( PDF ) Analise numérica do comportamento não-linear de prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais utilizando o elemento finito prismático regular linear

Download PDF

ads:

Campus de Ilha Solteira

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

“Analise numérica do comportamento não-

linear de prismas de alvenaria estrutural

submetidos a ações verticais utilizando o

elemento finito prismático regular

linear”

DOMICIO MOREIRA DA SILVA JÚNIOR

Orientador: Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues

Dissertação apresentada à

Faculdade de Engenharia - UNESP

– Campus de Ilha Solteira, para

obtenção do título de Mestre em

Engenharia Civil.

Área de Conhecimento: Estruturas

Ilha Solteira – SP

Setembro/2007

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação

Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.

Silva Júnior, Domício Moreira da

S586a Análise numérica do comportamento não-linear de prismas de alvenaria

estrutural

submetidos a ações verticais utilizando o elemento finito prismático regular

linear /

Domício Moreira da Silva Júnior. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2007

86 p. : il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de

Engenharia

de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Estruturas, 2007

Orientador: Rogério de Oliveira Rodrigues

Bibliografia: p. 82-86

1. Alvenaria estrutural. 2. Método dos elementos finitos. 3.

Comportamento estru-

tural não-linear.

ads:

Dedico este trabalho a meus pais, avós e

irmã por todo apoio, dedicação e incentivo

durante essa caminhada...

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por sempre estar ao meu lado, ajudando-

me a vencer todos os obstáculos que surgem na minha vida.

Ao Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues, pela

paciência e esclarecimento, de forma clara e objetiva, de

todas as dúvidas que apareceram, pela compreensão e incentivo

durante todas as etapas deste trabalho.

Ao Prof. Dr. Jefferson S. Camacho, pelas valiosas

contribuições.

Ao Prof. Dr. Jorge Luis Akasaki, pela confiança.

Aos meus amigos e grandes incentivadores, desde os tempos

da graduação, Prof. Msc. Roberto Racanicchi e Prof. Msc. Edson

Florentino de Souza.

Aos meus pais, avós e irmã, que cada um de seu jeito,

deu-me forças para continuar meus estudos.

A todos os amigos que fiz nesses anos de convivência no

mestrado, em especial: Marcela, Bárbara, Guido, Mauro e

Danilo.

Aos professores e funcionários do Departamento de

Engenharia Civil, por contribuírem direta ou indiretamente na

minha formação acadêmica.

Aos meus colegas de trabalho, que sempre me apoiaram e me

ajudaram quando estava ausente, em especial ao Sr. Walter José

Trindade, por todo apoio que me deu desde o dia de início das

minhas atividades na SAEV (Superintendência de Água e Esgotos

de Votuporanga).

À Andrezza, pela revisão ortográfica, e ao meu amigo

Leonei, pelas dicas a respeito da linguagem Visual Basic.

A todos os meus amigos (vocês sabem quem são de verdade)

por me ajudarem nos momentos difíceis.

RESUMO

SILVA JUNIOR, D.M., Análise numérica do comportamento não-linear de

prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais

utilizando o elemento finito prismático regular linear, 98 p.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia

de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira,

2007.

Atualmente, o Engenheiro Estrutural necessita incorporar a

análise numérica como uma ferramenta de trabalho usual, de modo a

manter a qualidade e a competitividade de seu trabalho,

principalmente quando da análise de projetos de alvenaria

estrutural, em que a discretização do sistema estrutural ainda é

feita de forma bastante simples.

Neste contexto, este trabalho tem como objetivo principal a

simulação numérica do comportamento não-linear de prismas de

alvenaria estrutural submetidos a ações verticais. A discretização

estrutural é feita por meio do Método dos Elementos Finitos,

utilizando elementos prismáticos com oito nós, simulando as partes

do bloco de concreto (14 x 19 x 29cm) e as juntas de argamassa,

permitindo assim a modulação tridimensional dos prismas, bem como a

introdução separada do módulo de elasticidade do concreto e da

argamassa.

Para isso, foram elaboradas sub-rotinas, em Visual Basic, que

fazem parte integrante do código computacional FEISdec - Finite

Element for Idealization of Structures: development and execution by

computer, software institucional em desenvolvimento na Faculdade de

Engenharia, Campus de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia

Civil. Tal código foi utilizado para a simulação de dois ensaios

realizados no NEPAE - Núcleo de Estudo e Pesquisa da Alvenaria

Estrutural, sendo que por meio da comparação entre os dados

experimentais e numéricos foram obtidos bons resultados.

Palavras-chave: Alvenaria Estrutural; Método dos Elementos

Finitos; Comportamento estrutural não-linear.

ABSTRACT

SILVA JUNIOR, D.M., Numerical analysis of nonlinear behavior of

structural masonry prisms submitted to vertical actions using the

linear regular prismatic finite element, 98 p. Dissertação (Mestrado

em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira,

Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2007.

Currently, the structural engineer needs to assimilate the

numerical analysis as a tool of frequent work, in this way he keeps

the quality and the competitiveness in his work especially by the

analysis of structural masonry projects, where the structural system

discretization is still made in a simple way.

In this context, this work aims the numerical simulation of

nonlinear behavior of structural masonry prisms submitted to

vertical actions. The structural discretization is made through the

Finite Element Method, using the prismatic elements with eight

joints, simulating the concrete block parts (14 x 19 x 29 cm) and

the mortar meeting, allowing the tridimentional modulation of

prisms, as well as the separated introduction of concrete and mortar

elasticity module.

Subroutines have been developed, in Visual Basic, and they are

integrant parts of computer code FEISdec – Finite Element for

Idealization of Structures: development and execution by computer,

institutional software in development at Engineering College, Ilha

Solteira Campus, Department of Civil Engineering. The code was used

to simulate two laboratory tests realized at NEPAE – Núcleo de

Estudo e Pesquisa da Alvenaria Estrutural, through the comparison

between the experiment and numerical data were good results had been

obtained.

Key words: Structural masonry; Finite Element Method; nonlinear

structural behavior.

iii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1- Exemplos de blocos de diferentes materiais:

cerâmico, sílico-calcários e concreto ..................... 06

Figura 2.2- Mecanismos de ruptura: (a) Fissuras nas juntas;

(b) Escorregamento; (c) Fissuração das unidades; (d)

Fissura diagonal; (e) Fendilhamento ....................... 09

Figura 2.3- Estado de tensão na alvenaria .................... 10

Figura 3.1- Exemplo de paredes de contraventamento e

resistente ................................................ 15

Figura 3.2- Parede enrijecida por colunas de alvenaria ....... 15

Figura 3.3- Parede e coluna em alvenaria ..................... 16

Figura 3.4- Dimensões reais e dimensões nominais dos blocos .. 19

Figura 3.5- Dimensões reais entre faces de blocos ............ 20

Figura 3.6- Modulação de piso a teto – com e sem bloco “J” ... 21

Figura 3.7- Modulação de piso a piso ......................... 21

Figura 3.8- Modulação das paredes ............................ 22

Figura 3.9- Detalhe da primeira e segunda fiadas e elevação

da parede ................................................. 22

Figura 3.10- Formas usuais de blocos ......................... 23

Figura 3.11- Ensaio dos prismas .............................. 25

Figura 3.12- Esquema utilizado para execução de ensaios em

painéis ................................................... 26

Figura 4.1- Detalhe do capeador metálico e capeamento dos

blocos .................................................... 28

Figura 4.2- Colocação dos relógios comparadores .............. 29

Figura 4.3- Posicionamento dos extensômetros elétricos ....... 29

Figura 4.4- Posicionamento da célula de carga e sistema de

aquisição ................................................. 30

Figura 4.5- Modo de ruptura dos blocos ....................... 30

Figura 4.6- Etapas de confecção dos prismas .................. 32

Figura 4.7- Posicionamento dos LVTD´s ........................ 33

Figura 4.8- Posicionamento dos extensômetros ................. 33

Figura 4.9- Esquema do ensaio ................................ 34

Figura 4.10- Modo de ruptura dos prismas vazios .............. 34

Figura 5.1- Configuração dos blocos e juntas de argamassa

vistas em planta .......................................... 40

Figura 5.2- Vista do bloco e da junta de argamassa em

perspectiva ............................................... 40

Figura 5.3- Dimensões isoladas dos elementos de bloco e de

argamassa do prisma ....................................... 41

Figura 5.4- Esquema do prisma discretizado ................... 41

Figura 5.5- Fluxograma geral de cálculo ...................... 44

Figura 6.1- Elemento finito prismático retangular com oito

nós ....................................................... 58

Figura 6.2- Tetraedro de Pascal .............................. 59

Figura 7.1- Critério de Mohr-Coulomb ......................... 62

Figura 7.2- Representação gráfica da superfície de ruptura

do critério no espaço das tensões principais .............. 64

Figura 7.3- Representação gráfica da superfície de ruptura

no plano desviador ........................................ 65

Figura 7.4- Módulo de elasticidade instantâneo para o

concreto comprimido ....................................... 68

Figura 8.1- Disposição dos elementos e dos nós para

discretização dos prismas ................................. 71

Figura 8.2- Discretização do ensaio dos prismas .............. 72

Figura 8.3- Deslocamentos, na direção z, nó 141, força de

180kN ..................................................... 73

Figura 8.4- Gráfico força x deslocamento ..................... 74

Figura 8.5- Gráfico força x deslocamento, nó 141, na

direção z ................................................. 74

Figura 8.6- Número de cada elemento rompido no incremento

38 ........................................................ 75

Figura 8.7- Deslocamentos, na direção z, nó 141, força de

262,5kN ................................................... 76

Figura 8.8- Gráfico força x deslocamento ..................... 77

Figura 8.9- Gráfico força x deslocamento, nó 141, na

direção z ................................................. 77

Figura 8.10- Número de cada elemento rompido no incremento

36 ........................................................ 78

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1- Blocos e modulações mais comuns ................. 23

Tabela 4.1- Média dos resultados dos blocos B1 .............. 35

Tabela 4.2- Resultados individuais dos blocos B1 ............ 36

Tabela 4.3- Média dos resultados dos blocos B2 .............. 36

Tabela 4.4- Resultados individuais dos blocos B2 ............ 37

Tabela 4.5- Média dos resultados dos prismas - blocos B1 .... 37

Tabela 4.6- Resultados individuais dos prismas - blocos B1 .. 38

Tabela 4.7- Média dos resultados dos prismas - blocos B2 .... 38

Tabela 4.8- Resultados individuais dos prismas - blocos B2 .. 38

Tabela 4.9- Resultados das argamassas ....................... 39

Tabela 8.1- Força e respectivos deslocamentos do nó 141 ..... 73

Tabela 8.2- Força e respectivos deslocamentos do nó 141 ..... 76

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ...................................... 1

1.1- Tema, motivação e justificativa ....................... 1

1.2- Objetivos do trabalho ................................. 2

1.3- Metodologia ........................................... 3

1.4- Apresentação .......................................... 3

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................... 5

2.1- Alvenaria estrutural .................................. 5

2.1.1- O projeto em alvenaria estrutural .................... 6

2.1.2- Análise estrutural ................................... 7

2.1.3- Capacidade resistente dos elementos .................. 7

2.1.4- Mecanismos de ruptura ................................ 8

2.1- Método dos elementos finitos ......................... 11

2.2.1- Origem do método .................................... 11

2.2.2- Elementos tridimensionais ........................... 11

CAPÍTULO 3 - ALVENARIA ESTRUTURAL ........................... 13

3.1- Definição ............................................ 13

3.2- Considerações gerais ................................. 13

3.3- Vantagens do sistema ................................. 16

3.4- Desvantagens do sistema .............................. 17

3.5- Técnica de projeto (coordenação modular) ............. 18

3.5.1- Modulação horizontal ................................ 18

3.5.2- Modulação vertical .................................. 20

3.5.3- Alguns detalhes sobre modulação ..................... 21

3.5.4- Tipo dos blocos ..................................... 23

3.6- Ensaios de caracterização da alvenaria estrutural .... 23

3.6.1- Ensaios em materiais e unidades ..................... 24

3.6.2- Ensaios em prismas .................................. 24

3.6.3- Ensaios em painéis ou paredes em escala real ........ 25

CAPÍTULO 4 - DADOS EXPERIMENTAIS ............................ 27

4.1- Ensaio das unidades (blocos) ......................... 27

4.1.1- Capeamento dos blocos ............................... 27

4.1.2- Ensaio de resistência à compressão .................. 28

4.2- Ensaio dos prismas vazios ............................ 31

4.2.1- Execução dos prismas vazios ......................... 31

4.2.2- Instrumentação dos prismas .......................... 32

4.3- Resultados experimentais ............................. 35

4.3.1- Resultados obtidos por LOGULLO (2006) ............... 35

CAPÍTULO 5 – ANÁLISE NUMÉRICA E ASPECTOS COMPUTACIONAIS ..... 40

5.1- Análise numérica ..................................... 40

5.2- Aspectos computacionais .............................. 42

5.2.1- Rotinas para discretização da alvenaria ............. 42

5.2.2- Fluxograma geral de cálculo ......................... 43

CAPÍTULO 6 - ELEMENTO FINITO PRISMÁTICO REGULAR LINEAR ...... 48

6.1- Tipos de elementos existentes ........................ 48

6.2- Formulação variacional ............................... 49

6.3- Princípio da Energia Potencial Estacionária .......... 51

6.4- Formulação do Método dos Elementos Finitos ........... 52

6.5- Vetor de forças nodais equivalentes .................. 57

6.6- Elemento finito prismático regular linear ............ 57

CAPÍTULO 7 – MODELOS FÍSICOS NÃO-LINEARES ................... 61

7.1- Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb .................. 61

7.2- Determinação do módulo de elasticidade instantâneo ... 66

7.2.1- Módulo de elasticidade do concreto na compressão .... 67

7.2.2- Módulo de elasticidade do prisma .................... 68

CAPÍTULO 8 – ANÁLISE COMPARATIVA ............................ 70

8.1- Exemplo 1 ............................................ 72

8.2- Exemplo 2 ............................................ 75

CAPÍTULO 9 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................... 79

