ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
Simulação Fluidodinâmica Computacional
de Processos de Separação por
Membranas
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Cleiton Bittencourt da Porciúncula
Porto Alegre
2007
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
Simulação Fluidodinâmica Computacional
de Processos de Separação por
Membranas
Cleiton Bittencourt da Porciúncula
Dissertação de Mestrado apresentada como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre
em Engenharia Química
Área de concentração: Fenômenos de Transporte e
Operações Unitárias
Orientadoras:
Prof
a
. Dr
a
. Lígia Damasceno Ferreira Marczak
Prof
a
. Dr
a
. Isabel Cristina Tessaro
Porto Alegre
2007
ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação Simulação
Fluidodinâmica Computacional de Processos de Separação por Membranas,
elaborada por Cleiton Bittencourt da Porciúncula, como requisito parcial para
obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Química.
Comissão Examinadora:
Prof. Dr. Argimiro Resende Secchi – DEQUI / UFRGS
Prof. Dr. Nilo Sérgio Medeiros Cardoso – DEQUI / UFRGS
Prof. Dr. Álvaro Luiz de Bortoli – DMPA / UFRGS
Agradecimentos
A todos os que me ajudaram nesta jornada.
“Sou como um menino que se diverte
achando uma concha mais bonita aqui e ali,
enquanto que o grande oceano da Verdade
permanece indiferente à minha frente.”
Sir Isaac Newton
Resumo
Nos últimos anos, os processos de separação por membranas têm recebido
atenção especial frente a outras alternativas de operações unitárias de separação. Isto se
deve às várias características únicas típicas destes processos, o que os torna muito
competitivos economicamente quando comparados com processos de separação já bem
estabelecidos. A alta seletividade, flexibilidade de operação, maior facilidade para a
separação de compostos termolábeis, dentre outras vantagens, trazem como
conseqüência o uso das membranas como alternativas promissoras em vários ramos da
Engenharia Química, e até mesmo em diversas áreas do conhecimento, tais como
Medicina, Farmácia, Biotecnologia, Indústria Aeroespacial, dentre muitas outras.Aliada
a estas características, as técnicas de simulação fluidodinâmica têm também crescido,
principalmente devido ao aumento na capacidade de processamento dos computadores
modernos. Por causa da ainda recente impossibilidade de obter-se uma solução analítica
completa para a grande maioria dos escoamentos, as técnicas numéricas, quando
combinadas com o pré-processamento (definição do problema físico e condições de
contorno), processamento (solução das equações governantes) e pós-processamento
(visualização e análise dos resultados), permitem a solução dos mais diversos tipos de
problemas. No caso dos processos de separação envolvendo membranas, o grande
interesse está focado no comportamento da camada limite de polarização por
concentração, o qual é um fenômeno que comumente causa alguns problemas. Desta
forma, o uso de uma ferramenta para a resolução de escoamentos complexos torna
possível a compreensão destes fenômenos, aumentando em muito a qualidade do
projeto e de possíveis tomadas de decisões em processos de separação envolvendo
membranas.Neste trabalho, um programa de simulação fluidodinâmica comercial,
chamado CFX, foi utilizado para realizar uma série de simulações de processos de
separação com membranas, comparando-se os dados obtidos com aqueles presentes na
literatura. Foram analisados alguns estudos de caso, dentre os quais: microfiltração
tangencial de suspensão de partículas de sílica, escoamento de água em módulo de
microfiltração para diferentes geometrias e ultrafiltração de soluto macromolecular
(albumina de soro bovino ou BSA). Os resultados da microfiltração de partículas de
vii
sílica e da ultrafiltração de BSA primeiramente foram comparados com dados
experimentais, considerando-se a estrutura porosa da membrana nas simulações.
Posteriormente os mesmos sistemas foram simulados levando-se em conta apenas o
escoamento dentro do canal, e os resultados foram comparados com modelos clássicos
de previsão de fluxo permeado presentes na literatura. Uma proposta para a simulação
do fluxo através da correção do coeficiente de difusão da proteína BSA foi realizada,
pois existem muito poucos modelos que tratam dos problemas relativos à separação de
solutos de alta massa molar. Além disso, simulações de problemas envolvendo simples
escoamentos foram também realizadas, de forma a avaliar o simulador frente às
soluções analíticas destes problemas.Concluiu-se que o CFX é capaz de reproduzir
resultados experimentais e teóricos com um bom grau de concordância, e que fatores
como pressão transmembrana e parâmetros de turbulência afetam os resultados, bem
como os desvios em relação aos experimentos e modelos testados.
Abstract
In the last years, membrane separation processes have received a special
attention when compared with other unit operations of separation. This is due to several
unique features of these processes, which make them economically competitive with
other even well-established separation processes. The high selectivity, the operation
flexibility, the separation of thermo labile compounds, among other advantages, make
the use of membranes a promising alternative in several branches of Chemical
Engineering, and even in other areas of knowledge, such as Medicine, Pharmacy,
Biotechnology, Aerospace Industry, among many others. Besides, the techniques of
fluid dynamics simulation have also grown, especially due to increasing in computer
processing capacity. Because of the impossibility in obtaining a complete analytical
solution for most flow problems, a numerical procedure can be applied in order to
achieve the solution. Concerning the membrane separation processes, the great interest
is focused in the study of the concentration polarization boundary layer, a phenomenon
that commonly causes flux decline and changes in membrane retention. Thus, the use of
a tool which can be used to solve complex flow problems can help in the understanding
of these phenomena, increasing the quality of the design of separation processes with
membranes.
In this work, a commercial fluid dynamics software, CFX, was used to carry out
many membrane processes simulations, and the data obtained were compared with ones
available in the literature. The following case studies were investigated: cross flow
microfiltration of silica particles suspension, flow of water in microfiltration modules
with different geometries and ultrafiltration of macromolecular solute (bovine serum
albumin, or BSA). The results of microfiltration of silica particles suspension and
ultrafiltration of BSA were firstly compared with experimental data, considering the
porous structure of the membrane in these simulations. Later on, the same systems were
simulated taken into account only the flow within the channel, and the results were
compared with classical models for permeate flux prediction presented in the literature.
A model to simulate flux by means of the correction of the diffusion coefficient of BSA
protein was carried out, since there are only few models to treat the problems about
separation of solutes with high molar mass.
ix
It has been concluded that CFX is able to reproduce experimental and theoretical
results in a good concordance, and parameters such as transmembrane pressure and
turbulence affect the results, as well as the deviations in relation to experiments and
models tested.
x
Sumário
Resumo .....................................................................................................................................vi
Abstract ..................................................................................................................................viii
Sumário...................................................................................................................................... x
1.Introdução .............................................................................................................................. 1
2.Membranas – Fundamentos Teóricos.................................................................................. 3
2.1 Processos de Separação por Membranas .................................................................. 3
2.2 Teoria do Transporte em Membranas de Micro e Ultrafiltração............................ 11
2.2.1 Teoria da Torta .............................................................................................17
2.2.2 Teoria do Filme............................................................................................. 17
2.2.2.1 Modelo da Camada de Gel............................................................... 19
2.2.2.2 Modelo da Pressão Osmótica ........................................................... 21
2.2.2.3 Modelo das Resistências .................................................................. 23
2.2.2.4 Modelo da Difusão Hidrodinâmica Induzida por Cisalhamento...... 24
2.3 Métodos para melhoria do fluxo.............................................................................27
3.Mecânica de Fluidos Computacional – Metodologia Matemática e Revisão
Bibliográfica............................................................................................................................ 30
3.1 Visão Geral da Tecnologia CFD (Computational Fluid Dynamics) ...................... 30
3.1.1 Metodologia CFD....................................................................................32
3.1.2 Métodos de discretização numérica......................................................... 35
3.1.3 Consistência, Estabilidade e Convergência............................................. 38
3.1.4 Níveis de formulação de modelos ...........................................................38
3.2 Construção da malha............................................................................................... 40
3.3 Turbulência ............................................................................................................. 42
3.3.1 Escalas de turbulência .............................................................................43
3.3.2 Modelos de turbulência ........................................................................... 44
3.4 Aplicações de CFD em Processos de Separação por Membranas.......................... 47
4.Avaliação do Simulador e Estudos de Caso ...................................................................... 49
4.1 Estudos de avaliação............................................................................................... 49
4.1.1 Filme líquido descendente....................................................................... 49
4.1.2 Difusão em filme líquido descendente .................................................... 52
xi
4.2 Estudos de Caso – Processos de Separação por Membranas.................................. 54
4.2.1 Microfiltração tangencial de partículas de sílica ..................................... 54
4.2.2 Microfiltração tangencial com barreiras ao escoamento ......................... 59
4.2.3 Ultrafiltração de soluto macromolecular ................................................. 63
4.2.4 Ultrafiltração e a solução por similaridade.............................................. 66
5.Resultados e discussão......................................................................................................... 73
5.1 Estudos de avaliação – escoamento de filme líquido descendente......................... 73
5.2 Estudos de avaliação – difusão em filme líquido descendente............................... 75
5.3 Microfiltração tangencial de partículas de sílica .................................................... 76
5.4 Mcrofiltração tangencial com barreiras ao escoamento ......................................... 78
5.5 Ultrafiltração de soluto macromolecular ................................................................91
5.6 Ultrafiltração e a solução por similaridade............................................................. 94
6.Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros............................................................ 103
7.Bibliografia......................................................................................................................... 106
Apêndice – Resultados das Simulações............................................................................... 111
Lista de Figuras ......................................................................................................................xii
Lista de Tabelas ...................................................................................................................... xv
Lista de Símbolos, Siglas e Abreviaturas ..........................................................................xviii
xii
Lista de Figuras
Figura 2.1: Esquema do processo de separação usando membranas .............................4
Figura 2.2: Diferentes configurações do escoamento tangencial: (a) concorrente (b)
contracorrente (c) fluxo cruzado (d) mistura perfeita............................................12
Figura 2.3: Operação de fluxo transversal ...................................................................13
Figura 2.4: Comportamento do fluxo permeado em função do tempo na filtração
transversal ..............................................................................................................13
Figura 2.5: Representação da formação de torta na filtração transversal ....................13
Figura 2.6: Configurações mais comuns de módulos: (a) placa e quadro (b) espiral
(c) capilar ...............................................................................................................14
Figura 2.7: Diferentes arranjos do módulo capilar: (a) inside-out e (b) outside-in......16
Figura 2.8: Esquema de formação da torta...................................................................17
Figura 2.9: Esquema da formação do filme de concentração ......................................18
Figura 2.10: Representação da camada limite de concentração na membrana ..............18
Figura 2.11: Representação da formação da camada de gel ..........................................20
Figura 2.12: Esquema de formação da camada limite polarizada na microfiltração
tangencial...............................................................................................................25
Figura 3.1: Fluxograma para resolução de um problema utilizando CFD...................33
Figura 3.2: Representação da discretização por diferenças finitas ..............................35
Figura 3.3: Balanço de massa num volume finito........................................................37
Figura 3.4: Diferentes formatos para malhas ...............................................................40
Figura 3.5: Malha estruturada (a) e não-estruturada (b) ..............................................41
Figura 3.6: Ordenação das células em malha estruturada (a) e não-estruturada (b) ....41
Figura 3.7: Refino da malha.........................................................................................42
Figura 3.8: Adaptação da malha...................................................................................42
Figura 3.9: Flutuações de velocidade no escoamento turbulento ................................43
Figura 4.1: Escoamento de filme líquido descendente: (a) detalhe da geometria e (b)
malha gerada..........................................................................................................50
Figura 4.2: Escoamento em filme líquido descendente com transferência de massa ..52
Figura 4.3: Representação esquemática do módulo de microfiltração: (a) vista
interna da placa superior (b) vista interna da placa inferior ..................................55
Figura 4.4: Modelo simplificado de geometria do módulo de microfiltração .............56
Figura 4.5: Malha para módulo de microfiltração .......................................................58
Figura 4.6: Configurações do módulo de microfiltração: (a) sem barreira (b) pequena
barreira trapezoidal (c) grande barreira trapezoidal (d) barreiras opostas.............60
Figura 4.7: Detalhe da membrana sobre a geometria de cada módulo ........................60
Figura 4.8: Representação das malhas geradas para os diferentes módulos de
microfiltração (a) sem barreira (b) pequena barreira trapezoidal (c) grande
barreira trapezoidal (d) barreiras opostas...............................................................62
Figura 4.9: Representação da malha para simulação de ultrafiltração de BSA ...........64
Figura 4.10: Malhas para simulações bidimensionais com diferentes graus de refino
próximo à superfície da membrana (a) 2880, (b) 3840, (c) 4800, (d) 6720, (e)
8640 e (e) 9600 hexaedros.....................................................................................69
Figura 5.1: Perfil de velocidades no filme líquido descendente ..................................74
Figura 5.2: Perfil de velocidades no filme líquido descendente e perfil próximo à
parede ...................................................................................................................74
Figura 5.3: Perfil de concentração da difusão em filme líquido descendente..............75
xiii
Figura 5.4: Testes de malha na pressão de 0,5 bar e velocidade de alimentação de
0,16 m
.
s
-1
................................................................................................................76
Figura 5.5: Simulação, dados experimentais e a regressão linear realizada a partir
dos dados de RÄDER (2003) na velocidade de 0,16 m
.
s
-1
....................................77
Figura 5.6: Simulação, dados experimentais e a regressão linear realizada a partir
dos dados de RÄDER (2003) na velocidade de 1,67 m
.
s
-1
....................................77
Figura 5.7: Fluxo permeado médio para cada teste de malha ......................................79
Figura 5.8: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo sem
barreira...................................................................................................................80
Figura 5.9: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
pequena barreira trapezoidal..................................................................................80
Figura 5.10: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com grande
barreira trapezoidal ................................................................................................81
Figura 5.11: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
barreiras opostas ....................................................................................................81
Figura 5.12: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo sem
barreira – condição de contorno modificada..........................................................83
Figura 5.13: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
pequena barreira trapezoidal – condição de contorno modificada ........................83
Figura 5.14: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com grande
barreira trapezoidal – condição de contorno modificada.......................................84
Figura 5.15: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
barreiras opostas – condição de contorno modificada...........................................84
Figura 5.16: Campo de velocidades para módulo sem barreira à pressão transmembrana
de 45,5kPa..............................................................................................................86
Figura 5.17: Campo de velocidades para módulo com pequena barreira trapezoidal à
pressão transmembrana de 69,75kPa.....................................................................86
Figura 5.18: Campo de velocidades para módulo com grande barreira trapezoidal à
pressão transmembrana de 44,25kPa.....................................................................87
Figura 5.19: Campo de velocidades para módulo com obstáculos opostos, à pressão
transmembrana de 43,75kPa..................................................................................87
Figura 5.20: Campo vetorial para módulo sem barreira à pressão transmembrana de
45,5kPa. .................................................................................................................88
Figura 5.21: Campo vetorial para módulo com pequena barreira trapezoidal à pressão
transmembrana de 69,75kPa..................................................................................89
Figura 5.22: Campo vetorial para módulo com grande barreira trapezoidal à pressão
transmembrana de 44,25kPa..................................................................................89
Figura 5.23: Campo vetorial para módulo com obstáculos opostos à pressão
transmembrana de 43,75kPa..................................................................................90
Figura 5.24: Fluxo de permeado médio para cada teste de malha .................................91
Figura 5.25: Fluxo permeado versus pressão transmembrana na ultrafiltração
tangencial de BSA .................................................................................................92
Figura 5.26: Perfis de fração mássica de BSA em diferentes pressões transmebrana ...93
Figura 5.27: Perfis de fluxo de permeado para cada configuração de malha ................94
Figura 5.28: Perfis de fluxo de permeado para cada fração mássica na membrana.......95
Figura 5.29: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular. ..........................96
Figura 5.30: Perfis de fração mássica na saída canal retangular....................................96
Figura 5.31: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada
escala de turbulência, na intensidade turbulenta de 0,1%......................................98
xiv
Figura 5.32: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada
escala de turbulência, na intensidade turbulenta de 0,2%......................................98
Figura 5.33: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada
escala de turbulência, na intensidade turbulenta de 0,3%......................................99
Figura 5.34: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada
escala de turbulência, na intensidade turbulenta de 0,4%......................................99
Figura 5.35: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada
escala de turbulência, na intensidade turbulenta de 0,5%....................................100
Figura 5.36: Fluxo permeado versus intensidade turbulenta para diferentes escalas,
com f
w
= 20f
B
.....................................................................................................101
Figura 5.37: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada
escala de turbulência, na intensidade turbulenta de 0,25%..................................102
xv
Lista de Tabelas
Tabela 2.1: Alguns materiais usados em membranas de microfiltração ........................8
Tabela 3.1: Níveis de formulação de modelos .............................................................39
Tabela 3.2: Classificação dos modelos de turbulência.................................................45
Tabela 4.1: Testes de malha para microfiltração tangencial de suspensão de sílica ....57
Tabela 4.2: Faixas de pressão transmembrana testadas................................................61
Tabela 4.3: Configurações dos testes de malha para os módulos da Figura 4.6 ..........61
Tabela 4.4: Configurações dos testes de malha para módulo de ultrafiltração da
proteína BSA ...................................................................................................................64
Tabela 4.5: Configurações dos testes de malha para ultrafiltração bidimensional.......69
Tabela 5.1: Máximos desvios percentuais entre experimentos e simulações para
diferentes pressões transmembrana – I..............................................................................82
Tabela 5.2: Máximos desvios percentuais entre experimentos e simulações para
diferentes pressões transmembrana – II.............................................................................85
Tabela A.1: Perfil de velocidades no filme líquido descendente ...............................111
Tabela A.2: Perfil de concentração da difusão em filme líquido descendente...........112
Tabela A.3: Valores de fluxo de permeado médio para cada teste de malha –
microfiltração de suspensão de sílica.......................................................113
Tabela A.4: Valores de fluxo de permeado versus pressão transmembrana
experimentais e de simulação para velocidade de entrada igual a 0,16
m
.
s
-1
.........................................................................................................113
Tabela A.5: Valores de fluxo de permeado versus pressão transmembrana
experimentais e de simulação para velocidade de entrada igual a 1,67
m
.
s
-1
..........................................................................................................113
Tabela A.6: Fluxo de permeado médio para cada teste de malha – microfiltração com
e sem barreiras .........................................................................................114
Tabela A.7: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo sem barreira
– condição de interface ............................................................................114
Tabela A.8: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
pequena barreira trapezoidal – condição de interface..............................114
Tabela A.9: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com grande
barreira trapezoidal – condição de interface ............................................115
Tabela A.10: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
barreiras opostas – condição de interface ................................................115
Tabela A.11: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo sem barreira
– condição de contorno modificada .........................................................115
Tabela A.12: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
pequena barreira trapezoidal – condição de contorno modificada...........116
Tabela A.13: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com grande
barreira trapezoidal – condição de contorno modificada.........................116
Tabela A.14: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
barreiras opostas – condição de contorno modificada .............................116
Tabela A.15: Fluxo de permeado para cada teste de malha – ultrafiltração de BSA....117
Tabela A.16: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana na ultrafiltração
tangencial de BSA....................................................................................117
Tabela A.17: Perfis de fração mássica de BSA em diferentes pressões transmembrana
– I ............................................................................................................117
xvi
Tabela A.18: Perfis de fração mássica de BSA em diferentes pressões transmembrana
– II ...........................................................................................................118
Tabela A.19: Perfis de fluxo de permeado para cada configuração de malha –
ultrafiltração bidimensional de BSA - I ..................................................118
Tabela A.20: Perfis de fluxo de permeado para cada configuração de malha –
ultrafiltração bidimensional de BSA - II .................................................119
Tabela A.21: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 20f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica.......................................................119
Tabela A.22: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 40f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica.......................................................120
Tabela A.23: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 60f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica.......................................................120
Tabela A.24: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 80f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica.......................................................121
Tabela A.25: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 100f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica.......................................................121
Tabela A.26: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
=
0,00504....................................................................................................122
Tabela A.27: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
=
0,01008.....................................................................................................123
Tabela A.28: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
=
0,01512 ....................................................................................................124
Tabela A.29: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
=
0,02016.....................................................................................................125
Tabela A.30: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
=
0,0252.......................................................................................................126
Tabela A.31: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
=
0,00504.....................................................................................................127
Tabela A.32: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
=
0,01008.....................................................................................................128
Tabela A.33: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
=
0,01512.....................................................................................................129
Tabela A.34: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
=
0,02016.....................................................................................................130
Tabela A.35: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
=
0,0252.......................................................................................................131
Tabela A.36: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,1% ...................................................................................132
Tabela A.37: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,1% ...................................................................................132
Tabela A.38: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,1% ...................................................................................133
Tabela A.39: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,2% ...................................................................................133
xvii
Tabela A.40: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,2% ...................................................................................134
Tabela A.41: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,2% ...................................................................................134
Tabela A.42: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,3% ...................................................................................135
Tabela A.43: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,3% ...................................................................................135
Tabela A.44: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,3% ...................................................................................136
Tabela A.45: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,4% ...................................................................................137
Tabela A.46: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,4% ...................................................................................137
Tabela A.47: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,4% ...................................................................................138
Tabela A.48: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,5% ...................................................................................138
Tabela A.49: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,5% ...................................................................................139
Tabela A.50: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,5% ...................................................................................139
Tabela A.51: Fluxo de permeado médio no comprimento versus intensidade turbulenta
para diferentes escalas, com f
w
= 20f
B
....................................................140
Tabela A.52: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,25% .................................................................................140
Tabela A.53: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,25% .................................................................................141
Tabela A.54: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a
escala de turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade
turbulenta de 0,25% .................................................................................141
xviii
Lista de Símbolos, Siglas e Abreviaturas
a parâmetro da relação de Sherwood, adimensional; raio de partícula, m; constante
da relação entre pressão osmótica e concentração; constante do perfil linear de
velocidades do filme líquido descendente, s
-1
A constante de proporcionalidade entre fluxo e força motriz; área da membrana, m
2
A
m
área total da membrana, m
2
A
T
área transversal ao escoamento, m
2
b parâmetro da relação de Sherwood, adimensional
BSA Bovine Serum Albumin
c parâmetro da relação de Sherwood, adimensional
C concentração, kg
.
m
-3
C
A
concentração do componente A, kg
.
m
-3
C
1
, C
2
constantes de integração
C
A0
concentração do componente A no início da coordenada de referência, kg
.
m
-3
C
P
concentração de soluto na corrente de permeado, kg
.
m
-3
C
B
concentração de soluto no escoamento bulk, kg
.
m
-3
C
cl
concentração de soluto na camada limite, kg
.
m
-3
C
m
concentração de soluto na superfície da membrana, kg
.
m
-3
C
g
concentração da camada gel, kg
.
m
-3
C
D
coeficiente de arraste, adimensional
C
e1RNG
parâmetro do modelo RNG-k-e, adimensional
C
e1
, C
e2 ,
C
m
constantes do modelo de turbulência k-e, adimensionais
CFD Computational Fluid Dynamics
xix
d parâmetro da relação de Sherwood, adimensional; diâmetro da partícula, m
d
h
diâmetro hidráulico, m
d
p
diâmetro de partícula, m
D difusividade, m
2.
s
-1
D
difusividade adimensional
D(f) difusividade dependente de f, m
2.
s
-1
D
f
difusividade da variável f, m
2.
s
-1
D
AB
difusividade do componente A no componente B, m
2.
s
-1
D
B
difusividade browniana, m
2.
s
-1
D
corr
difusividade corrigida, m
2.
s
-1
D
eff
difusividade efetiva, m
2.
s
-1
D
0
difusividade induzida por cisalhamento, m
2.
s
-1
e constante numérica igual a 2,718281
E potencial elétrico, V; erro de truncamento nas coordenadas espaciais,
adimensional
f notação de função
f
h
parâmetro do modelo RNG-k-e, adimensional
F força motriz
F função
F
P
vazão mássica de permeado, kg
.
s
-1
F
Rt
vazão mássica supondo retenção total, kg
.
s
-1
F
cons
taxa de consumo de soluto, kg
.
s
-1
F
Reexp
vazão mássica supondo retenção experimental, kg
.
s
-1
g aceleração gravitacional, m
.
s
-2
xx
I intensidade de turbulência, adimensional
J fluxo permeado, L
.
m
-2.
h
-1
(volumétrico) ou kg
.
m
-2.
s
-1
(mássico)
J
lim
fluxo permeado limite, m
3.
m
-2.
s
-1
J
m
fluxo mássico, kg
.
m
-2.
s
-1
J
v
fluxo volumétrico, m
3.
m
-2.
s
-1
J
exp
fluxo mássico experimental, kg
.
m
-2.
s
-1
J
i
fluxo de cargas elétricas, C
.
m
-2.
s
-1
k condutividade térmica, W
.
m
-1.
K
-1
, energia cinética turbulenta, m
2.
s
-2
;
permeabilidade da lei de Darcy, m
2
, constante de Boltzmann, J
.
K
-1
k
c
coeficiente de transferência de massa, m
.
s
-1
K constante de Kozeny-Carman, m
-4
K
perda
coeficiente empírico de perda, Pa
.
m
-1
l espessura da membrana, m; escala de turbulência, m
l
d
escala dissipativa de Kolmogorov, m
L comprimento característico do módulo retangular, m
L
T
escala de turbulência, m
L
P
permeabilidade hidráulica, m
3.
m
-1.
s
-1.
Pa
-1
m
p
massa da partícula, kg
M massa molar, kg
.
kgmol
-1
n parâmetro empírico, adimensional
N número de graus de liberdade por unidade de volume
n
P
número de poros da membrana, adimensional
O erro de truncamento no tempo, adimensional
p perímetro molhado, m
xxi
P pressão, Pa
P
k
termo de produção de turbulência, kg
.
m
-1.
s
-3
P
kb
termo de produção de turbulência da força de campo, kg
.
m
-1.
s
-3
Pr
T
número de Prandtl turbulento, adimensional
PSM Processos de Separação por Membranas
q’’ fluxo de calor, W
.
m
-2
r raio do poro da membrana, m
R retenção, adimensional; resistividade elétrica, W
.
m; constante universal dos gases
perfeitos, Pa
.
m
3.
K
-1
Re número de Reynolds, adimensional
R
obs
retenção observada, adimensional
R
m
resistência intrínseca da membrana, m
-1
R
T
resistência total ao escoamento através da membrana, m
-1
R
cl
resistência da camada limite polarizada, m
-1
Re
L
número de Reynolds médio no comprimento L, adimensional
S área superficial interna total, m
2
Sc número de Schmidt, adimensional
Sh número de Sherwood, adimensional
Sc número de Schmidt, adimensional
Sc
T
número de Schmidt turbulento, adimensional
S
f
termo fonte da variável f, kg
.
m
-3.
s
-1
t tempo, s
T temperatura absoluta, K
u componente de velocidade na direção x, m
.
s
-1
xxii
U velocidade na corrente livre, m
.
s
-1
U vetor velocidade, m
.
s
-1
v componente de velocidade na direção y, m
.
s
-1
, função, escala de velocidade, m
.
s
-1
v
f
velocidade do fluido, m
.
s
-1
v
med
velocidade média, m
.
s
-1
v
max
velocidade máxima, m
.
s
-1
V
P
volume total de permeado, m
3
V
R
velocidade resultante, m
.
s
-1
v
p
velocidade da partícula, m
.
s
-1
v
y
componente de velocidade na direção y, m
.
s
-1
v
w
fluxo permeado, m
.
s
-1
w
v fluxo permeado adimensional
y
v componente de velocidade adimensional na direção y
v
z
componente de velocidade na direção z, m
.
s
-1
)(
B
v f fluxo permeado adimensional em função de f
B
w componente de velocidade na direção z, m
.
s
-1
x coordenada espacial longitudinal, m
x
comprimento adimensional do módulo retangular
x
A
, x
B
fração molar dos componentes A e B na corrente de alimentação, adimensional
y coordenada espacial transversal, m
y
coordenada espacial adimensional transversal
y
A
, y
B
fração molar dos componentes A e B na corrente de permeado, adimensional
∞ infinito
xxiii
Lista de Símbolos Gregos
a
A/B
fator de separação de uma mistura de componentes A e B, adimensional
b
RNG
parâmetro do modelo RNG-k-e, adimensional
G Função gama
d espessura da camada de torta, m, espessura da camada limite de concentração,
m; espessura do filme líquido, m
e porosidade, adimensional; taxa de dissipação de energia, m
2.
s
-3
DP diferença de pressão, Pa
Dp diferença de pressão osmótica, Pa
Dp(C
m
) diferença de pressão osmótica à concentração C
m
, Pa
Dt intervalo de tempo, s
Dx discretização na direção x
Dy discretização na direção x
h variável de semelhança; parâmetro do modelo RNG-k-e, adimensional
h(f) viscosidade dinâmica relativa da solução, adimensional
m viscosidade dinâmica, Pa
.
s
m
0
viscosidade dinâmica do fluido puro, Pa
.
s
m
T
viscosidade dinâmica turbulenta, Pa
.
s
m(f) viscosidade dinâmica dependente de f, Pa
.
s
)(
f
m
viscosidade dinâmica adimensional dependente de f
n difusividade da quantidade de movimento ou viscosidade cinemática, m
2.
s
-1
p constante numérica igual a 3,141592...; pressão osmótica, Pa
r massa específica, kg
.
m
-3
xxiv
r
p
massa específica da partícula, kg
.
m
-3
r
f
massa específica do fluido, kg
.
m
-3
s
k
, s
e,
constantes do modelo de turbulência k-e, adimensionais
S símbolo de somatório
t tensão de cisalhamento, Pa, tortuosidade dos poros da membrana, adimensional
t tensão de cisalhamento média, Pa
t
w
tensão de cisalhamento na parede, Pa
f fração mássica ou volumétrica, adimensional; função
f
B
fração mássica de soluto na corrente bulk
f
i
valor no nó “i” da função f
f
P
fração mássica de soluto na corrente de permeado bulk
f
w
fração mássica na parede, adimensional
Capítulo 1
Introdução
A necessidade de separar uma miríade de substâncias nas indústrias químicas levou ao
desenvolvimento de vários processos de separação. Dentre estes, os processos de separação
por membranas (PSM) são os mais recentes; até há aproximadamente duas décadas os
processos envolvendo membranas não eram considerados tão importantes como são hoje,
tendo se expandido para várias áreas: na indústria alimentícia (processamento de soro de
queijo, clarificação e purificação de sucos e vinhos), na indústria farmacêutica (obtenção de
enzimas, antibióticos e vitaminas), para obtenção de água potável (osmose inversa), no
tratamento de efluentes, na separação de gases de baixo ponto de ebulição, em aplicações
diversas na medicina (hemodiálise, órgãos artificiais), entre outras.
As vantagens do uso dos processos de separação com membranas são várias,
destacando-se: baixo consumo de energia, a separação pode ser levada a cabo de forma
contínua, facilidade de scale-up, combinação com processos de separação de forma a otimizar
as condições de operação, não são necessários aditivos ou substâncias químicas, etc. A
principal limitação do uso de membranas são os fenômenos de polarização por concentração e
fouling, os quais causam uma diminuição no fluxo permeado ao longo do tempo e, muitas
vezes, diminuem o tempo de vida útil da membrana. A polarização por concentração consiste
na formação de uma camada limite de concentração próxima à superfície da membrana, ao
passo que o fouling é a deposição, adsorção e/ou acúmulo de partículas sobre a superfície ou
no interior dos poros das membranas. Este fenômeno, diferentemente da polarização, é
irreversível e aumenta de intensidade com o passar do tempo.
A modelagem e a simulação de PSM é uma tarefa complexa, pois, à medida que o
processo ocorre, as propriedades de permeabilidade e seletividade da membrana vão sendo
alteradas, bem como as propriedades da solução (viscosidade, massa específica, condutividade
elétrica, entre outras).
1. INTRODUÇÃO
2
O desenvolvimento de modelos matemáticos com o objetivo de descrever corretamente
os mecanismos da formação da camada limite polarizada é de extrema importância, pois pode
auxiliar na previsão e na descoberta de técnicas para atenuar estes fenômenos. Face a isto, as
ferramentas de dinâmica de fluidos computacional (CFD, Computational Fluid Dynamics),
aliadas a bons modelos de previsão de fluxo permeado e polarização, são capazes de simular o
comportamento hidrodinâmico de um sistema de separação com membranas, bem como os
fenômenos envolvidos nestes (turbulência, transferência de massa, queda de pressão através
do módulo, etc.). O amplo uso da ferramenta CFD pelo meio industrial é também
relativamente recente, mas, graças ao desenvolvimento de computadores cada vez mais
robustos em termos de processamento, simulações de fenômenos complexos podem ser agora
dinamicamente realizadas em computador. A dispersão de poluentes num determinado
ambiente, a previsão meteorológica e o escoamento supersônico em aeronaves são exemplos
muito comuns de aplicação da ferramenta CFD no meio industrial.
O objetivo deste trabalho está centrado na simulação de PSM, especificamente micro e
ultrafiltração, mediante o uso de um simulador comercial (ANSYS CFX) e na compararação
dos resultados obtidos com resultados experimentais, de modelos teóricos de previsão de fluxo
permeado e do comportamento da camada limite disponíveis na literatura. A motivação para o
desenvolvimento deste trabalho encontra-se no fato de que existe um grande número de
estudos puramente experimentais em comparação com aqueles de simulação numérica. Desta
forma, procura-se compreender melhor os fenômenos envolvidos na separação por
membranas, através de simulação fluidodinâmica, já que é uma área de crescente avanço
mundial e pouco aplicada a tais fenômenos.
Este trabalho está estruturado da seguinte forma:
· Capítulo 2: revisão bibliográfica dos principais processos de separação envolvendo
membranas, com ênfase na micro e ultrafiltração, bem como de trabalhos desenvolvidos
nestas áreas, juntamente com a modelagem matemática envolvida.
· Capítulo 3: fundamentação sobre a ferramenta CFD, envolvendo a modelagem
empregada, técnicas numéricas, geração de malha e suas principais características.
· Capítulo 4: apresentação das simulações para validação do simulador bem como os
estudos de caso investigados durante o decorrer do trabalho.
· Capítulo 5: apresentação e discussão dos resultados obtidos na validação e em cada um
dos sistemas de separação estudados.
· Capítulo 6: principais conclusões obtidas e sugestões para trabalhos futuros.
Capítulo 2
Membranas - Fundamentos Teóricos
Neste capítulo serão apresentados os principais fundamentos teóricos dos processos de
separação envolvendo membranas, com referência a alguns trabalhos desenvolvidos
principalmente nas áreas de micro e ultrafiltração, tanto na parte experimental quanto na parte
de simulação numérica.
2.1 Processos de Separação por Membranas
Membranas podem ser consideradas como barreiras seletivas que separam duas fases
distintas, restringindo total ou parcialmente o transporte de um ou mais componentes através
destas fases. Existem muitos processos baseados em membranas com diferentes princípios e
mecanismos de separação, cobrindo uma ampla faixa de tamanho de substâncias. Todavia,
todos possuem uma característica em comum, que é a membrana e sua capacidade de reter um
ou mais componentes enquanto o restante a atravessa. Este transporte de componentes através
de uma barreira seletiva é possível graças à existência de um gradiente de potencial químico, o
qual, dependendo do tipo de operação, pode ser: diferença de concentração, pressão,
temperatura ou potencial elétrico. A Figura 2.1 mostra um esquema simplificado de como este
processo ocorre.
2.1 PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS
4
Figura 2.1: Esquema do processo de separação usando membranas.
A fase 1 consiste da alimentação, contendo os componentes a serem separados. A fase
2 é a corrente de permeado, e contém os componentes que passam pela membrana. Um fator
crucial para o desempenho da separação pela membrana é a seletividade, que é uma variável
que expressa justamente a facilidade com que um determinado componente é separado em
relação a outro. Ela pode ser expressa por dois parâmetros: a retenção (R) ou o fator de
separação (a). A retenção é dada por:
B
P
C
C
R -= 1 (2.1)
onde C
P
é a concentração do componente no permeado, e C
B
é a concentração do componente
na alimentação ou escoamento bulk. Desta forma, uma retenção igual a 1 ou 100% indica que
o soluto foi totalmente retido pela membrana, caracterizando uma separação ideal; uma
retenção igual a zero indica que o soluto passou completamente pela membrana. No caso de
misturas de líquidos ou gases, a seletividade é mais comumente expressa em termos do fator
de separação. Para uma mistura de dois componentes A e B quaisquer, tem-se:
BA
BA
BA
xx
yy
/
/
/
=a (2.2)
onde y
A
e y
B
são as concentrações dos componentes A e B no permeado, x
A
e x
B
as
concentrações na alimentação, sendo que o valor de
a deve ser maior do que a unidade. Se a
taxa de permeação do componente A é maior do que a de B, o fator de separação é expresso
como
a
A/B
, caso contrário, é expresso como a
B/A
. Se a
A/B
= a
B/A
, não ocorre separação.
Existem várias maneiras de se classificar uma membrana. Uma membrana pode ser
porosa ou não-porosa, e, quanto à morfologia, ser simétrica ou assimétrica. Quanto a sua
natureza, pode ser biológica ou sintética. Membranas porosas contêm poros fixos na faixa de
0,1 a 10 nm para ultrafiltração e 2 a 100 nm para microfiltração. A seletividade é
principalmente determinada pela dimensão dos poros, mas a escolha do material influencia
2.1 PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS
5
profundamente a extensão dos fenômenos envolvidos na separação de um componente, como
a formação da camada limite polarizada e o fouling. Assim, a escolha do material para uma
dada separação deve levar em conta a prevenção de ocorrência do fouling. No caso de
processos realizados em temperaturas elevadas, a resistência térmica do material também deve
ser considerada.
Membranas não-porosas são usadas na permeação de gases e pervaporação, e podem
ser tanto simétricas quanto assimétricas. As membranas simétricas, tanto porosas quanto não-
porosas, possuem uma espessura na faixa de 10 a 200
mm e a resistência à transferência de
massa é determinada pela espessura total da membrana. Uma diminuição na espessura resulta
num aumento do fluxo permeado. As membranas assimétricas consistem de uma camada de
topo muito densa, da ordem de 0,1 a 0,5
mm, suportada por uma subcamada porosa com uma
espessura em torno de 50 a 150
mm. Tais membranas combinam a alta seletividade de uma
membrana densa com a alta taxa de permeação de uma membrana muito fina. A maior parte
das membranas empregadas no meio industrial é sintética, ao passo que membranas biológicas
são encontradas na natureza.
O transporte de componentes através da membrana ocorre devido a uma diferença de
potencial existente nesta barreira seletiva que separa alimentação e permeado, e esta força
motriz é diferente para cada tipo de processo de separação, sendo que a taxa de permeação é,
em geral, proporcional a esta força motriz. O mecanismo de transporte pode ser classificado
como passivo ou ativo.
