

(ANUÁRIO da FFCLUSP, 1952 apud PIRES, 2006, p. 286-288).

1952 – Apresentou artigo intitulado “Problemas de Geometria Finita” durante

congresso da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência, realizado em

Porto Alegre, entre 3 e 11 de novembro de 1952 (Anuário 1952 apud PIRES,

2006, p. 286-288).

1952 – Publicou trabalho intitulado “Fundamentos da Geometria Projetiva Finita

N-dimensional sobre um corpo finito de ordem p

” no Boletim da Sociedade de

Matemática de São Paulo (CASTRUCCI, 1989).

1952 – Ato de 04 de dezembro, do Governador do Estado, autorizando

afastamento da FFCL e da Escola Politécnica da USP, por três meses, a fim de,

sem prejuízo dos vencimentos e demais vantagens, realizar excursão cultural com

o objetivo de visitar, na Europa, alguns institutos matemáticos (DIÁRIO OFICIAL

DO ESTADO DE SÃO PAULO, 06 dez. 1952)

1952 – Publicou o livro “Lições de Geometria Elementar” (ANUÁRIO da FFCLUSP

1952 apud PIRES, 2006, p. 286-288).

1954 – Recebeu o “Prêmio Antonio de Godoy” pelas notas alcançadas durante o

curso de Ciências e Letras no Ginásio da Capital de São Paulo em 1930.

1954 – Publicou o artigo intitulado “Equivalência entre postulados de sentido e

separação” no Anuário da Faculdade de Filosofia Sedes Sapientia (CASTRUCCI,

1989).

1955 – Proferi palestra intitulada “Cândido Gonçalves Gomide”, na Sociedade de

Matemática de São Paulo em 16 de dezembro.

1957 – Publica o artigo “Sobre o ensino da geometria no curso secundário” na

Revista de Pedagogia. V.3 n.6. jul./dez., 1957.

1957 – Participou de uma comissão de professores encarregada de estabelecer,

num prazo de quinze dias, planos para a instalação de classes suplementares e

especiais de nível secundário, para alunos de reconhecida inteligência, visando

propiciar a criação de uma elite científica, conforme resolução n. 876, de 24 de

dezembro de 1957, do Governo do Estado de São Paulo. A comissão era pelos

professores Paulo Sawaya, Osvaldo Sangiorgi, Antonio Brito da Cunha, Rômulo

Pieroni, Benedito Castrucci, Luiz Roberto Moraes Pitombo e Isaias Raw. (APOS,

OS.I.2, 0017).

1958/1959 – Publicou o artigo “A continuidade na Geometria”. Separata do

Anuário da Faculdade de Filosofia “Sedes Sapientiae” da Universidade Católica

de São Paulo, nº 16, p. 69-74.

1959 – Realizou viagem de estudos para a Inglaterra, freqüentando o Imperial

College de Londres, visitou ainda, institutos de matemática da França, Itália,

Alemanha, Bélgica e Holanda (CASTRUCCI, 1982).

420

1960 – Castrucci, juntamente com os professores Onofre de Arruda Penteado

Junior, Scipione di Pierro Neto e Geraldo dos Santos Lima Filho organizaram um

ciclo de palestras franqueadas aos interessados, no Colégio de Aplicação da Rua

Gabriel dos Santos, 34. Na ocasião, proferiu palestra intitulada “A idéia de

conjunto no ensino secundário”, Folha de São Paulo, 16/12/1960, “Seminários de

Matemática”.

1961 – Realizou conferência intitulada “Ciência e cultura” em comemoração do

cinqüentenário do Colégio Dante Alighieri (CASTRUCCI, 1989).

1961 – Publicou o artigo “On the axioms of incidence” nos Anais da Sociedade

Paranaense de Matemática (CASTRUCCI, 1989).

1962 – Castrucci apresentou trabalho no IV Congresso Brasileiro do Ensino da

Matemática realizado no Pará. Jornal Folha de São Paulo, 18/08/1962,

“Congresso de Matemática”.

1963 – Benedito Castrucci ministrou aula de Teoria dos Conjuntos em curso de

férias promovido pelo GEEM. Jornal Folha de São Paulo, 19/02/1963,

“Matemática Moderna atraiu 120 professores secundários”.

1963 – Castrucci ministrou curso de aperfeiçoamento promovido pelo GEEM.

Jornal Folha de São Paulo, 12/07/1963, “Verdadeira revolução vai sofrer o ensino

de Matemática”.

1963 – Castrucci ministrou curso “Formação dos conceitos em Geometria

(Choquet)” promovido pelo GEEM. Jornal Folha de São Paulo, 12/09/1963,

“Matemática Moderna”.

1963 – Castrucci pronunciou a conferência “Centenário da morte do brasileiro

Joaquim Gomes de Souza” em 20 de outubro, na Universidade do Mackenzie, por

ocasião do segundo aniversário do GEEM. Folha de São Paulo, 27/10/1963,

“Matemática Moderna”.

1964 – Castrucci ministrou curso “Teoria dos conjuntos”, durante curso realizado

em Santos, em março de 1964. Jornal “A Tribuna”, 04/03/1964, “Introdução à

Matemática Moderna”.

1964 – Castrucci apresenta, durante a primeira quinzena de julho, na TV Cultura,

curso de férias pela televisão, juntamente com Osvaldo Sangiorgi e Lucília

Bechara. Ministrou curso sobre Teoria dos Conjuntos. Jornal Diário de São Paulo,

01/07/1964, “Curso de férias pela televisão”.

1964 – Castrucci pronunciou a conferência “Comemoração do Centenário da

morte de George Boole” por ocasião do terceiro aniversário do GEEM. Folha de

São Paulo, 27/10/1964, “Matemática Moderna faz 3 anos com reunião”.

1964 – Jornal anuncia que Castrucci ministraria curso “Teoria dos conjuntos”

promovido pelo GEEM de 1 a 23 de fevereiro de 1965. Jornal O Estado de São

Paulo, 27/12/1964, “Reuniões”.

421

1965 – Jornal anuncia que Castrucci ministrou curso de férias promovido pelo

GEEM. Jornal O Estado de São Paulo, 07/02/1965, “Matemática Moderna reúne

400 professores”. Neste curso Castrucci ministrou a disciplina Teoria dos

Conjuntos (OS.T.0342).

1965 – Castrucci esclareceu em entrevista, os motivos pelos quais defendia o

MMM. Folha de São Paulo, 06/02/1965, “Matemática Moderna torna o estudo

mais accessível”.

1965 – Castrucci aparece em lista de professores encarregados para dar cursos

pelo GEEM. O Estado de São Paulo, 12/02/1965, “Professores aprendem

Matemática Moderna”.

1965 – Reportagem apresenta comentários sobre a obra “Teoria dos Conjuntos”

de autoria de Benedito Castrucci. Jornal O Estado de São Paulo, 10/05/1965.

“GEEM trabalha pela matemática”.

1965 – Jornal anuncia que Castrucci ministraria curso de Geometria promovido

pelo GEEM. Jornal Folha de São Paulo, 25/05/1965, “Matemática Moderna já tem

programa feito para maio”.

