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IVAN GONZALEZ
Extração de Contornos de Figuras
via Sincronismo em Redes de Osciladores
com Acoplamento Dinâmico
Dissertação apresentada à Universidade
Presbiteriana Mackenzie como requisito
parcial para obtenção do grau de Mestre
em Engenharia Elétrica.
ORIENTADOR: PROF. DR. LUIZ HENRIQUE ALVES MONTEIRO
São Paulo
2006
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À memória de minha mãe, Eunice, professora, que
desde cedo ensinou-me o respeito aos mestres, o
amor aos livros e o prazer de estudar.
Aos meus filhos, Lívia, Bruna e Rafael, pela
compreensão das muitas horas de convívio
subtraídas.
À minha esposa, Marisa, que me incentivou e
encorajou para este trabalho.
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AGRADECIMENTOS
À Universidade Presbiteriana Mackenzie e ao Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Elétrica.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Luiz Henrique Alves Monteiro, pela oportunidade
propiciada, pelo incentivo à escolha do tema enriquecedor em termos pessoais, pelo
constante acompanhamento e que com sua disposição e habilidade permitiu a
conclusão deste trabalho.
Ao Prof. Dr. Nizam Omar pelo apoio e atenção excepcionais durante toda minha
estada junto ao Programa.
Ao Prof. Dr. José Guilherme de Souza Chauí Mattos Berlinck, pelos comentários e
sugestões apontadas no decorrer do exame de qualificação.
A todos os professores e funcionários da Pós-Graduação Mackenzie.
RESUMO
Uma variante do modelo de Kuramoto para osciladores de fase com acoplamento
dinâmico é estudada. A intensidade do acoplamento é ajustada pela diferença de fases
dos osciladores, de forma que a conexão é reforçada para osciladores sincronizados e
enfraquecida para osciladores não sincronizados. As soluções de equilíbrio e suas
estabilidades são apresentadas, e mostra-se que o sistema apresenta bifurcações sela-
nó e de Hopf. Mostra-se que redes formadas com esses osciladores podem ser usadas
para extrair o contorno de figuras.
Palavras-chave: Acoplamento dinâmico. Extração de contornos de figuras. Redes de
osciladores. Sincronismo de osciladores.
ABSTRACT
A variant of Kuramoto´s model for phase oscillators with dynamic coupling is
studied. The coupling weight is adjusted by the phase difference resulting in a
connection which is strengthened for synchronized oscillators and weakened for non-
synchronized oscillators. Equilibrium solutions and their stabilities are presents and it
is shown the occurrence of saddle-node and Hopf bifurcations. It is shown that
networks formed by such oscillators can be used for detecting image border.
Keywords: Dynamic coupling. Contour extraction. Oscillator network. Synchronized
oscillators.
SUMÁRIO
RESUMO.......................................................................................................................4
ABSTRACT...................................................................................................................5
LISTA DE TABELAS...................................................................................................8
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................9
2 PROCESSAMENTO DE INFORMAÇÕES EM SISTEMAS NEURAIS
NATURAIS .................................................................................................................11
2.1 Computação algorítmica..............................................................................12
2.2 Computação na natureza..............................................................................13
2.3 O cérebro......................................................................................................15
2.4 Aprendizado.................................................................................................15
2.5 O comportamento oscilatório do cérebro.....................................................16
3 MODELOS DE NEURÔNIOS............................................................................18
3.1 O neurônio biológico ...................................................................................18
3.2 Neurônios artificiais.....................................................................................20
3.2.1 O modelo McCulloch e Pitts................................................................20
3.2.2 O modelo de Hodgkin-Huxley.............................................................22
3.2.3 O modelo de FitzHugh-Nagumo..........................................................23
3.2.4 O modelo de Winfree...........................................................................24
3.2.5 O modelo de Kuramoto........................................................................25
4 FORMULAÇÃO E ANÁLISE DO MODELO DE OSCILADORES
ACOPLADOS..............................................................................................................27
4.1 O modelo com acoplamento simétrico ........................................................28
4.2 O modelo com acoplamento assimétrico.....................................................29
4.3 Estudo analítico do sistema com acoplamento dinâmico ............................29
4.4 Soluções de equilíbrio..................................................................................30
4.5 Caso Ȧ > Į ...................................................................................................31
4.6 Caso Ȧ Į ..................................................................................................32
4.6.1 Sub-caso 1: Ȧ = 0..............................................................................32
4.6.2 Estabilidade para o sub-caso 1.............................................................33
4.6.3 Sub-caso 2: 0≠
ω
..............................................................................35
4.6.4 Estabilidade para o sub-caso 2.1..........................................................38
4.6.5 Estabilidade para o sub-caso 2.2:.........................................................39
4.7 Estabilidade do modelo com atraso .............................................................40
5 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS DO MODELO...................................................43
5.1 Estudo analítico sobre a existência do ciclo-limite......................................44
5.1.1 Caracterização do ciclo-limite .............................................................46
5.1.2 Validação com os resultados numéricos..............................................48
6 EXTRAÇÃO DO CONTORNO DE FIGURAS .................................................51
6.1 Representação das figuras............................................................................52
6.2 Forma de operação da rede ..........................................................................55
6.3 Simulação.....................................................................................................57
6.4 A influência dos valores dos parâmetros na velocidade de detecção ..........61
7 CONCLUSÃO .....................................................................................................64
APÊNDICE 1...............................................................................................................66
Condições iniciais para as simulações.....................................................................66
APÊNDICE 2...............................................................................................................72
Modelo de simulação para o sistema de equações...................................................72
Programa para geração dos gráficos ........................................................................72
Rotina para simulação do modelo............................................................................73
APÊNDICE 3...............................................................................................................74
Rotina do extrator de contornos...............................................................................74
BIBLIOGRAFIA .........................................................................................................76
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 Esquema de um neurônio (Monteiro, 2006)...............................................18
Figura 3.2 Anatomia da sinapse (adaptado de Malmivuo, 1995). ...............................20
Figura 3.3 O neurônio artificial. ..................................................................................20
Figura 3.4 Representação do neurônio de McCulloch & Pitts.....................................21
Figura 4.1 Comportamento da função )(
φ
f (para Ȧ = 3)...........................................30
Figura 4.2 Comportamento da função )(
φ
g (para ΅ = 1)............................................31
Figura 4.3 Pontos de equilíbrio do sub-caso 1 (para ΅= 2 e Ȧ = 0).............................33
Figura 4.4 Quatro pontos de equilíbrio do sub-caso 2.1 (para ΅= 3 e Ȧ = 2)..............36
Figura 4.5 Dois pontos de equilíbrio do sub-caso 2.2 (para ΅= 2 e Ȧ = 2)..................37
Figura 5.1 Comportamento temporal de dois osciladores acoplados dinamicamente.
Cada gráfico mostra o comportamento de
ɐ
e k no tempo em função dos
parâmetros............................................................................................................44
Figura 5.2 Ciclo limite.................................................................................................46
Figura 5.3 Características do ciclo limite obtidas para k = 0.4 , A = 0.3, 1=
µ
, 2=
α
.
..............................................................................................................................50
Figura 6.1 Unidade de processamento.........................................................................51
Figura 6.2 Representação da unidade de processamento.............................................51
Figura 6.3 Reticulado para representação de figuras...................................................52
Figura 6.4 Exemplo de figura representada no reticulado. ..........................................53
Figura 6.5 Conexão das células do reticulado. ............................................................53
Figura 6.6 Vizinhança de von Neumann da célula central. .........................................54
Figura 6.7 Representação interna da célula processadora e de suas entradas e saídas.54
Figura 6.8 Células sem quatro vizinhas oscilando (cor preta).....................................56
Figura 6.9 Células na borda não são alteradas.............................................................56
Figura 6.10 Alteração de célula oscilando com as quatro vizinhas também oscilando.
..............................................................................................................................57
Figura 6.11 Figura utilizada para a extração do contorno no simulador. ....................57
Figura 6.12 Figura utilizada para a extração do contorno no simulador. ....................58
Figura 6.13 Evolução temporal de cada célula do reticulado após a inserção da
imagem, apresentada na figura 6.11, no simulador. ............................................59
Figura 6.14 Contorno identificado na execução da simulação da rede para a imagem
da figura 6.11. ......................................................................................................60
Figura 6.15 Evolução temporal de cada célula do reticulado após o acoplamento das
células. .................................................................................................................61
Figura 6.16 Evolução temporal para Ȧ = 1,
΅ = 2, k(0) = 5, Κ(0) = 0 e com diferentes
valores de ΐ..........................................................................................................62
Figura 6.17 Evolução temporal para Ȧ = 10, ΅ = 2, k(0) = 5, Κ(0) = 0 e com diferentes
valores de ΐ..........................................................................................................62
Figura 6.18 Evolução temporal para Ȧ = 10, ΅ = 20, k(0) = 5, Κ(0) =G0 e com
diferentes valores de ΐ........................................................................................63
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1. Parâmetros e resultados numéricos para o modelo...................................43
Tabela 5.2 Raízes do polinômio (5.2)..........................................................................48
Tabela 5.3 A amplitude de k(t). ...................................................................................48
Tabela 5.4 Comparação das inclinações. .....................................................................49
Tabela 5.5 Comparação das amplitudes.......................................................................50
9/79
1 INTRODUÇÃO
A expansão da automação de atividades realizadas por seres humanos só acontecerá
com maior intensidade à medida que sejam desenvolvidos mecanismos de visão
artificial, com a eficiência, generalidade e capacidade de reconhecimento existentes
no processo da visão humana.
As aplicações da visão artificial, comumente denominada visão computacional, são
muito amplas, indo além das atividades realizadas por seres humanos (Joshi e
Sivaswamy, 2006). Sistemas de visão computacional podem ser desenvolvidos para
operar em condições que seriam inadequadas para os seres humanos como a
exploração submarina em altas profundidades, a exploração espacial, detecção de
minas (Paik et al., 2002) e processos industriais insalubres, apenas para citar alguns
exemplos. O objetivo da visão computacional é possibilitar a tomada de decisões úteis
a respeito de objetos físicos reais e de cenas, baseadas nas imagens percebidas
(Shapiro e Stockman, 2001).
Devido à complexidade do processo da visão, quatro grandes problemas têm sido
amplamente estudados em visão computacional de forma relativamente independente:
detecção de contornos (Neumann e Mingolla 2003), análise estereográfica ou “stereo
matching” (Scharstein e Szeliski 2002), segmentação da imagem, que é o processo de
distinguir um objeto da imagem de fundo (Felzenszwalb e Huttenlocher, 2004) e
reconhecimento de padrões. Motivadas pelas constantes pesquisas em neurofisiologia
(Kourtzi e Kanwisher 2000), vários algoritmos de detecção de contornos têm sido
propostos e estudados.
A extração de contornos de cenas naturais e de figuras é uma tarefa importante e
essencial executada por sistemas de visão computacional. Ela é muito relevante em
aplicações de mapeamento de estruturas anatômicas, detecção de características
faciais, processamento de imagens aéreas, reconhecimento de caracteres manuscritos
(Blumenstein & Basli, 2003; Al-Taani, 2005), identificação de veículos em
movimento e controle de tráfego e análise hidrológica (Thompson et al., 1998).