No transporte passivo, os componentes são transferidos de um potencial mais alto para
um mais baixo, na presença ou ausência de um agente transportador. Se existir um agente
transportador, passa-se a ter então o transporte facilitado. O transporte de um componente
através da membrana é intensificado na presença de um agente transportador através da
formação de um complexo entre ambos, o qual se difunde através da barreira seletiva.
Mecanismos além da difusão livre fazem com que ocorra um aumento no transporte através da
barreira seletiva.
No transporte ativo, os componentes são transferidos de um potencial mais baixo para
um mais alto, ocorrendo somente se energia for adicionada ao sistema, o que pode ser feito
através de uma reação química, por exemplo. No caso de misturas multicomponentes, não é
possível obter os fluxos em termos de simples equações fenomenológicas, pois as forças
motrizes envolvidas estão acopladas umas às outras, indicando que a permeação de cada
componente não é independente uma da outra. Assim, um gradiente de pressão através da
membrana resulta, além de um fluxo de permeado, um fluxo mássico e um gradiente de
concentração de soluto próximo à superfície. Todavia, para a maioria dos processos, o fluxo
de permeado pode ser considerado proporcional à força motriz aplicada, quando são
desprezados possíveis efeitos de interação do soluto com a membrana, resultando assim numa
relação fenomenológica linear, cuja expressão geral é dada pela Equação (2.3):
dx
dF
AJ -=
(2.3)
2.1 PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS
6
onde J é o fluxo mássico ou volumétrico de permeado, A é uma constante que depende da
natureza da força motriz aplicada, e
d
x
dF
é a força motriz, expressa como o gradiente de F
em relação à coordenada perpendicular à direção de transporte, x. Esta equação é
extremamente genérica, uma vez que ela descreve o transporte de qualquer propriedade:
massa, energia, quantidade de movimento e energia elétrica. Para cada um dos casos, têm-se
as clássicas equações fenomenológicas de transporte:
· Fluxo de massa: Lei de Fick
dx
dC
DJ
m
-= (2.4)
· Fluxo volumétrico de líquido: Lei de Darcy
dx
dP
LJ
Pv
-= (2.5)
· Fluxo de calor: Lei de Fourier
dx
dT
kq -=''
(2.6)
· Fluxo de quantidade de movimento: Lei de Newton
dx
ud
J
)(r
n-=
(2.7)
· Fluxo elétrico: Lei de Ohm
dx
dE
R
J
i
1
-=
(2.8)
Nas equações anteriores, D é difusividade mássica, L
P
é a permeabilidade hidráulica, k
é a condutividade térmica,
n é a difusividade de quantidade de movimento e 1/R é a
condutividade elétrica. Nestas equações, o transporte é considerado a partir de um ponto de
vista puramente macroscópico, nas quais as interações moleculares não são levadas em conta
na modelagem do fenômeno. Além da força motriz, a própria membrana é um fator
determinante na seletividade e no fluxo, pois sua natureza direciona o tipo de aplicação,
variando desde a separação de partículas microscópicas, até a separação de moléculas de
formas ou tamanhos semelhantes.
Os principais processos de separação por membranas existentes são: microfiltração,
ultrafiltração, nanofiltração, osmose inversa, diálise, eletrodiálise, pervaporação, permeação
de gases e processos envolvendo membranas líquidas. Será feita a seguir uma breve descrição
2.1 PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS
7
de cada um deles, sendo que a micro e ultrafiltração serão comentadas com maiores detalhes
posteriormente, sobretudo no que diz respeito ao processo de transporte através destas
membranas.
Microfiltração
A microfiltração é o processo envolvendo membranas que mais se assemelha a uma
filtração convencional. O tamanho dos poros varia na faixa de 0,05 a 10
mm, o que o torna
adequado para reter suspensões e emulsões, além de muitas bactérias e microorganismos cujo
tamanho é dessa ordem de grandeza. De acordo com PERRY (1999), parte do sucesso da
microfiltração se deve à sua habilidade em separar microorganismos da água em processos de
purificação. Seu emprego vai desde uso em laboratório, até a esterilização de fluidos de uso
injetável em aplicações médicas. Também é empregada na separação e recuperação de
partículas em processos industriais, tais como a recuperação de dióxido de titânio de
pigmentos (ZHAO et al (2005)). Outra aplicação da microfiltração é a produção de
semicondutores (BAKER et al (1991)), onde o acúmulo de partículas de sujeira entre os
dispositivos representa um risco para uma operação segura destes. A microfiltração de várias
correntes do processo, principalmente daquelas que empregam água, é uma maneira de reter
as impurezas que, eventualmente, depositar-se-iam nos dispositivos eletrônicos.
O transporte através de membranas de microfiltração pode ser descrito pela Lei de
Darcy, onde o fluxo através da membrana é diretamente proporcional à pressão aplicada,
conforme Equação (2.5). A permeabilidade contém uma série de fatores que dependem das
características intrínsecas da membrana, como: porosidade, tamanho dos poros e tortuosidade.
A viscosidade do líquido permeado também pode ser incluída nesta constante. Devido à
presença de uma força motriz, que no caso da microfiltração é a pressão aplicada, tanto o
solvente como algumas partículas de soluto permeiam através da estrutura da membrana. A
capacidade de rejeição das partículas de soluto dependerá do tamanho e distribuição dos
poros, que é diferente para cada tipo de membrana. Posteriormente, será descrito com mais
detalhes os aspectos da teoria do transporte tanto em membranas de micro como de
ultrafiltração.
Um dos principais problemas encontrados na microfiltração é o declínio do fluxo
permeado, o qual é causado pela polarização por concentração e fouling. Fenômenos de
adsorção também influenciam a intensidade do fouling, pois dependem do material de que é
feita a membrana Assim, a escolha de uma substância adequada como matéria-prima na
fabricação da membrana é um fator importante a ser considerado.
Vários tipos de materiais são usados no preparo de membranas de microfiltração. De
acordo com MULDER (1996), tais membranas podem ser cerâmicas (baseadas principalmente
em alumina e zircona) e poliméricas, as quais podem ser hidrofóbicas e hidrofílicas. A Tabela
2.1 apresenta alguns materiais usados na fabricação das membranas de microfiltração.
2.1 PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS
8
Tabela 2.1: Alguns materiais usados em membranas de microfiltração
Membranas hidrofóbicas Membranas hidrofílicas Membranas cerâmicas
Politetrafluoroetileno (PTFE,
teflon)
Ésteres celulósicos Alumina (Al
2
O
3
)
Polifluoreto de vinilideno
(PVDF)
Policarbonato (PC) Zircona (ZrO
2
)
Polipropileno (PP)
Éter de sulfona/polisulfona
(PES/PSF)
Titânia (TiO
2
)
Polietileno (PE) Poliamida alifática (PA) Carbeto de silício (SiC)
Ultrafiltração
A faixa de tamanho de poros para membranas de ultrafiltração varia de 0,05 mm a 1
nm, sendo, portanto, utilizada para separar macromoléculas, colóides, e solutos com massas
molares de poucos milhares de Dalton. Tanto a ultra quanto a microfiltração são processos
onde a rejeição é principalmente determinada pelo tamanho e formato dos solutos relativos ao
tamanho dos poros das mesmas, e o transporte do solvente é diretamente proporcional à
pressão aplicada. Membranas de ultrafiltração possuem uma estrutura assimétrica com uma
camada de topo com poros e porosidade superficial menores, resultando uma maior resistência
hidrodinâmica. Esta camada de topo possui uma espessura normalmente menor do que 1
mm.
Uma das grandes aplicações da ultrafiltração é a separação de emulsões óleo-água: a
membrana retém a fase oleosa ao passo que a água e outros componentes que estejam numa
concentração muito diminuta são removidos na corrente de permeado.
O transporte em membranas de ultrafiltração também pode ser descrito da mesma
forma que para membranas de microfiltração, sendo diretamente proporcional à pressão
aplicada. Alguns materiais usados na fabricação de membranas de microfiltração também são
usados para as membranas de ultrafiltração, dentre os quais: polifluoreto de vinilideno, acetato
de celulose, poliamidas alifáticas, etc.
Nanofiltração e Osmose inversa
Tanto a nanofiltração como a osmose inversa são muitas vezes consideradas como um
único processo, uma vez que os princípios básicos são os mesmos. São empregados quando
solutos de baixa massa molar, como sais inorgânicos ou pequenas moléculas orgânicas, devem
ser separados de um solvente. A diferença básica entre ambas está no tamanho do soluto e na
configuração da membrana. Membranas para nanofiltração possuem tamanho de poros menor
que 2 nm, espessura da camada de topo ao redor de 1
mm e da subcamada ao redor de 150 mm
2.1 PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS
9
e pressão de operação da ordem de 10 a 25 bar; além da dessalinização de águas, são
empregadas na remoção de micropoluentes e na retenção de pigmentos de tintas da indústria
têxtil. Membranas para osmose inversa são usadas para produção de água ultrapura na
indústria eletrônica, e para a concentração de sucos de fruta e açúcares na indústria
alimentícia, além da concentração de leite em indústrias de processamento de leite e
derivados. A faixa de operação está na ordem de 15 a 25 bar para dessalinização de águas com
alta concentração de sais e de 40 a 80 bar no tratamento de água salgada e que apresente
menor teor de sais.
Diálise
A diálise é um PSM no qual o soluto se difunde de um lado da membrana
(alimentação) até o outro lado (dialisado ou permeado) de acordo com o gradiente de
concentração entre ambos. A separação é obtida por meio de diferentes taxas de difusão
através da membrana, devido às diferenças em tamanho e solubilidade. As membranas usadas
em diálise devem ser as mais finas possíveis, de forma que seja possível obter altos valores de
fluxo. A principal aplicação é na hemodiálise, onde a membrana atua como uma espécie de
rim artificial capaz de remover componentes tóxicos de baixa massa molar, como uréia,
creatinina, fosfatos e ácido úrico; isto é feito bombeando-se o sangue por meio de um
dialisador que contém a membrana. A espessura de tais membranas varia de 10 a 100
mm, e,
além da purificação do sangue, a diálise pode ser usada na redução do teor alcoólico da
cerveja, na dessalinização de enzimas e coenzimas, na recuperação de álcalis (como hidróxido
de sódio) e na recuperação da polpa gerada nas indústrias de papel e celulose.
Eletrodiálise
A eletrodiálise resulta no emprego de membranas trocadoras de íons, catiônicas ou
aniônicas, dispostas alternadamente entre o cátodo e o ânodo. Pela aplicação de uma diferença
de potencial elétrico entre os eletrodos, irá ocorrer a migração dos cátions em direção ao
cátodo e dos ânions em direção ao ânodo, resultando na formação de duas correntes: uma rica
em íons e a outra diluída. As membranas empregadas em eletrodiálise são poliméricas, não-
porosas e possuem espessura entre 10 e 500
mm. Entre suas principais aplicações destacam-se
a dessalinização de águas salobras, a separação de aminoácidos e a produção de sal.
Pervaporação
Na pervaporação, um líquido puro ou uma mistura de líquidos entra em contato com a
membrana do lado da alimentação à pressão atmosférica e o componente que tem afinidade
com a membrana é retirado, no lado do permeado, como fase vapor. A força motriz para este
processo é o gradiente de pressão parcial do componente, a qual pode ser estabelecida pela
aplicação de vácuo no lado permeado ou por meio de gás de arraste. As membranas usadas na
pervaporação são não-porosas e com espessura da ordem de 0,1
mm. Tipicamente, três etapas
compreendem a pervaporação: sorção seletiva para dentro da membrana no lado da
alimentação, difusão seletiva através da membrana e dessorção em uma fase vapor no lado do
permeado. Dessa forma, a pervaporação é um processo que envolve, além das considerações
hidrodinâmicas, também a transferência de massa e calor. A barreira imposta pela membrana é
2.1 PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS
10
a interface onde ocorre a mudança de fase sofrida pelo sistema, a qual é a chave da separação.
Os principais usos da pervaporação encontram-se na desidratação de solventes, purificação da
água através da remoção de compostos orgânicos voláteis (LIU et al (2005)) e separação entre
compostos orgânicos como uma alternativa à destilação; também é usada na separação de
compostos polares de não-polares, saturados de insaturados, e na separação de isômeros.
Finalmente, destaca-se que a pervaporação é um processo particularmente vantajoso para a
separação de misturas azeotrópicas, o que seria inviável através da destilação.
Permeação de gases
A permeação de gases é um processo que consiste na separação de gases de uma
determinada mistura e é usada com dois tipos de membranas, porosas e não-porosas. Na
separação com membranas porosas, quando o escoamento é viscoso, não ocorre separação
porque o livre caminho médio das moléculas de gás é muito pequeno em relação ao tamanho
do poro. À medida que o tamanho dos poros diminui, a trajetória pela qual as moléculas
atravessam a membrana torna-se maior. Este tipo de escoamento é chamado de escoamento de
Knudsen e depende da temperatura, pressão transmembrana, raio, número e formato dos poros
e do tamanho das moléculas. No caso de membranas não porosas, a separação dependerá da
diferença entre as permeabilidades dos gases que atravessam a membrana. A espessura das
membranas situa-se em torno de 0,1
mm e o diâmetro dos poros é menor que 1 mm para
permeação de gases em membranas porosas. A permeação de gases possui aplicação nas
seguintes áreas: recuperação de gás hidrogênio e hélio, separação da mistura metano e dióxido
de carbono, obtenção de hidrogênio da mistura hidrogênio-monóxido de carbono (TAKABA e
NAKAO, (2005)), remoção de nitrogênio do ar, remoção de água (secagem), remoção de
vapores orgânicos a partir do ar, desidratação de ar comprimido, além de outras.
Membranas líquidas
Existem dois tipos de membranas líquidas: as imobilizadas e as emulsionadas. Nas
primeiras, onde o filme líquido está imobilizado dentro dos poros de uma membrana porosa,
que serve como um suporte para a camada do filme líquido; sua preparação consiste na
impregnação dos poros com um solvente orgânico adequado. No segundo tipo, a membrana
líquida está em emulsão e é preparada a partir da mistura de duas fases imiscíveis (óleo e
água, por exemplo) dando origem a gotas de diâmetro entre 0,5 e 10
mm, que se tornam mais
estáveis quando da adição de um surfactante. Em geral, as membranas líquidas são usadas na
remoção de íons específicos, como cádmio, cobre, níquel, chumbo, nitrato e cromato, além da
remoção de gases, separação da mistura de nitrogênio e oxigênio, remoção de ácido sulfídrico,
monóxido e dióxido de carbono, dióxido de enxofre e amônia. Aplica-se também na separação
de líquidos orgânicos e na remoção do fenol em sistemas de tratamento de efluentes.
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
11
2.2 Teoria do Transporte em Membranas de Micro e
Ultrafiltração
Tanto nos processos de microfiltração como de ultrafiltração, são empregadas
membranas porosas cuja faixa de tamanho de poros varia de 2 nm a 10
mm, aproximadamente.
Dependendo do tipo de estrutura da qual é constituída a membrana, uma grande variedade de
formatos de geometria de poros é possível. Em membranas de microfiltração estas estruturas
porosas encontram-se distribuídas quase que uniformemente ao longo da espessura da
membrana, e a resistência ao escoamento através dos poros está intrinsecamente ligada à
espessura total da membrana. Já no caso da ultrafiltração, as membranas geralmente possuem
uma estrutura assimétrica onde a camada de topo porosa é que determina a resistência ao
transporte.
A existência de diferentes geometrias de poros possibilita que diferentes modelos
matemáticos sejam desenvolvidos para descrever e prever o transporte de forma adequada.
Um dos modelos mais simples é aquele que considera a membrana como uma estrutura
composta por vários poros cilíndricos perpendiculares ou oblíquos à superfície da mesma. O
comprimento dos poros é aproximadamente igual à espessura da membrana, e considerando
que todos possuam o mesmo raio, o fluxo através dos poros pode ser descrito por meio da
clássica equação de Hagen-Poiseuille:
l
Pr
J
D
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
mt
e
=
8
2
(2.9)
onde J representa o fluxo de permeado, e a porosidade da membrana, r é o raio dos poros, m é
a viscosidade dinâmica da solução,
t é a tortuosidade (para poros cilíndricos e
perpendiculares, a tortuosidade é igual a um), l é a espessura da membrana e
DP é a pressão
transmembrana.
A Equação (2.9) mostra o efeito da estrutura da membrana sobre o transporte devido à
presença dos termos que representam a porosidade, tortuosidade e espessura da barreira
seletiva. Comparando-se com a Equação (2.5) da lei de Darcy para fluxo através de meios
porosos, pode-se atribuir um significado à permeabilidade hidráulica L
P
, obtendo-se:
mt
e
=
8
2
r
L
P
(2.10)
A porosidade nada mais é do que a área de cada poro dividida pela área total da
membrana, A
m
multiplicado pelo número de poros n
P
:
m
P
A
rn
2
p
=e
(2.11)
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
12
As equações (2.9) a (2.11) descrevem bem o transporte através de membranas cuja
maioria dos poros possui uma estrutura semelhante à de poros cilíndricos e paralelos (as quais
são um pequeno número), mas não descrevem bem o transporte para o restante de estruturas
cujos formatos de poros são diferentes ou de geometrias mais complexas. Um outro tipo de
estrutura porosa que ilustra este exemplo é aquele que consiste em um leito de esferas
compactadas e próximas umas das outras. O fluxo para este caso é melhor descrito pela
equação de Kozeny-Carman:
l
P
SK
J
D
e-m
e
=
22
3
)1(
(2.12)
onde a porosidade e é representada pela fração volumétrica de poros ou de vazios (os espaços
entre as esferas compactadas), S é a área superficial interna total e K é a constante de Kozeny-
Carman, que depende do formato dos poros e da tortuosidade. Outra configuração é aquela
semelhante a uma matriz esponjosa, com características tanto de poros cilíndricos quanto de
leito de esferas compactadas. Neste caso o fluxo pode ser descrito tanto pela equação de
Hagen-Poiseuille quanto pela de Kozeny-Carman.
A operação de um sistema de micro e ultrafiltração depende de duas características
principais: configuração do escoamento e tipo de módulo no qual a membrana encontra-se
acondicionada. Quanto à configuração de escoamento, existem duas formas principais:
tangencial ou fluxo cruzado (cross-flow), e transversal ou perpendicular (dead-end). No
primeiro, a suspensão flui paralela à superfície da membrana, e o permeado é recolhido
separadamente da corrente de concentrado. A filtração tangencial pode ser realizada de quatro
maneiras diferentes, conforme ilustrado na Figura 2.2:
(a) (b)
(c)
(d)
Figura 2.2: Diferentes configurações do escoamento tangencial: (a) concorrente
(b) contracorrente (c) fluxo cruzado (d) mistura perfeita
A Figura 2.2a ilustra o processo em correntes paralelas ou concorrente, já na Figura
2.2b o processo é contracorrente, na Figura 2.2c as correntes de alimentação e permeado estão
defasadas em 90º, e finalmente, a Figura 2.2d é uma representação do processo de filtração
tangencial com mistura perfeita. A corrente de alimentação flui perpendicular à membrana, e o
permeado retirado sai na mesma direção que a alimentação.
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
13
A operação de filtração transversal é ilustrada na Figura 2.3 abaixo. Neste tipo de
operação, toda a alimentação é forçada a atravessar a membrana, fazendo com que ocorra um
depósito de soluto sobre a superfície desta, aumentando a concentração do componente na
alimentação e diminuindo drasticamente o valor do fluxo de permeado à medida que passa o
tempo (Figura 2.4). A diminuição do fluxo é devido à formação de uma camada de torta sobre
a superfície da membrana justamente devido ao depósito de soluto que cresce à medida que
ocorre a operação, conforme ilustrado na Figura 2.5.
Figura 2.3: Operação de fluxo transversal
Fluxo
Es
p
essura da torta
Tempo
Fluxo
Figura 2.4: Comportamento do fluxo permeado em função do tempo na filtração transversal
Figura 2.5: Representação da formação de torta na filtração transversal (BAKER et al.(1991))
Para aplicações industriais, é preferível a operação tangencial devido à existência de
uma menor tendência à formação de fouling, quando comparada com a operação de
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
14
escoamento transversal. De forma geral, a operação em modo transversal é aplicável quando a
alimentação possui baixa concentração de sólidos, de preferência abaixo de 0,1%, e a
operação em modo tangencial pode ser empregada quando o teor de sólidos encontra-se acima
de 0,5% (BAKER et al (1991)). Diversas combinações dos modos de operação citados podem
ser realizadas, podendo existir até mesmo diferentes arranjos de operação tangencial com
transversal, com ou sem recirculação, com um ou múltiplos passes e arranjos em série,
paralelo e cascata. O arranjo final do sistema dependerá de fatores como: natureza do material
a ser filtrado, concentração da alimentação, qualidade desejada do permeado, tempo de
operação e principalmente custo.
Existem vários tipos de configuração de módulos presentes em um sistema de
separação com membranas. O módulo é a estrutura ou suporte onde fica acondicionada a
membrana, e sua geometria influencia fortemente muitos parâmetros de separação; em estudos
de simulação fluidodinâmica computacional a geometria é uma das peças chave para a
previsão e entendimento do comportamento hidrodinâmico em escoamentos que envolvem
meios porosos. A maior parte dos módulos baseia-se em duas geometrias de membranas:
plana e tubular. Enquanto módulos espirais e de placa e quadro
envolvem membranas planas,
módulos de fibra oca e capilar baseiam-se em configurações de membranas tubulares. Em
geral, um sistema não consiste somente de um único módulo, mas de um grande número de
módulos arranjados de maneira apropriada. A escolha da configuração de módulo assim como
o seu arranjo, dependerá especialmente de considerações econômicas baseadas em parâmetros
de engenharia que são diferentes para cada problema. Aspectos como a facilidade de
manutenção e limpeza, tipo de separação, facilidade de operação, possibilidade de aumento da
escala e troca de todo o sistema devem ser levados em conta para uma escolha adequada do
tipo de módulo. A Figura 2.6 ilustra os três tipos de configurações de módulos mais comuns:
placa e quadro, espiral e capilar.
(a)
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
15
(b)
(c)
Figura 2.6: Configurações mais comuns de módulos: (a) placa e quadro, (b) espiral
(c) capilar. (PERRY, (1999))
Na Figura 2.6a um esquema simplificado da configuração de placa e quadro é
mostrado. Esse tipo de configuração consiste em conjuntos de duas membranas
acondicionadas num formato de sanduíche com as faces da alimentação localizadas em cada
lado de um dispositivo que separa cada camada de membrana da outra, chamado de
espaçador. A densidade de empacotamento – superfície da membrana por volume de módulo
situa-se entre 100 a 400 m
2.
m
-3
. As correntes de permeado são recolhidas em direções
perpendiculares à alimentação e de cada lado do espaçador, numa configuração semelhante à
do escoamento tangencial. Dependendo do tipo de equipamento, dezenas ou centenas deste
tipo de arranjo podem ser dispostos de forma adequada.
A Figura 2.6b ilustra a configuração de módulo espiral, ou spiral-wound. O princípio
no qual se baseia o módulo espiral é muito semelhante àquele presente no módulo de placa e
quadro. Pode-se dizer que consiste num módulo de placa e quadro enrolado ao redor de um
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
16
per meado
alimentação retido
tubo coletor central, como se fosse também um sanduíche. A membrana e os espaçadores são
grudados de forma a manterem uma estrutura semelhante a um envelope compacto. Tanto na
configuração placa e quadro quanto na espiral, os espaçadores atuam também como
promotores de turbulência.
O módulo capilar que está ilustrado na Figura 2.6c consiste de um conjunto de
estruturas cilíndricas capilares muito finas agrupadas dentro do módulo As extremidades
livres do conjunto são recobertas com agentes como resinas epóxi, poliuretanas ou borracha
de silicone, de forma a evitar que os capilares fiquem expostos ao ar livre. Dois tipos de
arranjos são possíveis: no primeiro, a alimentação entra dentro dos capilares e o permeado é
recolhido pelo lado do casco, com o retido sendo retirado também pela abertura dos capilares
(arranjo inside-out) e o segundo com a alimentação e o retido entrando e saindo pelo lado do
casco, respectivamente, e o permeado sendo retirado através dos orifícios dos capilares
(arranjo outside-in). Os dois arranjos estão ilustrados nas Figuras 2.7a e 2.7b.
(a) (b)
Figura 2.7: Diferentes arranjos do módulo capilar: (a) inside-out e (b) outside-in.
A escolha entre estes dois arranjos é especialmente baseada no tipo de aplicação que se
deseja, sendo que fatores como pressão de operação, qualidade do produto e tipo de
membrana disponível são pontos importantes a considerar. Quando são usadas membranas
porosas de micro ou ultrafiltração, os capilares em geral apresentam um gradiente ou
distribuição de tamanho de poros ao longo da estrutura. Desta forma, a localização dos poros
menores determinará que tipo de arranjo será usado. Módulos capilares apresentam densidade
de empacotamento entre 600 a 1.200 m
2.
m
-3
. Um outro tipo de configuração, denominada
módulos de fibra oca, possui as mesmas características de arranjo geométrico que os módulos
capilares; a diferença entre estes dois tipos resulta no fato de que arranjos de fibra oca podem
alcançar uma densidade de empacotamento de até 30.000 m
2.
m
-3
. Tais módulos são em geral
empregados quando a corrente de alimentação é relativamente limpa, como no caso dos
processos de permeação de gases e pervaporação, além de processos de dessalinização, desde
que a corrente tenha passado por um pré-tratamento adequado.
A seguir serão abordados alguns modelos matemáticos relativos à formação de camada
limite bem como modelos que procuram explicar o declínio do fluxo de permeado decorrente
da formação da camada polarizada de concentração e do fouling.
retido
alimentação
permeado
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
17
2.2.1 Teoria da Torta
De acordo com VAN DEN BERG (1988) o acúmulo de soluto próximo à membrana
pode ser descrito de duas maneiras: a primeira assumindo-se que ocorra a formação de uma
camada de torta semelhante ao que acontece nos processos de filtração convencionais; e a
segunda, assumindo que se desenvolva um perfil de concentração ou filme de soluto. De
acordo com a teoria da torta, uma camada estagnada de concentração constante forma-se
próxima à superfície da membrana, conforme mostrado na Figura 2.8. A espessura desta
camada depende de fatores como pressão aplicada e concentração da alimentação.
Figura 2.8: Esquema de formação da torta
Na Figura 2.8 J
v
é o fluxo de permeado, C
P
a concentração de soluto na corrente de
permeado, C
m
e C
cl
a concentração de soluto na superfície da membrana e na camada limite,
respectivamente, C
B
a concentração no escoamento livre, DP é a pressão transmembrana e d é
a espessura da camada de torta. Para o caso de um processo de filtração transversal sem
mistura perfeita, a concentração na camada limite pode ser calculada com base num simples
balanço de massa através da membrana:
clPobsB
ACVRC d= (2.13)
Na Equação acima, R
obs
é a retenção observada (definida pela Equação (2.1)), V
P
é o
volume total de permeado e A é a área da membrana.
2.2.2 Teoria do Filme
Nesta abordagem, assume-se a formação de um perfil de concentração próximo à
superfície da membrana, na forma de uma camada de filme estagnado dando origem a uma
camada limite polarizada agora com espessura
d variável, conforme mostra a Figura 2.9:
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
18
Figura 2.9: Esquema da formação do filme de concentração
O soluto que fica retido gradualmente se acumula sobre a membrana, aumentando,
portanto, a concentração e dando origem a um fluxo difusivo no sentido de retornar ao
escoamento livre da solução, até que a partir de certo tempo, as condições de estado
estacionário são alcançadas. Desta forma, o fluxo advectivo até a superfície da membrana será
contrabalançado pelo fluxo de soluto através desta e mais o fluxo difusivo a partir da
membrana até a região de escoamento livre ou bulk, dando origem ao perfil de concentração
ilustrado na Figura 2.9. Matematicamente, este fenômeno é expresso da seguinte forma:
P
JC
dy
dC
DJC +-=
(2.14)
onde C é a concentração de soluto na camada limite, C
P
é a concentração de soluto no
permeado, D é a difusividade do soluto na solução e y é a distância a partir da superfície da
membrana. Na Equação (2.14), o termo do lado esquerdo representa o fluxo de soluto a partir
da solução em direção à membrana; o primeiro termo do lado direito representa o fluxo
mássico de soluto devido ao gradiente de concentração existente dentro do filme; finalmente,
o segundo termo do lado direito da Equação (2.14) é o fluxo de soluto que atravessa a
membrana e sai na corrente de permeado. A Figura 2.10 ilustra a equação acima:
Figura 2.10: Representação da camada limite de concentração na membrana
Esta equação pode ser integrada com a aplicação das seguintes condições de contorno:
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
19
m
y
CC =
=0
(2.15)
B
y
CC =
d=
(2.16)
obtendo-se, após resolução:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
=
PB
Pm
CC
CC
D
J
ln (2.17)
A relação D/d é também conhecida como o coeficiente de transferência de massa, k
c
,
cujo valor é estimado a partir de correlações semi-empíricas adimensionais (GEKAS e
HALLSTRÖM (1987)), baseadas no número de Sherwood:
d
h
cb
hc
L
d
Sca
D
dk
Sh
÷
ø
ö
ç
è
æ
== Re (2.18)
onde Sh é o número de Sherwood, d
h
é o diâmetro hidráulico, Re é o número de Reynolds, Sc
é o número de Schimdt, L é o comprimento característico do canal de escoamento, e as
constantes
a, b, c, e d são parâmetros adimensionais que dependem do regime de escoamento
(se é laminar, turbulento ou misto). Os autores comentam que muitas destas correlações, as
quais são correlações obtidas a partir de escoamentos em superfícies lisas de tubos, são usadas
para a estimativa do coeficiente de transferência de massa em superfícies porosas, que é o
caso das membranas, e em regiões onde a difusividade e viscosidade variam fortemente com a
concentração de soluto. Eles apresentam uma série de modificações de tais correlações com
vistas a serem aplicáveis em escoamentos sobre meios porosos, para diferentes faixas de
número de Reynolds e número de Schmidt. Todavia, muitos autores utilizam a correlação do
número de Sherwood para a estimativa do coeficiente de transferência de massa experimental.
Como exemplo disso, FONTES (2005) realizou diversos experimentos de microflitração de
solutos macromoleculares sob condições de regime laminar e turbulento. Os solutos
empregados foram as gomas Xantana e Guar, e os resultados obtidos relacionando o número
de Sherwood
versus o número de Reynolds foram comparados com modelos de outros
pesquisadores.
A partir da Teoria do Filme vários modelos foram determinados com o objetivo de
predizer o fluxo permeado através da membrana. Entre estes modelos cita-se o modelo da
camada gel, o modelo da pressão osmótica e o modelo das resistências, os quais serão
brevemente apresentados a seguir.
2.2.2.1 Modelo da Camada de Gel
O modelo da camada gel baseia-se na teoria do filme para descrever a polarização de
concentração. Neste modelo, assume-se que a concentração próxima à superfície da
membrana não ultrapassa um valor limite, denominado de concentração gel,
C
g
, conforme
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
20
ilustrado na Figura 2.11. Assim, um aumento da pressão aplicada resultará somente num
aumento da espessura da camada de gel, sem aumentar o fluxo, de forma que este atingirá um
valor limite.
Figura 2.11: Representação da formação da camada de gel
O fenômeno de formação de gel tende a ser mais comum na ultrafiltração, pois em
geral os solutos empregados são macromoléculas, as quais apresentam baixa difusividade;
obtêm-se desta forma altos valores de retenção, o que facilita que o soluto quase que
totalmente retido atinja uma concentração muita alta e constante próximo à superfície da
membrana, que é a concentração de gel. Como o modelo assume retenção total, fazendo-se
C
P
= 0 na Equação (2.17), obtém-se:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
=
B
g
C
C
D
J ln
lim
(2.19)
onde J
lim
é o fluxo limite e a concentração sobre a membrana, C
m
, foi substituída pela
concentração na camada de gel,
C
g
.
Apesar deste modelo ser considerado importante para o desenvolvimento da teoria de
polarização por concentração e fluxo limite, especialmente no processo de ultrafiltração, ele
tem sido contestado por alguns autores (WIJMANS
et al (1984) e WIJMANS et al (1985)
apud MULDER (1996)) que determinaram que a concentração gel não apresenta um valor
constante, mas sim dependente da concentração
bulk e da velocidade de escoamento
tangencial.
O modelo da camada de gel apresenta algumas limitações. Segundo NAKAO et al
(1979) apud BOWEN e JENNER (1995), que mediram a concentração da camada de gel em
estado estacionário, verificaram que esta não é constante, mas função da concentração
bulk e
da velocidade tangencial. Da mesma forma, BLATT
et al (1970) e PORTER (1972a) apud
BOWEN e JENNER (1995) verificaram que a ultrafiltração coloidal é várias vezes maior do
que o valor previsto pelo modelo de polarização de gel.
TRETTIN e DOSHI (1980) resolveram analiticamente a equação que descreve a
ultrafiltração polarizada por gel, usando um método integral. Eles relatam a dificuldade de se
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
21
encontrar dados experimentais confiáveis na área de ultrafiltração macromolecular, pois é
extremamente difícil medir a concentração “gel”. Além, disso, expressões que relacionem a
dependência da difusividade e viscosidade com a concentração de soluto nem sempre são
adequadas para a maioria dos casos. Todavia, os valores previstos pela solução obtida
encontram-se próximos aos dados experimentais de fluxo na ultrafiltração de albumina de
soro bovino (
Bovine Serum Albumin, BSA).
TRETTIN (1980) também procurou ampliar os princípios teóricos da teoria do filme
de forma a explicar melhor as diferenças encontradas entre os processos de ultrafiltração
coloidal e molecular, além de propor uma nova abordagem para o entendimento do fenômeno
da polarização gel. Ele avaliou o comportamento do fluxo limite e da pressão osmótica na
ultrafiltração de soluções macromoleculares, fazendo comparações com o modelo de gel e da
teoria do filme.
VLADISAVLJEVIC et al (1995) estudaram o declínio do fluxo permeado e a
resistência da camada de gel usando partículas de óxido de alumínio. Foi descoberto que a
resistência da camada de gel iguala a resistência da membrana em poucos segundos,
concomitante a uma queda do fluxo permeado pela metade do valor inicial.
2.2.2.2 Modelo da Pressão Osmótica
O modelo da pressão osmótica considera que o declínio do fluxo permeado durante o
processo de filtração deve-se principalmente ao aumento da pressão osmótica da solução
próxima à superfície da membrana, a qual por sua vez é dependente da concentração. Quando
comparados com soluções de sais com baixa massa molar à mesma concentração, soluções de
componentes de alta massa molar apresentam baixos valores de pressão osmótica. Todavia, a
filtração de uma solução de componentes macromoleculares quase sempre leva ao acúmulo de
material próximo à superfície da membrana, como já mencionado anteriormente, e portanto a
concentração do componente aumenta até valores muito elevados. Como conseqüência, a
pressão osmótica de soluções macromoleculares concentradas aumenta drasticamente, e a
partir daí seus efeitos já não podem mais ser ignorados. A equação para o fluxo de permeado
que representa este modelo é dada por:
m
R
P
J
m
pD-D
=
(2.20)
Na equação acima, o termo DP corresponde à diferença de pressão hidráulica através
da membrana, ao passo que o termo
Dp corresponde à diferença de pressão osmótica através
da membrana,
R
m
é a resistência da membrana e m é a viscosidade dinâmica. O valor de Dp é
determinado pela concentração de soluto na superfície da membrana, expressa por
C, a qual,
para valores elevados, assume a seguinte forma:
n
aC=p (2.21)
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
22
onde a é uma constante e n é um fator exponencial maior do que 1. No caso de soluções
diluídas, tem-se a equação de van’t Hoff:
M
CRT
=p (2.22)
onde R é a constante universal dos gases perfeitos, T a temperatura absoluta e M é a massa
molar.
Diversos autores aplicaram o modelo da pressão osmótica em estudos de modelagem e
simulação de processos de ultrafiltração. GEKAS
et al (1993) usaram a abordagem da pressão
osmótica na simulação numérica de ultrafiltração transiente de BSA em módulo plano, usando
para tanto a adição de um termo fonte com vistas a contabilizar a adsorção de soluto na
superfície da membrana. A Equação (2.21) foi aproximada por um polinômio de terceiro grau.
Uma aproximação polinomial de terceiro grau também foi usada por GOODING e
ALEXANDER (1985) para a simulação transiente de BSA, mas agora num módulo de fibra
oca, com o objetivo de estudar como a queda de pressão axial e longitudinal no módulo
influencia o fluxo de permeado.
FLETCHER e WILEY (2004) usaram uma correlação linear de p, com base na fração
mássica de soluto, no estudo da influência da força gravitacional sobre a osmose inversa.
BELLARA e CUI (1998) usaram uma relação de polinômios de terceiro grau na fração
volumétrica para expressar o efeito da pressão osmótica na ultrafiltração de BSA em
membranas tubulares, de forma a determinar a taxa de crescimento da camada limite
polarizada ao longo da membrana. NAKAO e KIMURA (1981) e TANDON
et al (1994)
também usaram o modelo da pressão osmótica em seus estudos de modelagem de
ultrafiltração de açúcares e proteínas, respectivamente.
JÖNSSON e JÖNSSON (1996) propuseram um modelo termodinâmico geral de
polarização por concentração, baseado no balanço entre uma força devido ao gradiente de
pressão osmótica e uma força de fricção devido ao escoamento de fluido ao redor de cada
partícula. Um modelo de esferas coloidais eletricamente carregadas também foi usado, de
forma a contabilizar efeitos como pH e força iônica. A vantagem desta nova abordagem é que
combina as predições do modelo de pressão osmótica para solutos de baixa massa molar sem
interação entre si, com a abordagem da teoria da torta usada para solutos com alta massa
molar e cujas partículas possuem algum grau de interação.
VLADISAVLJEVIC e RAJKOVIC (1999) estudaram a ultrafiltração de solutos
macromoleculares onde o coeficiente de transferência de massa dependia da concentração,
bem como da viscosidade da suspensão. Uma modelagem matemática da pressão osmótica
levando em conta tais efeitos foi realizada. Sob a mesma diferença de pressão transmembrana,
o fluxo permeado da suspensão é menor do que o fluxo do solvente puro devido ao acúmulo
de partículas de soluto retidas sobre a superfície da membrana. No decorrer da ultrafiltração,
este acúmulo acarreta um aumento na pressão osmótica a qual cancela em parte a pressão
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
23
aplicada, diminuindo assim a eficiência de operação do sistema. A nova abordagem realizada
teve como objetivo compreender melhor as causas deste comportamento.
