ads:
Estudo das Propriedades Estruturais e Dinˆamicas de
um Sistema Bin´ario Quasi-Unidimensional
Paulo Willyam Sim˜ao de Oliveira
8 de agosto de 2007
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Paulo Willyam Sim˜ao de Oliveira
Estudo das Propriedades Estruturais e
Dinˆamicas de um Sistema Bin´ario
Quasi-Unidimensional
Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de
F´ısica da Universidade Federal do Cear´a,
como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao
do T´ıtulo de Mestre em F´ısica.
Orientador:
Prof. Dr. Wandemberg Paiva Ferreira
Co-orientador:
Prof. Dr. Gil de Aquino Farias
Mestrado em F
´
ısica
Departamento de F
´
ısica
Centro de Ci
ˆ
encias
Universidade Federal do Cear
´
a.
Fortaleza – CE
Julho / 2007
ads:
ii
Disserta¸c˜ao de Mestrado sob o t´ıtulo “Estudo das Propriedades Estruturais e Dinˆamicas
de um Sistema Bin´ario Quasi-Unidimensional”, defendida por Paulo Willyam Sim˜ao de
Oliveira e aprovada em 13 de julho de 2007, em Fortaleza, Cear´a, pela banca examinadora
constitu´ıda pelos doutores:
Prof. Dr. Wandemberg Paiva Ferreira
Departamento de F´ısica - UFC
Orientador
Prof. Dr. Gil de Aquino Farias
Departamento de F´ısica - UFC
Co-orientador
Prof. Dr. Humberto de Andrade Carmona
Departamento de F´ısica - UECE
Dedico esta disserta¸c˜ao a meu Pai (in memoriam) que sempre me deu for¸cas para
transpor obst´aculos e que gostaria de ver este momento.
iv
Agradecimentos
∗ Primeiramente, a Deus por proporcionar este momento.
∗ Ao Prof. Dr. Wandemberg Paiva Ferreira pela dedica¸c˜ao e paciˆencia na minha
orienta¸c˜ao. Na sua pessoa de ser amigo, sou grato por me incentivar e a ser respons´avel
nos trabalhos cient´ıficos. Suas instru¸c˜oes nas discuss˜oes me enriqueceram.
∗ Ao Prof. Dr. Gil de Aquino Farias, pelo esfor¸co e est´ımulo `a realiza¸c˜ao deste
mestrado.
∗ Ao Prof. Dr. Humberto de Andrade Carmona por me ajudar na minha orienta¸c˜ao.
Seus ensinamentos valiosos marcar˜ao a minha forma¸c˜ao como pesquisador e ser humano.
∗ Aos professores do Departamento de F´ısica da UFC, principalmente `aqueles que
contribu´ıram para minha forma¸c˜ao acadˆemica.
∗ Ao Felipe de Freitas Munarin e ao Jo˜ao Cl´audio pelo apoio e ajuda.
∗ Aos meus amigos de estudo Mairton, Clenilton, Wally, Roberto, Marcelo Zimmer,
Luciana, Erivelton, Elton e Bruno, pela amizade e contribui¸c˜ao intelectual.
∗ Aos meus colegas do laborat´orio da esta¸c˜ao de trabalho, Andrey, Diego e Jusciane
pelo companheirismo.
∗ Aos meus pais pela minha forma¸c˜ao como cidad˜ao, mesmo nas dificuldades. Seus
esfor¸cos para tentar me entender, uma vez que sou calado. Apesar de tudo amo meus
pais.
∗ Aos meus irm˜aos que me incentivaram a cursar F´ısica.
∗
`
A Valesca pelo apoio e est´ımulo nas dificuldades. Obrigado por vocˆe participar da
minha vida.
∗ Aos Funcion´arios do Departamento de F´ısica pelas orienta¸c˜oes.
∗
`
A Leila Anselmo pelas corre¸c˜oes gramaticais deste trabalho.
∗ Ao CNPQ - Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico, pelo
apoio financeiro.
A mais bela experiˆencia que podemos ter ´e a do mist´erio.
´
E a emo¸c˜ao fundamental
existente na origem da verdadeira arte e ciˆencia. Aquele que n˜ao a conhece e n˜ao pode
se maravilhar com ela est´a praticamente morto e seus olhos est˜ao ofuscados.
(Albert Einstein)
Resumo
O objetivo deste trabalho ´e estudar as propriedades estruturais e dinˆamicas de um
sistema bin´ario cl´assico consistindo de part´ıculas carregadas que est˜ao confinadas em um
canal bidimensional. Tal sistema ´e descrito na literatura como quasi-unidimensional,
e esta relevˆancia apoia-se na possibilidade de aplica¸c˜oes tecnol´ogicas, como tem sido
mostrado recentemente na literatura cient´ıfica, bem como no interesse e entendimento
em propriedades da F´ısica da mat´eria condensada. Apesar do car´ater te´orico do presente
estudo, diversos sistemas experimentais podem ser descritos pelo modelo aqui considerado.
O resumo do conte´udo deste trabalho ´e apresentado em cada cap´ıtulo. No cap´ıtulo 1,
´e dada uma vis˜ao geral do presente trabalho. O conceito da cristaliza¸c˜ao de Wigner
´e introduzido e s˜ao dados exemplos de sistemas experimentais, que exibem uma fase
ordenada sob circunstˆancias apropriadas. Discute-se a F´ısica dos plasmas complexos, das
suspens˜oes coloidais e aplica¸c˜oes em sistemas biol´ogicos. Uma descri¸c˜ao do m´etodo de
simula¸c˜ao ´e dada no cap´ıtulo 2. As transforma¸c˜oes de escalas s˜ao introduzidas a fim
de construir um modelo geral, isto ´e, n˜ao dependente das caracter´ısticas particulares
do sistema, mas somente das quantidades relevantes gerais. Apresenta-se a t´ecnica de
simula¸c˜ao por Dinˆamica Molecular (DM), focalizando tamb´em a Dinˆamica de Langevin.
A competi¸c˜ao entre a intera¸c˜ao entre part´ıcula, na forma de repuls˜ao eletrost´atica, e
o confinamento externo, que ´e suposto parab´olico e age somente em uma dire¸c˜ao, gera
uma estrutura de cadeias no sistema. Uma descri¸c˜ao do modelo, bem como a aproxima¸c˜ao
harmˆonica utilizada para o c´alculo dos modos normais e o c´alculo da energia por part´ıcula
das v´arias estruturas de cadeias s˜ao dadas no cap´ıtulo 3. A configura¸c˜ao do estado
fundamental, as transi¸c˜oes estruturais de fase e modos normais para o sistema bin´ario de
cadeias s˜ao examinadas no cap´ıtulo 4. Para baixas densidades as part´ıculas cristalizam-se
em uma ´unica cadeia; com o aumento da densidade uma transi¸c˜ao zig − zag ocorre e a
´unica cadeia se parte em duas. Observa-se que esta transi¸c˜ao estrutural ´e caracterizada
por uma quebra espontˆanea de simetria. Com o aumento da densidade, o sistema passa
para quatro cadeias (caso 1) (part´ıculas n˜ao alinhadas na vertical), onde a transi¸c˜ao de
duas para quatro cadeias (caso 1) ocorre com uma transi¸c˜ao zig − zag, em cada uma
das cadeias, acompanhadas por um deslocamento ao longo da dire¸c˜ao da cadeia. Ent˜ao
com um aumento da densidade conduzir´a a uma nova estrutura de quatro cadeias (caso 2)
(part´ıculas alinhadas na vertical). As propriedades dinˆamicas aqui consideradas resumem-
se ao espectro de fˆonons, no qual o n´umero de modos normais ´e igual ao dobro do n´umero
de part´ıculas na c´elula unit´aria. As conclus˜oes e perspectivas s˜ao apresentadas no cap´ıtulo
5.
Abstract
The aim of this work is to study the structural and dynamical properties of a classical
binary system of charged particles confined in a two dimensional channel. Such a system
is described in the literature as quasi-unidimensional, and its relevance is supported by
the possibility of technological applications, shown recently in the scientific literature, and
also the interest and understanding of properties in condensed matter physics. Although
the theoretical and numerical character of the present work, several experimental systems
can be described by the present model. The summary of the contents of this work is pre-
sented in each chapter. In chapter 1, a general overview is given. The concept of Wigner
crystallization is introduced, and examples of experimental systems, which exhibit such
an ordered phase under proper conditions are given. We discuss the physics of complex
plasmas, colloidal suspensions and applications in biological systems. A description of the
simulation method is given in chapter 2. Scale transformations are introduced in order to
construct a general model, i.e. no longer depending on particular features of the system,
but only on relevant parameters of a general model. The Molecular Dynamics simula-
tion technique (MD) is presented, focusing on the Langevin Dynamics. The competition
between the inter-particle interaction, in the form of the electrostatic repulsion, and the
external confinement, which is assumed to be parabolic and act only in one direction, ge-
nerates a chain-like strutural pattern. A description of the model, the harmonic approach
used in the analytical calculations of the normal modes spectrum, and the analytical cal-
culation of the energy per particle of the different chain-configutations are given in chapter
3. The ground state configurations, the structural phase transitions and normal modes of
the present chain-like binary system are presented in Chapter 4. In the low density regime
particles crystallize in a single chain. When the density is increased a zig-zag transition
occurs and the single chain splits into two chains. Such a transition is characterized by a
spontaneous symmetry breaking. With the increase of the density the system changes to
the four-chains configuration (case 1) (particles not aligned vertically), where the two →
four chains (case 1) transition occurs through a zig-zag transition accompanied by a shift
along the chain direction. A further increase of the density will lead the system to a new
ground state configuration with four chains (case 2) (particles aligned vertically). The
dynamical properties are related to the phonon spectrum, in which the number of normal
modes is two times the number particle in the unit cell. The conclusions and perspectives
are presented in chapter 5.
Sum´ario
Lista de Figuras p. x
1 Introdu¸c˜ao p. 1
1.1 Abordagem Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 1
1.2 Sistemas Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3
1.2.1 Sistemas Coloidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3
1.2.2 Plasmas Complexos (Dusty Plasma) . . . . . . . . . . . . . . . p. 6
1.2.3 Sistemas Biol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10
2 M´etodo de Simula¸c˜ao p. 14
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14
2.1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14
2.1.2 O M´etodo de Dinˆamica Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16
2.1.3 Algoritmos para a Integra¸c˜ao das Equa¸c˜oes de Newton . . . . . p. 19
2.1.3.1 O Algoritmo de Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19
2.1.3.2 O Algoritmo de Leap-frog . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
2.1.3.3 O Algoritmo Predictor-Corrector . . . . . . . . . . . . p. 21
2.1.4 Condi¸c˜oes de Contorno Peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22
2.1.5 Dinˆamica de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23
2.1.6 Fun¸c˜ao Distribui¸c˜ao Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
3 Modelo Te´orico p. 28
3.1 Modelo do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
Sum´ario ix
3.2 Modos Normais - Aproxima¸c˜ao Harmˆonica . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
3.3.1 Configura¸c˜ao Linear com um tipo de Part´ıcula (α = 1.0) . . . . p. 31
3.3.2 Sistema Bin´ario - Configura¸c˜ao de uma Cadeia . . . . . . . . . . p. 36
3.3.3 Sistema Bin´ario - Configura¸c˜ao de duas Cadeias . . . . . . . . . p. 43
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias . . . . . . . . . p. 45
4 Resultados e Discuss˜oes p. 63
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63
4.2 Propriedades Estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64
4.2.1 Configura¸c˜oes de Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64
4.2.2 Transi¸c˜oes Estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73
4.3 Propriedades Dinˆamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74
4.3.1 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74
5 Conclus˜oes p. 81
Apˆendice A -- Energia por Part´ıcula das configura¸c˜oes metaest´aveis p. 83
A.1 Duas Cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83
A.2 Trˆes Cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84
A.3 Quatro Cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85
A.4 Seis Cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85
A.5 Sete Cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89
A.6 Oito Cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90
Referˆencias p. 92
Lista de Figuras
1 A figura mostra microesferas coloidais de polistireno presas em pequenas gotas
de ´oleo solvente de tolueno. Da referˆencia [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 2
2 (1) for¸cas axiais para a geometria onde os feixes propagam em sentidos opos-
tos. As for¸cas de ambos os feixes (F1 e F2) s˜ao positivas. A for¸ca axial
resultante ∆F ´e a diferen¸ca entre `as duas for¸cas. A inser¸c˜ao mostra como
as part´ıculas residem no po¸co potencial resultante; (2) dados experimentais
para disposi¸c˜oes de (a) dois, (b) trˆes, e (c) sete esferas (cada uma 3µm de
tamanho). O diagrama da direita explica como enchemos o po¸co potencial
aproximadamente harmˆonico criado pelos dois feixes propagando em sentidos
opostos. Da Referˆencia [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5
3 Trajet´orias de part´ıculas e fun¸c˜ao de correla¸c˜ao de pares para: fase s´olida (a,
b), fase l´ıquida modulada (c, d) e fase l´ıquida (e, f). Da Referˆencia [7]. . . . p. 6
4 Os resultados de simula¸c˜ao computacional para um l´ıquido bin´ario bidimensio-
nal de Yukawa. A cavidade e as esferas cinzentas representam as duas esp´ecies
de part´ıculas. O campo externo ´e ao longo do eixo z, como indicado pela seta.
(a) O fluido no estado homogˆeneo sem um campo externo. (b) Forma¸c˜ao
estruturada da calha induzida por um campo externo, diferenciando `as duas
esp´ecies de part´ıculas. Da Referˆencia [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7
5 Instala¸c˜ao experimental t´ıpica de uma experiˆencia de plasma complexo. Da
Referˆencia [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8
6 (a)Fotografia do eletrodo inferior em forma de canal e (b) a forma¸c˜ao da cadeia
1D no canal. Da Referˆencia [10, 14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 9
7 (a) Configura¸c˜oes de uma cadeia para n´umeros diferentes de part´ıculas e (b)
a bifurca¸c˜ao da cadeia. Da Referˆencia [14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10
Lista de Figuras xi
8 As respresenta¸c˜oes esquem´aticas de F-actina n˜ao condensada e condensada.
(A) Em baixas concentra¸c˜oes multivalentes de ´ıon, dois filamentos de F-actina
est˜ao soltos. (B) Em elevadas concentra¸c˜oes multivalentes de ´ıon, os ´ıons for-
mam coletivamente um cristal de Wigner e pacotes de filamentos de F-actina.
Al´em disso, o cristal de Wigner forma um modo acoplado com distor¸c˜oes de
tor¸c˜ao de F-actina. Da Referˆencia [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11
9 (A) Diagrama esquem´atico do microcanal e da bobina magn´etica. (B) A estru-
tura de coluna formada por uma suspens˜ao de part´ıculas superparamagn´eticas.
Da Referˆencia [16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12
10 Vista esquem´atica dos m´etodos por Monte Carlo e Dinˆamica Molecular. . . p. 16
11 Condi¸c˜oes peri´odicas de contorno. Enquanto uma part´ıcula se move para fora
da caixa de simula¸c˜ao, uma part´ıcula imagem move-se para dentro da caixa
de simula¸c˜ao para substitu´ı-la. Calculando as intera¸c˜oes das part´ıculas dentro
de raio de corte, ambos real e imagem vizinha s˜ao inclu´ıdos. . . . . . . . . . p. 24
12 fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27
13 configura¸c˜ao linear com um tipo de part´ıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
14 Rela¸c˜ao de dispers˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33
15 Ramos ´otico e ac´ustico da rela¸c˜ao de dispers˜ao de um sistema Q1D. . . . . p. 36
16 Configura¸c˜ao de 1 cadeia. Observe que as part´ıculas com cargas distintas se
arrajam de forma alternada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
17 Configura¸c˜ao de 2 cadeias. Observe que h´a uma quebra de simetria . . . . . p. 43
18 Configura¸c˜ao de 4 cadeias caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48
19 Configura¸c˜ao de 4 cadeias caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50
20 Configura¸c˜ao de 7 cadeias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
21 Configura¸c˜ao de 8 cadeias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57
22 (A) Gr˜aos de areia azul e vermelho misturados em um funil. (B) Os gr˜aos
caindo em um recipiente e segregando-se espontˆaneamente devido as intera¸c˜oes
eletrost´aticas. Os gr˜aos azul e vermelho tem cargas diferentes. Da referˆencia
[41] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66
Lista de Figuras xii
23 Configura¸c˜oes de cadeias de menor energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densi-
dade para κ = 1.54, q
1
= 1.0 e carga q
2
= 2.0. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67
24 A energia por part´ıcula como fun¸c˜ao da densidade, obtida analiticamente, para
o caso com κ = 1.54 e α = 2.0. As correspondentes configura¸c˜oes, obtidas da
simula¸c˜ao, de m´ınima energia tamb´em s˜ao mostradas. . . . . . . . . . . . . p. 68
25 Configura¸c˜oes de duas cadeias obtidas em duas situa¸c¸c˜oes: (a)configura¸c ao
inicial aleat´oria e (b)configura¸c˜ao inicial de duas cadeias com part´ıculas de
mesma carga em cadeias distintas. Simula¸c˜oes obtidas com κ = 1.54 e α = 2.0. p. 69
26 diagrama de fase para q
1
= 1.0 e carga q
2
= 2.0. . . . . . . . . . . . . . . . p. 70
27 Densidade em fun¸c˜ao do parˆametro de blindagem κ para α= 2.0 . . . . . . p. 71
28 A posi¸c˜ao lateral das cadeias no estado de cristal de Wigner em fun¸c˜ao da
densidade linear para κ = 1.54. Resultado obtido analiticamente. . . . . . . p. 72
29 A derivada da energia com rela¸c˜ao a densidade para κ = 1.54. A transi¸c˜ao de
1−→2 cadeias ´e cont´ınua (segunda ordem) o resto ´e primeira ordem. . . . . p. 73
30 Mecanismo das transi¸c˜oes estruturais de 1 para 2 cadeias e de 2 para 4 cadeias. p. 75
31 As poss´ıveis configura¸c˜oes consideradas para duas,trˆes, quatro, seis, sete e oito
cadeias. A cadeia “preta” representa as part´ıculas de carga q
1
= 1.0 e a cadeia
“vermelha” a carga q
2
= 2.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76
32 Rela¸c˜ao de dispers˜ao para densidades 0.2, 0.4, 0.6 e 0.75. Os ramos ´oticos e
ac´usticos correspondem ao movimento na dire¸c˜ao confinada e n˜ao confinada
respectivamente. O comprimento de onda est´a em unidades de π/2a, onde
a ´e o comprimento da c´elula unit´aria. O movimento das part´ıculas para a
estrutura uma cadeia corresponde as diferentes autofreq¨uˆencias. LO, LA,
TO, TA significa, respectivamente, longitudinal ´otico, longitudinal ac´ustico,
transversal ´otico e transversal ac´ustico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77
33 Esquema para densidade n
∗
a
e n
∗
b
(n
∗
a
< n
∗
b
). Observe que a for¸ca de repuls˜ao
eletrost´atica resultante em (a) ´e menor que em (b). . . . . . . . . . . . . . p. 78
34 Rela¸c˜ao de dispers˜ao para a transi¸c˜ao de uma para duas cadeias. . . . . . . p. 79
35 Velocidade de grupo em fun¸c˜ao do vetor de onda. . . . . . . . . . . . . . . p. 80
1
1 Introdu¸c˜ao
1.1 Abordagem Geral
V´arias pesquisas te´oricas e experimentais j´a foram dedicadas aos cristais cl´assicos de
Wigner. A maioria das tentativas se concentraram nas propriedades de cristais de Wigner
bidimensional e tridimensional finitos ou infinitos. O objetivo deste trabalho ´e estudar de-
talhadamente como propriedades estruturais e dinˆamicas de uma cl´assica rede de Wigner
(2D) infinita mudam pela redu¸c˜ao da dimensionalidade, com a aplica¸c˜ao de um potencial
de confinamento externo. Este potencial reduz o movimento no plano de uma dire¸c˜ao,
resultando em uma dire¸c˜ao finita, devido ao confinamento externo; e infinita na outra com
a forma¸c˜ao de um canal. As diferentes caracter´ısticas do sistema com respeito `as duas
dire¸c˜oes, bem como os diferentes aspectos entre um sistema estritamente unidimensional
(1D) e um sistema quasi-unidimensional (Q1D), s˜ao discutidos. As influˆencias da in-
tera¸c˜ao entre part´ıculas e o potencial de confinamento s˜ao examinadas. Esta disserta¸c˜ao
´e motivada por resultados experimentais em el´etrons confinados na superf´ıcie de h´elio
l´ıquido [1, 2, 3, 4, 5], sistemas coloidais [6, 7, 8], plasmas complexos (“dusty” plasma)
[9, 10, 11, 12, 13, 14], sistemas biol´ogicos[15, 16] e outros sistemas[17, 18].
O que ´e esperado ocorrer com part´ıculas carregadas, interagindo atrav´es de um poten-
cial Coulombiano, ´e a cristaliza¸c˜ao de Wigner, onde a energia potencial ´e muito maior que
a energia cin´etica. A maneira como um fluido de part´ıculas interagentes ir´a se solidificar
dentro do que ´e conhecido como cristal de Wigner foi considerada primeiramente por
Eugene Wigner em seu trabalho pioneiro em 1934 [19]. Wigner mostrou, teoricamente,
que el´etrons, podem cristalizar em uma forma ordenada quando atingem determinadas
condi¸c˜oes de temperatura e densidade. Os el´etrons, num s´olido de Wigner, formam um
arranjo espacial peri´odico com repuls˜oes Coulombianas m´utuas e energia m´ınima. Um
exemplo de cristais de Wigner ´e mostrado na Figura 1, onde micro esferas coloidais de
polistireno s˜ao pressas em pequenas gotas de ´oleo solvente de tolueno. Ent˜ao aquece-se
a mistura de forma que as gotas de solvente evaporem, aglomerando as part´ıculas em
1.1 Abordagem Geral 2
Figura 1: A figura mostra microesferas coloidais de polistireno presas em pequenas gotas de
´oleo solvente de tolueno. Da referˆencia [20].
diminutos cachos. Finalmente, utilizando uma centr´ıfuga, separa-se os cachos de acordo
com o n´umero de part´ıculas.
Para um regime cl´assico, a importˆancia da intera¸c˜ao Coulombiana ´e determinada pelo
parˆametro de acoplamento Γ =< V > / < K >, onde < V > = < q
2
/εa > ´e a energia
potencial m´edia (onde q ´e a carga, ε ´e a constante diel´etrica do meio e a ´e a distˆancia
m´edia entre as part´ıculas) e < K > = k
B
T ´e a energia cin´etica m´edia do sistema (depende
do n´umero de graus de liberdade), onde k
B
´e a constante de Boltzmann. De acordo com o
parˆametro Γ, podemos ter diferentes regimes a ser distinguidos. Para Γ < 1, que ocorre em
sistemas de elevada temperatura, o sistema se comporta quase como um g´as ideal. Para
1 < Γ < 100, os el´etrons s˜ao correlacionados, e o sistema se comporta como um l´ıquido.
Para Γ > 100, que ´e um regime de baixa temp eratura, a energia potencial Coulombiana
´e muito maior que a energia cin´etica, havendo uma forte correla¸c˜ao entre os el´etrons, que
se espera levar o sistema para um estado organizado.