10/79
Os métodos usuais para extração de contornos baseiam-se em processos algorítmicos
(Markovic e Gelautz 2004; Al-Taani, 2005), redes neurais convencionais (Mingolla,
1999), algoritmos genéticos (Megherbi e Ambellouis, 2005), não possuindo a
generalidade e eficiência dos sistemas visuais de seres vivos dotados de visão.
Neste trabalho, investiga-se um processo para extração de contornos de figuras
utilizando sincronismo de redes de osciladores de fase baseados em uma variante do
modelo de Kuramoto com acoplamento dinâmico, inspirado nas características
oscilatórias dos neurônios naturais e na adaptação dinâmicas de sinapses, segundo a
lei de Hebb.
No capítulo 2, apresentam-se noções da computação por algoritmos e computação
realizada por processos naturais. Características do comportamento oscilatório do
cérebro são abordadas.
No capítulo 3, apresentam-se conceitos relacionados com neurônios naturais e
artificiais, e os principais modelos baseados em osciladores.
No capítulo 4, apresenta-se o modelo de osciladores acoplados dinamicamente,
baseado no modelo de Kuramoto.
No capítulo 5, estuda-se analiticamente as características da estabilidade do modelo
de osciladores com acoplamento dinâmico, apresentando-se as condições para a
existência de sincronismo. Verifica-se o impacto da existência de atrasos nos
acoplamentos.
No capítulo 6, apresentam-se as simulações numéricas das equações que representam
o modelo com acoplamento dinâmico, caracteriza-se analiticamente o ciclo-limite e
descrevem-se as bacias de atração.
No capítulo 7, define-se a unidade de processamento, a rede de unidades osciladoras
para extração de contornos. Estabelecem-se as regras para operação da rede e
apresentam-se os resultados obtidos com a simulação da rede.
11/79
2 PROCESSAMENTO DE INFORMAÇÕES EM
SISTEMAS NEURAIS NATURAIS
A forma como a natureza resolve seus problemas tem sido fonte de muitas idéias para
a elaboração de processos artificiais baseados em estruturas biológicas, com
resultados altamente eficientes (Paun, 2005).
Modelos matemáticos de sistemas biológicos têm sido desenvolvidos em todos os
níveis de organização, desde o desdobramento de moléculas de proteínas até o
desenvolvimento de células e tecidos, os batimentos do coração e a evolução de
ecossistemas. Em determinados casos, os modelos matemáticos simulam o
comportamento biológico em um nível extraordinário de detalhe e de precisão (Paun,
2005).
Estruturas cognitivas de informações e de processos incorporadas em sistemas vivos
têm sido fontes de idéias para o projeto de agentes de inteligência artificial. Modelos
neurais de inteligência enfatizam a habilidade do cérebro de se adaptar ao mundo no
qual está situado, modificando as relações entre neurônios individuais. Em vez de
implementar o conhecimento em sentenças lógicas explicitas, eles as capturam
implicitamente, como propriedades de padrões de relacionamentos (MacLennan,
2004).
Talvez, o mais complexo objeto inteligente conhecido pela humanidade seja o
cérebro. Alguns argumentam que o cérebro não funciona de forma comparável a um
computador; portanto, qualquer espécie de simulação construída sobre uma
arquitetura digital, que utilize técnicas tradicionais de programação, estaria fadada ao
insucesso. Isso parece razoável, pois o computador é uma estrutura muito mais
simples que o cérebro, e provavelmente a natureza já o teria criado se fosse adequado
à sobrevivência.
Dessa forma, para se ter capacidade de processamento comparável ao cérebro, como
no caso do problema da associação (binding problem) (Malsburg, 1999), seria
12/79
necessário construir um computador que possuísse características estruturais
semelhantes ao cérebro e as capacidades de adaptação demonstradas pelo mesmo.
Uma dificuldade central no modelamento do cérebro é conseguir representar a
dinâmica e a enorme gama de conexões sinápticas.
2.1 Computação algorítmica
A noção tradicional de computação está firmemente sedimentada no conceito de
algoritmo. A busca pela formalização desse conceito, a fim de que pudesse ser
mecanizado, remonta aos trabalhos de Leibnitz (1646-1716), que desejava formalizar
o raciocínio humano de maneira que esse pudesse ser descrito por um conjunto de
regras que poderiam ser executadas de forma mecanizada (Berlinski, 2000).
As pesquisas orientadas para a formalização do conceito de algoritmo ocorreram
intensamente no período de 1930-1940, e foram realizadas por grandes nomes da
ciência como, por exemplo, Turing. Os trabalhos de Turing permitiram a construção
dos primeiros computadores e o início da Ciência da Computação. Em sua
formalização, Turing analisou como seria a atividade de uma pessoa que realizasse
cálculos seguindo um conjunto de regras, isto é, um algoritmo fornecido. O modelo
computacional conhecido como máquina de Turing fornece o padrão atual para a
definição do que é computável (Brooks, 1991).
Durante muito tempo, pouca ênfase foi dada ao entendimento das características de
processamento de informações pela natureza, tendo-se em vista que o objetivo era
entender e expandir aquela máquina versátil, o computador, baseado em algoritmos.
Porém, sistemas artificiais, cuja estrutura de processamento de dados é totalmente
programada, são difíceis de serem projetados e, em geral, sem possibilidade de
reutilização como afirmado por Sowa (1984):
“…Uma máquina para jogar xadrez, por exemplo, requer dezenas de
rotinas que seriam inúteis para o entendimento do inglês ou francês.
13/79
Um sistema para programação automática e um para compor fugas
barrocas também teriam pouco em comum. Cada aplicação requer uma
grande quantidade de conhecimento específico de um domínio que não
pode ser compartilhado com qualquer outra aplicação”
1
.
Sistemas que interagem com ambientes do mundo real têm a necessidade de serem
aptos a modificarem seu comportamento, alterando suas estruturas de processamento
de informações, como é o caso de organismos vivos.
2.2 Computação na natureza
Uma forma de entender o mundo à nossa volta, em termos de transformação e
processamento de informações, é o estudo das “computações” que ocorrem na
natureza. Dessa forma, têm sido buscadas alternativas que se assemelhem aos
processos naturais.
Como a natureza parece não se utilizar de processamentos algorítmicos, e seus
processamentos de informações são ordens de grandeza mais complexos do que os
possíveis em computadores de Von Neumann, é necessário desenvolver modelos
simplificados e estruturas artificiais que se baseiem em princípios naturais
semelhantes. A computação natural está relacionada com esse tipo de computação e
seu maior benefício será a construção de máquinas inspiradas pela natureza (Brooks,
1991).
Uma década após os trabalhos de Turing, os pesquisadores McCullock, Pitts e Kleene
fundaram a teoria dos autômatos finitos com modelamento de neurônio e de redes
neurais. Isso resultou na área atualmente denominada de Computação Neural (Ritter,
1992).
1
“...A chess playing machine, for example, requires dozens of routines that would be useless for
understanding English or French. A system for automatic programming and a system for composing
Baroque fugues would also have little in common. Every application requires a large amount of
domain-specific knowledge that cannot be shared with any other application.”
14/79
O desafio dessa área é aprender algo a partir da forma de organização do cérebro, de
como os neurônios estão conectados e de como eles geram e interpretam as
informações. O modelo padrão consiste de agentes computacionais semelhantes a
neurônios (máquinas de estados finitos com capacidades muito reduzidas), colocados
em rede, com pesos numéricos caracterizando as conexões, com objetivo de calcular
o valor de uma função. Inicialmente, essa rede é treinada para a tarefa a ser
desempenhada e os valores dos pesos são ajustados; então, a rede é usada para
resolver problemas reais. Problemas de reconhecimento de padrões são tipicamente
abordados por redes neurais (Caudill, 1990).
Nos últimos anos, a busca por idéias, modelos e paradigmas da biologia e em geral na
natureza, tornou-se explicita e sistemática sob o nome geral de Computação Natural.
Em 1992, Caudill afirmou:
“A maioria dos cientistas e engenheiros possuem um desconforto genuíno
com sistemas biológicos; muitos não tiveram um curso de biologia desde
o segundo grau – se é que tiveram. Se você é uma dessas pessoas, e tem o
desejo de se manter atualizado com os últimos avanços em redes neurais,
não deixe que isso o impeça de aprender um pouco sobre essa área. Ela
vai ajudá-lo a ficar em uma situação muito boa à medida que as redes
neurais se tornarem mais neurais – e muito menos mecânicas – no
futuro.”
2
Essa tendência da Ciência da Computação não é exclusiva, pois muitas outras áreas da
ciência e tecnologia vêm inspecionando a biologia na esperança, confirmada em
vários casos, de que a vida aperfeiçoou por bilhões de anos numerosos processos,
ferramentas e mecanismos que podem ser imitados em domínios aparentemente
distantes da biologia, tais como tecnologia de materiais e sensores, robótica, biônica e
nanotecnologia (MacLennan, 2004; Suda, 2005).
2
“Most computer scientist and engineers have a genuine discomfort with biological systems; many
have never had a course in biology since high school – if then. If you are one of those people, and you
have a desire to keep up with the latest advance in neural networks, don’t let that stop you from
learning a little bit about this field. It will serve you in very good stead as neural networks become a
more neural – and a lot less mechanical – in the future.”
15/79
2.3 O cérebro
Dentre as estruturas biológicas, uma das mais complexa que se tem conhecimento é o
cérebro. Suas capacidades de processamento e de adaptabilidade são responsáveis por
um tipo de processamento de informações que a atual tecnologia não tem condições
de realizar. Pode-se citar, por exemplo, o reconhecimento de faces. A forma como o
cérebro humano joga xadrez é fundamentalmente diferente da forma de operação dos
programas existentes, como é o caso do Big Blue, o primeiro programa a vencer um
grande mestre.
O estudo das diferentes estruturas cerebrais, suas formas de conexão e adaptação são
fundamentais não só para o entendimento, mas para a construção de estruturas
capazes de imitar, mesmo que em capacidades reduzidas, as funções cerebrais.
Ashby, em seu livro "Design for a Brain", afirmou que o menor modelo possível de
um cérebro é o próprio cérebro. Portanto, parece pouco provável se consiga construir
um cérebro artificial, equiparável ao humano; mas a ciência vive de desafios.
2.4 Aprendizado
Em 1949, Hebb introduziu uma das idéias mais influentes sobre aprendizagem. Ela
não foi definida matematicamente, mas sugere em nível celular o que permite ao
cérebro aprender.
Um neurônio, no cérebro, recebe vários sinais de entrada de outros neurônios. Essas
entradas são recebidas através de conexões sinápticas. Em um dado instante, o
neurônio possui nível de excitação que determina se ele produzirá um sinal de saída.
A Lei de Hebb estabelece: “Se um neurônio A é repetidamente estimulado por um
outro neurônio B, nos momentos em que A está ativo (por qualquer razão) o neurônio
A se tornará mais sensível ao estímulo do neurônio B; a conexão sináptica de B para
A será mais forte” (Ritter, 1992).
16/79
Neste trabalho, estuda-se um modelo de rede de neurônios que apresenta variação
dinâmica das intensidades das conexões sinápticas baseada na lei de aprendizado de
Hebb.