De forma geral, os fatores que podem levar a um declínio do fluxo de permeado
devido aos efeitos da pressão osmótica de acordo com VAN DEN BERG (1988) são: baixos
valores de retenção, altas concentrações na alimentação, baixos valores do coeficiente de
transferência de massa devido à pequena difusividade do soluto (soluto macromolecular) ou
ao baixo grau de mistura na interface membrana-solução.
2.2.2.3 Modelo das Resistências
O declínio do fluxo é mais marcante nos processos de micro e ultrafiltração, quando
comparado com processos como permeação de gases e pervaporação. Fatores como a
polarização por concentração, adsorção de soluto sobre a membrana, formação da camada de
gel e bloqueio de poros contribuem cada qual com uma resistência adicional à passagem de
solvente pela membrana. Matematicamente pode-se dizer que:
T
R
P
J
m
D
=
(2.23)
onde R
T
é a resistência total ao escoamento através da membrana. Um tipo especial de
resistência é aquela justamente devido à formação da camada limite,
R
cl
:
()
clm
RR
P
J
+m
D
=
(2.24)
onde R
cl
é a resistência da camada limite. A partir da Equação (2.24), pode-se considerar a
camada limite como uma solução concentrada através da qual as moléculas do solvente
permeiam, e onde a permeabilidade desta camada estagnada é dependente da concentração e
da massa molar do soluto. A resistência exercida por esta camada é muito maior na
ultrafiltração, devido à presença de solutos macromoleculares, do que quando há solutos de
baixa massa molar, como no caso da osmose inversa. Como a camada limite é caracterizada
por um perfil de concentração, a resistência exercida também o será, e a obtenção desse perfil
de resistência deverá ser integrada ao longo do comprimento da membrana (MULDER
(1996)).
CHENG e WU (2001) apresentaram um modelo de resistência da camada limite, o
qual inclui o efeito da pressão osmótica sobre o fluxo permeado, na presença de uma camada
limite polarizada por concentração. O modelo é semelhante ao proposto por GEKAS
et
al.
(1993) apud SECCHI et al. (1999). Os autores também realizaram experimentos usando
solução aquosa de dextrana T500 como solução de teste para o modelo, que conseguiu
reproduzir relativamente bem os dados experimentais. O novo modelo proposto tem como
ponto de partida a modificação da Equação (2.24), adicionando-se o efeito da pressão
osmótica:
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
24
()
clm
m
RR
CP
J
+m
pD-D
=
)(
(2.25)
onde C
m
é a concentração de soluto na superfície da membrana e Dp(C
m
) é a diferença de
pressão osmótica nesta concentração. A variação da difusividade e da viscosidade da solução
com a concentração de dextrana foi considerada no modelo.
NAKAO et al (1979) apud BOWEN e JENNER (1995) estudaram também o efeito da
polarização por concentração usando um modelo de resistência adaptado da teoria da filtração
da torta. Dextrana e polietilenoglicol foram usados em experimentos de forma a validar o
modelo. Foi assumido um perfil degrau e independente do tempo para a concentração de
soluto, desconsiderando-se quaisquer mecanismos de retro transporte de soluto da membrana
para a solução.
PERSSON e NILSSON (1991) estudaram a dependência da resistência ao fluxo
imposta pela camada limite, através de uma abordagem de resistências em série, através de
características da membrana como permeabilidade e tamanho de poro nominal. Para tanto,
realizaram uma série de experimentos com membranas com diferentes tamanhos de poro
nominal, em função das resistências hidráulicas da membrana e da camada de
fouling. Uma
proteína comercial foi usada como soluto. Concluiu-se que para minimizar os efeitos dos
depósitos de proteína sobre a membrana, a aplicação de baixos valores de pressão
transmembrana e o uso de membranas cujos poros possuam tamanhos elevados são
alternativas necessárias.
2.2.2.4 Modelo da Difusão Hidrodinâmica Induzida por
Cisalhamento
DAVIS e LEIGHTON (1987) propuseram um modelo no transporte de partículas
através de paredes porosas por meio de um mecanismo de difusão hidrodinâmica induzido por
cisalhamento. Neste trabalho, os autores abordam o fato de que, no escoamento laminar em
estado estacionário, a difusão de partículas dentro da camada limite é balanceada pelo fluxo
advectivo de partículas que migram na direção da parede porosa, devido ao escoamento do
fluido que vai na direção desta parede. Nas condições de escoamento desenvolvido, faz-se um
balanço de quantidade de movimento para uma tensão de cisalhamento constante, o que
requer que o perfil de velocidade na suspensão seja linear. No caso de escoamento confinado,
isso ocorre quando a camada de partículas formada é muito pequena se comparada com a meia
altura do canal de escoamento. Assume-se assim que a camada concentrada de partículas se
comporta como um fluido newtoniano cuja viscosidade depende apenas da fração volumétrica
local:
dy
du
)(
0
fhmt = (2.26)
onde u é a velocidade paralela à parede, m
0
é a viscosidade do fluido puro, h(f) é a
viscosidade relativa da solução, ou a razão entre a viscosidade local e a do fluido puro,
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
25
m(f)/m
0
. A Equação (2.26) pode ser integrada mediante a condição de contorno de não
deslizamento, em que
u = 0 em y = 0, uma vez que t é constante. O balanço de partículas, por
sua vez, é dado como:
0=f+
f
w
v
dy
d
D
(2.27)
onde v
w
é o fluxo de permeado, cujo valor assume-se como sendo conhecido, f é a fração
volumétrica de partículas e
D é o coeficiente de difusão hidrodinâmica. Na Equação (2.27), o
primeiro termo representa a migração para fora da parede porosa devido à difusão
hidrodinâmica induzida pela tensão de cisalhamento, ao passo que o segundo termo é o fluxo
advectivo devido à permeação para dentro da parede. Esta equação é semelhante à Equação
(2.14) da Teoria do Filme, mas considerando-se que nenhuma partícula atravessa a parede e,
portanto, que a fração delas na corrente de permeado é zero. O coeficiente de difusão
hidrodinâmica depende da fração volumétrica, do raio das partículas, do perfil de velocidade e
da tensão de cisalhamento, sendo expresso por:
)(
2
f= Da
dy
du
D (2.28)
onde a é o raio das partículas e
D
é a difusividade adimensional, expressa como:
2
a
D
D
t
m
= (2.29)
Abordagem semelhante foi feita por DAVIS e SHERWOOD (1990), para encontrar
uma solução por similaridade para a microfiltração tangencial em estado estacionário. Com
base nas equações de conservação de massa global e por componente e levando em conta
também os efeitos do cisalhamento na parede durante o transporte de partículas, os autores
obtiveram uma solução para o problema ilustrado na figura abaixo:
Figura 2.12: Esquema de formação da camada limite polarizada na microfiltração tangencial
As equações diferenciais de balanço usadas foram:
2.2 TEORIA DO TRANSPORTE EM MEMBRANAS DE MICRO E ULTRAFILTRAÇÃO
26
0=
¶
¶
+
¶
¶
y
v
x
u
(2.30)
0)( =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
f¶
f
¶
¶
-
¶
f¶
+
¶
f¶
y
D
yy
v
x
u
(2.31)
A Equação (2.30) é a equação da continuidade para fluido incompressível, e a Equação
(2.31) corresponde ao balanço de massa de partículas com base nos termos de advecção e
difusão. O cisalhamento na camada limite exercido pelo escoamento tangencial da suspensão
é igual ao cisalhamento na parede,
t
w
:
w
y
u
t=
¶
¶
fm )( (2.32)
As seguintes condições de contorno devem ser aplicadas para resolver
simultaneamente as equações (2.30) e (2.31):
b
y
f=f
d>>
(2.33a)
0
0
=
=y
u (2.33b)
0
)(
=
¶
f¶
f=f
y
y
Dv (2.33c)
w
y
f=f
=0
(2.33d)
w
y
vv -=
=0
(2.33e)
As condições de contorno (2.33a) e (2.33b) indicam que fora da camada limite a fração
de partículas é igual à fração da suspensão, e que a velocidade axial na parede da membrana é
igual a zero (condição de não-deslizamento), respectivamente. A condição (2.33c) declara que
não há fluxo de partículas através da membrana, ou seja, que a retenção é total. Por fim, as
condições de contorno (2.33d) e (2.33e) indicam que na superfície da membrana, a fração
volumétrica de soluto e a velocidade transversal são valores conhecidos. Entretanto, atenção
deve ser levada em conta nestas duas últimas condições de contorno, pois na determinação de
ambas, o sistema fica super especificado. Isso ocorre porque o sistema de equações
diferenciais parciais descrito pelas equações (2.30) e (2.31) necessita de quatro condições de
contorno para sua completa especificação, ao passo que existem cinco condições. Desta
forma, ou especifica-se a fração de sólidos na superfície da membrana e resolve-se o perfil de
fluxo de permeado, ou a partir de um fluxo conhecido, procura-se obter a distribuição de
fração volumétrica em função de x e y.
2.3 MÉTODOS PARA MELHORIA DO FLUXO
27
ROMERO e DAVIS (1988) ampliaram esta análise admitindo que duas camadas de
partículas são formadas: uma camada estagnada abaixo de uma camada dinâmica de partículas
escoando paralelamente à superfície da membrana; a partir de uma posição crítica sobre esta, a
camada dinâmica de partículas não consegue mais aceitar outras que tentem migrar da
suspensão em direção à membrana, quando uma fração delas na superfície tenha alcançado
um valor máximo. Todavia, aumentando-se o cisalhamento sobre a camada mais concentrada,
aumenta-se o movimento de partículas nesta camada, levando a valores maiores de difusão
hidrodinâmica de forma que a camada superior aumenta de tamanho, conseguindo “receber”
mais partículas da suspensão.
A mesma abordagem de difusão hidrodinâmica e induzida por cisalhamento foi usada
por HUISMAN e TRÄGARDH (1999a) e KROMKAMP et al (2005). Os primeiros
realizaram experimentos e simulações numéricas para investigar o comportamento do fluxo
limite na microfiltração tangencial de partículas de sílica, ao passo que os últimos usaram o
modelo de treliças de Boltzmann. Neste modelo, parte-se da discretização da teoria cinética,
movendo-se quantidades discretas de fluido sobre uma estrutura regular semelhante a uma
treliça, ou armação com espaçamentos discretos. As partículas então colidem umas com as
outras, e a cada colisão ocorre o movimento da partícula para um ponto adjacente. Unindo-se
este conceito com as equações da conservação, é possível modelar-se muitos fenômenos
físicos reais.
2.3 Métodos para melhoria do fluxo
De acordo com VAN DEN BERG (1988) e MULDER (1996) existem alguns métodos
para a melhoria do fluxo de permeado, que são:
· Adaptação das condições de operação no equipamento
A filtração transversal ou dead-end é aquela na qual não há mistura perfeita e as
condições são menos favoráveis para a manutenção do desenvolvimento do fluxo, uma vez
que se caracterizam por levarem a baixos valores do coeficiente de transferência de massa,
facilitando a polarização e o fouling. Promotores de turbulência (chicanas ou baffles) também
promovem um aumento do coeficiente de transferência de massa. Mais precisamente, a
presença de espaçadores bem como sua orientação geométrica apresenta profundos efeitos no
escoamento; experimentos com uma rede de espaçadores para obtenção de correlações para
predizer o coeficiente de transferência de massa foram realizados por COSTA et al. (1994).
Promotores de turbulência estáticos foram usados nos experimentos de microfiltração
tangencial de leite desnatado, levados a cabo por KRSTIC et al (2004).
· Mudança das condições de alimentação
Soluções mais concentradas tendem a facilitar a deposição de soluto sobre a
membrana. O aumento da concentração modifica as propriedades de transporte tais como
difusividade mássica e viscosidade. Contudo, quando o objetivo é concentrar soluções deve-se
determinar a máxima concentração a partir da qual o fluxo permeado cai drasticamente;
também é aconselhado se trabalhar com baixos fatores de concentração. Velocidades de
2.3 MÉTODOS PARA MELHORIA DO FLUXO
28
alimentação maiores dificultam o depósito de material e a alteração de parâmetros como o pH
da suspensão pode alterar o comportamento das partículas sólidas no meio, resultando em
menores chances de polarização, dependendo de cada caso.
· Tratamento da membrana
Tratamentos químicos podem alterar as características de superfície da membrana de
forma a torná-la menos suscetível à adsorção. A remoção in situ da camada limite pode ser
possível pelo uso de enzimas hidrolíticas aplicadas na superfície. A pré-adsorção da
membrana por um componente que possa ser facilmente removido ou o uso de membranas de
superfícies hidrofílicas (onde proteínas são menos facilmente adsorvidas) são outras maneiras
de reduzir a queda do fluxo permeado.
· Métodos de limpeza
A limpeza periódica de membranas é necessária mesmo para um sistema operando em
condições ótimas, pois a membrana acumula sujeiras com o tempo de uso. Existem
basicamente quatro tipos de limpeza: a limpeza hidráulica, que inclui a retrolavagem,
pressurização e despressurização alterando-se a direção do escoamento numa dada freqüência;
a limpeza mecânica, que consiste na remoção mecânica ou manual de depósitos mediante uma
haste com esponjas ou outro componente limpador; a limpeza química, onde se aplicam
ácidos, álcalis, detergentes, desinfectantes e agentes complexantes diversos de forma a
remover total ou parcialmente os depósitos de soluto; e por fim a limpeza elétrica, que é a
aplicação de um campo elétrico através da membrana, onde as partículas ou moléculas
carregadas serão forçadas a migrarem na direção do campo, para longe da superfície da
membrana. A vantagem deste último método é que pode ser aplicado durante o andamento do
processo de filtração, mas arranjos especiais no módulo e o uso de membranas condutoras de
eletricidade são necessários. A conclusão de que a aplicação de um campo elétrico na
membrana resulta em melhorias no fluxo e diminuição da concentração de soluto sobre a
superfície desta, foi confirmada também em trabalho de simulação desenvolvido por
KARTHIK et al (2002), onde a eletroultrafiltração de proteína de soro bovino foi simulada
levando-se em conta propriedades constantes e variáveis, dependentes da concentração local
da proteína.
Um outro método de limpeza é o uso de ultra-som. Nesse sentido, LAMMINEN et al.
(2006) trabalharam com um transdutor embutido oposto à superfície da membrana, o qual era
capaz de induzir cavitação por meio da geração de ultra-som. Foram testadas diferentes faixas
de potências, e verificou-se que o sistema transdutor era capaz de aumentar o valor do fluxo
permeado, à medida que a potência do sistema era aumentada. Os testes foram realizados com
a aplicação de uma camada de fouling usando partículas de sulfato de poliestireno, cujo
diâmetro era de 0,53
mm.
LI et al. (2003) aplicaram uma técnica ultra-sônica, não destrutiva e em tempo real
para medida in situ e não invasiva do estudo do fouling e limpeza na ultrafiltração. Foram
empregadas membranas de polisulfona, tendo como alimentação o efluente de uma estação de
tratamento. Medidas de fluxo permeado e da estrutura da membrana por meio de microscopia
2.3 MÉTODOS PARA MELHORIA DO FLUXO
29
corroboraram os resultados encontrados a partir da técnica empregada. Esta técnica consistia
em fazer com que a camada de fouling produzisse um eco a partir de um sinal diferencial de
ultra-som, comparando-se com sinais de ondas de referência.
Verifica-se que há um grande número de trabalhos no sentido de esclarecer os
fenômenos hidrodinâmicos e de transferência de massa na camada limite de processos de
separação com membranas; todavia, uma abordagem geral que se aplique a qualquer caso
ainda não foi encontrada devido às diferentes configurações existentes e mesmo por causa da
complexidade dos fenômenos envolvidos no processo. Nesse sentido, o uso de simulação
fluidodinâmica computacional aparece como um auxílio na compreensão dos fenômenos
relacionados aos processos de separação com membranas, de forma que este trabalho vem a
ser um estudo complementar com o objetivo de melhorar o entendimento de tais fenômenos.
Capítulo 3
Mecânica de Fluidos Computacional –
Metodologia Matemática e Revisão
Bibliográfica
Neste capítulo serão abordados alguns aspectos relacionados à simulação
fluidodinâmica, sendo apresentadas também as metodologias matemáticas empregadas na
maioria das simulações. Finalmente, serão apresentados alguns trabalhos aplicados na área de
processos de separação por membranas.
3.1 Visão geral da tecnologia CFD (Computational Fluid
Dynamics)
O recente avanço na capacidade de processamento dos computadores, bem como o
surgimento de modernas técnicas numéricas, tem produzido um aumento no uso da simulação
fluidodinâmica computacional. A complexidade das equações de conservação de quantidade
de movimento, energia e massa, e outras equações (equações cúbicas de estado, correlações
empíricas, taxas de reações químicas) tornava, a apenas poucas décadas atrás, inviável a
solução de uma série de problemas de engenharia, devido à baixa capacidade computacional.
As aplicações da simulação computacional de processos envolvendo fluidos e
transferência de calor são muitas. Um exemplo é o da indústria aeroespacial, onde a
aerodinâmica de aviões e foguetes deve ser determinada de forma que fatores como
sustentação, arraste e turbulência possam ser previstos antes da construção do aparato final.
Desta forma, pode ser verificado se a potência e o formato das turbinas são adequados para
manter a aeronave no ar ou se a forma da asa é apropriada para um determinado tipo de vôo.
Muitos destes testes foram e ainda são feitos nos chamados túneis de vento. Estes testes são
extremamente caros, além de consumirem muito tempo no desenvolvimento de um projeto
emergindo uma das vantagens oferecidas pela simulação. Todavia, em algumas situações mais
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
31
complicadas onde a simulação ainda não fornece resultados satisfatórios, o uso do túnel de
vento é necessário. A combinação entre simulação e experimentação é de importância
fundamental no desenvolvimento e na otimização de processos. Alguns outros exemplos de
áreas de pesquisa nas quais a dinâmica de fluidos computacional vem sendo utilizada foram
apresentadas por SHAW (1992):
· projeto de mísseis - assim como em aviões, o conhecimento dos fenômenos inerentes
ao vôo é de extrema importância, sobretudo para equipamentos de grande importância militar;
· vazamentos em reatores nucleares - devido à impossibilidade de realizar
experimentos por questões de segurança, técnicas de CFD também se aplicam neste caso,
onde o conhecimento do comportamento de um vapor radioativo é crucial em termos de
tomada de decisões;
· chamas em queimadores - o conhecimento da dinâmica da combustão é importante
para o melhor projeto de queimadores em caldeiras, fornalhas, turbinas de foguetes, fornos
industriais e outros equipamentos que envolvam combustão;
· circulação de ar em câmaras de combustão - o ar a ser utilizado numa câmara de
combustão deve ser o mínimo necessário para que a própria combustão se inicie e se
mantenha, operando o mais perto possível de condições ótimas; assim, fatores como perda de
carga e distribuição de velocidades no interior das câmaras são importantes;
· escomento de ar refrigerante em equipamentos elétricos - dispositivos elétricos
dissipam calor devido ao efeito Joule e este calor deve ser retirado de forma a evitar um super
aquecimento do dispositivo;
· dispersão de poluentes em rios, oceanos e na atmosfera - simulação de prováveis
acidentes com produtos perigosos é uma interessante aplicação das técnicas de CFD, onde o
conhecimento da dispersão de determinado poluente sobre um curso de água ou no ar
ambiente deve ser conhecido para fins de segurança;
· previsão do clima - constitui-se em uma das áreas de maior impacto; simulações
computacionais do clima são de extrema importância para a agricultura e medidas de controle
ambiental.
Basicamente, existem três maneiras de se resolver um problema envolvendo mecânica
de fluidos e processos de transferência de calor e massa: métodos analíticos, métodos
numéricos e métodos experimentais.
Os métodos analíticos são aqueles usados na obtenção de formas fechadas de equações
diferenciais parciais. Assim, as soluções obtidas podem ser expressas como funções
matemáticas conhecidas. O grande problema dos métodos analíticos é que são aplicáveis a
casos muito simples que geralmente não acontecem na maioria dos processos de interesse.
Normalmente, muitas hipóteses simplificativas devem ser feitas de forma a obter-se uma
solução exata, e isto causa um afastamento da descrição real do problema.
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
32
Os métodos numéricos, por sua vez, foram a grande solução de muitos problemas da
engenharia e das ciências exatas como um todo, pois conseguem aquilo que os métodos
analíticos são incapazes: resolver problemas cuja complexidade é bem maior, sob as mais
variadas condições. Isto, aliado aos pacotes de geometria embutidos em simuladores presentes
no mercado, permite uma visualização simples do fenômeno físico, sob variadas condições.
Porém, a grande desvantagem de tais métodos é o tempo computacional gasto para a resolução
dos problemas. Mesmo simulações relativamente simples podem levar alguns minutos para
que as iterações cheguem a um nível de convergência ou erro numérico aceitável. Além disso,
problemas como estabilidade e consistência, que serão abordados mais adiante, podem
dificultar a obtenção de resultados fisicamente coerentes. Nem todas as técnicas numéricas
existentes são apropriadas para todos os tipos de problemas e, desta forma, a escolha de uma
ou mais técnicas dependerá fortemente do tipo de problema que se deseja resolver.
Os métodos experimentais possuem a vantagem de lidar com sistemas reais; quando
muitas dificuldades estão envolvidas, impedindo o uso de técnicas analíticas e/ou numéricas, a
experimentação apresenta-se como o único caminho possível. Comparando-se os três métodos
em termos de custo, os experimentais, em geral, são os mais onerosos, pois envolvem muitos
gastos com equipamentos e energia. Os métodos analíticos possuem custo praticamente zero,
uma vez que a grande maioria das técnicas é de conhecimento público e foram desenvolvidas
há anos e encontram-se bem consolidadas. Os métodos numéricos, por sua vez, possuem
apenas custo computacional, muito inferior aos custos da experimentação.
3.1.1 Metodologia CFD
Atualmente existe uma variedade de programas e pacotes computacionais
desenvolvidos por grandes companhias que são usados na resolução de uma grande
quantidade de problemas. Apesar de existirem diferenças entre os programas, todos eles são
baseados nos mesmos princípios físicos e matemáticos, e o que muda, muitas vezes, de um
para outro, é a forma de implementação numérica e o tratamento gráfico das soluções. Assim,
as seguintes ações estão envolvidas, independente do tipo de simulação ou programa
empregado:
· a construção de uma grade de pontos, ou um conjunto de volumes ou elementos, nos
quais as variáveis a serem calculadas são armazenadas;
· a especificação das condições inicial e de contorno apropriadas;
· a especificação das propriedades físicas do fluido contidas nas equações, as quais
podem variar com os parâmetros de interesse;
· a especificação dos parâmetros de controle que afetam a solução numérica das
equações (número máximo de iterações, convergência desejada, métodos alternativos de
solução).
O processo de solução de um problema físico usando CFD pode ser resumido
conforme o fluxograma apresentado na Figura 3.1, o qual foi proposto por SHAW (1992),
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
33
onde se tem um conjunto de passos a serem seguidos até a obtenção da solução. É importante
ressaltar que muitos problemas não são facilmente resolvidos apenas obedecendo a um
conjunto de regras simples, e que muitas considerações feitas para um problema podem não
ser adequadas para outro.
Resultados
coerentes
Resultados
insa tisfa tó rio s
Não
Não
IN ÍCIO
Tratamento do
problema
Geração da
malha
Especificação
do escoamento
Solução
numérica
A ná lise d e
resultados
PAR E
Especificação
incorreta do
escoamento ?
Sim
Erro
conceitual ?
Sim
Malha
pobre ?
Figura 3.1: Fluxograma para resolução de um problema utilizando CFD
O tratamento do problema envolve, inicialmente, uma idéia geral do mesmo, com a
verificação do tipo de problema: transiente ou estacionário, a definição das variáveis
envolvidas e da geometria. O passo seguinte consiste na geração da malha e na especificação
do escoamento de tal forma a estabelecer as equações governantes, as condições inicial e de
contorno, as propriedades físicas (constantes ou não) e as relações constitutivas (equações de
estado, equações de transporte e equações de taxas de reações químicas). Finalmente, tem-se a
implementação do algoritmo e a resolução do problema através das técnicas numéricas
empregadas no simulador.
A resolução de um problema de CFD, independentemente do software, consiste de três
etapas: pré-processamento; solução numérica do problema e pós-processamento.
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
34
Toda a atividade envolvida na montagem e elaboração de um problema de CFD antes
da etapa de solução numérica é denominada de pré-processamento. Nas atividades mostradas
no fluxograma da Figura 3.1, o pré-processamento inclui as etapas de tratamento do problema,
geração da malha e especificação do escoamento (geometria), além da definição do método
numérico a ser empregado bem como os parâmetros necessários para a resolução.
A geração da malha consiste na subdivisão do domínio em várias partes ou pedaços,
onde as equações serão discretizadas e resolvidas. Se a geometria for tridimensional, então o
espaço em questão será composto por uma miríade de pequenos elementos de volume cujo
tamanho é fixo ou variável, de acordo com a geometria em estudo e das características do
problema. A parte mais difícil e também a mais importante do pré-processamento é a
construção da geometria e a geração da malha. A qualidade deste trabalho final influenciará
fortemente a qualidade da solução e a facilidade para obtê-la. A geometria pode ser construída
a partir de pacotes separados das mesmas empresas que desenvolvem o simulador ou mesmo
usando programas de outras companhias, notadamente aquelas que trabalham com programas
de desenho (por exemplo CAD). Teoricamente, quanto maior o número de subdivisões numa
geometria, melhor esta é representada, pois cada porção estará cada vez mais tendendo a um
valor infinitesimal, o que, a princípio, leva a resultados mais precisos. Todavia, na prática, isto
nem sempre ocorre: malhas muito concentradas (com muitas subdivisões) ou muito refinadas
aumentam o tempo de processamento, e, se ligadas a um método numérico pobre, diminuem
as chances de convergência; na situação oposta, malhas grosseiras ou com poucos elementos
podem levar a resultados imprecisos ou à não convergência do problema. Na montagem da
malha deve se levar em consideração o fenômeno físico envolvido, para que se possa refiná-la
nas regiões de gradientes elevados a fim de permitir a convergência para a solução correta.
Uma vez estabelecidas a geometria e a malha, as outras etapas se tornam relativamente
simples se o simulador apresentar uma interface gráfica adequada. As condições de contorno
especificadas podem ser visualizadas em cada parte da geometria e as propriedades dos
fluidos podem ser facilmente ajustadas; caso estas variem durante o processo é necessário a
introdução da expressão matemática, que represente esta variação. Fatores como precisão,
número máximo de iterações e parâmetros usados em métodos numéricos também são
ajustados.
A solução numérica consiste na solução iterativa do problema e, nesta etapa,
geralmente, o usuário não pode interferir. Alguns programas, entretanto, permitem a alteração
de condições ajustadas no pré-processamento, como o número máximo de iterações e a
precisão desejada, além de opções internas do programa ou solver que podem ajudar na
resolução.
No pós-processamento as soluções são visualizadas e interpretadas. Outros cálculos
também podem ser realizados a partir dos resultados obtidos, como o de valores médios das
variáveis de interesse (velocidade, pressão, temperatura, tensão de cisalhamento) além da
representação dos perfis destas variáveis através de gráficos e superfícies de contorno.
Campos vetoriais e linhas de corrente também podem ser visualizados e efeitos como a
turbulência podem ser previstos.
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
35
Dx Dx
W P E
Algumas características são importantes no momento da escolha de um programa de
simulação CFD, entre elas pode-se citar a geometria, o tipo de escoamento, efeitos de
transferência de calor, número de fases e componentes, presença de reações químicas,
resultados almejados, interface, velocidade da solução, disponibilidade de hardware, entre
outras. Finalmente, é importante ressaltar que a verificação de uma simulação mediante a
realização de experimentos é o caminho mais seguro para garantir a confiabilidade de um
determinado pacote computacional.
3.1.2 Métodos de discretização numérica
A transformação de uma equação diferencial parcial em uma equação algébrica é
conhecida como discretização. Os métodos mais comuns de discretização numérica são os de
finitas e volumes finitos; cada um deles será brevemente apresentado a seguir.
O método das diferenças finitas consiste no uso da série de Taylor para gerar equações
algébricas que sirvam como aproximações das derivadas presentes nas equações diferenciais;
as derivadas são expressas como diferenças entre valores de uma variável em vários pontos do
espaço ou do tempo. Assim, supondo-se que o valor de uma variável F qualquer deva ser
determinado num ponto x e considerando-se dois pontos situados a uma distância Dx para
frente e para trás desse ponto (Figura 3.2), a função em termos de séries de Taylor ao redor
destes pontos tem a seguinte forma:
...
!3!2
3
3
32
2
2
+
D
+
D
+D+=
x
dx
Fdx
dx
Fd
x
dx
dF
FF
P
P
P
PE
(3.1)
...
!3!2
3
3
32
2
2
+
D
-
D
+D-=
x
dx
Fdx
dx
Fd
x
dx
dF
FF
P
P
P
PW
(3.2)
Figura 3.2: Representação da discretização por diferenças finitas
Somando-se as equações (3.1) e (3.2), pode-se isolar o termo de mais alta derivada que
se deseja expressar; por exemplo, isolando a derivada de segunda ordem, obtém-se:
)(
2
2
22
2
xE
x
FFF
dx
Fd
PWE
P
D+
D
-+
=
(3.3)
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
36
onde E(Dx
2
) é o erro de truncamento, visto que foram desprezados os termos de derivada de
mais alta ordem.
A primeira derivada é expressa de duas formas:
)( xE
x
FF
dx
dF
PE
D+
D
-
= (3.4)
)( xE
x
FF
dx
dF
WP
D+
D
-
= (3.5)
onde E(Dx) é o erro de truncamento na expressão da primeira derivada.
A forma da Equação (3.3) é chamada de diferenças centrais com precisão de segunda
ordem (pois exclui os termos a partir da terceira ordem) ao passo que as equações (3.4) a (3.5)
são as expressões de discretização para frente e para trás, respectivamente, com precisão de
primeira ordem. A abordagem para o caso transiente é semelhante:
)(
0
tO
t
FF
dt
dF
PP
D+
D
-
= (3.6)
em que F
P
0
é o valor da variável F no ponto P no instante de tempo imediatamente anterior.
Os valores da variável F neste passo de tempo são conhecidos para todos os outros valores do
domínio espacial. Desta forma, é possível desenvolver expressões análogas para derivadas de
qualquer ordem, gerando um conjunto de equações algébricas que representa, dentro de um
erro de truncamento, a equação diferencial em questão. Subdividindo-se um domínio em
várias partes e gerando-se equações que consistem somente dos valores das variáveis nos
pontos dados, um conjunto de equações é obtido de forma que sua solução numérica será a
solução, ainda que aproximada, para a equação ou sistema de equações diferenciais.
O método de discretização mais usado para a simulação de problemas envolvendo
escoamento de fluidos e transferência de calor e massa é o método dos volumes finitos. Ele é
baseado na realização de um balanço (de massa, de quantidade de movimento ou de energia)
sobre um volume de controle determinado, onde os fluxos das variáveis em questão
atravessam as faces do volume. No limite, quando o volume tende a zero, obtém-se a forma
diferencial do balanço, que nada mais é do que a equação diferencial de conservação. Assim,
se um número de volumes muito pequeno for considerado, e as equações forem discretizadas
para tratar desses volumes, reduzem-se o conjunto de equações diferenciais a simples
equações de balanço na forma finita. Existem duas maneiras de se chegar às equações de
volumes finitos: fazendo-se um balanço nos volumes elementares da propriedade que está
sendo conservada, ou partindo-se da equação diferencial na forma conservativa (aquela em
que os fluxos aparecem dentro da derivada) e integrá-la sobre o volume elementar, no espaço
e no tempo. As duas maneiras são equivalentes, pois a dedução das equações diferenciais
passa pela realização de um balanço num volume infinitesimal. A Figura 3.3 ilustra o balanço
num volume bidimensional elementar:
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
37
P ew
n
s
rvDx│
s
rvDx│
n
ruDy│
w
ruDy│
e
x
x + Dx
x
y
y + Dy
y
Figura 3.3: Balanço de massa num volume finito
O balanço na Figura 3.3 é expresso como:
0=Dr-Dr+Dr-Dr
snwe
xuxvyuyu (3.7)
onde n, s, e, w são as direções norte, sul, leste e oeste, respectivamente, que é a nomenclatura
clássica usada para identificar as faces do volume de controle; u e v são as componentes de
velocidade nas direções x e y, respectivamente. Dividindo a Equação (3.7) por DxDy, obtém-
se:
0=
D
r-r
+
D
r-r
y
vv
x
uu
snwe
(3.8)
Levando-se a Equação (3.8) ao limite, obtém-se, finalmente:
0)()( =r
¶
¶
+r
¶
¶
v
y
u
x
(3.9)
Fazendo-se o caminho inverso, ou seja, integrando Equação (3.9) entre as faces norte e
sul, na direção y, e leste e oeste, na direção x, tem-se:
0)()( =
ú
û
ù
ê
ë
é
r
¶
¶
+r
¶
¶
òò
dxdyv
y
u
x
e
w
n
s
(3.10)
[][]
òò
=r-r+r-r
e
w
sn
n
s
we
dxvvdyuu 0 (3.11)
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
38
A diferença entre os pontos norte e sul é Dy e entre os pontos leste e oeste, Dx. Chega-
se então a:
0=Dr-Dr+Dr-Dr
snwe
xuxvyuyu (3.12)
que é a mesma Equação (3.7). Realizando-se a integração para todos os volumes elementares,
obtém-se o sistema de equações algébricas. Procedimento semelhante é feito para o balanço
de quantidade de movimento e energia. A realização de tais balanços é mais simples numa
geometria retangular do que numa geometria mais complicada, de aspecto irregular.
3.1.3 Consistência, Estabilidade e Convergência
As equações de conservação e demais equações provenientes da engenharia dão
origem a sistemas de equações cujo comportamento é difícil de prever. Até o presente
momento, não foi descoberto um procedimento geral que permita dizer se determinadas
aproximações numéricas sempre levarão a uma solução fisicamente coerente. A certeza de que
determinados parâmetros são apropriados depende do conhecimento e experiência do
problema em estudo. Desta forma, consistência, estabilidade e convergência são fatores
importantes a serem considerados em simulação fluidodinâmica. Consistência é quando o
tamanho da malha espacial e da discretização temporal, ao tenderem a zero, reproduzem
fielmente a equação diferencial. Ou seja, as equações discretizadas devem tender às equações
diferenciais quando o tamanho de cada elemento da malha tender a zero. Entretanto, conforme
MALISKA (1995), em muitas aproximações numéricas os erros de truncamento crescem com
o refinamento da malha.
Estabilidade é quando os resultados obtidos pela simulação numérica se aproximam
cada vez mais da solução exata. Uma vez que a grande maioria das equações e sistemas de
equações diferenciais não possui solução analítica conhecida, é difícil determinar quais
aproximações matemáticas geram soluções confiáveis. Fatores como erros de arredondamento
e condições de contorno mal aplicadas podem gerar soluções matematicamente corretas
(soluções cuja convergência foi alcançada) mas fisicamente incoerentes.
Convergência é a habilidade que um sistema numérico possui de resolver as equações
que foram discretizadas, tendendo à sua solução por meio de um processo iterativo. Assim, se
os valores das variáveis nos pontos do domínio tendem a valores fixos que representem a
solução do sistema, diz-se que a convergência foi alcançada. A convergência é um parâmetro
necessário, pois uma vez que a solução analítica não é conhecida, sabe-se que a simulação
chegou ao fim quando algum critério de parada é obedecido. O principal critério utilizado é
aquele no qual os balanços de massa, quantidade de movimento e energia são obedecidos ou
permanecem abaixo de um critério de erro, ao final da simulação.
3.1.4 Níveis de formulação de modelos
Existem vários níveis de formulação de modelos matemáticos, de tal forma que é
possível modelos tanto a nível atômico e molecular, quanto a níveis macroscópicos. Um bom
3.1 VISÃO GERAL DA TECNOLOGIA CFD (COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS)
39
modelo matemático deve representar fielmente o sistema estudado e deve poder ser resolvido
num tempo razoavelmente adequado. Modelos matemáticos podem ser teóricos ou
experimentais; modelos teóricos são baseados em leis de conservação e relações constitutivas,
ao passo que modelos baseados em experimentos são construídos a partir de relações
empíricas ou semi-empíricas envolvendo resultados experimentais. A Tabela 3.1 (MALISKA
(1995)) exprime alguns níveis para formulação de modelos.
Tabela 3.1: Níveis de formulação de modelos
Nível dos balanços de conservação Informação necessária Equação resultante
Conservação para cada molécula
Massa molar,
Transferência de quantidade de
movimento
Campos de forças, elétricos e
magnéticos,
Equação para cada molécula
Tempo e comprimento estão entre
os valores moleculares e de
turbulência
Propriedades termodinâmicas e de
transporte como: massa específica,
viscosidade, condutividade térmica
Sistema de equações diferenciais
parciais
Tempo e comprimento são maiores
que as escalas de turbulência
Propriedades termodinâmicas e de
transporte, Tensões de Reynolds,
Relações de transferência de calor e
massa turbulenta
Sistema de equações diferenciais
parciais
Volume de controle coincidente
com o domínio da solução em
alguma direção.
Condições de contorno onde o
volume de controle coincide com o
domínio.
Sistema de equações diferenciais
parciais ou algébricas.
Mesmo com os avanços na tecnologia de computadores, a solução de problemas a
nível atômico ou molecular ainda está muito longe de ser conseguida. O nível seguinte ainda é
intratável, pois as equações diferenciais precisam ser resolvidas para escalas de tempo e
comprimento cujos valores encontram-se entre as escalas moleculares e turbulentas. Os níveis
seguintes são aqueles resolvidos atualmente. As equações de conservação para estes níveis são
as seguintes:
0)( =r
¶
¶
+
¶
r
¶
j
j
u
xt
(3.13)
i
u
j
i
ji
ij
j
i
S
x
u
xx
P
uu
x
u
t
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
m
¶
¶
+
¶
¶
-=r
¶
¶
+r
¶
¶
)()( (3.14)
T
jPj
j
j
S
x
T
c
k
x
Tu
xt
T
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=r
¶
¶
+
¶
r¶
)(
)(
(3.15)
3.2 CONSTRUÇÃO DA MALHA 40
i
C
S
x
C
D
xx
Cu
t
C
j
i
jj
ij
i
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
)(
)(
(3.16)
A Equação (3.13) é a equação da conservação da massa total (continuidade). As
equações de Navier-Stokes estão representadas em (3.14), onde u
i
são os i-componentes de
velocidade u, v, e w, e x
i
são as j-variáveis espaciais x, y e z. A Equação (3.15) representa a
conservação de energia, e a Equação (3.16) representa a conservação da massa para o
componente i. Nas equações (3.14) a (3.16), o primeiro termo do lado esquerdo representa o
acúmulo da propriedade e o segundo termo correspondem às parcelas advectivas, não-lineares
e de difícil tratamento numérico. No lado direito encontram-se os termos difusivos, os quais
contêm as difusividades de quantidade de movimento (Equação (3.14)) e térmica (Equação
(3.15)), quando divididos pela massa específica, e a difusividade mássica (Equação (3.16)). O
termo fonte S representa a geração (ou consumo) para cada propriedade: para as equações de
balanço de quantidade de movimento, em geral o termo fonte envolvido é o campo
gravitacional numa direção especificada; para as equações da energia e massa de um
componente, tem-se a geração térmica de energia e a geração de componente via reação
química, respectivamente. Maiores detalhes envolvendo as equações (3.13) a (3.16) podem ser
encontradas em BIRD et al (1960).