1966 – Participou do V Congresso Brasileiro do Ensino de Matemática, no Centro

Técnico da Aeronáutica no ITA, em São José dos Campos/SP, de 10 a 15 de

janeiro.

1966 – Jornal anuncia que Castrucci ministraria palestra “Geometria na

interpretação de Choquet” no dia 25/06/1966 no GEEM. Jornal Folha de São

Paulo, 17/06/1966, “Reunião amanhã de Matemática Moderna”.

1966 – Em comemoração ao 5º aniversário das atividades do GEEM, foi lançado

as bases para a primeira Olimpíada Ginasiana de Matemática Moderna. Castrucci

lembrou, na reportagem, que a Rússia já adotava aquela prática, “onde os

professores preparam suas equipes de alunos para disputar com outros”.

1967 – Castrucci consta na lista de professores participantes do GEEM. Jornal

Folha de São Paulo, 15/01/1967, “Renovação da Matemática”.

1967 – Castrucci ministrou curso sobre “Teoria dos Conjuntos” no GEEM. Jornal

O Estado de São Paulo, 22/01/67. “Encerrado curso de Matemática Moderna”.

1967 – Jornal do Centro de Treinamento para Professores de Ciências informou

que Castrucci ministrou curso sobre Teoria dos conjuntos, no GEEM, de 2 a 21 de

janeiro de 1967. Jornal do CECISP, julho de 1967, “Matemática Moderna”.

1967 – Jornal anunciou que Castrucci ministraria curso intitulado “Transformações

Geométricas Planas”, no dia 17 de junho de 1967. Jornal Folha de São Paulo,

14/06/1967, “GEEM promove sábado duas sessões”.

1967 – Em julho de 1967, representantes do GEEM, Bechara, Castrucci e

Watanabe participaram do 6

Colóquio Brasileiro de Matemática, ocorrido em

Poços de Caldas (D’AMBROSIO, 1987).

422

1967 – Castrucci integrou a comissão central organizadora da 1ª Olimpíada de

Matemática. Jornal A Gazeta Esportiva, 08/10/1967, “1ª Olimpíada de Matemática

reúne 100000 colegiais”.

1968 – Viajou para a Alemanha, como professor visitante da Universidade Justus

Liebig de Giessen (CASTRUCCI, 1982).

1968 – Castrucci pronunciou a conferência “Atual ensino da Matemática na

Alemanha Ocidental”, por ocasião do sétimo aniversário do GEEM. Folha de São

Paulo, 24/10/1968, “GEEM comemora 7 anos de atividades”.

1969 – Publicou o artigo “Um teorema sobre ordenação de pontos de uma reta”

no Boletim de Matemática, Estatística e Física da Faculdade de Filosofia,

Ciências e Letras de Araraquara (CASTRUCCI, 1989).

1970 – Tornou-se professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP

(CASTRUCCI, 1982).

1971 – Participa do “1º Encontro Pedagógico sobre o Ensino da Matemática” na

Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro, ocorrido entre os dias 03 e

06 de novembro. Apresentou um trabalho denominado “Isometria plana a partir

das simetrias” no dia 03, das 10:30 às 12:00 horas.

1973 – Castrucci foi encarregado de ministrar um curso de férias pelo GEEM, de

08 a 20 de janeiro, de atualização de professores de matemática do 1º grau com

formação universitária em matemática, abordando o tema “Transformações

Geométricas”.

1974 – Tornou-se professor do Curso de Pós-graduação da Faculdade de

Filosofia, Ciências e Letras da Fundação Santo André, a partir de julho de 1974

(CASTRUCCI, 1982).

1975 – Castrucci de extensão universitária sobre Geometria realizado no GEEM

de 20 a 31 de janeiro.

1975 – O GEEM oferecia curso de férias em janeiro para candidatos ao curso de

magistério em matemática. Benedito Castrucci foi um dos professores

conferencistas. Folha de São Paulo, 07/12/1975, “Nas férias, estudo da

matemática”.

1986 – Publicou o artigo “Um modelo de plano Desargueano de ordem 81” no

Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, em abril, em colaboração com

Sílvia Maria Ferreira Ramos (CASTRUCCI, 1989).

1986 – Publicou o artigo “Um modelo de plano finito não-desargueano de ordem

27” no Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, em outubro, em

colaboração com Sílvia Maria Ferreira Ramos (CASTRUCCI, 1989).

1986 – Tornou-se professor titular do Programa de Estudos Pós-graduados e do

Curso de Matemática da PUC/SP (CASTRUCCI, 1996).

423

1987 – Realizou mini-curso sobre ensino de frações, no I Encontro Nacional de

Educação Matemática (ENEM) no mês de fevereiro, em São Paulo (CASTRUCCI,

1989).

1987 – Pronunciou palestra sobre “Filosofia subjacente na metodologia do Ensino

da Matemática” em Estação-Ciências, São Paulo (CASTRUCCI, 1989).

1988 – Pronunciou palestra sobre “Filosofia subjacente na metodologia do Ensino

da Matemática”, com novos enfoques, no II Encontro Nacional de Educação

Matemática (ENEM) no mês de janeiro, no Paraná (CASTRUCCI, 1989).

1989 – Realizou conferência sobre “Tópicos da história da geometria: os três

problemas clássicos gregos” durante o 6º Simpósio de Geometria Descritiva e

Desenho Técnico, de 12 a 15 de outubro, no Embu/SP (CASTRUCCI, 1989).

1990 – Participou de congresso sobre o ensino de matemática em Sevilha,

apresentando a comunicação “Sobre o pentagrama de Pitágoras como motivação

histórica para diversas aulas de 2ºgrau, no campo da Geometria”, realizado entre

os dias 23 e 29 de setembro.

1990 – Apresentou trabalho sobre “Sistema axiomático do Espaço de Möbius e

sua consistência” no Encontro de Geometria da Universidade de Giessen.

1995 – Benedito Castrucci faleceu em 02 de janeiro de 1995, em São Paulo/SP.

424

CRONOLOGIA LUIZ HENRIQUE JACY

MONTEIRO

1921 – Nasceu, no Rio de Janeiro, em 06 de julho, Luiz Henrique Jacy Monteiro.

1944 – Tornou-se assistente de Candido L. S. Dias na cadeira de Complementos

de Geometria e Geometria Superior.

1945 – Jacy Monteiro escreveu “Teoria dos Ideais” Notas de aulas do Curso do

Professor Oscar Zariski (Anuário da FFCLUSP, 1939-1949, p. 619).

1945 – O professor Oscar Zariski, neste mesmo ano, foi convidado para dar um

curso de extensão sobre “Álgebra Moderna e Introdução à Geometria Aplicada”,

tendo como auxiliar de ensino contratado Luiz Henrique Jacy Monteiro (Anuário

da FFCLUSP, 1939-1949).

1945 – Jacy Monteiro escreveu “Teoria da dimensão” tradução de Notas de aula

do Curso do Professor Oscar Zariski (Biblioteca IMEUSP).

1946 – Jean Dieudonné foi contratado em maio de 1946, pelo processo nº

8121/45, permanecendo na faculdade até novembro de 1947 (PIRES, 2006).