2.5 O comportamento oscilatório do cérebro
As redes neurais clássicas foram desenvolvidas como modelos das funções do
cérebro. Nesse desenvolvimento, várias questões foram abordadas: como interpretar
os estados do cérebro; qual o mecanismo organizador desses estados; como seriam
armazenadas as informações; qual o mecanismo da aprendizagem (Malsburg, 1999).
Nessas redes, o estado do cérebro seria descrito por um vetor que conteria para cada
momento psicológico, o estado dos neurônios. O mecanismo de organização dos
estados do cérebro estaria baseado em fluxos de excitação e inibição sobre neurônios
que, coletando os sinais de entrada, disparariam quando um determinado limiar fosse
atingido. A memória de longa duração seria armazenada nos pesos sinápticos,
estabelecida por mecanismos de plasticidade sináptica baseados em estatística de
sinais, especialmente as correlações temporais.
As redes neurais clássicas possuem uma fraqueza intrínseca mostrada pelo “problema
da associação” (binding problem) (Roskies, 1999), cujo exemplo canônico é o
seguinte:
“Uma característica visual de um objeto, como sua forma, deve estar
corretamente associada com outra característica, tal como sua localização, para
fornecer uma representação unificada desse objeto.”
Esse problema não é resolvido facilmente pelas redes clássicas, pois elas não possuem
meios flexíveis para se construir símbolos de mais alto nível a partir da combinação
de símbolos mais elementares (Malsburg, 1999).
17/79
A descoberta do fenômeno da oscilação síncrona no córtex cerebral (Gray e Singer,
1989; Engel et al. 1991; Gray, 1999) deu consistência à idéia do sincronismo neuronal
como um dos fundamentos para a solução do problema da associação (Malsburg,
1999; Engel et al., 1992; Roskies, 1999; Singer, 1999). A idéia básica para a resolução
do problema da associação no cérebro seria através da associação temporal, em que os
sinais dos neurônios que representam diferentes características de um objeto devem
ter suas atividades correlacionadas no tempo.
Nos próximos capítulos, trata-se de alguns modelos de neurônio e mostra-se como o
sincronismo entre neurônios pode ser usado para resolver parcialmente o problema da
associação.
18/79
3 MODELOS DE NEURÔNIOS
3.1 O neurônio biológico
O estudo da estrutura e do funcionamento do cérebro humano envolve a necessidade
de entender o comportamento dos neurônios e a interação entre eles. Neurônios são
células (figura 3.1) caracterizadas pela capacidade de se comunicarem por meio do
potencial de ação. Um potencial de ação é um breve impulso de atividade elétrica (um
pulso de tensão) em um neurônio que afeta a atividade de outros neurônios. A
informação é recebida pelo corpo celular através de uma complexa rede de dendritos,
que fazem contato com outros neurônios. Tipicamente, a atividade de um neurônio é
determinada pela soma de todos os sinais recebidos de outros neurônios. Quando esse
nível de atividade ultrapassa um certo limiar, o neurônio dispara, o que constitui um
sinal de entrada para outros neurônios (Guyton, 1988).
A complexidade da estrutura e o número de dendritos variam conforme o tipo de
célula nervosa e sua função psicofisiológica. Por exemplo, cada célula do hipocampo
(uma região do cérebro que tem importância na memória) recebe e integra
informações de até 10.000 outras células.
Figura 3.1 Esquema de um neurônio (Monteiro, 2006).
Conforme Guyton (1988), as principais estruturas de um neurônio biológico são:
19/79
Corpo celular: É a região de onde se diferenciam as outras partes do neurônio. O
corpo celular é responsável pela maior parte da nutrição e necessário para a
continuidade da vida de todo o neurônio.
Dendritos: São prolongamentos múltiplos e ramificados, com origem no corpo
celular. Constituem as principais partes receptoras do neurônio: a maioria dos sinais
que são transmitidos ao neurônio chega por meio dos dendritos, embora alguns sinais
cheguem diretamente pela superfície do corpo celular.
Axônio: Cada neurônio possui um axônio, que também é denominado de fibra
nervosa. Seu comprimento pode ser de apenas alguns milímetros, ou pode atingir até
um metro, como no caso de axônios que partem da medula para a inervação dos pés
em um humano. Os axônios transmitem sinais neurais para outros neurônios, para a
medula, ou para músculos e glândulas.
Terminais axônicos e sinapses: Próximo a seus terminais, os axônios ramificam-se
intensamente, com o número total dessas ramificações podendo chegar a milhares. Na
extremidade de cada uma dessas ramificações, existe uma terminação neural
especializada que, no sistema nervoso central, é chamada de botão sináptico. Por sua
vez, esse botão sináptico situa-se próximo à membrana de um dendrito de outro
neurônio. Esse ponto de contato entre o botão sináptico e a membrana neuronal é a
sinapse.
Função da sinapse: A sinapse é a responsável pela comunicação entre os neurônios.
Ela tem a capacidade de transmitir sinais, o que a torna elemento fundamental para o
sistema nervoso. Essa terminação contém numerosas vesículas, em cujo interior está o
neuro-transmissor (figura 3.2). Quando um impulso nervoso atinge o botão sináptico,
alterações momentâneas na estrutura da membrana do botão permitem que algumas
dessas vesículas liberem seu conteúdo na fenda sináptica, que é o pequeno espaço
entre o botão e a membrana do neurônio pós-sináptico. A substância transmissora,
então, atua para causar excitação, se o neurônio transmissor é excitatório, ou inibição,
se é inibitório.
20/79
Figura 3.2 Anatomia da sinapse (adaptado de Malmivuo, 1995).
3.2 Neurônios artificiais
3.2.1 O modelo McCulloch e Pitts
Um neurônio artificial é uma unidade de processamento elementar, que apresenta
várias entradas, que correspondem às conexões sinápticas com outras unidades
similares a ele e uma saída (figura 3.3).
Figura 3.3 O neurônio artificial.
O primeiro modelo de neurônio artificial foi desenvolvido por McCulloch e Pitts, em
1943, e representa uma simplificação do que era conhecido na época sobre o
funcionamento do neurônio biológico. Foi a primeira tentativa de criação de um
x
2
Saída
Entrada
x
0
x
1
21/79
dispositivo neuronal artificial. Esse neurônio pode ser observado na figura 3.4 e a
relação entre entradas e saídas é descrita pela seguinte expressão (Jain, 1996):
b)-(W)b-(
t
1
㺌
xfxWfy
i
n
i
i
==
=
sendo:
x = vetor com os n sinais de entrada
W = matriz com os pesos dos acoplamentos
b = valor do limiar (threshold)
f() = função de ativação do tipo degrau
y = sinal de saída
Figura 3.4 Representação do neurônio de McCulloch & Pitts.
Os sinais de entrada são 1 ou 0 (zero). A saída será 1, se o neurônio foi ativado,
superando o valor de limiar, ou 0 (zero), caso contrário. Esse modelo possui, portanto,
apenas dois estados: ligado (1) e desligado (0). Assim, quando os estímulos de entrada
apresentados pelos neurônios conectados superam um determinado limiar sua saída é
“ligada”, ou caso contrário “desligada”.
McCulloch e Pitts mostraram que funções booleanas podem ser construídas por uma
combinação desses neurônios. Esse modelo sugeriu como os neurônios reais podem
realizar operações lógicas. A idéia do neurônio como um elemento lógico baseado em
um limiar foi uma contribuição fundamental.
w
3
w
1
x
3
x
2
x
1
Ȉ
y
f
-b
w
2
+1
22/79
O trabalho de McCulloch-Pitts não explicava como as conexões entre os neurônios
deveriam ser modificadas a fim de ocorrer aprendizado (Ritter, 1992).
Em 1949, Hebb propôs que a conexão entre neurônios seria plástica e se alterariam
em função das atividades sinápticas. Essa hipótese de Hebb sobrevive até hoje em
várias formulações matemáticas como uma característica essencial de vários modelos
de redes que apresentam capacidade de aprendizado.
O neurônio de McCuloch-Pitts foi modificado de várias formas e uma delas muito
comum é utilizar uma função de ativação diferente. A mais comumente usada é uma
sigmoidal do tipo logística definida por:
x
e
xf
β
−
+
=
1
1
)(
sendo
4
β
a inclinação da função em .0=x
3.2.2 O modelo de Hodgkin-Huxley
Em 1952, combinando análises teóricas e experimentais, Hodgkin e Huxley
apresentaram um modelo do comportamento do potencial da membrana de um
neurônio baseado nas características de um circuito RC. Verificaram que quando um
pulso de corrente atravessa a membrana de um neurônio, eleva-se imediatamente o
potencial da mesma que, em seguida, decai. Esse comportamento foi modelado
considerando que a membrana armazena cargas elétricas, à semelhança de um
capacitor e oferece oposição ao fluxo de corrente, como um resistor.
O modelo de Hodkin-Huxley é representado pelas seguintes equações (Monteiro,
2006):
IEtEgEtEngEtEhmg
dt
tdE
C
L
L
K
K
Na
Na
=−+−+−+
+
+
+
+
))(())(())((
)(
43
23/79
hhh
nnn
mmm
EhE
dt
dh
EnE
dt
dn
EmE
dt
dm
)()1)((
)()1)((
)()1)((
βα
βα
βα
−−=
−−=
−−=
sendo:
C a capacitância da membrana
j
E o potencial de equilíbrio da espécie iônica j ),,( LKNa
++
hmg
Na
3
+ a condutividade da membrana para
+
Na
4
ng
K
+
a condutividade da membrana para
+
K
L
g a condutividade da membrana para L
n
e
α
α
m
são semelhantes a
)1( −
−E
e
E
nm
,
β
β
α
e
h
são semelhantes a
E
e
−
h
β
é semelhante a
)1(
1
+
−E
e
Sendo bastante complexo, esse modelo é evitado para a simulação de redes neurais
biológicas. Versões simplificadas foram propostas baseadas nesse modelo.
3.2.3 O modelo de FitzHugh-Nagumo
Notando que durante um potencial de ação as variáveis E(t) e m(t) evoluem de
maneira similar e que n(t) e 1-h(t) também apresentam comportamento semelhante,
nessas condições, FitzHugh em 1961 e Nagumo et al. em 1962 propuseram um
modelo simplificado que reproduz qualitativamente os resultados das equações de
Hodgkin-Huxley. A sugestão feita foi de representar a atividade do neurônio usando a
variável v(t) para substituir E(t) e m(t), e w(t) para substituir n(t) e 1-h(t), ficando o
modelo com o seguinte aspecto (Monteiro, 2006):
24/79
)(
)1)((
cwvb
dt
dw
Iwvvav
dt
dv
−=
+−−−=
sendo os parâmetros a, b e c positivos e I a intensidade do estímulo aplicado ao
neurônio.
3.2.4 O modelo de Winfree
Winfree estudou dinâmicas não-lineares de grandes populações de osciladores de
ciclo-limite fracamente acoplados. Desde que a variabilidade é inevitável em qualquer
população biológica real, ele assumiu que as freqüências intrínsecas dos osciladores
estariam distribuídas em torno de um valor médio de acordo com alguma distribuição
de probabilidade.
Em 1967, ele propôs um modelo para a sincronização espontânea de grilos, vaga-
lumes, e outras populações. Posteriormente, seu modelo passou a ser usado para
representar neurônios (Hoppensteadt e Izhikevich, 1996).