3.2 Construção da malha
A etapa de construção da malha é a mais importante em uma simulação
fluidodinâmica, pois as características da malha influenciarão diretamente a qualidade dos
resultados obtidos, bem como o tempo necessário para obtê-los. À medida que se trabalha
com geometrias mais complicadas o processo de geração de uma malha computacional se
torna também mais complicado. Não importando o método de discretização usado, uma grade
ou malha de pontos precisa ser gerada convenientemente de forma que as equações
discretizadas sejam aplicadas nestes pontos. Para tanto, a importância de um bom
conhecimento da geometria do problema é fundamental para a geração de uma malha que
represente o mais fielmente possível essa geometria. A Figura 3.4 ilustra as diferentes
geometrias básicas sobre os quais uma malha pode ser formada, sendo ela tanto bidimensional
quanto tridimensional.
Figura 3.4: Diferentes formatos para malhas
3.2 CONSTRUÇÃO DA MALHA
41
Dependendo da forma como a malha é arranjada na geometria, ou mais precisamente
sua topologia, pode-se ter uma malha estruturada ou não-estruturada. Malhas estruturadas são
aquelas onde a grade de pontos está distribuída de uma maneira regular através do domínio
(Figura 3.5a). A alteração do formato da geometria não altera as posições relativas dos pontos
entrei si, de forma que qualquer ponto na malha estará conectado aos mesmos pontos
vizinhos, antes e depois da alteração da geometria. Já em malhas não-estruturadas (Figura
3.5b), os pontos não estão ligados entre si de maneira regular, de forma que alterações na
geometria levarão a alterações na conectividade dos pontos.
(a)
(b)
Figura 3.5: Malha estruturada (a) e não-estruturada (b)
A escolha da topologia mais adequada dependerá da natureza de cada problema. Em
geral, códigos de programação escritos com base em malhas estruturadas levam a programas
mais eficientes, pois a regra de ordenação dos pontos e células é facilitada (Figura 3.6a),
facilitando também a manipulação dos dados nestes pontos, o que não acontece nas não-
estruturadas (Figura 3.6b). Todavia, a criação de malhas estruturadas em geometrias mais
complicadas é mais difícil do que com malhas não-estruturadas, uma vez que estas últimas
apresentam maior liberdade de arranjo e posicionamento dos pontos.
(a) (b)
Figura 3.6: Ordenação das células em malha estruturada (a) e não-estruturada (b)
É possível modificar uma malha de forma a obter-se uma solução mais confiável. O
refino em regiões onde ocorrem altos gradientes das variáveis também é um procedimento
comum. A Figura 3.7 ilustra esta situação. Pontos adicionais são colocados próximos à parede
3.3 TURBULÊNCIA 42
de forma a capturar melhor os efeitos da camada limite de velocidade. A malha original
possuía espaçamentos iguais, e, após o refino, os nós adicionados fizeram com que ela ficasse
mais densa na região de interesse, com espaçamentos menores entre eles, alterando-se assim a
topologia.
Figura 3.7: Refino da malha
A adaptação da malha é outra técnica usada com o mesmo objetivo da técnica de refino
descrita acima. Na adaptação, a topologia permanece a mesma, mas os pontos são movidos de
forma que a densidade (número de pontos por unidade de área ou volume da geometria) seja
maior na região desejada, conforme mostra a Figura 3.8. Diferente do caso anterior, o número
de nós permanece o mesmo, mudando apenas a posição de alguns deles.
Figura 3.8: Adaptação da malha
3.3 Turbulência
A turbulência ocorre em diversos fenômenos físicos podendo-se citar o escoamento
supersônico ao redor de aeronaves, o movimento do ar em fenômenos meteorológicos, o
escoamento no interior de tubulações industriais, entre outros; é um fenômeno imprevisível e
altamente sensível às condições iniciais e de contorno impostas (FREIRE et al (2002)). A
seguir será feita uma breve revisão sobre escalas e modelos de turbulência.
A grande característica dos escoamentos turbulentos reside no fato de que, tanto a
velocidade quanto a pressão, num certo ponto do espaço, não são fixas no tempo (Figura 3.9).
Os agrupamentos de fluido que desempenham tais flutuações não consistem de simples
3.3 TURBULÊNCIA
43
moléculas, mas sim de grandes agrupamentos macroscópicos de tamanho variável. O tamanho
destes agrupamentos determina a escala de turbulência.
Tempo
Velocidade
instantânea
Figura 3.9: Flutuações de velocidade no escoamento turbulento
3.3.1 Escalas de turbulência
Existem várias escalas de comprimento, as quais estão ligadas, tanto às dimensões do
canal de escoamento quanto à influência da viscosidade. Para o escoamento sobre uma placa
plana, por exemplo, tem-se que nas proximidades da parede, as forças viscosas são da mesma
ordem de grandeza que as forças inerciais, de forma que se pode escolher um novo
comprimento l que obedeça à seguinte relação:
2
2
l
U
L
U m
=
r
(3.17)
onde r é a massa específica, U é a velocidade da corrente livre ou bulk, L é o comprimento da
placa,
m é a viscosidade dinâmica e l é o comrimento que representa a escala. Quando
rearranjada, fornece a seguinte equação:
2/1
2/1
Re
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
n
»
ULL
l
(3.18)
onde n é a viscosidade cinemática e Re é o número de Reynolds. A Equação (3.18) mostra que
a relação entre diferentes escalas de comprimento é uma função apenas do número de
Reynolds. A escala de tempo pode ser expressa como L/U. As pequenas escalas são
independentes das grandes escalas de movimento, uma vez que as pequenas escalas de
comprimento possuem pequenas escalas de tempo. Assim, o movimento nas pequenas escalas
recebe energia das grandes escalas, de forma que a taxa de energia recebida é igual à taxa de
energia dissipada. O conceito mais usado de escalas de turbulência são as escalas dissipativas
de Kolmogorov (KOLMOGOROV (1941) apud FREIRE et al (2002)), de comprimento,
tempo e velocidade, dadas pelas equações (3.19), (3.20) e (3.21), respectivamente:
3.3 TURBULÊNCIA
44
4/1
3
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
e
n
=
d
l (3.19)
2/1
÷
ø
ö
ç
è
æ
e
n
=t
(3.20)
()
4/1
ne=v (3.21)
onde l
d
é a escala de comprimento, t é a escala de tempo e v é a escala de velocidade, e
representa a taxa de dissipação de energia e n é a viscosidade cinemática. Esta dissipação
pode ser expressa em função das grandes escalas, sem a participação da viscosidade:
L
U
t
U
32
=»e (3.22)
As relações entre as grandes escalas e as escalas de Kolmogorov permitem fornecer uma idéia
das ordens de grandeza envolvidas em escoamentos turbulentos. Uma relação importante entre
elas é dada pela substituição da Equação (3.22) na Equação (3.19), e a seguir isolando-se o
termo
L/l
d
:
4/3
Re=
d
l
L
(3.23)
Um resultado importante desta relação é que a partir dela pode-se estimar o número de
graus de liberdade por unidade de volume:
4/9
3
Re
L
d
l
L
N
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
= (3.24)
onde N é o número de graus de liberdade por volume. Atualmente, não é possível aplicar-se as
equações de Navier-Stokes diretamente na simulação de escoamentos com grandes números
de Reynolds, devido ao elevado número de graus de liberdade. Em função disto, são
necessárias equações adicionais que possibilitem a modelagem destes escoamentos,
provenientes de modelos de turbulência
3.3.2 Modelos de turbulência
A princípio, as equações de Navier-Stokes podem ser usadas diretamente para a
simulação de qualquer tipo de escoamento, desde o laminar até o turbulento. Se a malha for
suficientemente fina, todas as escalas de todos os fenômenos físicos envolvidos serão
abrangidas pelas equações discretizadas. Este tipo de abordagem é chamado de
Simulação
3.3 TURBULÊNCIA
45
Numérica Direta (SND). Entretanto, isto só pode ser feito para valores de Reynolds muito
pequenos, dentro dos limites do escoamento laminar, devido ao baixo número de graus de
liberdade, conforme indicado pela Equação (3.24). Para valores elevados do número de
Reynolds, modelos de turbulência foram desenvolvidos de forma a contornar o problema
relativo aos altos graus de liberdade e do elevado número de subdivisões da malha. A Tabela
3.2 apresenta um resumo dos tipos de modelos existentes.
Tabela 3.2: Classificação dos modelos de turbulência
Modelo Abordagem utilizada
Modelo do comprimento
de mistura de Prandtl
Modelos a uma equação
Viscosidade
turbulenta
Modelos a duas
equações
Tensões proporcionais aos
gradientes de velocidades
médias
Tensões de Reynolds
Transporte dos componentes do
tensor de Reynolds
Outra alternativa é a simulação em Grandes Escalas (LES, Large Eddy Simulation),
que é uma técnica similar à Simulação Numérica Direta, mas nas quais as discretizações
temporais e espaciais são aplicadas somente aos maiores vórtices, reduzindo o esforço
computacional. As escalas pequenas de tempo e comprimento, as quais estão associadas aos
maiores vórtices, são aproximadas pela introdução de modelos algébricos. Apesar de reduzir
as necessidades computacionais, esse tipo de abordagem ainda é inviável para a maioria dos
escoamentos, sendo aplicável de preferência somente para números de Reynolds menores que
5000 (ANSYS ® CFX 10.0).
Em escalas muito maiores do que aquelas associadas a flutuações turbulentas, o
escoamento exibe características médias; assim, um componente de velocidade pode ser
dividido em um componente médio e um variável no tempo. Em geral, os modelos de
turbulência visam modificar as equações de Navier-Stokes originais através da introdução
destas variáveis médias e flutuantes no tempo. Os termos remanescentes são as tensões de
Reynolds, que nada mais são do que o produto das médias das flutuações das componentes de
velocidade. Estas novas incógnitas acarretam o aparecimento do chamado problema de
“fechamento”, ou seja, são necessárias mais equações para a modelagem destes termos
adicionais, de forma que o número de equações permaneça igual ao número de incógnitas. As
equações usadas para fechar o sistema definem o tipo de modelo de turbulência. De acordo
com a Tabela 3.2, isto pode ser feito usando tanto o conceito de viscosidade turbulenta, quanto
equações de transporte para as tensões de Reynolds.
3.3 TURBULÊNCIA
46
O conceito de viscosidade turbulenta parte da idéia de que, na região de turbulência, a
viscosidade do fluido é alterada, sendo este novo valor uma conseqüência das flutuações de
velocidade. A viscosidade turbulenta não é uma propriedade física do fluido como a
viscosidade clássica, mas está relacionada à medida local do nível de turbulência. Esta idéia
levou posteriormente ao desenvolvimento do modelo do comprimento de mistura de Prantdl,
conforme descrito detalhadamente por SCHLICHTING (1960). Tal idéia está baseada no fato
de que, no escoamento turbulento ao longo de uma parede, porções de fluido se agrupam e se
movem num comprimento ou escala
l, sem que sua quantidade de movimento seja alterada.
Modelos a uma equação envolvem o cálculo da viscosidade turbulenta como
proporcional à velocidade média e a uma escala de comprimento, sem o envolvimento de
equações de transporte. Modelos a duas equações são os mais comumente usados e envolvem
o cálculo de dois fatores: a energia cinética turbulenta e a taxa de dissipação. Dentre os vários
modelos existentes, o modelo
k-e proposto por LAUNDER e SPALDING (1974) apud
FREIRE et al (2002) é um dos mais utilizados. Neste modelo, k é a energia cinética turbulenta
que corresponde à variância das flutuações de velocidade, e
e é a taxa na qual esta energia é
dissipada. As equações (3.25) e (3.26) representam o transporte para
k e e, respectivamente:
re-+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
Ñ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
s
m
+m×Ñ=r×Ñ+
¶
r¶
k
k
T
Pkk
t
k
)(
)(
U
(3.25)
()
re-
e
+
ú
û
ù
ê
ë
é
eÑ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
s
m
+m×Ñ=er×Ñ+
¶
re¶
ee
e
21
)(
)(
CPC
kt
k
T
U
(3.26)
onde U é o vetor velocidade, C
e1
, C
e2
, s
k
, s
e
são constantes do modelo, adimensionais, m
T
representa a viscosidade turbulenta e o termo P
k
representa a turbulência gerada pelas forças
viscosas e de campo, os quais são dados por:
e
r=m
m
2
k
C
T
(3.27)
()
kbTTk
PkUP +r+×Ñm×Ñ-Ñ+Ñ×Ñm= )3(
3
2
UUUU
T
(3.28)
onde C
m
é uma constante adimensional.
Na Equação (3.28), o segundo termo representa a contribuição das forças viscosas e o
último termo,
P
kb
, representa a contribuição da força de campo para a produção de
turbulência, que é dado por:
rÑ×
r
m
-= gP
T
T
kb
Pr
(3.29)
onde g é a aceleração gravitacional, e Pr
T
é o número de Prantdl turbulento.
3.4 APLICAÇÕES DE CFD EM PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 47
O modelo das Tensões de Reynolds baseia-se em equações de transporte para todas as
tensões, mas estas equações não são provenientes da hipótese de viscosidade turbulenta, mas
sim da resolução de cada tensão individual, seja por meio de equações algébricas ou
diferenciais. O desenvolvimento matemático das tensões é detalhadamente discutido por
SCHLICHTING (1960).
3.4 Aplicações de CFD em Processos de Separação por
Membranas.
Apesar do grande número de estudos experimentais na área de PSM, trabalhos
envolvendo CFD aplicados às membranas têm sido realizados por diversos pesquisadores. A
maioria destes trabalhos está relacionado à micro e à ultrafiltração. Na microfiltração,
RAHIMI et al (2005) realizaram um estudo do efeito de diferentes geometrias do módulo
sobre o fluxo de permeado e a distribuição de pressões sobre a membrana. Os autores
realizaram também experimentos de forma a validar os resultados numéricos obtidos. No
capítulo 4 este estudo será detalhadamente apresentado, pois este sistema foi simulado usando
o CFX 10.0, e os resultados foram comparados com aqueles obtidos no artigo citado.
No estudo do efeito de propriedades constantes e variáveis, WILEY e FLETCHER
(2003) realizaram diversas simulações bidimensionais levando em conta várias combinações
destes efeitos, usando como ferramenta o simulador CFX 4. Os autores verificaram como a
viscosidade e a difusividade influenciavam na solução, quando constantes e quando
dependentes da concentração de soluto; concluíram que próximo à camada limite, levando-se
em conta a variação destas propriedades, chega-se a resultados mais realísticos do que
modelos onde a viscosidade e a difusividade dependem fracamente da concentração de soluto,
ou quando independem deste.
FLETCHER e WILEY (2004) também estudaram os efeitos de forças de campo na
osmose inversa, na separação do sal da água num módulo plano. Usando também o CFX 4,
eles descobriram que tais efeitos são importantes somente para baixas taxas de alimentação,
onde a concentração de sal na superfície da membrana é fortemente influenciada pela força
gravitacional quando o módulo está alinhado com a direção da força (canal vertical). Para a
posição vertical, nenhum efeito significativamente diferente foi encontrado.
Os efeitos de promotores cilíndricos de turbulência em canal estreito foram
investigados por CAO et al (2001); estes dispositivos são empregados para aumentar o
coeficiente de transferência de massa do soluto, amenizando a camada limite polarizada de
concentração. Os autores usaram um modelo de turbulência a duas equações que fosse capaz
de resolver as pequenas escalas para baixos números de Reynolds. Um perfil de velocidades
parabólico completamente desenvolvido foi assumido na seção de entrada do canal. Diferentes
configurações de espaçadores foram usadas, alternando-se as localizações na parte superior e
inferior do canal. O simulador FLUENT 4 foi usado para estas simulações e os resultados
indicaram que a presença de espaçadores aumenta a tensão de cisalhamento sobre a superfície
da membrana, sendo uma função da localização do espaçador e dos vórtices gerados no local.
Os autores observaram que a redução da distância entre os espaçadores reduz os picos
ocorridos na tensão de cisalhamento, o que acarreta a formação de mais atividades turbulentas,
3.4 APLICAÇÕES DE CFD EM PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS
48
aumentando o coeficiente de transferência de massa. Todavia, a redução na distância aumenta
a perda de carga no canal, aumentando os custos de operação. Uma configuração ótima de
espaçadores deve levar em conta estes efeitos.
Um estudo de promotores também foi realizado por KOUTSOU et al (2004) que
simularam uma configuração única de promotores cilíndricos localizados dentro do canal de
escoamento, eqüidistantes entre si. Diferentes configurações de malha foram empregadas de
forma a verificar a sensibilidade dos resultados frente ao refinamento da malha. A simulação
foi realizada utilizando o programa FLUENT 6.0.12, através do método de simulação
numérica direta, já que baixos números de Reynolds (menor do que 200) foram testados. Os
resultados mostraram que para valores de Reynolds acima de 60 o escoamento se torna
instável e acima de 78 começam a surgir vórtices.
Um processo de ultrafiltração em escoamento laminar foi simulado por BOUCHARD
et al (1994). O transporte através da membrana foi simulado através da introdução de um
coeficiente de separação, sendo empregado o método de diferenças finitas. Comparações com
um modelo analítico de previsão da concentração de soluto na superfície da membrana foram
feitas, obtendo-se pequenos desvios em relação aos resultados numéricos para determinadas
faixas do fator de separação.
O estudo da polarização de concentração na separação de hidrogênio e metano por
meio da técnica de permeação de gases foi realizado por TAKABA e NAKAL (2005), usando
o software PHOENICS. A previsão do fator de separação por meio da técnica de CFD
concordou com os fatores obtidos através de experimentação. Entretanto, isto ocorreu para
baixos valores de permeabilidade, onde é assumido escoamento ideal. Para fatores de
separação de hidrogênio mais elevados, a simulação previu valores menores que os
experimentais, demonstrando a importância da consideração de uma dinâmica não-ideal de
escoamento para a simulação da permeação de gases.
O coeficiente de transferência de massa na separação de tricloroetano da água por
pervaporação foi investigado por Liu et al. (2004) e (2005), na ausência de baffles ou
chicanas, e na presença destes, respectivamente, utilizando o software FLUENT 6.0. Os
resultados indicaram que a presença destes obstáculos aumentava o coeficiente de
transferência de massa, da mesma forma prevista pela teoria e pelos resultados experimentais.
Todavia, os valores simulados tiveram certa discrepância com aqueles obtidos
experimentalmente para maiores valores do número de Reynolds, indicando a necessidade de
estudos mais aprofundados sobre turbulência na pervaporação e sua influência no coeficiente
de transferência de massa. Para ambos os casos, os autores admitiram a existência de uma
pseudo-reação de primeira ordem sobre a superfície da membrana, de forma a substituir o
transporte na membrana por um consumo de soluto.
Capítulo 4
Avaliação do Simulador e Estudos de Caso
Neste capítulo serão apresentadas primeiramente algumas simulações realizadas com o
objetivo de avaliar o software utilizado, CFX 10.0, quanto à sua capacidade em apresentar
resultados confiáveis perante problemas cuja solução já é conhecida. Estes resultados são
comparados com soluções analíticas do escoamento do filme líquido descendente e do
escoamento de filme líquido descendente com transferência de massa. Na seqüência serão
apresentados os casos relacionados à simulação de processos de separação por membranas.
4.1 Estudos de avaliação
Um bom programa de simulação fluidodinâmica deve, antes de tudo, ser capaz de
reproduzir soluções conhecidas de maneira eficaz. Isto demonstra que o simulador é capaz de
resolver os problemas mais simples e, portanto pode ser aplicado para situações mais
complicadas. O problema a ser analisado corresponde ao escoamento do filme líquido
descendente sob a ação da gravidade, discutido por BIRD et al (1960), considerando troca
puramente hidrodinâmica e troca envolvendo a transferência de massa. A solução deste
escoamento é analítica para o primeiro caso e analítico-numérica para o segundo.
4.1.1 Filme líquido descendente
Neste problema, água a 25ºC escoa sob a ação da gravidade numa parede vertical com 1
metro de altura (direção z). Para a construção da geometria do domínio, considerou-se a
dimensão na direção y, transversal ao escoamento, igual a 4 cm e com 1 cm na direção x. Apesar
da geometria ter sido construída com estas dimensões, após a geração da malha fez-se uma
4.1 ESTUDOS DE AVALIAÇÃO
50
diminuição de escala na direção y com base na ordem de grandeza da espessura do filme
calculada pela solução analítica, conforme será descrito posteriormente.
O filme começa suficientemente longe da região de entrada, podendo-se considerar que
para qualquer valor de z maior que zero, a velocidade v
z
ou w dependerá somente da coordenada
y. A Figura 4.1a ilustra o problema, e o detalhe da malha gerada é apresentado na Figura 4.1b:
(a) (b)
Figura 4.1: Escoamento de filme líquido descendente: (a) detalhe da geometria e (b) malha
gerada
A malha representada na Figura 4.1b corresponde aos tetraedros dispostos no plano XZ,
onde a condição de simetria foi aplicada. Devido à diminuição da escala na coordenada y, a
visualização da malha no plano YZ fica prejudicada.
A Equação do movimento para a velocidade v
z
é:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
m+
¶
¶
-r=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
r
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
z
p
g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
zzz
z
z
z
z
y
z
x
z
(4.1)
A distribuição de velocidades é dada pelo perfil parabólico:
4.1 ESTUDOS DE AVALIAÇÃO
51
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
--
m
dr
=
2
2
11
2
yg
v
z
(4.2)
obtido mediante simplificação dos termos da Equação (4.1) e com condições de contorno de não
deslizamento (4.3a) e fluxo de quantidade de movimento igual a zero (4.3b)
0
0
=
=y
z
v (4.3a)
0=
¶
¶
d=y
z
y
v
(4.3b)
Num primeiro momento, realizou-se uma simulação para verificar se o resultado
concordava com a solução analítica. Uma malha não estruturada foi construída, contendo um
total de 48493 volumes, sendo 40113 tetraedros e 8380 prismas, perfazendo um total de 15250
nós. Os prismas são sempre colocados nas regiões onde ocorrem os maiores gradientes de
velocidade, pois este tipo de elemento de volume capta mais facilmente estas variações. Neste
caso, eles foram colocados na região próxima à parede, onde a condição de contorno de não
deslizamento foi imposta. Por fim, as seguintes condições de contorno foram aplicadas ao
sistema: uma entrada com velocidade média igual a 0,0667 m
.
s
-1
, condição de não-deslizamento
na parede em y=0, uma saída com pressão igual a zero (a pressão de referência tomada foi
também zero), condição de fluxo de quantidade de movimento nulo (ou velocidade máxima) em
y=
d (Equação (4.3b)) e condição de simetria nas superfícies restantes, na direção x. Como o
CFX não permite a importação de geometrias bidimensionais, a maneira usada para simular um
problema bidimensional é, a partir de uma malha tridimensional, aplicar condição de simetria
nas duas direções do eixo em que se deseja desprezar os efeitos tridimensionais (neste exemplo,
a direção x).
A velocidade média foi calculada pela integração do perfil de velocidades, resultando na
Equação (4.4)
max
3
2
vv
med
= (4.4)
onde a velocidade máxima foi tomada igual a 0,1m
.
s
-1
.
Foi a partir deste valor que a velocidade
média de 0,0667 m
.
s
-1
foi obtida para a velocidade de entrada. A espessura do filme líquido foi
estimada fazendo-se y =
d na Equação (4.2), obtendo-se:
m
dr
=
2
2
g
v
z
(4.5)
4.1 ESTUDOS DE AVALIAÇÃO
52
que é a expressão da velocidade máxima. Isolando-se d, e supondo propriedades físicas da água
na temperatura de 25ºC, chega-se a
d = 1,35
.
10
-4
m. Depois de construída a malha, a escala da
geometria foi reduzida até essa dimensão, uma vez que a geração de uma malha numa geometria
cujas proporções são muito desiguais (neste caso, espessura muito menor que altura e largura) é
extremamente complicada, sobretudo para malhas não estruturadas.
4.1.2 Difusão em filme líquido descendente
Neste caso tem-se uma espécie aderida à placa na metade inferior da mesma sendo
ligeiramente solúvel no líquido e difundindo-se à medida que o fluido escoa sobre a parede,
conforme indicado na figura abaixo. O componente testado foi o 1,1,1-tricloroetano (TCA) que
foi o escolhido porque a validação entre simulação com resultado analítico também foi feita por
LIU et al (2004) usando este componente, mas para validação do simulador FLUENT 6.0.
Figura 4.2: Escoamento de filme líquido descendente com transferência de massa
O equacionamento para a obtenção da solução analítica envolve a simplificação da
Equação (4.2). Esta simplificação parte do fato de que, numa região muito próxima à parede
sólida, (y/
d)
2
<< (y/d), de maneira que o perfil de velocidades parabólico possa ser simplificado
para um perfil linear, levando a:
4.1 ESTUDOS DE AVALIAÇÃO
53
y
g
v
z
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
m
dr
= (4.6)
A equação diferencial da advecção-difusão de um componente (Equação (3.16)),
simplificada para as condições do problema, torna-se:
2
2
y
C
D
z
C
ay
A
AB
A
¶
¶
=
¶
¶
(4.7)
onde a = (rgd/m). As condições de contorno são as seguintes:
0
0
=
=z
A
C (4.8a)
0
0
A
y
A
CC =
=
(4.8b)
0=
¥=y
A
C (4.8c)
Neste problema, a referência z=0 está colocada no início da segunda metade da parede
(Figura 4.2), pois, acima dela, considera-se que não há componente na parede, conforme
expresso pela condição (4.8a). A condição (4.8b) estabelece que a parede inferior está saturada a
uma concentração C
A0
, cujo valor
admitido foi igual a 3,85 kg
.
m
-3
.
A solução deste problema é feita a partir da introdução de uma variável de semelhança,
conforme BIRD et al. (1960), de maneira análoga à solução de Blasius ((BLASIUS apud
SCHLICHTING (1960)) da camada limite hidrodinâmica. Para o problema da difusão em filme
líquido, esta relação é dada por:
3/1
0
9
)(
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=h=
zD
a
yf
C
C
ABA
A
(4.9)
onde h é a variável de semelhança. A substituição na Equação (4.7), após serem feitas as
derivações necessárias, leva a:
03
2
2
2
=
h
h+
h
d
df
d
fd
(4.10)
com as seguintes condições de contorno:
1
0
=
=h
f (4.11a)
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 54
0=
¥=h
f (4.11b)
A solução geral da Equação (4.10) é:
2
0
)(
1
3
CdeCf +h=
ò
h
h-
(4.12)
e a solução particular com as condições de contorno (4.11) é:
÷
ø
ö
ç
è
æ
G
h
=
h
h
=
ò
ò
ò
¥
h
h-
¥
h-
¥
h
h-
3
4
)(
0
)(
)(
0
3
3
3
de
de
de
C
C
A
A
(4.13)
O perfil de concentração obtido pelo simulador foi comparado com a solução numérica da
Equação (4.13) usando-se o software Mathcad ® 2001.
4.2 Estudos de Caso – Processos de Separação por
Membranas
Nas próximas seções serão apresentados alguns estudos de caso de simulação relativos aos
processos de separação com membranas. Os resultados e a discussão destas simulações estão
apresentados no Capítulo 5. As simulações realizadas envolvem os processos de micro e
ultrafiltração.
4.2.1 Microfiltração tangencial de partículas de sílica
A simulação computacional de uma parte do trabalho experimental realizado por RÄDER
(2003) envolve a microfiltração tangencial de partículas de sílica. A membrana empregada nos
experimentos era microporosa e assimétrica, com diâmetro de poro nominal igual a 0,2
mm, e
espessura aproximada de 100
mm. O módulo possuía as seguintes dimensões na seção do canal de
escoamento: 11,5 cm de comprimento, 4,5 cm de largura e 0,1 cm de altura. Uma representação
esquemática do módulo é ilustrada na Figura 4.3:
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 55
Figura 4.3: Representação esquemática do módulo de microfiltração: (a) vista interna da placa
superior (b) vista interna da placa inferior
Foram realizadas simulações para velocidades de alimentação nos valores de 0,16 m
.
s
-1
e
1,67 m
.
s
-1
, variando-se a pressão transmembrana nos seguintes valores: 0,5, 1,5, 2,0, 2,5 e 3,5 bar.
A fração volumétrica de sílica na alimentação era igual a 0,5
.
10
-4
(100 mg
.
L
-1
). Usou-se a
modelagem matemática de trajetória de partícula inserida no pacote de simulação. Nas
considerações deste modelo algumas hipóteses simplificativas foram assumidas: efeito da força
gravitacional desprezível sobre as partículas, ausência de forças devido à rotação do domínio (tais
como força centrípeta) e processo isotérmico. Foram também desconsideradas possíveis
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 56
interações das partículas com o fluido, usando-se, assim, a abordagem de acoplamento em mão
única (one-way coupling, ANSYS ® CFX 10.0). Neste ponto ressalta-se que o CFX trabalha
também com a abordagem de acoplamento em duas vias (fully coupled), onde a trajetória da
partícula influencia a trajetória do fluido; o manual do simulador recomenda o uso desta
abordagem quando a relação entre a vazão mássica de partículas e de fluido for elevada
(suspensões concentradas). Como a solução usada é diluída, optou-se pelo acoplamento em mão
única. A equação da trajetória de partícula tem a seguinte forma:
d
t
dvd
vvvvCd
d
t
dv
m
ff
pfpfDp
p
p
6
)(
8
1
3
2
rp
+--pr= (4.14)
onde o subscrito p refere-se à partícula e f refere-se ao fluido. O termo do lado esquerdo
representa a aceleração da partícula; o primeiro termo do lado direito é a influência da força de
arraste (representada pelo coeficiente de arraste C
D
), de acordo com a lei de Stokes; o segundo
termo do lado direito é a força aplicada na partícula devido ao gradiente de pressão no fluido que
cerca a partícula, devido à aceleração deste.
O CFX possui um modelo generalizado da Lei de Darcy para escoamento em meios
porosos, dado por:
iperdai
UKU
k
x
p
Ur+
m
=
¶
¶
- (4.15)
onde k é a permeabilidade do meio e K
perda
é um coeficiente empírico de perda de carga, o qual
foi desconsiderado para este sistema. A geometria construída foi um modelo simplificado daquele
mostrado na Figura 4.3 e está representado na Figura 4.4.
Figura 4.4: Modelo simplificado de geometria do módulo de microfiltração
Às equações governantes para o escoamento incompressível e estacionário, Navier-Stokes
e continuidade (Equação (2.30)) foi aplicado o modelo de turbulência k-
e para levar em conta os
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 57
efeitos turbulentos de entrada e saída de fluido. Uma intensidade de 5% de turbulência na entrada
e saídas de permeado e concentrado foi ajustada para cada simulação; este valor é considerado
uma intensidade média, sendo recomendado quando não se possui uma idéia clara da intensidade
real (ANSYS ® CFX 10.0). No modelo de turbulência, o efeito do campo gravitacional não foi
considerado. Condições de contorno de parede foram aplicadas nas superfícies restantes do
módulo e condição de interface com não deslizamento foi ajustada entre o módulo e a superfície
da membrana. Testes de malha foram realizados para a pressão de operação de 0,5 bar e
velocidade de alimentação igual a 0,16 m
.
s
-1
, de forma a verificar a independência dos resultados
com o refino da malha. A Tabela 4.1 mostra o número de tetraedros e prismas usados em cada
teste.
Tabela 4.1 – Testes de malha para microfiltração tangencial de suspensão de sílica
Teste Tetraedros Prismas Total
1 7412 7504 14916
2 9314 9160 18474
3 12320 10444 22764
4 15962 12872 28834
5 19239 14364 33603
6 26157 12200 38357
Diferentemente da malha gerada para o estudo do filme líquido descendente, não foi
realizada mudança de escala na geometria da membrana pois esta possui uma espessura em torno
de 100
mm e uma malha numa geometria de dimensões com proporções muito diferentes é de
difícil montagem. A solução para este problema é gerar a malha numa escala maior e depois
alterar a escala da geometria na direção especificada. Um inconveniente desta operação é que os
elementos de volume ficam “aplainados” o que piora a qualidade da malha, pois os elementos
ficam com uma razão de aspecto muito desproporcional. Elementos com razões de aspecto da
ordem de 200:1 ou maiores podem dificultar muito a convergência, dependendo do problema
(ANSYS® CFX 10.0). Isto não aconteceu nas simulações de filme líquido, mas ocorreram para as
simulações de microfiltração de suspensões aquosas de sílica. A fim de contornar este problema,
trabalhou-se com a geometria da membrana da mesma altura que o canal de escoamento e a seção
de saída de permeado (1 mm), conforme mostrado na Figura 4.5, a qual corresponde ao teste de
malha 6:
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 58
Figura 4.5: Malha para módulo de microfiltração
Uma vez que a permeabilidade da membrana e a resistência ao escoamento estão
intimamente ligadas à sua espessura, foi proposta uma mudança no valor da permeabilidade. O
fluxo volumétrico, de acordo com a equação de Hagen-Poiseuille (2.9), foi avaliado considerando
que a espessura l da membrana estivesse inserida na constante de permeabilidade hidráulica L
P
:
()
P
l
r
PLJ
P
D
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
mt
e
=D=
8
2
(4.16)
Para a simulação de escoamento em meios porosos, o CFX não trabalha com a
permeabilidade hidráulica L
P
, e sim com a permeabilidade k, em unidades de área:
t
e
=
8
2
r
k (4.17)
onde, em termos de k, a permeabilidade L
P
se torna:
l
k
L
P
m
=
(4.18)
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 59
Partindo-se do princípio de que a permeabilidade hidráulica deve se manter
aproximadamente a mesma para variações não muito grandes na espessura da membrana, tem-se
que:
2
2
1
1
l
k
l
k
L
P
m
=
m
= (4.19)
onde o subíndice 1 representa a propriedade na geometria original, e o subíndice 2 na geometria
com escala alterada, usada no simulador. A partir destas considerações, foram realizadas as etapas
descritas a seguir.
1. Com os dados experimentais realizou-se uma regressão linear de forma a estimar-se L
P
na
Equação (4.16).
2. A partir de L
P
obtido, calculou-se k pela Equação (4.18).
3. Fazendo-se k=k
1
na Equação (4.19), calculou-se k
2
, cujo valor foi inserido no simulador
com a geometria da membrana alterada para uma espessura numa escala maior.
4.2.2 Microfiltração tangencial com barreiras ao escoamento
Uma série de simulações foi realizada com base no trabalho desenvolvido por RAHIMI et
al. (2005). Os autores realizaram experimentos em módulos de microfiltração com e sem
barreiras como obstáculos ao escoamento, utilizando água deionizada como fluido de estudo.
Paralelamente ao trabalho experimental, desenvolveram um código próprio de simulação
fluidodinâmica e compararam os resultados de fluxo permeado simulados numericamente com os
valores experimentais. Neste estudo de caso, o objetivo é comparar a capacidade que o CFX
possui de reproduzir tanto os resultados experimentais quanto os de simulação de outro programa.
Foram testados quatro tipos de configurações de módulo numa membrana de
microfiltração com diâmetro de poro médio de 0,22 µm, espessura de 120 µm e porosidade de
60%. A área delimitada pela membrana tem um comprimento de 8 cm e largura de 3 cm,
perfazendo uma área de filtração de 24 cm
2
, em módulos com as seguintes configurações de
célula: (a) sem barreira; (b) com barreiras trapezoidais pequenas; (c) com barreiras trapezoidais
grandes e, (d) com barreiras íngremes dispostas em posições opostas, conforme apresentado na
Figura 4.6. Os tubos de entrada de alimentação e saída de permeado possuem 0,65 cm de
diâmetro e 6 cm de comprimento.
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 60
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.6: Configurações do módulo de microfiltração: (a) sem barreira (b) pequena barreira
trapezoidal (c) grande barreira trapezoidal (d) barreiras opostas
O espaço delimitado pela membrana é ilustrado na Figura 4.7, onde se trabalhou com uma
espessura no tamanho original, gerando-se a malha numa escala maior e depois a reduzindo, o
que não acarretou problemas na obtenção da convergência.
Figura 4.7: Detalhe da membrana sob a geometria de cada módulo
Foram realizadas simulações com cinco diferentes valores de pressão transmembrana para
cada geometria, com exceção do caso (d), onde foram testadas seis faixas de pressão. A Tabela
4.2 apresenta os valores de pressão utilizados para cada caso.
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 61
Tabela 4.2: Faixas de pressão transmembrana testadas
Tipo de
módulo
Pressão na
entrada (kPa)
Pressão na
saída de
concentrado
(kPa)
Tipo de
módulo
Pressão na
entrada (kPa)
Pressão na
saída de
concentrado
(kPa)
50 41 75 64,5
75 50 100 65
100 66 132,5 92
125 100 150 114
Sem barreira
150 118
Pequena
barreira
167,5 115
50 38,5 50 37,5
75 45,5 75 55,5
100 62,5 100 75,5
125 75,5 125 94,5
Grande
barreira
150 91,5
Barreiras
opostas
150 113,5
175 136
A fim de avaliar a sensibilidade dos resultados (fluxo permeado) em função do número de
volumes discretizados, foram geradas seis configurações de malha diferentes para as diferentes
geometrias da Figura 4.6. Na Tabela 4.3 estão expressos o número de tetraedros gerados em cada
seção da geometria, para cada um dos testes.