1946 – Jean Dieudonné deu curso intitulado “Álgebra Moderna e Grupos de

Galois”. Tem como auxiliar de ensino L. H. Jacy Monteiro.

1946 – Jean Dieudonné realizou o curso de extensão universitária “Teoria dos

Corpos Comutativos” vol. II e “Teoria de Galois”. Notas de aulas elaboradas por

Jacy Monteiro. A obra foi publicada em 1947, pela Sociedade de Matemática de

São Paulo.

1946 – Jean Dieudonné realizou o curso de extensão universitária “Teoria dos

Corpos Comutativos” vol. III e “Corpos ordenados e teoria das avaliações”. Notas

de aulas elaboradas por Jacy Monteiro (Anuário da FFCLUSP, 1939-1949, p.

619). A obra foi publicada em 1947, pela Sociedade de Matemática de São Paulo

e 1958, com financiamento do Conselho Nacional de Pesquisa.

425

1947 – Dieudonné deu curso intitulado “Topologia Plana” e Jacy Monteiro, em

setembro, foi para os Estados Unidos em setembro, com bolsa da Rockefeller

Fondation.

1947 – Jacy Monteiro publicou, no Boletim da Sociedade de Matemática de São

Paulo, o trabalho “Derivações de um corpo” vol. 2, fasc. 2º.

1948 – Jean Delsarte é contratado como professor visitante em substituição à

Weil e Dieudonné que partiram para os Estados Unidos.

1949 – Jacy Monteiro, retornando dos Estados Unidos reassumiu sua função

como assistente na cadeira de Complementos de Geometria e Geometria

Superior.

1956 – Ministrou curso de férias para professores secundaristas, promovido pela

Secretaria de Educação de São Paulo (ANDRAUS, apud SOUZA, 1998).

1957 – Participação no Primeiro Colóquio Brasileiro de Matemática em Poços de

Caldas, fez parte da comissão organizadora, coordenada pelo professor Chain

Honig. Ministrou o curso intitulado “Teoria de Galois”, posteriormente publicado

pelo Conselho Nacional de Pesquisas.

1959 – Publicou o primeiro volume de “Álgebra linear” pela FFCLUSP, 221p.

1959 – Como professor da Universidade Mackenzie, foi convidado para paraninfar

a turma da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade Mackenzie.

1961 – Participou de um curso de férias na Universidade Federal da Bahia, no

mês de fevereiro.

1961 – Participou de um colóquio de matemática em Fortaleza/Ce, no mês de

junho.

1961 – Participou do primeiro curso de férias relativo à Álgebra Moderna,

financiado pela CADES, em Santos/SP, no mês de julho (BASTOS, apud SOUZA,

1998).

1961 – Participou de 1 de agosto a 30 de setembro de 1961 do “Curso de

especialização em matemática para professores secundários” na Universidade do

Mackenzie/SP. (SANGIORGI, 1975)

1962 – Participou de um curso em Brasília/DF, no mês de julho.

1962 – Jacy Monteiro participou da I Semana da Matemática, promovida pela

FFCL São Bento, no Centro de Estudos Físicos e Matemáticos, de 22 a 27 de

outubro de 1962. Jornal Folha de São Paulo, 20/10/1962, “I Semana da

Matemática”

1963 – Nota de jornal informa que a primeira publicação do GEEM, “Matemática

Moderna para o ensino secundário” já se encontrava à venda, no Departamento

de Publicações, com o professor Jacy Monteiro. Jornal Folha de São Paulo,

05/05/1963, “Introdução da geometria na escola secundária”.

426

1963 – Jacy Monteiro ministrou curso de aperfeiçoamento promovido pelo GEEM.

Jornal Folha de São Paulo, 12/07/1963, “Verdadeira revolução vai sofrer o ensino

de Matemática”.

1963 – Jacy Monteiro ministrou curso “Iniciação à Álgebra Moderna” promovido

pelo GEEM. Jornal Folha de São Paulo, 12/09/1963, “Matemática Moderna”.

1963 – Reportagem anunciou que Jacy Monteiro ministrará curso sobre “Iniciação

à Álgebra Moderna” promovido pelo GEEM, de 19 a 26/10/1963. O Estado de São

Paulo, 17/10/1965, “Matemática Moderna”. De 19 a 26 de outubro Jacy Monteiro

participou das comemorações do aniversário do GEEM, ministrando o primeiro

curso do evento, sobre Álgebra Moderna.

1964 – Escreveu “Álgebra Multilinear” tradução de notas de aula do bourbakista

Jean-Louis Koszul (Biblioteca IMEUSP).

1964 – Foi para Brasília/DF, onde permaneceu de 05/02/64 a 04/03/64. Retornou

em 06/10/64.

1964 – Jacy Monteiro foi um dos professores a ministrar o curso “Prática do

Ensino do 1º Grau”, durante curso realizado em Santos, em de março de 1964.

Jornal “A Tribuna”, 04/03/1964, “Introdução à Matemática Moderna”.

1964 – Jornal anuncia que Castrucci ministraria curso “Álgebra Moderna”

promovido pelo GEEM de 1 a 23 de fevereiro de 1965. Jornal O Estado de São

Paulo, 27/12/1964, “Reuniões”.

1965 – Jacy Monteiro ministrou curso de férias promovido pelo GEEM, no mês de

fevereiro (ROSA LIMA, 2006).

1965 – Jacy Monteiro, na qualidade de diretor de publicações do GEEM, informou

que, além de muitos trabalhos mimeografados, que se encontram à disposição

dos professores, o grupo publicou, em colaboração com o IBECC, em 1962,

“Matemática Moderna para o Ensino Secundário”, que naquela ocasião se achava

esgotado. Folha de São Paulo, 06/02/1965, “Matemática Moderna torna o estudo

mais accessível”.

1965 – Jacy Monteiro, na qualidade de diretor de publicações do GEEM, informou

que, em breve estaria destinando uma série de publicações para o ensino

primário. Jacy Monteiro também encontra-se em lista de professores

encarregados de dar cursos pelo GEEM. Jornal O Estado de São Paulo,

12/02/1965, “Professores aprendem Matemática Moderna”.

1965 – Reportagem apresenta comentários sobre tradução realizada por Jacy

Monteiro da obra “Un programme moderne pour l’enseignement secondaire”.

Jornal O Estado de São Paulo, 10/05/1965. “GEEM trabalha pela matemática”.

1965 – Jornal anuncia que Jacy Monteiro ministrou curso de férias promovido pelo

GEEM. Jornal O Estado de São Paulo, 07/02/1965, “Matemática Moderna reúne

400 professores”.

427

1965 – Informações sobre o V Colóquio Brasileiro de Matemática, que realizou-se

em Poços de Caldas, de 4 a 24 de julho, eram obtidas no Departamento de

Matemática da FFCLUSP com o professor Jacy Monteiro, coordenador do evento.

Jornal Folha de São Paulo, 17/06/1965, “Realiza-se em julho o Colóquio de

Matemática”.

1967 – Jacy Monteiro consta na lista de professores participantes do GEEM.