Trabalhando com um modelo de valor-médio, ele descobriu que à medida que a
variação das freqüências é reduzida, os osciladores permanecem não sincronizados.
Se certo limiar é ultrapassado, então os osciladores passam a se sincronizar
(Ariaratnam e Strogatz, 2001).
O modelo de Winfree (Monteiro, 2005) é descrito pela equação:
¦
=
+=
n
j
jii
i
IS
n
k
dt
d
1
)()(
θθω
θ
sendo:
i
θ
a fase do i-ésimo oscilador
i
ω
a freqüência natural do i-ésimo oscilador
25/79
S a função da sensibilidade do i-ésimo oscilador aos demais
I a função de influência dos osciladores no i-ésimo oscilador
k a intensidade do acoplamento e
n o número total de osciladores.
Winfree estudou como a dinâmica da rede é modificada em função da distribuição das
freqüências naturais dos osciladores e da intensidade do acoplamento. Ele mostrou
que variando-se a intensidade do acoplamento ou a largura da distribuição de
freqüências, poderia ocorrer uma transição de fase, levando abruptamente a rede de
um estado não-sincronizado para um estado sincronizado.
3.2.5 O modelo de Kuramoto
Em 1975, Kuramoto publicou um trabalho baseado nos estudos de Winfree. O
modelo de Kuramoto foi originalmente motivado pelo fenômeno da sincronização
coletiva, no qual vários osciladores, espontaneamente, estabelecem uma freqüência
comum, a despeito das inevitáveis diferenças existentes nas freqüências naturais de
cada um (Strogatz, 2000). Exemplos biológicos incluem redes de células no coração e
no núcleo supraquiasmático do cérebro. Existem também exemplos da física e
engenharia, desde lasers e microondas a junções supercondutoras de Josephson. Esse
modelo fornece uma base matemática para estudar as condições sob as quais a
sincronização pode ocorrer.
O modelo generalizado de Kuramoto (Hoppensteadt e Izhikevich, 1999; Seliger et al.,
2002) representa a dinâmica de um conjunto composto por N osciladores de fase
acoplados através da equação:
¦
=
−+=
N
j
jii
i
senK
dt
d
1
)(
φφω
φ
sendo
i
ω
as freqüências naturais e
i
φ
as fases de cada oscilador.
K
é a constante de
acoplamento dos osciladores, o parâmetro chave do modelo.
26/79
Para simplicidade nos cálculos teóricos, as freqüências naturais são geralmente
distribuídas de acordo com uma função de densidade de probabilidade )(
ω
g que é
simétrica em relação a uma dada freqüência Ω, de forma que )()(
ω
ω
−Ω=+Ω gg .
Uma distribuição de Gauss é normalmente usada. Para maior simplificação, a
freqüência média Ω pode ser deslocada para zero fazendo-se a transformação
.t
ii
Ω+→
φ
φ
O que torna o modelo de Kuramoto interessante (Kuramoto, 1984) é o
trabalho teórico que ele permite realizar. De fato, Kuramoto provou que há uma
transição de fase para um regime sincronizado conforme o valor de K aumenta.
A seguir estuda-se uma variação do modelo de Kuramoto.
27/79
4 FORMULAÇÃO E ANÁLISE DO MODELO DE
OSCILADORES ACOPLADOS
Neste capítulo estuda-se o acoplamento variável entre dois osciladores na versão
simétrica e assimétrica e conclui-se que as duas formas são equivalentes. O
comportamento dinâmico do sistema é analisado e verifica-se a influência de atrasos.
No modelo de Kuramoto, a intensidade do acoplamento entre os osciladores é suposta
constante. Porém, em situações encontradas na natureza, principalmente em sistemas
neurais, essas intensidades podem sofrer variações. Dessa maneira, pode ser
conveniente incluir um mecanismo de adaptação no modelo. Assim, um elemento da
matriz de acoplamento que descreve a interação entre dois osciladores, i e j, pode ser
governado pela equação:
])([
ijji
ij
kG
dt
dk
−−=
φφµ
(4.1)
sendo
)(
φ
G uma função de período
π
2 e
µ
uma constante.
Seliger et al. (2002) utilizam
φ
α
φ
cos)( =G . Com essa escolha, os valores dos
coeficientes
ij
k de acoplamento aumentam para osciladores que estão em fase e
diminuem para osciladores fora de fase, o que está de acordo com a lei de Hebb.
Dessa forma, o modelo toma o seguinte aspecto (Seliger et al. 2002):
])cos([
)sin(
1
ijji
ij
j
N
j
iiji
i
k
dt
dk
k
dt
d
−−=
−−=
¦
=
φφαµ
φφω
φ
(4.2)
Para µ “pequeno”, a dinâmica dos coeficientes de acoplamento é “lenta”.
28/79
4.1 O modelo com acoplamento simétrico
Considere o caso em que N = 2 (isto é, a rede é formada por dois neurônios), os pesos
são iguais,
kkk
jiij
==
(ou seja, as conexões são simétricas) e assuma que µ > 0 e
Į > 0 com
φ
θ
θ
≡−
12
e
0
12
>≡−
ω
ω
ω
Assim, escrevendo a equação para cada um dos neurônios, tem-se:
21122
21
12211
12
21212
2
12121
1
)cos(
)cos(
)sin(
)sin(
k
dt
dk
k
dt
dk
k
dt
d
k
dt
d
µθθµα
µθθµα
θθω
θ
θθω
θ
−−=
−−=
−+=
−+=
(4.3)
Considerando a diferença de fases
φ
dos dois neurônios, pode-se obter a seguinte
equação que dá a variação de
φ
no tempo:
)sin()()(
121212
12
θθωω
θ
θ
φ
−−−−=−= kk
dt
d
dt
d
dt
d
Substituindo
12
ω
ω
− por
ω
e
12
kk + por k2 , o sistema então pode ser reescrito
como:
k
dt
dk
k
dt
d
µφµα
φω
φ
−=
−=
cos
sin2
(4.4)
29/79
4.2 O modelo com acoplamento assimétrico
Considere o modelo com dois neurônios (N = 2), porém com acoplamento
assimétrico. Nesse caso, os pesos são distintos,
jiij
kk ≠
, e o sistema é governado por
(4.3).
Considerando a diferença de fase dos dois neurônios,
12
θ
θ
φ
−≡
e fazendo
12
ω
ω
ω
−≡
,
2112
2 kkk +≡
e
2
21
αα
α
+
≡ obtém-se as seguintes equações para a
variação de
φ
e k no tempo:
)sin(2)sin()()(
12122112
12
φωθθωω
θ
θ
φ
kkk
dt
d
dt
d
dt
d
−=−+−−=−=
)cos(2))(c())(c(
2
2112212211
2112
kkoskos
dt
dk
dt
dk
dt
kd
µφµαµθθµαµθθµα
−=−−+−−=+=
que é o próprio sistema (4.4). Conclui-se que o caso assimétrico pode ser estudado
usando as mesmas equações (4.4) do caso simétrico.
A seguir, analisa-se o sistema (4.4).
4.3 Estudo analítico do sistema com acoplamento dinâmico
Uma vez que o sistema (4.4) é bidimensional, ele pode apresentar, conforme o
teorema de Poincaré-Bendixon, uma figura atratora, que é ou ponto de equilíbrio ou
ciclo-limite (Monteiro, 2006). A seguir, estuda-se analiticamente a existência desses
dois tipos de solução, em função dos valores dos parâmetros.
Inicialmente, determinam-se os pontos de equilíbrio de (4.4). Se esses pontos de
equilíbrio forem hiperbólicos, o teorema de Hartman-Grobman garante que o
30/79
comportamento do sistema linear equivalente obtido de (4.4) é qualitativamente
equivalente ao sistema original, na vizinhança de cada ponto de equilíbrio (Monteiro,
2006).
Para obter os pontos de equilíbrio, usa-se o método da intersecção das isóclinas nulas
de (4.4).
4.4 Soluções de equilíbrio
Da condição de equilíbrio, dada por,
0
*
*,
=
k
dt
d
φ
φ
e
0
*,
*
=
k
dt
dk
φ
, obtém-se:
α
φ
ω
φ
*
*
*
*
cos
2
sin
k
k
=
=
ou
**
*
*
cos
sin2
φα
φ
ω
=
=
k
k
(4.5)
A função
*
2
)(
φ
ω
φ
sen
f = tem sua forma mostrada na figura 4.1, para Ȧ 0.
Figura 4.1 Comportamento da função
)(
φ
f
(para Ȧ = 3).
31/79
A função
φ
α
φ
cos)( =g tem sua forma mostrada na figura 4.2, para ΅ 0.
Figura 4.2 Comportamento da função )(
φ
g (para ΅ = 1).
Observando as figuras, verifica-se que podem existir ou não pontos de equilíbrio, que
são dados pelas interseções dos gráficos das duas funções que representam as
isóclinas nulas. São os valores dos parâmetros
ω
α
e que determinam a existência de
intersecção. Essas curvas podem não se interceptar, interceptarem-se em dois pontos
ou interceptarem-se em quatro pontos. A seguir, analisa-se cada caso.
4.5 Caso Ȧ > Į
Inicialmente, investiga-se se as funções f e g têm pontos em comum para Ȧ > Į. Para
isso, devem-se encontrar as soluções de
.cos
sin2
φα
φ
ω
=
Como
α
ω
>
1>
α
ω
2
1
2
>
α
ω
. Porém o máximo da função
φ
φ
cossin é
2
1
.
Logo
φφ
α
ω
cossin
2
>
ou
φα
φ
ω
cos
sin2
> , e nessas condições não há intersecção das
isóclinas, portanto não há ponto de equilíbrio. Dessa forma, não há sincronismo,
32/79
definido como as soluções de equilíbrio, pois, nesse caso
0=
dt
d
φ
, o que implica
dt
d
dt
d
21
θ
θ
=
, ou seja, os dois nós oscilam na mesma freqüência quando estão
sincronizados.
4.6 Caso Ȧ Į
Sabe-se que 1cos
22
=+
θθ
sen . Substituindo-se essa identidade nas expressões para o
seno e o co-seno mostradas em (4.5), obtém-se:
044441
4
2222422224
2
2
2
2
=+−=+=+
αωαααω
α
ω
kkkk
k
k
(4.6)
Em função de Ȧ, tem-se os seguintes sub-casos:
4.6.1 Sub-caso 1: Ȧ = 0
Quando 0=
ω
, obtêm-se de (4.6) que
224
44
α
kk = , que resulta em
22
α
=k . Dessa
expressão decorre que .
*
α
±=k Como
**
cos
φα
=k , temos
*
cos
φαα
=± , ou 0
*
=
φ
para
α
=
*
k e
πφ
=
*
para .
*
α
−=k
Como supõe-se que 0=
ω
e que as duas curvas se cruzam, disso resulta que:
.
2
3
*ou
2
*0*cos0
*2
*
π
φ
π
φφα
φ
ω
=====
sen
k
Para esse sub-caso, encontram-se os pontos de equilíbrio ),0(
α
, ),(
α
π
− , ),(
α
π
− ,
)0,
2
(
π
, )0,
2
3
(
π
, mostrados na figura 4.3.
33/79
Figura 4.3 Pontos de equilíbrio do sub-caso 1 (para ΅= 2 e Ȧ = 0).