Tabela 4.3: Configurações dos testes de malha para os módulos da Figura 4.6
Número de Tetraedros Número de Tetraedros - Módulo
Teste Entrada Saída Membrana
Sem
barreira
Pequena
barreira
Grande
barreira
Barreiras
opostas
1
8490 8461 48460 48460 17364 18579 26482
2
11533 11533 71017 119546 23014 25947 35402
3
11794 11793 72576 128412 29296 34732 45669
4
13643 13627 79364 137590 33767 43803 54296
5
13510 13562 85378 153492 38536 49526 65986
6
14073 14048 92751 159366 46467 53182 74366
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 62
Tais testes foram realizados para a primeira pressão transmembrana em cada tipo de
módulo, na entrada e na saída (50 e 41 kPa para o módulo sem barreira, 75 e 64,5 kPa para o
módulo com pequena barreira, 50 e 38,5 kPa para o módulo com grande barreira e 50 e 37,5 kPa
para o módulo com barreiras opostas). A Figura 4.8 apresenta as malhas geradas, com a
configuração usada no teste 6, para as quatro situações estudadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.8: Representação das malhas para os diferentes módulos de microfiltração: (a) sem
barreira, (b) pequena barreira trapezoidal (c), grande barreira trapezoidal e (d) barreiras opostas
A modelagem matemática, além das equações do movimento e continuidade em estado
estacionário, inclui um modelo de turbulência; neste caso, os autores usaram uma variação do
modelo k-
e, denominado RNG-k-e (CAO et al.(2001), ORSZAG et al.(1993) apud FREIRE et
al(2002)). Este modelo consegue resolver melhor as atividades turbulentas para baixos números
de Reynolds e na presença de obstáculos ao escoamento. A modelagem é a mesma do modelo k-
e,
mas o cálculo da constante C
e1
é trocado por uma constante C
e1RNG
(ANSYS ® CFX 10.0) dada
por:
he
-= fC
RNG
42,1
1
(4.20)
onde:
)1(
38,4
1
3
hb+
÷
ø
ö
ç
è
æ
h
-h
=
h
RNG
f (4.21)
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 63
er
=h
mRNG
k
C
P
(4.22)
onde b
RNG
e C
mRNG
são constantes do modelo.
Um nível de intensidade médio de 5% foi aplicado na entrada e nas saídas de fluido.
Condições de contorno de não deslizamento foram aplicadas às paredes do módulo. Na interface
com a superfície da membrana, duas situações foram analisadas: primeiramente com a aplicação
de uma condição apenas de interface (fluxo conservativo) e, após, com uma condição de
interface, mas com não-deslizamento sobre a membrana. Os resultados obtidos com os dois tipos
de condição de contorno foram, então, comparados com os experimentos realizados por RAHIMI
et al. (2005), e também com as simulações para cada faixa de pressão, de forma a verificar a
influência da condição de contorno nos resultados de uma simulação CFD.
4.2.3 Ultrafiltração de soluto macromolecular
A reprodução de experimentos envolvendo um soluto macromolecular (ultrafiltração de
proteína de soro bovino, BSA, diâmetro médio de 6,26 nm) foi realizada, tendo como referência
os experimentos realizados por GARDIOL (2000). Neste trabalho, uma série de experimentos de
ultrafiltração envolvendo além da proteína BSA, foi realizada para diferentes pressões e vazões
de alimentação. O objetivo neste estudo de caso é avaliar o comportamento do fluxo permeado
em função da pressão transmembrana.
O módulo empregado por GARDIOL (2000) é o mesmo utilizado por RÄDER (2003)
para a microfiltração tangencial da suspensão aquosa de partículas de sílica. Todavia, neste
estudo, a geometria inferior da seção de saída de permeado (Figura 4.4) não foi construída; desta
forma a saída de permeado ficou localizada exatamente na parte inferior da membrana. Devido a
esta simplificação, foi possível trabalhar com a espessura da membrana na escala de tamanho
real, construindo a malha numa escala maior e após promovendo a redução de escala da
geometria. Diferentemente da simulação da microfiltração de sílica, não houve problemas com a
convergência devido a este procedimento. Simulações com diferentes malhas foram realizadas de
forma a testar a sensibilidade do fluxo de permeado obtido em função do número de tetraedros. A
Tabela 4.4 apresenta a configuração usada em cada teste.
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 64
Tabela 4.4: Configurações dos testes de malha para módulo de ultrafiltração da proteína BSA
Teste Número de Tetraedros
1 16651
2 30432
3 36846
4 50825
Os testes foram realizados na pressão transmembrana de 103,4 kPa. Tanto nos testes de
malha quanto nas simulações seguintes, condições de não deslizamento nas paredes do módulo
foram colocadas, bem como uma condição de interface entre módulo e membrana juntamente
com não deslizamento sobre a superfície desta. A membrana utilizada era assimétrica e porosa,
com massa molar de corte igual a 20000 Dalton, composta de polipropileno e polissulfona. A
albumina bovina utilizada possuía massa molar de 66700 Dalton e todos os experimentos foram
realizados com uma concentração de alimentação igual a 0,25 g
.
L
-1
, à temperatura de 35ºC. A
Figura 4.9 ilustra a malha tetraédrica gerada no teste 4:
Figura 4.9: Representação da malha para simulação de ultrafiltração de BSA
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 65
No presente estudo selecionou-se o experimento realizado por GARDIOL (2000) para
uma vazão de alimentação de 37,17
.
10
-6
m
3
s
-1
para as seguintes pressões transmembrana: 103,4,
137,9, 172,4, 206,8, 241,3, 275,8 e 310,3 kPa. As equações governantes do problema são as
equações do movimento, da continuidade em estado estacionário, e as equações de transferência
de massa para um componente. Neste caso, foi considerado o efeito da turbulência na entrada e
nas saídas com intensidade de turbulência de 5%, sendo que a equação do transporte de massa foi
modificada para ((ANSYS® CFX 10.0)):
ff
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
fÑ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
m
+r×Ñ=fr×Ñ+rf
¶
¶
S
Sc
Du
t
T
T
)()(
(4.23)
onde D
f
é a difusividade mássica do componente de fração mássica f, m
T
e Sc
T
são a viscosidade
e o número de Schmidt turbulentos, respectivamente, e S
f
é um termo fonte. De forma a
reproduzir a retenção de partículas pela membrana, usou-se uma abordagem de taxa de consumo.
A partir dos dados experimentais, e de um balanço de massa, calculou-se a quantidade de BSA
que seria consumida, a partir da diferença entre o que sairia caso não houvesse filtração (retenção
de 100%) e o que efetivamente sai no permeado ou filtrado (dados de retenção experimentais).
Este termo de consumo foi aplicado na seção correspondente à membrana; tal procedimento foi
realizado porque o CFX é extremamente limitado para simular o escoamento multifásico em
sistemas porosos de forma a contabilizar posteriormente o quanto de soluto foi retido. Na
abordagem de trajetória de partículas tal procedimento é viável uma vez que o simulador retorna
o número de partículas retidas e aquelas que passaram pelo domínio.
Desta forma, procurou-se verificar se um valor de consumo fixo de componente na
membrana poderia substituir e levar em conta o bloqueio físico do componente pela mesma, sem
a necessidade de simulação das interações físicas entre o soluto e a membrana. O procedimento
de cálculo empregado está descrito a seguir:
1. Cálculo da vazão média de permeado com base nos dados experimentais através da
seguinte equação:
mp
AJF
exp
= (4.24)
onde F
P
é a vazão mássica, A
m
é a área da membrana e J
exp
é o fluxo mássico de permeado
tomado como a média entre experimentos e réplicas.
2. Cálculo da vazão supondo retenção total, dada por:
PBRt
FF f= (4.25)
onde F
Rt
é a vazão supondo retenção total e f
B
é a fração mássica de soluto no escoamento “bulk”
ou corrente livre. Com base na Equação (2.1), isolando-se a concentração no permeado, tem-se:
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 66
)1( R
B
P
-f=f (4.26)
na qual f
P
é a fração mássica de soluto no permeado e R é a retenção.
3. Cálculo da vazão mássica para os dados de retenção experimentais através de:
PPxp
FF f=
Re
(4.27)
4. Cálculo da taxa de consumo total subtraindo-se a substituição da Equação (4.24) na
Equação (4.25) e a Equação (4.26) na (4.27), obtendo-se:
RAJF
mBcons exp
f= (4.28)
onde F
cons
é a taxa na qual o soluto é consumido. Esta taxa representa o termo fonte na Equação
(4.23), mas ele está restrito à região delimitada pela membrana (equivalente a um sorvedouro de
massa). Os resultados obtidos de retenção em função da pressão transmembrana foram
comparados com os dados experimentais, de forma a verificar a limitação do simulador frente a
fenômenos envolvendo retenção de macropartículas. Abordagem semelhante foi realizada por
LIU et al. (2004) na simulação da pervaporação de um composto orgânico diluído em água. Neste
estudo, os autores consideraram que o componente sofria uma pseudo-reação de primeira ordem
na superfície da membrana, evitando-se, assim, simular o efeito da passagem do componente pela
estrutura desta. O estudo experimental também consistiu na verificação da variação da
permeabilidade hidráulica entre uma filtração e outra, pois sabe-se que para macromoléculas o
fenômeno de polarização por concentração e fouling alteram o comportamento linear entre fluxo
de permeado e pressão transmembrana. Como conseqüência, utilizou-se um valor diferente de
permeabilidade, tendo em vista que os resultados experimentais não apresentavam um
comportamento linear.
4.2.4 Ultrafiltração e a solução por similaridade
A solução da equação da difusão-advecção governante da camada limite polarizada em
estado estacionário na micro e ultrafiltração tangencial foi apresentada por DAVIS e
SHERWOOD (1990), conforme expresso pelas equações (2.30) a (2.33). O problema é ilustrado
na Figura 2.12 e está baseado na mesma idéia de transporte de partículas induzido por
cisalhamento apresentado por DAVIS e LEIGHTON (1987).
O objetivo deste estudo de caso foi simular um escoamento bidimensional em regime
permanente num canal retangular, tendo como solutos a sílica e a proteína BSA. Os resultados de
fluxo de permeado em função do comprimento adimensional do canal, obtidos pelo simulador,
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 67
foram comparados com a solução por similaridade obtida por DAVIS e SHERWOOD (1990)
para soluções diluídas (fração volumétrica menor do que 0,1), juntamente com o perfil de
concentrações próximo à superfície da membrana, dada pela seguinte equação:
)(
)3(
)(
3
)(
3/1
0
3/4
3/1
0
2
BBw
v
x
a
v
x
D
xv f
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
m
t
=f
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
m
t
= (4.29)
onde v
w
(x) é o fluxo permeado em função da variável espacial x, t é a tensão de cisalhamento, D é
a difusividade mássica,
m
0
é a viscosidade dinâmica, a é o raio da partícula e )(
B
v f é o fluxo
permeado adimensional, o qual, para suspensões diluídas, é dado por:
3/1
0581,0)(
-
f=f
B
B
v (4.30)
A Equação (4.30) expressa o valor do fluxo permeado adimensional em função da fração
mássica no escoamento bulk.
Na simulação a seção correspondente à membrana foi desconsiderada, sendo apenas
incluído o escoamento sobre o canal. Primeiramente, foram realizadas simulações com
propriedades constantes da sílica, para a fração mássica de 2,052
.
10
-4
(concentração igual a 0,25
kg
.
m
-3
, e diferentes frações sobre a superfície da membrana (20, 40, 60, 80 e 100 vezes a fração
mássica de alimentação). Tendo em vista que a maioria dos trabalhos na literatura tratam a fração
volumétrica como variável, a substituição da variável
f por fração mássica nas equações (2.31) a
(2.33) também é válida. Isto ocorre porque, na forma simplificada da equação diferencial de
transporte de massa (Equação (3.16)), sem o termo transiente e o termo de geração (Equação
(2.31)) o fator de conversão de fração volumétrica para mássica fica fora de todos os termos de
derivada, sendo cancelado na equação. Os perfis de fração mássica foram comparados na metade
e na saída do canal retangular de escoamento. O fluxo de permeado simulado é o fluxo aplicado
em y=0 (superfície da membrana):
0=
¶
f¶
f
-=
y
w
y
D
v
(4.31)
onde D é a difusividade mássica; sendo induzida por cisalhamento nas simulações envolvendo
sílica (D
0
), ou corrigida nas simulações envolvendo BSA (D
corr
), conforme será apresentado mais
adiante. A equação final onde estão inseridas as variáveis adimensionais e de similaridade, cujo
desenvolvimento completo foi descrito por DAVIS e SHERWOOD (1990) é dada por:
0)((
))((
2
))((
2
00
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
f
f+
f
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
fm
-
fm
+
òò
yd
d
yD
yd
d
yd
d
y
ydy
y
yd
yv
yy
w
(4.32)
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 68
Quando a viscosidade adimensional tende ao infinito, a Equação (4.32) reduz-se a:
0=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
f
+
f
yd
d
D
yd
d
yd
d
v
w
1<<y (4.33)
onde, sob integração e com aplicação da condição (2.33c), chega-se a:
0)( =
f
+ff
yd
d
Dv
Bw
1<<y (4.34)
onde:
()
3/1
00
/3 tm
=
xD
y
y
(4.35)
que é a escala sugerida para a variável y. Integrando-se a Equação (4.34), com a seguinte
condição de contorno:
w
y
f=f
= 0
(4.36)
onde, f
w
é a fração mássica na superfície da membrana, chega-se a:
D
yv
w
B
e
)(f
-
f=f (4.37)
Este perfil é comparado, para diferentes valores de f
B
e f
w
, nas simulações envolvendo
sílica, na metade e na saída do canal. A condição de contorno de entrada foi assumida como
sendo um perfil linear de velocidades, (integração da Equação (2.32) para viscosidade constante),
com uma velocidade média igual a 0,826 m
.
s
-1
. A condição de contorno (2.33c) foi colocada
mediante auxílio de uma sub-rotina escrita em Fortran. O sistema descrito pelas equações (2.30) a
(2.33) foi resolvido numa geometria com as mesmas dimensões do canal de escoamento nas
simulações de ultrafiltração de BSA. A malha empregada neste conjunto de simulações foi
estruturada, composta de hexaedros. Para a simulação completamente bidimensional, condições
de contorno de simetria foram aplicadas na direção z, ao passo que o escoamento ocorre nas
drieções x e y. Condição de não deslizamento foi imposta na parede inferior (relativa à superfície
da membrana) e uma condição de deslizamento livre aplicada na região superior da geometria,
pois o modelo considera que o escoamento é aberto e livre na parte superior da seção de
escoamento bulk.Testes de malha foram também realizados para este conjunto de simulações; o
número de hexaedros para cada teste encontra-se na Tabela 4.5.
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 69
Tabela 4.5: Configurações dos testes de malha para ultrafiltração bidimensional
Teste Número de Hexaedros
1 2880
2 3840
3 4800
4 6720
5 8640
6 9600
A Figura 4.10 mostra uma parte da geometria com diferentes graus de refino das malhas
em cada um dos testes.
Figura 4.10: Malhas para simulações bidimensionais com diferentes graus de refino próximo à
superfície da membrana: (a) 2880, (b) 3840, (c) 4800, (d) 6720, (e) 8640 e (f) 9600 hexaedros.
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 70
Os testes foram realizados com simulações de sílica em escoamento laminar. A malha
escolhida com base nos resultados dos testes foi empregada tanto nas simulações laminares
envolvendo sílica quanto naquelas envolvendo BSA a baixas intensidades turbulentas, sendo estas
últimas brevemente descritas a seguir.
O valor médio da tensão de cisalhamento, t , foi calculado com base na solução de
Blasius da camada limite laminar:
2
2/1
Re664,0 U
L
r=t
-
(4.38)
onde Re
L
é o número de Reynolds no comprimento L, r é a massa específica e U é a velocidade
da corrente livre.
O problema da ultrafiltração de proteína de soro bovino foi escolhido pois este composto
macromolecular possui um coeficiente de difusão muito abaixo do valor estimado daquele
induzido por cisalhamento (Equação (2.28)), e o desenvolvimento proposto por DAVIS e
SHERWOOD (1990) não é mais adequado para descrever o transporte deste macrosoluto. A
difusividade mássica de proteínas e substâncias macromoleculares é, em geral, melhor explicada
pelo mecanismo de movimento Browniano conforme descrito por TRETTIN e DOSHI (1980) e
HUISMAN e TRÄGARDH (1999a). O coeficiente de difusão browniano para suspensões
diluídas, considerando-se partículas esféricas e rígidas, é calculado pela equação de Stokes-
Einstein:
a
kT
D
B
0
6pm
=
(4.39)
onde k é a constante de Boltzmann, igual a 1,38
.
10
-23
J
.
K
-1
, T é a temperatura absoluta em K, m
0
é
a viscosidade dinâmica, em Pa
.
s, e a é o raio da partícula, em m. De acordo com DAVIS e
LEIGHTON (1987), os efeitos da difusão browniana podem ser desconsiderados em partículas de
tamanho da ordem de alguns micrômetros em processos de filtração tangencial. Todavia,
partículas de tamanho bem menor, como o caso da proteína BSA, apresentam o coeficiente de
difusão browniano maior do que quando calculado pela difusão hidrodinâmica induzida por
cisalhamento, dado por:
0
2
0
m
t
=
a
D
(4.40)
onde t é a tensão de cisalhamento, assumida como constante. Assim, para tais partículas a
solução por similaridade apresentada por DAVIS e SHERWOOD (1990) não é mais válida, pois
o mecanismo de transporte por movimento Browniano é preponderante sobre aquele induzido por
cisalhamento. Devido a isto, neste trabalho, desenvolveu-se uma proposta de correção da
difusividade browniana para ultrafiltração de partículas coloidais quando o mecanismo de
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 71
transporte dominante não é induzido por cisalhamento. Matematicamente, esta correção é
expressa por:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
0
D
D
DD
B
effcorr
(4.41)
onde D
corr
é o coeficiente de difusão corrigido, e D
eff
é um coeficiente de difusão efetivo dado
por:
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
e=
U
L
D
T
eff
(4.42)
onde e é a taxa de dissipação turbulenta, L
T
é a escala de turbulência empregada e U é a
velocidade de escoamento da corrente livre ou
bulk. A expressão (4.41) foi proposta pois na
presença de turbulência, quanto maior a intensidade, maior a facilidade com que determinado
componente seja transportado no escoamento, aumentando, portanto, o coeficiente de difusão. A
razão
L
T
/ U representa, neste caso, uma escala de tempo de turbulência, e está diretamente ligada
às pequenas escalas de movimento, influenciando diretamente o coeficiente de difusão. Com base
no modelo
k-e, as expressões para a estimativa da energia cinética e da dissipação turbulenta são
dadas por, respectivamente, (ANSYS ® CFX 10.0):
22
2
3
UIk
= (4.43)
T
kC
m
r
=e
m
2
(4.44)
onde I é a intensidade de turbulência, dada por:
m
m
=
T
I
(4.45)
Fazendo D=D
corr
e substituindo a Equação (4.41) na Equação (4.29), chega-se a:
)(
3
)(
3
)(
3/2
0
3/1
0
3/2
3/1
0
B
B
effBcorrw
v
D
D
D
x
vD
x
xv f
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
m
t
=f
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
m
t
= (4.46)
A modelagem do sistema é aquela representada pela Equação (4.23), onde Sc
T
foi
calculado da seguinte forma:
4.2 ESTUDOS DE CASO – PROCESSOS DE SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 72
corr
T
T
D
Sc
r
m
=
(4.47)
A escala de turbulência foi calculada com base no diâmetro hidráulico de entrada da
geometria. Escalas de turbulência na faixa de 25, 50 e 75% do diâmetro hidráulico (1,22
.
10
-4
m,
2,45
.
10
-4
m e 3,67
.
10
-4
m, respectivamente) foram testadas, juntamente com intensidades
turbulentas de 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 e 0,5%. Como o perfil de fluxo permeado para suspensões
diluídas aplica-se ao escoamento laminar, foram escolhidos valores de intensidades turbulentas de
baixo grau de magnitude justamente como uma aproximação da condição laminar. Todavia, sabe-
se que a comparação de um resultado envolvendo turbulência, ainda que com intensidade muito
reduzida, com uma expressão que envolve a adaptação de um escoamento puramente laminar, não
é completamente válida. O objetivo desta proposta é justamente verificar até que ponto, e sob que
condições, a modificação de um modelo de escoamento laminar adaptado para baixos graus de
turbulência pode ser considerado físicamente coerente. A tentativa de combinação de dois
mecanismos de transporte (difusão browniana e induzida por cisalhamento) também foi feita por
HUISMAN e TRÄGARDH (1999a). Eles propuseram a modificação da expressão de fluxo de
permeado dependente do movimento browniano apresentada por TRETTIN e DOSHI (1978) e
TRETTIN (1980), mas sem a inclusão de um modelo de turbulência para resolver as baixas
intensidades.
Capítulo 5
Resultados e discussão
Primeiramente serão apresentados os resultados obtidos na avaliação e aprendizagem
do simulador (filme líquido descendente com e sem transferência de massa) e, na seqüência,
os resultados dos estudos de caso envolvendo processos de separação com membranas. Todos
os dados obtidos estão tabelados no Apêndice.
5.1 Estudos de avaliação – escoamento de filme líquido
descendente
A Figura 5.1 apresenta os resultados obtidos na simulação do escoamento do filme de
água descendente, onde tem-se a comparação entre o perfil de velocidade v
z
simulado, no
final da geometria (em z = 1 m), com aquele obtido da solução analítica (Equação 4.1) em
função da distância da parede, na direção y.
Na Figura 5.2 tem-se os mesmos resultados da Figura 5.1 plotados para valores de y
muito pequenos, ou seja, próximo à parede sólida - onde (y/d)
2
<< (y/d) - incluído ainda, para
fins de comparação, o perfil linear de velocidades (que será assumido na consideração do
modelo de transferência de massa descrito pela Equação (4.7)).
5.1 ESTUDOS DE AVALIAÇÃO – ESCOAMENTO DE FILME LÍQUIDO DESCENDENTE 74
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,0001 0,00012 0,00014
y (m)
Velocidade z (m s
-1
)
Solução analítica
Simulação
Figura 5.1: Perfil de velocidades no filme líquido descendente
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 0,00003 0,000035 0,00004
y (m)
Velocidade (m s
-1
)
Solução analítica
Simulação
Perfil linear
Figura 5.2: Perfil de velocidades no filme líquido descendente e perfil próximo à
parede
A análise destas figuras indica boa concordância entre o perfil da solução analítica e o
resultado gerado pelo CFX. O máximo desvio percentual entre a solução analítica e o
simulador observado é de aproximadamente 9,51 %; dos 31 pontos comparados ao longo da
coordenada y, apenas nove deles apresentam um desvio acima de 3% em relação à solução
analítica. A diferença entre os valores é provavelmente decorrência da localização dos pontos
em regiões da malha onde as imperfeições são maiores. No caso específico da Figura 5.2,
5.2 ESTUDOS DE AVALIAÇÃO – DIFUSÃO EM FILME LÍQIUDO DESCENDENTE 75
percebe-se também que a consideração do perfil linear próximo à parede é válida, sobretudo
para a distância entre 0 e 3
.
10
-5
m, aproximadamente.
5.2 Estudos de avaliação – difusão em filme líquido
descendente
Os resultados da difusão de 1,1,1-tricloroetano (TCA) a partir da segunda metade da
parede (Figura 4.2) sendo transportado pelo escoamento de água adjacente estão ilustrados na
Figura 5.3. Escolheu-se aleatoriamente o valor da ordenada z igual a 4 cm a partir do
referencial adotado, uma vez que os outros perfis obtidos em outras distâncias se comportam
de maneira análoga. Os resultados são expressos em termos de concentração versus a distância
y.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,0001 0,00012 0,00014
y
Concentração (kg
.
m
-3
)
Simulação
Solução Analítica
Figura 5.3: Perfil de concentração da difusão em filme líquido descendente
A análise desta figura mostra que o simulador foi capaz de prever as características dos
processos de difusão com um bom grau de concordância previsto pela solução clássica
(Equação (4.13)); tanto na presença quanto na ausência de um componente se difundindo em
meio líquido. Os resultados obtidos demonstram que a ferramenta utilizada possui um grande
potencial para prever diferentes tipos de fenômenos físicos, inclusive aqueles envolvendo
processos de separação por membranas.
Nos próximos itens serão apresentados os resultados obtidos para os diferentes estudos
de caso envolvendo membranas.
5.3 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL DE PARTÍCULAS DE SÍLICA 76
5.3 Microfiltração tangencial de partículas de sílica
Os resultados do teste de malha para a microfiltração de suspensão de partículas de
sílica estão ilustrados na Figura 5.4.
10,75
10,8
10,85
10,9
10,95
11
11,05
11,1
123456
Teste
Fluxo de permeado (L m
-2
h
-1
)
Figura 5.4: Testes de malha na pressão de 0,5 bar e velocidade de alimentação de 0,16 m
.
s
-1
Verifica-se, através da Figura 5.4, que o fluxo permeado médio tende a situar-se entre
os valores de 10,9 e 11 L
.
m
-2.
h
-1
. Nas últimas três simulações, a variação do fluxo em função
do número de discretizações da malha é quase nula; tal fato é esperado pois isto indica que a
partir de determinado teste o refino da malha não influencia mais nos resultados. Escolheu-se
a configuração do teste 6 para desempenhar as simulações que seguem.
Conforme comentado anteriormente, os dados experimentais obtidos por RÄDER
(2003) foram utilizados para realizar uma regressão linear que permitisse estimar os valores de
permeabilidade hidráulica para alguns experimentos realizados pelo autor. Os valores obtidos
são iguais a 22,83 e 23,27 L
.
m
2.
h
-1.
bar
-1
, para as velocidades de escoamento de 0,16 m
.
s
-1
e
1,67 m
.
s
-1
, respectivamente. Com base nestes valores, e a partir da Equação (4.19), calculou-se
os valores da permeabilidade da Lei de Darcy, k, expressa em m
2
, obtendo-se valores iguais a
5,64
.
10
-17
m
2
e 5,75
.
10
-17
m
2
para as velocidades de alimentação de 0,16 m
.
s
-1
e 1,67 m
.
s
-1
,
respectivamente. Estes valores foram utilizados no ambiente de simulação do CFX. Os
resultados destas regressões juntamente com as simulações e dados experimentais estão
ilustrados nas figuras 5.5 e 5.6 (0,16 e 1,67 m
.
s
-1
de velocidade de alimentação,
respectivamente). Os dados numéricos do fluxo permeado representam valores médios na
área, sendo que o CFX possui uma função que realiza automaticamente este cálculo.
5.3 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL DE PARTÍCULAS DE SÍLICA 77
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
00,511,522,533,54
Pressão (bar)
Fluxo de permeado (L m
-2
h
-1
)
Experimental
Regressão: y = 2,3 +22,83x
Simulação
Figura 5.5: Simulação, dados experimentais e a regressão linear realizada a partir dos dados
de RÄDER (2003), na velocidade de 0,16 m
.
s
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
00,511,522,533,54
Pressão (bar)
Fluxo de permeado (L m
-2
h
-1
)
Experimental
Regressão: y = 4,51 +23,27x
Simulação
Figura 5.6: Simulação, dados experimentais, e a regressão linear realizada a partir dos dados
de RÄDER (2003) na velocidade de 1,67 m
.
s
-1
A análise das figuras 5.5 e 5.6 mostra que a simulação conseguiu reproduzir de forma
adequada os dados experimentais. Tanto os dados experimentais quanto os da simulação não
apresentam uma tendência assintótica à medida que se aumenta a pressão, indicando que
pouca, ou nenhuma, polarização por concentração está ocorrendo, nas condições testadas.
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 78
Todavia, é importante ressaltar que a adaptação da Lei de Darcy usada é linear (primeiro
termo da Equação (4.15), segundo que K
perda
foi considerado zero) e, portanto, espera-se que
os resultados de simulação apresentem um comportamento linear, da mesma forma que as
curvas de regressão expressas nas figuras 5.5 e 5.6. A máxima diferença percentual entre os
resultados da simulação e da média experimental ficou em 23,88% para a velocidade de 0,16
m
.
s
-1
e em 30,82% para a velocidade de 1,67 m
.
s
-1
, ambos para a pressão transmembrana de
0,5 bar. Todos os demais pontos, independente da velocidade, retornaram desvios abaixo de
10,6 %. Neste contexto, é importante ressaltar que os dados experimentais obtidos por
RÄDER (2003) apresentaram diferenças percentuais entre experimentos e réplicas que
variaram na faixa de 1 a 15%.
Como a variabilidade entre um experimento e outro não pode ser evitada, e apesar dos
desvios relativamente altos entre a simulação e os valores experimentais, pode-se dizer que o
CFX foi capaz de reproduzir o comportamento do processo analisado. No caso da velocidade
tangencial de 1,67 m
.
s
-1
os desvios percentuais entre simulação e a média dos experimentos
foram maiores; todavia, para ambos os valores de velocidade de alimentação, verificou-se que
tal desvio diminuía com o aumento da pressão transmembrana (de 23,88% para 6,27% na
velocidade de 0,16 m
.
s
-1
, e de 30,82% para 4,52% na velocidade de 1,67 m
.
s
-1
). Para a maior
velocidade de alimentação, o decréscimo do desvio foi mais acentuado, ao passo que, na
menor velocidade, houve um pequeno salto no desvio, nas pressões de 2 para 2,5 bar. Uma
possível explicação para estes resultados pode estar associada ao valor da intensidade
turbulenta ajustado na entrada do módulo, que foi igual a 5% para todas as simulações; tal
valor de intensidade de turbulência pode não ser adequado para pressões mais baixas visto que
o fluxo de permeado aumenta com a pressão transmembrana e, consequentemente, aumentam
também os efeitos turbulentos locais. Desta forma, a utilização de algum método de estimativa
de intensidade turbulenta, que leve em conta as variações na pressão transmembrana, pode ser
mais adequado para a simulação deste tipo de problema.
5.4 Microfiltração tangencial com barreiras ao escoamento
Primeiramente, foram realizados os testes de malha para verificar a sensibilidade dos
parâmetros da malha nos resultados da simulação. Cada teste realizado corresponde a uma
malha com um determinado número de tetraedros nos tubos de entrada e saída, na geometria
correspondente ao módulo e à membrana. Os testes foram realizados com condição de
interface entre a superfície da membrana e o módulo. A geração da malha é realizada pelo
ICEM CFD, que é o programa que vem junto com o CFX, e é onde são construídas as
geometrias e malhas dos problemas que serão simulados depois. A geração da malha é feita de
forma indireta, ou seja, o número de elementos de volume não é especificado diretamente,
sendo especificados os fatores de escala numéricos adimensionais que permitem controlar
desde o menor até o maior volume discretizado. Quanto menor o fator de escala para um
mesmo tipo de malha, mais elementos são gerados. Os resultados obtidos estão ilustrados na
Figura 5.7, onde tem-se o fluxo permeado médio na área plotado para cada teste.
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 79
0
100
200
300
400
500
600
01234567
Teste
Fluxo de permeado ( L m
-2
h
-1
)
Fluxo - sem barreiras
Fluxo - pequena barreira
Fluxo - grande barreira
Fluxo - barreiras opostas
Figura 5.7: Fluxo permeado médio para cada teste de malha.
A análise da Figura 5.7 mostra que a variação do fluxo permeado médio se dá ao redor
de 350 L
.
m
-2.
h
-1
para a geometria sem barreiras. Na geometria com pequena barreira o valor
situa-se em cerca de 519,7 L
.
m
-2.
h
-1
, e nos módulos com grande barreira e barreiras opostas,
ao redor de 329,7 L
.
m
-2.
h
-1
e 325,9 L
.
m
-2.
h
-1
, respectivamente. As variações no fluxo são muito
pequenas, na faixa de 0,1 a 0,5 %. Tal variação está bem abaixo dos desvios experimentais
comuns, indicando para este caso que o aumento no número de tetraedros praticamente não
influenciou o fluxo de permeado. As configurações que apresentavam maior número de
tetraedros (teste 6) foram empregadas no restante das simulações.
Primeiramente, foram realizadas simulações com os quatro tipos de módulos de forma
a comparar os resultados do CFX com os dados experimentais e de simulação realizados por
RAHIMI et al. (2005), bem como observar o comportamento dos campos de velocidade e a
distribuição de fluxo permeado na saída da membrana. Estas simulações foram realizadas
aplicando-se apenas a condição de interface entre a parte inferior do módulo e a parte superior
da membrana. Esta condição representa uma conexão da geometria do módulo com a
geometria da membrana; nesta situação, o programa simula apenas a passagem de fluido entre
uma região e outra, sem levar em conta efeitos de não-deslizamento sobre a superfície da
membrana. Numa outra seqüência, a condição de parede (não-deslizamento) foi aplicada na
parte inferior do módulo, enquanto que uma condição de entrada na superfície da membrana
foi usada tomando como base a média entre as pressões nos tubos de entrada e saída do
módulo. Nas figuras 5.8 a 5.11 encontram-se os resultados de fluxo permeado médio na área
em função da pressão transmembrana supondo-se apenas condição de interface. A pressão
transmembrana é calculada da seguinte forma:
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 80
perm
entradaconc
T
P
PP
P -
+
=D
2
(5.1)
onde, DP
T
é a pressão transmembrana, P
conc
é a pressão na saída de concentrado, P
entrada
é a
pressão na entrada e P
perm
é a pressão na saída de permeado. A pressão de referência aplicada
(que é exigida pelo CFX) foi igual a 0 kPa, sendo este valor também ajustado na saída de
permeado.
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado(L m
-2
h
-1
)
Experimental
Simulação - RAHIMI et al. (2005)
Simulação - CFX
Figura 5.8: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo sem barreira
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado(L m
-2
h
-1
)
Experimental
Simulação - RAHIMI et al. (2005)
Simulação - CFX
Figura 5.9: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com pequena
barreira trapezoidal
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 81
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado(L m
-2
h
-1
)
Experimental
Simulação - RAHIMI et al. (2005)
Simulação - CFX
Figura 5.10: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com grande
barreira trapezoidal
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado (L m
-2
h
-1
)
Experimental
Simulação - RAHIMI et al. (2005)
Simulação - CFX
Figura 5.11: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com
barreiras opostas
Os resultados demonstram que os dados provenientes da simulação concordam
razoavelmente bem com os dados experimentais e com as simulações realizadas por RAHIMI
et al. (2005). A Tabela 5.1 apresenta os máximos desvios percentuais obtidos para cada
sistema:
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 82
Tabela 5.1: Máximos desvios percentuais entre experimentos e simulações para diferentes
pressões transmembrana - I
Máximo desvio percentual
(%)
Módulo
CFX-
experimental
CFX-CFD
autores
*
Sem barreira 16,16 (83kPa) 11,15 (83kPa)
Pequena
barreira
10,23
(82,50kPa)
8,08
(82,50kPa)
Grande
barreira
14,27
(60,25kPa)
5,68
(100,25kPa)
Obstáculos
13,46
(109,75kPa)
15,11
(155,50kPa)
*
RAHIMI et al. (2005)
Os resultados da simulação, independente do programa utilizado, não podem
teoricamente, diferir significativamente entre si, principalmente se os estudos de caso são
rodados sob condições idênticas (mesma malha, mesmo método de discretização e funções de
interpolação, etc.). Apesar do número de tetraedros diferir entre o estudo feito por RAHIMI et
al. (2005) e aquele usado no presente trabalho, os desvios entre os resultados obtidos por este
simulador quando comparados com os resultados destes autores, não deveriam ser muito
elevados. De acordo com a Tabela 5.1, os máximos desvios encontrados entre as simulações
chegam a 15%.
É importante frisar que no trabalho desenvolvido por RAHIMI et al. (2005) não está
apresentado claramente como são calculados os resultados de fluxo permeado, já que a
comparação feita aqui é com valores de média ponderada na área. Desta forma, possíveis
imperfeições da malha são levadas em conta no cálculo do fluxo permeado médio, e isto pode
ser uma das causas para o desvio entre os resultados dos diferentes simuladores.
De forma a verificar até que ponto a condição de contorno influencia uma simulação
fluidodinâmica, os resultados ilustrados pelas figuras 5.12 a 5.15 foram obtidos aplicando-se
condição de não-deslizamento na parede inferior de cada módulo, e com pressão
transmembrana aplicada na entrada da geometria que representa a membrana (superfície da
mesma). A pressão na saída da membrana também foi ajustada como sendo igual a zero.
Condição de não-deslizamento nas paredes laterais foi aplicada nesta situação, da mesma
forma que nas simulações anteriores. A mudança na abordagem da condição de contorno foi
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 83
realizada, pois no trabalho de RAHIMI et al. (2005) não é discutido como foi tratada a
interação entre a membrana e a geometria do módulo.
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado(L m-
2
h
-1
)
Experimental
Simulação - RAHIMI et al. (2005)
Simulação - CFX
Figura 5.12: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo sem barreira –
condição de contorno modificada
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado(L m
-2
h
-1
)
Experimental
Simulação - RAHIMI et al. (2005)
Simulação - CFX
Figura 5.13: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com pequena
barreira trapezoidal – condição de contorno modificada
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 84
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado(L m
-2
h
-1
)
Experimental
Simulação - RAHIMI et al. (2005)
Simulação - CFX
Figura 5.14: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com grande
barreira trapezoidal – condição de contorno modificada
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado (L m
-2
h
-1
)
Experimental
Simulação - RAHIMI et al. (2005)
Simulação - CFX
Figura 5.15: Fluxo permeado versus pressão transmembrana para módulo com barreiras
opostas – condição de contorno modificada
Observa-se através das figuras 5.12 a 5.15 que a colocação da condição de contorno
de não-deslizamento fez com que os resultados gerados pelo CFX ficassem mais próximos aos
valores experimentais e ainda mais próximos às simulações realizadas pelos autores; este fato
pode ser verificado pela comparação das figuras 5.8 a 5.11 com as figuras 5.12 a 5.15,
respectivamente. Como no trabalho de RAHIMI et al. (2005) não foi especificado o
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 85
tratamento da região de contato do módulo com a membrana, a condição de não-deslizamento
se mostrou a mais adequada para descrever o escoamento dentro dos módulos.
A Tabela 5.2 apresenta também os máximos desvios obtidos nesta nova configuração
de condição de contorno entre módulo e membrana. A análise desta tabela mostra que o maior
desvio percentual entre o CFX e os dados de simulação dos autores foi de 2,5 %, sendo que,
para a maior parte dos dados, os desvios ficaram abaixo de 1%. Na aplicação apenas da
condição de interface, estes desvios foram da ordem de 10%, o que evidencia a importância da
escolha da condição de contorno adequada. Vale ressaltar que uma comparação ideal só seria
possível se as malhas geradas em diferentes simuladores fossem absolutamente idênticas.