Jornal Folha de São Paulo, 15/01/1967, “Renovação da Matemática”.

1967 – Jacy Monteiro ministrou curso sobre “Matrizes” no GEEM. Jornal O Estado

de São Paulo, 22/01/67. “Encerrado curso de Matemática Moderna”.

1967 – Jornal do Centro de Treinamento para Professores de Ciências informou

que Jacy Monteiro ministrou curso sobre Matrizes, no GEEM, de 2 a 21 de janeiro

de 1967. Jornal do CECISP, julho de 1967, “Matemática Moderna”.

1967 – Jacy Monteiro integrou a comissão central organizadora da 1ª Olimpíada

de Matemática. Jornal A Gazeta Esportiva, 08/10/1967, “1ª Olimpíada de

Matemática reúne 100000 colegiais”.

1968 – Jacy Monteiro consta na lista de professores participantes do GEEM.

Jornal O Estado de São Paulo, 10/01/1968, “Mestres se aperfeiçoam”.

1968 – Jacy Monteiro consta como 2º tesoureiro na nova diretoria do GEEM.

Jornal O Estado de São Paulo, 14/04/1968, “Nova diretoria do GEEM”.

1969 – Participou do Sétimo Colóquio Brasileiro de Matemática, com curso de

iniciação científica intitulado “Teoria de Galois”. em Poços de Caldas, Minas

Gerais, de 6 a 26 de julho de 1969, coordenado pelo professor Gilberto Francisco

Loibel. Contou com 312 participantes.

1972 – Participou da Reunião Regional da Sociedade Brasileira de Matemática,

organizada pelo professor Gilberto Francisco Loibel, de 29 de abril a 1º de maio,

em Jacarezinho/SP. Apresentou conferência intitulada “Construções geométricas”

(SBM, 1972, v. 3, n. 1).

1974 – Em agosto, por intermédio de Jacy Monteiro, a USP ofereceu curso de

pós-graduação na área de Álgebra para professores licenciados em Matemática

da Alta Sorocabana (Boletim da FFCL Presidente Prudente, 1973).

1974 – Ministrou cursos, a cada 15 dias, em Cuiabá/MT e também em Presidente

Prudente/SP.

1975 – Jacy Monteiro participou da organização do X Colóquio de Matemática,

auxiliando nas correspondências com matemáticos estrangeiros.

1975 – Nota de falecimento assinada por Osvaldo Sangiorgi, comunicando

falecimento de Jacy Monteiro em 20 de maio de 1975. Jornal O Estado de São

Paulo, 06/06/1975, “Luiz Henrique Jacy Monteiro, grande matemático”.

428

GLOSSÁRIO

ABEL, Niels Henrik (1802-1829). Matemático norueguês, um dos legisladores da

análise com Gauss e Cauchy (PATRAS. 2001, p. 61).

ALLAN, Nelo da Silva, professor da Universidade do Mato Grosso (UNEMAT),

orientou diversos trabalhos na UNICAMP/SP (SILVA, 2003b).

EUCLIDES (360 a.C. — 295 a.C.) foi professor, matemático e escritor. Autor da

obra “Os elementos”, contendo 13 volumes escritos em grego. A obra cobria toda

a aritmética, álgebra e geometria conhecida até então no mundo grego.

AVERBUCH, Anna (1924-2004) fez licenciatura e bacharelado em matemática

pela FNFi. Professora de Didática especial de Matemática no Colégio de

Aplicação da Universidade do Brasil. Em 1976, ajudou a fundar o Grupo de

Ensino e Pesquisa em Educação Matemática – GEPEM. Foi ainda uma das

fundadoras da Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM

(FAINGUELERNT; GOTTLIEB, 2004).

AZEVEDO, Fernando de (1874-1974), redator e primeiro signatário do Manifesto

dos Pioneiros da Educação Nova, em que se lançaram as bases e as diretrizes de

uma nova política de educação. Um dos fundadores da USP, participando como

relator da comissão encarregada de sua redação final do decreto-lei de 25 janeiro

de 1934. Chefiou, até 1961, o Departamento de Sociologia e Antropologia da

FFCL, criado em 1948. Em 17 de junho de 1941 foi nomeado Diretor da

FFCLUSP, exonerando-se em 02 de junho de 1943 (VIDAL, 2000).

BECHARA, Lucilia. É licenciada em Matemática pela Faculdade de Filosofia,

Ciências e Letras da Universidade de Campinas. Participou ativamente do GEEM

Na década de 1960, como supervisora da área de matemática junto ao Serviço de

Ensino Vocacional (SEV), coordenou um curso de aperfeiçoamento no Ginásio

Vocacional do Brooklin, juntamente com os professores Dorival Antonio de Mello

e Renate Watanabe, patrocinado pelo Ministério de Educação e Cultura. É autora

de diversos livros didáticos, dentre eles, “Matemática moderna para a escola

elementar” em co-autoria com Manhúcia P. Liberman e Anna Franchi.

BEGLE, Edward Griffith (1914-1978). Matemático especialista em Topologia,

trabalhou nas universidades de Princeton, Michigan e Yale. Autor da obra “The

429

vietoris mapping Theorem for Bicompact Spaces II” (1950). Em 1951, foi eleito

secretário da Sociedade Americana de Matemática, posição que ocupou por 6

anos. Em 1958, tornou-se diretor do SMSG, permanecendo no cargo até 1972.

Em conseqüência de seu interesse pela educação matemática, com o passar do

tempo, acabou por dedicar-se exclusivamente à essa área.

BELHOSTE, Bruno (1952- ), professor de História Contemporânea da

Universidade de Paris X – Nanterre, onde ensina História das Ciências e das

Técnicas. Pesquisador associado ao Serviço de História da Educação (SHE).

BIRKHOFF, George David (1884-1944). Freqüentou Harvard e a Universidade de

Chicago, onde se doutorou em 1907 com uma dissertação sobre as equações

diferenciais. A maior parte de sua obra foi escrita em Harvard, onde se tornou

catedrático em 1919. Suas maiores contribuições ocorreram no campo dos

sistemas dinâmicos e equações diferenciais.

BOOLE, George (1815-1864), matemático inglês, nasceu em 2 de novembro de

1815 em Lincoln, Inglaterra. Interessou-se pela matemática e lógica. Em 1854,

publicou “An Investigations into the Laws of Thought”, onde definiu as teorias

matemáticas da lógica e da probabilidade estabelecendo ao mesmo tempo a

lógica formal e uma nova álgebra. Deu inicio a álgebra da lógica conhecida como

Álgebra Booleana, que é muito aplicada na computação (MILIES, 1987).

BOREL, Armand (1923-2003), professor permanente em Princeton de 1957 a

1993. Publicou trabalos em Topologia Algébrica e Teoria dos Grupos de Lie,

dentre outros (WIKIPEDIA, 2005).

BOULOS, Paulo, é doutor em Matemática pela USP, foi professor da Escola

Politécnica da USP, do IMEUSP e da Universidade Estadual de Campinas. Autor

de diversos livros didáticos.