4.6.2 Estabilidade para o sub-caso 1
Para esses pontos, pode-se analisar a estabilidade através dos autovalores da matriz
jacobiana do sistema (4.4).
Reescrevendo o sistema (4.4) como:
),(cos
),(sin2
kgk
dt
dk
kfk
dt
d
φµφµα
φφω
φ
=−=
=−=
e obtendo-se as derivadas parciais:
34/79
µφµα
φ
φφ
φ
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
*
,sin
*
*sin2
*
*,cos2
*
k
gg
k
f
k
f
pode-se obter o polinômio característico do sistema, a partir de:
0
*sin
*sin2*cos2
det =
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−−−
−−−
λµφµα
φλφ
k
Desenvolvendo o determinante, chega-se à expressão analítica do polinômio
característico, que é .0*)(sin2*cos*2*)cos2(
22
=−+++
φµαφµφµλλ
kk
Para 02)2(),0(*)*,(
2
=+++=
µααµλλαφ
k , e nesse caso os autovalores
são 0e0
21
<−=<−=
µ
λ
α
λ
, de forma que o equilíbrio é assintoticamente estável,
porque os autovalores são reais e menores que zero, já que 0>
µ
e .0>
α
Isso
significa que para qualquer valor inicial das fases dos osciladores, eles entrarão em
sincronia no decorrer do tempo.
Para 02)2(),(*)*,(
2
=+++−=
µααµλλαπφ
k , e nesse caso os autovalores são
0e0
21
<−=<−=
µ
λ
α
λ
, o que implica equilíbrio assintoticamente estável.
Para
02)()0,
2
(*)*,(
2
=−+=
µαµλλ
π
φ
k , e nesse caso os autovalores são
dados por:
2
8
2
2,1
µαµµ
λ
+±−
=
Como
µαµµ
8
2
+≤ tem-se que 0e0
21
<>
λ
λ
, ou uma sela instável.
35/79
Para
02)()0,
2
3
(*)*,(
2
=−+=
µαµλλ
π
φ
k , e nesse caso os autovalores são
dados por:
2
8
2
2,1
µαµµ
λ
+±−
=
E como
µαµµ
8
2
+≤
tem-se que 0e0
21
<>
λ
λ
, ou uma sela instável.
4.6.3 Sub-caso 2: 0≠
ω
Da equação (4.2), calculado-se as raízes para
2
k , obtém-se:
)/11(
2
22
2
2
αω
α
−±=k
Como k é um número real (pois representa o coeficiente de acoplamento), a raiz de
2
k deve ser um número real. Portanto:
ωαωα
α
ω
≥≥≥−
22
2
2
01
Nesse caso, os pontos de equilíbrio são dados por:
22
/11
2
*
αω
α
−±±=k (4.7)
4.6.3.1 Sub-caso 2.1:
ω
α
>
Se
ω
α
> , há em quatro soluções de equilíbrio:
36/79
22
1
/11
2
*
αω
α
−+=k
22
2
/11
2
*
αω
α
−+−=k
22
3
/11
2
*
αω
α
−−=k
22
4
/11
2
*
αω
α
−−−=k
que podem ser representadas pela figura 4.4.
Figura 4.4 Quatro pontos de equilíbrio do sub-caso 2.1 (para ΅= 3 e Ȧ = 2).
37/79
4.6.3.2 Sub-caso 2.2:
α
ω
=
Se
2
*
α
αω
±== k . Portanto, há somente duas soluções de equilíbrio, como
mostrado na figura 4.5, e nesse caso:
4
5
*ou
4
*
2
1
2
*
*cos
4
5
*ou
4
*
2
1
2
2
2
2
*2
*
π
φ
π
φ
α
α
α
φ
π
φ
π
φ
α
ωω
φ
==±=
±
==
==±=±=±==
k
k
sen
Figura 4.5 Dois pontos de equilíbrio do sub-caso 2.2 (para ΅= 2 e Ȧ = 2).
Essa condição para o parâmetro ΅ representa um ponto de bifurcação sela-nó para o
sistema, pois há uma mudança brusca na topologia do retrato de fase do sistema, indo
38/79
de uma situação de existência de pontos de equilíbrio com estabilidades contrárias,
para o caso de
α
ω
≤ , para a inexistência de pontos de equilíbrio quando .
α
ω
>
4.6.4 Estabilidade para o sub-caso 2.1
Substituindo no polinômio característico:
0*)(sin2*cos*2*)cos2(
22
=−+++
φµαφµφµλλ
kk
as relações:
α
φ
ω
φ
*
*cos,
*2
*sin
k
k
==
obtém-se:
0)
2
(22)
2
(
2
22
2
=−+++
k
kk
ω
µα
α
µ
α
µλλ
sendo o termo
α
µ
2
2k
+ sempre positivo pois 0.e0 >>
α
µ
Dessa forma, segundo o
critério de Routh, o equilíbrio é assintoticamente estável somente se:
2
2
α
ω
>k (4.8)
De (4.7), denomina-se ),/11(
2
22
2
2
αω
α
−+=
+
k que para ser assintoticamente
estável é necessário que
2
2
α
ω
>
+
k , conforme (4.8), que resulta em:
α
ω
αω
>−+ )/11(
22
.
Como para esse caso
,1<
α
ω
a desigualdade acima é sempre válida. Portanto, é
assintoticamente estável, para os dois valores de k dados por:
39/79
)/11(
2
22
2
αω
α
−+=
++
k e )/11(
2
22
2
αω
α
−+−=
+−
k
De (4.3), denomina-se
),/11(
2
22
2
2
αω
α
−−=
−
k que para ser assintoticamente
estável é necessário que
2
2
α
ω
>
−
k ou
α
ω
αω
>−− )/11(
22
. Porém:
2
2
22
/11
α
ω
α
ω
α
ω
αω
<>−−
o que não é verdade, pois como
1<
α
ω
vem que
α
ω
α
ω
<
2
2
. Dessa forma, é instável
para as duas possibilidades:
)/11(
2
22
2
αω
α
−−=
−+
k e )/11(
2
22
2
αω
α
−−−=
−−
k
4.6.5 Estabilidade para o sub-caso 2.2:
No sub-caso 2.2, tem-se a situação
2
*
α
αω
±== k . Nessa condição,
4
5
,
4
2
1
cossin
***
π
π
φφφ
=±== e os pontos de equilíbrio são:
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
2
,
4
5
;
2
,
4
απαπ
.
Substituindo esses valores no polinômio característico:
0*)(sin2*cos*2*)cos2(
22
=−+++
φµαφµφµλλ
kk
40/79
obtém-se:
0
2
1
2
2
2
2
2)
2
2
2
2
(
2
=−+++
µα
α
µ
α
µλλ
sendo o traço
0)( <+−=
α
µ
T
e o
discriminante 0=−=∆
µα
µα
. Nessas condições, tem-se de fato um ponto de
bifurcação, conforme a classificação no espaço ǻ –T (Monteiro, 2006).
4.7 Estabilidade do modelo com atraso
Atrasos na transferência de informações entre processos artificiais ou naturais estão
sempre presentes, pois há uma limitação para a velocidade de transmissão das
mensagens, que no máximo podem ser iguais à velocidade da luz. A velocidade dos
impulsos nervosos certamente é muito inferior a esse limite teórico e, dessa forma,
analisar o comportamento dos osciladores sujeitos a atraso entre suas interconexões é
mais um passo no sentido de se aproximar do funcionamento de redes neurais reais.
O atraso em consideração refere-se à capacidade do acoplamento de variar sua
intensidade em virtude das mudanças fase dos osciladores, como mostrado abaixo:
2
1
)()(cos
)(
)(sin)(2
)(
ftkt
dt
tdk
fttk
dt
td
=−−=
=−=
µτφµα
φω
φ
Este modelo possui as mesmas soluções de equilíbrio do caso 0=
τ
, pois a variável
tempo não influencia a obtenção das soluções de equilíbrio. Verifica-se a seguir o que
ocorre com a estabilidade dessas soluções.
O polinômio característico é obtido de:
41/79
0det
),(),(
21
11
**
=
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
©
§
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
−
kk
k
f
e
f
k
ff
φφ
λτ
λ
φ
λ
φ
resultando em:
0
sin
sin22
det
),(),(
*
***
**
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−−−
−−−
=
−
kk
e
cosk
φφ
λτ
λµφµα
φλφ
sendo, então, igual a 0)(sin22)2(
*****2
=−+++
−
λτ
φµαφµφµλλ
ecoskcosk .
Pode ser verificado se a existência de atraso afeta a estabilidade dos pontos de
equilíbrio através de resultados obtidos por Cooke e Grossman (Monteiro, 2006), que
investigaram um sistema dinâmico que leva ao seguinte polinômio:
0
--2
=++++
λτλτ
λλλ
deceba
Fazendo a correspondência entre esses coeficientes e os coeficientes do nosso sistema,
obtém-se:
2*
**
**
)(sin2-
cos2
0
cos2
φµ
φµ
φµ
kd
kc
b
ka
=
=
=
+=
Segundo Cooke e Grossman só ocorre troca de estabilidade, a medida que IJ varia se:
(I)
0>2+-
22
cab
(II) )-(4>)2+-(
222 22
dccab
Como b = 0, então de (I) obtém-se que
2
>2 ac , que implica que:
2****
)2+(>4
φµφµ
coskcosk ou
2**2
)2(+>0
φµ
cosk
42/79
que é sempre falso. Desta forma a existência de atrasos não modifica a estabilidade
local das soluções do sistema ).,(
**
k
φ
Este resultado sugere que uma modificação do meio de propagação do sinal, causando
um atraso no mesmo, não modifica o processo de sincronismo dos osciladores.
A seguir, realizam-se simulações com esse modelo e investiga-se a existência de
ciclo-limite.
43/79
5 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS DO MODELO
Neste capítulo, apresentam-se os resultados obtidos com o simulador construído com
base no modelo estudado no capítulo 4. Buscou-se caracterizar valores dos parâmetros
adequados para utilização na rede extratora de contornos. O ciclo-limite foi estudado
obtendo-se uma expressão analítica aproximada para o mesmo, que se verificou
adequada.
Os comportamentos dinâmicos obtidos analiticamente foram simulados em
computador através de implementação do modelo representado pelo sistema (4.4) em
Simulink (ferramenta do software Matlab), apresentado no apêndice 1. Usou-se o
método de integração de Runge-Kutta de quarta ordem, com passo de integração de
0,01. Foram realizadas simulações nas quais se obtiveram os resultados da tabela 5.1:
Tabela 5.1. Parâmetros e resultados numéricos para o modelo.
ΐ = 1; ΅ = 2; Κ(0) = 0; k(0) = 0
Simulação
Ν
++
k
−+
k
+−
k
−−
k
1 1.0 1,9319 -1,9319 0,51764 -0,51764
2 1.4 1,8516 -1,8516 0,75612 -0,75612
3
1.8 1,6946 -1,6946 1,0622 -1,0622
4 2.2 oscilação oscilação oscilação oscilação
Através da simulação, também foram gerados os gráficos mostrados na figura 5.1.
44/79
Figura 5.1 Comportamento temporal de dois osciladores acoplados
dinamicamente. Cada gráfico mostra o comportamento de
ɐ
e k no tempo em
função dos parâmetros.