Embora a original cristaliza¸c˜ao de Wigner (CW) seja relatada com el´etrons, hoje
em dia, f´ısicos chamam de cristais de Wigner v´arios sistemas de part´ıculas interagentes
fortemente acopladas. Estes sistemas geralmente encontram-se nos estados l´ıquido e ga-
soso, e sobre condi¸c˜oes espec´ıficas de temperatura e densidade. Um exemplo de sistema
de part´ıculas acopladas foi encontrado em experimentos com el´etrons confinados na su-
perf´ıcie de H´elio l´ıquido, onde os el´etrons foram adicionalmente confinados por “caminhos”
met´alicos e exibiram ordenamento dinˆamico na forma de filamentos [21]. A cristaliza¸c˜ao
de Wigner estritamente unidimensional e no regime quˆantico foi estudada por Schultz [22].
Alguns exemplos significantes de cristais de Wigner ser˜ao ilustrados na pr´oxima se¸c˜ao.
1.2 Sistemas Experimentais 3
Em um sistema cl´assico de part´ıculas carregadas, a forma¸c˜ao de um cristal ocorrer´a
se a energia cin´etica m´edia das part´ıculas for suficientemente menor comparado `a ener-
gia potencial m´edia de intera¸c˜ao. Tipicamente, a cristaliza¸c˜ao de Wigner de el´etrons ´e
observada em dois sistemas experimentais: el´etrons acima da superf´ıcie do h´elio l´ıquido e
el´etrons em heteroestruturas de semicondutor, tipicamente GaAs e Al
x
Ga
1−x
As [23].
Em 1971, quase quarenta anos depois do trabalho original de Wigner, Crandall e Wil-
liams [24] propuseram procurar tal rede de Wigner no sistema bidimensional de el´etrons
acima de uma superf´ıcie de h´elio l´ıquido. Aqui, as condi¸c˜oes para a cristaliza¸c˜ao po-
dem ser conseguidas facilmente por causa das caracter´ısticas quase ideais do sistema, por
exemplo a ausˆencia de impurezas e imp erfei¸c˜oes, e da baixa temperatura inerente. Ap´os
um progn´ostico te´orico da possibilidade da existˆencia de uma rede de Wigner no h´elio
l´ıquido, examinou-se por oito anos at´e que a cristaliza¸c˜ao de Wigner estivesse observada
experimentalmente e relatada em 1979 por Grimes e por Adams [1].
Desde ent˜ao, investiga¸c˜oes experimentais fizeram progresso consider´avel, e novos sis-
temas apresentaram as caracter´ısticas de um s´olido de Wigner. Os modernos processos
t´ecnicos permitiram a cria¸c˜ao artificial de tais redes de Wigner no laborat´orio. Part´ıculas
confinadas em plasma [25] e em suspens˜oes coloidais [26] podem exibir a cristaliza¸c˜ao.
Os plasmas complexos e os sistemas coloidais s˜ao cristais macrosc´opicos, com o tamanho
de part´ıcula que varia de micrˆometro `a fra¸c˜ao de mil´ımetro. H´a diversas vantagens no
uso de cristais macrosc´opicos para estudar as propriedades gerais de cristais de Wigner,
tendo em vista que s˜ao relativamente f´aceis de controlar e, sobretudo, que visualiza¸c˜ao e
medidas em tempo real s˜ao poss´ıveis.
O estudo de propriedades dinˆamicas em sistemas bin´arios ´e tamb´em muito importante,
pois, nestes sistemas, a resposta a excita¸c˜oes externas se d´a na forma de modos normais
de vibra¸c˜ao, que nem sempre ´e uma oscila¸c˜ao coletiva, em fase e na mesma dire¸c˜ao, como
no caso das ondas. O estudo das ondas e dos modos normais de vibra¸c˜ao ´e importante,
desde que possa revelar o mecanismo de intera¸c˜ao entre as part´ıculas.
1.2 Sistemas Experimentais
1.2.1 Sistemas Coloidais
O campo dos col´oides tem uma longa hist´oria e abra¸ca v´arios assuntos cient´ıficos.
As part´ıculas coloidais s˜ao importantes em uma larga escala de aplica¸c˜oes tecnol´ogicas e
1.2 Sistemas Experimentais 4
em pro cesso de material. Os col´oides s˜ao pequenas part´ıculas dispersadas em um l´ıquido
que podem ser encontradas nos estados: gasoso, l´ıquido ou s´olido. Nesta disserta¸c˜ao se
estar interessado em part´ıculas coloidais s´olidas de diferentes materiais suspensas em uma
variedade de solventes. O tamanho t´ıpico das part´ıculas coloidais varia de nanˆometros
a micrˆometros. Os primeiros col´oides estudados eram gelatinas e colas, e foi assim que
Graham, em seu estudo, usou a palavra grega “kolla”, significando a colagem, como raiz
para seu termo recentemente inventado. O campo dos col´oides est´a atraindo um interesse
crescente, e novas t´ecnicas experimentais permitem a medida e a compreens˜ao melhor da
estrutura, das propriedades, e do comportamento das suspens˜oes coloidais. As proprieda-
des reol´ogicas (referente `a teoria dos fluidos e fluxo de materiais) foram tradicionalmente
do interesse em suas aplica¸c˜oes tecnologicas, porque os col´oides podem ser produzidos de
uma maneira controlada. Os col´oides representam um sistema modelo cl´assico muito inte-
ressante por ser convenientemente acess´ıvel experimentalmente. A seguir, ser˜ao discutidas
algumas experiˆencias.
A primeira experiˆencia, que ser´a discutida, foi realizada por Tatarkova[6], que criou
com sucesso uma cadeia de part´ıculas coloidais microsc´opicas Q1D. Nesta experiˆencia,
um laser de ”Ti-sapphire” de onda cont´ınua fornece luz que serve de confinamento ex-
terno. O feixe foi expandido e dividido em duas comp onentes iguais que se propagam em
dire¸c˜oes opostas que confinam, em uma c´elula de vidro retangular, microesferas coloidais
de diˆametro entre 2.3 e 3 µm. As part´ıculas foram diretamente observadas utilizando-se
um microsc´opio. Os dois feixes de laser criam um po¸co de potencial, que confina o movi-
mento dos col´oides em uma dire¸c˜ao. Para os feixes colineares com as picos ligeiramente
deslocados (ao longo da linha central ´otica), resultam em potenciais de confinamento
´oticos parab´olicos com uma ´unica posi¸c˜ao de menor equil´ıbrio entre os picos (ver Figura
2). A separa¸c˜ao dos picos dos feixes nesta geometria permite que esferas sejam confinadas
no po¸co de potencial entre eles. A experiˆencia fornece a possibilidade de investigar as pro-
priedades do sistema em forma de cadeia, configura¸c˜oes de baixas energias, estabilidade
e os modos normais.
A segunda experiˆencia interessante em que os col´oides formam cristais em forma
de cadeias ´e apresentada na referˆencia [7]. Aqui, um potencial peri´odico foi sobreposto
a um sistema quasi unidimensional Q1D por interferˆencia entre dois feixes linearmente
polarizados, obtidas de um laser Nd : Y V O
4
. Esta interferˆencia age como um potencial
de confinamento externo para as part´ıculas com amplitude V
0
escalada linearmente com
a potˆencia do laser. Com o crescimento de V
0
do substrato, as part´ıculas tornam-se mais
localizadas ao longo das franjas de interferˆencia. Devido `a intera¸c˜ao repulsiva entre as
1.2 Sistemas Experimentais 5
Figura 2: (1) for¸cas axiais para a geometria onde os feixes propagam em sentidos opostos. As
for¸cas de ambos os feixes (F1 e F2) s˜ao p ositivas. A for¸ca axial resultante ∆F ´e a diferen¸ca entre
`as duas for¸cas. A inser¸c˜ao mostra como as part´ıculas residem no po¸co potencial resultante; (2)
dados experimentais para disposi¸c˜oes de (a) dois, (b) trˆes, e (c) sete esferas (cada uma 3µm de
tamanho). O diagrama da direita explica como enchemos o po¸co potencial aproximadamente
harmˆonico criado pelos dois feixes propagando em sentidos opostos. Da Referˆencia [6].
part´ıculas, o sistema primeiramente responde, em elevado V
0
, com a forma¸c˜ao de um
l´ıquido modulado [27] e depois com a forma¸c˜ao de uma fase cristalina, como mostrado na
Figura 3.
Uma terceira experiˆencia consiste de suspens˜oes coloidais carregadas de macro´ıons
mesosc´opicos e ´ıons microsc´opicos com cargas opostas, onde um campo el´etrico externo
de corrente cont´ınua (CC) ou alternada (CA) induz diferentes efeitos acoplando todas as
part´ıculas carregadas[28, 29]. Esses efeitos qualitativos induzidos por campos el´etricos
aparecem numa mistura bin´aria de col´oides que possuem cargas diferentes. Um campo
el´etrico de CA acelera o movimento relativo das duas esp´ecies de part´ıculas. Com
aplica¸c˜ao do campo el´etrico, as particulas ficam ordenadas na dire¸c˜ao do campo con-
duzindo a forma¸c˜ao de uma calha [30]. Os resultados de simula¸c˜ao computacional de uma
mistura bin´aria bidimensional exposta a um campo externo de agita¸c˜ao s˜ao mostrados na
Figura 4. Finalmente, os col´oides s˜ao direcionados sobre um substrato peri´odico forne-
cendo um modelo de sistema ´util para estudar fenˆomenos de agrega¸c˜ao, desagrega¸c˜ao e
atrito.
1.2 Sistemas Experimentais 6
Figura 3: Trajet´orias de part´ıculas e fun¸c˜ao de correla¸c˜ao de pares para: fase s´olida (a, b), fase
l´ıquida modulada (c, d) e fase l´ıquida (e, f). Da Referˆencia [7].
1.2.2 Plasmas Complexos (Dusty Plasma)
Desde 1994, o campo de pesquisa de plasmas complexos tem tido um crescimento
cont´ınuo. Os plasmas complexos consistem de part´ıculas de “poeira” de tamanho micrˆometro
imersas num plasma gasoso. As particulas de “poeira” adquirem tipicamente uma carga
negativa de milhares de cargas elementares, assim elas interagem uma com as outras
atrav´es de sua for¸ca repulsiva.
O estado de plasma, consistindo de um g´as ionizado de el´etrons e ´ıons, ´e geralmente
referido como o quarto estado da mat´eria. Al´em de s´olido (cristalino), l´ıquido e gasoso,
´e tamb´em o estado mais desordenado. A forma¸c˜ao de cristais de Wigner em plasmas
complexos atraiu interesse e agora ´e um assunto de intensa pesquisa no contexto da
F´ısica e Qu´ımica dos plasmas, gases ionizados, F´ısica espacial, astrof´ısica e ciˆencia de
materiais. Este estado da mat´eria se encontra em todos os lugares no espa¸co, por exemplo,
no meio interplanet´ario. Por outro lado, o crescimento, o transporte, e a deposi¸c˜ao de
nanopart´ıculas ´e o objetivo central de muitas t´ecnicas de deposi¸c˜ao de plasma, por exemplo
na produ¸c˜ao das pilhas solares amorfas [9].
1.2 Sistemas Experimentais 7
Figura 4: Os resultados de simula¸c˜ao computacional para um l´ıquido bin´ario bidimensional
de Yukawa. A cavidade e as esferas cinzentas representam as duas esp´ecies de part´ıculas. O
campo externo ´e ao longo do eixo z, como indicado pela seta. (a) O fluido no estado homogˆeneo
sem um campo externo. (b) Forma¸c˜ao estruturada da calha induzida por um campo externo,
diferenciando `as duas esp´ecies de part´ıculas. Da Referˆencia [28].
1.2 Sistemas Experimentais 8
Figura 5: Instala¸c˜ao experimental t´ıpica de uma experiˆencia de plasma complexo. Da Referˆencia
[12].
Um plasma complexo ´e um sistema de uns quatro componentes, isto ´e, el´etrons,
´ıons, ´atomos neutros e part´ıculas de poeira com cargas elevadas que s˜ao respons´aveis por
propriedades incomuns. Ser˜ao descritas algumas experiˆencias em que cristais de plasma
1D ou Q1D foram realizados e suas propriedades foram estudadas.
As caracter´ısticas de uma cadeia unidimensional finita s˜ao descritas na referˆencia [10].
A possibilidade de obter um arranjo Q1D em um cristal de plasma est´a relacionada `a re-
aliza¸c˜ao de um potencial de confinamento Q1D. Isto ´e executado essencialmente de duas
maneiras na experiˆencia: (i) pondo uma barreira retangular estreita sobre o eletrodo in-
ferior, que permite que as part´ıculas se movam pricipalmente em uma dire¸c˜ao [13], (ii)
formando um canal no el´etrodo inferior ao longo de uma dire¸c˜ao onde as part´ıculas se
acomodam [10, 11]. Atrav´es do uso de um feixe de laser, ´e poss´ıvel investigar a resposta de
um cristal de plasma a uma for¸ca externa direcionada. Um outro experimento interessante
´e realizado focalizando-se a luz de um laser em uma ´unica part´ıcula, sendo at´e poss´ıvel
excitar seu movimento e investigar como esse afeta o sistema inteiro [31]. A organiza¸c˜ao
experimental de uma experiˆencia de plasma ´e ilustrada na Figura 5. Para isso ser˜ao da-
dos alguns detalhes sobre as experiˆencias da referˆencia [10, 14], que s˜ao bem descritas
pelos modelos te´oricos discutidos nos cap´ıtulos posteriores dessa disserta¸c˜ao. Nestas ex-
periˆencias, as configura¸c˜oes de equil´ıbrio de uma cadeia linear formada por um pequeno
n´umero de part´ıculas foram determinadas e os modos normais estudados. O plasma foi
produzido a partir de uma descarga capacitivamente acoplada de radio-frequˆencia com
g´as de Xenˆonio de baixa press˜ao. Um canal ´e formado acima do el´etrodo inferior. As
part´ıculas, ent˜ao, s˜ao introduzidas e confinadas externamente por campos el´etricos no
canal do el´etrodo inferior. O canal ´e ilustrado na Figura 6(a). Isto produziu em volta um
arranjo de part´ıculas em forma de cadeia quasi-unidimensional. O canal tem uma forma
1.2 Sistemas Experimentais 9
Figura 6: (a)Fotografia do eletrodo inferior em forma de canal e (b) a forma¸c˜ao da cadeia 1D
no canal. Da Referˆencia [10, 14].
parab´olica com um comprimento de 80 mm e de uma profundidade de 2 mm (ver Figura
6(b)). O confinamento na dire¸c˜ao vertical era forte o bastante para impedir qualquer
desvio vertical da cadeia. As part´ıculas foram iluminadas com um laser e vistas com uma
cˆamera de video que permitisse a medida das posi¸c˜oes e das velocidades das part´ıculas
em tempo real.
Encontrou-se que introduzindo de 10 at´e 28 part´ıculas, a configura¸c˜ao de equil´ıbrio ´e
uma cadeia 1D. Quando este n´umero ´e aumentado, a estrutura submete-se a uma transi¸c˜ao
estrutural com a bifurca¸c˜ao da cadeia, produzindo, conseq¨uentemente, um sistema Q1D
(veja a Figura 7). O afastamento entre as part´ıculas, mostrado na Figura 7 n˜ao ´e uniforme:
´e 15% menor no centro do que na extremidade da cadeia, por causa dos efeitos intr´ınsecos
de borda. Aumentando o n´umero de part´ıculas, espera-se que um n´umero maior de
cadeias seja formado. Isto n˜ao foi poss´ıvel experimentalmente devido a dificuldade de
estabilizar mais de duas cadeias no canal. Para superar estas dificuldades e obter um
sistema de multi-cadeia, os mesmos autores propuseram escavar mais de um canal no
el´etrodo inferior.
Os plasmas complexos fornecem um sistema adicional para o estudo da dinˆamica
cristalina e l´ıquida e processos de melting.
1.2 Sistemas Experimentais 10
Figura 7: (a) Configura¸c˜oes de uma cadeia para n´umeros diferentes de part´ıculas e (b) a
bifurca¸c˜ao da cadeia. Da Referˆencia [14].
1.2.3 Sistemas Biol´ogicos
Se o s´eculo XX foi o ”s´eculo da f´ısica”, com a descoberta e desenvolvimento de dois
blocos de estruturas do conhecimento humano, isto ´e, a teoria quˆantica e da relatividade,
o s´eculo 21 ´e a ”idade da biologia”, como reivindicam muitos observadores. O uso da
f´ısica em pesquisa de biologia ´e crescente. Bi´ologos est˜ao trabalhando em ´areas de estudo
onde eles precisam de ferramentas que s˜ao tradicionalmente relacionadas `a F´ısica. Alguns
exemplos s˜ao: laser para sondar metabolismo de c´elulas, dinˆamica molecular para analisar
mol´eculas orgˆanicas complexas, como o DNA. Aqui, sem a pretens˜ao de uma avalia¸c˜ao
detalhada, vamos descrever alguns sistemas bioqu´ımicos nos quais estruturas cristalinas
de Wigner Q1D est˜ao presentes e determinam fenˆomenos interessantes.
Na experiˆencia detalhada na referˆencia [15] foi encontrada evidˆencia para a forma¸c˜ao
de um cristal de Wigner Q1D de ´ıons opostos que gera atra¸c˜ao entre duas hastes de actina
filamentosa. Usando difra¸c˜ao de raio-X s´ıncroton foi poss´ıvel observar as hastes de actina
e o arranjo de ´ıons. Foi encontrado que aumentando a concentra¸c˜ao de ´ıons, eles sofrem
uma transi¸c˜ao de fase `a uma fase ordenada cristalina de Wigner, formando um “z´ıper” ele-
trost´atico que firma as hastes de actina, como ilustrado na Figura 8. Surpreendentemente,
os ´ıons n˜ao formam uma rede que segue a simetria helicoidal de actina simplesmente; mais
propriamente, eles s˜ao modulados em ondula¸c˜oes “congeladas” paralelos aos filamentos
de actina, assemelhando a ondas unidimensionais de densidade de carga.
Um outro exemplo de sistema biol´ogico ´e aquele composto por matrizes magn´eticas
1.2 Sistemas Experimentais 11
Figura 8: As respresenta¸c˜oes esquem´aticas de F-actina n˜ao condensada e condensada. (A) Em
baixas concentra¸c˜oes multivalentes de ´ıon, dois filamentos de F-actina est˜ao soltos. (B) Em
elevadas concentra¸c˜oes multivalentes de ´ıon, os ´ıons formam coletivamente um cristal de Wigner
e pacotes de filamentos de F-actina. Al´em disso, o cristal de Wigner forma um modo acoplado
com distor¸c˜oes de tor¸c˜ao de F-actina. Da Referˆencia [15].
montadas por microplaquetas da separa¸c˜ao do DNA apresentada na referˆencia [16]. Neste
sistema part´ıculas superparamagn´eticas s˜ao suspensas por um campo magn´etico uniforme
e homogˆeneo e confinadas em uma fina abertura perpendicular ao campo, onde essas
part´ıculas se organizam em uma disposi¸c˜ao fixa quasi−regular de colunas (veja a Figura
9).
Os sistemas apresentados s˜ao classificados como sistemas mesosc´opicos, ou seja, sis-
temas que tˆem uma escala estrutural de comprimento entre micrˆometro e nanˆometro. A
vantagem ´e que esses sistemas permitem o uso de v´ıdeo-microscopia, podendo visualizar
as trajet´orias das part´ıculas e obter as propriedades estruturais e dinˆamicas em tempo
real.
O sistema estudado nessa disserta¸c˜ao pode servir de modelo para os sistemas que
foram apresentados como, por exemplo, um plasma complexo. Os plasmas complexos
tˆem recebido grande aten¸c˜ao nos ´ultimos anos devido a sua ampla aplica¸c˜ao tecnol´ogica
e pela investiga¸c˜ao de propriedades fundamentais em sistemas fortemente carregados.
Uma das vantagens observadas nesse sistema ´e que os processos dinˆamicos s˜ao fracamente
amortecidos e as escalas espacial e temporal t´ıpicas envolvidas s˜ao perfeitas para o uso
de v´ıdeo-microscopia [14]. Assim sendo, investiga¸c˜oes envolvendo, por exemplo, o tipo
de intera¸c˜oes entre part´ıculas s˜ao convenientes pois podem ser diretamente comparadas
com simula¸c˜oes num´ericas e/ou c´alculos anal´ıticos. O sistema de plasma complexo pode
ser descrito por um modelo quasi-unidimensional no qual um n´umero finito de part´ıculas
1.2 Sistemas Experimentais 12
Figura 9: (A) Diagrama esquem´atico do microcanal e da bobina magn´etica. (B) A estrutura
de coluna formada por uma suspens˜ao de part´ıculas superparamagn´eticas. Da Referˆencia [16].
s˜ao representadas por cargas pontuais interagindo entre si atrav´es de um potencial tipo
Yukawa e confinadas por um potencial parab´olico em uma dire¸c˜ao que forma um canal.
Nesta disserta¸c˜ao estou principalmente interessado nas propriedades estruturais e
dinˆamicas do sistema bidimensional de part´ıculas interagindo fortemente, que exibem
a cristaliza¸c˜ao de Wigner e que tˆem uma dimens˜ao linear que seja muito maior do que ou-
tra, assim chamados de sistemas quasi-unidimensionais (Q1D). Ser˜ao analisadas algumas
propriedades estruturais e dinˆamicas de um sistema mais simples que aqueles comenta-
dos anteriomente. Trata-se de conjunto contendo part´ıculas, que possuem mesma massa
e diferentes cargas. Do ponto de vista num´erico, o sistema ser´a estudado atrav´es de
simula¸c˜oes computacionais, utilizando-se a t´ecnica de Dinˆamica Molecular (DM).
No Cap´ıtulo 2, ser´a descrito o m´etodo de simula¸c˜ao que ´e utilizado para obter as
propriedades relevantes do sistema estudado. Ser´a introduzida a t´ecnica de simula¸c˜ao
de Dinˆamica Molecular que, conforme comentado, foi utilizada para investigar o sistema
descrito nesta disserta¸c˜ao.
No Cap´ıtulo 3, estar´a exposto o modelo te´orico, c´alculos anal´ıticos da energia por
part´ıculas das configura¸c˜oes de menor energia e da aproxima¸c˜ao harmˆonica no estudo das
propriedades estruturais e dinˆamicas.
No Cap´ıtulo 4, ser˜ao mostrados os resultados e discuss˜oes para um sistema com
part´ıculas de cargas diferentes. A influˆencia da raz˜ao entre as cargas (α) de um sistema
bin´ario no perfil de densidade ser´a explorado e um diagrama de fase ser´a constru´ıdo.
Inicialmente ser´a observada a configura¸c˜ao que o sistema pode atingir quando a energia
atinge um valor m´ınimo; em seguida, a classifica¸c˜ao das transi¸c˜oes estruturais de fase do
1.2 Sistemas Experimentais 13
sistema a partir do estudo da energia por part´ıcula e sua derivada; e por fim, o estudo
dos mo dos normais de um sistema cl´assico Q1D de part´ıculas carregadas que interagem
atrav´es de um potencial tipo Yukawa.
No Cap´ıtulo 5, ser˜ao apresentadas as conclus˜oes e coment´arios finais do trabalho, bem
como, as perspectivas para pesquisas futuras.