CANTOR, Georg (1845-1918), um matemático alemão de origem russa conhecido

por ter criado a moderna Teoria dos Conjuntos. Foi a partir desta teoria que

chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos

cardinais e ordinais, estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos que

colocam novos problemas quando se referem a conjuntos infinitos.

CAUCHY, Augustin-Louis (1789-1857). Matemático francês, um dos mestres da

análise e do rigor (PATRAS. 2001, p. 61).

CAYLEY, Arthur (1821-1895), nasceu em 16 de agosto de 1821 em Richmond,

Inglaterra. Em 1843 trabalhou fundamentalmente em álgebra, mas, também

trabalhou em geometrias não-euclideanas e geometria n-dimensional, usando

determinantes inspirou-se nas idéias sobre determinantes. Definiu e iniciou o

estudo da álgebra das matrizes. Ele é considerado, juntamente com o matemático

James Joseph Sylvester (1814-1897), o fundador da teoria dos invariantes.

(BOYER, 1996).

CHOQUET, Gustave (1915- ?). Matemático dedicado à área de Análise.

Contribuiu para a renovação do ensino secundário e universitário francês. Não

fazia parte do grupo Bourbaki, apesar de considerar que a maior parte da

430

Matemática francesa de sua geração adquiriu cultura matemática graças à

Bourbaki, criticava o dogmatismo apresentado em seus trabalhos: “as definições e

os teoremas de base são tomados sem justificação e sem uma apresentação

heurística” (MARSHAAL, 2002, p. 131).

D’AMBROSIO, Ubiratan. Natural de São Paulo, obteve grau de licenciatura e

bacharelado em Matemática pela FFCLUSP em 1954, grau de doutor em

Matemática pela Escola de Engenharia de São Carlos em 1963, defendendo a

Tese “Superfícies paramétricas generalizadas e conjuntos de perímetro finito”,

sob orientação do Dr. Jaurés P. Ceccone e pós-doutorado na Brown University

em 1965. Em 1970 recebeu convite para participar do projeto CPS-BAMAKO da

UNESCO. D’Ambrosio foi presidente do CIAEM no período de 1979 a 1987 e

vice-presidente do ICMI de 1979 a 1984. Em 1979, participou do Pugwash

Conference, México. É fundador da Sociedade Latinoamerica de História da

Ciência e da Tecnologia/SLAHCT e da Sociedade Brasileira de História da

Ciência. Em 1984, fez a Conferência de abertura no ICME-5, em Adelaide,

Austrália, cujo tema versou sobre Etnomatemática. Em 1987, participou da

Fundação da Universidade Holística Internacional/Universidade da Paz/UNIPAZ,

Brasília. Nesse mesmo ano tornou-se Presidente da Sociedade Brasileira de

História da Ciência. Em 1988, tornou-se membro do Comitê Internacional de

História da Matemática. Em 1999 fundou a Sociedade Brasileira de História da

Matemática. Foi homenageado, em 2001, com a Medalha Kenneth O. May, pelo

International Comittee of History of Mathematics. Em 2005, recebeu a medalha

Félix Klein, atribuída pelo Comitê Internacional de Instrução Matemática (ICMI).

Hoje D’Ambrosio é professor professor titular da cadeira de Tópicos de História e

Filosofia da Matemática do Programa de Estudos Pós-graduados da PUC-SP.

DANTAS, Martha Maria de Souza. Licenciada e bacharel pela Faculdade de

Filosofia da Universidade Federal da Bahia, em 1948. Considerada a principal

idealizadora do I Congresso Nacional de Ensino da Matemática. Para Dantas, o

congresso foi referência fundamental para o processo de fundação do Instituto de

Matemática e Física, uma vez que nele se conheceram o professor Omar

Catunda e Arlete Cerqueira Lima, principal articuladora da fundação do Instituto

(DANTAS, 2002, p. 4-10).

DE MORGAN, Augustus (1806-1871), nasceu em Madura, Índia. Foi um

matemático e lógico britânico, sendo o primeiro a introduzir o termo e tornar

rigorosa a idéia de indução matemática. Foi o primeiro presidente da Sociedade

de Matemática de Londres. Os estudos de lógica que começaram na primeira

metade do século XIX deveu-se quase que inteiramente aos trabalhos de De

Morgan e Geoge Boole (WIKIPÉDIA, 2007).

DEDEKIND, Richard (1831-1916). Matemático alemão. Um dos fundadores da

Álgebra e da Geometria Algébrica moderna (PATRAS, 2001, p. 67).

DIAS, Cândido Lima da Silva (1913-1998), nasceu em Mococa/SP, formou-se em

Matemática pela FFCLUSP em 1936. Foi assistente de Luigi Fantappié. Entre

1948 e 1949 estudou na Universidade de Harvard e em Princeton. Apresentou,

em 1951, a tese para provimento da Cadeira de Geometria e Geometria Superior

intitulada “Espaços vetoriais topológicos e sua aplicação nos espaços funcionais

analíticos” (DIAS, 1951)

431

DIEUDONNÉ, Jean-Alexandre (1906-1992) um dos fundadores do grupo

Bourbaki, passou muitos anos como professor visitante em universidades do

mundo inteiro, inclusive na FFCLUSP, durante o período 1946-1947. Foi professor

emérito de matemática na Universidade de Nice, França. Estudou na Escola

Normal Superior em Paris, recebendo seu doutorado em ciências matemáticas

em 1931. Assumiu cargos nas universidades de Rennes (1933-27), Nancy (1937-

52), Northwestern University (1953-1959) e no Institut des Hautes Études

Scientifique, Paris (1959-1964). Foi Decano da Faculdade de Ciências de Nice de

1965 até 1968 e retirou-se em 1970. Foi presidente da Sociedade Matemática da

França em 1964-1965 e foi eleito para a Academia Francesa de Ciências em

1968. Autor de diversos artigos e publicou livros de Análise, Álgebra Linear e

Geometria, dentre outros, suas pesquisas incluem polinômios e funções de uma

variável complexa, espaços vetoriais topológicos e grupos de Lie. (AMERICAN

SCIENTIST, 1973b).

DREYFUS, André (1897-1952), um dos fundadores da FFCLUSP. Doutor em

Medicina, professor catedrático de Biologia Geral. Foi diretor da FFCLUSP

(CUNHA, 1994).

FEHR, Howard, professor da Columbia University Teachers College, presidente

do NCTM no período de 1956 – 1958.

LIMA FILHO, Geraldo dos Santos. Iniciou seus estudos em 1944, bacharelou-se

em 1946 e licenciou-se em 1947. Tornou-se posteriormente, professor assistente

de Benedito Castrucci, na cadeira de Geometria Analítica, Projetiva e Descritiva

(ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1939-1949; 1951).

FONTES, Sebastião Corrêa (1884-1943). Coronel do exército, professor

catedrático da Escola Militar e proprietário e diretor geral do Instituto Superior de

Preparatórios (VALENTE et. alli, 2004).