9.1- Discussão dos resultados ............................. 79

9.2- Conclusão ............................................ 80

9.3- Proposta para desenvolvimento futuro ................. 81

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ..................................... 82

REFERÊNCIAS ................................................. 83

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

1.1- Tema, motivação e justificativa

Segundo Faglioni (2006), a análise estrutural estática

objetiva a determinação da intensidade e da forma de

distribuição dos esforços em um determinado sistema

estrutural, quando ele é submetido a carregamentos quaisquer,

sem que estes variem ao longo do tempo. Assim, o campo de

tensões calculado deve apresentar um equilíbrio entre as

forças internas e externas, bem como deslocamentos contínuos.

De acordo com o tipo de comportamento estrutural que se

deseja estudar, a análise pode ser linear ou não-linear. No

caso de análise linear, deve-se levar em consideração a

manutenção da geometria inicial (linearidade geométrica) e das

propriedades físicas (linearidade física) específicas do

material como referência no equilíbrio do sistema; já no caso

da análise não-linear, considera-se a alteração da geometria

(não-linearidade geométrica) ou das propriedades físicas do

material (não-linearidade física) ou, ainda, a alteração

geométrica e física (dupla não-linearidade).

Uma vez que os sistemas estruturais são, geralmente,

admitidos como meios contínuos, a maior dificuldade encontrada

na análise estrutural está no fato de que as equações

consistentes de equilíbrio que governam esses sistemas são

equações diferenciais parciais e devem satisfazer suas

condições de contorno. Cabe ressaltar que os sistemas

estruturais contínuos possuem um número infinito de graus de

liberdade, em função dessa continuidade, fato esse que

dificulta a resolução do problema.

Para transposição de tal dificuldade, com o advento dos

computadores, foram desenvolvidos métodos numéricos, capazes

de transformar o sistema estrutural contínuo em um sistema

estrutural discreto, com um número finito de graus de

liberdade, dando uma boa resposta no que diz respeito ao

comportamento real da estrutura. Dentre esses métodos, pode-se

citar o Método dos Elementos Finitos (MEF), o Método das

Diferenças Finitas e o Método dos Elementos de Contorno, entre

outros.

O MEF tem por premissa a discretização dos sistemas

estruturais por meio da divisão de seus componentes em

pequenas regiões, chamadas elementos finitos, que conectados

entre si formam o conjunto estrutural discreto.

Para problemas estáticos, a discretização utilizando o

MEF resulta num sistema de equações algébricas que são

facilmente resolvidas, aplicando-se técnicas computacionais

adequadas. De posse do sistema de equações citado, é possível

resolver o problema estrutural desejado, uma vez que, para

tais sistemas, é fácil a imposição das condições de contorno

da estrutura. No entanto, a solução obtida por esse método é

uma aproximação da resposta do problema real, e para que essa

aproximação seja mais refinada, é necessária a escolha ideal

das quantidades de elementos finitos e dispô-los de maneira

adequada, de forma a simular o mais próximo possível o caso

real.

1.2- Objetivos do trabalho

Este trabalho tem por objetivo:

¾ discretizar prismas de alvenaria estrutural compostos

por blocos de concreto (14x19x29cm), utilizando o

elemento finito prismático regular linear de oitos nós;

¾ elaborar sub-rotinas que farão parte do programa

computacional FEISdec - Finite Element for Idealization

of Structures: development and execution by computer,

de modo a simular o comportamento não-linear da

alvenaria estrutural;

¾ validar o modelo discreto, por meio de análise

comparativa com resultados obtidos por ensaios

realizados em laboratório.

1.3- Metodologia

Pretende-se fazer uma análise tridimensional não-linear

do comportamento estático de prismas de alvenaria estrutural

submetidos a ações verticais.

Para isso, a discretização estrutural será feita

empregando o Método dos Elementos Finitos, utilizando o

elemento prismático com oito nós, desenvolvido por Faglioni

(2006), simulando as partes do bloco de concreto (14x19x29cm)

e as juntas de argamassa, permitindo assim a modulação

tridimensional dos prismas, bem como a introdução dos módulos

de elasticidade do concreto e da argamassa.

Assim, serão elaboradas sub-rotinas, em Visual Basic, que

farão parte integrante do programa computacional FEISdec,

iniciado por Rodrigues (1997), tratando-se de um software

institucional para análise estática e dinâmica de estruturas.

Inicialmente, tais sub-rotinas servirão para simulação do

ensaio de prismas, por meio de um gerador de malhas para

modulação de blocos, permitindo a visualização e quantificação

das forças e deslocamentos nodais, bem como as forças de

ruptura.

1.4- Apresentação

Neste primeiro capítulo, procurou-se mostrar uma visão

geral do trabalho a ser desenvolvido, descrevendo-se, para

tanto, tema e motivação, objetivos do trabalho, a metodologia

a ser utilizada e, finalizando, uma apresentação sucinta dos

capítulos subseqüentes.

No segundo capítulo, será realizada uma revisão

bibliográfica sobre os principais temas abordados neste

trabalho.

No terceiro capítulo, serão definidos alguns conceitos

referentes à alvenaria estrutural e seus componentes.

No quarto capítulo, serão apresentados os procedimentos

laboratoriais relativos aos ensaios de prismas, realizados por

Logullo (2006), bem como apresentar os resultados obtidos.

No quinto capítulo, serão apresentadas as formas de

discretização dos blocos para modelagem dos prismas, e os

aspectos computacionais para funcionamento do programa.

No sexto capítulo, serão mostradas algumas definições e

formulações básicas do MEF, bem como os procedimentos adotados

por Faglioni (2006) para obtenção da matriz de rigidez do

elemento prismático com oito nós.

No sétimo capítulo, será exposto de forma sucinta o

Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb, já implantado no

programa.

No oitavo capítulo, serão apresentados os exemplos

experimentais e numéricos utilizados para validação do modelo

discreto.

No nono capítulo, serão apresentadas as conclusões do

trabalho e algumas propostas para melhoria do programa.

Por fim, a bibliografia consultada e as referências serão

listadas.

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1- Alvenaria estrutural

Segundo Camacho (1995), até o final do século XIX, a

alvenaria era um dos principais materiais utilizados na

construção e as obras eram executadas segundo regras

“puramente empíricas”, seguindo apenas conhecimentos

adquiridos ao longo dos anos. Com o advento de novos

materiais, como o aço e o concreto, a alvenaria ficou

“esquecida” como elemento estrutural, servindo apenas como

elemento de fechamento.

Em meados do século XX, a indústria da construção civil

sentiu a necessidade de buscar novas técnicas de construção, e

as obras de alvenaria voltaram, mas desta feita, sendo

acompanhadas por pesquisas realizadas em vários países,

possibilitando o surgimento de vários critérios de

dimensionamento, utilizando-se métodos racionais. A partir de

então, esse processo construtivo passou a chamar-se alvenaria

estrutural.

Conforme Camacho (2001), nos Estados Unidos e na Europa,

as pesquisas em relação à alvenaria estão bastante avançadas,

possibilitando a elaboração de normas modernas, que permitem

que a alvenaria concorra com os outros sistemas construtivos

existentes. Porém, essa realidade não se verifica no Brasil,

em que a técnica ainda é pouco difundida, sendo aplicada em

larga escala somente nos grandes centros.

No Brasil, segundo Capuzzo Neto (2000), a alvenaria

estrutural possui apenas uma norma de dimensionamento, a NBR-

10837:1989, que trata apenas de blocos vazados de concreto,

sendo que, para as outras unidades empregadas na alvenaria

estrutural, blocos cerâmicos, blocos sílico-calcáricos e

blocos de concreto celular autoclavado, não existem

normatizações. Cabe ressaltar que a norma para dimensionamento

de alvenaria estrutural utilizando blocos cerâmicos está em

fase de aprovação.

Figura 2.1– Exemplos de blocos de diferentes materiais: cerâmico, sílico-

calcário e concreto

2.1.1- O projeto em alvenaria estrutural

De acordo com Racanicchi (2001), em projetos de alvenaria

estrutural deve existir uma forte ligação entre os vários

projetos que compõem a obra, pois agora a parede, além de ser

o elemento de vedação, também exerce função estrutural, e

ainda deve permitir a passagem dos elementos hidráulicos e

elétricos.

O fato de a unidade básica possuir dimensões conhecidas e

pouco variáveis, ela viabiliza a aplicação da técnica da

coordenação modular, que, resumidamente, conforme Razente

(2004), consiste em aplicar as dimensões da unidade para se

chegar às dimensões dos ambientes, fazendo assim com que todas

as paredes tenham medidas múltiplas, tanto em planta quanto em

pé-direito, das dimensões da unidade.

2.1.2- Análise estrutural

Segundo Corrêa et al (1998), citado por Racanicchi

(2001), para a verificação das resistências de cálculo dos

elementos estruturais, a distribuição das ações verticais

entre as paredes constitui um dos problemas mais importantes a

ser enfrentado durante o desenvolvimento de um projeto em

alvenaria estrutural. Um fato importante é a tendência de

uniformização das ações verticais ao longo da altura do

edifício, uma vez que existe a interação das diferentes

paredes que compõem a estrutura do edifício, reduzindo assim

as tensões máximas do projeto. Entretanto, esse fato nem

sempre é considerado pelos projetistas.

2.1.3- Capacidade resistente dos elementos

O termo “paredes resistentes”, segundo Racanicchi (2001),

refere-se às paredes de um edifício de alvenaria estrutural,

que, além das funções de definição de espaços geométricos e de

vedação, desempenham também a função estrutural, ou seja, tais

paredes têm a função de resistir aos diversos esforços a que

está sujeita uma estrutura.

Para determinação da resistência dos elementos, são

realizados alguns ensaios de caracterização dos materiais que

compõem a estrutura.

Segundo Camacho (2001), são três os ensaios básicos para

caracterizar a resistência da alvenaria: ensaio de unidade,

ensaio de prisma e ensaio de painéis, sendo o primeiro o mais

rápido e mais barato, com o inconveniente de conduzir a

coeficientes de segurança maiores, uma vez que a resistência

das unidades (blocos ou tijolos) varia muito, mesmo sendo

todas do mesmo lote. Já o último ensaio é o que simularia

melhor a realidade, mas os custos e tempo relativos a esse

ensaio são muito altos, não sendo viável para acompanhamento

de obras, utilizado apenas em laboratórios, para comprovação

de teorias. Portanto, a resistência de projeto da alvenaria

estrutural provém da resistência média dos prismas, que são

pequenos corpos-de-prova de alvenaria utilizados para estudar

o comportamento da alvenaria quando submetida à tensão de

compressão.

Vale lembrar que, conforme Camacho (1987), citado por

Maurício (2005), carregamentos excêntricos influenciam na

resistência final da alvenaria.