Pode-se verificar que para os casos para Ν < ΅, após um período transiente, as curvas
mostram o surgimento de um regime de estabilização tanto para
φ
quanto para k, o
que implica sincronismo e sinapses com valores constantes. Porém, no caso em que
Ν > ΅, a diferença de fases cresce linearmente e o coeficiente de acoplamento oscila.
Essa situação pode ser melhor ilustrada através da figura 5.2, na qual é possível
identificar o surgimento do ciclo-limite.
5.1 Estudo analítico sobre a existência do ciclo-limite
A identificação das condições para ocorrência do ciclo-limite é fundamental para se
determinar a sensibilidade do modelo às variações dos parâmetros de forma a se obter
valores adequados para uso na rede capaz de detectar contorno, mostrada no capítulo
6.
45/79
Para verificar analiticamente a existência do ciclo-limite, pode-se utilizar o teorema
de Poincaré-Bendixon (Monteiro, 2006), que afirma:
Seja um sistema dinâmico autônomo, dado por
)(xfx =
em
2
R
, com
.
2
Cf ∈ Se uma trajetória ̛ desse sistema estiver contida em uma
região D fechada, limitada e não vazia do espaço de fases, e se nessa
região não existirem pontos de equilíbrio, então essa trajetória ̛ ou é
uma trajetória fechada ou se aproxima de uma trajetória fechada,
quando ∞→t
Uma região fechada no espaço de fase, que atenda as condições do teorema de
Poincaré-Bendixon, pode ser construída como segue.
Seja
1e0 <<>
εε
e considere
µ
ε
α
+=
s
k e
µ
ε
α
−−=
i
k . Verifica-se que para
s
kk <<0 tem-se
0<−−=
εµαφµα
cos
dt
dk
e para
i
kk >>0 , resulta em
0>++=
εµαφµα
cos
dt
dk
. Dessa forma a componente vetorial paralela ao eixo k
aponta para o interior da região dada por
+
ℜ×+−− ),(
µ
ε
α
µ
ε
α
. Como não há ponto
de equilíbrio nessa região, pois para
α
ω
> não há equilíbrio, pelo teorema de
Poincaré-Bendixon há uma trajetória fechada no interior da região que é orbitalmente
assintoticamente estável, como pode ser observado na figura 5.2.
Como o campo vetorial é periódico em
φ
com período 2ʌ, pode-se analisar o
comportamento do fluxo olhando apenas para o que ocorre no retângulo dado por
)2,0[),(
π
µ
ε
α
µ
ε
α
×+−− .
46/79
Figura 5.2 Ciclo limite.
Quando um parâmetro de um sistema dinâmico passa por um valor crítico e ocorre
uma modificação do retrato de fase, indo de uma situação de existência de equilíbrio
para o surgimento de um ciclo-limite, ocorre um tipo de bifurcação que é denominada
bifurcação de Hopf (Monteiro, 2006).
Quando
ω
supera ,
α
ocorre uma alteração não suave no retrato de fases: para
α
ω
<
não há ciclo-limite, mas para
α
ω
>
passa a existir um ciclo-limite. Isso caracteriza a
ocorrência de uma bifurcação de Hopf em .
α
ω
=
5.1.1 Caracterização do ciclo-limite
Pela simulação, para o caso em que
α
ω
>
(figura 5.1), verifica-se que )(t
φ
tem um
crescimento linear enquanto )(tk oscila, o que corresponde ao ciclo-limite. Pode-se,
então, supor que Att
A
≅)(
φ
. Nesse caso:
47/79
kAt
dt
dk
µµα
−≅ )cos(
Integrando, obtém-se:
)sin()cos(.)0()(
222222
Ate
A
A
e
A
eAte
A
eektk
tttttt
ϖµµϖµµ
µµ
µ
µα
µ
µ
µα
µ
µ
µα
+
+
+
−
+
+=
−−−−
que para ∞→t resulta em:
)sin()cos()(
2222
2
At
A
A
At
A
tk
A
+
+
+
≅
µ
µα
µ
αµ
sendo )(tk
A
o comportamento assintótico de ).(tk
Fazendo-se
B
µ
φ
=cos
e
B
A
=
φ
sin
e substituindo na equação acima, obtém-se:
)cos()(
22
φ
µ
µα
−
+
≅ At
A
tk
A
(5.1)
A seguir, determina-se a relação entre a inclinação A e os parâmetros ΅,
ɓ
e ΐ. Dado o
sistema:
°
¯
°
®
−
+
≅
≅
)cos(
22
φ
µ
µα
φ
At
A
k
At
A
A
e sabendo-se que:
φω
φ
sin2k
dt
d
−=
pode-se obter:
)sin)2(sin(
2
1
.
2
22
φφ
µ
µα
ω
+−
+
−≅ At
A
A
48/79
Como a função
)2sin(
φ
−At
tem média nula e como
22
sin
A
A
+
=
µ
ϕ
resulta em:
0)(
2223
=−++−
ωµµαµω
AAA (5.2)
Resolvendo essa equação, obtém-se numericamente o valor de A.
5.1.2 Validação com os resultados numéricos
Para verificar a validade de (5.2) para se estimar o valor de A, considere 1=
µ
,
2=
α
. As raízes do polinômio (5.2) obtidas numericamente para diferentes valores de
ω
são mostras na tabela abaixo.
Tabela 5.2 Raízes do polinômio (5.2).
Ν A
2.2 1.22
5.0 4.58
10 9.8
A amplitude de k(t), dada por
22
A+
µ
µα
, obtida de (5.1), é calculada para esses
valores, conforme mostra a tabela (5.3).
Tabela 5.3 A amplitude de k(t).
Ν A
Amplitude de k(t)
2.2 1.22 1.27
5.0 4.58 0.43
10 9.8 0.20
49/79
Verifica-se, então, que à medida que Ν cresce, a amplitude de k(t) diminui e A tende
para
Ν, ou de outra forma, se Ν >>1, então A ǔ Ν + NJ, sendo |NJ| << 1.
Substituindo A = Ν + NJ em (5.2), obtém-se que:
µαµω
µ
α
ω
++
−≅∆
22
resultando em:
µαµω
ωµω
++
+
=
22
23
A (5.3)
cuja adequação pode ser verificada na tabela a seguir.
Tabela 5.4 Comparação das inclinações.
Ν NJ
A (obtido de 5.3) A (obtido de 5.2)
2.2 -0.56 1.6 1.22
5.0 -0.35 4.65 4.58
10 -0.19 9.8 9.8
Pode-se verificar que a expressão (5.3) dá uma boa aproximação para as raízes do
polinômio (5.2), conforme Ν aumenta.
A amplitude de k, para ∞→
ω
, vale:
( )
( )
( )
2
23
2
232
232
2
232
23
2
2
1
1
deAmplitude
ωµωαµµµω
αµµµωα
αµµµω
ωµω
α
µ
α
++++
++
≅
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
++
+
+
≅
+
=
A
k
Se ∞→
ω
, então a amplitude de k vale aproximadamente
ω
α
µ
.
50/79
Essa expressão é compatível com os valores obtidos numericamente a partir das raízes
da equação (5.2) como pode ser verificado abaixo, para 1=
µ
, 2=
α
, quando Ν >>1.
Tabela 5.5 Comparação das amplitudes.
Ν
22
A+
µ
µα
ω
α
µ
2.2 1.27 0.91
5.0 0.43 0.40
10 0.20 0.20
Portanto, se
ω
é grande, obtém-se a situação ilustrada na figura 5.3: k oscila com
período
A
π
2
e amplitude
ω
α
µ
e
φ
cresce linearmente com coeficiente angular A.
k
t
φ
t
2
π
/A
αµ
/
ω
α
tan
α
= A
-
αµ
/
ω
Figura 5.3 Características do ciclo limite obtidas para k = 0.4 , A = 0.3, 1=
µ
, 2=
α
.
Esses resultados analíticos são usados na construção da rede que detecta a borda de
figuras, apresentada no próximo capítulo.
51/79
6 EXTRAÇÃO DO CONTORNO DE FIGURAS
O sincronismo de osciladores acoplados dinamicamente pode ser utilizado para
processos de reconhecimento. Para mostrar isso, apresenta-se a seguir uma aplicação
que se refere ao reconhecimento de contornos de figuras no plano.
Considere uma unidade composta por dois osciladores de fase acoplados
dinamicamente, representada conforme diagrama da figura 6.1, sendo válido o sistema
de equações diferenciais (4.4):
Figura 6.1 Unidade de processamento.
Essa unidade pode ser representada de forma sintética conforme apresentado na figura
6.2.
Figura 6.2 Representação da unidade de processamento.
A essa unidade, adiciona-se uma entrada na fase, denominada I, ficando o modelo
com o seguinte aspecto:
Ό
1
Ό
2
k
21
k
12
Ό,k
52/79
k
dt
dk
ksenI
dt
d
µφµα
φω
φ
−=
−+=
cos
2)(
(6.1)
Fazendo Ω≡+ I
ω
, tem-se que:
se
α
<Ω , há sincronismo, com
φ
atingindo um regime constante;
se
α
>Ω , não há sincronismo, passando a existir oscilação, com
φ
crescendo
com o tempo.
6.1 Representação das figuras
Considere que figuras são representadas em uma região retangular plana, subdividida,
por exemplo, em sete faixas horizontais e sete faixas verticais, formando um
reticulado, apresentando quarenta e nove unidades conforme ilustrado na figura 6.3.
Figura 6.3 Reticulado para representação de figuras.
53/79
Cada pequeno retângulo está preenchido com cor preta ou branca, e as figuras a serem
consideradas serão aquelas formadas somente pelos retângulos pretos, sendo os
retângulos brancos a cor de fundo. Na figura 6.4, apresenta-se um exemplo de figura
representada no reticulado.
Figura 6.4 Exemplo de figura representada no reticulado.
A cada unidade do reticulado, que denomina-se de célula, associa-se uma unidade de
processamento, ilustrada na figura 6.2, com os seguintes valores para os parâmetros:
11,,2 ===
ω
µ
α
.
Uma célula do reticulado se conecta a outras quatro de sua vizinhança, conforme a
figura 6.5.
Figura 6.5 Conexão das células do reticulado.
54/79
Esse padrão de conexão é denominado vizinhança de von Neumann, comumente
utilizada em autômatos celulares (Wolfram, 2002). Nesse tipo de conexão mostrada
na figura 6.6, cada célula (X
0
, Y
0
) do reticulado conecta-se com as células da
vizinhança {(X,Y) / |X – X
0
| + |Y – Y
0
| = 1}.
Figura 6.6 Vizinhança de von Neumann da célula central.
Cada célula é uma unidade formada por dois osciladores de fase com acoplamento
dinâmico entre eles, representada como mostrado na figura 6.7.
Figura 6.7 Representação interna da célula processadora e de suas entradas e saídas.
A entrada externa I é adicionada à diferença de freqüências
12
ω
ω
ω
−= , conforme
(6.1). As saídas S
i
são o valor de k. Cada entrada E
i
é o valor de k da célula i,
pertencente à vizinhança.
1 2
I
k
S
1
S
2
S
3
S
4
E
1
E
2
E
3
E
4
ɓ
1
,
ɂ
1
ɓ
2
,
ɂ
2
55/79
6.2 Forma de operação da rede
Uma figura, a ter seu contorno reconhecido, é registrada no reticulado através da
entrada I de cada célula, sendo que para a cor branca é associado o valor 0 (zero) para
I e a cor preta é associada com o valor 9 (nove).