14
2 M´etodo de Simula¸c˜ao
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular
2.1.1 Introdu¸c˜ao
A simula¸c˜ao computacional foi desenvolvida com o r´apido crescimento e moderniza¸c˜ao
do computador, seguindo sua primeira atua¸c˜ao em grande escala durante o projeto Ma-
nhattan, na segunda guerra mundial, para modelar o processo de detona¸c˜ao nuclear. Uma
simula¸c˜ao de 12 esferas duras, usando um algoritmo de Monte Carlo. A simula¸c˜ao compu-
tacional ´e usada freq¨uentemente como um aux´ılio a, ou como substitui¸c˜ao para, modelos
de sistemas. H´a muitos tipos diferentes de simula¸c˜ao computacional; a caracter´ıstica
comum ´e a tentativa de gerar uma “amostra” com artif´ıcios representativos para um mo-
delo em que uma especifica¸c˜ao completa de todos os estados poss´ıveis do modelo seria
impedida ou imposs´ıvel. Os modelos computacionais foram usados inicialmente como um
suplemento para outros argumentos, mas seu uso tornou-se mais tarde difundido. Assim,
o m´etodo permite calcular m´edias de quantidades f´ısicas uma vez que se estabelece uma
estat´ıstica bastante eficiente.
Os modelos computacionais podem ser classificados de acordo com diversos crit´erios:
estoc´astico ou determin´ıstico, estado estacion´ario ou dinˆamico, cont´ınuo ou discreto e lo-
cal ou distribu´ıdo. As simula¸c˜oes computacionais s˜ao usadas em uma grande variedade
de contextos pr´aticos, como por exemplo a an´alise da dispers˜ao do poluente do ar usando
modelagem de dispers˜ao atmosf´erica; o projeto de sistemas complexos, tal como ciˆencia
da navega¸c˜ao a´erea e tamb´em os sistemas log´ısticos; o projeto de barreiras de ru´ıdo e
outros. Um outro aspecto importante da simula¸c˜ao computacional ´e a reproducibilidade
dos resultados, significando que um modelo de simula¸c˜ao n˜ao deve dar uma resposta dife-
rente para cada execu¸c˜ao. Embora isto possa parecer ´obvio, este ´e um ponto especial da
aten¸c˜ao nas simula¸c˜oes estoc´asticas, onde h´a dificuldade em se gerar computacionalmente
n´umeros aleat´orios.
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 15
Os primeiros estudos acerca da mat´eria condensada atrav´es de simula¸c˜oes computa-
cionais foram iniciados por Metropolis et al [32], que usaram uma primeira vers˜ao do
atualmente conhecido m´etodo de Monte Carlo. Um outro m´etodo conceitualmente di-
ferente, denominado Dinˆamica Molecular (DM), consiste em determinar explicitamente
as trajet´orias de pontos representativos do espa¸co de fase atrav´es da solu¸c˜ao num´erica
das equa¸c˜oes do movimento. As primeiras simula¸c˜oes de DM foram realizadas por Alder
e Wainwright [33]. Eles mostraram que a distribui¸c˜ao de velocidades de um sistema de
100 esferas impenetr´aveis convergia rapidamente ao equil´ıbrio. A primeira aplica¸c˜ao do
m´etodo de DM ao estudo de materiais foi feita por Gibson et al [34] atrav´es da inves-
tiga¸c˜ao do processo de dano em materiais por radia¸c˜ao, usando um p otencial repulsivo
de curto alcance e um potencial respons´avel pela coes˜ao do cristal. Em seguida, Rahman
[39] foi o primeiro a investigar sistemas descritos por potenciais cont´ınuos simulando o
argˆonio l´ıquido. Neste cap´ıtulo ser˜ao discutidas algumas t´ecnicas utilizadas em simula¸c˜oes
de Dinˆamica Molecular (DM).
Simula¸c˜oes computacionais podem fornecer informa¸c˜oes sobre situa¸c˜oes nas quais os
resultados anal´ıticos s˜ao dif´ıceis de serem obtidos e tamb´em para caso em que os dados
experimentais s˜ao carentes. As propriedades calculadas nas simula¸c˜oes, obtidas a partir
de um dado modelo te´orico, podem ser comparadas com os resultados experimentais,
quando dispon´ıveis, a fim de confirmar o modelo. Caso haja desacordo, deve-se rever
o modelo ou buscar novas aproxima¸c˜oes. Dessa forma, essas simula¸c˜oes s˜ao de grande
interesse tanto no campo te´orico quanto no experimental.
Novamente, o grande desenvolvimento tecnol´ogico na ´area de computa¸c˜ao nas ´ultimas
d´ecadas permitiu que problemas f´ısicos mais complexos sejam tratados. Al´em disso, as
simula¸c˜oes podem ser realizadas em situa¸c˜oes f´ısicas extremas (como alta press˜ao e/ou
temperatura); condi¸c˜oes, muitas vezes, dif´ıceis de serem obtidas experimentalmente. Uma
´area que claramente se beneficia desse desenvolvimento ´e o estudo de sistemas f´ısicos
`a temperatura finita (diferente do zero absoluto). Comumente as t´ecnicas empregadas
nessas simula¸c˜oes s˜ao os m´etodos de Monte Carlo (MC) e de Dinˆamica Molecular (DM),
sendo o primeiro, estoc´astico e o segundo, determin´ıstico (Figura 10). Nesta disserta¸c˜ao,
os resultados num´ericos foram obtidos atrav´es de m´etodos de DM.
Foram realizadas simula¸c˜oes computacionais - DM com o objetivo de compreender as
propriedades estruturais e dinˆamicas de um conjunto de part´ıculas num plano, onde uma
das dire¸c˜oes ´e confinada e a outra ´e livre, formando assim um canal. Este modelo serve
como um complemento `as experiˆencias convencionais, permitindo-nos explorar proprie-
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 16
Figura 10: Vista esquem´atica dos m´etodos por Monte Carlo e Dinˆamica Molecular.
dades ainda n˜ao abordadas ou estudadas em tal sistema. O modelo considerado neste
trabalho ser´a mostrado em detalhes no cap´ıtulo 4.
2.1.2 O M´etodo de Dinˆamica Molecular
A base te´orica para DM engloba v´arios dos importantes resultados produzidos por
grandes nomes da mecˆanica anal´ıtica - Euler, Hamilton, Lagrange, Newton. Suas contri-
bui¸c˜oes agora podem ser encontradas em textos introdut´orios de mecˆanica. Alguns desses
resultados contˆem observa¸c˜oes fundamentais sobre o funcionamento aparente da natureza;
outros, s˜ao reformula¸c˜oes elegantes que geram al´em do desenvolvimento te´orico [42].
O objetivo b´asico da t´ecnica de DM, assim como de Monte Carlo, ´e observar a evolu¸c˜ao
do sistema dado atrav´es da determina¸c˜ao do movimento individual das part´ıculas cons-
tituintes. Devido `as intera¸c˜oes entre part´ıculas, o sistema ´e capaz de manter tanto o
equil´ıbrio mecˆanico quanto t´ermico, e no caso de perturba¸c˜oes externas, o sistema pode
atingir uma nova configura¸c˜ao de equil´ıbrio. A diferen¸ca essencial entre DM e MC est´a
na natureza da evolu¸c˜ao do sistema. Em DM, calculamos a trajet´oria de fase do sistema
que obedece `a dinˆamica de Newton-Hamilton, enquanto que em MC o sistema evolui
de acordo com uma dinˆamica estoc´astica, mesmo que a energia do sistema seja especi-
ficada pela mesma Hamiltoniana. A partir de uma configura¸c˜ao inicial [
−→
r
i
(t
0
),
−→
v
i
(t
0
)],
i = 1,...,N, para um dado instante t
0
(6N condi¸c˜oes iniciais - 3N posi¸c˜oes
−→
r e 3N mo-
menta
−→
p ), as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes cl´assicas do movimento das N part´ıculas interagindo
atrav´es de p otencial conhecido, tornam poss´ıvel conhecer todas as configura¸c˜oes sucessivas
[
−→
r
i
(t
j
),
−→
v
i
(t
j
)], t
j
= j∆t, com j = 1,...,N para uma seq¨uˆencia de instantes posteriores t
j
.
Se a Hamiltoniana do sistema for invariante por transla¸c˜ao e rota¸c˜ao e for explicitamente
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 17
independente do tempo, ent˜ao as correspondentes componentes dos momentos linear e
angular, bem como a energia total do sistema, s˜ao conservadas. Esta lei de conserva¸c˜ao
de energia se aplica independentemente da existˆencia ou n˜ao de um campo externo. A
condi¸c˜ao essencial ´e que a for¸ca que atua no sistema n˜ao dependa explicitamente do
tempo ou da velocidade. O procedimento tradicional na resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes de New-
ton consiste em discretizar as equa¸c˜oes diferenciais acopladas, ou seja, transform´a-las em
diferen¸cas finitas. Partindo do pressuposto de que o potencial de intera¸c˜ao, e portanto as
for¸cas entre part´ıculas, s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas e diferenci´aveis, dadas as condi¸c˜oes iniciais
em um instante t
0
, a posi¸c˜ao, a velocidade e qualquer outra vari´avel dinˆamica, pode ser
obtida em um instante de tempo posterior t + ∆t com a precis˜ao adequada. A escolha
de ∆t ´e fundamental: n˜ao deve ser t˜ao pequeno que o sistema demore muito tempo para
evoluir, mas tamb´em n˜ao t˜ao grande de modo que as constantes de movimento n˜ao se
mantenham invariantes. Portanto DM ´e uma t´ecnica determin´ıstica, no sentido que dado
um conjunto inicial das posi¸c˜oes e das velocidades, a evolu¸c˜ao temporal subseq¨uente est´a,
em princ´ıpio, completamente determinadoa. Existe uma variedade imensa de algoritmos
para a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento, todos baseados em expans˜oes do tipo da s´erie
de Taylor. Os mais empregados s˜ao os de Beeman, Runge-Kutta, Verlet, Gear (predictor-
corrector). O compromisso entre a precis˜ao e o armazenamento de dados na mem´oria do
computador, na maioria das vezes, ´e determinante na escolha do algoritmo. Se o sistema
a ser simulado for infinito torna-se necess´ario o uso de condi¸c˜oes de contorno peri´odicas.
Um dos passos mais importantes, e que consome mais tempo computacional, ´e o c´alculo
das for¸cas de intera¸c˜ao entre as part´ıculas. O leitor interessado pode consultar o livro de
Allen e Tildesley [43] para se familiarizar com procedimentos ´uteis (truques) na simula¸c˜ao.
Uma vez conhecidas as trajet´orias das part´ıculas no espa¸co de fase, o pr´oximo passo
consiste em obter as propriedades macrosc´opicas do sistema. Para isto, baseamo-nos na
hip´otese erg´odica . Ou seja, a m´edia de uma grandeza f(r
N
, p
N
) sobre um ensemble
estat´ıstico determinado pela fun¸c˜ao densidade ρ(r
N
, p
N
)
f =
f(r
N
, p
N
)ρ(r
N
, p
N
)d
3
r
N
d
3
p
N
ρ(r
N
, p
N
)d
3
r
N
d
3
p
N
´e equivalente `a m´edia temporal
f = lim
τ→∞
1
τ
τ
0
f(t)dt (2.1)
Dado que, com a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes do movimento, podemos realizar com facilidade
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 18
m´edias temporais e as grandezas macrosc´opicas podem assim ser calculadas. A t´ecnica de
DM fornece um conjunto de configura¸c˜oes distribu´ıdas de acordo com alguma fun¸c˜ao de
distribui¸c˜ao estat´ıstica ou um ensemble estat´ıstico, dependendo das equa¸c˜oes espec´ıficas de
movimento que descrevem o sistema. Conseq¨uentemente, as medidas de uma quantidade
f´ısica G por simula¸c˜oes de DM s˜ao obtidas simplesmente como uma m´edia aritm´etica dos
v´arios valores instantˆaneos suposto por essa quantidade durante a simula¸c˜ao:
G =
1
τ
obs
τ
obs
τ=1
G
t
[
−→
r (t
0
+ τ∆t),
−→
p (t
0
+ τ∆t)]
onde t
0
´e o intante inicial e τ
obs
´e o n´umero total de “observa¸c˜oes”. No limite de tempo
muito longo da simula¸c˜ao, para sistemas em equil´ıbrio, poder-se-ia esp erar da hip´otese
erg´otica que o espa¸co de fase seja assumido inteiramente, e que o processo do c´alculo
de valores m´edios forne¸ca resultados “corretos”. Deste modo, podemos determinar, a
temperaturas finitas, a estrutura microsc´opica do sistema bem como as propriedades ter-
modinˆamicas. Com rela¸c˜ao `a estrutura, podemos obter, por exemplo, a distˆancia entre
primeiros vizinhos. Quanto `a dinˆamica, podemos determinar o coeficiente de difus˜ao,
o espectro de estados vibracionais, o fator de estrutura dinˆamico. Com respeito `a ter-
modinˆamica, a capacidade t´ermica, a energia livre, a entropia e press˜ao, entre outras
grandezas, podem ser explicitamente calculadas.
DM ´e uma ferramenta muito ´util e hoje em dia ´e indispens´avel para estudar as propri-
edades de sistemas nos estados l´ıquido e gasoso, defeitos em cristais, superf´ıcies e outros.
Em geral, uma simula¸c˜ao de DM integra as equa¸c˜oes diferenciais:
m
i
d
2
−→
r
i
dt
2
=
−→
F
i
(
−→
r
1
, ...,
−→
r
N
, ...,
d
−→
r
1
dt
, ...,
d
−→
r
N
dt
)
para cada part´ıcula i do sistema temos m
i
sendo a sua massa e
−→
F
i
´e a for¸ca que atua em
cada part´ıcula. Quando as for¸cas forem independentes da velocidade e quando puderem
ser obtidas como gradiente de um potencial:
−→
F
i
= −∇V (
−→
r
1
, ...,
−→
r
n
)
a energia mecˆanica ´e conservada ou, expressado de forma diferente, o sistema de N
part´ıculas evolui no ensemble microcanˆonico. Em alguns casos, algumas for¸cas s˜ao deri-
vadas de um potencial e outros efeitos adicionais s˜ao inclu´ıdos. Portanto, a escolha do
potencial ´e um ponto chave em cada simula¸c˜ao de DM. Junto com a estrat´egia da inte-
gra¸c˜ao temporal, eles ser˜ao o cora¸c˜ao de t´ecnicas de DM. O desenvolvimento de potenciais
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 19
exatos representa uma linha importante da pesquisa.
2.1.3 Algoritmos para a Integra¸c˜ao das Equa¸c˜oes de Newton
Os algoritmos de integra¸c˜ao temporal das equa¸c˜oes de movimento podem ser divididos
em duas classes principais: Verlet e predictor-corrector. As caracter´ısticas b´asicas de
cada um deles ser˜ao apresentadas nessa se¸c˜ao. A primeira classe (Verlet) inclui esquemas
simples e largamente usados em DM. Nesta forma simples, os m´etodos dar˜ao coordenadas
que s˜ao exatas para terceira ordem em ∆t.
2.1.3.1 O Algoritmo de Verlet
Na Dinˆamica Molecular, um algoritmo geralmente usado da integra¸c˜ao temporal ´e
o algoritmo de Verlet. A id´eia b´asica ´e escrever duas expans˜oes da s´erie de Taylor de
terceira ordem para as posi¸c˜oes
−→
r (t), uma progressiva e uma retr´ograda no tempo, e
som´a-las a fim de cancelar os termos ´ımpares, ou seja:
−→
r (t + ∆t) =
−→
r (t) +
d
−→
r (t)
dt
∆t +
1
2
d
2
−→
r
dt
2
∆t
2
+ (∆t
3
) + (∆t
4
) (2.2)
−→
r (t − ∆t) =
−→
r (t) −
d
−→
r (t)
dt
∆t +
1
2
d
2
−→
r
dt
2
∆t
2
− (∆t
3
) + (∆t
4
) (2.3)
onde
dr(t)
dt
,
d
2
r(t)
dt
2
, (∆t
3
) s˜ao, respectivamente, a velocidade, a acelera¸c˜ao e a derivada
terceira da posi¸c˜ao com rela¸c˜ao ao tempo. Adicionando-se as ´ultimas duas express˜oes,
tem-se que:
−→
r (t + ∆t) = 2
−→
r (t) −
−→
r (t − ∆t) +
d
2
−→
r (t)
dt
2
∆t
2
+ (∆t
4
) (2.4)
que fornece a forma b´asica do algoritmo. A estrat´egia ´e calcular as posi¸c˜oes, subseq¨uen-
temente `as for¸cas e repetir o procedimento. A utiliza¸c˜ao de
−→
r (t − ∆t) no c´alculo das
posi¸c˜oes no instante (t + ∆t) torna o m´etodo revers´ıvel temporalmente. Observa-se que a
velocidade n˜ao aparece explicitamente na f´ormula acima de modo que n˜ao se pode calcu-
lar a energia cin´etica e temperatura do sistema diretamente, o que representa um ponto
fraco do algoritmo. Para superar estas dificuldades, o algoritmo pode ser melhorado. A
variante mais comum do algoritmo b´asico ´e o “esquema da velocidade de Verlet” que tem
a seguinte forma:
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 20
−→
r (t + ∆t) =
−→
r (t) +
−→
v (t)∆t +
1
2
−→
a (t)∆t
2
,
−→
v (t + ∆t/2 ) =
−→
v (t) +
1
2
−→
a (t)∆t,
−→
a (t + ∆t) = −
1
m
∇V (
−→
r (t + ∆t)),
−→
v (t + ∆t) =
−→
v (t + ∆t/2 ) +
1
2
−→
a (t + ∆t)∆t
Um dos principais problemas do algoritmo ´e a utiliza¸c˜ao das posi¸c˜oes em (t − ∆t)
na equa¸c˜ao (2.4) dificulta o c´alculo em t = 0 , sendo necess´ario utilizar o artif´ıcio de se
truncar a equa¸c˜ao (2.3) a partir do termo de primeira ordem, obtendo
−→
r (0 − ∆t) =
−→
r (0 ) −
d
−→
r (0 )
dt
∆t.
2.1.3.2 O Algoritmo de Leap-frog
O algoritmo “Leap-frog” (altamente intuitivo) ´e simples de se deduzir. No algoritmo
“Leap-frog”, as velocidades s˜ao calculadas primeiramente no instante (t + ∆t/2), e ent˜ao
usadas para calcular as posi¸c˜oes no tempo (t +∆t). Este m´etodo recebe esse nome porque
as posi¸c˜oes e as velocidades s˜ao calculadas em uma seq¨uˆencia alternada: as velocidades
alternam sobre as posi¸c˜oes, a seguir as posi¸c˜oes alternam sobre as velocidades. Reescre-
vendo a equa¸c˜ao (2.2) e desprezando os termos de ordem 3 e 4, tem-se:
−→
r (t + ∆t) =
−→
r (t) +
d
−→
r (t)
dt
∆t +
1
2
d
2
−→
r (t)
dt
2
∆t
2
(2.5)
Ajustando a equa¸c˜ao (2.5), tem-se:
−→
r (t + ∆t) =
−→
r (t) + ∆t [
d
−→
r (t)
dt
+
1
2
d
2
−→
r (t)
dt
2
∆t]
d
−→
r (t+∆t /2 )
dt
(2.6)
Portanto:
−→
r (t + ∆t) =
−→
r (t) +
d
−→
r (t + ∆t/2 )
dt
∆t
Para saber a rela¸c˜ao da velocidade, considera-se a rela¸c˜ao dada na equa¸c˜ao (2.4)
(expans˜ao de Taylor):
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 21
d
−→
r (t + ∆t/2 )
dt
=
d
−→
r (t)
dt
+
1
2
d
2
−→
r (t)
dt
2
∆t,
d
−→
r (t − ∆t/2 )
dt
=
d
−→
r (t)
dt
−
1
2
d
2
−→
r (t)
dt
2
∆t
subtraindo as duas rela¸c˜oes, tem-se:
d
−→
r (t + ∆t/2 )
dt
=
d
−→
r (t − ∆t/2 )
dt
+
d
2
−→
r (t)
dt
2
∆t (2.7)
O esquema “leap-frog” pode, conseq¨uentemente, ser visto como uma outra variante
do algoritmo b´asico de Verlet. As vantagens desse algoritmo incluem o fato de que a
velocidade ´e calculada explicitamente, permitindo assim a obten¸c˜ao da energia cin´etica.
Outra vantagem ´e que nenhuma das equa¸c˜oes ´e obtida a partir da adi¸c˜ao de termos pe-
quenos e grandes (ausˆencia de ∆t
2
), evitando perda de precis˜ao, como ocorre no algoritmo
de Verlet. Uma caracter´ıstica que pode ser considerada com desvantagem ´e o fato das
posi¸c˜oes e velocidades estarem sempre defasadas no tempo, o que implica que a energia
cin´etica n˜ao pode ser calculada no mesmo tempo que a energia potencial. Para resolver
esse problema, sem perda de precis˜ao, a velocidade deve ser calculada no tempo t, dado
pela m´edia das velocidades nos meio passos: anterior e posterior, ou seja:
−→
v (t) =
−→
v (t + ∆t/2 ) −
−→
v (t − ∆t/2 )
2
(2.8)
2.1.3.3 O Algoritmo Predictor-Corrector
O algoritmo predictor-corrector forma uma grande classe de m´etodos gerais para a
integra¸c˜ao num´erica de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias. Os m´etodos s˜ao de ordem maior
que o de leap-frog. Aqueles mais usados na dinˆamica Molecular s˜ao devido `a Gear [43].
A primeira etapa deste algoritmo consiste da avalia¸c˜ao das posi¸c˜oes e velocidades das
part´ıculas no tempo t + ∆t para as posi¸c˜oes e (t − i∆t) para as velocidades , onde i =
0,. . .,k − 2, sendo k a ordem do algoritmo, isto ´e, o passo “predictor” para t + ∆t. A
dedu¸c˜ao ser´a dada por:
P (
−→
r ) →
−→
r (t + ∆t) =
−→
r (t) +
−→
v (t)∆t + ∆t
2
k−1
i=1
α
i
−→
f (t + [1 − i]∆t),
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 22
P (
−→
v ) →
−→
v (t + ∆t)∆t =
−→
r (t + ∆t) −
−→
r (t) + ∆t
2
k−1
i=1
α
i
−→
f (t + [1 − i]∆t)
para um dado valor de k. Para as posi¸c˜oes da part´ıcula e para as velocidades, respecti-
vamente, onde
−→
f est´a relacionado `a for¸ca
−→
F = m
−→
f . Os coeficientes α
i
e o β
i
satisfazem
ao conjunto de k − 1 equa¸c˜oes:
k−1
i=1
(1 − i)
q
α
i
=
1
(q + 1)(q + 2)
,
k−1
i=1
(1 − i)
q
α
i
=
1
(q + 2)
onde, q = 0,. . .,k − 2. Os coeficientes s˜ao todos fra¸c˜ao racional. Depois de computar o
valor de
−→
f (t + ∆t), usando o valor ”predictor” de
−→
r e
−→
v , estes valores s˜ao corrigidos,
usando as express˜oes:
C(
−→
r ) →
−→
r (t + ∆t) =
−→
r (t) +
−→
v (t)∆t + ∆t
2
k−1
i=1
β
i
−→
f (t + [2 − i]∆t),
C(
−→
v ) →
−→
v (t + ∆t)∆t =
−→
r (t + ∆t) −
−→
r (t) + ∆t
2
k−1
i=1
β
i
−→
f (t + [2 − i]∆t)
onde os coeficientes β
i
e β
i
satisfazem as equa¸c˜oes similares de α
i
e α
i
.