2.1.4- Mecanismos de ruptura

Conforme Peleteiro (2002), a fissuração é a causa mais

freqüente da ruptura no comportamento da alvenaria; impedi-la

torna-se, então, uma preocupação constante. Ela é produzida

por deformações excessivas induzidas por esforços à tração

muito elevados. A deformação pode ser causada por forças

aplicadas ou por restrição à variação volumétrica do material.

A aplicação do método dos elementos finitos para a análise de

estruturas em alvenaria requer um modelo numérico apropriado

para o material, lembrando que o objetivo principal deste

trabalho é desenvolver um modelo discreto para simular prismas

de alvenaria.

De acordo com Lourenço e Rots (1997a), citado por

Peleteiro (2002), um modelo preciso para análise de estruturas

em alvenaria deve contemplar os mecanismos básicos de ruptura

que caracterizam o material, conforme ilustra a Figura 2.2.

Figura 2.2– Mecanismos de ruptura: (a) Fissuras nas juntas; (b)

Escorregamento; (c) Fissuração das unidades; (d) Fissura diagonal; (e)

Fendilhamento (fonte: PELETEIRO (2002))

Com relação aos mecanismos de ruptura mostrados na Figura

2.2, pode-se, ainda, destacar:

a) ocorrência de fissuração nas juntas;

b) escorregamento ao longo de uma junta horizontal ou

vertical, com valores baixos de tensão normal;

c) fissuração das unidades de alvenaria na direção da

tração;

d) fissura diagonal à tração nas unidades de alvenaria,

com valores de tensão normal suficientes para

desenvolver atrito nas juntas;

e) fendilhamento das unidades à tração, como resultado da

dilatação da argamassa, com valores altos de tensão

normal de compressão.

Pela descrição dos fenômenos, pode-se observar que [a,b]

são mecanismos das juntas, [c] é um mecanismo da unidade, e

[d,e] são mecanismos dos dois materiais combinados.

O mecanismo de ruptura dos componentes (unidade e

argamassa) submetidos a esforços de tração e compressão é

essencialmente o mesmo, ou seja, crescimento das fissuras a

nível micro do material, até sua ruptura por completo.

Camacho (1995) faz uma suposição que, quando a alvenaria

é submetida a tensões de compressão, a argamassa, que possui

um módulo de deformação menor, apresenta uma deformação

transversal maior. Como ela encontra-se confinada entre as

unidades, essa deformação transversal fica restrita,

introduzindo assim um estado triaxial tensão, conforme ilustra

a Figura 2.3.

Figura 2.3– Estado de tensão na alvenaria

Assim, Hilsdorf (1969), citado por Camacho (1995),

desenvolveu um equacionamento para a resistência da alvenaria

à compressão e, para isso, levou em consideração alguns

fatores:

• as unidades são maciças e existe uma perfeita aderência

entre suas faces e a argamassa;

• a distribuição de tensões verticais e transversais é

uniforme;

• a alvenaria se comporta segundo um critério de ruptura

semelhante ao de Mohr-Coulomb.

Sendo assim, é possível a validação do critério de

ruptura escolhido como base deste trabalho.

2.1- Método dos elementos finitos

2.2.1- Origem do método

Segundo Soriano e Lima (2003), o Método dos Elementos

Finitos surgiu em 1955, com a evolução da Análise Matricial de

modelos reticulados (concebida no início da década de 30 na

indústria aeronáutica britânica), com a disponibilidade de

computadores digitais. Os primeiros elementos foram concebidos

por engenheiros aeronáuticos, para análise da distribuição de

tensões em asas dos aviões. Sua formulação foi tratada

primeiramente por Argyris e Kelsey (1955) e por Turner,

Glough, Martin e Topp (1956). Assim, o computador digital e a

engenharia aeronáutica são os responsáveis pelo surgimento do

MEF.

2.2.2- Elementos tridimensionais

Conforme Savassi (1996), à primeira vista poderia ser

afirmado que esse tipo de elemento finito deveria ser o mais

utilizado em qualquer tipo de estrutura, uma vez que todas as

estruturas são tridimensionais. Mas uma grande quantidade de

estruturas pode ter seu comportamento muito bem descrito

apenas com o que acorre ao longo de seu eixo (caso de

estruturas reticulares – utilizando-se elementos finitos

unidimensionais), ou em sua superfície (no caso de placas e

chapas – utilizando-se elementos finitos bidimensionais). Isso

se deve ao fato de que, para formulação matemática e posterior

implementação computacional, a dispensa de elementos

tridimensionais facilita a tarefa.

Mas quando se trata do estudo do comportamento de

estruturas em que nenhuma das dimensões seja pequena em

relação às demais, ou nas quais não sejam respeitadas as

teorias simplificadas, deve-se utilizar o tratamento

tridimensional.

CAPÍTULO 3 - ALVENARIA ESTRUTURAL

3.1- Definição

Alvenaria estrutural é o sistema construtivo cujos

elementos que desempenham a função estrutural são os mesmos

que fazem a vedação, ou seja, a alvenaria. Assim, esse sistema

transforma duas etapas da construção (estrutura e fechamento)

em apenas uma, reduzindo o tempo de execução da obra.

Sua maior vantagem é a integração dos conceitos de

racionalização, produtividade e qualidade, produzindo

edificações com bom desempenho tecnológico, aliado ainda a

baixos custos.

3.2- Considerações gerais

Em função das exigências estruturais, a alvenaria

estrutural pode ser classificada, de acordo com a NBR-

10837:1989, em:

• Alvenaria estrutural armada: quando toda parede é armada,

respeitando-se as taxas mínimas de armaduras, as quais

servem para resistir às tensões de tração e,

parcialmente, de compressão. As armaduras são dispostas

nas aberturas dos blocos e, posteriormente, preenchidas

com graute (micro-concreto);

• Alvenaria estrutural não armada: quando não se utiliza

armadura com função estrutural, apenas construtiva, para

prevenir e corrigir problemas patológicos como fissuras,

concentração de tensões em pontos localizados, dentre

outros;

• Alvenaria estrutural parcialmente armada: quando alguns

elementos resistentes são projetados como armados e

outros como não armados;

• Alvenaria estrutural protendida: quando é inserida

armadura ativa (segundo Parsekian e Franco (2000?), são

formadas por barras de aço com rosca em uma das pontas e

um fixador na outra extremidade, sendo a protensão

aplicada por meio de um torquímetro) aumentando as

tensões de compressão nas paredes, e também a resistência

dos elementos à tração.

Já em relação aos elementos componentes da estrutura,

conforme ilustram as Figuras de 3.1 a 3.3, a alvenaria

estrutural divide-se em:

• Parede resistente: dimensionada “criteriosamente” para

resistir, além do seu peso próprio, às cargas verticais,

funcionando também como elemento de vedação;

• Parede de fechamento: tem a função de resistir apenas ao

seu próprio peso, fazendo papel de vedação e de divisão

de ambientes;

• Parede de contraventamento: projetada para resistir, além

das ações verticais, às ações horizontais que possam

estar atuando na estrutura. São elas que garantem a

estabilidade lateral da obra, transmitindo para a

fundação as forças provocadas pela ação dos ventos ao

longo da estrutura. As paredes que formarem ângulos de

90º com o vetor de ação do vento só poderão ser

consideradas de contraventamento se estiverem unidas a

outra(s) parede(s), formando seções compostas: T, L, I,

U, etc.;

• Parede enrijecedora: tem como função básica enrijecer as

paredes resistentes contra flambagem. Podem trabalhar,

também, como elementos resistentes ou de

contraventamento;

• Colunas ou pilares: usadas para resistirem às ações

verticais (de compressão), desde que sua largura não

ultrapasse cinco vezes sua espessura.

Figura 3.1- Exemplo de paredes de contraventamento e resistente

Figura 3.2- Parede enrijecida por colunas de alvenaria

Figura 3.3- Parede e coluna em alvenaria

3.3- Vantagens do sistema

Baseado nos trabalhos de Camacho (2001), Parsekian e

Furlan Junior (2003) e Ramalho e Corrêa (2003), as principais

vantagens desse sistema construtivo são:

• Economia: redução de 20 a 30% do custo da obra, devido à

menor diversidade de materiais e mão-de-obra empregados

durante a execução;

• Rapidez: por ser de simples execução e por transformar

duas etapas construtivas em apenas uma, o tempo total da

obra é menor;

• Racionalização: como todos os projetos estão

interligados, durante as instalações complementares todos

os pontos de passagem já estão devidamente instalados,

evitando-se improvisos e cortes nas paredes, apresentando

também um canteiro de obras bem limpo;

• Flexibilidade no ritmo de execução da obra: se as lajes

forem pré-moldadas, o ritmo da obra estará desvinculado

do tempo de cura, que deve ser respeitado no caso de

peças em concreto armado.

3.4- Desvantagens do sistema

Baseado nos trabalhos de Camacho (2001), Parsekian e

Furlan Junior (2003) e Ramalho e Corrêa (2003), observou-se

alguns cuidados necessários durante a execução de qualquer

obra em alvenaria estrutural e, dentre eles, podem ser

citados:

• Mão-de-obra: precisa-se de um bom treinamento, tendo em

vista que a fase de assentamento dos blocos é uma das

mais importantes da obra, pois serão eles que resistirão

às ações da estrutura, além de desempenharem também as

funções de vedação;

• Acompanhamento técnico: maior rigor na fiscalização (já

que a fase de levantamento das paredes deve ser mais

cuidadosa);

• Interação dos projetistas: os projetos devem ser

executados concomitantemente, uma vez que qualquer

alteração em algum deles, seja ele arquitetônico,

estrutural, elétrico ou hidráulico, pode influenciar

diretamente no outro.

Entretanto, tais cuidados só podem ser considerados como

desvantagem se olhados com descaso, porque quanto mais

qualificada for a mão-de-obra, mais rigorosa for a

fiscalização e melhor a comunicação entre os projetistas,

maior será a economia e a confiabilidade da obra, seja ela em

alvenaria estrutural ou em qualquer outro tipo de sistema

construtivo.

O grande ponto realmente negativo da alvenaria é que ela

não permite projeto arquitetônico muito arrojado, e dificulta

adaptação do projeto depois de pronto, uma vez que a parede

faz parte da estrutura.

3.5- Técnica de projeto (coordenação modular)

Como a unidade básica, neste caso enfatizando o bloco

vazado de concreto, possui dimensões conhecidas e pouco

variáveis, permitindo estabilidade dimensional, segundo

Racanicchi (2001), é de suma importância que seja aplicada a

técnica de coordenação modular que consiste no uso de uma base

de volume ou comprimento como referência dimensional, em que

se pode determinar várias relações proporcionais a ela. No

caso da alvenaria estrutural, serão definidas, em função do

tamanho do bloco, as dimensões em planta e do pé-direito da

edificação, com a finalidade de reduzir ao máximo os cortes ou

os ajustes na hora da execução da parede. A modulação é de

fundamental importância para que a obra se torne econômica e

racional.

As principais vantagens da modulação são: estabilidade e

precisão dimensional, racionalização de projeto e execução,

incentivo à interação dos projetistas, padronização e

contribuição para melhoria do desempenho e qualidade da obra.

Para se chegar à modulação adequada, é importante

considerar a medida dos blocos para a concepção dos espaços.

As dimensões do projeto arquitetônico devem seguir o estudo

prévio de concepção espacial e, posteriormente, considerar os

aspectos estruturais, definindo onde serão posicionadas as

paredes estruturais e as de vedação (em função de apoios para

laje, existência de pilotis, etc.), para assim chegar à

modulação definitiva.

3.5.1- Modulação horizontal

Segundo Ramalho e Corrêa (2003), quando se adota um

módulo, aqui chamado de M, esse módulo refere-se ao

comprimento real do meio bloco mais a espessura de uma junta

de argamassa, chamada de J.

Assim, o comprimento real de um bloco inteiro será 2M-J e

o comprimento real de meio bloco será M-J, conforme ilustra a

Figura 3.4. Sabendo-se que as juntas mais comuns possuem 1cm

de espessura, tem-se que os comprimentos reais dos blocos

serão seus comprimentos nominais (ou modulares) diminuídos de

1cm. Por exemplo: para um bloco de comprimento nominal de

30cm, seu comprimento real será de 29cm.

Figura 3.4- Dimensões reais e dimensões nominais dos blocos (Fonte: RAMALHO

e CORRÊA (2003))

Então, as dimensões reais de uma edificação entre faces

dos blocos, ou seja, sem considerar o revestimento, serão

sempre determinadas pelo número de módulos e juntas que se

fizerem presentes no intervalo. Dependendo do caso, pode-se

ter (n x M), (n x M - J) ou (n x M + J), conforme mostra a

Figura 3.5.