Tabela 5.2: Máximos desvios percentuais entre experimentos e simulações para diferentes
pressões transmembrana - II
Máximo desvio percentual
Módulo
CFX-
experimental
CFX-CFD
autores
Sem barreira
-14,08
(45,50kPa)
2,56
(83,00kPa)
Pequena
barreira
1,01
(69,75kPa)
-1,76
(82,50kPa)
Grande
barreira
8,18
(60,25kPa)
-1,28
(44,25kPa)
Obstáculos
1,87
(43,75kPa)
-1,31
(155,50kPa)
A comparação da Tabela 5.1 e Tabela 5.2 mostra que os desvios máximos, tanto em
relação aos dados experimentais quanto aos de simulação, tornaram-se menores, confirmando
que a segunda condição de contorno é efetivamente a mais adequada para descrever o
problema. Isto também está de acordo com o fato de que, no tratamento matemático dos
trabalhos de modelagem de processos de separação por membranas, a aplicação da condição
de contorno de não-deslizamento sobre a superfície da membrana é a mais adequada para
descrever o transporte de um ou mais solutos através de meios porosos. Apesar disto, os erros
não estão distribuídos de uma forma uniforme em todas as simulações. Ou seja, os resultados
do CFX são quase sempre maiores ou menores que os dados experimentais (erros
sistemáticos) não existindo uma distribuição estatisticamente aleatória de valores. As
simulações realizadas pelo CFX geram resultados que, na maior parte das vezes, são maiores
do que os dados experimentais e de simulação de RAHIMI et al.
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 86
As figuras 5.16 a 5.19 ilustram alguns resultados do campo de velocidades para as
pressões transmembrana de 45,5 kPa (módulo sem barreira), 69,75 kPa (módulo com pequena
barreira), 44,25 kPa (módulo com grande barreira) e 43,75 kPa (módulo com barreiras
opostas), para a segunda situação, onde modificou-se a abordagem da condição de contorno
entre o módulo e a membrana. O plano representa um corte longitudinal ao escoamento
apenas na seção correspondente ao módulo, exatamente na metade da geometria, sem incluir a
seção correspondente à membrana. A velocidade apresentada é aquela resultante das três
componentes u, v e w:
222
wvuV
R
++= (5.2)
Figura 5.16: Campo de velocidades para módulo sem barreira à pressão transmembrana de
45,5 kPa.
Figura 5.17: Campo de velocidades para módulo com pequena barreira trapezoidal à pressão
transmembrana de 69,75 kPa.
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 87
Figura 5.18: Campo de velocidades para módulo com grande barreira trapezoidal à pressão
transmembrana de 44,25 kPa.
Figura 5.19: Campo de velocidades para módulo com obstáculos opostos, à pressão
transmembrana de 43,75 kPa.
Em todas as superfícies de contorno ilustradas verifica-se comportamento muito
semelhante nas regiões de entrada e saída da geometria do módulo. Por exemplo, na Figura
5.16 verifica-se a queda brusca de velocidade devido à expansão brusca ocorrida quando da
passagem do fluido do tubo de entrada para o módulo sem barreiras. A velocidade cai de 3,4
m
.
s
-1
para 1 m
.
s
-1
, aproximadamente, compreendendo uma diminuição de mais de 70% em sua
magnitude, e outra mudança de velocidade ocorre quando o fluido deixa o módulo e entra no
tubo de saída, na seção à direita do módulo. Nas geometrias com obstáculos trapezoidais,
figuras 5.17 e 5.18, a queda é ligeiramente menos acentuada na geometria com maior
obstáculo. Isto pode ser explicado pelo fato de que o fluido, ao passar por um obstáculo em
forma de trapézio com uma inclinação mais íngreme, não tem espaço suficiente para dissipar
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 88
energia cinética da mesma forma que nos casos anteriores, onde o caminho de escoamento é
mais aberto. Por fim, na distribuição de velocidades ilustrada na Figura 5.19, a queda na
velocidade situa-se ao redor de 68% (de 4 m
.
s
-1
para 1,3 m
.
s
-1
) até a metade do módulo,
aproximadamente, permanecendo ligeiramente constante da metade até a saída, da mesma
forma que as outras configurações.
Em processos de separação por membranas o acúmulo de soluto sobre a mesma
constitui-se em um problema difícil de ser simulado, que se torna mais grave no caso de
geometrias mais complexas, onde este acúmulo pode ser facilitado, como no caso das
geometrias estudadas. De forma a verificar se estas geometrias possuem algum efeito no
escoamento que possa, porventura, facilitar o acúmulo de soluto em alguma região do módulo,
construiu-se os campos vetoriais correspondentes ilustrados nas figuras 5.20 a 5.23. Para fins
de melhor visualização, apenas parte do módulo na direção do escoamento está mostrada.
Figura 5.20: Campo vetorial para módulo sem barreira à pressão transmembrana de 45,5 kPa.
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 89
Figura 5.21: Campo vetorial para módulo com pequena barreira trapezoidal à pressão
transmembrana de 69,75 kPa.
Figura 5.22: Campo vetorial para módulo com grande barreira trapezoidal à pressão
transmembrana de 44,25 kPa.
5.4 MICROFILTRAÇÃO TANGENCIAL COM BARREIRAS AO ESCOAMENTO 90
Figura 5.23: Campo vetorial para módulo com obstáculos opostos, à pressão transmembrana
de 43,75 kPa.
A análise destes campos vetoriais mostra que existe uma pequena tendência para a
formação de escoamento reverso levando à formação de vórtices. Este fato mostra-se mais
significativo no escoamento representado nas figuras 5.22 e 5.23, onde o resultado da
simulação claramente indica uma tendência à recirculação de fluido. Na presença de um
soluto, estas regiões da geometria possuem grandes chances de facilitarem o acúmulo de
material sobre a membrana, causando uma queda mais acentuada no fluxo de permeado e
diminuindo a eficiência do processo de microfiltração. Isto demonstra que a geometria do
sistema é um importante parâmetro a ser considerado na escolha de um módulo de membrana.
Na Figura 5.23 verifica-se a presença de recirculação entre as barreiras retangulares
opostas, indicando que várias regiões de acúmulo de fluido podem aparecer. Vale lembrar que
em PSM é comum o uso de promotores de turbulência de forma a aumentar a transferência de
massa local. Somente estudos detalhados, variando-se parâmetros de diferentes geometrias,
podem esclarecer quais as configurações de barreira que facilitam a tendência de acúmulo de
soluto, e quais as que dificultam a ocorrência deste fenômeno.
5.5 ULTRAFILTRAÇÃO DE SOLUTO MACROMOLECULAR 91
5.5 Ultrafiltração de soluto macromolecular
A Figura 5.24 apresenta os resultados do teste de malha para ultrafitração de BSA. Um
número menor de testes foi realizado quando comparado com as outras simulações, pois o
fluxo estabilizou-se já nos primeiros testes realizados.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
012345
Teste
Fluxo de permeado (kg m
-2
s
-1
)
Figura 5.24: Fluxo de permeado médio para cada teste de malha
Verifica-se que, a partir do segundo teste, o fluxo permeado permaneceu praticamente
constante (uma variação em torno de 0,6% entre o último e o penúltimo valor foi alcançada)
de forma que a partir da malha com 36846 tetraedros, o fluxo praticamente não mais era
influenciado pela malha, conforme desejado.
A Figura 5.25 apresenta a comparação dos resultados experimentais obtidos por
GARDIOL (2000), com os resultados obtidos pelo CFX, de fluxo permeado versus a pressão
transmembrana para o processo de ultrafiltração de BSA.
5.5 ULTRAFILTRAÇÃO DE SOLUTO MACROMOLECULAR 92
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 50 100 150 200 250 300 350
Pressão (kPa)
Fluxo de permeado (kg m
-2
s
-1
)
Dados Experimentais
Simulação
Figura 5.25: Fluxo permeado versus pressão transmembrana na ultrafiltração
tangencial de BSA
O maior valor para a diferença percentual entre simulação e média entre experimentos
e réplicas foi quase de 8%, para o último ponto (pressão de 310,3 kPa). A partir da pressão de
206,8 kPa os desvios apresentaram comportamento ascendente, sendo que os dados
experimentais foram sempre maiores que os de simulação. Nos três primeiros pontos os dados
de simulação foram ligeiramente maiores que os experimentais, todavia, não houve um
comportamento constante de crescimento ou decréscimo dos desvios percentuais.
Os dados experimentais da Figura 5.25 indicam a presença de polarização por
concentração e/ou fouling, uma vez que à medida que a pressão aumenta, os valores de fluxo
de permeado apresentam um comportamento aproximadamente assintótico. Isto pode ser
confirmado nos resultados de fração mássica versus comprimento adimensional para cada
pressão transmembrana, ilustrados na Figura 5.26:
5.5 ULTRAFILTRAÇÃO DE SOLUTO MACROMOLECULAR 93
2,520E-04
2,540E-04
2,560E-04
2,580E-04
2,600E-04
2,620E-04
2,640E-04
2,660E-04
2,680E-04
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Fração mássica
103,4kPa
137,9kPa
172,4kPa
206,8kPa
241,3 kPa
275,8kPa
310,3kPa
x
Figura 5.26: Perfis de fração mássica de BSA em diferentes pressões transmembrana
Os resultados ilustrados na Figura 5.26 indicam que a fração mássica do soluto
macromolecular cresce quanto maior é o comprimento do módulo. Isto está de acordo com o
que é esperado pela teoria, pois sabe-se que a diminuição do fluxo de permeado na direção do
escoamento é devido ao aumento de concentração de soluto próximo à superfície da
membrana, devido à formação da camada limite de concentração. À medida que a pressão
aumenta, a concentração de soluto sobre a membrana também aumenta. Nos três últimos
valores de pressão, porém, houve um decréscimo muito sutil do perfil de concentrações de
BSA, indicando que na pressão de 241,3 kPa um valor máximo de perfil de concentração foi
atingido. É a partir deste ponto que o fluxo de permeado começa a diminuir, conforme
ilustrado na Figura 5.25, demonstrando-se o efeito que a camada limite polarizada possui de
reduzir o fluxo em altos valores de pressões transmembrana.
O CFX não conseguiu reproduzir o comportamento da retenção. Obteve-se um perfil
ao longo da membrana, e os valores de retenção média ficaram muito abaixo dos valores
experimentais; enquanto os valores de retenção experimentais situaram-se ao redor de 90%, os
valores de simulação permaneceram em torno de 30%. Desta forma, a abordagem da
colocação de uma taxa de consumo como alternativa ao efeito da retenção da macromolécula
pelo meio poroso, discutida no capítulo anterior, não foi adequada. Acredita-se que isto
representa uma limitação do simulador, de forma que seriam necessárias outras considerações
para simular o comportamento da retenção na membrana. A distribuição de tamanhos de poros
na membrana deve ser levada em conta, sendo que no CFX a modelagem de escoamento em
meios porosos é realizada considerando-se um único tamanho de poro. Além disto, efeitos de
interação entre o soluto e a membrana, efeitos de compactação da mesma, entre outros,
deveriam ser previstos pelo modelo numérico. Neste sentido, um trabalho de modelagem em
meios porosos foi realizado por MACDONALD (1992), que estudou a difusão
macromolecular em meios porosos a partir de distribuições de tamanhos de poros conhecidas,
e levando em consideração efeitos como a tortuosidade.
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 94
5.6 Ultrafiltração e a solução por similaridade
Na Figura 5.27 estão ilustrados os diferentes perfis de fluxo de permeado em função
do comprimento adimensional, para cada configuração de malha empregada (Figura 4.10).
0
0,00005
0,0001
0,00015
0,0002
0,00025
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fluxo de permeado (m
3
m
-2
s
-1
)
2880 hexaedros
3840 hexaedros
4800 hexaedros
6720 hexaedros
8640 hexaedros
9600 hexaedros
Solução Analítica
x
Figura 5.27: Perfis de fluxo de permeado para cada configuração de malha
Através da Figura 5.27, verifica-se que entre 2880 e 8640 hexaedros praticamente não
ocorreu variação nos perfis, independentemente do refino da malha próximo à parede da
membrana. Uma diferença levemente mais acentuada verificou-se para a geometria com 9600
hexaedros. Apesar de apresentar mais subdivisões da malha, o perfil ficou um pouco mais
distante do perfil analítico, quando comparado com os anteriores. Uma explicação para este
fato pode estar na própria malha: o refino próximo à parede ilustrado na Figura 4.10f
apresenta espaçamentos iguais, ao contrário dos anteriores onde uma variação gradual no
refino foi realizada. A diferença entre o perfil com o maior número de hexaedros e os
anteriores é pouco maior que 4%, em média, ao passo que as diferenças percentuais entre as
malhas de 2880 a 8640 hexaedros e a solução analítica chegarem a mais de 15%. Isto
demonstra que, mesmo naquelas malhas onde um diferente número de subdivisões levou a
uma quase independência dos resultados, a grande discrepância entre tais perfis e a solução
analítica não se deve justamente às características da malha.
Os resultados das simulações envolvendo sílica como soluto, estão apresentados na
Figura 5.28 para diferentes relações entre fração mássica de sílica na superfície da membrana
e a fração mássica de sílica na solução bulk. Os dados obtidos são de fluxo permeado versus
comprimento adimensional do canal retangular,
x
(x/L, onde L é o comprimento do canal).
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 95
1,00E-05
6,00E-05
1,10E-04
1,60E-04
2,10E-04
2,60E-04
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Fluxo de permeado (m s
-1
)
Solução Analítica
Simulação - 0,00504
Simulação - 0,01008
Simulação - 0,01512
Simulação - 0,02016
Simulação - 0,0252
x
Figura 5.28: Perfis de fluxo de permeado para cada fração mássica na membrana
A análise da Figura 5.28 revela que a simulação resultou em um perfil de fluxo local
de formato semelhante ao previsto pela solução analítica (Equação (4.29)). Além disto, os
perfis obtidos foram praticamente idênticos, independentemente dos valores de frações
mássicas de sílica na superfície da membrana; isto demonstra que os dados de simulação
foram capazes de reproduzir o comportamento de fluxo de permeado como sendo
independente da fração mássica na parede, f
w
, da mesma forma que a Equação (4.29), o que é
válido para suspensões diluídas. Todavia, os desvios percentuais entre os resultados da
simulação e aqueles previstos analiticamente variaram numa faixa de 8 a 30 %,
aproximadamente, verificando-se que, quanto mais próximo da entrada do canal, maiores são
os desvios. A solução analítica prevê que, à medida que se aumenta o comprimento do canal,
o fluxo permeado decresce - devido à formação da camada limite polarizada - e os dados de
simulação conseguiram reproduzir este comportamento. À medida que o comprimento do
canal tende a zero, o fluxo permeado previsto pela solução analítica tende ao infinito, o que
não é possível fisicamente; a presença deste ponto singular pode ser a explicação para os
maiores desvios percentuais entre simulação e solução analítica obtidos para menores valores
do comprimento do canal. Uma modificação da Equação (4.29), de forma a remover a
existência de singularidade no início do canal, seria uma alternativa para a comparação com
dados da simulação. Isto poderia ser feito pela troca da variável x por uma variável x + d,
sendo d ~ 0, no denominador da Equação (4.29). Esta mudança, além de remover a
singularidade em x = 0, promoveria a diminuição dos valores dos perfis de fluxo permeado
apresentado na Figura 5.28, aproximando-os da solução numérica. Além disto, os testes de
malha confirmam que o aumento do desvio entre o perfil do CFX e aquele da solução analítica
não está ligado diretamente às características da malha.
As figuras 5.29 e 5.30 apresentam os perfis de fração mássica em função da distância
adimensional
y
, em duas posições axiais (na metade (x = 5,75cm) e na saída (x=11,5cm) do
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 96
canal de escoamento, respectivamente) para diferentes frações mássicas na superfície da
membrana (f
w
). Na legenda destas figuras estão indicados os valores das frações mássicas na
membrana utilizadas: 20, 40, 60, 80 e 100 vezes o valor da alimentação.
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Fração mássica
Simulação: 0,0252
Solução Analítica: 0,0252
Simulação: 0,02016
Solução Analítica: 0,02016
Simulação: 0,01512
Solução Analítica: 0,01512
Simulação: 0,01008
Solução Analítica: 0,01008
Simulação: 0,00504
Solução Analítica: 0,00504
y
Figura 5.29: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 0,10,20,30,40,50,60,70,80,9 1
Fração mássica
Simulação: 0,0252
Solução Analítica: 0,0,252
Simulação: 0,02016
Solução Analítica: 0,02016
Simulação: 0,01512
Solução Analítica: 0,01512
Simulação: 0,01008
Solução Analítica: 0,01008
Simulação: 0,00504
Solução Analítica: 0,00504
y
Figura 5.30: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 97
Para a maioria das concentrações, o simulador descreve bem o perfil de frações
mássicas, fornecendo desvios em relação ao resultado analítico da ordem de 0,02 % a 10%,
tanto para o perfil na metade quanto na saída do canal retangular. Todavia, estes valores de
desvio somente são verificados quando
y
> 0,5, sobretudo para as situações onde a fração
mássica na membrana é maior. Quando a fração mássica na membrana é 100 vezes o valor do
escoamento bulk (0,0252), verifica-se que os desvios aumentam rapidamente a partir do valor
de
y
=0,5, alcançando até 40 %, aproximadamente. A partir de valores de fração mássica na
membrana iguais a 60 vezes o valor bulk (0,01512), os desvios aumentam de forma menos
acentuada com o aumento de
y
, alcançando valores da ordem de 17,5 %, 15,2 % e 8,5 %
para as frações mássicas iguais a 0,01512, 0,01008 e 0,00504, na metade do canal,
respectivamente, e valores da ordem de 21,5 %, 19,5 % e 13,8 % para as frações mássicas
iguais a 0,01512, 0,01008 e 0,00504, na saída do canal, respectivamente.
Os valores de fração mássica gerados pelo simulador tendem a se comportar de uma
forma mais linear do que o previsto pela Equação (4.37). Isto está de acordo com os resultados
obtidos por ROMERO e DAVIS (1988) para difusividade e viscosidade variáveis e frações
volumétricas na membrana até 0,5, os quais, por sua vez, concordam com aqueles obtidos por
DAVIS e LEIGHTON (1987). Tais resultados demonstram que, mesmo para propriedades
variáveis, o perfil se aproxima do comportamento linear para baixas concentrações de soluto,
tanto na alimentação como na membrana. Finalmente, também é possível verificar que os
perfis obtidos na metade e na saída do canal são muito semelhantes entre si, de maneira que é
razoável admitir a inexistência de efeitos de difusão axial.
Os resultados do estudo do efeito da correção do coeficiente de difusão para a
ultrafiltração de BSA, conforme discutido no capítulo anterior, são apresentados nas figuras
5.31 a 5.35. As simulações foram avaliadas da seguinte forma: primeiramente, compararam-se
os valores de fluxo permeado local com aqueles obtidos da Equação (4.46); posteriormente, o
valor médio no comprimento foi comparado para diferentes intensidades e escalas de
turbulência, para cada valor de fração mássica na membrana. As figuras 5.31 a 5.35
apresentam os perfis de fluxo permeado local
obtidos nas simulações, em função do
comprimento adimensional do canal, comparados com o perfil analítico. Escalas de
turbulência na faixa de 25, 50 e 75% do diâmetro hidráulico (1,22
.
10
-4
m, 2,45
.
10
-4
m e
3,67
.
10
-4
m, respectivamente) foram testadas, juntamente com intensidades turbulentas de 0,1,
0,2, 0,3, 0,4 e 0,5%.
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 98
1,00E-04
3,00E-04
5,00E-04
7,00E-04
9,00E-04
1,10E-03
1,30E-03
1,50E-03
00,20,40,60,81
Fluxo de permeado (m s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-25% do diâmetro hidráulico
Simulação-50% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-50% do diâmetro hidráulico
Simulação-75% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-75% do diâmetro hidráulico
x
Figura 5.31: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada escala de
turbulência, na intensidade turbulenta de 0,1%.
1,00E-04
6,00E-04
1,10E-03
1,60E-03
2,10E-03
2,60E-03
3,10E-03
3,60E-03
4,10E-03
4,60E-03
5,10E-03
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fluxo de permeado (m s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-25% do diâmetro hidráulico
Simulação-50% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-50% do diâmetro hidráulico
Simulação-75% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-75% do diâmetro hidráulico
x
Figura 5.32: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada escala de
turbulência, na intensidade turbulenta de 0,2%.
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 99
1,00E-04
1,10E-03
2,10E-03
3,10E-03
4,10E-03
5,10E-03
6,10E-03
7,10E-03
8,10E-03
9,10E-03
1,01E-02
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fluxo de permeado (m s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-25% do diâmetro hidráulico
Simulação-50% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-50% do diâmetro hidráulico
Simulação-75% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-75% do diâmetro hidráulico
x
Figura 5.33: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada escala de
turbulência, na intensidade turbulenta de 0,3%.
1,00E-04
2,10E-03
4,10E-03
6,10E-03
8,10E-03
1,01E-02
1,21E-02
1,41E-02
1,61E-02
1,81E-02
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fluxo de permeado (m s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-25% do diâmetro hidráulico
Simulação-50% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-50% do diâmetro hidráulico
Simulação-75% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-75% do diâmetro hidráulico
x
Figura 5.34: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada escala de
turbulência, na intensidade turbulenta de 0,4%.
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 100
1,00E-04
5,10E-03
1,01E-02
1,51E-02
2,01E-02
2,51E-02
3,01E-02
00,20,40,60,81
Fluxo de permeado (m s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-25% do diâmetro hidráulico
Simulação-50% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-50% do diâmetro hidráulico
Simulação-75% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-75% do diâmetro hidráulico
x
Figura 5.35: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada escala de
turbulência, na intensidade turbulenta de 0,5%.
As figuras 5.31 a 5.35 mostram que não existe um comportamento único para as
diferentes condições testadas, uma vez que, para algumas escalas de turbulência, um aumento
na intensidade turbulenta resulta em uma melhor comparação entre a simulação e os
resultados analíticos e para outras não se observa a mesma tendência. Para a escala de
turbulência calculada para 25 % do diâmetro hidráulico, à medida que se aumenta a
intensidade turbulenta aumenta a concordância entre os resultados; para a escala de
turbulência calculada para 75 % do diâmetro hidráulico tem-se um comparação boa apenas
para a intensidade turbulenta de 0,2 %. Ainda, percebe-se que não existe um valor de
intensidade turbulenta ótimo para os três casos testados; para a escala de turbulência calculada
para 25 % do diâmetro hidráulico tem-se a melhor comparação para as intensidades
turbulentas de 0,4 e 0,5 %. Para a escala de turbulência correspondente a 50 % do diâmetro
hidráulico tem-se a melhor comparação para a intensidade turbulenta de 0,3 %. Finalmente,
para a escala de turbulência com 75 % do diâmetro hidráulico tem-se a melhor comparação
para a intensidade turbulenta de 0,2 %.
A fim de verificar a influência de diferentes valores de fração mássica na membrana
sobre o comportamento do fluxo permeado, para diferentes valores de intensidade ou escala
turbulenta, foram simulados casos nos quais f
w
foi considerado igual a 20, 40, 60, 80 e 100
vezes a fração mássica bulk, f
B.
Plotaram-se os valores do fluxo permeado médio em função
da intensidade de turbulência tendo como parâmetro de curva os três valores da escala de
turbulência testados (25, 50 e 75 % do diâmetro hidráulico) para cada uma das razões entre f
w
e f
B
. Como os gráficos apresentaram o mesmo comportamento, optou-se por apresentar
apenas o gráfico para a situação com f
w
= 20f
B
, mostrado na Figura 5.36.
A independência do fluxo permeado médio com a fração mássica na superfície da
membrana, está de acordo com o previsto pela Equação (4.46), para a qual o fluxo depende
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 101
apenas da concentração de alimentação. Este fato é uma conseqüência direta de se estar
trabalhando com suspensões diluídas, onde a dependência das propriedades físicas do sistema
(viscosidade e difusividade) com a concentração de soluto é assumida como sendo constante.
A solução numérica da Equação (4.32) realizada por DAVIS e SHERWOOD (1990) considera
que as variáveis difusividade e viscosidade adimensionais variem com f; provavelmente, tal
consideração levaria a resultados diferentes dos obtidos uma vez que tais propriedades variam
na camada limite polarizada de concentração. A escolha da escala para capturar tais variações,
bem como os aspectos relativos à construção da malha, seria uma tarefa mais complexa, pois
escalas próximas à ordem de grandeza molecular seriam necessárias para a resolução
completa dos efeitos da camada limite.
1,00E-04
1,10E-03
2,10E-03
3,10E-03
4,10E-03
5,10E-03
6,10E-03
7,10E-03
8,10E-03
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Intensidade de turbulência (%)
Fluxo de permeado (m s
-1
)
25% do diâmetro hidráulico
50% do diâmetro hidráulico
75% do diâmetro hidráulico
Figura 5.36: Fluxo permeado versus intensidade turbulenta para diferentes escalas, com f
w
=
20f
B
Com relação aos resultados do fluxo permeado em função da intensidade e da escala
de turbulência, a análise da Figura 5.36 mostra que a forma como o fluxo varia em função da
intensidade turbulenta é diferente para cada escala. Na escala de 25% a variação do fluxo é a
menos acentuada ao passo que, na escala de 75%, esta variação é mais brusca, o que resulta
em maior discordância entre o resultado simulado e o analítico.
Além disto, observa-se que o fluxo permeado aumenta tanto com a intensidade quanto
com a escala de turbulência; este resultado é esperado, pois o aumento do coeficiente de
difusão no escoamento turbulento promove a remoção de soluto da superfície da membrana,
promovendo a contradifusão deste para o seio da suspensão, facilitando, assim, a passagem de
solvente através da membrana. Isto comprova o fato de que os fenômenos turbulentos são
altamente dissipativos; as partículas movimentam-se rapidamente, entrando em contato com
outras partículas de forma dinâmica, aumentando os gradientes dos potenciais associados a
elas (gradientes de concentração) e acelerando o fenômeno de difusão molecular.
5.6 ULTRAFILTRAÇÃO E A SOLUÇÃO POR SIMILARIDADE 102
Como foi observado que entre as intensidades de 0,2 e 0,3% tem-se uma boa
concordância para as três faixas de escala de turbulência testadas, realizou-se simulações para
a intensidade de 0,25%, usando uma fração mássica na membrana de 0,0252 (f
w
= 100f
B
). Os
resultados estão apresentados na Figura 5.37.
1,00E-04
1,10E-03
2,10E-03
3,10E-03
4,10E-03
5,10E-03
6,10E-03
7,10E-03
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fluxo de peremado (m s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-25% do diâmetro hidráulico
Simulação-50% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-50% do diâmetro hidráulico
Simulação-75% do diâmetro hidráulico
Solução Analítica-75% do diâmetro hidráulico
x
Figura 5.37: Fluxo permeado versus comprimento adimensional do canal para cada escala de
turbulência, na intensidade turbulenta de 0,25%.
A análise da Figura 5.37 indica que a comparação entre a simulação e a solução
analítica é bastante boa para os três primeiros casos de escalas de turbulência, indicando que,
provavelmente, esta escala seja a mais próxima da situação real. Vale ressaltar que, à medida
que se diminui o valor da escala turbulenta, a escala empregada nas simulações aproxima-se
da ordem de grandeza das escalas moleculares, o que requer o uso de malhas mais densas. Se
a tendência apresentada pela Figura 5.36 estiver correta, então o fluxo permeado se torna
independente das escalas de turbulência, à medida que estas se tornam menores. Uma
provável explicação para a maior escala de turbulência sofrer uma variação mais brusca em
função da intensidade turbulenta pode ser dada pela análise da Equação (4.42), onde tem-se
que a difusividade efetiva é diretamente proporcional ao quadrado da escala de tempo
turbulenta (L
T
/U). Assim, um aumento de L
T
acarreta um aumento na difusividade efetiva (e,
por conseguinte, na difusividade corrigida, Equação (4.41)) de maneira quadrática. Pela
Equação (4.46), o fluxo permeado é proporcional à difusividade corrigida elevada à potência
2/3 e, portanto, proporcional à escala de tempo turbulenta por um fator de 4/3. Analisando
apenas a Equação (4.46), a dependência do fluxo permeado com a escala de tempo turbulenta
não é muito brusca (proporcional a aproximadamente 1,33). No entanto, o fluxo calculado
pelo simulador é aquele expresso pela Equação (4.31), onde D é a difusividade corrigida. A
substituição das equações (4.42) e (4.41) na Equação (4.31) demonstra que o fluxo permeado
em y=0 é proporcional ao quadrado da escala de turbulência, o que pode explicar a alta
dependência do fluxo permeado com esta escala.
Capítulo 6
Conclusões e Sugestões para Trabalhos
Futuros
O objetivo deste trabalho foi a simulação numérica de alguns estudos de caso de
processos de separação com membranas, através do uso do simulador CFX. Foram escolhidos
os processos de micro e ultrafiltração, por existirem muitos trabalhos experimentais e teóricos
nestas áreas, podendo-se comparar os resultados de simulação com aqueles obtidos da
literatura.
A fim de atingir este objetivo, inicialmente foram simulados dois problemas
conhecidos de escoamento e transferência de massa comparando-se com as respectivas
soluções analíticas. Na seqüência, foram simulados os casos para os quais foi feita uma
comparação com modelos utilizados para a previsão teórica do fluxo permeado.
A experimentação numérica tem crescido rapidamente nos últimos anos, de forma que
muitos fenômenos estão sendo compreendidos antes mesmo de qualquer experimento ser
realizado. Neste contexto, uma das grandes aplicações da tecnologia CFD é a previsão e o
entendimento de fenômenos onde experimentos são mais difíceis de serem realizados, devido
a questões técnicas ou econômicas.
As conclusões obtidas no desenvolvimento deste trabalho são:
Ø problemas simplificados de escoamento e transferência de massa podem ser simulados
pelo CFX de forma que os resultados se assemelham muito àqueles previstos pelas soluções
analíticas e/ou numéricas conhecidas;
6.CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
104
Ø a simulação fluidodinâmica de sistemas de micro e ultrafiltração é capaz de prever o
fluxo permeado em função da pressão transmembrana; mas a condição de contorno na
interface módulo-membrana é um parâmetro que influencia sobremaneira os resultados;
Ø os efeitos relativos à presença de vórtices e recirculação local são previstos para
diferentes tipos de configurações de módulo de membranas (RAHIMI et al. (2005)),
mostrando-se como um efeito importante a ser considerado no projeto de tais equipamentos;
da mesma forma, o fluxo permeado resultante independe do tipo de geometria usada para a
construção do módulo;
Ø os desvios entre os resultados de simulação e experimentais dependem da pressão
transmembrana aplicada, independente do tipo de processo estudado; esta característica pode
estar relacionada ao fato de se aplicar o mesmo valor médio de intensidade turbulenta na
entrada do canal de escoamento para os diferentes valores de pressão;
Ø simulações que tentam reproduzir o efeito da retenção de soluto pela membrana
necessitam de um estudo mais profundo, relativo principalmente aos detalhes da distribuição
de tamanhos de poros e da estrutura porosa da membrana, bem como de possíveis forças
adicionais de interação soluto-membrana; a abordagem de consumo de soluto na mesma não
se mostrou adequada para reproduzir uma retenção média próxima aos valores experimentais;
Ø a comparação dos resultados obtidos via simulação com aqueles provenientes da
solução por similaridade obtidos por DAVIS e SHERWOOD (1990) apresentam
comportamento semelhante: fluxo permeado decrescente com o aumento do comprimento do
canal; todavia, as diferenças percentuais aumentam à medida que o comprimento do canal
tende a zero, o que pode ser uma conseqüência da comparação de um resultado numérico com
um perfil que se aproxima da singularidade no início do canal;
Ø modificações no perfil de fluxo permeado obtido por DAVIS e SHERWOOD (1990)
de forma a corrigir o coeficiente de difusão de solutos macromoleculares se mostraram
dependentes da intensidade turbulenta e, principalmente, da escala de turbulência usada,
obtendo-se valores de fluxo que aumentam à medida que ambas crescem. Isto concorda com o
fato de que a turbulência aumenta o coeficiente de difusão e promove uma melhor mistura do
soluto na suspensão, facilitando a passagem de solvente pela membrana; entretanto, os desvios
entre simulação e solução analítica modificada são muito sensíveis aos parâmetros de
turbulência, parecendo indicar uma região de maior concordância entre ambas as previsões
nas intensidades turbulentas testadas;
Face aos resultados obtidos e às conclusões apresentadas, propõe-se algumas sugestões
a serem desenvolvidas em trabalhos futuros:
Ø realização de simulações de processos transientes;
Ø realização de simulações de outros tipos de geometrias usadas na micro e
ultrafiltração, bem como estudos de outros processos de separação com membranas
(pervaporação, permeação de gases, osmose inversa, etc.);
6.CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
105
Ø estudos comparando-se diferentes modelos de turbulência para um mesmo sistema;
Ø estudos para estimativa de intensidade de turbulência na seção de entrada do canal de
escoamento em função da pressão, de forma a minimizar os desvios entre simulação e
experimento;
Ø abordagem ligando a modelagem de escoamento em meios porosos utilizada pelo CFX
(Lei de Darcy) juntamente com o sistema formado pelas equações governantes mediante a
aplicação da condição de contorno de retenção total;
Ø simulações de compactação de membranas, já que o CFX permite que se trabalhe com
deformação de malha;
Ø aplicação de novas abordagens para a simulação da retenção de partículas, levando-se
em consideração a interação entre estas e a membrana através de modelos de adesão na
parede;
Ø simulação de problemas que envolvam variação da viscosidade e da difusividade com
a concentração;
Ø modificação da solução de DAVIS e SHERWOOD (1990) de forma a remover a
singularidade da solução no início do canal de escoamento e comparando-se com os resultados
de simulação;
Ø investigação de maneira mais ampla como as escalas e intensidades turbulentas
influenciam nos perfis de fluxo permeado local;
Ø comparação dos resultados de simulação e de solução analítica com experimentos que
visam medir o fluxo permeado local, juntamente com as duas propostas imediatamente
anteriores;
Ø realização de simulações envolvendo reatores com membranas.
Capítulo 7
Bibliografia
ANSYS ® CFX 10.0 MANUAL
BAKER, R.W.;CUSSLER, E.L.; EYKAMP, W.; KOROS, W.J.; RILEY, R.L.;
STRATHMANN, H. Membrane Separation Systems – Recent Developments and Future
Directions, Noyes Data Corporation, 1991.
BELLARA, S.R.; CUI, Z. A Maxwell-Stefan approach to modelling the cross-flow
ultrafiltration of protein solutions in tubular membranes. Chemical Engineering Science,
v.53, p.2153-2166, 1998.
BIRD, R.B.; STEWART, W.E.; LIGHTFOOT, E.N. Transport Phenomena. New York, John
Wiley, 1960.
BOUCHARD, C.R.; CARREAU, P.J.; MTSUURA, T., SOURIRAJAN, S. Modeling of
ultrafiltration: predictions of concentration polarization effects. Journal of Membrane
Science, v. 97, p. 215-229, 1994.
BOWEN, W.R.; CAO, X. Electrokinetics effects in membrane pores and the determination of
zeta-potential. Journal of Membrane Science, v. 140, p. 267-273, 1998.
BOWEN, W.R.; JENNER, F. Theoretical descriptions of membrane filtration of colloids and
fine particles: an assessment and review. Advances in Colloid and Interface Science, v. 56,
p. 141-200, 1995.
CAO, Z.; WILEY, D.E.; FANE, A.G. CFD simulations of net-type turbulence promoters in a
narrow channel. Journal of Membrane Science, v.185, p.157-176, 2001.
7.BIBLIOGRAFIA
107
CHENG, T.; WU, J. Modified boundary layer resistence model for membrane ultrafiltration.
Tamkang Journal of Science and Engineering, v. 4, p. 111-117, 2001.
COSTA, A.R.; FANE, A.G.; WILEY, D.E. Spacer characterization and pressure drop
modelling in spacer-filled channels for ultrafiltration. Journal of Membrane Science, v. 87,
p. 79-98, 1994.
DAVIS, R.H.; LEIGHTON, D.T. Shear-induced transport of a particle layer along a porous
wall. Chemical Engineering Science, v. 42, p. 275-281, 1987.
DAVIS, R.H.; SHERWOOD, J.D. A similarity solution for steady-state crossflow
microfiltration. Chemical Engineering Science, v. 45, p. 3203-3209, 1990.
FLETCHER, D.F.; WILEY, D.E. A computational fluid dynamics study of buoyancy effects
in reverse osmosis. Journal of Membrane Science, v. 245, p. 175-181, 2004.
FONTES, R.S. Mass transfer in microfiltration with laminar and turbulent flow of
macromolecular solutions. Journal of Membrane Science, v. 249, p. 207-211, 2005.
GARDIOL, M.K.J. Estudo da Influência de Parâmetros Operacionais em Membranas no
Processo de Ultrafiltração de Solutos Macomoleculares. Dissertação de Mestrado. Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Química. Porto Alegre, 2000.
FREIRE, A.P.S.; MENUT, P.P.M.; SU, J.Turbulência. Rio de Janeiro, ABCM, 2002.
GEKAS, V.; HALLSTRÖM, B. Mass Transfer in the membrane concentration polarization
layer under turbulent cross flow – Critical literature review and adaptation of existing
sherwood correlations to membrane operations. Journal of Membrane Science, v. 30, p. 153-
170, 1987.
GEKAS, V.; AIMAR, P.; LAFAILLE J.; SANCHEZ, V. A simulation study of the
adsorption-concentration polarisation interplay in protein ultrafiltration. Chemical
Engineering Science, v. 48, p. 2753-2765, 1993.
GÉSAN, G.; DAUFIN, G.; MERIN, U. Performance of whey crossflow microfiltration during
transient and stationary operating conditions. Journal of Membrane Science, v.104, p.271-
281, 1995.
GOODING, C.H.; ALEXANDER, W.K. A dynamic model for low-pressure, hollow-fiber
ultrafiltration. Aiche Journal, v. 31, p. 1728-1732, 1985.
HUISMAN, I.H.; TRÄGARDDH, C. Particle transport in crossflow microfiltration – I.Effects
of hydrodynamics and diffusion Chemical Engineering Science, v. 54, p. 271-280, 1999a.
7.BIBLIOGRAFIA
108
JÖNSSON, A.; JÖNSSON, B. Ultrafiltration of colloidal dispersions – A theoretical model of
the concentration polarization phenomena.Journal of Colloid and Interface Science, v. 180,
p. 504-518, 1996.
KARTHIK, V.; DASGUPTA, S.; DE, S. Modeling and simulation of osmotic pressure
controlled electro-ultrafiltration in a cross-flow system. Journal of Membrane Science,
v.199, p.29-40, 2002.
KOUTSOU, C.P, YIANTSIOS, S.G, KARABELAS, A.J. Numerical simulation of the flow in
a plane-channel containing a periodic array of cylindrical turbulence promoters. Journal of
Membrane Science, v.231, p.81-90, 2004.