Inicialmente, as células estão desacopladas e os valores de entrada I, fornecidos para
cada uma, leva, após um período transiente, a um comportamento assintótico. O
comportamento assintótico é de equilíbrio, para
1=Ω
, representado no reticulado
pela cor branca, ou oscilatório (ciclo-limite), para 10=Ω , conforme (6.1),
representado no reticulado pela cor preta.
Após se atingir o regime permanente, cada célula é acoplada com as suas vizinhas de
lados comuns (vizinhança de von Neumann). Através desse acoplamento, o valor de
α
é modificado como se apresenta a seguir.
O valor de ΅ de uma célula não é alterado se:
1) a célula não possui quatro células vizinhas (encontra-se na borda do
reticulado);
2) a célula central está estacionária (cor branca);
3) a célula central é oscilatória (cor preta) e tem no máximo três células vizinhas
também oscilando (cor preta).
O valor de ΅ de uma célula é alterado, de ΅ = 2 para ΅ = 20, se:
1) a célula e suas quatro vizinhas têm atividade oscilatória (cor preta).
Nesse caso, a célula central passa de um regime oscilatório para um regime
estacionário (cor branca), pois
α
<Ω .
56/79
A seguir, ilustram-se as de mudança de estados das células em função das regras
definidas.
A imagem mostrada na figura 6.8 não tem célula alguma alterada após o acoplamento
entre as unidades, pois nenhuma célula que está oscilando (cor preta) possui quatro
vizinhas também oscilando.
Figura 6.8 Células sem quatro vizinhas oscilando (cor preta).
A imagem mostrada na figura 6.9 não tem nenhuma célula alterada, pois células de
borda não são alteradas.
Figura 6.9 Células na borda não são alteradas.
Após o acoplamento entre as unidades, a imagem (a) é alterada para imagem (b) na
figura 6.10, pois há uma célula central oscilando (cor preta) com as quatro vizinhas
também oscilando.
57/79
Figura 6.10 Alteração de célula oscilando com as quatro vizinhas também oscilando.
6.3 Simulação
Para verificar experimentalmente o comportamento do processo proposto para
reconhecimento do contorno, foi elaborado um programa, apresentado no apêndice 3,
implementando as regras descritas para o acoplamento entre as unidades, para
simulação da rede formada pelas 49 células do reticulado.
O programa simulador foi executado para a imagem mostrada na figura 6.11.
Figura 6.11 Figura utilizada para a extração do contorno no simulador.
Os dados correspondentes à figura 6.11 foram fornecidos ao simulador, que após
processá-los, conforme as condições descritas no apêndice 1, produziu a imagem
mostrada na 6.12.
(a) (b)
58/79
Para mostrar o processamento de cada célula e o estado resultante, o simulador
também gerou a figura 6.13, que exibe para cada célula o gráfico de sua evolução no
tempo. Para as células de cor branca da figura 6.12, o gráfico correspondente, na
figura 6.13, mostra que essas células convergiram para uma solução estacionária. Para
as células de cor preta, os gráficos mostram que resultaram em uma solução
oscilatória.
Figura 6.12 Figura utilizada para a extração do contorno no simulador.
59/79
Figura 6.13 Evolução temporal de cada célula do reticulado após a inserção da
imagem, apresentada na figura 6.11, no simulador.
Na etapa seguinte de seu processamento, o simulador realizou o acoplamento das
células, conforme as regras definidas, realizando o reconhecimento do contorno, que
resultou na geração da imagem mostrada na figura 6.14. A figura 6.15 exibe a
evolução do estado das células após o acoplamento das mesmas.
60/79
Figura 6.14 Contorno identificado na execução da simulação da rede para a
imagem da figura 6.11.
61/79
Figura 6.15 Evolução temporal de cada célula do reticulado após o
acoplamento das células.
6.4 A influência dos valores dos parâmetros na velocidade de
detecção
As figuras 6.16, 6.17 e 6.18 mostram a influência dos valores dos parâmetros
ω
µ
α
e, na evolução temporal da variável k(t). Verifica-se que o tempo do
transiente é reduzido, à medida que ΐ cresce. Para o simulador utilizou-se ΐ = 1.. O
valor usado mostrou-se adequado para se atingir o estado quiescente no intervalo de
tempo usado para integração (t = 20).
Pode-se observar que os valores de
ω
α
e utilizados não causam influência tão
significativa quanto ΐ. A figura 6.16 refere-se às células brancas antes do
acoplamento, para Ȧ = 1 e ΅ = 2. A figura 6.17 refere-se às células pretas antes do
acoplamento, para Ȧ = 10 e ΅ = 2. A figura 6.18 refere-se às células inicialmente
pretas, que foram convertidas em células brancas após o acoplamento, sendo utilizado
62/79
Ȧ = 10, ΅ = 20. Note que a duração do transiente parece depender apenas do valor de
ΐ: quanto maior ΐ, menor o transiente.
Figura 6.16 Evolução temporal para Ȧ = 1, ΅ = 2, k(0) = 5, Κ(0) = 0 e com
diferentes valores de ΐ.
Figura 6.17 Evolução temporal para Ȧ = 10, ΅ = 2, k(0) = 5, Κ(0) = 0 e com
diferentes valores de ΐ.
63/79
Figura 6.18 Evolução temporal para Ȧ = 10,
΅ = 20, k(0) = 5, Κ(0) =G0 e com
diferentes valores de ΐ.
64/79
7 CONCLUSÃO
A inclusão de dinamismo no acoplamento de dois osciladores de fase mostrou ser
capaz de oferecer um mecanismo de memorização que respeita a lei de Hebb: quando
as freqüências estão próximas, o acoplamento se reforça e ocorre o sincronismo e
quando as freqüências se distanciam o acoplamento se enfraquece e surge um ciclo-
limite.
Com base nesse comportamento, foi construída uma unidade processadora formada
por dois osciladores acoplados dinamicamente com a capacidade de memorizar dois
estados.
Uma rede composta por 49 unidades conectadas segundo uma vizinhança de von
Neumann e sensibilizada por sinais de entrada representando uma imagem
bidimensional, foi capaz de manter sincronizadas as unidades correspondentes ao
contorno da figura, após se atingir o regime permanente, depois de aplicada as regras
acoplamento entre as unidades.
A tecnologia de estado sólido atingiu uma grande sofisticação industrial, capaz de
produzir componentes com alto grau de integração e complexidade. Com base nessa
tecnologia é possível a produção de componentes dotados de grande quantidade de
unidades osciladoras, conforme apresentado. Vários desses componentes atuando em
paralelo, cada um responsável pelo tratamento de uma cor do espectro visível, e
alimentados com sinais obtidos de uma mesma cena ou imagem, através de filtros,
poderiam ser usados para mapear os contornos correspondentes. Esse processo
poderia ocorrem em tempo real, sem uso de algoritmos, para realizar, por exemplo,
segmentação de imagens anatômicas em equipamentos de análise.
Verifica-se assim que processos biológicos naturais oferecem inspiração para a
solução de problemas reais de engenharia de forma mais direta e talvez mais
econômica que a abordagem computacional tradicional.
65/79
Uma continuação seria tentar encontrar analiticamente as bacias de atração dos pontos
de equilíbrio e do ciclo-limite em função dos parâmetros do sistema. A ocorrência de
situação em que pontos de equilíbrio existem concomitantemente com o ciclo-limite
exige um exame cuidadoso das condições iniciais de forma que o reconhecedor
sempre opere dentro das condições desejadas.
A criação de interfaces gráficas que ilustrem a dinâmica de funcionamento da rede,
permitindo a manipulação dos parâmetros do processo de extração de contorno, é um
caminho natural. Algumas possibilidades seriam a inclusão das imagens para
reconhecimento, através de um processo de “cortar e colar” no reticulado e o
tratamento de cores. Essa ferramenta teria também utilidade didática para
entendimento do processo.
66/79
APÊNDICE 1
Condições iniciais para as simulações
Uma questão que naturalmente surge, após o estabelecimento da estabilidade local de
uma solução, é a identificação de suas bacias de atração. Isso é importante para
determinar condições iniciais úteis para uso nas simulações para as quais a rede possa
detectar a borda do padrão codificado através do sincronismo.
As simulações para determinar a extensão das bacias de atração para os pontos de
equilíbrio
++
k
e
+−
k
dados por:
)/11(
2
22
2
αω
α
−+=
++
k e )/11(
2
22
2
αω
α
−+−=
+−
k
sendo Ȧ = 1, ΅ = 2 e ΐ = 1, podem ser visualizadas na figura A1.1 e A1.2,
respectivamente. São regiões de difícil determinação analítica. As trajetórias
simuladas são atraídas para próximo das isóclinas nulas e daí dirigem-se para os
respectivos pontos de equilíbrio.
Figura A1.1 Bacia de atração para o ponto
++
k .
67/79
Figura A1.2 Bacia de atração para o ponto
+−
k .
Explorando valores próximos de (0,0), verifica-se que o sistema não converge para o
ciclo-limite, conforme mostra a figura A1.3.
Figura A1.3 Convergência para pontos de equilíbrio a partir de condições
iniciais em torno da origem.
68/79
Esse resultado permite a utilização de ),(
00
k
φ
com qualquer valor para Ȧ = 1, ΅ = 2 e
ΐ = 1.
Para o detector de contornos, os valores usados são Ȧ + I = ̛ = 10 , ΅ = 20 e ΐ = 1.
Nessa situação, ocorre a co-existência de ciclo-limite assintoticamente estável e
pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis, conforme a figura A1.4.
Figura A1.4 Ciclo-limite e pontos de equilíbrio.
Por exemplo, para
)5,0())0(),0(( =k
φ
, converge-se para uma solução estacionária.
Para
)0,0())0(),0(( =k
φ
, converge-se para a solução periódica. Esses resultados estão
ilustrados nas figuras A1.5 e A1.6.
69/79
Figura A1.5 Convergência para solução estacionária.
Figura A1.6 Convergência para solução periódica.
70/79
Pelas figura A1.7, A1.8 e A1.9, verifica-se que o regime permanente é atingido após
t > 8. Nas simulações com o detector de contornos, as equações diferenciais foram
integradas até t = 20, tempo suficiente para que o transiente fosse eliminado.
Figura A1.7 Evolução temporal para Ȧ = 1, ΅ = 2, ΐ = 1, k(0) = 5,
Κ(0) =G0 (cor branca de entrada).
Figura A1.8 Evolução temporal para Ȧ = 10, ΅ = 2, ΐ = 1, k(0) = 5,
Κ(0) dG0 (cor preta de entrada).
71/79
Figura A1.9 Evolução temporal para Ȧ = 10, ΅ = 20 e ΐ = 1 k(0) = 5,
Κ(0)GdG0 (cor preta convertida em branca).
72/79
APÊNDICE 2
Modelo de simulação para o sistema de equações
Para a realização da simulação numérica do sistema (4.4) foi construído o modelo
apresentado na figura A2.1. utilizando o Simulink.