Figura 3.5- Dimensões reais entre faces de blocos (Fonte: RAMALHO e CORRÊA

(2003))

3.5.2- Modulação vertical

Ainda segundo Ramalho e Corrêa (2003), a modulação

vertical não influencia significativamente no arranjo

arquitetônico. Assim, existem duas formas básicas para se

fazer a modulação vertical; uma delas, conforme ilustra a

Figura 3.6, consiste na aplicação da dimensão modular de piso

a teto, sendo que a última fiada pode terminar em blocos no

formato de “J” ou em blocos canaletas simples, lembrando que,

nesta segunda opção, seria necessária a utilização de fôrmas

auxiliares para concretagem das lajes.

A segunda forma de modulação vertical seria aplicar a

dimensão modular de piso a piso. Dessa maneira as paredes

externas terminariam com bloco “J” (tendo uma de suas laterais

com altura menor que a convencional para acomodar a espessura

da laje) e as paredes internas terminariam com um bloco

compensador para permitir o ajuste da distância entre o piso e

o teto, que não estará modulado. A Figura 3.7 ilustra esta

modulação.

Figura 3.6– Modulação de piso a teto – com e sem bloco “J” (Fonte: RAMALHO

e CORRÊA (2003))

Figura 3.7– Modulação de piso a piso (Fonte: RAMALHO e CORRÊA (2003))

3.5.3- Alguns detalhes sobre modulação

A Figura 3.8 mostra a execução da primeira fiada de um

edifício em alvenaria estrutural e a Figura 3.9 mostra os

detalhes da primeira e da segunda fiada, bem como a elevação

das paredes. Assim, pode-se entender na prática como funciona

a modulação dos blocos.

Figura 3.8- Modulação das paredes (fonte: www.nepae.feis.unesp.br)

Figura 3.9– Detalhe da primeira e segunda fiadas e elevação da parede

(Fonte: RAMALHO e CORRÊA (2003))

A Tabela 3.1 apresenta as dimensões e os materiais dos

blocos mais utilizados no Brasil. O comprimento e a espessura

do bloco definem seu módulo horizontal (em planta), e sua

altura, o módulo vertical (elevação).

Tabela 3.1- Blocos e modulações mais comuns (fonte: PARSEKIAN e FURLAN

JUNIOR (2003))

Dimensão modular Dimensão nominal Material

15 x 30 14 x 29 Cerâmica e concreto

12,5 x 25 11,5 x 24 Cerâmica/sílico-calcário

20 x 40 19 x 39 Concreto

15 x 40 14 x 39 Concreto

3.5.4- Tipo dos blocos

As formas mais comuns de blocos estruturais encontradas

no mercado são as mostradas na Figura 3.10.

Figura 3.10- Formas usuais de blocos (fonte: RACANICCHI (2001))

3.6- Ensaios de caracterização da alvenaria estrutural

Conforme Camacho (2001), os ensaios são utilizados para

determinar a resistência unitária dos blocos e das argamassas,

podendo assim estimar a resistência final da parede. Para

escolha do tipo de ensaio, dentre os três normalizados, deve-

se levar em consideração qual a finalidade da sua realização,

a precisão exigida, os equipamentos disponíveis, o tempo para

execução e o custo/benefício.

Os tipos de ensaios padronizados são os seguintes:

• ensaio em materiais e unidades (blocos ou tijolos);

• ensaio em prismas;

• ensaio em painéis ou paredes em escala real.

A seguir, baseado no trabalho de Camacho (2001), serão

descritos os tipos de ensaios.

3.6.1- Ensaios em materiais e unidades

São os ensaios realizados nos blocos para a obtenção da

resistência característica do bloco (f

) e da argamassa (f

proporcionando um resultado aceitável, comparado com a

resistência final da alvenaria, acrescidos da vantagem de

serem de fácil execução e de utilizarem equipamentos mais

simples, levando assim a maior rapidez na obtenção de

resultados com baixo custo.

Em contrapartida, esse tipo de ensaio é o que conduz a

uma menor resistência da alvenaria, pois os blocos analisados

isoladamente apresentam grande índice de variação de

resistência, quando comparados com a alvenaria pronta. Por

isso, em seus resultados, devem ser utilizados coeficientes de

segurança maiores.

3.6.2- Ensaios em prismas

Os prismas de alvenaria são corpos-de-prova usados para

prever as propriedades básicas dos elementos a serem

empregados efetivamente na obra, como resistência à

compressão, ao cisalhamento, à tração, etc., sendo que as

dimensões do prisma variam em função da norma utilizada para o

ensaio.

O valor básico especificado pelas normas para a

resistência do prisma é um valor médio obtido por meio de uma

série de ensaios. Portanto, ao contrário dos blocos, quando se

trata de resistência do prisma (f

), não se fala em resistência

característica e, sim, em resistência média.

Nesse ensaio, pode-se estudar também o comportamento do

graute, uma vez que o ensaio pode ser realizado com prisma

cheio ou vazio. Ele também fornece resultado mais preciso do

que o ensaio com bloco isolado, fornecendo um valor maior para

a resistência final da alvenaria (f’

), quando comparado com

aquele.

A norma brasileira, NBR-10837:1989, recomenda que devam

ser rompidos 12 prismas, aos 28 dias, segundo as recomendações

da NBR-8215:1983, para assim prever a resistência média da

parede. Essa norma prevê dois métodos de ensaios, denominados

Método A e Método B, para laboratório e obras,

respectivamente, sendo que para controle da obra, o Método B

prevê a utilização dos mesmos blocos, argamassa, condições e

mão-de-obra que serão efetivamente utilizadas na obra.

A Figura 3.11 mostra como é feito o ensaio nos prismas.

Figura 3.11- Ensaio dos prismas (fonte: CAMACHO e RODRIGUES (1999))

3.6.3- Ensaios em painéis ou paredes em escala real

O ensaio em grandes painéis de alvenaria, em escala real,

tem um custo mais elevado. Assim, não é muito utilizado na

determinação da resistência para fins de projeto, a não ser em

casos especiais.

Por se tratar de um ensaio bastante caro, limita-se a

utilização em centros de pesquisa, para a verificação de

métodos analíticos e para a obtenção de uma relação entre as

unidades (blocos) e os prismas.

Esse tipo de ensaio é padronizado pela norma inglesa BS-

5628 e pela NBR-8949:1985, conforme ilustra a Figura 3.12.

Figura 3.12– Esquema utilizado para execução de ensaios em painéis (fonte:

NBR-8949:1985)

CAPÍTULO 4 - DADOS EXPERIMENTAIS

Neste capítulo serão descritos todos os procedimentos

adotados por Logullo (2006), para realização dos ensaios de

caracterização dos componentes da alvenaria estrutural,

contemplando os ensaios de unidades e prismas.

Também serão apresentados os resultados de resistência à

compressão, deformações e tensão de ruptura de prismas, para

posterior comparação desses dados com os obtidos pela análise

numérica.

4.1- Ensaio das unidades (blocos)

Segundo Franco (1987) citado por Maurício (2005), os

blocos representam a maior parte do volume total da alvenaria,

na ordem de 80% a 95%, sendo esse o elemento determinante de

suas características. Portanto, é de grande importância o

conhecimento de suas características físicas, para que se

possa entender o comportamento da alvenaria estrutural como um

todo.

Após a aquisição, a classificação e a pesagem, as etapas

para caracterização das unidades são:

• capeamento;

• ensaio à compressão axial.

4.1.1- Capeamento dos blocos

Segundo Logullo (2006), o capeamento dos blocos é

necessário para garantir o paralelismo entre as faces. A NBR-

7184:1992 indica que o capeamento deve ser feito com

argamassas à base de gesso, enxofre, cimento, pozolana ou

outro material, não podendo exceder a espessura média de 3mm.

Para a realização dos ensaios, Logullo adotou gesso como

material para executar o capeamento e, para a regularização

dos blocos capeados, utilizou um capeador metálico, visando

garantir horizontalidade e verticalidade para camada de

regularização, proporcionando assim faces paralelas. A Figura

4.1 ilustra a execução do capeamento dos blocos. O

procedimento básico de execução é primeiramente untar com óleo

o capeador, para facilitar o desprendimento após o capeamento,

e molhar as faces do bloco, para não absorverem água da

argamassa de gesso, o que aceleraria o processo de secagem do

gesso, atrapalhando o capeamento.

Figura 4.1– Detalhe do capeador metálico e capeamento dos blocos (fonte:

LOGULLO (2006))

4.1.2- Ensaio de resistência à compressão

Para determinação da resistência à compressão, segundo

Logullo (2006), foram utilizados os procedimentos descritos

pela NBR-7184:1992. Foram fixados relógios comparadores nos

blocos, por meio de gabaritos colados nestes. Esses gabaritos

são formados por cantoneiras metálicas coladas a uma distância

de 9cm, sendo localizadas em faces diagonalmente opostas e

entre o septo lateral e o septo central dos blocos. Para tal

posicionamento, foram utilizados gabaritos para colagem dessas

cantoneiras, como mostrado na Figura 4.2.

Figura 4.2– Colocação dos relógios comparadores (fonte: LOGULLO (2006))

Em alguns ensaios, Logullo utilizou extensômetros

elétricos à meia altura e no centro dos blocos, sendo que

nesses blocos também foram instalados relógios comparadores,

conforme ilustra a Figura 4.3.

Figura 4.3– Posicionamento dos extensômetros elétricos (fonte: ANDOLFATO

(2002))

Para a realização dos ensaios, conforme Logullo (2006),

foi instalada uma célula de carga de 1000 kN, posicionada

entre a prensa universal e o perfil metálico. Todos os ensaios

foram realizados com auxílio de um sistema de aquisição de

dados (DASY LAB 6.0), em que todos os equipamentos foram

ligados para aquisição instantânea da leitura dos relógios

comparadores, extensômetros e célula de carga. A Figura 4.4

ilustra esse sistema.

Figura 4.4 – Posicionamento da célula de carga e sistema de aquisição de

dado (fonte: LOGULLO (2006))

Após a realização dos ensaios, a forma de ruptura dos

blocos é mostrada na Figura 4.5.

Figura 4.5– Modo de ruptura dos blocos (fonte: LOGULLO (2006))

4.2- Ensaio dos prismas vazios

Conforme Maurício (2005), esse tipo de ensaio é adotado

por alguns códigos e normas, incluindo a norma brasileira,

como base para o cálculo da resistência da alvenaria

estrutural à compressão.

A NBR-8215:1983, no seu item 3.1, define prisma oco (ou

prisma vazio) como “conjunto composto pela justaposição de

dois blocos de concreto unidos por junta de argamassa,

destinado ao ensaio de compressão axial”, porém, no trabalho

de Logullo (2006), foi adotada a confecção de prismas formados

por três blocos. Essa decisão foi tomada porque, conforme o

autor, em recentes estudos, pesquisadores têm demonstrado

melhores resultados nos elementos desse tipo e, também, pelas

especificações da norma americana ASTM C 1314 – 03b (2004),

citada por Logullo (2006), recomendando que a razão

altura/espessura deve estar entre 1,3 e 5,0, sendo que nos

prismas com três blocos, essa razão é de 4,21.

Essa relação é importante para minimizar os efeitos do

prato da prensa, possibilitando apresentar valores mais

precisos de resistência da alvenaria à compressão.

4.2.1- Execução dos prismas vazios

Segundo Logullo (2006), os prismas foram executados

conforme a norma recomenda, apenas com a alteração da altura,

e assentados à temperatura ambiente.

A argamassa deve ser colocada em toda superfície superior

do bloco, em quantidade suficiente, de modo a resultar em

superfícies convexas e sem falhas. Essas juntas não devem

ultrapassar a espessura de 10 ± 3mm. As faces dos blocos foram

molhadas antes do assentamento. Após a montagem dos prismas,

eles foram cobertos com sacos plásticos, em que foram

colocadas estopas molhadas para garantir ambiente úmido para

sua cura. Aos 14 dias foram retirados, e ensaiados aos 28

dias.

Foi utilizado capeamento de gesso, assim como, no ensaio

das unidades, foram utilizados gabaritos laterais e nível de

bolha, para garantir verticalidade e paralelismo entre as

faces, respectivamente. A Figura 4.6 ilustra a montagem dos

prismas.