FRANCHI Anna é licenciada em matemática pela Faculdade de Filosofia,

Ciências e Letras da Universidade de São Paulo, foi coordenadora de matemática

do Grupo Escolar Experimental “Dr. Edmundo de Carvalho”, professora do Curso

do Programa de Estudos Pós-graduados da PUC/SP, integrou o GEEM e é autora

de diversos livros didáticos (BECHARA, LIBERMAN, FRANCHI, 1968).

FREGE Gottlob (1848-1925), lógico e matemático alemão, propôs derivar os

conceitos da aritmética dos da lógica formal. No entanto sua proposta teve fraca

receptividade até despertar o interesse de Russell, no começo do século XX

(BOYER,1996, p. 414-415).

GALOIS, Evariste (1811-1832), nasceu em Bourg-la-Reine, França. Em 1828,

matriculou-se na classe de Matemáticas Especiais de Louis-Paul Émile Richard,

com a finalidade de ingressar na Escola Politécnica. Entretanto, não conseguiu

lograr êxito. Nessa ocasião, Galois leu trabalhos de Lagrange, Gauss, Cauchy e

Abel, publicando seu primeiro artigo em 1829, intitulado “Demonstration d’um

théorème sur les fractions continues periodiques”, nos Annales de Mathématiques

Pures et Appliquées, tomo XIX, n. 10 (1828-1829), p. 294-301. É também

provável que as idéias originais sobre a teoria das equações algébricas tenham

sido concebidas nessa época. Em 29 de maio de 1832, Évariste Galois morreu

432

vitimado por um duelo com dois franceses, antes de completar 21 anos

(PEREIRA DA SILVA, 1984).

GAUSS, Carl Friedrich (1777-1855), matemático universalista alemão, é

considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Autor da obra

Disquisitiones Arithmeticae, clássico da literatura matemática, defendeu seu

doutorado na Universidade de Helmstedt, sob a orientação de Johann Friedrich

Pfaff (1765-1825) em 1799 (SILVA, 2005).

GOLDEMBERG José (1928- ). Bacharel em Ciências pela FFCLUSP, professor

titular do Instituto de Física. Foi reitor da USP de 1986 a 1990 e Ministro da

Educação de agosto de 1991 a agosto de 1992. Autor de diversos livros

publicados sobre física nuclear e energia (GOLDEMBERG, 1988, p. 155).

GOTTLIEB, Franca Cohen. Possui graduação em Matemática pela Universidade

Federal do Rio de Janeiro (1946) e doutorado em Matemática pela Universidade

de Lisboa (1968). Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em

Álgebra, atuando também em Lógica Matemática.

http://lattes.cnpq.br/4630331741825977.

GRASSMANN Hermann Günther (1809-1877), nasceu Szczecin, Polônia. Além

de matemático era teólogo e linguista. Aos 53 anos de idade, desiludido com o

escasso êxito de seus trabalhos matemáticos, dedicou-se ao estudo do sânscrito.

Sua obra matemática mais importante é de 1844, denominada “Teoria da

extensão” (Ausdelhnungslehre), ainda que seu título completo referia-se a “uma

nova disciplina matemática exposta e aclarada mediante aplicações”. A maneira

inusitada e excessivamente “filosófica” de apresentação da obra fez com que

passasse despercebida pelos matemáticos da época. Somente mais tarde,

quando o autor já havia falecido, reconheceu-se a ampla generalidade e

abstração deste cálculo algébrico-geométrico em um espaço de n dimensões,

com importantes aplicações, onde aparecem conceitos básicos de cálculo vetorial

(WIKIPÉDIA, 2007).

GROTHENDIECK, Alexandre, matemático ganhador do prêmio Fields em 1966,

durante o Congresso Internacional dos Matemáticos em Moscou (SILVA, 2003).

Seu livro básico “Espaces vectoriels topologiques” foi publicado em São Paulo,

em 1954. Posteriormente tornou-se fascículo dos “Éléments” de Bourbaki

(D’AMBROSIO, 1999).

HADAMARD, Jacques Salomon (1865-1963) foi um dos matemáticos franceses

mais influentes da virada do século XIX e XX. Hadamard trabalhou em domínios

da matemática como Teoria dos Números e Cálculo das Variações. Autor do livro

“Psicologia da invenção matemática” (WIKIPEDIA, 2005). Hadamard visitou o

Brasil em 1924 (D’AMBROSIO, 1999).

HAMILTON William Rowan (1805-1865), nasceu em Dublin, Irlanda, em 4 de

agosto. Dedicou sua vida ao desenvolvimento da teoria dos quatérnios. Em 1853

publicou sua “Lectures on Quaternions” e em 1866 editou-se em forma póstuma

um trabalho de dois volumes intitulado “Elements of Quaternions” (MILIES, 1987).

433

HILBERT, David (1862-1943), nasceu em Königsberg, Prússia. Sua obra

Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da Geometria) exerceu forte influência

sobre a matemática do século XX, justamente por seu esforço em dar uma base

puramente axiomática para a Aritmética (BOYER, 1996, p. 425-426). No 2º

Congresso Internacional de Matemática realizado em Paris, em 1900, apresentou

uma contribuição intitulada “Problemas matemáticos” quando propôs uma lista de

23 problemas, envolvendo questões centrais da Matemática, os quais se

encontravam ainda sem solução. Com exceção de alguns problemas relativos à

teoria dos números, todos foram resolvidos (D’AMBRÓSIO, 2000).

HÖNIG Chaim Samuel, apresentou, em 1952 a tese de doutoramento intitulada

“Sobre um método de refinamento de topologias” e para concurso de provimento

de cátedra na cadeira de Complementos e Matemática, em 1959, a tese “Sobre

uma generalização dos números reais e sua aplicação na classificação dos

grupos sem torção” (HÖNIG, 1959).

KLEIN, Felix (1849-1925) matemático da Universidade de Göttingen, fez com que

esta universidade se tornasse o principal centro de estudos de matemática em

todo o mundo, durante o tempo em que lá permaneceu. Sua obra “Erlanger

Programm” pode ser ainda hoje percebida em quase todo tratado de geometria

moderno. Preocupou-se com o ensino da matemática, exercendo forte influência

nos meios pedagógicos. Segundo Beltrão (2001), o professor Euclides Roxo foi

fortemente influenciado por suas idéias pedagógicas contidas no “Elementar

Mathematik von höheren Standpunkte aus” (Matemática Elementar sob o Ponto

de Vista Avançado”. Trad. R. Fontanilla, Göttingen, 1908.

KOLMOGOROV, Andreï Kikolaïevitch (1903-1987) foi o principal responsável pela

reforma da Matemática Moderna na URSS.

LAGRANGE, Joseph Louis (1736-1813). Matemático franco-italiano. Célebre,

entre outros, por seus trabalhos em mecânica (PATRAS, 2001, p. 62).

LEIBNIZ, Gottfried Willhelm (1646-1716) Desejava reduzir as dimensões lógicas a

uma forma sistemática, desenvolvendo uma característica universal, que servisse

como uma espécie de Álgebra da Lógica, sugestão esta que foi reavivada apenas

no século XIX (BOYER, 1996).