O algoritmo predictor-corrector ´e ajustado a problemas mais complexos como um
corpo r´ıgido ou dinˆamica com v´ınculos, onde a grande exatid˜ao em cada passo de tempo
´e desej´avel, ou onde as equa¸c˜oes de movimento inclui velocidade dependente da for¸ca. O
algoritmo do predictor-corrector ´e computacionalmente mais dif´ıcil de ser executado do
que o Verlet ou a aproxima¸c˜ao de leap-frog e requerem tamb´em mais armazenamento.
Esta podia ser uma desvantagem importante no exemplo de c´alculos de grande escala.
Entretanto, d´a a possibilidade para calcular velocidades e, posi¸c˜oes com erro menor do
que no algoritmo de Verlet.
2.1.4 Condi¸c˜oes de Contorno Peri´odicas
Sistemas infinitos e finitos s˜ao bastante diferentes em rela¸c˜ao ao comportamento f´ısico,
e esta diferen¸ca ´e basicamente devido aos efeitos de borda ou contorno presentes em siste-
mas finitos. Em simula¸c˜ao computacional uma quest˜ao que surge freq¨uˆentemente ´e: como
um sistema relativamente pequeno produz resultados que se assemelha ao comportamento
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 23
de sistema infinito?
Uma caracter´ıstica comum de Dinˆamica Molecular ´e o uso de condi¸c˜oes peri´odicas de
contorno. Quando se deseja simular um sistema real, ´e necess´ario tratar com um n´umero
de part´ıculas da ordem do n´umero do Avogadro (N∼ 10
23
). Esta ´e uma tarefa imposs´ıvel
do ponto de vista pr´atico, e este problema tamb´em aparece quando o sistema simulado ´e
por defini¸c˜ao infinito.
A solu¸c˜ao deste problema reside no uso de condi¸c˜oes peri´odicas de contorno (CCP).
Ao usar CCP, ap enas em n´umero finito de part´ıculas ´e necess´ario e estas devem estar
contidas dentro de uma caixa b´asica de simula¸c˜ao. Esta caixa ´e copiada infinitamente pela
tradu¸c˜ao r´ıgida em todas as dire¸c˜oes das part´ıculas, enchendo completamente o espa¸co.
Quando uma part´ıcula sai de um lado da caixa de simula¸c˜ao, esta ´e substitu´ıda por sua
part´ıcula “imagem” que vem do lado oposto. Como conseq¨uˆencia desta periodicidade,
´atomos que est˜ao a uma distˆancia r
c
(raio de corte) do contorno interagem com ´atomos
na c´opia adjacente do sistema ou ainda, com ´atomos pr´oximos ao contorno oposto (efeito
de borda).
O ponto chave ´e que, desta maneira, cada part´ıcula est´a interagindo n˜ao somente
com outras part´ıculas na caixa da simula¸c˜ao, mas tamb´em com suas imagens em caixas
pr´oximas, isto ´e, as intera¸c˜oes podem “atravessar” os limites da caixa. Desde que o
alcance do potencial n˜ao seja longo demais, ´e poss´ıvel adotar “a conven¸c˜ao m´ınima de
imagem”, na qual cada part´ıcula interage apenas com as part´ıculas, ou as imagens, mais
pr´oximas na disposi¸c˜ao peri´odica das c´opias. Isto ´e mostrado na Figura 11.
Naturalmente, ´e importante ter a periodicidade artificial imposta ao considerar pro-
priedades que s˜ao influenciadas por correla¸c˜oes de longo alcance. No entanto, aten¸c˜ao
especial deve ser dada aos casos onde o potencial de intera¸c˜ao ´e de longo alcance como
por exemplo, sistemas carregados e dipolar. Nestes casos, “o crit´erio m´ınimo de imagem”
deve ser melhorado com outros m´etodos de c´alculo, como, por exemplo, a t´ecnica da soma
de Ewald [35].
2.1.5 Dinˆamica de Langevin
Os modelos lagrangianos de part´ıculas ou modelos estoc´asticos lagrangianos est˜ao
baseados na equa¸c˜ao de Langevin. Os primeiros trabalhos na abordagem estoc´astica do
processo de difus˜ao molecular em um flu´ıdo come¸caram no in´ıcio do s´eculo XX por Einstein
(1905, 1906), Smoluchowski (1906) e Langevin (1908). Langevin introduziu a abordagem
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 24
Figura 11: Condi¸c˜oes peri´odicas de contorno. Enquanto uma part´ıcula se move para fora da
caixa de simula¸c˜ao, uma part´ıcula imagem move-se para dentro da caixa de simula¸c˜ao para
substitu´ı-la. Calculando as intera¸c˜oes das part´ıculas dentro de raio de corte, ambos real e
imagem vizinha s˜ao inclu´ıdos.
estoc´astica lagrangiana considerando o movimento browniano como resultante da a¸c˜ao
das for¸cas aleat´orias e de arrasto sobre um conjunto de part´ıculas imersas em um flu´ıdo
em repouso.
Outro exemplo foi o movimento irregular dos gr˜aos de p´olen imerso em um fluido des-
coberto e caracterizado pelo botˆanico inglˆes Robert Brown em 1827. Neste movimento,
conhecido como movimento browniano, as part´ıculas s˜ao continuamente bombardeadas
pelas mol´eculas do fluido. Einstein (1905; 1906) publicou a primeira explica¸c˜ao satis-
fat´oria do movimento browniano, considerando-o um processo aleat´orio. Os principais
pontos de sua proposta foram: (1) o movimento ´e ocasionado por freq¨uentes impactos
das mol´eculas do fluido sobre os gr˜aos de p´olen suspensos nesse meio; (2) a complexidade
do movimento das mol´eculas somente pode ser descrita probabilisticamente considerando
os impactos com as part´ıculas independentes e com grande freq¨uˆencia de ocorrˆencia; (3)
cada part´ıcula executa um movimento independente das outras part´ıculas presentes no
meio; e (4) os movimentos de uma part´ıcula em diferentes e consecutivos intervalos de
tempo s˜ao processos independentes. A hip´otese 4 ´e v´alida desde que estes intervalos de
tempo sejam suficientemente grandes em rela¸c˜ao ao tempo m´edio entre dois impactos
consecutivos com mol´eculas. Uma explica¸c˜ao similar foi desenvolvida independentemente
por Smoluchowski (1906).
As equa¸c˜oes de movimento na forma Newtoniana preservam a energia mecˆanica; o
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 25
sistema de part´ıculas n˜ao troca energia com o ambiente, descrevendo corretamente sua
evolu¸c˜ao; quando o sistema pode trocar energia com o ambiente ou diferentes graus de
liberdade est˜ao presentes, as equa¸c˜oes de movimento devem ser modificadas a fim de cor-
rigir a dinˆamica. A evolu¸c˜ao do sistema est´a representada por uma distribui¸c˜ao canˆonica
de probabilidade, que significa que o sistema est´a no equil´ıbrio t´ermico com um banho
de calor. Essas caracteristicas descrevem corretamente o movimento das part´ıculas por
equa¸c˜oes de Langevin. A dinˆamica de Langevin ´e um mecanismo de aproxima¸c˜ao que
usam modelos simplificados e equa¸c˜oes diferenciais estoc´asticas para esclarecer graus de
liberdade omitidos. Dois termos s˜ao acrescentados `a segunda lei de Newton: um termo
representa uma for¸ca de atrito, proporcional `a velocidade, e o outro, uma for¸ca aleat´oria.
O atrito remove a energia cin´etica do sistema, enquanto que a for¸ca aleat´oria adicionar a
energia cin´etica ao sistema.
Langevin (1908) publicou uma proposta alternativa a de Einstein, onde aparece o
primeiro exemplo de equa¸c˜ao diferencial estoc´astica e pode ser apresentada da seguinte
forma:
d
−→
u
i
dt
= a(
−→
u
i
) + Λ(t) (2.9)
onde
−→
u
i
(i = 1,2,3) ´e a velocidade da part´ıcula nas dire¸c˜oes x
1
, x
2
e x
3
e t ´e o tempo.
A equa¸c˜ao descrita, conhecida como equa¸c˜ao de Langevin, indica que a velocidade de
uma part´ıcula sofre um decaimento exponencial resultante da perda de momento (quan-
tidade de movimento) para o meio turbulento, e adquire uma certa acelera¸c˜ao atrav´es
de um impulso determinado pela natureza aleat´oria do escoamento turbulento. Assim, a
acelera¸c˜ao de uma part´ıcula em um escoamento turbulento ´e constitu´ıda por uma parte
determin´ıstica, a(
−→
u
i
), que ´e fun¸c˜ao de
−→
u
i
, e de uma parte aleat´oria, Λ(t) , independente
de
−→
u
i
. Λ(t) possui as seguintes propriedades:
Λ(t) = 0 (2.10)
pois, em m´edia, a for¸ca devida `as mol´eculas ´e nula, e
Λ(t
1
)Λ(t
2
)Λ(t
3
) . . . Λ(t
n
) = Γ
n
δ(t
1
− t
2
)δ(t
1
− t
3
) . . . δ(t
1
− t
n
) (2.11)
uma vez que os impactos s˜ao assumidos independentes. Γn , ´e um conjunto de coeficientes
obtidos a partir das propriedades estat´ısticas da velocidade de fluido e n = 1, 2, ... .
No geral um sistema de Langevin surge de um sistema cl´assico removendo os graus de
liberdade. Os graus de liberdade que s˜ao removidos exercem for¸cas conservadoras e de
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 26
atrito no resto do sistema. Todas as for¸cas restantes s˜ao somadas a uma for¸ca aleat´oria.
Um exemplo t´ıpico ´e uma part´ıcula coloidal em um solvente. Quando somente os graus
de liberdade da part´ıcula coloidal s˜ao considerados, o sistema pode ser representado pela
dinˆamica de Langevin. As for¸cas de atrito e aleat´orias s˜ao causadas por colis˜oes de
mol´eculas solventes com a part´ıcula coloidal.
2.1.6 Fun¸c˜ao Distribui¸c˜ao Radial
O estado do fluido ´e caracterizado pela ausˆencia de qualquer estrutura permanente.
H´a, no entanto, estruturas correlacionadas bem definidas que podem ser medidas expe-
rimentalmente para fornecer detalhes importantes sobre a organiza¸c˜ao molecular m´edia.
O tratamento da correla¸c˜ao estrutural (num ensemble canˆonico) se inicia com a fun¸c˜ao
distribui¸c˜ao radial de pares:
g(
−→
r
1
,
−→
r
2
) =
N(N − 1)
d
−→
r
3
. . .
−→
r
N
exp(−U(
−→
r
1
, . . . ,
−→
r
N
)/k
B
T )
ρ
2
d
−→
r
1
. . .
−→
r
N
exp(−U(
−→
r
1
, . . . ,
−→
r
N
)/k
B
T )
(2.12)
onde a integral no denominador representa a fun¸c˜ao parti¸c˜ao
1
, e a integral no numerador
difere apenas em
−→
r
1
e
−→
r
2
que s˜ao exclu´ıdos da integra¸c˜ao. Caracter´ısticas da estrutura
de um l´ıquido podem ser obtidas atrav´es das fun¸c˜oes distribui¸c˜ao radial de pares. Como
estrutura de um l´ıquido entende-se a disposi¸c˜ao relativa m´edia entre as mol´eculas. A
fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial, g
ij
(r), entre os ´atomos i e j de um par de mol´eculas distintas,
pode ser definida por,
g
ij
(
−→
r ) =
N
ij
(
−→
r ,
−→
r + ∆
−→
r )
4π
−→
r
2
∆
−→
r ρ
j
(2.13)
onde
−→
r ´e a separa¸c˜ao entre os ´atomos, N
ij
(
−→
r ,
−→
r + ∆
−→
r ) ´e o n´umero m´edio de ´atomos j
encontrados na camada esf´erica entre
−→
r e
−→
r + ∆
−→
r centrada no ´atomo i, 4π
−→
r
2
∆
−→
r ´e o
elemento de volume da camada esf´erica, e ρ
j
´e a densidade num´erica m´edia de ´atomos j
no l´ıquido.
1
Em mecˆanica estat´ıstica, a fun¸c˜ao Z parti¸c˜ao ´e uma quantidade importante usada no c´alculo das
propriedades estat´ısticas de um sistema no equil´ıbrio termodinˆamico.
´
E uma fun¸c˜ao da temperatura e de
outros parˆametros, tais como o volume que confina um g´as. A maioria das vari´aveis termodinˆamicas do
sistema, tais como a energia total, a energia livre, entropia, e press˜ao, podem ser expressas em termos da
fun¸c˜ao parti¸c˜ao ou de suas derivadas. H´a realmente diversos tipos diferentes de fun¸c˜oes parti¸c˜ao, cada
uma correspondente aos diferentes tipos de ensembles estat´ıstico (ou, equivalente, aos diferentes tipos de
energia livre). A fun¸c˜ao parti¸c˜ao canˆonica se aplica a um ensemble canˆonico, em que o sistema permite
trocar calor com o ambiente em temperatura, volume, e n´umero de part´ıculas fixos. A fun¸c˜ao parti¸c˜ao
grand canˆonica aplica-se ao ensemble grand canˆonico, em que o sistema pode trocar calor e part´ıculas
com o ambiente, em temperatura e volume fixos.
2.1 Simula¸c˜oes por Dinˆamica Molecular 27
Figura 12: fun¸c˜ao distribui¸c˜ao radial.
A defini¸c˜ao de g(r) implica que ρg(r)dr ´e proporcional a probabilidade de encontrar
um dado ´atomo num elemento de volume dr numa distˆancia r de um outro ´atomo, e
(no caso tridimensional) 4πρg(r)
−→
r
2
∆
−→
r ´e um n´umero m´edio de ´atomos numa casca de
raio r e espessura ∆r ao redor do ´atomo. Pode-se dizer que g
ij
(r) descreve a varia¸c˜ao
na distribui¸c˜ao dos ´atomos j em rela¸c˜ao `a distribui¸c˜ao que seria encontrada no l´ıquido,
para estes ´atomos, se o l´ıquido fosse uniforme. Se a distribui¸c˜ao dos ´atomos j ´e a mesma
que seria esperada de uma distribui¸c˜ao uniforme, [N
ij
(
−→
r ,
−→
r + ∆
−→
r )/4π
−→
r
2
∆
−→
r ] → ρ
j
, de
modo que g
ij
(r) → 1. Esse comportamento ´e verificado para distˆancias de separa¸c˜ao r
grandes, tipicamente da ordem de 10 Ansgrons.
Experimentalmente, as fun¸c˜oes distribui¸c˜ao radial podem ser determinadas a partir
de t´ecnicas de difra¸c˜ao de raios-X, espalhamento de nˆeutrons e difra¸c˜ao de el´etrons. Em
uma simula¸c˜ao computacional, o c´alculo de g
ij
(r) envolve, basicamente, o c´alculo das
distˆancias r entre os ´atomos i e j. O n´umero de vezes que ocorre o par de ´atomos em
fun¸c˜ao da distˆancia r ´e armazenado em um histograma. Esse histograma ´e incrementado
ao longo da simula¸c˜ao, e por fim, ´e normalizado para o n´umero N de mol´eculas utilizadas
na caixa de simula¸c˜ao e para o n´umero de passos usados no c´alculo de g
ij
(r) (Figura 12).
28
3 Modelo Te´orico
3.1 Modelo do Sistema
Nesta disserta¸c˜ao, estuda-se um sistema bin´ario quasi-unidimensional (Q1D) consis-
tindo de um n´umero de part´ıculas, que interagem entre si atrav´es de um potencial repulsivo
e s˜ao confinadas paralelamente ao eixo x por um potencial externo na dire¸c˜ao y.
Mais especificamente, o sistema ´e descrito por um n´umero de part´ıculas cl´assicas car-
regadas com metade delas com carga q
1
= 1.0 e a outra metade com carga q
2
= 2.0,
movendo-se em um plano com coordenadas
−→
r = (x,y). O potencial repulsivo de in-
tera¸c˜ao entre as cargas ´e do tipo Yukawa (Debye-H¨uckel), que ´e uma intera¸c˜ao encon-
trada normalmente em sistemas como plasmas complexos ou suspens˜oes coloidais. Este
tipo de intera¸c˜ao, em geral, est´a relacionado com a presen¸ca de um sal contido numa
solu¸c˜ao onde se encontra as particulas (parˆametro de blindagem κ) e tˆem a forma:
exp(−κ |
−→
r
i
−
−→
r
j
|)/ |
−→
r
i
−
−→
r
j
|. O potencial de confinamento ´e parab´olico e li-
mita o movimento das part´ıculas na dire¸c˜ao y. A energia potencial do sistema ´e dada
por:
U =
q
1
q
2
ε
i
j
exp(− |
−→
r
i
−
−→
r
j
| /λ)
|
−→
r
i
−
−→
r
j
|
+
q
2
1
ε
i>j
exp(− |
−→
r
1i
−
−→
r
1j
| /λ)
|
−→
r
1i
−
−→
r
1j
|
+
q
2
2
ε
i>j
exp(− |
−→
r
2i
−
−→
r
2j
| /λ)
|
−→
r
2i
−
−→
r
2j
|
+
i
1
2
mω
2
o
y
2
i
(3.1)
onde m ´e a massa de cada part´ıcula, ε ´e a constante diel´etrica do meio onde as part´ıculas
est˜ao se movendo, ω
o
mede a intensidade do potencial de confinamento, |
−→
r
i
−
−→
r
j
| ´e a
distˆancia entre as part´ıculas com carga q
1
e q
2
, |
−→
r
1i
−
−→
r
1j
| ´e a distˆancia entre part´ıculas
com carga q
1
e |
−→
r
2i
−
−→
r
2j
| ´e a distˆancia entre part´ıculas com carga q
2
.
´
E conveniente
reescrever a equa¸c˜ao (3.8) na forma adimensional. Para isso, considera-se as unidades da
3.1 Modelo do Sistema 29
energia (E
0
) e distˆancias (r
0
) como,
r
0
=
2q
2
mεω
2
0
1/3
(3.2)
E
0
=
mω
2
0
q
4
2ε
2
1/3
. (3.3)
Al´em disso, define-se o parˆametro α como raz˜ao entre as cargas dos dois tipos de
part´ıculas, α = q
2
/q
1
. Assim sendo, a energia pode ser reescrita na forma adimensional
como:
U
= α
i=1
j=1
exp(−κ |
−→
r
i
−
−→
r
j
|)
|
−→
r
i
−
−→
r
j
|
+
i>j
exp(−κ |
−→
r
1i
−
−→
r
1j
|)
|
−→
r
1i
−
−→
r
1j
|
+
α
2
i>j
exp(−κ |
−→
r
2i
−
−→
r
2j
|)
|
−→
r
2i
−
−→
r
2j
|
+
i
y
2
i
(3.4)
onde U’= U/E
0
, κ = r
0
/λ, r’
0
= r/r
0
. Esta transforma¸c˜ao ´e particularmente interessante
porque agora a energia potencial se transforma em uma fun¸c˜ao somente da densidade, do
parˆametro de blindagem (κ) e da raz˜ao entre as cargas (α).
´
E tamb´em poss´ıvel definir
uma temperatura adimensional com T’= T/T
0
com T
0
= (mω
2
0
q
4
/2ε
2
)
1/3
k
−1
B
. Note que
o modelo estudado na referˆencia [35] ´e um caso particular do sistema considerado neste
trabalho, quando α = 1.0.
A an´alise num´erica do sistema foi realizada atrav´es da t´ecnica de Dinˆamica Molecular
(DM). Conforme comentado no cap´ıtulo anterior, trata-se de uma t´ecnica de simula¸c˜ao
computacional onde a evolu¸c˜ao temporal de um conjunto de part´ıculas interagindo entre
si ´e seguida pela integra¸c˜ao de suas equa¸c˜oes de movimento. Inicialmente, considera-se
uma distribui¸c˜ao aleat´oria de part´ıculas com um determinado valor de temperatura, em
torno de T
0
=< K >, e seguimos a evolu¸c˜ao temporal com passo de tempo na escala
∆t. Em seguida, a temp eratura do sistema ´e diminu´ıda sucessivamente a temperatura
at´e que ela alcance o valor T (da ordem de 10
−7
). Depois que o sistema ´e termalizado,
as quantidades f´ısicas s˜ao obtidas calculando a m´edia sobre um grande n´umero de passos,
tipicamente da ordem de 10
6
ou 10
7
. As linguagens de programa¸c˜ao C e FORTRAN foram
utilizadas nas simula¸c˜oes e, tipicamente, uma quantidade entre 100 e 200 part´ıculas foi
usada para representar o sistema infinito. Isto ´e poss´ıvel pela utiliza¸c˜ao de condi¸c˜oes de
contorno peri´odicas, como comentado no cap´ıtulo 2.
Conforme ser´a mostrado adiante, as part´ıculas se auto-arrajam numa estrutura de
cadeias (T = 0), onde o n´umero de cadeias depende basicamente da intera¸c˜ao entre as
3.2 Modos Normais - Aproxima¸c˜ao Harmˆonica 30
cargas (parˆametro de blindagem do potencial de intera¸c˜ao - κ) e do n´umero de part´ıculas.
Por estar-se interessado em um sistema “infinito” ´e conveniente introduzir aqui uma
densidade linear n. Esta ´e definida como:
n =
N
L
onde N ´e o n´umero de part´ıculas da c´elula unit´aria do sitema quasi-unidimensional e L ´e
o comprimento da caixa de simula¸c˜ao na dire¸c˜ao perpendicular a dire¸c˜ao de confinamento.
Os resultados apresentados neste trabalho foram obtidos n˜ao somente atrav´es de si-
mula¸c˜ao computacional, mas tamb´em atrav´es de c´alculos anal´ıticos. As estruturas de
m´ınima energia foram alcan¸cadas pela minimiza¸c˜ao da express˜ao da energia por part´ıcula
em rela¸c˜ao a alguns parˆametros (distˆancia entre as cadeias) e em fun¸c˜ao da densidade
linear do sistema.
Num sistema coloidal, ´e sabido que a intera¸c˜ao entre os col´oides pode ser alterada
de acordo com a concentra¸c˜ao de sal na solu¸c˜ao. Este fato serviu de motiva¸c˜ao para
estudar o presente sistema em fun¸c˜ao do parˆametro de blindagem da intera¸c˜ao (κ), que
est´a associado com o alcance de intera¸c˜ao repulsiva entre os col´oides [8, 28]. De acordo
com a equa¸c˜ao (3.9):
√
Se κ = 0, as part´ıculas interagem atrav´es de um potencial Coulombiano de longo
alcance.
√
Quando κ = 0, o potencial torna-se de alcance finito e ´e esperado que as proprie-
dades f´ısicas do sistema sejam alteradas significativamente.
√
No limite κ >> 1, o potencial usado em (3.9) torna-se do tipo “esfera dura”. Ou
seja, a intera¸c˜ao entre as part´ıculas ocorre somente durante uma poss´ıvel colis˜ao entre as
mesmas.