Figura 4.6– Etapas de confecção dos prismas (fonte: MAURICIO (2005) e

LOGULLO (2006))

Para assentamento, Logullo utilizou uma argamassa

preparada no laboratório, com traço 1:0,5:4,5 (cimento, cal e

areia) e relação água/cimento 1,27. Esse traço foi escolhido

porque é utilizado comumente em obras de alvenaria, além de

possuir boa resistência à compressão, garantindo assim que a

argamassa não influencie nos resultados dos prismas. Os

resultados obtidos nos ensaios da argamassa serão mostrados a

seguir.

4.2.2- Instrumentação dos prismas

Para execução dos ensaios, os prismas foram

instrumentados com medidores de deslocamentos (LVTD), para

determinar o encurtamento da alvenaria, conforme os acréscimos

de carga.

Foram utilizados também extensômetros elétricos

instalados no segundo bloco, entre os septos e em faces

diagonalmente opostas. Também foi utilizada uma célula de

carga, com capacidade de 1000 kN, instalada entre a prensa e a

viga metálica, do mesmo modo feito nos ensaios dos blocos. E

para aquisição dos dados, novamente foi utilizado o sistema

DASY LAB 6.0, que recebia automaticamente os dados dos LVTD´s,

dos extensômetros e da célula de carga. As figuras seguintes

mostram os procedimentos desses ensaios.

Figura 4.7– Posicionamento dos LVTD´s (fonte: LOGULLO (2006))

Figura 4.8– Posicionamento dos extensômetros (fonte: LOGULLO (2006))

Figura 4.9– Esquema do ensaio (fonte: LOGULLO (2006))

Após a realização dos ensaios, a forma de ruptura dos

prismas é mostrada na Figura 4.10.

Figura 4.10– Modo de ruptura dos prismas vazios (fonte: LOGULLO (2006))

4.3- Resultados experimentais

Serão apresentados, agora, os resultados obtidos por

Logullo (2006), sendo tais dados utilizados para se fazer a

análise comparativa com os resultados numéricos a serem

apresentados futuramente.

4.3.1- Resultados obtidos por LOGULLO (2006)

a) Unidades (blocos)

Em seu trabalho, Logullo (2006) dispunha de dois tipos de

blocos diferentes, designados B1 e B2.

Para realização dos ensaios de caracterização das

propriedades mecânicas, foram ensaiadas sete amostras do bloco

tipo B1 e nove amostras do bloco tipo B2.

Os resultados de resistência média dos blocos tipo B1, na

tensão de ruptura, estão organizados na Tabela 4.1, e os

valores individuais estão apresentados na Tabela 4.2.

E conforme análise de seus resultados, o valor do módulo

da deformação na ruptura dos blocos tipo B1, feita pela

leitura dos extensômetros, é de 3,3‰.

Tabela 4.1– Média dos resultados dos blocos B1

Carga

(kN)

Resistência

(A. Bruta)

(MPa)

Resistência

(A.Líquida)

(MPa)

Média 357,86 8,64 15,39

Desv. Pad. 26,44 0,64 1,14

Coef. Var. 7,39% 7,39% 7,39%

Tabela 4.2– Resultados individuais dos blocos B1

Carga

(kN)

Resistência

(MPa)

1 335,00 8,09

2 360,00 8,69

3 375,00 9,06

4 365,00 8,81

5 385,00 9,30

6 310,00 7,49

7 375,00 9,06

Média 357,86 8,64

Desv. Pad. 26,44 0,64

Coef. Var. 7,39% 7,39%

Os resultados de resistência média dos blocos tipo B2, na

tensão de ruptura, estão organizados na Tabela 4.3, e os

valores individuais estão apresentados na Tabela 4.4.

E conforme análise de seus resultados, o valor do módulo

da deformação na ruptura dos blocos tipo B2, feita pela

leitura dos extensômetros, é de 1,6‰.

Tabela 4.3– Média dos resultados dos blocos B2

Carga

(kN)

Resistência

(A. Bruta)

(MPa)

Resistência

(A.Líquida)

(MPa)

Média 652,78 15,76 22,09

Desv. Pad. 57,95 1,40 1,96

Coef. Var 8,88% 8,88% 8,88%

Tabela 4.4– Resultados individuais dos blocos B2

Carga

(kN)

Resistência

(MPa)

1 620,00 14,97

2 630,00 15,21

3 615,00 14,85

4 655,00 15,82

5 600,00 14,49

6 590,00 14,25

7 687,50 16,60

8 715,00 17,27

9 762,50 18,41

Média 652,78 15,76

Desv. Pad. 57,95 1,40

Coef. Var 8,88% 8,88%

b) Prismas vazios

Também foram utilizadas duas classes diferentes de blocos

(B1 e B2), dos quais foram confeccionados três prismas com

cada tipo de bloco.

Para os prismas feitos com os blocos B1, suas

características estão relacionadas nas Tabelas 4.5 e 4.6, e o

módulo da deformação, correspondente à tensão de ruptura, foi

de aproximadamente 1,97‰.

Já para prismas feitos com os blocos B2, estão

relacionadas nas Tabelas 4.7 e 4.8, e o módulo da deformação,

correspondente à tensão de ruptura, foi de aproximadamente

1,9‰.

Tabela 4.5– Média dos resultados dos prismas - blocos B1

Carga de

Fissuração

(kN)

Carga de

Ruptura

(kN)

Resistência

(MPa)

(A. Líquida)

Resistência

(MPa) (A.

Bruta)

Média 223,33 233,33 10,04 5,63

Desv. Pad. 5,77 14,43 0,62 0,35

Coef. Var. 2,59% 6,19% 6,19% 6,19%

Tabela 4.6– Resultados individuais dos prismas - blocos B1

Carga de

Fissuração

(kN)

Carga de

Ruptura

(kN)

Resistência

(A.

Líquida)

(MPa)

Resistência

(A. Bruta)

(MPa)

B1-Vazio 220 225,00 9,68 5,43

B1-Vazio 230 250,00 10,75 6,04

B1-Vazio 220 225,00 9,68 5,43

Média 223,33 233,33 10,04 5,63

Desv. Pad. 5,77 14,43 0,62 0,35

Coef. Var. 2,59% 6,19% 6,19% 6,19%

Tabela 4.7– Média dos resultados dos prismas - blocos B2

Carga de

Fissuração

(kN)

Carga de

Ruptura

(kN)

Resistência

(MPa) A.

bruta

Resistência

(MPa) A.

Líquida

Média 296,67 321,67 7,77 10,89

Desv. Pad. 28,87 12,58 0,30 0,43

Coef. Var. 9,73% 3,91% 3,91% 3,91%

Tabela 4.8– Resultados individuais dos prismas - blocos B2

Carga de

Fissuração

(kN)

Carga de

Ruptura

(kN)

Resistência

(A. Bruta)

(MPa)

Resistência

(A. Líquida)

(MPa)

B2-Vazio 280 320,00 7,73 10,83

B2-Vazio 280 310,00 7,49 10,49

B2-Vazio 330 335,00 8,09 11,34

Média 296,67 321,67 7,77 10,89

Desv. Pad. 28,87 12,58 0,30 0,43

Coef. Var. 9,73% 3,91% 3,91% 3,91%

c) Argamassa

Como já foi dito anteriormente, a argamassa utilizada por

Logullo (2006) para assentamento dos prismas foi amassada no

próprio laboratório, com o traço 1 : 0,5 : 4,5 (cimento : cal

: areia), e relação água/cimento igual a 1,27. Durante a

moldagem dos prismas e das paredes, foram moldados corpos-de-

prova cilíndricos 5x10cm (diâmetro x altura) e, aos 28 dias,

foram ensaiados conforme especifica a NBR-7215:1991. A Tabela

4.9 mostra todos os ensaios e seus respectivos resultados.

Tabela 4.9– Resultados das argamassas

Mistura CP Carga (kN)

Resistência

(MPa)

1 14,50 7,24

2 12,40 6,19

3 15,80 7,89

4 13,30 6,64

5 10,80 5,39

6 12,00 5,99

7 14,60 7,29

8 15,00 7,49

Média 13,55 6,77

Desv. Pad. 1,71 0,85

Coef. Var. 12,64% 12,64%

CAPÍTULO 5 – ANÁLISE NUMÉRICA E ASPECTOS

COMPUTACIONAIS

5.1- Análise numérica

Para realizar a análise numérica estática do

comportamento não-linear de prismas de alvenaria estrutural,

primeiramente, foi desenvolvido um gerador de malhas, por meio

de sub-rotinas, que discretizarão o bloco e a argamassa,

deixando os elementos com as configurações ilustradas pelas

figuras de 5.1 a 5.4.

Figura 5.1- Configuração dos blocos e juntas de argamassa vistas em planta

Figura 5.2– Vista do bloco e da junta de argamassa em perspectiva

Figura 5.3– Dimensões isoladas dos elementos de bloco e de argamassa do

prisma

Figura 5.4– Esquema do prisma discretizado

O gerador de malhas fará a discretização dos prismas que

foram ensaiados por Logullo (2006), no NEPAE/FEIS/UNESP –

Núcleo de Estudo e Pesquisa da Alvenaria Estrutural, da

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, da Universidade

Estadual Paulista.

Após a discretização dos prismas, a análise numérica foi

realizada por meio do Método dos Elementos Finitos, utilizando

o elemento prismático regular linear, desenvolvido por

Faglioni (2006), e já implementado no programa FEISdec,

juntamente com o modelo de ruptura do concreto.

Assim, o programa terá condição de verificar o

comportamento do prisma, tendo como resposta as forças

atuantes e os deslocamentos em cada nó dos elementos, bem como

a determinação do ponto de ruptura dos blocos, utilizando os

critérios descritos no Capítulo 7 deste trabalho.

5.2- Aspectos computacionais

Agora, será abordada de forma sucinta a documentação

básica para implementação dos códigos de cálculo utilizados

pelo programa, em que será dada maior atenção às rotinas

relativas à discretização da alvenaria e à análise do seu

comportamento.

As rotinas de entrada e de saída de dados não serão

descritas aqui.

5.2.1- Rotinas para discretização da alvenaria

a) Sub-rotina GERA PRISMA

Foi desenvolvida com o objetivo de gerar as coordenadas

nodais para simulação numérica dos ensaios de prismas, levando

em consideração o tamanho dos elementos, conforme ilustrado

nas Figuras de 5.1 a 5.4, para possibilitar a modulação

tridimensional dos prismas, e, também, para permitir que se

utilizem os módulos de elasticidade do concreto e da

argamassa.

b) Sub-rotina GERA ELEMENTO

Essa sub-rotina organiza as coordenadas nodais de cada

elemento, seguindo a ordenação imposta pelo desenvolvimento

matemático do elemento prismático de oito nós, associando, a

cada elemento, oito coordenadas nodais.

5.2.2- Fluxograma geral de cálculo

O fluxograma referente ao esquema geral de cálculo é

ilustrado na Figura 5.5, sendo que cada bloco contém o nome de

uma sub-rotina específica, cuja função é descrita nos itens

subseqüentes. O procedimento incremental aqui adotado consiste

na subdivisão do carregamento em um número conhecido de

incrementos, aplicados de forma acumulativa. À medida que a

força vai sendo incrementada, efetua-se o cálculo dos

deslocamentos, com conseqüente cálculo das deformações e das

tensões em cada elemento, para posterior aplicação do critério

de ruptura e correção do módulo de elasticidade instantâneo do

material. Caso seja verificada a ruptura do elemento, é feita

uma redução total do módulo de elasticidade, de forma

individual, para posterior armazenamento dos deslocamentos

nodais.

Figura 5.5- Fluxograma geral de cálculo

a) Sub-rotina INICIA VARIÁVEIS CÁLCULO

Essa sub-rotina tem a função de atribuir valores iniciais

às variáveis utilizadas no cálculo.

b) Sub-rotina MONTAGEM DO VETOR IPOS

A técnica de armazenamento da matriz de rigidez utilizada

no programa FEISdec é denominada de altura efetiva de coluna

ou skyline. Essa técnica corresponde ao armazenamento, dentro

de um vetor de trabalho principal, das colunas da parte

triangular superior da matriz e dos elementos da diagonal

principal, a partir do primeiro elemento não nulo de cada

coluna. Esse armazenamento é realizado em forma seqüencial por

coluna, de cima para baixo.