LIBERMAN, Manhúcia Perelberg é licenciada em matemática pela Faculdade

Nacional de Filosofia da Universidade do Brasil. Foi supervisora de matemática do

Curso Primário do Ginásio Experimental I. L Peretz. Foi responsável pela parte de

matemática, junto ao grupo que elaborou o programa para as escolas primárias

do Estado de São Paulo (BECHARA; LIBERMAN; FRANCHI, 1968). Ministrou

aulas no Curso de Admissão promovido pela TV Cultura, participou da preparação

das provas de matemática para o exame unificado de admissão ao ginásio em

1965, para o Estado de São Paulo. Escreveu algumas publicações para o GEEM

(LIBERMAN, 2006).

LICHNEROWICZ, André (1915-1998) foi presidente da Sociedade de Matemática

da França, professor da Faculdade de Ciências de Paris e do Colégio da França e

participante de várias instâncias do CNRS. Representou a instância de pesquisa e

ensino superior que faria a reforma do secundário (ARMATTE, 1996, p. 77-88).

434

LIMA, Arlete Cerqueira, professora aposentada do Instituto de Matemática da

UFBa, foi uma das fundadoras do Instituto de Matemática e Física e Diretora do

Instituto de Física da Universidade Federal da Bahia. (LIMA, 1985).

LINTZ, Rubens Gouveia, foi o primeiro diretor do Instituto de Matemática e Física

da Universidade da Bahia, criado em 1961, durante a gestão do reitor Edgard

Santos, o qual incumbiu a professora Arlete Cerqueira Lima juntamente com o

físico Ramiro de Porto Alegre Muniz de organizarem o projeto de criação do

Instituto.

MALBA TAHAN ou Julio César de Melo e Souza, (1895-1974), foi professor

catedrático do Colégio Pedro II, professor emérito da Faculdade Nacional de

Educação, da Escola Normal da Universidade do Brasil e do Instituto da Escola

Normal. Autor de diversas obras didáticas, sendo a mais conhecida “O homem

que calculava”, traduzida para diversos idiomas. Maiores detalhes de sua

trajetória profissional ver a dissertação de mestrado intitulada “Do menino ‘Julinho’

a ‘Malba Tahan’: uma viagem pelo oásis do ensino da matemática” de Cristiane

Coppe de Oliveira (2001).

MARCUS, Ernst Gustav Gotthelf (1893-1968), nasceu em Berlim. Foi contratado

para lecionar Zoologia na FFCLUSP (MENDES, 1994).

MESQUITA FILHO, Júlio de (1892- 1969). Foi diretor do Jornal “O Estado de São

Paulo”. Participou ativamente da Revolução de 1932 e da fundação da USP.

Membro da Academia Paulista de Letras, do Instituto Histórico e Geográfico de

São Paulo e da Sociedade Paulista de Escritores.

MICALI, Artibano, doutor em ciências matemáticas pela FFCLUSP em 1965,

sendo orientado por Benedito Castrucci. Posteriormente, orientou a tese de

doutorado da professora Sílvia Dias de Alcântara Machado, pela PUC/SP (SILVA,

2003b).

MONGE, Gaspard (1746-1818), tornou-se professor na École de Méziéres,

defendeu a construção de instituições de ensino mais avançadas, sendo sua

participação essencial para criação da L’École Polytecnique. A École Normale foi

criada nesta época e Monge lá também foi professor entre 1794 e 1795, quando

publicou sua “Géometrie descriptive” (BOYER, 1996, p. 327-328).

NASCENTES, Antenor de Veras (1876-1972), filólogo, lingüista e catedrático do

Colégio Pedro II.

NOETHER, Emmy (1988-1935) matemática alemã. É costume apontar seu artigo

“Ideal theory in rings” de 1921 como a origem abstrata dos anéis.

OLIVEIRA, Armado de Salles (1887-1945), foi governador do Estado de São

Paulo nos anos de 1935 e 1936; diretor do Jornal O Estado de São Paulo entre

1915 e 1938 e interventor Federal no Estado de São Paulo entre 1930 a 1938.

PAPY, George (1920- ), educador matemático belga, foi presidente do Centro

Belga de Pedagogia da Matemática, professor da Universidade Livre de Bruxelas

e presidente da CIAEM. Direcionou seu trabalho para a melhoria da matemática

escolar de modo a integrá-la àquela ensinada na universidade, desenvolvendo um

435

programa rigoroso, com enfoque em Espaços Vetoriais e Geometria das

Transformações (D’AMBROSIO, B. 1987, p. 78).

PASCH, Moritz (1843-1930), matemático alemão, completou seu Ph.D. na

Universidade de Breslau, aos 22 anos. Interessou-se pelos fundamentos da

geometria, sendo o primeiro a dar uma formulação satisfatória à Geometria

euclidiana.

PATRAS, Fréderic, pesquisador do CNRS (Conseil National Recherche

Sciéntifique), responsável pela equipe de Álgebra e Topologia. Matemático da

Universidade de Nice-Sophia Antipolis, França, mesma instituição em que Jean

Dieudonné (1906-1992) trabalhou e desenvolveu seus estudos.

PAULA, Eurípedes Simões de. Professor catedrático de Historia da Civilização

Antiga e Medieval da FFCLUSP, diplomado pela turma de 1936, tornando-se

diretor dessa Faculdade na década de 1950 (ANUÁRIO DA FFCLUSP, 1951).

PEACOCK George (1791-1858), matemático inglês graduado e professor em

Cambridge e um dos fundadores da Analytical Society. Foi de grande importância

na reforma da matemática inglesa, especialmente no que se refere à Álgebra.

Autor da obra “Treatise on Algebra”, sugeria que os símbolos para objetos na

Álgebra não precisavam indicar números (BOYER, 1996).

PEANO Giuseppe (1858-1935), tem seu nome associado com os axiomas de

Peano. Quais sejam: a) zero é um número; b) se a é um número, o sucessor de a

também é um número; c) zero não é sucessor de ninguém; d) dois números cujos

sucessores são iguais são eles próprios iguais; e) se um conjunto S de números

contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo número

está em S. Este último item é o conhecido axioma da indução. Os axiomas de

Peano, formulados em 1889, representam notável tentativa de reduzir a Aritmética

a um puro simbolismo formal (BOYER, 1996, p. 415).

PENTEADO, Onofre de Arruda, foi professor catedrático da cadeira de Didática

Geral e Especial da FFCLUSP, entre 1930 a 1950.

PIAGET, Jean (1896-1980), foi o teórico da epistemologia genética, ou seja, um

setor da psicologia que estuda as estruturas lógicas da mente e os processos

cognitivos através dos quais elas amadurecem. Estudou as etapas sucessivas de

evolução e as estruturas que correspondem a cada uma delas, bem como a

maturação cognitiva em relação a conceitos científicos específicos, como espaço,

tempo, movimento, força, número, etc. (CAMBI, 1999, p. 609).

PIERRO NETO, Scipione di. Ingressou em 1947, na FFCLUSP, finalizando seu

curso em 1952. Autor de diversos livros didáticos de matemática.