3.2 Modos Normais - Aproxima¸c˜ao Harmˆonica
Uma vez que a configura¸c˜ao de equil´ıbrio ´e conhecida, a etapa seguinte ´e estudar as
pequenas oscila¸c˜oes das part´ıculas em torno de suas respectivas posi¸c˜oes de equil´ıbrio, isto
´e, os modos normais de oscila¸c˜ao do sistema. Os modos normais s˜ao excita¸c˜oes coletivas
resultantes das intera¸c˜oes entre as part´ıculas que comp˜oem o sistema. O estudo dessas
excita¸c˜oes pode revelar propriedades importantes, al´em de fornecer informa¸c˜oes sobre a
estabilidade das estruturas. Os modos normais do sistema estudado neste trabalho foram
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 31
calculados atrav´es da aproxima¸c˜ao harmˆonica. Como ilustra¸c˜ao, os detalhes do c´alculo
nos casos de uma cadeia linear com um s´o tipo de part´ıcula e das estruturas de uma e duas
cadeias, do sistema bin´ario s˜ao apresentados nas se¸c˜oes 3.3.1, 3.3.2 e 3.3.3. As curvas de
dispers˜ao (ω em fun¸c˜ao de k
∗
), onde ω ´e a freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao e k
∗
´e o vetor de onda,
apresentam ramos que est˜ao associados com oscila¸c˜oes de part´ıculas nas dire¸c˜oes paralela
e perpendicular `a cadeia. No primeiro caso, o modo ´e dito longitudinal, enquanto que
no segundo, ´e dito transversal. Os modos podem ainda ser classificados como ac´usticos
(com oscila¸c˜oes em fase) e ´oticos (com oscila¸c˜oes fora de fase). Observa-se que o n´umero
de modos ac´usticos e ´oticos s˜ao iguais.
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais
Nesta se¸c˜ao apresenta-se o m´etodo usado nos c´alculos das freq¨uˆencias dos modos
normais de vibra¸c˜ao do sistema. O espectro dos modos normais foi obtido atrav´es da
aproxima¸c˜ao harmˆonica [44, 45]. Os c´alculos dos modos normais s˜ao ilustrados em trˆes
casos espec´ıficos. Inicialmente, apresenta-se o c´alculo da rela¸c˜ao de dispers˜ao de uma
cadeia linear com um s´o tipo de part´ıcula, mas em duas situa¸c˜oes: (i) o movimento
da part´ıcula ´e limitado na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia; (ii) as part´ıculas podem se
mover tanto ao longo da cadeia quanto perpendicularmente a ela. A seguir, aplica-se
o procedimento ao caso do sistema bin´ario (part´ıculas com cargas distintas), quando a
estrutura de maior estabilidade ´e um arranjo linear de uma e duas cadeias.
3.3.1 Configura¸c˜ao Linear com um tipo de Part´ıcula (α = 1.0)
Considera-se uma cadeia linear de part´ıculas idˆenticas, igualmente espa¸cadas, intera-
gindo entre si com um potencial V (
−→
R
i
−
−→
R
j
) e confinadas por um potencial parab´olico
na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia (Figura 13).
Figura 13: configura¸c˜ao linear com um tipo de part´ıcula.
Inicialmente, considere-se que as part´ıculas podem se mover apenas ao longo da cadeia.
Seja R
n,0
a posi¸c˜ao de equil´ıbrio da en´esima part´ıcula. Ao oscilar em torno da sua posi¸c˜ao
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 32
de equil´ıbrio, a part´ıcula passa a ser descrita pela posi¸c˜ao:
R
n
= R
n,0
+ δR
n
(3.5)
onde δR
n
´e o deslocamento em rela¸c˜ao ao equil´ıbrio. O sistema unidimensional ´e descrito
pelo Hamiltoniano:
H =
i
p
2
i
2m
+
1
2
i,j
V (
−→
R
i
−
−→
R
j
) (3.6)
Expandindo o Hamiltoniano at´e o termo de segunda ordem em rela¸c˜ao a separa¸c˜ao
de equil´ıbrio R
i,0
− R
j,0
, temos:
H = constante +
1
2
i,j
δ
−→
R
i
·
←→
A
ij
· δ
−→
R
j
(3.7)
,onde
←→
A
ij
=
∂
2
V (
−→
R
i
−
−→
R
j
)
∂
−→
R
i
∂
−→
R
j
, i = j
e
←→
A
ii
=
i=j
∂
2
V (
−→
R
i
−
−→
R
j
)
∂
−→
R
2
i
.
O termo linear em δ
−→
R
i
n˜ao contribui devido a condi¸c˜ao de equil´ıbrio
∂V (
−→
R
i
−
−→
R
j
)
∂R
i
= 0 (a
for¸ca em qualquer part´ıcula ´e nula no equil´ıbrio).
A equa¸c˜ao de movimento para a i-´esima part´ıcula ´e dada por:
∂p
i
∂t
= −
∂H
∂R
i
m
∂
2
δR
∂t
2
= −
A
ij
δR
j
, (3.8)
onde p
i
´e o momento linear da i-´esima part´ıcula. Assumindo uma solu¸c˜ao oscilat´oria:
δ
−→
R
i
(t) = e
−iωt
δ
−→
R
i
; onde δR
i
= ue
ik
∗
na
devido a periodicidade na dire¸c˜ao x. Substituindo
na equa¸c˜ao (3.8), tem-se:
mω
2
=
j
A
nj
e
ik
∗
(j−n)a
∗
,
onde −
π
a
∗
≤ k
∗
≤
π
a
∗
define a primeira zona de Brillouin. Observe o seguinte:
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 33
Se k
∗
→ 0, tem-se que:
mω
2
=
j
A
nj
mω
2
= A
nn
+
j=n
A
nj
ω = 0
pois A
nn
= −A
nj
; obtendo-se o ramo ac´ustico.
Se k
∗
= 0, tem-se:
mω
2
=
j
A
nj
e
ik
∗
(j−n)a
∗
mω
2
=
j
A
nj
[cos(k
∗
(j − n)a
∗
) + isen(k
∗
(j − n)a
∗
)]
sendo A
nj
= A
jn
e a parte imagin´aria se anule, obt´em-se:
mω
2
= A
nn
+
j=n
A
nj
[cos(k
∗
(j − n)a
∗
)]
ω
2
=
1
m
j=n
∂
2
V (R
n
− R
j
)
∂R
2
n
[1 − cos(k
∗
(j − n)a
∗
)]
(3.9)
A rela¸c˜ao de dispers˜ao dada em (3.9) tem a forma mostrada na figura abaixo:
Figura 14: Rela¸c˜ao de dispers˜ao.
Incluindo a caracter´ıstica Q1D no sistema, ou seja, permitindo que as part´ıculas
tamb´em oscilem na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia, tem-se:
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 34
H =
i
p
2
i
2m
+
1
2
i
mω
0
y
2
i
+
1
2
i,j
V (
R
i
−
R
j
)
O movimento na dire¸c˜ao perpendicular ´e limitado, devido a presen¸ca do potencial de
confinamento parab´olico considerando um deslocamento pequeno em torno das posi¸c˜oes
de equil´ıbrio e expandindo a express˜ao acima at´e segunda ordem, tem-se:
H =
i
p
2
i
2m
+
1
2
i
mω
0
y
2
i,0
+
1
2
i
mω
0
y
2
i
+
1
2
i=j
V (R
i,0
−R
j,0
)+
1
2
i,j
δ
−→
R
i
·
←→
A
i,j
·δ
−→
R
j
,
(3.10)
onde:
1
2
i
mω
0
y
2
i,0
+
1
2
i=j
V (
−→
R
i,0
−
−→
R
j,0
)
representa a energia do estado fundamental da configura¸c˜ao de equil´ıbrio e
←→
A
i,j
ser´a dada
por:
←→
A =
∂
2
V
∂x
i
∂x
j
∂
2
V
∂x
i
∂x
j
∂
2
V
∂y
i
∂y
j
∂
2
V
∂y
i
∂y
j
; i = j
ou ainda numa nota¸c˜ao mais compacta:
←→
A =
a
xx
ij
a
xy
ij
a
yx
ij
a
yy
ij
,
onde:
a
xx
ij
=
∂
2
V
∂x
i
∂x
j
a
xx
ii
=
∂
2
V
∂x
2
i
O ´ultimo termo da equa¸c˜ao (3.10) ´e da forma:
δ
−→
R
i
·
←→
A
i,j
· δ
−→
R
j
=
δx
i
δy
i
a
xx
ij
a
xy
ij
a
yx
ij
a
yy
ij
δy
j
δy
j
δ
−→
R
i
·
←→
A
i,j
· δ
−→
R
j
= a
xx
ij
δx
i
δx
j
+ a
xy
ij
δx
i
δy
j
+ a
yx
ij
δy
i
δx
j
+ a
yy
ij
δy
i
δy
j
(3.11)
Considerando as equa¸c˜oes (3.10) e (3.11), as equa¸c˜oes de movimento ser˜ao dadas por:
m
∂
2
(δx
i
)
∂t
2
= −
∂H
∂(δx
i
)
m
∂
2
(δy
i
)
∂t
2
= −
∂H
∂(δy
i
)
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 35
m
∂
2
(δx
i
)
∂t
2
= −
j
(a
xx
ij
δx
j
+ a
xy
ij
δy
j
)
m
∂
2
(δy
i
)
∂t
2
= −mω
2
δy
i
−
j
(a
yy
ij
δy
j
+ a
yx
ij
δx
j
)
Assumindo uma solu¸c˜ao oscilat´oria: δ
−→
R
n
(t) = e
iωt
δ
−→
R
n
e levando em considera¸c˜ao a
periodicidade do sistema na dire¸c˜ao x, onde δ
−→
R
n
=
−→
q
k
e
ik
∗
na
∗
(
−→
q
k
representa a dire¸c˜ao
de polariza¸c˜ao da oscila¸c˜ao→ amplitude), as equa¸c˜oes acima, podem ser escritas como:
mω
2
q
k,x
=
j
(a
xx
nj
q
k,x
+ a
xy
nj
q
k,x
)e
iκ(j−n)a
∗
m(ω
2
− ω
2
0
)q
k,y
=
j
(a
yy
nj
q
k,y
+ a
yx
nj
q
k,y
)e
iκ(j−n)a
∗
que podem ser representadas na forma matricial:
mω
2
−
A
xx
n
j
a
xx
nj
e
iκ(j−n)a
∗
−
A
xy
n
j
a
xy
nj
e
iκ(j−n)a
∗
−
A
yx
n
j
a
yx
nj
e
iκ(j−n)a
∗
m(ω
2
− ω
2
0
) −
A
yy
n
j
a
yy
nj
e
iκ(j−n)a
∗
q
k,x
q
k,y
=
0
0
observe que ao reescrever o Hamiltoniano na forma adimensional percebe-se que:
1
2
i
mω
2
0
y
2
i
=⇒
i
y
2
i
1
2
mω
2
0
= 1
mω
2
0
= 2
(3.12)
Portanto, ao resolver o determinante considerando a express˜ao (3.11), obt´em-se o seguinte
resultado para as freq¨uˆencias dos modos normais:
ω
±
ω
0
2
=
1
2
1 +
1
2
(A
yy
n
+ A
xx
n
) ±
1 +
1
2
(A
yy
n
− A
xx
n
)
2
+ A
yx
n
A
xy
n
, (3.13)
onde a representa¸c˜ao gr´afica da express˜ao acima ´e dada na figura abaixo: que representa
as express˜oes dos ramos ´otico e ac´ustico da rela¸c˜ao de dispers˜ao.
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 36
Figura 15: Ramos ´otico e ac´ustico da rela¸c˜ao de dispers˜ao de um sistema Q1D.
3.3.2 Sistema Bin´ario - Configura¸c˜ao de uma Cadeia
No sistema bin´ario, quando as densidades de part´ıculas com carga q
1
e q
2
s˜ao iguais,
a configura¸c˜ao de m´ınima energia para o arranjo de uma cadeia ´e caracterizada por
part´ıculas com cargas distintas localizadas em posi¸c˜oes alternadas e igualmente espa¸cadas
(Figura 16).
Figura 16: Configura¸c˜ao de 1 cadeia. Observe que as part´ıculas com cargas distintas se arrajam
de forma alternada.
Seguindo o procedimento da se¸c˜ao anterior, mas considerando que as part´ıculas tˆem
liberdade de se mover nas dire¸c˜oes x e y, calcula-se agora as rela¸c˜oes de dispers˜ao para
um sistema bin´ario, no caso em que as densidades de ambos os tipos de part´ıculas s˜ao
iguais. Na aproxima¸c˜ao harmˆonica, expande-se a energia do sistema numa s´erie de Taylor
at´e a segunda ordem. Assim a energia pode ser escrita como:
H = constante +
1
2
i
mω
0
δy
2
i
+
1
2
i,j
δ
−→
R
i
·
←→
A
ij
· δ
−→
R
j
, (3.14)
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 37
onde:
δ
−→
R
i
·
←→
A
ij
· δ
−→
R
j
= a
x,x
ij
δx
i
δx
j
+ a
x,y
ij
δx
i
δy
j
+ a
y,x
ij
δy
i
δx
j
+ a
y,y
ij
δy
i
δy
j
(3.15)
As somas, no ´ultimo termo da equa¸c˜ao (3.13), s˜ao sobre todas as part´ıculas. No
entanto, ´e conveniente separar essas somas da seguinte forma:
1
2
i,j
δ
−→
R
i
·
←→
A
ij
·δ
−→
R
j
=
1
2
1
i,j
δ
−→
R
i
·
←→
A
ij
·δ
−→
R
j
+
1
2
2
i,j
δ
−→
R
i
·
←→
A
ij
·δ
−→
R
j
+
1
2
1,2
i,j
δ
−→
R
i
·
←→
A
ij
·δ
−→
R
j
,
(3.16)
onde o primeiro somat´orio, no lado esquerdo do sinal de igualdade, ´e sobre todas as
part´ıculas, o segundo ´e somente sobre as part´ıculas com carga q
1
, o terceiro ´e somente
sobre as part´ıculas com carga q
2
e o quarto ´e sobre as part´ıculas com carga q
1
e q
2
. A
equa¸c˜ao de movimento para a i-´esima part´ıcula ´e dada por:
m
∂
2
(δx
i
)
∂t
2
= −
∂H
∂(δx
i
)
m
∂
2
(δy
i
)
∂t
2
= −
∂H
∂(δy
i
)
(3.17)
Assumindo inicialmente as coordenadas de uma part´ıcula com carga q
1
e usando as
equa¸c˜oes (3.13), (3.14), (3.15) e (3.16), obt´em-se:
m
∂
2
(δx
i
)
∂t
2
= −
1
2
1
j
(a
xx
ij
δx
j
+ a
xy
ij
δy
j
) −
1
2
2
m
(a
xx
im
δx
m
+ a
xy
im
δy
m
)
m
∂
2
(δy
i
)
∂t
2
= −mω
2
0
δy
i
−
1
2
1
j
(a
yy
ij
δy
j
+ a
yx
ij
δx
j
) −
1
2
2
m
(a
yy
im
δy
m
+ a
yx
im
δx
m
)
(3.18)
Na aproxima¸c˜ao harmˆonica, assume-se que os deslocamentos dessas part´ıculas, em
torno de suas posi¸c˜oes de equil´ıbrio, s˜ao pequenos. Isto significa que, no caso de um
equil´ıbrio, as part´ıculas oscilam em torno dessas posi¸c˜oes em um movimento harmˆonico,
de modo que uma solu¸c˜ao oscilat´oria do tipo δ
−→
R
i
(t) = δ
−→
R
i
e
−iωt
pode ser assumida. Dessa
forma, as equa¸c˜oes (3.17); tornam-se:
2mω
2
δx
i
=
1
j
(a
xx
ij
δx
j
+ a
xy
ij
δy
j
) +
2
m
(a
xx
im
δx
m
+ a
xy
im
δy
m
)
2m(ω
2
− ω
2
0
)δy
i
=
1
j
(a
yy
ij
δx
j
+ a
yx
ij
δy
j
) +
2
m
(a
yy
im
δx
m
+ a
yx
im
δy
m
)
O sistema ´e peri´odico ao longo da dire¸c˜ao x. Essa caracter´ıstica est´a presente, por
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 38
exemplo, quando considera-se que δ
−→
R
n
=
−→
q
k
e
2ik
∗
na
∗
; onde
−→
q
k
representa a dire¸c˜ao de po-
lariza¸c˜ao da oscila¸c˜ao (amplitude). Nota-se que, dessa forma, o movimento de part´ıculas
distantes entre si por uma distˆancia m´ultipla do comprimento da c´elula unit´aria (2na) va-
ria apenas p or uma fase. Os vetores
−→
q
k
e
−→
q
k
(
−→
q
k
e
−→
q
k
representam, respectivamente, as
amplitudes e dire¸c˜ao do movimento das part´ıculas com cargas q
1
e q
2
) devem, a princ´ıpio,
ter magnitudes distintas, visto que representam amplitudes dos movimentos de part´ıculas
diferentes. Assim as equa¸c˜oes acimas tornam-se:
2mω
2
q
k,x
=
1
j
(a
xx
ij
q
k,x
+ a
xy
ij
q
k,y
)e
2iκ(j−n)a
∗
+
2
m
(a
xx
im
q
k,x
+ a
xy
im
q
k,y
)e
2iκ(m−n)a
∗
(3.19a)
2m(ω
2
− ω
2
0
)q
k,y
=
1
j
(a
yy
ij
q
k,x
+ a
yx
ij
q
k,y
)e
2iκ(j−n)a
∗
+
2
m
(a
yy
im
q
k,x
+ a
yx
im
q
k,y
)×
e
2iκ(j−n)a
∗
(3.19b)
Equa¸c˜oes similares s˜ao obtidas para uma part´ıcula com carga q
2
. As equa¸c˜oes podem
ser representadas na forma matricial, ou seja:
2mω
2
− A
xx
j,1,1
−A
xy
j,1,1
−A
xx
j,1,2
−A
xy
j,1,2
−A
yx
j,1,1
2m∆ω
2
− A
yy
j,1,1
−A
yx
j,1,2
−A
yy
j,1,2
−A
xx
j,2,1
−A
xy
j,2,1
2mω
2
− A
xx
j,2,2
−A
xy
j,2,2
−A
yx
j,2,1
−A
yy
j,2,1
−A
yx
j,2,2
2m∆ω
2
− A
yy
j,2,2
q
k,x
q
k,y
q
k,x
q
k,y
=
0
0
0
0
onde ∆ω
2
= (ω
2
− ω
2
0
) e A
xx
n
=
j
a
xx
nj
e
iκ(j−n)a
. A matriz acima ´e chamada de ma-
triz dinˆamica. Os termos A
xx
j,1,1
, A
xy
j,1,1
, A
yx
j,1,1
, A
yy
j,1,1
representam os elementos devido as
intera¸c˜oes entre as part´ıculas com carga q
1
, A
xx
j,2,2
, A
xy
j,2,2
, A
yx
j,2,2
, A
yy
j,2,2
representam os ele-
mentos devido as intera¸c˜oes entre as part´ıculas com carga q
2
e os demais elementos devido
as intera¸c˜oes entre part´ıculas cargas q
1
e q
2
. Esses termos s˜ao explicitamente calculados
mais adiante
O primeiro somat´orio que aparece na equa¸c˜ao (3.19a) possui o termo a
xx
nn
=
∂
2
V
∂x
2
n
. Ao
contr´ario do segundo somat´orio da mesma equa¸c˜ao que n˜ao apresenta esse termo. Isso
significa que os termos A
n
da matriz dinˆamica n˜ao s˜ao todos iguais em rela¸c˜ao a presen¸ca
do termo (1 − coskja), que no caso ´e sempre presente no sistema com um s´o tip o de
part´ıcula [veja a equa¸c˜ao (3.9)].