KRSTIC, D.M.; TEKIC, M.N.; CARIC, M.D.; MILANOVIC, S.P. Static Turbulence
promoter in cross-flow microfiltration of skim milk. Desalination, v. 163, p.297-309, 2004.
KROMKAMP, J.; BASTIAANSE, A.; SWARTS, J.; BRANS, G.; van der SMAN, R.G.M,
BOOM, R.M. A suspension flow model for hydrodynamics and concentration polarisation in
crossflow microfiltration. Journal of Membrane Science, v.253, p.67-79, 2005.
LAMMINEN, M.O.; WALKER, W.W.; WEAVERS, L.K. Cleaning of particle-fouled
membranes during cross-flow filtration using an embedded ultrasonic transducer system.
Journal of Membrane Science, v.283, p.225-232, 2006.
LI, J.; HALLBAUER, D.K.; SANDERSON, D.R. Direct monitoring of membrane fouling and
cleaning during ultrafiltration using a non-invasive ultrasonic technique. Journal of
Membrane Science, v.215, p.33-52, 2003.
LIU, S.X.; PENG, M.; VANE, L.M. CFD modeling of pervaporative on mass transfer in the
boundary layer. Journal of Membrane Science, v. 59, p. 5853-5857, 2004.
LIU, S.X.; PENG, M.; VANE, L.M. CFD simulation of effect of baffle on mass transfer in a
slit-type pervaporation module. Journal of Membrane Science, v. 265, p. 124-136, 2005.
MACDONALD, R.A. Modelling macromolecular diffusion through a porous medium.
Journal of Membrane Science, v.68, p.93-106, 1992.
MALISKA, C.R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional –
Fundamentos e Coordenadas Generalizadas – Laboratório de Simulação Numérica em
Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor – SINMEC – Departamento de Engenharia
Mecânica, UFSC. LTC, 1995.
MULDER, M. Basic Principles of Membrane Technology, Klever Academic Publishers,
1996.
NAKAO, S.; KIMURA, S. Analysis of solutes rejection in ultrafiltration Journal of
Chemical Engineering of Japan, v. 14, p. 32-37, 1981.
7.BIBLIOGRAFIA
109
PERRY, R.H., GREEN D.H. Chemical Engineers Handbook, 7
th
Edition, McGraw-Hill, 1999.
PERSSON, K.M.; NILSSON, J.L. Fouling resistence models in MF and UF. Desalination,
v.80, p. 123-138, 1991.
RÄDER, S.A. Estudo Teórico-Experimental do Processo de Microfiltração de Partículas de
Sílica em Suspensão Aquosa. Dissertação de Mestrado. Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Química. Porto Alegre, 2003.
RAHIMI, M.; MADAENI, S.S.; ABBASI, K. CFD modeling of permeate flux in cross-flow
microfiltration membrane. Journal of Membrane Science, v.255, p.223-32, 2005.
ROMERO, C. A.; DAVIS, R. H., Global Model of Crossflow Microfiltration Based on
Hydrodynamic Particle Diffusion. Journal of Membrane Science, v.39, p. 157-185, 1988.
SCHLICHTING, H. Boundary Layer Theory.4
th
Edition, McGraw-Hill, 1960.
SECCHI, A.R.; WADA, K.; TESSARO, I.C. Simulation of an ultrafiltration process of bovine
serum albumin in hollow-fiber membranes. Journal of Membrane Science, v.160, p.255-
265, 1999.
SHAW, C.T. Using Computational Fluid Dynamics. Deptartament of Engineering. University
of Warwick – Prentice Hall – 1992.
TAKABA, H.; NAKAO, S. Computational fluid dynamics study on concentration polarization
in H
2
/CO separation membranes. Journal of Membrane Science, v. 249, p. 83-88, 2005.
TANDON, A.; GUPTA S.K.; AGARWAL, G.P. Modelling of protein transmission through
ultrafiltration membranes. Journal of Membrane Science, v. 97, p. 83-90, 1994.
TRETTIN, D.R. An investigation of mass transfer mechanisms in ultrafiltration. Doctor
Thesis. Lawrence University, 1980.
TRETTIN, D.R.; DOSHI, M.R. Limiting flux in ultrafiltration of macromolecular solutions.
Chemical Engineering Communications, v. 4, p. 507-522, 1980.
VAN DEN BERG, G.B. Concentration Polarization in ultrafiltration – models and
experiments. Doctor thesis.Universiteit Twente, 1988.
VLADISAVLJEVIC, G.T.; MILONJIC, S.K.; PAVASOVIC, V.L. Flux decline and gel
resistence in unstirred ultrafiltration of aluminium hydrous oxide sols. Journal of Colloid
and Interface Science, v.176, p.491-494, 1995.
7.BIBLIOGRAFIA
110
VLADISAVLJEVIC, G.T.; RAJKOVIC, M.B. The effect of concentration dependent
viscosity on permeate flux limitation in ultrafiltration. The Scientific Journal Facta
Universitatis, v.2, p.9-19, 1999.
WILEY D.E.; FLETCHER, D.F. Techniques for computational fluid dynamics modelling of
flow in membrane channels. Journal of Membrane Science, v.211, p.127-137, 2003.
ZHAO, Y.; XING W.; XU, N.; WONG F. Effects of inorganic salt on ceramic membrane
microfiltration of titanium dioxide suspension. Journal of Membrane Science, v. 254, p. 81-
88, 2005.
Apêndice
Resultados das Simulações
Este apêndice apresenta os resultados das simulações realizadas. A ordem seguida é a
mesma nos capítulos 4 e 5, ou seja: resultados de filme líquido descendente sem e com
transferência de massa, microfiltração tangencial de suspensão de sílica, microfiltração
tangencial com barreiras ao escoamento, ultrafiltração de BSA, e solução por similaridade. A
maior parte dos resultados vem seguida dos desvios percentuais em relação aos experimentos
ou soluções analíticas, calculados da seguinte forma:
desvio (%) = [ (solução analítica – simulação) / solução analítica)]
.
100 (A.1)
Para as simulações de microfiltração tangencial de sílica, ultrafiltração de BSA e
microfiltração com e sem barreiras, os desvios apresentados foram calculados trocando o
denominador da Equação (A.1) pelos respectivos dados experimentais. No caso das
simulações envolvendo barreiras trapezoidais, os desvios entre os resultados dos CFX e
aqueles obtidos nas simulações realizadas por RAHIMI et al. (2005) foram calculados
trocando-se o termo “solução analítica” da Equação (A.1) pelos resultados de simulação
obtidos por estes autores.
Tabela A.1: Perfil de velocidades no filme líquido descendente (próximo à parede, até y =
3,81
.
10
-5
), (Figura 5.1)
y (m)
Velocidade (m
.
s
-1
),
Simulação
Velocidade
(m
.
s
-1
)
Solução
Analítica
desvio
0 0 0 0
9,00E-09 1,38E-05 1,33E-05 -3,32
2,36E-07 3,53E-04 3,49E-04 -1,10
4,40E-07 6,82E-04 6,51E-04 -4,72
6,62E-07 9,71E-04 9,79E-04 0,79
9,68E-07 1,36E-03 1,43E-03 4,86
1,24E-06 1,71E-03 1,83E-03 6,77
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
112
1,51E-06 2,18E-03 2,23E-03 1,90
1,84E-06 2,75E-03 2,71E-03 -1,18
2,35E-06 3,59E-03 3,45E-03 -4,10
2,87E-06 4,51E-03 4,20E-03 -7,29
3,68E-06 5,90E-03 5,38E-03 -9,51
4,81E-06 7,66E-03 7,00E-03 -9,44
5,61E-06 8,76E-03 8,15E-03 -7,46
1,63E-05 2,31E-02 2,27E-02 -2,11
2,23E-05 3,04E-02 3,03E-02 -0,34
3,18E-05 4,16E-02 4,15E-02 -0,12
3,81E-05 4,83E-02 4,85E-02 0,35
4,53E-05 5,58E-02 5,58E-02 0,16
5,25E-05 6,23E-02 6,27E-02 0,55
6,08E-05 6,96E-02 6,98E-02 0,30
6,77E-05 7,47E-02 7,52E-02 0,66
7,72E-05 8,15E-02 8,17E-02 0,33
8,31E-05 8,48E-02 8,53E-02 0,60
9,33E-05 9,02E-02 9,05E-02 0,35
9,86E-05 9,23E-02 9,28E-02 0,50
1,07E-04 9,55E-02 9,58E-02 0,36
1,17E-04 9,77E-02 9,82E-02 0,55
1,23E-04 9,90E-02 9,93E-02 0,29
1,29E-04 9,93E-02 9,99E-02 0,58
1,35E-04 9,95E-02 1,00E-01 0,57
Tabela A.2: Perfil de concentração da difusão em filme líquido descendente (Figura 5.3)
y (m)
Concentração (kg
.
m
-3
)
Simulação
Concentração (kg
.
m
-3
)
Solução Analítica
Desvio
0 3,8526 3,8526 0
3,36E-07 3,8252 3,8317 0,17
3,74E-07 3,8223 3,8294 0,19
6,36E-07 3,7975 3,8131 0,41
1,12E-06 3,7644 3,783 0,49
1,46E-06 3,7372 3,7617 0,65
1,95E-06 3,6992 3,7312 0,86
2,40E-06 3,6619 3,7032 1,12
4,05E-06 3,5363 3,6008 1,79
4,93E-06 3,4683 3,5461 2,19
1,30E-05 2,8998 3,0478 4,86
2,46E-05 2,0932 2,339 10,51
4,18E-05 1,1173 1,3879 19,50
4,37E-05 1,0080 1,2942 22,11
4,46E-05 0,9706 1,2493 22,31
6,03E-05 0,4524 0,6193 26,96
6,78E-05 0,3068 0,4078 24,77
7,31E-05 0,2036 0,2906 29,93
7,62E-05 0,1740 0,2361 26,30
8,38E-05 0,0972 0,1323 26,56
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
113
9,69E-05 0,0428 0,0405 -5,61
1,01E-04 0,0271 0,0268 -1,10
1,03E-04 0,0250 0,0209 -19,75
1,19E-04 0,0062 0,0071 12,49
Tabela A.3: Valores de fluxo de permeado médio para cada teste de malha – microfiltração
de suspensão de sílica (Figura 5.4)
Teste Fluxo (L m
-2
h
-1
)
1 10,89
2 10,88
3 11,05
4 11,05
5 11,06
6 11,06
Tabela A.4: Valores de fluxo de permeado versus pressão transmembrana, experimentais e de
simulação, para velocidade de entrada igual a 0,16 m
.
s
-1
(Figura 5.5)
DP (Bar)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimento
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Simulação
desvios
0,5 14,45 11,00 23,88
1,50 35,65 33,05 7,29
2,0 47,35 44,07 6,93
2,5 60,40 55,10 7,98
3,5 82,30 77,14 6,27
Tabela A.5: Valores de fluxo de permeado versus pressão transmembrana, experimentais e de
simulação, para velocidade de entrada igual a 1,67 m
.
s
-1
(Figura 5.6)
DP (Bar)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimento
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Simulação
Desvios
0,5 16,45 11,38 30,82
1,5 37,50 34,63 7,65
2,0 51,75 46,27 10,58
2,5 64,55 57,90 10,30
3,5 85,00 81,16 4,52
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
114
Tabela A.6: Fluxo de permeado médio para cada teste de malha – microfiltração com e sem
barreiras (Figura 5.7)
Fluxo (L
.
m
-2.
h
-1
)
Teste
Sem barreiras Pequena barreira Grande barreira Barreiras opostas
1 349,80 519,69 329,69 325,97
2 348,02 519,68 329,69 325,96
3 347,67 519,71 329,71 325,99
4 348,82 519,72 329,71 325,99
5 348,29 519,70 329,70 325,98
6 347,73 519,70 329,71 325,98
Tabela A.7: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana para módulo sem barreira –
condição de interface (Figura 5.8)
Desvios
DP(kPa)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimental
Fluxo de
permeado (L
.
m
-
2.
h
-1
) Simulação
Artigo*
Fluxo de permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
) Simulação
- CFX
CFX-
Experimental
CFX -
Simulação
artigo*
45,5 326 341 349,80 -7,30 -2,58
62,5 542 457 503,60 7,08 -10,20
83,0 577 603 670,25 -16,16 -11,15
112,5 803 838 868,16 -8,11 -3,60
134 989 994 1037,90 -4,94 -4,42
*
RAHIMI et al (2005)
Tabela A.8: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana para módulo com pequena
barreira trapezoidal – condição de interface (Figura 5.9)
Desvios
DP(kPa)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimental
Fluxo de
permeado (L
.
m
-
2.
h
-1
) Simulação
artigo
Fluxo de permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
) Simulação
- CFX
CFX-
Experimental
CFX -
Simulação
artigo
69,75 525 529 529,10 -0,78 -0,02
82,5 604 616 665,78 -10,23 -8,08
112,3 834 842 891,39 -6,88 -5,87
132 972 995 1026,20 -5,58 -3,14
141,25 1048 1059 1124,61 -7,31 -6,20
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
115
Tabela A.9: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana para módulo com grande
barreira trapezoidal – condição de interface (Figura 5.10)
Desvios
DP(kPa)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimental
Fluxo de permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
) Simulação
artigo
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Simulação -
CFX
CFX-
Experimental
CFX -
Simulação
artigo
44,25 326 334 337,48 -3,52 -1,04
60,25 415 449 474,22 -14,27 -5,62
81,3 567 607 636,33 -12,23 -4,83
100,25 699 749 791,54 -13,24 -5,68
120,75 850 903 951,74 -11,97 -5,40
Tabela A.10: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana para módulo com barreiras
opostas – condição de interface (Figura 5.11)
Desvios
DP(kPa)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimental
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Simulação
artigo
Fluxo de
permeado (L
.
m
-
2.
h
-1
) Simulação
- CFX
CFX-
Experimental
CFX -
Simulação
artigo
43,75 320 328 283,19 11,50 13,66
65,25 482 489 423,24 12,19 13,45
87,8 653 659 566,33 13,27 14,06
109,75 818 825 707,93 13,46 14,19
131,75 973 991 849,52 12,69 14,28
155,5 1142 1174 996,60 12,73 15,11
Tabela A.11: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana para módulo sem barreira –
condição de contorno modificada (Figura 5.12)
Desvios
DP(kPa)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimental
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Simulação
artigo
Fluxo de permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
) Simulação -
CFX
CFX-
Experimental
CFX -
Simulação
artigo
45,5 326 341 339,02 -4,00 0,58
62,5 542 457 465,69 14,08 -1,90
83,0 577 603 618,42 -7,18 -2,56
112,5 803 838 838,21 -4,39 -0,03
134 989 994 998,42 -0,95 -0,44
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
116
Tabela A.12: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana para módulo com pequena
barreira trapezoidal – condição de contorno modificada (Figura 5.13)
Desvios
DP(kPa)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimental
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Simulação
artigo
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Simulação -
CFX
CFX-Experimental
CFX -
Simulação
artigo
69,75 525 529 529,10 -1,01 -1,76
82,5 604 616 665,78 -1,77 -0,21
112,3 834 842 891,39 -0,28 -0,67
132 972 995 1026,20 -1,18 -1,16
141,25 1048 1059 1124,61 -0,42 -0,62
Tabela A.13: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana para módulo com grande
barreira trapezoidal – condição de contorno modificada (Figura 5.14)
Desvios
DP(kPa)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimental
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Simulação
artigo
Fluxo de
permeado (L
.
m
-
2.
h
-1
) Simulação
- CFX
CFX-
Experimental
CFX -
Simulação
artigo
44,25 326 334 337,48 -1,14 -1,28
60,25 415 449 474,22 -8,18 -0,02
81,3 567 607 636,33 -6,77 -0,26
100,25 699 749 791,54 -6,86 -0,27
120,75 850 903 951,74 -5,85 -0,37
Tabela A.14: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana para módulo com barreiras
opostas – condição de contorno modificada (Figura 5.15)
Desvios
DP(kPa)
Fluxo de
permeado
(L
.
m
-2.
h
-1
)
Experimental
Fluxo de
permeado (L
.
m
-
2.
h
-1
) Simulação
artigo
Fluxo de
permeado (L
.
m
-
2.
h
-1
) Simulação
- CFX
CFX-
Experimental
CFX -
Simulação
artigo
43,75 320 328 283,19 -1,87 0,62
65,25 482 489 423,24 -2,41 0,95
87,8 653 659 566,33 -0,12 0,79
109,75 818 825 707,93 0,03 0,88
131,75 973 991 849,52 -0,89 0,95
155,5 1142 1174 996,60 -1,45 1,31
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
117
Tabela A.15: Fluxo de permeado para cada teste de malha – ultrafiltração de BSA (Figura
5.24)
Teste Fluxo (kg
.
m
-2.
s
-1
)
1 0,226
2 0,161
3 0,163
4 0,164
Tabela A.16: Fluxo de permeado versus pressão transmembrana na ultrafiltração
tangencial de BSA (Figura 5.25)
DP(kPa)
Fluxo permeado (kg
.
m
-2.
s
-1
)
Experimento
Fluxo
permeado
(kg
.
m
-2.
s
-1
)
Simulação
desvio
103,4
0,160 0,185
-15,63
137,9
0,210 0,224
-6,67
172,4
0,255 0,259
-1,57
206,8
0,305 0,299
1,97
241,3
0,440 0,418
5,00
275,8
0,415 0,388
6,51
310,3
0,410 0,378
7,80
Tabela A.17: Perfis de fração mássica de BSA em diferentes pressões transmembrana - I
(Figura 5.26)
x
103,4kPa 137,9kPa 172,4kPa
0,1 2,535E-04 2,538E-04 2,539E-04
0,15 2,538E-04 2,541E-04 2,543E-04
0,2 2,540E-04 2,545E-04 2,548E-04
0,25 2,543E-04 2,549E-04 2,553E-04
0,3 2,545E-04 2,551E-04 2,556E-04
0,35 2,547E-04 2,555E-04 2,559E-04
0,4 2,550E-04 2,558E-04 2,564E-04
0,45 2,553E-04 2,562E-04 2,569E-04
0,5 2,556E-04 2,565E-04 2,573E-04
0,55 2,558E-04 2,569E-04 2,577E-04
0,6 2,561E-04 2,572E-04 2,581E-04
0,65 2,564E-04 2,576E-04 2,586E-04
0,7 2,566E-04 2,579E-04 2,589E-04
0,75 2,569E-04 2,583E-04 2,594E-04
0,8 2,571E-04 2,586E-04 2,599E-04
0,85 2,574E-04 2,590E-04 2,603E-04
0,9 2,576E-04 2,593E-04 2,606E-04
0,95 2,579E-04 2,597E-04 2,610E-04
1 2,580E-04 2,598E-04 2,612E-04
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
118
Tabela A.18: Perfis de fração mássica de BSA em diferentes pressões transmembrana - II
(Figura 5.26)
x
206,8kPa 241,3 kPa 275,8kPa 310,3kPa
0,1
2,542E-04 2,551E-04 2,547E-04 2,546E-04
0,15
2,548E-04 2,554E-04 2,553E-04 2,555E-04
0,2
2,552E-04 2,563E-04 2,561E-04 2,560E-04
0,25
2,558E-04 2,571E-04 2,568E-04 2,568E-04
0,3
2,562E-04 2,576E-04 2,573E-04 2,573E-04
0,35
2,567E-04 2,584E-04 2,581E-04 2,580E-04
0,4
2,572E-04 2,591E-04 2,587E-04 2,586E-04
0,45
2,578E-04 2,599E-04 2,595E-04 2,594E-04
0,5
2,582E-04 2,605E-04 2,600E-04 2,599E-04
0,55
2,587E-04 2,612E-04 2,608E-04 2,607E-04
0,6
2,592E-04 2,621E-04 2,613E-04 2,612E-04
0,65
2,597E-04 2,627E-04 2,621E-04 2,620E-04
0,7
2,601E-04 2,632E-04 2,627E-04 2,625E-04
0,75
2,607E-04 2,641E-04 2,634E-04 2,633E-04
0,8
2,612E-04 2,648E-04 2,641E-04 2,639E-04
0,85
2,617E-04 2,656E-04 2,648E-04 2,647E-04
0,9
2,622E-04 2,662E-04 2,654E-04 2,653E-04
0,95
2,627E-04 2,670E-04 2,662E-04 2,660E-04
1
2,629E-04 2,672E-04 2,664E-04 2,662E-04
Tabela A.19: Perfis de fluxo de permeado para cada configuração de malha – ultrafiltração
bidimensional de BSA – I (Figura 5.27)
x
2880 hexaedros 3840 hexaedros 4800 hexaedros
0,1 1,7747E-04 1,7851E-04 1,7884E-04
0,15 1,5672E-04 1,5724E-04 1,5740E-04
0,2 1,4368E-04 1,4397E-04 1,4403E-04
0,25 1,3452E-04 1,3464E-04 1,3465E-04
0,3 1,2761E-04 1,2762E-04 1,2760E-04
0,35 1,2215E-04 1,2209E-04 1,2205E-04
0,4 1,1768E-04 1,1758E-04 1,1754E-04
0,45 1,1392E-04 1,1382E-04 1,1377E-04
0,5 1,1069E-04 1,1059E-04 1,1056E-04
0,55 1,0787E-04 1,0779E-04 1,0776E-04
0,6 1,0537E-04 1,0530E-04 1,0499E-04
0,65 1,0312E-04 1,0307E-04 1,0305E-04
0,7 1,0108E-04 1,0105E-04 1,0103E-04
0,75 9,9211E-05 9,9187E-05 9,9175E-05
0,8 9,7482E-05 9,7469E-05 9,7466E-05
0,85 9,5872E-05 9,5874E-05 9,5879E-05
0,9 9,4366E-05 9,4382E-05 9,4397E-05
0,95 9,2952E-05 9,2984E-05 9,3010E-05
1 9,1792E-05 9,1850E-05 9,1895E-05
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
119
Tabela A.20: Perfis de fluxo de permeado para cada configuração de malha – ultrafiltração
bidimensional de BSA – II (Figura 5.27)
x
6720 hexaedros 8640 hexaedros 9600 hexaedros
0,1
1,7903E-04 1,7909E-04 1,6358E-04
0,15
1,5748E-04 1,5749E-04 1,4626E-04
0,2
1,4405E-04 1,4404E-04 1,3489E-04
0,25
1,3463E-04 1,3462E-04 1,2671E-04
0,3
1,2756E-04 1,2754E-04 1,2047E-04
0,35
1,2200E-04 1,2199E-04 1,1553E-04
0,4
1,1749E-04 1,1748E-04 1,1147E-04
0,45
1,1373E-04 1,1371E-04 1,0808E-04
0,5
1,1051E-04 1,1050E-04 1,0518E-04
0,55
1,0772E-04 1,0771E-04 1,0266E-04
0,6
1,0525E-04 1,0524E-04 1,0045E-04
0,65
1,0302E-04 1,0302E-04 9,8490E-05
0,7
1,0100E-04 1,0100E-04 9,6752E-05
0,75
9,9149E-05 9,9148E-05 9,5201E-05
0,8
9,7434E-05 9,7433E-05 9,3813E-05
0,85
9,5837E-05 9,5833E-05 9,2575E-05
0,9
9,4341E-05 9,4332E-05 9,1467E-05
0,95
9,2936E-05 9,2917E-05 9,0476E-05
1
9,1815E-05 9,1790E-05 8,9616E-05
Tabela A.21: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 20f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica (Figura 5.28)
x
Fluxo permeado
(m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica
desvio
0,10 1,5697E-04 2,1075E-04 25,52
0,15 1,4035E-04 1,8411E-04 23,77
0,20 1,2944E-04 1,6727E-04 22,62
0,25 1,2159E-04 1,5528E-04 21,70
0,30 1,1561E-04 1,4612E-04 20,88
0,35 1,1087E-04 1,3881E-04 20,13
0,40 1,0701E-04 1,3276E-04 19,40
0,45 1,0380E-04 1,2765E-04 18,69
0,50 1,0109E-04 1,2325E-04 17,98
0,55 9,8783E-05 1,1939E-04 17,26
0,60 9,6807E-05 1,1598E-04 16,53
0,65 9,5116E-05 1,1293E-04 15,77
0,70 9,3668E-05 1,1017E-04 14,98
0,75 9,2427E-05 1,0767E-04 14,15
0,80 9,1364E-05 1,0537E-04 13,30
0,85 9,0460E-05 1,0327E-04 12,40
0,90 8,9688E-05 1,0132E-04 11,48
0,95 8,9031E-05 9,9508E-05 10,53
1,00 8,8487E-05 9,7821E-05 9,54
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
120
Tabela A.22: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 40f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica (Figura 5.28)
x
Fluxo permeado
(m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica
desvio
0,10
1,6110E-04
2,1075E-04
23,56
0,15
1,4405E-04
1,8411E-04
21,76
0,20
1,3284E-04
1,6727E-04
20,58
0,25
1,2479E-04
1,5528E-04
19,64
0,30
1,1865E-04
1,4612E-04
18,80
0,35
1,1378E-04
1,3881E-04
18,03
0,40
1,0979E-04
1,3276E-04
17,30
0,45
1,0646E-04
1,2765E-04
16,60
0,50
1,0363E-04
1,2325E-04
15,92
0,55
1,0118E-04
1,1939E-04
15,25
0,60
9,9052E-05
1,1598E-04
14,60
0,65
9,7189E-05
1,1293E-04
13,94
0,70
9,5553E-05
1,1017E-04
13,27
0,75
9,4114E-05
1,0767E-04
12,59
0,80
9,2846E-05
1,0537E-04
11,89
0,85
9,1733E-05
1,0327E-04
11,17
0,90
9,0754E-05
1,0132E-04
10,43
0,95
8,9892E-05
9,9508E-05
9,66
1,00
8,9157E-05
9,7821E-05
8,86
Tabela A.23: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 60f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica (Figura 5.28)
x
Fluxo permeado
(m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica
desvio
0,10
1,6248E-04
2,1075E-04
22,90
0,15
1,4528E-04
1,8411E-04
21,09
0,20
1,3398E-04
1,6727E-04
19,90
0,25
1,2586E-04
1,5528E-04
18,95
0,30
1,1966E-04
1,4612E-04
18,11
0,35
1,1475E-04
1,3881E-04
17,33
0,40
1,1073E-04
1,3276E-04
16,60
0,45
1,0736E-04
1,2765E-04
15,90
0,50
1,0449E-04
1,2325E-04
15,22
0,55
1,0200E-04
1,1939E-04
14,57
0,60
9,9824E-05
1,1598E-04
13,93
0,65
9,7910E-05
1,1293E-04
13,30
0,70
9,6219E-05
1,1017E-04
12,66
0,75
9,4718E-05
1,0767E-04
12,03
0,80
9,3385E-05
1,0537E-04
11,38
0,85
9,2205E-05
1,0327E-04
10,71
0,90
9,1156E-05
1,0132E-04
10,03
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
121
0,95
9,0226E-05
9,9508E-05
9,33
1,00
8,9425E-05
9,7821E-05
8,58
Tabela A.24: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 80f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica (Figura 5.28)
x
Fluxo permeado
(m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica
desvio
0,10
1,6317E-04
2,1075E-04
22,58
0,15
1,4590E-04
1,8411E-04
20,75
0,20
1,3455E-04
1,6727E-04
19,56
0,25
1,2639E-04
1,5528E-04
18,61
0,30
1,2017E-04
1,4612E-04
17,76
0,35
1,1523E-04
1,3881E-04
16,98
0,40
1,1119E-04
1,3276E-04
16,25
0,45
1,0781E-04
1,2765E-04
15,54
0,50
1,0492E-04
1,2325E-04
14,87
0,55
1,0241E-04
1,1939E-04
14,22
0,60
1,0022E-04
1,1598E-04
13,59
0,65
9,8280E-05
1,1293E-04
12,97
0,70
9,6563E-05
1,1017E-04
12,35
0,75
9,5034E-05
1,0767E-04
11,73
0,80
9,3671E-05
1,0537E-04
11,11
0,85
9,2460E-05
1,0327E-04
10,46
0,90
9,1379E-05
1,0132E-04
9,81
0,95
9,0416E-05
9,9508E-05
9,14
1,00
8,9584E-05
9,7821E-05
8,42
Tabela A.25: Fluxo permeado em função do comprimento do canal (f
w
= 100f
B
) –
microfiltração de suspensão de sílica (Figura 5.28)
x
Fluxo permeado
(m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica
desvio
0,10
1,6358E-04
2,1075E-04
22,38
0,15
1,4626E-04
1,8411E-04
20,56
0,20
1,3489E-04
1,6727E-04
19,36
0,25
1,2671E-04
1,5528E-04
18,40
0,30
1,2047E-04
1,4612E-04
17,56
0,35
1,1553E-04
1,3881E-04
16,77
0,40
1,1147E-04
1,3276E-04
16,04
0,45
1,0808E-04
1,2765E-04
15,33
0,50
1,0518E-04
1,2325E-04
14,66
0,55
1,0266E-04
1,1939E-04
14,01
0,60
1,0045E-04
1,1598E-04
13,39
0,65
9,8490E-05
1,1293E-04
12,78
0,70
9,6752E-05
1,1017E-04
12,18
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
122
0,75
9,5201E-05
1,0767E-04
11,58
0,80
9,3813E-05
1,0537E-04
10,97
0,85
9,2575E-05
1,0327E-04
10,35
0,90
9,1467E-05
1,0132E-04
9,72
0,95
9,0476E-05
9,9508E-05
9,08
1,00
8,9616E-05
9,7821E-05
8,39
Tabela A.26: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
= 0,00504
(Figura 5.29)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,00504
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,00504
desvio
0 5,0390E-03 5,0400E-03
0,02
0,03 4,9200E-03 4,8821E-03
-0,78
0,06 4,8009E-03 4,6792E-03
-2,60
0,09 4,6819E-03 4,5325E-03
-3,30
0,11 4,5629E-03 4,3905E-03
-3,93
0,15 4,4439E-03 4,2080E-03
-5,60
0,17 4,3248E-03 4,0762E-03
-6,10
0,20 4,2058E-03 3,9485E-03
-6,52
0,23 4,0868E-03 3,7844E-03
-7,99
0,26 3,9677E-03 3,6658E-03
-8,24
0,28 3,8508E-03 3,5509E-03
-8,45
0,32 3,7355E-03 3,4033E-03
-9,76
0,35 3,6203E-03 3,2967E-03
-9,82
0,37 3,5051E-03 3,1934E-03
-9,76
0,41 3,3898E-03 3,0607E-03
-10,75
0,43 3,2746E-03 2,9648E-03
-10,45
0,47 3,1594E-03 2,8415E-03
-11,19
0,49 3,0441E-03 2,7525E-03
-10,59
0,52 2,9289E-03 2,6662E-03
-9,85
0,55 2,8148E-03 2,5554E-03
-10,15
0,58 2,7124E-03 2,4754E-03
-9,58
0,60 2,6100E-03 2,3978E-03
-8,85
0,64 2,5077E-03 2,2981E-03
-9,12
0,66 2,4053E-03 2,2261E-03
-8,05
0,69 2,3029E-03 2,1564E-03
-6,80
0,73 2,2005E-03 2,0668E-03
-6,47
0,75 2,0981E-03 2,0020E-03
-4,80
0,78 1,9958E-03 1,9393E-03
-2,92
0,81 1,8934E-03 1,8587E-03
-1,87
0,84 1,8058E-03 1,8004E-03
-0,30
0,86 1,7267E-03 1,7440E-03
0,99
0,90 1,6477E-03 1,6715E-03
1,42
0,92 1,5687E-03 1,6191E-03
3,12
0,95 1,4897E-03 1,5684E-03
5,02
0,98 1,4106E-03 1,5032E-03
6,16
1,01 1,3316E-03 1,4561E-03
8,55
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
123
Tabela A.27: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
= 0,01008
(Figura 5.29)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,01008
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,01008
desvio
0 1,0078E-02 1,0080E-02 0,02
0,03 9,8338E-03 9,7641E-03 -0,71
0,06 9,5896E-03 9,3583E-03 -2,47
0,09 9,3454E-03 9,0651E-03 -3,09
0,11 9,1013E-03 8,7810E-03 -3,65
0,15 8,8571E-03 8,4161E-03 -5,24
0,17 8,6129E-03 8,1524E-03 -5,65
0,20 8,3687E-03 7,8969E-03 -5,97
0,23 8,1246E-03 7,5687E-03 -7,34
0,26 7,8804E-03 7,3315E-03 -7,49
0,28 7,6404E-03 7,1018E-03 -7,58
0,32 7,4038E-03 6,8067E-03 -8,77
0,35 7,1673E-03 6,5934E-03 -8,70
0,37 6,9308E-03 6,3868E-03 -8,52
0,41 6,6943E-03 6,1213E-03 -9,36
0,43 6,4577E-03 5,9295E-03 -8,91
0,47 6,2212E-03 5,6831E-03 -9,47
0,49 5,9847E-03 5,5050E-03 -8,71
0,52 5,7481E-03 5,3325E-03 -7,79
0,55 5,5139E-03 5,1109E-03 -7,89
0,58 5,3037E-03 4,9507E-03 -7,13
0,60 5,0935E-03 4,7956E-03 -6,21
0,64 4,8833E-03 4,5963E-03 -6,24
0,66 4,6731E-03 4,4523E-03 -4,96
0,69 4,4629E-03 4,3127E-03 -3,48
0,73 4,2526E-03 4,1335E-03 -2,88
0,75 4,0424E-03 4,0040E-03 -0,96
0,78 3,8322E-03 3,8785E-03 1,19
0,81 3,6220E-03 3,7173E-03 2,56
0,84 3,4421E-03 3,6008E-03 4,41
0,86 3,2798E-03 3,4880E-03 5,97
0,90 3,1175E-03 3,3430E-03 6,75
0,92 2,9553E-03 3,2383E-03 8,74
0,95 2,7930E-03 3,1368E-03 10,96
0,98 2,6308E-03 3,0064E-03 12,49
1,01 2,4685E-03 2,9122E-03 15,24
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
124
Tabela A.28: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
= 0,01512
(Figura 5.29)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,0512
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,0512
desvio
0 1,5117E-02 1,5120E-02 0,02
0,03 1,4748E-02 1,4646E-02 -0,69
0,06 1,4378E-02 1,4038E-02 -2,43
0,09 1,4009E-02 1,3598E-02 -3,03
0,11 1,3640E-02 1,3172E-02 -3,56
0,15 1,3270E-02 1,2624E-02 -5,12
0,17 1,2901E-02 1,2229E-02 -5,50
0,20 1,2531E-02 1,1845E-02 -5,79
0,23 1,2162E-02 1,1353E-02 -7,13
0,26 1,1793E-02 1,0997E-02 -7,24
0,28 1,1430E-02 1,0653E-02 -7,30
0,32 1,1072E-02 1,0210E-02 -8,44
0,35 1,0714E-02 9,8900E-03 -8,33
0,37 1,0356E-02 9,5801E-03 -8,10
0,41 9,9984E-03 9,1820E-03 -8,89
0,43 9,6406E-03 8,8943E-03 -8,39
0,47 9,2828E-03 8,5246E-03 -8,89
0,49 8,9250E-03 8,2575E-03 -8,08
0,52 8,5672E-03 7,9987E-03 -7,11
0,55 8,2128E-03 7,6663E-03 -7,13
0,58 7,8948E-03 7,4261E-03 -6,31
0,60 7,5767E-03 7,1934E-03 -5,33
0,64 7,2587E-03 6,8944E-03 -5,28
0,66 6,9407E-03 6,6784E-03 -3,93
0,69 6,6226E-03 6,4691E-03 -2,37
0,73 6,3046E-03 6,2003E-03 -1,68
0,75 5,9866E-03 6,0060E-03 0,32
0,78 5,6685E-03 5,8178E-03 2,57
0,81 5,3505E-03 5,5760E-03 4,04
0,84 5,0782E-03 5,4013E-03 5,98
0,86 4,8328E-03 5,2320E-03 7,63
0,90 4,5873E-03 5,0146E-03 8,52
0,92 4,3418E-03 4,8574E-03 10,62
0,95 4,0963E-03 4,7052E-03 12,94
0,98 3,8508E-03 4,5097E-03 14,61
1,01 3,6053E-03 4,3684E-03 17,47
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
125
Tabela A.29: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
= 0,02016
(Figura 5.29)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,02016
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
) Solução
Analítica: 0,02016
desvio
0 2,0156E-02 2,0160E-02 0,02
0,03 1,9661E-02 1,9685E-02 0,12
0,06 1,9167E-02 1,9070E-02 -0,51
0,09 1,8672E-02 1,8620E-02 -0,28
0,11 1,8178E-02 1,8182E-02 0,02
0,15 1,7683E-02 1,7613E-02 -0,40
0,17 1,7189E-02 1,7199E-02 0,06
0,20 1,6694E-02 1,6793E-02 0,59
0,23 1,6200E-02 1,6268E-02 0,42
0,26 1,5705E-02 1,5885E-02 1,13
0,28 1,5219E-02 1,5511E-02 1,88
0,32 1,4740E-02 1,5026E-02 1,90
0,35 1,4261E-02 1,4672E-02 2,80
0,37 1,3782E-02 1,4327E-02 3,80