Para esse tipo de armazenamento, é necessária ainda a

construção de um vetor auxiliar que indique, dentro do vetor

de trabalho principal, as posições dos elementos da diagonal

principal da matriz de rigidez, sendo tal vetor auxiliar

denominado de vetor (IPOS).

c) Sub-rotina INCREMENTAR FORÇA

Essa sub-rotina tem a função de atualizar o valor das

forças externas (F

) para cada incremento de carregamento.

d) Sub-rotina FORÇAS RESTAURADORAS

Calcula o valor das forças restauradoras por meio do

produto matricial (K.D), após montagem da matriz de rigidez

secante da estrutura. Cabe ressaltar que, por se tratar de

análise linear geométrica, a matriz secante é igual à matriz

de rigidez tangente.

e) Sub-rotina CÁLCULO DO RESÍDUO

Calcula o valor do resíduo das forças estáticas não

equilibradas. Caso o resíduo seja maior que a tolerância

imposta pelo usuário, dá-se continuidade ao processo de

cálculo, caso contrário, incrementa-se novamente a força

aplicada.

f) Sub-rotina MATRIZ GLOBAL DA ESTRUTURA

Monta a matriz global da estrutura, a partir da matriz

tangente de cada elemento, conforme será visto no Capítulo 6,

utilizando-se a técnica de expansão e acumulação.

g) RESOLUÇÃO DO SISTEMA

A resolução do sistema é feita utilizando-se o Método de

Cholesky, que decompõe o sistema em duas matrizes

triangulares, uma superior e outra inferior, possibilitando a

substituição e a retro-substituição do sistema para obtenção

dos acréscimos dos deslocamentos requeridos para cada

incremento de carregamento.

h) Sub-rotina CORRETOR DESLOCAMENTOS

Realiza a correção dos deslocamentos (D), por meio da soma

acumulativa de todos os deslocamentos obtidos para cada

incremento de carregamento.

i) Sub-rotina STRAIN-STRESS ELEMENTO

Calcula os valores das deformações e das tensões de cada

elemento.

j) Sub-rotina CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB

Depois de calculadas as tensões de cada elemento de

concreto, são calculadas as tensões principais, para aplicação

do Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb, conforme será descrito

no Capítulo 7 deste trabalho. Caso seja verificada a ruptura

do elemento, é feita uma redução total do módulo de

elasticidade, de forma individual, para posterior

armazenamento dos deslocamentos nodais. Caso isso não ocorra,

efetua-se uma redução parcial do módulo de elasticidade, em

função da deformação principal de compressão de cada elemento.

k) Sub-rotina ARMAZENA RESULTADOS FINAIS

Essa sub-rotina tem a função de armazenar os resultados

obtidos ao final da aplicação de cada incremento de

carregamento.

CAPÍTULO 6 - ELEMENTO FINITO PRISMÁTICO REGULAR

LINEAR

6.1- Tipos de elementos existentes

Segundo Rodrigues (1999), a definição do tipo apropriado

de elemento finito é dada em função do sistema estrutural que

se deseja analisar. Para isso, os elementos finitos são

classificados em: elementos lineares, elementos laminares e

elementos sólidos.

elementos lineares: também conhecidos como elementos de

barras, são elementos em que uma dimensão é muito maior do

que as outras duas. Esses são subdivididos em elementos de

pórticos planos e espaciais, de treliças planas e

espaciais, de vigas e de grelhas;

elementos laminares: são elementos em que uma dimensão é

muito menor do que as outras duas, e são subdivididos em

elementos de placa, de chapa e de casca;

elementos sólidos: são elementos em que as três dimensões

têm a mesma ordem de grandeza, e permitem obter uma

distribuição qualquer de tensões na estrutura.

Conforme Rodrigues (1999), para que esses elementos

possam se relacionar uns com os outros, é necessário que sejam

interconectados por meio de pontos inseridos no contorno,

chamados de pontos nodais, ou simplesmente nós. Assim, o

comportamento estrutural de cada elemento pode ser dado em

função apenas das variáveis nodais, tais como: coordenadas,

deslocamentos e carregamentos, permitindo a montagem do

sistema de equações governantes do sistema estrutural em

estudo.

Para a formulação do Método dos Elementos Finitos,

segundo Faglioni (2006), torna-se necessário, primeiramente, a

formulação da equação de equilíbrio do sistema estrutural.

Para tanto, pode-se utilizar o Princípio da Energia Potencial

Estacionária.

6.2- Formulação variacional

De acordo com Faglioni (2006), um sistema estrutural é

dito ser conservativo quando “o trabalho dos esforços internos

e dos esforços externos independem do caminho percorrido pela

estrutura”, quando da passagem de sua configuração de

equilíbrio inicial para outra qualquer.

Para sistemas estruturais conservativos, em que a sua

configuração final satisfaça a compatibilidade interna e as

condições essenciais de contorno do sistema, a energia

potencial total (

) pode ser expressa como:

UΠ= +Ω

(6.1)

em que (U) é a energia de deformação, também chamada de

energia potencial interna, e (

Ω

), a energia potencial dos

esforços externos atuantes.

Para um sistema estrutural discretizado em um número

finito de elementos, a energia potencial total do sistema é a

soma da energia potencial de cada elemento, sendo:

ppe

e =

Π= Π

∑

(6.2)

sendo (

) o número de elementos finitos que compõem o sistema

estrutural.

A energia potencial de cada elemento (

) é dada por:

pe e e

UΠ= +Ω

(6.3)

em que (

) é a energia de deformação acumulada pelo elemento

e (

Ω

) é a energia potencial dos esforços externos na

configuração deformada do elemento.

Admitindo-se que o carregamento do sistema seja aplicado

nos nós estruturais, a energia potencial dos esforços externos

de cada elemento é dada por:

fdΩ=−

(6.4)

em que ( E

) é o vetor das forças nodais equivalentes do

elemento e (

) é o vetor das componentes dos deslocamentos

genéricos, para cada nó do elemento.

A energia de deformação de cada elemento é definida por:

∫

(6.5)

sendo (

) a energia de deformação específica, dada pela

equação (6.6), e, na forma matricial, pela equação (6.7).

{}

x x y y z z xy xy xz xz yz yz

εσ εσ εσ γ τ γ τ γ τ

=+++++

(6.6)

εσ

(6.7)

6.3- Princípio da Energia Potencial Estacionária

Ainda segundo Faglioni (2006), para o equilíbrio de um

sistema estrutural, a função da energia potencial total (

)

deve ser estacionária, ou seja, a sua variação deve ser zero,

como mostra a equação (6.8).

Π=

(6.8)

Em termos de funções ordinárias, existe uma condição em

que a derivada de uma função em relação a uma variável

independente é nula, e a função em si tem um máximo, um mínimo

ou um valor constante. Se a condição de estacionaridade

fornece um valor mínimo, então, de acordo com o Teorema de

Lagrange, o estado de equilíbrio é estável.

Aplicando-se tal conceito para o funcional de cada

elemento, e admitindo-se que a energia de deformação seja

obtida em termos de deslocamentos nodais, com o auxílio de

funções interpoladoras conhecidas, então o funcional (

)

passa a ser uma função, tendo como variáveis independentes os

deslocamentos

, e a sua variação torna-se igual ao seu

diferencial, ou seja, (

pe pe

=Π

). Desse modo, como o

funcional está escrito em função das variáveis independentes,

tem-se:

.......

pe pe pe

pe n

dd d

δδ δ

∂Π ∂Π ∂Π

Π= + + +

∂∂ ∂

(6.9)

mas como

1122

d ; d ;....; d e d

n n pe pe

dddd dd

δδδ

==Π=Π

, obtém-

se a relação dada pela equação (6.10).

d d d ....... d

pe pe pe

pe n

dd d

∂Π ∂Π ∂Π

Π= + + +

∂∂ ∂

(6.10)

Como os deslocamentos são simultaneamente não nulos,

pode-se aplicar o Princípio da Energia Potencial Estacionária,

resultando na equação (6.11).

0 para 1,2,3,...,

∂Π

∂

(6.11)

6.4- Formulação do Método dos Elementos Finitos

O primeiro passo na aplicação do MEF, segundo Faglioni

(2006), é dividir a estrutura em um número adequado de

elementos com tamanho apropriado. Os deslocamentos dos pontos

nodais dos elementos são, então, generalizados em função das

coordenadas da estrutura. Desse modo, os deslocamentos (

) do

elemento finito podem ser expressos em função dos

deslocamentos nodais (

), por meio da utilização de funções de

forma apropriadas. Essa relação é definida pela equação

(6.12):

(6.12)

sendo (

) é a matriz que contém as funções de forma e

relaciona os deslocamentos que ocorrem ao longo do eixo

longitudinal com os deslocamentos nodais do elemento.

A energia de deformação de um elemento, de acordo com a

definição da energia de deformação específica dada pela

equação (6.7), pode ser escrita como mostra a equação (6.13).

εσ

∫

(6.13)

As relações constitutivas, que são as equações que

interligam as tensões com as deformações, são formuladas com

base na observação do comportamento na experimentação dos

materiais submetidos às ações externas. Admitindo-se que o

material possua um comportamento elástico-linear, as relações

constitutivas demonstradas por Rodrigues (1999) e Faglioni

(2006), organizadas nas equações de (6.14) a (6.19),

originárias da Lei de Hooke generalizada, podem ser

reorganizadas na forma matricial e definidas pela equação

(6.20), em que (E) e (

υ) são o Módulo de Elasticidade e o

Coeficiente de Poisson, respectivamente.

()

xxyz

εσυσσ

⎡⎤

=−+

⎣⎦

(6.14)

()

yyxz

εσυσσ

⎡⎤

=−+

⎣⎦

(6.15)

()

zzxy

εσυσσ

⎡⎤

=−+

⎣⎦

(6.16)

()

xy xy

(6.17)

()

xz xz

(6.18)

()

yz yz

(6.19)

(6.20)

sendo (

) a matriz que contém os coeficientes elásticos do

material estrutural, representada pela equação (6.21).

()( )

()

1- 0 0 0

1-2

0 0 0 0 0

112

1-2

0 0 0 0 0

υυ

υυυ

υυ υ

υυ

+−

()

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

(6.21)

Reorganizando-se as equações (6.4), (6.13) e (6.20) na

equação (6.3), a energia de deformação total do elemento pode

ser reescrita de acordo com a equação (6.22).

pe e E

EV fd

εε

Π= −

∫

%% %

(6.22)

As relações diferenciais entre deformações e

deslocamentos, dadas pelas equações (6.23) a (6.28),

∂

(6.23)

∂

(6.24)

∂

(6.25)

∂∂

(6.26)

∂∂

(6.27)

∂∂

(6.28)

que organizadas na forma matricial, ficam definidas pela

equação (6.29),

(6.29)

na qual a matriz (

) contém os operadores de derivação, dada

pela equação (6.30).

∂

⎡⎤

⎢⎥

∂

⎢⎥

∂

⎢⎥

∂

⎢⎥

∂

⎢⎥

∂

⎢⎥

∂∂

⎢⎥

∂∂

⎢⎥

∂∂

⎢⎥

∂∂

⎢⎥

∂∂

⎢⎥

∂∂

⎢⎥

⎣⎦

(6.30)

Substituindo-se a equação (6.12) em (6.30), obtém-se:

(6.31)

(6.32)

em que

(6.33)

Substituindo-se agora a equação (6.32) na equação (6.22),

e sabendo-se que (

TTT

), obtém-se:

()d

TT T

pe e E

dBEBd V f dΠ= −

∫

%%% %

%% %

(6.34)

ou, simplesmente,

()

pe e E

Ud fdΠ= −

(6.35)

Aplicando-se, finalmente a equação (6.11) na equação

(6.35), encontra-se:

(

)

∂

−=

(6.36)

Cada uma das expressões do tipo (6.36) fornecerá uma

equação algébrica, que organizada na forma matricial

resultará:

kd f=

(6.37)

em que (

) é a matriz de rigidez secante do elemento.

Para todo o sistema estrutural, a partir das

contribuições de todos os elementos, pode-se utilizar o

processo de expansão e acumulação, encontrando-se o sistema de

equações fornecido pela relação (6.38).

KD F=

%% %

(6.38)

Com a obtenção dos deslocamentos nodais do sistema

estrutural, as funções deslocamento ficam determinadas,

podendo-se, então, calcular o valor da deformação do elemento

utilizando-se a equação (6.32) ou (6.33) e, com isso, calcular

o valor da tensão do elemento, utilizando-se a equação (6.20),

finalizando o processo de cálculo.