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 39
Ao reescrever o Hamiltoniano na forma adimensional percebe-se que:
1
2
i
mω
2
0
y
2
i
=⇒
i
y
2
i
1
2
mω
2
0
= 1
mω
2
0
= 2
(3.20)
Portanto, ao resolver o determinante da express˜ao (3.19), obt´em-se os seguinte resultados:
ω
2
1
=
1
2
(A
xx
j,1,1
+ A
xx
j,1,2
) +
(A
xx
j,1,1
+ A
xx
j,1,2
)
2
− 4[A
xx
j,1,1
A
xx
j,2,2
− (A
xx
j,1,2
)
2
]
(3.21)
ω
2
2
=
1
2
(A
xx
j,1,1
+ A
xx
j,1,2
) −
(A
xx
j,1,1
+ A
xx
j,1,2
)
2
− 4[A
xx
j,1,1
A
xx
j,2,2
− (A
xx
j,1,2
)
2
]
(3.22)
ω
2
3
=
1 +
1
2
(A
yy
j,2,2
+ A
yy
j,1,2
) +
(A
yy
j,2,2
+ A
yy
j,1,2
)
2
− 4[A
yy
j,1,1
A
yy
j,2,2
− (A
yy
j,1,2
)
2
]
(3.23)
ω
2
4
=
1 +
1
2
(A
yy
j,2,2
+ A
yy
j,1,2
) −
(A
yy
j,2,2
+ A
yy
j,1,2
)
2
− 4[A
yy
j,1,1
A
yy
j,2,2
− (A
yy
j,1,2
)
2
]
(3.24)
que representam as express˜oes das freq¨uˆencias dos modos normais do sistema bin´ario
para a configura¸c˜ao de uma cadeia. Apresenta-se agora o c´alculo dos termos da matriz
dinˆamica [equa¸c˜ao (3.9)]
O potencial de intera¸c˜ao de uma configura¸c˜ao de uma cadeia ser´a dado por: V (1) =
V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
, onde:
V
1
−→ ´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
V
2
−→ ´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
V
3
−→ ´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
e q
2
V
4
−→ ´e o potencial de confinamento
Para o c´alculo dos elementos da matriz dinˆamica, considera-se:
O c´alculo da derivada primeira para o c´alculo da for¸ca:
1 - Para a intera¸c˜ao da part´ıcula com carga q
1
com todas as outras:
∂V
∂x
j
= −
i=j
(κ +
1
r
ji
)
e
−κr
ji
r
2
ji
(x
j
− x
i
) − α
n
(κ +
1
r
jn
)
e
−κr
jn
r
2
jn
(x
j
− x
n
) (3.25)
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 40
e
∂V
∂y
i
= mω
2
0
y
j
−
i=j
κ +
1
r
ji
e
−κr
ji
r
2
ji
(y
j
− y
i
) − α
n
κ +
1
r
jn
e
−κr
jn
r
2
jn
(y
j
− y
n
) (3.26)
2 - Para a intera¸c˜ao da part´ıcula com carga q
2
com todas as outras:
∂V
∂x
j
= −α
2
i=j
κ +
1
r
ji
e
−κr
ji
r
2
ji
(x
j
− x
i
) − α
n
κ +
1
r
jn
e
−κr
jn
r
2
jn
(x
j
− x
n
) (3.27)
e
∂V
∂y
i
= mω
2
0
y
j
− α
i=j
κ +
1
r
ji
e
−κr
ji
r
2
ji
(y
j
− y
i
) − α
n
κ +
1
r
jn
e
−κr
jn
r
2
jn
(y
j
− y
n
) (3.28)
Em seguida, obt´em a derivada segunda para o c´alculo da matriz dinˆamica:
1 - Para a intera¸c˜ao da part´ıcula com carga q
1
com todas as outras:
∂
2
V
∂x
2
j
=
i=j
(x
j
− x
i
)
2
r
5
ji
−
κ +
1
r
ji
− κ(x
j
− x
i
)
2
+
1
r
2
ji
−
2(x
j
− x
i
)
2
r
4
ji
e
−κr
ji
+
α
n
(x
j
− x
n
)
2
r
5
jn
−
κ +
1
r
jn
− κ(x
j
− x
n
)
2
+
1
r
2
jn
−
2(x
j
− x
n
)
2
r
4
jn
e
−κr
jn
(3.29)
∂
2
V
∂y
2
j
=
q=j
(y
j
− y
q
)
2
r
5
jq
−
κ +
1
r
jq
− κ(y
j
− y
q
)
2
+
1
r
2
jq
−
2(y
j
− y
q
)
2
r
4
jq
e
−κr
jq
+
α
n
(y
j
− y
n
)
2
r
5
jn
−
κ +
1
r
jn
− κ(y
j
− y
n
)
2
+
1
r
2
jn
−
2(y
j
− y
n
)
2
r
4
jn
e
−κr
jn
+ mω
0
(3.30)
∂
2
V
∂x
j
x
i
=
−(x
j
− x
i
)
2
r
5
ji
−
κ +
1
r
ji
κ(x
j
− x
i
)
2
+
1
r
2
ji
−
2(x
j
− x
i
)
2
r
4
ji
e
−κr
ji
(3.31)
∂
2
V
∂x
j
x
n
= −α
(x
j
− x
n
)
2
r
5
jn
+
κ +
1
r
jn
κ(x
j
− x
n
)
2
−
1
r
2
jn
+
2(x
j
− x
n
)
2
r
4
jn
e
−κr
jn
(3.32)
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 41
∂
2
V
∂x
j
y
j
=
i=j
(x
j
− x
i
)(y
j
− y
i
)
r
5
ji
−
κ +
1
r
ji
− κ(x
j
− x
i
)(y
j
− y
i
)+
1
r
2
ji
−
2(x
j
− x
i
)(y
j
− y
i
)
r
4
ji
e
−κr
ji
+ α
n
(x
j
− x
n
)(y
j
− y
n
)
r
5
jn
−
κ +
1
r
jn
− κ(x
j
− x
n
)(y
j
− y
n
) +
1
r
2
jn
−
2(x
j
− x
n
)(y
j
− y
n
)
r
4
jn
e
−κr
jn
(3.33)
∂
2
V
∂x
j
y
i
=
−(x
j
− x
i
)(y
j
− y
i
)
r
5
ji
−
κ +
1
r
ji
κ(x
j
− x
i
)(y
j
− y
i
)+
1
r
2
ji
−
2(x
j
− x
i
)(y
j
− y
i
)
r
4
ji
e
−κr
ji
(3.34)
∂
2
V
∂x
j
y
n
= −α
(x
j
− x
n
)(y
j
− y
n
)
r
5
jn
+
κ +
1
r
jn
κ(x
j
− x
n
)(y
j
− y
n
)−
1
r
2
jn
+
2(x
j
− x
n
)(y
j
− y
n
r
4
jn
e
−κr
jn
(3.35)
2 - Para a intera¸c˜ao da part´ıcula com carga q
2
com todas as outras:
∂
2
V
∂x
2
j
= α
∂
2
V
1,1
∂x
2
j
;
∂
2
V
∂y
2
j
= α
∂
2
V
1,1
∂x
2
j
;
∂
2
V
∂x
j
x
i
= α
∂
2
V
1,1
∂x
j
x
i
∂
2
V
2,1
∂x
j
x
n
=
∂
2
V
1,2
∂x
j
x
n
;
∂
2
V
2,2
∂x
j
j
j
= α
∂
2
V
1,1
∂x
j
j
j
;
∂
2
V
2,1
∂x
j
y
i
=
∂
2
V
1,2
∂x
j
y
i
;
∂
2
V
2,1
∂x
j
y
n
=
∂
2
V
1,2
∂x
j
y
n
(3.36)
Ap´os a descri¸c˜ao das express˜oes acima e fazendo o uso da nota¸c˜ao:
f
xx
j
=
∂
2
V (
−→
R
m
−
−→
R
j
)
∂x
2
m
; f
xx
j
= f
xx
j,1,1
+ f
xx
j,2,2
+ f
xx
j,1,2
+ f
xx
2,1
f
yy
j
=
∂
2
V (
−→
R
m
−
−→
R
j
)
∂y
2
m
; f
yy
j
= f
yy
j,1
+ f
yy
j,2
,
que as posi¸c˜oes de equil´ıbrio das part´ıculas s˜ao em y = 0, x
1
= 2ja (para as part´ıculas com
carga q
1
) e x
2
= (2j −1)a (para as part´ıculas com carga q
2
), ou seja, y
j
−y
n
= y
j
−y
m
= 0
e x
j
− x
n
= −2ja
∗
; x
j
− x
m
= −(2j − 1)a
∗
, onde j = −∞, . . . , ∞ e que distˆancia entre
part´ıculas, densidade e vetor de onda s˜ao dados, em unidades adimensionais, por: a
∗
=
a
r
0
; n
∗
=
2r
0
a
=
2
a
∗
; k
∗
=
ka
π
; obt´em-se:
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 42
A
xx
j,1,1
= α
j
n
∗3
e
−κ(2j−1)/n
∗
(2j − 1)
3
2 +
2κ(2j − 1)
n
∗
+
κ(2j − 1)
2
n
∗2
+
j
n
∗3
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
2 +
4κj
n
∗
+
(2κj)
2
n
∗2
[1 − cos (2kja
∗
)]
(3.37)
A
xx
j,2,2
= α
j
n
∗3
e
−κ(2j−1)/n
∗
(2j − 1)
3
2 +
2κ(2j − 1)
n
∗
+
κ(2j − 1)
2
n
∗2
+ α
2
j
n
∗3
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
2 +
4κj
n
∗
+
(2κj)
2
n
∗2
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.38)
A
yy
j,1,1
= −α
j
n
∗3
e
−κ(2j−1)/n
∗
(2j − 1)
3
1 +
κ(2j − 1)
n
∗
−
j
n
∗3
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
1 +
2κj
n
∗
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.39)
A
yy
j,2,2
= −α
j
n
∗3
e
−κ(2j−1)/n
∗
(2j − 1)
3
1 +
κ(2j − 1)
n
∗
−
α
2
j
n
∗3
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
1 +
2κj
n
∗
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.40)
A
xy
j,1,1
= A
yx
j,1,1
= 0 (3.41)
pois y
i
− y
j
= 0
A
xx
j,1,2
= α
j
n
∗3
e
−κ(2j−1)/n
∗
(2j − 1)
3
2 +
2κ(2j − 1)
n
∗
+
κ(2j − 1)
2
n
∗2
[cos(k(2j − 1)a
∗
)]
(3.42)
A
xy
j,1,2
= A
yx
j,1,2
= 0 (3.43)
pois y
j
− y
m
= 0
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 43
A
yy
j,1,2
= α
j
n
∗3
e
−κ(2j−1)/n
∗
(2j − 1)
3
1 +
κ(2j − 1)
n
∗
[cos(k(2j − 1)a
∗
)]
(3.44)
A
xy
j,1,2
= A
yx
j,1,2
; A
xy
j,2,1
= A
yx
j,2,1
(3.45)
3.3.3 Sistema Bin´ario - Configura¸c˜ao de duas Cadeias
O c´alculo das freq¨uˆencias dos modos normais da configura¸c˜ao de duas cadeias ´e similar
ao apresentado na se¸c˜ao anterior. A diferen¸ca est´a apenas nos termos da matriz dinˆamica.
Por essa raz˜ao apresenta-se nesta se¸c˜ao apenas o c´alculo desses termos.
De acordo com a configura¸c˜ao da Figura 17, Tem-se o seguinte potencial de in-
tera¸c˜ao:V = V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
, onde:
Figura 17: Configura¸c˜ao de 2 cadeias. Observe que h´a uma quebra de simetria
V
1
−→ ´e o potencial de intera¸c˜ao entre part´ıculas com carga de valor q
1
V
2
−→ ´e o potencial de intera¸c˜ao entre part´ıculas com carga de valor q
2
V
3
−→ ´e o potencial de intera¸c˜ao entre part´ıculas com cargas de valor q
1
e q
2
V
4
−→ ´e o potencial de confinamento
O procedimento para a configura¸c˜ao de duas cadeias ´e semelhante ao de uma cadeia
com algumas diferen¸cas: Primeiro, que na configura¸c˜ao de duas cadeias as posi¸c˜oes de
equil´ıbrio das part´ıculas mudam apenas na posi¸c˜ao y, onde as part´ıculas com carga q
1
e
q
2
se localizam na posi¸c˜ao y = 0, obtendo assim uma distˆancia d entre as cadeias (ver
3.3 C´alculo Anal´ıtico dos Modos Normais 44
Figura 17). Segundo, que os termos da matriz dinˆamica s˜ao todos n˜ao nulos. A matriz
dinˆamica nesse caso, cont´em os termos:
A
xx
j,1,1
= α
j
n
∗3
e
−κr
j
/n
∗
r
3
j
(2j − 1)
2
r
2
j
−
κ +
n
∗
r
j
−
κ(2j − 1)
2
n
∗2
−
2(2j − 1)
2
n
∗
r
j
+
j
n
∗3
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
2 +
4κj
n
∗
+
(2κj)
2
n
∗2
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.46)
A
xx
j,2,2
= α
j
n
∗3
e
−κr
j
/n
∗
r
3
j
(2j − 1)
2
r
2
j
−
κ +
n
∗
r
j
−
κ(2j − 1)
2
n
∗2
−
2(2j − 1)
2
n
∗
r
j
+ α
2
j
n
∗3
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
2 +
4κj
n
∗
+
(2κj)
2
n
∗2
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.47)
A
yy
j,1,1
= α
j
n
∗3
e
−κr
j
/n
∗
r
3
j
c
2
r
2
j
−
κ +
n
∗
r
j
−
κc
2
n
∗2
−
2c
2
n
∗
r
j
+
r
j
n
∗
+
j
n
∗3
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
1 +
2κj
n
∗
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.48)
A
yy
j,2,2
= α
j
n
∗3
e
−κr
j
/n
∗
r
3
j
c
2
r
2
j
−
κ +
n
∗
r
j
−
κc
2
n
∗2
−
2c
2
n
∗
r
j
+
r
j
n
∗
+
j
n
∗3
e
−2κj/n
∗
(2j)
3
1 +
2κj
n
∗
[1 − cos(2kja
∗
)]
(3.49)
A
xx
j,1,2
= −α
j
n
∗3
e
−κr
j
/n
∗
r
3
j
(2j − 1)
2
r
2
j
+
κ +
n
∗
r
j
κ(2j − 1)
2
n
∗2
+
2(2j − 1)
2
n
∗
r
j
−
r
j
n
∗
[cos(k
∗
(2j − 1)a
∗
)]
(3.50)
A
yy
j,1,2
= −α
j
n
∗3
e
−κr
j
/n
∗
r
3
j
c
2
r
2
j
+
κ +
n
∗
r
j
κc
2
n
∗2
+
2c
2
n
∗
r
j
−
r
j
n
∗
×
[cos(k
∗
(2j − 1)a
∗
)]
(3.51)
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 45
A
xy
j,1,2
= A
yx
j,1,2
= A
xy
j,1,1
= A
xy
j,2,2
= 0 (3.52)
A
xy
j,1,2
= A
xy
j,2,1
= A
yx
j,1,2
= A
yx
j,2,1
; A
xy
j,1,1
= A
yx
j,1,1
; A
xy
j,2,2
= A
yx
j,2,2
,
onde: R
j
=
(2j)
2
+ c
2
; r
j
=
(2j − 1)
2
+ c
2
; c =
d
a
∗
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multi-
cadeias
As express˜oes anal´ıticas para a energia m´ınima do sistema nas configura¸c˜oes de uma,
duas, quatro, sete e oito cadeias s˜ao apresentadas abaixo. Essas configura¸c˜oes apresenta-
das s˜ao as observadas neste sitema. Todas as distˆancias est˜ao normalizadas em unidades
da distˆancia entre part´ıculas a. A estrutura de uma cadeia ´e ilustrada na Figura 16.
Observe que a configura¸c˜ao de menor energia ocorre quando part´ıculas distintas est˜ao
dispostas alternadamente. A energia por part´ıcula ser´a dada por:
E
1
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
onde:
(n
∗
= 2/a
∗
) ´e a densidade do sistema
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre part´ıculas com carga de valor q
1
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre part´ıculas com carga de valor q
2
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre part´ıculas com cargas de valores q
1
e q
2
V
4
´e o potencial de confinamento (que nesse caso ´e nulo, uma vez que as part´ıculas
est˜ao em y = 0)
C´alculo de V
1
V
1
=
∞
i=1
∞
j=i+1
e
−κja
∗
ja
∗
onde a ´e a distˆancia entre part´ıculas de mesma carga. O primeiro somat´orio representa o
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 46
n´umero de part´ıculas com carga q
1
, ou seja, metade das part´ıculas. Portanto:
V
1
=
n
∗
4
∞
j=1
e
−2κj/n
∗
j
C´alculo de V
2
V
2
= α
2
∞
i=1
∞
j=i+1
e
−κja
∗
ja
∗
Agora o primeiro somat´orio representa o n´umero de part´ıculas com carga q
1
. Portanto:
V
2
= α
2
n
∗
4
∞
j=1
e
−2κj/n
∗
j
C´alculo de V
3
V
3
= α
∞
i=1
∞
j=1
e
−κ(j−0.5)a
∗
(j − 0.5)a
∗
Agora o primeiro somat´orio representa o n´umero total de part´ıculas. Portanto:
V
3
= α
n
∗
2
∞
j=1
e
−2κ(j−0.5)/n
∗
(j − 0.5)
Substituindo os c´alculos de V
1
, V
2
e V
3
na express˜ao de E
1
, temos:
E
1
= (1 + α
2
)
n
∗
4
∞
j=1
e
−2κj/n
∗
j
+ α
n
∗
2
∞
j=1
e
−2κ(j−0.5)/n
∗
(j − 0.5)
(3.53)
Para as outras cadeias, o procedimento dos c´alculos ´e semelhante ao de uma cadeia.
Portanto, para a configura¸c˜ao de duas cadeias (ver Figura 17)temos:
E
2
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
A densidade da configura¸c˜ao de m´ınima energia no caso de duas cadeias ´e igual ao
caso anterior de uma cadeia, ou seja, (n
∗
= 2/a
∗
)
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 47
V
1
=
n
∗
4
∞
j=1
e
−2κj/n
∗
j
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
V
2
= α
2
n
∗
4
∞
j=1
e
−2κj/n
∗
j
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
3
= α
n
∗
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
onde c = d/a
∗
(d ´e a distˆancia entre as cadeias para o meio do canal, que ´e um parˆametro
variacional).
V
4
´e o potencial de confinamento
V
4
=
c
2
n
∗2
Substituindo os c´alculos de V
1
, V
2
, V
3
e V
4
na express˜ao de E
2
, temos:
E
2
= (1 + α
2
)
n
∗
4
∞
j=1
e
−2κj/n
∗
j
+ α
n
∗
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n]
(j − 0.5)
2
+ c
2
+
c
2
n
∗2
(3.54)
Para a estrutura da quatro cadeias temos duas situa¸c˜oes:
• Caso 1 - Part´ıculas n˜ao alinhadas na vertical (ver Figura 18)
a energia por part´ıcula ´e dada por:
E
I
4
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ V
5
+ V
6
+ V
7
A densidade neste caso ´e dada por: (n
∗
= 4/a
∗
)
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 48
Figura 18: Configura¸c˜ao de 4 cadeias caso 1.
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
na mesma
cadeia
V
1
=
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
na mesma
cadeia
V
2
= α
2
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes.
V
3
=
n
∗
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
)
2
onde c
1
= d
1
/a e c
3
= d
3
/a (d
1
e d
3
s˜ao as distˆancias entre as cadeias e o eixo y=0, que
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 49
s˜ao parˆametros variacionais).
V
4
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
em cadeias
diferentes.
V
4
= α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
onde c
2
= d
2
/a
∗
e c
4
= d
4
/a
∗
(d
2
e d
4
s˜ao as distˆancias entre as cadeias com cargas
diferentes).
V
5
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
em
cadeias diferentes e n˜ao alinhadas na vertical.
V
5
= α
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
V
6
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
em
cadeias diferentes e n˜ao alinhados na vertical.
V
6
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
3
+ c
4
)
2
V
7
´e o potencial de confinamento
V
7
=
4
n
∗2
(2c
2
1
+ 2c
1
c
2
+ c
2
+ 2c
2
3
+ 2c
3
c
4
+ c
2
4
)
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 50
Substituindo os c´alculos de V
1
, V
2
, V
3
, V
4
, V
5
, V
6
e V
7
na express˜ao de E
I
4
, temos:
E
I
4
= (1 + α
2
)
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ c
2
1
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ c
2
1
+ α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+ α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+ α
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+ α
n
∗
8
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+ α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
4
n
∗2
(0.5c
2
1
+ c
1
c
2
+ c
2
2
)
(3.55)
• Caso 2 - Part´ıculas alinhadas na vertical (ver Figura 19)
Figura 19: Configura¸c˜ao de 4 cadeias caso 2.
a energia por part´ıcula ´e dado por:
E
II
4
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ V
5
+ V
6
+ V
7
A densidade neste caso ´e dada por: (n
∗
= 4/a
∗
)
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
na mesma
cadeia
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 51
V
1
=
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
na mesma
cadeia
V
2
= α
2
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes.
V
3
=
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
onde c
1
= d
1
/a
∗
e c
2
= d
2
/a
∗
(d
1
e d
2
s˜ao as distˆancias entre as cadeias para o meio do
canal, que s˜ao parˆametros variacionais).
V
4
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
em cadeias
diferentes.
V
4
= α
2
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
V
5
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
em
cadeias diferentes e na mesma vertical.
V
5
= α
n
∗
4
∞
j=1
exp[−4κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
∗
8
exp[−4κ(c
1
+ c
2
)/n
∗
]
(c
1
+ c
2
)
V
6
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
em
cadeias diferentes e n˜ao alinhados na vertical.
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 52
V
6
= α
n
∗
4
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
onde c
1
= d
1
/a
∗
e c
2
= d
2
/a
∗
(d
1
e d
2
s˜ao as distˆancias entre as cadeias para o meio
do canal, que s˜ao parˆametros variacionais).
V
7
´e o potencial de confinamento
V
7
=
2
n
∗2
(2c
2
1
+ 4c
1
c
2
+ 4c
2
2
)
Substituindo os c´alculos de V
1
, V
2
, V
3
, V
4
, V
5
, V
6
e V
7
na express˜ao de E
II
4
, temos:
E
II
4
= (1 + α
2
)
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
+
α
2
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
n
∗
4
∞
j=1
exp[−4κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
∗
8
exp[−4κ(c
1
+ c
2
)/n
∗
]
(c
1
+ c
2
)
+
α
n
∗
4
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
2
n
∗2
(2c
2
1
+ 4c
1
c
2
+ 4c
2
2
)
(3.56)
Para a estrutura de sete cadeias (ver Figura 20), tem-se a energia por part´ıcula dada
por:
E
7
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ V
5
+ V
6
+ V
7
+ V
8
+ V
9
+ V
10
+ V
11
+ V
12
+ V
13
+ V
14
A densidade neste caso ´e dada por: (n
∗
= 8/a
∗
)
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
na mesma
cadeia
V
1
=
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
64
∞
j=1
e
−8κ(j−2/3)/n
∗
j − 2/3
+
n
∗
128
∞
j=1
e
−8κ(j−1/3)/n
∗
j − 1/3
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 53
Figura 20: Configura¸c˜ao de 7 cadeias.
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
na mesma
cadeia
V
2
= α
2
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes
V
3
=
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/3)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 1/3)
2
+ c
2
1
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 2/3)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 2/3)
2
+ c
2
1
V
4
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
em cadeias
diferentes
V
4
= α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
V
5
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
em cadeias
diferentes
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 54
V
5
= α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
V
6
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes
V
6
=
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4c
2
1
/n
∗
]
j
2
+ 4c
2
1
+
n
∗
128
exp[−16κc
1
/n
∗
]
c
1
V
7
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes
V
7
= α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
+
α
2
n
∗
64
exp[−16κ(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
2(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−16κ(c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
2(c
1
+ c
2
)
2
V
8
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
8
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(c
2
+ c
3
)
2
V
9
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
9
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
V
10
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 55
V
10
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 1/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 2/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 2/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
V
11
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
11
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 1/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 5/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 5/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
V
12
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
12
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
V
13
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
13
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ c
2
)
2
V
14
´e o potencial de confinamento.
V
14
=
16
n
∗2
c
2
1
+ (c
1
+ c
2
)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
onde c
1
= d
1
/a
∗
, c
2
= d
2
/a
∗
, c
3
= d
3
/a
∗
e c
4
= d
4
/a
∗
(d
1
, d
2
, d
3
e d
4
s˜ao as distˆancias
entre as cadeias para o meio do canal, que s˜ao parˆametros variacionais).Substituindo os
c´alculos de V
1
, V
2
, V
3
, V
4
, V
5
, V
6
, V
7
, V
8
, V
9
, V
10
, V
11
, V
12
, V
13
e V
14
na express˜ao de E
7
,
temos:
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 56
E
7
=
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
64
∞
j=1
e
−8κ(j−2/3)/n
∗
j − 2/3
+ α
2
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/3)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 1/3)
2
+ c
2
1
+ α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
+
n
∗
128
∞
j=1
e
−8κ(j−1/3)/n
∗
j − 1/3
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
128
exp[−16κc
1
/n
∗
]
c
1
+
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4c
2
1
/n
∗
]
j
2
+ 4c
2
1
+
16
n
∗2
c
2
1
+ (c
1
+ c
2
)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
+
α
2
n
∗
64
exp[−16κ(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
2(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−16κ(c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
2(c
1
+ c
2
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 1/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 2/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 2/3)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 1/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 1/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 5/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 5/6)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 2/3)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 2/3)
2
+ c
2
1
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (2c
1
+ c
2
)
2
(3.57)
Para a estrutura de oito cadeias(ver Figura 21), tem-se a energia por part´ıcula dada
por:
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 57
Figura 21: Configura¸c˜ao de 8 cadeias.
E
8
= V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ V
5
+ V
6
+ V
7
+ V
8
+ V
9
+ V
10
+
V
11
+ V
12
+ V
13
+ V
14
+ V
15
+ V
16
+ V
17
+ V
18
+ V
19
A densidade neste caso ´e dada por: (n
∗
= 8/a
∗
)
V
1
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
na mesma
cadeia
V
1
=
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
V
2
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
na mesma
cadeia
V
2
= α
2
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
V
3
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 58
V
3
=
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
V
4
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes
V
4
=
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
V
5
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes
V
5
=
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ(c
1
+ c
2
/n
∗
]
(c
1
+ c
2
V
6
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
1
em cadeias
diferentes
V
6
=
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
V
7
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
em cadeias
diferentes
V
7
= α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
V
8
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
em cadeias
diferentes.
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 59
V
8
= α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)/n
∗
]
(c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
V
9
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
em cadeias
diferentes.
V
9
= α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ 2c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ 2c
4
)
2
V
10
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valor q
2
em cadeias
diferentes.