0,41 1,3303E-02 1,3878E-02 4,15
0,43 1,2823E-02 1,3552E-02 5,38
0,47 1,2344E-02 1,3128E-02 5,97
0,49 1,1865E-02 1,2819E-02 7,44
0,52 1,1386E-02 1,2517E-02 9,03
0,55 1,0912E-02 1,2125E-02 10,01
0,58 1,0486E-02 1,1840E-02 11,43
0,60 1,0060E-02 1,1561E-02 12,98
0,64 9,6340E-03 1,1199E-02 13,98
0,66 9,2082E-03 1,0936E-02 15,80
0,69 8,7823E-03 1,0678E-02 17,75
0,73 8,3565E-03 1,0344E-02 19,21
0,75 7,9306E-03 1,0100E-02 21,48
0,78 7,5047E-03 9,8626E-03 23,91
0,81 7,0789E-03 9,5542E-03 25,91
0,84 6,7144E-03 9,3292E-03 28,03
0,86 6,3857E-03 9,1095E-03 29,90
0,90 6,0570E-03 8,8246E-03 31,36
0,92 5,7282E-03 8,6167E-03 33,52
0,95 5,3995E-03 8,4138E-03 35,83
0,98 5,0708E-03 8,1507E-03 37,79
1,01 4,7421E-03 7,9587E-03 40,42
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
126
Tabela A.30: Perfis de fração mássica na metade do canal retangular para f
w
= 0,0252
(Figura 5.29)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,0252
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,0252
desvio
0 2,5195E-02 2,5200E-02 0,02
0,03 2,4575E-02 2,4607E-02 0,13
0,06 2,3955E-02 2,3837E-02 -0,50
0,09 2,3336E-02 2,3276E-02 -0,26
0,11 2,2716E-02 2,2727E-02 0,05
0,15 2,2096E-02 2,2017E-02 -0,36
0,17 2,1477E-02 2,1498E-02 0,10
0,20 2,0857E-02 2,0992E-02 0,64
0,23 2,0237E-02 2,0335E-02 0,48
0,26 1,9618E-02 1,9856E-02 1,20
0,28 1,9008E-02 1,9389E-02 1,96
0,32 1,8408E-02 1,8782E-02 1,99
0,35 1,7808E-02 1,8340E-02 2,90
0,37 1,7207E-02 1,7908E-02 3,92
0,41 1,6607E-02 1,7348E-02 4,27
0,43 1,6006E-02 1,6940E-02 5,51
0,47 1,5406E-02 1,6410E-02 6,12
0,49 1,4805E-02 1,6023E-02 7,60
0,52 1,4205E-02 1,5646E-02 9,21
0,55 1,3610E-02 1,5157E-02 10,20
0,58 1,3077E-02 1,4800E-02 11,64
0,60 1,2543E-02 1,4451E-02 13,20
0,64 1,2009E-02 1,3999E-02 14,22
0,66 1,1476E-02 1,3669E-02 16,05
0,69 1,0942E-02 1,3348E-02 18,02
0,73 1,0408E-02 1,2930E-02 19,51
0,75 9,8747E-03 1,2626E-02 21,79
0,78 9,3410E-03 1,2328E-02 24,23
0,81 8,8073E-03 1,1943E-02 26,25
0,84 8,3505E-03 1,1661E-02 28,39
0,86 7,9386E-03 1,1387E-02 30,28
0,90 7,5267E-03 1,1031E-02 31,77
0,92 7,1147E-03 1,0771E-02 33,95
0,95 6,7028E-03 1,0517E-02 36,27
0,98 6,2909E-03 1,0188E-02 38,25
1,01 5,8789E-03 9,9484E-03 40,91
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
127
Tabela A.31: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
= 0,00504 (Figura
5.30)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,00504
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,00504
desvio
0 5,0394E-03 5,0400E-03 0,01
0,02 4,9382E-03 4,9142E-03 -0,49
0,05 4,8369E-03 4,7514E-03 -1,80
0,07 4,7357E-03 4,6329E-03 -2,22
0,09 4,6345E-03 4,5173E-03 -2,60
0,12 4,5332E-03 4,3676E-03 -3,79
0,14 4,4320E-03 4,2586E-03 -4,07
0,16 4,3308E-03 4,1524E-03 -4,30
0,19 4,2295E-03 4,0148E-03 -5,35
0,21 4,1283E-03 3,9146E-03 -5,46
0,23 4,0294E-03 3,8169E-03 -5,57
0,25 3,9323E-03 3,6905E-03 -6,55
0,27 3,8353E-03 3,5984E-03 -6,58
0,29 3,7383E-03 3,5086E-03 -6,55
0,32 3,6413E-03 3,3924E-03 -7,34
0,34 3,5442E-03 3,3077E-03 -7,15
0,37 3,4472E-03 3,1981E-03 -7,79
0,39 3,3502E-03 3,1183E-03 -7,44
0,41 3,2532E-03 3,0405E-03 -6,99
0,44 3,1569E-03 2,9398E-03 -7,39
0,46 3,0687E-03 2,8664E-03 -7,06
0,48 2,9804E-03 2,7949E-03 -6,64
0,51 2,8922E-03 2,7023E-03 -7,03
0,53 2,8040E-03 2,6349E-03 -6,42
0,55 2,7157E-03 2,5691E-03 -5,70
0,58 2,6275E-03 2,4840E-03 -5,78
0,60 2,5393E-03 2,4220E-03 -4,84
0,62 2,4510E-03 2,3616E-03 -3,79
0,64 2,3628E-03 2,2834E-03 -3,48
0,66 2,2829E-03 2,2264E-03 -2,54
0,69 2,2079E-03 2,1708E-03 -1,71
0,71 2,1328E-03 2,0989E-03 -1,61
0,73 2,0578E-03 2,0465E-03 -0,55
0,75 1,9827E-03 1,9955E-03 0,64
0,78 1,9076E-03 1,9294E-03 1,13
0,80 1,8326E-03 1,8812E-03 2,58
0,82 1,7575E-03 1,8343E-03 4,19
0,85 1,6825E-03 1,7735E-03 5,13
0,87 1,6103E-03 1,7293E-03 6,88
0,89 1,5519E-03 1,6861E-03 7,96
0,92 1,4934E-03 1,6302E-03 8,39
0,94 1,4349E-03 1,5896E-03 9,73
0,96 1,3764E-03 1,5499E-03 11,19
0,99 1,3179E-03 1,4986E-03 12,06
1,01 1,2594E-03 1,4612E-03 13,81
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
128
Tabela A.32: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
= 0,01008 (Figura
5.30)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,01008
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,001008
desvio
0 1,0079E-02 1,0080E-02 0,01
0,02 9,8749E-03 9,8285E-03 -0,47
0,05 9,6710E-03 9,5029E-03 -1,77
0,07 9,4671E-03 9,2657E-03 -2,17
0,09 9,2632E-03 9,0345E-03 -2,53
0,12 9,0594E-03 8,7352E-03 -3,71
0,14 8,8555E-03 8,5173E-03 -3,97
0,16 8,6516E-03 8,3047E-03 -4,18
0,19 8,4477E-03 8,0296E-03 -5,21
0,21 8,2438E-03 7,8292E-03 -5,30
0,23 8,0437E-03 7,6339E-03 -5,37
0,25 7,8467E-03 7,3810E-03 -6,31
0,27 7,6498E-03 7,1968E-03 -6,29
0,29 7,4528E-03 7,0172E-03 -6,21
0,32 7,2559E-03 6,7847E-03 -6,94
0,34 7,0589E-03 6,6154E-03 -6,70
0,37 6,8619E-03 6,3963E-03 -7,28
0,39 6,6650E-03 6,2367E-03 -6,87
0,41 6,4680E-03 6,0810E-03 -6,36
0,44 6,2724E-03 5,8796E-03 -6,68
0,46 6,0913E-03 5,7329E-03 -6,25
0,48 5,9102E-03 5,5898E-03 -5,73
0,51 5,7291E-03 5,4046E-03 -6,00
0,53 5,5480E-03 5,2698E-03 -5,28
0,55 5,3668E-03 5,1383E-03 -4,45
0,58 5,1857E-03 4,9680E-03 -4,38
0,60 5,0046E-03 4,8441E-03 -3,31
0,62 4,8235E-03 4,7232E-03 -2,12
0,64 4,6423E-03 4,5667E-03 -1,65
0,66 4,4773E-03 4,4528E-03 -0,55
0,69 4,3217E-03 4,3417E-03 0,46
0,71 4,1662E-03 4,1978E-03 0,75
0,73 4,0106E-03 4,0931E-03 2,02
0,75 3,8550E-03 3,9910E-03 3,41
0,78 3,6994E-03 3,8587E-03 4,13
0,80 3,5438E-03 3,7624E-03 5,81
0,82 3,3882E-03 3,6686E-03 7,64
0,85 3,2326E-03 3,5470E-03 8,86
0,87 3,0829E-03 3,4585E-03 10,86
0,89 2,9609E-03 3,3722E-03 12,20
0,92 2,8390E-03 3,2605E-03 12,93
0,94 2,7170E-03 3,1791E-03 14,54
0,96 2,5951E-03 3,0998E-03 16,28
0,99 2,4731E-03 2,9971E-03 17,48
1,01 2,3512E-03 2,9223E-03 19,54
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
129
Tabela A.33: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
= 0,01512 (Figura
5.30)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,01512
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,01512
desvio
0 1,5118E-02 1,5120E-02 0,01
0,02 1,4811E-02 1,4743E-02 -0,46
0,05 1,4505E-02 1,4254E-02 -1,76
0,07 1,4198E-02 1,3899E-02 -2,15
0,09 1,3891E-02 1,3552E-02 -2,50
0,12 1,3585E-02 1,3103E-02 -3,68
0,14 1,3278E-02 1,2776E-02 -3,93
0,16 1,2971E-02 1,2457E-02 -4,13
0,19 1,2665E-02 1,2044E-02 -5,15
0,21 1,2358E-02 1,1744E-02 -5,23
0,23 1,2056E-02 1,1451E-02 -5,29
0,25 1,1759E-02 1,1071E-02 -6,21
0,27 1,1462E-02 1,0795E-02 -6,18
0,29 1,1165E-02 1,0526E-02 -6,07
0,32 1,0868E-02 1,0177E-02 -6,79
0,34 1,0571E-02 9,9232E-03 -6,53
0,37 1,0274E-02 9,5944E-03 -7,08
0,39 9,9773E-03 9,3550E-03 -6,65
0,41 9,6802E-03 9,1216E-03 -6,12
0,44 9,3852E-03 8,8194E-03 -6,42
0,46 9,1112E-03 8,5993E-03 -5,95
0,48 8,8371E-03 8,3847E-03 -5,40
0,51 8,5630E-03 8,1069E-03 -5,63
0,53 8,2890E-03 7,9047E-03 -4,86
0,55 8,0149E-03 7,7074E-03 -3,99
0,58 7,7408E-03 7,4521E-03 -3,87
0,60 7,4668E-03 7,2661E-03 -2,76
0,62 7,1927E-03 7,0848E-03 -1,52
0,64 6,9186E-03 6,8501E-03 -1,00
0,66 6,6685E-03 6,6792E-03 0,16
0,69 6,4324E-03 6,5125E-03 1,23
0,71 6,1963E-03 6,2967E-03 1,60
0,73 5,9602E-03 6,1396E-03 2,92
0,75 5,7241E-03 5,9864E-03 4,38
0,78 5,4880E-03 5,7881E-03 5,18
0,80 5,2519E-03 5,6437E-03 6,94
0,82 5,0158E-03 5,5028E-03 8,85
0,85 4,7797E-03 5,3205E-03 10,16
0,87 4,5525E-03 5,1878E-03 12,25
0,89 4,3672E-03 5,0583E-03 13,66
0,92 4,1818E-03 4,8907E-03 14,50
0,94 3,9965E-03 4,7687E-03 16,19
0,96 3,8112E-03 4,6497E-03 18,03
0,99 3,6259E-03 4,4957E-03 19,35
1,01 3,4406E-03 4,3835E-03 21,51
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
130
Tabela A.34: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
= 0,02016 (Figura
5.30)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,02016
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,02016
desvio
0 2,0158E-02 2,0160E-02 0,01
0,02 1,9748E-02 1,9657E-02 -0,46
0,05 1,9338E-02 1,9006E-02 -1,75
0,07 1,8929E-02 1,8531E-02 -2,15
0,09 1,8519E-02 1,8069E-02 -2,49
0,12 1,8109E-02 1,7470E-02 -3,66
0,14 1,7700E-02 1,7035E-02 -3,91
0,16 1,7290E-02 1,6609E-02 -4,10
0,19 1,6881E-02 1,6059E-02 -5,12
0,21 1,6471E-02 1,5658E-02 -5,19
0,23 1,6068E-02 1,5268E-02 -5,24
0,25 1,5671E-02 1,4762E-02 -6,16
0,27 1,5274E-02 1,4394E-02 -6,12
0,29 1,4877E-02 1,4034E-02 -6,00
0,32 1,4479E-02 1,3569E-02 -6,70
0,34 1,4082E-02 1,3231E-02 -6,43
0,37 1,3685E-02 1,2793E-02 -6,98
0,39 1,3288E-02 1,2473E-02 -6,53
0,41 1,2891E-02 1,2162E-02 -5,99
0,44 1,2496E-02 1,1759E-02 -6,27
0,46 1,2129E-02 1,1466E-02 -5,78
0,48 1,1762E-02 1,1180E-02 -5,21
0,51 1,1395E-02 1,0809E-02 -5,42
0,53 1,1028E-02 1,0540E-02 -4,63
0,55 1,0661E-02 1,0277E-02 -3,74
0,58 1,0294E-02 9,9361E-03 -3,60
0,60 9,9270E-03 9,6882E-03 -2,47
0,62 9,5600E-03 9,4464E-03 -1,20
0,64 9,1930E-03 9,1335E-03 -0,65
0,66 8,8578E-03 8,9056E-03 0,54
0,69 8,5412E-03 8,6833E-03 1,64
0,71 8,2247E-03 8,3957E-03 2,04
0,73 7,9081E-03 8,1862E-03 3,40
0,75 7,5915E-03 7,9819E-03 4,89
0,78 7,2749E-03 7,7175E-03 5,73
0,80 6,9584E-03 7,5249E-03 7,53
0,82 6,6418E-03 7,3371E-03 9,48
0,85 6,3252E-03 7,0940E-03 10,84
0,87 6,0206E-03 6,9170E-03 12,96
0,89 5,7719E-03 6,7444E-03 14,42
0,92 5,5233E-03 6,5210E-03 15,30
0,94 5,2747E-03 6,3583E-03 17,04
0,96 5,0261E-03 6,1996E-03 18,93
0,99 4,7775E-03 5,9942E-03 20,30
1,01 4,5288E-03 5,8447E-03 22,51
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
131
Tabela A.35: Perfis de fração mássica na saída do canal retangular para f
w
= 0,0252 (Figura
5.30)
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação: 0,0252
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica: 0,0252
desvio
0 2,5197E-02 2,5200E-02 0,01
0,02 2,4685E-02 2,4728E-02 0,17
0,05 2,4173E-02 2,4112E-02 -0,25
0,07 2,3660E-02 2,3660E-02 0,00
0,09 2,3148E-02 2,3217E-02 0,30
0,12 2,2636E-02 2,2639E-02 0,01
0,14 2,2124E-02 2,2214E-02 0,41
0,16 2,1612E-02 2,1798E-02 0,85
0,19 2,1099E-02 2,1255E-02 0,74
0,21 2,0587E-02 2,0857E-02 1,29
0,23 2,0083E-02 2,0466E-02 1,87
0,25 1,9586E-02 1,9957E-02 1,86
0,27 1,9089E-02 1,9583E-02 2,52
0,29 1,8592E-02 1,9216E-02 3,25
0,32 1,8095E-02 1,8737E-02 3,43
0,34 1,7598E-02 1,8386E-02 4,29
0,37 1,7101E-02 1,7928E-02 4,61
0,39 1,6603E-02 1,7592E-02 5,62
0,41 1,6106E-02 1,7263E-02 6,70
0,44 1,5612E-02 1,6833E-02 7,25
0,46 1,5152E-02 1,6517E-02 8,27
0,48 1,4692E-02 1,6208E-02 9,35
0,51 1,4232E-02 1,5804E-02 9,95
0,53 1,3772E-02 1,5508E-02 11,19
0,55 1,3312E-02 1,5217E-02 12,52
0,58 1,2852E-02 1,4838E-02 13,39
0,60 1,2392E-02 1,4560E-02 14,89
0,62 1,1932E-02 1,4288E-02 16,49
0,64 1,1472E-02 1,3932E-02 17,66
0,66 1,1052E-02 1,3671E-02 19,16
0,69 1,0655E-02 1,3415E-02 20,57
0,71 1,0258E-02 1,3080E-02 21,58
0,73 9,8605E-03 1,2835E-02 23,18
0,75 9,4633E-03 1,2595E-02 24,86
0,78 9,0661E-03 1,2281E-02 26,18
0,80 8,6689E-03 1,2051E-02 28,07
0,82 8,2717E-03 1,1825E-02 30,05
0,85 7,8745E-03 1,1531E-02 31,71
0,87 7,4922E-03 1,1315E-02 33,78
0,89 7,1801E-03 1,1103E-02 35,33
0,92 6,8680E-03 1,0826E-02 36,56
0,94 6,5559E-03 1,0623E-02 38,29
0,96 6,2438E-03 1,0424E-02 40,10
0,99 5,9317E-03 1,0165E-02 41,64
1,01 5,6196E-03 9,9742E-03 43,66
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
132
Tabela A.36: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,1% (Figura 5.31).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-25% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1 1,9774E-04 2,2784E-04 13,21
0,15 2,0749E-04 1,9904E-04 -4,25
0,2 2,1152E-04 1,8084E-04 -16,97
0,25 2,1304E-04 1,6788E-04 -26,90
0,3 2,1331E-04 1,5798E-04 -35,03
0,35 2,1292E-04 1,5006E-04 -41,89
0,4 2,1220E-04 1,4353E-04 -47,84
0,45 2,1133E-04 1,3801E-04 -53,13
0,5 2,1041E-04 1,3324E-04 -57,91
0,55 2,0949E-04 1,2908E-04 -62,30
0,6 2,0860E-04 1,2539E-04 -66,37
0,65 2,0778E-04 1,2209E-04 -70,19
0,7 2,0705E-04 1,1911E-04 -73,84
0,75 2,0643E-04 1,1640E-04 -77,35
0,8 2,0593E-04 1,1392E-04 -80,77
0,85 2,0555E-04 1,1164E-04 -84,12
0,9 2,0525E-04 1,0954E-04 -87,38
0,95 2,0500E-04 1,0758E-04 -90,56
1,00 2,0447E-04 1,0575E-04 -93,34
Tabela A.37: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,1% (Figura 5.31).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-50% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-50% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
7,5425E-04 5,7719E-04 -30,68
0,15
7,1970E-04 5,0423E-04 -42,73
0,2
6,9049E-04 4,5812E-04 -50,72
0,25
6,6622E-04 4,2528E-04 -56,65
0,3
6,4581E-04 4,0020E-04 -61,37
0,35
6,2841E-04 3,8016E-04 -65,30
0,4
6,1333E-04 3,6361E-04 -68,68
0,45
6,0010E-04 3,4961E-04 -71,65
0,5
5,8832E-04 3,3755E-04 -74,29
0,55
5,7771E-04 3,2699E-04 -76,68
0,6
5,6805E-04 3,1764E-04 -78,83
0,65
5,5915E-04 3,0928E-04 -80,79
0,7
5,5086E-04 3,0173E-04 -82,57
0,75
5,4303E-04 2,9487E-04 -84,16
0,8
5,3551E-04 2,8860E-04 -85,56
0,85
5,2818E-04 2,8282E-04 -86,75
0,9
5,2087E-04 2,7749E-04 -87,71
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
133
0,95
5,1342E-04 2,7253E-04 -88,39
1,00
5,0529E-04 2,6791E-04 -88,60
Tabela A.38: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,1% (Figura 5.31).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-75% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-75% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
1,3889E-03 9,8933E-04 -40,39
0,15
1,2770E-03 8,6426E-04 -47,76
0,2
1,1967E-03 7,8523E-04 -52,40
0,25
1,1350E-03 7,2894E-04 -55,70
0,3
1,0854E-03 6,8596E-04 -58,23
0,35
1,0442E-03 6,5161E-04 -60,25
0,4
1,0091E-03 6,2324E-04 -61,91
0,45
1,0091E-03 5,9924E-04 -68,40
0,5
9,5133E-04 5,7856E-04 -64,43
0,55
9,2662E-04 5,6047E-04 -65,33
0,6
9,0377E-04 5,4445E-04 -66,00
0,65
8,8230E-04 5,3011E-04 -66,44
0,7
8,6177E-04 5,1718E-04 -66,63
0,75
8,4189E-04 5,0542E-04 -66,57
0,8
8,2242E-04 4,9466E-04 -66,26
0,85
8,0320E-04 4,8477E-04 -65,69
0,9
7,8410E-04 4,7562E-04 -64,86
0,95
7,6505E-04 4,6712E-04 -63,78
1,00
7,4585E-04 4,5921E-04 -62,42
Tabela A.39: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,2% (Figura 5.32).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-25% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
1,2779E-03 9,1128E-04 -40,23
0,15
1,1735E-03 7,9608E-04 -47,41
0,2
1,0981E-03 7,2328E-04 -51,82
0,25
1,0398E-03 6,7144E-04 -54,86
0,3
9,9254E-04 6,3185E-04 -57,09
0,35
9,5297E-04 6,0020E-04 -58,78
0,4
9,1893E-04 5,7407E-04 -60,07
0,45
8,8899E-04 5,5197E-04 -61,06
0,5
8,6208E-04 5,3292E-04 -61,77
0,55
8,3743E-04 5,1626E-04 -62,21
0,6
8,1444E-04 5,0150E-04 -62,40
0,65
7,9268E-04 4,8829E-04 -62,34
0,7
7,7181E-04 4,7638E-04 -62,02
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
134
0,75
7,5158E-04 4,6555E-04 -61,44
0,8
7,3183E-04 4,5564E-04 -60,62
0,85
7,1247E-04 4,4653E-04 -59,56
0,9
6,9341E-04 4,3810E-04 -58,28
0,95
6,7465E-04 4,3027E-04 -56,80
1,00
6,5632E-04 4,2298E-04 -55,17
Tabela A.40: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,2% (Figura 5.32).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-50% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-50% do diâmetro
hidráulico
desvio
0,1
3,0591E-03 2,3089E-03 -32,49
0,15
2,6639E-03 2,0170E-03 -32,07
0,2
2,3884E-03 1,8326E-03 -30,33
0,25
2,1786E-03 1,7012E-03 -28,06
0,3
2,0122E-03 1,6009E-03 -25,69
0,35
1,8777E-03 1,5207E-03 -23,48
0,4
1,7673E-03 1,4545E-03 -21,51
0,45
1,6755E-03 1,3985E-03 -19,81
0,5
1,5982E-03 1,3502E-03 -18,36
0,55
1,5320E-03 1,3080E-03 -17,12
0,6
1,4745E-03 1,2706E-03 -16,04
0,65
1,4238E-03 1,2372E-03 -15,08
0,7
1,3784E-03 1,2070E-03 -14,20
0,75
1,3374E-03 1,1795E-03 -13,38
0,8
1,2997E-03 1,1544E-03 -12,58
0,85
1,2649E-03 1,1313E-03 -11,80
0,9
1,2325E-03 1,1100E-03 -11,04
0,95
1,2022E-03 1,0902E-03 -10,28
1,00
1,1744E-03 1,0717E-03 -9,58
Tabela A.41: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,2% (Figura 5.32).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-75% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-75% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
4,5499E-03 3,9565E-03 -15,00
0,15
3,7912E-03 3,4563E-03 -9,69
0,2
3,3336E-03 3,1403E-03 -6,16
0,25
3,0298E-03 2,9152E-03 -3,93
0,3
2,8131E-03 2,7433E-03 -2,55
0,35
2,6493E-03 2,6059E-03 -1,67
0,4
2,5195E-03 2,4924E-03 -1,09
0,45
2,4126E-03 2,3965E-03 -0,67
0,5
2,3216E-03 2,3138E-03 -0,34
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
135
0,55
2,2423E-03 2,2414E-03 -0,04
0,6
2,1717E-03 2,1773E-03 0,26
0,65
2,1078E-03 2,1200E-03 0,58
0,7
2,0492E-03 2,0683E-03 0,92
0,75
1,9949E-03 2,0213E-03 1,30
0,8
1,9442E-03 1,9782E-03 1,72
0,85
1,8966E-03 1,9387E-03 2,17
0,9
1,8517E-03 1,9021E-03 2,65
0,95
1,8091E-03 1,8681E-03 3,16
1,00
1,7698E-03 1,8364E-03 3,63
Tabela A.42: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,3% (Figura 5.33).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-25% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
2,7297E-03 2,0503E-03 -33,13
0,15
2,3850E-03 1,7911E-03 -33,16
0,2
2,1433E-03 1,6274E-03 -31,70
0,25
1,9587E-03 1,5107E-03 -29,65
0,3
1,8114E-03 1,4216E-03 -27,42
0,35
1,6916E-03 1,3504E-03 -25,26
0,4
1,5926E-03 1,2916E-03 -23,30
0,45
1,5101E-03 1,2419E-03 -21,60
0,5
1,4402E-03 1,1990E-03 -20,11
0,55
1,3803E-03 1,1616E-03 -18,83
0,6
1,3283E-03 1,1283E-03 -17,72
0,65
1,2823E-03 1,0986E-03 -16,72
0,7
1,2113E-03 1,0718E-03 -13,01
0,75
1,2041E-03 1,0475E-03 -14,95
0,8
1,1701E-03 1,0252E-03 -14,14
0,85
1,1388E-03 1,0047E-03 -13,35
0,9
1,1097E-03 9,8570E-04 -12,58
0,95
1,0824E-03 9,6810E-04 -11,81
1,00
1,0576E-03 9,5169E-04 -11,13
Tabela A.43: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,3% (Figura 5.33).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-50% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-50% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
5,1931E-03 5,1954E-03 0,04
0,15
4,4076E-03 4,5386E-03 2,89
0,2
3,9525E-03 4,1236E-03 4,15
0,25
3,6453E-03 3,8280E-03 4,77
0,3
3,4178E-03 3,6023E-03 5,12
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
136
0,35
3,2392E-03 3,4219E-03 5,34
0,4
3,0927E-03 3,2729E-03 5,51
0,45
2,9686E-03 3,1469E-03 5,67
0,5
2,8605E-03 3,0383E-03 5,85
0,55
2,7643E-03 2,9433E-03 6,08
0,6
2,6771E-03 2,8591E-03 6,37
0,65
2,5968E-03 2,7839E-03 6,72
0,7
2,5216E-03 2,7159E-03 7,16
0,75
2,4506E-03 2,6542E-03 7,67
0,8
2,3829E-03 2,5977E-03 8,27
0,85
2,3182E-03 2,5457E-03 8,94
0,9
2,2560E-03 2,4977E-03 9,68
0,95
2,1963E-03 2,4531E-03 10,47
1,00
2,1408E-03 2,4115E-03 11,23
Tabela A.44: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,3% (Figura 5.33).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-75% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-75% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
7,9500E-03 8,9031E-03 10,71
0,15
6,9072E-03 7,7776E-03 11,19
0,2
6,2647E-03 7,0664E-03 11,35
0,25
5,8082E-03 6,5599E-03 11,46
0,3
5,4611E-03 6,1731E-03 11,53
0,35
5,1600E-03 5,8639E-03 12,00
0,4
4,8954E-03 5,6086E-03 12,72
0,45
4,6572E-03 5,3927E-03 13,64
0,5
4,4404E-03 5,2066E-03 14,72
0,55
4,2419E-03 5,0438E-03 15,90
0,6
4,0582E-03 4,8996E-03 17,17
0,65
3,8858E-03 4,7706E-03 18,55
0,7
3,7215E-03 4,6542E-03 20,04
0,75
3,5626E-03 4,5484E-03 21,67
0,8
3,4077E-03 4,4516E-03 23,45
0,85
3,2560E-03 4,3625E-03 25,36
0,9
3,1080E-03 4,2802E-03 27,39
0,95
2,9645E-03 4,2037E-03 29,48
1,00
2,8271E-03 4,1325E-03 31,59
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
137
Tabela A.45: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,4% (Figura 5.34).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-25% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
4,1070E-03 3,6451E-03 -12,67
0,15
3,4321E-03 3,1843E-03 -7,78
0,2
3,0282E-03 2,8931E-03 -4,67
0,25
2,7608E-03 2,6858E-03 -2,79
0,3
2,5695E-03 2,5274E-03 -1,67
0,35
2,4243E-03 2,4008E-03 -0,98
0,4
2,3083E-03 2,2963E-03 -0,52
0,45
2,2124E-03 2,2079E-03 -0,20
0,5
2,1304E-03 2,1317E-03 0,06
0,55
2,0588E-03 2,0650E-03 0,30
0,6
1,9950E-03 2,0060E-03 0,55
0,65
1,9376E-03 1,9532E-03 0,80
0,7
1,8853E-03 1,9055E-03 1,06
0,75
1,8365E-03 1,8622E-03 1,38
0,8
1,7913E-03 1,8226E-03 1,72
0,85
1,7492E-03 1,7861E-03 2,07
0,9
1,7093E-03 1,7524E-03 2,46
0,95
1,6715E-03 1,7211E-03 2,88
1,00
1,6367E-03 1,6919E-03 3,26
Tabela A.46: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,4% (Figura 5.34).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-50% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-
1
) Solução Analítica-50%
do diâmetro hidráulico
desvio
0,1
8,2151E-03 9,2358E-03 11,05
0,15
7,1435E-03 8,0682E-03 11,46
0,2
6,4794E-03 7,3305E-03 11,61
0,25
6,0032E-03 6,8050E-03 11,78
0,3
5,6265E-03 6,4038E-03 12,14
0,35
5,3063E-03 6,0830E-03 12,77
0,4
5,0232E-03 5,8182E-03 13,66
0,45
4,7662E-03 5,5942E-03 14,80
0,5
4,5310E-03 5,4011E-03 16,11
0,55
4,3150E-03 5,2322E-03 17,53
0,6
4,1146E-03 5,0827E-03 19,05
0,65
3,9265E-03 4,9489E-03 20,66
0,7
3,7474E-03 4,8281E-03 22,38
0,75
3,5749E-03 4,7183E-03 24,23
0,8
3,4075E-03 4,6179E-03 26,21
0,85
3,2450E-03 4,5255E-03 28,30
0,9
3,0874E-03 4,4401E-03 30,47
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
138
0,95
2,9356E-03 4,3608E-03 32,68
1,00
2,7962E-03 4,2869E-03 34,77
Tabela A.47: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,4% (Figura 5.34).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-75% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-75% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
1,3610E-02 1,5830E-02 14,02
0,15
1,1702E-02 1,3829E-02 15,38
0,2
1,0280E-02 1,2564E-02 18,18
0,25
9,0772E-03 1,1664E-02 22,18
0,3
8,0227E-03 1,0976E-02 26,91
0,35
7,0888E-03 1,0426E-02 32,01
0,4
6,2608E-03 9,9723E-03 37,22
0,45
5,5279E-03 9,5884E-03 42,35
0,5
4,8795E-03 9,2575E-03 47,29
0,55
4,3069E-03 8,9680E-03 51,97
0,6
3,8012E-03 8,7116E-03 56,37
0,65
3,3537E-03 8,4823E-03 60,46
0,7
2,9571E-03 8,2753E-03 64,27
0,75
2,6062E-03 8,0872E-03 67,77
0,8
2,2956E-03 7,9151E-03 71,00
0,85
2,0217E-03 7,7567E-03 73,94
0,9
1,7820E-03 7,6103E-03 76,58
0,95
1,5729E-03 7,4744E-03 78,96
1,00
1,4000E-03 7,3477E-03 80,95
Tabela A.48: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,5% (Figura 5.35).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-
1
) Solução Analítica-25%
do diâmetro hidráulico
desvio
0,1
5,3737E-03 5,6961E-03 5,66
0,15
4,6202E-03 4,9760E-03 7,15
0,2
4,1704E-03 4,5210E-03 7,75
0,25
3,8604E-03 4,1969E-03 8,02
0,3
3,6293E-03 3,9494E-03 8,11
0,35
3,4318E-03 3,7516E-03 8,52
0,4
3,3000E-03 3,5883E-03 8,03
0,45
3,1760E-03 3,4501E-03 7,95
0,5
3,0698E-03 3,3311E-03 7,84
0,55
2,9784E-03 3,2269E-03 7,70
0,6
2,8995E-03 3,1347E-03 7,50
0,65
2,8316E-03 3,0521E-03 7,23
0,7
2,7728E-03 2,9777E-03 6,88
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
139
0,75
2,7206E-03 2,9100E-03 6,51
0,8
2,6721E-03 2,8480E-03 6,18
0,85
2,6249E-03 2,7910E-03 5,95
0,9
2,5770E-03 2,7384E-03 5,89
0,95
2,5273E-03 2,6895E-03 6,03
1,00
2,4769E-03 2,6439E-03 6,32
Tabela A.49: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,5% (Figura 5.35).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-50% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-50% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
1,2470E-02 1,4430E-02 13,58
0,15
1,0792E-02 1,2606E-02 14,39
0,2
9,5946E-03 1,1453E-02 16,23
0,25
8,5988E-03 1,0632E-02 19,12
0,3
7,7229E-03 1,0005E-02 22,81
0,35
6,9388E-03 9,5040E-03 26,99
0,4
6,2332E-03 9,0902E-03 31,43
0,45
5,5993E-03 8,7403E-03 35,94
0,5
5,0295E-03 8,4386E-03 40,40
0,55
4,5186E-03 8,1748E-03 44,72
0,6
4,0600E-03 7,9411E-03 48,87
0,65
3,6467E-03 7,7320E-03 52,84
0,7
3,2745E-03 7,5433E-03 56,59
0,75
2,9387E-03 7,3718E-03 60,14
0,8
2,6357E-03 7,2149E-03 63,47
0,85
2,6332E-03 7,0706E-03 62,76
0,9
2,1196E-03 6,9372E-03 69,45
0,95
1,9039E-03 6,8132E-03 72,06
1,00
1,8205E-03 6,6977E-03 72,82
Tabela A.50: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,5% (Figura 5.35).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-75% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-75% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
1,9993E-02 2,4729E-02 19,15
0,15
1,5673E-02 2,1603E-02 27,45
0,2
1,2296E-02 1,9627E-02 37,35
0,25
9,6305E-03 1,8221E-02 47,14
0,3
7,5301E-03 1,7146E-02 56,08
0,35
5,8792E-03 1,6287E-02 63,90
0,4
4,5827E-03 1,5578E-02 70,58
0,45
3,5700E-03 1,4979E-02 76,17
0,5
2,7811E-03 1,4462E-02 80,77
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
140
0,55
2,1663E-03 1,4009E-02 84,54
0,6
1,6884E-03 1,3609E-02 87,59
0,65
1,3176E-03 1,3251E-02 90,06
0,7
1,0319E-03 1,2927E-02 92,02
0,75
8,0996E-04 1,2633E-02 93,59
0,8
6,3854E-04 1,2365E-02 94,84
0,85
5,0691E-04 1,2117E-02 95,82
0,9
4,0798E-04 1,1888E-02 96,57
0,95
3,3177E-04 1,1676E-02 97,16
1,00
2,7592E-04 1,1478E-02 97,60
Tabela A.51: Fluxo de permeado médio no comprimento versus intensidade turbulenta para
diferentes escalas, com f
w
= 20f
B
(Figura 5.36)
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
), Simulação
Intensidade de
turbulência (%)
25% do diâmetro
hidráulico
50% do diâmetro
hidráulico
75% do diâmetro
hidráulico
0,1
1,5041E-04 5,1085E-04 8,9843E-04
0,2
8,2587E-04 1,7928E-03 2,7208E-03
0,3
1,6078E-03 3,3255E-03 5,0755E-03
0,4
2,4934E-03 5,1875E-03 6,5324E-03
0,5
3,5767E-03 6,3698E-03 6,8565E-03
Tabela A.52: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 25% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,25% (Figura 5.37).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-25% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-25% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
2,0063E-03 1,3840E-03 -44,96
0,15
1,7948E-03 1,2090E-03 -48,45
0,2
1,6477E-03 1,0985E-03 -50,00
0,25
1,5353E-03 1,0198E-03 -50,56
0,3
1,4441E-03 9,5962E-04 -50,49
0,35
1,3670E-03 9,1156E-04 -49,96
0,4
1,2999E-03 8,7187E-04 -49,09
0,45
1,2406E-03 8,3831E-04 -47,99
0,5
1,1874E-03 8,0938E-04 -46,71
0,55
1,1392E-03 7,8407E-04 -45,29
0,6
1,0953E-03 7,6165E-04 -43,81
0,65
1,0550E-03 7,4160E-04 -42,26
0,7
1,0179E-03 7,2350E-04 -40,69
0,75
9,8369E-04 7,0706E-04 -39,12
0,8
9,5199E-04 6,9201E-04 -37,57
0,85
9,2257E-04 6,7816E-04 -36,04
0,9
8,9513E-04 6,6537E-04 -34,53
0,95
8,6949E-04 6,5348E-04 -33,06
1,00
8,4604E-04 6,4240E-04 -31,70
RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
141
Tabela A.53: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 50% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,25% (Figura 5.37).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-50% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-50% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
4,2158E-03 3,5066E-03 -20,22
0,15
3,5247E-03 3,0633E-03 -15,06
0,2
3,0933E-03 2,7832E-03 -11,14
0,25
2,8021E-03 2,5837E-03 -8,45
0,3
2,5933E-03 2,4314E-03 -6,66
0,35
2,4361E-03 2,3096E-03 -5,48
0,4
2,3123E-03 2,2090E-03 -4,67
0,45
2,2112E-03 2,1240E-03 -4,11
0,5
2,1260E-03 2,0507E-03 -3,67
0,55
2,0522E-03 1,9866E-03 -3,30
0,6
1,9869E-03 1,9298E-03 -2,96
0,65
1,8285E-03 1,8790E-03 2,69
0,7
1,8753E-03 1,8331E-03 -2,30
0,75
1,8264E-03 1,7914E-03 -1,95
0,8
1,7810E-03 1,7533E-03 -1,58
0,85
1,7386E-03 1,7182E-03 -1,19
0,9
1,6990E-03 1,6858E-03 -0,78
0,95
1,6616E-03 1,6557E-03 -0,36
1,00
1,6274E-03 1,6276E-03 0,01
Tabela A.54: Fluxo de permeado versus comprimento adimensional do canal para a escala de
turbulência de 75% do diâmetro hidráulico e intensidade turbulenta de 0,25% (Figura 5.37).
y
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Simulação-75% do diâmetro
hidráulico
Fluxo permeado (m
3.
m
-2.
s
-1
)
Solução Analítica-75% do
diâmetro hidráulico
desvio
0,1
5,7549E-03 6,0105E-03 4,25
0,15
4,9428E-03 5,2507E-03 5,86
0,2
4,4586E-03 4,7706E-03 6,54
0,25
4,1241E-03 4,4286E-03 6,88
0,3
3,8742E-03 4,1675E-03 7,04
0,35
3,6778E-03 3,9587E-03 7,10
0,4
3,5171E-03 3,7864E-03 7,11
0,45
3,3817E-03 3,6406E-03 7,11
0,5
3,2343E-03 3,5150E-03 7,99
0,55
3,1611E-03 3,4051E-03 7,16
0,6
3,0701E-03 3,3077E-03 7,18
0,65
2,9899E-03 3,2206E-03 7,16
0,7
2,9192E-03 3,1420E-03 7,09
0,75
2,8566E-03 3,0706E-03 6,97
0,8
2,7997E-03 3,0053E-03 6,84
0,85
2,7464E-03 2,9451E-03 6,75
0,9
2,6945E-03 2,8896E-03 6,75
0,95
2,6421E-03 2,8379E-03 6,90
1,00
2,5899E-03 2,7898E-03 7,17
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