6.5- Vetor de forças nodais equivalentes

De acordo com Rodrigues (1999), como todos os parâmetros

referentes às características da estrutura estão sempre em

função dos pontos nodais, todos os esforços têm que ser

transformados em esforços equivalentes, para que eles sejam

aplicados apenas nos nós do elemento. Dessa forma, os esforços

volumétricos, superficiais e concentrados são formados pelo

vetor de forças nodais equivalentes, conforme indicam às

expressões (6.39) a (6.41) mostradas na seqüência.

Para esforços distribuídos no volume do elemento.

EpeV

fVp

φφ

∫

(6.39)

Para esforços distribuídos na superfície do elemento.

EpeS

fSp

φφ

∫

(6.40)

Para esforços concentrados em qualquer ponto da estrutura.

(6.41)

6.6- Elemento finito prismático regular linear

O elemento finito prismático regular linear, desenvolvido

por Faglioni (2006), possui oito nós, de lados 2a, 2b e 2c, e

origem do sistema de coordenadas no centróide do elemento,

conforme mostrado na Figura 6.1.

Figura 6.1– Elemento finito prismático retangular com oito nós

As funções aproximadoras desse elemento contêm oito

monômios obtidos a partir do tetraedro de Pascal.

y, v

2 3

6 7

z, w

x, u

Figura 6.2- Tetraedro de Pascal (Fonte: RAO (1999))

Para garantir a continuidade com os deslocamentos dos

elementos adjacentes, como neste caso, a função deslocamento

deve variar linearmente ao longo dos lados (ZIENKIEWICZ e

CHEUNG, 1967). Sendo assim, para um sistema de coordenadas

adimensionais com origem no centróide do elemento, têm-se:

;

xy z

ab c

ξη ζ

== =

(6.42)

As funções interpoladoras para os deslocamentos u, v e w

são dadas pelas equações (6.43), (6.44) e (6.45),

respectivamente.

ηζ

ξη

76543210

),,(

+++=u

(6.43)

ηζ

ξη

76543210

),,(

+++=v

(6.44)

ηζ

ξη

76543210

),,(

+++=w

(6.45)

A partir do polinômio interpolador é possível encontrar

as funções de forma dos deslocamentos, conforme ilustra a

equação a seguir:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

87654321

N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0

0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0

0 0

N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N

(6.46)

com:

)1)(1)(1(1N

ηζ

ξη

+++=

;

)1)(1)(1(1N

ηζ

ξη

−

−+

−

+−+=

;

)1)(1)(1(1N

ηζ

ξη

−

−−

+−−=

;

)1)(1)(1(1N

ηζ

ξη

−

+−

−

++−=

;

)1)(1)(1(1N

ηζ

ξη

−

−−

−++=

;

)1)(1)(1(1N

ηζ

ξη

−

+−

−

−−+=

;

)1)(1)(1(1N

ηζ

ξη

−

−−−=

;

)1)(1)(1(1N

ηζ

ξη

−

−+

−

−+−=

Assim, para o elemento finito prismático retangular

regular linear, em termos das coordenadas adimensionais, a

matriz de rigidez pode ser escrita da seguinte forma:

(

)

111

ddd

k abc B EB

−−−

⎡⎤

⎣⎦

∫∫∫

%%%%

(6.47)

sendo que a matriz (

) é obtida conforme equação 6.33.

CAPÍTULO 7 – MODELOS FÍSICOS NÃO-LINEARES

Neste capítulo serão apresentados os modelos físicos não-

lineares, para o concreto e a argamassa.

7.1- Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb

O Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb, adotado e

implementado no programa FEISdec por Faglioni (2006), é uma

generalização da equação de ruptura proposta por Coulomb, e

definida por:

tanc

σφ

=−

(7.1)

sendo:

→ tensão de cisalhamento;

→ tensão normal;

→ coesão;

→ ângulo de atrito interno do material.

Graficamente, o critério é representado por uma reta

tangente ao maior círculo formado pelas tensões principais,

conforme ilustra a Figura 7.1.

Figura 7.1– Critério de Mohr-Coulomb

Pela Figura 7.1, quando o par de tensões

(-σ,|τ|) atuantes em

um ponto qualquer do material situarem-se sobre tal reta,

ocorrerá a ruptura do material.

Ainda utilizando-se da Figura 7.1 e considerando-se

(σ

≥σ

), a equação (7.1) pode ser escrita em função das

tensões principais, em que a distância entre os

pontos (O) e

(B) é dada por:

13 13

sen

OB OE EB

σσσ

+−

=−=− −

(7.2)

Substituindo-se (7.2) em (7.1), obtém-se:

13 13 13

cos sen tan

222

σσ σσ σσ

φφ

−+−

⎛⎞

=− +

⎜⎟

⎝⎠

(7.3)

Simplificando-se a equação (7.3), chega-se a:

()()

1sen 1sen

2cos 2coscc

φσ φ

φφ

+−

−=

(7.4)

O critério também pode ser escrito em função dos

invariantes (I

,θ) ou (ξ,ρ,θ), conforme descrito por Faglioni

(2006). Assim, utilizando-se das relações de σ

e σ

apresentadas na equação (7.5), e substituindo-se na equação

(7.4), tem-se o critério escrito em função dos parâmetros

,θ), como mostra a equação (7.6).

()

cos

1 cos 120

cos 120

σθ

⎧⎫

⎧⎫ ⎧⎫

⎪⎪

⎪⎪ ⎪⎪

=+ −°

⎨⎬ ⎨⎬ ⎨ ⎬

⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎩⎭ ⎩⎭

⎩⎭

(7.5)

() ()

()

sen sen 60 sen cos 60 cos 0

,, 0

JJc

fI J

φθ φθ φ

++°+ +°−=

(7.6)

Com o auxílio das relações descritas por Faglioni (2006),

dadas pelas equações (7.7), (7.8) e (7.9), a equação (7.6)

pode ser reescrita em função de (ξ,ρ,θ), conforme a mostra a

equação (7.10).

oct

(7.7)

222

oct

ppp p

ξξ σ

===++= =ON n

(7.8)

oct

ρτ

=== =NP s

(7.9)

() ()

()

2 sen 3 sen 60 sen cos 60 6 cos 0

,, 0

ξφ ρ θ ρφ θ φ

ξρθ

++°+ +°−=

(7.10)

De acordo com Faglioni (2006), no espaço das tensões

principais, o critério é representado por uma pirâmide

hexagonal irregular, em que seu contorno define a superfície

de ruptura do material, conforme mostra a Figura 7.2.

Figura 7.2– Representação gráfica da superfície de ruptura do critério no

espaço das tensões principais

Os comprimentos característicos da superfície de ruptura,

relativos aos meridianos de tração e de compressão, podem ser

obtidos com auxílio da equação (7.10). Assim, substituindo-se

os seguintes valores (θ=0º,ξ=0,ρ=ρ

) e (θ=60º,ξ=0,ρ=ρ

), na

equação (7.10), têm-se os comprimentos definidos pelas

equações (7.11) e (7.12), para tração e compressão,

respectivamente.

26 cos

3sen

(7.11)

26 cos

3sen

−

(7.12)

Ainda utilizando-se da equação (7.10), conforme Faglioni

(2006), pode-se encontrar o módulo do vetor hidrostático (ξ),

fazendo-se a consideração de que o módulo do vetor desviador

seja nulo (ρ=0), resultando assim na equação (7.13).

3cotc

(7.13)

Assim, se for considerado o plano desviador, a superfície

de ruptura fica representada por um hexágono irregular,

mostrado na Figura 7.3.

Figura 7.3– Representação gráfica da superfície de ruptura no plano

desviador

De acordo com Faglioni (2006), quando da aplicação do

critério para o concreto, os parâmetros (

c) e (ø) podem ser

definidos a partir das resistências do material à tração (f

) e

compressão (f

), obtidas por meio de ensaios de laboratório.

Assim, no caso de compressão simples, os valores das

tensões principais são dados por (

=σ

=0) e (σ

), e na

tração simples tem-se: (

=σ

=0) e (σ

). Substituindo-se

essas relações na equação (7.4), chega-se nas equações (7.14)

e (7.15).

2cos

1 sen

=−

−

(7.14)

2 cos

1sen

(7.15)

Resolvendo-se o sistema de equações formado por (7.14) e

(7.15), é possível definir, em função das resistências à

tração e à compressão, os parâmetros (

ø) e (c), que

representam o ângulo de atrito interno e a coesão do material,

respectivamente, conforme descrito pelas equações (7.16) e

(7.17).

-1

sen

⎛⎞

⎜⎟

−

⎝⎠

(7.16)

()()

1 sen 1 sen

2cos 2cos

φφ

−+

=− =+

(7.17)

Desta maneira, de posse dos valores das resistências à

tração e à compressão, bem como das tensões atuantes no

elemento, é possível verificar se a equação (7.6) ou a (7.10)

é satisfeita. Caso qualquer uma das duas seja satisfeita,

ocorrerá a ruptura do material.

7.2- Determinação do módulo de elasticidade instantâneo

Como é sabido, o concreto é um material considerado

isotrópico, mas, para determinados níveis de tensão, apresenta

um comportamento não-linear, por isso deve ser levado em

consideração a alteração do módulo de elasticidade em função

da variação das tensões, porém considerado instantaneamente

linear.

Na formulação do MEF, a equação básica de equilíbrio

estático (K.D=F) tem por hipótese o fato de o sistema ser

considerado linear. Assim, para o equacionamento da matriz de

rigidez do elemento prismático, tomou-se por premissa esse

fato ser verdadeiro, considerando-se o comportamento linear do

material. Para contornar esse problema, na simulação numérica

será utilizado o processo incremental de forças, sendo que,

após cada incremento, o módulo de elasticidade será corrigido

em função da menor deformação principal de cada elemento,

conforme a equação (7.18), função dos respectivos

deslocamentos nodais.

()

[]

2133

σσνσε

+−=

(7.18)

7.2.1- Módulo de elasticidade do concreto na compressão

De acordo com a NBR-6118:2003, a relação tensão x

deformação para o concreto é dada pela equação (7.19), para

uma deformação de até 2

‰. A partir dessa deformação, considera-

se que a tensão seja constante e igual ao valor do f

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−=

‰2

ckc

(7.19)

Reescrevendo-se a equação (7.19), tem-se (7.20):

ckc

f⋅⋅+⋅−= )1000000.250(

εεσ

(7.20)

Dividindo-se (7.20) por (

ε), obtém-se a equação (7.21),

que relaciona o módulo de elasticidade secante (E

inst

) com a

deformação de cada elemento, sendo que a Figura 7.4 ilustra

tal relação.

ckckinst

ffE

⋅

+⋅

⋅

−= 1000000.250

(7.21)

Figura 7.4– Módulo de elasticidade instantâneo para o concreto comprimido

(Fonte: NBR-6118:2003)

7.2.2- Módulo de elasticidade do prisma

Com a modulação tridimensional dos prismas, pode-se

introduzir separadamente o módulo de elasticidade do concreto

utilizado no bloco e da argamassa.

Analisando-se a equação (7.21) que define o valor do

módulo de elasticidade do concreto, percebe-se que ela

contempla o valor do módulo de elasticidade inicial, dado pela

segunda parcela, e um redutor, dado pela primeira.

Conforme Capuzzo Neto (2000), uma relação estabelecida por

Hilsdorf (1969) apresenta o módulo de deformação da argamassa

definido pela equação (7.22), função da resistência da

argamassa à compressão. Dessa forma, percebe-se que a segunda

parcela pode ser considerada como uma constante válida para os

materiais em estudo.

caa

fE ⋅= 1000

(7.22)

Em função do exposto, e como o concreto utilizado na

confecção do bloco difere de modo significativo do concreto

convencional, optou-se pela adoção de redutores diferenciados

para os valores dos módulos de elasticidade dos materiais que

compõem o prisma, apresentados nas equações (7.23) e (7.24),

respectivamente para o concreto do bloco e para a argamassa.

cbcbbinst

ffE ⋅+⋅⋅⋅−= 100085,010.5

312

(7.23)

cacaainst

ffE ⋅+⋅⋅⋅−= 100085,010.2

311

(7.24)

Cabe ressaltar que tais redutores foram obtidos ajustando-

se os resultados numéricos calculados com os resultados

experimentais já mencionados, com o intuito de sua validação.

CAPÍTULO 8 – ANÁLISE COMPARATIVA

Neste capítulo, serão apresentados dois exemplos que

contemplam a análise estática de prismas de alvenaria

estrutural, considerando o comportamento não-linear dos

materiais, utilizando o elemento finito prismático de oito

nós, desenvolvido por Faglioni (2006).