V
10
= α
2
(
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
V
11
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
11
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
3
+ c
4
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
3
+ c
4
)/n
∗
]
(c
3
+ c
4
)
V
12
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
12
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
V
13
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 60
V
13
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)/n
∗
]
(c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
V
14
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
14
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
V
15
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
15
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
V
16
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
16
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
2
+ c
3
)/n
∗
]
(c
2
+ c
3
)
V
17
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
17
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
V
18
´e o potencial de intera¸c˜ao entre as part´ıculas com carga de valores q
1
e q
2
V
18
= α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
1
+ 2c
2
+ c
3
)/n
∗
]
(c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 61
V
19
´e o potencial de confinamento.
V
19
=
16
n
∗2
c
2
1
4
+ (
c
1
2
+ c
2
+ c
3
)
2
+ (
c
1
2
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
onde c
1
= d
1
/a
∗
, c
2
= d
2
/a
∗
, c
3
= d
3
/a
∗
e c
4
= d
4
/a
∗
(d
1
, d
2
, d
3
e d
4
s˜ao as distˆancias
entre as cadeias para o meio do canal, que s˜ao parˆametros variacionais).Substituindo os
c´alculos de V
1
, V
2
, V
3
, V
4
, V
5
, V
6
, V
7
, V
8
, V
9
, V
10
, V
11
, V
12
, V
13
, V
14
, V
15
, V
16
, V
17
, V
18
e V
19
na express˜ao de E
8
, temos:
E
8
= (1 + α
2
)
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ(c
1
+ c
2
/n
∗
]
(c
1
+ c
2
+
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)/n
∗
]
(c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
+
α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ 2c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ 2c
4
)
2
+
α
2
(
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
3
+ c
4
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
3
+ c
4
)/n
∗
]
(c
3
+ c
4
)
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
(3.58)
3.4 Energia por part´ıcula em configura¸c˜ao de multicadeias 62
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
+ α
n
∗
32
exp[−8κ(c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)/n
∗
]
(c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
2
+ c
3
)/n
∗
]
(c
2
+ c
3
)
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
1
+ 2c
2
+ c
3
)/n
∗
]
(c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
+
16
n
∗2
0.25c
2
1
+ (0.5c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+ (0.5c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
63
4 Resultados e Discuss˜oes
4.1 Introdu¸c˜ao
Neste Cap´ıtulo, apresentam-se os resultados do sistema descrito no cap´ıtulo ante-
rior. O objetivo desse trabalho ´e estudar a estrutura de um sistema quasi-unidimensional
composto por dois tipos de part´ıculas carregadas. Para isso, considerou-se um m´etodo
anal´ıtico, no qual a energia do sistema ´e calculada para diversos arranjos das part´ıculas. A
compara¸c˜ao das energias das v´arias estruturas analisadas permite a determina¸c˜ao daquela
que representa o estado fundamental.
O procedimento anal´ıtico n˜ao foi o ´unico considerado. Simula¸c˜oes computacionais,
atrav´es do m´etodo de Dinˆamica Molecular, foram tamb´em utilizadas. Em muitos casos,
principalmente naqueles em que a densidade do sistema ´e elevada, a configura¸c˜ao obtida
serviu de base para determinar, analiticamente, a configura¸c˜ao de m´ınima energia. Isto
se deve ao fato de que em sistemas com um grande n´umero de part´ıculas, caso estudado
nesta disserta¸c˜ao, a ocorrˆencia de diversas estruturas ou configura¸c˜oes est´aveis com energia
ligeiramente maior que a configura¸c˜ao do estado fundamental ´e bastante comum. Muitas
vezes, uma mistura de estruturas pode ser observada. Os resultados apresentados neste
cap´ıtulo s˜ao uma extens˜ao daqueles mostrados na referˆencia [35], onde apenas um tipo de
part´ıcula foi considerado.
A combina¸c˜ao da intera¸c˜ao repulsiva entre part´ıculas e o potencial externo atrativo
conduz a um rico diagrama de fase em fun¸c˜ao do parˆametro de blindagem κ e da densidade
n
∗
do sistema. Em geral, a estrutura do sistema consiste de cadeias paralelas, onde o
n´umero dessas cadeias depende dos valores de κ e de n
∗
. A mudan¸ca de uma configura¸c˜ao
para outra ocorre atrav´es de uma transi¸c˜ao de primeira ou de segunda ordem.
4.2 Propriedades Estruturais 64
4.2 Propriedades Estruturais
4.2.1 Configura¸c˜oes de Equil´ıbrio
Em geral, devido ao potencial de confinamento externo, as part´ıculas carregadas
cristalizam-se em uma configura¸c˜ao de cadeias alinhadas pependicularmente `a dire¸c˜ao
de confinamento. Como comentado na se¸c˜ao 3.1, o n´umero de cadeias depende do alcance
de intera¸c˜ao entre as part´ıculas, doa densidade e das cargas das part´ıculas. Na maioria dos
casos estudados, cada cadeia possui a mesma densidade linear n
∗
(n´umero de part´ıculas
por unidade de comprimento). No entanto, a configura¸c˜ao de sete cadeias apresenta uma
anisotropia na distribui¸c˜ao de part´ıculas. Neste caso,cadeias internas possuem densidade
maior que as cadeais lo calizadas na extremidade do sistema. Esse resultado ser´a discutido
em detalhes mais adiante. A fim de determinar a configura¸c˜ao do estado fundamental, a
energia por part´ıcula foi obtida analiticamente.
Os c´alculos das energias para as v´arias configura¸c˜oes de m´ınima energia observadas
foram apresentados no cap´ıtulo 3. Para determinar a configura¸c˜ao de m´ınima energia,
diversos arranjos foram considerados. As energias de todas as configura¸c˜oes foram obtidas
analiticamente e os valores, comparados. A estrutura de menor valor de energia ser´a aqui
denominada de estado fundamental, enquanto que as outras configura¸c˜oes ser˜ao definidas
como configura¸c˜oes metaest´aveis. As express˜oes da energia por part´ıcula para todas as
outras estruturas consideradas s˜ao apresentadas no apˆendice A
Os resultados apresentados aqui s˜ao para um sistema bin´ario com cargas q
1
= 1.0 e
q
2
= 2.0, de modo que o parˆametro α = 2.0. Todas as part´ıculas tˆem o mesmo valor
de massa. As energias por part´ıcula das v´arias configura¸c˜oes s˜ao obtidas em fun¸c˜ao da
densidade linear do sistema e, em fun¸c˜ao do parˆametro de blindagem do potencial de
intera¸c˜ao entre as part´ıculas (κ).
Na caso de cadeias m´ultiplas, para minimizar a energia de intera¸c˜ao, uma tendˆencia
natural do sistema ´e maximizar a separa¸c˜ao entre part´ıculas em cadeias diferentes. No caso
em que as part´ıculas se cristalizam em uma ´unica cadeia (Figura 16), a energia m´ınima
ser´a obtida quando as part´ıculas s˜ao colocadas no eixo x, onde o potencial de confinamento
´e zero. Neste caso, a densidade linear ´e n = 2r
0
/a, e a coordenada x das part´ıculas com
carga q
1
´e x
i
= 2ia e com carga q
2
´e x
i
= (2i − 1)a, com i = 0, ±1, ±2, . . . , ±∞, ou seja,
part´ıculas distintas est˜ao alinhadas em posi¸c¸c˜oes alternadas. A energia por a part´ıcula
foi mostrada no cap´ıtulo anterior (ver cap´ıtulo 3 - equa¸c˜ao (3.53)).
4.2 Propriedades Estruturais 65
Na configura¸c˜ao de duas cadeias, as part´ıculas cristalizam-se em duas linhas paralelas
separadas por uma distˆancia d e deslocadas por uma distˆancia a
∗
/2 ao longo do eixo x. As
duas linhas de part´ıculas s˜ao formadas da seguinte maneira: uma linha s´o com part´ıculas
com cargas q
1
, e a outra linha com carga q
2
(Figura 17). A energia por a part´ıcula foi
mostrada no cap´ıtulo anterior (ver cap´ıtulo 3 - equa¸c˜ao (3.54)), onde n = 2/a
∗
e (c =
d/a
∗
). O primeiro termo da Eq. (3.54) ´e a energia potencial de intera¸c˜ao entre part´ıculas
em uma mesma cadeia com carga, o segundo termo ´e a energia devido a intera¸c˜ao entre
part´ıculas localizadas em cadeias distintas e o ´ultimo termo representa a energia devido ao
potencial de confinamento. De forma similar, calcula-se cuidadosamente a energia para as
outras estruturas de cadeias. Pela simetria, h´a duas distˆancia entre cadeias na estrutura
de quatro cadeias , trˆes na estrutura de sete cadeias e quatro na estrutura de oito cadeias.
As express˜oes correspondentes da energia por part´ıcula foram apresentadas no cap´ıtulo 3.
Em cada express˜ao obtida, minimiza-se a energia de cada configura¸c˜ao com respeito
a separa¸c˜ao entre as cadeias, obtendo-se assim a energia do estado fundamental (confi-
gura¸c˜ao de equil´ıbrio). Como exemplo, mostra-se na Figura 23, a energia por part´ıcula
E em fun¸c˜ao da densidade n
∗
para κ = 1.54 (por exemplo). As configura¸c˜oes corres-
pondentes ao estado de m´ınima energia tamb´em s˜ao mostradas. O sistema passa pela
seguinte seq¨uˆencia de transi¸c˜oes de fase: 1cadeia → 2 cadeias → 4 cadeias (caso 2) →
7 cadeias → 8 cadeias com o aumento da densidade. Essa seq¨uˆencia foi observada para
diferentes valores de n
∗
e κ, conforme ser´a comentado mais adiante. Com exce¸c˜ao da
transi¸c˜ao de uma para duas cadeias, todas as outras transi¸c˜oes estruturais de primeira
ordem, caracterizadas aqui por uma descontinuidade na derivada primeira da energia em
rela¸c˜ao a densidade.
Um fato bastante interessante pode ser observado na transi¸c˜ao de uma para duas
cadeias. Ocorre uma surpreendente separa¸c˜ao dos diferentes tipos de carga em cadeias
distintas. Essa quebra espontˆanea de simetria na distribui¸c˜ao de cargas do sistema foi ob-
servada para diferentes valores do parˆametro κ. Na literatura cient´ıfica, podemos tamb´em
observar esta segrega¸c˜ao de part´ıculas com cargas diferentes [41]. Essa experiˆencia cont´em
dois tipos de gr˜aos (vermelho e azul) com cargas diferentes, onde esses gr˜aos, inicialmente
misturados, s˜ao jogados em um recipiente e segregam espontˆaneamente devido as in-
tera¸c˜oes eletrost´aticas (Ver Figura 22).
Na Figura 24, as curvas da energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade obtidas
analiticamente s˜ao comparadas com a curva obtida das simula¸c˜oes num´ericas. Como
pode ser observado, os resultados, em ambas aproxima¸c˜oes, s˜ao bastante consistentes.
4.2 Propriedades Estruturais 66
(A)
(B)
Figura 22: (A) Gr˜aos de areia azul e vermelho misturados em um funil. (B) Os gr˜aos caindo
em um recipiente e segregando-se espontˆaneamente devido as intera¸c˜oes eletrost´aticas. Os gr˜aos
azul e vermelho tem cargas diferentes. Da referˆencia [41]
Nos “insets” (1), (2), (3), (4), (5) e (6) da Figura 24, observa-se apenas uma parte
da configura¸c˜ao final obtida na simula¸c˜ao que serviu como dire¸c˜ao para encontrar as
configura¸c˜oes de menor energia atrav´es dos c´alculos anal´ıticos. Esse procedimento foi
usado, porque as configura¸c˜oes obtidas das simula¸c˜oes eram coexistˆencia de configura¸c˜oes.
Na Figura 24, mostra-se tamb´em que para determinados valores de densidade, mais de
uma configura¸c˜ao pode ser est´avel. Por exemplo, no “no inset” (a), a configura¸c˜ao de
uma cadeia aparece com energia um pouco maior que a energia da configura¸c˜ao de duas
cadeias na regi˜ao n
∗
>0.82544. O mesmo pode ser observado nos “insets”(b), (c), (d) e
(e) em termos dos valores da densidade 1.05, 1.77, 3.44 e 5.04, respectivamente.
No “inset” (2) da Figura 24, foi observado que esta n˜ao era a configura¸c˜ao de m´ınima
energia. A configura¸c˜ao de m´ınima energia para esta configura¸c˜ao foi observado quando
as part´ıculas de mesma carga se arranjavam em cadeias distintas (Figura 25). Na Figura
25(a), a configura¸c˜ao inicial ´e aleat´oria e ap´os a simula¸c˜ao, as part´ıculas se arranjam em
duas cadeias com mistura de particulas nas cadeias. A energia por part´ıcula nesse caso
foi de 0.37112. J´a na Figura 25(b), a configura¸c˜ao inicial ´e um arranjo de duas cadeias
com part´ıculas de mesma carga em cadeias distintas e ap´os a simula¸c˜ao, ela permanecem
nessa configura¸c˜ao com uma energia por part´ıcula de 0.37097 que ´e menor que o caso (a).
4.2 Propriedades Estruturais 67
Figura 23: Configura¸c˜oes de cadeias de menor energia por part´ıcula em fun¸c˜ao da densidade
para κ = 1.54, q
1
= 1.0 e carga q
2
= 2.0.
4.2 Propriedades Estruturais 68
7cadeias
8cadeias
Figura 24: A energia por part´ıcula como fun¸c˜ao da densidade, obtida analiticamente, para
o caso com κ = 1.54 e α = 2.0. As correspondentes configura¸c˜oes, obtidas da simula¸c˜ao, de
m´ınima energia tamb´em s˜ao mostradas.
4.2 Propriedades Estruturais 69
Figura 25: Configura¸c˜oes de duas cadeias obtidas em duas situa¸c¸c˜oes: (a)configura¸c ao inicial
aleat´oria e (b)configura¸c˜ao inicial de duas cadeias com part´ıculas de mesma carga em cadeias
distintas. Simula¸c˜oes obtidas com κ = 1.54 e α = 2.0.
4.2 Propriedades Estruturais 70
Figura 26: diagrama de fase para q
1
= 1.0 e carga q
2
= 2.0.
Conforme comentado anteriormente, calcula-se as configura¸c˜oes de m´ınima energia
em fun¸c˜ao da densidade do sistema para diversos valores de κ (sempre considerando α =
2.0); ou seja, em fun¸c˜ao do alcance do potencial de intera¸c˜ao. De acordo com os resultados
obtidos, a influˆencia do alcance da intera¸c˜ao repulsiva entre as part´ıculas n˜ao ´e relevante
a ponto de pro duzir novas configura¸c˜oes de equil´ıbrio. Quando κ ´e variado, observa-se
modifica¸c˜oes apenas na densidade na qual ocorrem as transi¸c˜oes entre as v´arias estruturas
obtidas. Os resultados anal´ıticos para diferentes valores de κ e n
∗
s˜ao sumarizadas em um
diagrama de fase, mostrado na Figura 26. Observe que quando o valor de κ aumenta, o
ponto de transi¸c˜ao se desloca para valores maiores de n
∗
. Isso ocorre porque o aumento
de κ torna o potencial de curto alcance e, conseq¨uentemente, uma part´ıcula s´o sofrer´a
influˆencia da repuls˜ao eletrost´atica da outra part´ıcula quando estiverem suficientemente
pr´oximas e para que isso ocorra ´e necess´ario aumentar a densidade. A figura 27 mostra
a rela¸c˜ao da densidade de transi¸c˜ao entre uma e duas cadeias em fun¸c˜ao do parˆametro
de blindagem κ. Os pontos foram ajustados por uma fun¸c˜ao dada por n
∗
= (0.61377 ±
0.006) + (0.13964 ± 0.002)κ. Observe que a densidade varia linearmente com κ e o erro
4.2 Propriedades Estruturais 71
Figura 27: Densidade em fun¸c˜ao do parˆametro de blindagem κ para α= 2.0
apresentado ´e menor que 1%. A rela¸c˜ao foi feita para o valor de α = 2.0 e confirma o
resultado da Figura 26. De acordo com a Figura 26, observa-se a seguinte seq¨uˆencia das
transi¸c˜oes em fun¸c˜ao da densidade: de uma para duas estruturas de cadeias depois para
configura¸c˜ao de quatro cadeias (caso 1), onde as part´ıculas de carga q
1
est˜ao deslocadas
por uma distˆancia de a
∗
/4 (onde a
∗
´e a distˆancia entre duas part´ıculas vizinhas da mesma
cadeia) com as part´ıculas de carga q
2
, depois mais uma configura¸c˜ao de quatro cadeias
(caso 2), onde agora as particulas est´ao alinhadas na vertical, depois para sete cadeias e
finalmente, oito cadeias.
A posi¸c˜ao lateral relativa das diferentes cadeias ´e descrita na Figura 28 em fun¸c˜ao da
densidade n
∗
. No caso de quatro cadeias ( caso 1 e caso 2), a distˆancia entre cadeias cresce
com a da densidade, com algumas diferen¸cas. No primeiro regime de quatro cadeias do
diagrama de fase, a distˆancia entre as duas cadeias internas ´e maior do que a distˆancia
entre as cadeias internas e externas; no segundo regime, acontece o contr´ario.
4.2 Propriedades Estruturais 72
Figura 28: A posi¸c˜ao lateral das cadeias no estado de cristal de Wigner em fun¸c˜ao da densidade
linear para κ = 1.54. Resultado obtido analiticamente.
4.2 Propriedades Estruturais 73
Figura 29: A derivada da energia com rela¸c˜ao a densidade para κ = 1.54. A transi¸c˜ao de 1−→2
cadeias ´e cont´ınua (segunda ordem) o resto ´e primeira ordem.
4.2.2 Transi¸c˜oes Estruturais
Nesta se¸c˜ao ser´a apresentada uma discuss˜ao mais detalhada das transi¸c˜oes de fase
observadas no sistema. Em geral, o sistema sofre mudan¸cas na sua configura¸c˜ao, ou seja,
a uma transi¸c˜ao estrutural com a varia¸c˜ao da densidade.
´
E uma quest˜ao natural estudar a
ordem destas transi¸c˜oes. Para esta finalidade, a derivada da energia por part´ıcula (c´alculo
anal´ıtico), com respeito `a densidade, foi calculada, como mostrado na Figura 29 para κ =
1.54, conforme comentado anteriormente, com exce¸c˜ao da transi¸c˜ao 1 cadeia → 2 cadeias.
Este resultado est´a de acordo com aqueles mostrados na Figura 28, onde a posi¸c˜ao lateral
das cadeias ´e mostrada em fun¸c˜ao da densidade. Note que ap enas na transi¸c˜ao de uma
para duas cadeias ocorre uma varia¸c˜ao cont´ınua nas posi¸c˜oes das cadeias. Em todas as
outras trasi¸c˜oes observa-se uma modifica¸c˜ao abrupta nas posi¸c˜oes laterais das cadeias.
A transi¸c˜ao de 1 cadeia para 2 cadeias ´e uma transi¸c˜ao do tipo “zig-zag” [40] (ver
Figura 30 (a)). A transi¸c˜ao 2 cadeias para 4 cadeias caso 1 ocorre com uma transi¸c˜ao
“zig-zag” de cada uma das duas cadeias acompanhadas de um deslocamento de a
∗
/4 ao
longo da cadeia, fazendo ser uma transi¸c˜ao discont´ınua (ver Figura 30 (b)). Em princ´ıpio,
este tipo de transi¸c˜ao “zig-zag” ´e poss´ıvel para outras configura¸c˜oes encontradas nas
simula¸c˜oes.
4.3 Propriedades Dinˆamicas 74
Para finalizar, vale comentar que foram testadas v´arias configura¸c˜oes como mostrado
na Figura 31, com o objetivo de encontrar a configura¸c˜ao de menor energia. Quando
a densidade aumenta, o n´umero de cadeias torna-se maior pelo fato de que part´ıculas
carregadas tendem a maximizar a distˆancia, entre as part´ıculas, a fim de minimizar a
repuls˜ao coulombiana. Nos casos acima de quatro cadeias, torna-se um tanto complicado
propor a configura¸c˜ao do estado fundamental. Nesse casos, recorremos `as simula¸c˜oes
num´ericas atrav´es do m´etodo de dinˆamica molecular. Pelo fato do sistema ser composto
por um grande n´umero de part´ıculas, um grande n´umero de configura¸c˜oes est´aveis ´e
poss´ıvel. Dessa forma, mesmo usando simula¸c˜oes computacionais, ´e dif´ıcil achar a real
configura¸c˜ao de m´ınima energia do sistema.
Os resultados n´umericos muitas vezes apresentam misturas de configura¸c˜oes, ou seja,
em determinadas regi˜oes do sistema, observa-se mais de um tipo de configura¸c˜ao coexis-
tindo. Essas configura¸c˜oes serviram de base para os c´alculos anal´ıticos considerados nesse
trabalho. Exemplos de configura¸c˜oes obtidas numericamente, para diferentes n´umeros de
cadeias, s˜ao mostradas na Figura 31. Todas essas configura¸c˜oes s˜ao metaest´aveis. As
express˜oes para a energia por part´ıcula de cada uma dessas estruturas s˜ao mostradas no
apˆendice A.
4.3 Propriedades Dinˆamicas
4.3.1 Modos Normais
Uma vez que a configura¸c˜ao de equil´ıbrio ´e conhecida, o pr´oximo passo ´e estudar as
pequenas oscila¸c˜oes das part´ıculas em torno de suas respectivas posi¸c˜oes de equil´ıbrio:
os modos normais de vibra¸c˜ao do sistema. Os modos normais s˜ao excita¸c˜oes coletivas
resultantes das intera¸c˜oes entre as part´ıculas que comp˜oem o sistema. O estudo dessas
excita¸c˜oes pode revelar propriedades importantes, al´em de fornecer informa¸c˜oes sobre
a estabilidade das estruturas. Os modos normais do sistema estudado neste trabalho
foram calculados analiticamente atrav´es da aproxima¸c˜ao harmˆonica. Como ilustra¸c˜ao, os
detalhes do m´etodo e do c´alculo nos casos das estruturas de uma e duas cadeias do sistema
bin´ario foram apresentados no cap´ıtulo anterior. As curvas de dispers˜ao (ω em fun¸c˜ao de
k
∗
), onde ω ´e a freq¨uˆencia de vibra¸ca˜o da rede e k
∗
´e o vetor de onda, apresentam ramos
que est˜ao associados com oscila¸c˜oes de part´ıculas nas dire¸c˜oes paralela e perpendicular `a
cadeia. No primeiro caso, o modo ´e dito longitudinal, enquanto que no segundo, ´e dito
transversal. Os modos podem ainda ser classificados como ac´usticos (com oscila¸c˜oes em
4.3 Propriedades Dinˆamicas 75
Figura 30: Mecanismo das transi¸c˜oes estruturais de 1 para 2 cadeias e de 2 para 4 cadeias.
4.3 Propriedades Dinˆamicas 76
Figura 31: As poss´ıveis configura¸c˜oes consideradas para duas,trˆes, quatro, seis, sete e oito
cadeias. A cadeia “preta” representa as part´ıculas de carga q
1
= 1.0 e a cadeia “vermelha” a
carga q
2
= 2.0.
4.3 Propriedades Dinˆamicas 77
Figura 32: Rela¸c˜ao de dispers˜ao para densidades 0.2, 0.4, 0.6 e 0.75. Os ramos ´oticos e ac´usticos
correspondem ao movimento na dire¸c˜ao confinada e n˜ao confinada respectivamente. O compri-
mento de onda est´a em unidades de π/2a, onde a ´e o comprimento da c´elula unit´aria. O mo-
vimento das part´ıculas para a estrutura uma cadeia corresponde as diferentes autofreq¨uˆencias.