POINCARÉ, Henri (1854-1912), filósofo e matemático universalista, publicou

cerca de 500 trabalhos, principalmente em áreas da Matemática e da Física. Sua

“Analysis situs” marca o início do estudo sistematizado de Topologia. A

conferência “Les définitions générales em mathématiques”, pronunciada no

Museu Pedagógico de Paris e publicada na revista “L’Enseignement

Mathématique” em 1904, é uma das principais referência tomadas por Euclides

436

Roxo para tratar da incompreensão manifestada pela maioria dos alunos em

relação à ciência Matemática (DUARTE, 2002).

RAMOS, Theodoro Augusto, obteve grau de doutor em Ciências Físicas e

Matemáticas pela Escola Politécnica do Rio de Janeiro, em 1918, com a tese

intitulada “Sobre as funções das variáveis reais”. Auxiliou a Comissão

Organizadora que fundou a Universidade de São Paulo, em 1934. Publicou

trabalhos científicos em Análise, Geometria, Física Matemática, Engenharia, etc.

(SILVA, 2003, p. 124).

ROXO, Euclides de Medeiros Guimarães (1890-1950), foi professor de

matemática do Colégio Pedro II e diretor no período de 1925-1935, principal

responsável pela proposta modernizadora do ensino de matemática

fundamentando-se nas idéias pedagógicas de Felix Klein, assessor direto dos

ministros Francisco Campos e Gustavo Capanema nas reformas de ensino e

autor de inúmeros livros didáticos de matemática.

RIEMANN, Georg Friedrich Bernhard (1826 - 1866), foi um matemático alemão

que fez contribuições importantes para a Análise e a Geometria Diferencial,

algumas das quais abriram caminho para o desenvolvimento da relatividade geral,

mais tarde. O seu nome está ligado à função zeta, à integral de Riemann, ao lema

de Riemann, à dobra de Riemann e às superfícies de Riemann.

RUSSELL, Bertrand (1872-1970) e WHITEHEAD, Alfred North (1861-1947), na

obra Principia Mathematica entregaram-se à tarefa de estabelecer

minuciosamente que as leis da Aritmética e toda a matemática dos números,

relacionam-se às leis da lógica. Não se tratava, entretanto, da lógica aristotélica.

Exigia-se um sistema lógico mais potente, de modo que Russell, Whitehead e

igualmente Frege, contribuíram, em larga escala, para a elaboração das leis da

lógica moderna (BARKER, 1976, p. 107).

SANGIORGI, Osvaldo, nasceu em São Paulo, no ano de 1924. Iniciou suas

atividades de professor de Matemática em 1944, aposentando-se em 1994. Atuou

como coordenador do G.E.E.M. desde sua fundação. Foi professor da

Universidade Mackenzie. Somente em 1990 torna-se professor titular da

Universidade de São Paulo. Sua formação era a de licenciado em Física, pela

USP, em 1943. Surge como autor de destaque na publicação de livros didáticos a

partir da década de 1950 (BARALDI, 2003).

SEVERI, Francesco (1879-1961), nasceu em em Arezzo, Itália. Formou-se em

engenharia na Universidade de Torino. Atuou especialmente nas áreas de

Geometria e Análise. Autor do livro “Lezioni di Analisi”, utilizado por Fantappiè em

suas aulas na USP (LIMA, 2006).

STONE, Marshall (1903- ). Matemático americano, obteve o título de doutor em

1926 na Universidade de Harvard. Foi professor nas universidades de Harvard,

Columbia, Yale e se radicou em Chicago desde 1946, como diretor do

Departamento de Matemática. Sua obra científica abarca os domínios variados da

matemática, desde Lógica à Física Quântica, recebendo importantes distinções

científicas. Interessou-se pelo problema do ensino da matemática e contribuiu

para impulsionar o movimento de modernização (PAPY, 1971).

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TARSKI, Alfred (1901-1983), matemático polonês. Dedicou estudos sobre

Álgebra, Lógica Algébrica, Lógica Matemática, entre outras áreas.

VARGAS, Getúlio Dornelles (1883-1954), nasceu em São Borja (RS) aos 19 de

abril de 1883. Foi chefe do governo provisório depois da Revolução de 30,

presidente eleito em 1934, até 1937 quando da implantação do Estado Novo. Foi

deposto em 1945, voltando à presidência em 1951. Faleceu em 24 de agosto.

WAERDEN, Bartel Van der (1903-1996), nasceu em Zurich, Suíça. Seu trabalho

mais famoso, “Modern Algebra” publicado em 1930, relata a álgebra desenvolvida

por Hilbert, Noether e Dedekind, representando os maiores avanços teóricos da

época. Com seu trabalho, se impôs a idéia e a terminologia das estruturas,

mesmo que ainda desprovida de todo conteúdo explicito (PATRAS, 2001).

WATAGHIN, Gleb (1899-1986). Físico de origem russa, naturalizou-se italiano e

veio de Turim para o Brasil, a convite de Theodoro Ramos, em 1934, para exercer

a função de professor na área de Física, sendo inicialmente contatado para a

cadeira de Física Geral e Experimental e Física Teórica na FFCLUSP. Também

foi professor de Mecânica Racional e Mecânica Celeste e Física Superior

(ANUÁRIO DA FFCLUSP 1939-1949).

WATANABE, Renate Gompertz, nasceu em Krefeld, Alemanha. Naturalizou-se

brasileira em 1953. Graduou-se em Matemática pela PUC-SP, em 1952. Obteve o

título de Mestre em Matemática pela Universidade Illinois, nos Estados Unidos.

Ministrou vários cursos de atualização para professores no GEEM. Escreveu

diversos livros e traduziu vários outros. Atualmente, desde 1982, participa do

Comitê Editorial da Revista do Professor de Matemática, e é professora titular da

Universidade Presbiteriana Mackenzie (BARALDI, 2003).

WEIERTRASS, Karl Wilhelm Theodor (1815 - 1897), matemático alemão,

professor na Universidade de Berlim. Seu trabalho forneceu as bases da Teoria

das Funções Analíticas. Weierstrass foi um pioneiro da moderna Análise

Matemática. Foi o mentor da matemática Sofia Vasilyevna Kovalevskaja.

WEIL, Andre (1906-1998), considerado como um dos mais brilhantes

matemáticos do século XX, foi aluno da Escola Normal Superior, doutor em

Ciências em 1928. Professor nas Universidades de Aligarh (Índia), Strasburgo,

São Paulo, Chicago e do Instituto de Estudos Avançados de Princeton. Obteve o

prêmio Wolf em 1979 (WEIL, 2002).

ZARISKI, Oscar (1899-1986), nasceu na Rússia, estudou na Universidade de

Kiev. Em 1920 estabeleceu-se em Roma, onde tornou-se discípulo da Escola

Italiana de Geometria Algébrica, estudando com matemáticos como Guido

Castelnuovo, Federico Enriques e Francisco Severi. Foi contratado pela USP, na

década de 60, juntamente com Grothendieck e Jean Delsart (D’AMBROSIO,

1999). Luiz Henrique Jacy Monteiro (1918-1975), obteve grau de doutor em

Ciências pela FFCLUSP em 1950, com a tese “Sobre as potências simbólicas de

um ideal primo de um anel de polinômios”, sob a orientação de Oscar Zariski.

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