Figura A2.1 Modelo para simulação
Programa para geração dos gráficos
Para investigar o modelo mostrado na figura A.2, foi elaborado o programa abaixo
para geração de gráfico de uma simulação, utilizando-se o Matlab 7.0.
clear alfa u k_0 q_0 w
alfa = 2;
u = 1;
k_0 = 0;
q_0 = 0;
w_value = [1.0 1.4 1.8 2.2];
h1 = figure;
h2 = figure;
for count=[1, 2, 3, 4]
w = w_value(count);
sim('modelo_01');
figure(h1);
%grafico de q (phi)
posq = 2*count-1
subplot(4,2,posq);
plot(t,q.signals.values)
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xlabel(['t', int2str(posq)])
ylabel('q')
%grafico de k
posk = 2*count;
subplot(4,2,posk);
plot(t,k.signals.values)
xlabel(['t',int2str(posk)])
ylabel('k')
figure(h2)
subplot(4,1,count);
plot(q.signals.values,k.signals.values)
end
Rotina para simulação do modelo
A simulação do modelo (4.4), cujos gráficos estão apresentados no capítulo 4, foi
executada para diferentes valores da variável Ȧ (diferença das freqüências naturais
dos osciladores), conforme a rotina abaixo:
w = [1.0 1.4 1.8 2.2]
% Calcula os k´s
a = 2.0;
sq2 = sqrt(2);
k_11 = zeros(1,4);
k_01 = zeros(1,4);
k_10 = zeros(1,4);
k_00 = zeros(1,4);
k = zeros(4:4);
w = [1.0 1.4 1.8 2.2];
for i=[1:4]
wa = w(i)^2/a^2;
k_11(i) = a/sq2*sqrt(1+sqrt(1-wa));
k_01(i) = -a/sq2*sqrt(1+sqrt(1-wa));
k_10(i) = a/sq2*sqrt(1-sqrt(1-wa));
k_00(i) = -a/sq2*sqrt(1-sqrt(1-wa));
end
for i=[1:4]
k(1,i) = k_11(i);
k(2,i) = k_01(i);
k(3,i) = k_10(i);
k(4,i) = k_00(i);
end
74/79
APÊNDICE 3
Rotina do extrator de contornos
Para a execução da simulação do reconhecimento da figura no reticulado, conforme
capítulo 6, foi utilizada a rotina abaixo:
%Extracao de contorno de figura com rede de osciladores acoplados
dinamicamente
clear all
%Constantes
alfa_cte = 2;
u = 1;
k_0 = 5;
q_0 = 0;
w_cte = 1.0;
%Entrada
nLin = 7;
nCol = 7;
%Valores de entrada com a figura
I = [0 0 0 0 0 0 0;
0 9 9 9 9 9 0;
0 9 9 9 9 9 0;
0 9 9 9 9 9 0;
0 0 0 0 0 9 0;
0 0 0 9 9 9 0;
0 0 0 0 0 0 0];
S = ones(nLin,nCol);
S = alfa_cte * S;
Out1 = zeros(nLin,nCol);
Out2 = zeros(nLin,nCol);
%Para cada celula obtem o comportamento assintotico de k(t) para t-
>inf
%Variaveis do modelo_01: alfa, w, u.
for i=1:nLin
for j=1:nCol
w = w_cte + I(i,j); %Acrescenta entrada
alfa = S(i,j);
sim('modelo_01');
%Salva resultado dos osciladores
R(7*(i-1)+j,:) = k.signals.values;
if abs(k.signals.values(2000) - k.signals.values(1999)) >
0.0001 %regime oscilatorio
Out1(i,j) = 1;
else %regime estacionario
Out1(i,j) = 0;
end
end
end
%Apresenta figura inicial
figure
Reticulado(Out1);
%Apresenta situacao dos osciladores apos input da figura
figure
for n_pos = [1:49]
subplot(7,7,n_pos);
plot(t,R(n_pos,:));
75/79
end
%Acopla os osciladores e altera alfa quando necessario
%Todo S ja esta com alfa_cte
for i=2:nLin-1
for j=2:nCol-1
if Out1(i,j)+ Out1(i-1,j)+ Out1(i+1,j) + Out1(i,j-1)+
Out1(i,j+1) == 5
S(i,j)= 20;
end
end
end
k_0 = 5;
q_0 = 0;
%Para cada celula obtem o comportamento assintotico de k(t) para t-
>inf
for i=1:nLin
for j=1:nCol
w = w_cte + I(i,j);
alfa = S(i,j);
sim('modelo_01');
%Salva resultado dos osciladores
R(7*(i-1)+j,:) = k.signals.values;
if abs(k.signals.values(2000) - k.signals.values(1999)) >
0.0001 %regime oscilatorio
Out2(i,j) = 1;
else %regime estacionario
Out2(i,j) = 0;
end
end
end
%Apresenta figura final
figure
Reticulado(Out2);
%Apresenta situacao dos osciladores apos reconhecimento do contorno
figure
for n_pos = [1:49]
subplot(7,7,n_pos);
plot(t,R(n_pos,:));
end
%--------------------------------------------------
function Reticulado(X)
%--------------------------------------------------
cla;
nLin = 7;
nCol = 7;
for i=1:nLin
for j=1:nCol
if X(i,j)==1 %blacK
rectangle('Position', [j-1 nLin-i 1 1], 'FaceColor', 'k');
elseif X(i,j)==0 %White
rectangle('Position', [j-1 nLin-i 1 1], 'FaceColor', 'w');
end
end
end
set(gca, 'XLim', [0 nCol], 'XTick', []);
set(gca, 'YLim', [0 nLin], 'YTick', []);
end %function Reticulado
%----------------------------------------------------
76/79
BIBLIOGRAFIA
[1] Al-Taani, A. (2005). An efficient feature extraction algorithm for the
recognition of handwritten arabic digits. International Journal of
Computational Intelligence, 2, 107-111.
[2] Ariaratnam, J., Strogatz, S. (2001). Phase diagram for the Winfree model of
coupled nonlinear oscillators. Physical Review Letters 86, 4278-4281.
[3] Berlinski, D. (2000). The Advent of Algorithm: The Idea that Rule The World.
Harcourt.
[4] Blumenstein, M., Verma, B., Basli, H. (2003). A novel feature extraction
technique for the recognition of segmented handwritten characters.
Proceedings of the 7h International Conference on Document Analysis and
Recognition, 137-141.
[5] Brooks, A. (1991). Intelligence without reason. Proceedings of the 12th
International Joint Conference on Artificial Intelligence, 569-595.
[6] Caudill, M. (1990). Neural Network Prime. Miller Freeman.
[7] Caudill, M. (1992). The view from now. AI Expert, Junho, 24-31.
[8]
Engel, A., Kreiter, A., König, P., Singer, W. (1991). Synchronization of
oscillatory neuronal responses between striate and extrastriate visual cortical
areas of the cat. Proceedings of National Academy of Sciences USA, 88,
6048–6052.
[9]
Engel, A., Konig, P., Schillen, T. (1992). Why does the cortex oscillate?
Current Biology 6, 332-334.
[10] Felzenszwalb, P., Huttenlocher, D. (2004). Efficient graph-based image
segmentation. International Journal of Computer Vision, 59.
[11] Gray C., Singer, W. (1989). Stimulus-specific neuronal oscillations in
orientation columns of cat visual cortex. Proceedings of National Academy of
Sciences USA, 86, 1698-1702.
77/79
[12] Gray, C. (1999). The temporal correlation hypothesis of visual feature
integration: still alive and well. Neuron 24, 31-47.
[13] Guyton, A. C. (1988). Fisiologia Humana. Guanabara Koogan, 6 ed.
[14] Hoppensteadt, F., Izhikevich, E. (1999). Oscillatory neurocomputers with
dynamic connectivity. Physical Review Letters 82, 2983-2986.
[15] Hoppensteadt, F., Izhikevich, E. (1996). Synaptic organization and dynamical
properties of weakly connected oscillators. Biological Cybernetics 75, 117-
127.
[16] Jain, A., Mao, J., Mohiuddin, K. (1996). Artificial neural networks: a tutorial.
IEEE Computer 29, 31-44.
[17] Joshi, G., Sivaswamy, J. (2006). A simple scheme for contour detection. First
International Conference on Computer Vision Theory and Applications, 236-
242.
[18] Kourtzi, Z., Kanwisher, N. (2000). Cortical regions involved in perceiving
object shape. The Journal of Neuroscience, 1, 3310-3318.
[19]
Kuramoto, Y. (1984). Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence.
Springer-Verlag.
[20] MacLennan, B. (2004). Natural computation and non-Turing models of
computation. Theoretical Computer Science 317, 115-145.
[21] Malmivuo, J., Plonsey, R. (1995). Bioelectromagnetism: Principles and
Applications of Bioelectric and Biomagnetic Fields. Oxford University Press.
[22]
Markovic, D., Gelautz, M. (2004). Experimental combination of intensity and
stereo edges for improved snake segmentation. Seventh International
Conference on Pattern Recognition and Image Analysis, 18-23.
[23] Malsburg, C. (1999). The what and why of binding: the modelers perpective.
Neuron 24, 95-104.
78/79
[24] McCulloch, W., Pitts, W. (1943). A logical calculus of the ideas immanent in
nervous activity. Bulletin of Mathematical Biophysics 5, 115-133.
[25] Monteiro, L. (2005). Estudos Analíticos em Redes Neurais e Redes de
Telecomunicações. Tese de Livre Docência (Universidade de São Paulo).
[26] Monteiro, L. (2006). Sistemas Dinâmicos. Editora Livraria da Física, 2ed.
[27] Neumann, H., Mingolla, E. (2003). Contour and surface perception. In M.A.
Arbib (Ed.), Handbook of Brain Theory and Neural Networks, II. MIT Press.
[28] Paun, G. (2005). Bio-inspired computing paradigms (natural computing).
Lecture Notes in Computer Science 3566, 155-160.
[29] Paik, J., Lee, C., Abidi, M. (2002). Image processing-based mine detection
techniques using multiple sensors: a review. Subsurface Sensing Technologies
and Applications, 3, 153-202.
[30] Ritter, H., Schulten, K. (1992). Neural Computation and Self-Organizing
Maps - An Introduction. Addison-Wesley.
[31] Roskies, A. (1999). The binding problem. Neuron 24, 7-9.
[32] Seliger, P., Young, S., Tsimiring, L. (2002). Plasticity and learning in a
network of coupled phase oscillators. Physical Review E 65, 041906. 1-7.
[33] Shapiro, L., Stockman, G. (2001). Computer Vision. Prentice Hall.
[34] Singer, W. (1999). Neuronal synchrony: a versatile code for the definition of
relations. Neuron 24, 49-65.
[35] Sowa, J. (1984). Conceptual Structures. Massachusetts, Addison-Wesley.
[36] Strogatz, S. (2000). From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of
synchronization in populations of coupled oscillators. Physica D 143, 1–20.
[37] Suda, T., Moore, M., Nakano T., Egashira R., Enomoto A. (2005). Exploratory
research on molecular communication between nanomachines. Genetic and
Evolutionary Computation Conference.
79/79
[38] Thompson, W., Thoenen, G., Moore, R., Henderson, T. (1998). Extraction of
micro-terrain features. Proceedings of IMAGE 1998 Conference.
[39] Wolfram, S. (2002). A New Kind of Science. Wolfram Media Inc.
Livros Grátis
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