LO, LA, TO, TA significa, respectivamente, longitudinal ´otico, longitudinal ac´ustico, transversal
´otico e transversal ac´ustico
fase) e ´oticos (com oscila¸c˜oes fora de fase). Observa-se que o n´umero de modos ac´usticos
e ´oticos s˜ao iguais.
Cada modo ´e definido por um autovetor e por sua autofreq¨uˆencia correspondente. No
presente sistema bin´ario Q1D, o n´umero de ramos ac´usticos e ´oticos, ´e um n´umero que
est´a relacionado a quantidade de part´ıculas na c´elula unit´aria. O ramo transversal ´e uma
conseq¨uˆencia do fato que o sistema n˜ao ´e estritamente 1D mas Q1D, e que um potencial
de confinamento na dire¸c˜ao y est´a presente. A Figura 32 mostra a rela¸c˜ao de dispers˜ao
para v´arias densidades na configura¸c˜ao de uma cadeia.
Observe que a autofreq¨uˆencia do modo transversal ´otico diminui com o aumento da
densidade. A explica¸c˜ao para esse fato ´e mostrada na Figura 33. Observe que para bai-
4.3 Propriedades Dinˆamicas 78
xas densidades (Figura 33(a)), as part´ıculas est˜ao mais separadas ao longo da cadeia.
Portanto, quando essas part´ıculas oscilam fora de fase, a for¸ca de repuls˜ao eletrost´atica
tem, em cada part´ıcula, uma resultante na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia (dire¸c˜ao con-
finada). Essa for¸ca resultante ´e maior `a medida que a separa¸c˜ao entre as cargas diminui
(aumento da densidade)(Figura 33(b)). Logo, para uma pequena perturba¸c˜ao na posi¸c˜ao
vertical das part´ıculas, a oscila¸c˜ao ser´a favorecida devido a for¸ca de repuls˜ao eletrost´atica
na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia.
Figura 33: Esquema para densidade n
∗
a
e n
∗
b
(n
∗
a
< n
∗
b
). Observe que a for¸ca de repuls˜ao
eletrost´atica resultante em (a) ´e menor que em (b).
O modo longitudinal ´otico sofre o comportamento inverso do modo transversal ´otico,
ou seja, a sua autofreq¨uˆencia aumenta com o aumento da densidade. Isto significa que para
baixas densidades e especialmente altos valores de κ, uma part´ıcula sofre uma pequena
influˆencia da repuls˜ao eletrost´atica da part´ıcula vizinha, ou seja, as part´ıculas oscilam na
horizontal sem dificuldades. Quando a densidade aumenta, a for¸ca eletrost´atica ´e mais
intensa e, conseq¨uˆentemente, as part´ıculas tˆem mais dificuldade de oscilar na dire¸c˜ao
n˜ao confinada. O modo transversal ac´ustico sempre tem autofreq¨uˆencia 1 para um vetor
de onda (k
∗
) nulo. Isto indica que este ´e determinado basicamente pelo confinamento
parab´olico.
4.3 Propriedades Dinˆamicas 79
Para o sistema estudado nesta disserta¸c˜ao, o parˆametro de blindagem κ tem um valor
elevado (potencial de curto alcance). Isso significa que, para baixas densidades, o modo
transversal ´otico coincide com o transversal ac´ustico, pois a distˆancia entre part´ıculas ´e
grande. Como conseq¨uˆencia disso, os modos de vibra¸c˜ao transversais dependem, nesse
caso, basicamente, do confinamento externo.
Uma caracter´ısitica interessante ocorre no ponto de transi¸c˜ao de uma para duas ca-
deias, o modo transversal ´otico se transforma em longitudinal ac´ustico (ver Figura 34).
Observe que, `a medida que a densidade cresce, o modo transversal ´otico diminui, mas n˜ao
se torna nulo no limite k
∗
→ 0 . Isso s´o ocorre no valor de densidade correspondente `a
transi¸c˜ao de uma para duas cadeias, confimando os resultados anteriores.
Figura 34: Rela¸c˜ao de dispers˜ao para a transi¸c˜ao de uma para duas cadeias.
4.3 Propriedades Dinˆamicas 80
Nos limites da zona de Brillouin, observa-se um comportamento muito interessante
com rela¸c˜ao `a velocidade de um pacote de ondas (velocidade de grupo), que ´e dada por:
v
g
=
dω
dk
(4.1)
A velocidade de grupo ´e a velocidade da transmiss˜ao de energia do meio. Nos limites da
zona de Brillouin, a velocidade de grupo ´e nula. Este comportamento ´e o esperado para
uma onda estacion´aria. Portanto, para a equa¸c˜ao (3.9), por exemplo, a velocidade de
grupo ser´a dada por:
v
g
= γcos(k
∗
a
∗
), (4.2)
onde γ ´e uma constante dada por:
γ =
2a
j=n
a
xx
nj
e k = π/2a
∗
. A curva esperadoa para essa espress˜ao ser´a dado na Figura 35. Observe
Figura 35: Velocidade de grupo em fun¸c˜ao do vetor de onda.
que a Figura 35 descreve o que ´e esperado nos limites da zona de Brillouin, ou seja, surge
uma onda est´acion´aria.
81
5 Conclus˜oes
Neste trabalho, foram estudadas e analisadas as propriedades estruturais e dinˆamicas
de um sistema cl´assico bin´ario consistindo de part´ıculas carregadas confinadas em um
canal bidimensional (temperatura T≈0). Particularmente, o sistema ´e composto de
part´ıculas com carga q
1
= 1.0 e q
2
= 2.0 interagindo atrav´es de um potencial do tipo
Yukawa. A configura¸c˜ao de equil´ıbrio (menor energia), as transi¸c˜oes de fase e o espectro
de fˆonons para tal sistema foram estudados. A configura¸c˜ao de menor energia, bem como
os espectros de fˆonons s˜ao dependentes da densidade (n
∗
) e do parˆametro de blindagem
(κ). As estruturas que se formam surgem da competi¸c˜ao entre a repuls˜ao eletrost´atica e o
confinamento externo. Para baixas densidades e temperatura, as part´ıculas se cristalizam
em uma ´unica cadeia e com o crescimento da densidade ocorre uma transi¸c˜ao “zig-zag”,
(cont´ınua) e a ´unica cadeia se divide em duas cadeias e uma surpreendente quebra es-
pontˆanea de simetria ocorre no sistema. As part´ıculas com cargas q
1
e q
2
se agrupam
em cadeia distintas. Com o aumento da densidade, outras configura¸c˜oes, com diferentes
n´umeros de cadeias (quatro, sete e oito), s˜ao observados.
A configura¸c˜ao de quatro cadeias foi observada em duas configura¸c˜oes distintas: no
primeiro caso, as part´ıculas n˜ao estavam alinhadas na vertical (caso 1); no segundo,
estavam alinhadas na vertical (caso 2). Com rela¸c˜ao a transi¸c˜ao estrutural, observou-se
que a modifica¸c˜ao de duas cadeias para quatro cadeias (caso 1) ocorre atrav´es de uma
transi¸c˜ao “zig-zag” de cada uma das cadeias, acompanhadas por um deslocamento de a/4
ao longo do eixo X. As transi¸c˜oes estruturais s˜ao todas descont´ınuas (isto ´e de primeira
ordem), exceto a transi¸c˜ao de 1 para 2 cadeias, a qual ´e cont´ınua (segunda ordem).
As v´arias estruturas observadas em fun¸c˜ao da varia¸c˜ao do alcance do potencial de
intera¸c˜ao e da densidade do sistema, poderam ser sumarizadas em um diagrama de fases
(κ × n
∗
).
Os modos normais do sistema foram calculados analiticamente e consistem em ra-
mos longitudinais e transversais. O n´umero de ramos ac´usticos ´e igual ao n´umero de
5 Conclus˜oes 82
ramos ´oticos e, por sua vez, ´e igual ao n´umero de part´ıculas da c´elula unit´aria no sistema.
Observou-se que a autofreq¨uˆencia do modo transversal ´otico diminui com o aumento da
densidade, pois para baixas densidades, as part´ıculas se encontravam mais separadas ao
longo da cadeia e, com isso, a intensidade da for¸ca de repuls˜ao eletrost´atica em cada
part´ıcula era pequena na dire¸c˜ao perpendicular `a cadeia (dire¸c˜ao confinada). A inten-
sidade dessa for¸ca resultante ´e maior `a medida que a separa¸c˜ao entre as cargas diminui
(aumento da densidade). Logo, para uma pequena perturba¸c˜ao na posi¸c˜ao vertical das
part´ıculas, a oscila¸c˜ao era favorecida devido a for¸ca de repuls˜ao eletrost´atica na dire¸c˜ao
perpendicular `a cadeia.
A importˆancia do sistema apresentado neste trabalho serve como base na possibilidade
de aplica¸c˜oes tecnol´ogicas, como tem sido mostrado recentemente na literatura cient´ıfica,
bem como no interesse e entendimento de transi¸c˜oes de fase em f´ısica da mat´eria con-
densada. Apesar do car´ater te´orico e num´erico do presente trabalho, diversos sistemas
experimentais podem ser descritos pelo modelo aqui considerado.
83
AP
ˆ
ENDICE A -- Energia por Part´ıcula das
configura¸c˜oes
metaest´aveis
As express˜oes da energia por part´ıcula dos arranjos propostos s˜ao descritas abaixo.
Para configura¸c˜oes de duas, trˆes, quatro, seis, sete e oito cadeias foram propostos mais
de uma configura¸c˜ao (como foi ilustrado na Figura 31). As distˆancias entre as cadeias
para o meio do canal, que s˜ao parˆametros variacionais), usados nos c´alculos da energia
por part´ıculas das configura¸c˜oes metaest´aveis s˜ao:
c
i
=
d
i
a
∗
,
onde i = 1, 2, 3 e 4. As densidades para as configura¸c˜oes de duas, trˆes, quatro, seis, sete
e oito cadeias s˜ao, respectivamente, dadas por: n = 2/a
∗
, n = 2/a
∗
, n = 4/a
∗
, n = 8/a
∗
,
n = 8/a
∗
e n = 8/a
∗
.Portanto obt´em-se o seguinte:
A.1 Duas Cadeias
Caso 2
E
2II
= (1 + α
2
)
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+ (1 + α
2
)
n
∗
4
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1)
2
+ c
2
/n
∗
]
(2j − 1)
2
+ c
2
+
α
n
∗
2
∞
j=1
exp[−2κ(2j − 1)/n
∗
]
(2j − 1)
+
c
2
n
∗2
(A.1)
A.2 Trˆes Cadeias 84
Caso 3
E
2III
= (1 + α
2
)
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+ (1 + α
2
)
n
∗
8
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(2j − 1.5)
2
+ c
2
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 0.5)
2
+ c
2
/n]
(2j − 0.5)
2
+ c
2
+ α
n
∗
2
∞
j=1
exp[−2κ(2j − 1)/n
∗
n
∗
]
(2j − 1)
+
c
2
n
∗2
+ α
n
∗
4
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1.5)
2
+ c
2
/n]
(2j − 1.5)
2
+ c
2
+
exp[−2κ
(2j − 0.5)
2
+ c
2
/n]
(2j − 0.5)
2
+ c
2
(A.2)
Caso 4
E
2IV
= (1 + α
2
)
n
∗
8
∞
j=1
e
−
4
κj/n
∗
j
+ (1 + α
2
)
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
+
α
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ(j − 0.25)/n
∗
]
(j − 0.25)
+
∞
j=1
exp[−4κ(j − 0.75)/n
∗
]
(j − 0.75)
+
c
2
n
∗2
α
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ c
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ c
2
+
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ c
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ c
2
+
(A.3)
A.2 Trˆes Cadeias
Para trˆes cadeias, obt´em-se:
Caso 1
E
3I
=
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+ α
2
n
∗
4
∞
j=1
e
−2κj/n
∗
j
+
n
∗
4
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1)
2
+ 4c
2
/n
∗
]
(2j − 1)
2
+ 4c
2
+
α
n
∗
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(2j − 1.5)
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 0.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(2j − 0.5)
+
2c
2
n
∗2
(A.4)
Caso 2
E
3II
=
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+ α
2
n
∗
4
∞
j=1
e
−2κj/n
∗
j
+
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
j
2
+ c
2
/n
∗
]
j
2
+ c
2
+
n
∗
16
exp[−4κc/n
∗
]
c
+ α
n
∗
2
∞
j=1
exp[−2κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 1.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(2j − 1.5)
+
∞
j=1
exp[−2κ
(2j − 0.5)
2
+ c
2
/n
∗
]
(2j − 0.5)
+
2c
2
n
∗2
(A.5)
A.3 Quatro Cadeias 85
A.3 Quatro Cadeias
Para quatro cadeias, obt´em-se:
Caso 3
E
4III
= (1 + α
2
)
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
+
α
2
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.25)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ c
2
2
+
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.75)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ c
2
2
+
α
n
∗
8
∞
j=1
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
n
∗
8
exp[−4κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
+
2
n
∗2
(2c
2
1
+ 4c
1
c
2
+ 4c
2
)
(A.6)
A.4 Seis Cadeias
Para seis cadeias, Obt´em-se:
A.4 Seis Cadeias 86
Caso 1
E
6I
=
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+ α
2
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(2j − 1)
2
/16 + c
2
1
/n
∗
]
(2j − 1)
2
/16 + c
2
1
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(2j − 1)
2
/4 + c
2
3
/n
∗
]
(2j − 1)
2
/4 + c
2
3
+
α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
/4 + c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
/4 + c
2
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
/4 + c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
/4 + c
2
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
8
n
∗2
(c
2
1
+ 2(0.5c
1
+ c
2
)
2
+ 2(0.5c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
)
(A.7)
A.4 Seis Cadeias 87
Caso 2
E
6II
=
n
∗
8
∞
j=1
e
−4κj/n
∗
j
+ α
2
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(2j − 1)
2
/4 + c
2
1
/n
∗
]
(2j − 1)
2
/4 + c
2
1
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(2j − 1)
2
+ c
2
3
/n
∗
]
(2j − 1)
2
+ c
2
3
+
α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
/4 + (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+ α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
/4 + (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
1
2
exp[−8κ(c
1
+ c
2
+ c
3
/n
∗
]
(c
1
+ c
2
+ c
3
+ α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
/4 + (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
/4 + (c
1
+ c
2
)
2
+
1
2
exp[−8κ(c
1
+ c
2
)/n
∗
]
(c
1
+ c
2
)
+
8
n
∗2
(c
2
1
+ 2(0.5c
1
+ c
2
)
2
+ 2(0.5c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
)
(A.8)
A.4 Seis Cadeias 88
Caso 3
E
6III
=
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+ α
2
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
1
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
+
∗∗α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
1
2
exp[−8κ(c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)/n
∗
]
(c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
+
1
2
exp[−8κ(c
1
+ 2c
2
)/n
∗
]
(c
1
+ 2c
2
)
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
1
2
exp[−8κ(c
1
+ c
2
)/n
∗
]
(c
1
+ c
2
)
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
1
2
exp[−8κ(c
1
+ c
2
+ c
3
)/n
∗
]
(c
1
+ c
2
+ c
3
)
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
exp[−8κ
j
2
+ c
2
3
/n
∗
]
j
2
+ c
2
3
+
1
2
exp[−8κc
3
/n
∗
]
c
3
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ c
2
2
/n
∗
]
j
2
+ c
2
2
+
1
2
exp[−8κc
2
/n
∗
]
c
2
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
16
n
∗2
(0.25c
2
1
+ 2(0.5c
1
+ c
2
)
2
+ 2(0.5c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
)
(A.9)
A.5 Sete Cadeias 89
A.5 Sete Cadeias
Para sete cadeias, obt´em-se:
Caso 2
E
7II
=
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
32
∞
j=1
e
−8κ(j−2/3)/n
∗
j − 2/3
+ α
2
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ c
2
1
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ c
2
1
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
+
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ 4c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ 4c
2
1
+
α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+ α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (2c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
∗
64
(
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ 4(c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.125)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.125)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.875)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.875)
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.375)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.375)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.625)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.625)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.375)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.375)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.625)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.625)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
(A.10)
A.6 Oito Cadeias 90
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.375)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.375)
2
+ c
2
2
+ α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.625)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.625)
2
+ c
2
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.625)
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.625)
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.375)
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.375)
2
+ (2c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
2
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ 4(c
1
+ c
2
)
2
+
16
n
∗2
c
2
1
+ (c
1
+ c
2
)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
A.6 Oito Cadeias
Para oito cadeias, obt´em-se:
Caso 2
E
8II
= (1 + α
2
)
n
∗
16
∞
j=1
e
−8κj/n
∗
j
+
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
2
+
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ c
2
1
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ c
2
1
+
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
)
2
+
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
)
2
+
α
2
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
4
+
α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
2
+
α
2
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ c
4
)
2
+
α
2
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ 2c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ 2c
4
)
2
+
(A.11)
A.6 Oito Cadeias 91
α
2
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ 2c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
+ 2c
4
)
2
+
α
2
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
α
2
n
∗
64
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ 2c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
3
+ c
4
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
3
+ c
4
)/n
∗
]
(c
3
+ c
4
)
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ (c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
n
∗
32
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
/n
∗
]
(j − 0.5)
2
+ c
2
3
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
j
2
+ (c
2
+ c
3
)
2
+
n
∗
32
exp[−8κ(c
2
+ c
3
)/n
∗
]
(c
2
+ c
3
)
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.25)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
α
n
∗
16
∞
j=1
exp[−8κ
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
/n
∗
]
(j − 0.75)
2
+ (c
1
+ 2c
2
+ c
3
)
2
+
16
n
∗2
0.25c
2
1
+ (0.5c
1
+ c
2
+ c
3
)
2
+ (0.5c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
)
2
92
Referˆencias
[1] C. Grimes, and G. Adams, Phys. Rev. Lett., 42, 795 (1979).
[2] P. Leiderer, W. Ebner, V. B. Shikin, Surf. Sci., 113, 405 (1987).
[3] P. L. Elliott, S. S. Nazin, C. I. Pakes, L. Skrbek, W. F. Vinen, G. F. COX, Phys.
Rev. B, 56, 3447 (1997).
[4] P. M. Platzman, M. I. Dykman, Science , 284 , 1967 (1999).
[5] J. I. Cirac, P. Zoller, Phys. Rev. Lett., 74, 4091 (1995).
[6] S. A. Tatarkova, A. E. Carruthers, K. Dholakia, Phys. Rev. Lett., 83, 283901 (2002).
[7] J. Baumgartl, M. Brunner, C. Bechinger, Phys. Rev. Lett., 93, 168301 (2004).
[8] J. Baumgartl, R. P. A. Dullens, M. Dijkstra, R. Roth, C. Bechinger, Phys. Rev.
Lett., 98, 198303 (2007).
[9] P. Belenguer, J. P. Blondeau, L. Boufendi, M. Toogood, A. Plain, A. Bouchoule,
C. Laure, J. P. Boeuf, Phys. Rev. A, 46, 7923 (1992).
[10] B. Liu, K. Avinash, J. Goree, Phys. Rev. Lett., 91, 255003 (2003).
[11] B. Liu, J. Goree, Phys. Rev. E, 71, 046410 (2005).
[12] A. Melzer, T. Trottenberg, A. Piel, Phys. Lett. A, 191, 301 (1994).
[13] A. Homann, A. Melzer, S. Peters, A. Piel, Phys. Rev. E, 56, 7138 (1997).
[14] B. Liu, K. Avinash, J. Goree, Phys. Rev. E, 69, 036410 (2004).
[15] T. E. Angelini, H. Liang, W. Wriggers, G. Wong, Proc. Nat. Acad. Sci., 100, 8634
(2003).
[16] P.S. Doyle, J. Bibette, A. Bancaud, J. L. Viovy, Science, 295, 22 (2002).
[17] M. Block, A. Drakoudis, H. Leuthner, P. Seibert, G. Werth, J. Phys. B, 33, 375
(2000).
[18] S. Talapatra, A. D. Migone, Phys. Rev. Lett., 87, 206106 (2001).
[19] E. Wigner, Phys. Rev., 46, 1002 (1934).
[20] V. N. Manoharan, M. T. elsesser, D. J. Pine, Science, 301, 483 (2003).
[21] P. Glasson, V. Dotsenko, P. Fozooni, M. J. Lea, W. Bailey, G. Papageorgiou, S. E.
Andresen, A. Kristensen, Phys. Rev. Lett., 87, 176802 (2001).
Referˆencias 93
[22] H. J. Schultz, Phys. Rev. Lett., 71, 1864 (1993).
[23] J. Yoon, C. C. Li, D. Shahar, D. C. Tsui, M. Shayegan, Phys. Rev. Lett., 82, 1744
(1999).
[24] R. S. Crandall, R. Williams, Phys. Lett. A, 34, 404 (1971).
[25] J. H. Chu, and I. Lin, Phys. Rev. Lett., 72, 4009 (1994).
[26] S. Neser, C. Bechinger, P. Leiderer, T. Palberg, Phys. Rev. Lett., 79, 2348 (1997).
[27] L. Radzihovsky, E. Frey, D. R. Nelson, Phys. Rev. E, 63, 031503 (2001).
[28] H. L¨owen, J. Phys.: Condens Matter, 13, 415 (2001).
[29] J. P. Hansen, H. L¨owen, Annu. Rev. Phys. Chem., 51, 209 (2000).
[30] D. Helbing, I. J. Farkas, T. Vicsek, Phys. Rev. Lett., 84, 1240 (2000).
[31] B. Liu, J. Goree, V. Nosenko, L. Boufendi, Phys. plasmas, 10, 9 (2003).
[32] N. Metropolis, A. E. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, E. Teller, J.
Chem Phys., 21, 1087 (1953).
[33] B. J. Alder, T. E. Wainwright, J. Chem. Phys., 27, 1207 (1957).
[34] J. B. Gibson, A. N. Goland, M. Milgram, G. H. Vineyard, Phys. Rev., 120, 1229
(1960).
[35] G. Piacente, I. V. Schweigert, J. J. Betouras, F. M. Peeters, Phys. Rev. B, 69,
045324 (2004).
[36] M. T. Cvitas, A. Siber, Phys. Rev., 67, 193401 (2003).
[37] K. Zahn, R. Lenke, G.; Maret, Phys. Rev. Lett., 82, 2721 (1999).
[38] S. Nunomura, D. Samsonov, J. Goree, Phys. Rev. Lett., 84, 5141 (2000).
[39] A. Rahman, Phys. Rev., 136, 405 (1964).
[40] L. Candido, J. P. Rino, N. Studart, F. M. Peerters, J. Phys.: Condens. Matt., 10,
11627 (1998).
[41] Amit. Merhotra, F. J. Muzzio, T. Shinbrot, Phys. Rev. Lett., (2007).
[42] D. C. Rapaport, The Art of MOLECULAR DYNAMICS SIMULATION Cam-
bridge University, 1995.
[43] M. P. Allen, D. J. Tildesley, Computer simulation of liquids, Oxford, 1987.
[44] N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Solid State Physics, Saunders College, 1976.
[45] D. Pines, Elementary excitations in solids, Addison-Weiley, N.Y., 1963., p. 13.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