Tais exemplos apresentam os resultados dos ensaios de

prismas realizados por Logullo (2006), conforme descrito no

Capítulo 4, bem como os resultados das simulações numéricas,

na tentativa de validar por comparação o modelo de ruptura de

Mohr-Coulomb e os redutores dos módulos de elasticidade dos

materiais, descritos no Capítulo anterior.

Para resolução numérica, foi utilizado o programa

computacional

FEISdec, sendo que a resistência à compressão

dos elementos foi extraída do trabalho de Logullo (2006).

Tanto para a argamassa, quanto para o concreto dos blocos, por

falta de dados experimentais, considerou-se a resistência à

tração com sendo 10% da resistência à compressão. Os módulos

iniciais de elasticidade do concreto e da argamassa foram

calculados conforme as relações apresentadas no Capítulo 7.

Vale a pena também destacar a numeração dos nós e dos

elementos dos prismas modelados discretamente, conforme a

Figura 8.1, sendo que os elementos 5, 11, 20, 26, 35, 41, 50,

56, 65 e 71 representam vazios (septo dos blocos). Dessa

forma, a força total aplicada em cada prisma, por meio do

perfil metálico mostrado pela Figura 4.9, foi aplicada de

forma concentrada nos nós superiores dos últimos elementos,

com intensidade diretamente proporcional a área de influência

de cada nó, conforme ilustrado pela Figura 8.2.

Figura 8.1- Disposição dos elementos e dos nós para discretização dos

prismas

Figura 8.2- Discretização do ensaio dos prismas

8.1- Exemplo 1

Neste exemplo será feita a comparação entre os resultados

dos ensaios de prismas, utilizando o bloco B1, com os

resultados numéricos.

As características físicas dos materiais utilizados são:

Ö Concreto dos blocos:

 f

= 15,39 MPa

 f

= 1,54 MPa

 E

inic,b

= 1000 . fcb

Ö Argamassa:

 f

= 6,77 MPa

 f

= 0,677 MPa

 E

inic,a

= 1000 . fca

A Figura 8.3 mostra os resultados finais dos

deslocamentos, na direção z, do nó 141, obtidos pelo programa

após a execução do exemplo, correspondente ao incremento 36,

equivalente a uma força total de 180 kN. Já a Tabela 8.1

mostra a relação entre forças e deslocamentos para o nó 141,

na direção z.

Figura 8.3- Deslocamentos, na direção z, nó 141, força de 180 kN

Tabela 8.1- Forças e respectivos deslocamentos do nó 141

INCREMENTO

FORÇA

(kN)

DESLOCAMENTO

Z (mm)

INCREMENTO

FORÇA

(kN)

DESLOCAMENTO

Z (mm)

1 5 0,0080530 20 100 0,1639290

2 10 0,0161060 21 105 0,1726610

3 15 0,0241600 22 110 0,1815190

4 20 0,0322150 23 115 0,1905250

5 25 0,0402730 24 120 0,1997010

6 30 0,0483360 25 125 0,2090760

7 35 0,0564050 26 130 0,2186870

8 40 0,0644840 27 135 0,2285770

9 45 0,0725750 28 140 0,2388030

10 50 0,0806830 29 145 0,2494380

11 55 0,0888110 30 150 0,2605820

12 60 0,0969650 31 155 0,2723760

13 65 0,1051490 32 160 0,2850320

14 70 0,1133710 33 165 0,2988930

15 75 0,1216360 34 170 0,3145840

16 80 0,1299530 35 175 0,3335030

17 85 0,1383300 36 180 0,3604310

18 90 0,1467770 37 185 0,4621070

19 95 0,1553060 38 190 0,5780310

O gráfico ilustrado pela Figura 8.4 mostra a relação entre

forças e deslocamentos obtidos nos três ensaios, realizados

por Logullo (2006), e os resultados numéricos apresentados na

Tabela 8.1. Já a Figura 8.5 apresenta os mesmos resultados

numéricos, agora fornecidos pelo programa computacional

FEISdec.

Figura 8.4- Gráfico força x deslocamento.

Figura 8.5- Gráfico força x deslocamento, nó 141, direção z.

A Figura 8.6 mostra a numeração dos elementos que sofreram

ruptura, com uma força total aplicada de 190 kN, destacando-se

que tais elementos constituem o bloco superior do prisma.

ruptura

Figura 8.6- Número de cada elemento rompido no incremento 38

8.2- Exemplo 2

Neste exemplo será feita a comparação entre os resultados

dos ensaios de prismas, utilizando o bloco B2, com os

resultados numéricos.

As características físicas dos materiais utilizados são:

Ö Concreto dos blocos:

 f

= 22,09 MPa

 f

= 2,21 MPa

 E

inic,b

= 1000 . fcb

Ö Argamassa:

 f

= 6,77 MPa

 f

= 0,677 MPa

 E

inic,a

= 1000 . fca

A Figura 8.7 mostra os resultados finais dos

deslocamentos, na direção z, do nó 141, obtidos pelo programa

após a execução do exemplo, correspondente ao incremento 35,

equivalente a uma força total de 262,5 kN. Já a Tabela 8.2

mostra a relação entre forças e deslocamentos para o nó 141,

na direção z.

Figura 8.7- Deslocamentos, na direção z, nó 141, força de 262,5 kN

Tabela 8.2- Força x Deslocamento do nó 141

INCREMENTO

FORÇA

(kN)

DESLOCAMENTO

Z (mm)

INCREMENTO

FORÇA

(kN)

DESLOCAMENTO

Z (mm)

1 7,5 0,008666 19 142,5 0,16682

2 15,0 0,017332 20 150,0 0,17602

3 22,5 0,025999 21 157,5 0,185321

4 30,0 0,034667 22 165,0 0,194739

5 37,5 0,043337 23 172,5 0,20429

6 45,0 0,052012 24 180,0 0,213996

7 52,5 0,060693 25 187,5 0,223882

8 60,0 0,069383 26 195,0 0,233978

9 67,5 0,078085 27 202,5 0,244322

10 75,0 0,086803 28 210,0 0,254961

11 82,5 0,09554 29 217,5 0,265959

12 90,0 0,104302 30 225,0 0,277402

13 97,5 0,113092 31 232,5 0,289424

14 105,0 0,121917 32 240,0 0,302264

15 112,5 0,130784 33 247,5 0,316563

16 120,0 0,139699 34 255,0 0,336143

17 127,5 0,14867 35 262,5 0,356753

18 135,0 0,157707 36 270,0 0,378826

O gráfico ilustrado pela Figura 8.8 mostra a relação entre

forças e deslocamentos obtidos nos três ensaios, realizados

por Logullo (2006), e os resultados numéricos apresentados na

Tabela 8.2. Já a Figura 8.9 apresenta os mesmos resultados

numéricos, agora fornecidos pelo programa computacional

FEISdec.

Figura 8.8- Gráfico força x deslocamento.

Figura 8.9- Gráfico força x deslocamento, nó 141, direção z.

A Figura 8.10 mostra a numeração dos elementos que

sofreram ruptura, com uma força total aplicada de 270 kN,

destacando-se que tal elemento constitui a parede central do

bloco intermediário do prisma.

ruptura

Figura 8.10- Número de cada elemento rompido no incremento 36

CAPÍTULO 9 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

9.1- Discussão dos resultados

O presente trabalho teve como objetivo principal a análise

numérica do comportamento não-linear físico dos materiais que

compõem prismas de alvenaria estrutural, por meio da

discretização de todas as partes do conjunto. Para tanto, foi

utilizado o Critério de Mohr-Coulomb para prever a ruptura dos

elementos, e também foi proposto um equacionamento para prever

a redução do módulo de elasticidade do concreto utilizado no

bloco e da argamassa. Posteriormente, buscou-se a validação do

modelo discreto, por meio da comparação com resultados obtidos

experimentalmente.

Neste contexto, em uma primeira etapa, procurou-se abordar

todos os procedimentos para realização dos ensaios feitos por

Logullo (2006) e a discretização dos prismas de alvenaria

estrutural, indicando as dimensões e a disposição dos

elementos finitos prismáticos regulares lineares utilizados.

Posteriormente, foi feita uma breve descrição a respeito do

Método dos Elementos Finitos, enfatizando o desenvolvimento

matemático adotado por Faglioni (2006) para elaboração da

matriz de rigidez do elemento finito em questão. Por fim, foi

apresentado o Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb e o

equacionamento proposto para descrever o comportamento do

módulo de elasticidade dos materiais do prisma, conforme o

aumento de suas deformações.

Posteriormente, foram elaborados dois exemplos que

simularam numericamente os dois ensaios realizados em

laboratório, para validação por comparação do procedimento

numérico adotado.

Analisando-se os resultados das curvas força x

deslocamento do modelo numérico, pode-se dizer que elas são

compatíveis com as curvas obtidas por meio dos ensaios

realizados por Logullo (2006). Nesse caso, o equacionamento

proposto para redução dos módulos de elasticidade dos

materiais componentes (concreto do bloco e argamassa) mostrou-

se ser satisfatório. Cabe ressaltar que os valores iniciais

dos módulos de elasticidade dos materiais não foram obtidos

experimentalmente, bem como da resistência à tração, sendo

eles essenciais para uma análise mais refinada.

Com relação à ruptura dos prismas, a adoção do Critério de

Mohr-Coulomb foi capaz de prever a localização dos elementos

que romperam inicialmente, sendo basicamente a mesma em

relação à ruptura experimental encontrada. No primeiro

exemplo, a ruptura ocorreu em todos os elementos do bloco

superior, enquanto que, no segundo exemplo, ocorreu

inicialmente a ruptura da parede central do bloco

intermediário.

Com relação à força numérica de ruptura dos prismas, foi

observado que os valores ficaram inferiores aos resultados

encontrados experimentalmente, uma vez que o Critério de Mohr-

Coulomb não contempla o principal mecanismo de ruptura da

alvenaria, conforme descrito por Peleteiro (2002), dado pela

fissuração em nível micro dos materiais componentes.

9.2- Conclusão

A partir do exposto no item anterior, pode-se concluir que

o procedimento numérico adotado, composto pela discretização

dos prismas e introdução incremental do carregamento associado

ao Critério de Mohr-Coulomb com redutor de rigidez, foi

implementado com êxito, mostrando-se ser aplicável para

análise da alvenaria estrutural.

9.3- Proposta para desenvolvimento futuro

Como o comportamento estrutural dos prismas de alvenaria,

utilizando o elemento finito prismático regular linear,

mostrou-se ser bastante eficaz, sugere-se, para trabalhos

futuros, a discretização de paredes, inclusive simulando os

encontros dessas paredes, para um estudo mais aprofundado da

transferência de tensões internas.

Com relação ao modelo de ruptura adotado, sugere-se um

estudo mais abrangente, para que se consiga desenvolver um

equacionamento matemático capaz de verificar todos os

mecanismos de ruptura apresentados no Capítulo 2 deste

trabalho, enfatizando o surgimento de fissuras, em nível micro

dos materiais antes, que ocorra a ruptura total do material.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

ASSAN, A.E.

Método dos elementos finitos: primeiros passos.

2.ed. Campinas: UNICAMP, 2003. 298p.

AZEVEDO, A.F.M.

Método dos elementos finitos. Porto: Faculdade

de Engenharia- Universidade do Porto, 2003. 248p.

BREBBIA, C.A.; CONNOR, J.J.

Metodo de los elementos finitos en

la ingenieria civil.

London: Butterworth & Co, 1975. p.147 –

p.171

RADI NETO, J.

Simulação numérica do comportamento pós-

fissuração de vigas de concreto armado pelo método dos

elementos finitos.

Uberlândia. 2007. 88f. Dissertação

(Mestrado) - Faculdade de Engenharia Civil, Universidade

Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2007.

RIBEIRO, F.L.B.

Introdução ao método dos elementos finitos. Rio

de Janeiro: Programa de Engenharia Civil-Universidade Federal

do Rio de Janeiro, 2004. 92p. (Notas de aula).

NÚCLEO DE ESTUDO E PESQUISA DA ALVENARIA ESTRUTURAL - NEPAE.

Ilha Solteira: UNESP/FE. Disponível em:

<www.nepae.feis.unesp.br>. Acessado em: 08 Ag.2007

REFERÊNCIAS

ANDOLFATO, Rodrigo P.

Desenvolvimento das técnicas de produção

de blocos de concreto para alvenaria estrutural na escala

(1:4).

2002. 171f. Dissertação (Mestrado)-Departamento de

Engenharia Civil-Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira,

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Ilha

Solteira, 2002.